Текст
                    ДЛЯ ВУЗОВ
основы
ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
В АВИАЦИОННОЙ
И РАКЕТНО-
КОСМИЧЕСКОЙ
ТЕХНИКЕ
МАШИНОСТРОЕНИЕ

ДЛЯ ВУЗОВ основы ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В АВИАЦИОННОЙ И РАКЕТНО- КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКЕ Под общей редакцией академика В.С. Авдуевского и Заслуженного деятеля науки и техники РСФСР профессора В.К. Кошкина Рекомендовано Комитетом по вившей шпале Министерства науки, высшей школы и техни- ческой политики Российской Федерации в качестве учебника для студентов авиацион- ных специальностей вузов Москва • Машиностроение • 1992
ББК 39.52-01я73 0-75 УДК 1621.43.016.4 : 629.7] (075.8) Авторы: В. С. Авдуевский, Б. М. Галицейский, Г. А. Глебов, Ю. И. Данилов, Г. А. Дрейцер, Э. К. Калинин, В. К. Кошкин, Т. В. Михайлова, А. М. Молчанов, Ю. А. Рыжов, В. П. Солнцев Рецензент кафедра «Теоретические основы теплотехники» МГТУ имени Н. Э. Баумана Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-косми- 0-75 ческой технике: Учебник для авиационных специальностей вузов/В. С. Авдуевский, Б. М. Галицейский, Г. А. Глебов и др.; Под общ. ред. В. С. Авдуевскогр, В. К. Кошкина. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1992. — 528 с.: ил. ISBN 5-217-01338-9 Второе издание (1-е изд. 1975 г.) переработано и дополнено мате- риалами по радиационно-конвективному теплообмену в высокотемпера- турных газовых потоках и теплообмену в двухфазных потоках. п 2705140400 427 ° —,лп_09 114—91 ББК 39.52-01я73+ 39.62-01я73 UOO 1иIJ УХ ISBN 5-217-01338-9 © Издательство «Машиностроение», 1975 © В. С. Авдуевский, Б. М. Галицейский, Г. А. Глебов и др., 1992, с изменениями и дополнениями
ПРЕДИСЛОВИЕ Создание и развитие гиперзвуковой и высотной авиа- ции, дальнейшее совершенствование космических летательных аппаратов, создание космических аппаратов многоразового дей- ствия, совершенствование энергосистем для авиационной и ракет- но-космической техники, развитие радиоэлектроники требуют непрерывного совершенствования науки о процессах тепло- и массообмена, развития теории теплопередачи. Все это обусловило необходимость второго исправленного и дополненного издания учебника. Вопросы совершенствования современных авиационных и кос- мических реактивных двигателей, развитие ядерных энергетиче- ских установок, тепловая защита высокоскоростных летательных аппаратов, создание и развитие энергосистем прямого преобразо- вания теплоты в электрическую энергию, развитие криогенной техники потребовали дальнейшего совершенствования и раз- вития ряда разделов науки о теплопередаче. Второе издание учебника (первое издание вышло в 1975 г.) существенно переработано и дополнено. При изложении мате- риала учебника проведена ориентация на самостоятельную работу студентов с книгой, что потребовало более подробного изложения ряда вопросов и рассмотрения практических примеров, исполь- зования численных методов при решении задач тепломассообмена. Во все главы добавлены новейшие данные. Введен новый раздел по радиационно-конвективному теплообмену в высокотемператур- ных газовых потоках, заново перестроены разделы по тепло- обмену на шероховатой поверхности, методы тепловой защиты летательных аппаратов и их элементов, тепловые режимы косми- ческих аппаратов. Учебник написан коллективом авторов: В. С. Авдуевским (гл. V, VI, VII, XIV, XVII, XVIII, XIX), Б. М. Галицейским (гл. XVIII, XIX), Г. А. Глебовым (гл. XI, XVI), Ю. И. Дани- ловым (гл. XII), Г. А. Дрейцером (гл. Ill, VIII), Э. К. Калини- ным (гл. IX, X, XIII), В. К- Кошкиным (введение, гл. I, II), Т. В. Михайловой (гл. XII), А. М. Молчановым (гл. VII, XVII), Ю. А. Рыжовым (гл. IV), В. П. Солнцевым (гл. XV). Авторы выражают благодарность Кравчик Т. Н. и Боко- вой Л. Н. за большую помощь в подготовке рукописи к печати. Авторы также выражают признательность кафедре теорети- ческих основ теплотехники МГТУ им. Н. Э. Баумана и заведу- ющему кафедрой профессору В. И. Крутову за ценные замеча- ния, позволившие улучшить качество учебника.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ а— коэффициент температуропроводности, м2/с; скорость звука, м/с; с—удельная теплоемкость, Дж/(кг-К); Сс—удельная теплоемкость при v- ---- const, Дж/(кг-К); Ср — удельная теплоемкость при р — const, Дж/(кг-К); С/ — коэффициент трения; се — константа геометрического подобия; Ci — относительная массовая концентрация /-го компонента; d — диаметр круглого сечения канала, м; d;) — эквивалентный диаметр, м; D — коэффициент диффузии, м3/с; Е — модуль упругости,Па; плотность потока излучения, Вт/м2; F, f— площадь поперечного сечения, м2; G — массовый расход теплоносителя, кг/с; g—ускорение свободного падения, м/с2; / — энтальпия, Дж/кг; /0 = J + и2/2 — полная энтальпия торможения газа, Дж/кг; Д,— спектральная интенсивность излучения, Вт/(м3-ср); J К, р — спектральная равновесная интенсивность, Вт/(м3-ср); — спектральная интенсивность в верхнюю полусферу. Вт/(м3- ср); — спектральная интенсивность в нижнюю полусферу, Вт/(м3-ср); — линейный коэффициент теплопередачи цилиндрической стенки, Вт/(м-К); К— коэффициент теплопередачи, Вт/(м2-К); k = Ср/с0 — отношение теплоемкостей (показатель адиабатного про- цесса); k—постоянная Больцмана (k — 1,38-10”23 Дж/К); —спектральный объемный коэффициент поглощения, 1/м; kn — константа равновесия; kf — константа скорости реакции; ki — константа скорости обратной реакции; I, L — длина свободного пробега молекул газа до их соуда- рения, м; /—длина цилиндрической трубы; толщина пластины; раз- мер обтекания тела; линейный размер тела, м; р — давление, Па; Др — перепад давления, Па; <2— количество теплоты или тепла * *, Дж; * Понятия теплоты или тепла — авторы считают полезным и необходимым сохранить оба термина как равнозначные, так как теплота и тепло являются синонимами. Это объясняется также и тем, что классики естествознания, все классические учебники по термодинамике и теплопередаче и большая научно- техническая литература в равной степени применяли оба термина. Поэтому нет никакой необходимости пользоваться только одним из указанных терминов, исключая другой. 4
q - плотность теплового потока (удельный тепловой поток), Вт/'м2; qv--- плотность внутренних источников тепловыделения, Вт/м3; qa — линейная плотность теплового потока, Вт/м; Як — радиационный тепловой поток, Вт/м2; г,, — теплота парообразования, Дж/кг; R— полное термическое сопротивление, м2-K/Вт; радиус вращения, м; универсальная газовая постоянная (/? — --= 8,3 Дж/(моль-К); R\- — радиус затупления головной части летательного аппа- рата, м; S — поверхность теплообмена, м2; Т — температура, К; Г,, — температура набегающего потока, К; Ts — температура насыщения, К; и? То—Т + -кр------температура заторможенного потока, К; -у-/, Tw— температура поверхности, К', Tj— температура окружающей среды, К; t — температура, °C; U — периметр канала, м; u, с, w — относительные скорости, м/с; V — вектор скорости, м/с; х, у, 2 — декартовы координаты, м; xi = PilP — объемная (мольная) концентрация i-ro компонента; хэф — эффективная длина, м; х — осредненный параметр; а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-К); Р — коэффициент объемного расширения, 1/К; Гд -- радиационный параметр; у — угол стреловидности крыла, °; Д - - толщина ударного слоя, м; 6 — толщина стенки, толщина пограничного слоя, условная толщина динамического пограничного слоя, м; бт -- толщина теплового пограничного слоя, м; б* — толщина вытеснения, м; 6** — толщина потери импульса, м; бу — термическое сопротивление слоя, м2-К/Вт; г; — коэффициент аккомодации; ~Т—T1,'fiw~ Tw—Ti — избыточная температура, К; Т — Т, в ~ -------~ — —к-----безразмерная избыточная температура; X — коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К); X — длина капиллярной волны, зависимая от геометрии фитиля, м; Хм. экв — эквивалентная теплопроводность контактирующих ма- териалов, Вт/(м-К); ХЭф— эффективный коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К); [г— коэффициент динамической вязкости, Па-с; V — коэффициент кинематической вязкости, м2/с; — коэффициент гидравлического сопротивления; р — плотность, кг/м3; рп-- плотность пара, кг/м3; о — эффективное сечение площади столкновения моле- кул, м2; О— коэффициент поверхностного натяжения, Па; т—время, с; касательное напряжение трения, Па; 5
xw— напряжение трения, Па; <р — полярный угол, °; Bi aZ/k — число Био; Da-" Ikjlu.— критерий Дамкелера; Эйлера; Фурье; Фруда; Грасгофа; Льюиса; М == и!а — число Маха; Eu -- p/(puz) критерий Fo — ailP — критерий Fr — tr/(gZ) критерий Or gp AZZ3/v2 — критерий Le = (tCyDl'k Pr/Sc — критерий Nu — allЛ — критерий Нуссельта; Ре = ul/a ----- RePr — критерий Пекле; Pr — via ------ — критерий Прапдтля; Ra ~ gp MPIva — Gr-Pr — критерий Релея; Re = uZ/v upZ/p — критерий Рейнольдса; Sc == |i/(pD)— критерий Шмидта; St -- a/(pucp) — критерий Стантона; We = pu2X/(2n<j) — критерий Вебера.
ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ В КУРС ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ 1.1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА Теорией теплопередачи или теплообмена называется наука, изу- чающая процессы переноса тепла в пространстве с неоднородным температурным полем. Процессы теплообмена возникают между различными телами или отдель- ными частями одного и того же тела при наличии разности температур. Наука о теплообмене насчитывает несколько столетни, но настоящего рас- цвета опа достигла лишь в XX веке, найдя широкое применение при решении назревших практических задач техники. Из раздела теоретической физики уче- ние о теплообмене превратилось в самостоятельную научно-техническую дис- циплину. Особенно сложные и важные задачи стоят в области изучения теплообмена в современной авиационной, ракетной и космической технике. При сверхзвуко- вых скоростях полета значительно изменяются условия теплопередачи в отдель- ных элементах конструкции летательного аппарата. Возникает необходимость его охлаждения или защиты от аэродинамического нагрева, являющегося след- ствием трения между поверхностью летательного аппарата и набегающим пото- ком воздуха или потоком каких-либо других газов, составляющих атмосферы планет. Проблема тепловой защиты космического летательного аппарата от высоких удельных тепловых потоков и высоких температур набегающего газового потока при входе аппарата с гиперзвуковой скоростью в атмосферы планет (и в част- ности Земли) разрабатывается в течение 30—40 лет. За это время про- ведено широкое исследование различных видов теплозащитных материалов и теплозащитных покрытий, обеспечивающих надежную тепловую защиту лета- тельного аппарата. Разработана теория и исследованы основные закономерности термодинамики и теплообмена процессов воздействия высокоэиергетических и высокотемпературных газовых потоков на различные конструкционные ма- териалы. Не менее важные и сложные проблемы учета теплообмена возникают при конструировании современных авиационных и ракетных двигателей. Высокая тепловая напряженность реактивных двигателей, использование криогенных топлив и многие другие важные вопросы требуют от современного конструктора этих двигателей умения произвести сложный инженерный расчет теплообмена в них и их агрегатах. Большое значение теория теплообмена имеет в расчетах тепловых режимов летательных аппаратов, кабин таких аппаратов, систем жизнеобеспечения и кон- диционирования, надежной работы радиоэлектронной аппаратуры, а также в современной атомной энергетике, в обеспечении тепловых режимов ядерных энергетических установок и их безопасности. Учение о теплообмене является частью общего учения о теплоте, основы которого были заложены великим русским ученым М. В. Ломоносовым. Целый ряд русских ученых Г. В. Рихман (1711 —1753), Б. Б. Голицын (1862—1916), С. Я- Терешин (1863—1921) н другие исследовали процессы теплообмена и зало- жили основы теплопередачи. Французские ученые — математики Ж. Б. Фурье н С. Д. Пуассон в XIX столетии создали основы математической теории тепла. Русский ученый В. А. Михельсон был первым исследователем, поставившим в 1890 г. вопрос об изучении зависимости лучеиспускания от температуры и длины волны. Основной закон излучения был открыт экспериментально австрий- ским ученым И. Стефаном, а теоретически был выведен на основе второго закона 7
термодинамики австрийским ученым Л. Больцманом. Немецкий ученый В. Вин, пользуясь методами термодинамики, установил один из законов теплового излу- чения, связывающий длину волны, соответствующую максимальной интенсивно- сти излучения черного тела, с абсолютной температурой излучающей поверх- ности. Немецкий ученый М. Планк в 1900 г. теоретически нашел закон распре- деления интенсивности теплового излучения по длинам волн при различных температурах, а Р. 3. Ленц провел в 1869 г. экспериментальные исследования, подтвердившие связь между коэффициентами теплопроводности и электропро- водности металлов. Теория теплообмена строилась на так называемой феномено- логической основе, заключающейся в рассмотрении отдельных явлений как неко- торых изолированных закономерностей, которые могут быть описаны математи- чески без раскрытия физической сущности этих явлений. Примером такого фено- менологического рассмотрения явлений теплообмена может служить формальная математическая теория теплопроводности, созданная Фурье и развитая Пуас- соном. Позже удалось глубже выявить физическую сущность процесса тепло- обмена. Одновременно с этим была разработана общая методология исследования, обработки и обобщения опытных данных, основанная на теории подобия. Идеи, определившие общие принципы построения исследовательской работы, были сформулированы советскими учеными к 1930 г. При их изложении подчер- кивалось, что в противоположность старым, феноменологическим, методам иссле- дований, основанным на изучении тепловых машин и аппаратов в целом, в новых работах по теплообмену необходимо не только аналитически, но и эксперимен- тально детально исследовать физические явления, из которых складываются рабочие процессы изучаемых машин и аппаратов. Конец двадцатых и начало тридцатых годов являются периодом широкого развития учения о теплообмене. Важное значение имели работы чл.-корр. АН СССР А. А. Радцига, который правильно оценил значение теплообмена в технике. В 20-е годы развитие учения о теплообмене в СССР возглавил академик М. В. Кирпичев, школа которого заложила основы теории подобия и ее прило- жения к вопросам теплопередачи. Советскими учеными были разработаны ори- гинальные н эффективные способы расчета процесса теплопроводности с помощью теории регулярного режима и метода элементарных балансов; были предложены расчет конвективного теплообмена по методу теплового пограничного слоя, рас- четы теплопередачи при кипении жидкостей и конденсации паров, расчеты раз- личных случаев теплопередачи и, в частности, теплоотдачи перегретого пара при высоких давлениях, расчеты взаимной облученности тел в задачах радиацион- ного теплообмена. Были разработаны также оригинальные методы эксперимен- тального изучения процессов теплоотдачи н теплопроводности различных жид- костей, газов и водяного пара, определены их коэффициенты теплопроводности при высоких давлениях и температурах, составлены таблицы водяного пара и других рабочих веществ н разработаны нормы теплового расчета паровых кот- лов. Были разработаны также вопросы нестационарной теплопроводности, исследованы явления теплопередачи в двигателях внутреннего сгорания и теп- лообмена при изменении агрегатного состояния теплоносителя. Большое значение в технике приобрели процессы теплообмена в движу- щихся средах. Как известно, течение любой жидкости или газа может быть раз- делено иа принципиально различные области ламинарного и турбулентного течения. Теплообмен при ламинарном и турбулентном течениях имеет различный характер. Теплообмен в движущейся среде (жидкость или газ) представляет собой конвективный теплообмен, или, короче, конвекцию. При этом перенос тепла осуществляется путем перемещения объемов жидкости или газа, а следо- вательно, этот вид теплообмена неразрывно связан с переносом самой среды. Обычно при технических расчетах теплообмен между потоком жидкости, газа и поверхностью твердого тела называют конвективной теплоотдачей. Различают свободную (гравитационную) и вынужденную конвекции. Свободная, или гравитационная, конвекция осуществляется в потоке жидко- сти или газа в поле массовых сил при наличии разности плотностей; вынужденная конвекция — в потоке жидкости или газа, создаваемом внешними воздействиями (насос, вентилятор, статическая разность давлений и др.). 8
В промышленности наибольшее значение имеет вынужденная конвекция при турбулентном течении, хотя в приложении к задачам авиации и космонавтики важны оба вида конвективного теплообмена и при ламинарном, и турбулентном течениях. Скорости потока, возникающие при свободной конвекции, сравнительно малы, так что при наличии вынужденной конвекции она и определяет картину течения н теплообмена. Теплоотдача при вынужденной конвекции в турбулентном потоке зависит от распределения осредненной скорости и пульсаций скорости. Однако эти воп- росы исследованы еще далеко не полно. До начала развития учения о турбулентных течениях жидкостей и газов, т. е. примерно до 1925 г., исследования теплообмена при турбулентном течении основывались на предположении, сделанном О. Рейнольдсом, о том, чт- тепло- обмен и перенос количества движения осуществляются одним и тем же механиз- мом. Отсюда О. Рейнольдс пришел к выводу, что теплообмен пропорционален поверхностному трению. В дальнейшем математический анализ осредненных уравнений движения и теплообмена в турбулентном потоке показал, что эти уравнения оказываются незамкнутыми, так как в них появляются члены, содержащие неизвестные вели- чины пульсаций скорости и температуры. До сих пор не удалось построить тео- рию, позволяющую вычислить эти величины, не прибегая к эксперименту. По- этому широкое распространение получили так называемые полуэмпирические теории турбулентности, в основу которых положено представление о том или ином виде связи между переносимой турбулентными потоками величиной (коли- чеством движения, количеством теплоты и т. п.) и осредненными параметрами потока. Основы полуэмпирической теории теплообмена в турбулентном потоке были заложены Л. ГТрандтлем и Б. Тейлором. В трудах академика Л. С. Лей- бензона была разработана гидродинамическая теория теплообмена, получившая практическое применение при исследовании теплообмена в трубопроводах. Современные научно-технические проблемы теплообмена в потоках жидко- сти, газа и плазмы настоятельно требуют знания законов турбулентного дви- жения для определения как интегральных, так и локальных характеристик. Теория теплообмена имеет непосредственную связь с одной из крупнейших научных проблем современности — созданием теории турбулентности. В области теплообмена наметился также определенный пересмотр взглядов на явления теплообмена и методы их изучения. Так, наряду со среднеинтеграль- нымн характеристиками (средними по времени и пространству) наметилось использование мгновенных локальных значений температур, коэффициентов теплоотдачи и трения. Появились теоретические обобщения перехода от средне- интегральных соотношений к отдельным локальным переменным характеристи- кам теплообмена. Значительное развитие теории теплообмена, вопросов тепло- н массообмена достигнуто благодаря трудам советских ученых. Большое влияние на это разви- тие оказали труды А. В. Лыкова и его школы. С помощью их работ получили значительное развитие самые различные вопросы теории теплообмена (теплопро- водность, теплообмен при нестационарных режимах, конвективный теплообмен н др.). Широкое признание получили работы по теории теплообмена С. С. Кута- теладзе. Им развита теория подобия в процессах теплообмена при изменении агрегатного состояния вещества и сформулированы основные идеи гидродинами- ческой теории кризисов кипения. В работах ряда советских ученых были широко развиты физические основы теплообмена в газовых потоках. Различные виды теплообмена имеют неодинако- вую физическую сущность. Кроме того, эти процессы представляют собой слож- ные физические явления. Все это заставляет исследователей в области теплооб- мена обращаться к непосредственным экспериментам. Фундаментальные работы по исследованию процессов тепло- и массообмена применительно к задачам авиационной и ракетно-космической техники про- ведены академиком В. С. Авдуевским и его школой. Им разработаны новые вопросы тепло- и массообмена применительно к высокоскоростным газовым пото- 9
кам. Дана разработка теории пространственного пограничного слоя и трех- мерных отрывных течений, разработаны методы расчета газодинамики и тепло- обмена при обтекании аппаратов сложной формы под большими углами атаки в условиях взаимодействия трехмерного пограничного слоя с ударной волной. В. С. Авдуевским создана теория тепломассопереноса при течении сверхзвуковых изобарных и неизобарпых струй применительно к реактивным двигателям. Фундаментальные исследования процессов тепло- и массообмена в разре- женных газах выполнены академиком Ю. А. Рыжовым. Им создано новое на- правление в термодинамике и теплопередаче по изучению взаимодействия пото- ков разреженных частиц различных энергий с конструкционными материалами. Это направление работ Ю. А. Рыжова по существу заложило основы термо- динамики плазмохимии. Ряд важных прикладных вопросов теплопередачи при- менительно к авиационной и ракетно-космической технике решен в работах чле- нов-корреспондентов АН СССР Н. А. Анфимова, А. П. Ваничева, В. М. Иевлева. Современное развитие молекулярно-кинетической теории также способство- вало развитию ряда разделов учения о теплообмене (переносные свойства газов и газовых смесей при высоких температурах, разреженные газы и др.). Большие задачи в области теории и практики теплообмена лежат в направлении создания компактных теплообменников различного назначения, начиная от стационарных установок и кончая теплообменниками на космических летательных аппаратах. Для решения этой важной проблемы требуется применение всего современ- ного аппарата теории теплопередачи, дальнейшая разработка методов интенси- фикации процессов теплообмена в них и получение надежных данных, обеспечи- вающих быстрое проектирование теплообменников методами автоматизирован- ного проектирования. Таким образом, курс теплопередачи является одной из важнейших тепло- технических дисциплин, необходимых для современного инженера в области авиационной, ракетной н космической техники. 1.2. ВИДЫ ТЕПЛООБМЕНА В общем случае под понятием теплопередачи или тепло- обмена понимается учение о процессах распространения тепла в пространстве и времени. Понятие теплопередачи (теплообмена) охватывает весь ком- плекс явлений переноса тепла между телами или между частями одного и того же тела, обусловленных разностью температур. В общем случае перенос тепла представляет собой сложное явле- ние, связанное с различными физическими процессами. Различают три основных вида теплообмена: 1) теплопроводность; 2) конвективный теплообмен; 3) лучистый теплообмен. Теплопроводность представляет собой передачу тепла между непосредственно соприкасающимися частями тела. Теплопровод- ность не связана с макродвижением тел или частей тела и осу- ществляется путем передачи энергии от одних элементарных частиц тела к другим вследствие микродвижения этих элементар- ных частиц. Для газов, например, такими частицами являются молекулы. Молекулы газа в той его части, которая имеет более высокую температуру, обладают большей средней кинетической энергией. При столкновениях молекул газа происходит обмен кинетиче- 10
Рис. 1.1. Схема процесса сво- бодной конвекции ской энергией, в результате чего тепло передается от более нагретых частей тела к более холодным. В чистом виде явление теплопрово- дности наблюдается в твердых телах, в абсолютно неподвижных газах и жидкостях при условии невозможно- сти возникновения в них конвективных токов. В газах и жидкостях явление теп- лопроводности обычно сопровождается рядом других физических явлений, например макродвиженпем массы газа илн диффузией и связанным с этим переносом тепла. 'Изучение явления теплопроводности в металлах показывает, что в них механизм переноса тепла аналогичен механизму электропроводности. Согласно современным воззрениям электропроводность метал- лов связана с наличием в них свободных электронов, а, следова- тельно, в металлах процесс теплопроводности также связан с дви- жением электронов, которые играют роль передатчиков тепла. В простейшей теории теплопроводности металлов принимается, что свободные электроны в металлах ведут себя подобно молеку- лам газа, т. е. перемещаются между атомами твердого тела и осу- ществляют перенос энергии, а следовательно, передачу тепла теплопроводностью. Конвективным теплообменом называют процесс переноса тепла в жидкой или газообразной среде с неоднородным распределением температуры и скорости, осуществляемый макроскопическими частями среды при их перемещении. Конвективный теплообмен всегда сопровождается теплопроводностью. В зависимости от причины, вызывающей движение жидкости или газа, различают: а) конвективный теплообмен при свободном движении среды (свободная, илн гравитационная, конвекция); б) конвективный теплообмен при вынужденном движении среды (вынужденная конвекция). Свободная конвекция имеет место тогда, когда движение жидкости илн газа осуществляется в поле массовых сил при наличии разности плотностей среды в рассматриваемом объеме, что, в свою очередь, может быть обусловлено неоднородностью температурного поля этого объема. Например, если нагревать сосуд с жидкостью (рис. 1.1), то частицы жидкости, имеющие более высокую температуру (7"2 > 7\), вследствие уменьшения их плотности (р2 <Д pj) будут всплывать, т. е. вытесняться более холодными слоями, и переносить с собой теплоту; в сосуде воз- никнут конвективные токи. Очевидно интенсивность переноса тепла при прочих равных условиях будет зависеть от коэффи- 11
дачи больших количеств циента объемного расширения, плот- ности и вязкости среды. Вынужденная конвекция имеет место тогда, когда движение жидко- сти или газа вызвано внешними при- чинами (насосом, компрессором, вен- тилятором, движением летательного аппарата в воздухе и др.). В одной и той же среде теплообмен при вы- нужденной конвекции протекает значительно интенсивнее, чем при свободной конвекции, и поэтому в технике при решении вопросов, связанных с необходимостью пере- тепла, используется вынужденная конвекция. Лучистым теплообменом называется перенос тепла излуче- нием, обусловленный способностью нагретого тела превращать часть принадлежащей ему внутренней энергии в лучистую или в энергию электромагнитных колебаний, испускаемых нагретым телом. Встречая на своем пути другое тело (вещество), тепло- вые лучи частично поглощаются, и их энергия снова пре- вращается в теплоту, а частично отражаются и проходят сквозь тело. Тепловое излучение подчиняется основным законам распро- странения света, т. е. законам отражения, преломления и погло- щения. В чистом виде лучистый теплообмен имеет место лишь в условиях глубокого вакуума, например между поверхностью летательного аппарата, совершающего полет в дальнем космосе, и окружающими его пространством и телами. Чаще же мы имеем дело со всеми тремя видами теплообмена одновременно, т. е. на практике обычно имеет место сложный теплообмен. Однако ком- плексное математическое изучение закономерностей, управля- ющих сложным теплообменом, затруднено, поэтому часто пред- варительно изучают каждый вид теплообмена в отдельности, а за- тем переходят к расчету сложного теплообмена (рис. 1.2). При решении конкретных практических задач количество тепла, переданное теплопроводностью, излучением и конвекцией, может быть весьма различным, поэтому в расчетах часто пре- небрегают рлдш:и теплообмена, роль которых в рассматриваемом случае несущественна, и весь процесс сводят к основному опре- деляющему виду теплообмена. Для удобства технических расчетов введено понятие о двух видах теплообмена, которые называют теплоотдачей и тепло- передачей. Теплоотдачей называется процесс теплообмена, воз- никающий между твердым телом и омывающей его жидкой или газообразной средой. Теплопередачей называется процесс тепло- мена, возникающий между жидкими или газообразными сре- 1F
дами, разделенными твердой стенкой. Этим же термином иногда пользуются и в качестве обобщающего наряду с термином «тепло- обмен». 1.3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Процессы теплопередачи возникают между телами, если температура их различна. Тело или среда, имеющие более высокую температуру 7\, называются теплоотдающими. Соответственно тело или среда с температурой Т2 < Тх называются тепловоспри- нимающими. Разность температур ДТ Тх — Т2 > 0, вследствие которой возникает процесс теплообмена, называется температурным напором. Количество тепла, проходящее через данную контрольную поверхность в единицу времени, называется тепловым потоком (Q). Тепловой поток, приходящийся на единицу площади поверхности, называется плотностью теплового потока или удельным тепловым потоком (д). Всякое физическое явление протекает в пространстве и во времени. Поэтому изучение физического явления может быть све- дено к изучению пространственно-временных изменений величин, его характеризующих. Математическая физика вводит понятие ноля физической вели- чины, под которым понимается совокупность мгновенных значе- ний этой величины во всех точках рассматриваемой области. Так, например, совокупность значений температур во всех точках какого-либо тела в данный момент времени т называется темпера- турным полем этого тела. Температурное поле (рис. 1.3) в декартовой системе координат задается уравнением вида 7’ - f (х, у, г, т), (1.1) где Т — температура, зависящая от динат данной точки х, у, z и вре- мени т. Температура Т является скаляр- ной величиной, поэтому и поле тем- ператур — скалярное поле. Приве- денное определение поля справе- дливо и для векторных физических величин, показывающих не только величину, но и ' направление (ско- рость, ускорение, сила). Такое поле называется векторным полем вели- чины. В некоторых задачах теплообмена уравнение температурного поля удобнее записывать в цилиндрической или 13
сферической системе координат. В первом случае уравнение (1.1) имеет вид Т (г, ф>, z, т), (1.2) где Т — температура; г — расстояние от оси г до данной точки; ср — угол отклонения радиуса г от выбранного начального на- правления; т — время. Во втором случае Т = f (г, Ф) ф, т), (1.3) где г — радиус-вектор; ф и ф — полярный и азимутальный углы. Перемещение из какой-либо точки температурного поля в про- извольном направлении будет характеризоваться некоторым изме- нением температуры. Если бесконечно малым приращениям про- странственных координат соответствуют бесконечно малые изме- нения температуры, то такое температурное поле называется непрерывным. В этом случае производная от температуры по любому направлению имеет конечную величину. Если бесконечно малым приращениям хотя бы в одной точке поля отвечает конечное или бесконечно большое изменение температуры, то поле назы- вается разрывным. Последующие рассуждения будут относиться только к непрерывным температурным полям. Тепловые режимы, характеризуемые изменением температуры во времени, носят название нестационарных, или неустановив- шихся. Такому тепловому режиму соответствует нестационарный, или неустановившийся, тепловой поток, изменяющийся по вре- мени. Нестационарным тепловым режимам отвечают нестаци- онарные температурные поля. Уравнения (1.1)—(1.3) нестаци- онарного температурного поля являются наиболее общими и соответствуют случаям, когда температуры различных точек поля изменяются по времени. Тепловые режимы, характеризуемые неизменностью темпера- туры во времени, носят название стационарных, или установив- шихся. Такому тепловому режиму соответствуют стационарные, или установившиеся, тепловые потоки, не изменяющиеся по времени. Стационарным тепловым режимам отвечают стационар- ные температурные поля. Уравнением стационарного температурного поля будет урав- нение Т == f (х, у, г), (1.4) которое получается из условия неизменности температуры по вре- мени дТ/дх = 0. В соответствии с приведенной классификацией тепловых ре- жимов и отвечающих им температурных полей принципиально различают два класса задач теплообмена: нестационарные и ста- ционарные. Температурные (1-3), называются 14 поля, характеризуемые уравнениями (1.1) — трехмерными, так как температура Т изме-
няется вдоль каждой из трех простран- ственных координат. В практике встре- чаются случаи двухмерного if одно- мерного поля, где по одной или двум из пространственных координат темпе- ратура не изменяется. Так, например, уравнение вида Т^Ц*,У, т) (1.5) есть уравнение нестационарного (дТ/дх Ф 0) двухмерного (дТ/дг -= 0) температурного поля. Уравнение вида Г = /(г) (1.6) Рис. 1.4. Схема к определе- нию понятия температурного градиента есть уравнение стационарного (дТ/дх =0) одномерного (дТ/дц> = = dT/dty = 0) сферически симметричного температурного поля. Поверхности, представляющие собой геометрическое место точек с одинаковой температурой, называются изотермическими поверхностями: Таких изотермических поверхностей в рассматри- ваемой области поля можно провести сколько угодно. Вся сово- купность изотермических поверхностей однозначно определяет температурное поле в данный момент времени. Уже из самого определения изотермической поверхности вы- текают два ее свойства: 1) изотермические поверхности не могут пересекаться друг с другом, так как линия пересечения характеризовалась бы неоднозначностью температуры, что физически невозможно; 2) изотермические поверхности не могут обрываться внутри поля — они либо замкнуты, либо обрываются на наружных границах тела. При пересечении изотермических поверхностей какой-либо плоскостью мы получим на ней следы в виде семейства изотерм. Рассмотрим две весьма близкие изотермические поверхности с температурами Т и 7' + ЛТ (рис. 1.4). Из второго закона термо- динамики и свойства изотермической поверхности как геометри- ческого места точек, имеющих одинаковую температуру, следует, что тепловой поток не может распространяться вдоль изотерми- ческой поверхности. Перемещаясь из точки А по какому-либо направлению s, пересекающему изотермы, мы обнаружим изме- нение температуры. При этом наибольшее изменение величины Т на единицу длины будет, очевидно, наблюдаться при перемещении по направлению нормали п к изотермической поверхности. Предел отношения kT/kn при Дп0 называется темпера- турным градиентом, ,т. е. , ™ .. Д7 дТ о-7» 15
Температурный градиент есть вектор, направленный по нор- мали к изотермической поверхности в точке А. Величина этого вектора определяет приращение температуры на единицу длины нормали к изотермической поверхности. За положительное на- правление вектора градиента принимают направление возрастания температуры. Для разных точек, лежащих на одной и той же изо- термической поверхности, величина температурного градиента неодинакова: она будет больше там, где меньше расстояние Ап между изотермическими поверхностями. Градиент температуры Г- Л ( ОТ \ , может быть разложен по координатным осям: grad Т = I —) + ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Сформулируйте основные задачи теории теплопередачи. Дайте определе- ние того, что понимается под общим явлением теплопередачи или теплообмена. 2. Назовите виды теплопередачи. 3. Дайте основные понятия и определения теории теплопередачи.
ГЛАВА П ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ 2.1. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Количественная оценка тепла, проходящего внутри данного тела вследствие теплопроводности, базируется на законе французского ученого Фурье, сформулированном им в 1822 г. Элементарное количество тепла dQ, проходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени dr, пропорционально температурному градиенту dT/dri: dQ=- — K — dF dr. (2.1) Уравнение (2.1) представляет основной закон теплопровод- ности Фурье, где коэффициент пропорциональности X называется коэффициентом теплопроводности; знак минус в правой части уравнения стоит потому, что в направлении распространения тепла температура убывает и, следовательно, температурный гра- диент дТ/дп является величиной отрицательной. Если отнести количество тепла, переданное посредством тепло- проводности, к единице площади изотермической поверхности и к единице времени, то получим плотность теплового потока или удельный тепловой поток (Вт/м2) (2-2) г dF dr v ' Вектор q =— Х-^- = —X grad 7 (2.3) нормален к изотермической поверхности и направлен в сторону убывания, температуры. Следовательно, векторы q и grad Т коли- неарны, но направлены в разные стороны (рис. 2.1). На рис. 2.1 показаны различные изотермы Т 4- 2ДТ, Т + + ДТ и др., полученные как результат пересечения изотермиче- ских поверхностей с плоскостью чертежа. Проекция вектора q на оси координат х, у, z . дТ . дТ , дТ .. <7я — — X -з—, gu — — X —-т—, qz = — X —5—. (2-4) 7 № Qy дг \ / Если в каждой точке изотропного тела (т. е. имеющего одина- ковые свойства по всем направлениям) построить элементы нор- 17
Рис. 2.1. Линии теплового потока малей Дп к изотермическим поверхно- стям, то совокупность этих нормалей дает семейство кривых, называемых линиями теплового тока. Они указы- вают направление теплового потока. Касательные к линии тока показы- вают линии действия векторов q и grad Т, направленные в противопо- ложные стороны. Из основного уравнения (2.1) опре- делим значение коэффициента тепло- проводности [Вт/(м-К)1 = (дТ/дп) dF di ‘ Численно коэффициент теплопроводности X равен количеству тепла, проходящего в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности при условии, что градиент темпера- тур в рассматриваемой точке равен единице. Коэффициент теплопроводности является одной из физических характеристик вещества: он характеризует способность данного вещества проводить тепло. Для различных веществ величина X различна. Лучшими проводниками тепла являются металлы, а худ- шими —- газы. С помощью коэффициента теплопроводности X и удельной теплоемкости ср вещества с плотностью р может быть определено другое его важное теплофизическое свойство — температуропро- водность. Температуропроводность характеризует тепловую инерционность и выражается через коэффициент температуро- проводности (м2/с) а = Х/(ср). Действительно, скорость выравнивания температуры в теле зависит не только от того, как тело проводит тепло (X), но и от того, на сколько изменится температура единицы объема тела при передаче ему данного количества тепла. А это последнее свойство зависит от удельной объемной теплоемкости вещества (ср). В зависимости от строения вещества и механизма процесса распространения тепла различных тел значения коэффициента теплопроводности также различны. Коэффициент теплопровод- ности материала определяется экспериментально на соответству- ющих лабораторных установках, конструкция которых зависит от рода материала и его агрегатного состояния. Зависимость коэффициента теплопроводности некоторых металлов от темпе- ратуры приведена на рис. 2.2. В технических расчетах зависимость коэффициента теплопро- водности от температуры приближенно выражают в виде линейной функции X = Хо (1 + bt), 18
где Хо — значение коэффициента теплопроводности при О °C; b — постоянная, определяемая опытным путем в заданном диапа- зоне температур. Зависимость К от температуры может быть для различных материалов и в различных диапазонах изменения температуры как возрастающей, так и убывающей функцией. Большинство теплоизоляционных материалов в авиационной и ракетной технике имеют пористую структуру. Сложный процесс распространения тепла в таких телах оценивается некоторым средним значением коэффициента теплопроводности, увеличение которого с ростом температуры объясняется не только увеличе- нием к, свойственным газам, заполняющим поры, но и возраста- нием лучистого, а возможно и конвективного теплообмена в по- рах. В ряде практических случаев зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры можно пренебречь, проводя расчет по некоторым средним значениям коэффициента тепло- проводности Хср. Согласно простейшей кинетической теории газов теплопровод- ность в них осуществляется путем молекулярного переноса энер- гии при соударении молекул. Коэффи- циент молекулярного переноса тепла в газе определяется следующим соот- ношением: 1 1 т % = — wMLcvp, где ёсм — средняя скорость движения молекул газа, м/с или м/ч; L — средняя длина свободного пробега молекул газа между их соударением, м; cY — массовая удельная теплоемкость газа при V = const, Дж/(кг-К); р — плот- ность газа, кг/м3. Для идеальных газов Lp = const, так как с увеличением давления в рав- ной мере повышается р и уменьшает- ся L. Поэтому коэффициент теплопро- водности для газов заметно не изме- няется при изменении давления. Однако для очень малых давлений, когда .дли- на L свободного пробега молекул*ста- новится больше, чем расстояние б между теплообменивающимися поверх- ностями (L > б), коэффициент тепло- проводности такого разреженного газа существенно зависит от давления, уменьшаясь с понижением его. При высоких давлениях теплопроводность Рис. 2.2. Кривые коэффи- циентов теплопроводности металлов: / — медь чистая; 2 — медь 99,9%; 3 — алюминий 99,7%; 4 — алюминий 99%; 5 — мар- ганец чистый; 6 — марганец 99.6%; 7 — цинк 99,8%; 8 — платина чистая; '9 — никель 99%; 10 — никель 99,2%; 11 — железо 99,2%; 12 — свинец чи- стый технический 19
Рис, 2.3. Кривые коэффициентов теплопроводности различных газов: 1 — водяной пар; 2 — углекислота; 3 — воздух; 4 - аргон; 5 - кислород; 5 — аэог; 7 — водород Рис. 2.4. Кривые коэффициентов теплопроводности гелия (7) и во- дорода (2) газов увеличивается с его ростом; так как при этом начинают оказывать заметное влияние силы межмолекулярного взаимодей- ствия. Температура газа влияет на среднюю скорость движения моле- кул юм и теплоемкость ту, в результате чего коэффициент тепло- проводности газов возрастает с увеличением температуры. На рис. 2.3 представлены экспериментальные значения коэф- фициентов теплопроводности различных газов. Гелий и водород отличаются высокой ‘теплопроводностью (рис. 2.4) — в 10 раз большей, чем у других газов. На рис. 2.5 поедставлена зависи- мость коэффициента теплопроводности жидких металлов и их сплавов от температуры. Характер зависимости коэффициента теплопроводности жидко- стей от температуры может быть объяснен на основе принятого представления о механизме распространения тепла в капельных жидкостях как о переносе энергии путем упругих колеба- ний. Такое представление, предложенное АТ Ф. Широковым, и тео- ретические положения А. С. Предводителева были использованы Н. Б. Варгафтиком при анализе и обобщении опытных данных по теплопроводности различных жидкостей. Из этих поло- жений была получена следующая формула для коэффициента 20
Рис. 2.5. Зависимость коэффициен- та теплопроводности жидких метал- лов и их сплавов от температуры: 1 - натрий; 2 лигнй: 3 - калий, 4 - o.toiw; 5 - с»л,)'<, состоящий из 25% натрия н 75% калия; в - - висмут; 7 -- свинец; > сплав, состоящий из 44% свинца и 56% висмут; 9 -- ртуть теп .л о п р о 1 ю д и о ст и ж и д к о ст е й: где Ср -- удельная теплоем- кость жидкости при р -- --- const; о - - плотность жидко- сти; р -масса молекулы. Коэффициент А пропорционален скорости распространения упругих волн в жидкости и не зависит от ее природы. С изменением температуры коэффициент А изменяется по соотношению Лср « const.‘Для t О С Л - 3,58-10-3. 2.2. ВЫВОД ОСНОВНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ При решении всех без исключения задач теплопровод- ности как при стационарных, так и при нестационарных тепловых режимах обязательным является знание поля температур, т. е. пространственно-временного распределения температуры в ин- тересующей нас области. Это распределение подчиняется основ- ному дифференциальному уравнению теплопроводности, к выводу которого мы и приступим. Выделим в пространстве, занятом рассматриваемым веществом (рис. 2.6), элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, Рис. 2.6. Схема баланса тепла для прямоугольного элемента параллельными соответству- ющим осям координат, и соста- вим для него уравнение балан- са тепла. Для этого сначала подсчи- таем количество тепла, подве- денного и отведенного через грани процессом теплопровод- ности. Тепло dQx„ вошедшее в па- раллелепипед через грань AA1A2A:s в направлении оси х, dQx, == qXldF dx = qx,dy dz dx, где qx, — удельный тепловой поток в сечении ЛЛ1ЛгЛ3,
который можно выразить по закону Фурье (2.2) через значе- ние градиента температур в этом сечении (дТ/дх~)х,. Аналогично выразится и тепло dQX;, покинувшее параллеле- пипед через грань ВВ1В2В3, с той разницей, что удельный тепло- вой поток qX1 здесь будет иным: qXl = qXl dx, и, следова- тельно, dQXj = qX1dy dz dx. Вычитая из dQx, значение dQx„ получим dQx, оставшееся в элементе объема за время dx в результате движения тепла вдоль оси х: dQx - dQXi — dQXl ~---dx dy dz dx, или после подстановки qx, определяемого по закону Фурье (2.3), dQx = ~(%~-')dxdydzdx. (2.6) Выполняя те же операции для направлений у и г, получим dQu " dydxdzdx (2.7) И dQz = (А. dzdxdydx. (2.8) Общее количество тепла dQK, аккумулированное в силу теплопро- водности в рассматриваемом элементарном объеме за время dx, определится как сумма выражений (2.6), (2.7), (2.8): ‘‘Qk = dQ, + dQ, + dQ, =, [ ЛЬ (Д ~ (х + <2Э> где dV = dx dy dz — объем рассматриваемого элемента. Плотность теплового потока q, как всякий вектор, может быть представлена через свои проекции на оси координат: qx, qv и q2 [см. формулы (2.4)1. Если рассматриваемое вещество изотропно и однородно, т. е. если А = const, то dQx выразится через оператор Лапласа у2 = дг , д2 , д2 ——Н 1 т 2 в виде дх“ 1 ду* 1 dz2 dQ- d\--TdV dx. (2.10) В самом веществе могут протекать процессы, связанные с вы- делением или поглощением тепла (экзо- или эндотермические химические реакции), физические явления, сопровождающиеся выделением или поглощением энергии (джоулево нагревание, ядерные процессы, конденсации и др.). Если известна характе- ристика этих процессов — интенсивность объемного тенловыделе- 22
ния, т. е. количество тепла, выделяющееся в единице объема в единицу времени qv, то за время dx в объеме dV выделится тепло dQv qvdV dx. (2.11) Согласно закону сохранения энергии количество тепла dQv, аккумулированное в элементарном объеме dV, вызовет в нем соответствующее повышение температуры вследствие нагрева тела от внутренних источников тепла. Температура твердого тела является в общем случае функцией четырех переменных х, у, z и т. Однако для твердого тела про- странственные координаты точек поля х, у, z не связаны с коор- динатой времени. Поэтому при рассмотрении явления теплопро- водности в твердом теле изменение температуры ЪТ за бесконечно малый отрезок времени dx выражается через частную произ- водную 8T = ~dx. (2.12) Таким образом, тепло, аккумулированное в объеме dV в силу теплопроводности (dQK) и объемного тепловыделения (dQv), можно выразить через изменение температуры объема 6Т в виде dQK + dQv = ср dV8T. (2.13) Подставляя сюда выражения (2.9) и (2.11), с учетом равенства (2.12) получим 67 1 г д /. дТ \ . д / дТ \ . д (. дТ \ , -I ~дГ == МУ ~дГ) + W к ~дГ) + ~дГ Г + qv J (2-14) В случае твердого тела с изотропными и однородными свой- ствами (X = const) вид уравнения упрощается: ~ = a V2r + . (2.15) Щ 1 ср ' 7 Уравнение (2.15) называется основным дифференциальным уравнением теплопроводности при наличии внутренних источни- ков тепла. Оно устанавливает связь между временными и про- странственными изменениями температуры в любой точке поля, а коэффициент температуропроводности а является коэффициен- том пропорциональности между этими изменениями, что отчетливо видно из формы уравнения (2.15) при отсутствии объемного тепло- выделения: -^- = aV2T. (2.16) Можно сказать также, что в то время, как коэффициент тепло- проводности X. характеризует теплопроводящую способность тел, коэффициент температуропроводности а характеризует тепло- инерционные свойства этих тел. 23
Рис. 2.7. Схема цилиндрической си- стемы координат точки Рис. 2.8. Связь между прямо- угольной и цилиндрической си- стемами координат Уравнения (2.15), (2.16) относятся к случаю нестационарного теплового режима. Для стационарного теплового режима, когда температурное поле не изменяется во времени (дТ/дт) = 0, урав- нение (2.16) перепишется в виде aV2T или дх2 + ду2 Н" dz2 В технике часто возникает необходимость исследования тепло- обмена и распределения температур в телах цилиндрической формы, плоских дисках, цилиндрических оболочках, круглых стержнях и др. В этих случаях удобнее записать основное диффе- ренциальное уравнение теплопроводности не в декартовой, а в ци- линдрической системе координат. Для фиксированного момента времени температура Т является функцией трех аргументов — координат х, у, z : Т = f (х, у, z). В цилиндрической системе координатами являются: г — ра- диус-вектор точки, ср — полярный угол, z — аппликата точки (расстояние от основной плоскости) (рис. 2.7). Декартовы координаты х, у, z связывают с цилиндрическими (рис. 2.8) следующие выражения: х = г cos ср; у = г sin ср; z = г. Подставив х и у как функции от г и ср в выражение для темпе- ратуры, получим Т = Т [х (г, ср), у (г, ср), z] = Т (г, ср, z). Таким образом, температура может 'быть представлена как некоторая функция от цилиндрических координат. Выведем выражение для оператора Лапласа в цилиндрических координатах. Так как координата z в декартовых и в цилиндри- ческих координатах одна и та же, то достаточно найти выражения для частных производных diTldxi и дгТ!ду2 в цилиндрических координатах. Составляя выражения первой и второй производных для функ- ции Т = Т (г, ср, z) и учитывая, что дг _ дх 0; дг ду = 0; дг дг = 0; Эср дг = о, получим д2Т д2Т , 1 дТ 1 д'-Т дх2 + ду2 — дг2 + г дг + г2 Эф2 24
Следовательно, в цилиндрических координатах оператор Лап- ласа примет вид 572 = _д___|_ _!______I ! 2L _|_ (2 18) дг2 г дг г2 5ср2 Эг2 ' В случае использования сферической системы координат, когда Т = Т (г, ср, ф), где г — радиус-вектор точки, а ср и ф — полярный и азимутальный углы соответственно, оператор Лап- ласа аналогичным путем легко приводится к виду „2 __ д2 . 1 д2 1 д2 2 д . cos ср д дг2 г2 дер2 ' г2 sin2 ср <5ф2 ’ г dr ‘ г2 sin ср сф 2.3. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛООТДАЧИ (УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ) Основное дифференциальное уравнение теплопровод- ности характеризует пространственно-временное изменение температуры в любой точке поля, объединяя все без исключения явления теплопроводности независимо от геометрической формы тела, его физических свойств и условий взаимодействия с окру- жающей средой. Это дифференциальное уравнение описывает класс явлений теплопроводности. Для выделения из целого класса единичного явления необходимо к дифференциальному уравнению присоеди- нить дополнительные условия, специфические для данного кон- кретного случая. В эти дополнительные частные данные, харак- теризующие рассматриваемое единичное явление, входят форма и размеры рассматриваемого тела, его теплофизические свойства и краевые условия. Совокупность перечисленных данных назы- вается условиями однозначности. Таким образом, условия одно- значности подразделяются: на геометрические, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс; на физи- ческие, характеризующие физические свойства тела, и на краевые, характеризующие особенности протекания процесса в начальный момент времени (начальные условия) и на границах тела (гранич- ные условия). Условия однозначности позволяют выделить конкретный про- цесс, т. е. дать полное его математическое описание. В задачах теплопроводности начальные условия определяются заданным распределением температур в изучаемом теле для какого-либо момента времени т, предшествующего рассматриваемому и при- нимаемому за начальный момент времени (т = 0). Уравнение температурного поля для этого случая запишется в виде Т (х, у, г,0) = Т (х, у, г). В целом ряде практических задач начальные условия имеют более простой вид: Т (х, у, г, 0) = Тй — const, т. е. температура тела в начальный момент времени постоянна по всему его объему. 25
Граничные условия связаны с взаимодействием тела и окружа- ющей среды и для однородных тел могут быть заданы тремя спо- собами. 1. Граничное условие 1-го рода задается в виде распределения температуры по поверхности в любой момент времени: Tw -- Т (х, у', г', т) = / (х', у', г’, т); (х', у', z') £ F, где F — поверхность тела. В стационарных задачах, а также в таких нестационарных задачах, когда при т ► оо тело стремится к некоторому стаци- онарному состоянию, функция Т (х, у, z) не зависит от времени, т. е. температура каждой точки поверхности тела постоянна. В ча- стном, но весьма распространенном случае граничное условие 1-го рода может иметь вид Tw — const. В более общих нестационарных задачах важными частными случаями являются линейная и гармоническая зависимости тем- пературы поверхности от времени: Ти, — Тш0 4* Ьх, где b — постоянный коэффициент, и Тш = TWQ + Ло cos соТ, где Ло — амплитуда; <о — частота изменения температуры. 2. Граничное условие 2-го рода задается в виде удельного теплового потока в каждой точке поверхности тела в любой мо- мент времени: q = f (.х, у', z', т); (х', у’, z') Е F. Причем, поскольку удельный тепловой поток, осуществляемый посредством теплопроводности, согласно закону Фурье можно представить в виде q — —где дТ/дп — значение производной от температуры тела по нормали к его поверхности непосред- ственно у самой поверхности тела, а X — коэффициент теплопро- водности тела, то граничные условия 2-го рода эквивалентны заданным значения.м производной дТ/дп в любой момент времени: . = у, 2, Т) = ф(х, у, Z, т), где <р (х', у', г', т) — заданная функция. Этот случай граничных условий имеет место при нагревании (охлаждении) тел посредством излучения и учитывается, напри- мер, при расчете режимов работы радиационных холодильников космических летательных аппаратов и др. 3. Граничное условие 3-го рода задается в виде температуры окружающей среды и закона теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Этот процесс, как указывалось, носит название теплоотдачи. 26
Интенсивность теплообмена между средой и телом зависит от сложных физико-механических процессов, протекающих у гра- ницы раздела. Их можно достаточно точно описать упрощенной формулой теплоотдачи, предложенной Ньютоном: количество тепла dQ, отдаваемое или воспринимаемое элементом поверхности твердого тела dF за время dx, пропорционально разности темпе- ратур поверхности Tw и окружающей среды Т f, величине d F и промежутку времени dx, т. е. dQ — a (Tw — Тf) dF-dx, dQ , где а = — _— коэффициент теплоотдачи. Коэффициент теплоотдачи равен количеству тепла, отдава- емого или воспринимаемого единицей площади поверхности в еди- ницу времени при разности температур между стенкой и тепло- воспринимающей средой, равной одному градусу. В этот коэффи- циент включена вся сложность явления теплоотдачи. Он должен учитывать все особенности теплообмена и является функцией большого числа переменных: плотности среды, скорости движения среды, температур Tw и Тf, положения тела в потоке, размеров тела, физических параметров среды (теплопроводности, вязкости, теплоемкости и др.). При практическом использовании уравнения теплоотдачи при- ходится проводить ряд сложных экспериментов и из полученных опытных данных находить для исследованных явлений тепло- отдачи значения коэффициента а. Поэтому все трудности расчета теплоотдачи, заключающиеся в обилии влияющих на нее факторов, сосредоточены в коэффициенте теплоотдачи а, так что расчетное уравнение теплоотдачи Ньютона, несмотря на свою кажущуюся простоту, по существу не вносит особых упрощений. Итак, в случае граничных условий 3-го рода по закону Нью- тона q = а (х’, у', z', т) — Tf], где а известно (задан закон теплообмена и физические условия однозначности), a Tf = f (х', у', z’, т) — известная функция координат и времени, тогда как q и Tw неизвестны. С другой стороны, конвективный удельный тепловой поток у поверхности в любой момент времени равен потоку тепла внутрь тела, осуществляемому посредством теплопроводности: q = a(Tw-Tf^~^~, откуда K-^+a.(Tw-T})^. Таким образом, математически граничные условия 3-го рода представляют собой заданные функциональные связи между неизвестными значениями функции Г и ее производной (dTldri}m 27
на поверхности тела F. Хотя значение коэффициента теплоотдачи а зависит от многих факторов, при решении нестационарных задач с граничными условиями 3-го рода часто приближенно принимают а ----- const. К граничным условиям 2-го и 3-го рода относятся те же заме- чания о возможном характере зависимости заданной функции f (д', у', z', т) от времени (линейный и гармонический закон), что и для условий 1-го рода. Важным для понимания дальнейших разделов курса, в ча- стности, главы, посвященной нестационарной теплопроводности, является то обстоятельство, что при очень больших значениях а или малых л задача с граничными условиями 3-го рода переходит в задачу с граничными условиями 1-го рода. В самом деле, Tw— Тf ~~----И’ если (л/а0) (т. е. а -> оо или X 0), то Tw -- Tf (х', у', z', т), т. е. температура поверхности тела в любой момент времени задана и равна темпе- ратуре окружающей среды Tf. Ниже мы рассмотрим некоторые простейшие задачи стаци- онарной теплопроводности в твердых телах. 2.4. ПЛОСКАЯ СТЕНКА Если плоское тело (пластина) имеет толщину б, значи- тельно меньшую двух других характерных линейных размеров (ширины и длины), граничные условия не зависят от координат границы, можно пренебречь отводом или подводом тепла через торцы, считая, что тепловой поток направлен перпендикулярно поверхности пластины (рис. 2.9). Задача в этом случае является пространственно одномерной, а следовательно, температурное Рис. 2.9. Схема распре- деления температуры в плоской стенке поле зависит только от одной координа- ты х, поскольку дТ _ дТ _ ду ~ дг ~ При отсутствии объемного тепловы- деления (qv = 0) и постоянном X уравне- ние теплопроводности (2.17) имеет вид dx2 и- (2.19) Закон распределения температур ио толщине стенки найдется двойным инте- грированием выражения (2.19): Т — С^х 4- С2, (2.20) где и С2 — постоянные интегриро- вания. 28
Из уравнения (2,20) видно, что распределение температур в сгенке следует линейному закону. Изотермические поверхности представляют собой плоскости, параллельные поверхностям стенки и нормальные к оси х. Для определения постоянных интегрирования (Д и С., в урав- нении (2.20) воспользуемся граничными условиями 1-го рода, т. е. зададимся следующим законом распределения температур на поверхности тела для любого момента времени: при х - О Т -- - ТДд при х - - 6 Т --- 7Д,, где Tw} > Tw.,. Подставляя заданные значения температур па границах в урав- нение (2.20), найдем С2 = TW1 и С\6 -j- TW1 --- Тш2, откуда (2.21) Подставляя значения Сг и С2 в уравнение (2.20), получим Т mi- (2.22) Выражение (2.22) и есть решение задачи, так как описываемое им распределение температур удовлетворяет как дифференциаль- ному уравнению (2.19), так и поставленным граничным условиям. Для определения количества тепла, проходящего через эле- мент стенки в единицу времени (dx I), воспользуемся законом Фурье (2.1), согласно которому dQ - --X—^-dF. дх Из уравнений (2.19) и (2.21) имеем - Сх , следовательно, dQ = X. ТdF. Для участка поверхности площадью F находим Q = ^(Twl--T^F. (2.23) Обозначим TW1 - Tw2 - \TW. (2.24) Тогда Q - 4 Л 7’, Д'. (2.25) Количество тепла, проходящее через единицу поверхности стенки за единицу времени, определяется соотношением q = 4 4 (2-26) или с учетом выражения (2.24) 29
Рис. 2,10. Схема распреде- ления температуры при теп- лопередаче через плоскую стенку Из формул (2.23) и (2.26) видно, что количество тепла, проходящее сквозь стенку, зависит от разности температур на поверхностях ДТШ. Отношение 1/6 обычно называется тепловой проводимостью стенки, а об- ратная ей величина 6/2. — сопроти- влением теплопроводности плоской стенки. В случае граничных условий 3-го рода в рассматриваемой задаче долж- ны быть заданы температуры сред, омывающих стенку ТдТ/2 (Т fl > Т/2), и коэффициенты теплоотдачи и а2. Этот процесс носит название теплопе- редачи через стенку и в стационарном случае распределение температур в средах и плоской стенке показано на рис. 2.10. Температуры среды и стенки в точке их соприкоснове- ния совпадают. В качестве Tf принимается температура среды на достаточном удалении от стенки. Удельный тепловой поток, который получает стенка, опре- деляется законом Ньютона q = ах (Тfl — Twl), но из условия непрерывности теплового потока он должен равняться тепловому потоку, отводимому в силу теплопроводности внутрь стенки. В стационарной задаче для плоской стенки этот поток, как было X показано, может быть записан в виде (2.26): 7 = у (Twi — Tw2), но здесь, в отличие от задачи с граничными условиями 1-го рода, температуры TW1 и нам неизвестны. Тепловой поток, отводимый тепловоспринимающей средой, по закону Ньютона может быть представлен в виде q = а2 (Тш1 — — 7ф2); он также равен потоку, идущему через стенку посред- ством теплопроводности. Полученная система X 7 = ai (7\i — 7 ш1); q = у (Т’ш! — Тж2); 7 == а2 — Ту2), (2.28) где известны 7’ш1, Т'ш2 и q, легко может быть решена путем деления обеих частей уравнений (2.28) на ах, 1/6 и а2 соответственно. Преобразованная таким образом система примет вид 7 „ — Tf! Тш1> 7 \ — 7"mi Т»2> 7 у — Т' (2.29) Складывая почленно отдельно левые и правые части уравне- ния, получим q (-4-+ у + у-) = Т’д — Т/2, откуда 7 = К (Тд - Т’д), (2.30) 30
где l/<Xi “Ь 6/Х 4“ 1/^2 Величина К называется коэффициентом теплопередачи, а обрат- ная ей величина R = 1/К ~ l/«i + 6/А, 4- 1/а2 — полным термическим сопро- тивлением. Это полное сопротивление является суммой уже изве- стного нам сопротивления теплопроводности 6/Z, и двух сопро- тивлений теплоотдачи I/04 и 1/а2, Выражение для теплового потока при теплопередаче через стенку (2.30), пользуясь понятием полного термического сопро- тивления, можно переписать в виде 7 = (2.31) Все величины, входящие в правые части выражения (2.30) и (2.31), заданы условиями однозначности. Неизвестные значения температур поверхностей стенки TwX и Тт могут теперь быть определены с помощью первого и третьего уравнения системы (2.28), поскольку величина q вычисляется по формулам (2.30), (2.31). Например, TW1 = Tfl — <7/04. (2.32) Полученные выше решения задачи о теплопроводности плоской однородной стенки с граничными условиями 1-го и 3-го рода легко распространяются на случай, когда стенка состоит из ряда слоев различных материалов. Пусть многослойная стенка состоит из п плотно прилегающих Друг к другу слоев (рис. 2.11), коэффициенты теплопроводности которых равны Х1т Х2, ..., Хл, а толщины — 61( 62, ..., соответ- ственно. Вследствие стационарно- сти задачи удельный тепловой поток, проходящий через каждый слой, для всех слоев будет одинаков. Если бы было иначе, то тепловое состояние какого-то слоя или не- скольких слоев изменялось бы во вре- мени, поскольку входящее в него в единицу времени количество тепла было бы отлично от выходящего. Это привело бы к изменению во вре- мени его температуры, что противо- речит принятому в этом разделе условию стационарности темпера- турного поля дТ/дх = 0. В случае граничных условий 1-го рода, т. е. когда заданы темпера- т ------------------ О * Рис. 2.11. Схема распределения температуры в многослойной плоской стенке 31
туры на внешних поверхностях многослойной стенки TW1 и Тш и, можно записать для удельных тепловых потоков в каждом из слоев следующее: 9 ^Т“’2 ” т^’ (2-33) <7 = (Тип — Ти, (п+1))- Напомним, что в этой системе нам заданы лишь температуры 7\в1 и 7’ц, (п+1), остальные величины пока неизвестны. Перепишем уравнения (2.33) в следующем виде: <7“^— = ТШ1 Tw2', q-^~ = Twi - Tw3- (2.34) q~^r~ — т wn — т w (n+i). An Производя почленное сложение, найдем ('ir+4r++4^)= (2-з5) откуда т ___________________________т ________oil 1 О1 (п+1) Q_______+ • • • + бпАп ’ или, что то же, q _ ^Ю1 (п+[) Е i=i где i — номер слоя. Очевидно сумма, стоящая в знаменате- ле, есть суммарное термическое сопротивление многослойной стенки. Иногда при расчете многослойной стенки вводят в рассмотре- ние эквивалентный коэффициент теплопроводности Хэкв, который равен коэффициенту теплопроводности фиктивной (однослойной) стенки, толщина которой равна суммарной толщине исследуемой п многослойной стенки У 6f при условии, что разности температур i=i на границах однослойной и многослойной стенок одинаковы, а количества тепла, проходящие через них в единицу времени, совпадают. 32
Таким образом, для воображаемой однослойной стенки q= ^кт< (2.36) i==i где 7ЭКВ — эквивалентный коэффициент теплопроводности, опре- деляемый из равенства уравнений (2.36) и (2.35): п Ьэив = ----• (2.37) Е (=1 Эквивалентный коэффициент теплопроводности дает возмож- ность сравнить теплопроводящие свойства многослойной стенки, составленной из разнородных материалов, с однослойной стенкой, выполненной из однородного материала. Графически распределение температур по сечению многослой- ной стенки (см. рис. 2.11) представляется ломаной линией, причем внутри каждого слоя это распределение описывается уравнением Txl = Twi - qXi/U, (2.38) где Xi — расстояние от начала г-го слоя, т. е. от плоскости его соприкосновения с (i — 1)-м слоем, где температура равна Twi. Пользуясь этим выражением, по аналогии с выражением (2.32) можно последовательно найти неизвестные температуры на границах всех слоев Tw2, Tw3, ..., Twn. Абсолютная величина тангенса угла наклона зависимости Т (х) в каждом из слоев тем больше, чем меньше коэффициент тепло- проводности данного слоя 7. Это вытекает из закона Фурье qt = = —7; grad Т, так как при постоянстве q во всех слоях вели- чины 7 и grad Т связаны обратно пропорциональной зависи- мостью. Это рассуждение распространяется и на случай однослойной стенки с переменным значением %, зависящим от координаты или от температуры. Легко показать, что если в однослойной стенке (см. рис. 2.9) % = Хо (1 -Г ЬТ) и b > 0, то распределение температур в ней не будет носить линейный характер как при X = const, а будет представляться кривой, наклон которой | будет возрастать с ростом координаты х, поскольку коэффициент теплопроводности с приближением к более холодной поверхности такой стенки уменьшается. К аналогичному выводу можно прийти, если условно разбить однослойную стенку на ряд тонких слоев, теплопроводность каждого из которых принять постоянной. Если в задаче о теплопроводности плоской многослойной стенки заданы граничные условия 3-го рода, то расчетное уравне- 2 Авдуевский 33
ние теплового потока через такую стенку легко получить, добавив к системе (2.33) выражение для конвективных тепловых потоков между внешними поверхностями стенки и омывающими ее сре- дами, аналогично выражению (2.28): q = (Тл — Тш1); q = = а2 [Tw (rj+i) — Т/2]. В этом случае удельный тепловой поток также выразится соотношением q = К (Т— Т только в зна- менатель выражения для коэффициента теплопередачи (2.39) Val + Vi Sj/X; 1/а2 i+1 войдет сумма сопротивлений теплопроводности всех п слоев. Полное термическое сопротивление в этом случае будет = + + (2'40> (=1 2.5. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СТЕНКА Если предположить, что круговая цилиндрическая оболочка имеет длину достаточно большую, чтобы теплоотводом с торцов можно было пренебречь, и что граничные условия не зависят от полярного угла ср и продольной координаты г, то задача, как и в предыдущем разделе, становится пространственно-одно- мерной. Поле температур в стационарном случае изменяется только по радиусу г, а следовательно, основное дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат (2.17) примет вид Обозначая dT/dr через и, получим =-----------и, откуда, раз- du dr деляя переменные, =-----------—. После интегрирования последнего выражения получим In и = = —In г -|- С, или In и = —In г +,ln Ci, откуда = и = (2.42) После повторного интегрирования выражения (2.42) общее решение уравнения (2.41) получим в виде Т = Сх In г + Cs. (2.43) Из двух последних выражений можно заключить следующее. 1. Удельный тепловой поток в цилиндрической стенке q = » дТ л . ~ непостоянен по толщине и убывает к внешней поверх- 34
, i (IT 1 \ ~ ности трубы ~Это связа- но с тем, что в стационарных усло- виях должен быть постоянным полный тепловой поток, проходя- щий через участок цилиндрической трубы длиной I и равный qF, где F = 2лг1; поскольку же F увеличи- вается с радиусом, то, естественно, удельный тепловой поток должен убывать. 2. Температура по толщине ци- линдрической стенки изменяется нелинейно — по логарифмическому закону (2.43) (рис. 2.12). Постоянные интегрирования С-, и Рис. 2.12. Схема распределения температуры в цилиндрической стенке С2 находим из граничных условий. Граничные условия 1-го рода для рассматриваемой задачи можно записать в виде = Т (гх) = Ci In + С3; Т'шг ~ Т (гг) ~ Ci 1н г2 + С2. Решая эту систему относительно Сх и С2, получим ___ 7 ан r^'w2 -j р __ Tm In Т W2 In Гх 1 ~ In (ЛЛ-Э 2 “ 1п (Гх/г2) (2.44) (2.45) Подставляя эти выражения в решение (2.43), получим следу- ющее выражение для распределения температуры в цилиндри- ческой стенке: у1 Т W1 In pg/Э + Ги/а In (г/гх) /<2 ~ 1п(г2—Гх) ' ' Легко убедиться, что это решение удовлетворяет заданным граничным условиям (2.44). Количество тепла, проходящее через участок цилиндрической стенки длиной I в единицу времени, согласно закону Фурье будет д , dT ,,, О = — т— 12лг. dr Подставляя в это выражение значение dT/dr из выражения (2.42) и учитывая равенства (2.45), найдем: Q = Х (?Л1 Г,юг) 2л/. (2.47) In (Г2/Г1) v ’ Из формулы (2.47) видно, что Q действительно не зависит от текущего радиуса и определяется отношением наружного радиуса к внутреннему. 2* 35
Рис. 2.13. Схема к задаче с граничными условиями 3-го рода В практике технических расчетов обычно относят тепловой поток Q к единице длины цилиндрической трубы: (2.48) Эта величина, в отличие от плотности потока, не зависит от текущего радиуса и называется линейной плотностью теплового потока. В задаче с граничными условиями 3-го рода (рис. 2.13) заданы темпера- туры сред, омывающих трубу с внутрен- ней (ТУ1) и наружной (Tf2) сторон, а также соответствующие значения ко- эффициентов теплоотдачи и а2. Конвективный тепловой поток на единицу длины трубы с на- ружной и внутренней сторон может быть выражен согласно закону Ньютона и должен равняться линейному тепловому потоку, переносимому теплопроводностью через цилиндрическую стенку (2.48). Выписав все эти выражения, получим систему: 9ц = ^(Tfl — Twl) 2лгх; = In (г2/Г1) (Twl ~ 2л; (2-49) 9ц = «2 (Тиа — Т2лг2, решая которую уже известным [см. выражения (2.28) и (2.29) ] методом, найдем 9ц = л/<ц(7’/1-Г/2), (2.50) где лКц = —----------НН-----------Г— (2.51) "* 2Х П Г1 + 2а2г, Коэффициент Кд называется коэффициентом теплопередачи цилиндрической стенки. Коэффициент Кц численно равен количе- ству тепла, проходящему через стенку трубы длиной в 1 м в еди- ницу времени от одной среды к другой, если температурный напор между ними равен 1 К. Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, = + -1-1П —+ Н- (2-52) ц 2ci.^r । 2Х 2os2r 2 называется полным термическим сопротивлением трубы, причем слагаемые 1/(2а1г1) и 1/(2а2г2) называются термическими сопро- 36
тивлениями теплопередачи, а слагае- мое 1/(2%) in (г2/г,)—термическим со- противлением теплопроводности стенки трубы. Итак, в случае цилиндрической стенки сопротивление теплоотдачи за- висит не только от величин и а2, но также и от диаметров d± = 2ti и d2 — = 2г2. Для случая многослойной цилин- дрической стенки (рис. 2.14) и гранич- ных условий 1-го рода методами, со- вершенно аналогичными тем, которыми мы пользовались при рассмотрении многослойной плоской стенки, можно ражение для линейной плотности теплового потока: Рис. 2.14. Схема распреде- ления температуры в много- слойной цилиндрической стенке получить следующее вы- „ _ I7'®! ~ Tw (п+1)] Я Чц ~ п 2 1/2%,- In (di+1/d;) i=i (2.53) Точно так же для цилиндрической многослойной стенки остается в силе то понятие эквивалентного коэффициента тепло- проводности, которое было введено для многослойной плоской стенки: п — 2л^экв ^и’1 ~ Tw (п+1)1 /о In ( ' Приравнивая правые части уравнений (2.53) и (2.54), будем иметь Хэкв = — (dn+l/dl)---• (2.55) 2 in (diM Пользуясь выражением (2.50), напишем уравнение для опре- деления температуры Т№((+1) на границе между i-м и (i + 1)-м слоями: т. ,ж> - Т., - (-4- 1П А- + ~ 1„ А- + • + di J (2.56) В случае многослойной цилиндрической стенки, состоящей из плотно прилегающих друг к другу слоев с соответствующими коэффициентами теплопроводности Хъ X,., Xs по аналогии с плоской 37
многослойной стенкой, можно написать выражения для коэффи- циента теплопередачи и для теплового сопротивления п Rn^ = —ф + У ф- In ф- + -ф-. (2.58) А и czjdj 2Xj di ^2^n+i 1=1 Температура Tw ((-+i) на границе между i-м и (i + 1)-м слоями определяется из уравнения 'т Я I * 7№(l-+l) ~ lw\ I , 1пф- + -4—1. (2.59) uj £^2^71+1 / 2.6. КРИТИЧЕСКИЙ ДИАМЕТР ТЕПЛОВОЙ ИЗОЛЯЦИИ ТРУБОПРОВОДА На практике часто возникает необходимость уменьшить теплопередачу между средой, движущейся по трубопроводу, и окружающим трубопровод пространством. Эта необходимость может быть связана как со стремлениями уменьшить потери тепла горячего теплоносителя, передаваемого по трубопроводу от одного агрегата к другому (в этом случае тепловой поток направлен от трубы в окружающую среду), так и сохранить в заданном фазо- вом состоянии криогенное рабочее тело, например сжиженный газ при подаче его из баков. В этом случае следует уменьшить поток тепла из окружающей среды внутрь трубопровода и предотвратить возможность вскипания жидкости. В обоих случаях внутренний диаметр трубопровода di, как правило, задается исходя из потребного расхода, а толщина стенок (d2 — dt)/2 и материал (А^) трубопровода определяются из расчета на прочность. Температуры внутренней и внешней сред Tf2 и Tfl, а также соответствующие коэффициенты теплоотдачи аг и а2 также полагаем заданными. Рассмотрим, как будет изменяться полное термическое сопро- тивление трубы при нанесении на ее внешнюю поверхность слоя тепловой изоляции (рис. 2.15), коэффициент теплопроводности которой /_из = /_2 задан выбранным нами теплоизоляционным материалом (асбест, фторопласт, пенопласт и др.). Согласно вы- ражению (2.58) для двухслойной трубы можно записать -J_= 1 + ’ 1пА-+-4-1п-ф + -4-, (2.60) 38
где d3 — внешний диаметр трубы со слоем изоляции. В выражении (2.60) от толщины слоя изоляции (диаметра d3) зависят два последних слагаемых. Термическое сопротивление теплопроводности изо- ляции In (d3/d2)/(2X2) растет с увели- чением толщины теплоизоляционного покрытия, а термическое сопротивле- ние теплоотдачи 1/(а2^з) уменьшается, что связано с увеличением поверхности теплоотдачи при увеличении внешнего диаметра трубы d3. Очевидно, что при таком характере изменения двух сла- гаемых выражение- (2.60) может иметь Рис. 2.15. Схема цилиндра с тепловой изоляцией экстремум. Исследуем на экстремум функцию Rn/d3. Приравняем нулю первую производную от равенства (2.60) по d3: \ Кц J Из полученного уравнения найдем значение внешнего диа- метра d3, при котором принимает экстремальное значение: 'Др 2Х2/о: 2. (2.61) Важно отметить, что критическое значение d3 не зависит от внешнего диаметра изолируемого трубопровода d2, а определяется лишь коэффициентом теплопроводности выбранного теплоизоля- тора /.2 и коэффициентом теплопередачи с внешней поверхности трубы а2. Для того чтобы определить, является ли термическое сопро- тивление при d3 = dKp максимальным или минимальным, найдем знак второй производной от Дц по d3 в данной точке (d3 = — dKp). Для этого подставим в выражение критическое значение диаметра (2.61). Тогда f_LV = Д1_>о пИ 2? 8X1 Это означает, что при d3 = полное термическое сопротивление системы минимально (рис. 2.16). Следовательно, если диаметр изолируемой трубы d2 больше <ДР, найденного для выбранного изоляционного материала (Z,2) и условий теплообмена с окружающей средой (2.61), то покрытие трубы слоем такой изоляции уменьшит теплопередачу через 39
Рис. 2.16. Кривые изменения коэффициентов полного термического сопротивления и теплопередачи в зави- симости от внешнего диаметра изоляции цилиндрическую стенку. В случае же, когда d2 < dKp нанесение на поверхность трубы выбранного изолятора первоначально приведет к возрастанию теплопередачи, и лишь после того, как наружный диаметр достигнет и превысит критическое значение, тепловой поток через стенку начнет убывать, затем станет равным исходной величине, ко- торая была при отсутствии слоя изоляции, и лишь затем станет меньше ее. Тогда следует попытаться подо- брать другой теплоизоляционный материал и (или) сделать много- слойную изоляцию так, чтобы Хэкв > Х2, и, если это не удастся, пойти на снижение теплопередачи путем значительного увеличе- ния толщины изоляционного слоя (d3 > dKp). 2.7. ШАРОВАЯ СТЕНКА Рассмотрим пространственно одномерную стационар- ную задачу теплопроводности в шаровой стенке с радиусами вну- тренней и внешней поверхности rL и г2 (рис. 2.17) и коэффициентом теплопроводности материала стенки К. Одномерность задачи означает, что распределение температуры в стенке зависит только от радиуса, а потому основное дифференциальное уравнение теплопроводности в сферической системе координат [см. выра- жение (2.18)] примет вид 4^ + -Т-4г = 0-. dT <2-62) По аналогии с принятым в разд. 2.6, обозначим через и. т- du 2 du 2dr 1огда -----------—и или =-----------—, откуда после интегри- рования In и = —21п г + С (2.63) или dT _ Ci dr ~ rt ' где In Ci = С. После повторного интегрирования по- лучим Т (г) = -Сх/г + С2. (2.64) Это и есть искомое решение уравнения (2.62). Отметим, что здесь в силу тех же Рис. 2.17. Схема распределения температуры в шаро- вой стенке 40
причин, что и в случае цилиндрической трубы (см. разд. 2.6), распределение температуры нелинейно. Однако в отличие от трубы это распределение представляет собой гиперболу. В случае граничных условий 1-го рода, когда заданы темпера- туры внутренней Тш1 оболочки, постоянные из системы уравнений и наружной 7^2 поверхностей шаровой интегрирования Сг и Сг определяются Тм = ^- + С2; (2.65) + С2> ' 2 т. е. Т Т W2 • 1 ~ — 1Д1 ’ (2.66) q ~ r-iTwi 2 ~ г2 — гх После подстановки этих констант в выражение (2.64) получим 1/Г1 --- 1/Г2 (2.67) В стационарной задаче полный тепловой поток Q=—4№ не зависит от радиуса, так как общее количество тепла, проходя- щее в единицу времени через изотермическую поверхность, какой здесь является любая сфера с радиусом G-С г г2, должно быть одинаково при любом г. Используя выражения (2.63) и (2.66), получим « = Т7^Т7Л(7’“ (2'68) Для многослойной шаровой стенки в случае граничных усло- вий 1-го рода методами, изложенными в разд. 2.7, 2.8, легко получить следующее выражение для теплового потока: Q = —Tw <2±1>1> (2.69) £ 1Дг(1/гг-1/гг+1) r=i где Хг и гг — коэффициент теплопроводности и внутренний радиус i-ro слоя. Распределение температур внутри Pro слоя шаровой стенки определяется соотношением (2.67) с заменой Twl, Tw2, гг и г2 на Ta,i, Tw(i+h, rt- и r;+i соответственно. Задачи о теплопроводности однослойной и многослойной шаро- вых стенок с граничными условиями 3-го рода решаются анало- 41
Рис. 2.18. Схема теплопроводности стержня бесконечной длины гично тому, как это делалось в разд. 2.7 и 2.8, а потому здесь не рассматриваются. Получить со- ответствующие решения предла- гается читателю самостоятельно. 2.8. СТЕРЖЕНЬ БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ Рассмотрим стационар- ную задачу о теплопроводности стержня бесконечной длины (рис. 2.18). Температура одного конца стержня поддерживается постоянной, равной ТСтержень омывается средой с постоянной температурой Tf. Коэффициент теплоотдачи от стержня к среде а вдоль всей его боковой поверх- ности будем считать постоянным. Коэффициент теплопроводности материала стержня X предполагается достаточно большим, а по- перечные размеры стержня по сравнению с длиной настолько малыми, что изменением температуры в нем можно пренебречь. Температура стержня Т, таким образом, считается функцией только одной координаты: Т = f (х). Разность между местной температурой стержня и температурой окружающей среды Т (х) — — Tf обозначим через 0 (х). В начальной точке стержня (х = = 0) 7\ - Tf = ©i. Рассмотрим тепловое равновесие элемента стержня, удален- ного от его начала на расстояние х, имеющего длину dx, площадь поперечного сечения F и периметр сечения U. Количество тепла, входящее в рассматриваемый элемент стержня через сечение I—I за единицу времени, согласно закону Фурье = <2'70> Аналогичная величина в сечении II—II, расположенном на расстоянии (х + dx) от начала стержня, будет \ ах ) (x+dx) (2.71) Согласно закону Ньютона (2.18), боковой поверхностью стержня (х + dx) будет отдано количество тепла dQ = a&Udx. (2.72) Составляя тепловой баланс для элемента стержня, получим Qx — Qx+dx — dQ; (2.73) — f + F = aQUdx. (2.74) \ dx Jx 1 \ dx Jx+dx v ’ 42
Принимая во внимание, что (dd/dx)x+dx — (dd/dx)x Щ9 dx2 ’ (2.75) dx получим - a@U. dx2 (2.76) Вводя обозначение Д2 P - kF ’ (2.77) находим _29. = B20 dx2 P (2.78) Решение полученного линейного дифференциального уравне- ния второго порядка можно представить в общем виде: 0 = С^х + С2е-₽*. (2.79) Постоянные С, и С2 могут быть найдены с помощью граничных условий: при х = 0 0 = С\ = С\ + С2; при х оо 0 = 0 = = (Де”. Последнее равенство выполняется только при условии = О, следовательно, С2 = 0х и 0 = ©щ"^. (2.80) Количество тепла, отдаваемое всей боковой поверхностью стержня, можно получить как тепловой поток, входящий в стер- жень через его основание Так как согласно равенству (2.80) 0~ — то = KFf,<31 (2.82) или Qi = К aUXF. (2.83) Если теплоотдача от стержня к среде идет не по всей поверх- ности стержня, то под величиной U надо понимать ту часть пери- метра сечения, по которой осуществляется теплообмен. Для стержня круглого сечения с диаметром d при теплоотдаче по всей поверхности получим ₽-2]/Д; (2.84) а - е, /Ы. (2.85) 43
2.9. СТЕРЖЕНЬ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ Если длина стержня конечна, то температура на его конце не будет равна температуре окружающей среды, а потому выведенные выше формулы не будут справедливы. Пусть длина стержня равна L, а превышение температуры холодного конца стержня над окружающей средой — 0L. Тепло- отдачей с торца стержня будем пренебрегать или учтем ее уве- личением длины стержня с таким расчетом, чтобы боковая поверх- ность удлиненного стержня равнялась бы полной боковой и тор- цевой поверхностям реального стержня. Общее решение (2.79) дифференциального уравнения (2.78) © = + С2е~₽* (2.86) получено без каких-либо предположений о длине стержня, а по- тому применимо и к стержню конечной длины. Граничные же условия изменяются: при х = 0 0 = 0Х = = Су + С2 или С2 = ©1 — Су при х = L, пренебрегая теплоот- дачей с торца стержня, т. е. приравнивая нулю тепловой поток, обусловленный теплопроводностью, в сечении х = L = <2-87' получим =0; . xL (2.88) (4)„t - ₽с'еВ‘ - f^CL - « По уравнениям (2.86) и (2.88) найдем С1(е₽/- + е"Р/-)-01е"₽/- = О, (2.89) откуда с»Дейй^зд1): (2’90) I е₽/- \ еРд с2 = ®1 - с1 = 0Ц1 “ + e-₽L j = 01 2 ch (pL) * (2-91) Подставляя найденные значения Су и С2 в уравнение (2.79) и переходя к гиперболическим функциям *, получим 0 = (е₽*е~₽£ + (2-92) или 0 — ei +еР (Л"Х)] _ о ch IP (L — <)] . /о qcn ° 2 ch (PL) ° . ch(pL) ’ * Напомним, что ch (x) = (e* + e~x)/2; sh (x) = (e* - e-*)/2; th (x) = sh (x)/ch (x). 44
при х = L получаем Тепловой поток, входящий в стержень и передаваемый боко- вой поверхностью стержня окружающей среде, найдем, пользуясь уравнениями (2.79) и (2.80), е=₽ <с> - ~ 91 (pz;11- <2-95) или Q = VKF^U = 0Х th (pL) VaUXF. (2.96) В случае круглого стержня диаметром d ' ₽2 = 4т; VtiWF (2.97) Ли 2 Q = (2.98) 2.10. КРУГЛЫЕ ПЛОСКИЕ РЕБРА Задача правильного конструирования ребер для авиа- ционных и космических теплообменников, цилиндров двигателей воздушного охлаждения, экономайзеров, калориферов и других теплообменных аппаратов, где теплоотдающая поверхность строится путем оребрения, состоит в том, чтобы получить при данном расходе охлаждающего агента максимальный отвод тепла при минимальных массе и габаритных размерах самого аппарата. Определению подлежат форма, высота и расстояние между ребрами. Вопрос о наивыгоднейшей форме ребра данной массы или дан- ной высоты может быть разрешен расчетным путем. При постоян- ных массе и площади поперечного сечения ребра максимальный отвод тепла будет, если боковые поверхности ребра имеют вогну- тую параболическую форму (рис. 2.19, а). В таком ребре темпера- турный градиент будет постоянным по его высоте. Однако из-за трудностей технологического характера на практике применяются ребра с поперечным сечением, выполненным в виде трапеции (рис. 2.19, б) или прямоугольника (рис. 2.19, в). Аналитическое решение задачи о стационарной теплопровод- ности для ребра параболической формы и, следовательно, о тепло- отдаче с его наружной поверхности встречает ряд трудностей, главнейшая из которых заключается в необходимости знать закон распределения коэффициента теплоотдачи а по поверхности ребра. Рассмотрим задачу о стационарном распределении темпе- ратуры в ребре прямоугольной формы при следующих условиях: 1) температура основания ребра постоянна и равна 7\; 45
Рис. 2.19. Схема формы ребер 2) количество тепла, рассеиваемого за единицу времени с какой-либо части поверх- ности ребра, пропорционально разности температур ребра и окружающей среды; 3) коэффициент теплоотдачи а одинаков во всех точках поверхности ребра; 4) если h — высота ребра и 6 — его тол- щина, то потеря тепла с торца шириной 6 может быть учтена путем замены действи- тельной высоты h величиной h' = h + 6/2; 5) вследствие того, что толщина 6 мала по сравнению с другими размерами ребра, будем считать, что температура зависит лишь от одной координаты х (текущее зна- чение высоты ребра), т. е. будем иметь дело с одномерным стационарным температурным полем Т = f (х). Обозначим через 0 разность температур какой-либо точки ребра Т (х) и окружающей среды Tf. Тогда 0 = Т — Tf = fr (х). Сделаем развертку круга плоского ребра по его среднему диаметру dcp (рис. 2.20). В дальнейшем задача очевидно сведется к рассматриваемой выше теплопередаче в стержне конечной длины h' = h + 6/2, площадь поперечного сечения которого F — ndcp6. Тогда роль |3 в показателях экспоненты общего ре- шения (2.79) будет согласно выражению (2.77) играть величина 46
и распределение температуры по высоте ребра выразится в виде 0 (И - A chfp (h'-x)] J W ch (ИЛ') (2.100) ента эффективности ребра от вели- чины рЛ' где 0Х = 1\ — Tf. Количество тепла, отдаваемого ребром в окружающую среду за единицу времени, можно определить путем интегрирования уравнения dQ = dQ2ndcvdx k’ г» , Z-X р 2аласгх-\ Q = 2andcp \ 0 dx =---------------th (рА ), (2.101) о И Если бы ребро имело по всей поверхности постоянную избы- точную температуру, соответствующую 01; то количество тепла, отданное ребром в окружающую среду в единицу времени, вы- ражалось бы в следующем виде: Q = 2a01ndcpA'. (2.102) Отношение тепла, действительно рассеиваемого ребром, к теплу, которое ребро могло бы рассеять, если бы разность температур по всей высоте ребра была постоянна и соответствовала 0Ь на- зывается коэффициентом эффективности ребра ПР = (Ж. (2.ЮЗ) Подставляя в уравнение (2.103) значения Q и из уравнений (2.101) и (2.102), получим т1р = ^1- (2-Ю4) Графическое выражение функциональной зависимости коэф- фициента эффективности ребра т]р от величины рА' приведено на рис. 2.21. Кроме того, в табл. 2.1 приведены значения коэф- фициента эффективности ребра т]р для различных ребер, причем величина коэффициента теплоотдачи а принята одинаковой для всех ребер и равной 125 Вт/(м2-К), что соответствует скорости обтекающего поверхность потока воздуха 40 м/с. Таблица 2.1. Значения т]р для ребер из различных материалов Материал h, мм б, мм |Л, М'1 h', м ph' ъ Алюминий 25 2,3 22,8 0,0261 0,595 0,9 Сталь 16 0,8 83 0,0164 1,36 0,65 Медь 25,4 0,5 36,4 0,0256 0,93 0,75 47
С точки зрения теплоотдачи, приходящейся на единицу массы, выгодно иметь большое число тонких и легких ребер. Это спра- ведливо до тех пор, пока поток, обтекающий ребро, не начинает искажаться под влиянием соседних ребер. При конструировании оребрения основным вопросом является, насколько близко можно располагать ребра друг к другу без серьезного снижения их эффективности вследствие уменьшения количества протекающего между ними воздуха. 2.11. ТЕЛА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ Мы рассмотрели задачи стационарной теплопровод- ности для простейших тел. В случаях, когда форма тела не яв- ляется столь простой, а условия на границе зависят от рассматри- ваемой точки поверхности, задача существенно усложняется и для ее решения часто требуется привлечение ЭВМ. Однако в ряде случаев для приближенной оценки тепловых потоков, передаваемых теплопроводностью в довольно сложных телах, можно воспользоваться уже полученными в этой главе результатами. Для этого представим выражения (2.23), (2.47), (2.68) для стационарного теплового потока через плоскую ци- линдрическую и сферическую стенки в единой форме: Q = — &TFX, (2.105) где X — коэффициент теплопроводности материала; 6 — толщина плоской, цилиндрической или сферической стенок; Fx — неко- торая фиктивная расчетная теплоотдающая поверхность, вы- ражение для которой во всех трех рассматриваемых случаях мы и пытаемся здесь получить; ДТ = ТШ1 — Т'ш2. Выражение (2.105) практически совпадает с формулой (2.23) для плоской стенки. Следовательно, в этом случае Fx есть не что иное, как площадь плоской стенки F, поток тепла через кото- рую мы рассматриваем, и может быть описана так: ^хпл =-^ = -^4^, (2.106) где Д и 72 — площади более нагретой и более холодной поверх- ностей. (Очевидно, что для плоской пластины Тт н Т2). В случае цилиндрической трубы согласно выражению (2.47) тепловой поток Помножив числитель — г1 = 6, а числитель логарифма на 2л/, получим _ X 2л/ (г2 — г,) . ~ X 2п1гг — 2n/rt г2 — r\ In [2л/г2/(2л/г1)] ~ 6 1п (2л/г2/(2л/г1)] 2ям /т, 1п (Г2/гг) и знаменатель этого выражения на г2 — и знаменатель выражения под знаком 48
Это выражение сводится к выражению (2.105), если положить Р 2 л/г, FFi /п , Л7\ In i2jrZra/(2jT//-1)J — и ' где Fi и Г2 — площади внутренней и наружной поверхностей цилиндрической трубы. Аналогично можно преобразовать выражение (2.68) для шаро- вой стенки: Проведя вычитание в знаменателе, после простых преобразо- ваний получим £ = ±ЕА^ДГ==лХ-^-ДГ. (2.108) Поскольку площадь сферы равна nd2, то диаметры dx и d2 можно выразить через площади внутренней Fr и внешней Г2 поверхностей шаровой стенки в виде " ^“i/Яг- <21м> Подставляя выражение (2.109) в равенства (2.108), получим = ]/ ДГ. о V л2 Это выражение сводится к формуле (2.105), если положить Гхшар = 1/ГЛ- (2.И0) Итак, мы получили выражения для площади фиктивной расчет- ной поверхности Fx, которые позволяют рассчитывать тепловой поток в рассмотренных трех случаях по единой формуле (2.105). Преимущества такого подхода в случае пластины, цилиндра и шара весьма относительны. Однако, пользуясь формулой (2.105) и одним из выведенных выражений для Fx [(2.106), (2.107) или (2.110)], можно приближенно рассчитать стационарный тепловой поток в телах более сложной формы. Так, по формулам (2.165) и (2.106) можно оценить Q для плиты, представляющей собой усеченный конус или пирамиду, и вообще для элемента пластины произвольной формы в плане со скошен- ным срезом. В совокупности с выражением (2.107) по формуле (2.105) можно приближенно рассчитать тепловой поток через цилиндриче- скую стенку некруглого сечения. Та же формула (1.105), но с Fx, вычисленной по формуле (2.110), позволит оценить тепловой поток через стенки замкнутой несферической оболочки, образо- ванной, например, эллипсоидами вращения и т. п. В ряде практических случаев температура на поверхности не является постоянной, а следовательно, непостоянна и величина температурного напора ДГ в формуле (2.105). При не слишком 49
больших изменениях температуры по поверхности можно вос- пользоваться усредненными значениями температур поверх- ностей: Tw = 4- J TwdF. F Если же изменения невелики, то расчет теплового потока следует вести по участкам, рассчитывая величину Q, на участке А/д, где (Tw\_2 = const. Для получения суммарного потока останется просуммировать локальные тепловые потоки по всей поверхности рассматриваемого тела. 2.12. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ОБЪЕМНОМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИИ (qv =£ 0) Как уже говорилось, в веществе наряду с процессом теплопроводности может протекать выделение или поглощение тепла, связанное с какими-либо физико-химическими явлениями: конденсацией, джоулевым нагреванием, ядерными реакциями, экзо- или эндотермическими химическими реакциями и т. п. С позиции теплообмена такие явления могут быть охарактеризо- ваны количеством тепла, выделяющегося или поглощающегося в единице объема вещества в единицу времени qv. Эта характери- стика носит название интенсивности объемного тепловыделения. Рассмотрим простейшие задачи стационарной теплопровод- ности при наличии объемного тепловыделения, полагая, что ве- личина qv не зависит от времени и координат. 2.12.1. Бесконечная плоская пластина Основное дифференциальное уравнение теплопровод- ности (2.15) для этой одномерной задачи будет иметь вид а^ + л. = 0. dx2 ср Принимая во внимание, что а = X (ср), получим 4т- + -т1==0- (2.111) dx2 1 К ' Перенося qv!\ в правую часть и считая qv = const, после пер- вого интегрирования получим 4f=-JT'[ + c>' <2-и2> а после второго — /(x) = -^g- + C1x + C2. (2.113) Выражение (2.113) является общим решением уравнения (2.111). Постоянные интегрирования находятся из граничных условий. 50
Рассмотрим вначале задачу с гра- ничными условиями 3-го рода. Пусть слева пластина омывается средой с тем- пературой Тд и коэффициент теплоот- дачи между пластиной и средой равен alt те же параметры справа от пластины обозначим через 7',2 и а2 соответственно (рис. 2.22). При интенсивном тепловыделении внутри пластины тепло может отдавать- ся в омывающие ее среды с обеих по- верхностей, т. е. кривая распределения температур по толщине пластины будет иметь максимум. Пусть ось ординат проходит через этот максимум на расстоянии 62 от правой поверхности Рис. 2.22. Схема распреде- ления температур в пластине при объемном тепловыделе- нии пластины. (Величину 62 мы определим позднее.) Тогда из равен- ства нулю производной dTIdx при х — 0 (условие максимума) следует, что Сх = О, и решение (2.113) примет следующий вид: /(х) = %*- 2х с2. (2.114) Граничное условие 3-го рода на этой поверхности а!(Т.1-Т„) = -Х^-|01, после подстановки Tw2 и I из выражения (2.114) примет вид Tf2} (2.115) \ / \ Л / или „ {Г \ - а2 I С2----------------------------1 /2 I — Выражение (2.115) можно интерпретировать, исходя из физи- ческого содержания рассматриваемой задачи. Поскольку пло- скость х — 0 можно считать теплоизолированной [(d77d,r)x=o = == 0 ], следовательно, q — |—X, q = 0, т. е. все тепло, вы- делившееся в пластине справа от этой плоскости в единицу вре- мени, должно быть отведено в окружающую среду посредством теплоотдачи с правой поверхности стенки. В противном случае будет нарушено условие стационарности процесса, и температура в стенке вследствие изменения ее теплосодержания будет изме- няться. Величина qvb2 представляет собой количество тепла, выделяющееся в единицу времени в объеме пластины с толщиной 62 и площадью, равной единице. Слева же в уравнении (2.115) стоит 51
выражение для потока теплоотдачи с единицы площади поверх- ности пластины. Аналогичные рассуждения для слоя пластины, расположенного слева и имеющего толщину бх — 6 — 62, приводят к уравнению I q,, (6 — 6,)2 \ “1 - 2Т ' - М = - б2). (2.116) Из уравнений (2.115) и (2.116) константа С2 выражается сле- дующим образом’: ~ + 7 >2’ ИЛИ _ ?y(6-S2) ^(6 — 6^2 ------------------------ Решая систему (2.117) + V '' ' + (2.117) относительно 62, получим 2Хаха2 ДТу -f- qv 6а2 (6ах -f- 2Х) Ч 13а1а2 + + М ’ (2.118) б2 = где Д7’/ = Tfl — Tfi. Этим выражением определяется положение максимума кри- вой распределения температуры по толщине пластины. Постоян- ную С2 в решении (2.114) найдем подстановкой выражения (2.118) в любое из уравнений системы (2,117). Решение задачи принимает особо простой вид в случае сим- метричного теплосъема с пластины, т. е. когда а.г = а2 = а и Tfl = Тf2 = Тf. Очевидно, да и из выражения (2.118) следует, что 62 = 6/2, т. е. максимальная температура достигается в пло- скости симметрии пластины. Тогда из формулы (2.117) находим С — I J- Г °2 2а 8% 7 /’ (2.119) Из решения (2.119) видно, что распределение температуры имеет вид квадратичной параболы, а максимальная температура Tmsx - Т U=o = + -|г + Tf (2.120) при постоянных qv и 6 будет тем больше, чем меньше теплопровод- ность пластины X и чем хуже теплоотдача с ее поверхности, т. е. чем меньше а. Температура на поверхности пластины (х = 6/2), равная = + (2.121) также растет с ухудшением теплоотдачи. 52
Решение задачи с граничными условиями 1-го рода легко по- лучить, определив 62 и постоянную С2 из решения системы (2.122) являющейся математической записью граничных условий. Максимум температуры будет располагаться на расстоянии 6.2 от правой поверхности стенки, причем X ® (л (су 1 <2-123> где ДТ = TW1 — Twi. Решение же задачи примет такой вид:. r«-r.. + -g-[[4(i (2'124> При очень больших значениях коэффициента теплоотдачи граничные условия 3-го рода переходят в граничные условия 1-го рода с Tw — Tf. Это позволяет получить формулы распреде- ления температур и максимальной температуры при симметрич- ном теплосъеме и граничных условиях 1-го рода (Та1 = Тт = = Tw) из выражений (2.119) и (2.120), считая а -> оо. Тогда ^И = 1г[(т)2-х2] + т» (2-125) и Tmax = -^-+7’IB. (2.126) ОД 2.12.2. Бесконечный цилиндр теплопроводности при одномерной стационар- координатах [см. выра- Дифференциальное уравнение наличии объемного тепловыделения для ной задачи запишется в цилиндрических жение (2.17)] в виде -^+4-4-+дН°- (2-127) Заменяя dTldr на и и умножая все члены на г, получим г 4^-+ «+-?- = О- (2.128) Для первых членов этого уравнения можно представить как d (ru) du , производную от произведения ги: = г -&• + и, а урав- нение (2.128) переписать в виде: =---- иг А 53
Qvr Интегрируя по г, найдем ги =-----—И Ci, откуда обратной заменой и на dT/dr получим АТ — । _£i_ /о 1291 dr 2% + г • (2.12У) Общее решение задачи найдем повторным интегрированием: T(r) =-^ + С11пг + С2. (2.130) Из осевой симметрии задачи (дТ/дг)г=о = 0, следовательно Сх =- 0. В задаче с граничными условиями 3-го рода постоянная С2 найдется из уравнения а[7’(А-)-7'/] = -^4Н=д’ (2Л31) где R — наружный радиус цилиндра; Tf и а — заданные значе- ния температуры окружающей среды и коэффициента тепло- отдачи. Подставим в выражение (2.131) значения Т (R) и R из равенств (2.129) и (2.130): а(сг--^- -Tf} = —% (— —-] Т0ГМС!^+^+; Таким образом, распределение температуры по радиусу ци- линдра выразится формулой Т(г) = -^(/?2-га) + -^+Л. (2.132) Максимальная температура (на оси стержня) будет равна q,,R2 q,,R Tmax = 7'|г=0 = ^г-+^- + Л, (2.133) а температура на поверхности Tw = T(R) = + (2.134) Решение для случая граничных условий 1-го рода получим из формулы (2.132), положив d -> оо (Tw — Tj). 2.13. ПЛОСКАЯ СТЕНКА С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ При значительных изменениях температуры твердых тел необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопровод- ности к от температуры X = X (Т). Основное дифференциальное уравнение теплопроводности для плоской стенки в этом случае будет иметь вид (2.135) dx \ dx ) ' 54
Это уравнение решается с граничными условиями 1-го рода: при х = О Т = TWl; при х — 6 Т — TWt. Введем новую переменную Ф, заданную уравнением (2.136) Тогда уравнение теплопроводности (2.135) примет вид 32Ф dx2 (2.137) Уравнение (2.137) решается с граничными условиями: при х = О Ф — Фх; при х = 6 Ф = Ф2. (2.138) Проинтегрируем уравнение (2.137) два раза: Ф = Схх+С2. (2.140) Для определения констант Сх и С2 воспользуемся граничными условиями (2.138): Сх = Фг~Ф1 ; (2.141) С2=Фг. (2.142) Удельный тепловой поток (плотность потока) определяется законом Фурье которое с учетом (2.136), (2.139) и (2.141) примет вид <7 = -^ = -^ = ^^-. (2.143) Для определения разности (Фх — Ф2) уравнение (2.136) про- интегрируем в пределах х от 0 до 6: откуда ф2 — фг = | UT. (2.144) (2.145) Подставляем выражение (2.145) в формулу (2.143), имеем т <7 = 4- (2-146) о J Т 1 Ш2 55
Преобразуем выражение (2.146): / W1 \ Q = -у I "у у I dT (Тш1 — Т’ая)- V 1 I Ш1 J W?2 J I \ т / \ J Обозначив -я—% dT, * ml 1 ц>2 t) Т 1 ш2 окончательно получим XCD Я = ~^(TW1 - Тша), (2.147) (2.148) которая совпадает по форме с соотношением (2.26), полученным для плоской стенки в случае X = const. Из этого результата следует важный вывод: полученные формулы расчета теплопро- водности при постоянном X могут быть распространены и на случаи, когда X = X (Т), если в эти соотношения подставить среднее значение коэффициента теплопроводности Хор, опреде- ленное по формуле (2.147). На рис. 2.23 показано распределение температуры в плоской стенке при различных зависимостях X = X (Т). Распределение температуры при X = const дано на графике (см. рис. 2.23, поз. 1). Рассмотрим теперь случай, когда коэффициент теплопровод- ности Ъ растет с увеличением температуры. Так как в нашем слу- чае TW1 > Tw2, то при увеличении координаты х от 0 до б тем- пература падает, а, следовательно, увеличивается X. Плотность теплового потока q постоянна по длине пластины, т. е. X -г- = const или , I dT I , Л —Г— = const. I dx I О 56 при уменьшении X должна увеличиваться по dT модулю производная -уу, т. е. расти кру- тизна кривой Т (х) (см. рис. 2.23, поз. 2). В случае, когда X уменьшается с ро- - стом Т, распределение температуры в пло- ской стенке описывается кривой (см. рис. 2.23, поз. 3). Рис. 2.23. Температурное поле в пластине при переменном коэффициенте теплопроводности (X = =а+ ЬТУ. J X 1 — b — 0; 2 — b > 0; 3 — b < О
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. В чем существо основного закона теплопроводности? Объясните наличие отрицательного знака в уравнении Фурье. 2. Напишите основное дифференциальное уравнение теплопроводности. Что означает стационарный тепловой режим? 3. Что характеризуют коэффициенты теплопроводности А, и температуропро- водности al 4. Какие существуют условия одиозиачиости? Дайте определение граничных условий 1-го, 2-го и 3-го родов. 5. Объясните, почему при стационарном режиме функции температурного поля в плоских однородных стейках представляются линейным законом. 6. Каков математический закон температурного поля при стационарном режиме в цилиндрической, шаровой стенках и в стержне бесконечной длины? 7. Что понимается под коэффициентом эффективности ребра? 8. Как влияет объемное тепловыделение на распределения температуры в плоской стенке и в цилиндре бесконечной длины? 9. Как изменяется распределение температуры в бесконечной плоской стенке при изменении коэффициента теплопроводности с температурой?
ГЛАВА HI ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА 3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие конвективного теплообмена (теплоотдачи кон- векцией) охватывает процесс теплообмена, обусловленный совмест- ным действием конвективного и молекулярного переноса тепла. Под конвективным переносом понимается процесс переноса тепла при-перемещении макрочастиц жидкости или газа в пространстве из области с одной температурой в область с другой. Конвекция возможна только при движении среды; перенос тепла конвекцией связан с переносом вещества. Под молекулярным переносом (теплопроводностью) понимается процесс переноса тепла посред- ством теплового движения микрочастиц в среде с неоднородным распределением температуры. Конвекция тепла всегда сопрово- ждается теплопроводностью, так как при движении жидкости или газа неизбежно соприкосновение отдельных частиц, имеющих различные температуры. Обычно в инженерных расчетах определяют конвективный теплообмен между потоком жидкости или газа и поверхностью твердого тела, называемый конвективной теплоотдачей или просто теплоотдачей. При практических расчетах теплоотдачи используют закон Ньютона-Рихмана Q = a (Tw - Tf) F. (3.1) Согласно этому закону тепловой поток Q (количество тепла, проходящее в единицу времени через произвольную поверхность от жидкости к стенке или от стенки к жидкости) пропорционален поверхности теплообмена F и разности температур поверхности тела Tw и окружающей тело жидкой или газообразной среды Tf. Разность температур ДТ = Tw—Tf называется температурным напором. Коэффициент пропорциональности а, учитывающий конкретные условия теплообмена, называется коэффициентом теплоотдачи. В общем случае коэффициент теплоотдачи переменен по по- верхности и его можно определить как “ = (Тш -Tf) dF = Tw-Tf (3•2) Таким образом, коэффициент теплоотдачи есть плотность тепло- вого потока q (тепловой поток, отнесенный к единице площади 58
поверхности) на поверхности тела, отнесенная к разности тем- ператур поверхности тела и окружающей среды. Теплоотдача является достаточно сложным процессом. В наи- более общем случае коэффициент теплоотдачи является функцией формы и размеров тела, режима движения, скорости и темпера- туры жидкости, физических параметров жидкости (коэффициента теплопроводности теплоемкости ср, плотности р, температуро- проводности а, коэффициента динамической вязкости р, темпе- ратурного коэффициента объемного расширения р) и других величин. Величины %, р, ср, а уже использовались при рассмотрении теплопроводности. Коэффициент динамической вязкости численно равен касательному напряжению т в жидкости в плоскости, ори- ентированной по течению, при градиенте скорости в направлении нормали к направлению движения du/dn, равном единице, т. е. ц = Наряду с коэффициентом динамической вязкости ц часто используется коэффициент кинематической вязкости v = ц/р. Коэффициенты (1 и v существенно зависят от температуры. У капельных жидкостей вязкость почти не зависит от давления и значительно уменьшается при повышении температуры. У га- зов (1 увеличивается с ростом температуры и практически не за- висит от давления (например при увеличении давления от 0,1 до 10 МПа ц возрастает на 10%). Коэффициент кинематической вязкости обратно пропорционален плотности газа и поэтому сильнее чем ц возрастает с ростом температуры и обратно про- порционален давлению. Тепловое расширение жидкости характеризуется температур- ным коэффициентом объемного расширения р = (ди/дТ)р, равным относительному изменению удельного объема v — 1/р при увеличении температуры на один градус и постоянном давлении. Для капельных жидкостей коэффициент р сравнительно мал и положителен (исключение составляет вода при t < 4 °C, когда Р < 0). Для идеального газа р = МТ. Процесс конвективного теплообмена зависит от природы воз- никновения движения жидкости. Различают вынужденную и естественную (свободную) конвекцию. В первом случае жидкость или газ движутся за счет внешних поверхностных сил, приложенных на границе системы, или одно- родного поля массовых сил, приложенных к жидкости внутри системы, или за счет кинетической энергии, сообщенной жидкости или газу вне системы. Во втором случае движение жидкости обусловливается дей- ствием неоднородного поля массовых сил, приложенных к части- цам жидкости внутри системы и обусловленных внешними по- лями (гравитационным, магнитным, электрическим). Например, свободное гравитационное движение обусловливается действием 59
гравитационного поля в системе с неоднородным распределением плотности жидкости. Неоднородность плотности жидкости вы- звана неоднородным распределением температуры. Вынужденное движение в общем случае может сопровождаться свободным движением. Относительное влияние свободного дви- жения тем больше, чем больше разница температур отдельных частиц жидкости и чем меньше скорость вынужденного движения. При больших скоростях вынужденного движения влияние сво- бодной конвекции становится пренебрежимо малым. Главная трудность в использовании основного закона тепло- отдачи заключается в определении коэффициента теплоотдачи. Практически изучение процесса теплоотдачи сводится к опреде- лению зависимости коэффициента теплоотдачи от различных факторов. Существенное влияние на процесс конвективного теплообмена оказывает характер движения жидкости, так как им определяется механизм переноса тепла. При ламинарном режиме течения ча- стицы жидкости движутся не перемешиваясь, и перенос тепла по нормали к направлению движения осуществляется путем теплопроводности. При турбулентном режиме течения частицы жидкости движутся неупорядоченно, хаотически, направление и величина скорости отдельных частиц непрерывно меняются, а перенос тепла по нормали к направлению осредненного движе- ния осуществляется как теплопроводностью, так и за счет пуль- саций (конвекции), при этом пульсационный перенос может во много раз превышать передачу тепла теплопроводностью. Форма и размеры поверхности теплообмена существенно влияют на теплоотдачу. В природе имеется большое многообразие по- верхностей теплообмена. Даже из тел простейшей формы, на- пример плиты и трубы, можно составить множество теплоотдаю- щих поверхностей. Например, плита может быть с одной или двумя теплоотдающими поверхностями, может располагаться верти- кально, горизонтально или наклонно. Из труб можно собрать различные теплоотдающие пучки, обтекание труб снаружи может быть продольным, поперечным и т. д. Каждая такая поверхность создает специфические условия движения и теплоотдачи. 3.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА При изучении процессов теплообмена применяется главным образом феноменологический метод исследования, кото- рый заключается в следующем. Теплоноситель рассматривается как сплошная среда. Его молекулярная структура не рассма- тривается, а микроскопический механизм переноса тепла учи- тывается посредством параметров, характеризующих физические свойства вещества (коэффициентами вязкости ц, теплопровод- ностью X, плотностью р, теплоемкостью ср). Эти свойства счи- 60
таются заданными величинами. Для составления математического описания процессов теплообмена используются: первый закон термодинамики, закон сохранения вещества и закон сохранения количества движения. Для составления замкнутой системы диф- ференциальных уравнений используются гипотезы Био—Фурье (о пропорциональности вектора плотности теплового потока за счет теплопроводности вектору градиента температуры) и Нью- тона (о пропорциональности касательного напряжения трения между двумя слоями движущейся вязкой жидкости и градиента скорости по нормали к направлению движения). При феноменологическом методе исследования процесс пере- дачи тепла будет однозначно определяться полями скорости и, давления р, температуры Т в зависимости от координат х, у, г и времени т. Для стационарного процесса v, р, Т зависят только от х, у, z. Для определения 5 неизвестных (трех компонент вектора ско- рости v, р, Т) необходимо иметь 5 уравнений. Эти уравнения полу- чают из основных законов физики (законов сохранения массы, количества движения и энергии) с использованием закона вяз- кого трения Ньютона и закона теплопроводности Био—Фурье. Найденные таким образом уравнения называются уравнениями неразрывности, движения и энергии, и эти уравнения в сочетании с зависимостями теплофизических свойств жидкости от темпера- туры и давления, геометрическими условиями, граничными и начальными условиями составляют замкнутую систему уравне- ний, описывающую процесс конвективного теплообмена и дви- жения жидкости. Вывод уравнений неразрывности и движения можно найти в курсах по механике жидкости и газа. Для однофазной химически однородной изотропной несжимаемой жидкости эти уравнения имеют следующий вид. Уравнение энергии Г дТ , дТ . дТ . дТ П д (. 3 \ , OCD ”3---Г' “5— “1“ Т-Ь ® ~~а— ' ~ “а— I А. “а— ) + р |_ дт 1 дх ' ду ' дг j дх \ дх / ' + V (Л 4г) + it (х 4г) + (3-3) где и, v, w — проекции скорости на оси х, у, z; qa — плотность внутренних источников тепловыделения; Ф — функция рассея- ния (диссипации) механической энергии потока: , / ди dw V / dv . dw \2 ] \ дг дх ) ' \ дг ' ду J j' 61
Уравнение движения в проекциях на оси х, у, z (уравнения Навье—Стокса): + 4’M't+Tr)]; I ±Г„ + + ЛГ„ дх L^V дх dz J J ‘ ду L^V ду дг J j' + (3.4) где gx, gy, gz — проекции вектора ускорения свободного падения. Уравнение неразрывности -С div (ри) = 0. (3.5) К этим уравнениям добавляется уравнение состояния Р = f (Р, Т) (3.6) и зависимости физических свойств жидкостей от температуры и давления ср = ср (р, Т); (р, ту, ц = Р (р, ту (3.7) Для однофазных жидкостей ср, X, ц практически не зависят от давления. Уравнения (3.3) ... (3.5) получены для несжимаемой жидкости. Однако они с достаточной точностью справедливы и для течения сжимаемых жидкостей (например газов), если ско- рость их течения значительно меньше звуковой. Для решения уравнений (3.3) ... (3.5) необходимо задать краевые условия, к которым относятся: 1) геометрические условия, характеризующие форму и размер тела, омываемого жидкостью; 2) граничные условия, характеризующие распределение ско- рости, давления, температуры на поверхности тела S и во вход- ном и выходном сечениях канала. При феноменологическом описа- нии процессов теплообмена скорость на поверхности тела S при- 62
нимается равной нулю (принимается, что жидкость прилипает к поверхности), т. е. v (S) = 0. (3.8) При течении жидкости в каналах граничные условия для тем- пературного поля могут быть заданы в виде изменения темпе- ратуры на поверхности тела (граничные условия 1-го рода): Т = Т (S, т), (3.9) или в виде изменения плотности теплового потока (граничные условия 2-го рода): <7 = 7(5, т); (З.Ю) 3) начальные условия, характеризующие распределение ско- рости и температуры в начальный момент времени при т = 0: и = и (х, у, z, 0); Т = Т (х, у, г, 0); р = р (х, у, г, 0). (3.11) Для стационарного процесса граничные условия по времени не изменяются, а начальные условия не нужны. Для ламинарного течения система уравнений (3.3) ... (3.5) с учетом (3.6) ... (3.11) является замкнутой. В общем случае получить аналитическое решение не удается, поэтому задача решается численно и возможности ее решения определяются возможностями современных вычислительных машин. Для тур- булентного течения рассматриваемая система уравнений не- замкнута, так как для мгновенных значений параметров задача является нестационарной и имеющихся представлений о турбу- лентном течении недостаточно для задания начальных условий (3.11). Для определения коэффициента теплоотдачи при решении дан- ной системы уравнений используется закон (2.3) q = _X (дТ/дп)г, (3.12) так как у поверхности твердого тела имеется слой неподвижной жидкости и тепло переносится только за счет теплопроводности. (Здесь п — нормаль к поверхности тела; индекс «з» означает, что производная берется на поверхности тела.) Приравнивая величины плотности теплового потока, полу- ченные по выражениям (3.2) и (3.17), получим а = —- „ Х т (дТ/дп)8. (3.13) Уравнение (3.13) называется дифференциальным уравнением теп- лообмена, оно описывает процесс теплообмена на границах тела S. 8.3. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Конвективный теплообмен представляет собой весьма сложный физический процесс, описываемый системой дифферен- циальных уравнений и условиями однозначности. Решение этих 63
уравнений встречает серьезные затруднения. Поэтому большое значение приобретают экспериментальные исследования конвек- тивного теплообмена. Экспериментальные исследования ведутся, как правило, на моделях. При постановке эксперимента необходимо выбрать параметры исследуемой модели, определить измеряемые величины и методику их обработки. Естественно, что исследователь должен знать, как перенести полученные с помощью модели данные на другие аналогичные натурные процессы. На все эти вопросы дает ответы теория подобия. При исследовании сложных процессов теория подобия позво- ляет объединить размерные физические величины в безразмерные комплексы, число которых меньше, чем число размерных величин. При этом сокращается число величин, от которых зависит искомое значение коэффициента теплоотдачи, что упрощает эксперимент. Безразмерные переменные отражают влияние на теплообмен совокупности параметров, что облегчает обнаружение физических закономерностей. Необходимо отметить, что теория подобия дает возможность определить только общий вид искомой функции и не позволяет найти ее конкретный вид. Тем не менее, теория подобия необ- ходима как для экспериментальных, так и теоретических исследо- ваний для анализа процесса и обобщения полученных данных. Кратко остановимся на самом понятии подобия. Обязатель- ной предпосылкой подобия физических процессов является гео- метрическое подобие. Геометрически подобны фигуры, имеющие одинаковую форму и пропорциональны? сходственные линейные размеры. Например, два треугольника со сторонами соответ- ственно /2, 1з и 1\, 1г, Г3 будут подобны, если 1{/Ц = /2//2 = = tylz = С, где С — константа подобия (в данном случае гео- метрического). Понятие подобия можно распространить на любое физическое явление. Оно применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и описываются одинаковыми урав- нениями как по форме, так и по содержанию. При этом можно со- поставлять только однородные величины (т. е. величины, имеющие одинаковую размерность и один и тот же физический смысл) в сходственных точках пространства и сходственные моменты времени. Подобие двух физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих рассматриваемое явление. Это значит, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина <р первого явления пропорцио- нальна однородной величине <р' второго явления, т. е. <р' = С^ф, где константа подобия Сф не зависит от координат и времени. Для подобия процессов необходимо подобие полей всех суще- ственных для них величин. Для теплового подобия двух процессов необходимо, чтобы они протекали в геометрически подобных системах и чтобы во всех 64
точках системы и во все моменты времени были подобны поля всех величин, характеризующих эти процессы, т. е. поля температур, скоростей, давлений, плотностей, физических свойств и др.: Т'/Т = Ст\ и /и = v’/v == w’/w Cw\ pip =- Ср, р'/р = Ср\ р'/н = С^; Х'/Х = Ск ит. и. При этом каждая физическая ве- личина может иметь свою константу подобия С, численно отлич- ную от других, т. е. в общем случае Ст С.Х( =/= Ср =/= Ср =/= ¥= Ср. =/= Ск. Однако, поскольку сами физические величины связаны между собой, что видно из дифференциальных уравнений (3.3) ... (3.5), то и константы подобия связаны между собой. Для практического использования теории подобия необходимо знать, как привести уравнения рассматриваемых процессов к без- размерному виду. Это можно сделать различными способами. В следующем разделе дифференциальные уравнения конвектив- ного теплообмена и условие однозначности будут приведены к без- размерному виду методом масштабных преобразований. 3.4. АНАЛИЗ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА МЕТОДОМ ПОДОБИЯ Проанализируем задачу конвективного теплообмена с целью приведения дифференциальных уравнений процесса и условий однозначности к безразмерному виду. Рассмотрим с по- мощью метода подобия задачу о движении и теплообмене несжи- маемой жидкости у поверхности твердого тела, скорость жидкости вдали от тела постоянна и равна и0. Длина тела /0 и другие раз- меры заданы. В момент времени, предшествующий начальному (т < 0), температуры жидкости и стенки одинаковы и равны То, т. е. теплообмен отсутствует и имеет место изотермическое тече- ние. В начальный момент времени (т = 0) температура стенки или плотность теплового потока на стенке мгновенно изменяется и принимает постоянное во времени и по поверхности значение Tw или qw. При этих условиях на поверхности тела в течение не- которого времени будет протекать нестационарный процесс тепло- обмена, а затем наступит стационарное состояние. Будем считать физические свойства жидкости (кроме плот- ности) постоянными. Зависимость плотности р от Т будем учиты- вать лишь в члене уравнения движения, выражающем архиме- дову силу. Примем эту зависимость линейной р/Ро = 1 — 0 (Т — То), (3.14) где р0 — плотность при температуре То; ₽ = — ~ =----i- — температурный коэффициент объемного рас- ширения. В других членах уравнения движения и в уравнениях энергии и неразрывности плотность будем считать постоянной. 3 Авдуевский 65
Рис. 3.1. Схема задачи конвективного теп- лообмена (6д и 6Т — толщины динамиче- ского и теплового пограничных слоев) Полагая, что в потоке отсут- ствуют внутренние источники тепла и диссипация энергии пренебрежимо мала, примем в уравнении (3.3) qv = 0 и рФ = 0. Расположим оси координат так, как показано на рис. 3.1. Примем, что ось х направлена вдоль тела и под углом ф к направлению ускоре- ния свободного падения, ось у нор- мальна к поверхности тела. При этом gx = g cos -ф. Движение жидкости и теплообмен в рассматриваемых усло- виях описываются уравнениями (3.3) ... (3.5), (3.13). С учетом сделанных допущений эту систему можно записать в векторной форме: ~ + ugradT = aW; Р ('S’ + ^gradu) = —^М^-^созф-^ + р V2u; (3.15) \ U L / О Л div v = 0 * W - 1 f где v — вектор скорости; V2 — оператор Лапласа. В системе (3.15) опущены уравнения для проекций скорости v и w в целях сокращения записи. Первый член правой части урав- нения движения характеризует подъемную силу, под действием которой в поле силы тяжести нагретые частицы жидкости под- нимаются вверх, а холодные опускаются вниз. Величина этой силы, отнесенная к единице объема, равна g (р0 — р), где р0 и р — плотности холодных и нагретых частиц жидкости. Согласно выражению (3.14) р0 = р [1 + р (Т— То)] (ввиду малости р (Т —• То) по сравнению с 1), следовательно, р0 — р = = рР (71 — То) и подъемная сила принимает вид gpp (Т — То) — = g'ppAT, где Д71 — разность температур, вследствие которой возникает свободная конвекция. Соответственно составляющая подъемной силы вдоль оси х равна црр (Т — Тп) cos ф. Знак минус перед ней в уравнении движения учитывает то обстоятельство, что при созф> 0 и Т > То подъемная сила направлена против направления движения вдоль оси х. 66
Начальные условия можно записать так: при т < О, х О и о у о оо T~-=TU; = 4-, i — х, у, z, (3.16) «О Ч I» ’ /о Ы ’ V / ’ 7 где Ft — заданные функции. Граничные условия принимают вид: при т О 0, х < 0 (вдали от тела) Т = То; и -- ы0; v = w = 0; при т О, 0 /0, у — 0 (на поверхности тела) T = TW или = и = v — w = 0. (3.17) "У В уравнениях и условиях однозначности различают три вида величин: независимые переменные — координаты х, у, z и время т; зависимые переменные — это а, Г, и, и, ш, р (они однозначно определяются значениями независимых переменных, если за- даны величины, входящие в условие однозначности); постоянные величины — и,„ Та. Т„, 10, р, А, а, |3, р (они за- даются условиями однозначности и для конкретной задачи яв- ляются постоянными величинами, не зависящими от других переменных). Итак, искомые зависимые переменные а, Т, и, v, w, р зависят от большого числа величин и являются функцией независимых переменных и постоянных величин, входящих в условия одно- значности. Величины, входящие в выражения (3.15) ... (3.17), можно сгруппировать в безразмерные комплексы, причем их число будет меньше числа размерных величин. Рассмотрим сличай, когда задана температура стенки Tw. Для приведения системы уравнений (3.15) и условий однознач- ности (3.16) и (3.17) к безразмерному виду введем переменную О — Т — То и выберем масштабы: для координат и линейных размеров /0, для скоростей — t>0, для температур — vw — = Tw — То. Используя эти масштабы, введем безразмерные величины: X = x/Z0; Y = y/l0; Z = z/l0; U — п/п0; V = v/u0; W = w/u0; е = «Я = (Д - TO)/(TW - То). (3.18) Подставим в выражения (3.15) ... (3.17) вместо размерных ве- личин, для которых выбраны масштабы, произведения из без- размерных величин на их масштабы: х = 10Х; у — l0Y; z = l0Z; и = u0U; v = w ==- u0W', T = Tw + Q (Tw - To). 3* 67
Уравнения энергии, движения и теплообмена примут соот- ветственно вид: + f (V grad 6) = ри0 ~ 4- (V grad U) = —cos ф — ____1 др _j_ Г727 J. /0 дХ ~ I? уи> a=--^-(dG/dY)y=0. 10 Умножив уравнение энергии на ll/a, уравнение движения на /о/ц«0, уравнение теплообмена на /0Д и выполнив аналогичные преобразования для уравнений неразрывности, начальных и гра- ничных условий, получим математическое описание процесса конвективного теплообмена в безразмерной форме: -^- + Pe(V grad 0) = V20; - z р^ре V + Re (R grad t/) = — © cos ф - (Eu Re) + V2£7; (3.19) div V = 0; Nu = — (d@/dY)y=0. При Fo < 0; X >0; 0 < Y < oo 0 = 0; Vt = Fi (X, Г, Z, Re); i = x, y, z. ПриРо>0; X<0 0 = 0; U = 1; v = w = 0. (3.20) При Fo 0; 0 < X < 1; Y = 0 0 = 1; и = V = W = 0. Полученное безразмерное описание процесса конвективного тепло- обмена содержит следующие безразмерные комплексы: Fo = — критерий Фурье; *б Ре = ----критерий Пекле; Re = — критерий Рейнольдса; Gr -----з---критерии Грасгофа; 4 Еи = -Д;—критерий Эйлера; Nu = ----критерий Нуссельта. А 68
3.5. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ И КРИТЕРИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ При приведении системы уравнений конвективного теплообмена к безразмерному виду появляются безразмерные комплексы, составленные из разнородных физических величин: ах ий10 u9la р /§ ’ а ’ v ’ v2 ’ рй^ ’ X Этим комплексам, называемым критериями подобия или числами подобия, присвоены имена ученых, внесших значительный вклад в развитие гидродинамики или теплопереноса. Рассмотрим физический смысл полученных в разд. 3.4 крите- риев подобия. Критерии Re, Ей называют критериями гидроди- намического подобия; Nu, Ре, Fo, Gr — критериями теплового подобия. Критерий Рейнольдса Re == Jfl’L’P. (3.21) характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке и получается, если член уравнения движения, учитывающий инерционные силы, разделить на член, учитывающий силы трения: и grad и _ u0/„ V grad U vV2u — ~v V2 U ' Критерий Рейнольдса является важной характеристикой про- цессов течения жидкости. Сила вязкого трения упорядочивает движение жидкости и противодействует возмущениям, которые нарушают форму течения и усиливаются с ростом инерционных сил. Таким образом, эти две силы оказывают на поток противо- положное влияние. При преобладании сил трения движение жидкости является ламинарным, при преобладании инерцион- ных сил — турбулентным. Поэтому малым значениям критерия Рейнольдса соответствует ламинарное течение, большим — тур- булентное. С ростом Re устойчивость ламинарного течения умень- шается и при некотором критическом значении числа Рейнольдса ReKpl начинается появление турбулентных пульсаций. Турбу- лентное течение становится устойчивым при ReKp2 > ReKpl. Критерий Эйлера Еи = -А- (3-22> представляет собой отношение статического давления к скорост- ному напору (к силам инерции). Можно показать, что он связан с критерием Маха М = и0/а, где а — скорость распространения звука в среде. Для этого умножим числитель и знаменатель в (3.22) на показатель адиабаты k и учтем, что а = V kRT. Получим — pk — kpv — kRT — 1 И ~ ~ ku% ” kul ~ W ' t 69
При малых дозвуковых скоростях (М < 0,7) статическое давление изменяется мало и критерий Ей не влияет на теплооб- мен. При движении потока с большими скоростями влияние Ей или М на теплообмен существенно и его приходится учитывать. В уравнение движения критерий Ен входит под знаком про- изводной. Поэтому при течении несжимаемой жидкости суще- ственно не само давление, а его изменение. При исследовании течений в каналах критерий Эйлера представляют в виде Еи=Л, (3.24) где Др — перепад статических давлений между двумя точками системы. В этом случае Ей представляет собой отношение перепада статических давлений к скоростному напору и является опреде- ляемым при исследовании гидравлических сопротивлений в ка- налах. Критерий Нуссельта Nu - а/0/Х (3.25) характеризует теплообмен на границе стенка—жидкость и в за- дачах конвективного теплообмена является обычно определяемой величиной. Если выразить Nu в виде Nu = (а \Т\ / ( AT -т-\ где А71 — I \ Ч) / температурный напор, то видно, что критерий Нуссельта есть отношение величины плотностей тепловых потоков: переданного в процессе теплоотдачи и прошедшего через слой толщиной I вследствие теплопроводности. Можно также трактовать Nu = = как отношение коэффициента теплоотдачи к термической А/ч) проводимости слоя жидкости толщиной /0. Критерий Пекле Ре = «0/0/а. (3.26) „ рс,мп АТ Если его представить в виде -Ф-—-т™-, то видно, что он ха- АI о А1 рактеризует отношение тепла, переданного конвекцией, к теплу, переносимому теплопроводностью. Критерий Пекле был получен из уравнения энергии при делении конвективного члена на член, учитывающий перенос тепла теплопроводностью. Критерий Фурье • Fo = ат//2с (3.27) можно рассматривать как отношение времени протекания про- цесса т ко времени перестройки температурного поля среды 1%/а, прямо пропорциональному квадрату линейного размера системы и обратно пропорциональному температуропроводности среды. Критерий Фурье включают в число определяющих при исследо- вании нестационарных процессов теплообмена. 70
Критерий Грасгофа Gr - - АП° — V2 — V2 (3.28) характеризует соотношение между подъемной силой, возникающей в жидкости вследствие разности температур & (или АТ), и силой вязкости. Обычно при рассмотрении теплообмена между стен- кой и жидкостью в Gr входит разность температур стенки и жидко- сти вдали от стенки АТ = Tw — Т f. Несмотря на то, что критерий Gr характеризует действие подъемных сил, он считается крите- рием теплового подобия, так как эти силы возникают вследствие теплообмена. Вышеуказанные критерии подобия получены для определен- ных условий рассматриваемой задачи. При рассмотрении других задач теплообмена возможно появление и других критериев подобия. Например, если в уравнении движения (3.4) рассматривать не подъемные силы, а силы тяжести, то вместо Gr определяющим будет критерий Фруда Fr = ^/(g/o). (3.29) который можно рассматривать как меру отношения кинетической энергии потока к работе сил тяжести. Если в критерии Грасгофа заменить [}& = (р0 — р)/р0, где р и р0 — плотности жидкости в двух различных точках, то получится критерий Архимеда Аг =^--2!LZX. (3.30) Его обычно используют при рассмотрении двухфазных сред, например при свободном движении жидкости, в которой нахо- дятся твердые частицы, пузыри или капли другой жидкости. В этом случае р0 и р будут соответственно плотностями фаз. Поскольку различие критериев Re и Ре проявляется только в физических свойствах жидкости v и а, целесообразно выделить эти свойства в отдельный критерий подобия. Новые безразмерные величины могут быть получены комбинированием старых без- размерных величин, однако при этом общее число переменных не должно изменяться. Критерий Пекле представим как произведение двух критериев Ре-= Re Рг =. (3.31) Критерий Прандтля Рг = v/a = цСр/Х (3.32) целиком составлен из физических параметров, поэтому и сам является физическим параметром. Критерий Прандтля можно рассматривать как меру подобия полей скоростей и температур. 71
При а = v (Рг = 1) и аналогичности условий однозначности расчетные поля скоростей и температур в потоке будут подобными. Для газов критерий Рг практически не зависит от темпера- туры и давления и для данного газа является величиной постоян- ной, определяемой числом атомов в молекуле газа. Для идеаль- ных одно-, двух-, трех- и многоатомных (четырехатомных и бо- лее) газов в соответствии с кинетической теорией величина Рг равна соответственно 0,67; 0,72; 0,80; 1,00. Для реальных газов действительные значения Рг несколько отличаются от указанных. Для капельных жидкостей (вода, нефтепродукты, расплавы солей) критерий Рг, как правило, лежит в пределах от ] до 150 ... 200 и сильно зависит от температуры (в основном из-за изме- нения вязкости). При увеличении температуры Рг резко умень- шается. Например, для воды на линии насыщения при изменении температуры от 0 °C до 180 °C Рг уменьшается от 13,7 до 1. Неко- торые жидкости (глицерин, вязкие масла) при низких температу- рах имеют Рг, достигающий нескольких тысяч. Для жидкометал- лических теплоносителей (натрий, калий, литий, ртуть) критерий Рг изменяется в пределах 0,005 ... 0,05. Столь низкие значения Рг объясняются их высокой теплопроводностью. Произведение критериев Gr и Рг обозначают Ra = Gr Рг = gfJ A77o/(va) (3.33) и называют критерием Рэлея. Вернемся теперь к системе безразмерных уравнений конвек- тивного теплообмена (3.19) и безразмерным условиям однознач- ности (3.20). Входящие в (3.19) и (3.20) безразмерные величины X, Y, Z, 0, U, V, W, Nu, Re, Ре, Fo, Eu, Gr можно рассматри- вать как новые переменные. Их можно разделить на три группы: 1) независимые переменные — X, Y, Z, Fo; 2) постоянные величины, заданные условиями однозначно- сти,— Ре, Re, Gr, а также Ей в виде (3.22) (обычно для задач теплообмена при внешнем обтекании тел); 3) зависимые переменные — Nu, 0, U, V, W, а также Ей в виде (3.24) (для задач теплообмена в каналах). Поэтому из (3.19) и (3.20) следует, что Nu = Л (X, Y, Z, Fo, Re, Рг, М, Gr (ф); (3.34) 0 = /2 (X, У, Z, Fo, Re, Рг, М, Gr, ф); (3.35) Ей = /3 (X, У, Z, Fo, Re, Рг, М, Gr, ф); (3.36) Ui = ft (X, У, Z, Fo, Re, Рг, М, Gr, ф). (3.37) В уравнении (3.36), применяемом для течения в каналах, Ей определяется по (3.24) и характеризует гидравлические потери. Уравнения вида (3.34) ... (3.37) называются критериальными уравнениями. 72
Вместо критерия Ей в уравнения введен критерий М согласно (2.23). Критерий Ре, представляющий собой произведение Re, Рг, заменен в критериальных уравнениях на Рг, так как в уравнения уже входит Re. Критерии подобия можно разделить на определяющие и опре- деляемые. Под определяющими понимаются критерии, которые целиком составлены из независимых переменных или постоянных величин, входящих в условия однозначности. Для рассматривае- мого случая определяющими являются параметры X, Y, Z, Fo, Re, Рг, М, Gr, if>. Под определяемыми понимают критерии, в ко- торые входят искомые зависимые переменные; в рассматриваемом случае неизвестными являются а, Т, и, v, w, р и поэтому опреде- ляемыми критериями будут Nu, 0, U, V, W, Ей. В зависимости от условий задачи одни и те же критерии могут быть и определяемыми, и определяющими. Например, если для канала задан перепад давлений, то критерий Ей будет опреде- ляющим, а расход жидкости и скорость являются величинами не- известными, и Re становится определяемым критерием. Крите- рий Re также становится определяемым для задач свободной конвекции. Критерии подобия подразделяют на комплексы и симплексы. Комплексы — это критерии, составленные из нескольких неод- нородных величин (Re, Рг, Gr, Nu, Fo). Симплекс представляет собой отношение двух однородных величин (например, X = Х//о; Ux = и/и0). t 3.6. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ РАЗМЕР И ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ ТЕМПЕРАТУРА В критерии Gr, Re, Ре, Nu, Fo, Ra входит характер- ный или определяющий размер /0. Обычно при течении жидкости внутри трубы в качестве определяющего размера принимается внутренний диаметр трубы d. Для каналов некруглой формы в качестве определяющего размера принимают эквивалентный диаметр канала, равный d3 = 4F/(7, (3.38) где F — площадь поперечного сечения; U — полный омываемый периметр. Например, для плоского канала (рис. 3.2, а) эквивалентный диаметр da = где b — ширина; h — высота канала. Если b h (плоская щель), то d3 = 2h. Для кольцевого канала с вну- тренним диаметром d± и наружным d2 эквивалентный диаметр da = d2 — di (рис. 3.2, б). Для продольно омываемого пучка труб, если считать, что число труб бесконечно, эквивалентный диаметр равен dax = [1,102 (s/d)3 — 1 ] d для шахматного рас- положения (рис. 3.2, в) и daoo = [1,273 (s/d)3 — lid для коридор- 73
S) г) Рис. 3.2. Схемы поперечных сечений различных каналов ного расположения (рис. 3.2, г), где s/d — относительный шаг размещения труб в пучке (s—шаг). Иногда при расчете теплообмена на начальном участке канала в качестве определяющего размера используют расстояние от входа х. Это же расстояние берется в качестве определяющего размера для внешнего обтекания тел. Часто для обозначения используемого определяющего размера критерии подобия сна- бжены соответствующими индексами. Например, Nu^ означает, что в качестве определяющего размера в Nu используется экви- валентный диаметр Rex означает, что Re определяется по х. Для процессов теплообмена существенен не только определяю- щий размер d, d-, или 10, но и некоторые другие характерные размеры. Например, при движении жидкости в прямой гладкой трубе нужно вводить в качестве дополнительного размера ее длину I или расстояние от входа х (или в безразмерном виде L — = l/d3 и X = x/da). Для каналов сложной формы при изменении коэффициента теплоотдачи по периметру в ряде случаев вводятся также безразмерные координаты Y = y/d3 и Z = z/d3 или без- размерные параметры, характеризующие геометрию канала ... Ln (например для продольно омываемых пучков труб в ка- честве такого параметра используются относительные шаги труб Li = Si/d, для кольцевых каналов — L = d2/d1). Входящие в критерии подобия физические свойства жидкости или газа р, ср, р, v, X, а, Р в общем случае зависят от температуры. Поэтому вводится понятие определяющей температуры, т. е. температуры, при которой определяются значения физических свойств, входящих в критерии. При этом критерий снабжается 74
соответствующим индексом. Наиболее часто в качестве определяю- щей принимают среднемассовую температуру потока в рассма- триваемом сечении Tf и среднюю для канала в целом Т j, тогда соответствующие критерии обозначают Niip Rep Ргу (в литера- туре эту температуру обозначают также индексами: «ж» — жид- кость, «г» — газ, «п» — поток). Иногда в качестве определяющей используется температура стенки Tw, тогда соответственно кри- терии обозначают Nu^,, Re^, Ргщ (в литературе эту температуру обозначают также индексом «с» — стейка). При расчете свободной конвекции обычно в качестве определяющей принимается полу- сумма температур жидкости и стенки Tm = -j- (Tw + Тf) и со- ответствующие критерии обозначают Num, Grm, Prm (иногда эту температуру обозначают индексом «ср» — средний). Так как введение одной определяющей температуры не может в общем случае учесть влияние переменности свойств среды на теплообмен, вводятся дополнительные безразмерные параметры Pf/Pw, CpfjCpw, Pf/Pw, ^f/^w, составленные из физических свойств, взятых при температурах Tw и Т f. Для газов эти свойства зависят в основном от температуры, и эти зависимости имеют вид (3.39) где пр, пе, пк, — постоянные, зависящие от природы газа и интервала температур. Отношение абсолютных температур стенки и потока принято называть температурным фактором. В большинстве случаев пр ~ = —I. Поэтому в критериальные уравнения теплообмена для газов при учете влияния переменности свойств достаточно ввести безразмерные параметры Tw!Tf, пс, пк, пр, а для конкретного газа — только TwITf. Таким образом, в отличие от (3.34) в общем случаев критериальное уравнение для местной теплоотдачи имеет следующий вид: Nuz - / (Rep Prp М, Grp ф, Fop TJTf, пс, пк, пр, X, Y, Z, ... Ln). (3.40) В случае турбулентного режима теплообмена, практически наиболее интересного при обобщении опытных данных, успешно используются безразмерные критерии подобия, включающие в себя производные по времени от граничных условий (температуры стенки, расхода теплоносителя и т. д.). При этом время (крите- рий Fo) в уравнении (3.40) явно не входит. Данную ситуацию на- зывают локально-временным подобием. Для стационарного тепло- обмена и при изменении коэффициента теплоотдачи только вдоль 75
продольной координаты х (например для течения жидкости в круг- лой трубе, для продольно омываемой пластины и при продольном обтекании осесимметричного тела) зависимость (3.40) можно упростить: Nu/ = /(Re/, Pry, М, Gry, ф, TjTjt пс, пк, п^, X). (3.41) Для конкретных газов эту зависимость можно выразить в виде: Nu/ = f(Rey, Prz, М, Gr/; ф, Tw/Tf, X), (3.42) или с учетом, что Pry = const, Nu/-/(Re/, М, Gry, ф, Tw/Tf, X). (3.43) Если влияние свободной конвекции слабое, что характерно для турбулентного режима течения (для ламинарного режима при небольших АТ и малых размеров каналов d), то критериаль- ное уравнение примет вид Nu/ = /(Re/, М, Tw/Tf, X). (3.44) Для малых скоростей течения газов (обычно для М 0,7) влияние М на теплообмен несущественно, и тогда Nu/ = /(Re/, Tw/Tf, X). (3.45) При свободной конвекции зависимость (3.43) упрощается и принимает вид Nu/ = /(Gr/, РгЛ Tw!Tf, X). (3.46) Во многих случаях свободной конвекции принятие в качестве определяющей средней температуры пристеночного слоя Тт = = -у- (Тш + Tf) позволяет исключить влияние температурного фактора Tw/Tf, а принятие в качестве определяющего размера продольной координаты х позволяет исключить влияние X, т. е. критериальное уравнение примет вид Num = /(GrmPrm). (3.47) Для капельных жидкостей с изменением температуры изме- няются ср, р, X, и учесть влияние их изменения на теплообмен можно с помощью отношения Ргу/Ргю. Поскольку сильнее всего с изменением температуры у жидкостей меняется коэффициент вязкости, иногда вместо РгДРГщ, в критериальное уравнение вводится Р//Ры>. Скорости течения жидкостей обычно намного меньше, чем газов, и М на теплообмен не влияет. Таким образом, критериальное уравнение при стационарном теплообмене для жидкостей примет вид Nu, = f (Rey, РГ/, Gt/,' ф, - (3-48) а при слабом влиянии свободной конвекции Nu^/fRe,, РгЛ X). . (3.49) 76
От аналогичных критериев в соответствующих условиях зави- сят профили скорости и, v, w и профили температуры 0, а также критерий Ей. 3.7. УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Уравнения типа (3.40) ... (3.49) так же, как исходная система размерных уравнений (3.3) ... (3.5), описывают бесконеч- ное множество конкретных процессов конвективного теплообмена. Уравнения будут справедливы для любого процесса теплоотдачи между стенкой и жидкостью, удовлетворяющего принятым при выводе уравнения допущениям. Таким образом, эти уравнения описывают совокупность физических процессов, характеризую- щихся одинаковым механизмом. Различие отдельных физических процессов определяется с помощью условий однозначности, кото- рые могут иметь различные численные значения. Сформулированные ниже условия являются определением подобия физических процессов: 1) подобные процессы должны быть качественно одинако- выми, т. е. они должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми по форме дифференциальными урав- нениями; 2) условия однозначности подобных процессов должны быть одинаковыми во всем, кроме численных значений постоянных, содержащихся в этих условиях; 3) одноименные определяющие критерии подобных процессов должны иметь одинаковую численную величину. Из первого и второго условий следует, что подобные процессы должны описываться одинаковыми (тождественными) безразмер- ными дифференциальными уравнениями и безразмерными гра- ничными условиями. В безразмерной форме математическая фор- мулировка рассматриваемых подобных процессов одна и та же. Следовательно, подобные процессы описываются единой формулой типа (3.40) ... (3.49), функция f будет одной и той же для всех подобных процессов. При соблюдении первых двух условий подобия исследуемые процессы будут зависеть от одних и тех же критериев. При соблю- дении третьего условия, поскольку функции / одинаковы, опре- деляемые одноименные критерии будут иметь одинаковую числен- ную величину. Зависимости (3.40) ... (3.49) получают обычно эмпирическим путем, и поэтому они применимы лишь в пределах изменения аргументов, которые подтверждены опытом. 3.8. МОДЕЛИРОВАНИЕ Моделирование — метод экспериментального исследо- вания процесса на модели вместо изучения натурного явления. Очевидно, что процесс должен быть осуществлен таким образом, 77
чтобы результаты его изучения можно было обоснованно пере- нести на натурный образец. Этот метод применяется в тех случаях, когда трудно или не- возможно изучить натурное явление па натурном объекте, напри- мер из-за недопустимой длительности, высокой стоимости или невозможности провести в натурных условиях необходимые изме- рения. В авиационной и ракетно-космической технике задачи создания теплонапряженных узлов и объектов, как правило, решаются с широким проведением моделирования. Хорошим примером может служить создание тепловой защиты для косми- ческих летательных аппаратов с целью их возвращения па Землю. Условия моделирования определяются теорией подобия. Исходя из изложенных выше условий подобия физических процессов, при моделировании прежде всего необходимо осуще- ствить геометрическое подобие модели и натуры. Соблюдение подобия условий однозначности требует подобия теплофизиче- ских свойств жидкости и подобия процессов на границах иссле- дуемой системы. Первое требование особенно сложно соблюсти, если физические параметры переменны и эта переменность про- является в исследуемом процессе (например в условиях неизо- термичности потока, характерном для конвективного теплообмена, если такие существенные для теплообмена свойства, как вязкость, плотность, теплопроводность, теплоемкость, зависят от темпе- ратуры). Как правило, это существенно ограничивает возможности моделирования на отличных от натурных теплоносителях (на- пример возможности замены газа капельной жидкостью). Второе требование обычно обеспечивается соблюдением подобия тем- пературных и скоростных полей на входе жидкости в исследуемый объект и подобия полей температур или тепловых потоков на поверхности тел, участвующих в теплообмене. Для подобия процессов в натуре и модели необходимо, кроме того, равенство одноименных определяющих критериев подобия. Например, если рассматривается процесс теплообмена при ста- ционарной свободной конвекции, то согласно (3.46) или (3.47) необходимо равенство критериев Грасгофа и Прандтля: GrM = GrH; PrM = PrH, (3.50) (где индекс «м» относится к модели, «н» — к натурному объекту), или £мРм АГм4 _ gHP„ АГДн . Ум ун V2 V2 ам ан м н Как известно, для освоения Луны необходимо создание герме- тичных лунных модулей, внутри которых необходимо создание комфортных условий для человека. Эти модули должны оснащаться системами жизнеобеспечения (кондиционирования, отопления, вентиляции и др.), а для выбора их параметров необходимо изу- чение процессов теплообмена внутри замкнутых помещений лун- 78
ных модулей. Эти процессы должны быть предварительно изучены на Земле. Поскольку они в основном определяются свободной кон- векцией, необходимо при моделировании соблюдение условий (3.50). Если в процессе моделирования соблюсти равенство полей температур (АТМ АТН) и физические свойства жидкости в мо- дели и натуре одинаковы, то из (3.50) следует, что gMl„ = gHl». Отсюда размеры модели нужно выбирать из условия /м=/и у ~ • Если учесть, что gM = 9,81 м/с2, gw = 1,623 м/с2, то /м = 0,55/и, т. е. геометрические размеры модели должны быть в 1,82 раза меньше натурных размеров исследуемого объекта. При моделировании более сложных процессов возникают до- полнительные ограничительные условия. Например, если для исследуемого процесса существенно влияние как свободной, так и вынужденной .конвекции, то помимо соблюдения условий (3.50) необходимо равенство критериев Рейнольдса, т. е. ReM = = ReH. Совокупность всех ограничительных условий создает серьезные трудности при практическом осуществлении моделиро- вания. Часто точное моделирование оказывается невозможным и приходится прибегать к приближенному моделированию. В реальных условиях критерии подобия по-разному влияют на протекание изучаемых процессов. Если влияние какого-либо критерия проявляется слабо, то его можно исключить при моде- лировании. В этом случае моделирование называется приближен- ным. Существенно расширяет возможности приближенного модели- рования проявление свойства автомодельности процесса относи- тельно какого-либо определяющего критерия. Определяемый кри- терий автомоделей относительно определяющего, если данный определяемый критерий не зависит от рассматриваемого опре- деляющего. Если процесс автомоделен относительно какого- либо определяющего критерия, то при моделировании нет необ- ходимости соблюдать равенство этого критерия для натуры и мо- дели. Например, в реальных трубах, которые не являются гидравли- чески гладкими, при достижении в них определенных значений критерия Рейнольдса, он перестает влиять на коэффициент гидрав- лического сопротивления и выпадает из числа определяющих процесс критериев подобия. Аналогично, коэффициент расхода диафрагм, сопел и других сужающих устройств, применяемых для измерения расходов газов и жидкостей, при достижении оп- ределенного значения критерия Рейнольдса также перестает от него зависеть. Это позволяет значительно сократить объем экс- периментов, необходимых для тарировки сужающих устройств. Ввиду трудности точного моделирования на практике часто используется приближенный метод локального теплового модели- рования. Особенность этого метода заключается в том, что подо- бие процессов осуществляется лишь в том месте, где производится 79
изучение теплоотдачи. Например, для изучения теплоотдачи при поперечном обтекании жидкостью пучка труб часто доста- точно проведения измерений на единичной трубе, участвующей в теплобмене. Остальные же трубы пучка обеспечивают гидродина- мическую обстановку около этой трубы и в теплообмене не уча- ствуют. Применение локального моделирования позволяет уде- шевить и ускорить проведение эксперимента. Однако его допу- стимость необходимо тщательно обосновывать. Для изучения процессов теплообмена также используется метод аналогий. В этом случае исследование тепловых явлений заменяется изучением аналогичных явлений, поскольку их экс- периментально исследовать легче. Необходимо, чтобы аналогич- ные явления описывались одинаковыми по форме дифференциаль- ными уравнениями и условиями однозначности, несмотря на раз- личное физическое содержание. При изучении процессов тепло- проводности используется электротепловая и гидротепловая ана- логии. В первом случае используется то обстоятельство, что яв- ления теплопроводности и электропроводности описываются оди- наковыми уравнениями, что позволяет вместо полей температур определять поля электрических потенциалов. Гидротепловая ана- логия основана на сходстве законов распространения тепла и движения жидкости. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. При каких допущениях получены уравнения неразрывности, движения и сохранения энергии? 2. Какие условия однозначности необходимы для решения системы диффе- ренциальных уравнений, описывающих конвективный теплообмен? 3. Что такое критерий подобия? 4. Какие критерии подобия используются для описания процессов тепло- обмена при вынужденной конвекции?
ГЛАВА IV ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ 4.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Ранее были рассмотрены стационарные режимы теплообмена, т. е. такие, в которых температурное поле по времени не изменяется и в диффе- ренциальном уравнении теплопроводности Фурье — Кирхгофа производная дТ/дт; 0. Однако целый ряд важных практических задач теплообмена не может быть рассмотрен в рамках предположения о неизменности параметров процесса по времени. К ним относятся задачи о прогреве теплозащитных оболочек и кон- структивных элементов скоростных тетательных аппаратов, о нагреве стенок со- пел реактивных двигателей твердого топлива, о расчете поля температур в энер- гетических ядерпых реакторах при изменении режима работы, о тепловом режиме искусственного спутника Земли (ИСЗ). В этой главе будут рассмотрены нестацио- нарные процессы теплопроводности в неподвижных средах (твердых телах) и даны аналитические и численные методы решения дифференциального уравне- ния Фурье — Кирхгофа для нестационарного случая с различными краевыми условиями. Нестационарные тепловые процессы сопровождаются не только изменением температурного поля по времени, но почти всегда связаны с изменением энталь- пии тела, т. е. с его нагревом и охлаждением. Практические задачи нестационарного теплообмена можно разделить на две основные группы. К первой относятся процессы, происходящие при переходе тепла из некоторого начального теплового состояния в иное стационарное, обычно равновесное тепловое состояние. Примерами могут служить изменение темпера- турного поля в теле, помещенном в среду, температура которой отличается от начальной температуры тела, или выравнивание температур в теле с заданным начальным распределением температур. Ко второй группе можно отнести про- цессы, происходящие в телах, испытывающих тепловое воздействие извне, изме- няющиеся во времени по некоторому закону. Здесь можно назвать процессы периодического изменения температуры при движении ИСЗ по орбите, часть которой пролегает в тени Земли, суточные и годовые колебания температуры в верхних слоях земной коры, тепловые режимы аппаратов, находящихся на поверхности Луны, процессы в регенеративных теплообменниках и др. В большинстве нестационарных тепловых процессов можно выделить три этапа, характеризующиеся различными режимами, из которых собственно не- стационарными будут лишь два первых. На первом этапе поле температур в теле определяется не только изменившимся тепловым воздействием, например изме- нением температуры жружающей среды, пои начальным распределением темпе- ратур в теле Та (х, у, г) при т ~ = 0. Поскольку начальное температурное поле в общем случае может быть весьма произвольным, то и тепловой режим на этом первом этапе нсч'Ит характер неупорядоченного процесса. На втором этапе влияние начального состояния все более и более осла- бевает и дальнейшее протекание процесса управляется лишь условиями на границе тела, т. е. наступает режим упорядоченного процесса, в частности, регулярный режим. Для большинства процессов первой группы характерен еще и третий этап, в котором температура тела во всех точках одинакова и равна температуре окружающей среды. Это состояние называют состоянием теплового равновесия. Строго говоря, это новое равновесное тепловое состояние наступает лишь по прошествии бесконечно большого промежутка времени. Однако на практике 81
тело относительно быстро достигает состояния, весьма близкого к состоянию теп- лового равновесия, поэтому и интересующие нас длительности нестационарных режимов отнюдь не бесконечны. 4.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Выведенное дифференциальное уравнение теплопровод- ности Фурье—Кирхгофа (2.16) в случае неподвижной среды и отсутствия внутренних источников тепла имеет вид (4.1) где а = ^/(ср) и V2 — оператор Лапласа, записанный в прямо- угольной, цилиндрической, сферической или иной системах ко- ординат. Это уравнение устанавливает зависимость между тем- пературой, временем и координатами тела в элементарном объеме, т. е. связывает временные и пространственные изменения темпера- туры тела. Если заданы форма и размеры тела, а также его физические свойства (X, с, р, ...), т. е. геометрические и физические условия однозначности, то для решения уравнения (4.1) необходимо за- дать еще начальные и граничные, или краевые условия. Поскольку температура тела в общем случае является функ- цией координат и времени f (х, у, z, т), то начальные условия, т. е. распределение температур в теле в начальный момент, задаются в виде f (х, у, г, 0) = /0 (х, у, г), где f0 — известная функция, ко- торая необязательно должна быть задана аналитически, а может быть представлена численно или графически. В ряде практических задач начальное условие имеет более простой вид: f (х, у, г, 0) = То = const. Для однородных тел граничные условия могут быть заданы трех видов: температура любой точки поверхности тела в любой момент времени; тепловой поток у поверхности, либо температура среды, омывающей тело; условия теплообмена тела с окружающей средой. В отличие от стационарных задач все величины, входя- щие в граничные условия, могут изменяться во времени по задан- ному закону. 4.3. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Теория подобия позволяет определить, от каких без- размерных параметров зависит решение уравнения (4.1). Предположим, что температура среды Т f, омывающей рассма- триваемое тело, — величина постоянная. Введем новую перемен- ную ft = т — Tt. (4-2) 82
Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности запишется в виде - «V30. (4.3) Начальные условия: при т == О О = Оо (х, у, т). Используем граничные условия 3-го рода: =----’ где X — коэффициент теплопроводности чела. Если считать, что fro = const, то уравнение (1.3) можно привести к безразмерному виду, используя в качестве масштаба температур т‘о, а в ка- честве масштаба длины — характерный размер тела I. Тогда 0 ----й/й0— безразмерная избыточная температура, х = х/l, у ~= = y/l, z = z/l — безразмерные линейные размеры. При использовании новых переменных уравнение (4.3) примет вид где V2 — оператор Лапласа, записанный в системе безразмер- ных координат (х, у, z). Эго выражение преобразуется: ——— =. V20 Р(ат/7-) v Условия однозначности уравнения (4.4) имеют вид: при т = 0, 0 = 1; на границе тела / <30 \ _ а.1 р. )ы ~~ Г ®w' Как видно, в уравнение (4.4) и в граничное условие (4.5) безразмерные величины — определяющие критерии подобия — axil'1', al/h. Решением является функция 0 = f (х, у, z, ar/P, а/Д). (4.6) (<4) (4-5) входят Безразмерный комплекс ат/72 есть не что иное, как критерий тепловой гомохронности Фурье Fo = от//2 (см. гл. 3), который характеризует соотношение между временем протекания про- цесса и временем распространения температурной волны. Без- размерный комплекс а/Д обозначается через Bi — а/Д и так же, как и Fo, является критерием подобия процессов нестационар- ной теплопроводности, в частности, подобия граничных условий 3-го рода. По своему физическому смыслу он характеризует от- ношение термического сопротивления теплопроводности стенки (6Д) к термическому сопротивлению теплоотдачи на границе между телом и окружающей средой 1/а. Критерии Fo и Bi являются определяющими критериями, а функция 0 — определяемой. 83
(4.7) (4-8) (4-9) В новых переменных уравнение Фурье — Кирхгофа имеет вид -дв— = V© а граничные условия 3-го рода © ________L а Bi V дп Jw- Итак, 0 = f (х, у, z, Fo, Bi). Формула (4.9) означает, что безразмерные температуры двух тел одинаковой формы, равномерно нагретых в начальный момент времени т = 0, в сходственных точках пространства и времени будут одинаковы, если одинаковы критерии Bi. Зависимость (4.9) можно получить аналитически и с помощью численных методов: они представляются в виде таблиц или номо- грамм. На рис. 4.1 ... 4.3 приведены примеры номограмм для рас- чета процессов нагрева и охлаждения простейших тел в среде с постоянной температурой. Рассмотрим несколько примеров использования этих номо- грамм. Пример 1. Стальная плита толщиной 26 = 200 мм с начальной темпера- турой То = 955 К опущена в масляную ванну (температура масла принимается постоянной и равной Т/ = 355 К). Считая коэффициент теплоотдачи постоянным [а = 40 Вт'(м3-К)1, определить температуру в плоскости симметрии и на по- верхности плиты через 24 мин и через 1 ч. Решение. Пренебрегая в первом приближении зависимостью теплофизиче- ских свойств стали от температуры, примем в рассматриваемом интервале тем- ператур X чт 40 Вт/(м-К) и а = 0,05 м2/ч. Тогда значения определяющих крите- риев Fo и Bi будут т,. ат 5-10~2-2 F°i = = -~5.10~з-.= 2 ПРИ т = 24 мин и Fo2 = 5 при т = 1 ч; Bi = 0,1. Пользуясь номограммами, приведенными на рис. 4.1, а, б, находим: через 24 мни 0Ц --------- = 0.85; ------=^- = 0,81, где 0ц—без- i О--' f i о — ‘ f размерная температура в плоскости симметрии, а 0(1! — на поверхности пла- стины; через 1 ч 0ц — 0,66; 0Ж = 0,62. Следовательно, через 24 мни температура в плоскости симметрии плиты будет' Тц 0.85 (То — Т i) + Tf = 0,85 (955 — 355) + 355 = 865 К, а на по- верхности — Та --- 0,81 -600 + 355 = 841 К- Через 1 ч соответствующие температуры будут 7’ц = 751 К и Тю =727 К. Пример 2. Какую минимальную толщину должна иметь стенка дозвукового сопла для того, чтобы за 5 с работы двигателя температура поверхности, омы- ваемой продуктами сгорания с Tf = 2500 К, не превысила допустимой — Тю = = 1300 К. (Стенку рассматривать как плоскую пластину; отводом тепла с на- ружной поверхности сопла пренебречь; а -- 1000 Вт/(м2-К); 30 Вт/(м-К); а = 0,05 м3/ч; начальная температура стенок Т$ — 300 К-) Решение. Согласно номограмме (см. рис. 4.1, б) для поверхности пластины л n Tw—Tf при допустимом значении Тш безразмерной температуре 0а, = -------дн-= г о — 7 f 84
~ ~300—-"’б1)?) соответствует совокупность значений Fo =- 1; 2; 3; 4; 5; 6 и Bi — 0,5; 0.28; 0,19; 0,14; 0,11; 0,095. В то же время между Bi =- аб/Z и Fo == ат/62 можно найти связь, выражая 6 через [6 = Bi (?v/ct)] и подставляя в критерий Фурье: „ аза- Fo — Bl'Л' Для условий рассматриваемой задачи 0 1 2 3 4 5 б 7 8 10 12 16 1618 2022 2626 28 30 F„ 3) Рис. 4.1. Номограммы для определения безразмерной избыточной температуры [(6= (Т—Tf)/(T0— Tj)] плоской бесконечной пластины; а — в плоскости симметрии; б — на поверхности 85
Построив графически эту зависимость и нанеся на тот же график зависимость Fo =- [ (Bi), заданную таблицей .значении, взятых из номограммы 4.1, б, в точке пересечения двух кривых получим совокупность значений Fo и Bi, удовлетворя- ющую требованию задачи. Этими значениями являются Fo = 4,5 и Bi = 0,13. X По любому из них найдем потребную толщину стенки сопла: 6 = В1 — = 3,9-Ю-з м. Интересно рассмотреть качественный характер и некоторые предельные случаи изменения безразмерной избыточной темпера- 1~вц Рис. 4.2. Номограммы для определения безразмерной избыточной темпера- туры бесконечного цилиндра: а — на оси; б — на поверхности 86
туры по безразмерному времени (Fo) при граничных условиях 3-го рода. Очевидно, что при фиксированном числе Bi температура поверхности Tw быстрее приближается к температуре окружаю- щей среды Т h чем температура в точках, расположенных глубоко внутри тела (см. рис. 4.3). Степень этого различия в скоростях зависит, однако, от Bi — Так, при Bi 0 температуры цен- тра и на поверхности в течение всего процесса можно считать одинаковыми, так как приток тепла к телу вследствие конвекции мал (мало а), и температура внутри тела успевает в каждый мо- мент выравняться в силу большой его теплопроводности (боль- шое К). В случае же Bi оо отличие в температурах внутренних точек тела и его поверхности будет максимальным, так как за- дача, как уже говорилось, стремится к задаче с граничными ус- ловиями 1-го рода, когда Tw = Тf в течение всего процесса. Это легко обнаружить и на номограммах (см. рис. 4.1 ... 4.3), сравнивая зависимости безразмерной температуры от Fo в центре и на поверхности при малых и больших значениях Bi. В практике часто нельзя воспользоваться решениями для тел бесконечной протяженности (пластина, цилиндр) в силу того, что продольный размер реального объекта (например длина цилиндра) сравним с поперечным (его диаметром). В этих случаях задача существенно неодномерна. Рис. 4.3. Номограммы для определения безразмерной избыточной температуры шара: а ~ в центре; б ~ на поверхности 87
Рис. 4.4. Схема решения задачи о нагреве (охлаждении) цилиндра ко- нечной длины (граничные условия 3-го рода) Можно показать, что для ряда простейших тел конечных размеров решение может быть по- лучено комбинацией имеющихся решений для тел бесконечной протяженности. Для цилиндра радиусом и длиной 26 реше- ние находится по формуле 8 = ®ПЛ®ЦИЛ, где ©ПЛ, ®ЦИЛ PC" шение для пластины и цилиндра соответственно (рис. 4.4). Для параллелепипеда с реб- рами 26х, 262 и 263 безразмерное решение будет равно 6) ©/-^©д, где 0г — безразмерное решение соответствующей задачи о беско- нечной пластине толщиной 26г. тел конечной Построение комбинированных решений для протяженности, продемонстрированное здесь на примере задачи с граничными условиями 3-го рода, возможно и в задачах с гра- ничными условиями других родов. Следовательно, номограммы типа приведенных на рис. 4.1 ... 4.3 для определения температур простейших тел в нестационарных процессах применимы к весьма широкому кругу неодномерных задач. Следует учитывать, что полученные с помощью номограмм ре- шения носят приближенный характер, так как они получены в предположении постоянства а по поверхности, неизменности теплофизических свойств тела по температуре и т. д. 4.4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ (МЕТОД ФУРЬЕ) Классическим методом решения уравнения (4.7) яв- ляется метод разделения переменных (метод Фурье). Идея метода состоит в предположении, что решение можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых является функцией безразмерных координат, а другая — функцией только крите- рия Fo. Таким образом находятся частные решения уравнения 0П, удовлетворяющие граничным условиям, но не удовлетворяющие начальным. Затем, пользуясь линейностью уравнения, находят решение как линейную суперпозицию этих частных решений © = оо = У Апап, причем такую, которая удовлетворяет уже началь- п-=1 ным условиям путем соответствующего выбора коэффициентов Ап. Итак, представляем 0 в виде Q(x, у, z, Bi, Fo) = ф (х, у, z, Bi) чр (Fo). (4.Ю) 88
Подстановка (4.10) в уравнение (4.7) дает Ф тощ “ 4>V1 2<p или <р -- фф2ф, 64.11) откуда i|- a Fo ф т Здесь слева функции только времени, а справа — только ко- ординат. Равенства (4.11) возможны лишь в том случае, если как левые, так и правые его части — одинаковые постоянные вели- чины, не зависящие ни от времени, ни от координат. Обозначим эту константу через — «/и» (знак минус принят для удобства по- следующих преобразований, что отнюдь не налагает каких-либо ограничений на знак самой константы т). Тогда исходная задача сводится к следующим двум: 1)-^#- = — т; (4.12) 7 d Fo v 7 ^—-^ (•£.)„. (4.13) Решение обыкновенного дифференциального уравнения (4.12) имеет вид ф =- А ехр (—т Fo), (4.14) где А — произвольная константа. Из полученного вида решения видна непригодность значе- ний т < 0 в рассматриваемой задаче, так как при т < 0 функция оказывается монотонно растущей функцией времени, что противо- речит физическому смыслу задачи, согласно которому тело стре- мится к тепловому равновесию, т. е. lim гр = 0. Fo-*-oc Решение второго уравнения (4.13) зависит от геометрии тела. При этом оказывается, что не все положительные значения т позволяют удовлетворить граничным условиям так, чтобы ре- шение не было тривиальным: <р = 0. Дискретные значения постоянной tn, при которых задача (4.13) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие граничным ус- ловиям, называются собственными значениями задачи (4.13) и обозначаются тх, т2, т3, ..., тп, ... (причем тх < т2 < т3 <... < тп ...). Соответствующие решения называются собственными функциями задачи (4.13) и обозначаются ф1т <р2, <р3, ..., срп, ... . Общее решение ур-авнения (4.7), таким образом, имеет вид оо ©=2 Antpn exp (—тп Fo). (4.15) П=1 Как уже говорилось, коэффициенты Ап выбираются из усло- вия удовлетворения решения начальным условиям, т. е. при Fo = = 0 1 = 2 24пфп(х, у, z, Bi). (4.16) п==1 89
Рис. 4.5. Схема к задаче об охлаждении плоской стенки (граничные усло- вия 3-го рода) Для нахождения коэффициентов едини- ца раскладывается в ряд по собственным функциям фп. Рассмотрим конкретный пример опре- деления собственных значений и собствен- ных функций задачи в простом случае пространственно одномерной задачи об изменении температур в плоской беско- нечной стенке толщиной 26 (рис. 4.5). В качестве характерного размера I возь- мем 6. В этом случае задача (4.13) будет иметь вид И-1 Л = (“-'в) ’<~-1> = 4-ji£5FiL- <419> Из симметрии рассматриваемой задачи следует, что распреде- ление ср в стенке будет симметричным относительно плоскости х = 0. Поэтому в плоскости симметрии будет выполняться = 0. (4.20) Это условие позволяет освободиться от 2-го граничного ус- ловия (4.19) при х = —1 и свести к задаче о пластине толщиной 6, теплоизолированной от поверхности х = 0. Частное решение исходного уравнения (4.17), удовлетворяю- щее граничному условию (4.20), имеет вид ср = D cos (]/~тх). (4.21) Граничному условию при х = 1 это частное решение удов- летворяет, если Bi Dn cos ]/~т — Dn sin ]/~m = 0. (4.22) Это уравнение получается подстановкой равенства (4.21) в условие (4.18). Отсюда получаем Ag У~т = j/m/Bi. Это ха- рактеристическое уравнение позволяет найти собственные значе- ния, а ’следовательно, и собственные функции рассматриваемой задачи. Обозначая У~т через р, получим ctg pi = p/Bi. (4.23) На рис. 4.6 показан графический метод отыскания корней ха- рактеристического уравнения как координат точек пересечения котангенсоид уг = ctg р с прямой у2 = p/Bi. Очевидно, что число корней бесконечно, причем каждый последующий корень больше 90
предыдущего: у, < у2 < у3 < ... <" <уГ! < ... . Этот набор корней зави- сит от Bi. Таким образом, решение за- дачи (4.13) в данном случае имеет вид <рп(х, Bi) = D cos (|inx), или фп (х, Bi) = D cos (1^тпх), а общее решение (4.15) дифференциаль- ного уравнения теплопроводности 0 (х, Bi, Fo) оо = 2 cos (]Атпх) exp (—тп Fo). И = 1 (4.24) Рис. 4.6. Графический ме- тод отыскания корней ха- рактеристического уравнения Условие (4.16) для нахождения коэффициентов Ап примет вид оо 2 Ancos(]A тпх), откуда Ап п—1 0 (х, Bi, оо (4-25) 4.5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Упоминавшиеся выше решения простейших задач, ко- торые удается затабулпровать или свести к расчетным номограм- мам, получены при неизменной по времени температуре окружаю- щей среды Тf (или температуре стенки Тю, или теплового потока qw}, а также при одинаковой по всему объему тела начальной температуре в момент т = 0. В виде рядов выписывается решение в случае произвольно за- данного распределения температур при т 0 для тел простей- шей формы и одномерных задач (см. разд. 4.2). Однако и в этом случае вычисление коэффициентов ряда является часто весьма трудоемким. В связи с этим наряду с аналитическими развивались и численные методы решения нестационарных задач теплопровод- ности, причем с появлением электронных счетных машин эти методы приобрели решающую роль в проведении точных инже- нерных тепловых расчетов (прогрев теплозащитных покрытий, камер сгорания и сопел ЖРД, тепловые режимы ИСЭ). Численные методы являются, пожалуй, единственным инструментом решения нелинейных задач и задач теплопроводностей тел сложной формы. 91
4.5.1. Явный метод Идею одного из простейших численных методов про- демонстрируем на примере одномерной задачи прогрева (охлаж- дения) плоской стенки с граничными условиями 3-го рода. Разобьем стенку изотермическими поверхностями (в рассма- триваемой задаче они параллельны поверхности стенки) на слои равной толщины Ах. В центре каждого слоя поместим узел. Ис- ключение составляют слои, непосредственно прилегающие к гра- ницам твердого тела: их толщина вдвое меньше и узлы располо- жены на границе (рис. 4.7). Пронумеровав узлы и соответствую- щие им слои и разделив интересующий нас период времени на малые интервалы Ату, Дт2, Лт3, ..., Дтп и т. д., температуру k-ro узла в п-й момент времени будем считать равной Г*. Считаем, что тем- пература между узлами в каждый момент времени изменяется по линейному закону (рис. 4.8). ’Запишем баланс тепла для k-го слоя (см. рис. 4.8). Очевидно, что тепловые потоки, втекающие через левую Qv4 и правую Qn границы слоя, изменяют энтальпию I рассматриваемого слоя, т. е. Qx + Qa=-^. (4.26) Тепловые потоки выражаются через закон Фурье: = ——%FQn = где F— площадь поверхности слоя. Так как мы предположили, что между узлами (а значит и на границе слоя) температура меняется по линейному закону, то Qa = — IF гпП ГГП грП грП 1 k~ 1 k-i _ 1 k-i ~ J k \x Ax Qn = Tnh^-rnk \x Энтальпия выражается соотношением / теплоемкость материала; р — плотность. Рис. 4.7. Схема решения задач неста- Рис. 4.8. Внутренний узел циоиарной теплопроводности методом конечных разностей 92 pFЬхсТ, где с —
Ее изменение за интервал вре- мени Дт в предположении, что плотность и теплоемкость постоян- ны, можно аппроксимировать выражением Г Л - ле pF &хс Подставляя соотношения для <3л, <2п и в УРавнение (4-26), получим Рис. 4.9. Граничный узел Решая это уравнение относительно ТУ^1, получим ТГ' -= Fo (Tnk+l + 7’Ll) + (1 - 2 Fo) П, (4.27) (Ах)2 где критерий Фурье определяется соотношением Fo = X а = — . \ рс / Уравнение (4.27) позволяет в явной форме определить значе- ния температур во всех внутренних узлах в (п + 1)-й момент вре- мени, если известны значения температур в п-й момент, поэтому такой способ численного решения называется явным. Теперь рассмотрим баланс тепла в граничном слое (рис. 4.9). Отличие от предыдущего случая состоит в том, что поток тепла через левую границу слоя определяется по формуле Ньютона Qj, = aF (ТУ — ТУ), что энтальпия равна / =рЕЛхсТ', qj । j’M-l_грп -S— ж -7г- PF \хс—!—Записав балансное уравнение дт 2 Дт J г получим aF (Tf - ТУ) + IF- -- 4- pF Лхс , v 1 1/1 Дх 2 г Дт ’ откуда FL’ = 2 Fo (ТУ + Bi ТУ) 4- ТУ (\ - 2 Fo - 2 Fo Bi), е. (4.26), (4.28) где Bi = аДх/А,. Чтобы решить задачу нестационарного теплообмена, необхо- димо знать начальное распределение температуры в теле Тк. С помощью соотношений (4.26) и (4.28) определяется распределе- ние температуры в следующий момент времени Дт, — ТТ Дальше процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнут момент времени, для которого требуется знать распределение темпера- туры. Аналогично можно решать двухмерные и трехмерные задачи 93
Остановимся на выборе шагов интегрирования Дт и Дх. Этот выбор не является произвольным. Покажем, что при некоторых соотношениях шагов можно получить результаты, противореча- щие законам термодинамики. Пусть в какой-то момент времени в трех соседних точках температуры равны T'k—i = 200 К; Tnk = = 100 К; Tk+i = 200 К. Пусть интервал времени Дт таков, что критерий Fo = 1. Определим 7'/'1 по формуле (4.27); Т’1~л = = (200 + 200) — 100 = 300 К- В первый момент времени температура /г-й точки меньше, чем в двух соседних точках, и тепло подводится к ней от этих точек. Таким образом, тот факт, что в следующий момент времени тем- пература &-й точки превысила 200 К, противоречит второму за- кону термодинамики. Анализ показывает, что нарушение законов термодинамики не будет происходить только при выполнении ус- ловия Fo < 1/2, (4.29) т. е., когда коэффициент при Tnk в формуле (4.27) не является отри- цательным. Условие (4.29) называется критерием устойчивости уравнения (4.27). Если оно не выполняется, решение становится неустойчи- вым. Критерий устойчивости для слоя, прилежащего к границе, имеет вид 1— 2 Fo — 2Fo Bi > 0. (4.30) Для получения устойчивого решения необходимо и достаточно выполнение обоих условий: (4.29) и (4.30). Например, если поло- жить Fo = 1/4, то из (4.30) получим условие Bi < 1. Это значит, что, если значение коэффициента теплоотдачи а достаточно ве- лико, необходимо уменьшить шаг Дх, что, в свою очередь, повле- чет уменьшение шага Дт согласно (4.29). Ограничения типа (4.29), (4.30) являются существенным недостатком явных методов. Пример 3. Рассмотрим применение описанного выше численного метода для решения задачи, представленной в примере 1. Решение. Разобьем плиту на 11 слоев: 9 — толщиной Дх = 0,02 и 2 — тол- щиной Дх/2. „ „ о. а Дх 40-0,02 Критерий В1 — —т— = ——-----= 0,02. Л 40 Выберем шаг по времени так, чтобы удовлетворялись условия устойчивости (4.29) и (4.30). Пусть Дт = 10 с, тогда Fo = —= 0,34725 < 0,5. Таким образом, условие (4.29) выполняется. Условие (4.30) также выпол- няется. Для решения задачи можно использовать следующую программу на языке ФОРТРАН, основанную на уравнениях (4.27) и (4.28): PROGRAM NESTAT REAL L, LAMBDA DIMENSION T (11), T1 (11) 94
500 FORMAT (IX, 5E12.5) 300 FORMAT (IX, 10E12.5) READ 500, DT, TAUK, L, TO, TF, ALFA, LAMBDA. A PRINT 500, DT, TAUK, L, TO, TF, ALFA, LAMBDA, A NY = 11 DX=L/(NY—1) BI = ALFA * DX/LAMBDA FO = A * DT/DX -i*2 DO 1 K=l, NY 1 T (K) = TO тли = 0 NE = NY—1 2 TAU= TAU+ DT DO 4K = 1, NY 4 T1(K)=T(K) T (1) = 2 * FO * (T1 (2) + BI * TF) + T1 (1) * (1—2 *FO — — 2 * BI * FO) T (NY) = T (!)• 4DO 3 К = 2, NE 3 T (K) = FO * (T1 (K + 1) + T1 (K — 1) + + (1—2 * FO) * T1 (K) PRINT 300, TAU PRINT 300, T IF (TAU.LE.TAUK) GO TO 2 STOP END В программе используются следующие обозначения: входная информация — DT ~ Ат; TAUK — конечный момент времени; L ~ 26; Т0 ~ То; ALFA ~ а- LAMBDA ~ Л; А ~ а; выходная информация — TAU (текущий момент вре- мени); Т (11) — массив значений температуры в узлах в текущий момент вре- мени. В результате получаем: через 24 мин — Tw~ 840,16 К; Гц = 867,3 К; Через 1 ч— Тд= 727,95 К; Тп = 748,8 К. Эти результаты неплохо согласуются с полученными в примере 1. 4.5.2. Неявный метод Как уже говорилось, основной недостаток явных ме- тодов связан ограничениями на шаг по времени согласно крите- риям устойчивости (4.29) и (4.30). Часто для удовлетворения этих критериев приходится выбирать очень малый шаг Дт, что приводит к возрастанию времени расчетов. Избежать ограничений на шаг по времени, связанных с удовлетворением критериев устойчиво- сти, позволяет переход к неявным методам. Рассмотрим сначала внутренний узел. Если выразить потоки тепла через температуры на (и + 1)-м шаге по времени (а не на п-м, как это было сделано в предыдущем разделе), то получится следующий конечно-разностный аналог дифференциального урав- нения теплопроводности IF —k— + IF -4Ц—k— = pF кхс , (4.31) Дх 1 Дх 1 Дт ’ 4 7 95
откуда получаем систему уравнений для определения температур на (п 4* 1)-м шаге по времени Tnk+1 (1 + 2 Fo) - Fo Kt! - Fo Tk±{ -~Tnk = 0. (4.32) В отличие от явного метода, при использовании которого тем- пература T^+i выражается явно через остальные члены уравне- ния (4.27), в данном случае необходимо решать одновременно систему уравнений (4.32) для всех узлов. Такой метод называется неявным. Он является устойчивым при любом значении Дт, и в этом его основное преимущество по сравнению с явным мето- дом. Его недостаток — это необходимость решать систему алгеб- раических уравнений. Аналогично выводится уравнение для граничных узлов: 11 + 2 Fo (1 + Bi)] Ti+' - 2 Fo (T2+ Bi ?7+1) - Ti = 0. (4.33) Таким образом, получена система из (N — 2)-х уравнений для внутренних узлов и 2-х — для граничных. Она содержит N неизвестных и таким образом является замкнутой. Эту систему решают эффективным способом, описанным в главе XVI. 4.6. РЕГУЛЯРНЫЕ ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с по- стоянной температурой произвольного по форме однородного и изотропного тела, начальное распределение температур в котором (при т = 0) задано известной функцией координат f (х, у, z) = = То. В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности, считать температуру окружающей среды Tf = 0. Решение (4.15) можно переписать в виде бесконечного ряда Т (х, у, z, т) = 2 сп$п (х, у, z) е т"Х, (4.34) П=1 или Т (х, у, z, т) = c1i3,1e-'Tb't -L c2F2('- "!!" . (4.35) Рассматривая поведение ряда (4.35) с ростом времени т, убе- димся, что все его члены убывают по времени, хотя и с неодинако- вой скоростью. Причем, поскольку < m2 < m3 ..., члены высших порядковых номеров убывают быстрее и уже очень скоро становятся пренебрежимо малыми. Поэтому температура какой- либо произвольной точки тела задолго до достижения ею темпера- туры окружающей среды (в нашем случае Т} = 0) будет опреде- ляться, по существу, первым членом ряда (4.35), т. е. следовать простому экспоненциальному закону Т (х, у, z, т) » С1'01 (х, у, z')t~mix. (4.36) Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно считать следующим этому простому закону, называют началом 96
регулярного, т. е. упорядочен- ного режима. Функция Ф (х, у, z) по определению не зависит от начальных условий, а Сг, хотя и определяется из начальных усло- вий, но не зависит от коорди- нат точки и является постоянной для всех точек тела. Поэтому при наступлении регулярного ре- жима можно считать, что началь- Рис. 4.10. Изменение по времени логарифма избыточной температу- ры двух точек произвольного тела ное тепловое состояние тела больше не оказывает влияния на закон изменения температур по времени во всех его точках. Логарифмируя выражение (4.36), получим In Т = —гщг + ,, д In Т + г (х, у, г), а следовательно,----т— = mlt т. е. зависимость In Т от т в области регулярного режима для всех точек приобре- тает линейный характер, причем ее угол наклона одинаков для всех точек и равен — arctg mr (рис. 4.10). Величину m (индекс далее опускаем) называют темпом охлаждения. Существенно, что поле температур в теле в процессе регуляр- ного охлаждения остается подобным самому себе, поскольку от- ношение температур любых точек тела становится постоянным и не зависящим от времени, а определяется лишь координатами этих точек. В этом легко убедиться, поделив полученное из равен- ства (4.36) выражение для Тг (хъ уг, zlt т) на выражение для Т2Х X (х2, у2, z2, т): (*1< У1’ г1) 7\ (т2. у2, гг) Темп охлаждения m зависит от формы, размеров и материала тела, а также от граничных условий задачи. Значение m можно определить, замеряя в эксперименте изменение температуры какой-либо точки охлаждаемого тела по времени. Для этого, по- строив график зависимости In Тотт, следует взять на прямолиней- ном его участке (область регулярного режима) две точки и тогда m — In Т (tJ — In Т (т2) ^2 Т1 (4-37) Если Tf 0, то под Т следует понимать разность температур тела и среды. Наглядную интерпретацию становления регулярного режима охлаждения можно дать, рассмотрев распределение температуры по толщине плоской стенки, помещенной в среду с постоянной температурой (рис. 4.11). Если вначале (т — 0) распределение температуры имело вид, изображенный кривой А'А, то в ближай- шие за начальным моменты времени тх и т2 изменения температуры отдельных точек по времени во многом еще определяются не внеш- 4 Авдуевский 97
ному закону, т. е. н; дано представление о ] тела в соеде с постоя: Рис. 4.11. Распределение температуры по толщине плоской стенки (граничные условия 3-го рода) для различных моментов времени при произвольном начальном распределении А'А ними условиями [Tf < Т (х, у, Z, 0) ], а самим начальным распределением. Так, в некоторых сечениях (близких к хх) тем- пература сначала начинает даже возра- стать. Но постепенно влияние начальных условий ослабевает, и, начиная ст«т4, температура всех точек тела начинает падать по одинаковому экспоненциаль- (ступает регулярный режим. Выше было регулярном режиме охлаждения (нагрева) иной температурой Tf. Понятие регуляр- ности режима может быть обобщено и на случай изменения Tf во времени по таким простейшим законам, как линейный и гармо- нический. (При рассмотрении регулярных режимов здесь не де- лается различия между задачами с граничными условиями 1-го и 3-го рода, поскольку ранее было показано, что при Х/а О обе задачи эквивалентны (Тf --- Тш}, а значит и все выводы, полу- ченные из рассмотрения задачи с граничными условиями 3-го рода, легко обобщаются на случай граничных условий 1-го рода.) В соответствии с названными выше тремя типичными законами изменения Тf во времени различают регулярные режимы трех родов. Рассмотренный в начале этого раздела Т} =~~ const назы- вается регулярным режимом 1-го рода. Признак регуляризации режима 1-го рода состоит в том, что изменение температуры в каж- дой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех точек: Т = С1О’1е-тх; С\ = const; й == & (х, у, г). Регулярный режим 2-го рода (dTf/dx = const = b) наступает, когда скорость изменения температуры становится, во-первых, постоянной, общей для всех точек тела и, во-вторых, равной ско- рости изменения температуры внешней среды: <7Т ах т. е. Т = Tf + М (х, у, г). Для регулярного режима 3-го рода (когда Tf = Тi0 4- + A cos сот) характерно, что температура любой точки тела ко- леблется около своего среднего значения с тем же периодом, что и температура окружающей среды, т. е. с периодом, одинаковым для всех точек тела: Т — Р sin о:т Q cos сот = То -ф Д'cos (сот — ср), где Р, Q, То, А' и ср — функции координат. (Очевидно эти колеба- ния происходят с иной амплитудой, а также могут быть смещены 98
по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей среды.) Остановимся подробно на регулярном режиме 1-го рода. В не- которых случаях регулярный режим может наступать сразу после начала процесса охлаждения или нагрева тела. Пусть тело про- извольной формы, с объемом V и поверхностью F обладает высо- кой теплопроводностью X, а коэффициент теплоотдачи у поверх- ности а мал. Это означает, что критерий Bi —- aL/k 1 и можно считать, что температура внутри тела очень быстро выравнивается и в каждый данный момент времени близка к постоянной, равной температуре его поверхности Tw. Тогда уравнение теплового ба- ланса, приравнивающее количество тепла, поступившее через поверхность :ела, к изменению его эшальпии, запишем в виде -a(7’/-7’)F = pCV-g-. (4.38) В этом уравнении Т — температура тела — не зависит от координат (х, у, г) в силу предположения, что Bi <ф 1. Считая теплое изические характеристики системы постоянными и вводя новую переменную 0 = Tf— Т, легко проинтегрировать это выражение: aF ---ту — /72 pcV din 0 dr (4.39) © = ©oe-™ (e^Tf-Tj, или где m = const. Таким образом, при Bi 1 регулярный режим устанавливается сразу после начала процесса. Уравнение, аналогичное уравнению (4.38), можно составить и для .,учая, когда Bi произвольно, т. е. температура в различ- ных точках тела в данный момент времени различна. Только при этом пришлось бы воспользоваться понятиями средней по объему избыточной температуры ©y=-y-j"Q©dV и V поверхности избыточной температуры ©ш = где 0 = Tf — Т (х, у, z) — местная избыточная температура в дан- ный момент времени. В этом произвольном случае темп охлажде- ния m отличался бы от выражения (4.39) при Bi < 1 на коэффи- циент V f f 0 dF /2» средней no т И edF- представляющий собой отношение средней поверхностной темпера- туры к средней по объему (очевидно, что при Bi <ф 1, когда Тх 4* 99
X (х, у, z) = Tw, Qw — Gv и ф = 1; другой предельный случай, когда гр = 0, соответствует Bi оо, т. е. максимальной неравно- мерности температурного поля внутри тела). Коэффициент ф, таким образом, характеризует неравномер- ность температурного поля в теле и потому, естественно, зависит от критерия Bi. Из выражения (4.40) видна также его зависимость от формы тела (от F и V). К-тому же выводу можно прийти, рас- сматривая mf в уравнении (4.35) как о|3,;, где |Зг — собственные значения, определяющиеся формой тела и граничными условиями. Однако, как уже говорилось, найти |Зг для тел более или менее сложной формы весьма трудно. Итак, при произвольном Bi темп охлаждения и при Bi —оо (а -'- оо) ф стремится к нулю. Однако в этом пре- дельном случае, который очевидно сводит задачу с граничными условиями 3-го рода к задаче с граничными условиями 1-го рода (Tf = Tw), темп охлаждения стремится к определенному конеч- ному пределу, независящему от Bi и прямо пропорциональному коэффициенту температуропроводности тела а (это утверждение называют 1-й теоремой Кондратьева): а = Ктж. (4.41) В этом выражении коэффициент пропорциональности R за- висит лишь от формы и размеров тела и для задач с граничными ус- ловиями 1-го рода, где доступно аналитическое решение (пластина, шар, цилиндр, параллелепипед и др.), может быть получен из показателя экспоненты первого члена ряда, представляющего соответствующее решение. Так, для шара радиусом R К = К'2/л2; для цилиндра радиусом R и длиной I к 1 Л (2.4048//?)3 + (я//)2 ’ для параллелепипеда со сторонами R, l2, ls У (л//;)2 1=1 Его размерность — м2. Важным с точки зрения практики является то обстоятельство, что с увеличением Bi темп охлаждения т очень быстро прибли- жается к своему предельному значению тх, соответствующему Bi оо. Исходя из сказанного, укажем на некоторые практические при- ложения теории регулярного режима 1-го рода. 100
В теплофизическом эксперименте часто необходимо экспери- ментально найти коэффициент теплоотдачи а на каком-то участке поверхности. В этом случае удобно воспользоваться тем обстоя- тельством, что при Bi-> 0 ф1, а следовательно, а --= т . (4.42) Заделав в интересующей части поверхности тела датчик в виде тонкой пластины из теплопроводного материала (медь, серебро) и подсоединив в нему термопару, связанную с регистрирующим устройством (например осциллографом), можно получить зависи- мость температуры датчика от времени, после того как тело, на поверхности которого установлен датчик, поместили в поток или среду с постоянной температурой Tf. Вследствие малости Bi = = аб/Х (толщина датчика 6 мала, а коэффициент X велик) темпера- туру в данный момент времени можно считать одинаковой по всему датчику и равной измеренной с помощью термопары. Перестраи- вая полученную зависимость в полулогарифмических коорди- натах [In (Тf — 7") ^/(т)], определим т на участке регуляр- ного режима по формуле (4.37) (см. рис. 4.10). А затем, пользуясь выражением (4.42), легко найти а. В этом случае в качестве F должна браться лишь та площадь поверхности датчика, которая воспринимает конвективный тепловой поток. Остальную часть его поверхности при установке датчика стремятся тщательно тепло- изолировать, поскольку важно быть уверенным, что за время измерений / (т) утечки тепла от датчика в корпус или иным путем пренебрежимо малы в сравнении с конвективным потоком Q = = a(Tf — Г) F. Основное преимущество данного метода регулярного режима состоит в том, что при очень малых, а следовательно, малоинер- ционных датчиках время измерения можно сократить до 1 с и менее, что важно в экспериментальных установках кратковремен- ного действия, таких, например, как аэродинамические трубы больших скоростей. Другой пример практического использования регулярного режима относится к экспериментальному определению теплофи- зических констант материала. Поскольку при Bi оо а — Кт<х>, то, найдя экспериментально и зная коэффициент формы К (если образцу придана простая геометрическая форма), можно определить коэффициент температуропроводности материала а. Как уже говорилось, т быстро приближается к с ростом Bi (или а). Поэтому с достаточно высокой точностью при больших, но конечных Bi можно принять т --= т^. Поместив образец в во- дяной термостат, где температура поддерживается постоянной и идет интенсивное вынужденное перемешивание, обеспечиваю- щее высокое значение коэффициентов теплоотдачи а, измеряют заделанной внутрь образца термопарой величину Т через опре- деленные промежутки времени. Из построенной для участка ре- 101
гулярного режима зависимости In 0 = f (т) находят т = и, зная К, вычисляют коэффициент температуропроводности а по формуле (4.41). 4.7. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ОБЪЕМНОМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИИ Ранее было показано, что при наличии объемного тепловыделения уравнение теплопроводности в твердом теле имеет вид дТ 1 = а^т + — дт ср 7 k где qv — известная функция, характеризующая объемную плот- ность тепловыделения, т. е. количество тепла, выделяющееся в единице объема тела в единицу времени. В общем случае qv может быть функцией как координат, так и времени. Нестационарные задачи этого типа значительно слож- нее рассмотренных ранее, поэтому в рамках этой главы мы про- демонстрируем подход к их решению на простейшем примере пространственно одномерной задачи с однородными граничными условиями 1-го рода. Математическая формулировка задачи о бесконечной пластине толщиной I при -^У-= f (х, т) сводится к дифференциальному урав- ср нению дТ д2т । I/ \ /л лоч -аГ= a-d^ + f^x’ т) <4-43) с начальным условием Т (х, 0) = 0 и граничными условиями Т (0, т) = 0; Т (I, т) = 0. (Однородность начальных и граничных условий принята здесь для упрощения.) Пользуясь методом разделения переменных, будем искать решение в виде ряда Фурье по sin(-^-x) оо т (*, т) = У, in (т) sin х) . Для решения задачи нужно найти функции tn (т). Представим заданную функцию f (х, т) также в виде ряда по sin^-^-x^: оо f(x, г) = 2/n(T) Sin(-y-x), где коэффициенты /п определяются по известным соотношениям i /п(т)-4.Р^’ о 102
Подставляя предполагаемую форму решения в исходное уравне- ние задачи (4.43), получим оо 2 sin 4(-Т)2 (т) + ~ /п (Т)] = 0. П — 1 Это уравнение удовлетворяется, если все коэффициенты ряда, т. е. выражения в квадратных скобках, равны нулю: = (^рп(т) + /п(т). (4.44) Это обыкновенное дифференциальное уравнение для функций fw (т). Начальные условия для него найдем из начального усло- вия исходной задачи Т(х, 0) = j\n(°) sin(^x) = 0. П=1 Отсюда следует, что все tn (0) = 0. Решение обыкновенного дифференциального уравнения (4.49) с этим начальным условием имеет вид Таким образом, решение исходной задачи представляется в виде ряда где а fn (т) dx Подставляя сюда функции fn (т), получим Т(х, х I X/(£, т') dr' = J ^G(x, t т-т')Н5, ^dldx', о о G (х, П=1 В качестве примера мы рассмотрели неоднородное уравнение с функцией f (х, х) в правой части, но с однородными (нулевыми) 103
начальными условиями. Если начальные условия отличны от нуля, то к полученному решению следует прибавить решение однородной задачи (без внутренних источников тепла) с заданными начальными условиями Т (х, 0) = q? (х). Что касается нулевых граничных условий, то к ним может быть сведена задача с Т (0, т) = = Т (I, т) = const 0 простой заменой переменной. 4.8. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 4-го РОДА В практике встречаются задачи, когда теплообмен тела с окружающей средой происходит не излучением или конвек- цией (граничные условия соответственно 2-го и 3-го рода), а при помощи теплопроводности. Такой случай встречается, например, при теплообмене тела с очень вязкой жидкостью или в системе тел, находящихся в тепловом контакте. Здесь для каждого из тел такой системы имеют место так называемые граничные усло- вия 4-го рода, т. е. теплообмен между телом и окружающими его телами или средой происходит по закону Фурье. Эти условия при идеальном тепловом контакте соприкасающихся тел требуют равенства температур обоих тел (или тела и среды) на поверх- ности контакта, а, кроме того, тепловые потоки в обоих телах у самой поверхности должны быть равны между собой. Математи- ческая формулировка граничных условий 4-го рода имеет, таким образом, следующий вид: Л (О, Г) = Т2 (О, г); - X, т) = -Х2 , (4.45) где индекс «1» относится к телу, а «2» — к окружающей среде или примыкающему телу; граница раздела условно помещена в начале координаты п — нормали к поверхности контакта. Для иллюстрации этого случая рассмотрим простую одномер- ную задачу. Пусть два полубесконечных тела, обладающих раз- личными теплофизическими свойствами, приведены в момент времени т = 0 в идеальный тепловой контакт по плоскости уг (х = 0). Протяженность первого тела не ограничена по осям у и г и в положительном направлении оси х. Второе тело прости- рается до по осям у и z и от 0 до —оо по оси х. Температура первого тела в начальный момент времени равна Го, а второго — нулю. Задача состоит в отыскании распре- деления температуры в телах в любой момент времени и форму- лируется следующим образом: = (т>0, х>0); = (т>0, х<0). дт * дх2 v ’ 7 Начальные условия к этой системе уравнений: Т\ (х, 0) = 70; Г2 (х, 0) = 0; граничные условия — 7\ (0, т) = Т2 (0, т); /•2Х 104
Рис. 4.12. Графическая картина распределе- ния теплообмена (граничные условия 4-го рода при идеальном тепловом контакте) дТ\ (0, т) дТ2 (0, т) г, X —Ц-2—- = —Эта задача, дх ох ’ как и ранее рассмотренные, допу- скает аналитическое решение раз- личными методами (разделением переменных, операционным и др.). Приведем здесь лишь окончатель- ный вид этого решения: ТЛх, т)- Гс?В1_ 2 1 ^2 (^2 Cg Cf 777777777777 (х>0); (4.46) X 2 f/aj 1 + ~ erf Т2(х, = (х<0), *тЛ( 2 |/а2т / (4-47) где К = ~== = = (величину К V Ка * Л2ХР2 Л2 а2 иногда называют отношением коэффициентов тепловой актив- ности); ф и с2 — удельные теплоемкости первого и второго тел соответственно. Функция erf определяется хорошо известной формулой: erf £ = 2 ~|/л ( е ~=2 2g — интеграл вероятности Гаусса. На рис. (4.12) приведен характер зависимостей Т (х, т), опи- сываемых этими решениями. Если т-э-оо, можно найти ту единую температуру, которая установится в обоих телах в стационарном состоянии. Так как erf (0) = 0, то Л (х, оо) = Л (х, «,) = То . (4.48) При К = 1 (одинаковы тепловые активности тел) установится средняя арифметическая температура Т (х, оо) = Т0/2. Важно отметить, что на границе раздела (х = 0) это равно- весное значение температуры установится уже с самого начала процесса, т. е. в любой момент времени: Т, (0, т) = Т, (0, т) = Т (х, <ю) - То —(4.49) 105
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. В чем состоит основная идея метода разделения переменных для задачи нестационарной теплопроводности? 2. Поясните номограммы для определения безразмерной избыточной тем- пературы. Как их использовать для решения задач нестационарной теплопровод- ности в случае тел простейшей формы? 3. Что дает использование численных методов прн решении задач нестацио- нарной теплопроводности? Какие основные достоинства и недостатки явного метода и неявного метода? 4. Что собой представляют регулярные тепловые режимы? Какие они бы- вают? 5. Как используются регулярные режимы 1-го рода для экспериментального определения коэффициента теплоотдачи и коэффициента температуропровод- ности? 6. Что собой представляют граничные условия 4-го рода?
ГЛАВА V ЛАМИНАРНЫЙ КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН 5.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ При конструировании двигателей и летательных аппаратов боль- шое значение имеют правильное определение температуры элементов конструк- ции, выбор тепловой защиты и теплоизоляции. Вопросы тепловых режимов конструкции стали особенно серьезными и во многих случаях определяющими в связи с развитием реактивных двигателей и летательных аппаратов, движу- щихся с большими сверхзвуковыми скоростями. Рассмотрим различные случаи теплообмена при высоких скоростях и тем- пературах газового потока, встречающихся в современной авиационной и ракет- ной технике. При движении летательного аппарата в атмосфере частицы газа, примыкающие к стенке, увлекаются стенкой или, что одно и то же, при обтека- нии аппарата из-за трения тормозятся у стенки. Процесс торможения сопро- вождается выделением теплоты за счет диссипации кинетической энергии потока. Если скорость полета достаточно велика, то вблизи стенки образуется слой газа с высокой температурой, нагревающей поверхность аппарата. Температура газа может достигать значений, близких к значениям температуры торможения: ( k - 1 2\ Гоп-ЕЦЦ-—2— Мн ), где Тя—температура набегающего потока газа; k — отношение теплоемкостей (для воздуха k ----- 1,4); Mi — число Маха. Уже прн числах М > 2,5 температура в пристеночном слое газа может достигать 575 К, что связано с переходом от обычно применяемых в авиацион- ных конструкциях алюминиевых сплавов к более теплостойким материалам; при М > 5 остальные конструкции должны быть защищены специальными покры- тиями; при М > 10 не всегда удается создать неохлаждаемую конструкцию. Наконец, при еще более высоких скоростях иолета температура газа у стенки и тепловые потоки становятся такими большими, что происходит унос веществ самой поверхности из-за плавления, сублимации и др. В камерах сгорания и соплах ракетных двигателей, на лопатках газовых турбин тепловые потоки также достигают очень больших значений. Температура газа в камерах сгорания жидкостно-реактивных двигателей достигает 3000 ... 4000 С. В связи с использованием высококалорийных топлив значения тем- пературы газов непрерывно растут. Для того чтобы уменьшить размеры двига- телей, конструкторы стремятся повышать давление в них. Совместное действие температуры и давления (повышение) ведет к резкому увеличению тепловых по- токов. Не меньшее значение имеет расчет теплообмена и тепловой защиты элемен- тов воздушно-реактивных двигателей. У этих двигателей для охлаждения отби- рается часть поступающего в камеру воздуха. При увеличении числа М темпе- ратура торможения забираемого воздуха растет и соответственно растет количе- ство воздуха, необходимого для охлаждения, что ведет к заметному падению тяги и экономичности. Во всех рассмотренных случаях нагрев происходит за счет теплоотдачи от горячего газа. Газ может иметь высокую температуру во всем потоке, либо на- греваться вблизи стенки из-за трения при больших скоростях. Нагрев стенки целиком определяется процессами, протекающими в топком пристеночном слое, 107
называемом пограничным слоем. Поэтому для расчета конвективного тепло- обмена необходимо провести расчет пограничного слоя. Мы рассмотрим ламинарный пограничный слой, в котором перенос тепла и количества движения совершается только путем молекулярной теплопровод- ности и вязкости. 5.2. ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ При обтекании тела потоком жидкости или газа с боль- шими значениями числа Рейнольдса течение в окрестности тела можно разбить на две области. Первая область (рис. 5.1) представляет собой тонкий слой, примыкающий к телу и называемый пограничным слоем. В по- граничном слое вязкость и теплопроводность оказывают сущест- венное влияние на течение. Непосредственно на стенке имеет место явление прилипания, в результате чего скорость и темпе- ратура жидкости у поверхности равны скорости и температуре поверхности (исключая течение в разреженном газе). При уда- лении от поверхности скорость и температура асимптотически стремятся к своим значениям в обтекающем потоке. Толщина пограничного слоя (6) намного меньше размера об- текаемого тела /: 6/7 7 1 при Re 1. Вторая область — внешний поток, идеальное течение вне пограничного слоя. Здесь градиенты скорости и температуры малы, а влиянием вязкости и теплопроводности можно пренебречь. Между этими двумя областями нет резкой границы. Разделе- ние течения на две области существенно упрощает исследование и расчет обтекания тел при больших числах Re. Благодаря тому, что пограничный слой тонкий, давление попе- рек его сохраняется практически постоянным. При этом расчет обтекания тела, т. е. определение параметров потока вне погра- ничного слоя, можно производить так, как будто пограничного слоя не существует. Найденные при этом параметры внешнего по- тока: давление щ, плотность рх, скорость их и температура 7\ могут быть затем использованы для расчета распределения ско- рости и температуры в пограничном слое. Если эти распределения известны, то легко вычисляются зна- Рис. 5.1. Схематическое изображение пограничного слоя (иа — скорость на- бегающего потока) трения на поверхности и удель- ных тепловых потоков, иду- щих в стенку: _ / ди \ = , (5-1) где у — координата по норма- ли к поверхности тела; индекс w» означает, что все величины берутся при значении у = 0. 108
Таким образом, расчет трения и конвективного теплообмена на поверхности обтекаемых тел сводится к расчету пограничного слоя при заданных параметрах идеального течения вне слоя. Рассмотрим некоторые характеристики пограничного слоя. Распределение скорости в пограничном слое характеризуется профилем скорости й = u/ut = / где 6 — условная толщина динамического пограничного слоя, равная, например, значению у, при котором и = 0,99. Соответствующее выражение для профиля температуры имеет вид Т (Т — Тт)/(Тг — Tw) = Л (z//6T), где 6Т — толщина теплового пограничного слоя. В общем случае распределения скорости и температуры, так же как и толщины теплового и динамического слоев, не совпадают. Практическое определение толщины пограничного слоя затруд- нено, так как нельзя точно установить границу между погранич- ным слоем и внешним потоком и точность определения толщины слоя в большой степени зависит от точности самих измерений. Поэтому в рассмотрение вводят некоторые интегральные характе- ристики, определяемые более точно, ибо на их величину не оказы- вает заметного влияния тот факт, что значения параметров те- чения в пограничных слоях асимптотически стремятся к значе- ниям параметров внешнего потока. 5.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Течение вязкой и теплопроводной жидкости описы- вается уравнениями Навье—Стокса, неразрывности и энергии. Как уже было сказано, при больших значениях Re толщина слоя намного меньше характерного размера тела 6 <7 1. При этом условии произведем оценку членов в уравнениях Навье— Стокса для двухмерного течения при обтекании плоской стенки (см. рис. 5.1). Ось х направим вдоль поверхности, у по нормали к ней, соответствующие компоненты скорости обозначим и и V. Уравнения Навье—Стокса для установившегося плоского те- чения имеют вид: ди , ди др , д / ди \ , 4 д ( ди \ , pu-j- 4- ри - аГ + 47 (11J Т "дх \11 ~дх ) + + № А 2 0 Z (5.2) 1 ду v дх ) 3 дх ду J ' ' dv , dv др . 4 д ( ди \ . д / dv \ , г дх 1 г ду ду 1 3 ду V ду J 1 дх v дх J 1 । д ( ди \ 2 д / ди \ дх (, Р ду ) 3 ду (. Р дх / ’ ( ) уравнение неразрывности 4-(P“) + ^(pv) = 0. (5.4) 109
Граничными условиями будут: прилипание жидкости к стенке и = v =- 0 при у — О (5.5) и совпадение скорости вдали от стенки со скоростью невозмущен- ного течения. Для анализа приведем систему уравнений к безразмерной фор- ме. При построении безразмерных величин выберем масштабы таким образом, чтобы безразмерные переменные изменялись в уз- ких пределах. При этом уравнение будет нормировано и можно будет сделать оценку различных членов. Все скорости отнесены к скорости набегающего потока иа, все длины — к характерному линейному размеру /, который вы- берем так, чтобы порядок безразмерной величины ди/дх не пре- вышал единицы. Давление сделаем безразмерным, разделив его на РнЦн* Рассмотрим для простоты случай несжимаемого течения, тогда р - рн и [I нн принимаются постоянными и с учетом урав- нения (5.4) ~ ~ 0. (5.6) дх ' ду ' ' Безразмерные величины примут вид: и' = u/uH; v' = v/usl; х —• x/i, у' == z///; р' p/lp^y, б' = 6//. Подставим в уравнения (5.2) ... (5.4) безразмерные величины. Уравнения Навье—Стокса примут вид , ди’ . , ди' др' , 1 Г д2и' . д2и’ П дх’ 1 ду’ дх ! Re \__(ду )- 1 (<9x')2J 4 ' , dv’ . , dv' др’ , 1 Г , д-v’ “I o dx 1 dy dy' Re LO* )“ (dy ) J а уравнение неразрывности -К-+ 4^-0, (5.9) дх 1 ду' к ’ где число Рейнольдса Re 11нРи-. Ви Оценку порядка величин начнем с уравнения неразрывности. Поскольку величина ди'/дх’ имеет порядок единицы, то из урав- нения (5.9) следует, что такой же порядок имеет и величина dv'/dy'. Но так как толщина слоя мала и имеет порядок 6', то и поперечная скорость имеет порядок 6' и ~ 6'. Отсюда получаем важнейший вывод, что в пограничном слое вертикальная составляющая скорости мала по сравнению с про- дольной составляющей: г>/щ ~ 6//. (5.10) НО
Порядки величин, стоящих в левой части уравнений (5.7), следующие: и', ди1 /дх', p'v' ~ l;v' ~ б; ди' /ду' ~ 1/6; иди /дх’ + 4~ v’du'/dy' ~ 1. Оценим величины, заключенные в скобках в уравнении (5.7). В первом уравнении д2и' 1 <32и' . (/ду'У ~ (б7?2 И (Э7р ~ ' Так как 6' мало, то величину д“и/(dx'f можно отбросить как малую по сравнению с величиной д2и'/(ду')2. Это очень важное обстоятельство, поскольку, отбросив вторую производную по одной переменной, мы изменяем характер дифференциального уравнения в частных производных. После исключения второго члена в скобках уравнения (5.7) в нем остается член, который нужно учитывать, если его порядок такой же или больше, чем порядок остальных членов. Следовательно, влияние вязкости нужно учитывать, если ЩПЯ-Т т. е. OT-l/Re. Толщина пограничного слоя б, в котором проявляется вязкость обратно пропорциональна корню квадратному из числа Рей- нольдса: 6/Z ~ l/j/~Re- (5.И) Перейдем к рассмотрению второго уравнения системы (5.7) ... (5.9). Порядок величин левой части не требует разъяснения. По- рядок градиента давления пока неизвестен. В скобках в правой части уравнения можно пренебречь первым членом по сравнению со вторым. Далее, поскольку б' — l/'j/'Rc, то порядок послед- него члена будет равен б', т. е. будет таким же, как и порядок остальных членов левой части. Окончательно получаем оценку для значения др/ду и перепад давлений в пограничном слое (5.13) Отсюда следует, что в принятых для пограничного слоя при- ближениях давление поперек слоя можно считать постоянным р --- р (х). Это означает, что первое уравнение системы (5.7) можно решать независимо от второго, а значения статического давления и его производных по х по всей толщине пограничного слоя могут приниматься равными их значениям на границе слоя, т. е. могут определяться из расчета течения идеальной жидкости. При необходимости точного определения сил давления, дей- ствующих на поверхность, следует учшывагь поправку Др. Эта 111
поправка определяется из уравнения (5.8) при заданных значе- ниях и, v, р. (При течении вдоль криволинейного контура, как будет показано ниже, справедлива другая оценка.) Все сделанные нами выводы остаются справедливыми и в слу- чае течения сжимаемой жидкости с теплообменом. Однако при этом к системе уравнений (5.7) ... (5.9) должны быть добавлены уравнения энергии, уравнение состояния газа и законы измене- ния вязкости и теплопроводности от температуры. С учетом оценок, аналогичных сделанным для уравнений движения, выпишем без вывода полную систему дифференциаль- ных уравнений пограничного слоя в сжимаемом газе: ди । ди др д / ди \ /к i л \ pU дх + ду ~ “ дх ду И ду ) ’ (5-14) £j£E) = 0; (5.15) дх ' ду ' дТ дТ д /. дТ \ . dp (ди V рцс„ -з--к pvcn -ч— = -z— Л -5— 4- и !- и —— ; (5.1 6) г р । г р ду ду \ ду ) 1 dx 1 г \ ду ) ' ’ р = pRT', р = р (ТУ, X = X (Г). (5.17) Эта система уравнений справедлива для так называемого совершенного газа. Вязкость р и теплопроводность X для совер- шенного газа являются функциями только температуры. Наи- более распространенной является формула Саттерленда. На- пример, для вязкости р / Т \з/2 1 д- (Ts/T*) И* ~ I Т* J (T/T*) + (TS/T*) ’ где Ts — постоянная Саттерленда, равная для воздуха 102 К; Т*, р* — значения температуры и вязкости, соответствующие некоторому начальному состоянию. Широко применяются также и степенные формулы р/р* = (Т/Т*)'’* и Х/Хо = (Т/Т*)'’’, где Hi и п, —• постоянные, подбираемые для заданного диапазона изме- нения температуры и изменяющиеся в пределах от 0,5 до 1. В случае течения реального газа необходимо учесть некоторые дополнительные свойства газа (например переменность теплоем- кости ср и газовой постоянной R, зависимость р и X от давления и ряд других физических явлений, которые будут рассмотрены позднее). Уравнение (5.14) соответствует уравнению количества дви- жения в проекции на ось х. Члены, стоящие в левой части этого уравнения, называют конвективными членами. Уравнение не- разрывности (5.16) выражает собой закон сохранения массы. Третье уравнение (5.16) также имеет простой физический смысл, представляя собой математическое выражение закона сохранения энергии. Левая часть соответствует конвективному выносу энер- гии из элементарного объема. Первый член в правой части опре- деляет подвод тепла теплопроводностью; второй член и (др/дх) 112
Рис. 5.2. Схема пограничного слоя в сверхзвуковом сопле соответствует работе сил давления. Величина Ф -- р (ди/ду)* называется иногда диссипативным членом уравнения и опреде- ляет количество тепла, выделяемое в объеме необратимым обра- зом при работе сил трения. Краевыми условиями являются условия прилипания у стенки при у = О, Т = Tw.(x), и ~= 0, v = 0 и условия вне слоя у оо; и -> up, Т 7\. Для решения системы уравнений (5.14) ... (5.17) в частных производных необходимо задать также начальные значения по х. При х = х0; и = f (у)-, Т = / (у). Уравнения выписаны для течения вдоль плоской поверхности. В случае двухмерного течения вдоль искривленной стенки ко- ордината х направляется вдоль поверхности, а у — по нормали к ней (рис. 5.2). Если толщина пограничного слоя 6 мала по сравне- нию с радиусом кривизны образующей г, то такая система коорди- нат будет приближенно ортогональной, и уравнения останутся без изменения. Из оценок, которые можно сделать для этого слу- чая, следует, что 9 или ду г ду г Если г' ~ 1, то др' /ду’ ca. 1 и Др ~ 8/1, где I — продольный размер тела. Под действием центробежных сил перепад давлений в пограничном слое на теле с криволинейной образующей хотя и остается малым, но значительно больше, чем на пластине. В слу- чае осесимметричного двухмер- ного течения, например при внешнем обтекании осесиммет- ричного тела и при течении в сопле (см. рис. 5.2, 5.3) уравне- ния движения и энергии остают- ся без изменения, а, уравнение неразрывности при 8/R<£ 1 имеет вид (5.18) Рис. 5.3. Схема образования погранич- ного слоя на теле вращения с криво- линейной образующей 113
где /? = /?(%) — радиус вращения, т. е. расстояние по нормали от оси тела до точек образующей. Существуют преобразования переменных, с помощью которых система уравнений пограничного слоя на осесимметричном теле приводится к виду, совпадающему с видом уравнений для пло- ского течения. 5.4. ВТОРАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Для того чтобы лучше представить физическую кар- тину теплообмена при переходе от малых скоростей к большим, приведем уравнение энергии к новому виду. Умножим уравнение движения (5.14) на и и сложим его с урав- нением энергии (5.16). Будем учитывать, что и и и э / ди\ = д Г . ду V ду ) ду |_г ду J г \ ду ) Используя связь между статической температурой и темпера- турой торможения dT0 = dT + d~, получим вторую форму уравнения энергии: омг । оог дТ° д (у дТ^\ \ д 1 у кт р л дх + риср ду - ду у ду J + ду ^1 Рг ) ду J. (5.19) Наиболее интересный вид это уравнение принимает при Рг = 1, что приближенно справедливо для газов: с7'г, , дТ 0 д дТ0 \ ОЛ. Р“Ср дх ^~?VCP ду ~ ду ду)' (5'2°) Полученное уравнение по виду совпадает с уравнением (5.16) без двух последних членов, только вместо температуры газа в нем стоит температура торможения. Уравнение (5.16) без двух последних членов соответствует случаю течения при малых зна- чениях М, когда можно пренебрегать выделением тепла от трения и сжатия. Теплообмен при этом происходит только из-за разности между статической температурой потока и температурой стенки. При малых скоростях потока мы использовали понятие коэф- фициента теплоотдачи, записывая выражение для теплового по- тока в виде qw = а (То1 — Tw). Здесь отражен тот факт, что теп- ловой поток тела тем больше, чем больше перепад статических температур потока и стенки. При больших скоростях (при Рг = 1) уравнение энергии (5.20) сохраняет такой же вид, как и при малых скоростях, но вместо температуры газа в нем стоит температура его торможе- ния. Теплообмен в этом случае определяется перепадом между температурой заторможенного потока и температурой стенки Tqi Tw. 114
Выражение для удельного теплового потока при Pr = 1 можно записать по аналогии с формулой для малых скоростей: = а (Л1 — Tw), (5.21) где коэффициент теплоотдачи а может не совпадать с его значе- нием при малых скоростях и должен быть определен из решения уравнений пограничного слоя. Однако, поскольку главная ве- личина, определяющая теплообмен при больших скоростях, — перепад температур торможения — выделена в виде множителя, то отличие в а при малых и больших скоростях не очень велико. В соответствии с формулой (5.21) поток будет нагревать тело (qw > 0), если Т01 > Tw. Статическая температура в потоке может быть выше или ниже температуры стенки. В последнем случае нагрев будет происходить из-за преобразования кинети- ческой энергии газа в энтальпию в пограничном слое. Подробнее это явление будет рассмотрено в разд. 5.7. 5.5. ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ К УРАВНЕНИЯМ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Прежде чем перейти к рассмотрению известных реше- ний системы уравнений (5.14) ... (5.17), остановимся сначала на некоторых соображениях подобия, которые должны показать, от каких безразмерных параметров зависят эти решения. Приведем уравнения к безразмерному виду, используя в ка- честве масштабов значения параметров газа в набегающем по- токе рн, цн, Хн. В качестве масштаба для продольных размеров возьмем характерный размер тела /, для поперечных размеров — масштаб //]/ Re, имеющий порядок толщины слоя б. Соответственно, для продольных скоростей используем мас- штаб цн, а для поперечных — uH/]/”Re. Масштабом температуры может служить, например, перепад (Тон — Tw). Уравнения в без- размерной форме будут иметь вид (ср = const): , , ди' . , , ди' др' , д ( . ди' \ р и + р v -з-г =--------------- 4- -5-7- ц' -5— (5.22) г дх' 1 г ду дх ду \' ду,Г - ' , , дТ' , , дТ' 1 д (., дТ" \ . Р U —Х~,--R Р V -- --g----5— | X ~х~Г~ ) + дх 1 г ду Рг ду К ду ) ‘ 2 + т ) [у + “'#]• (5-23) ср U он 1 w) L \°У / ох J Граничные условия в безразмерной форме имеют вид: при у = 0 и—О, Т' = 7\,/(Г0н — Tw); при t/->oo u'->ujua, (5.24) Законы изменения вязкости и теплопроводности в выражении (5.17) возьмем в простейшей форме p/pH = Х/Хн — = (Т/Тн)^. 115
Величина, стоящая перед квадратными скобками в уравне- нии (5.23), может быть представлена через известные критерии подобия: и« Т (к—1) М» ср (Т’он — Тд,) срТа Тоа Tw _ 1)у2Мд + 1 — T'wi'^-я ' где k — cp)cv — показатель адиабаты. Как видно, в уравнения и в граничные условия входят без- размерные величины — определяющие критерии подобия — М —- Иц/Вт — Tw/1 н, 71^, /Ы. (5.26) Число Рейнольдса не входит непосредственно в систему (5.22) ... (5.24), что связано со специальным выбором масштабов для длин и скоростей в поперечном направлении так, что безразмерные значения у' = y/l j/"Re и v' = v/uH]/~Re имеют одинаковый по- рядок с х' = х/1, и' = н/ии. В практических задачах требуется определить значения удель- ного теплового потока в стенку и напряжения трения: - НЯ-=(Я),-.-Я1; <5-27> / ди \ / ди' \ VRe оо. ~ ду Л=о ( ду' )у'=о I ‘ (5’28^ Безразмерные значения (-ч-т- Соответствующие безразмерные критерии подобия можно пред- ставить в виде: Nu = qwlT . г СрТЯ; (5.29) __У %) / дм f ~ 1 „ „2 ~ Нн \ ду’ Л’.- о 1 2 Рн н 2 и (•^7-') должны быть р’=о к ду /р'-о получены из решения системы уравнений (5.22) ... (5.23) и за- висят только от определяющих параметров (5.26). Следовательно, для ламинарного течения критериальные урав- нения для расчета теплообмена и трения в точках поверхности х' — х/1 имеют вид Nu/Re = /1(M, Pr, Tw/Tn, k, nY, п2, x/l); (5.31) CfVRe = /2(М, Pr, TwjTn, k, Пг, n2, x/l). (5.32) Таким образом, при расчете ламинарного теплообмена и тре- ния нет необходимости определять отдельно Nu и Cf, а можно вычислять комплексы Nu/У Re и С{ Re и далее по значениям этих комплексов определять коэффициент теплоотдачи а и на- 116
пряжение трения тш. Эта особенность является общим свойством ламинарного течения. Если определить то Nu . Nu -1 I ]/Re ' ,11н Р Н^" т) Используя далее условие Лп == —=—•, получаем Ргп а — Nu 1 СР . ' у "Re * / Ргн ’ (5.33) аналогично = -у Cf /Re В этих формулах значения Nu/V^Re и СД/Т^ё представляют собой некоторые искомые безразмерные числа, зависящие от оп- ределяющих критериев подобия в соответствии с формулами (5.31) и (5.32). С учетом результатов, полученных в разд. 5.2, можно утверждать, что для ламинарного течения в общем случае справедливы зависимо- 6 1 v 1 а 1 ти, 1 I У Re ин V Re Рн“нср /Re VRe Рассмотрим далее безразмерное уравнение (5.23). Если отно- шение Tw/Ta отлично от единицы, то, как видно из уравнения (5.25), влияние двух последних членов будет существенным только при большом М и пренебрежимо мало, если М -> 0. Это согласуется со сделанным в предыдущем разделе выводом о том, что выделение тепла при трении и сжатии существенно только при больших значениях М. (Если =1, то нагрев может вызываться только трением и сжатием и последние члены в уравнении (5.23) остаются конечными также и при М 0. Поскольку нагрев при этом пренебрежимо мал, то этот случай имеет чисто академическое значение.) 5.6, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Одной из интегральных характеристик пограничного слоя является толщина вытеснения «о <5'34) о Интегрирование от 0 до оо означает, что значение верхнего предела интеграла превышает значение толщины слоя 6. Физиче- 117
ский смысл толщины вытесне- ния следует из выражения оо 6*Pt«i = j (Pi«i — pu)dy. ° (5.35) Интеграл соответствует умень- шению расхода жидкости, проте- Рис. 5.4. Схема отклонения линий то- ка внутри пограничного слоя; 1 — граница слоя; 2 — линии тока кающей вдоль поверхности, из-за образования пограничного слоя. Из-за уменьшения расхода линии тока вблизи поверхности от- клоняются так, как это было бы при обтекании идеальной жидко- стью некоторого более толстого тела (рис. 5.4). Отсюда следует, что толщина вытеснения представляет собой некоторое условное расстояние, на которое нужно отодвинуть стенку, чтобы при обте- кании тела идеальной жидкостью получить распределение дав- ления таким же, как и при обтекании истинного контура тела вяз- кой жидкостью. Следующая интегральная характеристика пограничного слоя — толщина потери импульса 6** — выражается формулой 5** = С С1 _ dy. (5.36) J Р1Щ \ щ ' о Величина 6** характеризует потерю количества движения из-за трения. Физический смысл величин толщины вытеснения и толщины потери импульса можно выявить из рассмотрения ин- тегрального уравнения импульса. Для вывода интегрального уравнения используем уравнения (5.14) и (5.18) для осесимме- тричного течения. Приняв R = const, можно будет легко полу- чить соответствующее соотношение для плоского течения. Используя уравнение Бернулли для идеального газа и уравнение неразрывности для осесимметричного течения (5.18), преобразуем уравнение (5.14) и получим i (RpU") + (КCUV) _ ЯрА (J + Я ± ) . (5.37) Умножая обе части уравнения (5.18) на иг (х), получаем д (pRuui~) । д (pRvud _ nn„ dui дх ' ду RpU дх (5.38) Вычитая почленно обе части уравнения (5.37) из уравнения (5.38), имеем ~ [pRu (их - и)] + [pRv (Ы1 ~и)] + Rd-^ (plU1 - pu) = ' R 'ду (? дуУ (5.39) 118
Интегрируя обе части равенства поперек пограничного слоя от 0 до оо, получаем интегральное уравнение количества движения + § /?Р1М’ = R^, (5.40) где 6** и 6* / ди \ ~~ V ду ) у^о определяются выражениями (5.34) и (5.36); — Для случая течения вдоль пластины без градиен- та давления при R = const ^(р>«?6**) = тда. (5.41) Сопротивление трения пластины шириной Ь, длиной I будет равно i W = b \xwdx = b^u\e\ (5.42) о Таким образом, 6** в этом случае определяет суммарное сопро- тивление трения. Покажем, что этот вывод справедлив и в общем случае течения на поверхности тела с криволинейной образующей (рис. 5.5). Сопротивление тела произвольной формы складывается из со- противления давления и сопротивления трения. Сопротивление давления при наличии пограничного слоя изменяется, во-первых, из-за оттеснения линий тока. Однако это сопротивление не свя- зано непосредственно с вязкими потерями и может быть компенси- ровано путем исправления контура тела на толщину вытеснения. Во-вторых, сопротивление давления может измениться от того, что в пристеночном слое на криволинейной поверхности инерцион- ные центробежные силы будут различными в случае распределения скорости и плотности, соответствующих течению идеальной жид- кости, и в случае распределения скорости и плотности, соответ- ствующих пограничному слою. Это изменение давления дает вклад в потери импульса в сопле и может быть названо вязким изменением давления. Рассмотрим влияние этих факторов на примере течения в сопле, хотя выводы останутся справедливыми и для случая внешнего обтекания тела. Пусть параметры идеального сопла (без трения) заданы: G — расход; иа, ра, ра — скорость, давление и плотность на срезе сопла (см. рис. 5.5). Если кон- тур сопла исправлен (расши- рен) на толщину вытеснения, то эти величины останутся без из- менения в реальном сопле. Рис. 5.5. Схема расчета потерь на тре- ние в сопле 119
Потери тяги в таком исправленном сопле из-за поверхностного трения и изменения сил давления X X W = 2л J Rxw cos <р dx — 2л J ptR sin <p dx о о *ид + 2л j pxR sin ф dxt,a, (5.43) о где R — радиус Ьращения (расстояние по нормали от оси сопла до точек образующей); <р — угол между касательной к образующей сопла и осью; — давление на стенке сопла; индекс «ид» отно- сится к идеальному (не исправленному на толщину вытеснения) соплу. Обозначим Rn (х) радиус кривизны образующей исправленного сопла в меридиальной плоскости. Так как приращение dx„R свя- зано со значением dx соотношением dxajl = dx (1 —• 6*/Rn), то X X W — 2л j Rxw cos ф dx — 2л j A (px7? sin ф) dx о о — 2л j pr sin ф6*/7?п dx. о Первый член в уравнении (5.44) определяет силы трения, вто- рой — вязкое изменение давления, третий — увеличение силы тяги из-за увеличения поверхности сопла. Для учета влияния центробежных сил инерции используем уравнение импульсов в проекции на ось у I dp |_РЦ1 I rfF | Rn ' (5.44) (5.45) Значение dp/dy < 0, если ось у направлена к центру кривизны. Если контур исправлен на толщину вытеснения, то давление р' на некоторой линии тока вне пограничного слоя одинаково в идеальном и реальном соплах, а на стенке оно различно в резуль- тате разного действия инерционных сил: у' у' So Г о о ^Ldy = p' +И“±^-£р.б*; (5.46) Дп J Ап Ап 6* О У p^p'+\{~dy. (5.47) о Отсюда р.и? Др = л-Лид = --^-6**. (5.48) 120
Далее из геометрических соображений A sin <р = cos <р , AjR = б* cos ф; 1 _ dtp Rn ~~ dx' -у- — sin ф. rtY ’ (5.49) Подставляя эти значения в уравнение (5.44), получаем W = 2л j Rtw cos ф dx — 2л J piU2t6**R sin ф dx — о о X X С d$* С * — 2л 1 Rpi cos ф dx — 2л 1 pi sin ф cos ф б dx + о - о + 2л PiR sin <$>•&* ^dx. (5.50) о Подставляя в уравнение (5.50) значение Rxw из равенства (5.40) и используя очевидные соотношения d dtp , du. dp -J- COS Ф =------y- Sin ф И piU, =--------------r-, dx r dx r 1 dx dx ’ имеем W = 2л J ~ (Rptu26'*) созф dx + 2л j Rpiufy** dx — о о — 2л R 6* совфс/х — 2л J Ярх^-соБф dx — о 0 — 2л J pi6* cos ф dx — 2л J Rpi8* - dx = о 0 X X = 2л f ~ (jRpiufe’* cos ф) dx — 2л f (Rpi&* cos ф) dx. (5.51) CLX J uX о 0 Принимая в начале сопла б* = 0 и б** = 0, имеем оконча- тельно выражение для потери тяги, тождественно равное (5.43), W = 2л/?ара«аба‘ COS фа — 2nRapa&a СОЗфд. (5.52) Этот результат можно получить и непосредственно, сравнивая импульс в выходном сечении идеального (без трения) сопла и сопла, исправленного на толщину вытеснения, но с учетом трения. 121
Рис. 5.6. Схема вывода интегрального уравнения энергии сопла, поскольку может быть геометрии. В качестве интегральной используется толщина потери скорости внешнего потока Таким образом, толщина по- тери импульса на среде соп- ла 6J* характеризует все по- тери количества движения, связанные с вязкостью и дисси- пацией энергии. Изменение ко- личества движения, связанное с уменьшением расхода через пограничный слой, характери- зуется толщиной вытеснения и не является потерей тяги компенсировано изменением его характеристики теплового слоя энергии 6^‘. При сверхзвуковой бт“ С Т!>_ Дц .) Pi«i тп - тш ау- О (5.53) Эта величина характеризует количество тепла, потерянное пограничным слоем путем теплоотвода в стенку. Для пояснения физического смысла этой величины рассмотрим интегральное уравнение энергии. Рассмотрим осесимметричное обтекание неко- торого тела, температура которого поддерживается постоянной и равной Tw. Выделим контур abed (рис. 5.6), где линия Ьс совпадает с линией тока, а точка с находится вне пограничного слоя. Примем, что на тело набегает поток с параметрами ин, ТОн, рн. В сечении cd параметры потока вне пограничного слоя plt u1( Т01. Из условия баланса энергии тепловой поток, уходящий в стенку, Qui таЬсрРон 2лср риТ^ (R у) dy, о где таЪ — масса, втекающая в сечение ab, причем таЪ — mcd, «с поскольку Ьс — линия тока; таЪ = 2л [ ри (Д + y)dy. б Внутри тонкого пограничного слоя у/Д < 1 и так как Т01 = = 7\>н> Q.w = 2nRCppvur (Тп - Тш) f ДД dy (5.54) J PlUl 7 01 J w 0 Окончательно получаем Qw = 2^RcpplUl (Ты - Tw) 8”. (5.55) 122
X Из соотношения Qw = j 2лRqwdx следует, что о После дифференцирования уравнения (5.55) с учетом равенства (5.56) получаем интегральное уравнение энергии [ЯсРрА (Л1 ~ Tw) бД] = Rqw. (5.57) Из этого уравнения видно, что толщина потери энергии про- порциональна полному количеству тепла, отданному потоком в стенку на участке от начала развития пограничного слоя до рассматриваемого сечения, вне зависимости от распределения давления. Уравнения (5.40) и (5.57) для определения толщины потери импульса и энергии являются вполне строгими. Однако они не являются замкнутыми, поскольку для их решения необходимо иметь связь между тш и 6**, qw и 6Т’* и между 6** и 6*. Благодаря тому, что уравнения (5.40) и (5.57) не зависят от режима течения в пограничном слое и их порядок ниже, чем порядок дифферен- циальных уравнений (5.14)...(5.16), они с успехом используются в приближенных расчетах и при обработке экспериментальных данных. 5.7. ТЕПЛООБМЕН ПРИ МАЛЫХ СКОРОСТЯХ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Рассмотрим сначала случай, когда жидкость можно считать несжимаемой: р = const, ср = const, р, = const, к = — const и М«1. Дифференциальные уравнения (5.22) и (5.23) при этом получают вид (штрихи над обозначениями отброшены) ди . ди dp . д2и _ дх ' ду dx ду2 ’ дТ_ _ р. (д2Т \ U дх ' ду Рг \ ду2 / ’ а уравнение неразрывности ди dv дх “г ду (5.58) (5.59) (5.60) Тепловой поток и напряжение трения определяются формулами (5.27) и (5.28): ?Ш = МЛ-Тю)(^=о^; (5.61) / ди \ Д/Ре - \ ду ~1 (5.62) 123
Используя формулу Ньютона, получаем /-г 'г \ f дТ \ VRe = а “ г-) и а = Л ( аГЛ=0— • Граничными условиями системы (5.58)...(5.60) будут: при у = 0 и = 0, v = О, Т = Tw\ при у-*-<х> u-+ut, Т-+7\. Рассмотрим применение интегральных уравнений для расчета теплообмена в простейшем случае течения — вдоль плоской пластины (dp/dx = 0). (Строгий метод решения системы дифферен- циальных уравнений пограничного слоя для пластины будет рассмотрен в разд. 5.11.) Интегральные соотношения имеют вид d6** тю . d* ри? ’ (5.64) гй** dx _______Qw______ cpPui (7\ Tw) (5.65) Выберем подходящие выражения для распределения скорости и температуры таким образом, чтобы они удовлетворяли важней- шим граничным условиям и, кроме того, содержали два свободных параметра, которые могли бы быть определены из уравнений (5.64) и (5.65). Примем (5 66> Ьнч]='><”>>• <5-67> Здесь принято, что профили скорости и соответственно темпе- ратуры в различных сечениях отличаются только масштабом координат и что вид функций f (ц) и (т^) не зависит от х. След- ствием принятого условия, обоснованного в разд. 5.10, является также то, что отношение £ = 6т/6 — const. Результаты расчета будут тем точнее, чем ближе выбранные профили будут совпадать с истинными. Выберем вид функций таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям (5.63) и дополнительно дифференциальным уравнениям (5.58)...(5.59) при у = 0 — (d2u/dz/2)v=0 и (<?2Т/<?х2)г/=о = 0. На внешней границе у -> оо примем условие плавности сопря- жения профилей скорости и температуры с их значениями вне 124
пограничного слоя. Аппроксимируем функции f и f1 полиномами третьей степени: -±- = а0 4- ajTj 4- а,ц2 4- й3ц3; (5.68) и1 ур--п?~ — бо Ч- i’l'Hi 4~ 62Л1 4~ бзт]р (5.69) 1 1 1 W Для определения коэффициентов a-t и bt используем восемь условий на границах, оставив значения 8 и 6, свободными пара- метрами. Тогда получаем « _ 3 У ' ( У V . /К -7СЛ «! “ 2 б 2 к 6 / ’ <5-70) т Тщ _____ 3 у_____1 / У V /е Ч . 'Л - То, " 2 бт 2 к 6Т / ’ 1 ' Толщина потери энергии может быть представлена в виде «т б"= (ЧИ1 ~ = J ^1 \ * 1 1(1)/ о «г о Если £ не сильно отличается от единицы, то, интегрируя, полу- чаем e;'-«(4?-is‘)- <5-72) Соответственно толщина потери импульса 49 6** = 6<g; (5.73) напряжение трения на стенке " И к ду Jy^o ~ *2~ “Г ’ (5-74) тепловой поток в стенку п __ а I дТ I __ 3 « 7\ Tw 3 1 7\ — Tw .г 4w~ Ч —з;——§—• <5-75) Подставляя выражения (5.72) и (5.73) в интегральное уравнение импульса, имеем <5-76) Ри1 б = 4,64 1/^. (5.77) Г Р^! 125
Отсюда напряжение трения на стенке З^УЖ= 0,323. (5.78) Р«! Подставляя выражения (5.72) и (5.75) в интегральное уравне- ние энергии (5.65), получаем (при £ = const) =4~^—dx- (5-79) \ 20 ъ 280 ъ J 2 Cppuj v ’ Разделив почленно левую и правую части уравнения (5.79) на уравнение (5.76), имеем W =-У’- Ж <5-80» Пренебрегая вторым членом в правой части, найдем (5.8!) Подставляя равенства (5.77) и (5.81) в выражение (5.75), имеем выражение для теплового потока УЖ = 0,323 Рг~2/3, (5.82) pitjCp 7 или, сравнивая с выражением (5.78), Сн = -LCf Рг“2/3 = Рг”2/3, (5.83) где Сн = --тг-г и коэффициент трения Cf = . Точные решения для этого случая дают другой численный коэффициент сн = 4- С/Рг~2/з = 44^-Рг~2/3 • (5 •84) У Re При значении Рг = 1 уравнение (5.84) переходит в уравнение гидродинамической аналогии между трением и теплообменом. Для этого случая справедливо также условие в чем легко убедиться, подставляя значение Т из условия (5.85) в уравнение (5.59) и граничные условия (5.63), которые становятся тождественными с уравнением Рис. 5.7. Схема развития погранично- го слоя на пластине соступень кой температуры 126 (5.58) и соответствующими гра- ничными условиями. Аналогично может быть полу- чена формула для расчета тепло- обмена на пластине, имеющей переменнуютемпературу стенки. Простейшим случаем является ступенчатое изменение темпера-
туры, когда передняя часть пластины длиной х0 имеет температуру, равную температуре внешнего потока Ти а на остальной части пластины при х/>хй поддерживается при температуре Tw (рис. 5.7). При этом на передней части пластины отсутствует теплообмен, динамический пограничный слой развивается от точки х — О, а тепловой — от точки х = хй. Отношение толщин слоев £ = = 6т/6 будет являться функцией х/х0. Решение уравнений (5.64) и (5.65) дает для этого случая Е=vW Л1 (5'86> и п 1------ 0 323Рг~2/3 / Re = .,"±12 (?! - Тю). (5.87) Поскольку задача-решалась в рамках несжимаемой жидкости, то распределение температуры не оказывает обратного влияния на распределение скорости, т. е. решение уравнения (5.64) не зависит от решения уравнения (5.65); напряжение трения при этом может по-прежнему рассчитываться по формуле (5.78). Используя линейность дифференциального уравнения энергии в несжимаемой жидкости, полученный результат легко распростра- нить на случай, когда температура пластины изменяется ступен- чато на величины АТц, А7\,2, АТ^, , ^Tw. в точках хх, х2> х3, ..., Xt. Тепловой поток в стенку может быть представлен как сумма qw = 2 а«АТ’и,г> 1 где дт1 __ 'г т и п _ 0,332Рг 2/э Piuicp А / и, — 1 1 1 w. И а,( — 3 — .... .. — (0.88) ' j / 1 — (х;/х)3/4 V Rex рассчитываются для каждого t-ro участка в предположении, что тепловой слой начинается в точке xt. 5.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И СКОРОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ ПОТОКА Рассмотрим в качестве примера течение вдоль плоской пластины. При этом dp/dx — 0 и вне пограничного слоя = = const, Т\ — const (а следовательно, и Гм = const). Если число Рг = 1 и ср = const, то’уравнения движения (5.14) для пластины и энергии в форме (5.20) примут вид: ди ди д ( ди \ п —F Pv ~ ~5~ ( И дг” Ь (5.89) 1 дх 1 г ду ду \ ‘ ду ) v ' дТа . дТ0 д / дТ0\ пп. рЦ _-L. „а(5.90) ' дх 1 ' ду ду V ду J v 7 127
Граничные условия: при у = 0 и = О, То — Tw; у —> оа и —* ult Гд —> ТQi- Уравнения (5.89) и (5.90) аналогичны по форме. Легко пока- зать, что условие (То - TW)/(TO1 - Tw) = и/иг (5.91) является решением уравнения (5.90). Действительно, если опре- делить То — (Т01 — Tw) + Tw “i и подставить в уравнение (5.90), то уравнение (5.90) и граничное условие для температуры торможения станут тождественны урав- нению (5.89) с соответствующим граничным условием. Следова- тельно, в этом случае справедливо условие подобия профилей скорости и температуры торможения (5.91). Полученное математическое условие имеет физический смысл и является следствием того, что перенос количества движения и энергии при Рг — 1 происходит с помощью одинаковых молеку- лярных процессов. При малых скоростях То — Т и, следовательно, профили ско- рости и статической температуры подобны: (Г — Ги,)/(Т1 — Tw) — = и/и^ Распределения скорости и температуры при малых скоростях потока, когда энтальпия газа значительно больше кинетической энергии (М < 1), представлены на рис. 5.8. Как видно, при приближении к стенке значения температуры газа в пограничном слое монотонно стремятся к значению, равному температуре стенки. При больших скоростях потока (М )§> 1) монотонным будет только изменение температуры торможения. Распределение стати- ческой температуры из-за выделения тепла при торможении га- за в пограничном слое может иметь другой вид, зависящий от за- и температуры в пограничном слое при М< 1: Г - 4W > о; 2 - qw < 0; 3 - = 0 Рис. 5.9. Кривые распределения температуры в пограничном слое при М > 1: i-4w> о; 2 - qw = 0; 3 - < о 128
дания условий теплообмена на стенке. На рис. 5.9 показан при- мерный вид кривых. Для исследования этих кривых рассмотрим некоторые частные случаи. 5.8.1. Теплоизолированная поверхность при Рг = 1 Рассмотрим случай, когда стенка теплоизолирована, т. е. на ней отсутствует теплообмен, и число Рг = 1. В действительности на поверхности тела всегда имеет место теплообмен в виде, например, отвода тепла внутрь тела или излу- чения во вне. Однако для исследования полезно рассмотреть некоторую условную теплоизолированную адиабатную стенку. г> - ъ /дТ \ п В этом случае тепловой поток равен нулю: q№ = I = О / дТ \ _ _ и2 дТ дТ0 и ди и -з- =0, но / = "о-к- и ------з- па стенке при \ ду Jw " 2ср ду ду Ср ду г и = 0 и поэтому {dT/dy)™ = {dTnldy)w. Уравнение (5.90) должно решаться при граничных условиях, когда при у = 0 dTJdy = 0, а при у —оо То = Т01 и имеет тривиальное решение: То = То1. Всюду в пограничном слое при Рг = 1 устанавливается по- стоянная температура торможения, равная температуре затормо- женного набегающего потока. На стенке То = Тш и, следовательно, температура теплоизолированной поверхности также равна тем- пературе торможения внешнего потока. Распределение статиче- ской температуры определяется из формулы Т = То ~—. Отсюда Т-Л + 2Г (5-92) zcp \ “1 / Температура плавно изменяется от температуры внешнего потока Ту до температуры Т01 у стенки. На рис. 5.10 приведены зависимости безразмерных величин _ и т . п г - T*~Ti и - ---, 1 — — --------- и 1 о = —------ . u(/(2Cp) от безразмерной координаты у/6. При больших скоростях потока температура газа в пограничном слое выше, чем вне его. Работа сил трения в каждой точке внутри слоя порож- дает тепло. Выделение тепла уравновешивается непрерывным отводом тепла из области с высо- кой температурой в область с меньшей темпе- ратурой. При Pr = 1 оба процесса уравкове- ^2 шаны, когда То Т + = То1. Рис. 5.10. Распределения безразмерной скорости стати- ческой температуры и температуры торможения в погра- ничном слое при = 0; Рг = 1 5 Авдуевский
5.8. 2. Распределение температуры в пограничном слое на теплоизолированной поверхности при Рг =4 1 Если число Прандтля Рг =/= 1, то на теплоизолирован- ной стенке устанавливается температура, отличная от температуры торможения внешнего потока. Для газов Рг <С 1 (например для воздуха Рг « 0,71). В этом случае температура теплоизоли- рованной стенки ниже температуры торможения внешнего потока. Обозначим температуру, которую принимает теплоизолирован- ная стенка, через Те. При Рг < 1 процессы выделения тепла вслед- ствие трения и отвода тепла теплопроводностью и конвективным переносом находятся в равенстве, при этом Те <; То. Введем понятие — коэффициент восстановления температуры г = (^-ЛЖо1-Л) или иначе Г = Те=Л+г^-= = 7\(1 +г-^^Мг). Коэффициент восстановления температуры г показывает, какая доля кинетической энергии внешнего потока затрачена на повыше- ние теплосодержания газа у стенки. При ламинарном течении вдоль плоской пластины г^]/Рг. Для воздуха г « 0,84 и Л = 71(1 + -^4 /PFM?) (5.93) или при k = 1,4 Те = 7\ (1 + 0,168 М,). Распределение скорости, статической температуры и темпера- туры торможения на теплоизолированной поверхности при Рг <Z 1 показано на рис. 5.11. Как видно, температура торможения у стенки ниже температуры торможения внешнего потока. Из этой области часть энергии передалась во внешнюю часть пограничного слоя, вследствие чего температура торможения в этой части стала больше температуры торможения внешнего потока. В случае, когда скорость внешнего потока переменна (ut =/= const и dpjdx =/= 0), коэффициент восстановления изменяется по длине. Расчеты показывают, однако, что местное значение Те — 7\ й -V7-H—достаточно близко к его значению на пластине г»]/"Рги коэффициента восстановления г 2ср и? i /—— \ 1 +4 ГРг- 1 -(5-94) “н Рис. 5.11. Распределения безразмерной скорости, стати- ческой температуры и температуры торможения в погра- ничном слое при qm = 0; Рг < 1
В передней критической точке, где =0, Те = Топ; в точках, где скорость близка к максимальной, т. е. где Umax/(2cp) = То,,, Те « V Рг ТОн • 5.8. 3. Распределение температуры в пограничном слое сжимаемого газа на пластине при теплообмене Рассмотрим сначала случай Рг = 1. Тогда (То— — TW)/(TO1 — Tw) = u/Uj. Учитывая, что То = Т + и2/(2ср), после преобразования получим 2 Г =Г. + (Т,- П.)ф + Дф(1 (5.95) Так как =-^-^-М12Т1, то ~ — f 1 _JL). (5.96) 7\ Л \ Т\ ) их 1 2 «1 \ «1 / ' ' Если число М мало (М -> 0), то получается известное соотно- шение для малых скоростей (Т - 7Д)/(7\ - 7Д) = u/uv Распределение температуры и скорости поперек пограничного слоя показано на рис. 5.12. Для случая Рг = 1, если Tw < Т01, стенка будет нагреваться. При Tw > Т01 стенка будет охлаждаться; при Tw = Т01 тепловой поток qw = Kw (dT/dy)w = 0. Если Tw <' То1, то кривая распределения температуры имеет максимум. Во внешней части пограничного слоя газ нагревается от трения. Внутри пограничного слоя температура газа может быть значительно выше температуры потока. Нагретый газ далее передает тепло к стенке. Из-за отвода тепла б стенку температура газа вблизи стенки понижается и непосредственно на охлаждаемой стенке (dT/dy)w > 0. Оценим максимальное значение температуры. Полагая Рг = 1, дифференцируем выражение для определения Т по у и приравни- ваем производную дТ]ду нулю. Зна- чение Тщах определится по формуле Emax Tw 1 / 1 — ТW]T; . \ Eol - Tw ~ ~4 k - 1 М2 ‘ • \ 2 1 / (5.97) Рис. 5.12. Распределение безразмерной скорости и температуры при наличии теплообмена (Рг = 1): ’ Г Tw < Дг г ~ Д, = Дг 3-Tw> То1; 4 - n/Ui 5*
Если М > 1 при Tw ж Tlt то (Тшах — TW)/(TO1 — Tw) = 1/4. Например, при числе полета Ма 20 = 250 К; Tw » 1000 К; Ещах ~ 5700 К. Таким образом, хотя температура потока у стенки не превышает 1000 К, внутри пограничного слоя устанавливается весьма высокая температура. Если Рг 1, то распределение температур на стенке с тепло- обменом имеет аналогичный вид. Однако, поскольку при отсут- ствии теплообмена на стенке устанавливается температура, отлич- ная от температуры торможения (Те Т01), стенка будет охлаж- даться внешним потоком, если ее поддерживать при температуре Tw > Те, и будет нагреваться внешним потоком, если ее поддер- живать при температуре Tw <Z Те. 5.9. КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ Как уже указывалось, при больших скоростях, для того чтобы учесть выделение тепла из-за диссипации кинетической энергии при Pr = 1, формула для расчета теплообмена должна быть записана в виде 7® — а (T’oi Т ®)> (5.98) где Т01 —• температура торможения вне пограничного слоя, характеризующая полную тепловую энергию потока. Однако, как следует из рассмотрения распределения темпера- туры на теплоизолированной поверхности при Рг 1, в тепло на стенке преобразуется только часть кинетической энергии. Максимально допустимая при этом температура Те ~ Т\ + + ги*/(2ср) может быть использована как величина, характери- зующая тепловую энергию внешнего потока для расчета тепло- обмена, и выражение для расчета теплообмена может быть записано в виде qw = ^(Te-Tw). (5.99) Эта формула имеет еще то преимущество, что в случае тепло- изолированной стенки, когда Tw = Те, при любом а значение qw = 0. При Рг = 1 формулы (5.98) и (5.99) совпадают. Следует указать, что в формуле (5.99) значение Те является некоторой эффективной температурой, численно совпадающей с температурой теплоизолированной поверхности. Внутри погра- ничного слоя на охлаждаемой поверхности температура во всех точках меньше, чем Те. 5.10. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТРЕНИЕМ И ТЕПЛООТДАЧЕЙ В разд. 5.6 при расчете пограничного слоя на плоской пластине в несжимаемой жидкости методом интегральных соотно- шений были получены выражения (5.83) и (5.84), связывающие 132
между собой коэффициенты трения и теплообмена при малых скоростях потока. Покажем теперь, что, используя определение коэффициента теплообмена по формулам (5.98) и (5.99), можно получить аналогич- ные более общие выражения, справедливые при течении газа с большими скоростями. Напряжение трения определяется по формуле ____ ( ди \ ___ Zди\ _ _________ и Т“’_ ~ Для случая течения вдоль плоской пластины при Рг = 1 справедливо условие (5.91). Тогда iw = -„г—( ~а - ,а при 1 01 * w \ иу / w .. _ л ( дТр X _ / дТ X ______ ___На>ц1___л / дТ X У \ ду Jw \.-ду )w’ ш 'Ч ду к Поскольку JWp . , ( дТ X Рг ~ ~ 1 И (. ду L ~ <7“” тп — — _ ui ср (Т<н Тоу) Переходя к безразмерным величинам, получаем-------—=—г = Р1ц1ср U 01-' w) "TfM ’ откуда St = 4-Cy. (5.100) Используя условие Nu — St Re Рг, можно записать вместо (5.100) Nu = 4-C/Re. (5.101) Найденные выражения являются условием аналогии между теплообменом и трением. Уравнения (5.100) и (5.101) справедливы при больших и малых скоростях. Если число Рг =£ 1, то в эти уравнения необходимо внести поправки. Аппроксимируя расчеты, проведенные на пластине при Рг =/= 1, получаем уравнение Nu =С/Re Рг1/3. (5.102) При этом коэффициент теплоотдачи а определяется в соответствии с формулой (5.99). В потоке с продольным градиентом давления эта связь имеет более сложный вид: Nu == SC/RePrn, (5.103) где S и п зависят от распределения давления. 133
5.11. ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТЕЧЕНИИ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ Рассмотрим простейший случай течения вдоль плоской пластины, когда скорость и давление потока вне пограничного слоя постоянны. Этот случай имеет большое практическое значе- ние. При обтекании боковой поверхности корпуса летательного аппарата поверхности крыла сверхзвуковым потоком и в ряде других случаев изменение давления незначительно и для расчета теплообмена можно использовать формулы, полученные для пластины. Рассмотрим пластину (см. рис. 5.1). Параметры течения вне пограничного слоя ut = мн; рх = рн; Т„ = Т\. Уравнения погра- ничного слоя имеют вид (5.14)...(5.16) при dp/dx = 0. Для опреде- ления теплового потока будем использовать соотношение (5.99) и соответственно Nu = .-. (Д-ГДХн (5.104) Поскольку --------~~ = f (М, Рг), общий вид критериальных 'ОН ' W зависимостей (5.31)...(5.32) остается без изменения. Однако на пластине нельзя указать характерный размер I, входящий в опре- деляющие критерии подобия. Действительно, тепловой поток в какой-либо точке пластины не должен зависеть от изменения общей длины пластины I. Это связано с тем, что вверх по потоку в направлении уменьшения х влияние длины пластины через тонкий пограничный слой, описываемый дифференциальными уравнениями параболического типа, передаваться не может. Физически точки, лежащие ниже по потоку, оказывают влияние на точки вверх по потоку, однако оно заметно только на расстоянии порядка толщины слоя 6. Поэтому пластину длиной I можно рассматривать как полубеско- нечную. Отсюда следует, что в критериальных зависимостях (5.31), (5.32) необходимо отыскать такую комбинацию переменных, при которой выпадает длина I. Исходя из этого, получаем условие Nu/]/Re~ (х//)-1/2 и C/]/"Re ~ (х//)~1/2, и критериальные зависи- мости для течения на пластине приобретают вид NuJ/Ж = /3(М1; Pr1; TJT,, k, nlt nJ, (5.105) Ct KRe^ = /4 (Mi, Piy, TWIT\, k, nlt nJ, (5.106) где Nux = ax/%!; Рех = -1^-. Hi Аналогично можно получить выражение для размера погра- ничного слоя, например для его толщины: £ х Rex = A(Mi, Рг> tw/t\, k, П1, nJ. (5.107) 134
Для любой точки х пластины при ламинарном режиме а ~ 1 /]/х, т№ ~ 1 6 ~ ]/~х, v ~ 1 !У~х- Из формулы (5.105) следует очень важный вывод, что в любой точке пластины отношение Nux/]/Rex постоянно. Поэтому, при расчете теплообмена целесообразно не рассматривать отдельно критерии подобия Nux и Rex, а использовать новый комбиниро- ванный критерий Nux/]/Rex, что и будет нами сделано при расчете теплообмена. Отнеся физические параметры р, р, X к условиям при темпе- ратуре стенки Tw, получаем расчетные формулы: _ Nuo, 1/ ср (Te — Tw) где + (5.109) а со = ^1м? (5.110) и = 4 ]/ и^~-. (5.1Н) В этих формулах остаются неизвестными численные значения комплексов Nuw/]/ Re№ и (С/)ШУ Rew, являющиеся функциями опре- деляющих критериев подобия Мп Ргю, ТуТг, k, пг, п1. Вид этих функций может быть получен на основании решения уравнений (5.14)...(5.17) или из экспериментов. 5.12. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА ПЛАСТИНЕ Уравнения пограничного слоя в частных производных для пластины могут быть преобразованы в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Такая возможность связана с тем, что профили скорости и температуры в разных сечениях подобны друг другу в переменных у/Ь, или с учетом уравнения (5.107) имеет место условие u/uj = и (?]) и T/Tt — Т Си), где г] = у X V 2 щх ' о Уравнения пограничного слоя (5.14)...(5.17) с учетом условия dpjdx — 0, справедливого при обтекании плоской пластины, 135
после перехода от независимых переменных х, у к переменным х, Т] приводятся к виду (Т| j pudt]) й' — (Й-й')'; (5.112) о /п \ -( jpudT]ir= (£?)' + Й(«')2(*- 1)М?. (5.113) Здесь Т' = dT/dr\; и' = du/diy, р = р/рг; „2 ^==(й-1)м|; ц = Ср/ ! Ц1 Л Обозначая jpudt]== W; и' = т; Т — q, получаем'систему пяти о обыкновенных уравнений первого порядка й' = т; W’ рй; (йт)' = — tW; Т'~= q; (5.114) (-£?)' ^-qW-^(k- 1)М? с граничными условиями: при z/ = Ou = IF = O, Т = Tw; при у -> сю й -> 1, Т —> 1. Система (5.14) может быть решена с помощью ЭВМ одним из стандартных методов. Результаты расчетов системы (5.114), проведенных в широком диапазоне изменения М, Tw/T\, Рг и при различных предположениях о зависимости вязкости и теплопро- водности от температуры, могут быть представлены в виде NuJ/Re^ = 0,332 Рг1/3#. Соответственно из уравнения (5.108) следует: qw = 0,332# ]/ ср (Т е - Тш) Рг~2/3 - = 0,332# PwU^p Т~ Рг—2/3. (5.115) Ж Средний тепловой поток на пластине длиной х определяется по X формуле <7ср = 1/х J q^dx = 2qw, а полное количество тепла, пере- о данное стенке с шириной, равной единице, — по формуле Qw dcp-^7=1 (5.116) Коэффициент # — фактор, учитывающий влияние сжимаемости: # = / (со, Tw/Tlt пъ п2). 136
Рис. 5.13. Распределение безразмерной скорости и температуры в пограничном слое при различных числах М на теплоизолированной поверхности Т~ Т — Т\ = ч?/(2Ср) Рис. 5.14. Зависимость 2Nu/(VR^Pr1/3) от М и TjTi Для значения /С можно предложить различные аппроксимацион- ные зависимости. Например, используя представления о форме профиля температуры (5.117) Здесь индекс « * » означает, что данная величина отнесена к максимальной температуре Т* ~ Т,„,^ [см. формулу (5.97)], либо Т* ~ Tw, если Та, > Те, либо Т* ~ Т1г если со < 1 — TWIT\- При использовании понятий определяющей температуры 7(о) = + 0,5 (Та, — Л) + 0,22 со получим /||(°)010) \0’5 Рг ТУ' __ I И Р I * ~ \ ) Рг(о) ’ (5.118) где верхний индекс «о» означает, что соответствующие величины берутся при определяющей температуре. В формулы (5.118) и (5.117) не входит в явном виде отношение температур (Tw/T^, поэтому они пригодны при различных зави- симостях физических свойств от температуры. Если р ~ Тп, Z ~ и Рг = const, то результаты расчета хорошо аппроксими- руются зависимостью п—1 К = /_РА_у/2 f 0,45 4-0,55^ +0,18со Рг'/2) 2 . (5-119) В выражении Те = Тг (1 ф- гео) в диапазоне изменения пара- метров воздуха коэффициент восстановления г = 0,84. Возможность подбора простых аппроксимирующих формул связана с относительно слабым влиянием М и Тда/Т1 на теплоотдачу и трение. В частности, если п = 1 и р ~ 1/Т, то Д’ = 1 и влияние сжимаемости на теплообмен на пластине исчезает. Профили скорости и температуры и толщина пограничного слоя существенно зависят от значений М и Т^Т^ На рис. 5.13 137
приведены результаты расчетов для теплоизолированной поверх- ности при различных М и п = 0,75, Рг = 1. По оси ординат отло- жена безразмерная координата т] = ~]/Rex. Как видно, при уве- личении М толщина пограничного слоя растет, а профили скорости становятся более прямыми. На рис. 5.14 представлены кривые зависимости 2Nu/(]/Re1Pr1/3) от М и ТW[Ti при п = 0,5. 5.13. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ПЕРЕМЕННОМ ДАВЛЕНИИ ВНЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В общем случае произвольного распределения давления вне пограничного слоя для расчета теплообмена необходимо решить систему уравнений пограничного слоя в частных производных. В настоящее время разработан ряд эффективных численных мето- дов решения такой системы на быстродействующих вычислитель- ных машинах. Наряду с разработкой общих методов расчета теплообмена при произвольном распределении давления возможны решения в некоторых важных частных случаях распределения скорости вне пограничного слоя путем преобразования системы уравнений (5.14)...(5.17) в систему обыкновенных дифференциальных урав- нений. Такие решения называются подобными. Распределение скорости вне пограничного слоя зависит от конкретной формы тела и условий его обтекания и может быть самым различным (рис. 5.15, 5.16). Если скорость потока вне пограничного слоя в несжимаемой жидкости изменяется по закону = fixm, где х — расстояние от начала развития пограничного слоя, то при введении специальных переменных система (5.14)... (5.17) может быть преобразована в систему обыкновенных диффе- ренциальных уравнений. Это является справедливым, если значе- ния скорости существенно меньше скорости звука (Мх = « 1). Рассмотрим случай, когда жидкость можно считать не- сжимаемой: р = const, ср = const, v = р/р = const, Рг — = const и Мг 1. Рис. 5.16. Кривая рас- пределения скорости в до- звуковой части сопла Рис. 5.15. Схема обтека- ния сферы сверхзвуковым потоком: 1 — ударная волна; 2 — критическая точка 138
Уравнение Бернулли для струйки тока вне пограничного слоя имеет вид Тогда дифференциальные уравнения пограничного слоя в рассмат- риваемом случае принимают вид ди , ди и -z Р V -у- = V дх 1 ду д2и . (1иг dy2'Ui~dx' (5.121) дТ , дТ v д2Т U + v -7Г = дх 1 ду Рг ду2 ' (5.122) ди dv дх ду = 0. (5.123) Для построения решения введем новую зависимую переменную ф, называемую функцией тока и заданную соотношениями и = ^; u = (5.124) ду дх х ' При переходе к переменной ф уравнение неразрывности выпол- няет^ аналогично. Выберем некоторый характерный масштаб пограничного слоя S (х), не уточняя пока его форму, и введем безразмерные пара- метры T] = y/S-, й = и/и1-, f = ф/(п15). (5.125) Распределения и в различных сечениях будут подобными, т. е. отличающимися друг от друга только характерными для данного сечения масштабами скорости и длины, если функции й и f зависят только от координаты т]. Аналогично функция 0 тоже должна зависеть только от т]. При переходе к новым переменным уравнение (5.121) примет вид /+ ff = О, где штрих означает производную по х, а точка — по т]. Для того чтобы решения этого уравнения были подобными, величины и'гЗг1х и u^S'S/v должны быть произвольными констан- тами. Поставим условие, что коэффициент при ff равняется единице. В результате имеем дифференциальное уравнение u[S2 + u^S'S = — v, решая которое с учетом того, что щ = [Дт и полагая S (0) = = 0, получим ________ 1~т 5=1/тягот* 1 • <5J26> + <5-127) 139
Уравнение энергии (5.122) при переходе к новым переменным примет вид 0 + Рг/0 = 0. (5.128) При этом мы приняли допущение, что Tw и 7\ не зависят от координаты х. Уравнения (5.127) и (5.128) решаются с граничными условиями: при т] = 0 f — t = 0, 0=0; при т] -> оо / -> 1, 0 -* 1. Это следует из условий (5.63). Уравнение (5.127) интегрируется численно. При заданной функции f (rj) уравнение (5.128) решается аналитически (5.129) Получив функции f (rj) и 0 (т]) можно определить выражения для напряжения трения xw и теплового потока в стенку qw: \ оу / w о (X) (5.130) ИСр(Л - гш) д(0) Рг S (х) ° (5.131) Величина f (0) зависит от пг, а 0 (0) от пг и Рг. Рассмотрим некоторые примеры течений. 1. Плоская пластина. В этом случае 0 = и1У т — 0. Тогда из (5.126), (5.130) и (5.131) следует: 5(х)=1/Ж; = 4 ' V Р«1 " х т/У п __ 1 / PU1P- ® (0) СР /гр /р X " V Т~ ~у1Г'Pr~1~ 1w>- При т = 0 f (0) = 0,4696, а функция критерия Рг -► 0 (0) хорошо аппроксимируется зависимостью 0 (0) = 0,4696Рг1/3. С учетом этого получаем уже известные нам критериальные зависимости — с — Таг — °’4696 1 f Н _ 0.332 . 2 f ~ pul ~ Д/2” ₽«1* ~ урт; ’ Nu, 1/-^ 0Л696Рг1/3 Срх = 0332-j/R^- рг>/з. * х т/2 * г А 2. Течение в окрестности передней критической точки (см. рис. 5.15). 140
В этом случае т — 1, откуда (5-132) ^ = KphF4(0); (5.133) qw = ppp© (0) -g- (7\ — Tw). (5.134) При т = 1 величина /(0) равна 1,2326, а параметр 6 (0) аппроксимируется зависимостью 0 (0) = 0,57Рг0-4. (5.135) С учетом выражений (5.134) и (5.135) получаем формулы для критерия теплообмена и теплового потока: -7^=- = 4- ТЛЛ" = °-57 рг°-4; (5.136) qw = 0,57 Vpp0 • (5.137) Мы рассмотрели плоские несжимаемые пограничные слои. В случае осесимметричного двухмерного течения уравнение нераз- рывности имеет иной вид [см. уравнение (5.18)], однако путем простой замены переменных уравнения осесимметричного погра- ничного слоя несжимаемой жидкости сводятся к такому же виду, как уравнения (5.121)...(5.123), и решаются аналогично. Расчетные формулы для теплообмена в окрестности передней критической точки осесимметричного тела имеют вид: Nux//R^ = 0,77 Рг0-4; (5.138) ^ = 0,77У)ГррсрРг-0-6(7’1-7’[а). (5.139) В случае сжимаемого пограничного слоя (р =/= const, р const, X const) необходимо учитывать деформацию распре- деления параметров внутри слоя и, переменность произведения рр поперек пограничного слоя. Результаты численных расчетов, проведенных при различных значениях и различных зако- нах р (Т), хорошо аппроксимируются для плоского и осесиммет- ричного течений в окрестности передней критической точки сле- дующими формулами, в которых введены поправочные множители, учитывающие переменность рр: для плоского течения qw = 0,57 Г1 + 0,107 - 1 )1 (—-F X L. \ 1 он / J \ / , /----а~ Ср (Ток T’w) X Y РшРдаРш _ о'д » (5.140) г* и; 141
для осесимметричного течения дш = 0,77 Г1 + 0,074 -1)1 (-^)‘/3 X L \ 1 он / J \ / ,/-----о~ СР (Т’он — Тн) И» 06 ^Tw (5.141) Значения pw и Ргю берутся при температуре стенки Tw и давлении в передней критической точке poi = р'о (штрихом обо- значаются параметры за скачком уплотнения). Для определения параметра = (-^т) 0 воспользуемся уравнением Бернулли (5.120). Продифференцируем (5.120) по х и учтем, что при х -> 0, и -> 0, pi -> рб, р\ -> р'\. Тогда имеем 02 = к Ро д (Рт/Ро) 1_ Р рб 5(#R0)2 1Цк • Так как kp'Jp'Q = а}, где а0 — скорость звука в критической точке, то P-cirl/T- <5-142’ В случае сферического или цилиндрического затупления приближенно по теории Ньютона С1 = 1 — Рн!р0- При больших значениях Мн можно считать С« 1. Из формул (5.140)...(5.142) следует, что коэффициент тепло- отдачи в критической точке обратно пропорционален квадратному корню из радиуса затупления До. Поэтому при больших скоростях полета и соответственно больших температурах торможения радиус затупления передних кромок элементов конструкции ле- тательных аппаратов приходится учитывать с целью уменьшения тепловых потоков. При произвольном значении m в зависимости скорости иг = = fix для критерия теплообмена в случае плоского течения с уче- том сжимаемости может быть использована приближенная формула = 0,332 (m + l)i/2 рг1/з (х xii+o'i6(i+»(^r),T- <5-из> о a du, х Значение безразмерного градиента скорости m = — долж- но определяться из газодинамического расчета. Мы рассмотрели случай, когда значение скорости иг сущест- венно меньше скорости звука. При Мх > 1 подобные решения возможны при Рг = 1 и р, ~ 7\ но не в физических переменных, а в некоторых переменных, выбранных специально. 142
5.14. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ПРОДОЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДАВЛЕНИЯ (МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ ДЛИНЫ) Одним из способов упростить уравнения пограничного слоя является переход от удовлетворения дифференциальных урав- нений для каждой отдельной частицы к удовлетворению этих урав- нений в среднем по толщине пограничного слоя. При этом задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений по переменной х. Такие методы дают достаточную точность при расчете тепло- обмена и меньшую при расчете характеристик динамического пограничного слоя, особенно в ибчасти течения с положительными градиентами давления. В том случае, когда требуется рассчитать только теплообмен, оказалось возможным получить еще более простые решения, используя методы эффективной длины или локального подобия. Изложим метод эффективной длины. Тепловой поток в какой- либо точке тела определяется двумя факторами: толщиной тепло- вого пограничного слоя и формой профиля температуры в данном сечении. При приближенном расчете целесообразно эти эффекты разделить. Зададимся формой профиля температуры в виде функ- ции Гр Тд, Te — Tw (5.144) где г рц J Р1“1 о ^dy- 1 е * w (5.145) толщина потери энергии, или интегральная характеристика тол- щины пограничного слоя, входящая в равенство (5-146) \ оу J w от [ Oyj^ _|^=о Вместо 6’* введем эффективную длину. Эффективной хэф будем называть длину плоской пластины, на которой при внешнем течении с постоянными параметрами такими же, как в рас- сматриваемой точке тела, нарастает такой же тепловой погранич- ный слой, как и на длине х рассматриваемого тела с переменными параметрами р1и1 вне слоя. В осесимметричном случае хэф будет длиной цилиндра с радиусом, равным радиусу в данном сечении. Для расчета теплообмена можно теперь использовать формулу для пластины (5.115) _______ qw = 0,3326^ 1/ - Tw) Рг-2/3 (5.147) при условии, что вместо истинной длины х в ней используется эффек- тивная хэф. Здесь k—поправка на переменность физических свойств 143
Рис. 5.17. Схема расчета х8ф [формулы (5.117), (5.118) или (5.119) ]. Дополнительно в фор- мулу внесена поправка kr на влияние продольного градиента скорости по формуле (5.126), где 2/п „ du, х п ---——=2—г1-----. Все вели- m + 1 dx и} чины, входящие в формулу, являются функциями X. Для определения эффективной длины используем уравнение баланса тепла. Используя обозначение для толщины потери энер- гии 6** (5.53), имеем Qw = 2nRcppiUi (Toi - Tw) (5.148) Таким образом, толщина потери энергии определяется количе- ством тепла Qw, ушедшим из пограничного слоя. Следовательно, для определения хэф можно использовать условие равенства потерь тепла на эффективной пластине (или цилиндре) и рассматриваемом теле (рис. 5.17). На цилиндре с радиусом R = const общее количество тепла, ушедшее из пограничного слоя на длине хэф, Qtr — 2лРхэф^Ср “ 4лР<7ц,Х8ф, (о. 149) так как из уравнения (5.116) на пластине или цилиндре qcp = = 2</ж. На рассматриваемом теле на длине х отдано количество тепла X Qw = 2л j Rqwdx. (5.150) о Сравнивая выражения (5.149) и (5.150), имеем X 2/^<7оАэф — [ Rqwdx, б а после дифференцирования по х получаем уравнение для опреде- ления хэф : 2-^-Rqwx^ = Rqw. После подстановки значения qw из равенства (5.147) найдем 2 [tf V ЦЛВДФ ср (Те - Тш) РГ1' = = R -^gL- (7\ _ tw) Рг1. (5.151) VRe® * -«эф Умножая обе части уравнения на выражение, стоящее в квад- ратных скобках, получаем в правой части выражение, не завися- 144
щее от Хэф. После интегрирования формула для хэф имеет вид X С (Те - Tj Pt~2dx X \ V Квц, / хЭф = ° ~ / ы'п — \ 2------------------- (5-152) (4г-) (^-^^рг-2 В числителе стоит интеграл от некоторой известной функции от х, в знаменателе — значение подынтегральной функции в дан- ной точке. В частном случае при Tw = const можно, пренебрегая переменностью величины —(Тё — Tw)2, упростить формулу: ~У X j РшЩТ?2 dx ' *ЗФ=Ъ^~- (5Л53) При подстановке равенства (5.153) в выражение (5.147) формула для расчета теплообмена на теле с переменным давлением вдоль образующей имеет вид л O'ioll Pt»ulcp (Те Tw) ,с , - .. qx = 0,332^*!-----—. (5.154) Она совпадает по виду с формулой (5.115) для расчета тепло- обмена на пластине, только вместо значения числа Рейнольдса Нвц, в данной точке в нее входит усредненное значение Re^: X Реэф - J ЯЧр» dx. (5.155) о Таким образом, учет развития потока в этом методе сводится по существу к использованию усредненного значения вместо мест- ного. Чтобы получить формулу для плоского течения, достаточно принять R = 1. Здесь kY — поправка на влияние местного гра- диента скорости по формуле (5.126), где 2m/(m + 1) = 2 (dujdx) х X (x/uj). Формула (5.154), если в ней принять k± « 1, легко преобра- зуется в формулу для расчета теплообмена, получаемую по методу «локального подобия». Точность такой формулы достаточно высока при малых TWITO1, что имеет место, например, при обтекании тел с очень большими, гиперзвуковыми скоростями. Если TwIT0l не сильно отличается от единицы или если температура стенки пере- менна, то большую точность дадут формулы (5.152) и (5.147). 5.15. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕЧЕНИЯ И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА Рассмотрим применение формулы (5.153) в некоторых частных случаях. 1. Плоская пластина. = const, R = const, Pi = const, рш = const. 145
По формуле (5.159) получаем очевидный результат: хэф = х. 2. Конус при сверхзвуковом обтекании с углом атаки, равным нулю. В этом случае так же, как и на пластине, иг = const, р± = = const, pw = const, = 1, но радиус рассматриваемого тела вращения 7? = sin 0h, где Qh — полуугол при вершине конуса. Тогда X | хг sin2 dx хэф= X2sin2 eft = ТХ• (5.156) Из формул (5.147) и (5.156) следует, что значение местного удельного теплового потока на конусе в /3 раз больше, чем на пластине той же длины и при тех же параметрах течения вне пограничного слоя. Поскольку значение хэф определяет толщину слоя (6/хэф ~ ~ 1/]/Деэф), то на конусе 6 1 / *эф )1/2 1 1 х ~ УЖ \ х ' - УЖ Уз ’ т. е. на конусе из-за растекания толщина пограничного слоя в /3 раз меньше, чем на пластине. 3. Течение в окрестности передней критической точки иг — = 0х (см. рис. 5.15). Для двухмерного течения (например на кромке крыла), при- нимая в окрестности критической точки рш = const, = const, получаем f dx _ о _ 1 Ж - рх 2 Х' а удельный тепловой поток по формулам (5.26) и (5.147) будет ^ = 0,47 [1 +0,16 (1 +4^)Г2 Х X (^)1/3У7лР+(7,он-7’ш)Рг-2+ (5.157) для осесимметричного течения в окрестности критической точки R хх, хэф = —х и <7» = 0,664 [1+0,16(1 +-^+)J2 X X (-^У/3УКр^ + (Лн- Тш) Рг~2/3. (5.158) Формулы (5.157) и (5.158) удовлетворительно согласуются с формулами (5.140) и (5.141), полученными из обработки численных расчетов. 146
Рис. 5.18. Кривые изменения коэффициентов теплообмена вдоль образующей сферы TwlTn = 0,2; 0,4; 0,6; 1,0 4. Распределение тепловых потоков по лобовой поверхности затупленного тела. На рис. 5.18 представлены результаты расчета распределения коэффициента теплоотдачи вдоль образующей сферы. Здесь z= РСщо = б1оРц,о^?о/Р'и?' Там же приведена кривая распределения давления рх/р01 Для этого случая и обозначен примерный разброс экспериментальных точек. Распределение скорости определялось по газодинамическим таблицам для изэнтропийного течения, а распределение плотно- сти — по соотношению рж/рш0 = Pi/Poi- На рис. 5.19 приведены аналогичные кривые, полученные для случая течения около плоского торца осесимметричного тела. Как видно, характер кривых распределения рх/р01 и Nutt)O/(Pr0,4 X X |/Rea,0) в дозвуковой части тела (Pi/poi < 0,52) на сфере и плос- ком торце качественно различны. Аналогично рассчитывается теплоотдача по длине сопла. На характер распределения удельных тепловых потоков при ламинар- Рис. 5.19. Кривые распределения тепловых потоков на поверхности плоской передней кромки осесимметричного тела при ламинарном режиме течения 7’и/7'о1=== 147
ном режиме влияет форма сопла. В соплах с крутым входом наблю- дается резкое увеличение теплового потока до максимального значения в критическом сечении. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Что такое пограничный слой? Как меняется давление поперек погранич- ного слоя? Запишите систему дифференциальных уравнений пограничного слоя в сжимаемом газе. 2. Какие критерии определяют ламинарный теплообмен и трение в погра- ничном слое? 3. Как выглядит распределение скорости, статической температуры и тем- пературы торможения в пограничном слое при высоких скоростях газового по- тока: а) на теплоизолированной стенке при Рг = 1 и Рг < 1? б) при наличии теплообмена? Объясните это распределение. 4. Запишите закон Ньютона при больших скоростях газового потока при Рг = 1 н Рг 1. Что такое ТД 5. В чем состоит связь трення и теплоотдачи? 6. Как рассчитывается теплообмен в пограничном слое иа пластине? Как меняются вдоль пластины критерий Nu/"|/Re, коэффициент теплоотдачи, тол- щина пограничного слоя? 7. Что такое эффективная длина? Как рассчитывается теплообмен при пере- менном давлении вне пограничного слоя?
ГЛАВА VI ТУРБУЛЕНТНЫЙ КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН 6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ В предыдущей главе мы рассмотрели ламинарное течение в погра- ничном слое, при котором перенос количества движения, тепла и вещества про- исходит в результате молекулярных процессов вязкости, теплопроводности и диффузии. При этом значения напряжения трения и теплового потока являются известными функциями распределения скорости и температуры. Для лами- нарного течения можно написать полную систему уравнений, и в настоящее время существуют математические методы их решения. Расчеты требуют некоторого экспериментального уточнения вследствие неизбежной схематизации явлений в сложных случаях течений и неточного знания ряда физических характери- стик газа, однако вводимые поправки невелики. Течения при очень высоких числах Рейнольдса обладают новым особым свойством—турбулентностью. Законы таких течений значительно отличаются от законов ламинарных течений и не описываются стационарными уравнениями Навье—Стокса для вязкой жидкости. При турбулентном течении усиливается обмен импульсом и энергией в поперечном направлении, в связи с чем возрастают трение, теплообмен и массообмен. Вследствие чрезвычайно сложной картины турбулентного течения и отсут- ствия рациональных теорий турбулентности, решение задачи в строгой математи- ческой постановке в настоящее время невозможно. При решении отдельных за- дач вводится много различных предположений и упрощающих допущений, поэтому в принятых методах расчета турбулентного теплообмена решающее значение приобретает эксперимент. Турбулентные течения встречаются так же часто, как и ламинарные. При движении летательного аппарата в верхних слоях атмосферы на его поверхности образуется ламинарный слой, но при полете на высотах ниже 30—50 км в погра- ничном слое может возникнуть турбулентный. В камерах сгорания и соплах двигателей течение большей частью турбулентное. Однако при низких давлениях на стенках камер сгорания или на поверхностях сопел с большой степенью рас- ширения возможны также и ламинарные течения. 6.2. ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОЕ Как уже было сказано, впервые систематические иссле- дования перехода ламинарного течения в турбулентное в трубах и каналах были выполнены Рейнольдсом. Им был найден закон подо- бия, согласно которому переход происходит примерно при одном и том же значении числа Re, называемым критическим членом Рейнольдса: (и р \ ср V /кр’ (6-1) где иор — средняя по сечению скорость течения; d — диаметр трубы; v — коэффициент кинематической вязкости. 149
Рис. 6.1. Схема течения и распределение коэффициентов теплоотдачи при пе- реходе ламинарного течения в турбулентное на пластине Значение критического числа Рейнольдса существенно зависит от условий входа в трубу, степени шероховатости и др. и может колебаться в диапазоне 2300 < Relip < 20 000. Однако, если Re < 2300, то течение всегда ламинарное. Переход ламинарного течения в турбулентное происходит не мгновенно. При достижении значений Re, близких к критиче- ским, наступает режим перемежающегося течения, когда течение в трубе становится попеременно то ламинарным, то турбулентным. Поэтому область перехода занимает очень большую часть, измеряю- щуюся иногда тысячами диаметров трубы. Явление перехода было обнаружено также и в пограничном слое на обтекаемом теле. Наиболее просто переход наблюдать на плоской пластине. С увеличением расстояния х от передней кромки пластины увеличивается число Рейнольдса: Re, = и1р1х/^1. (6. 2) При достижении некоторого критического значения, (Rex = = ReKp) наблюдается изменение режима течения, сопровождаю- щееся резким утолщением пограничного слоя и деформацией рас- пределения скорости и температуры. Одновременно возрастают коэффициенты теплоотдачи и трения, а также изменяется характер их зависимости от х (рис. 6.1). Тщательные измерения, проведенные на гладких пластинах при М s 0, позволили установить нижнюю границу критического числа Рейнольдса в диапазоне 3-105...5-105. Верхняя граница, достигнутая в специальных опытах в особенно равномерном потоке, находится в диапазоне 3-10е...4-10е. В некоторых случаях для определения условия перехода используется Re6 = UjpjS/p,!, (6.3) где 6 — толщина пограничного слоя на пластине при М »= 0, связанная с расстоянием соотношением: (6.4) 150
Для области перехода (Rea)Kp = 2700...9000. Полученные зна- чения сравнимы с соответствующими величинами, полученными в трубах. Значение ReKP в общем случае обтекания тел потоком сжи- маемого газа зависит от большого числа факторов. Ограничиваясь учетом наиболее важных из них, можно получить критериальную зависимость для общего случая течения на теле с градиентом давления: (ReJltp - F (М, (6.5) ' ' т1 ’ Vi dx ’ г ’ щ ' г* du, где -—определяет влияние местного градиента давления (п— высота бугорков шероховатости; и — интенсивность турбулент- ности во внешнем потоке; г — характерный линейный размер по- граничного слоя). Использование в качестве линейного размера условной тол- щины слоя 6 не всегда удобно из-за нечеткого определения ее значения. Поэтому в качестве линейного размера используются интегральные величины: толщина вытеснения б*, толщина потери импульса 6** или толщина потери энергии б)!* [формулы (5.36), (5.53)1. Для определения характера зависимости (6.5) проведено множество теоретических и экспериментальных исследований, но экспериментальные данные часто противоречивы, не согласуются с теоретическими предсказаниями, и к ним следует относиться с осторожностью. Поэтому ограничимся рассмотрением влияния отдельных факторов на величину ReKp. Большое практическое значение имеет исследование влияния шероховатости стенки, которая всегда присутствует на так назы- ваемых технически гладких поверхностях. Шероховатость вызы- вает возмущения в ламинарном слое, и переход в турбулентное течение происходит при меньших значениях ReKp. Интенсивность шероховатости можно характеризовать отношением /i/б*. Кроме высоты бугорков h играет роль, хотя и меньшую, также их форма, Рис. о.г. ।олныы’-’Л-гы..л на ReKp при различных числа?: М на теплоизолированной пластине расстояние между ними и др. На рис. 6.2 представлена зависи- мость отношения значения ReKp па шероховатой поверхности к Рис. 6.3. Влияние М на ReKp на глад кой теплоизолированной пластине 151
Рис. 6.4. Влияние теплообмена на ReKp на гладкой пластине Рис. 6.5. Влияние охлаждения и ше- роховатости на ReKp: 1 — гладкая поверхность; 2 — h = — 0,025 мм; 3 — h -- 0,05 мм; 4 — h = - значению (ReHp)0 на гладкой по- верхности от /г/д* для случая те- чения на плоской пластине без теплообмена. Результаты для различных форм шероховатости и различных (ReKp)0 для каждого М укладываются па одну кривую. Как видно, с увеличением М влияние шероховатости ослабевает, что может быть объяснено уменьшением плотности газа у стенки. Влияние числа М на значение ReKp при отсутствии теплообмена недостаточно ясно. Из экспериментов (рис. 6.3) получено уменьше- ние ReKp при возрастании М до 3,5 и затем медленное увеличение при М ----- 5. Однако это может быть объяснено также изменением условий опыта при возрастании М. Общее влияние теплообмена на момент перехода ламинарного течения в турбулентное такое, что на охлажденной стенке (TWITC < < 1) значение ReKp увеличивается, а на нагретой (TwITe >1) — уменьшается. Примерный характер зависимости, предсказываемый теорией и согласующийся с экспериментами на гладкой поверх- ности, представлен на рис. 6.4. Характер зависимости ReKp от TwjTe резко изменяется на шеро- ховатой поверхности, что видно, например, из рис. 6.5, где приве- дены экспериментальные данные по определению ReKp на конусе с углом при вершине 10° при различной шероховатости. Сущест- вование режимов обратного влияния охлаждения, когда ReKp уменьшается при снижении Tw/Te, может быть качественно объяс- нено тем, что при сильном охлаждении пограничный слой утонь- шается и влияние шероховатости проявляется сильнее. Исследования в потоках с продольными градиентами давления обнаруживают общую тенденцию стабилизации ламинарного режи- ма в ускоряющихся течениях и, соответственно, ранней турбулиза- ции в замедляющихся. Экспериментальное определение точки перехода ламинарного течения в турбулентное в аэродинамических трубах затруднено влиянием начальной турбулентности, которая, однако, ослабевает при больших М. Приведенные данные могут быть использованы 152
как ориентировочные. В практических случаях, когда положение точки перехода из ламинарного в турбулентное течение не ясно, расчет теплообмена проводится для обоих режимов и используются ге значения коеД/фициентов теплоотдачи, которые обеспечивают необходимый запас работоспособности конструкции. 6.3. УСРЕДНЕННОЕ И ПУЛЬСАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЯ Исследования турбулентного потока показывают, что в каждой фиксированной точке скорость, давление и темпера! ура не остаются постоянными но времени, а очень часто изменяются и притом неравномерно. Такне изменения скорости, давления и температуры называются пульсациями и являются наиболее харак- терным свойством турбулентного течения. Элементы жидкости, пульсирующие в потоке, представляют собой крупные макроскопи- ческие образования жидкие комки, или моли. Значения пульсаций составляют, как правило, всего несколько процентов от средних значений скорости, но очень сильно влияют на развитие течения жидкости. Пульсационное движение, наклады- вающееся на главное движение, настолько сложзо, что его теоре- тический расчет пока не представляется возможным. Поэтому закономерности развитого турбулентного течения приходится определять для осредненных по времени величин. Для математического исследования течение делят на среднее и пульсационное. Обозначим осредненные но времени значения скорости й, v, давления р, температуры 7'*, а пульсационные соот- ветственно — и', v', р', 7" (рис. 6.6). Тогда мгновенные значения можно записать в виде и й 7-и’\ v v 6V'', Р т Р 7 р'', Т Т Т. Осредненное значение продольной составляющей скорости может быть определено как т, +-Лт и---,'- \ и di. (6.6) t'O Чтобы осреднение не зависело от времени, необходимо для осреднения брать достаточно большой интервал времени т. Точно также определяются средние значения в<-ех параметров потока Из Рис. Г3>- б ид ' а ючж I раммы пульсаций продольной -оставляющей скорости 153
Средние значения скорости, давления, температуры представ- ляют собой величины, измеряемые с помощью инерционных датчи- ков. Средние значения пульсационных составляющих равны нулю: й' = 0; v' =0; р ' = 0; Т' 0. Точно также равны нулю средние значения произведений типа йи' = 0; vv' = 0; рр' = 0. Средние значения произведений пульсационных составляющих в турбулентном потоке могут быть не равны нулю: u'v' =/= 0, (и')2 ф 0, v'T' =£ 0. В таком случае говорят, что между пульса- циями существует корреляция. Появление в турбулентном потоке дополнительного механизма передачи импульса и энергии, как это будет показано ниже, связано с существованием корреляции между пульсациями. 6.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ Рассмотрим физическую картину появления дополни- тельных (кажущихся) вязкости и теплопроводности в турбулент- ном потоке. Пусть в пограничном слое распределения скорости и темпера- туры заданы некоторыми функциями от координаты у : и = и (у), Т-:Т (у) (рис. 6.7). Рассмотрим единичную площадку с нормалью, параллельной оси у. Через эту площадку протекает масса газа m = pv. Перете- канию жидкости соответствует некоторый поток импульса. Составляющая этого потока вдоль оси х Ix = mu = pvu. (6.7) Будем рассматривать пульсацию потока массы вдоль оси у — — tri = (pv)', не выделяя отдельно пульсации плотности и ско- рости. При наличии пульсации Ix = [ (^) (^) ] (^ —у и ) тй. —ти —(т) й —(т) и . (6.8) После осреднения за достаточный промежуток времени получим 1Х = ти (т)' и = pvu -ф (pv)' и', (6.9) так как второй и третий члены в выражении (6.8) после осред- нения равны нулю. Если второй член в выражении (6.9) не равен нулю, то при наличии пульсаций появляется дополнительный перенос им- пульса, равный (ри)' и'. Но поток количества движения через некоторую площадку эквивалентен противоположно направленной силе, с которой окружающая среда действует на площадку. Сде-- довательно, при наличии пульсаций (турбулентности) возникает 154
Рис. 6.7. Схемы определения тур- булентной вязкости и теплопровод- ности Рис. 6.8. Схема определения пути перемешивания дополнительное воздействие — напряжение трения между верх- ней и нижней частями потока: тт = —(pv)' и'. Аналогично можно показать, что при наличии пульсаций поток тепла через единичную площадку q = pvcpT + (pv)' срТ' (6.10) и что в турбулентном потоке возникает дополнительный перенос энергии 9т = (р0'срГ'- (6.11) Легко убедиться, что значения тт и ут не равны нулю. Частицы жидкости, попадающие вследствие поперечного движения в слой у снизу 1m' = (pv)' > 0] из области с меньшей средней скоростью й, вызывают в слое у отрицательную пульсацию (—и'), так что произведение (pv)' и' < 0. Точно таким же рассуждением можно показать, что и для частиц, проникших в слой у сверху, (pv)' и < < 0. Следовательно, и среднее значение (pv)' и < 0. Отсюда полу- чаем, что тт =—(pv)' и > 0, т. е. напряжение турбулентного трения при распределении скорости (рис. 6.8) имеет направление, совпадающее с положительным направлением оси х. Аналогично получаем, что при распределении температуры (см. рис. 6.7) 9т = (р^Г СрТ' < 0, т. е. турбулентный поток направлен от слоев с большей температурой к слоям с меныней температурой. Используя эти результаты, можно ввести понятия турбулентной вязкости рт и теплопроводности А.т. По аналогии с ламинарным течением Тт = — (pv)'и'- Нт-3^-; (6-12) gT = (pv)' срТ'—. (6.13) С учетом молекулярной вязкости и теплопроводности напря- жение трения и удельный тепловой поток могут быть представ- лены в виде T = (p + HT)-g-; 9 = -(% + Хт)^-. (6.14) 155
Выражения для тт и q-r (6.12), (6.13) могут быть строго полу- чены на основании осреднения уравнений Навье — Стокса и энергии. Уравнения турбулентного пограничного слоя относительно средних величин получают вид. совпадающий с видом уравнений ламинарного слоя, только вместо молекулярной вязкости и тепло- проводности в них Л.одят полная вязкость и теплопроводность в соответствии с выражениями (6.14): -|г<И + -ау(р^ = 0; (6.15) — дй — дй д Г. дй “I dp Р“Puw = IF фГ’ (6-16) + (й + и,)«)!+«^. (6-17) Наряду с числом Рг = рср/Х иногда используется турбулент- ное число Прандтля Ргт = ртср/Хт и смешанное число Прандтля Dr _ 1L±±t) ср 1 Я1 Pm (X + Хт) • (6‘ 8) Уравнения (6.15) ... (6.17) с учетом выражения (6.14) назы- ваются уравнениями Рейнольдса и описывают турбулентный поток. Однако они не замкнуты, ибо в них число неизвестных превышает число уравнений. Чтобы получить некоторые прибли- женные решения этих уравнений, в практических случаях при- бегают к дополнительным допущениям и гипотезам. 6.5. ТЕОРИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ Формулы (6.12) и (6.13) для определения турбулент- ного трения и турбулентной теплопроводности не могут быть непосредственно использованы, поскольку в них входят неизве- стные значения пульсационных составляющих. Следующий шаг в их решении состоит в выражении пульсаций через средние значения. С этой целью Прандтлем была предложена идея теории пути перемешивания. Рассмотрим в параллельном потоке два слоя жидкости на расстоянии Аг/ (см. рис. 6.8). Скорости в этих слоях различны, и из-за пульсаций происходит обмен количествами движения между отдельными струйками. Теория пути перемешивания осно- вывается на предположении, что комок жидкости, перемеща- ющийся из-за пульсации из одного слоя в другой, сохраняет составляющую импульса в направлении оси на некотором рас- стоянии, названном путем перемешивания. Обозначим эту вели- чину через /. Если расстояние между слоями (см. рис.68.) вы- 156
брано так, что Ду = I, то частицы, поступающие из нижнего слоя в верхний, сохраняют горизонтальную составляющую скоро- сти ЙР Разность между средней скоростью потока в точке у2 и мгно- венной скоростью поступивших частиц из нижнего слоя дает пульсацию скорости в этом месте и' = Дй = й2 (у2) — й1 (у,), но если / мало, то Дй = I (дй/ду). Таким образом, величина пуль- сации и — I (дй/ду). Пульсации в поперечном направлении связаны с пульсациями в продольном направлении. При столкновении двух комков жидко- сти, движущихся со скоростями, отличающимися на величину пульсации, возникает поперечное движение, интенсивность кото- рого будет пропорциональна пульсации и', поэтому можно считать, что пульсация потока массы по оси у пг' = (ри)' ~ ри'. Окончательно с точностью до некоторого коэффициента про- порциональности, который можно включить в I, получаем фор- мулы: для турбулентного напряжения трения тт = — (pv)'u' = p/2(-J-)2 (6.19) и для турбулентной вязкости = (6’20) Такие же рассуждения могут быть использованы при рассмо- трении переноса любой величины и, в частности, для переноса тепла. При этом выражение (6.13) принимает вид ут = (pv')cpT' = -СрР/? 1 (6-21) И XT = Cpp/?|-g-|. (6.22) Значение может отличаться от I, и коэффициенты турбулент- ного обмена при переносе импульсов и тепла не совпадают. В функ- циях (6.20) и (6.21) вместо неизвестных значений пульсаций и' и v' введены новые неизвестные I и /х. Хотя эти величины не являются физическими характеристиками жидкости, они могут рассматриваться как функции точки. Во многих случаях удается установить связи между характерными длинами в рассматрива- емом течении и длиной пути перемешивания. Эти связи можно определить только из экспериментальных данных, поэтому та- кого рода связи в теории турбулентности называются полуэмпи- рическими. Итак, необходимо указать, что теория пути перемешивания, хотя является удачной схематизацией турбулентности, не 157
отражает ее истинной физической картины. В действительности жидкие элементы при пульсациях проникают один внутрь другого и смешиваются, и таким образом в процессе турбулентного пере- носа эти элементы не сохраняют своей индивидуальности, а не- прерывно изменяются. Теория пути перемешивания имеет и другие недостатки. Так, например, значения I, вычисленные из измерения средних скоростей в трубах, имеют тот же порядок величин, что и размеры среднего потока, в то время как при выводе формулы 6.19) предполагалось, что эта величина мала. Тем не менее, теория пути перемешивания во многих случаях удачно предска- зывает распределение скорости и температуры в турбулентных потоках и имеет ряд практических приложений. 6.6. СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Для расчета турбулентного пограничного слоя большое значение имеют данные о распределениях скорости и температуры. При турбулентном режиме течения общее напряжение трения складывается из напряжения трения, вызванного молекулярной и турбулентной вязкостью (далее знак осреднения опускаем): г = (р + Ит)-^-. (6.23) На большом расстоянии от стенки величина турбулентной вязкости намного превышает величину молекулярной вязкости. Область пограничного слоя, в которой можно пренебречь молеку- лярной вязкостью, называется турбулентным ядром (рис. 6.9). Вблизи стенки турбулентные пульсации затухают, и моле- кулярная вязкость играет решающую роль. Эта часть погранич- ного слоя называется ламинарным подслоем. Между ними нахо- дится переходная область, в которой величины молекулярной н турбулентной вязкостей одного порядка. Для описания распределения скорости и температуры исполь- зуются методы теории подобия. Если ограничиться рассмотрением области турбулентного пограничного слоя, не слишком удаленной Рис. 6.9. Турбулентное ядро (I) течения и ламинарный подслой (II) от стенки, то в число физических па- раметров, определяющих течение в этой области в несжимаемой жидкости, вой- дут тш, р, р, координата у и подлежа- щая определению величина скорости и. Составляя безразмерные комплексы, по- лучим безразмерную скорость и/У Tw/p и безразмерное расстояние уУ~тю/р/м. Величину Утю/р, имеющую раз- мерность скорости, обозначают их и называют скоростью сдвига. Тогда рас- 158
Рис. 6.10. Универсальное распределение скорости в турбулентном пограничном слое на гладкой поверхности (закон стенки): О, Д — экспериментальные точки пределение скорости в рассматриваемой области может быть пред- ставлено в виде универсальной функциональной зависимости, не связанной с Re: w/u-r = f (yux/v). (6.24) Эта важная зависимость называется законом стенки. Как показывают эксперименты (рис. 6.10), формула (6.24) применима на значительных расстояниях от стенки как в случае течений на пластине, так и в случае течений с градиентом дав- ления. Непосредственно у стенки в ламинарном подслое = ци/у, и формула (6.4) имеет вид и/их = уих1ч. (6.25) Рассмотрим турбулентное ядро пограничного слоя. В этой области пограничного слоя из-за турбулентного трения скорость уменьшается по сравнению со скоростью внешнего потока на величину (Uj — и). Это уменьшение есть результат действия каса- тельного напряжения трения. Масштабом скорости в этом случае будет их = У тш/р, масштабом длины — толщина слоя б. Без- размерную зависимость можно представить в виде (и3 — и)/их = g (у/6). (6.26) Эта зависимость называется законом убывания скорости и вы- ражает собой универсальный закон, хорошо подтверждающийся экспериментами. Интересно отметить, что при обработке резуль- татов опытов в формуле (6.26) на единственную кривую уклады- ваются экспериментальные данные не только для гладких, но и для шероховатых поверхностей, хотя распределения скорости в обычных координатах при этом значительно различаются. 159
Рис. 6.11. Распределение скорости в турбулентном слое на гладких н шероховатых поверхностях (закон убывания скорости): О, Д — экспериментальные точки Как видно из рис. 6.10 и 6.11, функции f (у/их/v) И g (у/6) яв- ляются логарифмическими. Можно показать, что логарифмический вид функций fag непосредственно вытекает из условия, что различ- ные по виду формулы (6.24) и (6.26) описывают одно и то же распределение скорости. Такой же закон может быть получен из формулы Прандтля (6.19): т’=Р'!(»г. (6.27) Путь перемешивания I у стен- ки должен быть равен нулю и в первом приближении может быть принят пропорциональным расстоянию от стенки / == Ку, где К — безразмерная постоянная, которая должна быть определена из опыта. Далее предположим, что т поперек слоя постоянно, т. е. т -- тш, тогда уравнение (6.27) Д/тщ/р их и 1 . „ приводится К виду -7— = и ---= -р-ШифС, или н 1 <iy Ку Ку их К а в безразмерном виде при использовании в качестве масштаба длины величину v/uT — = In -4- С-----------In — = -Х-ln -^--г Сг. J их К v К v К v Полученное распределение скорости зависит от двух постоян- ных. Экспериментальные точки (см. рис. 6.10) хорошо согласуются с формулой (при переходе к десятичным логарифмам) — = 5,6 lg J^ + 4,9. их Ь V (6.28) Отличие заметно только в ламинарном подслое при уихК <g 10, где справедлива зависимость (6.25). При рассмотрении распределения температуры получаем ана- логично распределению скорости, что в области, не слишком удаленной от стенки, в число определяющих параметров войдут тш, р, и и тепловые величины: температура стенки Tw, тепло- проводность X, удельный тепловой поток в стейку qw и тепло- емкость ср. В качестве масштаба скоростей и длин можно взять по-преж- 1 Тц) ц нему соответственноит = I/ —— и ——. } V р рих Масштаб температуры представим в виде Qw Рсрит: Qw (6.29) 160
Рис. 6.12. Степенные закны распреде- ления скорости Тогда для распределения из- быточной температуры можно за- писать безразмерную зависимость Г.Г.Ь>. = Рг). (6.30) В непосредственной близости от qw - Л ду ~ стенки в ламинарном подслое T-Tw или с учетом уравнения (6.29) 7 - Тж = уи^ рг (б з1) / х V Распределение температуры в турбулентном ядре при значе- ниях Pr ~ 1, что приближенно справедливо для газов, подобно распределению скорости: (Т - Tw)/Tx = и/их. (6.32) Равенство (6.32) эквивалентно условию Ргт — р.тсрДт = 1. Выражения для распределений скорости и температуры (6.28) и (6.32) получены при условии р = const и р, = const. Однако экспериментальные данные удовлетворительно согласуются с ло- гарифмическим профилем (6.28) и при сверхзвуковых скоростях. При построении приближенных методов расчета для аппро- ксимации экспериментальных данных используются так называ- емые степенные законы (рис. 6.12): и/иг = (у/&)п; (Т — Trv)/'(T1 — — Tw) = (у/6т)я‘. Логарифмические .законы являются универсальными, и кон- станты в них не зависят от числа Re. Значения показателей п и пг в степенных формулах зависят от Re (изменяясь от п = 1/7 до 1/9 при увеличении Re и уменьшаясь при больших М). В сжимаемой жидкости эффективно применяются степенные представления распределения скорости и температуры в пре- у образованных координатах т] = j pdz/. о 6.7. КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ Уравнения турбулентного пограничного слоя (6.15) ... (6.17) совпадают по виду с уравнениями ламинарного слоя. Поэтому многие результаты, полученные при исследовании лами- 6 Авдуевскяй 161
Рис. 6.13. Экспериментальное распре- деление температуры и температуры торможения в турбулентном погранич- ном слое (М = 6,8; Tw/T01 --= 0,57) парного течения, могут быть по аналогии использованы при создании методов расчета тур- булентного слоя. При малых скоростях теп- лообмен определяется разно- стью температур qw = а (7\ — — Тю). При больших скоростях в пограничном слое происходит выделение тепла в результате диссипации кинетической энер- гии и при работе сил давления [второй и третий члены в пра- вой части уравнения (6.17)]. На рис. 6.13 показано распре- деление статической температу- ры и температуры торможения газа в турбулентном погранич- ном слое на охлажденной стенке при (Тю/Т01) =- 0,57 и М 6,8. Как видно, статическая темпе- ратура при торможении в пограничном слое растет в силу пре- образования кинетической энергии в тепловую, достигая макси- мального значения вблизи стенки в ламинарном подслое. Не- посредственно у стенки температура падает и qw > 0, так как тепло идет в стенку, хотя температура стенки больше, чем тем- пература внешнего потока. Для того чтобы учесть влияние этих факторов, формула для расчета теплообмена записывается в виде qw = а (Те — Tw), (6.33) где Те = Г, + ги\/(2ср) — эффективная температура; г — коэф- фициент восстановления температуры. По определению Те совпадает со значением температуры теплоизолированной стенки (qw — 0). В частном случае при малых скоростях, если -х-^— = —Д-'-М? < 1, значение Те ~ 7\. Коэффициент восстановления температуры г в турбулентном слое должен зависеть от характера преобразования энергии и от соотношения между вязкостью и теплопроводностью в ламинар- ном подслое и в турбулентном ядре. Поскольку соотношение между толщиной ламинарного подслоя и толщиной всего по- граничного слоя 6 зависит от Re, то можно предполагать, что г — f (Рг, Ргт, Re); Рг = рср/%, Ргт = ртср/%т. Для экспериментального определения г проводятся измерения температуры теплоизолированной стенки, равной Те: U~J (2ср) 162
0,90 0,86 0,82\— 105 ° n О °l "D'B" □ -□---------- 5ешли а г^(о,и) * ю6 ?£0£д° w7 Re 0° Рис. 6.14. Зависимость коэффициента восстановления температуры от числа Re: А, □ — М, = 2,2; Q — М, = 3,8 Экспериментальные исследования показывают, что коэффи- циент восстановления температуры практически зависит только от молекулярного значения Рг. Для расчета обычно применяется формула гт = Рг|/3, которая удовлетворительно согласуется с экспериментом. В частности, для воздуха (Рг = 0,73) г = 0,88 (рис. 6.14). В теоретических работах, осно- вывающихся на уравнениях (6.15) ... (6.17) и данных о структуре погра- ничного слоя, удается учесть влия- ние Re и Ргт, которое, однако, не- велико. Величина г < 1 и Те < Т01, что объясняется перераспределением энергии внутри пограничного слоя. Этот факт удалось подтвердить экс- периментально. Из рис. 6.15 видно, что температура торможения в не- которой части пограничного слоя Рис. 6.15. Экспериментальное распределение температуры тор- можения в пограничном слое на теплоизолированной поверх- ности (М = 2,8) на теплоизолированной стенке превышает температуру тор- можения во внешнем потоке. 6.8. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ТЕПЛООБМЕН НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ 6.8.1. Связь между трением и теплообменом Подобие между процессами переноса количества дви- жения и энергии приводит так же, как и в случае ламинарного движения, к связи между трением и теплообменом. Уравнения турбулентного пограничного слоя по виду совпа- дают с уравнениями ламинарного пограничного слоя. Если при- нять условие (ц + цт) ср/(Х + Хт), то из системы (6.15) ... (6.17) для случая течения на плоской пластине (dpldx — 0) с помощью преобразований, аналогичных преобразованиям в разд. 6.7 и 6.9, МОЖНО получить условие подобия и/и1=(Т0 — Та,)/(Т01— Та,). 6* 163
Настенке при у = 0 qw = = и Tw = — q. После преобразований имеем Qw = ^ui^-p (Г01 и в безразмерной форме, приняв I = х, St =-^-Cf или Nus = -j-Cf Rex, (6.34) где Rex=-^; Nu =-?, -f. r V 01 1 W) Л Полученные условия (6.34), называемые условиями аналогии Рейнольдса между трением и теплообменом, выполняются лишь приближенно, поскольку значения Рг и Ргт отличны от единицы. Поэтому в более общем виде аналогия между трением и тепло- обменом записывается в виде Nu=-J-C/Re$, (6.35) где Nu = -т ——г-; Те — определяется формулой (6.33); S — фактор аналогии Рейнольдса. В общем случае S = S (Рг, М, Re). Среднее значение S можно приближенно принять равным Рг0-43. Наличие соотношения (6.35) облегчает исследование погранич- ного слоя. Следует иметь в виду, что оно справедливо только при постоянной температуре стенки и при отсутствии продольного градиента давления. 6.8.2. Теплообмен и трение в несжимаемой жидкости Результаты экспериментальных исследований трения на плоской пластине при малых скоростях (М = 0) и отсутствии теплообмена представлены на рис. 6.16. Там же приведена теоре- Рис. 6.16. Зависимость коэффициента трения от Re в несжимаемой жидкости по экспериментальным данным различных авторов: --------Cf = (2 1g Res = —0.65)~2’3;--------Cf = 0,059Rex‘ 164
тическая зависимость, определен- ная при использовании логариф- мического закона (6.28), C/ = (21gRe3C-0,65)-2-3. (6.36) Хорошие результаты дает фор- мула Cf = 0,085 ^0.29+0,01 lg Re. (6.37) В диапазоне значений Re от 10е до ]08 можно использовать более простую формулу Cf = 0,059 Re?012 . (6.38) Рнс. 6.17. Экспериментальные ис- следования теплообмена в несжи- маемой жидкости: Обобщением экспериментальных данных (рис. 6.17) установлена зависимость для воздуха Nu = изменения Re от 10б до 10’. 1 — нагревание воздуха; 2 — нагрева- ние воды 0,0296Re* 8Рг°’43 в диапазоне Из сравнения с формулой (6.38) следует, что в этой области изменения Re условие аналогии имеет вид Nu = Су Rex Рг0'43. 6.8.3. Турбулентный теплообмен и трение на пластине в сжимаемом газе Влияние числа М на значение коэффициента трения на пластине при отсутствии теплообмена видно из рис. 6.18, где приведены экспериментальные значения CtICt0 = f (М). Зна- чение СЛ соответствует случаю М = 0 и определяется по одной из формул (6.36) ... (6.38). Результаты исследований различных авторов хорошо согла- суются между собой и дают возможность провести единую аппро- ксимирующую зависимость, проверенную до значения М = 9: С,/С/о = (14- г®)-о.55, (6.39) где Cf = --.J”’---коэффициент трения при значениях М, отлич- 1/ZPjUl ных от нуля, но при фиксированном значении Re; Cf0 = 2т == —^2— коэффициент трения в несжимаемой жидкости; г~0,88. Piuf Таким образом, поправка на влияние числа М практически не зависит от Re. Как видно, с увеличением М коэффициент трения на теплоизолированной поверхности падает, что связано с умень- шением плотности у поверхности, которая имеет в этом случае температуру Те = Тг (1 4- гсл). 165
Рис. 6.18. Экспериментальные исследования трения в сверхзвуковом потоке (Tw!be = 1) Если температура стенки Tw мень- ше Те, то тепловой поток направлен от газа к стенке. В этом случае ха- рактер изменения физических свойств газа в пограничном слое будет другим и в формулу (6.39) необхо- димо ввести поправку на влияние температурного фактора Twll\. На основании анализа результатов экспериментальных иссле- дований в диапазоне М = 2 ... 5 предложена эмпирическая фор- мула в виде = 0,35 (1 + г®)-°-55 (6.40) при 105 < Rex < 10°; Cf = 0,059 Re0’8 (Ти,/Л)-°’35 (1 + ra)-°-55. (6.41) Для практических целей удобно отнести параметры течения к температуре поверхности, используя значения (Cf)w — = 2т[г,/(рИ)и12); Reffi = u^x/p.^,. Если перейти к этим обозна- чениям, то формула (6.41) для расчета коэффициента трения может быть приведена к виду (Cf)w = 0,059 Re°’8 (Тш/Те)0’4 (1 + гео)0’11. (6.42) Благодаря аналогии между трением и теплообменом можно ожидать, что влияние сжимаемости на теплообмен может быть учтено такими же множителями. Это предположение подтвер- ждается экспериментами по измерению теплообмена. При отнесении физических свойств газа к температуре поверх- ности эмпирическая формула получает вид, аналогичный фор- муле (6.42): Nuffi = 0,0296 Re^ Рг°'43(7Д/7Д°'4О +г®)°’п. (6.43) На рис. 6.19 и 6.20 представлены экспериментальные резуль- таты, подтверждающие формулу (6.43). — Nu. Рис. 6.19. Зависимость Nu^ от числа на пластине (7^, яа 1, Рг = 0,71): ЦДм’)0’11; О — экспериментальные точка 166
Рис. 6.20. Зависимость Nu^, от TwlTe на пластине при различных М 6.8.4. Расчет теплообмена и трения на пластине Для расчета теплообмена могут быть использованы критериальные зависимости Nuffi,/Re°’8 = Ф (Рг, Tw/Te, о) (6.44) и (С,Д Re" - Ф1 (Ре, 7Д/7Д ®), (6.45) где л изменяется от 0,18 до 0,1 при изменении Re от 10s до 1О10, при Re 5-105 ... 10s можно принять п ~ 0,2. Эксперименты показывают, что условия Nu ~ Re0’8 и С} ~ ~ Re-"'1 являются общими для турбулентного пограничного слоя на произвольной поверхности. Поэтому при расчете турбулент- ного трения и теплообмена удобнее вместо критериев Re и Nu использовать комплексные критерии подобия Nu/Re0-8 и QRen. Расчетные формулы для пластины при этом будут иметь вид кт п°’8гу^'8п 0’2 г (Т ТУ Nuw Рш U1 Рш cp\ie 1 w) R-'0’8 %°>2 Pr T (o-46) 7\= Ti(l-RrM?), r~0,88; 0.8 O.S^i.S = -у ИДк, Re°;2 —5— (прн п = 0,2). (6.47) Формулу (6.44) можно привести к виду Nu^/Re3,’8 = 0,0296 Рг0,43 Лт. (6.48) Величина Л'т учитывает влияние сжимаемости. Приближенные зависимости для Дт могут быть получены разными методами. Из формулы (6.43) следует, что Л'т = (7’ш/7’е)0л (1-R го>)0,11. (6.49) 167
В методе определяющей температуры KtMh(0W-2(P(0W^ (6-50) где р,<°> и р<°> вычисляются при некоторой подобранной темпе- ратуре Т(0> = -1 7\ + А Тш + 4- г№7\, (6.51) О О О Z называется определяющей. При малой скорости потока и большом перепаде температур (например при течении в окрестности передней критической точки или в дозвуковой части сопла) хорошие результаты дает формула Кт = (Р1/рш)°Л (6.52) где рх — плотность вне пограничного слоя. Обобщая формулы (6.49) и (6.52), получим выражение для Кт, удовлетворительно согласующееся с опытными данными как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях: Кт = (Ти,/Те)0-4+°’2ех’’ <-“г> (1 + (ОГ)0’11. (6.53) 6.9. РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕПЛООБМЕНА В ПОТОКЕ С ПРОДОЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ Критериальные зависимости, полученные для рас- чета теплообмена на пластине, могут быть использованы в расчете теплообмена при произвольном распределении давления вне пограничного слоя. Рассмотрим метод эффективной длины для расчета ламинар- ного слоя. В этом методе предполагается, что тепловой поток в рассматриваемой точке тела будет таким же, как в некоторой точке на пластине с теми же местными параметрами течения, при условии, что в рассматриваемых точках тела и пластины одина- ковы толщины потери энергии. Это условие равносильно тому, что на пластине длиной хэф или цилиндре радиусом R в случае тела вращения будет отдано в стенку количество тепла такое же, как на рассматриваемом теле на длине х. При этом учитывается предыстория развития пограничного слоя. Для того чтобы учесть влияние местного градиента давле- ния, можно ввести поправки в окончательную формулу. Течение в турбулентном слое более устойчиво к воздействию перепадов давлений, и указанные поправки необходимо вносить только при положительных градиентах давления вблизи точки отрыва. При указанных предположениях выражение для удельного теплового потока имеет вид __ NUa, Рщ8“?'8Рда2 ср(Те Tw) 9® — рр0.8 „0.2 Рг ’ (6.54) кеа> *эф 168
где ^-u0-8- = 0,0296 Рг0-43 Кт', Кт = К Мх) находится по фор- мулам (6.49) ... (6.52); Те^тф Ри)> рш, Tw - значения параметров газа в данном сечении. Для определения эффективной длины используем условие баланса тепла. На цилиндре радиусом R = const общее количество тепла, *эф ушедшее из пограничного слоя на длине хэф, Qw = 2nR I qa,dxai>. о Подставляя q^ из формулы (6.54) и интегрируя (при условии и± = const, = const, рш = const), получаем = 2,5nRqwxat). (6.55) На рассматриваемом теле R = var на длине х отдано количе- ство тепла Qw = 2л j Rqw dx, (6.56) о где R = R (х). Сравнивая выражения (6.55) и (6.56), получаем X l,25Rqwx^ = j Rqwdx. о После дифференцирования по х имеем ~(l,25R^x^)= R^. (6.57) Подставим в выражение (6.57) значение qw из формулы (6.54) и получим дифференциальное уравнение для определения хэф: 1,25 — dx n 0,8 0,8 0,2 0,8 СР ?w} Рш Хэф Рг м „0.8 0.8 0,2 _ р Nura Ри, “1 Ра, ~ К ре0,8 0,2 хэф Ср (Д - Tw) . Рг (6.58) Обозначая выражение в квадратных скобках в левой части через г, т. е. г= R NUa, „0,8. 0.8 0,2 ,0,8 ср ^e — Tw) n-0,8 Pw Ul J1» x pr и умножая правую и левую части на г1/4, получаем 4г’/4~ = /(х), 4 dx 1 v 1 169
где / m =•-- R5/i Nuw \5/4 im / T(.~TW \5,M >5/4 (b8 Рш«1Р>ц, pr J Cp ^СИ7 / известная функция от х. После интегрирования получаем окончательно J *5/4 (Nuw/Re°’T/4 РЛ^'4 [(Те - T^/Vr]5/4 dx Хэф ~~ vipL4 i(Te - MPri5/1 ’ (6'59) Формула (6.59) справедлива при переменной температуре стенки. Если Tw -= const, то можно пользоваться более простой приближенной формулой /?5'4рю«гФс Подставляя равенство (6.60) в выражение (6.54), получаем следующую формулу для определения qw: qw = 0,0296 Рг'0’57Д7рщ/1Р1!ц';5 х "1-0,2 J /?5/4рю«1 dx ср (Те о Tw) = - 0,0296 Рг"0,57 KTpa,ulCp (Те -- T.J Ре;ф°-2, (6.61) где Re,* — —i /?5/4рю«1 dx — среднее значение Рейнольдса. R ' J Таким образом, расчет производится по формуле для плоской пластины, только вместо истинного числа Рейнольдса подстав- ляется некоторое эффективное число Рейнольдса Re3({,. Для плоской пластины достаточно положить R const и после сокращения формула (6.60) не отличается от соответству- ющей формулы для ламинарного течения. 6.10. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕЧЕНИЯ 6.10.1. Распределение скорости вне пограничного слоя 1. Плоская пластина (щ = const, R = const). Из формулы (6.60) имеем в этом случае очевидный результат хЭф = х. Теп- лообмен рассчитывается непосредственно по формуле (6.46). 2. Конус, обтекаемый сверхзвуковым потоком без угла атаки. щ = const; р, = const; pw = const; R = x sin бд, где буу — полуугол при вершине конуса; х | х°'^ (sin dx 0 4 *ЭФ — 5/4 , \5 '4 = ПГ *• X ' (sin 6^) 9 170
Как и в случае ламинарного течения эффективная длина на конусе значи- тельно меньше, чем на пластине. Из формулы (6.54) следует, что тепловой поток ча конусе при тех же зна- чениях параметров течения идеальной жидкости больше, чем на пластине: (qw)x = = (<7ш)пл(Э/4)0’2 = 1,175 (Уш)пл, где (уш)пл определяется по формуле (6.46). Фи- зическое объяснение этому состоит в том, что линии потока при удалении от вер- шины расходятся и нарастание пограничного слоя происходит медленнее. 3. Течение в окрестности передней критической точки (см. рис. 6.15). Для плоского тела: 7? = const; Мп ~ 0; u-t = fix; р ~ const; рш ~ const; х j p.r dx = (662) Подставляя в выражение (6.54) и используя формулу (6.52), получаем рас- четную формулу в виде qw = 0,034 Pr-^^p^UjCp (Ти — Tw) (₽х2/тш)-°.2 (Р1/рш)°'в, (6.63) где Для осесимметричного тела: М, те 0; и, ха |3х; р, те const; pw ха const; R ха х; * (6.64) |3x9/4 dx о 4 эф~ “"Тз”*’ qw = 0,0375 Pr-^pwuiCp (Т01 - Тш) (рлЛЧ,)-».2 (Р1/Рш)°А (6.65) При использовании формул (6.63) и (6.65) необходимо иметь в виду, что они справедливы только в окрестности критической точки, где можно пренебречь изменением рш в зависимости от х. Для сферического или цилиндрического зату- пления по формуле (5.124) где лНр газе; С2 = критическая скорость звука; аа — скорость звука в заторможенном ---ГТдЗУ' С2 0 ~ Рн/Рог): Йо —радиус сферы или ци- линдра. Тогда формула для расчета теплообмена в точке поверхности затупления с координатой х = xJR0 имеет вид qw = А Pr-М? °-° х^ср (Ти-Тш) (-М°'6(С |Z4f8, (6.66) \ Рсу / \ * « / где А = 0,034 для плоского и А = 0,0375 для осесимметричного течений. При увеличении радиуса затупления тепловой поток в сходственных точках тела уменьшается обратно пропорционально R6. Непосредственно в критической точке турбулентный тепловой поток равен нулю. Это связано с тем, что на границе пограничного слоя скорость равна нулю. Ламинарный тепловой поток в этой точке сохраняет конечное значение. 171
Введя безразмерные критерии Nu = и RP = а»Р^о i'* их>о — /р т 1 и i\ = ---------------------- * 01 J & Hui можно (при С0,8 = 1) привести формулу (6.66) к виду N4o/R^o = А Pr°-3.f°'6 (Р1/Ра,)0’6 (2/£)°< 6.10.2. Примеры расчета при различных законах распределения скорости Турбулентный пограничный слой на лобовой поверхности затуплен- ного тела. Рассмотрим в качестве примера расчет теплообмена на сферическом и плоском затуплениях осесимметричного тела. Распределение давления на таких телах задается из газодинамического расчета или экспериментов. Изменение скорости определяется по формулам изоэнтропийного течения, изменение плот- ности — по формуле Рш/ри.0 = pjpoi- Тогда безразмерная формула может быть получена в виде ______________= о 0296 (-£”-У’8 (_Н1_\0’8 ( J2®_V°'2 Re°'“Pr°’43Kr k Р™ ) Uo / k Ro ) На рис. 6.21 и 6.22 представлены расчетные зависимости для сферического и плоского торцов. Для сравнения с соответствующими ламинарными тепловыми потоками на рис. 6.23 приведены распределения коэффициентов теплоотдачи при турбулентном и ламинарном режимах для двух значений числа Рейнольдса на каждом режиме. Как видно, при уменьшении числа Рейнольдса турбулентный тепловой поток снижается сильнее, чем ламинарный. Расчеты показывают, что при значении Re.OT ~ 1,5-106 максимальные значения коэффициентов теплоотдачи при лами- нарном и турбулентном режимах течения примерно равны. При этом устанавли- вается ламинарный режим на всей поверхности. Из опытов следует, что значение при переходе ламинарного слоя в турбулентный равно на гладкой поверхности примерно 5-106. Турбулентный пограничный слой в сопле. Расчет теплообмена в сверхзвуко- вом сопле при заданном распределении давления ничем не отличается от расчета теплообмена вдоль образующей тела при внешнем обтекании и может быть сделан по формулам (6.54) и (6.59) или (6.60). При использовании этих формул возникает вопрос о начале расчета. В реси- вере или камере сгорания двигателя газ движется с относительно низкой средней Рис. 6.21. Распределение давления и коэффициента теплоотдачи вдоль обра- зующей сферического затупления при турбулентном режиме 172 Рис. 6.22. Распределение давления и коэффициента теплоотдачи вдоль обра- зующей плоского затупления при тур- булентном режиме
Рис. 6.23. Сравнение коэффициентов теплоотдачи на сфере при ламинарном (/) и турбулентном (2) режимах те- чения: --------Кежо = 8.1О-; --------“ 1.з. 10- скоростью. Около задней стенки обыч- но образуется несколько вихревых зон и пограничный слой сразу имеет некоторую конечную толщину. Значе- ния коэффициентов теплоотдачи в са- мой камере сильно зависят от условий подачи в нее газа или горючей смеси и должны определяться эксперимен- тальным путем. Расчет теплообмена в камере сгорания осложняется еще тем, что температура торможения по длине камеры растет вследствие подвода тепла при горении. Расчетные зависимости для разных случаев рассматри- ваются в специальных курсах и могут быть представлены в виде _______________ д Re0/ Рг°’4^г При расчете камер сгорания ЖРД используют в качестве характерной тем- пературы среднюю температуру Т' = 7'ср=(7'ш+ Тг)/2. Тогда Кт = (р'/рш)0,8 х X (р'/рда)0-2. Значение А ~ 0,026. При приближении к соплу течение стабилизируется и здесь пригодна фор- мула (6.54). Для камер двигателей можно приближенно принять, что слой стабилизи- руется на расстоянии от входа в сопло порядка радиуса камеры RK. Тогда в на- чале сопла (при х — х0) хэф0 ~ RK (рис. 6.24). Внутри сопла X ( PuAiR5/4 dx х ____ r (Pk;WiR5'/4)k । эф -эф ° Р[Л/Я4 + • (6-67) Формула для расчета теплообмена qw = 0,0296 Рг-°.62 Кт ср (6.68) хэф Рг где Кт = (7'и,/т'е)0>4+0'2"Р <-'•“> (1 + шг)0,11; Те (1 +<ог); ш = .? ~2_Ма» ; г . 0,88. На рис. 6.25 представлены результаты расчета распределения давления Pi/poi по длине сопла (см. рис. 6.24) при k = 1,4 и распределения комплекса _________Num0_______, (Re^)».» Рг0-‘3Кт ’ “Кнр ПоРдаоКцр Nuw;0 = - 1 ; ~ Лц; Р-о; где 173
Рис. 6.24. Схема профиля свррхзвуко- вого сопла Рис. 6:25. Распределение давления и коэффициентов теплообмена по длине сопла хЭф Преобразуя формулу (6.68), получ _____ _ / п \ р-0,8 р 0,43b- = 0,0296 1——I еи;0 ' ^'Т \ Ро / —0,2 кр Влияние химических реакций на теплообмен изложено в гл. VII. 6.10.3. Обобщение экспериментальных данных Формула (6.54) может быть использована для обобщения экспери- ментальных данных и уточнения значения Кт на основании экспериментов, проведенных в различных случаях, в виде (Nuj.,^= 0,0296К т(Ке°'8)эфРг0’43 (6.69) где (Ь1ищ)эф — СбХэф/Х^,, (РСщ))эф — ^Хр^Хэф/Цщ). Если на каком-либо теле с произвольным распределением давления изме- рено распределение тепловых потоков, то эффективная длина определяется из формулы (6.55): у_________Qw эф' 2,5л/??ш —•—Для плоского течения, ф 1,25<7ы, для осесимметричного течения; где суммарное количество тепла, отданное в точки ло рассматриваемого сечения. Qw — J Pw (6.70) стенки па расстоянии от критической В случае плоского течения берется полоса поверхности единичной ши- рины. При известном значении хуф из экспериментов можно уточнить значе- ние Кт в формуле (6.69). Если изме- рения qw проводились только в одной Рис. 6.26. Обобщенная эксперимен- тальная зависимость коэффициента теплоотдачи от температуры при использовании хэф (для пластины и конуса при М = 2,5 ... 4,5 и для сопла при М = 6 ... 10) 174
точке и суммарный тепловой поток в стенке не может быть найден из форму- лы (6.70) томожно определять по формуле (С.59), задаваясь видом зависи- мости Кт от М н TwlTe. Далее значение Кт уточняется из эксперимента и формулы (6.69). Вносимая погрешность из-за возможной ошибки в определении ,у,ф будет незначительна, так как значение хдф входит в формулу в степени одной пятой. На рис. 6.26 представлены результаты измерений теплообмена па различных телах при различных отношениях TwiTe. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Какие основные особенности турбулентных течений Вы знаете? 2. Что такое корреляции пульсаций, и почему Uv 0? 3. Объясните природу возникновения дополнительных переносов импульса и тепла в турбулентном пограничном слое? 4. Как рассчитывается дополнительная турбулентная вязкость, и что такое длина пути перемешивания? 5. Опишите структуру турбулентного пограничного слоя. 6. Как рассчитывается турбулентный теплообмен на плоской пластине и на теле произвольной формы?
ГЛАВА VII КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ПРИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЯХ 7.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ При высоких температурах газа, например в камерах сгорания реактивных двигателей и вблизи поверхности тел, движущихся в атмосфере с боль- шими скоростями, течение в пограничном слое сопровождается химическими реакциями. Если поверхность непроницаемая и химически не взаимодействует с газом внешнего потока, то химические реакции могут протекать в виде диссо- циации и рекомбинации газа. Химические реакции происходят также в случае подачи в пограничный слой через проницаемую поверхность веществ, способных вступать в реакцию с газом внешнего потока. В ряде случаев при высоких тем- пературах и больших тепловых потоках возможно разрушение поверхности тела или специального теплозащитного покрытия, нанесенного на поверхность. Это может быть плавление, сублимация или горение поверхности. Частицы разру- шенной поверхности могут вступать в химические реакции между собой и с газом внешнего потока. При температурах газа (10—15)-103 К, что соответствует, например, усло- виям в лобовой точке тела при скоростях потока 10—15 км/с, возможна также частичная ионизация газа, в результате чего в потоке кроме нейтральных частиц появляются ионы в электроны. При наличии химических реакций в пограничном слое необходимо учиты- вать дополнительное выделение и поглощение тепла внутри слоя. В этих случаях кроме совокупности уравнений пограничного слоя нужно рассматривать урав- нения, определяющие условия протекания химических реакций. Рассматривая движение смеси газов в целом, нужно иметь в виду, что физические параметры смеси р, р, X, D, Ср будут зависеть от состава, давления и температуры смеси. Определение этих параметров (особенно характеризующих переносные свойства газовых смесей) связано с некоторыми предположениями, которые делаются за- данием потенциалов взаимодействия при столкновении частиц различных типов. Ряд предположений приходится делать при задании кинетики химических реак- ций. Поэтому расчеты (даже в случае ламинарного режима течения в пограничном слое) должны обязательно сопоставляться с экспериментальными данными. Кроме того, при высоких температурах появляется еще выделение и поглощение тепла путем излучения. Влияние излучения в воздухе растет при увеличении темпера- туры и особенно существенно при скоростях полета более 10 км/с. Во многих случаях влияние излучения на конвективный теплообмен невелико, при этом лучистый и конвективный потоки могут рассчитываться независимо. В главе весь анализ приводится для ламинарного пограничного слоя, однако полученные выводы могут использоваться и для расчета турбулентного пограничного слоя. 7.2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Рассматривая теплообмен с химическими реакциями, мы будем иметь дело с газовыми смесями, состоящими из N ком- понентов, отличающихся по своим физическим свойствам. Введем некоторые определения, характеризующие течение смеси газов. Обозначим через nt полное количество частиц i-го компонента, находящихся в элементарном единичном объеме вблизи точки 176
с координатами (х, у, г) в момент времени t. Полное количество частиц всех компонентов в единице объема П = S nt. (7.1) r=i Введем еще обозначения. Если mj — масса частицы /-го ком- понента, то плотность /-го компонента р( = пг/п<. (7.2) Очевидно, что плотность газовой смеси Р = S Pi = S W (7.3) Пусть Vt — средняя скорость частиц /-го компонента, тогда средняя массовая" скорость смеси определяется по формуле 7 = (7-4) i Диффузионная скорость /-го компонента v^Vt-V. (7.5) Для парциального давления i-го компонента pt справедливо уравнение состояния Pt=^~RT, (7.6) где Mt — молекулярная масса i-го компонента; R — универсаль- ная газовая постоянная (R = 8,3 Дж/(моль • К)). По закону Дальтона давление смеси (7-7) /=1 Введем понятия массовой концентрации /-го компонента Ct = Pi/p, (7.8) объемной (или мольной) концентрации /-го компонента Xj = р,/р. (7.9) Из выражения (7.3) следует, что N ' 2^ = 1, (7.10) а из (7.7) ‘ * N 2хг = 1. (7.11) 177
Используя уравнения (7.6). (7.7) и (7.8), получаем уравнение состояния для смеси у Р оДГ- (7.12) ( 1 •L / N \ ,, V Ci x где .VI2 ; | ? ] -ду-1 средняя (кажущаяся) молекулярная масса 'il ‘ : смеси. Из уравнении (7.7) и (7.12) можно выразить объемную кон- центрацию X; чере? массовую С, г г,- ,и2 мх C./Vi 1 р MpiRT ~ Р Mi 1 ,llt N . У CjMj оД Из уравнения (7.13) получаем еще одно выражение для средней моле куля р 1 ю й массы -И2 - У XtMi. (7.14) Значение С; через х. может быть определено по формуле Неоднородность полей макроскопических величии (Т, 7’, С,-, п и т. д.) является причиной молекулярного переноса ц газе количества движения, энеринц массы и т. и. Введем понятие вектора плотности потока некоторой физической величины. Физи- ческий смысл ее состоит в том, чю составляющая потока в любом направлении равна количеству cooiветствующей «величины'), про- ходящему в единицу времени через единицу площади поверхно- сти. нормальной к этому направлению. При определении 'потока количества движения й эпериш необходимо знание коэффипиенюв вязкости н теплопроводности газовой смеси у п 'R. Для смеси газов можно использовать приближенные формулы: (7.16) (7.17) где у;. Хг — соответственно вязкость и теплопроводность i-ro компонента. 178
7.3. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Основные уравнения динамики вязкого многокомпо- нентного реагирующего газа могут быть получены из уравнения Больцмана. В приближении плоского пограничного слоя они имеют следующий вид. 1. Уравнение неразрывности д (М t 3 №) п дх 1 ду ' ' 2. Уравнение количества движения ди , ди д ( ди \ dp ри -т- В pv -V- ==: -т- Ц —- 5— . дх ' г ду ду \г ду ) дх 3. Уравнение неразрывности i-ro компонента Р С > . о 2 д . ,. io ,,, (1=1, 2.....У). 4. Уравнение энергии (7.18) (7.19) (7.29) (7-21) урав- Уравнения (7.18), (7.19) сохраняют прежний вид [см. нения (5.14), (5.15)1. Появилось дополнительное уравнение переноса i-ro компо- нента (7.20). В нем учитываются gt — плотность диффузионного потока i-ro компонента; gly — составляющая gt в направлении поперек пограничного слоя; wt — скорость образования i-ro компонента. Диффузионный поток gi - PiVi (7.22) ИЛИ .V где 7)’/ --- коэффициенты диффузии многокомпонентной смеси, зависящие от состава смеси, 'температуры и давления. Для бинарной смеси (У ~ 2) диффузионные потоки опре- деляются законом Фика gi -= — pDiygracl Ct, (7.24) где Dtj — коэффициент диффузии бинарной смеси. D пропор- ционален температуре в некоторой степени и обратно нропоц- ипонален давлению. Для каждой пары газов Dq может Со.';;, подсчитан с помощью кинетической теории газов. Коэффициент; 1)р. могут быть выражены через Dtl и концентрации компонентов, причем D'i == 0. 179
В некоторых случаях формула (7.24) используется и для многокомпонентной смеси gi = — pL>i gradCt. (7.25) При этом так называемые обобщенные коэффициенты диффу- зии D являются сложными функциями концентрации, давления и температуры. Однако в ряде случаев такая запись дает хорошее приближение и удобна. Заметим, что формула (7.23) учитывает перенос массы только под действием градиента концентраций. В общем случае необхо- димо учитывать влияние градиентов температуры и давления (термо- и бародиффузия). Однако в пограничном слое вклад термо- диффузии и бародиффузии пренебрежимо мал. Итак, giv = — P°i > (7-26) или Л4,р д (С.М ) S D‘i (7-27) Скорость образования i-ro компонента wt является сложной функцией температуры и состава смеси. Вопрос определения да, будет рассмотрен в следующем разделе. Фактически нет необходимости решать все N уравнений не- разрывности компонентов (7.20). Достаточно (N — т) уравнений, где т — число элементов, из которых состоят данные N компо- нентов. Обозначим через zh концентрацию элемента k и через vik — массовую долю элемента k в t-м компоненте. Например, и гл 2 16 в молекуле Н2О доля водорода равна-yg-, а кислорода--yg-. Очевидно, что = X CiVlk. Умножая уравнение (7.20) на vth и суммируя по i, получим r>2k ! dih д V3 । /-7 рЦ —+рц^- = _ —(7'28) I i Последний член в правой части этого уравнения имеет смысл скорости образования элемента k в процессе химических реакций и, соответственно, равен нулю. Таким образом, уравнение неразрывности для k-ro элемента имеет вид (А = 1-2....<7-291 I Система включает (N— т) уравнений (7.20) и (т— 1) (7.29). Если смесь состоит из компонентов, молекулярные массы которых не слишком отличаются друг от друга, коэффициенты Dt в фор- муле (7.26) примерно равны (£>, = D). 180
Тогда S V _ _pD £ С1,„ - -Рь >. • i i i (7.30) На непроницаемой поверхности решением уравнений (7.29) при условии (7.30) является zh = const = zM, т. е. концентрации элементов поперек слоя постоянны. Перейдем теперь к уравнению (7.21). Оно отличается от ана- логичного уравнения энергии (5.16) тем, что вместо температуры Т используется полная энтальпия [, которая учитывает не только термодинамическое теплосодержание, зависящее от температуры, ио и химическую энергию, которая выделяется в процессе хими- ческих реакций: / = 2 hCit (7.31) где I — полная энтальпия х'-го компонента, рассчитываемая по формуле т h = ht + f cpi dT - (7.32) (здесь cpl — удельная теплоемкость i-го компонента, Дж/(кг-К); hi — теплота образования x-го компонента, равная энергии, кото- рую необходимо затратить, чтобы получить единицу массы данного вещества из стандартных компонентов при стандартной темпера- туре 710). Величина ht зависит от выбранной системы отсчета. Обычно в качестве стандартной температуры берут То = 293 К, а в качестве стандартных компонентов — наиболее стабильные соединения при нормальных условиях: О2, Н2, N2 и др. Например, при реакции горения водорода при начальной тем- пературе То выделяется на единицу массы воды тепло Qo H2 + 4-O2=H2O + Q0. (7.33) Из определения следует Лщо = —Qo, (7-34) т. е. теплота образования воды — отрицательная величина. Вторая особенность уравнения (7.21) состоит в том, что удель- ный поток тепла- q должен учитывать перенос энергии за счет диффузии в дополнение к переносу под действием градиента температуры q = — X grad Т ф- £ рцДг. (7.35) С учетом (7.22) получаем 7 = -AgradT+S?x/x, (7-36) i 181
а в приближении пограничного слоя рассматриваем удельный поток в направлении = <7-37) i Выражение (7.37) может быть упрощено, если использовать формулу (7.26) для giy. Сначала заметим, что из формул (7.31) и (7.32) следует " =ус, «!.+ у,,Щ.= ус1Ср " +уЛ ду 1 ду 1 ду 1 pl ду 1 Z_i ‘ ду tit i - дТ j_ V г _£± ~ Ср ду + L ‘ ду ’ ' I где ср = 5С;ср1 — теплоемкость смеси. Отсюда дТ 1 - д!____________________yi dCj х ду ~ Ср ду L 1 ду i ' Используя выражения (7.26) и (7.37), получим Л ,дТ V г dCi \ V г n dct Уу ~ ср [^ду ‘ ду 1Р 1 ду _ _ д! % / fDiCp \ qq1 ср ду Ср 1 у % ) Зу Введем безразмерные критерии подобия: Рг — рср/Х — критерий Прандтля; Sc; ~ p./(pDf) — критерий Шмидта i-ro компонента; Le; = ^CpDJK — Рг/Sc, — критерий Льюиса i-ro компонента. Тогда выражение для qy примет вид <7'38> Таким образом, основные уравнения ламинарного пограничного слоя при наличии химических реакций имеют следующий вид 2^1 4- £££>. 0; (7.39) дх ' ду ' ' ди . ди д / ди \ dp . п. рц —+ ри— . —(р—J (7.40) рн^ + ри^-'=-£-(\Д^') +^(1 = 1.2........Л^-т); (7.41) г дх ‘ г ду ду Scf ду J ‘ 1 к 1 • 1 рЫ^4 vih/-dLi\(k^ 1, 2, .... т- 1); (7.42) г дх ' ду ду I See ду 4 ' 4 1 '' i / д! । д! д / ц д! \ . ри дх + Р° ду “ ~ду (. Рг ду ) + 182
+ тг[тт- У MLef - Ьуг] + <7-43) ду I>r J 1X1 ' ду г \ ду / ' ах ' ' Lt J р P-S-T. (7.44) ‘е Эту систему дополняет условие (7.10). Система является замкну- той, если заданы зависимости коэффициентов ц, Scit Рг и скоростей образования wt от параметров течения, а также связь 1 с Ct и Т (формулы (7.31) и (7.32)]. В некоторых случаях удобнее вместо уравнения (7.43) исполь- зовать уравнение энергии во второй форме. Введем понятие полной эпталыши торможения /0 - I + zC/2. (7.45) Умножим уравнение (7.40) на и, сложим его с (7.43) и получим +i[pTS'-(L*'"1>t]- <7-46> Это уравнение аналогично уравнению (5.19), полученному для ламинарного пограничного слоя без химических реакций. Приведем еще одну форму уравнения энергии, удобную для решения ряда задач. Из формул (7.31) и (7.32) следует а/ дТ п РСг. дх Ср дх 1 Z 1 ‘ дх ’ £ д!_ _ дТ,\Л dCj ду ’ Ср ду г 1 ду ‘ I Г учетом этого, а также выражения (7.37), уравнение (7.21) пре- (/разуется к виду дГ . V , дТ , V т дС1 РисШ + + £ £ д t\dT\ Х'д&и т дТ V „ „ । fdu\2 I dP ду (/ ду) ду II ду 1 СР1^ + И ( ду ) + u dx ‘ i t Уравнение (7.20) умножим на /(, просуммируем по i и вычтем его из полученного уравнения энергии дТ , / , \д \ дТ <5 /л дТ\ , Р«Ср дх -г ^ср-г 2_iCpigiu^ ~ ду у" ду) + +И»’+“>-S<7-47> 183
Уравнение энергии в форме (7.47) записано для температуры и отличается от соответствующего уравнения пограничного слоя без химических реакций (5.16) тем, что в правой части учитывается дополнительное тепловыделение (или теплопоглощение) за счет химических реакций, а в левой части — перераспределение тепла за счет различия теплоемкостей компонентов (при одинаковых теплоносителях cpi = ср и Dt = D). Этот член равен нулю, так как из (7.26) следует У, giv = — pD У, grad С( = — pD grad У Ct = 0. i i Уравнения турбулентного пограничного слоя с химическими реакциями имеют такой же вид, как и уравнения ламинарного, только вместо коэффициентов р, X, Dt должны использоваться эффективные коэффициенты, учитывающие дополнительный перенос за счет турбулентности. 7.4. ЭЛЕМЕНТЫ ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ В уравнение неразрывности химических компонентов (7.20) входит скорость образования wt. Для того чтобы записать для нее выражение, необходимо ознакомиться с элементами кинетики химических реакций. 7.4.1. Гомогенные газовые химические реакции Рассмотрим реакции, протекающие в газовой фазе, т. е. между газовыми компонентами. Если Сг — концентрация i-ro компонента, a Mt — его молекулярная масса, то число кило- молей i-го компонента в единице объема равно [А г] = ClP/M(. (7.48) Пусть протекает реакция диссоциации О2 20. (7.49) Число киломолей О, образующихся в единицу времени в еди- нице объема, пропорционально числу столкновений, которое в свою очередь пропорционально числу молекул реагирующих веществ в единице объема: kt [ЛоД где kf— так называемая константа скорости реакции. Скорость образования компонента О в реакции (7.49) равна w0 = 2Mokf [Ло, 1- Реакции идут обычно в обе стороны, и поэтому общая скорость образования О и>о =2Л4о{^[До,]-МЛо]2}, (7.50) где kr — константа скорости обратной реакции. Обычная форма записи выражений для констант скорости реакций имеет вид k = ВТ$ exp (TJT), (7.51) 184
где В, р, Та — числовые константы (берутся из справочника). Произвольную химическую реакцию можно записать в следу- ющем общем виде: N N (7.52) 1=1 t=i где i-й химический компонент обозначен символом А v'{, v"t— стехиометрические коэффициенты прямой и обратной реакций соответственно. Пронумеруем химические компоненты: Аг — N2, Л2 •= О2 А3 = N, Л4 = О, Л5 = NO. Тогда в рассматриваемой химической реакции vi = 0; v2 — 1; v3 = 0; v4 = 0; vg = 0; V, = 0; v2 = 0; v3 = 0; v4 — 2; v5 = 0. Скорость образования i-го компонента в реакции (7.52) примет вид 1 n ' N v") ®i = Мс (v] - \kf П [Л/] - kr П [Л;] ‘ , (7.53) I /=i /=i J где символом П обозначено произведение. Введем константу равновесия kc и условные величины (по- рядки) соответственно прямой и обратной реакций п и п": N N kc = kf/kr; п = S V(i п = £ Vi- i=i i=i (7.54) Тогда с учетом (7.48) получаем Wi = Miiyt (7.55) Если в газовой смеси протекает L реакций, то скорость обра- зования i-го компонента складывается из скоростей образования i-го компонента в каждой реакции w (7.56) где индекс I относится к параметрам реакций под номером I. Как уже указывалось, достаточно (АС — т) уравнений нераз- рывности компонентов, поэтому формула (7.56) используется только для (У — т) компонентов. В воздухе при температурах от 2000 до 8000 К в основном играют роль следующие химические реакции: 1) О2 + X ** 20 + X; 2) N2 + X 2N 4- X; (7.57) 185
3) N ' О ! X щ NO : X; 1) а ; N з с КО : О; .3) X, : О NO , N; (7.57 ' 5) К2 : <Х 2NO, где Д' --- означает шаталитичсскую частицу. Выражения для констант скоростей и равновесия содержатся в сисциалнных енргшочпиках. Таким образом, в д;ншо.м случае Л' 5, /_ С>, т 2. Имеем Д' т 3 \ равнения неразрывности химических компомчггов со скором до образования (7.56) и 2 уравнения для элементов. • 7.4.2. Химически равновесные и замороженные течения Система уравнений существенно упрощается в • про ;e;i:>!t!.i ; слушаях. Запщщ”.! \равнение неразрывное:л но-щовщо'з О. Для простои,! сначала предположи:,', что ! толы.о модельная реакция (7.49), а смесь бинарная: дС !’U'V -’Д> (7.58) о Нсрсчйдсм в этом уравнении к безразмерным величин;,:.’ р, м, й, о, ц, введя в качеств!' m.iciutаба длины характерный рэ шер /, наспи аба скорости щ, масштаба плотности (ц и масштаба вяз- кости р,: - - и<~-о , , - ()^О 1 д ( В С'Д:> \ PU дх 1 |JL' ду ' АС1 ду ) Всо ду ) /к 9Й ГЕкЛх Д<Щ щ "Р L Л!о2 kcM(, (7.59) В квадратных скобках величина. Введем параметр Da в правой части стоит безразмерная' //г, “1 (7.60) критерий Дамкелера, физический смысл которого от ношеные характерного времени нахождения частицы газа в потоке (//Щ) к времени протекания химической реакции. В зависимости от значения критерия Дамкелера течения бы- вают химически равновесными (Da Д 1), химически неравновес- ными (Da ~ 1) и замороженными (Da -Д 1). В первом и третьем случаях решение значительно упрощается. Изложенное выше справедливо и для произвольного числа N компонентов газовой смеси, в которой идет L химпчсскш. реакций. Только выражение для характерного времени протека- ния химических реакций имеет более сложный вид. 186
При Da •• I последний член в правой части уравнения (7.2<г значительно меньше остальных членов и им можно прсо-.''.речь. Таким образом, уравнения неразрывности компонентов прини- мают вид ОС/ . дС{ д , . , п ., х р“ аТ’^’ Пу- "~-ду^ *’ 2’ 3.....Л' ’г>- Во вюром предельном случае (Da . Г) конвс к а ишше и диф- фузионные члены значительно меш.с.т скорости образования и ими можно пренебречь. Тш да мы приходим к системе Фактически число уравнений (7.63) ранне- Л, и.с> нам достаточно (А'--- т) уравнений. Константы равновесия Aci являются изве- стными функциями темпе.рат\ ры. Система (7.63) дополняется (т — 1) уравнениями (7.29), и ре- шение имеет вид Су Су (Т, р, гь г2, .... zx), (7.64) г. е. концентрации компонентов являются функциями темпера- туры, давления и концентраций элементов, находимых из решения уравнений (7.29). 7.5. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕПЛОВОГО ПОТОКА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ Рассмотрим случай, когда все критерии Льюиса Let = = 1. Тогда уравнение энергии (7.46) примет вид <3/0 . д!0 д г ц д/0\ , д г /, 1 \ д (к5/2) ._ сс Это уравнение аналогично соответствующему уравнению энер- 1ии (5.19) при отсутствии химических реакций, но вместо темпе- ратуры торможения То в нем стоит полная энтальпия торможе- 187
ния /0. Это дает основание ввести видоизмененную формулу Нью- тона для химически реагирующих потоков, в которой вместо температур используются энтальпии. Вместо формулы (5.99), по которой удельный тепловой поток пропорционален разности {Те — Tw), используем формулу = (7.66) ср где /^Л + г^/2, /1 = S (A)i (Ci)i; IlaiClw, i i r — коэффициент восстановления энтальпии, равный для лами- нарного пограничного слоя а для турбулентного — V”Рг- Для расчета коэффициента теплоотдачи а необходимо исполь- зовать критериальные уравнения. Введем критерии подобия Num, Rew и Ргш, используя в качестве определяющего размера эффективную длину хйф: N Re^, = ра^1-К"эф/Р>ип Ргщ = P'uX'p/^'w (7.67) Тогда основные критериальные уравнения на изотермической непроницаемой поверхности имеют вид: для ламинарного пограничного слоя Nu^/УЖ = А Рг°лККхии; (7.68) для турбулентного пограничного слоя AX/Re^ = О,О29бРголзККхии. (7.69) Использование в качестве определяющего размера хдф поз- воляет распространить результаты, полученные для течения на плоской пластине, на течения с произвольным распределением параметров на внешней границе пограничного слоя (на пластине хэф = х). Коэффициент А в формуле (7.68) учитывает деформацию распределения параметров внутри слоя (на пластине А = 0,332). Коэффициенты К и Кхим учитывают соответственно переменность pip поперек поперечного слоя и наличие химических реакций. Формулы для определения x3(J) аналогичны полученным в раз- делах 5.14 и 6.9 и для изотермической поверхности имеют вид: для ламинарного режима X ^ф = —(7'70) и1Р1К о для турбулентного режима х хэФ = pi.25z f uiPiR dx, (7-71) “1Р1* о где z — 0 — для плоского и z = 1 для осесимметричного течений. Формулы для хЭф в различных частных случаях содержатся в разделах 5.15 и 6.10. 188
Как уже говорилось, на плоской пластине А = 0,332. Такое же значение имеет коэффициент А на конусе. На передней критиче- ской точке можно использовать следующие формулы для Д: для плоского течения А = 0,358(1 +0,2677\,/T0H)I/2; (7-72) для осесимметричного течения А = 0,35 (1 + О,1857'и,/Тон)1/2. (7.73) Коэффициент К, учитывающий переменность р.р, можно рас- считать по следующим формулам: для ламинарного режима = ( М-*Р* > / РтР1 у/1БГц,/г°1 где р* и р* рассчитываются при «условной» энтальпии /* /* /ь при со = м?/(2/1)< 1 —/ш//ь + + “- 7^/Zx)2], при со > 1 — /^/Л; K = (^F, где р*р* вычисляется при условной энтальпии /♦ = 0,5 (/№ + + 0,22со, для турбулентного режима \ Цш / \ Pw / где р. * и р* вычисляются при условной энтальпии Г* 1 г I 2 . , 1 . I — ~ 71-J-cor/i, (7-74) (7.75) (7.76) (7.77) (7.78) (7.79) К = ((1 + гео)0,11 (т = 0,4 ф- 0,2 ехр (— сот)). (7.80) \ I в / Влияние диссоциации, ионизации и других химических реак- ций на теплопередачу при ламинарном течении наиболее просто оценивается при помощи коэффициента К1т1 для химически равновесного и замороженного пограничных слоев. Для равно- весного пограничного слоя при отсутствии диссоциации газа на стенке множитель равен Яхим = 1 + (Le0,52 - 1) Q/(701 - Iw). (7.81) Зависимость критерия Le и приведенного теплового эффекта диссоциации и ионизации Q = 1 — 0,23 /о, — 0,77/Nj для воз- духа от I представлены соответственно на рис. 7.1 и 7.2. 189
Q-10 *, кДж/кг Л'.. Зависимость критерия Le от Рас. 7.Л Зависимость принелек-.>r.. эп ।я.иии для воздуха теплового эффекта Q от анталыши / для воздуха В формуле (7.81) величины Le и Q рассчитываются по услов- ной энтальпии I* [формула (7.75)]. /[ля расчета замороженного пограничного слоя можно исполь- зовать выражение Кх„м -= I : (Le0,63--- D—-А— (7.82) '01 ‘ w где Le и Q определяются по тем же графикам (см. рис. 7.1 и 7.2), по ио энтальпии Д. Как показывают поправки (7.81) и (7.82), при Le — 1 тепловой поток нс зависит от скоростей химических реакций (/<Х11М -= 1). В случае турбулентного пограничного слоя коэффициент КХ11М определяется по формуле (7.81), однако показатель степени при Le и(меняется в диапазоне 0,67 < 1. Используя формулы (7.68) ... (7.82), можно рассчитать крите- рии теплообмена: для ламинарного пограничного слоя NuM,'L' Re® и тля турбулентного .Ки^/Кеф'. Тогда тепловой поток рассчиты- вается по формулам: для ламинарного пограничного слоя Nu® -I К р.дгщ.® (/е 1 Д , „л. <7® ==-Д7==- I/ —~-------р7---’> (/.83) |/Re® ' ^г“' для турбулентного пограничного слоя Nu® (P№4,)°'8p°'2 Re0,8 ro,2 Рг„, “ "'эф (7.84) Для определения 1е и Iw должны быть заданы Т\, Tw и Ch С^„ Параметры 7\ и Сг1 известны из расчета внешнего обтекания. Гсмнература на стенке Та, обычно задана в качестве граничного условия. Для химически равновесного пограничного слоя можно считать, что концентрации являются функциями только Т и р. На рис. 7.3 приведена зависимость энтальпии воздуха от температуры и давления. В химически замороженном пограничном 190
I, кЛ*/кг Рис. 7.3. ; pCKOM СИ П I !р Ю1Д)! Л слое на каталитической 11 ()- .чггов можно записать iw ve a.wi — параметр каталитической рекомбинации. Очевидно, что при a,wl --> то (.,6co,Tiorn<> каталитическая стопка) атомы no.'ib'u'.' 1ыо рскомбиаирую1. а нрн =- 0 (абсолют но licinri«лкгичсекая стенка) Ci;a : Cix. 7.С. МЕТОД ПОЛНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ХИМИЧЕСКИ РАВНОВЕСНЫХ ТЕЧЕНИЙ Ранее было показано, что для расчета химически равио- еспых течений нет необходимости решать вею систему уравнений <7.39) ... (7.44). Дифференциальные уравнения неразрывности хи- мических компонентон заменяются гшгебраическими уравнениями Г.63). Решение системы при этом существенно упрощается, но все же остается еще достаточно сложным из-за нелинейности сравнений (7.63). Система уравнений, описывающих течение .. химически равновесном пограничном слое, .может 6m:i, еще больше упрощена в одном практически важном случае. В разделе 7.3 показано, что rr;i непроницаемой с гонке при соблюдении условия Dt == D (все коэффициенты диффузии равны между собой) конце»। рации элементов поперек пограничного слоя постоянны, т. е. - О Д -I, 6....т). (7.86) С учетом этого, а также тою, что для химически равновесного течения справедливо условие (7.6-1) Cj-СДГ, р, 21, га, , zt),
получаем следующее выражение для плотности диффузионого потока _ Л дС1 — П I дС1 дТ I дС‘ -₽ I V дС* 3гЬ I Р ду — \дТ ду ' др ду ' 2-i дгк ду / ’ X k=l / Так как в пограничном слое др/'ду = О, то dCi дТ 0~, giv PDdf"lty' (7.87) При этом производная dCJdT является, также как и Сг, функ- цией температуры Т, давления р и концентраций элементов гк. Тогда для удельного теплового потока (см. формулу (7.37)) получим N N к дт , V „ т 8Т \ydCt т ду + givIt ду pD ду 1 дТ II 1=1 1=1 N - Х + РО^Л % L i=i J Введем обозначение N хэф = х + ро 2 § Л- i=i тогда „ _ . дТ qv лэф . (7.88) (7.89) (7.90) Очевидно, что эффективный или полный коэффициент тепло- проводности лэф является функцией Т, р и zx, z2, ..., zT и для каждого элементного состава может быть затабулирован. На рис. 7.4 в качестве примера представлена зависимость Хэф воздуха от температуры для различных значений давления р. Напомним, что полная энтальпия I выражается через формулы (7.31) и (7.32): / т I — S I + Cl j cpt dT I I \ T„ Продифференцировав это выражение по у, получим ер1 dT -|- GiCpi~d^ ду ~ дт ду дТ ду J i 01 t J \ i ) 192
Рис, 7.4. Зависимость полного коэф- фициента теплопроводности ХЭф воз- духа от температуры: 1 . . 3 — р — 0,1; 1,0; 10 МПа соответ- ственно Рис. 7.5. Зависимость полной тепло- емкости воздуха от температуры: 1 ... 3 — р — 0, Г, 1,0; 10 МПа соответ- ственно Введем обозначение полной удельной теплоемкости сРэф = сР + £л^, (7.91) i которая так же, как и Хэф, является в рассматриваемом случае функцией Т, р, 2П z2, гт. На рис. 7.5 представлена зависимость срэф для воздуха от температуры. Таким образом, получаем д! дТ дТ 1 д/ ду р эф ду ду ср эф ду Тогда для удельного теплового потока из (7.90) следует а = _ ,..-эф _ Ёк (7.92) сР эф ду • 7 Подставляя это выражение в исходное уравнение энергии (7.21), получим д! д! д I ^эф dl\ / ди \г . dp по. ри + ро -------т- + Ц I -Г- + « -Г- . (7.93) н дх г ду ду \ ср эф ду) т \ ду J 1 dx • ' ' Таким образом, метод эффективных коэффициентов позволяет описать течение в химически равновесном пограничном слое всего тремя дифференциальными уравнениями: неразрывности 7 Авдуевский 193
(7.18), количества движения (7.19) и энергии в форме (7.93). Эти уравнения полностью аналогичны соответствующим уравнениям в случае пограничного слоя без химических реакций (5.14) ... (5.17) и решаются аналогично. В заключение еще раз отметим, что указанное упрощение возможно только в случае химического равновесия и постоянства элементного состава поперек пограничного слоя. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Какие особенности появляются при теплообмене при наличии химических реакций? 2. Что такое диффузионный поток и как он рассчитывается в химически реа- гирующих газовых смесях? 3. Как влияют на приближение к химическому равновесию скорость газо- вого потока и характерный размер течения? 4. Чем отличается закон Ньютона для расчета теплообмена при наличии химических реакций от закона Ньютона в случае совершенного газа? 5. Какова последовательность расчета теплового потока при наличии хи- мических реакций в пограничном слое?
ГЛАВА VIII ТЕПЛООБМЕН ПРИ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ 8.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Свободное движение возникает при изменении в жидко- сти массовых сил. Такими силами могут быть сила тяжести, цен- тробежная сила и сила, возникающая при наведении в жидкости электромагнитного поля. Наиболее распространено и хорошо изучено свободное движение жидкости, вызванное гравитацион- ными силами. Свободной гравитационной конвекцией называется движение жидкости, возникающее в поле сил тяжести при наличии гра- диента температуры. Плотность как жидкости, так и газа зависит от температуры. Поэтому при наличии в жидкости или газе градиента температуры массовые силы в различных точках gp различны. Это вызывает движение жидкости, определяемое направлением поля массовых сил, распределением температур в жидкости и геометрической формой объема. При свободной конвекции поля скоростей и тем- ператур существенно взаимосвязаны. Поэтому для описания сво- бодной конвекции необходимо совместное рассмотрение уравнений неразрывности, движения и энергии. Свободная гравитационная конвекция широко распростра- нена в природе и технике. Она определяет циркуляцию воздуха в атмосфере Земли, воды в озерах, морях и океанах, теплообмен в жилых и производственных помещениях, в кабинах и отсеках летательных аппаратов, в топливных баках ракет и самолетов, тепловых процессах в различных технологических устройствах и энергетических установках, в системах охлаждения радио- электронного оборудования. Различают ламинарную и турбулентную свободные конвек- ции. При ламинарном движении частицы жидкости перемещаются, не перемешиваясь по своим траекториям, и в каждой точке среды скорость определенна. При турбулентном движении частицы жидкости перемещаются хаотически, неупрочненно, направление и величина скорости отдельных частиц непрерывно меняются. Скорость жидкости в каждой точке среды пульсирует. Поэтому при турбулентном течении обычно рассматривают среднестати- стические значения скоростей и температур, используя осреднен- ные уравнения движения и энергии. Опытные данные свидетельствуют о том, что при свободной конвекции' основная область тепловых и гидродинамических 7* 195
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 у,см . Рк 8.1. Рзсире >,елекие скорости и температуры в ламинарном погра- ничном слое на расстояниях 1 см (1) и 24 см (2) от начала обогрева вертикальной пластины при сво- бодной конвекции в большом объеме воздуха: ---------температура; рос гь ско- г.озмущений сосредоточена в от- носительно тонком пограничном слое ЖИДКОСТИ ОКОЛО ПОНС р К IК >С I и “плообмена. Например, в ннж- !л.й части нагретой вертикальной н пггы образуется ламинарный по- граничный слой. С ростом высоты плиты теплоотдача уменьшается из-за возрастания толщины по- граничного слоя (рис. 8.1, 8.2). На определенной высоте ламинар- ное течение нарушается и пере- ходи! в турб\ленtное. Для описания свободно кон- вективного ДВИЖеНИЯ И 1Л!,'Ю- обмепа исполнят клея законы со- хранения количества движения, массы и анергии в жидкое 1 н, дни- жушейся под действием массовых, поверхности!,IX и ишрншшиых сил. В прямоугольной сиенце координат эта система принимает вид уравнений (3.3) ... (3.7), причем уравнение движения принимает вид (3 15), где верный член правой части характеризует подъемную силу. В этом урав- нении учитывается изменение плотности только из-за изменения температуры: р = р0/[1 Д- ₽ (Т- Го)1 - Ро [1 - Р (Т- То)]. (8.1) Данная система уравнений является простейшей моделью термической конвекции и называется приближением Буссинсска. Сравнение решений в этом приближении с экспериментальными данными показывает, что оно правильно отражает основные осо- бенности тепловой конвекции. В уравнения движения (3.4) и (3.15) входит ускорение силы тяжести gn па поверхности Земли. В общем случае плотность массовых сил на летательных аппаратах прн их движении с уско- рением равна сумме ускорений полета и плотности массовых сил гравитационного поля в данной точке пространства F - а +- g и се как ускорение силового поля, действующего в системе коор- динат, связанных с летательным аппаратом, нужно рассматривать в уравнениях движения. Для ламинарной свободной конвекции приведенная выше система уравнений (3.3) ... (3.7) в конкретных случаях может быть численно решена на ЭВМ. Для обобщения результатов экспериментов и численных расче- тов нужно использовать безразмерные параметры, определяющие 196
теп/ л счу при свободней конвекции. В общем случае крите- рпаль у равнение (3.40) приме! вид для газов \uz -- /(Gr,, Pry, ф, Fo,, пс, п}.., /ги, Л-, у, zL, hr ... Ln) (8.2) и для жидь.< к 'к if / (Cirz> Ргу, ф, Foy, ру/рш, L'Г’П °/7 P/'PiC’ G У > G • ^7l)> где x, у, z - безразмерные координаты точек поверхности тепло- обмена; Li, — безразмерные геометрические параметры; ф — \ гол между поверхностью и вектором силы тяжести. Для стационарного теплообмена и изменения коэффициента теплоотдачи только вдоль продольной координаты х (пикример, для свободной конвекции вдоль вертикальной пластины или цилиндра) зависимости (8.2) и (8.3) упрощаются и принимают соответствен по вид Хиу - / (Gr,-. Ргъ ф, TJTf, пс. пк, пр, х); (8.4) Nll y - f (Gfy, РгЛ ф, Рг/;Ргх). (8.5) Как уже отмечалось, отношение Ргу/Ргж позволяет учесть влияние переменное'!и свойств жидкости с Л и р ла теплообмен. Для копире!него газа и конкретного учла наклона поверхности зависимость (8.4) примет вид Nuy f(Grf, РГ/) TJTh x), (8.6) или при принятии в качестве определяющей средней температуры пограничном; слоя Тт =- 0,5 (7да ф- Тf) f(Gv1tlPrm, х). (8.7) Рис, 8.2. Схема "еде-:?;;, и изменен?,& к^ффидиеФна теплоотдачи свобод- ной конвекции на вертикальной стенке: 1, 2, 3 ~ ламинарная переходная, турбулентная области соответственно; а — Tw > Т 6~Tw>Tf 197
В ряде случаев при принятии в качестве определяющего раз- мера продольной координаты удается исключить влияние х и урав- нение (8.7) принимает вид (3.47), а уравнение (8.5) для жидкости упрощается: Mj, -/(GryPr,, Pr;/Prm). (8.8) 8.2. ТЕПЛООТДАЧА В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ При свободной конвекции у вертикальной поверхности основные изменения полей скоростей и температуры сосредото- чены в сравнительно тонких пограничных слоях (см. рис. 8.1). Пограничный слой, в котором сосредоточено изменение ноля скорости, называется гидродинамическим, а ноля температур — тепловым. В общем случае (Рг 1) толщины этих слоев и могут не совпадать. Из расчетов и эксперимента известно, что при Рг < 1, 6Т ~ де, а при Рг ,:> 1, Ьт < bg. В турбулентном пограничном слое при Рг > 1 обычно Ьг ~ 6» и не зависит от продольной координаты х. Рассматриваемый случай называют свободной конвекцией в большом объеме. Это значит, что объем жидкости настолько велик, что свободное движение, возникаю- щее у других тел, расположенных в этом объеме, не сказывается на рассматриваемом течении. 8.2.1. Вертикальная стенка Развитие свободного конвективного течения вблизи обогреваемой вертикальной стенки показано на рис. 8.2. Движе- ние возникает под действием архимедовых сил, выталкивающих нагретые и, следовательно, менее плотные слои жидкости, находя- щиеся вблизи горячей стенки, вверх. В нижней части стенки раз- вивается ламинарный пограничный слой, при этом, как ви- дно из рис. 8.2, а, коэффициент теплоотдачи убывает по высоте поверхности вследствие роста толщины пограничного слоя. Переход от ламинарного режима к турбулентному происходит в диапазоне Сгх-Рг = 109 ... 6-Ю10, определяющим так называе- мую переходную область. При турбулентном режиме течения коэффициент теплоотдачи а (х) практически не изменяется по вы- соте поверхности, так как вместе с ростом толщины пограничного слоя увеличивается интенсивность турбулентного переноса. В об- ласти перехода коэффициент теплоотдачи может изменяться от минимального значения, характерного для ламинарного режима, до максимального, соответствующего турбулентному режиму. Если температура стенки ниже температуры жидкости, вблизи стенки более плотные слои будут опускаться вниз, и картина те чения будет обратной по сравнению со случаем горячей стенки (см. рис. 8.2, б). Наличие тонкого пограничного слоя позволяет существенно упростить систему уравнений, воспользовавшись приближениями пограничного слоя. Для ламинарной свободной конвекции на ве.р- 198
тика.пшой пластине в стационарном режиме и при и const и я соп>1 уравнения неразрывности, энергии и движения (3.15) п р им у т вид: ди , ди дх 1 ду -- 0; (8.9) zz - 11 dx дТ • дт ТТ /0 , у--— Z7-—(8.10) дх ' ()у ду- ' ; *> = i (811) Граничные условия: у - 0, Т 7\ - 0, и * v - - 0, Т — Та; у 6, и v -- Результаты численного расчета по местной и средней тепло- отдаче обобщаются зав нсимостями справедливыми при 10* < GrxPr < 109, Рг == 0,01 ... 1000 для таких шпервалов изменения температурного напора АТ, в кото- рых и и л мало изменяется. Однако и для больших АТ, если фи- .-шческие свойства относить к средней температуре пограничного слоя Тт - ~ 0,5 (7ф, -r Tf}, получается удовлетворительное сов- падение с. экспериментом, причем как при Tw ~~ const, так и при q.^. - con^t. Здесь Nux а (х) х/'к, Nu; =- aljk’, а — средний коэффициент теплоотдачи; I — высота пластины. При GrxPr < 10* приближение пограничного слоя неприем- лемо, так как его толщина становится большой. В диапазоне Gr.Pr - 5-102 ... 109, Рг 0,7 ... 10 можно с достаточной точ- ностью для расчета .местной теплоотдачи использовать уравнение Nuxm - 0,6 (СгхРг)Д5, (8.14) которое хорошо согласуется с экспериментальными данными для вертикальных пластин и труб, включая свободную конвекцию в криогенных жидкостях. В качестве определяющего размера в выражении (8.14) принято расстояние х, отсчитываемое от места начала теплообмена, а в качестве определяющей принята средняя температура пограничного слоя Тт. Средний коэффициент теплоотдачи обычно определяется как отношение средней по поверхности плотности теплового потока к среднему температурному напору. В рассматриваемом случае i i \q (х) dx У а &.Т dx -------- (8Л5) — \ ЬТ (х) dx У ДТ dx о 0 199
Если Tw = const и температурный напор по длине пластины ДГ = Tw — Tf постоянен, то । । at = -у- у adx = -j- У Сх~0'25 dx = -|-С/”“0,25 = — ax=z- ° ° - 5 При qw — const получаем a, = -j- ах=г, т. e. расчетная формула для средней теплоотдачи принимает вид Nu(m = 0,75 (Gr; Рг)„25, (8.16) где за определяющий размер принята длина пластины I, отсчиты- ваемая от начала теплообмена. Формула (8.16) справедлива и для горизонтальных цилиндров, так как около них из-за малой протяженности поверхности по высоте обычно свободная конвекция происходит при ламинарном режиме. В качестве определяющего размера принимается диаметр цилиндра d. При малых значениях GrxPr = 10~3 ... 5-Ю2 можно исполь- зовать эмпирическую формулу М. А. Михеева Nuxm = 1,18 (Grx Рг)„25. (8.17) Для турбулентной свободной конвекции Эккертом и Джексоном было получено теоретическое решение интегральным методом в приближении пограничного слоя для постоянной температуры стенки. Они заложили в решение f>g = 6Г, постоянные физические свойства (кроме плотности) и эмпирические данные для полей скоростей и температур. Обобщение решений имеет вид Nux = 0,0295 Gr2/5Pr7/15(l + 0,494 Рг2/3)-2/5 (8.18) для местной теплоотдачи в сечении х и Nu, = 0,0246 Gr?/5Pr7/15 (1 -ф 0,494 Pr2/3)-2/s (8.19) для средней по длине I теплоотдачи (если вдоль всей поверхности поток турбулентный). Эти уравнения хорошо согласуются с результатами экспери- ментов, проведенных на воздухе и воде (Рг = 0,7 ... 10) в диапа- зоне GrxPr = 10е ... 1012. В этом же диапазоне Рг можно использовать и более простые формулы Nuxm = 0,15 (Grx Pr)Jn/3, (8.20) Nuzm = 0,13 (Grz РгД/3, (8.21) справедливые соответственно для местной и средней теплоотдачи. На рис. 8.3 показана зависимость местной теплоотдачи на вертикальной поверхности от (GrxPr)m для ламинарного и тур- булентного режимов. В переходном режиме (GrxPr)m — 109... 6-Ю10 процесс течения неустойчив, в этой области течение может 200
Рис. 8.3. Местная теплоотдача при свободной конвекции на вертикальной по- верхности: 1 ~ ламинарный режим; 2 -- турбулентный режим; 3 -- область возможных изменений коэффициента теплоотдачи в переходной области быть ламинарным, может быть и турбулентным. В среднем в этой области теплоотдача возрастает от величины, соответствующей ла- минарному течению, до величины, соответствующей турбулент- ному течению (см. рис. 8.3); предельные значения коэффициентов теплоотдачи определятся по формулам (8.14) и (8.20). Для расчета теплоотдачи при турбулентной свободной конвек- ции к вертикальному цилиндру предложена зависимость, обоб- щающая результаты теоретических расчетов: Nu, - Nu/0 .'1 :-0.026Д-^- --0.04782 (8.22) где Nu/o — теплоотдача для вертикальной плоской стенки, опре- ределяемая по (8.19); В - 0,565GrP0’1Pr"8/15 (1 + О,494Рг2/3)0,1— отношение толщины пограничного слоя при х. = I к высоте ци- линдра l\ d — диаметр цилиндра, 8.2.2. Горизонтальные поверхности Движение жидкости и интенсивность теплообмена на горизонтальной поверхности зависят от ориентации поверхности и направления теплового потока. На рис. 8.4 представлено 4 воз- можных варианта. При нагревании жидкости на пластине, обра- щенной поверхностью вверх (см. рис. 8.4, а), подъемная сила способствует выталкиванию нагретой около стенки жидкости вверх, на ее место поступает холодная жидкость. Конвекция около стенки носит сложный ячеистый характер. При охлаждении жид- кое! и па пластине, обращенной поверхностью вниз (см. рис. 8.4, б), опускная сила выталкивает охлаждаемую около стенки жидкость вниз (течение аналогично рассмотренному выше варианту). Результаты экспериментов по средней теплоотдаче на квад- ратных пластинах со стороной I для двух вышеупомянутых слу- чаев обобщаются следующими уравнениями: Nuim = 0,54 (Grz Рг)°;25 (8.23) 201
г) Риг 8Л. Схемы течения и профили темпер аг. ры при свободой к.пир'кпив на ’ физонта/н.ных поверхностях: а наг псв<’ '-'и ( (Т '• Т у); б охлаждение (ю ч- If)- ° ” о,\л<-:жд< пне (1 7‘р г - >.,и рочише (7Д, Щ) для ламинарной конвекции в диапазоне 1 СР (GipPr),,, • 2-Ю7 и Nil/,,, 0,14 (Grz Pr),1,,'* (8.24) для турбулентной конвекции в диапазоне 2-10' •' (GrJ’r),,, • - . з-Го10. Соотношения (8.23) и (8.24) справедливы также и для криогенных жидкостей при ускорениях <//е„ - 1 ... 20. Следует отмстить, что при ламинарном режиме, когда показа- тели степени при Ст равен 0,25, зависимоеi и коэфушциен i а тенло- oi/ianii от размера / является слабой (~/ -’-’C, а при ту рбу тс-н i ном режиме, когда показатели степени равен 1/3, длина I вообще не влияет на коэффициент теплоотдачи. Рели поверхность при нагреве обращена вниз ('см. рис. 8.4, а), нагрет ля жидкость не может опуститься вниз, тече! вдоль по- верхности и затем поднимается вверх за пределами пластины. Аналогичный характер течения жидкости при охлаждении па поверхности, обращенной вверх (см. рис. 8.4, с). Теплоеiдача в -лих случаях значительно меньше, чем для варпаигов,показанных на рис. 8.4, а, б, и обобщается зависимостью NuZm - 0,27 (Сг/Рг)";25, (8.25) справедливой для 3-105 < (Gr, Рг),,, < 3 1010. Для пеквадратны.х пластин при использовании приведенных выше зависимостей рекомендуется пользоваться средним разме- ром /. 202
Как показали результаты летного эксперимента, расчетные зависимости можно применить для расчета теплообмена в боль- шом объеме водорода и кислорода при пониженных ускорениях До a/go = 8- КГ4. 8.2.3. Наклонные поверхности Теплоотдача при свободной конвекции па наклонных поверхностях изучена менее подробно, чем вышерассмотренные поверхности, однако имеются расчетные рекомендации, получен- ные теоретически п эксперимента'паю. Для расчета местной теплоотдачи при ламинарной свободной конвекции численным решением для Рг - 0,1 ... 100 получены ел еду ю: i [не з а в и с 11 мост и: для Tw const, Nux 0,75 Рг0-3 [2,5 (1 |-2Рг0-5 [ 2 Рг)] °'25 (Grr cos ф)п-23; (8.26) для y.j, - con-4 К’ид. - Рг0"1 (4 -9Рг0"’ г ЮРг)'°’2 (GrU'osi]-)0’2, (8.27) где GrJ - Д>7:;.х'р~'Ч127) — модифицированное число Грасгофа, применяемое в случае задания на стенке плотности теплового потока ф — угол наклона, отсчитываемый от вертикали. Экспериментально показано, что при 7Д -= const переход от ламинарного течения к турбулентному на наклонных поверхно- стях начинается при (GrvPr)Kp t - 6,3- 10s exp (°—4,95ф) (8.28) и заканчивается при (GrvPr)I;pa 1,6-10° exp (—3,6ф). (8.29) При ламинарном течении местная теплоотдача обобщена в виде зависимости Nu,,; " 0,39 (Grx Рг cos ф)0'25, (8.30) справедливой для 2- 10‘ GrvPr < (Gi\Pr)):pl, а при турбулент- ном гечешш представлена формулой .\нд (0,1 О.ОЗф'л) (GrxPr)1/3. (8.31) Средняя теплоотдача при ламинарном течении для 1,5-19 Дг.Ргсогф . (Сг-Ргфр । обобщена формулой. \Т1, 0,54 (Gr, Рг)00"'; (8.32) при турбулентном для (Gr.Рг),,,,,, GiyPr I010 Nu- - (0,1 -у 0,05ф/.л) (Gr.Pr)123. (8.33) Формулы (8.28) ... (8..33) справедливы для 0 -у ф [ 80'.
8.3. ТЕПЛООТДАЧА ЖИДКОСТИ В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ Если обьем жидкости невелик, то свободные движения, возникающие у других тел или частей данного тела, расположен- ных в этом объеме, могут влиять на рассматриваемое течение. Разделясь эти течения и рассматривать их отдельно затруднительно или вообще невозможно. Движение и теплоотдача в этих объемах зависят не только от рода жидкости, ее температуры и температурного напора, но и от формы, размеров и ориентации пространства. В рассматриваемом случае, имеет место свободная конвекция в ограниченном или замкнутом пространстве, называемом также иногда газовой или жидкой прослойкой. Для инженерных расчетов переноса тепла через прослойки вводят понятие среднего условного числа Нуссельта Nu ^т ( Га1 - 7 и) ’ (8.34) где — осредпенная по поверхности прослойка—плотность теплового потока; д — толщина прослойки; TW1 и Т.„,,—тем- пературы стенок прослойки; Хт — коэффициент теплопровод- ности жидкости, определяемый обычно по средней по толщине прослойки температуре среды Тт -- = 0,5 (Twl + Tw2). Величину — Тш2) называют эффективным коэффи- циентом теплопроводности прослойки и обозначают А.)фф. Тогда Nu - Дфф.Дп-Отношение А 1фф/Л показывает, во сколько раз пере- нос тепла в прослойке выше, чем в случае чистой теплопроводности. Поскольку рост переноса тепла в этом случае обусловлен кон- векцией, это отношение называют также коэффициентом конвек- ции ек ~ А;)фф/лm. (8.3о) Значение коэффициента ек позволяет легко рассчитать плот- ность теплового потока, переносимого через прослойку Г-К g (Дг>1 - ' Тtaj) ек^гепг,, (8.36) где с/тепл - И четность теплового потока, переносимого тепло- проводностью. Теплообмен при свободной конвекции в жидких и газовых про- слойках эффективно исследуется с помощью численных методов. 8.3.1. Горизонтальные прослойки Рассмотрим горизонтальную прослойку, образованную двумя пластинами с постоянными по поверхности температурами и заполненную жидкостью или газом. Боковые сгенки прослойки теплоизолированы. 204
При подводе тепла сверху (рис, 8.5, а) при малых 6 и посто- янной X, свободная конвекция в прослойке не возникает, т. е. в этом случае ек ~ I и qw дте,-1;,. При подводе тепла снизу (рис. 8.5, 6) возникновение свободной конвекции определяется числом Рэлея стВ с о‘- 63 Raem - Gr6m Prm -- _(7Ш1 - Тш3). (8.37) р гп т Численным расчетом было установлено, что свободная кон- векция возникает лишь при Ra щ- RaKp ~ 1700. Когда верхняя граница жидкости свободна, критическое число Рэлея уменьшается до RaKp ~ 1100 (здесь 6 — толщина слоя жидкости). Следует обратить внимание на то, что при подогреве сверху слоя газа или жидкости отсутствие конвекции возможно лишь в строго горизонтальном слое и при однородном распределении температур на границах слоя. В этих условиях более плотная холодная жидкость находится у нижней стенки и менее плотная — у верхней, т. е. расслоение плотности является устойчивым. При нагревании прослойки снизу при некоторых условиях так- же возможно гидростатическое равновесие в слое газа или жид- кости. В частности, при нагреве снизу идеального газа условием dT . g т, dT устойчивости среды будет . Возникающая при СТ ,» свободная конвекция стремится перемешать газ так, ср чтобы установился в среднем адиабатический градиент темпера- туры. Это означает, что увеличение плотности в направлении сверху вниз под действием силы тяжести компенсирует умень- шение плотности за счет нагревания нижней стенки при выполпе- нии условия и гидростатическое равновесие в про- слойке нарушается. В. И. Полежаевым было показано, что крити- ческое число Рэлея является функцией параметра g/[Cj, (dT/dy)], числа Прандтля. При Ra .> RaKp в прослойке возникает свободная конвекция, имеющая ячеистую структуру (рис. 8.5, б). Эго могут быть двух- мерные ячейки в виде вращающихся в противоположные стороны «валиков», или трехмерные ячейки, коюрые в плане могут иметь форму шестигранника, квадрата, треугольника. Горячая среда 205
Рис. 8.6. Зависимость коэффициента конвекции через топкие горизонтальные прослойки от числа Рэлея по экспериментальным данным: С — Для поды; + — для гептана; • — для силиконового масла; д, д - для воадуха поднимается вверх в центре ячеек, а холодная опускается вниз по их краям, или наоборот. Реализация того или иного вида ячеистой структуры зависит от начальных условий, геометрии прослойки, неоднородности рас- пределения температуры и др. Имеющиеся численные решения получены для заданных форм ячеек. При увеличении числа Рэлея упорядоченная ячеистая структура постепенно разрушается (в диа- пазоне Ra 3• 104 ... 107) пока не наступит полностью турбулент- ная конвекция. С ростом Ra коэффициент конвекции возрастает. На рис. 8.6 представлены результаты экспериментов н численных расчетов теплоотдачи через тонкие прослойки, выполненные В. И. Поле- жаевым и М. П. Власюком. Число Ram определено по равенству (8.37) с использованием в качестве определяющей температуры Тт - 0,5 (Тш1 + Twi). Для расчета коэффициента конвекции можно использовать формулу ек --= С (Gr5 Рг)" , (8.38) где при (Gr6Pr)m < 1700 1, п = 0; при 1700 < (Grfl Pr)m.< 10е С =- 0,105, п = 0,3; при 106 < (GraPr)m 7 I0ln С ----- 0,4,/г -• 0,2. 8.3.2. Вертикальные прослойки Рассмотрим вертикальную прослойку, температура од- ной из боковых стенок которой равна Та,->, а другой — Тк,2, причем ТЮ1 > Tw2- Горизонтальные стенки прослойки теплоизо- лированы. Характер свободной конвекции в среде, заполняющей прослойку, определяется числом Рэлея и отношением высоты прослойки I к толщине прослойки 6. Кроме того, на теплоотдачу и характер течения влияют сжимаемость среды, зависимость 206
Рис. 8.7. Зави им->сть коэффициента конвекции or отношения длины к ширине прослойки для рамичных чисел Рэлея: О - - эксперимент.----- -- расчет (верхняя кривая Ra-~-5*10*. нижняя--Па 10*) теплофизических свойств от температуры и характер распределения температуры по поверхности стенок. При малых значениях числа Рэлея Ra6 свободная конвекция практически не влияет на процессы переноса тепла, определяемые целиком теплопроводностью. С ростом Ra6 возникает конвектив- ное движение. Около горячей стенки жидкость движется вверх, а у холодной — вниз. Это увеличивает теплоотдачу, если погра- ничные слои на горячей и холодной стенках не касаются друг друга. Если пограничные слои сомкнулись, профиль температур линейный и тепло через них передается только теплопроводностью, т. е. t'K -= 1. При Z/5 оо основная часть прослойки занята сомк- нувшимися пограничными слоями и тогда е„ 1. При //б —0 и теплоизоляции горизонтальных стенок теплообмен также будет происходить только за счет теплопроводности. Зависимость ек от //б имеет максимум. Рис. 8.7 показывает, как изменяется коэффициент ен в зависимости от //б для двух значений Rae. Максимальное значение г,, приходится на //6 ~ 1,5. Для этого значения //б на рис. 8.8 показаны изотермы 0 (Гшг -- — - 7’)/(7ф, — линии тока ф и профили скоростей для ла- минарной свободной конвекции по данным В. II. Полежаева. Рис. 8 (.1 ацпопарное распределение в вертикальной прослойке нзшерм (а), линий юка (б), скорости (.Д для Z/6 = 1.5 и Ra = 104 207
Рис. 8.9. Основные режимы конвек- тивного движения в вертикальном слое при Рг -0,7: I стационарный одноячейковый режим, II - стационарный многоячейковый ре- жим; III -- нестационарный многоячей' ковый режим В этом случае возникает двух- мерный вихрь. Жидкость по вы- соте стратифицирована: горя- чая расположена выше холод- ной. Рекомендуется для расчета теплообмена в вертикальных прослойках в диапазоне //6 = = 1 ...20; Рг = 1 ... 1000; Ra = = 10э ... 107 зависимость ек - 0,28 (Ra.P- ' (Z/б) 1! . (8.39) Из нее следует, что в случае экранной изоляции, заполнен- ной газом, более эффективными будут длинные прослойки, не разделенные горизонтальными перегородками. Режим течения и теплообмена в вертикальных прослойках при постоянных значениях и Тт2 определяется безразмерными параметрами Ra, Рг и 6//, или их сочетаниями. На рве. 8.9 в ко- ординатах Ра и б/Z приведены границы конвективной устойчи- вости. Для больших значений Ь/l вблизи Ra 10° проходит гра- ница между стационарным и нестационарным режимами и граница между течениями с разной структурой. При Ra 10:! перенос теп- ла происходит путем теплопроводности. Увеличение Ra до 10‘ ... 10s приводит к возникновению системы вытянутых по верти- кали ячеек. Расстояние между ячейками зависит от определяющих параметров. При Ra --- 2-10° взаимодействие встречных потоков ослабевает; между ними образуется застойная зона, чао ведет к исчезновению системы вихрей. Влияние устойчивой стратифи- кации усиливается и приводит к тому, что вблизи торцев образу- ется зона повышенной устойчивости и основная циркуляция от- тесняется из этих областей. При Ra -3-105 возникает' новая фор- ма движения: восходящий вдоль нагретой стенки ноток разделяется на высоте 0,75/ на две части, одна из которых продолжает восходя- щее движение, а другая переходит во встречный поток вдоль хо- лодной стенки, который аналогичным образом расщепляется па высоте 0,25/. При Ra = 7-Ю5 появляются колебания температуры и ско- рости в пристеночной области. Дальнейшее увеличение Ra до (2 ... 4)-10е .... 10я и соответствующее повышение интенсивности движения приводит к появлению нерегулярных вихревых структур, характерных для переходного и турбулентного режима, 208
8.4. ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ЗАПОЛНЕНИИ И ОПОРОЖНЕНИИ ЗАМКНУТЫХ ЕМКОСТЕЙ 8.4.1. Методика расчета процесса заполнения емкости газом и вытеснения из нее жидкости Задача расчета теплообмена в замкнутых емкостях при их заполнении горячим газом и вытеснения из них жидкости весьма сложна и актуальна. В данном случае имеют место нестационарные процессы теплообмена между горячим газом и стенками емкости, а также между газом и зеркалом жидкости. Интенсивность этих процессов определяется характером изменения температур стенок и зеркала жидкости, т. е. данную задачу нужно решать в сопря- женной постановке. Использование коэффициентов теплоотдачи, зависящих от нестационарных граничных условий, позволяет при заданных геометрических параметрах емкости, расходе горячего газа и его температуре на входе определить изменение по времени температуры стенки и средней температуры газа. Это позволяет в конечном итоге рассчитать количество горячего газа, необхо- димого для вытеснения жидкости из емкости. Движение в газовой подушке обуславливается как свободной конвекцией (из-за разности температур, стенок и газа), так и вы- нужденным движением газа от входного устройства до зеркала в процессе вдува газа в бак. Поэтому и теплообмен газа со стенками и зеркалом обуславливается совместным вынужденной конвекций. Надежные данные по тепло- и массообмену в га- зовой подушке могут быть получены только в специально проводимых экспе- риментах, тщательно моделирующих условия работы реальных баков. Существующие системы расчета ставят своей целью определение тем- пературы газа Ть и расхода газа Gb0. Для этого рассматриваются для газо- вой подушки уравнение сохранения массы (рис. 8.10) d (щП)) _ zj (8.40) и уравнение сохранения энергии d (pbVbub) । „ dVb___т /о At \ ----dr------- P~^- - (8.41) где рь — плотность газа в подушке; — объем газовой подушки; т — время; Gb — суммарный расход газа, поступающего в подушку, Gb = Gb0 — — GTp — GKC—G3 (Gb0—расход газа, по- влиянием свободной и газом и при ее заполнении сливе жидкости 209
пающего в емкость; GTp—расход газа на вытравливание через пре- дохранительный клапан; GKC — расход пара, сконденсировавше- гося на стенках; G3 — расход пара, сконденсировавшегося на зеркале); иь = срЬТь — удельная внутренняя энергия газа в сосуде; I ь — Giglio GTpiTp GKCiKC G3i3 = Gbo^pboTьо — G^pCp трТтр — GKCcp KCTKC ^3Ср37\ = GiCpiTi i (fit, cpi, Ti — соответственно расход, теплоемкость и температура, с которой газ поступает или уходит из рассматриваемой системы); Qb — отток тепла в стенки и в жидкость через зеркало. Из уравнений (8.40) и (8.41) получаем выражение для скорости изменения температуры газа в баке: dTb _ ’b — Qb—P—^—GbCvbT'b 4т b Для расчета оттоков тепла к стенкам бака и к жидкости в об- щем случае необходимо рассматривать нестационарное трехмерное температурное поле в газовой подушке. Однако в практических расчетах нас обычно интересуют не температурные поля, а лишь изменение по времени средней температуры газа и тепловых по- токов в стенку и зеркало. Поэтому в инженерной практике вво- дится средняя температура газа Ть, а влияние реального трех- мерного температурного поля учитывается зависимостью коэффи- циента теплоотдачи от граничных условий, геометрии бака, зави- симости свойств газа от температуры и т. д. Обычно в газовой подушке нет существенных градиентов тем- ператур по радиусу бака и по углу; существенно только изменение температуры газа по высоте бака. Этим обстоятельством сущест- венно упрощено определение средней температуры газа по слоям и средней температуры по всей газовой подушке. При практических расчетах рассматривается либо осредненная система, в которой не учитывается изменение температуры газа и коэффициента теплоотдачи по поверхности бака, а учитывается их изменение только по времени, либо распределенная система, в которой температура газа и коэффициент теплоотдачи являются функцией координаты вдоль оси бака х и времени т. Первую систему называют иногда нольмерной, вторую — одно- мерной. В первом случае рассматривается средний коэффициент теплоотдачи по поверхности газовой подушки а (т) и суммарный поток тепла от газа в стенки: Qbw-a(F)F (Tb-Tw), (8.43) где Tw — средняя температура стенок; F — поверхность; Ть — средняя температура газа в подушке. 210
Для одномерной модели X X Qbw = f dQbw = J a (x, r) (Tb — Tw) nD dx, (8.44) о о где D — диаметр бака, Tw — температура стенки в данном се- чении. Для расчета теплообмена с зеркалом жидкости для обеих систем рассматривается средний коэффициент теплоотдачи и сред- няя температура газа в подушке. При расчете теплообмена необходимо знать притоки тепла из окружающей среды или потери тепла в окружающую среду для поверхности бака, контактирующей с газом, Qto0Iip и для по- верхности, контактирующей с жидкостью, Qi[aoKp (см. рис. 8.10). Для определения тепловых потоков от газа к стенке Qbw и от газа в зеркало Qb3, от зеркала к жидкости Q3i и от стенок к жид- кости Qi[B необходимо знание коэффициентов теплоотдачи. Для замыкания системы (8.40), (8.41) необходимы уравнения для температуры стенок бака в газовой и жидких полостях, а также уравнение баланса энергии для жидкости (см. рис. 8.10). Кроме этого необходимо условие для определения температуры зеркала жидкости Т3. Если значительна доля паров жидкого ком- понента в подушке, то Т3 определяется как температура насыще- ния Ts при парциальном давлении паров в подушке бака. При малой доле паров парциальное давление неконденсирую- щегося газа у зеркала жидкости (следовательно, и Т3) определя- ется по уравнениям диффузии для компонентов газа. Для опреде- ления GKC и G3 необходимо произвести расчет массообмена на стенках и зеркале. Решение данной задачи как при использовании сосредоточен- ных параметров, так и при одномерной схеме с распределенными параметрами, выполняется численными методами. 8.4.2. Картины течения Для замыкания приведенной в 8.4.1 системы уравне- нений необходимо знание коэффициента теплоотдачи газа со стенками бака (при нольмерном описании — среднего, при одно- мерном— местного), а также среднего коэффициента теплоот- дачи газа с зеркалом жилкости. Ниже излагаются результаты экспериментальных исследова- ний, выполненных Г. А. Дрейцером, А. С. Неверовым и А. С. Мякочи- ным. Эксперименты ставились следующим образом. В модельный бак, частично заполненный жидкостью, вдувался определенный расход горячего газа и происходил разогрев стенок. При дости- жении заданного давления в газовой подушке начиналось вы- теснение жидкости из бака и продолжался разогрев стенок. После окончания слива подача газа прекращалась и шло его остывание 211
в баке. Эксперименты проводи- лись в двух баках различных диа- метров для двух схем вдува -- осевой струей и через полусфери- ческий инжектор, обеспечиваю- щий равномерное распределение вдуваемого газа по сечению бака. Проведенные исследования по- зволили установить следующее. При вдуве горячего газа осевой струей в замкнутую полость струя практически распространяется по законам затопленной струи до взаимодействия с поверхностью жидкости. На эту струю оказы- вает тормозящее воздействие архи- медова сила. Измеренные скоро- сти течения газа у стенки при горячем наддуве оказались выше, чем скорости при изотермическом наддуве (как и скорости на осн бака). При вдуве в бак осевой струи ее взаимодействие с поверхно- стью жидкости протекает по из- вестным законам для турбуле.пт- Рис. 8.11. Схема «течения в баке при вдуве осевой струи; слева от оси — первый момент вдува, справа от оси—последующие моменты над- дува ной струи, набегающей перпендикулярно на стенку ('рис. 8.11). Движение газа у стенки при осевом вдуве обусловлено вторич- ными отраженными от зеркала жидкости потоками, формирую- щими у стенки кольцевую полуограниченную струю, направлен- ную вверх. Распространению движений этой струи противодей- ствует свободная конвекция, причем тем существеннее, чем силь- нее рассматриваемый слой газа отдален от поверхности жидкости. Непосредственного воздействия струи на стенку нет. Движение газа у границ газовой подушки протекает более интенсивно с увели- чением скорости и температуры газа на входе и уменьшением рас- стояния от среза инжектора до зеркала жидкости. При равномерном вдуве в замкнутой полости практически по всему сечению бака течение газа направлено вниз до взаимодей- ствия с поверхностью жидкости, причем амплитуда образуемых на поверхности жидкости волн примерно в два раза меньше, чем при осевой струе. Течение газа от инжектора типа «полусфера» непо- средственно воздействует на стенку, и это воздействие, по-види- мому, будет усилено свободной конвекцией. С увеличением рас- хода газа на входе при равномерном наддуве у границ газовой подушки реализуются большие значения скоростей. У поверх- ности жидкости на движение газа оказывает влияние волно- образование. Как и при осевом наддуве, взаимодействие газа с по- 212
верхностью жидкости можно приближенно описать с помощью той же модели. Проведенные эксперименты показали, что на процесс тепло- обмена is газовой подушке влияют: вынужденное движение, обу- словленное вдувом газа, свободное движение, обусловленное раз- ностью температур газа и стенки; нестационарные граничные ус- ловия на стенке. 8.4.3. Теплообмен в газовой подушке Теплообмен в газовой подушке при вдуве в нее горя- чего газа в общем случае зависит от чисел Рэлея (Rа), Рейнольдса (Re), температурного фактора (Тш/Ть), расстояния от инжектора, конструкции инжектора, а также от параметра тепловой нестацио- нарности. При -рассмотрении теплообмена на стенках бака в ка- честве такого параметра был выбран -- dTw дт; 1 (ТЬ - Тю)3/2 (8.45) влияющий на интенсивность теплообмена при нестационарной сво- бодной конвекции. Здесь I — характерный размер, определяемый как расстояние по образующей бака от верхнего сечения обо- греваемой поверхности до рассматриваемого сечения; Т = 0,5 (Tb + Tw). Как будет показано ниже, для конкретной геомет- рии инжектора опытные данные по теплообмену на стенках бака при принятии в качестве определяющей температуры Т не зави- сят от TwjTb, Re и расстояния от инжектора. Опыты проводились в вертикальном цилиндрическом сосуде. Горячий воздух подавался в сосуд, частично заполненный водой, двумя способами: осевой струей и равномерным по сечению бака вдувом с помощью полусферического насадка. Все исследуемые процессы состояли из трех стадий: 1) вдув горячего газа в сосуд с повышением давления в нем до заданного значения при x/D = = const и (ji~ 0; 2) вытеснение жидкости горячим газом при pb0 -- const; 3) остывание газа в замкнутом объеме при Gb0 — - G, - 0. Основные параметры эксперимента изменялись в следующих диапазонах: рь ~= 0,1 ... 1,1 МПа; Тьо -- 373 ... 650 К; Gb0 = = (2,5 ... 15)-10~3 кг/с; <?г = (0,4 ... 1,8)-10"3 кг/с; числа Рэлея, определенные по I, Ra — 10s... 5-Ю11; числа Рейнольдса, опреде- ленные по параметрам газа на входе в сосуд и его диаметру, Rao = = 300 ... 2000; числа Рейнольдса, определенные по диаметру дросселя, Red = (4 ... 80)-103. Мегодика расчета позволяла получать местный коэффициент теплоотдачи на стенке aw (по высоте сосуда и по времени) и среднее значение коэффициента теплоотдачи на зеркале жидкости аг. Газовая полость но высоте сосуда разбивалась на 16 слоев, в каж- 213
Рис. 8.12. Зависимость К от вре- мени для стенок бака при различ- ных x/D: ▲ , • , — x/D = 0,293; 0,626; 2,359 — равномерный вдув; д, О, □ — x/D = 0,293; 0,626; 2,359 ~ осевой вдув дом из которых определялась плот- ность теплового потока в стенку по темпу ее разогрева, a a,w опре- делялся как отношение плотности теплового потока к разности тем- ператур между газом и стенкой в рассматриваемом слое. Плот- ность теплового потока в зеркало жидкости определялась по балан- су энергии в газовой полости, а аг — как отношение плотности теплового потока в зеркало к раз- ности между средней температу- рой газовой подушки и температу- рой слоя жидкости, лежащего под зеркалом. При осевом вдуве горячая струя непосредственно воздействует на зеркало жидкости, над уровнем которого устанавливается мак- симальная температура газа по высоте сосуда, что соответст- вует области растекания струи при ее ударе о зеркало. Воздей- ствие струи интенсивно переме- шивает газовую подушку, по вы- соте которой практически устанавливается постоянная температура до слива. Сразу с подачей горячего газа идет прогрев пристенной области, формирующейся кольцевой полуограниченной струей у стенки (вследствие растекания по зеркалу и отражения у стенок осесимметричной струи). Прогрев пристенной области тем интен- сивнее, чем ближе сечение к зеркалу жидкости. Более интенсивный прогрев стенки в сечениях, непосредственно лежащих у зеркала жидкости, объясняет полученные значения К, = 5,46 ... 18,93 (для x/D = 1,3 .... 1,7), которые превышают значения для слоев, лежащих выше, К = 2,56 .... 13,53 (для x/D = 0,6 ... 1,2) (рис. 8.12). Значения К тем больше, чем раньше рассматриваемый момент времени. Действительно, в процессе первой стадии эк- сперимента с ростом давления падает дальнобойность струи, в последующие моменты времени в пристенной области возникает гравитационная конвекция, направленная вниз. Все это противо- действует воздействию струи на стенку, и теплоотдача уменьша- ется. Теплоотдача на стенке интенсифицируется влиянием струи тем интенсивнее, чем больше расход газа Gb0 и выше уровень жид- кости (меньше x0/D). С наступлением второй стадии режима, когда сосуд опорож- няется и объем газовой полости увеличивается, интенсивность перемешивания газа падает, ослабевает влияние воздействия струи 214
на стенку, не наблюдается прогрева пристенной области. Для данного периода теплоотдача на стенке обуславливается нестаци- онарной свободной конвекцией, К = 2,0. При остывании газа в замкнутом объеме после отсечки подачи газа и слива жид- кости Л — 1,3, затем постепенно падает до значений, меньших единицы, когда свободная конвекция затухает и наступает режим нестационарной теплопроводности. Анализ опытных данных по теплоотдаче позволил установить линейную зависимость К = f (KTi) в логарифмических коорди- натах, которая расслаивается по высоте сосуда. Эта связь не на- рушается и для значений К < 1. В сечениях, где наблюдается прогрев пристенной области за счет воздействия струи, значения К несколько выше (в 2—3 раза), чем значения, соответствующие ли- нейному характеру 1g К = f (1g KTi), при тех же величинах пара- метров нестационарности КГ1. Наибольшие отклонения К харак- терны для слоев, лежащих у зеркала, в начальной стадии вдува газа, пока воздействие отраженной от зеркала струи на стенку существенно. При равномерной подаче газа в сосуд поля температур и струк- тура газовых течений в замкнутом объеме формируются иным образом. Нет непосредственного воздействия вдуваемого газа на зеркало жидкости. Максимальная температура газа по высоте со- суда соответствует средним сечениям начального объема газовой подушки, а не близлежащим к зеркалу, как для осевого вдува. Отсутствует постоянство температуры газа по высоте сосуда. Нет интенсивного перемешивания газа в объеме, как при осевой подаче. Этим объясняется, что прогрев газа по высоте при равно- мерном вдуве выше, чем для осевой подачи, хотя практически температура газа на входе для двух режимов одинакова. При- стенная область газовой подушки прогревается менее интенсивно, чем ее центральная часть. По-видимому, по радиальному сечению сосуда движение газа направлено только вниз (для x/D = 0,6 1,7), обусловленное возникновением нестационарной свободной конвекции при остывании газа у холодной стенки. Теплоотдача- на стенке и в ее верхних сечениях протекает интенсивнее. Так К = 5 ... 9,5 для x/D = 0,793 выше, чем К = 3,5 ... 6,8 для x/D = 1,626. На второй стадии режима с удалением зеркала жидкости от входного устройства температура газа существенно расслаивается по высоте. Теплоотдача па стенке по высоте осредняется значением К = 2,5. Однако для сечений, открывающихся из-под жидкости, К = 5 ... 2, что объясняется быстрым ростом темпа нагрева стенки и некоторым падением АТ = Тъ — Tw для этих сечений. Про- цесс остывания газа после отсечки Gb0 и протекает дольше, а зна- чение К— 1,6 затем медленно падает до значений, меньших единицы. Опытные данные для равномерного вдува аналогично осевому характеризуются линейной связью К — f (Кп) в логарифмиче- 215
О 20 00 60 80 100 120 100 Г,С 5) Рис. 8.13. Зависимости на зеркале от времени: Q, • — при осевом и равномер- ном вдуве для x/D — 2,43 при расчете Nu0 по зависимостям для стационарной конвекции (а) и по зависимости для взаимодействия струи с преградой (б) ских координатах. Теплообмен газо- вой подушки со стенкой при равно- мерном вдуве характеризуется лишь нестационарной свободной конвек- цией в отличие от осевого вдува, когда на стенку воздействует отра- женная от зеркала полуограничен- ная струя. Сравнение результатов опыта с различными режимными параметра- ми (Gb0, ТЬйУ рЬй, Xq/D) позволило установить, что расслоение значений по высоте обусловлено различными значениями Ra. Учет влияния Ra позволил устранить расслоение по высоте. Установлено превышение тепло- отдачи на стенке при равномерной подаче газа в сосуд над теплоотда- чей при осевом вдуве. Полученные опытные данные обоб- щаются следующими зависимостями: для равномерного вдува в диа- пазонах Кп == Ю~5 .... 1; Ra; = = 10е ... 1012; RaB = 5-10e .... 5-Ю8; Ren = 300 ... 2000 Nu = 0,724/Gi Ra?'09 Ra£6, (8.46) где Ra; определено по характерному размеру I, a Ran — по диа- метру бака Dy для осевого вдува Nu - 0,16№/i02 Ra?'14 Re?'07 Ra?,'625 ’ (8-47) Формула (8.47) справедлива при КГ1 = 10"5 .... 1; Ra; = = 10й ... 1012; Red = 103 ... 2- 10й; RaB == 5-10е ... 5-108; d/D = - 0,008 ... 0,025. Таким образом, установлено, что теплообмен газовой подушки со стенками сосуда в основном обусловлен нестационарной сво- бодной конвекцией. С целью уменьшения теплообмена газа со стенками эффективнее использовать осевой вдув. Опытные данные по теплоотдаче на зеркале также значительно превышают значения Nu0, подсчитанные по зависимостям квази- стационарной свободной конвекции у горизонтальных пластин в неограниченном объеме. Как уже отмечалось, теплообмен на зеркале для осевого вдува протекает гораздо интенсивнее, чем при равномерной подаче газа (рис. 8.13, а). При осевом вдуве 216
имеет место непосредственное воздействие струи на зеркало жид- кости как на преграду. Особенно это проявляется в начальной стадии вдува (Ку = 120 ... 20), пока еще противодавление не- значительно и струя добивает до зеркала. В последующие моменты времени струя воздействует на зеркало, как и поток газа при равномерном вдуве, вследствие расширения и гашения скорости по оси струи у границы раздела газ—жидкость. Теплоотдача в этот момент времени для двух форм вдува определяется значением К, == 8 ... 12. Ясно, что недопустимо производить расчет теплообмена на зеркале по рекомендации для свободной конвекции как при осе- вом, так и при равномерном вдуве. Сравнение опытных значений Nu, со значениями Nu), подсчи- танными по зависимости для средней теплоотдачи при взаимодей- ствии осесимметричной струи с плоской преградой дало значения К) = Nuf/Nu) = 3,2 ... 1,2 (см. рис. 3.13, б). Значения Nuy превышают Nu) в среднем на 20 ..,50%, что можно отнести на долю интенсификации теплообмена за счет вол- нообразования на поверхности жидкости и нестационарных эф- фектов при остывании газа у зеркала. Таким образом, в условиях проведенных экспериментов тепло- отдача от газа к зеркалу обусловлена непосредственным воздей- ствием потока газа от входного устройства. Количественно тепло- обмен на зеркале при осевом вдуве можно оценить как Nu/ = К) Nu), (8.48) где К; = 5 ... 1,5 (период Gb0 ф= 0; Gt = 0); К) — 2 ... 1,1 (пе- риод Gb0 =5^ 0; Gi 0); 0,15 Pr0’33 Re?'88 Nu) = —2 ro*. 0,29 Pr0’12 Re8,38 + 16 р7°^“кфр , /771,25 , 15,8Pr1/4 о оо\°'8 I 15,8Рг1/4 \°'8' \ Z r5/S Ре3/6 -5/8 п 3/8 \ r0 / \ г0 / J При равномерном вдуве, если определить скорость по площади инжектора, то Д’) ~ 0,4. 8.5. ТЕПЛОВАЯ СТРАТИФИКАЦИЯ в вертикальных цилиндрических емкостях Тепловая стратификация в емкостях возникает из-за подвода тепла к боковой поверхности емкости или через зеркало жидкости от горячего газа наддува. Как показал опыт применения криогенных топлив, тепловая стратификация в баках ракет и в хранилищах оказывается наибольшей, когда тепло подводится сбоку. Она может быть значительной и при подводе тепла со сво- бодной поверхности жидкости, при тепловыделении в самой жид- кости и при подогреве емкости снизу. Для баков двигателей ле- 217
Рис. 8.14. Схема к пояснению мо- дели температурного расслоения: ] — подвод газа наддува; 2 — газ над- дува; 3 — слой температурного рас- слоения; 4 ~ распределение скорости и (у); 5 — неперемешаниая жидкость; — отвод жидкости к ТНА тательных аппаратов, работаю- щих на криогенных топливах, стратификация нежелательна. Яв- ление температурного расслое- ния играет важную роль при проектировании и эксплуатации топливных баков; оно оказывает влияние на выбор дренажных устройств, теплоизоляции, насо- сов, конструкции бака; определяет неиспользуемые остатки топлива в баке, т. е. сильно нагретые верхние слои криогенного топли- ва, которые, попав в магистраль и насос двигателя, могут ока- заться перегретыми (Те ф> Ts) от- носительно локального давления и вскипать, что недопустимо по условиям работы насоса. Давление в баке непосред- ственно связано с температурой поверхности раздела, которая определяется процессами конвек- тивного теплообмена в баке.В баке с жидким водородом повышение температуры поверхности раздела жидкость — пар на 1 К сопро- вождается увеличением давления на ~0,4-10“ Па. В результате температурного расслоения давление в криогенных баках значи- тельно превышает значение, соответствующее давлению насы- щенных паров при среднемассовой температуре жидкости. Рассмотрим широко известную модель температурного рассло- ения Кларка. Температурное расслоение жидкости вызывается происходящим в результате естественной конвекции движением нагретой жидкости вдоль боковых стенок бака наверх и вдоль поверхности раздела. На поверхности раздела жидкость течет по направлению к центру бака, смешиваясь с ненагретой жид- костью. Затем нагретая жидкость проникает внутрь бака. Глубина проникновения увеличивается по времени, она называется тол- щиной слоя температурного расслоения. Предполагается, что течение жидкости вдоль стенок может рассматриваться как те- чение в пограничном слое. В сечении х = 0 (рис. 8.14) начинает развиваться пограничный слой, толщина которого 6 увеличива- ется по высоте. Затем этот слой пересекается с нижней границей слоя температурного расслоения А (т) и перемещается с этим слоем в область V (т). Основная масса жидкости, которая не затронута перемешиванием, сохраняет свою начальную постоянную тем- пературу. 218
Для уменьшения неравномерности температурного поля в ем- кости можно установить перегородки на внутренней стенке. Во время течения вдоль загроможденной стенки тепловой погра- ничный слой разрушается при встрече с перегородкой, а затем по другую сторону развивается вновь. Перегородки снижают среднее значение коэффициента теплоотдачи на стенке. Их влияние на интенсивность расслоения становится существенным, когда их ширина больше местной толщины пограничного слоя. Для 1 ... 6 перегородок, направленных вниз, были выполнены эксперименты на воде и азоте в вертикальных сосудах при Gr = = 10й ... 6,31-1014; Рг = 2 ... 7,5; Ga = 1,6-Ю11 ... 3• 1О:6; х = = Я/D = 0,84 ... 3,427. Путем расстановки перегородок на внутренней стенке сосуда можно уменьшить интенсивность расслоения на 15—20% по сравнению с сосудом без перегородок. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Что такое свободная гравитационная конвекция? 2. Какие уравнения необходимо использовать для описания процесса теп- лообмена при свободной конвекции? 3. Почему при свободной конвекции около вертикальной стенки коэффи- циент теплоотдачи при ламинарном режиме течения падает с ростом расстояния от начала обогрева или охлаждения, а при турбулентном — не зависит от этого расстояния? 4. Что такое коэффициент конвекции для замкнутых полостей? 5. Как влияет отношение длины к высоте плоского зазора на процесс пе- реноса тепла в зазоре? 6. Как влияет ориентация поверхности на процесс теплообмена при сво- бодной конвекции? 7. Каковы особенности процесса теплообмена между газовой подушкой и стенками бака при горячем наддуве? 8. Как сказывается влияние тепловой нестационарности на процесс тепло- обмена между газовой подушкой и зеркалом жидкости в процессе наддува? 9. Каким образом можно уменьшить температурную стратификацию топ- лива в баке? 10. В чем особенности одномерного описания тепловых процессов в баке?
ГЛАВА IX ОСОБЕННОСТИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА В КАНАЛАХ 9.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ При внешнем обтекании пластины вязкой жидкостью ее взаимодей- ствие с поверхностью пластины распространяется на определенную область по- тока, которую называют гидродинамическим пограничным слоем. В погранич- ном слое скорость изменяется от нуля на стенке до величины, близкой к скорости набегающего потока, па внешней границе пограничного слоя. Толщина пограничного слоя растет подлине пластины. Дело в том, что изме- нение импульса ламинарною потока вследствие торможения у стенки передается вглубь со скоростью, пропорциональной коэффициенту кинематической вязко- сти V. А так как поток сам движется вдоль стенки с определенной скоростью, то более удаленные от стенки слои воспринимают это изменение, пройдя больший путь вдоль стенки, чем близко расположенные слои. Поэтому толщина погранич- ного слоя растет по длине тем быстрее, чем больше кинематическая вязкость v и чем меньше скорость течения потока. Турбулентный аналог кинематической вязкости ех, называемой коэффициентом турбулентного переноса импульса, много больше чем v, что определяет более быстрый рост толщины турбулентного пограничного слоя, чем ламинарного. При течении гидродинамический пограничный слой во входной части трубы растет кольцеобразно по всей поверхности трубы. На некотором удалении от входа пограничные слои смыкаются и все сечение потока как бы становится пограничным слоем. Это означает, что в каждой его точке, кроме оси потока, производная скорости по радиусу трубы отлична от нуля. Расстояние от входа, на котором происходит смывание пограничных слоев, называе.тся участком гидродинамической стабилизации. В отличие от пластины, в трубе на начальном участке поток вне пограничного слоя ускоряется, так как в пограничном слое он тормозится. В трубе смыкание пограничных слоев происходит на оси канала в конце участка стабилизации. В каналах некруглой формы смыкание пограничных слоев происходит постепенно на всей длине участка стабилизации и начинается с углов канала. Это значительно усложняет картину течения. Если температура с'генки отличается от температуры потока, то между ними возникает теплообмен. Однако поле температур в потоке возникает не сразу: оно, так же как и поле скоростей, формируется на определенной длине канала. Прогрев жидкости по нормали к стенке происходит с конечной скоростью, про- порциональной коэффициенту температуропроводности а в ламинарном потоке и коэффициенту турбулентного переноса тепла fg в турбулентном. Так как жид- кость движется, то по аналогии с гидродинамическим пограничным слоем воз- никает тепловой пограничный слой. Длина входного участка канала, на кото- ром происходит смыкание тепловых пограничных слоев, называется участком тепловой стабилизации. Толщины гидродинамического и теплового пограничных слоев, так же как н участки гидродинамической и тепловой стабилизации, обычно не совпадают, даже если они начинаются в одном сечении. Обычно д Д или, другими словами, число Прандтля Pr = v/a 1; то же самое имеет место и при турбулентном течении, так как турбулентный аналог числа Прандтля, назы- ваемый турбулентным числом Прандтля Ргт = &x/&q, обычно отличается от единицы. В силу этих особенностей начальных участков теплообмен и гидродинамика на них существенно отличаются от теплообмена в области гидродинамической и тепловой стабилизации течения в каналах. 220
В гл. IV говорились, чю) решение замкнутой системы уравнений для любого конкретного случая конвективного 7Ш’ллобмска позволяет найти поля всех пара- м-нров. <>i!i;!K'i <’iia.!!H'i и’и ‘ к< и* jMiTK-ыие такой системы уравнений (ft общем еду ча<‘ гримерной! /’ижо для ламвтшршно течения возможно в редких слсчаях. 1 In 'вл <4 б на т ро. развит и-• ЭВ.М Bi в ы • м я р ж JHH ряст кр\ г задач, где решение этой ОНТСМЫ может бЫП. В-Н(, Th'JC11 К: .1МИ методами Для ту Р^УЛСН !Ш,1Х [е'Ь'ПИЙ. КИК о[ М0ЧЗЛо< К Н ГЛ. IV, (НГСТ0МЛ урЛВНС'ИЧИ в обв.’с-м шуюр голунигт; я незамкнутой. Е<* удается замкнуть лишь с помощью частные < :i(q нпад ннй для рж пр- делг'Вчя турбулентных параметров. получаемых В 11о:!у-1М:’ИрНЧе.-К('Й рюр’Ш 7 Урбул! НТНОС'ТИ В 1-« же вр’-мя в инженерных приложениях при расчете теплообменных уо’рой.’тч «:4'Т-:> и не нужно .шагь распределение всех параметров по сечению кад 1 :и Joeiяточво льщ, лишь. как изменяются интегральные характеристики течения 7/, 7Ш и ко длине канала. Поэтому в большинстве инженерных при- ложекпй ра<'чл ю п.пшбмгнч и гидравлических потерь в каналах теплообменных уырм/'ы Ы па <><. шлю ।|Д1'оМ(,рш>го, т.е. ио «\ти деля интегрального (по (сч.-н ню/ онш.шия /еилообменпы х iipeiieecoB. '1огда основные уравнения унро- UldKH С5П где /дг -- проекция плотности массовых сил па ось х; f - - площадь поперечного сечения канали: уравнение ширм пи -ббе 4. G J11L .. и г, (Т - Tf} 4- / -бы хаф ббб 4- f ^JL. 4- /7’0, (94) и '<т rlx - dx У, dx J at где ('- периметр калил,т. При одномерном описании предполагается, что все параметры потока изме- няются по времени и лишь в одном измерении по длине канала, т. е. по х; а но сечению канала они нгчтоянны и равны некоторым средним значениям. В каче- стве этих средних значений принимают: а) средне массовую энтальпию где р, г/, i — плотно< ть. скорость и удельная энтальпия в струйке потока, проте- кающей через данный элемент сечения канала rff; / - - полная энтальпия потока, a Ci — г,гат,№Н расход; 6) среднемас( овую температуру Tf, соответствующую if'. в) среднерасходную скорость и = где р/ — плотность теплоносителя при температуре Tf. Кроме того, в уравнении (9.2) тр I — доля градиента давления, расхо- дуемая на предоление сил вязкости, т. е. на преодоление трения теплоносителя о стенки и на перестройку распределения скорости. Из уравнения (9.2) имеем JJL дх fZx J [grad(-- f ix “о- ц div и / + 2 div [IS dv. О ' / J (9.4) 221
В уравнении (9.3) а = qwl(Tw— Ту)— коэффициент теплоотдачи; ХЭф = — —средний эффективный коэффициент теплопроводности, опреде- перетечки тепла по теплоносителю вдоль оси канала; о — средняя ~ KdTf/дх) ляющий скорость роста энтропии в единице объема теплоносителя из-за необратимости перехода кинетической энергии в тепло, в силу вязкого трения а = I (1/ФД f dx_____ f dx где Ф — диссипативная функция (см. уравнение (3.3)). Для большинства теплообменных процессов в каналах первый член правой части уравнения энергии много больше остальных трех. Поэтому уравнение (9.3) можно упростить: -1Г 4г + Ua(Tw — Tf). (9.5) ... ^-Р если мало или теплоноситель — совершенный газ (р = [>RT], то dif = = cPf dTi и ^ + GCpi^^Ua{Tw-TiY и дт дх х ' (9.6) Основные три уравнения (9.1), (9.2) и (9.6) содержат 12 неизвестных: ру, G, и, f, Fx, ф, р, cPf, Тf, U, a, Tw. Чтобы получить одномерную математи- ческую модель процесса, удобную для инженерных расчетов, следует замкнуть систему уравнений и сформулировать граничные условия. Из условий однозначности задачи должны быть заданы: поле плотности мас- совых сил F (обычно это гравитационное поле F = g); площадь поперечного се- чения канала /; периметр канала U. Выпишем недостающие 6 уравнений: G = pyUy; cpj — Ср/ (Tf)', Pf = Pf(.pTn)\ a = a(x, т) и ф = ф (x, t). (9.7) Краевые условия: т = 0 — задаются Тf = Тf (х) и G = G (х); т > 0 — задаются G = G (т) при х = 0, а также температура стенки Tw =. Tw (т, х) или плотность теплового потока на стенке qw — qw (т, х). Таким образом, получается замкнутая система уравнений, т. е. одномерная математическая модель тепловых процессов в каналах. Простота этой модели по сравнению с трехмерной достигается ценой введения двух коэффициентов а и ф. Появление этих коэффициентов в одномерных уравнениях как раз и есть следствие описания реальных трехмерных процессов одномерной теорией. По- этому они не могут быть определены в рамках одномерной модели и находятся либо из эксперимента, либо из решения трехмерной системы уравнений с помощью их определения и одномерных уравнений (9.1 ... 9.3). Для обобщения экспериментов или численных решений трехмерной системы уравнений сначала устанавливают, от каких параметров зависят а и ф. Это можно сделать для каждого конкретного случая на основе анализа трехмерной системы уравнений (или особенностей механизма процесса) и уравнений (9.1) ... (9.3). Затем представляют размерную зависимость в безразмерном виде, используя методы подобия и размерностей, и лишь после этого подбирают безразмерную эмпирическую функцию, наилучшим образом обобщающую экспериментальные данные или результаты численных расчетов. Нахождение зависимостей для определения а и ф, таким образом, является основной задачей прикладных исследований теплообменных процессов при те- чении однофазных теплоносителей в каналах. 222
Заметим, что аналогичное положение наблюдается и при внешнем обтека- нии тел в пограничном слое. Интегрируя уравнения пограничного слоя по тол- щине, переходят к интегральным (т. е. одномерным) уравнениям пограничного слоя. В них также появляются коэффициенты теплоотдачи и трения, которые находят либо из эксперимента, либо из решения дифференциальных уравнений пограничного слоя. 9.2. ТЕПЛООБМЕН В ТРУБАХ ПРИ ТЕЧЕНИИ ТЕПЛОНОСИТЕЛЕЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПО СЕЧЕНИЮ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ Рассмотрим лишь некоторые специальные случаи кон- вективного теплообмена в каналах, которые часто встречаются в практике расчета теплообменных устройств двигателей и раз- личных систем летательных аппаратов. В теплообменных устройствах летательных аппаратов часто передаются большие удельные тепловые потоки. Интенсивный теплосъем с поверхности обычно достигается при значительных градиентах температуры теплоносителя по радиусу канала, т. е. при больших температурных напорах (Tw — Tt). Теплофизические свойства теплоносителей (коэффициент теплопроводности X, ко- эффициент динамической вязкости р, плотность р, удельные тепло- емкости ср и cv) зависят от температуры. Поэтому чем больше температурный напор, тем сильнее изменение теплофизических свойств теплоносителя по сечению канала. Это, в свою очередь, ведет к перестройке профилей температуры и скорости и, следова- тельно, к изменению теплоотдачи и гидравлического сопротивле- ния. Анализируя систему дифференциальных уравнений вязкой жидкости при наличии теплообмена и граничные условия, из- ложенные в гл. III, а также уравнения (9.1) ... (9.3), можно уста- новить, от каких размерных параметров зависит коэффициент теплоотдачи. Масштаб изменения теплофизических параметров учитывают введением их значений при среднемассовой темпера- туре теплоносителя в данном сечении трубы диаметром d и при температуре стенки Tw. Такой анализ для стационарного течения теплоносителей дает следующую размерную зависимость для ко- эффициента теплоотдачи: о: f [d, х, и, (Тц, 71/), ру, рц,, Ху, Хц,, [1у, Цц,, £ру» Применяя к этой зависимости п-теорему теории размерностей или приводя систему уравнений к безразмерному виду (см. гл. III), получим соответствующую безразмерную зависимость: Nuy = f (x/d, Rey, Pry, Gry, PwlPf) Pw/P/’ ^pw/^pf)' (9.8) Аналогично для коэффициента гидравлического сопротивления найдем f (x/d, Rey, Gry, Рц,/Ру, Цф/р-у, Xw/Xy, Ор^/Сру), (9.9) 223
где Nu, — ad/kf — число Нуссельта; Gr, — ьф> (Tw — Tf) x X рфГ/ц)—число Грасгофа; Re, = p,ud/u,f— число Рейнольдса (и = 4G/pn<i3 — среднерасходная скорость); Рг, = и,срфХ, — число Прандтля; —------------------коэффициент гидравличес- кого сопротивления. В большинстве случаев для газов и капельных жидкостей вдали от критической точки зависимость теплофизических свойств от температурь! можно представить в виде степенной функции; Р/Ро = (Т/Т0)пе; ХД0 = (Т/То)\ Н/Но = (7/Т0)^; Ср/Ср0 = (Т/То)\ где пр, «ц, пс — константы, в общем случае зависящие от рода теплоносителя и интервала температур, причем пр может зависеть и от давления. 9.2.1. Капельные жидкости У различных теплоносителей не все физические свой- ства изменяются с температурой одинаково. Например, у капель- ных жидкостей наиболее сильно изменяется вязкость, т. е. от- ношение ЦИ,/)Л/, и гораздо слабее плотность pw/pf, теплопровод- ность KJ’kj и теплоемкость срю/ср,. Следовательно, можно ожидать, что, оставаясь достаточно точными, для капельных жидкостей уравнений (9.8) и (9.9) упро- стятся соответственно: Nu, = f (x/d, Gr,, Рг,, pjp.,. Re,); = f (x/cf, Gr,, Re,, рш/р,). У капельных жидкостей изменение температурных напоров (Tw — Tf) в сечении канала в первую очередь приведет к изме- нению профиля скоростей (поскольку наиболее сильно изменяется вязкость) и, как следствие этого, к дополнительной деформации профиля температур. Изменения профилей скорости и температур будут большими в ламинарных потоках и меньшими в турбулент- ных. В турбулентных потоках профиль скорости зависит от ц лишь около стенки, где динамическая вязкость и турбулентная динамическая вязкость цт (см. гл. III) соизмеримы или р > щ. В ядре потока рт ф> ц. Однако интенсивность турбулентности, а значит величина и распределение цт по радиусу трубы косвенно зависят от р., так как от него зависит градиент скорости около стенки дих/дг, который входит как множитель в слагаемое урав- нения баланса турбулентной энергии ри'хиг (дих/дг), определяю- щее переход кинетической энергии осредненного движения потока в кинетическую энергию турбулентных пульсаций, т. е. определя- ющее порождение турбулентности. 224
На рис. 9.1 показаны типич- ные изменения скорости, массовой скорости рих, температуры и плот- ности теплового потока по ра- диусу трубы при ламинарном те- чении масла МС-20 в условиях нагрева (кривые / и 2) я в усло- виях охлаждения (кривые 3 и 4). Как видно, при нагреве, ког- да температура масла растет or оси к стенке, а вязкость, наобо- рот, падает (рю/рд < 1, профиль скорости становится более запол- ненным (кривые J :i 2) вследствие того, что касательное напряже- ние т — р (dujdr) изменяется ли- нейно по радиусу трубы от тК! на стенке до нуля на оси. При на- греве, несмотря на некоторое уменьшение плотности масла с ро- стом температуры, профиль массо- вой скорости рих тоже становит- ся более заполненным. Теплоем- кость ср капельных жидкостей Рис, 9.1. Распределение свойств мас- ла по радиусу трубы при лами- нарном сечении: (7 — температуры; б — скорости; в — масс скорости; г — плотности тепло- вого потока (Го и — значения на оси трубы); 1 4 — ~ 0,163; 0,460; 3,82; 51,3 соответственно; ---------постоянные физические свой- ства при нагреве изменяется мало, а у масла даже немного растет. Следовательно, количество тепла, переносимое жидкостью сррих, протекающей около стенки, при нагреве возрастает, что улучшает съем тепла. Поэтому распределе- ние удельного теплового потока по радиусу приближается к линейному, а профиль температуры становится более заполненным. При охлаждении (рш/ри) > 1 картина будет существенно отличной (кривые 3 и 4) в силу об- ратного изменения упомянутых свойств. В ламинарном потоке влияние изменения вязкости на теплооб- мен мало зависит от характера температурного граничного условия по длине трубы. Это влияние почти одинаково при Tw ~ const и <7te = const и в первом приближении мо?кет быть учтено за- висимостью Num = Nu0 (ц/р/)-п, (9.10) где п = 0,14 ... 1,16: Num соответствует определению теплофи- зических свойств среды при осредненной температуре Тп, = — (Л, + Tf), a Nu,3 — при постоянных физических свойствах (малые значения Tw — Tf). 8 Авдуевский 925
При турбулентном течении капельных жидкостей качественно картина изменения профилей скорости и других параметров на- поминает рис. 9.1. Как в ламинарном, так и в турбулентном пото- ках при нагреве теплоотдача растет, а сопротивление падает. При охлаждении — наоборот. По данным эксперимента для турбулентного течения в диапа- зоне значений = 0,08 ... 40; Re = 104 ... 1,25 105; Рг — =-- 2 ... 140 Nuy/Nu0 = (рш/ру)-”, где п — 0,11, при нагрузке и п = 0,25 при охлаждении. Гидравлическое сопротивление в диапазоне p^/py — 0,3 ... 2; Re = 104 ... 3• 105 и Рг = 1,3 ... 10 можно рассчитывать при нагреве капельных жидкостей (р^/ру < 1) по зависимости № = 1 -4 0 0 +#), где В = (Ру/р® — 1) (ру/р®)0’17; п — 0,17—2-10е + 1800/Re, а при охлаждении (рш/ру >» 1) по рекомендации Б. С. Петухова - (Р®/Рд)0’24- 9.2.2. Газы Кривые изменения по радиусу скорости и других пара- метров при ламинарном течении газов качественно аналогичны кривым на рис. 9.1, но по эффекту нагрев у газов совпадает с ох- лаждением капельных жидкостей, а охлаждение — с их нагревом. Различное протекание кривых для газов и жидкостей объясняется противоположным характером зависимости вязкости от темпера- туры. У двухатомных газов, как показали численные расчеты, вли- яние всех физических свойств при ламинарном течении с хорошим приближением может быть учтено введением в уравнениях (9.8) и (9.9) лишь одного температурного фактора. В турбулентном течении газов изменение теплофизических свойств, особенно плотности, существенно влияет на интенсивность порождения турбулентных пульсаций — (дих/диг). Порождение турбулентных пульсаций, т. е. переход кинетиче- ской энергии осредненного потока в кинетическую энергию тур- булентных пульсаций, происходит, главным образом, около стенки и определяется в трубе произведением турбулентного каса- тельного напряжения —рихи'г на градиент осредненной скорости дих/диг, т. е. членом —рихиг- дих/дг. Характер изменений про- филей температуры, скорости, плотности теплового потока, массо- вой скорости и коэффициента турбулентного переноса импульса при нагреве и охлаждении воздуха в трубе по данным численного расчета представлен на рис. 9.2. 226
При нагреве газа Tw/Tf7>\ плотность его около стенки падает, что снижает интен- сивность порождения турбу- лентности и значение турбу- лентной теплопроводности Хт; зато X около стенки возрас- тает. Поэтому тепловое со- противление тонкого слоя около стенки (где X %т) уменьшается, а всего осталь- ного потока (где X < Хт) воз- растает. Уменьшению р спо- собствует также ускорение потока газа. Доля тепла, воспринимае- мая газом, протекающим око- ло стенки (где X 1Т), во- обще не велика, а из-за па- дения плотности при нагреве она становится еще меньше. Этот тонкий слой газа около стенки при нагреве играет роль своеобразной изоляции для теплового потока, кото- рый проходит через него и в основном расходуется на на- грев более удаленных от стен- ки слоев газа. Поэтому неко- 0 0,2 0,6 Рис. 9.2. Влияние нагрева и охлаждения воздуха на распределение по радиусу трубы безразмерных параметров потока при Re№ = 4,3-104; Рг = 0,7 ... 0,71: 1 — нагрев при Ту ~ 3,11; 2 — охлажде- ние при = 0,383;---------постоян- ные физические свойства торое увеличение теплопроводности в тонком слое около стенки не может компенсировать уменьшение в остальном потоке. Ре- зультатом является падение коэффициента теплоотдачи при на- греве газа. Для расчета теплоотдачи при нагреве простых и многоатомных газов в диапазоне Tw/Tf = 1 ... 6 и Re = 7 Ю3 ... 1,25 104 ре- комендована зависи мость Nuf = 0,0228Z Re?’8 Рг°л х (Cpjcp/)1/4 ^M^(TW/Tt} (9.11) где влияние расстояния от начала обогрева учитывается двумя поправками: f (x/d} и 8г = 1 4- /.уДщехр (-0,17x/d). (9.12) ег учитывает большее значение теплоотдачи на участке тепловой стабилизации длиной (20 ... 25) d, имеющее место и при маломе- 8* 227
няющихся теплофизических свойствах, a f (x/d) учитывает изме- нение влияния значения TwITj на теплоотдачу следующим образом: Xid 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 f (Ш) 0,11 0,24 0,38 0,55 0,73 0,89 1,02 1,13 1,21 1,27 ... 1,5 Подобное влияние объясняется отчасти тем, что среднемассовая температура теплового пограничного слоя 7\ п существенно от- личается от 7ф, приближаясь к ней с ростом x/d. Поэтому при нагреве газа (Tw/Tf > п) и нужно брать TJTf в меньшей степени, чтобы получить тот же эффект влияния на теплоотдачу, как если бы мы взяли TwIT\.n. Для нагрева одно- и двухатомных газов проведено много исследований, результаты которых сравнительно близко совпа- дают. Например, для Re -= 7 10s ... 2-10s; x/d — 1,2 ... 144; Tw/Tf = 1 ... 7,5; Nu,- 0,024 Re?’8 PrF (Tw/Tf)~^ [1 + (x/d)"0’7 (Тш/7>)0’7]. (9.13) Гидравлическое сопротивление при нагреве газов падает, так как уменьшается интенсивность порождения турбулентности. Некоторые исследователи рекомендуют = 0,316/Re?'25 (7Д/ЛГ0,6 [1 (x/d)~°-9 (Tw/T,)0’6]. (9.14) При охлаждении двухатомных газов эксперименты при Tw!Tf = 0,15 ... 1 не обнаруживают влияния температурного фактора ни на теплоотдачу, ни на гидравлическое сопротивление, если за определяющую температуру принята Tf. Это можно объ- яснить возрастающей ролью тонкого пристенного слоя. При ох- лаждении газа в нем растут плотность и доля воспринимаемого им тепла. Поэтому падение в нем X компенсируется частично ро- стом выработки турбулентности и, следовательно, 1, в остальном потоке, а отчасти радиальными перетечками газа, которые могут возникать из-за разной скорости падения температуры газа на оси канала и около стенки и замедления газа. Аналогично этому падение гидравлических потерь из-за умень- шения р. около стенки компенсируется ростом интенсивности порождения турбулентности, вследствие увеличения выработки турбулентности и возникновения радиальных перетечек тепла при замедлении газа. В околокритической области состояния вещества, где все физические свойства изменяются существенно и в разной степени, обобщать экспериментальные данные приходится в виде уравнения (9.8) и (9.8). Так же можно обобщать данные для равновесно дис- социирующих газов, если под их теплофизическими свойствами понимать так называемые эффективные значения, рассчитанные с учетом реакции диссоциации. 228
9.3. ИНТЕНСИФИКАЦИЯ ТЕПЛООБМЕНА Перед конструкторами теплообменных аппаратов (ТА) всегда стоит главная задача, добиться минимальных габаритных размеров и массы аппарата при заданных суммарном тепловом по- токе Q, гидравлических потерях, температурах и расходах тепло- носителей. Если поверхность теплообмена выбрана, то заданные условия однозначно определяют габаритные размеры и массу ТА и температуру стенки ТА или генерирующего теплоустройства. Естественно конструктор стремится выбрать такую форму ка- налов, чтобы в единице объема поверхность теплообмена была максимальной. В каждом конкретном случае это стремление огра- ничено соображениями надежности, технологичности и удобства эксплуатации конструкции ТА. В результате учета всех сообра- жений и требований конструктор приходит к некоторому компро- миссному решению. Следовательно, выбор теплообменной поверхности — один из важнейших моментов создания любого теплообменного устройства. Лучшей будет та поверхность, которая при прочих равных усло- виях обеспечит наибольший коэффициент теплоотдачи. Поэтому интенсификация теплообмена в каналах — реальный путь к умень- шению габаритных размеров и массы ТА и к снижению темпера- туры стенок при охлаждении элементов конструкции или атомного реактора. Метод интенсификации определяется характером течения (од- нофазное или двухфазное, ламинарное или турбулентное и др.). Рассмотрим методы интенсификации теплообмена только при тур- булентном течении однофазного теплоносителя в прямых каналах. Для таких течений часто возникает идея интенсификации тепло- обмена путем искусственной турбулизации потока. Этого можно достигнуть закруткой потока, созданием в нем вихрей, отрывных зон и др. Но все эти способы связаны с увеличением гидравличе- ских потерь в канале, поэтому важно иметь критерии для оценки целесообразности методов интенсификации теплоотдачи. Удобно сравнивать каналы, имеющие устройства для искусственной тур- булизации потока, с такими же гладкими каналами без этих уст- ройств. Тепловой и гидравлический расчеты теплообменных уст- ройств (см. гл. ХШ) для выбранных типов и эквивалентных диа- метров гладких каналов однозначно определят их размеры, числа Рейнольдса в них и температуры стенок. Интенсификация теплообмена в этих каналах увеличит по сравнению с гладкими как число Нуссельта Nu/Nu0, так и коэффи- циент гидравлического сопротивления F,/g0. Важно найти такие их значения, при которых поверхность теплообмена (габаритные раз- меры и масса) уменьшится, что при заданных габаритных размерах обеспечит и уменьшение температуры стенки. Для определенности рассмотрим трубчатый ТА, в котором один теплоноситель течет в трубах, а другой — между ними в па- раллельном направлении. Пусть теплоноситель в трубах имеет 229
меньший коэффициент теплоотдачи при допустимом значении гид- равлических потерь. В этом примере в первую очередь следует ин- тенсифицировать теплообмен в трубах. Запишем уравнения для теплового потока, потерь давления и расхода теплоносителя: Q == Fa | Tw - Tf | = kF ДТ; Др = Al Re2 l/d; (9.15) G = В Re nd, где А и В для данного теплоносителя и диаметра трубы — раз- мерные константы; п — число трубок в пучке; I — длина трубок. Тогда при заданных значениях Q, Др, G можно получить: (Nu/Nuo)? > (g/go')s (Re/Reo)1'2 (tw - Tf)l/(TW - Tf)2. (9.16) Если интенсификация в каналах сопровождается выполнением условия (9.16), она обеспечивает уменьшение габаритных разме- ров теплообменного аппарата. Из уравнения (9.15) получаем Та,— Т7 = ДТ. Без учета термического сопротивления стенки коэффициент теплопередачи k = aa,J{a + а2), где а2 — коэффициент теплоотдачи в меж- трубном пространстве. Тогда Тш — Tf = - ДТ и нера- венство (9.16) будет иметь вид /ЛЕ_у> / Re Л1,2 ( Nu2o У / « + у \ Nu0 /1 \ / 1 \ Re0 / \ Nug / \ а0 -р сх20 J Таким образом, интенсификация теплоотдачи внутри труб наи- более эффективна, если она сопровождается такой же или боль- шей интенсификацией теплоотдачи в межтрубном пространстве или если а2 У а. Помимо удовлетворения условию (9.17) метод интенсификации теплоотдачи должен быть технологичным как при изготовлении поверхности теплообмена, так и при сборке, и не должен снижать надежность и эксплуатационные качества ТА. Удовлетворить всем этим требованиям не так просто. Поэтому из большого числа описанных в литературе методов интенсифи- кации на практике используются лишь немногие. Остальные либо не технологичны, либо не удовлетворяют неравенству (9.17). Найдем, каким должен быть метод интенсификации теплооб- мена, чтобы наилучшим образом удовлетворять неравенству (9.17). Из уравнения для плотности теплового потока в направле- нии радиуса трубы q = (X + Аг) ~ = срр (а + ед) и рис. 9.2 нетрудно прийти к выводу, что большая часть располага- емого температурного напора срабатывается в тонком пристенном слое. В нем q близок к qw, a eQ мало. Этот слой тем меньше, чем больше число Прандтля. В ядре потока, где q мало, a eQ велико, 230
срабатывается не более 20—30% располагаемого температурного напора у газов и не более 5% у жидкостей с Рг > 1. Значит искусственная турбулизация должна увеличивать ин- тенсивность турбулентных пульсаций и только в тонком слое около стенки. Нет смысла затрачивать энергию на увеличение е9 в ядре потока. Дополнительная турбулизация всего потока зна- чительно увеличит £ и очень мало увеличит число Nu, Покажем, каким образом можно увеличить значение е9 около стенки, прак-. тически не изменяя его в ядре потока. Анализ показывает, что этого можно добиться созданием не- больших отрывных зон (вихрей), расположенных около стенки на определенных расстояниях по длине канала. При образовании вих- ря около стенки на его верхней границе градиент скорости имеет максимум, а турбулентное касательное напряжение ри'хи'г до- статочно большое значение. Поэтому порождение турбулентных пульсаций рихиг на верхней границе вихря происходит весьма интенсивно. Возникшие продольные пульсации скорости, распадаясь, пе- редают свою энергию более мелким пульсациям. Причем энергия проходит сложный путь через пульсации давления к поперечным пульсациям и т. д., пока не произойдет ее диссипация. За это время пульсации скорости переносятся основным потоком вдоль линий тока и диффундируют в стороны от них. Если вихрь него граница расположены близко к стенке, то возникшие на ней пуль- сации скорости увеличат е9 вблизи стенки и тем самым интенсифи- цируют теплоотдачу. При слишком частом расположении таких вихрей энергия воз- никших на них пульсаций скорости не успевает затухать на пути до следующего вихря и, в основном, диффундирует в ядро потока. Так происходит в шероховатых каналах, в которых е9 увеличи- вается по всему сечению канала. Это нерациональный метод ин- тенсификации теплоотдачи, так как дополнительная турбулиза- ция ядра потока почти не увеличивает теплоотдачу, ибо в ядре потока е9 и так достаточно велико, a q — мало, но ведет к большим гидравлическим потерям. Целесообразно вихри около стенки располагать на таком рас- стоянии друг от друга (порядка 10 высот турбулизатора и больше), чтобы кинетическая энергия возникших на вихрях пульсаций частично успевала диссипировать на пути до следующего вихря. Тогда ее диффузия в ядро потока будет несущественна. Большие вихри также нерациональны. Они ведут к большим гидравлическим потерям, а возникшие на их верхней границе пульсации переносятся потоком далеко от стенки и турбулизируют, в основном, ядро потока. Вихри можно образовать, разместив на стенке поперек потока небольшие выступы или канавки. В случае выступов некоторую роль в интенсификации теплоотдачи будет играть подвод тепло- 231
Рис. 9.3. Влияние числа Re на эффективность интенсификации теплообмена: 1 — Re = Re* (граница слабой зависимости Nu/Ku0 от Re); 2 — d/D = 0,983; t/D = 0,5; 3 — d/D = 0.96C; t/D 0,5; 4 — 3/D = 0.943; t/D 0,5; 5 — d/D = 0,9)2; t/D = => 1,0; 6 — d/D = 0,92, t/D = 0,5; 7 — d/D = 0,875, t/D = 0,5 носителя из ядра потока к стенке в зоне присоединения потока. В качестве примера метода интенсификации теплоотдачи, разработанного с учетом сказанного выше, можно привести метод, предназначенный для интенсификации теплообмена в трубах и трубных пучках при их продольном омывании. Трубка по специальной технологии накатывается роликами. На ее внешней поверхности образуются периодически расположен- ные поперечные канавки, а на внутренней — выступы (диафрагмы) с плавной конфигурацией (рис. 9.3). Эта трубка при оптимальных типах накатки сохраняет прочность, обеспечивает интенсификацию теплоотдачи с двух сторон и не изменяет технологии сборки; стоимость ее накатки низкая. Для определения соотношений Nu/Nu0 и внутри таких накатанных труб были проведены исследования на газах, воде и водно-глицериновых смесях и других теплоносителях при раз- личных сочетаниях d/£) и t/D. На рис. 9.3 представлена зависи- мость Nu/Nu0 от числа Re для различных размеров диафрагм. При ламинарном течении между выступами диафрагм создаются застойные зоны. Они служат дополнительным термическим сопро- тивлением и ухудшают теплоотдачу. Но с ростом x/d этот эффект уменьшается, благодаря возрастающему влиянию свободной кон- векции. При увеличении числа Рейнольдса за диафрагмами возникают вихри, что приводит к росту уровня возмущений в потоке и пере- ходу к турбулентному течению при меньших, чем в гладкой трубе, критических числах Рейнольдса. Заметное уменьшение значения ReKp наблюдается при d/D </ 0,94. Например, при d/D — = 0,875ReKp — 1580 вместо ReKp = 2300 для гладкой трубы. Переход к турбулентному течению, как и в гладких трубах, сопровождается возникновением турбулентных пробок. Возникнув в начальных сечениях тпубы, эти турбулентные пробки, чередуясь 232
Рис. 9.4. Влияние зысош тур- булизаторов на эффективность интенсификации теплообмена (t/D = 0,5): 1 — Рг = 5; Re = 4. 10s; 2 —Pr^S: Re = 4. 10*; 3 — Pr 0,7; Re = =4. 10* Рис. 9.5. Слемы каналов, образованных плот- ной упаковкой шахматного пучка твуб (а); s/dH= 1 (б) с ламинарными (перемежаемость течения), движутся вниз по те- чению. В этом движении они непрерывно увеличивают свою длину; теплоотдача в них почти в 2 раза выше, чем в ламинарных пробках. Диапазон чисел Re, в котором наблюдается перемежаемость, меньше, чем в гладких трубах. Как видно из рис. 9.3, теплоотдача в переходной области тече- ния (ReKp Re <5 Re*) выше, чем в гладких трубах, особенно при d/D < 0,94. При развитом турбулентном течении (Re > ?> Re*) отношение Nu/Nu0 слабо зависит от Re. При больших числах Re это отношение может уменьшаться. С ростом чисел Re или Рг толщина слоя, в которО1М срабатыва- ется в гладкой трубе основная часть (90—99%) температурного на- пора, все время уменьшается. Когда верхняя граница вихря, примерно совпадающая с верх- ней кромкой диафрагмы, достигает границы этого слоя (см. рис. 9.3, поз. 1), эффективность интенсификации максимальна. Если граница вихря выходит за этот слой (дальнейший рост Re или Рг или увеличение высоты диафрагмы), то турбулизируются слои с малыми градиентом температуры и достаточно большим eQ. Дополнительная интенсификация теплоотдачи в этом случае мала, а гидравлические потери продолжают расти. На рис. 9.3 это область с Re>Re*. Сказанное хорошо иллюстрирует рис. 9.4, на котором видно, как с ростом чисел Re и Рг наступает «насыщение» роста Nu/Nu0 при увеличении высоты диафрагм d/D, Экспериментально было установлено, что с уменьшением d/D влияние температурного фактора при течении газов ослабевает, так как плотность газа около стенки с ростом турбулизации при- ближается к средней для всего сечения. Для жидкостей при на- греве влияние изменения физических свойств также ослабевает о ростом высоты диафрагмы. 233
Для определения отношений Nu/Nu0 и £/£0 в продольно омы- ваемом пучке труб с поперечными канавками также были прове- дены эксперименты, где было установлено, что при ламинарном течении канавки не влияют ни на теплоотдачу, ни на гидравличе- ское сопротивление. С ростом числа Re в широкой части ячейки (расстояние 2—3 на рис. 9.5) поперечного сечения пучка труб, где наибольшие гра- диенты скорости, в канавке возникает вихрь. Он обуславливает более раннее, чем в гладкой трубе, возникновение турбулентного течения в широкой части ячейки. Вначале турбулентное течение охватывает малую часть периметра трубки (в районе точки 3 на рис. 9.5), поэтому оно больше сказывается на увеличении £/1о, чем на Nu/Nu0. С дальнейшим увеличением Re мощность вихря растет, и он постепенно распространяется по всему периметру канавок. След- ствием этого является быстрый рост теплоотдачи, который затем стабилизируется. Увеличение шага расположения канавок t заметно снижает Nu/Nu0 и |/|0. Интенсификация теплоотдачи в межтрубном пространстве так же, как и в трубах, уменьшает влияние температурного фактора на теплоотдачу и гидравлическое сопротивление. Опыты на шахматных пучках при нагреве воды при s/dH = 1,16; 1,2; 1,34; 1,4 показали, что эффект интенсификации убывает с ростом шага (здесь s — расстояние между осями трубок пучка, ad — наружный диаметр трубки). В пучках труб с большим шагом эффективной будет интенсифи- кация путем создания поперечных небольших ребер на внешней поверхности трубок. Применение рассматриваемого выше (см. рис. 9.3) метода ин- тенсификации теплоотдачи (полученной внутри трубок и снаружи трубок) позволяет при прочих равных условиях уменьшить габа- ритные размеры и массу трубного пучка в 1,5—2 раза по сравнению с гладким, что при дешевизне накатки, сохранении надежности и без усложнения сборки ТА позволяет рекомендовать его для труб- чатых ТА. Для других типов каналов на основе изложенного анализа и примера можно выбрать свой технологический метод интенсифика- ции теплоотдачи, учитывающий специфику работы и производства теплообменного устройства. 9.4. ТЕПЛООБМЕН В КАНАЛАХ НЕКРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ Исторически исследования теплообмена и гидродина- мики проводились сначала в круглых трубах. Когда возникла по- требность в расчете теплообменных процессов в каналах некруглого сечения, исследователи сделали попытку распространить на них уже известные данные для круглых труб. Для этого предлага- 234
лось использовать формулы для труб, заменяя в них диаметр трубы на эквивалентный диаметр рассчитываемого канала d9 = if/U, который был определен как учетверенная площадь поперечного сечения f, деленная на периметр канала U. Для трубы d = = 4лс!2/4лс!. Так как каналы с различной формой сечения геометрически не подобны, то из теории подобия следует, что и тепловые, и гидро- динамические явления в них не будут подобны. Однако Л. Шиллер, Д. Никурадзе показали, что в области раз- витого турбулентного течения в каналах без острых углов расчет по формулам для труб с заменой диаметра трубы на d3 = if/U дает удовлетворительные результаты для определения коэффи- циента гидравлического сопротивления. В турбулентном потоке гидравлические потери главным об- разом обусловлены переходом энергии осредненного потока в ки- нетическую энергию турбулентных пульсаций. Этот переход осуществляется, в основном, около стенки, ибо порождение тур- булентности, равное для несжимаемой жидкости произведению турбулентных касательных напряжений —риЖ на градиент скорости duxfdy (ось у — по нормали к стенке, ось х — вдоль стенки), обычно максимально около стенки. Правило эквивалентного диаметра обеспечивает приближенное подобие лишь по переходу энергии осредненного движения в тур- булентные пульсации при равном с трубой отношении площади сечения к периметру канала и примерно одинаковом значении порождения турбулентности на этом периметре. Поэтому оно не может распространяться на каналы, у которых значительная часть периметра приходится на узкие области с малым значением ——, ди.,. ри* и“ ~дГ Наоборот, в каналах с более эффективным чем в трубе ис- пользованием периметра (продольное обтекание пучка с большим шагом s/dB; кольцевые каналы с большим отношением ДВн/Дн ит. п.) такой расчет дает заниженные значения Применение правила эквивалентного диаметра для расчета теплоотдачи турбулентного потока может быть эффективно для еще более узкого круга типов каналов, ибо требует наложения дополнительных условий на приближенное подобие полей тем- ператур около стенки. Требования к точности расчетов возросли, и следует применять это правило с осторожностью. Например, при продольном обте- кании турбулентным потоком шахматных пучков труб и стержней (см. рис. 9.5, б) оно дает удовлетворительное совпадение с экспе- риментом лишь в узком диапазоне изменения шага пучка s/ds = = 1,15 ... 1,2. Для ламинарных течений правило эквивалентного диаметра вообще неприемлемо. Строго говоря, гидродинамика и теплообмен теоретически или экспериментально должны исследоваться для 235
каждого тика некруглого канала отдельно с последующим рас- пространением результатов на близкие типы (например шахматные пучки труб с разными s/dH). При изучении теплообмена в таких каналах вопрос оказы- вается еще более сложным, гак как в некруглых каналах темпе- ратура стенки по периметру, в отличие от круглой трубы, суще- ственно изменяется. Законы распределения температуры по пери- метру стенки заранее неизвестны. Они зависят не только от гидро- динамики и физических свойств теплоносителя, но и от стенки — от ее конфигурации, размеров, физических свойств, а также от распределения источников тепла в ней. Это вынуждает рассма- тривать сопряженные задачи, когда к системе уравнений, описы- вающих поток, добавляются уравнения теплопроводности для стенки канала и условия сопряжения, т. е. условия равенства температур и тепловых потоков на границе с двух ее сторон, а гра- ничные условия задаются на внешней по отношению к потоку поверхности стенки канала. Решение сопряженных задач, хотя принципиально и возможно, но оно еще сложней, чем нахождение полей скорости и темпера- туры только в потоке при известных граничных условиях (т. е. решение системы уравнений только для потока). Анализируя сопряженную задачу для треугольных каналов, можно показать, что в этом случае решение будет содержать дополнительный параметр Фк = где и kw — коэф- фициенты теплопроводности жидкости и материала стенки; ба, — толщина стенки канала; d3 —эквивалентный диаметр. При пере- менной по периметру температуре стенки возникнут перетечки тепла как по самой стенке (пропорциональные так и по теплоносителю (пропорциональные kfd3). Параметр Фк характери- зует отношение этих перетечек. При Фк -> 0 перетечки тепла по стенке отсутствуют. Это соответствует граничному условию qw = const, а Фк оо (А,ш -> оо) — граничному условию Tw = — const по периметру канала. В реальных каналах параметр Фк имеет некоторое промежуточное конечное значение, обычно зара- нее неизвестное. Для круглой трубы при равномерном распределении по пери- метру наружной температуры стенки и источников тепловыделения и при отсутствии свободной конвекции для любого значения пара- метра Фк одновременно по периметру имеют место оба граничных условия qw = const и Tw = const. Таким образом, круглая труба — частный случай некруглых каналов при полной симметрии по углу. Но и в круглой трубе при нарушении симметричности граничного условия на наружной стенке (трубы с продольными ребрами и т. п.) или несимметрич- ности условий теплосъема внутри (свободная конвекция в гори- зонтальной трубе и т. п.) граничное условие на внутренней стенке перестанет быть симметричным. Оно также будет зависеть от Фк и не будет известно заранее. 236
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Что такое одномерная математическая модель тепловых процессов в ка- налах? 2. Как учитывается в эмпирических формулах для числа Нуссельта и ко- эффициента гидравлического сопротивления изменение теплофизических свойств по сечению канала? 3. Какие существуют способы интенсификации теплообмена в ка- налах? 4. Как влияет форма поперечного сечения канала на теплообмен и гидравли- ческое сопротивление в нем?
ГЛАВА X ТЕПЛООБМЕН ПРИ КИПЕНИИ И КОНДЕНСАЦИИ 10.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ОПРЕДЕЛЕНИЯ Теплообменные процессы, сопровождающиеся кипе- нием и конденсацией, широко распространены в технике. Они встречаются во многих типах энергетических установок летатель- ных аппаратов, в системах кондиционирования воздуха в кабинах, при термостатировании баков, отсеков с аппаратурой и отдельных приборов. Применение криогенных топлив для двигателей лета- тельных аппаратов также сопряжено с большим разнообразием теплообменных процессов, сопровождающихся кипением и кон- денсацией в области низких температур. Для лучшего понимания процессов кипения и конденсации рассмотрим их некоторые термодинамические особенности. На рис. 10.1 изображено в безразмерных координатах урав- нение состояния л = f (ф, т), которое называется приведенным. Здесь л = р/ркр’ ф Ф-’кр и т = где Ркр, -Др в Дкр соответственно давление, удельный объем и температура в крити- ческой точке. В термодинамике установлено, что вещества с близ- кими в критической точке значениями комплекса N = ДТКр/(Ркрх X цкр) (N — называется критическим коэффициентом) описы- ваются одинаковыми приведенными уравнениями. Такие вещества называются термодинамически подобными, а их состояния с оди- наковыми значениями любых двух приведенных параметров — соответственными состояниями. Из табл. 10.1 видно, что, в частности, криогенные жидкости имеют близкие значения критического коэффициента N. Они относятся к термодинамически подобным веществам. Термодина- мическое подобие следует учитывать при обобщении эксперимен- тальных данных по теплообменным процессам с фазовыми пере- ходами. Рассмотрим процесс нагрева жидкости при постоянном при- веденном давлении яд (линия 1—6). Жидкость в точке 1, имеющая температуру ниже температуры насыщения при данном давлении, называется недогретой жидкостью, а разность Ts — Т (где Ts — температура насыщения) называется недогревом жидкости. Жид- кость в точке 2, лежащей на линии насыщения (т = ts и Т = 7\) называется насыщенной жидкостью при данном давлении (яр — = ns) (см. рис. 10.1). Процесс 2—5 от нижней пограничной кривой (точка 2) до верхней пограничной кривой (точка 5), происходящий при постоянной температуре, равной Ts, представляет собой 238
Рнс. 10.1. Графическое представление уравнения состояния л — f (ср, т) испарение со свободной поверхности жидкости. Как известно, пар при температуре Ts называется насыщенным, а при более высокой (например, точка 6) — перегретым, а разность Т — Ts называется перегревом пара. Таким образом, в процессе испарения со свободной поверхности жидкости температура ее остается постоянной и равной Ts. Поэтому изотерма т, = const между точ- ками 2 и 5 совпадает с изобарой. Если процесс происходит равновесно, то каждой точке на участке 2—5 соответствует определенное значение массового Таблица 10.1. Критические параметры некоторых веществ Вещество 7"кр> К Ркр» МПа Ркр, кг/м“ N % ТКрРКр Ркр Азот 126 3,28 311 3,54 Аммиак 405,5 10,93 235 4,21 Аргон 150,7 4,71 531 3,49 Вода 647,3 22,13 307 4,13 Водород 33,2 1,25 31 3,35 Гелий 5,2 0,225 69,3 3,35 Кислород 154,3 4,87 430 3,34 Фреон-12 384,7 3,9 — 3,7 Фреон-13 487,3 3,3 — 3,7 239
паросодержания л, равного отношению массы вновь образовав- шегося пара Л1п к первоначальной массе жидкости Л1Ж0 = /Иж -}- + Мп. Очевидно, что в точке 2 х - 0, а в точке 5 х = 1. Пар между точками 2 и 5 (при 0 < х < 1) называется влажным насы- щенным паром. Процесс конденсации, т. е. превращение пара в жидкость, будет идти в обратном направлении: от точки 5 к точке 2. Однако все реальные процессы протекают термодинамически неравновесно. В частности, при испарении, чтобы обеспечить теплоподвод к поверхности раздела фаз, необходимо создать градиент температур по нормали к поверхности жидкости тем больший, чем интенсивней процесс парообразования. Если подвод тепла к поверхности раздела фаз осуществляется через жидкость, то для создания градиента температур жидкость должна быть на некотором удалении от поверхности раздела фаз перегрета (до температуры > Ts). Такая жидкость называется перегретой, а разность 7\к — Ts называется перегревом жидкости. Жидкость в перегретом состоянии может существовать лишь вдали от поверхности раздела фаз. Такое состояние возможно только для неравновесных процессов; оно называется метаста- бильным. Ему соответствует область А—К—С (см, рис. 10.1), а при л-! = const — линия 2—3. При перемещении по изобаре от точки 2 к точке 3 будут пересекаться изотермы (т = const) со все большим значением т. Температура, соответствующая точке 3, называется предельной температурой перегрева жидкости 7пр или тпр (для приведенного давления пф. При достижении 7Ц;. для данного давления жидкость неминуемо спонтанно вскипает по всему объему. Термодинамически это объясняется невозмож- ностью существования участков изотерм 3—-3' с (5p/5v)T > 0. Для равновесного существования парового пузыря в жидкости давление в нем pt! из-за поверхностного натяжения должно быть выше, чем в окружающей его жидкости рж. По уравнению Дал- ласа рп •- Рж = с (1/7?! Ж 1/Д2), где jRj. и — главные радиусы кривизны поверхности раздела; о — поверхностное натяжение. Длю сферического пузыря радиуса Р перепад давлений на границе раздела Дргп pu Рж ~ 2с7/Р. (10.1) Кроме того, кривизна поверхности раздела влечет дополни- тельное увеличение температуры насыщения по сравнению с Т3 при давлении пара для плоской поверхности на величину, эквивалентную приращению давления, Д,щ1( АА.Р. (10.2) Рж — Ра 240
Тогда температуру насыщения на границе раздела фаз пузыря можно найти по зависимости Ts = Та (ps) для данной жидкости при давлении рж + Аргр + Арж или приближенно с учетом уравнений (10.1) и (10.2): Тз (рш + Аргр Ц- Арж) = Ts (рж) + , ’ (Аргр 4- Арж) == uRs = Л (Рж) + 4^ о0-3) dpS (Рж Рп/ По уравнению Клапейрона—Клаузиуса dT s _ Тs (рж рп) f 10 41 dps ~ 'пРжРп ' \ ) Из уравнений (10.3) и (10.4) минимальный радиус равновес- ного пузыря, соответствующий данному перегреву жидкости, будет р _ _______2прж___ АТ3 2Т3 (р-д) О мл е\ *mln ДТ(рж-рп) dps гиРпДТ ’ где АТ = Тж — Т3 — перегрев жидкости. При предельном перегреве жидкости Тпр — Т3 (рж) радиус непрерывно спонтанно возникающих паровых областей имеет порядок 7?mln по уравнению (10.5) при АТ = Тпр — Т3. Если при заданном перегреве AT R < < то возникающий пузырь лопнет; если R > он будет расти за счет испарения в него окружающей жидкости. Такой пузырь называется зародышем пара. На основании молекулярно-кинетической теории частота обра- зования зародышей пара z в единице объема при данной темпе- ратуре Тж может быть подсчитана по формуле Деринга—Фоль- гера: г = 1 /_____g?_____exo Г- -^5-________—_______1 П 0 61 m V (2-\-р/р3)лт PL kTm 3/гТж (ps — р)а J ’ ' ' где k — 1,38-10~23 Дж/К — постоянная Больцмана; гп— масса молекулы. При приближении температуры жидкости к Тпр частота спон- танного образования зародышей резко возрастает, а время т существования жидкости в объеме V в перегретом состоянии и = 1/(гУ) падает. Эксперименты показали хорошее совпадение Тпр с расчетом по уравнению (10.6) при z = 1037 м_3-с_1. На рис. 10.2 в безразмерных термодинамических координатах представлены расчетная зависимость Тпр от давления и экспери- ментальная для ряда термодинамически подобных жидкостей. Как видим, для термодинамически подобных жидкостей зависи- мости Т3/Тк и Тпр/Тк от р/рк совпадают. Процесс, при котором паровая фаза возникает внутри жидкости или на греющих стенках, в отличие от испарения называют кипе- нием. 241
нис, 10.2. Зависимость приведен- ных температур предельного пере- грева и насыщения термодинамиче- ски подобных жидкостей от приве- денного давления: 1 — линия насыщения; 2 — расчет Т по уравнению (10.6); О — Н-пентан; А — Н-гексан; Q — Н-гептаи; V — этиловый эфир Аналогичный анализ позволяет объяснить существование мета- стабильной области В—К—D (см. рис. 10.1). Пар в этой области называется переохлажденным паром. Температура соответ- ствующая изотерме т = тпр 0 = const, которая касается изобары лц = const в точке 4, называется предельной температурой пере- охлаждения пара для приведенного давления Jij. При этой тем- пературе вероятность спонтанного образования капель с радиусом порядка равновесного /?га!п будет близка к единице. Следова- тельно, переохлаждение пара Та — Tnp0 будет с учетом кри- визны и других эффектов обеспечивать конденсацию на каплях жидкости R > /?тт- которые в большом количестве образуются при Гиро. Такая конденсация будет происходить по всему объему пара с большой скоростью, пока выделившееся при конденсации тепло не нагреет пар и жидкость до Т3. Опыт показывает, что в подавляющем большинстве случаев конденсация возникает при переохлаждениях, много меньших предельного. Аналогично кипение возникает при перегревах жидкости, намного меньших предельного, т. е. меньших Тщ, — Ts. Так, на греющей поверхности в воде при атмосферном давлении кипение начинается при перегревах Тж — Т3 порядка 16 ... 17 К, тогда как для этого давления Тпр — Т3 = 202 К. Для перегрева в 16 ... 17 К формула (10.5) дает 7?ш1п = 2,5- 10-3 мм, что примерно в 104 раза больше радиуса спонтанных зародышей, возникающих при предельном перегреве жидкости. Это объясняется тем, что в реальных условиях помимо спон- танного возникновения паровых зародышей в толще жидкости существуют и другие возможности их возникновения, требующие меньшего перегрева (образование пузырей на твердой стенке, на- личие примесей других газов и жидкости). 10.2. РОСТ ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ ЧИСТОЙ ПЕРЕГРЕТОЙ ЖИДКОСТИ Процесс образования и роста паровых пузырей в боль- шом объеме жидкости представляет довольно сложное явление и определяется взаимодействием многих факторов. В их числе: условия и возможности подвода тепла к поверхности пузыря на испарение жидкости; инерционное и вязкое сопротивление жидкости росту пузыря; давление в жидкости, окружающей пузырь; 242
поля температур и скоростей жидкости; ориентация гравитационного поля, а также ряд других менее существенных факторов; материал и обработка поверхности нагрева. 10.3. РОСТ ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ НА ПОВЕРХНОСТИ НАГРЕВА ПРИ КИПЕНИИ Временем роста парового пузыря тр считают время от момента активации парового зародыша до отрыва парового пузыря от стенки. Затем в течение некоторого времени тв, назы- ваемого временем выжидания, происходит восстановление пере- грева жидкости около стенки, необходимого для новой активации парового зародыша. Нет единой точки зрения на механизм теплообменных про- цессов, определяющих рост паровых пузырей на стенке, однако уже накопленные опытные данные позволяют следующим образом описать этот механизм. При отрыве паровой пузырь увлекает за собой слой перегретой жидкости, и стенка в районе центра парообразования приходи" в контакт с холодной жидкостью. При этом температура стенки и жидкости в месте их контакта (на границе) примет некоторое промежуточное значение 7’гр между начальными температурами жидкости Тж0 и стенки Т^о- Из решения одномерной задачи нестационарной теплопровод- ности для полубесконечных слоев жидкости и стенки найдем г.,,---.—!---------. (10.7) Two — I Слой жидкости и стенку можно считать полубесконечными, если за рассматриваемое время контакта тн их толщины 5;к и таковы, что критерий Fo — ажтк/6ж < 0,25 и Fo = -~)т— < < 0,25. Однако за счет подвода тепла от соседних участков стенки или тепловыделения в ней температура стенки и прилегающей к ней жидкости будет расти в течение времени выжидания. За это время прогреется слой жидкости толщиной 6 = У"лажтв и снова восстановятся условия, необходимые для активации центра парообразования. Зародившийся паровой пузырь отталкивает от стенки пере- гретый слой жидкости и растет в его окружении. В период роста пузыря тепловой поток для испарения жидкости может подво- диться следующими путями: 1) от перегретых слоев жидкости, окружающих паровой пузырь с противоположной от стенки стороны (рис. 10.3); 2) от перегретого слоя жидкости, расположенного между поверх- ностью пузыря и стенкой (если этот слой достаточно толстый, см. рис. 10.6): 243
Рис. 10.3. Упрощенная схема роста первого пузыря на стенке с испаре- нием из перегретого наружного слоя жидкости: / — жидкость; 2 — слой перегретой жид- кости; 3 — пар Рис. 10.4. Схема роста полусфери- ческого пузыря с испарением из микрослоя жидкости на стенке (тх < < Ъ < т3; 60 = с Уржт8): 1 — жидкость; 2 — пар 3) теплопроводностью через тонкий слой жидкости, отделяющий пузырь от стенки (рис. 10.4). При этом имеют место неста- ционарные процессы подвода тепла от перегретых слоев жидко- сти, или от стенки через слой жидкости между пузырем и стенкой, к самой жидкости. В действительности могут реализовываться все три способа подвода тепла сразу, но чаще какой-либо из них преобладает. Так, при малых давлениях в жидкости из-за малой плотности пара пузырь растет быстро и под действием инерционных сил деформируется из сферического в полусферический, как показано на рис. 10.4. В этом случае преобладающим является третий путь подвода тепла, который дополняется первым. Тогда зависимость радиуса полусферического пузыря от времени можно представить уравнением: р _ ___________Уи _______________I n л /~ 3 1 / л й Т /г> Т /— г- / \ -u/о „ Уж V 0,8 уРгж Ул Г (рсХ)ж 1/2 л 2 ' 2 L (РЛ)Ш J где __ Рж (ср)ж (Two Ts) . yw “ РЛ __ Рж (ср);к (Тжо Т5) _ Уж — „ г > Рпг 8 Тш0 и Гж0 — начальные температуры стенки и жидкости. Первое слагаемое — вклад от испарения микрослоя под пузы- рем (третий путь подвода тепла), а второе слагаемое — от охла- ждения перегретой жидкости на внешней поверхности пузыря (первый путь). При увеличении давления скорость роста пузырьков суще- ственно падает, так как растет плотность пара в них и снижается влияние инерционных сил. Пузыри все время сохраняют сфери- ческую форму. В этом случае подвод тепла к ним на испарение осуществляется, главным образом, двумя первыми путями. А тепло на перегрев жидкости, в основном, отбирается от стенки путем ее охлаждения в период выжидания после отрыва пузыря. 244
Рис. 10.о. Схема роста и исчезновения парового пузыря на поверхности нагрева в недогретсй жидкости Если жидкость, в которой происходит кипение, в целом не догрета до температуры насыщения, то в процессе роста пузыря его внешняя поверхность со временем попадает в недогретые слои жидкости, и тогда на внешней («холодной») границе пузыря будет происходить конденсация пара. Это может привести к уменьше- нию и захлопыванию пузыря после его отрыва или даже до отрыва. Схема такого процесса изображена на рис. 10.5, где — ско- рость жидкости около пузыря, q — тепловой поток; Ts — тем- пература насыщения. 10.4. ДИАМЕТР ПАРОВЫХ ПУЗЫРЕЙ ПРИ ОТРЫВЕ ОТ СТЕНКИ И ЧАСТОТА ИХ ОТРЫВА В ряде работ для определения отрывного диаметра пузырька, растущего на поверхности, выписываются условия равновесия сил, действующих на пузырь (или части из них): архимедовой; сцепления с поверхностью из-за поверхностного натяжения; инерции со стороны жидкости; лобового сопротивле- ния и др. Из условия равновесия всех этих сил находят отрывной Диаметр пузыря. Это удается сделать в силу приближенного характера выражений для перечисленных сил. Можно показать, что такой подход ошибочен, так как согласно принципу Даламбера сумма всех сил, действующих на пузырь, включая силы инерции, должна равняться нулю в течение всего периода его роста. Д. А. Лабунцов предложил две предельных оценки отрывного диаметра пузыря. При больших давлениях, когда динамические эффекты мало- существенны, следует использовать аналогию с отрывом газо- вого пузыря, медленно вдуваемого в жидкость через отверстие Диаметром d0 (рис. 10.6/. 245
Рис. 10.6. Схема роста сферического парового пузыря на стенке По данным опытов для вдува газа от- рывной диаметр пузыря где коэффициент пропорциональности К не- много меньше единицы, a d0 — расстояние между шероховатостями порядка несколь- ких микрон. 2. При очень малых давлениях определяющим является инер- ционная реакция жидкости. Тогда баланс сил инерции и подъем- ных ~ (mwj =- g (рж - ри) V (т), где т - ржУ/2 — мгновенная присоединенная масса жидкости; V (т) — переменный по времени объем сферического пузыря; = dh/dx — скорость перемещения центра пузыря (h — высота центра пузыря). Полагая ~ т'1 и рпС рн;, получим -£г (х3п it) = 2^in- Решая это уравнение, находим h (т) = gr2/(l + Зп). Принимая в момент отрыва т0 условие h (т0) = Ro = О0/2 и полагая п == = 1/2, находим Ro = 0,4^. Экспериментальные данные ряда специалистов лучше согла- суются с этим уравнением, если вместо 0,4 принять коэффи- циент 0,6. Частота отрыва паровых пузырей зависит от многих факторов. К ним относятся: нестационарные процессы теплообмена между жидкостью и стенкой в период ожидания; нестационарные гидро- динамические и тепловые процессы при росте пузыря; процессы, определяющие существование паровых зародышей (угол смачива- ния, материал и качество обработки поверхности и др.); гидро- динамическое и тепловое взаимодействие соседних центров паро- образования; гидродинамические и тепловые процессы в объеме жидкости и ее потоке и т. п. Частота отрыва со = 1/(т0 -{- тГ1) носит статистический характер и имеет закон распределения, близкий к нормальному. Экспери- ментальные исследования, выполненные на воде, показали, что со практически не зависит от теплового потока и слабо зависит от давления (при давлении 0,1 ... 2,0 МПа среднее значение со = = 35 Гц, а при 5,2 МПа — около 45 Гц). Однако при пониженных давлениях (10 ... 50 кПа для воды) частота отрыва существенно 246
снижается (до 1 ... 20 Гц) и заметно растет с ростом теплового потока. При кипении щелочных металлов со значительно меньше, чем на воде при одинаковых q и p/psf), очевидно, из-за большего зна- чения (рсЛ)Я{/(рсЛ)а,. С увеличением теплового потока, а точнее с увеличением (Та, — Г4.), возникают условия для активации новых центров парообразования и, следовательно, их число растет. 10.5. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ПУЗЫРЬКОВОМ КИПЕНИИ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ Процесс пузырькового кипения определяется сложным взаимодействием нестационарных процессов роста, отрыва и всплытия паровых пузырей, теплоотдачи свободной и вынужден- ной конвекцией от стенок к жидкости, нестационарной тепло- проводности в зоне центров парообразования и др. Не все эти процессы достаточно хорошо изучены даже для отдельного пузыря. Еще менее изучено их взаимодействие при одновременном росте большого числа паровых пузырей. Поэтому построение расчетных зависимостей опирается, главным образом, на представление о физическом механизме процесса, на методы подобия и эксперимент. Существуют различные способы по- строения эмпирических зависимостей. Способ, предложенный С. С. Кутателадзе, основан на пред- положении, что весь сложный процесс пузырькового кипения описывается в конечном итоге теми же уравнениями, что и для системы с одной непрерывной поверхностью раздела. Поэтому критерии подобия могут выводиться из этих уравнений для всего процесса пузырькового кипения. Дополнительно необходимо лишь ввести уравнения или параметры, определяющие размеры паро- вых пузырей и вероятность их распределения в пространстве, исходя из того, что сначала все тепло от стенки передается жидко- сти, а затем (в процессе испарения) в паровые пузыри. Поэтому предполагается, что решающее значение имеют условия распро- странения тепла в жидкой фазе. В систему уравнений включены: а) уравнения энергии, движения и неразрывности для не- сжимаемой жидкой фазы; б) уравнения движения и неразрывности для несжимаемого пара; в) условия теплового взаимодействия на границе раздела фаз (индекс s): —(4r)s = rnPi=unn; (Ю.8) Т — р i ?и (Рж — Рп) Г 2орж_____________/ дТ \ । Г ~1 П_Г ТпРжГ’п — Рп) dll ‘s V Рп j’ (10.9) 247
в которых уравнение (10.8) представляет собой равенство тепло- вых потоков по обе стороны границы раздела фаз (где иап — скорость пара по нормали п к поверхности раздела), а уравнение (10.9) определяет температуру насыщения на границе с учетом кривизны поверхности К и кинетики испарения; г) условия механического воздействия на границе раздела фаз: / дип \ / ди-к \ . Ип к дп Js “ Иж Un Л’ — 1 Psn Psm Д ’ ^ns ^жз> где uns, ums — скорости пара и жидкости на границе раздела; д) масштаб для отрывного радиуса пузырей /?0 е) величина микрошероховатости 6{ и ее распределение по размерам по поверхности и др.; тогда, пренебрегая влиянием вязкости пара, получаем при заданном АТ = Tw — Т3 Nu = f J рГж, -4- Г—у Т2, 1. L 8 (Рж Рп) J / | _ Рп \ ______2.____ цжо^о Рж ' ’ s (Рж - Рп) 10 ’ Уж ’ Я г нРн 1 сж Рж Ki, Кр, б. g(Рж^дРн)-, пг...}. (10.10) При задании плотности теплового потока qw на стенке в урав- нение (10.10) вместо параметра —— войдет сж Рж fa 1 f= Ре ГпРпаж ’ 8 (Рж Рп) Ж В уравнении (10.10) Kt =----------------; сж^пРж и 8С> (Рж Рп) Кр = м ; даОж — характерная скорость жидкости; V 8° (Рж Рп) 0 — угол смачивания; 10 — характерный размер; гп — теплота преобразования. В большом объеме обычно принимают I = ~\f____Е______ 0 * й(рж'-Рп) ’ В уравнении (10.10) Nu = а/о/Хж; а = qwKTW — Ts). 248
Ряд исследований строит расчетные уравнения из различных упрощенных, но конкретных представлений о механизме пузырь- кового кипения. Такие формулы носят полуэмпирический харак- тер: содержащиеся в них константы находятся из эксперимента. Дополнение уравнения типа (10.10) законом соответственных состояний приводит для случая развитого пузырькового кипения в большом объеме к уравнению В. М. Боришанского: а 1 пп ( Р \1/10 Г, । л ск ( Р "\1,16"1 ~97я—Г/9-----Щ. 190 I --- ) 1 4,65 I --- I ирМ /6 \ Ркр / L к Ркр / J где М — молекулярная масса. По другому методу одной из важнейших характеристик яв- ляется средняя скорость роста паровых пузырей, равная произ- ведению отрывного диаметра 2R0 = Do на частоту отрыва пузы- рей со. Тогда для кипения в большом объеме и -I / о =75 ( qw V'7 ( Vat У0’2 А. » g (рж - Pri) ’ \ ГпРп^о® / \ 2» / ’ где экспериментально определяемой величиной для конкретных условий как раз и является Dg. Каждый из рассмотренных методов обобщения опытных дан- ных по теплоотдаче при пузырьковом кипении в большом объеме насыщенной жидкости фактически основан на учете лишь одних сторон процесса кипения при игнорировании других. Поэтому, несмотря на то, что результаты такого обобщения представляются часто в критериальном (безразмерном) виде, они носят достаточно частный характер, зависящий от условия проведения экспери- мента. Так, например, все рассмотренные методы не учитывают нестационарного теплового взаимодействия жидкости со стенкой в процессе роста паровых пузырей на стенке. Расчеты с опытом по ним расходятся для сочетания материала стенки и жидкости с заметно отличными значениями отношения (рсХ)ж/(рсХ,)№. Вообще, неучет нестационарных аспектов пузырькового кипения может приводить к существенным ошибкам при расчетах. Рассмотренные зависимости, как правило, не учитывают также шероховатости поверхности, угла смачивания и др. Для разви- того кипения натрия, калия и цезия в большом объеме на метал- лических стенках даются единые эмпирические зависимости: _______“______ = с f-^-Y / ArngP 31/3 \ Ркр ! ’ q ] где С = 8 и и = 0,45 при ps/p^ — 4-10~6 ... 10-3; С = 1 и п = = 0,16 при р,/ркр = 10-8 ... 2-10~2. Заметным шагом вперед является полуэмпирическая зависи- мость, полученная для насыщенных обыкновенных и криогенных жидкостей Е. В. Аместистовым и В. А. Григорьевым. Эта зависи- мость получена на основе анализа развитой ими модели роста 249
парового пузыря, учитывающей тепловое нестационарное взаимо- действие пузыря со стенкой и наличие парового пятна в основании пузыря. Сочетание анализа этой модели с приближенной теорией Д. А. Лабунцова позволило получить с точностью до коэффи- циентов вид расчетной зависимости. Коэффициенты были найдены из экспериментов, что позволило представить расчетную зависи- мость в следующем виде: = 0,9-10 * /1 -f- и Ад/при (Т& ‘ s)2 Г 1 ! ^пРп^ж ”1 ^ж^ж^'я L А® (Тw — Т5) J’ (10.11 где С 712 —-М=-; У (РСА)® А = 0 5 — - ?'>к ’ । гпРп V (pck)w 1ж-200 р + У(реХ)®] А Ш X Tw Т s Ж) 41» (Tw — Тs) грп X /1 - -т-Д=-') + 0,5 1/sin ; \ Д/sin 0 / (pcx)te К _ / Ри \0Л25 р0.25. с Ч______________Sin ех_______ . \ Рж / РГж ’ г2(®1> ' (1-j-cos 0j)2 (2-cos 01)’ Л (©1) = h (®i) Sin 0i — динамический (в процессе роста пузыря на границе сухого пятна) угол смачивания. Из опытов для обыкновенных и криоген- ных жидкостей 01 « 60°. Формула (10.11) получена для достаточно толстых (д^Гр/б^ < < 0,25) поверхностей нагрева с обычным классом шероховатости. Она хорошо учитывает влияние сочетания теплофизических свойств жидкости и стенки, которое особенно сильно сказывается при кипении криогенных жидкостей. 10.6. РЕЖИМЫ ТЕПЛОСЪЕМА ПРИ ПАРООБРАЗОВАНИИ В УСЛОВИЯХ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ В предыдущих разделах было показано, что процесс пузырькового кипения определяется многими факторами (коли- чеством растворенного газа в жидкости, адсорбцией газа на стенке, шероховатостью стенки, сочетанием теплофизических свойств жидкости и стенки, углом смачивания, давлением, взаимо- действием растущих пузырей друг с другом, характером свободной конвекции, недогревом жидкости, размером и ориентацией в гра- витационном поле поверхности нагрева и др.). При таком мно- жестве определяющих параметров и сложном характере влияния их на процесс пузырькового кипения точный учет каждого из них практически невозможен, тем более, что многие из определя- 250
Рис. 10.7. Кривая кипения насыщенной жидкости в условиях свободной кон- векции: I — теплосъем конвекций прн небольших перегревах жидкости на теплоотдающей по- верхности; 11 • теплосъем при пузырьковом кипении; 11а и Пб — теплосъем при не большой и большой плотности действующих центров парообразования соответственно; III — теплосъем при переходном кипении; IV — теплосъем при пленочном кипения; IVa и 1V6 — вклад и перенос тепла излучением мал и значителен соответственно; С — переход от пузырькового кипения к пленочному: D — переход от пленочного кипения к пузырьковому прн 9 = const; л — граница между развитым пузырьковым кяпеинем я переходным; — граница между развитым пленочным кипением и переходным; q 0пер. 9пл “ плотности тепловых потоков при пузырьковом, переходном и пленочном кипении соответственно ющих параметров заранее вообще бывают неизвестны. Поэтому к исследованию пузырькового кипения с самого начала при- ходится подходить как к случайному процессу, реализация которого в том или ином виде носит вероятностный характер. Следовательно, важно изучать механизм пузырькового кипения и в ряде случаев методами математической статистики оценивать условия реализации различных его режимов и границ их суще- ствования. Именно это позволит с достаточной для практики надежностью построить инженерные методы расчета теплоотдачи в каждом из режимов кипения и методы определения условий перехода одного режима в другой. Режимы теплосъема при парообразовании в условиях свобод- ной конвекции обычно иллюстрируют с помощью кривой кипения насыщенной жидкости в координатах 1g qw, 1g (Tw — Ts) = = 1g AT, показанной на рис. 10.7. Однако эта кривая не исчер- пывает возможных режимов кипения, особенно пузырькового. Она соответствует кипению таких жидкостей, как вода, и наиболее вероятному в обычных условиях характеру смены режимов кипе- ния. Рассмотрим различные области температурных напоров на кривой кипения (см. рис. 10.7). В области температурных напо- ров I при небольших перегревах жидкости у стенки теплосъем осуществляется свободной конвекцией. Нагретая жидкость всплы- вает к свободной поверхности раздела фаз и там охлаждается путем испарения. Область температурных напоров Па — неразвитое пузырько- вое кипение с малой плотностью действующих центров парообра- 251
вования. Здесь роль теплосъема конвекцией еще достаточно велика. Область Пб — развитое пузырьковое кипение, характеризу- ющееся большой плотностью центров парообразования и пре- небрежимой ролью конвекции в суммарном теплосъеме. В этой области тепло в основном переносится паровыми пузырями и увлекаемой ими горячей жидкостью. С ростом перегрева стенки, т. е. величины температурного напора ДТ = Tw — Ts, число центров парообразования растет, растет и доля тепла, переносимая паром (эта доля тепла всегда меньше единицы). При достижении точки л (см. рис. 10.7) на части поверхности возникает неустой- чивая паровая пленка, что ведет к снижению темпа роста qw при увеличении Tw — Ts. Так как теплосъем с поверхности, занятой паровой пленкой, резко падает по мере ее роста, то и qw, пройдя через максимум в точке С, начинает падать. С ростом АТ тепловой поток достигает минимума в точке О, когда почти на всей поверх- ности имеет место пленочное кипение. Точка С, где qw достигает максимума, называется точкой кризиса пузырькового кипения или первым кризисом. Соответ- ствующую ей плотность теплового потока называют критической <?кр1 или максимальной qmax. Температурный напор, при котором достигается кризис, называют критическим АТкр1 = Ткр1 — Ts. Аналогично, точку D называют кризисом пленочного кипения или вторым кризисом. Соответствующие ей значения qw и АТ обозначают tymin или с/кр II и ДТкр и Ткри Те. Область III между точками С и D называется переходным кипением. В этой области сильно колеблющаяся граница раздела фаз периодически в разных местах кратковременно касается стенки. За время контакта тк в этих местах осуществляется интен- сивный теплосъем путем нестационарной теплопроводности и успевающего развиться пузырькового кипения. Доля площади, на которой жидкость контактирует со стенкой f, с ростом АТ непрерывно падает от 1 в точке л до 0 в точке лг Переходный режим характерен резкими падениями температуры стенки в ме- стах контакта с жидкостью. Интенсивность этих пульсаций тем- пературы стенки, главным образом, определяется значением Tw — Тж и (рсХ)ж/(рсХ)да. Область IV устойчивого пленочного кипения условно раз- бивается на два участка: IVa, где вклад излучения в общий тепло- вой поток пренебрежимо мал, и 1V6, где перенос тепла излучением уже необходимо учитывать. Полностью кривая кипения, изображенная на рис. 10.7, может быть реализована, если процесс определяется изменением АТ. Когда же задано изменение тепловой нагрузки (электро- нагрев, атомный реактор и др.), то при увеличении qw свыше qms-,: процесс из точки С с большой скоростью (определяемой тепло- емкостью поверхности нагрева) перейдет в точку Е, которое соот- ветствует значительно более высокое значение АТ. Переход из 262
точки С в точку Е при кипении воды, жидких металлов и органи- ческих теплоносителей опасен, так как приводит к расплавлению и разрушению поверхности нагрева. В этом и заключается одна из причин интенсивного излучения кризиса пузырькового ки- пения. Наоборот, при уменьшении qw процесс из точки D, минуя переходную область, перемещается прямо в точку Е, т. е. в об- ласть пузырькового кипения с малыми АТ. Конечно, реальные процессы, особенно в области пузырькового кипения, гораздо многообразней, чем это следует из анализа кривой кипения на рис. 10.7. 10.7. КРИЗИС ПУЗЫРЬКОВОГО КИПЕНИЯ Физически правильно считать кризисом пузырькового кипения левую границу области переходного кипения (точку л на рис. 10.7). Начиная с этой точки, при увеличении АТ тепловой поток растет медленнее, чем по закону развитого пузырькового кипения, а затем, пройдя максимум, даже начинает падать вслед- ствие того, что тепловой поток на участках поверхности, покрытых паром, много меньше, чем на участках, покрытых жидкостью, а доля площади, покрытая паром, растет с ростом АТ. Таким образом, появление паровых пятен в количестве, за- метно влияющем на характер изменения qw (точка л на рис. 10.7), и следует считать кризисом пузырькового кипения. Аналогично, кризисом пленочного кипения следует считать правую границу переходного кипения (точка D на рис. 10.7). Эту границу практически можно определить тогда, когда тепло- съем в местах контакта жидкости со стенкой начинает суще- ственно изменять закономерность теплового потока при пленочном кипении (заметно увеличивая его при уменьшении АТ). В литературе исторически принято считать кризисом пузырь- кового кипения точку qw = q^ (по новым исследованиям в этой точке уже заметная доля поверхности покрыта паром), а кризисом пленочного кипения —точку qw = <?mIn (точка D). Если гидро- динамика взаимодействия пара и жидкости такова, что жидкость не допускается к поверхности нагрева, то кризис пузырькового кипения называют гидродинамическим. Если же контакт жидко- сти с поверхностью невозможен из-за сильного перегрева этой поверхности за время роста парового пузыря, то такой кризис пузырькового кипения называют термодинамическим (темпера- тура поверхности в месте контакта больше Тпр). В действитель- ности оба вида кризиса могут проявляться не только обособленно, но и в сочетании друг с другом. Одной из первых и наиболее распространенных теорий кри- зиса кипения является гидродинамическая теория кризиса, пред- ложенная С. С. Кутателадзе в 1951 г., а затем развитая в работах других исследователей. В основе этой теории лежит предположе- ние о том, что кризис кипения есть следствие гидродинамической 253
устойчивости процесса и что существует гидродинамическая аналогия между пузырьковым кипением и барботажем жидкости газом, вдуваемым через пористую поверхность с достаточно ма- лыми размерами отверстий. Методами теории подобия С. С. Кута- теладзе получает критерий гидродинамической устойчивости. Да- лее рассматриваются условия устойчивости двухфазного гранич- ного слоя над неограниченной горизонтальной пористой поверх- ностью. Предполагается, что объем жидкости не ограничен, она неподвижна, а ее вязкостью можно пренебречь. В этом случае могут воздействовать только кинетическая энергия вдуваемого газа рп®п/2, гравитационные и поверхностные силы в двухфазном граничном слое. За кризис принимается возникновение газовой или паровой пленки по всей поверхности. Работа оттеснения жидкости из этой паровой пленки толщиной 6 будет (рж — рп). Возникновение кризиса (потеря устойчивости пузырьковой структуры двухфаз- ного граничного слоя) в рассматриваемой модели равновероятно в любом месте бесконечной пористой поверхности. Отношение рассматриваемых величин должно быть постоянной величиной (полагая в момент кризиса оуп — ®кр): рХр gS (Рж — Рп) — const. Толщина паровой пленки я 1 / О Нп^кр , О ~ I/ —-------—Т- и —F7- S-—~ —7====== = const. ° ё (Рж ~~ Рп) g6 (рж рп) Д/gr, (рж — рп) Или, извлекая квадратный корень, получим критерий устойчи- во сти в виде f, _ EJrp ]/Рп «1 — i г—-— ----у - V go tPw — PiJ При кризисе кипения, полагая, что весь тепловой поток <7Kp i идет на испарение, найдем критическую скорость пара и>кр = --1/(Л1Рп)- Тогда критическая плотность теплового потока в большом объеме жидкости с р. -= О при свободной конвекции находится из выражения ^кр 1 — п J/^Pn V g® (рж Рп)‘ (10.12) Из экспериментов k, — 0,14 ... 0,16. Формулы типа (10.12) не согласуются с опытами при кипении жидких металлов ни по величине, ни по характеру зависимости дкр1 от давления. Основная причина этого расхождения заклю- чается в том, что по гидродинамической теории кризиса весь тепловой поток дкр1 идет на испарение и отводится паром. Это даже для воды приближенно справедливо лишь при достаточно высоких давлениях. Жидкие металлы кипят обычно при давле- 254
ниях, много меньших критического, и обладают большой тепло- проводностью. Следовательно, даже при кризисе значительная доля тепла отводится жидкостью. Тогда, предположив, что формула (10.12) определяет лишь тепловой поток, отводимый паром, можно ее модифицировать 9кр 1 ~ Ч~ QnJq'a) Рп v g® (рж рп). (10.13) Из сопоставления уравнения (10.13) с опытами по кризису в большом объеме натрия, калия, цезия и рубидия при р — = (10~8 ... 0,35) МПа было найдено Яж!Ц-а ~ C/pv{ps/pK) , где рк — критическое давление (точка К на рис. 10.1); С = = 4,5 МПа для развитого кипения и С = 1,8 МПа для неустой- чивого кипения; k — 0,14 и т = 0,4. Все больше исследуются термодинамический характер кризиса пузырькового кипения и влияние нестационарных аспектов кипе- ния на него. Эти исследования показывают, что в околокрити- ческих режимах центральная часть поверхности под растущим пузырем высыхает. Отвод тепла паром от этой части поверхности много ниже, чем жидкостью, и ее температура растет тем быстрее, чем (при заданном тепловыделении) тоньше стенка (меньше ее теплоемкость) и хуже перетечки тепла теплопроводностью в об- ласть, смоченную жидкостью. Если температура сухого пятна превысит 7’пр за время роста пузыря, то последующий контакт с жидкостью в этом месте, даже после отрыва пузыря, окажется невозможным, пока из-за перетечек тепла и охлаждения через пленку пара локальная температура поверхности не упадет до значений, допускающих контакт с жидкостью. Эксперименты показали, что при qw, близ- ких к дкр1, центральная часть парового пятна может оставаться несмоченной в 10 и более раз дольше времени роста пузыря. Анализ этих экспериментов с учетом нестационарного взаимо- действия жидкости и пара со стенкой позволяет заключить, что <?кр1 должно, например, быть пропорционально 6да = pc/xm, aw = == xrrjRm, (рсХ)ж/(рсХ)ш, а также зависеть от распределения источников тепла в нагревателе и его геометрии. Здесь — толщина стенки; Rm — максимальный радиус сухого пятна под пузырем; хт — время его достижения. Когда кризис определяется термодинамическими причинами, то он характеризуется не значением <?кр1, а значением (Ткр1 — — Ts). Таким образом, кризис пузырькового кипения, как и само пузырьковое кипение, помимо гидродинамических явлений в зна- чительной мере определяется условиями локального нестаци- онарного теплообмена между стенкой, жидкостью и паровым Пузырем и возможностью контакта жидкости со стенкой. В свете сказанного о механизме кризиса пузырькового кипе- ния можно объяснить влияние недогрева жидкости на <?Kpi- Из 255
экспериментов известно, что отрывной диаметр Do и время жизни пузыря тр на стенке с увеличением недогрева жидкости убывает. Следовательно, для возникновения паровых пятен и увеличения температуры стенки в них выше Трр требуются значительно большие тепловые потоки. Поэтому <?кр1 растет с ростом недогрева жидкости как по этой причине, так и вследствие роста теплового потока, идущего только на нагрев жидкости. Ограниченность гидродинамических теорий кризиса прояв- ляется и в характере зависимости ^1:р1 от величины ускорения гравитационного поля. Существующие эксперименты показывают, что теплоотдача в области развитого пузырькового кипения практически не зависит от величины ускорения g гравитацион- ного поля. Это объясняется тем, что подъемные силы играют второстепенную роль в процессе роста и отрыва паровых пу- зырей. Отношение влияния инерционных и подъемных сил в этом процессе можно характеризовать числом Фруда: „ 3R2R2 + RSR Fr =-------------- R3g w - (лаж)1/2 Т , Г ПрП J где R, R и R — соответственно текущий радиус, скорость и уско- рение роста парового пузыря. Даже в земных условиях при g/g0 = 1, р = 0,1 МПа, Tw — — Ts = 9К и R = 0,127 мм значения числа Фруда по данным Кларка для жидких водорода, кислорода, азота и воды соответ- ственно будут: 352, 546, 452 и 13 900. Следовательно, для пред- ставляющих практический интерес ускорений g/gQ — 0 ... 15 вли- яние подъемных сил на рост пузыря Рис. 10.8. Схема режимов течения двух- фазного потока в горизонтальной трубе: / — пузырьковый; 2 — пробковый; 3 — стра- тифицированный (расслоенный); 4 — волно- вой; 5 — снарядный; 6 — кольцевой; 7 — дисперсный пренебрежимо мало, и по- этому влияние ускорения на не должно про- являться. Гидродинамические же теории возникновения кри- зиса приводят к следу- ющей зависимости: ?кр 1 (g) = /_£_у/4 4кр 1 (go) \ Во / (10.14) Эти соотношения по- строены для горизонталь- ной бесконечной пласти- ны, а для других слу- чаев могут иметь более сложную зависимость. При вынужденном тече- нии кипящей жидкости в 256
Рис. 10.9. Схемы режимов течения двухфазного потока в вертикальной трубе’ J — пузырьковый; 2 — снарядный; 3 — полукольцевой; 4 — кольцевой; 5 — дисперсный каналах <?кр1 зависит от гораздо большего числа параметров, чем в большом объеме. Значительное влияние, в частности, на значение <?кр1 'оказывают гидродинамическая структура двухфаз- ного потока (так называемые режимы течения) и гидродинамика конкретной магистрали (возникновение колебаний расхода и т. п.). Наиболее типичные режимы течения соответственно в гори- зонтальной и вертикальной трубах представлены на рис. 10.8 и 10.9. Накоплен достаточно большой экспериментальный мате- риал. Однако он не получил еше удовлетворительного обобщения из-за недостаточной изученности механизма кризиса и зависи- мости его от многих факторов. 1/1>п Ко£(Рж — Рп)] = 0,0145 [Fr (^-)]1/4 . где Fr =^o/g-l/o/p (рж — рп) справедливо при Fr (рж/рп) = = 600 ... 4-106 (Fr (рж/Рп) — скорость жидкости на входе в трубу). Существующие эмпирические зависимости применимы лишь для частных случаев, но даже при этом они не всегда между собой согласуются. Имеются попытки составления таблиц для наиболее распространенных каналов и теплоносителей (например для воды в трубах). Использование критериальных зависимостей, получен- ных на воде для криогенных жидкостей, дает результаты, на порядок превышающие экспериментальные значения. Исследование кризиса пузырькового кипения при вынужден- ном течении является актуальной задачей дальнейших исследо- ваний. 10.8. ПЕРЕХОДНОЕ КИПЕНИЕ При переходном кипении (область III на рис. 10.7) на поверхности нагрева в каждый момент времени имеются смо- ченные и сухие участки, а каждая точка поверхности попеременно контактирует то с жидкой, то с паровой фазой. Фактически, как отмечалось при анализе кривой кипения на рйс. 10.7, область переходного кипения лежит между точками л и л, 9 Авдурвскнй 257
Из анализа экспериментов в среднем. (Тя - Т,)/(Твр1 - Л) - 0,78 и - 0,86. (10,15) Однако экспериментальное определение точек п и и, следо- вательно, qn, Тп, qnl и Тп1 крайне сложно, поэтому обычно фикси- руют и принимают за границы переходного кипения точки С и D и соответствующие им значения укр1, Гкр, и укр г, TKV„. Обобщение опытных, данных дает в среднем (^кр 1 Т;,)/(Ткп2 Ts)~O,f) и <?кр 1А7крг = 0'2. (10.16) Можно следующим образом представить физический механизм переходного кипения. При высоких значениях температуры стенки Tw жидкость отделена от поверхности нагрева пленкой пара (область устойчивого пленочного кипения). С уменьшением Tw паровая пленка становится более тонкой, при этом развитие колебаний Гранины раздела фаз может привести к контакту жидкости с поверхностью нагрева. В месте контакта с горячей стенкой жидкость прогревается. По достижении определенного перегрева прилегающего к стенке слоя жидкости происходит воз- никновение устойчивых зародышей паровой фазы. Далее паровые пузыри растут, сливаются в сплошную пленку и оттесняют жидкость от поверхности нагрева. Образовавшаяся при этом паровая пленка оказывается гидродинамически неустойчивой, что приводит к возникновению очередного контакта жидкости со стенкой, и процесс циклически повторяется. По мере уменьшения температуры стенки увеличивается дли- тельность контакта жидкости с поверхностью нагрева и интен- сивность теплоотдачи в переходной области кипения возрастает от низких значений, характерных для пленочного кипения, до высоких значений, характерных для пузырькового кипения. При дальнейшем снижении температуры поверхности нагрева число образующихся паровых зародышей уменьшается до такой сте- пени, что растущие паровые пузыри достигают отрывного размера прежде, чем происходит их слияние, и переходное кипение сме- няется устойчивым пузырьковым кипением. В области переход- ного кипения средняя по времени интенсивность теплоотдачи на каждом участке поверхности нагрева зависит от средней дли- тельности его контактов с жидкой и паровой фазами кипящей среды и от характеристик теплообмена на каждом этапе цикли- ческого процесса. Созданная на основе изложенного физического механизма теория переходного кипения включает математические модели трех процессов, определяющих возникновение и прекращение контактов жидкости с поверхностью нагрева: развитие гидродина- мической неустойчивости границы раздела фаз пар—жидкость; прогрев жидкости в месте ее контакта с поверхностью нагрева; возникновение и рост паровых пузырей до их слияния в сплошную пленку. 258
Анализ гидродинамической неустойчивости паровой пленки позволил получить зависимость коэффициента нарастания ампли- туды доминирующей волны Рд от определяющих параметров процесса. При определении длительности существования неустой- чивой паровой пленки in принималось, что значение tu обратно пропорционально коэффициенту нарастания амплитуды домини- рующей волны [Зд и зависит также от температурного напора, недогрева и других условий, определяющих среднюю толщину паровой пленки. Длительность первой стадии контакта жидкости со стенкой /т (прогрев жидкости за счет теплопроводности) определялась на основе расчета температурных полей в месте контакта из условия достижения перегрева, необходимого для образования устойчи- вых паровых зародышей: __ +cos0)2 /Т3~ТЖ\ где ст — коэффициент поверхностного натяжения; 0 — краевой угол смачивания; рп — плотность пара; гп — скрытая теплота парообразования; аж — коэффициент температуропроводности. Анализ процесса роста и слияния паровых пузырей опирался на известные из теории пузырькового кипения эмпирические соотношения для поверхностной плотности центров парообразо- вания и скорости роста пузыря. Из условий слияния пузырей определялась длительность второй стадии контакта жидкости со стенкой (от возникновения паровых зародышей до образования сплошной пленки пара) f _ ________°2' s_____ г Г Ржсрж(^з~^ж) ~| СЛ Р^(Тгр-Т8)2ажЛа2Ч РпГп J’ где Ja = — цИСло Якоба. Рпг п Математическая модель теплообмена при переходном кипении учитывала три основных физических механизма, последовательно сменяющих друг друга на каждом участке поверхности нагрева: прогрев тонкого слоя жидкости в месте ее контакта со стенкой за счет теплопроводности до образования устойчивых паровых зародышей; механизм, сходный с пузырьковым кипением в период роста паровых пузырей до слияния их в сплошную пленку; механизм, сходный с пленочным кипением в период паровой изоляции поверхности нагрева пока развитие гидродинамической неустойчивости границы раздела фаз не приведет к очередному контакту жидкости со стенкой. 8* 259
Представление средней плотности теплового потока при пере- ходном кипении в виде суммы трех составляющих с учетом доли времени, приходящейся на каждый процесс, 914 9пуз4л 4 9пл^а <7пор = . t —j 1т । ‘сл т »и (10.17) позволило получить зависимость л — апл^пЛ7а + 2еж ~|/feT/n 4 ощузДТ-^сл ,, п . 9пвр k„/\T + к-ЛТ~г 4- А’елА'Г1 ’ (‘U.IB) где ka, kr, kc„ — эмпирические константы; еж = Урс%,к — тепло- вая активность жидкости. Экспериментальное исследование физического механизма переходного кипения проводилось на воде, этаноле и фреоне-113 в большом объеме путем измерения локальных пульсаций темпе- ратуры поверхности нагрева (в период контакта с жидкостью температура стенки падает, в период контакта с паром она растет). Для всех исследованных жидкостей средняя длительность их контакта со стенкой т.,( уменьшается с ростом температурного напора и падением недогрева, а средняя длительность контакта стенки с паром /п изменяется наоборот. Частота контактов жидко- сти со стенкой f (которую можно рассматривать и как частоту возникновения сухих пятен) достигает максимума в средней части переходной области кипения. При уменьшении высоты микро- неровностей поверхности нагрева наблюдается некотроый рост значений тж -- Д 4- (сл. Полученные экспериментальные зависимости характеристик физического механизма от параметров процесса совпадают с ре- зультатами теоретического анализа. В частности, длительность контакта жидкости со стенкой тж резко падает в зоне низких температурных напоров (тж ~ ДТ"4), а с увеличением ДТ скорость падения замедляется (тж ~ АТ"2). Такая зависимость объяс- няется тем. что при низких АТ доминирующая часть времени контакта приходится на рост и слияние пузырей (длительность этого процесса /сл ~ АТ"4), а при высоких — на прогрев жидкости за счет теплопроводности /т — АТ"2. Это позволило не только обобщить опытные данные по средней длительности контактов жидкости со стенкой безразмерной формулой „ Ыэо + х 4о2(1 4-cos©)-72 \ Ja- / X Г1 4 0,025 (Л-ТдА I (10.19) L Рп.ЧГ П J с погрешностью ±30% (при изменении значений тж на два по- рядка), но и определить составляющие (т и (сл: первой из них в (10.19) соответствует коэффициент 490, второй — 1.34-10e/Ja2. Опытные данные по длительности контакта поверхности нагрева 260
Рис. 10.10. Влияние на переходное кипение ;i3oi;i то.пципы низкотешюпровод- ного фторопластового покрытия ФГ1-4 ня медной пластине Ы и угла наклона пластины (б): 1 ... 7 — толщина покрытия 0; 10; 35: 40; 70; 100; 120 мкм соответственно (с толщины 120 мкм начинается зона автомодельности); 8 ... 11 — угол наклона пластины к гори- зонту 0°; 90°; 135°; 180° соответственно. (Толщина покрытия ФГ1-4 составляет 100 мкм.) с паровой фазой обобщены с погрешностью +30% безразмерной формулой г /'Р >ng3 V. 21.10е Сра A7Vnggns Г । । о 04 Ржсрж (Гв Тт) ~j— * п V ° 1 ' rnpxgZ» L ’ Рпз'п J (10.20) Выражения (10.19), (10.20) применимы для переходного кипе- ния в большом объеме на горизонтальных высокотеплопроводных (ещ Д- еж) поверхностях нагрева с шероховатостью Rz = 0,5... 0,6 мкм для жидкостей, термодинамически подобных воде, этанолу и фреону-ИЗ (имеющих при безразмерной температуре Т)ТК = = 0,625 безразмерное давление насыщенного пара ря/рк = 0,0046 ... 0,0168, где Тк и рк — температура и давление в критической точке вещества). Анализ результатов экспериментального исследования тепло- обмена при переходном кипении показал, что характеристики поверхности нагрева и термодинамические параметры жидкости влияют на процесс в большом объеме и при вынужденном течении, причем наиболее существенным является влияние эффективной тепловой активности еэф (с учетом толщины покрытия и стенки) и ориентации поверхности нагрева, давления, недогрева и ско- рости течения (рис. 10.10 ... 10.13). При уменьшении эффективной тепловой активности поверхности нагрева (за счет применения материала с меньшей теплопроводностью или нанесения низко- теплопроводных покрытий различной толщины) переходная об- ласть кипения сдвигается в область более высоких температурных напоров. Это объясняется тем. что на стенке с низким значением еЭф при контактах с жидкостью происходит более глубокий спад 261
Рис. 10.11. Влияние lexuiepa- туры (Д7Н) недогрева фреона 113 на переходное кипение на мед- ной горизонтальной пластине: / ... 4 — Д Тн - 0; 18; 36; 54 К соответ ст вен но температуры и существенно возра- стает длительность этих контактов, характеризующихся наиболее интен- сивным теплосъемом. Изменение ориентации поверхности нагрева от горизонтальной, обращенной вверх (у — О'), до вертикальной (у — 90°) и далее до горизонтальной, обра- щенной вниз (у =- 180°), приводит к снижению интенсивности теплоот- дачи и некоторому сдвигу переход- ного кипения в область меньших температурных напоров. Это связано с увеличением средней продолжи- тельности периодов пяповой изоля- ции поверхности нагрева за счет по- вышения гидродинамической устой- чивости границы раздела фаз и ухудшения условий отвода пара, вызывающего утолщение паровой пленки. Исследование теплообмена при переходном кипении в большом объеме из плоских, цилиндрических и сферических рабочих участков показало, что определяющим фактором является не форма, а локальная ориен।. дня каждого участка поверхности а) 6) Ряс. Н) 12. Влияние ни переходное кипение давления л скорости течения недогретого азо- та в трубе: j - скорость 4,6 м/с; недогрев 14 К; 1 ... 4 — р •- 0.2: 0,6; 1,2; 2.1 МПа соответственно; б— р — 0,6 МПа; недогрев 18 К; 5 ... 8 — и — 1.7: 4,6; 8,1; 12,5 м/с соответственно Рис. 10.13. Влияние на переходное кипение насыщенного и подогретого этанола шеро- ховатости медной горизонтальной пластины: / и 2 — недогрев 12 К. шероховатость 0.54 и м 6,4 мкм соответственно; 3 н 4 - - недогрев 0 К» шероховатость 0.51 и 6.1 мнад соответственно 262
нагрева. С увеличением недогрева жидкости до температуры насыщения переходная область кипения расширяется, смещаясь в область более высоких значений температурного напора, а ин- тенсивность теплообмена возрастает. Это вызвано ростом длитель- ности контактов жидкости с поверхностью нагрева и сокращением перерывов между этими контактами. С повышением давления границы переходного кипения сдви- гаются в сторону меньших температурных напоров, а плотность теплового потока при заданном температурном напоре снижается. Это объясняется тем, что при высоком давлении облегчается образование паровых зародышей и ускоряется рост пузырей, что приводит к уменьшению продолжительности контактов жидко- сти со стенкой. Увеличение скорости течения приводит к интен- сификации теплообмена при переходном кипении за счет сокра- щения периодов паровой изоляции поверхности нагрева в связи с возрастанием гидродинамической неустойчивости границы раз- дела фаз. При уменьшении шероховатости поверхности нагрева плотность теплового потока в переходной области кипения при постоянном температурном напоре возрастает. Это связано с уменьшением плотности действующих центров парообразова- ния, что приводит к росту длительности контактов жидкости со стенкой за счет более позднего слияния растущих пузырей в сплош- ную пленку. В области кризиса пленочного кипения влияние шероховатости исчезает, поскольку уменьшается вклад тепло- отдачи в местах контакта жидкости со стенкой в суммарный теплообмен. 10.9, КРИЗИС ПЛЕНОЧНОГО КИПЕНИЯ Для возникновения кризиса пленочного кипения необ- ходимо выполнение по крайней мере двух условий для контактов жидкости со стенкой: гидродинамического и термодинамического. При пленочном кипении в условиях вынужденного течения и на вертикальных и горизонтальных поверхностях в условиях сво- бодной конвекции гидродинамическая возможность контакта греб- ней волн и капель со стенкой обеспечена даже при температуре стенки, значительно превышающей температуру предельного пере- грева ЖИДКОСТИ Тпр. В этом случае кризис пленочного кипения носит термодинами- ческий характер и происходит следующим образом. В месте слу- чайного контакта жидкости со стенкой устанавливается некоторая температура Тгг, которую можно в первом приближении получить из решения одномерной нестационарной задачи теплопровод- ности для полубесконечных слоев жидкости и стенки с началь- ными температурами Тт0 и Tw0'. 263
где еш = VРиАЛ»; Еж ~~ V РдаСдаХж — тепловые активности материалов стенки и жидкости соответственно. Если локальная температура на границе контакта жидкости со стенкой Трр превышает температуру метастабильного пере- грева жидкости Тпр, то происходит взрывообразное вскипание тонкого слоя жидкости, коснувшегося стенки. При Тгр < Тпр контакт жидкости со стенкой будет более длительным и приведет к увеличению теплоотдачи за счет нестационарной теплопровод- ности и пузырькового кипения, если оно успеет развиться за время контакта. В последнем случае Тгр станет меньше величины, оцениваемой формулой (10.21). Длительность каждого контакта и доля поверхности нагрева, контактирующей с жидкостью в данный момент времени, тем больше, чем ниже значения Т,„о и Тдао и чем больше отношение е.ж/Еа>. Интенсивность теплоотдачи в местах контакта существенно выше, чем в области пленочного кипения. Поэтому для заданных условий кипения существует некоторая температура Tw = Tvpi, начиная с которой с умень- шением температурного напора тепловой поток возрастает за счет интенсивного теплообмена в местах контакта жидкости со стен- кой. Экспериментальное исследование термодинамического кризиса пленочного кипения проводилось на азоте, кислороде, фреонах-12, -13, -22 и воде в большом объеме и на жидком азоте при вынужден- ном течении. Анализ результатов экспериментального исследова- ния кризиса пленочного кипения показал, что температурный напор АТкра не зависит от размера нагревателя D (при D = = V(Рж — Рп) ga > 5), от шероховатости поверхности нагрева в диапазоне высоты микронеровностей Rz ~ 0,5 ... 300 мкм, от скорости в условиях вынужденного течения (при 8 м/с) и от нестационарности процесса (в условиях нестаци- онарного охлаждения снижение температурного напора за один цикл контакта стенки с жидкой и паровой фазами не превышало 3%). Температурный напор, соответствующий кризису пленоч- ного кипения, повышается при уменьшении угла наклона поверх- ности нагрева от 180° до 0° (см. рис. 10.10, б), при уменьшении эффективной тепловой активности материала стенки (см. рис. 10.10, с), при снижении давления (рис. 10.12, а) и увеличении недогрева жидкости (см. рис. 10.11). Это объясняется тем, что при указанном изменении факторов возрастает вклад в теплообмен за счет контактов жидкости со стенкой, в результате чего вклад становится заметным при более высоких значениях температур- ного напора. Опытные данные по температурному напору АТфра с погрешностью ±30 % обобщены формулой АТ’кр Тда) — -= (0,16 ± 2,5 V e.^/e,w ± e^/e») (1 + 0,13 cos у) (1 -ф- cos©)/2, (10.22) 264
полученной в следующем диапазоне определяющих параметров: еж/еш = 5-10-3 ... 1; 0 <50°; у = 0 ... 180°; D К(Рж — Рп) g/o > 5; рпаУп 2/(р«£б)< 10; р/рк = 0,005 .. . 0,63; (Ткр 2 - Т,)/(ТВ - Тж) < 1,5. Для тонких стенок и покрытий в выражение (10.22) вместо е» подставляется Е3ф. Если Tw меньше чем Тар, т. е. по термодинамическим усло- виям контакт жидкости со стенкой возможен, то кризис пленоч- ного кипения будет иметь гидродинамический характер. Напри- мер, это может иметь место на горизонтальной поверхности в боль- шом объеме спокойной жидкости. Несмотря на то, что на практике гораздо чаще имеет место термодинамический кризис пленочного кипения, в литературе наиболее распространенной является гидродинамическая теория кризисов. При кризисе пленочного кипения устойчивость паровой пленки связана с соотношением динамических воздействий (про- порциональных рп, ^п), сил тяжести и поверхностного натяжения. Поэтому для определения дкр2 применим критерий устойчивости k2, аналогичный коэффициенту kt в уравнении (10.12). Но при пленочном кипении поверхность раздела фаз, а, следо- вательно, и свободная энергия двухфазного граничного слоя меньше, чем при пузырьковом кипении. Поэтому, если скорость парообразования достаточна для равномерного питания уже возникшего сплошного парового слоя, этот слой более устойчив, чем двухфазный слой при пузырьковом кипении. Это позволяет предположить, что Якръ/Якр! ~ ^2/^1 = const <С 1. Сопоставление с экспериментом дает <yKp а/<?Кр i — 0.2. 10.10. РАСЧЕТ КРИВОЙ КИПЕНИЯ Расчет теплового потока (кривая кипения) в области переходного кипения производится следующим образом. 1. Для определения апл и апуз в уравнении (10.18) полагаем возможной экстраполяцию кривой кипения в областях пузырько- вого и пленочного кипения на область переходного кипения линейными функциями <7пуз = О! + АТ; (10.23) <7пл = а2 + b2 АТ, (10.24) где коэффициенты а2 и Ь2 в (10.24) находятся экстраполяцией расчетов пленочного кипения. 265
2. Вводим безразмерные величины Qnep = 7пер/<7кр i'. ~ = Л77ЛТкр1 и приводим уравнение (10.18) к безразмерному виду п В.гЪ + А.г + Eft"1 4- „ 9, Чпер ! 4- + 7/^-6 - 11 и. zo; где А2 ^г/7кр1> Е2 Ь2 &Ткр 1/<7кр i- В уравнении (10.25) пять неизвестных безразмерных коэффи- циентов Е, G, Аг и Bt можно найти, полагая, что кривая кипения (см. рис. 10.7) проходит через три точки с известными координа- тами (qn, ЬТп), (7„р1, Д7кр1), (9„р2, ДТкр2) и в последних двух точках кризисов имеет первую производную по Д7\ равную нулю. Из этих пяти условий в безразмерных координатах полу- чаем систему линейных алгебраических уравнений Ах = Ь, где матрица А и векторы b и х имеют вид b = 1 - Q„ Qn ^л 111—1 1 5 4 1—5 — 3 1 ^кр 2 'б'кр 2 Qxp 2 QkP 2 С 2 5 4Окр з 'йкр 2 —5Q кр г — 3QKp <р2 'б’л (Qn — &2 —• Аз^л) 1 ~ В2 - а2 At а2 ; х — Е $кр 2 (Qkp 2 — Ez — Аг^кр 1) Н АаОкр 2 G Сопоставление расчета по (10.25) с экспериментами различных авторов при определении \ТЛ, Д7кр1, А7’кр2, qn, qKpl, qKp2, q2, b2 дало совпадение расчетных и экспериментальных кривых кипения в переходной области с точностью ±20 % . Для априорных расчетов по уравнению (10.25) можно рекомен- довать определять qKp j — максимальную плотность теплового потока — по формуле (10.12) с поправкой на ориентацию поверх- ности нагрева в поле массовых сил: 7кр 1 — 0, 1 ЗГд Рц I (Рж Рп) g® 1 "J 9Q3 X X [1 ± 0,065 (у-)0’8 , (10.26) или по другой соответствующей конкретным условиям формуле; минимальную плотность теплового потока — по приближенной зависимости ± 4” 2^2 ЛТКР2, (10.27) 266
полученной из условия (10.24); Л7'кр2 находится из уравнения (10.22), ATKpi — из (10.16), \Тп и qn — из (10.15). Сопоставление таких априорных расчетов и экспериментов дало точность ±30%. 10.11. ПЛЕНОЧНОЕ КИПЕНИЕ В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ Большинство опытных данных по теплоотдаче при пленочном кипении в большом объеме обычных и криогенных жидкостей получено при кипении насыщенных жидкостей (Тж — — Ts) и на поверхностях нагрева (шары, горизонтальные и вер- тикальные цилиндры, пластины и др.), характерный размер кото- рых превышает критическую длину волны колебаний раздела фаз: (10.28) Г б (Рж -- Рп/ Все эти опытные данные могут быть удовлетворительно (со среднеквадратической погрешностью 25%) обобщены единой фор- мулой: (Vu„ = 0,155 (Gau -Ц^Ргп . (10.29) Здесь число Нуссельта Nun -- ----- т—~ Gan = —---------- 3 >-и — п vn число Галилея; 0П (фф, (7ф — Ts)/rv — безразмерный тем- пературный напор; Рга р.п (сфц/^п — число Прандтля; g — ускорение свободного падения; /г — длина критической волны по уравнению (10.28); г1( — скрытая теплота парообразования; р = = Рп/Рж- За определяющую температуру в формуле (10.29) принята Тв = (Tw + Ts)/2. Формула верна в следующем диапазоне изме- нения параметров: 4--105<GaH-^=^Pr)S < 5,3-Ю9; 0,12 <0П < 8,5. 5 р ' Влияние недогрева жидкости А7ф 7’, — Тж на теплоотдачу при пленочном кипении в большом объеме исследовано лишь каче- ственно. Трудность заключается в определении теплового по- тока q.tK, идущего на прогрев жидкости. Распределение суммарного теплового потока qw на испарение жидкости, на прогрев пара qa и на прогрев недогретой жидкости q.,; всегда саморегулируется так, чтобы при любых значениях тем- пературного напора (Tw — 7\) и недогрева АТН = Т, — TiK обеспечить на поверхности раздела фаз температуру насыщения (или свести к минимуму колебания ее около Ts). Чем больше недогрев, тем больший тепловой поток должен быть пропущен транзитом через пленку пара. Это требует умень- шения ее теплового сопротивления, что можно достигнуть либо 267
уменьшением толщины, либо увеличением уровня турбулентности в пленке пара. Величина q№ помимо недогрева определяется характером свободной конвекции в жидкости, скоростью дви- жения границы раздела фаз, увлекаемой паром, интенсивностью и характером ее колебаний. Интенсивные колебания поверхности раздела фаз турбули- зуют прилегающие слои жидкости, увеличивая эффективную теплопроводность в них и, следовательно, q„<. С другой стороны, большие недогревы и q„( оказывают сильное демпфирующее воздействие на колебания поверхности раздела фаз. Когда значе- ние q,K соизмеримо с qw, изменение толщины пленки пара при колебаниях границы раздела фаз ведет к значительным локаль- ным колебаниям qw. При движении поверхности раздела к стенке температура пара возрастает, увеличивая интенсивность испаре- ния жидкости. Возникают реактивные силы и силы давления, препятствующие движению жидкости к стенке. Наоборот, при удалении поверхности жидкости от стенки ее температура из-за роста теплового сопротивления пленки пара может упасть ниже что сразу же вызовет конденсацию пара на этом участке и падение давления, которое будет тормозить движение границы раздела фаз. Учет всех этих явлений при постановке и обобщении экспери- ментов или в теоретических решениях представляет большие труд- ности, которые еще предстоит преодолеть в последующих иссле- дованиях. 10.12. ПЛЕНОЧНОЕ КИПЕНИЕ ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ТЕЧЕНИИ В КАНАЛАХ Интенсивное изучение теплообмена и гидродинамики при пленочном кипении было начато в 60-х годах для описания физики процессов и разработки методов расчета захолаживания магистралей криогенных ЖРД, заправочных и других магистра- лей, криогенных систем. Оно актуально при расчете закризисных аварийных режимов работы атомных реакторов и котлов. Решаю- щий вклад в изучение пленочного кипения в каналах был внесен учеными МАИ. На рис. 10.14 показаны характерные структуры потока всех режимов пленочного кипения в вертикальной (а) и горизонталь- ной (б) трубах. Если процесс происходит стационарно (при внеш- нем подводе тепла), то эти режимы сменяют друг друга по длине трубы, как показано на рис. 10.14. При нестационарном процессе захолаживания трубы, когда, например, в «горячую» трубу пу- скается «холодная» криогенная жидкость (рис. 10.14), картина во времени перемещается по трубе слева направо по мере охлажде- ния трубы. Тогда в сечении 0—0, которое тоже двигается вправо, происходит кризис пленочного кипения, левее которого следуют области переходного и пузырькового кипения, а за ними по мере охлаждения трубы — область конвективного теплообмена. Однако 268
Рис. 10.14. Режим пленочного кипения в каналах: а — вертикальный канал; подъемное и опух иное течения; б горизонi альный канал- Режим: СА -- стержневой автомодельный; СН — стержневой неавтомодельный, П — переходный; ДК — дисперсно-кольцевой; Д — дисперсный; ОН — однородный пар; Р — расслоенный (индексы: «оп» — опускной; «под> — подъемный; <w> — стенка; «я» — васыщенне; «ж» — жидкость; <п» — пар; «одн» — однофазный; «гр> — граничный) при захолаживании наиболее важными являются именно режимы пленочного кипения, на которые приходится около 90% всего времени захолаживания. Рассмотрим основные режимы пленочного кипения (см. рис. 10.14). 1. Стержневой режим. В центральной части канала движется жидкий стержень в общем случае недогретой жидкости, отделен- ный от стенок пленкой перегретого пара. На границе фаз тем- пература равна Ts. Этот режим делится на две области: автомодельную (СА), когда тепловой поток от стенки qw не зависит от ее температуры Tw и определяется тепловым потоком на прогрев жидкой струи qn.. Это имеет место при больших недо- гревах и расходах жидкости, так как чтобы пропустить большой qm, тепловое сопротивление пленки пара должно быть небольшим. То1да qw да qK! Д> (z/u с/г), неавтомодельную (СН). Опа наступает тогда, когда по мере прогрева жидкой струи q>K падает, и паровая пленка растет, следовательно, растут тепловые потоки на испарение qr и пере- грев пара qa. В горизонтальном канале стержневому режиму соответствует расслоенный режим (Р), при котором жидкость смещена к нижней 269
части канала, а пар к верхней, хотя и он отделяет жидкость от стенки по всему периметру. 2. Переходный режим (П). Он возникает, когда жидкий стер- жень догревается до температуры, близкой к Ts, и под гидро- динамическим воздействием пара разваливается на крупные жидкие структуры. Иногда он возникает из-за колебаний расхода в ма- гистрали при инерционном отрыве крупных кусков от конца жидкого стержня. 3. Дисперсно-кольцевой режим (ДК)- В этом режиме крупные капли в виде кольца со средним радиусом около 0,8 радиуса трубы (для турбулентного течения пара) движутся около стенки, а более мелкие капли — равномерно по всему потоку. Такое расположе- ние крупных капель определяется совместным действием на них аэродинамических сил, определяемых распределением градиента скорости и турбулентных пульсаций пара в канале и реактивных сил от испарения капель в сторону стенки. 4. Дисперсный режим (Д) характеризуется примерно равно- мерным распределением мелких капель по всему потоку. При их полном испарении наступает однофазное течение перегретого пара. Теоретический анализ и обобщение экспериментальных данных при пленочном кипении в каналах сопряжены с большими труд- ностями: наличие термической неравномерности двухфазного потока, когда в каждом сечении канала одновременно существуют пере- гретый пар около стенки и насыщенная или недогретая жидкость вдали от нее, что не позволяет по количеству тепла, сообщенного потоку, судить о том, какая часть жидкости превратилась в пар; сложность гидродинамики двухфазного потока и процессов теплообмена в нем; весь тепловой поток от стенки снимается частично паром, а частично излучением. Тепловой поток, снимаемый паром qw, в свою очередь включает в себя три составляющих: тепловой поток на перегрев пара qu от температуры насыщения на границе раз- дела фаз до Tw около стенки; тепловой поток на испарение жид- кости qr с поверхности раздела фаз и, наконец, тепловой поток на прогрев жидкости рж, если она не догрета до температуры на- сыщения Ts. Трехмерное (или двухмерное в случае осесимметричного по- тока) рассмотрение процесса в настоящее время практически воз- можно лишь для стержневого режима. Причем, для турбулентного течения в жидком стержне и в паровой пленке такой подход воз- можен лишь приближенно — при использовании различных ги- потез о распределении турбулентных параметров по сечению. Какие-либо исследования по структуре двухфазных турбулентных потоков пока неизвестны. Для трехмерного рассмотрения дисперсного режима дополни- тельно требуется знать закономерности распределения капель 270
жидкости по размерам и по потоку, что еще больше усложняет задачу теоретического анализа. Поэтому, для построения инженерных методов расчета целе- сообразно использовать одномерные (для жидкости и для пара) модели описания двухфазных потоков при пленочном кипении. Они также перспективны и для описания двухфазных потоков при пузырьковом кипении. В одномерных моделях предполагается, что все параметры пара и жидкости изменяются лишь по длине канала и во времени, но постоянны по сечению. Для этого вводятся среднерасходные скорости пара и жидкости и среднемассовые температуры пара Тп и жидкости ТЯ!. Температура раздела фаз всегда прини- мается равной температуре насыщения а стенки канала — Тш. Получим теперь замкнутую систему уравнений для одно- мерного описания двухфазных потоков как обобщение аналогич- ной системы уравнений для однофазного потока (см. гл. V). Тогда уравнения движения энергии и неразрывности для жидкой и па- ровой фаз будут: —^-H-sign (о»п —(10.30) ^^ + Сж^ = ^ж; (10-31) ф ^ = - ; (10.32) Рп == gzPn - - Sign (Wn - Шж) ; (10.33) > W + G* 5 U*’ °-34> Шу! (jL Uc. (J£ (10.35) dt " 1 дг гп ’ ' ' где <J>K == РжОУж^ж, (10.36) G„-pn№nSn, (10.37) = <*(?„-?,). (10.38) Кроме того, должны быть заданы физические свойства X, ср, р для жидкой и паровой фаз как функции температуры и давления, что дает еще 6 уравнений, а также ins = f (р), гп = = f (ins) и уравнения состояния для пара и жидкости. Для каж- дого режима течения задаются условия однозначности и могут быть получены по два соотношения между площадями сечения канала, занятого паром S’n, жидкостью S>K, и периметром жид- кости U№ в данном сечении канала. Чтобы замкнуть полученные системы уравнений, необходимы еще 6 уравнений, например для 271
qw (или а), дж, qT, Гц,, тж и <p = Sn/(Sn + S;K) объемного паро- содержания (или х = Gn/(Ga + G;K) массового паросодержания) как функций координаты г и времени t. Эти уравнения не могут быть получены в рамках рассмотрен- ной одномерной модели, ибо именно они характеризуют, как реальное трехмерное течение проявляет себя при его одномерном описании данной моделью (это аналог а и тш для одномерного описания однофазной жидкости). Они могут быть получены из эксперимента (или из трехмерной математической модели, когда она возможна). Причем в экспериментах эти параметры нахо- дятся из рассмотренной системы уравнений, которая замыкается с помощью измерений соответствующего числа величин. Когда измерений недостаточно, используют различные допущения и гипотезы, вытекающие из физического механизма течения. В тех случаях, когда необходимо рассчитывать нестационар- ные процессы (например захолаживание магистралей криоген- ными жидкостями в процессе их заполнения), методика расчета строится на рассмотренной системе уравнений, замкнутой эмпи- рическими уравнениями и уравнением теплопроводности для стенки канала: с di = vdiv (х grad Т} + т- (1 °-39) или ~ = — ЬТ, (10.40) dt рс ' ' когда А = consf и нет тепловыделения в стенке = 0). Для такой задачи граничные условия задаются на внешней поверхности стенки канала, а на внутренней — условия сопряже- ния, т. е. равенство температур и тепловых потоков по обе сто- роны поверхности стенки. Эту задачу принято называть сопряжен- ной. Такой подход к исследованию пленочного кипения в каналах позволил с самого начала сформулировать задачи для всего ком- плекса экспериментальных исследований, требования к измере- ниям и методику основных экспериментов. Эти задачи включали раздельное исследование всех режимов пленочного кипения в каналах при подъемном, опускном и гори- зонтальном течении кипящей жидкости и определение условий перехода одного режима пленочного кипения в другой (по длине канала и во времени для нестационарного случая). Поскольку преимущественно изучалось пленочное кипение применительно к захолаживанию магистралей, то в задачи экспериментов вхо- дило изучение кризиса пленочного кипения как его границы и переходного кипения. Важное внимание уделялось методам ин- тенсификации пленочного кипения и управления его кризисом. Изучение механизма физических процессов рассматривалось как составная часть основных экспериментальных исследований, не- обходимая для их правильного проведения, интерпретации и 272
обобщения опытных данных в виде замыкающих эмпирических уравнений. Из рис. 10.14 видно, что при опускном движении в стержне- вом режиме пленочного кипения давление в канале растет, так как жидкий стержень движется под действием силы тяжести, увлекая за собой пар. При подъемном движении давление падает во всех режимах и скольжение шп — > 0. Теплоотдача в стержневом режиме по длине канала уменьшается. В автомо- дельной области из-за уменьшения недогрева жидкости коэффи- циент теплоотдачи монотонно снижается. В неавтомодельной области это снижение, продолжается еще и благодаря росту тол- щины паровой пленки, но при достижении Kw^K-,k ru'(iiKs— 10 начинается резкое уменьшение а, которое в конце стержне- вого режима проходит через минимум. Это падение — следствие интенсивного роста толщины паровой пленки. Границей между автомодельной и неавтомодельной областями стержневого режима пленочного кипения можно считать rz—0,5 J- = 0,0115 -г—г, о, .то-----т—ж Ли/ 1 -j- 0,3L -j- 1,3 exp (—0, где Кея;оРжМж \O.25 4 РпЦп / ’ 1 jZ ' п . Kw — i _____; » -- lUS Pns^sD \°’7 _ J 0-5 L = Я» При этом значении Kw имеем 1 <qw/qm<^. М- Границей между стержневым и переходным режимами пленочного кипения служит развал жидкого стержня, который происходит в опускном и подъемном течениях при <р = 0,7, что сопровождается резким увеличением поверхности жидкости, ростом парообразования и а, достигающем максимума в этом сечении канала. В горизонтальном канале граница между расслоенным и пере- ходным режимами пленочного кипения определяется равенством критерия гидродинамической устойчивости пара К = (шп — даж)КРп/У£ст(р>к -- Рп) =- 4. (10.42) В переходном режиме пленочного кипения а сначала резко, а потом медленно убывает из-за уменьшения теплового потока в жидкость и на испарения, хотя и происходит развал крупных жидких конгломератов на капли. Когда параметр К == (юп — w,„) (рж — рц) < 1,3,- наступает дисперсно-кольцевой режим пленочного кипения, при котором крупные капли перемещаются вблизи стенки, посте- пенно делясь на более мелкие. Дисперсно-кольцевой режим пере- ходит в дисперсный, когда тепловые пограничные слои смыкаются на оси потока. 273
В этих режимах все параметры мало различаются для опуск- ного, подъемного течений и течения в горизонтальном канале, так же как и для пленочного кипения, возникающего после на- ступления кризиса второго рода при пузырьковом кипении (за- кризисная область после высыхания жидкой пленки на стенке канала). В горизонтальном канале граница между переходным и дис- персно-кольцевым режимами определяётся при К* = юп (рж — Рп) = 9. (10.43) Граница между дисперсно-кольцевым и дисперсным режимами находится из условия равенства отношений бт**/7? для двухфаз- ного и однофазного потоков, где — радиус канала, а 6‘* — толщина потери энергии. В дисперсно-кольцевом режиме обычно = 2 ... 1,3, а в дисперсном 1,3 ... 1. При достижении истинным массовым паросодержанием значения х. — 1 дисперсный режим пленочного кипения переходит в однофазный поток пара. Для всех рассмотренных режимов пленочного кипения в МАИ были получены эмпирические уравнения для qw, qM, qr, тш, тж, (<Р)> позволяющие замкнуть систему уравнений (10.30) ... (10.38). Естественно, при расчете захолаживания реальных магистра- лей большое значение имеют теплообмен и гидродинамика в раз- личных изгибах, вентилях и другой арматуре. Их исследования проводятся и публикуются в специальной литературе. Для сокращения времени и потерь криогенных жидкостей при захолаживании применяют различные методы интенсификации теплообмена при пленочном кипении: используют возможность смещать кризис пленочного кипения и область переходного кипе- ния в сторону высоких температур стенки путем нанесения на внутренние стенки магистралей тонких низкотеплопроводных покрытий. 10.13. ТЕПЛООБМЕН ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА Конденсация представляет собой процесс перехода пара' или газа в жидкое состояние. Это явление широко встре- чается на практике в ряде теплотехнических устройств. Процесс конденсации всегда происходит с выделением тепла, и поэтому он неразрывно связан с явлением теплообмена. Кон- денсация может происходить как в объеме пара, так и на соответ- ствующих поверхностях теплотехнических устройств (теплооб- менников, конденсаторов и др.). Спонтанное образование паровых зародышей в объеме жидкой фазы требует перегревов 6ТП <1 Тар — Ts, ограниченных тем- пературой предельного перегрева жидкости Тар. Аналогично, спонтанное образование зародышей жидкости в объеме пара тре- 274
бует переохлаждения пара ЬТЖ Ts - Т^р, ограниченного тем- пературой предельного переохлаждения пара Тпр (для воды при атмосферном давлении Тпр — Ts « 220 К. a Ts — Тар ~ 44 К). При увеличении переохлаждения пара критический радиус капли /?кр уменьшается и, следовательно, вероятность спонтан- ного образования капель с RKp в объеме возрастает. Когда переохлаждение достигает своего предельного для данного давле- ния значения Ts — Тпр, число капель с > 7?кр, возникающих в единицу времени и в единице объема, становится столь большим, что конденсация пара происходит по всему объему. Капли с R < RKp неустойчивы. Возникнув в результате флуктуаций плотности, они быстро испаряются. Наоборот, если R > -^кр, то такие капли из-за конденсации на них пара непре- рывно растут (если Та.п р постоянны). Капля, находящаяся в термодинамическом равновесии с па- ром, называется зародышем или ядром жидкой фазы, а ее ра- диус — критическим: <10'44) где а — поверхностное натяжение капли; /?п— газовая постоян- ная для пара; ра — давление пара; р3 — давление насыщения пара над плоской поверхностью жидкости для данной темпе- ратуры Т. Отношение pa/ps > 1 называется степенью перенасыщения пара. При выводе формулы (10.44) учтено, что под действием поверхностного натяжения давление внутри капли рж больше давления окружающего пара ра на величину 2а/р. Спонтанная конденсация пара в объеме часто встречается на практике при течении пара в соплах, в паровых турбинах, в магистралях при наличии резких расширений и т. п. В этих случаях происходит быстрое адиабатное или политропное расши- рение пара, при котором его температура падает ниже Ts для те- кущего давления р, следовательно, пар переохлаждается (Та < < Ts) и перенасыщается (р > ps). В сечении потока, где переохлаждение достигает предельного значения, возникает огромное количество зародышей жидкости с R RKp. На этих и новых зародышах со все возрастающей скоростью происходит конденсация пара. Размеры капель при этом растут, и резко растет тепловыделение при переходе пара в жидкость. Это тепловыделение так велико, что пар, несмотря на расширение канала, успевает нагреться до Ts и конденсация прекращается. Поэтому в сечении канала, расположенном по потоку несколько ниже сечения, где Та достигала Тпр и где образовались зародыши, возникает так называемый скачок кон- денсации, сопровождаемый ростом температуры и давления пара. Таким образом, процесс конденсации при течении пара в соплах происходит термически неравновесно. 275
Энергия, необходимая для возникновения зародыша жидкой фазы на гладкой твердой поверхности, значительно меньше, чем для образования зародыша в объеме пара. Поэтому конденсация на твердой поверхности начинается при переохлаждении пара, много меньшем предельного. Переохлаждение это тем меньше, чем больше угол смачивания 0. Еще меньшие затраты энергии требуются для возникновения новой фазы в углублениях и тре- щинах. Таким образом, при конденсации пара на твердой поверх- ности с Tw < Ts зародыши жидкости сначала возникают в углуб- лениях и трещинах с малыми углами раствора, а затем конденса- ция идет на поверхности этих зародышей. Если жидкость смачивает поверхность (0 <; 90°), то эти за- родыши растут и сливаются в сплошную пленку жидкости, на поверхности которой в дальнейшем и происходит конденсация пара. Такая конденсация называется пленочной. В процессе пле- ночной конденсации температура поверхности жидкой пленки в большинстве случаев близка к Тг, но Ts — Tms > 0. Аналогично, при испарении с поверхности Т.кя — Та > 0. Этот скачок температур на границе раздела фаз называют тепловым сопротивлением фазового перехода. Величина Т3 — Тжз зависит от рода жидкости, давления, коэффициента конденсации т|к и интенсивности фазового перехода. Коэффициентом конденсации или аккомодации называется от- ношение числа молекул пара, оставшихся в жидкости, к числу всех молекул пара, столкнувшихся с поверхностью жидкости. Пока нет надежных методов его расчета. Для абсолютно чистой жидкости и пара т]к ~ 1. Однако даже следы примесей могут уменьшить т]к до значений много меньших единицы. Для обычных и криогенных жидкостей при атмосферном давлении (вообще при не очень малом значении р/ркр) разность Ts — T.as в практи- чески важных случаях пренебрежимо мала. Однако при очень малых р!ркр, особенно для жидких металлов, разность Т, — T№S может достигать 10 ... 15 К. В процессе пленочной конденсации на поверхности раздела фаз выделяется тепло, которое необходимо отводить через пленку конденсата к стенке. Тепловое сопротивление пленки зависит от ее толщины, коэффициента теплопроводности, степени турбу- лизации, наличия волн на поверхности и т. п. Поэтому условия отвода конденсата с поверхности и режим течения жидкой пленки наряду с режимом течения пара определяют интенсивность кон- денсации пара на стенках при заданном значении TD — TW. Если жидкость не смачивает поверхности, то при конденсации образуется не сплошная пленка, а отдельные капли конденсата на поверхности. В микроуглублениях, трещинах или на смачи- ваемых инородных вкраплениях возникают зародыши жидкой фазы. Они растут из-за последующей конденсации на них пара и 276
захвата его молекул, первоначально абсорбированных на поверхности между каплями, а затем диффунди- рующих вдоль поверхности к заро- дышам. При соприкосновении сосед- них капель друг с другом они сли- ваются в общую каплю. На 1 см2, как показали опыты, может распо- лагаться более 1 млн зародышей, а капля в процессе своего роста может иметь до 400 000 слияний. Коэффициент теплоотдачи при капельной конденсации в 2—20 раз выше чем при пленочной. Большин- ство используемых в технике жидко- стей смачивает поверхность. Поэтому пленочная конденсация на практике Рис. 10.!5. Зависимость коэф- фициента теплоотдачи от угла наклона поверхности к гори- зонту: 1 — = 360 кВт/м’; 2 — — = 626 кВт/м* (при ₽ = 0° поверх- ность обращена вверх; при б = 180° — вниз) встречается значительно чаще. Одна- ко применение специальных покрытий (для воды, например, золото и другие благородные металлы, а также ряд органических ве- ществ), не смачиваемых жидкостью, позволяет использовать в технике капельную конденсацию. Этим достигается значи- тельное уменьшение габаритных размеров и массы конденса- торов. При капельной конденсации, так же как и при пленочной, основной задачей является отвод конденсата с поверхности. С этой целью используют силовые поля (гравитационное, центро- бежное, электрическое, магнитное) или вынужденное движение пара. Наиболее часто используют гравитационное поле и выну- жденное движение пара. Капли конденсата, достигнув критиче- ского размера, скользят или катятся по наклонной поверхности под действием сил тяжести, а на их месте возникают новые и т. д. Критический размер капли зависит от значения величин угла смачивания, угла наклона поверхности и поверхностного на- тяжения. На рис. 10.15 дана зависимость коэффициента теплоотдачи от угла наклона поверхности к горизонту при капельной конден- сации водяного пара на медной поверхности, покрытой тонкой пленкой золота. При вертикальной ориентации поверхности капли находятся на поверхности минимальное время, частота их отрыва макси- мальна, а критический размер минимален. В этом положении образуется максимальное число зародышей. Все эти величины довольно слабо зависят от угла наклона в диапазоне от 30° до 150°, а затем зависимость от угла усиливается. Наихудшие усло- вия для отвода конденсата и минимальная теплоотдача создаются на горизонтальной поверхности, обращенной вверх. На ней через некоторое время после начала капельной конденсации капли 277
сливаются в сплошную пленку и капельная конденсация пере- ходит в пленочную. Процесс капельной конденсации (механизм роста капли, от- вода тепла от ее поверхности, закономерности ее движения и др.) в настоящее время изучен еще недостаточно для построения количественных зависимостей. 10.14. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ПЛЕНОЧНОЙ КОНДЕНСАЦИИ НЕПОДВИЖНОГО ПАРА В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ Расчет теплоотдачи при пленочной конденсации в ос- новном сводится к определению толщины пленки конденсата и ее теплового сопротивления. Однако, если в паре имеется примесь неконденсирующегося газа, то у поверхности конденсации обра- зуется диффузионный пограничный слой. Концентрация примеси газа в этом случае увеличивается по направлению к поверхности пленки конденсата. Газ переносится к пленке конвекцией пара, а удаляется в поток диффузией. Это снижает парциальное давле- ние пара у поверхности раздела фаз, затрудняет приток массы конденсирующегося пара к поверхности и, тем самым, служит тепловым сопротивлением, которое необходимо учитывать. При- меси инертного газа существенно снижают теплоотдачу при конденсации. Исследования показали, что влияние примеси неконденсирую- щегося газа тем сильнее снижает теплоотдачу, чем больше кон- центрация примеси в потоке; чем больше интенсивность конден- сации, т. е. чем больше Ts — Tw, и меньше давление конденси- рующегося пара. Так же было проведено исследование влияния перегрева пара на теплоотдачу при конденсации. Подтвержден физически ясный вывод о том, что влияние перегрева пара тем больше, чем меньше скорость конденсации пара и чем больше тепловой поток от пара конвекцией и теплопроводностью. В этом случае доля теплового потока, передаваемая через пленку конденсата к по- верхности теплопроводностью и конвекцией от перегретого пара, естественно, возрастает. Поэтому влияние перегрева пара на теплоотдачу при конденсации тем сильнее, чем меньше Ts — Тш, чем больше концентрация неконденсирующегося газа в паре и больше давление пара. Если предположить течение пленки конденсата ламинарным, а распределение температуры в ней линейным, пренебречь тепло- вым сопротивлением фазового перехода и недогревом пленки конденсата, не учитывать ускорения пленки и трения ее о пар, то можно теоретически получить уравнение для среднего коэф- фициента теплоотдачи при конденсации чистого насыщенного пара на поверхности длиной L в виде а 0,943 Г, (Ю.45) [ Цж<Л - - TW)L 278
где р — угол наклона поверхности к горизонту; г* — эффектив- ная теплота парообразования, учитывающая недогрев пленки и отклонение профиля температур в ней от линейного. При (Л — Тш)/га < 2 г’п = гп + 0,68сж (Л — Tw). Учет трения поверхности раздела фаз уменьшает теплоот- дачу тем сильнее, чем больше сЯ( = (Ts — Тш)/гп, если трение о пар тормозит движение пленки. Колебания поверхности раз- дела, наоборот, увеличивают среднюю теплоотдачу. Уравнение (10.45) справедливо и при конденсации пара на горизонтальном цилиндре с диаметром dK, если положить sin |3 = 1 и заменить в нем L = 2,78dH. Для конденсации пара на пучке горизонтальных труб, рас- положенных друг над другом в п рядов, 1)] X а = 0,728 Г1 -|-0,2Си, (7-3 - L гп gPn<(P«-Рп)^жгп Л4нр. (Тs Т 1/4 (10.46) Эта формула рекомендуется при (п — 1) с.к (Т, — Tw)/rn < 2Ф Конденсация внутри коротких горизонтальных труб диаметром dH при Re < 35 000 также может рассчитываться по формуле (10.46), полагая sin [3 = 1 и L = 8,4dH. Конденсация жидких металлов имеет свою специфику. Расчет теплоотдачи пленочной конденсации жидких металлов по форму- лам (10.47) и (10.46) дает величины, значительно превосходящие данные экспериментов (до 30 раз). Причинами этого расхождения могут быть следующие. 1. Тепловое сопротивление на поверхности конденсации из-за окисных пленок, адсорбированных газов и других загрязнений поверхности. 2. Наличие в паре примесей неконденсирующихся газов. Непрерывная очистка пара и тщательная герметизация всего контура позволяют устранить примеси неконденсирующихся газов. 3. Тепловое сопротивление фазового перехода Та — Tms, где ТЖ5 — температура поверхности жидкой пленки, которая в большинстве случаев близка к Ts, но Ts — T./KS > 0. Типичное распределение температуры при конденсации насы- щенного пара жидкого металла представлено на рис. 10.16. Как видим, около поверхности конденсата существует тонкий слой 279
толщина этого слоя 6* ного пробега молекул. Рис. 10.16. Типичное распределение темпе- ратуры при пленочной конденсации насы- щенного пара жидкого металла: / — насыщенный пар; 2 — пленка конденсата; 3 — поверхность конденсата переохлажденного пара, состоя- щий из «медленных» отраженных и испарившихся молекул, а так- же молекул, с которыми они успели столкнуться. Ряд прове- денных исследований показал, что - 10/, где / — средняя длина свобод- С помощью молекулярно-кинетической теории газов было показано, что Тз Тф х.в Тф Gn (Ср)п (В -|- 6*) Здесь (10.47) г , И / м °п 2 — щ Pms’ V 2nRy Тф ’ М — молекулярная масса пара; Ry — универсальная газовая постоянная; рф и рМз — давления насыщения, соответствующие Тф и Tms; В = р—Г-ТТ^Т-; -----10I°^Lc=-- ; (10.48) Ргп (Ср/с0)п + 1 ’ 266,93 УгМТфП ' рп — коэффициент динамической вязкости пара; п = ра (кТф) — количество молекул пара в 1 м3; k = 1,38-10~23 Дж/К — постоян- ная Больцмана. Тепловой поток при конденсации рекомендуется определять по уравнению qw = где с учетом переохлаждения пара и недогрева жидкости в пленке Гп = (ср)п (Тз—Тжз) 4~ Гп н д~ С» (ТMS Ти>). Падение температуры в пленке Tms — Tw может быть опреде- лено по формуле T^-T^qja, (10.49 в которой d находится по уравнению (10.45). Расчет по уравнениям (10.47) ... (10.49) удовлетворительно обобщает известные экспериментальные данные по конденсации натрия, калия и ртути в диапазоне р = 0,01 ... 100 кПа при постоянном коэффициенте конденсации T)ft = 1 и б* = 10. 280
Неучет переохлаждения пара у поверхности раздела при- водит к кажущемуся значительному уменьшению т)Л с ростом р пои р, — 1 кПа. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Какие факторы определяют рост паровых пузырей при кипении? 2. Как объяснить физически характер кривой кипении при естественной конвекции? 3. Что такое кризисы пузырькового и пленочного кипения? 4. Как влияет вынужденное течение в канале на кризис пузырькового ки- пения? 5. Каков физический механизм переходного кипения? 6. Какие существуют режимы пленочного кипения в каналах, как в них взаимодействуют пар и жидкость?
ГЛАВА XI ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН 11.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ОПРЕДЕЛЕНИЯ Лучистым (радиационным) теплообменом называется передача тепла, обусловленная превращением внутренней энер- гии вещества в энергию излучения, переносом излучения и его последующим поглощением другим веществом. Все тела постоянно испускают и поглощают лучистую энергию. Однако при низких температурах количество излучаемой энер- гии невелико и может не учитываться при расчете теплообмена между телами. При повышении температуры тел излучение их резко возрастает, вследствие чего при высоких температурах перенос тепла излучением становится преобладающим по сравне- нию с теплопроводностью и конвекцией. Роль лучисто,го тепло- обмена также возрастает при понижении плотности среды, за- полняющей пространство между телами, а в условиях глубокого вакуума он становится единственно возможным видом теплооб- мена. Поэтому значение лучистого теплообмена особенно велико в современных областях техники, связанных с применением вы- соких температур или глубокого вакуума, таких, как ракетно- космическая и авиационная, ядерная, плазменная, металлур- гия и др. Тепловое излучение представляет собой процесс передачи тепла с помощью электромагнитных волн, скорость распростране- ния которых в вакууме равна скорости света (3 108 м/с). Таким образом, характерными особенностями лучистого теплообмена является очень большая скорость носителей и возможность передачи тепла от одного тела к другому при отсутствии какой- либо промежуточной среды между ними. Источниками электромагнитных волн являются заряженные частицы (ионы и электроны), входящие в состав вещества. Раз- личные виды движения этих заряженных частиц относительно друг друга приводят к испусканию электромагнитных волн раз- личной частоты. Так, например, колебание ионов около положе- ния равновесия в твердых телах вызывает испускание электро- магнитных волн низкой частоты, движение свободных электронов в металлах относительно ионов приводит к испусканию электро- магнитных волн различной частоты. При этом необходимо отметить, что лучистая энергия испу- скается телами не непрерывно, а отдельными дискретными пор- циями — квантами света (или фотонами;. 282
Точно такая же физическая природа излучения и высокотем- пературных газов. Переход электронов в атомах с более высокого энергетического уровня на более низкий сопровождается испу- сканием атомами фотонов определенной частоты. Следовательно, тепловое излучение, как и свет, обладает как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Поэтому тепловое излучение можно представить как поток квантов света (или фотонов), распространяющийся в пространстве со скоростью света, функция распределения которых является волновой. Физическая природа процессов испускания и поглощения до- статочно полно представлена в современной теории теплового излучения. Однако для решения практических задач расчета лучистого теплообмена, ввиду его большой сложности, целесо- образно использовать феноменологический метод исследования, рассматривая среду как сплошную, а не дискретную, и обладаю- щую некоторыми суммарными характеристиками, определяющими лучистый перенос энергии. При таком макроскопическом рассмотрении процесса лучи- стого теплообмена между телами или излучающей средой (газом) и поверхностью тела (стенкой) тепловое излучение можно прибли- женно описать по аналогии с геометрической оптикой системой тепловых лучей, распространяющихся в разных направлениях прямолинейно со скоростью света. Результирующий эффект испу- скания или поглощения лучистой энергии обуславливается сум- марным воздействием всех лучей, проходящих через рассматри- ваемый элемент пространства или поверхности. Для этого должна быть известна интенсивность лучей во всех направлениях. Распространение излучения в пространстве характеризуется расходящимися в пределах сферы или полусферы лучами, и под направлением луча подразумевается направление осевой линии элементарного телесного угла, внутри которого происходит пере- нос лучистой энергии. В макроскопической трактовке испускание и поглощение тепловых лучей выражается количественно с помощью коэффи- циентов излучения и поглощения, отнесенных к единице площади поверхности тела или единице объема газовых сред. Коэффициенты излучения и поглощения зависят от природы тел и являются функ- циями их состояния. С их помощью можно математически описать излучение и рассчитать лучистый тепловой поток между телами или между газом и поверхностью. Тепловое излучение, как и любой другой вид электромагнит- ного излучения, занимает определенное положение в единой классификации электромагнитных волн по длинам волн, м: космическое .... ........................ у-излучение ............................. рентгеновское ........................... ультрафиолетовое ........................ видимое ... .................... 0.05-10"12 0,5-10“12 ... 0,1-10"12 10“12 ... 20-10“* 20-10“» ... 0,4-10“* 0.4-10“* ... 0,8-10 * 283
инфракрасное...................... 0,8- IO"4 ... 0.2-10"* радиоволны........................ 0,2-10-’ ... 10- 10s При температурах до 4000 К основная доля из общего ко- личества лучистой энергии приходится на область спектра с ин- тервалом длин волн % от 0,7-10“8 до 50-Ю-6 м. В этой области большая часть энергии излучения падает на инфракрасные лучи и небольшая часть — на световые. При температуре выше 6000 К уже больше половины энергии излучения приходится на видимую и ультрафиолетовую части спектра (% = 0,2-10-в ... 0,7-10-вм). Таким образом, с увеличением температуры происходит не только абсолютное увеличение интен- сивности излучения, но также изменяется его спектральный состав. Реальные твердые и жидкие тела в своем большинстве являются непрозрачными для тепловых лучей. Такие тела излучают и поглощают инфракрасное излучение в очень тонком слое, непо- средственно примыкающем к поверхности. Поэтому тепловое излучение не зависит от массы таких тел и полностью определяется лишь геометрией и состоянием их поверхности. В связи с этим все количественные характеристики излучения для непрозрачных тел относят к единице площади их поверхности, а сам процесс теплового излучения приближенно рассматривается как поверх- ностный. В отличие от непрозрачных тел, газы и некоторые твердые и жидкие тела при ограниченных толщинах слоя излучают и по- глощают тепловые лучи во всем своем объеме. Такие тела или среды в отличие от абсолютно прозрачных (диатермичных) будем называть полупрозрачными. Тепловое излучение таких сред зависит от их массы или объема. Поэтому количественные характеристики излучения для полу- прозрачных сред относят обычно к единице их объема или массы. Различают интегральное и спектральное (монохроматическое) излучения. Интегральным называется суммарное излучение во всем диапазоне длин волн от 0 до оо. Спектральным (монохрома- тическим) называется излучение в узком интервале длин волн от % до % + dk. Все величины, описывающие спектральное излу- чение, относятся к единичному интервалу длин волн и обозна- чаются подстрочным индексом «л». Плотностью потока излучения Е называется полное коли- чество лучистой энергии, излучаемой в полусферу за единицу времени единицей площади поверхности. Полный поток излучений Q с поверхности площадью F может быть выражен через плотность потока излучения интегралом: Q = \EdF. (11.1) F Следовательно, £ = (11.2) 284
Рис. 11.1. Схема к определению яркости излучения Рис. 11.2. Графическое определение спектральной интенсивности излуче- ния Распределение излучения по направлениям в пределах полусферы характеризуется величиной яркости. Яркостью (или калорической яркостью) излучения называется количество энергии, излучаемое единицей площади поверхности, расположенной перпендикулярно направлению излучения, в еди- ницу времени, в единицу телесного угла: ----, (11.3) dQ dF cos <р ’ ' где dQ<p — элементарный поток излучения в данном направле- нии, Вт; dQ — элементарный телесный угол, ср; dF — элемен- тарная площадка, м2; <р — угол между направлением излучения и нормалью к площадке dF (рис. 11.1). Распределение излучения по длинам волн характеризуется величиной спектральной интенсивности излучения £\. Спек- тральной интенсивностью излучения Еу. называется количество энергии, излучаемой единицей площади поверхности за единицу времени в единичном интервале длин волн по всем направлениям полусферического пространства (рис. 11.2): dE (П.4) где dX — элементарный интервал длин волн. Еу. зависит от длины волны, температуры, вида и состояния поверхности. Связь между Еу, и Е можно записать в интегральной форме следующим образом: оо E=j Ey.dk, (11.5) о т. е. плотность потока излучения Е выражается площадью под кривой Еу. в интервале длин волн от 0 до оо. Распределение спектрального излучения по направлениям характеризуется величиной спектральной яркости By.. Спектраль- ной яркостью излучения By, называется количество спектральной энергии, излучаемое единицей площади поверхности, расположен- ной перпендикулярно направлению излучения, в единицу вре- 285
Связь между лучения Рис. 11.3. Распределение падающего излучения мени, в единицу телесного угла, в единич- ном интервале длин волн: (Н.6) интегральной и спектральной яркостью из- В=(ВХЛ. (11.7) о Энергия теплового излучения, падающего на тело, может поглощаться, отражаться и пропускаться этими телами (рис. 11.3): Вцад Впогл ~{- Еотр (- Впроп- (1 1 -8) Поглощательной способностью А называется отношение по- глощенной телом лучистой энергии к падающей: л = впогл/впад. (11.9) Отражательной способностью R называется отношение от- раженной телом лучистой энергии к падающей: В--£отр/£пал. (11.10) Пропускательной способностью D называется отношение про- шедшей сквозь тело лучистой энергии к падающей: D = ВПрОП/ВПад. (П-11) Очевидно, А + R + D = 1. (11.12) В частных случаях один или два коэффициента в выражении (11.12) могут быть равными нулю. Если £> = 1, а А — R = 0, то такое тело называется абсолютно прозрачным (диатермичным); если D = 0, А + R = 1, то тело называется непрозрачным; если Л = 1,а/?=Р = 0, то тело называется абсолютно черным; если Я = 1,аД=П=0, то тело называется абсолютно белым, когда отражение диффузное, т. е. яркость отраженного излучения во всех направлениях одинакова, или зеркальным, когда отраже- ние излучения подчиняется законам геометрической оптики. Абсолютно белых, абсолютно прозрачных и абсолютно чер- ных тел в природе не встречается. Однако понятия о таких телах оказываются весьма полезными при изучении законов лучистого теплообмена между реальными телами. Особенно большое значение имеет понятие абсолютно черного тела, т. е. такого, которое целиком поглощает всю падающую на него лучистую энергию. Законы излучения абсолютно черного тела как наиболее простые и универсальные положены в основу всех расчетов теплового излучения. 286
11.2. ИЗЛУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА Закон Планка выражает зависимость спектральной интенсивности излучения абсолютно черного тела Е).л от длины волны X и температуры. Аналитическое выражение указанной зависимости от длины волны было получено М. Планком на основе квантовой теории: £Х0 = СА“5|ес*/(ХГ>-И"1, (11.13) где Сх = 0,374-10-15 Вт-м2 и С2 = 1,4398-10"2 м-К; А. — длина волны, м; Т — абсолютная температура, К. Излучение абсолютно черного тела характеризуется непре- рывным спектром с диапазоном длин волн от 0 до оо (рис. 11.4). Кривые спектральной интенсивности излучения характеризуются наличием максимума с резким спадом в сторону коротких волн и более пологим в сторону длинных. Закон смещения Вина устанавливает зависимость положе- ния максимума спектральной интенсивности излучения от темпе- ратуры. Указанная зависимость может быть получена аналити- чески из формулы Планка (11.13), для чего необходимо вычислить производную dEJd'k и приравнять ее нулю. В результате несложных преобразований получается соот- ношение ХтахГ = 6, (11.14) где b = 2.896-10”3 — постоянная Вина, выражающая закон Вина, согласно которому при повышении температуры длина волны соответствующая максимуму спектральной интенсивности излу- чения абсолютно черного тела, уменьшается. Наглядным качественным подтверждением закона Вина яв- ляется изменение цвета раскаленного металла при повышении температуры (красный, оранжевый, желтый) в направлении более коротких волн в области видимой части спектра. Закон Стефана—Больцмана устанавливает зависимость ин- тегральной плотности потока излучения абсолютно черного тела Е от температуры. Эта зависимость также может быть получена из формулы Планка (11.13) с учетом соотношения (11.5): Ео j СД-6 [ес«/<хг> - 1 ]-' dk. о (11.15) Для того, чтобы проинтегрировать вы- ражение (11.15), введем новую перемен- ную Рис. 11.4. Спектры излу- чения абсолютно черного тела х = С,ДТ. (11.16) 287
Отсюда следует, что Х = С2/хТа, d^ — ^dx. (11.17) При этом изменились пределы интеграла (8.15). При X = 0 х = оо, а при % = оо х = 0. Подставим (11.16) и (11.17) в подынтегральное выражение для Ео (11.15), получим со Во = (П-18) Для интегрирования выражения (11.18) воспользуемся функ- цией Римана J е — 1 1 0 (11.19) где Г (п) — гамма-функция. Следовательно, )7^Т‘,х = Г(4)Ёх’‘- 0 *=1 (11.20) С учетом (11.20) выражение для плотности потока излучения абсолютно черного тела (Ео) принимает вид £0 = ао7’4> (11.21) со где <т0 = -||-Г (4) У Е-4 = 5,668-10-8 Вт/(м2-К4) — коэффициент “ k=i излучения абсолютно черного тела. Таким образом, по закону Стефана—Больцмана плотность потока излучения абсолютно черного тела пропорциональна абсолютной температуре в четвертой степени. Закон Ламберта характеризует распределение энергии излу- чения абсолютно черного тела по направлениям. Согласно этому закону яркость как спектрального, так и интегрального излучения абсолютно черного тела не зависит от направления (Во = const; ВХо = const), т. е. излучение диффузное. Из закона Ламберта следует, что яркость излучения абсолютно черных поверхностей не зависит от их формы, а количество лу- чистой энергии, испускаемой в данном направлении, определяется только величиной проекции этих поверхностей на плоскость, перпендикулярную направлению излучения. Так, например, лу- чистые потоки сферы и круга того же диаметра в направлении нормали к плоскости пластины одинаковы, если излучение их диффузное. Из условия постоянства яркости по направлениям может быть получена зависимость между плотностью потока излуче- ния Ей и яркостью Во абсолютно черного тела. Для этого необ- 288
о л Рис. 11.8. Спектры излучения: 1 — абсолютно черное тело; 2 — cepov тело ходимо вычислить интеграл по полусфере с использованием соотношения (11.3): 2л Еа = J 50coscpdQ. (11.22) о Элементарный телесный угол dQ может быть выражен через углы (р и 0 согласно рис. 11.5: dQ = < = = Sin ф dtp de. (11.23) Тогда 2л л/2 Ео = Во j d,8 j cos ф sin ф dip. (11.24) о о После интегрирования получим Ео = лВ0, (11.25) т. е. плотность потока излучения абсолютно черного тела Ео численно в jc раз больше величины яркости его излучения. Аналогичный результат получается для спектрального из- лучения: Ем = лВм. (11.26) 11.3. ИЗЛУЧЕНИЕ РЕАЛЬНЫХ ТЕЛ Излучение всех твердых, жидких и газообразных тел, встречающихся в природе, существенно отличается по характеру распределения спектральной интенсивности излучения по длинам воин от излучения абсолютно черного тела. По абсолютной вели- чине спектральная интенсивность излучения реальных тел Ек всегда меньше спектральной интенсивности излучения абсолютно черного тела Е^ при той же температуре и длине волны X. Мно- гие же тела излучают энергию в небольших интервалах длин волн (рис. 11.6) и имеют прерывистый спектр. Особенно это от- носится к газам, которые при умеренных температурах излучают в определенных, сравнительно узких интервалах длин волн (по- Ю Авдуеввкнй 289
Рис. 11.7. Спектр излучения воль- фрама при Т = 2450 К Рис. 11.8. Спектр излучения пла- тины при Т — 1335 К лосах). Для характеристики излучения реальных тел удобно ввести понятие спектральной степени черноты ех = £\/£\0, (11.27) представляющая собой отношение спектральной интенсивности излучения реального тела к спектральной интенсивности излу- чения абсолютно черного тела при той же длине волны и при одной и той же температуре обоих тел. Для большинства реальных тел спектральная степень чер- ноты зависит от длины волны и температуры. На рис. 11.7 и 11.8 приведены примеры распределения спектральной интенсивности для вольфрама и платины по длинам волн. Для сравнения там же нанесены спектральные интенсивности для абсолютно черного тела. Как видно, спектры излучения вольфрама и платины лишь только в общих чертах напоминают по своему характеру спектр абсолютно черного тела. Причем расположение максимумов спек- тральной интенсивности у них различное. В силу этого спектраль- ный коэффициент черноты для этих материалов существенно зависит от длины волны. На рис. 11.9 представлены зависимости спектральной степени черноты от длины волны для различных материалов в большом диапазоне длин волн. Приведенные примеры показывают, что для реальных тел может существенно изменяться с длиной волны. В практических расчетах удобно использовать интегральную степень черноты а, представляющую собой отношение плотностей потока излучения данного тела (£) и абсолютно черного тела (Ео): е = Е'Ей. (11.28) Для некоторых материалов, например шамота, интегральная степень черноты высока (0,8 ... 0,85), а спектральная степень черноты значительно изменяется по длинам волн. При практическом исследовании лучистого теплообмена излу- чение и поглощение многих реальных тел приближенно можно рассматривать как излучение и поглощение серых тел. Серым 290
Рис. 11.9. Зависимость спектральной степени черноты от длины волны: 1 — платина; 2 — вольфрам; 3 — шамот; 4 — нержавеющая сталь (без термообра- ботки); 5 — титан (без термообработки); 6 — алюминий полированный Риа. 11.10, Спектры излучения серых тел: 1 е = 1 (абсолютно черное тело); 2 ... 4 — е == 0,8; 0,6; 0,4 соответственно (се- рые тела) телом называется такое тело, спектр излучения которого непре- рывен и полностью подобен спектру абсолютно черного тела при той же температуре (рис. 11.10), а спектральная степень чер- ноты постоянна во всем диапазоне длин волн от 0 до оо и не зависит от температуры. Очевидно, величины спектральной и интегральной степени черноты для серого тела равны: ех = е. К серому телу применимы с поправкой на степень черноты 8 законы Планка и Стефана— Больцмана. Закон Планка для серого тела имеет вид Ек = еСА--6 [ес>/№ - 1 Г1; (11.29) закон Стефана—Больцмана Е = е<т0Г ~ аТ\ (11.30) где о = еа0 — коэффициент излучения серого тела. Закон Вина полностью справедлив для серых тел. Интегральная степень черноты 8 для реальных тел может существенно изменяться в зависимости от температуры. Примеры такой зависимости для некоторых материалов представлены на рис. 11.11. Закон Ламберта, справедливый для абсолютно чер- ного и серого тела, т. е. для диффузного излучения, применим к реальным телам лишь частично. На рис. 11.12 изображены типичные индикатрисы относи- тельной яркости излучения для различных тел. Диэлектрики (изоляторы) и окисленные металлы, как правило, подчиняются закону Ламберта в диапазоне изменения угла <р от 0 до 60°. Излу- чение полированных металлов подчиняется закону Ламберта в более узком диапазоне изменения угла <р (от 0 до 30°). При этом яркость излучения диэлектриков при больших углах <р умень- шается, а полированных металлов возрастает. 10* 291
черноты различных материален ш темпера- туры: ] — фарфор; 2 — шамот; 3 -- медь окис полная: 4 — нержавеющая сталь (прокат); 5 —тис. 1 (без термообработки) О 1 в/в0 i ,.ч.Ы сптельной яркости излучения: 1 — абсолютно ч- рит тр.чо, 2 — серое тело: 3 -- диэлектрики и окисленные металлы; 4 — полиро- ванные металлы При расчетах излучения нечерных тел используется понятие эффективного (полного) излучения, представляющего собой сово- купность собственного излучения тела и отраженного излучения других тел. Плотность потока эффективного (полного) излучения ЕЭф представляет собой сумму плотности потока собственного излучения тела Е и плотность отраженного потока излучения £отр: £эф =-£ 4-£отр — £-ф (1 — А) £пад. (11.31) Аналогично для спектрального излучения Ек эф = £. + £>. 0Тр - £х + (1 + лх) £% пад, (11.32) где Ак — поглощательная способность спектрального излучения. 11.4. ЗАКОН КИРХГОФА ДЛЯ НЕПРОЗРАЧНЫХ ТЕЛ протяженных тел 1 Рис. 11. ю. .л1 ..а вы- вода закона Ки хгофа Закон Кирхгофа устанавливает зависимость между плотностью потока излучения и поглощательной способностью тел. Рассмотрим систему, состоящую из двух плоских бесконечно и 2 (рис. 11.13), находящихся в тепловом равновесии. Тело 1 — любое нечерное и ха- рактеризуется плотностью потока излуче- ния £ и поглощательной способностью А. Гело 2 — абсолютно черное. Плотность по- тока излучения для него равна £0, а по- глощательная способность Ао = 1. Темпе- ратура обоих тел одинакова. Количество энергии, которое излучает абсолютно черное тело 2 с единицы поверхности в единицу времени, £2 :,ф Еп. 292
Количество энергии, излучаемое серым телом 1 с единицы поверхности в единицу времени, Е1Эф = Е + (I — Л) £0. Из ус- ловия теплового равновесия системы (Ег эф = Е2 эф) Е + (1 — — Л) Е„ Ео, откуда получаем соотношение между плотностью потока излучения и поглощательной способностью тела Е!А = £0, (11.33) представляющее собой математическое выражение закона Кирх- гофа. Сущность закона Кирхгофа состоит в том, что отношение плотности потока излучения тела к его поглощательной способ- ности не зависит от физических свойств тела и для всех тел равно плотности потока абсолютно черного тела при той же температуре. Аналогично выражение закона Кирхгофа для монохроматиче- ского излучения £,/Л х (11.34) т. е. отношение спектральной интенсивности излучения тела при определенной длине волны к его спектральной поглощательной способности при той же длине волны для всех тел одинаково и равно спектральной интенсивности излучения абсолютно чер- ного тела при тех же длине волны и температуре. Сопоставляя выражения (11.27) и (11.34), можно записать закон Кирхгофа для монохроматического излучения в следующем виде: «К = А- (И.35) Соответственно для интегрального излучения из выражений (11.28) и (11.33) е = А. (11.36) Таким образом, при равновесном излучении степень черноты тела численно равна его поглощательной способности как для интегрального, так и для монохроматического (спектрального) излучения. 11.5. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ При исследовании лучистого теплообмена между твер- дыми телами пользуются двумя методами: методом многократных отражений и так называемым методом сальдо. Преимущество первого метода состоит в том, что он наглядно вскрывает механизм протекания лучистого переноса тепла от одного тела к другому. Однако метод многократных отражений связан с громоздкими выкладками. Метод сальдо базируется на использовании плотности эффективного или полного потока из- лучения Е.^ и позволяет рассчитать лучистый теплообмен между любыми произвольными твердыми телами по довольно простым соотношениям. В данном разделе используется метод сальдо. Расчет процессов переноса лучистой энергии между твердыми 293
EC Ej3<f 2 2 Рис. 11.14. Схема лучистого теплообмена между двумя серыми поверхностями 1 телами проводится для частного случая, когда тела являются серыми и, следователь- но, степень их черноты и поглощательные способности не зависят от температуры и дли- ны волны. Излучение серых тел как моно- хроматическое, так и полное подчиняется закону Ламберта во всех направлениях, параллельные серые пластины бесконечной Рассмотрим две протяженности (рис. 11.14), имеющие разную температуру и разделенные диатермичной средой. Первая пластина с темпера- турой 7\ обладает собственной плотностью потока излучения Ех и поглощательной способностью Д1. Вторая пластина с темпера- турой Т2 характеризуется соответственно собственной плотностью потока излучения £г и поглощательной способностью Л2. Примем, что 7\ > Т2. Тогда пластины будут обмениваться лучистой энер- гией, в результате чего между ними установится стационарный лучистый верхности тепловой поток, направленный от более горячей по- 1 к более холодной 2: 712 ~ ^1 эф Е2 эф» (11.37) Е2вф— полные плотности потока излучения 1-го и где £1эф, 2-го соответственно. По определению полной эффективной плотности потока излу- чения £\ эф — £i + (1 — ^i) Е2 эф; (И .38) Эф = Е2 + (1 -Л2) £1аф. (11.39) Преобразовав систему уравнений (11.38) и (11.39) относительно эф и £3 эф, получим 1Г)ф - 1 _(1 _л1)(1 -4г) ’ 7?г ~1~ 0 — Ег 1 - (1 - 49 (1 - 4г) • Подставив значения £1эф и £2эф из выражений (11.40) и (11.41) в равенство (11.37), найдем величину лучистого теплового потока — £24 £2 Эф (11.40) (11.41) (11.42) ^12 Лт -р А2— 4j42 Согласно вакону Стефана—Больцмана fi-emoTf и £2 = е2<т071 (11.43) Подставляя выражения Е1 и Е2 из системы (11.43) в равенство (11.42) и учитывая, что = Лх и в2 = А2, после преобразования получим окончательные формулы для расчета лучистого тепло- 294
обмена системы двух серых параллельных поверхностей бесконеч- ной протяженности: (11.44) ИЛИ <712 = 8прпо(^-^), (11.45) где евр — приведенная степень черноты системы тел 1 и 2; 11.6. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ДВУМЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Рассмотрим два абсолютно черных тела, произвольно расположенных в пространстве. Выделим на поверхности первого тела (рис. П.15) элементарную площадку dFlt а на поверхности второго — элементарную площадку dF2. Примем, что темпера- тура поверхности первого тела больше, чем второго. Количество лучистой энергии, которое излучает элементарная площадка dFy в направлении площадки dF2 за единицу времени, согласно урав- нению (11.3) = BoiCos^cKWFb (11.47) а площадки dF2 в направлении площадки dFt — dQ2-»i ==-Sozcos^, cK22<iF2, (11.48) где В01 и В02 — яркости тел 1 и 2; и dQ, — элементарные телесные углы, под которыми «видны» площадки dFj и dF2 из точки на противоположной площад- ке; и ср2 — углы между линией центров и нормалью к площадкам dF^ и dF2 соответственно. Так как температуры тел не одина- ковые F> Т2), то результирующий лучистый поток dQi2 = dQi-^2 — dQ.2-^t- (11 -49) Телесные углы = (11.50) dQa (Ц.5Ц 5 Рис. '.1.15. Схема к рас- чету лучистого теплооб- мена между поверхностя- ми, произвольно располо- женными в пространстве где г — расстояние между центрами элементарных площадок dFj и dF2. Сделав соответствующие подстанов- ки в равенство (11.49), найдем вели- чину результирующего лучистого теп- 295
лового потока с элемента поверхности первого тела на эле- мент поверхности второго тела: «Q12 - (Во1 - В02) dF, dF,. (11.52) Выразив яркости Вп и Вй, согласно формулам (11.25) и (11.30) и проинтегрировав выражение (11.52) по обеим поверхностям, получаем окончательно полный лучистый лоток от первого тела ко второму Qi? <70 (7'1 - 77) Г [ Q25QQQ2LT1 dFi dF, (i i .53) К h или Q,}^ (11.54) где Я13 = f j' dF, dF, (11.55) f, e9 имеет размерность площадки и называется взаимной поверхностью излучения тел 1 и 2. Йз условия симметричности выражения (11.55) вытекает, что = Н„. (11.56) Таким образом, расчет лучистого теплообмена между двумя абсолютно черными телами, произвольно расположенными в про- странстве, по существу сводится к определению взаимной поверх- ности излучения Нн, которая является геометрической характе- ристикой системы. Другой геометрической характеристикой системы является коэффициент облученности ср. Коэффициентом облученности (или угловым коэффициентом) называется отношение потока излуче- ния одного тела, падающего на другое тело, к полному полусфе- рическому потоку излучения первого тела. Коэффициенты облученности в отличие от ,Н„ безразмерны и для каждого из двух тел индивидуальны: Фи — Qi-дQ।• с= О?.-/Q->. (1I.0/) Выражения Qi_e п флы получаются интегрированием ра- венств (11.47) и (11.45) по с, и- г. с соответствующими подстанов- Я93
ками, аналогичными использованным при получении выражения (11.54), и имеют вид z-к <р4 I С COS COS фо дг д г QlCT = О0Т! \ \ ----‘4;2- dFidFz, Ye (Н.58) QM = o0r2 } j-------лРГ~~~ dFi dF2- Полные потоки излучения тел 1 и 2 Qi - E^Fi = ooTlFb Q2 = о0Г2Л2. (11.59) Сделав подстановки в равенствах (11.57), получим окончательное выражение для коэффициентов облученности системы из двух тел: ' f \^^dFxdF.- Гу j J лг2 Л F, Z7» (11.60) ф21 — cosy^osy» dFy dp^ Связь между коэффициентами облученности и взаимной поверх- ностью излучения Ни вытекает из сопоставления выражений (11.55) и (11.60): •• Фы = <Paj = ^^JF.,, (11.61) но так как = Н21, то Ф12 — Ф21^ 2/^1 • (11.62) Соотношение (11.62) выражает так называемое свойство взаим- ности лучистых потоков. Расчетную формулу (11.54) для лучистого потока между двумя абсолютно черными телами можно записать с помощью коэффициентов облученности: Q12 =-- Оо (Л - Т?) F^2 = Go (Tt - F2y21 (11.63) или Ф12 == У1Ф13 ’УзФа!- (11.64) Коэффициенты облученности и взаимные поверхности излучения зависят от формы и расположения тел, находящихся в лучистом взаимодействии друг с другом. Расчет этих величин трудоемок и Д'11’ с'1'"'71 к систем ььп.олаиетсе на Э5.Й. Д - '- - простых случаев гл”! масти теплообмена, часто вы > тстстст, к::з:?.’л д.. н 7 ч облученности и взаим- ные „с-м)ХЖ|.! излучения растстшст и приводятся в спра- вочниках. 297
Рис. i 1.16. Схемы к определению коэффициента облученности и взаимных поверхностей излу- чения некоторых систем Рис. 11.17. Схема лучи- стого теплообмена между телом (1) и оболочкой (2) На рис. 11.16 представлены примеры некоторых часто встре- чающихся в практике случаев расположения излучающих поверх- ностей в пространстве, для которых величины <р12, <р21 и /71а могут быть вычислены по формулам __ ^Ф*2 р . _ ^1^2 Е1 . 412 — ‘ 2> V21 — г rr it ^1^2 г в “ 12 —’ “21 — Г 11.7. ТЕПЛООБМЕН МЕЖДУ ТЕЛОМ И ЕГО ОБОЛОЧКОЙ Рассмотрим лучистый перенос тепла между двумя серыми телами (рис. 11.17), из которых одно (тело 1), не имеющее вогнутой поверхности, находится внутри тела 2 (оболочки). При этом все излучение с поверхности тела 1 попадает на по- верхность тела 2. Излучение же с поверхности тела 2 только частично попадает на поверхность тела 1; другая часть этого излучения проходит мимо тела и облучает собственную поверх- ность тела 2. Эта часть излучения характеризуется коэффициен- том самооблучения <р22. Примем, что температура Ту тела 1 выше температуры Т2 его оболочки. Полный лучистый поток, посылаемый телом 1 в единицу времени, Qi аф ~ Q1 + (J — Aj) cpaiQa Эф (11 -65) и, соответственно, поток от второго тела Qa эф — Qz + (1 — А2) Qj Эф ~|- (1 — А2) ЧЛ-ФФ эф> 0 -66) где Qi и Q3 — собственные лучистые тепловые потоки тел; Ах и А.2 — поглощательные способности тела; <р2а — коэффициент са- мооблучения. 298
Результирующий лучистый тепловой поток от тела 1 к телу 2 Q12 = Q1 эф ф21С^2 эф- 01.67) Учитывая, что для тела 2 сумма коэффициентов облученности <р21 и самооблучения <р22 равна единице, т. е. Ф21 + Ф22 = 1, (11.68) найдем выражение для полного лучистого потока с поверхности тела 1 (Qi эф)- Для этого в уравнение (11.65) подставим значение для Q2 эф из уравнения (11.66) и после несложных преобразований получим q ____ [1 (1 A'z) О ф‘211 ] Q1 (1 ^i) PpgiQa / j 1 eg \ ^1эф"~ А-^ — A1A2tp2i ' 1'1 Аналогично из уравнений (11.65) и (11.66) с учетом выражения (11.68) найдем ____ Ог + (1 A) Qi /1 t 7рл °* ~ • (11 ZU) Подставив выражения (11.69) и (11.70) в равенство (11.67), получим Q = . (J J Л2 -|- ^41<Раг — АгА2(р2г Согласно закону Стефана—Больцмана (11.30) собственные лучистые потоки обоих тел Qi^=EiFi = e,io0TtFi; Q2 = E2F2 = &2oqT2F2. Приняв приближенно, что Аг — ех, а А2 — ег, получим «о (^-ф21 44 л) Q12 = -А--------------L р (П .72) Так как коэффициенты облученности связаны с взаимной поверхностью излучения соотношениями (11.61), а ф12 = — = 1, то ф21 = HyJFz, и выражение для результирующего лу- чистого потока через взаимную поверхность излучения имеет вид Qi2= епр<то(71-71)Д12, (11.73) где епс = ~т-—----4—----гт- — приведенная степень черноты 1/81 “Г ф21 ( 1 /Ё2 - Ч системы. Для того, чтобы найти коэффициент облученности tp21, пред- положим, что система находится в термодинамическом равнове- сии. В этом случае температура обоих тел одинакова Т\ = Т2 = Т, а результирующий лучистый тепловой поток Q12 равен нулю. Тогда из равенства (11.72) получаем 1 - = 0 и Фа1 = FEF2. (И.74) 299
Рис. xl.id. С\. :ы пг- .vcrbJiL:’ слу- чае соотношений поверхностей тела (Р и оболочки (2): а — Ft « Ft; б — Fx <^Ft стек; -ш двух поверхностей (Р 2), одн; из которых не имеет вогну- ". -/ей Окончательно результирующий лучистый тепловой поток можно представить в виде Q12-enpao(Tt-^)Fb (11.75) где приведенная степень черноты системы Ьпр == ЖИЕ/Ф) (1/Д (11 -76) В частном случае, когда площади поверхности тел Fr и F2 близки по величине, т. е. FJF2 » 1 (рис. 11.18, а), выражение для е11р (11.76) совпадает с ранее полученным для двух бесконечно протяженных параллельных поверхностей (11.46). В этом случае согласно выражению (1 1.74) <р.21 as 1, т. е. все излучение с оболочки (тело 2) попадает на тело 1. Если одно тело мало по сравнению с другим (Е\ < (рис. 11.18, б), то значение коэффициента облученности q\21 « 0, а 8ир яз g2. Аналогичный результат имеет место независимо от соотношения площадей /д и F2, когда обо- лочка является абсолютно черным телом (е2 -- 1). Полученные соотношения для лучисюго теплового потока (11.75) и приведенной степени черноты системы (11.76) пригодны для произвольных замкнутых систем, в которых одна из по- верхностей не имеет вогнутостей (рис. 11.19). 11.8. ВЛ1Т1НИЕ ЭКРАНА НА ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛОСШМЕН Лучистый тепловой поток от одною тела к друюму может быть зиачшелыю уменьшен, если между ними помешн непрозрачные экраны. Экраны уыанавливаююя орююн; - направлению лучисюго потока и выполняются из с малой noi летательной и большой oiражательной спосибиостг > (полированные тонкие листы из меди, алюминия и других х риалов). В резульгате отражения экранами большого колич. ,эва лучистой энергии в направлении, обратном распространению лучистого циклы, величина результирующего радиационного теплового потока существенно уменьшается. ЗОР
Рис. 11.2С. Схема к расчету лучистого теплообмена при наличии экрана Рассмотрим для простоты две параллель- ные бесконечно длинные плоские стенки (рис. 11.20), выполненные из одного и того же материала с одинаковыми коэффициентами черноты = es = в. Если принять, что температура первой стенки больше, чем 1 5; £з температура второй, то результирующий лучистый ток между ними равен qv2 = Wio (1 - 71), (11.77) -1 л где 8пр = ---приведенная степень черноты системы без экранов. Поместим между этими стенками два тонких непрозрачных экрана (см. рис. 11.20), выполненных из очень теплопроводного материала (например полированный лист меди) с малым коэффи- циентом черноты. Материал экранов один и тот же. Следовательно можно принять, что 8;П - в.)2 =- 8d. Рассмотрим лучистый тепло- обмен в такой системе. Так как экраны выполнены из материала с высокой теплопроводностью, а его толщина достаточно мала, то можно считать, что на обеих поверхностях каждого экрана установится одинаковая температура (соответственно ТЭ1 и ГЭ2). Внутри рассматриваемой системы при отсутствии внутренних источников тепла между стенками (1 и 2) при наличии двух экра- нов устанавливается стационарный лучистый тепловой поток <1 епр’оо {Т\ - т4э1); <7ы = е^оо (Г4Э1 - ?1); (11.78) </12 = 8пр Оо (71 — 1), проходящий через все экраны. Здесь el — приведенная степень черноты t-й системы (с — 1, 2, 3). Выразим из системы уравнений (11.78) разность температур в четвертой степени - ?1 - 6/1/о0); 6р 71 - Тй =-4г (<712/°о); (11-79) 8ир 71 - 1 = -I" Ьар 301
Сложив уравнения системы (11.79), получим выражение для лучистого теплового потока ^-Co0(Th--7l), (11.80) где приведенная степень черноты (e„p) системы при наличии двух экранов 8пр=.----------------------.. (11.81) (2/8-1)+ £ (2/е3- 1); 1=1 При наличии п экранов лучистый поток существенно умень- шается Jil. —___________________ л i 82) <?» (2/s — 1) + (2/еэi) n ' Если экраны и стенки выполнены из одного и того же материала (в = е8), то соотношение (11.82) значительно упрощается <712/<7>2= 1/(« + 1). (И.83) т. е. величина лучистого теплового потока между стенками умень- шится в (п + 1) раз. При наличии двух экранов, когда 8[ = к, — еэ, q'ulqn = 1/3, т. е. лучистый тепловой поток снижается в 3 раза. Если, например, п = 2; ег — е2 — 0,8; еэ1 =- еэ2 = 0,1, то q'nlqvi = 1/26,3, т. е. тепловой поток снижается в 26,3 раза, а если число экранов увеличить до п = 5, то лучистый тепловой поток уменьшится в 64 раза. Из этих примеров видно, что тепловые экраны целесообразно делать многослойными и из материалов, имеющих малую степень черноты и соответственно высокую отражательную способность. 11.9. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ГАЗОВ При высоких температурах газа, которые развиваются в камерах сгорания ЖРД, в электродуговых установках, при полете летательных аппаратов в атмосфере с гиперзвуковыми скоростями, необходимо учитывать перенос тепла излучением. Тепловое излучение газа зависит от его термодинамического состояния и состава. Спектр излучения высокотемпературного газа, состоящего из молекул, атомов и ионов, очень сложный. Он состоит из линий, полос и непрерывного спектра. При переносе тепла путем излуче- ния в таком газе необходимо учитывать вклад излучения всех составляющих газа: молекул, атомов, ионов в широком диапазоне длин волн — от ультрафиолетовой области (X = 0,01 мкм) до инфракрасной (% = 50 мкм). В качестве примера на рис. 11.21 приведено распределение спектральной излучательной способности (Е^ для различных компонентов слоя воздуха. Из рис. 11.21 видно, что излучение 302
Рис. 11.21. Спектральная излучательная способность (£\) слоя воздуха тол- щиной I == 1 см при Т = 12 000 Кир р0 (нормальная плотность 9): А — суммарное излучение; В -- 0,1 интенсивности излучения черного гели; /\/2 Ц*). ЛМ2+), Ns (1~) — излучения 1-й, 2-й положи! ель ной и 1-й отрицательной полос молеку- N О лярного азота; Цре и Цре — излучения от свободно-связанных переходов атома азота и кислорода; цсв__св — излучение от свободно-свободных переходов n Рис. 11.22, Схема опреде- ления спектральной интен- сивности излучения газа высокотемпературного газа происходит в широком диапазоне длин волн. При рассмотрении процессов теплового излучения газа целе- сообразно использовать феноменологические методы исследования. В этом случае газ рассматривается как сплошная среда, обладаю- щая дополнительными, с ранее известными (вязкость и теплопро- водность) свойствами, определяющими лучистый перенос тепла. При этом поле излучения можно представить как ноток тепловых лучей, пронизывающих газовый объем по всем направлениям согласно концепции геометрической оптики. Специальные иссле- дования показывают, что применение указанного метода оправдано в случаях, когда характерный размер значительно больше длины волны излучения, а время процесса много больше периода колеба- ний всех частот, содержащихся в излучении. Поток тепловых лучей, распространяющихся в газовом объеме, характеризуется величиной спектральной угловой инishchbhocth излучения (или сокращенно — спектральной шиенспвпостью излучения). Для определения спектральной интенсивности излу- чения рассмотрим в газовом обьсме произвольно ориепiированную элементарную площадку dF (рис. 11.22). Выберем на этой ило- 303
щадке точку Р и из нее проведем нормаль п к площадке. В задан- ный момент времени тепловые лучи, составляющие поле излучения, пересекают заданную элементарную площадку dF во всех направ- лениях. Выберем произвольное направление L, составляющее угол <р с нормалью п и рассмотрим излучение в данном направле- нии. Примем линию в направлении L за ось элементарного конуса телесного угла da. Из каждой точки площадки dF построим конусы с осями, параллельными L, и телесными углами da при вершине. Эти конусы образуют полубесконечный усеченный конус с телес- ным углом dQ н площадью поперечного сечения, содержащей точку Р, перпендикулярной направлению L и равной dFcos ф. Если полное количество спектральной лучистой энергии, про- ходящее через площадку dF внутри конуса dQ в интервале длин волн от % до % -р dk за единицу времени, равно dQx<₽, то спектраль- ная интенсивность излучения определяется следующим выраже- нием: J________dQxq)___ dF cos tf dQ dk Спектральная интенсивность излучения — это количество спектральной лучистой энергии, заключенное в единичном интер- вале длин волн и в единичном телесном угле, которое проходит за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению излучения. Величина спектральной интенсивности излучения зависит от длины волны X, времени т, координат х, у, z рассматриваемой точки Р и направления луча L. Если Jне зависит от направления L, поле излучения называется изотропным. Если спектральная интенсивность излучения Д не зависит от положения точки Р (координат х, у, г), поле излучения называется однородным. Если известно распределение спектральной интенсивности по направлениям и по длинам волн, то величина лучистого теплового потока qR, проходящего через произвольную единичную площадку, определяется формулой оо qR = j j Jxcos ф dQ dk. (11.85) 4Я Q 11.10. РАДИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ГАЗОВ Взаимодействие поля излучения с газовой средой опре- деляется способностью этой среды испускать, поглощать и рассеи- вать лучистую энергию. Указанные свойства газовой среды (так называемые радиационные свойства) выражаются с помощью соответствующих коэффициентов излучения поглощения и рассеяния которые могут рассматриваться как некоторые физические характеристики среды. 304
Спектральным объемным коэффи- циентом излучения хх называется ко- личество лучистой энергии, излучаемое единицей объема среды за единицу вре- мени в единичном телесном угле и еди- ничном интервале длин волн, т. е. _ (dQxtp) dVdQd~’ (Н-86> Рис. 11.23. Схема прохождс ния луча через газовую среду Коэффициент излучения хх зависит от длины волны и параметров состояния среды; кроме того, он зависит от направления луча. Однако для газовых сред экспериментально было установлено, что коэффициент излучения хх является изотропным, т. е. зависит от направления излучения. Если известен коэффициент излучения хх, то количество спектральной лучистой энергии подсчитывается по формуле = (11.87) Полная спектральная лучистая энергия, излучаемая элементом объема dV в интервале длин волн от X до X 4- d/. в единицу времени во все пространство, ШОизл = 4лх^У dk (11.88) Для характеристики интегрального излучения используются понятия интегрального объемного коэффициента излучения (или просто коэффициента излучения) x=j°xxdX (11.89) о и интегральной интенсивности излучения J=\jKdk. (11.90) о Полное количество лучистой энергии, излучаемое единицей объема среды за единицу времени, по всем направлениям, во всем диапазоне длин волн от 0 до оо, равно т] — 4лх. (11.91) Наряду с коэффициентом излучения необходимо ввести харак- теристики, с помощью которых можно было бы определить ослабле- ние интенсивности излучения в среде. Рассмотрим прохождение теплового луча со спектральной интенсивностью через элементарный, оптически неоднородный газовый объем, площадь основания которого (рис. 11.23) перпенди- кулярна направлению излучения. Интенсивность луча будет ослабевать вследствие поглощения и рассеяния излучения газа в рассматриваемом объеме. В реальных 305
условиях такие газовые среды встречаются очень часто. Например, продукты сгорания топлива, протекающие но сопловому аппарату ЖРД, содержат во взвешенном состоянии частицы сажи и твердые частицы, мелкие твердые частицы, образующиеся при горении твер- дого топлива в РДТТ, частицы пыли, дыма и капельки жидкости в атмосфере Земли и др. При рассмотрении переноса излучения в средах, в которых содержатся частицы различных размеров от долей микрона до сотен микрон, процессы рассеяния играют суще- ственную роль, и ослабление интенсивности излучения происходит как в силу поглощения, так и в силу рассеяния лучистой энергии средой. Относительное ослабление спектральной интенсивности луча при прохождении через слой газа толщиной dl пропорционально длине пути луча в этом же слое, т. е. dJK = — KbJxdl. (1192) Интенсивность излучения меняется по экспоненциальному закону при прохождении через слой толщиной /: / i \ 4 = Л(0)ехр -f/udZ , (11.93) \ о / где Д (0) — спектральная интенсивность луча на входе в рассмат- риваемый газовый объем. Коэффициент пропорциональности называется спектраль- ным коэффициентом ослабления. Этот коэффициент, характери- зующий ослабление интенсивности излучения при прохождении луча через слой газа из-за поглощения и рассеяния, складывается из двух коэффициентов — спектрального коэффициента поглоще- ния ах и спектрального коэффициента рассеяния (Зх т. е. К;. -9. Д,- (Н.94) Коэффициент поглощения зависит от длины волны излуче- ния, состояния газовой среды и состава газа. Определение коэффи- циентов поглощения является сложной физико-математической задачей, составляющей предмет специальных исследований. Зная коэффициент поглощения ах, можно рассчитать коли- чество лучистой энергии, поглощаемое за единицу времени элемен- тарным объемом газа (см. рис. 11.23) с площадью поперечного сечения dF и длиной dl в направлении луча: (dQK)ttucn -= - a, dF dl dQ dF. (11 95) Аналогично, количество лучистой энергии, которое рассеивает элементарный обьем (ем. рис. 11.23) за единицу времени, равно (dQx)pao - - (Vx dF dl dQ dl. (11.96) Рассеяние лучистой энергии твердыми частицами в оптически неоднородной среде происходит неравномерно по различным 306
направлениям. Для характеристики рассеяния излучения в опре- деленном направлении необходимо рассчитать индикатрису рас- сеяния у (L, Lx) и коэффициент рассеяния. Индикатриса рассеяния у (L, Lx) определяет долю общего излучения, входящего в элемен- тарный объем (см. рис. 11.23) в направлении L и рассеянного этим объемом в произвольном направлении Lt внутри телесного угла dQj. Вероятность рассеяния теплового луча внутри телесного угла dQx в направлении Lx, составляющего угол (3 с направлением входа луча L в элементарный газовый объем, равна (11.97) Очевидно, что вероятность рассеяния теплового луча по всем направлениям пространства должна равняться единице, т. е. -A- Jy(Z, 1,)^ = 1. (11.98) 4л В случае сферической индикатрисы рассеяния, когда у (В, Lx) 1, имеет место изотропное рассеяние излучения. В действительности рассеяние излучения различными оптически неоднородными средами существенно отличается от изотропного. В этом случае распределение рассеянного излучения по направле- ниям зависит от двух параметров: от I = d/X, представляющего собой отношение диаметра рассеивающей частицы к длине волны спектрального излучения, и от комплексного показателя прелом- ления вещества т = "j/"% — i |?Х, определяемого для заданной дли- ны волны X значениями диэлектрической постоянной % и электро- проводности о. Параметр I учитывает влияние на эффект рассеяния Дифракционных явлений, а параметр т —• влияние электроопти- ческих свойств вещества частицы. Для малых частиц (когда I ф) 1) одинаковой геометрии, но из разного материала, индикатрисы рассеяния будут совершенно различные. Для диэлектрических частиц (малые т и ml 1) индикатриса рассеяния описывается формулой Релея: y(LL1) = C(l 4-cos2p), (11.99) где С — константа. На рис. 11.24 изображена индикатриса рассеяния на малых частицах, построенная по формуле (11.99). Видно, что индикатриса 307
Рис. 11.25. Индикатриса рассеяния для малой идеально проводящей час- тицы с | т | —оо Рис. 11.24. Релеевская индикатриса рассеяния для малой частицы рассеяния является симметричной. Максимальная интенсивность рассеяния имеет место при [3=0 (вперед по лучу L) и Р = л (в обратном направлении луча L). Рассеяние в перпендикулярном направлении в 2 раза меньше чем вдоль луча L. Для идеально проводящих (отражающих) частиц (/ Д 1, | т | -> оо) распределение рассеянного излучения по направлению существенно отличается от релеевского (рис. 11.25). Видно, что максимум интенсивности рассеянного излучения направлен проти- воположно ходу луча L. Для больших частиц с d Д К (/ Д 1) индикатриса рассеяния (рис. 11.26 и рис. 11.27) вытянута вперед по ходу луча. Такой специфический характер индикатрис объясняется наличием особых дифракционных явлений на больших частицах. По мере увеличения d/л дифракционно-рассеянное излучение все более концентри- руется в узком пучке, направленном вперед вдоль падающего луча. Расчет индикатрис рассеяния и коэффициентов рассеяния для различных частиц (как по размерам, так и по материалу, из кото- рого состоит частица) является сложной физической задачей. На рис. 11.28 представлена зависимость коэффициента рассеяния [Д от параметра л/для капли воды (| т \ = 1,33). Из рисунка видно, что по мере увеличения d/A ослабевает зависимость коэффициента рассеяния от параметра I. В пределе при I -> оо [Д стремится к постоянному асимптотическому значению и не зависит от I. Если известны радиационные свойства среды, то можно рассчи- тать поле излучения (т. е. распределение интенсивности излучения .’ис. 11 го. Индикатриса рассеяния для часчиц углерода (d/л = 0,75) Рис. 11.27. ..а рассеяния для идеально проа-, дящих частиц (/ = 10; гп оо) 308
Рис. 11.28. Зависимость коэффициента рассеяния [3; от величины параметра al (|и| = 1,33) Рис. И.29. Схема вывода уравне- ния переноса излучения по направлению). Для этого необходимо воспользоваться урав- нением переноса излучения по направлению, вывод которого рассматривается ниже. 11.11. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ Пусть пространство заполнено оптически неоднородной средой, содержащей твердые частицы из одного материала и одинакового размера, способной излучать, поглощать и рассеивать лучистую энергию. Радиационные свойства среды, а также инди- катрисы рассеяния частиц, находящихся во взвешенном состоянии в среде, известны. Рассмотрим тепловой луч интенсивностью JK, проходящий через элементарный цилиндр с площадью поперечного сечения dF и длиной dl (рис. 11.29), ось которого совпадает с направлением луча L. Основания рассматриваемого элементарного цилиндра перпендикулярны к направлению луча L. Изменение интенсивности излучения Jх при прохождении через элементарный цилиндрический объем, заполненный оптически неоднородной сре- дой, определяется процессами излучения, поглощения и рассеяния, происходящими внутри данного элементарного объема. Количество лучистой энергии, входящее через основание эле- ментарного цилиндра dF за единицу времени внутри телесного угла dQ, в интервале длин волн от X до X + dK, определяется из выражения (11.81): (Ж)вх = JKdFd£idK. (11.100) Количество лучистой энергии, выходящее из рассматриваемого элементарного объема через основание dF в направлении луча L, т)ВЫх = (4 + dJ.„) dFdFldl. (11.101) Изменение интенсивности излучения, проходящего через эле- ментарный объем газа на величину dJопределяется следующими процессами, происходящими внутри цилиндра: ^<2%)иЗЛ = XidFdldQd'L (11.102) 309
Излучение газа элементарного объема вызывает увеличение интенсивности излучения J >,. Поглощение (<Ж)погл = — %dFdldQdK (11.103) и рассеяние излучения газом на длине dl Rx)pao = —hJ>.dF dldQdl (11.104) вызывает ослабление спектральной интенсивности излучения JK. Кроме того, увеличение спектральной интенсивности излучения J\ в направлении L вызывается рассеянием в данном направлении твердыми частицами лучистой энергии всех тепловых лучей, пере- секающих данный элементарный объем по всем направлениям пространства: (<М)рас = dF dl dQ A J у (1,1) dQ,. (11.105) 4л Составляя баланс излучения для элементарного объема газа, с учетом уравнений (11.100)...(11.105) получаем dJK dF dQ dK == dF dl dQ dK — dF dl dQ dK — - ftA dF dl dQ dK + -^-dF dl dQ dK i JK,y (L,L) dQ,. 4Л (11.106) Если рассматривать процессы переноса излучения как стацио- нарные, уравнение (11.106) после сокращения принимает вид 4г- = рхпчйт. (uno?) 4Л Полученное уравнение (11.107) называется уравнением пере- носа излучения. Оно является сложным интегродифференциальным уравнением, решение которого встречает большие математические трудности, так как необходимо вычислять интеграл по всему пространству для известных индикатрис рассеяния излучения частицами. В случае излучающей и поглощающей среды уравнение (11.107) принимает вид (при = 0 и = kK) (11.108) Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для спектральной интенсивности, решение которого не представ- ляет никаких затруднений. 11.12. ЗАКОН КИРХГОФА ДЛЯ ГАЗОВ Закон Кирхгофа, целиком вытекая из второго начала термодинамики, устанавливает связь между спектральными коэф- фициентами излучения и поглощения среды и формулируется сле- 310
Рив. 11.30. Схема газа в абсолютно черной емкости (ею 1, С~< л^х/'Г'4' \ г гаисмитрим замкнутую иоиличку (.рис. i i.ouj, внутренняя поверхность которой является абсолютно черной (ек -= 1). Оболочка заполнена газом, ’сходя- щимся с ней в термодинамическом равновесии, т. е. температура газа Т равна температуре оболочки Tw. В этом случае теплообмен между газом и стенкой будет отсутствовать. Следовательно, пере- нос излучения по любому направлению в газе будет равен нулю: dJ dl - 0, (11.109) а спектральная интенсивность такого равновесного излучения будет зависеть только от длины волны и температуры. Обозначим ее через J-^р. Очевидно, что уравнение переноса излучения для излучающей и поглощающей сред (11.108) примет вид откуда получаем — k-hJKp .= 0, (11.110) Это отношение между спектральными коэффициентами является математической формулой закона Кирхгофа. В силу того, что оболочка является абсолютно черной, яркость поверхности оболочки (Вхо) постоянна по различным направлени- ям. Так как газ и твердая поверхность находятся в термодинами- ческом равновесии, то Лр==ВХ0.= -^-^5[еС2/(Ш’)„ 1Н. Закон Кирхгофа строго справедлив только при термодинами- Члком равновесии. Следует иметь в виду, что при теплообмене между высокотемпературным потоком газа и поверхностью термо- динамического равновесия пет. В этом случае уравнение (11.110) неприменимо. Тем не менее в большинстве практических задач по теплообмену при обтекании поверхности высокотемпературным газовым потоком выполняется условие локального термодинами- ческого равновесия. Вели среда находится в локальном термодина- мическом равновесии, то процессы излучения в элементарном объеме газа, имеющем температуру Т, аналогичны процессам излучения, происходящим в рассмотренной оболочке при этой же температуре. Причем нет необходимости в том, чтобы среда была изотермической. Температура в среде может изменяться от точки к точке, но каждый элемонг; рный обпгм ср'*ды излхчжч и иогло- 311
щает так, как если бы он находился в термодинамическом равно- весии. Часто в практических задачах удобно использовать интеграль- ные характеристики: интегральный коэффициент излучения х [уравнение (11.89)1, интегральную интенсивность J [уравнение (11.90)]. Для случая термодинамического равновесия оо А> = j JKp d-к = -5- Т\ (11.112) о где сг0 = 5,668- 10“8 Вт’/(м2- К4) — коэффициент излучения абсо- лютно черного тела. В практических задачах часто рассматривается модель серой среды (или серого газа), коэффициент поглощения которой не зависит от длины волны, т. е. используется некоторый осредненный по длинам волн (или частотам) коэффициент поглощения со J ^>.7Хр -------• (11.113) J Jx-pdk о Для серого газа закон Кирхгофа имеет вид 4- = Во = Т*. (11.114) я л ' ’ Зная радиационные свойства газа (хх, можно рассчитать поле излучения, т. е. определить интенсивность по направлению (JJ и величину лучистого теплового потока. 11.13. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВЫХ СРЕД Оптические свойства газовых сред (поглощательная способность Лх, степень черноты ej тесно связаны с переносом излучения через газовый объем. Поглощательная способность газового слоя АК определяется как отношение лучистой энергии, поглощенной при прохождении теплового луча через слой газа, к падающей лучистой энергии (8.9). Степень черноты ex опреде- ляется как отношение потока собственного излучения среды к потоку черного излучения при той же температуре. Исследование оптических свойств газов связано с решением уравнения переноса излучения. В общем виде решить уравнение переноса излучения (11.107) аналитически невозможно, поэтому для определения оптических свойств среды рассмотрим излучаю- щую и поглощающую газовую среду и воспользуемся уравнением (11.108). Для большого круга практических задач, особенно при исследовании теплообмена от высокотемпературного газа к поверх- 312
ности при гиперзвуковых скоростях по- лета летательных аппаратов, величина рассеянной тепловой энергии пренебре- жимо мала. В этом случае газовая среда является только излучающей и погло- щающей и для нее справедливо уравне- ние (11.108). Рассмотрим прохождение теплового лу- ча (рис. 11.31) интенсивностью (0) испускаемого элементарной площад- кой dF, через полусферический газо- ждения теплового луча через полусферический газовый объем вый объем радиуса г. Газ, заполняющий полусферу, является однородным и изотермическим. Следова- тельно, температура и плотность газа по всему объему постоянны. Радиационные свойства газа (хх, &>.), которые являются функциями длины волны и термодинамических параметров (р и Т) для моно- хроматического излучения будут постоянны по всему объему. В этом случае все направления излучения по полусфере являются равноценными, т. е. интенсивность излучения А не зависит от угла <р. Рассмотрим одно какое-нибудь направление L. Интенсив- ность излучения вдоль этого направления будет изменяться в силу поглощения и излучения лучистой энергии газом вдоль рассматриваемого направления. Уравнение переноса излучения (11.108) с учетом закона Кирх- гофа (11.110) имеет вид ^- = -^(А-ВХ0). (11.115) Решение этого уравнения с граничным условием r = 0;JK = A(0) (11.116) для изотермического слоя газа имеет вид A = A(0)e-V+Bjl0(i _e“V), (11.117) где первый член уравнения представляет собой интенсивность излучения, вошедшего в рассматриваемый объем извне от каких- то внешних источников и ослабленного из-за поглощения на длине радиуса г, второй член уравнения — собственную суммарную интенсивность излучения, полученную сложением излучений всех элементарных слоев полусферического газового объема, расположенных вдоль луча L (от 0 до г), и ослабленную поглоще- нием на этом же отрезке луча. Для серого тела уравнение переноса излучения можно предста- вить как = (11.118) 313
а решение с учетом граничного условия (г — 0; J = J (0)) имеет вид 7 = J (0) 4-Д, (1 -е-*Д (11.119) Если собственное излучение газа много меньше ослабляемого средой внешнего излучения, то уравнения (11.117) и (11.119) принимают соответственно следующий вид: Л-Л(0)е~А'7' (11.120) и / = J(0)e-Ar. (117121) Для спектрального излучения поглощательная способность опре- деляется как А>. = (11.122) для серого газа А = ^Т(0Г~ = 1 - &~kr- (11.123) Для случая, когда собственное излучение среды много больше падающего, A = 5Ul-e-M, (11.124) а J = Во(1 - е-^). (11.125) Отсюда спектральная степень черноты еЛ = дГ- = 1 - (11.126) Соответственно, для серого газа можно определить степень черноты газового объема е = J/Bo = 1 — e“fer. (11.127) Из ура/.- И 1.122) и (11.126) видно, что спектральная поглоща-ыльн . обность Лх и спектральная степень черноты 314
ex зависят от длины волны, толщины газового слоя и плотности газа (или давления р). В случае серого газа А = е = f (р, I), (11.128) где I — толщина газового слоя. На рис. 11.32 приведены зависимости степени черноты е, плоского слоя воздуха толщиной I = 1 см и плоского слоя воздуха толщиной I = 10 см от температуры и давления. Видно, что сте- пень черноты е сильно зависит от температуры, давления и тол- щины газового слоя. 11.14. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ТОЛЩИНА СЛОЯ ИЗЛУЧАЮЩЕГО И ПОГЛОЩАЮЩЕГО ГАЗА Степень черноты (е,к) или поглощательная способность (Дх) газа зависит от длины пути, который проходит луч в среде в заданном направлении. Даже в средах сравнительно простой геометрической формы (таких, как сфера, цилиндр, плоский слой) длина пути, проходимого лучами в различных направлениях через газовый слой, существенно неодинакова. В случае сферического слоя (рис. 11.33) максимальную длину пути, равную диаметру сферы, будет проходить только один луч, пересекающий центр сферы. Длина пути других лучей будет уменьшаться по мере уве- личения угла <р. В случае бесконечного плоского слоя (рис. 11.34) длина пути луча в направлении нормали к поверхности слоя будет, наоборот, минимальной и равной толщине слоя 6. Во всех остальных направ- лениях длина пути лучей будет возрастать по мере увеличения <р от 6 до бесконечности. Таким образом, если диаметр сферического газового объема равен толщине плоского слоя 6, то средняя длина пути лучей в бесконечном плоском слое существенно больше, чем у сферы. Соответственно степень черноты плоского слоя газа больше, чем сферического газового объема. Расчет степени черноты различной геометрической конфигура- ции является весьма сложной и громоздкой задачей. Для наиболее 1 ас. .33. Сферический газовый объем Рис. 11.34. Плоский слой газа 315
простой геометрии — сфера, цилиндр (конечный и бесконечно длинный), бесконечный плоский слой — получены решения: для сферического газового объема — 2 ^ = 1+1Го П+ВД, (11.129) где D — диаметр сферы; для бесконечного цилиндра — е>. = 1 — Ф (ад, (11.130) где R — радиус цилиндра; для бесконечного плоского слоя — = 1 — Ф (М), (11.131) где 6 — толщина слоя. Функции Ф (k^R) и Ф (fex6) рассчитаны и затабулированы. На рис. 11.35 приведена зависимость степени черноты для плоского слоя, цилиндра и шара от спектральной оптической толщины тх = k-tD (или fex6), характеризующей поглощение излучения в среде. Видно, что при равных значениях тх наименьшей сте- пенью черноты обладает шаровой излучающий 3 и поглощающий слой 2, а наибольшей — бесконечный плоский слой 1. Аналитический метод расчета степени черноты даже для газо- вого объема простой геометрической конфигурации является весьма сложным, а решения в большинстве случаев не могут быть доведены до конечного результата. Тем более аналитические методы непригодны при определении степени черноты объемов сложной геометрической формы. На практике для расчета степени черноты таких сложных по форме газовых объемов используют метод эквивалентного радиуса. Этот метод основан на том, что для полу- сферического газового объема с радиусом R длина пути всех лучей, проходящих через полусферический слой газа от поверхности до центра основания, одинакова и равна радиусу полусферы R. Всякий другой газовый объем сложной геометрической конфигу- рации может быть заменен эквивалентным полусферическим газо- R! объемом, т. е. полусферой радиуса Ra, излучающей в свой же количество лучистой энергии, какое излучает на рас- сматриваемый элемент поверхности действительный газовый объем. Например, сферический газовый объем диаметром D, излучающий на элементарную поверхность dF (рис. 11.36), может быть заменен полусферой радиусом Rs = 0,65.D, излучающей на элементарную поверхность dF, расположенную в центре основания полусферы, такое же количество лучистой энергии, что и сферический газовый объем. Соотношение между характерным линейным размером газового объема заданной формы и радиусом эквивалентного полусфериче- 316
Рис. 11.35. Зависимость степени черноты от Ч Рис. 11.36. Схема замены сферического газового объема эквивалентным полусфе- рическим объемом газа ского объема, излучающего то же количество энергии, представ- лено для наиболее типичных случаев лучистого теплообмена. Сфера диаметром D .........................................0,60D Куб со стороной а..........................................0,60а Бесконечный цилиндр диаметром D, излучающий на центр основания 0,90.0 Бесконечный цилиндр диаметром D, излучающий на боковую поверх- ность ....................................................0,900 Прямой цилиндр (высота Н равна диаметру основания О), излучающий иа центр основания .......................................0,770 Тот же цилиндр, излучающий на всю поверхность.............0,600 Бесконечный цилиндр полукруглого поперечного сечения с радиусом R, излучающий на середину плоского основания .............1,267? Слой толщины И между безграничными плоскими пластинами. . . . 1,80/7 Прямоугольный параллелепипед со сторонами аХ 2аХ 6а, где а — длина наименьшего ребра, излучающий на любую из граней (аХ 2а; аХ 6а; 2аХ 6а) . . ..........................................1,06а Зная Ra, можно степень черноты для газового изотермического объема заданной конфигурации определить по формуле ех=1-е~*Л. (11.132) Соответственно для серого газа е = 1-е-*Ч (11.133) где Rs берется из таблицы или подсчитывается для объемов слож- ной формы по приближенной формуле RB = mAV/F, (11.134) где т — поправочный коэффициент (т = 0,9); V — объем рас- сматриваемого газового слоя; F — площадь поверхности, ограни- чивающей газовый объем. Расчет лучистого теплообмена между высокотемпературным газовым потоком и поверхностью неразрывно связан с расчетом 317
поля течения вязкого газа, т. е. с решением уравнений погранич- ного слоя. Из этих соображений исследование лучистого тепло- обмена между газовым потоком и стенкой, а также влияние поля излучения на поле течения будет рассмотрено в гл. XVI. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Что такое тепловое излучение и его источник? 2. Что такое спектральная интенсивность и спектральная яркость? 3. Назовите законы излучения абсолютно черного тела. 4. Каков физический смысл коэффициента облученности? 5. Как рассчитываются оптические свойства газового объема сложной формы?
ГЛАВА ХП КОНТАКТНЫЙ ТЕПЛООБМЕН 12.1. ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ Контактным теплообменом называется передача тепла между соприкасающимися твердыми поверхностями. Если через две соприкасающиеся поверхности проходит тепловой поток,то температура их будет одинаковой лишь в том случае, когда кон- такт этих поверхностей идеальный и термическое сопротивление в зоне контакта равно нулю. Однако поверхности деталей машин никогда не бывают абсолютно гладкими, на них всегда имеются неровности, зависящие как от технологии обработки, так и от меха- нических свойств самого материала. Поэтому контакт соприка- сающихся поверхностей всегда имеет дискретный характер. Возникающее вследствие дискретного характера соприкоснове- ния поверхностей термическое контактное сопротивление приводит к соответствующему перепаду температуре в зоне контакта, вели- чина котового при большой плотности тепловых потоков, харак- терной для современных энергетических и силовых установок, может составлять десятки и даже сотни градусов. Вопросы контактного теплообмена имеют большое значение при исследовании проблем охлаждения ядерпых реакторов, пере- дачи тепла в установках, непосредственно преобразующих тепло в электричество, охлаждения элементов авиационных двигателей (диски, лопатки турбин), нагрева обшивки космических летатель- ных аппаратов, охлаждения элементов электронных устройств и т, п. В задачи исследования контактного теплообмена наряду с опре- делением величины контактного термического сопротивления входит также изучение зависимостей этого сопротивления от раз- личных факторов и нахождение способов его уменьшения. Зона контакта представляет собой область, состоящую из вы- ступов микронеровностей, часть которых при соприкосновении деформируется и образует контактные пятна, и межконтактных зазоров, находящихся между выступами. При этом суммарная площадь контактных пятен (площадь фактического контакта) всегда составляет незначительную часть номинальной площади контактирования, определяемой геометрическими размерами по- верхностей. В межконтактных зазорах может быть вакуум, газ или жидкость. Обычно коэффициент теплопроводности контактирующих мате- риалов во много раз больше коэффициента теплопроводности 319
Рис. 12.1. Контактирование шероховатых поверхностей среды, заполняющей межконтактные, зазоры. Поэтому наличие в контактной зоне газовой прослойки и особенно вакуума значи- тельно затрудняет переход тепла от одной поверхности к другой через зону контакта. На рис. 12.1 схематично показаны линии теплового тока 1 и изотермы 2 в зоне контакта на стационарном тепловом режиме. Как видно, вблизи контактной поверхности тепловой поток раз- дваивается: одна часть его проходит через пятна фактического контакта, а другая — через среду, заполняющую межконтактные зазоры. Так как теплопроводность контактных пятен, как правило, значительно выше теплопроводности среды, заполняющей зазоры, то к этим пятнам стягиваются линии теплового тока, а изотерми- ческие поверхности, параллельные друг другу вдали от контакт- ной зоны, принимают в области контакта сложный характер. Плотность теплового потока вблизи пятен контакта сильно воз- растает, что приводит к увеличению температурного градиента в зоне контакта. На рис. 12.2 представлено распределение температуры в состав- ном теле при идеальном и при реальном контакте двух тел с шеро- ховатой поверхностью. В случае идеального контактирования температура на границе тел одинакова. При соприкосновении a) f) Рис. 12.2. Распределение температур при кон- тактировании двух пластин: а == идеальный контакт 6— реальный контакт реальных тел, поверх- ности которых имеют мик- ронеровности, в зоне кон- такта возникает дополни- тельный температурный перепад ДТК, величина которого зависит от целого ряда факторов: теплофи- зических свойств среды, заполняющей межконтакт- ные зазоры; состояния контактирующих поверх- 320
ностей; теплофизических и механических свойств материалов контактной пары; средней температуры в зоне контакта; на- грузки на контактные поверхности; величины теплового потока и др. Величина расчетного температурного перепада АТК может быть определена экспериментально путем линейной экстраполяции графика распределения температуры в контактирующих телах до поверхности соприкосновения. Перепаду температур в зоне контакта АТ,, соответствует кон- тактное термическое сопротивление RK = \TK/qH, (12.1) где qK — средний удельный тепловой поток, проходящий через зону контакта. В местах .фактического контакта тепло передается теплопро- водностью. В зазорах передача тепла может осуществляться теплопроводностью, конвекцией и излучением. Как правило, размеры межконтактных зазоров весьма ограничены, что препят- ствует возникновению конвективных токов, поэтому конвективным теплообменом в зазорах можно пренебречь. При температурах в зоне контакта до 1000 К поток тепла, передающийся излучением, не превышает 2—3% от общего теплового потока. Поэтому при умеренных температурах лучистым теплообменом в первом при- ближении можно также пренебречь. Таким образом, можно считать, что тепло от одной соприкасаю- щейся поверхности к другой передается лишь за счет теплопровод- ности места фактического контакта и газовой прослойки в меж- контактном зазоре. Термическая проводимость контакта ак (величина обратная термическому сопротивлению /?к) определяется как сумма терми- ческих проводимостей контактных пятен (ам) и среды, заполняю- щей межконтактный зазор (а0), т. е. “к = ам + ас (12.2) или 1/7?к = 1/7?м+1/7?с, (12.3) где RM — термическое сопротивление контактных пятен; 7?с — термическое сопротивление среды. 12.2. ТЕРМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТАКТА При теоретическом рассмотрении вопросов контактного теплообмена обычно прибегают к модельным представлениям теп- лового контакта. При построении модели контакта шероховатых поверхностей принимается, что фактическая площадь контакта составляет незначительную долю номинальной и образуется пятнами контакта в среднем одинакового размера, равномерно 11 Авдуевский 321
Z,, Рис. 12.3. i .юа к л- так'пюгь элемента распределенными по поверхности сопри, косновения. Тогда контактирующие по. верхности можно представит!, в виде плот- ной упаковки одинаковых правильных шестиугольных призм, каж тая ив кою рык имеет одно пятно касания Таким об- разом, кон га ктирующие поверхности расс- ма!риваются как бы состав лепными из таких элементарных параллельных нон ловых каналов смыкающимися но кон. такгным пятнам. Течение тепла во всю каналах происходит идентично, поэтому, теплообмен на боковых поверхности\ <л смтсгвует, а тепловые процессы, происхо- дящие в отдельном тепловом канале, отра- жают особенности контактного теплообме- на для всей контакгпрт ющсй поперхносю. Большинство исследователей в качестве тепловой модели кон- такта шероховатых поверхностей принимали контактный элемент в виде прямого круглого цилиндра конечного радиуса г„ с кольце- вой проточкой и рассматривали трехмерное поле темпера!ур при соответствующих краевых условиях. Согласно современным достижениям теории механического контактирования соприкасающиеся поверхности моделируются в виде наборов сферических сегментов с определенным законом распределения по высоте, поэтому тепловые модели представляются в виде цилиндров со сферическими соприкасающимися поверх- ностями (рис. 12.3). Определив термическое сопротивление выделенных контактных элементов, находящихся под нагрузкой, и используя выражения по нахождению геометрических характеристик соприкасающихся тел, можно определить тепловое сопротивление всего контакта. Для определения термического сопротивления контактного эле- мента необходимо определить п проанализировать темпершурное ноле в рассматриваемой области, то сеть решить уравнение Лап- ласа со смешанными краевыми условиями. Уравнение Лапласа в безразмерных координатах: 1 й / ЭР \ п илю — ----( р - -- ) --- - О, U 2.4; р Эр \ До / dzz где р р/б, И z -• г/ги при следующих граничных условиях: на поверхности 1 (см. рис. 12.3) при 0 р щд, (г,; 7Д> - 7Д - 0; ' ' (12.5) на поверхностях 2 и 2' (см. рис. 12.3) при р., Д р <' 1 прини- мается идеальный контакт газа с поверхностью твердого чела До '* Да 0. 322
Соотношения между температурами на поверхностях будут опре- деляться из условия (12.6) На поверхности 3 (см. рис. 12.3) ются условия теплой -юлированпост при - оо<2< • оо принима- II боковой поверхности На повер\иос1ях 4 и 5 (см. рис. 12.3) при соо принимается условие постоянства нлогиопи теплового потока (12.8) Ввиду сложности граничных условий аналитическое решение поставленной задачи ново гможпо, поэтому данная задача решается численным методом, методом конечных элемсшов. По резулыатам расчета температурного ноля вычисляется величина полного контактного термического сопротивления мо- дельного элемента: /Д.Щ. О2-))) где Тг о температура при z = 0 и прохождении равномерного теплового потока; 7ф. ,.ф температура на пятне контакта модельного элемента со сферическим окончанием; q плотность теплового потока вдали от плоскости контакта. Для сопоставления полученных результатов с данными других исследователей величина контактного термического сопротивления представляется в виде предельного значения RT при Гп оо; R/' - 0,25- 1/(<?л) (12.10) и функции фГф, учитывающей конечность радиуса элементарного цилиндра: Фщ- (12.11) 'м Полученное выражение термического сопротивления модель- ного элемента распространяется на всю контактную поверхность. При построении модели контакта шероховатых поверхностей принималось, что площадь фактического контакта образуется пятнами контакта в среднем о шинкового радиуса. Термическое сопротивление всех пятен когната действует параллельно. На номинальную поверхность соприкасающихся тел (Лп) приходится Ц пятен ((тактического контакта п - ДД.ш,,). (12 12) 323 И
Термическое сопротивление контактных пятен шероховатых поверхностей RM = 'фсфЛ/Та^. эквл. (12.13) Выоажая число пятен контакта через относительную площадь контакта, получим м п экиПтп (12.14) Средний размер единичного пятна контакта а. и значение отно- сительной фактической площади т]ш определяются величиной деформации и формой неровностей, фсф — коэффициент дискрет- ности контакта, определяемый из выражения Фсф = Ф* Г1 + 0,315 - 0,0375 + (12.15) * L а \ 'о u / J где — 1 — 1,4О9а/го + 0,296 (a/r„)s 0,052 (а/г0)&; (12.16) Хм. экв — эквивалентная теплопроводность контактирующих мате- риалов — /гср1, Лср2 — средние высоты микронеровностей соприкасающихся тел. Заполненное газом пространство между неровностями контак- тирующих поверхностей, в зависимости от состояния газа находя- щееся в континуальном или свободномолекулярном состоянии, тоже обеспечивает соответствующий вклад в перенос тепла между твердыми поверхностями. В реальных случаях термическое сопротивление газового зазора (7?с) можно рассматривать как сумму объемного сопротивле- ния газа, находящегося в континуальном состоянии /?КОНт, и сопротивления на границах (газ находится в свободном молекуляр- ном состоянии) (7?с. м). = А’конгф-Яе.м; (12-18) Kc-WcTl/^.M, (12-19) где 6экв — эквивалентная толщина зазора, определяемая как объем газа во впадинах неровностей, приходящегося на единицу номинальной площади контакта 13]. Общая тепловая проводимость контакта шероховатых поверх- ностей определится формулой 1 __ । । 1 __ 2ХМ, гжиДш__।(ч /1 о 20) Rk Rm Re л^Чсф ' ®экв “К Ac/ac. м Из этой зависимости видно, что определяющую роль в форми- ровании тепломеханического контакта оказывают вид деформации и физико-механические свойства контактирующих материалов 324
Рис. 12.4. Зависимость контактного термического сопротивления различных материалов от нагрузки в вакууме при =--- 925 К: / _ Х18Н9Т (9 кл. шероховатости) и А{203 (9 кл, ше- роховатости): 2 —• Мо (8 кл. шероховатости) и Л12О< (8 кл. шероховатости); 3 — Х18Н9Т (9 кл. шерохова- тости) и ВеО (8 кт шероховатости); 4 — Х18Н9Т (9 кл. шероховатости) и Мо (8 кл. шероховатости); 5 — А12О( (7 кл. шсоохопатости) и графит (6 кл. шероховатости). 5 _ Мо (8 кл. шероховатости) и графит (6 кл. шерохо- ватости) Формула (12.20) правильно отражает качественные и количественные зависимо- сти контактного термического сопроти- вления от различных факторов и может быть использована для определения вели- чины 7?к, по приближенный характер не- которых закономерностей, положенных в расчет, указывает на необходимость экспе- риментальной проверки, обобщения опытных данных и получения на этой основе окончательных расчетных соотношений, необходи- мых в инженерной практике. В основу расчетов контактного терми- ческого сопротивления положены полуэмпирические соотношения, полученные в результате обобщения многочисленных эксперимен- тальных исследований контактного теплообмена. Рассмотрим зависимости контактного термического сопротивле- ния от различных факторов, полученные в экспериментах. Удель- ная нагрузка Рк (средняя нагрузка на контактирующие поверх- ности) оказывает сильное влияние на величину термического сопротивления контакта 7?к (рис. 12.4). С ростом нагрузки контакт- ное термическое сопротивление RK уменьшается, особенно сильно в области нагрузок [до 5...10 МПа], что объясняется характером изменения площади фактического контакта. Средняя температура в зоне контакта Тк оказывает значитель- ное влияние на величину RK. Характер изменения контактного термического сопротивления от температуры определяется сово- купностью зависимостей физических и механических характерис- тик материалов контактных пар от температуры. В зависимости от свойств контактирующих материалов и условий контактирова- ния повышение температуры в зоне контакта может вызвать как увеличение, так и уменьшение контактного термического сопротив- ления (рис. 12.5). Шероховатость контактирующих поверхностей также оказы- вает влияние на величину RK. С улучшением чистоты обработки контактных поверхностей термическое сопротивление контакта уменьшается; особенно интенсивно это происходит при улучшении обработки поверхностей до 6—7 классов шероховатости, что объяс- няется соответствующим ростом площади фактического контакта. Наличие газовой среды в межкоптактных зазорах оказывает значительное влияние на величину контактного термического 325
Рис. 12.5. Зависимость контактного термического сопротивления различных материалов от температуры зоны кон- такта в вакууме под нагрузкой 2,5МПа: / — Х18Н9Т (9 кл. шероховатости) и АЦО» (9 кл. шероховатости); 2 — Мо (8 кл. ше- роховатости) н А1,ОЭ (8 кл. шероховатости); S — Х18Н9Т (9 кл. шероховатости) и ВеО (8 кл. шероховатости); 4 — А1,О, (8 кл. ше- роховатости) н графит (6 кл. шероховато- сти); 5 — Мо (8 кл. шероховатости) и графит (6 кл. шероховатости) Рис. 12.6. Зависимость контакты го термического сопротивления от на- грузки для контактной пары Мо (8 кл. шероховатости) и Х18Н9Т (8 кл. шеро- ховатости) в разных газовых средах при Тк ~ 825 К: 1 — вакуум; 2 — азот; 3 — гелий сопротивления (рис. 12.6). Чем больше теплопроводность среды, заполняющей межконтактные зазоры, тем меньше термическое сопротивление контакта. На основе рассмотренной выше теоретической модели контакт- ного теплообмена и обобщения результатов экспериментальных исследований получена полуэмпирическая формула для определе- ния термического сопротивления контакта: I Г Р2 Т 10,302 = , (12.21) где Рк — удельная нагрузка па контактные поверхности; ов — предел прочности более мягкого материала; Е — 2Е1Е2/(Е1 4 4- Е2); Ег, Е2 — модуль упругости контактирующих материалов; Тк — температура в зоне контакта; 7фл — температура плавления более легкоплавкого материала; К — коэффициент, показывающий изменение геометрических характеристик соприкасающихся по- верхностей и зависящий от высоты микровыстулов образом: К = 1 при йср] 4- йгр2 > 3- 10-6 м; № == при 10“°м< /гср1 4 /гср2 < 3-10'5 м; К. = 4 йсрз < 10~6 м. следующим 30 J у/з cpi 4 4р г ' } при hcpl 4 326
Приведенная формула позволяет получить достаточно досто- верные значения термического сопротивления контакта для обшир- ного круга материалов. 12.3. ТЕРМИЧЕСКОЕ КОНТАКТНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ КОАКСИАЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАРЫ В ряде технических устройств (цилиндрические пары качения и скольжения, элементы термоэмиссионных преобразова- телей, реакторов и др.) тепловой поток передается через прилегаю- щие друг к другу поверхности коаксиальных цилиндров 1 и 2 (рис. 12.7). При проектировании и расчете указанных устройств необходимо знагь величины контактного термического сопротивле- ния и соответствующего температурного перепада в контакте. Принципиальной особенностью контактирования замкнутых поверхностен, образованных полыми цилиндрами, посаженными один в другой с предварительным зазором или натягом по посадоч- ному диаметру dulu., является зависимость удельного давления на посадочных поверхностях р1; от температурного режима, размеров цилиндров, посадки, а также от теплофизических и механических свойств контактирующих материалов, тогда как при контактиро- вании плоских незамкнутых поверхностей величина контактного давления рк могла выбираться произвольно. Нетрудно убедиться в том, что при заданной величине удель- ного теплового потока q и заданной температуре одной из трубок цилиндрической пары в ней за счет их разного термического рас- ширения автоматически установится стабильный режим тепло- передачи с определенной величиной перепада температур в зоне контакта А7”к и определенной величиной давления на контактные поверхности рн. Пусть заданы температура внутренней трубки Тг и удельный тепловой ноток на расчетном режиме а. Тогда увеличение разности температур внутренней и наружной трубок АТК = 1\ — Т2 / может быть достигнуто охлаждением наружной трубки (будем для простоты рассуждений пренебрегать небольшим падением температуры в стенках трубок). Примем, что вначале температуры Pi,-с. 12.8. Теплоконтакт- иая .характеристика ци- линдрической коаксиаль- ной пары Рис. 12.7. Схема цилин- дрической пары
внутренней 1 и наружной 2 трубок одинаковы (Тг = Т2) и между ними имеется некоторый зазор. При этом, конечно, и тепловой поток равен нулю. Если теперь уменьшить температуру наружной трубки Т2, то вследствие появления разности температур между трубками возникает тепловой поток q, а величина зазора в силу разницы термического расширения этих трубок станет уменьшаться. При определенной температуре Т2 произойдет соприкосновение поверхностей. Этому моменту соответствует точка 1 на диаграмме .в координатах &Т„ — рк, так как рк = 0 (рис. 12.8). При этом термическое сопротивление контакта 7?к еще очень велико, и для прохождения через зону контакта заданного теплового потока q необходима очень большая разность температур АТК (точка 2). При дальнейшем уменьшении температуры Т2 и, следовательно, увеличении Д7\ между трубками возникает натяг, будет возрастать контактное давление рк соответственно кривой А и тепловой поток будет увеличиваться. Но при увеличении Р„ будет уменьшаться термическое сопротивление контакта Rw, а, следовательно, и раз- ность температур АТК, необходимая для прохождения через место контакта заданного теплового потока q, соответственно кри- вой Б. При некотором определенном значении Л7И его величина станет равной необходимой для прохождения через место кон- такта заданного теплового потока — в точке 3 пересечения кривых А а Б. Таким образом, установится также и определенное давление в месте контакта рк, соответствующее точке 3. Совокупность зави- симостей А и Б называется теплоконтактной характеристикой коаксиальной пары. Рассмотрение ряда теплоконтактных характеристик, построен- ных для различных условий контактирования, помогает выбрать наивыгоднейшие конструктивные параметры цилиндрической пары (размеры, материалы, посадку и т. п.). Для расчета зависимости давления в контакте рк от разности температур АТК можно использовать соотношение между давле- нием и величиной натяга 6 из теории упругости: Рк= 1 Г 1 + №/4ос)2 „ъ'1 Г 1 + (rfnoc/rf2)2 , „ "1 ’ 1 - (ДМюс)2 E, L I - (dnocAM3 (12.22) где dnoc, d, и d2 — номинальные размеры трубок (см. рис. 12.7); £j, Е2 — модули упругости материалов внутренней 1 и наружной 2 трубок; — коэффициенты Пуассона. Диаметральный натяг <5 можно рассматривать как разность посадочных размеров трубок в нагретом состоянии, обусловлен- ную разницей их термического расширения: 6 - <% — — а2 (Л - АТК) 1 dnoc, (12 23) 328
где 6n — диаметральный зазор при Т — 273 К; cq, аа — темпера- турные коэффициенты линейного расширения материалов трубок 1 и 2. Тогда аналитическая зависимость давления в месте контакта от разности температур контактирующих поверхностей имеет вид _ ____________^о/^пос (ст1 аг) 7\ ссг АТН_________ р,! ~ 1 Г 1 + №М.ос)2 1 , 1 Г 1 + (dnoc/d2y , л Ег L l-№/rfnoc)2 Е2 L(l-(dnocM)2 (12.24) Как видно из выражения (12.24), зависимость рк от АТК линейная, если не учитывать изменений Е, ц, а и % с температурой. Если известна аналитическая зависимость контактного термиче- ского сопротивления от давления рк, например уравнение (12.21), то, имея в виду, что А7К = RHq, расчет сводится к решению уравнений (12.21) и (12.24), из которых найдутся численные зна- чения АТК и рк на установившемся режиме. Однако в виду сложности и недостаточной точности эмпириче- ских зависимостей R„ от параметров удобнее применять графо- аналитический метод расчета, используя для построения тепло- контактных характеристик непосредственно опытные данные по контактным термическим сопротивлениям /?н, полученные на плоских моделях. Это допустимо, так как в любых мыслимых кон- структивных ситуациях толщина зоны «трубок» контактов мала в сравнении с радиусом кривизны. Проводя расчеты для различных условий, можно выбрать наивыгоднейшие конструктивные параметры (размеры трубок, посадку, материалы), а также параметры теплового режима (удельный тепловой поток, рабочие температуры трубок). При этом из анализа теплоконтактной характеристики можно заключить, что выбором посадки можно уменьшить падение температуры в контакте АТК, но лишь ценой повышения давления рк, а это в случае тонкостенных трубок недопустимо, так как может привести их к пластической деформации в радиальном направлении. Очевидно в цилиндрических системах более целесообразно снижение термического сопротивления одним из способов, рассмат- риваемых ниже и не требующих повышения рк. В этом случае не только уменьшается падение температуры АТК, но и одновре- менно снижается давление в контакте рк, что благоприятно отра- жается на надежности конструкции при длительной работе. 12.4. РЕГУЛИРОВАНИЕ ТЕРМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ Для решения некоторых технических задач необходимо регулировать термическое сопротивление контактирующих поверх- ностей, причем в одном случае возникает необходимость интенси- 329
I’m:. 12.9. Зависимость контактного терми- ческого С011рогив.1ения от нагрузки в ва- кууме при Гк 623 К для контактной па- ри X18II9T (8 кл. шероховатости) и Мо (8 кл. шероховатости): / - без покрытий; 2 -- с прокладкой из сереб- ри: Л - с нрнкры 1 мем поверхности стали сереб- ром 6 -- 3 мкм фиксировать теплообмен через зон)' контакта, т. е. уменьшить его терми- ческое сопротивление, а в другом, наоборот, создать на пути тепло- вого потока повышенное термиче- ское сопротивление. Существуют различные способы регулирования контактного термиче- ского сопротивления RK. Увеличение удельного давления рк на контакти- рующие поверхности сильно снижает термическое сопротивление, особенно в области малых нагрузок. Однако возможности этого способа ограничены, так как во многих конструкциях не всегда бывает возможным или выгодным изменять нагрузку на контактирующие поверхности. Улучшение чистоты обработки контактирующих поверхностей до 7—8 классов шероховатости особенно эффективно сточки зрения уменьшения контактного термического сопротивления. Однако дальнейшее повышение класса шероховатости технически сложно и дает небольшой эффект. Наиболее эффективным способом уменьшения контактного термического сопротивления является введение прокладок и покрытий из мягких и теплопроводных материалов в зону кон- такта. Эксперименты показывают, что применение очень тонких (порядка высоты микронеровнюстей) металлических покрытий, наносимых на одну или обе контактирующие поверхности различ- ными способами (гальванический, плазменное напыление и др.), существенно снижает величину контактного термического сопро- тивления. В качестве материалов покрытий могут быть применены теплопроводные металлы и их сплавы (серебро, медь, никель, олово и др.). Установлено, что максимальное снижение величины контакт- ного термического сопротивления наблюдается, когда толщина покрытия равна высоте микровыш учив шорой непокрытой поверх- ности (/?(.j, ' Такая толщина покрытия является оптималь- ной с точки зрения снижения величины Ri; для дачной микрогео- метрии контактирующих поверхностей. Применение покрытий оптимальной толщины из серебра и меди позволяет снизить вели- чину R,. до 10 раз в вакууме, а в среде высокотеплопроводного газа (гелий, аргон) — на 20—50%. 330
В тех случаях, когда нанесение покрытий затруднено, примерно тот же эффект может быть получен путем постановки тонких про- кладок из мягких теплопроводных материалов. Максимальное снижение контактного термического сопротивления при исполь- зовании прокладок получено, когда толщина прокладки равна сумме средних высот микронеровностей контактирующих поверх- ностей (6прокл = й1ср + /12ср). Применение прокладок такой тол- щины из серебра и меди снижает величину Дк в 3—5 раз в вакууме по сравнению с чистым контактом. Применение прокладок при контактировании в высокотеплопроводной газовой среде малоэф- фективно, уменьшение Аф весьма незначительно. На рис. 12.9 приведены результаты некоторых экспериментов, иллюстрирующие эффективность прокладок и покрытий. Наряду с металлическими покрытиями возможно также приме- нение мягких неметаллических покрытий (эмалей, мастик). Запол- нение межконтактного зазора газами с высокой теплопроводностью является также достаточно эффективным способом снижения кон- тактного термического сопротивления. В отдельных случаях воз- можно заполнение межконтактных полостей жидким металлом. При этом термическое сопротивление контакта практически сво- дится к нулю. Однако осуществление этого способа технически сложно. Для более широкого регулирования величины контакт- ного термического сопротивления возможно применение комбини- рованного воздействия перечисленных выше способов. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Каковы причины возникновения контактного термического сопротивле- ния? 2. От каких факторов зависит термическое сопротивление контакта? 3. Какие способы уменьшения контактного термического сопротивления? 4. Как влияет среда, заполняющая межконтактные зазоры, на величину /?к? 5. Как зависит Кк от давления на контактирующие поверхности?
ГЛАВА Xlll ТЕПЛОВОЙ И ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ 13.1. ОСНОВНЫЕ СХЕМЫ АВИАЦИОННЫХ И РАКЕТНЫХ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ Основными элементами системы охлаждения являются теплообменные аппараты и излучатели, параметры которых в свою очередь сильно зависят от используемых теплоносителей. Свойства теплоносителя, конструкция теплообменных аппаратов и коммуни- каций определяют необходимую мощность на прокачку теплоноси- телей и тип циркуляционных насосов. Рассмотрим кратко основные схемы авиационных и ракетных теплообменных аппаратов, их гидравлический и тепловой рас- чет. Выбор схемы того или иного теплообменного аппарата всегда связан с компромиссом между различными предъявляемыми к нему требованиями. Основные требования к авиационным и ракетным теплообмен- никам следующие. 1. Надежность в пределах заданного ресурса времени работы. 2. Минимальная масса и габаритные размеры. 3. Высокая эффективность. 4. Удобство компоновки. 5. Малые гидравлические потери. 6. Технологичность конструкции. 7. Удобство эксплуатации. 8. Минимальная стоимость. В каждом конкретном случае важность каждого из этих требо- ваний и их сочетание различны, что определяет многообразие реальных схем теплообменников. Все теплообменные аппараты по способу передачи тепла могут быть разделены на две большие группы: поверхностные и контакт- ные (рис. 13.1). Во всех поверхностных теплообменниках оба теплоносителя омывают обычно разделяющую их твердую стенку, которая таким образом участвует в процессе теплообмена. Каж- дая поверхность стенки образует так называемую поверхность теплообмена. В зависимости от назначения теплообменного аппа- рата эти поверхности также часто называют поверхностью нагрева или охлаждения. В контактных теплообменных аппаратах тепло передается путем непосредс! венного контакта двух теплоносителей: горячего и холодного; при этом теплообмен сопровождается и массообменом. Все поверхностные теплообменники разделяются на рекуперативные и регенеративные. 332
Рис. 13.1. Классификация теплообменных аппаратов В рекуперативных аппаратах (рис. 13.2) одна поверхность стенки все время омывается одним теплоносителем, а другая — другим. Тепло от одного теплоносителя к другому передается через разделяющую их стенку из теплопроводного материала. Направле- ние теплового потока Q в стенке остается неизменным. В регенеративных аппаратах одна и та же поверхность тепло- обмена попеременно омывается то одним, то другим теплоносите- лем. В период нагрева, т. е. при проходе горячего теплоносигеля, стенки теплообменника и набивка в виде шаров, колец и др. нагреваются, в них аккумулируется тепло, которое в период охлаждения отдается протекающему вторичному теплоносителю (рис. 13.3). Направление потока тепла в стенках периодически меняется. Примером таких установок являются воздухоподогре- ватели газотурбинных установок, воздухоподогреватели типа Юнгстрем и др. Рекуперативные теплообменные аппараты, в свою очередь могут быть классифицированы по следующим признакам: 1) по роду теплоносителей в зависимости от их агрегатного состояния (рис. 13.4); 2) по конфигурации поверхности теплообмена. '— к Рис. 13.2. Принципиальная схема рекуперативного теплообменника: 1 первичный (горячий) теплоноситель; 2 — вторичный (холодный) теплоноситель; 3 — поверхность теплообмена Рис. 13.3. Принципиальная схема ре- генеративного теплообменника: 1 — первичный (горячий) теплоноситель; 2 — вторичный (холодный) теплоноситель 333
Рекуперативные теплообменники Рис. 13.4. Классификация рекуперативных теплообменников по виду агрегат- ного состояния теплоносителей Теплообменные аппараты классифицируются также по наличию или отсутствию изменения агрегатного состояния теплоносителей при прохождении их в теплообменном аппарате. Соответственно имеются аппараты; 1) без изменения агрегатного состояния тепло- носителей, 2) с изменением агрегатного состояния одного тепло- носителя — конденсация пара (первичного теплоносителя) или кипение жидкости (вторичного теплоносителя); 3) с изменением агрегатного состояния обоих теплоносителей, например конден- сация первичного пара и кипение вторичной воды, подогреваемой этим паром. Кроме приведенных основных классификационных признаков теплообменных аппаратов, они могут также классифицироваться ио целому ряду дополнительных признаков. Так, например, все теплообменные аппараты поверхностного типа можно классифицировать ио виду взаимного направления потоков теплоносителей. Все поверхностные теплообменники могут быть: 1) прямоточные, когда оба теплоносителя движутся парал- лельно в одном направлении (рис. 13.5, а)-. 2) противоточные, когда оба теплоносителя движутся в противоположных направле- ниях (рис. 13.5, б); 3) с перекрестным током, когда теплоносители движутся во взаимно перпендикулярных направлениях; перекрест- ный ток может быть однократным и многократным (рис. 13.5, в и ?); 4) с более сложными схемами различного сочетания прямотока, противоток;! и перекрестного тока (рис. 13 5, д и е). Кроме всех приведенных отличительных признаков, теплооб- ________ I -------_______________________ I Рис. 13.5. Классификация ito- I верхностных теплообменных аг>- #) g\ паратов по виду взаимного на- правления потоков теплоноси- телей : ! а - - прямогик, б -- противоток; ' ------- — —_________ а однократный перекрестный ток, z—— ——** — 1 ' _______а многократный (четырехкрат- — ——s f ) С ___________ ный) перекрестный ток; д, е — J сложны схемы 2) д) е) 334
Рис. 13.b. Типисньн Коч грук iHiJtii.ie схемы реьунерз ии-л'ы \ теплообменных аппаратов: а — «труби н .руб<-7< и: । б - кгопу.хо ( ; х-'чыГ: , । (oi и г, к, , е кожухсп руб- ный, мнет <т ч р,:7 нь: ft о.-рекрое .. ый гок: г тр\’Ф" , |.,и верк psv : и о н ток. ж п.’ьктин- чато-ребрис!плu<-; г opevriH.i ft iuk, I горяч;'!' , । • j , 2 холодный поюк мепные аппара 1 ы можно также классифицировать ио назначению (Подогрева тел и, ox.-ia.utic.Tii и т. д.), материалу поверхности тепло- обмена, нислу ходов теплоносителя и т. и. На рис. 13.fi для и л люс 1 рации приведены некоторые типичные схемы теплообменных аппаратов различного назначения. 13.2. ТЕПЛОНОСИТЕЛИ Во МН01ИХ случаях теплоносители не выбираются, а задаются, например, если требуется охлаждать масло топливом или воздухом и др В тех случаях, когда этот выбор возможен, он 335
обычно производится в результате рассмотрения совокупности многих факторов и требований. Иногда выбор теплоносителя свя- зан с расчетом и конструктивной проработкой двигательной уста- новки и даже всего летательного аппарата в целом (например космические летательные аппараты). Короче говоря, выбор теплоносителя и типа теплообменного аппарата, т. е. системы охлаждения, в ряде случаев представляет сложную задачу и не может решаться в отрыве от объекта в целом. При выборе теплоносителей большое значение имеют их тепло- физические и эксплуатационные свойства, такие, как теплопровод- ность, вязкость, теплоемкость, плотность, агрегатное состояние, коррозионные свойства, химическая стабильность, температуры и теплоты плавления и кипения и т. п. В авиационной и ракетной технике в качестве теплоносителей применяются самые различные вещества: газы, топлива, масла, специальные органические и неорганические жидкости, вода, жидкие металлы, криогенные жидкости и т. д. Наша задача — рассмотрение методов теплового и гидравличе- ского расчета теплообменных аппаратов. Это предполагает, что для каждого варианта расчета теплоносители и схема тепло- обменного аппарата заданы. Поэтому анализ выбора теплоносите- лей и схемы теплообменного аппарата не приводятся. Как уже отмечалось, выбор теплоносителей и схемы теплообменного аппа- рата производится на основе анализа конструктивной проработки и вариантных расчетов всей двигательной установки, энергосис- темы или системы охлаждения с учетом задач и требований, предъявляемых к объекту в целом. 13.3. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ Задача гидравлического расчета теплообменного аппа- рата заключается в определении потерь давления теплоносителя Ар между входом pv и выходом р2. Этот перепад давлений Ар = == р! — р2 необходим для прокачки теплоносителя с заданным расходом через теплообменный аппарат. Перепад давлений необ- ходим для преодоления: трения теплоносителя о стенки каналов; местных сопротивлений (сужения, расширения, повороты по- тока, вентили, задвижки и т. п.); массовых сил (силы тяжести в гравитационном поле и т. п.); инерционных сил (ускорение потока во времени при нестацио- нарном движении теплоносителя, ускорение потока по длине канала при изменении его удельного объема вследствие на- грева). Искомый перепад давлений Др может быть найден из решения уравнения (9.2), если известна зависимость ф = (х, т). На практике принято учитывать потери на трение при одно- 336
мерном описании не коэффициентом ф, а коэффициентом гидравли- ческого сопротивления S <I3J> где и — среднерасходная скорость теплоносителя в канале (для некруглых каналов вместо диаметра трубы d используют эквива- лентный диаметр ф, -- 4//U, где f — поперечная площадь канала, a U — его периметр). С учетом уравнения (13.1) одномерное уравнение движения (9.2) будет — + G -т~ fpF* ~~ f 4е- - Д -пй- • ’ (13-2) и дг 1 дх 'г ' дх ' 2d ' ’ Коэффициент гидравлического сопротивления £ обычно нахо- дится из эксперимента, реже — из теоретического решения трех- мерной системы уравнений для течения в соответствующем канале. Согласно формуле (9.9) в общем случае стационарного течения в каналах В — (р {x/d, Re, Gr, Роу/Р/, (pp)w/(pр)/1 • Рассмотрим важные частные случаи решения уравнения (13.2). 1. Стационарное течение несжимаемых жидкостей (р = const). Тогда уравнение (13.2) будет + (13.3) Его решение Др - Р1 - Рг - I ~ -- pFxl, (13.4) где | —- средний на длине I коэффициент гидравлического сопро- тивления i Jb (x)dX. Аналогично, i = ~ pxWdx. 0 Если в канале имеются местные сопротивления, то они учиты- ваются коэффициентом местных потерь £, который по определению равен где Дрм — гидравлические потери на местном сопротивлении; Им — характерная скорость в местном сопротивлении. Значение £ для различных типов местных сопротивлений обычно находят из опыта по уравнению (13.5). 337
Тогда суммарные гидравлические потери на прокачку жидкости через теплообменный аппарат с учетом местных потерь будут 1=1 2. Стационарное течение газов при дозвуковых скоростях (р = var, М < 1). Уравнение (13.2) принимает вид дх 'г х ' дх 'ъ 2d или с учетом, что G = puf, после разделения переменных G G'2 dp -= -г- du -ф- £ —6~ dx.pFx dx. r f 1 e 2pf2d r x Интегрируя по длине канала от 0 до I, находим Ар = Pi - р2 - G/7 (ua - ut) + | 4- - (13'7) i i i Здесь в выражениях j — dx = —/ и pFxdx p ^Fxdx -= __ о oo = pFxl использована обобщенная теорема о среднем, так как £/р и pFk — интегрируемые на [0, 1} функции. При атом £ и Fx не меняют знак, а 1/р и р ограничены на [0, /]. Таким образом, £, р и Fx — среднеинтегральные значения соответствующих величин на длине канала /; и2 и — среднерасходная скорость теплоноси- теля соответственно в конце (х = /) и начале (х = 0) канала. Если газ совершенный, т. е. его уравнение состояния будет р = pRT, (13.8) тогда уравнение (13.7) можно записать так + J'39’ Так как в выражении (13.7) обычно неизвестны и2 и р, а в уравнении (13.9) — р2, р и Т, то используют метод последователь- ных приближений, который здесь.быстро приводит к цели. При М < 0,8 можно пользоваться более общим уравнением (13.2). Учет местных потерь при течении газа производится так же, как и при течении жидкости, т. е. в правые части уравнений (13.7) и (13.9) добавляется член L £,рЩ;/2- 1=1 Средний коэффициент гидравлического сопротивления в экс- периментах определяется с помощью этих же формул: для жид- костей — (13.4), а для газов — (13.7). 338
13.4. ТЕПЛОВОЙ РАСЧЕТ Цель теплового расчета заключается в определении ос- новных габаритных размеров и температурного состояния выбран- ной конструктивной схемы теплообменного аппарата, исходя из заданных условий. Обычно задаются тепловой поток, расходы теплоносителей, их температуры, допустимые гидравлические потери, допустимые габаритные размеры или масса и др. в зависи- мости от конкретного назначения теплообменного аппарата. Как правило, окончательная конструктивная схема теплообменного аппарата выбирается в результате теплового и гидравлического расчетов различных ее вариантов и их сравнительного анализа с учетом требований, предъявляемых к объекту в целом. При этом расчет теплообменного аппарата производится на номиналь- ный режим, а затем расчетом проверяется его работа на других режимах, включая в ответственных случаях и нестационарные режимы работы. 13.4.1. Изменение температуры теплоносителей и стенки по длине канала В этом разделе тепловой расчет теплообменных аппара- тов будет подробно рассмотрен только на примере прямоточной (см. рис. 13.5, а) и противоточной (см. рис. 13.5, 6) расчетных схем. Для третьей расчетной схемы с перекрестным током (см. рис. 13.5, в) будут даны в конечном виде некоторые рекомендации для стационарного случая. Тепловой расчет теплообменных аппаратов с учетом трехмерного температурного поля в нем, т. е. с учетом температурных полей теплоносителей и стенок, чрезвы- чайно сложен и в большинстве случаев пока не может быть выпол- нен. Поэтому обычно тепловой расчет проводят при одномерном описании течения каждого из теплоносителей, т. е. полагают, что скорость и температура теплоносителя могут изменяться только в одном измерении — в направлении движения. Основные уравне- ния для описания теплообмена в этом случае получены в гл. IX. Для теплового расчета теплообменных аппаратов обычно ис- пользуется уравнение энергии в виде (9.3), которое записывается Для каждого из теплоносителей. Тогда вместо qw = a (Tw — 7\) вводят qw = k — Тг), где k — коэффициент теплопередачи, определяемый выражением: fe = ?/(7\ - Л), (13.10) где 7\ и Т2 — среднемассовые температуры «горячего» и «хо- лодного» теплоносителей, разделенных стенкой, в сечении х (рис. 13.7). Если известны коэффициенты теплоотдачи для горячего ах и холодного а2 теплоносителей, коэффициент теплопроводности материала стенки и ее толщина б, то можно определить и ко- 339
эффициент теплопередачи k. Покажем это па простейшем примере плоской стенки. Удельный тепловой поток через стенку можно а?.йти но следую- щим формулам: q - k (Г, - ТЕ); q - а, (7\ - TV:q- ; (13.11) q ^(Tlw • T.^q q <х.И7\ш 73). Решая выражения (13.11) относительно разностей температур и учитывая, что (7\ — 7'.,) — (Т, — Т1а.) -t- ('/Д, — 7Д.) '-(73.,.-- 7ф), получим q/'k -- q^a^-г q^Ku , q/'a.., илн, решая относительно k, окончательно найдем Для труб в выражениях (13.11) тепловой поток на внутренней и наружной стенках будет разным. Поэтому коэффициент тепло- передачи будет зависеть от того, к какой поверхности трубы он отнесен. Повторяя приведенные выше выкладки, можно получить выражения для определения коэффициентов теплопередаче, для трубы: k,m = l/(-i- > ^4 In 4- . - ЗМ 113.13) / у сх1 2дк, ф щ - - при отнесении к внутренней поверхности, и k„ - ] /( —L_ ДфС- 4“ In-’-'- -’-4 (13.14) I у л, dy I, у r,_, • — при отнесении к наружной поверхности. Здесь dj и d2 — соответственно внутренний ‘и наружный диа- метры трубы. Если умножим k (см. формулу 13.12) на ширину пластины у, k„„ и k„ [см. формулы (13.13 и (13.14)1 на соответствующий пе- риметр трубы, мы получим выражение для вычисления коэффи- циента теплопередачи, отнесенного к единице длины пластины или трубы: ..ДЖ .ф. . ф-у . (шЯ 340
для трубы • j ~ j р (13.16) Cti^Zj 2Хц; d± Тепловой поток на единицу длины qi = uq = k[ (7\-Т2). (13.17) Рассмотрим для простоты стационарные процессы. В стацио- нарных процессах уравнение энергии (9.3) примет вид (13.18) или с учетом уравнения (13.17) (Л-Л). (13.19) Записывая формулу (13.19) для горячего и холодного тепло- носителей, получим систему дифференциальных уравнений для определения температур теплоносителей 7\ и Т2: + T,-Tl+^. (13.20) Как известно из термодинамики, для любого рабочего тела в изобарном процессе (р = const) (13.21) Для совершенного газа (т. е. газа, уравнение состояния кото- рого р = pRT) уравнение (13.21) справедливо при любом про- цессе. Для практически несжимаемых жидкостей ср = cv = с уравнение (13.21) тоже справедливо. Тогда система (13.20) примет вид о-»__। 62 (Ср)2 dT2 • * 1 — -* 2 И-7- —3 1 йг dx (13.22) 'т< _ гт* । Сц (t'p)i dTj 2 1 ki dx ‘ Для решения системы (13.22) сведем ее к уравнениям второго порядка, подставляя 7\ из первого уравнения во второе, а Т2 из второго в первое: + (/-'• 2). (13.23) Здесь А = (полагаем ср и kt постоянными), где waj = Gj (cp)j — так называемый водяной эквивалент. В случае прямотока w31 и о>э2 положительны. Для противотока водяной эквивалент теплоносителя, текущего в положительном направле- нии оси, положителен, а в противоположном направлении — от- рицателен. Так как А == const, то общее решение уравнения 341
(13.23) имеет вид Тj — с^х + с2еР«ж, где рг и Р2 — корни характеристического уравнения р2 + Лр = 0. Отсюда находим Pi = 0, р2 = —А, и тогда Tj = Ci + c2q~Ax . (13.24) Рассмотрим два способа задания граничных условий для определения постоянных в уравнении (13.24). 1. Заданы температуры /-го теплоносителя на входе Toj (х = 0) и выходе TLj (х = L). Получаем систему Toj = сг + с2; TLJ = сг + c2e~AL. Отсюда находим сг и с2. Подставляя их в формулу (13.24), получаем Ti(х> = TQi + 0 - е“Лх)- (Г3-25) 2. Заданы температуры обоих теплоносителей в сечении х = 0 или х = L. Тогда из уравнения (13.22) можно найти значения dTjdx для соответствующего сечения, и после обычных преобразований соответственно получим при задании температур в сечениях х = 0 и х = L: Т, (х) = Toi + -Л- (1 - е~Ах); (13.26) Tj (х) = TLj + [1 - е-» (13.27) Здесь А7\ = (Т2 — Tj), а А.Т2 = (Тг — Т2) при х = 0 или х = L. Частный случай решения уравнения (13.23) получается для про- тивотока при А = 0, о»1э = о/э2. Так как в этом случае корни характеристического уравнения Pi = Р2 = 0, то решение урав- нения (13.23) будет Тj = CjxeP-* 4- с2е₽-ж = схх ф- с2. (13.28) Это означает, что температуры обоих теплоносителей изменяются линейно. При первом способе задания граничных условий получим Т. (х) = TLi~-r°} х + То, (13.29) а при втором способе соответственно для задания температур теп- лоносителей в сечении х — 0 и х = L найдем Т}(х) = ^ЬТ}0(х) + Т0}-, (13.30) ТДх) = A-ATjl(x-L) + Tl>. (13.31) Из формул (13.30) и (13.31) видно, что кривые температуры обоих теплоносителей имеют одинаковый наклон, т. е. они параллельны друг другу. 342
13.4.2. Температура стенки в произвольном сечении Так как а, = (Т jw — Т}) Uj dx = ki ATjdx, то темпе- ратура стенки в любом сечении <13’32) где Тjw — средняя по периметру температура стенки, омывае- мая теплоносителем; Uj — обогреваемый периметр этой стенки. При перекрестном токе теплоносителей определить их темпе- ратуры значительно сложней, так как задача сводится к решению системы двух уравнений первого порядка в частных производных или уравнения второго порядка в частных производных. 13.4.3. Температурный напор Определим температурный напор при стационарном процессе и постоянной теплоемкости. Температурный напор в лю- бом сечении (см. рис. 13.7) может быть определен как разность температур, найденных по одной из формул (13.25) ... (13.31). Однако во многих расчетах и на первых этапах почти любого расчета нет нужды знать температуры теплоносителей, но нужно знать их разность, т. е. температурный напор. Беря разность 7\ (х) и Т2 (х), определенных последовательно по формулам (13.25) и (13.27), получим соответственно три выражения для температурного напора в произвольном сечении х: ДТ (х) = Л (х) - Т2 (х) = АТ0 ; - (ДТь - АТ0); (13.33) АТ (х) = АТ0 е-^; (13.34) AT (х) = bTLe~A (13.35) где АТ0 = ДТ (0) и ATL = ДТ (L). Эти выражения можно найти и непосредственно из дифферен- циального уравнения ; ЛАТ О, (13.36) полученного путем вычитания второго уравнения системы (13.22) из первого. Зная температурный напор (х), можно найти тепловой по- ток в этом сечении на длине dx : dq = /г, AT (х) dx. При расчетах обычно надо знать тепловой поток на всей длине: L L Q=f^AT (x)dx = kt j AT (x)dx, (13.37) о 0 HO L f \T(x)dx = LATcp, (13.38) о 343
где АТгр среднеинтегральный температурный напор. Тогда Q = k^T^L. (13.39) Найдем с. учетом формулы (13.34) среднеинтегральный темпера- турный напор l L M\.v -]-\ЬТ(х)йх ~\^T^^dx -^>(1 e-^). о 0 Из равенства (13.34) при x -= L e - -^-,a4L In (13.40) Тогда окончательно Это выражение в литературе часто называют среднелогариф- мическим температурным напором. При его выводе использовано выражение (13.34). С тем же успехом можно использовать выра- жения (13.33) и (13.35). Выражение (13.41) справедливо для пря- мотока и противотока. Его можно записать в виде ЛГС-ДТМ 1 -- (Л7-М/ЛТО) /14 49-1 ср In (Д70/Л7м) - -1п(ЛТм/Л7б) б’ ( > где А7ф и А7М — соответственно больший и меньший из тем- пературных напоров (АТ0 при х = 0 и ATL при х = L). Анало- гично, среднеарифметический температурный напор запишется так: АГар - -- 4'1 - (1злз) Деля уравнение (13.43) на (13.42), найдем А7’ар/А7'(.р ---- == / (ДТм/ДТб). Легко подсчитать, что при > 0,5 и 1 <5 А7'ар/А7'ср -ч) 1,04 и можно с ошибкой менее 4% пользоваться вместо средне- логарифмического более простым среднеарифметическим темпера- турным напором. При одинаковой разности температур теплоно- сителей на входе в теплообменный аппарат наибольшим является средний температурный напор при противотоке, наименьшим — при прямотоке. Для перекрестного тока и смешанных токов сред- ний температурный напор находят по выражению Л7\.р -: (A7\.p)upuT ф, (13.44) где ф < 1 Вычисление ф для перекрестного тока и различных смешанных случаев течения трудоемко и обычно в литературе дается в виде графиков и таблиц. Так, например, величина ф, представляющая собой отношение среднеинтегральных температурных напоров при перекрестных токе и противотоке, может быть представлена табл. 13.1 как функция Xi = (Т10 — T1L)/(T10 — Т20) и у2 = СЛа — Т21.)/(Т10 — Т20) (см. обозначения на рис. 13.7). 344
Табл и и. а 13.1. Значения для перекрестного тока Ул Xi 0 0.1 0,2 0.3 0.4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9 1.0 0 0,1 1 1 1 0.996 1 0,994 1 0,992 1 0,988 1 0,984 1 0,978 1 0,973 1 0,961 1 0,937 1 0 0,2 0,993 0,988 0,983 0,975 0,967 0,955 0,942 0,919 0,873 0 0,3 1 0,990 0,983 0,974 0,962 0,952 0,935 0,308 0,872 0,810 0 0,4 1 0,987 0,975 0,962 0,948 0,935 0,909 0,873 0,824 0,738 0 0,5 1 0,984 0.967 0,95 0,935 0,910 0,875 0,832 0,765 0,665 0 0,6 1 0,980 0,955 0,935 0,909 0,877 0,835 0,780 0,698 0,581 0 0,7 1 0,975 0,942 0,911 0,875 0,832 0,780 0,710 0,614 0,485 0 0,8 1 0,961 0,919 0,872 0,824 0,758 0,698 0,614 0,500 0,360 0 0,9 1 0,928 0,867 0,801 0,738 0,672 0,581 0,490 0,360 0,220 0 13.5. ТЕПЛОПЕРЕДАЮЩИЕ ТРУБЫ КАК ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ Теплопередающая труба (иногда называемая тепловой трубой) представляет особый вид теплообменного устройства. В известных теплообменных аппаратах тепло от одного теплоноси- теля или охлаждаемого элемента передается другому через твер- дую или жидкую поверхность теплообмена, а в теплопередающей трубе тепло от охлаждаемой поверхности отбирается испаряющейся жидкостью и потоком пара переносится на значительное расстоя- ние и отдается тепловоспринимающей поверхности в процессе конденсации рабочего тела. Теплоноситель — рабочее тело в жид- кой фазе — возвращается к месту испарения капиллярными силами с помощью фитиля той или иной конфигурации. Таким образом, теплопередающая труба простейшей схемы (рис. 13.8) имеет зону подвода тепла I, паропровод III, зону конденсации II, фитиль IV, корпус V и теплоизоляцию VI. Известны, правда, более простые схемы, где возврат рабочего тела к жидкой фазе про- изводится гравитационными или центробежными силами. Рис. 13.8. Принци пиальная схема теплопередающей трубы: I — зона подвода тепл«1. испарения; II — зона отвода тепла, конденсация. III—- зона трубопровода; IV — фитиль; V — корпус трубы; VI — теплоизоляции адиабатной зоны; ДЛ — перепад высот, определяющий гидростатический напор 345
Рис. 13.9. Схемы различных форм капиллярной подсасывающей системы — фитиля: а — продольные каналы прямоугольной или клиновидной формы; б — канавки, накры- тые сеткой; в — многослойная сетка; г — сечение ТТ артериального типа в зоне транспор- тировки жидкости (адиабатной); д — в зоне испарения и конденсации имеется фитиль, расположенный по поверхности теплообмена, соединенный с артерией фигурным фитилем Рассмотрим основные физические процессы, определяющие работу теплопередающей трубы. На участке подвода тепла жид- кость испаряется с поверхностей менисков, образованных ячей- ками фитиля, и для того, чтобы теплопередающая трубка действо- вала, жидкое рабочее тело должно хорошо смачивать элементы фитиля. Тогда при испарении жидкости мениск имеет вогнутую форму, и поэтому у поверхности испарения образуется зона по- ниженного давления, обеспечивающая подсос жидкости из зоны конденсации. Это разрежение зависит от капиллярных свойств жидкости и фитиля и определяется уравнением Лапласа р = ±о/7?м, (13.45) где о — коэффициент поверхностного натяжения; — радиус мениска (знак + для смачивающей жидкости, —для несмачиваю- щей жидкости). Капиллярное давление \ра устанавливает разность между давлением жидкости и давлением пара \ра “ Рпст Ржет- (13.46) Однако практически удобнее рассматривать реальную геомет- рию капиллярного элемента (рис. 13.9) и учитывать характери- стику смачиваемости материала фитиля жидким рабочим телом с помощью краевого угла смачиваемости 0. Тогда капиллярный движущийся напор определяется Ара = —, (13.47) где 7?эф —- эффективный радиус пор в фитиле (щель, круглое, овальное отверстие, четырехугольная сетка). В свою очередь КЯф связан с геометрией поры так, что для круг- лого отверстия со сферическим мениском . 2о cos 0 ,, г, л Ара=------р,--, (13.48) где R — радиус отверстия в фитиле (поры). 346
Для цилиндрического мениска (щелевой фитиль) * СТ COS 0 710 ЛРа = ----j---, (13.49) где b — полуширина канавки. Для фитиля из сетки с квад- ратной ячейкой с размером сто- роны квадрата 2а =--------• (13.50) Рис. 13.10. Диаграмма распределе- ния полных и статических давлений пара и жидкости по длине тепло- передающей трубы Для обеспечения максималь- ного перепада давлений в зоне конденсации желательно радиус мениска иметь максимальным. Этому соответствует случай, когда капиллярная система в зоне конденсации покрыта тонким слоем жидкости. Тогда капиллярные силы совсем не препятствуют отсосу жидкости из этой зоны. В общем случае с учетом разности высот расположения концов теплопередающей трубы (/iL — /г2) (см. рис. 13.8), давлений пара (Pi и р2) и капиллярных сил, выраженных через радиусы пор (7?! и Д2) и краевые углы смачивания (0j и 02), перепад давле- ний, под действием которого происходит движение жидкости, . п / cos 0, COS 02 ДРж — Рж1 Рж2 — 2сГ - (Р1 - Рг) — Рж£ (Й! - /г2)- (13.51) Если R2 -> оо и h-L ~ /г2, уравнение принимает вид л 2(7 COS л г* Лрж =-----1--------Pi — Рг- (13.52) На рис. 13.10 показано распределение полных и статических давлений жидкости и пара по длине трубы. Количество тепла, переносимого по оси трубы, зависит от массового расхода пара Gn и теплоты парообразования г: Q = Gar. (13.53) Переносимый поток тепла Q или удельный тепловой поток на единицу площади поперечного сечения q зависит от геометрии теплопередающей трубы и фитиля, длины трубы, наличия сило- вого поля. Опыты с первыми теплопередающими трубами (ТТ), а затем и теоретические исследования их работы показали, что работа трубы, ее теплопередающая способность определяются рядом явлений и процессов: достижение в паропроводе скорости звука; унос с поверхности жидкости, возвращающейся в зону испарения, частиц пара и капель жидкости; теплообмен между жидкостью и 347
паром; ограниченные возможности капиллярного насоса; заки- пание жидкости в зоне нагрева и, наконец, конструкторские и техпозогические ограничения (температура плавления корпуса и фитиля, маесоперепос и т. п.). Рассмотрим технологические ограничения. Звуковой предел. Своеобразие ТТ закмочаегся в том, что ско- постп пара и его расход но длине трубы переменны. В зоне испа- рения по всей длине трубы количество пара и его скорость увели- чиваются. Опасность достижения скорости звука и «запирание* ТТ имеется именно в этой области. В .зоне транспортирования пара за сч«т тепломассообмена возможно увезичен.ие скорости несколько выше скорости звука. В зоне конденсации пара расход уменьша- ется. лоток тормозится. Если достигнута скорость ю выше ско- рости звука а. при торможении возможно появление, скачков уплот- нения. а это—дополнительные необратимые потери, в частности, полного давления. 14з сказанного вытекает нежелательность исиочьзования ТТ па режимах со скоростью пара ш - а. Эта граница применимости 'ГТ определяется расходом тепла Q = ариГцЕ, (13.54) где а =~ ] ' k!<T — скорость звука (растет с увеличением Т); рГ[ — плотность пара; гп — скрытая теплота парообразования; F — поперечное сечение ТТ. Унос жидкости в зоне транспортировки. Срыв капель с по- верхности определяется числом Вэбера — соотношением сил инер- ции пара и сил поверхностного натяжения жидкости: We Р1,гЛ/(2ло), (13.55) где X— длина капиллярной волны, зависящая от геометрии фи- тиля. При достижении числа Вебера We — 1 возможно начало срыва капель. Поэтому ограничение Q ~ фЗЁгр^отф/Х. Капиллярное ограничение. Если капиллярных сил недостаточ- но. чтобы «дотянуть» жидкость до начала зоны испарения, фитиль начинает высыхать и Q уменьшается. Значит должно быть S ЛДиотегь W А/д (капиллярное давление УрП равно разности давлений жидкости и пара). Закипание жидкости приводит к нарушению работы капилляр- ного насоса и определяется предельно возможной скоростью испарения АрП0тепь жидкости с ее поверхности. При этом Q « ~ гпрп где М - молекулярная масса пара. Высокотемпературное ограничение. При использовании высо- кокипяших материалов зона работы ТТ может ограничиваться тугоплавкостью, жаростойкостью материалов фитиля и корпуса трубы (Тпред), разложением рабочего тела. 348
На рис. 13.11 даны перечис- ленные ограничения, очерчиваю- щие рабочую зону конкретной теп- ловой трубы. На этой диаграмме можно проследить перемещение Гранин при изменении параметров трубы, можно предположить влия- ние л деградационпых процессов в ТТ (засорение или размывание фитиля, влияние ударов и вибра- ций и др.). Реальные границы рабочей золы ТТ оцениваются расчетом, но определяются эксиерименталь- Ряс. 13.11. Характеристика трпло- передающей трубы, отражающая физические ограничения: 1 -- звуковой предел; 2 — укос жидко- сти: .У — капиллярный предел; 4 — чакиплнне; .» расплавление кон- струкции; tf рабочая зона но. Зависимость 0 - - } (Т> назы- вается характеристикой ТТ. На рис. 13.12 приведены экспери- ментальные .характеристики различных ТТ. На реальных харак- теристиках ТТ можно проследить все описанные выше ограниче- ния (например для NHa, С;НЧ, CHF2C1, Cs). Вопросы выбора рабочего тела и материалов для теплопереда- ющих трмб следует рассматривать совместно. В табл. 13.2 при- ведены примеры сочетания конструкционных материалов и ра- бочих тел теплопередающих труб. В процессе циркуляции основного рабочего тела в теплопере- дэющей трубе одновременно возможен и перенос всевозможных примесей как газовых, так и твердых, имеющихся в материале теилопередаюшей трубы и рабочем теле. Тугоплавкие примеси, как правило, переносятся в зону испарения, а некопденсирующи- еся газы- в зону конденсации. При этом в зоне конденсации возможно образование газовых пробок, которые уменьшают размер зоны кондеисашт и снижают э&фективность действия всей тепло- передающей трубы. Для устранения этого явления необходимо 349
350 Таблица 13.2. Основные характеристики возможных рабочих тел и материалов теплопередающнх труб Рабочее тело ^ПЛ’ (при P ----- or НП» 0,1 МПа) Рабочий диапазон температур, *С Теплота парообра- зования при р = *= 0,1 МПа, кДж Давление (при Г „л), мм ртутного столба Поверхностное натяжение (при t = 900 ... 1600 °C), Н/м* Материал фитиля Материал стенки С,Н,ОН —114,4 78,3 —50 . . + 100 308 — — Медь Медь, бронза NH, —77,7 —33,4 —40 . . 0 1 380 — — Хромоникелевая сталь То же Н,0 0 110 15 . . 260 2 256,7 — — То же > Cs 28,5 705 330 . . 730 603 2- Ю"’ 35-10"3 » » К 63,6 760 380 . . 830 2 076 86-10"3 » > Na 97,8 883 500 . . 930 4 345 МО’’ НО'3 » » Li 180 1317 880 . .. 1400 19 595 1,26-10-10 (210 ... 300)-10 3 Молибден Сталь, молиб* ден, тантал Ba 710 1700 1180 . .. 1630 1 088 7,6-10"1 0,400 Тантал То же Pb 327 1737 1330 . .. 1830 860 3,26-10"’ 0,385 » » Ag 961 2212 1580 . .. 2330 2 320 2,65-10'’ 0,75 Вольфрам »
применять в теплопередающих трубах сверхчистые материалы (для фитиля, корпуса и рабочих тел примеси не должны превышать IO"3—10-5%). Материал фитиля должен мак- симально смачиваться жидким рабочим телом. С точки зрения устойчивости теплопередающей трубы ко всякого рода нерасчет- ным отклонениям от рабочего ре- жима выгодно иметь материал самой трубы также смачиваемым рабочим телом. Тогда перегрев поверхности не приводит к воз- Рис. 13.13. Распределение темпе- ратур по длине теплопередающей трубы в процессе запуска: 1 ... 6 — результаты измерений в соот- ветствующих точках схемы никновению пленочного кипения и разрушению конструкции, а кратковременная работа на режиме пузырькового кипения не представляется очень опасной. При пуске теплопередающей трубы следует иметь в виду, что многие рабочие тела для этих труб в эксплуатационных условиях могут находиться в исходном состоянии в жидком или даже в твердом виде, когда особенно сложна проблема запуска тепло- передающей трубы. При этом все устройство должно быть прогрето достаточно плавно, чтобы рабочее тело расплавилось по всей длине трубки и чтобы капиллярный насос успел подсосать жидкость, не давая испарительному участку перейти в опасный режим работы, когда вследствие высыхания испарительного участка он перестанет действовать. На рис. 13.13 показано развитие процесса запуска теплопере- дающей трубы на натрии по времени. Опыт показывает, что тепло- передающую трубу можно вывести на рабочий режим за несколько минут. Проблемы ускоренного запуска в настоящее время изу- чаются. После снятия тепловой нагрузки также имеет место пере- ходный режим, который в отличие от запуска не .угрожает опас- ными последствиями. Намечаются пути дальнейшего усовершенствования тепло- передающих труб. Так, трубы, с составным фитилем, т. е. фитилем, пористость и капиллярность которого оптимизирована по длине трубы (например максимальная подсасывающая способность в зоне испарения, минимальные гидравлические потери в адиабатной зоне и др.), имеют теплопередающую способность,и максимальную длину значительно выше. Теплопередающие трубы обладают способностью трансформи- ровать удельную тепловую нагрузку на единицу поверхности, мо- гут регулироваться по времени путем присоединения управляе- мого объема с газом. Газ, будучи вытеснен в рабочую полость теплопередающей трубы и скапливаясь на конце конденсационного 351
Рис. 13.14. Схема секции хо/ииильиика - излучателя космической ядерной энергоустановки с панелями из теплопередающнх труб' 1 -- трубы с теплоносителем; У -- модули теилоцерсдаюших труб, увеличивающих по- верхность излучения тепл.] в космос участка, будет выключать из работы часть конденсационной зопы,- и тем самым будет изменяться режим работы трубы. Наконец, большие возможности открываются при варьировании геометрии теплопередающнх труб: искривления, разветвления, применение кольцевых труб и т. и. Теплопередающие трубы несмотря на явные их преимущества еще не нашли широкого применения. Известны примеры исполь- зования теплопередающих труб в системах терморегулирования космических аппаратов. Здесь перспектива применения теплопе- редающих труб очень велика в широком диапазоне температур от глубокого холода до сотен градусов тепла. Особые преимущества имеют теплопередающие трубы при использовании в конструкциях ядерных энергетических (реак- торных и радиоизотопных) установок космических аппаратов. На рис. 13.14 для отвода тепла, не использованного в термодина- мическом цикле (Q2), показан пример конструкции излучателя с теплопередающими трубами. Отвод тепла от реактора или радио- изотопного источника к преобразователю энергии (<Д) может быть осуществлен также теплопередающими трубами, что значительно упрощает систему, так как не требует циркуляционных уст- ройств. Известны проекты ядерных термоэмиссионных энерго- установок с использованием теплопередающих труб. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Какие схемы теплообменных аппаратов используются в авиации и ра- кетной технике? 2. Как определяется температурный напор в теплообменнике? 3. Что включает гидравлический расчет теплообменника? 4. Какие исходные данные необходимы для теплового расчета теплообмен- ников? 5. Чем объясняется очень высокая эквивалентная теплопроводность тепло- передающей трубы?
ГЛАВА XIV ТЕПЛООБМЕН НА ПОВЕРХНОСТЯХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ ПРИ ТРЕХМЕРНОМ ОБТЕКАНИИ 14.1. ТЕЧЕНИЕ В ТРЕХМЕРНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ Во многих случаях течение вблизи поверхности тела является трехмерным. Это наблюдается при полете летательных аппаратов, при полете осесимметричных тел с углом атаки, при обтекании стреловидных крыльев, рулей, надстроек на поверх- ности обтекаемого тела и др. (рис. 14.1). Вообще, строго двухмер- ные течения, плоские или осесимметричные, на практике встре- чаются редко, но во многих случаях трехмерностью можно прене- бречь и такие течения рассматривать как двухмерные. Рассмотрим методы расчета теплообмена в наиболее важных случаях трехмерно- го течения, когда непосредственное использование формул (см. гл.У—VI), выведенныхдлядвухмерныхтечений, является неверным. В рассматриваемом ранее плоском течении все линии тока идеальной жидкости у поверхности так же, как и линии тока в по- граничном слое, лежали в параллельных плоскостях, нормальных к поверхности тела, и поэтому течение в пограничном слое за- висело только от двух координат. В случае пространственного осесимметричного течения линии тока лежат в меридиональных плоскостях, пересекающихся на оси вращения обтекаемого тела. Линии тока у поверхности тела расходятся, но в каждой меридиальной плоскости течение одина- ково и при соответствующем вы- боре системы координат может быть описано двухмерными урав- нениями. Трехмерные течения — это та- кие течения, когда все характе- ристики пограничного слоя за- висят от трех координат. Приме- ром может служить течение у поверхности конуса, обтекаемого под некоторым углом атаки а (рис. 14.2). На передней, или на- ветренной, поверхности такого конуса давление повышается, и благодаря этому линии тока идеальной жидкости искривляют- ся и расходятся, образуя течение в сторону пониженного давления. ‘2 Авдуевский 353 Рис. 14.1. Схемы возникновения трехмерных течений: а — сопло с газовым рулем; б — спу- скаемый аппарат; в — управляемая ра- кета; г — космический аппарат
Рис. 14.2. Схема обтекания ко нуса под углом атаки: 1 — линии тока у стенки в погра- ничном слое; 2 — линии тока иде- альной жидкости; 3 —ударная волна Рис. 14.3. Схема распределения скорости в трехмерном погра- ничном слое (координата х со- впадает с линией тока идеаль- ной жидкости) В пограничном слое газ обладает меньшей скоростью и меньшим количеством движения, вследствие чего линии тока внутри по- граничного слоя искривляются еще сильнее. Благодаря этому внутри пограничного слоя также образуется течение в сторону пониженного давления. Распределение скоростей в пограничном слое носит пространственный характер, т. е. вектор скорости не- прерывно поворачивается внутри пограничного слоя в плоскости, параллельной стенке, отклоняясь по мере приближения к стенке на больший угол от вектора скорости в идеальной жидкости. Если разложить векторные скорости на составляющие, совпа- дающие по направлению с линиями тока идеальной жидкости и по направлению, нормальному к ним (рис. 14.3), то можно раз- делить течение в пограничном слое на основное, лежащее в поверх- ностях, нормальных к поверхности тела и проходящих через липин тока идеальной жидкости, и вторичное. Оба указанных эффекта, связанных с трехмерным течением -- искривление и расхождение линий тока идеальной жидкости и образование вторичных течений — существенным образом влияют на теплообмен. На конусе при угле атаки, равном нулю, также имеет место расхождение линий тока идеальной жидкости. Это ведет к тому, что пограничный слой становится тоньше и тепловые потоки на конусе больше, чем на пластине. На конусе, обтекае- мом под некоторым углом атаки, на наветренной стороне, т. е. обращенной к потоку, расхождение линий тока быстро растет с увеличением угла атаки, что ведет к еще большему утоньшению пограничного слоя. Это явление усиливается вторичными тече- ниями, вызывающими дополнительное перетекание газа внутри пограничного слоя. Так как на наветренной стороне возрастает давление, можно на ней ожидать существенного увеличения тепло- вого потока из-за резкого утоньшения пограничного слоя и воз- растания плотности газа. На кормовой, или подветренной, стороне конуса все эти эф- фекты действуют в обратную сторону, но течение здесь обычно сопровождается отрывом пограничного слоя и образованием от- рывной области. Указанные свойства, рассмотренные на простей- шем примере, справедливы в общем случае произвольного трех- мерного течения. 354
14.2. ВЫБОР СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Для расчета теплообмена необходимо решить урав- нения трехмерного пограничного слоя в выбранной системе ко- ординат. Наиболее просто уравнения могут быть записаны в орто- гональной системе координат, связанной с поверхностью тела. Для этого на поверхности строится координатная сетка х, г криволинейных координат, причем в каждой точке линии х = — const ортогональны линиям z = const. Ось у направлена в каждой точке по нормали к поверхности (рис. 14.4). Внутри тон- кого пограничного слоя система координат при этом будет с точ- ностью приближений пограничного слоя ортогональной. Координаты х, z могут быть заданы самым различным обра- зом, но наиболее удобно их связать с какими-либо характер- ными линиями, самой обтекаемой поверхности либо с линиями тока идеального течения на поверхности тела. Например, при обтекании осесимметричного тела (рис. 14.5) целесообразно линии х направить вдоль образующих, линии z — по окружностям, линии у — по нормалям к поверхности. Тогда элемент длины в пограничном слое определится выражением d2s = dx2 + R2dz2 + dy2, (14.1) где z — координата, отсчитываемая от некоторой меридиальной плоскости 2 = 0, умноженная на единицу длины R = R(x) (ра- диус вращения тела). В общем случае произвольной ортогональной системы коорди- нат можно записать cPs = McU2 4- h^dz2 4- h3dy'', (14.2) где /ij и h2 — коэффициенты Ламе, связывающие приращения координат dx и dz с приращениями длины. Значение hs — 1, поскольку при расчете пограничного слоя у является линейной координатой. Наиболее удобной для решения практических задач является так называемая полугеодезическая система координат, когда ли- нии х (г = const) направлены вдоль геодезических линий на по- z=censt Рис. 14.5. Система координат на осесимметрич- ном теле 12* 355
верхности, обладающих тем свойством, что их геодезическая кривизна При этом система координат зависит только от формы поверхности, и уравнения пограничного слоя могут быть упрощены. Примером геодезических линий являются, например, линии, совпадающие с образующими тел вращения. На поверхностях, развертываю- щихся в плоскость, геодезической является всякая линия, явля- ющаяся на развертке прямой. Если линии х связываются с линиями тока идеального тече- ния, то система координат зависит как от формы тела, так и от характера обтекания тела, угла атаки и других факторов. Такая система более удобна для построения приближенных методов ре- шения, так как при этом четко можно выделить основное и вторич- ное течения и сделать некоторые упрощения. 14.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕХМЕРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ Пусть и, w, v — компоненты скорости вдоль осей х, z, у соответственно. Система уравнений пограничного слоя в об- щем случае сжимаемого газа с химическими реакциями имеет вид: уравнения движения в проекции на оси х и z — ри ди , pw ди ди , , , 7Г "57 + 'аГ + W + kipuw ~ kipw = __ 1 др . д /' ди \ + ~ду~ И ’ ри dw , pw dw , dw . ,, (14.4) + k2puw —---------±------- ф- ( р : (14.5) 1 ! h2 dz 1 ди \г ду ’ ' уравнение неразрывности — 1 дри 1 hY дх h2 dpw dpv dz ' ду k2ptl * где р-Ф (х, г); =-- 1 dh^_ . hYh> dz , 1__ dh2 ЛДц dx О, (14.6) (14.7) геодезические кривизны линий х и z; уравнение энергии — ри dl pw di д1 д „ дТ \ hY дх h2 dz ди ди , ду ’ п (14 S) 356
Физический смысл отдельных членов в уравнении (14.8) такой же, как и в уравнениях (5.16). Значения др/дх и др/dz свя- заны со скоростями идеального течения соотношениями TL т- г Мда - Ы; (14.9) 7ц дх h, дх h.t dz ' ’ ' ’ и । dwx hY дх ------------k\tl\ kzUjWi, (14.10) «2 OZ которые переходят в обычное уравнение Бернулли в случае двух- мерного течения. Если координатные линии х совпадают с лини- ями тока внешнего течения, то = 0 (но внутри пограничного слоя w 0) и вместо уравнений (14.9) и (14.10) получаем 14.4. ЛИНИИ РАСТЕКАНИЯ При расчете трехмерного пограничного слоя важное значение имеют так называемые линии растекания. Эти линии образуются па наветренной стороне тела, и в окрестности этих линий тепловые потоки и трение достигают наибольших значений. Если какая-нибудь линия z = const является геодезической линией и одновременно линией тока идеальной жидкости на по- верхности, то w1 =-• 0, = —г- = 0 и из уравнения (14.12) следует -°- <14-13) Используя выражение (14.13), получаем из уравнения (14.5) тривиальное решение w = 0. Таким образом, всюду вдоль этих линий, которые называются линиями растекания, составляющие полного вектора скорости лежат в одной плоскости, как и при двухмерном течении. Уравнения движения вдоль оси по виду совпадают с уравнениями двухмерного пограничного слоя. Сле- дует однако указать, что dw/dz * 0 в отличие от двухмерного течения, и ура- внение неразрывности (14.6) не сов- падает с уравнением двухмерного тече- ния. Струйки тока вне пограничного слоя и внутри его расходятся в обе стороны от линии растекания (рис. 14.6). Пограничный слой может рассчиты- 1 — у стенки; 2 — идеальной жидкости 357
ваться на этих линиях независимо от расчета слоя на всей поверхности. При двухмерном течении такими свойствами обла- дают передние критические точки. 14.5. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА НА ЛИНИЯХ РАСТЕКАНИЯ ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ Рассмотрим наиболее важные случаи течения на ли- ниях растекания, когда система (14.4) ... (14.8) преобразуется в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Общий вид формул такой же, как и при расчете двухмерного пограничного слоя. Обозначим Num = allKw; ReTO = где /им — характерная длина и скорость; рш, \iw — зна- чения теплопроводности, плотности и вязкости в рассматриваемой точке при температуре стенки. Выражение для коэффициента теплоотдачи имеет обычный вид: Д 14 Uw л 1 СР ~ VR^ V I Рт ' 1 ’ Все расчеты в этой главе будут проведены для случая Рг — 1 и цр = const поперек' пограничного слоя. Для учета перемен- ности свойства газа и отличия Рг от единицы нужно ввести по- правочные множители К и /Сх. Влияние отличия числа Le от единицы незначительно и им можно пренебречь. Значение К может быть аппроксимировано формулой (5.117): = /_Н1£л_у гдеу=1-1*., (14.15) Здесь р* и р* определены в точке максимальной энтальпии '• = Д-7Г+1Н1+“-Тг)!] ИЛИ 1Ш = /г при to < 1 - Iwll-i- Величина и = м1/(271) — важный параметр, характеризую- щий сжимаемость газа; для совершенного газа ML (14.17) Значение = Ргп>, где п2 изменяется от 0,33 до 0,45. Учитывая, что значение Рг не сильно отличается от единицы, примем п2 ~ 0,4. 14.5.1. Теплообмен по линии растекания на конусе Здесь может рассматриваться теплообмен на навет- ренной стороне круглого конуса под углом атаки (а) или на ли- нии максимального давления на конусе произвольной, например, эллиптической формы (см. рис. 14.2). 358
Выберем систему координат так, чтобы линии z = const совпадали с образующи- ми конуса, а линии х = const были на- правлены по нормали к ним. Получаем hr = 1 и h2 = <р (г)-х, где <р (z) ~ неко- торая функция, зависящая от формы поперечного сечения конуса. Для круг- лого конуса — 1; й2 = R = х sin 0К> где 0К — полуугол при вершине конуса. Коническое течение обладает тем свой- ством, что вдоль линий х и, соответственно, Рис. 14.7. Схема расчета теплообмена по линии растекания иа конусе вдоль образующих тела все параметры тече- ния постоянны. Поэтому, всюду на поверхности dpjdx дО; dujdx = = 0; dw-Jdx ~ 0. На линии растекания из определения следует также, что wr = 0, dpjdz = 0, и далее из уравнения (14.9) по- лучаем duy/dz — 0. Влияние трехмерности течения будет опреде- лю, , ляться значением • = о. dz Введем безразмерный параметр для круглого цилиндра под углом атаки в виде с = _2_ dwjdz . 3 щ sin 0К (14.18) Значение с зависит от угла атаки, полуугла при вершине конуса и числа Мн набегающего потока. Из уравнения (14.10) имеем для линии растекания в идеальной жидкости -----!---~ ш u-jWv sin 0К. (14.19) рп дг 1 дг 1 1 1 к ' ' Дифференцируя уравнение (14.19) по х и решая относительно dwjdz, получаем <|4-20> где с? =----о’ Р1’ Рп — значения на линии расте- кания. Значения clt су, иг, рю могут быть получены из решений газо- динамики идеальной жидкости или по формулам теории Ньютона: Pi/Ph = 1 т- йМ’ь sin2 (а + 0К); cos (а -Д 0К); И СО] = „2 __ sin а cos 0К '' sin (а 0К) ен cos2 (а + 0К) . .. __ k—1 м2 4- sin2 (а + 0К) ’ ~ 2 т«- (14.21) Результаты расчетов теплообмена по линиям растекания на конусе (рис. 14.7), проведенные в широком диапазоне значений Чисел М (при М > 3), полуугла при вершине конуса 0К и угла 359
мости Nuw(sin8K)'^ Рис. 14.8. Кривые теплообмена по линии растекания на конусе, обтекаемом под углом атаки атаки а, могут быть представлены в виде универсальной зависи- NUa, (sin вк)1/2 УЩ^МнРг1'3 = f (а + ©к), (14.22) где (Ке^н = (рш)н Nila, = ах/Хш; us — скорость набегаю- щего на тело потока; (рц,)н — плотность газа при давлении в на- бегающем потоке и температуре стенки; х — расстояние от вер- шины конуса. Тепловой поток в стенку qw = ]/ (14.23) УШ V х Рг где /в = 1г 4- г = j-(1 + r®i); г « ]/Рг, /0 = = (ср)н Тн 4- «н/2; а>г определяется по формуле (14.21). Представление результатов в форме (14.22) удобно, поскольку при использовании кривой (рис. 14.8) легко интерполировать на промежуточные значения 0К. При расчете по формулам (14.23) и (14.21) необходимо знать только параметры набегающего потока ив, Рн и температуру стенки Tw. 14.5.2. Теплообмен по линии растекания на кромке стреловидного крыла под углом атаки Передняя кромка стреловидного крыла при больших скоростях всегда имеет некоторое затупление, которое может рас- сматриваться как цилиндрическое. Обозначим — радиус затупления, у — угол стреловидности крыла, или угол скольжения для передней кромки (рис. 14.9). 360
Рис. 14.9. Схема к расчету теплообмена по линии рас- текания на цилиндре со скольжением или на пе- редней кромке стреловид- ного крыла W, Направим линии z = const вдоль обра- зующих цилиндра, при этом hr =h2— 1. ______ * Обозначим постоянную скорость вдоль передней кромки (скорость скольже- ния) их = а, скорость, направленную перпендикулярно линии растекания — tWj = byZ, где z — расстояние от линии растекания. Параметры течения а и х рш, <и1? необходимые для расчета, могут быть найдены из условия, что скачок уплотнения при сверхзвуковом обтека- нии кромки параллелен образующей. Если стреловидное крыло расположено под углом атаки d, то эффективный угол скольжения по отношению к набегающему потоку уэф будет отли- чаться от у и может быть найден: из условия sin уэф = sin cos d; из уравнения энергии и = шн sin2 ТэФ 1 1 + <он cos2 уэф ‘ (14.24) Значение Ьг определяется по формуле t cijr 1 2 Тс’ где с = д2 (Р1/Рн) . Рв и йн — давление газа и скорость звука у поверхности тела в идеальной жидкости, рассчитываемые в предположении, что кром- ка обтекается потоком, направленным перпендикулярно образую- щей при числе Mn = Мн cos v3$. Зависимость уэф от угла стрело- видности у и угла атаки d показана на рис. 14.10. На рис. 14.11 ... 14.14 представлены результаты расчета Nu4L_ в функции от уэф при разных Мн. Как видно, |/(Кеш)н Рг°>4Мн при такой обработке влияние М„ невелико. Здесь Nu^ — (х/^о/Хцу, (Кеш)н = мн (Ри>)н где Ro — радиус затупления. Тепловой поток вычисляется по формуле N11® л/ UH (Ро>)н Р-ш пе\ - (Й^Гн И —R~o р^’ (14-25) где (рю)н вычисляется при Т = Tw и р = рв. В целом кривые на рис. 14.13 и 14.14 в области больших зна- чений d + 0Н близко согласуются с кривой рис. 14.8 при уэф = = л/2 — (а 4- 0Н) с учетом того, что R = х sin 0Н. Это свиде- тельствует о том, что при больших значениях d + 0К погранич- ный слой на конусе определяется местным значением радиуса ко- 361
Рис. 14.10. Зависимость у,ф от у при оотекании стреловидного крыла с цилин- дрической кромкой Рис. 14.11. График для расчета теп- лообмена по линии растекания на ци- линдрической кромке стреловидного крыла при Tw:Ta 1 Nuw Рис. 14.12. График для расчета тепло- обмена по линии растекания на ци- линдрической кромке стреловидного крыла при Tw/T0 с' 0,6 нуса и развивается так же, как на цилиндре со скольжением — с теми же местным радиусом и углом между образующей и век- тором набегающего потока. 14.5.3. Расчет теплообмена в окрестности трехмерной критической точки Если передняя кромка не является осесимметричной, например имеет эллиптическую форму (рис. 14.15), то распределе- ние скорости может быть записано в виде = ах, wx = bz, где х и z — плоские координаты (h1 — h2 = 1). 362
Nuw Рис. 14.13. График для расчета тепло- обмена по линии растекания иа стре- ловидном крыле Тт!Тй 1 Рис. 14.14. График для расчета тепло- обмена по линии растекания на стрело- видном крыле при 7'ш/7’о=0,6 Рис. 14.15. Система координат для рас- чета пограничного слоя в окрестности передней критической точки в случае трехмерного затупления Рис. 14.16. График для расчета тепловых потоков при простран- ственном течении в окрестности пе- редней критической точки (иг = dx; toj = bz) Трехмерность характеризуется параметром с = alb; с = О соответствует плоскому случаю (например обтеканию кромки крыла); с = 1 — осесимметричному случаю. Результаты расчета для случая течения в окрестности трех- мерной критической точки представлены на рис. 14.16, где при- ведены значения NuK)/(Nuffi))oc = f (с). В качестве линейного раз- мера использован размер затупления в той плоскости, где он имеет меньшее значение. Как видно, зависимость от с является почти линейной: с ~ Ro/Ri, где Ro и Rx — характерные размеры затупления вдоль осей г и х. Для осесимметричного течения [NuJ]/ (Реш)н Рг0-4] = 0,8. Значение qw определяется по зна- чению Ro, формуле (14.25) и графику рис. 14.16. 14.6. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ Расчет теплообмена на теле произвольной формы тре- бует решения полной системы уравнений (14.4) .... (14.8). Задача осложняется тем, что не во всех случаях разработаны эффективные методы расчета обтекания тела идеальной жидкостью, и в этих случаях используются экспериментальные данные о распределе- нии давления и скорости на поверхности тел. 363
Nuw(sin вк)’/г Рис. 14.17. Результаты расчета теплообмена на поверхности конуса при различных углах атаки (6К = = 15°, Мн = 6) Nuw(^n Рис. 14.18. Результаты расчета теплооб- мена на поверхности конуса прн раз- личных углах атаки (0К — 30°) Сложность расчета теплообмена определяется, главным обра- зом, наличием вторичных течений. Однако, если температура стен- ки значительно ниже температуры торможения внешнего потока, газ у стенки становится более плотным и влияние вторичных течений ослабевает. При этом можно проводить расчет теплообмена вдоль линий тока идеальной жидкости, учитывая их расхождение, но пренебрегая вторичными течениями. В этом случае хорошие результаты дает метод эффективной длины. По этому методу тепло- обмен рассчитывается по формулам для плоской пластины, только вместо истинной длины используется эффективная длина: / Num \ I / р /да)/Рг, (14.26) где хэф — эффективная длина, определяемая из выражения 1 I’v (14.2/) '%эф " СЛрш(Л>)2 J VlPa> ds' о V, — полный вектор скорости идеальной жидкости; s —расстоя- ние вдоль линии тока идеальной жидкости от передней критиче- ской точки (точки растекания); h‘2 — коэффициент Ламе в коорди- 364
Рис. 14 19. Распределение тепловых потоков на поверхности круглого конуса при различных углах атаки ((.<= 40°) натах, связанных с линиями тока внешнего течения, характеризу- ющий расхождение линий тока. В случае двухмерного пло- ского течения hi С, в случае осесимметричного —hi -- R, и по- лучаем соответственно формулу (5.136). В общем случае для расчета необходимо иметь распределение параметров течения на поверхно- сти тела, заданное в координатах, связанных с геометрией поверхности. Если задано распределение U\ = ztj (x, z); mi (x, г), то значение hi может быть выражено через их, wb hlf h2.. На рис. 14.17 ... 14.19 приведены результаты расчета тепло- обмена на поверхности круглого конуса, обтекаемого при различ- ных углах атаки, справедливые приближенно при различных Мн и трех углах конусности Нк === 15°, 30° и 40°. В формуле (14.26) Нивд - ОСХ/7.Щ,, (Be.j/lu (Рш)н где ин — скорость набегающего потока; (рш)н — плотность при Т ~= Tw и р рн ; х — расстояние от вершины вдоль образующей z = const. Значение определяется по формуле (14.23). При использо- вании результатов расчета, приведенных на рис. 14.16 и 14.18, следует иметь в виду, что при больших значениях г в окрестности линий стекания может возникнуть отрыв пограничного слоя, и истинные значения начиная с точки отрыва, будут практически постоянными. 14.7. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ТРЕХМЕРНОМ ОБТЕКАНИИ ТЕЛ И ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ В расчете теплообмена при турбулентном режиме тече- ния предполагается, что тепловой поток в данной точке определя- ется толщиной пограничного слоя 6 и полным вектором скорости идеальной жидкости V: = р v и-I f = f Re* ПГ1- (14.28) При использовании условия (14.28) расчет теплообмена может быть проведен по методу эффективной длины. Тепловой поток в некоторой точке на поверхности, обтекаемой трехмерным пото- 365
ком, может быть рассчитан по формуле (6.54), приобретающей вид Nuro 0,8 0,2т/0,8 —0,2 / r г \ гк.—I л пт — Рр0.8 Р“> Н» 1 \1 е Iw)Pt • (14.29) Значение Nu^/Re^8 при этом определяется на основании экспери- ментальных исследований на плоской пластине: Nu«,/Re°’8 = 0,0296Рг?’бК, (14.30) где К =-• f (М, 1ю/1е) характеризует влияние сжимаемости. Можно принять из гл. 6 K~(/„,//e)°-4(l+иг)о-11. (14.31) Величина хэф — эффективная длина, вычисляемая вдоль линии тока идеальной жидкости: j РвА хэф=^-^--------------, (14-32) РвДМЛ^28 где ds — приращение координаты вдоль линии тока; hi — коэф- фициент Ламе в координатах, связанных с линиями тока идеаль- ной жидкости. Легко видеть, что при hz = 1 и hi = R формула (14.32) пере- ходит в формулы для плоского и осесимметричного движений со- ответственно. Рассмотрим некоторые примеры применения фор- мулы (14.32). 14.7.1. Передняя кромка стреловидного крыла или цилиндр со скольжением Для линии растекания (см. рис. 14.9) скорость вдоль образующей «1( скорость, нормальная к образующей, = bz. Тепловой поток может быть рассчитан по формуле qw = О,ОЗО8^Цш2рш8и?’8Ь0’2 (/е7«,)Pr’”'57. (14.33) На рис. 14.20 и 14.21 представлены результаты расчета тепло- обмена по линии растекания на передней цилиндрической кромке стреловидного крыла в зависимости от эффективного угла стрело- видности. По оси ординат отложена величина Nu о, (Re®’8)HM*’6Pr0,43 ' Как видно, при этом кривые при различных Мн и Iw/Ie хо- рошо согласуются между собой. Тепловой поток по параметрам набегающего потока определя- ется по формуле 366
Рис. 14.20. Результаты расчета тепло- обмена по линии растекания на цилин- дрической кромке стреловидного крыла при турбулентном режиме течения Рис. 14.21. Результаты расчета теп- лооомена на кромке стреловидного крыла в зависимости от угла стрело- видности при больших уаф где — радиус затупления; /е =- /0/(1 4- wH) (1 + rcoj); <о1 определяется по формуле (14.24); Num/(Rem)“’8 определяется по графикам для заданных значений РгМн; IwIIe. При малых значениях у.,ф турбулентный тепловой поток бы- стро убывает, стремясь к нулю при -> 0. При этом тепловой поток на линии растекания должен определяться по формулам ламинарного течения (14.25) и графикам, показанным на рис. 14.11 и 14.15. Как видно, в отличие от ламинарного режима с увеличением угла стреловидности до 45° тепловые потоки возрастают, что объя- Рис. 14.22. Распределение тепловых потоков на поверхности цилиндрического затупления со скольжением при различных знлениях у 367
сняется увеличением плотности то- Nil Рис. 14.23. Максимальные зна- чения критерия Нуссельта иа по- верхности кромки крыла в зави- симости от угла стреловидности ка puj из-за увеличения скорости скольжения. При дальнейшем уве- личении уЭф тепловой поток умень- шается из-за снижения ргиг в силу быстрого падения давления. На рис. 14.22 приведен график распределения тепловых потоков по поверхности цилиндрического зату- пления с радиусом Ro при разных уЭф- При у 45° кривые имеют макси- мум на линии растекания z = 0. При у < 45° максимум смещается в область 0 < z/Rn < 0,7. Слу- чай уэф = 0 соответствует попереч- ному обтеканию цилиндра. На рис. 14.23 приведены максимальные значения NUo, на поверхности ци- линдрического затупления в зави- симости от уЭф- Как видно, в отли- чие от ламинарного течения уве- личение угла стреловидности при у < 45° может привести к воз- растанию тепловых потоков. 14.7.2. Турбулентный теплообмен в окрестности линии растекания на остром конусе Тепловой поток в подобном случае при обтекании под некоторым углом атаки может быть рассчитан по формуле = 0.0348 (1 +4 (1. - I.) Рг«< (14.35) При dw-Jdz ~ Ьг = 0 формула (14.35) будет соответствовать случаю обтекания конуса при угле атаки, равном нулю. При больших углах атаки с учетом того, что Ьг = bx sin 0К, формула (14.35) переходит в формулу (14.33) для цилиндра со скольжением. На рис. 14.24 представлены результаты расчета турбулентного теплообмена по линии растекания на конусах с различными полу- углами при вершине 0К и различными углами атаки а. Видно, что зависимость 7-N7o.-8- Р^0,43 ( -Н~0'6 М^1’6 (81П 2 = / (° + ©к)) слабо зависит от значения 0К. Во всех случаях максимальное зна- чение Миш имеет место при (d + 0Н) ~ 60°. Тепловой поток рас- 368
считывается по формуле м \0,8 0,8..0.2 __ Nu^, (Р®)н ия Ида 1е-— /да qw ~ 7Re 'Л8 РГ~ (14.36) где /е = тт-г5—г + г®1); г Рг1/3; и го, 'определяются по (1 4- (Он) формулам (14.21); х — расстояние от вершины конуса. Приведенные примеры относятся к отдельным важным слу- чаям теплообмена при трехмерном обтекании. Зависимости, полученные для острого конуса и цилиндра со скольжением, можно использовать и для расчета теплообмена на поверхности тел овальной формы, обтекаемых под некоторым углом атаки. При этом каждое сечение такого тела может рас- сматриваться как соответствующее сечение конуса или цилиндра с тем же суммарным местным углом атаки. Следует указать, что пока расчеты теплообмена могут быть достаточно точными только в окрестности линий и точек расте- Рис. 14.24. Зависимость критерия Нуссельта от суммарного угла (а + 6К) при разных значениях 6К 369
кания. При приближении же к линиям стекания обычно возникают отрывные области, существенным образом влияющие на внешнее течение. При расчете таких случаев приходится учитывать взаи- модействие вязкого и невязкого потоков, завихренность внеш- него потока и другие эффекты, строгие схемы учета которых в на- стоящее время разработаны недостаточно. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. В чем состоят основные особенности течения и теплообмена при трехмер- ном обтекании? 2. Что такое линии растекания, и как проводится расчет теплообмена на линиях растекания при ламинарном течении? 3. Как рассчитывается тепловой поток при трехмерном обтекании при лами- нарном течении, при турбулентном течении?
ГЛАВА XV ТЕПЛООБМЕН НА ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ И В ОТРЫВНЫХ ЗОНАХ 15.1. ТЕПЛООБМЕН НА ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ В данной главе рассматриваются особенности течения и теплообмена на шероховатой поверхности и в отрывных зонах при движении газа с дозвуковой скоростью. Одним из факторов, влияющих на конвективный теплообмен, является состояние поверхности. В ряде практически интересных случаев поверхность, участвующая в конвективном теплообмене, не является абсолютно гладкой. Появление шероховатости может быть следствием механической обработки поверхности, коррозии материала, отложения солей, разрушения поверхности под дей- ствием высокотемпературного газового потока. В настоящей главе рассматривается влияние на теплообмен шероховатости, равномерно распределенной по поверхности. Рассмотрим вначале влияние шероховатости на переход ламинарной формы течения в турбулентную. При вынужденном движении среды переход ламинарного течения в турбулентное определяется величиной критерия Рейнольдса, который характеризует соотношение в рас- сматриваемом потоке сил инерции и трения. Если величина кри- терия Re мала, то это означает, что малы силы инерции по сравне- нию с силами трения, возникающие в пограничном слое возмуще- ния гасятся силами трения и течение в нем остается ламинарным. Наличие шероховатости вызывает дополнительные возмуще- ния, что способствует потере устойчивости ламинарной формы движения. Уровень возмущений, вызываемых шероховатостью, зависит от высоты выступов h, параметров потока и определяется величиной критерия Рейнольдса, в котором определяющим раз- мером является высота элементов шероховатости. Reh = uh/v. При небольшом значении Reh возмущения, вызываемые ше- роховатостью, малы и шероховатость не оказывает влияния на переход ламинарного движения в турбулентное. В этом случае переходное сечение определяется величиной (Rex)Kp ~ uxKV/v, соответствующей гладкой поверхности. Влияние шероховатости начинается со значений ReA > 100 и характеризуется заметным уменьшением (Rex)Kp (рис. 15.1). Указанное влияние шерохова- тости приводит к увеличению тепловых потоков в сечениях, где пограничный слой стал турбулентным, и к увеличению суммарного к
Рис. 15.1. Влияние шерохова- тости на значение критического числа Рейнольдса, определяю- щего переход ламинарного те- чения в турбулентное для всей поверхности теплового по- тока за счет большего участка с тур- булентным пограничным слоем. Шероховатость поверхности не только способствует переходу лами- нарного пограничного слоя в турбу- лентный, но и оказывает существен- ное влияние на теплообмен в обла- сти образовавшегося турбулентного пограничного слоя. При шерохова- той поверхности интенсивность теп- лообмена определяется состоянием газа, заключенного во впадинах, образованных элементами шерохо- ватости. Из имеющихся экспери- ментальных данных следует, что характер движения газа во впа- динах зависит от значений Reh и относительного шага шероховатости s/h. где s — расстояние между соседними элементами шероховатое! и (выступами). Рас- смотрим вначале влияние на теплообмен равномерно распределен- ной плотной шероховатости с величиной 1,5 s/h 2. В этом случае состояние газа во впадине целиком определяется величи- ной Reh, при вычислении которой в качестве определяющей тем- пературы следует брать температуру газа во впадине Твп. Зна- чение Тд,, может быть определено из соотношения (Т„п — Tw)/ (т, - 7%) = 0,6. При Reft < 100 во впадинах образуются зоны со слабым движением газа, которые являются своего рода изоляцией, вызы- вающей уменьшение тепловых потоков. Так, например, результаты экспериментов с ламинарным пограничным слоем указывают па то, что тепловой поток на шероховатой поверхности в области .зна- чений Re,. < 100 на 10—15% меньше, чем на гладкой поверхности в тех же условиях, а при Reh = 100 тепловые потоки на шерохо- ватой и гладкой поверхностях одинаковые. При турбулентном пограничном слое диапазон значений Reh от 100 до 530 характери- зует переходный режим от соответствующего гладкой поверхно- сти до полного проявления шероховатости. В этом интервале зна- чений критерия Рейнольдса происходит постепенное развитие .движения газа во впадине. Развитое течение с полным проявлением влияния шерохова- тости на теплообмен наступает при значении Reh > 530. При этом в случае плотной шероховатости 1,5 О s/h 2 во впадине наблюдается одновихревое течение, при котором центр вихря примерно соответствует центру впадины (рис. 15.2). На навет- ренной грани элемента шероховатости образуется критическая линия, от которой происходит растекание потока в направлении вершины впадины и ее основания. Распределение статического
давления рс.. по поверхности впадины указывает на сложный характер движения газа во впадине, при котором имеют место как ускоренные, так и замедленные участки течения, что приводит к существенному различию условий теплообмена на разных участках поверхности. Максимальное значение коэффициента теплоотдачи, соответствующее окрестности критической точки а„р, примерно в четыре раза выше минимального а в донной части впадины. Для многих задач при расчете теплообмена достаточно определить среднее значение теплового потока в рассматриваемом сечении, а для этого необходимо знать среднее значение коэффи- циента теплоотдачи на поверхности впадины. Для получения простой инженерной методики расчета тепло- обмена па шерохсватой поверхности важным обстоятельством явля- ется тог факт, что при плотной шероховатости (Reh 530) среднее значение коэффициента теплоотдачи аср для всей поверх- ности впадины совпадает с величиной агл для гладкой поверхности в том же сечении. На рис. )5.3 экспериментальные точки соответ- ствуют значениям аор для шероховатой пластины, а сплошные линии — коэффициенту теплоотдачи па гладкой пластине агл, определенному из уравнения Nua,-O,O296Re°-8Pr°’43(7’K,/?e)0’5'. (15.1) Показатель степени при температурном факторе Тш/Те принят равным 0,53 согласно экспериментальным данным для малой ско- рости потока, полученным при М < 0,5. Из равенства а,.р =-- агл следует, что тепловые потоки в области полного проявления шероховатости больше тепловых потоков на гладкой поверхности на величину отношения где — площадь поверхности шероховатой пластины; А'гл — площадь поверхности гладкой пластины. Рис. 15.2. Схема течения газа во впа- дине при полном проявлении шерохо- ватости Рис. 15.3. Сравнение среднего по по- верхности впадины значения коэффи- циента теплоотдачи ссср с расчетной величиной а..л для гладкой поверхно- сти в рассматриваемом сечении: X, •. Э - Reft - 3.46. 10-. 6,92.10*: 1.3Я- 106 соответственао 373
tX-CpI&TA Рис. 15.4. Зависимость среднего по поверхности впадины значения ко- эффициента теплоотдачи аср с рас- четной величиной агл от параметра slh Рис. 15.5. Зависимость коэффици- ента В от параметра slh Указанная особенность дает возможность использовать для расчета аср критериальные уравнения, полученные для гладкой поверхности. При этом расчет теплообмена на шероховатой поверхности сводится к определению аср из уравнения (15.1) и теплового потока из уравнения (15.2) Экспериментально доказана возможность использования для опре- деления аср уравнения (15.1) в широком диапазоне значений h. При определении критерия Нуссельта через средний коэффициент теплоотдачи NuCp == асрх/% получается одна расчетная зависимость для пластин с п = 0 ... 10 мм. Изложенная методика расчета теплообмена дает хорошие результаты для различных форм плотной шероховатости. Рассмотрим расчет теплообмена на шероховатой поверхности при Reft >> 530 и различных значениях s/h. С увеличением от- носительного шага s/h одновихревая схема течения с центральным расположением вихря при плотной шероховатости постепенно деформируется и при больших значениях s/h превращается в двух- вихревую. Вихревое движение занимает в этом случае только часть впадины — участки, расположенные у граней, — а между ними находится область турбулизированного течения. При этом среднее значение коэффициента теплоотдачи для шероховатой поверхности увеличивается, стремясь к некоторому максимальному значению при s/h = 12 (рис. 15.4). Увеличение аср объясняется интенсифи- кацией теплообмена в донной части впадины, где при плотной ше- роховатости условия теплообмена хуже, чем при гладкой поверх- ности. Расчетная зависимость для определения среднего коэффициента теплоотдачи при переменной s/h имеет вид Nucp = А NurJ1, где значения А аср/агл берутся из графика на рис. 15.4, а критерий Нуссельта для гладкой поверхности NurjI определяется из урав- нения (15.1). 374
Анализируя влияние шероховатости на тепловой поток, следует иметь в виду, что при возрастании s/h одновременно с увеличением аср уменьшается отношение Рш/Ргл, так как в этом случае по- верхность шероховатой пластины постепенно приближается к Frn. Поскольку в ряде конкретных случаев затруднительно опре- деление площади шероховатой пластины, то удобно расчетную за- висимость для определения теплового потока представить без множителя Рш. р Перепишем для этого уравнение (15.2) в виде Q = ас„-~ (7\— ' гл __Т } F * w> 1 Гл* Учитывая связь аср и ссгл, которая при переменном s/h опре- деляется соотношением аср = Аагл, будем иметь Q = = А ссгл (7\ — Tw) Вгл. Или, записывая соотношение АУш/^гл в виде множителя В, получим зависимость для определе- ния теплового потока Q = Вагл (7\ - Tw) Fra. (15.3) В уравнении (15.3) множитель В одновременно учитывает как увеличение аср, так и уменьшение поверхности при изменении параметра s/h. Для шероховатости, выполненной в виде трапецие- видных выступов, значения В приведены на рис. 15.5. Из рисунка следует, что с ростом s/h возрастание аср почти компенсируется уменьшением отношения Вш/Вгл, что приводит в области 4 < < s/h < 12 практически к постоянству коэффициента Вив ко- нечном счете указывает на слабую зависимость теплового потока от параметра s/h. Естественно, последнее замечание относится к значениям s/h < 12. Из характера зависимости аср/аГл = f (s/h) (см. рис. 15.4) и из физических соображений о влиянии шерохо- ватости на теплообмен следует ожидать, что при s/h > 12 отно- шение аср/агл будет уменьшаться. Отношение Вш/Вгл также умень- шается, асимптотически приближаясь к единице, следовательно, в этой области s/h уменьшается коэффициент В и тепловые потоки на шероховатой поверхности приближаются к их значениям на гладкой пластине. Используя зависимость (15.3), следует иметь в виду, что могут быть формы шероховатости с отношением Еш/Вгл, отличным от величины, которой соответствуют значения коэффициента В, приведенные на рис. 15.5. Поскольку по имеющимся эксперимен- тальным данным не отмечено заметного влияния формы впадины на средний коэффициент теплоотдачи, а коэффициент В = = асрВш/Вгл, то для шероховатости с другим отношением ^ш/Вгл коэффициент В может иметь другие значения. Расчеты, в частности, показывают, что при прямоугольной форме впадины значение Вш/Вгл, а следовательно, и В для s/h =1,6 на 30% выше приведенных на рис. 15.5. С увеличением s/h разница в зна- чениях В убывает: при s/h = 3,6 отличие составляет 18%, а при s/h = 12 — только 6%. 375
Рис. 15.6. Данные по теплообмену в об- ласти переходного режима режим течения Приведенные расчетные зависимости для определения теплового потока справедли- вы для случая полного проя- вления шероховатости, кото- рое наступает при Reh>530. Рассмотрим далее тепло- обмен на шероховатой по- верхности в области пере- ходного режима. Ранее от- мечалось, что переходный находится в диапазоне значений Reft от 100 до 530. При Reh = 100 ... 530 постепенно увеличивается влияние шероховатости на сопротивление и теплообмен. Измерение ско- рости в пограничном слое, образующемся на шероховатой по- верхности, показало, что для фиксированного значения Reft безразмерный профиль скорости одинаков при различных значе- ниях х. Аналогичная картина наблюдается и при исследовании теплообмена. С увеличением ReA теплообмен интенсифицируется, при этом среднее значение коэффициента теплоотдачи возрастает. Критериальное уравнение для определения аср в области пере- ходного режима имеет вид Nucp — Апер№игл, (15.4) где Апер = аср/агл характеризует развитие вихревого движения во впадине. Экспериментальные значения Апер приведены на рис. 15.6. При достижении Reft значения 530 развитие вихревого течения во впадине заканчивается, Апер становится равным единице, а аср = = агл. Следует заметить, что данные рис. 15.6. соответствуют плотной шероховатости, выполненной в виде сплошных трапецие- видных выступов, расположенных перпендикулярно к направле- нию потока. Использование этих данных для других форм шеро- ховатости, в том числе и плотной, может дать лишь приближенное значение аср. Так, например, для шероховатости, выполненной в виде от- дельных плотно расположенных четырехгранных усеченных пира- мидок, расчет теплообмена с использованием данных рис. 15.6 приведет к завышению теплового потока в среднем для всей об- ласти перехода примерно на 15%. 15.2. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СОПРОТИВЛЕНИЕМ И ТЕПЛООБМЕНОМ Связь между теплообменом и трением, установленная для гладкой поверхности, St = -j- С/Рг~2/3 (15.5) 376
является следствием одинакового воздействия определяющих параметров потока на условия теплообмена и сопротивление. При течении у шероховатой поверхности теплообмен и со- противление определяются как параметрами потока, так и пара- метрами шероховатой поверхности. Результаты исследования теплообмена указывают на то, что в области полного проявления шероховатости условия теплообмена не зависят от высоты высту- пов шероховатой поверхности. Вместе с тем зависимость коэффициента сопротивления от высоты выступов может быть представлена в виде С} ~ (2,87 + -|-1,58 lgx/Л)-2,5. Различная зависимость теплообмена и сопротивле- ния от h указывает на нарушение связи между этими явлениями при течении над шероховатой поверхностью. Использование фор- мулы (15.5) для шероховатой поверхности может привести к су- щественной ошибке, что видно из данных рис. 15.7, на котором при- ведены значения числа Стантона, определенные по результатам измерения теплового потока и аср и рассчитанные по зависимости (15.5) с использованием экспериментально определенных значе- ний Cf. При этом коэффициент сопротивления определялся из выражения 1 п db** 2 ~~ dx ' Толщина потери импульса 6** вычислялась по измеренным в ряде сечений пограничного слоя пластины значениям температуры и скорости. Сравнение проведено для шероховатости К = 10 мм. Ошибка в определении условий теплообмена по формуле (15.5) непостоянна. С уменьшением К разница в значениях St будет умень- шаться. Результаты исследования теплообмена и сопротивления на шероховатой поверхности указывают на те мероприятия, осущест- вление которых дает возможность получить увеличение теплооб- мена при наименьшем возрастании сопротивления. Такая задача возникает, например, при разра- ботке экономичных теплообмен- ных аппаратов. Максимальный прирост теп- лообмена получается при плотной шероховатости с высотой высту- пов h, обеспечивающей значение Reft > 530. Большие значения h не приводят к увеличению тепло- обмена. Вместе с тем, с умень- шением h уменьшается сопротивле- ние шероховатой поверхности. Следовательно, при плотной ше- роховатости минимальное сопро- Рис. 15.7. Данные связи тепло- обмена и трения иа шероховатой поверхности: • — по уравнению (15.5); О ~~ по экспериментальному значению 377
тивление при максимальном возрастании теплообмена будет иметь место при наименьшей высоте выступов обеспечивающей выполнение условия р«Л/р, 530. Таким образом, hmin = = 530ц/(р«). Кроме того, с увеличением параметра s/h теплообмен уменьша- ется незначительно (см. рис. 15.5), а сопротивление уменьшается в несколько раз. Следовательно, для увеличения теплообмена при минимальном возрастании сопротивления целесообразно выпол- нять шероховатость с h = Лт1п и большими значениями s/h, ес- тественно не превышающими значение s/h = 12. При решении задачи о тепловой защите поверхности желательно обеспечить условия, при которых тепловой поток от горячей среды в поверх- ность уменьшается. С этой целью целесообразно сделать поверх- ность гидравлически гладкой, т. е. такой, неровности которой не приводят к увеличению теплообмена. Допустимая высота шеро- ховатости /гкр, которая не вызывает увеличение теплообмена, опре- делится из условия ReKp = w/tKp/vBn = 100, где vBn определяется по температуре газа во впадине. Для отдельных технических задач допустимая высота шерохо- ватости имеет следующие значения. 1. При полете самолета со скоростью 800 км/ч на небольшой высоте (р = 0,1 МПа) допустимая высота шероховатости обшивки /г,(р — 0,01 мм. 2. Для лопаток турбины ВРД при температуре газа 1075 К и давлении р — 1,0 МПа Лкр — 0,004 мм. 3. Для поверхности сопла ВРД при температуре газа 775 К и давлении р — 0,2 МПа hKV — 0,01 мм. 4. В критическом сечении сопла ЖРД при температуре газа 3275 К и давлении р — 4,0 МПа допустимое значение высоты ше- роховатости составляет 0,001 мм. 15.3. ТЕЧЕНИЕ СРЕДЫ И ТЕПЛООБМЕН В ОТРЫВНЫХ ЗОНАХ, ОБРАЗУЮЩИХСЯ ПЕРЕД ПРЕПЯТСТВИЯМИ Отрыв потока от обтекаемой поверхности встречается во многих отраслях техники. В большинстве случаев отрыв потока явление нежелательное, так как приводит к увеличению сопро- тивления тел, перемещающихся в среде, уменьшает подъемную силу крыла, увеличивает сопротивление движению газа или жид- кости в трубопроводах, ухудшает характеристики диффузорных устройств и др. Наряду с этим есть примеры положительного влия- ния отрывных течений на характеристики летательных аппара- тов. К этим случаям относится установка иглы перед плохообте- каемым телом, перемещающимся в сверхзвуковом потоке. Отрыв- ное течение, вызываемое иглой, приводит к образованию перед телом косых скачков уплотнения вместо прямого, что уменьшает сопротивление тела. 378
В авиационно-космической технике для управления летатель- ными аппаратами используются свойства отрывных течений вызы- вать существенное изменение давления на поверхности аппарата. Отрывные зоны образуются перед и за различными выступами в виде антенн, различных обтекателей, сопел управляющих дви- гателей, рулей, люков на поверхности летательного аппарата при его движении под углом атаки и т. д. Возникновение отрывных зон повышает необходимость тепловой защиты поверхности летательного аппарата, так как тепловые потоки в зонах отрыва могут в несколько раз превышать потоки, наблюдающиеся при безотрывном обтекании. 15.4. ДВУХМЕРНЫЕ ОТРЫВНЫЕ ЗОНЫ Торможение потока перед препятствием вызывает по- вышение давления, которое при дозвуковом течении распростра- няется вверх по потоку. Распределение давления перед плоским уступом показано кривыми 1 и 2 на рис. 15.8. Пограничный слой перед препятствием (до точки S) развивается в условиях положи- тельного градиента давления. Происходящая при этом деформация профилей скорости в пограничном слое также показана на рис. 15.8. Наличие трения в пограничном слое приводит к уменьшению полного давления струек газа. Оставшейся кинетической энергии частиц газа, движущихся вблизи стенки, недостаточно для преодо- Рис. 15.8. Схема течения газа перед плоским уступом 379
ления всей области повышенного давления. На некотором рассто- янии от препятствия частицы газа, израсходовав весь запас ки- нетической энергии, останавливаются, и пограничный слой от- рывается от поверхности. Характерным для отрывного течения является равенство нулю градиента скорости v стенки (du/dy')w = 0. Оторвавшийся в сечении точки S пограничный слой присоеди- няется к поверхности уступа на некотором расстоянии от его вер- шины — в точке R. В общем случае в эту точку приходит некоторая струйка газа пограничного слоя с давлением pR. Струйки газа, расположенные ниже этой линии тока, не могут преодолеть дав- ления, устанавливающегося в точке R, и начинают двигаться к основанию уступа, образуя область циркуляционного течения. Линия SAR отделяет газ, движущийся в циркуляционной зоне, от внешнего течения. В циркуляционной зоне часть газа движется к уступу, а другая — в направлении, обратном основному течению. Эти потоки разделяются линией SBR. Между газом, движущимся в циркуляционной зоне, и внешним потоком осуществляется интенсивный турбулентный обмен на ли- нии раздела SAR. Интенсивный турбулентный обмен существует также между частицами газа, движущимися внутри циркуляци- онной зоны, где согласно экспериментальным данным значение интенсивности турбулентности достигает 40 ... 60%. Течение внут- ри циркуляционной зоны может осуществляться по разным схемам. Уровень давления и характер течения определяются отношением толщины вытеснения в точке отрыва д' к высоте уступа 7/ и значе- нием критериев Рейнольдса Re = и Эйлера Ей —- Р оо/(росЦоо) При малом значении Re и большой величине критерия Ей статическое давление плавно изменяется от максимального зна- чения вблизи основания уступа (точка 7?,) до величины давления в точке отрыва (кривая 1). При увеличении критерия Re и уменьшении Ей характер распределения давления существенно изменяется жтнвая 2). Появляется ярко выраженный минимум статического давления, расположенный в сечении, проходящем через центр вихревого движения. Внутри циркуляционной зоны газ от точки R движется к ос- нованию уступа (к пластине) вначале в области отрицательного градиента давления до точки а на кривой рис. 15.8, а затем на некотором расстоянии от пластины ha начинается торможение по- тока, сопровождающееся ростом давления. Наличие положитель- ного градиента давления вызывает отрыв потока в точке S, и прилипание его на пластине в точке R}. При этом у основания уступа образуется дополнительная отрывная зона SjORj. В точке присоединения потока 7?,, которая является критической, давле- ние на пластине имеет максимальное значение. При распределении статического давления (см. рис. 15.8, кривая 1) газ, двигаясь от 380
Рис. 15.9, Зависимость длины отрыв- ной зоны от параметра 6*'//: X, •. Л. О ~ (Re,^. 10-» = С.2. 1.0; 2,0; 2,8 соответственно Рис. 15.10. Зависимость координата присоединения потока hKUl от пара- метра 6*//Z при различных скоростях (“оо м/с): X, О. • . А — «оо^ЗО; 50; 120; 270 м/с соответственно точки /ф к отрывному сечению точки 5, разгоняется и давление падает. В случае наличия минимума давления (кривая 2) поток у пластины, двигаясь от точки /ф, вначале разгоняется, а затем в области положительного градиента давления затормаживается. При определенном соотношении параметров потока положительный градиент давления становится настолько значительным, что вы- зывает отрыв потока от пластины в точке S2 с последующим при- липанием его в точке Лф. При эюм в циркуляционной зоне образу- ется вторая дополнительная отрывная зона S2 - Аф. Для расчета теплообмена внутри циркуляционной зоны существенное значение имеет давление на линии присоединения потока на уступе (ср)в и характерное давление в зоне (rp)fo. Из имеющихся эксперимен- тальных данных следует, что коэффициенты давления (ср)д =~ = /с™- и (е )ь — ——определяются величиной Ь*/Н. Значение (ср)ц в диапазоне б;/Я =- 0,033 ... 1,5 может быть оп- ределено из соотношения (с0)к 0,43 (Я/6Д0'25. При 6Т/Я <" < 0,033 величина <cp)R асимптотически приближается к единице. Коэффициент давления (ср)ь при ’6*iH 00,23 ... 1,5, Lu 1,1 ... 230 , Re —- 2- Ю4 ... 4,5- 106 определяется из соотношения (cP)/,j--- 0,37 (Hi6Г)0’25. Геометрическими характеристиками циркуляционных зон яв- ляются длина зоны хг и расстояние от точки присоединения потока До основания уступа hlt В случае двухмерного течения длина от- рывной зоны и Лр являются функцией отношения b'JH и не за- висят от критериев Re и Ей. Зависимость xrJH - f (fCJH) при- ведена на рис. 15.9. Для определения координаты присоединения потока hB мо- гут быть использованы экспериментальные данные, приведенные на рис. 15.10. 3«1
15.6. ТЕПЛОВЫЕ ПОТОКИ ВНУТРИ ЦИРКУЛЯЦИОННОЙ зоны Сложная структура потока (в отрывной зоне), наличие внутренних отрывных зон, отсутствие данных по величине ReKp в условиях отрывного течения, повышенная турбулентность по- тока и отсутствие надежных данных по влиянию турбулентности на передачу тепла в отрывной зоне затрудняют разработку теории теплообмена в условиях отрывного течения. Отсутствуют кри- териальные уравнения для вычисления местного значения ко- эффициента теплоотдачи во всей области отрывного течения. На рис. 15.11, а приведены экспериментальные значения коэф- фициента теплоотдачи для участка пластины OS, где ат — макси- мальное значение коэффициента теплоотдачи на этом участке, а а8 — значение его в отрывном сечении. Для определения а на вертикальной поверхности уступа могут быть использованы экспериментальные данные, приведенные на рис. 15.11, б. Харак- тер качественного изменения а на участке от точки R до основа- ния уступа для разных значений параметров внешнего потока не одинаков. Кривая 1 соответствует случаю, когда от точки R до основания уступа течение в пограничном слое ламинарное. При этом макси- мальное значение коэффициента теплоотдачи на участке отрывной зоны имеет место в точке присоединения потока R (см. рис. 15.8). При увеличении ReM (кривые 2 ... 4 на рис. 15.11, б) интен- сивность движения газа в циркуляционной зоне возрастает, и на некотором расстоянии от точки R происходит переход лами- нарного пограничного слоя в турбулентный, что вызывает замет- ное увеличение коэффициента теплоотдачи. На участке турбулент- ного пограничного слоя кривая изменения а может иметь макси- мум. Уменьшение коэффициента теплоотдачи при приближении к основанию уступа объясняется ростом толщины пограничного слоя, особенно, если иметь в виду участок течения с положитель- Рис. 15.11. Распределение коэффициента теплоотдачи по поверхности уступа: 1 ... 3 — Цещ = ю'-. 1,5-10*: 4.5- 10‘; 4, 5 — Re^ = 1,5- 10’ 382
Рис. 15.12. Зависимость коэффициента пропорцион,ч.н.носги Л при расчете теплообмена по линии растекания на вертикальной поверхности уступа от кри- терия Re№ при различных значениях (С;,)д: X — 0,4 ... 0,7; О — 0,85 ным градиентом давления, на котором кроме того деформируются профили температуры, что еще сильнее уменьшает градиент температуры на стенке. Уровень тепловых потоков в отрывной зоне зависит от 6*/7/. В качестве примера этого влияния на рис. 15.11, б приведены кривые 4 и 5, для которых критерий Ре^ имеет одинаковое зна- чение, а 6*/Я соответственно равно 0,033 и 0,1. Коэффициент теплоотдачи на линии растекания R опреде- ляется с использованием критериального уравнения / р И \0.44 NuK, = ЛРеГРС4(-УЗ-^Ч (J5.6) Ранее указывалось, что линия растекания является критю ческой — по ней происходит разделение, потока. Часть газа вте- кает в циркуляционную зону, а основная масса обтекает верхнюю кромку уступа. На линии растекания скорость потока равна нулю. Как известно, теплообмен в таких критических линиях пли точках зависит от градиента скорости. Величина градиента ско- рости на вертикальной поверхности уступа определяется пере- падом давлений (cr,)R — (ср}а (см. рис. 15.8) и размером уступа. Принимая в качестве определяющего размера hK и определяющей скорости umax — (с,,)я — (Ср)а, запишем критерии подобия Nu^, — cCfthpJhy; и Re,., /о>, р.. Учитывая, что wmax и»УП/сДв (ЧХ1 Р~/р!г, получим для критерия Рейнольдса выражение в виде Rera l/^)R ф Д ] . PUJ r ГЫ Результаты экспериментальных исследований указывают на зависимость коэффициента пропорциональности А из формулы (15.6) от турбулентности потока в окрестности линии растекания. Эта зависимость определяется значениями ReSJ и 6‘/Я. Влияние б*/Я удовлетворительно учитывается значением (cD)R. Зависи- мость А от указанных параметров приведена на рис. 15.12. 383
Рис. 15.13. Зависимость максимального значения коэффициента теплоотдачи на горизонтальной поверхности уступа от определяющих параметров Значение максимального коэффициента теплоотдачи на пла- стине на линии растекания может быть найдено с помощью дан- ных, приведенных на рис. 15.13, где в качестве определяющего размера принята величина hR. 15.6. ТРЕХМЕРНЫЕ ЗОНЫ При обтекании уступов с относительно небольшим зна- чением D/Н или В/Н (где D — диаметр цилиндрического, а В — ширина плоского уступов) возникает новое явление в виде выте- кания части газа из отрывной зоны в боковых направлениях. Одна из возможных схем течения с боковым вытеканием при- ведена на рис. 15.14. Пограничный слой, развивающийся в усло- виях положительного градиента давления перед уступом, отры- вается от поверхности по линии S — а и присоединяется на лобовой поверхности уступа. Часть газа из области присоединения потока поступает в циркуляционную зону перед уступом, откуда частично эжектируется внешним потоком, а частично вытекает в боковом направлении. На лобовой поверхности уступа схема присоединения потока может быть различной и определяется, в основном, геометриче- ской характеристикой уступа (D/Н или В/Н) и, кроме того, от- носительной толщиной пограничного слоя в точке отрыва. При D/Н > 4 и В/Н > 2 поток присоединяется с образованием линии растекания R—R (рис. 15.15, а). Характер течения на уступе 384
вблизи плоскости симметрии напоминает течение в случае двух- мерной отрывной зоны. Уменьшение D/Н до 2 или В!Н до 1 при- водит к перестройке схемы присоединении и образованию точки растекания (рис. 15.15, б). При D/H < 1 и В/Н < 0,5 в плоскости симметрии появляется линия растекания R — R', заканчивающаяся точками растека- ния R и R' (рис. 15.15, в). На рис. 15.15 линиями 1 у основания уступа показано положение образующейся дополнительной от- рывной зоны. Для приближенной оценки трехмерности течения в отрывной „ йо / се- зоне можно использовать параметр д ~, где кии — скорости потока по осям г и у (см. рис. 15,14). Анализ экспериментальных данных по распределению стати- ческого и полного давлений в диапазоне изменения отношений ширины уступа к высоте от 0,25 до 24 и толщины пограничного слоя в точке отрыва к высоте уступа от 0,2 до 2 показал, что при- ближенно можно принять и u^V^c^^~(c^\ihR (см. рис. (15.8). Тогда Значение параметра К зависит как от D/Н, так и от 6*/Д, т. е. от обоих параметррв, определяющих схему течения на уступе. Для цилиндрических уступов при К < 0,5 трехмерность те- чения в плоскости симметрии невелика и поток присоединяется к уступу с образованием линии растекания R—R (см. рис. 15.15, а). При Д > 0,5 на уступе образуется точка растекания R (см. рис. 15.15. б) или линия растекания R—R' (рис. 15.15, в). В отрывной зоне на пластине осуществляются те же схемы течения, которые наблюдались в случае двухмерного уступа (см. рис. 15.8) с образованием одной (Sx—R,) или двух (Sx—R-l и S2—Д2) дополнительных отрывных зон. Рис. 15.14. Схема течения газа перед уступом при £>/В > 4 13 Авдуевский Рис. 15.15. Схемы течения газа у вертикальной поверхности уступа 385
15.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РАЗМЕРЫ ОТРЫВНЫХ ЗОН Размеры трехмерных отрывных зон зависят от формы и размеров препятствия, а так же от относительной толщины пограничного слоя перед отрывом и не зависят от критерия Рей- нольдса. Изменение критерия Эйлера до Ей 2, что соответ- ствует числам Маха М 0,55, также не оказывает влияния на размеры отрывных зон. Для цилиндрических уступов зависимость hR/H и х„/Н от б*/Я приведена на рис. 15.16 и 15.17. Там же для сравнения нане- сены размеры двухмерной отрывной зоны 3. Размеры отрывных зон, образующихся перед прямоугольными уступами при В/Н = 2 и 4 и b*s/H 0,12, почти совпадают с раз- мерами двухмерной отрывной зоны. При В/Н = 1 и §*S/H = 0,03; 0,07 и 0,1 величина xs/H = 0,72, a hR/H = 0,5; 0,53 и 0,62. Изме- нение локальных коэффициентов теплоотдачи в отрывной зоне перед цилиндрическим уступом при D/Н =~- 2 и 8*S/H -=0,1 при- ведено на рис. 15.18. Как и в двухмерном случае, характер рас- пределения а зависит от Re. При малом значении Re максималь- ный коэффициент теплоотдачи на уступе наблюдается в точке присоединения потока R, а на пластине — в точке присоединения (см. рис. 15.8). Увеличение скорости внешнего потока приводит к перераспределению тепловых потоков, и коэффициент теплоот- дачи вблизи основания уступа становится больше, чем в точке присоединения R, что так же, как и при двухмерном уступе, объясняется переходом ламинарного пограничного слоя в тур- булентный. В отрывной зоне на пластине увеличение Re приводит к суще- ственному возрастанию а на ускоренном участке течения (от точки к точке S), появлению в конце ускоренного участка второго максимума, положение которого приблизительно совпа- дает с положением минимального значения статического давле- ния (см. рис. 15.8). Следует иметь в виду, что величина коэффи- циента теплоотдачи и характер его изменения в отрывной зоне зависят от трехмерности течения, которая в свою очередь опре- Рис. 15.16. Зависимость координаты присоединения потока от Ь*/Н при различных значениях D/H: 1 (Q) — 1; 2 (•) — 2; кривая 3 — DIH -+ оо 386 Рис. 15.17. Зависимость длины отрыв- ной зоны xjH от &*/Н при различных значениях D/H'. 1 (. ) — 1; 2 (•) — 2; кривая 3 — D/Н
цилиндрического уступа при различной скорости потока (и:» м/с}: 0 — 71; • — 341 деляется формой и размерами уступа, а так же параметрами потока. Определить коэффициент теплоотдачи в характерных точках отрывной зоны можно по установленным зависимостям. .Для расчета а на линии растекания R—R (см. рис. 15.15, а) исполь- зуется критериальное уравнение (15.6), в котором коэффициент А может быть определен из данных рис. 15.12. При большей трех- мерности течения, когда на вертикальной поверхности уступа осуществляется схема течения с линией растекания /?—R' (см. рис. 15.15, в), в качестве определяющего необходимо брать по- перечный размер уступа. В этом случае в критериальном уравне- нии Nua, = А[Ке^Ргю4 { Р°°‘ ) критерии Нуссельта Nu^, = = aDI'kw и Рейнольдса Иею — Значение коэффи- циента Аг на линии R—R' равно коэффициенту пропорциональ- ности при обтекании бесконечного цилиндра. В случае схемы течения с точкой растекания b*s/D. Указанная зависимость ; приведена на рис. 15.19. Рис. 15.19. Зависимость коэффи- циента Ai от £>/// при расчете коэффициента теплоотдачи в точке растекания потока на вертикаль- ной поверхности цилиндрического Уступа 13* величина Ах зависит от параметра ;ля цилиндров с D/H — 2 и DIH — 1
Рис. 15.20. Зависимость коэффициента теплоотдачи от определяющих параме- тров в области растекания потока на горизонтальной поверхности перед уступом при различных значениях D/H'. X — 4; » — 2; Д — 1; И — 0.26 Коэффициент теплоотдачи в точке растекания Rx на пластине может быть рассчитан по экспериментальным данным, приведен- ным на рис. 15.20, удовлетворительно характеризующим условия теплообмена для уступов разной формы при различных значе- ниях Влияние формы уступа и толщины пограничного слоя учитывается в данном случае через зависимость hR от указанных факторов. 15.8. ДВУХМЕРНЫЕ ОТРЫВНЫЕ ЗОНЫ, ОБРАЗУЮЩИЕСЯ ЗА УСТУПОМ При обтекании потоком газа обратного уступа по- граничный слой, образовавшийся на поверхности 0—.S (рис. 15.21), отрывается в точке S и присоединяется к поверхности в точке R, образуя за уступом циркуляционную область движения газа. Линия 1 отделяет невозмущенный поток, движущийся со ско- ростью ию, от пограничного слоя и циркуляционного течения. Область циркуляционного течения отделяется от внешнего потока линией постоянной массы 2. В отрывном (циркуляционном) течении часть газа, расположенная выше линии 3, движется в на- правлении основного потока, а между линией 3 и основанием уступа течение газа происходит в обратном направлении. Обратное течение подразделяется на ядро потока и пограничные слои. В области линии 3 пограничный слой образуется в результате взаимодействия течений, движущихся в прямом и обратном на- правлениях, а у стенки — при взаимодействии газа с твердой 388
Рис. 15.21. Схема течения газа за обратным уступом поверхностью. Скорость газа в ядре обратного течения возрастает от нуля в точке R до некоторого максимального значения и затем уменьшается. При натекании на уступ обратный поток тормо- зится, пограничный слой под действием положительного гра- диента давления (рис. 15.22) отрывается (точка на рис. 15.21) и присоединяется на вертикальной стенке уступа (точка на Рис. 15.22. Изменение статического давления на горизонтальной поверхности за уступом при различных скоростях потока («оо, м/с): ♦ — 26; д — 45; х — 77; Q — !01 389
Изменение статического давления за уступом показано на Р — Роо Рос“<х>/2 рис. 15.22, где ср а хя характеризует расстояние от основания уступа до точки присоединения потока. Максимум статического давления имеет место при x/xR — 1,1, т. е. распола- 1ается за точкой присоединения потока. Значение (cp)R заметно ниже величины ф?;)11МХ. В окрестности точки присоединения в диа- пазоне значений х 'хп от 1 до 0Д5 статическое давление выше давле- ния в невозмущенном потоке. Во всей остальной области отрыв- ного течения давление ниже давления окружающей среды. Мини- мем давления достигается при х,хв ~ 0,6. От x/xR == 1 до 0,6 статическое давление уменьшается. На этом участке скорость об- ратного течения растет. При х/хл < 0,6 градиент давления в на- правлении обратного движения положителен. Из рис. 15.22 следует, что величина коэффициента давления не зависит от критерия Re. Для разных высот уступа практически одинаковым является безразмерное давление, представляемое в виде р = (р — — Pmin)'(Pm.ix — Pmin)- Точка (линия) R является критической, в ней скорость потока равна нулю. Как известно, теплообмен в критической точке или, в случае двухмерного течения, линии растекания зависит от градиента скорости. 15.9. ТЕПЛООБМЕН ВНУТРИ ЦИРКУЛЯЦИОННОЙ ЗОНЫ Изменение коэффициента теплоотдачи на горизонталь- ной поверхности за уступом приведено на рис. 15.23. Максималь- ное значение а соответствует точке присоединения потока R. Левее положения максимума находится циркуляционная область Рис. 15.23. Изменение коэффициента теплоотдачи на горизонтальной поверх- ности уступов высотой от 12 до 137 мм в области присоединения потока при раз- личной толщине пограничного слоя 390
течения. В зоне обратных токов величина коэффициента тепло- отдачи существенно переменная. В точке присоединения потока значение коэффициента теплоотдачи примерно в 4 раза выше, чем у основания уступа. Условия теплообмена в отрывной зоне зависят от критерия Рейнольдса (Re — рооПооД/роо), высоты уступа и толщины по- граничного слоя перед отрывом. Увеличение скорости внешнего потока приводит к интенсификации движения газа в отрывной зоне, что вызывает рост тепловых потоков. Ранее отмечалось, что при увеличении высоты уступа умень- шается градиент скорости на линии растекания, что вызывает уменьшение тепловых потоков. Увеличение толщины погранич- ного слоя перед отрывом потока также приводит к уменьшению коэффициента теплоотдачи ад. Обработка экспериментальных данных в координатах odaR = f (x/xR) дает возможность полу- чить одну зависимость, удовлетворительно характеризующую изменение коэффициента теплоотдачи в отрывной зоне при разных значениях критерия Рейнольдса внешнего потока и разных высотах уступа (см. рис. 15.23). Подобие в распределении коэф- фициентов теплоотдачи позволяет построить методику расчета теплообмена в отрывной зоне через определение характерного значения а, что при наличии аппроксимирующей зависимости (см. рис. 15.23) дает возможность рассчитать его местные значения в любом сечении зоны отрыва. В качестве характерного значе- ния а принята величина коэффициента теплоотдачи в точке при- соединения потока R. Значение aR удобно выразить через коэф- фициент теплоотдачи, который определяется с помощью известных критериальных уравнений. В качестве такого коэффициента теп- лоотдачи целесообразно выбрать коэффициент теплоотдачи в точке отрыва потока as, величина которого непосредственно влияет на значение aR. Результаты обработки экспериментальных данных в виде зависимости a«/as = f приведены на рис. 15.24. Толщина потери импульса и коэффициент теплоотдачи в точке отрыва потока определяются по известным зависимостям. Длина отрыв- ной зоны зависит от высоты уступа, толщины пограничного слоя перед отрывом и практически не зависит от Reoo. С ростом вы- соты уступа и 6S длина отрывной зоны увеличивается. Значение xR может быть определено по зависимости XrIH = f полу- ченной при изменении высоты уступа от 12 до 137 мм и величины 68 от 3 до 13 мм (рис. 15.25). При 8”/Н > 0,02 отношение х%1Н остается примерно постоянным. В этой области длина зоны отрыва равна примерно 5 высотам уступа. Таким образом, для определе- ния теплового потока в конкретном сечении зоны отрыва необ- ходимо рассчитать as и 6s*. Пользуясь рис. 15.24 и 15.25, воз- можно определить значение коэффициента теплоотдачи в точке присоединения потока и длину отрывной зоны xR. Величина местного коэффициента теплоотдачи в других сечениях отрывной 391
Рис. 15.24. Зависимость коэффициента теплоотдачи па линии присоединения потока uR от параметпа 6* * /Л' для уступов высотой 11 12 ... 137 мм: > — гладкая поверхность перед уступом: О — шероховатая поверхность перед усту- пом Рис. 15.25. Зависимость длины отрыв- ной зоны за уступом от 5**/// для ус- тупов высотой //—12 ... 137 мм: • — гладкая поверхность перед уступом; Q — шероховатая поверхность перед усту- пом зоны определится по данным рис. 15.23 и, наконец, тепловой поток — из зависимости qw ~ а (Та, — Tw). 15.10. ВЛИЯНИЕ НА ТЕПЛООБМЕН ТУРБУЛЕНТНОСТИ ВНЕШНЕГО ПОТОКА Ранее указывалось, что при рассмотрении взаимодей- ствия потока газа или жидкости с твердой поверхностью все тече- ние целесообразно разделить на две области: тонкого (присте- ночного) пограничного слоя и располагающегося над ним внеш- него потока. При этом могут реализоваться три режима течения: 1) во внешнем потоке и в пограничном слое — течение ламинар- ное; 2) внешний поток турбулентный, а течение в пограничном слое ламинарное; 3) во внешнем потоке и в пограничном слое — течение турбулентное. Второй режим течения встречается в большинстве техниче- ских задач. Он имеет место в начале взаимодействия внешнего турбулентного потока с гладкой поверхностью, в окрестности критического сечения затупленного тела, во впадинах шерохо- ватой поверхности, в отрывных зонах и т. д. Теория ламинарного пограничного слоя, расчетные зависи- мости, полученные на ее основе, справедливы для первого случая, когда внешний поток и пограничный слой ламинарные или для тех частных случаев второго режима, при которых турбулент- ность внешнего потока не оказывает заметного влияния на харак- теристики ламинарного пограничного слоя. Вместе с тем, в ряде случаев второго режима течения резуль- таты расчета теплообмена с использованием положений теории ламинарного пограничного слоя существенно отличаются от экспериментальных данных. Наблюдающееся несоответствие объ- ясняется тем, что между пограничным слоем и внешним потоком нет непроницаемой границы и при турбулентном внешнем потоке пульсации могут проникать в ламинарный пограничный слой. 392
При этом пограничный слой не становится турбулентным, он остается своеобразным ламинарным слоем, переносные свойства которого существенно возрастают за счет участвующих в этом процессе пульсаций внешнего потока. Пограничный слой остается ламинарным в силу того, что при малых значениях критерия Рейнольдса силы трения велики и пульсации внешнего потока гасятся ими, не вызывая еще пере- хода течения в пограничном слое в турбулентное. Следует однако заметить, что из рассуждений о физическом смысле критерия Рейнольдса с ростом его, т. е. с относительным уменьшением сил трения, влияние пульсаций внешнего потока на характеристики ламинарного пограничного слоя будет воз- растать, так как уменьшится интенсивность диссипации турбулент- ной энергии в пограничном слое. Турбулентность внешнего потока характеризуется интенсив- ностью и масштабом турбулентности. Интенсивность турбулент- ности определяется как отношение среднеквадратичной пульса- ционной составляющей скорости к скорости осредненного дви- жения. Под масштабом турбулентности мы будем понимать раз- мер пульсирующего образования — моль. В турбулентном потоке существует целый спектр масштабов турбулентности от минималь- ного до максимального, определяемого размером и условиями течения среды. Актуальность задачи расчета теплообмена при ла- минарном пограничном слое, существующем в условиях внешнего турбулентного потока, определила появление большого коли- чества исследований этого явления. При этом в большинстве случаев анализ результатов исследования проводился на основа- нии только параметров турбулентности невозмущенного внешнего потока, т. е. параметров турбулентности, которые существуют в потоке вдали от тела. Следует отметить противоречивость полу- ченных в этом случае результатов исследования. Так, например, изучая теплообмен в окрестности передней критической точки сферы при одних параметрах потока Re = = 5-104ие= 10%, одни исследователи (Ростовский и Костелло) получили увеличение теплового потока по сравнению с расчетным на 30%, а другие (Ньютон, Спэрроу и Эккерт) — на 15%. Лой- цянский и Шваб при Re = 5 -104 и е = 3% установили увеличение теплообмена на 30%. Еще более противоречивы данные по влия- нию масштаба турбулентности. Для того, чтобы понять, каким образом турбулентность по- тока оказывает влияние на теплообмен, необходимо сформулиро- вать физическую модель этого явления. Выше отмечалось, что во внешнем потоке существует целый спектр масштабов турбулентности. При этом следует, по-видимому, исходить из того, что на переносные свойства ламинарного по- граничного слоя будут оказывать влияние масштабы турбулент- ности, размер которых соизмерим с толщиной пограничного слоя. Именно пульсации таких масштабов могут проникать внутрь 393
Рис. 15.26. Изменение интенсивности турбулентности при приближении к преграде в виде торцев с различными диаметрами (d, мм): 0 — 10; 4---20; Д — 37 оо Рис. 15.27. Изменение пульсационной скорости при приближении к преграде в виде торцев с различными диаме- трами (d, мм): О — Ю; 4-----20; д — 37 пограничного слоя, существенно изменяя при этом переносные свойства среды. Следовательно, для определения влияния на теплообмен турбулентности внешнего потока недостаточно знать его параметры на бесконечности, а необходимо уметь определять параметры турбулентности потока на границе пограничного слоя в том сечении, в котором определяется тепловой поток. Значения параметров турбулентности на границе пограничного слоя зави- сят как от параметров турбулентности невозмущенного потока, так и от условий взаимодействия его с конкретным телом. Рассмотрим это на примере взаимодействия бесконечного потока с установленными в нем телами в виде дисков разного диаметра. При взаимодействии потока с преградой изменяются параметры потока. Скорость потока на оси симметрии умень- шается до нуля в критической точке тела. Интенсивность тур- булентности увеличивается, так как пульсационная составляющая уменьшается медленнее, чем средняя скорость потока (рис. 15.26). Уменьшение пульсационной составляющей показано на рис. 15.27. Заметим, что зависимость уменьшения относительной пульсации скорости от безразмерного расстояния до тела имеет одинаковый вид для торцев разного диаметра. При приближении к телу из- меняется не только пульсационная составляющая скорости, но и масштаб турбулентности. Экспериментальное определение мас- штаба турбулентности достаточно сложная и трудоемкая задача. Масштаб турбулентности обратно пропорционален частоте тур- булентных пульсаций. Результаты измерения частоты турбулент- ных пульсаций показывают, что при приближении к телу масштаб турбулентности существенно уменьшается. Взаимодействие дозвукового потока с помещенным в него телом теоретически начинается на бесконечно большом расстоя- 394
нии. Однако измерения показывают, что заметное изменение па- раметров потока начинается с расстояния, примерно равного раз- меру тела. Таким образом, при установке в потоке тела большего размера изменение параметров потока начнется на большем рас- стоянии от тела. При этом при приближении к телу значительная часть молей спектра турбулентных пульсаций уменьшается до диссипативного размера и диссипирует, не достигнув границы пограничного слоя. В этом случае на границе пограничного слоя будут пульсации, масштаб которых соизмерим с толщиной по- граничного слоя, по с относительно небольшой суммарной энер- гией. Пульсации внешнею потока проникнут в пограничный слой и увеличат его переносные свойства пропорционально своей энергии. При уменьшении размера тела уменьшается диссипация тур- булентной энергии вдали от модели, и па границе пограничного слоя возрастает энергия турбулентных пульсаций, масштаб кото- рых будет еще соизмерим с толщиной пограничного слоя. Это приводит к еще большему росту турбулентной вязкости и тепло- проводности, т. е. к увеличению переносных свойств пограничного слоя. При дальнейшем уменьшении размера тела продолжает уменьшаться деформация спектра турбулентных пульсаций, и границы пограничного слоя будут достигать все больше масштабов турбулентности, размер которых существенно превосходит тол- щину пограничного слоя. Начиная с некоторого размера модели, возрастание масштабов турбулентности приведет к тому, что суммарная энергия масшта- бов, соизмеримых с толщиной пограничного слоя, начнет умень- шаться. Таким образом, при данных параметрах турбулентности внешнего потока его воздействие на переносные свойства погра- ничного слоя будет максимальным при некотором размере тела ZKp. При I > /кр большая доля турбулентной энергии диссипи- рует до достижения границы пограничного слоя, а при I < /кр на границе пограничного слоя будет много масштабов турбу- лентности, превосходящих раз- мер пограничного слоя. Результаты эксперименталь- ной проверки изложенной физи- ческой модели воздействия пара- метров турбулентности внешнего потока на теплообмен при гра- диентном течении в окрестности критической точки затупленного тела приведены на рис. 15.28. Данные получены при сравни- тельно небольшой интенсивности турбулентности в =2,7% . С уве- личением е влияние турбулент- 395 Рис. 15.28. Влияние параметров тур- булентности потока на условия тепло- обмена в окрестности критической точки торцев и сфер при значениях Все = 2,7, Leo = 1,9 мм, их = 21 м/с: □ — торцы; О — сферы
ности возрастает. Исследование теплообмена в окрестности кри- тической точки проведено на дисках разного диаметра, устанавли- ваемых в один и тот же внешний поток. По оси ординат отложено отношение критерия Нуссельта, подсчитанного по эксперимен- тальным данным, к критерию Нуссельта, определенному по тео- рии ламинарного пограничного слоя. По оси абсцисс приведены значения диаметров дисков, на которых проводилось эксперимен- тальное исследование. На рис. 15.28 приведены также результаты исследования теплообмена в критической точке сферических моделей. Результаты исследования указывают на необходимость учета влияния на теплообмен турбулентности потока, так как при опре- деленных условиях действительные тепловые потоки в критиче- ской точке тел могут в несколько раз превосходить тепловые потоки, рассчитанные по теории ламинарного пограничного слоя. Отметим, что существуют полуэмпирические теории расчета теплообмена, учитывающие влияние турбулентности потока. При этом наряду с традиционными уравнениями неразрывности, дви- жения и энергии приходится рассматривать уравнения, учитываю- щие порождение, диссипацию и диффузию турбулентной энергии внешнего потока. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Как рассчитать конвективный тепловой поток при обтекании газом ше- роховатой пластины? 2. Как за счет шероховатости получить максимальное увеличение теплового потока при минимальном возрастании сопротивления? 3. Как и почему параметр s/ft влияет на теплообмен? 4. Как определить тепловой поток на линии растекания на вертикальной поверхности тела в двухмерной отрывной зоне, образующейся перед уступом? 5. Как рассчитать тепловой поток на линии растекания на вертикальной поверхности тела в трехмерной отрывной зоне, образующейся перед уступом? 6. Как рассчитать тепловой поток на горизонтальной поверхности тела в двух- мерной отрывной зоне, образующейся за уступом? 7. При каких условиях и почему влияние турбулентности внешнего потока на теплообмен в окрестности критической точки имеет максимальное значение?
ГЛАВА XVI РАДИАЦИОННО-КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ ГАЗОВЫХ ПОТОКАХ 16.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ При полете летательных аппаратов в плотных слоях атмосферы Земли или других планет (Марса, Венеры, Юпитера и др.) со сверхорбитальными скоростями одной из основных и очень сложных проблем является расчет теплообмена при обте- кании поверхности тела потоком частично ионизованного газа. Наличие в ионизованном газе свободных электронов оказы- вает значительное влияние на коэффициенты переноса (диффузии, теплопроводности, электропроводности), которыми определяется аэродинамический нагрев поверхности летательного аппарата. Большая подвижность электронов существенно влияет на интен- сификацию диффузионных потоков ионно-электронных пар по направлению к поверхности тела. Попадая в холодный присте- ночный слой, эти частицы рекомбинируют с выделением очень большой энергии ионизации. Эти два явления значительно уве- личивают плотность теплового потока от ионизованного газа к поверхности тела. Аналогичные процессы имеют место в высокоэнергетических установках, где в качестве рабочего тела используется низко- температурная плазма (электродуговые установки, двигатели с электромагнитным разгоном, МГД-генераторы и др.). При обтекании поверхности тела потоком частично ионизо- ванного газа (низкотемпературной плазмы) наряду с переносом тепла теплопроводностью, конвекцией и диффузией необходимо учитывать также и лучистый теплообмен. Радиационный перенос тепла в высокотемпературном ионизованном потоке (Т > 104 К) становится сравнимым, а с увеличением температуры — и пре- обладающим по сравнению с конвективным теплообменом. 397
тальными и сверхорбитальными скоростями. Видно, что при гиперболических скоростях входа летательных аппаратов (щх > > 12 км/с) в плотные слои атмосферы Земли, радиационный тепло- вой поток становится доминирующим в суммарной тепловой на- грузке. Таким образом, учет лучистого теплообмена, влияния поля излучения на поле течения является необходимым условием при расчете теплообмена при обтекании поверхности потоком частично ионизованного газа (или низкотемпературной плазмы). 16.2. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ При обтекании тела потоком частично ионизованного газа па поверхности образуется пограничный слой (рис. 16.2). потоком частично ионизирован- ного газа Рассмотрим ламинарный режим течения вязкого, теплопроводного, излучающего газа. При отсутствии внешних элек- трических и магнитных нолей ста- ционарное течение частично иони- зованного газа, состоящего из v элементов и п компонентов, опи- сывается следующей системой урав- нений: 1) уравнение неразрывности для смеси (рпгФ -у -J1— (ovrk) = О, дх ' ' ' ду где х, у — координаты; и, v — компоненты скорости; р — плот- 0 — для пластины; пость; г — радиус вращения; k — 1 —для осесимметричного тела; 2) уравнение количества движения да , да др . д ! ди \ ,, СШ —---L ри —— =•_--Д_ щ —— ц —— ; (16.2 дх ду дх ду\‘ду/ ’ 3) уравнение неразрывности для компонентов рн —Л- ри 4- Wt (i1, 2, — v), (16.3) ‘ дх ' 1 ду 1 оу 1 v где. С; — массовая концентрация; — массовый диффузионный поток /-го компонента; йф — массовая скорость образования Ф /'-го компонента. Для реакции типа массовая ско- Д цы рость образования ( г Г - ‘ - 1) №z==.M; £ (p/ft-l)P ф, ftC(-- fcpAf! П , (16.4) U--=i L i~--i Л 398
где Ди = 2 Pjfe —1; Cf == Ci/Mt; Mt — молярная масса i-ro ком- t=i понента; 4) уравнение диффузии для элементов + + <Т=С2..........v-1), (16.5) п где Сх = 2 MxnxiCi/Mi — концентрация химического элемента; М п Мх — масса атома элемента; Кх = 2 — массовый i=i диффузионный поток элемента; 5) соотношения Стефана—-Максвелла для тяжелых частиц (молекул, атомов, ионов) (i = 1, 2, .. п-2), (16.6) где Xi = MCi — мольная концентрация; Dtj — коэффициент диф- фузии бинарной смеси; М — молярная масса смеси; k — постоян- ная Больцмана; 6) скорость диффузии для электронов 1 -j / 2kT Г д In Т . „ дхе Оедиф - -2- и -7^- [— ае0 + псео ф епе г> F~1 kT be0£J, (16.7) где me — масса электрона; ае0 и Се0 — нулевые коэффициенты разложения по полиномам Сонина; Е — напряженность внутрен- него электрического поля; 7) уравнение энергии р“^+р^^(^)+^[^(4)]- (|6-8) \/=1 ) где Ij — полная энтальпия компонента; /0 — полная энтальпия торможения газа; qR — плотность лучистого потока; 8) закон Дальтона 2м = 1; (16.9) i=i 9) уравнение квазинейтральности V 2 Сщ ” Се\ (0 = 1 399
10) уравнение для замыкания массовых диффузионных потоков 2/(; = 0; (16.10) /-/ 11) уравнение состояния р = р/?Г/Л4; Л4= SCj , (16.11) \/=i / где R = 8,3 Дж/(моль-К) — универсальная газовая постоянная. В изолированной системе, когда поверхность тела является электрически нейтральной, при отсутствии внешнего электри- ческого поля ток через плазму (ионизованный газ) отсутствует. Это значит, что в ионизованном газе, вследствие его поляризации, возникает внутреннее электрическое поле напряженностью Е, которое компенсирует ток, обусловленный градиентами темпе- ратуры (дТ1ду) и концентрации электронов (дхе,!ду), т. е. £ = (16.12) ае ду 1 ае ду v ' где коэффициенты переноса ае, сое, щ определяются через нуле- вые коэффициенты разложения ае0 и Се0; 12) уравнение переноса излучения р — Jх), (16.13) где ./>, — спектральная интенсивность излучения; kK — спект- ральный объемный коэффициент поглощения; JKt р — спектраль- ная равновесная интенсивность. Если известна основная характеристика поля излучения (Д), то радиационный тепловой поток определяется по формуле со qR = j | cos <pd£2 dk. (16.14) 4Л 0 Система уравнений (16.1) ...(16.14) решается при наличии следующих граничных условий: на поверхности у = 0; и = v = 0; Т (0) = Tw- Кт,и, = 0; (16.15) во внешнем потоке и->их Ст(оо) -> Cti Ct (оо) —> Cit j’, Т (оо) -> Тг. (16.16) Граничные условия для излучения сформулируем ниже. 16.3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАДИАЦИОННОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА И ЕГО ДИВЕРГЕНЦИИ В теории гиперзвукового обтекания поверхности ле- тательного аппарата излучающим высокотемпературным потоком газа широко используется модель плоского слоя, так как его 400
толщина намного меньше харак- терного размера тела. Кроме того, температура и плотность газа очень сильно изменяются поперек слоя, что позволяет пренебречь градиентами температуры и плот- ности вдоль плоского слоя. Это позволяет принять допущение „ „ r J Рис. 16.3. Схема к выводу упавне- о том, что спектральная равно- ния лучистого весная интенсивность (JK р) не зависит от угла ср и является функцией только поперечной коор- динаты. Такой одномерный перенос излучения в плоском слое вполне оправдан, потому что поперечная составляющая лучисто!.; потока много больше продольной составляющей. Для вывода уравнения плотности лучистого теплового потока и его дивергенции разделим спектральную интенсивность (А) на две составляющие: прямую (А+!) и обратную (ДА (рис. 16.3). т. е. 7к+) — спектральная интенсивность в верхнюю полусферу; — спектральная интенсивность в нижнюю полусферу. Тогда полная спектральная интенсивность в любой точке слоя А п-д-д. (16.17) С учетом того, что dl = dy!cos ср, уравнения переноса излуче- ния для составляющих Д+: и имеют вид (см. рис. 16.3) dJ +) cos= МА, г-Л+)); (16.18) — cos ср а (А, р — Л"’)- (16.19) ау Обозначим т = I/cos ср. Для тепловых лучей, направленных в верхнюю полусферу (т. е. от стенки), справедливо условие (см. рис. 16.3) 0^ср^л/2; 1фтофоо, (16.20) а для лучей, направленных в нижнюю полусферу (к стенке), (16.21) него гра- Проинтегрируем уравнение (16.19), ничное условие: при у = д Л;’.а, = А. Получим выражение для спектральной в нижнюю полусферу т — 1. используя для л- интенсивности (16.22) (У) ] / д \ х-) (У) = к. д exp I — j к (л) mdr\ \ У J Д ( s \ J к, Р (П) к (р) т exp ' — j kK (s) mds I di], у \ у ! (16.23) 401
Уравнение (16.18) решается с граничными условиями на стенке. Считая процесс отражения тепловых лучей от стенки диффузным, запишем /к+)(О) = 5х(^) + (1 -еи,)Д-’(0)-^. (16.24) Принимая степень черноты поверхности летательного аппа- рата близкой к единице, проинтегрируем уравнение (16.18) и получим выражение для спектральной интенсивности [Д+) (i/) 1 в верхнюю полусферу: / v \ v Jxy (у) - Вх, О (Tw) exp — j kx (л) md г] + j J x. P (л) kx (n) rn. X \ 0 /0 / V \ X exp — j kK(s) mdsjdt]. (16.25) \ s / Подставив выражения для спектральной интенсивности J\ (16.17), (16.23), (16.25) в выражение для лучистого теплового потока (16.14), получим <7я - 2л j о У j kx (s) ds п А - j Л, р (п)Ып)£2 у У J kx (n) dt] о П j kx (S) ds У А j </ о (Tw) X (16.26) где Е„ (т\) = J m~nexp(—mt^dm -- интегроэкспоненциальная 1 функция порядка п (n = 1, 2, 3...); тх~| kx (у) dy — спек- тральная оптическая толщина слоя. Продифференцировав уравнение (16.26) по у, получим выра- жение для дивергенции лучистого теплового потока, которое используется в уравнении энергии (16.8): о 27х, р (у) — Вк, 0 (Tw) Ег у kx(B)^ о “С Jx, &£% д j X (п) У д - j" Jx,p(^kK(t])E1 X о Л. (16.27) 402
Если подставить выражение к^’см дивергенции лучистого тепло- 11 вою потока (16.27) в уршше- ипе энергии (16.8), то полу- чим сложное уравнение, име- I югцее пптегродиффереициаль- \ шли характер. Решение этого z уравнения усложнено тем, что V__ спектральный коэффициент ио- глощеция (Ад) является очень _____________________________ сложной функцией от длины д волны. Это обстоятельство при- Рис. 16.4. Ступенчатые модели водит к тому, что строгое ре- шение задач радиационно-конвективного теплообмена с реальным спектром при наличии линейчатой области невозможно даже на самых современных ЭВМ. Следовательно, необходимо раз- рабатывать приближенные, по достаточно эффективные методы интегрирования радиационных характеристик газа по длинам волн, причем заранее, до решения системы уравнений радиа- ционно-конвективного теплообмена. Одним из таких наиболее простых ранних методов является приближение «серого газа», когда делается предположение о пол- ной независимое!и коэффициентов поглощения от длины волны. Такая модель резко упрощает решение задач!! радиационно-кон- вективного теплообмена, она широко использовалась в ранних работах многих специалистов, однако погрешность в определении лучистого теплового потока очень высока. Поэтому эта модель применяется крайне редко. Для учета селективности в переносе излучения широко ис- пользуются ступенчатые модели, когда коэффициент поглощения считается постоянным в определенном интервале длин волн. На рис. 16.4 представлены ступенчатые модели различного типа, аппроксимирующие оптический спектр высокотемпературного воз- духа. Количество ступеней варьировалось различными исследо- вателями от двух до восьми. Однако ступенчатые модели пригодны только для описания непрерывного спектра. Чтобы получить более точные расчеты поля излучения, при- мешались более сложные ступенчатые модели (га — 21 ... 128), приближающиеся к реальному спектру, которые можно рассма- тривать как метод прямого интегрирования по длинам волн. Но и здесь нрп наличии линейчатой структуры молекулярных спектров возникают непреодолимые трудности при интегрировании но длинам волп даже с применением самых современных ЭВМ. Разработан новый интегральный метод расчета переноса из- лучения — метод парциальных характеристик. Он позволяет про- вести интегрирование по длине волны и углам в выражении для лучистого теплового потока п его дивергенции заранее, до реше- ния системы уравнений радиационно-конвективного теплообмена. 403
При этом необходимо отметить, что интегрирование по длинам волн проводится по всему реальному спектру, включающему в себя произвольное число спектральных линий. Это — трудоем- кая задача, требующая для своего решения на современных ЭВМ времени на порядок больше, чем решение самой задачи тепло- обмена, выполняется заранее (один раз). Интегральные парциаль- ные характеристики в зависимости от термодинамических пара- метров газового объема (температуры и давления) табулируются в виде справочного материала. Используя их, можно быстро рас- считать в каждой точке горячего газового слоя величину лучи- стого теплового потока (qR) и его дивергенцию (dqRldy). В качестве 'наглядного примера рассмотрим радиационно- конвективный теплообмен в окрестности передней критической точки затупленного тела, движущегося со сверхорбитальной ско- ростью. 16.4. РАДИАЦИОННО-КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРЕДНЕЙ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ ЗАТУПЛЕННОГО ТЕЛА Рассмотрим обтекание сферы радиусом RN (рис. 16.5) гиперзвуковым потоком воздуха. Перед телом возникает отошед- шая ударная волна 1, за которой образуется ударный слой 2, в котором термодинамические параметры (давление, температура, плотность) близки к параметрам торможения. Толщина ударного слоя (Д) составляет несколько процентов от характерного раз- мера тела (радиуса затупления), поэтому можно сделать допуще- ние, что Д/Я„«1. (16.28) Если температура и давление торможения в ударном слое таковы, что оптическая спектральная толщина газового слоя мала для всех длин волн (т\ 0,01) л т\ = j ей/, (16.29) о то ударный слой является адиабатным. Профили всех параметров интенсивно изменяются Рис. 16.5. Схема обтекания сферы лишь в тонком пограничном слое, для которого справедливы уравнения Пра- ндтля . Существенно усложняется картина течения излучающего и поглощающего газа в ударном слое, когда поле излу- чения начинает взаимодействовать с полем течения. В результате этого взаимодействия изменяется профиль полной энтальпии поперек ударного слоя (см. рис. 16.5), который перестает быть адиабатным, изменяются также профили всех физических параметров 404
газового потока, в том числе и скорости. Наблюдается такая картина, как-будто пограничный слой «разбухает», и вязкостные эффекты необходимо учитывать во всей области течения за удар- ной волной. Поэтому при исследовании тепло- и массопереноса в излу- чающем и поглощающем газе, обтекающем поверхность тела, де- лается допущение, что ударный слой является вязким, а давление поперек него не изменяется. В этом случае с учетом допущения (16.28) систему дифференциальных уравнений, описывающую течение излучающего газа за ударной волной, можно свести к си- стеме дифференциальных уравнений пограничного слоя (16.1) ... (16.13). При наличии термодинамического и термохимического равно- весия в ударном слое систему уравнений (16.1) ... (16.13) можно существенно упростить, воспользовавшись методом полных коэф- фициентов. В этом случае течение излучающего и поглощающего газа в окрестности передней критической точки затупленного тела, где ударный слой можно считать плоским, описывается следующей системой дифференциальных уравнений: 1) уравнение неразрывности для смеси (рис. 16.5) (pur) + ~ (pvr) = 0; (16.30) 2) уравнение количества движения ди ди др , д / ди \ ри -т—НрУ-з~- =-------Р -т- : (16.31) f дх 1 1 ду дх 1 ду V ду ' ' ’ 3) уравнение энергии Р дх ' Р ду ду [ cPeff ду ] ду ' Здесь использован метод полных (эффективных) коэффициен- тов. Лучистый тепловой поток и его дивергенция определяются уравнениями (16.26) и (16.27). Система уравнений (16.30) ... (16.32), (16.26), (16.27) реша- ется при следующих граничных условиях: у = 0; и = v = 0; Т(0) - Tw, 1(0) = Iw-, = 1; /к(0) = Вх>0. (16.33) На ударной волне у — А; рнИн = РдРд! Рн + PhUh = Рд 4- Рд^д! 1н + u’k/2 = = 7д + о1/2; /к.д = о. (16.34) 405
16.5. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ К БЕЗРАЗМЕРНОМУ ВИДУ В окрестности передней критической точки затуплен- ного тела, где скорость внешнего потока является линейной функ- ции продольной координаты ид -- (16.35) решение является подобным, т. е. система дифференциальных уравнений (16.30) ... (16.32) в частных производных параболи- ческого тина сводится к системе обыкновенных дифференциаль- ных уравнений. Для этой цели используются специальные переменные о У p,u„r р р Л = dy. (16.36) Чтобы удовлетворить уравнению неразрывности, введем функ- цию тока ф, положив риг -- -Д-, pvr —------4- . (16.37) Будем искать решение для функции тока ф в виде (16.38) у через новые переменные д г] д дх Ср ’ д Др Выразим производные по х и тф У дх дс, д 4 д дх 4 (16.39) । “д' уд Подставим выражение для функции тока ф (16.38) в уравнения (16.37). С учетом (16.39) получим и _ Д (16.40) / f <)f также безразмерные 24ф1- зависимые параметры скорости = и/Мд ф — - -т?------ 1 <?Г| (16.42) 406
и полной энтальпии торможения g = W (16.43) Уравнения количества движения и энергии (16.31), (16.32) в новых переменных с учетом уравнений (16.40) ... (16.43) при- нимают вид (/ф')' : /ф' + У (-у- - ф2) = К (ф - ф' -f-); (16.44) g'Y +fg'= 2£(ф4г• (16.45) \ Preff ° / 1 16 dr] 6 dg J v ' В окрестности передней критической точки затупленного тела (при £ 0) имеем следующую систему обыкновенных диф- ференциальных уравнений: 1) уравнение количества движения W)' + fq' + у (рд/р — ф2) = 0; (16.46) 2) уравнение энергии + = (16.47) 3) уравнение для функции тока f “ j ф dr\, (16.48) о где I = (НР)/(Ни>Рш); Рге// = 11СРеуу/^еЯ> т — 2 |п £ (16.49) штрих означает производную по координате т]. Граничные условия в новых переменных имеют вид: г] = 0; f (0) = ф (0) ~ 0; g (0) = gw, &w = 1. (16.50) На ударной волне р0 = uhIRn\ ф(Д) = 1; Нд) = Ph^h/V 2ршршр0; §(Д) 1. (16.51) 16.6. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО (УДАРНОГО) СЛОЯ Для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений (16.46) ... (16.48) разработано достаточно много эффек- тивных численных методов, например дифференциально-разност- ный, конечно-разностный метод, интегральных соотношений. На практике для численного решения дифференциальных уравнений чаще применяется метод конечных разностей. Конечно-разностный метод является наиболее универсальным и наиболее точным численным методом. 407
Для разработки алгоритма счета представим систему (16.46, 16.47) в виде общего нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка: w++= 0> (16-52) где для уравнения количества движения F =-• ф (л); Qi = I (л); Ri = I' + f (л); С1 = —УФ (Г|); Dj = урд/р; (16.53) для уравнения энергии F -g(n); <?2 = Ww R2 = f (ч) +с^-=0; D2 = —q'R. (16.54) Для интегрирования уравнения (16.52) по координате г] раз- биваем всю толщину ударного слоя на N узловых точек (для практической реализации задачи достаточно положить N = 180 ... 200). Шаг по координате г; = h. Для конечно-разностной аппроксимации дифференциального уравнения (16.52) воспользуемся неявной разностной схемой с погрешностью О (Л2) Qh + + Rh + ChFh + Dh = 0 (& = 1, 2, . . ., N - 1). (16.55) Обозначим ak = 2Qft - Л2Сь В, - Q, ф ~hRh- yft - Qs - ±-hRk', = h*Dk (k = 1, 2, .... N - 1). (16.56) С учетом (16.56) получим систему нелинейных алгебраических уравнений -?Л-1таЛ-₽Л+1=0 Ф = 1. 2, .... N- 1) (16.57) с грехдиагональпой матрицей коэффициентов, которая эффективно решается методом прогонки. Для этого воспользуемся рекуррент- ным соотношением (k = 1, 2, ..., N). (16.58) Подставив (16.58) в уравнение (16.57), получим выражения для прогоночных коэффициентов: Ah = Маь — yMs-i); Вч - (6h + ykBk^;'(ah - yMU (k - 1, 2..........- 1). (16.59) Начальные значения прогоночных коэффициентов (Ло и Во) определяются из граничных условий на поверхности (16.50). 408
Определив прямой прогонкой коэффициенты Ак и Bh, нахо- дим из обратной прогонки функцию (Fh), воспользовавшись рекуррентным соотношением Fh = AhFh+14-Bh (k = N — 1, N — 2, .... 2, 1, 0). (16.60) По данному алгоритму была составлена программа на языке ФОРТРАН IV. Программа состоит из 6 модулей: из основной программы и пяти подпрограмм — VICH, RESH, SIMPS, LUCH, PROGON, которые используются в основной программе. Численный метод решения системы дифференциальных урав- нений полностью представлен в основной программе. Методика решения состоит из следующих операций: I. Задаются (произвольно) начальные профили скорости q>V” температуры 72”, полной энтальпии gk0>• 2. По известному профилю скорости определяется функция тока л /(T]) = /- + f ф(т1)с(т1- (16.61) о Уравнение (16.61) интегрируется методом криволинейной тра- пеции (методом Симпсона) с использованием подпрограммы SIMPS. 3. Зная профиль температуры поперек ударного слоя, рас- считываются термодинамические и переносные свойства высоко- температурного газа — р, Л4СМ» cvefp И» ^е//> Ргеу/ с помощью подпрограммы VICH. 4. Обращаясь к подпрограмме RESH, вычисляются коэффи- циенты дифференциального уравнения (16.52) Qft, Rk, Gh, Dk. 5. С помощью подпрограммы LUCH определяются лучистый тепловой поток (qR) и его дивергенция (dqR/dr]) по методу парци- альных характеристик. 6. С помощью подпрограммы PROGON методом прогонки решаются уравнения движения и энергии, в результате чего определяются профили скорости cpl"’ и полной энтальпии тор- можения qk"\ 7. По профилю полной энтальпии торможения определяем температуру в ударном слое J . Т(Л) = Т1О+7Д (16.62) J cpeff СП) • используя для расчета интеграла в уравнении (16.62) подпро- грамму SIMPS. 409
8. Для расчета лучистого потока и его дивергенции на каждой итерации определяется физическая толщина ударного слоя (16.63) с использованием подпрограммы SIMPS. 9. Зная новый профиль всех параметров (скорости, полной энтальпии торможения, температуры), повторяем процесс расчета. Таким образом, задача решается методом итераций, пока не будет достигнута заданная точность расчета е — 10"3 ... 10“4 р(п)___ р(п—1) 1 k 1 k p(rt) г k (16.64) 10. После решения задачи, определив структуру ударного слоя, определяем параметр теплообмена на стенке / Nu \ _ (7д ~ !w) / tfg \ Д/КеД ~ 7д К Л1 и приведенную величину теплового потока (16.65) (16.66) 16.7. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА РАДИАЦИОННО- КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ПОЛЕТЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ С ГИПЕРЗВУКОВЫМИ СКОРОСТЯМИ В большинстве ранних теоретических исследований излучающего ударного слоя для расчета лучистого теплового потока использовалась модель оптически прозрачного газа. Пред- положение о прозрачности газа справедливо в том случае, если д оптическая толщина ударного слоя т\ = j k^dy мала для всех о длин волн (тх < 0,01). При этом пренебрегали влиянием лучистого переноса энергии на параметры газа в ударном слое (температуру, скорость, пол- ную энтальпию и др.), т. е. не учитывали влияние поля излучения на поле течения. В окрестности передней критической точки затупленного тела это предположение эквивалентно тому, что ударный слой счи- тается адиабатным с постоянными параметрами (Т, J) поперек слоя. Выражение для радиационного теплового потока от пло- ского ударного слоя газа в окрестности передней критической точки тела к поверхности летательного аппарата имеет вид qR.o = 2kP\o0T40, (16.67) 410
где kP — средний коэффициент поглощения по длинам волн для серого газа; А— толщина ударного слоя; Го— температура торможения в ударном слое. Используя результаты исследования для толщины ударного слоя • А =-0,78./?Л.(рн/рЛ) (1G.G8) и обработав данные расчета излучательной способности ударною слоя Es = ‘i.kpdoT^ в зависимости от параметров иабегаюгпего потока воздуха, получим выражение для радиационного iсило- вого потока к поверхности летательного аппарата от оптически прозрачного ударного слоя с постоянными параметрами: 1) для ин < 8 км/с <7r, о = 9 10 2Ю (рн/ро)1’42 Пн'5; (16.69.) 2) для 8 км/с < иа -С 12 км/с qR. 0 = 9,6- 1(Г9/?Л- (Рн/Ро)1'42 Нн5'5; (16.70) 3) для 12 км/с < ин < 15 км/с g«,o= l,6/?w (рв/р0)''42 п8н 5, (16.71) где ия — скорость полета летательного аппарата, км/с; р„ — плотность воздуха на высоте, кг/м3; р0 — плотность воздуха при нормальных условиях (р = 106 Па, Т — 288 К), кг/м3; EN — радиус затупления головной части летательного аппарата, м. Полученные уравнения (16.69) ... (16.71) потребуются при разработке инженерной методики расчета лучистого теплового потока от ударного слоя газа с реальным спектром излучения. Первым шагом при расчете излучения от высокотемператур- ного газа с учетом поглощения было использование в уравнениях (16.46 ... 16.51) ударного слоя модели серого газа. Был проведен расчет вязкого ударного слоя и опреде- лены конвективный и лучистый тепловые потоки. Установлено, что учет излучения и поглощения в сером газе существенно снижает величину радиационного потока. На рис. 16.6 приведены результаты рас- чета лучистого потока для оптически про- зрачного ударного слоя(кривая 1) по урав- нениям (16.69) ... (16.71) в зависимости от радиуса затупления головной части летательного аппарата, летящего на вы- соте 61 км (рн/Ро = 3-Ю-4) со скоростью 15,25 км/с. Температура торможения в ударном слое в этом случае равна 15-Ю3 К. Здесь же нанесены результаты работы (кривая 2), где использована мо- дель серого газа. Видно, что лучистый Рис. 16.6. Г\ 1 ’>1 расчета лучистою тепло- вого потока 411
Рис. 16.7. Зависимость кон- вективного теплового потока от параметра Гд тепловой поток значительно умень- шается с возрастанием радиуса за- тупления по сравнению с оптически прозрачным слоем и он становится пропорциональным не радиусу зату- пления в первой степени (Rm), a Rn, где tn < 1 (т ~ 0,5). За счет высвечи- вания высокотемпературного газа в ударном слое снижается также вели- чина конвективного теплового потока. Для учета селективности излуче- ния и поглощения газа в ударном слое многие исследователи исполь- зовали ступенчатые модели с боль- шим количеством ступеней (с малым шагом по длине волны). Показано, что совместный учет охлаждения ударного слоя излу- чением и селективного самопоглощения, в вакуумной ультрафио- летовой области при А <0,12 мкм снижает лучистый тепловой поток на порядок (см. рис. 16.6, кривая 4). Однако, если учесть вклад спектральных линий атомов, то это приводит к увеличению радиационного теплового потока на 30—40% (см. рис. 16.6, кривая 3). Здесь же нанесены результаты, полученные при реше- нии системы уравнений ударного слоя (16.46) ... (16.48) с исполь- зованием метода парциальных характеристик для расчета лу- чистого потока и его дивергенции. Расчеты проводились в широ- ком диапазоне граничных условий (скорости полета, полной энтальпии торможения, температуры) и радиуса затупления головной части летательного аппарата. Результаты расчета хо- рошо совпадают с данными других исследователей. Результаты расчета радиационно-конвективного теплообмена при полете летательных аппаратов со сверхорбитальными ско- ростями можно обобщить, если ввести радиационный параметр р 2</я, о Д ~ (1/2рн«’) ’ (16.72) представляющий собой отношение потока энергии, излучаемой оптически прозрачным ударным слоем с постоянными параме- трами (в направлении к поверхности тела и ударной волны) к потоку энергии, втекающему в этот слой через ударную волну. На рис. 16.7 приведена зависимость конвективного теплового потока при наличии излучения от радиационного параметра (Гд). В представленном диапазоне скоростей набегающего потока (до ия = 16 км/с) эту зависимость можно представить в виде следующего уравнения (кВт/м2): п ___ _______Чю, о____ qw 1 + 0,245Гд38 ’ (16.73) 412
где qWt о — конвективный тепловой поток к поверхности тела от оптически прозрачного ударного слоя, кВт/м2. На этом же рисунке нанесены результаты расчета лучистого теплового потока к поверхности летательного аппарата с учетом вклада как континуального излучения, так и спектральных линий атомов. Используя метод наименьших квадратов, было полу- чено следующее уравнение для радиационного теплового потока: (“STI) где qR0 — радиационный тепловой поток к поверхности лета- тельного аппарата от оптически прозрачного ударного слоя, который определяется по формулам (16.69) ... (16.71). 16.8. ПРОГРАММА И ЕЕ СИМВОЛИКА REAL Т(181), Al(181), Fl(181), G(181), Fll(181), Gl(181), ETA(181), ♦ R2(181), ROMU(181), AL(181), PREF(181), F(181), CPEF(181), F12(181), *Q1(181), Q2(181), Rl(181), 0(181), C2(181), Dl(181), D2(181), *T2(181), R0(181) CALL ASS1GN(1, ’DK: PROG. REZ’) C____________________________________________________________ С ВВОД ДАННЫХ DATA TW, Ul, U2, All, A1W, AIOXL, N/500., 4.E3,5.E3,2.2E5, 1.E6.0., 181/ c------------------------------------------------------------ FORMAT (IX, 79 (’—’)/16X, ’Ul=’, F6.0.8X, ’Tl=’, F6.0.8X, ’TW’ F6.0 * /lX, 79(’—’)/2X, ’CP * SQRT(RE)’, 6X, ’R’, 10X, ’A1E’, 5X, ’NU/SQRT(RE)’, * 2X, ’Q*SQRT(X)’, 2X, ’TR *SQRT(X)71X, 6E12.5/1X, ’J=’, 13/IX, 79(’—’) * //10X, ’ETA’, 10X, ’T’, 12X, ’Fl’, 11X, ’G’, 12X, ’Al’, 11X, ’F’Z * (3X, 6E13.5)) 34 FORMAT(1X, 4E12.5) KOD=1. 2 J=0 Tl=220. FW=0. BO=0. M=N— 1 DH=.l MA=N—2 DM=.l GW=(A1W—A11)/(U1 » *2/2.) DO 3 K=1,N ETA(K)=DH * (К—1.) 3 F1(K)=1. —EXP(—ETA(K) * * 1.4) F1(N)=1. G(N)=1. DO 44 K=1,N G(K)=GW+(1. —GW) *F1(K) A1(K)=A1W+(G(K)—FI(K) * *2).U1. *2/2. 413
44 Т(Ю~-Т1Ч ((AJ(K)—Al 1)/(А IW—AI11)) * (TW—Tl) A IT 1 -All aUI * * 2/2. 4 L---0. WR ITE(5,34)(T(K), K—1,N) DO 5 K=-1.N T2(K)-=T(K) FI 1 (K) - I7I(K) 5 G1(K)-- G(K) F 12(1) -4FI(2)—FI(1))/DH F 12(N)--0. DO G К - 2,M С F12il<) MFI(K4 1)—FI(K--l))/2./DII CALL SIMPS(F 1, F, DM, N, M, BL, KOD) CALL V1C1KT, PREF, CPEF, ROMU, RO, AL, N) CALL I.UCIKT, Y, DS, DS IM, QR, DQR, M, N) AIW- CPEF(l) * TW PREFM-- PRLF(l) CALL RESH(FI, F, PREF, AL, QI, Q2, R 1, R2, Cl, C2, Dl, D2, F12, RO, DH, BO, N, M) CALL PROGON(FI, QI, Rl, Cl, Dl, DH, N, L, M, GW, FW, PREFW A1W, AIOXL, Ul, * KOD) L-W+l CALL RPOGON(G, Q2, R2, C2, D2, DU, N, L, M, GW, FW, PREFW, A1W, AIOXL, Ul, < KOD) DO 7 Iv- -1,N FI (K) -- Fl 1 (K) ! - (FI (К)-- F11 (K)) * DM G(KW=G1(K)4(G(K)-G1(K)) * DM 7 AUK)----=AI1(K)4(G(K)—FI(K) » * 2) . Ul * * 2/2. T(N)--T1 T(M) -T(N)- (AI(N)---AI(M)) «- (1 ,/CPEF(K)+ 1 ,/CPEF(M))/2. 1F(AI(M)-LT.7.6E5)T(M) —AI(M)/T000. DO 8 K=-l, MA I = N—К T(I-.1) = T(I4-1)-(AI(I41)—A1(I—1)) * (l./CPEF(141)44./CPEF(I)4- — l./CPEF * (I —1))'6. IF(AI(I —1).LT.7.6E5)T(I—1)==AI(I—1)/1000. 8 CONTINUE T(1) = TW EPS—.01 DO 9 K=1,M T(K)-T2(K)4(T(K)-T2(K)) * DM EPS1 = (G(K)~ G1(K))/DM IF(ABS(F.PS).LT.ABS(EPS1))EPS=EPS1 9 CONTINUE WRITE(5,70)EPS 70 FORMAT(IX, 70(’—’)/30X, ’EPS=’, F7.-3) J = J41 DM=DM44 IF(DM.GT..5)DM=.5 IF(ABS(F.PS).GT..01)GO TO 4 PTR = 2. - (FI(2)—FI( 1))/DH R=SQRT(PREF(N)) HI1 » » 0/9 PTO= (AIT1— AIW)/(A1E-AIW) * (G(2)—G(1))/DH QW— PTO * SQRT(ROMUH) -x-Ul) * (A IE—AIW) /PREF(l) TR = PTR/2.«U1 » SQRT(ROMU( 1) *U1) WRITE(5,1)U1, Tl, TW, PTR, R, AIE, PTO, QW, TR, J, 414
*(ЕТА(К), Т(К), FI(K), G(K), AI(K). F(K), K=l, N) WRITE(1,1)U1, Tl, TW, PTR, R, AIE, PTO. QW, TR, J, *(ETA(K), T(K), FI(K), G(K), AI(K), F(K), K=l, N) J = 0 Ul=U14-1000. IF(U1.LE.U2)GO TO 2 STOP END В программе использовалась следующая символика: Т(К)~Тк- АЦК)^1к: F1 (К) -ФК; G (А) ~ gK; ETA (А) - Лк; F (А) ~ ук; АЕ(А)~/К; PREF (А) ~ Рге//К; F (А) ~ /к; CPEF (А) ~ сре//к; ROMU (К) ~ (рц)к; R0 (А) ~ рк; QR (А) -- <7д„; DQR (А) ~ (dqRldr\)- Т1~Т\, TW~Tw, ROH^pw, UH^uR; AIW ~ Iw- RN~Rn-, MUW- pw-, ROW рш; DS (A) — парциальный источник; DS1M (A) — парциальный сток. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Что такое оптическая толщина ударного слоя? 2. Что такое серый газ? 3. Какие модели использовались при расчете лучистого переноса тепла? 4. Какой слой называется адиабатным? 5. Как поле излучения влияет на поле течения?
ГЛАВА XVII ТЕПЛООБМЕН ПРИ 'ПОЛЕТАХ В РАЗРЕЖЕННОМ ГАЗЕ 17.1. ГАЗ КАК СОВОКУПНОСТЬ ОТДЕЛЬНЫХ МОЛЕКУЛ Область полетов летательных аппаратов лежит в ши- роком диапазоне высот и скоростей. Баллистические ракеты до- стигают высот более 300 км. Искусственные спутники Земли ле- тают в диапазоне высот от 150 до 30 000 км при скоростях ~8 км/с. С увеличением высоты уменьшаются давление и плотность атмо- сферного воздуха, газ становится разреженным. Исследования показывают, что законы течения разреженных газов отличны от законов течения при обычных давлениях. Это связано с тем, что гипотеза сплошности среды недействительна для разреженной атмосферы и необходимо пользоваться кинетической теорией газов. При исследовании течений газа при больших разрежениях необходимо учитывать, что газ представляет собой совокупность отдельных молекул. При рассмотрении молекулярной структуры газов предполагается, что молекулы находятся в беспорядочном движении, сталкиваются между собой и ударяются о поверхность обтекаемого тела. Предполагается также, что к столкновениям молекул применимы законы ударов абсолютно упругих шаров. В промежутке между столкновениями силами взаимодействия молекул пренебрегают. Исходя из этих представлений, можно ввести понятие длины свободного пути (свободного пробега) молекулы как расстояния, проходимого молекулой от одного соударения до другого. По- скольку молекулы двигаются с различными скоростями и имеют разные длины свободного пробега, то обычно рассматривают величину среднего свободного пробега молекулы I. Средняя длина свободного пробега и связанное с ней число столкновений молекул зависят от размера самих молекул. Методы газокинетической теории устанавливают, что I = 1/(пс), (17.1) где п — число молекул в единице объема; а — эффективное сече- ние столкновения молекул. Из физических соображений следует, что чем меньше I, тем ближе среда к гипотетической сплошной. Значение I увеличивается при уменьшении давления, т. е. при увеличении высоты полета. В таблице 17.1 представлены длины свободного пробега молекул на различных высотах. 416
Таблица 17.1. Зависимость длины свободного пробега от высоты Высота, км Давление, Па Число частиц в 1 мэ 1, м 0 1,013- ю5 2,55- 1026 6.4- 10~8 10 2,649-104 8,6-1024 1,75- 10~7 30 1,184-103 3,7-1023 4,08- 1О'в 60 2,412-101 6,9-1021 2,27- 10~4 100 3.241-10"2 2,9- 101в 5- 10~2 200 1,363- 10~4 8-1016 200 300 1,595-10~5 8-1014 2000 Формула (17.1) неудобна для практического применения, так как площадь эффективного сечения молекул трудно опреде- лить непосредственным измерением. Удобнее выразить I через коэффициент динамической вязкости р. Из кинетической теории газов следует, что коэффициент динамической вязкости р. = 0,499рб/, (17.2) где v — средняя скорость хаотического движения молекул, кото- рая связана со скоростью звука а соотношением v = а ]/8/(л&); k — показатель адиабаты; р — плотность. Исходя из этого, получаем формулу для длины свободного пробега /= 1,255. рТц/(ра). (17.3) 17.2. ОБЛАСТИ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Характер обтекания тела зависит от соотношения зна- чения длины свободного пробега (/) и характерного размера рас- сматриваемой области (ЕХар) ' 1,255 (17.4) ^хар Ра^хар и Кехар где и — скорость потока; М = и/а — число Маха; Re =- = puLxap/p — число Рейнольдса. Отношение называют числом Кнудсена Кп. Если Kn С 1, то среда может рассматри- ваться как сплошная, и в этом случае применимы все законы газовой динамики. При больших значениях числа Кнудсена необходимо принимать во внимание дискретность среды. Эта область называется областью разреженных газов. Перейти из области газовой динамики в область разреженных газов можно либо в результате снижения давления, либо в результате умень- шения размеров рассматриваемого тела. При рассмотрении пограничного слоя линейной величиной, определяющей размер рассматриваемой области, является тол- 14 Авдуевский 417
щина пограничного слоя 6. Число Кнудсена в этом случае Кп = ~ ~S~ ~ ~ ~1Г' ^десь — размер тела (например расстояние от переднего края при обтекании пластины, диаметр шара и т. п.). В этом случае тгп _ _[_L __ 1,255 ~|/fe~ р, L _ . ___ -|/~r~ М 14 L 6 раЛ 6 1,200 У Re 6 ’ где Re = puL/p. Значение 8/L — отношение толщины погранич- ного слоя к размеру тела — при ламинарном течении имеет по- рядок 6/Л ~ l/]/ Re. Таким образом, в том случае, когда можно говорить о суще- ствовании пограничного слоя (достаточно большие значения Re) Kn~M/]/Re. (17.5) При малых значениях Re, когда нельзя выделить пограничный слой, размер области течения около тела имеет порядок раз- мера тела: Lxap и Kn~ M/Re. (17.6) Исследования показали, что при Кп <0,01 можно пренебречь дискретностью среды и рассматривать газ как континиум. Зна- чения Кп > 0,01 соответствуют течению разреженных газов. При очень больших разрежениях, когда длина свободного про- бега молекул значительно больше размеров тела, при расчете об- текания можно пренебречь числом столкновений молекул между собой по сравнению с числом столкновений с поверхностью. Эта область называется областью свободно-молекулярного течения. Она характеризуется тем, что Кп > 10. Исследования в области свободно-молекулярного течения проводятся методами кинетиче- ской теории газов. Между областями газовой динамики и свободно-молекуляр- ного течения находится наиболее трудная для исследования переходная область, которую условно можно разделить на про- межуточную область (1 < Кп 10) и область течения со сколь- жением (0,01 <Кп< 1). В области течения со скольжением наблюдаются два эффекта. Первый из них состоит в том, что скорость газа у стенки не равна нулю, а газ скользит по поверхности с конечной скоростью — отсюда название области. Вторым эффектом потока со скольже- нием является температурный скачок у стенки при теплообмене газа с поверхностью. Температура газа у поверхности не равна температуре поверхности. Таким образом, с учетом выражений (17.5) и (17.6) можно определить следующие границы областей течения газа: 1) M/ZRe < 0,01 — газовая динамика, континиум; 418
Рис. 17.1. Границы областей течения газа 2) M/J/Re > 0,01, M/Re < 10 — переходная область, 0,01 < < M/J/Re < 1 — течение со скольжением, M/]/~Re > 1, М/Re < <10 — промежуточная область; 3) M/Re >10 — область свободно-молекулярного течения. На рис. 17.1 представлено графическое изображение границ областей. Указанные значения относятся к аэродинамическим явлениям в газе и являются приближенными. При экспериментальном ис- следовании отдельных вопросов теплообмена может оказаться, что границы областей сдвинутся. 17.3. СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ Теплоотдача и сопротивление при свободно-молекуляр- ном течении могут быть рассчитаны на основании кинетической теории газов. Очень многое зависит от того, как происходит взаи- модействие молекул со стенкой. Предельными видами взаимодей- ствия являются зеркальное и диффузное взаимодействия. При зеркальном отражении молекулы ведут себя подобно абсолютно упругим шарам. Энергия до и после соударения не изменяется. При диффузном отражении молекулы в результате соударения практически полностью абсорбируются стенкой, пере- давая ей свой импульс и энергию, а затем по истечении какого- либо малого промежутка времени отражаются от стенки с энер- гией, соответствующей температуре стенки. Практически большая часть молекул взаимодействует со стенкой по схеме диффузного отражения и лишь несколько процентов — по схеме зеркального. Таким образом, большая часть, но не все молекулы газа, падающие на стенку, приспосабливаются, аккомодируют к усло- виям на поверхности. Соответственно, средняя энергия отражен- ных молекул не равна энергии, которая была бы, если бы все молекулы взаимодействовали со стенкой по схеме диффузного 14* 419
отражения. Это явление характеризуется коэффициентом акко- модации 7) = (Е, - Er)/(Ei - Ew), (17.7) где — энергия, подводимая тем числом падающих молекул, которое приходится на единицу площади в единицу времени; Ег — энергия, уносимая отраженными молекулами; Ею — энер- гия, которая уносилась бы отраженными молекулами, если бы они имели энергию, соответствующую температуре стенки Тш. Значение ц < 1 зависит от физических свойств газа и стенки. Его величину определяют только экспериментально. Исследо- вания показывают, что значения коэффициента аккомодации для воздуха, взаимодействующего с алюминием и сталью, составляют от 0,87 до 0,97. Для гладких поверхностей и легких молекул (водород или гелий) величина ц может составлять примерно 10-2. Суммарный удельный тепловой поток к стенке можно опреде- лить как разность энергий падающих и отраженных молекул; q = E1-Er (17.8) или с учетом выражения (17.7) q = П (Ei — Еш). (17.9) Выражения для Ei и Ew получаются на основе кинетической теории газов. Не вдаваясь в подробности этой теории, запишем окончательное выражение a- -no RT 4 k 1 у <7-WK'11/ + х X [е—4,2 + ф У~л (1 — erf ф)]-—j, (17.10) где pi, 7\— соответственно плотность и температура невозму- щенного потока; Mi — число Маха невозмушенного потока; ф = = У^/2 Mj sin 0; 0 — местный угол атаки (угол между направ- лением невозмущенного потока и касательной к поверхности); о ф erf ф = У I е~г‘ dz — интеграл вероятностей, для расчета ко- Т/л J г о торого составлены математические таблицы; R — газовая по- стоянная. Формула (17.10) существенно упрощается в двух практически важных случаях. 1. ф (Д 1. Это условие выполняется при гиперзвуковых ско- ростях (Mi ф> 1) при 0 > 0. В этом случае е^М 0, erf ф ~ 1, величиной k/(k — 1) можно пренебречь по сравнению с М2&/2 „ „ пт 1 / RTi г м? , Ф+п т„, 1 „ <7 11Р1#Л У 2л L 2 k 2(£—1) J п- 420
Подставляя значение ср, после преобразований получаем q = -L r]plU, sin © R Rfer М'Г> - T™] <17Л Полагая в этой формуле q = 0, найдем температуру теплоизоли- рованной стенки = (17.12) р __р и коэффициент восстановления температуры г =-~г~ > где Toi — Т i (1 -ф М|). При больших скоростях (Mi > 1) то1 « -^=-11 » Л, Те » Гь Отсюда получаем г ~Те/Т01-2^+1)>1. (17.13) Таким образом, получен довольно интересный результат, заключающийся в том, что температура адиабатной стенки в сво- бодно-молекулярном потоке больше, чем температура торможе- ния. Для объяснения этой аномалии рассмотрим энергии падаю- щих и отраженных молекул. Можно показать, что при Mi ф> 1 и 0 > 0 энергия падающей на поверхность молекулы при свободно- молекулярном течении совпадает с соответствующей величиной 5 при континуальном течении и равна -у х7\. Здесь х — постоянная Больцмана. Энергия отраженной молекулы при свободно-моле- 5 кулярном течении равна 2хТг, а при континуальном--------%- кТг. Таким образом, для одной и той же температуры Tw поверхность в случае свободно-молекулярного течения отдает меньше энергии молекуле по сравнению со случаем континуального течения. Теплоизолированная поверхность отдает такое же количество энергии, какое на нее падает, и, следовательно, температура при свободно-молекулярном обтекании должна быть выше, чем в кон- тинуальном случае. Выражение перед квадратными скобками формулы (17.11) имеет смысл коэффициента теплоотдачи: « = sin © —Цу = -4- ПР1“1 sm 0 Ср-.(-4-~, (17.14) Z i rc 1 f z fc где ср — kR/(k — 1) — удельная теплоемкость при постоянном давлении. Введем число Стантона St = —-- =--------= 4- 3 sin 0 • (17-15) PiizCp Pi^iCp(Te Т i) 2 k Формула (17.11) допускает упрощение, если ограничена тем- пература стенки и выполняется условие Tw С Те. Тогда с учетом того, что MjTj -= «’/(йТ?), получаем q — (TlPjUj sin 0)/2. (17.16) 421
Можно ввести число Стантона несколько иначе, чем по формуле (17.15): St0 = q/[f>iU1Cp (Т01 - Т»)]. (17.17) При М, » 1 и 7, « Т01 St0 ^<7/(p,u1CpToi) q/(f>,urf/2). После подстановки сюда выражения (17.16) получаем Sto = nsin0. (17.18) В частности в окрестности передней критической точки (0 = я/2) имеем St0 = т). (17.19) 2. Второй интересный случай — теплообмен при течении вдоль пластины с нулевым углом атаки (0 = 0). В этом случае <р = 0; erf ср = 0. После подстановки этих условий в выражение (17.10) и преобразований получаем - М- <17-2°) Отсюда температура теплоизолированной стенки (q =0) Те и коэффициент восстановления ° М?]; (17.21) так как т01 = л(1 + -Ц^-м?). Сравнивая формулы (17.22) и (17.13), убеждаемся, что на произ- вольно расположенной по отношению к потоку поверхности (0 > 0) коэффициент восстановления температуры стремится при увеличении Мх к значению г на плоской пластине. Коэффициент теплоотдачи на плоской пластине <|7'23) а критерий Стантона -1/ kRT\ (fe-f-1) St __ а ______ ^Pl V 2nk 2 (fe—1) _ т]а (fe 4- 1) __ т] (fe -|- 1) “ PxUxCp “ kR ~ и,кУ2л& ~ Mx2fe ’ _____P’ 1 (k- 1) так как аг = У kRTv Итак, St = n +-^-- • (17.24) 2ЖхУ2лЛ 422
Рис. 17.2. Зависимости модифициро- ванного коэффициента восстановления и модифицированного числа Стантона от числа Маха для различных случаев: / — поперечно обтекаемая плоская пла- стина; 2 — продольно обтекаемая плоская пластина; 3 — поперечно обтекаемый ци- линдр; 4 — шар Иногда удобнее пользовать- ся критерием Нуссельта Nu = = St Re Рг. Для плоской пла- стины Nu = г,Рг, 2k ~\/2nk Mi (17.25) где Nu = ax/hlt Re — Рг = HiC/A- При М 1 и Tw < Те можно получить из уравнения (17.20) простую формулу для расчета удельного теплового потока к плоской пластине = ПРа»? 4 2Мг уяд (17.26) В общем случае, когда скорости не слишком велики и угол атаки 0=^0, для расчета удельного теплового потока приходится пользоваться формулой (17.10). Для некоторых типичных форм тел с помощью формулы (17.10) были просчитаны тепловые потоки при условии Tw = const, т] = const. Результаты этих расчетов обобщены на рис. 17.2. Пусть qcp = Q/S, где Q — суммарный тепловой поток, посту- пающий через всю поверхность тела S. На рис. 17.2 представлена зависимость от числа Маха модифицированного коэффициента восстановления , __ Г " Цо1- Л) k и модифицированного числа Стантона (17.27) St' =----тгп-п (17.28) Пу (k -р 1) для поперечно обтекаемой плоской пластины (1), продольно обте- каемой плоской пластины (2), поперечно обтекаемого цилиндра (3) и шара (4). Для расчета среднего удельного теплового потока сначала необходимо определить Л = Г,Г1 + / —(17.29) L (Л “Г 1) z J затем, используя формулу (17.28), получим (17.30) 423
17.4. ТЕЧЕНИЕ В ПЕРЕХОДНОЙ ОБЛАСТИ Эта область течения менее всего изучена. Для получения точного решения задач теплообмена необходимо решать так назы- ваемые уравнения Больцмана, которые позволяют определить функцию распределения скоростей молекул. Уравнения Больц- мана являются интегрально-дифференциальными; их решение пред- ставляет большую сложность и требует огромных затрат машинного времени и объема памяти при использовании наиболее современ- ных ЭВМ. Наиболее часто для их решения используется метод Монте-Карло. Возможны и другие более простые подходы к реше- нию задачи. Для расчетов в области скольжения можно пользоваться сле- дующим приближенным приемом. Удельный тепловой поток к стенке рассчитывается по формуле где у — координата нормальная к стенке; «у=о — относительная скорость газа у стенки, которая рассчитывается по формуле <17-32» I — средняя длина свободного пробега молекул. Уравнение (17.31) используется совместно с обычными уравне- ниями пограничного слоя, полученными для континиума. Явле- ния скольжения учитываются граничными условиями: для ско- рости — условие (17.32); для температуры — Ту=0 -^=2L --g-- — (-Zpl , (17.33) ; т| </е -J- 1) уср \ ду J ^=0 v ' где Тут=§ — температура газа у стенки. Можно использовать вместо условия (17.32) модифицированное граничное условие r]u; = 2/ (4^-) , 11 \ ду J у=о' где Ui — скорость и на расстояние I от стенки. При использовании граничных условий (17.32) и (17.33) полу- чено отличное совпадение результатов расчета с эксперименталь- ными данными. Для расчета теплообмена в переходной области можно пользо- ваться эмпирическими формулами, полученными для некоторых частных случаев. 1. Течение в окрестности передней критической точки осесим- метричного тела при больших скоростях (Мн Д 1). Если определить число Стантона по формуле 424
Рис. 17.3. График к расчету тепло- обмена при течении вдоль плоской пластины Рис. 17.4. График к расчету тепло- обмена на конусе то в переходной области справедливо 1 Мн St* + -Q- -р- StCM sto=......... ..-%— 1 Мн 1 ч-----— Ф 9 ReH (17.35) где Мн — число Маха набегающего потока; ReH = PhUhRo/Bh! Stft — критерий Стантона, рассчитанный по формулам для континиума; StCM — критерий Стантона, рассчитанный по форму- лам для свободно-молекулярного течения; Ro — радиус затупле- ния обтекаемого тела. 2. Течение вдоль плоской пластины при нулевом угле атаки. В данном случае для расчета теплообмена можно использовать следующее соотношение, полученное для k = 1,4, Мг = 10...25; Tw/Tn = 0,05...0,2, ' [j _ th (0,91 1g Кп* 4 1,1)], (17.36) где _____ Sts/ = (0,368TJT01 4- 0,0684) [MiVc/Rex]3/2; (17.37) Kn* = l/l^Mp/Re,. ’ ' 01 (T'oi T'w) __ M-u'7\ p4 w Формула (17.36) справедлива для Kn* <4 0,1. Для больших значений Кп можно воспользоваться графиком, представленным на рис. 17.3. 3. Течение вдоль конуса при нулевом угле атаки. На рис. 17.4 представлена эмпирическая кривая зависимости параметра от параметра -^-^^-1^-, где 425
Рис. 17.5. Зависимость числа Нус- сельта от числа Рейнольдса для сферы: — — — — эмпирическая зависимость (Мн = 2,7 ... 6); 1 — теория сплошной среды (Мн = 0); 2 — теория свободно- молекулярного течения при различных значениях Mi St =--------—----0К—полуугол при вершине конуса; Rex-': Pl^lCp (/ 01 — J w) = PjUjX/pj; x — координата вдоль образующей конуса; с = = ртаЛ/(|л171ш). Эта зависимость справедлива при 15 < Мх < 25, 0К <20°, Тш/Т0~ 0,1. 4. Обтекание сферы. Получение теоретической зависимости для расчета теплообмена в переходной области при обтекании сферы представляет большую сложность. На рис. 17.5 приведена эмпирическая зависимость числа Нуссельта Nu = acpD/Xf от числа Рейнольдса Re6 = p6«i£>/p.' для сферы, где аср — средний коэффициент теплоотдачи; D — диаметр сферы, К, — коэффициент теплопроводности при температуре вос- становления Те. Число Рейнольдса Re6 строится по параметрам за прямым скачком уплотнения. Видно, что в области Re6 от 10 до 102 ни та, ни другая теория не согласуются с экспериментом. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Что такое длина свободного пробега молекулы? 2. Какие области течения газа Вы знаете? Каковы характерные особенности этих областей? 3. Как рассчитывается теплообмен при свободномолекулярном течении?
ГЛАВА XVIII ТЕПЛОВАЯ ЗАЩИТА ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ И ИХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК 18.1 . СПОСОБЫ ТЕПЛОВОЙ ЗАЩИТЫ При полете летательных аппаратов с большой скоростью в результате преобразования кинетической энергии внешнего потока вследствие трения в тепло температура поверхности может значительно превышать допустимую, при которой происходит раз- рушение современных конструкционных материалов. Например, при гиперзвуковых скоростях полета М = 10... 15 температура неохлаждаемой поверхности летательного аппарата может дости- гать 5 000...10 000 К- В энергетических установках летательных аппаратов, например в реактивных двигателях, также осущест- вляется разогрев рабочего тела до температуры 2 000...5 000 К, превышающей допустимую для современных конструкционных материалов. В плазменных установках температура рабочего тела может достигать 50 000 К и более. Во всех этих случаях необхо- димо обеспечить тепловую защиту элементов конструкции лета- тельных аппаратов и их энергоустановок, подвергающихся воз- действию высокотемпературного потока газа и большим тепловым нагрузкам. Рассмотрим основные способы тепловой защиты поверхности и методы их расчета. Наиболее простым способом тепловой защиты теплонапряжен- ных конструкций летательных аппаратов и энергоустановок явля- ется использование теплоемкости материала, т. е. способности материалов поглощать тепло. Такой способ тепловой защиты ис- пользуется при кратковременных тепловых нагрузках, на- пример в неохлаждаемых ракетных двигателях на твердом топливе. Если в начальный момент времени (в момент запуска двигателя; стенки камеры сгорания и сопел реактивного двигателя подвер- гаются тепловой нагрузке определенной интенсивности, то при нестационарном процессе его прогрева (теплопроводности) подво- димое тепло будет расходоваться на разогрев материала стенок и температура достигнет допустимого значения только по истечению определенного промежутка времени (тдоп). Время воздействия тепловой нагрузки (время работы двига- теля) выбирается из условия не превышения допустимых (из сооб- ражений прочности) значений температуры поверхности при нестационарном прогреве конструкции. Если в качестве допусти- мой принять температуру плавления материала конструкции 7ПЛ, 427
Рис. 18.1. Схема конвектив- ного охлаждения: ] — высокотемпературный газо- вый поток; 2 — охладитель то максимальное количество тепла, ко- торое она может поглотить Q = тс (Тпл - То), (18.1) где m — масса материала конструк- ции; с — ее теплоемкость; То — на- чальная температура материала кон- струкции. Следовательно, эффективность дан- ного способа тепловой защиты (от- вода тепла) тем выше, чем больше теплоемкость материала с и темпе- ратура его плавления Тпл. Из теории теплопроводности сле- дует, что чем меньше значение критерия Био Bi = абДм, тем более равномерная температура по сечению стенки и тепло без существенного запаздывания распространяется по ее сечению. Следовательно, при малых значениях критерия Bi максимально допустимого значения температуры (например температуры плав- ления) достигает одновременно как наружная, так и внутренняя поверхности стенки. По этой причине для данного способа тепловой защиты целесообразно использовать материалы с высоким значе- нием коэффициента теплопроводности, что обеспечивает поглоще- ние ими тепла равномерно по всей массе материала. Недостатком этого способа тепловой защиты является ограничение по времени воздействия тепловой нагрузки, которое с увеличением темпера- туры газового потока и интенсивности теплообмена уменьшается. Наиболее распространенным способом тепловой защиты явля- ется конвективное охлаждение теплонапряженной поверхности. В этом случае поверхность омывается с одной стороны высокотем- пературным потоком газа и охлаждается жидкостью или газом с другой стороны (рис. 18.1). Конвективное охлаждение широко используется для тепловой защиты камер сгорания и сопел жид- костных ракетных двигателей, лопаток и дисков турбин газотур- бинных реактивных двигателей, оптических систем лазерных установок. В случае конвективного охлаждения плоской пластины с коэффициентом теплопроводности А, и толщиной 6 (см. рис. 18.1) Гц — Тт l/“i (>8.2) где Т fl, Т f2—температуры газового потока и охладителя; Тш1, Тт — температуры поверхности с внешней и внутренней сторон пластины; cq, а2 — коэффициенты теплоотдачи со стороны горя- чего потока газа и охладителя. Из данного соотношения следует, что эффективность конвектив- ного охлаждения будет определяться относительной температурой " 14 - Tf\ = 1 + оцб/д -I- сц/а/ " 428
Рис. 18.2. Способы интеггсиФикации процесса теплообмена в каналах охла- ждаемых лопаток газовых турбин: а — ребра; б — цилиндрические интенсификаторы Из данного соотношения следует, что чем больше коэффициент теплоотдачи от внутренней поверхности к охладителю (а2) и меньше его температура (7Д), тем меньше температура наружной поверхности, т. е. больше эффективность конвективного охлажде- ния. Поэтому для повышения эцхрективности конвективного охлаж- дения целесообразно использовать охладители, обладающие боль- шим значением теплоемкости, что обеспечивает небольшой их подогрев, н применять различные способы интенсификации про- цесса теплообмена между внутренней поверхностью и охладителем, что обеспечивает увеличение коэффициента теплоотдачи а2. Для интенсификации процесса теплообмена на внутренней поверхности устанавливаются различного тина интенсификаторы: ребра, про- дольно или нормально расположенные по отношению к основному течению охладителя; различного типа турбулизаторы в виде изо- лированных элементов. В этом случае интенсификация теплообмена достигается как за счет увеличения теплообменной поверхности, так и вследствие перемешивания жидкости вблизи поверхности посредством индуцирования вторичных вихревых течений. На рис. 18.2 приведены схемы интенсификации процесса тепло- обмена в охлаждающих лопатках газовых турбин как посредством продольно ориентированных ребер, так и цилиндрических интенси- фикаторов. Наиболее эффективным способом конвективного охлаж- дения теплонапряженной поверхности является струйное охлажде- 429
Рис. 18.3. Струйное охлаждение поверхности: а — схема струйного охлаждения; б —• струйное охлаждение лопатки газовой турбины: 1 — высокотемпературный газовый поток; 2 — охладитель; 3 — наружная оболочка; 4 — дефлектор ние. В этом случае охладитель в виде системы струй подается по нормали к охлаждаемой поверхности (рис. 18.3) и эффект увеличе- ния коэффициента теплоотдачи (а2) достигается в результате уменьшения толщины пограничного слоя вследствие повышенного значения градиента скорости в зоне натекания струи на поверх- ность и высокой степени турбулентности. Интенсивность процесса теплообмена при взаимодействии струй с поверхностями примерно на порядок выше, чем интенсивность теплообмена при других способах его интенсификации. Струйная система охлаждения находит широкое применение в различных областях техники и, в частности, для охлаждения оптических систем лазерных установок и лопаток газовых турбин. На рис. 18.3, б приведена схема струйного охлаждения лопатки газовой турбины. Охлаждающий воздух поступает во внутренний дефлектор, а затем через систему предусмотренных в нем отверстий подается в виде струй на охлаждаемую поверхность. Такой способ охлаждения позволяет существенно повысить эффективность тепло- вой защиты лопатки газовой турбины, особенно, в наиболее тепло- напряженном ее участке — на внутренней поверхности передней кромки лопатки, где реализуется максимальная ее теплонапря- женность. Однако конвективное охлаждение теплонапряженных поверх- ностей при высоких температурах и больших тепловых потоках является неэффективным способом тепловой защиты. В самом деле согласно соотношению (18.1) даже при достаточно высоких значениях коэффициентов теплоотдачи охладителя а2 -► оо при больших тепловых нагрузках температура наружной поверхности может существенно превышать допустимое значение В этих случаях необходимо вблизи поверхности понизить темпера- туру горячего потока газа и уменьшить тепловые потоки. Для этой цели используют заградительное и пористое охлаждения. Заградительное охлаждение организуется посредством подачи охладителя на внешнюю поверхность (рис. 18.4). Охладитель в этом случае может подаваться самыми различными способами (через плоскую щель, через систему щелей или систему отверстий, через пористую вставку и т. д.). При подаче газового охладителя 430
через плоскую щель вблизи защищаемой поверхности образуется пристенная струя охладителя, температура которой меньше, чем температура высокотемпературного потока газа. С увеличением расстояния от места вдува струя холодного газа постепенно пере- мешивается с горячим газом, вследствие чего температура поверх- ности увеличивается. Поэтому в зависимости от конкретных усло- вий необходимо установить вдоль поверхности последовательно несколько щелей. Заградительное охлаждение находит широкое распространение для тепловой защиты камер сгорания и сопел реактивных двигателей, лопаток высокотемпературных газовых турбин. На рис. 18.5 приведена схема охлаждения цилиндрической камеры сгорания воздушно-реактивного двигателя. Для тепловой защиты стенки камеры сгорания на наружной ее поверхности орга- низуется конвективное охлаждение, а на внутренней (со стороны горячего потока газа) реализуется заградительное охлаждение посредством подачи холодного воздуха через цилиндрическую щель. Заградительное охлаждение лопаток газовых турбин орга- низуется, как правило, посредством подачи охлаждающего воздуха через систему отверстий (рис. 18.6). Аналогичным образом реализуется подача охладителя при заградительном охлаждении сопел ракетных двигателей. В этом случае в качестве охладителя используется жидкость — горючее, которое через систему отверстий в области критического сечения сопла подается на наружную поверхность стенки, образуя защит- ную пленку жидкости. Использование в качестве охладителя жид- кости повышает эффективность тепловой защиты, так как в этом случае подводимое тепло к охладителю расходуется не только на его подогрев, но и на его испарение. Заградительное охлажде- ние,. реализуемое посредством выдува жидкости на защищаемую поверхность, иногда называют пленочным охлаждением. Рис. 18.4. Схемы подачи охладителя при заградительном охлаждении поверх- ности: а — плоская щель; б — система щелей; в — система отверстий; г — пористая вставка; / — высокотемпературный газовый поток; 2 — охладитель; 3 ~ область перемешива- ния; 4 — защищаемая поверхность; 5 — пористая вставка 431
Рис. 18.5. Схема комбинированного охлаждения стенки жаровой трубы камеры сгорания: 1 — высокотемпературный газовый поток; 2 — охладитель; 3 — конвективное охла- ждение; 4 — стенка жаровой трубы ка- меры сгорания; 5 — заградительное охла- ждение Рис. 18.6. Схема конвективно-пленочного охлаждения лопатки газовой тур- бины: 1 — отверстие для выдува охладителя; 2 — наружная оболочка лопатки; 3 — дефлек- торы Пористое охлаждение предполагает использование пористых (проницаемых) материалов. Пористые материалы содержат поры, т. е. пустотелые промежутки, образующие капиллярные каналы. Охлаждение пористых материалов достигается посредством про- качки жидкости или газа через его капилляры. В этом случае достигается высокая эффективность процесса теплообмена вслед- ствие существенного увеличения поверхности контакта пористого скелета с охладителем, пористый материал по существу пропитан охладителем. Поэтому применение пористых материалов в тепло- вой защите позволяет существенно повысить ее эффективность. Заполнение охлаждающего канала (рис. 18.7) пористым материа- лом позволяет существенно интенсифицировать процесс теплооб- мена от защищаемой поверхности к охладителю. Например, эффективность охлаждения лопатки газовой тур- бины можно существенно увеличить, если на теплонапряженных ее участках каналы охлаждения заполнить пористыми вставками из материала с большим коэффициентом теплопроводности (см. рис. 18.7, б). Пористые матеоиалы могут быть использованы для организации подачи охладителя на внешнюю защищаемую поверх- ность (18.7, б). Вдув охладителя в пограничный слой через порис- тую (проницаемую) поверхность влияет на его структуру таким образом, что коэффициент теплоотдачи, а, следовательно, и тепло- вой поток от горячего потока газа к пооистой поверхности умень- шается. Таким образом, при вдуве охладителя через пористую поверхность повышение эффективности тепловой зашиты обуслов- лено двумя факторами: во-первых интенсификацией процесса теплообмена между пористым материалом и охладителем; во-вто- рых, уменьшением теплового потока от горячего газа к внешней пове.рхности в результате воздействия вдува охладителя на струк- 432
1 туру пограничного слоя. Пористое охлаждение с гыдувом охлади- теля в пограничный слой используется для тепловой защиты камер с'-оравил и сопел ракетных дж гелей в наиболее теилонапряжен- кых ('го счистках, а также может использовано как эффектив- ный способ тепловой защипа лопаток газовых турбин. В этом слу- чае охлаждающий воздух ьодвощгся во внутреннюю полость лопатки и подается через пористую стенку (см. рис. 18.7, а). В авиационной п ракегпо-коемкч'еекой технике для организации тепловой .ющиты широко );ено..ьзую|'ся теплозащитные покрытия, которые наносятся на внешнюю поверхность (рис. 18.8). Тепло- защитные покрытия условно подразделяются ьа два класса: пераз- рушаемые (многоразового н<иолззяваиия I и разрушаемые (одно- разового использования). В нервом случае т<миератсра на внеш- ней поверхности тшюо шшл глого шж допустимой температуры, при кото- рой наступает е:и разрушение (гем- пепагер.я плавления). '1'акы- но КрЫТИЯ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ДЛЯ Те1...ОъСЛ защиты поверхностей летал ьию аппаратов, камер сгорания реактив- ных двигателей, лопаток газовых турбин. Теплозащитные покрытия: многоразового действия изготавли- ваются из материалов тугоплавких с низким значением коэффициента теплопроводности и не подвергаю- щихся химическому воздействию го- рячего потока газа. К таким мате- I, меньше 1 . I Ф .Ф . 1 А < ' < I J:' ! - н<по Wкгбиия иередней части .>гн -'ательн.'тс аппарата: / - и- .ыскорохтной поток гас.?; 2 у,, В1ыи1 Волна; 3 — теплоза- щитное покрытие 433
риалам относятся карбиды и окислы тугоплавких металлов, на- пример ZrO2, МоС, WC, ZrC и т. д. Вследствие малого зна- чения коэффициента теплопроводности топкий слой тугоплавкого покрытия может существенно понизить температуру поверхности металлической конструкции, подверженную высокотемператур- ному потоку газа. При высоких скоростях полета, когда температура поверхности достигает 10 000... 15 000 К, теплозащитные покрытия разрушаются и уносятся с поверхности летательного аппарата. При возвращении летательного аппарата в агмоыреру Земли со скоростью, большей второй космической, поверхность его подвергается не только интенсивному конвективному тепловому потоку, но и лучистому. Источником интенсивного лучистого теплового потока является сжатый и разогретый до высокой температуры слои вала в ударной волне, которая устанавливается впереди летательного аппарата при гиперзвуковых скоростях полета. Следовательно, в этих усло- виях теплозащитное покрытие должно ооеспечигь защиту летатель- ного аппарата не только от конвективною тепловою воздействия, но и от интенсивных лучистых потоков. Для этой цели могут быть использованы разрушаемые (уносимые) теплозащитные покрытия. Идея их применения заключается в использовании поглощения тепла в результате фазовых превращении — плавление, испарение или сублимация. Любое фазовое превращение вещества, как правило, сопро- вождается значительным тепловым эффектом (количество тепла, требуемое для перехода 1 кг массы вещества из одного состояния в другое). Величина теплового эрхректа связана с температурой фазового превращения AQ([) = kl\. Для большинства таких метал- лов при плавлении k -- 10 кДжДмоль • К). При плавлении происхо- дит частичное ослабление межатомных связей, поэтому по своей тепловой эффективности поглощение тепла при плав шши намного (в 10—20 раз) уступает испарению, нрп котором рвутся все моле- кулярные и атомные связи вещества [для испарения k — 80... 90 кДжДмоль-К) L Значение теплоты испарения AQ,,,.n колеблется от 5000 кДж/кг у низкотемпературных металлов до 10 000 кДж/кг у тугоплавких окислов и 20 000 кДж/кг у графита. На разрушение материала теплозащитного покрытия затрачивается значительная доля тепла, поступающего к поверхности тела от горячего потока газа, в результате чего уменьшается доля тепла, отводимая внутрь покрытия посредством теплопроводности. Кроме того, в ряде случаев в результате химического взаимо- действия разрушаемого материала покрытия с высокотемператур- ным пограничным слоем происходит дополнительное поглощение тепла. Вдув продуктов разложения материала теплозащитного покрытия в пограничный слой также изменяет его структуру и приводит к блокированию (уменьшению) конвективного теплового потока к поверхности. Толщина теплозащитного покрытия должна быть выбрана таким образом, чтобы за время полета летательного 434
аппарата или работы двигателя температура защищаемой конст- рукции не превышала допустимую. Поэтому масса покрытия опре- деляется количеством разрушенного и унесенного материала и количеством мшериала, ко торое должно оставаться на поверхности к концу работы и обеспечивать теплоизоляцию и необходимый перепад температур между поверхностью покрытия и поверхностью конструкции. Общие требования к теплозащитным разрушаю- щимся покрытиям сводятся к следующим: поглощать большое количество тепла при физико-химических превращениях; иметь высокие значения объемной теплоемкости (рс); иметь высокие тем- пературу разрушения и значение степени черноты; образовывать при разрушении газообразные продукты с малой молекулярной массой для эффективного снижения интенсивности конвективного теплообмена в результате вдува их в пограничный слой; при обра- зовании жидкой пленки ее вязкость должна быть значительной для уменьшения ее уноса; иметь простую технологию изготовления и невысокую стоимость; сохранять свои свойства при длительном хранении в атмосфере воздуха. 18.2 . ПОРИСТОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ Вдув охладителя в пограничный слой через пористую (проницаемую) поверхность может существенно влиять на интен- сивность процесса теплообмена от внешнего потока к охлаждаемой поверхности. Рассмотрим основные особенности влияния вдува охладителя на процесс теплообмена в пограничном слое. Если газ, подаваемый через пористую (проницаемую) поверх- ность, отличается по своим физическим свойствам от газа внешнего потока, то пограничный слой будет содержать смесь газов, состоя- щих из различных компонентов. В этих случаях процесс теплооб- мена в пограничном слое сопровождается процессом диффузии, а при определенных условиях и химическими реакциями. На прак- тике вдув газа в пограничный слой может быть обусловлен различ- ными причинами, например при химических реакциях между потоком газа и поверхностью, при испарении или сублимации теплозащитных покрытий ц т. д. В некоторых случаях имеет место не только вдув газа в пограничный слой, но и отсос, например для управления пограничным слоем; для предотвращения его отрыва и ламинаризапии применяют принудительный отсос через порис- тую или перфорированную поверхность. Отсос газа из погранич- ного слоя может иметь место прн конденсации газообразной среды на поверхности при протекании химических реакций с образова- нием жидких или твердых веществ. В большинстве случаев вдув илн отсос массы вещества из погра- ничного слоя через поверхность сопровождается разнообразными физико-химическими процессами, оказывающими влияние на характеристики пограничного слоя и интенсивность теплообмена. 435
При вдуве газа в пограничный слой (см. рис. 18 7, в} система уравнений, описывающая процесс теплообмена л пограничном слое, совпадает с системой уравнений на непроницаемой поверх пости. Однако граничные условия на поверхности в силу того, что вертикальная составляющая скорости (пи,) „рн вдуве газа «еэез поверхность в пограничный слой отлична от нуля, будут при у - 0 и ~ 0, v - - vw, (If1- -1' где ~ заданная заранее или определяемая из закона сохране- ния массы на стейке вертикальная скорость подачи газа от стенки. В общем случае значение скорости вдува газа является некоторой функцией продольной координаты х. Уравнения погра- ничного слоя при произвольном законе распределения вдува и скорости внешнего потока вдоль поверхности могут быть решены численным методом па ЭВМ. Приближенные решения могут быть получены с помощью интегральных соотношений количества движе- ния и энергии, которые при одинаковых Физических свойствах вдуваемого вещества и внешнего потока, движущегося с постоян- ной дозвуковой скоростью, записываются в гиде: dx p,uj ' <pit'll ’ _________,!?.щ dx (pu)fCPi (pu)f ’ где d**, —соответственно толщины потери импульса и энер- гии. Эти интегральные соотношения отличаются от соответствую- щих интегральных соотношений для пограничного слоя на непоо- нниаемой поверхности наличием двух последних членов, характе- ризующих вдув вещества в пограничный слой. Для pens пня мщ обыкновенных дифференциальных уравнений нее.охо..нмо о ное. се- лить связь между касательным напряжением трения 'T-Д и то. нцн- ной потери импульса (бч*) н соответственно связь между коыМч'- пиентом теплоотдачи (а) и толщиной потери энергии (Л У. ,'г. определения этой связи необходимо знать закон изменен:ня ско- рости и температуры в поперечном сечении пограничного слоя. В инженерной практике этот закон задается в виде интерполя- ционных формул, полхчеппых на основе теоретического анализа и экспериментальных исследований. Точность расчета будет зависеть от того, насколько удачно выбран вид интерполяционной формулы для профиля скорости и температуры. Напопмер, д 1Я ламинарного режима течения профиль скорости и температуры в поперечном сечении пограничного слоя может быть аппроксими- рован полиномом четвертой степени. Рассмотрим вначале случай вдува в лампнарный пограничный слой несжимаемой жидкости через плоскую пористую поверхность с теми же физическими свойствами, что и во внешнем потоке (см. рис, 18.7). Исходными для анализа рассматриваемой задачи 436
?ИГ. Ш.9. 1П скор' ,С7 И К И 'ЛНГ’КТГурЫ 3 I: ('.ре Ги'Ч! ь -д t--'A I [V к •.•’',-|!(1П(|' Го спич при вещее :ва через пористую пенку (о, — - ояннт, пограпнчн- i о слоя при ^сутствии вдува; 63 — толщина пограничного слоя при вдуве) являются уравнения (5.14), (5.15), (5.16), изменяются только граничные условия (18.4). При вдуве охладителя через пористую поверхность в пограничный слои профиль скорости и температуры в его поперечном сечении могут существенно деформироваться. Под действием вдува вещества в пограничный слон пристенные его слои, движущиеся вдоль поверхность', будут тормозиться, что приводит к уменьшению проекции скорости газового потока вблизи поверхности на продольную координату х (к). В результате этого градиент скорости па стенке ; ' умень- шается, а увеличение массы заторможенного газа приводит к угзе- .чичению толщины пограничного слоя (рис. 18.9). Следовательно, под действием деформации профиля скорости и увеличения тол- щины пограничного слоя происходит уменьшение силы трения на стенке при прочих равных условиях. С увеличением массы вдуваемого газа па профиле скорости появляется точка перегиба. .Аналогичным образом изменяется и нрсши..ь тсмлспатмоы в погра- ничном слое (см. рис. 18.9). Под действием вдува более .холодного газа чем основной внешний поток пристенный поток пограничного слоя вблизи поверхности охлаждается, толщина теплового погра- ничного слоя увеличивается, что приводит к мменыпению градиента температур, а следовательно, и уменьшению теплового потока па повер хностн. Деформацию профиля скорости вблизи поверхности под дейст- вием вдува газа можно оценить следующим образом. Из уравнения движения (5.2) и граничных условий на стенке (18.4) следует, что при и - О рлф-щ-Уф Щ-Ц-V Это соотношение в безразмерном виде можно записать следующим об]) азом:
где ujut, Y у/Ь — безразмерная скорость и коорди- ната. Левая часть этого соотношения характеризует деформацию профиля скорости в пограничном слое под действием вдува, следо- вательно, деформация профиля скорости в относительных коорди- натах определяется безразмерной величиной fw — 1 называе- мой параметром, определяющим форму профиля скорости —• формпараметром. Рассмотрим его физический, смысл г РцД’щбд __ (PC')oy ЙД (ptz)y X Цш (ри) / х При ламинарном режиме течения газа вдоль поверхности бд/х ~ Re- 0 5, следовательно, fw ~ ]/R^. (18.8) 1 (ри)/6д (PU)/ Г ' Из данного соотношения следует, что формлараметр пропор- ционален отношению расхода газа, вдуваемого через поверхность, к расходу газа, протекающему через пограничный слой. При числе Прандтля Pr = 1 6Д ~ 6Т ~ x/St и формпараметр можно предста- вить в виде £___ (PV)w Х _ (РСц,) 1 __ (РИш Ср /ю (Рф/бд ~ (puf) Sty ~ а 11 Представленный в таком виде формпараметр будет характери- зовать степень деформации поля скоростей и температур под дей- ствием вдува как в ламинарном, так и в турбулентном пограничном слое. Для турбулентного пограничного слоя St ~ Re-0-2 и, соот- ветственно, (18.10) Чем больше формпараметр /ю, тем больше деформация профиля скорости; в профиле скорости появляется точка перегиба, которая с увеличением удаляется от стенки, и для ламинарного режима течения при fw -* 0,619 касательное напряжение на стенке стано- вится равным нулю и происходит оттеснение пограничного слоя от плоской поверхности. В общем случае значение формпараметра fw может быть переменным вдоль стенки. Особый интерес представ- ляет случай постоянного значения формпараметра вдоль поверх- ности (Jw = const), при котором деформация профиля скорости происходит во всех сечениях пограничного слоя одинаково и решения уравнений пограничного слоя являются автомодельными. Для плоского ламинарного пограничного слоя условие fw — const согласно соотношению (18.8) выполняется при подаче охладителя по закону tpu)a, ~ х~0-3. В этом случае напряжение трения и тепло- вой поток на стенке (при постоянной температуре стенки) изме- няются по такому же закону 05 и qw ~ х~0>5) и являются 438
Рис. 18.10. Профиль скорости в поперечном сечении „у турбулентного пограничного слоя при вдуве вещества через пористую поверхность практически целесообразными, поскольку о,5 поступающее к стенке тепло должно ра- ционально поглощаться охлаждающим газом. При степенном законе изменения скорости внешнею потока и, = [Зх"1, автомо- дельные решения (/ш = const) уравнений по- ° rn -- 1 граничного слоя возможны при условии иш~л' 2 , откуда следует, что постоянное значение скорости вдува газа вдоль поверхности = const при = const возможно только для течения в окрест- ности критической точки (при rn = 1). Вдув веищегва в пограничный слой влияет и на его устойчи- вость, т. е. на переход ламинарного режима течения в турбулент- ный. Нод действием вдува вещества в ламинарный пограничный слой его устойчивость уменьшается и переход ламинарного режима к турбулентному наступает раньше (при меньших числах Рейнольд- са) при прочих равных условиях. Так как интенсивность теплообмена в турбулентном потоке больше, чем в ламинарном при прочих равных условиях, то более ранний переход ламинарного режима в турбулентный под действием вдува может привести в некоторых случаях (при малых значениях интенсивности вдува) к уменьшению эффективности тепловой защиты поверхности. Влияние вдува вещества через пористую поверхность на турбу- лентный пограничный слой качественно аналогично соответствую- щему влиянию на ламинарный пограничный слой. Профиль ско- рости под действием вдува деформируется, градиент скорости и температуры на поверхности уменьшается, а толщина погранич- ного слоя увеличивается, что приводит к уменьшению силы трения и коэффициента теплоотдачи на поверхности (рис. 18.10). Условно можно выделить три основных режима течения в турбулентном пограничном слое. Первый режим — это сравнительно малые значения интенсив- ности вдува охладителя, когда действие сто сказывается только в пределах вязкого подслоя, непосредственно примыкающего к поверхности. В этих случаях профиль скорости и температуры под действием вдува охладителя деформируется в пределах вязкого подслоя. Если на непроницаемой стенке (ида -= 0) профиль скорости в вязком подслое близок к линейному, то при наличии вдува про- филь скорости деформируется п на нем появляется точка перегиба. Во внешней области пограничного слоя (в турбулентном ядре) профиль скорости не изменяется и подчиняется логарифмическому закону, как и в случае непроницаемой поверхности. Расчет про- филя скоростей и температур при таком режиме вдува в погранич- 439
ный слой может быть основан на соответствующих зависимостях для турбулентного пограничного слоя, образованного на непрони- цаемой поверхности. Такую модель расчета влияния вдувг! вещества па турбулентный пограничный слои принято называть «пленочной теорией». Второй режим течения на пористой поверхности соответствует таким значениям интенсивности вдува охладителя, когда действие его распространяется в турбулентное ядро пограничного слоя. Этот наиболее важный для практики режим течения труднее всего поддается теоретическому расчету. Главную риль здесь приобре- тают экспериментальные исследования. В этих случаях для приближенных оценок влияния вдова па профили скорости п тем- пературы может быть использована модель Праидгля, согласно .. I ди. р которой турбулентное касательное напряжение х.г = рг | —у где I — длина пути смешения, принимаемая такой же, как и в случае турбулентного пограничного слоя на непроницаемой по- верхности. Влияние вдува охладителя на профиль скорости учитывается тем, что напряжение л рения принимается переменным в поперечном сечении пограничного слоя и зависит от интенсив- ности вдува охладителя. Третий режим течения на пористой поверхности соответствует такой интенсивности вдува охладителя, при которой влияние стенки на пограничный слой ослабевает, пограничный слой пере- страивается подобно пограничному слою па краю турбулентной струи. При дальнейшем увеличении интенсивности вдува охлади- теля пограничный слой оттесняется от поверхности, а коэйхйи- циенты трения и теплоотдачи стремятся к нулю. Величина насхода вдуваемого охладителя, при котором происходит оттеснение погра- ничного слоя, примерно соответствует расходу, увлекаемому пограничным слоем на границе свободной струп. Такой режим течения наступает при значении формпараметра, примерно равном Re0,2 ~ 0,08. Для расчета процесса теплообмена в этом режи- (М/ ме могут быть применены методы, основанные на теории свободных турбулентных струй. Результаты теоретических и экспериментальных исследований показывают, что основным критерием подобия, определяющим влияние вдува охладителя в пограничный слой на трение н тепло- обмен является формпараметр fw. На рис. 18.11 представлены расчетные зависимости относительных коэффициентов трения CjjCfo и теплоотдачи а/% (cfn и аа — соответствующие .значениям коэффициентов трения и теплоотдачи на непроницаемой поверх- ности) в зависимости < : формпараметра п длины начального неппо- ницаемого участка х0.1.'я случаев ламинарного дозвукового режима течения вдоль плоской пластины и одинаковых Лизических свойств внешнего потока и вдуваемого охладителя. Если начало вдува охладителя совпадает с передней кромкой пластины, то х0 = 0, 440
Рис. 18.11. Влияние начального непроницаемого участка, х0 па- раметра вдува на трение и теп- лообмен в ламинарном погранич- ном слое !! так.. I схема вдува охладителя соответствует на приведенном г paipi ?.е значению параметра х-'х0оо. Ссгласно приведенной зависимости, чем больше формиараметр, тем меньше трение и интенсивность теилооомена при прочих равных условиях. Влияние нача..ть.юго непроницаемого участка пластины х0 существенно ироявияегея при значениях гдар',шара- метра больше 0,2. Увеличение длины начального непроницаемого участка пластш.ы х0 приводит к уменьшению влияния вдува на трение и тевлеоомеп, т. е. ыргрективпость тепловой защиты умень- шает ся. Если Физические свинства вдуваемого газа отличаются от физи- ческих свойств внешнего потока, то при анализе тепловых и гидро- динамических процессов неооходимо решать полную систему уравнений пограшшного слоя, включая у навнения дшрфузии, а при больших темиература.х иыаохол.имо уч.пывагь и хи ..аческие реакции, возникающие в пришссе вдува охлади шли. Е Oiiix слу- чаях на Hiiici.ciiBi.ocrb теплооммеш? влияют такие физические параметры в,дуьаемо:о и ош.овно’о потоков, как теплоемкость, теплопроводное)ь, вязкость, коэ^хрициент диффузии и Др. Согласно молекулярно-кинетической теории у идеальных газов при постоян- ных значениях давления и температуры все эг.1 физические харак- 441
теристики среды являются функцией одной физической величи- ны — молекулярной массы. Поэтому влияние природы вдуваемого газа на трение и процесс теплообмена в первом приближении можно учесть введением в критериальное уравнение отношения молеку- лярных масс вдуваемого (Мю) и основного (ЛД) газовых потоков (MJMf). Экспериментальные данные по вдуву различных газов в ламинарный пограничный слой на плоской пористой пластине удовлетворительно обобщаются критериальными уравнениями для коэффициентов трения и теплоотдачи относительно вышеука- занного комплекса: = 1 - 2,08 1/3(18.11) С/о \ Мш ! Piuf г г ' — = 1 - 1,82 |/Ж, (18.12) где Су, а и cf0, а0 — соответственно коэффициенты трения и тепло- отдачи при вдуве охладителя и при отсутствии вдува. В качестве определяющей температуры используется температура, равная Т’опр = Т t0,5 (Tw - Tf) - 0,22 (Те - Tf), где Те - эффек- тивная температура на непроницаемой поверхности при прочих равных условиях. Влияние химических реакций на провесе теплообмена при вдуве охладителя в пограничный слой в пепвом приближении может быть учтено аналогично, как и на непроницаемой поверх- ности, введением в формулу Ньютона разности полных энтальпий: qw IJ- ср Для больших скоростей обтекания ламинарным потоком плос- кой пористой пластины при М — 1,5...20 и TwjTt — 0,5...5 на основе численного решения уравнений пограничного слоя пред- ложены следующие критериальные уравнения: = ' - °'85Рг!Л(^)“'- (|а13) Д^ = 1 „0,85 (18.14) где fw =~ (pu)wcpn/ap -- формпараметр, определяемый согласно соотношению (18.9). Обобщение результатов расчета коэффициентов теплоотдачи на пористой поверхности для случая течения в окрестности перед- ней критической точки тела относительно формпарамегра /к, = (ро)даср0/а0 представлено на рис. 18.12. Эта зависимость может быть аппроксимирована критериальным уравнением: при fw < 1,5 (а/ср)/(а0/ср)0 = 1 - 0,67 fw, (18-15) при /а, >1,5 (а/ср)/(а/Ср)0 =- 1 — ^-^-')°'25 ехр [0,23 - (0,3/ш -ф- + 0,45)1. 442
1-(а./а0) Рис. 18.12. Практическое обобщение результатов расчета коэффициентов теплоотдачи на пористой поверхности для случая течения в окрестности передней критической точки тела от- носительно формпапяметра ^/сд) Рис. 13. 13. Влияние параметра вдува газа на интенсивность теплообмена в турбулентном по- граничном слое при М --- 3, Tw!Tf = 3.3, /?< - 4- 10е: 1 — вдув воздуха; 2 — вдув гелия Влияние вдува охладителя в турбулентный пограничный слой на интенсивность теплообмена аналогично случаю вдува охлади- теля в ламинарный пограничный слой. Однако вдув охладителя в турбулентный пограничный слой оказывает меньшее влияние на процесс теплообмена, чем при ламинарном режиме течения, что приводит к увеличению расхода охладителя при прочих равны?; условиях. Результаты экспериментальных исследований процесса теплообмена в турбулентном пограничном слое при вдуве воздуха и гелия через пористую поверхность, обтекаемую воздушным пото- ком, представлены на рис. 18.13. Как и при ламинарном режиме, чем больше интенсивность вдува (формпараметр (pu)lvcp/a„} и чем меньше молекулярная масса вдуваемого газа тем мень- ше интенсивность теплообмена, а следовательно, тем больше эффек- тивность тепловой защиты. На основании обобщения эксперимен- тальных исследований по влиянию вдува различных газов на теп- лообмен в турбулентном пограничном слое предложено следующее критериальное уравнение для расчета коэффициента теплоотдачи (см. рис. 18.13) при значениях формпараметра, для которых а/а0 > 0,1: (а/ср)/(а/ср)0 = 1 — 0,19 (18-16) где показатель степени п определяется в зависимости от параметра (Му/Мда) (при 0,2 < Му/Мц, <1 п — 0,35; при 1 < Му/Мда < 8 п = 0,7; при М/./Мц, > 8 п = 1). Расход охладителя через пористую поверхность можно опре- делить согласно уравнению теплового баланса. Полагая, что тем- пература охладителя на выходе из пористой стенки равна темпера- 443
T'-’pe HOiiepxuociH 17'..,', и пренебрегая потерями тепла посредством из.. v'icii’i/i, } равнейие теплового баланса можно записать в виде U (род. (/,„-- /„), Р где („ - - напалъная энтальпия вдуваемого охладителя. 113 дан шло соот ношения следует, что массовый расход вдувае- мого охладителя Результаты расчетов показывают, что пористое охлаждение тем более экономичнее и эффект ивиее но сравнению с конвекшв- ным, чем выше отношение перепада энтальпий в пограничном слое (/,, — 7^) к перепаду энтальпий охладителя (7Ц| — /ю) в системе охлаждения, а та.к.-ке чем больше параметр вдува. При скорости полета около о км/с, когда энтальпия заторможенного потока превышает 4- ЮФфВк/кг, расход охладителя при пористом охлаж- дении па порядок будет меньше, чем при конвективном охлажде- нии. 18.3 . ЗАГРАДИТЕЛЬНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ При заградительном охлаждении теплопапряженпых поверхностей охлаждающий газ подается на поверхность тепло- обмена и распространяется вдоль этой поверхности, образуя защитный слой относительно холодного потока газа (см. рис. 18.4, о). Основным параметром, определяющим интенсивность теплооб- мена в этих условиях, является эффективность заградительного охлаждения адиабатной (теплоизолированной) поверхности (Пг - W/Ш-- /р). (18.17) где 7,.. -- полная энтальпия набегающего (горячего) потока газа; /<3— энтальпия охладителя; 7юад—энтальпия газового потока теп л о 11 з о л и нов а и пой по в е р х и о ст и. Если сшзические свойства газового поотка и охладителя одина- ковы 1И.тн практически близки), то выражение для (в)к,ад запишется в виде (18.18) где 7ф и 7ф, — соответственно температуры набегающего потока газа охладителя; ад -- температура теплоизолированной по- верхности. Эфёх лтичиость заградительного охлаждения б\. ;]Д еппеделяет темкерат'-иу адиабатной (теплоизолированной) поверхности, кото- рап хаоактернзуст процессы тепло- и массообмена между горячим пстг'нщ; га.-.а в пристенным потоком охладителя. 1з.: тем чокзолированшш поверхности, можно рассчитать шюнссс теплообмена и для более сложных случаев, чапример пр)! комбинированном охлаждении, при котором одно- 444
временно пеаличтсп..в чзград.ыел'ы.ос охл,";;. ,..'ПИ" ьс в;п жней поверхности и дог:о.г>::/.1СЛ|>1:ое los вы- । веч. с .. ..в в.д-n.ie поверх- ности С ПРОТИВОПОЛОЖНОЙ С'ХИИЖЛ 'Г,'. 'П'т ' - ' L! X -.Л- ' ii'i \- дчя расчета тепловсф потоп ;,а епсшпой - ж.п л -у . . , тжл в согласно формоле /Фьвол, в чото ми1 по :о пос г” в. Ti используется температура гльобды ой пт плоив.мпчсов-н.ппйj поверхности: Рд : СС • щ а_ i ш;. 11 о. 1 О) Гидродинамическая i-артина ы'/двя. : ел-юр.-г :ь?:о, и про- цесс теплообмена существенно запдоят от тсомем жд-м: --- тот ристик системы подач и охладит, ля на зардлр'е:.п к и. с-т7 Рассмотрим основные особолкос’т: пгсде-'с-. т::;;дооб ,л ;т .д : : .. охладителя через плоскую таигеппупльн"" степь, о'-?. Е2ПГ‘ЗБЛсЫЗ П2р2Л/7(;ЛЬ^д? " Ч >?"Г. ", \ .ЧИ. ЭТС\ц СЛу'л2С i.Uo-1. <3х ’ л'л.СЧо См,,' ..Ч Хл .'7i - .... 11 ч, _ струя Г:ОТ(;К2 КС'.’О- \ . . О7ЧГ-.?.-/. СЧмЧ ' ..... . ;; р )П С ПЛОСКОЙ СТСПКОЙ, Ч с Лр-ОЧ.ь jjGi.P' - •' _ К. ' « I .> ) Г 232 5 СКОрОСТЬ КОТОр О ГЧл ’ - - I л* IJ ^ । *.: I' '2 1 , । С . Ji;: Ч Ч R /' С О”? I! г! - 445
чальной скорости струи ит и температуры ТП2. Распространение пристенной струи в спутном потоке является сложным неавтомо- дельным течением, для детального анализа которого необходимо использовать методы численного решения газодинамических урав- нений. Однако в инженерной практике для расчета процесса тепло- обмена с успехом могут быть использованы полуэмпирические методы расчета, основанные на экспериментальных исследованиях основных закономерностей пристенных струйных теченией. Рас- смотрим основные положения этих методов расчета. В зависимости от размера (высоты) щели (б0) и толщины погра- ничного слоя (6), образованного в результате обтекания поверх- ности внешним потоком, вдув охладителя может быть реализован во внешний поток (при Ьп >- 6) или в пограничный слой (при Ьа < < 6). Развитие пристенного струйного течения в этих двух случаях может протекать по-разному. Рассмотрим случай, когда высота щели больше или соизмерима с толщиной пограничного слоя внеш- него потока (см. рис. 18.14) и начальная скорость струи (и/02) больше скорости внешнего спутного потока (и^. Пристенное струйное течение условно можно разделить на две области: погра- ничная, примыкающая непосредственно к поверхности, и струйная области. С увеличением расстояния от щели, через которую вду- вается охладитель, толщина пограничного слоя и ширина струи увеличиваются, и соответственно скорость струйного потока умень- шается и в пределе стремится к скорости внешнего потока. В погра- ничном слое имеет место падение скорости до нуля на стенке. Если стенка теплоизолированная, то температура в поперечном сечении пограничного слоя остается постоянной и равной ее зна- чению на внешней границе пограничного слоя. Если поверхность не теплоизолированная, то вблизи ее обра- зуется тепловой пограничный слой и температура на его внешней границе Тй соответствует температуое на теплоизолированной поверхности Twajv Следовательно, в общем случае для построения модели процесса теплообмена при заградительном охлаждении необходимо опираться на закономерности струйного смешения потоков и развития пограничного слоя в этой зоне. При значении толщин пограничного слоя 6, много меньших ширины зоны струйного течения (6 b), можно в первом прибли- жении полагать, что температура Т6 и скорость на внешней границе пограничного слоя примерно соответствуют значению температуры Тт и скорости нтна оси свободной струи (при отсут- ствии стенки). Рассмотрим основные закономерности турбулентного смешения двух спутных потоков. Если пренебречь трением на стенке, то она может рассматриваться как ось симметрии свободной струи в спутном потоке (рис. 18.14, б). В свободной струе мо кно выде- лить начальный (в котором существует ядро постоянной с> чрости), переходный и основной участки. На начальном участь струи температура и скорость на оси струи остаются постоянными и рав- 446
т люсл зоны струйного смеще- ния от параметра и могут быть описаны 3/2 (18.20; (18.21) ными их ’.качению в выходном сечении щели. 11а оековпох! участке струи про- исходи! иосс.-пекное изменение скор.о- и температуры га.hi, которые с уве- личением расстояния от выходной, сечения щели стремятся к значениям во внешнем потоке. Для построения кар 1 ины течения необходимо знать про- филь скоростей и температур п попереч- ном сечении струи, угловой коэффи- циент расширения струи и положения полюса ст рун относительно среза сопла. Согласно экспериментальным ис- следованиям пробили относительной скорости, энтальпии и массовой кон- центрации имеют куполообразную фор формулой, предложенной Шлихтенгом: — Щ (у) _ _ Г । _ _ / у If) — I•• <v> _ cfi c2 (?/) г / fl 12m Cfl Czm L где у --- поперечная координата, отсчитываемая от внутренней границы зоны смешения для начального участка струи, а для oi нс-вного участка от оси струн (у0 -= 0); и2т, 1.2т, с2т — соответ- ственно скорость, энтальпия и массовая концентрация па оси струи; Ьп, bt, br. — ширина динамической, тепловой и концентра- ционной зги! смешения струп (рис. 18.14, а). Как показывают экспериментальные исследования, профиль .. коропей, энтальпий и концентрации в зоне струйного смешения подобны, однако ширина динамической зоны меньше, чем тепловой и концентрационной зон смешения, и примерно составляет Д - bc 1,2йп. Угловой коэффициент расширения струи tga, - Д/у и положе- ние полюса струи л'ц (положение точки на осп х, в которой пересе- каются границы области смешения (рис. 18.15)’), зависят от ряда факторов таких, как уровень турбулентности и профиль (.-.сросте в выходном ссчешн! щели, толщина стенки щели, чаз.цльющая смс питающиеся истоки и размеры пограпичког<: '.ты1 и; внешней ее !Ч;1<( pxi:ocT! . уровень турб\лентгегч и f.iutiu.ck ш ioi-.i, оы;оше- in.с иле! постей смешивающихся но.'око:'. р,-,/рц. ааримом < пут- ное ги потока т u.2mliiji. В конкретных реалы.ых кош/п ышщях те всегда удастся }честь одновременно все эти факторы. I It равномерность ПОЛЯ скорость В ВЫХОДЫ V ССЧеННИ ЩеЛГ можно 'шесть введением поправки па се размер (Ь„). Эффект нвгьш размер нули (Ь(, ,ф), учитывающий фактическою величину коли- чества движения, определяется как Ьо ,ф-- (;0 - 2(Д, где 6Д толщнна вытеснения пограничного слоя в выходном сечении сопла. 447
Согласно «м-кеонмсчгалгл. пееледованн-м влияние толщины с;е,(кч (АД, рл >.дел'-ющей гссалпгчощле коюкн. и размеров шыр.|- •ичпых слоев 1-';: вьуш'иг и АД и наружной ее поверхностях (! > ] I на положе пне ! тол ;с с > с го v п в ев пси ?)' 'as f п пари? ю; о а СП ' ч IЮСТЯ ПОТОКОВ гп nil'll,-, (СМ. рис. 18. ’-Г МОЖНО ОНрс ’СЛИТЬ cornас!iо pm:i i;y инсек им зависимостям лз.дА йГ 6’) '.V-irn при //! 0,5; ;18.22; v-,/(.\ — 5) - о-) .= Jo/л при гл ~ - 0,5. ' ' Для определении ДЛИНЫ <ш-Ш,1Ы1ОГ0 уч;|С'!КИ С>|-,;1 (/„) НС -0X9- дпмо знать значения чангенсов \1лов расширения области емеше- нпя ''вух нос(жов (рис. 18 НО, размеры щели /»() и поснос орун тп: /0 -- п(|/ о; г'..„ - ,сп. (. 18.2.М Ца рис, 18.18 приведен характер изменения засгепсов углов то 'вирення о:>.1 1. 'и смешения ,ш\х потоков 1с; ед н !Дс-. , в еаваси- МОСТИ ;;т нарамшраш - i iyi,h i ирш,.е .шн ш> оспы :о; зпачешигл, полученным теоретичен ки, сплошные — оы. леркмен- тал:шым значениям. Теоретические расчеты, основанные на нолу- еманрпасекой модели, согласно которой нзмеашше ширины обла^ги eiо;иного смешения подчиняется закону 443
угловые коэффициенты тепловой зоны струйного смешения при т (),о и itt 2 уловлю1,ори'1 ельно описываются зависимостью 1 де па начальном учапке смешения с 0,17, па основном — с - 0,12. При значениях параметра гп, близких к единице 0,7 < /и 1,4, ширина зоны смешения не зависит от параметров т и b.Jx ди 0,1. При увеличении уровня начальной т \ рбушчг! ноет и смешивающихся потоков диапазон значений гп, при которых ширина тони смешения не зависит от гп, будет расши- ря! вся, а при уменьшении - уменьшаться. Изменение скорости ит и температуры Тт на оси струи можно определит и на основе решений интегральных соотношений для импульса и энтальпии в струе. Из условий сохранения избыточного импульса ьи f'Al'u-hft i (1>и Д) (рпфд j (>и'2 dy (18.26) о и сохранения избыточной энтальпии bi hh>hfm(h»i -- hi) -тЛ j Р«(^ — hi)dy- (18.27) 0 Для определения интегралов, стоящих в правой части этих соотношений, используются формулы для профиля относительной скорости и энтальпии в поперечном сечении струи (18.20) и (18.21) и эмпирическое соотношение для ширины зоны струйного смеше- ния (18.23). В общем случае решение этих уравнений достаточно громоздко и требует использования численных методов. Резуль- таты расчетов и экспериментальные исследования показывают, что в общем случае относительная избыточная безразмерная скорость («ш——«?т) И температура 0т = (Тт — Т ^/(Т 1аг — — Тзависят от относительного расстояния X = х/Ь0, параметра вдува tn0 --- ufnJuSi, отношения плотностей (или температур) сме- шивающихся ПОТОКОВ П =-- Tf<3iITfL — рд/Р/02- Рассмотрим основные закономерности струйного смешения двух потоков с одинаковыми теплоемкостями при упрощающем допущении йи — Д. В этом случае профиль температур в попереч- ном сечении струи подобен профилю скоростей Тл.-т^У1. (18.28) И— Uirn ' fi -— ' y,m В этом случае распределения температуры и скорости потока на оси струи также будут подобны: (7 д 7 т)/(7 д Тf (й) z~ (нд u-foz)- (18.29) На рис. 18.17 приведены значения безразмерной избыточной температуры на оси струи 6m = (Тт— Tfx)/(Tf02— Тд) для IА пдурвский 449
различных значений т0 — ufOilufl при п = TfOilTfl — 0,5, кото- рые дают наглядное представление о влиянии этого параметра на характер распределения температуры на оси струи Тт и дально- бойность струи. При т0 < 1 рост параметра вдува т0 приводит к увеличению начального участка и дальнобойности струи, а при т0 > 1 — к уменьшению этих характеристик. Уменьшение пара- метра п (при п < 1) при прочих равных условиях приводит также к увеличению начального участка и дальнобойности струи. В частном случае при п = 1 из интегральных соотношений (18.26) и (18.27) следует зависимость, представленная на рис. 18.18. Используя данную графическую зависимость, можно определить изменение скорости и температуры на оси струи при п = Тf02/Tfl = — 1. Для заданного значения параметра вдува т0 определяем длину начального участка и тангенс угла расширения основного участка зоны струйного смешения tg ах (см. рис. 18.16). Полагая, что граница основного участка струи проходит через кромку сопла, для рассматриваемого значения х определяем ширину зоны смешения bu = xtgcct -f- b0, где х— координата, отсчитываемая от выходного сечения щели. Зная ширину зоны струйного смеше- ния bu/bQ, определяем согласно графической зависимости (см. рис. 18.18) скорость потока на оси струи umlufl при заданных зна- чениях т0 и х и из условия подобия поля температур и скоростей (18.29) определяем температуру на оси струи Тт. Такая приближенная методика расчета дает несколько завышенные значения темпе- ратуры потока на оси струи. При больших параметрах вдува т0 Д' u/i) закономерности распростра- нения струи будут близки к закономер- ностям распространения затопленной струи. В этом случае длина начального участка струи составляет /0/Ь0 ~ 10, полюс струи практически расположен 450 Рис. 18.18. Зависимость для расчета распределе- ния скорости на оси струи в спутном потоке
в выходном сечении щели (хп = 0) и вдали от нее распределение скорости на оси плоской струи определяется из вы- ражения = 3,98 1/Ъ_ . “/ os V Р/ 02 b (18.30) Вышеприведенный анализ не учи- тывает влияния пограничного слоя, образующегося на защищаемой по- верхности, на распределение ско- рости и температуры в присте- ночном струйном потоке. В первом Рис. 18.19. Схема распреде- ления толщины пограничною слоя. 1 — зона струйного смещения; 2 — профиль скорости Шлих- тннга; 3 — пограничный слой приближении можно полагать, что это влияние ограничено областью пристеночного пограничного слоя. В этом случае толщину пограничного слоя можно определить из условия: ско- рость на внешней границе пограничного слоя лежит на соответст- вующем профиле скорости (Шлихтинга) в зоне струйного смешения (рис. 18.19). Из условия подобия поля температур и скоростей в зоне струйного смешения согласно формуле (18.20) скорость и5 и температура Т\ на границе пограничного слоя равны ufi — и6 и27П Th -т6 1 fl ~ ! 1ТП (ФГТ (18.31) С другой стороны, если турбулентный пограничный слой нарастает от выходного сечения щели, то его толщину можно оценить по формуле 6 = 0,37(v/u5)°-2x0-8. (18.32) Из совместного решения этих двух уравнений с учетом выше- приведенной методики определения распределения температуры и скорости вдоль оси струи можно определить толщину погранич- ного слоя. Для этой цели можно использовать метод последова- тельных приближений. Для практических расчетов в первом приближении толщину пограничного слоя (6) можно оценить по формуле (18.32), в кото- рой скорость на внешней границе принята и6 == 0,5 (ufoz + «л), а значение вязкости определить по температуре Tf = 0,5 (Т<02 + + ЛО- Зная толщину пограничного слоя, можно определить темпера- туру теплоизолированной поверхности Tw&a = Тб, скорость на внешней границе пограничного слоя, а следовательно, и коэффи- циент теплоотдачи а согласно формуле St = «/(p/U/Ср) = 0,0225 (w66/v)-°'2'Pr-0-6. (18.33) Как показывают расчеты, для большинства практических слу- чаев при х/60 20 толщина пограничного, слоя составляет 6/6 15* 451
р;и\ 1.4 2и н .141 11 lie (->. 1(., В л.В ши'и.мос'1 и о1 (tix} дня раз- личных значений rnv (заградительное охлаждение при ц 0.(54) 0J и значения (емперзтуры и . к।I и па внешней границе шшрапичного слоя близки к зна- чению темпера юры и скорости на чей свободной етруи. При заданной эффекзпвност и мградительшн о охлаждения его .кономичноегв определяется ве- личиной расхода охладителя (G.J, приходите! ося на единицу пло- щади защищаемой поверхности (.8), (Р»)ш = С(1 ,,/S - /•« ((>»/.,2)/Т. От- носительную величину этого рас- хода охладителя можно запи- сан, в виде (ри)ю/(|ш)/1 --т„Ь0/(пх). Поэтому значение Нк. ад целесообразно представить в виде функцио- нальной зависимости Ою (tnobl}/(/ix), , п), которая представ- лена на рис. 18.20 для заградительного охлаждения пластины при различных значениях т0 и п ах 0.64. Из приведенной зависимости следует, что при заданном значении 0а,ад с увеличением параметра вдува т0 огноентельный расход охладителя, приходящийся на единицу поверхности mjijutx), увеличивается и. следовательно, экономичность ухудшается. Это объясняется тем, что с увеличением параметра вдува необходимый расход охладителя для тепловой за- щиты поверхности увеличивается быстрее, чем дальнобойность етруи. При вдуве охладителя в пограничный слой внешнего потока, толщина которого много больше чем размеры щели, вдали от нее при малом параметре вдува mtl < 1 струя будет развиваться в поле вязкости и теплопроводности, определяемых пограничным слоем. В этом случае в основу модели расчета заградительного охлажде- ния могут быть положены закономерности пограничного слоя. Согласно данной модели формула для расчета вшадпри любом значении х за пределами начального участка х0 может быть полу- чена путем интерполяции при х > х0: 0^ -j'l i 0,25 MTU'8 (18.34) L_ \ V / 02^0 J при 0 -Ж X ф АД Э.э ,1;( 1 . Если для тепловой защиты поверхности используется много- рядная система (миогощелевая), состоящая из п удаленных друг от друга щелей, то для расчета эффективности заградительного охлаждения ад) можно использовать принцип аддитивности эффективности охлаждения. Прн изотермическом вдуве через каж- дый ряд щелей эффективность заградительного охлаждения опреде- ляется соотношением П (МД. 2 (Ml П (1 -- (Yan)j. (18.35) 1 / -I где i, j...- номера рядов. 452
В лопатках газовых турбин конструктивно можно реализовать выдув охладителя ио нормали или иод углом к поверхности через один или несколько рядов отверстии (рис. 18.21). Выдув охлади- теля под углом к поверхности (J> 90’ желателен для снижения газодинамических потер],, обусловленных увеличением толщины пограничного слоя и деформацией его профиля скорости. Эффек- тивность заградительного охлаждения при вдуве охладителя через О1веретия изменяется не только в продольном направлении, по и в поперечном. Гидродинамическая каргпна течения, а следова- тельно, и процесс теплообмена в атом случае вблизи места вдува охладителя существенно зависит от геометрических характеристик системы вдува: диаметра отверстии <ф, угла наклона оси отверстия к поверхности р, расстояния между отверстиями 1 (шага располо- жения отверстий), числа рядов отверстий и геометрии их располо- жения. Температурное поле на защищаемой поверхности при выдув,е охладителя через систему отверстий оказывается менее равномерным, чем при выдуве охладителя через тангенциальную щель. Картина течения охладителя через отверстие показана на рис. 18.21. Под действием горячего потока, движущегося со ско- ростью ufx, струя охладителя искривляется и деформируется, поперечное сечение струи изменяется от эллиптической формы (при наклонном расположении капала вдува р <; 90°) до подковообраз- ной формы. Такая деформация струи сопровождается образованием системы вихрей, заполняющих поперечное сечение струи и присте- ночное пространство. Толщина струп Ъ практически изменяется линейно в зависимости от расстоянии от отверстия b 2,25Т0 ) 0,22х. При относительном шаге отверстий перфорации tjdn •< 3 слияние соседних струй охладителя происходит на расстоянии примерно равном x/d0 ~ 3...3,5. Рис. 18,21. Картина течения при вдуве охладижы. через отверстие: I — направление газового потока; 2 — сгруя охладше^я, J — шьсрстич для ьдун^а 453
Рис. 18.22. Зависимость эффективности заградительного охлаждения от пара- метра вдува т0 при вдуве охладителя через одиночное отверстие (Re = 0,22-103; р = 35°) для различных значений X — x/d0: J ... 4 — X = 5,19; 11,11; 31,47; 80,67 соответственно Характер зависимости эффективности заградительного охлаж- дения (при вдуве охладителя под углом р = 35° через одиночное отверстие) от параметра вдува т0 — (р«)/02/(ри)/1 показана на рис. 18.22. При т0 < 6,5 с ростом параметра вдува т0 эффектив- ность заградительного охлаждения увеличивается, достигает мак- симума, а затем при т0 > 0,5 уменьшается. Такая закономерность изменения ад объясняется тем, что при малых значениях т0 < < 0,5 струя охладителя плотно прилегает к поверхности, образуя холодный пристенный поток, а при сравнительно больших значе- ниях т0 > 0,5 происходит отрыв струи охладителя от поверхности, что и обуславливает уменьшение эффективности заградительного охлаждения. На больших расстояниях от места вдува происходит слияние отдельных струек охладителя, и для расчета эффективности загра- дительного охлаждения за рядом перфорированных отверстий диаметром d0 и с поперечным шагом их расположения t можно использовать зависимости для эффективности заградительного охлаждения при вдуве охладителя через сплошную щель (18.34). В этом случае вместо высоты щели Ьо используется эквивалентный ее размер Ьэ, определяемый как отношение площади отверстий вдува к ширине перфорированной поверхности Ьэ = nd'i/(4t). При переменных физических свойствах газового потока и охладителя для различных углов его вдува в пограничный слой в области х х0 и т0 < 1 эффективность заградительного охлаж- дения можно оценить согласно критериальному уравнению 1 Ч Рг2/3 q _ 1,0 РГ/ 02 ш ад ~ ! + 0,329 (ср/1/срП) f (?) (18.36) 454
где —0,25 /(₽)=! + l,5-10-4Re/02 sin p. I И? 02 Ц/1 Цд 02 При подаче охладителя через перфорированную поверхность, у которой продольный и поперечный шаг перфорации достаточно мал, влияние вдува охладителя на пограничный слой проявляется аналогично, как и в случае вдува через пористую поверхность. Экспериментальные исследования показывают, что под действием вдува охладителя через перфорированную поверхность (5...200 отверстий па 1 см2 поверхности) профиль скорости в турбулентном пограничном слое становится .менее заполненным, а толщина его увеличивается. Основным критерием, определяющим влияние вдува на процесс теплообмена в пограничном слое (как и при пористом охлаждении), является формпараметр который для турбулентного режима течения равен =- фф- Re°(2, где (ри)ш — массовый поток охладителя, отнесенный к единице площади защищаемой поверхности. Профиль скорости в турбулентном пограничном слое на перфо- рированной поверхности можно зависимостью и = (г//6д)1/п, где показатель степени п и толщина динамического погра- ничного слоя зависят только от формпараметра fw и при 0,3 \/п = 0,143 -ф- 2,9/ш; 1 + 13,5^, (18.37) где 6Д0 — толщина динамического слоя на непроницаемой поверх- ности при прочих равных усло- виях. Согласно экспериментальным данным эффективность загради- тельного охлаждения теплои- золированной перфорированной поверхности для турбулентного пограничного слоя с увеличе- нием формпараметра уменьшает- ся, а коэффициент теплоотдачи увеличивается (рис. 18.23) и аппроксимировать степенной Рис. 18.23. Зависимости коэффи- циента теплоотдачи (а) и эффек- тивности заградительного охлажде- ния (б) на перфорированной по- верхности от параметра вдува fw 455
при fw > 0,3 обобщается следующими критериальными уравне- ниями: ] (18.39) где cJ)fl и с,,/2 — теплоемкости охладителя и газового потока, Р/i и Р/2 — плотности охладителя и газового потока; п --- —0,5 при Р/2/Р/1 < 1 и п~-~-—0,25 при p/.2/p/i > Г, ct-j, ап — коэффициенты теплоотдачи на проницаемой и непроницаемой поверхностях при прочих равных условиях. Увеличение коэффициента теплоотдачи на перфорированной поверхности под действием вдува охладителя объясняется интен- сификацией турбулентного переноса тепла в результате взаимодей- ствия струек охладителя с пристенным потоком пограничного слоя, приводящее к разрушению вязкого подслоя. 18.4. КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ОХЛАЖДЕНИЯ ЛОПАТОК ГАЗОВЫХ ТУРБИН Тепловая защита лопаток газовых турбин позволяет понизить температуру их поверхностей по сравнению с температу- рой газа до уровня, при котором обеспечивается надежная работа лопаток из выбранного материала в течение требуемого срока службы. Целесообразно выбирать температуру материала лопаток турбин из условия максимально допустимой прочности. Тепловая защита лопаток газовых турбин включает в себя совокупность элементов и узлов, обеспечивающих подготовку охлаждающей среды, подачу ее к охлаждаемой лопатке, систему охлаждения са- мой лопатки и использование охладителя после отвода теплоты от лопатки. Система охлаждения лопатки включает в себя конструк- цию охлаждаемой лопатки, обеспечивающую определенную орга- низацию течения охладителя в ней и определенную эффективность Охлаждения. Системы охлаждения лопаток газовых турбин под- разделяются по роду применяемого охладителя (воздушные, жидкостные и воздушно-жидкостные) и по способу использования охладителя в турбине и в двигателе в целом (открытые, замкнутые и полузамкнутые). Из всех систем охлаждения наиболее широко используется в практике авиадвигателестроения воздушная открытая система охлаждения сопловых и рабочих лопаток газовых турбин, в кото- рой воздух, отбираемый от компрессора, охладив лопатки, посту- пает в проточную часть турбины и смешивается с газом. Однако из-за увеличения степени повышения давления в двигателе темпе- 456
р ,чту | > а поддающего воздуха, отбираемого из компрессора, уве.'шчииаеп'я, что снижает эффективность охлаждения лопааок турбин, В -лих сдутаях необходимо использовать специальные теплообменные аппараты и даже турбохолодильные. агрегаты, в которых температура воздуха понижается до приемлемого уровня. Вогдушная открытая система охлаждения лопаток турбин отличается наибольшим многообразием схем охлаждения. Эго многообра ше объясняется стремлением создать высокоэффектив- ную конструкцию лопатки, на охлаждение которой расходовалось бы минимально возможное количество воздуха, обеспечивающее требуемые запасы прочности. Эти требования трудно реализуются из-за техпологических ограничений. Постоянное совершенствова- ние технологии изготовления охлаждаемых лопаток расширяет возможность совершенствования схем охлаждения, что приводит к многообразиям конструктивных схем лопаток с воздушным охлаждением. Простейшими схемами внешнего воздушного охлаждения рабо- чих лопаток являются охлаждение теплоотводом в диск и парциаль- ное охлаждение. Отвод тепла от лопаток в диск осуществляется воздухом, который обдувает ротор (диск) или продувается через специальные каналы и монтажные зазоры в замковых соединениях рабочих лопаток. Такое охлаждение целесообразно использовать для коротких лопаток (30...40 мм). При расходе охлаждающего воздуха 0,7... 1,3% от расхода газа температура газа перед турби- ной может быть увеличена (50...60 К). При парциальном охлажде- нии рабочих лопаток охлаждающий воздух подается на часть лопаток, где отсутствуют сопловые лопатки. В этом случае рабочие лопатки омываются попеременно то газом, то охлаждающим воздухом. Такой способ охлаждения может быть целесообразен для рабочих лопаток малоразмерных турбин, в которых трудно реализовать внутреннее охлаждение из-за малой толщины профи- лей. Наибольшее применение в практике находят схемы внутрен- него воздушного охлаждения. В зависимости от направления течения охлаждающего воздуха в каналах лопатки схемы охлажде- ния бывают с продольным течением воздуха, с поперечным и сме- шанным (рис. 18.24). В схеме охлаждения с продольным течением воздух подается в корневую часть лопатки, движется вдоль ее длины и вытекает через верхний торец или через отверстие в выход- ной кромке. В схемах охлаждения с поперечным течением воздух подается во внутреннюю зону входной кромки лопатки, движется в поперечном направлении (по отношению к оси лопатки) и, охла- див лопатку, вытекает через отверстия или щели, расположенные в выходной кромке или на вогнутой поверхности профиля вблизи кромки. В схеме охлаждения со смешанным течением воздуха на отдельных участках лопатки реализуются как продольное, так И Поперечное течения. 457
Рис. 18.24. Схемы воздушного охлаждения лопаток газовых турбин- а — продольная; б — поперечная; в — смешанная Рабочие лопатки с продольным течением воздуха отличаются сравнительной технологической простотой, однако возможности достаточно глубокого охлаждения в этой схеме ограничены, в основном, вследствие существенного увеличения температуры охлаждающего воздуха вдоль оси лопатки, что обуславливает также и неравномерность температуры по длине лопатки. Поэтому эта схема охлаждения применяется в ступенях турбин, при входе в которые среднемассовая температура газа не превышает 1430 К- При заданных значениях расхода охладителя, температуре газа и его расходе через турбину эффективность системы охлажде- ния лопаток определяется значением температуры наружной поверхности лопатки. Чем меньше расход охлаждающего воздуха при допустимой температуре наружной поверхности лопатки, тем совершеннее система охлаждения и тем большее количество воздуха участвует в процессе расширения в турбине. Для анализа эффективности систем охлаждения температуру наружной поверхности лопатки ТШ1 удобно представлять в без- размерном виде: — (Д/ 01 ТW1)/[T/01 (Тf 02)bxL (18.40) где TW1 — температура наружной поверхности лопатки; Т/01 — температура газа; (7\02)вх — температура охлаждающего воз- духа на входе в лопатку. Чем больше безразмерная температура наружной поверхности лопатки при заданном расходе охлаждающего воздуха, тем со- вершеннее система охлаждения лопатки турбины. При -> 1 температура наружной поверхности лопатки TW1 стремится к тем- пературе охлаждающего воздуха Т}02. 458
Для определения распределения температуры наружной по- верхности лопатки Twl рассмотрим процесс передачи тепла от горячего потока газа к охлаждающему воздуху. Для этой цели воспользуемся одномерной моделью расчета, в которой предпола- гается, что передача тепла посредством теплопроводности в стен- ках лопатки осуществляется только по нормали к поверхности лопатки. Выделим элемент поверхности лопатки AS. Количество тепла,' передаваемого от горячего потока газа к рассматриваемому элементу внешней поверхности лопатки, равно AQ - (7е1 - Twl) ASV (18.41) Это количество тепла передается посредством теплопровод- ности через стенки лопатки - AQ = А- (Тж1 - Т^) (18.42) где &ф — коэффициент, учитывающий форму поверхности лопатки. Для участков лопатки, форма поверхностей которых близка к плоской поверхности, йф = 0,5 (1 ф- AS^ASJ, а для участков лопатки, форма которых близка к цилиндрической поверхности, £ф = > гДе ASi и А32 — соответственно элементы наружной и внутренней поверхностей стенки лопатки; X — ко- эффициент теплопроводности материалов наружной стенки ло- патки; 6 — толщина наружной стенки лопатки. Это же количество тепла расходуется на нагрев охлаждаю- щего воздуха AQ = a2(7'[c2-7/2)41; (18.43) В этих уравнениях а1( а2 — коэффициенты теплоотдачи от горя- чего потока газа к наружной поверхности лопатки и от внутрен- ней поверхности лопатки к охлаждающему воздуху; Т№1, Tw2 — температуры наружной и внутренней поверхностей лопатки; Т’еъ Т'/г — эффективные температуры газа и охлаждающего воз- духа, в общем случае определяемые с учетом пленочного и струй- ного охлаждения поверхностей лопатки. Из уравнений (18.41), (18.42), (18.43) следует AQ = k (Тл - Tf2) ASV (18.44) где k = —j-----т -------j--т-ё--— коэффициент теплопередачи. -7., к кф а2 ’Д.$2 Эффективные температуры газового потока при пленочном охлаждении и охлаждающего воздуха при струйном охлаждении можно выразить относительно эффективной температуры газового потока Те0 и температуры 'охлаждающего воздуха: Тл = Те0-ее1(Те0-Т)г), (18.45) 459
где 7'rtl -• эффективная температура потока, Tf2 среднемас- совая температура охлаждающего воздуха в канале. Используя соотношение (18.45), выражение (18.44) можно представит:, в виде AQ k AS,\(Т„п 7ф2)(1 ве,)|. (18.46) Температуру наружной поверхности определим из уравнения (18.41): Тео ~~ Т'офЛД, S Т f 92) ’ ©и (Т/2 — Тf 02). Из последних двух уравнений выражение для безразмерной тем- пературь: наружной поверхности лопатки запишется в виде 1 ео ’ 1 j 02 J-A 4 _А-(1 .... 0л (18.47) Таким образом, для определения безразмерной температуры наружной поверхности необходимо определить температуру охлаждающего воздуха Тf2. Для этой цели необходимо рассмо- треть одномерное уравнение теплового баланса с переменным расходом: 62д2 г (pv)scI12 (Tfi - Ti№) - - МЛ»- W(1 -- М) - (М - Ло2)(1 -- О (18.48) где (pn)s --- Gs'.\S — массовый расход струйного потока охлаж- дающего воздуха, отнесенный к единице внешней поверхности канала; G., — расход воздуха па входе в капал; ср2 — теплоем- кость охлаждающего воздуха. Это уравнение удобно представить относительно безразмерной температуры охлаждающего воздуха: д..тег_ п, (18.49) где ©f„ =- (Tfi - 7\Д/(7Д - 7ДД tn = (<</G2 ф /г/(6.,с;),) X (1 — Ь)е1); п k (1 — (-)e,)/(G2c;,2). Решение уравнения (18.49) па рассматриваемом элементе по- верхности лопатки AS, при (-Д12 -- 0 запишется в<, =--ехр /— [ mdS^ |* п exp ( [ m dS ) dS ]. (18.50) ( да / дз уд Is / J Выбирая величину AS достаточно малой, при которой все коэффициенты, входящие в уравнение (18.50), можно принять постоянными и равными соответственно средним значениям на 460
ра('ематриьаемом учио не лопатки АЛ , ура вш'ние И за пи- нге гея как Й,2 -—(( е .-ПАХ) 0 8.31) т Уравнения 08.46) и (18.511) дают возможность определить распределение темпера! у р охлаждающего вощу ха и темпера i \ pi.i наружной поверхности капала. В частном случае для копвек!ин- ион схемы охлаждения Нг1 .-.- и. (р;ф - 6, а согласно уравнениям (18.46) и (18 50) Для определения распределения температуры наружной по- верхности лопатки необходимо знать значения коэффициентов теплоотдачи на наружной и внутренней поверхностях лоиагки. Определение распределения коэффициентов теплоотдачи на на- ружной поверхности лопатки (в элементах проточной части тур- бин) является важным этапом при проектировании авиационных двигателей и их систем охлаждения. В турбинах лопатки соплового аппарата и рабочие, в особен- ности I ступени, находятся под воздействием высокоскоростного потока газа, отличающегося наиболее высоким уровнем пара- метров (температуры и давления), что предопределяет высокую интенсивность теплоотдачи к внешней поверхности лопатки и, следовательно, высокие требования к точности определения ко- эффициентов теплоотдачи. На основе расчета потенциального обтекания решетки лопаток определяют распределение скорости и давления вдоль контура лопатки, затем на основе расчета пограничного слоя определяют распределение коэффициентов теплоотдачи. Характер изменения коэффициентов теплоотдачи вдоль контура лопатки определяется особенностями ее обтекания газовым потоком. При натекании газа на профиль лопатки образуется пограничный слой, который вблизи входной кромки является ламинарным, а затем на неко- тором расстоянии, зависящем от начальных условий обтекания (конфигурации межлопаточного канала, интенсивности нагрева), переходит в турбулентный. Каждая из областей пограничного слоя (ламинарная, переходная, турбулентная) характеризуется своей интенсивностью теплообмена, поэтому в зависимости от протяженности той или иной области вдоль контура профиля интенсивность теплообмена будет различной. Точность расчета процессов теплообмена в этом случае существенно зависит от точности определения координаты начала разрушения ламинар- ного режима течения и развитого турбулентного течения. На рис. 18.25 приведен типичный характер распределения коэффициентов теплоотдачи вдоль контура лопатки. Максимум 461
2 / Рис. 18.25. Характер распределения ' коэффициентов теплоотдачи по кон- туру лопатки газовой турбины: 1 ... 3 — ламинарный. переходной, тур- булентный режимы соответственно интенсивности теплообмена ре- ализуется в окрестности перед- ней кромки лопатки. Расчет рас- пределения коэффициентов теп- лоотдачи вдоль контура профиля лопатки представляет достаточно трудоемкую задачу. Поэтому в инженерной практике для прибли- женных расчетов систем охлаждения лопаток газовых турбин с целью выбора основных параметров используются более про- стые эмпирические зависимости для средних значений коэффициен- тов теплоотдачи. Профиль лопатки разбивают на участки, вдоль которых коэффициенты теплоотдачи принимаются постоянными и равными средним значениям. В инженерной практике проектирования охлаждаемых лопа- ток получила распространение методика, по которой опреде- ляются средние значения коэффициентов теплоотдачи от газа к поверхности лопатки на передней кромке и основной средней части профиля. .Средний коэффициент теплоотдачи по поверхности передней кромки можно определить согласно критериальному уравнению, полученному для поперечного обтекания цилиндра газовым потоком при Рг — 0,7. Nu/ == 0,635Ке?'5. (18.53) За определяющую температуру принята температура торможе- ния газа в относительном движении, за определяющий р. змер — диаметр входной кромки, за определяющую скорость — скорость в относительном движении на входе в решетку. Формулой (18.53) можно пользоваться при нулевых углах атаки в диапазоне чисел Rey = 5-103 ... 4 • 104; М 0,9. Средний коэффициент теплоотдачи на основном участке про- филя лопатки (на вогнутой и выпуклой частях профиля) опреде- ляется согласно критериальному уравнению при Рг = 0,7: Nu, = O,2O6Re/’66Sp“0’58- (18.54) Здесь в качестве характерного размера используется хорда про- филя лопатки, в качестве характерной скорости — скорость в относительном движении на выходе из решетки; Sp — критерий подобия, учитывающий влияние на теплообмен геометрии реше- ток. sin pt г __________________2.у,_________________-10,5 sin 32 L / sin (Pt — р2) cos2 (Pj — Р2)/2) J ’ (18.55) где Pt и p2 •— геометрические углы входа и выхода газа из решеток; Ьо — ширина решетки; / — шаг решетки; t = t/b\ b — хорда ре- 462
щетки. В первом приближении критерий Sp определяется по гео- метрии лопатки на среднем диаметре ротора. Влияние центробежных и кориолисовых сил, возникающих во вращающихся решетках, может быть учтено критерием подо- бия Su = u/(uy0), где 0 dll, и — окружная скорость; d — средний диаметр решетки лопаток; I — длина лопатки. Интенсивность теплообмена во вращающейся решетке опреде- ляется согласно критериальному уравнению NuBp - NuHe оод.(1 + XSun). (18.56) Для среднего по контуру профиля коэффициента теплоот- дачи А — 0.8; п = 0,42; для передней кромки А = 0,2; п = — 0,17; для выходной кромки А = 0,87; п — 0,37; для спинки профиля Л 1,8; п — 0,66; для вогнутой части профиля А = = 0,4; п -= 0,17. Поскольку' выпуклая и вогнутая части профиля лопатки со- ставляют основную долю профиля, то для расчета среднего по периметру лопатки коэффициента теплоотдачи можно использо- вать критериальное уравнение (18.54). Реальные условия работы газовой турбины характеризуются наличием ряда факторов, воздействие которых существенно услож- няет процессы теплообмена и не всегда поддается точному анализу. К числу такого рода факторов относится турбулентность газового потока, поступающего на турбину. Известно, что уровень турбу- лентности потока за камерой сгорания зависит от температуры газа на выходе из нее. Чем выше температура в камере сгорания, тем выше интенсивность турбулентности газового потока на вы- ходе из нее: степень турбулентности газового потока на входе в турбину может достигать 10 ... 12%. Для расчета заградительного охлаждения внешней поверх- ности лопатки могут быть использованы зависимости (18.34), (18.35), (18.36). Для того, чтобы определить распределение коэффициентов теплоотдачи на внутренней поверхности лопатки, необходимо оп- ределить распределение расхода воздуха в охлаждаемых кана- лах. Эта задача решается на основе гидравлического расчета си- стемы охлаждения лопатки газовой турбины. Определив распре- деление расхода охлаждающего воздуха по каналам лопатки, можно определить коэффициенты теплоотдачи на внутренней по- верхности лопатки (в охлаждаемых каналах) согласно критериаль- ным зависимостям для течений жидкостей в каналах. Одной из важных задач при проектировании систем охлажде- ния лопаток газовых турбин является интенсификация процесса теплообмена в охлаждаемых каналах, что позволяет форсировать уровень температуры газа перед турбиной и уменьшить расход воздуха на ее охлаждение. Наиболее распространенным способом интенсификации процесса теплообмена в охлаждаемых каналах лопаток газовых турбин является оребрение каналов (см. рис. 18.2) 463
•тел иного коэффи ни он та ". еп.зо- отдачи и/а0 за решеткой ки.’шн- дри чески х интенсификаторов при Re • • 4- 1(У* f sx/du " - 2- 1 ... 3-d >d 0.51’5; 1.050; u / 3 ’ 2,100 соответственно : струйное obrc’K.'iHHc их поверх jk > • CT 11 I CM, рис. I Д ,1) . I > opcupcfi H( IM K,'l нале У H.c. I ;l 41 II III. И И I bin'll 1ШОШ1 и ’I (' II ЛООрМС 11,1 ДОС'1 11 I IIC'I i'll Il< IC рсдс'1 !’< >M .'I'.Cj'l И ЧС ll II и ПО ВС p X H')C'I II I CH.'II >o6mc- ii,i и усиления перемешивания жид- кости вблизи новер xnoc'i н вследс! в,не веиери рования и рис i еночпых вихрей. У ci аповка пил ипдрических ребер I и I Brel I с и ф 11 каш । ро в) поперек покша в канале охлажден ня лпшики г;гю- ВОЙ 'I 'V р о 11111 >1 ИО31ЮДЯСТ V ВС,'1 и И 11'1 I, inriencHHiioc! к теплообмена в 1.5-- 2 рана (рис 18.26). Снласио про- веденным исследованиям коэффи- циент тенлоо'!дачн за peine'i кой цилиндрических интснсифи кая оров умешивается при \-велииеш111 расстоя- ния от иоследшто ряда 1нг1спсифи- каторов (х Д,). Уменьшение диаметра иитенсифика юров (с/,,) и попереч- ного шага (8и — s;/ dt.) увеличивает интенсивность процесса теплообмена при прочих равных условиях. Для расчета коэффшцие.пта теплоотдачи на поверхности канала к потоку воздуха (Рг - 0,7) за решеткой цилиндрических ин- тенсификаторов Черным М. С. предложено следующее критери- альное уравнение: Nu ЛКе"- (18.57) Коэффициенты А и п зависят от геометрических параметров решетки интенсифиикаторов: А 0,0221 + 13,6 ехр [—0,617 (х,Ди) — --1,15 (dB/dB — 0,295sv/4 — — 0,068 sx/d„ — 0,379 m)]; n cc 0,765 — 0,284 exp [0,987 -- 0,242 x/dK — 0,357 d„/d3 — — 0,128 sy/d„ -ф 0,018 sjd„ -- 0.144 /n[), где x - - соответственно продольная координата; dK — диаметр интенсификатора; d3 — эквивалентный диаметр канала; ,sx. s;y — продольный и поперечный шаги решетки интенсификаторов; гп — число рядов в решетке интенсификаторов. Для определения среднего коэффициента теплоотдачи внутри решетки цилиндрических интенсификаторов, установленных в ка- нале, Ноздриным А. А. предложено критериальное уравнение (при Рг = 0,7) N u == 1,74Р.еп (х/АД-()-7* (si./dn)“1-6<J, (18.58) где п -i' 0,8 f 1 - - exp (—0.0392 (sydj2) [. В этом уравнении коэффициент теплоотдачи отнесен к пол- ной площади теплообменной поверхности, включая площадь по- 4(0
верхности интенсификаторов; в качестве характерных размера и скорости использовались средний эквивалентный диаметр ячейки канала (с учетом интенсификаторов) и соответственно средняя скорость потока. Существенная интенсификация процесса теплообмена при струйном натекании на поверхность и относительная простота регулирования перераспределения расхода охладителя и интен- сивности теплообмена по поверхности канала обусловили широ- кое применение этого способа интенсификации теплообмена в си- стемах охлаждения лопаток газовых турбин. Струйная система охлаждения в лопатках газовых турбин, как правило, используется для местной интенсификации тепло- обмена на наиболее теплонапряженных участках лопатки. При струйном охлаждении передней кромки лопатки (рис. 18.27), как и при натекании струи на плоскую поверхность, максимум теплоотдачи реализуется в окрестности критической точки, про- тяженность которой примерно соответствует ширине сопла Ъо = = Ь, а на расстоянии от критической точки Ы/Ьо > 10 интенсив- ность теплообмена резко уменьшается а/а0 да 0,3 (где а0 — коэф- фициент теплоотдачи в окрестности критической точки). Для расчета коэффициента теплоотдачи в окрестности критической точки при натекании струйного потока на вогнутую поверхность можно использовать следующие критериальные зависимости при Рг = 0,7, полученные на основе экспериментальных исследова- ний: Nuo = l,2Re^58 (Л/fro)-0’62 при h/b0 8; (18.59) Nu0 = O,54Reo’6 (A/fr0)~0,S6 при h/b0 < 8. Здесь в качестве характерной скорости используется скорость струи на срезе сопла, а в качестве характерного размера — экви- валентный диаметр сопла (для плоского сопла ds — 2fr0). Соответственно, средние по периметру передней кромки ло- патки коэффициенты теплоотдачи определяются критериальным уравнением Рис. 18.27. Схема определения интенсивности теплообмена при струйном охла- ждении передней кромки лопатки 16 Андуевский 465
Рис. 18.28. Зависимость эффек- тивности охлаждения лопаток газовых турбин от относитель- ного расхода охлаждающего воздуха: 1 ... 4 — конвективное, струйное, пленочное, пористое охлаждения соответственно где в качестве характерного размера используется длина дуги полости Д/, отсчитываемой от критической точки, а в качестве характерной скорости скорость на оси струи перед ударом ее о поверхность, определяемую на основе закономерностей для свобод- ной затопленной струи. Для расчета средних значений по ширине перфорированного канала коэффициентов теплоотдачи при струйном охлаждении одной из его стенок (см. рис. 18.3) предложено критериальное уравнение Nu/Nuj = - 1 - с (sx/d)n* (su/d)ny (hld)n* (18.61) где значения числа Нуссельта в зоне первого ряда струй опреде- ляются из критериального уравнения Nuj = 0,363 (sJdT0-5^ (sv/d)~°’i22 Res°'727Pr1/3. (18.62) В этих уравнениях sx, sy — продольный и поперечный шаги рас- положения струй (перфорации поверхности); d — диаметр от- верстия (перфорации); h— ширина канала; mf, ms —расходы охладителя в продольном и соответственно в поперечном струй- ном потоке; константа с и показатели степени п в данном крите- риальном уравнении зависят от схемы расположения струй: для коридорной схемы с = 0,596, пх = —0,103, nv = — 0,36, nz = = 0,803, п = 0,561; для шахматной схемы с = 1,07, пх = —0,198, nv = —0,406, nz = 0.788, п = 0,660. Определив в каждом конкретном случае коэффициенты тепло- отдачи на наружной и внутренней поверхностях лопатки, а также распределение расхода воздуха по каналам охлаждения согласно зависимостям (18.52) можно определить и распределение тем- пературы на наружной поверхности лопатки или для заданной максимально допустимой температуры материала лопатки опреде- лить потребный расход охлаждающего воздуха. На рис. 18.28 приведены результаты приближенных оценок максимальной безразмерной температуры поверхности лопатки в зависимости от относительного расхода охлаждающего воздуха (т.2 — расход охлаждающего воздуха; т, — расход газа через турбину) для конвективного, струйного, пленочного (за- градительного) и пористого охлаждений. Из приведенной зависи- мости следует, что наиболее эффективное охлаждение с меньшими затратами охлаждающего воздуха реализуется при пористом ох- лаждении. Струйная система охлаждения занимает промежуточ- ное положение между конвективным и заградительным. 466
18.5. ТЕПЛОЗАЩИТНЫЕ ПОКРЫТИЯ Одним из распространенных методов предохранения конструкции от теплового и химического воздействия внешнего потока с высокой температурой является нанесение на поверх- ность теплозащитных покрытий. Рассмотрим особый класс таких покрытий — так называемые уносимые покрытия. Идея их при- менения заключается в том, что под воздействием внешнего потока материал, из которого сделано покрытие, может частично разру- шаться и уноситься потоком. На унос материала затрачивается большое количество поступающего к поверхности тепла. Масса покрытия определяется количеством унесенного мате- риала и количеством материала, которое должно оставаться на поверхности к концу работы и обеспечивать теплоизоляцию и необходимый .перепад температур между поверхностью покры- тия и поверхностью конструкции. Основной характеристикой уносимого покрытия является его способность отбирать тепло при разрушении. Изменение энтальпии ДI = f с dT + г = Дi 4- г (18.63) г, складывается из тепла, затрачиваемого на повышение теплосодер- жания материала покрытия, и тепла фазовых переходов и химиче- ских реакций, протекающих в материале при его нагреве. Количе- ство G вещества, унесенного в единицу времени с единицы пло- щади при подводе тепла к поверхности покрытия, и выделение тепла в процессе химического взаимодействия покрытия мате- риала с газом, поступающим из внешнего потока, определяется из условия теплового баланса: G Д/ = q.j, 4_ GHх — <7»я — <Jr> (18.64) откуда G - (qw -Лвв “ <7г)/(Д/- Ях), (18.65) где <7и, — удельный тепловой поток; Нх — тепловой эффект ре- акций на поверхности покрытия, отнесенный к единице массы унесенного материала; ^вн = qBH — («7Вн)ст —дополнительный теп- ловой поток, отводимый внутрь покрытия посредством тепло- проводности; qr — поток, излучаемый поверхностью покрытия, В процессе уноса материала происходит сложное взаимодей- ствие поверхности покрытия и газа в пограничном слое. Из-за подачи массы разрушаемого покрытия в пограничный слой умень- шается конвективный тепловой поток в стенку (<7Ш); при химиче- ских реакциях между продуктами разрушения и внешним потоком может дополнительно выделяться или поглощаться тепло н уно- ситься материал. 16* 467
Поэтому Л/ недостаточно характеризует эффективность тепло- защитного материала в каждом отдельном случае. Более общей характеристикой материала является так называемая эффектив- ная энтальпия: (18.66) где <7t»o — тепловой поток к непроницаемой и нереагирующей поверхности при температуре, равной температуре разрушения; G — секундный унос массы в реальных условиях. Из уравнений (18.65) и (18.66) следует, что --------feo----Ы -Нх . , j 8 67) 9«,-9вн-<?г д/ Таким образом, /эф является более общей характеристикой материала, учитывающей его теплофизические свойства и влия- ние всех процессов взаимодействия между поверхностью и внеш- ним потоком. Согласно формуле Ньютона унос массы опреде- ляется соотношением G = <7®<Лэф = (а/сР)о(/е — /^//эф- (18.68) Значение /Эф/Д/ должно в каждом случае определяться из совместного решения уравнения пограничного слоя и уравнений, описывающих механизм уноса массы. Во многих случаях, когда механизм уноса массы материала недостаточно хорошо известен, 1Эф определяется экспериментально по измерению линейного уноса образца материала в газовом потоке, моделирующий внеш- ний поток. Если все условия моделирования тепло- и массообмена в по- граничном слое выполнены достаточно точно, то унос массы G = p-g- (18.69) будет зависеть от теплового потока, направленного внутрь мате- риала (<7ВН), являющегося функцией времени. Следовательно, экспериментальные значения уноса материала G и эффективной энтальпии /Эф будут зависеть от условий эксперимента и не будут пригодны для сравнительной оценки материалов. Поэтому эффективную энтальпию /эф целесообразно опреде- лять при таком режиме, когда qBn постоянно. Такой режим назы- вается квазистационарным режимом уноса. Он возникает при исте- чении некоторого промежутка времени при постоянных условиях нагрева и характеризуется тем, что линейная скорость уноса v = dx/dx становится постоянной и количество тепла, отводимого BHjffpb, = 0, а г«, (<7вн)ст = G J cdT = GM, (18.70) г» т. е. в точности равно количеству тепла, необходимому для подо- грева унесенного материала от начальной температуры до тем- 468
Рис. 18.29. Зависимость времени установления кваз и- стационарного режима уноса для однородного ква р цевого стекла пературы разрушения. При этом скорости перемещения границы поверхности и ско- рости распространения температурной волны становятся равными, и распределение тем- пературы в координатах, связанных с поверхностью, не зави- сит от времени в —о J рс/Х dp T-T0 = (TW-T0)e о . (18.71) Если физические свойства материала (плотность р, теплоем- кость с и теплопроводность X) не зависят от Т и у, то Т -То== (Tw-T0)e-l'/\ где 6Т = X/(pct>) = alv называется глубиной прогрева, характе- ризующей расстояние от поверхности, на котором перепад тем- ператур (Т6 — То) уменьшается в е раз. Условие баланса тепла (18.64) будет иметь вид = qw + GCTH№-qr, (18.72) откуда GCT = (qw - qr)/(M - Hx). (18.73) При достаточно большой скорости уноса квазистационарный ре- жим уноса наступает быстро. В качестве примера на рис. 18.29 представлена зависимость времени установления квазистацио- нарного режима уноса массы для кварцевого стекла. Для уменьшения потери материала и снижения массы тепло- защиты летательного аппарата целесообразно увеличивать ве- личину эффективной энтальпии (/Эф). Это может быть достигнуто выбором соответствующего материала. Однако при этом необхо- димо иметь в виду, что при уменьшении скорости уноса увеличи- вается глубина прогрева теплозащиты. В условиях квазистационарного режима в теплозащитном материале устанавливается распределение температуры по закону (18.71). Если допустимая температура защищаемой поверхности равна 7’д, то необходимая толщина теплозащиты (/г) в конце на- грева согласно (18.71) (18.74) Оу 1 Д- 10 С другой стороны, линейная скорость уноса покрытия v = <7®о/(Р^эф)- (18.75) Отсюда Л==^1п-^^. (18.76) 469
Общая масса теплозащитного покрытия, уносимого с еди- ницы площади и прогреваемого до температуры Та за время ра- боты %, определяется выражением с, -^2- т 4- in bczA. (18,77) Отсюда видно, что при увеличении эффективной энтальпии, растет второй член уравнения (18.77), т. е. увеличивается глубина прогрева материала и в некоторых случаях может возрасти по- требная масса материала, затрачиваемого на теплоизоляцию конструкции. Следует иметь в виду, что выражение (18.77) справедливо, если унос теплозащитного материала может приближенно счи- таться квазистационарным, т. е. при достаточно большом значе- нии числа Фурье Fo = Л/а и для однослойного теплозащитного покрытия. Для уменьшения глубины прогрева могут применяться многослойные покрытия, выбираемые таким образом, чтобы верх- ний слой обладал большим значением /Эф, а внутренние слои имели хорошие теплозащитные свойства. Таким образом, для характеристики материала необходимо знать значения его эффективной энтальпии (/эф), коэффициента температуропроводности (а), плотности (р) и температуры поверх- ности (Гц,), при которой происходит разрушение и унос мате- риала. Большие значения температуры поверхности (Д,,) тепло- защитных покрытий имеют преимущества в том, что с ее увеличе- нием растет тепловой поток (qr), излучаемый поверхностью. По- верхность охлаждается излучением- что ведет в соответствии с уравнениями (18.66) и (18.73) к увеличению эффективной эн- тальпии материала (/яф). Однако одновременно может увеличиться толщина покрытия (h) и общая масса теплозащиты может оказаться большой. Другая группа требований к покрытиям связана с техноло- гическими и конструктивными свойствами. Покрытие должно быть технологичным, легко наноситься на поверхность и обладать хорошей адгезией, т. е. прочно связываться с поверхностью. Эта связь не должна нарушаться при нагревании поверхности кон- такта. Внешняя поверхность теплозащитного материала должна выдерживать воздействие больших аэродинамических нагрузок, не скалываясь и не трескаясь, т. е. обладать высокими механиче- скими свойствами. Если применяется двухслойное покрытие, то нижний теплозащитный материал (подслой) не должен разла- гаться при нагреве, ибо при этом произойдет нарушение целост- ности верхнего покрытия и его сцепления. Защищаемые поверхности могут покрываться керамическими материалами, графитом, стеклообразными материалами, пласт- массами разных типов. Керамические материалы обычно обладают большой термостой- костью, высокой температурой разрушения, малой теплопровод- 470
ностью и большой величиной эффектив ной энтальпии. Их недостатком является то, что они требуют обжига при высоких температурах и,следовательно, их трудно наносить непосредственно на поверхность Рис. 18.30. Схема тепло- обмена (при полностью сублимирующемся по- крытии) аппарата. Пластмассы применяются с различны- ми видами армирующих наполнителей. Эти материалы обладают высокой прочностью, малой теплопроводностью, большой теплоемкостью. Унос тепло- защитных материалов данного класса происходит частично путем сублимации с поверхности, что вызывает большое поглощение тепла при разрушении. Пластмассы обладают хорошими техноло- гическими свойствами. Стекловидные материалы при высоких температурах имеют свойства очень вязкой жидкости, что способствует поглощению тепла материалом до того, как жидкий слой будет снесен под действием аэродинамических сил. Они характеризуются боль- шой теплотой испарения, малой теплопроводностью и хорошими термодинамическими характеристиками. Рассмотрим приближенный метод определения эффективной энтальпии для некоторых наиболее важных случаев, позволяю- щий получить простые выражения для оценки влияния различ- ных факторов на скорость уноса. В частности, рассмотрим три типа покрытий: сублимирующихся полностью или частично, уно- симых в результате горения с образованием газообразных про- дуктов и плавящихся (стеклообразных). На практике может ока- заться, что все перечисленные физические явления присутствуют одновременно и сопровождаются механическим уносом материала. Возможно также более сложное взаимодействие с пограничным слоем. Если в состав покрытия входит материал, способный возго- няться, то для определения эффективной энтальпии покрытия необходимо знать долю в нем сублимирующегося материала. Рас- смотрим покрытие, изготовленное из однородного материала (рис. 18.30), который полностью возгоняется и не вступает в хи- мические реакции с внешним потоком. При вдуве вещества в пограничный слой в результате субли- мации теплозащитного покрытия тепловой поток на поверхности с достаточной точностью при не очень большой интенсивности вдува можно записать в виде [см. формулу (18.15)] ] BG, (18.78) где G — —г-,—»— — Ue — ЦУГэл — безразмерный унос мате- \а!ср)о ; риала; (а/ср)0 - qwQi(Je — — обобщенный коэффициент тепло- отдачи на непроницаемой поверхности; В О,67— 0,87 X X — постоянный коэффициент. 471
Рис. 18.31. Зависимость уноса сублимирующегося материала G от энтальпии торможения на- бегающего потока /е (В = 0,5; = 0) О 2 4 б 1Р Выразим величину истинного -"голового потока qw к поверх- ности из уравнения (18.73) через истинную энтальпию материала при Нх — 0: qw — GAI + qr- Отсюда с учетом уравнения (18.66) qw/qwo = GAI/(GI^) + 7г/дш0. (18.79) Подставляя в уравнение (18.79) выражение для qw/qm из уравне- ния (18.78), получаем AI/1Эф = 1 BG qr/qwo — 1 (/» /ш)//эф Яг/Яою- (18.80) Отсюда значение эффективной энтальпии для полностью субли- мирующегося материала '“• = -гож(1+вгого)- где Ie = It + г (uf/2). У сублимирующихся материалов эффективная энтальпия возра- стает с увеличением энтальпии торможения. Если молекулярная масса вещества, испаряющегося с поверхности покрытия, мала, то значение коэффициента В возрастает и зависимость эффектив- ной энтальпии материала от энтальпии торможения (/е) становится еще более сильной. Используя выражение для /эф и соотношение (18.68), получим (к/ср)0 (Ie Iw) (1 Яг/Уию) Д/ (1 4- В (Ie - (18.82) или в безразмерном виде АО Яг/д^о) где Ie = (7е — IW)/AI. Из рис. 18.31, где представлен примерный вид зависимости скорости уноса сублимирующегося материала от энтальпии тор- можения набегающего потока воздуха, видно, что в некотором диапазоне изменения безразмерной энтальпии торможения мас- совый унос является функцией от 1е (0 /„ < 2,5). Анализ уравнений (18.81) и (18.82) показывает, что излучение с поверхности теплозащитного материала как бы увеличивает эффективную энтальпию материала и уменьшает унос теплоза- щитного покрытия. Очевидно, что при qr -= qw(l Л,ф-> оо, a G -> 0. 472
Для покрытия, состоящего из вещества, способного вступать в химические реакции с газом набегающего потока, рассмотрим два случая. Если суммарный подвод тепла к поверхности недоста- точно велик, то температура поверхности (Tw) не достигает тем- пературы сублимации и количество унесенного теплозащитного материала будет целиком определяться скоростью диффузии окислителя из внешнего потока. Во втором случае унос будет происходить при плавлении или сублимации материала при тем- пературе, равной температуре фазового перехода. Однако в этом случае необходимо учитывать дополнительное выделение тепла гетерогенных реакций на поверхности, и количество унесенного материала определяется из теплового баланса на поверхности. Если диффузия окислителя настолько велика, что соблю- дается условие g0K GL (L — количество окислителя, вступаю- щего в химическую реакцию с 1 кг массы материала покрытия), то фронт горения будет совпадать с поверхностью тела, если g0K < LG, то фронт горения может сместиться внутрь погранич- ного слоя. Приближенный расчет теплообмена для этого случая можно провести, исходя из условия, что профиль полной энтальпии слабо изменяется при наличии химических реакций, и тогда тепло- вой поток определяется из выражения qw = (1е—1Ш) + ср 4- GHX независимо от положения фронта пламени. При этом мо- гут быть использованы формулы, полученные для расчета эф- фективной энтальпии сублимирующихся покрытий (18.81) при подстановке в них вместо величины А/ разности А7 — Нх: '••=г4*;('-4г + 8'4 <18-84> Тогда выражения для уноса материала получим из формул (18.77) и (18.82): z? _ __(Д/Гр)о (7е Iw) (1 ___ u - (Д/ - Нх) [1 + в (1е - - Нх)] или q _ L (1 ~ I - нх!М + в!е ' (18.85) (18.86) Область применимости этих формул ограничена кинетикой испарения и кинетикой протекания химических реакций. При больших значениях 1е обычно Нх!\1 (/в — /Ш)/А/. Пример- ный вид зависимости с учетом горения представлен на рис. 18.32. Приведенный выше приближенный анализ позволяет выяснить лишь качественную картину явлений при уносе сублимирующихся покрытий с горением. Под воздействием теплового потока и сил трения на поверх- ности покрытия может образоваться движущаяся пленка расплава. При своем движении пленка расплава может перегреваться, 473
а температура поверхности отличаться от температуры плавления. Например, стекловидные материалы не имеют фиксированной температуры плавления. Если тепловой поток не превышает некоторого критического значения, то на поверхности раздела жидкость — газ нет замет- ного испарения (пленка сносится, не успевая прогреться до тем- пературы испарения). Скорость жидкой пленки из-за большой вязкости мала относительно скорости потока, и, следовательно, пленка не оказывает влияние на характер движения газа в погра- ничном слое. Поэтому газовый пограничный слой можно рассчи- тывать независимо от жидкого пограничного слоя. Рассмотрим методику расчета скорости уноса теплозащитного покрытия, на котором формируется жидкая пленка, на примере течения в окрестности передней критической точки осесимметрич- ного затупленного тела (рис. 18.33). Будем считать, что решение для газового пограничного слоя получено и, следовательно, за- даны значения обобщенного коэффициента теплоотдачи и коэффи- циента трения. Поскольку скорость движения пленки мала, то эти коэффициенты можно принять такими же, как и на непод- вижной поверхности. Граничные условия в системе координат, связанной с поверх- ностью, на поверхности раздела при у = 0 имеют вид (18.87) При отсутствии испарения v = О, = ^исп- При у -+ —оо, Т -> То, и 0, v = vw система координат перемещается вдоль оси с неиз- вестной заранее скоростью уно- при наличии испарения v.r - Рис. 18.32. Зависимость эффективной энтальпии /Эф теплозащитного мате- риала от энтальпии торможения набе- гающего потока 1е с учетом горения Г 1-"ж/д/ й = l-g"/g----! tg<Pi = /./(0,23 +В); L wrw„ tg Ф, = в/(1 - gr/g№e) Рис. 1 «.33. Схема течения в окрестно- сти критической точки при плавлении теплозащитного покрытия: I — газообразный пограничный слой; II — жидкая пленка расплавленного материа- ла; III -* твердый материал 474
При медленном движении пленки можно пренебречь силами инерции и уравнение движения принимает вид •vOO-t- <|8-вд Интегрируя это уравнение с использованием граничных усло- вий (18.87), получаем закон распределения для продольной ско- рости в жидкой пленке: в В “ =Т 1 f ^ + ’- IV-- <18-89) — ® — оо Здесь касательное напряжение тш и градиент давления dpldx заданы. Для вычисления интегралов необходимо знать закон рас- пределения вязкости в зависимости от у, что возможно при из- вестном распределении температуры. Зная профиль скорости и „ д (ги) д (го) п в жидкой пленке, из уравнения неразрывности —-|--------- = О определим местную скорость уноса материала о (18-90) —сю при отсутствии испарения с поверхности. Следовательно, для расчета уноса необходимо определить профиль температуры в жидкой пленке Т — f (у). Для этого рассмотрим уравнение энер- гии. В окрестности критической точки dTfdx = 0. В этом случае уравнение энергии при X = const принимает вид dT гРТ (18.91) dy dy2 ’ v ' где a — коэффициент температуропроводности. Интегрируя это уравнение, с учетом граничных условий (18.87) получаем / в \ <18-92) ' о ' Таким образом, распределение температуры зависит от рас- пределения скорости о (у) и необходимо решать совместно урав- нения движения (18.89) и энергии (18.91), что существенно ус- ложняет анализ. Однако в случае стекловидных материалов можно внести существенные упрощения. Вязкость этих материалов хорошо опи- сывается формулой ц/цш = (Т’/7'J'1 при п = 10.. .20 (18.93) и очень быстро увеличивается по мере уменьшения температуры. Жидкость имеет малую вязкость только на очень малой толщине. 475
Это значит, что динамический слой намного меньше теплового, а поэтому градиент температуры поперек жидкого слоя почти не изменяется. Учитывая перемещение системы координат относительно твер- дого тела, имеем v = vw, и градиент температуры внутри тия (18.92) можно представить в виде Отсюда получаем искомое распределение температуры покры- (18.94) (18.95) Учиты- (18.96) (18.97) Величина бт = a/vw характеризует глубину прогрева, вая, что / дТ \ Tw К ду 'ш'""' 6Т ’ получаем распределение температуры в теле Т = Тш ехр (у/бт). Это распределение температуры соответствует квазистационарному плавлению. Воспользуемся степенным законом вязкости для жидкой пленки (18.93). С учетом выражения (18.97) находим распределе- ние вязкости поперек жидкой пленки И/Иш = (Т/Тш)п = е~пу/\ т. е. р = цшехр (—ш//бт) = ршехр (—у/6), (18.98) где б = 6т/п = a/(vwn} — толщина динамического слоя или ус- ловная толщина жидкого слоя, на которой вязкость падает в е раз. Подставляя закон изменения вязкости (18.87) в уравнение для распределения скорости (18.89) и интегрируя его, получаем распределение скорости в жидкой пленке Используя полученный профиль для скорости (18.99), опреде- ляем скорость уноса vw из уравнения (18.90). Учитывая, что в ок- рестности передней критической точки г = х, а градиент давле- ния dp/dx и касательное напряжение зависят линейно от х, получаем следующее выражение: (т-2б5")- (18.100) Так как из уравнения Бернулли для течения на границе газового пограничного слоя 476
где р = (du-Jdx),^, а иг — скорость течения на границе газового пограничного слоя, то уравнение (18.100) принимает вид + (18.101) Полученные соотношения связывают между собой толщину слоя (6), скорость уноса (vw), температуру стенки (Tw) и каса- тельное напряжение (тш). Для дальнейшего решения необходимо привлечь уравнение баланса тела qw = pwvw&I (где А/ — тепло, поглощаемое мате- риалом при нагреве), выражения для теплового потока qw и каса- тельное напряжение на стенке тш. В частности, для кварца получено /эф « р|/(3+ч)^з,б4/(з+п) Унос теплозащитного материала тем меньше, чем выше его вязкость и меньше коэффициент теплопроводности (%). Поскольку п велико, унос-слабо зависит от рг и энтальпии торможения (/0) набегающего потока газа. В случае испарения жидкой пленки эффективная энтальпия материала (/эф) будет возрастать с уве- личением энтальпии торможения (Д). Приведенное решение справедливо только в том случае, когда пленка остается стабильной. Опыты показывают, что стабиль- ность пленки нарушается при Ree ~ 150. При этом значение эффективной энтальпии теплозащитного материала существенно уменьшается. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Назовите основные способы тепловой защиты теплонапряжеииых по- верхностей. 2. Каким образом влияет вдув охладителя в пограничный слой через по- ристую поверхность иа его структуру и интенсивность теплообмена? 3. Что такое формпараметр, и каким образом зависит интенсивность тепло- обмена в пограничном слое от этого параметра? 4. В чем заключается механизм тепловой защиты при заградительном охла- ждении поверхностей? 5. Сформулируйте основные положения расчета заградительного охлажде- ния поверхностей. 6. От каких параметров зависит эффективность заградительного охлаж- дения? 7. Назовите основные способы охлаждения лопаток газовых турбин. 8. Какими параметрами характеризуется эффективность охлаждения ло- паток газовых турбин? 9. В чем заключается механизм интенсификации процесса теплообмена в струйных системах охлаждения лопаток газовых турбин? 10. Назовите наиболее эффективные способы охлаждения лопаток газовых турбин? 11. В чем заключается механизм тепловой защиты посредством разрушае- мых (уносимых) покрытий? 12. Что понимается под эффективной энтальпией теплозащитного покрытия?
ГЛАВА XIX ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 19.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ В настоящее время можно выделить две основные группы космиче- ских аппаратов: автоматические и пилотируемые. Аппараты этих групп заметно различаются по конструкции, поглощаемой энергии и выделению тепла. Серьезной проблемой для пилотируемых космических аппаратов является создание системы жизнеобеспечения, которая должна быть тесно связана с си- стемами энергопитания и терморегулирования. Поддержание тепловых режимов космических летательных аппаратов обес- печивается специальными системами терморегулирования, которые могут быть пассивными, не содержащими специальных механизмов, и активными, включа- ющими в себя иногда довольно сложные системы регулирования теплообмен- ников. Внутри космических аппаратов тепло может выделяться работающими при- борами и аппаратурой, энергоустановками, а также в процессе жизнедеятель- ности экипажа в пилотируемых аппаратах. Программа деятельности человека в космосе с каждым годом усложняется, что в свою очередь требует увеличения мощности бортовых энергоустановок. Среднее энергопотребление лунного ко- рабля «Аполлон» составляло 2 кВт в течение нескольких недель, а для многолет- ней орбитальной станции (12—20 человек) энергопотребление составит несколько десятков киловатт. В течение нескольких лет еще большее энергопотребление требуется для электрических двигателей космических аппаратов. Любая энерге- тическая установка, работающая по замкнутому циклу, включает источник и холодильник, которые воспринимают часть тепла. В космосе это тепло может быть отдано только посредством излучения. К внешней поверхности аппарата подводятся солнечная энергия как непо- средственно от Солнца, так и отраженная от поверхности планет, энергия соб- ственного излучения планет и энергия, выделяемая при столкновении поверх- ности аппарата с молекулами и атомами, которые могут присутствовать даже на больших высотах. Количество поступающей к аппарату энергии может из- меняться во много раз в зависимости от расстояния от Солнца и планет и поло- жении аппарата. Излучением космического пространства, имеющего среднюю температуру Т ~ 4К, можно пренебречь. Поверхность космического аппарата непрерывно излучает энергию, причем количество ее зависит от температуры поверхности, формы и радиационных свойств покрытия. Разработано большое количество различных систем терморегулирования. Рассмотреть все эти системы, во многих случаях весьма сложные, не представ- ляется возможным в рамках настоящей главы. Поэтому в данной главе будут освещены только некоторые положения, общие для всех систем и дающие пред- ставление о путях и способах поддержания теплового режима космических аппаратов. 19.2. ВНЕШНИЕ ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА Основным внешним источником тепла при полете в кос- мосе является лучистая энергия от Солнца, Земли и планет. При полетах в окрестности Земли или планет на низких высотах некоторое влияние на нагревание может оказывать соударение с поверхностью аппарата атомов и молекул атмосферы. 478
Таблица 19.1. Значения солнечной постоянной на различных расстояниях, соответствующих положению космического аппарата вблизи различных планет солнечной системы Планета а. е. Радиус планеты, км Альбедо So, кВт/м’ Меркурий 0,39 2 437 0,06 9,25 Венера 0,72 6 050 0,7 2,73 Марс 1,52 3 386 0,15 0,61 Луна 1 1 735 0,07 1,4 Земля 1 6 378 0,37 1,4 Юпитер 5,2 70 000 0,6 0,053 Лучистая энергия о г Солнца. Количество лучистой энергии, поступающей от Солнца в единицу времени на единицу площади, называется солнечной постоянной. Для аппаратов, находящихся от Солнца на расстоянии, равном среднему расстоянию Земли от Солнца Lo = 149 млн км, солнечная постоянная равна So = = 1400 Вт/м2. В зависимости от расстояния от Солнца тепловой поток изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния: Q = 5oU/^2. (19.1) Значения солнечной постоянной на различных расстояниях, соответствующих положению космического аппарата вблизи раз- личных планет солнечной системы, приведены в табл. 19.1. Энер- гия Солнца излучается в основном в диапазоне длин волн от X = = 0,2 до 2,5 мкм (рис. 19.1), причем большая часть энергии при- ходится на область видимого излучения. Расчет нагревания поверхности от прямого солнечного излу- чения относительно прост, поскольку солнечный поток является практически параллельным. При заданном значении угла 0 между нормалью к площади и направлением на Солнце (рис. 19.2) тепловой поток определяется выражением ц dq, = A,Q cos GdF, (19.2) Рис. 19.1. Спектр солнечного излучения Рис. 19.2. Схема расчета солнечного потока на поверхности 479
где As — коэффициент поглощения поверхности солнечных лу- чей; dF — элементарная площадка, освещенная Солнцем. В ряде случаев однако солнечная энергия может попадать на площадку путем отражения от других частей аппарата. Лучистые потоки отражения, зависящие от формы и расположения аппа- рата, должны рассчитываться отдельно. Собственное излучение планеты. Среднее значение теплового потока Ео, излучаемого с единицы поверхности планеты, может быть определено из условия теплового баланса между количе- ством тепла от Солнца, поглощенным атмосферой и поверхностью планеты, и количеством тепла, которое отдано планетой излуче- нием в окружающее пространство: QtnR* (1 — а) = Д04л/?2, (19.3) откуда Ео = Q (1 — а)/4, где R — эффективный радиус планеты; а — Альбедо, определяю- щее отражательную способность планеты по отношению к солнеч- ным лучам. Основное значение для планет, обладающих плотной атмосфе- рой, играет излучение атмосферы. Для расчета вводится понятие эффективного радиуса R. Например, для Земли принято значе- ние R — (Ro + 12) км, где Ro — радиус планеты; 12—эффектив- ная толщина атмосферы; для Венеры, окруженной плотным слоем облаков на высоте Н ~ 60 км, можно принять R = (/?0 + + 60) км. Назовем среднюю температуру поверхности, определяющую интенсивность и спектр излучения, равновесной температурой Tv. Так как Ео = Q (1 — а)/4 = &о0Тр, где а — постоянная Стефана—Больцмана, то из уравнения (19.3) Тр = /(1 -a)Q/(4oe). (19.4) Приняв е = 1, получаем для Земли Тр да 250 К, что значи- тельно ниже средней температуры поверхности (Тпов)ср ~ 290 К, для Венеры соответственно Тр ~ 240 К и (Тпов)ср ~ 750 К. Такая разница связана с тем, что атмосфера экранирует излу- чение поверхности и энергия переизлучается верхними слоями атмосферы. Для этих планет собственное излучение слабо зави- сит от времени суток. У планет, обладающих тонкой атмосферой (например у Марса) либо совсем не имеющих атмосферы (Луна), собственное излу- чение определяется непосредственно поверхностью, температура которой сильно изменяется в зависимости от освещенности Солн- цем. Так, температура точек освещенной части диска Луны опре- деляется из условий теплового баланса Q (1 — a) cos ф = еоТ4, (19.5) где ф — зенитный угол. 480
Приняв е ~ I, получаем 7’Р = 392/cos ф. (19-5) Рис. 19.3. Схема нагревания лета- гельяс-го аппарата от собственного излучения планеты для случая 3 < В подсолнечной 'сочке (ф 0) ТР - 392 К, при ф = л/2 ;; на неосвещенной стороне форму- ла приводит к ошибке, ;;к как в нем не учтена теплоемкость грунта. Эксперименты и расчеты, учитывающие влияние теплоемко- сти грунта, дают значение темпе- ратуры на неосвещенной стороне Луны 90 ... 120 i\. Температура поверхности Марса также сильно зависит от освещенности поверх- ности и колеблется в пределах от 150 до 300 К. При расчете нагревания тела в космосе от собственного излу- чения планеты в общем случае необходимо учитывать перемен- ность температуры по поверхности планеты. Однако для планет, обладающих толстой атмосферой, переменностью температуры можно пренебречь и получить относительно простые расчетные формулы. Рассмотрим простейший случай движения вокруг планеты элемента поверхности космического аппарата в виде пластинки, нормаль которой составляет угол {3 с линией, соединяющей пла- стинку с центром планеты (рис. 19 3). Если угол £ такой, что плоскость пластинки не пересекается поверхностью планеты (Р < р0), то количество тепла, попадающего на пластинку от собственного излучения планеты, не зависит от предположения о законе излучения, если считать при это.м, что планета является однородной сферой. Из условия равенства энергии, излучаемой поверхностью пла- неты, и энергии, проходящей через сферу оадиусом (tf0 + Н), следует, что для р = 0 4Еол-7?б ::= (Ro + Я)2, откуда Сш. - , (19.7) где Ro — радиус планеты; Н — высота полета над планетой. Для пластинки, расположенной под углом, <?ал -= Еа f V^-Vcosp - Ео------U—cosp, (19.8) где И = А//Д(1. Обозначая QUJI — ДилФ. где EUJ1 --- £0/л — яркость излуче- ния планеты, а Ф — геометрический фактор, учитывающий форму 481
Рис. 19.4. Схема нагревания летатель- ного аппарата от собственного излу- чения планеты для случая (3 > р0 объекта и его расположение от- носительно планеты, можно за- писать для пластины выраже- ние в виде (для Р < р0) Фпл = 2лФх cos Р, (19.9) где (19.10) Если плоскость пластинки пересекается с поверхностью планеты (Р > ро), то из усло- вия теплового баланса можно получить выражение для раз- ности тепловых потоков, падающих с обеих сторон пластины: Qi-<?2 = £0 (^pr)2COS₽- (19.П) Значения удельных потоков, падающих на пластинку с обеих сто- рон, Qi и Q2 при этом существенно зависят от закона излучения. Примем, что количество тепла, отдаваемое элементом dFaJl поверхности планеты и падающее на пластинку, определяется законом Ламберта: ~ ~~ da) cos 0 dFпл или йФпл = COS Qd(odFn„, (19.12) где dco — телесный угол, под которым видна пластинка; 0 — угол между нормалью dFajI и направлением на пластинку (рис. 19.4). Полное количество тепла, попадающее на пластинку с одной стороны, может быть получено интегрированием по поверхности планеты, видимой с этой стороны (рис. 19.5). Для значений Р < ро = arccos f (т- е' когДа плоскость пластинки не пересекает поверхность планеты) справедливы фор- мулы (19.9) и (19.10). Количество тепла, поступающее на поперечное сечение тела почти шаровой формы, может быть определено по формуле Q™ = 2лКм (1 --К^ + ^рпл> \ 1 + Л / (19.13) где FM — площадь миделя тела. При. расчете нагревания тела произвольной выпуклой формы, беспорядочно вращающегося в пространстве, можно приближенно 482
использовать выражение (19.13), полученное для тела шаровой формы при среднем значении £м. Солнечная энергия, отраженная от поверхности планеты. При полетах в окрестности планет и Луны на аппарат попадает до- полнительная солнечная энергия, отраженная от поверхности или облачного слоя планет. Наиболее подробно распределение энергии отраженного в ми- ровое пространство солнечного излучения получено для Земли. Коротковолновое излучение в % от S, От облаков........................................ 27 Из-за рассеяния атмосферой........................ 7 От поверхности Земли . . • . .................. 3 Итого -.................................... • . 37 Для других планет и Луны среднее значение отраженной энер- гии может быть найдено по значениям Альбедо а, приведенным в табл. 19.1. Альбедо определяет долю отраженной энергии, и, следовательно, тепловой поток, отраженный во все стороны еди- ницей поверхности планеты, £отр = aQ. Лучистый поток от Солнца является практически параллель- ным, но излучение, отраженное планетой, подчиняется сложному 483
Рис. 19.6. Схема нагревания летательного аппарата отраженной солнечной энергией от поверхности планеты закону, зависящему от характера поверхности. В предельных слу- чаях отражение может быть либо зеркальным, либо диффузным. Нагревание отраженными лучами зависит от формы и ориенти- ровки летящего тела, а также от взаимного расположения Солнца, Земли и рассматриваемого тела. Полное количество солнечной энергии, отраженной единицей поверхности планеты, опреде- ляется выражением «2отр)о = aQ cos у, (19.14) где у — угол между нормалью к площадке на поверхности пла- неты и направлением солнечных лучей (рис. 19.6). Если принять, что отражение диффузно, то удельное количество тепла, отражае- мое от поверхности на пластинку dF Сотр = - J cos у cos Q da dFa,,, (19.15) rn где 0 — угол между нормалью к площадке на планете dFniI и линией, соединяющей dFajI и dF. В качестве примера рассмотрим поток на единичную площадку (пластинку), расположенную на высоте Н. Заданы угол |3 между нормалью к пластинке и радиусом-вектором, проведенным к ней из центра планеты, и угол ф между радиусом-вектором и направ- лением на Солнце. Для случая, когда вся видимая с пластинки поверхность пла- неты освещена Солнцем, т. е. при 0 < ф < ф1т где фт = 484
(рис. 19.7) значение — Фотр ~ Л1 (07Я) cos-ф-- --N (0, Я)slnipcosa. (19.16) Рис. 19.7. Схема опре- деления УГЛОВ l|)j и ф, Здесь входит дополнительно угол а между плоскостью Р, проходящей через линию ОС (направление на Солнце) и линию ОА, и плоскостью S, проходящей через линию ОА и нормаль к пластинке, поскольку в про- тивном случае положение пластинки не было бы определено однозначно. Значение о = л/2 соответствует случаю, когда пла- стина направлена на Солнце своим ребром. При изменении о нормаль п вращается во- круг прямой ОА. Зависимости М (0, И) и N (0, Я) приведены на рис. 19.8 и 19.9. Если вся видимая с пластинки поверхность находится в тени, т. е. гр > t02, где -ф2 = л/2 + arccos (-(см. рис. 19.7), то на пластинку не попадает отраженная энергия Фотр = 0. Если значения г)? больше, чем ф1 и меньше г|г2, т. е. только часть види- мой с пластинки поверхности планеты освещена Солнцем, необхо- димо производить численное интегрирование уравнения (19.15). Рис. 19.8. Номограмма для расчета Фотр 485
Рис. 19.9. Номограмма для расчета ФОтр В качестве примера на рис. 19.10, 19.11, 19.12 приведены резуль- таты вычислений для различных значений ст при гр = л/2, т. е. когда пластинка расположена точно над терминатором, разде- ляющим теневую и освещенную стороны планеты. Если отражение зеркальное, то Фотр определяется выраже- нием (рис. 19.13) фотр = 4-1/—(19.17) отр 4 ( 1 4. /у/ sm у ’ ' ' причем у = / (гр) определяется по графику рис. 19.14. Рис. 19.10. Номограмма для расчета Ф0Тр при полете над терминатором а = 0; гр = л/2 486
Рис. 19.11. Номограмма для расчета Ф0Тр при полете над терминатором о — я; ф = п/2 Количество тепла, поступающее на единицу поверхности пла- стины, расположенной под углом |3 к горизонту, можно опреде- лить из выражения (й = 1 ( R<> У sin 2V cos (Р + отр 4 k Ro + Н / sin т|> cos 6 где 6==arcsin Gw-rsln/)- (19.18) (19.19) Рис. 19.12. Номограмма для расчета ФОтр ПРИ полете над терминатором о - л, ф = л/2 487
Рис. 19.13. Схема расчета зеркаль- ного отражения солнечной энергии от поверхности планеты Предполагается, что зеркальное отражение имеет место при углах у, близких к л/2. В общем случае для тела произвольной формы тепловой поток на единицу площади миделя вычисляется по следующей формуле: 1 / 1 sin 2у 1 ,, п ПЛ, ФОтв ~ ~7~-----~ I ---:--- ----J-• (19.20) F 4 ’у 1 ц / sin -ф cos б ' Нагревание поверхности при соударении ее с молекулами и атомами атмосферы. При полете космического аппарата вблизи планеты в ряде случаев некоторый вклад в суммарный тепловой поток, подводимый к аппарату, может вносить нагревание от со- ударения атомов (молекул) и поверхности. При этом тепло выде- ляется из-за передачи части кинетической энергии и возможной рекомбинации диссоциированных молекул. Для наиболее важного случая полета на больших высотах, когда течение является свободно молекулярным, удельная энер- гия соударения для единичной пластинки с достаточной точностью может быть определена по формуле Смол = ra-W/2, (19.21) где п — число частиц; т — масса частицы; v — скорость полета. При этом п = Nv sin р, (19.22) где N — число частиц в единице объема; |3 — угол между плоско- стью пластинки и направлением полета. В формулах (19.21) и (19.22) принято, что коэффициент ак- комодации близок к единице и энергия хаотического движения молекул пренебрежимо мала. Количество тепла, выделяющееся из-за рекомбинации, зависит от эффективности рекомбинации о, 488
равной отношению числа столк- новений с поверхностью к об- щему числу столкновений. Таким образом, количество энергии вследствие рекомбина- ции, приходящееся на единицу поверхности, QpeK = паЕ, (19.23) где Е — энергия рекомбина- ции, отнесенная к одной ча- стице. В качестве примера на рис. 19.15 приведена зависи- мость Смол и QpeK ОТ ВЫСОТЫ полета над Землей. Как видно, влияние этих членов стано- Рис. 19.15. Зависимость количества тепла, получаемого поверхностью ле- тательного аппарата при столкнове- нии с атомами и молекулами воздуха от в ысоты Н вится сравнимым с влиянием тепла от солнечного излучения на высотах полета ниже 200 км. 19.3. ТЕРМОРЕГУЛИРОВАНИЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ Поскольку на космическом аппарате устанавливаются различная аппаратура и приборы и должны быть обеспечены для их работы условия, а в пилотируемых кораблях — и для жизни пилотов, то возникает проблема поддержания температуры в оп- ределенных пределах. Поступление тепла извне в оболочку через теплоизоляцию и элементы конструкции непостоянно и изменяется в широких пределах в зависимости от положения и ориентации аппарата. Внутреннее выделение тепла в общем случае также мо- жет изменяться в несколько раз. В этих условиях для обеспече- ния требований к стабилизации температуры необходима специаль- ная система терморегулирования. Термостатирующая система может быть основана либо на поглощении или выделении тепла внутри аппарата, либо на от- воде наружу или подводе тепла извне. В первом случае могут быть использованы химические реакции с выделением или поглощением тепла, либо эффекты выделения и поглощения при изменении агрегатного состояния вещества (плавление, испарение, кристал- лизация). Этот метод ограничен по своим возможностям, поскольку запас вещества не может быть большим. Поэтому его применяют либо для автономных приборов с небольшим тепловыделением при переменной температуре наружной оболочки, например на поверхности Луны, либо как часть общей системы терморегули- рования с внешними теплообменниками. Большими возможностями обладают схемы, в которых эле- менты конструкции, приборы, газ, заполняющий отсеки аппарата, могут обмениваться теплом со специальными радиационными по- 489
верхиостями, расположенными на внешней поверхности аппарата. В зависимости от назначения аппарата радиационные поверхности могут быть сделаны так, чтобы их температура была более высо- кой или более низкой. В первом случае они действуют как нагре- ватели, если температура внутри аппарата почему-либо пони- жается, во втором случае — как холодильники для сброса тепла. Передача тепла от приборов к радиаторам и обратно регули- руется тепловым сопротивлением промежуточной среды. Для передачи тепла используются практически все возможные способы: теплопроводность, излучение и конвекция. В последнем случае используется специальный теплоноситель (газ или жидкость), циркулирующий между отсеком и радиаторами. В качестве примера можно указать на пилотируемые совет- ские корабли «Восток», «Союз» и автоматические станции «Ве- нера», «Марс» и др., в которых аппаратура и люди размещены в герметических отсеках илн контейнерах, и тепло передается к радиационным поверхностям с помощью специальных тепло- носителей. На американских аппаратах типа «Сервейер» и «Ма- ринер» аппаратура размещена в вакууме и передача тепла к ра- диационным поверхностям осуществляется излучением и тепло- проводностью. Расчет температурного режима летательного аппарата по су- ществу сводится к решению двух уравнений баланса тепла: 1) условие теплового баланса контейнера с аппаратурой (Mc)h = - + Qbh - QyT> (19.24) где Тг — температура радиационной поверхности; Т — средняя температура контейнера; Д — общее тепловое сопротивление между контейнером и радиационной поверхностью; QyT — сред- нее количество тепла, передаваемое через элемецты конструк- ции и теплоизоляцию к внешней поверхности аппарата и излу- чаемое в окружающую среду; QBH — количество тепла, выделяе- мое внутри контейнера; (Мс)к — эффективная средняя теплоем- кость контейнера и аппаратуры; т — время; М — масса контей- нера; 2) условие теплового баланса радиатора (Л4с)г + AaEq + Л,^тр + 8^<?пл - FeoT*, (19.25) где о — постоянная Стефана—Больцмана; (Мс)г — эффективная теплоемкость радиатора; F — площадь поверхности радиатора; <7, <7отр и <7пл — удельные потоки тепла от солнечного излучения, от отраженного солнечного излучения и от собственного излуче- ния планеты; е — степень черноты радиационной поверхности для длинноволнового излучения при Т = Тг\ — коэффициент поглощения по отношению к солнечной радиации; QBH, q, qoyp и qnsi задаются. 490
Решение этих уравнений определяет зависимость значений Т и Тг от времени. Для регулирования температуры возможно воздействовать на значение R, изменяя, например, расход тепло- носителя, либо на значение площади радиатора F, закрывая его жалюзи. Для того, чтобы регулирование было возможно, а также для уменьшения потребного диапазона изменения R и F, необхо- димо правильно выбрать величины А3 и е и направление радиа- тора, если аппарат стабилизирован в пространстве. Для получе- ния «холодного» радиатора целесообразно выбрать покрытие с большим е, и если на радиатор попадает солнечная энергия, с мень- шим значением А3, «горячий» радиатор обычно располагают так, чтобы он освещался солнцем, и выбирают покрытие с большим значением А3. Изменяя отношение А3/е, можно получить широкий диапазон изменения равновесной температуры поверхности ра- диатора. Поскольку тепловая изоляция аппарата обладает в вакууме весьма высоким тепловым сопротивлением, то величина опреде- ляется перетеканием тепла главным образом через элементы конструкции, выступающие наружу (тепловые мосты) и не за- щищенные изоляцией (приборы навигации, антенны, научные приборы, элементы крепления и др.). Значение QyT может быть положительным, если тепловые мосты расположены с солнечной стороны, и отрицательным, если тепло отводится на теневую сто- рону. Как правило, большие значения QyT существенно умень- шают возможности системы терморегулирования. 19.4. ВЫБОР ОПТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ НАРУЖНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ Из сказанного выше следует, что для поддержания теп- лового режима космического аппарата большое значение имеет правильный выбор оптических коэффициентов наружных поверх- ностей е и А3. Для этой цели наружные поверхности аппарата — радиационные поверхности, поверхности теплоизоляции, не за- щищенные элементы конструкции и приборы — покрываются специальными красками. Основной характеристикой покрытия поверхности является равновесная температура Гр, которую при- нимает теплоизолированная поверхность при прямом воздействии на нее солнечного излучения в стационарных условиях. Из условия теплового баланса следует: FM = eaTpFr и Тр = VFMA3Q/(Frev), (19.26) где FM — площадь проекции поверхности на плоскость, перпен- дикулярную направлению солнечных лучей (эффективный ми- дель); Fr— площадь излучающей поверхности. Например, для пластины, излучающей в одну сторону и расположенной под 491
Рис. 19.16. Кривые спектральной поглощательной способности материалов: / — алюминий, напыленный в вакууме; 2 — плавленый кварц толщиной 2,6 мм (Г <= ® 293 К); 3 — кадмий полированный; 4 — интерференционный фильтр «темное зеркало» углом р к направлению солнечных лучей, FK/Fr = sin (3; для сферы FM/Fr = 1/4 и т. д. Из формулы (19.26) видно, что при заданных значениях F„/Fr и Q главную роль играет отношение коэффициента поглощения солнечной энергии Аа к степени черноты е при длинах волн, со- ответствующих собственному излучению пластинки. При опреде- лении ,4, ие следует иметь в виду, что солнечное излучение пере- дает энергию в диапазоне длин волн от 0,2 до 2,5 мкм, а интенсив- ность собственного излучения при температуре радиатора 300 К имеет максимум при длине волны 9,7 мкм. Таким образом, отно- шение А$/& пропорционально отношению среднего’ коэффициента поглощения данного материала Ак в области малых длин волн к его среднему коэффициенту поглощения в области больших длин волн и зависит от температуры поверхности. В природе существуют вещества с отношением Л5/е больше и меньше единицы. Как правило, отношение коэффициентов пог- лощения в среднем больше у красок, изготовленных на базе окис- лов металлов, и меньше — у полированных металлов. Зависимость коэффициента поглощения Ак от длины волны, определяющая значение отношения Ла/е, также различна у этих двух групп материалов. У полированных металлов коэффициент поглощения уменьшается с возрастанием длины волны, у красок, образованных на базе окислов, коэффициент поглощения растет с увеличением длины волны. На рис. 19.16 в качестве примера приведены зависимости коэффициента поглощения некоторых материалов (.4Х) от длины волны. Как видно, изменяя тип покрытия, можно в широких пределах изменять среднее значение Ах и отношение Л,/е. Од- нако на радиационные характеристики покрытий существенное 492
влияние может оказывать космическое излучение, особенно уль- трафиолетовое излучение в космосе. В ряде случаев применяются двухслойные покрытия. Напри- мер, полированная металлическая поверхность покрывается тон- ким плотно прилегающим слоем стекла. При этом солнечные лучи, проходя через стекло, отражаются от полированной поверхности, чем обеспечивается малое значение А3. В то же время стекло имеет большое е, и при хорошем тепловом контакте тепло хорошо излучается поверхностью так, что температура ее остается до- статочно низкой. Если между стеклом и поверхностью металла исключить тепло- вой контакт, то инфракрасное излучение поверхности будет за- держиваться стеклом, которое будет являться экраном, и темпера- тура поверхности повысится (тепловой эффект). Если значение Тр должно быть установлено с высокой точно- стью, этого можно добиться, покрывая участки поверхности крас- ками с разным отношением A3/s. Из баланса тепла в стационарных условиях на теплоизолиро- ванной поверхности следует A./Ci + zls> (1 — Ki) — оТрХ X [eiKx + (1 - KJ е2]. При заданных значениях A3t, Ай>, еъ е2, выбирая необходимые отношения площадей поверхностей — FJF\ Ki — FifFu по- крытых красками с различными значениями А3/е, можно добиться необходимого значения Тр. Полученные значения Тр в действительности равны только температуре участков поверхности теплоизоляции, так как прак- тически в уравнении теплового баланса можно пренебречь отво- дом тепла внутрь аппарата. 19.5. ВНЕШНЯЯ ТЕПЛОИЗОЛЯЦИЯ Для теплоизоляции поверхности космических аппара- тов широкое применение получила экранно-вакуумная теплоизо- ляция (ЭВТИ), представляющая собой покрытие, состоящее из большого числа (20 ... 100) слоев пластичного материала с малым значением степени черноты. В условиях вакуума теплопередача через такое покрытие осуществляется лучеиспусканием и может быть снижена до весьма малых значений. Практически ее наимень- шее значение ограничивается тем, что передача тепла через раз- личные элементы конструкции (тепловые мосты) становится на- много больше, чем через ЭВТИ. Оценим влияние ЭВТИ на величину излучаемого теплового потока. Принимая, что изоляция состоит из п слоев с приведен- ной степенью черноты епр, получаем, что удельный тепловой поток через изоляцию Я = епра (П. - П,)/п, (19.27) где TWi и 7'ш, — температуры поверхности конструкции и изоля- ции соответственно. 493
Если наружная поверхность имеет степень черноты ев и излу- чает в космос, то тепловой поток от поверхности q = енаПэ. (19.28) Сравнивая уравнения (19.27) и (19.28), получаем Поверхность без защитного экрана, но с той же степенью черноты, излучала бы поток qo = е.ваТ^е Таким образом, степень снижения теплового потока q/q0 =~; епр/(епр + енл). (19.30) Отсюда следует, что при увеличении п можно добиться суще- ственного снижения энергии, излучаемой через слой теплоизоля- ции. Если на поверхность аппарата падает извне некоторый лучи- стый поток дл, то удельный тепловой поток при экранно-вакуум- ной изоляции определится из выражения 1 + (®и/еПР) п <в' 1 4" (ен/впР) п При больших значениях дл, когда дл > ЕнОТ^ знак тепло- вого потока изменится вне зависимости от числа слоев изоля- ции, т. е. поверхность будет нагреваться. Однако результирую- щий поток в стенку при этом будет значительно меньше. Из формул (19.30) и (19.31) следует, что тепловое сопротив- ление ЭВТИ может быть достаточно большим при увеличении п и уменьшении степени черноты экранов. На практике часто применяют экраны, покрытые слоем алюминия, имеющего епр<0,1. Более сложной задачей является уменьшение утечек тепла из-за наличия тепловых мостов. Такими мостами являются узлы крепления антенн, солнечных батарей, выносных приборов и др. Поэтому в общем случае необходимо производить сложный расчет распределения тепловых потоков по конструкции и проверять тепловое состояние в специальных вакуумных камерах, имити- рующих космические условия. 19.6. СИСТЕМА ПЕРЕНОСА ТЕПЛА Система переноса тепла от тепловыделяющих элемен- тов к радиационным поверхностям является важнейшим элемен- том системы терморегулирования. Поддержание заданной тем- пературы внутри аппарата обычно обеспечивается регулирова- нием интенсивности переноса тепла. Система переноса тепла включает в себя внутреннюю систему, обеспечивающую распределение температуры внутри приборного 494
контейнера (между приборами и аппаратурой), и наружную систему для передачи тепла к радиатору. Эти системы принци- пиально различны для аппаратов с негерметичным и герметичным контейнером или без контейнера вообще, когда аппаратура ра- ботает в условиях вакуума. Для распределения тепла внутри аппарата с герметичными контейнерами, заполненными газом, требуется создание принуди- тельного газообмена, вентиляции, поскольку в условиях невесо- мости отсутствует естественный конвективный теплообмен. Рассмотрим некоторые особенности организации принудитель- ной системы вентиляции. Поток газа, приводимый в движение вентилятором, проходит через канал для охлаждения приборов, через теплообменник и возвращается к воздухозаборнику вентиля- тора. В задачу расчета входит определение потребной мощности вентилятора и герметических размеров системы. Исходные соотношения: мощность вентилятора NB = U?ceK Ap/n; (19.32) отводимое тепло Q = cppW сек (7\ — Л) = FnpanpCAT^Jnp = Егоато (АТэф)то, (19.33) где NB — мощность вентилятора при секундном объемном рас- ходе W’cbk и напоре Ар; ц — коэффициент полезного действия; Q — количество тепла, отводимое от приборов; (7\ — Т2) — разность температур на входе и выходе из радиатора; р — плот- ность газа; Ет0 и Лпр — площади поверхностей теплообменников и приборов, участвующих в теплообмене; ато и апр —- коэффи- циенты теплоотдачи. Напор Ар затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений в системе. При заданных параметрах охлаждаю- щей системы существует максимальное значение мощности при- боров Qnp, при котором может быть осуществлено охлаждение. При дальнейшем увеличении мощности приборов вентилятор нач- нет работать на себя. Если мощность приборов мала, то доля энер- гии привода вентилятора пренебрежимо мала и выбор его опреде- ляется чисто конструктивными соображениями. Тепло от внутреннего теплообменника или непосредственно от приборов может передаваться к радиатору с помощью проме- жуточного теплоносителя и без него. Если количество передавае- мого тепла невелико, то в качестве теплоносителя удобно исполь- зовать газ, приводимый в движение вентилятором. При больших количествах снимаемого тепла мощность вентилятора быстро растет и становится целесообразным использовать жидкие тепло- носители. Главной трудностью при использовании жидких тепло- носителей является опасность их замерзания при переохлажде- нии радиатора и отсутствие тепловыделения или кипения в тепло- обменнике. В остальном жидкие теплоносители более удобны благодаря компактности системы, меньшему сечению трубопро- 495
водов, значительно меньшей мощности привода и удобству транс- портировки теплоносителя на большие расстояния. В ряде случаев, особенно для аппаратов с относительно неболь- шим тепловыделением, регулирование интенсивности теплообмена между внутренними частями аппарата и окружающей средой может осуществляться более простыми средствами. Простейшим примером изменения теплопередачи путем регулирования тепло- проводности является способ, при котором в двухслойной обо- лочке, заполненной пористой изоляцией, создается переменное давление газа либо изменяется величина зазора. Другим методом является установка жалюзи или экранов, с помощью которых можно закрывать или открывать внешнюю поверхность аппарата и изменять при этом эффективную поверх- ность излучения. При расположении аппаратуры в вакууме теплообмен между приборами осуществляется только путем излучения и теплопро- водности. Для правильного выбора компоновки необходимо провести предварительный расчет сложного теплообмена между несколькими телами, взаимно облучающими друг друга. Для передачи тепла к внешним радиационным поверхностям используются специальные теплопроводы, которые представляют собой стержни из теплопроводного материала. Более эффектив- ным средством передачи тепла являются так называемые тепло- передающие трубки, внутри которых тепло передается путем ис- парения жидкости в горячей части и конденсации в холодной части. Обратная подача жидкости в условиях невесомости может быть осуществлена при использовании специальных фитилей. Коэффициент теплопередачи в таких системах может достигать весьма больших значений. Рассмотренные способы регулирования теплопередачи в кос- мических аппаратах далеко не охватывают всех возможных методов, используемых для этой цели. Во многих случаях приме- няются системы холодильников, работающих по паровому или газовому циклу, вихревые трубки, термоэлектрические холодиль- ники. Для малых аппаратов и выносных приборов часто можно ограничиться использованием тепловых аккумуляторов, сущест- венно повышающих теплоемкость системы в силу скрытой теплоты фазовых переходов. Выбор того или иного метода определяется ограничениями, накладываемыми массовыми и габаритными характеристиками летательного аппарата, его энерговооруженностью и надежностью. 19.7. ОТВОД ТЕПЛА В КОСМОС ОТ ХОЛОДИЛЬНИКОВ-ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ Отвод тепла, выделяемого бортовыми теплосиловыми и энергетическими установками, приборами и человеком, является одной из важнейших задач обеспечения деятельности всего кос- 496
мического летательного аппарата. Так как космический аппарат находится в условиях вакуума, то тепловая радиация является единственным способом отвода тепла от летательного аппарата. Однако при умеренных температурах количество тепла, которое может быть отведено излучением, меньше количества тепла, ко- торое можно было бы отвести конвекцией с той же самой поверхно- сти. Поэтому выполнить холодильник-излучатель, в виде ком- пактных теплообменников, как. например, автомобильные ра- диаторы, практически невозможно. Холодильник-излучатель яв- ляется одним из громоздких и тяжелых элементов космической энергетической установки, масса которого может существенно влиять на общую массу космического аппарата. Развитие космической техники привело к разработке боль- шого числа разнообразных конструкций холодильников-излуча- телей. По характеру изменения теплового потока от излучающей поверхности во времени холодильники-излучатели делятся на стационарные и нестационарные. В стационарных холодильниках-излучателях температура по- верхности (а следовательно, и тепловой поток) во времени не из- меняется и излучатель отдает в единицу времени одно и то же количество тепла. В нестационарных холодильниках-излучателях температура поверхности периодически изменяется во времени, т. с. материал холодильника вначале аккумулирует тепло, а затем излучает его в космосе. Стационарные холодильники-излучатели в свою очередь можно классифицировать следующим образом. I. По типу теплоносителя: без теплоносителя: с жидким тепло- носителем; с газовым теплоносителем. II. По типу конструкции оребрения излучающих поверхно- стей: без оребрения; двухреберные; мяогореберпые. III. По конструкции внешней формы излучателя: плоские: цилиндрические; конические; лепестковые. IV. По типу противометеоритной защиты: без защиты; экра- нированные; секционные. Для иллюстрации классификации холодильникоь-излучателей на рис. 19.17 приведены различные конструкции оребрения ка- налов излучающими ребрами. Например, схемы б и и позволяют по сравнению со схемой а уменьшить опасность повреждения из- лучателя метеоритами. Различные внешние формы излучателей приведены на рис. 19.18. Схемы а и б соответствуют цилиндрическому излуча- телю с разным расположением каналов с теплоносителем (осевым и спиральным), схема в — конической форме, схемы г и д — лепестковой форме. На рис. 19.18, е показано оребрение массив- ного излучающего тела цилиндрической формы, характерное для излучателя без теплоносителя. 17 Авдуевекнй 497
Рис. 19J7. Схемы элементов холодильников-излучателей Рис. 19.18. Формы излучателей: а, б — цилиндрические (сплошные); в д — трехреберные; е — многореберные конические; в — цилиндрические с вырезами; На рис. 19.19 показан общий вид излучателя космической энергетической установки, выполненный в виде плоских крыльев из трубчато-оребренных поверхностей. Вначале рассмотрим простейший холодильник-излучатель, представляющий собой системы каналов без оребрения. Рис. 19.19. Схема стационарного хо- лодильника-излучателя энергоустанов- ки: / —• излучатель; 2 — полезный груз; 3 — реактор: 4 — защита Рис. 19.20. Схема расчета излучаю щего канала 498
Излучающий канал без оребрения. В наиболее общем случае (с учетом внешнего облучения) отводимое в излучателе тепло от теплоносителя определяется из решения следующих уравнений для элемента длины излучателя dx (рис. 19.20). Количество тепла, отводимое теплоносителем, сКХ —Gcpd"rh (19.34) где G — секундный массовый расход теплоносителя-. и Т,— теплоемкость и температура теплоносителя. Количество тепла, воспринятое от теплоносителя стенкой канала dQ.j = а (Гf — Tw] fljdx, (19.35) где а — коэффициент теплоотдачи; Tw — температура внутрен- ней стенки канала; Пх — периметр внутренней поверхности ка- нала; dx — элемент длины канала. Количество тепла, передаваемое через стенку канала тепло- проводностью, dQs 4 (Тш го) (П.г!-2л5) dx, (19.36) где X — коэффициент теплопроводности материала стенок ка- нала; 6 — толщина стенки канала; Тд температура наружной поверхности канала. Количество тепла, излученное наружной поверхностью, dQi — ео0фTolls dx — Qasib dx, (19.37) где П2 — периметр наружного сечения канала; QSH — тепло, поступающее от внешних источников (ядерьое излучение, излуче- ние Солнца и планет, теплообмен с окружающей средой); ср — угловой коэффициент; сг—постоянная Стефана—Больцмана. В стационарных условиях dQr = dQ2 = dQ^ — dQt. Тогда из уравнений (19.36) и (19.37) получим гр всГлфПгб „4 „ П.{ 6 .« q „д, Tw ~10 = Щм10 ~ ^вв ж м т (19-3d' или где л_____япрфПзб__. ПН ^8______ X (П1 — 2л<5) ’ (П1 4- 2я6) X • Из уравнений (19.35) и (19.36) получим Tt - Та = + - то) (19.39) или Tt = ^ + 3(7^ -То) 17* 499
где В = X (Щ + 2лб)/(6П1а). Подставляя равенство (19.38) в уравнение (19.39), получаем 7> = 7о + Л(1 4-S)7l-QBH(l+B). (19.40) Дифференцируя выражение (19.40), будем иметь dTf = [l+4A(l^B)T30]dT0. (19.41) Подставляя выражение (19.41) в уравнения (19.34) и (19.37) и учитывая, что поверхность излучателя dF2 — H^dx, получим - [1 + 4Д (1 4- В) dT0 = То ^-dFz - QBH ——dFi- (19.42) Введем следующие обозначения: с = (1 +В) А = еоФ J|a-; П = ^Т_; = Qbh . р ?s Qbh ~~ Gcp ' п ~ D ~ мир • С учетом этих обозначений уравнение (19.42) можно записатч в виде dT0 = D dFz. (19.43) Обозначим тУЕ~х\ тогда dT0=Ei/4dx и уравнение (19.43) примет вид / 1 4cF3//4x3 \ dx = DE М dF°- Интегрируя последнее уравнение в пределах от То вх до То вых (или от хвх до хвых), выражение для площади наружной поверхности излучателя будет иметь вид р — 1 D 1 2£3/4 1__ 4ДЗМ arctg In pl/4 । pl/4 T ~r ; 0 ВЫХ C ' 0 BX pl/4___m pl/4 । -- J О ВЫХ “Г 1 0 BX T'o вых -arctg-^-U4Cln^-4- E ‘' / 1 о вых -J- c In 1-^вых- (19.44) Выражение (19.44) с учетом граничных условий 7’/==(7'у)вх при Fx = 0 и = (Ту)вых при Fx = (Тх)полн позволяет опреде- 500
лить площадь холодильника- излучателя в наиболее общем случае. На рис. 19.21 приведен график, который позволяет определить температуру по- верхности излучателя Т() в за- висимости от температуры теп- лоносителя при QBH = 0. В слу- чае малого влияния внешнего облучения уравнение (19.44) для определения площади по- верхности излучателя может быть упрощено. Небольшие значения пото- ков внешнего облучения соот- ветствуют малым значениям параметра Е. В этом случае можно ограничиться первыми Рис.’19.2!. Связь температуры поверх- ности излучающего канала Те и тепло- носителя Tf при QBH = 0 для различ- ных значений с = А (1 + В) членами разложения в ряд типа In (1 — а) = —а — а?!2 — а3/3, ... и arctg а = л/2 — 1/а + 1/(За3) — l/(5iz&) + ... • Тогда для малых значений Е1Т^ выражение Tf!—iR^ln и ътэ I ‘ [ 0 вх \ 0 вых 1 / Т7 1 / , 0 вх О'Г’З I Т1 01 вх \ 1 0 вых Е <р4 1 0 вх (19.44) примет вид 1 о вх Д вых -т*4 7 0 вх j Т4 । * о ВЫХ . (19.45) F: При отсутствии внешнего облучения (Е = 0) уравнение (19.45) примет более простой вид: Gcp . П2 /6 1 , 1 \ 1 твх . ------ 4 ' тт Д—;---F7rr---------) In “st*------k 8 Оф П1 Y \ X 1 + яб/Пд. п а, ) То вых I / т3 \ i / 2 0 вх___1 1 зт*3 I Т3 1 * 07 0 ВХ \ и ВЫХ ] Рассмотрим более частные случаи. Выражения 1 (19.46) 6 1 X 1 + П6/Щ и — характеризуют температурные перепады в стенке и в тепло- носителе. Для большинства случаев, кроме конденсации пара в канале, можно принять, что 6/Х + 1/а ~ 1/а, а следовательно, е а® П2 , величина с си Физически это характеризует то, что для рассматриваемых условий температурный перепад в стенке не- большой. Для газовых теплоносителей величина с имеет порядок 10~10 ... КГ11 К-3, для жидкостей с = 10-1° ... 10”11 К“8, для кон- денсирующего пара с = 10"11 ... 10~12 К-3. 501
Влияние величины с на перепад между температурами поверх- ностей излучателя Та и теплоносителя Tf можно определить из рис. 19.2’ и установить области практического совпадения тем- ператур То и Tf в зависимости от величины с. При малых значе- ниях сТс Tf и в расчетах термическим сопротивлением между теплоносителем и наружной поверхностью капала можно пре- небречь. Величина второго члена в фигурных скобках в уравнении (19.46) имеет порядок 10~7 ... 10“9. Это показывает, что для жидко- стей, а тем более для пара (при технически реальных температу- рах), уравнение (19.46) может быть упрощено и приведено к виду Fxao С1Ст> ’ Г f вх V __ 1 с6<р ЗТ0вх Т’овых ) (19.47) Здесь индекс «оо» обозначает условие а -> оо. Для газов практические расчеты показывают, что отношение первого члена ко второму обычно не превышает 15 ... 25%. Обо- значим это отношение через тепл 3£овх4£ й* ( б0 вх/Т'овых) (То вх/Д вых)3 1 (19.48) Тогда выражение для площади поверхности излучателя можно записать в виде Fx = Fxaa(Fr^ + \). (19.49) Учитывая, что Gc„ = --- и то, что для жидкостей 1 \(* у/вых и пара коэффициент перед То в выражении (19.40) настолько мал, что можно считать Tf ~ Тд, выражение (19.47) примет вид р _____1____ОД.Овх.фТ'^вых]3 1 г“ ~ 3 сг^ 1 ~ ((7/)ВЫ1/(Т/)вх] • Или, обозначив через F = -1 бЬь-ДмЧыу]3-- 1 3 1 ВЫх/Твх ’ получим соотношение (19.50) Выражение (19.50) отличается от простейшего уравнения Стефана—Больцмана для идеального излучателя (т. е. излуча- теля с постоянной температурой по всей поверхности) только коэффициентом F. Так как поверхность излучателя может быть определена также по среднеинтегральной температуре Т, то Fxa> — и 7 - (TpBS/y'7. (19.51) 502
Рис. 19.22. Изменение площади поверх- ности холодильника-излучателя в за- висимости от степени охлаждения теп- лоносителя в нем Рис. 19.23. Типичные конфигурации излучающих ребер: а — взлучаяель космических аппаратов^ 1 -- ребра; 2 — трубка' 3 — трубопровод; б — профили ребер; I — прямоугольный; II — трапециевидный; Ш — треугольный Изменение коэффициента F в зависимости от степени охлаждения теплоносителя в излучателе (Ту)выЛТ/)вХ = (Л)аыД(Л)вх показа- но на рис. 19.22. Отношение температур (Т/)ВЫ5/(Ту)вх в реальных установках определяется в зависимости от количества отводимого тепла из цикла Q2 величиной расхода G, типом теплоносителя (его теплоем- костью) и абсолютным уровнем температур. Излучающий оребренный канал. В заключение этого раздела рассмотрим приближенный метод расчета оребренного излуча- теля. Для большинства предварительных расчетов он является достаточно точным и одинаково пригодным для всех типов ореб- рения. Методика расчета ребер была дана в гл. II. Особенность рас- чета ребер для холодильников-излучателей заключается в том, что в этом случае передача тепла от ребер в окружающее про- странство осуществляется не путем конвекции, а исключительно излучением. Изменение количества тепла dQ в элементе dx ребра вследствие его теплопроводности будет равно разности между излучаемым теплом dE и теплом от внешних источников dQBn, которое поглощается ребром (рис. 19.23). Уравнение теплового баланса для элемента ребра можно за- писать в виде dQ =- dF — dQBH< (19.52) где QBS — тепло от внешних источников; Е — лучистый поток тепла от холодильников в окружающее пространство. Будем считать ребро серым телом, которое излучает тепло в окружающее пространство с постоянным угловым коэффициен- 503
том из каждой точки вдоль ребра, внутри которого распределение температуры является только функцией расстояния от его осно- вания (т. е. температурное поле в ребре одномерное). При этих допущениях дифференциальное уравнение теплового баланса (19,52) для ребра, физические свойства материала которого по- стоянны, будет иметь вид Л ( 6 - паеф?’4 ф- QBn = 0, (19.53) где п — число излучающих сторон ребра (п = 1 или 2); <р — угловой коэффициент; о — толщина ребра; X — коэффициент теплопроводности ребра. Рассмотрим случай трапециевидных ребер (см. рис. 19.23): 5 — б0 (1 — Вс/Ц, б0 --толщина ребра у его основания; В — скос (уклон) ребра. Тогда температурное поле в ребре оп- ределится из уравнения (19.53) со следующими граничными ус- ловиями: Г |^о = То; (19.54) где щ — температура у основания ребра. Условия (19.54) означают, что излучение тепла с концов ребер считается пренебрежимо малым. Введем следующие безразмерные параметры: Т/Тп, X ~ x/L; А = QBJ(иоесрГо); р = поырТоЬ2/(№>о)- Тогда уравнение (19.53) и граничные условия (19.54) запишутся в виде: М^-Л-О; ещ=1: Количество тепла, отдаваемое ребром в окружающее простран- ство, определится согласно закону Фурье: где h — ширина ребра. Коэффициент эффективности ребра T|p = Q/Qmax) (19.56) где Qn-ax —- максимальный тепловой поток для данной геометрии ребра при условии, что температура ребра постоянна и равна То. Очевидно, максимальный теплоотвод от ребра будет при от- сутствии поглощения падающего теплового и ядерного излуче- ний и при равномерном распределении температуры по длине ребра. 504
Рис. 19.24. Эффективность n^-.j дающих ребер В этом случае Qmax = noexpToLh, (19.57) где L — длина ребра. Коэффициент эффективности ребра можно представить с по- мощью безразмерных переменных т]р = dQ/dx \х=о!р. (19.58) В случае, если геометрия ребер и температура То известны, то решение уравнения (19.55) позволяет определить эффективность ребер. Ввиду нелинейности дифференциального уравнения (19.55) точное его решение может быть найдено только для частных случаев. На рис. 19.24 приведены результаты численных расчетов на ЭВМ эффективности излучающих ребер в зависимости от пара- метра р для различных значений А и 6К/6О (где 60, 6К — началь- ная и конечная толщины ребра трапецеидальной формы), по ко- торым для каждого конкретного случая можно выбрать пара- метры ребра и определить его эффективность. Расчеты показывают, что ребра, обладающие постоянным гра- , /40 ,\ диентом температуры вдоль ребра = const), имеют мень- шую массу, чем трапециевидные при прочих равных условиях. Однако отличие в удельной массе треугольного ребра и ребра /40 , \ с постоянным градиентом температур l-^-= const) невелико и в среднем составляет 4 ... 6%. Учитывая также технологические трудности изготовления сложного профиля ребра при = 505
( Ъ)вых Рис. 19.25. Схема оребренного канала с двумя излучающими поверхностями = const, на практике предпочтительнее использовать треуголь- ные ребра. Прямоугольные ребра значительно тяжелее трапецие- видных, тем не менее вследствие прочностных характеристик и простоты технологии их изготовления они широко используются в панелях холодильников-излучателей. На рис. 19.25 представлена секция излучателя с двумя из- лучающими ребрами. Рабочее тело входит в теплообменник при температуре (7\)вх и выходит при несколько меньшей темпера- туре (Т^вых- Этим значениям температур теплоносителя будут соответствовать определенные значения температур наружной поверхности канала Товх и T0BbIx. Предположим, что температура наружной поверхности канала (за исключением температуры поверхности самих ребер) на эле- ментарной длине dx по всему периметру канала является величи- ной постоянной. (В тех случаях, когда это допущение дает чрез- мерно большую ошибку, необходимо учитывать изменение тем- пературы наружной поверхности по периметру канала.) При вышепринятом допущении количество тепла, излучае- мое наружной поверхностью оребренного канала, будет опреде- ляться уравнением dQ = еоофТ’оПгк dx — QBHII2 dx + 2е оосрТоП2рт]р dx, (19.59) где П2К — периметр наружной излучающей поверхности канала; П2р — периметр наружной излучающей поверхности ребра; П2 = П2К + 2П2р — полный периметр наружной излучающей поверхности оребренного канала; т]р — эффективность ребра. Последний член в уравнении (19.59) учитывает излучение ребристой поверхности. Выражение (19.59) приведем к виду dQ = (bootTS - Q3H) [ П2к + П2р dx. L 1 -Свн/(6аоФГо) J (19.60) 506
Обозначим множитель Пгк Ч~ Пар 2т1р - 2Qbh/(etPqoro) = п ’-Свн/К'РТ’о) 2Э> (19.61) называемый эквивалентным периметром оребренного канала. Тогда уравнение (19.60) можно записать в виде dQ = (еоофТс — Qbh) n2sdx. (19.62) Из уравнений (19.62) и (19.37) следует, что введение понятия эквивалентного периметра П2Э позволяет представить уравнение (19.59) для оребренного канала в форме, аналогичной уравне- нию (19.37) для неоребренного канала. Эквивалентный периметр оребрения канала П2Э соответст- вует периметру неоребренного канала, который излучает при по- стоянной температуре То по всей поверхности такое же количе- ство тепла, какое излучает оребренный канал с действительным периметром П2 == П2К + 2П2р и постоянной температурой по ребрам. Таким образом, для расчета оребренного излучателя можно воспользоваться вышеизложенной методикой для простейшего неоребренного излучателя, заменив во всех вышеприведенных уравнениях наружный периметр канала эквивалентным периме- тром. Система уравнений (19.34) и (19.37) может быть аналити- чески решена только для случая, когда П2Э по длине излучателя не изменяется, т. е. когда П3э = const. На самом же деле П2Э зависит от То и. следовательно, изменяется по длине излучателя. Однако в большинстве практических случаев величина эквива- лентного периметра П2э изменяется незначительно от одного конца радиатора к другому и поэтому в первом приближении может быть принята постоянной. Если же изменение эквивалентного периметра по длине излучателя существенно, то расчет необхо- димо производить по участкам. Для этой цели весь холодильник- излучатель условно разбивается на ряд секций, каждую из ко- торых необходимо рассчитывать отдельно. ВОПРОСЫ для САМОПРОВЕРКИ 1. Каким тепловым воздействиям подвергается летательный аппарат в космосе? 2. Что понимается под собственным излучением планеты? 3. Как определяется лучистый поток солнечной энергии, отраженный планетой? 4. Напишите основные соотношения, определяющие нагрев поверхности аппарата в результате соударения с молекулами н атомами атмосферы. 5. В чем заключается терморегулирование летательного аппарата прн по- лете в космосе? 6. Какие требования предъявляются к оптическим свойствам поверхностей космических аппаратов? 507
7. Назовите основные системы и способы переноса тепла внутри космиче- ского аппарата. 8. Назовите основные схемы и формы холодильников-излучателей. 9. Напишите основные уравнения, описывающие перенос тепла в излу- чающем канале холодильника. 10. Напишите дифференциальное уравнение переноса тепла для излуча- ющего ребра. 11. От каких параметров зависит эффективность излучающего ребра? 12. Что такое эквивалентный периметр излучающего ребра? 13. От каких основных параметров зависит поверхность холодильника- изучателя?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1969. 824 с. 2. Авдуевский В. С., Антонов Б. М., Анфимов Н. А. Основы теории полета космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1972. 345 с. 3. Беляев Н. М., Рядно А. Л. Методы теории теплопроводности. М.: Высшая школа, 1982. 304 с. 4. Галицейский Б. М. Теплопередача в авиационных двигателях. М.: МАИ, 1985. 82 с. . 5. Головнев Н. Ф. Радиационный теплоперенос в высокотемпературных газах. М.: Энергоатомиздат, 1984. 256 с. 7. Дрейцер Г. А. Конвективный теплообмен в каналах: Учеб, пособ. М.: МАИ, 1984. 77 с. 8. Ерошенко В. М., Зайчик Л. И. Гидродинамика и тепломассообмен иа про- ницаемых поверхностях. М.: Наука, 1984. 276 с. 9. Исаченко В. П., Осипов В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. М.: Энергия, 1975. 424 с. 10. Краснов Н. Ф. Аэродинамика: Методы аэродинамического расчета. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1980. 416 с. И. Кутателадзе С. С. Анализ подобия в теплофизике. Новосибирск: Наука, 1982. 280 с. 12. Кутателадзе С. С., Накоряков В. Е. Теплообмен и волны в газожидкостных системах. Новосибирск: Наука, 1984. 320 с. 13. Крэйт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи. М.: Мир, 1983. 512 с. 14. Лапин Ю. В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Наука, 1982. 312 с. 15. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с. 16. Мартыненко О. Г., Соковишин Ю. А. Свободно-конвективный теплообмен: Справочник. Минск: Наука и техника, 1982. 400 с. 17. Методы расчета сопряженных задач теплообмена/Э. К- Калинин, Г. А. Дрей- цер, В. В. Костюк, И. И. Берлин. М.: Машиностроение, 1983. 232 с. 18. Методы расчета турбулентных течений/Под ред. В. Колльмана. М.: Мир, 1984. 464 с. 19. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике/ В. С. Авдуевский, Б. М. Галицейский, Г. А. Глебов и др. М.: Машинострое- ние, 1975. 624 с. 20. Себеси Г., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы. М.: Мир, 1987. 592 с. 21. Теплообмен в энергетических установках космических аппаратов/ Б. М. Га- лицейский, Ю. И. Данилов, Г. А. Дрейцер, В. К- Кошкин. М.: Машино- строение, 1975. 272 с. 22. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Мир, 1988. 544 с. 23. Шлихтнпг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. 742 с. 24. Шлыков Ю. П., Ганин Е. А., Царевский С. Н. Контактное термическое со- противление. М.: Энергия, 1977. 112 с. 25. Юдаев Б. Н. Техническая термодинамика: Теплопередача. М.: Высшая школа, 1988. 479 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ А Абсолютно черное тело 286, 287 Аналитический метод 88 Аналогия гидротепловая Рейнольдса 9 Б Безразмерные комплексы 68 В Взаимная поверхность излучения 297 Внутренние источники тепла 50 Вынужденное движение 11, 59 Г Гидравлическое сопротивление 337 Гидродинамический пограничный слой 220 Гидродинамическая теория кризиса 256 Гидротепловая аналогия 70 Градиент температуры 15 Граничные условия 26, 104 Д Движение осредненное 153 — пульсационное 153 Дисперсный режим пленочного кипения 270 Диссипация турбулентной энергии 395 Диффузия 180 3 Закон Вина 287 — Кирхгофа 292 --- для газов 310 — Ламберта 288 — Ньютона 27 — Ньютона при наличии химических реакций 188 — Планка 287 — Стефана — Больцмана 287 — Фика 179 — Фурье 17 И Идеальный газ 19 Излучение абсолютно черного тела 287 — реальных тел 292 — спектральное 285 — эффективное 292 Изотермические поверхности 17 Интегральная степень черноты 291 Интегральное излучение 285 К Калорическая яркость 285 Капельные жидкости 224 Кипение пленочное 263 — пузырьковое 247 510
Конвекция вынужденная 11 — свободная 59, 195 Конвективный теплообмен 12 Конденсация 274 — капельная 275 — пленочная 274 Коэффициент аккомодации 420 — восстановления 130 — гидравлического сопротивления 337 — динамической вязкости 108 — диффузия 179 — излучения 305 — конвекции 204 — облученности 296 — объемного расширения 65 — поглощения 306 — рассеяния 306 — самооблучения 298 — температуропроводности 18 — теплоотдачи 27 — теплопередачи 31 — теплопроводности 18 Краевые условия 62 Кривая кипения 265 Кризис кипения пленочного 263 --- пузырькового 253 Критериальные уравнения 69 Критерий Био 83 — Грасгофа 68 — Дамкелера 186 — Кнудсена 417 — Льюиса 182 — Маха 69 — Нуссельта 68 — Пекле 68 — Прандтля 71 — Рейнольдса 68 — Рэлея 72 — Фруда 71 — Фурье 68 — Шмидта 182 — Эйлера 68 Критический радиус тепловой изоляции 39 Л Ламинарная свободная конвекция 60 Ламинарный пограничный слой 109 — подслой 198 Линия растекания 357 Локальное подобие 80 Лучистый теплообмен 282 М Масштаб турбулентности 393 Межконтактные зазоры 319 Метод регулярного режима 96 Моделирование 77 Н Нестационарная теплопроводность 82 Неявный метод 95 Номинальная площадь контакта 319, 321 511
о Объемное тепловыделение 50 Оператор Лапласа 22 Определяющая температура 74 Определяющий размер 73 Оптические свойства 312 Основной закон теплопроводности 17 Относительный шаг шероховатости 374 Отражательная способность 286 Отрывные зоны 378 П Параметр теплообмена 116 — трения 116 Перегрев пара 239 Переходное кипение 257 Пленочное кинение 263 Плотность потока излучения 284 Поглощательная способность 286 Пограничный слой 108 --- ламинарный 109 --- тепловой 220 — — турбулентный 158 Подобие физических процессов 77 Поле физической величины 13 — температурное 13 Полная энтальпия торможения 183 Пробег свободный 416 Пузырьковое кипение 242 Путь перемешивания 156 Р Размер определяющий 73 Разреженные газы 416 Регулярные тепловые режимы 96 Режим промежуточный 417 — свободномолекулярный 419 С Свободная гравитационная конвекция 195 Серое тело 290, 291 Скачок температуры 424 Скорость скольжения 424 Совершенный газ 112 Спектральная интенсивность излучения 304 — степень черноты 290, 314 — яркость излучения 285 Спектральное излучение 285 Степень черноты газового объема 315 Структура турбулентного пограничного слоя 1 Сублимация 471 Т Темп нагрева (охлаждения) 97 Температура определяющая 73 — торможения 107, 114 Температуропроводность 18 Температурное поле 13 Температурный градиент 15, 16 Теоремы подобия 64 Тепловое излучение 283 Тепловой пограничный слой 220 Б12
— поток 13 — экран 300 Теплоемкость полная 193 Теплозащитное покрытие 467 Теплообмен в замкнутых емкостях 209 — конвективный 11 — лучистый 12 Теплообменники 332 Теплообменные аппараты 332 Теплоотдача 12, 13 Теплопередача 10, 13 Теплопроводность 10 Теплота образования 181 Термическое сопротивление контактное 327 плоской стенки 31 теплопередачи 36 Трехмерные зоны 384 Турбулентная вязкость 155 — теплопроводность 155 Турбулентный пограничный слой 158 У Уравнение движения (Навье — Стокса) 62 — неразрывности 62 — осредиеиного турбулентного движения 153 — переноса излучения 309, 310 — пограничного слоя 112 — Рейнольдса 156 — состояния 62 — теплопроводности 21—25 — энергии 66 Условия однозначности 25 Ф Фактическая площадь контакта 319 Формула Саттерленда 112 Ч Численные методы 91 Число Якоба 259 Ш Шероховатость допустимая 373 Э Экран 300, 301 Эффективная теплопроводность 204 — энтальпия теплозащитного материала 468 Я Явный метод 92 Яркость излучения 285 513
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.................................................. . 3 Основные обозначения................................................... 4 Глава I. Введение в курс теплопередачи................................. 7 1.1. Историческая справка .................................. 7 1.2, Виды теплообмена...................................... 10 1.3. Основные понятия и определения........................ 13 Вопросы для самопроверки............................... 16 Глава II. Теплопроводность при стационарном режиме.................... 17 2.1. Основной закон теплопроводности....................... 17 2.2. Вывод основного дифференциального ураннения теп- лопроводности ..................................... . 21 2.3. Уравнение теплоотдачи (условия однозначности) ... 25 2.4. Плоская стенка....................................... 28 2.5. Цилиндрическая стенка................................ 34 2.6. Критический диаметр тепловой изоляции трубопровода 38 2.7. Шаровая стенка....................................... 40 2.8. Стержень бесконечной длины .......................... 42 2.9. Стержень конечной длины.............................. 44 2.10. Круглые плоские ребра................................ 45 2.11. Тела сложной формы................................... 48 2.12. Теплопроводность при объемном тепловыделении (Чу #= 0).................................................. 50 2.12.1. Бесконечная плоская пластина...................... 50 2.12.2. Бесконечный цилиндр............................... 53 2.13. Плоская стенка с переменным коэффициентом тепло- проводности ....................................... . 54 Вопросы для самопроверки.............................. 57 Глава III. Применение теории подобия к исследованию процессов тепло- и массообмена............................................... 58 3.1. Основные понятия и определения........................ 58 3.2. Дифференциальные уравнения и краевые условия для конвективного теплообмена ............................... 60 3.3. Подобие физических процессов......................... 63 3.4. Анализ постановки задачи конвективного теплообмена методом подобия.......................................... 65 3.5. Критерии подобия и критериальные ураннения .... 69 3.6. Определяющий размер и определяющая температура 73 3.7. Услония подобия физических процессов ....... 77 3.8. Моделирование....................................... 77 Вопросы для самопроверки............................... 80 Глава IV. Теплопроводность прн нестационарном режиме............. 81 4.1. Общие сведения........................................ 81 4.2. Постановка задачи нестационарной теплопроводности . . 82 514
4.3. Теория подобия в применении к дифференциальному уравнению теплопроводности.............................. 82 4.4. Аналитический метод решения (метод Фурье) .... 88 4.5. Численные методы решения задач нестационарной тепло- проводности ............................................ 91 4.5.1. Явный метод.................................. 92 4.5.2. Неявный метод................................ 95 4.6. Регулярные тепловые режимы ........................ 96 4.7. Нестационарная теплопроводность при объемном теп- ловыделении ............................................ 102 4.8. Граничные условия 4-го рода....................... 104 Вопросы для самопроверки........................... 106 Глава V. Ламинарный конвективный теплообмен....................... 107 5.1. Общие сведения............................ 107 5.2. Пограничный слой .......................... 108 5.3. Дифференциальные уравнения ламинарного погранич- ного слоя 109 5.4. Вторая форма уравнения энергии............ 114 5.5. Теория подобия в применении к уравнениям.погра- ничного слоя 115 5.6. Интегральные характеристики пограничного слоя . . 117 5.7. Теплообмен при малых скоростях в пограничном слое несжимаемой жидкости.................................. 123 5.8. Распределение температуры и скорости в пограничном слое при больших скоростях потока.................. . 127 5.8.1. Теплоизолированная поверхность при Рг = 1 129 5.8.2. Распределение температуры в пограничном слое на теплоизолированной поверхности при Рг =#= 1 130 5.8.3. Распределение температуры в пограничном слое сжимаемого газа на пластине при теплообмене 131 5.9. Коэффициент теплоотдачи при больших скоростях . . 132 5.10. Связь между трением и теплоотдачей............... 132 5.11. Теплообмен при течении вдоль плоской пластины ... 134 5.12. Расчет теплообмена в пограничном слое на пластине 135 5.13. Расчет теплообмена при переменном давлении вне по- граничного слоя......................................... 138 5.14. Расчет теплообмена при произвольном продольном рас- пределении давления (метод эффективной длины) ... 143 5.15. Частные случаи течения и примеры расчета........ 145 Вопросы для самопроверки........................... 148 Глава VI. Турбулентный конвективный теплообмен..................... 149 6.1. Общие сведения.................................... 149 6.2. Переход ламинарного течения в турбулентное .... 149 6.3. Осредненное и пульсационное движения.............. 153 6.4. Дополнительные вязкость и теплопроводность осред- ненного движения в турбулентном потоке ............ 154 6.5. Теория пути перемешивания.................... 156 6.6. Структура турбулентного пограничного слоя .... 158 6.7. Коэффициент восстановления температуры............ 161 6.8. Турбулентный теплообмен иа плоской пластине. . . 163 6.8.1. Связь между трением и теплообменом......... 163 6.8.2. Теплообмен и тренне н несжимаемой жидкости 164 6.8.3. Турбулентный теплообмен и трение на пла- стине в сжимаемом газе............................. 165 6.8.4. Расчет теплообмена и трения на пластине . . . 167 6.9. Расчет турбулентного теплообмена в потоке с про- дольным градиентом давлеиня ............................ 168 6.10. Частные случаи течения........................... 170 515
6.10.1. Распределение скорости вне пограничного слоя . . 170 6.10.2. Примеры расчета при различных законах распреде- ления скорости.......................................... 172 6.10.3. Обобщение экспериментальных данных............. 174 Вопросы для самопроверки ........................ 175 Глава VII. Конвективный теплообмен при химических реакциях. . 176 7.1. Общие сведения.................................... 176 7.2. Основные определения.............................. 176 7.3. Основные уравнения ламинарного пограничного слоя 179 7.4. Элементы химической кинетики...................... 184 7.4.1. Гомогенные газовые химические реакции . . . 184 7.4.2. Химические равновесные и замороженные те- чения ............................................. 186 7.5. Методы расчета теплового потока в пограничном слое 187 7.6. Метод полных коэффициентов для химически равно- весных течений ........................................ 191 Вопросы для самопроверки .......................... 194 Глава VIII. Теплообмен при свободной конвекции..................... 195 8.1. Основные положения................................ 195 8.2. Теплоотдача в большом объеме...................... 198 8.2.1. Вертикальная стенка......................... 198 8.2.2. Горизонтальные поверхности.................. 201 8.2.3. Наклонные поверхности ...................... 203 8.3. Теплоотдача жидкости в ограниченном пространстве . . 204 8.3.1. Горизонтальные прослойки.................... 204 8.3.2. Вертикальные прослойки...................... 206 8.4. Процессы теплообмена при заполнении и опорожне- нии замкнутых емкостей................................. 209 8.4.1. Методика расчета процесса заполнения емкости газом и вытеснения из нее жидкости........... 209 8.4.2. Картины течения............................. 211 8.4.3. Теплообмен в газовой подушке................ 213 8.5. Тепловая стратификация в вертикальных цилиндриче- ских емкостях.......................................... 217 Вопросы для самопроверки........................... 219 Глава IX. Особенности конвективного теплообмена в.каналах. . . 220 9.1. Общие сведения.................................... 220 9.2. Теплообмен в трубах при течении теплоносителей с пе- ременными по сечению теплофизическими свойствами 223 9.2.1. Капельные жидкости.......................... 224 9.2.2. Газы ....................................... 226 9.3. Интенсификация теплообмена........................ 229 9.4. Теплообмен в каналах иекруглого сечения.......... 235 Вопросы для самопроверки .......................... 237 Глава X. Теплообмен при кипении и конденсации ..................... 238 10.1. Основные понятия и определения................... 238 10.2. Рост пароных пузырей н большом объеме чистой пере- гретой жидкости......................................... 242 10.3. Рост паровых пузырей на поверхности нагрева при кипении................................................. 243 10.4. Диаметр паровых пузырей при отрыве от стенки и ча- стота их отрыва...................................... 245 10.5. Теплоотдача при пузырьковом кипении в большом объеме.................................................. 247 10.6. Режимы теплосъема при парообразовании в усло- виях свободной конвекции .............................. 250 516
10.7. Кризис пузырькового кипения ................. 253 10.8. Переходное кипение............................... 257 10.9. Кризис пленочного кипения ................. 263 10.10. Расчет кривой кипения........................... 265 10.11. Пленочное кипение в большом объеме.............. 267 10.12. Пленочное кипение при вынужденном течении в ка- налах ................................................ 268 10.13. Теплообмен при конденсации пара................. 274 10.14. Теплоотдача при пленочной конденсации неподвиж- ного пара в гравитациоииом поле....................... 278 Вопросы для самопроверки......................... 281 Глава XI. Лучистый теплообмев ..................................... 282 11.1. Основные понятия и определения................... 282 11.2. Излучение абсолютно черного тела................. 287 11.3. Излучение реальных тел .......................... 289 11.4. Закон Кирхгофа для непрозрачных тел.............. 292 11.5. Теплообмен между двумя параллельными поверхно- стями ................................................ 293 11.6. Теплообмен между двумя абсолютно черными поверх- ностями, произвольно расположенными в простран- стве ................................................. 295 11.7. Теплообмен между телом и его оболочкой........... 298 11.8. Влияние экрана на лучистый теплообмен............ 300 11.9. Излучение и поглощение газов..................... 302 11.10. Радиационные свойства газов..................... 304 11.11. Уравнение переноса излучения.................... 309 11.12. Закон Кирхгофа для газов........................ 310 11.13. Оптические свойства газовых сред............". 312 11.14. Эквивалентная толщина слоя излучающего и погло- щающего газа.................................. 315 Вопросы для самопроверки........................ 318 Глава ХП. Контактный теплообмен............................ 319 12.1. Теплофизйческие особенности ..................... 319 12.2. Термическое сопротивление плоского контакта . . . 321 12.3. Термическое контактное сопротивление коаксиальной цилиндрической пары................................... 327 12.4. Регулирование термического сопротивления......... 329 Вопросы для самопроверки.......................... 331 Глава XIII. Тепловой и гидравлический расчет теплообменных аппаратов.......................................................... 332 13.1. Основные схемы авиационных и ракетных теплообмен- ных аппаратов................................... 332 13.2. Теплоносители ................................... 335 13.3. Гидравлический расчет ........................... 336 13.4. Тепловой расчет ................................. 339 13.4.1. Изменение температуры теплоносителей и стен- ки по длине канала ............................... 339 13.4.2. Температура стенки в произвольном сечении 343 13.4.3. Температурный напор................ 343 13.5. Теплопередающие трубы как теплообменные аппараты 345 Вопросы для самопроверки................... 352 Глава XIV. Теплообмен на поверхностях летательных аппаратов при трехмерном обтекании............................................... 353 14.1. Течение в трехмерном пограничном слое............ 353 14.2. Выбор системы координат.......................... 355 517
14.3. Дифференциальные уравнения трехмерного погранич- ного слоя на криволинейной поверхности ........... 356 14.4. Линии растекания.................................. 357 14.5. Расчет теплообмена на линиях растекания при лами- нарном течении.......................................... 358 14.5.1. Теплообмен по линии растекания на конусе. . 358 14.5.2. Теплообмен по линии растекания на кромке стреловидного крыла под углом атаки .... 360 14.5.3. Расчет теплообмена в окрестности трехмерной критической точки................................. 362 14.6. Расчет теплообмена на криволинейной поверхности при ламинарном течении...................................... 363 14.7. Расчет теплообмена при трехмерном обтекании тел и турбулентном течении в пограничном слое .... 365 14.7.1. Передняя кромка стреловидного крыла или цилиндр со скольжением............................ 366 14.7.2. Турбулентный теплообмен н окрестности ли- нии растекания на остром конусе .................. 368 Вопросы для самопроверки............................ 370 Г л а н а XV. Теплообмен на шероховатой поверхности и в отрывных зонах.............................................................. 371 15.1. Теплообмен на шероховатой поверхности........ 371 15.2. Соотношение между сопротивлением и теплообменом 376 15.3. Течение среды и теплообмен в отрывных зонах, обра- зующихся перед препятствиями....................... 378 15.4. Двухмерные отрывные зоны ......................... 379 15.5. Тепловые потоки внутри циркуляционной зоны . . . 382 15.6. Трехмерные зоны.............................. 384 15.7. Геометрические размеры отрывных зон.......... 386 15.8. Двухмерные отрывные зоны, образующиеся за усту- пом 388 15.9. Теплообмен внутри циркуляционной воны........ 390 15.10. Влияние на теплообмен турбулентности внешнего потока............................................. 392 Вопросы для самопроверки..................... 396 Глава XVI. Радиационно-конвективный теплообмен в высокотемпе- ратурных газовых потоках ..................... 397 16.1. Общие сведения.................................... 397 16.2. Система дифференциальных уравнений................ 398 16.3. Уравнения для радиационного теплового потока и его дивергенции ............................................ 400 16.4. Радиационно-конвективный теплообмен в окрестно- сти передней критической точки затупленного тела . . 404 16.5. Приведение системы дифференциальных уравнений ламинарного пограничного слоя к безразмерному ниду 406 16.6. Численный метод решения системы уравнений погра- ничного (ударного) слоя................................. 407 16.7. Результаты расчета радиационно-коннектинного теп- лообмена при полете летательных аппаратов с гипер- звуковыми скоростями.................................... 410 16.8. Программа и ее символика ......................... 413 Вопросы для самопроверки............................ 415 Глава XVII. Теплообмен при полетах в разреженном газе............... 416 17.1. Газ как совокупность отдельных молекул............ 416 17.2. Области течения газа.............................. 417 17.3. Свободно-молекулярное течение .................... 419 518
17.4. Течение в переходной области ................... 424 Вопросы для самопроверки.......................... 426 Глава XVIII. Тепловая защита летательных аппаратов и их энерге- тических установок................................................. 427 18.1. Способы тепловой защиты.......................... 42? 18.2. Пористое охлаждение............................. 435 18.3. Заградительное охлаждение поверхностей........... 444 18.4. Комбинированные системы охлаждения лопаток газо- вых турбин.............................................. 456 18.5. Теплозащитные покрытия........................... 467 Вопросы для самопроверки...................... . 477 Глава XIX. Тепловые режимы космических аппаратов.................. 478 19.1. Общие сведения................................... 478 19.2. Внешние источники тепла.......................... 478 19.3. Терморегулирование космических аппаратов......... 489 19.4. Выбор оптических коэффициентов наружных поверх- ностей летательных аппаратов............................ 491 19.5. Внешняя теплоизоляция............................ 493 19.6. Система переноса тепла........................... 494 19.7. Отвод тепла в космос от холодильников-излучателей 496 Вопросы для самопроверки.......................... 507 Список литературы.................................................. 509 Предметный указатель .............................................. 510
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ Авдуевский Всеволод Сергеевич, Галицейский Борис Мефодиевич, Глебов Геннадий Александрович и др. ОСНОВЫ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В АВИАЦИОННОЙ И РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКЕ Редактор Г. Д. Журавлева Художественный редактор В. В. Лебедев Технический редактор Л. А. Макарова Корректоры О. Е. Мишина, А. П. Сизова ИБ № 6881 Сдано в набор 12.12.90. Подписано в печать 17.05.91. Формат 60X90/16. Бумага офсетная. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Уел. печ. л. 33,0. Усл. кр.-отт. 33,0. Уч.-над. л. 34,05. Тираж 1550 экз. Заказ 204. «С» Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение», 107076, Москва, Стромынский пер., 4 Отпечатано в типографии НИИ ’Геодезия” г. Красноармейск, Моск, обл., с диапозитивов, изготовленных в типографии N* 6 ордена Трудового Красного Знамени издательства "Машиностроение” при Министерстве печати и информации Российской Федерации. 193144, Санкт-Петербург, ул. Моисеенко, 10 Зак. 665т
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ! Издательство «Машиностроение» ежегод- но выпускает книги по специальным вопросам машиностроения, тиражи которых определяются на основании предварительных заказов покупателей. Своевременный предварительный заказ экономит время и гарантирует приобретение нужной книги. Издательство «Машиностроение» просит отдельных покупателей, научные учреждения, пред- приятия, учебные заведения, библиотеки и другие организации сделать заказы на специальную литера- туру по машиностроению в магазинах, торгующих технической книгой. В 1992 г. издательство планирует выпустить следующие книги:
Когге Ю. К- Основы надежности авиационной техники Учеб, пособие для студентов авиационных техникумов. — М.: Машиностроение, 1991 (IV). — 10 л.: ил. — ISBN 5-217-01363-Х (в обл.): Изложены основные вопросы теории надежности. Рассмотрен физический смысл закономерностей, обеспечения надежности и качества изготовления изделий, способы обеспечения и анализ показателей надежности, комплексная система управления ка- чеством. Мазурский М. И., Меерович Г. Ш., Степаненко А. Н. Сертификационные испытания самолетов. — М.: Машиностроение, 1991 (IV). — 10 л.: ил. — (Справ, б-ка авиац. инж.-испытателя). — ISBN 5-217-01226-9 (в обл.): Описаны задачи, процедуры и методы сертификационных испы- таний гражданских самолетов, основные принципы нормирования летной годности и сертификации воздушных судов в отечествен- ной и зарубежной практике. Изложены особенности оценки пока- зателей летной годности для взлетно-посадочных и крейсерских режимов полета, а также специфика комплексной оценки таких показателей при отказах функциональных систем самолетов. Для инженеров-испытателей, летчиков-испытателей, работ- ников авиационных ОКБ и НИИ.
Л. А. Бураченко, В. Г. Ененков, А. С. П ротоерейский и др. Охрана окружающей среды в гражданской авиации Учебник для вузов гражданской авиации. — М.: Машиностроение, 1991 (III). — 20 л.: ил. — ISBN 5-217-01358-3 (в пер.): Изложены огранизационные и правовые вопросы управления охраной окружающей среды, способы защиты от загрязнения атмосферного воздуха, почв и водоемов. Рассмотрены методы ограничения воздействия на окружающую среду шума самолетов, звукового удара, электромагнитных полей, инфразвуковых волн, вопросы безотходной технологии производства, экономической эффективности природоохранных мероприятий в гражданской авиации. Синяков А. Н., Шаймарданов Ф. А. Системы автоматического управления ЛА и их силовыми установками Учебник для студентов авиационных вузов. — М.: Машиностроение, 1991 (IV). — 20 л.: ил. — ISBN 5-217-01360-5 (в пер.): Приведено математическое описание летательных аппаратов (ЛА) и их силовых установок как объектов управления. Рассмо- трены законы управления и принципы построения систем управ- ления. Большое внимание уделено цифровым системам и системам комплексного интегрального управления ЛА и их силовыми установками. Изложены требования к авиационным приборам, системам и комплексам, использующимся при управлении ЛА и их силовыми установками.
И. М. Дементьев, И. А. Духовский, П. И. Ковалев и др. Обтекание баллистических объектов. Визуализация сверхзвуковых течений Альбом — М.: Машиностроение, 1991 (IV). —25 л.: ил. — ISBN 5-217-01352-4 (в пер.): В альбоме рассмотрены технические возможности баллисти- ческого эксперимента для решения задач газовой динамики. Приведены описания оригинальных методик исследования физи- ческих процессов, сопровождающих высокоскоростной удар, дви- жение в двухфазных средах, групповое движение тел, сверхзву- ковые течения в криволинейных каналах. Изложение методик сопровождается большим количеством иллюстраций. Для научных работников, занимающихся исследованиями быстропротекающих газодинамических процессов, аэродинамикой и теплофизикой. Коротеев А. С., Миронов В. М., Свирчук Ю. С. Плазмотроны. Конструкция, характеристики и расчет — М.: Машиностроение, 1991 (II). — 18 л.: ил. — ISBN 5-217-01342-7 (в пер.): Рассмотрены схемы, конструкция и характеристики электро- дуговых плазмотронов различного типа, обладающих широким диапазоном параметров. Приведены новые оригинальные резуль- таты исследования физических процессов в плазмотронах и ме- тоды расчета их тепловых и электрических характеристик. Опи- саны трехфазные плазмотроны типа «Звезда». Для инженеров авиационной и ракетно-космической техники. Книга будет также полезна инженерам, специализирующимся в плазмохимии, плазмометаллургии, технологии нанесения по- крытий.
A. M. Бутко, В. Д. Кулиев, Ю. Н. Новичков и др. Стохастическая термодинамика многослойных конструкций — М.: Машиностроение, 1991 (III). — 22 л.: ил. — ISBN 5-217-01197-1 (в пер.): Рассмотрены вопросы теплопроводности и термоупругости сложных неоднородных конструкций. Изложены методы числен- ного расчета спектральных характеристик случайных полей тем- пературных напряжений для широкого круга прикладных задач. Дается оценка долговечности оболочечной системы в торцевой зоне. Для научных работников, занимающихся вопросами прочно- сти и долговечности многослойных конструкций в авиационной и ракетно-космической технике. Макаренков А. Г., Солоноуц В. А., Алпаидзе 3. Г. Конструкция и прочность ракетных двигателей твердого топлива — М.: Машиностроение, 1991 (II). — 18 л.: ил. — ISBN 5-217-01351-6 (в пер.): Рассмотрены методы расчета, конструирования и эксперимен- тальной обработки ракетных двигателей твердого топлива (РДТТ) на прочность с учетом упруго-пластического деформирования металлических и композитных материалов при повышенных уров- нях силовых и температурных воздействий. Предложены мето- дики и алгоритмы расчетов несущих узлов РДТТ. Для научных работников, занимающихся вопросами строи- тельной механики и прочности тонкостенных конструкций ЛА.
Е. А. Яковлев, К- И. Гусев, Р. В. Медведева и др. Метрологическое обеспечение, взаимозаменяемость, стандартизация Учеб, пособие для студентов авиационных специальностей вузов. — М.: Машиностроение, 1991 (III). — 20 л.: ил. — ISBN 5-217-01335-4 (в пер.): Изложены вопросы метрологического обеспечения различных видов измерений с использованием информационно-измеритель- ных систем, микропроцессорной техники и автоматического кон- троля в условиях гибких автоматизированных производств. Приведена действующая нормативно-техническая документа- ция: государственные и отраслевые стандарты и технические усло- вия, руководящие и методические материалы. Гиршович Т. А. Турбулентные струи в поперечном потоке — М.: Машиностроение, 1991 (II). — 15 л.: ил. — ISBN 5-217-01349-4 (в обл.): Рассмотрены физические модели течения в круглых, плоских и веерных струях, развивающихся в безграничном и ограничен- ном поперечном потоках. Приведены их осредненные и пульса- ционные характеристики. Даны методики расчета задач на на- чальном, переходном и основном участках струй несжимаемой жидкости, переменной плотности и двухфазных струй. Предло- жены модели выноса газообразной и твердой примесей из струи в поперечный поток. Для научных работников, занимающихся проблемами слож- ных струйных течений в авиационной и ракетно-космической тех- нике.
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ! Линия отреза С целью получения информации о качестве наших изда- ний просим в предлагаемой анкете подчеркнуть позиции, соответствующие оценке книги «Теплопередача в охлаждае- мых деталях газотурбинных двигателей» авторов В. И. Ло- кая, М. Н. Бодунова, В. В. Жуйкова, А. В. Щукина 1. В книге существует: острая необходимость, значи- тельная потребность, незначительная потребность 2. Эффективность книги с точки зрения практического вклада: весьма высокая, высокая, сомнительная, не- значительная 3. Эффективность книги с точки зрения теоретического вклада: весьма высокая, высокая, сомнительная, не- значительная 4. Книга сохранит свою актуальность: один—два года, до пяти лет, длительное время 5. Название книги соответствует содержанию: в полной мере, частично, слабо
Просьба: по линии отреза отрезать страницу и выс- лать в издательство «Машиностроение» по адресу: 107076, Москва, Стромынский пер., д. 4, сообщив о себе следующие сведения Фамилия, имя, отчество ______________________________ образование ученое звание специальность и стаж работы по специальности _____________________________должность и место работы домашний адрес ______________________________________ Линия отреза