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mathématique TERMINALE A OPTIONS A3, A4 ILCLIJZEI. P.VISSIO
MATHÉMATIQUE ÙEPIHÏHHÏB À
SECOND CYCLE DES LYCÉES (programmes de 1966) MATHÉMATIQUE 1re A (par R. Cluzel et P. Vissio) MATHÉMATIQUE 1 ‘e B Tome 1. — Mathématique (par R. Cluzel et P. Vissio) Tome. 2. — Mathématique et Statistique (par R. Cluzel, P. Vissio et F. Chartier) MATHÉMATIQUE 1'35 C et E Tome 1. — Algèbre et Analyse (par M. Condamine et P. Vissio) Tome 2. — Géométrie et Cinématique (par P. Vissio) MATHÉMATIQUE 1 ‘e D Tome 1. — Mathématique (par R. Cluzel et P. Vissio) Tome 2. — Mathématique et statistique (par R. Cluzel, P. Vissio et F. Chartier) MATHÉMATIQUE Terminale A (par R. Cluzel et P. Vissio) MATHÉMATIQUE Terminales C et E Tome 1. —— Algèbre (par M. Condamine et P. Vissio) Tome 2. — Analyse (par M. Condamine et P.<Vissio) Tome 3. — Géométrie (par M. Condamine) MATHÉMATIQU E Terminale D Tome 1. — Algèbre et probabilités (par R. Cluzel, D. Pougnet et P. Vissio) Tome 2. —- Analyse et cinématique (par R. Cluzel et P. Vissio)
R. CLUZEI. P. VISSIO Professeur à |'E.N.N.E.T Professeur agrégé de Paris au lycée Lakanal à Sceaux l MATHÉMATIQUE TERMINALE A DELAGRAVE
© DELAGRAVE 1968.
AVANT-PROPOS 0 Dans les deux dernières années du second cycle des lycées ont été créées cinq sections aboutissant chacune à l’une des séries du baccalauréat de l’Enseignement du second degré. Cet ouvrage est destiné à la classe de Terminale A, section à prédominance littéraire. 0 L’originalité de cette section, du point de vue de l’enseignement des mathé- matiques, est la grande diversité dont cet enseignement doit faire preuve pour couvrir tous les besoins. En effet, si la préoccupation essentielle des élèves de cette section est normalement tournée vers les disciplines littéraires, et s’il est clair que la grande majorité d’entre eux n’a nul besoin des « techniques mathé- matiques », il n’en reste pas moins que tous doivent recevoir une solide formation d’esprit et s’habituer à la rigueur des raisonnements logiques. Quant à ceux pour lesquels les mathématiques seront, ultérieurement, un outil, il n’est pas paradoxal d’affirmer que la dispersion des branches dans lesquelles elles seront utilisées est telle, qu’il faut, actuellement, « plus de mathématiques » en section littéraire qu’en section scientifique. Comment, pour concilier ces exigences, avons-nous conçu cet ouvrage? —— Puisqu’il est impensable qu’un livre ne couvre pas toutes les possibilités, nous avons indiqué celles-ci en le partageant en parties nettement séparées, permettant d’efl"ectuer divers choix. —— Nous avons développé au maximum la Première partie, réservée aux ensembles et à la logique afin de satisfaire aussi bien ceux qui ne sïntéressent qu’à la formation de l’esprit que les « « utilisateurs ». En eflet, ce qui nous parait essen ie c es a a on éc airer es connaissances ex osées. u si avons-nous mis t l, ’ tl d’ l l A s e sur es no ions énera es u ô ue sur es cas ar i u iers e nous n avons l’accnt l t ' l ltt l tcl t ’ pas craint de reprendre certaines notions exposées en Première A et que l'on pouvait « supposer connues ». Cette partie se termine par un bel exemple d’une construc- tion axiomatique : celle de l’ensemble des nombres complexes. —— Nous traitons ensuite dans le 2° fascicule destine’ aux options A3 et A4, compte tenu de leur importance pour des non spécialistes, quelques chapitres essentiels des mathématiques : dérivation des fonctions numériques, intégrales et aires, fonctions logarithme et exponentielle, calcul des probabilités.
0 Indiquons que, du point de vue pratique : 0 Nous avons groupé dans une même leçon ce qui constitue un thème mathé- matique (et qui, dans un cours, fait parfois l’objet de plusieurs leçons); 9 Chaque leçon est précédé d’une « introduction », indiquant le thème traité et motivant son étude, en le rattachant à des connaissances antérieures ou à des applications pratiques; 9 Chaque définition est précédée «Pexemples, au moins deux, dont l’un est issu « de situations de la vie courante », l’autre résultant de la simple consta- tation d’un fait mathématique connu. Nous avons aussi indiqué de nombreux contre-exemples ; 9 A la fin des leçons, de brèves notices historiques sont consacrées aux mathématiciens dont les noms sont cités. Ces notices, expurgées de tout détail anecdotique, signalent les idées scientifiques essentielles, à la portée d’un élève de Terminale A, du mathématicien cité. Bien que très incomplètes, leur caractère culturel ne nous semble cependant pas négligeable; 9 De nombreux exercices sont suivis (Ïindications. Parfois simple réponse, souvent conseil sur la manière d’aborder la recherche d’une solution. Notre but a été d’aider le lecteur à « apprendre à chercher », à éviter une trop longue hési- tation, à vérifier aisément un résultat; Ô Un index alphabétique permet de retrouver rapidement les définitions des mots importants, les résultats essentiels, les noms des mathématiciens cités; 0 Enfin un signe particulier, placé dans la marge, indique soit un théorème important, soit une définition essentielle, soit une démonstration délicate qui mérite attention. o Respectueux du principe selon lequel chaque collègue est libre d’organiser son Cours selon ses goûts et le niveau de sa classe, nous n’avancerons aucun conseil relatif à l’utilisation de cet ouvrage. Rappelons cependant que nous l°avons conçu de façon telle qu’il soit possible dkflectuer aisément de nombreux choix, autrement dit de définir plusieurs options. Nous recevrons toujours avec gratitude les observations qui nous permettraient d°améliorer cet ouvrage. Les auteurs.
l.E RAISONNEMENT LOGIQUE 0 [Je ce chapitre il ne faut attendre : — ni un expose, d’ordre philosophique, sur les lois de la pensée; — ni une étude. même élémentaire, de la logique formelle qui, à l’aide d’un nombre réduit de symboles et de lois, permet d’exprimer tous les modes de raisonnement. 0 Plus simplement, il s’agit de donner une description élémentaire des règles et symboles couramment utilises dans le raisonnement logique. Ces considérations sur les théories mathématiques ne sont évidemment pas des théories mathématiques. Elles nous conduiront cependant à expliciter les modes usuels de démonstration mathématique, modes dont nous avons déjà, impli- citement, l’usage. I 1. NOTIONS PREMIÈRES - AXIOMES La science mathématique, comme toute autre science, ne peut construire à partir de rien. Il faut, au départ de toute construction, disposer de divers éléments : «matières premières » et « modes d'emploi», ici notions premières et axiomes. o Les notions premières (ou termes primitifs) sont posées a priori. Ces notions ne sauraient être rattachées à aucune notion antérieure, puisqu'elles sont les premières ; certaines sont élaborées, par abstraction, à partir de notions iÿtiuitives. Les termes primitifs sont représentés par des lettres ou des sym- o es. Ainsi les termes primitifs du chapitre suivant (Notions sur les ensembles) sont ceux d'ensemble, d'élément ‘et de relation d'appartenance. La notion d'ensemble est issue de la notion usuelle de collection. Les éléments sont représentés par de petites lettres a, b, ...; les ensembles par des majuscules E, F, ...; la relation d'appartenance par le symbole e.
LE RAISONNEMENT LOGIQUE Les notions primitives sont aussi désignées sous ie vocable d'objets de ia théorie. De même, nous supposerons que la notion d'égalité (notée z) est une notion primitive. o Terme dérivé. Assertion Une notion dérivée ou terme dérivé est un assemblage de termes primitifs. Une proposition ou assertion est une succession de termes primitifs ou dérivés. Cependant, tous les assemblages et toutes les successions de termes primi- tifs ou dérivés ne sont pas permis. La théorie doit donc comporter des critères permettant de décider si tel assemblage est permis ou non. Par exemple, dans la théorie des ensembles, si a est un élément et A un ensemble, l'assemblage. ou assertion, a e A est permis; les assemblages a e a, A e a, ab : eaA, ne sont pas permis. Les notions d'inclusion, de complémentaire, sont des notions dérivées. o Les axiomes sont des propositions posées a priori comme vraies, ou des règles décrivant ies modalités d'emploi des termes primitifs permettant de former des termes dérivés ou des propositions. Ainsi, par exemple, l'égalité satisfait aux axiomes suivants : — quel que soit l'objet a: a : a; sia:baiorsb:a; — quels que soient les objets a et b à si a : b et si b : c, alors a z C‘ I 2. THÉORIES - RAISONNEMENT LOGIQUE o Une théorie mathématique se compose, en plus des termes primitifs, de la succession des propositions vraies qui sont : — les axiomes de la théorie; — les théorèmes, propositions établies par enchaînement des axiomes et des théorèmes déjà établis. Les théorèmes sont donc des propositions dérivées. o Mais, de même qu'au 531 pour ies termes, tous ies enchaînements de propo- sitions ne sont pas permis. il existe donc des termes primitifs de logique et des axiomes (ou régies) de logique décrivant les modalités d'emploi des termes primitifs et des axiomes. Nous nous placerons ici dans la situation simple suivante : o Négation d'une proposition C'est un terme primitif. 8 1
LE RAISONNEMENT LOGIQUE On énonce : âi rit est une proposition, alors (non rR )est une proposition appelée négation e rit. On note soit ( `}� Éllÿpsoit ' non 5l. o Axiome (ou principe) du tiers exclus R, Quelle que soit la proposition Fit z rR et (non rR) ne peuvent être vraies simultanément; et : rR est vraie ou (non rit) est vraie. REMARQUES 0 Une assertion {R est dite fausse, si (non 9K) est vraie. g Dans cette théorie simpiiflée, une proposition {R ne peut être lndécidable, c'est—à—dire ni vraie, ni fausse. 9 Une proposition 91 à la fois vraie et fausse est dite contradictoire. D'après R" si dans une théorie une proposition est contra- dictoire, la théorie est à rejeter. 5R (non 9l) Q Tables de vérité Si l'on note V et F, ies assertions « 2R est vraie » et « {R est — fausse », le principe R. conduit à la disposition ci-contre, F V appelée Table de vérité de rR et de (non 5R) : o Disjonction logique. C'est un terme primitif. Soittil et S deux assertions, et leurs Tables de vérité (cf. ci-contre). Table l Nous admettons qu'il existe une assertion, appelée (fil ou s), définie par la Table l. m. à Cette assertion est la disjonction de rR et S. On note: _' "' soit sa vs, 1 F V _ 3 V V V sont z s __ _ F V V Cette disjonction n'est pas exclusive, c'est—à—dire __ __ qu'en langage usuel, elle signifie l'une au moins des deux propositions est vraie. F F F
LE RAISONNEMENT LOGIQUE I 3. OPÉRATIONS LOGIQUES ÉLÉMENTAIRES A partir des termes primitifs non et ou, on définitàl'aide d'opérations logiques, dites élémentaires, des termes dérivés simples. Dans le chapitre suivant, nous illustrerons ces opérations à l'aide des schémas ensemblistes. o Implication logique (51 implique s). Considérons les Tables de vérité cl-dessous : ll' Il" Table ll É :3- non 51 8 ou (non 9l) î F F F V î F — V Î V V È V Î Î v ä-v La Table ll définit (à l'aide de non et ou) une nouvelle propositlon : 5 ou (non 51) appelée implication. On note 91 =>S Il faut bien remarquer que l'implication est une nouvelle proposition et qu'en tant que telle, elle peut être vrale ou fausse. En fait. elle n'est fausse que sl 5R est vrale et ä fausse (1" llgne de la Table Il). o Conjonction Considérons les Tables de vérité ci-dessous : Table Ill 9l r8- non ‘R non 8 (non 31) ou (non S) m" __ _ ‘ [(non mou (non 8)] F V V F V F F F V V V F V F F V V F V V F F F V L. 10 1
LE RAISONNEMENT LOGIQUE La Table lll définit une proposition vraie dans le seul cas où 5R et S le sont. Cette proposition est appelée conjonction des propositions 5R et 5. fit Elle est notée (fRetS) ou (51 A S) ou s En langage courant cela signifie : les deux propositions {R et 8 considérées simul- tanément. Et 5R /\ ä est déflnie à partir des termes primitifs non et ou par : 5l A �QH = non [(non 51) ou (non 8)] Remarquons qu'un terme dérivé, introduit par une définition est une simple abréviation. Les abréviations permettent d'éviter une complexité trop grande des propositions. o L’équivalence logique (zR équivaut à s), est définie par : Œââ et Sâflî On Ianote: ÎR<==>S Le lecteur est invité à écrire la Table de vérité de l'équivalence iogique. o La négation de 5R =>5 se note tR ÿé>s. L'implication 8 =>€R est dite réciproque de 5R =>8 L'implication (non S) => (non 3R) est dite contraposée de 5R => s. . I 4. THÉORÈMES DE LOGIQUE Ce qui précède permet d'établir des théorèmes de logique. Nous citerons les résultats les plus usuels que nous appellerons aussi règles du raisonne- ment logique. R. Règle d'implication. Si 3R est une proposition vraie et si (rR => S) est vraie, alors 8 est une proposition vraie. La démonstration résulte de la comparaison des Tables il’, il et li” (ê 3), lignes 1 et 2. Remarques Q Dans le langage usuel, cette règle s'exprime souvent, non sans danger (car il est passé sous silence que la proposition 5R à Sest vraie) sous l'une des formes : 11 1
R. LE IIAISONNEMENT LOGIQUE o pour que rR soit vraie, il faut que S soit vraie; o ou pour que 8 soit vrale, il sufflt que fR solt vraie. g De façon analogue, (rit <=> S) vraie s'énonce aussi : o pour que 8 soit vraie, il faut et il suffit que r?» le soit; o ou S est vraie si, et seulement si, 5l est vraie. Si les implications "(:31 #58) et (S =>V’G) sont simultanément vraies, alors (31 =>’6) est vraie. Ce qui se traduit en disant que l'implication logique est transitive. Il en résulte que l'équivalence logique est aussi transitive. Si les trois propositions (91 ou 3). (äi :323): (‘8"'â==>” sont simul- tanément vraies, alors G est vraie. L'équivalence (5I.<—> non (non 51)) est vraie. La proposition i (51 r=> 8) <=> z (non 8) => (non 51) est vraie c'est-à-dire que : toute implication est équivalente à sa contraposée. 5. MÉTHODES DE DÉMONSTRATION Une démonstration mathématique consiste. à partir d'une proposition rit vraie à établir, à l'aide des règles précédentes, une nouvelle proposition s. vrale. Par définition rR est l'hypothèse et ä la conclusion. lndiquons quelques méthodes usuelles de démonstration. o Démonstration par implication. Elle consiste en l'application de la règle d'implication R.. Si la proposition 9l est vraie et si l'implication (91 -=> 8) est vraie, alors la proposition 3 est vraie. Une démonstration est alors une suite de propositions dont chacune est établie en utilisant seulement des propositions établies antérieurement. 12 Exemple. Soit, à démontrer, dans un problème, que trois droites D,, D,, D, sont concou- rantes. Nous connaissons l'implication vraie : (A1, Ag, A,) médianes d'un triangle -=> (A,, A2, A,) concourent. 51 ==> S Par suite : sl (D,, D,, D.) sont les médianes d'un triangle (ce qui reste à établir), alors {R étant vraie et (5! ==>8)=éga|ement, donc S est vraie; c'est dlre que les droites D1, 0., D. envisagées sont concourantes. 1
LE RAISONNEMENT LOGIQUE o Démonstration par disjonction des cas. Elle repose sur le fait que si les deux implications : (a e» S) [(no"n �8} 8] sont vraies, alors «S est vraie. et En efiet : [rR ou (non rit] est vraie. d'après `vD ;et de ��y résultela conclusion. Dans la leçon suivante. nous traltons entièrement un exemple de ce tvne de démonstratlon (exercice 2-10; Indications). o Démonstration par l'absurde. Le principe est le suivant : pour établir que. dans une théorie T. une relation .°(R estRvraie. on construit la théorie T’ obtenue en adjoignant à T l'axiome non r . ll suffit alors de trouver dans T’ une proposition contradictoire. En efiet. d'après R” l'assertion (non 31) y est aussi contradictoire. Alors la théorie T’ est à rejeter (cf. 5 2. remarques) et. d'après R“ la proposition rR est vraie dans la théorie T. Dans cette leçon (exerclce 1-11; indlcatlons). nous traltons entlèrement un exemple de ce type de démonstration. o Démonstration par contre-exemple. Pour démontrer la négation d'une implication. soit : 5R n'implique pas S. (fil aé> s). on fournit un contre-exemple. dest-à-dire un exemple dans lequel rR et (non s) sont simultanément vraies. Solt rR : «n est un entler divisible séparément par 6 et 4 »; Solt 8 : «n est divisible par 24 ». A-t-on rîï => è‘? Non car. par exemple. le nombre 12 rend rR et (non 8) simultanément vraies. Donc tR %> è‘. o Raisonnement par récurrence. Ce raisonnement s'emploie pour démontrer que. quel que soit l'entier naturel n. une assertion. dans laquelle n intervient. est vraie. Pour cela on utilise l'axiome de récurrence (dû à Péano) qui s'énonce : — si l'assertion est vraie pour l'entier zéro; —— si de l'assertion vraie pour! ‘entier p. on déduitque l'assertion est vraie pour le suivant de p. — alors l'assertion est vraie quel que soit l'entier naturel n. intuitivement. on peut concevoir cet axiome de la manière suivante. Si l'on a démontré : — d'une part. que l'assertion est vraie pour l'entier zéro (1) — d'autre part. de l'assertion vraie pour l'entier p on déduit qu'elle est vraie pour le suivant de p (2) alors. l'assertion étant vraie pour zéro (1) est vraie pour 1 (résultat (2)); 13 1
LE RAISONNEMENT LOGIQUE l'assertion étant « maintenant» vraie pour 2 est vraie pour 3 (application du résultat (2)); etc... L'axiome de récurrence codifie l'usage du «etc. ». REMARQUE Si l'on a démontré que : une assertion est vraie pour l'entier naturel a; si l'assertion est vraie pour l'entier p > a, alors elle est vraie pour le suivant de p, l'axiome de récurrence permet d'en déduire que l'assertion est vraie pour tout entier n 2 a. EXEMPLE Démontrer que toute puissance de 10, d'exposant entier positif’, est un multiple de 9, plus 1. 0 L'assertion est vraie pour n :: 1. En effet 10‘ : 10 = 9 + 1. 0 Supposons l'assertion vraie pour l'entier p, soit 10" : 9k + 1. (Cette supposition s'appelle l'hypothèse de récurrence). 9 Aiors10°+‘:10°><10=(9k+1)><10 D'où 10°+1:90k+10:90k+9+1 10" + 1 = 9(10k + 1) + 1. Or 10k + 1 est un entier; puisque ken est un. Posons 10k + 1 : k’. Alors 10" + l = 9k’ + 1. Ce qui prouve que l'assertion est vraie pour (p + 1). e L'axiome de récurrence assure alors que l'assertion est vraie pour tout entier naturel n 2 1. l s. APPLICATIONS Démontrons, à titre d'exercice, quelques propriétés très souvent utilisées en pratique. o La proposition est vraie _ (51 <=> S) <=> (non 5R) <=> (non S) En effet : (rR <=> 8) équivaut a : [CR => S) et (5 =>.“'K)] par définition puis, d'après R. à {[(non S) => (non 51)] et [(non 3K => (non 5H} et donc à [(non 5R <=> (non 8)] par définition. La conclusion résulte de R, s Négation de (51 et 8). La proposition ' non (9! et S) <=> (non 91) ou (non S) est vraie. 14 1
LE RAISON NEMENT LOGIQUE En effet : (:11 et 8) équivaut à non [(non 5R) ou (non 8)]. par définition. Et, d'après ce qui précède et R, : non (rR et 8) équivaut à : [(non 3R) ou (non 8)] 2R non 91 Donc : non S ' <=> ._ "on 8 . o Négation de (rR ou 8). Le lecteur établira. soit en utilisant les théorèmes du ë 4, soit à l'aide des Tables de vérité, que : La proposition C'est-à-dire : 1-2 1-3 1-4 non<(5i._ ou S) <=> .. (non SI) et (non 8) est vraie. 91-<_> änonfk m" 5 _ ‘nons g I EXERCICES Les lettres r‘. 8. ‘R... désignent des propositions (ou assertions). Construire les Tables de vérité de non (rit et 8) et de [(non fit) ou (non 8)]. Conclusion. Établir, en utilisant les théorèmes de logique (5 4), puis à l'aide des Tables de vérité que non (rR ou 8) <=> [(non 7R) et (non 8)]. Démontrer. à l'aide des Tables de vérité. les théorèmes R, et R. du para- graphe 4. Former les négations des propositions : [ŒR ou 8) et C4] [OR et 8) ou Ë]. Traduire, à l'alde de : ou, non, les négations des propositions : (rit => 8) et G 0R => 8) ou G. Mème question, en remplaçant respectivement zou. non. et. par les symboles \' —I A, Sur les 1 000 élèves d'un lycée, 720 suivent les cours d'anglais. 500 ceux d'alle- mand. 250 ceux d'espagnol. De plus, 340 apprennent au moins l'anglais et l'alle- 15 1
1-9 1-10 1-11 16 LE RAISONNEMENT LOGIQUE mand, 140 apprennent au moins l'anglais et l'espagnol, 130 apprennent au moins l'allemand et l'espagnol. Enfin 40 d'entre eux apprennent les trois langues. Combien n'apprennent aucune des trois langues indiquées? Dresser une répartition de l'ensemble des élèves d'après la (ou les) langue étudiée. A chacun des trois éléments A, B, C, doit être associée une et une seule des trois propriétés c, d, p. Déterminer la propriété associée à chaque élément sachant que : ’ (l) A(C) => 3(4) (H) Ald) => Blp) (Ill) B (non c) => C(d) (IV) €(9) => Ald) [On pourrait déterminer la profession : chirurgien, dentiste ou pharmacien, de chacun des trois frères : André, Bernard, Claude, suivant une correspondance évidente : « Si André est chirurgien, alors Bernard est dentiste »...]. Trois jeunes gens, Marie, Paule, René, ont prononcé les phrases suivantes : Marie : « J'ai 22 ans; j'ai deux ans de moins que Paule; j'ai un an de plus que René ». Paule : « Je ne suis pas la plus jeune; René et moi avons trois ans d'écart; René a 25 ans ». René : « Je suis plus jeune que Marie; Marie a 23 ans; Paule a trois ans de plus que Marie ». Peut-on déterminer l'âge de chacun, sachant qu'une et une seule des assertions de chaque jeune gens est fausse? Les cannibales d'une tribu se préparant à manger un missionnaire, lui proposent de décider lui-même de son sort, en faisant une courte déclaration. Si celle-ci est vraie, il sera rôti; si elle est fausse, il sera bouilli. Par quelles déclaration le missionnaire peut-il leur imposer une troisième solution? (Tiers exclu, a priori, dans la « logique cannibale »). (D'après Cervantès). Une cellule de prison est munie de deux portes : l'une conduit à la liberté, l'autre à la mort; devant chaque porte est un gardien qui connaît le rôle des deux portes; chacun des gardiens peut répondre uniquement par oui ou par non; l'un des deux donne toujours une réponse vraie, l'autre toujours une réponse fausse. Le prisonnier ignore quel gardien dit vrai et lequel ment; il peut poser une seule question, à un seul des gardiens. Par quelle question peut-il déterminer la porte qui conduit à la liberté? Pour choisir un ministre parmi trois candidats A, B, C, un roi oriental les a soumis à une épreuve : sur la tête de chacun d'eux on place une boule qu'il ne voit pas, mais il voit la boule placée sur la tête des deux autres; les candidats savent que les boules sont choisies parmi cinq boules, trois noires et deux blanches; le premier qui dira la couleur de la boule située sur sa tête sera ministre; s'il se 1
1-12 3'41. 1 LE HAISONNEMENT LOGIQUE trompe, il aura la tète tranchée. L'un d'eux, A, qui voit une boule noire sur la tète de chacun des deux autres, affirme avec sûreté, voyant que les autres ne disent rlen : «j'ai une boule noire ». Expllciter son raisonnement. (Conte orlental). Démontrer par récurrence que. quel que soit l'entier n 21 : (1) 1+2+3+...+n=ÊÉ’.2Ÿl) (2) 1+3+5+...+(2n—1):n’ (3) 1z+2=+az+...+n=:"—%—_—‘"+"6(2"+" <4) 1a+2*+3=+...+n3:”—2‘"4—+”—2 (5) 1.2+2.3+3.4+ 0>D +n.(n+1)= näïïïî) I INDICATIONS Q Péano (Giuseppe) né à Cunéo en 1858, mort à Turin en 1932. Logicien et mathématicien connu surtout pour son axiomatique des entiers naturels. Fut 1e promoteur de la méthode axiomatique qu’il appliqua dans de nombreux domaines mathématiques (théorie des ensembles...) et extra-mathématiques (recherche d'une lan- gue internationale aussi rationnelle que possible, ce qui 1e conduisit au a latin sans déclinaison »). @�- r99? e153?“ à? 4?““°#ï8«> V F V V V V l” v ‘ v ‘— F F ’ F f 4 Pour R” ne pas oublier que {K =>8 est fausse si, et seulement si, 5R est vraie et 8 fausse (â 3). On obtient les Tables de vérité : 17 1
1-9 me, 1:11 1-12 18 LE RAISONNEMENT LOGIQUE 51 S 6 mous äè-äoë 8 =>‘6 ‘—- —— î Il! v v v v v v v v F v F F î î î 7î—î 1! v F v v v v v F F v F v î î î çà‘ Il‘ F v v v v v F v F v v F F F v F v v F F F F v v Le théorème résulte de la traduction des lignes marquées ". Si le missionnaire déclare qu’il sera bouilli... Si le prisonnier demande à l'un des gardiens la réponse de l'autre... Bel exemple de raisonnements par l'absurde superposés! A se dit :« Si j'ai une boule blanche, B se dira : « Si j'ai une boule blanche, C voit deux boules blanches et donc C peut affirmer : «j’ai une boule noire »; C ne disant rien, cette hypothèse est à rejeter; donc j'ai une boule noire >>. B ne disant rien... C’est-à-dire : A construit une Théorie T’ formée de l’énonce T et de l'axiome : j'ai une boule blanche; il suppose alors que B construit la théorie T” formée de T’ et du nouvel axiome : moi, B, j'ai une boule blanche... (2) — L'assertion est vraie si n : l. En effet 2n —l = l et par suite la somme demandée se réduit au seul terme l. Or l : l’. — Supposons que l’assertion soit vraie pour l'entier naturel p (hypothèse de récurrence). Alors l+3+5+...+(2p—l):p’ —Calculons y=l+3+5+...+(2p——l)+(2p+l) D'après l'hypothèse de récurrence y : p’ + (2p + 1) =p'+2p+1:(p+1)” La propriété est donc vraie pour 1e suivant (p + l) de p. — L’axiome de récurrence, nous permet d'affirmer que : quel que soit n > l, alors l + 3 + @�� + (2n— 1) r; n’. 1
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 0 Dans cette leçon, nous introduisons des notions très simples de la théorie des ensembles. Pourquoi? La théorie des ensembles permet d’une part, de clari- fier et de simplifier le langage mathématique, d’autre part de dégager les modes de raisonnement utilisés. En eflet, dans les « anciennes » mathématiques, on s’attachait plus à la nature des objets étudiés (« nombres » en arithmétique et algèbre, « figures » en géométrie) qu’à la méthode utilisée dans les démonstrations. Or, celle-ci est souvent indépen- dante de la nature des objets étudiés. La théorie des ensembles permet donc une réelle économie de pensée, d’où résulte un approfondissement possible de celle-ci et une plus grande efficacité. 0 Quant au langage mathématique, chacun s’accorde à reconnaître quÏil doit être soumis à deux conditions : être clair, être précis. Or, il n’en est pas toujours‘ ainsi. Par exemple, qu’entend-on par triangle? Pour certains, c’est « l’ensemble » des trois points appelés sommets, pour d’autres, « l’ensemble » des trois segments appelés côtés (d’ailleurs ces « côtés » sont souvent assimilés aux droites qui les portent); pour d’autres enfin, il s’agit du domaine plan limité par les trois côtés. 19
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 0 Montrons, sur deux exemples, que le langage courant ne permet pas toujours d’énoncer sim lement et clairement un résultat mathémati ue : P q a) Comment comprendre la phrase suivante _: « Écrire les nombres divisibles par 3 ou 5 ‘o. En eflet, les nombres 15, 30, ��� doivent-ils être écrits? Cela dépend du sens donné au mot « ou ». b) Comment exprimer (x — 1)(x — 2) > o? qn’un nombre est solution de Pinéqnation Il est clair qu’un nombre x inférieur à 1 est solution, de même qu’un nombre x supérieur à 2. Nous ne pouvons pourtant pas écrire que «les nombres x < 1 et x > 2 sont solutions » car le mot « et » prêtera à confusion (il n’y a pas de nombres satisfaisant simultanément aux deux conditions De même, compte tenu de l'ambiguïté du mot << ou » (voir ci-dessus), il est dangereux d’êcrire que «les nombres x < 1 ou x > 2 sont solutions ». Des périphrases seraient donc nécessaires. La théorie des ensembles permettra de s’exprimer en un langage clair et précis. 0 Bien entendu, nous mettrons en évidence le lien étroit existant entre la «théorie des ensembles » et les notions de logique introduites dans le chapitre précédent. 1. LES ENSEMBLES La notion d'ensemble (set en anglais, menge en allemand, mnojestvo en russe) est une notion primitive, donc non susceptible de définition. Elle est issue du terme usuel de collection, de rassemblement d’objets. La théorie des ensembles est en fait une théorie de la relation d'appartenance. Les termes primitifs sont ceux d'élément, d'ensemble et de relation d'appartenance. 20 Nous dirons par exemple : l'ensemble (E,) des élèves de votre classe l'ensemble (E2) des prénoms des élèves de votre classe l'ensemble (E3) des segment donné l'ensemble (E4) des droites d'un plan donné points d'un l'ensemble (E5) des lettres de l'alpha- bet français l'ensemble (E5) des nombres pairs l'ensemble (E7) des pages de ce livre l'ensemble (E8) des chifires dans la numération à base 10. 2
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES o Notation et représentation Un ensemble E est composé d'objets, dits éléments de E : a est élément de E se note a e E et se lit «a appartient à E» On dit aussi que E comprend a. La négation de a e E se note : a é E et se lit « a n'appartient pas à E». o Des deux propositions : a e E, et a é E, l'une est vraie, l'autre est fausse. o Les éléments d'un ensemble sont parfois représentés par des croix (fig. 1) ou des points (fig. 1’) situés dans un domaine plan intérieur à une courbe fermée simple; s'ils sont trop nombreux, on représente parfois l'ensemble par tout le domaine intérieur (fig. 2). Fig. 1. Fia. 1’. Fig. 2. o Détermination d'un ensemble Le plus souvent, un ensemble pourra être défini de l'une ou l'autre des deux façons suivantes. g Il est possible de dresser la nomenclature (l'inventaire) de ses éléments. Par exemple : la liste des élèves pour l'ensemble (E1); la liste des prénoms pour (E,); l'alphabet pour (E5). On dit alors que l'ensemble est défini en extension. Dans ce cas, on écrit entre deux accolades la liste des éléments de l'ensemble. Par exemple: E, = :0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, a, 9:. L'ensemble constitué du seul élément a est noté {a}. et se nomme parfois sinyleton. On écrit : a e {a}. L'ensemble constitué des deux éléments a et b, noté la, b} est appelé une paire. o L'ensemble est déterminé par un critière d'appartenance. Un élément x appartient à l'ensemble E, si et seulement si, x vérifie une pro- priété (a). On dit aussi que l'ensemble est défini en compréhension et x est appelé élément générique de l'ensemble. On note E = 3x; x {a0} ou E = {x| x, (oog, ce qui se lit « l'ensemble E a pour éléments les x pour lesquels la propriété (a) est vérifiée». 21 2
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 2. SOUS-ENSEMBLES. INCLUSION. IMPLICATION LOGIQUE EXEMPLES Q Soit (F) l'ensemble des fleurs et (T) l'ensemble des tullpes. Pulsque toute tulipe est une flleur. tout élément de l'ensemble (T) est un élément de l'ensemble (F); on dlt alors que l'ensemble (T) est inclus dans l'ensemble (F). On écrlt T C F. On dit aussi que (T) est une partle (ou un sous-ensemble) de (F). o DÉFINITION 9 Soit A l'ensemble des nombres entiers dont l'écriture dans la base 10 se termine à droite par le chlfire 0 et B l'ensemble des entlers divlslbles par 5. Pulsque tout entier terminé par 0 est dlvlsible par 5, tout élément de l'ensemble A est un élément de l'ensemble B; on dlt alors que A est inclus dans B. On écrit : A C B. On dit aussi que A est un sous- ensemble de B. Un ensemble A est un sous-ensemble d'un ensemble E (ou une partie de E), si tout élément de A est élément de E. On dit aussi que : A est inclus (ou contenu) dans E. On note Ainsi : ACE ou EDA ACE <=> xeA=>xeE La négation de A C E se note A ct E et se lit « A n'est pas inclus (ou contenu) dans E». On emploie le terme d'inclusion stricte pour indiquer qu'un ensemble A est une partie d'un ensemble E, distincte de E lui-même. 22
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES o INCLUSION ENSEMBLISTE ET IMPLICATION LOGIQUE Soit deux ensembles A et B définis en compréhension respectivement par les propriétés (a) et (B) : A = lx; x, (e01, et B = fiy; y, ([3); —— L'inclusion’ A C B implique que : si x a la propriété (a), c’est-à-dire si x est élément de A, alors x est élément de B, et x a la propriété ((3).. Par suite : A C B entraîne l'implication (a) => (l3). — L'implication (a) => (B) entraîne que : si x est élément de A, c'est-à- dire si x a la propriété (a), alors x a la propriété (B). et x est élément de B. Par suite : (a) => (B), entraîne l'inclusion A C B. L'inclusion A C B équivaut à l'implication (a) ==> ((5) REMARQUES 0 Pour démontrer l'inclusion A C B, il faut démontrer que tout élément de A est élément de B. g Pour démontrer la négation A ‘t B, il suffit de prouver l'existence d'au molns un élément de A n'appartenant pas à B. EXEMPLES ç A : ensemble de mammifères. Fermat (mathématicien français (1601- B_ b‘ d _ ‘ 1665) pensait que tous les entiers l ' r32}: e es anmmux e" de la forme a : (2’" + 1), expression ' dans laquelle n est un nombre entier, A ç B étaient des nombres premiers. Sin:1a:5' sin:3 32257 ' ' t élé t t l : ' ' ' ' car Il exlse un men X e que Euler (mathématicien suisse, 1701- x e A x ç B 1783) a prouvé qu'il n'en était pas ainsi, car pour n = 5, le nombre a x : la baleinel obtenu est divisible par 641. ‘o PROPRIÉTÉS DE UINCLUSION L'inclusion a les propriétés suivantes : Quels que soit l'ensemble E : E C E Que/s que soient les ensembles E, F, G : ECF et FCG => ECG 23 2
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES I 3. ÉGALITÉ DE DEUX ENSEMBLES ET ÉQUIVALENCE LOGIQUE EXEMPLE Soit A l'ensemble des entiers naturels dont l'écriture dans le système de base dix est terminée, à droite. par l'un des chifires 0, 2, 4, 6 ou 8. Soit B l'ensemble des entiers divisibles par 2. On démontre que tout élément de A est élément de B et tout élément de B est élément de A, donc que A : B. o DÉFINITION Deux ensembles sont égaux s'ils comprennent les mêmes éléments. Donc, si E et F sont des ensembles : E=F <=> (xeE)<=l>(xeF) Cette notion correSpond à la notion usuelle d'identité : c'est-à-dire que si deux ensembles E et F sont égaux, cela signifie que les lettres E et F repré- sentent le même ensemble. Remarquer que la notion usuelle d‘ « égalité » (de triangles, par exemple) est très différente. Pour’ démontrer que deux ensembles A et B sont égaux, on démontrera que : —— tout élément de A est élément de B, soit A C B (ê 2) -— tout élément de B est élément de A, soit B C A (ë 2) C'est-à-dire que : ACB et BCA => A=B o ÉGALITÉ ENSEMBLISTE ET ÉQUIVALENCE LOGIQUE Soit A et B deux ensembles donnés en compréhension : A ensemble des éléments ayant la propriété (on) ; B ensemble des éléments ayant la propriété (B), A = îx: x. (a)! 3 = lyw. «n: L'égalité A = B traduit l'équivalence logique (a) <=> (B) Supposons que A = B et soit x tel que x, (an). Alors x appartient à A, donc x appartient à B; donc x. (l3); par suite (a) => (l3). De même : (B) => (on). Supposons que (a) <=> (l3) et soit x élément de A. Alors x. (a), donc x, (l5): donc x est élément de B. De même tout élément de B est élément de A. Les propriétés équivalentes (et) et (l3) sont dites propriétés caractéris- tiques de l'ensemble A (ou B). 24
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 4. COMPLÉMENTAIRE D'UN SOUS-ENSEMBLE ET NÉGATION LOGIQUE EXEMPLE Soit l'ensemble E : l2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} et A la partie de E définie par A : :4, 6, 8, 9}. A cette partie A de E est associée une nouvelle partle A’ de E, celle déflnie par : :2, 3, 5, 7;, c'est-à-dire formée des éléments de E qui n'appar- tiennent pas à A. On dit que les parties A et A’ sont complémentaires. o DÉFINITION Soit E un ensemble et A une de ses parties (ê 2). L'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A est le complé- mentaire (ou complément) de A par rapport à E. On le note ‘fin A Quand aucune confusion n'est possi- ble en ce qui concerne l'ensemble E, on note simplementfi A ou CA le complémentaire de la partie A. C'est le cas lorsquetous les éléments consi- dérés appartiennent à un même ensemble E, appelé le référentiel. <=> xeE et xéA Ce qui est représenté figure 5. 0 COMPLÉMENTAIRE ET NÉGATION LOGIQUE Dans un référentiel E, si être élément de la partie A c'est posséder la propriété (a), être élément du complémentaire fi A c'est ne pas posséder la propriété (a), c'est-à-dire posséder la propriété (non a). A‘: far; x, (un c A = {y;y, (non on); <=> 0 PROPRIÉTÉS — Pour toute partie A de E : g Si x e A, alors x e fig A, donc: x efiE(fiEA) l Si x e fiEŒE A), alors xëfiE A, donc: xeA 25 2
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES Donc : GEŒE A) = A ce qui équivaut à non (non on) <® (u) On dit que A et fiEA sont complémentaires. — Deux ensembles ayant le même complémentaire par rapport au même ensemble sont égaux. .|}BA=|;EB <=> A=B En effet: si GE A : GE B, alors GE (GE A) : fin (fin B) et donc: A : B. — Si A est inclus dans B, alors le complémentaire de B est inclus dans le complé- mentaire de A (par rapport au même ensemble E). En efiet x efiEB implique x e; B; si A C B, alors x ç B implique x é A x e c A. E [contraposée de (x e A) => (X E 3)]: donc : ACB => fiEBCfiEA Ceci est la traduction de l'équivalence logique : [(00 => (6)1 <=> [(n0n l3) => (non 01)] C'est ce qu'illustre la figure 6. 5. ENSEMBLE VIDE EXEMPLES G Soit E l'ensemble f1, 2, 3}. Quel est l'ensemble “E E? gQue peut-on dire de l'ensemble des nombres entiers dont les carrés sont négatifs ? Cet ensemble ne contient élément; on dit qu'il est vide. Cet ensemble ne contlent aucun aucun élément; on dit qu'il est vide. 26
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 2 o DÉFINITION On appelle ensemble vide, un ensemble ne comprenant aucun élément. Nous conviendrons d'admettre que l'ensemble vide est unique. On conçolt en efîet que si, A et B sont deux ensembles vides, tout élémentx de A appartient à B, puisque A n'a aucun élément; et que tout élément de B est, de même, élément de A. On désigne l'ensemble vide le symbole 0 REMARQUES 0 Par convention, l'ensemble vide est une partie de tout ensemble. Donc quel que soit E, a C E. ll m 9 Quel que soit E. 8E E : a et “E a I 6. LES QUANTIFICATEURS o DÉFINITIONS E étant l'ensemble référentiel et (a) une propriété, désignons par E (a) le sous- ensemble de E dont les éléments possèdent la prorpriété (a) : E(a) = lx; xe E et x, (a); — Si E(a) = E, on écrit: V x e E, (a) et on lit: «pour tout x» appartenant à E, la propriété (a) est vraie, ou «quel que soit x » appartenant à E, x possède la propriété et. Le symbole v est le quantificateur universel. —Si E(a);ztg, onécrit: axeE, (a) et on lit: « il existe au moins un » x appartenant à E et possédant la propriété a. Plus brièvement : «il existe un » x... avec le sens de «au moins un ». Le symbole a est le quantificateur existentiel. 27
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES o APPLICATIONS Les quantificateurs permettent des énoncés nets et précis, et une grande sûreté dans |a négation d'une assertion. Ces deux symboles sont des signes logiques, donc soumis à des règles d'emploi très précises. On ne saurait donc les employer ni comme abréviations, ni dans des expressions telles que : E? x, dans le sens de : « existe-t-il un x?... ». Montrons deux exemples de leur utilisation. — La négation de vx e 5.15; est ax e E, (non a} En efiet: [Vx e E, (ot)] équivaut à E (on) = E, ce qui équivaut à 0H11) z 0 Cette proposition a pour négation fi E (a) ;: (Z) c'est-à-dire a x e E(a) ou a x, (non a) Donc : non [vxe E, (a)] équivaut à 3x e E (non a) Ainsi « Tous les Crétois sont menteurs » a pour négation « Il existe au moins un Crétois non menteur ». — La négation de ax e E, a. est v x e E, (non a) En effet : a x e E, (a) équivaut à E (a) _.: (Z), ce qui équivaut à: 0H01): E Cette proposition a pour négation fi E(oz) : E, c’est-à-dire E (non on) = E ou V x e E, (non an). Donc : non [a x e E, (a)] équivaut à v x e E, (non a) Ainsi « Il existe au moins une Française rousse » a pour négation « Toutes les Françaises sont non rousses ». 28 2
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES CONSTRUCTION D’ENSEMBI.ES A PARTIR D’ENSEMBLES DONNÉS 7. ENSEMBLE DES PARTIES D'UN ENSEMBLE EXEMPLES Soit E l'ensemble formé des trois lettres a. b, c : E: ;a.b,c;. Les sous-ensembles de E sont : 04a}. {b}, {c}. la, b}, 3b, c}, le, a}, {a. b, c}. L'ensemble, dont nous admettons l'existence, des parties de E. est : l o DÉFINITION Nous admettons l'axiome suivant : Les parties de tout ensemble E sont les éléments d'un ensemble, appelé ensemble des parties de E et noté ËŒ) Par suite : "ä ‘e28; ' REMARQUES ,0: la}: lb}: îcl: la: bl: lb: Cl: le: al: E1 A 9E <=> A eî (E) <=> 3:35am) - Q Quel que soit l'ensemble E : a e fî(E) et E e fîŒ). g L'ensemble 5(0) des parties de l'ensemble vide, comprend un élément... l'élément vide, soit E03) = le}. 8. PARTITION D'UN ENSEMBLE EXEMPLES Q Dans un lycée, l'ensemble E des élèves est réparti en classes 0., C2... C, de façon que : o aucune classe n'est vide; odeux classes distinctes n'ont pas d'élément commun; atout élève du lycée appartient à une classe; On dit que les classes 0., C2... 0,, réalisent une partition de l'ensemble E. Il est bon de remarquer que chaque élément de E (chaque élève) appar- tient à une classe et une seule. Par suite, chaque élève détermine sa classe. On dira qu'il est un « repré- sentant » de cette classe. 29
9 Solt E l'ensemble des vertébrés. La classification en mammifères, batraciens, oiseaux, reptiles, polssons, réalise une partltlon de l'ensemble E. Chaque élément détermine la classe à laquelle il appartient. 9 En musique, on réalise une par- tition d'une œuvre musicale lorsqu'on indique ce que doit exécuter chaque Instrument. A noter que, par abus de langae, on appelle, partition musicale les feullles sur lesquelles sont pré- sentés les morceaux à exécuter. 9 En héraldique, on a la partition ci-contre de l'écu : Fig. 7. o DÉFINITION Un ensemble de parties d'un ensemble E (dest-à-dire un sous-ensemble de 5Ï(E)) réalise une partition de E si : 30 — aucune partie n'est vide; NOTIONS SUR LES ENSEMBLES — tout élément de E appartient à une classe; — deux parties distinctes n'ont pas d'élément commun. 9. INTERSECTION DE ET CONJONCTION EXEMPLES 0 Soit A l'ensemble des diviseurs de 18 : A z f1, 2, 3, 6, 9,18} Soit B l'ensemble des diviseurs de 12 : B : {1, 2, 3, 4, 6,12} Ces deux ensembles ont en commun les nombres 1, 2, 3, 6. L'ensemble {1, 2, 3, 6} s'appelle l'inter- section des ensembles A et B. On note : AnB:{1,2,3,6} DEUX ENSEMBLES LOGIQUE 9 Soit A l'ensemble des nombres pairs. Soit B l'ensemble des multiples de 3. Ces deux ensembles ont-ils des élé- ments communs? Oui, ce sont les éléments de l'ensemble des nombres multiples de 2 et de 3, donc de l'ensemble des multlples de 6. On dit que l'ensemble c des mul- tiples de 6 est l'intersection de l'ensemble A (des multiples de 2) et de l'ensemble B (des multiples de 3). 0nnote:C:AnB
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 2 o DÉFINITION L'intersection de deux ensembles A et B, est l'ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B. On note cet ensemble A n B et on lit « A inter B ». Donc: xeAnB <=> xeAetxeB Si A n B = 0,c'est-à-dire si les ensembles A et B n'ont pas d'éléments communs, A et B sont dits disjoints. Sinon, c'est-à-dire si A n B 9&0, on dit que'les ensembles A et B se rencontrent et on note A 0 B La notion d'intersection est illustrée figure 8. 0 INTERSECTION ET CONJONCTION LOGIQUE Si les ensembles A et B sont définis en compréhension, respectivement par les propriétés (a) et ([3), c'est-à-dire si être élément de A c'est posséder la propriété (a) et si être élément de B c'est posséder la propriété (B), soit A : 1x; x (a); et B : {y;y([3)}, alors A n B : jx; x(o:) et xœ); La notion d'intersection équivaut donc à la conjonction logique (Cf. 1re leçon, ë 3). REMARQUE SI D et D’ sont des droites, ensembles de points, ayant comme seul point commun le point a, on doit noter : {a}:DnD' ou aeDnD' etnon a:DnD' o PROPRIÉTÉS DE UINTERSECTION Que/s que soient les ensembles A, B, C, on démontre sans difficulté que : An0=0 AncnAzfl
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES A n A = A i (on dit que l'intersection est idempotente). A. n B = B n A (on dit que l'intersection est commutative). (on dit que l'intersection est associative et (A ñ BI n c z A n (B n C) on note A n B n C l'ensemble obtenu). I 10. RÉUNION DE DEUX ENSEMBLES ET DISJONCTION LOGIQUE EXEMPLES 0 Considérons les ensembles 9 Soit à résoudre l'inéquation (x + 4). (x -— 3) > 0 (x nombre réel) En vertu de la règle des signes : (x —l— 4). (x -— 3) sera positif si. et seu- lement si, les facteurs sont de même signe. Désignons par A l'ensemble des nom- bres pour lesquels (X + 4) et (x — 3) sont positifs. par B l'ensemble des nombres pour lesquels (x + 4) et (x -— 3) sont négatifs. A z :1. 2. 3. 5. a, 12; et B : 32. 4. 5, 9. 125 Formons l'ensemble c: 31.2.3. 4. 5.8.9.12; Cet ensemble a pour éléments les nombres appartenant à l'un au moins des ensembles A et B. L'ensemble C des solutions est l'ensemble des nombres apparte- nant à l'un au moins des ensembles On dit que C est la réunion des en- A et B. sembles A et B. _ Cet ensemble s'appelle la réunIon OnnoteC:AuB. deAetB. o DÉFINITION La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments appartenant à l'un au moins des ensembles A et B. On note cet ensemble ’ A U B ‘ et on lit «A union B». Donc xeAuB <=> xeApoLixéB 32 2
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 2 La figure 9 illustre cette définition. REMARQUE L'ensemble A u B a pour éléments : tous les éléments appartenant à A sans appartenir à B; tous les éléments appartenant à B sans appartenir à A; \ tous les éléments appartenant à la fois à A et à B (s'il en existe). o RÉUNION ET DISJONCTION LOGIQUE Si les ensembles A et B sont définis en compréhension par les propriétés (a) et (B) respectivement, c'est-à-dire être élément de A, c'est posséder la pro- priété (a) et être élément de B, c'est posséder la propriété (e) soit A = fix; xmg, B : {y;y({3)}, alors A u B = 3x; X(c:) ou x(e);. Par suite être élément de A u B c'est posséder au moins l'une des pro- priétés (a), (B). La notion de réunion équivaut donc à la notion de disjonction non exclu- sive (Cf. 1re leçon, â 3). o PROPRIÉTÉS DE LA RÉUNION Quels que soient les ensembles A, B, C, on démontre que : A u 0 = A A u A = A (la réunion est idempotente). AukA=E A u B r: B u A (la réunion est commutative). _ (la réunion est associative et on note (A U B) U C ” A U (B U C) A u B u C l'ensemble obtenu). 33 Terminale A. — 2.
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 0 RELATIONS ENTRE RÉUNION, INTERSECTION, COMPLÉMENTAIRES Quelles que soient les parties A, B et C d'un ensemble E, on démontre que (cf. exercices 2-12; 2-14) : (distributivité de l'intersection A n (B U c) = (A n B) U (A n C) pour la réunion). (distributivité de la réunion A U (B U Ac) z-(A U B) n (A U C) pour l'intersection). AufiAzE AnfiA=0 8A indique le complémentaire |}(A n a) —_— 3A tige" _ de A dans le référentiel E). fi(AuB)=cAnfiB 0 RELATIONS AVEC LES RÈGLES DE LOGIQUE (Cf. 1” leçon) — La conjonction des assertions A u c A = E et A n I} A = 0 est la traduction ensemb/iste du principe du tiers exclu. En effet, pour tout x e E : ou x e A est vrale ou x e A est fausse; donc x e A ou x e c A ; et x e A U c A. D'autre part, pour x, on ne peut avolr à la fols x e A vrale et fausse, donc x ne peut être commun à A et à 8A. — La relation l} (A u a) à l} A n l} a est la traduction de .- .non [(11) ou (e); <=> (non a) et (non B) — La relation I l} (A n B): [j A u [j A est la traduction de .- non m) et’ (en (non a) où (non ta) <=> 34 2
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 11. DIFFÉRENCES DE DEUX ENSEMBLES EXEMPLES Q Soit A l'ensemble 31, 5, 14, 25, 47}. Soit B l'ensemble 30, 1, 3, 5, 25}. Soit C l'ensemble {14, 47}. On dit que C est la difiérence A moins B. C'est l'ensemble des éléments de A n'appartenant pas à B. On note : CzA-B Remarquer que B — A : 50, 3} 9 Soit A l'ensemble des multiples de cinq. Soit B l'ensemble des entiers pairs. Supposons les nombres écrits dans la numération décimale. On appelle différence A moins B, l'ensemble des éléments de A n'appar- tenant pas à B. cet ensemble, noté (A — B), a pour éléments les entiers qui se terminent par un cinq. o DÉFINITION La différence A moins B est l'ensemble dont les éléments appartien- nent à A sans appartenir à B. On la note A — B et on lit «A moins B». Donc : xe(A—B) <=> xfeAetxçtB Remarquons que A — B = flA (A n B) l 12. DIFFÉRENCE SYMÉTRIQUE DE DEUX ENSEMBLES ET DISJONCTION EXCLUSIVE EXEMPLES Q Soit A : {1, 5, 14, 25, 47; Soit A l'ensemble des multiples et B z 5m 1’ 3_ 5’ 25} e cinq et B celui des entiers pairs. Alors (5 11), C : A — B z {14, 47; Supposons les nombres écrits dans la et D z B _ A z go’ 3; numération décimale. Alors (A — B) L'ensemble C U D : {0,3,14,47{ s'ap- pelle la différence symétrique des ensembles A et B. On note: AAB:(A—B)U(B—A) est formé des entiers terminés par cinq; (B — A) est formé des entiers dont le dernier chiffre de droite est 2, 4, 6, 8. L'ensemble (A — B) u (B—A) est la différence symétrique de A et B. 35 2
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 2 o DÉFINITION La différence symétrique de deux ensembles A et B est l'ensemble T des éléments qui appartiennent à l'un ou l'autre des deux ensembles et non aux deux. On la note: T=AAB et on lit: «AdeltaB», Donc: xeAAB <=> (xeA et xæB) ou (xæA et xeB) Nous avons illustré l'ensemble A A B, figure 10. Fig. 1o. o DIFFÉRENCE SYMETRIQUE ET DISJONCTION EXCLUSIVE Si, être élément de A c'est posséder une propriété (a) et être élément de B c'est posséder une propriétéflâ), c'est-à-dire si A = 3x; x_(a)g et B = {y;y(p);, alors AA B= 3x; [x(oc) et x(non 8)] ou [x(non oc) et x((3)]l C'est-à—dire qu'être élément de A A B, c'est posséder soit la propriété (on), soit la propriété (B) à l'exclusion de la possession simultanée des deux propriétés. La différence symétrique est donc la traduction du «ou exclusif». o REMARQUE La définition se traduit par : AAB=(AuB)—-(AnB) ou AAB=(A—-B)u(B—A) 36
NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 2 I EXERCICES 2-1 Dans les figures cl-dessous |e rectangle représente l'ensemble E de base. Définir (à l'aide des symboles n, U, et des symboles des ensembles complé- mentalres), les ensembles lndiqués par des signes distinctifs (hachures, points...). Fig. 11. Fig. 12. Fig. 13. ' Fig. l4. 37
2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-8 2-9 2-10 38 NOTIONS SUR LES ENSEMBLES Soit A, B, C les ensembles (de lettres) suivants : A:{a.b,c,d} B:{c,d,e} C:{d,e,b} Écrire toutes les intersections et toutes les réunions de ces ensembles pris deux à deux. Quelle est l'intersection de l'ensemble des entiers pairs et de l'ensemble des multiples de 5? Quelle est l'intersection de l'ensemble des quadrilatères et de l'ensemble des polygones réguliers? Dans l'ensemble E des triangles, on considère ies sous-ensembles A (ensemble des triangles isocèles) et B (ensemble des triangles rectangles). Définir les ensembles A n B, BEA, 3E3, fiEm u B). Soit A et B deux ensembles. 1° Vérifier. à l'aide d'une représentation, que : ACAUB; BCAUB. 2° Démontrer ces relations. AflBCA; AnBCB; Soit E l'ensemble des nombres pairs de 2 à 40 : E = {2, 4, 6, 8, 36, 38, 40} On désigne par A le sous-ensemble de E formé des multiples de 4; par B le sous-ensemble de E formé des multiples de 3. 1° Écrire ÜEA et ÜEB. 2°Former Hzfi (AuB) et Kzfi (AnB). E E 3° Former ÜEA n cEB et ÜEA u 9E B. Comparer ces ensembles à H et K. Établir que : et que : (DCA,D (AC 0,3 =>[DC(AflBflC)] c3 et DCC) CD et CCD)=>[(AUBUC)CD] (A u B) C (A u C) implique-t-il : B C C? (A n B) C (A n C) implique-t-il : B C C? g(AUB)C(AUC)ë Établir que et => B C C. ?(AnB)c(Anc)S Déterminer les ensembles : vzAnanAnc :(AuB)n(Au°B) W::AUBUAUC Y:(°Au°B)n(°AuB) 2
2-12 2-13 2-14 2-15 NOTIONS SUR LES ENSEMBLES Soit trois ensembles A. B, C. 1° Vérifier. à l'aide de figures. que: A u (B n C) : (A U B) n (A u C). 2° On désigne par E l'ensemble A u (B n C); par F l'ensemble (A u B) n (A U C). a) Démontrer que tout élément x de E est élément de F. b) Démontrer que tout élément y de F est élément de E. Conclure. 3° Retrouver le résultat à l'aide des Tables de vérité (Cf. 1T9 leçon). Soit A et B deux sous-ensembles d'un ensemble E. On désigne par fiA et fi B les complémentaires. par rapport à E. de A et B. 1° Vérifier, à l'aide de figures, que : fiAufiszfiœna) et fiAnfiszfiœus) 2° On désigne par E l'ensemble cA n fiB; par F l'ensemble c(A u B). a) Démontrer que tout élément x de E est élément de F. b) Démontrer que tout élément y de F est élément de E. Conclure. 3° On désigne par E’ l'ensemble fiA u cB; par F’ l'ensemble fi(A n B). En procédant comme ci—dessus. démontrer que E’ : F’. 4° Retrouver ces résultats à l'aide des Tables de vérité. Soit A et B deux sous-ensembles d'un ensemble E. On désigne par fiA le com- plémentaire de A par rapport à E. 1° Vérifier, sur une figure, l'équivalence : A C B <=> �� u B : E1- 2° On désigne par E’ l'ensemble 0x� u B. Démontrer que A C B <=> E : E’. 3° Démontrer de même que A C B <=> (A n fiB : e). 4° Retrouver ces résultats à l'aide des Tables de vérité. Soit A A B la difiérence symétrique de deux sous-ensembles A et B de E. 1° Représenter sur une figure l'ensemble (A A B). 2° Vérifier et démontrer que (A A B) : (B A A). 3° Vérifier et démontrer que : (AAB):(AuB)—(AnB):(AnfiB)n(BnfiA). 39 2
2-18 2-19 2-20 2-10 U! (I! —. _. 2-11 2-1 2 40 NOTIONS SUII LES ENSEMBLES 4° Vérifier sur une flgure, puis démontrer que (A A B) A C : A A (B A C). 5° Construire la Table de vérité du « ou exclusif». 6° Retrouver les résultats précédents à l'aide de ces Tables. Démontrer que : [3 x, (p et q)] => [3 x. (p) et 3x. (q)]. Démontrer que : [3 x, (p) et 3 x. (p)] n'implique pas : [3 x, (p et q)]. Démontrer que : [a x. (p ou q)] => [3 x. (p) ou a x, (q) ]. Démontrer que : [V x, (p) ou V x, (q)] => {V x.(p ou q)]. Former les négations de z V x e E, [p et (non q)]. V x e E, [p ou (non q)]. I INDICATIONS Exemple de démonstration par disjonction des cas, que nous explicitons. g a) Par hypothèse 2 (AUB)CAU(C) et (2) (AnB)C(AnC) Soit x appartenant à B : xeA, alors xeAnB; xéA, alors xeAUB; d’après (2) x e A n C, donc x e C d’après (1) x e A U C et comme x é A, x e C X:A Y:°A. 3° Les Tables de vérité sont construites en écrivant V ou F, selon qu'un élément appai tient ou n'appartient pas à Pensemble considéré.
aal-nl-n]-nl<l<}<]<|>l NOTIONS SUR LES ENSEMBLES 2-15 2-20 î c AUB AUC (AUB)n(AuC) BnC AUŒnC) î Î V V V V V Î F: V V V F V Î î V V 47 V F V Î Î V V V F V î Î V V V V  V î —F— V F î F F F �� Î F V F F F Î Î F F F F F —— —— Lfm ___Cÿomparer îl 5° A —B— AAB Î Î F Î Î v Î Î v Î Î F L_ î non [V x e E, (p et non q)] est j Ex e E, non {p et (non q)] pn� Il reste à expliciter la négation de et ou celle de ou. 41
42 RELATIONS BINAIRES Q Dans la leçon précédente, nous avons donné quelques notions simples rela- tives aux ensembles. Mais alors que les éléments de ces ensembles ont étéé tudiés indépendamment les uns cles autres, nous nous proposons dans cette leçon de « mettre en correspondance » (« en relation »), les éléments d’un ensemble entre eux ou avec ceux d'un autre ensemble. Puis sont étudiées les qualités de la « cor- respondance », appelée « relation binaire » lorsqu’ello porte sur deux éléments. Q Parmi les nombreux exemples que nous oflre la « vie courante », citons les relations : —— « être né à » : qui, à tout élément de l’ensemble des habitants de la Terre, « associe » un élément de l’ensemble (V) des villes de la Terre; »— « avoir pour femme» : qui, à tout élément d’un ensemble p� d’hommes associe zéro, un ou plusieurs (si la polygamie est possible) élément d’un ensemble (F) de femmes ; — « avoir pour enfant » : qui, à tout élément de l'ensemble ��� des habitants de la Terre, associe zéro, un ou plusieurs éléments de ce même ensemble. —— (A) étant l’ensemble ayant pour éléments les nombres entiers de 1 à 95, l’ensemble (B) des automobiles immatriculées en France est, parmi l’ensemble des voitures circulant en France, formé des voitures en « relation » avec un élément de l’ensem ble 0D� Q Nous abordons dans la leçon suivante l’étude d’un cas particulier important : celui des relations binaires définies sur un ensemble, par lesquelles sont mis en correspondance entre eux les éléments d’un même ensemble. Q Signalons enfin que, si nous exposons ici, a priori, certaines notions, c’est dans un souci de synthèse et afin de définir un vocabulaire constamment utilisé. Dans la suite de ce cours, nous nous rêférerons souvent à cette leçon, ce qui en soulignera Fimportance.
RELATIONS BINAIRES . 1. COUPLE Rappelons qu'une paire est un ensemble comprenant deux éléments (2‘ leçon, 5 1). Si x et y sont ces éléments, la paire qu'ils constituent est notée fx, y} ou {y, x}. ll est souvent utile, en mathématiques et dans la vie courante (par exemple s'il s'agit d'une « paire» de chaussures ou d'une « paire » de bœufs), de distin- guer les rôles joués par chacun des éléments d'une paire. On obtient ainsi une paire rangée ou couple. g DÉFINITIONS — Un couple est un objet mathématique tel que l'égalité de deux coup/es u et u’ notés par exemple (x, y) et (x’, y’) est définie par : = 1' y. (x. y) .=(x’. y’) => É ll x ÿ Si u est le couple noté (x, y), on écrit u = (x, y) et on lit « coup/e x, y ». Du point de vue intuitif, un couple est un « ensemble rangé » de deux éléments. — L'élément x est l'origine, ou première projection du couple; on note : x = pnuj — L'élément y est l'extrémité, ou deuxième projection du couple; on note : y=p_r.u’ Remarquons que si x 25 y, alors (x, y) J: (y, x). Les couples (x, y) et (y, x) sont dits transposés l'un de l'autre. 43
RELATIONS BINAIRES 2. PRODUIT CARTÉSIEN DE DEUX ENSEMBLES EXEMPLES Q Soit A et B les deux ensembles : A: {0,1,4l et B:{1,3,5,6} Formons tous les couples dont l'ori- gine appartient à A et l'extrémité à B, soit : (0. 1). (0. 3). (0. 5). (0. 6) P�< (1. 1). (1.3). (1. 5). (1.6) l (4. 1). (4. 3). (4. 5). (4. 6) L'ensemble dont les éléments sont tous les couples obtenus ci-dessus s'appelle le produit cartésien de l'ensemble A par l'ensemble B (ou ensemble-produit). On note A >< B cet ensemble. o DÉFINITION g Soit A et B les deux ensembles donnés en 0. Formons tous les cou- ples dont l'origine appartient à B et l'extrémité à A. soit : (1, 0) (1, 1) (1, 4) (3, 0) (3, 1) (3. 4) (5. 0) (5, 1) (5, 4) a (6, 0) (6, 1) (6, 4) L'ensemble formé de tous les couples obtenus ci-dessus s'appelle le produit cartésien de l'ensemble B par l'en- semble A. On note B >< A cet ensemble. Le produit cartésien (ou ensemble-produit) d'un ensemble E par un ensemble F est l'ensemble de tous les couples dont l'origine est un élément de E et l'extrémité un élément ‘de F. ' On le note : Donc : On dit que x décrit E et que y décrit F. 44 REMARQUES E><F=lu=(x.y): E >< F ce qui se lit « E croix F». xeE, yeF} 0 Si F : E, on obtient le produit cartésien d'un ensemble E par lui—même (noté E >< E, ou E‘, ce qui se lit « E deux»). Par exemple, si E : j a, b, c E, alors : E‘ = f (a. a). (a. b). (a. c). (b. a). (b. b). (b. c.) (c. a). (c. b). (c. c) l 9 On désigne par diagonale de E >< E l'ensemble des couples (x, x). 9 La notion de produit cartésien s'étend immédiatement au produit de plus de deux ensembles.
RELATIONS BINAIRES a Le terme « cartésien » est llé à l'illustration de cette notion par les figures cl-dessus (fig. 1), inspirées de la géométrle analytique de Descartes. Les en- sembles E et F sont représentés par les points de droites ou de segments, ou des successions de points séparés. 9 Un produit cartésien E >< F est vide dès que l'un au moins des ensembles E ou F est vide. Q Le produit A >< B est distlnct de B >< A dès que B est différent de A. g 3. GRAPHES o DÉFINITION Un graphe est un ensemble de couples. Si le premier élément du couple appartient à un ensemble E et si le deuxième appartient à un ensemble F, un graphe est donc un sous-ensemble du produit cartésien E >< F. Soitg un graphe, sous-ensemble de E>< F. On note pnCj (lu « première projection de �~� ») l'ensemble ayant pour éléments les premiers éléments des couples de `� C'est un sous-ensemble de E. De même, on note prgç (lu « deuxième projection de »), l'ensemble des seconds éléments des couples de p C'est un sous-ensemble de F. o REPRÉSENTATION DES GRAPHES Les graphes sont représentés par divers schémas. 1° Le premier et le deuxième élément du couple sont respectivement l’ « abscisse » et l’ « ordonnée » du point représentant le couple, rapporté à deux axes (fig. 2). 45
RELATIONS BINAIRES 2° Tableau à simple entrée. Les éléments de E sont, par exemple, écrits « horizontalement » et ceux de F « verticalement ». On marque d'un signe, une croix par exemple, les cases correspondant à un élément du graphe. Nous avons représenté (fig. 3), le graphe (Î Z �� 3:0): (— 3:1): (* 3:9): (— 2:4): ("1:1): (op): (1l1): (L4): (2:9)Ë sous-ensemble de E >< F avec : E: {—3,—2,—1,0, 1,2} et F : {0, 1, 4, 5, 9}. 3° Diagramme cartésien. Il s'agit d'un quadrillage formé de droites illus- trant chacun des éléments des ensembles considérés. En général les lignes verticales correspondent à l'ensemble de « départ » E. Nous avons ainsi illustré (fig. 4), le graphe Ç. 4° Les éléments de chacun des ensembles sont figurés par des points et un segment de droite joint chaque origine d'un couple à son extrémité. C'est la représentation duale de la précédente. Nous avons ainsi représenté (fig. 5), le graphe (j. 5° Diagramme sagittal de Venn, ou d'Euler. Les ensembles E et F sont représentés par des v« nuages de points » entourés d'une ligne. Une flèche joint l origine de chaque couple à son extrémité (fig. 6). 3
RELATIONS BINAIRES 4. RELATIONS BINAIRES EXEMPLES 0 On considère l'ensemble : A : fr, j, b} des couleurs primaires : bleu et l'ensemble : B : j V, v, 0} rouge, jaune, des couleurs secondaires : vert, violet, orange. On donne le graphe @�� (sous-ensemble de A >< B) représenté ci-dessous. La proposltion, vraie pour certains cou- ples, (x, y) e pO� est une relation bi- naire de A vers B, qui peut s’énoncer: « x entre dans la composition de y. » g Soit les ensembles : A:{0,1,4l et B:{1,3, 5, 6} Quels sont les couples (x, y) vérifiant x+y<6 (avecxeA,yeB)? En se reportant au 5 2, il vient : t? = l0. 1): (0.3); (0.5): (1.1): (1,3): (4.1)! On dit que la «condition » x+y<6(avecxeAetyeB) est une relation binaire dont Ç est le graphe. Ce que l'on peut illustrer de l'une ou l'autre des deux manières ci-dessous. . DÉFINITION E et F étant deux ensembles, toute proposition vraie pour certains couples (x, y) de E >< F est une relation binaire rR de E vers F. Si la proposition est vraie pour le couple (x, y), on note x âty ou. filiny} et on lit « x est en relation avec y» ou «x, r, y». L'ensemble des couples (x, y) tels que x rRy est un sous-ensemble de E >< F, appelé graphe de la relation et noté. C}: 0 Inversement, soit E et F deux ensembles donnés et Ç un graphe, (ou partie de E >< F). On peut énoncer le fait qu'un couple (x, y) est élément de j, soit (x, y) e Lÿ, en disant : (origine du couple) X est en relation avec .V , (extrémité du couple) 47 v 3
RELATIONS BINAIRES Le graphe ç‘, détermine alors la relation binaire :R de E vers F, définie par : xrR y si et seulement si (x, y) appartient à Dans les deux cas : x rfly <=> (x, y) e L39; o Ainsi la notlon de graphe est l'équivalent de la notion logique de relatlon binaire. L'ensemble E est appelé ensemble de départ (ou ensemble source); F est l'ensemble d'arrivée (ou ensemble cible). Si la relation rR est vérifiée pour tout couple (x, y), c'est-à-dire si Ça: = E >< F, la relation est dite triviale. REMARQUES 0 Une relation binaire s'exprime, dans le langage courant, en remplaçant le symbole .°R par un verbe ou une expression verbale; le premier élémentdu couple est le sujet et le deuxième est le complément (au sens grammatical). Citons, en reprenant les exemples de l'introduction : « x est né à y »; « x a pour femme y »; « x a pour enfant y »; « x a sa plaque d'immatriculation terminée par le nombre y ». g Certaines relations binaires usuelles sont représentées par de symboles particuliers. Citons par exemple (le lecteur précisera les ensembles de départ et d'arrivée ): être égal à... g être différent de... être inférieur, au sens large, à... AH Il _ _ | diviser... => être équivalent logiquement à... e appartenir à." �� être parallèle à... C être inclus dans... _1_ être perpendiculaire à... o ÉGALITÉ DE DEUX RELATIoNs BINAIREs L'égalité de deux relations binaires rît et à‘ de E vers F est définie par l'égalité de leurs graphes : l.‘ S75‘ :975 SI les relatlons ne sont pas données par leurs graphes, l'égalité est déflnle par : 3R : 8 <=> v x e E, rR(x) = 8(x) o RELATION REcIPRoQuE La relation réciproque de la relation binaire rit de E vers F est la relatlon binaire de F vers E, notée {R déflnie par : —1 yrRx <=> xFRy 48 3
RELATIONS BINAIRES EXEMPLE Dans l'ensemble des entiers naturels non nuls, si tR est la relation « diviser », —1 —1 flî est la relation « être multiple de ». Ainsi : 5 {R 30 et 30 {R 5 . 5. COMPOSITION DES RELATIONS BINAIRES EXEMPLE Soit, dans un ensemble d'humains, les relations binaires r?» : «avoir pour enfant » et è’ : « avoir pour fille ». Si X512, c'est-à-dire x a pour enfant z, et si zSy c'est-à-dire z a pour fille y, il existe une nouvelle relation binaire entre x et y. C'est : x « a pour petite-fille » y. Cette relation est notée 8 o 2R; elle est dite composée de 5K par S. Ce résultat est illustré sur la figure 11 : flèches en traits pointillés (relation 5K) flèches en traits tiretés (relation ê), flèches en traits pleins (relation S o 2R). Noter que l'absence de certaines flèches indique que la proposition n'est pas vérifiée. Remarquer que la relation composée de 8 par Æ, (notée 5% o S), est distincte de S 0 5R. C'est la relation « avoir pour petit-enfant, né d'une fille ». Fig. 11. 49 3
RELATIONS BINAI RES o DÉFINITION Soit rR une relation binaire définie de l'ensemble E vers l'ensemble F et ä une relation binaire définie de l'ensemble F vers l'ensemble G. La composée de rR et S est la relation binaire ë, de E vers G, définie par : x51 <=> xeE, yeG, _a:eF,Ï x51: et zây La relation G‘ est notée t5 = 8 o 5l ' et on lit « S rond r?» ». REMARQUE Si S = R, alors .'R o rR est notée R’. I EXERCICES 3.1 Soit les ensembles E : ��d 1, 2. 5. 8 ��w et 1° Quel est l'ensemble E >< F? 2° Quel est l'ensemble F >< E? 3° Quel est le graphe �u de la relation Fi :« l'origlne du couple de E >< F est stricte- ment inférieure à l'extrémité». 4° Représenter graphiquement �%v Fzgzsgy 3.2 Mêmes questions pour E: g — 3,—1,0,4} et Fzf —2,—«1, 1,4. 6 �Tu 3.3 Soit E : 5 a, b. c i. 1° Écrire en extension l'ensemble il: (E) des parties de E. 2° Slx e E et A e :Ï(E). représenter graphiquement la relation fii : « x est élément de A ». 3.4 Mémes questions pour E = f a, b, c, d �ck 3.5 SoltE:{0.1.2,3,4.; et F:{ 1,2.3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 1° Quel est le graphe p]j de la relation 7R : « x(e E) dlvlse exactement y(e F) n? 2° Donner une représentation graphique de cette relatlon. 34 &üE:{—L—ZL2; et F:{—&—Q«4JÆL 1° Définir, en extension le graphe ç‘, de la relatlon rR de E vers F : x:Ry<=>x+y<g—1 2° Représenter graphiquement rR. 50 3
3-7 3-8 RELATIONS BINAIRES SoitE: f a.b,c}. 1° Définir, en extension, l'ensemble ‘î(E) des parties de E. 2° Quel est le graphe de la relation de î (E) vers î (E) : «AtRB <=> A C B»? 3° Représenter graphiquement cette relation. Mêmes questions pour E : f a, b, c, d -� Soit les trois ensembles E:{o,1,2,4,9} F:{0,1,—1,2,3,—3} G:{——5,—1,1,3}. 1° Représenter graphiquement la relation fît de E vers F telle que x ïRy équivaut à x est le carré de y. 2° Représenter graphiquement la relation S de F vers G telle que y ä z équivaut à y est inférieur (au sens strict) à z. 3° Définir en extension le graphe `�� de la relation 8 o 9% de E vers G. I INDICATIONS o Descartes (René), né le 31 mars 1596 à La Haye, près de Tours, mort à Stockholm le Il février 1650. Philosophe et mathématicien, hésita longtemps sur le choix d’une occupation, tantôt militaire, tantôt mondain, tantôt retiré dans la solitude. Du point de vue mathématique, Descartes est le créateur de la géométrie analytique pour, disait-il, «rapprocher la géométrie des Anciens et Ïalgèbre des Modernes» (déjàl). De là, les expressions : graphiques, repères, coordonnées, diagrammes cartésiens. 51 3
3-1 3-3 3-7 3-9 52 RELATIONS BINAIRES 3 o Euler (Léonard) né à Bâle 1e l5 avril 1707, mort à Saint-Pétersbourg 1e 18 septembre 1783. L’un des plus grands mathématiciens suisses. Ses travaux essentiels portèrent sur l’anaIyse, la mécanique, les entiers naturels. o Venn (John), né en 1834, mort en 1923. Mathématicien et logicien anglais. Fut professeur à l'Université de Cambridge. 1° E x 1= = 5 (1.2). (1.5). (1,9), (2.2). (2,5). (2.9). (5.2). (5.5). (5,9). (8.2). (8.5). (8,9); 3° `�� = 5 (1.2). (1.5). (1.9). (2.5). (2,9). (5.9). (8.9) ; 4° Cf. figure 12. Fig. 12. 1°:Î(E)2{oflaflîb}{c},{a,bg.{a,cE,{b,c},E} 2° Cf. figure 13. Fig. l3. Fig. l4. 1° Par exemple : (2,4) e @�� (3,6) e ��� (2,7) ë L? (6.3) æ LÏ. 1° Cf. 3-3. 2° Cf. figure 14. 3° �*� ï l (o: 1): (013): (L3)! (Ç 1:1): @j� Ë-
I 1. RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE Dans cette leçon sont étudiées les relations binaires définies dans un ensemble E, c’est-à-dire les graphes du produit cartésien E >< E. Tout ce qui a été dit dans la leçon précédente est évidemment valable. De plus, des propriétés nouvelles peuvent être envisagées, du fait qu'un élément de E peut intervenir soit comme premier élément d'un couple, soit comme second élément. (Ce qui n'était pas possible lorsque les ensembles E et F étaient différents comme par exemple, dans la relation « être né à i), dans laquelle le premier élément est un être vivant, le second un lieu). RELATIONS BINAIRES REFLEXIVES EXEMPLE ET CONTRE-EXEMPLE gSoit, dans l'ensemble IN la rela- fi Soit. dans l'ensemble ]N des en- tion 7R : « avoir pour carré». Seuls tiers naturels la relation : « avoir la même parité que... ». Les couples (0, 0), (1, 1). (2, 2), p� et, quel que soit x, le couple (x, x), appartiennent au parmi les couples de la forme (n, n), les couples (0, 0), et (1, 1) vérifient la relation. graphe de R. v x e IN, Donc : x :R X n'est pas vérifié pour x tR x tout x. Donc : g DÉFINITION Une relation binaire, définie dans un ensemble, est réflexive si, quel que soit l'élément x de l'ensemble, le couple (x, x) vérifie la relation. Donc, dans E, 5l réflexive <=> v x e E, x 5% x On peut dire aussi que le graphe L? de la relation tR contient l'ensemble des couples (x, x). Cet ensemble est appelé diagonale de E”. Donc : fit réflexive <=> (diagonale de E’) C Ça 53
RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE Fig. 1. Relation réflexive. Fig. 2. Relation non réflexive. . Dans l'ensemble :Î(E) des parties d'un ensemble E. l'inclusion et l'égalité sont des relations binaires réflexives. 2. RELATIONS BINAIRES SYMÉTRIQUES EXEMPLE ET CONTRE-EXEMPLE o Reprenons l'exemple précédent : les entiers a et b vérifient la relation rR s'ils ont même parité. Les couples (1, 3) et (3, 1), par exemple, vérifient la relation. Plus généralement, si un couple (x, y) appartient au graphe de la relation, le couple transposé (Y. X) appartient également au graphe. La relation :R est dite symétrique. ce qui signltie que : x rit y <=> y :71 x. 9 Reprenons dans JN, la relation « avoir pour carré ». Le couple (2, 4), par exemple, vérilie la relation, mais le couple transposé (4, 2) ne le vérifie pas. Plus généralement, si le couple (x, y) vérifie la relation, le couple (y, x) ne la vérifie pas nécessairement. La relation considérée n'est pas symétrique. o DÉFINITION Une relation binaire, définie dans un ensemble, est symétrique si, quel que soit le couple (x, y) vérifiant la relation, alors le couple trans- posé (y, x) la vérifie également. Si :R est la relation considérée et (x, y) un couple : Ï .51 symétrique <=> ��� yfilx Ou, si Ça est le graphe de la relation m: l 5l symétrique <=> �A� p�� k) e (j: o Dans 2(5), l'égalité est une relation symétrique, l'inclusion ne l'est pas. 54 4
RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE 3. RELATIONS BINAIRES TRANSITIVES EXEMPLE ET CONTRE-EXEMPLE 0 Soit, dans un ensemble E d'en- fants. la relation rit n être le frère ou la sœur de ». Si un couple (x, y) vérifie la relation, dest-à-dire si x est frère ou sœur de y, si de plus le couple (y, z) la vérifie également (donc y est frère ou sœur de z), alors le couple (x, z) vérifie la rela- tion. La relation est dite transitive. . DÉFINITION Une relation binaire, définie dans un ensemble, est transitive si, quels que soient les couples (x, y) et (y, z) vérifiant la relation, alors le couple (x, z) la vérifie également. Si rR est la relation considérée et (x, y) un couple : 5l transitive <=> (x 5l y Ou, si Ça: est le graphe de la relation : 2K transitive <=> [(18 Ï) e .6“ g Soit, dans l'ensemble N des en- tiers naturels, la relation fR u être le double de ». Les couples (8, 4) et (4, 2) vérifient la relation considérée, mais le couple (8, 2) ne la vérifie pas. La relation n'est pas transitive. et yälnâxälz et (m) ecäai ==><è.z) se: . Dans EŒ), l'égalité et l'inclusion sont des relations transitives. 4. RELATIONS BINAIRES ANTISYMÉTRIQUES EXEMPLES Soit, dans l'ensemble des entiers naturels, la relation é. u être inférieur ou égal à n. Si x<3 et 3<x, alors x23. Plus généralement, si x g y et y S x, alors x : y. La relation é est dite antisymétrique. Soit, dans l'ensemble 1N* des entiers naturels non nuls, la relation u diviser », que l'on note l. Si x16 et 61x alorsx:6. Plus généralement, si xix etylx alors x:y. La relation u diviser » est, dans N*, antisymétrique. 55 4
RELATIONS BINAIIIES DANS UN ENSEMBLE o DÉFINITION Une relation binaire, définie dans un ensemble, est antisymétrique si, pour tout couple (x, y) et son transposé (y, x) vérifiant simultanément la relation, alors x est égal à y. Donc : 5R antisymétrique <=> (xERy et yäîx) => (x = y) e Dans EŒ), l'égalité et l'inclusion sont des relations antisymétriques. Remarquons que l'égalité est une relation à la fois symétrique et antisymétrique. I 5. RELATIONS UÉQUIVALENCE EXEMPLES Q Soit, entre les habitants de la Terre, ou simplement entre les élèves de votre classe, la relation binaire :11: « être né la même année que ». ll est clair que la relation 5R est réflexive, symétrique, transitive. On dit que rit est une relation d'équi- valence et que deux éléments véri- fiant rR sont équivalents, modulo rR. A noter que cette relation permet une partition (2' leçon, â 8) en considé- rant les sous-ensembles formés d'élé- ments équivalents, c'est-à-dire nés la même année. Chacun des sous- ensembles obtenus s'appelle une classe d'équivalence. g Soit, dans l'ensemble Z, des en- tiers relatifs : z : 3..., — 3.- 2, — 1, o, 1, 2...; La relation « avoir pour différence un multiple de 3 » (0 est considéré comme multiple de 3). e La relation est réflexive : v a, a — a : 0 e La relation est symétrique : si (a — b) est multiple de 3, alors (b — a) est multiple de 3. e La relation est transitive. La relation {R considérée est dite d'équivalence et deux éléments qui la satisfont sont dits équivalents, modulo rR. o DÉFINITION Une relation binaire, définie dans un ensemble E, es_t une relation d'équi- valence, si elle est réflexive, symétrique et transitive. Soit 5R une relation d'équivalence. Pour traduire qu'un couple (x, y) vérifie la relation rR, on remplace la notation générale x rit y par: x E y (mod. fît) qui se lit « x est équivalent à y, modulo rit ». Donc, si x, y, z désignent des éléments quelconques d'un ensemble E, et si R est une relation d'équivalence sur E : 56
RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE \vxeE, x22): (modmR) xey (modJR) => yæx (modmR) ‘\ l Xi-Ey (modJR) et ya-îz (mod. 51) => x52 (modnlt) l oL'égalité est une relation d'équivalence, d'après ses règles de définition (leçon 1, 51). oLa relatlon // « être parallèle à », est une relation d'équivalence dans l'ensemble Q des droites D du plan. o La relation /'/'. « être équipollent à », est une relation d'équivalence dans l'ensemble des bipoints (A, B) de l'espace. s. CLASSES D'ÉQUIVALENCE EXEMPLES ' Q Solt la relation d'équivalence SR. définie dans un ensemble E. d'êtres humains, « mètre né la même année que... » (ë 5). Considérons les sous- ensembles dont les éléments sont 9 De même, la relation d'équivalence définie dans Z, « ...avoir pour diffé- rence un multiple de 3... » (cf. ÿ 5) conduit à la partition de Z en trois classes C1, C2, C, d'équivalence : équivalents entre eux. Chacun des c1 : �.l — 6, — 3, 0, 3, 6,...( sous-ensembles s'appelle une classe c2 z in“ _ 5’ _ 2’ 1_ 4""; d'équivalence. lci une classe«d'àge». c3 z su“ _ 4’ _ 1’ 2"": o DÉFINITION Soit rR une relation d'équivalence définie dans un ensemble E. non vide, et a un élément de E. La classe de a, modulo R, est l'ensemble des éléments x de E équi valents à a, modulo :R. Cl (a) ou à qui se lit « classe de a». On la note Donc: C|(a)=à= lnatkx} 57 4
RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE REMARQUE Si a’ appartient a la classe de a, alors la classe de a’ et la classe de a sont Identlques. Soit a’ e a. Six e a’, alors (a 5R a’ et a’ rR x) =>a 5R x. Donc: Vxea’: xeà, d'où a’ C a. On établit de même l'inclusion à c à’. D'où à : é’. Une classe d'équivalence est donc déterminée par un quelconque de ses éléments, appelé représentant de la classe. 0 CLASSES WËQUIVALENCE ET PARTITION D'UN ENSEMBLE THÉORÈME Les classes d'équivalence relatives à une relation d'équivalence dans un ensemble, réalisent une partition de cet ensemble. Rappelons que, par définition (2° leçon, ê 9) : Une partltlon d'un ensemble E est une famllle de sous-ensembles non vldes, deux à deux disiolnts, et telle que la réunlon de toutes ces partles solt éale a E lui-même. Or : — Les classes d'équivalence sont des parties de E non vides. En efiet, quelle que soit Cl (a), elle comprend l'élément a (a r?» a d'après la réflexivité). — La réunion de toutes les classes est l'ensemble E lui-même. En efiet, tout élément x de E appartient à une classe (x e Cl (x)). — Deux classes distinctes sont disjointes. En effet, si deux classes a et b ont une intersection non vide, il existe x eà n b; alors, d'après la remarque ci-dessus, a = i = b‘. Ce qui démontre le théorème. Réciproquement, à toute partition d'un ensemble E correspond une relation binaire :1 définie dans E, par : x {Ry six ety appartiennent à une même partie. Or, tR est : réflexive symétrique transitive: si x flïy ety 5R z, alors x 5a z résulte du fait que les parties sont disjointes. La relation 5R est donc une relation d'équivalence dans E. La donnée d'une relation d'équivalence dans un ensemble E est donc logiquement équivalente à celle d'une partition de E. 58 4
RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE o ENSEMBLE-QUOTIENT DÉFINITION L'ensemble des classes d'équivalence de E, modulo rit, est appelé ensemble-quotient de E par rit et noté : E IrR ce qui se lit : « EsunR». Ainsi les classes d'équivalence sont : — d'une part, des parties de E; — d'autre part, les éléments de l'ensemble ElrR. EXEMPLES Q Les classes d'équivalence de la relation « // » sont les directions de droites; l'ensemble-quotient : î/R est l'ensemble des directions. 9 Les classes d'équivalence de la relation «flz» dans l'ensemble des bipoints —> sont les vecteurs v; l'ensemble-quotient est l'ensemble des vecteurs. 9 Dans l'ensemble E des fractions la relation définie par îa î <=> ab’ : ba' est une relation d'équivalence. Chaque classe d'équivalence est un nombre ration- nel. L'ensemble-quotient est l'ensemble (Q des rationnels. I 7. RELATIONS D'ORDRE EXEMPLES Q il s'agit lcl de donner une défini- tion mathématique des mots « avant» et « après » du langage courant. Or, si l'on dit « écrivez la lettre a avant la lettre b », on constate, qu'en géné- ral a sera écrit à gauche de b (schéma : a, b), mais qu'un Arabe écrira (b, a), un Chinois �2 Toutefois, malgré ces schémas diffé- rents. il sera possible de se compren- dre puisque : si a est avant b et b avant c, pour tous, a sera avant c. 9 Soit E l'ensemble des villes appar- tenant au bassin d'un fleuve donné. Considérons la relation binaire O : « être en aval de ». Si une ville a est en aval de b, et si b est en aval de c, alors a est en aval de c : la relatlon O est transitive. Si l'on pose, par convention, que toute ville est en aval d'elle-même, la rela- tion O est réflexive. Enfin, si a est en aval de b et b en aval de a alors a : b. Dans ces condltions,on dit que la rela tion O est une relatlon d'ordre sur E. o DÉFINITION Une relation binaire, définie dans un ensemble E, est une relation d'ordre si elle est réflexive, transitive et antisymétrique. Une relation d'ordre se note souvent O ou < ce qui se lit : « précède » ou « est avant ». 59 4
RELATIONS BINAIRES DANS I.lN ENSEMBLE Pour traduire qu'un couple (x. y) vérifie la relation d'ordre -< on note donc : xOy ou x <y ce qui se lit « x précède y » ou « x est avant y » ou «x est antérieur à y ». La relation réciproque se lit «y suit x » ou «y est après x ». Donc si x. y. z. désignent des éléments d'un ensemble E. et si -< est une relation d'ordre définie dans E : \vxeE. x<x (x<y et y<x) x:=y Ix<y et y<z \ => X<Z a L'inclusion ensembliste est. dans EËŒ). une relation d'ordre. o La relation <., « être au plus égal à... » est une relation d'ordre dans l'ensemble IR des nombres réels... 0 La relation |, « diviser », est une relatlon d'ordre dans l'ensemble ]N* (entiers naturels non nuls). 0 ORDRE PARTIEL. ORDRE TOTAL — Deux éléments x ety d'un ensemble E muni d'une relation d'ordre (notée -<) sont dit comparables par la relation < si l'une. au moins. des relations y < x ou x < y est vraie. — Lorsque tous les éléments de l'ensemble E sont deux à deux comparables, l'ordre est dit total; sinon, il est dit partiel. Dans le premier cas, l'ensemble E est dit totalement ordonné; on dit aussi que E constitue une chaîne pour la relation d'ordre. Dans le deuxième cas. l'ensemble est dit ordonné (sans plus de précision). Par exemple. l'inclusion est une relation d'ordre partiel dans :È(E). La relation s; est d'ordre total dans l'ensemble 1R des nombres réels. Nous complèterons ces notions dans la 8' leçon. l EXERCICES 4-1 Soit l'ensemble E : 3 1, 2, 5. 8 p1+ 1° Quels est l'ensemble E X E? 2° Quel est le graphe 0c> défini par la relation : « le premier élément du couple est strictement plus petit que le second »? 60 4
4-3 4-4 4-5 4m63 4-7 4-9 RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE Soit E l'ensemble des élèves de votre lycée. On indique que deux élèves a et b appartiennent « à la même classe » en disant : « a est condisciple de b ». 1° Étudier du point de vue réflexivité, symétrie, transitivité, la relation binaire {R ci-dessus. Conclusion ? 2° Quel est l'ensemble-quotient E/tTi? Soit l'ensemble E : { 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 �� 1° Montrer que la relation binaire : x < y) est une relation d'ordre. « x divise exactement y » (que l'on notera Exemples :3 divise 12 donc 3 < 12; 5 ne divise pas 9, donc le couple (5, 9) ne satisfait pas la relation. 2° Peut-on étendre ce qui précède à l'ensemble des entiers naturels (zéro exclu) N* : 31, 2, 3, m}? Soit E un ensemble d'enfants jouant au même jeu. Étudier du point de vue réflexi- vité, symétrie, transitivité, les relations binaires suivantes. S'il s'agit de relations d'équivalence, on précisera quelles sont les classes d'équivalence. 1° Relation 3R1 : « est coéquipier de b ». 2° Relation flîz : « x est adversaire de y ». Soit E l'ensemble des élèves des classes de Terminale de votre lycée n'étudiant qu'une langue étrangère. Que dire de la relation binaire : « l'élève x étudie la même langue étrangère que l'élève y »? Soit E l'ensemble des élèves de votre classe. Lors d'une composition, le classe- ment définit la relation binaire : «l'élève a est ex-æquo avec b ». Montrer qu'il s'agit d'une relation d'équivalence. Quelles sont les classes d'équi- valence ? Soit E un ensemble d'enfants participant à une séance de mensuration. Étudier du point de vue réflexivité, symétrie, transitivité les relations suivantes. Préciser s'il s'agit de relations d'équivalence ou d'ordre. 1“ {R1 : « l'élève a a la même taille que l'élève b ». 2° 32 : « l'élève a est plus petit que l'élève b ». 3° 3L, : «l'élève a mesure 5 cm de plus que l'élève b—». On considère l'ensemble ]N*>< ]N*avec ]N* : {1, 2, 3, .... pu� Deux couples (a, b) et (a’, b’), éléments de ]N* >< ]N*, sont dits liés par la relation 5R si ab’ : ba’. Montrer que 5R est une relation d'équivalence. Donner des éléments de la classe de l'élément (4, 5). On considère l'ensemble IN >< lN avec ]N : {0, 1, 2, 3, .... .. . Deux éléments (a, b) et (a’, b’) de cet ensemble vérifient la relation 8R si a + b’ : b + a’. Montrer que rit est une relation d'équivalence. Définir les classes d'équivalence des éléments (3, 2); (5,5); (1,3). 61 4
4-1 0 4-11 4-12 4-13 4-14 4-15 4-16 4-17 4-18 4-19 62 RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE Dans l'ensemble des entiers relatifs Z : �=� — 4, —— 3, A-—— 2, — 1, O, 1, 2...}, on considère la relation binaire 5R : « la différence (x — y) est, ou nulle, ou mul- tiple de 5». Démontrer qu'il s'agit d'une relation d'équivalence. Quelles sont les classes d'équivalence? Dans le même ensemble, mêmes questions pour la relation binaire : « la diffé- rence ( x— y) est, ou nulle, ou multiple de 8 ». Dans l'ensemble Z-x- des entiers relatifs, zéro exclu, 2* : { . —3,——1, 1,2, �� on définit la relation l, « diviser », par : bla <=> a x e 2* tel que a : bx. La relation ï est-elle une relation d'ordre? Dans IR*, ensemble des nombres réels non nuls, on définit la relation binaire tÎtpar:x.îRy<=> x-y> O. Établir que {R est une relation d'équivalence; quelles sont les classes d'équi- valence? Dans 1R, ensemble des nombres réels, la relation R telle que : xtîîy<=> x"—y*:x—y. est-elle une relation d'équivalence? Si oui, quelle est la classe de 2? celle de a? Représenter le graphe L551. E étant un ensemble de personnes, on considère les relations binaires : tïîm 0,� estpèrede » S :« @P� estmèrede �/� » Ë:« �� estfrèrede ��� » “Un '. « . est sœur de ... » Exprimer les relations : 8 o rîî, {R o «S, 7R o Ë, Ë o 5R, etc... Définir la négation de : r?» est réflexive; 5R est symétrique; ïR est transitive. Une relation binaire Fi est symétrique, et aucune élément a de E ne vérifie a 2R a. Le graphe Ça; étant non vide, fît peut-elle être transitive? Une relation binaire ËR est circulaire si (x fR y et y (“R z) =>z 9K x. 1° Une relation d'équivalence est-elle circulaire? 2° Une relation binaire réflexive et circulaire est-elle une relation d'équivalence? Dans un tableau carré sont disposés des éléments a d'un ensemble totalement ordonné par une relation <. Soit a} le plus grand élément de la ligne i et a’ le plus petit élémentde l'ensemble des a3. Soit a” le plus petit élément de la colonne j et a" le plus grand élément de l'ensemble des a”J. Comparer a’ et a". 4
4-20 4-1 4-5 4-10 4-12 4-14 4-16 4-17 4-18 ï us, RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE Soit A une partie de E. Dans EŒ) on définit la relation {R par : XrRY<=>(AnX=AnY). 1° Démontrer que rit est une relation d'équivalence. 2° A représentant la difiérence symétrique, établlr que : X ��� Y (mod. tR) <=> (XAY) n _A = 0. 3° Quelle est la relation :71 si A : a ? si A : E? I INDICATIONS PEXE={mmum4m»mmamAuxaaammmxunomxmn ŒJLŒm,ŒDJ&®} PÇ={Œ&U®JmLŒflŒ@AflH Relation d’équivalence. �� z: { (4k, 5k) avec k entier naturel non nul �� (33) : { l + u, u) avec u entier naturel } Cf. â 7, exemple O a divise — a, — a divise a et a 9è — a, alors... La classe de a est la, l — a}. tR non réflexive <=> (3 x e E, ...). D u 49110 =>(3xeE,ElyeE,x.Î{y) rîi étant symétrique, alors y rR x et si fR était transitive alors (x F1 y et y {R x) implique : (a x, x 5R x)... Si YR est réflexive et circulaire, soient x, y, et z tels que x 5R y et y ïÎi z. Alors (x {R y et y 7R y) => y rR x; et {R est symétrique. Établir alors que ÎK est transitive. a’ appartient à une ligne L dont il est l’élement a’,-. a’ appartient à une colonne C dont il est Félément a’,. Soit{a} = Lnc,... Œ 4
FONCTIONS 0 Dans les leçons précédentes nous avons étudié des relations binaires entre éléments de deux ensembles E et F, l’ensemble F n’étant pas nécessairement distinct de E. 0 Devant la multitude des types de relations binaires possibles, il est naturel de commencer par l’étude des plus simples. Quelles sont donc les relations binaires les plus simples? Sans contestation possible, celles pour lesquelles à chaque ori- gine de couple correspond, au plus, une extrémité : ce sont les relations fonction- nelles ou fonctions. Or, justement, la nature, la vie courante, oflrent de nombreux exemples de relations fonctionnelles, de fonctions. Ne dit-on pas couramment « Pusure des pneus d’une voiture est fonction de la vitesse à laquelle roule cette voiture », « la longueur d’une barre de métal est fonction de la température »? Considérons, de même, dans l’ensemble des humains actuellement vivants, les deux relations : « avoir pour mère » et « avoir pour frère ». Puisqu’à tout individu correspond une mère (si elle est vivante), la première relation est fonctionnelle; au contraire, la seconde n’est pas une fonction puisqu’un individu peut avoir plusieurs frères. 0. Dans ce chapitre, il s’agit donc d’abord de distinguer les fonctions et les relations binaires. Pour cela, il suflira de chercher le nombre des extrémités des couples ayant une origine donnée. Il s’agira ensuite, ayant reconnu les rela- tions fonctionnelles, d’étudier leurs propriétés. Mais comme l’a dit excellem- ment le philosophe et mathématicien Bertrand Russel z « l’i«lée de fonction est si importante et elle a été si souvent considérée exclusivement comme relation entre nombres qu’il est bon «le mettre dans notre esprit de nombreux exemples «le fonctions non numériques ». C’est pourquoi cette étude sera effectuée en toute généralité. Ce n’est qu’ultérieure- ment (2e fascicule), alors que la notion de fonctionprésentée dans cette leçon aura été dégagée, que nous étudierons le cas particulier, et cependant très important, des fonctions numériques. 64
FONCTIONS 1. SECTION (OU COUPE) D'UN GRAPHE EXEMPLES 0 Considérons le graphe ÿ, ensem- ble des couples (0, 1), (0, 3), (0, 5), (1, 3), (4, 1), (1, 1), (4, 4). Les extrémités 1, 3, 5 (éléments de prg (j des couples ci-dessus sont en relation avec l'élé- ment 0 de pr, Ç}. On dit que l'ensemble f1, 3, 5} noté Ç} (0), est l'image directe de l'élément 0. De même, les ensembles {1, 3} et {m1} sont respectivement les images directes du graphe considéré par les éléments 1 et 4. Quant à l'ensemble des coup/es {(0, 1), (0, 3), (0, 5)} il s'appelle la section (ou coupe) directe du graphe par l'élément 0. Autrement dit, l'image directe d'un élément est la première projection de la section directe du graphe par cet élément. Inversement, soit l'élément 3 de prg �% Cet élément est en relation avec les éléments 0 et 1 de pr, On dit que l'ensemble {0, 1}, noté Ç} (3), est l'image réciproque de l'élément 3. o DÉFINITIONS GSoit E un ensemble d'hommes dont certains ont été ministres. Soit P�� le graphe associé à la relation binaire 3R ainsi définie : « x a été ministre sous la présidence de y n. On écrira alors xïRyou (x, y) e L3. D'après ce qui précède (3' leçon), la notation prz gdésigne l'ensembl_e des présidents (ou Premiers ministres). Soita un ministre (e pr, t3). L'ensemble noté ÇHa), est l'ensemble des prési- dents ayant eu a pour ministre : c'est l'image directe du graphe 0 par l'élé- ment a. De même, soit b un pTésident (eprzg). — l L'ensemble, noté (j (b), est formé des ministres ayant eu b pour président. C'est l'image réciproque de b par @� Étant donné un graphe (39: (d'une relation binaire 5R d'un ensemble E vers un ensemble F), on appelle image d'un élément a appartenant à prlçï l'ensemble, noté Sue), de tous les éléments y(e F), tels que le couple (a, y) soit élément de Ça: (ou tels que a 5l y). De même : Étant donné le graphe Q5: d'une relation binaire 5R, d'un ensemble E vers un ensemble F, la coupe (ou section) directe du graphe par l'élément a (de E) est l'ensemble de tous les couples (a, y) éléments de ça (ou tels que a 5R y). Dans les mêmes conditions, si b est un élément de przcj, l'ensemble, noté à (b), des éléments x(e E) tels que le couple (x, b) soit élément de Ç,’ (ou tels que x 3R b) est l'image réciproque du graphe cÿtfi par l'élément b. Ou bien la coupe (ou section) réciproque du graphe parl'élément b (de F) estl'ensem- ble, de tous les couples (x, b) éléments de Çjaz (ou tels que x 2R b). 65 Terminale A. -— 3.
FONCTIONS 2. FONCTIONS (OU APPLICATIONS) EXEMPLES 0 Soit A l'ensemble des élèves de votre classe et B un ensemble de villes comprenant ies lieux de naissance des élèves. La relatlon blnalre «a (e A) est né à b (e B) » possède la propriété simple suivante : tout élément a est en relatlon avec un seul élément b, ce qui slgnifle que l'image dlrecte Ç(a) du graphe cor- respondant par tout élément a est réduite à un seul élément. Une telle relation s'appelle une appli- catlon de A vers B. Noter qu'une section réciproque ne possède pas, en général, la méme propriété. e DÉFINITION Une relation binaire 2R d'un ensemble E vers un ensemble F est dite fonctionnelle si, pour tout x de E, l'image .'R(x) (ou la coupe du graphe Ça). comprend au plus un élément. Donc pour x donné, de E, il existe au plus un y de F tel que : x :R y. Une telle relation est appelée fonction définie dans E et à valeurs dans F. 9 Soit IN l'ensemble des entiers naturels : lN = 5 0, 1, 2, 3...}. La relation binaire « x(e ]N) a pour moitié y (e N) » possède ia propriété suivante : un élément x est en relation avec, au plus, un seul élément y, ce qui signi- fie que l'image directe LÏ (x) du graphe par tout élément x est soit vide. soit réduite à un seul élément. Une telle relation (ou un tel graphe) sera appelée fonction de IN dans IN. On dit aussi que ia fonction est définie dans IN et à valeurs dans ]N. On dit aussi que l'ensemble E est l'ensemble de départ (ou ensemble source) et F l'ensemble d'arrivée (ou ensemble but). Si f désigne une fonction de E dans F et si y est l'élément (de F) associé à l'élément x (de E), on écrit « y = f(x) » ou, sous forme symbolique : ��( ,44." _ . ‘f; . @( n . ‘xv-eu3‘fz“(xS_ ou x -e> ÿ ou 7E 49» F, _ L'élément f(x) s'appelle image .de x par f (ou, parfois, la valeur de f au « point » x). REMARQUES 0 Pour qu'une fonction soit déflnie, Il faut donc préciser l'ensemble E (de départ), l'ensemble F (d'arrivée) et la relatlon ilant tout élément x (e E) à l'élément associé y (e F). 9 Il est recommandé d'éviter l'abus de langage qui consiste à dire la « fonction f(x) ». En efiet, f(x) n'est pas la fonction, mais l'élément unique de F associé à l'élément x de E, par la fonction f. Quant à la fonction f, c'est un graphe (soumis aux conditions indiquées), donc un sous-ensemble du produit cartésien E X F. 66
FONCTIONS Q L'ensemble E’ (avec E’ C E) des éléments x pour lesquels il existe un y vérifiant y : f(x) est le domaine de définition de la fonction f. L'ensemble F’ (avec F’ C F) défini par F’: {y;y: f(x), x e E’; estl'ensemble des images (ou, parfois, ensemble des valeurs prises par f). 0 APPLICATIONS Si f(x) existe pour tout élément x de l'ensemble E, la fonction f est appelée application de E dans F. Une application est donc une fonction définie sur E; ceci signifie que les deux conditions suivantes sont satisfaites : 1° Toute image (ou coupe) directe :R(x) du graphe gîsa par un élément x(e E) contient un élément unique. 2° E = pnç}, c'est dire que tout élément de E est origine d'un couple. Une fonction de E vers F dont le domaine de définition E’ est inclus dans E est donc une application de E’ dans F. C'est pour cela que nous n'envisagerons, en général, que des applications. o ÉGALITÉ DE DEUX FONCTIONS (OU APPLICATIONS) L'égalité de deux fonctions f et g est définie par : _ f et g. ont même domaine Je définitlon E, f = g <=> « f et; ont même ensemble!‘ de. valeurs’, ' deàt-à-dlre : V x e E, fa) = 90:). _ 0 RESTRICTION D'UNE FONCTION Soit f une fonction de E vers F, E, une partie de E. On appelle restriction de f à E1, la fonction g de E, vers F définie par : v x e E1. a(x) = f(x) 0 IMAGE D'UNE PARTIE L'image d'une partie A de E est l'ensemble, noté f(A), des éléments y de F tels que : [a x e A, f(x) = y]. En particulier, l'ensemble F’ des valeurs prises est l'image du domaine de définition E’ : F’ = f(E’). Remarquons que f(0) = Q) et que si A = {x}, f(A) a, au plus, un élément. L'image réciproque d'une partie B de F est l'ensemble, noté—f(lB), des éléments x de E tels que: f(x) e B. — 1 — l — t Si B = {y}, on note f({y}) ou, plus simplement, f(y). Remarquons quef(y) peut comporter plusieurs éléments. 67
FONCTIONS 3. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES I=oNcTIoNs ET DES APPLICATIONS Puisque toute fonction (ou toute application) est une relation binaire parti- culière, il est également possible de la représenter de diverses façons (3e leçon, ê 3). Comme pour les graphes des relations binaires, les schémas ou illustrations sont essentiellement de quatre types : o Tableau à simple entrée. Par exemple : ensemble de départ en ligne, ensemble d'arrivée en colonne. Ce qui caractérise alors une application est le fait que, dans chaque colonne, il y a une « marque » unique. On remarquera qu'en général, il n'en est pas de même dans une ligne. Nous avons représenté ainsi (fig. 1), l'application f« ��� a pour carré... » de l'ensemble E: {—— 3, —2, —1, 0, 1, 2} vers l'ensemble F: {0, 1, 4, 5, 9}. o Diagramme cartésien. Il s'agit d'un quadrillage formé de droites illus- trant chacun des éléments des ensembles considérés. En général, les lignes « verticales » correspondent à l'ensemble de départ. Dans le cas des appli- 68 cations, il y a un point unique sur chaque « verticale ». Dans le cas des fonctions, il y a au plus un point sur chaque « verti- cale ». La figure 2 représente la même fonction f que la figure 1. o Les éléments de chacun des ensem- bles sont figurés par des points et l'on joint, par un segment de droite, chaque élé- ment de l'ensemble de départ à son image. Cette représentation est dite duale de celle qui précède. S'il s'agit d'une application, de chaque point de l'ensemble source part un segment de droite unique (fig. 3).
FONCTIONS o Diagramme sagittal de Venn, ou d’Euler. Les ensembles de départ et d'arrivée sont représentés par des « nuages de points » entourés d'une ligne. 33!" oint alors chaque point à son image par une flèche (fig. 4). Chacun des points ‘ensemble de départ est alors l'origine d'au plus une flèche (fonction), d'exactement une flèche (application). Fig. 4. Les figures 1, 2, 3, 4 représentent graphiquement Papplication f : 4x avoir pour carré D, de l'ensemble E vers Pensemble F, ainsi défini : g ensemble de départ E = {— 3, _ 2, — 1, o, 1, 2 g F = {o,1,4,5,9.} g ensemble (Yarrivée 4. COMPOSITION DE DEUX APPLICATIONS EXEMPLE Soit ]N l'ensemble des entiers : ]N = {0, 1, 2,3, 05 Soit fPappIication de IN dans ]N qui à tout x(e IN) fait correspondre l'entier z, suivant de x, donc z:f(x) = x +1. Soit g l'application de IN dans IN qui, à tout entier u, fait cor- respondre l'entier v « carré de » u. On écrit : v : g(u) z u’. Puisqu’à tout x(e ]N) correspond, par f, un entier z et à tout z(e lN) correspond, par g, un élément de ]N (soit y), il existe une application, de ]N dans JN, qui, à tout x, associe l'élément y. Cette application s'appelle la composée de f par g. Elle est notée g o f, car: v x e IN, de z : f(x) et y : g(z), il vient: y : g[f(x)]l Sous forme symbolique, on écrira : x g-ëj x’ +2x—|—1 :y. Nous avons illustré (fi. 5), une partie de cette situation : — application f : flèches en traits pointillés — application gof: — application g : flèches en traits tiretés flèches en traits pleins. 69
FONCTIONS 0 DÉFINITION Soit fune application de E vers F, etg une application de F vers G. Quel que soit x appartenant à E, l'image. par f. de x est y = f(x) appartenant à F; et l'image. par g. de y est z = g(y) appartenant à G (fig. 6). L'application composée de f et g est l'application h de E dans G. définie par : v x ès. x à z = nm = a[f(x)] Conformément à la composition des relations binaires (3e leçon. ê 5), on note : h = go feton lit«g rondf». On définit de même la fonction composée de deux fonctions fet g. La fonction g o fest définie dans le domaine E”. ensemble des x tels que f(x) appartienne, dans F, au domaine de définition de g. o THÉORÈME Quelles que soient les applications f de E dans F, g de F dans G. et h de G dans h : h°(90f)=(h°9)0f Soit un élément x quelconque de E. 70
FONCTIONS Posons : y = f(x), Z = 90’). t = h(z). h 0 (QOÏNX) = Ml) = f. (h 09) 0f(X) = (/7 °ÿ)(}’) = Ml) = Î- Le théorème ci-dessus est vrai pour des fonctions, à condition de considérer le domaine dans lequel les composées sont définies. Alors REMARQUE Dans l'ensemble?‘ des fonctions de E vers E, le théorème ci-dessus se traduit par : Dans ‘ïf, la Ioi « o » (de composition des fonctions) est associative (cf. 6' leçon). I 5. QUALITÉS D'UNE APPLICATION Puisque, dans une application, tout élément de l'ensemble de départ a une image unique, la classification des applications d'après leurs propriétés résultera de la façon dont les éléments de l'ensemble d'arrivée sont, ou ne sont pas, des images. 1° DÉFINITIONS En désignant par f une application d'un ensemble E dans un ensemble F, ceci conduit aux définitions suivantes : o fest surjective, ou est une surjection. si : vyeF, axeE, telque f0‘) = Y C'est dire que f(E) = F ou que tout élément de F est image, par f, d'au moins un élément de E. On dit alors que f applique E sur F. EXEMPLE L'application fdei'ensembie IN des entiers naturels dans IN‘ = ]N — 50g définie par x e» f(x) : x + ‘i (suivant de x) est surjective. CONTRE-EXEMPLE L'application de Z (ensemble des entiers relatifs) dans Z qui, àtout x, associe son carré, n'est pas surjective. On remarquera que, si fest une fonction non surjective de E dans F, il est possible de définir une nouvelle fonction f*, surjective, en conservant l'ensemble E de départ et en prenant pour ensemble d'arrivée l'ensemble F’ des éléments de F efiectivement images. 71
FONCTIONS o fest injective, ou est une injection, si : A x #1" => f(x) 75 f(x’) ou, ce qui est équivalent, si : f(x) = f(x’) => ' x = x’ Cela signifie que tout élément image est image d'un seul élément de E. EXEMPLE Ensembles de départ et d'arrivée : ensemble ]N des entiers naturels. La fonction f « 0�� a pour carré ��� » est injective. CONTRE-EXEMPLE Ensemble de départ : ensemble Z des entiers relatifs. Ensemble d'arrivée: IN. La fonction g « `�� a pour carré @5� » n'est pas injective. En etîet les images de — 2. et + 2, par exemple, sont égales. o f est ou est une surjective. bijective, bijection, si elle est injective et Toute bijection d'un ensemble sur lui-même est appelée substitution (ou parfois permutation de l'ensemble). EXEMPLES fi L'application identique 1E d'un ensemble E sur lui-même est une permutation‘ g L'application fde ]N sur IN’ définie par « f(x) est le suivantdex » est une bijection de IN sur ]N'. CONTRE-EXEMPLE {R étant une relation d'équivalence dans un ensemble E, l'application f de E dans r . l'ensemble-quotient E/:R définie par : x -e> f(x) : Cl(x) (ou x) est surjective, mais non injective en général. Elle est appelée surjection canonique. 2° PROPRIÉTÉS ‘F; La composée de deux injections est une injection. En efiet, si fet g sont injectives cela équivaut à : i x 9è x’ => f(x) 9è f(x’) à y 9è y’ => 9U) 9k 9U’)- D'où : x 72 x’ => g o f(x) 7E g o f(x’) 72
FONCTIONS 5 P. La composée de deux surjections est une surjection. En efiet, si {(E) = F et g(F) = G alors g o {(E) = g{[(E)] = G. Des propriétés P, et P. résulte le théorème: o THÉORÈME La composée de deux bijections est une bijection. I 6. APPLICATION RECIPROQUE D'UNE BIJECTION o THÉORÈME Si f est une application bijective de E sur F, il exlste une application réciproque de f, notée f-l, qui est une bijection de F sur E. — Existence de {“. Soit {une bijection de E sur F. Alors : v y e F, 3 x e E; {(x) = y, puisque {est surjective. De plus, cet élément x est unique, puisque, {étant injective : x çà x’ =>y =,é {(x’). Ainsi la relation binaire—{,'réciproque de {, est une relation fonctionnelle; elle est appelée application réciproque de {et notée f". On note: {—‘:F-e»E; ou: {—‘: y-e>x={—‘(y). L'application réciproque {" de {est définie par : par-tu). <=> " hâte) — De plus, f-l est une bijection. Elle est surjective car : v x e E, f(x) = y existe; alors {"‘(y) = x. Elle est injective car : (x = x’) => (f(x) = {(x')) (puisque {est définie) c'est-à-dire : {“(y) = {“‘(y’) =>y = y’. EXEMPLES 0 Si la fonction f est l'attribution, à chaque automobile, d'un numéro d'imma- triculation, la fonction réciproque est l'identification d'un véhicule à partir du numéro d'immatriculation. 9 Soit f la fonction « prendre l'inverse de », qui, à tout nombre réel x. différent _ f 1 de zéro, associe son inverse y : x -e— y = —- x 1 Or, x: :7; donc la fonction réciproque de f, qui applique y sur x = ÿ est la fonction f elle-même : f" : f. 73
FONCTIONS 5 I 7. ÉQUATIONS o DÉFINITION Soit f et g deux applications (ou deux fonctions) d'un ensemble E vers un ensemble F. La définition, en compréhension, de l'ensemble S des éléments de E ayant, par f, une image donnée a dans F s'appelle une équation. On la note: f(x) 4h a La définition, en compréhension, de l'ensemble S des éléments de E dont les images dans F, parfetg sont identiques, s'appelle également une équation. On la note : f(x) é} g(x) L'élément x (de E) est appelé l'inconnue de l'équation. Tout élément o: (de E) tel que f(ot) = a [ou f(oI) = g(oc)] est une solution (ou racine) de l'équation. L'ensemble S des éléments a est l'ensemble des solutions (fig. 6). Déterminer l'ensemble S des solutions en extension s'appelle résoudre l'équation. g REMARQUES ç En général on ne marque pas le point d'interrogation sur le signe =, et léquation f(x) â: g(x) est notée f(x) = g(x). Ë Une équation n'est pas définie par la seule donnée de f(x) # a ou x) s} a0!)- ll est nécessaire de préciser l'ensemble de départ et l'en-semble d'arrivée. 74
FONCTIONS Par exemple, dire : « résoudre l'équation 4x’ : 9 » n'a pas de signification. Si l'on précise que x e lN, le problème posé a une signification et l'on montre que S = a. 3 . Si x est rationnel positif, on montre que S : Ë ë �g� ’ 3 3 I Six est rationnel, alors S: S E: —ë �Z~ Ainsi dans ce cas, suivant l'ensemble de départ, l'équation à zéro, une ou deux solutions. 3° L'ensemble S des solutions de l'équation f(x) à a est l'image réciproque de a par f, ou la première projection de la section réciproque du graphe de f par l'élément a (ê 1). Donc S = fia). I s. SUITES EXEMPLES g Soit E: 3 1, 2, 3, ..., 95} et F : l'ensemble des départements français. oit fl'application de E vers F qui, ‘a chaque élément de E associe l'élément de F selon le code en usage. Ainsi : l f f 13 —e- Bouches-du-Rhône, 37 e» lndre-et-Loire, 69 «e- Rhône. L'application f s'appelle une suite. g Soit ]N l'ensemble des entiers naturels. Soit D l'ensemble des nombres déci- maux. Soit f l'application de IN vers D qui, à n e ]N fait correspondre f(n) : ��j On dit que fest une suite. . DÉFINITION On appelle suite toute application d'une partie de l'ensemble ]N des entiers naturels, vers un ensemble F. Par abus de langage, on dit que la suite est définie dans F. Si fest cette application, l'image de n e IN est notée un, au lieu de f(n). On dit aussi que un est le terme de rang n (ou d'indice n). I EXERCICES 5-1 Soit fl'application, de ]N vers IN, qui a tout entier naturel associe le nombre de ses dizaines. 1° Quelles sont les qualités de f ? 2° Représenter graphiquement la restriction f* de f à l'ensemble 0<x<120 75
5-2 5-4 5-5 5-6 5-8 76 FONCTIONS Soit E: {a, b, c ��N 1° Définir toutes les applications de E vers E. 2° Montrer qu'il y a six bijections (dont 1E) de E sur E. De'flnir la composée de deux quelconques de ces bijections. Soit E : f 0,1 ��1 A tout couple (x, y) e E‘, on associe le nombre x +y—xy. Définit-on une application de E” sur E? Soit E:{1,2,3} et F:{a,b,c,d}. 1° Quel est le nombre d'injections de E dans F. 2° Donner des représentations graphiques de ces injections. Indiquer si les fonctions suivantes admettent une fonction réciproque. Dans l'affirmatlve, préciser cette fonction. 1a Ensemble de départ R — g 0} ) m‘) _1 Ensemble d'arrivée R — f 0 È �I ÿ x 2° Ensemble de départ : R. Ensemble d'arrivée R. f(x) :2—x‘_ 3° Ensemble de de’part : �?G Ensemble d'arrivée R. f(x): �}H m) z x/î. 1° Déterminer la fonction fo f sachant que f est l'application identique de l'en- semble ]N sur lui-même [c'est-à-dire que f(x) :x]. 2° Même question si f est telle que f(x) : 3x + 2. 3° Même question si fest l'application de (QÏ dans Q* (ensemble des nombres 4° Ensemble de de’part : R+. Ensemble d'arrivée R. 1 rationnels, ze'ro exclu) définie par f(x) : î‘- 4° Déterminer gof lorsque f(x) zy/x (avec x réel positif) et g(y):y“ (avec y re’el positif). Soit x un élément de ]N* (ensemble des entiers naturels non nuls) et f la relation telle que : f xe-Xzgd; dlx}. (dlx signifie d divise x). Cette relation définit-elle une appplication de ]N*. Dans quel ensemble? Quelles sont les qualités de cette application? Quelles sont les qualités des applications, de R dans R, suivantes : f :x-e>f(x):x2. g : x-e>f(x):x2. Quelles sont les qualités de l'application fde EL’(E) dans îŒ) telle que : A+Q>°A z-GEA.
5-10 5-1 1 5-12 5-13 5-14 5-16 5-17 FONCTIONS Dans l'ensemble A, des directions de droites du plan, la relation : _l_ (est perpendiculaire à) D _1_ D’ est-elle une relation fonctionnelle? Définit-elle une fonction bijective? Mêmes questions dans l'ensemble A, des directions de droites de l'espace à trois dimensions. Soit E l'ensemble des points d'une droite donnée F l'ensemble des points d'un cercle donné (géométrie plane). Soit O e F. Soit f l'application qui, à tout point M de E, fait correspondre l'intersection M’ autre que 0, de la droite OM avec F. Préciser f(E). Soit P un plan. On définit, dans P, les relations binaires 5R1, Œmïñasuivantes: a) M {K1 M’ si MM’ a pour milieu un point 0 donné. b) M 5R M’ si MM' a son milieu sur une droite (D) donné. c) M {R M’ si M’ est le milieu de la corde joignant les points de contact des tan- gentes issues de M à un cercle (C) donnée Etudier si ces relations sont fonctionnelles. Dans l'affirmative étudier les qualités des fonctions obtenues. Soient fune application de E dans F, une partie A de E et B une partie de F. Etablir les inclusions : AC_fl[f(A)] et : rhïm] c B. Soient f, g, h, des applications d'un ensemble. E dans E. Démontrer que : 1° si fo h est surjective, alors fest surjective; 2° si g o f est injective, alors f est injective. Soit g une application surjective d'un ensemble E sur un ensemble F. 1° On dit que deux éléments a et b (de E) sont équivalents selon g si : g(a) =g(b). Vérifier qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence. 2° Soit :31’ une relation d'équivalence dans F. On appelle 2R la relation binaire dans E vérifiée par deux éléments x ety si g(x) E g(y) (modulo 5l). Montrer que 3R est une relation d'équivalence dans E. Soit E, F, G trois ensembles. Soit f, et f2, deux applications de E vers F, g, et g, deux applications de F vers G. 1° Si f, est surjective, à quelle condition a-t-on 9,0l}: g, on? 2° Si g, est injective, à quelle condition a-t-on g,of1:g,of2? Soit f une fonction définie dans un ensemble E et prenant ses valeurs dans un ensemble F. On désigne par A, et A, deux parties quelconques de E, par f(A,) l'ensemble des images f(x) pour xeA,. 1° Montrer que f(A, n A,) C f(A,) n f(A,). 2° Si A, C A2, montrer que f(A,) C f(A,). 77
5-18 78 FONCTIONS 3° On suppose de nouveau, A1 et A, quelconques. Soit x e A1 U A1; montrer que f(x) ef(A1) U f(A1). En déduire que f(A1 U A2) C f(A2) U f(A2)- En remarquant que A1C A1 n A1 et A1C A1 n A1, et en appliquant le résultat du 2°, montrer que f(A1) u f(A1) C f(A1 u A1). En conclure que, quels que soient A1 et A, : f(A1 U A2) = f(A1) U f(Az)- 4° Dans cette question. on suppose quef est bijective. On désignera par f-l la fonction réciproque de f et on posera A’1:f(A1) ou A1: f‘1(A'1) ; de même A’! z Ï(A2) ou A2 ï: f—1(A’2)v En appliquant le résultat obtenu au 1°, à la fonction f“ et aux parties A’1 et A’1. montrer que f“(A’1n A’1.) C A10 A1. En appllquant le résultat obtenu au 2° aux deux membres de la relatlon précédente et à la fonctlon f, montrer que f(A1) r) f(A2) <= f(A1 ñ A2)- Déduire de 1° que f(A1) n f(A1) : f(A1 n A1). 5° Démontrer que l'égalité cl-dessus subsiste si f est iniective. Pour tout sous-ensemble A d'un ensemble donné E, on appelle fonction carac- téristique cpA de A, l’appllcation de E dans l'ensemble (o, 1) définie par : x eê A x e A. l’ cpA(X) : 0 si a (pA(X) :1 SI E: { a, b, c. d à, et A: l b, d E, dessiner le graphe c911. Calculer 1—<p,1(x) pour tout x eE. Quel est le sous-ensemble de E admettant pour fonctlon caractéristique la fonction q) définie par aux) : 1 — <p,1(x) quel que soit x e E? 1° Pour 2° Plus généralement. A étant un sous-ensemble d'un ensemble E, quel est le sous-ensemble de E admettant pour fonctlon caractérlstique la fonction q), définle par 4)(x):1— <pA(x) pour tout x e E? 3° Les notations sont celles de 1°. Solt B : { a, b, c} et cpB sa fonction caractéristique. Pour tout x e E, calculer : cmx) C cpslx) et 9A0!) + <PB(X) — cpm) >< «pam- Quels sont les sous-ensembles de E admettant respectivement pour fonctions caractéristiques les fonctlons g et h définles, pour tout x e E, par : glx) = 9m) >< 93m et h(x) : 9A0!) + cpsm — qulx) >< 9B0) '? 4° Plus généralement, A et B étant deux sous-ensembles quelconques d'un ensemble E, déterminer les sous-ensembles de E dont les fonctions caracté- ristiques respectives g et h sont définies par : V X e E a0‘) = 9A0!) >< qonlx) et hlx) = <pA(X) + c930!) — (PA(X)'<PB(X)' 5° Exprimer à l'aide de cpA et (p13 la fonction caractéristique de l'ensemble A— B. [On pourra commencer par traiter l'exemple indiqué aux 1° et 3°]. 6° Même questlon Pîäur l'ensemble (A u B)—(A n B).
5-1 5-3 5-4 5-5 5'13. . FONCTIONS I INDICATIONS o Russe] (Bertrand), ne à Trellek, Pays de Galles, en I872. Mathématicien et philosophe britannique contemporain. Comme philosophe et socio- logue il est connu pour son action publique en faveur du désarmement. Comme mathé- maticien, surtout logicien, fut parmi les premiers (en 1908) à découvrir, et à faire dis- paraître, de la théorie des ensembles élaborée par Cantor, diverses insuffisances. o Cantor (Georg), ne le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg, mort le 6 janvier l9l8 à Halle. Ses réflexions sur les fondements des mathématiques le conduisirent à créer la théorie des ensembles. 1° f est surjective. Réponse : oui. l° Réponse : 24. 2° f n'est pas une bijection donc... 3°f0fï lQ- _L est fonctionnelle dans Ag; ne l'est pas dans A, 7R1 est une bijection; r 2 n'est pas fonctionnelle; 7 a est une bijection de . . . sur . . . 2° f1 = f2. 1° y E/(Ai ñ A2) =>(3x E A. ñ A=,./'(X) : y) Or (x e A, et x e A.) => [y ef(A,) et 2° y ef(A.) =>(ax e A..f(x) = y) De plus x e A, =>x e A, donc y eflA.) . . . 5° y ëflAi) ñ f(A.) => 13x E Ah f(x> = _v et Si fest injective, x = x’ donc . . . y ef(A.)j ��� 3x’ e A,, f(x’) : y] 2 . 0 ��� 4° La fonction g est associée à A n B et h est associée à A U B. 6° q>(x) = <p.x(x) + <pn(x) -— 24m0) - q>n(x). 79
80 LOIS DE COMPOSITION INTERNE O Dans la 29 leçon nous avons exposé des notions sur les ensembles, sous la forme d’une description, un peu de la manière dont on présente les pièces du jeu avant que ne débute une partie. Dans les leçons 3, 4, 5, nous avons mis en relation les éléments de deux ensembles, ou d’un même ensemble. Û Il s’agit maintenant de préciser les « règles du jeu » que nous choisissons, c’est-à-dire le « comportement », les uns par rapport aux autres, des éléments des ensembles que nous allons étudier (un peu comme le « Code de route » règle, dans un pays, le déplacement des véhicules et interdit l’usage incontrôlé de ceux-ci O Autrement dit, l’étude qui suit est du domaine de l’Algèbre. Il s’agit de définir, dans un ensemble, les règles permettant de « combiner » entre eux deux éléments de l’ensemble. Cela signifie, «faire correspondre », à tout couple d’élé- ments, un nouvel élément, déterminé, de l’ensemble : c’est la notion de loi de compo- sition inteme (ou opération interne). Du rapprochement de modèles présentant une forme commune, nous déga- gerons la notion de qualités d’une loi de composition interne et celle «Péléments remarquables. 0 A la sèche énumération des diverses « règles du jeu » classiques nous avons préféré un exposé permettant, d’une part une révision de divers ensembles impor- tants étudiés dans les classes précédentes, d’autre part une illustration des notions nouvelles que nous introduisons. C’est dire que la connaissance de cette leçon permet une réelle économie de pensée. ce qui nous semble la justifier amplement.
LOIS DE COMPOSITION INTERNE 1. LOIS DE COMPOSITION INTERNES DANS UN ENSEMBLE EXEMPLES Q Dans l'ensemble ]N des entiers naturels, à tout couple (a, b) d'entiers, nous savons faire correspondre un entier bien déterminé appelé somme de a et b (et noté a + b). C'est dire que nous définissons une application (5° leçon) du produit cartésien ]N >< IN dans IN. Dans un tel cas, on remplace l'expres- sion « application de ]N >< IN dans IN » par : «opération interne dans ]N ». Dans cet exemple « l'opération » ‘ou loi de composition interne, s'appelle addition. On note : 4- (a, b) e» a —l— b Q Dans le même ensemble IN, on a défini une autre opération, appelée multiplication qui, _au couple d'en- tiers (a, b), associe leur produit (noté a><boua.bouab). On peut écrire : >< (a,b)—e>a><b o DÉFINITION Une loi de composition interne (ou opération interne) dans un ensemble E est une application de E’ dans E. Cela signifie qu'à tout couple (a, b) correspond un élément bien déterminé de E, appelé le composé de a et de b par l'opération considérée. Si f est cette application et c l'image par f de (a, b), on peut utiliser la notation indiquée 3e leçon : �R �R L‘ ou 9 Considérons l'ensemble :Î(E) des parties d'un ensemble E A deux parties A et B, nous avons fait correspondre (2' leçon) une nouvelle partie appelée intersection de A et B (et notée A n B). On dit que l'inter- section (par abus de langage, il y a confusion entre l'opération et le résul- tat de celle-ci), est une opération in- terne dans i‘(E). On note : n (A. B) 6' (A F‘ B) Q Considérons un plan 21' comme ensemble de points. A tout couple (P. 0) de points, faisons correspondre leur milieu M. Nous définissons ainsi une application (ou loi de compo- sition interne dans E) de î >< ‘î dans ‘î. Si nous convenons de noter cette opération par le signe a: (lu « étoile» ou « aster n), nous écrirons : (P,Q)-ê-M ou MzPrQ fige‘. 5)) è-Ïc’ ._ (ce qui se lit « c est le composé de a et b par f »). Il est souvent commode de remplacer cette notation par la suivante : l'opération étant représentée par un symbole arbitraire, le composé de deux éléments est représenté par ces éléments séparés par le symbole opératoire. Ainsi Q Dans :Î.'(E), l'intersection est une loi de composition interne, notée n : n (A, B)e-AnB 81
LOIS DE COMPOSITION INTERNE De même la réunion, notée u : U (A, B) e» A u B g Dans l'ensemble 5 des applications de E dans E, la composition des appli- cations est une loi de composition interne, notée o : O (f, snegof g Dans les ensembles : IN, des entiers naturels; Z, des entiers relatlfs, (Q, des nombres rationnels; 1R, des nombres réels, ont été définies les |o|s de composi- tion internes suivantes : l'addition notée + (X. y) e» x + y la multiplication, notée ><, ou -, ou sans aucun signe (x, y) -e> xy. Lorsque, dans un ensemble E, on définit une nouvelle loi de compositlon interne, on utilise usuellement les signes opératoires suivants : a: (lu « étoile »); T (lu « truc »); _J_ (lu « antitruc »); A (lu « delta » ou « tri»). Par exemple pour l'opération au, c : a a: b se lit « c égale a étoile b ». o TABLE DE PYTHAGORE D'UNE OPÉRATION C'est un tableau à double entrée (fig. 1), tel que : la 11° ligne contient les premiers éléments des couples; la 1"’ colonne les deuxièmes éléments des couples; le composé de a et de b est inscrit à l'intersection de la colonne de a et de ( la ligne de b. Bien entendu, lorsque l'ensemble dans lequel est définie l'opération est infini. on ne peut dresser qu'une Table de Pythagore partielle. B2 Les Tables de Pythagore, partielles, les plus connues sont celles relatives à l'addition et à la multiplication (fig. 2) des entiers naturels écrits dans la base dix. Notons que, dans ce cas, contrairement à l'exemple donné (fig. 1), la distinc- tion entre « Ilgnes » et « colonnes » est inutile. 6
LOIS DE COMPOSITION INTERNE OUALITËS D'UNE LOI DE COMPOSITION INTERNE 2. ASSOCIATIVITÉ EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES 0 Soit l'addition dans l'ensemble N : (3 + 5) + 7 signifie 8 + 7, soit 15; 3 + (5 + 7) signifie 3 + 12, solt 15. D'où il résulte que : (3+5)-l—7:3+(5+7) ll est possible de démontrer que cette propriété est générale, c'est-à-dire que, quels que soient les entiers a, b, c : (a+b)+c:a+(b+c) On dlt que l'addition des entiers naturels est associative. Soit, dans l'ensemble E : fa, b,c} l'opération définie par la table de Pytha- gore cl-dessous (T étant le signe opératoire) (aT b) Tc):cTc:c aT(bTc:aTa:a. lcI, au contraire, Il n'y a pas égalité des deux expressions. La loi T n'est pas associative. 0 DÉFINITION Dans un ensemble, une opération (notée au, associative si, quels que soient les éléments a, b, c, de l'ensemble : ‘ara en) 5c g s? (i; .ç)]__ g On démontre également que la multiplicatlon des entlers naturels est associative, c'est-à-dire que : V(a, b, c) e IN’, (a><b)><c=a><(b><c) a Soit, dans l'ensemble des ration- nels, l'opérat|on (appelée moyenne arithmétique, et que nous noteronsar) qui, à deux nombres ratlonnels a et b, fait correspondre leur deml- a + b somme 2 - Cette opération n'est pas associa- tlve. En efiet, par exemple : (24*8)*4;t24*(8*4) car: 2«I*3I24+8Z1ÔË 2 164=4:16+4:1O alorsque 8 4 84:4: Ë :6; 24x6:24:6:15 par exemple) est dite ‘ÿ 83
LOIS DE COMPOSITION INTEIlNE' Dans ce cas. on notera ces deux expressions a a: b a: c. sans parenthèses. Ainsi : — Les lols n et u sont. dans îŒ), associatives. — la loi o est associative dans l'ensemble 7T des applications d'un ensemble E vers E (5' leçon). o PROPRIÉTÉ Si, dans un ensemble E. la loi a: est associative, on définit le composé x,=a=x,=o=x,=r...a«x.. avec 3. COMMUTATIVITÉ EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLE 0 Soit l'addition dans l'ensemble des entiers naturels Nous savons que: 5+3=8 etque 3+5:8 5+3=3+5 On démontre que. plus généralement, quels que soient les entiers a et b : a+b:b+a On dlt que l'addition des entlers est commutatlve. Ceci signlfie que l'opération peut être considérée comme définie, non sur les couples, mais sur les paires d'entiers naturels. Donc : 0 On démontre de même que la multiplication dans ]N est commuta- tive, c’est-à-dire que. quels que soient a et b : aXb:bXa 0 DÉFINITION Une opération (notée, r par exemple), définie dans un ensemble. est dite commutative si, quels que soient les éléments a et b _de l'ensemble : nelN, nagent...ax.=(x,ax,nx,n... de la façon suivante : T XIn-l) Ù x: 9 L'opération « moyenne arithméti- que » (5 2) est commutatlve car, quels que soient a et b : b b a=tb:%:——2+—'—a:bra. Q Soit, dans l'ensemble N * des entiers naturels (zéro exclu). l'opé- ration « exponentiation » qui, au couple (a, b) associe l'entier naturel ah. Montrons que cette opération n'est pas commutatlve. Pour cela, il suffit de donner un contre- exemple. Or : (2,3)-e-2’:8 (3.2)-9-32=9. a-bzb-a Cela signifie que le résultat est indépendant de la place des éléments dans le couple (a, b). et que par suite l'opération peut être considérée comme définie sur les paires. 84
LOIS DE COMPOSITION INTERNE Ainsi : — Dans EŒ), les lois u et n sont commutatives. — Dans ïf, ensemble des applications d'un ensemble E vers E, la loi o n'est pas commutative. Un contre-exemple suffit à le démontrer. o REMARQUE Lorsque la loi n'est pas commutative, il peut exister des éléments x et y tels que x ai: y = y ai: x. Deux tels éléments sont dits permutables (ou commu- tables) pour la loi considérée. Ainsi, par exemple dans 1N*, soit la loi d'exponentiation : (a, b) e» al’. D'après ce qui précède, cette loi n'est pas commutative. Cependant : (2,4) e» 24 : 16 et (4,2) e» 4“ :16. Les éléments 2 et 4 sont dits permutables (ou commutables). o PROPRIÉTÉ Si‘, dans un ensemble E, une loi de composition interne (notée ai:, par exemple) est commutative et associative, alors le composé (x, ai: x, ai: . . . ai: x,,) est inchangé lorsqu'on permute ou associe, de facon arbitraire les éléments x,, ..., x,,. 0 Soit : y:x,ai: p�# ai:x,,ai:x,ai:x,ai: �{$ *X,, et U———X1* @�% ai:x,,ai:x,ai:x, D'après la définition donnée ê 2, u = [(x, ai: ... ai: x,,) ai: x,] ai: x, d'après l'associativité, u = (x, ai: . .. ai: x,,) ai: (x, ai: x,) d'après la commutativité, u z (x, ai: ... ai: x,,) ai: (x, ai: x,) Et d'après l'associativité : u = [(x, ai: . .. ai: x,,) ai: x,] ai: X. parsuite: u: x,ai:...ai:x,,ai:x,ai:x, Donc: :X1*...Xh*Xi*Xi*...*X,, Nous avons ainsi permuté deux éléments consécutifs quelconques. Par répé- tition de cette opération, nous pouvons permuter deux éléments quelconques, x,, et x,,. 9 Pour associer (xi, ai: x, ai: x1) par exemple, il suffit, par permutation, d'amener xh, x1, x1 en position de 1°‘, 29 et 39 éléments respectivement : y:Xh*Xi*X]*X1*X2*... y:(Xh*Xj*X1)*X1*... *Xn Et, par définition, Enfin, par permutation (X11 ai: x, ai: xi) peut ensuite occuper n'importe quelle position. * Xn. Cette importante propriété se rencontre dans de très nombreux exemples, en particulier ceux cités ci-dessus, dans lesquels l'opération considérée est à la fois commutative et associative : n et U, dans ‘3’(E); addition et multiplication dans JN, Z, (Q, 1R. 85 6
LOIS DE COMPOSITION INTERNE 4. DISTRIBUTIVITÉ D'UNE OPÉRATION POUR UNE AUTRE EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES 0 Soit l'addition et la multiplication dans IN : 3 >< (7 + 5) signifie 3 >< 12 soit 36. Or 3x7:213><5=15 et 21 + 15 = 36. On démontre que, quels que soient les entiers a, b, c : a><(b+c)=(a><b)+(a><c) (b+c)><a=(b><a)+(c><a) On dit que la multiplication (dans ]N) est distributive par rapport à l'addi- tion. g ll est bon de remarquer que l'addi- tion des entiers n'est pas distribu- tive rapport à la multiplication. En général : a+wxorœ+wxœ+n 9 Soit :Ï(E) l'ensemble des parties d'un ensemble E. Quelles que soient les deux parties A et B, nous avons fait correspondre deux sous-ensembles appelés intersection (A n B) et réunion (AUB) de A et B. On peut démontrer que : An(BUC) :(AnB)u(AnC) (donc l'intersection est distributive par rapport à la réunion) et que : Au(BnC) : (AuB)n(AuC) (la réunion est distributive par rap- port à l'intersection). nouveaux Q Soit l'exponentlation dans ]N*. zéro exclu ( â 3). Quels que soient les entiers a, b, c, on montre que : (a><b)°:a‘><b° mais, qu'en général : a°><° r’ a" >< a‘ On dit que l'exponentlation est distri- butive à droite par rapport à lamulti- plication, mais qu'elle ne l'est pas à gauche. o DÉFINITION Soit deux lois (notées, par exemple, a: et T) opérant dans le même ensemble. La Iol notée au est distributive à gauche (resp. à droite) pour {ou par lrjpport à) la loi T si, quels que soient les éléments a, b, c de ‘ensem e: a‘. (b ra)‘; (a . b) T (a . c) resp. (b T133: a = (p) a) T (c au a) Lorsque la loi notée a: est commutative, les deux propriétés se confondent. Une loi distributive à gauche et à droite pour une deuxième loi est dite distrlbutive. 86
LOIS DE COMPOSITION INTERNE ÉLÉMENTS REMARO UABLES 5. ÉLÉMENTS NEUTRES EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES 0 Considérons l'addition dans l'ensemble ]N. Nous savons que. quel que soit I'entiera: a+0:0+a:a. On dit que « zéro » est neutre pour l'addition. De même, dans l'ensemble IN, l'élé- 9 Soit, dans l'ensemble IN * des entiers naturels, zéro exclu, l'opération appelée exponentiation qui, au cou- ple (a, b), fait correspondre ai’. Quel que soit a : (a, n-e-alza ment 1 est neutre pour la multipli- cation puisque : Dans ce cas, on dit que 1 est neutre à Va e IN, IXaZaXIZÈ droite L'opération « moyenne arithmé- tique » (g 2) n'a pas d'élément neutre. Mais, si a se 1, 1*‘ 9E a. Par suite, 1 n'est pas neutre à gauche. o DÉFINITION Dans un ensemble, un élément e est dit neutre pour une loi de compo- sition interne (notée u: par exemple) si, quel que soit l'élément a de l'en- semble : etâ=ate=a Si la loi est commutative, il suffit d'indiquer que : v a e E, e a: a = a. o DÉFINITION Dans un ensemble, un élément e est dit neutre à gauche (resp. à droite) pour une loi de composition interne (notée 4: par exemple) si, quel que soit l'élément a de l'ensemble : en=a=a (resp. a s: e = a) Dans le cas où la loi a: est commutative, les deux propriétés se confondent. 87
88 LOIS DE COMPOSITION INTERNE Ainsi : —— Dans :Ï(E), l'ensemble E est neutre pour l'opération n et l'ensemble vide, e, est neutre pour l'opération U. — Dans l'ensemble f)? des applications de E dans E, l'application identique, 1E, est neutre pour la loi o. — Dans IN, Z, (Q, 1R, l'élément0 est neutre pour la loi + et l'élément1 est neutre pour la loi X. REMARQUES 0 S'il existe un élément e, neutre à gauche, et un élément e, neutreà droite, ces éléments sont égaux. (e, neutre à gauche) (e; neutre à droite) leprezzeg En effet: l elaieegze, Par suite : e1*ez=e,:e2 et elze, Q S'il existe un élément neutre pour une opération, cet élément est unique. Cela résulte de la démonstration ci-dessus. s. ÉLÉMENTS SYMÉTRIQUES EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES 0 Soit, dans un ensemble E de 4 élé- ments (notés a, b, c, d), l'opération (notée 4:) définie par la Table de Pytha- gore suivante : Il est clair que l'élément d est neutre pour l'opération. D'autre part a a: b: b a: a z d. On dit que a et b sont deux éléments symétriques (ou qu'ils se neutrali- sent). 9 Soit l'addition dans l'ensemble ]N Nous savons que zéro est élément neutre. Or, quel que soit a, différent de zéro, il n'existe pas d'entier naturel x tel que a+x:0. On dit que les entiers, sauf 0, n'ont pas, dans l'ensemble IN, de symé- trique par rapport à l'addition. 9 De même, 1 est neutre pour la multiplication des entiers. Or, quel que soit a, différent de 1, il n'existe pas d'entier y tel que a >< y :1. Q-Dans l'ensemble Z des entiers relatifs, tout élément admet un symé- trique par rapport à l'addition, mais non par rapport à la multiplication (sauf 1 et — 1 qui sont leur propre symétrique). 6
LOIS DE COMPOSITION INTERNE o DÉFINITIONS Dans un ensemble admettant un élément neutre (noté e) pour une opération (notée 4 par exemple), un élément a’ est inverse à gauche, de l'élément a, si : û'tâ=e Un élément a" est inverse, à droite, de a si : a g a” = e L'élément a’ est symétrique de a si : a’ t a===;, __'_a.;çg;_’_.af:a= ,0 Remarquons que, dans ce cas, a est aussi symétrique de a’; les éléments a et a’ sont dits symétriques. On dit aussi qu'un élément est symétrisable, ou inversible, s'il a un symétrique. Dans les ensembles de nombres, l'usage consacre le nom d'opposé au symé- trique pour la loi +, et d'lnverse au symétrique pour la Iol ><. Dans les ensembles de biiectlons, le nom d'application réciproque est donné au symétrique, pour la Iol o, d'une bijection. o PROPRIÉTÉS P, Si, pour une loi associative, un élément a un inverse à gauche et un inverse à droite, ces inverses sont égaux. Solt, pour un élément a, un inverse à gauche a’ et un Inverse à drolte a’. Pour utiliser Passoclatlvité, calculons de deux façons : a’ ' a ' a". a’-I:a*a”:(a'*a)=ca”:e'a’=a" Et: a'*a*a’:a’*(a*a’):a'*e:a’ Donc: a’*a*a':a’:a’ Et: a':a’ P. Si, pour une loi associative, un élément a un symétrique, ce symétrique est unique. Cela résulte de la démonstration ci-dessus. I 7. ÉLÉMENTS RÉGULIERS EXEMPLE ET CONTRE-EXEMPLE 0 Quels que soient les nombres réels g Dans l'ensemble 112 des nombres a. b, x, on démontre que : réels z a >< x : b X x a + X z b + X n'implique pas : _|_ a:b(saufsix;èO) ‘mpmue ' a z b On dit que tout nombre réel, sauf On dit que tous les nombres réels sont réguliers pour l'addition. zéro est régulier pour la multiplication. Puisque, vaeIR a >< 0 : O >< a z 0 zéro, est dit singulier ou absorbant. 89
LOIS DE COMPOSITION INTERNE 0 DÉFINITIONS — Un élément a est régulier (ou simplifiable) pour une opération (notée a: par exemple) dans un ensemble, si, x et y désignant des éléments quelconques de l'ensemble : âtX-‘F-âty => x=y et xaa=yta => x=y — Un élément s est singulier (ou absorbant) si, quel que soit l'élément x, 6-1 6-2 90 Si=X=Xi=8=S g EXERCICES Soit l'ensemble E formé de deux éléments, notés 0 et 1, E : {0, 1}. 1° Dans cet ensemble, on définit une opération (notée au) par la Table de Pytha- gore ci-dessous. Cette loi est-elle associative? commutative? Admet-elle un élément neutre? Les éléments admettent-Ils un symétrique ? 2° Dans le même ensemble on définit une autre opération (notée T) par la Table de Pythagore ci-dessus. Cette loi est-elle associative? commutative? Admet- elle un élément neutre? Les éléments admettent-ils un symétrique? Existe-t-il des éléments singuliers? 3° Etudier la distributivité de chacune des lois par rapport à l'autre. Soit E l'ensemble ayant pour éléments les quatre entiers 0, 1, 2, 3. 1° On définit une loi (notée A) par : «xAyzminimum de x ety » (exemples : 0A1:0; 2A2:2) Dresser la Table de Pythagore de cette loi. Est-elle associative? commutative? Admet-elle un élément neutre? Existe-t-il un élément singulier? 2° Mémes questions pour la loi (notée v) telle que : « xvy: maximum de x et y » (exemples : 0v2:2; 3° Montrer que chacune des lois est distributive par rapport à l'autre. 1v1:1)
6-3 6-4 6-5 6-6 LOIS DE COMPOSITION INTERNE Dans l'ensemble ]N des entiers naturels, on définit l'opération (notée =«)telle que : vaelN, vbeN, a=i=b:a+b+ab 1° Calculer 14:2; 04:2; 34:4; (2*5)*3; 2*(5*3). 2° Quelles sont les qualités de l'opération * ? 3° Existe-t-il un élément neutre, dans IN, pour la loi a: ? Existe-t-il dans IN des éléments symétrisables pour la loi *? 4° Etudier la dlstributivité de cette loi pour l'addition dans IN; Pfaurla multipli- cation dans lN. il! — a 5° on définit ai") pour n 2 1 par : ami z am-n * a Exprimer aï’), a”), a“). 6° Résoudre, dans ]N, l'équation : (3 * xi“) + (2 * x) : 160. Dans l'ensemble Z des entiers relatifs, on définit une opération (notée T) par a T b : 2a + b. 1° Calculer : 0 T 2 2 T 0 (—5) T (-1) (-2) T [3 T (—1)] 2° L'opération est-elle commutative? associative? 3° Existe-t-il un neutre à droite? à gauche? un élément neutre? 4° Etudier la dlstributivité de l'opération T par rapport à l'addition. 5° Etudier la distributivité de l'addition par rapport à l'opération T. 6° On définit ai"), pour n 2 1, par a") : a et i") : a'"-1) T a. Exprimer a"), a"), a“). [(—2) T (3)] T (-1). Dans l'ensemble Z des entiers relatifs, on définit une opératlon (notée l) par a J_ b : a? + b“. 1° Calculer : (—°2)_L1 1J_(‘2) (—-=5)J.3 (—5)J_(3J_1) (-5J_3)J_1- 2° L'opération est-elle commutative? associative? 3° Existe-t-il un élément neutre? 4° On définit d"), pour n 2 1, par ail) : a et al") :2 a'"—1' J_ a. Exprimer a”), a“), a"), a“). Dans l'ensemble ]N —{0}, c'est-à-dire des entiers naturels, zéro excepté, on définit l'opération exponentiafion (notée au) telle que a * b : a". 1° Calculer : 1*1i2*1;3*2;2*3;2*(1a:3);(2=i=1)*3;(—2)>i=(—2);10*(—1); (—10)*1. 2° La loi est-elle associative? commutative? 3° Existe-t-il un élément neutre à droite ? un neutre à gauche ? un élément neutre ? 4° Etudier la dlstributivité de l'exponentiation par rapport à la multiplication. Dans l'ensemble ]N* dse entiers naturels, zéro exclu, on définit deux opérations 91
6-9 6-10 6-11 92 LOIS DE COMPOSITION INTERNE (notée A et v), de la façon suivante : a Ab : p.g.c.d. de a et b; a v b : p.p.c.m. de a et b 1° Calculer 12A 3; 12 V36; 5A 2; 2 v5; 5 A 2. 2° Ces opérations sont-elles commutatives? Existe-t-il un élément neutre? 3° Vérifier sur deux exemples que : a A (b v c) : (a A b) v (a A c) et 3V(bAC):(aVb)A(âVC) Dans l'ensemble des rationnels (zéro exclu), on définit l'opération (notée au) qui, à deux rationnels a et b (non nuls), fait correspondre le rationnel : 1 1 1 a*b"ï<î+b> 5 5 1° Calculer aarb pour a:—50, b:—20; puis pour a: î, b: 7-- 2° L'opération 1: est-elle commutative? est-elle associative? 3° L'opération a: possède-t—elle un élément neutre? Dans l'ensemble des rationnels, on définit une opération (notée T) par z aT b:a—l——2ab+b T �z� (â) T (ê) H“ T G) (ê) T l? ê) 2° Etudier la commutativité, l'associativité et l'opération. 3° Existe-r-il un élément neutre? Quels sont les éléments symétrisables? 1 4° Démontrer que le composé de deux éléments distincts de — E est un rationnel difiérent de — ජ 1 5° Démontrer que tout rationnel différent de — E admet un symétrique (difiérent de — �� Dans l'ensemble (D des rationnels, on définit la loi a: par a a: b : a + b + 3ab. 1 2 Î * (_ 5) 2° Quelles sont les qualités de la loi au? 3° Existe-t-il un élément neutre? Quels sont les éléments symétrisables? 1° Calculer (— 1) a: (-2) [(—2) a: 5] an: (—— 4). 2 Quel est le symétrique de ——3? de 5 ? 1 . 4° Démontrer que la restriction de a: à Q’ : (Q —— 3- îi est interne à <0’. On considère l'ensemble A des nombres réels de la forme a + b VË, les nombres a et b étant des entiers relatifs. 1° Démontrer que a + M/Ë: 0 implique a : b = 0. En déduire que l'égalité a + bt/Eza’ + b’ x/ê implique a :a’ et b = b.
6-12 6-13 6-14 LOIS DE COMPOSITION INTERNE 2° Dans l'ensemble A, on définit une addition, notée 4.-, par : (a, + b, x/ë) + (a, + b, v5) = a, + a, + (b, + b.) i/ë Etudier : l'associativité; la commutatlvité, l'existence d'un élément neutre; l'exis- tence, pour un élément, d'un symétrique. 3° Dans l'ensemble A, on définit une multiplication, noté >'<, par : (a. + b. v5) >‘< (a. + b. V5) = (ale. + 212.122) + (albz + ma.) \/2 Etudier : l'associativité; la commutatlvité ; la distributivité par rapport à l'addition; l'existence d'un élément neutre. 4° Démontrer que les seuls éléments de A inversibles sont tels que : a’—2b‘: i 1 Dans l'ensemble EL‘(E) des parties d'un ensemble E, on définit l'opération (notée A) qui, à deux sous-ensembles A et B de E, fait correspondre l'ensemble AAB:(A—-B) u (B—A). 1° Dessiner un schéma représentant cette opération. 2° L'opération est-elle commutative? 3° L'opération est-elle associative? 4° Démontrer qu'il existe un élément neutre. Tout élément (sous-ensemble de E) possède-t-il un symétrique? 5° Démontrer que l'opération « intersection » (n) estdistrlbutive par rapport à l'opération A. Soit E un ensemble de trois éléments notés A, B, C (fig. 3). 1° Soit f, la bijection de E sur E telle que : MA) = B 12(3) = C f2(C) = A- Soit f, la bijection de E sur E telle que MA) = A 12(8) = C f..(C) = B- Calculer no)‘, et fgof... 2° Démontrer qu'il existe, six bijec- tions, et six seulement, de E sur E (on désignera ces bijections par f1! f2! "'I f5)‘ 3° On désigne par ÏHE) l'ensemble ayant pour éléments les six bijectlons f,, f2, ..., f3. Dans cet ensemble, on considère l'opération (notée «o») qui, à deux bijections, fait correspondre leur composée. Dresser la Table de Pythagore de cette opération. Fig. 3. A chaque type de flèche correspond une bijectîon. Uélément origine d’une flèche a pour image Pélément extrémité de la flèche. \ 4° Démontrer que l'opération « o » est associative, mais non commutative. Soit un ensemble (E) de trois éléments a, b, c, muni d'une loi de composition interne, connue de façon incomplète par le tableau l ci-dessous. 1° Y a-t-il associativité quelle que soit la manière de compléter le tableau ? Est-il impossible qu'il y ait associativité? 2° Mêmes questions pour la commutativité. 93
6-15 6-16 6-17 94 LOIS DE COMPOSITION INTERNE 3° Existe-t-il un élément neutre, quelle que soit la manière de compléter le tableau ? Tableau I. Tableau I]. Tableau III. Mêmes questions pour un ensemble de quatre éléments muni de la loi interne connue de manière incomplète par le tableau ll. Pour la loi de composltion interne (notée 4: et définie parle tableau lll) déterminer tous les éléments x vérifiant les relations. 1°x=rb=c 2°x=l=x:c 3°x*x:x 4°c=r=x:x Soit, dans un ensemble E, une opération (notée T) associative. Soita un élément fixé de E. On définit une nouvelle opération (notée au). qui, au couple (x, y), fait correspondre l'élément : X ‘U’: X T 3 T Y 1° Montrer que l'opération a: est associative. 2° Montrer que l'opération a: est commutative si l'opération T l'est. 3° On suppose maintenant que l'opération T est commutative, qu'elle possède un élément neutre (noté e) et que tout élément possède un symétrique. Montrer alors que l'opération a: admet un élément neutre que l'on précisera. Montrer que tout élément de E possède un symétrique (pour l'opération 4:) que l'on déterminera. l INDICATIONS 0 Abel (Niels, Henrik), né le 5 août 1802 à Findoe (Norvège), mort le 6 avril 1829 à Arendal (Norvège). ’ Génial mathématicien norvégien qui vécut dans la pauvreté. En Algèbre, ses travaux portèrent sur la résolution algébrique des équations entières et il démontra l’impossi- bilité d’une telle résolution pour l’équation générale du 5° degré. On doit à Abel de nombreux théorèmes d’Analyse mathématique. En son honneur, l'expression groupe abélien est synonyme de groupe commutatif. oPythagore (56917-500? avant notre ère). Philosophe et mathématicien grec qui, le premier, semble-t-il, introduisit la démonstration en mathématiques, laquelle doit reposer d'une part sur des axiomes, d’autre part sur des règles logiques. Sa deuxième contribution aux mathématiques concerne sa « découverte » des nombres irrationnels (nombres qui ne sont pas le rapport, ou ratio, de deux entiers; par exemple \/ 2 ). Cette découverte détruisit ses théories mathématiques, physiques, métaphysiques et philoso- phiques dans‘ lesquelles il affirmait : « tout l'univers repose sur les entiers naturels ».
6-5 ‘me 6-11 6-13 611-) -.OIS DE COMPOSITION INTERNE 1° 1a-2:1+2+2n1:5 6° On obtient l’équation du second degré On trouvera une solution unique x = 5. 1° (—- 2) J. (1) =(— 2)2+(1)’ :5- (alb)J.C=(û2+b”)’+€’ ‘al(b_]_c)=a”+(b’+c”)’ aW = (2a’) _L a : 4a‘ = a”... (24-5)*3:2*(5*3):71. 4x'+1lx—l55:0. 2° Commutative. Pas associative 40a") :a _L a:2a‘ 1 . 3° Les rationnels, sauf -— E; sont symétrisables. —— a 2a + 1 4° On démontre la proposition contraire, c‘est-à-dire Le symétrique de a est a’ = 2 1 1 à a z — ÿ (a_Lb):—î<=>;’ Î 3 __ __ _ z b “ 2 1 1 Enefl'eta_1_b :——î<=> <a+2ab+b = ———2) Ce qui équivaut à : 4a+4ab+2b+1=0 ouà 2a(2b+l)+2b+l=0 soit (2a + l)(2b + 1)= 0. D'où la conclusion. 4° Même méthode qu’au 6-9 (4°). ,_ . 2 l° Si b 96 0 alors a + b V2 = 0 implique g = — \/2 et par suite g. = 2. Dési- p . . . . . a p” . . gnons par -- la fraction rrreducnble équivalente à —b- Alors l? = 2, ce qui est impos- 2 a sible puisque գ est irréductible. Par suite a + b \y/2 = 0 =>b = 0 d’où a = 0. 4° L'élément (a + b v6) est inversible, si et seulement si. il existe un couple (x, y) i ax + 2by = 1 tel que i i bx -{- ay = 0 Si a’— 2b‘ çà 0 on obtient x = —À et y = i-u ’ a’ — 2b‘ a‘ — 2b’ A quelle condition x et y sont-ils des entiers relatifs? Puisque x'(a' — 2b')' : a‘ y'(a' — 2b’)’ = b‘ alors a‘ —— 2b‘ = (a’ — 2b‘)'(x’ — 2y’) ou l = (a’ — 2b’)(x' — 2y‘). C’est-à-dire (x, y) e Z‘ => a‘ —— 2b‘ = i 1. La réciproque se démontre simplement. On pourra faire le rapprochement entre ‘.L'(E) et les six isométries (dont l’identité; les trois symétries par rapport aux médiatrices des côtés; les rotations ayant pour centre, le a centre » du triangle) qui laissent invariant un triangle équilatéral. Par exemple, f, est la symétrie par rapport à la médiatrice de BC. 3° Si a“ est l’inverse de a (pour l'opération T), l'élément neutre de a: est a". 95
STRUCTURES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS e Dans les classes antérieures, nous avons déjà rencontré des ensembles munis de lois de composition internes. Si l’ensemble et la loi possèdent certaines qualités, on définit ainsi une structure. Par exemple, en géométrie plane, Pensemble Ë des translations, muni de la loi 0, est un groupe commutatif (Classe de Seconde De même, l’ensemble Z des entiers relatifs muni de l’additian et de la multiplication est un anneau commutatif. L'élève de la Classe Terminale A est donc déjà, en général, initié à la notion de structure qui, dégagée de toute signification « concrète » que peuvent revétir les éléments de l’ensemble et la loi, ne retient que les « règles du jeu » et ‘leurs conséquences. C’est pourquoi on les appelle parfois « structures abstraites ». e Ces structures sont importantes par leur simplicité et par les résultats auxquels elles conduisent, résultats valables dans tous les cas où la même structure sera décelée. 0 Dans cette leçon, nous définissons les structures principales : celles dont nous avons déjà rencontré des exemples ainsi que celles dont nous rencontrerons dans la suite du Cours un grand nombre de modèles. Elles sont regroupées ici afin que le lecteur puisse s’y reporter aisément. La connaissance de cette leçon permet donc une économie intellectuelle considérable. STRUCTURE DE GROUPE 1. DÉFINITION EXEMPLES fl Soit Z l'ensemble des entiers relatifs. Dans Z l'addition est unesopération interne. associative. L'élément zéro est neutre pour l'addition et tout entier relatif est symétrisable. On dit que (Z. «H est un groupe. Puisque l'addition est commu- tative, le groupe est dit commutatif ou abélien.
STRUCTURE DE GROUPE g L'ensemble o‘ des rationnels non nuls, muni de la lol ><, est un groupe commutatif : le groupe multiplicatif des rationnels non nuls (d'élément neutre 1). Q Un exemple nouveau est celul de l'ensemble 5B des biiectlons f d'un ensemble E sur lui-même, muni de la loi o. En effet : La loi o est associative dans :1’). La transformation identique 1E, appartient à r13 et est élément neutre pour la lol o. Quelle que soit la bijection fde E. la bijection réclproque f“ est aussl unebljectlon de E et : fofizf-‘of: 1E. Le couple (:33, o) est appelé groupe des substitutions de E. o DÉFINITIONS — Un ensemble G, muni d'une /oi de composition interne se, a une structure de groupe si : 1° la loi n: est associative; 2° il existe, dans G, un élément neutre pour la loi 4:: 3° pour tout élément x de G, il existe, dans G, un élément symétrique de x (noté x’ ou x"). — Le groupe est le coup/e (G, 4:) vérifiant les conditions 1°, 2° et 3° ci-dessus. Si, de plus, la loi a: est commutative, le groupe (G, i) est dit commutatif’, ou abé/ien. — Si (G, 4:) est un groupe et si G a un nombre fini d'éléments, n (e lN), alors (G, an) est dit groupe fini, d'ordre n. Pour un groupe fini, d'ordre n suffisamment petit, on peut dresser la Table de composition. Par exemple, soit l'ensemble E:{e,x,y,z}. muni de la loi de composition “, déter- minée par le tableau ci-contre dans lequel le composé x u: y est l'élément situé à l'intersection de la colonne de x et de la ligne de y. On vérifiera que (E, au) est un groupe commutatif. I 2. PROPRIÉTÉS P, Dans tout groupe, tout élément est régulier, c'est-à-dire, si (Çî, au) est le groupe, quels que soit a, x, y appartenant à L? alors : atx=amy => x=y 97 Terminale A. —— 4. 7
STRUCTURE DE GROUPE En efiet : V a e L? a r‘ tel que a" æ a = e (élément neutre de Ç). Donc aæxzaæy => a—‘æ(aæx)=a--1æ(aæy) Par associativité (a-l æ a) æ x = (a-ï æ a) æ y soit eæxzeæy. D'où x:y. EXEMPLES 0 Puisque (112, +) est un groupe, quels que soient les nombres réels a, x, yaiors 8+X=3+Y =>X=.V 9 Puisque n12‘, X) est un groupe 0R‘, ensemble des réels, zéro exclu),alors quels que soient a. x, y non nuls: a X x:a .y => x:y. P, Quels que soient les éléments a et b du groupe (Ç, æ), il existe un élément unique x tel que a a x = b. 0 S'il existe x tel que a æ x = b alors r‘ æ (a æ x) = a‘! a- b Par associativité (a-l æ a) æ x = a‘! æ b et x = r‘ æ b. 9 Réciproquemenl, a æ x = a æ (r! æ b) = (a æ a“) æ b = b. D'où la propriété. CONSÉQUENCES Q Dans l'ensemble 1R des nombres réels, l'équation a +x : b a une solutlon unlque x = ——a + b. Solution que l'on écrit b + (— a) ou (b —a) gràce à la commutativité. g Dans 1R‘, l'équation a X x: b a une solution unique x: g ><b notée, grâce à la commutatlvlté x : g- P, Quel que soit l'élément a fixé, l'application fa de (Ç, æ) vers Ç telle que f.(x) = a æ x est une bijection de Ç. En effet, d'après P, l'application f. est injective et d'après P. ,elle est surjective. li en résulte que si (Ç, æ) est un groupe fini, toute ligne (et toute colonne) de la Table de composition est formée des éléments de Ç, chacun une fois. 98 7
STRUCTURE DŒNNEAU S TR UC TUBE D ‘ANNEA U I 3. DÉFINITION EXEMPLES 0 Soit Z l'ensemble des entiers relatifs. Nous savons que (Z, +) est un anneau commutatif. De plus, la multiplication est une opération interne à Z, associative et distributive sur l'addition. Pour résumer cela, on dit que (Z, —l—, ><) est un anneau. Puisque la multiplication est commutative, l'anneau est dit commutatif. Puisqu'il existe un élément neutre, 1, —— appelé élément unité —. pour la mul- tiplication on dit que l'anneau est unitaire. 9 Soit îŒ) l'ensemble des parties d'un ensemble E. i A : l'opération « prendre la différence symétrique »; Ê n : l'opération « prendre l'intersection ». On démontre que : Désignons par — (î, (E), A)est un groupe commutatif (d'élément neutre o ;l'opposé de X est X lui-même); — la loi n est associative; — la loi n est distributive sur A; On résume cela en disant que (î (E), A, n) est un anneau. De plus, la loi n est commutative et E est élément unité (pour n). Donc (î (E), A. n) est un anneau unitaire appelé anneau de Boole. o DÉFINITIONS —— Un ensemble A muni de deux lois de composition internes, l'une notée + (appelée addition), l'autre notée - (appelée multiplication), a une structure d'anneau si : 1° (A, +) est un groupe commutatif (l'élément neutre, noté 0, est appelé élément nul); 2° la loi o est associative; 3° la loi o est distributive pour la loi + — L'anneau est le trip/et (A, +. o ) vérifiant les conditions 1°, 2°, 3°. — Si, de plus, la loi o est commutative, l'anneau est commutatif. En outre, s'il existe un élément neutre pour la loi o, l'anneau est dit unitaire (l'élément neutre, noté e ou 1, est appelé élément unité). 99 7
STRUCTURE D'ANNEAU REMARQUES 0 Le symétrique d'un élément a (pour la loi +) est appelé opposé de a et noté (—— a) (lire « moins a »). 9 Le symétrique de a pour la loi o , s'il existe, est appelé inverse de a etnotéa“. 9 Par convention. (a - b) + (a -c), sera noté a - b + a - c, sans parenthèses. . 4. PROPRIÉTÉS P, Dans tout anneau, quel que soit a : a - 0 = 0 - a = 0 Cela résulte de la distributivité de la loi - pour la loi +. Démontrons, par exemple, que a - 0:0. Enefiet: Va,Vb, a-(b+0):a-b+a-0 a-b:a-b+a-0. Et, puisque tout élément est régulier pour la loi + (5 2) : 0 : a — 0. P. Dans tout anneau, quels que soient a et b : a - (— b) = — (ah) De b + (— b) : 0. on déduit: a - [b + (— b)] = 0 (propriété ci-dessus) et a - [b + (— b)] : a - b + a - (— b) (distributivité). Il en résulte que a -(— b) est l'opposé de ab. o DIVISEURS DE ZÉRO EXEMPLE Soit A un élément de l'anneau de Boole [î(E), A. n]. Supposons A i o et A 7.‘. E. Bien que A et CA soient différents de o, on obtient A n 0A : o. Les éléments A et 0A sont appelés diviseurs de zéro. DÉFINITION Dansunanneau,si: aaémbaèû et ab==0 les éléments a et b sont dits diviseurs de zéro. Ainsi, dans un anneau, a « b = 0 =/=> (a = 0 ou b = 0) Un anneau sans diviseur de zéro est dit anneau intègre. 100 7
STRUCTURE DE CORPS STRUCTURE DE CORPS I 5. DÉFINITION 0 Un ensemble K, muni de deux /ois de composition internes, l'une notée + (appelée addition), l'autre notée o (appelée multiplication), a une structure de corps si : ç 1° (K, +, o) est un anneau unitaire; I 2° tout élément de K u: = K —— {o} est inversible (pour la loi -). Puisque Kar est l'ensemble des éléments inversibles, ces conditions équivalent aux suivantes : l (K, +, o) est un anneau unitaire, I (K*, o) est un groupe multiplicatif (â 2). Le corps est le trip/et (K, +, o) vérifiant les conditions 1° et 2°. Si, de plus, la loi - est commutative, le corps (K, +, o) est dit commutatif. EXEMPLES 0 L'ensemble (D des rationnels, muni des lols + et o , est un corps commu- tatif. 9 L'ensemble 1R des nombres réels, munl des Iois+ et o, est un corps commutatif. I s. PROPRIÉTÉS o Tout corps étant un anneau, les propriétés P, et P, (ê 4) sont valables dans un corps. o Mais, de plus, dans tout corps K : P, L'égalité ab = 0 implique a = 0 ou b = 0 Solt a . b : 0. Et supposons a 7-: 0. Alors a est lnverslble; multlpllons à gauche par a“: a“..(ab) : a“ .0. (1) Or a“ - (ab) : (a4 - a) - b : b (Assoclatlvlté de la lol -) et, d'après P, , (a-l - 0) : 0. Donc la relatlon (1) lmpllque b : 0. P. Quel que soit a e K* et quel que soit b e K, il existe un élément x e K, unique, tel que : a-x+b=0 En effet : ax + b : 0 <=> ax:—b [dans le groupe (K, +)] <=> x : a“ - (— b) (pulsque a est lnversible). 101 Terminale A. — 4*
STRUCTU RE DE CORPS o CONSÉQUENCES 0 Dans l'ensemble des réels, l'équation ax + b = O avec a 7k O, a une . . b racine unique notée x = — ä. . Ë a = 0 9 Dans tout corps, la relation a- x: a—y <=> g x _ y En effet, ax:ay <=> ax—ay:0. Ce qui équivaut à a . (x—y): 0. Relation vérifiée pour a : 0 ou x—y : 0. La réciproque se déduit de P. . I EXERCICES 7-1 Démontrer que (‘î(E), A, n) est un anneau unitaire non intègre (â 3). 7-2 Pour souligner le fait qu'un groupe est un couple (G, au), montrons que,sur un même ensemble G, on peut déflnir plusieurs structures de groupe. Soit (G, -) un groupe dont la loi est notée muitipiicativement; 1 l'élément neutre, x“ l'inverse de x, et a un élément flxe de G; Définissons, dans G, la loi au par: x n: y: x — a -y. 1° Démontrer que (G, au) est un groupe; déterminer son élément neutre,e. et le symétrique x’ de x pour la loi au. 2° Si u et v sont deux éléments de E. exprimer, à l'aide de la loi - l'élément x de E tel que : u au x: v. seulement, 7-3 Dans un groupe non commutatif (G, r), a, b, c étant les éléments donnés, e l'élé- ment neutre, a‘? le symétrique de a, déterminer les éléments x de G vérifiant : 1°x=ua=rb:c=rb 2°a:o=x:o=b:b=rc. 7-4 Soit (G, au) un groupe non commutatif (on désigne par a" le symétrique de a). Soit ïR la relation binaire définie dans G par : xrRy<=> (as e G tel que y : s au x au s“) 1° Démontrer que {R est une relation d'équivalence dans G. 2° Soit a un élément de G qui commute avec tous les éléments de G. Quelle est la classe de a modulo tR? 102 7
7-9 7-10 STRUCTURE DE CORPS Soit (G, an) un groupe (on désigne par r1 le symétrique de l'élément x). 1° Démontrer que (x aky) a pour symétrique y"*x”‘. 2° Soit H ‘un sous-ensemble de G. Démontrer que la restriction de a: à H munit cet ensemble d'une structure de groupe, si et seulement si : (Hia; et ZVXGA VyeH x*y—‘eH 3° Soit H une partie de G vérifiant la condition ci-dessus. On définit, dans G une relation binaire 5R par : ocîRB<=>[oc*{-l—1eH]. Démontrer que 91 est une relatlon d'équivalence dans G. Etablir que, dans un anneau (A, +, -) : V(x,y,z)eA><A><A, x-(y——z):_-(x-y)——(x-z) Montrer que, dans un anneau (ou un corps) la formule : (x+y) - (x—y) = x'—y” n’est valable que si l'anneau (ou le corps) est commutatif. Dans un anneau (A, +, -) non commutatif, on pose : x *y:xy—yx. Calculer : x*(y*z)—f—y*(z*x)+z*(x*y). Soit E l'ensemble des entiers relatifs palrs E: `�� —4, —2, 0, 2, 4, ��� 1° On définit, dans E, une opération a: par a an: b:a+b (le slgne + désignant l'addition dans l'ensemble Z des entiers relatifs). Calculer—4 4:0; —4*2. Quelle est la structure (E, 4:) ? 2° Dans le produit cartésien Z X E, on définit un opération T par : v(a,c)ez* v(b,d)eE* (a,b)T(c,d):(a+c,b+d). Calculer (3, —2) T(1, 2); (— 3, 4) T(4, —2). Quelle est la structure (z X E, T)? Quel est le symétrique de (a, b)? Soit E: {a, b}. On définit dans E, les deux opérations + et . par les Tables ci- dessous Quelle est Ia structure (E, +, -)? 103 ' 7
7-11 7-12 104 STRUCTURE DE CORPS Soit A l'ensemble des nombres réels de la forme a + M/ë avec a et b entiers relatifs. 1° Démontrer que a + bvï: 0 =>a : b : 0. En déduire que a + bvï: a’ + bV/ë implique a : a’ et b : b’. 2° Dans A, on définit l'addition @�4 et la multiplication @�2 de la façon suivante : (a: + bn/ï) 4 (a. + bfl/ä) = (a. + a.) + (b, + bas/ï Ê à (a1 + bÜ/E) p� (a: “f” bzV/ë) Z 3132 “f” 2171172 “f” (31172 “f” (31172 ‘f’ 171a2)\/ë Calculer (—2 4 3v’2) + (1 — V5) et — (2 + 3x72) >'< (1 —\/E). Démontrer que (A, —|'—, ? est un anneau commutatif unitaire. Existe-t-il des diviseurs de zéro? 3° Démontrer que l'ensemble J des éléments x +y\/ë inversibles est caractérisé par la relation x” — 2y”: ï 1. 1 + V’; est-il inversible? Dans l'affirmative, quel est son inverse? Soit C l'ensemble des nombres réels de la forme oc + [N5 avec oc et B nombres rationnels. Reprendre les questions de l'exercice précédent et en conclure que (C, +, X) est un corps commutatif. Soit Z l'ensemble des entiers relatifs Z : {...,—2,—1,0, 1, Ps 1° On définit, dans Z, la relation 5K par xŒy<=>EIkeZ telque A—t-on (— 5) 31 (2)? (—17):R(— 5)? Démontrer que Œ est une relation d'équivalence. x——y:6k. 2° Définir les classes d'équivalence (on désignera par x la classe de x'). 3° Soit A l'ensemble de ces classes. Quel est leur nombre? Démontrer que si x décrit la classe e a et y décrit la classe e b, alors x-l-yappar- tient à une classe bien déterminée, notée à @7 0� Quelle est la classe de (— 17) + (— 5)? De même, xy appartient à une classe bien déterminée notée à P� Quelle est la classe de —17>< — 5? 4° Démontrer que (A, —'l—, �! est un anneau commutatif unitaire. Quels sont les diviseurs de zéro? Même exercice que le précédent. La relation 5R est telle que xrîîy implique : X — y : 5k ». Si C est l'ensemble des classes d'équivalence, on démontrera que (C, —l—, Py est un corps commutatif. « il existe un entier relatif k tel que 7
7-2 7-4 7-5 7-8 7-9 7-11 STRUCTURES DE CORPS I INDICATIONS o Boole (George) né le 2 novembre 1815 à Lincoln, mort 1e 8 décembre 1864. L’un des plus originaux mathématiciens anglais. Fut, par ses travaux sur le calcul des pro- positions, le créateur de la logique mathématique. o Galois (Evariste) né le 25 octobre 1811 à Bourg-la-Reine, près de Paris, mort 1e 31 mai 1832 à Paris. Génial mathématicien qui, dans le testament rédigé durant la nuit qui précéda le duel où il trouva la mort, résuma en une soixantaine de pages impérissables, ses découvertes sur la théorie des équations entières, découvertes qui dégageaient les grandes idées de la théorie des groupes. En un certain sens, Galois est le fondateur de 1’Algèbre moderne. 1° Si le symétrique, à droite, x’ de x existe, alors x n: x’ = a4 = x - a - x’. De x - a - x’ = a", on obtient, en multipliant à gauche par x“, . . ., puis en multipliant à gauche par a“, �� Donc le symétrique x’ à droite ne peut être que a" - x“ - a“. l1 reste à vérifier qu'il est symétrique à gauche... 2° Réponse. 1 x=a’1-u‘ -v. 2°a=fa}. 2° Première partie. Hypothèse : (H, au) est un groupe. Alorsvy EH =>y‘1 EH. D’autre part, la loi u: étant interne : x e H et y“ e H impliquent x n: y“ e H. Réciproque. Hypothèses : voir énoncé. Puisque H 9è o, il existe au moins un élément x 6 H. — Alors (x e H et x el-l) =>(x t x-l e H). Donc l'élément neutre e de G appartient à H. ——Or (eeH et yeH) =>(eary“1eH). Tout élément y de H admet donc un symétrique dans H. — la loi n: est associative car... —— la loi n: est interne à H car : (x 6H et y 6H) =>(xeH et y“ eH) =>(x t[y‘1]‘1 eH) soit x æ y e H. Réponse : 0. 1° (E, au) est un groupe commutatif‘. 2° (Z >< E, T) est un groupe commutatif. 1° Si b 9è 0, a + bV/Î = 0 implique —; = V2. Or il n’existe pas de «fraction » égale à V5. Donc l’hypothèse b çà 0 est à rejeter. Si b : O, alors... 105 7
STRUCT U RES D'ORDRE 0 Parmi les relations binaires dans un ensemble, nous avons défini, dans la 4° leçon (5 9), les relations «Perdre. Puis, dans la 7° leçon, nous avons caractérisé les qualités d'un ensemble muni d’une (ou plusieurs) loi de composition, en définissant des structures. 0 Dans cette leçon, après avoir défini des éléments remarquables, pouvant exister ou non, dans un ensemble muni d’une relation d’ordre (ensemble ordonné), nous caractériserons les propriétés de tels ensembles et définirons des structures «Perdre. Nous illustrons ces notions par l’étude de la relation d'ordre < dans Pensemblellî des nombres réels; cela est, à nouveau, l'occasion de rappeler et de préciser des propriétés dont la connaissance est indispensable. ENSEMBLES ORDONNES l 1. PARTIES REMARQUABLES Soit E un ensemble. Soit une relation d'ordre, notée <. définie sur E. On dit que E est ordonné par la relation <. Soit a et b deux éléments de E tels que ä < b. o DÉFINITION Le segment ou intervalle fermé a, b. est l'ensemble des éléments x de E tels que a s x et x s b. On le note [a, b]. Donc: [a.b]:{x; 'xeE, a<x<b} I 2. ÉLÉMENTS REMARQUABLES Soit A une partie de l'ensemble E ordonné par la relation notée <. 106
STRUCTURES D'ORDRE o DÉFINITION n E L'élément S l E l et VxeA, x < m. Si l'ensemble M des majorants de A n'est pas vide. la partie A est dite majorée. m est un majorant de A si : m' E L'élément m est un minorant de A si : 0�~ e l et Vx e A, m’ < x. Si l'ensemble M’ des mlnorants de A n'est pas vide. la partie A est dite mlnorée. g e A L'élément g est plus grand élément de A si : et w e A, X < g. L'élément p est plus petit élément de A si : ' p E A l et vx e A, p < x, L'élément s est borne supérieure (ou suprémum) de A si s est le plus petit élément de l'ensemble M des majorants de A. L'élément i est borne inférieure (ou infimum) de A si i est le plus grand élément de l'ensemble M’ des minorants de A. o PROPRIÉTÉS P. Si la partie A a un plus grand élément g, cet élément est unique. En effet. si g’ est aussi plus grand élément de A : (g-<g’ et a'-<g) implique a'=a- P, De même. si A a un plus petit élément. celui-ci est unique. Par suite si la borne supérieure (ou la borne inférieure) de A existe, elle est unique. P. Si A possède un plus grand élément g, alors g est borne supérieure de A. En effet : g est un malorant de A car : v x e A. x <9: de plus. si m est un majorant de A. alors : g e A implique g-< m. Donc g est le plus petit élément de l'ensemble des majorants. EXEMPLE Dans IN” ordonné par la relation l (divise). la partie A = 3.8.12} a pour ensemble des malorants : M : {2-4, 48. 72, .... k. 24. et pour ensemble des minorants : M’: (1, 2. 4.} La partie A n'a pas de plus grand élément (il s'agit de la relation I). mais elle a une borne supérieure : 24. La partie A a un plus petlt élément : 4 (car 4|4; 4|8 et 4|12). qui est aussi la borne inférieure de A. 107
STRUCTURES D'ORDRE l 3. STRUCTURES REMARQUABLES 1° CHAINES Une chaîne est une partie totalement ordonnée d'un ensemble ordonné. Par exemple, ]N muni de la relation d'ordre S est une chaîne. 2° TREILLIS EXEMPLE Considérons. dans l'ensemble 51E) des parties d'un ensemble E, la relation d'inclusion C ; et soient A et B deux éléments quelconques de EŒ). 0 La partie lA, B} de ‘î(E) a une borne supérieure qui est A u B. En efiet, A u B est un majorant de {A. B; puisque : AC(AuB) et BC(AuB). Et si M est un majorant de 1A. B}. alors : (A C M et B c M) implique (A u B C M). g De même fA, B} a une borne inférieure, qui est A n B. Ainsi, toute partie de deux éléments de ‘î(E) a une borne supérieure et une borne inférieure. o DÉFINITION On appelle treillis, tout ensemble ordonné (T) tel que, pour toute paire d'éléments de (T), il existe une borne supérieure et une borne inférieure. La borne supérieure de 5x. YÊ est notée x V y qui se lit « x sup y». La borne inférieure de 5x, y; est notée x /\ Y qui se lit « x infy ». EXEMPLES 0 :Ï(E) ordonné par l'inclusion C est un treillis. 9 Des propriétés du p.g.c.d. et du p.p.c.m. il résulte, que ]N',ordonné parla relation l (divise), est un treillis, et que : x V y est le plus pet/t commun multiple de x et y. x /\ y est le plus grand commun diviseur de x et y. 3° SIMPLEXES Nous avons démontré ci-dessus que l'ensemble ‘.î(E) des parties d'un ensemble E est un treiiiis pour la relatlon d'inclusion. Sl l'ensemble E est fini, on pose la définition suivante : 108
STRUCTURES D'ORDRE On appelle simplexe 512,. d'un ensemble En. fini. de n éléments. le treillis (î (En). C). c'est-à-dire la structure définie dans l'ensemble flîŒn) par l'inclusion. La figure 1 représente le simplexe if. d'un ensemble de 4 éléments. Chaque « trait » ascendant (plein. pointillé ou tireté) joignant un sous-ensemble E, situé au niveau p à un sous-ensemble E.“ situé au niveau p + 1 traduit l'inclu- sion de E, dans E.” Sur la figure 1. et dans le sens ascendant : les traits pointillés . indiquent l'adjonction de l'élément a; les traits pleins forts .—— — — — b; les traits tiretés - - - - — — — c; les traits fins —r — — -— d. Fig. I. L'ENSEMBLE R ORDONNE PAR LA RELATION g l 4. RELATION D'ORDRE S DANS 1R o DÉFINITION Etant donné deux nombres réels x et y. on dit que x est inférieur ou égal à y s'il existe un réel positif u tel que : _x + u = y On dit parfois x est inférieur. au sens large. _ _ à y ou plus simplement. mais avec le même sens. x est Inférieur à y. 109
STRUCTURES D'ORDRE On note « x inférieur à y » par x_ s y — Donc: xsy <=> aueiiz+ x+u:y La relation réciproque se lit « y est supérieur à x » et se note y 2 x. On dit que x est strictement inférieur à y si x s y et x 9è y. On note « x strictement inférieur à y » par x < y Donc: x<y <=> sueur“ x+u:y (Ru est l'ensemble des réels strictement positifs). o THÉORÈME Dans l'ensemble 1R des réels: la relation « être inférieur à » (au sens large) est une relation d'ordre. En effet : Q La relation est réflexive : pour tout x e 1R, x + 0 : x implique x s x. 9 Elle est transitive : quels que soient les réels x, y, z, si xsy et ysz, il existe deux réels positifs u et v tels que : x+u:y et y + v: z. Par addition membre à membre et d'après la régularité de y pour l'addition, il en résulte : x + (u + v) : z et par suite x s z. 0 Elle est antisymétrique : si x s y et y s x. il existe deux réels positifs. uetv telsque x+u:y et y+v:x. il en résulte, de même que ci-dessus : u + v : O, ce qui, dans 112+, implique u : v:0. Donc x :y. o PROPRIÉTÉS DE LA STRUCTUREUR, s). Dans (R. s): il n'existe ni plus petit élément; ni plus grand élément; l'ordre défini par s est un ordre total (dest-à-dire que (112. s) est une chaine). I 6. RELATION D'ORDRE ET OPÉRATION DANS 1R P, Dans 1R, la relation s est compatibie avec ia ioi +, dest-à-dire : VIER, xsy => x+zsy+z En effet, x + u : y implique x + u + z : y + z et, d'après les propriétés de l'addition, (x+z) + u:y +2; donc x+zsy+z. 110
P. STRUCTURES D'ORDRE CONSÉQUENCES f. 0 L'application f“ de 1R dans 112 telle que x -e- fa (x) : a+ x est croissante. En efiet: (x<x’)=>(a+x<a+x’) 9 On peut « ajouter membre à membre deux inégalités de même sens » dest-à-dire que, quels que solent les réels x, y, x’. y’ : x<x' et y<y' => x+y<x’+y' En effet : (x<x’ et y<y’)=>(x+y<x'+y et x'+y<x’+y') d'où le résultat, par transltlvité de la relatlon S. Dans 112+ (ensemble des réels positifs), la relation s est compatible avec la loi ><, dest-à-dire que: vzew xéy => xqgy-z En effet l'égalité x + u =y lmplique (x + u) .2 :y . z. D'où par dlstrlbutivlté de la lol >< pour + : xz+ uz :yz ; donc x . z <y . z CONSÉQUENCES a. 0 Si a est positif, l'application 9,, de 1R dans 1R telle que x -e- g,,(x) :3 -x. est croissante. GSÏIER", alors x<y ——-> yz<xz. En efiet x<y => auelR+ tel que x+u:y. implique (x+u).z:y.z. Par distributivité de >< sur + : 0rx+u=y x.z+u.z=y.z. Or:(ze]12- et ueIR+) => (uze]12') Par sulte xz=yz+v avec veRt Donc yz < xz. 111
8-1 8-2 8-5 112 STRUCTURES D'ORDRE l EXERCICES Dans ]N* ordonné par la relation « divise », on considère les sous-ensembles : A: g4, a, 12; et B: g2, 3. 4, s} Former, pour A et B, les éléments suivants (s'ils existent) : 1° Le plus grand élément et le plus petit élément. 2° Un majorant et l'ensemble des minorants. 3° La borne supérieure et la borne inférieure. Dans (Q, ensemble des nombres rationnels ordonné par la relation <, on considère 1 le sous-ensemble A tel que A : ÊE; n e ]N p?\ Déterminer les mêmes éléments que dans l'exercice 8-1. Dans un plan P rapporté à un repère (O, on donne la relation 5R définie par: ixéx’ 1 y Sy, [avec m = (x. y)] m Æ m’ <=> 1° r?» est-elle une relation d'ordre? 2° Soit m = (x, y) et m’: (x', y’) et la partie A : {m, m’; de P. Représenter graphiquement l'ensemble des majorants de A et l'ensemble des minorants de A. Soit un treillis T ordonné par <. 1° Etablir que : avbza -—-—> b-<a aAbza => a-<b aAb:a<=>avb:b 2° Démontrer que : av(a/\b):a aA(avb):a Va,vb, vmvh Dans un ensemble E une partie A ayant une borne supérieure s a-t-elle un plus rand élément? On ordonne un jeu de 52 cartes suivant les valeurs qu'elles ont au jeu de bridge avec « atout carreau ». 1° Existe-t-il un plus grand élément? 2° Existe-t-il un plus petit élément? Quelles sont les cartes telles qu'il n'existe pas de cartes « inférieures »?
8-7 8-10 STRUCTURES D'ORDRE Soit 2 une partie de l'ensemble .‘I(E) des parties d'un ensemble E (les éléments de 2 sont donc des partles de E). On suppose que : E eJÏ et que pour toute partie, non vlde, 3T6, de A3, l'intersection des éléments de 3K- est élément de J3. Démontrer que î, ordonné par l'inclusion, est un treillis. Dans un tableau carré sont disposés les éléments d'un ensemble totalement ordonné. Soit a’,- le plus grand élément de la ligne iet a’ le plus petit élément de l'ensemble de a',-. Soit a", |e plus petit élément de |a colonnej et a” le plus grand élément de l'en- semble de a", Comparer a’ et a". Soit E:A><B le produit cartésien de A:{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8} et B={0,1,2, 3, 4, 5. 5g. Quels que soient les éléments (x, y) et (x’, y’), de E on pose : K X s‘ x’ (x, y) < (x’, y’) <=> z et K. .V S Y’ 1° Définir (2. 3) A (O, t) et (2, 3) v (0, 1). 2° Démontrer que a une structure de treillis. (E. <) Solt E un ensemble finl. 1° Etant donné deux partitions P, et P, de E, on dit que P, est plus fine que P, (noté P, -< Pz) si toute classe de P, est incluse dans une classe de P,. Démontrer que la relation < est une relatlon d'ordre entre les partitions de E. Quelle est la plus flne des partitions? la moins flne de toutes? Application. Solt P, et P, les deux partitions de E = Sa, b, c, d, e,f,g,h, i, j,k g sulvantes: n: mm et m= Comparer P, et P,. 2° Etant donné deux partitions P et O, démontrer que l'ensemble des intersec- tions non vides des classes de P et O est une partition l de E (notée l: P A O). Démontrer que l: inf (P, O). pour la relation <. Application. Déflnir Iafiümldgl b‘ A ��� gal c l b’ 3° Deux éléments de E sont voisins pour les partitions P et O s'ils appartiennent à une même classe de P ou de O ; deux éléments de E sont dits parents s'ils sont volslns ou s'ils sont l'un et l'autre parents d'un mème troislème (on note x my). Démontrer que la relatlon « être parent » est une relation d'équivalence. On appelle union de P et O (notée U : P V O). la partltion de E associée à cette relatlon d'équivalence. Démontrer que U: Sup (P, O) pour la relation <. Application. Définir lamlœldg] fl V W] .41,“ c l [l 113
8-7 8-10 114 STRUCTURES D'ORDRE l INDICATIONS Il suffit d’appliquer la définition de V (ë 3). Il suffit de donner un contre-exemple. 1 AinsiE:(Q,ordonnépar g et A:{x;x:1——,ne]N*}. n Soit A et B deux éléments de ÀÏ. Que dire de A n B? Que dire de E? a’ appartient à une ligne L dont il est l’élément a’,. a’ appartient à une colonne C dont il est l’élément a’, son{a} = Lnc,... (Intuitivement, on peut penser à des personnes rangées en lignes et colonnes, et dont on compare la taille (supposée inégale). Alors a’, est la personne de plus grande taille dans la ligne i et a’ est le « plus petit » des « plus grands »...). 1° Les classes d'une partition sont les parties, deux à deux disjointes et non vides. dont la réunion est E. La partition la plus fine est celle qui comprend un élément par classe. Application : P1 < P, 2° Toute classe de I est incluse dans . . ., par suite. . . I est un minorant de P et Q. C’est le plus grand, car... (raisonnement par l’absurde). vfilfllfifl cegdb Application : l 3° Application : U =
NOMBRES CARDINAUX o Bien que ne figurant pas au programme de la classe de Terminale A, la notion de nombre entier est indispensable en mathématique et dans la vie cou- rante. Aussi allons-nous montrer, dans cette leçon, comment la notion de bijection (Cf. 5° leçon) conduit simplement à celle de nombre cardinal et comment la notion dïnjection conduit à définir une relation d’ordre (Cf. 8° leçon) entre nombres cardinaux. o La notion, importante et intuitivement sentie, de « nombre dïlëments d’un ensemble » nous ayant conduit à identifier l’ensemble des cardinaux finis à celui des entiers naturels, nous nous poserons alors les deux problèmes pratiques sui- vants : si A et B sont des ensembles finie, de cardinaux respectifs a et b, quel est le cardinal de l’ensemble A u B? Quel est celui dc A >< B? 1. ENSEMBLES ÉQUIPOTENTS o DÉFINITION Un ensemble Y est équipotent à un ensemble X s'il existe une bijection de X sur Y. On note: X Eq Y ou Eq (X. Y) o La relation d'équipotence est : Réflexive : vX, X Eq X En efiet. l'application 1x est une bijection de X sur X (5' leçon). 115
NOMBRES CARDINAUX Symétrique : X Eq Y => Y Eq X En effet, si fest une bijection de X sur Y, alors f" est une bijection de Y sur X (5e leçon, 56). Transitive : X Eq Y et Y Eq Z => X Eq Z En effet, si fest une bijection de X sur Y et g une bijection deY sur Z, alors g o f est une bijection de X sur Z (5‘ leçon, â 6). 2. CARDINAL D'UN ENSEMBLE Q Si l'ensemble de tous les ensembles existait (ce qui n'est pas), la relatlon d'équi- potence seralt une relation d'équivalence ce qui nous permettrait de définlr des classes d'équivalence (et de considérer l'ensemble-quotient (4' leçon, â 5). On tourne la difficulté en définissant un nouvel objet mathématique, appelé cardinal de l'ensemble X, et noté Card (X), par la condition d'égalité : . cardtx) '= Card (Y)' <=> x Eq Y o NOMBRE CARDINAL Par définition : Un objet mathématique m est un nombre cardinal, s'il existe un ensemble E tel que m = Card (E). l Card (o) = 0 l Card (lai) =1 0 # 1, puisqu'il n'existe pas de bijection de a sur {a}. nombre cardinal zéro. On ose : . p nombre cardinal un. o Cardinaux finis et entiers naturels. Tout ensemble E tel qu'il existe un entier naturel n et une bijection du segment l1, n] de ]N sur E est dit fini. On pose alors Card (E) = n. L'ensemble lN des entiers naturels est donc l'ensemble des cardinaux finis. L'entier naturel n s'appelle aussi nombre d'éléments de E. 116
NOMBRES CARDINAUX 3. RELATION D'ORDRE ENTRE NOMBRES CARDINAUX Soit x ety deux nombres cardinaux. Posons : x = Card (X) et y = Card (Y). o DÉFINITION Le nombre cardinal x est inférieur ou égal à y, s'il existe une injection f de X dans Y. On note: xsy o PROPRIÉTÉS P, La relation x s y équivaut à : X est équipotent à une partie de Y. En effet, sl fest une injection de X dans Y, soit Y’: f(X) (avec Y’ C Y), alors fest une bijection de X sur Y’. Donc X Eq Y’. Remarquons que la déflnltlon cl-dessus ne dépend pas du choix des ensembles X et Y tels que x : Card (X) et y : Card (Y). puisque remplacer X et Y par des ensembles équipotents reviendra à composer des bijection: (5' leçon, 5 6). Or la composée de deux bljectlons est une bljectlon. P. La relation S entre cardinaux est une relation d'ordre total. Cette relation S est : réflexive, puisque 1x est une injection de X dans X. transitive, puisque la composée de deux injections est une injection (59 leçon, ê 6)- Quant à l'antisymétrie et à l'ordre total, cela résulte de deux théorèmes que nous admettrons Théorème de Zermelo. Quels que soient les nombres cardinaux x et y, l'une au moins des assertions x S y ou y S x est vraie. Théorème de Cantor-Bernstein. Si x et y sont deux nombres cardinaux : x S y et I 4. CARDINAL DE A u B o Propriété préliminaire (lemme). Quels que soient les entiers naturels a et m, l'application fa telle que x -e»f,.(x) = a + x est une bijection du segment [1, m] sur [a + 1, a + m]. L'application f, de IN dans IN étant lnjectlve, sa restriction à [1, m] est lnjectlve. De plus 1SxSm implique a-l-1Sa+ xSa+m. 117
NOMBRES CARDINAUX Enfin, pour tout y e [a +1, a + m] il existe un entier naturel v tei que a + v :y; or y 2 a implique v 2 0 et y S a + m implique v < m (sinon, y > a + m)_ L'application f. est donc une bijection de [1, m] sur [a + 1, a + m]. De ceci, il résulte que le segment [a + 1. a + m] a pour cardinal m. o THÉORÈME 1 Si A et B sont deux ensembles finis, disjoints, de cardinaux a et b respectivement, alors A u B est un ensemble fini et : 118 Cnrd(AuB)=a+b Si card (A): a(ae]N) et card(B):b(be]N): ; il existe. par définition, une bijection f de [1, a] sur A telle que i -e» xi a et il existe une bijection g de [1, b] sur B telle que j-e» y, (fig. 1). Fig. 1. Soit f. la bijection de [1, b] sur [a +1, a + b] telle que : L'application h de A U B dans IN telle que : n SX,"e>Ï pourxieA n (yi-ea-l-j poury,eB est définie, car A n B = z. La restriction de h à A est la bijection f", et h(A) = [1, a]. La restriction de h à B est la bijection f. og" et h(B) : [a + 1. a + b]. Par suite : h(A U B)=[1, a]U [a+1, a+b] =[1. a+b]. Donc : Card (A U B):a+b
NOMBRES CARDINAUX o THÉORÈME 2 Si A et B sont deux ensembles finis, OU csrd(AuB)’=-—cnrd(A)+Cnrd(B)—csrd(AhB) CaflHA)+Cnrd(B)==Cnrd(AUB)+Cnrd—(AnB) Désignons par A’ et B’ B——(A n B) (fig. 2). Puisque A’ et A n B sont disjoints ainsi que B’ et A n B. et que A:A’u(AnB)etB=B’u (AnB). d'après le théorème 1 : Card A = Card A’ + Card (A n B) (1) Card B : Card B‘ + Card (A n B) (2) respectivement Ies ensembles A—(AflB) et Fig. 2. D'autre part. A U B : (A' u B’) U (A n B). De plus. A’ U B’ et A n B sont disjoints. Par suite (théorème 1) : Card (A U B): Card (A') + Card (B’) + Card (A n B) Compte tenu de (1) et (2) : Card (A U B) = Card (A) + Card (B) — Card (A n B) CONSÉQUENCES 0 Le théorème 2. qui généralise déjà le théorème 1. peut être étendu à la réunion de plus de deux ensembles flnis (cf. exercice 9-2). Ainsi : Clrd(AUBUC)=Cud(A)+Oard(I)+Card(O)—<Îud(AnI) ——.Card(Ir\C)——Oard(CnA)+Clrd(AnBnC) 9 Pour toute partie A strictement Incluse dans un ensemble flnl E : Card (A) < Card (E) En effet si ‘A est le complémentaire de A dans E. alors A et ‘A sont disjoints et A u ‘A : E. Par sulte : Card (A) + Card (°A) : Card (E). Mais A ,:E E lmpllque ‘A çà z donc Card (°A) ;t O. Donc : Card (A) < Card (E) Ainsi. Il n'existe pas de bijection d'un ensemble fini E sur une de ses parties strictes A. 119
NOMBRES CARDINAIJX 5. CARDINAL DE A >< B O THÉORÈME Si A et B sont deux ensembles finis de cardinaux respectifs a et b, alors A >< B est un ensemble fini, et : 9-1 9-2 120 Card(AxB)=—-axb 0 La propriété est vraie pour b: 0. En effet Bzz. implique A >< Bzz. Donc Card (AXB):0 et 0:Card (AXB):aX0. g Elle est vraie, de même. pour b :1. En effet soit B : ��i r L'application fde A dans A X {B} telle que x -e- (x, B) est une bijection de A sur A X Par suite Card (A X 35g) : Card A z a. Or a=aX1:CardAXCardB. 9 Supposons la propriété vraie pour b = n (hypothèse de récurrence). Soit B’ l'ensemble B U 3B’; tel que Q’ çà B. Alors b’ : Card B’ = n +1. Or A X B’ : A X (B U533) : (A X B) U (A X 56]). D'autre part, d'après la définition de l'égalité de deux couples (cf. 3' leçon) les ensembles (AX B) et (A X{{3’}) sont disjoints. Donc (théorème 1) : Card (A X B’) : Card (A X B) + Card (A X {(31) soit Card (A X B’) : a - n + a (hypothèse de récurrence et 2°) :a - (n+ 1) : CardA . Card B’. La propriété est donc vraie que/s que soient les entiers a et b. l EXERCICES On pose Card (A) : 17, Card (B) : 24, Card (A U B) : 35. Calculer Card (A ñ B), Card (A —— B), Card (B—A). Si A, B, C sont des ensembles finis, démontrer que : Card (A U B U C): Card A + Card B + Card C— Card (A n B)—Card (B n C) — Card (C n A) + Card (A n B n C). Soit E un ensemble tel que Card (E) :950. On désigne par A, B, C, D quatre parties de E dont la réunion est E. On suppose que : Card (A) = 400; Card (B) : 620; Card (A n B) : 220; Card (B n C) = 130; Card (A n B n C): 30. En déduire Card (D) si Card D n (A U B U C): 20. Card (C) : 220; Card (C n A): 60;
9-6 9-7 NOMBRES CARDINAUX Une enquête sur la lecture de trois revues a, b, c a fourni les renseignements suivants. Sur 1 000 personnes : 600 lisent a; 500 lisent b; 500 lisent c, 200 lisent b et c; 300 lisent c et a; 300 lisent a et b; t00 lisent a, b et c. Parmi ces t 000 personnes, combien lisent deux de ces revues. et seulement deux ? Combien ne lisent aucune de ces revues ? Un sondage d'opinion a conduit aux résultats suivants:personnes interrogées 3000, se répartissant en t 4t0 ouvriers ou ouvrières; 936 hommes: 258 ouvriers. Les personnes interrogées décidées à voter pour « Monsieur X » étaient t 575 dont 44t ouvriers ou ouvrières; t26 hommes; 75 ouvriers. Désignons par A l'ensemble, de cardinal 1 575, des personnes décidées à voter pour « Monsieur X »; B celui des « ouvriers ou ouvrières »; C celui des hommes. Calculer A U B U C. Que penser de ce sondage d'opinion? On désigne par A, B, C, D respectivement, les ensembles des lecteurs de quatre revues a, b, c, d. Sachant qu'une annonce d'une page coûte respectivement 25000 francs dans a, t5000 francs dans b, t0 000 francs dans c ou d, on se pro- pose de choisir les revues de façon : à. avoir le maximum de lecteurs; à ne pas dépasser un budget de 50 000 francs; à «faire passer» une page d'annonce dans chaque revue retenue. Les cardinaux des ensembles A, B, C, D, A n B, .. (A n B n C), p� sont donnés par le tableau ci-dessous : Î Card A i 700 000 i Card (AflBnC) t00 000 Card (A n B) 250 000 l Card B ‘500 000 ‘Card (AnBnD) t10 000 ËŒ n C) 250 000 Î Card C 450 000 ‘Card (AflCflD) 20 000 Card (A n D) ��N I Card D 350 E ‘Card (BnCnD) 50 000 Cîard (B n C) 250 000 Card (B n D) t00 000 ifld (c n D) t50 ooo t° Peut-on faire passer une annonce dans chacune des 4 revues? Card (A U B u C), Card (A U B u D), Card (B u C U D). En déduire les revues dans lesquelles il faut faire passer les annonces. 2° Calculer Card (A U C U D). Soit E un ensemble fini. t° Etant donné deux partitions P, et P, de E, on dit que P, est plus fine que P, (noté P, < P,) si toute classe de P, est incluse dans P,. Démontrer que la rela- tion < est une relation d'ordre entre les partitions de E. Quelle est la plus flne des partitions? la moins fine de toutes? Application. Soit P, et P, les deux partitions de E: la, b, c, d, e, f, g, h, i, j, kf suivantes : P, : É-afic; l bfg ! dhij l Il] et P. : lacdeijh bfglr] Comparer P, et P2. 121 Terminale A —— 5.
9-3 9-6 122 NOMBRES CARDINAUX 2° Etant donné deux partitions P et Q, démontrer que l'ensemble des intersec- tions non vides des classes de P et Q est une partition l de E (notée l: P A Q). Démontrer que l: lnf (P. Q), pour la relation <. Application. Définir iafhi ce [dg ��= bi A ��= ed i 9b ici‘)! i 3° Deux éléments de E sont voisins pour les partitions P et Q s'ils appartiennent à une même classe de P ou de Q; deux éléments de E sont dits parents s'ils sont voisins ou s'ils sont l'un et l'autre parents d'un même troisième (on note x Ny). Démontrer que la relation « être parent » est une relation d'équivalence. On appelle union de P et Q (notée U : P v 0), la partition de E associés à cette relation d'équivalence. Démontrer que U : Sup (P, Q) pour la relatlon <. Application. Définir [anzlceldgibi Il lafl eqigb l c l hl 4° Dans un ensemble E de 100 personnes. on distingue les sous-ensembles V, W, Tainsi déflnis : (V) ensemble des personnes qul possèdent au moins une volture; (W) : deux voitures; (T) : la télévision. On suppose que CardV—_-60, Card W : 25, Card T : 40, Card (W n T): 15, Card (T n V) : 32. Indiquer la partition la plus flne de E et les cardinaux des classes obtenues. I INDICATIONS o Bernstein (Serghéi) né à Odessa en 1880. Mathématicien russe. A étudié plus parti- culièrement la théorie des fonctions. o Cantor (Georg) né le 3 mars 1845 à Saînt-Pétersbourg, mort le 6 janvier 1918 à Halle. Ses réflexions sur les fondements des mathématiques le conduisirent à créer la théorie des ensembles. On doit à Cantor, en particulier, les notions d’ensembles infinis, de cardinal fini, de nombres transfinis. Réponse : Card D = 110. 1° Soit L, l’ensemble des lecteurs des deux revues, A l'ensemble des lecteurs de la revue a, `+ Card(L,) = Card (A ñ B) + Card (B ñ C) + Card(C ñ A)—3 Card(A fl B ñ C) 2° Si La est l'ensemble des personnes ne lisant aucune revue, L, = E — (A U B U C) Calculer Card (A U B U C). . . Réponse : Card (L0) = 100 Card(B)=1410,..., Card(B n C n A): 75 On trouvera Card (A U B n C) > 3 000. Donc, PN( 2° On trouve que Card (A U C U D) = 1030 000 est supérieur à tous les autres, compte tenu du budget dont on dispose.
DIAGRAMMES SËQUENTIELS 0 Dans la vie courante, il arrive fréquemment que, pour prendre une décision, on soit conduit à faire une suite de choix. Par exemple, le chef du personnel d’une entreprise doit recruter un employé. Il décide pour cela de procéder par étapes. l“ étape : examen du dossier de candidature. A l’issue de cet examen, deux possibilités se présentent : —— la demande est rejetée, —— le postulant est convié à un entretien avec le chef du personnel. 2° étape : entretien avec le chef du personnel. C —— éliminer le candidat, (h dernier dispose alors de trois possibilités : —— Pengager, —— lui faire subir un test d’aptitudes. 3° étape : test d’aptitudes. A l’issue du test, la décision est prise, le candidat est élimine’ ou engagé. Toutes ces décisions successives peuvent se représenter à l’aide d’un schéma (cf. fig. 1) appelé arbre de choix, ou diagramme séquentiel. O Dans cette leçon, nous allons définir quelques-uns des diagrammes séquentiels les plus importants, puis étudier leurs propriétés essentielles. La leçon suivante montrera alors combien les problèmes de dénombrement sont simplifiés par l’utili- sation de tels diagrammes. 123
DIAG RAMMES SÉOUENTIELS I l 1. DIAGRAMMES SÉQUENTIELS o DÉFINITIONS —- Un diagramme séquentiel est formé de points, appelés sommets et de flèches, appe- lées branches ou ramifications. D'un sommet quelconque peuvent partir plusieurs branches, mais il ne peut y en arriver qu'une seule. — Un seul point n'est pas l'extrémité d'une flèche : c'est le départ, ou encore l'entrée (ou l'origine). — Toutes les extrémités des branches issues de l'origine portent le nom de sommets de la première génération. De même, un point est sommet de la seconde génération, s'il est l'extrémité d'une branche issue d'un sommet de la première génération, etc. — Tous les points d'une même génération sont placés sur une même ligne. Fig. l. — Les sommets qui ne sont pas origine d'une branche sont les sommets terminaux. — Sur l'arbre, un trajet, ou chemin, est formé d'une suite de branches; l'ori- gine de la première est l'entrée, l'extrémité de la dernière est un point terminal. ll y a évidemment autant de trajets distincts qu'il y a de points terminaux. Sur l'arbre de la figure 1, il y a 5 points terminaux, donc 5 trajets distincts. OINTÉRÊT DES DIAGRAMMES SÉQUENTIELS' A toute possibilité correspond un trajet sur le diagramme et un seul. Ainsi, sur la figure 1, qui illustre l'exemple de l'introduction, le trajet fiuré en trait double correspond à l'éventualité suivante : — le candidat s'est vu convié à un entretien avec le chef du personnel, ll a subi un test d'aptitudes et a été engaé. Il existe donc une bijection entre l'ensemble des diverses possibilités et l'ensemble des trajets sur l'arbre, ou encore, l'ensemble des points ter- minaux. Comme il est très facile de compter les sommets terminaux, on aura de cette façon le nombre total de toutes les possibilités; on est sûr de ne pas en oublier, ni d'en compter une plusieurs fois. Dans l'exemple précédent, il y a 5 possibilités différentes puisqu'il y a 5 points terminaux sur l'arbre. 124 10
DIAGRAMMES SEQUENTIELS 10 l 2. ARBRES DES EXPONENTIELLES 0 EXEMPLE Considérons les deux ensembles (finis) : A = {a, b, c} et B : {0, 1}. Cherchons toutes les applications de l'ensemble A vers l'ensemble B. Définir une application de A vers B, c'est faire une suite de choix, à savoir z déterminer successivement pour chaque élément de A, quelle sera son image dans B. Le diaramme séquentiel corres- pondant estconstruitsurlafigurez. Les éléments des première. se- conde et troisième générations correspondent aux choix faits pour |es images de a, b, c. On emprunte |a flèche de gauche ou celle de droite, suivant que l'image choisie est 0 ou 1. Sur cet arbre, le trajet figuré en trait double correspond à l'appli- cation de A dans B dont le graphe est : {<a. o). (b. 1). (c. 0)} Fig. 2. Nous constatons immédiatement sur cet arbre que : — de chaque point, autre que les points terminaux, part le même nombre de ramifications : 2; — tous les points terminaux sont de la même génération: — à chaque génération, le nombre de sommets s'obtient en doublant celui de la génération immédiatement inférieure (proression géométrique de raison 2): — puisqu'il y a 2*’ : 8 points terminaux, le nombre des applications de l'ensemble A vers l'ensemble B est 8. D'où la définition suivante : o DÉFINITION On appelle arbre des exponentielles, ou arbre des applications, tout diagramme séquentiel dans lequel : 1° de chaque point, autre que les points terminaux, part le même nombre de ramifications, 2° tous les points terminaux sont de la même génération. Un tel arbre peut être associé aux applications d'un ensemble fini A dans un ensemble fini B. 125
DIAG RAMMES SÉGUENTIELS 0 Théorème. Si :7 est l'ensemble des applications d'un ensemble fini A vers un ensemble fini B, alors : Card (A) = m et Card (B) = n => Card i5): = nm En efiet, si Card (A) = m et Card (B) = n, l'arbre des applications de A vers B est tel que : — de tout point, autre que les points terminaux, partent n ramifications puisque, pour tout élément de A, on a le choix entre n possibilités pour son image; — les points terminaux sont ceux de la m-ième génération, puisque le nombre d'éléments de A étant m, il y a m choix successifs à effectuer. Donc : à la première génération, il y a n sommets: à la deuxième génération, il y a : n >< n = n’ sommets: à la m-ième génération, il y a : n >< n >< �Dx ._j“ >< n = nm sommets. , `x m Puisque tout sommet terminal correspond à une application de A vers B, et réciproquement. le théorème est démontré. La démonstration ci-dessus peut être, avantageusement, remplacée par un raisonnement par récurrence (Cf. i" leçon). I 3. ARBRE DES FACTORIELLES Nous avons indiqué (ê 2) la construction de l'arbre des applications d'un ensemble fini A vers un ensemble fini B. Nous nous proposons maintenant de construire l'arbre des injections de A dans B si Card (A) s Card (B) et, éventuellement, l'arbre des bijections de A sur B si les deux ensembles ont le même nombre d'éléments. EXEMPLE Posons : A:{1, 2. 3, 4} A':{1, 2, 3} et B: {a, b, c, d}. Si nous voulons définir une injection de A dans B, il faudra indiquer l'image de chaque élément de B, donc faire une suite de choix. Pour l'image de 1, il y aura 4 possibilités (soit a, soit b, soit c, soit d) mais, une fois cette image choisie, il ne reste plus que 3 possibilités pour l'image de 2, le même élément de B ne pouvant être à la fois image de 1 et de 2. De même, pour l'image de 3, il nereste que 2 possibilités, et pour celle de 4, une seule. 126 10
DIAGIIAMMEs SÉQUENTIELS 1o Ceci nous conduit au diagramme de la figure 3, appelé arbre des bijections de A sur B. Si nous enlevons les sommets de la dernière génération et les branches qui s'y terminent, nous obtenons alors l'arbre des injections de A’ dans B. o DÉFINITION On appelle arbre des factorielles, tout diagramme séquentiel possédant les propriétés suivantes : '10 de tous les points d'une même génération part le même nombre de ramifications; 2° si d'un point partent k ramifications, d'un sommet de la génération suivante partent (k — 1) ramifications. - Un tel arbre peut être considéré comme l'arbre des bijections d'un ensemble fini sur lui-même, ou sur un ensemble ayant le même nombre d'éléments. o NOTATION n! Considérons un arbre des factorielles tel que n branches partent de l'origine. Alors, le nombre des sommets d'une génération se calcule facilement : — sur la première génération il y a n sommets, —— sur la seconde il y en a n(n — 1) —— sur la troisième n(n —— 1) (n — 2) —surlap-ième n(n——1)...(n—p+1) En particulier, sur la dernière génération, il y a : n/(n — 1) (n -2) ` � 2.1 sommets. 127
DIAGRAMMES SÉQUENTIELS Par définition, on pose : 10-1 10-2 10-3 1 0-4 10-5 10-6 1 0-7 128 n!:1.2...(n——1).n n! = produit des n premiers entiers (n l se lit : «factorielle n»). I EXERCICES Un représentant de commerce, partant d'une ville A, doit traverser successive- ment les villes B, C, D, E. 1° Construire l'arbre des divers trajets possibles. 2° Construire cet arbre si l'on sait que le représentant doit passer en C avant d'aller en D. Un commerçant vend un article. En une journée, il peut en vendre 0, 1, ou 2 unités. Au début d'une journée, il possède 4 unités de cet article en stock. 1° Construire l'arbre traçant l'évolution du stock pendant les trois jours qui suivent, sachant que le stock n'est pas réapprovisionné durant cette période. 2° Combien y a-t-il de possibilités différentes telles que le stock est épuisé au bout des trois jours? On jette une pièce de monnaie en l'air 5 fois de suite et on note, chaque fois, le côté visible : pile ou face. Construire l'arbre des diverses possibilités. Dans combien de cas « face » est-il apparu au moins 2 fois consécutivement? au moins 3 fois consécutivement? On donne les huit noms d'animaux suivants : chien, chat, cheval, mouton, pigeon, chacal, lapin et tortue. Trouver en 3 questions, auxquelles il sera répondu par oui ou par non, le nom d'un animal choisi par un camarade. On possède 13 pièces de monnaie de même valeur, l'une d'entre elles, fausse, pesant moins lourd que les autres. Montrer que, en 3 pesées au plus, il est pos- sible de déterminer la pièce fausse. Construire le diagramme séquentiel corres- pondant. Un livre a 256 pages en 12 chapitres. Démontrer qu'en 8 questions, auxquelles il sera répondu par oui ou par non, il est possible de déterminer le numéro de la première page du chapitre 5. Dans un atelier, une pièce doit passer sur 5 machines A, B, C, D, E. 1° Combien y a-t-il de trajets possibles, si l'ordre des passages sur les diverses machines est indifférent? 2° Combien y a-t-il de trajets si la pièce doit passer en A avant B et D, en C avant E? Construire le diagramme séquentiel correspondant. 10
ANALYSE COMBINATOIRE ç Le rôle important de la Statistique et des Probabilités dans le développement scientifique actuel confère de l'intérêt aux problèmes de dénombrement dont sloccupe l’Analyse Combinatoire. Q De tels problèmes de dénombrement nous sollicitent d’ailleurs fréquemment dans la vie courante, par exemple : »— de combien de façons peut-on former un Bureau, composé d’un président, d"un secrétaire et d'un trésorier, à choisir parmi douze personnes supposés égale- ment compétentes? — dans une course de quinze chevaux, combien existe-t-il « d'arrivées » possibles ? — de combien de façons peut-on former une « main » de treize cartes dans un jeu de cinquante-deux? 9 Dans cette leçon, nous montrons que le langage ensembliste est particulièrement adapté pour traduire ces problèmes qui se rattachent : le premier, à la notion dïnjection 1l’un ensemble fini dans un autre; le deuxième, cas particulier du précédent, à la notion de bijection tl’un ensemble fini sur lui-même; le dernier, à l’e’tude de l’ensemble des parties cl’un ensemble fini. 0 Cette étude nous sera l’occasion de montrer que les diagrammes séquentiels présentés dans la leçon précédente permettent de dénombrer toutes les possibilités sans en oublier aucune, ni en compter une plusieurs fois. 129
ANALYSE COMBINATOIRE l 1. PERMUTATIONS EXEMPLE û Dans une course entre 15 chevaux, combien existe-t-il d'arrivées possibles des 15 chevaux? Soitl,5l'ensemble des 15 places, et E = {a, b, c, ..., n, o} l'ensemble des 15chevaux_ Il s'agit d'attribuer un numéro (et un seul) aux 15 éléments de E. Une « arrivée » est donc le résultat d'une bijection de lu dans E. ll y a donc 15 X 14 >< ... >< 2 ><1 possibilités. 0 Nous représentons (fig.1) une bijection de ladans l'ensemble E : {a, b, c} de trois éléments et indiquons (fig. 2) les 3 >< 2X1 : 6 bljections possibles. Soit A un ensemble fini, de cardinal n. Par définition même du cardinal d'un ensemble fini, il existe une bijection entre A et le segment initial [1, n] de l'ensemble ]N des entiers naturels (99 leçon, ê 3). o DÉFINITION On âppelle permutation de l'ensemble A, toute bijection du segment [1, n] sur . Une permutation de A est donc une numérotation de 1 à n des n éléments de A, numérotation que l'on peut mettre en évidence en écrivant simplement les élé- ments de A dans l'ordre de cette numérotation. Si par exemple A : {a, b, c, d} et si {(1, b), (2, d), (3, a), (4, c)} est le graphe d'une permutation de A, alors, en mettant les éléments de A dans l'ordre voulu, la permutation pourra se noter (b, d, a, c) ou b d a c. o PROPRIÉTÉ Sur le diagramme séquentiel des permutations de A (cf 10° leçon, ê 3) il y a n! points terminaux; donc, le nombre P,, des permutations de A est : ��q , 130
ANALYSE COMBINATOIRE . 2_ ARRANGEMENTS EXEMPLE Dans une course entre 15 chevaux, combien existe-t-il possibles des 3 premiers chevaux dans l'ordre? Soit la: {1, 2, 3} l'ensemble des 3 places, E: {a, b, c, ..., m, n, o} l'ensemble des 15 chevaux. Il s'agit d'attribuer un numéro (et un seul) à 3 éléments de E. Le problème revient donc à déterminer le nombre des injections de l3 dans E. Or il existe 15 façons possibles d'attribuer le numéro 1. Une telle possibilité ayant été choisie (fig. 3), il reste 14 possibilités d'attribuer le numéro 2; soit 15 >< 14 possibilités d'attribuer les numéros 1 et 2. Les numéros 1 et 2 ayant été attribués (fig. 4), il reste 13 possibilités d'attribution pour le numéro 3. Il existe donc 15 X14 >< 13 : 2 730 « arrivées » possibles! Et il existe 2 730 injections de l3 ensemble de 3 éléments, dans E, ensemble de 15 éléments. d'arrivées Fig. 3. Fig. 4. Fig. 5. La figure 5 indique, en traits pleins, une injection q) parmi les 2 730 possibles : celle pour laquelle cp (1) : b, q: (2) : n, q) (3) : d. Pour d'autres injections, cp (3) est indiqué en pointlllé. g DÉFINITION Si A est un ensemble fini, de n éléments, et p un entier au plus égal à n, on äppellä arrangement de p éléments de A, toute injection du segment [1, p] ans . Un arrangement de p éléments de A est donc une numérotation de 1 à p de p éléments distincts de A. Si A: ta, b, c, d,e} alors, des arrangements distincts de trois éléments de A sont par exemple : (a, d, e), (d, e, a), (c, e, d), etc... . PROPRIÉTÉ Si l'on construit l'arbre des permutations (cf. 10°leçon, ê 3) de A, en s'arrêtant à la p-ième génération, on obtient l'arbre des arrangements de p éléments de A. 131 11
ANALYSE COMBINATOIHE 11 En désignant par Afl le nombre d'arrangements distincts de p éléments pris dans un ensemble qui en renferme n, alors : Afi=n(n——1) (n—2) @6� (n——p+ 1) Par exemple : A3 : 6.5.4 :120. On exprime également A5; sous la forme, plus condensée : __ _ _ _n(n—1)...2.1 Afi- n(n 1) (n p+ 1) — Îfi) “.24 l An _—_ ___"__. “ (n —- P)! g REMARQUE Si n = p, nous savons que Al,‘ = Pn : nl. Or, en appliquant la formule ci-dessus, on a : Af} = ��� et Afi : n! Pour cette raison, on convient de poser : 0! = 1. EXEMPLE Un mot étant une suite de lettres, combien, avec les 5 lettres a, b, c, d, e peut-on former de mots distincts de 3 lettres dans lesquels les trois lettres sont distinctes. Un mot dans lequel les trois lettres sont distinctes est évidemment obtenu par un arrangement de 3 lettres choisies parmi 5. Leur nombre en est : AÊ : 5.4.3 : GÛ. I 3. COMBINAISONS EXEMPLE Combien de délégations difiérentes peut-on former en choisissant 3 personnes parmi 15? Ou : dans une course entre 15 chevaux, combien de paris faut-il engager pour être sûr de jouer les 3 chevaux gagnants, sans ordre? —— Le nombre d'arrangements de 15 personnes 3 à 3 est Aîs. Or, toute bijection d'un arrangement sur lui-même donne... la même délégation, ou partie de 3 élé- ments, parmi les 15. Pour chaque arrangement, il existe 3| permutations (â 1). — Inversement, toute partie constituée de 3 éléments conduit à P,:3! arran- gements. 132
ANALYSE COMBINATOIRE — Le nombre de délégations de 3 personnes est donc : Aï, _15-14-13 Α 1-2-3 = 455. o DÉFINITION Si A est un ensemble fini de n éléments et p un entier au plus égal à n, on appelle combinaison de p éléments de A, tout sous-ensemble de A renfermant p éléments. X est une combinaison de p éléments de A <=> (X c A et Card (X) = p) Si A : 3a, b, c, d, e}, nous avons vu que (a, d, e) et (d. e, a) sont deux arrange- ments distincts de trois éléments de A. il leur correspond la même combinaison : fa, d, e}. L'ordre intervient dans les arrangements, il n'intervient pas dans les combinaisons. On posera, par définition : C5 = nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n. g CALCUL DE C5 Pour obtenir un arrangement de p éléments pris dans un ensemble qui en renferme n, on peut procéder de la façon suivante : —— construire d'abord une combinaison de p éléments, —— numéroter de 1 à p, les p éléments choisis, donc effectuer une permutation de cette combinaison. Le nombre d'arrangements dep éléments parmi n est donc le produit du nombre de combinaisons de p éléments par le nombre de permutations sur ces p élé- ments. Il en résulte que : cg; . P, = A}: d'où: ps.c;;= ä et: c: z pKnrïI-p) l z n(n ——1)1..2..(-rl.;-P+1) Par exemple: c: = g = 5s. o PROPRIÉTÉS pas NOMBRES c: o C'.l”"= C: Cette propriété se vérifie immédiatement sur la formule. On peut également remarquer qu'il y a autant de sous-ensembles de p éléments pris parmi n, qu'il y 133 11
ANALYSE COMBINATOIRE en a renfermant (n-p) éléments : ll sufflt de faire correspondre à tout sous- ensemble de p éléments. le sous-ensemble complémentaire qul en renferme (n-p). 9- à: 3:1 En efiet. Cf, est le nombre de sous-ensemble vide d'un ensemble de n éléments : ll n'y en a qu'un seul. Par ailleurs. la formule donne. en appliquant la conventlon 0l= 1. conventlon qul se trouve à nouveau justifiée : n ! 0!.n!:1 C3: eŒ=n ll y a. en effet. évidemment autant de sous-ensembles d'un seul élément qu'il y a d'éléments dans l'ensemble donné. 0 c: = 3L4 P'� P*� (n——1)l (n——1)l E" "et CL‘ + Cäjzpl (n—1 — p)! + (p—1)! (n —-p)! _ n—p+p _(n——1)l[——îpl(n_p)l] n! ' ——_j_— P "p! (n ml-C“ g TRIANGLE DE PASCAL De la relation de récurrence ci-dessus. nous allons déduire la construction d'un tableau. appelé triangle de Pascal. dont les termes seront les valeurs des nombres Ci’. Ce tableau est représenté sur la figure 6. Les 1 qui bordent le triangle. à droite et à gauche. sont les valeurs de Cf, et C3. Sur la première ligne. le seul terme est donc la valeur de C3. Les valeurs des nombres C}: se trouvent donc. lorsque p varie. sur la (n + 1)ème ligne. La valeur de n qui correspond à une ligne est du reste facile à trouver : c'est le deuxième terme de cette ligne. D'après la formule de récurrence. tout terme du tableau. autre que les termes extrêmes. est la somme de deux autres : le terme au-dessus et le terme à gauche de ce dernier. Fig. 6. Sur la figure 6. sont cerclés les trois termes correspondant à la relation : ê=Câ+CL 134 11
ANALYSE COMBINATOIRE I 4. SIMPLEXES Nous avons défini (cf. 8° leçon, â 3) les simplexes. Les questions traitées ci-dessus se rattachent à des problèmes de dénom- brement dans le simplexe associé à un ensemble En de n éléments. La figure 7 représ'ente le simplexe associé à un ensemble E de 4 éléments, ici, (a, b, c, d). Fig. 7. Ainsl, dans l'ordre d'exposition des problèmes : o les permutations correspondent aux chemins joignant l'ensemble la à l'en- semble E. Sur la figure 7, il y a 24 chemins allant de Q) à E; P, :- 24. o les arrangements de n éléments p à p correspondent aux chemins qui, à partir de l'ensemble 0 aboutissent à une partie située au niveau p. Ainsi sur la figure 7, il y a 6 chemins aboutissant à {a, b, c} ; chacun correspond à un arrangement : les 3 éléments a, b, c étant rencontrés. dans le trajet, dans l'ordre occupé dans l'arrangement. Puisque au niveau 3 se trouvent 4 parties, AË = 6 >< 4 : 24. o les combinaisons de n éléments p à p sont les sous-ensembles situés au niveau p. Ainsi, figure 7, Cî est le nombre de parties situées au niveau 3, soit C“ : 4. En raisonnant par récurrence sur n, nombre d'éléments de l'ensemble E, la construction du simplexe 21E) permet de retrouver les résultats de ce chapitre. 135 11
136 ANALYSE COMBINATOIRE 5. EXEMPLES DE PROBLÈMES DE DÉNOMBREMENT PREMIER EXEMPLE Avec un jeu de 32 cartes, combien de « mains » de 8 cartes, contenant deux rois, peut-on former? Pour obtenir toutes les combinaisons demandées, il suffit : de former une « main » de 6 cartes prises parmi les 28 restantes lorsqu'on a retiré les 4 rois, d'adjoindre ensuite, à chaque «' main », deux rois pris parmi les 4. Or le nombre de combinaisons de la première sorte est Cgg. A chacune correspond C? façons d'adjoindre deux rois. 28v27-26v25v24-23 1-2-3-4-516 4.3 D'où le nombre de « mains » demandé est: n : cägcî : Té soit n :28-27-26—23-5 : 2260440. DEUXIÈME EXEMPLE Sur 20 personnes, 10 lisent une revue A, 8 lisent une revue B et 3 lisent les deux revues. De combien de facons différentes peut-on choisir 5 personnes parmi les 20 si ; n chacune des cinq personnes lit au moins une revue; g trois d'entre elles lisent la revue A, les deux autres lisent la revue B, chacune d'elles ne lisant qu'une seule revue; 9 trois d'entre elles au moins lisent la revue A? On peut répartir les 20 personnes en 4 groupes : —— celles qui lisent A et B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 personnes, — celles qui ne lisent que A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10— 3 : 7 personnes, — celles qui ne lisent que B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8fi 3: 5 personnes, — celles qui ne lisent ni A, ni B . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20«15 : 5 personnes. Soit U l'ensemble des 20 personnes, soit a et b respectivement les ensembles des personnes qui lisent A et celles qui lisent B, alors les quatre groupes pré- cédents sont respectivement : anb ahb b-a U-(aub) fi Si la première condition est remplie, les 5 personnes sont choisies dans a u b. Le nombre des combinaisons est ': 15.14.13.12.11 _ —Î_2_3_4_5 ‘**— 3 003. sur v1 C gsi la seconde condition est remplie, 3 personnes sont choisies dans (a — b) et les deux autres dans (bfia). Pour chaque combinaison de 3 personnes ne lisant que A, il y a Câ combinaisons de 2 personnes ne lisant que B. Le nombre total est donc : C? . CË=35><10_—_350. ‘l1
11-1 11-2 11-3 11-4 11-5 AN ALYSE COMBINATOIRE 9 La troisième condition est remplie dans les trois cas suivants : — 3 personnes, exactement, lisent A, — 4 personnes, exactement, lisent A, — les 5 personnes lisent A. Seuls nous intéressent ici les ensembles a et (U ——a). Comme pour ia question précédente, nous obtenons : Î.) . CÎ0:12O><45:5 400 ‘L, . Ch, : 210 >< 10 : 2 100 pour le second cas, C20 : 252 pour le dernier cas. En tout, il y a donc 5 400 + 2100 + 252 : 7 752 façons différentes de choisir les 5 personnes en respectant la dernière condition. pour le premier cas, . EXERCICES On considère les nombres de 4 chiffres du système décimal, le premier chiffre (de gauche) étant différent de 0. Combien existe-t-il de tels nombres dans lesquels les 4 chiffres sont distincts ? Combien y a-t-il alors de nombres de 4 chiffres dans lesquels deux des chiffres, au moins, sont identiques? Démontrer la formule A5: AL, +p . A?“ n—1 Construire un triangle analogue au triangle de Pascal, dans lequel les termes seront les diverses valeurs de A}; pour n S 8. Dans un comité de 10 personnes réparties en deux groupes de 5, on procède à l'élection d'un bureau constitué d'un président, d'un vice-président et d'un secrétaire. 1° Combien de bureaux différents peut-on constituer avec les 10 personnes? 2° Combien de bureaux différents peut-on constituer si le président et le vice- président doivent appartenir à deux groupes différents? 1° Dans un lot de 20 pièces fabriquées, on en prélève 4. De combien de façons différentes peut-on faire ce prélèvement? 2° On suppose alors que, sur les 20 pièces, 4 sont mauvaises. De combien de façons différentes peut-on faire aiors le prélèvement si : a) les 4 pièces choisies sont bonnes? b) une au moins d'entre elles est mauvaise? c) une et une seule est mauvaise? d) deux au moins sont mauvaises? Dans une pochette il y a 10 timbres :3 rouges, 5 bleus et 2 verts. On en choisit 4. De combien de façons différentes peut-on faire ce choix sachant que : 1° les timbres choisis sont de la même couleur? 2° une et une seule des couleurs ne flgure pas dans les timbres choisis? 3° les trois couleurs figurent parmi les timbres choisis? 137 11
11-6 11-7 11-8 11-9 11-10 11-11 11-12 11-13 11-14 138 ANALYSE COMBINATOIRE 11 On choisit 5 cartes dans un jeu de 32. De combien de façons difiérentes peut-on faire ce choix, si parmi les 5 cartes, il y a : 1° exactement 3 rois? 2° au moins 3 rois? 3° 2 cœurs et 3 piques? 4° 2 cartes d'une couleur et 3 d'une autre? nl n! (n—2)! (n——1)! Simplifier les expressions : (n +1) !—— n! Déterminer n pour que l'une des conditions suivantes soit remplie : (1) ci = 190 (2) c2 r: 220 (3) cf, : cî. (4) AÎ, : 9o n. Calculer la valeur du rapport : C11 ' Cên Cä. 9+1 Calculer le rapport a o Pour quelles valeurs de p, ce rapport est-il inférieur à 1 ? Comparer les nbmbres C}; lorsque p varie, n étant fixe. Quelle est, dans ces conditions, la valeur maximum de C31? Pour quelle valeur de p est-elle atteinte? (on envisagera deux cas selon la parité de n). Démontrer les formules suivantes : 1° cm : off‘ + 2c’; + c f‘ o k Ic_ k . 2Cn-Cïk_Cî-C sI p k<p<n. Rechercher sur le triangle de Pascal, un moyen simple de calculer la somme des termes d'une colonne. Trouver et démontrer la formule correspondante. Appliquer cette formule à la somme des n premiers nombres entiers. Binôme de Newton. Soit a et b deux nombres réels. 1° Calculer (a —l— b)2, (a + b)“, (a + b)‘. Vérifier que (a+b)“:C2 . a°+ C; . aib-l- Cgabhl- Cgb“. 2° Démontrer, par récurrence, que (si n e ]N) : (a+b)n=cfian+ c_'_ an-I b + +Cäarpbn+ �g +cfi bn. (cette formule s'appelle formule du binôme de Newton). 3° En déduire le développement de (1 + x)“. Calculer, à l'aide de la formule du binôme, les expressions : (x * y”! P�u "l" zx/sr ��c È X),-
11-15 11:2 ANALYSE COMBINATOIRE 11 Vérifier, à l'aide de la formule du binôme : c?_+ c}, +cfi + � +cg=2n cg—c,‘_ + cfi— ps + r_—1)nc;;=o Que peut-on déduire de la première formule? l INDICATIONS . Newton (lsaac) né 1e 25 décembre 1642 à Woolsthorpe, mort à Kensington le 20 mars 1727. L'un des plus grands génies scientifiques de tous les temps. En mathématiques, fut 1’inventeur (avec Leibniz, mais de façon indépendante) du calcul infinitésimal (différentiel et intégral). En physique, sa contribution essentielle fut sa théorie de la gravitation universelle. Citons deux «découvertes» accessoires : en mathématiques, le développement du binôme; en physique, le fait que la lumière blanche est le résultat de la combinaison de toutes les couleurs. Newton fut conduit à la découverte des méthodes infinitésimales par l'étude de pro- blèmes du genre suivant : « vitesse » d'un mobile et, inversement, distance parcourue par un mobile dont la vitesse varie. ll découvrit alors le « théorème fondamental du calcul diférentiel et intégral » et introduisit la notion d’e'quations dtflérentielles. . Pascal (Blaise) né le 19 juin 1623 à Clermont-Ferrand, mort le 19 août 1662 à Paris. Philosophe, écrivain, physicien et mathématicien. En mathématiques, son œuvre la plus originale (établie avec Fermat) fut sa théorie des probabilités (le « triangle arithmé- tique » était l'aboutissement de recherches sur les dénombrements); son œuvre géométrique (géométrie perspective ou projective) semble lui avoir été inspirée par Désargues. Utiliser la formule A}; = . . . 1° Oter les 4 rois, . . ., choisir 2 cartes parmi les 28 restantes . . . Utiliser les expressions de C}; ou A5,‘. 1° Méthode par le calcul. Utiliser l’expression de C,'_'. Méthode directe. Parmi les combinaisons de (n + 2) éléments, distinguer 2 éléments, disons a et b, des n autres et compter les images contenant a et b, a ou b, ni a, ni b . . . 2° Poser (a + b)" = P� Remarquer que (a + b) ‘+1 = (a + b)!‘ (a + b). Utiliser la propriété (4°) des nombres C3. Développer (1 + x)’- et remplacer x successivement par . . . 139
I40 LE CORPS DES NOM BRES COM PLEXES Q Cette leçon est un bel exemple de construction d'une théorie entièrement axiomatisée. C'est ce qui la justifie amplement en classe de Terminale A comme illustration du cours de logique. Bien entendu, du point de vue scientifique, il ne s'agit pas seulement d'un jeu de l'esprit, d'une construction « gratuite » : les applications de cette théorie sont nombreuses. Nous ne les aborderons pas ici. Q Rappelons brièvement quelques résultats connus. — Si m et n sont deux entiers naturels donnés nous savons que l'équation m + xân Par exemple, l'équation 3 + x à 1 n'a pas de solution, tandis que 3 + x â: 5 a pour solution (unique) 2. a des solutions, si et seulement si, n 2 m. Au contraire, quels que soient les entiers relatifs oc et B, l'équation oc + x fit [3 a toujours une solution (unique). Par exemple, l'équation 3 + x : 1 a pour solution unique ——— 2. — Mais dans l'ensemble des entiers relatifs, non nul, l'équation, en x : a . x â: B Par exemple l'équation (— 2) . XâES n’a pas de solution, tandis que (— 2) . x à 8 a pour solution (unique) — 4-. n’a pas toujours de solution. Au contraire, dans l'ensemble des nombres rationnels, non nul, toute équation, en x, de la forme u . x â: v a une solution (unique). Ainsi (— 2) . x â 5 5 a pour solution— ï - —— De même, si p est un nombre réel donné, l'équation x2 ä p a : deux solutions si p est strictement positif (ces solutions sont V/p et — \/p) ; une solution (x : 0) si p = 0 ; pas de solution si p est strictement négatif Ainsi, dans l'ensemble des nombres réels les équations x2 â —— 4 et x2 â ——— 1 n'ont pas de solution tandis que x2 à 1 a pour solutions les nombres 1 et ——— 1.
LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES g Nous pouvons alors nous poser la question suivante : est-il possible « d’ima- giner » un nouvel ensemble dans lequel, quel que soit l’élément C donné, l’êquation x” é} C a toujours (au moins) une solution ? Q Comme toujours en mathématiques, ce nouvel ensemble ne sera pas construit à partir de rien : nous supposerons qu’il satisfait diverses conditions (axiomes posés a priori). g Alors le plan logique d'étude d’un tel problème est le suivant : — admettre que le problème posé a une solution; —— en déduire les conditions nécessaires auxquelles doit satisfaire cette solution; — construire eflectivement un modèle satisfaisant à ces conditions; — vérifier que le modèle construit est bien solution du problème pose’. 1, AXIOMES DE LA THÉORIE Pour résoudre le problème ci-dessus, nous devons poser aprlori certains axiomes. ll est clair que «l'idéal» serait (afin de« conserver »les propriétés déjàdémontrées) que le nouvel ensemble « contienne» l'ensemble des nombres réels. D'autre part, l'ensemble des réels étant un corps commutatif (Cf. 7' leçon), nous souhai- terions ne pas perdre les avantages de cette structure. Enfin, tout élément de l'ensemble devant être un carré, il existe un (au moins) élément de l'ensemble dont le carré est égal à — 1. g Axiomes. A; A. Nous supposons : qu'il existe un ensemble E muni de deux opérations internes, appelées addition et multiplication, notées + et -, tel que (E, +, -) soit un corps commutatif; que l'ensemble 1R des réels est un sous-corps de E (c'est-à-dire un corps inclus dans E); qu'il existe un élément de E, noté i, tel que U)” + 1 = (i)’ = -1). 0 (ou 141 12
.8‘, C. 142 LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES 12 2_ RECHERCHE DES CONDITIONS NÉCESSAIRES Quels que soient les réels a et b, a + lb En efiet. si b est un réel quelconque : d'après A,, b e E. Or beE et ieE impliquent, d'après A1, i b e E. Enfin a e E et i b e E impliquent. d'après A1, a+ib e E est élément de E. a pH� .0- Dans E, b pH� aÿ+lfil=0 <=> En efiet l'égalité a + ib : 0 équivaut, dans le corps E, à : ——-a : ib. Supposons b 9è 0. Alors, dans 1R, il existe un inverse, b“, de b. Par suite i=—a . b-l et ie 112, ce qui n'est pas. Il en résulte b = 0, puis a : 0. Réciproquement. b=0 implique ib: 0 ( puisque C est un corps). Par suite, si, de plus, a = 0, alors a + ib : 0. Plus généralement, dans E : n + lb = a’ + ib‘ <=> ��� �A� ll îîn En efiet, puisque E a une structure de corps, a+ib =a’+Ib’ <=> (a-a’) +i(b—b’) :0. D'après C; ceci équivaut à : a : a’ et b = b’. Dans E, l'addition est telle que : ia.+lb.)+ia_.,+lb.)sinx+g+içh,+bo En efiet, par assoclativité et commutativité de la loi + : (a: + ibl) + (a2 + Ïbz) = (a: + a2) + (ib: + I'bz)- La distributivité de la loi . sur la loi + conduit à : (ib, + ib:) : i(b, + b2) d'où le résultat. Dans E, la multiplication est telle que : (a. + ib:) - (a. +111.) = aaæëbzbrl- l(a1b.+ alu) En effet. la distributivité de la multiplication sur l'addition conduit à : (a1 ‘l’ Ïbx) - (32 + Ïbz) :5 3132 ‘l’ 31/172 + M7132 ‘l’ Ibi/‘bz- L'assoc|ativlté de + et de ><, la commutativité de + et >< et la relation i’ = —1 conduisent à : (a, + ibl) . (a, —l- ibg) : ala, — blb, + i(a1b, + azbl).
LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES 12 l 3. L'ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES o DÉFINITION D'après C. , à tout couple (a, b) de nombres réels correspond un élément unique de l'ensemble E. Si l'on désigne par z cet élément [on note z = (a, b)] les conditions C. C. C. C. C, conduisent à définir dans l'ensemble 1R‘, des couples de nombres réels, les opérations suivantes : — l'égalité, définie comme toujours entre deux couples (cf. 3° leçon), par 31:: siz.=(a..b.> et z.=<a..b.> z. = z. <=> — l'addition (notée +) : si z. = (a., b.) et z. = (a. b.) alors, z. +- z._= (a. + m. @3� +15) —— la multiplication (notée ><) : si z. = (a., b.) et z. = (a., b.) alors, z. x z’. =' (ma. -— I»)... au». + ma.) L'ensemble des couples de nombres réels, structuré comme il vient d'être dit est appelé ensemble C des nombres complexes. l 4. LE GROUPE COMMUTATIF (C, +) o COMMUTATIVITÉ DE L'ADDITION Soit z. : (a., b.) et z. : (a2, b2). Alors z. + z. = (a. + a2. b. + b2) et Z2 ‘l’ Z1 : (32 ‘l’ au b2 “l” b1)- De la commutativité de l'addition des réels, résulte celle de l'addition des nombres complexes. Donc : v2.20 . -vz.eC z.+z.::z.+z. 143
LE CORPS OES NOMBRES COMPLEXES 12 o ASSOCIATIVITÉ DE L'ADDITION Soit z, : (3,. b,), z, : (a2, b2) et za : (a3. b,). Par définition de l'addition : (Z1 + Z2) + Z3 = [(31 "l" 32) + 3a: (b1 + b2) + b3] eÏ Z1 + (Z2 + Z3) ï [31 ‘l’ (a: + 3s): b1 + (b: ‘l’ 173)]- La propriété résulte de Passociativité de l'addition dans 1R. Donc : V (Il! 1.. z.) ê C (:1 + z.) + z. = z; + (z. + z.) On notera donc z, + 22+ z, (sans parenthèses). o ÉLÉMENT NEUTRE Quel que soit z : (a. b), (a. b) + (0, 0) z (a. b). Donc l'élément (o, o) est neutre dans C pour l'addition : -vze C z+(0.0)=I o SYMÉTRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE Quel que soit z : (a. b). considérons z’: (—a.H b). Alors z+z':(a—a,b—b):(0.0). Tout nombre complexe admet un symétrique (ou opposé). Les nombres complexes (a, b) et (— a, —b) sont dlts opposés. D'où |'énoncé (cf. 7e leçon, 5 1) : THÉORÈME. (C. +) est un groupe commutatlf o CONSÉQUENCES DE LA STRUCTURE DE GROUPE ADDITIF 1° Tout nombre complexe est régulier pour l'addition, dest-à-dire : V(z,,z,,z)EC’ z,+z=z,+z <=> z,=z. Cette propriété a été démontrée 7° leçon (5 2, propriété P, ) pour tout groupe. On peut faire ici une démonstration directe en ajoutant l'opposé de z aux deux nombres complexes égaux (z. + z) et (z, + z). 2° Dans l'ensemble C des complexes, l'équation en z, z, + z #1, a une solution unique. Cette propriété a été démontrée 7' leçon (ê 2, propriété P. ) pour tout groupe. On peut faire icl une démonstratlon directe en ajoutant aux deux membres l'opposé de z,. 144
LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES 12 La solution unique est z = opposé de z, + z, noté z = — z, + z, ou z = z, — z, (grâce à la commutativité de l'addition). On dit aussi que l'on soustrait z, de 2,. Donc, dans l'ensemble C des nombres complexes la soustraction est toujours possible. Si z, : (a,, b,) et z, : (a,, b,) alors z, — z, : (a, —— a,, b,— b,). o DEUX SOUS-GROUPES DE (C. +) D'après la définition de l'addition, tout nombre complexe z = (a, b) s'écrit sous la forme : = (a, 0) + (0, b) Désignons par (C,) et (C2) les sous-ensembles de C ainsi définis : ((3,) = jz; z = (a, 0) avec a e 1R} (C,)= 32; z= (0, b) avec belRl. Démontrons que ((2,, +) et (C2. +) sont des sous-groupes de (C, +). Cela signifie que la restriction de la loi + à C, [resp. (C,)] munit C, [resp. C,)] d'une structure de groupe; c'est-à-dlre que: la loi est interne (la somme de deux éléments de C, [resp. (C,)]appartient à C,); associative; que l'élément neutre appartient à (C) [resp. à (CQJ; que tout élément de C, [ou (C,)] admet un symétrique dans C, [ou (C,)]. Toutes ces propriétés se démontrent immédiatement. o Première écriture simplifiée d'un nombre complexe. —— Soit (x, 0) un élément de C, et q: l'application de 1R dans C, telle que : x e 1R e?» q>(x) = (x, 0). L'application cp est injective car : (x, 0) = (x', 0) implique x = x’. L'application cp est surjective, car, quel que soit u e ((3,) cet élément est image, par cp, d'un réel. En effet, si u = (a, 0) alors cp(oL) = u. L'application q: est donc une bijection de 1R sur (C,). De plus, quels que soient les réels x, et x, ‘P(X1 + X2) = (X1 + X2: o) = (x,, 0) + (x,, 0) (définition de l'addition) Donc <p(X, + x,) = <p(x,) + <p(x,). —— ll n'y a donc pas de confusion à identifier le nombre complexe complexe (élément de (3,). (a, O), avec le réel a. En particulier (0, 0) sera noté 0 et (1, 0) sera noté 1. C'est ce qui conduit à l'écriture simplifiée du nombre complexe z == (a, b) sous la forme : z = a + (o, b) 145
LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES 12 I 5. LE GROUPE COMMUTATIF (C*, .) 0 ASSÔCIATIVITÉ DE LA MULTIPLICATION V(ÎnZu ZJËIC’ (ZI'Zn)'Za=ZI'(Zo‘1:) Posons z, : (a,. b,), z, : (a,, b,), z, : (a,, b,). Alors z, - z, : (a,a, —— b,b,, a,b, + a,b,) et (Z1 ' Z2) ' 1a z (31323: — axbzba — azbibs * asblbzu 3233171 ‘l’ 3331172 ‘l’ 3132173 * blbzba): expression dans laquelle a,. a,, a, jouent le même rôle, ainsi que b,, b,, b3. Par suite (z, - 2,) - z, : z, — (z, - 2,), que l'on note. sans parenthèses, z, - z, - 2,. o COMMUTATIVITÉ DE LA MULTIPLICATION V (in 10€ C‘ I: ' Z: :11: ' Z: Posons z, : (a,. b,) et z, : (a,. b,). Alors z, — z, : (a,a, — b,b,, a,b, + a,b,) et 12 ' Z1 = (3231 — bæbn 32h: + 31132)- La propriété résulte de la commutativité des lois —l— et >< dans 1R. o UÉLÉMENT (1, o) EsT NEUTRE POUR LA MULTIPLICATION En efiet. quel que soit z : (a, b), par définition de la multiplication : (1, o) - (a, b) : (1.a — o.b,1.b + 0.a) (1.0) - (a. b) = (a. b)- o TOUT NOMBRE COMPLEXE, DIFFÉRENT DE (0, 0), EST INVERSIBLE En efiet, le nombre complexe z = (a, b) est inversible s'il existe z’ = (x, y) e C tel que z (a. b) - (X4) = (1. 0) . . _ ç ax — by = 1 Ce qui équivaut à. Ï bx + ay = o. (1) 1° Si a” + b” 9è 0, le système (1) admet la solution unique : a __——b_q a’+b= y-a’ 146
LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES 12 L'inverse de z est noté P�� Donc, si a‘ + b‘ çà O, i'inverse de z : (a. b) est : 1 _ a _ — b _ z — <a’ 4-?’ a’ + b’) 2° Si a’ + b’ = 0, le système (1) n'a pas de solution : 0x — Oy = 1 n'est vérifié pour aucun couple (x, y) e 1R X 1R. D'où le théorème : c —— «on»; = c*_ est ungroupe multipficagt o CONSÉQUENCES DE LA STRUCTURE DE GROUPE MULTIPLICATIF 1° Tout nombre complexe. distinct de (0, 0). est régulier pour la multiplication : v(z,,z,) e C! vze 0* ’z,_-z=z.4-z‘ => ‘i, =z, En efîet : si z : (O, O). 21 - z r: z, - z quels que soient z, et 22. si z z‘. (0, 0). ii admet un inverse. soit z’. Donc z; -z:z,-z =>(z. -z) -z’: (zz-z) -z’ et par suite z, : Z2. 2° Dans C*. l'équation (en z), 1,; z a z, admet une solution unique. 1 On démontre comme ci-dessus (ê 4) que ia solution unique est 22X �I� 1 que l'on note Ê- Autrement dlt, dans C* la division est toujours possible. 1 o UN SOUS-GROUPE DE (C*, .) Démontrons que (C3, -) est un sous-groupe de (C*. -). — La multiplication est une opération interne dans (Cfl. -). En efiet. si u, = (x, 0) et u, = (x, 0) alors u, -u, = (x,x,, 0) e Cf‘; — L'élément unité (1, 0) GCË: — Si u = (x, o) e c)‘, alors = �� o) e cr, REMARQUE (Cf, -) n'est pas un sous-groupe de (C*. -). il est possible de donner diverses conditions suffisantes de ce résultat, par exemple : (1, 0) e C,*. 147
LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES 12 o NOUVELLE EcRITuRE SIMPLIFIÉE DEs NOMBRES coMPLExEs Considérons l'application q) de 1R dans C; (définie au 54) telle que x e 1R -e> q;(x):(x,0). Nous savons que cp est une bijection. or ‘P(X1 ' X2) z (X1 X2: o) ï (X1: o) ' (X2: o) = <P(X1) ' CP(X2) Donc la convention posée (ë 4), à savoir z écrire a, le complexe (a, 0) (élément de C1) est conforme aux propriétés de la multiplication. Or, quel que soit le réel b, (0, b) = (b, 0) . (o. 1) Par suite (0, b) = b . (0, 1) Ceci conduit à écrire le nombre complexe z == (a, b) sous la forme simplifiée : z=a+b-(0,1) l 6. LE CORPS (C, +, -) o DISTRIBUTIVITÉ DE LA MULTIPLICATION SUR L'ADDlTlON v(z..z:.z.)e C‘ z. . (2-+z.)zz,-z.+z1-z. Posons : z. = (a1, b.) z, = (a,, b2) z, = (aa, b3). Alors : z, - (z, + 2,) = (au b,) - (a, + a3, b, + b3) = [(3432 "l" 3a) — 171w: + ba. 31m2 + b3) + 17103: + 33)] = (a,a, — b,b,, a,b, + blag) + (alaa —« blbs, a,ba + b1a,) z,-(z,+z,)=z1-z,+z,-z,. Il résulte des propriétés démontrées (ê 4, 5, 6) que : (C. +9 °) est un corps commutatif 0 ÉCRITURE DEFINITIVE DES NOMBRES COMPLEXES Si z = (a, b), nous avons démontré que z = a + b - (0,1). Désignons par i le nombre complexe égal à (0, 1), alors : z = a + bl On désigne par : partie imaginaire de z, le réel b; partie réelle de z, le réela. 148
LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES 12 o RÈGLES DE cALcuL DANS c ll n'y a aucune règle de calcul à retenir : on calcule dans C comme dans tout corps commutatif. Puisque le corps (C. +. -) des complexes a été obtenu par adjonction du symbole i au corps (R. +. -), il suffit donc de connaître les puissances successives de i. Orsi i=(0,1) i‘=(0,1)><(0,1)=(—1,0)=——1. Parsuite i°=i”><i=—i et i‘=i2><i2=(—1)><(—1)=+1. Plus généralement, si n e IN : iln ___ 1 in»! ___ i ‘jan-i: z __1 pn+g = _; Il résulte de là : -— Addition : (a, + ib,) + (a, + ib, = (a, + a,) + i(b, + b,). -— Multiplication : (a, + ib,) >< (a, + ibg) = ala, + ialb, + ib,a, + Pblb, = 3132 —' bxbz ‘l’ Î (31172 + 17132)- — Division : Nous avons démontré que l'inverse de z = (a, b) (avec z 9è 0) est 12: 5.75a’ pZ <5 5” C'est-à—dire que l'inverse du nombre complexe a + ib est a-zîîîz-iäé. Or a” + b’ = (a + ib) - (a—ib). D'où l'idée d'associer au nombre complexe (a + ib) le nombre complexe (a — ib) noté ï et appelé complexe conjugé de z. Alors : 1 1 ____-.z z a”+b” Plus généralement. «Z3 = Z1 ' �8 z 22.2’ 'b) (a ib) Par suite si z, = a, + ib, et z, = a, + b2, alors 2 = Ë2), 2- 5°“ 5 ___ 31 3a + b1 b4 + “b1 a: '—_Ê'1 b!) la — Q1)’ + (b2? I 7. RETOUR suR LE PROBLÈME POSÉ Le problème que nous nous étions posé, nous a conduits à construire un nouvel ensemble, celui C des nombres complexes. Il reste à vérifier que cet ensemble est bien une solution du problème. o Or (C, +. -) est un corps commutatifdont (112. +, -) est un sous-corps (â 6). o Il reste à démontrer que, dans C, l'équation z’ = C, avec C e C, a une solution au moins. 149
LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES Soit 2; = a + ib le nombre complexe donné; posons z = x + iy, Alors 22 = (x + iy)’ = x2 —y“ + i2xy. L'équation z? = C équivaut au système X2 _y2 = a 2xy = b X“ + (—- y’) = a Ce systeme implique X, _ (_ y,’ ___ _ ä“ Donc (xi) et (— y“), s'ils existent, sont les solutions (réelles) de l'équation: X3——aX——ç en. Or cette équation a toujours deux racines réelles distinctes ou confondues (discriminant a2 + b’ positif ou nul). Si elles sont distinctes, l'une des racines est positive, l'autre est négative (produit négatif). Soit X’ la racine positive, X” la racine négative. Alors les relations x2 = X’ et-y“ = X”conduisentà x=VX_’ x=—V/X—’ y=\/—*X” ou y=——\/; X’. Or 2xy = b. Donc le signe_du produit xy est déterminé. Ce qui prouve LŒLX = \/X’ corresÆond une et une seule_de_s possibilités, par exemple y = V- X”. Alors à - l/X’ correspond —— V/—— X”. Réciproquement, les nombres complexes : z.=v’X7 + N)? et z,=—V’X7—i\/)Δ vérifient bien l'équation proposée. ll suffit de calculer (z,)“ et (292. ou et à 0 En conclusion, tout nombre complexe est un carré, donc l'ensemble C des nombres complexes est bien une solution du problème posé. l I EXERCICES 12-1 Mettre sous forme x +iy les nombres complexes suivants : 1 + 1 1——i (x/ä-i” vä+i+ x/â——i_ 1+’ 1-1’ 1+!’ 1+iv’ä) v/ä——i V5+i _ 1+ri Z-ÏZÏÎÜŸÎW 11 1) (avec r e 1R). 12.2 Soit z::x+iy, et z:—’Ï—_- 2+1 Calculer en fonction de x et y, les parties réelle et imaginaire de Z. 12-3 Pour les lois + et -, l'ensemble A : f2; z: iy, avec y e 1R Ë a-t—i| une structure particulière? 150 12
1 2-4 1 2-5 1 2-6 12-7 12-8 1 2-9 12-10 12-1 LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES 12 . _ 1 .\/5_ SoIt j _ — ë + I Î. 1° Calculer Ï, j‘, j", j" (avec n e N), 1 +j+j’. 2° Etablir que : v (z. z‘) e c >< C. z° + z'° = (z + z‘) - (zj+ 2'?) - (zî+ z'1) 3° Efiectuer et simplifier le produit : (a+b+c) z (a+bj+cj’) - (a+bj’+c1') (z+i) est en facteur dans z‘+2z+2i+1. z'+2z+2i+1#0. Dans C, montrer que Résoudre, dans C, l'équation : Résoudre, dans l'ensemble C, le système : (1+i)z—iz’-—‘}2+i (2+i)z+(2——i)z’ e, 2;. Trouver les nombres complexes z tels que : (1) z°:—3+4«i (2) z°:«—5+12i (a) z- = 1 + 4: V3 (4) z’ : 1 —- 2:12 Résoudre. dans l'ensemble des nombres complexes, les équations (1) z°:1+/ (2) z*:24i—7. Peut-on déterminer des nombres complexes z tels que : 1° (z— 1) - (Ê-l) soit un nombre réel? 2° La partie réelle de (z—1) - (Ë-i) soit nulle? 1° Déterminer les nombres complexes o.) tels que m‘: 5 +12i. 2° Dans C, on pose y:z'+2 (1 +i) z—5 (1 +2i). Démontrer qu'il existe un nombre complexe Ç tel que y : (z + Ç)‘—— m’. 3° En déduire les solutions, dans C, de l'équation : Z'+2(1+i)Z—5(1-l—2i)# 0. I l INDICATIONS (v5 — i) - <_vâ—_i><1_—_5x’zè>_ - -_4i _ l+l\3H(l+i\’/5)(1—i\/Ïl)— ‘2 ‘ (Æzgy I 2., 1 + ÏV 3 Donc 151
12-7 m 152 LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES 12 l+j+f‘=U. (2) Posonsz=a+ ib alors z’=a'—b2+2ab.i a2__bz____5 a'+(—b')=—5 Par suite z‘ = — 5 + I2i <=> 3 b _ 6 <=> a’ (— b‘) = —— 36 a — ab > 0 D‘oùaetbsont solutions del’équation X‘ + 5 X — 36 = 0; soit X’ = — 9, X’ = + 4 ï g a = 2 a“ = 4 È 1 b = 3 Et b’ = 9 <=> _ 2 ab > 0 Ë ê Z — — 3 ë 2 3' Par suite les racines carrées de — 5 + I2i sont â Ë l 3j Poser z’ = Z. Alors Z’ : 1 + i permet de déterminer Z. Puis z’ = Z (Z connu), permet de déterminer z.
GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 0 La notion de fonction a été étudiée dans la 5€ leçon et depuis lors souvent utilisée. Quel est alors l'objet de cette leçon? O Il s'agit essentiellement de réviser et de compléter sur certains points, l’étude, eflectuée en classe de Première, d’une famille particulièrement importante de fonctions : celles pour lesquelles les ensembles de départ et d’arrivée sont (les sous-ensembles de Pensemble ÎR des nombres réels. 0 Bien entendu toutes les propriétés démontrées dans la 5° leçon sont encore valables pour ces fonctions, mais la structure particulière de l'ensemble 1R permet de compléter ces propriétés. 0 Le plan d'étude de cette leçon est le suivant : — définition des fonctions numériques; — rappel des propriétés de l'ensemble 1R des réels p4S 7° et 8° leçons); — opérations sur les fonctions numériques; — propriétés des fonctions numériques (limites; continuité); v application réciproque d’une application numérique bijective. I l 1. FONCTIONS NUMÉRIQUES 1° DÉFINITION o On appelle fonction numérique d'une variable réelle, toute fonction pour laquelle l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée sont des sous- ensembles de l'ensemble 1R des nombres réels. Dans cet ouvrage, nous emploierons l'expression abrégéejonction numérique pour fonction numérique d'une variable réelle. 153 Terminale A. —« 6.
GÉNÉRALITÉS sUR LEs FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 EXEMPLES Q La fonction fqui, à tout nombre réel positif x, fait correspondre le nombre réel positif dont le carré est égal à x, est une fonction numérique, notée \/ . V“ _ Ainsi : x e» \/x. Ensemble de départ : 112+. Ensemble d'arrivée : 1R1‘. g La fonction fqui, à tout nombre réel x, fait correspondre le plus grand entier inférieur (au sens large) à x, est une fonction numérique, appelée «partie entière de... » et notée parfois E. E Ainsi : x e» E(x). Ensemble de départ : 1R. Ensemble d'arrivée : Z (ensemble des entiers relatifs). Par exemple si x = —— 9 La fonction fqui, à tout nombre réel x, fait correspondre le nombre réel x—E(x) est une fonction numérique, notée parfois m (fonction mantisse). Alors : un x e» m(x) : x — E(x). Ensemble de départ : 1R. Ensemble d'arrivée : [0, 1[. 2° ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION NUMÉRIQUE o La définition d'une fonction comporte trois données (cf. 5° leçon) : a) l'ensemble de départ; b) l'ensemble d'arrivée; c) la relation entre un élément quelconque de l'ensemble de départ et son image. Or, dans le cas des fonctions numériques et lorsque « l'image» s'obtient par une chaîne d'opérations (addition, multiplication, ..., racine carrée, ...), on rencontre souvent, dans l'enseignement élémentaire, des problèmes « incom- plets » dans lesquels n'est pas précisé l'ensemble de départ. L'étude de celui-ci ait alors partie de «l'étude de la fonction »; c'est ce qu'on appelle déterminer l'ensemble de définition de la fonction. Ce qui signifie en fait : déterminer le sous-ensemble maximal (pour l'inclusion) de 1R, dans lequel l'expression donnée pour f(x) a effectivement un sens. 154
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 C'est cette façon de procéder. souvent ambiguë. qui nous a conduits à distin- Iguer entre application définie sur un ensemble E, et fonction définie dans ‘ensemble E. EXEMPLES 1 fl La fonction numérique f « définie » par f(x) : Î n'est. en fait. définie que sur R — {O} 2 IR*, puisque seuls les éléments non nuls de 1R sont inverslbles. Comme il est possible d'envisager d'autres fonctions définies sur 1R telles que, 1 1 g(x):—; si X730 ouh Sh(X):Î si xqéo g déflnie par et déflnie par et ‘g(0)=O (h(0):1 fonctions différentes entre elles et différentes de f, il est utile de préciser l'ensemble de déflnitlon envisagé. 3—1 9 La fonction numérlque f « définie » par f(x) : Ç _ 1 est. en fait, déflnie sur 1R — ��z En effet, pour x 9è 1. la formule donnée définit l'image de x. Par contre. pour x :1. la formule est dépourvue de sens. Uambiguité ainsi créée conduit parfois à des recherches « d'interprétations ». telles que 3 —1 —six;«é1,%:x"‘+x+1; on peut alors considérer qu'il en‘ est ‘de même pour x :1. Mais. dans cette interprétation. Il s'agit de la fonction g déflnie sur 1R par : 9 x—e>g(x):x2+x+1 — On pourrait. aussi bien. considérer l'application h, de 1R dans L2, telle que s—1 h(1):10O et, pourx#1. h(x):;_1- D REMARQUE Dans l'interprétation traditionnelle, la détermination de l'ensemble de défini- tion d'une fonction numérique fait souvent intervenir les opérations définies seulement pour certains éléments de IR. Par exemple : — la division, pour laquelle le diviseur doit être non nul; — la racine carrée, pour laquelle le radicande doit être positif (au sens large). 155
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES I 2. L'ENSEMBLE 1R DES NOMBRES RÉELS 1° Puisque nous envisageons l'étude de fonctions d'une partie de 1R vers 112, il s'agit d'abord de rappeler (cf. 7° leçon) les propriétés, que nous admettons, de 1R et de définir certaines parties, importantes, de 1R. L'ensemble —— noté 1R — dont les éléments sont appelés nombres réels, est te/ que : o (112. +. ><, s) est un corps commutatif totalement ordonné. Rappelons que, dans 1R, la relation a < b (lue « a strictement inférieur à b ») . \ b équivaut à 2 Ê:b_ o Dans 1R, toute partie majorée admet une borne supérieure. On dit qu'une partie A (sous-ensemble) de R est majorée, s'il existe au moins un réel M (appelé majorant) tel que: v x e A, x S M (cf. 8‘ leçon). S'il existe un majorant (soit b) plus petit que tous les autres, on dit que b est la borne supérieure de A. Nous admettrons que cet axiome permet de démontrer le résultat suivant: dans 1R, toute partie minorée admet une borne inférieure. 2° INTERVALLES OUVERTS EXEMPLE L'ensemble des réels x tels que —1<x < 2 s'appelle Intervalle ouver —1, 2 et se note ]—1, 2[. D, Si a S b, on appe//e intervalle ouvert a, b, et on note ]a, b[/'ensemb/e ]a,b(={x; a <x<bj XER. __.____...______ Fig. 1. Fig. 2. Nous le représenterons par la figure 1 ou la figure 2. Notons que l'ensemble réduit à un seul élément, ixog, n'est pas un intervalle ouvert dans 1R, mais que l'ensemble ]a, a[ : a est un intervalle ouvert. 156 13
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 o Intervalles ouverts et distance. Reprenons l'exemple ci-dessus. L'intervalle ]— 1, 2[ peut être considéré comme 3 l'ensemble des réels x situés à une u distance » inférieure à ë de la valeur ê I0'W x—l < 2 1 (on dit du « point E ») : en effet si —1 < x < 2, alors 1 3 Le nombre ï s'appelle le centre de l'intervalle et E en est le rayon. D'où la définition : D’, Dans 1R, l'intervalle ouvert .‘9"‘de centre x0 et de rayon h (avec h réel strictement positif) est l'ensemble : 323x; d(x.,x)<h}=]x.,-——h, x.+h[ 3° INTERVALLE FERMÉ ou SEGMENT EXEMPLE L'ensemble des réels x tels que — 1 é X é 2 est l'intervalle fermé, ou segment — 1, 2. On le note [-1,2]. D, Dans R, on appelle intervalle fermé a, b ou segment a, b, et on note [a, b] l'ensemble : [a,b]=‘x; asx<bl ÎEÎ Fig. 3. Fig. 4. Nous le représenterons par les figures 3 ou 4. 4° VOISINAGES D'UN « POINT » DE 1R D. Si x0 e 1R. on appelle voisinage de x0, toute partie V de 1R telle qu'il existe un intervalle ouvert, comprenant x0, et inclus dans V. 157
GÉNÉRALITÉS sun LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 EXEMPLES 0 Le segment V : [VË 3] (fig. 5) est un volsinage de 2, car, par exemple, 2 _ Fig. s. 9 Dans 1R, tout intervalle ouvert est voisinage de chacun de ses points. 5° DROITE NUMÉRIQUE ACHEVÉE o Section commençante; section finissante. Afin de pouvoir considérer tous les nombres réels inférieurs, strictement, ou supérieurs, strictement, au réel a donné, on pose les définitions suivantes : D. Dans R, l'ensemble lx; a < x} est appelé section finissante ouverte de a; on note ]a, —>[; l'ensemble lx; x < a} est la section commençante ouverte de a; on note ]+—, a[. Ces ensembles sont représentés figures 6 et 7. Fig. o. Fig. 7. o Extension de la notion de voisinage. Les notions de section commençante ou finissante conduisent à adjoindre à l'ensemble 1R deux symboles : + oo qui se lit : « plusl'infini », et ——- oo qui se lit : « moins l'infini ». Notons que + oo et —oo ne sont pas des éléments de 1R. Par suite, ils ne peuvent figurer nl dans une égalité de nombres réels, ni dans une loi de compo- sition, + ou ., dans R. 158
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 D5 Par définition : l'ensemble R u{—— 0o, + ce; . noté Î est appelé droite numérique achevée. Par convention, l'ordre total de 1R est prolongé à Î comme suit : ’ 0vxe112. vyelR. l'ordre dans Iïestcelui deIR; 9 v x e 112, — oc < x l 0 v x e 12. x < + oo Nous admettrons que : Toute section finissante est un voisinage de —l— oo; toute section commençan est un voisinage de — oo. On note : V00 et V00 un voisinage de + oo et de — oo. Conformément au 2°. on note aussi : ]a. + oo [ et ]— oo. a[. les sections finissantes et commençantes ouvertes de a. o Sections commençantes ou finissantes fermées. D. Dans 112. on appelle section finissante fermée de a. l'ensemble. noté : [a,+oo[ etégalà {x;a<x; Nous le représenterons par la figure 8. Dans 1R. on appelle section commençante fermée de a. l'ensemble noté : ]— oo, a] et égal à lx; x g a} Nous le représenterons par la figure 9. Fig. a. Fig. 9. 6° VOISINAGES DANS UN SOUS-ENSEMBLE DE 1R Les voisinages d'un « point » ont été définis dans 1R. Or. nous aurons souvent l'occasion d'étudier une fonction définle sur un sous-ensemble 1R’ de 1R. Il est donc nécessaire de déflnir les voisinages dans une partie 1R’ de R. D, Si 1R’ est un sous-ensemble de 1R, on appelle voisinages Vj.” de x0 (e 1R’). les intersections de 1R’ avec les voisinages V,“ de x0 dans R 159
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 1a I 3. PARITÉ - PÉRIODICITÉ 1° PARITÉ Soit f une fonction numérique dont nous désignons par E(C 1R) l'ensemble de définition. o La fonction fest dite paire si, quel que soit x appartenant à E : — x appartient à E; f(— x) _= «x1 o De même, la fonction fest dite impaire si, quel que soitx appartenant à E: l — x appartient à E; i fl- x) = — flx) Ces dénominations ont pour origine le fait que les fonctions monômes x e» x’, x —e- x‘, et les fonctions polynômes dont les monômes sont de degrés pairs possèdent la première propriété. De même, les fonctions polynômes formées de monômes de degrés impairs possèdent la deuxième propriété. Mais d'autres fonctions possèdent l'une ou l'autre de ces propriétés. EXEMPLES Q L'application f (...valeur absolue de...) de 1R vers 112+ telle que f(x) : ]x[ est paire. 9 La fonction cosinus est une fonction paire. 9 Les fonctions sinus, tangente, sont des fonctions impaires. Q L'application fde 1R vers 1R teiie que f(x) : pa� est impaire, car : _ (——x)3——(—_x)_—x3ix f‘ X)“ (—x)'+1 ’ x*+1 fh x) = — flx) 9 La fonction f de 1R vers 1R telle que f(x) : sin x + cos x n'est ni paire, ni impaire. 2° PÉRIODICITÉ o Une application fde 1R vers R est dite périodique et de période P, si P est le plus petit nombre réel strictement positif, tel que : vx e R f(x+P) =f(x) 160
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES I3 EXEMPLES 0 Les fonctions sinus, cosinus, tangente, cotangente, sont périodiques de périodes respectives 27:. 27:, 1: et n. 9 La fonction mantisse (cl. â 1, 1°) est périodique de période 1. En effet, vxeflz E(X+1):E(x)+1. Par suite si f(x) : x — E(x) f(x+1)=(X+1)—«E(X+1) f(x+ 1) =f(x) a La fonction fdéflnie sur 1R par : f(x) : \/x — E(x) est périodique, de période 1. En effet, quel que soit x, E(x +1) : E(x) + 1. Donc x/(x + 1) — E(x + 1) : V/x — E(x) I 4. OPÉRATIONS DANS L'ENSEMBLE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES o Dans 1R, quels que soient les nombres y et z, sont définis les nombres : y+z; y.z; Èetä/sizaäo; P siy>O Par suite, si fet g sont deux applications de F(C 1R) et G (C R) vers 1R. on définit les fonctions suivantes : o Somme de fonctions numériques. Si Fn G 9è 0, il existe une application s, de F n G vers 1R, telle que: ‘vx e F n G s(x) =’f(x)’ Cfette1 application, notée f+ g, est la somme des fonctions numériques fet g ( Ig. 0). Fig. 10. 161
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 Donc = (f+ a)(x) = f(x) + 9(1) On définit de même la somme d'un nombre quelconque de fonctions numériques. o Produit de fonctions numériques. Si F n G 9è 0, il existe une application p, de F n G dans 112, telle que: vxeFnG p'(x)=f(x) xg(x) äette application, notée f.g, est le produit des fonctions numériques f et g Ig. 11). Fig. 11. Donc : (f . _y)(X) = f(x) >< 9(x) En particulier, si a est un nombre réel quelconque, la fonction a.f est définie par (a . f)(x) : a .f(x). On définit de même le produit d'un nombre quelconque de fonctions numé- riques. o Inverse d'une fonction numérique. il existe une application h telle que : gsixeG 1 z et si au) +0. ”"" 29(7) Cette application, notée ê, est l'inverse de la fonction g. En notant E‘ (O) (cf. 3' leçon) le sous-ensemble de G dont les éiléments ont pour image zéro, la fonction inverse est une application de G — g (O) vers 1R. 162
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES I 13 o Quotient de deux fonctions numériques. Si Fn G 9€ 0, il existe une application q telle que : lslxeFnG l et si g(x) 96°, 7.0L) 4(1) = 9m Cette application, notée g, est le quotient de f par g. `�@ Donc : g .. gw La fonction quotient est une application de (F n G) ——5Ê0) vers R. o Racine carrée d'une fonction numérique. Nous admettons qu'il existe une application r telle que : lsixeF 3 et si f(x) 2 o, ‘w = V7?’ Cette application — notée l/Ï — est appelée racine carrée de la fonction f. o Composée de fonctions numériques. La composée —— notée g o f— de la fonction numérique fpar la fonction numé- rique g, se définit comme pour toutes les fonctions (5° leçon), indépendamment de toute structure de l'ensemble d'arrivée. Rappelons que : (a v f)(x) = y[f(x)] I 5. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION NUMÉRIQUE o DÉFINITION Etant donné une fonction f, rappelons que le graphe de cette fonction est l'ensemble des couples [x, f(x)]. Nouîî avons indiqué (5e leçon), plusieurs représentations possibles de ce grap e. 163
La fonction f étant numérique, on utilise le graphe cartésien, qui donne une repré- sentation géométrique du graphe de la fonction. Considérons un plan î rapporté à un repère cartésien (O; i, j). A chaque élément [x, f(x)] du graphe est associé, de façon unique, le polnt M__de coordon- nées x et y : f(x), tei que OM : xi+yj. L'ensemble C des points M s'appelle représentation graphique cartésienne de la fonction numérique (fig. 12). GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NuMÉRIouÉs Fig. 12 REMARQUES 0 L'image, par f, du nombre réel x étantunique, la représentation graphique C d'une fonction est rencontrée en un polnt, au plus, par une droite parallèle à l'axe des y. c'est-à-d|re une droite dontîest un vecteur directeur (fig. 12). Mais, une parallèle à x’Ox peut rencontrer C en plusieurs points, saut si fest iniective. 9 Les points d'intersection, s'ils existent, de l'axe x’Ox et de Cont des abscisses o: telles que flan) : O. Ce sont donc les solutions réelles de l'équation f(x) i}: 0. 9 Si t est-impaire, les points [x, f(x)] et [— x, —f(x)] appartiennent simulta- nément à C, donc le point O est centre de symétrie de l'ensemble (C). 6 Si t est paire et si les vecteurs i>et Ïÿsont orthogonaux, l'axe y’Oy est axe de symétrie de (C), car les points des coordonnées [x, f(x)] et [— x, f(x)] appartiennent simultanément à C. 9 Si t est périodique, de période P, les points m.,, m1, m2, ...,m,, @ (fig. 13), ayant pour coordonnées [x, + kP, f(x., + kP), avec k e Z] se déduisent du point M [x.,, f(x.,)] par les translations de vecteurs directeurs k.P i+et appartiennent tous à la représentation graphique C de f. Autrement dit, la représentation graphique C s'obtient par les trans- lations indiquées, à partir de l'image de [x.,, x.,+ P[, où x0 est un réel arbitraire, mais flxé. Fig. 13. 6. VARIATION DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 1° FONCTIONS CONSTANTES PAR INTERVALLES Une fonction f est dite constante sur un ensemble E si : 164 quel que soit x e E, f(x) = a avecafixé 13
GÉNÉRALITÉS sur: LÉs FONCTIONS NUMÉRIQUES I 13 En particulier, une fonction numérique f est dite constante par intervalles (ou « en escalier ») s'il est possible de partager l'ensemble de départ en intervalles dans chacun desquels la fonction est constante. EXEMPLES 0 Soit x le poids, en grammes, d'une lettre et flx) la valeur, en centimes, de l'affranchissement. La fonction f telle que x-e» f(x) est constante par intervalles. En effet, au 1" janvier 1968, en France : pour 0 < x Q 20 f(x) 2 30 pour 20 < x Q 100 f(x) z 70 pour 100 < x < 250 f(x) : 150 pour 250 < x S 500 f(x) : 200. D'où la représentation graphique (fig. 14). Fig. 14. g Soit x un réel. Déslgnons par E(x), la partie entière de x, dest-à-dire le plus grand entier relatif intérieur ou égal à x. Par exemple : si x: 3, E(x) r 3; si x: 4,25, E(x) : 4; si x z —— 12,35, E(x) : — 13. Donc, si n et (n+ 1) sont les entiers relatifs encadrant x : nSx<n+1=>E(x):n La fonction qui, à x réel, associe sa partie entière est donc constante dans tout intervalle [n, n +1[, fermé à gauche et ouvert à droite. D'où la représentation graphique (fig. 15). Fig ,5, 2° FONCTIONS CROISSANTES, FONCTIONS DÉCROISSANTES o L'ensemble 1R étant totalement ordonné par la relation <, on étudie la compatibilité de cette relation avec les applications numériques. Ce qui conduit aux définitions suivantes : D, La fonction f est croissante (au sens large) sur [a, b], si : @�� ��� [a, ��� et V X3 Ë [a, P:� X1 É Xg ==>Ï(X;) É ��� D. La fonction f est décroissante (au sens large) sur [a, b] si, dans les mêmes conditions : x, < x, => f(x1)> f(x,) 165
GÉNÉRALITÉS suR LÉs FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 D’, La fonction f est strictement croissante sur [a, b], si : v x, e [a, b], v x. e (a, b] x, < x. =>f(x,) < for.) D', La fonction f est strictement décroissante sur [a, b] si, dans les mêmes conditions : x1 < x2 => f(x1) > fou) D’. La fonction f est monotone dans un intervalle si, dans tout cet inter- valle, elle est : soit croissante, soit décroissante, soit constante. REMARQUES 0 Étudier le sens de variation d'une fonction numérique fconsiste à partager son ensemble de définition, si c'est possible, en intervalles tels que la restriction de fà chacun d'eux soit une fonction monotone. g La monotonie d'une fonction est une propriété globale, c'est-à—dire définie dans un intervalle (et non une propriété locale, c'est-à—dire définie en un point). g Pour étudier le sens de variation d'une fonction numérique, il est souvent fixa) — KM) commode d'étudier le signe du rapport x) Ë l d'éléments d'un intervalle de définition. Ce rapport est parfois appelé rapport des variations entre x, et x2. Notons que chacun des termes de ce rapport a une signification géométrique. Si M, et M, sont les points de coordonnées [xh f(x,)] et [x,, f(x,)] dans le repère -> —> (0; i, i). alors x,—x, et f(x,)—f(x1) sont les composantes scalaires du ———> vecteur M,M,. Le rapport lui-même est le coefflclent directeur de la droite v pour tout couple (x1, x,) (Mu M2)- On Pose souvent : �s : Li’: �2 I 7. EXTREMUMS RELATIFS o POINT INTÉRIEUR A UN ENSEMBLE Soit f une fonction numérique définie dans un ensemble E inclus dans 1R. Un « point » c est dit intérieur à E s'il existe un intervalle ouvert, de centre c, inclus dans E. EXEMPLES Q Si E est un intervalle ouvert ]a, b[, tout point de E est intérieur à E (les points a et b ne sont pas éléments de E). 9 Si E est un segment [a, b], tout point de l'intervalle ouvert ]a, b[ est intérieur à E. Les points a et b, éléments de E, ne sont pas intérieurs à E. 166
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES l 13 o DÉFINITIONS D, Une fonction numérique f présente un maximum relatif (au sens strict) en un point "c intérieur à son ensemble de définition E, s'il existe un intervalle J de centre c, inclus dans E, tel que, pour tout x différent de c et appartenant à .7 : f(x) 7< f(c) D. Une fonction numérique f présente un minimum relatif (au sens strict) au point d si, dans les mêmes condi- tions f(x) > f(d). Ces notions sont illustrées fig. 16. D’ Un maximum relatif (resp. mini- mum relatif) est dit au sens large si, dans les mêmes conditions, pour tout x appartenant à J, f(x) s f(c) [resp- f(x) > f(d)]. Fig. l6. REMARQUES 0 L'adjectif" relatif " indique que la propriété concerne des intervalles compre- nant c (ou d), et non l'ensemble E tout entier. (Voir figure 16; f(x,) > f(c), bien que fait un maximum relatif au point c). G Dans la représentation graphique, le point [c, f(c)] est un sommet, le point [d. f(d)] est un fond. 9 Il est important de ne pas confnndre deux notions tout à fait différentes : — un" maximum relatif de la fonction f au point c. intérieur à l'ensemble E de définition, — et le plus grand élément de l'ensemble des valeurs f(x) pour x e E, c'est-à-dire de f(E). Ces deux éléments peuvent exister simultanément et être égaux, ou différents, ou l'un exister et non l'autre... il en est de même d'un minimum relatif et du plus petit élément des f(x). EXEMPLES 0 Pour la fonction f définie sur le segment [a, b] par la représentation gra- phique donnée figure 16 : f(c) est un maximum relatif, f(b) est le plus grand élément de l'ensemble f[a, b)]. G Pour la fonction mantisse : f(x) : x— E(x), définie sur [0, 1], on montrera qu'il n'existe ni maximum relatif, ni plus grand élément de l'ensemble f[O,1], nl minimum relatif; cependant f[0, 1] a pour plus petit élément 0. 167
168 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES L IMI TES 0 La notion de limite, que nous abordons ici, est capitale. Dès la plus haute Antiquité, Mathématiciens et Philosophes se sont posé de nombreuses questions relatives à cette notion. Citons, par exemple, les paradoxes de Zénon (cf. Indica- tions à la fin de cette leçon), qui illustrent avec force Pinsuffisance du recours à Pintuitian, dans les questions de limites. 0 Cependant l’idée générale de cette étude apparaît aisément. Considérons, par exemple, Vapplication f de R —— {l} vers R telle que 2 — 1 f(x) : {ïtw-Ï- Étudier la fonction f, exige que l'on réponde à la question sui- X .__ vante : qu’advient-il des images f(x) lorsque x est « aussi voisin que l’on veut » 1 2 _ de l? Or pour tout x 7E l, ��_ Peut-on en conclure que f(x) est « aussi voisin que l’on veut » de 2, pourvu que x(# I), soit assez voisin de l? :x+1;etpourx:1,x+l:2. Il est à remarquer que le nombre l, pour lequel se pose ici le problème, n’appar- tient pas au domaine de définition de f. Mais le problème de la limite éventuelle d’une fonction, lorsque la variable est arbitrairement voisine de x0, est indé- pendant du fait que x0 appartient ou non à Pensemble de définition de la fonction. Ainsi pourrait être posé le même problème que précédemment — avec le même x2 __ : 1, résultat .’ —— pour la fonction g, de 1R vers 1R , telle que : l gçä) X —- 1 Pour X ÿ et g(]) : l0. 0 De même, si une fonction numérique est définie sur R tout entier, se pose le problème d’étudier la limite de f lorsque x est arbitrairement voisin de + oo, ou de — oo. 8. EXEMPLES . =»1 û Etude de f(x) : ï p 1 pour x voisin de 1 (et x 9è 1). Puisque x i 1, f(x) : x +1. Or, quel que soit le voisinage V2 de 2 donné 1 1 (par exemple l'intervalle J : ]2—— F”)? 1 000 e), ./ 2+ il existe un voisinage V: de 1, tel que : tout x (x 7b 1) appartenant à V1‘ a son image dans V2. 13
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES En efiet, supposons par exemple V2 : J‘. Alors f(x) e J’ <=> | f(x) — 2 | < —1— 1000 1 ou |x+1-—2|<îä ou |x—-1|<m]- C'est-à-dire : xe l1 —ÉL, 1 + eL Ç{1}. l 1ooo 1ooo 1 Autrement dit : tout élément x (x 9E 1) de l'intervalle de centre1 et de rayon ÎOŒ 1 a son image dans l'intervalle de centre 2 et de rayon î-ÔŒ- Le raisonnement ci-dessus pouvant être effectué quel que soit le voisinage de 2 considère’, on dit que 2 est la limite de f(x) lorsque x est voisin de 1. l ' x‘ —'— 1' - On note : t‘ llm ————-— r: 2 "ta-M .3‘ '1' 1 0 Étude de f(x) : x’ lorsque x est voisin de 3. Remarquons que fest définie pour 3 et que f(3) : 9. Peut-on trouver un voisinage de 3 tel que son image, par f, soit incluse dans un voisinage donné de 9? 9+ le voisinage choisi. Soit > 9 —— ma). 1 1 ooo _ 1 Posons x : 3 + h. Est-il possible de déterminer h tel que |f(3 + h) —- 9| < Î)? Or f(3+h):9+6h+h*. 1 Par suite |6h+h’|< 4%)- — Si h > 0 (on dit que « x est volsln de 3 par valeurs supérieures ») et h < 1, alors h’<h. Donc 6h+h'<6h+h. 1 P ' 6h h’ 7h ——- arsultel + |< <1o00 1 Ce qui signifie: tout élément x de l'intervalle ]3, 3 + ï“—ñ[ a son image dans 9 1 9+ 1 A 1 ooo' 1 ooo _' 1 . Ce raisonnement pouvant être repris, pour tout autre réel s que î-Œd- on dit que 9 est la limite de f [ou de f(x)] lorsque x est, par valeurs supérleures, voisin de 3. IImUr-“zè 17-03’ On note : 169 13
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES — Si h < 0 (on dit que x est voisin de 3 par valeurs inférieures), alors lh'+6h|:[h[.|h+6[ et |h|.|h+s|<5|h|<%o. Par suite, tout élément x de l'intervalle ÎS, 3- a son image dans 1 mal l'intervalle ËIQ- 4-0 9 + L - 1 000 1 000L 1 Ce raisonnement pouvant être repris pour tout réel e autre que 17.07), on dit que9 est la limite de t lorsque x est, par valeurs inférieures, voisin de 3. On note llm x‘ : 9 2.'—>3' — Puisque lim x‘ = lim x’ : 9, on note llm x‘: 9 Œ—>3 ' 1+3‘ 2+3 I 9. DÉFINITIONS 0 Voisinage pointé. Puisque la valeur x0 pour laquelle est étudiée la limite, éventuelle, d'une fonc- tion f, peut appartenir ou ne pas appartenirà l'ensemble de définition de f, nous aurons à considérer les voisinages de x0, cette valeur x0 étant exclue. Ceci conduit à poser la définition suivante : On appelle voisinage pointé de x0, tout voisinage de x0 dont x0 est exclu. Nous noterons V; = V00 — {x0}, tout voisinage pointé de x0. 0- Point adhérent; limite. Dans les exemples ci-dessus, étant choisi un voisinage de 2 (resp. 9), il exis- tait un voisinage pointé de 1 (resp. 3) tel que : tout élément du voisinage pointé" avait son image, par f, dans le voisinage initialement choisi. ll est donc nécessaire que tout voisinage de la valeur x0 ait une intersection non vide avec l'ensemble Q de définition de la fonction f. On dit que tout voisi- nage de x0 rencontre 9 ou que x0 est un point adhérent à i‘. Ceci conduit aux définitions suivantes : D. Soit fune application de 9U: 1R) dans 1R et x0 un nombre réel. Si tout voisinage V00 de x0, dans R, rencontre Q, on dit que x0 est un « point » adhérent à 5D. 170
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 D, Si f est une application de :I‘I(C 1R) dans 1R et x0 un point adhérent à il‘. on dit que fa pour limite l lorsque x est volsln de x0 si tout voisi- nage de l contient l'image, par f, d'un voisinage pointé de x0. Autrement dit : v V, a V,“ tel que f(V,:) C V,. On note : Iim f(x) = I ou Iim f(x) =l flFËta ce qui se lit « pour x voisin de x0, la limite de f(x) (ou de f) est I ». C ON TINUI TË L’un des exemples étudiés ci-dessus conduit à l'importante observation suivante : x’ — 1 . . . . « f(x) = x 1 est aussi voisin que l'on veut de 2 » des que « x est suffisam- lq>(x) = f(x) six 9E 1, ment voisin de 1 ». Alors la fonction q) telle que , (pu) _ 2 possède , a _ 1 une propriété de plus que les fonctions f et g ( la fonction g est telle que g(x) = î 1 si x 9E 1 et g(1) : 10). Comparée à la fonction f elle est, comme g, définie pour x = l. Comparée à la fonction g, elle prend, pour x : l, la « bonne valeur », à savoir 2. On dira que q) est continue pour la valeur (on dit aussi « au point ») 1. Lïmportance des fonctions continues est fondamentale en mathématiques. Le rôle joué, en Physique, par ces fonctions est aussi très grand. En eflet, par la nature même des résultats expérimentaux, les nombres réels x0 et f(x0) ne sont pas connus exactement mais, chacun, par un encadrement. Alors le phénomène physique, «traduit» par la fonction f. sera continu pour la valeur x0 si la connaissance de plus en plus précise de f(x0) résulte de la mesure de plus en plus précise de x0. l I 1o. CONTINUITÉ EN UN POINT e DÉFINITION Une fonction numérique f (application d'un sous-ensemble 5D de 1R vers R) est dite continue au « polnt » x0 (ou pour la valeur x0) sl : Q x0 e Æ; (1) l 9 pour x voisin de x0, la limite de f(x) existe et, de plus, est égale à f(x0). REMARQUE Si fest contlnue pour toutes les valeurs d'un Intervalle ]a. b[. la fonctlon est dlte continue dans cet intervalle. 171
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 11. FONCTIONS DISCONTINUES EN UN POINT o DÉFINITIONS — Par négation de l'assertion (1) (cf. ë 10), une fonction f n'est pas continue au point x0 si : È —« f(x.,) n'existe pas ou — si la condition 2° n'est pas satisfaite. — Sif(x.,) existe et si la fonction fn'est pas continue pour la valeur x0. on dit que la fonction est discontinue au point x0. 172 EXEMPLES Étudions, sur des exemples, les divers cas pouvant se présenter. 0 Fonction non définie pour la valeur x0 considérée. L'application f, de R —{1} vers R, telle que f(x) : au point f(1) X 1 n'est pas continue x :1 puisque n'est pas définie. g La fonction n'a pas de limite pour la valeur x0 considérée. Divers cas peuvent se présenter. a) Les limites à droite et à gauche existent, mais sont différentes. — C'est le cas de la fonction « partie entière ». Pour chaque entier relatif n, il existe une limite à droite (égale a n) et une limite à gauche [égale à (n —1)]. Donc il y a discontinuité pour toute valeur entière de x. — C'est aussi le cas de l'application g, de IR vers 1R, telle que : 3 g(1) est définie et g(x) : X_ si X 9è 1. Alors lim g(x) : + oo et lim g(x) : A00. æ—->1+ Œ-H‘ b) Il n'existe ni limite ‘a droite, ni limite ‘a gauche. Soit fl'application, de 1R vers 1R, telle que f(x) : X si X est rationnel etf(X):1 si X est irrationnel. Cette fonction est discontinue sauf pour la valeur 1. 9 La limite existe pour x0, mais elle est différente de f(x.,). Reprenons l'exemple de l'introduction (p. 171). Soitg l'application. de 1R dans 1R. 2 — 1 g(1) : 1o et g(x) :; 1 si x 751. Alors lim g(x) : 2 ’—‘ Œ—>1 (Cf. ê 8) et lim g(x) 9E g(1). La fonction g est discontinue au « point » 1. aval telle que 13
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES FONCTION RÉCIPROOUE D'UNE FONCTION CONTINUE ET STRICTEMENT MONOTONE SUR UN SEGMENT 12. PROPRIÉTÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES CONTINUES suR UN SEGMENT o THÉORÈME FONDAMENTAL Si f est une fonction numérique continue sur le segment [a,-b], alors l'image, par f, de ce segment est un segment [m, M]. Nous admettrons ce théorème. Précisons cependant ce qu'il signifie (illustration fig. 17). Si f est continue sur le segment [a, b], alors : 0 L'ensemble des valeurs, soit {f(x) ; x e [a, b]}, a un plus petit élément (soit m) et un plus grand élément (soit M), ce qui implique l'existence de x1 e [a, b] et de x, e [a, b] tels que f(x,) = m et f(x2) = M. 9 Toute valeur. u « comprise entre m et M » est atteinte, c'est dire qu'il existe au moins une valeur x’ e [a, b], telle que f(x’) = p. (Ce résultat s'appelle propriété de la valeur intermédiaire.) Fig. 17. 173 13
GÉNÉRALITÉS suR LEs FONCTIONS NuMÉRIouEs 13 I 13. PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS CONTINUES ET STRICTEMENT MONOTONES o THÉORÈME FONDAMENTAL Si la fonction numérique f est continue et strictement monotone sur Ie segment [a, b], alors f est une bijection de [a, b] sur le segment ma). f(b)]- Supposons, par exemple, f strictement croissante. 0 Alors v x e [a, b], a S x S b implique f(a) S fix) S f(b). Ce qui prouve que l'image, par f, du segment [a, b] est le segment [f(a), f(b)]. Le théorème fondamental (paragraphe précédent), nous assure que f est une surjection de [a, b] sur [f(a), f(b)]. 9 Démontrons que f est une injection. Soit x, e [a, b] et x, e [a, b]. Supposons x, çà x,. Alors x, < x, ou x, < x,. Puisque f est strictement croissante : g’ si x, < X2, a S x, < x, S b implique f(x,) < f(x,) Ë si x, < x,, a S x, < x, S b implique f(x,) < f(x,)' , Dans tous les cas : x, çà x, =>f(x,) 7E f(x,). En conclusion, fest une bijection de [a, b] sur [f(a), f(b)]. o Exemples et contre-exemples. Montrons, sur des exemples, que les hypothèses du théorème fondamental sont indispensables pour pouvoir conclure. 0 SI la fonction f n’est pas continue sur le segment [a, b], elle peut n'être pas surjective : la figure 18 illustre cette situation en représentant graphiquement une fonction fdiscontinue pour la seule valeur c de [a, b], mais cependant stric- tement monotone (croissante) sur [a, c[ et ]c, b]. 9 Si la fonction f n'est pas monotone sur [a, b], bien que continue, elle peut n'être pas injective (fig. 19). ��� 18. Fig. 19. Fig. 20. 174
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 9 Si la fonction f est continue sur [a. b] et monotone non strictement. elle peut n'être pas injective. Ainsi (fig. 20), la fonction fest constante sur le 1 segment [x.. x2] C [a. b]. Alors la section réciproque f(p.) est le segment [x.. x2]. 0 Remarquons que les hypothèses du théorème fondamental. suffisantes pour que f soit une bijection. ne sont pas nécessaires. Ainsi (fig. 21). la fonction fdéfinie par z Êf(x):x si1<x<2 ï x 7 âr(x):——+— si2<x<3 Ê 2 2 î x _ . Èf(x):ï+1 si3<x<4 est une bijection du segment [1. 4] sur [1, 3] = [f(1). f(4)]. Cependantfn'est ni continue. ni monotone sur le segment [1, 4]. Fig. 21. l 14. FONCTION RÉCIPROQUE o THÉORÈME Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un segment [a. b]. alors il existe une fonction réciproque de f. Cette fonction réci- proque est une bijection du segment [f(a). f(b)] sur [a. b]. Ce théorème n'est qu'un cas particulier d'un théorème déjà démontré (cf. 5° leçon. 56). Compte tenu de l'importance de ce théorème, nous donnons à nouveau, sur ce cas particulier. la démonstration. o Existence de la fonction réciproque. Puisque fest une bijection de [a. b] sur [f(a). f(b)]. quel que soit y e [f(a). f(b)]. il existe x unique, du segment [a. b]. tel que f(x) : y. Il existe donc une application du sement [f(a), f(b)] vers [a. b]. Cette application est la fonction réciproque de f. notée f-l. 9 f4 est surjective. Posons. pour simplifier l'écriture. f(a) = oc et f(b) : B. Quel que soit x e [a. b]. f(x) :y existe et y e [a. B]. Donc : v x e [a. b]. a y e [a. B] tei que x : f-1(y). La fonction f-l est surjective. 175
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES I3 9 f-i est injective. En effet f"(y1) ï f"(y2) <=> (x. v- X2) => [f(x.) : f(x2)] => (y.:y2). Ëa fo]nction f“, réciproque de f, est donc une bijection du segment [a, B] sur a, b . Si l'on pose (p = f“, on écrit de façon équivalente : _ i.V=i'(X) ÇU)_X éùÿ Ïxe[a,b] ou, en revenant à la notation usuelle : ) X z .V=<i>(x) <=> wefab} o Propriétés de la fonction réciproque cp = f '. P! f ° ‘i’ = 1mn] (1) et ‘i’ ° f z 1mm (2) Soit à démontrer, par exemple, ia relation (1) : vxeioniä] <i>(x):y <=> x=f(y)- par suite : v x e [oz, B]. (f0 (p) (x): f(y) z x. Donc f0 (p :1[a, [3]. P, La fonction réciproque d'une fonction f continue et strictement monotone sur un segment est monotone et varie dans le même sens que f Soit q) la fonction réciproque de la fonction f continue et strictement monotone sur le segment [a, b]. Posons f(a) : oc et f(b) : (3. Soit (x1. x2) E [on [3] X [ou B]. alors [n = q>(x.) et n = cp(X2)] équivaut à x1 = f(y.) et x2 = fin) = Ë si f est strictement croissante, x, < x2, c'est-à-dire f(y,) < f(y,) impiique y, < y, donc q) est croissante. g si f est décroissante. x. < x2, dest-à-dire f(y,) < f(y,) impiique y, > y, ç donc q) est décroissante. P,‘ La fonction f“, réciproque de f, est continue sur [f(a), f(b)]. Conformément au programme cette propriété est admise. 176
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES o Représentation graphique cartésienne de f“. 0 Soit (C) la représentation graphique cartésienne de f sur [a, b], dans le repère (0; i, j) (fig. 22). Alors_>(C) est aussi la représentation cartésienne de f-l sur [a, B], dans le repère (O; j, i). à -> —> En effet, dans (O; i, j), (C) est l'ensemble des points M(x, y) tels -> —>-> que y : f(x); par sulte dans (0; j, i), c'est l'ensemble des points M(y, x) avec x : f‘1(y). 9 Il est d'usage, en choisissant le repère (O; i, j) orthonormé, de revenir à la disposition usuelle en appelant x l'élément générique de l'ensemble de départ. Par suite, si (C) est la représentation graphique cartésienne de favecy :f(x) et (F) celle dey : q>(x), alors (C) et (f) sont symétriques par rapport à la bis- sectrice de (ÎÎÎ). Fig. 22. En efiet, vM(c, y) e (C), Y :f(c). Ce qui équivaut à c 2 cp('\{),donc M'(y,c) e(I‘). Or M(c, y) et M'(y, c) sont symétriques par rapport à la bissectrice de (K5 (fig. 22). EXTENSION DE LA DÉFINITION DE LA FONCTION RÉCIPROQUE l 15. o Tout ce qui précède est relatif aux fonctions réciproques des fonctions continues et strictement monotones sur un segment. Or, en pratique, on est souvent amené à considérer des fonctions numériques continues et stricte- ment monotones sur une section finissante [a, + oo[, ou une section commen- çante ]— 0o, b], ou sur R entier. 0 Nous admettrons alors les deux résultats suivants : 50-» DO alors il existe une fonction réciproque de f, qui est une bijection continue strictement croissante de [f(a), + oo[ sur [a, —l— oo[. Si f est continue et strictement croissante sur IR. si lim f(x) : — oo et .’l7—>——OO lim f(x) : + oo, alors il existe une fonction réciproque de f, qui est une .T—>+OO bijection continue strictement croissante de 1R sur 1R. 177 Si f est continue et strictement croissante sur [a, + oo[ et si lim f(x) : + oo, + — 13
13-1 13-2 13-3 13-4 13-5 13-6 178 GÉNÉRALITÉS suR LEs FONCTIONS NUMÉRIQUES I3 I EXERCICES Préciser les « ensembles de définition » des fonctions numériques f telles que : m f(x) : 44"“. (2) f(x) : x/Îé-ÏÎ x—2 H z ixl <4) f(x) z I/Ïiäïsws. (s) f(x) = \/ — 2— [X1 2 (s, (m: Li, (s) f(x) : _____"+3 . ‘a + ‘X1 Vx’ — 5x + 4 (s) fi ) 1 x : ñ __' m f(x)=V’1—iXl- v — x2 + ex + 9 Rechercher parmi les fonctions précédentes celles qui sont paires; celles qui sont impaires. En distinguant éventuellement plusieurs cas, exprimer sans employerlle symbole « valeur absolue », 1 l, les relations suivantes entre x et y et représenter graphiquement les fonctions f telles que f(x) : y. (1) y=lXl- (2) yzifi-xi. (3) y=2X’+X—|Xl. (4) yzë- (5) y::]x+1]—]x—1[. (6) y:Ix’—5x+4]—]x’—4]. Quel que soit le nombre réel x, on désigne par E(x) le plus grand entier inférieur ou au plus égal à x. Exemples : x : 3, E(x) : 3; x : v5, E(x) : 1. Exprimer, sans employer le symbole E(x), les relations suivantes entre y et x et représenter graphiquement les fonctions numériques f telles que f(x) = y- (Z) y = \/Η E(x). (4) y = x — E(x)- (1) y: E(x)- (3) y:1—x+ E(x)—E(x—1). (5) y:2x—E(x)- (e) yzâ—x+âE(2x)—âE(1—2x) Rechercher parmi les fonctions ci-dessus celles qui sont périodiques. Etudier la fonction numérique f telle que f(x) : y’, x — E(x).
13-7 13-8 13-9 13-10 13-11 13-12 13-13 13-14 GENÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 n+1 10 , . . . . . n Quel que soit x reel, Il existe un entier relatif umque n tel que ñ é x < Soit f l'application de [0,1] vers ]R telle que f(x):1—%- Représenter graphiquement f. 1° Définirfof et fxf vxe]R, f(x):x. 2° Définlrfof et fxf vxelR, f(x):2x—l—3. 3° Définir f o f et f x f sachant que Vx e 1R —{0}, f(x) z `aC sachant que sachant que 4° Définir g o f, f o g et f x g sachant que f(x) : x —l— 2et g(x) = x“ (x réel). 1 5° Mêmes questions si f(x) : ï‘ (avec x # 0) et g(x) : (avec x v’: — 1). 1 x+1 Démontrer. en revenant à la définition, que : (1) Iim (x2 —2x) : o (2) Iim (x2 —— 2x): o Æ—>0 .Œ—>2 (3) Iim (x"‘—4x+3):0 (4) Iim \/x*‘—1 20+ w—>1 517%” .___ _ 3x + 2 ' _ : 0o (5) | = 3- (mw-‘Jïfloo (Vxz 1) + � X _ 1 Démontrer, à l'aide de la définition, que la fonction f, de ]R vers ]R, telle que f(x) : x‘ + x +1 est continue pour la valeur 1. 3x+2 Même question pour l'application f, de ]R — {1} vers 1R, telle que f(x) z X 1 « au point » 3. Etudier la continuité de la fonction f telle que f(x) : x— E(x) avec E(x) : n sl n < x < n +1 (n e Z). Représenter graphiquement f. On pose E(x):n avec n< Z si n<x<n+1. 1° Etudier la continuité de la fonction f, de ]R dans 1R, telle que : for) : VËÎ 2° Comparer f(x + 1) et f(x). 3° Démontrer que l'application <p de [0, 1] dans ]R te||e que cp(x) = \/x est stric- tement croissante et que v x e [0, 1], <p(x) 2 x. Représenter graphiquement q). 4° Représenter graphiquement f. Mêmes questions pour f(x) = E(x) + \/xw— E(x). 179
13-15 13-16 13-17‘ 13-18 13-19 180 GÉNÉRALITÉS suR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 Soit f l'application du segment [O, 11 vers 1R telle que f(x) : 1 —x pour x irra- tionnel et f(x) : x pour x rationnel. 1° Etudier la continuité de f. 2° Démontrer que f(x) prend toute valeur comprise entre 0 et 1. Soit f la fonction telle que f(x) : 2 E(x) —x (On désigne par E(x) la partie entière de x). 1° Préciser 1R1 : f([0, 3[). si0<x<3. 2° La fonction fest-elle une bijection de L0, 3[ sur 1R1? 3° Dessiner la représentation graphique cartésienne de la fonction réciproque f“. Exprimer y : f‘1(x). Soit f la fonction, de 1R — {o} vers 1R, telle que f(x) : � l 1° On pose 1R* : 1R — �l Préciser f(]R*) : 1R1. La fonction f est-elle une bijection de 1R1‘ sur 1R1? 2° Préciser f“. 4g 2x + 3 w t z . 3’ vers 1R, elle que f(x) 3X M4 1° On pose 1R’: 1R — 0yf Préciser f(1R_’) : 1R1. 1 2° Démontrer que fest une bijection de 1R’ sur 1R1. Etudier la fonction réciproque f-l. Soit fla fonction, de x e 1R —« à Toutes les fonctions considérées dans ce problème appliquent l'ensemble 1R des réels sur l'ensemble F à deux éléments 0, 1, soit F : {(1, 1}. 1° Etant donné un nombre réel a, on désigne par f1, la fonction, de 1R sur F, telle que :f,,(x)::0si x<a etfa(x):1 si x,>,a. De même, étant donné un nombre réel b, on désigne par gb la fonction de 1R sur F, telle que g,,(x) : 0 si x > b et g1,(x) :1 si x S b. Donner une représentation graphique de f1, et gb. Quelle est la valeur de u(x) z f,,(x) . g,,(x) suivant que x appartient ou non au segment 1a, b]? Même question pour v(x) : 1—— u(x) 2° On appelle fonction caractéristique du segment [a, b], le fonction de 1R dans F, notée ha b telle que : ha b(x) :1 si a é x S b et ha b(x) :0 six é [a,b] Représenter graphiquement h mm. Soit a, b. c, d quatre nombres réels donnés. On suppose, dans cette seule ques- tion,quea<c<b<d. Démontrer que, quel que soit le nombre réel x : hc b(x) : hcd(x) . ha b(x). Etudier, suivant les valeurs de x, les valeurs prises par ha b(x) + hE du). En déduire que : haydor) : halb(x) + hmu) — hmbr) - huybu).
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRlOUES 13 3° Les résultats obtenus à la question précédente permettent d’associer à l'in- tersection [c, b] et à la réunion [a, d] des deux segments [a, b] et [c, d], deux fonc- tions caractéristiques ne dépendant que des fonctions caractéristiques des segments [a, b] et [c, d]. Démontrer que les résultats obtenus à la question précédente sont généraux, c'est-à-dire que quelle que soit la position relative des quatre nombres réels a, b, c, d, si l'on pose : X : [a, b] et Y : [c, d], et hxnyzopourx n Y : 0 On a l hxUYOÛ ï ÜXO‘) + hYÜ) -- hxU) - ÜYU) et hxnYU) ï hx(X) - hym- 4° Désignons par les signes - et ai: les opérations qui associent à hx et hy respectivement hxny et hxuy. Donc hx-hy :: hxny et hx si: hy : hxUy. Démontrer que hx - hx : hx a: hx : hx. Vérifier que l'opération a: est associative et commutative. Démontrer que, quels que soient les segments X, Y, Z : hz‘ (hx*hv = (hz-hx) * (hz-hv) hz * (hrhy) ï (hz * hx) -(hz * hi!)- Qu‘en déduit-on pour les opérations x: et - ? 5° On désigne par X’ le complémentaire, par rapport a 1R, du segment X. Démontrer que : v x e La, hx'(x) : 1 — hx(x). 6° On désigne par X A Y la différence symétrique de X et Y (Cf. 2° leçon). A l'aide de 4° et 5°, démontrer que hxgyü) : hx(x) + hy(x) — 2 hx(x) - hy(X). En déduire que hxÀyOÔ 2 [hx(x) fi hy(x)]’. I" INDICATIONS o Zénon d’Elée (495—435 avant notre ère). Philosophe grec, auteur de quatre célèbres paradoxes qui se ramènent tous aux deux suivants : 1° Tout mouvement est impossible car le « mobile » doit atteindre le milieu du trajet avant d’en atteindre Pextremité; mais avant d’arriver au milieu, il doit être parvenu au quart et ainsi de suite... jusqzià l'infini. Le mouvement ne peut donc jamais commencer. 2° Paradoxe d’Achi11e et de la tortue. Achille ne rattrapera jamais la tortue qui che- mine devant lui car, au préalable, il doit atteindre la place d’où est partie la tortue; quand il y sera parvenu, la tortue aura quitté cette place et... ainsi de suite (paradoxe analogue z la flèche tirée en direction d’Achille ne l’atteindra jamais...) 181
13-1 13-2 13-3 13-6 13-3" 13-9 182 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES 13 (5) 1R —- �� sont paires. (2) — (3) — (6) — (7) La représentation graphique de (2) — (3) — (6) suppose connue celle des fonctions trinômes du second degré. ÊSI x<—l y:—2 (5) ‘si —l <x<l y:2x (cf. fig. 23) lsi x21 y: Fig. 23. Fig. 24. Si n<x<n+l (avecneZ): y:\/'x——n. La fonction f telle que f(x) = y est périodique de période 1 (cf. fig. 24). Posons:fof:q> et fxfzp. 1° Quelque soit x6112 : <p(x):x et p(x)=x‘. 3°Vxe]12—{0}: q>(x):x et 1100:3;- lim (x'—2x):0, æ-æû Donc la démonstration suit le cheminement suivant : (1) Pour établir par exemple que : il s’agit d'établir que : . . . Soit s > 0, quelconque. Pour que : lx’ — 2x| < s soit vérifié, il suffit que : Puisque x —> 0, bornons x par exemple à : [— l, + l]; c‘est-à-dire — 1 < x < l. |x| . lx—2l < s. Alors :—3 < x—2 <—l et Ix—2| < 3. D’où : Ixl . lx-ZI < 3Ix|. Pour que : Ix’ — 2x] < s soit vérifié, il suffit que : Slxl < s soit vérifié, donc il suffit que : IxI < 8� Donc: Vs>0 (et s<3), |x|<ä=>|x'—2x|<s. Si s23, alors vxe[—l,+l], |x—2|<3. D'où: |x|.|x—2l<3<s. Dans tous les cas, V s > 0, a o: > 0 tel que |x| < o: => |x‘——2x| < s.
GÉNÉRALITÉS sun LES Foncrlous NuMÉRIQuÉs 13 Discontinuité pour toute valeur entière de x. 3- 1 n Continuité à droite pour toute valeur entière de x. Représentation graphique (fig. 25). 13-14 1° Continuité en tout point. 4° Représentation graphique (fig. 26). Fig. 2s. Fig. 26. m‘ 3° %Ç;“:’îîî“ jzîjgï ïîfîïfz," " 13-17 f" = f. _4x+3 »—3x——2 13-13 112.: IR—É—Ê-Ê- si y=f”‘(x), y 13-19 4° Par exemple : hz‘(hx no: hg) : hz-hxuy = hzmxuv, = h zoxuzmz. = hznx * hzny :1 (hz-hz) * (hzJIY) 6° Poser XAY:(XuY’)n(X’uY). Alors hxAy Z hxuy"hx'uy î: . . . Remarquer que çpx'(x) : 1 —— q2x(x) et zpx(x)-q)x'(x) : 0. 183
184 DËRIVABILITË mas FOIÏICTIONS NUMERIQUES 14 O Les onctions considérées dans ce cha itre sont des fonctions nnméri nes ‘I (applications d’une partie de Vensemble R des réels vers 1R Etant donné une telle fonction f, définie au voisinage de x0, nous nous pro- osons le roblème d’a roximation suivant : comment « a rocher » localement f, I’ äest-à-dire sur un voisina e de x , ar une onction « aussi sim le » ue ossible? g 0 ‘1 P 0 Précisons à l’aide d’un exemple. Considérons un automobiliste parti de Paris à 10 h, passé à Etampes à 11 h, arrive’ à Orléans à midi; et supposons que les distances Paris-Étampes et Etampes» Orléans soient respectivement, 45 et '75 km. Du fait que cet automobiliste a par- couru 75 km entre 11 h et 12 h, on ne peut pas conclure qu’entre 11 h et 11 h 20 mn il a parcouru 25 km ou que, pendant chaque minute qui suit l1 h, il parcourt 75 È 12 h; il est intéressant d'approcher f(t) ——- f(11) par une fonction linéaire de (t — 11), c’est—à-dire, en posant h : t —— 11, d’écrire : f(11 —|— h) : 45 + X h, K étant un coefficient qu’il s’agit de choisir au mieux. 2 1,250 km. Plus généralement, soit t un temps, ici compris entre l0 h et f(11 + h) —gg h : 7x, cela conduit à étudier la fonction cp qui, au réel h, (qé 0), fait correspondre le réel <p(h) : p�� La fonction <p n’est Puisque pas définie pour h : 0, mais elle l’est sur les voisinages pointés de zéro. D’où l’idée de rechercher si lim cp(h) existe. h—>0 S’il existe une telle limite finie A, le nombre A est appelé nombre dérivé de f pour t : 11. On dit aussi que f est dérivable pour t : 11. De la définition de A, il résulte que, pour tout h : f(ll + h): 45 + h[A e] avec lim s: :‘ 0. h——>0
DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 0 L'exemple précédent, qui pourrait être remplacé par de nombreux autres (débit d’un fleuve, intensité d’un courant électrique, �� nous conduit, pour une fonction f définie sur des voisinages de x0, à étudier, s’il existe, le nombre dérive’ pour la valeur x0. Une illustration en sera donnée par la notion de tangente à une courbe plane en un point. Parmi les fonctions de 1R vers R, définies sur des voisinages de x0, nous étu- dierons le sous-ensemble des fonctions ayant un nombre dérivé au point x0; ces fonctions sont dites dérivables (ou diiïérentiables) au point x0. 0 Cette étude locale ( au point x0) étant effectuée pour une fonction f, nous étudierons l’ensemble des réels x en lesquels la fonction admet un nombre dérivé. Cet ensemble étant défini, nous serons conduits à étudier la fonction, appelée fonction dérivée première de f, qui applique cet ensemble sur celui des nombres dérivés. NOMBRE DÉRIVÉ l 1. DÉRIVABILITÉ EN uN POINT o DÉFINITIONS D; Une fonction numérique f, définie sur un voisinage de x0 est dite déri- vable (ou difiérentiable) au point x0, s'il existe : — un voisinage ‘(Mm de x0, — un réel A, — et une fonction n, tels que. pour tout x appartenant à ‘Pou; : f0!) == for») + (X - Xo) . [A + n00] avec "m w) = 0 æ-pæ. Ce qui se note également, en posant x = x, + h : m. + h) = f(xo) + h - [A + e(h)] avec ��� e07) = 0 (fig- 1) 185 Term. A. - 7. 14
DÉRIVABILITÉ oes FONCTIONS uumfimouzs 14 D, La fonction linéaire — notée df,‘ — qui à h réel fait correspondre A . h est l'application différentielle de f au point x.,. Par suite : ' df..(h) = A . h (fig. 2) Notons que. pour cette fonction linéaire, la variable (dite variable indépendante) est h. alors que x0 est un nombre fixé. REMARQUE Si l'on note les accroissements x —x. : Ax et y—y,,: Ay. on représente fréquemment le réel dfæomx) : A.Ax par le symbole ��c qu'on appelle différentielle de fau polnt x. : a, = A . ‘A2: La différentielle dy au point x. est donc l'image de Ax par l'appli- cation dlfiérentieile (au point x0). 186
DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES ‘l4 o THÉORÈME Une fonction numérique f, définie sur un voisinage de x... est dérivable au point x.. si, et seulement sl, la fonction q) telle que : 9U’) z f_(xo_+ h’: — f(Xo) a une limite finie pour h tendant vers zéro. — Supposons f dérivable au point x... Alors f(x.. + h) = f(x..) + h [A + e(h)] avec IIIimO s(h) = 0. Donc 9U.) __. z A + 5(h)_ Et lim ça.) = A. h—>0 m. + h) —r(x.) _ A h _ . — Réciproquement, soit Ilim —>(l Posons e(h) : —@ — A. ç lim e(h) = 0. Alors » ’I—>0 l et m. + h) = m.) + h . [A + son]. Donc f est dérivable au point x... I 2. NOMBRE DÉRIVÉ D'UNE EoNcTIoN EN uN POINT L'étude précédente montre l'intérêt de la limite. si elle existe et est finie, du rapport @�� pour h arbitrairement voisin de zéro. D'où la définition : f(x —f(xo) D, La limite, si elle existe et si elle est flnle, du rapport î î 0 pour x voisin de x.., est le nombre dérivé de la fonctlon f, au point x... La fonction fest dite, dérivable au point x... si elle admet un nombre dérivé au point x... 187
DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 14 I 3. EXEMPLES 0 La fonction f de 1R vers 1R, telle que f(x) z 2x’ est-elle dérivable au point x., :1? Pour x0: 1, f(1) :2 et f(1+h)=:2(1+h)’=2+h(4+2h). Par suite f(1 + h): f(1) + h [4 + e(h)] avec e(h) = 2 h. Puisque Iim 2h : 0, la fonction f est dérivable au point 1 et son nombre h—.>Û dérivé, pour cette valeur, est 4. L'application différentielle dt’, est telle que df;(h) : 4h. Remarquons que l'étude ci-dessus pourrait être effectuée quel que soit x... La fonction [est donc dérivable, quel que soit x0. 9 La fonction f de ]R* vers 1R, telle que f(x) 2% est-elle dérivable au point x0 .—. 2? Pour x0 : 2, f(2) : et f(2 + h): P\e . 3 3 — 3h Par SUIÎÊ �X + �\ wf ï m — 0Zd ï �9f . _. . r<2+h>«r<2>_ i, Cestadlre h _2(2+ h) Or, lliïmf- ëâà-F) z — Ê; la fonctlon f est donc dérivable au point x0 : 2, et le nombre dérivé,_pour cette valeur, est A : — @Yj L'application différentielle dl’, est telle que : dfz (h) : _%h. On démontrerait de même que la fonction [est dérivable en tout point x 7+ 0. 188
DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 14 I 4. CONTRE-EXEMPLES Montrons, sur quelques exemples, des cas de non dérivabilité. D'après le théorème démontré ci-dessus (5 1), ces cas seront essentiellement, de trois types : f(xo + h) — fora) h pour h arbitrairement voisin de zéro, n'a pas de limite, ou a une limite infinie, ou a une limite à droite et une limite à gauche distinctes. 0 La fonction f, de 1R vers 1R, telle que f(0) : 0 et f(x) z x sin; pour xaéo, est-elle dérivable au point x, : 0? h —— 0 1 1 Au point x0 = 0,» f-(j-IIL) = sin-E- Puisque sinî prend toutes les valeurs du segment [— 1, + 1] lorsque h tend vers zéro, la fonction f n'est pas dérivable pour x0 z 0. 9 La fonction f, de 1R vers 1R, telle que f(x) : @� est-elle dérivable au point x, : o? ; — h w 0 1 1 Pourx.,:0, f(0) :0 etf(h): Vh; w : ;,—_-; or, limxî: +00. h ‘v’ h’ h——>O\/ h“ La fonction f n'est donc pas dérivable au point x0 z 0. 9 La fonction f, qui à x 21, fait correspondre : f(x) : —x + x/(x ——2)’ (xw1) est-elle dérivable pour x., : 2? Remarquons que f(x) : —— x + |x w 2| Vx——1 Alors r(2)=—2 et f(2+h)«—f(2):—h+|h|\/1+h = h[—1+l—;| x/ÊÎJ h ,Ï— ——1 V1+h ourh>0. 0|’ —-1+l—hlV1+h: +1 p —1«V1 +h pourh<0. . m m ��� _ lIm 1+ V1_+h _0. h—«>0* , h Par’ suite 1h‘ Iim —1 —/1 h :——2. h——>O" ( + + ) La fonction f n'est donc pas dérivable au point x, : 2. 189
DÉRIVABILITÊ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 14 I 5. PROPRIÉTÉ DES I=ONcTIONs DÉRIVABLES EN UN POINT o THÉORÈME Sl une fonction f est dérivable au point x0, alors elle est continue au point x.,. En efiet, par définition de la dérivabilité au point x0 : f(x., + h) — f(x.,) : h [A + s(h)] avec Iim e-(h) : 0. h—>0 Puisque A est un nombre fini, lim [f(x., + h) — f(x.,)] : 0; ce qui est la I190 définition de la continuité de f au point x0 (139 leçon, ë 10). REMARQUE La réciproque de ce théorème est inexacte. Considérons la fonction f, de 1R vers 1R, telle que [(0) : 0 et, pour x çà 0, 1 f(x) : x sin Î. Pulsque [sin ��� g 1 alors ]f(x)l S x. Donc f(x) est continue pour la valeur zéro. Nous venons d'établir (g 4) qu'elle n'est pas difiérentiable en ce point. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIOUE DES NOMBRES DÉRIVÉS ET DES DIFFÉRENTIELLES I s. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES DÉRIVÉS Soit f une fonction numérique, définie au point x0 et dans un voisinage, et admettant pour graphe cartésien dans un repère (O; i, j) une courbe (F). o Supposons f dérivable pour la valeur x0. Alors lim fe“ + h) “m” : A. I190 h Or est le coefficient directeur de la sécante MoM à (I‘) (fig. 3 et 4), si l'on désigne par M0 et M les points M.,[x.,, f(x.,)] et M[x., + h, f(x., + h)]. Pour M arbitrairement voisin de M0 sur (F), donc pour h arbitrairement voisin de zéro, ce coefficient directeur a une limite A. 190
DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES La courbe (F) admet donc une tangente M0T au point M0 et cette tangente a pour coefficient directeur le nombre dérivé A au point x0. L'équation de ia tangente au point M0 est donc : Y = fütàfŸrAfl ‘dû’ o Supposons que la courbe (F) admette au point M0 une tangente M0T. 0 Si la tangente M0T n'est pas parallèle à Oy (fig. 3), son coefficient direc- teur A est ia limite du coefficient directeur m de ia sécante M0M pour M arbi- trairement voisin de M0 sur (F); or m : `� î 0 r<x> —r<x0> z A Par suite lim x — x0 Œ—>.T0 Donc f est dérivab/e au point x0. et le nombre dérivé est égal à A, coefficient direc- teur de la tangente. ËLÏÆ z m x —— x0 9 Si la tangente M0T est parallèle à Oy (fig. 4), alors lim .1‘—>.1t.. Donc f n'est pas dérivab/e au point x0. REMARQUE Nous avons donné (â 4) comme exemple de non-dérivabilité pour la valeur x0, celui où les limites à droite et à gauche de existent mais sont difiérentes. Dans ce cas, nous dirons que f est dérivable à droite et à gauche de x0 et que la courbe (F) d'équation cartésienne y : f(x) admet. au point M0, de coordonnées [x0, f(x0)] : m. + h) — (ggg) une demi-tangente à droite (de coefflcient directeur lim h /r——>0‘ et une demi-tangente à gauche (de coefficient directeur lim `�y - ll-âÜ ' 191 14
DÉRIVABILITÉ pas FONCTIONS NUMÉRIQUES 14 — Ainsi. par exemple (fig. 5), si f(x) : |x' — 1| nous obtenons au point 1 : f(1)=0 f(1+h)=lh'+2h| Puis lim lht + 2M : 2 et lim Jh‘ + 2M : — 2. I140‘ h II—«>Û" h — De même, nous avons illustré (fig. 6) ie résultat obtenu au 5 4 (3°). '5'" .:l ‘EH. I l ' III IIII l * i III l l JII y ' ' . Elllàufilläll!!! l!!......!!.."!!!!l Fig. s. Fig. 4.. I 7. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES DIFFÉRENTIELLES une fonction f différentiable au point x0, le nombre dérivé A au point x0, le graphe cartésien (F) de f dans un repère (0; P�� Mo le Point [X01 Yo :- f(Xo)]. 0 M0T la tangente en M0, d'équation y : f(x0) + A (x — x0). o Soit : Soit h un nombre réel quelconque et, sur (F), le point M de coordonnées X:Xo+h ety=f(xo+h)- Sur M0T, soit le point P de coordonnées x0 + h et f(x0) + A (x —— x0), (fig. 7). Si K est le point de coordonnées [x0 + h. f(x0)], il en résulte : K5 = f(xo) + A (x — xo) — f(xo) = A (x — xo). Donc R? = A(x -— x.) —_‘— 4.25m) 192
DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 14 Par suite : df,o(h) = A. h représente l'accroissement de l ‘ordonnée du point P sur la tan- gente, pour un accroissement h de l'abscisse. C'est pourquoi l'application linéaire dfw par laquelle l'image de h est df,o(h) = A. h, s'appelle application linéaire tangente. En reprenant les notations du â 1 : Ay = y —yo = f(xo + Ax) —f(xo) et dy = df.. (A!) = A-AX Rappelons que : d'une part, Ax est la variable; que, d'autre part pour_Ax petit, dy réalise une approximation de Ay, ce qui répond au problème posé dans l'introduction. FONCTIONS DÉRIVÉES I s. FONCTION oEmvÉE PREMIÈRE o Soit f une fonction numérique._Supposons f définie et dérivable en tout point x0 d'un intervalle ]a, b[. 193
DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Désignons par E l'intervalle ]a. b[, par F l'ensemble des nombres dérivés aux divers points x... quand x. décrit E. D'après l'hypothèse. à chaque élément x de E correspond un élément Au. bien déter- miné. de l'ensemble F; le nombre dérivé au point x, (fig. 8). Cette correspondance est une application de l'ensemble E sur l'ensemble F; on l'appelle fonction dérivée première de la fonction f. o DÉFINITION La fonction dérivée première d'une fonction numérique f, dans un intervalle ]a. b[ est. lorsqu'elle existe. la fonction qui, à chaque valeur x., de l'intervalle ]a. b[. fait correspondre le nombre dérivé. au point x0, de la fonction f. f: La fonction dérivée d'une fonction f est notée ce qui se lit « f prime ». r. Par suite : x.,(e ]a. b[) -e> A, ou. pour tout x., de ]a. b[, A. = f’(x.) Plus brièvement. on dit souvent fonction dérivée ou simplement dérivée. On note usuellement par y’ l'image de x par la fonction f’. soit y’ = f’(x). et par y.', le nombre dérivé f’(x.,). o Remarque Si la fonction fest dérivable sur l'intervalle ]a. b[, si au point a elle admet un nombre dérivé à droite et au point b un nombre dérivé à gauche. on peut définir la fonction dérivée de f sur le segment [a, b] ; f’(x) est le nombre dérivé au point x si x e ]a. bb[; f’(a) est la dérivée à droite au point a: f’(b) la dérivée à gauche au point . o Recherche de la dérivée première, éventuelle, d'une fonction numé- rique donnée. — On précise les intervalles dans lesquels la fonction numérique fconsidérée est définie; — si x0 est pris dans l'un de ces intervalles. on cherche si le rapport f_(_xo+h)—f({Q h — si l'on peut exprimer la limite finie A. en fonction de x., sous la forme Au = g(x.,), la fonction g est la fonction dérivée première de la fonction f. a une limite A, lorsque h tend vers zéro; 194 14
DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES EXEMPLES Q La fonction f. de 1R vers 1R. telle que f(x):2x' est dérivable en tout polntx,. flxo ‘l’ h) '“ flxo) h Le nombre dérivé au point x, est donc A, : 4x,. Ceci étant valable pour tout x, e 112. il existe une fonction dérivée f’, définie Le rapport : 4x, + 2 h a pour limite 4 x, quand h tend vers zéro. sur 1R. et telle que r11): Ç x. 9 La fonction f. de ]R* vers 112. telle que f(x) : ê, admet. au point x, aé 0 le 3 — —- Ce résultat est valable pour tout x, e IR*; nombre dérivé A, : (x0): il existe donc une fonction dérivée f’ définie sur ]R*. et ' f’(x) = —-— min e Dérivées successives. Si la dérivée première f’ d'une fonction f est elle-même dérivable (ou difié- rentlable) en tout point d'un intervalle J. sa fonction dérivée est appelée dérivée seconde de f, et notée f" (ce qui se lit « f seconde »). Plus généralement, les fonctions dérivées successives de la fonction f, si elles existent, sont notées f"' ou f i’, f" f"'. et appelées dérivée trolslème (ou d'ordre 3). --.. dérivée niemeïou‘ d'ordre n). Si fin’ existe. on dit que la fonction fest n fois dérivable (ou différentiable). l 9. RETOUR SUR LA NOTATION DIFFÉRENTIELLE o La différentielle de la fonction f. au point x,. est l'image de h par l'application différentielle df...) telle que. si A, est le nombre dérivé au point x,. alors df.o(h) : A,.h (ê 1). Or A, est le nombre dérivé de f au point x,. soit f’(x,). D'où la nouvelle notation : df,_(h) = f'(x,) . h Plus généralement. pour toute valeur x en laquelle f est difiérentiable dfæUI) = f(x) k- h o Puisque l'on pose souvent y = f(x), on note, comme nous l'avons signalé au ê 1. dy = df,°(h). ce qui conduit donc à écrire : dy = f’(x) . h 195 14
DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 1 R o Soit_1_R l'application identique de 112 sur R : (x Te» x). Puisque x + h = x + h, la fonctionlm est diflérentiable en tout point x, et son nombre dérivé est 1 quel que soit x. L'application différentielle de la fonction_1R est donc la fonction identique_1]R. En utilisant les notations ci-dessus, cela conduit à dy :1 .h. Et comme ici y = x, on convient de noter dx cette difiérentielle. D'où : dx = h o On notera donc dy = f’(x) . dx la différentielle de la fonction fau point x. Dans cette écriture il importe de remarquer que : dy est la différentielle au point x de la fonction f; f’(x) est le nombre dérivé de fau point x; dx est la variable; c'est aussi la différentielle, en tout point, de la fonction 1 R. o Par suite : En tout point x en lequel la fonction f est difTérentiab/e, le nombre dérivé f'(x) est égal au quotient des deux différentielles dy et dx en ce point : m) = ä g EXERCICES 14-1 Calculer les nombres dérivés pour 1, ou 2, ou -— 2, des fonctions f cl-dessous. Construire les tangentes, aux points considérés, aux courbes d'équation y : f(x). (1) f(x)=x' (2) f(x)=—xï. m flx) =— 1; (4) ru) =— E‘; 196 14
I 4-2 1 4-3 14-4 14-5 14-6 14-7 DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 14 Les fonctions f ci-dessous sont-elles dérivables pour x : 2? Dans l'affirmative. calculer le nombre dérivé et construire la tangente à la courbe y : f(x) au point d'abscisse 2. (1) f(X):X"—3X+4 (2) I‘(X)=—X'+X'*1 _x—l—2 _2x—1 (3) f(x)—x_1 (4) fméx +4 (s) for) : s/(x — 2)) (e) ru) = s/F. Existe-t-il un point de la courbe d'équation y : f(x) où la tangente a pour coefficient directeur — 5 ? (1) I‘(X) = 5x“ (2) f(X) =— X“ 5 ‘a’ (“"5 (4) r(x):— ><|I° (ANA Etudier. pour x : 1. la dérivabilité des fonctions f ci-dessous. construire, éventuellement. les tangentes, ou demi-tangentes. aux points d'abscisse 1 aux courbes d'équation y : f(x). (1) m) :\/x._1 (2) f(x) = lx—1l (4) rtxä = (x- 1) - sin ;‘_ (3) roc) : Vu) — 1)“ . (x —2) Soit f l'application, de 1R vers R, telle que f(x) : x’. 1° Définir la différentielle df, de f pour x :1. 2° Dans quel intervalle de centre 1, peut-on écrire f(x) :1 +df,(x—1) avec une marge d'incertitude inférieure à 10"? En déduire alors immédiatement, avec une telle marge d'incertitude : (O,9998)“. . . . 2 Soit f l'application, de 1R — {O} vers 1E, telle que f(x) : ï‘- 1° Définir la différentielle d)‘, de fpour x :1. 2° En posant h : x— 1, indiquer un intervalle, de centre 1, dans lequel on peut poser [(1 + h) : 2 + df,(h) avec une marge d'incertitude inférieure à 0,0004. 2 . . . 2 En déduire, avec cette marge d'incertitude, —— et АY 1 ,002 1° Calculer le nombre dérivé, pour x0, de la fonction numérique ftelle que : f(x) : 2x’ «w 5x + 3. 2° Déterminer la dérivée première de la fonction f. 3° En déduire les nombres dérivés pour x e {w 3, — 2, 0, 1, 3, 5} 4° Généralisation, a. b. c étant trois nombres réels donnés, déterminer la dérivée première de la fonction numérique g telle que g(x) : ax“ + bx + c. 197
14-2 14-3’ 1,44 «es 14-6 14-7 198 DÉRIVABILITÉ ces FONCTIONS NUMÉRIQUES 14 l INDICATIONS 1 Pour x : 1, les nombres dérivés sont respectivement 2, —— l, l, 2» et les tangentes correspondantes sont construites fig. 9. (5) La fonction f n’est pas dérivable pour x = 2. Calculer le nombre dérivé f ’(x), puis résoudre l’équation f '(x) e; —— 5. Aucune de ces fonctions n'est dérivable pour x : l. (1) Tangente parallèle à Oy. (2) et (3) Demi-tangentes à droite et à gauche. (4)'Pas de tangente. tif, est telle que df,(h) = 2h et f(l + h) = 1 + df1(h) + h’. 2h . . 4 f(l + h): 2 + df,(h) + c avec e = �q Si h > 0, on réalise c < R? avec 1 h < läo- Si h < 0, il suffit que [hl < Î)- D'où : ——2— : l 996 et L : 2,0006 avec la marge d’incertitude indiquée. 1,002 ’ 0,9997 1° et 2° f,(x,) : 4x. — 5.
DËRIVËES DES FONCTIONS USUELLES q Dans la leçon précédente, nous avons défini, puis étudié, l’ensemble des fonctions numériques dérivables en un «point» x0. Si f est une telle fonction, nous avons ensuite défini une nouvelle fonction, appelée dérivée première de f, et notée f’, qui, à chaque valeur x0, associe le nombre dérivé de f au point x0. a L’objet de cette leçon est de répondre aux deux questions suivantes : — les fonctions dites « usuelles » admettent-elles des dérivées premières? —— dans Fajïirmative, quelles sont ces fonctions? o Nous allons donc retrouver, dans ce qui suit, les résultats établis en Classe de Première (99 leçon, page 85 Nous compléterons cette étude par celle des dérivées des fonctions circulaires. n 1. MÉTHODE GÉNÉRALE La recherche de la dérivée (première) éventuelle d'une fonction numérique f comporte les étapes suivantes (cf. 14° leçon, â 8) : o préciser l’ensemble E de définition de f; o étudier la dérivabilité au point x0; si x0 est adhérent à E (c‘est—à-dire si tout voisinage de x0 rencontre E), chercher f(xo + h) — f(Xo) (ou bien chercher si f(x0 + h) s'écrit sous la forme f(x0 + h) = f(x0) + h [A0 —l— e] avec �#� e : 0). si le rapport a une limite finie A0, lorsque h tend vers zéro Alors A0 est le nombre dérivé de fpour la valeur (ou « au point») x0. o Fonction dérivée. S'il existe une fonction — notée f’ — telle que : quel que soit x0. A0 : f'(x0). alors la fonction f’ est la fonction dérivée (première) de f. 199
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 l 2. DÉRIVÉE PREMIÈRE D'UNE FONCTION « CONSTANTE » 0 Désignons par f|'app|ication « constante» de 112 sur |e nombre a,te||e que: ‘Evx e R :f(x) = a o Dérivabilité au « point » x.,. Au voisinage du point x0, f(Xo + h) = a. D'où f(xo + h) —f(x.,) z 0 et Ilim 0 = 0. I—>(I La fonction f est dérivab/e et son nombre dérivé est 0. Fig. l. o Fonction dérivée. Il existe donc une fonction dérivée : c'est la fonction nulle. Toute fonction constante f, de 1R vers 1R, définie par f(x) = a, est dérivable en tout point; sa fonction dérivée f’ est la fonction nulle : dest-à-dire _ vx e R. f'(x) = 0 (fig. 1). I 3. DÉRIVÉE PREMIÈRE DE LA FONCTION IDENTIQUE 0 Soit 11R la fonction identique de 1R vers 1R, telle que vx e R, 1_1R(x)_=x o Dérivabilité au « point »'x.,. Puisque, quel que soit x. : 1_]R(xo + h) = x0 + h, la fonction 1R est dérivable et son nombre dérivé est 1 (fig. 2). 0 Fonction dérivée. La fonction identique 1R de 1R vers 1R . est dérivable en tout point; sa fonction dérivée est la fonction constante telle que : vxe R» �Q� =1. 200
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 I 4. DÉRIVÉE PREMIÈRE DE LA FONCTION « CARRÉE » o Désignons par f l'application «carré», de 1R vers 111+, telle que: f(x) = x‘ o Dérivabilité pour x.,. Au voisinage du point x. : f(x., + h) = (x. + h)’ : (x.,)’ + 2hx. + h’. D'où : f(xo + h) = f(xo) + h[2Xo + h)- Donc quel que soit xo, la fonction f est dérivable et son nombre dérivé est 2x.. o Fonction dérivée. Il existe donc une fonction dérivée; c'est la fonction f’te|le que, quel que soit x: f’(x) = 2x. o La fonction f de 1R vers 112+, définie par f(x) = x3 , est dérivable en tout point; sa fonction dérivée f’ est telle que : - f’(x) =,2x' On dit. plus brièvement, de façon incorrecte : la dérlvée de x‘ est 2x. Ce résultat est schématisé flgure 3. I 5. DÉRIVÉE PREMIÈRE DE LA FONCTION « CUBE » 0 Désignons par f l'application, de 1R vers 11a, telle que : fix) = x’. o Dérivabilité pour x.,. Au voisinage du point x, : f(Xo + h) = (Xo + h)“ = m)’ + 3(Xo)“h + 3Xoh’ + h“- D'0ù î f(X + h) = f(Xo) + h[3(Xo)’ + 3Xoh + b2]- ‘ Or, Iim (3xoh + h“) = 0. ÏI—>Û Donc, quel que soit x0, la fonction f est dérivable et son nombre dérivé est 3(x.,)’. 201
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 o Fonction dérivée. Il existe donc une fonction dérivée; c'est la fonction f’ telle que, quel que soit x e 112, f'()() = 3X’. La fonction f de 1R vers 1R, définie par flñzx‘ est dérivable en tout point; sa fonction dérivée f’ est telle que : _ ‘ rixi: 3x‘ l On énonce, de façon incorrecte : la dérivée de x3 est 3x‘. Ce résultat est schématisé figure 4. I s. DÉRIVÉE PREMIÈRE DE LA FONCTION « PUISSANCE QUATRIÈME )) o Soit f l'application, de 1R vers 112+, telle que flac)’: _x4ÿl o Dérivabilité pour x0. Au voisinage du point x0 : f(Xo + h) = (Xo + h)‘ = (Xo)" + 4(Xo)”h + 5(Xo)’h“ + 4Xoh“ + h‘- D'où = flxo + h) = nm + h[4(xo>“ + 6(xo)’h + 4xoh‘ + h’1- Or : @0D [6(x.,)“h + 4xoh’ + ha] = 0. Donc. quel que soit x0, la fonction f est dérivable et son nombre dérivé est 4(x.,)“. o Fonction dérivée. Il existe donc une fonction dérivée; c'est la fonction f’ telle que : v x e 112, f’(x) = 4x“. La fonction f de 1R vers 1R, définie par f(x) = x‘, est dérivable en tout point; sa fonction dérivée f’ est telle que I f'(x) = 4x’ Fig. 5. On énonce : la dérivée de x‘ est 4x’. Ce résultat est schématisé figure 5. 202
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 REMARQUE ll est naturel de généraliser ce qui précède : étant donné un entier naturel n, la fonction numérique f telle que f(x) = x" admet-elle une fonction dérlvée première? Nous répondrons à cette question dans la leçon suivante (ä 4). l 7. DERIVEE PREMIÈRE DE LA FONCTION «INVERSE DE... » o Soit f l'application de ]R* = 1R —{0} vers R, telle que p7 f(x) :1; o Dérivabilité pour x... Au voisinage du point x0, dans 112“ ou R“, f(xo+ h) = �" x. + h . . f(Xo + h) —- f(xo) 1 D = — °“ h x..<x..+h) 1 1 O : l‘ — e = — —- ' ,32‘. x.<x.. + h) <x.)= Donc, quel que soit x0 se O. la fonction fest dérivable et son nombre dérivé 1 est * ��' o Fonction dérivée. Il existe donc une fonction dérivée; c'est la fonct1ion f’ telle que : vxe]R*. f'(X)=Ë- La fonction f de ]R* vers 1R, telle que f(x) =_ 1; , est dérivable en tout point; sa fonction dérivée est la fonction f’ définie sur ]}2*, telle que : rrx) = -—:;‘— = On énonce : la dérivée de à est — —- Ce résultat est illustré flgure 6. 203
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES . s. DÉRIVÉE PREMIÈRE oE LA FONCTION « RAcINE cARREE oE... » 0 Soit fl'application de 111+ sur 112+, telle que f(x) z: v’; 0 Dérivabilité pour x0. Au voisinage du point x0, dans 113+, f(x., +12) = v'x.+h. D'où f(xo+h) e f(xo) _ wZï/i — V? h — h Et, par multiplication et division par (x/"xo + h + I/Îo) : f(xo+h)“f(xo) z 1 _ h ��� + v7. Or, si nous admettons que fest continue en tout point, alors lim v1. + h = v2. /l—>0 Alors : lim (Vx, + h + ��� = 2V'Î.,. Il—->0 . . . 1 1 Par suIte : sI x0 9e 0, lIm H: vx. + h + \ 7., — 2x7,, Donc, quel que soit x0 > 0, la fonction f est dérivable au point x0 et son nombre dérivé est 2\-’ x0 o Fonction dérivée. Il existe donc une fonction dérivée; c'est la fonction f’ telle que, quel que soit x e 112“. m) = L,- 2\/ x __ La fonction f de 112+ vers 112+, telle que f(x) = x/x , est dérivable en tout point de 1R”; sa fonction dérivée est la fonction f’ définie sur II2*+, telle que rot) : J? 2V x On énonce : la dérivée de v; est l zv ><l Ce résultat est illustré figure 7. Il est à noter que la fonction fest définie sur 112 +, et que la fonction f’ n'est définie que sur 112“, c'est-à-dire que f n'est pas dérivable, à drolte, pour la valeur 0. 204 15
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 I 9. DÉRIVÉE PREMIÈRE DE LA FONCTION SINUS o DÉFINITION Quel que soit le nombre réel x, il existe un angleÎdont la mesure, en radians est égal àx. Le sinus de cet angle est alors bien défini (Cours de Première, page 194). La fonction sinus est la fonction numérique qui, à x réel, fait correspondre le nombre réel sin x. Cette fonction est définie dans 1R et prend ses valeurs sur le segment [—1,+1]. o Dérivabilité pour la valeur x0. Calculons le rapport r = �� Admettons que (cf. remarques ci-dessous, 9) : . . . h h" sin (x0 + h) — sm x0 : 2 sin ï cos x0 —l— ï)- . h sIn— 2 cos (x0 +- — Si la fonction cosinus est continue, ce que nous admettons, alors : Alors r = Na]:- lim cos (x0 + 0� = cos x0. h—>Ü . . . sin o: — SI nous admettons que, pour oc en radians, lim ‘ :1 (cf. remarques G h-vfl ci—dessous), alors : . sin x h — sin x llm ——(—Ë—)————3 = cos x0. h—>0 h Donc (sous réserve des résultats admis) : Quel que soit x0, la fonction sinus est dérivable pour la valeur x0 et son nombre dérivé est cos x0. 205
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 o Fonction dérivée. La fonction sinus est dérivable pour toute valeur; sa fonction dérivée première est la fonction cosinus. 206 REMARQU ESw G De façon abrégée, on énonce : la dérivée de sin x est cos x. 9 Le schéma ci-contre (fig. 8) résume le résultat obtenu. a Puisque, quel que soit x, cos x : sin (x + ��] le nombre dérivé, pour la valeur x.,, de la fonction sinus, est , TE sln (x. + Î)- Puisque, quel que soit x, cosxzsin x + ï (cf. Classe de Première, age 191) : 2 P Fig. s. le nombre dérivé, pour la valeur x, de la fonction sinus, est sin (x-l- �B� _g 91+ 9 Nous avons utilisé la relation sin o: — sin B: 2 sln ‘i? cos ———2—--« Cette formule résulte de théorèmes qui ne sont pas au programme de la classe. lndiquons cependant, dans le cas particulier où 0 < B < oc < 1%, une justification de ce résultat. Soit M et P les points du cercle trigonométrique tels que A/OÎI : oc et A/O\P :8 (fig. 9). Si m et p sont les projections orthogonales de M et P sur l'axe Oy, alors : pm: Om — Op: sln <x—sin B. pm est la projection orthogonale de MP sur Oy, Or : p�d ë a + B Ê l'angle de MP et de Oy est égal à l'angle de Ou et Ox, soit î- Par suite pm : MP cos E‘; soit sin <x—- slnB: MP cos a: p- Si l est le milieu de MP : PI : sin ä (triangle rectangle OPI avec OP : 1). Or MP : 2 Pl.
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 D'où le résultat : sin oz- sin B : 2 sin «—a «+9 2 cos 2 Fig. 1o. sin on on :1. Q- Nous avons admis que, pour oc en radians, lim u—>0 Indiquons une justification « intuitive » de ce résultat. — Notons d'abord que si oc est néatif, alors, en posant o: : — oc’ (avec oc’ > 0) : sin oc’ _ sin — oz _ lim—, =lim—(——)=hm u’—>0 a‘ m—>0 (‘— o‘) n—->0 o‘ sin oc Nous supposerons donc oc > 0. —— Soit AOM : o: (fig. 10). Il semble « intuitif » que : /'\ aire triangle AOM < aire secteur circulaire OAM < aire triangle AOT. Or l'aire du cercle trigonométrique (de rayon 1) est n. Si nous admettons la proportionnalité de l'aire d'un secteur à la mesure, en radians, de son anle au /'\ a centre, alors : aire secteur OAM : ï- ‘ 1 È aire triangle AOM z ï- MH X OA : — sin o: > D'autre part, E 1 â aire triangle AOT : ï . AT.OA = — tg a Par suite sin oc S oc < tg oc 1 ou 1 < a < ——— Sln oc cos et soit encore cos oc S E“ \_ 1 207
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 Or nous avons admis que la fonction cosinus est continue. _ _ _ sin on Par suite lIm cos o: :1. Il en résulte que Iim —— .—_ 1. <1. u—>(| u-bl) 0 Soitd la mesure, en degrés, d'un angle/x. Soit r la mesure, en radians, de cet angle. r 1r AI — — —— ors d 180 par suite sin d __ sin r r _ sin r d _ r d m 180 r Donc Iim s—m—d = la lI——>0 180 Il en résulte que z "Si d est la mesure, en degrés, d'un angle, le nombre dérivé de la fonction, (encore appelée, malencontreusement, sinus) est : 1C .—_’ a i” COI . 1o. DÉRIVÉE PREMIÈRE DE LA FONCTION COSINUS o La fonction cosinus est la fonction numérique qui, à x réel, fait correspondre le nombre réel cos x (cf. Classe de 1", page 197). Cette fonction est définie sur 1R et prend ses valeurs sur |e segment [— .1, + 1]. o Dérivabilité pour x0. cos (x0 + h) — cosfl h a une limite finie Nous devons chercher si le rapport iorsque h est voisin de zéro. Or cos (x +h)—cosx = sin iï-(x +h)u —-sin /ï—-x)- o o L 2 o K 2 o D'après la formule utiiisé au fi 9 : sin @�~ —(x., + m] —sin — x0) : 2 sin ÿ . cos �P — Q0 + �/ z —- 2 sin ~ sin (x0 + дy h sin g , h._ (miçxl — . sin X0 + _). Donc h _ — à 2 2 208
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES La fonction sinus étant dérivable pourtoute valeur de x est continue (14° leçon, ê 5). Par suite lim sin (x0+ z sin x0. h—>o 2 sinâ 2 |' :1. il‘. h 2 Donc : quel que soit x0, la fonction cosinus est dérivable pour la valeur x0 et son D'autre part : nombre dérivé est — sin x0. o Fonction dérivée. D'après ce qui précède, on peut énoncer : La fonction cosinus est dérivable pour toute valeur; sa fonction dérivée première est la fonction (— sinus). REMARQUES 0- De façon abrégée, on énonce : la dérivée de cos x est —— sin x. 9 Le schéma ci-contre (fig. 11) résume le résultat obtenu. 54 355 5E 0; Q Puisque quel que solt x, cos (x-l-g) :—sin x, l le nombre dérivé, pour la valeur x0, de la fonction cosinus, est cos (x0 + � 9 On démontre comme ci-dessus (â 9) que : Si d est la mesure, en degrés, d'un angle, la fonction qui, à d. fait corres- pondre cos d est dérivable quel que soit d; son nombre dérivé est Tr . ———sm d. Fig. 11. DÉRIVÉE PREMIÈRE I l 11. DE LA FONCTION TANGENTE oLa fonction tangente est la fonction numérique qui, à Î réel (mesure en radians d'un angle x), fait correspondre le nombre tg x. Cette fonction est définie sur 1R — E, en désignant par E l'ensemble des réels g-l- krr, avec k entler relatlf. On note E: g + r: Z. 209 l5
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 O Dérivabilité pour la valeur x0. t9 00+ h) —tg X0 Soit x0 äég-l-kn. Calculons le rapport r: h _ sin (x0 —l— h) sin x0 or : tg (X°+h)”tg X°’cos(x0+h)—cos x0 __ sin (x0 + h) cos x0— sin x0 cos (x0 + h)_ " cos x0- cos (x0 + h) D'autre part, les fonctions sinus et cosinus étant dérivables pour la valeur x0 les nombres dérivés respectifs étant cos x0 et — sin x0 (cf. ê 9 et ê‘ 10) : K sin (x0 —l— h): sin x0 —l— h [cos x0 + s0] avec lim s1 : 0 h—>0 ‘l ( cos (x0 —l— h) : cos x0 —l— h [— sin x0 + s0] avec lim s0 : 0 I1—-—>0 Par suite : hicos’ x0 + sin” x0) + h [s1 cos x0 — s0 sin x0] cos x0 . cos (x0 + h) tg (xo+h)—tg x0 = 0,0l,” r :1 +51 cosx0—s0 sinx0_ cos x0 . cos (x0 + h) im s1 = 0 et lim s0 : 0, il semble I h——>l) h—>0 Puisque lim cos (x0 + h) = cos x0, h—>U intuitif, et nous admettrons ce résultat, que lim r : 12 - /1_,0 C03 X0 Donc, quel que soit x0 e IR — E, la fonction tangente est dérivable et son 1 nombre dérivé est m?" cos x0 o Fonction dérivée. La fonction tangente est dérivable pour tout x0 e R — E; sa fonction dérivée .. . , _ 1 prem/ere est la fonction f _ »—(cosi——nus)z 210
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 REMARQUES 0 De façon abrégée, on énonce : la dérivée de tgx est ———2—- cos x. 9 Le schéma ci-contre (fig. 12) illustre le résultat obtenu. _ 1 9 Puisque œsfix :1 + tg’x (Classe de Première, page 180), on peut également énoncer : la dérivée de tgx est (1 + tg‘x). Fig. 12. 0 Nous établirons ces résultats par une méthode différente dans la leçon suivante (5 6). 6 Si d est la mesure, en degrés, d'un angle, la fonction qui, à a’, fait correspondre tg d a pour nombre dérivé (si d 7E 90° + k. 180°) : à. 3318T‘,- I 12., DÉRIVÉES DES FONCTIONS x -e» sin (ax + b) o Soit f la fonction telle que f(x) = sin (ax + b). Elle est définie quel que soit x et prend ses valeurs sur [— 1, + 1]. o) Dérlvabllité pour x... Calculons le rapport : r z f(Xo + h’) — f(Xo) _ sin [â(Xo + h) + b] *— sin (axa + b)_ ‘_ h D'après la formule utilisée (ê 9) : sin [a(x,, + h) + b] — sin (ax, + b): 2 sin ËË cos (ax, + b + ��d 2 ah D'où: r : a. cos (ax, + b + 1%!) Î Si oc : 2h, lim 23‘ :1 et Iim cos (ax, + b + a) : cos (axa + b). oz—>0 u—>0 Dans ces conditions, il semble intuitif, et nous admettrons ce résultat, que : lllim r = a cos (ax, + b). —>0 Donc, quel que soit x,,, la fonction qui, à x0, fait correspondre sin (ax, + b) est dérivab/e; son nombre dérivé est a. cos (ax, + b). 211
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 o Fonction dérivée. La fonction dérivée f’ de la fonction x —e» sin (ax + b) est donc telle que f’(x) = a cos (ax + b) EXEMPLES 0 La « dérivée » de sin 2x est 2 cos 2x. 9 La « dérivée » de sin (3x——<x) ,où a: est une constante, est 3cos (3x-a). o On démontre de même que : la fonction dérivée g’ de la fonction x 4g- cos (ax + b) est telle que 91x) = ——— a sin (ax + b) EXEMPLES 0 La « dérivée » de 9 La «dérivée» de cos 2x est —— 2 sin 2x. cos (3x + a), où a est une constante. est m3 sin (3x + a). I 13. TABLEAU DES DÉRIVÉES PREMIÈRES DE FONCTIONS NUMÉRIQUES USUELLES Résumons ci-dessous les résultats obtenus dans cette leçon : 212 Fonction f Fonction dérivée Fonction f Dérivés première f’ première f’ m) f'(x) f0‘) W) C (constante) 0 sin x cÿñ X 1 sin (x + ��� X2 2X cos x — Ëiun x X3 3X2 COS (X + ��� x‘ 4x“ , ÎQ X _l_ (x 9E g- + kn: °°9’X l (x ça o) — 1 ou x x’ k e Z) 1 + tg, x v; (X à o) 0/� (X > o) sin (ax + b) a cos (ax + b) 2‘ X cos(ax+b) —asin (ax+b)
15-1 15-2 15-3 15-4 DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES l EXERCICES 1° Calculer le nombre dérivé, pour x : 2, de la fonction numérique ftelle que f(x) : 3 x + 5. 2° Plus généralement, quel est le nombre dérivé pour x0? 3° Déterminer la fonction dérivée première de la fonction f. 4° Généralisation. La fonction numérique g telle que g(x) : ax + b (a et b réels donnés) est-elle dérivable, quel que soit x? Dans Pafflrmative, déterminer sa fonction dérivée g’. 1° Calculer le nombre dérivé, pour x :1, de la fonction numérique ftelle que f(x) : 3 x’. 2° Plus généralement, quel est le nombre dérivé pour x0? 3° Déterminer la fonction dérivée première de la fonction f. 4° En déduire les nombres dérivés pour x e {— 5, «4, — 3, —2, 0, 2, 3, 4}. 5° Déterminer la dérivée g’ de la fonction numérique g telle que g(x) : ax” (avec a nombre réel donné). 1° Calculer le nombre dérivé, pour x : 2, de l'application fde 1R — {o} dans 1R m{0} telle que f(x) 2: � Plus généralement, calculer ce nombre dérivé xobé 0). 2° Déterminer la fonction dérivée première de la fonction f. POUF 3° En déduire les nombres dérivés pour X e {— 5, —— 4, —3, —2, —— 1, 3, 5}. 4° Montrer que la fonction numérique g telle que, pour x qä 0, g(x) : f? (avec a nombre réel donné), est dérivable. Déterminer la dérivée g’. 1° Quelle est la dérivée première de la fonction numérique ftelle que f(x) : x3? En déduire les nombres dérivés pour x e {— 3, —2, —1, 0, 2}. 2° Montrer que la fonction numérique g telle que g(x) : ax“ (avec a nombre réel donné), est dérivable. Déterminer la dérivée g’. 1° Calculer le nombre dérivé, pour x:2, de la fonction numérique f telle que f(x) : 2x” — 5x + 3. 2° Calculer le nombre dérivé pour x.,. 3° Déterminer la dérivée première de la fonction f. 4° En déduire les nombres dérivés pour x e {— 3, —-2, 0, 1, 3, 5}. 5° a, b, c étant trois nombres réels donnés, déterminer la dérivée première de la fonction numérique g telle que g(x) : ax? + bx + c. 213 15
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 15-6 ' 1° Calculer le nombre dérivé, pour x :1, de Papplication f, de 1R —ä%ä»dans 1R, telle que f(x) �A ’ 1 Plus généralement, calculer lenombre dérivé pour x4 çà Î)- 2° Déterminer la fonction dérivée f’ de la fonction f. 3° En déduire les nombres dérivés pour x e {— 3, w2, — 1, 0}. 15-7 1° Quelle est la dérivée de la fonction numérique f telle que f(x) : x’? 2° Existe-t-il des points de la courbe C d'équation y : x“ où la tangente est parallèle à la droite d'équation y: ——4x? 3° Peut-on déterminer des points de C où la tangente est parallèle à une direction donnée. de coefflcient directeur m? 4° Est-il possible de mener, par le point A de coordonnées (x : — 1, y : —3) des tangentes à la courbe C? Dans l’affirmative, construire sur un même gra- phique la courbe C et ces tangentes. 5° Est-il possible de mener, à la courbe C, des tangentes issues du point M de coordonnées (oc, B)? Discuter suivant la position du point M dans le plan. 6° Déterminer l'ensemble des points M (oc, (3) de manière qu’il soit possible de mener par ces points, à la courbe C, deux tangentes perpendiculaires (repère orthonormé). 15-8 1° Construire la courbe C d'équation y :1- x 2° Quel est le nombre dérivé, pour x.,(# 0) de la fonction ftelle que f(x) : ? xi» Quelle est la dérivée de la fonction numérique f? 3° Déterminer les points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d'équation y = — 4x. Construire ces tangentes sur le graphique du 1°. 4° Existe-t-il des points de la courbe C où la tangente est parallèle à une droite de coefficient directeur m ? Discuter. 5° Est-il possible de mener par le point A de coordonnées (xz-ô, y: 2) des tangentes à la courbe C? Dans l’affirmative, construire celles-ci sur le gra- phique obtenu en 1°. 6° Est-il possible de mener par le point M, de coordonnées (a, f3), des tangentes à la courbe C? Discuter suivant la position du point M dans le pan. 15-9 1° Quelle est la dérivée première de la fonction fde Bât dans 113+, telle que f(x) : Vx? En déduire les nombres dérivés pour les valeurs 1, 4, 5, 16. 2° Construire les tangentes à la courbe (C) d'équation y : \/x [on ne demande pas de construire (C)] en ses points d'abscisses 1, 4, 5, 16. Ecrire les équations de ces tangentes. 3° Existe-t-il des points de la courbe (C) où la tangente a pour coefficient direc- teur un nombre réel donné m? 4° Soit P le point de coordonnées (a, B). Discuter, suivant la position de P, le nombre des tangentes à (C) passant par P. Déterminer l'ensemble des points P tels que les deux tangentes issues de P soient perpendiculaires (repère ortho- normé). 214
DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 15-10 1° Quel est le nombre dérivé de la fonction sinus pour la valeur l;- ? 15-11 15-12 15-1 154 15-3 154 15-5 2° Construire la tangente au point d'abscisse j; à la courbe d'équation y : sin x (repère orthonormé). 3° Quelle est la différentielle de la fonction sinus pour x : l; ? 4° En déduire immédiatement une valeur approchée de sin 60° 30’. Mêmes questions pour la fonction cosinus. 1° Quelle est la différentielle, pour x : - de la fonction tangente? 45° 30 . alu 2° En déduire une valeur approchée de t (D I INDICATIONS Pour tous les exercices de 15-l à 15-6, revenir à la définition du nombre dérivé et de la fonction dérivée première. 2° f(xa + h) = 3(Xa + h) + 5 = (3xo + 5) + 3h Soit f(xo + h) Z/(xo) + 3h- Nambre dérive’ : 3. 2° Nombre dérivé 6x0. 3° Alors f'(x) : 6x. 3 3 1f(xo+h) exo +h et f(xo) =x—o — 3h _ — 3 _ ""°+"’”""°’-mm °‘ 3m01?) r‘ �/ 1° f'(x):3x‘; donc f'(— 3):27, f'(—2): @9 2° .Ï(Xo + h) = 2(Xo + h)‘ — 5(Xo + h) + 3 f(Xn + h) =f(Xo) + h[4«\’o — 5 + 2h] f(Xo + h) :f(Xo) + hlA + 9(h)] 5° f'(x) Z 2ax + b. avec A : 4x0 — 5 215
15-6 15-9 15-10 216 DÉRIVÉES DES FONCTIONS USUELLES 15 , — 8 2° f (X) ï ñ 2° Puisque f'(x) : 2x ..., il faut et suffit que 2x : — 4 soit x : —— 2. 4° Ecrire l'équation de la tangente à C au point (Fabscisse x0 y —— (x02 : 2x.,(x — x0) soit. . . Cette droite passe par le point A, si et seulement si, . . . 1° f’(4) : l- " 4 1° Le nombre dérivé demandé est cos �qj soit . .. _ l 3° S1f(x) z sin x, df.__(h) : ï h (cf. 14° leçon). '3' , _ r: N i 3 I 4o Pour valeur approchee de s1n( î æ h ), on prendra Î » e Î h. \ Attention : h doit être exprimé en radians.
OPËRATIONS_ SUR LES FONCTIONS DERIVABLES 0 La méthode employée dans la leçon précédente pour calculer les dérivées premières de fonctions usuelles pourrait, évidemment, s’appliquer dans tous les cas. Mais elle conduirait à des calculs fastidieux et d’une réalisation parfois malaisée. 0 En vue de remplacer ces calculs par des calculs plus simples, on est amené à étudier le comportement de la dérivation par rapport aux opérations sur les fonctions numériques dérivables : — les fonctions somme, produit, quotient, racine carrée, de fonctions déri- vablea sont-elles dérivablea? — dans Vaffirmative, de la connaissance des dérivées des fonctions données, peut-on déduire simplement les dérivées des fonctions somme, produit...? 0 L’objet de cette leçon est de répondre à ces deux questions. Il s’agit donc seu- lement de réviser les résultats obtenus en classe de Première (109 leçon, page 93 I 1. DÉRIVABILITÉ (rappel) o Rappelons (cf. 14' lecon, â 1) qu'une fonction numérique fdéfinie sur un voisinage de x., est dérivable (ou difiérentiable) au « point x., » s'il existe un voisinage ‘(La de x.,, un réel A et une fonction s. tels que, quel que soit x, + h eiço: f(Xo + h) = f(Xo) + hlA + SUD] avec Lîmo elh) = 0- o Le nombre réel A est le nombre dérivé de fen x.,. o La fonction f’, telle que f’(x) est le nombre dérivé au point x, s'appelle fonction dérivée première de f. 217 Term. A. - 8.
OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES 16 I 2. DÉRIVÉE D'UNE SOMME DE FONCTIONS DÉRIVABLES 0 Soit fet g deux fonctions numériques dérivables sur des ensembles F et G. Considérons la fonction somme ‘(à {+9 qui, à tout x e F n G, fait. correspondre : l Vfièfä) =‘ m) +à<x> Ï (fig. 1) La fonction s est-el/e dérivable? Dans l'affirmative, que/le est sa dérivée première? 0 Dérivabilité en un point. Soit x, e F n G. Les fonctions fet g étant dérivables au point x0, il existe deux nombres A et B et deux fonctions e et n, tels que : f(x., + h) —f(x.,) = h[A + e(h)] avec Illin} e(h) : 0. et g(xo + h) — 9m) = h[B + 7201)] avec Limo n(h) = 0- D‘où 5(Xo + h) — 5(Xo) = h[A + B + e(h) + n(h)] Il semble intuitif, et nous admettrons ce résultat, que zlllim [e(h) + n(h) J: 0. +0 Par suite, la fonction s : f+ g est dérivable pour la valeur x0, et son nombre dérivé est A + B. 218
OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES o Fonction dérivée. Désignons respectivement par f’ et g’ les fonctions dérivées premières de f et g. Alors A : f’(x.,) et B = g’(x.,); à tout point x0 e F n G, la fonction f’ + g’ fait correspondre le nombre A + B : f’(xo) + g’(x.,) = (f’ + g’)(x.,). Cette fonction est la dérivée première de la fonction f+ g, soit s’ = f’ + 9' o THÉORÈME 1 s=f+g de deux fonctions numériques dérivables sur un même ensemble est dérivable sur cet ensemble et sa dérivée slïfz+gz La somme s’ est la somme des fonctions dérivées : EXEMPLES 0 Soit la fonction numérique q) telle que q)(x) = x‘ + x‘ q) = f+ g, avec f(x) : x3 et g(x) : x’. Alors f’(x) : 3x’ et g’(x) : 2x. Posons Donc q) a pour dérivée la fonction q)’ telle que q)’(x) : 3x’ + 2x. 9 Soit la fonction numérique q) définie sur 112‘ telle que q)(x) : x +3‘ Posons q) : f+ g, avec f(x) : x et g(x) : 0�� 1 t _. e X, Alors, sur 1R‘, f’(x) :1 g’(x) : — 1 Donc q) a pour dérivée la fonction q)’, définie sur 1R‘, telle que q)’(x) :1 —;é- o REMARQUE Le théorème 1 s'étend à un nombre quelconque de fonctions numériques. Par exemple si s : f-l- g + k et si les fonctions f, g, k sont dérivables sur un même ensemble E, alors s’ : f’ + g’ + k’. Eneffet: s:(f—l—g)+k d'où s’:(f+g)’+k’ puis s’=f’+g’+k’. 219
OPÉRATIONS sua LES FONCTIONS nERwABLEs 1s | 3. DÉRIVÉE PREMIÈRE DE kf (k CONSTANTE, f FONCTION DÉRIVABLE) 0 Soit fune application d'un sous-ensemble Ede 1R dans 1R. Soit k un nombre réel donné. Considérons la fonction q; r: k . f qui, à tout x e E. fait correspondre : q>(x) = k . f(x). La fonction q) est-elle dérivable si f l'est? Dans l'affirmative, que//e est sa dérivée première? o Dérivabilité en un point. Soit x, e E. La fonction fétant dérivable au point x0, il existe un nombre A et une fonction e tels que : f(xo + h) —- f(xo) = hlA + e(h)] avec ��� e(h) = 0- Donc q>(xo + h) — 9m) = kh[A + 207)] = hlkA + k- 507)] ll semble intuitif, et nous admettrons ce résultat, que Ultimo k- e(h) = O. Par suite, la fonction q: = k.f est dérivable pour la valeur x.,, et son nombre dérivé est kA. 220
OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES 16 o Fonction dérivée. Désignons parf’ la fonction dérivée def. Alors A : f’(x.,); à tout point x., e E, la fonction k.f’ fait correspondre le nombre kA = kf’(xo). Cette fonction est la dérivée première qa’ de la fonction k.f, soit q)’ : k . f’ o THÉORÈME 2 Le produit q: = k.f d'une fonction numérique f dérivable sur un ensemble E, par un nombre réel k, est dérivable sur E, et sa dérivée est la fonction k . f’ EXEMPLES 0 Soit la fonction numérique q; telle que : «p(x) :\ 5 - x’ La fonction f telle que f(x) : x3 a pour dérlvée f’ telle que f’(x) : 3x‘. La dérivée de cp est donc la fonction q)’ telle que : qz’(x) : 3x äx’ g Soit la fonction cp telle que : (p(x) : 4x2“; (avec x e 1R‘). 7 Les théorèmes 1 et 2 ci-dessus conduisent à : cp’(x) : 8 x + fi (avec x e 1R‘). l 4. DÉRIVÉE D’UN PRODUIT DE FONCTIONS DÉRIVABLES o Soit f et g deux fonctions numériques dérivables, respectivement, sur des ensembles F et G (fig. 3). Considérons la fonction produit p z f x g qui, à tout x e F n G, fait correspondre p(x) = f(x) >r g(x). 221
OPÉRATIONS suR LES FoNcTIoNs DÉRIVABLES 1s La fonction p est-elle dérivable? Dans l'affirmative, quelle est sa dérivée première? o Dérivabilité en un point. Soit x0 e F n G. Les fonctions fet g étant dérivables au point x0, il existe deux nombres A et B et deux fonctions s et n. tels que: f(Xo + h) = f(Xo) + h[A + €(h)] avec 0Q� 5(h) = 0 et g(xo + h) = goro) + hiB + n(h)] avec Limo n(h) = 0- Par suite : P(Xo + h) —P(Xo) = f(Xo + h) « ÿ(Xo + h) - f(Xo) - g(Xo) P(Xo + h) *- P(Xo) = h[A - 9(Xo) + f(Xo) - 3 + Ë.(h)] en Dosant: C(h) = f(Xo) ' 72(h) + g(Xo) ' €(h) + h- [A + €(h)] ' [B + n(h)]- Il semble intuitif, et nous admettrons ce résultat, que : Iim C(h) : O. h——>0 La fonction p z f x g est dors dérivable pour la valeur x0, et son nombre dérivé est A.g(x0) + f(x0).B. 222
OPÉRAT|ONS SUR LES FONCTIONS DER|VABLES 0 Fonction dérivée. flÿésignons respectivement par f’ et g’ les fonctions dérivées des fonctions et g. Alors : A = f’(x.,) et B : g’(x.,) et A - 90(0) + fixa) ' B Z fÏxo) - 90(0) ‘l’ fixa) - 91X0- A tout point x0 e F n G, la fonction f’.g + f.g’ fait correspondre le nombre f’(x.,).g(x.,) + f(x.,).g’(x.,). C'est la fonction dérivée p’ de la fonction p : p’ = fäg + f4’ o THÉORÈME 3 Le produit p =f x g de deux fonctions numériques dérivables sur un même ensemble est dérivable sur cet ensemble, et sa dérivée est la fonction : p’=f‘.a+f.9’ EXEMPLE Soit la fonction numérique f telle que : f(x)= (x'+3) . (X'———2x) On peut efiectuer le produit et dériver la somme des termes. On peut aussi appli- quer le théorème 3. On obtient ainsi : f’(x) = 2x. (x’ fi 2x) + U" + 3)(2x — 2) f’(x) : 4x'—- 6x’ + 6x —— 6 REMARQUE Le théorème 3 s'étend au produit d'un nombre quelconque de fonctions numé- riques. Soit par exemple q) : f x g x h, les fonctions f, g, h, étant dérivables sur un même ensemble E. Alors: q>’=[f><g]'><h+[f><9]><h’. Or: [fxg]’=f’><g+f><g’. Donc: q>’=f’><gxh+fxg’><h+f><g><h’ 223 16
OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES g 5. DÉRIVÉE DE LA FONCTION « PUISSANCE n-ième » Dans la leçon précédente, nous avons étudié la dérivation des fonctions qui, à x e 1R font correspondre x, x’, x3, x‘. Il est donc naturel de tenter de généraliser les résultats obtenus, donc d'étudier la dérivée de la fonction q: telle que : x-e><p(x):xn (ne]N') Par définition : xn zxn-l x x, d'où une démonstration par récurrence (cf. 1" leçon, â 5). 0 Pour n :1, la « dérivée de x» est 1. 0 Supposons que la « dérivée de x1’ soit p xv-l » et formons la dérivée du produit des deux fonctions : x!’ et x. Nous obtenons. pour dérivée de x0“ (ê 4) : pxIH x x + x!‘ x 1, soit p xD + x1’ ou (p + 1) xP. La propriété admise au e est donc vraie pour tout n e lN* : (x")’ = n x!” EXEMPLE La dérivée de la fonction f telle que : f(x) r: x5 est : f’(x) : 5 x‘ REMARQUE Plus généralement, soit f une fonction dérivable. Posons cpzf", avec ne IN. La fonction q), produit de fonctions dérivables, est dérivable (ê 4). En procédant comme ci-dessus et en utilisant le résultat du 5 4, on démontre que: 9x1" . fn_1 ‘f: 224
OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES 16 I s. DÉRIVÉE DU QUOTIENT DE DEUX FONCTIONS DÉRIVABLES o Soit f et g deux fonctions numériques dérivables respectivement sur des ensembles F et G (fig. 4). Considérons la fonction quotient : f qz-ÿ qui,àxeFr\G(en supposant F n G 9è z) et tei que g(x) 9è 0, fait correspon- _ _ f(X) dre . q(x) — pg La fonction q est-elle dérivable? Dans l'affirmative, quelle est sa dérivée première? o Dérivabilité en un point. Soit x. e F n G. Supposons g(x.,) 9è 0. Par hypothèse, les fonctions fet g étant dérivables au point x.,, il existe deux nombres A et B et deux fonctions e: et v; telles que : m. + h) = rcxo) + h[A + echn avec m sur) = o et 9m + h) = 9m) + h(B + 7207)] avec �;] 7z(h) = 0- Par suite : _ r< o) + h[A + son] rc .> ""° + h’ " ‘m’ ‘ 9&1) + h[B + n(h)] “ gÔo _ _ h[A vg(x.,> — rcm - a + s(h)g(xo)__“‘ 11(h)f(1g)_] ""° + h’ q” “ goemgor.) + h[B + n(h)]i il semble intuitif, et nous admettrons ces résultats. que : i hlim [e(h) - 9m) — 72(h) . f(Xo)] = 0 —>0 l liim h[B + n(h)] = 0 , I—>l) 225
OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES 16 Il en résulte qu'il existe .E(h). avec lim E(h) = 0. tel que : Ïl-vü qÜo + h) — que) = �� + 2m] La fonction q = â est donc difiérentiable au point x... et son nombre dérivé est: 5490!») — fora) -_E_ [y(x«)]’_ o Fonction dérivée. Désignons respectivement par f’ et g’ les fonctions dérivées de f et g. Alors : A = f’(x..) et B = g’(x..). A tout point x; e F n G et tel que g(x..) 9è 0, la fonction fÏXo) ' gÜo) —‘ fixa) ' g’(xo)_ [QÜÙP fï}, L”, fait 9' correspondre le nombre q.__=f"9—‘f'9' La fonction dérivée de la fonction q est donc g o THÉORÈME 4 Le quotient q ,= â- de deux fonctions numériques, dérivables sur un même ensemble, est dérivable pour tout x de cet ensemble tel que f:_g__f_gr g! g(x) #9 0, et sa dérivée est la fonction q’ :: EXEMPLES 0 Le théorème 4 permet de retrouver deux résultats établis directement dans la leçon précédente. — Si f(x) = à (avec x 9è O) alors for)‘: — 1;. 226
OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES 16 _sin x Si ftx) = tu x _ cos x, avec x 5è g- + k1: (et k e Z), alors: _ (sin x)’ - cos x —— (cos x)’ - sin x F“) — [cos x]' f'(X) = ä?‘ Donc: f'(X) == c” u, e Soit la fonction f qui, à x réel (95 à), fait correspondre for): ê: �^ m) = ââffîî. 9 Dérivés première de x“ (avec n entier relatif). Pour n e IN‘, nous avons obtenu (â 5) : (x“)' = nxü-l. 1 SI n est négatif, posons n; : —— n, alors x“ : F avec n; > 0. l A I’alde du théorème 4 : _‘_ ' _ ’ï‘_;° — "r"“"‘ _ _ "r xn, — 0D,)! * xn,+1 1 Par suite: �EW : nxn" Xnx Donc : v n e z txn)‘ = n - 31"“ I I 7. DÉRIVÉE PREMIÈRE DE LA RACINE CARRÉE D'UNE FONCTION DÉRIVABLE o Soit f une fonction dérivable sur un ensemble J. Supposons que pour E C J, f(x)>0. Considérons alors la fonction g = v7 telle que, pour x e E, g(x) = v/RÎ) (fig. 5). 227
OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES 16 La fonction g est-elle dérivable? Dans l'affirmative, que//e est sa dérivée première? o Dérivabilité en un point. Soit x., e E. La fonction fétant dérivable sur E, il existe un nombre A et une fonction a tels que : f(x., + h) = f(x.,) + h[A + e(h)] avec illim e(h) = 0. —>0 Or : g(x., + h) — g(x.,) = Vrm +1») — mm = ��� Vf(X0‘+ h) + x/foro) . _ _ z A + s(h) Par suite . g(x0 —|— h) g(x.,) h x-eî-WÂWXO + h) + x/m La fonction f, dérivable. est continue au point x0. et ilim t/f(x., + h) = v/f(x.,). —>0 Alors. il semble intuitif (et nous admettrons ce résultat) que, si f(x.,) 9E 0: lim A + *’-<"> -_—_ L h"’0 Vflxo + h) ‘l’ \/f(xo) 2\/f(xo) ll existe donc une fonction v; telle que : I lim n(h) = 0 h—>() et 9m + h) — gmn = h py� + 72W] La fonction v’? est donc dérivable au point x. ; et son nombre dérivé est A 2V flxo). 228
OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES o Fonction dérivée. Désignons par f’ la fonction dérivée de f. Alors A : f’(xo); à tout nombre x, e E et tel que f(x.,) 9è 0, la fonction Е� fait correspondre le nombre �+� QVfÜa) La fonction dérivée de la fonction g = �� est donc: g’ : â V o THÉORÈME 5 Si f est une fonction dérivable et positive dans un intervalle E, la fonction l/f est dérivable pour toute valeur de E telle que f(x) äê 0 et la fonction dérivée est la fonction 5% . EXEMPLES 0 Nous retrouverons ainsi la dérivée, pour x > 0, de V} (15- leçon, â 8). Dans ce cas la fonction f est la fonction 1]R+ de 112+ dans ]R+ et f’(x) : 1. M2)’ = 1.. D'où : I 2vx pour x > 0 G Soit la fonction g telle que g(x):\/x'+2x' Posons f(x) = x’ + 2x‘ : x'(x + 2). La fonction fest définie sur E : {n x > — 2}. 3x‘ + 4x '< >= ——-————___ g x 2\/x‘+2x’ Et f(x) > 0 sur E’ = {x; x > —2 et x 9è 0}. Alors sur E‘, REMARQUE Il importe de bien noter que la fonction VIT est définie aux points x tels que f(x) = 0, s'il en existe, mais que, a priori, elle n'est pas dérivable en ces points. On doit alors effectuer une étude directe. 229
OPÉRATIONS sun LEs FONCTIONS DÉRIVABLES 8. EN RÉSUMÉ Le tableau ci-dessous résume les résultats obtenus dans ce chapitre (on désigne par E, F. 6..., les ensembles sur lesquels les fonctions considérées sont dérivables). 16-1 16-2 230 Fonctions Dérlvées premières Remarques f+9 f'+g’ sur FnG, k . f k . f’ k constante f-y f’.g+f-g’ sur FnG, 1 f’ 7 "f: sur E,:E—{x;f(x)=O} i g.f—f.g’ sur E.=(FnG1) y 9* =FnG—{x;g(x)=0} V)‘ L 2V}. sur E, : E — {x; f(x) z O} I EXERCICES Définir les dérivées premières des fonctions numériques f telles que : (1) f(x) : 4x + 2 (3) f(x) z 2x’ + 2x‘ —— x (2) f(x) : 4X’ — X * 3 (4) f(x) = 5X — 2 (s) f(x)=5x'—x+3 (e) f(x) =Ë+ïg +1 (7) f(x) : —É-+2x'—-x (8) f(x):2x‘—%—! +x——2 Définir les dérivées premières des fonctions numériques f telles que : (2) f(x) = (2x' — X)(X’ + 1) (4) f(x) = (X +1)(X—-4)(X—2) (5) f(x) =(x'—1)“ (1) f(x) = (X — 4)(X " 3) (3) f(x) = (3X + 2)'(2X + 1) (5) f(x) = (X + 1)'(2X + 1) 1G
1 6-3 16-4 1 6-5 16-6- 1 6-7 OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES 16 Préciser pour quelles valeurs réelles de x les fonctions f sont dérivables et définir leurs dérivées premières f'. Etudier le signe de f'(x) suivant les valeurs de x. a —1 = + —1 u) r(x) : {j (2) m) = P% (3) m) zvÿz , 5x + 4 (4) m) z gag’ 3 2 2 4 2 — 9 (5) m) = �$% (s) r(x) = @D Déterminer les dérivées premières f‘ des fonctions f. Etudier la dérivabi- lité pour x21. Préciser la forme de la courbe (C) d'équation y:f(x) dans un voisinage de x : 1. Détermlner le signe de f'(x) suivant les valeurs de x. (2) r(x) z v’<x—1) 2 1 (3) m) = (x m)?! (4) m) = (x —1)3 (1) m): lx—1l _è.___ 1 (5) m) : \/ (x —1)’(x + 2) (s) m) 2 x3 . (x é 1)3 Déterminer les dérivées f' des fonctions f et étudier le signe de f'(x). (1) fix) = x‘<x + 1)’ (2) fix) = x‘<x — 6)’<x — 3) 5 (4) r(x) : (pfiëÿ X (2x+1)“ (5) f(x) : x/x=*+2x—3 (e) f(x) : V:Î*+5x—4 (3) fix) = Soit fla fonction telle que m) = \/x + x/Î + x2 1° Démontrer que fest une application de IR dans 113+. 2° Démontrer que fest dérîvable et que 2 v1 + x“- f’(x) :- f(x). 3° En déduire que la dérivée seconde f” vérifie : 4(1 + x”) . f”(x) + 4 x f’(x) — f(x) = 0. Soit f l'application de [1. 12[ dans R. telle que : Asi1<x<2. f(x):x; si2<x<6. f(x):XÎ6; si 6<x< 12. m) zx-Ëm- 231
16-1 16-2 16-3 16-4 16-5 16-6 16-7 232 OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES I 16 1° Représenter graphiquement f . 2° Démontrer que f est bijective. Représenter graphiquement la fonction réci- proque f". 3° Démontrer que f" est dérivabie sur E = [1, 4[—— {2. 3 . de f". Démontrer qu'aux points 2 et 3, ia fonction f" est gauche. Déflnir ia dérivée érivable à droite et à . I INDICATIONS (3) f'(x):6x‘+4x—l (8) f'(x):8x'—3x+ 1. (6) Utiliser le résultat du 5 5 (remarque) f ’(x) : 6x(x’ — l)’. (3) f est définie sur �+} 2x——5 f'()î x \/x'—5x+4 x<l =>f'(x)<0 x> 4 =>f’(x) >0. Pour x ç [1, 4], Par suite 3 (1) Fig. 6 (2) Fig. 7 (3) Fig. 8 (4) Fig. 9 (5) Fig. 10. Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8. Fig. n. Fig. 10. (1) (2) (3) (4). Utiliser le résultat obtenu 5 5 (remarque). Par exemple n° 4, poser u(x) = x alors u'(x) : 4»- x 2 (x + 2)‘ , , _ 10x‘ et f0‘) = 5ill(x)i"ü(x) —— @�� 3° Pour calculer f’, dériver f(x) = 2.\/1 + x'.f'(x). 3° La dérivée de f“ est la restriction, à l'ensemble E, de la fonction (( partie entière de... ».
APPLICATION DES DËRIVËES A L'ÉTUDE DES VARIATIONS D'UNE FONCTION Q Après avoir montré que les nombres dérivés d’une fonction (dêrivable) monotone dans un intervalle gardent le même signe, on est conduit à étudier le problème inverse, à savoir : du signe des nombres dérivés d’une fonction f, peut-on déduire les variations de f ? 0 En classe de Terminale A, nous admettrons le théorème fondamental et nous Pappliquerons à Vêtude, sur des exemples, de quelques fonctions numériques. SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION ET SIGNE DE SES NOMBRES DÉRIVÉS I 1. SIGNE DES NOMBRES DÉRIVÉS D’UNE FONCTION MONOTONE EXEMPLES Donc, si x1 et x2 sont simultanément 9 Soitf la fonction, de 1R —{o} positifs ou négatifs, est 3 . . d _ o t " f :__ negatif. ans R {}’ e eque (x) X La fonction f est strictement Soit x1 et x2 deux nombres réels dis- décroissante dans les deux tincts non nuls : intervaues : 3 3 J‘ oo. 0[ et 10. + <><=[ m‘) ‘Z et fW-ï, où elle est définie. 3 _ Or le nombre dér' é our la vale r Par suite : me) — f(x1) : 3x44) ’ Ë’ p u Xixz x (72 0) étant —;2 (cf. 16° leçon), et Ï(X2)—Î(X1) z __i les nombres dérivés sont négatifs, x.—x, x,x, quel que soit x. 233
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS 11 g Soit f la fonction, de 1R dans R, — Si x, et x0 sont positifs, (x1 + x0) telle que f(x) = 2x’ est positif et la fonction f est crois- Le nombre dérivé au point x est 4x 33m9‘ (cf. 169 leçon). _ _ P _t _ _ t Tf I b — Si x, et x0 sont négatifs, (x,+x0) dg; îèrît‘ Ëâîtiäfsäi‘; f; "lfézaïîfs est négatif et la fonction f est décrois- - ' t . les nombres dérivés sont négatifs. sa“ e D autre part, soit x1 et x, deux nombres Donc dans ce cas particulier z réels, distincts : f croissante <=> les nombres mû) z (m2 mû) z ("Q2 dérivés sont positifs; ÎÏXzO-ÎÏXI) z X +x f décroissante <=> les nombres xi-x, 1 3 dérivés sont négatifs. Plus généralement : o THÉORÈME Si la fonction f est dérivable pour la valeur x0 et si f est monotone crois- sante (resp. décroissante) dans un voisinage de x0, alors le nombre dérivé pour x0 est positif (resp. négatif). Supposons fcroissante dans un voisinage V., de x0. Alors, quels que soient x, et x0 de V..." x, < x0 => f(x0) s‘ f(x0). _ m. + h) — f(x0), Etudions le rapport r_ h si h > 0, alors x0 —l— h > x0, donc f(x0 '—l— h) > f(x0) et r 2 0 si h < 0, alors x0 + h < x0, donc f(x0 + h) > f(x0) et r 2 O. L'ensemble des nombres réels r est donc minoré par zéro. Nous avons alors admis qu'il a donc une borne inférieure (cf. 13e leçon, ê 2). CeIle—ci ne peut être que positive ou nulle. D'autre part, le nombre dérivé pour la valeur x0, supposé exister, est égal à lim r. On conçoit qu'alors il soit possible de démontrer (ce que nous admet- n» troons) que lim r? 0. h-èo 234
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS o De ce théorème, on déduit : P; P. Dans tout intervalle dans lequel une fonction f est monotone croissante et dérivable, les nombres dérivés f’(x) sont positifs (au sens large). Dans tout intervalle dans lequel une fonction f est monotone décroissante et dérivable, les nombres dérivés f’(x) sont négatifs (au sens large). 2. EXTRÉMUM D'UNE FONCTION EN UN POINT o DÉFINITIONS Rappelons les définitions données dans la 13° leçon (â 7) : D1 Une fonction f définie sur un segment [a. b]. présente un maximum relatif (au sens large) au point xo intérieur à l'intervalle ]a. b[, s'il existe un voisinage V.. de x.,. inclus dans ]a. b[, tel que : x e V.. implique f(x) < f(x.,) (fig. 1). Le maximum est dit strict si l'inégalité est stricte. Une fonction f. définie sur [a. b]. présente un minimum relatif (au sens large) au point x0 intérieur à l'intervalle ]a. b[, s'il existe un voisinage V... de x0. inclus dans ]a. b[, tel que : x e V... implique f(x) > f(x.,) (fig. 2). Le minimum est dit strict si l'inégalité est stricte. Un extrémum est un maximum ou un minimum. 5.-; FEU IXIIIIH . . II I. III I IIII-IEI —K—————K———I Fig. 2 . II-I-I-I. Fig. 1. 235
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FoNcTIoNs REMARQUE Rappelons que ces notions sont difié- rentes de celles de plus grand élé- ment et de plus petit élément de l'ensemble des valeurs prises par f(x) quand x décrit [a, b]. Ainsi, par exemple, la fonction f telle! que f(x) : x— E(x), dans laquelle E(x)‘ désigne la partie entière de x, ne présente pas d'extrémum sur le segment [0, 2]. Mais l'ensemble des valeurs prises a zéro pour plus petit élément et n'a pas de plus grand élément (fig. 3). o THEORÈME Si une fonction numérique f, dérivable sur l'intervalle ]a, b[, présente un extrémum en un point x0 intérieur à ]a, b[, alors le nombre dérivé f’(xo) est nul. Supposons, par exemple, que fprésente un maximum au point x.,. Soit V... = ]xo —— oc, x0 + oc[ un voisinage de x0, inclus dans ]a, b[, et tel que, pour tout x e Væo, f(xo) soit supérieur à f(x). 13:10;)“ flL-Æfl Pourzxo<x<xo+oq X__xo et(â1): @n� X_Xo Pour:xo——oc<x<xo, >0 et(â1): lim >0. x-xo Æàæf x—x., Or, l'existence du nombre dérivé au point x0 implique que ces deux limites soient égales à f’(xo). Alors (f’(xo) > 0 et f’(xo) S 0) implique : f’(xo) = 0. REMARQUE La réciproque de ce théorème est fausse. Par exemple, la fonction ftelle que f(x) = (x —— 1)’ est dérivable pour x :1, puisque f(1 + h) : h“, donc f(1 + h) : f(1) + h[0 + h’] et le nombre dérivé est nul. Maissi h>0, f(1+h)=h3>0 etsi h<O, f(1+h)<O. Donc f n'a pas d'extrémum pour la valeur 1. 236 11
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS SIGNE DEs NOMBRES DÉRIVÉS I 3. ET sENs DE VARIATION D'UNE FONCTION o Au ê 2 nous avons démontré que : si une fonction numérique est stricte- ment croissante (resp. décroissante) dans un voisinage de x0 et dérivable au point x0, alors f’(x.,) > 0 (resp. f’(x.,) é 0). o Ceci conduit à étudier le problème réciproque, à savoir : le signe des nombres dérivés, dont l'existence est supposée, renseigne—t-i/ sur le sens de variation de la fonction .7 Le théorème fondamental suivant, que nous admettrons ici, résoud le pro- blème posé. o THÉORÈME FONDAMENTAL Si une fonction numérique f a, en tout point d'un intervalle fi, des nombres dérivés positifs (resp. négatifs), la fonction est croissante (resp. décroissante) sur Il. REMARQUE On démontre, et nous l'admettrons lcl, le résultat suivant, qui précise le précédent: si f'(x) n'est nul qu'en des points isolés de J’ (c'est—à-dlre dont l'ensemble n'est pas un Intervalle), alors fest croissante (resp. décroissante) au sens strict SUI’ Il l 4. PLAN D'ÉTUDE D'UNE FONCTION NUMÉRIQUE L'étude d'une fonction numérique f comporte les étapes suivantes : 0 Déterminer l'ensemble P1) sur lequel il suffit d'étudier f. En général, 5D est une réunion d'intervalles. On détermine .9) en considérant, d'une part l'ensemble sur lequel fest définie, d'autre part en étudiant la périodicité et la parité (éventuelles) de f(cf. 13° leçon). 9 Étude des variations. S'il est possible de partager f3 en intervalles dans lesquels f est continue et monotone, étudier la monotonie dans ces intervalles, c'est étudier le sens de variation de f. Dans certains cas, ce sens de variation s'obtient directement, ou à l'aide des théorèmes généraux sur la variation des fonctions (cf. 13° leçon, ë 6). Sinon, si la fonction est dérivable dans les intervalles de l'ensemble d'étude, et si, de plus, l'on sait étudier le signe de f’(x), on peut partager l'ensemble d'étude en intervalles partiels dans lesquels f’(x) garde un signe constant. Alors, d'après les théorèmes fondamentaux, ce signe détermine le sens de variation de f, dans chacun des intervalles. 237 17
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES roNcTIons 11 9 Les résultats obtenus sont consignés dans un tableau appelé tableau de variation et ainsi construit (fig. 4) : a) Sur la première ligne figurent les valeurs intéressantes de x : bornes des intervalles de définition; valeurs pour lesquelles : g’ la fonction est discontinue; à il n'y a pas dérivabilité; à f'(x) change de signe (si on fait appel à la dérivée). b) Sur la deuxième ligne figure le signe des nombres dérivés dans les inter- valles sur lesquels ils gardent un signe constant. Ces intervalles sont bornés par des nombres de la première ligne. A c) Sur la troisième ligne, dans chacun des intervalles, le sens de variation de la fonction est figuré par une flèche, ascendante (z) si f est croissante, descendante (\) si f est décroissante. 0 On calcule, et on indique sur le tableau, dans la troisième ligne, les valeurs prises par la fonction aux bornes des Intervalles. Ce problème conduit souvent à l'étude de limites. a On illustre les divers résultats obtenus en construisant la représentation graphique cartésienne (L) de la fonction, ensemble des points M(x, y) tels que y = f(x) (cf. fig. 5.) Si l'intervalle d'étude a été réduit grâce à des propriétés de la fonction, il convient évidemment d'indiquer la construction complète de (L). Fig. 5. 238
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS 11 EXEMPLES D'ÉTUDE DE FONCTIONS I 5. FONCTIONS TRINOMES DU SECOND DEGRÉ Étudier la fonction f qui, à x réel, fait correspondre .- f(x) = x’ — x —— 2 o Définition Quel que soit x réel, f(x) est bien défini puisque nous savons : calculer le carré de x, soustraire x au résultat obtenu, puis soustralre 2. Inversement, est-ce que tout nombrey réel est image. par f, d'un nombre réel x? Cherchons s'il existe x tel que x‘ — x — 2 = y. Ceci équivaut à résoudre l'équa- tion x‘ — x — 2 —y à 0. laquelle n'a de racine que si : 9 A:1+4(2+y)>0, soit y>—z- La l'onction fest donc une application de 1R sur l'ensemble E: ye 1R ;y > —Ê - Notons qu'il ne s'agit pas d'une bijection de 1R sur E puisque tout élément de E, distinct de — ê, est image de deux éléments de 112. o Sens de variation. Quel que soit x, la fonction f, somme de fonctions dérlvables, est dérivable et : f’(x) = 2x — 1 f’(x) > 0 <=> x > Par suite f’(x) < 0 <=> x < Nfil-l Näl-l Nfil-i ff'(x) = 0<=> x = 239
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS 17 D'après le théorème admis (ë 3) nous pouvons conclure : la fonction f est décroissante lorsque x < ê; passe par un minimum 1 . pour x : est croissante lorsque x > ä- 5l o Étude de f(x) lorsque x _. + oo ou x —> — oo. ' 1 2 Pour x 7k 0, f(x) : x” l1 — î — `'� Or lim 1:0 et lim 32:0. œ-nc X Œ—>x x Il semble alors intuitif que lim [1 — % —% J‘—>ac \ lim �� = 4- oo. Æ—>+œ l lim f(x) : + oo. o Tableau de variation. Il est de tradition de réunir dans un tableau les résultats obtenus. X _..|gl_n f(x) z: 2x — 1 — __o__ + f(x)=x'——x——2 \ o Représentation graphique. Pour tracer la représentation graphique cartésienne de la fonction f, c'est- à-dire la courbe î d'équation y : x“ — x — 2, dans un repère cartésien x0y (fig. 6), on précise quelques points remarquables ainsi que les tangentes en ces points. 240
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS Ainsi : Sommet S: xzà y:—%; nombre dérivé : 0 (donc tangente parallèle à 0x). Point sur Oy : x = O f(0) = -2 f’(0) : ——1 (coefficient directeur de la tangente en A). Points sur Ox: y:0<=>x’wx——2:0. La courbe (î) coupe l'axe des abscisses aux points B (——1,0) et C (2,0). Les tangentes en ces points ont pour coefficients directeurs : ;r'(—1) en s, soit—3. ê m) en c, soit s. o Symétrie. La représentation graphique tracée dans un système d'axes perpendiculaires laisse pressentir Pexistence d’un axe de symétrie. Translatons les axes en choisissant pour nouvelle origine le sommet S<%, — `� Les anciennes coordonnées (x, y) sont liées aux nouvelles (X, Y) par les formules : x : à + X et y = — Ê +Y (cf. Classe de 1" A, page 61). 241
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS 17 Dans le repère XSY, la courbe (i!) a pour équation : 9 _ 1 n 1 ��5 —<g+x+2 soit Y = X’ Ainsi, en axes perpendiculaires, la courbe d'équation y = x’ — x — 2 admet la droite d'équation x = 15 comme axe de symétrie. REMARQUE 1 En axes obliques, la droite d'équation x : ï contient les mllieux des segments parallèles à 0x et ayant leurs extrémités sur la courbe i‘. I 6. FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 2x x+1 Étudier la fonction numérique f telle que f(x) = e Définition Quel que soit x réel, nous savons calculer 2x et x +1, mais le quotient de 2x par (x +1) n'est pas défini sl, et seulement si, x : — 1. Donc, la fonction f est une application de l'ensemble E: 1R —{—1} dans R. Autrement dit (2° leçon), l'ensemble E de définition estla réunion des deux intervalles E, : ]— oo, — 1[ et E, = ]— ‘l, + oo], soit E : E, u E, Réciproquement, est-ce que tout nombre réel y est image d'un élément de E? Posons : y : à Ce qui équivaut, dans E, à (x +1)y : 2x, soit à x(y»—2) :—y. (1) eSi yçéz x:—y— oSi y=2 I 2 î y 1 Cette valeur est différente de 1 car : aucun nombre réel x n'est solution de (1). Y Ë7:1=>X:2—y ou 0:2 ce qui n'est pas. 242
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS Donc, tout nombre réel différent de 2 est image, par la fonction f, d'un seul nombre réel x (75 —— 1). Plus précisément : la fonction f est une bijection de l'ensemble E : 1R —{—1} sur l'en- semble F: 1R — p=� o Sens de variation. La fonction fest dérivable, sur l'ensemble E, comme quotient de deux fonc- tions dérivables, celles qui, à x, font correspondre respectivement g(x) z 2x et h(x) z x + 1. D'après le théorème (16‘ leçon, â 6), la fonction dérivée f’ est telle que : :(x+1)2—2x 0+1)’ f’(x) soit f’(x) : __2_ (X +1)” Donc, quel que soit xhé —1), f’(x) > 0 : la fonction f est croissante dans chacun des intervalles E1 et E2. o Étude de f(x) lorsque x —> + oo ou lorsque x —+ — oo. . 2 Quel que sont x 7E 0, f(x) : ———i—- 1 +î . 1 . . SI x —+ oo, —_.> 0. Par suite lIm X æ—>+oo admettrons que f(x) a pour limite 2. 1 + l :1 et, dans ces conditions, nous x Par suite : Si x > —1 (dest-à-dire dans l'inter- si x < —1 (dest-à-dlre dans l'inter- valle E,) : valle E1) : ' f(x) —— 2 < 0 soit f(x) < 2. f(x) -— 2 > 0 soit f(x) > 2. On écrit : si x —> + oo, f(x)-—>2“ On écrit : si x —> — oo, f(x) ——> 2+ o Étude de f(x) lorsque x —> — 1. Soit : x : ——— 0,999 9. Soit : X : ——- 1,000 01. Alors : x +1: 0,0001 ou 10-4. Alors :x +1: —0,000 01 ou —10‘5. Par suite : Par suite f(—— 0,999 9) z — 2 >< 0,999 9 X104 f(—— 1,000 01) r: + 2 >< 1,00001 X105 f(—— 0,999 9): — 19 998. :_ 200 002. De cet exemple, il semble résulter que, vers + oc, soit vers — oo. lorsque x—>——1, f(x) tende soit 243 17
nfimvéss :1‘ VARIATIONS pas roucnous 11 Cas général. Posons x = ——1 +h, alors f(—1 +h) : t{ Peut-on déterminer h pour que f(— 1 + h) dépasse tout nombre positif A donné àl'avance. donc Îäfl > A? D'après l'exemple traité, nous supposons h < O. Alors —2 +2h < Ah. soit h(A —2) > —2. Nous pouvons toujours supposer A—2 > 0 (puisque A est positif, aussi Îih-ÏEË > A sera réalisé dès que h < A—_22- grand que l'on veut), donc Ainsi lim f(x) : + oo. Œ-H‘ On démontrerait de même que x _ 0° __ 1 + 0° lim f(x) : —oc g I-M‘ f’ + + o Tableau de variation. croît ’ croît Les résultats obtenus sont résu- f ; + °° z Ù més dans le tableau ci-contre. 2+ / __ 0o / o Représentation graphique. , . 2 0 La courbe (H)déquatIony= X X1 se construit par points et tangentes. Par exempie. nous avons construit (fig. 7) : z]. |epointO:x:y:0, y’ 2 le pointA :x:1. y: 1, y’:% . 3 1 iepo|ntB:x=3, yzä, y278- lepointC:x=—2, y=4. y’=2 244
DERIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS 11 9 Le résultat lim f(x) :2 est traduit, géométriquement, de la façon _.1'——>+oo suivante : On dit que la droite lX (fig. 7) d'équation y = 2 est pour x —> + oo une asymptote à la courbe (H). De même, puisque lim f(x) = 2, la droite lX est asymptote, pour x —+ — oo, à .7.'——>—-oo la courbe (H). On dit aussl que la droite IY (fig. 7) est asymptote à (H) pour x —> — 1. e symétries de la courbe (H). 0 l| semble que le point l (— 1, 2) soit centre de symétrie pour la courbe (H). Prenons pour nouveaux axes lX et lY. D'après un résultat obtenu (cf. Classe de 1" A, page 61), les coordonnées (x, y), dans le repère xOy, d'un point M sont liées aux coordonnées (X, Y), de ce point, dans le repère XlY, par les relations : x=X—1 y:Y+2 Pæmme v+2=Ë%;Ë et Y:ë%Ë—&, mü v=— E X La fonction g qui, à x réel non nul, fait correspondre g(X) : — g est impaire, X puisque g(— X) : —g(X). Par suite, le point l (— 1, 2) est centre de symétrie pour la courbe (H). e ll semble (fig. 7) que les bissectrices de l'angle XIY sont axes de symétrie de la courbe (H). Nous admettrons ce résultat. I 7. FONCTIONS POLYNOMES DU 3° DEGRÉ Étudier la fonction f de R vers R telle que f(x) = ‘î. + 55: + x — 2 e Intervalle d'étude. 1R. e Étude aux bornes de l'intervalle. 1 1, 1 2 Pour x 9è 0. f(x) = xiä —_L à; —_» F — F] Or lim : O, lim `� : O, lim —- Â = O. 1 .r—->oo 2X .r—>c>o X” .r—>oo x3 245
DÉRIVÉES :1- VARIATIONS DES FONCTIONS 11 Dans ces conditions nous admettrons que : . 1 1 1 2 1 IETO<Ë+Ë+F—Î5)—Î et que Iim f(x) = oo. (I-DOO si X—->—{—oo, Iim f(X)=+oo. _ 1'—>+Oo De façon plus précise SiX-—>—<>o, Iim f(x)=—oo. l'—>—-XZ REMARQUE Pour x ——> oo, le rapport fi)? : x’ PӅ + 217 + %—— @�� a aussi pour limite oo. Dans ces conditions, qui étaient déjà celles des fonctions du second degré, on dit que la courbe représentant graphiquement la fonction fadmet une branche parabolique dans la direction de l'axe des ordonnées. o Variation. Somme de fonctions dérivables pour tout x, la fonction f est dérivable quel que soit x et : nm) =l2‘—'-+x +1 Or Vx e R, f’(x) > 0. Donc f est strictement croissante. o Tableau de variation. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau ci-dessous : "00 + + oo r / 246
DÉRIVÉES ET VARIATIONS pas FoNcTIoNs 11 O Représentation graphique (fig. 8). La courbe représentative de la fonction f se trace par points et tangentes. Point sur Oy:x:0 y:f(0):—2 y’:f’(O):1. 3 2 Points sur Ox: y=0 3€+"Î+x—2so. ou x3+3x“+6x—-12 :5! 0. Equation que nous ne savons pas résoudre. o Symétrie de la courbe. La dérivée seconde f”(x) : x +1 s'annule et change de signe pour x : —— 1. Translatons les axes en choisissant pour nouvelle origine le point l : Q=—4,y=n—n=—%} Les nouvelles coordonnées (X, Y) d'un point sont liées aux anciennes (x, y) par (cf. Classe de 1" A, page 61) : x z x —1 y = v — ê. Par suite. l'équation de la courbe, dans le nouveau repère, est : 8 1 1 v—Î=yw»w+5M—w+M—n—z soit v = ëxuräx. Or la fonction g telle que g(X) : à X3+12 X est impaire. Donc (cf. 13' leçon), le point l est centre de symétrie. REMARÔUE 1 La tangente au point l a pour coefficient directeur f’(—1):ë. Au point I, la courbe traverse sa tangente. En efiet Y-â X : à X3. Al 1 ors X>0 Y——ëX> 0, donc la courbe est au-dessus de sa tangente; 1 si X < 0 Y—«2—X < 0, donc la courbe est au-dessous de sa tangente. 247
Étudier la fonction numérique f telle que DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS s. FONCTIONS BICARRÉES f(x) = x‘ —— 8x‘ + 7 o Définition Quel que soit le nombre réel x, nous pouvons calculer x‘, — 8x‘ et la somme (x‘ —8x” + 7). La fonction f admet pour ensemble de définition, l'ensemble 1R des nombres réels. 248 Inversement, tout nombre réel y est-il, par f, image d'un nombre réel x? Autrement dit, l'équation x‘—8x' + 7 i? y a-t-elle des réelles. Cette équation équivaut au système : racines SX'——8X+7—}’%0 (2) 2x20 Xzx’ Donc, si y < —9, l'équation (2) n'a pas de racines réelles. Ceci indique que tout nombre réel inférieur à —— 9 n'est pas l'image, par f, d'un nombre réel x. Le discriminant (réduit) de l'équation (2) est A’ :16 — (7 —y) ou A’ — 9 +y. Supposons donc y 2 —— 9. Le produit P des racines de l'équation (2) est égal à (7—y); racines à 8. Donc : si y > 7, le produit P est négatif et le système proposé a deux racines opposées; si — 9 S y < 7, le produit et la somme des racines de l'équation (2) étant positifs, cette équation a deux racines positives et le nombre y est image de quatre nombres réels (deux à deux opposés). la somme des Donc, la fonction f est une application de l'ensemble 1R des réels sur l'ensemble E des nombres réels y tels que y>—9. REMARQUES 0 La fonction f n'est pas une bijection de 1R sur E puisque les éléments de E sont images, par f, de deux, trois ou quatre nombres réels. 9 Quel que soit x réel, f(— x) : f(x). La fonction f est paire. ll suffit d'étudier sa restriction à l'ensemble 112i des réels positi1s (et zéro). 11
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS 11 0 Étude de f(x) lorsque x —> + oo Pour x sé 0, alors f(x) = x‘ [1 — �� + 09 Or 0 = Iim :88 = Iim 0�� Dans ces conditions nous admettrons que 2+0: Ièœ X� l1 — à + �� : 1 et qu'alors p� f(x) = + oo REMARQUE ' 8 7 Pulsque &P:x“l1—;+FJ, le rapport fig? tend vers I'|nflnl lorsque x—> oo. On dlt que la courbe d'équation y:f(x) admet une branche parabollque dans la direction Oy. 0 Sens de variation. Somme de fonctions dérivables quel que soit x, la fonction fest dérivable. Sa fonction dérivée f’ est telle que : f‘ (x) : 4x3 — 16x ou f'(x) = 4x00 — 4) Par suite, et en notant que nous n’étudions fque pour x 2 0 : ; 0 < x < 2 <=> f'(x) < 0 <=> f décroissante x > 2 <=> f'(x) > 0 <=>.f croissante < x = 0 => f'(x) = 0, fpasse par un maximum x : 2 => f'(x) = 0, fpasse par un minimum. Remarquons que f(2) : — 9 et que cela confirme le résultat obtenu cl-dessus, à savolr : seuls les nombres réels supérieurs à — 9 sont images. par f, d'au moins un nombre réel. ‘O Tableau de variation. R é s u m o n s g i i _._—«> R dans le tableau " -2 o 2 ci-contre les ré- __ 4 sultats obte- l 1 i RUS. f'(x) — 0 + 0l — 0| 4- l __ _ __ _ f + °° x. _9 z 7 x. _9 z +°° 249 Term. A. - 9.
DÉRIVÉES ET VARIATIONS pas FONCTIONS I 11 o Courbe représentative. äa cgäirbe (C) représentant la fonction f se construit par points et tangentes 1g. . .. _ x=+2 f(2):——9 f’(2)=0 Minimum . ê)‘ z __ 2 f(_2) z _ 9 f,(__2) z o Maximum : x : 0 f(0) = 7 f(0) 2 0 Points sur Ox. Puisque y :- 0, leurs abscisses sont les racines de l'équation x’ —8x” + 7 à 0. L'équation associée X“ —8X + 7 # 0 ayant pour racine apparente 1 (et par suite 7) on obtient : à x :1. f(1) = 0. f’(1) = —— 12 x=—1. f(»—1)=0. f’(-1) :12 g x = l/î, r(»/7) = o, MW) =12fi i x = —fi, f(———\/7) = o, r'(—v?) : — 12W Il faut noter la croissance rapide de la fonction f: 3 f(2) = —9 l fl3) :16 f(4) = 231 i f’(2) : 0 i f’(3) = 60 f’(4) : 192 o Symétrie de la courbe (fig. 9). Puisque, quel que soit x, f(— x) = f(x), la fonction fest paire. Donc, en axes perpendiculaires, la courbe d'équation y = x‘ —— 8x’ + 7 admet Oy comme axe de symétrie. En axes non perpendiculaires, les parallèles à 0x, d’ordonnée supérieure à — 9, rencontrent (C) en des points ayant deux à deux des abscisses opposées. 250
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS 17 _ax’+bx+c I 9. FONCTIONS f TELLES ou: f(x)— 2x'—'lx+5 Étudier la fonction f telle que f(x) z: 75:57:47 0 Ensemble de définition. L'équation x’—5x+7 9,! 0 n'ayant pas de racines réelles, l'ensemble de départ est 1R. o Forme canonique. . . . _ 3x—9 _ On obtient immédiatement f(x) ——2 _ }E—ËÎ7 soit : f(x) =2+X, “"9 "Îm <2’ o Étude de f(x) lorsque x —> + oo ou lorsque x —> —— oo De l'expression (2), il résulte que, si l'on pose x 21h : 1 3h —9h” . . f(ñ> = 2+ «flîîçîg Et, SI h ——+ 0, alors : IIT_”I’(x) : 2 Conséquence pour la courbe (C) d'équation y : f(x). La droite (A) d'équation y : 2 est asymptote à la courbe (C). De plus : pour x > 3, gi- > 0. Donc f(x) > 2 et la courbe (C) est au-dessus " "5" ‘l’ 7 de Pasymptote (A). pour x : 3, f(x) : 2. La courbe (C) coupe |'asymptote (A). pour x < 3, < 0. La courbe (C) estau-dessous del'asymptoteA. o Variation. —— 3(x’ —6x + 8) A l'aide de la forme (2), ou de la forme initiale: f’(x) : 251
oémvées ET VARIATIONS pas FONCTIONS D'où le signe de f’(x) : f’(x) = 0 <=> (x = 4 ou x = 2). De plus f(2) = —1 et f(4) : 3. f’(x) > 0<=>2 < x < 4 f’(x) < 0<=> (x < 2 ou x > 4). o Tableau de variation. 2 4 x z i R l . Oo m, _ î, _. i, _ 2" 3 f Î __1 i? ï) 2+ o Courbe représentative. La courbe (C) se construit par points et tangentes (fig. 10). Point sur Pasymptote : x : 3, y = 2. f’(x) = 3. Èflx) :0 <=><x=1 ou x22)- Points d'intersection avec x'0x :2 5 De plus f’(1) = —1 et f5) = 4. Régionnemeni du plan. Puisque (x’— 5x + 7) est positif quel que soit x, le signe de f(x) est celui de (2x’— 7x + 5). Il en résulte le régionnement indiqué figure 10. 252
DÉRIVÉES ET VARIATIONS pas FONCTIONS I1 I 10. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Étudier la fonction f. de R vers R. telle que : f(x) == 2 cos‘ x +.sln 2x l o Définition Quel que soit x réel, f(x) existe : la fonction fest une application de l'ensemble IR des réels vers 1R. o Périodicité. Puisque, quel que soit x, f(x + n) : f(x),1r est une période de la fonction. Pour démontrer que 7r est la période, il faut démontrer que le plus petlt nombre réel strictement positif P tel que f(x + P) : f(x) est rr (cf. 13° leçon). o Intervalle d'étude. Lia fonction f n'est ni paire, ni impaire. Aucune autre symétrie n'apparaît. Nous étudierons donc la restriction de fau segment [0, rr]. o Sens de variation. Nous pouvons écrire : f(x) : 1 + cos 2x+ sin 2x. La fonction f est donc dérivable comme somme de fonctions dérivables et (cf. 15° leçon, ê 12) : f’(x) = ——_2 sin 2x'+ 2 cos 2x ou f’(x) : 2(cos 2x —— sin 2x) f’(x) = 2 . VË . sin (Ë- 2x) Donc, dans [0, 1c] : Èf’(x):0<=>qx=goux:%Ï) îflx) <O<=> (-g<x 253
DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS 11 o Tableau de variation. x = o {(0) = 2 no) = 2 x z; f<%fi):1+v/Ë f’(g)= o (maximum) x = 1c f(x) = 2 f’(1c) = 2 2%? f<%>=1—v'Ë ffiî“): o D'où le tableau ci-dessous. o Représentation graphique. Le tableau de variation montre que x 0 g Ë 1€ " la courbe d'équation : 8 y=2cos’x+sin2x ‘ l coupe. dans l'intervalle ]0. 1r[. f(x) + o o + l'axe x’0x en deux points dont les l I abscisses sont données par le calcu suivan : r 2 f(x)=2cos'x+sin2x f /«1+V2 / =2cos‘x+2sinxcosx . 2 1_V‘ë f(x) = 2 cos x (cos x + sin x) T! X = ï Dans ]0. 1r[. f(x) = 0 <=> 3 x = T" La courbe représentative (fig. 11) de la fonction fs'obtient, à partir de l'arc correspondant au segment (0. n], par les translations de vecteur knî (avec k e Z et Îvecteur unitaire de x'0x). 254 Fig. l1.
17-2 17-3 17-4 17-5 17-5 DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS I EXERCICES Fonctions trinômes du second degré. 1° Construire ia courbe (C) d'équation y = —— x“ + 2x + 2. 2° Déterminer les coordonnées des points d'intersection de ia courbe (C) et de ia droite d’équation y z; + 1. Construire ies tangentes à (C) en ces points. 1° Construire la courbe (C) d'équation y : x’ — 6x + 5. 2° Déterminer ies coordonnées des points d'intersection de la courbe (C) et de ia droite d'équation 2y+ x+ 4:0. Construire les tangentes à (C) en ces points. Etudier les fonctions numériques f et construire les courbes représen- tatives : (1) f(x) : lxl + x“ (3) f(x) = |(x +1)(x + 5)| (5) f(x) = IX“—4X + 3! (2) f(x) : |— x’ + 5xI — 4 (4) roo = vîx= + 2x>2 — x2 + s (e) f(x) = \/(x’ — 1>2 + 2x Résoudre graphiquement les inéquations ou systèmes (x et y réels) : (1) x*+2y—3x>0 (2) 3y<x é2x+3ym6<0 y>xzfi1 ‘3’ _y<x=+3x+2 m äx“+x—6—y>0 ây<xz+x_1 \5x“——x—4—2y<0 (5) ._y<x”—x+1 (6) (2x’——y)(x2——2x+2y—4)<0 Etant donné deux nombres réels a et b, on désigne par la notation Sup (a, b) le plus grand des deux nombres a et b. Construire dans un repère convenable les représentations graphiques des fonctions f telles que : 2 4 (2) f(x):Sup (x’—5x-|—4, x—1) (3) f(x) = SUD (X“*1. 2X”) (4) (1) m) : Sup (i, Ï) f(x) : Sup (x*—x»»3, x’ + x) 1° Déterminer ies coefficients a, b, c de façon que ia courbe (C) représentant ia fonction numérique fteiie que f(x) : ax‘ + bx + c passe par ies points de coordonnées : (x:0,y:——1) (x:1,y:——1) (x:——1, y:1) 2° Construire la courbe (C) et ses tangentes aux points donnés ci-dessus. 3° Discuter suivant les valeurs de m le nombre des points d'intersection de ia courbe (C) et de la droite d'équation y z mx—1. 255 17
17-7 17-8 17-9 17-10 17-11 17-12 17-13 256 DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS I1 Fonctions homographiques. 1o Etudier la fonction fde ]R — Êëävers 1R telle que f(x) z X + 2 2x—5' 2° Tracer la courbe représentative (H). 3° Construire les tangentes à (H) aux points d'abscisses 1 et 2. 2 —5 Mêmes questions pour f(x) = XX+ 2 (x 9è —2). . . 3x——4 1° Etudier la fonction f de IR —{0} vers 1R telle que flx): X - 2° Construire la courbe représentative et ses tangentes aux points d'abscisses —1 et 2. 5—2X X o Mêmes questions Pñur f(x) : Fonctions polynômes du 3° degré. Etudier les fonctions numériques f telles que - Construire les courbes représentatives de ces fonctions. (1) f(x) = x3 —— 3x (3) f(x) : x3 —— 3x + 2 (5) f(x) Z x“ + 2x — 3 (7) flx) : 4x3 — 3x (2) f(x) : x3 —— 6x + 5 (4) flx) = (X s- 2)’(X + 1) (6) f(x) : —— 2x“ + 3x —-l- 1 (3) f(X)=(X—1)(X-l-1)(X+2) 1° Etudier l'application f, f(x) : x’ — 3x. 2° Construire la courbe représentative (C). de l'ensemble 1R des réels vers 1R. telle que 3 3° Soit A le point d'abscisse — 2 et B le point d'abscisse ï- Quels sont les points de la courbe (C) où la tangente est parallèle à AB? 4° Ecrire l'équation de la tangente au point M d'abscisse x0. Discuter, suivant les valeurs de a, le nombre des tangentes passant par le point P(x : a, y : 0). 1° Etudier l'application f, de l'ensemble ]R des réels dans 1R, telle que : 3 m) : — ‘î + 3x. 2° Construire la courbe représentative (C) dans un repère (O; �b� 3° Déterminer les points d'intersection de (C) et de l'axe (0;_i)). Construire les tangentes à (C) en ces points d'intersection. 4° Soit (Dm) la droite de coefficient directeur m et passant par le point A (x z 3, y : 0). Discuter, suivant les valeurs de m, le nombre des points d'inter- section de la courbe (C) et de la droite (Dm). 5° Pour certaines valeurs de m, on obtient trois points d'intersection A, B, C. Exprimer, à l'aide de m, les coordonnées du milieu I du segment BC. En déduire l'ensemble des points I lorsque m varie.
17-14 17-15 17-16 17-17 17-18 17-19 17-20 17-21 DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FONCTIONS 17 Résoudre, dans 1R, et discuter suivant les valeurs réelles de m, l'équation en x : x3+2x—-3—m à 0. Même question pour l'équation 4x"——3x—m à 0. Fonctions bicarrées. Etudier les fonctions numériques f telles que : (I) f(x)::x4+3x’—1 (4) f(x):x4—1Ox’+9 (2) f(x) L: 2x4 — 9x’ + 4 (5) f(x) : — 2x‘ + x" +1 (3) f(x) = — x4 + 5x‘ — 4 (s) f(x) = (x" — (2)1 — x’) Construire les représentations graphiques de ces fonctlons. Etudier les fonctions numériques f telles que : (1) f(x) = lx4—x’l (3) f(x) = lx4—4x"l + 2 (2) f(x) = x‘ + lx**1l (4) f(x) = lx“—8x’ + 7l Construire les représentations graphiques de ces fonctions. Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel m. le nombre des racines réelles des équations satisfaisant aux conditions indiquées‘ : (1) x4+3x’+mæ4%O avec —1<x<3. (2) x4+ x‘—4+m%0 avec 1<x<3. (3) 2x4—9x‘+4—m#0 avec —2<x<1. 1° Déterminer la fonction bicarrée f telle que f(O) : — 1 ; {(1) : 1 ; f’(1)= O. 2° Etudier la fonction obtenue. 3° Construire. dans un repère cartésien, la courbe d'équation y:f(x). Discuter, suivant les valeurs du nombre réel m, le nombre des racines réelles de l'équation x‘ —- 3x* + 2 —— m 1?: 0. [Solution algébrique et solution graphique.] axi+bx+c F t‘ r t n ———«a—- ODC IONS e es que a,xa + h/x + c, f(x) : Etudier les fonctions f et construire les courbes d'équation y : f(x). È ___ ___ 2 ___ (1) f(x): ä (2) f(x) r 2 2 —— " —= 1 (3) f(x) = ��� (4) f(x) : Ïf j �� (5) f(x): �� (s) f(x): �� 257
17-22 1° Etudier la fonction ftelle que f(x) : 17-23 17-24 17-25 17-26 258 DÉRIVÉES ET VARIATIONS pas FONCTIONS 11 “— 7 QÊÊL- Construire la courbe (C) y = f(x)- 2° En déduire la résolution du système (d'inconnue x) : x’——(m+5)x+2m+7 e o. —1<x<1 d'équation 2 2 —— 1° Etudier la fonction f telle que f(x) : X: ïTÊLr 11 y = f(x)- 2” Résoudre graphiquement l'équation, en x : (2——m)x‘+(m+1)x—(m+1) à 0. - Construire la courbe (C) d'équation Fonctions trigonométriques. Etudier les fonctions numériques f et construire les courbes représenta- tives de ces fonctions. (1) f(x) : sin (s): + `�M (2) f(x) r. sin <— 2x + � D (4) f(x) = cos <3x —— 0�, (3) f(x) = sin (F x + `�A 4 (s) f(x) : cos (— 2x + P7E (s) f(x) = cos (_ x + @|, Etudier les fonctions numériques f et construire leurs courbes représen- tatives. (1) f(x)=—2cos(x——;)+2 (2) f(x):2sin <x—g>+1 (a) r<x>=—2cos3x+1 u) f(x):2sin(2x—;>—3 (5) f(x) ï 5"‘ X + à si" 2* (s) f(x) : sin x- cos’ x _ . 1 . 1 (7) f(x) _ srn x +ê srn 2x+ ä sln 3x (s) f(x) z casa X + 3 cos X 1° Etudier la fonction numérique f telle que f(x) : 1 2 cos 2x‘ —> -> Construire, dans un repère (0; i, j) sa courbe représentative (C1). _ _ _ __ sin” x 2 Etudier la fonction numérique g telle que g(X) w 5%‘- Construire, dans le repère (O;—Î>,î), la courbe représentative (C2). 3° Comment (C2) se déduit-elle simplement de (C1)?
17-1 17-3 17-4 17-5 DÉRIVÉES ET VARIATIONS DES FoNcTIoNs 11 I IN DIcATIoNs 2° Abscisses des points d'intersection 2 et — `�� (4) f(x) : lx’ + 2x] — x’ + 3. Parsuite si ——2<x<0 f(x):—2x’—2x+3. si xë] 0,2 [ f(x)=2x+3. \ Représentation graphique (fig. 12). 1 (6) Tracer les courbes d’équation y : 7x’ et y : — î x’ + x + 2. Étudier suivant les régions du plan les signes de 0x’ — y) et (x’ — 7x — 4 + 2y). La région a claire» (fig. l3) représente les couples (x, y) solutions. (4) Tracer les courbes d'équation y : x’ —— x — 3 et y = x’ + x. Préciser leur point commun (fig. l4). Alorsfisi x<— f(x)=x’—x——3. P fsI x>—— f(x):‘_' p�� MIL» N|w 259
DÉRIVÉES ET VARIATIONS pas FONCTIONS 17-7 Cf. fig. 15. Fig. 15. 17-11 (2) fig. 16. Fig. 16. Fig. 17. (8) fig. 17. Pour calculer les ordonnées du maximum et du minimum, on remarquera que les abscisses sont solutions de l'équation 3x‘ + 4x — l é} 0; on remplacera donc 3x’ par (l — 4x) dans fîx), puis on recommencera. Il restera à remplacer x par sa valeur dans un binôme du premier degré. 17-14 Construire la courbe d'équation y : x’ + 2x — 3. Chercher le nombre des points d'intersection avec la parallèle à l'axe des abscisses d’équation y = m. 260 11
némvézs ET VARIATIONS DES FONCTIONS 11 17-16 (4) Fig. l8. Fig. 1s. Fig. 19. 17-17 (2) si —l<x<l f(x):x‘—x"+l si ‘S-’ fa): x‘+x’——l (fig. 19). x21 Attention : aux points A et B, la fonction f n’est pas dérivable. Il y a cependant déri- vabilité à droite et à gauche (construire les demi-tangentes...) 17-18 (l) gy:—x‘—3x’+4 Construire 1’arc = —— 1 < x < 3 sur la courbe (C) d'équation : z y:—x‘—3x'+4. Préciser, lorsque m varie, les abscisses des points d’intersection de (C) avec la droite, parallèle à x’0x, d'équation y : m. (2) (3) Méthode analogue. 17-20 Solution graphique : méthode analogue à celles du 17-14. Solution algébrique : on étudiera Fexistence et le signe des racines de Péquation résol- vante u‘ — Su + 2 — mâlo. 261
DÉRIVÉES ET VARIATIONS nEs FoNcTIons I 11 I741 (6) Fig. 20. f'(x) : cosx + cos 2x + cos 3x :2cos2xcosx+cos2x:cos2x(2cosx+1). cos 2x : 0 f'(x)=0<=> 1 17-26 3° Vx f(x) — g(x) : �� Donc (C2) se déduit de (C1) par la translation de vecteur —— 262 17-24 (2) Période 1r. Si A est 1e point (i; 0), la translation de l'origine des axes en ce point, montre que A est centre de symétrie de la courbe représentative. Donc étude sur [ï ��� + ÉJ (fig. 21). 17-25 (7) Période : 27:. Fonction impaire. Intervalle d’étude [0, 7r[ 6 2 Niv-
PRIMITIVES_D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE o Nous abordons ici le problème réciproque de la dérivation, étudiée dans la 14° leçon, à savoir : — connaissant une fonction numérique f, définie sur un intervalle .7, cher- cher a’il existe une fonction numérique F, définie sur .7 et admettant f comme fonction dérivée; —— dans Faffirmative, déterminer F. l 1. DÉFINITION D'UNE FONCTION PRIMITIVE Si, sur un intervalle J’, une fonction numérique F admet pour fonction dérivée la fonction f, alors F est appelée onction primitive de f sur l'intervalle J. On dit, plus simplement, que F est une primitive de f. F, primitive de f, sur J équivaut à V x eZi, F'(x) = f(x) EXEMPLES 0 La fonction F telle que F(x) = x’ admet pour fonction dérivée, sur 1R. la fonction f telle que f(x) z 3x’. Donc, sur R, la fonction fadmet pour primitive la fonction F. 9 La fonction sinus admet pour fonction dérivée, sur 112, la fonction cosinus. Donc, sur 1R, la fonction cosinus admet pour primitive la fonction sinus. CONTRE-EXEMPLE Lafonction f de [t,3] vers RJelle que f(2):4 et, pour x # 2, f(x):0 admet-elle une primitive F? S'il en est ainsi, F est continue sur [1, 3] puisque dérivable. Or sur [1, 2[ et ]2, 3], F'(x) : f(x) : 0. Par suite F est constante sur [1, 2[ et ]2, 3]. Or F étant continue sur [1, 3], alors F serait constante sur [1, 3]. Par suite V x e [1, 3] F'(x) = O. Il y a contradiction puisque F'(2) : f(2) 9è 0. La fonction f n'admet pas de primitives. 263
PRIMITIVES D'UNE FONCTION NUMÉRIQUE 10 I 2. PRIMITIVES D'UNE FONCTION o Si F est une primitive de la fonction fsur l'intervalle."v et si kest une fonction constante quelconque. alors la fonction : G = F + k est telle que, pour tout x e J : G'(x) = F'(x) + 0 = f(x) [par définition de F] La fonction G est donc une autre primitive de la fonction f. Réciproquement, si F et G sont deux primitives de la même fonction fsur l intervalle J. la fonction (D : G —— F, différence de deux fonctions dérivables sur J. est dérivable sur .7 (cf. 16° leçon) et, pour tout x e J’ : ‘F'(x) = 61X) -— F'(x) = f(x) —f(x) = 0- La fonction (D est donc une fonction constante sur J’ (cf. 17° leçon); il existe un nombre réel k tel que. pour tout x e .7 : G(x) = F(x) + k. D'où l'énoncé : o THÉORÈME Si une fonction f admet une fonction primitive F sur un intervalle J, elle en admet une infinité; ce sont les fonctions G = F + k, k étant une fonction constante arbitraire : G'=F'<=>G=F+k Ainsi. il suffit de connaître une primitive de ia fonction fpour les déterminer toutes. EXEMPLE La fonction ftelle que f(x) : 3x1 admet pour primitive, sur 1R. la fonction F telle que F(x) : x’. Toute fonction G telle que G(x) = x“ + k (avec k e 1R) est une primitive, sur 1R. de la fonction f. 264
PRIMITIVES D'UNE FONCTION NUMÉRIQUE 18 l 3. PRIMITIVE PRENANT UNE VALEUR DONNÉE POUR Xo o Soit F une primitive de la fonction fsur l'intervalle J. Pour qu'une primitive G = F + k prenne, en un point x0 de l'intervalle 3’, une valeur donnée b, il faut et il suffit que : 6m) = For») + k = b. c'est-à-dire que : k = b — F(xo). La primitive G est donc déterminée de manière unique par G : F —l— b -— F(xo). D'où l‘énoncé : c PROPRIÉTÉ Il existe une seule primitive de la fonction f qui, au point x0, prenne une valeur donnée b. EXEMPLE Soit à définir la primitive G de f, telle que f(x) : 4x’, qui prend la va|eur10 pour x : 2, Posons G = F —l— k avec : F(x) : x4. Alors G(2) : F(2) + k soit : 10 : 24 + k, d'où k : —— 6. Donc G(x) z x4 — 6. g REMARQUE On cherche souvent la primitive qui s'annule pour x0. Par suite b : 0, donc G(x) = F(x) — F(xo). I 4. RECHERCHE DE QUELQUES PRIMITIVES o En raison de leur définition. la connaissance de fonctions primitives F résulte d'un recensement des fonctions fobtenues comme dérivées des fonc- tions F. ainsi que des propriétés suivantes : Si les fonctions f et g admettent respectivement pour primitives. sur un intervalle J, les fonctions F et G, alors la fonction f + g admet sur l'intervalle 3' la fonction primitive F + G. En efiet, la dérivée de la fonction F + G est la fonction : F’ + G’ = f-l- g (169 leçon, ê 2). Si la fonction f admet pour primitive, sur l'intervalle J, la fonction F et si k est une constante arbitraire. alors la fonction k.f admet sur l'intervalle J’ la fonction primitive k. F. En effet, la dérivée de la fonction kF est la fonction : kF' = kf (165 leçon,ê3). 265
PRIMITIVES D'UNE FONCTION NUMÉRIQUE o Tableau des primitives algébriques usuelles : |ntervane Fonction f Fonctionnprimitive F d_e_ En effet: définition fa) ___ F (x) ___ 1R 0 C (constante) F(x) = C; F’ (x) = 0 112 a ax+k (ax+k)’=a X“ 1 <n—1l—1xn+l + k)’ 1R (n entier x” + k ' naturel) " + 1 :7) i 1 xn+1-1 : xn 1 l 1 - 1 @ � k (“fi k) R—{°} x‘ x“ ‘ __<_l _l — XI Z x! 1 _ (2\ x + k) 1R " — 0 7 2 v’ k l} vx x + :2 4:; | 2 x vx REMARQUE La fonction fde 1R — {O} vers R telle que f(x) = j? n'a pas été rencontrée comme fonction dérivée; nous ne lui connaissons donc pas de fonction primitive. Nous reprendrons cette question dans la 20' leçon. o Fonctions circulaires. Rappelons les résultats obtenus dans la 15° leçon : si qa(x) : sin x <p'(x) : cos x si <p(x) = cos x cp'(x) : — sin x si q>(x) : tg x [avec x ;:‘%(mod. 11)] q;>'(X) = 1 + tg’ x = E-œîx si qa(x) = cotg x [avec x ;zî 0 (mod. rc)] q2'(X) : — `] 268
PRIMITIVES D'UNE FONCTION NUMÉRIQUE D'où le tableau des primitives usuelles : Fonction f Fonction primitive F intervalle de définition f(X) = FOI) = cos x sin x + k i’ sin x —— cos x + k l 1 l var-mg. (2k+1)%[ Î=1+tg=x i tgx+k ]k1r, (k+1)n[ (ke Z) #3721 +cotg'x —cotgx+k 5. RECHERCHE DE PRIMITIVES La définition du nombre dérivé d'une fonction (cf. 14° leçon) permet de montrer l'existence de ce nombre et de le calculer directement (par recherche d'une limite, lorsqu'elle existe). De plus, si des fonctions u, v ont pour fonctions dérivées u' et v’, les fonctions uv et T‘: (pour v(x) # O) ont des fonctions dérivées que l'on sait exprimer. Au contraire la définition d'une fonction primitive F, pour une fonction f, ne four- nit aucun moyen de construire une telle fonction F, nl d'établir son existence. Pour déterminer les primitives de fet établir qu'elles existent, nous ne disposons donc, à ce niveau, que du moyen consistant à reconnaître, dans une fonction f, une fonctlon dérivée d'une fonction F, ce qui nécessite une très bonne connais- sance de la dérivation et des propriétés de la formation des primitives (5 4). Mais cela ne permet de résoudre le problème posé que dans un nombre réduit de cas. En particulier, connaissant des primitives F et G des fonctions f et q, f on ne sait pas exprimer une primitive de la fonction f . g, ou de la fonction E; on ignore même s'il en existe. Donnons des exemples fondamentaux de détermination de primitives, obtenus en combinant les résultats des paragraphes 3 et 4. Dans tous ces exemples, k désigne une constante arbitraire. 267 18
PRIMITIVES D'UNE FONCTION NUMÉRIQUE O Primitives d'une fonction polynome. La fonction polynome f, de 1R vers R. telle que : f(x) 2 aux" ‘i’ an_1X""1 ‘i’ @�K + 31X + 3o admet comme primitives les fonctions polynomes F telles que : F(x) : fiî x"+1 + Êïnïï x" —|— 0�> —|— E25 xz-i-aox-l-k. 9 Primitives de fonctions circulaires. Soit (ax + b) la mesure d'un arc en radians. — La fonction ftelle que f(x) z cos (ax + b) a pour primitives les fonctions F telles que : F(x) = à sin (ax + b) + k. — La fonction f telle que f(x) : sin (ax-i-b) a pour primitives les fonctions F telles que : F(x) : —% cos (ax + b) + k. —— La fonction f telle que f(x) :1 + tg“ (ax + b) : a pour 1 cos” (ax-l-b) primitives les fonctions F telles que : F(x) : g tg (ax + b) +k. I l EXERCICES 18-1 Soit f(x) : x“ — x’ + 2x —— 1. Déflnir la primitive de fqui prend la valeur 4 pour x :1. 18-2 Même question pour f(x) : 4x” — 3x” + x—— 2. 18-3 Soit f(x) :1 + v7. Quelle est la primitive de fquî prend la valeur 1 pour x = 0? 18-4 Soit f l'application de [0, 6] vers 112 ainsi définie : si xe[0, 1[ f(x)=0; sixe[1, 2[ f(x)::1: sixël2. 3[ f(x):2; sixE[3. 4[ f(x)=3: si xe[4, 5[ f(x):4; si xe[5, 6[ f(x):5; si x : 6 f(6) : 6. 1° Représenter graphiquement f. 2° Existe-t-il une primitive F de f, telle que F(0) : 0? 268
PRIMITIVES D'UNE FONCTION NUMÉRIQUE I8 8-5 Soit E l'application. de 1R vers Z, « �� partie entière de... ». 1° Existe-t-il une primitive de E qui s'annule pour x : O? 2° Existe-t-il des primitives de E? 18-6 Déterminer les primitives F des fonctions ftelles que : (1) f(x) = x + l, (2) f(x) :1. +1 X Vx (3) f(x) = cos 2x (4) f(x) = t9‘ X (5) f(x) : cos‘ x (6) f(x) : �Y 18-7 Soit f l'application de [0. 3] vers 1R telle que : si xe[O, 1] f(x) :0; six e[1. 2] f(x) :2x——2 si x e [2, 3] f(x) = x. 1° Représenter graphiquement la fonction f. 2° Déterminer Ies primitives de f. _18-8 1° Etudier la fonction f qui, à x e [— 3, 5], fait correspondre : f(x):|x—1|+|x|+|2x+2|. 2° Représenter graphiquement f. 3° Déterminer la primitive F de ftelle que F(O) : 1. 18-9 Mêmes questions pour f(x):|2x——1|+|x—2|. I INDICATIONS 4 3 18-1 Les primitives de f sont telles que F(x) : à — xÎ + x’ — x + k. 1 1 . _49 AlorsF(l)_4 => 4_î—î+l——l+k. soit k_—l—5 8 ‘ 49 Donc la primitive F1 demandée est telle que F,(x) : f; — XÎ + x‘——x +E- 269
PRIMITIVES D'UNE FONCTION NUMÉRIQUE 184 2° Si F existe : a) alors pour x e [0, ][, F(x) : k. Puisque F(0) : 0 alors k : 0. Donc vx e [0, ][ f(x) : 0. b) pour x e [1, 2[; F, primitive de f, est telle que F(x): x + k, Or F doit être continue, donc F(l) : 0 dcst-à-dire k. : — 1. si x6[0,l[ F(x):0 Ah“ si xe [1, 2[ F(x) :x——l. Mais F n’est pas dérivable en point 1. Donc f n’a pas de primitive. 18-6 (4) f(x) = (1 + te’ x) — 1 => F(X) = t8 x—x- 1 (6) f(x) = X—- 2 + î- 18-8 1° Sl xe[—-3,—1] f(x):—4x—l si x6[—l, 0] f(x):3 s1 xe[0, 1] f(x):2x+3 ‘si xe[l,5] f(x):4x+]. 270
AIRES DE DOMAINES PLANS 0 Dans l’ensemble des fonctions numériques définies sur un intervalle, nous avons pu caractériser (cf. 14° leçon) le sous-ensemble des fonctions dérivables. 0 Or (cf. leçon précédente), l’étude du problème réciproque, à savoir : caracté- riser l’ensemble des fonctions numériques admettant une primitive, n’a pas abouti car la définition d’une fonction primitive n’a permis, ni d’établir son existence, ni de fournir un moyen de construire cette fonction. 0 Nous avons donc été réduits à : — constater qu’il existe des fonctions n’admettant pas de fonction primitive; — démontrer des propriétés des fonctions primitives, leur existence étant admise ; — construire, dans des cas très particuliers, de telles fonctions. 0 Le problème mathématique posé serait donc à reprendre. Mais à partir de quelles bases? Dans cette leçon, admettant la notion d’aire d’un domaine plan comme « intui- tive », nous allons constater, sur des exemples, qu'il existe un lien entre les notions d’aire et de primitive. 0 Cette constatation étant faite, nous démontrerons, pour les fonctions continues et monotones sur un intervalle, le théorème fondamental entre les notions de primitives et d’aires. 0 Nous appliquerons enfin ce théorème, à des calculs d’aires planes. 271
272 AIRES DE DOMAINES PLANS 18 1. EXEMPLES o PREMIER EXEMPLE Soit f l'application du segment [1, X] telle que, quel que soit t e [1, X], avec X 21, fit) : 2. Dans le repère orthonormé x0y, l'aire du rectangle ABCD (fig. 1) (en admettant comme intuitive la notion d'aire) est 2(X —— 1). Or la fonction F qui, à x 2 1 fait correspondre F(x) : 2(x—1) est la primitive, s'annulant pour x : 1, de la fonction f. Donc (cf. leçon précédente, â 3), si q; est une primitive quelconque de f. alors un Aaco = 44x) — ça) . g DEUXIÈME EXEMPLE Soit f l'application telle que, quel que soit x strictement positif f0!) = 2x . Soit D la droite d'équation y : 2x. Dans le repère orthonormé x0y, l'aire du triangle rectangle OAB (fig. 2) est X L“ Ë AB soit ————X :2 ou X“. Or la fonction F qui x > 0, fait correspondre F(x) : x’ est une primitive de f: c'est la primitive s'annulant pour x : 0. Et si <p est une primitive quelconque de f, alors : alre OAB = q>(X) 4- que) (cf. 18' leçon, 5 3). .
AIRES DE DOMAINES PLANS 0 TROISIÈME EXEMPLE Soit f la fonction telie que, que quel soit x 21, for) = 2x —-+_ 1 . Soit ABCD, le domaine trapézoïdai déflni par 1<X<X, O<y<f(x) (fig. 3). Dans le repère orthonormé xOy, l'aire du trapèze ABCD est : soit (X—1)X ou X'—X. Or la fonction F qui. à x 2 1 fait corres- pondre F(x) :x’——x, est la primitive (de la fonction f) prenant ia valeur zéro pour x :1. Donc (cf. 18' leçon, 5 3), si q: est une primitive de f: an". Aacn = çrx) —.q>m . l l 2. THÉORÈME FONDAMENTAL e Si f est une fonction continue et monotone sur [a, X], si f(x) est positif sur [a, X], alors l'aire aux) du domaine plan défini dans un repère orthonormé par ä Ê ÿ �� 55(4) est, en désignant par F une primitive de f : .Æ(X) = F(X) ——— Ha) Puisque f est monotone, nous ia supposerons croissante (ce qui ne restreint pas la généralité). Avec ies hypothèses indiquées, le théorème signifie que : 0 la dérivée de A est f. 9 .4:(x) est la primitive de f, qui s'annule pour x : a (cf. 18' leçon, â 3). D'où une démonstration en deux parties. 273
AIRES DE DOMAINES PLANS ‘I9 I PREMIÈRE PARTIE : La dérivée de A: est f. Soit (C) la courbe d'équation y : f(x) (fig. 4). Soit AmoMoB le domaine plan défini par a S x S x0 0 S y S f(x). Désignons par A(x.,) l'aire du domaine plan AmoMoB. A: Etudions la fonction A telle que : xo —e-> Mx.) . Cette fonction est définie quel que soit xoe [a, X]. o Dérivabilité du point x0. Par définition Mxo + h) est l'aire du domaine ApPB (fig. 4), en admettant la notion d'aire. p�� Par suite l'aire de mopPMo est : lMXo + h) — *(Xo)| Or f est supposée croissante, donc : si h 2 0 aire m.,p PMo = .—e(x., + h) —.æ(:(x,,) Fig. 4. si h g 0 aire mop PMo :A=(x.,)——.+t(x.,+h). Or, intuitivement : Aire m.,p HMo S aire m.,p PMo S aire m.,p PK C'est—à-dire, puisque : m.,p = |h|, mop : f(x.,) et pP = f(x., + h) SIhËO h-f(Xo)<-'Æ(Xo+h)—v4(XoI <h-f(Xo+h) SÎ h S 0 (— h) .f(Xo+ h) S .400) — A0,, + h) S (— h) .f(Xo) Par suite. dans les deux cas : ÛÜo + hg "" 94503) f(Xo) S S f0!» + h) Puisque fest continue, Illim f(x., + h) = f(x.,). —>0 Donc : llm «<.+h>—»aæ< o) _ M ——"—-—,,—————ï— —. «x.» C'est dire que le nombre dérivé, pour la valeur x.,, de la fonction et est f(x.,). 274
AIRES DE DOMAINES PLANS 19 o Fonction dérivée. Le résultat obtenu est valable quel que soit x0 e [a. X]. Donc : la fonction f est, sur [a, X], la dérivée de la fonction se ou : la fonction A est une primitive de f. u DEUXIÈME PARTIE : aux) = F(X) — F(a) Si x, = a, il est clair que l'aire du domaine (le segment [A, B]) est nulle. Par suite A est la primitive de f, qui prend la valeur 0 pour X = a. D'après le résultat démontré (189 leçon, ä 3), si F est une primitive de f, alors aux) = F(X) — F(a) ce que l'on note aussi MX) = [F(x)]ff REMARQUES x 0 L'aire MX) définie ci-dessus est notée .æ’c(X) = J‘ f(x) dx ce qui se lit «je de X égale somme de a à X. de f(x)dx ». a 0 Le théorème ci-dessus supposait réalisées les hypothèses suivantes : ' f continue et monotone ; f (x) à O; a S X. Nous allons chercher à nous affranchir de certaines de ces hypothèses. 9 Le théorème fondamental ci-dessus justifle les résultats obtenus dans les exemples traités (5 1). I 3. EXTENSION DU THÉORÈME FONDAMENTAL P, Le théorème fondamental est vrai si f est continue sur [a, X] et monotone par intervalle. En effet, soit (C) la courbe d'équation y = f(x) (fig. 5). Supposons : f(x) 2 0; a s: X; fcontinue sur [a, X] et monotone par intervalle sur [a, X]. Supposons, par exemple, que f soit croissante sur [a. oc], décroissante sur [(2, [i]. croissante sur [(3, X]. L'aire du domaine plan ABCD défini par a < x S X 0 < y < f(x) est la somme des aires des domaines AEFB, EGHF, GCDH. 275
AIRES DE DOMAINES PLANS Soit F une primitive de f. D'après le théorème fondamental : aire AEFB = F(a) — F(a) ; aire EGHF = F(l5) — F(a) ; aire GCDH = F(X) — F(a) Donc : aire ABCD = [F(a) — F(a)] + [F(l5) — F(a)] + [F(X) —F(l5)] plu‘ ABCD = rtx) —— F(a) P, Si f est continue sur [a, X] et monotone par intervalle sur [a, X], si f(x) S 0, , . . . a S x < X alorsl arre .+e(X) du domaine plan, défini en repère orthonormè par f(x) Sy < o. est telle que 4€(x) : [F(X) — F(a)l, en désignant par F une primitive de f. äoit (sa) la courbe d'équation y = f(x) et (C3) celle d'équation y = —f(x) ng. . Si F est une primitive de f, alors (— F) est une primitive de (—f) et l'aire st,(X) du domaine ACD’B’ est, d'après P, :.Æ,(X) =— F(X) + F(a)=——[F(X)—— F(a)]. Si .«t(X) est l'aire du domaine ACDB, symétrique de ACD’B’ par rapport à 0x, nous conviendrons d'admettre que |.+e(X)|. : at,(X). Donc : aux) = lw) — F(a)]. REMARQUES fl Le nombre négatif .æt(x) = F(X) —— F(a) s'appelle l'aire algébrique du domaine ACDB. Le réel positif l.vt(x)| est l'aire arithmétique du même domaine. 276
AIRES DE DOMAINES PLANS 19 0 Supposons f continue sur (a. X] et monotone par intervalles. Supposons de plus que X s a et f(x) > 0 (fig. 7). Alors, d'après P. l'aire æ(X) du domaine ACBD est, en désignant par F une primitive de f : MX) = F(a) —— F(X). Le réel négatif F(X) — F(a) s'appelle encore l'aire algébrique du domaine ACBD. Fig. 7. Fig. s. 9 Soit fune fonction continue sur [a, X] et monotone par intervalles. [a, oc] U [(3, X]. f(X) > 0 [ou i3]. f(X) S 0 (fig- 8)- L'aire arithmétique A du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites AD et CB est : «t : aire ADE + aire EHF + aire FBC. Supposons que sur Et d'après P, et P., si F est une primitive de f: 3€ = F(a) — F(a) + 1H5) — F (<1)! + F(X)-a F (F3)- Soit : et : F(X) + 2 F(a) — 2 F((3) — F(a). Autrement dit, le réel F(X) — F(a) n'est pas l'aire arithmétique du domaine considéré. On dit. par définition, que c'est l'aire algébrique de ce domaine. Dans le cas ci-dessus : F(X) — F(a) : aire ADE — aire EFH + aire FCB. Ce qui conduit à poser la définition suivante : o DÉFINITION Si F est une primitive de f, l'aire algébrique du domaine plan limité par l'axe x’Ox, la courbe d'équation y = f(x) et les droites d'équation x z a et x = X est, en axes orthonormés, égale à flX)_=_F(X)-—— F(a) . 277
AIRES DE DOMAINES PLANS 19 4. CALCUL D'AIRES DE DOMAINES PLANS e Les résultats ci-dessus permettent de calculer les aires de certains domaines plans. Donnons quelques exemples : 278 o Aire d'un segment de parabole (fig. 9). Soit (C) la parabole d'équation y = x‘. Soit à calculer l'aire du segment de parabole AOB. Cette aireü est l'excès de l'aire ù, du rectangle ABCD sur celle d, du domaine limité par la courbe (C), l'axe x’0x et les droites d'équation x = on et x : —— o: (avec a > o). Or: CÏ1=CD><DA:2aLXoc’ d,=2a3. Fig. 1o. est une primitive de la fonction f telle que f(x) : x’. 3 D'autre part. Xï ‘a a a 2 a Par suite (L: Li}: = î —- <— î) = l- 3 _1 3 Donc : (I: C11——fl.=-— 2 L'aire du segment de parabole AOB est égale aux ä de celle du rectangle ABCD. o Aire du domaine limité par une arche de sinusoïde (fig. 10). Soit à calculer l'aire A du domaine plan défini, en axes orthonormés, par 0 S x S n O S y S sin x.
19-1 AIRES DE DOMAINES PLANS ‘l9 Puisque la fonction « moins cosinus » est une primitive de la fonction sinus : ùzffisinxdx: —cosx:|“=—cos1r+cos0 0 _ n f1 :2 . 21: 2: Remarquons que (I, : f sin x dx: [— cos x] : — cos 2 r: + cos n. ‘Il 1E d, : — 2 (conformément à P. ). Alors. ainsi qu'il était prévisible, l'aire algébrique du domaine limité par l'axe 0x, la courbe d'équation y : sin x et les droites d'équation x : 0 et x : 2 7r, n22 2,-_ est nulle. En efiet / sin xdx : [— cos x] :— cos 2 n: + cos 0 : 0. 0 Bien entendu, l'aire arithmétique du même domaine est 4. . Aire d'un domaine compris entre deux arcs de courbes (fig. 11). Soit à calculer l'aire Û. du domaine a < x S b . l """" défi” p“ ? mx) < y s mx). Si F, et F2 sont des primitives de f, et f, il est immédiat que : a: F1(b) — F(a) — [F2(b) — F(a)]_- Remarquons que si q; : F, -— F2, alors ù : q;(b) — q>(a) . Fig 1L I EXERCICES Dans un repère orthonormé calculer les aires des domaines limités par les courbes d'équation : (1) y=x3———f; y=0, x=f; x:2 (2) y:x3—3x+2; y=0, x:—2; x=f (3) y:4x3—3x+f; y=0, x:—f; 2x—f:0 (4) y:|cosxI; y=0, x:0; X221: (5) y=xlxl; y=0; x=-——1; x=2. 279
19-2 19-3 19-4 19-5 19-6 19-7 1 9-3 280 AIRES DE DOMAINES PLANS 19 Construire, dans un repère orthonormé, la courbe I‘ d'équation y=2cos’x+sin 2x. Calculer l'aire du domaine limitée par (F), l'axe des 7C x:_. abscisses. les droites d'équation x : 0 et Construire. dans un repère orthonormé. la courbe (F) d'équation y : ��� Calculer l'aire C]. du domaine limité par (P), l'axe x’0x et les droites x : 1, x = a (avec oz > 0). Calculer lim c1. :z——>+oo 1 Construire dans un repère orthonormé. la courbe (F) d'équation y : ——_- x Calculer l'aire CI du domaine limité par (F), l'axe x’Ox. les droites d'équation x21 et x : a (avec 0 < a <1). Calculer lim Cl. a—>O Soit 8D le domaine limité par l'axe x’Ox et l'arc de courbe y:x(1—x) avec 0 < x < 1. Partager le domaine :7) en deux parties de même aire par une droite issue de O. Calculer l'aire A du domaine compris entre les arcs (C1) et (C2) des courbes d'équation y : cos x et y : 1 — cos x avec —g< x <g(axes orthonormés). Construire, dans le même repère orthonormé x0y, les courbes (C1) et (C2) sin” x d'équation y : — ces 2X- 2 cos 2x e 2° Calculer l'aire CL du domaine compris entre (C1), (C2), l'axe y’Oy, et la droite d'équation x : oz (avec 0 < oc < ��� 3° L'aire Ct a-t-elle une limite lorsque on _-> Ë? Construire, dans le même repère orthonormé, les courbes (0,) et (C2) dont les équations sont données ci-dessous et calculer l'aire ù du domaine borné qu'elles limitent. (1)y:x’—4 et 1 <2) y: ——,— et COS X y:——x2+2x y:8cosx (domaine limité par les droites d'équation x = 0 et x : p�� (3) x’ z: 2py et y = Ё�
19-] 19-3 AIRES DE DOMAINES PLANS 1S I I INDICATIONS (1) L’aire demandée est -2 x4 "2 . _ a _ z _ _ a_./1 (x 1)dx [4 xJ1 2‘ '1 l1 soit a:(î—2)——(Η1)ouü:Î- (5) Si x S 0 y : — x‘; si x 2 0 y : x’. Réponse .' lim (Ï :1. u—>+o0 19-6 Réponse : 40/5 — 1) — P� 19-8 u|sl (1) Déterminer d'abord les abscisses des points d'intersection. L’aire demandée est: 2 a: f‘ (—2x'+2x+4)dx:...=9. Term. A. - 10. 281
F0_N(_îTl0N LOGARITHME NEPERIEN 0 Nous avons remarqué (cf. 18° leçon) que la fonction f, de 1R —— {O} vers 1R, 1 . . . . telle que f(x) = i, ne figurait pas comme fonction dénuée d’une fonction connue. 0 Or un théorème, que nous admettons ici, affirme que toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive, au moins. . . 1 . Par suite, la fonction f telle que f(x) : « étant continue sur ]0, + oo[ admet x sur cet intervalle des fonctions primitives. 0 Dans cette leçon, nous nous bornerons à étudier une seule de ces primitives : celle qui prend la valeur zéro pour x : 1. Cette primitive particulière s’appelle a fonction logarithme népérien ». I 1. DÉFINITION o On appelle fonction logarithme népérien, la primitive de la fonction x-e» à, primitive définie pour x > 0 et qui prend la valeur 0 pour X21. On la note Log ce qui se lit «logarithme népérien ». Cette fonction est donc définie sur ]0, + oo[, et: r'<x> :2‘ f(x) = Logx ' équivaut à Log 1 z o I x>0 282
I=oNcTIoN LOGARITHME NÉPÉRIEN I 2o En utilisant la notation de la 19° leçon. cela se traduit par : ‘1 Logx: f -.dt ,1 u ll est immédiat de remarquer que le nombre dérivé. au point x. de la fonction Log étant. par définitiom}, la fonction Log est strictement croissante. P" “ne 0<x<1 <=>Logx<0 ä x, <x, <=> Log x1 < Log x, x>1<=>Logx>0 l l 2. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE Dans le plan rapporté au repère ortho- normé (O; i. j). traçons la courbe H d'équation y = j? avec x > 0. Considérons. sur cette courbe. les points A et M d'abscisses respectives 1 et x (fig. 1). On sait (198 leçon) que l'aire du trapèze mixtiligne A’M’MA. mesurée en prenant pour unité l'aire du carré construit sur i et jÎ est représentée par la primitive de j? définie au paragraphe 1. Donc Log x représente l'aire algébrique A’M’MA. I 3. PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE DE LA I=ONcTION LOG o THÉORÈME Le logarithme népérien d'un produit de nombres réels strictement posi- tifs est égal à la somme des logarithmes de chacun des facteurs, c'est- à-dire, pour deux facteurs : ‘ Log (ah) ='I.'og a + Log b 283
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN o Démonstration. La fonction Log admet, par définition, en tout point x > 0. un nombre dérivé 1 égal à 7 Soit a un réel strictement positif; considérons la fonction F telle que F(x) = Log ax. Démontrons que cette fonction est aussi une primitive de f. Pour cela déterminons la dérivée de F. Or F(x + h) — F(x) = Log a (x + h) ——— Log ax F(x + h) — F(x) _ Log (ax + ah) — Log ax et h ‘ h ou F(x +h)—F(x) : Log (ax + ah) — Log ax U a h ah " Par suite: Iim h—>0 F(x + h) ——F(x) _ “m Log (ax + ah) — Log ax X a h m h—>0 h î Log (X+u)—LogX_ Or Iim u est le nombre dérivé, pour la valeur X, u——>0 de la fonction Log. Donc Iim :1- u_,0 U X Par suite: Iim =l>< a=l>< a=1 h_,g h x ax x et F est, comme la fonction logarithme népérien, une primitive de f. D'après le résultat démontré (189 leçon, ä 2) : F(x) = Log x + C, ou Logax:Logx+C où C est une constante. Pourx:1: Loga=Log1+C:C Donc Va>0,vx>0 Logax=Loga+Logx et, en remplaçant x par b : Log ab = Log a + Log P3� 284
P: P: P. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 2o 4. CONSÉQUENCES m: LA PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE Deux nombres inverses ont des logarithmes opposés, soit : . 1 (sIb>0) _Log—5=—-—Logh (1) 1 Enefiet: bx—:1. b Donc (ÿ 3) : Logb+ Logâ: Log1:0 ou Log1: — Log b. b Si a et b sont positifs : Log ä =.Log a- Log b (2) a 1 1 Posons x: b- Alors x: a X B et Log x: Log a + Log B- D'où la propriété. Quel que soit l'entier naturel n et quel que soit le réel a positif : Log a“ = n.Log a (3) Raisonnons par récurrence (cf. 1" leçon). La propriété est vraie pour n : 0. Supposons qu'elle soit vraie pour p (donc Log al’ : p Log a). Alors : Log al”! : Log (aP.a) : p Log a + Log a Log av" : (p + 1) Log a. La propriété est donc vraie pour p + 1. Elle est donc vraie pour tout n e IN. 285
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN I 20 P. Quel que soit n entier relatif’, et quel que soit a positif : Log �U n Log a — La propriété est démontrée pour n e IN. — Supposons n < 0. Posons n : —— n’ avec n’ > 0. 1 1 , Alors a" .: ——; et Log a" : Log F, : — Log a" a" a" D'après P, , Log an’ = n’ Log a. Donc Log a" : w n’ Log a : n Log a. P. Quel que soit a > 0: l. 7-‘ og \a—_ïl.oga Posons x z x/a, alors x‘ : a et Log x’ : 2 Log x = Log a. 1 Donc Log x : ë Log a. D'où la propriété. P, Quel que soit a > 0 et quel que soit n entier non nul : n “ 1 Log s/a = î Log a Rappelons que (l a est le réel x positif (dont nous admettons l'existence) tel que x" : a. Alors Log x" : Log a. D'après P, : Log x" : n Log x. 1 Donc Log x : Î Log a. D'où la propriété. 286
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 20 I 5. ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 0 Rappelons d'abord les propriétés résultant immédiatement de la définition de la fonction logarithme népérien (ê 1) : — elle est définie sur ]0, + o<>[; _ — étant dérivable, elle est continue sur ]0, + o<>[; — sa dérivée égale à j? par définition est positive strictement. Donc la fonction Log est croissante au sens strict. ll en résulte que : a < b (dans R”) <=> Log a < Log b a = b (dans R“) <=> Log a = Log b En particulier, puisque Log 1 : 0, 0<x<1<=>Logx<0 x:1<=> Logx:0 x>1<=>Logx>0 o Limite de Log x quand x tend vers + oo. Pour étudier la limite de Log x quand xtend vers + oo, nous disposons : de la formule Log a" : n Log a, et du fait que la fonction Log est croissante. Soit B un réel positif. Pour obtenir Log x > B, il suffit, puisque x > 2" implique Log x > n Log 2, que soient vérifiées : lnLog2>B ?x>2" Or, Log 2 > 0. Par suite, quel que soit B e 112+, il existe n tel que n Log 2 > B. Donc, en posant A : 2": vBelRfi aAelR* telque x>A=>Logx>B c'est-à-dire : llm Logur �2 + oo æ-o-l-œ (ou Log x tend vers + oo quand x tend vers + oc). 287
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN o Limite de Log x lorsque x tend vers 0+. Posons 1; : x. Quand x tend vers 0+, z tend vers + oo. Alors Log x = Log à : — Log z tend vers — oo quand x tend vers 0+. D'où : Iim Log x = —— oo ' æ—>0+ (ou Log x tend vers — oo quand x tend vers 0+) 0 Le nombre e. Puisque la fonction f est continue et croissante de — oo à + oo, il existe un réel unique tel que Log x : 1. Ce réel est appelé nombre e : Loge=1 On démontre, par des méthodes qui sont hors du programme de la classe que : le nombre e n'est ni rationnel, ni algébrique (c’est-à-dire n'est pas solu- tion d'une équation polynomiale à coefficients entiers), c'est donc un nombre transcendant (comme n); la valeur approchée, à 10-‘ près par défaut, de e est 2,718 28 Nous indiquons, en complément (ê 6), comment obtenir d'une manière simple l'encadrement 2<e<3. 0 Tableau de variation et représentation graphique. Les résultats précédents sont réunis dans le tableau de variation suivant : x o 1 e‘ +oè r<x>=—} + j + Ê + f(x) = Log x 288
FONCTION LOGARITHME NEPÉRIEN 20 On en déduit la représentation gra- phique cartésienne (L), tracée dans un repère orthonormé (fig. 2). REMARQUES 0 La tangente à (L) au point A (1, 0) 1 a pour pente T : 1. g La tangente au point E(e, 1) a pour 1 pente F, donc pour équation : 1 1 y—1 : Forme), soity: Ëx. Elle passe donc par 0. Fig. 2. I 6. UN ENCADREMENT DU NOMBRE e o Montrons que le nombre e est compris entre 2 et 4 (fig. 3). 1° Lo 2 = fi (ABCD) et ä (ABCD) < aiîa (ABED). Donc Lo 2 < 1 et 2 < e. 2° La somme des aires hachurées (fig. 3) est inférieure à Log 4, soit 1 1 1 Log4>ï+ï+î Log 4 > 1 4 > e. Fig. 3. o Montrons que le nombre e est compris entre PP{ et 3 (fig. 4-). Considérons le trapèze A’AFF’ déli- mité par 0x, les droites d'équation x:1 et x:3, et ia tanente au point C d'abscisse 2 sur la courbe d'équation y : 1; (flg. 4) : fi (Â’AFF’) : 1 fi (A’AFF’) < Log 3. Donc : e < 3. En résumé 2 < e < 3. Fig. 4. 289
20-1 20-2 20-3 20-4 20-6 20-7 20-8 20-9 290 FONCTION LOGARITHME NËPÉRIEN 20 I EXERCICES Déterminer x défini par ,_Î. 2 Log x : Log 2 + Log (2 + V5) + Log (2 + y/ÂÎ) + Log (2 — V2+v’ë). Pour a > 1 et b > 1. calculer y : Log (a“— 1) + Log (fila 1) —— Log [(ab + 1)’— (a + b)*]. Comparer, pour x > 1, Log (x Jrv/xäj) et Log (x—\/x*— 1). Démontrer que % Log (3 + 0U� z �D� Log (V02 — 1) + 4 Log (V2 +1). Déterminer È sachant que a et b sont des réels positifs vérifiant a+b Log 3 : à (Log a + Log b). Résoudre, dans 1R, les équations suivantes : (1) Log 2x— Log (x — 2) à Log 3 (2) 2 Log (3x — 4) + Log (10x — 4) â Log (5x — 2) (3) 2 Log x— Log (x — 5) à Log 3 (4) Log (x”— 1) ä Log (4X——1)—2 L092 (6) Log (x1 v 1) à Log (x—2) + Log (x——3) (5) Log (150 — 25 x — x“) â: 3 Log (5 v x) Résoudre, dans 1R, les systèmes suivants : Ç x+yâ3e x+yâ25 u) Ï Logx+Logyâ2+Log2 (2) Logx+Logy-—‘_.ÆLog100 x“+y’#4a’ lxy+x+yâ2 (3) Lo9x+Logy w 3 Log(x+1)+Lo9(J/\1)#1 à 2 Log 3a—3 Log2 Préciser pour quelles valeurs de x sont définies les expressions suivantes : 2 Eog x —— 1 ( ) Log x + 1 ' Former l'équation de la tangente (t) à la courbe d'équation y : Log x au point d'abscisse x. Déterminer x pour que (t) passe par O. (1) Log [L09 (Logxfl I
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN I 20 20-10 Dans un repère orthonormé, soit (L) la courbe d'équation y : Log x. Soit A le point de coordonnées (1, 0) et M le point, de (L). d'abscisse x(> 1). La tangente en M à (L) coupe en P la droite d'équation x——1 : 0. 1° Calculer l'aire ü(x) du domaine Iimlté par le contour mixtiligne AMPA. 2° Résoudre l'équation 2e.cl(x) : e‘ — 2e — 1. 20-11 1° Etudier l'application f de 112+ dans 1R telle que f(x):xLog x. Construire, dans un repère orthonormé, la courbe (C) d'équation y : x Log x et les tangentes à (C) en ses points d'intersection avec l'axe x’0x. 2 2° Etudier l'application g de 112+ dans 1R telle que g(x) : x’ Log x— 0� Construire la courbe (y) d'équation y z x‘ Log x —— ��� Préciser les tangentes à (y) en ses points d'intersection avec l'axe x’0x. 3° Calculer l'aire limitée par la courbe (C) (voir 1°), l'axe des abscisses et les droltes d'équations x : 0 et x—1 : 0. I INDICATIONS o Néper (ou Napier) John, baron de Merchiston (1550-1617). Mathématicien écossais qui, pour simplifier certains calculs, découvrit les logarithmes, en associant deux à deux les termes d'une progression géométrique et ceux d'une progression arithmétique. En son honneur, certains logarithmes furent qualifiés de népériens. ‘20-3 (x + `�� . (x-—\Çx;_:1) : l, alors... 20-4 Remarquer que 3 + 2\/ï. : + l)’ et que 0�� l : —,_—————_ \/2 + 1 291
20-9 20-10 292 FONCTION LOGARITH ME NÉPÉRIEN 2 Utiliser la propriété fondamentale et le fait que Log u est défini si, et seulement S si, u > 0. Par exemple (6), résoudre Log (x' — l) à Log (x — 2) + Log (x — 3) (l). La fonction z x —e-> Log (x' — l) est définie pour x é [— l, + l]; La fonction z x —9—> Log (x — 2) est définie pour x > 2; La fonction z x —e—> Log (x —— 3) est définie pour x > 3. Ê Donc l’équation (l) a pour ensemble il‘ de définition x > 3. ï Sur cet ensemble, l’équation équivaut à: à Log (x’——l): Log(x——2) (x—3) ‘ietà (x' — l) = (x — 2)(x —— 3) ‘Ësoit ——l=—5x+6 �ޝ ou x : l ï: 5 N _ 7 . . 0� Puisque î é f1‘. Péquatlon (l) n‘a pas de solution. 1° Log (Log x) > 0 <=> Log x > 1 <=> x > e. Désigner par (X, Y) les coordonnées du point courant de (t). 1 1° CÏ(x):;—Logx—»2—x- 2° L'équation a une solution évidente et Çï(x) est croissante... 3° g'(x) = 2f(x). 20
FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e 0 La fonction logarithme népêrien, définie sur R”, c’est-à-dire ] 0, + oo[, continue et strictement croissante, réalise une bijection de ]R*+ sur 1D /20° leçon Il existe donc une fonction (cf. 5° leçon) réciproque (ou inverse), bijection de 1R sur]R"+ �Fk l). Cette fonction, appelée exponentielle de base e, est l’objet de cette leçon. I 1. DÉFINITION o La fonction exponentielle de base e est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Provisoirement, nous la noterons exp, Ainsi l'image y de x est y = exp, (x); on lit « y égale exponentielle de x ». x_= Logy Donc : y :7 exp, (x) équivaut à 3 y > o 293
FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e I 21 I 2. PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE v o THÉORÈME Quels que soient les réels a et b : exp. (a + b) = axa. (a) x exp. (b) (1) Soit a et b deux réels et c = a + b. olll existe trois réels strictement positifs or, B. y, déterminés de façon unique te s que ' azLoga bzLogfi czLogy c'est-à-dire tels que a = expe (a) (5 = exp. (b) Y = exp. (c) o Puisque c=a+b: Log yzLog oc+LogB Log y = Log a a (209 leçon, ê 3) Y = o: ��6 soit : exp, (c) = exp, (a) . exp, (b). Donc : exp; (à + b) = exp, (a) . exp. (b) l (1) La figure 2 illustre cette propriété. 294
FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e I 21 I 3. CONSÉQUENCES DE LA PROPRIÉTÉ FONDAMENTALE 0 exp. (0) = 1 En efiet. Log 1 : 0 équivaut à exp, (0) : 1 (â 1). e exp <——a> =——1—-— ° exp. (a) En effet : exp, (a).exp, (— a) 2 exp, (a — a) : exp, (0) : 1. Ce qui s'énonce : deux nombres réels opposés ont des exponentielles inverses. 9 Quel que soit l'entier relatif n : exp. (n) = e" et, plus généralement, exp. (na) =—_' [exp. (a)]" En effet : Log [exp, (n)] : Log (e") : n et Log [exp, (na)] : Log [expc (a)]" = na. I 4. NOTATION DÉFINITIVE o Nous venons de démonter que, quel que soit l'entier relatif n, exp, (n) = e". Par suite, la propriété fondamentale (1) n'est, pour a et b, entiers positifs ou négatifs, que la traduction de la formule des exposants : ea-H) Z ea. _ eb Mais la relation exp, (a) . exp, (b) : exp, (a + b) est valable quels que soient aet b réels. D'où la convention : pour tout x réel, on pose exp. (x) = e’ (se lit « e puissance x »). o Avec cette notation, pour tous les réels x et x’ : la définition et les propriétés (ê 3) se traduisent sous la forme : Log(e.')=x eL08Œ=x _e*°=1 Ü 1 F’. ‘r. ‘"7. .=—-. -- = Ë’ �m� 295
FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e l 21 l 5. ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e o DÉFINITION La fonction exponentielle de base e est définie sur 1R et. quel que soit le réel x: e‘ > 0 o DÉRIVABILITÉ Posons f(x) = e‘. Alors f(x + h) — f(x) = eH" — e” : e‘ . e" —— e“ Par suite p : �> : e’. ÎÏF- Et lli-mo p : e’ . llimo i?" Posons e" = u, ce qui équivaut à 2 z  30g u. Donc enhw1 ='Ëog‘ l1], Or �N est, par définition, le nombre dérivé de la fonction Log pour u = 1. Ce nombre dérivé est égal à 1 (cf. 20° leçon). Donc Lim p = e‘. C'est-à—dire : a!) THÉORÈME La fonction exponentielle de base e est égale à sa fonction dérivée. o VARIATION La fonction exponentielle ayant une dérivée positive (strictement) est stricte- ment croissante. o Limite de e‘ quand x tend vers — oc. Soit s: > 0; il existe A tel que eA = e. c'est A : Log e. Et x < A implique e‘ < e. Donc, e’ tend vers 0+ quand x tend vers —— oo ou : llm e‘ = 0+ 3->--fi 296
FONCTION EXPONENTIELLE n: ans: e o Limite de + oo. Soit B e 113+; il existe A tel que eA = B, c'est A : Log B. Et x > A Donc, e‘ tend vers + oo quand x tend vers + oo e’ quand x tend vers implique e‘ > B. OUI |mæ:+œ z-b-f-œ A 6. TABLEAU DE VARIATION I ET REPRÉSENTATION GRAPHIQUE Les résultats précédents sont réunis dans le tableau de variation ci-dessous : wi%%l —t—+—i—+— Fig. 3. On en déduit la représentation graphique cartésienne (P) tracée dans un repère orthonormé (fig. 3). REMARQUES 0 La courbe (F) d'équation y = e‘ est symétrique de la courbe L, d'équation —> à y : Log x par rapport à la bissectrice de (O, i, /). g La tangente à I‘ au point A (0, 1) a pour pente 1. 9 La tangente au point E (1, e) a pour pente e et pour équation :y — e : e(x — 1) soit y : e.x. Elle passe donc par O. 297 21
21-1 21-2 21-3 21-4 21-5 21-6 21 -7 21 -8 298 FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e I 21 I l EXERCICES Simplifier les expressions : 1 et Log 2 L09 e 2 e— 4 Log 3 e- 3 14m2. Log V'e_ Résoudre, dans 1R, les équations : (1) e’“°——e°°—2#0. (2) e”°w6e”+5#0. (3) e" — e-Œ à 8. (5) e“———e"= à p� (4) e'—7+10 e“ é} 0. (6) a3“! — 2 e” —l— eæ“ :3! 0. On désigne par (F) la courbe d'équation y : e“ dans un repère orthonormé xOy. La tangente à (F) au point M d'abscisse x coupe l'axe x’0x en T. d'abscisse x’. Soit M’ le point de (F) d'abscisse x’. Calculer l'aire limitée par le contour mixtiligne TMM'T. Soit (F) la courbe d'équation y: e” dans un repère orthonormé. 1° Construire, dans le même repère. la courbe (F) d'équation y: e". 2° Soit Mg et M’, les points d'abscisse x0 sur (F) et (F’). Les tangentes, à (F) et (F'), en M0 et M’... coupent 0x en T et T’. Démontrer que les tangentes sont perpendiculaires et calculer la longueur TT’ en fonction de x... l2 lLOg fil Soit f l'application de ]R* : 1R — {o} dans 1R telle que f(x) = x e 1° Démontrer que f est impaire. 2° Etudier la fonction f. Construire sa représentation graphique. Etudier les fonctions f et construire leurs représentations graphiques. (n r<x>=x—e* <2) r<x>=xî1- On pose f(x) = e” et g(x) = e-Œ. Comparer g(— x) et f(x). En déduire la représentation graphique de la courbe (C) d'équation y : g(x), la courbe (F) d'équation y : f(x) étant construite. 1° On pose oc(x) : e” et [3(x) : r“. Comparer B(— x) et oc(x). En déduire lim B(x) et lim 6(x). Œ—«>+œ æ——>—-oo 2° On pose f(x) : b” :609 et g(x) : —»—;——Œ(X) Î g(x)- Calculer [f(a)]’ — [g(a)]*. 3° Exprimer f(a) g(b) + f(b) g(a) à l'aide de g(a + b). 4° Exprimer f(2a) et g(2a) à l'aide de f(a) et g(a).
21-1 21-2 i114’? _.‘._:I1“.s ï 21-7 ’m.«s— FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e I INDICATIONS eÆLog2 zeLogî‘ _2l:16 Poser e” :1 avec I > 0. '—t—-2 5% 0 <=> :2. Par exemple (1) <=> ï > 0 I D'où une solution unique x : Log 2. La fonction exponentielle est égale à sa dérivée. Donc une primitive de la fonction exponentielle est `'� Si 0<x<l, f(x):l. Si x21, f(x):x'. (C) et (T) sont symétriques par rapport à. l’axe des ordonnées. 2° Quel que soit le réel a, 4° 30a) = 2f(a).g(a). [f(a)l‘ — [g(a)l' = 1- 299 21
UALGËBRE DES ÉVÈNEMENTS O Les actes de la vie courante sont — aussi indépendants qu’on veuille les concevoir — tributaires de multiples événements. Comment alors prendre une l décision « en toute connaissance »? Il est clair qu’un événement isolé ne sera pas d’un grand intérêt : s’il y a décision à rendre, c’est ue lusieurs événements se résentent ensemble. D’où la nécessité P de dresser l’inventaire exhaustif des événements possibles. Nous allons alors constater la parfaite similitude entre le langage des ensembles (cf. 2e leçon) et le langage des événements. Il en résultera qu’à Palgèbre des parties d’un ensemble (intersection, réunion, complémentaire) (cf. 3° leçon) va correspondre l’algèbre des événements. O Autrement dit, nous allons eflectuer une traduction. Comme dans toute traduction, nous aurons à rédiger des thèmes et des versions : traduire dans le langage des événements des phrases exprimées dans le langage des ensembles (cf. 1T9 partie) et inversement. 0 Dans ce but, nous allons construire un dictionnaire permettant ces tra- ductions. Ainsi vont être mises en correspondance les expressions suivantes : élément d’un ensemble et possible; partie «Plu: ensemble et événement; com- plémentaire d’une partie et événement contraire; ensemble vide et événement impossible; partie pleine et événement certain; réunion de deux parties et évé- nement « ou »; intersection de deux parties et événement « et »; parties dis- jointes et événements incompatibles. l 1. ÉVÉNEMENTS o Étude d'un exemple. 300 Neuf personnes formant un comité décident de voter pour ou contre une certaine décision à prendre. Admettons que tout le monde prenne part au vote et qu'il n'y a ni abstention, ni bulletin blanc. Il est possible de traduire alors, dans le langage des ensembles, des phrases telles que : a) 4 personnes sont pour; b) la majorité est pour; c) 2 personnes au moins sont contre.
UALGÈBRE DES ÉVÉNEMENTS I 22 Comme il y a 10 possibilités différentes de vote, puisque le nombre de voix pour peut varier de 0 à 9. nous considérerons l'ensemble : ‘u. : {o. 1, 2. 3. 4. 5, e, 7, a. 9} Au vote, ou à ce qu'en probabilités on appelle aussi l'épreuve, nous associerons un élément r de "Ila, appelé la réalité, par exemple 4 s'il y a eu effectlvement4 voix pour. Alors les trois phrases ci-dessus peuvent s'écrire à l'aide du symbolisme de la théorie des ensembles (cf. 2‘ leçon) : 4 personnes sont pour <=> r : 4 <=> r e {4} la majorité est pour <=> r > 5 <=> r e {5, 6, 7, 8, 9} g 2 personnes au molns sont contre <=> r g 7 <=> r e “u. — {8, 9} A chacune de ces phrases correspond un sous-ensemble de 11,. Une telle phrase portant le nom d'événement dans le langage courant, il est normal. par analogie, d'appeler événement, le sous-ensemble correspondant de ‘U5. De plus. les divers éléments de “Ila témoignent des diverses possibilités et de toutes les possibilltés; on les appelle possibles. Ceci nous condult naturelle- ment aux définitions sulvantes. DÉFINITIONS 0 Soit ‘Ila un ensemble, appelé univers, et dont les éléments sont appelés les possibles. On appelle événement, tout sous-ensemble de ‘Ila, c'est-à-dire : a est un événement <=> a <= 1b <=> a e Etfllo) en désignant par zîflln) l'ensemble des parties de “U, (cf. 2° leçon). Notons que, dans l'exemple précédent, 4 est un possible mais non un événement. Ce qui correspond à l'événement : « 4 personnes sont pour», c'est {4}, c'est-à-dire l'ensemble réduit au seul élément 4. 9 Parmi les éléments de ‘Lb, un et un seul porte le nom de réalité. On le désigne par r. L'univers “u. est associé à une certaine épreuve, le choix de r dépend du résultat de cette épreuve. 9 Nous dirons alors qu'un événement a est réalisé si r est l'un de ses éléments. Par suite a est réalisé <=> r ea a n'est pas réalisé <=> r ëa ll résulte de ceci que, quel que soit le choix de r: F615 c'est-à-dire que '11, est toujours réalisé; on dit que “lla est l'événement certain ou le certain. r-é z c'est-à-dire que z n'est jamais réalisé; on dit que z est l'événement impossible ou l'impossible. 301
UALGEBRE DES ÉVÉNEMENTS I 2. CLASSIFICATION DES UNIVERS o Univers finis. Si, à propos d'une certaine épreuve, il n'y a qu'un nombre fini de possi- bilités, i'univers correspondant est dit Î fini. ï EXEMPLES fi Un commerçant dispose de 5 unités d'un certain article en stock. A la fin de sa journée, il fait l'inventaire du stock. Les possibles sont les entiers de 0 à 5, suivant qu'il lui reste de O à 5 unités; par suite “Ila = {O, 1, 2, 3, 4, 5}. r = 5 <=> le commerçant n'a rien vendu, Alors le commerçant a vendu au moins 3 unités. I I x a n > r e {0, 1. 2} <=> 9 Montrons sur un second exemple qu'il est possible de considérer des unlvers finls, non numériques. Jean et Pierre passent un concours. A toute possibilité concernant l'issue de ce concours, faisons correspondre un couple (cf. 3' leçon) dont la première pro- jection (ou la seconde) sera A ou R suivant que Jean (ou Pierre) est admis ou refusé. il y a 4 possibilités qui conduisent à l'univers : “Il” ï (AIR)! (RIA)! ��� Dans ces conditions : Jean est admis et Pierre refusé; r = (A,R) <=> r e {(A,A), (A,R)} <=> Jean est admis; r 6'112 — {(R,R)} <=> l'un au moins des deux est admis. o Univers dénombrabies. Chaque fois qu'une épreuve consiste à compter des objets. et qu'il n'y a pas de limite supérieure, alors l'univers peut être assimilé à lN. ensemble des entiers naturels. Nous dirons que i'univers ‘lin est dénombrable s'il existe une bijection entre '11» et IN. Très fréquemment, il y a identité entre ‘Il, et lN. 302 22
UALGEBRE DES ÉVÉNEMENTS EXEMPLE On compte le nombre des voitures se présentant au poste de péage d'une auto- route en une période de 15 minutes. On pose “Un : IN. reîlw-{Ofl} <=> il s'est présenté plus d'une voiture. Si l'on sait qu'il est impossible qu'il passe plus de 1 000 voitures pendant ces 15 minutes, on peut supposer l'univers fini. Mais il est parfois préférable, pour des raisons de commodité mathématique, de considérer l'univers comme Infini. o Univers continus. Si l'épreuve à laquelle est associé l'univers consiste à mesurer une grandeur continue : longueur, masse, temps, etc., à chaque résultat possible corres- pond un nombre réel. L'univers est alors un sous-ensemble de 1R, ensemble des réels. Nous dirons que cet univers est continu si : 0 ‘Ila est un intervalle, ou un segment; ou 9 “Il, est une demi-droite, par exemple l'ensemble des réels positifs; 0U 9 ‘l1- :- 1R. EXEMPLES 0 Dans un bloc de 10 kg d'un certain alliage, on effectue un prélèvement en vue d'analyse. Si m est la masse en kg du morceau prélevé, on pose r = m, alors : m, : [o, 1o]. Par suite : _r e [0, 1] <=> le morceau prélevé pèse au plus 1 kg. g On mesure. en secondes, le temps qui s'écoule entre l'instant où l'on donne à un avion l'ordre d'atterrir et celui où son processus d'atterrissage se termine. Alors “Un est l'ensemble des réels positifs. Il est bien évident que, si l'on se con- tente de mesurer ce temps à une seconde près, et si l'on sait que l'avion ne mettra jamais plus de 10 minutes pour atterrir, alors on pourra considérer l'univers comme fini. l 3. ALGEBRE DES ÉVÉNEMENTS o OPÉRATIONS SUR LES ÉVÉNEMENTS Ayant traduit la notion d'événement dans la théorie des ensembles, l'inter- prétation des symboles logiques (cf. 1re leçon) se fait immédiatement. A chacun des opérateurs : négation, disjonction, conjonction, nous ferons correspondre les opérations de comp/émentation, réunion, intersection. 303
UALGÈBRE DES ÉVÉNEMENTS o Événement contraire. Si a est un événement de l'univers “Ils, l'événement contraire, noté Ë est le complément de a par rapport à ‘Il’, c'est-à-dire Ë: ‘Un —-»a. Dans ces conditions Ë est réalisé <=> ‘a n'est pas réalisé o Événement « ou ». Evénement « et ». Si a et b sont deux événements : a u b sera l'événement u a ou b » a n b sera l'événement u a et b » Alors : K a u b est réalisé <=> a est réalisé ou b est réalisé. ( a Q b est réalisé <=> l'un au moins des deux événements est réalisé. S a 6b est réalisé <=> a est réalisé et b est réalisé. « i a n b est réalisé <=> les deux événements sont réalisés simultanément. o Événements incompatibles. Si a n b = o, l'événement a n b est l'impossible. On dit dans ce cas, que les deux événements sont incompatibles : la réalisation de l'un exclut celle de l'autre. Si a C b, alors la réalisation de a entraîne celle de b. En effet, d'après la définition de l'inclusion : 304
UALGÈBRE DES ÉVÉNEMENTS 22 EXEMPLE Revenons à l'exemple du ê 1. Considérons les deux événements a, b : a : la majorité est pour, dest-à-dire a : {5, 6, 7, 8, 9} b : tout le monde n'est pas du même avis, soit b : {1, 2, 3, 4. 5, 6, 1, 8} Alors : — l'événement contraire de a, dest-à-dire la majorité est contre est : î: 11.—a:{o, 1, 2,3, 4} — l'événement «la majorité est pour. sans qu'il y ait unanimité » sera anb : anb:{5,6,7,8} — l'événement « il y a au moins une personne pour » sera a U b : aub={1,2,3,4,5,6,7,8.9} 9 PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES On vérifiera très facilement (au besoin, en utilisant les diagrammes de Venn) les principales propriétés suivantes : Î=a ÎIË=z aubzbua anbzbna au(buc)=(aub)uc an(bnc)=(anb)nc (1) (aub)ncz(anc)u(bnc) (anb)uc:(auc)n(buc) (aub)nb:b (anb)ub=b auîzîl» anîzz auîlazîla arvllaza auzzza anzzz aubzïnï anbzïwlÎ Ces formules permettent d'effectuer facilement certains calculs d'événements. 305
UALGÈBRE DES ÉVÉNEMENTS EXEMPLES o Simplifier l'événement (a n b) u (n nË) D'après (1) (a n b) U (a nÎ) : a n (b UÎ) puis an(bUÎ):an1l.:a g Simplifier l'événement et = (l u b) n (t U E) n (ÏU b) On obtient successivement : (a u b) n (a UÎ) zau (b n-b) :a u 2: :3 D'où: oc:(aUb)n(aUÎ)n(Ëub):an(Îub) oL=(aflÎ)U(aflb) a=zU(anb)=anb. l 4. SIMPLEXE ET ÉVÉNEMENTS o Événements élémentaires. Si nous jetons un dé, nous pouvons nous intéresser à la valeur du point tiré. Dans ce cas, l'univers sera : ‘Il, : {1, 2, 3. 4,5, 6}. Les événements les plus simples seront de la forme {x} où x est l'un des possibles. On les appellera événements élémentaires. Il peut se faire aussi que l'on ne s'intéresse qu'à la parité du point tiré. Dans ce cas, les deux événements intéressants sont : {1, 3, 5} et {2, 4, 6} Ils constituent une partition de -u. : ‘Il, : {1, 3, 5} U {2, 4, 6} On peut alors considérer un univers plus simple, formé de deux éléments seulement, 0 et 1 par exemple, avec : r : 0 <=> le point tiré est pair, r :1 <=> le point tiré est impair. Les deux événements élémentaires sont alors {O} et {1} à la place des deux ensembles {1, 3, 5} et {2, 4, 6}. Pour simplifier, nous considérerons par la suite, comme événement élé- mentaire, tout événement de la forme {x}, où x est un élément de ‘Il. 306
UALGÈBRE DES ÉVÉNEMENTS o Simplexe. Si ‘Il; est fini et possède n éléments, nous savons que Q0119) est fini et pos- sède 2" éléments (cf. 11° leçon). Nous pouvons construire alors tous les évé- nements de cet univers à l'aide du schéma du simplexe (cf. 8° leçon) : 1° sur la première génération, nous mettrons les événements élémentaires qui constituent une partition de “lia; 2° sur la seconde génération, les événements formés de la réunion de deux événements élémentaires; p° sur la p-ième génération, les événements formés de la réunion de p événements élémentaires. o EXEMPLES 0 Univers a deux éléments. Chaque fois que l'on s'intéresse à la réalisation ou non d'un événement donné a, on considérera un univers formé de deux possibles x et y, tels que : a est réalisé <=> r : x a n'est pas réalisé <=> r = y Si l'on pose a : {x}, les deux seuls événements élémentaires sonta et son contraire Ë: �� On a alors : 3m.) = {rz, a, E m} 9 Univers à trois éléments. On jette deux pièces de monnaie en l'air et l'on compte le nombre de fois où pile apparaît. Les possibles seront FF, FP, PP suivant que pile apparaît 0, 1 ou 2 fois. L'univers possède 3 éléments; il y a donc 8 événements différents qui figurent sur le simplexe de |a figure 1. 307 22
UALGÈBRE pas ÉVÉNEMENTS 22 9 Univers à quatre éléments. Un tel univers est particulièrement intéressant. parce qu'on le rencontre chaque fois que l'on étudie la réalisation simultanée de deux événements. 22-1 308 Reprenons le second exemple d'univers fini donné dans le 5 2. Les deux événe- ments en cause sont Ia réussite ou la non-réussite de Jean et de Pierre à un con- cours. Nous avons vu alors que les possibles étaient au nombre de 4 : ‘1l>={(A.A). (A.R). (RA). (R.R)} Il y a par conséquent 2‘ : 16 événements différents que l'on retrouve sur le simplexe de la figure 2. ll est intéressant de noter, sur le simplexe, la position des événements suivants : Jean est refusé, Pierre est admis Jean est admis 2° génération, premier. l'un au moins des deux est admis 3° génération, premier. Jean est admis ou Pierre est refusé 3° génération, deuxième. 1" génération, troisième, U l I EXERCICES Soit a, b, c, trois événements donnés d'un même univers. Les égalités suivantes sont-elles vraies : (1) (aUb)——c:aU(b—c) (3) aubLTcz-anîn? (2) (a-—b)—c=a—(bUc) (4) (aumuczïnîuc (5) aubuczau(b———[anb)]U[c—(anc)] Dans le cas où certaines égalités sont fausses, peut-on les remplacer par des inclusions? Lesquelles? ‘
22 -2 22-3 22-4 22-5 22-6 UALGÈBRE DES ÉVÉNEMENTS aAb:(a—b)u (b——a). Démontrer que : aAb= (a u b)—(a n b) Démontrer que la réalisation de a A b est équivalente à la réalisation de l'un des deux événements a et b et d'un seul. On pose : Soit l’univers “Ha et les événements a, b, c, suivants : "u.={o,1,2,3,4,5} a:{o,1,2} b:{1,3,5} C :{3} Mettre sous la forme r e X, les phrases suivantes : 1° l'un au moins des trois événements est réalisé; 2° un, et un seul des trois, est réalisé; 3° deux au moins, parmi les trois, sont réalisés; 4° un, au plus, est réalisé. On dit que (a, b, c, d) est un quaterne d'événements si : czaub et dzanb. Démontrer que, si (a, b, c, d) est un quaterne d'événements et e un événement quelconque, alors \(a n e, b n e, c n e, d n e) est encore un quaterne d'événements. Enest-ildemêmede (aue,bue,cue,due) ?de (ËËÎ-c)? On jette une pièce de monnaie en l'air trois fois de suite. Si l'on obtient succes- sivement face, pile, pile, le possible correspondant sera noté FPP. 1° Combien y a-t-il de possibles? (On pourra tracer le diagramme séquentiel correspondant, cf. 11° leçon.) 2° Construire à l'aide des possibles, les événements suivants : a) face apparaît au moins deux fois; b) face apparaît deux fois de suite exactement; c) on n'obtient pas deux fois de suite le même résultat. Dans une enquête par sondage, les résultats de l'interrogatoire de chaque per- sonne sont portés sur une carte perforée. Sur cette carte sont indiqués : le sexe, l'âge (plus de 30 ans ou moins de 30 ans), la réponse à la question posée (oui ou non). On prend une carte. 1° Combien y a-t-il de possibles ? Quel univers peut-on associer à cette épreuve? 2° Exprimer au moyen des possibles, les événements suivants : a) c'est un homme de moins de 30 ans; b) c'est une femme; c) c'est une personne de plus de 30 ans qui a dit oui; d) c'est une personne qui a dit non ou qui a moins de 30 ans. 309 22
310 UALGÈBRE DES ÉVÉNEMENTS Dans le magasin des pièces détachées (d'un garage). il y a, le mercredi matin. 5 pièces d'un certain type. 1° Construire l'arbre représentant l'évolution du stock jusqu'au jeudi soir, sachant qu'il n'y a pas de réapprovisionnement durant cette période. 2° En écrivant chaque possible sous forme d'un couple, dont la première (ou la seconde projection) indique le niveau du stock à la fin du premier jour (ou du second), construire l'univers associé. 3° Exprimer alors les événements suivants : a) jeudi soir, il reste deux pièces en magasin; b) jeudi soir. il reste au plus une pièce; c) jeudi soir, il reste au moins une pièce et mercredi soir. il en restait au plus trois. I INDICATIONS Utiliser des diaèrammes de Venn (cf. 2° leçon) ou des Tables de vérité (cf. l“ leçon) ou les propriétés (â 3). Seule la première égalité est fausse. On la remplacera par une inclusion. Par exemple, exercice (3). Fig. 3-a. En couleur, le complémentaire de a u b u c. Fig. 3-b. Hachures verticales :_a; hachures horizontales : b; hachures obliques z: La région couverte de 3 hachures coïncide avec celle en couleur. 22
es: 1E UALGÈBRE DES ÉVÉNEMENTS Tables de vérité : a b c aUbUc ËUTc Î Î Î En bnË V V V V F F "” F F F V V F V F F F V F F F V V F V V F F F F F F V V V V V V F V V F F V F F V F F V F F V V F F V V V F V F F F F V F V F V F V F *—- Comparez 4 On notera que : un au moins est aubuc deux au moins est (a ñ b) u (b ñ c) u (c ñ a). Si c : a u b, alors Î=—a flÎ, d’où l'inversion dans le dernier quaterne. 1° Il y a 8 possibles, chacun d'eux pourra se noter par trois lettres, la première indi- quant le sexe, la seconde la tranche d’àge et la troisième la réponse. Par exemple : M, F; J, A; 0, N. 2° a) x e {(M, J, o); (M, J, m}. 311
312 AXIOM ES DES PROBABILITËS 0 Dans la leçon précédente, nous avons montré que la traduction du langage des événements était aisée dans le langage des ensembles. Mais cette description, bien que complète, d’un univers de possibles est insuf- fisante pour le but que nous nous étions proposé : pouvoir prendre une décision en toute connaissance. Il s’agit maintenant de classer les possibles, séparer le certain de l’incertain et mieux encore, essayer dbrclonner les incertitudes. Ensuite, il pourra être envisagé de « choisir » ses actes. 0 Il est clair que, pour classer les événements d’un même univers, le plus simple est d’associer à chacun d’eux un nombre. Quel nombre? Comment le définir? A quelles relations doivent satisfaire les nombres choisis? Autant de questions auxquelles répondent les axiomes (ou principes) des probabilités. Bien entendu, nous commencerons par préseryer un exemple dont nous avons une connaissance suffisante, bien quïmparfaite, pour nous permettre de dégager quelques principes qu’il serait souhaitable de poser comme axiomes. 0 Ainsi le plan de cette leçon sera le suivant : — après Pétude d’un exemple, nous probabiliserons les événements d’un même univers en afiîæctant à chacun d’eux un « nombre », sa probabilité; — ces nombres satisferont, par axiomes, à diverses relations. Nous constaterons alors que le modèle construit rend bien compte de nos «impressions intuitives » sur les « degrés de certitude » de chaque événement. O Nous terminerons cette très importante leçon en traitant complètement plu- sieurs exemples.
AXIOMES DES PROBABILITÉS 23 PREMIER AXIOME DES PROBABILITÉS I 1. EXEMPLE o Expérience préalable. Considérons une épreuve aléatoire, c'est-à—dire une épreuve dont le résultat ne peut être prévu à l'avance et que l'on peut répéter un grand nombre de fois. Une des plus commodes à ce point de vue est celle qui consiste à jeter un dé et à noter le « point » apparu. L'univers correspondant est alors : 11.15,2, 3, 4, 5, s} Sur un grand nombre d'épreuves (1 000 par exemple), nous constatons que les événements élémentaires ont sensiblement la même fréquence de réalisation. Par exemple {1} se trouve réalisé à peu près une fois sur six. D'autres événements se trouvent réalisés plus fréquemment. Ainsi {1, 3, 5} (c'est-à-dire le point tiré est impair) est réalisé en moyenne une fois sur deux. o Ce que nous voulons construire. Nous nous proposons d'attacher, à chaque événement d'un univers donné, un nombre posltif : sa probabilité, nombre qui sera d'autant plus grand que l'évé- nement se produira en moyenne plus souvent. Si ce nombre est la fréquence de réalisation, à l'un des événements élémen- 1 talres précédents, on peut attacher la probabilité ë- Dans ces conditions, à un événement qui se réalise nécessairement à chaque épreuve, c'est-à—dire au certain, correspondra une probabilité égale à 1, à l'impossible correspondra une probabilité égale à 0. De plus, si nous considérons deux événements incompatibles tels que {1, 3} et {2} dont les fréquences de réalisation sont respectivement ä et ê, la réunion des deux aura une fréquence de réalisation qui est la somme des deux fréquences 1 1 1 — et a soit ë- La probabilité d'une réunion de deux événements incompatibles 3 6 doit donc être la somme des probabilités des événements composants. Ces considérations nous montrent que les probabilités doivent répondre à un certain nombre de conditions préalables. Ce sont ces conditions qui portent le nom d'axiomes des probabilités. 313 Term. A. - 11.
AXIOMES DES PROBABILITÉS I 2. PROBABILITÉ ET MESURE o Définition d'une probabilité. Soit “Ho un univers et P une application de îflla) dans 112+ : cette application fait donc correspondre à tout événement, un nombre réel positif ou nul (fig. 1). Nous dirons qu'une telle application est une probabilité si les conditions suivantes sont vérifiées o rictficîbzëäjînïrä u P�f ,5 `�\ => âfitlfiÿîi‘. açàîäfäî Nous avons mis en forme les conditions trouvées intuitivement dans le para- graphe précédent, à savoir : a) la probabilité d'un événement est un nombre positif ou nul; b) la probabilité du certain est 1 ; c) la probabilité de la réunion de deux événements incompatibles est la somme des probabilités de ces deux événements. Cette dernière condition porte le nom d'axiome des probabilités totales. 314
AXIOMES pas PROBABILITÉS o Notion de mesure. Il se trouve que de nombreuses applications d'une famille d'ensembles dans 1R + vérifient la dernière des conditions précédentes. Par exemple. si A est un ensemble fini. l'application de :Ï(A) dans IN, qui à tout sous-ensemble de A fait correspondre son nombre cardinal. vérifie (cf. 9° leçon) : Uns: 0�. 9A "en b7: o => Card (a u b) == Card (a) + Card (b) Par définition. toute application m d'une famille d'ensembles. dans 112+ est une mesure si : ' �B, eü/lfifiilflklb e t? a rlb = 0 => m0! u b) = mp3) + m(b) Sur l'ensemble des parties d'un ensemble fini. l'application a e» Card (a) est une mesure. Entrent dans cette catégorie d'applications : les longueurs. les aires. les volumes. Le principe des probabilités totales est donc l'affirmation qu'une probabilité est une mesure sur l'ensemble des événements. Et c'est parce que la proba- bilité est une mesure que nous retrouverons (ê 3) les propriétés communes à toutes les mesures. en particulier à Card (cf. 9° leçon). 3. PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DES PROBABILITÉS o Événements contraires. THÉORÈME La somme des probabilités de deux événements contraires est égale à 1. Si Ë est l'événement contraire de a. alors : a u Ë = “U. et a nÎ = 0. Appliquons à (a u Ë). l'axiome des probabilités totales : P(a u 5 = P(a) + P(a_) = P('1l«) =1 Donc : atïr=i —1- P1!) En particulier 0 : ‘Î... donc Hg); o 315 23
AXIOMES DES PROBABILITÉS o Extension de la formule des probabilités totales. Si a, b, c sont trois événements incompatibles deux à deux, alors : "P(a u a u e) _'=.p(. u b)»+ P(c) - ' i‘ Pli!) + P(b) + Plc) ll suffit pour cela de remarquer que : anc=0 et bnc:0=>(aub)nc=0. Cette formule s'étend facilement à une réunion, en nombre flni quelconque, d'événements, à condition que les événements solent incompatibles deux à deux. o Probabilité d'une réunion. Soient a et b deux événements quelconques, non nécessairement incompatibles. La réu- nion des deux événements peut se mettre sous la forme d'une réunion de trois événe- ments incompatibles deux à deux (fig. 2) : aub=(a—b)u(anb)u(b—a) Fig. 2. THÉORÈME. Quels que soient les événements a et b : P(a U b) = P(a) + P(b) —- P(a n b) D'après la formule précédente : P(au b) = P(a——b) + P(an b) + P(b— a). D'autre part a:(a—b)u(anb) et b=(b—a)u(anb) Ceci nous permet d'évaluer les probabilités de (a ——b) et de (b— a) en fonction des probabilités de a, de b et de (a u b) : P(a — b) = P(a) — P(a n b) P(b —a) = P(b) — P(a n b) En reportant dans la formule donnant P(a u b), on obtient le résultat. 316
AXIOMES DES PROBABILITÉS REMARQUES (j Il est possible de rapprocher cette formule de celle qui a été établie à propos des cardinaux d'ensembles flnis (ct. 9° leçon) : Card (a u b) + Card (a n b) : Card (a) + Card (b) Cette formule est valable pour toutes les mesures. 0 Dans le cas où les événements sont incompatibles, P (a n b): 0 et l'on retrouve l'axiome des probabilités totales. 9 Cas de a C b. Si a et b sont deux événements tels que a C b, alors : b=au(b—a) et an(b—a):z L'axiome des probabilités totales s'écrit : P(b) = Fia) + P(b — a) Puisque P(b —a) z 0, on en déduit : P (a) S P(b), d'où le théorème : u c b => en); P(b) si la réalisation de a entraîne celle de b, la probabilité de a est au plus égale à celle de b. Ce qui s'énonce : l 4. PROBABILITÉ SUR UN UNIVERS FINI o Construction d'une probabilité. Soit ‘u. = {xu x,, ..., x,,} un univers fini dont les événements élémentaires seront notés a,-, avec a,- = {n}. Pour définir une probabilité sur îÿuq), il faut évidemment connaître les proba- bilités attachées aux événements élémentaires. Posons : P(a,-) = p,- Tous les événements élémentaires sont incompatibles deux à deux. De plus, leur réunion est ‘u. : ‘lllzaluaua, .... ..ua,, 317 23
AXIOMES DES PROBABILITÉS Il en résulte que : P631) + Pläz) + p�� + P(an) = W115) = 1 Pi = Phi) 5 71 ZPi=1 1:1 Les nombres p, devront donc être des nombres positifs, dont la somme est 1. Alors, tout événement étant la réunion d'événements élémentaires, sa pro- babilité sera la somme des probabilités des événements composants. Si, par exemple : b : a, u a2 u a3, alors : PU’) z P1 +P2 +P3 ce que l'on note encore, en posant o Événements équiprobables. Un cas particulier simple de probabilité sur un univers fini est obtenu en attribuant à chaque événement élémentaire, la même probabilité. On dit alors que les événements sont équiprobables. S'il y a n événements élémentaires, alors la probabilité de chacun d'eux estg- Ce cas se présente lorsqu'il n'y a aucune raison d'attribuer a priori des pro- babilités différentes aux événements élémentaires. EXEMPLE On jette un dé : toutes les faces ont théoriquement la même probabilité de sortie, 1 qui est 8- On est bien en accord avec la notlon expérimentale de fréquence. o Choix au. hasard. Il faut rapprocher de la notion d'événements équiprobables celle de choix au hasard. Lorsque l'on choisit un élément dans un ensemble fini, on exprime le fait que tous les éléments ont la même probabilité d'être choisis, en disant que le choix est fait au hasard. EXEMPLES 1 Q On choisit au hasard un entier de 0 à 9. La probabilité de choisir 3 est 1° g On choisit au hasard une carte dans un jeu de 32. La probabilité de tirer l'as 1 d t-——- e cœur es 32 318 23
AXIOMES DES PROBABILITÉS o Conséquence. Dans le cas des événements élémentaires équiprobables, et uniquement dans ce cas, une règle simple permet d'obtenir la probabilité d'un événement quelconque : s'il y a n possibles et si p d'entre eux sont favorables à la réalisation de a, alors : P(a) = f et l ‘évé- En effet, chaque événement élémentaire a une probabilité égale à 1; nement a est formé de p possibles. On retrouve ainsi une définition courante, mais de laquelle il faut se méfier car elle risque de conduire à des erreurs : _ Nombre des cas favorables ma) — Nombre total des cas possibles I 5. ÉTUDE D'UN EXEMPLE 1° Les données du problème. On demande à 250 personnes, 50 cadres et 200 employés d'une entreprise, si elles sont favorables ou non à la journée continue. Le dépouillement des réponses montre que 30 cadres et 80 employés sont favorables, les autres personnes étant contre. Parmi les 250 cartes contenant les réponses, on en choisit une au hasard. Il y a 4 possibles que l'on notera CF, CN, EF, EN, suivant qu'il s'agira d'un cadre favorable ou non, d'un employé favorable ou non, à la journée continue. Sur les 250 choix possibles équiprobables, 30 conduisent au tirage de la carte d'un cadre dont la réponse est favorable. La probabilité d'un tel tirage est donc : 30 à : ,12. 250 o On trouve de même pour les trois autres cas, respectivement : 20 __ 80 _ o 120 a ' 250 1% _ °’°8 250 z ‘M8 Si nous posons “Il. : {CF, CN, EF, EN}, alors les considérations précédentes permettent de définir une probabilité sur 9617). Nous nous proposons de cons- truire systématiquement toutes Ies probabilités des événements de cet univers. 319 23
AXIOMES DES PROBABILITÉS 2° Probabilisation par le simplexe. o L'univers étant à 4 éléments, tous les événements, au nombre de 16, peuvent se représenter sur un simpiexe S. (fig. 3). A côté de chaque événement figure sa probabilité; en particulier, sur la première génération figurent les 4 nombres trouvés précédemment. Fig. 3. o Pour un événement quelconque, ia probabilité est la somme des probabilités des événements élémentaires dont il est la réunion. Par exemple : P({CF, CN, EN}) : 0,12 + 0.08 + 0,48 = 0,68 o La détermination de toutes ces probabilités peut se faire suivant une règle simple. A chacun des événements élémentaires correspond sur le simplexe un vecteur. A chacun de ces vecteurs nous attacherons un nombre : la probabilité de l'événement élémentaire correspondant. Si a est un événement quelconque, on va de z à a sur le simpiexe en suivant un trajet formé de la somme de plusieurs vecteurs. La probabilité de a est alors la somme des nombres attachés aux vecteurs constituant ie trajet. 3° Recherche de quelques probabilités. 320 Soient a et b les deux événements suivants : â a : la personne interrogée est un cadre; g b : la personne interrogée est favorable à la journée continue. Alors : a = {on CN} et b = {on EF}, avec : P (a) : 0,20 et P(b) = 0,44 Par suite : P(a n b): P({CF}) : 0,12 Donc P(a u b) = P(a) + P(b) — P(a n b) : 0,20 + 0,44 —- 0,12 1' 0,52. 23
AXIOMES DES PROBABILITÉS 23 SECOND AXIOME DES PROBABILITÉS l 6, PROBABILITÉS CONDITIONNELLES . ÉNONCÉ DE L'AXIOME Soit deux événements a et b. La réalisation de a est un supplément d'infor- mation qui peut modifier ou non la probabilité de b. Nous appellerons alors probabilité conditionnelle de b sous l'hypothèse aë îué sachant a, la probabilité de réalisation de b lorsque l'on sait que a est r ais . Cette probabilité sera notée : Pa(b) ou P(b/a). Le second axiome fondamental du calcul des probabilités est le suivant, appelé axiome des probabilités conditionnelles : si P(a) 96 0 alors P..(b) = L'axiome des probabilités conditionnelles peut s'écrire sous la forme sui- vante : P(a n b) : P(a) . P.,(b). Par raison de symétrie, on a également : P(a n b) z P(a) . P,,(b) = P(b) . P,,(a). EXEMPLE Revenons au problème étudié dans le paragraphe précédent, avec les deux évé- nements : a : la personne interrogée est un cadre; b : la personne est favorable à la journée continue. Choisissons une carte au hasard dans l'ensemble des 250. Nous savons que : P(b) : 0,44. Supposons de plus que a soit réalisé. Alors : __ P(a n b) _ 0.12 Pa(b) _ —P(T _ n; : 0,60. Ce résultat s'obtient d'ailleurs facilement dans ce cas. On sait que a est réalisé, donc le tirage s'est fait parmi les 50 cartes correspondant aux 50 cadres. Comme 30 d'entre eux sont favorables, la probabilité de choisir une personne ayant cette opinion est 2% : 0,6. 321
AXIOMES DES PROBABILITÉS o PROPRIÉTÉS Soit P une probabilité définie sur 501L) et a un événement de probabilité non nulle. Définissons une nouvelle application de :t'(‘ll«) dans 112+. applica- tion notée P,, et telle que : h , "« _ P(a n b) b e .1'(1l«) —e+ P,,(b) _ »WFÎÎ) Posons-nous la question : Pu est-e//e encore une probabilité? Pour répondre, il suffit de vérifier que les deux conditions de la définition (5 2) sont remplies. P(a n 11a) _ P (a) 1° P,.(’ll«) =.1 ? En effet : P.,('Il«) = »W _ Œ : 1. 2° Si b n c_= = 0, a-t-on P.(b u c) = P.(b) + P,(c) ? Or ar‘\(buc)=(anb)u(anc) et par suite : P,.(b u c) .— P—(‘Ï.”P((â)5’—°” : Î%Ë + ïäæ Puisque b n c : 0 implique (a n b) n (a n c) : Q), alors P(a n (b U c)) : P(a n b) + P(a n c) Donc : P.,(b u c) : P.,(b) + P,,(c). ll en résulte que P,. est bien une probabilité (5 2). EXEMPLE Dans un jeu de 32 cartes, on tlre au hasard deux cartes. Quelle est la pro- babilité pour que les deux cartes soient des as? j a : la première carte tirée est un as; son les événements a et b _ b : la seconde carte tirée est un as. 4 Alors :P(a) = au La première carte tirée étant un as. il reste pour le second tirage 31 cartes dont 3 sont des as. Donc : 3 4 - 3 3 — à : e ' z 4 æ 12. et P(a n b) 32 _ 31 sont P(a n b) 248 0,0 Pa(b) — 31 322 23
AXIOMES DES PROBABILITÉS I 7. INDEPENDANCE EN PROBABILITE o Cas de deux événements. Soit P une probabilité définie sur i'('1l») et a, b deux événements quelconques. ll peut se faire que la réalisation de a ne modifie en rien la probabilité de b. Nous dirons alors que. relativement à cette probabilité. b est indépendant de a. Dans ces conditions : "L". b) —P(a)—- <=> P(a n b) = P(a)-P(b) P(b) = P.(b) = Il en résulte immédiatement l'indépendance de a par rapport à b. P(a n b) _ En efiet : P(a) : ÎË- — P,(a). Nous dirons alors que les deux événements a et b sont indépendants. Donc : a et b sont indépendants <=> P(a n b) = P(a) - P(b). EXEMPLE Revenons encore au problème étudié au paragraphe précédent. Nous avons vu que les deux événements : ê a : la personne interrogée est un cadre; 5 b : la personne interrogée est favorable à la journée continue; n'étaient pas Indépendants puisque P(b) a6 Pa(b). combien doit-il y avoir d'employés favorables à la journée continue pour que les deux événements soient indépendants? 0 Soit n ce nombre. Alors : P(b) : 3 + n 250 Pulsque Pa(b) est inchangé : 30 a et b sont indépendants <=> 0,60 = ä: Donc n = 120 Dans les deux catégories, les proportions de personnes pour ou contre la journée continue sont les mêmes. 323
AXIOMES DES PROBABILITÉS 23 o Cas général. Dans le cas de plus de deux événements, on dit qu'ils sont indépendants, si l'intersection d'un‘ nombre quelconque d'entre eux a une probabilité égale au produit des probabilités de chacun d'eux. Par exemple, trois événements a, b et c sont indépendants si : P(a n b) = P(a) - P(b) P(b n c) = P(b) - P(c) ‘ P(c n a) = P(c) - P(a) P(a n b n c) = P(a) v P(b) - P(c) l 8. SCHÉMAS DE TIRAGES PROBABILISTES 1° Définition. o On a souvent besoin, en Statistique, de prélever au hasard un échantillon dans une population donnée. Pour obtenir cet échantillon. deux méthodes sont possibles : — On prélève l'échantillon en bloc, ou, ce qui revient au même, on choisit les éléments successivement, de telle sorte qu'un élément choisi ne participe plus aux tirages ultérieurs. — On choisit successivement chaque élément dans la totalité de la population, ce qui fait qu'un élément peut être choisi plusieurs fois. o ll est possible de schématiser des tirages de la façon suivante : la population est assimilée à un ensemble de boules contenues dans une urne. Le prélèvement de l'échantillon se fait alors de l'une ou l'autre des deux manières suivantes, — Tirages sans remise, ou exhaustifs. Les boules sont tirées en bloc ou les unes après les autres, sans remise dans l'urne après tirage. — Tirages avec remlse, ou bernoullien. Les boules sont extraites de l'urne les unes après les autres, chaque boule tirée étant remise dans l'urne après le tirage. et participant de cette façon aux tirages suivants. o Dans les deux cas. on suppose la population partagée en deux catégories. Si N est le nombre total de boules, les effectifs de chacune des deux catégories seront N, et N, avec N1 + N, : N On se propose alors d'évaluer, suivant la nature du tirage, la probabilité d'obtenir un échantillon de composition donnée. Sachant que l'échantillon est de taille n, on désignera par P(n,, "g, la probabilité d'obtenir un échantil- lon renfermant n, boules de la première catégorie et n, boules de la seconde (avec n, + n, = n). 324
AXIOMES DES PROBABILITÉS 2° Tirages exhaustifs. o Dans le cas des tirages exhaustifs, on a nécessairement : n, < N, et ng â N, ce qui entraîne n < N. o On suppose que les tirages des échantillons de même taille n son! équiprobables (choix au hasard). Le nombre total d'échantillons de taille n est C", nombre de combinaisons de n éléments pris parmi N (cf. 119 leçon). Par ailleurs, le nombre des échan- tillons ayant la même composition (n,, n,) est : C35; - C33; ll en résulte la formule des tirages exhaustifs : C": _ c") P971. n!) = ��s Cm EXEMPLE On extrait 3 cartes d'un ieu de 32. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 2 as? La probabilité d'avoir « exactement » 2 as est : g, - Cg, _ 42 _ äg _ 1 240 Celle d'avoir 3 as est : ï _ 1 Câz — 1240 ll en résulte (ê 2) que la probabilité d'avoir au moins 2 as est : 1 , 42 43 1240 '* Täîo ‘1240 3° Tirages bernoulliens. o Dans le cas des tirages bernoulliens, il n'y a aucune limite concernant la taille de l'échantillon ou sa composition. On suppose seulement qu'à chaque tirage la probabilité de tirer une boule est constante et que, de plus, les tirages sont mutuellement indépendants. Dans ces conditions, la probabilité de tirer une boule de la première catégorie et latprobabilité de tirer une boule de la deuxième catégorie sont respective- men - N p=—'Α et 325 23
AXIOMES DES PROBABILITES I 23 o Désignons par a, et b, les événements suivants : a,, : « la nieme boule tirée est de la première catégorie »; b, : « la nieme boule tirée est de la deuxième catégorie ». â Alors. quel que soit le rang n du tirage : P(an) = p et P(b,.) = q o De plus, l'indépendance des tirages se traduit par le faitque la probabilité d'obtenir une suite donnée de résultats est égale au produit des probabilités des tirages correspondants. Parexemple: Pœnnbanbanmnas.)=p-q-q-p-p=p’vq' Il résulte de ceci que. tous les échantillons de taille n, ayant la même composition (n. boules de la première catégorie, n, boules de la seconde) ont la même probabilité de tirage. à savoir : p“: . q“! quel que soit l'ordre dans lequel les boules ont été obtenues. Or le nombre de façons différentes d'arriver à un échantillon ayant la même composition (m, nz) est égal au nombre de façons de choisir n, éléments parmi n (n = n, —l— nz). Par conséquent, la probabilité d'obtenir k boules de la première catégorie dans un échantillon de taille n est : 'P(k, n-èk) =Cäp*.q“—"‘ΗΠI l 9. EXERCICES RÉSOLUS o PREMIER EXEMPLE Dans une classe, il y a 30 élèves : 20 apprennent l'anglais, 12 l'espagnol et 6 les deux langues. On choisit au hasard un élève dans la classe. Soient a et b les deux événements suivants : a : l'élève choisi apprend l'anglais, b : l'élève choisi apprend l'espagnol. 1° Déterminer les probabilités des événements suivants : a b anb aub Îub 326
AXIOMES DES PROBABILITËS 23 2° Calculer les probabilités conditionnelles suivantes : Pa(b) PaU b(b) F’; (a)- fl Pour les trois premières probabilités, on obtient immédiatement : 20 2 12 2 6 1 " —v P(b) Z va — et P(a fi b) 2 �5X : `�T P(a) — 3o z 5 “î6”3 On en déduit alors (ê 3) : P(a U b) = P(a) + P(b) —— P(a n b): Ë Pour calculer la probabilité de Îu b on peut d'abord chercher celle de l'évé- nement contraire qui est a n b. ll y a évidemment 20-6 :14 élèves qui apprennent l'anglais sans apprendre l'espagnol, donc : P(anb) 71%.: et P(aub):1—P(anÎ)):—1%- g Les probabilités conditionnelles se calculent en utilisant la formule : P(anb) P b :———l a() P(a) i’ 1 2 3 î Pu“) =ëfiä=iî ___ PM: _P(aub)nb)_ P(b) __2\15_6 °°“- gpaumr maŒî-aæîra E"E È __P(anb) 7 3 7 à’ P;(a)—{_—*=î*-Zä:—g—- î P(b) o DEUXIÈME EXEMPLE. Une étude de marché faite par un constructeur d'automobiles montre que, sur 100 personnes désireuses de changer de voiture dans l'année, 20 possèdent déjà une voiture de sa marque. Sur 100 personnes possédant une voiture de la marque, 40 désirent changer de marque. Sur 100 personnes ne possédant pas de voiture de cette marque, 15 désirent en acheter une. a Quelle est la probabilité pour qu'une personne désirant changer de voiture. achète une voiture de la marque ? g Quelle est la probabilité pour qu'une personne qui vient d'acheter une voiture de la marque l'ait changée contre une voiture de marque différente? — Désignons par a et b les deux événements suivants : g a : « la personne possède déjà une voiture de la marque »; È b : « la personne achète une voiture de la marque ». Nous connaissons : P(a) : 0,20 Pa(b) : 0,6 et P;,(b) : 0,15. 327
AXIOMES DES PROBABILITES — Nous nous proposons de calculer P(b) et P,,(a). Nous pouvons pour cela nous servir de l'arbre traduisant les diverses possibilités (fi. 4) sur lequel figurent les probabilités correspondantes. La probabilité de l'événement correspon- dant à l'un des trajets sur l'arbre est le produit des probabilités rencontrées sur le trajet. Par exemple, le trajet figuré en trait dou- ble correspond à a n b : « la personne possède une voiture de la marque et la change contre une voiture de la même marque ». Sur le trajet figurent les pro- babilités : P(a) = 0,2 et Pa(b) = 0,6 — Calcul de P(b). P(a n b): P(a).Pa(b) = 0,2 x 0,6 = 0,12 Puisque b : (a n b) u (ä n b), on en déduit : P(b) z 0,12 + 0,12 : 0,24. —Calcul de 9,6). Cette probabilité est donnée par la formule : p.0) = ��- P(b n E) : P(ä n b) = 0,12. 0,12 _ 0,24 — Sur la figure 4, on a : Donc : P,,(a) : 0,5. o TROISIÈME EXEMPLE. 328 Dans un atelier fonctionnent 10 machines identiques. La probabilité pour que l'une quelconque d'entre elles tombe en panne dans la journée est 0,1. Les pannes étant indépendantes les unes des autres, déterminer les probabilités des événements suivants : Q Aucune panne ne s'est produite dans la journée,‘ 9 Il s'est produit au molns une panne ,' Q Il s'est produit exactement une panne; 9 Il s'est produit exactement deux pannes; 0 Il s'est produit deux pannes sachant qu'il y en a eu au moins une. 23
23-1 AXIOMES DES PROBABILITÉS — On notera au préalable que les formules donnant les probabilités des événe- ments suivants «il s'est produit exactement k pannes dans la journée » sont celles des tirages bernoulliens. En effet, si l'on choisitkmachines, la probabilité pour qu'elles tombent toutes en panne, les autres fonctionnant correctement est: (0.1)‘ - (0.9)'°"‘- Comme il y a Cä, façons différentes de choisir k machines parmi 10, la probabi- lité de l'événement considéré est : Cf0.(0,1)".(0,9)'°“‘. ll en résulte que : a Aucune panne ne s'est produite : probabilité : C30. (0, 9)" : 0,356 g Il s'est produit au moins une panne, événement contraire du précédent : probablllté = 1 — 0,356 = 0,644 9 Il s'est produit exactement une panne : probabilité : C20 . (0 .1). (0,9)" z 0,385 a Il s'est produit exactement deux pannes : probabllité : CL, .(0,1)’. (0,9)3 : 0,192 g Il s'est produit exactement deux pannes sachant qu'il y en a eu au moins une. P(a n b)_ PIN?) ï PU’) Si a est le premier des événements et b le second : Or, la réalisation de a entraîne celle de b, donc : a C b et a n b : a _ __ P(a) _ 0,192 _ Par conséquent . P,,(a) _ fi __ 0'644 .. 0,335. I EXERCICES On jette deux dés. Déterminer les probabilités des événements suivants : 1° la somme des points obtenus est strictement inférieure à 8; 2° la somme des points obtenus est divisible par 3; 3° la somme des points obtenus est strictement inférieure à 8 et divisible par 3; 4° la somme des points obtenus est strictement inférieure à 8 ou divisible par 3. 329 23
23-2 23-3 23-4 23-5 330 AXIOMES pas PROBABILITÉS On jette trois dés A, B, C. Si a, b, c, sont respectivement ies points obtenus sur chaque dé. on forme l'équation : ax‘+bx+c #0. Déterminer les probabilités des événements suivants : t° —t est racine de l'équation; 2° les deux racines sont entières; 3° les deux racines sont rationnelles; 4° les deux racines sont réelles. Comparer a priori ces trois dernières probabilités. On donne deux événements a et b tels que : P(a) : 0,6 Calculer P(a u b) dans les trois cas suivants : 1° a et b sont incompatibles; 2° la réalisation de b entraine celle de a; 3° a et b sont indépendants. Soient deux événementsa etbtels que: P(a u b) : 0,8 et 1° Entre quelles limites peut varier P(a)? et P(b) = 0,4. P(a n b): 0,t5. 2° Calculer P(a) et P(b) si les deux événements sont indépendants. On interroge tOO personnes réparties - @�e en trois catégories i, il et lil. Les ‘f’. t5 réponses à la question posée sont : ' '25- ��f t0 5 satisfait, mécontent ou indifférent. Les résultats de l'enquête sont portés dans ie tableau ci-contre. On choisit au hasard une personne parmi les 100. Si X est la personne choisie, déterminer les probabilités des événements suivants : 1° X e i ; 2° X est satisfait; 3° X e li et X n'est pas satisfait; 4° X e il sachant que X est mécontent; 5° X est mécontent sachant qu'il n'est pas satisfait et qu'il n'appartient pas à la première catégorie; 6° X e i ou n'est pas indifférent. 23
23-8 AXIOMES DES PROBABILITÉS Soit trois événements a, b, c, et une probabilité P telle que : P(a) : 0,4 P(b) : 0,5 P(c) : 0,7 P(b n c) : 0,3 P(c n a) : 0,2 P(a n b) : 0,2 P(a n b n c) :0,1. 1° A l‘aide d'un diagramme de Venn, déterminer les probabilités de tous les événements de la forme i n j n k où i, j, k sont respectivement a ou a, b ou b, c ou c. 2° Déterminer les probabilités des événements suivants : a) a u b U c (c‘est-à-dire l'un au moins des événements est réalisé); b) (a n b) u (b n c) u (c n a) (c’est—à-dire deux des événements au moins sont réalisés). 3° Déterminer les probabilités conditionnelles suivantes : a) P,,(b u c); b) PŒUWC (a n b n c). A |’issue d'un sondage statistique portant sur le nombre de lecteurs de trois revues A, B, C, on constate que, sur les personnes interrogées : 45 % lisent A 45 % lisent B 35 % lisent C 15 % lisent A et B 10 % lisent B et C 15 % lisent C et A 5 % lisent A, B et C. On choisit au hasard une personne X parmi les personnes interrogées. Déterminer les probabilités des événements suivants : 1° X ne lit aucune revue; 2° X lit exactement 2 revues; 3° X lit A mais ne lit pas C; 4° X lit A sachant qu'il lit déjà une autre revue; 5° X lit les trois revues, sachant qu'il en lit au moins une. Dans un jeu de 32 cartes, on choisit au hasard 4 cartes (tirage sans remise). Déterminer les probabilités des événements suivants: 1° l’une des cartes au moins est un as; 2° 3 cartes au plus sont des as; 3° les 4 cartes sont de même couleur; 4° il n'y a pas 2 cartes de même couleur; 5° les 4 cartes ont la même valeur; 6° il n‘y a pas 2 cartes ayant la même valeur; 7° les 4 cartes ont des couleurs différentes et des valeurs difiérentes. 331
23-10 23-11 23-12 23-13 332 AXIOMES DES PROBABILITÉS Dans une urne, il y a 10 boules portant les numéros de1 à 10. On extrait au hasard deux boules de l'urne et l'on pose : X = le plus grand des nombres portés par les deux boules. En envisageant successivement le cas des tirages avec ou sans remise, évaluer les probabilités des événements suivants : 1° Xéô, X<5, puis X=6; 2° X < 6 sachant que l'une des boules porte le numéro 1. Dans un lac il y a N poissons. On en pêche 100 que l'on marque et rejetteàl'eau. Quelques jours après, on pêche de nouveau 100 poissons. Soit a l'événement « sur les 100 poissons pêchés, 10 sont marqués ». 1° Calculer, en utilisant les formules des tirages sans remise, la probabilité P,(a), sachant qu'il y a N poissons dans le lac. PNŒ) c l l _—— a cu er PNJl-l (a) Comparer ce nombre à 1. 3° Déduire de ce qui précède que P,ç(a) passe par un maximum lorsque N croît de 100 à l'infini. Pour quelle valeur de N ce maximum est-il atteint? (Estimation du nombre de poissons dans le lac par la méthode du maximum de vraisemblance.) Jean, Pierre et Paul sont des chasseurs d'adresse difiérente. Jean, le meilleur des trois, touche son gibier 7 fois sur 10, Pierre 5 fois et Paul, qui est myope et malchanceux, une fois seulement sur 10. Les trois chasseurs partent ensemble et tirent ensemble sur le même lapin. Déterminer les probabilltés des événements suivants : 1° le lapin est touché; 2° le lapin est touché, mais Paul l'a raté; 3°_ Paul est le seul à avoir touché le lapin; 4° le lapin est touché, sachant que Paul l'a raté. Nota : on supposera que les résultats des trois chasseurs sont Indépendants les uns des autres. On considère deux lots de pièces fabriquées. L'un L, renferme 1 % de pièces défectueuses, l'autre L2 en renferme 5 %. On choisit l'un des deux lots (choix équiprobable). Dans le lot choisi, on procède au tirage d'une pièce. 1° Construire « l'arbre » donnant les diverses possibilités avec les probabilités correspondantes. 2° Utiliser cet « arbre» pour déterminer les probabilités des événements suivants: a) la pièce est bonne, b) le lot choisi est L,, sachant que la pièce tirée est bonne. On réceptionne un lot de pièces fabriquées. On procède pour cela au test sta- tistique suivant : on prélève au hasard 10 pièces (tirage bernoullien). Si les 10 pièces sont bonnes, le lot est accepté. S'il y a 2 pièces ou plus défec- tueuses, le lot est refusé. 23
23-14 23-15 AXIOMES DES PROBABILITÉS Si le premier échantillon possède exactement une pièce défectueuse, on procède au tirage d'un second échantillon de même taille. Si les 10 pièces sont bonnes, le lot est accepté, sinon il est refusé. 1° Construire «l'arbre» donnant les diverses possibilités. En supposant la pro- portion des pièces défectueuses égale à p, marquer toutes les probabilités sur l'arbre. 2° Calculer, en fonction de p, les probabilités d'accepter ou de refuser le lot. Calculer à 1 millième près ces deux probabilités si : p : 0,05 p : 0,10 p : 0,20. Pour la préparation d'un examen, un candidat apprend un certain nombre de questions. L'examen se passe de la façon suivante : on pose 4 questions au candidat, celui—ci a le choix entre 4 réponses pour chacune des questions, une seule étant la bonne. Le candidat est reçu s'il donne au moins 3 réponses exactes, sinon il est ajourné. 1° Si le candidat connaît la réponse, la probabilité pour qu'il réponde exactement est 1, sinon cette probabilité est 0,25. En désignant par p la probabilité pour que, une question lui étant posée, le candidat connaisse la réponse, évaluer en fonc- tion de p la probabilité pour que le candidat réponde exactement à une question posée. 2° Calculer, en fonction de p, la probabilité pour que le candidat réponde exac- tement à 4 questions; à 3 questions. En déduire la probabilité pour que le candidat solt reçu. 3° Calculer à 0,01 près cette dernière probabilité si : a) p : 0 : c'est-à-dire le candidat ne sait rien, b) p:0,5 : c'est—à-dire le candidat connaît la moitié du programme, c) p : 0,9 : c'est-à-dire le candidat a négligé une question sur 10. Nota : on supposera l'indépendance entre les réponses aux diverses uestions. q Dans un pays, les relevés météorologiques montrent que, s'il fait beau un jour, la probabilité pour qu'il fasse beau le lendemain est 0,8 et pour qu'il pleuve 0,2. Par contre, s'il pleut, il fait beau le lendemain avec une probabilité égale à 0,4, et il pleut avec une probabilité 0,6. 1° Construire les deux arbres donnant les diverses évolutions possibles du temps pendant 3 jours consécutifs à partir d'une journée de beau temps et à partir d'une journée de pluie. 2° Utiliser ces deux arbres pour déterminer les probabilités des événements suivants : a : « il fera beau dimanche, sachant que l'on est jeudi et qu'il pleut »; b : « il y aura au moins unejournée de pluie avant mercredi, sachant que l'on est dimanche et qu'il fait beau ». 3° Un voyageur quitte le pays un mardi sous la pluie et revient le vendredi par beau temps. Quelles sont pour iui les probabilités des événements suivants : a : « il a fait beau mercredi et jeudi »; b : « il a plu mercredi ». 333 23
334 AXIOMES DES PROBABILITÉS I INDICATIONS o Bernoulli. Illustre famille de mathématiciens, astronomes et physiciens suisses, dont les plus célèbres sont : Jacques I (1654-1705) qui développa 1e calcul difiérentiel et intégral au-delà du niveau où Pavaient laissé Newton et Leibniz; mais ses travaux essentiels sont relatifs à la théorie des probabilités. Jean I (1667-1748), frère de Jacques, qui contribua à répandre le calcul diflérentiel et intégral en Europe. Daniel (1700-1782), fils de Jean, a été appelé le fondateur de la physique mathématique (théorie des cordes vibrantes, du mouvement des fluides, ...). En mathématiques, ses travaux portèrent sur le calcul des probabilités. L'univers est le produit cartésien E >< E avec E : {1, 2, 3. 4, s, 6}. l1 est schématisé figure 5. 1° Les couples situés « au-dessus » du double trait, au nombre de 2l, cor- respondent à Pévénement considéré. D'où la probabilité a de l'événement « somme des points strictement inférieure à 8 » : 21 2 , p :3—6ou 7 soit p æ 0,583. F _ 1g. J. L’univers est EXEXE 1° (—1) racine <=> a—b+c:0<=>b:a+c. 2°, 3°, 4° Pour la comparaison a priori. chercher des implications logiques entre les divers événements. avec C1‘. â 2 et ê 6. 1° Utiliser P(a n b) S P(a) S P(a U b). 2° Le problème équivaut à trouver deux nombres, connaissant leur somme et leur produit. 1°, 2°, 3° Immédiat à l'aide du tableau. 50 Exemple: P(satisfait) : Îo-d : 0,5. 10 p n Mé . W 4° PMec (n) = Lïl = e : l. P(Méc.) 30 3 100 23
23-6 ' 23.12 23-13 23-14 AXIOMES DES PROBABILITÉS 1° Puisque Pmnbnc) : 0,1 et P(bflv) : 0,3, la probabilité de l'évé- nement « représenté par les hachures verticales » (fig. 6) est 0,2. Cet événement est anbnc. P (anbnr) : 0,2. _ On obtient de même Pûznbnc) et Pmnbnc) (hachures horizontales et hachures obliques). On calcule ensuite Waflîneî (zone (K pointillée »). Donc Fig. 6. On pourra remarquer que (a U b U c) n (a n b n c) : a n b n c. Même méthode qu’à l'exercice 23-6. Pour déterminer la probabilité de choisir 4 cartes de valeurs différentes, on pourra procéder de la façon suivante : — La première carte étant tirée, pour que la seconde soit de valeur différente, il faut la choisir parmi 28 : I‘ a Il Ï î! b une 28 p ° 31 — Les deux premières cartes étant alors tirées et de valeurs différentes, pour qu'il en soit encore de même avec la troisième, il faut la choisir parmi 24. Finalement, d'après le principe des probabilités conditionnelles, on obtient : 28 24 20 3l 30 29 On procédera de la même façon pour déterminer la probabilité d’avoir 4 cartes de couleurs différentes. probabilité d’avoir 4 cartes de valeurs différentes z l°Ona: (X<6)<=>(X:6ouX<5) d'où : Pr(X : 6) Z Pr(X S 6) — Pr(X é 5). Se reporter au second exemple du â 9. 2° On trouvera, pour la probabilité d'accepter le lot : (1—p>*°u +1op(1—p)°1 Si q est la probabilité pour que le candidat réponde exactement à une question posée, la probabilité pour qu’il réponde exactement à 3 questions sur 4 est : CÎ q°(1 — q) 335 23
A Abel absurde (démonstration par l’) Achille (paradoxe d’) aires des domaines plans aléatoire (épreuve) algèbre des événements anneau antisymétrique appartenance application application différentielle arbre des applications —— bijections —— exponentielles —— injections arrangement assertion associativité axiome axiomes des probabilités B Bernoulli Bcrnstein bicarrée (fonction) binaire (relation) Boole Canton‘ cardinal cartésien (produit) chaîne classe d’équivalence combinatoire (analyse) combinaison commutativité complémentaire complexes (nombres) composée (d’une fonction) 336 94 13 181 272 313 303 99 55 21 66 188 125 127 125 127 131 8 83 8 312 334 248 47 105 122 116 108 57 129 133 84 143 163 I INDEX composition des relations, des applications compréhension conditionnelle (probabilité) conjonction logique continuité en un point contraire (événement) contraposé corps cosinus (dérivée de la fonction) coupe (d’un graphe) couple Descartes dénombrement (problèmes de) diagramme (séquentiel) dérivé (nombre) dérivée (fonction) différence — symétrique différentielle (application) différentielle (notation) discontinue (fonction) disjoint disjonction exclusive — logique distributivité droite numérique achevée e (nombre) égalité élément ensemble — des parties — quotient équations équipotent équiprobables (événements) 51 136 124 193 195 35 36 188 192 172 31 36 86 156 288 24 20 29 59 74 115 318
équivalence logique (classe d’) (relation d’) Euler événement existentiel (quantificateur) exponentielle (fonction) extension extrémums relatifs factorielle factorielles (arbre des) Fermat fonction fonction numérique Galois graphe groupe homographique (fonction) incompatibles (événements) image implication logique inclusion indépendance (en probabilité) injection intersection intervalle fermé ouvert inversible l. limites logarithme népérien (fonction) majorant minorant 11 57 56 23-52 301 27 293 21 166 128 127 23 66 153 105 97 304 10 22 323 72 31 156 156 88 168 282 107 107 N négation ü Neper 291 neutre 37 Newton 139 nombre e 288 O opération interne 81 ordre (relation d’) 59 — partiel, total 60 ordre (structure d’) 106 P parité d’une fonction numérique 160 partie 22 partition 30 Pascal 139 Pascal (triangle de) 134 permutation 72-130 périodicité d’une fonction 161 point adhérent 170 polynôme du 39 degré (fonction) 245 première (notion) 7 primitif (terme) 7 primitive d’une fonction numérique 264 produit cartésien 44 produit de fonctions numériques 162 probabilité 314 probabilité conditionnelle 321 projection 43 proposition 8 Pythagore 94 Pythagore (table de) 82 Q quantificateur 27 quotient (ensemble) 59 quotient de fonctions numériques 163 R racine carrée d’une fonction numérique 163 337
réalité 301 réciproque (application) 73 réciproque (fonction) 175 récurrence (démonstration par) 13 réflexive 53 régulier (élément) 90 restriction (d’une application) 67 réunion 32 Russel 79 5 sagittal (diagramme) 69 section (d’un graphe) 65 section commençante 205 — finissante 205 segment 166 séquentiel (diagramme) 124 simplexe 109-135-307 somme de fonctions numériques 161 substitution 72 surjection 71 g symétrique (relation) 54 symétriques (éléments) 88 'I' tableaux des dérivées des fonctions usuelles 212 tableaux des dérivées des fonctions : somme, produit, quotient, racine carrée 230 tableaux des primitives des fonctions usuelles 266 338 tangente 161-209 théorèmes de logique 11 théorie 8 tiers exclu 9 tirages probabilistes 324 -— exhaustifs 325 — bernoulliens 325 transitive (relation) 55 treillis 108 trigonométriques (fonctions) 253 ‘ trinôme du 2e degré (fonction) 239 Il univers 301 univers continu 303 -— dénombrable 302 — fini 302 universel (quantificateur) 27 v valeur intermédiaire (propriété de la) 173 Venu 52 vérité (table de) 9 vide (ensemble) 27 voisinage 157 voisinage pointé 170 Z. Zénon d’Élée 181
TABLE DES MATIÈRES I NOTIONS GÉNÉRALES 1. LE RAISONNEMENT LOGIQUE Notions premières. Axiomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 Théories. Raisonnement logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8 Opérations logiques élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Théorèmes de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 Méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 2. NOTIONS SUR LES ENSEMBLES Les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20 Sous-ensembles. lnclusion. Implication logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22 Egalité de deux ensembles et équivalence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24 Complémentaire d'un sous-ensemble et négation logique . . . . . . . . . . .. 25 Ensemble vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27 Ensemble des parties d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 Partition d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 Intersection de deux ensembles et conjonction logique . . . . . . . . . . . . . .. 30 Réunion de deux ensembles et disjonction logique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32 Différences de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35 Différence symétrique de deux ensembles et disjonction exclusive. . .. 35 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37 3. RELATIONS BINAIRES Couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Produit cartésien de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47 Composition des relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50 4. RELATIONS BINAIRES DANS UN ENSEMBLE Relations binaires réflexives . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53 Relations binaires symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54 Relations binaires transitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55 Relations binaires antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55 Relations d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56 Classes d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57 Relations d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60
5. FONCTIONS Section (ou coupe) d'un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65 Fonctions (ou applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66 Représentation graphique des fonctions; des applications . . . . . . . . . . .. 68 Composition de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69 Qualités d'une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71 Application réciproque d'une bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6. LOIS DE COMPOSITION INTERNE Lois de composition interne dans un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81 Associativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Commutativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Distributivité d'une opération sur une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86 Elément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87 Eléments symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88 Eléments réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90 'l. STRUCTURES : GROUPES, ANNEAUX, CORPS Structure de groupe : définition, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96 Structure d'anneau : définition, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99 Structure de corps : définition, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8. STRUCTURES D'ORDRE Ensembles ordonnés : parties remarquables, éléments remarquables.. 106 Structures remarquables : chaînes, treillis, simplexes . . . . . . . . . . . . . . .. 108 L'ensemble 1R ordonné par la relation <. Relation d'ordre < dans 1R .. 109 Relation d'ordre et opérations dans 1R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 9. NOMBRES CARDINAUX Ensembles équipotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 115 Cardinal d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 116 Relation d'ordre entre nombres cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117 Cardinal de A u B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117 Cardinal de A >< B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 1o. DIAGRAMMES SÉQUENTIELS Diagrammes séquentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 124 Arbre des exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125 Arbre des factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 340
11. ANALYSE COMBINATOIRE Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132 Simplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 135 Exemples de problèmes de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 136 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 12. LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES Axiomes de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141 Recherche des conditions nécessaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 142 L'ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143 Le groupe commutatif (C, +) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143 Le groupe commutatif (C*, ><) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 146 Le corps (C, +, .) . . . . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 148 Retour sur le problème posé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 I DÉRIVÉES DES FoNcTIoNS NUMÉRIQUES 13. GÉNÉRALITÉS SUR LES I=oNcTIoNS NUMÉRIQUES Fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 153 L'ensemble des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156 Parité. Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160 Opérations dans l'ensemble des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . .. 161 Représentation graphique d'une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . .. 163 Variation des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 164 Extrémums relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 166 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‘ . .. 168 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 171 Fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 173 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 14. DËRIVABILITÉ DES I=oNcTIoNS NUMÉRIQUES Dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 185 Nombre dérivé d'une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187 Propriété des fonctions dérivables en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 190 Interprétation géométrique des nombres dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 190 Interprétation géométrique des différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 192 Fonction dérivée première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 193 Retour sur la notation difiérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 195 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
15. DERIVÉES DES FONCTIONS USUELLES Méthode générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 199 Dérivée première des fonctions : constante, identique, carrée, cube, inverse, racine carrée, sinus, cosinus, tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Tableau résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 16. OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES Dérivabiiité (rappel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 217 Dérivée d'une somme - de kf - d'un produit — d'une puissance - d'un quotient - d'une racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 218 Tableau résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 230 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 17. APPLICATION DES DÉRIVÉES A L'ÉTUDE DES VARIATIONS D'UNE FONCTION Signe des nombres dérivés d'une fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . .. 233 Extrémum d'une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 235 Signe des nombres dérivés et sens de variation d'une fonction . . . . . . .. 237 Plan d'étude d'une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 237 Fonctions trinômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 239 Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 242 Fonctions polynômes du 3e degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245 Fonctions bicarrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 248 2 Fonctions ftelles que f(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 251 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 253 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 I PRIMITIVES DES FONCTIONS NU MÉRIQUES 18. PRIMITIVES D'UNE FONCTION NUMÉRIQUE Définition d'une fonction primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 263 Primitives d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 264 Primitive prenant une valeur donnée pour Xo . . . . .. 265 Recherche de quelques primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 265 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 268 19. AIRES DE DOMAINES PLANS Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 272 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 273 Extension du théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 275 Calcul d'aires de domaines plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 278 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 342
l FONCTIONS LOGARITHMES FONCTIONS EXPONENTIELLES 2o. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,. 282 lnterprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 283 Propriété fondamentale de la fonction Log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 283 Conséquences de la propriété fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 285 Etude de la fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 287 Un encadrement au nombre e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 289 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 21. FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 293 Propriété fondamentale de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . .. 294 Conséquences de la propriété fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 295 Notation définitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 295 Etude de la fonction exponentielle de basee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 296 Tableau de variation et représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 297 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 I PROBABILITÉS 22. DALGÈBRE DES ÉVÉNEMENTS Evénements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Classification des univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 302 Algèbre des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 303 Simplexes et événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 306 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 23. AXIOMES DES PROBABILITÉS Premier axiome des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . @ . . . . . . . . . . . .. 313 Probabilité et mesure . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 314 Propriétés fondamentales des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 315 Probabilité sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 317 Etude d'un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l. 319 Second axiome des probabilités. Probabilités conditionnelles . . . . . . .. 321 indépendance en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 323 Schémas de tirages probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Exercices résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 326 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 336
ACHEVÉ D’IMPR|MER SUR LES PRESSES DE L'|MPRIMER|E CHAIX-DESFOSSÉS NÉOGRAVURE A PARIS en Janvier MCMLXIX Dépôt légal imprimeur n° 383 Dépôt légal éditeur 1er trimestre 1969 n° 3656