/
Автор: Сипайлов Г.А. Санников Д.И. Жадан В.А.
Теги: электротехника электрические машины и аппараты электронно-и аппаратостроение электрические машины гидравлические расчеты электромеханика издательство высшая школа
ISBN: 5-06-000451-1
Год: 2989
Текст
У”
Г. А. Сипайлов Д. И. Санников
В. А. Жадан
г
ТЕПЛОВЫЕ,
ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ
И АЭРО-
ДИНАМИЧЕСКИЕ
РАСЧЕТЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
МАШИНАХ
!
i
у f
____________________------------------------. ------------------------------------------------------
ББК 31.261
С 39
УДК 621.313
Рецензенты:
кафедра электротехники Харьковского ордена Ленина авиаци-
онного института им. Н. Е. Жуковского (зав. кафедрой ПР°Ф-
А. И. Яковлев); проф. В. А. Лифанов (Челябинский политех-
нический институт им. Ленинского комсомола)
Сипайлов Г. А. и др.
С 39 Тепловые, гидравлические и аэродинамические
расчеты в электрических машинах: Учеб. ДЛ* ВУЗОВ
по спец. «Электромеханика»/!". А. Сипайлов, Д. И. Сан-
ников, В. А. Жадан.— М.: Высш, шк., 1989. —239 с.:
ил.
ISBN 5-06-000451-1
В учебнике излагаются основы теории гидравлики “ "леЯчгских
удобной для программирования на ЭВМ.
2202070000(4309000000)—468 <Я_?Я_ЯЯ Б6П2Л.О81
001(01)—89
ISBN 5-06-000451-1
© Г. А. Сипайлов, Д. И. Санников, В. А. Жадан,
1989
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предельные допустимые температуры активных частей отно-
сятся к числу важнейших факторов, ограничивающих мощность
электрических машин и, таким образом, оказывающих опреде-
ляющее влияние на повышение их надежности и долговечности,
а также на достижение предельной единичной мощности. По-
этому тепловые и вентиляционные расчеты электрических ма-
шин являются неотъемлемой частью их рационального проекти-
рования.
В книге на основе краткого изложения теории гидромехани-
ки и теплопередачи приведены современные методы вентиляци-
онного и теплового расчетов электрических машин, примеры
расчетов с элементами программирования. Методика изложения
основана на многолетнем опыте преподавания авторами дисцип-
лин, связанных с вопросами нагрева и охлаждения электриче-
ских машин, студентам Томского ордена Октябрьской Револю-
ции и ордена Трудового Красного Знамени политехнического ин-
ститута им. С. М. Кирова.
Авторы выражают искреннюю благодарность сотрудникам
кафедры электротехники Харьковского ордена Ленина авиаци-
онного института им. Н. Е. Жуковского (зав. кафедрой — проф.
А. И. Яковлев) и проф. В. А. Лифанову (зав. кафедрой Челя-
бинского политехнического института им. Ленинского комсомо-
ла) за ценные советы и замечания, способствовавшие улучше-
нию книги.
Все замечания и пожелания по книге просим направлять по
адресу: 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14, издатель-
ство «Высшая школа».
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Важная роль в обеспечении дальнейшего ускорения научно-
технического прогресса принадлежит развитию электроэнергети-
ки, Электрическая энергия является основным видом энергии,
определяющим уровень промышленного производства и оказы-
вающим влияние на развитие производительных сил. Без элект-
роэнергии немыслимы ни одна отрасль промышленности, сель-
ское хозяйство, транспорт, быт.
Почти вся электрическая энергия вырабатывается с помощью
электрических машин — турбогенераторов на тепловых и атом-
ных электростанциях и гидрогенераторов на гидростанциях.
Основными потребителями электроэнергии являются также
электрические машины — двигатели.
Цель создания и применения любой электрической маши-
ны — электромеханическое преобразование энергии. Преобразо-
вание механической энергии в электрическую и наоборот сопро-
вождается потерями, т. е. часть преобразуемой энергии превра-
щается в тепловую. Тепловая энергия потерь нагревает части
электрической машины, передается окружающей среде, рассеи-
вается и безвозвратно теряется.
Потери в электрических машинах бывают основными и до-
бавочными. К основным потерям относятся: электрические, вы-
деляющиеся в обмотках, по которым протекает ток; магнитные,
выделяющиеся в магнитопроводе на гистерезис и вихревые то-
ки; механические. К добавочным потерям относятся поверхност-
ные, пульсационные, потери в обмотках и магнитопроводе из-за
потоков рассеяния и искажения поля в воздушном зазоре при
нагрузке. Чем интенсивнее осуществляется отвод выделяющих-
ся в электрической машине тепловых потерь, тем большую мощ-
ность можно получить от машины заданных габаритов. Благо-
даря совершенствованию систем охлаждения гидрогенераторов
и турбогенераторов удалось повысить их мощность за послево-
енные годы в 5... 10 раз при практически неизменных основных
размерах.
Электромеханическое преобразование энергии базируется на
многих физических законах, основными из которых являются
законы электромагнетизма и механики. Однако невозможно
4
спроектировать нормально работающую электрическую машину
без тепловых, гидравлических и аэродинамических расчетов, ба-
зирующихся на законах термо-, аэро- и гидродинамики.
Передача теплоты от мест ее выделения к окружающей сре-
де, т. е. теплообмен или теплопередача, вызывается превышени-
ем температуры, приобретенной частями машины, над темпера-
турой окружающей среды. Теплопередача происходит тремя ос-
новными способами: теплопроводностью, конвекцией и излуче-
нием. Передаваемую тепловую энергию можно представить как
тепловой поток, протекающий из более нагретой области в ме-
нее нагретую. Это понятие соответствует математической кате-
гории «поток вектора». Тепловые потоки в электрических маши-
нах иногда проделывают сложные пути от мест тепловыделения
через промежуточные тела — твердые, газообразные или жид-
кие, прежде чем рассеются в окружающей среде. Это объяс-
няется как сложностью конструкций машин, состоящих из не-
однородных элементов, так и применением в них специальных
систем охлаждения для улучшения отвода теплоты. В этих си-
стемах движется охлаждающая среда или теплоноситель, осу-
ществляя конвективный теплоперенос. Источником движения
служит нагнетательный элемент: вентилятор, насос или комп-
рессор в зависимости от типа и давления среды.
Чем большую тепловую мощность может отвести от машины
система охлаждения при той же допустимой температуре нагре-
вающихся частей, тем большие потери в машине можно допу-
стить и, следовательно, машину можно нагрузить на большую
мощность. Таким образом, система охлаждения существенно
влияет на использование машины по мощности. Эффективность
охлаждения машины определяется интенсивностью теплообмена
между ее активными частями и окружающей средой.
Основное требование к системе охлаждения состоит в том,
что она должна обеспечить допустимый уровень нагрева важ-
нейших систем или частей машины (обмоток, подшипников
и т. д.); это является необходимым условием долговечности и
надежности работы машины. Кроме того, система охлаждения
должна быть экономичной, т. е. затраты на ее изготовление и
эксплуатационные расходы, связанные с ее функционированием,
должны находиться в разумных пределах.
Конструирование и расчет системы охлаждения, проверка ее
эффективности путем расчета температуры нагрева основных
частей машины — важные составные части процесса проектиро-
вания электрических машин, а испытания на нагрев опытных
образцов машин — необходимое условие их приемки.
Теоретической базой для разработки систем охлаждения слу-
жит гидрогазодинамика и, в частности, такие ее разделы, как
инженерная гидравлика и теория вентиляторов. Методы гидрав-
лики применяются для расчета течения жидкостей и газов, если
не учитывать их сжимаемость и термодинамические явления при
5
их течении, что справедливо в большинстве практических слу-
чаев.
Условия передачи тепловых потоков, теплообмена с окру-
жающей средой и формирования на этой основе температурных
полей являются предметом изучения теории теплопередачи, ле-
жащей в основе тепловых расчетов различных электрических
машин.
Повышенная температура нагрева электрических машин
влияет на долговечность изоляции обмоток, на работу подшип-
ников, коллекторно-щеточных узлов и др. Повышенная темпе-
ратура нагрева вызывает тепловое старение изоляции обмоток,
приводящее к необратимому снижению электрической и механи-
ческой прочности. Правило Монтзингера гласит, что повышение
температуры на 8... 10° сокращает срок службы изоляции в два
раза. Правило позволяет на основании опытных данных назна-
чить допустимый уровень температуры изоляции исходя из тре-
буемого срока службы машины. При этом учитывается, что мест-
ные значения температуры обмотки могут превосходить средний
уровень ее нагрева, а это может иметь решающее значение с
точки зрения возможного местного нарушения изоляции. Кроме
того, в процессе работы машины встречаются аварийные режи-
мы и перегрузки, сопровождающиеся относительно кратковре-
менным, но большим повышением температуры. В [7] на приме-
ре показано, что одно короткое замыкание длительностью 5 с
с последующим остыванием со скоростью 30 °С/мин по вызывае-
мому старению равносильно нормальной работе в течение 0,3 го-
да. На работу изоляции оказывают значительное влияние также
термомеханические напряжения в обмоточно-изоляционных кон-
струкциях, вызванные разностью температурного расширения
материалов при нагревании и особенно сильно сказывающиеся
при быстрых изменениях температуры — тепловых ударах при
коротких замыканиях, пусках и т. п.
Указанные обстоятельства заставляют выбирать допустимую
температуру изоляции с определенным запасом с учетом прак-
тического опыта эксплуатации машин. При этом разные виды
изоляционных материалов и их композиций подразделяются на
классы по нагревостойкости.
Классы нагревостойкости изоляции А, Е, В, F, Н имеют пре-
дельно допускаемую температуру Фпред=Ю5, 120, 130, 155,
180 °C соответственно. Для электрических машин основным по-
казателем нагрева служит превышение температуры ДО элемен-
та машины над температурой окружающей среды. Для нор-
мальных климатических условий температура окружающей
среды Оо.с=40°С. Допускаемое превышение температуры изо-
ляционных материалов Д8доп связано с предельно допускаемой
температурой следующим соотношением:
Д® доп == ^пред ^о.с Д^зап»
6
где Д0зап — запас на неравномерность нагрева рассматриваемо-
го элемента конструкции машины.
Согласно ГОСТ 26772—85, установлены следующие нормы
на Дбдоп: для обмоток электрических машин при определении
температуры по методу сопротивления Д0*доп. с=60; 75; 80; 100;
125 °C соответственно для вышеперечисленных классов изоля-
ции; при изменении по термометру Д0доп.т=5О; 65; 75; 85;
105 °C; для коллекторов и контактных колец Д0доп. к=60; 70;
80; 90; 100 °C. Эти нормы, как правило, нельзя увеличивать, ес-
ли Фо.с<40°С. При проектировании рекомендуется принимать
дополнительный конструкторский запас по Дбдоп ~ 5... 10%
в связи с погрешностью теплового расчета и возможными техно-
логическими отклонениями при изготовлении опытных образцов.
Для сердечников и других стальных частей, соприкасающих-
ся с изолированными обмотками, а также для неоднорядных
обмоток возбуждения малого сопротивления и обмоток, замкну-
тых на себя, принимают Д0доп. т=Д0*Доп. с; для однорядных ого-
ленных обмоток и стержневых обмоток роторов классов А, Е —
Дбдоп. С = Д0ДОП. Т = Д0*ДОП. с +5 °C, для других классов —
Д0Доп. с=Д0*Доп. с +10 °C. Для обмоток переменного тока машин
мощностью Рн^5000 кВ-А или с длиной сердечника /^1 м
ДОдоп. с=Д0*доп.с, кроме Д0дОП(£)=7О °C, Д0ДОп.т не регламен-
тируется.
Неизолированные короткозамкнутые обмотки и сердечники,
не соприкасающиеся с изоляцией, должны иметь температуру, не
опасную для смежных с ними материалов.
Для подшипников качения температура не должна превышать
100 °C, для подшипников скольжения — 80 °C. Для некоторых
типов машин нормы нагрева устанавливаются специальными
ГОСТами или техническими условиями.
Разнообразие способов охлаждения, применяемых в электри-
ческих машинах, вызвано широким диапазоном частот вращения
и мощностей машин, различными требованиями к ним и условия-
ми их эксплуатации. Для машин с возрастающими размерами и
мощностью характерна тенденция к повышению температуры на-
грева, поскольку потери возрастают примерно пропорционально
объему машины, в связи с чем плотность теплового потока через
поверхности теплоотдачи, изоляционные прослойки и т. п. уве-
личивается. Для предотвращения этого роста тепловой напря-
женности в более мощных машинах применяют более эффектив-
ное охлаждение.
Большинство микромашин успешно работает без каких-либо
специальных средств охлаждения, но начиная с мощности в не-
сколько десятков ватт машины целесообразно снабжать венти-
лятором, т. е. применять систему самовентиляции. При мощности
в несколько десятков киловатт и более используются вентиляци-
онные каналы в сердечниках. В наиболее крупных машинах —
тУрбо- и гидрогенераторах — достигнутый уровень мощностей
7
обеспечен по преимуществу применением систем водородного
охлаждения и форсированного непосредственного охлаждения,
при котором охлаждающая среда максимально приближена к
местам наиболее интенсивного тепловыделения, протекая по ка-
налам в проводниках обмотки. Турбогенераторы мощностью
800 МВт имеют тройное водяное охлаждение (обмоток статора,
ротора и стали статора), их серийный выпуск освоен в Ленин-
градском электрообъединении «Электросила».
Перспективы дальнейшей интенсификации охлаждения ма-
шин связаны с применением сжиженных газов и эффекта сверх-
проводимости. Разработка и испытания опытных образцов таких
генераторов успешно осуществляются в нашей стране. Таким об-
разом, в более мощных машинах применяются более сложные
системы охлаждения, доля стоимости которых при этом возра-
стает.
Специальные требования к машинам, в частности по защите
от вредного воздействия пыли, влаги и т. п., послужили причи-
ной появления систем закрытого исполнения с внешним обдувом
корпуса, систем с внутренним замкнутым циркуляционным кон-
туром промежуточного теплоносителя. При особо тяжелых усло-
виях работы, например в горячих помещениях, при возможности
значительных перегрузок, при затруднительных условиях венти-
ляции и т. п., применяются водяные, масляные, жидкостно-испа-
рительные системы охлаждения.
Перед современным проектировщиком электрических машин
часто встает сложная задача целесообразного выбора системы
охлаждения, ее расчета и оптимизации, обеспечения технологич-
ности и надежности функционирования, для чего требуется до-
статочно высокий уровень профессиональных знаний.
Системы охлаждения имели важное значение в повышении
технико-экономических показателей электрических машин боль-
шинства типов. Ниже приведены показатели снижения массы
асинхронных двигателей мощностью 0,5... 5 кВт с частотой вра-
щения 1500 об/мин по годам:
Годы...............- 1910 1920 1935 1950 1965 1975
Снижение массы, % . . 120 100 60 42 38 33
Данный прогресс был достигнут также благодаря улучше-
нию характеристик материалов, коэффициентов заполнения, усо-
вершенствованию конструкции и методов проектирования, одна-
ко повышение интенсивности охлаждения имело первостепенное
значение.
Эффективность теплоотдачи машин можно повысить различ-
ными способами, но при этом следует иметь в виду прежде всего
экономические соображения. Можно считать, что наиболее эко-
номичной будет машина, спроектированная с использованием
оптимизационных расчетов по минимуму приведенной стоимо-
сти (суммарной стоимости капитальных и эксплуатационных
8
затрат). Такая машина будет иметь оптимальный КПД и, следова-
тельно, оптимальный уровень потерь. Требование к эффективно-
сти системы охлаждения при этом ограничивается необходи-
мостью отвода потерь при обеспечении допустимого превышения
температуры основных частей. Всякое повышение интенсивности
охлаждения сверх необходимого уровня экономически неоправ-
данно и вредно, так как будет сопровождаться повышением вен-
тиляционных потерь или шума, создаваемого вентилятором, или
вообще стоимости системы охлаждения.
Независимо от того, как ставится задача перед проектиров-
щиком: максимально повысить эффективность теплоотвода или
установить для нее оптимальный уровень,— значение вентиля-
ционного (или гидравлического) и теплового расчетов в обеспе-
чении требуемых технико-экономических показателей проекти-
руемой машины очень велико.
Разработка этого раздела проектирования была начата осно-
воположниками теории электрических машин Г. Арнольдом,
Р. Рихтером и другими за рубежом и А. Е. Алексеевым и
М. П. Костенко в нашей стране. Дальнейшее развитие эти во-
просы получили в работах И. П. Беляева, А. И. Борисенко,
Ю. К. Васильева, Э. И. Гуревича, И. М. Постникова, Г. Г. Счаст-
ливого, И. Ф. Филиппова, А. И. Яковлева и др. Существенный
вклад в теорию нагрева и охлаждения электрических машин сде-
лали О. Бем, Г. Готтер, Р. Зодерберг, К. Треттин, И. Хак и дру-
гие зарубежные ученые.
Важнейшие научно-исследовательские и опытно-конструктор-
ские работы по системам охлаждения машин и вопросам их теп-
лового расчета были выполнены в ЛЭО «Электросила»,
ВНИИЭМ (г. Москва), ВНИИЭлектромаш (г. Ленинград), Ин-
ституте электродинамики АН УССР, ПО «Электротяжмаш»
(г. Харьков), ВНИПТИЭМ (г. Владимир), Харьковском ордена
Ленина авиационном институте им. Н. Е. Жуковского, Всесоюз-
ном НИИ взрывобезопасного электрооборудования (г. Донецк),
ПО «Сибэлектротяжмаш» (г. Новосибирск) и др. Дальнейшее
развитие данного научного направления идет по пути исследо-
вания теплофизических и гидрога.зодинамических процессов как
в традиционных, так и в принципиально новых системах охлаж-
дения с использованием современной лабораторной и математи-
ческой базы.
Раздел 1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ
И АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ЗАКОНЫ
АЭРОДИНАМИКИ И ГИДРАВЛИКИ
Гидравлика — наука, изучающая законы равновесия и движе-
ния жидкостей и взаимодействия жидкостей с соприкасающими-
ся с ними покоящимися или движущимися твердыми телами.
Гидравлика состоит из гидростатики и гидродинамики. Гидро-
статика изучает законы равновесия жидкостей и их действие на
ограничивающие стенки, гидродинамика — законы движения
жидкостей и их взаимодействие с ограничивающими стенками.
Жидкость — физическое тело, обладающее свойствами теку-
чести, ввиду чего жидкость не имеет собственной формы и при-
нимает форму сосуда, который она заполняет. Жидкости бывают
двух видов: капельные и газообразные. Капельные жид-
кости характеризуются большим сопротивлением сжатию
(почти полной несжимаемостью) и малым сопротивлением растя-
гивающим и касательным усилиям, обусловленным незначитель-
ностью сил сцепления и сил трения между частицами. К капель-
ным жидкостям относятся вода, бензин, трансформаторное мас-
ло, спирт и т. п. Газообразные жидкости (газы)
обладают большой сжимаемостью, не оказывают сопротивления
растягивающим усилиям и имеют малую вязкость.
§ 1.1. Физические свойства жидкостей
Гидравлика рассматривает только капельные жидкости, одна-
ко многие свойства капельных и газообразных жидкостей, а так-
же многие механические законы для них одинаковы, поэтому в
дальнейшем мы будем называть их жидкостями.
Илотностью жидкости называют массу единицы ее объема
(кг/м3):
?=m/V (1.1)
где m — масса, V — объем жидкости.
10
Физические свойства некоторых жидкостей и газов, исполь-
зуемых при охлаждении электрических машин, приведены в
прил. 1.
Удельным весом жидкости называют отношение веса жидко-
сти к ее объему (Н/м3):
У = G/V = mg/ (m/p)=pg, (1.2)
где G — вес жидкости.
Удельным объемом жидкости называют объем, занимаемый
единицей массы жидкости (м3/кг):
V//n=l/p.
Сжимаемость жидкостей характеризуется коэффициентом
сжимаемости, под которым понимают относительное изменение
объема жидкости, возникающее при изменении давления на еди-
ницу (1/Па):
(1.3)
где ДУ—уменьшение объема жидкости V при увеличении дав-
ления на Др.
При невысоких давлениях сжимаемостью жидкостей прене-
брегают, при значительных изменениях давления сжимаемость
капельных жидкостей учитывают. Из-за большой сжимаемости
газов их плотность, удельный вес и удельный объем в значитель-
ной степени зависят от температуры и давления. Процессы сжа-
тия и расширения газов подчиняются известным из физики за-
конам Бойля — Мариотта и Гей-Люссака для идеальных газов.
Вязкость — свойство жидкости оказывать сопротивление сдви-
гу слоев жидкости по от-
ношению друг к другу, у
Вязкость проявляется в
том, что при перемеще-
нии одних слоев жидко-
сти по отношению к ря-
дом расположенным сло-
ям возникают силы внут-
реннего трения. В резуль-
тате действия трения бо-
лее быстро движущийся
слой жидкости увлекает
медленно движущийся
слой, и наоборот.
Между двумя па рал-
Up_________ Fг
Рис. 1.1. Распределение скорости жидко-
сти в канале между неподвижной и дви-
жущейся пластинами
лельными пластинами
(рис. 1.1), расположенными на расстоянии d друг от друга,
находится жидкость. Пусть верхняя пластина движется отно-
сительно нижней со скоростью t>0. Поскольку между пластина-
ми и прилегающими к ним слоями действуют силы межмоле-
11
кулярного сцепления, то возникает явление «прилипания» по-
верхностных слоев жидкости к пластинам. При этом скорость
жидкости относительно пластины в непосредственной близости
от нее очень мала и обращается в нуль на самой пластине.
Если движение жидкости осуществляется без перемешивания,
т. е. при ламинарном течении, то скорость жидкости в потоке
между пластинами меняется по линейному закону от нуля на не-
подвижной пластине до и0 на движущейся. Чтобы перемещать
верхнюю пластину с постоянной скоростью v0, необходимо при-
ложить к ней некоторую силу F?, уравновешивающую силы внут-
реннего трения.
Как показывает опыт, эта сила прямо пропорциональна пло-
щади пластины S, скорости щ и обратно пропорциональна рас-
стоянию между пластинами:
FT =pSvQ/d, (1.4)
где ц— динамический коэффициент вязкости жидкости.
Напряжения внутреннего трения, возникающие в жидкости в
результате внутреннего трения,
т == FJS = \yvjd. (1.5)
Так как скорость движения жидкости при ламинарном тече-
нии изменяется от нуля до ц0 по линейному закону, то v(y) =
—v^yld, a dv!dy=vdd. Тогда из (1.5)
x — ydvldy. (1.6)
Выражение (1.6) называют законом Ньютона для вязкой
жидкости. Из (1.6) видно, что напряжение внутреннего трения
между слоями пропорционально их относительной скорости dv.
Динамический коэффициент вязкости характеризует трение меж-
ду соседними слоями жидкости, движущимися с различными ско-
ростями, его размерность [р]=кг/(м-с).
В практических расчетах часто используют кинематический
коэффициент вязкости (м2/с), представляющий собой отношение
динамического коэффициента вязкости к плотности жидкости:
v = H/p- (1.7)
Вязкость капельных жидкостей зависит от температуры и
уменьшается с увеличением последней. Вязкость газов, наоборот,
с увеличением температуры возрастает. Это объясняется приро-
дой вязкости в жидкостях и газах. В жидкостях молекулы распо-
ложены гораздо ближе друг к другу., чем в газах, и вязкость вы-
зывается силами молекулярного сцепления. Эти силы с ростом
температуры уменьшаются, а вязкость падает. В газах вязкость
обусловлена главным образом беспорядочным тепловым движе-
нием молекул, интенсивность которого увеличивается с темпера-
турой. Поэтому вязкость газов с увеличением температуры воз-
12
растает. Вязкость капельных жидкостей и газов практически не
зависит от давления.
Для обеспечения решения многих практических задач и тео-
ретических вопросов введено понятие идеальной жидкости. Под
идеальной жидкостью подразумевают условную жидкость, обла-
дающую абсолютной несжимаемостью, абсолютной подвиж-
ностью частиц, в которой отсутствуют силы сцепления между
ними. Вязкость идеальной жидкости равна нулю. Таким образом,
идеальная жидкость перемещается по трубам и каналам без со-
противления (без потерь энергии на трение). В реальной жидко-
сти, находящейся в покое, не проявляются силы вйзкости, она
имеет свойства, близкие к свойствам идеальной жидкости. Сле-
довательно, рассмотрение при решении гидравлических задач
идеальной жидкости вполне допустимо и позволяет применять
точный математический анализ для решения технических задач
в гидравлике.
Рис. 1.2. К оп-
ределению гид-
ростатического
давления
§ 1.2. Основные понятия гидростатики
В гидростатике рассматриваются равновесие жидкости и ее
взаимодействие с твердыми телами. На жидкость, находящуюся
в равновесии, действуют внешние силы, которые подразделяют
на массовые и поверхностные.
Массовые (объемные) силы — это силы, приложенные к ча-
стицам, заполняющим некоторый объем (силы собственной тя-
жести, силы инерции и др.). Поверхностные си-
лы— это силы, действующие лишь на поверх-
ность выделенного объема (давление твердого
тела на обтекающую его жидкость, атмосфер-
ное давление и др.).
Гидростатическое давление. Рассмотрим жид-
кое тело ограниченного объема и разделим его
плоскостью на две части, одну из которых мыс-
ленно отбросим и заменим ее действие поверх-
ностной силой F (рис. 1.2). Выделим на плос-
кости раздела некоторую площадку AS, в цент-
ре которой действует сила F. Среднее значение
давления на единицу площади
p^=F/LS. (1.8)
Если размеры площадки AS приближать к
нулю, то отношение F/&S будет стремиться к пределу, который
называют гидростатическим давлением (Н/м2 или Па):
р== Иш (F/AS). (1.9)
Гидростатическое давление обладает следующими свойства-
ми: 1) всегда направлено по нормали к площадке, на которую
13
чай равновесия
Рис. 1.3. Рав-
новесие ЖИДКО-
ГО цилиндра
действует (по направлению к площадке); 2) всегда действует
одинаково по всем направлениям; 3) в точке зависит от ее коор-
динат в пространстве.
Основное уравнение гидростатики. Рассмотрим основной слу-
жидкости, когда на нее действует лишь одна
массовая сила — сила тяжести. За единицу
силы тяжести принимают силу на единицу
массы g, имеющую размерность ускорения.
Рассмотрим зависимость гидростатического
давления от силы тяжести. Пусть образую-
щая элементарного жидкого цилиндра парал-
лельна вектору силы g, а основания цилинд-
ра AS находятся на двух поверхностях рав-
ного давления ро и Ро+^Р (рис. 1.3). Так как
силы давления на боковую поверхность ци-
линдра перпендикулярны направлению силы
g, то уравнение равновесия сил, действующих
на жидкий цилиндр,
рг/ h ASg = (р0 + d р) AS — pAS — dpkS, (1.10)
т. e. вес жидкого цилиндра уравновешивает-
ся разностью давлений на основания, откуда
dp]dh=pg> (1.11)
Таким образом, давление внутри жидко-
сти возрастает в направлении активной силы
так, что его приращение на единицу длины равно произведению
плотности на активную силу.
Ось координат z обычно направлена снизу вверх, т. е. проти-
воположно силе тяжести. Поэтому для силы тяжести справедли-
во уравнение
dp!dz= —pg= —у. (1.12)
Проинтегрируем это выражение: J dp= I dz, или
Р<з гй
P~Po=—'l(.z—zo'), (1.13)
отсюда
P=Po~ Y(z — zo)=Po + Y(Zo—z)=pQ+yh. (1.14)
Таким образом, полное (или абсолютное) гидростатическое
давление в любой точке покоящейся жидкости равно внешнему
давлению ро, сложенному с весом единичного столба жидкости,
имеющего высоту h от данной точки до поверхности.
Из (1.14) для двух точек одного и того же объема жидкости
с координатами 2о и г получим
z+/>/Y=«o+/VY. (1.15)
14
7
или основное уравнение гидростатики
з + р/у = const. (1.15а)
Часто внешнее давление равно атмосферному (р0=рат).
В инженерных расчетах атмосферное давление рат=1,013Х
Х105 Па =1,013 бар = 760 мм рт. ст.
Избыточное, или манометрическое, давление определяется как
разность между полным и атмосферным давлением: рн=р — рат,
или
Рм = Ро + Y/z - Рат- (1.16)
Если ро==рат, то манометрическое давление
PM = YA, (1.17)
т. е. глубина погружения h любой точки жидкости характеризует
манометрическое давление в ней. Из (1.17) следует, что мано-
метрическое давление равно весу столба жидкости высотой Л,
приходящегося на единицу площади.
Гидростатическое давление измеряют манометром. По прин-
ципу действия манометры делятся на жидкостные и пружинные.
Жидкост ный манометр представляет собой U-образ-
ную трубку, частично заполненную водой или ртутью. Одно ко-
лено трубки присоединяют к испытываемому объекту, а второе
оставляют открытым и сообщают с атмосферой либо из него от-
качивают воздух и запаивают.
Рис. 1.4. Пьезометр с Рис. 1.5. Схема ртутно-чашечного
вертикальной трубкой манометра
Самый простой жидкостный прибор — пьезометр. Он состоит
Из стеклянной пьезометрической трубки 1 небольшого диаметра
(рис. L4). Ее верхний конец открыт и сообщается с атмосферой,
Нижний — соединен с резервуаром 5, в котором находится жид-
15
кость под давлением р (выше атмосферного). Под действием это-
го давления жидкость из резервуара поднимается по трубке
вверх на некоторую пьезометрическую высоту h, которая опре-
деляется по шкале 2. Пьезометрическая высота характеризует
избыточное давление р в сосуде и служит мерой для определения
его значения p=pgh.
Для измерения больших давлений требуются очень высокие
пьезометрические трубки, что создает определенные неудобства.
Для измерения больших давлений применяют ртутные маномет-
ры. Поскольку ртуть имеет плотность в 13,6 раза большую, чем
вода, трубки в ртутных манометрах могут быть значительно ко-
роче. На рис. 1.5 показана схема открытого ртутно-чашечного ма-
нометра, который состоит из чашки 1 с ртутью, стеклянной труб-
ки 3 и шкалы 4. Абсолютное давление на уровне нуля шкалы
определяется основным уравнением гидростатики
Рабе ' Ро “Ь Рр-г^Л,
где рРт — плотность ртути.
Абсолютное давление в центре резервуара 2 вычисляется с
поправкой к показаниям манометра:
Рабе “ Ро И- Ррт^Г^ РёЛ,
где р — плотность жидкости в резервуаре 2; h0 — высота столба
этой же жидкости.
Тогда избыточное давление
Ризб = /’абс-А + р^Ло = 7р1Л- (1.18)
Малые давления воздуха измеряют микроманометрами
(рис. 1.6). Микроманометр представляет собой резервуар, запол-
ненный спиртом, с плоской крышкой, на которой установлен винт
со штуцерами, сообщающимися
с помощью резиновых шлангов
с местами измерения давления.
Для повышения точности микро-
манометр снабжен наклонной
трубкой со шкалой. Наклон труб-
ки (угол а) меняется с помощью
винта.
Избыточное давление
Рис. 1.6. Схема микроманометра ризб = рабс — р0 = Луж = уж-/ sin а,
где — удельный вес жидкости (спирта) в трубке микромано-
метра; I — длина столба жидкости в трубке микроманометра.
Пружинные манометры применяют для измерения очень вы-
соких давлений. Такие давления не встречаются в системах
охлаждения электрических машин, поэтому пружинные маномет-
ры здесь не рассматриваются.
16
§ 1.3. Основные понятия гидродинамики
Гидродинамика рассматривает законы движения жидкостей.
Причинами движения жидкости являются действующие на нее
внешние массовые и поверхностные силы. Основные величины,
характеризующие движение жидкости,— это гидродинамическое
давление p=f (х, у, z, t) и скорость движения w=f (х, у, z, t),
которые в общем случае изменяются в пространстве и во вре-
мени.
Задача гидродинамики состоит в определении р и w, установ-
лении связи между ними и законов их изменения при различных
случаях движения жидкости.
Элементарная струйка. Под потоком жидкости подразумева-
ют движение массы жидкости, ограниченной твердыми стенками,
а в общем случае и поверхностями соприкосновения жидких и
газообразных тел. Основной элемент гидравлической модели по-
тока — элементарная струйка. Введем несколько необходимых
понятий. Если выделенный объем жидкости настолько мал, что
можно пренебречь изменением его формы, то его называют жид-
кой частицей. Кривая, которую описывает жидкая частица при
своем движении, называется траекторией жидкой частицы. Дви-
жение жидкости можно описать следующим образом: просле-
див за движением каждой частицы, однако обычно этот способ
не применяют.
Если в каждый момент времени известен вектор скорости
жидкости в каждой точке движущегося объема жидкости, то го-
ворят, что задано поле скоростей жидкости. Направление скоро-
стей в потоке характеризуется линиями тока.
Линией тока называют воображаемую кривую, проходящую
в жидкости таким образом, что каждая частица жидкости, нахо-
дящаяся на ней в данный момент времени, имеет скорость, сов-
подающую по направлению с
(рис. 1.7). Такая условно при-
нятая линия тока в отличие
от траектории объединяет
множество частиц в данный
момент времени.
Если при движении жидко-
сти поле скоростей не изменя-
ется с течением времени, то
касательной к этой кривой
Рис. 1.7. Линия тока
такое движение называется установившимся. В установившем-
ся движении каждая частица в какой-либо точке пространства
имеет ту же скорость, какую имели и будут иметь в этой точ-
ке все предыдущие и последующие частицы.
Если поле скоростей жидкости меняется со временем, то дви-
жение называется неустановившимся. Линии тока при этом не
совпадают с траекториями частиц жидкости. Если выделить в
движущейся жидкости достаточно малый контур, ограничиваю-
17
щий элементарно малую площадку dS (рис. 1.8), то поверхность,
образуемая линиями тока, проходящими через все точки этого
контура, представляет собой трубку
тока. Если же через все точ-
ки площадки dS провести
линии тока, то полученный
объемный пучок линий тока
будет называться элемен-
тарной струйкой жидкости.
При неустановившемся
движении непрерывно изме-
Рис. 1.8. Трубка тока няются форма и местополо-
жение элементарных струек.
При установившемся движении отметим следующие свойства
элементарной струйки жидкости:
1) вследствие постоянства во времени формы линий тока пло-
щадь данного поперечного сечения струйки и ее форма с тече-
нием времени не изменяются;
2) невозможно перетекание жидкости через боковую поверх-
ность элементарной струйки, так как при установившемся дви-
жении линии тока совпадают с траекториями частиц, а боковая
поверхность струйки как раз и состоит из линий тока;
3) из-за малости площади поперечного сечения элементарной
струйки можно считать, что во всех точках этого поперечного се-
чения скорости движения одинаковы.
По длине потока форма, площадь поперечного сечения эле-
ментарной струйки и скорости в поперечных сечениях могут из-
меняться.
Живым сечением струйки называется элементарно малая пло-
щадка ds, перпендикулярная линиям тока.
Живое сечение элементарной струйки весьма мало, поэтому
скорости жидкости в различных точках сечения можно считать
равными между собой и называть скоростью жидкости в струй-
ке V.
Расход элементарной струйки dQ — это объем жидкости, про-
ходящей через живое сечение струйки в единицу времени:
dQ=vdS-
(1.19)
Гидравлические элементы потока. В гидравлике рассматрива-
ют струйную модель движения жидкости, т. е. поток считают со-
стоящим из совокупности элементарных струек, имеющих разные
скорости. Для всего потока вводятся понятия, аналогичные вве-
денным для элементарной струйки.
Живым сечением потока S называют площадь сечения, пер-
пендикулярного общему направлению движения жидкости.
Смоченным периметром П называют длину той части грани-
цы живого сечения, по которой поток соприкасается с ограничи-
вающими его стенками. В закрытых каналах с избыточным дав-
18
лением смоченный периметр совпадает с геометрическим пери-
метром, так как в каждом сечении нет точек стенки, которые бы
не соприкасались с жидкостью. В открытых каналах смоченный
периметр не совпадает с геометрическим периметром живого се-
чения, в который входит и длина линии соприкосновения жидко-
сти с атмосферой.
Гидравлическим диаметром dr называется отношение учетве-
ренной площади живого сечения потока к его смоченному пери-
метру:
<Zr=4S/Z7. (1.20)
Понятие гидравлического диаметра имеет смысл для любого
потока. Геометрический диаметр существует только при течении
жидкости в круглой трубе.
Расходом потока жидкости называют объем жидкости, про-
текающий через живое сечение потока в единицу времени. Рас-
ход потока жидкости равен сумме расходов во всех элементар-
ных струйках, заполняющих площадь живого сечения потока:
Q = |f dQ= fj wiS. (1.21)
Для упрощения расход потока жидкости через какое-либо
сечение будем называть расходом Q.
Формулу (1.21) в практических расчетах редко применяют,
так как необходимо знать закон распределения скоростей по
живому сечению потока, поэтому пользуются понятием средней
скорости потока.
Средней скоростью жидкости w в данном сечении называет-
ся фиктивная скорость потока, одинаковая для всех точек дан-
ного живого сечения, при которой через живое сечение про-
ходил бы расход, равный фактическому расходу:
W=Q/S=(1/S) jj vdS. (1.22)
В пределах живого сечения местные скорости и кинетическая
энергия в разных местах живого сечения различны. Кинетическая
энергия потока движущейся жидкости
П-23)
где среднеквадратическая скорость в данном живом сечении по-
тока ___________
®Ф.кв= 1/(l/S)Jf№S. (1.24)
Отношение среднеквадратической скорости к средней скоро-
сти потока называется коэффициентом кинетической энергии или
коэффициентом Кориолиса:
«Х=г'ср.кв/®- 0-25)
19
Обычно ал= 1,05... 1,10. Он представляет собой отношение
действительной кинетической энергии жидкости, протекающей
в единицу времени через живое сечение, к кинетической энергии,
которой обладал бы поток при том же расходе, если бы скоро-
сти во всех точках живого сечения были одинаковы и равны
средней скорости.
Уравнение неразрывности потока при установившемся дви-
жении. При установившемся движении считают, что в потоке
жидкость сплошь заполняет занимаемое пространство без обра-
Рис. 1.9. Трубопровод переменно-
го сечения
зования пустот, т. е. движение
происходит неразрывно. В этом
случае справедливо уравнение
неразрывности движения, вводи-
мое на основе закона сохранения
массы.
Рассмотрим установившееся
движение жидкости в трубопро-
воде переменного сечения (рис.
1.9) с непроницаемыми стенками.
Выберем два произвольных се-
чения 1 и 2, нормальных к оси
потока. Через сечение 1 за время At на участок между сечени-
ями 1 и 2 поступает масса жидкости mi, а через сечение 2 за
то же время выходит масса т2. Масса mi не может быть боль-
ше т2, так как жидкость несжимаема, а стенки русла непро-
ницаемы. Но масса mi не может быть и меньше т2, так как
жидкость обладает текучестью и при наличии атмосферного
давления разрыв в потоке невозможен, т. е.
mi = m2=const.
(1.26)
Массы жидкости можно выразить через объемы, проходящие
через сечения 1 и 2 за время Д/:
Wi^piQjA/, m2 = p2Q2A/, (1.27)
где pi и р2 — плотности жидкости в сечениях 1 и 2.
На основании (1.26) запишем
P1Q1==P2Q2. (1.28)
Для несжимаемой жидкости
Р1 = р2 = const; (1-29)
следовательно,
Q1=Q2== const. (1.30)
Это уравнение называют уравнением постоянства расхода.
Из него следует, что при установившемся движении несжима-
емой жидкости расход в любом сечении потока постоянен. ।
20
Так как Q — wS} то (1.30) запишем в виде
Sjti’i = 52w2=const.
(1.31)
Это уравнение называют уравнением неразрывности потока.
Оно показывает, что при установившемся движении жидкости
произведение площади живого сечения на среднюю скорость по-
тока— постоянная величина. Из (1.31) следует, что
rn)Jiw2—SjSl. (1.32)
Следовательно, при установившемся движении жидкости
средние скорости потока обратно пропорциональны площадям
соответствующих живых сечений.
§ 1.4. Режимы течения жидкостей
Опыты показывают, что при течении жидкостей возможны
два режима течения: ламинарный и турбулентный. Различие в
режимах движения жидкостей определяется поведением частиц
жидкости.
Ламинарный режим течения — это течение без перемешива-
ния частиц жидкости и без пульсации скорости. При таком те-
чении линии тока определяются формой канала, по которому те-
чет жидкость.
Турбулентный режим течения — это течение, сопровождаю-
щееся интенсивным перемешиванием жидкости и пульсациями
скоростей и давлений. При турбулентном течении наряду с ос-
новным продольным перемещением жидкости по каналу имеют
место поперечные перемещения и вращательное движение от-
дельных объемов жидкости. Поперечное движение создает об-
мен импульсами между соседними слоями.
Существование двух отличных друг от друга режимов те-
чения было установлено опытным путем английским физиком
О. Рейнольдсом. Он доказал, что режим течения зависит от ди-
намической вязкости ц, средней скорости w, плотности р жидко-
сти и диаметра трубы d (в общем случае от какого-либо харак-
терного геометрического размера). В опытах О. Рейнольдса ус-
тановлено, что ламинарный режим переходит в турбулентный
при достижении потоком некоторой критической скорости шкр,
пропорциональной отношению p/(pd).
Введем некоторый комплекс величин, характеризующих поток,
называемый числом Рейнольдса:
= (1.33)
где w — средняя скорость, м/с; d — диаметр трубы (или в общем
случае гидравлический диаметр канала), м; v — коэффициент
кинематической вяд^ости, м2/с.
Условие возникновения турбулентного потока при разных
диаметрах трубы и разных жидкостях характеризуется одним
21
и тем же критическим числом Рейнольдса, например для пря-
мых круглых труб Рекр«2300. На этом основании число Рей-
нольдса можно взять в качестве параметра, характеризующего
наиболее полно поток. Такие числа называют критериями подо-
бия, и они являются безразмерными комплексами различных ве-
личин, характеризующих данное физическое явление. Так, число
Рейнольдса
Рис. 1.10. Распределение скорости при ла-
минарном течении в трубопроводе кругло-
го сечения
[Re]=[w] [дф[у] = (м/с)’М-с/м2= 1.
Распределение скоростей при ламинарном течении. При ла-
минарном течении местные скорости во всех точках потока не
подвержены пульсации,
т. е. не изменяются во
времени. Как показали
эксперименты, картина
распределения скоростей
по живому сечению ха-
рактеризуется следующи-
ми данными. Непосредст-
венно на стенке скорость
движения жидкости рав-
на нулю, по мере удале-
ния от стенки и прибли-
жении к оси трубы ско-
рости довольно резко воз-
растают.
В круглой цилиндри-
ческой трубе (рис. 1.10) при ламинарном течении скорость
жидкости распределяется по параболическому закону
^=Чп[1-(г2/Я2)], (1.34)
где vm— максимальная скорость жидкости на оси трубы, 7?—
радиус трубы, г — текущее значение радиуса.
Расход жидкости через живое сечение круглой трубы
Q = ) = (1-35)
Д &) т \ 2 4R2) 2 ' 7
Согласно (1.22), с учетом S=ztR2 средняя скорость
w=Q/S = л-от/^/(2л/?2) = vm/2. (1.36)
Среднекваратическая скорость, согласно (1.24), для парабо-
лического профиля скоростей
22
Коэффициент Кориолиса, согласно (1.25), для параболиче-
ского профиля скоростей
^.кв/яу = (2^/3) (vm/2)=4/3. ‘ (1.38)
Распределение скоростей при турбулентном течении. При
турбулентном режиме течения скорости в каждой данной точке
подвержены более или
менее быстрым измене-
ниям во времени, т. е.
пульсациям. Несмотря на
изменение значения и на-
правления скорости, в
каждой данной точке
направление поступатель-
ного движения всего по-
тока сохраняется посто-
янным. Скорость в каж-
дый момент времени в
данной точке называется
мгновенной скоростью и. Измерения показывают, что скорость
движения в точке хотя и пульсирует, но колеблется около неко-
торого постоянного, независимого от времени значения, назы-
ваемого осредненной скоростью (рис. 1.11):
Рис. 1.11. Пульсации скорости при турбу-
лентном течении
Ио = — Udi
(1.39)
Осредненная скорость турбулентного потока в данной точ-
ке представляет собой среднее по времени значение скорости в
рассматриваемой точке. Следует различать осредненную ско-
рость Ио и среднюю скорость w (1-22).
Структура потока при турбулентном режиме течения слож-
на, поэтому делались попытки создать упрощенные схемы ме-
ханизма турбулентного потока. При турбулентном режиме те-
чения (рис. 1.12) основная часть потока состоит из турбулент-
ного ядра, в котором наблюдаются пульсации и происходит пе-
ремещение частиц с разными скоростями из одного слоя в дру-
гой в направлении, перпендикулярном направлению движения,
поэтому частицы жидкости в пределах турбулентного ядра име-
23
ют практически одинаковую скорость. При турбулентном тече-
нии имеется тонкий слой, непосредственно примыкающий к стен-
ке, движение в котором близко
Рис. 1.12. Распределение скорости
при турбулентнохМ течении в трубо-
проводе круглого сечения
к ламинарному. Этот пристен-
ный слой называют погра-
ничным слоем или лами-
нарной пленкой. На стенке
скорость движения равна
нулю, а в пределах лами-
нарной пленки скорость уве-
личивается по линейному
закону.
Отношение средней ско-
рости к максимальной при
турбулентном режиме тече-
ния зависит от числа Рей-
нольдса и изменяется от
0,75 до 0,90, коэффициент
Кориолиса
Распределение скоростей
(рис. 1.12) устанавливается
в канале на некотором рас-
стоянии от входа в канал, называемом начальным участком.
На начальном участке профиль скоростей более неравномер-
ный.
§ 1.5. Уравнения гидродинамики
Законы движения жидкости в каналах описываются основ-
ными уравнениями гидродинамики. К ним относятся дифферен-
циальное уравнение движения и уравнение Бернулли.
Рис. 1.13. Силы, действующие на элементарный
цилиндрический слой жидкости
Дифференциальное уравнение движения жидкости. Рассмот-
рим профиль скоростей при ламинарном течении в круглой тру-
бе (рис. 1.13). Выделим в потоке движущейся жидкости элемен-
24
тарный цилиндрический слой толщиной dr на расстоянии г от
центра сечения. На этот слой действуют ускоряющая сила F\ на
внутренней поверхности цилиндра dS{ и тормозящая сила F% на
наружной поверхности dS%.
Согласно гипотезе Ньютона для вязкого трения,
F = p(dvldr) dS. (1-40)
Площадь трения в пределах dx соответственно tfa внутрен-
ней и наружной поверхностях
dS^ = 2xrdx, • (1.41)
dS2 — 2 л (r^-dr)dx. (1.42)
Соответственно силы
F1 = ^(dv/dr)2^rdx, (1.43)
^~+~(trpn(r-\-dr)(ix. (1.44)
Разность этих сил компенсируется разностью давлений по
концам отрезка пути dx:
Л — Л = [(Р + dp) — р\ 2л (г -|- dr/2) dr. (1.45)
Подставляя вместо F[ и F2 их значения, получим
( dv _ . d?v , . dv , . d^v . „ dv \
2n^dx — r J------rdr 4-----dr H----dr2------r ~
\ dr dr* 1 dr dr* .dr )
,= dp2x (r 4- —-Vr. (1.46)
\ J
Сокращая (1.46) на 2ndr, запишем
, { d2v . dv , d?v , \ . / . dr \
и(/х(^ + тг + ^rfr)~ dp(r + “)• (t47)
Отбросим дифференциально малые величины и из (1.44) вы-
разим градиент давления:
do f d^v , 1 dv
---= u-------i-----
dx--\dr~ r dr
(1.48)
Скорость изменения давления для всех точек сечения пото-
ка должна быть одинаковой, в противном случае распределение
давления по сечению потока будет изменяться в направлении х,
что невозможно. Следовательно,
d pldx = —а = const. • (1.49)
Тогда
±^__|_А=о. - (1.50)
dr? 1 г dr ц
25
Уравнение (1.50) —это дифференциальное уравнение движе-
ния, связывающее основные параметры движения.
Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной
жидкости. Рассмотрим элементарную струйку в установившемся
плавно изменяющемся течении жидкости, т. е. в движении, при
котором кривизна линии тока незначительна и угол расхожде-
ния между ними мал. В этом случае распределение давления
подчиняется основному уравнению гидростатики. Определим
удельную механическую энергию такой элементарной струйки,
считая жидкость несжимаемой.
Потенциальная энергия некоторого элементарного объема
равна сумме энергий положения и давления. Энергия положения
= dGh = dV\h = dV?gh, (1.51)
где dG — вес элементарного объема dV\ h — высота положения
рассматриваемого объема относительно некоторого уровня отсче-
та. Энергия положения — потенциальная энергия, которую за-
пасет элементарный объем dV при поднятии его на высоту h.
Энергия давления
^Давл = ^.р. (1.52)
Физический смысл энергии давления заключается в том, что
под действием гидростатического давления р элементарный объ-
ем можно дополнительно поднять на некоторую высоту \h=p!y.
Потенциальная энергия
^пот = + <ЖдавЛ = dV (9gh + Р). (1.53)
Удельная потенциальная энергия, отнесенная к единице
массы,
еп=dWMtKd Гр) = р/9 + gh. (1.54)
Так как сечение элементарной струйки мало, можно считать,
что средняя скорость для элементарного объема w—const равна
скорости в данной точке v. Тогда кинетическая энергия элемен-
тарного объема
dW к = dnvwW = dV9&/2. (1.55)
Удельная кинетическая энергия
ек=dWJ(dm) = и2/2. (1.56)
Полная удельная энергия, отнесенная к единице массы эле-
ментарной струйки,
e=ea + eK = tf/2 + p/? + gh. (1.57)
Для идеальной несжимаемой жидкости, обладающей абсо-
лютной текучестью, полная удельная энергия не изменится по
длине элементарной струйки, т. е.
т/2/2 -J- р/р -|- gh = const. (1.58)
26
v2 . Р2
_1
2
(1.59)
Для двух сечений 1 и 2
₽ 2 р
Это уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой
жидкости при установившемся движении; его считают основным
уравнением гидродинамики.
Для уяснения физического смысла уравнения Бернулли раз-
делим все члены уравнения (1.58) на g, тогда все члены уравне-
ния будут иметь размерность геометрической высоты:
^2/(2g) р! у -|- h = hd=const,
(1.60)
где г2/ (2g) — скоростная высота, т. е. высота, падая с которой
частица жидкости приобрела бы скорость v; р/у— пьезометри-
ческая высота, т. е. высота столба жидкости, которую может
поддержать давление р; h — высота положения относительно не-
которого уровня отсчета; hd— гидродинамическая высота, пред-
ставляющая собой сумму скоростной, пьезометрической высот
и высоты положения. Для элементарной струйки потока идеаль-
ной жидкости гидродинамическая высота в любом сечении —
постоянная величина.
Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной
(вязкой) жидкости. При движении элементарной струйки реаль-
ной жидкости общий запас удельной механической энергии не
остается постоянным, как при движении идеальной жидкости.
Вследствие вязкости реальной жидкости возникает сопротивле-
ние движению, на преодоление которого затрачивается часть ме-
ханической энергии, что
снижает гидростатическое
давление на Apw. Таким об-
разом,
®?/2+А/р+g/tt = ®*/2 +
Рис, 1.14. Распределение скоростей и
давлений в потоке
(1.61)
Это уравнение Бернулли
для элементарной струйки
реальной жидкости; оно от-
личается от (1.59) наличи-
ем потерь удельной энер-
гии.
Уравнение Бернулли для
потока реальной жидкости. Поток реальной жидкости состоит
из множества элементарных струек. Необходимо распростра-
нить на такой поток уравнение Бернулли для элементарной
струйки реальной жидкости.
Выделим участок потока (рис. 1.14), ограниченный сечениями
27
1 и 2, в котором движение плавно изменяется, так как только в
этом случае можно применять уравнение Бернулли. Движение
потока характеризуется средней скоростью потока (1.22). Одна-
ко местные скорости и кинетическая энергия в различных точках
живого сечения потока различны. Поэтому кинетическую энер-
гию для потока движущейся жидкости определяют через сред-
неквадратическую скорость:
lFK = w^p>KB/2= 7?ia2w2/2, (1.62)
где Яср.кв — среднеквадратическая скорость (1.24); w —средняя
скорость (1.22); ак — коэффициент Кориолиса (1.25).
Таким образом, для потока реальной жидкости в (1.61) вме-
сто местной скорости подставляют среднеквадратическую иср.кв =
= aKw.
Тогда
°и®1/2+а/₽+№ = + + + (1.63)
Это уравнение Бернулли для потока реальной жидкости.
При изучении движения жидкостей часто необходимо выра-
зить не изменение абсолютного давления в струе, а лишь изме-
нение давления, связанного с самим движением, т. е. необходи-
мо исключить из рассмотрения действие силы тяжести. Разло-
жим абсолютное давление р на две составляющие:
_ Р=р+р*. (1.64)
где р — давление сил тяжести, т. е. давление, которое было бы
в рассматриваемой точке в состоянии покоя; р* — давление, соз-
данное движением.
Давление покоя
+ (1.65)
где ро — давление покоящейся жидкости на уровне отсчета.
Подставив (1.64) и (1.65) в уравнение Бернулли, получим
«м®?/2 + а /р=4Х/2 + Рг/р + А А«/Р • (1.66)
Для газов можно принять р0=рат, yh = 0, ак=1, тогда
Р == Р ~ Рат^ Ризб’
Умножая члены уравнения (1.66) на плотность р, получим
р®21/2 + л«зб=Р®1/2+/’21<зб> (1.68)
т. е.
p®2/2 + />„36 = A = cohst. (1.69)
Величина ро>2/2=рд называется динамическим давлением, ве-
личина рИЗб=Рс — статическим. Полное давление движущейся
жидкости
Рп=Рд+Рс=const (1.70)
равно сумме динамического и статического давлений и посто-
янно.
2S
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Каковы основные свойства жидкости и чем отличается капельная
жидкость от газообразной?
2. Каков физический смысл коэффициента вязкости и как изменяется
вязкость при изменении температуры жидкости и газа?
3. Каковы свойства элементарной струйки?
4. Дать характеристику гидравлических элементов потока.
5. Как определить режим течения жидкости?
6. Каковы особенности ламинарного и турбулентного режимов течения
жидкости?
ГЛАВА 2
ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Возникающие при движении жидкости потери давления мож-
но разбить на две составляющие:
^Р:р АРм*
где Дртр — потери давления, обусловленные силами трения;
Дрм — потери давления, обусловленные различными конструк-
тивными элементами и местными преградами в потоке (поворот
потока, сужение, расширение, задвижка и т. п.).
§2.1. Сопротивление трения по длине канала
Потери давления Дртр представляют собой потери на преодо-
ление внутреннего трения между различными слоями жидко-
сти, движущимися относительно друг друга. Поэтому внутреннее
трение существенно зависит от распределения скоростей в по-
токе, а следовательно, и от режима течения жидкости.
Ламинарное течение. Для определения потерь давления Дртр
при ламинарном течении в круглой трубе выделяют в жидко-
сти соосный с трубой цилиндр длиной I и радиусом у. С внешней
стороны на поверхность цилиндра действует напряжение внут-
реннего трения (1.6). Следовательно, на всю поверхность ци-
линдра S=2nyl действует сила
F — Znylydvidy. (2.1)
Поскольку течение стационарно, это сила уравновешивается
разностью сил давлений р\пу2 и р^лу2 на торцах цилиндра. Та-
ким образом,
Znylydvldy — р2) яу2 = 0, (2.2)
откуда
dv = — (рх — j72) ydyl&^l). (2.3)
29
Учитывая граничное условие о=0 при у=г, где Г-радиус
трубы, проинтегрируем правую часть уравнения (2.3) от у до г,
а левую соответственно от 0 до v:
v(у) = Pl~,P2- f ydy= ~-'~-,Р? ~уЪ- (2.4)
2л/ *) 4р7
у
Таким образом, при ламинарном течении вязкой жидкости по
сечению круглого трубопровода скорости распределены по за-
кону параболы. При #=0 максимальная скорость в центре тру-
бы v-m— (pi—Рг) г2/(4р7). Расход жидкости равен объему пара-
болоида, т. е.
Q == xr2vm/2 = (/?! — р2) яг*/(8я1). (2.5)
Определим среднюю скорость:
да = Q/(nr2) = (а - a) r2/(8p-Z), (2.6)
откуда потери давления
Д Ар = А — Pi = 8р/да/г2. (2.7)
Отметим, что это один из немногих случаев, когда интегри-
рование уравнения движения вязкой жидкости возможно. Пре-
образуем полученную формулу:
О lw о lit) Г.л Р I V 9
Др — 8ц.-----= 8pv----- — 64 • — . —. •— w2=
Гт₽ г г2 r (rf/2)2 2 d dw
=_6£.± . 2_. М2=Х —= (2.8)
Re d 2 d 2 2 v '
где X — коэффициент гидравлического трения.
При ламинарном течении в круглой трубе коэффициент гид-
равлического трения определяется по формуле Пуазейля:
X = 64/Re. (2.9)
Турбулентное течение. Распределение скоростей в турбулент-
ном потоке не имеет параболического характера (рис. 1.12), а
коэффициент трения X=/=64/Re, его зависимость от числа Рей-
нольдса определяются степенью шероховатости стенок труб. Эту
зависимость экспериментально исследовал Никурадзе на трубах
с искусственной равномерной шероховатостью. На рис. 2.1 пред-
ставлено шесть кривых, полученных для труб с различной отно-
сительной шероховатостью 6=Д/г, где А — средняя высота ше-
роховатости, а г — радиус трубы. Кривые 1 ...6 соответствуют от-
носительной шероховатости 6 = 0,066; 0,032; 0,067; 0,007; 0,004;
0,002.
Анализируя кривые Никурадзе, можно прийти к выводу, что
этот график распадается на пять зон.
Зона / — область ламинарного течения. Кривые для труб
30
разной шероховатости в этой зоне совпадают с прямой а, опи-
сываемой уравнением X=64/Re.
Зона 2 — область перехода из ламинарного режима в турбу-
лентный. Для этой зоны справедливо уравнение, получен-
ное Н. В. Френкелем:
X=27/Re0’52. (2.10)
1$(М)
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0.9
0,3
0.2
Рис. 2.1. Зависимость коэффициента гидравлического трения от
Re для шероховатых труб круглого сечения
Зона 3— турбулентный режим течения, область гидравличе-
ски гладких труб, где X зависит только от числа Рейнольдса и
не зависит от шероховатости (прямая б). Для этой зоны спра-
ведлива формула Блазиуса
X = 0,3164/Re°>25. • (2.11)
Зона 4 — турбулентный режим течения, переходная область
(между областями гидравлически гладких труб и квадратичной)
между прямыми б и в (рис. 2.1), где X зависит как от шерохо-
ватости, так и от числа Рейнольдса. Для переходной области
справедлива формула А. Д. Альтшуля
Х = 0,11 (S4-68/Re)°’2s. (2.12)
Зона 5— турбулентный режим течения, квадратичная зона
сопротивления (правее прямой в), где X практически не зависит
от числа Рейнольдса и является функцией только относительной
Шероховатости. Для этой зоны применяют формулу Никурадзе
1//X=21g(r/A)-|-1,74. (2.13)
31
Согласно (2.8), потери давления на преодоление внутреннего
трения
ДАр=Х± Л .«я, (2.14)
а & &
где ^Tp=XZ/d — коэффициент сопротивления гидравлического
трения:
§ 2.2. Местные гидравлические сопротивления
Потери давления Дрм представляют собой затраты энергии
на внутреннее трение при преодолении различных препятствий в
трубопроводах—вентилей, колен, диффузоров, сужения и рас-
ширения и др., которые называют местными гидравлическими
сопротивлениями. Потери давления на этих сопротивлениях зави-
сят от квадрата средней скорости потока до (или после) препят-
ствия, их определяют по формуле Вейсбаха:
Дрм = ^Р^2/2» (2.15)
где w— средняя скорость потока до местного гидравлического
сопротивления; £м —* коэффициент местного гидравлического со-
противления.
Обычно коэффициент местного гидравлического сопротивле-
ния определяют экспериментальным путем и выражают в ви-
де эмпирических формул, графиков или таблиц.
Рассмотрим некоторые виды местных сопротивлений.
Внезапное расширение потока. При внезапном рас-
ширении потока в трубе от площади Si до площади S2 (рис. 2.2)
жидкость не растекается по контуру излома стенок, а следует по
Рис. 2.2. Внезапное расширение
потока
Рис. 2.3. Диффузор
более плавным линиям тока. В местах отрыва струи от поверх-
ности канала образуются вихревые зоны. Коэффициент местного
сопротивления при внезапном расширении
Sp = (l-S1/S2)2.
(2.16)
32
Диффузор (постепенное расширение канала).
Коэффициент местного сопротивления диффузора (рис. 2.3) опре-
деляют в долях от потерь давления на внезапное расширение:
Ед = ^д (1 — 5]/52)2, (2.17)
где £д — коэффициент, учитывающий уменьшение потерь давле-
ния в диффузоре по сравнению с потерями давления при внезап-
ном расширении с тем же
соотношением сечения сое-
диняемых труб. Коэффици-
ент зависит от угла ко-
нусности 01. Для 0i = 4; 8;
12° соответственно &д=0,12;
0,14; 0,23. При 0j<5O° ко-
эффициент £A=sin0b а при
01 >50° /?д принимают рав-
ным 1.
Внезапное сужение
потока. При внезапном
сужении потока (рис. 2.4)
Рис. 2.4. Схема тока при внезапном
сужении потока
также образуются вихревые зоны и происходит сжатие потока.
Коэффициент местного сопротивления при внезапном сужении
^ = 0,5(1-52/5!).
(2.18)
Конфузор (постепенное сужение канала). Ко-
эффициент местного сопротивления при постепенном сужении
Рис. 2.5. Конфузор (а) и зависимость kK от угла сходимости конфузора (б)
(рис. 2.5, а) определяется в долях от потерь напора при внезап-
ном сужении, как и при определении коэффициента потерь диф-
фузора:
= (2.19)
где kK — коэффициент, учитывающий уменьшение потерь напора
в конфузоре по сравнению с потерями напора при внезапном су-
жении; коэффициент kK зависит от угла сходимости конфузора
02 и определяется по графику рис. 2.5, б.
2—1268
33
Вход в канал. Потери напора при входе в канал зависят
от условий входа. Условия входа в канал с острыми кромками
наиболее затруднены. Коэффициент местного сопротивления та-
кого участка (рис. 2.6, а) зависит от толщины б, диаметра d и
длины b выступающей части трубы, и его можно определить по
графикам рис. 2.6, б.
Рис. 2.6. Вход в канал с острыми кромками (а) и
зависимость £=f(6/d) (б)
Рис. 2.7.
Вход в ка-
нал с тол-
стыми стен-
ками
Рис. 2.8. Плавный вход в канал: без торце-
вой стенки (а), с торцевой стенкой (б); за-
висимость l=f(r/d) (в)
При входе в канал с толстыми стенками, например в стене
(рис. 2.7), коэффициент местного сопротивления получают из
(2.18), приняв §! = оо, £вх=0,5.
При плавном входе в канал коэффициент местного сопро-
тивления зависит от радиуса закругления (рис. 2.8).
34
Поворот канала. Потери давления при повороте кана
ла (рис. 2.9, а) обусловлены отрывом струи от поверхности ка-
нала и образованием вихревых зон. Коэффициент местного со
противления £п при повороте ка-
нала определяют по графику
рис. 2.9, б.
Выход в открытый ка-
нал. Коэффициент местного со-
противления для данного случая
можно получить из (2.16), при-
няв Sg —ОО, ^вых=1-
Значения коэффициентов g
для других местных сопротивле-
ний можно найти в справочниках
и специальной литературе [1, 9,
13].
§ 2.3. Гидравлические
сопротивления вращающихся
каналов
Примеры, приведенные в § 2.2,
рассматривались при условии,
что жидкость в каналах движет-
ся, а каналы неподвижны. Но в
угла а (б)
современных электрических машинах встречаются вращающиеся
радиальные и аксиальные каналы. В первых методиках расчета
гидравлические сопротивления вращающихся каналов определя-
лись по обычной методике (см. § 2.1, 2.2), без учета вращения
ротора. Экспериментально установлено, что в турбогенераторе
с принудительной радиальной вентиляцией при увеличении ча-
стоты вращения ротора от 0 до 3600 об/мин изменение суммар-
ного расхода охлаждающего газа не превышало 4% [13]. Даль-
нейшее развитие электромашиностроения показало, что распро-
странение принципа независимости вентиляции от частоты вра-
щения ротора на все типы электрических машин недопустимо.
Учитывать вращение ротора при проведении вентиляционного
(гидравлического) расчета электрических машин необходимо по
двум причинам. Во-первых, гидравлическая сеть ротора может
включать элементы (радиальные и наклонные каналы), в кото-
рых под действием центробежных сил создаются свои напоры,
помогающие или препятствующие движению жидкости (газа).
Во-вторых, вращение ротора может изменить гидравлическое со-
противление его сети вследствие изменения условий течения ох-
лаждающей среды.
При вращении ротора на жидкость, протекающую в его ка-
налах, действуют массовые силы — центробежные и кориолисо-
вы. Наличие этих сил приводит к изменению структуры потока
2* 35
и к перестройке профиля скоростей в элементах сети [1]. В од-
них случаях массовые силы подавляют турбулентность, затруд-
няют отрыв потока от стенок, в других — способствуют разви-
тию вторичных течений. Воздействие массовых сил на потери на
трение и местные потери давления зависит от ориентации кана-
лов относительно оси вращения, режима течения и интенсивно-
сти этих сил.
Радиальные вращающиеся каналы. Коэффициент гидравли-
ческого трения в радиальных вращающихся каналах
X=(64/Re0’8 (2.20)
где d и 7?ср — соответственно диаметр канала и средний ра-
диус его расположения; и — окружная скорость на среднем ра-
диусе; w — средняя линейная скорость жидкости в канале.
При Re>Re0Kp коэффициент гидравлического трения близок
значению, определяемому по формуле Блазиуса. Критическое
число Рейнольдса при вращении ReDKp увеличивается, что учиты-
вается формулой
ROQcp —
(2.21)
где wKp — средняя линейная скорость жидкости в канале при
Re=2300.
Коэффициенты местных сопротивлений каналов, расположен-
ных в плоскости вращения, определяют по формуле, полученной
при исследовании местных гидравлических сопротивлений ради-
альных вращающихся каналов:
^)2 = ^[l+0,52(Rej°D25(2£)r/Wp)0-58J, (2.22)
где Reu = QDr2/v2; Q— угловая частота вращения; Dr — гидрав-
лический диаметр канала; v — коэффициент кинематической вяз-
кости жидкости в канале.
Индексом D отмечены параметры, для которых определяю-
щий размер берется по большему сечению местного сопротивле-
ния.
Формула (2.22) верна при
ReD < Reo,Sltp = [1+0,11 (Re„)^S6],
где (Ь)кв — коэффициент сопротивления трения в области квад-
ратичного режима.
При числах Рейнольдса, превышающих Rep, окр, потери дав-
ления на местном сопротивлении практически не зависят от вра-
щения.
Аксиальные вращающиеся каналы. В системах вентиляции с
аксиальными каналами в роторе течение воздуха обычно турбу-
36
(2.23)
лентное. Коэффициент гидравлического трения для каналов, ус-
тановленных параллельно оси вращения или под небольшим уг-
лом р к ней, зависит от этого угла и направления 'скорости га-
за по отношению к оси вращения. Коэффициент гидравлического
трения определяют по следующим эмпирическим формулам:
для центростремительного течения (при р=3 ...6°)
Х2 = X [1 + 0,017 ₽ (a/w)0’25?]; (2.24)
для центробежного течения (при р = 3 ...6°)
Х2 = Х [1-0,017p(w/w)°’37₽]; • (2.25)
для канала, установленного параллельно оси вращения (р=*
Х2=Х[1 -0,037 (и/й!)2’™].
(2.26)
При расчете потерь на трение по формулам (2.24) ... (2.26)
для гидравлически гладких каналов определяют X по формуле
Блазиуса (2.11); для шероховатых каналов учитывают зависи-
мость X от числа Рейнольдса и относительной шероховатости
Д/г, т. е. по формулам (2.12), (2.13).
Для коэффициентов местных сопротивлений входа и выхода
вращающихся аксиальных каналов электрических машин спра-
ведливы следующие эмпирические формулы:
1+0,3 — -0,004( —У *, (2.27)
L \ W / J
1 +0,3-—0,004
W
(2.28)
где и £вых“ коэффициенты сопротивления входа и выхода
для неподвижного канала (см. § 2.2).
§ 2.4. Результирующее гидравлическое сопротивление
электрической машины
В электрических машинах при движении охлаждающих сред
проявляются все виды рассмотренных выше гидравлических со-
противлений (см. § 2.1 ...2.3). Поэтому пути движения охлажда-
ющих сред могут быть достаточно сложными. Расчёт суммарно-
го гидравлического сопротивления электрической машины — од-
на из важнейших задач ее вентиляционного (гидравлического)
расчета.
Составление эквивалентной гидравлической схемы электри-
ческой машины. Двигаясь в канале, струя жидкости или газа
преодолевает гидравлические сопротивления различного вида.
Эти сопротивления можно считать соединенными последователь-
но или параллельно. По аналогии с электрической цепью аэро-
динамические и гидравлические тракты принято изображать в
37
виде сопротивлений, соединенных между собой отрезками ка-
налов, не имеющих сопротивления.
Рассмотрим порядок составления эквивалентной гидравличе-
ской схемы (ЭГС) на примере небольшой машины постоянного
тока без аксиальных каналов в якоре (рис. 2.10, а). Поток воз-
Рис. 2.10. Последовательное соединение гидравлических соп-
ротивлений: машина постоянного тока без аксиальных кана-
лов на якоре (а); упрощенное изображение вентиляционного
тракта (б); эквивалентная гидравлическая схема (в)
духа, характеризующийся расходом Q, встречает на своем пути
последовательно различные гидравлические сопротивления. Что-
бы установить причину этих сопротивлений, начинающему рас-
четчику рекомендуется выполнить упрощенное изображение вен-
тиляционного тракта (рис. 2.10, б). По аналогии с электрической
38
цепью вентиляционный тракт можно представить в виде ЭГС
(рис. 2.10, в).
Из рис. 2.10, б видно, что сечение канала в общем случае пе-
ременно. Поэтому при заданном значении расхода Q скорость
среды оказывается также переменной. Потери давления на пре-
одоление какого-либо гидравлического сопротивления вычисля-
ют с помощью коэффициента гидравлического сопротивления
h как долю динамического давления Apt=£ip/(2wi2) (см. § 2.1,
2.2). Чтобы исключить из расчета переменную скорость движе-
ния, потери давления можно выразить как функцию неизменной
для данного канала величины расхода Q:
ДА=е/(р/2) (Q/Sl)2=ziQ21
(2.29)
где zi — гидравлическое сопротивление, соответствующее коэффи-
циенту местного сопротивления £/ участка
^==^(p/2)(l/S2).
(2.30)
Размерность гидравлического сопротивления можно опреде-
лить из (2.29): [z]=[Ap]/[Q2]==(H/m2)/(m3/c)2 = H.c2/m8.
Проделанная замена упрощает расчет, однако нужно четко
представлять, площадь какого сечения необходимо подставить в
формулу (2.30). Например, при расчете гидравлического сопро-
тивления при внезапном расширении и внезапном сужении в
формулах (2.16) и (2.18) за основу взята площадь меньшего из
сечений, т. е. гидравлическое сопротивление для внезапного рас-
ширения и внезапного сужения соответственно
^i\2 Р .
S2/ 2S] ’
Выражение (2.29) называют законом Адкинсона. Он уста-
навливает связь между падением давления Др на гидравличе-
ском сопротивлении z и расходом Q в ЭГС, аналогично тому, как
закон Ома в электрической цепи устанавливает связь между па-
дением напряжения At/ на сопротивлении R и током /. На этом
основании говорят об электрогидравлической аналогии: Др =
—zQ2 — закон Адкинсона; ^U—RI — закон Ома.
Однако эта аналогия будет неполной, так как гидравлическое
сопротивление z зависит не только от свойств, но и от расхода
охлаждающей среды, т. е. электрическое сопротивление R ана-
логично zQ. Следовательно, ЭГС можно рассматривать как не-
линейную электрическую цепь и применять для ее расчета мето-
ды, разработанные для электрических цепей, в частности законы
Кирхгофа. Рассмотрим, как можно использовать эти законы для
преобразования и упрощения ЭГС.
Последовательное соединение сопротивлений. При последова-
39
тельном соединении гидравлических сопротивлений (рис. 2.10, в)
суммарный перепад давления
ApB = ^Q2, (2.31)
где — суммарное гидравлическое сопротивление всей схемы.
Потери давления на каждом участке &pi=ZiQi2=ZiQ2.
С другой стороны,
л п
Ьрг = 3^1= 2 (2.32)
Z-1 Z-1
где п — число последовательно соединенных участков.
Приравнивая (2.31) и (2.32) и сокращая полученное равен-
ство на Q2, запишем
п
zi= 2 2<- <2-33>
/-1
Таким образом, при последовательном соединении гидравли-
ческих сопротивлений суммарное сопротивление ЭГС определя-
ется, как для электрической цепи.
Параллельное соединение сопротивлений. При параллельном
соединении гидравлических сопротивлений (рис. 2.11) ввиду не-
линейности закона Адкинсона расчет суммарного сопротивления
усложняется.
Рис. 2.11. Параллельное соединение гидравлических сопротивле-
ний: упрощенное изображение вентиляционного тракта (а); эк-
вивалентная гидравлическая схема (б)
Из уравнения неразрывности потока (1.31) для рассматри-
ваемого вентиляционного тракта следует, что расход охлажда-
ющей среды в любом сечении вентиляционного тракта должен
оставаться постоянным, т. е.
п
<2 = 2 (2.34)
i-1
где п — число параллельно включенных участков.
40
Полученное выражение аналогично первому закону Кирхго-
фа для электрической цепи.
Так как давления до разветвления рА и после него рв могут
иметь только одно значение, разность давлений на участках —
постоянная величина, т. е. Api=Ap2=Apf=Ap.
Перепад давления на i-м участке \Pi=ztQt2t откуда
Qf = V^Pi/zl = V^p/z^ (2.35)
Тогда в соответствии с (2.34)
<2=2 (2.36)
Z = 1
В то же время для всей цепи Ap==zxQ2, откуда
Q = / &plzz. (2.37)
____ п _________
Приравниваем (2.36) и (2.37): V^p/zL= ^V^p/Zi, тогда
z-i
п
2(2,38)
1=1
Эта формула не имеет аналогов в расчетах линейных элек-
п
трических цепей, для которых l//?s = Из (2.38) следу-
/=1
ет, что для двух параллельно соединенных элементов суммарное
гидравлическое сопротивление
= z^/iV z2)z=z1z2/(z1+ 2Vzlz2 +z2), (2.39)
т. e. выражение получается более сложным, чем для электриче-
ской цепи.
При последовательном соединении гидравлических сопро-
тивлений (см. рис. 2.10, в) участок вентиляционного тракта на-
зывают простым трактом, при параллельном соединении (рис.
2.11. б)—разветвленным. Для сложных ЭГС, типичных для
электрических машин, расчет суммарных гидравлических сопро-
тивлений усложняется.
Суммарное сопротивление сложной ЭГС определяют следую-
щим образом.
В сложной ЭГС выделяют простые тракты и определяют их
эквивалентное гидравлическое сопротивление по (2.33). Затем
выделяют разветвленные тракты и определяют их эквивалент-
ное гидравлическое сопротивление по (2.38). Вновь находят про-
стые тракты и определяют их суммарное гидравлическое сопро-
тивление и т. д. В итоге получают суммарное гидравлическое
41
сопротивление вентиляционной системы zc всей электрической
машины.
В качестве примера на рис. 2.12, а... е показана последова-
тельность преобразования ЭГС машины постоянного тока с ак-
сиальными каналами в коллекторе и якоре (см. рис. 3.6) с целью
получения суммарного сопротивления вентиляционной систе-
мы zc.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Каковы причины возникновения потерь давления при движении жид-
кости в каналах?
2. Каков физический смысл коэффициента гидравлического трения?
3. Почему потери давления и гидравлические сопротивления аксиальных
и радиальных каналов в роторе при неподвижном и вращающемся роторах
различны?
4. В чем состоит сущность электрогидравлической аналогии?
5. Каков порядок составления ЭГС электрической машины?
6. Как определить суммарное гидравлическое сопротивление при после-
довательном и параллельном соединении сопротивлений.
42
Раздел 2
СИСТЕМЫ ОХЛАЖДЕНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН И ИХ РАСЧЕТ
ГЛАВА 3
ТИПЫ СИСТЕМ ОХЛАЖДЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Для повышения интенсивности отвода теплоты от нагретых
частей в современных электрических машинах используют раз-
личные системы охлаждения. Система охлаждения представля-
ет собой совокупность охлаждающих сред, каналов охлаждаю-
щего тракта и нагнетательных элементов.
§ 3.1. Классификация систем охлаждения
Системы охлаждения современных электрических машин весь-
ма разнообразны. Вид охлаждения обусловлен степенью защи-
ты машины от окружающей среды.
По виду охлаждения различают системы с непосредст-
венным и косвенным охлаждением. При прямом контакте ох-
лаждающей среды с нагретыми активными частями машины
охлаждение называют непосредственным. Примером такого ох-
лаждения являются электрические машины со степенью защи-
ты IP23 (22), которая допускает непосредственный контакт ох-
лаждающей среды с активными частями. Если непосредственный
контакт охлаждающей среды с активными частями электриче-
ской машины по условиям защиты от окружающей среды не-
возможен, то охлаждение косвенное. Примером такого охлаж-
дения являются машины со степенью защиты IP44, в которых
охлаждающий воздух омывает только оболочку машины.
По контурности различают системы охлаждения одно-
контурные и многоконтурные. Контурность системы охлаждения
определяется числом охлаждающих сред. При степени защиты
от окружающей среды IP23 (22) электрические машины имеют
одноконтурное охлаждение. При степени защиты IP44 электри-
ческие машины имеют двухконтурное охлаждение — внутри ма-
шины циркулирует внутренний воздух, который в теплообменни-
ках охлаждается наружным воздухом.
43
По способу охлаждения различают системы с конвек-
тивным, испарительным и комбинированным охлаждением. Спо-
соб охлаждения электрической машины определяется охлажда-
ющей средой и видом теплосъема. Если теплота отводится кон-
векцией жидкости или газа, то способ охлаждения конвектив-
ный. Если теплота отводится посредством кипения охлаждаю-
щей среды на теплоотдающей поверхности, то способ охлажде-
ния испарительный. Если в машину с воздушным охлаждением
ввести замкнутые теплопередающие контуры конвективного или
испарительного типа, то это комбинированный способ охлаж-
дения.
По ГОСТ 20459—75 способ охлаждения определяется видом
охладителя, устройством цепи циркуляции и способом переме-
щения охладителя. Эти признаки указываются после символа
IC (International Cooling) буквой (А — воздух, W — вода и др.)
и цифрами (первая характеризует устройство цепи циркуляции,
вторая — способ перемещения охлаждающей среды). Если ма-
шина охлаждается только воздухом, то буквенное обозначение
хладагента не ставится. Если машина имеет две (и более) цепи
охлаждения, то в обозначении следует указывать характеристи-
ки всех цепей охлаждения начиная с характеристики цепи с вто-
ричным хладагентом (с более низкой температурой).
Для наиболее распространенных электрических машин обще-
го применения рекомендуются способы охлаждения, приведен-
ные в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Тип электрической машины Исполнение по степени защиты Высота оси вращения, мм Способ охлаждения
Асинхронные двигатели IP23 I60...360 IC01
IP44 50...355 IC0141
IP44 400...630 1С0151
Двигатели постоянного тока IP22 80. .315 IC01
1Р22 355...560 IC17
IP44 80...200 IC0041
IP44 132...200 IC0141
IP44 225...500 IC37
Подавляющее большинство электрических машин охлажда-
ется газом (воздухом или водородом). От интенсивности и ра-
циональности его циркуляции в каналах охлаждающих трактов
зависят важнейшие свойства машины: термическая надежность,
габаритные размеры, масса, КПД и др. Охлаждающий газ цир-
кулирует в каналах под воздействием источников давления —
вентиляторов. Система охлаждения, в которой циркулирует газ
44
под действием вентилятора, называется вентиляционной. В даль-
нейшем будем рассматривать только вентиляционные системы.
По способу создания движения охлаждаю-
щего газа различают вентиляционные системы с самовен-
тиляцией и с независимой вентиляцией. При самовентиляции
охлаждающий газ приводится в движение элементами конст-
рукции или вентилятором на валу самой машины. При незави-
симой вентиляции в качестве нагнетательного элемента исполь-
зуют посторонние источники давления, чаще всего вентиляторы
общепромышленного назначения.
В зависимости от направления движения
хладагента в машинах общепромышленного назначения можно
выделить аксиальную (рис. 3.3, 3.6, 3.7) и радиальную (рис. 3.5,
3.9) системы вентиляции.
В зависимости от условий работы и места на-
гнетательного элемента различают нагнетательные и вытяжные
системы вентиляции. Нагнетательными называют такие системы
вентиляции, в которых охлаждающий газ по выходе из газо-
охладителя (или окружающей среды) поступает в нагнетатель-
ные элементы и под действием избыточного давления нагнета-
ется в каналы охлаждающего тракта активной зоны электриче-
ской машины. Вытяжными называют такие системы вентиляции,
в которых охлаждающий газ по выходе из воздухоохладителей
(или окружающей среды) поступает в каналы охлажда-
ющего тракта активной зоны электрической машины, а затем
втягивается нагнетателем под воздействием создаваемого им
разрежения.
Как видно из приведенных примеров, существует много
конструкций схем вентиляции электрических машин, однако
все их многообразие можно свести к нескольким характерным
типам ЭГС. В табл. 3.2 приведены наиболее часто встречаю-
щиеся схемы вентиляции различных электрических машин и их
ЭГС.
Эквивалентная гидравлическая схема типа 1 имеет один
напорный элемент (вентилятор или какой-либо активный эле-
мент типа радиальных каналов ротора, лопаток ротора и т. п.),
а соединение гидравлических сопротивлений легко сводится к
одному эквивалентному сопротивлению. ЭГС этого типа имеют
вентиляционные системы машин постоянного и переменного
тока с аксиальной вентиляцией.
Эквивалентная гидравлическая схема типа 2 содержит два
(или более) вентилятора или других напорных элементов, вклю-
ченных параллельно и имеющих общее эквивалентное гидрав-
лическое сопротивление входа zBX. Выход из камер горячего
воздуха (пространство между сердечником статора и станиной)
и камер лобовых частей может быть раздельным (схема 2, а)
или общим (схема 2, б). К этому типу относятся ЭГС вентиля-
ционных систем асинхронных машин с радиальной схемой
45
вентиляции, у которых напорными элементами служат радиаль-
ные каналы ротора (pi), прямолинейные участки лобовых
частей (р2) и головки лобовых частей обмотки ротора с напаян-
ными лопатками (рз).
Эквивалентная гидравлическая схема типа 3 содержит один
напорный элемент, работающий на гидравлические сопротивле-
ния, соединенные по мостовой схеме. К. этому типу относятся
ЭГС синхронных явнополюсных машин с радиальной схемой
вентиляции, у которых в качестве напорного элемента служит
сам явнополюсный ротор, а камера горячего воздуха связана с
камерой лобовых частей.
Эквивалентная гидравлическая схема типа 4 — это мостовая
схема, в которой нагнетательные элементы включены в двух
плечах моста. Такую ЭГС имеет асинхронная машина с ради-
Таблица 3.2
46
Продолжение табл. 3.2
Тип схемы
замещения
Вентиляционная схема
ЭГС
альной схемой вентиляции. Роль напорных элементов в ней
выполняют радиальные каналы (pi) и вентиляторы на лобовых
частях обмотки ротора (р2). ЭГС типа 4 отличается от ЭГС
типа 2, тем, что камеры горячего воздуха и камеры лобовых
частей, имеющие собственные выходы, соединены между собой.
Эквивалентная гидравлическая схема типа 5 содержит
гидравлические сопротивления, включенные по мостовой схеме,
и два напорных элемента, включенных в диагонали моста.
Схема типа 5 отличается от схемы типа 3 тем, что обе диаго-
нали моста имеют напорные элементы. К этому типу относятся
вентиляционные системы машин постоянного тока, имеющие
смешанную аксиально-радиальную схему вентиляции. Роль
напорных элементов выполняют вентиляторные распорки в
радиальных каналах (Pi) и вентилятор (р2).
47
Все приведенные схемы вентиляции относятся к самовенти-
лируемым электрическим машинам. Машины, работающие с
независимой вентиляцией при разомкнутом цикле, могут иметь
любую из приведенных схем с добавлением еще одного напор-
ного элемента — внешнего вентилятора.
Таким образом, можно получить еще ряд схем, имеющих
последовательное или смешанное соединение элементов. В ка-
честве примера можно привести ЭГС асинхронной машины,
имеющей схему типа 4 и работающей с независимой вентиля-
цией по разомкнутому циклу.
Приведенные типы ЭГС не охватывают всего многообразия
существующих вентиляционных систем электрических машин.
Однако большинство ЭГС после упрощения можно свести к
одному из указанных типов.
§ 3.2. Вентиляционные системы электрических машин
различных типов
Рассмотрим примеры составления ЭГС конкретных типов
электрических машин (ЭМ).
Асинхронные двигатели. Наибольшее распространение полу-
чил асинхронный двигатель со степенью защиты IP44
(рис. 3.1), имеющий наружную и внутреннюю вентиляционные
системы.
Рис. 3.1. Схема движения охлаждающих сред в асинхронном
двигателе со степенцо защиты IP44
Эквивалентная гидравлическая схема на-
ружной системы вентиляции. Наружная система вен-
тиляции аксиальная, разомкнутая. Воздух всасывается из
48
окружающей среды наружным центробежным вентилятором и
направляется в междуреберные каналы станины (в машинах
малой мощности) или в трубчатый теплообменник (в машинах
большой мощности), из которых затем выбрасывается в окру-
жающую среду. ЭГС на-
ружной системы вентиляции
(рис. 3.2, а) относится к ти-
пу 1 и представляет собой
последовательное соедине-
ние гидравлических сопро-
тивлений: zBX — входа че-
рез решетку кожуха, zK —
внезапного расширения под
кожухом, zn— поворота при
Рис. 3.2. ЭГС внешнего (а) и внут-
реннего (б) контуров охлаждения
асинхронного двигателя, показанного
на рис. 3.1
выходе из вентилятора,
zMp — внезапного сужения
при входе в междуреберное
пространство, гВЫх — выхо-
да. Для определения наз-
ванных сопротивлений находят площади сечений соответствую-
щих участков вентиляционного тракта, а затем коэффициенты
гидравлических сопротивлений (см. § 2.2).
Эквивалентная гидравлическая схема внут-
ренней системы вентиляции. В машинах малой мощ-
ности внутренняя система вентиляции (рис. 3.1) радиальная,
замкнутая. В качестве вентилятора используют крылышки на
короткозамыкающих кольцах ротора. Воздух, выходящий из
вентилятора, разветвляется на два потока — один обтекает
лобовые части, другой проходит через «решетку» лобовых ча-
стей. Эти потоки соединяются и обтекают поверхности станины
и подшипниковых щитов, выполняющие в данном случае роль
теплообменника, затем охлажденный воздух подается к рабоче-
му колесу вентилятора.
Для упорядочения движения внутреннего воздуха в асин-
хронных двигателях с высотами оси вращения выше 160 мм
устанавливаются специальные перегородки в виде диффузоров.
Эквивалентная гидравлическая схема внутренней системы
вентиляции асинхронного двигателя (см. рис. 3.1) изображена
на рис. 3.2, б. В нее входят сопротивления алч— обтекания
лобовых -частей, греш— прохода через «решетку» лобовых
частей, zp— внезапного расширения при выходе из «решетки»
лобовых частей, znj — при повороте объединенного потока к
диффузору, zc — внезапного сужения при входе воздуха в зазор
между подшипниковым щитом и диффузором, гд— при посте-
пенном расширении в диффузоре, zn2— при повороте к рабоче-
му колесу вентилятора. Эти сопротивления определяют по
(2.30). Суммарное гидравлическое сопротивление получают
суммированием последовательно соединенных сопротивлений,
49
затем параллельно соединенных и т. д. по формулам (2.33) и
(2.38).
Асинхронные машины большой мощности
имеют аксиальную, многоструйную, замкнутую внутреннюю
систему (рис. 3.3). Внутренний вентилятор нагнетает воздух в
Рис. 3.3. Схема движения внутренней охлаждающей среды в закрытом
асинхронном двигателе с внутренней аксиальной вентиляцией
Рис. 3.4. ЭГС внутреннего контура вентиля-
ции двигателя, показанного на рис. 3.3.
«карманы» в станине или в трубчатые охладители. Охлажден-
ный воздух из зоны лобовых частей обмотки статора, противо-
положной вентилятору, поступает к вентилятору по двум
параллельным путям: через каналы ротора и через воздушный
зазор между статором и ротором. Эквивалентная гидравличе-
ская схема машины (см. рис. 3.3) изображена на рис. 3.4.
Ветвь каналов статора
содержит следующие
гидравлические соп-
ротивления: Zee — вне-
запного сужения перед
входом в «карманы»,
2nd — поворота в «кар-
маны», zCK — внезапно-
го сужения в «карма-
нах», атск — трения в
карманах, znK2 — пово-
рота при выходе из
карманов, грл — внезапного расширения в зоне лобовых час-
тей обмотки статора, гЛч — обтекания лобовых частей, zpc—
внезапного расширения при подходе воздуха к торцам ротора.
Ветвь зазора состоит из сопротивлений сужения zC3, трения гтз
и расширения zP3. Ветвь каналов ротора состоит из сопротив-
лений сужения zCp, трения zTP и расширения zPP. Для опреде-
ления гидравлических сопротивлений необходимо знать площа-
ди сечений всех каналов и коэффициенты местных сопротивле-
ний (см. § 2.2). Для каналов ротора и воздушного зазора не-
обходимо учесть влияние вращения на гидравлические сопро-
50
тивления этих участков (см. § 2.3). Суммарное сопротивление
ЭГС можно получить с помощью формул (2.33) и (2.38).
Асинхронные двигатели со степенью защи-
ты IP23 имеют радиальную систему вентиляции (рис. 3.5).
В качестве вентилятора в них служат лопатки ротора. Воздух
поступает в двигатель через окна в подшипниковых щитах, про-
ходит через вентилятор, омывает лобовые части обмотки стато-
ра, поступает в канал между сердечником статора и станиной
и выбрасывается через отверстия в станине.
Эквивалентная гидравлическая схема защищенных двига-
телей с радиальной вентиляцией представляет собой простой
Рис. 3.5. Схема движения охлаждающей среды в асинхронном дви-
гателе со степенью защиты IP23 с радиальной системой венти-
ляции
разомкнутый тракт, состоящий из следующих гидравлических
сопротивлений: zBX— входа через окно в подшипниковом щите,
zp — внезапного расширения, гд — диффузора, zni — поворота к
лопаткам ротора, глч — обтекания лобовых частей, zcc — вне-
запного сужения при входе в канал между статором и стани-
ной, 2Пк — поворота в этом канале, гс.вых— внезапного сужения
при выходе из машины, гВЫх — выхода из машины.
Машины постоянного тока. Такие машины, как правило,
имеют аксиальную вентиляцию (рис. 3.6) и относятся к
типу 1. Воздух входит в машину через жалюзийные решетки в
подшипниковом щите, омывает коллектор, затем разветвляется
на два потока, один из которых проходит между полюсами
индуктора, а второй — через каналы коллектора и «решетку»
51
лобовых частей обмотки якоря, и попадает в аксиальные кана-
лы якоря. Оба потока соединяются перед входом в вентилятор
и затем выбрасываются из машины.
Эквивалентная гидравлическая схема машины, представлен-
ной на рис. 3.6, изображена на рис. 2.12. Входной участок ЭГС
состоит из сопротивлений: zBX— входа, zp.BX— внезапного рас-
ширения, zn.Bx — поворота струи в аксиальном направлении.
□□□
]D0
ШВУ
□□□□□
□ □DOT
DODOO
DO
□ □
DD
да
F>ZZZZ/J
Рис. 3.6. Схема движения охлаждающей среды в двигателе посто-
янного тока со степенью зашиты IP23 с аксиальной вентиляцией
Ветвь индуктора представляет собой параллельное включение
ветви междуполюсных каналов, состоящей из сопротивлений:
2си — внезапного сужения, zTR — трения в междуполюсных
каналах, zPH— внезапного расширения при выходе из канала,—
и ветви зазора между полюсами и якорем, состоящей из сопро-
тивлений: zC3— сужения, 2тз — трения, zp3— расширения. Оба
потока после слияния преодолевают сопротивление дифраг-
мы zR.
Ветвь якоря состоит из сопротивлений коллектора и собст-
венно якоря. Сопротивление коллектора представляет собой
параллельное соединение сопротивлений: zn— петушков и со-
противлений каналов в корпусе коллектора, zCK — внезапного
сужения при входе в каналы коллектора, z™— трения в кана-
52
лах коллектора, zPK— расширения при выходе из каналов кол-
лектора. Сопротивление якоря представляет собой последова-
тельное включение сопротивлений: гся — внезапного сужения
при входе в каналы якоря, гтя— трения в каналах якоря, 2ря—
внезапного расширения при выходе из каналов якоря, гля — по-
ворота при обтекании лобовых частей. Выходной участок
состоит из сопротивлений: гс.ВЫх — сужения, zBbIX—выхода.
Порядок преобразования ЭГС для получения суммарного гид-
равлического сопротивления машины понятен из рис. 2.12, а...е.
Турбогенераторы. В мощных турбогенераторах наибольшее
распространение получили аксиальная и радиальная схемы
вентиляции или их комбинация. На рис. 3.7 показана конструк-
Рис. 3.7. Схема турбогенератора с аксиальной системой
вентиляции
тивная схема турбогенератора мощностью 300 МВт с аксиаль-
ной системой вентиляции, в которой имеется один напорный
элемент. Схема вентиляции разветвленная. Циркуляции охлаж-
дающего газа осуществляются по замкнутому циклу. Эквива-
лентная гидравлическая схема такой системы вентиляции
относится к типу 1.
На рис. 3.8 приведена конструктивная схема турбогенерато-
ра мощностью 200 МВт с радиальной системой вентиляции.
Как видно из рисунка, число независимых выходов газа в ка-
меру подогретого воздуха (перед охладителями) равно шести.
Поэтому данная схема вентиляции называется шестиструйной.
В связи с симметрией машины относительно вертикальной
плоскости ЭГС составляют на половину машины. Наиболее
характерные участки вентиляционной системы обозначены на
рис. 3.8 номерами. На ЭГС этим участкам соответствуют экви-
валентные гидравлические сопротивления, номера которых
соответствуют номеру участка. Каждое эквивалентное гидрав-
53
лическое сопротивление участка представляет собой последо-
вательное соединение нескольких местных сопротивлений.
Подробный расчет этой схемы приведен в [13]. При расчете
вентиляции необходимо учитывать все возможные пути газа
из напорной камеры за вентилятором. Таких путей через сопро-
Рис. 3.8. Схема турбогенератора с радиальной системой
вентиляции
а
Рис. 3.9. ЭГС турбогенератора, приведенного на
рис. 3.8
тивления участков на половину машины семь (рис. 3.9): 1) 2Ь
2g, 212» 214; 2) 2%, 28, 212, Z14‘, 3) 2г, 2/, 2ц, 2^; 4) 2з, 2g, 2ц, 2|4j
5) 2з, 25, 210, 2И; 6) 24, 210, 214; 7) 2Ь 213, 2ц.
Расчет гидравлических сопротивлений отдельных участков
производится в соответствии с § 2.2. Полученная ЭГС пред-
ставляет собой сложное последовательно-параллельное соеди-
нение сопротивлений, которое практически невозможно свести
к суммарному сопротивлению методами, изложенными в § 2.4.
Гидрогенераторы. Для гидрогенераторов характерна ста-
бильность конструктивного исполнения систем охлаждения. Их
схема вентиляции не зависит от типа компоновки, т. е. являет-
ся общей для подвесных и зонтичных генераторов (рис. 3.10).
В качестве источников давления в таких схемах необходимо
учитывать сам вентилятор и вентилирующее действие обода
54
ротора. Причем роль вентилятора в этих схемах может ока-
заться даже менее существенной, чем роль каналов обода
роторов.
Эквивалентная гидравлическая схема гидрогенератора с
радиальными каналами в ободе ротора представлена на
рис. 3.11. На схеме обозначены гидравлические сопротивления:
Zi — вентиляционных каналов статора, z2— цепи нажимных
Рис. 3.11. ЭГС гидрогенерато-
ра, представленного на рис.
3.10, с радиальными каналами
в ободе ротора
Рис. 3.10. Схема вентиляции
гидрогенератора
гребенок статора, z3 — полюсных окон, z4— охладителей, z$ —
цепи обода ротора, z& — цепи вентилятора, z0 — цепи рецирку-
ляции, Qi — расход воздуха через вентиляционные каналы
статора, Q2 — через нажимные гребенки статора, Q3 — через
полюсные окна, Q4— через охладители, Q5 — через обод ротора,
Об — через вентилятор, Qo — через цепь рециркуляции, Qs —
суммарный расход воздуха, рр — давление ротора, рв — давле-
ние вентилятора.
Каждое из гидравлических сопротивлений представляет
собой эквивалентное сопротивление простого тракта, состояще-
го из нескольких последовательно соединенных местных сопро-
тивлений; ЭГС является замкнутой. Она представляет собой
мостовую схему с двумя нагнетательными элементами, которые
включены в плечи моста, т. е. относится к типу 4.
55
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие факторы определяют вид охлаждения ЭМ?
2. Какие факторы определяют способ охлаждения ЭМ?
3. Дать классификацию схем вентиляции в зависимости от способа соз-
дания движения охлаждающего потока.
4. Дать классификацию схем вентиляции в зависимости от условий ра-
боты нагнетательною элемента.
5. Дать классификацию схем вентиляции в зависимости от направления
движения охлаждающего потока.
6. Дать краткую характеристику основных типов ЭГС электрических
машин.
ГЛАВА 4
ВЕНТИЛЯТОРЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Для обеспечения циркуляции охлаждающего газа в системе
вентиляции используются вентиляторы. Вентилятором называ-
ется лопастная машина, предназначенная для подачи газов из
одной области пространства в другую.
§4.1. Устройство и принцип действия
вентиляторов
Механическая энергия, необходимая для перемещения газа,
создается в вентиляторах при помощи вращающегося рабочего
колеса, снабженного лопатками. Под воздействием лопаток
повышаются давление газа и его скорость. При работе венти-
лятора на вентиляционную сеть на выходе из вентилятора
(область нагнетания) наблюдается повышение давления, на
входе в рабочее колесо (область всасывания) — понижение. По
принципу действия вентиляторы разделяются на центробежные
и осевые.
Центробежный вентилятор (рис. 4.1, а). Представляет собой
расположенное в спиральном кожухе 1 центробежное лопаточ-
ное колесо 2, при вращении которого под действием центробеж-
ной силы газ, находящийся в каналах колеса, выбрасывается
в кожух и выходит из него через выпускное отверстие 3. На
место уходящего из рабочего колеса газа из внешней среды
через входной патрубок 8 приходят новые частицы газа. При
непрерывном вращении рабочего колеса создается непрерывное
перемещение газа из области всасывания в область нагнетания.
Рабочие колеса центробежных вентиляторов обычно состоят из
лопаток 6, заднего диска 5, переднего диска 7 и ступицы 4. По
конструктивному исполнению лопатки рабочего колеса имеют
форму загнутых назад, радиальных и загнутых вперед.
Абсолютная скорость с движения частицы воздуха в между-
лопаточном пространстве складывается из скорости в относи-
тельном движении w и скорости в переносном движении (или
56
окружной скорости) м, т. е. c=u+w. Вектор w направлен по
касательной к поверхности лопатки в рассматриваемой точке,
а вектор и — по касательной к окружности с центром на оси
вращения рабочего колеса. Угол между направлениями окруж-
ной и абсолютной скорости а, однако в расчетах часто исполь-
Рис. 4.1. Центробежный вентилятор: конструктивная схема (а);
диаграммы скоростей для вентиляторов с лопатками, загнутыми
назад (б); с радиальными лопатками (в); с лопатками, загнутыми
вперед (г)
зуют угол ₽ между касательной в рассматриваемой точке
и направлением вектора относительной скорости. Связь между
скоростями частиц воздуха выражается диаграммами скоро-
стей (рис. 4.1, б, в, г). Если угол на выходе из рабочего колеса
р2<90° (рис. 4.1, б), то это вентилятор с загнутыми назад ло-
патками. Если р2=90°, то это вентилятор с радиальными лопат-
ками (рис. 4.1, в). Если ₽2>90°, то это вентилятор с загнутыми
вперед лопатками (рис. 4.1, г). В некоторых вентиляторах ра-
бочее колесо выполняется без переднего диска, у других—без
заднего диска. Колеса склепываются из листового материала,
встречаются также штампованные и литые колеса. Число ло-
57
латок в рабочем колесе колеблется от нескольких штук у вен-
тиляторов с загнутыми назад лопатками до 30... 40 у вентиля-
торов с загнутыми вперед лопатками.
Осевой вентилятор (рис. 4.2, а). Представляет собой распо-
ложенное в цилиндрическом кожухе 4 осевое лопастное коле-
со 3, при вращении которого за счет механического воздействия
лопаток, установленных под некоторым углом к плоскости вра-
щения, газ перемещается в осевом направлении от входного
патрубка 1 к выходному 8. Для повышения КПД вентилятора
Рис. 4.2. Конструктивная схема (а) осевого вентилятора и форма
лопаток: плоская (б), вогнутая (а), профилированная (г)
устанавливают передний 2 и задний 6 обтекатели, направляю-
щий аппарат 5 и диффузор 7. Рабочее колесо осевого вентиля-
тора состоит из втулки 9 и прикрепленных к ней лопаток 10.
Лопатки рабочего колеса могут быть плоскими, вогнутыми
и профилированными (рис. 4.2, б, в, г). При правильном на-
правлении вращения лопатки должны перемещаться тупой
кромкой или вогнутостью вперед, в противном случае КПД
вентилятора сильно уменьшается. Поэтому осевые вентилято-
ры считаются нереверсивными. Число лопаток осевого вентиля-
тора колеблется от 2 до 30... 40 и более. Их делают из листо-
вого материала или отливают. Имеются осевые колеса с пово-
ротными лопастями, угол установки которых регулируется в
процессе эксплуатации вентилятора.
Способность вентиляторов создавать избыточное давление
зависит от размеров рабочего колеса, его частоты вращения
и аэродинамической схемы, т. е. угла установки лопаток, их
числа и размеров, наличия и типа направляющих аппаратов.
При одинаковой частоте вращения рабочего колеса на его
внешнем диаметре максимальное давление создают центро-
бежные вентиляторы с загнутыми вперед лопатками; за ними,
в порядке убывания давления, следуют центробежные вентиля-
торы с радиальными, загнутыми назад лопатками, осевые вен-
гиляторы с профилированными, вогнутыми и плоскими лопат-
ками.
Встроенные вентиляторы могут быть центробежными и
осевыми. Они устанавливаются на валу или крепятся к вра-
щающимся частям электрических машин. Встроенные вентиля-
торы не имеют кожухов, могут устанавливаться с направляю-
щими аппаратами и без них.
§ 4.2. Теория идеального центробежного
вентилятора
Рис. 4.3. Диаграмма скоростей паза
на входе и выходе колеса центро-
бежного вентилятора
Вентилятор, перемещающий идеальный газ и работающий
без потерь, называют идеальным. Рассмотрим условия работы
идеального центробежного вентилятора. На рис. 4.3 приведена
диаграмма скоростей воздуха перед лопатками центробежного
колеса и за ними. На рис. 4.3
обозначено: сь С2 — абсолют-
ная скорость соответственно
при входе на лопатки и при
выходе из колеса; ub u2 — пе-
реносная скорость соответст-
венно на диаметре входа в ло-
патки и на наружном диамет-
ре колеса; wb w2— относи-
тельная скорость воздуха со-
ответственно при входе и вы-
ходе; с\и, с2и— тангенциальная
составляющая скорости соот-
ветственно при входе на ло-
патки и при выходе; с^, с2г—
радиальная составляющая ско-
рости соответственно при вхо-
де и выходе.
К движению в междулопа-
точном канале применим тео-
рему моментов количества
движения: в установившемся
движении изменение момента
количества движения секунд-
ной массы газа при переходе
от входного сечения междуло-
паточного пространства к вы-
ходному равно моменту внеш-
них сил КМ, приложенных к потоку между этими сечениями.
Внешние силы в колесе центробежного вентилятора прилага-
ются при помощи системы лопаток. Масса газа, протекающая
через междулопаточные каналы за 1 с, равна плотности р,
умноженной на расход газа Q, и одинакова для обоих сечений.
59
Количество движения в единицу времени pQcj на входе, pQc2
на выходе. Момент количества движения равен произведению
количества движения на плечо, т. е. pQci/ii на входе, pQc2^2 на
выходе. Изменение момента количества движения
^M=pQc2fi2 — pQclhlt
(4.1)
где h\ и h2— плечи абсолютных скоростей Ci и с2.
Разложим векторы абсолютной скорости Cj и с2 на состав-
ляющие С\г и с2г в радиальном и и с2и в тангенциальном
направлении. Тогда из подобия треугольников TljBifi ОД/ч
и треугольников А2В2Е2 и OA2F2 следует:
^1^1 — RiFiui = (4.2)
Отсюда
Д/И = pQ (R2cu2—R]Cui)' (4.3)
Умножим левую и правую части (4.3) на угловую ско-
рость Q, тогда в левой части получим мощность, передаваемую
при помощи вентилятора потоку газа:
РВ=2ДЛ4. (4.4)
Умножение правой части (4.3) на Й с учетом значения ок-
ружных скоростей
uy = QRi и u2=QR2 (4.5)
дает
Р»—pQ(e^ta—«АД (4.6)
Так как давление есть энергия жидкости, отнесенная к
единице расхода, то мощность, передаваемая газу в между-
лопаточном пространстве рабочего колеса, PB=QpT, где рт—
полное теоретическое давление, развиваемое вентилятором.
Следовательно,
Q/,r=pQ(«2<;2O-«lClO)> (4.7)
или
Pt'— Р (^2^2u (4.8)
Это соотношение называется турбинным уравнением Эйлера
или основным уравнением лопастных машин.
Применяя теорему косинусов к треугольникам скоростей
AiEiDi и A2E2D2 (рис. 4.3), для условий на входе в рабочее
колесо и выходе из него запишем:
= 4 + cosan (4.9)
w~= —2с2к2 cos а2. (4.Ю)
60
Отсюда
«Au=«Л cos а, =-Ь (с’ + и\ — ® J), (4.11)
U2C2u = U2C2CQSa2= 4~(^+^2 —w2). (4.12)
Подставив (4.11) и (4.12) в (4.8), получим
А = Р (с! - с!)/2 + ₽ (“1 “ в1)/2 + Р “ ®и)/2- (4.13)
Первый член правой части (4.13) характеризует изменение
кинетической энергии и представляет собой динамическое дав-
ление, второй характеризует действие центробежных сил, тре-
тий— приращение статического давления от торможения пото-
ка в диффузорных каналах рабочего колеса. Сумма двух
последних слагаемых определяет изменение потенциальной
энергии среды и представляет собой статическое давление.
Уравнение (4.13) применимо к центробежным и осевым
вентиляторам, так как в него входят параметры линейного
перемещения газа, одинаково присущие обоим видам вентиля-
торов.
Уравнение (4.8) можно упростить, если абсолютная скорость
Ci направлена радиально (с1и=0). Это всегда имеет место, ко-
гда отсутствуют специальные направляющие аппараты при
входе в рабочее колесо. Тогда
Рт=Р«2^«- (4.14)
В соответствии с рис. 4.3 тангенциальная составляющая
скорости на выходе из рабочего колеса
С2и=и2—ш2 cos ₽2» (4.15)
радиальная составляющая
c2r=w2sin02. (4.16)
Тогда
A=pw2(w2-c2fctg₽2). (4.17)
Расход газа, создаваемый вентилятором, можно выразить
через радиальную составляющую скорости на выходе из рабо-
чего колеса:
Q==^2f52 = (4.18)
где D2 — наружный диаметр рабочего колеса вентилятора, —
ширина лопатки на наружном диаметре рабочего колеса.
Из (4.18) получим
c2r=Q/(^2). (4.19)
Подставив (4.19) в (4.17), получим
Л=Р«2 [«2 — (Q ctg ₽2)/(л£Уъ)]- (4.20)
61
Выражение (4.20) позволяет проследить зависимость теоре-
тического давления вентиляторов разного типа от расхода газа.
Если принять угол выхода потока 02 постоянным, то (4.20)
Рис. 4.4. Зависимость теорети-
ческого давления от расхода
газа
представляет собой уравнение пря-
мой с угловым коэффициентом, за-
висящим от размеров рабочего ко-
леса и угла 02- В этом случае ха-
рактеристики давления будут иметь
вид прямых, показанных на рис.
4.4.
Характеристика вентилятора с
радиальными лопатками (рг=90о)
не зависит от расхода. Характерис-
тика вентилятора с загнутыми на-
зад лопатками (рг<90°) будет
иметь отрицательный угловой ко-
эффициент, и с увеличением расхо-
да давление вентилятора падает.
Характеристика вентилятора с загнутыми вперед лопатками
(р2>90°) будет иметь положительный угловой коэффициент, и
с увеличением расхода давление вентилятора возрастает.
§ 4.3. Потери давления и мощности в центробежном
вентиляторе
При работе вентиляторов всегда возникают потери энергии,
связанные с передачей механической энергии от привода вен-
тилятора газу, с преобразованием одного вида механической
энергии движущегося газа в другой и с течением газа через
рабочее колесо. Реальное давление р, создаваемое центробеж-
ным вентилятором, всегда меньше теоретического рт на величи-
ну потерь давления в самом вентиляторе. При этом надо иметь
в виду, что теоретическое давление рт при любом расходе газа
через вентилятор равно его значению по формуле (4.20), но во
внешней сети может быть использован лишь его избыток по
отношению к внутренним потерям, равный р. Таким образом,
теоретическое давление центробежного вентилятора аналогично
ЭДС электрического генератора, давление во внешней сети
аналогично напряжению U электрического генератора.
В вентиляторе имеются следующие виды потерь давления:
— потери на местных сопротивлениях и трение;
— потери на входе в рабочее колесо;
— потери на вихреобразование при протекании потока газа
по каналам рабочего колеса;
— потери при преобразовании кинетической энергии потока,
выходящего из рабочего колеса, в статическое давление.
Потери на местных сопротивлениях и на трение. К потерям
на местных сопротивлениях относятся потери при повороте по-
62
тока газа от входного патрубка к лопаткам рабочего колеса.
Эти потери определяются по формуле (2.15).
При повороте потока к рабочему колесу возникают потери
от самого поворота и от сужения и расширения потока, зави-
сящие от угла поворота и соотношения площадей патрубка и
рабочего колеса на входе. Значения коэффициентов местных
сопротивлений приведены в § 2.2. Потери давления на преодо-
ление внутреннего трения определяются по (2.14). Потери на
местных сопротивлениях и на трение, пропорциональные квад-
рату расхода, в координатной системе Ар, Q представляются
квадратичной параболой, выходящей из начала координат. По-
тери на трение, кроме того, зависят от длины канала. Поэтому
в каналах с длинными загнутыми назад лопатками потери на
трение будут больше, чем в коротких каналах с загнутыми впе-
ред лопатками. Этим можно объяснить сравнительно высокий
КПД вентиляторов с загнутыми вперед лопатками.
Потери на входе в рабочее колесо. В вентиляторе с конеч-
ным числом лопаток в междулопаточном канале возникает цир-
куляция газа (рис. 4.5, а), поэтому направление относительной
Рис. 4.5. Примерная схема потоков (а) и построение
векторов относительной скорости (б) в рабочем колесе
вентилятора с загнутыми назад лопатками
скорости потока при входе на лопатки рабочего колеса не сов-
падает с направлением канала и р^Рг. Поэтому здесь возни-
кают потери, которые называются потерями на входе в рабочее
колесо. Такие потери пропорциональны квадрату скорости вы-
ходящего из лопатки потока и зависят от угла атаки а«
= Рг—Pi. Угол атаки зависит от расхода вентилятора. При
малых расходах активная ширина потока уменьшается, угол
атаки а>0, это приводит к увеличению потерь. Если расход
63
газа, создаваемый вентилятором, равен оптимальному, то а=0
и условия входа благоприятные, а потери на входе в каналы —
минимальные. При дальнейшем увеличении расхода газа по-
явится отрицательный угол атаки. Это повлечет за собой ухуд-
шение условий входа потока на лопатки и увеличение входных
потерь.
Потери на входе в каналы рабочего колеса теоретическим
или опытным путем определить трудно.
Потери на вихреобразование в каналах рабочего колеса.
Эти потери зависят от протекания по каналам активного пото-
ка газа, который, в свою очередь, определяется формой между-
лопаточных каналов и соотношением между расходом газа в
сети и расходом, создаваемым вентилятором. Минимум потерь
на вихреобразование будет при близком к оптимальному расхо-
де газа, создаваемом вентилятором, выше и ниже которого эти
потери возрастают.
Минимум потерь при входе на лопатки и минимум потерь
на вихреобразование имеют место при близких расходах газа,
создаваемых вентилятором. Аналитическое и опытное опреде-
ление потерь на вихреобразование в каналах рабочих колес
вентиляторов — задача чрезвычайной сложности. Поэтому ка-
ких-либо формул по определению этих потерь нет и ограничива-
ются качественной оценкой рассматриваемых явлений.
Потери при преобразовании кинетической энергии газа в
статическое давление. При движении газа от рабочего колеса к
выходу из нагнетательной камеры вентилятора скорость газа
уменьшается. Если преобразование энергии происходит без по-
терь, то изменение кинетической энергии будет равно прираще-
нию потенциальной энергии, т. е. приращению статического дав-
ления газа Дре. В действительности этот процесс сопровожда-
ется потерями. При отсутствии за рабочим колесом каких-либо
направляющих аппаратов, как это имеет место в вентиляторах
электрических машин, потери велики и могут быть основным
источником потерь в вентиляторе.
Баланс энергии и КПД вентилятора. Мощность, фактически
передаваемая вентилятором потоку перемещаемого газа, назы-
вается полезной мощностью вентилятора Р. Полезная мощ-
ность равна произведению полезного давления р на расход
газа Q:
P = pQ. (4.21)
Мощность, потребляемая вентилятором Ръ> больше полезной
мощности на величину потерь, имеющих место при работе вен-
тилятора:
= Р + Ргп + Лар + Р«ъ + Лех , (4.22)
где Ргп — гидравлические потери в рабочем колесе вентилято-
• ра; Рпар — паразитная мощность, отдаваемая рабочим колесом
64
и потоком соседним объемам газа за счет вовлечения их в
бесполезное движение; Рщ — щелевые потери из-за утечек газа;
Рмех — механические потери в подшипниках (у встроенных вен-
тиляторов отсутствуют).
Коэффициент полезного действия вентилятора
== ^г^пар^щ^мех’ (4.23)
где т]г=Р/(Р 4-Ргп) ==Р/РГ, Рп!Рч — его гидравлический КПД;
Рг=Р 4- Ргп — гидравлическая мощность; т)пар=Рг/(Рг 4-
+<Рпар)—КПД, учитывающий паразитную мощность; т]щ=
= pQ/(pQk) = Q/Qk=Q/(Q 4- Qm) —объемный КПД; QK=Q4-
+Qm — расход газа через рабочее колесо с учетом утечек че-
рез зазоры; т]мех— механический КПД, учитывающий механиче-
ские потери в подшипниках (у встроенных вентиляторов т]мех=
§ 4.4. Характеристика давления центробежного
вентилятора
Характеристика давления представляет собой зависимость
действительного давления р, развиваемого вентилятором, от его
расхода Q. По аналогии с электрическим генератором, где за-
висимость напряжения U от тока I называется внешней харак-
теристикой, зависимость p=f(Q) называют внешней характе-
ристикой вентилятора. Эта характеристика всегда лежит ниже
характеристики его теорети-
ческого давления из-за по-
терь давления в вентилято-
ре (см. § 4.3).
Рассмотрим распределе-
ние потерь давления на
примере вентилятора с заг-
нутыми назад лопатками
(рис. 4.6). Кривая 1 — это
характеристика вентилято-
ра, работающего без потерь
и имеющего бесконечное
число лопаток в рабочем
колесе с углом установки
₽л2- Кривая 2— характерис-
тика этого же вентилятора
с заданным конечным чис-
Рис. 4.6. Распределение потерь дав-
ления в центробежном вентиляторе
лом лопаток. Участок а, расположенный между характеристи-
ками 1 и 2, отражает уменьшение теоретического давления вен-
тилятора вследствие влияния конечного числа лопаток. Кри-
вая 3 — характеристика давления вентилятора с конечным чис-
лом лопаток при учете потерь на местных сопротивлениях и на
3—1268
65
трение в рабочем колесе вентилятора. Участок Ь, расположен-
ный между кривыми 2 и характеризует потери на местных
сопротивлениях и на трение в проточных частях вентилятора,
в том числе и междулопаточных каналах рабочего колеса.
Участок с, расположенный между кривыми 3 и 4, отражает по-
тери на входе в рабочее колесо и вихреобразование в каналах
рабочего колеса. Кривая 4 — это характеристика реального
давления вентилятора, или его внешняя характеристика. Точ-
ка А, в которой соприкасаются кривые 3 и 4, соответствует
оптимальному расходу газа, создаваемому вентилятором, при
котором потери на вихреобразование в рабочем колесе отсут-
ствуют. Точную внешнюю характеристику центробежного вен-
тилятора построить с помощью расчета невозможно, так как
сложно учесть все действующие факторы; ее получат по дан-
ным испытаний.
Подобие вентиляторов. Внешнюю характеристику вентиля-
тора можно получить только опытным путем, но проведение
опытов на реальных машинах часто затруднено сложностью
выделения изучаемого явления и рядом других причин (боль-
шие габаритные размеры машин, сложность внесения измене-
ний при поисковых исследованиях и др.). В этих случаях рас-
сматривают модель, подобную реальной машине. Условия мо-
делирования и правила, соблюдение которых позволяет рас-
пространить на реальную машину результаты, полученные на
модели, устанавливает теория подобия.
Первое условие моделирования — геометрическое подобие,
т. е. пропорциональность сходственных геометрических разме-
ров реальной машины и модели. Остальные условия вытекают
из понятия физического подобия — одинаковости отношений
сходственных физических величин в сходственных точках про-
странства в сходственные моменты времени.
Следовательно, в геометрически подобных вентиляторах бу-
дет иметь место подобие полей скоростей потока газа. Любая
скорость потока, например радиальная составляющая абсолют-
ной скорости с2г, пропорциональна окружной скорости вентиля-
тора н2=л£)2я/60, т. е. c2r=D2n.
Расход газа, создаваемый вентилятором, Q—c2rS2t где S2 =
=лР2Ь2 — площадь выходного сечения рабочего колеса венти-
лятора. Ввиду геометрического подобия ширина лопатки Ь2 =
sesD2, поэтому S2=D22. Тогда расход вентилятора Q==D2zn.
Давление вентилятора р=т]грЫ22. При постоянных гидрав-
лическом КПД т]г и плотности р газа (жидкости) p=Z)22n2.
Полезная мощность вентилятора P=pQ= (D22n2) (П23п)=з
=jD25/:3. Следовательно, для двух подобных вентиляторов
66
На основании подобия вентиляторов вводятся безразмерные
коэффициенты давления, расхода газа и мощности, одинаковые
для подобных вентиляторов:
р*=р/(рц22); Q*= Q/( srZ?^2/4); P/(ptt| ^2/4). (4.25)
В вентиляционных расчетах для внешней характеристики
центробежного вентилятора используют различные формулы.
Рассмотрим некоторые из методик
определения внешней характерис-
тики.
Методика А. Е. Алексеева. Внеш-
няя характеристика вентилятора
аппроксимируется параболой (рис.
4.7), т. е.
р = ро[1 — «Ж)2], (4.26)
где ро — давление, развиваемое вен-
тилятором в режиме холостого хо-
да (Q=0), когда рабочее колесо
вентилятора закрыто по наружно-
му диаметру:
A = (4-27)
Рис. 4.7. Характеристика
давления центробежного
вентилятора с радиальны-
ми лопатками
Лго — гидравлический КПД вентилятора в режиме холостого
хода (для вентиляторов с лопатками, загнутыми назад, т]г0=
=0,5; для радиальных лопаток т]го==О,6; для лопаток, отогну-
тых вперед, т]го=О,75; QM — максимально возможный расход
вентилятора, который имеет место при коротком замыкании
(р=0).
Режим короткого замыкания возможен при работе вентиля-
тора в открытой атмосфере, где никаких сопротивлений по пу-
ти воздуха вне вентилятора нет и вся работа вентилятора за-
трачивается на преодоление собственного гидравлического со-
противления:
Qti = ktAu2S2, (4.28)
где kyt — коэффициент, учитывающий форму лопаток (для ло-
паток, загнутых назад, Лм=0,35; для радиальных лопаток ku=
=0,42; для лопаток, отогнутых вперед, &м=0,5).
Затраты мощности на вентиляцию
PB=pQ/^ (4.29)
где т]э — энергетический КПД вентилятора (для лопаток, загну-
тых назад, т]э=0,25...0,3; для радиальных лопаток т]э=0,15...
0,2; для лопаток, отогнутых вперед, т}э=0,3... 0,4).
Однако экспериментальные зависимости p—f(Q) показыва-
ют, что внешняя характеристика не описывается квадратичной
3* 67
параболой, поэтому методика дает большую погрешность по
сравнению с опытом.
Методика И. Ф. Филиппова. Полезное давление центробеж-
ного вентилятора можно получить из (4.14) и (4.15):
Y рй2~4" + — cos₽2 2(Q)Q2, (4.30)
где pWi2/2 — потери давления перед входом в рабочее колесо;
£ (pw22/2—pw2^2 cos р2) — восстанавливаемая часть статическо-
го давления; k — коэффициент восстановления статического дав-
ления; z(Q)Q2 — потери давления в самом вентиляторе.
Коэффициент восстановления статического давления опре-
деляется конструкцией электрической машины. Типичные зна-
чения k, полученные путем обработки экспериментальных дан-
ных [13]:
при наличии после вентилятора спрямляющего аппарата k=
= 0,4; диффузора £=0,3; камеры в щитах £=0,2;
при выходе на лобовую часть обмотки статора £=0,1.
Метод также неточен, особенно для встроенных вентилято-
ров, так как не учитывает ряд источников потерь, нет указа-
ний по расчету w2 и cos р2.
Методика ЛЭО «Электросила» [6]. Характеристика давле-
ния центробежного вентилятора на рабочем участке рассчиты-
Рис. 4.8. Зависимость коэффициентов а и
Ъ в уравнении (4.31) от наружного диа-
метра ротора
вается на основе зависи-
мости
Pt=Pm— aQ-bQ2.
(4.3J)
Коэффициенты а и b
определяются по рис. 4.8
в зависимости от наруж-
ного диаметра ротора D2.
Максимальное давле-
ние вентилятора
Д>в = £(л/Ю0)2 D2,
(4.32)
где DB — наружный диа-
метр вентилятора, м; £ —
коэффициент, зависящий
от исполнения схемы вен-
тиляции (при использо-
вании давления, развива-
емого спицами ротора в
торцевых зонах, £=7,4; при раздельном течении потоков воз-
духа через остов и обод ротора и через торцевые вентиляторы
£=5,3); п — частота вращения, об/мин.
68
Характеристика давления ротора на рабочем участке стро-
ится на основании зависимости, аналогичной (4.31), но с по-
стоянными коэффициентами:
= Pop - 0,6Q - 0.03Q2. (4.33)
Максимальное давление ротора
j7oP = 5,3(/i/100)3Z)2.
(4.34)
Эта методика разработана как развитие методики
А. Е. Алексеева и имеет более высокую точность.
Методика В. И. Виноградова. Расчетные характеристики
давления (рис. 4.9) построены в координатах условных коэф-
фициентов расхода q и дав-
ления h. Эти коэффициенты
отличаются от коэффициен-
тов расхода Q* и давления
р* тем, что в них введена
поправка X, учитывающая
влияние относительной дли-
ны лопаток. Это позволило
все разнообразие характе-
ристик давления встроенных
вентиляторов, имеющих оди-
наковую аэродинамическую
схему, свести к нескольким
основным характеристикам.
Рассмотрим данную мето-
дику на примере встроенно-
Рис. 4.9. Расчетная характеристика
давления встроенного центробежно-
го вентилятора с радиальными ло-
патками
го вентилятора с радиаль-
ными лопатками. В качест-
ве основных характеристик
для вентиляторов с ради-
альными лопатками приня-
ты характеристики вентилятора с относительной длиной лопа-
ток l~(D2—D\)/(2D2)=0,176 и числом лопаток гл=18.
Значения коэффициентов X для вентиляторов с радиальны-
ми лопатками приведены на рис. 4.10; значения расчетного
КПД вентилятора — на рис. 4.11.
Исходные данные для расчета: рабочий расход вентилятора
Qp, давление рр, наружный D2 и внутренний Di диаметры рабо-
чего колеса, частота вращения п.
Расчет осуществляют в такой последовательности:
1. Определяют ориентировочное значение коэффициента
давления &о=ЗО6 рр/(D22n2).
2. Находят относительную длину лопаток l=(D2—Di)/
,(2Da).
69
3. По графику X=f(Z) (рис. 4.10) находят поправочный ко-
эффициент X.
4. Определяют расчетный коэффициент давления вентилято-
ра
5. По характеристике давления вентиляторов (рис. 4.9) оп-
ределяют коэффициент расхода вентилятора в первом прибли-
жении
Рис. 4.10. Зависимость ко-
эффициента 1 от длины ло-
патки для вентилятора с
радиальными лопатками
Рис. 4.11. Зависимость
расчетного КПД встро-
енного радиального вен-
тилятора от коэффици-
ента расхода
6. Находят расчетную ширину лопатки Ьр=3,6 QP|X/ (D22nqi).
7. С учетом округления принимают ширину лопатки Ь.
8. Определяют расчетный коэффициент расхода вентилято-
ра ^р=?1ЬР/6.
9. Давление и расход выбранного вентилятора находят сле-
дующим образом:
а) через расчетную точку с координатами qP, hp проводят
параболу до пересечения с характеристикой давления (на рис.
4.9 такие параболы нанесены через равные промежутки);
б) по точке пересечения параболы с характеристикой дав-
ления находят действительные коэффициенты давления h и
расхода q;
в) определяют давление и расход вентилятора р=ррА/Лр;
Q=QPy/i/hp. Как правило, должно быть р^рр и Q>QP.
10. Мощность, потребляемую вентилятором, определяют по
формуле p3=pQ/x\t где т]=т]р/Х— действительный КПД венти-
лятора, т]р — расчетный КПД вентилятора (определяется по
рис. 4.11 в зависимости от q/V X).
70
§ 4.5. Осевые вентиляторы
Для определения теоретического давления осевого вентиля-
тора (рис. 4.12) применяют основное уравнение лопастных ма-
шин (4.8), которое в данном случае упрощается, так как ок-
ружная скорость на входе в колесо и выходе из него одинако-
ва, т. е.
Рт— Р^2^2и Clu)'
(4.35)
Однако физическая сущность изменения полного давления
в осевом вентиляторе иная, чем в центробежном вентиляторе.
Отсутствие радиального перемещения потока исключает дейст-
вие центробежных сил, поэтому приращение энергии происхо-
дит только за счет пре-
образования кинетиче-
ской энергии. Природа
возникновения избыточ-
ного давления за коле-
сом тесно связана с цир-
куляцией скорости вок-
руг винтового профиля.
Рассмотрим диаграмму
сил, приложенных к плас-
тинке, плоскость которой
наклонена под углом а
к плоскости вектора ско-
рости Woo набегающего
потока газа (рис. 4.13,
а). При таком движении
к сопротивлению трения
добавляется сопротивле-
ние давления, вызванное
образованием вихря поза-
ди пластинки.
Если пластинка имеет
большую длину в нап-
Рис. 4.12. Основные размеры осевого
вентилятора (два вида)
Рис. 4.13. Действие потока на наклон-
ную плоскую (а) и вогнутую (б) плас-
тинку
равлении, перпендикуляр-
ном плоскости чертежа,
и угол атаки а мал, то
результирующая сил соп-
ротивления имеет небольшую составляющую вдоль движения
(сила лобового сопротивления Рх) и значительную составляю-
щую, перпендикулярную вектору скорости в его плоскости
(подъемная сила Ру):
Px — kxSpw2\ Py — kyS^TiD2, (4.36)
где kx и ky — соответственно коэффициенты лобового сопротив-
ления и подъемной силы; S — площадь поверхности пластины.
71
Отношение подъемной силы к силе лобового сопротивления
называется качеством профиля лопатки: vn—Py/Px=ky/kx. Ис-
следования показали, что пластинка, изогнутая по линии тока
(рис. 4.13, б), имеет более высокое качество профиля. Наилуч-
шими аэродинамическими свойствами обладают профилирован-
ные крыловые лопатки (рис. 4.14).
Рис. 4.14. Профилированная крыловая лопатка в потоке газа
Из (4.35) следует, что для определения теоретического дав-
ления осевого вентилятора нужно знать разность (с2и—ciu).
Если отсутствует предварительное закручивание газа перед ко-
лесом (ci«=0), то
Рт ~ (4.37)
и необходимо знать с2и. Циркуляция скорости вокруг профиля
лопатки Г=(£ cdr=2itrc2u, откуда с<г<п=Г/(2лг), т. е.
/7т=Рк2Г/(2лг) = р2Г/(2л). (4.38)
Таким образом, теоретическое давление можно рассчитать,
если известна циркуляция Г. Циркуляционное движение вокруг
профиля возникает в связи с образованием вихревой зоны за
профилем. Направление циркуляционного движения всегда та-
ково (рис. 4.14), что его скорость увеличивает скорость набе-
гающего потока над профилем (в плоскости чертежа) и умень-
шает ее под профилем, где в связи с этим возрастает давление.
Циркуляция Г выражается через скорость набегающего по-
тока газа Woo только в простейшем случае — для бесконечно
длинной прямой пластинки:
Г=л£ | Woo | sin₽oo, (4.39)
где b — ширина пластинки; ₽со==9—а — угол наклона вектора
скорости Woo к плоскости обода (рис. 4.12).
72
Вычисление теоретического давления на основе циркуляции
по формулам, аналогичным (4.39), невозможно, поскольку угол
роо зависит от многих факторов, не поддающихся учету.
Практическое распространение получили методы расчета, в
которых характеристика давления осевого вентилятора пред-
ставлена в виде зависимости, полученной на основе обработки
большого числа экспериментальных данных [13]:
р* = 0,2
10 + 2 stn 6
10 + т
+ 0,5Q*
----------(4-40)
0,lvnT&* —-------- sin 6
0,3 —В*
где p*=pl(pu?2)—отно-
сительное давление; =
= Q/fr(D22-D2I>2/4) =
—са1и2 — относительный
расход газа; са — осевая
составляющая скорости;
0 — угол установки ло-
патки; Т^лРср/ЗД —
относительный шаг лопа-
ток; DCp — средний диа-
метр лопаток; гл — число
лопаток; b — ширина ло-
патки на среднем диаме-
тре; vn — качество про-
филя; d*=dmax/b — отно-
сительная толщина про-
филя лопатки.
Результаты экспери- Рис. 4.15. Зависимость коэффициентов
мента обычно представ- подъемной силы и лобового сопротивления
ляют в виде графических от Угла атаки для крыловой лопатки
зависимостей коэффици-
ента подъемной силы ky и лобового сопротивления kx от угла
атаки а для каждого из исследованных профилей лопаток. На
рис. 4.15 в качестве примера приведены эти зависимости для
крыловой лопатки.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Для каких целей предназначены вентиляторы в электрических маши-
нах?
2. Привести основное уравнение лопастных машин.
3. Как влияет форма лопатки на теоретическое давление центробежного
вентилятора?
4. Какие виды потерь давления возникают в вентиляторе?
5. Что представляет собой характеристика давления вентилятора?
6. Какова физическая природа возникновения избыточного давления в
осевом вентиляторе?
73
ГЛАВА 5
ВЕНТИЛЯЦИОННЫЙ РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Общая задача вентиляционного расчета электрических ма-
шин заключается в том, чтобы проверить, как выбранная схема
вентиляции и вентилятор обеспечивают допустимую темпера-
туру активных частей машины при заданном уровне греющих
потерь. В проектном задании на разработку электрической ма-
шины, как правило, задается исполнение по степени защиты от
внешних воздействий, которое практически предопределяет вы-
бор способа охлаждения и схемы вентиляции электрической
машины.
§5.1. Задачи вентиляционного расчета
электрических машин
Исходными данными для вентиляционного расчета являются
схемы вентиляции, размеры каналов вентиляционного тракта,
физические свойства охлаждающей среды, класс нагревостой-
кости применяемых электроизоляционных материалов, потери
мощности, которые выделяются в машине при работе и повы-
шают ее температуру, частота вращения вентилятора.
Исходя из общей задачи вентиляционного расчета можно
выделить несколько частных задач, которые должны решаться
при вентиляционном расчете электрической машины.
Одна из важнейших задач вентиляционного расчета — опре-
деление суммарного гидравлического сопротивления вентиля-
ционного тракта электрической машины (методика расчета из-
ложена в гл. 2). Другая задача вентиляционного расчета —
определение требуемого расхода охлаждающего газа QH. Тре-
буемый расход газа определяется количеством отводимых га-
зом потерь, допустимым повышением температуры и теплоем-
костью газа
Он=Лт/(^), (5.1)
где РГр — греющие потери, отводимые охлаждающим потоком
(известны из электромагнитного расчета машины); с — удель-
ная теплоемкость охлаждающего газа, Дж/(кг-°С); р — плот-
ность газа, кг/м3; ДО — допустимое повышение температуры
охлаждающего газа для данного класса нагревостойкости изо-
ляции машины.
Физические свойства охлаждающих газов приведены в
прил. 1. Допустимое повышение температуры охлаждающего
газа зависит от класса нагревостойкости изоляции машины и
схемы вентиляции. Для защищенных машин, у которых охлаж-
дающий газ омывает активные элементы непосредственно, ДФ=
= 15...30°С; для закрытых машин, у которых охлаждающий
газ омывает оболочку, ДФ=7... 12°С.
74
Воспользовавшись законом Адкинсона (2.29), можно опре-
делить перепад давлений на суммарном гидравлическом сопро-
тивлении вентиляционного тракта при требуемом расходе газа
через машину QH:
ДРк = ^. (5-2)
Таким образом, требуемый расход охлаждающего газа Qn
и перепад давления Дря, возникающий в машине, являются ис-
ходными данными для расчета вентилятора.
Расчет вентилятора в зависимости от решаемых задач под-
разделяется на проектный и поверочный.
При проектном расчете вентилятора должны
определяться основные конструктивные параметры рабочего ко-
леса— наружный и внутренний диаметры, тип, число, размеры
и углы установки лопаток. Вентилятор, имеющий выбранные
параметры, должен обеспечивать подачу требуемого количест-
ва охлаждающего газа при известном суммарном гидравличе-
ском сопротивлении машины. Однако для встроенных вентиля-
торов электрических машин многие из названных параметров
ограничены размерами места, в котором должен быть установ-
лен вентилятор. Поэтому основные размеры рабочего колеса
вентилятора устанавливаются конструктивно, и при расчетах
электрических машин широкое распространение получил пове-
рочный расчет вентилятора.
При поверочном расчете вентилятора необхо-
димо проверить, обеспечит ли вентилятор с данными размера-
ми требуемое давление рп и расход газа QH при известном сум-
марном гидравлическом сопротивлении вентиляционного трак-
та zc.
Необходимое давление рн определяют исходя из заданного
расхода QH на основе уравнения рн==Дрн, или
Pu=zcQ\. (5.3)
Соблюдение равенства означает, что потери давления в ма-
шине равны давлению, развиваемому вентилятором, т. е. равен-
ство (5.3) определяет факт равновесия.
После этого можно вычислять распределение расходов по
отдельным ветвям схемы вентиляции и затраты мощности на
вентиляцию.
§ 5.2. Расчет совместной работы вентилятора
и вентиляционного тракта
По известному суммарному гидравлическому сопротивлению
вентиляционного тракта zc, задаваясь различными значениями
расхода газа, можно получить зависимость Ap=f(Q), которая
называется характеристикой давления вентиляционного тракта.
75
Характеристику давления вентилятора p==<p(Q) можно по-
лучить одним из методов, изложенных в гл. 4. Приравнивая
эти две характеристики
t(Q) = ^cQ2»
(5.4)
получают решение уравнения равновесия в аналитической фор-
ме и определяют рабочий расход Qp и рабочее давление рр,
создаваемое вентилятором.
Давление, создаваемое вентилятором, является сложной
функцией расхода газа и не всегда поддается простой анали-
тической записи, поэтому, на практике широко используют гра-
фический метод решения уравнения (5.4). Этот метод прост и
нагляден (рис. 5.1): в коорди-
Рис. 5.1. Пример графического
определения рабочего расхода
газа
натах р, Q наносят характе-
ристику давления вентилятора
p=q(Q) и характеристику
давления вентиляционного
тракта &p=f(Q). Точка их пе-
ресечения является точкой
равновесия, т. е. точкой вза-
имного соответствия потерь
давления в машине и давле-
ния вентилятора.
В результате решения
уравнения равновесия (5.4)
рабочий расход Qp никогда не
бывает в точности равен тре-
буемому расходу QH. Это объясняется тем, что, во-первых, ха-
рактеристики вентилятора и вентиляционной сети рассчитаны
с определенными погрешностями; во-вторых, очень трудно по-
добрать вентилятор, чтобы его характеристика пересекалась с
характеристикой вентиляционной сети именно в точке (QH, Лрн)-
Поэтому вентиляторы выбирают из условия QP>QH на 10%.
Пример. Выполнить поверочный вентиляционный расчет дви-
гателя постоянного тока (рис. 5.2), если известны греющие по-
тери РГр=11940 Вт; частота вращения «=1500 об/мин; удель-
ная теплоемкость с=1008 Дж/(кг-°С) и плотность р=
= 1,128 кг/м3 воздуха; коэффициент трения в каналах Л=0,08;
размеры центробежного вентилятора с радиальными лопатками
(м): наружный диаметр Р2=0,52; внутренний диаметр Di =
=0,32; ширина лопаток 6л=0,04; значения площадей (м2):
входных окон подшипникового щита Si=0,05; пространства над
коллектором 52=0,15; поперечного сечения междуполюсных
окон 54=0,024; пространства над лобовыми частями со сторо-
ны заднего подшипникового щита <$5=0,15; поперечного сечения
каналов втулки коллектора S?=0,012; пространства под лобо-
выми частями обмотки якоря 5б=0,026; вентиляционных кана-
лов якоря Sio=O,Oll; пространства под лобовыми частями об-
76
мотки якоря со стороны заднего подшипникового щита 5ц =
= 0,026; поперечного сечения выходной решетки Si2=0,05; дли-
на канала междуполюсного окна /4=0,25 м; эквивалентный
диаметр этого канала d34 = 0,02 м; длина канала втулки кол-
Рис. 5.2. Схема вентиляции машины постоянного тока
лектора /7=0,15 м; эквивалентный диаметр канала втулки кол-
лектора d07=O,O3 м; длина канала якоря /ю=0,25 м; диаметр
канала б/ю=0,02 м.
Порядок поверочного вентиляционного расчета.
1. Находят требуемый расход воздуха Qa—PTf/(cp^) =
= 11 940/(1008-1,128-20) =0,525 м3/с.
2. Рассчитывают гидравлические сопротивления. Для этого
удобно представить вен-
тиляционный тракт в ви-
де упрощенной схемы
(рис. 5.3), с помощью ко-
торой легко установить
причины местных сопро-
тивлений. Затем находят
коэффициенты гидравли-
ческого сопротивления
трения ВтР (см. § 2.1) и
местных сопротивлений
(см. § 2.2) и вычисля-
ют гидравлические соп-
ротивления участков по
(2.30). Эквивалентная
гидравлическая
двигателя постоянного
тока (рис. 5.2) приведе-
на на рис. 5.4. Результаты расчета гидравлических сопротивле-
ний сведены в табл. 5.1.
3. Определяют эквивалентные гидравлические сопротивле-
схема Рис. 5.3. Упрощенная схема вентиляции
машины, представленной на рис. 5.2
77
ния при последовательном соединении сопротивлений по (2.33):
входа zBx=Zi+z2= 113+100 = 213 Н-с2/м8;
междуполюсных каналов zn=z3+z4+z5=411+979+691 =
Рис. 5.4. ЭГС машины постоянного тока, представленной на рис. 5.2
каналов якоря ZH=Z6+z7+ze+zg+zio+zii = 18O2+1567+
+ 2109+1345+4661 + 2074 = 13 358 Н • с2/м5 6 7 8;
выхода гВых=212+21з = 113+226 = 339 Н-с2/м8.
4. Определяют эквивалентное сопротивление при парал-
лельном соединении сопротивлений междуполюсных каналов и
каналов якоря по (2.39):
2081-13558 1л»7л
—_-------zr— == —----------- - = 1074
(РЧ + / *я)2 (/2081 + /13558)2
Н-с2/м8.
5. Суммарное сопротивление ЭГС zc=zBX+za+zBMx=213+
+ 1074 + 339=1626 Н-с2/м8
6. Находят характеристику давления вентиляционного трак-
та Ap=zcQ2 = 1626Q2.
7. Определяют характеристику давления вентилятора, для
этого используют методику А. Е. Алексеева.
Давление при холостом ходе вентилятора ро==т)гор(«22—
—W12) = 0,6-1,128(40,82—25,12) =700 Па, где м2=лП2и/60=
=л-0,52-1500/60=40,8 м/с, ц1=л£>1П/60=л-0,32-1500/60=
= 25,1 м/с.
Максимальный расход вентилятора QM=0,42 w2S2=0,42X
Х40,8-0,06= 1,028 м3/с, где S2 = 0,92 я£)2Ьл=0,92 л -0,52 -0,04=
= 0,06 м2.
Характеристика давления вентилятора ^=р0[1—(Q/Qm)2] =
= 700[1—(Q/1,028)2]. Приравнивая характеристики давления
вентилятора и вентиляционного тракта, получают:
рабочий расход вентилятора
700
700 + 1626-1,0282
=0,553 м3/с;
78
Таблица 5.1
Продолжение табл, 5.1
Щ
X
X
<1>
о*
га
со
И «>
2 к s
Q 3*
S.X и
сч
о
00
©
©
сч
©
ф
СО
©
сч
сч
сч
х
к
о
в
га
в
«
и
3
X
к
О)
ч
о
X
га
X
СП
о
X
я
Ч
О
X
га
5.
X
а
о
•&
к
га
х
5
я
к
х
к
о
0
о
X
X
в
к
о
а
га
К
к
£Г
X
а
к
s
я
<и
я
о
а
Е
О
сч
сч
СЧ
еч
«О
сч СЧ О О ТГ © © © ©" о сч о о | = 0,564-0,08-0,15/(0,03 С II еч г- со сч 00 со 1 «•-и с7 еч СЧ © О © 74 О О СЧ о о II сч2 CQ СЧ *75 00 о Г* CQ 2 о © © © о © 0-1 о о •—« © о 1 о сч о •» о, & о 00 о © © © © II II <ч2 со см ’ »—< Со о 2 04 ми •—а © © — еч © СЧ © О’ »—ч О © 1 •ч © © © II сч © © с£ М- © 3 © о II сч сч —* со **4 CN 04 © © © © © © •—И II СЧ —1 <Z) СЧ со нН ил
•и © О СЧ г- СП т+< © ю о 1! © о © о о СЧ -4 со сч" ^а. о- сч »-• ил
СЧ
Ф
ф
S
га
ф
№
ф
я
ф
о
с
га
ф
о
XI
о
ф
V
Ж
S
га
ж
Ж
ф
ф
*
о
Ф
о
X
К
Ж ф
Ж К
га
га
Ф
к
о
ф ь ф
ж Ж
ж X
ф ф ф
CU о Си
К х: ж
S о ф а
и р> о
га в га
сх S си
ф га ф
о X о
X X ж
с Ef X
га о га
га Си га
ф Ж ф ф
X Л X ж
И Lm sffl
о
га
№
S
га
ф
ь
о
„ я
о* Я
3
н
о
Ч
о
га
ф
а>
О
«
3
и
3
о
Ю
X
3
и са
га
и
аименованме (рис. 5.2) здуха через иные каналы оря ж х И 0> ж 5 ч 5 ж о н ж X ф И з ж 5 ж ж CU о ь ж ф ч ч о X 3 ж о ч га ж га X га Ж ф 3 ф а| з s SS х § ч га о m _ га х ж ж s 2 й§ Я Ф ч к « ж з ж 5 мН о CQ "г* П* *** 3 ж ж а га S га 1 сэ 3 со га га >» Ф С1 Си га 0.' О ж >> w X м- Н Ч 1' О я Ч
»мер и я участка ход во иляцио як ж tf га о X X И ф >» 5 я Ь Я v ж = Ч га ’5^ О сз о 2 ж £ ° И х ф < ж с§ § § CQ t- _ •£ ~ Ж ЕС о X 3 х я о си°«3 Си >. . о
и о ь . 3 X . ч . £ си© « — « са сч" £.© S
►С CU X С й © ж S’*4- ’5 О о со ч о v 5 ж га w г-, Ч~-. S о н
га о ь НН X ж ж х ч х га
« й) х<«2
® X Н х^
Я и о а .
J v у
~ р В Е X
О о s а
и **
<а t- <п <п»
N N N N
о —
N N
М 0
N N
80
рабочее давление, развиваемое вентилятором,
700
Рр = А
Ро + г'сРм
1626-1,0282
700 4- 1626.1,0282
=497,4 Па.
9. Определяют частичные расходы в параллельных ветвях.
При параллельном соединении сопротивлений падения давле-
ния на них равны, т. е. znQ2pn=2HQ2pH^ откуда QPn«
= <2ря Vza/za=Qpa V 13 558/2081 =2,55 <?ря.
На основании первого закона Кирхгофа Qp=Qpn+QpH=
=3,55 фря, откуда частичные расходы в параллельных ветвях
QPH = Qp/3,55 = 0,553/3,55=0,156 м3/с;
Qpn=QP — Qpa = 0,553—0,156 = 0,397 м3/с.
10. Затраты мощности на вентиляцию
Рв= ppQp/t]9=497,4-0,553/0,20= 1375 Вт.
Таким образом, поверочный вентиляционный расчет показал,
что при данных размерах вентиляционного тракта данный вен-
тилятор обеспечит требуемый расход воздуха через машину,
так как QP>QU.
§ 5.3. Расчет сложных вентиляционных систем
Метод, изложенный в § 5.2, можно использовать, если ЭГС
легко свертывается, т. е. сравнительно просто получить суммар-
ное гидравлическое сопротивление zc. Непосредственное вычис-
ление суммарного гидравлического сопротивления ЭГС при
сложных разветвленных схемах оказывается чрезвычайно гро-
моздким. Поэтому существует много приемов расчета ЭГС
графическими и графоаналитическими методами, а также ме-
тодами последовательных приближений. Эти методы основаны
на двух законах, соответствующих законам Кирхгофа для эле-
ктрических цепей:
1. Алгебраическая сумма расходов в узле ЭГС равна нулю:
л
2Q/-0. (5.5)
1=1
2. Алгебраическая сумма давлений и падений давлений в
замкнутом контуре равна нулю:
п т
2а+ <5-6)
1=1 J=l
Наиболее широко распространены метод преобразования
треугольника в звезду, графический метод, метод уравнивания
потерь давления.
81
Метод преобразования треугольника в звезду. Пусть имеет-
ся ЭГС (рис. 5.5, а) в виде соединения гидравлических сопро-
тивлений в треугольник.
Это
соединение можно преобразовать
в эквивалентную звезду, как это
делают для электрических цепей.
Однако с учетом нелинейности
сопротивления z, формулы для
преобразования будут более
сложными. Полученное решение
является приближенным, и об-
ратное решение не позволит по-
лучить точные значения расхо-
дов в отдельных ветвях. На рис.
5.5, б приведено преобразование
исходной схемы в эквивалентную
звезду. Формулы для пересчета сопротивлений следующие:
Zb
тре-
Рис. 5.5. Преобразование
угольника (а) гидравлических
сопротивлений в звезду (б)
zab = (z2 + z3)/( V zx + У (z2 + z3))2;
Zca = 4“ Z2)/(yz3~j~ У Zx Z2))2j
Za (zab 4“ %ca
Zb === (zab 4“ zbc »
Zc = 4" Zca Zab}!^»
(5.7)
(5.8)
Графический метод. Этот метод заключается в том, что при
сложении графических характеристик последовательно соеди-
ненных элементов складываются их ординаты (рис. 5.6, а, б),
Рис. 5.6. Последовательное сложение характеристик
давления (с) и сопротивления (б)
при сложении характеристик параллельно соединенных элемен-
тов складываются их абсциссы (рис. 5.7, а, б). При последо-
вательном соединении (рис. 5.8) нагнетательного элемента р
82
и гидравлического сопротивления z из ординаты характеристики
нагнетательного элемента вычитают ординату характеристики
гидравлического сопротивления Др, в результате получают ха-
рактеристику избыточного давления ри.
Если ветвь с нагнетательным элементом шунтируется сопро-
тивлением (рис. 5.9), то ветвь следует представить в виде эк-
Рис. 5.7. Параллельное сложение характеристик
давления нагнетательных элементов (а) и гидрав-
лических сопротивлений (б)
Рис. 5.8. Сложение характе-
ристик давления нагнетатель-
ного элемента и гидравличе-
ского сопротивления при их
последовательном соединении
вивалентной характеристики сопро-
тивления Дрэ, для чего из ордина-
ты характеристики сопротивления
Др вычитают ординату характерис-
тики нагнетательного элемента р
(рис. 5.9, а). Затем складывают
абсциссы характеристик шунтиру-
ющего сопротивления Др1 и эквива-
лентной характеристики Дрэ, как
при обычном параллельном соеди-
нении элементов (рис. 5.9, б).
Метод уравнивания потерь дав-
ления. Этот метод можно использо-
вать, если в ЭГС имеется только
один источник давления [13]. В вет-
ви, содержащей напорный элемент,
произвольно задают расход газа Q,
разбивают его на произвольные доли
ным путям таким образом, чтобы в каждом узле схемы соблю-
дался первый закон Кирхгофа: Q™=SQjm, где т —номер дан-
ного узла. Таким образом, при слиянии нескольких струй ито-
говый расход должен быть равен сумме частичных расходов,
а при разветвлении частичные расходы представляли собой
доли общего.
Если сопротивление zi каждой ветви определено предвари-
Qi по всем t параллель-
83
тельно, то можно вычислить потери давления в каждой ветви
по формуле ^pi=ztQi2.
Затем можно вычислить потери давления для каждого из
п
параллельных путей 2 где 1~ Н0МеР сопротивления в па-
1=1
раллельном пути; п — число сопротивлений в каждом парал-
о)
?>*Р
Рис. 5.9. Сложение характеристик давления нагнетательного эле-
мента (а) и гидравлического сопротивления (б) при шунтиро-
вании ветви с нагнетательным элементом сопротивления
дельном пути. Согласно второму закону Кирхгофа, падения
давления для каждого параллельного пути должны быть рав-
ны друг другу, в то же время они должны быть равны поте-
рям давления Др во всей ЭГС при циркуляции в ней расхода
газа Q:
п
Др/ = Др=const. (5.9)
/-1
Так как распределение расхода газа по отдельным ответвле-
ниям было произвольным, то равенство (5.9) на первом этапе
может оказаться невыполненным.
В качестве второго приближения перераспределяют суммар-
ный расход газа Q на частичные таким образом, чтобы потери
давления по отдельным параллельным путям стали равными.
п
Значения Др/, полученные для каждого из t параллельных
/=i
путей, покажут, в каком направлении целесообразно провести
перераспределение.
84
При необходимости можно проделать третье и последующие
приближения до тех пор, пока потери давления по всем парал-
лельным путям не сравняются, по крайней мере в первом и вто-
ром знаках. Полученное равенство потерь давления может слу-
жить показателем физически оправданного распределения рас-
хода газа и основанием для вычисления суммарного гидравли-
ческого сопротивления всей машины zc=Ap/Q2.
Метод уравнивания потерь давления применяется для рас-
чета многоструйной схемы вентиляции турбогенератора (см.
рис. 3.8, 3.9). Практика показывает, что опытный расчетчик по-
лучает удовлетворительны^ результат уже в итоге второго или
третьего приближения [13].
Для расчета сложных ЭГС можно применять также цифро-
вые и аналоговые ЭВМ. В основе специализированных анало-
говых машин лежит набор нелинейных сопротивлений, выпол-
ненных из электронных ламп или полупроводниковых диодов и
отградуированных в единицах гидравлического сопротивления.
Распределение токов аналогично распределению расходов, рас-
пределение падений напряжения — распределению потерь дав-
ления. Расчет сводится к сборке ЭГС из таких элементов и изме-
рению токов и напряжений на отдельных участках схемы. Од-
нако специализированные аналоговые ЭВМ не получили широ-
кого распространения для вентиляционного расчета электриче-
ских машин. Применение цифровых ЭВМ для вентиляционного
расчета электрических машин подробно рассмотрено в § 5.5.
§ 5.4. Расчет схем вентиляции,
содержащих несколько нагнетательных элементов
В крупных электрических машинах (см. § 3.1) встречаются
схемы, содержащие несколько нагнетательных элементов, на-
пример вентиляторы и вращающиеся каналы ротора. Именно
такие ЭГС свойственны электри-
ческим машинам разных типов.
Иногда действием отдельных наг-
нетательных элементов пренеб-
регают без ущерба для точности
расчета.
В том случае, когда давления
различных нагнетательных эле-
ментов соизмеримы, каждый из
элементов необходимо учесть в
схеме вентиляции и, следователь-
но, в ЭГС.
В качестве примера рассмот-
рим схему вентиляции гидроге-
нератора (рис. 5.10) и его ЭГС
(рис. 5.11), где роль вентилято-
Рис. 5.10. ЭГС гидрогенерато-
ра в форме соединений в тре-
угольник
85
ра бывает даже менее существенной, чем роль каналов обода
ротора. Другой важной особенностью ЭГС является то, что
элементы ЭГС включены по мостовой схеме, дополненной цепью
рециркуляции с сопротивлением zq. В соответствии с классифи-
кацией (см. § 3.1) эта схема относится к типу 4.
Рис. 5.11. Преобразование ЭГС представленной
на рис. 5.10
Как видно из ЭГС, для аналитического определения неиз-
вестных частичных расходов газа Qi и суммарного расхода га-
за Qx необходимо решить систему уравнений
Qe = С?4 "h
Qi =Q1 “hfe
Об = Оо 4* О2 Оз»
рв = zeQ в + гз01 + ?iQ2i + z40^
PB = z&Q26+z2Ql + z4Q^
Pb^ZqQI+^qQI-
(5.Г0)
86
Нелинейность полученной системы уравнений затрудняет ее
решение. Для этой ЭГС не может быть применен метод урав-
нивания потерь давления, так как неизвестен суммарный расход
газа и его нельзя взять произвольно из-за наличия давлений в
параллельных ветвях.
Существует несколько методов расчета ЭГС, содержащих
мостовые соединения элементов с диагональными связями. Рас-
смотрим приближенное графоаналитическое решение [13].
Представим ЭГС (рис. 5.11) в виде соединений сопротивле-
ний в треугольник (см. рис. 5.10). Оба соединения в треуголь-
ник можно преобразовать в эквивалентную звезду методом, из-
ложенным в § 5.3. На рис. 5.11 приведено поэтапное преобра-
вование исходной ЭГС. Ниже даны формулы для пересчета со-
противлений:
преобразование каЬс в звезду
(z2+ zz)!(zx + (22 + ^з) + ^2+2з);
zbc = z2 (zL + z3)/(z2 + 2V z2 (Zj + zj + zx + z3);
^Л = ^з(^1 + ^2)/(^3 + 2/^3^ 4- Z2) + *l + *2);
za — ^zab 4" zca zbc№ »
^=(^4-^—^)/2;
~ (zbc 4~ zca Zab)/2t
^M=^ + Z4»*
Zp — za -|- z^
преобразование kOcd в звезду
хол = zb4 (zo++2]/^M (z0+*7) + zo 4- zc);
Zdc = ZO (zb4 + ZC)/(ZO + 2/zO<zm + Z<) + Zbi + ZcY>
Zco = Zc (2Гм4'2'о)/(2;с_Ь 21^^ (2^4 4"го)_|~2:М~Ь^о)’
ZOO — (ZOd 4" ZcO zdc «
zc — (zc0 -f - zdc — zod)!2;
Zd ~ <zOd 4“ zdc zcO^^
Zp ZP~l~ZOO1' Zb ^4-^6-
После преобразования ЭГС гидрогенератора (см. рис. 5.10)
сведена к схеме рис. 5.11, г, которая относится к типу 2. Эту
cx^mv легко можно решить графическим методом, изложенным
в § 5.3.
87
щихся элементов
Графическое решение схемы рис. 5.11, г приведено на рис.
5.12, где обозначено: рр — характеристика давления вращаю-
" . ____1 ротора; рв — характеристика давления венти-
лятора; Дрр — характе-
ристика падения давле-
ния на сопротивлении
2'Р; Дрв — характеристи-
ка падения давления на
сопротивлении zzB; Дрд —
характеристика падения
давления на сопротивле-
нии г'а; рри — избыточное
давление в ветви ротора,
получаемое вычитанием
из ординат характерис-
тик давления рр ординат
характеристики потерь
давления ДрР; рви — из-
быточное давление в вет-
ви вентилятора, получае-
Рис. 5.12. Графическое решение ЭГС,
представленной на рис. 5.11, а
нат характеристики давления
терь давления Дрв; рРи+рви
мое вычитанием из орди-
рв ординат характеристики по-
.... __ — суммарное давление параллель-
но соединенных, ветвей 2'р+рР и г'в+рв, полученное сложением
(по абсциссам) избыточных давлений рри и рви.
Суммарный расход газа Q через схему получается в точке
пересечения кривых суммарного избыточного давления и внеш-
него сопротивления. Частичные расходы Qp и QB можно полу-
чить на пересечении линии, соответствующей рабочему давле-
нию р, с характеристиками рри и рви-
§ 5.5. Расчет схем вентиляции мостового типа
с источниками давления в плечах моста
с использованием ЭВМ
Графоаналитический метод расчета схем вентиляции мосто-
вого типа с несколькими источниками давления, изложенный в
§ 5.4, имеет большую погрешность. Эта погрешность вызвана
следующими причинами. Во-первых, преобразование треуголь-
ника гидравлических сопротивлений в звезду является прибли-
женным. Во-вторых, аппроксимация характеристик давления
напорных элементов квадратичной параболой типа (4.26) ме-
нее точна, чем параболой типа (4.31), в которой имеются сла-
гаемые, содержащие расход газа Q в первой и второй степени.
В-третьих, имеется погрешность, вызванная неточностью гра-
фических построений.
Рассмотрим ЭГС мостового типа с двумя нагнетательными
элементами в плечах моста (рис. 5.13). На участках, содержа-
88
щих нагнетательные элементы, включены гидравлические сопро-
тивления 27?i и 27?2, падения давления на которых пропорцио-
нальны первой степени расхода газа. На гидравлических со-
противлениях 21 и 22 падения давления пропорциональны квад-
рату расхода газа.
При составлении ЭГС важно точно знать направление по-
тока в каждой ветви, так как при неправильном направлении
потока хотя бы в одном ответвлении результаты расчета всей
схемы будут неверными. Расходы газа Qi и Q2, создаваемые в
ветвях ab и ас нагнетательными элементами pi и рг, будут по-
ложительными. Это озна-
чает, что в общем случае,
когда давления, развива-
емые нагнетательными
элементами, не равны,
например pi>p2> то об-
ратного тока через ветвь
ас не должно быть.
Направление потока в
ветви Ъс (расход газа
QM) может быть как по-
ложительным (сплошная
Рис. 5.13. ЭГС мостового типа с двумя
напорными элементами в плечах моста
стрелка, рис. 5.13), так и
отрицательным (пунктир-
ная стрелка, рис. 5.13) в
о
зависимости от давлении
в точках b и с. Легко доказать, что при <2i>0 и Q2>0 и отсут-
ствии источников давления в контуре bed расходы газа Сз и Qi
будут положительными при любом направлении расхода газа
QM. Таким образом, направление расходов газа Qz> <2з и
Qi в данной ЭГС всегда положительно, но имеется два альтер-
нативных варианта направлений потоков в схеме: при QM>0
и при QM<0.
Для составления системы уравнений, описывающих работу
ЭГС, используют известный в электротехнике метод контурных
токов (потоков). В качестве контурных потоков возьмем рас-
ходы газа Qi, Q2 и QM, тогда расход газа в ветви da Qo=Qi+
+Q2, в ветви bd Q3=Qi—QM, в ветви cd Q4=Qz+Qm-
Для контура abda
Р\ -
(5.И)
Для контура aeda
Р2=+22Q|+(Q2+QJ2 Zi + (Qj+Q2)220.
Для контура bed возможно два варианта уравнений:
при QM>0
= ~ Qm)2 *3 — Qm)2 ^4»
(5.12)
(5.13)
89
при QM<0
Zm<22m = (Q2 + Qm) 2^4“ (Ql “ Qm)2 ^3-
(5.14)
Таким образом, получена система нелинейных алгебраиче-
ских уравнений с тремя неизвестными расходами газа Qb Q2
и QM, которую можно решить одним из итерационных мето-
дов, например методом Зейделя. Зададимся некоторыми значе-
ниями расходов газа Q2 и QM (например, в первой итерации
Q2 и QM можно принять равными нулю) и определим из (5.11)
расход Qi:
Q “ ~~ 4" zoQ*)2 4"
4* (A ~zsQm — 4-234-2г0)-(/?1 — z3QK 4- ZqQs)] . (5.15)
Затем, задавшись QM из первой итерации и Qi, полученным
по (5.15), определим из уравнения (5.12) расход газа Q2:
=г2 + г’+г„ []/(/?2+z4Qm4-z0Q1)2 +
+(Pi—ztQ 2 — z0Q2) (z2 4- z4 + z0)—(R2+ztQa+ZOQ1)] • (5.16 )
Подставляя значения Qi и Q2, полученные по формулам
(5.15) и (5.16), в уравнения (5.13) и (5.14), получим решения
для Qm>0 и Qm<0, которые отличаются только знаком (плюс
и минус соответственно) перед сопротивлением zM:
+ ^3Q2—zaQ2)(z4 — z3 + zj — (z3Qj + z4Q2)J-
(5.17)
Анализ показывает, что QM>0, если разность z3Qi2—
—24@22>0, и Qm<0, если разность z3Qi2—24Q22<0.
Полученные в результате первой итерации значения расхо-
дов газа Qi, Q2 и QM служат исходными данными для следую-
щей итерации и т. д. Расчет проводят до тех пор, пока раз-
ность расходов газа, полученных в результате /-й и (/—1)-й
итераций, не станет меньше наперед заданной погрешности рас-
чета е, т. е.
Qij — е- (5.18)
Расчет ЭГС, изображенной на рис. 5.13, выполнен на микро-
ЭВМ. «Электроника ДЗ-28». Программа составлена на языке
программирования БЕЙСИК. Алгоритм программы соответст-
вует расчетным формулам (5.11)... (5.18). Текст программы
расчета расходов в ЭГС мостового типа:
90
10 DIM P(I), R(l), Z1 (1), Z2(I), Q(l), C(l), A(l)
20 DATA 1600, 1000, 0.00001
30 DATA 100, 118.4, 500, 2400, 0, 80, 473.6, 3000, 1200, 0
40 READ Z0, Z5, E0
50 FOR 1 = 0 TO 1
60 READ P(I), R(I), Z1 (I), Z2(l), Q(I)
70 LET A(I)=Z0+ZI{I)+Z2(I)
80 NEXT 1
90 LET Q5 = 0: LET B = Z2(1)—Z2(0)
100 LET Z7 = B+Z5: LET Z8=B-Z5: LET S = 1
110 FOR 1 = 0 TO 1
120 LET F=Q5*Z2(I): LET G=Q(1-I)*Z0
130 LET D = R(I)+G+2*(I—0-5)*F
140 LET Q(I) = (SQR(D*D + A(I)*(P(I)-F*Q5-G*Q(1-I))) —
—D)/A(I)
150 NEXT I
160 LET D1=Q(0)*Q(0)*Z2(0)-Q(1)*Q(1)*Z2(I)
170 LET Z6=Z7
180 IF D1<0 THEH LET Z6=Z8
190 LET F=Q(0)*Z2(0): LET G = Q(1)*Z2(1):D = F+G
200 Q6=(SQR(D*D + Z6*(F*Q(0)“G*Q(1)))— D)/Z6
210 LET D1=ABS(Q6—Q5)
220 IF D1<E0 GO TO 240
230 LET Q5=Q6: LET S = S + 1: GO TO 110
240 FOR 1=0 TO 1
250 PRINT 'РАСХОД Q' I + 1'='Q(I)
260 PRINT 'РАСХОД Q' I+3='Q(I) +2* (1-0.5)*Q5
270 NEXT I
280 PRINT 'РАСХОД QM='Q5
290 PRINT 'РАСХОД Q0='Q(0)+Q(1)
300 PRINT 'КОЛИЧЕСТВО ИТЕРАЦИЙ = '5
310 STOP
320 END
Для исходных данных, приведенных в тексте программы, по-
лучены следующие результаты: Qi=0.13916; <?з =0.07555;
= 0.02603; Q4 = 0.08965; QM=0.06361; Q0 = 0.16519. Для обеспе-
чения заданной точности расчета (в=0.00001) требуется вы-
полнить 9 итераций; время счета не превышает 1,5 мин.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. В чем состоит задача вентиляционного расчета электрической ма-
шины?
2. Как используются результаты вентиляционного расчета при проекти-
ровании электрических машин?
3. Какие методы применяются для расчета сложных ЭГС?
4. Для каких ЭГС можно применять метод уравнивания потерь давле-
ния? Изложить сущность этого метода.
5. Изложить сущность графического метода решения сложных ЭГС.
6. Какова сущность итерационного метода решения сложных ЭГС, име-
ющих несколько нагнетательных элементов?
Раздел 3
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
ГЛАВА 6
ПРОЦЕСС ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ И ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ
В основе тепловых расчетов электрических машин лежит
теория теплопередачи, основной задачей которой является рас-
чет температурных полей. В различных частях электрических
машин в процессе их работы формируются температурные по-
ля, зависящие от условия выделения тепловой энергии в виде
потерь и от условий отвода этой энергии из машины. Процесс
переноса теплоты в системе физических тел называется тепло-
обменом. Теплообмен вызывается неравномерностью распреде-
ления температуры в данной системе тел, т. е. обусловлен ха-
рактером ее температурного поля. Теплопроводность, конвек-
ция, лучистый теплообмен — три основных вида теплообмена.
§ 6.1. Основные процессы передачи теплоты
Теплопроводность — это процесс передачи тепловой энергии
от более нагретых частей тела к менее нагретым в результате
непосредственного взаимодействия частиц (молекул, атомов,
электронов) в их тепловом движении. Теплопроводность в твер-
дых телах, жидкостях и газах происходит соответственно за
счет:
— передачи энергии тепловых колебаний между соседними
молекулами и атомами; кроме того, в металлах — за счет дви-
жения свободных электронов, что имеет преобладающий харак-
тер;
— обмена энергией соседних молекул и диффузии молекул;
— диффузии молекул.
Конвекция — это теплоперенос путем перемещения некото-
рых объемов (макрообъемов) жидкости или газа из более на-
гретой области пространства в менее нагретую. Таким обра-
зом, конвективный теплоперенос тесно связан с массоперено-
сом и сопровождается теплопроводностью между соседними
макрообъемами. Различают естественную (свободную) и вы-
92
нужденную конвекцию. При естественной конвекции течение
среды обусловлено меньшей плотностью более нагретых объе-
мов и их поднятием в поле сил тяготения по закону Архимеда.
При вынужденной конвекции течение среды вызывается дейст-
вием вентилятора, насоса и т. п. или движущимися частями
машины.
Лучистый теплообмен — это преобразование внутренней
энергии тела в энергию теплового излучения электромагнитных
волн, которая затем поглощается другими телами. При обыч-
ных температурах имеет место невидимое инфракрасное излу-
чение.
Теплопередачей называется процесс, в котором участвуют,
как правило, все три вида теплообмена, но в конкретных усло-
виях может преобладать только один из них. Так, в электриче-
ской машине с одноконтурной системой охлаждения выделяю-
щаяся в активных частях теплота передается путем теплопро-
водности к поверхностям, омываемым охлаждающей средой;
далее теплота отводится с этих поверхностей в окружающее
пространство конвекцией и в той или иной степени излуче-
нием.
В большинстве случаев на нагрев частей электрических ма-
шин преобладающее влияние оказывают условия теплоотдачи
с их поверхностей охлаждения. Расчет теплового потока Q,
т. е. тепловой энергии, отводимой за 1 с с некоторого участка
поверхности площадью S, выполняют по формуле Ньютона —
Рихмана. Тепловой поток, имеющий размерность мощности,
Q = aS (&-%), (6.1)
где a — опытный коэффициент, называемый коэффициентом
теплоотдачи (КТО); Ф и Фо — температура соответственно теп-
лоотдающей поверхности и охлаждающей жидкой или газооб-
разной среды.
Формула (6.1) отражает известный из опыта факт, что при
охлаждении нагретой поверхности тепловая энергия, отдавае-
мая ею в единицу времени, пропорциональна площади этой по-
верхности и превышению ее температуры над температурой ох-
лаждающей среды. Коэффициент пропорциональности этой за-
висимости является коэффициентом теплоотдачи а и показыва-
ет, какая мощность (Вт) теплового потока отводится с 1 м2
(или 1 см2) поверхности на один градус превышения темпера-
туры.
Значения КТО для электрических машин с воздушным ох-
лаждением обычно лежат в пределах 8...20 Вт/(м2-°С) при ес-
тественной конвекции и от нескольких десятков до сотен — при
искусственной. В системах водяного охлаждения КТО может
достигать нескольких тысяч и более. Коэффициент теплоотдачи
имеет первостепенное значение при расчете температурных по-
лей и вообще в тепловых расчетах.
93
§ 6.2. Закон теплопроводности Фурье.
Коэффициенты теплопроводности материалов
Рассмотрим процесс теплопроводности в неподвижной сре-
де, например в твердом теле. Нагретое состояние твердого тела
характеризуется температурным полем, которое в общем слу-
чае описывается функцией
6 = /(x,y,z,/), (6.2)
где х, у, z— пространственные прямоугольные координаты; t —
время (система координат может быть и другой).
Здесь поле трехмерное, так как температура зависит от вре-
мени, и нестационарное. Если зависимости нет, то стационарное
&=f(x,y,z). (6.3)
Кроме того, температура может не меняться вдоль одной
или двух координат, тогда температурные поля будут соответ-
ственно двух- и одномерными: у)—двухмерное стацио-
нарное поле, $={(х, t)—одномерное нестационарное.
Градиент температурного поля и теплопроводность. Через
точки тела, имеющие одинаковую температуру, можно провести
поверхность уровня, которая называется изотермической. Сово-
купность таких поверхностей для ряда значений температуры,
взятых через некоторый интервал, может дать наглядное пред-
ставление о температурном поле.
Передача теплоты теплопроводностью происходит в направ-
лении скорейшего понижения температуры, т. е. по кратчайше-
му пути между соседними изотермическими поверхностями, по
направлению нормали к ним. Это справедливо для изотропных
тел, в которых условия теплопроводности не зависят от на-
правления.
Направление скорейшего изменения температуры как ска-
лярной функции нескольких координат определяется с помощью
градиента, т. е. вектора, выраженного через частные производ-
ные от функции (6.2) или (6.3):
gradfr=i-^ + j-^-4-k-y- , (6.4)
дх ду дг
где 1, j, к — единичные векторы для координат х, е/, z.
Градиент температуры определяется для любой «неособой
точки пространства» и направлен в сторону возрастания тем-
пературы по нормали п к изотермической поверхности, прохо-
дящей через данную точку, поэтому градиент температуры
grad 1&=по(д'&/дп),
где по — единичный вектор нормали п; дЬ/дп — производная по
нормали. Абсолютное значение градиента grad-6=<3'&/<3n.
U4
Закон Фурье и понятие о тепловом потоке. Направление
наиболее интенсивной передачи теплоты противоположно
grad •б1, естественно также предположить, что количественная
мера передачи теплоты пропорциональна grad О. Эта гипотеза
получила широкое экспериментальное подтверждение и легла
в основу закона Фурье для теплопроводности: тепловая энер-
гия dQT (Дж), переходящая через элемент изотермической по-
верхности площадью dS за промежуток времени dl,
dQr— -l(db/dn)dSdt. (6.5)
Знак минус означает, что передача теплоты происходит в
сторону, противоположную направлению градиента, т. е. в сто-
рону понижения б. Выражение (6.5) записано не в векторной
форме, поскольку процесс рассматривается в одномерном пред-
ставлении с одной координатной осью л; кроме того, dQr — ска-
лярная величина.
Основным параметром процесса теплопроводности является
коэффициент теплопроводности (КТП) X. Это один из тепло-
физических параметров вещества, целиком зависящий от его
химического состава и физического состояния (фазового со-
стояния, в определенной степени от температуры, давления
и т. п.) и не зависящий от grad'б. Его размерность, согласно
(6.5),
И 1 [СМИ = Вт
[8][<$НЛ К-М2-С М-К
Количество тепловой энергии, передаваемой через изотер-
мическую поверхность в единицу времени, называется тепло-
вым потоком (имеет размерность мощности). При этом вместо
(6.5) имеем
О=-^ = - К — dS. (6.6)
dt дп
Термин «тепловой поток» вызывает наглядное представление о
характере распространения и передачи теплоты в телах и си-
стемах тел. Слово «поток» имеет общепринятый математиче-
ский смысл как поток вектора через некоторую поверхность.
Плотность теплового потока. Тепловой поток, отнесенный к
единице площади собственного сечения dS, называется плотно-
стью теплового потока (Вт/м2):
q~QldS.
Поскольку плотность теплового потока может характеризо-
ваться не только значением, но и направлением в пространст-
ве, то ее можно представить в векторной форме. Это наиболее
универсальный способ представления закона Фурье:
q= — X grad б. (6.7)
95
Абсолютное значение плотности теплового потока следует из
(6.6):
q = — X (д Ь/дп). (6.8)
Вектор q для изотропной среды в развернутой записи
4 = + + (6.9)
Анизотропные свойства среды выражаются в различных зна-
чениях коэффициентов теплопроводности вдоль координатных
осей — Кх, Ку, Kz- Вектор q для анизотропной среды
'! (ЭД , ..
4 — ('Ч дх +
(ЭД I . , (ЭД \
------г кХ,--------- .
ду 2 dz )
(6.10)
Для наглядного представления
рассмотрим двухмерное поле ^(х,
Рис. 6.1. Изотермы, линии теплового
потока и векторы в температурном
поле
процесса теплопроводности
у) в части прямоугольной
призмы, симметричное отно-
сительно оси у (рис. 6.1).
Тепловой поток поступает
снизу, общее направление
передачи теплоты — впра-
во и вверх. В плоскости (х,
у) поверхности равной тем-
пературы представлены в
виде линий — изотерм, про-
веденных через равные ин-
тервалы температуры ДО.
В точке М представлены
векторы grad# и q, нап-
равленные в противополож-
ные стороны вдоль норма-
ли к изотерме п0, т. е. пер-
пендикулярно касательной
тп. Вектор q разлагается
на составляющие по коорди-
натным осям. На рис. 6.1 пунктиром проведены линии плотно-
сти теплового потока, касательные к которым в каждой точке
совпадают с направлением q. Изотермы и линии плотности по-
тока образуют ортогональную сетку.
Уточним понятие о тепловом потоке. Так как плотность теп-
лового потока образует векторное поле q (х, у, 2), то на осно-
ве векторного анализа по любой поверхности 5 в этом поле
можно взять поверхностный интеграл, который равен потоку
вектора q через поверхность S:
Qs=j(q-ns)t/S, (6.11)
где ns —единичная нормаль к элементарной площадке dS по-
верхности S.
96
Можно показать, что Qs по физическому смыслу является
тепловым потоком. Таким образом, тепловой поток Qs, как по-
ток вектора q, представляет собой мощность тепловой энергии,
передаваемой не только через изотермическую поверхность, но
и через любую поверхность в температурном поле, в том чис-
ле наружную поверхность тела, независимо от того, является
она изотермической или нет.
Для случая, показанного на рис. 6.1, можно определить, на-
пример, тепловой поток через правую границу призмы:
qanatf S' = qa cos
(6.12)
где qa, na — соответственно вектор q и нормаль к поверхности
Sa в произвольной точке Л; ср — угол между qo и па.
Таким образом, интегрирование по поверхности для опреде-
ления потока Q можно производить в скалярной форме, если
брать не вектор q, а его проекцию на нормаль qn=qco&q.
Коэффициенты теплопроводности твердых, жидких и газо-
образных тел. Максимальные значения КТП характерны для
металлов благодаря роли свободных электронов в теплопере-
носе; с этим обстоятельством связана также пропорциональ-
Рис. 6.2. Зависимость A,=f(O) для не-
которых металлов и сплавов:
1 — медь чистая; 2 — медь 99,9%; 3 —алюми-
ний 99,7%; 4—-алюминий —99,0%; 5 —латунь
Л-70; 6 — марганцовистая бронза; 7 — никель;
8 — железо — 99,2%; 9 — свинец; 10 — кон-
стантан
Рис. 6.3. Зависимости X=f('&)
для жидкостей и газов:
/ — вода; 2 — метанол; 3 — трансформа-
торное масло; 4 —водород при 760 мм
рт. ст.; 5 — воздух при 760 мм рт ст ;
5а — воздух при 760 мм рт. ст., ^Х20
4—1268
97
ность между % и удельной электропроводностью металлов (1/р),
выражаемая законом Видемана — Франца
(6.13)
где Л — абсолютная температура, Тл; const — число Лоренца.
Представление о значениях КТП и влиянии на него темпе-
ратуры дает рис. 6.2.
Теплопроводность электроизоляционных материалов сущест-
венно ниже, чем у металлов. Так, для непропитанных волокни-
стых материалов (бумага, шелк и т. п.) Х=0,05... 0,075 Вт/(мХ
ХК); у неорганических диэлектриков X несколько выше [фар-
фор— 1,1... 2,0 Вт/(м-К), стекло — 0,7... 1,1 Вт/(м-К)].
Теплопроводность некоторых жидкостей и газов, используе-
мых в качестве изолирующих и охлаждающих сред, показана
на рис. 6.3. Для газов с ростом температуры характерно повы-
шение X, для жидкостей — понижение. В этом отношении вода
обладает аномальной характеристикой Х('б). Влияние измене-
ния давления на X как жидкостей, так и газов незначительно,
исключение для газов составляют очень малые (меньше
2600 Па) и очень большие давления. При расчете теплопровод-
ности в большинстве случаев можно не учитывать зависимость
X от температуры, за исключением воздуха и воды.
Справочные данные по КТП и другим теплофизическим
свойствам материалов и сред даны в прил. 1 ...4.
§ 6.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности.
Краевые задачи расчета температурных полей
Для решения задач по определению температурного поля ис-
пользуют дифференциальное уравнение теплопроводности, кото-
Рис. 6.4. Элементарный объем
dV и тепловые потоки по оси
рое выводится на основе закона
сохранения энергии и закона
Фурье. При выводе уравнения
рассматривается нестационарное
трехмерное температурное поле
(6.2) в однородном твердом те-
ле с распределенными по объе-
му внутренними источниками
теплоты. Применительно к элек-
трической машине таким телом
может быть обмотка или сердеч-
ник с распределенными в них по-
терями; в частном случае потери
будет справедлив для
могут отсутствовать, тогда вывод
любого элемента конструкции, в кото-
ром не выделяются потери.
Вывод дифференциального уравнения теплопроводности.
В пределах рассматриваемого тела берется элементарный объ-
98
ем (рис. 6.4) dV—dX’dy-dz, достаточно малый для того, чтобы
можно было считать физические параметры в нем постоянны-
ми, а потери — равномерно распределенными и пренебречь про-
изводными выше второго порядка от температуры Ф по коорди-
натам.
Для элементарного объема dV составляется тепловой ба-
ланс за элементарный (бесконечно малый) промежуток време-
ни dt. Тепловой баланс является следствием закона сохранения
энергии при допущении, что в энергетическом процессе не
участвуют другие виды энергии, кроме тепловой. Содержание
теплового баланса: сумма тепловых потоков dQ, притекающих
в объем dV за счет теплопроводности, и мощности источников
теплоты, действующих внутри объема, равна повышению эн-
тальпии (теплосодержания) в объеме dV за единицу времени.
На рис. 6.4 показаны только тепловые потоки, направленные
вдоль оси х. Поток, притекающий слева, исходя из закона
ФуРЬв
dQxX^ -l~dy-dz-> (6.14)
тепловой поток, выходящий через противоположную грань, дол-
жен быть выражен с учетом изменения производной д-&/дх на
интервале dx:
dQx2=-l\-^-+-^-(-^-\dx\dydz. (6.15)
. дх дх \ дх ) J
Результирующий приток теплоты за единицу времени вдоль
оси х
___ гГЛ \ <5& <50 <5^0 . , .
dQ^x d^xi ~~ d^2x2 ~ ~~ ~ ~ ~ dx dydz —
дх дх дх*
= Х —- dxdydz = \ ——dV. (6.16)
дх* дх* '
Аналогично, для других координатных осей
dQ^—dV-, dQ,=\-^-dV. (6.17)
Собственное тепловыделение в объеме podV, где р0 — плот-
ность тепловыделения, т. е. мощность потерь в единице объема.
Результирующее повышение энтальпии в объеме вещества, обла-
дающего удельной теплоемкостью с [Дж/(кг-К)] и плотностью
р (Вт/м3), за некоторый элементарный интервал времени приве-
дет к повышению его температуры:
d^dQ^dQv + dQt+PvdV)-?!-—. (6.18)
ср« V
После подстановки в (6.18) выражений (6.16), (6.17), сокра-
щения dV и деления на dt получаем окончательный результат —
4* 99
дифференциальное уравнение теплопроводности в частных произ-
водных (ДУТП)
-I д2^__l _£о_ . (6.19)
dt ср \ dx2 dy2 dz2 J ср
Для анизотропного тела
да 1 к г dw । > с?2а । \ /СОЛЧ
—=—Хх---------------------кх,------кро . (6.20)
dt ср \ dx2 1 у dy2 1 г dz2 1 г J v 7
Варианты дифференциальных уравнений теплопроводности.
Уравнение (6.20) описывает нестационарное трехмерное темпе-
ратурное поле в теле с распределенными источниками теплоты в
прямоугольной (декартовой) системе координат. Выражение в
скобках представляет собой дивергенцию градиента температу-
ры. Вводя обобщенный параметр — коэффициент температуро-
проводности (м2/с)
а = Х/(с-р), (6.21)
характеризующий скорость распространения изменений темпера-
турного поля в материале, и используя оператор Лапласа
д=д2!дх2+д2!ду2 -|- d^dz1,
запишем ДУТП следующим образом:
<?&/^/=аА94-[р0/(ср)]. (6.22)
Эта форма записи пригодна для любой системы координат.
Так, при цилиндрической системе координат, которую удобно ис-
пользовать для анализа физических процессов в частях электри-
ческих машин,
+±L, (6.2з)
dr2 г dr г2 dy2 dz2
где г — радиус-вектор; <р — полярный угол; z— аппликата.
Уравнения (6.19), (6.22) в ряде частных случаев могут быть
упрощены (редуцированы). Так, для стационарного поля dfi/dt—
=0, поэтому (6.22) приобретает вид
Х.Д6 + А = О, (6.24)
или преобразуется в уравнение Пуассона
Дб — — Ро/Х. (6.25)
В случае отсутствия источников теплоты (ро=0) из (6.22) и
(6.25) получают соответственно ДУТП для нестационарного и
стационарного режимов; в последнем случае имеем уравнение
Лапласа
Д0=0.
(6.26)
100
Другой путь редукции ДУТП — уменьшение пространствен-
ных координат, т. е. переход к рассмотрению двух- и одномерно-
го температурных полей. Например, из (6.24) при d2ft/dz2=0 по-
лучают уравнение для стационарного двухмерного поля с рас-
пределенными источниками теплоты
(л^ + '^г)+Ро=0’ (6‘27)
а из (6.19) при условиях d2'&/dy2=d2i&jdz2—Q, ро=О— уравнение
для нестационарного одномерного поля без внутренних источни-
ков
срд W - 1д2Ь/дх2=0. (6.28)
В большинстве случаев расчет температурного поля на прак-
тике стараются свести к решению ДУТП для двух- или одномер-
ных полей.
Условия однозначности при решении ДУТП. Расчет темпера-
турного поля в твердом теле определенной геометрической формы
или в системе тел путем интегрирования дифференциального
уравнения теплопроводности можно выполнить только при зада-
нии условий однозначности. Эти условия включают в себя: гра-
ничные условия или пространственные краевые условия, опреде-
ляющие характер тепловых связей рассматриваемого тела с со-
седними телами и средами; в случае расчета нестационарного по-
ля— начальные условия (временные краевые условия), т. е. зна-
чение температурного поля ^(х, yt z) в начальный момент вре-
мени (£=f0) рассматриваемого процесса.
Дифференциальное уравнение теплопроводности с необходи-
мыми для его решения условиями однозначности и заданными
значениями параметров составляет краевую задачу. Существует
четыре рода граничных условий (ГУ).
Граничные условия 1-го рода заключаются в зада-
нии температуры на поверхности тела (всей или части) в любой
момент времени 6,пов(*, у, z, f). В простейшем случае может быть
задано 6nOB=const.
Граничные условия 2-го рода заключаются в зада-
нии плотности теплового потока через поверхность тела <7П0В (в
простейшем случае может быть задано <7пов=const). Это условие
равносильно заданию на поверхности производной (дф/дл)пов по
нормали к поверхности, что вытекает из закона Фурье (6.7). Для
использования этого ГУ нужно знать тепловой поток или отводи-
мые тепловые потери, площадь соответствующей поверхности и
характер распределения потока по ней. Например, при равно-
мерном распределении
<7noB = Q/SnoB. (6.29)
Граничное условие 2-го рода справедливо также для поверх-
ностей с идеальной теплоизоляцией, где ^Пов=0 и (дО/дп)Пов=0.
101
Для решения краевых задач в случаях, когда температурное по-
ле заведомо симметрично, также применяется граничное условие
2-го рода: — производная в направлении нормали к
плоскости симметрии.
Граничные условия 3-го рода относятся к случаям,
когда на поверхности тела происходит конвективный теплообмен
с жидкой или газообразной средой, а также при теплоотдаче из-
лучением. Теплообмен при этом характеризуется коэффициентом
теплоотдачи а и температурой среды б’о. Ввиду непрерывности
теплового потока на гра-
нице раздела тела и сре-
ды имеем
=а(&пов-»о)-
(6.30)
Отсюда вытекает ли-
нейная зависимость меж-
ду температурой тела и
ее производной на по-
верхности теплообмена
Рис. 6.5. Схематическое изображение гра-
ничных условий 3-го (а) и 4-го рода (б)
= -(aA)(&U0B-A).
(6.31)
Это основное выражение для ГУ 3-го рода. Необходимо пони-
мать, что коэффициент теплопроводности % здесь берется для ма-
териала тела, а не для вещества среды (см. гл. 8).
Граничные условия 3-го рода поясняются с помощью рис.
6.5, а. Производная (^/^п)ПОв характеризуется углом
дЬ
, 1
tg? = —
дп ПОВ
(6.32)
где те — масштабный коэффициент по вертикальной оси.
В то же время согласно рис. 6.5, а
<в-33>
Следовательно,
'•-тШйг-Т' ‘“•и>
Таким образом, ГУ 3-го рода характеризуются некоторым
единым параметром — отрезком xQ=k/a на графике распределе-
ния температуры.
102
Граничные условия 4-го рода относятся к случаю
соприкосновения двух тел с разными КТП М и %2> при идеальном
контакте между ними — без зазоров, прослоек и т. п.
Применительно к рис. 6.5, б математическая формулировка
ГУ 4-го рода заключается в следующем:
lx-О =' ^2 |х —0>
Xj (дЪг/дх)\^о=\(дЬ2/дх)\х^о (6.35)
Это отражает непрерывность температурного поля и тепло-
вого потока на границе раздела. Производная (д$/дх) имеет раз-
рыв на границе раздела двух тел, который выражается в разли-
чии углов ф1 и ф2- Используя (6.32) и (6.35), можно вывести фор-
мулу
. (б.зб)
tgfi dtyto |х_0 х2 ' '
Отметим, что на разных поверхностях одного и того же тела
могут иметь место ГУ различного рода. При выборе системы ко-
ординат нужно стремиться по возможности получить наиболее
простую математическую форму задания граничных поверхно-
стей, а следовательно, и описания граничных условий.
Дифференциальное уравнение теплопроводности и его усло-
вия однозначности дают полную математическую формулировку
краевой задачи, которую затем можно решать аналитическим
(точным или приближенным) или численным методом.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Охарактеризуйте три основных вида теплообмена.
2. Какую роль играет коэффициент теплоотдачи в формуле Ньютона—
Рихмана?
3. В чем состоит сущность закона теплопроводности Фурье?
4. Каким физическим параметром характеризуются свойства вещества
в процессе теплопроводности?
5. Что такое тепловой поток и плотность теплового потока и каковы
их размерности?
6. В чем заключаются граничные условия краевой задачи теплопровод-
ности? Какие параметры указываются при задании ГУ 1...4-го рода?
ГЛАВА 7
ОСНОВЫ РАСЧЕТА ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ
В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
В данной главе рассматриваются основные методы решения
наиболее типичных задач расчета температурных полей, которые
широко используются в тепловых расчетах электрических машин.
103
§ 7.1. Стационарное одномерное температурное поле
в плоской стенке. Понятие теплового сопротивления
Температурное поле, зависящее только от одной координаты
и неизменное во времени, называется одномерным стационарным
полем. Примером одномерного поля может служить поле в пло-
ской стенке неограниченной протяженности при условии, что все
физические величины, характеризующие процесс теплопроводно-
Рис. 7.1. Темпера-
турное поле в
плоской стенке
сти, зависят только от координаты х, нап-
равленной перпендикулярно плоскости
стенки. Поле будет одномерным также в
стенке с ограниченной площадью 5 при от-
сутствии передачи теплоты в направлении
вдоль плоскости стенки.
Решение дифференциального уравнения
теплопроводности для плоской стенки. Рас-
считаем температурное поле в плоской
стенке с равномерно распределенными ис-
точниками теплоты ро (рис. 7.1). Через ле-
вую границу — плоскость х=0 — входит
тепловой поток с плотностью pi (ГУ 2-го
рода), на правой границе (х—6) задана
температура й2 (ГУ 1-го рода). Дифферен-
циальное уравнение теплопроводности для
одномерного стационарного поля
d2Wx2 = - poll. (7.1)
Дважды проинтегрировав это уравне-
ние, получим
dtydx = - рохД + Clt (7.2)
О = - р0х2/(2Х) + С.х + С2. (7.3)
Постоянные интегрирования Ci и С2 определяются из гранич-
ных условий. Из ГУ 2-го рода на левой границе х=0, используя
(7.2), получим
= — X — — = ХС1?
dx х-о
откуда
С1 = -^/Х. (7.4)
Из ГУ 1-го рода на границе х=б на основании (7.3) и (7.4)
получим
»2=-^-62—^-8+С2,
откуда
C2=»2+-^S2+4L8- <7б>
^ьА А
104
Окончательное решение при заданных граничных условиях
& = ^(62-х2)+41-(8-л:) + &2« (7.6)
лЛ Л
Плотность теплового потока в функции х определим с помо-
щью (7.2) и (7.4):
q = — \d$!dx = р<х + ft, (7.7)
Из полученных выражений можно определить:
прих=0
»I=^t-s2+^L8+»2; (7.8)
при х=б
?2 = Ро84-91. (7.9)
Выражая отсюда через и qx через q2 и подставляя в (7.6),
можно получить решения для любого сочетания ГУ 1-го и 2-го
рода на обеих границах. Если заданы ГУ только 1-го рода (th и
02), то из (7.8) и (7.6) имеем
ft — (^j — ^2) 1 — Р^>~ »
» = 81^^+82^ + -^^(6-х). (7.10)
о о /Л
Это удобное выражение для расчета температуры в проме-
жуточных точках 0<х<б по температурам крайних точек отрез-
ка ГО, б].
Если заданы ГУ 3-го рода, например на границе х=б, то,
выразив с помощью формулы Ньютона — Рихмана ft=a2(^2—
—flo), получим
$2 — 4-А = [(Ро& + ft)/^2] + %> (7.11)
где а2— КТО правой поверхности стенки; ф0 — температура сре-
ды у этой поверхности.
В этом случае подстановка (7.11) в (7.6) дает соответствую-
щие решения для поля Ф(х).
Таким образом, род граничных условий в одномерной стацио-
нарной задаче не имеет принципиального значения, так как ре-
зультаты решения при разных ГУ легко преобразуются друг в
Друга.
Тепловое сопротивление плоской стенки. Важное значение
имеет частный случай одномерного поля при ро=О, т. е. темпе-
ратурное поле в стенке без внутренних источников теплоты. Вы-
ражения (7.6, 7.7) приобретают следующий вид:
» = 4-(s--*) + V. (7.12)
Л
q—qi — const.
105
Температура в стенке при ро—О изменяется по линейному за-
кону (характеристика 1 на рис. 7.1). При х=0 получим '&i =
==<? (d/Л) 4-Фг-
Перепад температуры в стенке
ДО = 01-&2=^(8/Х). (7.13)
Пусть площадь S стенки имеет некоторое конечное значение,
тогда при равномерном распределении теплового потока поток
равен Q=qS\ следовательно, q=Q/S. Подставив это в (7.13),
получим
A6==Q8/(XS). (7.14)
Введем новый параметр, зависящий от размеров и материала
стенки и не зависящий от температуры и теплового потока
(К/Вт):
ЯТ=8/(Х$). (7.15)
Тогда в окончательном виде
Д0 = ОЯТ. (7.16)
Параметр называется тепловым сопротивлением (ТСП) по
аналогии с электрическим сопротивлением, поскольку зависит от
длины пути и площади сечения для теплового потока, так же как
электрическое сопротивление для тока RQ=pl/S. Влияние мате-
риала учитывает параметр 1/К, характеризующий удельное сопро-
тивление материала процессу теплопроводности. Можно провести
аналогию между тепловым потоком Q и электрическим током,
между перепадом температуры Д8 и напряжением на сопротив-
лении Ra, между температурой О и электрическим потенциалом.
На этом основании уравнение (7.16) представим в форме закона
Ома для тепловой цепи:
Q=A0//?T=(S1-WT. (7.17)
Тепловые схемы стенки. Исходя из электротепловой аналогии
на основе уравнения (7.16) можно составить эквивалентную элек-
Рис. 7.2. Тепловые схемы стенки без внутренних источников
теплоты: электрический аналог (а), для ГУ 1-го рода (б) и для
ГУ 3-го рода (в)
трическую схему, в которой тепловой поток Q представлен в виде
источника тока (рис. 7.2, а). В порядке развития этого принципа
в тепловых расчетах был сделан переход от эквивалентных элек-
трических схем к специфическим тепловым схемам, особенность
106
которых заключается в том, что тепловые потоки в отличие от
электрических токов не образуют замкнутых контуров. Поэтому
источники теплового потока, называемые также источниками теп-
лоты или потерь, изображаются на тепловых схемах без стрелок,
показывающих направление потока, могут иметь только один
выход и не иметь входа. Это имеет место в случае тепловой схе-
мы плоской стенки без внутреннего тепловыделения, с граничны-
ми условиями 1-го рода на правой поверхности, через которую
проходит тепловой поток Q (рис. 7.2,6). В случае задания ГУ
3-го рода на правой поверхности из (7.11) при ро=О вытекает
02 = QUSo^) + ^Q=QRa+ %, (7.18)
где Ra— коэффициент пропорциональности между тепловым по-
током и температурным перепадом:
/?« = 1/(502) = (&2-S0)/Q. (7.19)
По размерности и физическому смыслу Ra, как и 7?т, являет-
ся тепловым сопротивлением. На тепловой схеме (рис. 7.2, в) оба
сопротивления, обтекаемые одним и тем же тепловым потоком Q,
соединены последовательно. Здесь вместо обозначения R? ис-
пользовано Rk, чтобы подчеркнуть, что это тепловое сопротивле-
ние теплопроводности, тогда как Ra— тепловое сопротивление
теплоотдачи конвекцией'и излучением с поверхности стенки в ок-
ружающую среду. Согласно приведенной схеме, учитывая (7.18),
получим
= ^2===Q(^?x4“^a)-h%*
Рассмотрим температурные кривые в случаях, когда наряду
с проходящим (сквозным) потоком в формировании температур-
ного поля участвуют собственные источники теплоты в стенке,
характеризующиеся постоянной плотностью ро. В частном случае
<71 = 0, когда проходящий поток отсутствует, согласно (7.14), рас-
пределение температуры соответствует кривой 2 (на рис. 7.1).
В общем случае при Pi>0 зависимость О'(х) представлена кривой
3, которая имеет промежуточную форму между кривыми 1 (при
Ро=0) и 2 (при <7i = 0). При отсутствии проходящего потока и
симметричных граничных условиях на левой и правой поверхно-
стях стенки (0] = ^2 и ^1 = р2) получим, согласно (7.10), симмет-
ричное параболическое распределение температуры (кривая 4 на
рис. 7.1). Таким образом, в стенке без потерь имеет место линей-
ный закон распределения температуры, а наличие собственных
источников теплоты p0=const приводит к появлению параболиче-
ской составляющей в кривой Ф(х).
Общая мощность тепловых потерь в стенке
Р=Ро58, (7.20)
где S6 — объем стенки, имеющей конечную площадь S.
107
Обозначим тепловой поток, входящий слева, Qi==^iS и опре-
делим с помощью (7.8) перепад температуры в стенке:
Д9 = 9, — »,=—82-|_-£lS = P A.-LQ о
1 2 2XS8 ~ XS 2 т 1
Таким образом, собственные потери Р в стенке при односто
роннем отводе теплоты от нее создают в ней такую же состав
ляющую перепада температуры, как сквозной теплопоток, проте
кающий через половинное
сопротивление (Rr/2). На
этом основании можно за-
писать зависимости между
источниками теплоты и тем-
пературами на границах
и в общем случае с по-
мощью тепловых схем (рис.
7.3), где Ri = R2t=RT/2t рх =
=Р^Р/2.
Варианты Т- и П-образ-
ных схем равноценны. Эти
Рис. 7.4. Многослойная плоская
стенка и ее тепловая схема
Рис. 7.3. Т-образная (а) и 11-
образная (б) тепловые схемы
плоской стенки с внутренними
источниками
схемы можно использовать как блоки в более сложных схемах
технических объектов, в состав которых входят плоские стенки
(с потерями или без). Граничные условия при составлении та-
ких схем учитываются в их структуре.
Определив с помощью схемы температуры и О2» можно рас-
считать распределение температуры в стенке по формуле (7.12)
или с учетом (7.15) и (7.20):
6=»if 1—-UfJj-4-pi-l' 1 — — к
\ 8 ) 1 2 8 1 2 В \ 8 )
Многослойная стенка. Рассмотрим случай так называемой
многослойной стенки. Имеется три слоя разных материалов без
собственных источников теплоты, через которые передается теп-
108
ловой поток Q (рис. 7.4). Тепловая схема в данном случае со-
стоит из источника Q и трех последовательных сопротивлений
= &1/(Хц5); === /?3 = 83/(X3»S).
Последовательное соединение сопротивлений отражает гранич-
ное условие 4-го рода. Перепад температуры в каждом слое
i—l, 2, ..., п.
Общий перепад равен сумме частичных перепадов
д —дО1 -4- д$2 -|- Д$з = Q (/?! 4* /?2 “Ь Rs)—
Q / 1 52 | \ Q + &2 4- /7
-у(—+ v+v)=T хжя ’ (7-21)
где Аакв — эквивалентный (средний) коэффициент теплопроводно-
сти многослойной стенки:
х.кв=2<6А) 28;. (7.22)
Z-I I Z-1
Средняя температура плоской стенки. В тепловых расчетах
часто бывает необходимо определить среднюю температуру тела,
в частности рассматриваемой плоской стенки. Используя (7.6),
получим
Вводя интегральные параметры Р, Q, 7?т, получим
&ср=——+ + S2=P-^ + Q1-^-+»2. (7.23)
с₽ &S ЗА S 2Х 3 2 1 7
При симметричном охлаждении стенки Qi=P/2, тогда
*сР = Ят(г—A + 8==PJ£r + 8’- <7-24>
Формулы (7.23), (7.24) содержат типичные соотношения для
расчета средней температуры при несимметричном и симметрич-
ном охлаждении стенки. Затруднения возникают при составлении
тепловой схемы, позволяющей непосредственно определять край-
ние и среднюю температуры. Так, на рис. 7.5, а приведена схема,
пригодная только для стенки, теплоизолированной на одной по-
верхности (Q1==0), позволяющая определять среднюю и макси-
109
мальную Фт температуры. Максимальная температура в
данном случае равна Фь На рис. 7,5, б дана схема оп-
ределения средней температуры при симметричном усло-
вии теплоотвода согласно (7.24). Универсальную тепловую
схему для стенки можно получить на базе схемы рис. 7.3, а, до-
Рис. 7.5. Тепловые схемы плоской стенки с теплоизоляцией одной
поверхности (а), при симметричном охлаждении (б), универсаль-
ные типа «звезда» и «треугольник» с одним отрицательным сопро-
тивлением (s, г) для определения средней температуры
полнив ее сопротивлением —Ro, как показано на рис. 7.5, в. Оп-
ределим Фср путем интегрирования выражения (7.10), подобно
тому, как было получено (7.23) на базе (7.6):
&ср = (»1 + М2 + Р/?т/12.
(7.25)
В то же время по схеме рис. 7.3, а или рис. 7.5, в, учитывая,
что /?1==7?2=^т/2, можно получить условную температуру сред-
него узла
’ &у = (^1 + ад/2 + Р/?т/4, (7.26)
которая, не отражая какого-либо реального значения, играет
формальную роль.
Сравнивая (7.25) и (7.26), можно найти сопротивление —Ro,
позволяющее ввести в тепловую схему узел с температурой ФСр:
&ср-6у = Р(-/?0),
откуда —Ro— (Фер—Фу)/Р=7?т/12—/?т/4=—/?т/6.
Иногда удобнее преобразовать звезду сопротивлений в экви-
валентной схеме стенки в треугольник (рис. 7.5, г), где
/?;=/?'-т?т/б, - - Ят/2.
Пример. Рассчитать одномерное температурное поле в много-
110
слойной обмоточно-изоляционной конструкции (рис. 7.6, а), со-
стоящей из катушки обмотки возбуждения, надетой на изолиро-
ванный сердечник полюса. Ширина сечения катушки 6о=0,026 м,
эквивалентный коэффициент теплопроводности в направлении по-
перек провода Хоэ=
==0,68 Вт/(м-К), плот-
ность тепловыделения
в объеме катушки
Ро = 1,25-105 Вт/м3.
Средние температуры
сердечника и воздуха
в междукатушечном
пространстве #oi —
= 100°С и #02 = 55°C
соответственно; коэф-
фициент теплоотдачи
боковой поверхности
катушки а=73 Вт/
(м2-К). Данные изо-
ляции приведены в
табл. 7.1 (изоляцион-
ные материалы отно-
сятся к классу нагре-
востойкости В).
Рассматриваем струк-
туру конструкции как
многослойную плос-
кую стенку с распре-
деленными источника-
ми теплоты в основ-
ном слое — обмотке,
расчет ведем для еди-
ничной площади по-
верхности стенки S=
= 1 м2.
Рассчитываем теп-
Рис. 7.6. Многослойная структура полюс-
ной обмотки (а), тепловая схема (б) и
распределение температуры (в)
ловые сопротивления
(ТСП) отдельных изо-
ляционных слоев, кле-
евых и воздушных про-
слоек по формуле
Ru~bii(kiS) и заносим их в таблицу.'Определяем ТСП обмот-
ки Яхо=6о/(Хоэ£) = 0,026/0,68=0,0382 K/Вт и ТСП теплоотдачи
в междуполюсное пространство Ra= 1/(aS) = 1/73=0,0137 K/Вт.
Строим общую тепловую схему (рис. 7.6, б) из блоков, кото-
рыми служат схемы, представленные на рис. 7.4, 7.5,в, 7.2, в (пе-
речисление соответствует порядку следования блоков в общей
схеме).
Ш
Таблица 7.1
Но- мер слоя Материал и назначение слоев Толщина слоя Ср мм КТП Ар Вт/(м • К} V03’ К/Вт ДОр К
1 Изоляция сердечника Клеевая прослойка 0,25 0,21 1,19 1,1
2 Стеклотекстолит 1,0 0,26 3,85 3,4
3 Клеевая прослойка 0,1 0,21 0,48 0,4
4 Стекломиканит 0,6 0,14 4,28 3,8
5 Стеклоткань 0,15 0,17 0,88 0,8
6 Воздушная прослойка 0,35 0,0327 10,70 9,4
7 в месте разъема (npi ПО °C) Изоляция катушки Стеклолента '0,4 0,17 2,35 2,1
Итого... 2,85 —- 23,7 21,0
Примечание. Клей на эпоксидной смоле ЭД-6.
Суммарные ТСП участков схемы:
в
Р»,=2 Я. =0,0237 K/Вт; /?и=Яи4-Я.=
х-1
=0,002354-0,0137=0,016 K/Вт; 7?1=/?si + %o/2 =
=0,0237 + 0,0382/2 = 0,0428 К/Вт» /?2 = R12+/?Хо/2 =
=0,016-|-0,0382/2=0,0351 К/Вт; /?1=/?л4-/?хо+%2=
R=14- /?2=0,0779 К/Вт.
Мощность источника теплоты в стенке единичной площади
P=Po6oS= 1,25-106-0,026-1=3250 Вт.
Уравнение теплового баланса источника P=Q|+<22. Исполь-
зуя закон Ома для тепловых схем, получим Р=(ОУ—froi)/#i +
+ ($у—Оо2)//?2, откуда условная температура ОУ=(РР|Р2+
+ Ms + W?i)№= (3250-0,0428-0,0351 + 100-0,0351 + 55 X
X 0,0428) /0,0779= 138,0°С.
Условный расчетный перепад в обмотке Дех=РЛхо/2=325ОХ
Х0,0382/2=62,1°С.
Средняя температура обмотки, согласно рис. 7.6, б( 0'сР=Оу—
—РРХ0/6=Оу—Д6Х/3= 138—62,1/3= 117,3°С.
Тепловые потоки О1=(0-у—Ooi/Pi = (138—100J/0,0428 =
=887 Вт; Q2=P—Qi=2363 Вт.
Температуры на границах обмотки:
=&у - <21/?1/2 = 138- 887-0,0191 = 121,0 °C;
112
&2 = &у - Q2/?ao/2 = 138 - 2363 -0,0191 = 92,8 °C.
Перепады температуры в отдельных слоях A'Ot=Qi/?x/ зано-
сим в табл. 7.1. Перепад в изоляционном слое 7
Д062 = Q2R„ = 2363-0,00235 = 5,5 °C.
Формулу распределения температуры в плоской стенке (7.10)
преобразуем к виду
Учитывая, что ро6о/(2Хоэ)=Ро6о5/(2Хоэ5)=Р/?хо/2=А6х, полу-
чим Ф=$14- (Абл—'Oi + 'Os) (х/бо)— А8х(х/6о)2, откуда выразим ко-
ординату максимума температуры
хт/Ъ0 = (Д0х - &1 + 02)/(2дОх), (7.27)
и максимальную температуру
+ Д0х (*Л)2 = Э2 + Дбх [ 1 - (хта/В0)2]. (7.28)
Подставляем числовые значения:
хт/Ъ0= (62,1—121 + 92,8)/(2.62,1)=0,273;
^ = 0,273-26 = 7,1 мм; Ьт= 121 + 62,1-0,2732= 125,6 °C;
& = 121+ 1,304- 103х —0,0919-10 х2°C.
Результаты расчета по последнему выражению заносим в
табл. 7.2.
Таблица 7.2
X, мм 0 б 7,1 10 15 20 25 26
О, °C 121,0 125,2 125,6 124,8 119,9 110,3 96,2 96,8
Примечание. При х»0; 7,1; 26 мм соответственно
По данным табл. 7.1 и 7.2 строим график температуры на
рис. 7.6, в. Результаты расчета показывают, что нагрев обмотки
соответствует требованиям к классу нагревостойкости В: среднее
повышение температуры 0ср='0’ср—40= 117,3—40=77,3°С<80°С,
максимальная температура -0т= 125,6°С<130°С.
В качестве дополнения следует проверить правильность опре-
деления КТП в воздушной прослойке при температуре 110°С.
Средняя температура прослойки, найденная с помощью тепловой
схемы, fleer = fli—Qi (Яхт + 0,5/?Л5)= 121—887(0,00235 + 0,5 X
X 0,0107) = 114,2°С. Уточним КТП воздуха путем линейной интер-
113
полиции (см. прил. /): X(i 14,2)=100) + Р4120)—fyioo)) (И4,2—
— 100)/(120 — 100) =0,0321 + (0,0333—0,0321) X 14,2/20 =
= 0,033 Вт/(м-К).
Предварительно взятое значение Хб=Лно^ (\ioo)+^(i2o))/2=
= 0,0327 Вт/(м-К) отличается от уточненного на 1%, поэтому
коррекцию расчетов не производим.
§ 7.2. Цилиндрическая стенка
с одномерным температурным полем
Для многих элементов электротехнических устройств, обла-
дающих осевой симметрией, целесообразно использовать цилинд-
рическую систему координат. При отсут-
Рис. 7.7. Температур-
ное поле в полом ци-
линдре
ствии теплопередачи в осевом направле-
нии такая система переходит в поляр-
ную. Если при этом температура зави-
сит от полярного радиуса, то поле явля-
ется одномерным.
Дифференциальное уравнение тепло- .
проводности цилиндрической стенки и
его решение. Рассмотрим цилиндриче-
ское тело (рис. 7.7) и составим уравне-
ние теплового баланса для элементар-
ного слоя толщиной dr, ограниченного
радиусами г и (r+dr). Расчет будем
вести на единицу длины цилиндра. Теп-
ловой поток, выходящий из элементар-
ного объема и определяемый как произ-
ведение плотности теплового потока
(q+dq) на площадь поверхности 2л(г-}-
4-dr)l, равен сумме входящего потока
<72лг1 и собственного тепловыделения в
объеме, определяемого через плотность
потерь ро-
(q + 2л <г + ^г) = (72зтг + л [(г +
После преобразований и упрощения получим выражение
rdq+qdr^ptfdr, которое переходит в дифференциальное уравне-
ние
rdqldr -|~ q = рог. (7.29)
Левая часть (7.29) представляет собой производную по г
от rq:
d , ч
— (rq)=pQr.
114
Воспользуемся выражением для закона Фурье (6.8), отожде-
ствив произвольное направление п с направлением радиуса г,
тогда
(7.30)
dr \ dr / X
Это наиболее удобная для решения форма записи ДУТП для
случая одномерного поля в цилиндрической системе координат.
Уравнение (7.30) решают путем прямого двукратного инте-
грирования:
первый этап rdbjdr——рог2/2Л4-С|, после деления на г
dtydr = — р0г/(2Х)4- С \}г\
второй этап -&==—pGr2/ (4Х) + СДп г+ С2,
где Ci и Сг — постоянные интегрирования.
Для определения постоянных интегрирования за основу при-
нимают граничные условия первого рода на обеих границах, тог-
да решая систему уравнений
2
С11пг1+С2=&1 + -^-;
4Х
►
2
С11пг2 + С2 = Э2 + -^А ,
находят
С, = - $- (4 - г?) - (&! - а?) ;
ln(r2/ri) L 4Х ' * J
In (Z-2//-1)
-7г (>iIn r2-4 In n) + (в. Inr2 — e2 In7*j)]..
4Л
Полное решение
Ж2 I 1 (Pc
4X 1п(гг/Г1) I 4X
[фжг/го + г* ln(r2/r)] +
+ [&21п(л/г1)4-Э11п(г2/г)]1 . (7.31)
Характер распределения температуры показан на графике
рис. 7.7. Кривая 1 соответствует случаю Ро=О, когда рассматри-
вается стенка без внутренних источников теплоты, через которую
передается тепловой поток Q1 = <712nriZ=(722n^=Q2> не изменяю-
щийся от радиуса г. Тогда выражение (7.31) приобретает вид,
когда температура изменяется по закону логарифма
»=------!----[(». In г2- ». In г.)—(&! — 82) In г]. (7.32)
In (Г2/Г1)
В общем случае при ро=0=О форма кривой Ф значительно ус-
ложняется. Например, кривая 2 получается при условиях, когда
115
стенка с собственным тепловыделением охлаждается с наруж-
ной и внутренней поверхностей, при этом q\ и Qi становятся от-
рицательными. Такой характер температурного поля встречается
на практике в цилиндрических катушках трансформаторов и дру-
гих электротехнических устройств.
Тепловые сопротивления цилиндрической стенки. Для удобст-
ва практических расчетов установим связь между тепловыми по-
токами, потерями в стенке и граничными температурами. Для
этого продифференцируем (7.31):
(22 \
Ро Г2 —Г1 । &2 —Э1 )
4Х г г /
— и определим тепловой поток при произвольном значении ра-
диуса:
Q == q2nrl = — 2xrl\d§ldr—ptftrU —— -П-^2—r~^~L—k
2 In(r2/ri)
In (r2/n)
Учитывая, что общие тепловые потери в стенке
P = p0n(r2-r’)Z, (7.33)
получим
Q = Р Г — ---------'----- 4- (9, - &,) 2л>/ . (7.34)
ri- Р, 21n(r2/n) 1 lnO-2/п) 7
Из выражения (7.34) следуют важные выводы. В том случае,
когда рассматривается стенка без собственного тепловыделения
(Р=0), зависимость между перепадом температуры в стенке
ДО—— Ф2 и вызвавшим этот перепад сквозным теплопото-
ком Q выражается с помощью закона Ома для тепловой цепи,
как и для случая плоской стенки:
О - (8, — 9,) ——— = —
1п(Г2/П) Kt
Отсюда получим формулу для теплового сопротивления ци-
линдрической стенки в тепловой схеме на рис. 7.2, в
RT = In (г2/г2)/(2лХ/). (7.35)
Стенку с собственными распределенными потерями можно
представить с помощью тепловых схем (рис. 7.3, а, б), в которых
= P2 = Pfe (7.36)
Ri~Rt^2i Rz — R-rklf (7.37)
116
где
2In (r2/'ri)
(7.38)
21П (Г2/П)
Формулы (7.36) ... (7.38) позволяют рассчитать параметры
тепловых схем, с помощью которых можно определить темпера-
туры 01 и Ог при любых заданных граничных условиях, а также
в более сложных системах, состоящих из нескольких слоев. Зная
краевые температуры 01 и О2, можно получить распределение
0(г) по (7.31).
Максимальная и средняя температура цилиндрической стенки.
Если кривая О (г) аналогична по форме кривой 2 на рис. 7.7, мож-
но определить координату гт максимума температуры, прирав-
нивая нулю dtydr и делая некоторые преобразования:
(7.39)
(7.40)
о
т 2Х
Максимальную температуру в случае гх<гт<Г2 можно р
считать, приравнивая г=г1=ггп и Q—Qm=Qt откуда получим
2 2
1п
2 т г
При расчетах электротехнических устройств часто требуется
определить среднюю температуру тела, например обмотки. Для
полого цилиндра
2 2
2
2
1п(г2/П) .
1 Л
21п(г2/Г1) г?-г?
1
Г?-Г? 2!п(Г2/Г1)
Учитывая (7.33) и
мально сжатом виде
(7.38), можно представить ФСр в макси-
frcp = /D (^2— ^1)/(8л/Х) 4" -J- ^2^2- (7.41)
Кроме плоской и цилиндрической стенок, в [14] и т. д. рас-
сматривается теплопроводность сферической стенки, однако в
практике тепловых расчетов электрических машин этот случай
обычно не встречается, поэтому здесь не приводится.
117
Пример. Рассчитать распределение температуры по толщине цилиндри-
ческих обмоток масляного трансформатора (рис. 7.8). Радиусы поверхно-
стей, ограничивающих катушки низкого 1 и высокого 2 напряжения,
Гн=0,044 м; г12=0,062 м; г21 =
= 0,065 м; г22=0,088 м; объемная
плотность потерь pOi = 7,94 • I О4
Вт/м3; ро2т6,25-1О4 Вт/м3; экви-
валентный коэффициент теплопро-
водности поперек провода ЛЭ1 =
= 1,23 Вт/(м-К); U=0,78 Вт/(м-
22 ЦЦ 65 88 г,мн
Рис. 7.8. Цилиндрические катушки
(а), тепловая схема (б) и распре-
деление температуры (в)
ХК); коэффициент теплопровод-
ности междуобмоточного изоля-
ционного цилиндра (Д=Г21—П2=
= 3-10-3 м) лд=0,24 Вт/(м-К).
Коэффициенты теплоотдачи ох-
лаждаемых поверхностей и темпе-
ратуры масла соответственно у
внешней поверхности обмотки 2
а2=105 Вт/(м2-К), ,0м2=70оС; у
внутренней поверхности обмотки
1 в канале между обмоткой и
сердечником ai=121 Вт/(м2-К),
'0м1=80оС; 23% этой поверхности
закрыто изоляционными клинья-
ми. Температура наружного воз-
духа 0'С=40°С.
Расчет ведем на единицу дли-
ны обмотки как многослойной ци-
линдрической стенки с внутренни-
ми распределенными источниками
теплоты. Определяем с помощью
(7.36) и (7.35) общие источники
теплоты и тепловые сопротивле-
ния (ТСЦ) обмоток 1 и 2:
= 7,94- 104л (0,0622 —
-0,0442) 1 =475,9 Вт;
Лг = Р02л('22--'21) 1 «
= 6,25-104Л (0,0882-
-0,0652) 1 = 691,0 Вт;
= И (г21/гп)/(2лХэ1О = In (62/44)/(2л-1,23-1) = 0,04438 К/Вт;
*Х2- 1п(',22/',2i)/(2nX32Z) = In(88/65)/(2л-0,78-1) = 0,06182 К/Вт.
ТСП изоляционного цилиндра определяем благодаря его малой толщи-
не А, как для плоской стенки площадью [2л(Г12+А/2)/]:
Лд = Д/[Хп2л (г12Ч- Д/2)] = 3-10“3/[0,24-2л (0,062-и0,003)] =0,03133 К/Вт.
Тепловое сопротивление конвективной теплоотдачи, согласно (7.15),
= 1/(2лг22Сс2) = 1/(2я-0,088-105) = 0,01722 К/Вт.
118
При расчете Ra учитываем, что открытая часть внутренней поверхно-
сти составляет, согласно условию задачи, 77%: JRe = 1/(0,77-2л-Гц-а1) =
=1 / (0,77 • 2л • 0,044 -121)= 0,03882 К/Вт.
За основу расчета берем эквивалентную тепловую схему, фрагменты
которой аналогичны схемам на рис. 7.2, в и 7.3, б. Коэффициенты распре-
деления источников в схеме согласно (7.38):
для первой обмотки
*И = 1/[21п(г12/гп)] - 1/[(г21/гц)2- 1] =
= 1/(2In(62/44)] - 1/[(62/44)2-1] =0,4433;
Л12 = 1-Ди = 1 —0,4433=0,5567;
для второй обмотки’
^21 = 1 /[2 In (г22/Г21)] — 1/[(Г22//"21)2 — 1] ==
= 1/[2 In(88/65)] - 1 /[(88/65)2 — 1] =0,4498;
Л22 = 1 - Л21 = 1 - 0,4498 = 0,5502.
Источники теплоты: Рц = ЛЛ11—475,9-0,4433 = 211,0 Вт; Р\2*=*Р\— Ри =
=475,9-211,0=264,9 Вт; Р21 = Р2621 = 691,0-0,4498=310,8 Вт; Р&=Р2—
—р21=691,0—310,8=380,2 Вт.
Суммарное сопротивление тепловой цепи = /?а> + 7?д+ +
+tfas « 0,03882+0,04433+0,03133+0,06182+0,01722=0,19364 К/Вт. Обозна-
чим теплопоток в среднем ТСП как Qis, тогда потоки в остальных
сопротивлениях выразятся через источники теплоты с помощью первого
правила Кирхгофа, как указано на схеме, а общее уравнение цепи на осно-
вании второго правила Кирхгофа после некоторого пребразования примет
вид
&М1 — &М2 = Q12Ps — 7>l*el — ^12^X1 + ^21^X2 + ^2^02.
Отсюда можно определить неизвестный теплопоток Qis и через него —
теплопотоки и температурные перепады для всех сопротивлений схемы:
Q12= ($М1 — &м2+ + ^12^?Х1 -^21^X2 ~ РЛч)!^ ~
= (80 - 70 + 475,9-0,03889 + 264,9-0,04438 - 310,8-0,06182 -
-691,0-0,01722)/0,19364 = 47,26 Вт.
Потоки через поверхности теплоотдачи и их плотности соответственно
Ql = -(Q12- Pi) = 475,9 - 47,26 = 428,64 Вт;
^i = Qi/(2rtnl-0,77) = 428,64/(2n-0,044-0,77) = 2014 Вт/м2;
Qi = Q12 + Р2 = 47,26 + 691,0 = 738,26 Вт;
^2 = Q2/(2nr22)= 738,26/(2n-0,088)= 1337 Вт/м2.
Полученные значения q позволяют при необходимости уточнить КТО.
Температуры узлов схемы рассчитаем, перемещаясь от крайнего правого
узла с заданной температурой Омг влево, последовательно суммируя пере-
пады:
^22 = ^2+02^02 = 70+ 738,26-0,01722 = 70+ 12,71 =^=82,71 °C;
&21 = $22 + (Q12 + 7^1) 7?Х2 = 82,7! + (47,26 + 310,8) - 0,06182 =
= 82,71 +22,14 = 104,85 °C;
119
*12= *21 + Qi2#A= 104,85 + 47,26-0,03133= 104,82 + 1,48= 106,33 °C
*11 = *12 + (Q12 - Лг) = 106,33 + (47,26 - 264,9)-0,4438 =
= 106,33 -9,66 = 96,67 °C.
Производим проверку правильности расчета схемы «замыканием» цепоч-
ки перепадов:
*11 = *м1 + QAi = 80 + 428,64-0,03889 = 80 + 16,67 = 96,67 °C.
Оба результата совпадают.
Найдем средние температуры обмоток по (7.41)
*1ср ~ Р\ (^12 — £ц)/(8пХэ1/) + *цЛц + *12^12 =
= 475,9(0,5567— 0,4433)/(8л-1,23) + 96,67-0,4433+ 106,33-0,5567 =
= 104,20 °C;
*2ср = -^2 (^22 — ^21)/(8лХ52/) + *21*21 + *22*22 =
= 691,0(0,5502 — 0,4498)/(8л-0,78) + 104,85-0,4498 + 82,71.0,5502 =
= 96,21 °C.
Превышения температур 6i=$icP—$o= 104,20—40=64,2 °C; 02=$2сР—
—Фо=96,21—40=56,2 °C удовлетворяют требованиям к нагреву обмоток мас-
ляных трансформаторов.
Распределение температуры рассчитаем с помощью (7.31), приведя его
к виду
*/ = (-^2 — A) In г — (Лг In Г1 — Ai In Г2) — сг2,
где 1 = 1,2— номер обмотки; /42=(cr2f2 + $<2)/1п (гц/гц)-,
Л1 = (сГц + *ц)/1П (Г/2/Г/1); С =
Если текущий радиус выразить в мм, то $1 = 117,95 In г—318,45—
—0,016138 г2, $2=159,61 In г—476,77—0,020032 г2, результаты расчета пред-
ставлены на графике (рис. 7.8).
Для определения максимума температуры используем (7.39), применив
его к первой обмотке:
г \ 2 р01 ! |
, /7 0,0622 - 0,0442 96,67— 106,33 п \ I ~~
“И (-------------2---------~ 2,94-10. •2-Ь23-1)/1п(62744)==
= 0,06045 м = 65,45 мм.
Результат подставим в выражение для $i и получим значение макси-
мальной температуры $m = 117,95-In 60,45 — 318,45 — 0,016138 • 60,452 =
= 106,41 °C. Искать максимум $2 не требуется.
§ 7.3. Теплопроводность ребра
и теплоотдача оребренной поверхности
Для улучшения отвода теплоты от внешних поверхностей элек-
трических машин в окружающую среду часто применяется ис-
кусственное увеличение площади этих поверхностей за счет ре-
120
Рис. 7.9. Теплоотдача пря-
мых ребер (а) и темпера-
турное поле ребра (б)
бер охлаждения. Из формулы Ньютона — Рихмана (6.1) следует,
что перепад температуры между поверхностью и окружающей
средой —Фо при постоянном значении отводимого тепло-
вого потока Q обратно пропорциона-
лен площади поверхности охлаждения
ДФ=ф/(а£). Однако на практике эф-
фект от увеличения поверхности ох-
лаждения за счет ребер оказывается
меньше ожидаемого. Это происходит
по двум причинам:
1) коэффициент теплоотдачи а с
единицы оребренной поверхности ока-
зывается тем меньше, чем больше гус-
тота ребер;
2) тепловой поток, отводимый с по-
верхности ребра, должен преодолеть
при этом тепловое сопротивление са-
мого ребра, зависящее от коэффициен-
та теплопроводности X его материала.
Хотя ребра выполняются из мате-
риалов с достаточно высоким X, тем не
менее, в целях экономии материала
толщина их должна выполняться воз-
можно меньшей. Поэтому тепловое со-
противление материала ребер играет
заметную роль и требует учета.
На рис. 7.9, а показан участок ореб-
ренной поверхности с ребрами пря-
моугольного профиля, т. е. с постоян-
ной шириной Ь, которые воспринима-
ют тепловой поток от некоторого источника теплоты, находяще^
гося слева от стенки, и рассеивают его в окружающую среду
своими боковыми поверхностями. Коэффициент теплоотдачи
этих поверхностей а принимают постоянным; можно считать,
что температура в ребре зависит только от координаты х. Тем-
пература среды и коэффициент теплопроводности материала
ребра обозначены соответственно Ф0.с и X.
Для элементарного участка dx, выделенного на рисунке штри-
ховкой, из баланса втекающих и вытекающих тепловых потоков
следует
dQ=-2dQ„
(7.42)
Элементарный поток с боковой поверхности ребра на участке
dx, согласно формуле Ньютона — Рихмана, dQa=a(ft—fto.c)ldx.
Тепловой поток вдоль оси х в ребре на основании закона
Фурье
(7.43)
121
из чего следует
dQ=-W—dx.
dx*
Таким образом, (7.42) можно представить в виде
— №1 ~~^dx= —2al (0 — &0<с) dx.
г
Производя сокращение и вводя новую переменную — превы-
шение температуры ребра над окружающей средой
(7.44)
получим уравнение теплопроводности ребра в окончательном
виде:
——-^-6 = 0. (7.45)
dx2 ХЬ v '
Уравнение (7.45) имеет известное общее решение
в=С'.етх+С;е-тх,
к <4
или равносильное ему 0=Cj sh тх 4- С2 ch mxt
где
m = (7.46)
Для определения коэффициентов решения будем считать из-
вестной температуру Фо у основания ребра (при х=0)
6q i= C*i sh 0 ch 0=
Кроме того, допустимо пренебречь тепловым потоком QA, схо-
дящим с вершины ребра, что равносильно условию
dWx|x_A=0.
Взяв производную от О или 0
d^ldx=dbjdx=m (Сх ch тх + С2 sh тх}, (1А1)
при х=Л получим Ci chm/z+C2sh m/i=0. Учитывая, что С2=0О,
имеем
C^-Ooth/пЛ. (7.48)
Решение в окончательном виде:
6 = 60(ch тх—th mh sh тх}, (7.49)
Характер распределения температуры показан на рис. 7.9, б.
Полный тепловой поток, отводимый ребром, равен Qo— потоку
в сечении х=0. На основании (7.43), (7.47) и (7.48) получим
Qo« — \bldWx L-o == — MmCY = b^blm th mh.
122
Учитывая (7.46), примем окончательное выражение для тепло-
потока через ребро
Qo = W Vа2^ th mh = 6O/Z?P,
где /?р — сопротивление ребра, зависящее от КТО а и от КТП ма-
териала ребра X
Rp= 1/(Z V2akb th mh).
Если бы теплопроводность ребра была идеальной (Х=оо), то
вся поверхность ребра имела бы одинаковую температуру 60 и
отводимый теплопоток достигал максимально возможного значе-
ния Qm—QQa2hl.
Для оценки ухудшения теплоотвода по сравнению с идеаль-
ным случаем применяется коэффициент эффективности ребра
__ Qo 6С/ У2аХ6 th mh th mh
Q^ 6La2/7 mh
(7.50)
Рассмотрим степень общего улучшения теплоотдачи стенки за
счет устройства на ней ребер. Отводимый тепловой поток при
этЬм будет равен сумме потоков от ребер и от свободных участ-
ков стенки шириной с между
ребрами. Для одного шага, т. е.
одного ребра и одного проме-
жутка, ПОТОК Qx = Qo+Qcm =
= Qm&aф+боОС I-
В окончательном виде
Qe = (2А^еф + £)•
Для гладкой (неоребрен-
ной) стенки при допущении,
что КТО а остается тем же,
поток
ргл = еоа/ (Ь-\-с).
Отношение потоков можно
назвать коэффициентом ореб-
рения
^p = Qi/QM=(2^ + 0/
КЬ+0>1. (7.51)
На практике, как правило,
используются ребра непрямо-
угольного профиля из техно-
логических соображений и в
целях более выгодного исполь-
зования материала ребра —
Рис. 7.10. Коэффициенты эффек-
тивности прямых ребер с одина-
ковыми высотой и площадью
профиля
123
профиль должен сужаться к вершине по мере уменьшения теп-
лопотока Q. Теория ребер различного непрямоугольного профи-
ля излагается в специальной литературе [12, 14]. Кроме прямых
ребер, располагаемых на плоской стенке или вдоль образующей
цилиндрической поверхности, находят широкое применение
кольцевые ребра на цилиндрах, ребра в виде стержней (ши-
пы) и др.
На рис. 7.10 показаны примерные значения &Эф для ребер
прямоугольного 1, параболического 2, треугольного 3 и обрат-
ного параболического 4 (заостренного)
профилей. Ребра срав-
ниваются при одинако-
вых высоте h и площа-
ди S профиля, т. е. при
одинаковом расходе
материала. Средняя
ширина профиля 6Ср =
= S/h. Таким образом,
ребра разного профи-
ля можно сравнивать
при одинаковом значе-
нии аргумента т. Из
графика видно, что при
малых значениях т на-
иболее выгодно тре-
угольное ребро, а при
больших — заострен-
ное. Однако в электро-
машиностроении наи-
большее применение
нашли ребра трапеци-
евидного профиля как наиболее технологичные (рис. 7.11). Ко-
эффициент эффективности таких ребер определяют по (7.50)
для прямоугольного профиля, подставляя в качестве b
£>ср= (ba-\-bh)l2.
и вводя поправку, взятую из графика (рис. 7.11) в функции
от mQh— V2clI(kb^h.
Учет теплоотдачи с вершины ребра при трапециевидном и
прямоугольном профиле делается приблизительно путем увели-
чения высоты h на половину ширины ребра в верхней части
^ = /2+^/2.
§ 7.4. Расчет двух- и трехмерных стационарных
температурных полей
Рассмотрим поле в прямоугольном брусе с равномерно рас-
пределенными по объему потерями, охлаждаемом с боковых по-
верхностей при ГУ 3-го рода (рис. 7.12). Под брусом понимается
124
призма достаточно большой протяженности в направлении оси
z так, что условия на ее торцах не влияют на температурное
поле, которое зависит только от координат х и у.
Дифференциальное уравнение теплопроводности и его ре-
шение методом разделения переменных. Примем, что условия
охлаждения симметричны, темпе-
ратура среды и КТО для всех по-
верхностей одинаковы. Это поз-
волит ограничиться рассмотрени-
ем поля в одном квадранте сече-
ния. Вместо температуры будем
использовать ее превышение над
окружающей средой 0 (7.44).
В стационарном режиме
ДУТП для данного случая
Рис. 7.12. Сечение прямоуголь-
ного бруса (к расчету двух-
мерного температурного поля)
д26 [ д20 _ р0
дх2 ду2 X
(7.52)
Граничные условия 3-го рода
— +М
дх
благодаря симметрии
= 0;
х—а
поля
06
дх
— 0;
х-0
(6.31), после замены afk—h'.
06 I .
-Т- + Л0
°y
=0;
(7.53)
06
= 0.
(7.54)
Используя решение [13], заменим 0 суммой двух
6(х,у) = м(л)-1-^(х, у)
и приняв условие для первой из них
d2u pQ du
dx2
функций
(7.55)
dx
= 0.
к—а
(7.56)
Тогда ДУТП и ГУ для второй вспомогательной функции по-
лучается путем вычитания (7.56) из (7.52) и (7.53) с учетом
того, что ди(х)1ду = Ъ, и при сохранении условий (7.54)
= о — + ^1 =0; (7.57)
0*2 1 ду2 дх 1 |л-0
Таким образом, вместо исходного неоднородного дифферен-
циального уравнения (7.52) получены обыкновенное неоднород-
ное ДУ (7.56) для определения функции и и однородное урав-
нение (7.57) для определения V.
125
Решение ДУ (7.56) аналогично случаю плоской стенки (см.
§ 7.1):
a = 2_). (7.58)
Сущность решения ДУ в частных производных (7.57) состо-
ит в том, что его результат должен быть представлен в виде
бесконечной суммы частных решений, каждое-Из которых удов-
летворяет ДУ и граничному условию на одной из поверхностей,
на второй поверхности ГУ обеспечивается соответствующим
подбором коэффициентов при членах суммы. Таким образом,
решение будет представлено в виде разложения в функцио-
нальный ряд. Частное решение для функции v(x, у) выража-
ется в виде произведения двух функций, одна из которых за-
висит только от х, вторая — от у:
^(х,1/) = Л(х)Г(£/). (7.59)
Дифференцируем (7.59) и подставляем в (7.57), обозначив
д2Х/дх2~Х"-, d2Y/dy2 = Y"t в результате чего получим урав-
нение с разделяющимися переменными Х7"У-|-У"Л'=0, преобра-
зуемое к виду
X''/X=-Y"/Y. (7.60)
Данное равенство должно выполняться при любых сочета-
ниях значений х и у, его левая часть не зависит от у, правая —
от х, поэтому обе части могут быть только постоянными вели-
чинами. Обозначим эту константу через —k2, тогда из (7.60)
получим два независимых обыкновенных ДУ Х"+/г2Х=0, Y"—
—Л2У=0, решения которых
X (х) = A cos kx +- В sin kx\ Y (y) = C ch kx -|- D sh ky.
Характеристическое уравнение и полное решение ДУТП. Из
условий симметрии (7.54) следует, что В=0, D=0, а один
из коэффициентов, например С, можно принять равным 1. Пусть
частное решение удовлетворяет ГУ на границе х~а, т. е.
-^-(X)<) + A(AT)L.o=0,
откуда после подстановки и преобразований X'4-AX|x=a=0;
—kA cos£a=0 получим характеристическое уравне-
ние
igka = h}k. (7.61)
Уравнение (7.61) дает множество решений ki (t=l, 2, 3,...),
чем и обусловлено представление функции v в виде ряда. Ха-
рактеристическое уравнение (7.61) является трансцендентным,
поэтому его решают численным или графическим методом.
126
Рассмотрим графическое решение, показанное на рис. 7.13.
Число корней ki неограниченно; следовательно,
&
v(х, y)=^^Al cos (fax) ch (fay),
i- i
Подставим в (7.62) второе граничное условие
dvldy + hv — —hit (х)
и получим
(7.62)
AL sh (fab) + h ch (fab)] cos (fax) =
2k
Используя прием разложения правой части в ряд по соб-
ственным функциям cos kiXt получим с учетом (7.55), (7.58)
окончательное решение
e(x,i/)=-^
J
2
ah
(faa)*
На рис. 7.14 показаны
результаты расчета двух-
мерного стационарного
поля в сечении бруса при
Ь =а. Превышение темпе-
ратуры приведено к без-
размерному виду 0* =
(Ро^2); граничные ус-
ловия третьего рода ха-
рактеризуются такими
безразмерными критерия-
ми Био, как Bix=aax/X,
sin (k[a) cos (kix) ch (fay)
sin (2kja)
2kta
[6/ sh (fab) 4- h ch (£/&)]
Рис. 7.13. График решения характерис-
тического уравнения
1 +
бруса при ГУ 3-го рода для Bi=0,4 (a), Bi=2 (б), Bi=
= 10 (в)
127
Biy — bay/k Кривые даны при разных значениях критерия Biy и од-
ном значении 1,0, по их виду можно судить о том, как уве-
личение а приводит к усилению неравномерности нагрева тела.
Трехмерное поле в прямоугольных координатах. Для общего
представления о характере точного решения трехмерной задачи
рассмотрим стационарное температурное поле в призме с рас-
пределенными источниками теплоты, на гранях которой заданы
ГУ 3-го рода, в общем случае несимметричные. Дифференци-
альное уравнение теплопроводности имеет вид
ду2 ~ dzi 1 к ' '
где 6 — превышение температуры.
Общее решение с помощью разделения переменных
В = и (х) v (у) w (z) — /. (7.64)
При подстановке (7.64) в (7.63) получим и" /u-\-v"/v-\-
4-aa"/w=0; следовательно, члены этой суммы постоянны. Оп-
ределив и просуммировав частные решения, получим
9=2 (ЗД (х) fl W fl (г) + F‘ f(х) ? +
Z-I
+ ЛФ/ (£) (•*) ®| (У)] — PoZ2/(2X). (7.65)
Функции ф и ф, входящие в (7.65), выразим с помощью
обобщенной координаты £=х, у, г:
ф, (С)=ch (с +л a sh (С V
Ч>1 Ю = COS (С КМ + Sin (С
где kti—kxl, kyi, kzi\ ki^=kxi~\-kyi-\-kzi-
Постоянные и коффициенты В определяются как корни
характеристических уравнений, составленных по граничным ус-
ловиям для шести граней призмы:
XVMa±c=ctg(CmV% ± arctgBc;),
где знаки плюс и минус соответствуют противоположным гра-
ням. Также из граничных условий определяются остальные ко-
эффициенты.
Из двух приведенных примеров следует, что точные решения
для двухмерных и особенно трехмерных полей даже при про-
стой форме рассчитываемых тел чрезвычайно сложны, а для
тел более сложной конфигурации могут оказаться вообще не-
достижимыми. Поэтому на практике большое значение прида-
ется приближенным аналитическим и численным методам ре-
шения ДУТП в частных производных.
128
§ 7.5. Расчет одномерного нестационарного
температурного поля
Рассмотрим одномерное нестационарное температурное по-
ле в плоской стенке или теплопроводящем стержне, ориенти-
рованном по оси х, с теплоизолированной боковой поверхно-
стью. Дифференциальное уравнение теплопроводности (6.19)
для этих случаев можно представить в виде
1 дь^х, t) _ ада (х, о . рр z7
a dt дх* “Г X ’ 1 * 7
в
где д=Х/(ср)—коэффициент температуропроводности.
Уравнение (7.66) при что соответствует режиму на-
гревания, является неоднородным, а при ро=О, что соответст-
вует режиму охлаждения из нагретого состояния, становится
однородным и, следовательно, легче решается.
Решение дифференциального уравнения теплопроводности
методом разделения переменных. Покажем, что неоднородное
уравнение всегда можно свести к однородному, если при на-
гревании температура тела стремится к некоторому установив-
шемуся значению 'бу(х).
В этом случае при t-^oo d$/dt-+O и из (7.66) следует
,°!М*ЦЛ. = 0, (7.67)
дх1 1 X '
Это уравнение позволяет найти Фу(х), решив задачу для
стационарной теплопроводности (см. § 7.1).
Введем новую переменную
6 (х, /) = 0у (х) — § (х, /). (7.68)
При подстановке ^(х, /)=Фу(х)—6(х, /) в (7.66) получим
однородное уравнение
1 эе _ ^в
a dt дх2
По аналогии с переходными процессами в электрических це-
пях Фу и 6 можно считать соответственно составляющими вы-
нужденной и свободной. В случае охлаждения до заданной по-
стоянной температуры среды Ф0.с также целесообразно свести
(7.66) к виду (7.69), положив .
0 (X, /) = 6 (х, /) — 60,с. (7.70)
Для упрощения введем новую переменную x=at и найдем
общее решение ДУТП dQ/dx=d2Q/dx2.
Применяя метод разделения переменных (см. § 7.4) 0(х,т) =
=Х(х)7’(т), получим равенство отношений Т'/Т=Х"/X—^k2,
приводящее к двум обыкновенным ДУ: dT/dx=±.k2Tt d2X/
dx2=±k2X.
5—1268
129
Первое уравнение имеет решение
Т(т) = Се*лч.
Однако при положительном показателе степени температу-
ра будет расти неограниченно, тогда как по физическому смыс-
лу переходного процесса она может только убывать, поэтому
вариант решения с +&2 отбрасывается.
Второе уравнение имеет решение
X (х) = (С\ cos kx + С2 sin kx).
Общее решение уравнения (7.69):
в (х, т) = (Д cos kx -j- В sin kx) e~k'\ (7.71)
Учет начальных и граничных условий. Выбор параметров
k, А, В определяется граничными и начальными условиями.
Рассмотрим случай, когда стенка имеет конечную толщину
6 (см. рис. 7.1), теплоизолирована на поверхности х=0
дх|х=о=О), благодаря чему В—0, а на поверхности х—Ь за-
даны ГУ 3-го рода
M)U=0, (7.72)
ОХ
где Л=а/Х.
Рассмотрим режимы нагревания и охлаждения. При нагре-
вании Фу определяют с помощью (7.16) и (7.11) при (?i = 0:
»у*= + 4- + °о.е- (7.73)
Обозначим установившееся максимальное превышение
= I ^0“^o.c = PoS2[l+2V(a8)I/(2x)
и приведем (7.73) к виду
•>-Ч1-Г7Ь5>(т)’1+в«'
Допустим, что начальная температура стенки была равна
Оо.с, тогда начальное распределение свободной составляющей
температуры, согласно (7.68),
В(х, 0) = Фу-8(х, ОМУЧ.С-
Таким образом,
0(х, = (7.74)
При охлаждении с нагретого состояния, при котором было
достигнуто установившееся распределение температуры Фу(х),
согласно (7.70), будем иметь аналогичное выражение 0(х, 0) =
== Фу (^)-Фо.с.
130
Таким образом, данное решение универсально и пригодно
для расчета как нагрева, так и охлаждения. Однако в неко-
торых случаях охлаждение может начинаться с состояния, ког-
да стенка нагрета равномерно до температуры 0ОТ. Для учета
такой возможности в (7.74) вводится коэффициент и=1. Для
случая п=0
е(.х. о)=отГ 1 -п —Y
т|_ 2 + hi\t )
(7.75)
Граничное условие (7.72) при замене —0 приобретает
вид
дЪ/дх-{-Л0 = О при х=Б.
После подстановки в него (7.71) и сокращений можно полу-
чить характеристическое уравнение
—k sin kb-\-k cos AB=O;
в окончательном виде
k/h = ctgkb. (7.76)
Введем параметр у—kb и критерий Био Bi = Л6, тогда (7.76)
можно полностью выразить через безразмерные величины:
y/Bi — ctgy. (7.77)
Корни уравнения yt (z=l, 2, 3,...) можно получить графи-
ческим путем по пересечению прямой y/Bi=fi(y) с семейством
кривых котангенса.
Постоянные А в (7.71) определяются по начальному усло-
вию при т=0; следовательно,
0(х, 0) =2 Acos^= 2 AC0S(Yi*/5)«
z-i z=i
Для определения Ai необходимо разложить 0(х, 0) в ряд
Фурье по собственным функциям. со&(у/х/б):
б
f 6(х, 0) cos (yixltydx
л'= i •
J cos2(ym7*) dx
Выполнив интегрирование с учетом (7.75), получим
, Bi Г 2 / 2 \ , 1
sin Yz + П Г- —— — cos У1 + 1 — —- sin Yz
2 +Bi у/ \ у? !
A,=2Sm-------------------;--------------------•
* m Yz 4“ sin Yzcos Yz
5* 131
I
Из (7.77) следует
I sin y.l = Bi/J/BI2+y?, |cosy(|=Y;/]ЛВ12 + у2.
В результате (с учетом знаков sin у/ и cosy,) получим
Л = 20т
(_iy + lBi^/Bi2+Y2
У/ (В12 J- Bi + у2.)
2BI
Y? (2 + Bi)
(7.78)
В частном случае при л=0 окончательное решение
с* 2 \
8=9о.с+ 2вт у — £lnY--------cos (у;х/8) expl — Д' at ].
(7.79)
Время удобно выражать в безразмерной форме с помощью
числа Фурье
Fo=a//S2. Г (7.80)
Это повышает общность решения (7.79):
.2 \ / \
Т(т)==ехр( — Л2г)=ехр1 — J^at 1 = ехр ( — у2 Fo )
На рис. 7.15 показано изменение температуры стенки при
охлаждении с равномерно нагретого состояния. Согласно свой-
ству ГУ 3-го рода, касательные к температурным кривым на
Рис. 7.15. Изменение температурного
поля 0*»0/0т в процессе охлажде-
ния плоской стенки
Рис. 7.16. График для опреде-
ления температуры в плоской
стенке
132
границе х=6 выходят из одной точки А. В начальные моменты
остывания «проваливается» крайний участок кривой, этот про-
цесс постепенно распространяется дальше от поверхности. Тем-
пературный профиль, опускаясь вниз, по форме все больше
приближается к простой косинусоиде — по мере затухания экс-
понент с большими значениями yt.
Разновидности решения дифференциальных уравнений од-
номерного нестационарного поля. При очень малых критериях
Био (Bi<0,l) в разложении (7.79) можно ограничиться толь-
ко первым членом, при этом решение сводится к виду 0=
₽=0n:cos(/ Bix/d)exp(—Bi Fo). Температурные профили 0(х)
становятся близкими к горизонтальным прямым.
При Bi->oo, что равносильно а->оо, поверхность стенки
очень быстро приобретает температуру среды, профиль темпе-
ратурной кривой характеризуется резкой неравномерностью, а
решение достаточно простое:
cos
(2Z- 1)л х ’
2 8 .
ехр
(2Z — 1)2
4
Fo
В формулах для общего решения члены разложения, сле-
дующие за первым, быстро убывают, особенно при больших
значениях Fo. Уже при Fo^0,3 можно ограничиться только
первым членом ряда, тогда решение примет вид 0=4i cos(y£x/
6)ехр(—yi2Fo).
При решении многих практических задач нестационарного
нагрева можно воспользоваться готовыми решениями из специ-
альной литературы, например [14]. При этом температура да-
ется в относительных единицах 0*=0(/)/0т или 0*==1—0/0™
в функции от безразмерных критериев Bi и Fo.
Вид графика для определения температуры в случае охлаж-
дения плоской стенки показан на рис. 7.16. Определение дейст-
вительной температуры в сечении х=0 производится по форму-
ле
&(0, /)=бт(1-е*)+&0.с-
Решение нестационарных задач для двух- и трехмерных по-
лей основывается на уже рассмотренных принципах и идеях.
Общую структуру частного решения, например трехмерной за-
дачи, можно представить в виде произведения трех функций:
0 (я, У, z, /)=01(х, t)&2 (у, /)0з(2, /), ИЛИ
6 (.V, у, z, t) == е10 (Л) 620 (#) 030 (z) exp (- mt).
Общие решения имеют форму бесконечных сумм частных
решений.
133
§ 7.6. Численные методы расчета температурных
полей
Для расчета теплопроводности тел сложной формы и си-
стем тел, для которых невозможно получить аналитические ре-
шения, применяются численные и другие приближенные мето-
ды. При использовании ЭВМ численные методы получают зна-
чительные преимущества перед аналитическими благодаря срав-
нительной простоте алгоритмов расчета, состоящих из много-
кратно повторяемых однообразных циклов. Поэтому существует
тенденция применять численные методы и в тех случаях, когда
аналитическое решение имеется, но отличается сложностью ал-
горитма.
Метод сеток. Для численного решения задач теплопровод-
ности широко применяется метод конечных разностей, или ме-
тод сеток. Область непрерывного изменения аргументов х, у, 2,
t заменяется множеством дискретных точек, отстоящих друг
от друга на интервалы Дх, Ду, Д2, Д£, называемые шагами из-
менения. Линии, проведенные через указанные интервалы па-
раллельно осям координат, образуют сетку, точки их пересече-
Рис. 7.17. Сетка для двухмерного темпера-
турного поля
ния, называемые узлами,
рассматриваются как
представительные точки,
температуры которых мо-
гут характеризовать тем-
пературное поле тела в
целом, по принципу пара-
болической интерполяции.
Дифференциальное
уравнение теплопровод-
ности и граничные усло-
вия заменяются на сетке
уравнениями в конечных
разностях, поэтому вмес-
то ДУТП и ГУ будет по-
лучена система алгебраи-
ческих уравнений с чис-
лом уравнений и неиз-
вестных узловых темпе-
ратур, равным числу уз-
лов. Ввиду большого чис-
ла узлов сетки система
уравнений обычно реша-
ется методом последовательных приближений. При этом важ-
ную роль играет проблема сходимости решения, состоящая в
том, что при уменьшении значения шагов решение системы ал-
гебраических уравнений должно приближаться сколь угодно
близко к точному решению исходного ДУТП.
134
Применим метод сеток к двухмерному стационарному полю
с распределенными источниками теплоты (рис. 7.17), которое
описывается уравнением Пуассона (6.27)
д2Ъ]дх2 + д2Ъ!ду2 + р0/Х = 0. (7.81)
В сетке с шагами Дх и Ду выделены узел 0 и соседние с
ним узлы 1... 4. Определим приблизительные значения производ-
ных по х справа и слева от точки 0 (в точках О' и 0")\
дЪ(дх | Хо+Дх/2, у0 == (^3 %)/Д-^J дЬ]дХ | _г0—Ajt/2, у0 z=
= (&0-&,)/*•*• ‘ (7.82)
Определим вторую производную в точке 0-,
д*§
дх* ,
Хо> Ус
с>0
Л'о+ДЛ’/Й, у0 ду
Хо—Az/2, I/O
==(»1 + ^-2%)/(Д^)2-
(7.83)
Аналогично, для оси у
д*Ъ
ду*
^(^ + ^"~2%)/(Ш
-Го, У о
Подставив вторые производные в (7.81) при условии Дх=
=Д//=Д, получим так называемую разностную схему (<h“b
-Г'6'2-Г'0,з-|-'6'4—4'0’о)/Д2+Ро/Х=0, или
&14А + Ьз + &4-4&о + ер = О, (7.84)
где 6р=роД2А — свободный член уравнения, составляющая
температуры, пропорциональная источнику теплоты в ячейке
abed, содержащей точку 0.
Выражение (7.84)—это алгебраическое уравнение для уз-
ла 0. Аналогичные уравнения, составленные для всех узлов
сетки, образуют систему уравнений, решение которой позволя-
ет найти температуры узлов. При небольшом числе узлов (до
нескольких десятков) можно применить прямой способ решения,
например способ подстановок Гаусса при условии использова-
ния ЭВМ. Но обычно решение выполняется методом итерации.
Расчет сетки методом итерации. Предварительно нужно за-
даться ожидаемыми (произвольными) температурами узлов,
после чего осуществляется последовательный многократный об-
ход узлов. В уравнение для очередного узла i подставляются
известные температуры и вычисляется ошибка Rit обусловлен-
ная приблизительным значением этих температур. Например,
для узла 0
О14-е2 + ^+&5-4&о + ер=/?о. (7.85)
Итерация состоит в том, что на основе (7.85) вычисляется
следующее, уточненное, значение температуры рассматривае-
135
мого узла по итерационной формуле, которая в данном случае
имеет вид <V=1&o+^o/4.
Для улучшения сходимости итерационного процесса можно
применить метод Зейделя, при котором в расчете очередного узла
берутся температуры узлов, рассчитанных ранее, в этом же
цикле обхода. Обход узлов повторяется до достижения допу-
Рис. 7.18. Узел пространст-
венной решетки
стимой погрешности, пока максималь-
ная из ошибок не станет меньше неко-
торого заданного значения, например
0,1°С.
Аналогично составляется и рассчи-
тывается сетка для трехмерного поля,
при этом связь узла с соседними по-
казана на рис. 7.18. Разностная схема
в этом случае
6
2»(-6»оНЛ=О. (7-86)
/=1
итерационная формула Фо'=Фо4“Яо/6.
Особенности расчета граничных узлов сетки. Уравнения
(7.85) и (7.86) относятся к внутренним узлам сетки, каждый
из которых окружен со всех сторон другими узлами. Схемы для
граничных узлов, находящихся на поверхности тела, имеют осо-
бенности, обусловленные граничными условиями (рис. 7.19).
Рис. 7.19. Граничный узел для граничных усло-
вий 2-го (а) и 3-го (б) рода
При ГУ 1-го рода задается температура поверхностного узла
б'п и уравнение для данного узла составлять не требуется. При
ГУ 2-го рода, когда задана плотность теплового потока q че-
рез поверхность (рис. 7.1, а), уравнение для граничного узла п
(^2 4" ^з)/2 — -J- %=0,
где 0р,=роД2/(2Х.)+^А-
В отличие от ГУ 1-го рода здесь температура ftn неиз-
вестна.
136
Граничные условия 3-го рода можно свести к предыдущему
случаю, положив q=($o.c—Фп)а, в результате получим
где 0Pn=poA2/(2X), О’о.с задана.
При ГУ 4-го рода, если каждое из соприкасающихся тел
имеет соответственно параметры М, pi и л2, р2, тепловой кон-
такт между ними идеален, поверхность раздела проходит через
узел 0 и Дх=Д1/, уравне-
ние узла приобретает вид a) z__________ ‘ S)
х-тг(а>+»з)+
А1 + *2 \ /
+Г77 (&2+84>-4&о+
Л1 + А2
I Я+Я Д2 = О.
Xi -f- Л2
Сетка для полярных
или цилиндрических ко-
ординат. Данная разно-
Рис. 7.20. Пространственная сетка (а)
и узел схемы (б) для тела вращения
видность сетки использу-
ется для тел вращения, к
которым относятся мно-
гие элементы электриче-
ских машин (рис. 7.20, а). Разностная схема применительно к
соответствующему выражению (6.23) основана на следующем
способе представления производных:
№ _ Ot 4- . dJL ==: ^з-^i .
дг^ (Дг)2 * dr 2Дг
= 05 + 06 - 2Оо , && = ^+В4-2Оо
д<р2 (Д’?)2 ’ дх2 (Дг)2
На этом основании уравнение в конечных разностях для
узла 0 (рис. 7.20, б)
! 1‘[,'(1--^)+а,(1+Й]+"7Л+’-’+
! +iS=("<+,‘,~M"[l‘+ 7 +
где p=Az/Ar, 0Р=роДгД2Д-
Установлено, что погрешность метода конечных разностей
для рассмотренных схем пропорциональна квадрату шага Д2.
Таким образом, точность расчета можно повысить путем дроб-
ления сетки, при этом погрешность уменьшается во столько раз,
137
во сколько увеличивается число узлов, одновременно возраста-
ет необходимое количество циклов итерации; следовательно,
время счета возрастает в значительно большей степени. Это
препятствует использованию слишком густых сеток; кроме то-
го, измельчение шагов иногда приводит к неустойчивости про-
цесса решения.
При расчете нестационарных температурных полей примене-
ние метода сеток позволяет заменить пространственные произ-
водные конечно-разностными отношениями, в результате чего
уравнение в частных производных превращается в систему
обыкновенных ДУ, которая также решается численными мето-
дами, описанными в курсе вычислительной математики.
Реализация численных методов на ЭВМ связана с эффек-
тивным использованием многомерных массивов и принципа
цикличности. Сложность решаемых задач целиком определяет-
ся объемом оперативной памяти и быстродействием ЭВМ. Ос-
новные потребности расчета температурных полей в электри-
ческих машинах в большинстве случаев удовлетворяются воз-
можностями мини-ЭВМ.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какой характер имеет распределение температуры по толщине плос-
кой стенки с распределенными источниками теплоты и без них?
2. От чего зависят тепловые сопротивления теплопроводности (внутрен-
нее) и теплоотдачи (внешнее)?
3. На сколько отличаются перепады температуры в стенке, создаваемые
собственными потерями в ней и проходящим (сквозным) тепловым потоком?
4. Что такое коэффициент эффективности ребра и от каких факторов
он зависит?
5. При каком условии можно представить нестационарное поле одной
экспонентой?
6. Что называется разностной схемой в методе сеток? В каком случае
в ней имеется свободный член?
7. Как выполняется расчет сетки итерационным методом? Как можно
ускорить сходимость итерационного процесса?
ГЛАВА 8
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ
ПРИ КОНВЕКТИВНОМ И ЛУЧИСТОМ ТЕПЛООБМЕНЕ
Коэффициент теплоотдачи а, входящий в формулу Ньюто-
на— Рихмана (6.1) и в граничное условие 3-го рода (6.30),
оказывает в большинстве случаев решающее влияние на ре-
зультаты теплового расчета. Коэффициент теплоотдачи дает
общую количественную оценку интенсивности теплоотдачи при
таких сложных физических явлениях, как конвекция и излу-
чение, в том числе при их совместном действии. Поэтому про-
цесс теплоотдачи и методы расчета КТО должны базироваться
на теории указанных явлений.
138
§ 8.1. Основные уравнения конвективного процесса
Конвективный процесс переноса теплоты, происходящий в
подвижной среде, можно описать следующими дифференциаль-
ными уравнениями: движения, энергии и неразрывности.
Уравнение движения. Уравнение движения, или уравнение
Навье — Стокса, выводится через баланс количества движения
в единице объема, занимающего фиксированное положение в
движущейся жидкости (или газе). В общем случае для неста-
ционарного процесса, т. е. процесса, протекающего при изме-
нении скорости в рассматриваемой точке пространства, баланс
количества движения сводится к следующему: скорость прирос-
та количества движения равна сумме сил, действующих на объ-
ем, и скорости поступления дополнительного количества дви-
жения за счет конвективного переноса. В декартовых коорди-
натах составляются уравнения движения для осей х, у, z. Для
оси х, согласно описанному выше балансу,
~dwx _др , । „ (d^wx , d^wx । дЪ£>х\
/ dwx । dwx । dwx\ /о
~P Чт2+’’,т2+»Г77 , <8.1)
\ dx dy dz }
где wx> wv, wz — проекции вектора скорости w; p — плотность
жидкости; p — давление; ц— динамическая вязкость; / — уско-
рение силы тяжести, а в движущейся системе координат также
и ускорение сил инерции.
В правой части (8.1) по порядку представлены следующие
действующие силы: действие разности давлений с двух сторон
единичного объема в направлении оси х, проекция силы тяжес-
ти или инерции на ось х, действие силы трения в вязкой жид-
кости вследствие того, что соседние объемы могут ускорять или
тормозить рассматриваемый объем.
Последний член выражения отражает конвективный перенос
количества движения; его целесообразно переместить из правой
части уравнения в левую. Используя оператор полной или суб-
станциональной производной для движущейся среды
DjDt = d/di + ча)хд]дх+wyd!dy -j- isDjdldz
и оператор Лапласа А, запишем (8.1) в виде
<8-2)
Уравнения для трех координат запишем в векторной форме
DwlDt = — (1/р) vp + f + vAvv’ (8.3)
где — оператор Гамильтона.
139
Уравнение энергии. Это уравнение отражает баланс тепло-
вой энергии в фиксированной единице объема. Для неподвиж-
ной среды уравнение энергии имеет известную форму диффе-
ренциального уравнения теплопроводности (6.19). Уравнение
энергии для движущейся среды в случае, когда можно пренеб-
речь выделением или поглощением теплоты (ро=О), имеет вид
ср —- + wx-----\-wu---[-wz— = л-----------------, (8.4)
r k dt 1 Xdx ‘ y dz 1 Zdz I \dx2 ' dy2 ' dzi}' V '
или сокращенная запись после деления на ср:
Dti/Dt = a^. (8.5)
Уравнение неразрывности. Это уравнение выражает закон
сохранения массы в движущемся потоке при условии, что ни в
какой точке пространства не происходит накопления вещества
или возникновения пустот (разрывов):
« + £(₽«-,)+) + д4-(р®г)=о. . (8.6)
Имеется в виду, что плотность р может изменяться в зави-
симости от температуры и давления. При изотермическом те-
чении несжимаемой жидкости p=const и (8.6) приобретает вид
dwx/dx-]-dWy/dj-\-dwzldz—Q. (8,7)
Рассмотренные уравнения составляют систему, представляю-
щую математическую основу для анализа и расчета конвектив-
ного процесса теплопереноса. Следует признать, что непосред-
ственное решение этих уравнений в общем виде получено толь-
ко для сравнительно простых случаев и при дополнительных до-
пущениях. Но все же дифференциальные уравнения позволяют
выполнить приближенный расчет конвективного процесса в осо-
бо важных областях потока, таких, как пристеночный слой, что
очень важно для теории теплопередачи.
Другой областью практического использования рассмотрен-
ной математической модели является теоретическое обоснова-
ние метода физического подобия, на основе которого выполня-
ются анализ и обобщение опытных данных по конвективному
теплообмену, разрабатываются программы экспериментальных
исследований и способы обработки их результатов. Отметим,
что рассмотренное ранее уравнение Бернулли для потока жид-
кости можно получить как следствие из уравнения движения
Навье — Стокса.
§ 8.2. Пограничный слой
При протекании потока жидкости в трубах и каналах или
при внешнем обтекании тел в непосредственной близости от
твердой поверхности образуется особая зона — пограничный
140
lt>oa
Woo
Wi
Wj
WM ТМЯ
Переходная зона
Рис. 8.1. Изменение динамического погра-
ничного слоя на пластине
Вязкий
подслой
Тцрдулентный ,
пограничный слои
_______^-кр_____
Ламинарный
пограничный слой
и)х /
W
слой, играющий чрезвычайно важную роль в процессе конвек-
тивного теплообмена. Частицы жидкости или газа, находящие-
г ся в непосредственной близости от поверхности, как бы «при-
липают» к ней, и скорость потока в точке, находящейся на по-
верхности стенки, равна нулю. Тормозящее действие поверхно-
сти на поток распростра-
няется на некоторое рас-
стояние б от поверхности у
вследствие вязкого трения
в жидкости. Зона тормо-
жения потока называет-
ся динамическим погра-
ничным слоем (рис. 8.1).
Основная часть потока за 0
пределами пограничного
слоя называется ядром
потока или внешним по-
током. В динамическом
пограничном слое проис-
ходит резкое изменение
продольной составляю-
щей скорости шх от нуля
на стенке почти до максимума на его границе с внешним по-
током. Граница слоя проводится условно, поскольку скорость wx
приближается к Wco асимптотически.
Свойства пограничного слоя и его роль в конвективном теп-
лообмене. На рис. 8.1 показано изменение толщины и характе-
ра пограничного слоя при набегании потока на плоскую плас-
тину, расположенную параллельно его направлению.
Из опытов известно, что толщина слоя б нарастает по мере
продвижения вдоль оси х. Начальный участок динамического
пограничного слоя характеризуется ламинарным режимом те-
чения, который по мере увеличения толщины б теряет устой-
чивость и при некотором критическом значении хкр переходит
в турбулентный. Переход происходит при достижении числом
Рейнольдса Rex=^ooX/v критического значения, которое лежит
в пределах 104...4-106. При наличии возмущающих факторов
(турбулентности набегающего потока, шероховатости поверхно-
сти, препятствий в виде решетки при входе и т. д.) критическое
значение ReKp может существенно снижаться.
В турбулентном пограничном слое в непосредственной бли-
зости от поверхности стенки можно выделить особый вязкий,
или ламинарный, подслой толщиной бл, обусловленный малой
скоростью wx у стенки.
Допустим, что непосредственно у поверхности тела протека-
ет идеальный ламинарный поток, слои которого не перемеши-
ваются между собой, а на расстоянии б от поверхности он рез-
ко сменяется развитым турбулентным течением. Передача теп-
141
лоты от нагретой стенки к турбулентному ядру охлаждающего
потока происходит через ламинарный пограничный слой толь-
ко за счет теплопроводности, без участия конвективного тепло-
переноса, поскольку в рассматриваемом идеализированном слу-
чае в ламинарном слое отсутствует поперечное движение жид-
кости. За пределами пограничного слоя происходит интенсивное
выравнивание температуры жидкости за счет турбулентного пе-
ремешивания. Таким образом, ламинарный пограничный слой
можно рассматривать как плоскую стенку с малым коэффици-
ентом теплопроводности X, в которой сосредоточена основная
часть перепада температуры между поверхностью твердого те-
ла и ядром потока. Ядро, наоборот, ведет себя аналогично телу
с очень большим %, за счет чего температура в нем выравни-
вается. Сказанное относится не только к ламинарному погра-
ничному слою, но и к вязкому подслою турбулентного погра-
ничного слоя.
При таком максимально упрощенном подходе зависимость
между плотностью теплового потока q с поверхности и перепа-
дом температуры стенка — жидкость 6^ выражается с помо-
щью закона Фурье или закона Ома для плоской стенки </=
= 0со/7?т1^—Xd0/df/==X0oo/6. С другой стороны, на основании
формулы Ньютона — Рихмана
для конвективной теплоотдачи
Рис. 8.2. Распределение темпера-
туры в тепловом пограничном
слое
q — а0оо.
Таким образом, коэффициент
теплоотдачи а можно выразить
через толщину пограничного слоя
и коэффициент теплопроводности
неподвижной среды
а=Х/б. (8.8)
Тепловой пограничный слой.
Реальные процессы теплопереда-
чи в пограничном слое отличают-
ся от идеализированной картины.
Разница заключается прежде
всего в участии конвективных явлений в теплопереносе уже в
пределах пограничного слоя, в постепенном уменьшении произ-
водной д^/ду по мере удаления от стенки. На рис. 8.2 показан
характер изменения температуры вдоль оси у. Область измене-
ния температуры называется тепловым пограничным слоем, тол-,
щина которого А в общем случае отличается от толщины 6 ди-'
намического пограничного слоя. Коэффициент теплоотдачи в
реальном случае также можно выразить через X неподвижной
жидкости, используя закон Фурье
X d§
0оо dy
(8.9)
142
где 9оо=$о—'О’со — перепад температуры между стенкой и уда-
ленной областью потока.
Формула (8.8) в принципе остается справедливой, только
вместо 6 в ней нужно взять некоторую долю толщины тепло-
вого пограничного слоя А, зависящую от закона изменения
а~Х/Д. (8.10)
f Определение коэффициента теплоотдачи через критериаль-
ные зависимости. Теоретический анализ процессов в погранич-
ном слое позволил определить порядок его толщины. Если I —
характерный размер тела, например длина плоской пластины
в направлении х, то относительная толщина динамического и
теплового пограничных слоев имеет порядок
8/Z ~ 1/|/ЁёГд// ~ 1//Рё; (8.11)
где Rei—Wool/v — безразмерный критерий Рейнольдса; Ре==
=Wool/а — критерий Пекле.
Отношение обеих толщин
Д/8~ КЁё7Рё= 1//Рг?
где Рг— критерий (или число) Прандтля, зависящий только
от теплофизических свойств среды:
Pr=Pe/Re = v/a; (8.12)
v — кинематическая вязкость; а — коэффициент температуро-
проводности.
Для капельных жидкостей Рг>1, поэтому А<б, т. е. теп-
ловой пограничный слой лежит в пределах динамического слоя.
Для газов Рг<1, причем для воздуха при нормальных усло-
виях Ргл?0,7; следовательно, Д/б~1,2, т. е. разница толщин А
и б незначительна. Из соотношений (8.10)...(8.12) следует, что
а ~ (X/Z)]/Pe = (Х/Z) /Ёё/Рг. (8.13)
Так как Re=Woo, то as^oo0,5. Опыты подтверждают такую
зависимость а от скорости потока при ламинарном погранич-
ном слое; при турбулентном течении показатель степени при
Woo несколько иной.
Использование безразмерных чисел Re, Рг и т. п. упрощает
анализ конвективного процесса, поэтому КТО а также удобно
выразить через безразмерный критерий Нуссельта:
Nu = aZ/X=С Re”» Рг«. (8.14)
Формула (8.14) называется критериальной формулой кон-
вективного теплообмена. Постоянные С, т, п определяются
опытным путем либо с помощью теоретического анализа диффе-
143
ренциальных уравнений конвекции. Так, например, на основа-
нии (8.13) для данного случая можно принять т=0,5; /2=0,5
как результат простейшего рассмотрения явления.
§ 8.3. Применение теории физического подобия
к расчету теплоотдачи конвекцией
Решение задачи о конвективном теплообмене базируется на
математическом описании процесса конвекции и его условий
независимо от того, выполняется оно аналитически или основа-
но на использовании опытных данных. Процесс описывается
системой уравнений (см. § 8.1), в которую входят уравнения
движения (8.3), энергии (8.5) и неразрывности (8.7).
Условия однозначности при расчете конвективного теплооб-
мена. Условия однозначности — это условия, конкретизирующие
задачу и определяющие единственность ее решения, они вклю-
чают:
1) геометрические условия — форму и размеры тела, обте-
каемого потоком, или канала, вмещающего поток жидкости
(газа);
2) физические условия — свойства среды (р, X, с, ц, 0);
3) граничные условия — особенности процесса на границах
потока, например равенство нулю скорости у поверхности твер-
дого тела, равенство температур тела и среды на границе раз-
дела, исходные температура и скорость среды во входном сече-
нии канала (0О и №0) или на достаточно большом удалении от
тела при внешнем обтекании (0те и №ж). В качестве граничных
условий могут также задаваться альтернативно:
а) температура твердой поверхности или распределение тем-
пературы на ней;
б) плотность теплового потока через поверхность;
4) начальные условия — полные данные о процессе, т. е. о
скоростном и температурном полях в начальный момент вре-
мени (задаются только в нестационарной задаче).
Физическое подобие явлений конвективного теплообмена.
В решении задачи о конвективном теплообмене важнейшую роль
играют экспериментальные методы. Коэффициент теплоотдачи
поверхности определенной геометрической формы определяется
из опытов и выражается эмпирической формулой, позволяющей
распространять результаты ограниченного числа опытов на мак-
симально возможное число случаев. Наибольшая степень обоб-
щения опытных данных получается тогда, когда их обработка
делается на основе теории физического подобия. Ее применение
основано на анализе дифференциальных уравнений физического
процесса.
Простейший случай подобия — геометрическое, являющееся
первым необходимым условием физического подобия. Осталь-
ные условия подобия состоят в следующем:
144
1) физические явления (объекты) качественно одинаковы и
описываются одинаковыми уравнениями при аналогичных ус-
ловиях однозначности;
2) все величины, характеризующие явление, подобны, т. е.
в сходственных точках пространства в сходственные моменты
времени любая величина второго явления пропорциональна
однородной с ней физической величине ср' первого явления
(<р"/<р/=Сф).
Таким образом, для двух подобных явлений имеет место
система констант подобия:
размеров
Z7Z' = Q, (8.15)
температур
. (8.16)
промежутков времени
t"ltf=Ch (8.17)
скоростей
(8.18)
Существенно, что любая из них не может принимать произ-
вольные значения, независимые от других констант. Константы
подобия связаны определенными соотношениями, вытекающи-
ми из уравнений физического процесса. Для примера возьмем
уравнение энергии (8.6) для двухмерного течения жидкости и
рассмотрим два подобных потока. Подставим в него все пара-
метры, относящиеся ко второму потоку, но выраженные через
соответствующие параметры первого потока с помощью кон-
стант подобия:
8"=6'c&, /"=rc„ (8.19)
После вынесения констант за скобки получим
Очевидно, будет справедливо равенство
CQ/Ct=С^!С1=СаС^ = k, (8.21)
так как после деления (8.20) на k оно превращается в анало-
гичное уравнение, написанное для первого потока.
Равенство (8.21) выражает искомую взаимозависимость
между константами подобия. Его можно разложить на два
уравнения, из которых определяются любые две константы че-
рез остальные (за исключением Се, которая определяется из
других уравнений). Однако сами по себе константы С9 не пред-
145
ставляют интереса, поскольку относятся к частном}' случаю
сравнения двух случайно взятых подобных явлений. Для ана-
лиза подобных явлений рассматриваемого типа выведем из
(3.22) более общие зависимости. Приравнивая второе и третье
выражения из (8.21), сокращая и преобразуя, получим CwCi/
C^l. Подставим сюда вместо констант соответствующие от-
ношения
(ОТ(а'/а') = 1 (8.22)
и перегруппируем выражение следующим образом:
юППа" ==юТ 1аг. (823)
Из (8.23) следует важное свойство подобных явлений, со-
стоящее в том, что в них существуют комплексы, составленные
из величин, характеризующих явления, и подобие явлений сво-
дится к равенству этих комплексов в сходственных точках про-
странства. Указанные комплексы безразмерны, в чем нетрудно
убедиться на примере (8.23):
м
W 1 fa’fcp
Дж кг м-К
кг • К м3 Вт
Критерии подобия. Выражение (8.23) представляет собой
известное число Пекле. Для характеристики явления в целом,
а не в одной точке пространства, параметры, входящие в без-
размерные комплексы, необходимо брать из условий однознач-
ности. Например, в качестве скорости w надо брать скорость
в начальном сеиении потока ш0 при внутреннем течении или
Wo, на достаточном удалении от тела при внешнем обтекании.
В качестве размера I, характеризующего явление в целом, бе-
рут наиболее важный размер для рассматриваемой геометри-
ческой формы (длина плоской пластины, диаметр цилиндриче-
ского канала и т. п.), т. е. главный из размеров, входящих з
условия однозначности.
Безразмерный критерий, составленный по условиям одно-
значности, характеризует определенный комплекс свойств по-
добных явлений и называется критерием подобия. В рассмот-
ренном случае это критерий Пекле:
Ре=тсь//а. (8.24)
Составим уравнение из первого и третьего выражений (8.22),
в результате чего получим С/Са/С/2 = 1, откуда следует t a'I
Безразмерный критерий, соответствующий этому
выражению, — это число Фурье, аналогичное (7.80), которое
"можно рассматривать как безразмерное текущее время при не-
стационарном процессе:
Fo=6z///2. (3.26)
146
Из анализа уравнения движения (8.3) выводятся следующие
критерии:
критерий Рейнольдса (безразмерная скорость)
Re—w0//v;
критерий Эйлера (безразмерное давление)
Еи=р/(рв$; (8.26)
критерий Грасгофа, определяющий действие подъемной ар-
химедовой силы в нагретой жидкости в поле сил тяготения, вы-
зывающей естественную конвекцию,
Gr = g₽6Z3'v2; (8.27)
критерий Прандтля, позволяющий исключить из полученной
системы безразмерных комплексов критерий Пекле,
Pr = Pe/Re > v/я.
Очень важен для окончательного результата при анализе
конвективной теплоотдачи критерий Нуссельта (8.14), который
можно получить из (8.9) с помощью коэффициентов подобия,
в данном случае образующих соотношение
Са=СхС^/(С&^) или CaCi/Cx=]t
откуда Nu=a//X.
Если процессы конвективного теплообмена в двух различ-
ных системах тел, геометрически подобных друг другу, харак-
теризуются одинаковыми числовыми значениями критериев Re,
Рг, Gr и т. п., то, следовательно, существуют условия типа
(8.23) и подобие полей температуры и скорости. Таким обра-
зом, подобными будут процессы, для которых критерии подо-
бия одинаковы.
Критериальные уравнения. Подобие полей температуры и
скорости приводит к равенству критериев Нуссельта как в сход-
ственных точках рассматриваемых систем, так и применительно
к средним значениям КТО соответствующих поверхностей. Сле-
довательно, явление конвективной теплоотдачи можно описать
с помощью зависимости между критериями подобия
I ' Nu=/(Re, Pr, Gr, Fo). (8.28)
Эта формула называется критериальным уравнением. На
основании изложенного при проведении эксперимента с целью
определения критериальных уравнений теплоотдачи необходимо
выполнять следующие правила:
1) измерять величины, из которых составляются критерии
подобия;
2) результаты опыта обрабатывать к представлять в виде
критериев подобия;
147
3) результат, полученный из единичного опыта (конкретное
сочетание числовых значений критериев Nu, Re,...), распростра-
нять на все подобные явления;
4) результаты серии опытов представлять в виде критери-
альных зависимостей типа (8.28);
5) изменять условия опыта так, чтобы критерии подобия из-
менялись в нужных пределах, при этом желательно, чтобы при
изменении одного из критериев другие критерии оставались по-
стоянными.
Область применения критериальных уравнений можно рас-
пространить на тела одинаковой геометрической формы, не яв-
ляющиеся геометрически подобными (цилиндры с разными от-
ношениями длины к диаметру, каналы прямоугольного сечения
с разными соотношениями сторон и т. д.). В этих случаях кри-
териальное уравнение дополняется отношениями второстепен-
ных размеров (Zi, /2 и т. д.) к главному определяющему раз-
меру /, например
Nu = /(Re, Pr, Gr, Z/Z, Z2/Z,...). (8.29)
Практическое использование критериальных уравнений в
тепловых расчетах электрических машин заключается в опре-
делении с их помощью КТО конвекции
aK = NuX/Z, (8.30)
подставляемого затем в формулы тепловых сопротивлений Ra
(7.19).
Определяющие параметры критериальных уравнений. При
использовании критериальных уравнений очень важен правиль-
ный выбор определяющих параметров — температуры, размера,
скорости, которые необходимо выбирать так же, как это дела-
лось при обработке опытных данных и выводе используемых
критериальных уравнений. При этом придерживаются некото-
рых общих правил.
Скорость Шо берется по среднему значению во входном или
наиболее характерном сечении потока. Температура и размер
I в теории подобия не определяются однозначно; в качестве раз-
мера I принимают для течения вдоль плоскости длину плоско-
' сти в направлении течения, для круглого канала — его диаметр,
для канала некруглого сечения — гидравлический диаметр, при
внешнем обтекании цилиндрической трубы — ее внешний диа-
метр. В остальных случаях при использовании критериальных
уравнений для тепловых расчетов необходимо обязательно уточ-
нить, какой размер принят в качестве определяющего.
Определяющая температура — это температура, при которой
берутся теплофизические константы Pr, X, v, р и т. д., входя-
щие в формулы критериев подобия. Обычно за определяющую
берут температуру, заданную в технических расчетах или лег-
ко определимую. При вынужденной конвекции это, как прави-
148
ло, средняя температура потока жидкости за пределами погра-
ничного слоя
0,5 (8.31)
где Фо и — средние температуры в ядре потока во входном и
выходном сечениях.
При естественной конвекции за определяющую обычно бе-
рется средняя температура в пограничном слое
^₽-0,5 (0„ + &ж), (8.32)
где Ofc — средняя температура поверхности.
Использование критериальных уравнений несколько облег-
чается благодаря тому, что при вынужденной конвекции, за
исключением случая очень малых скоростей, не нужно учиты-
вать критерий Грасгофа;’следовательно,
NuB=/(Re, Pr, 1гЦ,...),
а при естественной конвекции не определяется критерий Рей-
нольдса, поэтому
Nue = /(Gr, Pr, Zx/Z,...).
§ 8.4. Критериальные уравнения теплоотдачи
при вынужденной конвекции
Вынужденное течение вдоль плоской поверхности было рас-
смотрено в § 8.2 на основании анализа процессов в погранич-
ном слое. Формулы, полученные эмпирическим путем, в основ-
ном соответствуют теоретическим. Опыты показывают, что для
капельных жидкостей условия теплообмена зависят от направ-
ления передачи теплоты. При охлаждении нагретой стенки бо-
лее холодной жидкостью вязкость в пограничном слое умень-
шается, что способствует усилению теплоотдачи, и, наоборот,
если теплота передается от более горячей жидкости к холод-
ной стенке, что имеет место в теплообменниках и двухступен-
чатых системах охлаждения, то теплоотдача ухудшается. В кри-
териальном уравнении это учитывается множителем
Л0 = сРг/Ргп)025, (8.33)
где Рг и Ртп — критерий Прандтля соответственно при темпе-
ратуре жидкости и температуре поверхности Фп.
Для воздуха, как и для других газов, обычно ввиду
слабого изменения Рг от температуры.
Критериальные уравнения можно выразить в компактной
форме с помощью комплекса
£0=Nu/[Pr°>43 <Рг/Ргп°25]. (8.34)
149
Для среднего КТО поверхности при турбулентном течении
Ло=0,037 Re0*8 (Re>4-104), (8.35)
при ламинарном
£0^O,66Re°>5. (8.36)
Параметры жидкости в критериях Re и Nu берутся, как и для
Рг, при средней температуре фж.
Режимы течения жидкости в трубах. При вынужденном те-
чении жидкости в трубах рост толщины пограничного слоя в
направлении течения ограничен естественным пределом — ра-
диусом трубы. Кроме того, по мере роста толщины динамиче-
ского слоя, если она сравнима с радиусом, увеличивается ско-
рость в центральной зоне течения, так как расход жидкости
постоянен.
Режим течения в трубе ламинарный при Re=wd/v<2000,
где w — средняя скорость жидкости, d — диаметр трубы. При
входе потока в трубу на ее стенках образуется ламинарный по-
граничный слой, который по мере удаления от входа утолща-
ется и на некотором расстоянии от него заполняет всю трубу.
Локальный коэффициент теплоотдачи при этом уменьшается
(нижняя кривая на рис. 8.3).
Рис. 8.3. Изменение КТО по длине трубы
(Re=©od/v, d=9,13 мм, вода)
Режим движения в трубе развитый турбулентный при Re>
>104 и переходный при Re=2* 103... 104. В этих случаях ла-
минарный пограничный слой на определенном расстоянии пе-
реходит в турбулентный; последний утолщается, пока не за-
полнит всю трубу. По мере развития ламинарного слоя КТО
снижается (рис. 8.3), а после перехода в турбулентный начина-
150
ет возрастать за счет усиления конвекции в турбулентном слое.
На некотором расстоянии от входа наступает стабилизация
теплообмена, когда тепловой пограничный слой заполняет всю
трубу, а температурное поле в сечении сохраняет подобие на
всем последующем пути потока. При этом местный КТО а* не-
изменен, однако средний КТО а/ уменьшается с увеличением
длины трубы ввиду снижения плотности теплопотока q(x)
вследствие уменьшения перепада температуры Д0(х) ==ftn(x)—
—Фж(х) к концу трубы.
При Re>5-104 турбулентный пограничный слой образуется
практически сразу при входе в трубу и стабилизация наступает
очень близко от входа (верхние графики на рис. 8.3).
Критериальные уравнения при вынужденном движении жид-
кости в трубе. Для турбулентного течения при l-104^Re^5X
Х106 и 0,62500 средний КТО определяется по (8.30) с
помощью формулы М. А. Михеева
Nu ==0,021 Re0’8 Рг°’43£ее,. (8.37)
Физические константы жидкости берутся по прил. 1 при ее
средней температуре (8.31), —по (8.33), е/=1 для ста-
билизированного течения и при отношении длины трубы к диа-
метру //d^50. Для более коротких труб вг> 1 и определяется
по табл. 8.1.
Таблица 8.1
Значения ez при l/d
Re 1 2 5 ю 15 20 30 40 50
Ы0« •1,65 1,50 '1,34 1,23 1,17 1,13 1,07 1,03 •' 1
2-10* 1,51 1,40 1,27 1,18 1,13 1,10 1,05 1,02 1
5-10* 1,34 1,27 1.18 1,13 1,10 1,08 1,04 1,02 1
1-105 1,28 1,22 1,15 1.Ю 1,08 1,06 1,03 1,02 1
ЫО8 «1,14 1.П .1,08 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1
менее 2-10» 1.9 1.7 1,44 1,28 1.18 1,13 1,05 1,02 1
По (8.37) можно рассчитать КТО в гладких трубах с любой
формой сечения: круглой, прямоугольной, треугольной, кольце-
вой (dz/dx — \...5,6), щелевой (а/b — до 40) и др.—-для всех
газов и капельных жидкостей. При этом в качестве определяю-
щего размера берется эквивалентный гидравлический диаметр
^эк=4£/П, где S — площадь сечения; П — длина смоченного пе-
риметра трубы (канала).
Для воздуха формула (8.37) упрощается:
Nu=0,018 Re°>8. (8.38)
151
В ламинарном режиме на коэффициент теплоотдачи кроме
скорости вынужденного течения влияет также свободная кон-
векция. Это влияние учитывает критерий Грасгофа; при Re^
^2‘103
Nu=0,17 Re0’33 Рг0’43 Gr0’1
(8.39)
Коэффициент влияния длины трубы Е/ определяется по ниж-
ней строчке в табл. 8.1.
На рис. 8.4 показано изменение комплекса ko при различ-
ных режимах течения. В области Re<2-103 режим ламинарный
40
20
10
8
б
4
2
1
0,8
0,6
0,4
Рис. 8.4. Теплоотдача при ламинарном и
переходном течении жидкости в трубах
На теплоотдачу в трубах влияет
и справедливо (8.39), при
Re>l-104 справедливо
уравнение турбулентного
режима (8.37), между
ними находится переход-
ный участок, для которо-
го критерий Nu =
= &0Рг0,43&е можно опре-
делить с помощью данно-
го графика.
Теплоотдача в изог-
нутых трубах возрастает.
Это учитывается умноже-
нием критерия Nu на ко-
эффициент
еизг=1+1,8г///?, (8.40)
где R —радиус изгиба
трубы.
также шероховатость сте-
нок.
Внешнее обтекание тел. В электрических машинах встреча-
ются случаи вынужденной конвекции при внешнем обтекании
тел, например охлаждение лобовых частей или трубок тепло-
обменников. Классический случай внешнего обтекания — обте-
кание цилиндрической трубы потоком, направленным перпен-
дикулярно ее оси (рис. 8.5, а, б).
При значениях числа Рейнольдса, характерных для прак-
тических условий, на обратной стороне цилиндра образуется
вихревая зона, что сопровождается отрывом пограничного слоя.
Это явление можно объяснить с помощью закона Бернулли.
После прохождения среднего (миделева) сечения поток начи-
нает расширяться, скорость падает, статическое давление соот-
ветственно повышается. Образуется градиент давления, направ-
ленный навстречу движению, и если в основном потоке он пре-
одолевается за счет динамического давления, то в пограничном
слое, где скорость существенно снижена, возникает обратное
152
движение жидкости. Пограничный слой отрывается от стенки,
между ним и стенкой сзади цилиндра образуются два симмет-
ричных вихря. При увеличении скорости потока вихревая зона
вытягивается, затем вихри периодически отрываются и уносят-
ся потоком, образуя за цилиндром вихревую дорожку.
Рис. 8.5. Обтекание цилиндра (а) и
распределение локального КТО (б):
/ — с отрывом ламинарного слоя (Re—70 800);
2 — с отрывом турбулентного слоя (Re“219 000)
Рис. 8.6. Схема расположе-
ния труб в коридорных (а)
и шахматных (б) пучках
При числах Рейнольдса Re=a/0rf/v^2* 105 наблюдается от-
рыв ламинарного пограничного слоя при угле <р=82° (случай
/, рис. 8.5), локальное число Нуссельта начиная от лобовой
точки (<р=0°) убывает за счет роста толщины б, а после от-
рыва растет под влиянием турбулентности в вихревой зоне.
При Re>2-105 в области безотрывного обтекания возника-
ет переход от ламинарного слоя к турбулентному, сопровож-
дающийся пиком Nu,. Турбулентный слой лучше сопротивляет-
ся отрыву, и место отрыва смещается к точке с углом (р«120°
(случай 2), где наблюдается провал кривой Ыиф.
Критериальное уравнение для определения КТО, усреднен-
ного по окружности цилиндра,
Nu = CRe^Pr°’3%. (8.41)
Коэффициенты уравнения (8.41) приведены в табл. 8.2.
Критериальные уравнения теплоотдачи пучков труб. Конвек-
ция при обтекании пучков труб зависит от их взаимного рас-
положения, которое может быть коридорным или шахматным
(рис. 8.6). Условия обтекания труб первого ряда близки усло-
виям обтекания одиночного цилиндра. Трубы последующих ря-
дов в коридорном пучке (рис. 8.6, а) находятся в вихревой зо-
не предшествующих рядов, и их теплоотдача возрастает.
153
В шахматных пучках (рис. 8.6, б) условия обтекания менее от-
личаются от условий для первого ряда.
Коэффициент теплоотдачи а для первого ряда составляет
60% от КТО третьего ряда, а второго ряда—90% при кори-
Таблица 8.2
Значения числа Рейнольдса Re Коэффициенты уравнения
С т
5...103 0,50 0,5
103...2-105 0,28 0,6
3-105...2-10в 0,023 0,8
дорном и 70% при шахматном пучках. Расчет КТО для треть-
его и последующих рядов можно выполнить по (8.41) и табл.
8.3.
Таблица 8.3
Условия обтекания пучка Коэффициенты
С т
Re<103 0,56 0,50
103^Re<2-106 (шахмат- ный пучок) 0,40 0,60
103s^Res^2-10B (коридор- ный пучок) 0,22 0,65
При воздушном охлаждении и Re> 103 формула (8.41) при-
нимает вид:
для шахматного пучка
Nu=0,37 Re°>6; (8.42)
для коридорного пучка
Nu=0,21Re°’4 • (8.43)
Определяющая скорость при расчете Re берется в месте
максимального сужения потока между трубами ряда.
При обдуве труб потоком, выходящим непосредственно из
вентилятора, КТО возрастает в 1,5 раза; при установке перед
трубами турбулизирующей решетки (неудобообтекаемой) уве-
личение составляет до 60%. С другой стороны, загрязнение по-
верхности труб в промышленных условиях снижает теплоотда-
чу в среднем на 20%.
Для улучшения теплоотдачи часто применяют трубы некруг-
лого сечения, а также оребряют внешнюю поверхность труб.
154
Пример. Трубка воздухоохладителя из третьего или последующего ряда
в пучке имеет диаметры D=15 мм, d=12 мм и длину /=0,4 м. Скорость
воды в трубке се;ж=0,85 м/с, начальная температура ^ЖО=20°С, скорость
поперечного обдува воздухом в наиболее узком сечении к/в = 12 м/с, тем-
пература притекающего воздушного потока’Ово=45 °C. Материал трубок —
сталь 10, расположение — шахматное, оребрение отсутствует, расстояние
между трубками ряда в свету 5=14 мм. Определить мощность теплового
потока, отводимого данной трубкой.
Теплопередача осуществляется от воздуха к воде через стенку трубки.
Примем среднюю температуру воздуха вокруг трубки ^п = йво = 45 °C и
определим для этой температуры по прил. 1 теплофизические константы
воздуха с помощью линейной интерполяции
v = [16,96 -h (18,97 — 16,96)-(45 — 40)/(60 — 40)] 10~б = 17,46-10-6 м2/с;
аналогично, Хв = 2,795• 10~2 Вт/(м-К);
Ув — 1,1И кг/см3; сРв~ 1005 Дж/(кг-К).
Критерий Рейнольдса (определяющий размер — D)
ReB = ze/BD/vB= 12-0,015/17,46-10-6= ЮЗЮ.
Это соответствует турбулентному режиму. Для шахматного пучка,
согласно (8.42), число Нуссельта NuB = 0,37-10310°-6=94,65; коэффициент
теплоотдачи, - по (8.30), cq = 94,65-2,795-10~2/0,015 = 176,4 Вт/(м2-К); пло-
щадь наружной поверхности трубки <$1 = лП/=л-0,015-0,4= 1,885-10~2 м2;
тепловое сопротивление воздух-стенка
= 1/(а151)= 1/(176,4-1,88-10-2) =0,3008 К/Вт.
Тепловое сопротивление стенки трубки, согласно (7.35), при АСт =
=59 Вт/(м-К) (см. прил. 2)
Яст = In (£>/4)/(2лХсг/) = In (15/12)/(2л59-0,4) = 0,0015 К/Вт.
Для воды, протекающей в трубке, приняв Ож=20°С возьмем по таб-
лице прил. 1:
v« = 1,006 • 10-6 м2/с; Хж = 0,599 Вт/(м • К);
Ргж = 7,02; уж = 998 »2 кг/м3; = 4183 Дж/(кг - К).
Определим число Рейнольдса: Re» = w*d/vw = 0,85-0,012/(1,006 10~е) =
= 10 140. Поскольку это значение соответствует турбулентному режиму,
используем формулу (8.37); согласно табл. 8.1, при Re« 104 и l/d=>
= 0,4/0,012=33,3 возьмем е/=1,06; предварительно примем =1,0. Таким
образом, Nu«=0,021 -10140°»8 - 7.020-43 -1,0 • 1,06=82,5.
Коэффициент теплоотдачи от стенки трубки к воде, согласно (8.30),
«2=82,5-0,599/0,012=4120 Вт/(м2-К). Площадь внутренней поверхности
трубки
S2 = jUf/ = я.0,12-0,4= 1,508-10-2 М2;
тепловое сопротивление стенка — вода
Я2 = 1/(O2S2>= 1/(4120.1,508-10-2) = 0,0161 К/Вт.
Сумма трех последовательных сопротивлений R=Rl4-RCT4-R2=0,3008+
+0,00154-0,0161=0,3184 К/Вт. Предварительное значение теплового потока
Q = (&в _ &Ж)/Д = (45 - 20)/0,3184 = 78,5 Вт.
Для уточнения средних температур потоков газа и жидкости опреде-
ляем изменение их температур за счет теплообмена. Предварительно рас-
считаем расход воздуха, приходящийся на одну трубку,
QB = wBbl = 12-0,014-0,4 = 6,72-10“2 М3/с
155
и расход воды в трубке
= WjK (л/4) = 0,85 (л/4) 0,0122 =9,61. Ц)-5 мз/с,
Снижение температуры воздуха при обтекании трубки
Д&в = Q/(YbCpbQb) = 78,5/(1,111 • 1005-6,72-10-2) = 1,05 °C;
подогрев воды в трубке
Д&ж = С/(Уж^жРж) =78,5/(998,2-4183-9,61-10-5) = 0,20 °C.
Средние температуры соответственно
Гв = 8ВО - ДВа/2 = 45-1,05/2 = 44,5 °C;
8ж = »жо+А»ж/2 = 20 + 0,2/2 = 20,1 °C.
Уточнение теплофизических констант при столь малом отклонении тем-
ператур от предварительно принятых значений не требуется.
Для определения коэффициента в (8.37) найдем перепад темпера-
тур между стенкой и жидкостью
Д02 = = 78,5 0,0161 = 1,26°С
и среднюю температуру стенки
=*8ж + Д^2 = 20,1-h 1,26=21,35 °C.
Критерий Прандтля для воды при этой температуре получим с по-
мощью интерполяции
Ргп =7,02 + (5,42 - 7,02)-(21,36 - 20)/(30 - 20) =6,80.
Согласно (8.36), /гд = (7,02/6,8) °»25= 1,008, изменением Nu» и R2 менее
1% можно пренебречь.
Таким образом, уточнение теплового потока связано только с опреде-
лением средних температур
Q = (44,5— 20,1)/0,3184 =76,6 Вт.
Это всего лишь на 2,5% отличается от предварительного значения.
§ 8.5. Естественная конвекция
Естественная конвекция в практике охлаждения электриче-
ских машин имеет ограниченное использование: в устройствах
без вращающихся частей и принудительного охлаждения
(трансформаторах, индукционных регуляторах и т. п.), при теп-
лоотдаче корпусов закрытых необдуваемых машин, при осты-
вании машин в неподвижном состоянии в промежутках между
периодами работы.
Если машина не имеет вентилятора, то ее внутренние части
охлаждаются Bde же не естественным путем, а за счет вынуж-
денной конвекции благодаря вращению ротора или якоря.
Естественная конвекция в неограниченном пространстве.
Естественная конвекция происходит под действием разности
плотностей нагретых и холодных частей в объеме жидкости
(газа), вследствие чего на более нагретый объем действует
подъемная архимедова сила. Этот процесс наиболее явно выра-
156
жен при соприкосновении жидкости с горячей вертикальной
стенкой. В этом случае температура жидкости изменяется в
направлении оси у так же, как и при вынужденной конвекции
(рис. 8.7).
Скорость восходящего течения имеет нулевые значения не-
посредственно у стенки за счет
но большом удалении от нее.
Конвективный теплообмен не
захватывает отдаленные облас-
ти и происходит только в пре-
делах пограничного слоя, тол-
вязкого трения и на достаточ-
Рис. 8.7. Распределение тем-
пературы и скорости по тол-
щине пограничного слоя у
вертикальной стенки при
свободной конвекции
Рис. 8.8. Характер про-
цесса естественной кон-
векции у вертикальной
стенки и изменение КТО
по высоте
щина которого б примерно соответствует размеру области вос-
ходящего конвективного потока жидкости.
На рис. 8.8 показан характер развития пограничного слоя
по мере движения конвективного потока вверх вдоль стенки.
Внизу возникает ламинарный пограничный слой, который с
подъемом увеличивается по толщине, вследствие чего локаль-
ный КТО ах уменьшается. При значительной толщине 6 погра-
ничный слой становится неустойчивым, а режим течения — пе-
реходным (локонообразным). Ввиду появления турбулентности
КТО увеличивается. Еще выше развивается турбулентный ре-
жим с вязким подслоем, и ах стабилизируется.
Критериальное уравнение теплоотдачи естественной конвек-
цией. Расчет КТО выполняется по (8.30) с помощью универ-
сального уравнения, предложенного М. А. Михеевым:
Nu=C(GrPr№. (8.44)
Параметры среды берутся по прил. 1 при средней темпера;
туре пограничного слоя фср (8.32), причем в качестве 'Ож
157
принимается температура среды на достаточном удалении от
поверхности. Критерий Грасгофа рассчитывается через таблич-
ный коэффициент Gr= (gP/v2)Z36. Коэффициент kQ определяется
по (8.33).
За определяющий размер I принимается: для вертикальной
поверхности любой формы — размер по вертикали; для гори-
зонтального цилиндра или шара — диаметр; для горизонталь-
ной поверхности — меньший из размеров площадки.
Параметры формулы (8.44) берутся из табл. 8.4 в зависи-
мости от режима течения, определяемого величиной произведе-
ния (GrPr).
Таблица 8.4
Значения произве- дения ОгРг Коэффициенты Режим теплопередачи
С п
До Ю-3 0,5 0 Теплопроводность в неподвижной среде (пленочный режим)
10-3...5-102 1,18 1/8 Теплопроводность при слабом ла- минарном течении
5-10а...2-107 0,54 1/4 Ламинарный режим
2«107,..Ю13 0,135 1/3 Турбулентный режим
Коэффициент теплоотдачи, рассчитанный по формуле для
горизонтальной поверхности, обращенной вверх, нужно увели-
чить на 30%, для обращенной вниз — уменьшить на 30%.
Коэффициент теплоотдачи можно выразить из (8.44):
ак=/АД8^0//1-3л, (8.45)
где Ak — коэффициент, зависящий только от определяющей
температуры и режима конвекции:
ЛА=СХ[₽^/(ш)]«. (8.46)
При естественном воздушном охлаждении коэффициенты
Ло, Ль Л2, Лз для соответствующих четырех режимов, указан-
Таблица 8.5
Ло Л! Лз А
0 1,18 0,29 1,39 1,66
40 1,32 0,30 1,33 1,50
80 1,46 0,31 1,28 1,39
120 1,60 0,32 1,24 1,29
160 1,72 0,326 1,20 1,205
158
ных в табл. 8.4, приведены в табл. 8.5. Формулы для отдель-
ных режимов будут следующими:
пленочный режим ак=До/(МО2);
слабое ламинарное течение ак=^1А01/8/-5/8;
ламинарный режим aK=A2(A0/Z)1/4;
турбулентный режим ак=Л3Д61/3 (определяющий размер
I—в метрах).
Вместо того чтобы определять вид режима по (GrPr). мож-
но рассчитывать оск по разным формулам и брать больший из
результатов.
§ 8.6. Лучистый теплообмен
Излучение — это процесс переноса энергии посредством
электромагнитных волн от излучающего тела к телам, располо-
женным в окружающем пространстве. Тепловая энергия пере-
носится в наибольшей степени инфракрасными лучами с дли-
ной волны Х==О,8...4О мкм (для видимого света Х=0,4...0,8 мкм).
Интенсивность излучения тела зависит от его физической при-
роды, состояния поверхности и температуры нагрева. При
обычных рабочих температурах электрических машин за счет
излучения отводится количество теплоты, сравнимое с тепло-
отводом естественной конвекцией в воздухе. Излучение может
быть основным средством охлаждения при отсутствии конвек-
ции (условия вакуума или невесомости без принудительного
охлаждения).
Основные свойства излучения. Свойства инфракрасного из-
лучения аналогичны свойствам светового: прямолинейное распро-
странение, способность поглощаться, отражаться или прелом-
ляться при встрече с какими-либо телами. Поглощенная лучи-
стая энергия превращается в тепловую, которая может повы-
сить температуру тела и усилить его собственное излучение.
Отраженная или прошедшая сквозь тело энергия (преломлен-
ные лучи) может поглотиться другими телами. После ряда
отражений, преломлений, поглощений вся энергия излучения
полностью распределяется между окружающими телами, пре-
вращаясь в тепловую.
Каждое тело непрерывно излучает и поглощает лучистую
энергию, в результате чего осуществляется процесс лучистого
теплообмена. У тела с большей температурой по сравнению с
окружающими телами излучение энергии преобладает над по-
глощением, и наоборот. Общее количество лучистой энергии Q,
проходящей в единицу времени через какую-либо поверхность
S, называется лучистым потоком. Лучистый поток имеет раз-
мерность мощности, как и тепловой поток.
Поверхностная плотность излучения или удельный лучистый
поток — это мощность излучения с единицы поверхности по
Всем направлениям: E=Q/S.
159
ч
Тело, полностью поглощающее падающую на его поверх-
ность энергию, называется абсолютно черным телом.
Закон Стефана—Больцмана устанавливает для абсолютно
черного тела связь между поверхностной плотностью собствен-
ного излучения и абсолютной температурой тела Т
£са=СоП (8.47)
где сг0=5,673* 10~8 Вт/(м2*К4)—постоянная Стефана—Больц-
мана.
Более удобная форма
Еса = 5,67(Г/100)4. (8.48)
Если на поверхность тела падает лучистый поток с плотно-
стью Епад, то для поглощенной, отраженной ,и пропущенной
(преломленной) составляющих имеет место
равенство
^пад == 4-Ео + Е^ (8.49)
Рассмотрим непрозрачное тело, для кото-
рого ЕПр = О. Такое тело характеризуется пог-
лощательной способностью, или степенью чер-
ноты, г=Еп!Епа^^\ (для абсолютно черного
тела е=1) и отражательной способностью
Ео/ЕПад^1—е. Общее (суммарное) излучение
тела выражается суммой собственного и отра-
женного излучения:
ЕЕ = Ес + Епад(1-£), (8.50)
где Ес — собственное излучение тела, опреде-
ляемое его температурой и природой.
Формула излучения. Рассмотрим лучистый теплообмен двух
параллельных плоскостей большой протяженности (рис. 8.9).
Суммарное излучение каждой плоскости, согласно (8.50), соот-
ветственно
+ (1-ер
Е*Е2 == ЕС2 4” Е'пад2 (1 “ е2?
но так как
^"пад== ^12, Е^пад2==^,£1>
то, следовательно,
Е'л ==ЕС1 4“-^12 (1 ®1)>
Ее2 = -^с2 4-Ej.i (1 —82).
Рассмотрим случай термодинамического равновесия (Т^Тг),
тогда для каждого тела приход и расход энергии равны, так
как односторонняя передача энергии, согласно законам термо-
Рис. 8.9. Теплооб-
мен двух парал-
лельных плоскос-
тей при равновес-
ном излучении
(8.51)
(8.52)
(8.53)
(8.54)
160
динамики, возможна только при разности температур. Таким
образом, и из (8.54) вытекает, что для каждого
тела в равновесном режиме
Ес=еЕъ. (8.55)
Пусть первое тело абсолютно черное (ej = l), тогда для него
Eca—Ecl=Ez; следовательно, для второго тела (нечерного), со-
гласно (8.55),
£*с2 = e2fB = цЕса. (8.56)
Следовательно, в общем случае собственное излучение тела
равно собственному излучению абсолютно черного тела при той
же температуре, умноженному на поглощательную способность
или на степень черноты рассматриваемого тела. Абсолютно
черное тело, для которого е=1, обладает свойством излучать
при данной температуре наибольшее количество теплоты по
сравнению с иными телами при прочих равных условиях.
Следствием из данного правила и закона Стефана—Больц-
мана (8.51) является формула излучения серого тела (тела,
спектр излучения которого подобен спектру абсолютно черного
тела)
Ес = еа0Г4 = е -5,67 {Т/ ЮО)4. (8.57)
Вывод формулы Стефана—Больцмана. Рассмотрим тот же
случай (рис. 8.9), но при условии 1\>Т2, когда преобладает
лучистый поток с первого тела на второе. Результирующую
теплопередачу от первого тела ко второму можно выразить
через разность плотностей лучистых потоков энергии от тела 1
к телу 2 и в обратном направлении:
= —^*s2’ (8.58)
Для определения плотности лучистых потоков решим систе-
му уравнений (8.54):
Ец= = -gs-2-- £<‘ (! ~S>.. (8.59)
е1+ь2~Е1е2 «1 +*2 — 4*2
Подстановка (8.59) в (8.58) с учетом (8.57) дает
<712 = (£l3o7,4ls2— е2а07'4е1)/(£1 + £2“ е1-2);
после деления на (eies) получим формулу Стефана — Больцма-
на для расчета лучистого теплообмена
^12=5,67е12[(Г1/100)4~(Г2/100)4], (8.60)
где ei2 — приведенная степень черноты для параллельных плос-
костей большой протяженности:
е12= 1/(1^+l/s2-D- (8.61)
6—1268 161
Таблица 8.6
Материал и состояние поверхности Температура поверхности. °C Степень черноты е
Алюминий шероховатый 26 0,055
Алюминий сильно окисленный 35 и более 0,20...0,31
Силуминовое литье 100 и более 0,16...0,22
Медь чистая 20 0,15
Медь окисленная 20 0,6
Сталь листовая холоднокатаная 93 0,075...0,035
Сталь листовая оксидированная 20 0,7...0,8
Чугун 20 0,25
Ковкое железо 20 0,95
Латунь прокатанная 22 0,06
Латунь тусклая 50 и более 0,22
Поверхность гальванопокрытий 20 0,23...0,28
Асбестовый картон, бумага, ткань 20 и более 0,93
Лак белый 40...95 0,8...0,95
Лак черный матовый 40... 100 0,96 ...0,98
Краски эмалевые различных цве- 20... 100 0,92
то в 0,92...0,96
Краски матовые различных цветов 100
Краска алюминиевая Штукатурка шероховатая извест- 100 0,28
10...90 0,91
ковая 0,93
Красный кирпич шероховатый 20
Степень черноты различных материалов. В табл. 8.6 приве-
дены опытные значения е для ряда материалов, образующих
теплоизлучающие поверхности в электрических машинах, а
также в лабораторных и производственных помещениях. Наи-
меньшие значения е характерны для чистых поверхностей цвет-
7
Рис. 8.10. Лучистый теплообмен между
телами в замкнутом пространстве: выпук-
лое тело внутри другого (а); система из
невогнутого и вогнутого тел (б); система
из двух вогнутых тел (в)
ных металлов, у чер-
ных металлов они не-
сколько больше. Зна-
чительное повышение
степени черноты проис-
ходит при окислении
металлов. Волокнистые
материалы и лакокра-
сочные покрытия име-
ют степень черноты
обычно не менее 0,9.
Теплообмен в замк-
нутой системе тел. Рас-
смотрим лучистый теп-
лообмен между телом
1 с выпуклой или вогнутой поверхностью и окружающей его
замкнутой оболочкой 2 (рис. 8.10, а). В отличие от лучистого об-
мена между протяженными параллельными плоскостями здесь
суммарный лучистый поток любого из тел в общем случае де-
162
лится на две составляющие, первая из которых — поток взаим-
ного облучения — падает на поверхность другого тела, а вто-
рая— поток самооблучения — падает опять на поверхность то-
го же тела. Свойство самооблучения характерно для вогнутых
поверхностей. В системе двух тел это свойство описывается ра-
венствами
QeI — Q12 4" Qll» Qe2 = Q21 Н"^22» (8.62)
где QIb Qx2—суммарные лучистые потоки; Qi2; Q21— потоки
взаимного облучения; Qlb Q22 — потоки самооблучения.
Угловые коэффициенты облучения показывают, Какая часть
потока одного тела попадает на поверхность другого:
?12=Q12^Qe1» ?21 =Q21/Qe2* (8.63)
Составим уравнения баланса лучистых потоков в системе
двух тел аналогично (8.50), учитывая, что каждое из них излу-
чает собственный поток и отражает часть падающего на него
потока, который складывается из потока взаимного облучения
от другого тела и потока самооблучения:
Qsi = Qci 4~ (Q21 + Qi 1) (1 — ei)>
Qs2= Qc2 4* (Q12 4“ Q22) (1 ег)*
Используя (8.62) и (8.63), найдем решение системы относи- •
тельно суммарных потоков Qzi и Qi2*
Qsl^iQcll^ + ^il (1 ~S2)]4~Qc2Chl(l— (8 64)
Qs2 = {Qc2 [el + ?12 (1 “ el)] + Qcl?12 (1 — eJ}/D J
где D — определитель системы уравнений:
(8.65)
Результирующий тепловой поток, передаваемый от первого
тела ко второму,
Р 12 = Q12 Q21 — TiaQsl ?21Qe2« (8.66)
Подставляя потоки (8.64) в (8.66) и учитывая (8.57), пос-
ле приведения подобных членов получим
р ___ ?21^2^2) (8 67)
12 1 +?12(1/®1—0 + Т21(1/82—О
Проанализировав выражение (8.67) в равновесном режиме
(Т[=Т2), когда теплопередача невозможна и, следовательно,
Р12=0, получим правило, называемое свойством взаимности лу-
чистых потоков:
Ф12^1 — % 1^2* (8.68)
6* 163
i л
I
Используя это свойство, на основе (8.67) запишем общее
выражение для теплообмена между телом и оболочкой:
Р\2 “ 5J67&i2?i2'^i [(7* 1/100)< — (Т2/100)4],
где приведенная степень черноты
е12 — [1 “Н?12(1/£1 — 1) + ?21 (Vs2— I)]”4.
(8.69)
(8.70)
В частном случае выпуклого тела 1 ввиду отсутствия само-
облучения <pi2=l. Из (8.68) следует, что при этом q)2i=Si/S2
и общая формула приводится к виду
Р12=5,67е1251[(Г1/100)4-(Л/100)4],
(8.71)
где
е12— —
L ч
*1
52
1-1
(8.72)
1
52
При излучении тела 1 в окружающее пространство можно
принять Si4cS2; следовательно, ф21—0, в результате этого в
формуле (8.71) ei2==ei. Такой же вывод будет получен, если
считать окружающее пространство эквивалентным абсолютно
черному телу (е2=1).
Свойства замыкаемости и совмещаемости лучистых пото-
ков, излучение с ребристой поверхности. Система тел, изобра-
женных на рис. 8.10, а, б, в, обладает свойством замыкаемости,
которое заключается в том, что лучистые потоки не имеют вы-
хода к другим телам. На рис. 8.10, б, в поверхности 1 и 2 сое-
диняются, однако формула (8.69) остается при этом справед-
ливой. Также справедливо уравнение (8.71), если поверхность 1
невогнутая (рис. 8.10, б).
Очевидно, что, если поверхность 1 (рис. 8.10, в) заменить
плоскостью ad, то при этом лучистые потоки Q21 и Q22 не из-
менятся; следовательно, согласно (8.63), коэффициент <p2i оста-
нется постоянным. В этом про-
является свойство совмещаемо-
сти замкнутых систем, из кото-
рого следует, что при любом
изменении формы вогнутой по-
верхности /, включая замену
ее плоскостью ad, благодаря
условию cp2iS2=const и с уче-
том (8.68) сохраняется равен-
ство <p2i<Si = Sad, где Sad — ПЛО-
щадь плоскости ad (для невог-
нутой поверхности ad <pi2=l).
Свойство совмещаемости
позволяет решить вопрос о лучистой теплоотдаче оребренной
поверхности корпуса электрической машины (рис. 8.11). Поверх-
ность Si можно заменить на каждом междуреберном участке
плоскостью adt в результате реальная поверхность Si заменя-
-
\
Рис. 8.11. Излучение оребренной
верхности
5об
ПО-
164
ется «обтягивающей» S06 без какого-либо изменения условий
теплообмена с окружающей средой (поверхность S2). Посколь-
ку поверхность S06 невогнутая, для нее будет действительна фор-
мула (8.71), принимающая вид
Л = 5,676150б [(Л/100)4 - (Г2/100)4]. (8.73)
5об может считаться эффективной поверхностью излучения.
Коэффициент теплоотдачи излучения; результирующий КТО.
Введем понятие о коэффициенте теплоотдачи излучением ал по
аналогии с конвективной теплоотдачей. Использование КТО
подразумевает обращение к формуле Ньютона—Рихмана
Pi2=аА (&j - &2) = «А (7\ - Т2). (8.74)
Учитывая (8.71) при Ei2=ei, получим
а 5.67eiSt [(74/100)4 - (Г2/100) ]
л Ш-Ъ)
После сокращения запишем
ал = 5,678^ (8.75)
где k$— коэффициент, учитывающий влияние температуры на
КТО согласно закону Стефана—Больцмана:
йв=(Г1 + 7’2)(7’?+Г?).1О-8. (8.76)
При изменении температур в пределах $1 = Ю...140°С, '&0==
= 5...10°С, £*=0,89...2,44.
Теплоотдача в газовой среде происходит одновременно кон-
векцией и излучением. Оба эти процесса не влияют друг на
друга, поэтому результирующий коэффициент теплоотдачи ра-
вен сумме КТО конвекции и излучения:
аа=«к + ал- (8.77)
Так, например, при естественном воздушном охлаждении
корпуса электрической машины можно использовать формулу
as = Nu X/Z + 5,67ех/г&. (8.78)
При естественном охлаждении оребренной поверхности ко-
эффициенты ак и ал относятся к разным площадям, поэтому
тепловая проводимость к окружающей среде
А^аА + аД*, (8.79)
где SK — эффективная площадь охлаждения конвекцией.
При вынужденном воздушном охлаждении ал составляет
не более нескольких процентов от ах, поэтому отдельно не учи-
тывается. В этом случае КТО ак, определяемый по эмпириче-
ской формуле, содержит также лучистую составляющую, по-
165
скольку в эксперименте по определению ак для электрических
машин эта составляющая обычно не исключается. Коэффици-
ент теплоотдачи излучением не учитывается при жидкостном
охлаждении и при внутреннем охлаждении в каналах электри-
ческих машин.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие свойства потока отражаются в уравнениях движения, энергии
и сплошности?
2. По каким причинам возникает пограничный слой и какую роль он
играет в конвективном теплообмене?
3. В какой степени коэффициент теплоотдачи зависит от скорости по-
тока?
4. Охарактеризуйте основные критерии физического подобия конвектив-
ного процесса.
5. Что такое определяющие параметры критериального уравнения?
6. В чем состоят основные отличия конвективной теплоотдачи при есте-
ственной конвекции от вынужденной?
7. Что выражает закон Стефана—Больцмана и какие факторы он учи-
тывает?
8. Как рассчитывается КТО при совместном действии конвективной и
лучистой теплоотдачи?
Раздел 4
ТЕПЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
ГЛАВА 9
ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Непосредственной задачей теплового расчета является опре-
деление температуры активных частей машины с целью про-
верки выполнения требований по допустимому уровню нагрева,
указанных в ГОСТе или в техническом задании на проектиро-
вание. Тепловой расчет электрической машины выполняется,
как правило, для ее номинального режима работы при устано-
вившемся состоянии нагрева. Однако в ряде случаев требуются
расчеты и для нестационарных режимов нагрева, в том числе
при нагрузках, отличных от номинальной. В результате расчета
могут быть определены температурные поля в наиболее нагре-
тых зонах активных частей машины, к которым в первую оче-
редь относятся ограничительные требования. Значительно чаще
бывает достаточно ограничиться более простым расчетом сред-
них превышений температуры, в частности для обмоток, по-
скольку они легко измеряются методом сопротивления при
испытаниях машин и их допустимые значения даны в стан-
дартах.
§9.1. Основные методы теплового расчета
Тепловые расчеты электрических машин основаны на мето-
дах расчета температурных полей (см. гл. 7). Активные части
машин — обмотки, сердечники, контактные узлы — являются
источниками потерь и рассматриваются как тела с внутренни-
ми распределенными источниками теплоты, которые контакти-
руют между собой и с неактивными деталями конструкции при
граничных условиях 4-го рода. Все нагретые элементы машин,
соприкасаясь с внешней охлаждающей средой или с промежу-
точным теплоносителем, отдают теплоту с поверхности при гра-
ничных условиях 3-го рода. Граничные условия 1-го и 2-го ро-
да встречаются редко.
167
Влияние условий охлаждения на тепловой расчет. Тепловой
поток может передаваться от места выделения потерь к охлаж-
дающей среде по кратчайшему пути, как в случаях непосред-
ственного охлаждения обмотки газом или жидкостью, омыва-
ющими полые проводники изнутри или при охлаждении
однослойных обмоток, выполненных из неизолированных про-
водников и т. п. В случаях непосредственного охлаждения пре-
вышение температуры проводников над охлаждающей средой
состоит практически из одной составляющей, которую можно
назвать внешним перепадом температуры:
Д0а^Р/(а5)=Р/?а. (9.1)
Более широко распространены условия теплоотвода, когда
тепловой поток, прежде чем достичь поверхности, вынужден
преодолевать электрическую изоляцию проводников и катушек,
которая имеет свойства, сближающие ее с теплоизоляцией. При
этом к внешнему перепаду температуры добавляется внутрен-
ний Д0Х:
ДО=ДОх + дба = Р(^+/?а), (9.2)
где — тепловое сопротивление изоляции, в том числе много-
слойное.
Такие условия характерны для лобовых частей обмоток, для
полюсных катушек. В сходных условиях происходит теплоотда-
ча сердечников с их внешних поверхностей и поверхностей вен-
тиляционных каналов. Внутренний перепад температуры Д0Х в
сердечниках возникает за счет изоляции между листами пакета
и за счет теплового сопротивления самой стали, поскольку дли-
на пути теплопотока по стали получается значительной, а ее
коэффициент теплопроводности на порядок ниже, чем у меди.
Более сложный случай относится к теплоотводу от пазовой
части обмотки, где поток преодолевает изоляцию проводников
и паза, затем тепловое сопротивление стали, прежде чем рас-
сеется с поверхностей сердечника. Аналогичные условия наблю-
даются при отводе теплоты через внутреннюю поверхность по-
люсной катушки на ее сердечник. Следует иметь в виду, что
кроме изоляции на пути потока могут встречаться воздушные
промежутки, обладающие наиболее значительным сопротивле-
нием. Таким образом, внутренний перепад Д0Х складывается
из нескольких составляющих, а сопротивление^ Rk — из ряда
последовательных и параллельных сопротивлений. Темпер ату р-
ное поле в этих условиях является трехмерным в неоднородной
среде, в телах, конфигурация которых не сводится к элемен-
тарным случаям плоской или цилиндрической стенки.
Основные методы теплового расчета. В соответствии с раз-
нообразием условий теплоотвода для теплового расчета исполь-
зуются различные методы.
168
Метод точного или приближенного аналити-
ческого решения уравнений для трех- или двухмер-
ных температурных полей обычно применяется при значитель-
ной неравномерности температурного поля. При этом зачастую
требуются определенные упрощения геометрической формы и
граничных условий в математической модели.
Численный метод сеток применяется в подобных
случаях, но не требует значительных упрощений формы рассчи-
тываемых областей пространства.
Метод одномерного температурного поля
применяется для расчета распределения температуры по длине
обмоток и других частей электрических машин. Основан на при-
ведении трех- и двухмерных полей к одномерному путем упро-
щенного представления теплопередачи вдоль всех осей коорди-
нат, кроме одной, с помощью дискретных параметров (тепло-
вых сопротивлений).
Метод тепловых схем (ТС) основан на широком исполь-
зовании тепловых сопротивлений, которые соединяются в тепло-
вую сеть, имитирующую реальные пути передачи тепловых по-
токов в машине. Этот метод можно рассматривать как логиче-
ское продолжение предыдущего, когда упрощение выполняется
для всех координатных осей без исключения. Можно также
провести его аналогию с методом сеток, рассматривая тепло-
вую схему как сетку с укрупненными ячейками.
Метод ТС получил наиболее широкое распространение вви-
ду простоты и достаточной точности расчета. Недостаток мето-
да заключается в том, что он
дает не полную картину тем-
пературного поля, а только не-
которые средние значения тем-
пературы для отдельных эле-
ментов машины.
Тепловая схема при двух-
мерном поле. Считается, что в
основе метода ТС лежит пред-
ложенный Р. Зодербергом в
1931 г. принцип приближенно-
го расчета двухмерного поля
на основе замены его двумя од-
номерными, сущность которого
можно показать на следующем
примере. Рассмотрим прямо-
угольный брус с равномерно
распределенными источниками теплоты р0> имеющий симметрич-
ные условия охлаждения при граничных условиях 3-го рода
аналогично рис. 7.12, но при разных КТО ах, ау и КТП кх, Ху.
На рис. 9.1 ввиду симметрии показан один квадрант сечения
бруса.
Рис. 9.1. Квадрант сечения прямо-
угольного бруса
169
Основное допущение метода состоит в том, что в уравнении
теплопроводности (7.75) принимается
д2Ь!дх2—const, д2Ь}ду2—const, (9.3)
благодаря чему ДУ в частных производных распадается на два
обыкновенных. Каждое из уравнений описывает поле в некото-
рой плоской стенке, для расчета которого удобно применить
тепловые схемы (рис. 7.2, в, 7.5, а). Таким образом, брус рас-
сматривается как две пересекающиеся плоские стенки 1 и 2 с
распределенными источниками теплоты
Poi + Po2=Po. (9.4)
связанные одинаковым средним превышением температуры 0ср.
Сопротивления эквивалентной тепловой схемы равны
Ях= R» + =~ + .
G.xbl \ CCjf ЗКх /
=-4+=Л (4-+£-) • (9-6)
* и у ayal 3\yal al \ }
где / — длина бруса.
К узлу необходимо подвести источник теплоты
Р=р^Ы. (9.7)
С помощью полученной схемы по правилу параллельного
сложения сопротивлений определим
bcf=PR^PRxRuKR^Ry). (9.8)
Погрешность данного приближенного решения зависит от
критериев Био и принимает максимальное значение в случае
Bix=a/z/Xx=cc, /В 1у—ауЬ/Ху = оо, (9.9)
составляющее около 4% для 0Ср и 7,5% для 0П1, что можно счи-
тать вполне приемлемым.
Метод ТС получил признание и развитие в трудах А. Е. Алек-
сеева, И. М. Постникова и др. Метод в принципе позволяет
рассчитывать системы теплоотдачи любой сложности с доста-
точно малыми погрешностями, которые всегда можно умень-
шить за счет разделения машины на более мелкие элементы,
что равносильно уменьшению критерия Bi.
Основные факторы, определяющие точность тепловых рас-
четов электрических машин, следующие:
— точность задания источников теплоты, т. е. потерь;
— точность определения КТП X, который подвержен значи-
тельному разбросу, особенно по технологическим причинам, под
влиянием появления воздушных промежутков, изменения каче-
ства пропитки и т. п.;
— точность расчета КТО а, поскольку имеющиеся для это-
го эмпирические формулы и графики не могут учесть всех вли-
170
яющих факторов и условий. Последняя причина служит источ-
ником погрешности наиболее часто.
В связи с этим точность тепловых расчетов в лучших сов-
ременных методиках характеризуется среднеквадратической
погрешностью 5... 10%, поэтому исключительно важную роль
играет экспериментальная проверка результатов расчета.
§ 9.2. Тепловая схема статора машины
переменного тока
Рассмотрим статор асинхронной или синхронной машины
переменного тока с воздушным охлаждением (рис. 9.2). Спо-
соб его охлаждения может быть различным:
1) обдув наружных поверхностей лобовых частей обмотки
и стали сердечника;
2) вариант с аксиальными вентиляционными каналами в
спинке сердечника (на рис. 9.2 обозначена а);
3) вариант с радиальными каналами (обозначено р).
Рис. 9.2. Статор машины переменного тока
Для теплового расчета
применим метод тепловых
схем, ограничиваясь глав-
ными путями отвода тепло-
ты при охлаждении. Пред-
ставление об этих путях ле-
жит в основе тепловой схе-
мы (ТС), которая «наложе-
на» на эскиз статора. От-
дельное изображение тепло-
вой схемы приведено на рис.
9.3.
Рис. 9.3. Тепловая схема статора
Элементы машины и источники теплоты. Рассматриваемую
машину или ее часть, как в данном случае, разделяют на от-
дельные тела или элементы, в той или иной степени однород-
171
ные (материал, условия выделения потерь, характер контакта
с соседними элементами или средой). Ограничимся разбиением
на три элемента:
— пазовая часть обмотки с источником теплоты
+ (9.10)
где Pmi — потери в обмотке;
— лобовые части, рассматриваемые как один элемент с ис-
точником,
Рл=PMU+U=Р^ - (9.11)
— сердечник статора (спинка и зубцы), в котором источни-
ком теплоты служат потери в стали,
Рс = ^czH" Рс}~\~ Рс.д» (9.12)
где Рсг и Рс/ — основные потери в зубцах и спинке, Рс.д — до-
бавочные потери статора.
В принципе возможно более дробное разбиение, при кото-
ром достигается более высокая точность теплового расчета,
особенно при резко неравномерном нагреве. Элементы изобра-
жаются на схеме в виде кружков с указанием потерь или
индекса элемента. Элементы без источников теплоты изобра-
жаются просто точками — узлами; источники теплоты также
являются узлами ТС.
Пусть в нашем случае условия охлаждения статора сим-
метричны; это позволяет рассматривать обе лобовые части как
одно тело. Пусть также охлаждающий воздух у всех поверх-
ностей конвективного теплообмена имеет одинаковую темпера-
туру 'О'а. В этом случае охлаждающая среда изображается на
схеме как общая база — «земля», т. е. узел с заданной темпе-
ратурой.
Тепловые сопротивления схемы статора. Выделенные источ-
ники теплоты и прочие узлы схемы, включая базу, соединяются
друг с другом тепловыми сопротивлениями в соответствии с
принятыми представлениями о путях теплопередачи, которые
решено учитывать. При этом температурные поля в направле-
нии тепловых потоков считаются одномерными; двух- и трех-
мерные поля заменяются одномерными по принципу Зодер-
берга.
В рассматриваемом примере (рис. 9.3) отражены следую-
щие пути теплопередачи, представленные соответствующими
тепловыми сопротивлениями: 1) от пазовой части обмотки (ис-
точника Рп) через изоляцию паза к стали сердечника — Лпс/
2) от сердечника к окружающей среде через учитываемые по-
верхности теплоотдачи: поверхность спинки — R'COt с коронок
зубцов в рабочий зазор — R"co> при наличии каналов через их
поверхности — R'"со; кроме сопротивления конвективной тепло-
отдачи в них может учитываться и сопротивление стали сер-
172
дечника; 3) между пазовой и лобовыми частями обмотки ввиду
разных условий выделения и отвода теплоты возникают раз-
ность температур и выравнивающий аксиальный теплопоток;
это учитывает сопротивление Япл; 4) от лобовых частей через
их поверхностную изоляцию к окружающему воздуху — /?ло.
При наличии радиальных каналов (р) учитывается также от-
вод теплоты от пазовой части обмотки в этих каналах — Rno,
сюда же при необходимости может войти теплоотдача через
пазовый клин.
Для простого варианта (без каналов) расчет сопротивлений
можно выполнять по следующим формулам (сопротивления,
как и источники, отнесены ко всему статору, а не к его поло-
вине или какой-нибудь другой доле):
йо= ШАН ДизЖзА); (9.13)
/?«= 1/(аул^у/)4-й7/(2ХстлПуср/); (9.14)
1/(а8г1^1/) + Аг/(2Хст2'^гср/); (9.15)
^изпА^изп^Т-Щ^)» (9.16)
^-=(^ + ZJ/(12Xm5m). (9.17)
Формулы (9.13) ...(9.17) составлены по правилам расчета
плоской стенки при конвективной теплоотдаче с поверхности,
аналогично (9.2), на основе (7.15) и (7.12). Внутренние (кон-
дуктивные) составляющие в (9.14) и (9.15) рассчитаны для
стенок толщиной hj и hz с распределенными потерями. В при-
веденных формулах — поверхность охлаждения лобовых ча-
стей (с обеих сторон статора); ДИзл, ХИзл, Днзп> ^<изп — соответст-
венно толщины и коэффициенты теплопроводности изоляции
лобовых и пазовой частей; ал, а/, ас — КТО соответствующих
поверхностей (см. рис. 9.2); 5М — суммарное сечение проводни-
ков обмотки в пазах. Остальные размеры указаны на рис. 9.2.
Сопротивление сердечник — воздух, состоящее из параллель-
ных ветвей, рассчитывается обычным способом:
г> _________!______ (9 18)
о//?;)+а/*;) }
Температура опорного узла тепловой схемы. Температура
воздуха О0 в вентилируемой электрической машине определя-
ется как средняя величина между температурами воздушного
потока на входе и выходе из машины: О0 = (Фвх+$вых)/2. Раз-
ность этих температур, называемая подогревом воздушного по-
тока, определяется количеством воспринимаемой им теплоты:
Д0в=Аых - == Ъ 2 ^гр/( 1100QB), (9.19)
где SPrp—суммарные греющие потери машины, Вт; QB— рас-
ход воздуха через машину, м3/с; 1100 Дж/(м3-К)—примерное
173
Собственная проводимость узла I
(9.26)
Преобразуем общее выражение для уравнения системы
(9.24) к виду
т п
Мп+2 М/а + Л+2 (9.27)
ft-i /-1
Введем сокращенное обозначение приведенных потерь
л
А = + (9.28)
Л-1
Представим систему уравнений тепловой схемы в матрич-
ной форме:
или в матричных символах:
ЛхНР-0, (9.30)
где Л — квадратная симметричная матрица взаимных и собст-
венных проводимостей схемы размерностью (тХт), причем
определитель матрицы не равен нулю, если хотя бы одна из
проводимостей Л//о#=О и нет отрицательных проводимостей
Л//о; 'О — матрица-столбец (вектор) неизвестных температур
размерности (/nXl); Р'—вектор приведенных источников теп-
лоты (потерь) размерности (7пХ1).
Рашение уравнения (9.30) :
= хР',
(9.31)
где — обращенная матрица проводимостей.
Решение (9.31) легко выполняется на ЭВМ.
Решение системы уравнений тепловой схемы методом Гаус-
са. Температуры О в уравнениях тепловой схемы часто удобнее
заменить их превышениями над температурой окружающей сре-
ды или входящего потока ^вх. Если базовая точка в схеме все-
го одна (/«1), то введение превышения температур —(h/o
щает существенное упрощение: P'i=Pi.
В качестве примера решим систему (9.23) для ТС статора
методом Гаусса, заменив индексы «п», «л», «с» на 1, 2, 3 соот-
176
ветственно и введя обозначения: Лх1=Лпл+ЛпС; Л22=Лпл+Лло;
ЛхЗ^^ЛпС 4" Лео-
Запишем систему в следующем виде, вводя для общности
решения Л2з^0:
— А1202 — А1303 — Р
—-^12® 14" АЕ202 Л23б3 — Р25
(9.32)
Л 13^1 А23б2 4“ АЕ363 — Р3. .
Исключим температуру 03 и третье уравнение из (9.32), для
чего умножим его на Ais/Лхз и прибавим к первому- уравнению,
затем аналогично, умножив на Л2з/Л2з, прибавим ко второму
уравнению, в результате получим два уравнения:
Применяя сокращенные обозначения, запишем
—Л12б2 = Р1 ;
—AjaOj 4“ А 12^2 = Р2 •
(9.34)
Исключим 02 вместе со вторым уравнением из (9.34), для
чего умножим его на Л'^/Л'хг и прибавим к первому уравне-
нию:
(Л ц — Л12/Л22) 61 = Pi 4* 2Л12/Аи; (9.35)
в сокращенной записи
AEiOi = Pi. (9.36)
Определим неизвестную температуру:
e^Pj/Лн. (9.37)
Остальные температуры найдем из второго уравнения сис-
темы (9.34):
02 = (р;4-Л;261)/Лй (9.38)
и третьего уравнения системы (9.32):
63 = (Рз 4” -А-13^14* Агз^/Ацз, (9.39)
т. е. используя исключавшиеся уравнения.
Расчет простых тепловых схем с помощью определителей.
При малом числе уравнений (до трех) систему целесообразно
решать с помощью определителей. Для распространенного слу-
чая П-образной схемы (рис. 9.5) этим способом получены ре-
7—1268 177
шения, выраженные как через проводимости, так и через соп-
ротивления:
о <^1 (^20+-Л12) + ^*2^12 ®1 (-#20 4- #12) + 6^10
-- — “ J
-Л 10 (-^20 4--Л 12) + Л20^12 ^20 4-^12 + ^10
п Лз(Л10 + -Л12) +^1^12 02(/?ю + #12) + 61#20 /Л лЛ\
У 2— - —--------------------, (9.40)
-Л-20 (-^10 +-Л12) +Л10Л12 #10 + #12 + #20
где P'l*=*Р[ + 0О1Л1О, /Э/2 = ^>2+0О2Л2О; 0'1 = Р\Рю + 001, 0/2 = #2#2о +
+ 002-
В случае 0oi==0o2=6o формулы (9.40) упрощаются. Знамена-
тели выражений для 01 и 02 одинаковы, но написаны различ-
ным образом по аналогии со структурой числителей.
Рис. 9.5, П-образ-
ная тепловая схе-
ма с двумя источ-
никами
Рис. 9.6. Исключение узла тепловой
схемы преобразованием звезды (а) в
многоугольник (б)
Расчет тепловых схем методом преобразования. Преобразо-
вание тепловых схем часто служит эффективным методом их
расчета, отличающимся наглядностью. Самый распространен-
ный вид преобразования ТС — исключение отдельных узлов схе-
мы. Исключение узла i равносильно исключению соответству-
ющего уравнения, в котором температура 0f- стоит при диаго-
нальном члене матрицы Ли, из системы (9.29) по методу Гаусса.
Такое преобразование уменьшает число неизвестных и упро-
щает решение системы уравнений.
Рассмотрим узел i в некоторой ТС (рис. 9.6, а). Операция
состоит в преобразовании звезды проводимостей в многоуголь-
ник (рис. 9.6, б), причем многоугольник получается полным,
т. е. каждая вершина соединяется со всеми остальными. Фор-
мулы проводимости в ветвях многоугольника, полученные в
результате преобразования, имеют следующий вид:
= A/ftAZy/Asz. (9.41)
Источник теплоты Pi исключаемого узла распределяется
между узлами, с которыми был соединен, согласно формуле
APs=PzA;li/AIz. (9.42)
178
Выражения, аналогичные (9.41) и (9.42), можно найти в
уравнениях (9.33) и (9.35), получаемых в ходе решения систе-
мы (9.32) методом Гаусса.
К полученным проводимостям ДЛА/ и источникам ДРЛ необ-
ходимо прибавить пара-
метры с такими же ин-
дексами, имевшиеся в
схеме до ее преобразова-
ния, например Ал/ на рис.
9.6, а. Если же проводи-
мость между узлами k и
/ до преобразования от-
сутствовала, то после не-
го она появляется: Л*/ =
=ДЛь/.
Таким образом, иск-
лючение узлов с числом
ветвей более трех может
привести к увеличению
общего числа ветвей схе-
мы, что снижает эффек-
тивность метода преобра-
зования.
Рис. 9.7. Преобразование двухполюсни-
ка в тепловой схеме
л
Рис. 9.8. Преобразование однолинейной
цепи: исходное состояние (а), после
исключения узлов 2, 3, 4 (б), после за-
мены источников теплоты источниками
перепада температуры (в)
Преобразование источ-
ника с двумя ветвями.
Наиболее просто преобра-
зуется источник Р (рис.
9.7), имеющий только две
ветви. Пользуясь форму-
лами (9.41) и (9.42), получим: Ai2^AiA2/(Ai+A2); Pi =
= ^>Ai/(Ai4-A2) ; Г>2=^>А2/(Л1+Л2) •
Еще проще заменить проводимости сопротивлениями:
R— 1/А12— 1/Д11/Д2 —Ri 4“ Rz'i
P^PA^/A^PR.JR;
P^PA^/A^PRJR.
(9.43)
В однолинейной цепи может осуществляться независимое
исключение многих имеющихся в ней источников. Так, схема
на рис. 9.8, а преобразуется в схему на рис. 9.8, б с помощью
выражений
Ri-5—^124" Rm 4- R34 4- Rtf*
Pl=л 4- (P2/?2_54- РЛ-5 4- Л^45 Wi-5>
^5=р5 4“ (P2R12 4- ^з^1-з 4~ P^/R^,
где 7?1-з=7?12+7?2з/ ^г-б—^з+^^+^б; Rz-s^Rm+Ris»
7* 179
Расчет температуры узла» исключенного при преобразова-
нии. Исключение узлов ₽ схеме уменьшает число неизвестных,
упрощает решение системы уравнений, но если требуется опре-
делить температуру исключенного узла, то приходится обра-
щаться к ТС, имевшей место до его исключения. Если найдены
температуры всех узлов, с которыми соединяется этот узел i
(рис. 9.6, а), то его температура рассчитывается аналогично
(9.38) и (9.39):
&,= У + <9Л4>
-Л-rZ
/г-1
h*l
Температуры и проводимости Л/* берутся для всех узлов
и баз, соединенных с узлом I. В общем виде исходя из (9.27),
имеем
. / т л \
= —| V + 2 г (9.45)
Рассмотрим применение преобразования на примере схемы
статора (рис. 9.3), воспроизведенной сокращенно на рис. 9.9.
Исключив узел с, согласно (9.43), получим параметры схемы
/?по == Ясо + Рп = Рп + РсРсо/^по. (9.46)
Расчет этой П-образной схемы легко выполнить по форму-
лам (9.40).
Из остальных видов преобразований рассмотрим замену
источника теплоты на источник температурного перепада, кото-
Рис. 9.9. Преобразование схемы статора
Рис. 9.10. Преоб-
разование источ-
ника теплоты в
источник темпера-
туры
рая аналогична преобразованию электрического источника тока
в источник ЭДС. Суть этой операции видна из рис. 9.10. В ка-
честве примера рассмотрим однолинейную схему (см. рис. 9.8, а).
Заменим источники 2 и 3 источником перепада Д0гз:в^2^12+
(^12+^23)/ при этом мощности источников переместятся в
узел /; P'i^Pi+Pz+Ps- Аналогично переместим источник 4 в
узел 5, т. е. скомпенсировав это введением пере-
180
Рис. 9.11. Влияние подогрева охлажда-
ющего потока в тепловой схеме
пада Д04«=Р4/?45 (см. рис. 9.8, в). Часть схемы, не затронутая
преобразованием, состоит из сопротивления 7?84 и содержит па-
раметры 0з, 04 и Q34, которые можно найти по преобразованной
схеме.
§ 9.4. Учет изменения температуры
охлаждающего потока при расчете тепловых схем
При тепловом расчете аксиальных систем охлаждения элек-
трических машин, особенно крупных, недостаточно учитывать
только среднюю температуру (9.20) охлаждающего потока вну-
три машины. Постепен-
ное повышение темпера-
туры Фв охлаждающего
потока при прохождении
различных участков ма-
шины учтено в ТС (рис.
9.11) с помощью линии фв,
которую можно рассмат-
ривать как ряд базовых
точек с температурой,
возрастающей в направ-
лении движения потока
воздуха QB. Выделенные
базовые точки схемы име-
ют температуры фвь ФВ2,
#вз, которые необходимо
определить. Наиболее
простой вариант решения
основан на допущении о линейном нарастании температуры Фв
по длине машины, при этом базовые температуры рассчитыва-
ются заранее:
<9-47)
0b2==^bx4'^®/^2^S» (9.48)
0вз = ^вх“Н (9.49)
Второй, более точный, метод заключается в том, что поток
охлаждающей среды разбивается на элементы, совпадающие по
Длине с соответствующими охлаждаемыми частями машины.
Для каждого элемента потока определяется прирост темпера-
туры исходя из теплового баланса:
$b12 = ^bx“I”Q1o/(£BQb)> (9.50)
^в23 = ^в12 + Q2o№bQb). (9.51)
=== ^в23 +<2зо/(^<2в). (9.52)
гДе QB — объемный расход охлаждающей среды; сл — ее удель-
ная объемная теплоемкость.
181
Тепловые потоки, воспринимаемые охлаждающим потоком
на трех рассматриваемых участках пути,
Q1O = (&1 — ^81)^10» *Q20 = (^2 — ^в2)А20> С?зс = (^3 ^вз) Ago? (9.53)
средние температуры потока на участках пути находим как
среднеарифметические:
^bi=(»bx + W2, »B2 = (&b12 + W2, ^з = (ЭВЫх + *В2з)/2. (9.54)
Введем параметр — тепловая проводимость охлаждающего
потока
A.-2cBQB. (9.55)
Исключая из (9.50) ...(9.54) промежуточные температуры и
тепловые потоки, получим уравнения нагрева элементов охлаж-
дающего потока:
&в1 = »вх + ^1-^1)Л10/Лгн
$в2 = 4“ (^1 — *в1) Аю/Аг 4“ (^2 ^вг) A20/Ao »
&в3 =А2 4- (&2 - &в2) A20/Av 4- (*3 - *вз) Лзо/Л, .
(9.56)
Уравнения (9.56) приводятся к обычному виду уравнений
теплового баланса:
^в! (Ар 4- Ajq) ^iAjo ^вхАр,
^в2 (Ар 4~ А2о) — ^в1 (Ар — Л10) &2А20 ^А10 = 0,
^вз (Ар 4* A3q) — 6в2 (Av — Л2о) ^зАзо ^2А2о =
(9.57)
Итак, получено три дополнительных уравнения, содержащих
три неизвестные температуры элементов охлаждающего пото-
ка #в1, ^2, Овз и три неизвест-
Рис. 9.12. Тепловая схема с учетом
подогрева охлаждающего потока
ные температуры охлаждае-
мых элементов машины #2,
«•3. Для определения неизвест-
ных нужно объединить систему
(9.57) с системой уравнений,
описывающих основную тепло-
вую схему. Таким образом, уз-
лы с температурами Фвь #в2,
б’вз из базовых превращаются
в обычные. Сохраняется толь-
ко один базовый (опорный)
узел с температурой входяще-
го потока Фвх- Узлы охлаждающего потока и их уравнения (9.57)
имеют существенные особенности, главная из которых — отсут-
ствие свойства взаимности: предыдущий узел влияет на после-
дующий, но обратного влияния нет (-&B2 не влияет на ФВ1 и фвь
Фвз не влияет на б'вг и Ф2). Эту особенность можно учесть в теп-
ловой схеме с помощью проводимостей одностороннего дейст-
182
вия (рис. 9.12). Уравнения узлов схемы составляются по обще-
му принципу, но учитываются только те направленные прово-
димости, стрелка которых отходит от рассматриваемого узла.
Предоставляем читателю убедиться, что при рассмотрении трех
нижних узлов получаются уравнения (9.57).
§ 9.5. Метод одномерного температурного поля
или теплопроводящих стержней
Примером использования метода одномерного температур-
ного поля служит расчет теплоотдачи ребра в § 7.3. Здесь бу-
дет рассмотрена более сложная
температуры по длине обмотки
якоря (статора).
Одномерное температурное
поле на участке обмотки элек-
трической машины. Участок об-
мотки (рис. 9.13) рассматрива-
задача — расчет распределения
ется как теплопроводящий
стержень, характеризующийся
объемной плотностью потерь
Ро, длиной Z, площадью S и пе-
риметром П поперечного сече-
ния, коэффициентом теплопро-
водности 1 в продольном на-
правлении и коэффициентом
теплоотдачи а с поверхности в
окружающую среду, имеющую
Рис. 9.13. Теплопроводящий стер-
жень и его температурное поле
постоянную температуру. Для
приближения к реальным ус-
ловиям примем, что стержень
покрыт изоляцией с малой толщиной дп и низким КТП Хп. Все
параметры постоянны.
Условия теплоотдачи с поверхности стержня через изоляцию
можно выразить эквивалентным КТО
<хэ=1/(1/а+8Л).
(9.58)
Определим распределение превышения температуры стерж-
ня 0 над окружающей средой в функции координаты х. Темпе-
ратуру в пределах поперечного сечения можно считать посто-
янной или рассматривать превышение температуры 0 как сред-
нее по сечению.
Рассмотрим тепловой баланс для элементарного участка dx.
Притекающий теплопоток Q в сумме с собственным тепловы-
делением на участке (р0 Sdx) равен сумме оттекающих пото-
183
ков (Q+dQ) вдоль оси х и dQa — с боковой поверхности.
Исключая Q, получим
pQSdx = dQ-\-dQa. (9.59)
Согласно закону Фурье, Q=—hSdQ/dx, откуда dQ =
——kS(d2Q/dx2)dx. По формуле Ньютона—Рихмана, dQa=
= ajiedx. Сократив dx в (9.59), получим уравнение poS —
«—Х5г/2еД/х2-|-аэП0, приводящееся к виду
d^/dx2 - аэП9/ (kS)+po/k== 0. (9.50)
0=9-е.
Обозначим основной параметр поля
т = /аэП/(Х5). (9.61)
Введем условное превышение температуры (при d20/dx2=O)
6У = PaSK^). (9.62)
Сделаем замену роД=0уаэП/(Х5)=/п26у и введем вспомога-
тельную функцию
6=9„-9. (9.63)
Тогда уравнение (9.60) приводится к виду с разделяющи-
мися переменными:
d2Wdx2 — /п2&=0. (9.64)
Общим решением (9.64) будет любое из выражений:
0 = CYemx + С2е~тх=Cs sh тх + Сс ch тх =
=Л sh тх + В sh т {I — х).
(9.651
Предпочтительнее последняя форма записи, как симметрич-
ная.
Граничные условия для крайних сечений стержня могут
быть любыми. Рассмотрим случай ГУ 1-го рода и зададимся
превышениями 01 и 02 при х==0 и х=1 соответственно. Тогда
значения вспомогательной функции 5i = 0y—0ь ч0,2=Оу—©2- Под-
ставляя их в (9.65) при х=0, получим A—fiz/shml, В =
Следовательно,
0 = [&! sh т (Z — х) -|- 02 sh /nx]/sh ml. (9.66)
Окончательное решение для ГУ 1-го рода
9 = 9у — [(9у — 9j)sh т (I — х) + (9у — б2) sh тx]/sh ml =
=Л+ V<J - *) + VW (9.67)
имеет три составляющие: 0Р зависит от собственных потерь,
т. ё.
9р = 9у [ 1 - f (I - х) - f (х)]; ( 9.6 8)
0j(Z—х) и Qzf(x) зависят от концевых температур, где f(x)^
«sh тх/sh ml, f(l—x) «sh m(l—x)/sh ml.
184
Графики 0 и отдельных составляющих показаны на рис.
9.13.
Представление теплопроводящего стержня с помощью экви-
валентной тепловой схемы. Покажем, что условия теплообмена
рассматриваемого участка обмотки
с соседними элементами можно вы-
разить с помощью тепловой схемы
(рис. 9.14), благодаря которой лю-
бые граничные условия на концах
стержня можно свести к ГУ 1-го ро-
да и использовать решение (9.67).
Рис. 9.14. Эквивалентная
тепловая схема участка
теплопроводящего стержня
Установим связь между температу-
рами на концах стержня 0] и 62 и
потоками теплообмена с соседними
участками Qi и Q2.
На основании закона Фурье, ис-
пользуя (9.63) и (9.66), получим общее выражение для теплово-
го потока вдоль стержня:
Q=XSdb/dx = XS/n [&2 ch тх — ch т {I — x)]/sh ml,
откуда следует
Qi = “Qlx-o = XS/n (&! ch ml — &2)/sh mh
Q2 — Q\x-i = tSm (&2 ch mt — Oj/sh ml.
Учитывая (9.63), запишем
Qy = \Sm [0y (ch ml — 1) ch ml]/sh ml;
Q2 = X5/n [0y (ch ml — 1) + 0L — 02 ch znZJ/sh ml.
(9.69)
Выражение (9.69) сравним с уравнениями, составленными
для узлов тепловой схемы (рис. 9.14):
Q2=P' + O1A"-02(A' + A").
(9.70)
Запишем формулы для параметров эквивалентной схемы:
Р'=У8т^у (ch ml — 1 )/sh ml;
A' = ISm (ch ml — l)/sh ml.
A"=lSm/sh ml.
(9.71)
Введем интегральные параметры стержня:
общая тепловая проводимость от стержня к охлаждающей
среде
Ля = аэШ; (9.72)
общее тепловое сопротивление по длине стержня
/?, = Z/(XS);
i
(9.73)
185
потери в стержне
Р — PoSl’,
(9.74)
интегральный коэффициент поля
п ml = VаэШ-1/CkS) — VABRt.
(9.75)
Из (9.61) и (9.62)
следует kSm — "KSm^ltn = аэ11/т—Аа/п и
еу=р/ла.
(9.76)
Тогда параметры эквивалентной схемы запишем в виде
P'==P(chn-— 1)/(п sh л);
A' = Aa(ch/j — l)/(ftsh/z);
Л"=Аа/(пshn); R" — \!А"—R^hndn.
(9.77)
Из схемы рис. 9.14 можно, дополнив ее схемной реализа-
на концах стержня, получить
цией любых граничных условий
Рис. 9.15. Обмотка электрической
машины как теплопроводящий
стержень (а), температурное по-
ле в стержне (б) и эквивалент-
ная тепловая схема (в)
превышения температуры 01 и
02 и распределение 0(х) по
(9.67).
Расчет распределения тем-
пературы по длине обмотки
статора. Рассмотрим статор
машины переменного тока
(рис. 9.2), его обмотку пред-
ставим как теплопроводящий
стержень (рис. 9.15, а) Ввиду
симметрии условий охлажде-
ния расчет делается для од-
ной половины статора, обмот-
ка при этом разделяется на
два участка: пазовую часть
Ц — 112 и лобовую часть
Последняя условно разрезана
посередине длины /л (сечение
с) и спрямлена. При этом ре-
зультирующий тепловой поток
вдоль сторон секций в сечении
с равен нулю. Следовательно,
здесь нужно взять граничные
условия 2-го рода: dO/dx^O. В
сечении а благодаря симмет-
рии также Характер
кривой 0(х) показан на рис.
9.15, б. На границе участков в сечении b заданы ГУ 4-го рода:
0i(x)==O2(x) и d0i/dx=d02/dx. Оба участка обмотки представ-
лены П-образными эквивалентными схемами (рис. 9.15, в) ана-
логично рис. 9.14. Соединение их между собой в точке Ь отра-
186
жает ГУ 4-го рода, а изоляция в сечениях а и с отражает ГУ
2-го рода.
Интегральные параметры участков 1 и 2 определяются че-
рез параметры ТС статора (см. рис. 9.3), рассчитанные по
(9.10)...(9.20); при этом схема, согласно (9.46), предварительно
преобразуется к виду, показанному на рис. 9.9. Интегральные
параметры участков берут для половины длины пазовой и ло-
бовой 'частей обмотки. Для первого участка Ла1 = 0,5/7?п<ъ Pi —
-P'nfc, 0у1 = Pi/Ла! = PnfPnc + Ясс) + РеРсо; КрОМв ТОГО,
/?h^Zi/(AmSm), где Хм и SM — соответственно КТП меди и
сечение всех проводников в пазах статора. Для второго участ-
ка Ла2 = 9,5/7?ло> Рз = Рл/2, 0у2==Р2/'Ло2== РлРло, Z?/2=Z2/ (XmSm)•
Коэффициенты температурного поля обоих участков
Й1 = > ^2=1/ЛЛа2^/2*
Параметры эквивалентной схемы для обоих участков находят
по (9.6).
Расчет схемы дает значения превышений температуры 8а> Оь
0С на границах участков, после чего определяются зависимости
6i U) = 6У1 [ 1 - Л (х) — Л (ZL - х)] + 0aj\ (Zx - х) + Vi (*);
62(-^) = 6y2 [1 —/2 (x — ^1) — /2 — •*)] + 6в/г (^s — -£)“h
(9.78)
4" oc/a(x—Л);
где Z2=Zi4-Z2, fi(x) = shtnix/shni, f2(x—Z]) =sh m2(x—Zi)/sh n2,
mi=ni/Zb m2=n2/l2.
В этом состоит общий принцип расчета одномерных темпе-
ратурных полей в обмотках, который можно применять для бо-
лее сложных случаев — несимметричных условий охлаждения
и при числе участков больше двух.
Частный случай расчета одномерного поля при условиях
dQ/dx—Q на концах стержня. Рассмотрим вторую форму реше-
ния (9.65) для левого участка обмотки Ц:
— CS1 sh тгх + Ccl ch тгх.
Из условия d0i/dxlx=o==O и (9..63) следует, что
— CsiZHjch O+Ccimish 0=0, откуда C$i = 0. С учетом (9.63) 0i =
= 0у—Ccich т\Х. Коэффициент Cci находим по условию 0ь=
Cci — (6yi — fyO/ch
Таким образом, распределение температуры на первом и
втором участках
Oi^yi-C^i-Vch^x/chrt/, 1 (97g)
б2 = 6у2 —(6у2 —ei)ch/n2(Zu —x)/chn2. J
При этом, согласно ГУ 4-го рода, обеспечивается равенство
® i.Gi)= 02 fZx—12) = О2 (li) = 0г>.
187
Второе условие
используется для определения 0*. Дифференцируя и приравни-
вая выражения (9.79), получим m^Oyi—B^shni/ch Л1=/П2(0у2—
—0eJsh7Z2/ch «2, откуда
6 6yimith ni+ 6У2/”2 th л2
ь т\ th п\ 4- т-2 th л2
Максимальное и минимальное значения превышения темпе-
ратуры при х=0 и x^/х в случае 0yi>0у2
6max == “ ®yl (®yl M/chfy; (9.81)
emin = 8, = 6у2 - (еу2 - W/ch п2.
Выражения (9.81) характеризуют неравномерность нагрева
обмотки. Здесь максимальная температура наблюдается в цен-
тре статора, хотя на практике встречаются и противоположные
условия (при 0y2>6yi), когда наиболее нагреты концы лобовых
частей, например в машинах закрытого исполнения.
Средние превышения температур обмотки^ в пазовой и лобо-
вой частях на основании формулы е *=(1/Z) J 8(х) dx
Oi = 0yi—(6yi — 6&)th«i/rti; (9.82)
02=®у2— (®у2 ^)th/^2/^2*
Аксиальным тепловым сопротивлением между пазовой и ло-
бовой частями обмотки на одну сторону является параметр
/?;2=(в1-02)А, (9.83)
где Qt> — тепловой поток в сечении Ь из пазовой части в лобо-
вую.
На основании закона Фурье
Q^= -—^SHd^ildx\x^-ii = (®yi ад th Яр
Разбив ^сопротивление R'w на две части: —Ъь)1<2ь и
Rbi^(Qb—Qzj/Qb, найдем
Р (ву1 — fy)(l —- th лх/Л!) i _ nt — thni n
(8yi — 0$) п\ th 7?i XMSM zijthni
Аналогично определяется Rb* Аксиальное сопротивление на
две стороны обмотки
D ^12 1 ( — th ГЦ D I n2 — th «2 n \ /Q
2 2 \ zij th n2 th n2 J
188
Воспользовавшись приближенным разложением в ряд th
1—п8/3, после преобразований получим
р ___ 1 ( #1Л | ^12 \ G । h ______
12 2 к 3 3 J " 6XMSM ‘ 6XMSM
= (/ + /л)/(12км5|1), (9.85)
что можно рассматривать как доказательство (9.17).
* Погрешность расчета /?12 не превышает 6% при условии
nd, что характерно для машин малой и средней мощности.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. В чем состоят цель и условия теплового расчета электрической ма-
шины?
2. Какое допущение лежит в основе приближенного расчета двухмер-
ного поля по методу Зодерберга?
3. Что такое тепловая схема?
4. По какому принципу составляются формулы тепловых сопротивле-
ний элементов машины кондуктивного и конвективного типа?
Б. Как представить систему уравнений ТС в матричной форме?
6. В чем состоит преобразование ТС путем исключения узлов?
7. Какой вид имеет общее решение для одномерного поля с постоян-
ными параметрами?
8. Какой характер имеет распределение температуры по длине пазовой
и лобовой частей обмотки и чем он обусловлен?
ГЛАВА 10
ТЕПЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОВЫХ РЕЖИМАХ
В данной главе рассматриваются как общие методы, так и
отдельные конкретные методики тепловых расчетов электриче-
ских машин наиболее распространенных типов, которые часто
являются объектом учебного проектирования. Здесь не приведе-
ны методики теплового расчета трансформаторов, турбо- и гид-
рогенераторов, поскольку они подробно излагаются в специаль-
ной литературе. Выбранные для анализа типы машин позволяют
достаточно полно проиллюстрировать применение излагаемых
в книге теоретических методов, а предлагаемые методики могут
быть переработаны применительно ко многим типам машин, в
том числе специальных.
§ 10.1. Тепловые схемы асинхронных двигателей
закрытого исполнения
Асинхронные двигатели (АД) закрытого обдуваемого испол-
нения (с короткозамкнутым ротором) за последние сорок лет
получили широкое распространение в качестве основного об-
щепромышленного привода мощностью от нескольких сотых до
нескольких сотен киловатт благодаря повышенной устойчивости
189
к неблагоприятным внешним воздействиям. Применяются так-
же АД закрытого исполнения без обдува (рольганговые, ма-
лошумные и др.).
Сложные условия теплоотвода в закрытых машинах по срав-
нению с защищенными и открытыми, необходимость достижения
высоких технико-экономических показателей машин массовых и
специальных серий послужили серьезным стимулом для развития
исследований тепловых процессов и разработки методов теплово-
го расчета закрытых АД. Результатом этого явилось создание
различных методик, наиболее совершенные из которых основаны
на использовании тепловых схем (ТС). Важная особенность
закрытых машин — тепловое взаимодействие всех их частей.
В таких условиях очень эффективным средством расчета служит
тепловая схема, составленная для всей машины.
Теплопередача в асинхронном двигателе закрытого исполне-
ния и его полная тепловая схема. На рис. 10.1 показаны все теп-
ловые связи в двигателе, которые целесообразно учитывать при
предварительном рассмотрении задачи, до внесения упрощений
в ТС. Элементы двигателя, имеющие собственные источники теп-
лоты, обозначены кружками с буквами, элементы конструкции
без источников — точками с цифрами, ветвления схемы — точ-
ками без цифр. Пазовая часть обмотки п теплоту зуб-
цам z и спинке j сердечника; к зубцам также поступает через
Рис. ЮЛ. Разрез короткозамкнутого асинхронного двигателя закры-
того обдуваемого исполнения и его полная тепловая схема
воздушный зазор теплота от ротора р. Соединившись с потеря-
ми в зубцах Рг и спинке Р/, тепловой поток поступает в средний
участок станины 3. Параллельно этому пути теплота передается
от лобовых частей л' и л" окружающему воздуху вг и в". Источ-
никами теплоты Ръ и Рв" служат вентиляционные потери, созда-
ваемые лопатками ротора; сюда же поступают тепловые потоки
от короткозамыкающих колец ротора р' и р". Теплота от возду-
ха передается крайним участкам станины 4 п 2 и подшипнико-
190
вым щитам 5 и /, к которым также поступают теплопотоки от
потерь в подшипниках пщ.
Существенную роль в общем процессе теплопередачи играют
тепловые потоки, протекающие вдоль проводников обмоток ста-
тора и ротора. В обмотке статора они обычно направлены от
лобовых частей к пазовой, в роторе — наоборот. Благодаря этим
потокам теплота перераспределяется между центральным путем
теплоотвода (р—3) и боковыми путями от р' и р" к 4, 5, 2, 1 и
происходит некоторое выравнивание температур.
Названные пути передачи теплоты показаны на ТС в виде
ветвей с сопротивлениями R или проводимостями Л. Оба обо-
значения равноправны, поэтому на схеме не проставлены, мар-
кировка элементов делается по буквам и цифрам связываемых
ими узлов, например /?пг, Rzi, RJ3 или ЛиПЛ', ЛЛ'в', ЛВ'5 и т. п.
Короткозамкнутая обмотка ротора не изолирована от сердеч-
ника, поэтому тепловым сопротивлением между ними можно
пренебречь и потери в обмотке и зубцах учитывать совместно:
^°р = ^>а2ст+ £р.доб> (Ю-0
где Ра2ст — потери в стержнях беличьей клетки; Рр.ДОб — доба-
вочные потери в роторе.
Все тепловые потоки от источников теплоты, находящихся
внутри корпуса машины, в конечном счете отдаются окружаю-
щему воздуху с его
поверхности. Основная
часть теплоты снимает-
ся воздушным потоком
внешнего обдува с щитов
и оребренной станины.
На ТС это показано про-
водимостями со стрелка-
ми, отходящими от точек
1... 5. Наилучшие условия
теплосъема имеют место
на начальном участке об-
дува, где воздух еще не
нагрет снимаемой тепло-
той и имеет максимальную
скорость и высокую сте-
пень турбулентности. На
пути воздушного потока
к концу станины снижа-
ется его скорость вслед-
ствие рассеяния, умень-
шается степень турбу-
е
Рис. 10.2. Распределение превышений
температуры по длине двигателя
4А132М6: Ом — обмотка; 6Р — ротор;
Ост — станина
лентности, что приводит к повышению температуры охлажда-
емой поверхности и «перекосу», кривых распределения темпера-
туры по длине двигателя (рис. 10.2).
191
Теплопроводность корпуса создает условия для выравнива-
ния его температуры за счет перераспределения в нем тепло-
вых потоков, поступающих изнутри к узлам 1... 5 тепловой схе-
мы, что учитывается с помощью тепловых проводимостей, вклю-
ченных между этими узлами.
На ТС также показаны пути отвода теплоты от ротора через
вал (узлы 6... 8). При этом теплота рассеивается с выступаю-
щих концов вала при участии поверхностей вентилятора (если
он металлический), полумуфты или шкива (шестерни) на при-
водном конце. Но в большинстве методик этот путь не учиты-
вается.
На ранних этапах исследования теплопередачи в закрытых
машинах были предложены очень простые ТС исходя из вычис-
лительных возможностей того периода и уровня изученности во-
проса. Наиболее известные ТС приведены на рис. 10.3. В них не
учитываются теплопередача либо через воздушный зазор от ро-
тора к статору (рис. 10.3, б), либо от лобовых частей к воздуху
Рис. 10.3. Неполные тепловые схемы за-
крытых асинхронных двигателей по А. Е.
Алексееву (1958 г.) (а), В. Шуйскому (до
1968 г., Швеция) (б), В. Бенеке (1966 г.,
ФРГ) (в)
Рис, 10.4. Тепловая схема
АД
(рис. 10.3, в), либо оба этих пути (рис. 10.3, а). Пунктирные
стрелки означают неучтенные связи. Получить удовлетворитель-
ные результаты по таким неадекватным схемам можно только
за счет определенных условностей при расчете параметров.
Тепловая схема (см. рис. 10.1) с некоторыми упрощениями
используется для расчета сравнительно крупных двигателей при
большой неравномерности их нагрева по длине и в исследова-
тельских целях. Количество узлов, а следовательно уравнений
192
теплового баланса, в подобных схемах составляет 11... 20 и бо-
лее при разбиении двигателя на большее число участков по
длине. При наличии соответствующей программы для элект-
ронной вычислительной машины тепловой расчет не представ-
ляет трудностей.
Упрощенные тепловые схемы закрытых короткозамкнутых
асинхронных двигателей. Для большей оперативности тепловых
расчетов, возможности ручного счета, сокращения времени пе-
ребора вариантов при оптимизационных расчетах на ЭВМ ши-
роко применяются упрощенные схемы с числом узлов 6... 10. Ос-
новной путь их упрощения — симметрирование, т. е. объединение
правой и левой сторон ТС. Это возможно не только при сим-
метричных условиях охлаждения, но и при заметно выраженной
несимметрии, так как возникающая при этом погрешность рас-
чета средней температуры в машинах малой и средней мощности
не более 5% и может быть скомпенсирована некоторым увели-
чением сопротивлений схемы. При симметрировании ТС лобо-
вые части слева и справа объединяются в один элемент с сум-
марными потерями Рл. Попарно объединяются шиты (узлы 5
и /), крайние участки станины (4 и 2), объемы внутреннего воз-
духа (в' и е"). Считается также, что температура объединен-
ного узла равна среднеарифметической ог температур исход-
ных узлов.
Целью расчета упрощенных ТС является определение сред-
ней температуры обмотки статора. Температура короткозамк-
нутого ротора имеет небольшую информационную ценность, по-
этому объединяются в один все три узла р, р', р", возникающие
при этом погрешности относятся в основном к температуре ро-
тора.
На рис. 10.4 приведена симметрированная схема АД без внут-
реннего контура циркуляции воздуха [2]. Кроме рассмотренных
упрощений в ней объединены в один элемент с (сердечник) зуб-
цы и спинка статора и объединены в общий узел к все узлы кор-
пуса.
Рассмотрим подробнее ТС на рис. 10.5, как сохраняющую ос-
новные связи исходной схемы после симметрирования. Некото-
рые дополнительные упрощения заключаются в устранении про-
водимости Дн/, что компенсируется соответствующим увеличени-
ем Ад^, а также в объединении в один узел б (боковые участки
корпуса) точек 2...4 и 5..1. Сохранен узелЗ исходной ГС, кото-
рому присвоен индекс (вентральный участок станины). Со-
противление /?7в учитывает перераспределение тепловых потоков
в корпусе за счет его теплопроводности.
Для более удобного обозначения сопротивлений схемы ее
узлам кроме буквенных индексов присвоены цифровые, как на
рис. 10.4.
Рассмотрим способ расчета последней схемы. Ввиду малого
числа контуров наиболее удобен метод преобразований при опе-
193
рировании тепловыми сопротивлениями. Преобразуем треуголь-
ник 7—8—0 в звезду, введя новый узел 9:
#79 = ^7(/?7&^9> 1
=-^80^78'^9’ 7 (10.2)
= ^70^80^9» I
ГДе Т?9 = /?70"Ь^8о4“^78*
Исключим все двухполюсные источники теплоты, распреде-
ляя их согласно (9.43) между узлами 3, 4, 9. В результате этого
Рис. 10.5. Упрощенная тепловая схе-
ма
Рис. 10.6. Тепловая
схема короткозамк-
нутого АД, преобра-
зованная в порядке
расчета
получим схему (рис. 10.6). Обозначим 7?34/=^32“F^2i4"-Ri4;
^/?3‘5“Ь^54> ^39 = ^?Зб4_-^674-^79> $49 = ^4б4"^89,
/?м=/?да/?з4+^); <10-3)
Р’3=Р3+(Р2Ри+Р^)1Р'м + (10-4)
P't = Р< + (ЛЛ2 + P&J/P'u+P&sIR'u + PsR^IRw (10.5)
Превышения температуры сердечника статора и внутреннего
воздуха определяются по схеме (рис. 10.6) с помощью формулы
(9.40):
°3= [6з(^49+ ^34) + 64^39]/^л+ 0Э1 (10 6)
04= + + +
ГДе 0з'«Рз%9; 6'4в^4,^49’> Яд — R& + Я49 + Я34.
194
Превышение температуры корпуса
8
= /?90 2^/4” ®0*
Z-1
(10.7)
Среднее превышение температуры охлаждающего воздушно-
го потока над температурой окружающей среды на основании
(9-19)
0o=O,50B=O,72W’HOOQB), . (10.8)
8
где 2 Т5 —сумма всех потерь двигателя:
Z-1
Рви — потери в вентиляторе внешнего обдува.
Превышения температуры лобовой и пазовой частей обмотки
на основании (9.40)
оо.9)
где 01, = ^>l/?144“O4j tV = 732-/?32-}-93.
Среднее превышение температуры обмотки
4~ М)/(^л 4"
(10.10)
Рис. 10.7. Тепловая схема коротко-
замкнутого АД с внутренней цирку-
ляцией воздуха
Двигатели значительной мощности для усиления охлаждения
выполняются с внутренним циркуляционным контуром воздуш-
ного потока (см. рис. 3.3). Воз-
дух проходит через продоль-
ные каналы или трубы стани-
ны и возвращается через ак-
сиальные каналы в роторе, ис-
точником движения служит
специальный вентилятор. Теп-
ловая схема при такой системе
охлаждения (рис. 10.7) отли-
чается от схемы рис. 10.4 на-
личием дополнительного пути
теплоотвода от внутреннего
воздуха к окружающей среде
через стенки труб или каналов
станины (/?во), а также сопро-
тивления Rcb в том случае, ес-
ли воздух, протекая по кана-
лам станины, омывает спинку статора. Охлаждение в каналах
ротора учитывается имевшимся в исходной схеме сопротивлени-
ем
195
§ 10.2. Методика теплового расчета
короткозамкнутого асинхронного двигателя
закрытого обдуваемого исполнения
Данный тип двигателей относится по степени защиты от воз-
действия среды к категории IP44 и по типу охлаждения IC0141.
Методика расчета температуры обмоток дана на примере дви-
гателя 4АН2М4 мощностью 5,5 кВт; число пар полюсов р=2;
Пн =1450 об/мин.
Исходные данные к расчету. На рис. 10.8...10.10 обозначены размеры,
необходимые для расчета. Приведем значения размеров (мм), а также дру-
гие необходимые данные.
Рис. 10.8. Размеры короткозамкнутого АД для теплового расчета
Рис. 10.10. Размеры паза стато-
ра (а) и короткозамыкающих ко-
лец ротора (б)
Рис. 10.9. Размеры меж*
дуреберного канала ста-
нины АД
Для активной части двигателя: D»126, Dp«= 125,4; б«0,3; Ра=191;
/«125; /л«161; /&=54,4; Zi«36; йг»14,8; йп«14,3; bni=6,3; бП2=8,2;
йх«5,35; Л/«ж17,7. Для обмоточного провода марки ПЭТВ: 1.4/1,48;
число проводников в пазу пс«=25; Двд«0,25; изоляция класса В; /!йд=2;
196
#л₽»10; &КРЖЖ27; Лл = 19; пкр=«20; число лопаток с одной стороны ротора
Для системы внешнего обдува: £)д=210; £Ст = 230; £Р=208; число
ребер (эффективное) Vp = 24,5; ftp=18; ур=7,5°; 5ро=4; &рв=2,5; Лщ=23;
рв=205; DK=249. Потери в номинальном режиме при следующих пред-
варительно принятых условиях — температура окружающей среды 25 °C,
превышения температуры обмоток: у статора — 80°C, у ротора — 80 °C-1,2;
Psl==516 Вт; Р92=214 Вт; РС1=225 Вт; РдоС=32 Вт (0,5% от РПОтР);
Риех=40 Вт; обозначения потерь — по [11].
Для упрощения расчет выполним с помощью ТС на рис. 10.4. Все раз-
меры подставляем в метрах, кроме особо оговоренных случаев.
Расчет мощности источников теплоты. Мощности
Р1 = Р>1/л/(/ + /л)=516-0,161/(0,125 + 0,161) = 291 Вт;
Р2 = РЭ1 - Pi = 516 - 291 = 225 Вт;
^СТ + 0 »5^дРдоб*
Таблица 10.1
Коэффициент добавочных потерь Число пар полюсов
I 2 3 4 и более
При Рн<30 кВт 6 4 5 6
При Рц>30 кВт 4 3 4 5
Коэффициент добавочных потерь Лд учитывает отношение реальных до-
бавочных потерь в короткозамкнутых двигателях к стандартным (0,5%
Рпотр). Его можно выбирать по табл. 10.1. Тогда
Р3 = 225 + 0,5-4-32 = 289 Вт,
Р5 = Рэ2 + 0,5ЛдРдоб = 214 + 0,5*4-32 = 278 Вт,
Р4 = Р6 = Рмех/4 = 10 Вт,
2 Р* = -^э! + Р* э2 + ^ ст “Г Лоб 4“ ^мех — 1 123 Вт,
6
2 Р/ = уР-0,5Рмех= 1123-0,5-40 = 1103 Вт.
Расчет теплоотдачи корпуса и его температуры. Окружная скорость вен-
тилятора Ов=л£>вПн/60=л-0,205* 1450/60= 15,5 м/с. Средняя скорость воз-
душного потока при входе в межреберные каналы пур » 0,45 ив== 0,45-15,5=
=6,98 м/с. Приближенное значение расхода воздуха в системе внешнего
обдува (точное значение определяется в вентиляционном расчете)
QB я wp (Jt/4) (£>* - D^) -0,8 = 6,98 -0,2д. (0,2492 - 0,2102) =
= 0,0785 мЗ/с; (10.11)
Подогрев воздуха при внешнем обдуве, согласно (10.8), Д0В=
—0,7 2Р/(1100 QB)=0,7 1123/(1100 • 0,0785) =9,10 °C. Эффективная скорость
обдува станины на входном участке пути потока
№эф = У (0,5vB)2 + У (0,5-15,5)2 + 6,982 = 10,43 м/с.
197
Размеры межреберного канала (см. рис. 10.9) и его эквивалентный гид-
равлический диаметр
V1 = л£>стуР/360 — йро = л-0,21 -7,5/306 — 0,004 = 0,0097 м;
= [л (£>„ + 2ЛР) Yp/360] - йрв = [л (0,21 -Ь 2-0,018)-7,5/360] - 0,0025 =
= 0,016 м;
t?3KB=4S/n = 2(f?Ki 4- &к2)^р/(2Яр 4- ЬК[) =
= 2(0,0097 4- 0,016)-0,018/(2-0,018 4-0,0097) = 0,0183 м.
Средняя расчетная температура охлаждающего потока
Ът = &о + О,5Д6В = 25 4- 0,5-9,10 % 30 °C.
0,07
0,00
0,05
0.00
Рис. 10.11. Коэффици-
ент снижения теплоот-
дачи по длине обдувае-
мого корпуса
0 0 72 16 Щбм
Кинематическая вязкость для воздуха при 30 °C v= 15,54-10~в м2/с;
коэффициент теплопроводности Л=2,63-10“2 Вт/(м-°С). Число Рейнольдса
Реэф = twWv= 10,43-0,0183/(15,54- 10~е) =
= 12 280. Число Нуссельта по (3.43) из [2]
NuBX = 0,626- Re^j22 = 0,626 -12 280° »522 = 85,3.
(10.12)
Коэффициент теплоотдачи на входном участ-
ке авх = NuBxWb - 85,3-2,63-10“2/0,0183 =
= 122,6 Вт/(м-2-К).
Коэффициент уменьшения КТО по длине ста-
нины определяется по рис. 10.11 (рис. 3.24 из [2]);
при отношении диаметров ОСт/^экв=0,21/0,0183е
= 11,5 у=0,066. Средний КТО станины
/
’ ^экв
аст — ^ВХ^ЭКВ
у£ст —
/ 0,066-0,23 \ I
0,0183 /
= 122.6.0,0183-\1-е //
Х0,23 =83,3 Вт/(м2.К).
Коэффициент теплоотдачи подшипниковых щитов со стороны
тора и привода соответственно
аш1 = 20 4- 14,3v9,6 = 20 4- 14,3 15,50,6 = 94 Вт/(м2-К)
ащ2 = 20 + 2,6v°’9 = 25 + 2,6.15,50,9 = 50,6 Вт/(м2-К).
0,066Х
(10.13)
вентиля-
(10.14)
Поверхность охлаждения станины без ребер 5гл=л--0Ст/ст =
=л-0,21 -0,23 = 0,1517 м2. Поверхность ребер Sp = 2Np/ipLp=2-24,5-0,018X
X 0,208=0,1834 м2.
Средняя толщина трапециевидного ребра ^р=(£’ро+орв)/2=3,25 мм;
для чугуна Лет=0,47 Вт/(м-К); коэффициент поля, согласно (7.66),
' mh = Лр /2аст/(йрХст) = 0,018 /2.83,3/(3,25-10-3-47) = 0,594.
(10.15)
Рассчитав по (10.15) при Ьро=2,5-10~3 м коэффициент /поЛ=О,536,
берем поправку (см. рис. 7.9) Д£0ф=О,О12.
198
Коэффициент эффективности ребра с поправкой
th mh At 1 / 2 \
***=~мГ + =* “ 7л V - l^+i }+ АЛэ* =
= (1/0,594).[1 — 2/(е2 0 594 + 1)] + 0,012 = 0,909. (10.16)
Площадь поверхности подшипникового щита
Sm = л£)ст(0,25/)ст + 0,8Ащ) =л*0,21-(0,25.0,21 + 0,8-0,029) = 0,05 м2.
(10.17)
Общее тепловое сопротивление от корпуса к охлаждающему потоку
/^60 = 1 /[('-'гл "Г ^р) ®ст (®ш1 4~ ®ш,2)] ==
= 1/[(0,1517 + 0,909-0,1834).83,3 + 0,05(94 + 50,6)] = 0,02963 К/Вт.
Превышение температуры корпуса найдем по (10.7), (10 8) 06=
= 1103- 0,02963 + 0,5 - 9,1 = 37,23 °C.
Расчет внутренних тепловых сопротивлений схемы. Тепловое соп-
ротивление (ТСП) между лобовой и пазовой частями
обмотки статора (/?|2). Площадь сечения проводников обмотки
5м = -2'1«п(Л/4)^1 = 36.25-0,7854-1,42.10-6= 1,38-10-3 м2. (10.19)
Тогда
Л / + /л 0,125 + 0,161
Л12~ 12XUSM~ 12.390-1,38-Ю-з -°>0443 1 т> <10'20)
где Хм-КТП меди.
Тепловое сопротивление от обмотки к стали стато-
ра (Т?2з). Периметр соприкосновения обмотки со стенками паза
П = 2ЛП + 6112 - 2ЛКЛ - 6ДИП = (2-14,3 + 8,2 - 2-2 - 6-0,25)-10~з =
= 31,3-10-3 м. (10.21)
Коэффициенты теплопроводности: пазовой изоляции класса В Хнп—
«=0,16 Вт/(м-К); пропиточного лака Хл=0,12..;0,16 [принимаем Хл=
«=0,14 Вт/(м-К)].
Тепловое сопротивление пазовой изоляции с учетом зазора от расших-
товки (0,2 мм)
R 1 Г дип 0,2-10—3_________1
пи П^/ Хип + 0,03+ (Хл—0,03) Ап (2—Ап) J
31,3-10-3.36.0,125 [ 0,16 0,03+(0,14-0,03)-0,3(2-0,3)
= 0,0276 К/Вт,
(10.22)
где Ап — коэффициент пропитки (принимают Ап=0,3 при 2...3-кратной про-
питке окунанием в лаке с растворителем, Ап=0,7 при капельной или ваку-
умной пропитке таким же лаком или окунанием в термореактивном лаке
типа КП-34, Аа=0,9...1 при вакуумной или капельной пропитке в этом
лаке).
Эквивалентный коэффициент теплопроводности обмотки из круглого
провода определяют по формуле (4.7) из [2]. Для частного случая (А3=
199
= 0,72, ТСр==100°С, марки проводов — ПЭТВ, ПЭВТЛ или ПЭВ, КТП изо-
ляции провода Лп=0,14, da — в мм) формула принимает вид
Хзкв = 0,17 {1 + 0,8Ы“ Ч dn [1 - 1,15 (1 - Лп)2]} =
= 0,17 {1 + 0,81 «1,482 4- 1,48 [I - 1,15 (1 - 0,3)2]} = 0,581 Вт/(м-К).
(10.23)
Для проводов марок ПСД, ПЭТВ-35 вместо коэффициента 0,17 берет-
ся 0,20. Можно также использовать следующую формулу:
Хэкв = 2,5Х,./К 1,3 (4„/rfM) - 1 = 2,5-0,14/К 1,3 (1,48/1,4) - 1 =
= 0,572 Вт/(м-К). (10.23а)
(10.24)
^ПЭ —
(10.25)
Коэффициент формы паза, характеризующий двухмерное температурное
поле (размеры — в мм),
е = (4„t+ 4„2)/(4йп - 4П1) = (8,2 + 6,3)/(4-14,3 - 6,3) = 0,285.
Тепловое сопротивление изоляции проводников в пазу
(1-0,50 0,285(1-0,5-0,285)
-----------== ------------------= 0,0100 К/ЬТ,
6zi/X3KB---6-36-0,125-0,58!
тогда #23=Япи + Япэ=0,0276+0,0156=0,0432 К/Вт. 2 2; 6 <
Тепловое сопротивление между сердечником стато-
ра и станиной (Язе). Коэффициент теплопроводности сердечника для
марки стали Э0Ю0 31 Вт/(м-К). Коэффициент заполнения стали при
толщине листа 0,35 мм Лзс=0,95.
Тепловое сопротивление зубцов на половину высоты
hz 0,0148
о =----------------=-------------------------------= о,О1О4 К/Вт
z 2zxbzlk3^ 2-36-5,35-Ю-з.о,125-0,95-31
(10.26)
Тепловое сопротивление ярма
hj 0,0177______________
n(Da-hj)lk3c\fe = я(0,191 -0,0177)-0,125-0,95-31 ~ '
= 0,0088 К/Вг. (10.27)
Тепловое сопротивление зазора между статором и станиной
^дст = Дс1.экв/(^^й^&)- (10.28)
По опытным данным, Act.3kb/Ab«4,5- 10-4(1+3Do); следовательно,
д 4,5-10-Ч1+Зад_ 4.5-10-4(1+3-0^^ 0094
nDaX л-0,191 -0,125
(10.29)
Тогда Я36=/?г + /?/ + /?дст«0,0104+0,0088+0,0094=0,0286 К/Вт. ,
Тепловое сопротивление от лобовых частей к внут-
реннему воздуху (Ru). Площадь поверхности теплоотдачи лобовых
частей
5Л = 14/г, [D + 1,4йл + ksZl (Ап - Ы]. (10.30)
200
Коэффициент ks для 2, 4, 6, 8-полк?сных двигателей равен соответствен-
но 0,05; 0,09; 0,10; 0,11; следовательно, 5Л= 14- 0,544(0,126+1,4-0.0143+
+0,09-36(0,0143—0,00535)] = 0,1333 м2.
Окружная скорость ротора пр = л£)рп/60=л -0,1254.1450/60=9,52 м!с.
Коэффициент теплоотдачи лобовых частей
ал= 13+[l9(VpZ>p)0’8/Do] = 13+ [19(9,52 - 0,1254)°’®/0,191] =
= 127,6 Вт/(м2-К). (10.31)
С учетом сопротивления изоляции проводов запишем
*14 = 1/(ал5л) + !,5^/(р/л)= 1/(127,6-0,1333) + /л 1} j
+ 1,5-0,0156-0,125/(2-0,161) = 0,0679 К/Вт.‘ И, R (ю.32)
Тепловое сопротивление от внутреннего воздуха к
корпусу (Т?4б). Свободная площадь внутренней поверхности корпуса
Sk = nDa (£ст -1 + Лщ + £>а/2) = л-0,191 (0,23-0,125 + 0,029 + 0,191 /2)=
= 0,1377 м2. (10.33)
Коэффициент теплоотдачи воздух — корпус
а6л0,8ад = 0,8-127,6 = 102,1 Вт/(м2-К), (10.34)
тогда /?46=l/(aASh) = 1/(102,1-0,1377) =0,0711 К/Вт. /7,€^ /?,?<
Тепловое сопротивление воздушного зазс/ра между
ротором и статором (Т?^). Коэффициент теплоотдачи при ламинар-
ном режиме течения
ал6=3,9-10-2/й = 3,9-10-2/0,3-10-3= 130 Вт/(м2-К), (10.35)
при турбулентном режиме течения
ах6 = 1,82 /^/4/jO^= 1,82/9^2/4/0,3-Ю-з-0,1254 = 71,7 Вт/(м2.К).
(10.36)
Из двух полученных значений КТО истинным является большее, тогда
Язб= l/(a5nDpZ) = 1/(130л-0,1254-0,125) = 0,1562 К/Вт. (10.37)
6,
Тепловое сопротивление от торцов к внутреннему
воздуху (7?45). Поверхность теплоотдачи короткозамыкающих колец и
лопаток
<Sp = 2л (£)р — Акр) (2iKp + Акр) + 4ЛГЛЬЛЬЛ —
= 2л (0,1254 —0,02) (2-0,027 + 0,02) + 4-9-0,019-0,01 = 0,0558 м2.
(10.38)
Коэффициент теплоотдачи торцов ротора
ар = 8 + (11 v£’8/d£-2) = 8 + (11 -9,52°’8/0,12540’2) = 109,1 Вт/(м2-К), (10.39)
тогда /?45=l/(apSp) = 1/(109,1-0,0558) =0,1643 К/Вт.
Расчет тепловой схемы выполняется по формулам (10.3)...(10.9) с уче-
том упрощений ТС на рис. 10.4 по сравнению с рис. 10.5:
/?!8 == *12 + /?23 = 0,0875 К/Вт; /?24 = *12 + *14 = 0,1122 К/Вт;
*^4 = *14 + *13 = *24 + *23 = 0,1554 К/Вт; = Я35 + Я45 = 0,3205 К /Вт
/?34 = 0,1554-0,3205/(0,1554 + 0,3205) = 0,1046 К/Вт.
201
Расчет Р'з и Р\ производим по (10.4) и (10.5) при /?б&=0 и /?во=О:
Р' = 289 + (225.0,1122 4-291-0,0679)/0,1554 + 278-0,1643/0,3205 =
= 721,1 Вт;
Р\ «3 3 + (225 0,0132 + 291 • 0,0875) /0,1554 + 278 - 0,1562/0,3205 = 374,9 Вт.
Согласно (10.6) и (10.7), заменяя индекс 9 на 6, запишем:
0' =721,1 -0,0286 = 20,62; 04 = 374,9-0,0711 = 26,66 °C;
/?д = 0,2043; Я40 + Я34 = 0,1757; + Рм =0,1332;
03 =<20,62-0,1757 + 26,66-0,0286)/0,2043 + 37,23 = 58,70 °C;
64 = (26,66-0,1332 + 20,62-0,0711 )/0,2043 + 37,23 = 61,72 °C.
Расчет превышений температуры обмотки статора проведем по (10.9),
(10.8):
а; = 291-0,0679 + 61,72 = 81,55 °C; 02 = 225-0,0432 + 58,7 = 68,43 °C;
0Л = 0j = (81,55-0,0875 + 68,43-0,0679)/0,1554 = 75,81 °C;
0П = 02 = (68,43-0,1122 + 81,55-0,0432)/0,1554 = 72,07 °C.
Среднее превышение температуры обмотки
0М = (0П/ + 0л/л)/(/ + /л) = (72,07-0,125 + 75,81 -0,161 )/(0,125 + 0,161) =
= 74,18 °C. (10.40)
Опытное значение 0М=73,5°С, погрешность расчета — около +1%, ре-
зультат соответствует классу изоляции В.
Превышение температуры ротора на основании (9.44)
0р = 05 = (®3^45 + 64-Я35 + ^5^45^35)/^34 =
= (58,70-0,1643 + 61,72-0,1562 + 278-0,1643-0,1562)/0,3205 = 82,4 °C.
(10.41)
i
При тепловом расчете двигателей с фазным ротором ТС ус-
ложняется, узел р заменяется тремя узлами: рп— пазовая
часть обмотки, рл — лобовые части и рс — сердечник, которые
соединяются между собой аналогично узлам п, л, z статора. Со-
противление зазора присоединяется к узлу рс.
Тепловой расчет закрытых двигателей с двухконтурной сис-
темой охлаждения и теплообменником отличается от расчета за-
щищенных двигателей только методом определения температу-
ры внутреннего охлаждающего воздуха:
л
+ (10.42)
(-1
где 'О’вн—температура внешней среды, — тепловое сопротив-
ление теплообменника.
202
§ 10.3. Тепловой расчет асинхронных двигателей
защищенного исполнения
Данный тип двигателей относится по степени защиты к ка-
тегории IP23 (или IP22), по способу охлаждения — к типам
IC01 или IC05 и т. п. Простейшая тепловая схема, применяе-
мая для расчета таких двигателей (рис. 10.12), относится к ти-
пу симметрированных. Темпера-
тура охлаждающего потока внут-
ри машины принята равной сред-
нему значению действительной
температуры:
«о=^вх + О,5дев, (10.43)
где
Дби = 0,9^/(рс<20). (Ю.44)
- . Рис. 10.12. Тепловая схема
для воздуха при обычных уело- электродвигателя защищенно-
ВИЯХ рс= 1100 Дж/м3. го исполнения с аксиальной
Соединение элементов стато- вентиляцией
ра между собой, как и в предыду-
щих схемах (см. рис. 9.3, 9.9, 10.4, 10.5). Схема предназначена
в основном для расчета двигателей сравнительно небольшой
мощности.
Порядок расчета АД с аксиальной системой вентиляции. Дви-
гатель, вентиляционная система которого приведена в табл. 3.2
(тип 1), рассчитывается с помощью тепловой схемы (рис. 10.12).
Элементы схемы /?Лп и Rnc определяются как Ri2 и R23 при рас-
чете закрытого двигателя (см. § 10.2). Сопротивление от сердеч-
ника к воздуху
^co = ^z + ^; +
(10.45)
где Rz и Rj — ТСП, определяемые по (10.26) и (10.27) соответ-
ственно; Sc — обдуваемая поверхность спинки, КТО ас для ко-
торой можно определить из критериальных уравнений [2]
Nuc=0,57Re°-5ej при 4-103< Re<9-103,
Nuc = 0,029Re°’7% при 9-103< Re<2,5-104.
(10.46)
Определяющим размером служит удвоенный радиальный
размер канала между спинкой статора и станиной: drc=
—Dct'—Da, где Рст'— внутренний диаметр станины. Скорость в
критерии Re определяется по расходу воздуха в канале, е/ бе-
рется по табл. 8.1.
Теплоотдача лобовых частей рассчитывается с помощью
уравнения
NuJ1 = 0,143Re°’67 при 3-103<Re< 104. (10.47)
203
Определяющий размер — эквивалентный диаметр стержня
обмотки б/сэкв=2/гп'^п/ (V4-Лслбп'), где hnt 6Д —размеры обмот-
ки в пазу, взятые без пазовой изоляции; псл — число слоев об-
мотки.
Определяющая скорость — скорость выхода потока из ротор-
ных лопаток (рис. 10.10, б)
^лоп=0,022пн£>лоп. (10.48)
Теплоотдающая поверхность лобовых частей обмотки, вы-
полненной из «мягких» Секций, рассчитывается по (10.30) при
«жестких» секциях:
5л=2^1(й;+6;)йо6д, (ю.49)
где /?обд==0,8 ... 0,85 — коэффициент обдуваемости.
Тепловое сопротивление от лобовых частей к воздуху
^о=4-(4-+НН’ (,0-Б0)
•^л \ ал лпл /
где Апл, ХПл— соответственно толщина и КТП изоляции стерж-
ней в лобовых частях.
Теплообмен, как и в закрытых машинах, происходит через
зазор, и ТСП jRcp можно рассчитать по (10.35) ... (10.37). В от-
личие от закрытых машин при рациональном распределении на-
грузок между статором и ротором температуры их оказываются
близкими, поэтому связью Rop часто пренебрегают, что на схе-
ме показано разрезом т—т.
Тепловое сопротивление охлаждения ротора имеет две па-
раллельные ветви, учитывающие теплоотдачу с торцов и с по-
верхности каналов:
/?Ро=1/(1//?₽т + W- (Ю.51)
Сопротивление RpT складывается из кондуктивной (за счет
теплопроводности) и конвективной составляющих:
/?рт == //(12Scpz2Xa) + l/(apSp), (10.52)
где Scp — площадь сечения стержня короткозамкнутой обмотки;
Ха — КТП алюминия; Sp рассчитывают по (10.38); ар — по
(10,39) или критериальному уравнению
Nu=0,456Re0<6 при 800 < Re <3000 (10.53)
при определяющей скорости ®Лоп (10.48) и характерном разме-
ре &кр (см. рис. 10.11).
Коэффициент теплоотдачи в аксиальных каналах ротора
можно определить по уравнению
Nu—0,018Re0’8 (l + 0,6/z/wK) (10.54)
где и — окружная скорость на радиусе расположения каналов;
204
Wk—скорость потока в каналах; определяющий размер — диа-
метр канала dK; ы берется по табл. 8.1.
При числе каналов NK сопротивление, учитывающее тепло-
отдачу с поверхности каналов,
Rps = 1/(^лйк/арк). (10.55)
При наличии аксиальных каналов в статоре КТО в них мож-
но найти с помощью уравнения, аналогичного (838), но с учетом
увеличения теплоотдачи за счет шероховатости стенок:
Nu = 0,02 lRe°>8ez. (10.56)
Асинхронные двигатели с двусторонней радиальной вентиля-
цией. Асинхронные двигатели без каналов по типу двигателей
4А (см. рис. 3.5) также
могут быть рассчитаны '
по ТС, изображенной на
рис. 10.12. Двигатели на
большую мощность рас-
считываются по более де-
тализированной ТС (рис.
10.13) с разделением сер-
дечника на зубцы и спин-
ку и с учетом постепен-
ного повышения темпера-
туры воздушного потока
при последовательном об-
текании им торцов ротора,
лобовых частей и спинки
Рис. 10.13. Тепловая схема двигате
ля защищенного исполнения с дву<
сторонней вентиляцией без каналов
статора. Температуру воз-
духа можно определять с
помощью однонаправлен-
ных проводимостей (см.
§ 9.6) или предварительного расчета по формулам ОВ1=Фвх или
'Obie^bx+^p/2200Qb; Ов2=Оо по'(10.43); Овз=Овх_}_АОв или
&вз = +-A0B - ^c/(2200QB). (10.57) •
При этом однонаправленные проводимости исключатся из
схемы.
Отличие от расчета по ТС (см. рис. 8.12) заключается в оп-
ределении сопротивлений Rzi~Rz4-0,57?/; ^/О=О,57?/4-1/(осс5с)
и некоторых коэффициентов теплоотдачи, например вместо Nuc
по (10.46) нужно
Nuc== 0,159Re0’76 In [ 1,2 (Da+dM (Ю.58)
205
Для лобовых частей вместо использования (10.47) отдельно
рассчитывается теплоотдача наружной и внутренней поверхно-
стей соответственно:
Ыилвш =2,86Re°’5/ln [ 1,5 (Da + dTJ!D], (10.59)
Nu,BT = l,65Re°’62/ln [1,5(£>аЦ-^гс)/£>]. (10.60)
Средний КТО
а3 =0,5 (<хлвш + алвт). (10.61)
Для упрощения расчета ТС допускается разрыв т—т в цепи
ротор — статор, при этом передача теплоты через зазор не учи-
тывается. При рассчитанных с помощью (10.57) превышениях
0в2=,6в2—О'вх, Овз=^вз—“Овх довольно просто определяют темпе-
ратуру участков обмотки путем исключения узлов z и j и исполь-
зования формул (9.40):
ГДе 0л/=^л^ло4”6в21 GnZ—^п^поН’ОвЗ» 27?— 7?ло4_7?пл4’7?по» 7?п0—
Рис. 10.14. Тепловая схема машины
с радиальными каналами и двумя
охлаждающими потоками
—Rm 4“ 7? iq, Рп —Rn~F
+[Р z (7?z/4"7?/o) +R/7?/o]//?no<
Среднее превышение для
обмотки статора 0м находят
по (10.40).
Метод расчета двигателей
с радиальными каналами (см.
табл. 3.2, тип схемы замеще-
ния 2) был рассмотрен в гл. 9,
где приведена соответствую-
щая ТС (см. рис. 9.3). Тепло-
отдача в радиальных каналах
определяется тепловым сопро-
тивлением с учетом перепада
температуры поперек пакета
стали:
(10.63)
где /дк — ширина пакета; Х'ге —
КТП шихтованного пакета ста-
ли в направлении поперек листов; SCK — общая площадь стенок
радиальных каналов.
Коэффициент теплоотдачи поверхности пакета в радиальном
206
канале аск=10ик, КТО поверхности обмотки
апк= 12,2 (1 + 0,5/^), (10.64)
где — скорость воздуха в канале.
Теплоотдача в зазор может не учитываться. Теплоотдача на-
ружной поверхности спинки статора и лобовых частей опреде-
ляется с помощью (10.58) ... (10.60).
Полная тепловая схема двигателя с учетом подогрева воз-
душного потока дана на рис. 10.14. Сопротивление Рек разделе-
но в ней на две ветви: /?г2 и /^ — соответственно распределению
площади SCK между зубцами и спинкой. Расчет можно выпол-
нять с помощью (10.57), заменив Рс на Р/ и приняв 6’В4=‘0в2>
'О'в5 = 'О’вЗ-
§ 10.4. Тепловой расчет машин постоянного тока
На рис. 10.15, а, б изображены якорь крупной машины по-
стоянного тока с аксиально-радиальной вентиляцией и кривая
распределения превышения температуры б по длине обмотки.
Рис. 10.15. Якорь машины постоянного тока с радиальными и акси-
альными каналами (а) и кривая распределения превышения темпера-
туры по длине обмотки (б)
В связи с влиянием подогрева воздушного потока, различными
условиями теплоотдачи лобовых частей, сердечника, коллектора
и влиянием связи обмотки с коллектором для расчета распреде-
ления температуры по длине обмотки якоря целесообразно при-
207
менять метод теплопроводящего стержня, при котором обмотка
разбивается на три участка. На рис. 10.16, а дана соответствую-
щая эквивалентная схема якоря, состоящая из трех блоков (см.
рис. 9.15). В схему входят параметры коллектора Рк и Ллк (его
связь с обмоткой через петушки и выводы секций), лобовых и
пазовых частей соответственно Рл', Лл", Рл и Ра\ Ап"» Рп»
Рис. 10.16. Полные тепловые схемы якоря: эквивалентная (а),
обычная (б)
Условия теплоотдачи к воздуху учтены проводимостями ЛКо,
Ллв', Лпв'. Потери в стали и проводимости от сердечника к возду-
ху приводятся к обмотке. Расчет данной ТС позволяет получить
зависимость 0(х) (см. рис. 10.15, б),
Тепловые схемы машин постоянного тока. Для инженерного
теплового расчета якоря можно рекомендовать ТС на рис. 10.16,
б. Ее основные параметры рассчитывают аналогично парамет-
рам ТС статора. Сопротивления /?сь Ра, Рез учитывают теплоот-
дачу внешней поверхности сердечника, поверхностей аксиальных
и радиальных каналов; Рпо — это ТСП теплоотдачи обмотки в ра-
диальных каналах.
Аксиальные сопротивления обмотки
/?Mi^/4+Z/2)/(SMXM); /?1ц2 = (/л/6+//2)/(5иХи)- (Ю.65)
208
Для двигателей малой мощности средняя температура обмот-
ки якоря рассчитывается с достаточной точностью по упрощен-
ной схеме (рис. 10.17), где пазовая и лобовые части объединены
в общий узел.
Полюсная система с шунтовыми обмотками и добавочными
полюсами изображается тепловой схемой на рис. 10.18. Элемен-
Рис. 10.17. Упрощенная тепло-
вая схема якоря для машин
постоянного тока малой мощ-
ности
Рис. 10.18. Тепловая схема ин-
дуктора машины постоянного .
тока
ты схемы: Рш — шунтовая обмотка и ее потери; Рд — обмотка до-
бавочных полюсов и ее потери; сг — сердечники главных полюсов
с источником теплоты РПн (полюсные наконечники с пульса-
ционными потерями); сд — сердечники добавочных полюсов; ст —
станина.
Превышение температуры воздуха внутри машины 0В=О,5Д0В.
Во внешнюю среду (0) отводится часть потерь машины через
наружные поверхности станины и щитов (сопротивление Rio).
В связи с этим подогрев воздуха внутри машины рассчитывается
по (9.19) при &в = 0,9.
Сопротивления ТС: Ri и Rs— от обмоток через их свобод-
ную поверхность к внутреннему воздуху; R2 и Re — от обмоток
к сердечникам полюсов; R3 и R7 — от свободных поверхностей
сердечников полюсов теплота отводится к воздуху; R4 и Ro — че-
рез места крепления теплота отводится к станине; Rg— теплооб-
мен станины и щитов.
Для более сложных типов индукторов — с сериесными и ком-
пенсационными обмотками — обычно составляются отдельные
ТС для главных и добавочных полюсов.
Коэффициенты теплоотдачи машин постоянного тока. Универ-
сальные и достаточно точные методы определения коэффициен-
тов теплоотдачи в машинах постоянного тока пока не разрабо-
таны, что связано со сложным характером теплообмена на по-
8—1268 209
верхностях якоря и полюсной системы, зависящего от окружной
скорости якоря va, от расходной скорости охлаждающего воз-
душного потока vp и многих других факторов. Слабой изучен-
ностью вопроса объясняется применение в литературе старой
формулы КТО
а„=ао(Ц-йр%). (10.66)
Формула (10.66) некорректна, поскольку а0 определяется ус-
ловиями естественной конвекции и излучения, которые не влия-
ют на процесс вынужденной конвекции, т. е. на av. Кроме того,
как видно из рассмотренных ранее критериальных уравнений
теплоотдачи, показатель степени при v не обязательно равен 0,5.
Опыт выполнения тепловых расчетов показывает, что (10.66)
часто приводит к ошибочным результатам.
Более надежны приводимые в литературе графики для опре-
деления КТО, которые здесь заменены аппроксимирующими вы-
ражениями. Средний КТО поверхности якоря и КТО обдувае-
мых поверхностей полюсных катушек соответственно:
при аксиальной системе вентиляции
ая = 12,5^-66, <х4=7,1гА63; (10.67)
при радиальной вентиляции
ал=25 + 2,13^, ап = 19+1,2-ив. (10.68)
Коэффициент теплоотдачи коллекторов:
на металлической втулке без каналов
ак = 68тА37; (10.69)
при наличии вентиляционных каналов ак в среднем в 1,5 раза
больше;
на пластмассовой втулке
ак=24,3^-55,
где гк— окружная скорость коллектора.
Данные обзорного характера по КТО различных частей ма-
шин постоянного тока приводятся в [1,2] в виде критериальных
уравнений теплоотдачи вынужденной конвекцией, однако воз-
можности их использования ограничены. Опытные проектиров-
щики обычно пользуются собственными данными по КТО, про-
шедшими практическую проверку.
Методика расчета машины постоянного тока с помощью теп-
ловой схемы (см. рис. 10.17) рассмотрена в примере § 10.5.
Закрытые машины постоянного тока. Машины закрытого ис-
полнения имеют сложную ТС, учитывающую взаимосвязь всех
элементов. Упрощенный вариант ТС дан на рис. 10.19. Схема
210
якоря (см. рис. 10.17) входит в общую ТС как составная часть.
Теплота от якоря передается внутреннему воздуху (в), ему же
передается часть потерь Рт и Рд. Таким образом, внутренний
воздух является главным промежуточ-
ным теплоносителем, передающим
большую часть общих потерь машины
корпусу (т — станина и подшипнико-
вые щиты). Кроме того, к станине по-
ступают кондуктивным путем тепло-
потоки от полюсных обмоток через
сопротивления /?шг и /?дт. Полный теп-
лопоток, равный сумме всех потерь, от-
дается в окружающую среду с поверх-
ности корпуса путем конвекции и из-
лучения (сопротивление /?то). Некото-
рая часть теплоты отводится от кор-
пуса за счет теплопроводности лап че-
рез места крепления, но этот вид теп-
лоотвода учитывать не обязательно.
Схема (рис. 10.19) рассчитывается
Рис. 10.19. Тепловая схе-
ма закрытой машины
постоянного тока
сравнительно просто путем исключе-
ния узлов к, с, ш, д. После этого схема
приводится к однолинейному виду,
позволяющему непосредственно рас-
считать 0М путем сложения перепадов на трех последовательных
ТСП:
^мв — 1/[1//?мв+ 1/(/?мк4"^кв>+ 1/(/?ип + ^в)],
VI 1//?вт+ 1/(/?шт+7?шв) + 1/(/?дт + /?дв)]
(10.70)
и jRto от соответствующих тепловых потоков: Qmb=^m+
+РЛв/(/?Мк4-/?кв)+адсВ/(^ип+/?св), фвт = 2Рпот РТ, Qto~
&2Рпот — сумма всех потерь, где Рт—РшЯШв/(/?шв4-#шт)-Ь
,4“Рд^дв/(^дв+-/?дт) •
Таким образом, превышение температуры якоря
= Qmb^b + QbtR'bt + У ^поЛо-
Исследования теплоотдачи корпуса закрытых необдуваемых
машин, выполненные М. Н. Уляницким, позволили получить кри-
териальное уравнение
Nu=C(GrPr)0’226,
(10.71)
где С«0,94 и 0,783 соответственно для машин с выходным кон
цом вала и без выходного конца.
8*
I
211
По данным Л. В. Гамаюнова, КТО корпуса закрытых двига-
телей при обдуве со скоростью 3,5... 5 м/с
аг—21,5 lg^ —2,35,
(10.72)
где q — плотность теплового потока.
Коэффициент теплоотдачи якоря машин типа 2ПБ
ая = 52 4- 0,012ц; (10.73)
КТО полюсных катушек ап=314-0,005л, где п — частота вра
щения якоря.
§ 10.5. Методика теплового расчета машины
постоянного тока
Для подробного ознакомления с практическими методами
теплового расчета с помощью тепловых схем рассмотрим мето-
дику расчета двигателя постоянного тока защищенного испол-
нения (IP22) с аксиальной системой вентиляции (IC01) (см.
рис. 3.6), но без вентиляционных каналов в якоре, коллекторе
и полюсных катушках. При этом охлаждающий воздушный по-
ток проходит практически только через междуполюсные прост-
ранства, обдувая внешние поверхности активных частей машины.
Рассматриваемый двигатель имеет обмотку параллельного воз-
буждения и небольшую стабилизирующую сериесную обмотку.
Обмотка якоря — из мягких секций, пазы полузакрытые, лобо-
вые части бандажированные, без доступа воздуха под обмотко-
держатели. Конструкция двигателя в основных чертах соответ-
ствует устройству машины серии 2П.
Рис. 10.20. Паз и зу-
бец якоря
Исходные данные к тепловому расчету якоря. Дано: мощность Рнм
= 11 кВт; частота вращения лн=1500 об/мин; число полюсов 2р=4, пазов
якоря z=29; изоляция класса нагревостойкости
В[0Доп=80°С, Хв«16 Вт/(м-К)].
Необходимые для теплового расчета разме-
ры (мм) и другие данные: диаметры якоря, кол-
лектора и станины (внутренний) соответственно
DO = 162, £)к=125, £)'ст=270; длины —активная
/=170, лобовой части обмотки /л=170, ее вылета
//=48,3, коллектора /к=66, бандажа /б=27. Раз-
меры по рис. 10.20: Г1=5; г2=3,2; /и = 16, 6г=6,2;
йк=5 (клин); Дни = 0,5 (толщина изоляции паза);
изоляции под бандажами Дб=0,5; число витков
в секции Wc=2,5, элементарных проводников в
пазу М1=ж45. Обмотка якоря выполнена из про-
вода марки ПЭТВ [Хп=0,14 Вт/(м-К)], имеющего
диаметры tZM/dH= 1,32/1,405. Сердечник якоря вы-
полнен из стали 1311 с толщиной листа 0,35 мм,
коэффициент заполнения А’с*=0,95, %Fee
=34 Вт/(м-К).
Потери_ (Вт) обозначены согласно [1]: Рэа=470, Рэс==50, Рщ=114,
“ =136, Рдоб=126. Расход воздуха в вентиляционной системе
0,0407 м3/с—из вентиляционного расчета,
Рст—130, Рмех
Qb
При расчете по формулам размеры подставляем в метрах, кроме слу-
чаев, когда результат выражается в мм или в формуле фигурирует отноше-
ние двух размеров.
Тепловой расчет якоря. Упрощенная ТС показана на рис. 10.17. Основ-
ное влияние на охлаждение вращающихся частей оказывают окружные ско-
рости, в данном случае активной части якоря и коллектора va—ba(£>/2=
₽=0,162-78,54= 12,72 м/с, гк=£>к(»/2=0,125-78,54 = 9,82 м/с, где ш/2=
₽лян/60=78,54 с-1.
Коэффициенты теплоотдачи активной и лобовой частей, а также кол-
лектора определяются по эмпирическим формулам
аа=9,5-(1 + 0,6v9»9) = 9,5-(1 + 0,6-12,72°’9) =65,7 Вт/(м2-К),
ал = 12,5-(1 + 0,85р9’85) = 12,5-(1 + 0,85-12,72°’85) = 104,8 Вт/(м2*К),
ак = 16-(1 + v°/) = 16-(1 4- 9,82°’7) = 95,2 Вт/(м2-К).
Тепловое сопротивление от поверхности активной части к воздуху на
основании (7.22) Ra=\/(nDalaa) = 1/(л-0,162-0,17-65,7) =0,1759 К/Вт.
Тепловое сопротивление от поверхности лобовой части определяют анало-
гично. Предварительно, для уточнения площади этой поверхности находят:
расчетную толщину лобовой части через ее объем
Лл = 0,24^пг/л/(£)Л//)=0,24-1,4052-45*29-170/(162-48,3) = 13,4 мм;
расчетный вылет l'f ==lf+h.i = 48,3+13,4 = 61,7 мм.
Площадь поверхности на одну сторону якоря 5л=0,95«л/?а/'л=
== 0,95 л-0,162-0,0617=0,0298 м2; поскольку ее часть закрыта изоляцией бан-
дажа, находим для нее эквивалентное ТСП на единицу площади. На осно-
вании (7.23) рв = Дб/Хи+1/ал = 0,5* 10-э/0,16+1/104,8= 1,267-10-2 м2-К/Вт,
тогда тепловое сопротивление от обмотки к воздуху находят в результате
сложения двух параллельных проводимостей — от не закрытой и закрытой
бандажом частей поверхности Sn:
я» - 1/(«л(“41 -+ (1 /Рб)('б+)]) = 1 /{о,0298 (104,8 (I -27/61,7) +
+ (1/1,267-10-2)(27/61,7)]} = 0,359 К/Вг.
Тепловое сопротивление коллектор—воздух определяется по (7.22)
/?ко=1/(лПк-1,25/как) = 1/(л-0,125-1,25-0,066-95,2) =0,324 К/Вт, коэффици-
ент 1,25 учитывает торцевые поверхности и отвод теплоты через вал.
Тепловое сопротивление обмотка—сердечник складывается из двух по-
следовательно расположенных частей: сопротивления пазовой изоляции и
сопротивления передаче теплоты внутри обмотки между изолированными
круглыми соприкасающимися проводами. Последнее зависит от эквивалент-
ного поперечного КТП пучка проводов- Хэ, определяемого по формулам
(10.23) или (10.23а)—для пазовой части обмотки. По (10.23а) получим
Хэ = 2,5-0,14//1,3.(1,405/1,32)^1 =0,565 Вт/(м-К).
Для лобовых частей К больше ввиду более упорядоченного и плотного
расположения проводов:
Хэл = 2,5Х„//1 ,1 (</и/йм) - 1 = 2,5-0,14/К1,1 (1,405/1,32)-! =
= 0,847 Вт/(м-К).
Поле в пазу можно считать двухмерным. Его анализ позволяет опре-
делить внутреннее сопротивление паза с помощью коэффициента
v = л/4 + (Й! -ЛК)/(Г1 + г2) « 0,7854 + (16 -2)/(5 + 3,2) = 2,49;
сопротивление пазовой изоляции зависит от ее площади Пд/, где П=2Л1+
+ (2/3)Г1+лг2=2* 16 + (2/3) -5+л *3,2=45,4 мм — периметр.
213
Результирующее тепловое сопротивление
Р 1 Ащт _________________1________1_______1
ип~ zl [ ПХИ + 12X3(v + 0,33/v) J “ 29-0,17
0,5-Ю-з
45,4-10-3.0,16
_____________1___________‘
12-0,565 (2,49+0,33/2,49) .
= 0,0254 К/Вт.
Теплопоток от пазов к поверхности якоря создает на своем пути по
стали перепад между средними температурами зубцов и поверхности, кото-
рый можно выразить на основании схемы (см. рис. 7.5, а) через ТСП Р/3.
Зубцы рассматриваются в совокупности как стенка с распределенными ис-
точниками теплоты толщиной (ra+/ii + 0,5rJ, при этом наиболее широкая
часть коронок зубцов по высоте 0,5ri не учитывается, площадь стенки
zbt-lkc. В окончательном виде
Г2 + А, +0,5 п = (3.2 +16 + 5/2)=
z 3-29-6.2-10-3-0,17-0,95-34
В тепловую схему (рис. 10.17) входит результирующее ТСП 7?Co=Pz+
+ Ра=0,0073+0,1759 = 0,1832 К/Вт.
В лобовых частях обмотки происходит передача теплоты из нижнего
слоя проводников, который не охлаждается через обмоткодержатель, к верх-
нему через головки секций и частично через пазовую часть обмотки и зуб-
цы. При этом теплопоток проходит некоторую долю аксиального ТСП лобо-
вых часгей:
Ямл = /лД0,55мХм) = 0,17/(0,5-1,786• 10_з.390) = 0,488 К/Вт,
где S4=zWn (л/4) d2M=29 • 45-0,7854-1,322-10“6=1,786-10“3 м2 —общая пло-
щадь сечения проводников обмотки; Ак=390 Вт/(м-К) — КТП меди.
Основным внутренним сопротивлением здесь служит поперечное сопро-
тивление пучка проводов, рассматриваемого как плоская стенка с рас-
пределенными потерями. Анализ температурного поля в лобовой части с
учетом продольной и поперечной передачи теплоты показывает, что ее
внутреннее ТСП равно (Яил+Ямл/30). Тепловое сопротивление Рил можно
найти исходя из допущения, что AM = o°, при этом лобовые части оказыва-
ются эквивалентными плоской стенке толщиной Кл с симметричными усло-
виями охлаждения. С помощью (7.33) и рис. 7.5, б находим Рнл=
=Нл/( 12S= 0,0134/ (12 • 0,0298 • 0,847) = 0,0442 К/Вт.
Результирующее ТСП для обеих лобовых частей, входящее в ТС на
рис. 10.17, /?но = (Кдл + Янл + /?мл/30)/2 = (0,359 + 0,0442 + 0,488/30)/2 =
= 0,2097 КУВт.
Тепловое сопротивление связи обмотки с коллектором Рык определяется
с помощью анализа температурного поля, показывающего, что разность тем-
ператур между выводами секций и самой обмоткой изменяется по длине
этих выводов, затухая по экспоненциальному закону от максимального зна-
чения в месте присоединения выводов к коллектору до нуля на достаточ-
ном расстоянии углубления в обмотку. Интенсивность затухания, определя-
ющая RXK, пропорциональна аксиальному сопротивлению проводников и
поперечному сопротивлению пучка проводов обмотки. На этом основании
выведена формула
Ямк = 0.6 (®с- 1) V««ЛЛ = 0.6 (2,5 - 1) /0,488-0,0142/2,5 =
= 0,0836 К/Вт.
По тепловой схеме можно найти результирующую тепловую проводи-
мость от обмотки якоря к охлаждающему воздуху, исключив узлы с источ-
никами Рс и Рк.‘ Ля=1/Рмо+1/(Рсо+Рип)+1/(Рко+Рмк) = 1/0,2097+
+ 1/(0,1832+0,0254) -+1/(0,324+0,0836) = 12,02 Вт/К, а также потери, приве-
214
денные к узлу м. При этом принимаем, что в якоре выделяется в среднем
50% добавочных потерь и что только 60% тепловыделения в коллекторно-
щеточном узле нужно отнести к самому коллектору, а остальное рассеи-
вается поверхностями щеток и щеткодержателей. Допустим также, что по-
тери на трение в скользящем контакте равны 80% от механических потерь
(если нет более точных данных). Таким образом, приведенные потери
р> р . ^ст 0.5РдОб 0,6 (Рщ 4- 0»8Рмех)
1 4~ Рип/^со 1 + Рмк/Рко
130 4-0,5-126 0,6 (114 4-0,8-136)
+ 1 4’0,0254/0,1832 1 4-0,0836/0,324 Т’
Среднее превышение температуры воздуха внутри машины на основа-
нии (9.19) Ов=0,5Лв2Р/ (1100QB) = 0,5 • 0,9 • 1661 / (1100 • 0,0407) = 16,7 °C, где
5Р=1661 Вт — сумма всех потерь.
Среднее превышение температуры обмотки якоря над внешней средой
0м=-Р,я/Ля4-0в=745,8/12,02 4-16,7=78,7 °C, что удовлетворяет требованиям
к классу нагревостойкости В и согласуется с опытом.
ВОПРОСЫ для САМОПРОВЕРКИ
1. В чем состоят основные особенности теплопередачи закрытых АД и
2. Какими путями отводятся тепловые потоки в АД и как это отра-
жается в тепловой схеме?
3. Чем отличаются ТС двигателей при различных вариантах их конст-
рукции и системах охлаждения?
4. Какие элементы входят в ТС якоря и индуктора машины постоян-
ного тока?
5. Что такое эквивалентный коэффициент теплопроводности всыпных
обмоток и какими способами он может быть рассчитан?
ГЛАВА 11
ТЕПЛОВЫЕ РАСЧЕТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
ПРИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМАХ НАГРЕВА
Нестационарные тепловые процессы в электрических маши-
нах широко распространены в практике их эксплуатации. Ими со-
провождаются режимы пуска двигателей и включения генерато-
ров, отключения, торможения, изменения нагрузки и частоты
вращения машин. Особенно важное значение процессы нестаци-
онарного нагрева имеют при перегрузках по току и напряжению,
при частых и затяжных пусках двигателей, а также при их рабо-
те в заторможенном состоянии, в режимах короткого замыкания
генераторов, при выпадении из синхронизма и т. п.
Причиной быстрого и опасного повышения нагрева машин мо-
жет быть появление неисправностей в их системах охлаждения,
особенно в форсированных, жидкостных, двухконтурных и т. п.
сложных и интенсивных системах (закупорка, отказ напорного
элемента, обрыв трубопровода, утечка теплоносителя и т. д.). Осо-
бенностью нестационарных тепловых режимов, или тепловых пе-
215
реходных процессов, в электрических машинах является их инер-
ционность, проявляющаяся в значительном отставании изменений
температуры от электромеханических переходных процессов и
других факторов, послуживших причиной изменения темпера-
турного поля. Благодаря этому машины могут выдерживать в
течение некоторого времени воздействие перегрузок, токов ко-
роткого замыкания и других ненормальных условий.
Учет тепловой инерционности в расчетах нестационарного на-
грева является обязательным условием достоверности резуль-
татов. Тепловой расчет электрических машин при нестационар-
ных режимах нужен в следующих случаях:
— если по условиям эксплуатации машина все время нахо-
дится в состоянии переходного теплового процесса;
— если нужно учесть данные теплового расчета при выборе
характеристик аварийной защиты от перегрузок, коротких за-
мыканий и т. д. или для выявления особо напряженных по на-
греву мест в конструкции машины.
§ 11.1. Классическая теория нестационарного
теплового процесса в электрической машине
В основе расчета нестационарного теплового режима лежит
классическая теория нагрева однородного тела, к которому при
определенных допущениях можно привести электрическую ма-
шину или какую-нибудь ее часть (статор, якорь и т. п.).
Классическая теория нагрева электрической машины как од-
нородного тела. Рассмотрим процесс нагрева тела с собственным
тепловыделением мощностью Р, с поверхности S которого про-
исходит теплоотдача конвекцией и излучением при КТО а. Теп-
лопроводность материала тела считаем достаточно большой для
того, чтобы можно было пренебречь внутренними перепадами
температуры по сравнению с превышением температуры 0 по-
верхности. Тепловая инерция рассматриваемого тела характе-
ризуется его массой М. и удельной теплоемкостью с. Составим
уравнение теплового баланса на том основании, что теплота,
выделившаяся за элементарный промежуток времени dt, частич-
но идет на повышение собственного теплосодержания тела и час-
тично отводится к окружающей среде:
P-dt = cM-dG + aSG-dt. (11.1)
Уравнение теплового баланса преобразуется в дифференци-
альное уравнение
(dtydt) + а56/(сЖ) = РЦсМ), (11.2)
которое удобно представить в виде
(А?е/^)+(0/Г)=е«/Л (И.з)
216
где Т — постоянная времени нестационарного теплового ре-
жима:
T=cM/(aSy (11.4)
е<ю — установившееся превышение температуры тела (так как
при М-оо d&/dt-+O и, согласно (11.3), 6->0<х):
6«=Р/(а5). (11.5)
Введем переменную 0*=Goo—0 — это свободная составляю-
щая температуры. Благодаря этому (11.3) становится однород-
ным и решается методом разделения переменных dtydt+ft/T=0,
db№=—dtrTt \пЪ=—ЦТ+С'\ -0= С exp (—//Г).
Постоянная С находится через начальное превышение тем-
пературы при /=0, 0=0о, ^=000—0о = С, откуда получим
6 = ете - (б,. - в0) ехр (- ЦТ), (11.6)
или
0 = 0ов[1-ехр(-//Г)] + еоехр(-//Г). (11.7)
Это служит окончательным решением.
Характер изменения температуры при нагреве показан на
рис. 11.1, а: кривая / — при 0о = О, кривая 2 — при 0о¥=О. Соглас-
но свойству экспоненты, для произвольной точки (а или Ь) под-
касательная на линии 6=0оо равна постоянной времени Т.
’ис. 11.1, Характер процессов нагрева (а) и охлаждения (б) элек-
трической машины
Установившееся тепловое состояние достигается через вре-
мя (3...5)Т после включения при нулевом начальном условии.
Погрешность, характеризуемая разницей между установившим-
ся и текущим значениями превышения температуры, составляет
приблизительно 5% при £=37\ 1,8% при /=4Г, 0,7% при / = 5Т.
Формула (11.7) описывает также процесс охлаждения как
частный случай при 0оо = О или 0<»<0о (рис. 11.1, б). Важной осо-
бенностью вращающихся машин является то, что коэффициен-
217
ты теплоотдачи у них различны при вращении и в неподвижном
состоянии, когда идет процесс остывания. В последнем случае
за счет прекращения вынужденной конвекции в системах с са-
мовентиляцией, или за счет ее ослабления при уменьшении ок-
ружной скорости вращения до нуля в системах независимого
охлаждения, КТО существенно снижается; при самовентиляции
он может уменьшаться в несколько раз, в высокооборотных ма-
шинах— в 10 раз и более. Из (11.4) следует, что постоянная
времени при охлаждении Тохл больше, чем при нагреве во вре-
мя работы. Если охлаждение происходит при вращении машины
на холостом ходу, эта разница практически отсутствует.
Ценность классического решения задачи нестационарного
нагрева заключается в том, что решение можно распространить
на неоднородные, неравномерно нагревающиеся тела и системы
тел.
Теория регулярного теплового режима. В основе расширенно-
го толкования классического решения лежит теория регуляр-
ного теплового режима, сущность которой заключается в сле-
дующем. Для тела любой конфигурации, как показано в § 7.5,
свободную составляющую температурного поля можно выра-
зить следующим образом:
(Н-8)
/-1
где Ui — собственные функции; Ai — амплитуды, зависящие от
начальных условий.
Коэффициенты mt образуют возрастающую последователь-
ность положительных чисел, которая при некотором значении
времени t обусловливает практическое затухание всех экспо-
нент, кроме первой, и наступление регулярного режима, когда
0 (х, у. z, t) AJJхе~т>(11.9)
Рассматривая вместо температурного поля среднюю темпе-
ратуру тела, получим т. е. придем к классическому ре-
шению (11.6), для которого а 6 — среднеобъемное пре-
вышение температуры. Поскольку условия охлаждения реального
тела характеризуются не только внешним тепловым сопротив-
лением 7?Ta=l/(aS), но и внутренним Rn, формулы (11.4) и
(11.5) претерпят изменения:
= Р (Кть+Нтй = PRt^ (11.10)
Т = сМ (RTa+7?гх) = cMRn=cMGJP. (11.11)
Таким образом, оба параметра можно определять по данным
стационарного режима.
Погрешность рассматриваемого метода в большой степени
зависит от отношения аналогичного критерию Био. При
характерных для элементов машин с воздушным охлаждением
218
малых значениях этого отношения (обычно <0,3) погрешность
от регуляризации, согласно (11-9), не превосходит 2%.
Если рассматривается система тел со сложными тепловыми
связями, при которых проводимости между телами значительно
больше проводимостей к охлаждающей среде (примером может
служить статор или якорь электрической машины с воздушным
охлаждением, состоящий из двух основных частей — обмотки и
сердечника — или подразделяемый на три части, как в § 9.3), то
Т рассчитывется через общую эффективную теплоемкость
п
V где i — номер элемента, rjz — весовой коэффициент уча-
/-1
стия данной теплоемкости в регулярном режиме. Для главного
элемента (обмотка) т]1=1, для менее активного — сердечника —
среди возможных способов допустим такой (см. рис. 9.3): т]2=
=/?со/(/?со+^пс); теплоемкость стали в таких случаях считается
«присоединенной» к теплоемкости обмотки с весовым коэффи-
циентом т]2< 1. Возможно также приведение системы тел к одно-
му главному телу по принципу метода эквивалентных греющих
потерь (см. § 10.5), причем теплоемкости приводятся с теми же
коэффициентами, что и потери; сами коэффициенты определя-
ются по ТС стационарного режима.
§ 11.2. Нестационарный нагрев в стандартных
режимах работы электрических машин
Наиболее часто встречающиеся на практике режимы рабо-
ты машин классифицированы в стандарте ГОСТ 183—74, уста-
навливающем восемь типов номи-
нальных режимов SI...S8.
Продолжительный режим S1.
Продолжительный режим (ПР)
при номинальной нагрузке маши-
ны в течение времени, за кото-
рое практически достигается ус-
тановившаяся температура (рис.
11.1, а), является основным ре-
жимом. Такой режим рассчиты-
Рис. 11.2. Температурная кривая
при кратковременном режиме ра-
боты машины
вается как стационарный, а его
начальная нестационарная часть
не рассматривается.
Кратковременный режим -S2.
Для кратковременного режима
(КР) характер процесса показан на рис. 11.2. Это режим, при
котором за время работы /р машина не успевает нагреться до
установившейся температуры, а после отключения остывает до
температуры окружающей среды. Стандартные значения време-
ни /р: 10, 30, 60, 90 мин.
219
Максимальное превышение температуры, согласно (11.7),
0/л = 6<в[1-ехр(-/р/П]. (П.12)
При этом должно соблюдаться условие допустимого нагрева
От^0доп, что позволяет определить допустимый уровень потерь
для данной машины при известных Т и tp.
Потери, допустимые для КР,
(11.13)
потери, допустимые для ПР при том же 0ДОп,
ЛР=еД01Лгь (П.14)
Следовательно, отношение допустимых потерь
Лр/^ф = медог1 = [1 -ехр(/р/(Г)]-1> 1. (11.15)
На основании (11.15) можно определить допустимую полез-
ную мощность, до которой можно нагрузить двигатель в КР.
Повторно-кратковременный режим S3. Повторно-кратковре-
менный режим является периодическим, состоящим из циклов
работа — пауза. Времена работы, паузы и цикла находятся в
следующих соотношениях:
(/р//ц)-100=ПВ %. (Ц.16)
Для относительной продолжительности включения (ПВ%)
установлены стандартные значения: 15, 25, 40, 60%. Время цик-
ла /ц=10 мин, если не указано другое значение.
На рис. 11.3 дан график изменения потерь и превышения тем-
пературы для ПК режима. Пилообразная температурная кри-
S.PI
Рис. 11.3. Тепловой процесс в повторно-кратко-
временном и перемежающемся режимах работы
вая строится из отрезков, взятых по основной кривой нагрева а
и основной кривой охлаждения Ь. Отрезки для первого цикла
О—1—2 лежат непосредственно на этих кривых. Для последую-
220
щих циклов осуществляется параллельный перенос отрезка
2'—Зг кривой а в положение 2—3, отрезка 3"—4" кривой b в по-
ложение 3—4 и т. д. Постоянные для кривых нагрева Т и охлаж-
дения 70ХЛ в общем случае различны. Через время (1,5... 2,5)
(Т + Тохл) процесс принимает установившийся характер, при
котором температура колеблется между постоянными значения-
ми Вшах и 0min, которые на основании (11.7) связаны друг с дру-
гом следующими уравнениями:
6max = 6~[l-exp(-V7’)] + 9minexp( —/р/Г), 1
0т1п==®гаахвхр( —/о/Готл). • )
Совместное решение уравнений (11.17) позволяет определить
максимальный нагрев:
®тах = е~-------1 — ехр( —<Э/Г>------. (11.18)
тх 1-ехр(-/р/7-).ехр(-/0/Гом)
Как и при кратковременном режиме, определяется допусти-
мое значение потерь повторно-кратковременного режима по ус-
ловию 6тах==Вдоп"
Рикр __ в°° __ 1 ехР { [(^р/О (^О^ох.1)]} । (11 19)
^пр бдоп 1 — ехр( — /р/Г)
Используя (11.16) и обозначив е=/Р//ц=ПВ°/о/100, (11.19)
запишем в виде
Plip 1 — ехр (— /цб/Г)
(11.20)
Выражения (11.19) и (11.20) позволяют определять допусти-
мое повышение нагрузки машины в ПКР по заданным пара-
метрам режима ПВ% и /ц.
Повторно - кратковре-
менный режим работы с
частыми пусками S4. Этот
режим (рис. 11.4) харак-
теризуется теми же значе-
ниями ПВ %, что и режим
S3, а также коэффициен-
том инерции FI и частотой
пусков в час h. Коэффи-
циент FI равен отноше-
нию суммарного приве-
денного момента инерции
на валу двигателя к соб-
Рис. 11.4. Диаграмма повторно-кратковре-
менного режима работы с частыми пус-
ками
ственному моменту инер-
ции его ротора. От FI
прямо пропорционально
221
зависят время пуска ta и энергия пусковых потерь Лп= Pvdt,
д
где Рп—мощность потерь при пуске, зависящая от кратности
пускового тока /п//н. Стандартизованные значения FI\ 1,2; 1,6;
2; 2,5; 4; 6,3; 10; частоты включений й=30... 360 вкл/ч.
На рис. 11.4 показан процесс изменения температуры, при-
нявший установившийся характер после достаточно длительной
работы. Температура колеблется между Отах и Отт около сред-
него значения 0ср, причем отклонения от 0Ср не превышают обыч-
но нескольких градусов. Такой процесс называют квазистацио-
нарным. Кривая а соответствует случаю, когда пусковые поте-
ри сравнительно невелики и вызывают небольшой скачок тем-
пературы в начале цикла. Кривая б относится к тяжелым пус-
кам, их большой частоте и малым ПВ%; здесь после резкого
начального повышения температуры обмоток в дальнейшем на
стадии работы под нагрузкой может наблюдаться не повышение,
а снижение 0 и еще более быстрое снижение во время паузы /0.
Тепловой расчет квазистационарного режима S4 и сходных
с ним по частоте пусков и амплитуде колебаний 0 режимов S5
и S7 обычно выполняется, как и для стационарного нагрева,
с помощью ТС или по методу эквивалентных греющих потерь.
Определяемое по расчету превышение температуры для режи-
ма S4 должно удовлетворять условию 0Ср<0доп с несколько
большим запасом, чем для режима S1, в виду того что 0тах>0ср.
Тепловой расчет квазистационарного режима S4 отличается от
обычного тем, что потери в элементах машины берутся средние
за цикл процесса. Потери в обмотке статора
Ае = еРы1+ 4,^/3600, (П.21)
где РМ] — потери в обмотке статора при работе под нагрузкой;
Лп1 — энергия пусковых потерь в обмотке за один пуск.
Потери в элементах двигателя, в которых не выделяются пус-
ковые потери, Pu=ePi. Точно так же усредняются за цикл коэф-
фициенты теплоотдачи с учетом того, что при паузе частота вра-
щения л=0:
ag = еОр + (1 — е) Oq, (11.22)
где аР, сю — КТО соответственно при вращении с номинальной
скоростью и в неподвижном состоянии.
В тепловом расчете закрытых обдуваемых АД (см. § 10.2)
для определения КТО корпуса при паузе рекомендуются следу-
ющие формулы:
для неоребренных участков корпуса (щиты и др.)
аон = 3,90°о25 — 0,01(&0-25);
для оребренных участков
а _________^22______
0₽ 1+0.2(Л₽/*к1)’>» '
(11.23)
(11.24)
222
Коэффициент теплоотдачи излучением, отнесенный к «обтя-
гивающей» поверхности 5Л,
ал=3,5 (1 + 0,019ко + 0,02%), (11.25)
где 0ко — среднее превышение температуры поверхности корпу-
са; — температура среды.
Подогрев потока воздуха Д0В при этом не учитывается. Значе-
ние 0ко предварительно задается:
бко=<М <It2e>
\ I -|-U,4p 4-u,zp^ 1 + U,<$е /
а после расчета тепловой схемы 0КО уточняется.
При расчете по методике, изложенной в § 10.2, суммарная
тепловая проводимость корпус — окружающий воздух
Ао.=е (.%о+3,18- 10-VQ.)"1 + (1 - е) Га^р ( 1 + +
Рис. 11.5. Диаграмма повторно-
кратковременного режима рабо-
ты с частыми пусками и электри-
В (11.27) подогрев воздуха Д0В учтен.
Коэффициент теплоотдачи лобовых частей (10.31) для ПКР
приобретает вид
алв == 13 + е. 19 (vpDj°>*/Da. (11.28)
Формула (10.39) изменяется аналогичным образом. Коэффи-
циент теплоотдачи в зазоре
при паузе
аео=алВ/1,25. (11.29)
В остальном расчет не от-
личается от рассмотренной ра-
нее методики.
Повторно-кратковременный
режим с частыми пусками и
электрическим торможением
(динамическим или путем про-
тивовключения) S5. Отличия
этого режима от S4 видны по
рис. 11.5. При тепловом расче- ческим торможением
те по методике для S4 потери
энергии при торможении Лг= j PTdi суммируются с пуско-
выми потерями.
Перемежающийся режим S6. При этом режиме работа под
нагрузкой чередуется с холостым ходом и характеризуется тем
же параметрами, что и S3, однако вместо ПВ% применяется пр
223
должительность нагрузки ПН%- Потери холостого хода пока-
заны на рис. 11.3 пунктирной линией. Таким образом, имеется
два уровня потерь Pi и Рг и соответственно два установившихся
превышения температуры 0TOj и боог. Постоянная времени Т при
работе и паузе одинакова. Максимальное превышение темпе-
ратуры
_ во»! [1 — ехр ( — /р/Г)] 4- 6то2 [1 — охр ( - ^0/Г)] exp ( - tQ/T)
гаах“ I — ехр( — £Ц/Т)
(11.30)
Остальные стандартные режимы работы: перемежающийся с
частыми реверсами S7 (30...360 в час); перемежающийся с из-
менением частоты вращения S8, принимающей одно из двух (или
более) значений — рассчитываются аналогичными способами.
§ 11.3. Общий метод расчета нестационарных
процессов по тепловой схеме
при произвольном числе тел
При расчете нестационарных температурных полей электри-
ческих машин в исследовательских целях количество элементов,
на которые подразделяется машина, может выбираться доста-
точно большим. Ограничением служат в сновном возможности
имеющейся вычислительной техники. Для расчета берутся обыч-
ные тепловые схемы,
дополненные емкостя-
ми. Те узлы схемы, для
которых теплоемкость
соответствующих эле-
ментов незначитель-
на, — это в первую оче-
редь воздушные объе-
мы — исключаются из
схемы путем ее преоб-
разования. Соответст-
вующие им уравнения
исключаются из общей
системы по методу Га-
усса.
На рис. 11.6 приве-
дена схема для расче-
та асинхронного двига-
теля закрытого испол-
нения. Ее элементы:
-ротор, 4 — станина и
щиты, 5 — внутренний воздух. Ввиду того, что Cs=O по сравне-
нию с другими теплоемкостями, звезда проводимостей с этим
узлом преобразуется в треугольник Ли—Л34—Лн, после чего со-
Рис. 11.6. График нестационарного процес-
са в системе двух тел
1 — обмотка, 2 — сердечник статора, 3
224
ставляется система дифференциальных уравнений переходного
теплового процесса для четырех элементов.
Общий вид уравнения i-ro узла системы, состоя-
щей из т элементов,
т
d^dt^a^+W', (11.31)
й-1
где aik—Aik/Cit Wi^PJCi— скорость адиабатического нагрева
тела; Aik — коэффициенты матрицы проводимостей (9.29), полу-
ченной после исключения из системы уравнений узлов, не облада-
ющих теплоемкостью.
Превышения температуры элементов машины получаются в
виде
т
(11.32)
7-1
Параметры 0ТО/, Ац, pi определяются известными математи-
ческими методами — классическими или операторными.
Вместо аналитического решения при большом числе уравне-
ний предпочтительнее численные методы, в частности широко
применяемый метод Рунге — Кутта.
Правая часть уравнения (11.31) обозначается через kt— ско-
рость нарастания температуры 0/. Весь процесс нагрева разби-
вается на интервалы времени At, длительность которых устанав-
ливается исходя из априорных физических представлений о хо-
де процесса. Каждый интервал времени Atn рассчитывается за
четыре этапа:
1) расчет ki0 при температурах 01П;
2) расчет ka по 0i=0in4-0,5МЛо;
3) расчет ki2 по Qi=Qin+^^Atnkii'r
4) расчет ki3 по 0/ = 0/п+Д^г2-
Температуры (превышения) в конце n-го интервала
6/ (»+1) = б/я + (Atn/6) (kiQ 4“ 2£а 4- 2Л/2 4~ ^/з)« ( И «33)
Данный метод пригоден как. для сходящихся, так и для рас-
ходящихся процессов при постоянных и переменных параметрах
тепловой схемы.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Какие режимы работы ЭМ сопровождаются нестационарными тепло-
выми процессами?
2. Проанализируйте структуру уравнения теплового баланса и вариан-
тов дифференциального уравнения нестационарного нагрева однородного
тела. Какой физический смысл имеют постоянная времени и установившее-
ся превышение температуры и от чего они зависят?
3. Какой нестационарный тепловой режим называется регулярным?
4. Охарактеризуйте признаки стандартных режимов работы ЭМ и осо-
бенности нагрева в этих режимах.
225
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Объем настоящей книги, как и программа соответствующего
курса, не позволяет полностью осветить проблему охлаждения и
теплового расчета электрических машин. Эта проблема связана
с целым рядом теоретических дисциплин и разработана к насто-
ящему времени в очень широких аспектах. При написании книги
авторы ориентировались в основном на типы машин, которые
рассматриваются в общей учебной литературе по проектирова-
нию электрических машин [6, 11 и др.]. В связи с этим в учебнике
не рассматривались подробно крупные электрические машины
(турбо- и гидрогенераторы), специальные машины с интенсивны-
ми видами охлаждения (жидкостным, испарительным), транс-
форматоры, микромашины и др.; методы теплового расчета та-
ких машин даются в монографиях [4, 7, 10 и др].
Наиболее актуальной проблемой теплового и вентиляционно-
го расчета электрических машин является расчет коэффициен-
тов теплоотдачи с поверхности охлаждаемых частей, который
сейчас целиком основан на обобщении данных промышленных
и специальных испытаний ЭМ. Опубликованные критериальные
уравнения теплоотдачи относятся лишь к ограниченному числу
возможных случаев, и учитывают не все условия, влияющие на
КТО. Это затрудняет предварительную оценку эффективности
вновь создавамых конструкций систем охлаждения и поиск оп-
тимальных решений в САПР. Данная проблема далека от свое-
го полного решения ввиду того, что в большинстве случаев гео-
метрия поверхностей теплоотдачи вентиляционных систем ЭМ име-
ет специфический характер и не может быть сведена к простым
и обтекаемым формам. Опыт показывает, что совершенствование
аэродинамических форм поверхностей в зоне теплосъема не спо-
собствует его улучшению. Поэтому при расчетах ЭМ в целом не
удается использовать достижения таких отраслей науки, как, на-
пример, аэродинамика обтекаемых профилей или прикладная теп-
лофизик!', объекты которых имеют сравнительно простую геомет-
рию.
До сих пор необходимость капитальной разработки матема-
тических методов расчета КТО ставится под сомнение, посколь-
ку требуются значительные затраты сил и средств, использова-
226
ние самой современной вычислительной техники и коренное усо-
вершенствование экспериментальной базы, в то время как име-
ются хорошо отработанные традиционные пути решения проб-
лем охлаждения, опирающиеся на практический опыт. Наблю-
дающийся интенсивный рост разнообразия типов и конструкций
ЭМ может привести к ситуации, когда математические методы
расчета КТО, основанные, например, на численном решении
уравнений конвекции, позволят находить оптимальное решение
точнее, быстрее, с меньшими затратами, чем традиционный экс-
периментальный поиск.
Перспектива дальнейшего развития тепловых и‘ гидравличе-
ских расчетов связана также с появлением принципиально но-
вых способов охлаждения ЭМ, что сопряжено с включением в
поле зрения расчетчиков новых физических явлений, существен-
ным изменением характера температурных полей, свойств ох-
лаждающих сред и т. д. Примером этого могут служить спосо-
бы охлаждения с помощью тепловых труб [2]. К числу наиболее
прогрессивных направлений следует отнести использование яв-
ления сверхпроводимости при охлаждении машин сжиженными
газами. Последние успехи в разработке высокотемпературных
сверхпроводников открывают перспективу замены в системах ох-
лаждения гелия (температура сжижения 4,2 К) на более деше-
вый и недефицитный жидкий азот (77,4 К). Это делает более
реальной возможность практического применения ЭМ со сверх-
проводящими обмотками. В связи с этим теория тепловых и
гидравлических расчетов должна решать новые задачи, связан-
ные с теплоизоляцией от проникновения теплопотбков извне, с
охлаждением элементов схемы, не переводимых в сверхпрово-
дящее состояние, с устойчивостью температурного режима и пр.
Таким образом, в данной области теории и конструирования
электрических машин требуется постоянная интенсивная работа
исследователей, расчетчиков и конструкторов.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение J. Теплофизические свойства основных охлаждающих сред [3]
Температура О, °C Плотность V, кг/м3 Теплоемкость ср, Дж/(кг. К) Коэффициент теплопровод- ности X • to1, Вт/(м . К) Кинематическая ВЯЗКОСТЬ V10’, м2/с Коэффициент расширения В - ю*, к-1 Критерий Прандтля Рг Коэффициент критерия Грасгофа м-». К-1
1 2 3 4 5 е 7 8
Воздух (сухой) при давлении 760 мм рт. ст.
—40 1,515 1013 2,12 10,04 —— 0,728 4,20
—20 1,395 1009 2,28 11,56 —— 0,716 2,38
0 1,293 1005 2,44 13,28 0,707 2,04
20 1,205 1005 2,59 15,06 —• 0,703 1,47
40 1,128 1005 2,76 16,96 — 0,699 1,09
60 1,060 1005 2,90 18,97 — 0,696 0,821
80 1,000 1007 3,05 21,09 — 0,692 0,627
100 0,946 1009 3,21 23,13 0,688 0,493
120 0,898 1011 3,33 25,45 — 0,686 0,386
140 0,854 1013 3,49 27,80 <— 0,684 0,308
160- 0,815 1017 3,64 30,09 0,682 0.250
180 0,779 1021 3,78 32,49 1 * 0,681 0,205
200 0,746 1025 3,93 34,85 — 0,680 0.171
Вода при атмосферном давлении (1,013 бар)
О 999,9 4212 55,1 1,789 —0,63 13,67 —1,93
10 999,7 4191 57,4 1,306 4-0,70 9,52 4-4,03
20 998,2 4183 59,9 1,006 1,82 7,02 17,6
30 995,7 4174 61,8 0,805 3,21 5,42 48,6
40 992,2 4174 63,5 0,659 3,87 4,31 87,4
50 988,1 4174 64,8 0,556 4,49 3,54 142
60 983,2 4179 65,9 0,478 5,11 2,98 219
80 971,8 4195 67,4 0,365 6,32 2,21 465
100 958,4 4220 68,3 0,295 7,52 1,75 848
Трансформаторное масло
0 892 1549 11,23 70,5 6,8 866 0,0134
20 880 1666 11,06 22,5 6,9 298 0,1337
40 868 1788 10,90 10,3 7,0 146 0,647
60 856 1905 10,72 5,78 7,1 87,8 2,08
80 844 2026 10,56 3,66 7.2 59,3 5,27
100 832 2144 10,38 2,50 7.3 43,9 11,46
120 820 2261 10,22 1,92 7,4 34,9 19,7
228
Приложение 2. Теплофизические свойства металлов и сплавов, применяемых
в электромашиностроении [2]
Материал Плотность V, г/см3 Теплопровод- ность X. Вт/(м К) Удельная теплоемкость ср, Дж/(кг • К)
1 2 3 4
Медь (провода) 8,89 390 386
Латунь-68 8,5 100 380
Алюминий Алюминиевые сплавы: 2,70 209 • 950
АКЗ, АКМ2-1 155 —-
АКМ4-4, АКЮ 118 а»—>
АКМЦ10-2 93,5
АКЦ11-12 Железо Стали конструкционные: *—• 75
10 7,8 59 470
20 7,8 52 470
35, 45 7,8 48 470
Чугун Стали электротехнические, вдоль листа: 7,7 47 500
1211...1213 (Э11...Э13) 7,8 37 -35 500
1311 (Э21) 7,75 24 >
1411...1413 (Э31...ЭЗЗ) 7,65 21...19 »
1511...1513 (Э31...Э43) 7,55 18... 15 »
2011 (Э0100) 7,8 31 »
2013 (ЭОЗОО) 7,65 34
2112 Пакеты из электротехнической стали поперек листа: 32,5 »
с бумажной изоляцией 0,87...!,2
покрытие лаком — 3,1...4,4 —
лист 0,5 мм, лакированный то же, в трансформаторном масле 3,13
пакет из стали 2011 0,5 мм — 3,95 •—
пакет из стали 1521 0,35 мм — 3,40
пропитанный компаундом 1,95
Приложение 3. Теплофизические свойства некоторых электроизоляционных
материалов [2, 11]
Материал Плотность V, г/см3 Коэффициент теплопровод- ности X, Вт/(м • К) Теплоем- кость ср, Дж/(кг • К)
1 2 3 4
Бумага пропитанная Электрокартон непропитанный Электрокартон, пропитанный ла- ком 0,70...0,8 0,9...1,1 0,15 0Д5...0.18 0,23...0,25 1500 1500
229
Продолжение прил. 3
1 2 3 4
Стекло обыкновенное 2,5 0,74 670
Асбест 0,77 0,19 815
Лакоткань 0,9.. 1,2 0.12...0.25 •—
Стеклоткань 1,25... 1,35 0,18—0,21 —
Пленка лавсановая 1,3—1,4 0,17 — *
Пленка полиимидная — 0,27 —
Гетинакс, текстолит 1,3.. 1,45 0,17 1500
Стеклотекстолит 1,6—1,9 0,19.-0,34 —
Миканит 2,4...2,6 0,21...0,41 980
Стекломиканит 2,7...3,0 0,13—0,16 980
Стеклослюдинит ГС25КН 2,8...2,9 0,24 —
Стеклослюдинит ФС25К-40 0,12
Хлопчатобумажная .ткань:
непропитанная —• 0,07 —
пропитанная лаком —• 0,12...0,25
Стеклополотно —• 0,17.-0,18 —
Электронит —— 0,12...0,18 —
Изоляция электрической машины —— —• 1250...2500
в среднем
Электрическая машина в среднем —* 430
Приложение 4. Эквивалентная теплопроводность электроизоляционных мате-
риалов и композиций пазовой и корпусной изоляции [2, 11]
Материал и состав композиции Коэффициент тепло- проводности А, Вт/(м • К)
1 2
Изоляция пазовая обмоток электрических машин:
классов А, Е и некомпаундированная класса В
обмоток статоров асинхронных двигателей клас-
са В, кроме случая, указанного в предыдущем
пункте, классов F и Н
Пленкоэлектрока ртон
Пленкосинтокартон
Пленкоасбокартон
Пленколакослюдопласт
Лакотканеслюдопласт
Изофлекс
Стекломикалента
Стеклолаксмиканит
Микалента
Микафолий
Композиции
Изоляция «слюлотерм»
Микалентная компаундированная изоляция
Изоляция «Монолит-2*
0,10
0,16
0,12...0,18
0,15-0,17
0,10—0,12
0,30
0,18—0,24
0,24...0,31
0,22
0,14—0,16
0,26
0,16
0,24...0,27
0,20...0,27
0,19—0,32
230
Продолжение прил. 4
Материал и состав композиции Коэффициент тепло- проводности Вт/(м К)
1 2
Стеклолента ЛСК 0,15 ммЧ-миканит ГФС 0,2 ммЧ- 0,27
Ч-лакоткань ЛСП 0,15 мм Ч-лак 321-Т
Стеклолакоткань ЛСБ 0,15 мм Ч- стеклослюдинит 0,18...0,19
0,2 ммЧ-электронит 0,3 ммЧ-лак 321-Т
Стеклолакоткань ЛСБ Ч- миканит ГФСЧ-электрокар- 0,19...0,21
тон Ч-лак 321-Т
Стеклолента Ч- пленка полиимид 2 слоя Ч- лента 0,24
ЛФК-ТТ 2 слоя (все вполнахлеста) Ч-лак ПЭ-933
Стеклослюдинит ФС25К-40 0,1 мм 1 слойч-пленка 0,15
полиимид 0,04 ммЧ-компаунд ЭК-1М
Стеклолента-}-микалента ЛФС-ТТЧ-лак Л-1261 или 0,10 или 0,15
К-47 соответственно
Стеклолента 2 слоя Ч-стеклослюдинитовая лента 0,21; 0,23
ЛСЧОР-ТТ 2, 3, 4 слоя Ч-компаунд ДЕР-330 0,27 соответственно
Изоляция обмоточных проводов:
ПЭВ 0,12
ПЭТВ-ТС, ПЭТВ-939 0,14
ПЭТВ-35 0,26
псд 0,23
псдк 0,16
пож 0,21
Пропиточные лаки:
МЛ-92 0,19...0,20
ГФ-95 0,12
ПЭ-939, ФЛ-98, К-47к 0,14
МГМ-8 0,16
Тереберк 0,26
Пропиточные компаунды: 0,21
КП-18
КП-34 0,28
КП101(103) 0,40
KMFC-1 0,13...0,15
МБК 0,15
На смоле ЭД-6 0,21
На смоле ЭД-22 0,33
Приложение 5. Пример теплового расчета
при естественном охлаждении (см. § 8.6)
Электротехническое устройство находится в закрытом м®ТаЛЛдиаметр
кожухе цилиндрической формы со следующими размера» •' лоизоли\
£=0,5 м; высота //=0,8 м. Кожух установлен вертикально^ KOg. '
руюшем основании; поверхность кожуха окрашена эмалевой р ВЫДеляются.
Определить среднюю температуру кожуха, если внутри ы #о«2О°С.
суммарные потери Р«=720 Вт, а температура окружающей воздухе за
Теплоотдача с поверхности кожуха происходит в спок
счет естественной конвекции и теплового излучения на стены помещения, тем-
пература которых считается равной температуре воздуха.
Поверхность охлаждения кожуха включает боковую цилиндрическую
поверхность и плоскость верхнего торца. Площадь поверхности охлаждения
кожуха
S = nDH + (rt/4) £>2 = tcD (Н 4- D/4) = л-0,5 (0,8 4- 0,5/4) = 1,453 м2.
Зададимся ориентировочно значением результирующего коэффициента
теплоотдачи аЕ =10 Вт/(м2-К) и рассчитаем общую тепловую проводи-
мость
A = asS = 10-1,453 = 14,53 Вт/К.
Превышение температуры кожуха в первом приближении
ДО! = Р/Л = 720/14,53 =49,6 « 50°С.
Исходя из этого значения можно рассчитать уточненные КТО конвекции
и излучения, с учетом средней температуры поверхности
8П = &0 4- Д01 = 20 4- 50 = 70°С.
Определяющая температура согласно (8.32)
8ср = (&п 4- М/2 = (70 4- 20,/2 = 45°С.
По таблице прилож. 1 интерполированием найдем:
коэффициент критерия Грасгофа
£₽/v2 = [1,09 4- (0.821 - 1,09)- (45 - 40)/(60 - 40)]• 108 = 1,023-108;
критерий Прандтля Рг=0,689.
Взяв в качестве определяющего размера Н, получим
Gr«Pr = (^/v2)A0./f3.pr = 1,023-108-50-0,83.0,698= 1,83-109,
что согласно таблице 8.4 относится к турбулентному режиму.
По таблице 8.5 определим
А3 = 1,50 4- (1,39 - 1,50)-(45 — 40)/(80 -40) = 1,486;
КТО конвекции
ак = Л3-Д01/3 = 1,486-501/3 = 5,474 Вт/(м2.К).
КТО излучения в окружающее пространство согласно (8.75) и (8.76)
а, =5,67-4 (Г„ + + Г?)-10-8,
где ei=0,92 — степень черноты кожуха по данным табл. 8.6: 7’П=6П+273 =
=343 К; То’=^о4-273=293 К; ал=5,67-0,92 (343+293) • (3432+2932)-10-«=
= 6,751 Вт/(м2-К).
Уточненная тепловая проводимость с учетом того, что конвективая теп-
лоотдача с горизонтальной поверхности кожуха, обращенной вверх, возрас-
тает на 30%
Aj — Ok’S' + a2’S,
где S'^nD-(H+ l,3D/4) = л-0,5-(0,8+1,3-0,5/4) =1,512 м2.
Таким образом.
At = 5,474-1,512 + 6,751 • 1,453 = 18,08 Вт/(м2-К).
Расчетное превышение температуры для первого приближения A6zi =
=Р/Л, = 720/18,08=39,81 °C и его невязка А,=Де, — Дв'1 = 50—39,81 =
= 10,19 °C.
232
Ориентируясь на Д0'1, принимаем превышение температуры для второго
приближения Д0?=4О°С, находим температуру поверхности 0пв=20+
4-40 = 60°C и определяющую температуру 0,Ср= (60Ч-20)/2=40°С, для нее
берем Д3=1,50 и рассчитываем ак=1,5-40,/3=5,130 Вт/(м2-К). КТО излу-
чения при Тп = 60 4-273=333 К
ал =5,67-0,92.(333 4- 293)-(3332 4- 2932). 10-8 = 6,424 Вт/(м2.К).
Теперь Л2=5,13-1,5124-6,424-1,453= 17,09 Вт/К и Д6'2= 720/17,09=
=42,13 °C.
Невязка второго приближения
Д2 = Д02 — Д©2 = 40 — 42 13 = “2.1з°С-
Зависимость Д от ДО можно считать линейной, в этом случае невязка
Д=0 будет соответствовать превышению
Д1-де2-Д2де1 _ 1о,!9-4о-(-2,1з)-5о _А1 7Q0_
Д1-Д2 10,19-(-2,13)
что можно считать окончательным решением.
Таким образом, средняя температура кожуха (с округлением)
&п = &0 4- Д0 = 20 4- 41,73 = 61,7°С.
Расчет КТО при данном значении Оп в целях проверки дает Л=
= 17,255 Вт/К и Д0'=Д0=41,73 °C, т. е. невязка Д = 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Борисенко А. И., Данько В, Г., Яковлев А. И. Аэродинамика и теп-
лопередача в электрических машинах. — М.: Энергия, 1974. — 560 с.
2. Борисенко А. И., Костиков О. Н., Яковлев А. И. Охлаждение про-
мышленных электрических машин. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 297 с.
3. Виноградов В. И. Вентиляторы электрических машин. — Л.; Энерго-
издат, 1981. — 200 с.
4. Гидрогенераторы /И. А. Глебов, В. В. Домбровский, А. А. Дукштау
и др. — Л.: Энергоиздат, 1982.—368 с.
5. Гуревич Э. И., Рыбин Ю. Л. Переходные тепловые процессы в элек-
трических машинах. — Л.: Энергоатомиздат, 1983. — 216 с.
6. Гурин Я. С., Кузнецов Б. И. Проектирование серий электрических
машин. — М.: Энергия, 1978. — 480 с.
7. Домбровский В. В., Хуторецкий Г. М. Основы проектирования элек-
трических машин переменного тока. — Л.: Энергия, 1974. — 504 с.
8. Жабо В. В., Уваров В. В. Гидравлика и насосы. — М.: Энергоатом-
издат, 1984. — 328 с.
9. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям.—
М.: Машиностроение, 1975.— 560 с.
10. Криогенные электрические машины /А. С. Веселовский, В. И. Гемин-
штерн, Е. В. Лебедева и др.; Под ред. Н. Н. Шереметьевского. — М.:
Энергоатомиздат, 1985.— 168 с.
11. Проектирование электрических машин///. П. Копылов, Ф. А. Горяй-
нов, Б. К. Клоков и др.; Под ред. И. П. Копылова. — М.: Энергия, 1980.—
496 с.
12. Ройзен Л. И., Дулькин И. Н. Тепловой расчет оребренных поверх-
ностей.— М.: Энергия, 1977. — 255 с.
13. Филиппов И. Ф. Теплообмен в электрических машинах.— Л.: Энер-
гоатомиздат, 1986. — 256 с.
14. Юдаев Б. Н. Теплопередача. — М.: Высшая школа, 1981. — 320 с.
предметный указатель
Вентилятор осевой 56, 58, 71
— центробежный 5G, 59
Гидродинамика 10, 17
Гидростатика 10
Давление гидродинамическое 17
— гидростатическое 13
— избыточное 28
— полное 28
Диаметр эквивалентный гидравличе-
ский 19
Жидкость газообразная 10
— идеальная 13
— капельная 10
Закон Ома для теплового сопротив-
ления 106, 112
— Стефана—Больцмана 160
— Фурье для теплопроводности 95
Источники теплоты тепловой схемы
169, 171
Конвекция 92
— естественная 92, 156
— искусственнаая 93, 149
Коэффициент восстановления стати-
ческого давления 68
— вязкости динамический 12
----кинематический 12
— гидравлического трения 30
— кинетической энергии (коэффици-
ент Кориолиса) 19
— местного гидравлического сопро-
тивления 32
— сопротивления гидравлического
трения 32
— облучения, угловой 163
— оребрения 123
— температуропроводности 100, 129
— теплоотдачи 93
— теплопроводности 95, 97
----эквивалентный 109
— эффективности ребра 123
Линия тока 17
Матрица тепловых проводимостей
176
Метод Гаусса (решение системы ал-
гебраических уравнений) 135, 176
— конечных разностей 134
— одномерного температурного поля
104, 169, 183
— Рунге—Кутта 225
— сеток 134
— тепловых схем 169
— теплопроводящего стержня 183,
208
Параметры интегральные теплопро-
водящего стержня 187
Перепад температуры 211
Плотность 10
— теплового потока 95
Подобие вентиляторов 66
Подслой ламинарный 24, 141
Поле скоростей 22, 23
Постоянная времени теплового пото-
ка 217
Поток 95
— лучистый 159
— тепловой 95
Превышение температуры 6, ПО
----условное ПО
----установившееся 130
Проводимость тепловая 165, 174
235
Размер определяющий 148, 158
Расход потока жидкости (газа) 19
Режим регулярный тепловой 218
Свойство взаимности лучистых пото-
ков 163
— совмещаемости------164
Сжимаемость 11
Сила лобового сопротивления 71
— подъемная 71
Скорость определяющая 148
— потока, мгновенная 23
----,осредненная 23
----.среднеквадратическая 19, 22
----.средняя 19, 22
Слой пограничный 23, 140, 142, 157
----динамический 141
----ламинарный 141
----тепловой 142
----турбулентный 141
Сопротивление гидравлическое 29
----местное 32
----суммарное 37
----трения 29
— тепловое 105
---- конвективное (теплоотдачи) 107,
111, 118, 168
----кондуктивное (теплопроводно-
сти) 107, Ill, 116, 168
Способ охлаждения 44
----испарительный 44
—— комбинированный 44
----конвективный 44
Степень черноты 160
Струйка элементарная 17
Схема разностная 135
— эквивалентная гидравлическая
асинхронного двигателя 48
—------машины постоянного тока 51
-------гидрогенератора 54
-------турбогенератора 53
Температура определяющая 148
Теплообмен лучистый 93, 153
Теплопередача 93
Теплоотдача 93
Теплопроводность 92
Течение жидкости, ламинарное 21, 22
----•турбулентное 21, 23
Угол атаки 71
Уравнение Бернулли 27
— гидростатики, основное 14
— движения, дифференциальное (На-
вье— Стокса) 24, 139
— Лапласа 100
— Пуассона 100, 135
— сплошности (неразрывности) 20,
140
— температурного поля, характерис-
тическое 126, 131
— теплового баланса узла тепловой
схемы 112, 174
— теплоотдачи, критериальное 147,
149, 151, 153
— теплопроводности, дифференци-
альное 98, 104, 114, 129
— энергии 140
Условия граничные 1...4 рода 101
Формула Блазиуса 31
—Вейсбаха 32
— Ньютона—Рихмана 93, 121, 138,
165
— Пуазейля 30
Характеристика давления вентилято-
ра 65, 73, 76
-----вентиляционного тракта 75
Циркуляция скорости 72
Число (критерий) Био 127, 131
----Грасгофа 147
-----Нуссельта 143 147
----Пекле 143, 146
----Прандтля 143
----Рейнольдса 21, 143, 147
Ядро турбулентное 23, 141
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................... 3
Введение.......................................................... 4
Раздел 1. Основы теории гидравлических и аэродинамических рас*
четов............................................................ 10
Глава 1. Основные понятия и законы аэродинамики и гидравлики 10
§ 1.1. Физические свойства жидкостей........................... 10
§ 1.2. Основные понятия гидростатики........................... 13
§ 1.3. Основные понятия гидродинамики.......................... 17
§ 1.4. Режимы течения жидкостей................................ 21
§ 1.5. Уравнения гидродинамики................................. 24
Вопрос ы для самопроверки....................................... 29
Глава 2. Гидравлические сопротивления............................... 29
§ 2.1. Сопротивление трения по длине канала.................... 29
§ 2.2. Местные гидравлические сопротивления ................... 32
§ 2.3. Гидравлические сопротивления вращающихся каналов ... 35
§ 2.4. Результирующее гидравлическое сопротивление электриче-
ской машины.................................................... 37
Вопросы для самопроверки....................................... 42
Раздел 2. Системы охлаждения электрических машин и их расчет 43
Глава 3. Типы систем охлаждения электрических машин..... 43
§ 3.1. Классификация систем охлаждения......................... 43
§ 3.2. Вентиляционные системы электрических машин различных
типов.......................................................... 48
Вопросы для самопроверки....................................... 56
Глава 4. Вентиляторы электрических машин.........................
§ 4.1. Устройства и принцип действия вентиляторов.............. 56
§ 4.2. Теория идеального центробежного вентилятора............. 59
§ 4.3. Потери давления и мощности в центробежном вентиляторе 62
§ 4.4. Характеристика давления центробежного вентилятора . . •
§ 4.5. Осевые вентиляторы............................... • • 73
Вопросы для самопроверки.....................................
Глава 5. Вентиляционный расчет электрических машин...............
74
§ 5.1. Задачи вентиляционного расчета электрических машин . • •
§ 5.2. Расчет совместной работы вентилятора и вентиляционного
тракта.......................................................' 81
§ 5.3. Расчет сложных вентиляционных систем...............• *
§ 5.4. Расчет схем вентиляции, содержащих несколько нагнет . 3-
тельных элементов..................................’ * *
237
§ 5.5. Расчет схем вентиляции мостового типа с источниками дав-
ления в плечах моста с использованием ЭВМ....................... 88
Вопросы для самопроверки....................................... 91
Раздел 3. Основы теории теплопередачи.............................. 92
Глава 6. Процесс теплопередачи и температурное поле................ 92
§ 6.1. Основные процессы передачи теплоты...................... 92
§ 6.2. Закон теплопроводности Фурье. Коэффициенты теплопро-
водности материалов............................................. 94
§ 6.3. Дифференциальное уравнение теплопроводности. Краевые
задачи расчета температурных полей.............................. 98
Вопросы для самопроверки........................................ 103
Глава 7. Основы расчета температурных полей в твердом теле . . 103
§ 7.1. Стационарное одномерное температурное поле в плоской
стенке. Понятие теплового сопротивления ....................... 104
§ 7.2. Цилиндрическая стенка с одномерным температурным по-
лем ........................................................... 114
§ 7.3. Теплопроводность ребра и теплоотдача оребренной поверх-
ности ........................................................ 120
§ 7.4. Расчет двух- и трехмерных стационарных температурных
полей.......................................................... 124
§ 7.5. Расчет одномерного нестационарного температурного поля 129
§ 7.6. Численные методы расчета температурных полей........... 134
Вопросы для самопроверки...................................... 138
Глава 8. Расчет коэффициентов теплоотдачи при конвективном и
лучистом теплообмене......................................... 138
§ 8.1. Основные уравнения конвективного процесса.............. 139
§ 8.2. Пограничный слой....................................... 140
§ 8.3. Применение теории физического подобия к расчету тепло-
отдачи конвекцией.............................................. 144
§ 8.4. Критериальные уравнения теплоотдачи при вынужденной
конвекции . ........................................... 149
§ 8.5. Естественная конвекция................................. 156
§ 8.6. Лучистый теплообмен.................................... 159
Вопрос ы для самопроверки . .................................. 166
Раздел 4. Тепловые расчеты электрических машин.................... 167
Глава 9. Задачи и методы теплового расчета электрических машин 167
§ 9.1. Основные методы теплового расчета...................... 167
§ 9.2. Тепловая схема статора машины переменного тока .... 171
§ 9.3. Методы расчета и преобразования тепловых схем .... 175
§ 9.4. Учет изменения температуры охлаждающего потока при
расчете тепловых схем.......................................... 181
§ 9.5. Метод одномерного температурного поля или теплопрово-
дящих стержней................................................. 183
Вопросы для самопроверки...................................... 189
Глава 10. Тепловые расчеты электрических машин при стационар-
ных тепловых режимах......................................... 189
§ 10.1. Тепловые схемы асинхронных двигателей закрытого испол-
нения ......................................................... 189
§ 10.2. Методика теплового расчета короткозамкнутого асинхрон-
ного двигателя закрытого обдуваемого исполнения .... 196
§ 10.3. Тепловой расчет асинхронных двигателей защищенного ис-
полнения .................................................. • • 203
238
§ 10.4. Тепловой расчет машин постоянного тока............ 207
§ 10.5. Методика теплового расчета машины постоянного тока 212
Вопросы для самопроверки.................................. 215
Глава 11. Тепловые расчеты электрических машин при нестационар-
ных режимах нагрева.......................................... 215
§ 11.1. Классическая теория нестационарного теплового процесса
в электрической машине.................................... 216
§ 11.2. Нестационарный нагрев в стандартных режимах работы
электрических машин...................................... 219
§ 11.3. Общий метод расчета нестационарных процессов по теп-
ловой схеме при произвольном числе тел.................... 224
Вопросы для самопроверки...................................225
Заключение........................• .............. 226
Приложения................................................. 228
Список литературы............................................ 234
Предметный указатель......................................... 235