/
Автор: Морозов А.И.
Теги: солнце физика солнца ядерная энергетика (атомная энергетика) физика динамика естественные науки физика плазмы космические тела издательство физматлит
ISBN: 5-9221-0681-3
Год: 2006
Текст
УДК 523.9
ББК 31.49
М80
Морозов А. И. Введение в плазмодинамику. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 576 с. —
ISBN 5-9221-0681-3.
Описана иерархия «газовых» моделей классической неплотной плазмы. В рамках этих
моделей рассматриваются основные плазменные системы и их практическая реализация:
равновесные конфигурации, линейные и ударные волны, стационарные течения, элементы
плазмохимии и принципы плазменных лазеров. Дано описание ряда космических объектов:
планетарных вихрей, магнитосферы Земли, Солнца.
В конце книги описаны прикладные плазмодинамические системы.
Книга адресована студентам старших курсов, аспирантам, инженерам и научным сотруд-
сотрудникам, работающим в данной области.
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
ISBN 5-9221 -0681-3 © А. И. Морозов, 2006
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Введение 13
8.1. Что такое плазма? 13
8.2. Область разреженных нерелятивистских плазм в координатах п, Т 19
8.3. Об истории плазменных исследований 22
В.3.1. Исследования до 20-х годов XX века B2). В.3.2. Исследования и раз-
разработки 30-х и 40-х годов B5). В.3.3. Исследования 50-60-х годов. Проблема
УТС B7). В.3.4. Исследования 50-х, 60-х годов. Проблема электрореактивных
двигателей C2).
8.4. Особенности плазменных исследований 34
Глава 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели) 38
1.1. Электромагнитные поля 38
1.1.1. Уравнения Максвелла C8). 1.1.2. Законы сохранения D1). 1.1.3. Мор-
Морфология магнитных полей D4). 1.1.4. Метрические характеристики магнитных
полей E1). 1.1.5. Возмущение морфологии поля E2).
1.2. Движение частиц в электромагнитных полях 54
1.2.1. Законы сохранения E4). 1.2.2. Движение частицы в однородных постоян-
постоянных электрическом и магнитном полях E5). 1.2.3. Динамика частиц в постоянном
магнитном и переменном электрическом полях E7). 1.2.4. Движение частицы
в неоднородном высокочастотном поле E8). 1.2.5. Дрейфовое приближение F0).
1.2.6. Ионно-оптическое приближение F2).
1.3. Блочные ("нуль-мерные") модели плазменных систем 62
1.3.1. Однокомпонентная модель магнитоэлектрического рельсотрона F3).
1.3.2. Падение "тяжелого бруска" плазмы в магнитном поле F4).
1.4. Элементы классической корпускулярной оптики (ККО) 65
1.4.1. Ионные источники F6). 1.4.2. Примеры систем вакуумной корпускулярной
оптики F8).
1.5. Диэлектрическая проницаемость и волны в однородной холодной плазме 74
1.5.1. Диэлектрическая проницаемость G5). 1.5.2. Уравнения для волн в однород-
однородной плазме G5). 1.5.3. Волны в холодной плазме без магнитного поля G7).
1.6. Блочные модели импульсных плазменных систем (импульсные плазменные пушки
и Z-пинчи) 78
1.6.1. Двухкомпонентная модель магнито-электрического рельсотрона (А. И. Моро-
Морозов) G8). 1.6.2. Электродинамическая модель рельсотрона (Л. А Арцимович) (80).
1.6.3. Z-пинчи (81).
1.7. Простейшие модели статических магнитных ловушек 85
1.7.1. Пробочная ловушка Будкера-Поста (86). 1.7.2. Тороидальные ловуш-
ловушки (89).
Оглавление
Глава 2. Одножидкостные модели плазмы 94
2.1. Особенности гидродинамических моделей 94
2.1.1. Уравнения Эйлера (94). 2.1.2. Обеспечение автономности капель (96).
2.1.3. Два закона сохранения при течении идеального газа (97).
2.2. Примеры задач гидродинамики Эйлера 99
2.2.1. Гидро(газо)-статика (99). 2.2.2. Линейные волны в однородном газе A00).
2.2.3. Течение идеального газа в тонкой трубке переменного сечения A03).
2.2.4. Ударные волны в идеальном газе A05).
2.3. Одножидкостная магнитная гидродинамика (МГД) 108
2.3.1. Уравнения МГД A08). 2.3.2. "Вмороженность" магнитного поля в плаз-
плазму (ПО).
2.4. МГД-статика 112
2.4.1. Общие свойства равновесных МГД-конфигураций A12). 2.4.2. Одномерные
равновесные МГД конфигурации A13). 2.4.3. Двумерные (симметричные) конфи-
конфигурации. Уравнение Грэда-Шафранова A15).
2.5. Линейные МГД волны в однородной плазме 119
2.5.1. Исходные уравнения A19). 2.5.2. Энтропийная волна A20). 2.5.3. Альфве-
новские волны A20). 2.5.4. Магнитозвуковые волны (МЗВ) A22).
2.6. Стационарные течения плазмы в поперечном магнитном поле 124
2.6.1. Течения в узких каналах A25).
2.7. О численном моделировании МГД течений 128
2.7.1. Расчёты течения идеальной плазмы в осесимметричном канале A28).
2.7.2. Об ударных волнах в МГД A30). 2.7.3. О роли омического сопротивления
в динамике хорошо проводящей плазмы A31).
Глава 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы 132
3.1. Уравнения двухжидкостной гидродинамики 132
3.1.1. Формулировка уравнений A32). 3.1.2. Редукция системы C.1.5) A34).
3.1.3. Связь компонент плазмы с магнитным полем A36). 3.1.4. Закон сохранения
энергии при стационарных течениях двухкомпонентной плазмы A37).
3.2. Электронная магнитная гидродинамика. Обобщённый закон Ома 137
3.2.1. Безразмерные характеристики обобщенного закона Ома A37). 3.2.2. Без-
диссипативная электронная компонента: "вырожденный закон Ома", "лоренцовы
поля" A39). 3.2.3. Динамика электронной компоненты с а ф оо, "тензорная про-
проводимость" A45). 3.2.4. Электродинамика плоских течений несжимаемой плазмы
в поперечном магнитном поле A48).
3.3. Холловские структуры 152
3.4. Статические конфигурации в двухжидкостной гидродинамике 154
3.5. Линейные волны в однородной плазме (двухжидкостная модель) 156
3.5.1. Волны в отсутствии внешнего магнитного поля при рг,ре ф 0 A57).
3.5.2. Линейные волны в однородной плазме при Щ ф 0 (холодная плазма) A61).
3.5.3. Линейные волны в однородной нагретой плазме при Н = 0 A65). 3.5.4. Про-
Простейшая двухжидкостная модель пучковой неустойчивости A66).
3.6. Бездиссипативные аксиально-симметричные течения в двухкомпонентной гидроди-
гидродинамике 168
3.6.1. Вывод законов сохранения A68). 3.6.2. Качественный анализ системы
уравнений C.6.17) A71). 3.6.3. Метод "плавных" течений A76). 3.6.4. Анализ
системы C.6.17) методом узкого канала A78).
3.7. Численные и экспериментальные исследования (квази)стационарных течений в ко-
коаксиальных системах с собственным магнитным полем 179
Оглавление
3.7.1. Численное моделирование течений плазмы в коаксиалах со сплошными элек-
электродами A80). 3.7.2. Экспериментальные исследования ускорителей со сплошны-
сплошными электродами A81). 3.7.3. Коаксиальный сильноточный плазменный ускоритель
с ионным токопереносом (КСПУ) A86). 3.7.4. Квазистационарные компрессион-
компрессионные течения A89).
3.8. Динамика плазменных потоков в магнитных полях 190
3.8.1. Движение автополяризованного плазменного потока (сгустка) в поперечном
магнитном поле A90). 3.8.2. Одномерная классическая диффузия плазмы в маг-
магнитном поле A93). 3.8.3. Вход плазменного потока в магнитное поле A95).
Глава 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме. Урав-
Уравнения Власова-Максвелла 197
4.1. Исходные понятия 198
4.1.1. Фазовое пространство и функция распределения (ФР) A98). 4.1.2. Урав-
Уравнение Лиувилля A99). 4.1.3. Соотношение кинетического и гидродинамического
описаний B01).
4.2. Уравнения Власова-Максвелла 203
4.2.1. Формулировка системы уравнений B03). 4.2.2. Является ли система урав-
уравнений Власова точной? B04). 4.2.3. Гибридное приближение B05).
4.3. "Статические" кинетические конфигурации 206
4.3.1. Одномерные статические кинетические конфигурации B06). 4.3.2. Обратная
задача Бернштейна-Грина-Крускала B08). 4.3.3. "Одноларморовские" структу-
структуры B11).
4.4. Кинетика волн в плазме при Но = 0 214
4.4.1. Исходные уравнения. Нестационарные ленгмюровские волны B14).
4.4.2. Преобразование Лапласа B16). 4.4.3. Затухание и раскачка ленгмю-
ровских волн B19). АЛЛ. Экспериментальные исследования резонансных
затуханий B20).
4.5. О колебаниях двухкомпонентной плазмы 223
4.5.1. Ионный звук B23). 4.5.2. Колебания в токонесущей плазме (при Но =
= 0) B23).
4.6. Квазилинейное приближение 224
4.6.1. Вывод основного уравнения B24). 4.6.2. Несколько замечаний о кинетике
ленгмюровских волн B26).
Глава 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях 227
5.1. Введение 227
5.2. Кинетика сталкивающихся заряженных частиц 231
5.2.1. Основные понятия B31). 5.2.2. Кулоновские столкновения: сила, действую-
действующая на пробную частицу B33). 5.2.3. Кулоновские столкновения: диффузионные
коэффициенты B37). 5.2.4. Столкновительный член Ландау B39).
5.3. Уравнения переноса в двухжидкостной гидродинамике 240
5.3.1. Схема решения кинетического уравнения при частых столкновениях B40).
5.3.2. Уравнения переноса. Общий вид B41). 5.3.3. Модель идеальной плаз-
плазмы B42). 5.3.4. Уравнения Брагинского B42). 5.3.5. Замечания к уравнениям
Брагинского B45).
5.4. Примеры столкновительной релаксации в кулоновской плазме 245
5.4.1. Парадокс Беляева-Будкера B45). 5.4.2. Релаксация редкого потока быст-
быстрых ионов в изотропной плазме B46). 5.4.3. Убегающие электроны B48).
5.4.4. Времена релаксации функций распределений в двухкомпонентной плаз-
плазме B48).
5.5. Влияние термосилы на равновесие и теплоперенос в плазменной конфигурации . . 250
Оглавление
5.5.1. Равновесная конфигурация магнитной оболочки миксины B50). 5.5.2. Теп-
Теплопроводность в MOM B51).
5.6. Кинетика ухода частиц плазмы из ловушек 253
5.6.1. Уход частиц из ловушек антипробочного типа B54). 5.6.2. Уход частиц
из пробочной ловушки B56). 5.6.3. Неоклассическая диффузия в тороидальных
системах B58). 5.6.4. Удержание энергии и плазмы в реальных ловушках. Скей-
линги B60).
5.7. Плазмооптика (гибридные модели) 261
5.7.1. Общие принципы плазмооптики B62). 5.7.2. Некоторые особенности плаз-
мооптических систем B67). 5.7.3. Расширение квазинейтрального пучка под дей-
действием электронного давления B68).
5.8. Кинетическое уравнение Больцмана-Давыдова для электронов в слабо ионизован-
ионизованной плазме 271
Глава 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением 273
6.1. Введение 273
6.2. Скорости трансформационных процессов 276
6.2.1. Энергетические уровни B76). 6.2.2. Упругое рассеяние электронов на ато-
атомах B78). 6.2.3. Возбуждения и ионизация атомов электронным ударом B79).
6.2.4. Процессы рекомбинации ионов B81). 6.2.5. Отрицательные ионы B83).
6.2.6. Возбуждение и ионизация молекул электронным ударом B84). 6.2.7. Взаи-
Взаимодействия тяжёлых частиц B86).
6.3. Элементарные процессы излучения 287
6.3.1. Линейчатые спектры излучения B87). 6.3.2. Сплошной спектр излуче-
излучения B88). 6.3.3. Механизмы уширения спектральных линий B90). 6.3.4. Коэф-
Коэффициент поглощения в спектральных линиях B93).
6.4. Уравнение переноса излучения (кинетика фотонов) 294
6.4.1. Формулировка уравнения переноса B94). 6.4.2. Перенос излучения в усло-
условиях, близких к равновесным B98).
6.5. О схемах описания динамики частиц трансформирующейся плазмы 302
6.5.1. Общая характеристика моделей C02). 6.5.2. Два подхода к упрощению
реальных ситуаций C03). 6.5.3. Пролётные системы C05). 6.5.4. Корональное
равновесие C06). 6.5.5. Динамика квазиравновесной трансформирующейся плаз-
плазмы C07). 6.5.6. Диффузионное приближение C13). 6.5.7. Уравнения динамики
квазиравновесной плазмы C13).
6.6. Радиационная цена иона в корональной модели 314
6.7. Объёмные процессы в стационарных плазменных двигателях и законы подобия . . 316
6.7.1. Общая характеристика процессов в СПД C16).
6.8. Ударные волны с излучением 323
6.8.1. Особенности УВ с излучением C23). 6.8.2. Итоги расчётов C24).
6.8.3. Схема расчёта УВ с реальным спектром C27).
6.9. Течения ионизующейся плазмы в коаксиале 328
6.10. О тлеющих и дуговых разрядах 330
6.10.1. Общая характеристика тлеющего и дугового разрядов C31). 6.10.2. Поло-
Положительный столб дугового стационарного разряда C36). 6.10.3. Квазистационар-
Квазистационарные сильноизлучающие Z-пинчи C36).
6.11. Системы, использующие выделенные уровни возбуждения частиц 337
6.11.1. Газоразрядные и плазменные лазеры C37). 6.11.2. Особенности плазмохи-
мии C40).
Оглавление
Глава 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел 345
7.1. Введение 345
7.1.1. Пограничный слой Прандтля-Блазиуса (гидродинамика Навье-
Стокса) C45). 7.1.2. Общая структура переходного слоя плазма-твёрдое
тело C50). 7.1.3. Функции эмиссии C51).
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела 353
7.2.1. Адсорбция "тёплых" частиц C53). 7.2.2. Взаимодействие частиц надтеп-
ловой энергии с поверхностями C57). 7.2.3. Распыление поверхностей C60).
7.2.4. Эмиссия электронов с поверхностей C65).
7.3. Электронные пограничные слои 372
7.3.1. Дебаевские слои на диэлектрических стенках C73). 7.3.2. Диффузионный
пограничный слой. Пристеночная проводимость C78). 7.3.3. Дрейфовые электрон-
электронные пограничные слои C82).
7.4. Примеры пограничных процессов с участием тяжелых частиц 385
7.4.1. Рециклинг C85). 7.4.2. Разряды, скользящие по поверхности диэлектри-
диэлектрика C86). 7.4.3. Кинематика распыления поверхности моноскоростным ионным
потоком C88).
7.5. Поверхностно-детерминированные разряды (на примере СПД) 392
7.5.1. Функция распределения электронов в канале СПД C92). 7.5.2. Аналитиче-
Аналитические модели фрагментов ФРЭ C95). 7.5.3. Экспериментальные исследования при-
пристеночной проводимости в СПД C97). 7.5.4. СВЧ-колебания в канале СПД C98).
7.5.5. Эрозия изоляторов в СПД D00).
7.6. Примеры приэлектродных процессов 401
7.6.1. Формула Маккоуна D02). 7.6.2. Приэлектродные слои в тлеющих и дуговых
разрядах D03). 7.6.3. Окрестность дугового термокатода D07). 7.6.4. Пятна на
холодном катоде D09). 7.6.5. О прианодных слоях в ТР и ДР D11). 7.6.6. Эрозия
электродов и процессы в коаксиальных (квази)стационарных ускорителях D12).
7.7. Пылевая плазма 412
7.7.1. Зарядка макрочастиц и их взаимодействие друг с другом D14). 7.7.2. Ли-
Линейные колебания в однородной пылевой плазме при Н = 0 D15).
Глава 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем .... 417
8.1. Примеры аналогичных между собой гидродинамических и плазменных неустойчи-
востей 419
8.1.1. Перегревные ("джоулевы") неустойчивости D19). 8.1.2. Конвектив-
Конвективные неустойчивости D20). 8.1.3. Гидродинамический резонанс Рэлея-
Тимофеева D23). 8.1.4. Трансформация волн D25).
8.2. Примеры специфических МГД возмущений плазменных систем 428
8.2.1. Анализ устойчивости МГД конфигураций энергетическим методом D29).
8.2.2. "Перезамыкание" магнитных силовых линий в плазме. Тиринг-
неустойчивость D32). 8.2.3. Холловская неэволюционность плоских течений
идеальной плазмы D34). 8.2.4. Дрейфовые течения поперёк магнитного
поля D37).
8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур ("автоструктур") .... 439
8.3.1. Уравнение Кортевега-де Фриза. Солитоны D39). 8.3.2. Учет зату-
затухания в уравнении КдФ D44). 8.3.3. Неустойчивости типа Чаплыгина-
Трубникова D44). 8.3.4. Уравнение Чарни-Обухова D47).
8.4. О стохастичности процессов в плазме 450
8.4.1. Стохастичность и турбулентность D50). 8.4.2. Турбулентность D52).
8.4.3. Некоторые особенности плазменных турбулентностей D55). 8.4.4. Ано-
Аномальное сопротивление плазмы D56).
8.5. Активные методы стабилизации плазменных неустойчивостей 457
Оглавление
Глава 9. Процессы в космосе и плазмодинамика 461
9.1. Планетарные вихри. Спиральные туманности 462
9.1.1. Циклоны и антициклоны. Зональные течения D62). 9.1.2. Аналогия Лармо-
ра D64). 9.1.3. Двумерная гидродинамика тонких слоев D65). 9.1.4. Параметр
Россби D65). 9.1.5. Аналоговые эксперименты М. В. Незлина D66). 9.1.6. Спи-
Спиральные структуры в галактиках D68). 9.1.7. Установки для моделирования спи-
спиральных структур галактик и результаты экспериментов D70).
9.2. Магнитосфера Земли 471
9.2.1. Понятие "магнитосферы" D72). 9.2.2. Характерные особенности магнито-
магнитосферы D74). 9.2.3. Радиационные пояса D78). 9.2.4. Активные эксперименты
в магнитосфере D81). 9.2.5. Моделирование магнитосферы D84).
9.3. Солнце 484
9.3.1. Интегральные характеристики Солнца D86). 9.3.2. Строение видимой об-
области Солнца D87). 9.3.3. Квазиравновесные структуры, связанные с фото-
фотосферой D89). 9.3.4. Катастрофические процессы, видимые на Солнце (вспыш-
(вспышки, выбросы корональной массы) D94). 9.3.5. Цикличность солнечной активно-
активности D96). 9.3.6. Стандартная модель макроструктуры Солнца D98).
9.4. Об эволюции звезд главной последовательности 500
Глава 10. Примеры современных плазменных технологий 504
10.1. Генераторы плазмы 504
10.1.1. Типы генераторов плазмы E05).
10.2. Плазма в быту 508
10.2.1. Лампы "дневного света" (люминесцентные лампы) E08). 10.2.2. Плаз-
Плазменные телевизионные панели E09). 10.2.3. Плазменный скальпель E10).
10.2.4. Люстра Чижевского E11).
10.3. Формирование структур на твёрдых телах методами плазменной технологии .... 513
10.3.1. E13). 10.3.2. Примеры технологий покрытий E14). 10.3.3. Формирова-
Формирование схем микроэлектроники E18). 10.3.4. Модификация металлических поверх-
поверхностей под действием энергичных плазменных сгустков E19).
10.4. Ионные и плазменные космические двигатели 521
10.4.1. Принципиальный недостаток термохимических двигателей E21). 10.4.2. О
разновидностях ЭРД E22). 10.4.3. Стационарные плазменные двигатели
(СПД) E24). 10.4.4. Перспективные схемы ЭРД E26).
10.5. Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС) 528
10.5.1. Исходные принципы E28). 10.5.2. Кривые Лоусона E29). 10.5.3. Схемы
ловушек E31). 10.5.4. Токамаки E38).
10.6. От генераторов многозарядных ионов к острову стабильности и черным дырам
в эксперименте 544
10.6.1. Источники многозарядных (Z > 1) ионов E45). 10.6.2. На пути к острову
стабильности E50). 10.6.3. "Черные дыры" в лаборатории E52).
Приложение А. Замечания о топологии магнитного поля (В. И. Ильгисонис) 555
Приложение Б. Об инерциальном УТС с помощью лайнеров 561
Список литературы 562
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время хорошо осознана та огромная роль, которую играет плазма
в природе. Наряду с этим быстро растёт применение плазмы в самых различных
областях человеческой деятельности. Не вызывает сомнений, что XXI век будет не
только веком информатики, биологии и космонавтики, но и веком плазменных тех-
технологий. Они дадут новые источники энергии (управляемый термоядерный синтез),
методы её прямого преобразования (МГД-генераторы и плазменные термоэлементы),
эффективные ионно-плазменные средства обработки материалов (как в микроэлек-
микроэлектронике, так и в тяжёлом машиностроении), всеволновые источники электромаг-
электромагнитных излучений (в том числе "вечные" бытовые светильники с регулируемым
спектром и плазменные телевизоры с неограниченным по площади тонким экраном),
космические плазменные двигатели и т. д.
Параллельно с развитием плазменных технологий идут интенсивные эксперимен-
экспериментальные и теоретические исследования плазменного состояния вещества и скры-
скрытых в нём возможностей. Такие исследования не только ускоряют технологические
разработки, но и позволяют радикально углубить понимание природных явлений,
в частности, удивительных процессов, происходящих в магнитосфере Земли и на
Солнце. К сожалению, мы до сих пор не имеем убедительных моделей солнечной
активности, в том числе протуберанцев и вспышек, и поэтому не можем предсказы-
предсказывать "космическую погоду", что совершенно необходимо для длительного пребывания
в космосе.
Фундаментальный характер плазмодинамики очевиден, а это требует её углублён-
углублённого изучения на всех этапах образования. Но для этого необходимо создание разных
книг о плазме, как специализированных, так и достаточно широко охватывающих
данную область науки. Однако, если узко тематические книги ещё появляются на
прилавках магазинов, то книг, посвященных "общей плазмодинамике", почти нет 0.
А в таких книгах, написанных для студентов старших курсов, аспирантов, инже-
инженеров, есть большая потребность. Попытку написать что-то вроде учебного пособия
по общей плазмодинамике и представляет, по мнению автора, настоящее "Введение
в плазмодинамику" 2).
Уточним особенности этого "Введения...".
Прежде всего, это действительно введение. Оно должно познакомить читателя
с терминами, основными экспериментальными фактами и с основными "базовыми"
моделями - системами уравнений, описывающих большие группы плазмодинами-
1) В самом начале 2001 года появились четыре вводных тома богатой по содержанию
"Энциклопедии низкотемпературной плазмы". Сегодня это наиболее обширная сводка данных
о плазме, но она ограничена уровнем энергии частиц порядка 1 —10 эВ.
2) Термин "плазмодинамика" мне представляется более адекватным содержанию книги, чем
слишком общий термин "физика плазмы". Это объясняется тем, что в книге много внимания
уделяется течениям плазмы. Я считаю, что менее соответствует сути и термин "электродина-
"электродинамика плазмы", хотя книга основоположника современной плазмодинамики X. Альфвена носила
название "Космическая электродинамика". Тем самым формально автором делался упор на
полевую, а не корпускулярную компоненту плазмы, что мне кажется менее целесообразным.
10 Предисловие
ческих процессов. "Введение..." на конкретных примерах должно показать, как
этими моделями пользоваться, и, наконец, ознакомить читателя с конкретными их
реализациями — образцами современных плазменных технологий. Таким образом,
хотелось бы, чтобы, освоив данное "Введение...", читатель имел достаточно широкий
кругозор, приступая к изучению специальной литературы.
Сказанное о кругозоре объясняется, в частности, распространенным недостатком
книг по плазменной тематике, а именно, фактическим игнорированием многообразия
плазменных технологий и, кроме того, совершенно недостаточным вниманием к двум
принципиальным моментам: созданию плазмы и её гибели на стенках рабочего
объёма.
Действительно, в лабораторных условиях плазма — эфемерная субстанция, огра-
ограниченная в пространстве и во времени. Она искусственно создаётся, проходя стадии
от нейтрального вещества (газа, жидкости, твёрдого тела) до конечного плазменного
состояния с нужными параметрами а затем так или иначе гибнет на окружающих
"плазмопожирающих" стенках. Естественно, что книга по общей плазмодинамике
должна адекватно отражать эту специфику плазмы.
Хотя изложенная выше общая установка автора вряд ли вызовет возражения,
тем не менее хорошо видны трудности реализации этой программы в целом. Здесь
существуют две основные проблемы.
Первая из них состоит в том, что мир плазменных процессов не имеет есте-
естественных физических границ. Как только начался нагрев вещества и его иониза-
ионизация, то дальше, как говорится, трудно остановиться. Естественно желание дальше
увеличивать энергию частиц, увеличивать плотность их, времена существования
и т. д. В результате от низкотемпературной плазмы и холодных стенок мы переходим
к системам, в которых появляется плазма средних и все более высоких энергий
и т.д., вплоть до черных дыр, с которыми до последнего времени B001г.) имели
дело только астрономы, а теперь их "зародыши" начинают создаваться и на Земле на
ускорителях.
Таким образом, физика плазмы, по сути, универсальна. Действительно, физику
твёрдого тела или электродинамику во многих случаях можно изучать, вообще
ничего не зная о плазме. Но с плазмой так не получается. В любом эксперименте
приходится сталкиваться с взаимодействием плазмы с твердыми телами (электрода-
(электродами, стенками, зондами) и с процессами излучения в широком диапазоне длин волн
и т.п. Поэтому общая плазмодинамика должна включать в себя в той или иной
степени все разделы физики.
Итак, плазма оказывается фактически связующим звеном различных форм веще-
вещества от разреженного газа до предельно плотных субстанций. Поэтому не удиви-
удивительно, что аналоги плазменных процессов прослеживаются и в других средах. И не
зря появились набирающие силу термины "плазмоподобные среды" (полупроводники,
металлы, электролиты), "кварк-глюонная плазма", хотя в последнем случае речь идёт
о качественно отличной субстанции черных дыр.
Конечно, некие границы между плазменными процессами и установками провести
можно, но они условны и временны. В данном "Введении..." основное внимание
будет уделено относительно разряженной, невырожденной и нерелятивистской плаз-
плазме, причём акцент в прикладном плане будет сделан на лабораторную "спокойную"
плазмодинамику, т. е. на рукотворные плазменные системы с низким уровнем тур-
турбулентности. Им целиком посвящена и последняя глава книги. Что же касается
"космической" плазмодинамики, то несколько фрагментов, связанных в основном
с Землей и Солнцем, будут отражены в главе 9.
Предисловие 11
Как видно, предлагаемая книга охватывает широкий круг вопросов, но далеко не
все. Мне представляется, необходимы, по меньшей мере, ещё три крупных обзора.
Вот их краткая характеристика.
- Обзор плазмодинамики (ПД) существенно нестационарных трёхмерных про-
процессов. Сюда должны войти вопросы устойчивости равновесных конфигураций
и течений, различные виды турбулентности, динамика солнечной активности
и т. п.
- Обзор по ПД плотной ("квантовой") плазмы. Он должен включить динамику
неидеальной плазмы, получение сверхплотных состояний лазерных мишеней,
процессы в белых карликах и др. Таким образом, в этом томе должны увязы-
увязываться физика плазмы и физика твёрдых тел.
- Обзор по релятивистской ПД. Релятивизм давно вошел в лабораторную ПД,
не говоря уже о космологии. Правда, в "классических" плазменных лабора-
лабораториях изучаются системы с релятивистскими электронами. Это генераторы
сильноточных (мегаамперных) электронных пучков, а также ряд плазменных
систем (токамаки, Z-пинчи разных типов), в которых появляются "непроше-
"непрошеные" потоки релятивистских электронов. Однако в лабораториях, изучающих
процессы с элементарными частицами при энергиях, больших 109эВ, уже
несколько десятков лет используются специальные накопители таких частиц
(коллайдеры), в которых частицы сталкиваются друг с другом. Хотя функции
распределения релятивистских ионов в коллайдерах являются 5-образными,тем
не менее здесь мы соприкасаемся уже с ионной релятивисткой плазмой.
База для указанных трёх томов уже созрела. По всем трём направлениям суще-
существует большое число специализированных публикаций.
Вторая трудность, связанная с этой книгой, состоит в следующем. Ограничив-
Ограничившись идеальной, в смысле кинетики, то-есть разреженной, нерелятивистской плаз-
плазмой, мы далеко не решили проблему выбора принципов систематизации материа-
материала. Обычно курсы физики плазмы строятся в виде разбора конкретных процессов
в плазменных конфигурациях, выбранных достаточно произвольно. Но поскольку
"простых" плазменных систем не бывает, то внимание авторов сосредоточивается на
нескольких системах, чаще всего на однородной плазме (волны) или на "термоядер-
"термоядерных" установках (токамаках и т.п.). Ясно, что для сколько-нибудь общего обзора
плазменных явлений (и технологий) такой путь неприемлем. В основу "Введения..."
мы положили рассмотрение принципов моделирования или, другими словами, прин-
принципов построения иерархии "базовых" моделей, их взаимоотношений друг с другом,
а также демонстрации их работы.
Поэтому в начале у нас появляется раздел, посвященный структурам (морфо-
(морфологии) магнитных полей, одночастичным и нуль-мерным (блочным) моделям плаз-
плазмы. Затем последовательно рассматриваются однокомпонентные и двухкомпонент-
ные гидродинамические модели, затем различные "кинетики", процессы ионизации
и переноса излучения, наконец, описываются взаимодействия плазмы со стенками.
В итоге мы получаем возможность показать, как подходить к анализу сложных
плазменных систем, и учесть большое многообразие условий, в которых она находит-
находится. Разумеется, каждая конкретная модель, входящая в иерархию, имеет свое поле
деятельности и обладает своими особенностями. Эти особенности мы иллюстрируем,
главным образом, на примере трёх типов плазменных процессов: статических конфи-
конфигураций, линейных колебаний и стационарных течений, включая ударные волны, т. е.
рассматриваем одномерные, двумерные ((х\,Х2) или (x,t)) и трёхмерные (x\,X2,t)
модели. Там, где есть особенно интересные ситуации, находящиеся вне указанной
триады, мы описываем и их.
12 Предисловие
В конце книги, в 8-й главе, рассматриваются некоторые общие вопросы, связан-
связанные с колебаниями в ПД системах. Как уже упоминалось выше, в 9-й главе речь
идёт о ряде космических ПДС, а в 10-й главе приводятся примеры современных
плазменных технологий.
Широта круга рассматриваемых в книге вопросов ведёт к появлению различных
неточностей. К сожалению, субъективные и объективные обстоятельства не позво-
позволили мне от них избавиться. Но я надеюсь на благосклонность читателей.
В этой книге я привожу портреты тех, кто внёс существенный вклад в обсуждае-
обсуждаемые области науки и техники. Конечно, всех изобразить здесь невозможно. Поэтому
выбор портретов отчасти субъективен. Будем надеяться, что другие сделают это
лучше.
И последнее. Литература по физике плазмы и примыкающим к ней дисциплинам
необозрима. Я старался цитировать общедоступные, легко читаемые (например, эн-
энциклопедии) и ранние — основополагающие публикации.
В известном смысле прототипом структуры данного "Введения..." можно счи-
считать построение книги автора "Физические основы космических электрореактивных
двигателей", том 1 "Элементы динамики потоков в ЭРД" A978 г.). Дальнейшее совер-
совершенствование эта структура получила в лекциях по плазмодинамике, которые автор
читал в виде спецкурса более 20 лет на физическом факультете МГУ. Тогдашний
заведующий кафедрой математики профессор А. Г. Свешников, который пригласил
меня читать этот спецкурс, советовал мне подготовить и издать расширенный вари-
вариант этих лекций в виде отдельной книги. Я очень благодарен ему за это. Появление
этой книги во многом обязано также моему старинному — ещё со школьных лет,
другу, Николаю Ивановичу Долбину, кандидату физико-математических наук, од-
одному из основоположников нового раздела механики — магнитоупругости. Николай
Иванович записал и обработал многие мои лекции. К величайшему огорчению, его
преждевременная смерть в 1995 году лишила меня не только друга, но и помощника
на завершающем этапе работы над "Введением..." Но память об его энтузиазме
и проделанной им работе была очень важной для меня поддержкой при окончании
этой книги.
Я благодарен моим коллегам из ИЯС РНЦ "Курчатовский Институт" В. И. Ильги-
сонису, В. И. Когану, Н.Н. Семашко, Б. А. Трубникову и В. Д. Шафранову, которые
ознакомились с рукописью и сделали ряд важных для меня замечаний. Кроме того,
В. И. Ильгесонис написал интересное приложение к этой книге. Мне очень помогли
советы сотрудников ИЗМИРАН В. Н. Ораевского, Ю.Я. Ружина и Б. П. Филиппова,
а также Л.М. Зеленого (ИКИ).
Я хотел бы с благодарностью отметить своих сотрудников и коллег как в России
(особенно в Институте Курчатова, в МИРЭАи ИПМ им. М. В. Келдыша), так и в
ближнем и дальнем зарубежье, способствовавшим многим исследованиям, которые
описаны в этой книге.
Наконец, я хочу отметить огромную помощь Натальи Павловны Кирий на заклю-
заключительном этапе работы над книгой. Благодаря её помощи книга, наконец, выходит
в свет.
ВВЕДЕНИЕ
B.I. Что такое плазма?
Плазма — это ионизованный газ. Однако, не всякое облако ионизованного газа
является плазмой. Основную особенность плазменного состояния можно пояснить
следующим мысленным экспериментом (рис. В. 1.1).
w
а б ч в
Рис. В. 1.1. Переход от совокупности ионов и электронов к плазме
Пусть на одиночный неподвижный атом с энергией ионизации / падает фотон
с энергией Ьи и ионизует его (рис. В. 1а). В результате от образовавшегося практи-
практически неподвижного иона отлетает электрон с энергией
е[е) =Пш-1. (В.1.1)
Теперь возьмём два таких же атома, расположенных на некоем расстоянии а
друг от друга, и с малой задержкой последовательно облучим один атом за другим
(рис. В. 1.16). Из первого атома электрон вылетит по-прежнему с энергией е\е ,
однако, второй электрон уйдет с меньшей энергией
4e)=?|€)-(fe)b (В. 1.2)
так как ему придется преодолевать ещё притяжение к первому иону.
Очевидно
/<Г_\ /TD 1 О\
10сН rsJ . 113.1.0)
а
Если теперь взять три атома на взаимных расстояниях ~ а, то при последовательной
ионизации, их последний (третий) электрон улетит с энергией
причём
(fe^J-2(fe^I и т.д.
Очевидно, при некотором числе атомов N* (мы предположим, что они занимают
некий шарообразный объём радиуса а), притяжение к этому объёму ионов будет
таким, что последний электрон уже не сможет уйти на бесконечность (рис. В. 1.1 в),
14 Введение
так как кинетической энергии этого электрона в момент ионизации не хватит, чтобы
преодолеть притяжение к уже образовавшимся ионам, т. е.
г{^1 <0. (В. 1.4)
Увеличивая число атомов далее и повторяя процедуру последовательной ионизации,
мы при данной энергии ионизации / и энергии фотонов Тьио каждый раз дойдя
до N = N* не сможем увеличить заряд облака и при возрастании общего числа
заряженных ионов Ni в нём будет убывать доля некомпенсированных зарядов
Таким образом, облако заряженных частиц становится, как принято говорить,
"квазинейтральным", т.е. Ne становится практически равным N{. Вот такой квази-
квазинейтральный газ и называется плазмой (Лэнгмюр, Тонкс, 1923 г.)
О том, насколько сильно связаны электроны и ионы в плазме, можно судить на
таком примере. Пусть полностью ионизован объём воздуха в 1 см3 в виде шарика при
нормальных условиях. Тогда в нём будет содержаться N ~ 5 • 1019 ионов и столько же
электронов. Представим себе, что некто (или нечто) в состоянии взять в одну "руку"
все ионы, а в другую — все электроны, и попытается их растащить друг от друга.
Очевидно, максимальной сила взаимодействия положительного и отрицательного
"шариков" будет при расстоянии между ними г ~ а, где а ~ 0, 5 см — радиус шариков.
Эта сила взаимодействия определяется законом Кулона
N2e2
F^^. (B.1.6)
az
Подставляя сюда N = 5 • 1019см~3, е = 4, 8 • 10~10СГСЕ, получаем чудовищную
силу
F^2,5- 1012 тонн,
т. е. 2,5 триллиона тонн! А ведь на ионизацию этого количества газа потребовалось
всего ~ 100 Дж, а его масса ~ 1 мг.
Вот это единство гигантского и очень малого говорит от огромных возможностях,
которые скрывает в себе плазма.
Дебаевский радиус. Критерию квазинейтральности можно придать более кон-
конструктивный вид.
Для этого оценим критическую плотность п*, предполагая, что N* тяжелых
частиц находятся внутри сферы радиуса а. В таком случае потенциал на поверхности
сферы будет равен
л N*e m 1 т\
0* = . (В.1.7)
а
Последний электрон, который сможет уйти на бесконечность, имея начальную энер-
энергию е\, будет определяться условием
еф*=еи (В. 1.8а)
или N 2
— =ех. (В.1.86)
а
Вводя критическую плотность электронов п*
/. Что такое плазма? 15
можно записать (В. 1.7) в виде
=ва2,
4тге2п* ' 3' к '
Стоящая слева величина имеет размерность квадрата длины. При любых п и г эта
длина, равная
называется "дебаевским радиусом".
Поэтому можно сказать, что критическая плотность, при которой начинается
переход заряженного облака в квазинейтральное образование, т. е. в плазму, это
такая плотность, при которой дебаевский радиус становится меньше размера облака
заряженных частиц. И, соответственно, облако ионизованного газа становится "на-
"настоящей плазмой", если
где п и а — характерные значения плотности и размера облака.
Оценим п* для сферы с радиусом а = 1 см при энергии электронов е = 1 эВ AэВ
1,6- 1О~12эрг). Исходя из формулы (В.1.8), находим
^ 1,7- 106см-3.
К сказанному следует сделать два замечания.
а. Как видно из приведенных рассуждений, критерии плазменного состояния
(В. 1.5) или (В.1.11) сохранятся и в том случае, если рассматривается облако,
в котором, наряду с заряженными частицами, присутствуют и нейтральные
атомы и молекулы. Они просто не играю роли. Однако, для указания степени
ионизации используются термины: "полностью ионизированная плазма" и "не
полностью ионизированная плазма".
б. Квазинейтральную среду называют обычно плазмой, если она газообразна. Но
существуют квазинейтральные среды не газообразные. Сюда относятся твёрдые
(металлы, полупроводники) и жидкие (расплавы, электролиты) проводники
с подвижными электрически заряженными частицами. Их принято сейчас на-
назвать плазмоподобными средами.
Плазму часто называют "четвёртым состоянием вещества". И это оправданно, но
из формулы (В.1.11) видно, что переход в плазменное состояние определяется не
только свойствами субстанции (п, г), но и внешними факторами — размером систе-
системы а. Этим плазма на первый взгляд резко отличается от классических состояний
вещества: твёрдого, жидкого, газообразного, переходы между которыми как будто не
зависят от макроразмеров образца. Однако при малых размерах образцов темпера-
температура фазового перехода также не остается постоянной. Так, например, температура
плавления олова Тпл = 505 К, но, если кусочек олова уменьшить до размера 10 нм,
то Тпл уменьшится до 480 К.
Тоже можно сказать и о других фазовых переходах первого рода. Ясно, что боль-
большая роль макроразмеров плазмы объясняется в первую очередь дальнодействующим
характером кулоновских взаимодействий.
Иногда в качестве аргумента против признания плазмы четвертым состоянием
вещества приводится большая величина температурного интервала, в пределах ко-
16
Введение
торого происходит переход от нейтрального к полностью ионизованному газу .
Но это возражение нельзя считать серьезным, поскольку в критерии плазменного
состояния не входит степень ионизации.
Дебаевские оболочки ''свободных" плазменных образований при отсутствии
магнитного поля О (Н = 0). Плазменные образования — сгустки плазмы в вакууме,
в плотной атмосфере, в сосудах — имеют, как правило, "оболочку", в которой
нарушается квазинейтральность. Эти слои будем называть "дебаевскими". Их часто
называют также "двойными" или "ленгмюровскими".
Чтобы яснее понять причину их появления, представим себе, что в вакууме
находится облако плазмы. Оно может быть получено, например, испарением кру-
крупинки твёрдого водорода и его последующей ионизацией за счёт облучения со всех
сторон лазерным излучением. Что произойдет дальше? Предположив, что хаоти-
хаотическая энергия ионов порядка или меньше энергии электронов, мы увидим, что
электроны, как более подвижные частицы, начнут убегать из облака и быстро
создадут в поверхностном слое плазменного объёма дефицит электронов порядка N*,
который определяется формулами (В. 1.7) и (В. 1.8) и дальнейший уход электронов
прекратится (рис. В. 1.2). Конечно, процесс вылета электронов будет идти и далее, но
они будут втягиваться в облако его положительным зарядом, и только возникающие
изредка (за счёт столкновений) более быстрые электроны будут покидать объём.
+. ++ +* ]
— i
- - - -I - I
¦ . I . -I
- - - I - I
— . _ . — i
ДС
Рис. В. 1.2. Схема распределения заря-
зарядов в плазменном облачке, разлетающемся
в вакууме, ДС — дебаевский слой
Рис. В. 1.3. Дебаевский слой на диэлектри-
диэлектрической стенке
В результате на большом расстоянии (г ^> г в) от облака будет существовать
практически вакуумное поле
N
Около поверхности — в пределах слоя толщиною
г в =
1) При наличии магнитных полей картина существенно усложняется и это будет видно
в разделе 3.5.
/. Что такое плазма? 17
возникает слой некомпенсированных ионов — этот слой мы и будем называть деба-
евским, а в глубине облака плазма будет просто нейтральной.
Дальнейшая эволюция облака, как будет показано в гл. 3, аналогична расшире-
расширению газового шара с температурой Тэф = T[/~zi + Те. Здесь г— средний заряд ионов.
Дебаевский слой у диэлектрических стенок. Все знают, что в так называемых
лампах дневного света горит разряд и основной объём её занимает образующаяся
при этом слабоионизованная плазма (подробнее см. 10.2).
Её электроны имеют температуру ~ 2эВ и быстро движутся во всех направ-
направлениях, в том числе и к стенке. В то же время ионы из-за столкновения с ней-
нейтральными атомами имеют практически комнатную температуру, и скорость их на
четыре с лишним порядка меньше скорости электронов. В результате внутренняя
поверхность трубки быстро заряжается отрицательно. Тем самым резко подавляется
темп поступления электронов на стенку, и он снижается до темпа поступления ионов
(рис. В.1.3).
Таким образом, устанавливается режим, при котором
Зп] =ineH -<?)• (в. 1.12)
Здесь 2п — плотность потока, достигающего стенку, а а — коэффициент вторич-
вторичной электронной эмиссии стенки, т. е. количество электронов, которое эмиттируется
стенкой под действием одного падающего электрона. Приходящие на стенки ионы
и электроны рекомбинируют друг с другом. В (В. 1.12) предполагается, что а < 1.
Случай, когда а > 1 рассматривается в гл. 7.
Поле электронов, сидящих на стенке, проникает в плазменный объём опять-таки
на толщину rsj го- Наглядно, хотя и не очень строго, это можно пояснить следующим
образом. Уравнение Максвелла для электрического поля около плоской стенки имеет
вид
Будем считать, что для электронов справедливо распределение Больцмана
еф
пе =
и ограничимся расчётом только дальней зоны, где можно считать ф <С кТе, а плот-
плотность ионов постоянной. Тогда
щ = п0, пе « п0
кТе
и уравнение (В.1.13) предельно упрощается
кТР
(В.1.14а)
Следовательно, вызванное стенкой электрическое поле быстро убывает при удалении
от стенки: .
- —1, rD = J-гЩ- • (B.I.146)
rD J у 4тге2п0
Поэтому часто и говорят о дебаевском радиусе, как о радиусе экранирования.
В приведённых рассуждениях лампа дневного света фигурировала как наглядный
пример. Полученная формула (В. 1.146) справедлива всегда, если а < 1, а стенка
изолирована.
18 Введение
Ленгмюровская частота. Наряду с дебаевским радиусом характерным парамет-
параметром плазмы является так называемая ленгмюровская или плазменная частота 0.
Простейшая модель, которая позволяет получить
формулу для этой частоты, строится следующим обра-
образом (рис. В. 1.4). Возьмём плазменный слой и предста-
представим его как совокупность двух недеформируемых слоев-
блоков, электронного и ионного. Если теперь сместить
электронный блок на хе, а ионный на Xi, то на сторонах
плазменной пластины появятся заряды с плотностью ±д,
где
q = eno(xi-xe).
Эти заряды создадут в объёме электрическое поле на-
напряжённостью
Рис. В.1.4. Блочная модель Е = _4тгепо(^ - хе). (В.1.15а)
ленгмюровских колебаний
Мы предполагаем, что толщины выступающих частей электронного и ионного слоев
пренебрежимо малы. Появление в квазинейтральном объёме слоя поля (В. 1.15а)
приведёт к колебанию электронного и ионного блоков друг относительно друга. Они,
очевидно, описываются уравнениями (отнесенными к 1 см2 площади поверхности
слоя)
в?хе
(тещ1) ^ = (епо/Lтгепо(з^ — хе). (В. 1.156)
AL( — хе). (В.
Здесь / — толщина слоя, т — масса электрона, fi — масса иона. Сократив в этих
уравнениях величину щ1 и вычитая второе уравнение из первого, получим
где ? = Xi — хе, а
0 \т 1
Частоты ujQe и ^сь определяемые формулами
w2e = lZ^o, "о2^^2. (B.I.17)
называются соответственно электронной и ионной ленгмюровской частотами, а ча-
частота ,
^0 = А/^Ое ~^ ^0г (В. 1.18)
называется плазменной частотой. Очевидно, с большой точностью uoq ~ ^0е-
Оценим масштаб Uoe, взяв характерную для будущих термоядерных реакторов
плотность п = 1014см~3. Подставляя в (В. 1.17) получим
ujne ~5- 104л/ш «5- 1011 с.
Очевидно, электронный блок колеблется около почти неподвижного ионного бло-
блока. Амплитуды их колебаний относятся друг к другу как М/т.
1) На самом деле между этими терминами могут быть существенные различия, но часто
они воспринимаются как синонимы.
2. Область разреженных нерелятивистских плазм в координатах п,Т 19
Если амплитуда скорости электронного блока равна Vem, то в силу гармоничности
колебаний его максимальное смещение
Vem , ..-em (B.I.19)
А эта величина с точностью до множителя ~1 совпадает с формулой для дебаевского
радиуса (В. 1.10).
В.2. Область разреженных нерелятивистских плазм
в координатах n, T
Посмотрим теперь, насколько велико "море" интересующих нас плазм и в каких
берегах оно "плещется". Это море ограничено тремя условиями.
1. Как уже было отмечено в предисловии, в этой книге будут рассматриваться
только разреженные 0 плазмы в том смысле, что кинетическая энергия их
частиц C/2)fcT много больше потенциальной энергии пары частиц на среднем
расстоянии го ~ п/3
^«фт. (B.2.U)
Если ввести дебаевский радиус в форме (В. 1.156), то условие (В.2.1а) примет
вид
1 „ 4тг о / кТ
™, ND = rDn0; rD = Wjг, (В.2.16)
20 3 у 4irezn
где Nd — число частиц в дебаевской сфере. Так, при щ = 1013см~3 и кТ =
= 104 эВ, имеем Njj ~ 3 • 108. Подчеркнём, что число частиц в дебаевской сфере
ND пропорционально п^ , т.е. возрастает с уменьшением плотности плазмы
щ.
2. Как электронная, так и ионная компоненты предполагаются нерелятивистскими
(с — скорость света),
кТе < me2, kTi <C MiC2. (B.2.2)
Для электронов это ограничение означает, что их температура — в случае,
например, максвелловского распределения, в токамаке должна быть меньше
50кэВ.
3. Наконец, будем предполагать, что плазма неквантовая, т. е. среднее расстояние
между частицами
го^по/3>АБ, (В.2.3)
где Лб = h/mv — длина волны де-Бройля.
Несмотря на сделанные ограничения, параметры рассматриваемой плазмы изме-
изменяются в очень широких пределах. Наглядное представление об этом даёт рисунок
В.2.1, на котором в координатах Т — характерной температуры субстанции и п —
1) Мы будем пользоваться таким термином вместо часто употребляемого "идеальный" газ
("идеальная плазма"), а слово "идеальный" оставим как синоним бездиссипативности.
20
Введение
концентрации её частиц, выделены области, относящиеся к разреженной классиче-
классической плазме (она заштрихована) и примыкающим к ней средам 0.
10
Рис. В.2.1. Схема областей разреженной классической плазмы и окружающих её сред в коор-
координатах температура-плотность
Кратко охарактеризуем изображённые на рис. В.2.1 области, двигаясь снизу
вверх. Сразу отметим, что границы между областями условны и зависят от конкрет-
конкретных свойств вещества и внешних условий. Область I (T < 0, 2эВ) — это область
нейтральных (неионизованных) газов и твердых тел. Для каждой конкретной суб-
субстанции она "пятниста", так как плотность насыщенных паров обычно на порядки
отличается от плотности конденсированной жидкости или твёрдого тела. Отметим,
что из этой области выросла вся сумма технологий человечества от каменного топора
до космической техники.
В этой области энергия частиц ограничена уровнем энергии химических связей,
а плотность — плотностью твёрдого тела (птах ~ 1023см~3).
Выше расположена область II — "низкотемпературной" плазмы (Т^ ~ Те < 5эВ),
в которой наиболее заселен диапазон температур ~ 0, 3—0,6эВ и степень иониза-
ионизации не велика (от долей до единиц процентов). К этой области относятся плазмы
классических разрядов (дуговых, тлеющих и др.), а также поверхностных слоев
Солнца. При возрастании плотности до 1018—1019 см~3 плазма становится "плотной",
т.е. нарушается условие (В.2.1а) и мы попадаем в область VII.
Далее идёт область III E < Т < 100эВ). Это область полностью ионизованной
плазмы "средних энергий". В конкретных случаях здесь следует выделять две под-
подобласти. Назовем их \\\z и Шо. Область Шо — это область, в которой все ионы
потеряли свои электронные оболочки, так что они представляют собой кулоновские
центры. Простейший пример — это ионы водорода. Однако, если заряд ядра Z ^> 1, то
чаще у ионов сохраняются внутренние оболочки. Они образуют область \\\z. Поэтому
кулоновское взаимодействие между такими ионами здесь реализуется только при их
взаимодействиях на относительно больших расстояниях. А на близких расстояниях
характер взаимодействия становится сложнее (см. гл.6). Граница между областями
1) Конечно, любое плазменное образование характеризуется большим числом параметров.
Но наглядно их представить невозможно, и поэтому мы вынуждены ограничиться двумя
координатами.
2. Область разреженных нерелятивистских плазм в координатах п,Т 21
\\\z и Шо зависит от сорта вещества. При возрастании плотности, особенно при
достаточно больших z мы также попадаем в область "плотной" плазмы.
Следующая область IV A02 < Т < 5 • 104 эВ). Это область "горячей" плазмы.
В лабораторных условиях такая плазма стационарно может быть получена только на
водороде и легких элементах (Не, Li) из-за мощного тормозного излучения. Плазма
легких элементов в этом энергетическом диапазоне представляет большой интерес
для проблемы управляемого термоядерного синтеза (см. раздел 10.5). Заметим, что
температура в центре Солнца порядка 1000 эВ, но зато плотность (это в основном
водород) порядка 100 г/см3, т.е. щ ~7 • 1025см~3.
Теперь коротко о пограничных областях. Область V — это область релятивист-
релятивистских плазм. Здесь сначала релятивистскими становятся электроны. Такая плазма при
наличии магнитного поля генерирует синхротронное излучение, обязанное центро-
центростремительному ускорению.
В космических условиях синхротронный механизм ответственен за радиоизлу-
радиоизлучения звезд в том числе пульсаров. Если электронно-релятивистское плазменное
образование велико, и 7~излУчения в существенной степени заперто, то при Те ~
~ 1 МэВ начинается рождение электронно-позитронных пар. Такова атмосфера, по-
видимому, у пульсаров (нейтронных звезд).
В настоящее время в лабораториях получают стационарные образования, которые
можно считать ионно-релятивистской плазмой. Действительно, как уже упоминалось
в предисловии, в технике ускорителей заряженных частиц используются своеоб-
своеобразные "ловушки" — накопительные кольца, в которые вводятся разогнанные до
больших энергий частицы. Если в такое кольцо с поперечным магнитным полем ин-
инжектировать частицы и античастицы, то они будут двигаться навстречу друг другу.
Тем самым появляется возможность изучать столкновения частиц при ультрареляти-
ультрарелятивистских энергиях. Такие накопительные кольца называют обычно "коллайдерами"
(от английского слова collide — сталкиваться). Очевидно, в таком однокольцевом
коллайдере при равных концентрациях частиц и античастиц мы имеем квазиней-
квазинейтральную ионно-релятивистскую среду. Особенно это высказывание справедливо,
когда используется коллайдер из двух накопительных колец с ионами одного знака.
Тогда в зоне пересечения встречных потоков протонов (с энергией до ~ 1012эВ) их
плотность достигает 108см~3.
Эта зона является по сути своеобразным объёмом неизотермической (т. к. Те <С
<С s^ плазмы с существенно анизотропной функцией распределения ионов.
Область VI — это плазмы с квантовым вырождением электронов. Иными словами,
здесь в отличие от (В.2.3) расстояние между частицами порядка длины волны де
Бройля
го ~ 4?з ~ АБ. (В.2.4)
по
Поэтому энергия электронов характеризуется теперь не температурой, а, в силу
принципа Паули, энергией Ферми
eF = ^2nf\ (B.2.5)
Иными словами, если кТ < ер, то в критерий разреженности в (В. 1.18) надо ставить
не кТ, а ер. Следовательно, в области больших п электронная компонента "разре-
"разреженной" плазмы является идеальной, если
е2
- <С eF. (B.2.6)
го
22 Введение
Область VII — это область классической плотной плазмы. Для нее характерны
высокие плотности и низкие температуры. В лабораторных условиях обычно плот-
плотности по < 1019см~3, Т< 1 эВ. Примерами систем с неидеальной плазмой могут
служить разряды при высоких давлениях. По своим свойствам (структуре) неиде-
неидеальная плазма ближе к жидкости, чем к газам. Учитывая критерии неидеальности
видно, что линия раздела между классическими разряженной и плотной плазмами
на графике В.2.1 изображается прямой
Inn = 3 In T +const.
Нижняя по плотности граница квантовой плазмы определяется условием (го =
= п-'/з):
т
и зависит только от плотности. Это критическая плотность п* « 5 • 1025см~3 и ей
соответствует ер ~ 30 эВ. Отметим, что плотность п* « 5 • 1025см~3 в настоящее
время получают на установках с лазерным сжатием мишеней. Видно, что переход
в квантовую область происходит при плотности, существенно более высокой, чем
переход редкая-плотная плазма в классике. Поэтому при кТ < 30 эВ граница разря-
разряженной плазмы определяется классическим критерием (В.2.3).
Наконец, область VIII на этом графике, прижатая к вертикальной оси, соот-
соответствует совокупностям заряженных частиц. Реально здесь нет ограничений на
энергию (уже сейчас на ускорителях получены протоны с энергией ~ 1012эВ), но
эти совокупности ограничены по плотности из-за объёмного заряда.
За пределами рассмотренных областей лежит плазма белых карликов (no ~
~ 1030см~3), нейтронное вещество пульсаров и кварк-глюонная плазма черных дыр.
Но, это очень далеко от интересующей нас области "разреженной плазмы".
На рис. В.2.1 отмечена область Т — термоядерная плазма в стационарных маг-
магнитных ловушках.
На рис. В.2.1 видно, как широк диапазон параметров, который мы относим
к классическим разреженным плазмам. Ясно, что в этом диапазоне перспективы
практического использования плазмы огромны.
В.З. Об истории плазменных исследований [50, 51]
В.3.1. Исследования до 20-х годов XX века. Начало плазменных исследова-
исследований фактически относится к середине XVIII века. В это время появляются пред-
предшественники электрофорных машин и лейденские банки, развлекающие публику на
площадях и во дворцах 0 различными электрическими явлениями и, прежде всего,
искровыми разрядами.
В это же время A750-1752 гг.) Б. Франклин "приручает" молнию, а в 1769 году
великий герцог Тосканы приказывает поставить громоотводы около всех пороховых
складов герцогства. Отношение к электричеству становится серьезным.
Появление гальванических элементов Вольта приводит к открытию электрической
дуги в самом начале XIX века (Петров, Дэви). Во второй половине XIX века
1) В серии портретов воспитанниц Смольного Института, написанных Левицким в 1776
году, есть портрет Е. И. Молчановой рядом с электрической машиной.
3. Об истории плазменных исследований 23
электрическая дуга находит различные принципиально новые применения: источник
света (Яблочков, 1870 г), инструмент сварки (Бенардос, Славянов, 1880 гг.).
Наряду с развитием технологических приложений дуговых разрядов, с середины
XIX века закладываются основы физики плазмы. Это было связано с изучением
электрических свойств веществ, сначала в виде законов электролиза Фарадея A830-е
годы), а затем путём воздействия на потоки частиц (на катодные и каналовые лучи)
магнитных и электрических полей в электроразрядных трубках с низким давлением
газов. Впервые такие разряды наблюдал М. Фарадей, а затем во многих вариантах
осуществил Гейслер A850-е годы), но обстоятельные исследования обнаруженных
"катодных лучей" начинаются в 1870-ых годах. Именно тогда У. Крукс доказывает,
что они представляют собой поток частиц. Свой доклад, прочитанный в 1879 году
на заседании Королевского Института, он озаглавил так: "О лучистой материи, или
четвертом агрегатном состоянии". В нем, приведя убедительные экспериментальные
данные, говорящие о корпускулярной природе катодных лучей, Крукс заключает:
"При изучении этого четвертого состояния вещества создаётся представление, что
мы имеем, наконец, в своем распоряжении "окончательные" частицы, которые мы
можем с полным основанием считать лежащими в основе физики Вселенной.. .Мы
определённо вошли здесь в область, где материя и энергия кажутся слитыми воеди-
воедино. . .Я беру на себя смелость предположить, что главные проблемы будущего найдут
"своё" решение именно в этой области".
Вот воистину гениальное предвидение!
Но до окончательного признания электронов потребовалось ещё около 16 лет,
и это произошло в 1895 году благодаря Дж.Дж. Томсону, который определил отно-
отношение е/т для катодных частиц. В физике слово "электрон" появляется в 1891 году,
а после 1900 года оно приобретает современный смысл. Так зародилась электроника
и начала рождаться собственно физика плазмы, точнее, газовых разрядов.
Далее события развиваются стремительно: написана формула Планка для излуче-
излучения A900 г.), поставлены опыты Резерфорда, открывающие атомное ядро 0 A911 г.),
создана модель атома Бора A913 г.), квантовая механика Гейзенберга-де Бройля-
Шредингера-Дирака (первая половина 1920 годов). В итоге фундамент для физики
плазмы был заложен.
Но развивается и технология заряженных частиц: масс-спектроскопия (Томсон,
1912 г, Астон, 1920 г), первый осциллограф ("трубка Брауна"), электронные радио-
радиолампы (ля Форрест и др.), электростатические ускорители заряженных частиц (Ван
де Грааф, 1931 г) и т.д.
В это же время развивается также плазменная технология. С 1908 года засве-
засветились "неоновые трубки" реклам — гейслеровские разряды. Начинают разрабаты-
разрабатываться плазменные коммутаторы: ртутные выпрямители, тиратроны, дугогасительные
камеры для размыкателей мощных электрических цепей; разрабатываются лампы
большой светимости на основе дугового разряда и т. д.
Все это, конечно, нужно и важно, но в целом происходит на периферии прогресса
физики. Для этой новой области даже нет адекватного термина, а есть физика
газового разряда: дугового, тлеющего, искрового и т.п. До середины 1920-х годов
фундаментальными можно считать, пожалуй, только работы Таунсенда A910-е го-
годы), посвященные подвижности заряженных частиц в слабоионизованных газах. Для
будущего особенно важное значения имело его исследование влияния поперечного
магнитного поля на подвижность электронов в электрическом поле. Он показал,
1) Кстати, спинтарископ, с помощью которого производил свои наблюдения Резерфорд, был
изобретен всё тем же Круксом.
24
Введение
М. Саха
Б. И. Давыдов
.-^HsRw^f
i
X, Альфвен
. Б. Файнберг В. Л. Гинзбург Я. Б, Зельдович А. Л, Чижевский
Основоположники гидро- плазмодинамики
3. Об истории плазменных исследований 25
теоретически, и экспериментально (при слабой ионизации!), что подвижность элек-
электронов обратно пропорциональна квадрату напряжённости поперечного магнитного
поля ,
№ (В31)
Эта зависимость получила название "классической". Однако, реализовать в экспери-
экспериментах эту зависимость в объёме хорошо ионизованной и достаточно плотной плазмы
удалось только в 1960-х годах (см. ниже).
Отделение физики плазмы от физики разрядов связывают обычно с И. Ленгмю-
ром. Его основные работы в этой области приходятся на 1920-е годы и ознаменова-
ознаменовались тремя фундаментальными достижениями.
Во-первых, им была создана совершенно новая вакуумная техника — диффузи-
диффузионные насосы, которые позволили эффективно получать высокий и чистый вакуум.
Во-вторых, И. Ленгмюром были доведены до большого совершенства теория и тех-
техника измерения параметров плазмы с помощью электростатических зондов. Они
позволили на совершенно новом уровне определять пространственное распределение
электронной температуры (Те), электрического потенциала (ф) и плотности в плаз-
плазменных конфигурациях. Поэтому не удивительно, что электростатические зонды
стали называть "ленгмюровскими", хотя первые зондовые измерения были выполнены
в 1887 году Лехером.
И, в-третьих, Ленгмюру и Тонксу принадлежит ряд теоретических работ, прежде
всего, открытие специфических плазменных колебаний с "ленгмюровской" частотой
Ленгмюром было введено, наконец, понятие "плазма" и сформулировано то опреде-
определение этого состояния вещества, которое было дано ранее.
На 1920-е годы приходится также разработка теории термодинамически равно-
равновесной плазмы, опирающейся на уравнение Саха (см. пункт 6.5.7). Важными дости-
достижениями этого периода являются открытие ионосферы Земли (Хэвисайд) и первые
попытки смоделировать северное сияние (гл. 9)
В.3.2. Исследования и разработки 30-х и 40-х годов. Тридцатые годы можно
назвать годами эволюционного развития экспериментальных исследований и бурно-
бурного развития теории. В астрономии идёт совершенствование спектральных методов,
уточняются характеристики космических объектов. Радиофизики прорисовывают
строение ионосферы Земли и строят модели распространения там радиоволн. В ла-
лабораториях, используя преимущественно зондовую методику Ленгмюра (уточненную
Д. Бомом и М. Друвестейном) и, в меньшей степени, спектроскопию, все детальней
изучаются различные разновидности разрядов. На этой основе ведутся разработки
ряда газоразрядных приборов. Из принципиально новых устройств, созданных в это
время, следует отметить "ячейку Пеннинга" — одно из первых и широко применя-
применяемых до сих пор газоразрядных устройств с магнитным полем, замагничивающим
электроны (подробности об этом классе устройств см. 10.6). Но наиболее радикаль-
радикальный прогресс происходит в области теории. Здесь строятся эффективные модели
фрагментов классических разрядов, хорошо согласующиеся с экспериментом (Шотт-
ки, Энгель, Меккер и др.). Наряду с этим начинает развиваться общая кинетика
плазмы. В 1936 г. Л. Д. Ландау, модифицируя столкновительный член кинетического
уравнения Больцмана применительно к кулоновским взаимодействиям, получает
столкновительный член Ландау. Об этих уравнениях идёт речь в гл. 5. В это
же время Б. И. Давыдов, исходя из кинетического уравнения Больцмана, выводит
26 Введение
для слабоионизованной плазмы адэкватный столкновительный член "Больцмана-
Давыдова" и находит функцию распределения электронов при наличии однородного
электрического поля. И, наконец, в 1938 году А. А. Власов, отталкиваясь от урав-
уравнения Лиувилля, формулирует свою систему уравнений с самосогласованным полем,
которая наиболее адекватно отражает кинетику полностью ионизованной плазмы.
Уравнениям Власова (или лучше, Власова-Максвелла) посвящена глава 4.
Сравнительно плавное, хотя и достаточно энергичное развитие физики плазмы
в 30-х годах в полном смысле слова взрывается в 40-х годах, прежде всего в связи
со Второй Мировой войной. Её влияние на развитие физики и техники плазмы
было огромным. Это было связано с созданием СВЧ-техники для радиолокации и её
основы — мощных генераторов волн сантиметрового и дециметрового диапазонов,
волноводов и сверхчувствительных — для того времени — приёмников. Эти до-
достижения обеспечили развитие радиодиагностики плазмы, породили СВЧ-разряды
и радиоастрономию, которая дала бесценную информацию о плазменных процессах
в Космосе.
Ещё более важное значение для нашей области имели работы по созданию
атомной бомбы. Отметим три момента.
а. Одним из этапов решения этой проблемы была разработка установок "электро-
"электромагнитного" разделения изотопов урана U238 и U235.
Для этого требовались мощные источники ионов и высокопроизводительные
сепараторы, способные работать при больших ионных токах. Такие пучки
принципиально должные быть квазинейтральными, т. е. представлять собой
плазменные образования.
б. Работы по исследованию поведения плазмы в газоразрядном источнике ионов
(они делались на базе ячейки Пеннинга) и в самом сепараторе привели к вы-
выводу, что закон Таунсенда (В.2.6) не работает, и в связи с этим Д. Бомом были
предложены — на основании обработки экспериментальных данных, формулы
(так называемые скейлинги) для коэффициентов переноса, которые отличаются
от классических заменой времени свободного пробега электрона те на величину
тБ = (*) . (В.3.2)
Так, в частности, коэффициенты диффузии — классический (таунсендовский)
и бомовский, имеют вид (и>ете > 1):
ezHzre \ЬеН
Сразу отметим, что D^\ при достаточно высоких Т и Н, больше ?)(кл) на
много порядков. И если бы "бомовская диффузия" была бы фатальна, то нельзя
было бы создать магнитные ловушки для управляемого термоядерного синтеза
(УТС) и большинства плазменных ускорителей.
К счастью, в 60-х годах было установлено, что бомовская диффузия обуслов-
обусловлена аномальными процессами в плазме, т.е. она не является универсальной,
и вполне можно снизить переносы до уровня определяемого классическими
формулами, т. е. формулами Таунсенда. Но для установления этого факта потре-
потребовалось примерно 50 лет работы ученых, т. к. на начальном этапе, когда изуча-
изучали простейшие плазменные системы, формулы Бома разумно соответствовали
экспериментальным данным на самых разных установках. Во всяком случае,
эта формула была своеобразной "точкой отсчёта", что безусловно способствова-
способствовало систематизации экспериментальных фактов.
3. Об истории плазменных исследований 27
в. Наконец, разработка и исследование электромагнитного метода разделения
изотопов явились прекрасной школой, и её руководители у нас в стране позднее
возглавили экспериментальные исследования по УТС (Л. А. Арцимович и др.).
Сами взрывы атомных бомб создавали плазму с очень высокими параметрами.
К исследованиям процессов взрыва атомных бомб и возникающих при этом ударных
волн были привлечены крупнейшие ученые (Я. Б. Зельдович, И. Е. Тамм, А. Д. Саха-
Сахаров и др.), и эти исследования во многом создали стиль исследований современных
низкотемпературных плазменных систем с многоэлектронными атомами.
В.3.3. Исследования 50-60-х годов. Проблема УТС. Вставшая вскоре про-
проблема водородной бомбы дала импульс идее управляемого термоядерного синтеза О
и тем самым развитию огромной новой области плазменных исследований — физики
"горячей плазмы", т.е. плазмы с температурой ~ ЮкэВ = 108 К, и при том в спокой-
спокойных лабораторных условиях.
Такие температуры необходимы, чтобы в реакторе два ядра лёгких элементов —
в простейшем случае ядра изотопов водорода дейтерия (D= 2H) и трития (Т= 3Н)
смогли преодолеть кулоновское отталкивание, сблизиться на расстояния ~ 10~13см,
на которое простирается действие ядерных сил, и слиться, образовав ядро гелия (а-
частицу) и нейтрон:
D + Т -> 2Не4 + п + 17МэВ.
При этом реакция сопровождается выделением большой энергии. Принципиально
важно, что в любой воде из лужи или океана на каждые ~ 5000 атомов водорода
приходится 1 атом дейтерия. Иными словами, в отличие от газа, нефти, угля, запасы
термоядерного горючего практически неисчерпаемы (подробнее см. раздел 10.5).
В это же время (конец 50-х годов) был указан путь в "энергетическое Эльдорадо":
надо отказаться от энергопоглощающих стенок (плотные газы, жидкости, стеклянные
трубки и т. п.) и перейти на удержание плазмы электромагнитными полями.
О том, как родилась в нашей стране проблема управляемого термоядерного
синтеза вспоминает научный руководитель центра разработки ядерного оружия ака-
академик Ю.Б. Харитон, который хорошо знал события того времени: "Игорь Евге-
Евгеньевич (Тамм)...не отмахнулся от полученного им летом 1950 года письма.. .никому
неизвестного Олега Лаврентьева, служившего на сержантской должности в далё-
далёком Сахалинском военном округе. Автор-самоучка предлагал использовать систему
электростатической термоизоляции для получения высокотемпературной дейтериевой
плазмы. Игорь Евгеньевич поручил молодому Сахарову разобраться в идее Лаврен-
Лаврентьева. Позднее Андрей Дмитриевич писал, что этот "инициативный и творческий
человек.. .поднял проблему колоссального значения" 2). Очень скоро Сахарову стало
ясно, что на самом деле реальные возможности открываются с применением магнит-
магнитной термоизоляции. Он и Игорь Евгеньевич приступили к интенсивным конкретным
расчётам" 3). Сказанное чётко указывает роль О. А. Лаврентьева в рождении пробле-
проблемы УТС [22]
Наряду с рождением идеи УТС конец 40-х-начало 50-х годов ознаменовались
ещё одним очень важным событием. В этот период вышла в свет 4) книга также
неизвестного тогда широкому кругу плазменщиков шведского астрофизика X. Альф-
вена "Космическая электродинамика" [21], в которой обстоятельно рассматривалась
1) В водородной бомбе происходит взрыв — "неуправляемый" синтез.
2) А. Сахаров. Воспоминания. Нью-Йорк, Из-во имени Чехова, 1990, с. 186.
3) Харитон Ю.Б и др. "И.Е. Тамм глазами физиков Арзамаса-16". Воспоминания о И.Е.
Тамме. Ред. Е.Л. Фейнберг. -М.: 1995, 399 с.
4) Русское издание появилось в 1952 году, а английское в 1950 году.
28
Введение
#**
О. А. Лаврентиев Л. А, Арцимович М. А. Леонтович
Л. Спитцер
H. В. Филиппов С, И, .Брагинский
1
И. М. Гельфанд А. Б. Михайловский
*
1. Розенблют М. С. Иоффе
В, Д. Шафранов Л. С. Соловьёв Р. 3. Сагдеев
г* А
М. С. Рабинович
\
И. Н. Головин Н. А. Явлинский М. И. Гусева С. В. Мирное
Пионеры управляемого термоядерного синтеза
3. Об истории плазменных исследований 29
самосогласованная динамика идеально проводящей плазмы и магнитного поля. Эта
книга показала огромную роль электродинамических процессов в Космосе, а предло-
предложенная модель динамики плазмы, получившая название "магнитная гидродинамика
(МГД)", сразу произвела большое впечатление своею новизной и красотой. В резуль-
результате астрофизические процессы огромных масштабов, происходящие со скоростями,
измеряемые сотнями и тысячами км/с, в том числе солнечная корона, протуберанцы,
магнитосфера Земли и т.п., стали доступными серьёзному теоретическому анализу.
Поэтому неудивительно, что такие титаны, как Ферми и Чандрасекар внесли свой
вклад в разработки МГД моделей вскоре после появления книги Альфвена. МГД
быстро находит себе применение и на Земле, в связи с развитием исследований по
УТС и близким задачам. Магнитной гидродинамике мы посвятим основной объём
главы 2 и часть главы 9. В книге Альфвена было предложено также чрезвычайно
эффективное "дрейфовое" приближение (см. раздел 1.2) для описания динамики
одиночных частиц в слабонеоднородных полях.
Таким образом, в самом начале 50-х годов физики-плазменщики имели основу
для кинетического и гидродинамического описания классических разрядов и су-
существенно подогретой "ядерными" взрывами плазмы, а также идеологию динамики
сильно нагретой плазмы космических объектов, и удержания её в лабораторных
условиях с помощью электромагнитных полей. В результате 50-е и 60-е годы стали
десятилетиями изобретений схем самых различных устройств и многочисленных
попыток их реализации.
Особенно интенсивно эта деятельность протекала в связи с проблемой УТС,
физическая новизна и грандиозные перспективы 0 которой вдохновляли ведущих
физиков и, что очень важно, администраторов высокого ранга, определяющих фи-
финансовые ассигнования. В результате 5 мая 1951 года И. В. Сталин подписывает
Постановление Правительства об организации работ по магнитному термоядерному
реактору (МТР). Этот день считается теперь днем начала работ по УТС в СССР.
Лидером в нашей стране в области исследований по УТС стал Институт Атомной
Энергии (ИАЭ), директором которого был Игорь Васильевич Курчатов 2). Непосред-
Непосредственным руководителем работ по УТС в ИАЭ в начале 50-х годов был назначен Лев
Андреевич Арцимович. В отделе Л. А Арцимовича вскоре сформировался и теорети-
теоретический сектор, возглавил который М. А. Леонтович. Первоначальная схема МТР —
"магнитного термоядерного реактора" (так назвал его А. Д. Сахаров), была неработо-
неработоспособна. Поэтому Л. А. Арцимович предложил начать с исследований сильноточных
(Jp ~ 100 кА) электродных импульсных (тр ~ 1 мкс) разрядов в прямых диэлектриче-
диэлектрических трубах, наполняемых дейтерием при давлении ~ 1 Тор. Позднее они получили
название "Z-пинчей" 3), поскольку выяснилось, что при быстром нарастании тока
образуется хорошо проводящий скин-слой, а охватывающие его магнитные поля
сжимают эту плазменную "трубу", которая сгребает ионизующийся газ (подробнее
см. раздел 1.6).
В результате, когда сжимающаяся оболочка достигает оси, то здесь на короткое
время (~ 0, 1 мкс) образуется плотная (п ~ 1019см~3) и горячая (Т ~ 100эВ) плаз-
плазма. Более того, летом 1952 года на установке Н.В. Филиппова было обнаружено,
1) Переработка в термоядерном реакторе тех 0,02% дейтерия, которые содержатся в литре
любой природной воды, даёт энергию, почти в 300 раз большую, чем литр бензина.
2) И. В. Курчатов был научным руководителем всей атомной программы страны, начиная
с 1945 года. Под его непосредственным руководством в нашей стране был создан первый
в Европе атомный реактор, созданы первые атомные бомбы, и запущена первая атомная
электростанция.
3) Английское слово pinch и означает "сжать".
30 Введение
что в некий момент внутри сжатого шнура генерируются нейтроны. Казалось, что
проблема УТС в принципе решена. Но вскоре выяснилось, что генерация нейтронов
обязана не хаотически движущимся (нагретым) частицам, а частицам, ускоренным
в электрических полях, возникающих в процессе разряда. И, более того, все попытки
поднять плотность и температуру плазмы в момент максимального сжатия, и тем
самым увеличить выход нейтронов, не приводили к успеху 0. Вскоре стала ясна при-
причина неудачи. Оказалось, что в сжимающемся шнуре развиваются неустойчивости,
ограничивающие степень сжатия (см. раздел 1.6).
Так, впервые проявился страшный бич всех схем магнитного удержания горячей
плазмы — неустойчивости. Надежда решить проблему с помощью Z-пинчей тех
или иных вариаций окончательно гаснет к 1957 году. В это время идёт буквально
судорожный поиск новых схем плазменных "ловушек". Предлагаются самые экзоти-
экзотические схемы, но явным фаворитом конца 50-х годов становятся так называемые
"пробочные ловушки" ("пробкотроны", "открытые ловушки", "зеркальные ловушки"),
предложенные у нас Г. И. Будкером A954 г), а в США Р. Постом A952-53 гг).
Подробнее они описаны в разделе 1.7.
Вскоре теоретики (Розенблют, Лонгмайер, Кадомцев) предсказали неизбежность
и в пробочных ловушках грубых конвективных неустойчивостей, но они же ука-
указали и методы борьбы с ними (раздел 1.7), что было подтверждено в блестящих
экспериментах М.С. Иоффе (ИАЭ, 1961 г). К сожалению, оказалось, что оставшиеся
"слабые" неустойчивости и "открытость" этих ловушек приводят к большим потерям.
Надежды, связанные с пробкотронами, также начали таять.
После этих неудач в конце 50-х годов начинается серьёзная работа над торо-
тороидальными разрядами в сильном магнитном поле. Так рождаются токамаки 2). Их
отличие от ранних тороидальных разрядов в Англии, США, СССР было связано
именно с использованием сильного продольного магнитного поля (см. раздел 10.5).
Необходимость такого сильного поля для стабилизации винтовых неустойчивостей
предсказали теоретики (В. Д. Шафранов, М. Крускал).
Вскоре на модельных экспериментах критерий Крускала-Шафранова подтвержда-
подтверждает Н.А. Явлинский, и он же создает при участии Л. А. Арцимовича и И.Н. Головина
первые токамаки A960г). Большим несчастьем явилась гибель Н.А. Явлинского
в 1962 году в авиакатастрофе, и тогда непосредственное руководство исследованиями
этих систем берет на себя Л. А. Арцимович. После исключительно напряжённой
и кропотливой работы на Международной конференции МАГАТЭ 3) в Новосибирске
в 1968 году он называет параметры плазмы, достигнутые на токамаке Т-3: плотность
электронов пе = 5 • 1013см~3, температуры ионов и электронов соответственно Т^ «
~ 500 эВ, Те ~ 200 эВ и время удержания энергии плазмы те ~ 0,01 с 4).
Впечатление от доклада было ошеломляющим, и с этих пор начинается экспансия
токамаков — разумеется как с качественными, так и количественными измене-
изменениями — фактически во все лаборатории мира. И такое лидирующее положение
токамаки сохраняют до конца 90-х годов XX века.
Исследования по УТС за рубежом. До сих пор мы говорили об основных этапах
развития исследований по УТС в СССР. А теперь коротко отметим особенности
х) Позднее в одной из модификаций Z-пинча — так называемом "плазменном фокусе", уда-
удалось поднять п и Т на порядок, но и этого было недостаточно для обеспечения положительного
энергетического выхода.
2) Токамак — Тороидальная Камера с Магнитными Катушками.
3) МАГАТЭ — Международное Агентство по АТомной Энергии
4) Это время превосходило расчётное по Бому время в 30 раз.
3. Об истории плазменных исследований 31
исследований 50-60-х годов за рубежом. В этот период ведущими были лаборатории
Великобритании и США.
В Англии исследования разрядов в тороидальных камерах велись с 1947-48 годов.
Вскоре начинаются и исследования Z-пинчей, но они не достигли результатов, полу-
полученных в ИАЭ. Поэтому доклад И. В. Курчатова в 1956 году в английском атомном
центре Харуэле об исследовании Z-пинчей в ИАЭ поразил англичан, и не только
своими физическими достижениями, но и самим фактором открытия исследований,
до тех пор бывшими очень секретными.
В Англии основные надежды были связаны с торидальными разрядами со слабым
продольным магнитным полем. Наиболее крупной установкой того периода была
установка ZETA, результаты исследований на которой были опубликованы в 1958 го-
году. Они оказались весьма скромными, но тем не менее, этот тип разряда обладает
рядом интересных свойств и под названием "пинч с обращенным полем" ("RFP") он
продолжает изучаться и сейчас.
В США исследования по УТС вдохновлялись во второй половине 40-х годов
Э. Ферми, Э. Теллером и другими основоположниками ядерных технологий. Но пер-
первые установки появились в 1950-51 годы. Здесь также изучались прямые разряды, но
наиболее перспективными оказались стеллараторы (см. раздел 10.5) — тороидальные
системы без тока внутри плазмы, в отличие от токамаков.
Стеллараторы были предложены крупным астрофизиком Л. Спитцером мл. Он же
стал руководителем экспериментальных исследований этих систем. На стеллараторах
были получены достаточно высокие параметры плазмы, но они уступали в конце
60-х годов результатам, полученным на токамаках, поэтому в США исследователи
переделали свои стеллараторы в токамаки.
Однако скоро происходит возрождение стеллараторной программы в Советском
Союзе, где была разработана общая теория возмущений тороидальных магнитных
полей (А. И. Морозов, Л. С. Соловьёв, И.М. Гельфанд с сотрудниками и др.), и это
стимулировало создание методов контроля магнитных конфигураций непосредствен-
непосредственно на установках 0. Благодаря этому в Советском Союзе были сооружены стелла-
стеллараторы с требуемой структурой магнитных силовых линий. Здесь особенно следует
отметить работы в ФИАН'е (М.С. Рабинович, И. С Шпигель, Л.М. Коврижных).
В настоящее время стеллараторы — наиболее продвинутое направление в УТС, после
токамаков.
Подведём итогиЖы описали становление и начало эволюции наиболее популяр-
популярных магнитных систем удержания плазмы, хотя их было несравненно больше. Кроме
систем с магнитным удержанием, много усилий было вложено в идею "инерциального
синтеза", высказанную в 1964 г Н. Г. Басовым и О. Н. Крохиным. Суть её состоит
в том, чтобы в течении очень короткого времени (~ 10~9с) обрушить на мишень
малых размеров @ ~ 1 мм) мощный поток лазерного или другого излучения (это
могут быть и потоки частиц), нагреть материал мишени до термоядерных температур
и удержать нужное время просто за счёт инерции (см. приложение Б).
Оканчивая этот краткий обзор ранней стадии развития работ по УТС и учитывая
последующие исследования, можно подвести итоги этого периода.
1. Заложены основы науки о свойствах горячей плазмы в широком диапазоне
параметров и условий. Достигнутый прогресс в области УТС стал возможен,
в частности, благодаря напряжённой работе талантливых теоретиков. В Союзе
1) До тех пор на американских стеллараторах магнитное поле в ловушках не измерялось,
судили о магнитном поле только на основании расчётов, которые, естественно, не учитывали
дефектов изготовления магнитной системы.
32 Введение
в первую очередь надо отметить академика М.А. Леонтовича, создавшего
мощный теоретический отдел в ИАЭ. Велика роль в разработке теоретических
вопросов горячей плазмы, а также в проведении оригинальных эксперименталь-
экспериментальных исследований, коллектива академика Г. И. Будкера (Новосибирский Ин-
Институт Ядерной Физики), а также учёных Харьковского Физико-Технического
Института, Физического Института Академии Наук и др. Большой вклад в раз-
развитие теории УТС внесли математики из Института прикладной математики
им. М. В. Келдыша. Это, прежде всего коллектив академиков И. М. Гельфанда,
А. Н. Тихонова, А. А. Самарского.
Фундаментальный вклад в развитие теории и численного моделирования внесли
также многие зарубежные ученые. Здесь нужно отметить М. Розенблюта,
Крускала, Бернштейна, Фюрта.
2. Создана совершенно новая инженерия больших магнитных систем, больших
вакуумных объёмов, мощной импульсной электротехники. Разработаны мето-
методы получения горячей плазмы с использованием импульсных сильноточных
разрядов, мощных ионных источников и мощных генераторов СВЧ-волн (гиро-
тронов).
3. Разработаны бесконтактные методы локальной диагностики температуры
и плотности плазмы, функций распределения электронов и ионов, магнитных
и электрических полей и других величин.
4. Организовано эффективное беспрецедентное международное сотрудничество
(см. раздел 10.5). Это заслуга И. В. Курчатова, Л. А. Арцимовича, Е.П. Вели-
Велихова, Б. Б. Кадомцева.
Но...
Несмотря на все эти впечатляющие, но, в конечном счёте, частные достижения,
проблема УТС не может считаться решённой, хотя на токамаках JET (европейское
сообщество) и JT-60 (Япония) была в течение коротких промежутков времени
получена генерация термоядерной мощности, соизмеримой с мощностью идущей на
нагрев плазмы (раздел 10.5).
Важно подчеркнуть, что сегодня такая ситуация имеет место на всех направле-
направлениях исследований по УТС, как связанных с магнитным удержанием, так и с систе-
системами инерциального удержания. И это несмотря на пятьдесят лет целенаправленной
и интенсивной работы, стоившей более 30 млрд. долларов (США) и при участии
в этих работах в отдельные периоды до ~ 10000 человек. Поэтому сейчас начат
интенсивный поиск "альтернативных" схем для удержания плазмы, хотя токамаки
по-прежнему лидируют.
Конкретно о подходах и системах УТС мы скажем ниже, а пока подчеркнем,
что исследования по УТС — не единственный объект исследований современной
плазмодинамики.
В.3.4. Исследования 50-х, 60-х годов. Проблема электрореактивных двига-
двигателей. Большое значение, а в ряде областей и определяющее в развитии плазмо-
плазмодинамики, особенно средних (s^ ~ 30—1000 эВ) энергий, сыграла проблема электри-
электрических реактивных (ракетных) двигателей (ЭРД), которая начала бурно развиваться
в 1958-59 годах после вывода в Советском Союзе на орбиту первого спутника Земли
в 1957 году, хотя на теоретическом уровне идеи ЭРД развивались и ранее.
Необходимость перехода на большие скорости истечения газов достаточно оче-
очевидна, поскольку тяга, развиваемая ракетным двигателем
F = ш,
3. Об истории плазменных исследований
33
К. Э. Циолковский В. фон Браун с- п- Королёв М. В. Келдыш
Основоположники классической космонавтики
Г Кауфман А. М. Андрианов Г. Я. Щепкин А. И. Морозов
Основоположники космических электрореактивных двигателей
где т — секундный расход массы, aw — скорость истечения газов. Поэтому при
малых w запасы рабочего вещества на ракете становятся очень большими (см.
раздел 10.4).
Скорость истечения газов из современных термических двигателей ~ C—4) км/с.
В то же время для большинства полетов в ближних пределах солнечной системы
(Меркурий - пояс астероидов) с учётом маневров, требуются скорости истечения
~ B0-40) км/с. Однако перекрыть этот диапазон скоростей с приемлемым кпд не
позволяли имевшиеся плазмотроны и источники ионных потоков. Было естественно
пытаться решить задачу с помощью плазменных ускорителей, но для этого надо
было научиться создавать надтепловые электростатические поля в объёме плазмы.
И в середине 60-х годов эта задача в принципе была решена в ИАЭ А. И. Моро-
Морозовым и Г. Я. Щепкиным, создавшим стационарные плазменные двигатели (СПД),
в которых реальное значение проводимости а± оказалось почти в 1000 раз меньше
бомовской. Позднее были созданы и другие типы плазменных ускорителей (раздел
10.4).
Итак, совместными усилиями при решении проблемы УТС, где акцент ставился
на создание ловушек для удержания плазмы, (т. е. "замагниченную" диффузию)
и ЭРД, где в центре внимания была генерация потоков, (т. е. создание надтепловых
электростатических полей в плазме) предел Бома был полностью преодолен.
2 А. И. Морозов
34 Введение
Разумеется, эти принципиальные достижения открыли совершенно новый мир
плазменных систем, и о ряде конкретных из них будет сказано ниже.
Но не только плазменные системы средних и высоких энергий получили развитие
в эти годы. Совершенно иными стали и казавшиеся исчерпанными физика и при-
приложения низкотемпературной плазмы. Важнейшим "стартовым" достижением здесь
явились исследования мощных ударных волн (УВ) и потоков, образующихся при
взрыве атомных бомб. В этих ударных волнах температура достигает сотен тысяч
градусов, идёт интенсивное возбуждение и ионизация частиц воздуха.
Этот цикл исследований был подытожен в книге Я. Б. Зельдовича и Ю. Г. Райзера
"Физика ударных волн и высокотемпературных газодинамических явлений", два
издания которой вышли в первой половине 60-х годов. Происходящие при высокой
температуре процессы процессы сопровождаются мощным излучением, которое во
многом определяет динамику плазмы. Специфические особенности динамики плот-
плотной плазмы при наличии интенсивного излучения впоследствии привели к появле-
появлению научного направления, получившего название "радиационной плазмодинамики"
(Н. П. Козлов, Ю. С. Протасов и др.).
Кроме этого направления, большую роль в развитии физики низкотемпературной
плазмы на новом этапе сыграло изобретение газовых и плазменных лазеров A960-е
годы). Другой большой — но, к сожалению, должным образом не завершенный, цикл
работ в конце 50-х-начале 60-х годов был посвящен МГД-генераторам, с помощью
которых пытались поднять кпд электростанций. В это же время (начало 60-х годов)
резко интенсифицируются работы по созданию плазмохимических реакторов. Появ-
Появляется новая большая наука плазмохимия (Л. С. Полок, Б.М. Смирнов и др.).
Здесь нужно упомянуть и о развитии плазменной технологии обработки поверх-
поверхностей (В. М. Гусев и М. И. Гусева, В. Г Падалка и В. Т Толок, и многие другие)
Эти направления совершенно земной "лабораторной плазмодинамики" продолжа-
продолжают сейчас интенсивно развиваться, ветвиться и находят всё новые и новые приложе-
приложения. О ряде исследований по созданию инструментов плазменной технологии будет
сказано в последующих главах и подытожено в главе 10.
Достижения лабораторной плазмодинамики находят все более широкие приложе-
приложения и в практике современной космонавтики (в том числе плазменные двигатели)
и при анализе плазмодинамических процессов в магнитосфере Земли и планет,
а также динамики звездных и галактических масс (гл. 9).
В.4. Особенности плазменных исследований
Теперь остановимся на особенностях теоретического анализа плазменных систем.
Специфика плазменных экспериментальных исследований подробно описана, напри-
например, в [8], и здесь мы этого вопроса касаться не будем.
Казалось бы, поведение плазмодинамических систем должно быть близко к по-
поведению обычных газодинамических систем. И действительно, в ряде случаев так
оно и есть, но таких случаев мало, однако даже в них есть весьма нетривиальные
отличия. В общем же, указанные типы систем просто непохожи друг на друга 0.
Несколько условно эти различия применительно к лабораторным условиям можно
объединить в четве группы.
1) Здесь имеется в виду газодинамика относительно малых скоростей (v < 1 км/с). При
больших скоростях начинаются возбуждения и ионизация, и мы приходим к плазменным
системам
4. Особенности плазменных исследований 35
I. Прежде всего, в отличие от классических трёх состояний вещества, плазма не
существует сама по себе в земных условиях (мы не рассматриваем сейчас магнито-
магнитосферу). Она должна специально создаваться и гибнет при контакте с плотным газом
или стенками.
Поэтому анализ процессов в любой реальной системе должен учитывать её
образование из нейтрального газа (или из продуктов испарения конденсированных
сред), а также её гибель при контакте с "холодным окружением". Иными словами,
принципиально приходится учитывать наличие ионизованной и нейтральной компо-
компонент, по крайней мере на начальной стадии формирования плазменной конфигурации
и около ограничивающих её стенок, даже если в основном плазменном объёме плазма
полностью ионизована. Этим обстоятельством объясняется принципиальная роль
"низкотемпературной" плазмы в любой плазменной системе. О ней будет сказано
в главах 6 и 7.
Далее, в обычной газодинамике стенка — например, крыло самолета, это просто
поверхность, на которой ставится граничное условие
v|r = (vn,vt)\r = 0.
Здесь vn — нормальная, a vt — касательная компоненты скорости. Этого гранично-
граничного условия достаточно, чтобы рассчитать, пользуясь уравнением Навье-Стокса, не
только собственно обтекание крыла самолета, но и вязкостный пограничный слой.
Если скорость крыла приближается к звуковой, то ещё нужно учесть теплообмен
между крылом и набегающим потоком. Иная ситуация, когда плазма с энергией
частиц, измеряемой многими единицами, а то и десятками, сотнями электронвольт,
взаимодействует со стенкой. Здесь происходит рекомбинация ионов и электронов,
а также распыление ионами поверхности, эмиссия электронов со стенки, появление
на ней заряда и т. п. Эти процессы во многих случаях играют большую роль, и их
расчёт при анализе конкретных систем становится совершенно необходимым. Об
этом будет говориться в главе 7.
П. Вторая трудность моделирования состоит в том, что плазма, особенно в ла-
лабораторных условиях, является принципиально многокомпонентной. Даже простей-
простейшая водородная плазма в термоядерных реакторах, если отвлечься от примесей
и небольшого количества нейтральных атомов, содержит существенно различные
компоненты: водородные ионы, электроны, магнитное и электрическое поля, а также
излучение, и всё это находится в самосогласованной динамике. Радикально увели-
увеличивает многообразие возможных ситуаций наличие многозарядных ионов.
Мощным фактором, который упорядочивает поведение частиц в плазменном объ-
объёме, является магнитное поле. Поэтому именно с рассмотрения особенностей его
структуры в главе 1 мы и начнем изложение основ плазмодинамики.
III. Обычная газодинамика имеет дело с нейтральными частицами (атомами,
молекулами). Эти частицы взаимодействуют друг с другом только при непосред-
непосредственном контакте. Образно говоря, они "и глухие, и слепые".
Совершенно иная картина в плазме. Кулоновские поля ионов и электронов
сравнительно медленно A/г2) убывают с расстоянием. Поэтому, находясь даже на
значительном расстоянии, они возмущают траектории друг друга. Такое возмущение
будет тем сильнее, чем меньше скорости частиц. Эффективное сечение парных
столкновений можно оценить по формуле О
~тгр2
тгр2, (ВАЛ)
1) Подробное рассмотрение вопроса о кулоновских столкновениях дано в гл. 5.
36 Введение
где р — характерный прицельный параметр , определяемый из условия
|eie2| _
(В.4.2)
V
Здесь готн — относительная кинетическая энергия в системе отсчёта, связанной
с центром масс
_ /ш2 2. __L _L
2 /1 ТП\ 1712
где /i — приведённая масса двух частиц, a u = vi — v2 — относительная скорость.
В том случае, когда распределения однозарядных частиц близки к максвелловским
и Т\ ~ Т2 = Т, можно написать:
If)-13
а(кул) „ ^_ (в 4.3)
где сечение измеряется в см2, а Т — в эВ.
Отсюда видно, что при Те ~ 1 эВ 0, а тем более при Те ~ 0, ЗэВ кулоновское
сечение очень велико по сравнению с газокинетическими сечениями нейтральных
атомов или молекул (~ A0~16—10~15) см2). Однако, кулоновские сечения быстро па-
падают с увеличением температуры, и если мы имеем дело с водородной плазмой, ионы
которой не имеют электронных оболочек, то уже при Те ~ 100 эВ сечение становится
на порядок меньше газокинетических, а при термоядерных температурах (Т ~ 104эВ)
сечение столкновений падает до ~ 10~21 см2, и в плазме с плотностью воздуха, при
нормальном давлении (п ~ 3 • 1019см~3), свободный пробег Л кулоновских частиц
становится ~ 30 см. Уже из этого простого примера видно, что, нагревая плазму,
можно "почти незаметно" перейти от среды, хорошо описываемой гидродинамикой
(при Л <С L) к среде, требующей кинетического описания (Х> L). Здесь L — масштаб
системы.
IV. В основе теоретической гидродинамики обычно лежат сравнительно просто
описываемые системой уравнений гидродинамики макроструктуры — ламинарные
течения в трубах, при обтекании тонких профилей, в одиночных вихрях, ударных
волнах и т. п. В реальных условиях приходится сталкиваться с самопроизвольно
возникающей мезоструктурой в виде турбулентности. Фактически только появление
мощных компьютеров позволило рассчитывать мезоструктуру газодинамических те-
течений. А ведь речь идёт о средах, где частицы взаимодействуют "методом толкания"
при практически постоянных сечениях столкновений.
В плазме ситуация с мезоструктурами резко осложняется. Здесь частицы могут
взаимодействовать на больших расстояниях, создавать объёмы с преобладанием ча-
частиц одного знака, разбиваться на группы с разными скоростями, и, соответственно,
с разными сечениями столкновений. Можно сказать, что плазма — это заряженные
частицы, погруженные в колышущееся электрическое поле. И не просто колышуще-
колышущееся, но и ведущее к самоорганизации долгоживущих мезоструктур. Сегодня даже
мощные компьютеры не в состоянии в полной мере воспроизвести реальные ситуации
с учётом мезоуровня.
Сделаем выводы из сказанного. Как видно, не существует относительно простой
и в то же время универсальной математической модели плазмы. Остается одно: стро-
строить иерархию моделей, последовательно всё более точно описывающих рассматрива-
рассматриваемую конкретную систему. Именно наиболее общим моделям (динамике одиночных
частиц, уравнениям гидродинамического типа, разным кинетическим уравнениям),
1) Температура в 1 эВ соответствует ~ 11400 К.
4. Особенности плазменных исследований 37
которые будем называть "базовыми" моделями, и будет уделено основное внимание
в главах 1- 7.
Нас будет интересовать связь базовых моделей друг с другом и общие методы
их аналитического решения, описывающие преимущественно такие макроструктуры,
как статические конфигурации, линейные и ударные волны, стационарные течения.
В ряде случаев мы будем выходить за пределы указанной триады макроструктур.
Специально мезоструктурам посвящена вся глава 8. Космическим системам посвя-
посвящена глава 9. В главе 10 "Плазменные технологии" описаны плазменные устройства,
используемые в быту, технике и науке. Кроме чисто познавательной цели, хотелось
на примерах главы 10 дать читателю почувствовать темп и формы проникновения
плазменных технологий в нашу жизнь и лишний раз продемонстрировать, как ре-
реально сопрягается "субтильная" плазма с жестким окружающим миром. Фрагменты
физики тех систем, которые приводятся в гл. 10, рассматриваются в предшествующих
главах, причём рассмотрение идёт по принципу step by step, а именно, при переходе
к следующей главе черты модели непрерывно усложняются. В результате читатель,
осваивая базовый материал, знакомится с физикой многих важных плазменных
систем (ловушек, ускорителей, классических разрядов и др).
Учитывая сказанное, можно посоветовать, после знакомства с данным Введением,
сразу перейти к гл. 10, а уж затем начать последовательное изучение глав книги.
Глава 1
ПОЛЯ, ЧАСТИЦЫ, БЛОКИ (НУЛЬ-МЕРНЫЕ МОДЕЛИ)
В этой главе мы рассмотрим основу плазменных систем (Е- и Н-поля и динамику
одиночных частиц в этих полях), которые описываются уравнениями Максвелла
и Ньютона.
Глава начинается с уравнений Максвелла, которые мы предполагаем известными
читателям, и здесь они приводятся в основном для демонстрации выбора обозначе-
обозначений, далее, в отличие от традиционных учебников, в этой главе большое внимание
будет уделено морфологии магнитного поля, т. е. структурам магнитных силовых
линий в ряде систем. Именно эта морфология играет большую роль во многих
современных плазмодинамических системах (ПДС). Под ПДС будет пониматься
комплекс из плазменной конфигурации, обладающей нужными свойствами, оболоч-
оболочки, отгораживающей в той или иной степени плазму от разрушительного действия
окружающей среды и питающих конфигурацию устройств (для подачи рабочих
веществ и электропитания). В общем случае, в ПДС входят системы управления
и диагностики.
По своему содержанию глава делится на две части. Первая часть содержит 3
параграфа, которые посвящены соответственно общим свойствам электромагнитных
полей, важных для плазмодинамики (раздел 1.1), затем динамике одиночных частиц
в электромагнитных полях разной структуры (раздел 1.2) и, наконец, плазменным
системам, процессы в которых - в первом приближении - допускают моделирование
блоками и описание с помощью обыкновенных ("нуль-мерных") дифференциальных
уравнений (раздел 1.3). С моделью такого типа мы уже познакомились во введении,
когда выводили формулу для частоты ленгмюровских колебаний. При этом рассмот-
рассмотрении плазменный объём был аппроксимирован двумя жесткими блоками: ионным
и электронным. Динамика этих блоков описывалась двумя дифференциальными
уравнениями для центра масс.
Вторая часть этой главы посвящена исследованию ряда моделей плазменных
систем с помощью методов, изложенных в первой части. Мы рассмотрим электро-
электромагнитные волны в холодной плазме, системы классической корпускулярной оптики
(электромагнитные линзы и сепараторы), ловушки для плазмы, используемые в ис-
исследованиях по УТС, и др.
1.1. Электромагнитные поля
1.1.1. Уравнения Максвелла. Во всех ПДС в зонах ионизации, удержания
и ускорения плазмы присутствуют и активно работают электромагнитные поля.
Важно подчеркнуть, что электромагнитные поля в данном случае не просто некие
носители энергии (подобно, например, теплу), а фактор, определяющий всю динами-
динамику плазмы. Наглядным примером этого могут служить ионные источники, в которых
с помощью системы электродов осуществляется такая геометрия эквипотенциалей
электрического поля в ускоряющем промежутке, которая обеспечивает ускорение
/./. Электромагнитные поля 39
и фокусировку потока в довольно узкие пучки, не задевающие электродов (раз-
(раздел 1.4).
Другим параметром могут служить магнитные ловушки для удержания плазмы
(разделы 1.6-1.7).
Без преувеличения можно сказать, что в таких ПДС поля становятся "конструк-
"конструкционным материалом". Поэтому естественно начать изложение основ теории процес-
процессов в ПДС с напоминания основных свойств электромагнитных полей, описываемых
уравнениями Максвелла [52].
В гауссовой системе единиц эти уравнения имеют вид:
rotH=^j + If; (l.l.la)
с с at
1 ЯТТ
rotE = ——; A.1.16)
с at
divH = 0; A.1.1b)
divE = 4тг<?е. A.1.1г)
Здесь Е и Н — соответственно напряжённость электрического и магнитного
полей в вакууме, j — объёмная плотность токов всех частиц; qe — объёмная
плотность всех зарядов.
Системе A.1.1) могут быть приданы различные формы. Отметим некоторые из
них, которые нам потребуются в дальнейшем.
1. Статические поля. В этом случае система A.1.1) принимает вид
rotE = 0; A.1.2а)
A.1.26)
rotH=—j; A.1.3a)
с
divH = 0. A.1.36)
Отсюда видно, что в статике поля Е и Н независимы друг от друга, электроста-
электростатическое поле потенциально
E = -V0, A.1.4а)
а потенциал ф удовлетворяет при qe ^ О уравнению Пуассона
Аф = -Anqe. A.1.46)
Если же qe = 0, то ф подчиняется уравнению Лапласа
Аф = 0. A.1.4в)
С магнитным полем ситуация несколько сложнее.
Если рассматривать поле в объёме, где j = 0, то здесь, как и в случае с Е-полем
магнитное поле потенциально (rot H = 0):
H = V0m, A.1.5а)
и потенциал фт удовлетворяет уравнению Лапласа:
Афт = 0. A.1.56)
40 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
Однако, если j ^ 0, то надо исходить из уравнения непрерывности A.1.36), которому
можно тождественно удовлетворить, вводя векторный потенциал А и полагая
H = rotA. A.1.5в)
Векторный потенциал неоднозначен, поскольку, не изменяя величины Н, которая
только и имеет смысл, к нему можно добавить градиент произвольной функции /:
A-A + V/. A.1.5г)
Это обстоятельство при конкретных расчётах часто позволяет упростить фор-
формальную сторону.
Подставляя A.1.5в) в A.1.3а), получим
ДА = -—j. A.1.5д)
С
Здесь мы учли векторное тождество
rot rot а = V div a — Аа
и воспользовались имеющимся произволом в определении А, положив div A = 0.
2. Введение диэлектрической проницаемости. Система A.1.1) описывает поля
в вакууме, создаваемые находящимися там токами и зарядами. Фактически это
микроскопическая модель Лоренца. При этом в j и qe входят как "молекулярные"
токи jM0JI и заряды qM0Jl, так и сторонние "макротоки" jCT и "макрозаряды" qCT.
В классической электродинамике обычно отделяют молекулярные токи и заряды,
описывая их влияние с помощью векторов электростатической индукции D и маг-
магнитной индукции В, оставляя в уравнениях Максвелла лишь внешние (сторонние)
по отношению к среде токи и заряды. Имеется ряд случаев, когда и плазму удобно
рассматривать как среду, смещение частиц в которой целесообразно учитывать
аналогичным образом. Как правило, здесь достаточно введения одной индукции D.
В результате система уравнений Максвелла принимает вид:
divH = 0; A.1.66)
1 /9ТТ
rotE = —; A.1.6в)
с at
divD =
При этом вектор электростатической индукции D связан с напряжённостью поля
Е соотношением ор
Здесь Р — вектор поляризации среды. Если поляризация прямо пропорциональна
напряженности электрического поля
то можно ввести диэлектрическую проницаемость среды ^ = 1 + Аи^к и написать
D = VE. A.1.6ж)
Линейная связь Р и Е имеет место, в частности, при распространении в плазме
волн малой амплитуды. Буквами с двухсторонними стрелками над ними мы будем
/./. Электромагнитные поля
41
обозначать тензоры. Конкретный пример расчёта ^t и системы A.1.6) мы рассмотрим
в разделе 1.5.
1.1.2. Законы сохранения. Закон сохранения энергии. При анализе работы
ПДС весьма полезны общие представления о динамике электромагнитных полей,
которые можно извлечь из закона сохранения энергии электромагнитного поля. Если
умножить скалярно уравнения A.1.1а) и A.1.16) соответственно на Е и Н и вычесть
из первого второе, то получим
A.1.7а)
С учётом тождества a rot b — b rot a = div [b, а] можно переписать A.1.7а) в виде
jE + — (wE + wH) = -div П.
A.1.76)
Здесь we и wh — объёмные плотности энергии магнитного и электрического полей:
Е2
П — вектор Умова-Пойнтинга:
П
с
4тг
который характеризует величину и направление потока энергии электромагнитного
поля.
Заметим, что для практического применения часто бывает удобной интегральная
форма уравнения A.1.76). Обозначив dV элемент объёма, получим
j • EdV
д_
Ж
--§*>*¦
В качестве иллюстрации закона A.1.7д) можно взять коаксиальный сильноточ-
сильноточный импульсный плазменный ускоритель — "плазменную пушку" с собственным
магнитным полем (рис. 1.1.2).
Рис. 1.1.1. Схема импульсной плазменной пушки
с собственным магнитным полем. 1 — катод, 2 —
анод, 3 — изолятор, 4 — конденсаторная батарея,
5 — коммутатор, б — импульсный клапан для
напуска газа, помещаемый внутрь катода, 7 —
плазменный сгусток с текущими в нём токами
В этом ускорителе существуют азимутальное магнитное и радиальное электри-
электрические поля, которые и обеспечивают в соответствии с A.1.7) необходимый подвод
энергии к ускоряемой плазме.
42
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
Тензор натяжений. Перейдём теперь к закону сохранения импульса для элек-
электромагнитного поля. Начнем с амперовой силы, действующей на рассматриваемый
объём:
i i i i
A.1.8)
Максвелл показал, что интеграл A.1.8) можно в общем виде преобразовать в по-
поверхностный интеграл. А это означает, что объёмную силу A.1.8) можно представить
как результат действия неких поверхностных сил, а именно:
(iJ)dS. A.1.9)
Здесь знак минус связан с выбором направления вектора элемента поверхности dS по
внешней к объёму нормали и выбором знака Т (я) — тензора натяжений Максвелла
для магнитного поля.
В декартовых координатах (см. например [52])
(Я) =
Та
Tzx ТА
ху
Lyy
zy
Txz
Туг
Tzz
8тг 4тг'
НхНу
4тг
HXHZ
4тг '
8тг
щ
4тг;
4тг
4тг
HyHz
4тг
8тг 4тг'
A.1.10)
Если в данной точке выбрать оси координат таким образом, чтобы магнитное поле
имело одну компоненту поля Hz = Н, то
— О
0 f
О О
о
о
~8тг
A.1.11)
Отсюда видно, что если нормаль к элементу поверхности направлена перпендикуляр-
перпендикулярно оси z (рис. 1.1.2а), то сила направлена противоположно нормали и равна
О7Г
A.1.12)
т. е. касательное к границе магнитное поле оказывает давление на эту границу.
Величину рн = Н2/S7T обычно называют магнитным давлением 0. Если же нормаль
к элементу поверхности направлена по оси z, то на нее действует сила натяжения
в том же направлении (рис. 1.1.26), равная
dF = ^
О7Г
A.1.13)
"Ощутимо" формулы A.1.12) и A.1.13) все чувствовали, имея в руках два
магнита. Если сводить их одинаковыми полюсами, то они будут отталкиваться, что
1) Полезно запомнить, что магнитное поле Н = 5000 Э = 0,5 Тл создает давление рм ~
~ 1 кг/см . Но уже магнитное поле 100 кЭ = 10 Тл — а такие поля нужны для ряда ПДС,
давит на создающие его катушки с силой 400 кг/см. Поля мегаэрстедного диапазона можно
получить только в импульсном режиме.
/./. Электромагнитные поля
43
а б
Рис. 1.1.2. Воздействие магнитного поля на
поверхность плазменного объёма: а —поле па-
параллельно поверхности; б — поле перпенди-
перпендикулярно поверхности
Рис. 1.1.3. Схема для расчёта силы, дей-
действующей на плазменный сгусток в им-
импульсной пушке
соответствует A.1.12), если в качестве поверхности взять срединную плоскость S.
Наоборот, если сводить магниты разноименными полюсами, то они будут притяги-
притягиваться A.1.13).
Можно наглядно представить себе действие максвелловских натяжений, если
отождествить магнитные силовые линии с растянутыми и одновременно надутыми
резиновыми шнурами. Такие шнуры будут, с одной стороны, стремиться сократиться
(натяжение), а с другой — оттолкнуться друг от друга (давление).
Если граница пересекает силовые линии под углом, то действующая на нее сила
будет определяться сложением "сокращательной" и "отталкивающей" способностей
поля.
В качестве примера использования тензора натяжений рассмотрим ускорение
плазменного сгустка в коаксиальной импульсной пушке (рис. 1.1.3), которое про-
происходит за счёт взаимодействия азимутального магнитного поля Hqc радиальной
составляющей плотности тока jr, текущего между электродами. Факт ускорения на
основе A.1.3а) может быть истолкован так же как результат перепада магнитного
давления. Для расчёта Fz возьмём тороидальный объём, охватывающий весь сгу-
сгусток. В данном случае отлична от нуля только азимутальная компонента поля, и,
следовательно,
¦?• «¦'•">
т. е. сюда входит магнитное давление рн = Я2/8тг на торцы объёма. Если весь ток
замыкается через плазму, то при z = z\ магнитное поле обращается в нуль, и поэтому
-\\
Fz = - | Hi \zo rdr.
A.1.15)
Сечение zq было выбрано перед сгустком, т. е. там, где ток течёт только по электро-
электродам. Тогда в этом сечении, как известно
СГ
A.1.16)
44 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
где J — полный разрядный ток. Подставляя A.1.16) в A.1.15), получаем (независимо
от детальной картины токов в плазме)
, 4 О--)
с1 г\
Изложенные рассуждения справедливы и при стационарном разряде в коаксиаль-
коаксиальной системе с цилиндрическими электродами.
Рассмотрим теперь действие электрического поля на объёмный заряд:
F= \qeEdV. A.1.18a)
Интеграл берётся по всему пространству, занятому зарядом. Оказывается, что
и в этом случае с помощью уравнений Максвелла силу F можно свести к поверх-
поверхностной аналогично 1.1.9: ,, ( )(Е)
F = (H)V dS, A.1.186)
причём структура Т полностью аналогична A.1.10), если вместо Н подставить Е.
Электромагнитные силы, приложенные к объёму, могут сообщить ему вращение.
Момент электродинамических сил относительно оси z
Mz = \ \ \ferdV = l\ \ \r(^zHr~ jrHz^dV- A.1.19a)
Здесь /о — азимутальная компонента силы Ампера.
Если поле обладает осевой симметрией, то из уравнения Максвелла A.1.1а)
в стационарном случае следует
i = fi^: > = -ff^. (U.196)
4тг г дг 4тг dz
Используя эти соотношения и уравнение непрерывности divH = 0, можно привести
A.1.19а) к виду
Mz = —mn°rrHrHe + n°zrHzHe)dS A.1.19в)
Здесь, как и в (В. 1.9), используется внешняя нормаль к внешней поверхности. Из
(В.2.16) видно, что момент сил возникает только тогда, когда есть азимутальное Hq
и полоидальное (Hr, Hz) поля одновременно.
1.1.3. Морфология магнитных полей [53]. Процессы в плазменных системах
очень сильно зависят от морфологии (геометрии, структуры) магнитных силовых
линий. Физически это связано с большой подвижностью частиц, прежде всего
электронов, вдоль силовых линий и сравнительно малой подвижностью их поперёк
этих линий. Поэтому расчёт морфологии магнитного поля — это обязательный этап
разработки любой плазмодинамической системы с магнитным полем.
Магнитные силовые линии r(s) по определению имеют в каждой своей точке
касательную dr, параллельную напряжённости поля Н
dr||H. A.1.20а)
В декартовой системе координат это можно записать в виде
w = w = w- AL206)
П П tL
/./. Электромагнитные поля
45
В цилиндрической системе координат соответственно:
dr rdO dz
В курсах физики обычно рассматривают два очень частных случая магнитного
поля: магнитное поле прямой нити с током (рис. 1.1.4а) и поле кольца с током
(рис. 1.1.46). Это симметричные поля. Поле с одной азимутальной компонентой Щ
называют азимутальным, а поле с компонентами Hr, Hz, при Hq = 0 называют
полоидальным.
а б в
Рис. 1.1.4. Простейшие осесимметричные поля: а — азимутальное магнитное поле прямой
нити с током; б — полоидальное магнитное поле кольца с током; в — осесимметричное
трехкомпонентное магнитное поле, силовые линии которого, как правило, не замыкаются сами
на себя и не уходят в бесконечность
В общем случае магнитные силовые линии могут иметь самый различный вид. Но
надо сразу отметить, что совершенно неверно "школьное" представление, что магнит-
магнитные силовые линии либо замкнуты, либо уходят в бесконечность, что справедливо
только для полей изображённых на рис. 1.1.4а,б. Это уже несправедливо для сим-
симметричного поля, образованного совмещением нити с током и кольца (рис. 1.1.4в).
Здесь основная часть силовых линий не замыкается сама на себя, а в бесконечность
уходить только линия, идущая вдоль оси систем. (И.Е. Тамм, 1928г, [52])
Магнитные поверхности. Наряду с понятием магнитной силовой линии важным
понятием морфологии является понятие "магнитной поверхности". Под ними понима-
понимаются поверхности, образованные магнитными силовыми линиями. И здесь возникают
две совершенно различные ситуации в зависимости от того, находятся в рабочем
объёме Vq только "обрезки" силовых линий (рис. 1.1.5а), или в таком объёме силовые
линии находятся "целиком" (рис. 1.1.56).
а б в
Рис. 1.1.5. К понятию "магнитная поверхность": а — рабочий объём V, заполненный "обрез-
"обрезками" силовых линий; б — тороидальный объём V, границу которого магнитные линии не
пересекают, Р — "изображающая" плоскость; в — тороидальное магнитное поле с магнитными
поверхностями
46 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
В первом случае отсутствует какой-либо априорный критерий построения (ком-
(композиции) магнитных поверхностей из силовых линий. Они могут быть самыми
произвольными. Совсем иное дело во втором случае. Структуры магнитного поля
в тороидальном объёме могут быть самыми разнообразными (см. приложение А в
конце книги). Однако, как правило, особый интерес представляют поля, состоящие из
однозначных магнитных поверхностей. А это значит (рис. 1.1.5в), что на "изобража-
"изображающей" плоскости Р, секущей тор, существуют (замкнутые) линии /i, обладающие тем
свойством, что проходящие через них силовые линии после обхода должны пересечь
изображающую плоскость Р опять-таки в точках этой линии /i, хотя, вообще говоря,
не в тех, из которых они вышли.
Так вот, оказывается, что во многих случаях нельзя построить такие поля, в кото-
которых можно выделить систему вложенных "однозначных" (в смысле изображения на
плоскости Р) поверхностей, на которые можно положить все силовые линии данного
тороидального объёма. А как мы увидим в дальнейшем, только тороидальные поля,
состоящие из таких вложенных поверхностей 0, могут служить эффективными "со-
"сосудами" ("ловушками") для удержания плазмы (см. раздел 1.5 этой главы, а также
раздел 2.4).
Две составляющие симметричных полей. Практически важным классом явля-
являются осесимметричные поля, компоненты которых не зависят от азимута в,
U = (Hr(r,z), He(r,z), Hz(r,z)). A.1.21a)
Нетрудно видеть, что любое такое поле можно представить как суперпозицию двух
независимых полей: "полоидального" Нпол = (Hr(r,z), О, Hz(r,z)) и азимутального
Ho(r,z), т.е. в общем случае
Н = Нпол + Не. A.1.216)
Действительно, каждое из этих полей автономно удовлетворяет системе уравне-
уравнений Максвелла
rot Нпол = ^; divHn(WI = 0; A.1.22а)
4тг
rot Не = — jn(WI; divHtf = 0. A.1.226)
с
Здесь jn0JI = (jr(r,z), 0, jz(r,z)). Обращает на себя внимание "перекрестная" связь
(Нпол, Н#) <-> (J0, ,Ьол)-
Учитывая, что полоидальные компоненты поля удовлетворяют уравнению
сИуНпол = 0, можно ввести "функцию потока" ifj(r,z), связанную с компонентами
поля соотношениями Л ^ , л ~ ,
Яг = -1^; Hz=X-d-±. A.1.23а)
Г OZ Т ОТ
Сопоставляя A.1.5в) и A.1.23а), находим, что при Ar = Az = 0,
ф = гАв. A.1.236)
Нетрудно убедиться, что магнитный поток Ф, проходящий через кольцо, ограни-
ограниченное радиусами г\,Г2 и лежащее в плоскости z = const, связан с ф соотношением
Ф(гь r2, z) = 2тг [ Hz(r, z) dr = 2тг(ф(г2, z) - i/j(ruz)). A.1.24)
l) Или "слегка размытых" поверхностей, т. е. тонких слоев.
/./. Электромагнитные поля 47
Отметим, что из уравнений A.1.1) и A.1.23а) следует уравнение для функции
магнитного потока (при <ЭЕ/<9? = 0):
д 1 дф д2ф 4тг .
Д> = r^-^f + -д-| = rje. 1.1.25
ar r or ozz с
Здесь А* — модифицированный оператор Лапласа 0.
В то же время азимутальное поле, характеризуемое компонентной Hq(t,z), как
следует из уравнения Максвелла A.1.1а), сводится к уравнению
^z) = %jz(r,z). A.1.26а)
Вводя величину суммарного тока Jz(r,z), протекающего внутри окружности радиуса
г при данном z
J(r, z) = 2тг f jz (г, z)r dr, A.1.266)
о
можно проинтегрировать уравнение A.1.26а) и получить формулу, обобщающую
известную формулу для поля прямой нити:
Нв = —J(r,z). A.1.26в)
сг
Нетрудно убедиться, что суперпозицией двух полей можно описать общее поле
и при других видах симметрии: плоской, когда напряжённость не зависит от декар-
декартовой координаты z, и винтовой, когда компоненты напряжённости зависят только
от г и uj = в — az, где а = 2tt/L, a L — шаг винта (см. ниже)
Силовые линии о се симметричных полей. Отмеченная выше A.1.24) связь ^иФ
указывает, что уравнение ф = const описывает магнитные поверхности или силовые
линии полоидального поля в плоскости (r,z). Это утверждение легко подтверждается
и формально.
Для этого запишем систему уравнений A.1.20в), определяющих силовые линии,
в виде и ( \
Hzdr-Hrdz = 0; g = ^f4 <1Л-27)
аи He(r,z)
Подставляя в первое уравнение выражение A.1.23а) для Нг и Hz, сразу получаем
дф 9ф
первый интеграл -^^dr + ^^dz = 0, т. е.
dr dz
i)(r,z) = const. A.1.28)
Это уравнение определяет тороидальные поверхности, на которых лежат силовые
линии. А для того, чтобы определить полностью ход силовой линии, надо решить
второе уравнение A.1.27), подставив туда зависимость г = r(z,i/j), найденную из
уравнений A.1.28). Получающееся уравнение легко решается численно, а для ана-
аналитического решения обычно вводят тороидальные координаты того или иного вида.
Выше говорилось и иллюстрировалось (рис. 1.1.5в), что тороидальное магнитное
поле в ряде случаев можно представить как систему вложенных поверхностей,
*) Обычный оператор Лапласа в случае осевой симметрии в цилиндрических координатах
имеет вид
г dr dr dz2
48
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
то есть после обхода тора силовая линия пересекает изображающую плоскость Р
в точках, лежащих на одной и той же кривой. В осесимметричном случае уравнения
ф(г, z) строго описывают переходящие сами в себя, после обхода тора, магнитные
поверхности, если кроме полоидального поля имеется ещё азимутальное поле Не.
Азимутальное поле не нарушает геометрии указанных магнитных поверхностей ф =
= const, но силовые линии теперь превращаются в спирали, навивающиеся на
тороидальную поверхность ф(г, z) = const. Естественно мы предполагаем, что опре-
определяемая уравнением ф = const в плоскости (г, z) линия замкнута.
Спиральные силовые линии, лежащие на магнитных поверхностях ф = const,
как правило, не замыкаются, а непрерывно навиваются, плотно покрывая "свою"
поверхность. Плотность покрытия и означает, что силовая линия пройдет сколь
угодно близко к любой точке поверхности. Однако такая бесконечно тонкая силовая
линия не покрывает всю поверхность. Это связано с тем, что множество обходов тора
счётно, а для покрытия всей поверхности надо было бы иметь континуум обходов.
Впрочем, это замечание носит формальный характер, так как "реальная" толщина
силовой линии порядка электронного ларморовского радиуса, то есть конечна. А та-
такая "толстая линия" полностью покрывает магнитную поверхность.
Следует подчеркнуть, что в рассматриваемом двусвязном осесимметричном слу-
случае система вложенных магнитных поверхностей существует только при наличии
азимутального электрического тока в объёме. Именно такая ситуация реализуется
в токамаках (раздел 1.7).
Сепаратрисные поверхности. Ещё одним фундаментальным понятием морфоло-
морфологии магнитных полей является понятие (<сепаратрисной поверхности', под которой
понимается поверхность, разделяющая поверхности (или силовые линии), которые
нельзя перевести друг в друга без разрыва структуры поверхностей. Наглядно это
можно проиллюстрировать на примере плоских (т. е. независящих от z) полей, маг-
магнитные поверхности которых, образованны двумя прямыми параллельными токами
одного направления (рис. 1.1.6). Силовые линии такого поля разбиваются на три
группы:
а) замыкающиеся около левого проводника,
б) то же, около правого проводника,
в) охватывающие оба проводника.
Границей между этими группами является самопересекающаяся силовая линия в ви-
виде восьмерки (лемниската Бернулли). Эта линия называется сепаратрисой. Самопере-
Самопересечения сепаратрисы связано с тем, что в центре системы обе компоненты поля, Нх,
Ну, обращаются в нуль, и уравнение силовой линии A.1.206) не даёт однозначного
решения, т. к. здесь
dy _ Нх _ 0
dx п Ну 0'
A.1.29)
Рис. 1.1.6. К понятию сепаратрисы: а — структу-
структура магнитного поля прямых стержней с токами
одного направления, Hz = 0. С — сепаратриса;
б — то же при наложении поля Hz, ПС — сепа-
ратрисная поверхность
Поскольку магнитное поле вне проводника безвихревое, оно удовлетворяет урав-
уравнению Лапласа, и, нетрудно убедиться, разложив скалярный потенциал фм в окрест-
/./. Электромагнитные поля 49
ности х = 0 по степеням х и у, что ветви сепаратрисы в нуле взаимно перпендику-
перпендикулярны.
Наложим теперь на поле двух проводников постоянное магнитное поле Uz =
= const, ориентированное вдоль оси (это поле является аналогом азимутального поля
Н# в осесимметричной системе). В результате получим гладкие цилиндрические
магнитные поверхности всюду, кроме той, которая образована сепаратрисой. Важно
подчеркнуть, что сепаратрисные поверхности не обязательно окружают области,
содержащие проводники с током. Примером здесь могут служить винтовые поля,
изображённые на рисунке 1.1.8, о которых будет сказано ниже.
Поле системы параллельных прямых стержней с током. Сепаратрисы, даже
в симметричных полях, могут иметь самые различные формы 0. Здесь мы отметим
только конфигурацию магнитных силовых линий поля системы N прямых стержней
с равными токами, расположенных вдоль окружности на равных расстояниях друг
от друга. Такое поле проще всего описать комплексным потенциалом. Рассмотрим,
как это делается.
Выше отмечалось, что в области, где j = 0, магнитное поле можно описывать как
скалярным потенциалом фт, так и векторным потенциалом А. В случае плоского
поля, при Hz = 0, достаточно считать отличной от нуля только компоненту Az, со-
соответствующую направлению тока, создающего поле. При этом равенства Az(x,y) =
= const представляют собой уравнения силовых линий. Из A.1.5в) следует
_dAz dAz
Нх~^у~' Ну-~^х~-
В то же время Н = \7фт. Поэтому
дфт dAz дфт dAz /, , on ч
A.1.30а)
ох ду ду дх
Это ничто иное, как известные из теории функций комплексного переменного усло-
условия Коши-Римана для комплексной функции
w(z)=Az + i</>m. A.1.306)
Наконец, учитывая формулу для поля прямой нити A.1.26в)
с г — а|
нетрудно получить явное выражение для w в случае одного проводника:
2J
w = Az + гфт = — ln(z — a), z = х + гу. A.1.ЗОв)
с
Здесь а — комплексная координата нити. Координаты системы симметрично распо-
расположенных по кругу N стержней имеют вид
ak = Rexp\2^k\, к = 0,... ,N - 1. A.1.31а)
Как нетрудно убедиться, суммарное поле будет описываться выражением
wN = AZ,N + гфтъК = Ц- \n(zn - Rn). A.1.316)
1) Если симметрии нет, сепаратрисы имеют сложный вид (см. ниже)
50
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
Отсюда находим, переходя к полярным координатам (z = гегв),
AZ,N = - In (r2N - 2rNRN cos N9 + R2
A.1.31b)
и, следовательно, уравнения силовых линий поля N стержней будет иметь вид
гш - 2rNRN cos NO = const.
Силовые линии при TV = 2,3,4 изображены на рис. 1.1.7. Нулевую точки при
N = 2, часто называют ж-точкой.
/-—-X
((©
V
(@
У 1
\
г
\©5)
(Z
X
б в
Рис. 1.1.7. Силовые линии магнитного поля двух параллельных прямых токов (а); силовые
линии поля трех стержней (б); силовые линии четырёх стержней с током одного направления
(в). С — сепаратрисы
Винтовые поля. Здесь мы отметим один важ-
важный класс полей, обладающих той замечатель-
замечательной особенностью, что для создания вложенных
магнитных поверхностей здесь не требуются токи
внутри объёма поля.
Для этого рассмотрим симметричные "пря-
"прямые" поля, образованные токонесущими спира-
спиралями, намотанными на прямой круглый цилиндр
(рис. 1.1.8).
У всех спиралей предполагается один и тот
же шаг L. Для простоты будем считать, что они
размещены по азимуту на равных расстояниях.
Рис. 1.1.8. Система создания маг- Если поле создаётся N спиралями с током одного
нитного поля винтовых токонесу- направлен то говорят 0 «iv-заходных" винтовых
щих проводников A) и однородного ~ ^
мягштнпгп пппя ^ полях, ото поле обладает винтовой симметрией,
так как зависит только от двух координат (г, о; =
= в-а,а = 2tt/L)
магнитного поля B)
Н= (Hr(r,9-az), He(r,0-az), Hz(r,9-az)).
A.1.32а)
В общем случае оно может быть описано двумя компонентами вектор-потенциала
А = @, Ав(г, 0 - az), Az(r, 0 - az)).
A.1.326)
/./. Электромагнитные поля
51
Компоненты магнитного поля в этом случае равны
дАв
dz
dAr dAz
\dAz
г ди
dAz
дАв
- а-
1 д
г ди
dz
дг
дг
A.1.33)
„ 1
tlz =
г
дгАв 1 дАг
ХдгАв
г
дг г дв г дг
Подставляя эти выражения в A.1.20в), сразу находим первый интеграл
Ф(гал = Az + arAe = const.
A.1.34)
Он описывает магнитные поверхности винтового поля. Проиллюстрируем получаю-
получающуюся морфологию полей для случая, когда поле можно представить как сумму
однородного поля Но, ориентированное вдоль оси z, и поля n-ой винтовой гармоники.
Такое вакуумное поле, удовлетворяющее уравнению Лапласа, описывается скаляр-
скалярным потенциалом
р = аг, A.1.35а)
фт = Hoz -\—In(np) sinnu;,
а
и ему соответствует уравнение магнитных поверхностей
2/i
Ф = — ( р1 - —pln{np) cos пи; ) = const.
A.1.356)
Здесь 1п — функция Бесселя мнимого аргумента.
На рис. 1.1.9 приведены сечения плоскостью z = 0 магнитных поверхностей, т.е.
линии ф = const для разных п, полученные путём численного решения уравнений
A.1.356). Обращает на себя внимание, что при всех п существует сепаратрисса, кото-
которая отделяет замкнутые в плоскости (г, и) магнитные поверхности от поверхностей,
уходящих в бесконечность [53].
Рис. 1.1.9. Сечение магнитных винтовых поверхностей при п = 1 (а); то же при п = 2 (б); то
же при п = 3 (в). Отношение амплитуды винтового поля к однородному h/Щ < 1
Если теперь такие прямые поля замкнуть в тор, то получим магнитные конфигу-
конфигурации стеллараторов, которые, как об этом говорилось во введении (п. В.3.3), были
предложены Л. Спитцером.
1.1.4. Метрические характеристики магнитных полей. До сих пор, говоря
о морфологии магнитных силовых линий и поверхностей, мы не касались количе-
количественных характеристик.
52 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
1. Угол прокручивания (угол вращательного преобразования). Важной характе-
характеристикой тороидальных магнитных поверхностей является "угол прокручивания" или
"угол вращательного преобразования", который определяется как предел отношения
суммы углов поворотов A9k изображающей точки в плоскости Р (см. рис. 1.1.5)
к N — числу обходов тора
1 N
0= lim -VAt A.1.36)
k=\
Тороидальная магнитная поверхность, на которой #/2тг — рациональное число,
называется рациональной магнитной поверхностью, и на ней либо все, либо часть
силовых линий замкнута. Если замкнуты не все линии, а некое число из них, то по-
последние служат асимптотами для незамкнутых линий. Соответственно поверхность
называется иррациональной, если в/2тг иррационально. Если угол в изменяется при
переходе от одной магнитной поверхности к другой, то говорят, что тороидальное
магнитное поле обладает "широм".
2. Удельный объём магнитной силовой трубки. Отметим ещё один метрический
параметр, часто используемый при рассмотрении систем либо из конечных отрезков,
либо замкнутых магнитных силовых линий. Это, так называемый "удельный объём
магнитной силовой трубки" (или, иначе, "силовой линии").
U = lim ^. A.1.37а)
s^o Ф
Здесь S — сечение магнитной трубки, V — её объём, Ф — магнитный поток внутри
трубки. Учитывая, что поток внутри трубки постоянен и равен Ф = HS, можно
написать
ТТ V Х Г С ,71 Г \Sdl V \Sdl \dl П 1 Q7*4
U = lim — Sdl = lim —— = lim ——; = —, A.1.376)
s^o Ф) s^o) Ф s^o) SH }H
a a a a
где а и b — начало и конец трубки. Если же магнитная силовая линия замкнута, то
- A.1.37b)
Величина U играет большую роль в критериях устойчивости статических плазмен-
плазменных конфигураций.
3. Параметр бета. В плазменных системах с магнитным полем плазма создает
своё давление р, магнитное поле — своё, рм- Это позволяет ввести важный безраз-
безразмерный "параметр бета"
e = f- = w- (LL38)
РМ tl
1.1.5. Возмущение морфологии поля. Рассмотрим теперь влияние возмуще-
возмущений на морфологию магнитных силовых линий, а именно наложение малых случай-
случайных полей на основное поле, которое будем предполагать симметричным 0.
Здесь возможны две принципиально различные ситуации.
1) Этот круг явлений применительно к проблеме УТС впервые стал изучаться А. И. Моро-
Морозовым и Л. С. Соловьёвым [53].
/./. Электромагнитные поля
53
а. В рабочем объёме имеются отрезки силовых линий. В этом случае, если по
своей величине возмущающее поле h мало по сравнению с величиной основного поля
Но, то смещение силовой линии будет масштаба
в
5r = hds jt
А
-> 0. Здесь L — длина силовой линии.
A.1.39)
и при h/H0 —> 0 величина \5г\
б. Ситуация резко меняется, когда рассматриваются тороидальные поля — это
связано с тем, что длины силовых линий здесь, как правило, бесконечны. В ре-
результате может происходить полная перестройка морфологии магнитного поля. Если
амплитуда возмущающего поля мала (точнее, сколь угодно мала), то перестройка
морфологии, как весьма наглядно видно на изображающей плоскости, носит "визу-
"визуально" регулярный характер. А именно, оказывается здесь имеет место своеобразный
резонанс между гармониками возмущающего поля
Е<
, z) cos(nQ + ап)
A.1.40)
и силовыми линиями на рациональных
тороидальных поверхностях, которые замы-
замыкаются через п обходов тора. В результате
первоначально бесконечно тонкая резонанс-
резонансная поверхность расщепляется и на изоб-
изображающей плоскости образуется цепочка
"магнитных островов" (рис. 1.1.10) или маг-
магнитных "волокон", если говорить о трёх-
трёхмерной картине. По мере роста амплитуды
возмущения ширина островов растёт и по-
появляются зоны со стохастичным положе-
положением изображающих точек ("динамический
хаос"). Особенно чувствительны к возму-
возмущениям сепаратрисы магнитные поверхно-
поверхности. Реально нелинейную стадию этой пе-
перестройки можно прорисовать только с по-
помощью численного счёта. Пример эволю-
эволюции картины на изображающей плоскости
для винтового поля, возмущаемого резо-
резонансным гофрированным полем
Фт = z + 3/3Cr)sin3@ - ,
Рис. 1.1.10. Типичная схема расщепления
под действием слабых возмущений маг-
магнитных поверхностей, как они выглядят
на изображающей плоскости
sloCr) sm3z
A.1.41)
при разных амплитудах возмущения г, представлен на рисунке 1.1.11.
Видно, что сначала появляется в центре трёхлепестковая розетка, а затем начина-
начинает разрушаться морфология в целом. Как видно из приведённых рисунков, наиболее
чувствительной к возмущениям является сепаратриса. Показано, что в зоне её раз-
разрушения координаты пересечения силовых линий с изображающей плоскостью носят
случайный характер. Появление возмущений симметричных полей может быть связа-
связано с разными обстоятельствами, порою неизбежными. Примером может служить сво-
сворачивание прямого симметричного винтового поля в тор или возмущение магнитного
поля давлением находящейся в нём плазмы (рис. 1.1.12). Впервые экспериментально
обнаружил расщепление магнитных поверхностей в токамаке СВ. Мирнов [55].
54
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
,2 х
0,2
= 0/1
OJ.
V
Рис. 1.1.11. Расщепление поверхности поля A.1.41) при разных амплитудах возмущения: при
г = 0 (а), г = 0,05 (б), г = 0, 1 (в); серым цветом показана область хаоса
Рис. 1.1.12. Расщепление магнитных поверхностей поля стеллараторного типа при увеличении
давления плазмы: а — C= 0; б — C = 1,6%; в — /3 = 21%
1.2. Движение частиц в электромагнитных полях
Учитывая, что во многих плазмодинамических системах частицы испытывают
сравнительно редкие столкновения, фундаментальное значение для этих систем при-
приобретает теория движения отдельной частицы во внешних электромагнитных полях.
Это движение описывается уравнением Ньютона-Лоренца:
mdv
~dt
= е
dr
= v.
Ему соответствует функция Лагранжа:
A.2.1а)
A.2.16)
где А — векторный потенциал магнитного поля, а ф — скалярный потенциал элек-
электрического поля. Теория решений уравнения A.2.1а) изложена во многих обзорах
(см., например, [54]). Поэтому здесь будут отмечены только несколько важных для
дальнейшего фактов. Численное решение уравнений A.2.1а) при любых Е- и Н-
полях не представляет, как правило, трудностей, однако аналитический подход, хотя
он эффективен лишь для специальных Е(х,?), Н(х, t) позволяет лучше понять многие
черты рассматриваемых движений.
1.2.1. Законы сохранения. Если потенциалы полей (ф и А) не зависят от одной
из четвех координат х, у, z, t, то этой координате соответствует закон сохранения
(теорема Нетер).В частности, если поля обладают азимутальной симметрией, т.е. не
1.2. Движение частиц в электромагнитных полях
55
зависят от 0, то при движении частицы сохраняется обобщённый момент количества
движения:
тг
-ф = D = const.
с
A.2.2)
Здесь г, 0 и z — полярные координаты частиц; ф — функция магнитного потока.
Отметим, что сохранение момента не зависит от переменности полей во времени и от
наличия осесимметричного электрического поля.
Использование закона сохранения A.2.2) позволяет свести задачу о движении
частицы в пространстве трех измерений (г, 0, z) к задаче о её движении в двумерном
пространстве с координатами (r,z). Эти уравнения имеют вид
dU(r,z)
тг = —
mz = — -
дг ' dz
где U(r,z) — так называемый обобщённый потенциал:
е х2
= е0 +
е2
2mc2r2
Закон сохранения энергии выполнялся при постоянстве полей во времени:
„2
+ еф = const.
mv
A.2.3а)
A.2.36)
A.2.4)
Следует подчеркнуть, что магнитное поле не входит в выражение закона сохранения
энергии.
1.2.2. Движение частицы в однородных постоянных электрическом и маг-
магнитном полях. Если Е и Н постоянны по величине и направлению, то уравнение
A.2.1а) является линейным относительно искомой функции v(?). Исследуем его
свойства.
Пусть Н параллельно оси z, a E лежит, например, в плоскости (у, z). Естественно
движение частицы разложить на два — параллельное и перпендикулярное магнитно-
магнитному полю
V = V|| + V_|_.
Аналогично удобно разложить и Е (рис. 1.2.1):
Е = Ец + Ej_.
Вдоль оси z на частицу действует только Ец,
и вдоль этой координаты имеет место равномерно
ускоренное движение:
f A.2.5)
У
(\ 9 К\ /
т ) 2
Движение поперёк магнитного поля при Е± = 0 Рис 12Л Выбор систеМы коорди-
сводится к вращению по окружности с частотой
_ еЯ
тс
и радиусом
рн =
v
нат для расчёта в п. 1.2.2
A.2.6)
A.2.7)
Это вращение называется ларморовским или циклотронным.
56
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
Таким образом, при Е^ = 0 и Ец ^ О движение происходит по спирали с возрас-
возрастающим вдоль z шагом.
Если Ец = 0, а Е^ ф О, то, кроме ларморовского вращения, появляется "электри-
"электрический" дрейф частиц вдоль оси х, происходящий со скоростью
иЕ =
с [Е, Н]
Я2 "
A.2.8)
Следовательно, в силу линейности уравнения A.2.1) при сделанных предположе-
предположениях можно записать v^ = u# + vb где vi — скорость "собственно вращения" при
отсутствии электрического поля.
Обращает на себя внимание тот факт, что скорость дрейфа не зависит ни от
заряда частиц, ни от их массы.
Из выражения A.2.8) видно, что понятие дрейфа разумно (т. е. и < с), если Е± <
< Н. О Практически это всегда имеет место, если магнитное поле существенно.
В противном случае наличием магнитного поля можно вообще пренебречь. Очевидно,
если Н > Е±, то в системе отсчёта, движущейся со скоростью дрейфа, остается
только вращение по ларморовской окружности. В этой системе отсчёта электрическое
поле исчезает. Данное утверждение носит общий характер и непосредственно выте-
вытекает из формул преобразования Лоренца для электромагнитного поля. Если Е > Н,
то можно перейти к системе, где исчезает Н-поле, и движение частицы происходит
только под действием Е-поля.
В зависимости от соотношения скорости дрейфа ue и скорости движения
по окружности радиусом рн = v\/ujh, траектории частиц имеют различный вид
(рис. 1.2.2):
а) и = 0, v\ ф О — окружность;
б) и < г; 1 — трохоида;
в) и = и 1 — циклоида;
г) и > v\ — гипоциклоида, похожая на синусоиду.
Если же vi —> 0, то траектория вырождается в прямую линию.
О
О
О
If X
а б в г
Рис. 1.2.2. Траектории частиц в зависимости от соотношения скорости ларморовского враще-
вращения и скорости дрейфа: а — окружность; б — трахоида; в — циклоида; г — гипоциклоида
1) Чтобы перейти к случаю, когда Е± > Н, следует воспользоваться релятивистской
механикой, тогда получаем общую формулу дрейфа v = саК, где К =
9
[Е,Н]
1.2. Движение частиц в электромагнитных полях 57
По циклоиде движется частица, которая в некий "начальный" момент покоилась
(см. рис. 1.2.2в). Высота циклоиды
^ 2^. A.2.9)
В заключение следует отметить, что если электрическую силу заменить какой-либо
другой, например силой тяжести, то движение заряженной частицы будет аналогично
движению под действием электрического поля. В частности, скорость дрейфа
[^ A.2.10)
однако теперь направление дрейфа зависит от знака заряда.
1.2.3. Динамика частиц в постоянном магнитном и переменном электриче-
электрическом полях. Простым, но важным случаем является движение частиц в однородных
полях, когда магнитное поле постоянно, а электрическое зависит только от времени
/7-у р
т— --[v,Ho]=eE(t). A.2.11)
К таким уравнениям сводится анализ линейных волн в однородной холодной плазме
в магнитном поле (см. раздел 1.5). По этой причине ограничимся случаем, когда
зависимость Е от t носит гармонический характер О
Е(?) = Е{е~ш, A.2.12а)
и процесс можно считать установившимся, т. е.
v = YXe~iujt. A.2.126)
Здесь Ei и vi — амплитуды колебаний.
Уравнение A.2.11) при сделанных предположениях удобно решать в декартовых
координатах, взяв за ось z направление магнитного поля Но. Остальные оси выби-
выбираются произвольно. Тогда имеем:
т^- - %УН = еЕх; т^ - %ХН = еЕу; т^ = eEz. A.2.13)
at с at с at
Подставляя сюда A.2.12), получаем систему линейных алгебраических уравнений
A.2.14)
Отсюда следует:
/ е \
-iuovx - uohVv = [ — ) Ех,
/ е \
—iuovz = — Ez.
mJ
_ е (-шЕх+и>нЕу)т _ е {-ujhEx - iuiEy) ie
т uzH - и2 т uzH - и2 тио
1) Реальное вещественное поле Е(?)вещ. = ReE\e luJt - есть вещественная часть поля
A.2.12а)
58
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
или в тензорной форме
(vx,vy,vz) = —
где Q2 = ооjj — со2.
/
V
гоо
"О2
оон
О2
0
ООн
W
гоо
0
и
0
г
o~j)
/Ех\
\Ez/
Знание скорости, автоматически определяет и смещение частицы
A.2.16а)
Здесь S — тензор смещений:
= -v= 5E.
00
/ гоо
A.2.166)
оот
гио
\
° i/
A.2.16в)
Этим выражением мы воспользуемся в разделе 1.5.
1.2.4. Движение частицы в неоднородном высокочастотном поле. В плаз-
плазменных системах часто существуют два характерных масштаба времени или про-
пространства.
Так, например, в магнитосфере Земли электрон вра-
Е щается по ларморовской окружности диаметром поряд-
порядка нескольких сантиметров и в то же время движется
по силовой линии, отражаясь от неких "пробок", нахо-
находящихся на расстоянии ~ 104км (см. ниже раздел 9.2).
Ясно, что в данном случае нас не интересует каждый
ларморовский кружок, а интересует усреднённые по
вращениям перемещения частицы за достаточно боль-
большое время t.
Метод преобразования точного уравнения движе-
движения в уравнения, содержащие только параметры усред-
усреднённого движения называют "методом усреднения"[56].
В данном пункте мы познакомимся с этим мето-
методом на простейшем примере одномерного движения
в быстро осциллирующем во времени электрическом
неоднородном по пространству поле.
Рис. 1.2.3. Электрон в высо-
высокочастотном резонаторе
d2x
—w = еЕо(х) sinoot.
at1
A.2.17)
Такое уравнение описывает, например, движение
электрона в плоском высокочастотном резонаторе (рис. 1.2.3) 0. Нас будет ин-
*) Заметим, что модуляция плотности в плазменном объёме может в ряде случаев играть
роль резонатора для ленгмюровских колебаний (см. гл. 8).
1.2. Движение частиц в электромагнитных полях 59
тересовать тот случай, когда за г — время прохождения электроном масштаба
неоднородности поля, последнее совершит большое число осцилляции, т. е.
и;т>2тг. A.2.18)
Чтобы решить уравнение A.2.17) при условии A.2.18), представим координату ча-
частицы х как сумму координаты усредненного положения x(t) и высокочастотного
смещения ?(?):
Выбор ? уточним условием:
т
Г 2тг
\€(t)dt = O, T=—. A.2.196)
J ^
о
Подставив A.2.19а) в уравнение A.2.17) и ограничиваясь "линейными" членами ~ {;
получим:
—г«- + -тго = — [ Ео(х) -\ о°/_, ] sinu;t. A.2.20а)
Bб Bб 777/ V и(х) I
Формальное интегрирование этого уравнения по t за период Т и последующее
деление на Т даёт
где т
(^smuut) = — ^sinoudt. A.2.20в)
о
Входящее сюда осциллирующее смещение ?, учитывая его малость при и -^ оо,
в первом приближении можно найти из уравнения
(fit е
-=± = -E0(x)smbjt. A.2.21а)
at1 m
считая х = const. В результате получаем
% A.2.216)
Здесь хорошо видно, что ? с ростом и быстро убывает.
Подставляя это выражение ? в A.2.206), получаем искомое уравнение, определя-
определяющее эволюцию усредненной координаты х.
d*l = <^щд_Е1 = _дЦ^^ A.2.22а)
dt2 \vfiuJ1 дх дх
где эффективный потенциал — называемый в данном случае "потенциалом Миллера",
равен 2
Таким образом, оказавшись в произвольной точке резонатора, электрон, колеб-
колеблясь, будет смещаться к точке с минимумом Е%.
Аналогичным способом можно усреднить траекторию частицы в сильном магнит-
магнитном поле, если ларморовская частота и ^> 1/т, где г — время пролёта масштаба
60 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
неоднородного магнитного поля. Так мы придем к очень эффективному "дрейфовому
приближению".
1.2.5. Дрейфовое приближение. Пусть имеется электромагнитное поле, мед-
медленно меняющееся в пространстве и во времени. Медленность изменения в простран-
пространстве означает, что величинами порядка (рн/LJ — квадрата отношения ларморовско-
го радиуса рн к масштабу неоднородности магнитного поля L, можно пренебречь.
Медленность изменения во времени означает пренебрежение членами порядка
1 «1,
где Т — характерное время изменения поля. В таком случае в первом приближении
движение частиц будет подобно движению в однородных постоянных полях. Оче-
Очевидно, в следующем приближении окажется, что центр ларморовской окружности
как-то переместился, а ларморовский радиус измениться. Уравнения, описывающие
эволюцию параметров "кружка", называются "дрейфовыми". Строгий вывод этих
уравнений проводится методом усреднения по ларморовскому вращению. Однако, из-
за трёхмерности пространства, он сравнительно громоздок. Поэтому мы не будем его
приводить (см. [54], [56]) и ограничимся анализом смысла членов этих уравнений.
Дрейфовые уравнения пишутся для компонент скорости г^ц и v_l, направленных
соответственно вдоль и поперёк магнитного поля, а также для радиус вектора
R некоторого эффективного центра ларморовской окружности. Три уравнения для
этих величин в случае статических Н и Е-полей — а только этот случай нам
и потребуется в дальнейшем, можно записать в виде:
V2
-± = const; A.2.23а)
н
m(vn + v2, )
11
+ еф(Я) =е = const; A.2.236)
M + R+^ Ь- A-2.23В)
Первое из написанных уравнений означает, что магнитный поток, проходящий
через ларморовский кружок, сохраняется 0, несмотря на то, что размеры кружка
могут в процессе дрейфа очень сильно изменяться. Нетрудно видеть, что это закон
сохранения есть не что иное, как сохранение адиабатического инварианта, связанно-
связанного с ларморовским вращением
J±=lpdq. A.2.24)
Второе уравнение A.2.236) есть закон сохранения энергии.
В третьем уравнении первые два члена описывают известные нам движение вдоль
магнитного^поля и электрический дрейф.
Члены Rm>i и Rm,2 связаны с неоднородностями магнитного поля и описывают
"магнитный дрейф". Так, при движении частицы по искривлённой силовой линии
(рис. 1.2.4а), на неё действует центробежная сила, вызывающая "центробежный"
дрейф, и член Rm>i описывает этот эффект (см. A.2.10))
Действительно, Ф = тгр2Н = тг (v±Mc/EHJ H ~ v]_/H.
1.2. Движение частиц в электромагнитных полях
61
mv\
!по.
mcv
A.2.25)
Здесь р — радиус кривизны магнитной силовой линии; п° — вектор нормали к этой
линии.
VH
а б
Рис. 1.2.4. Составляющие магнитного дрейфа: а — центробежный дрейф; б — градиентный
дрейф
Если напряжённость магнитного поля переменна в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к силовым линиям, то имеет место градиентный дрейф, описываемый членом
Rm?2> который равен
A.2.26)
ин
Причина градиентного дрейфа состоит в том, что радиус кривизны ларморовской
окружности меньше в области более сильного поля и больше в области слабого поля
(см. рис. 1.2.46).
Если магнитное поле безвихревое (т. е j = 0), то радиус кривизны р магнитной
силовой линии связан с градиентом \Н\ = Н соотношением О
Vtf = --
Р
A.2.27)
Подставляя выражения A.2.25), A.2.26) в A.2.236), получаем окончательно с учётом
A.2.27)
dR H JE, Н] , тс ,Оя12 , л12агхт ^ A22g)
'Я
н2
Переход от точного уравнения A.2.1) к системе дрейфовых уравнений A.2.23)
означает переход от трёх дифференциальных уравнений второго порядка к трём
уравнениям первого порядка. А это радикально упрощает анализ динамики частиц.
В пункте 1.2.1. отмечалось, что при движении частиц каждому виду симметрии
полей соответствует свой строгий закон сохранения. Аналогичными свойствами об-
обладают и дрейфовые уравнения. В полях, не зависящих от времени, как и в случае
точных уравнений, сохраняется полная энергия частицы е = (m/2)(vj_ +V|) + еФ.
1) Оно очевидно для магнитного поля прямого тока.
62 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
Если поля к тому же обладают осевой симметрией, то сохраняется аналог момента
количества движения (Морозов, Соловьёв 1959г, [54])
TflCVw \Т Z)
гАв = ф{г, z) + у ' гНд(г, z) = const. A.2.29)
Здесь Н = |Н|, vy = JB/m)(e — еф) — Vj_, Vj_ = у^_0(Я/Я0). Нулем отмечены зна-
значения, взятые в некоторой начальной точке. Уравнение A.2.29) определяет в плоско-
плоскости г, z траекторию движения частицы. Вывод выражения A.2.29), а также примеры
его применения см. в работе [54]. Его мы используем в п. 1.4.
1.2.6. Ионно-оптическое приближение. В дрейфовом приближении ларморов-
ский радиус предполагается много меньшим размеров системы. Это, как правило, вы-
выполняется для электронной компоненты плазменных систем. Однако, ионная компо-
компонента часто слабо замагничена, т. е. ларморовский радиус ионов больше или порядка
размеров системы. Этот случай мы будем называть ионно-оптическим. В частности,
если ларморовский радиус рн велик по сравнению с размерами системы (например,
двигатели с азимутальным дрейфом), то в первом приближении действием магнит-
магнитного поля на частицы можно вообще пренебречь и вместо A.2.1) написать
га^ = еЕ. A.2.30)
(Ль
Решение этого уравнения, а также полного уравнения A.2.1) на небольшом участке
можно искать методом итерации. Суть его сводится к следующему. Обозначим г0 и v0
начальные координаты и скорость частицы и запишем дифференциальное уравнение
A.2.30) в виде следующего интегрального уравнения:
t t'
r(t) = r0 + vot + -^ \dtf [е(г(*"))<й". A.2.31)
о о
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что решение уравнения
A.2.31) есть предел последовательности функций {гп(?)}, где гп определяется ре-
рекуррентным соотношением.
t t'
E(rn(t//))^//. A.2.32)
о о
Если в пределах рабочего объёма Е(г) — плавная функция координат, то достаточно
небольшого числа итераций, чтобы получить решение с приемлемой точностью.
1.3. Блочные ("нуль-мерные") модели плазменных систем
Во многих случаях состояние плазменной конфигурации может быть описано
одним или несколькими параметрами, зависящими только от времени a(t). Так, на-
например, выше мы говорили об импульсных плазменных ускорителях ("рельсотронах"
и "коаксиальных пушках"), в которых разгоняется плазменная перемычка. В этом
случае основными параметрами, определяющими процесс, являются координаты пе-
перемычки x(t) и ток в электрическом контуре J(t) (А. И. Морозов, Л. А. Арцимович
с сотр. и др.). Другим аналогичным примером является модель сгребания газа в Z-
пинче, предложенная М.А. Леонтовичем и СМ. Осовцом. Модели такого рода
1.3. Блочные ("нуль-мерные") модели плазменных систем
63
будем называть "блочными" или "нуль-мерными". Конкретно они рассматриваются
в разделах 1.6 и 1.7.
Наряду с моделями, в которых плазма выступает как некий проводник, форма
которого не изменяется совсем (перемычки рельсотрона) или изменяется себеподоб-
ным образом в Z-пинче, нуль-мерные (блочные) модели плазмы могут состоять из
двух и, в принципе, большего числа блоков. С такое ситуацией мы уже столкнулись
в разделе В.1 при выводе формулы для ленгмюровской частоты. Там рассматривались
два блока — ионный и электронный. Поэтому ниже мы будем говорить об одноком-
понентных блочных моделях и о двухкомпонентных блочных моделях.
Блочные модели, в отличие от одно-частичных моделей позволяют во многих
случаях не только (пусть очень грубо) описать плазменную систему в целом, но
и явно выявить принципиальное значение квазинейтральности.
В данном параграфе мы рассмотрим два простых, по сути методических, примера
нуль-мерных моделей, которые легко просчитываются до конца. Один из них — это
ускорение однокомпонентной перемычки постоянной массы в рельсотроне с внешним
магнитным полем. Второй — пример двухкомпонентной модели, это падение бруска
плазмы в поле тяжести при наличии магнитного поля, параллельного поверхности
Земли. Далее в разделах 1.6 и 1.7 будет показано отношение этих примеров к более
реалистическим моделям.
1.3.1. Однокомпонентная модель магнитоэлектрического рельсотрона [57].
На рис. A.3.1) изображены схемы рельсотрона с внешним магнитным полем и элек-
электрического контура, включающего источник постоянной ЭДС е и индуктивность L.
Будем предполагаеть, что индуктивность внешней цепи много больше, чем индук-
индуктивность рельсотрона, и поэтому последнюю можно не учитывать.
Рис. 1.3.1. Схема магнито-электрического рельсотрона А. И. Морозова
Обозначив массу и длину перемычки соответственно через /i и ?, имеем
dv _ HJ? _ LdJ 1
dt с с2 dt
Исключая J, получаем одно уравнение
A.3.1а)
A.3.16)
64
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
где
—;
с
е
a
h2c2 Н2?2
Полагая, что в начальный момент xq = 0; Vq = 0, Jq = 0, находим
се се
sin/3?; V= —A -cos/3t); x = —
t-
sinfit
A.3.2)
Видна далеко идущая аналогия между движением частицы в скрещенных (Е, Н)
полях по циклоиде (рис. 1.2.2в) и движением перемычки, если сопоставить vx —> vTi,
J
C
- Как видно из последнего соотношения A.3.2), в данной модели
перемычка движется пульсирующим образом со средней скоростью
се
®н
Но эта скорость равна скорости электрического дрейфа, поскольку ив = сЕ/Н.
Максимальную скорость перемычка имеет при /3tM = тг.
Если в рассматриваемую цепь включить сопротивление, то колебания будут
затухать, и спустя некоторое время перемычка будет двигаться со скоростью ue-
Рассмотрение рельсотронов будет продолжено в разделе 1.6.
1.3.2. Падение "тяжелого бруска" плазмы в магнитном поле. Расчёт, приво-
приводимый ниже, любопытен и сам по себе, и в то же время методически он предвосхи-
предвосхищает ряд расчётов, которые будут сделаны в дальнейшем.
Рассмотрим двухкомпонентную модель падения тяжелого бруска плазмы в попе-
поперечном магнитном поле (рис. 1.3.2).
Рассчитаем процесс падения, исходя из сле-
следующей схемы. В начальный момент блоки элек-
электронов и ионов совмещены и, для определённо-
определённости, неподвижны. Поскольку сила тяжести дей-
действует на все частицы данного сорта одинаково,
а магнитное поле предполагается однородным и не
чувствующим плазмы, то поведение всех частиц
в блоке можно описать одной координатой центра
тяжести. Разумеется, мы считаем плазму холод-
холодной. Исходный плазменный блок берется в виде
плоского слоя, толщина которого много меньше
поперечных размеров. Ось z направим вдоль силы
тяжести, ось у вдоль магнитного поля, нормаль
к блоку — ось х.
Движения частиц будем рассматривать в дрей-
дрейфовом приближении, а его неполноту мы компен-
компенсируем потом, учтя диэлектрическую проницае-
проницаемость плазмы. Приступая к расчёту, прежде всего,
учтём, что под действием силы тяжести при наличии магнитного поля электроны
и ионы начинают дрейфовать, но из-за различия в знаке заряда они дрейфуют
в разные стороны A.2.10)
1 1 1 1 1 1 1 1
г
н
+
^
• 7.
Рис. 1.3.2. К динамике плазменно-
плазменного бруска в магнитном поле,
= с /[Mg,H]\ =_сЩ
ё\ Ю )х ё Н'
хе,х ~
[mg,H]
Я2
= yf. A.3.3)
1.4. Элементы классической корпускулярной оптики (ККО) 65
Смещение частиц в противоположные стороны приводит к непрерывному росту
плотности заряда на сторонах блока
а = enoK^J - иЦ) = -пос^±^. A.3.4а)
Здесь приведена плотность на той стороне бруска, к которой направлен дрейф.
Соответственно скорость роста напряжённости электрического поля в объёме блока
будет
• _ 4trj _ 4тгп0с(М + т)д _ Нод
Ejx — — — — —п С. \1.ОЛ0)
Здесь са — альфвеновская скорость, а т\ - диэлектрическая проницаемость плазмы
в направлении, перпендикулярном магнитному полю. Эти величины равны
Н л с2
сд = /л ,ъ, ==, г/о = 1 + -Q-.
у 4тгп(М + га) Сд
Подробнее о сд и г] будет сказано в разделе 1.5.
Теперь, используя формулу для электрического дрейфа A.2.8), находим ускоре-
ускорения, с которым падает брусок поперёк магнитного поля
Отсюда видно, что при с\ ^> с2 ускорение стремиться к нулю, а при с\ <С с2 оно
приближается к нормальному ускорению свободного падения.
В проведенном анализе надо особенно подчеркнуть "двухступенчатость" процесса
падения плазмы, а именно: сначала частицы двигаются под действием силы тяжести
и магнитного поля и вызывают поляризацию бруска. А уже затем поле поляризации
обеспечивает равноускоренное падение. И это есть результат квазинейтральности.
1.4. Элементы классической корпускулярной оптики (ККО)
В историческом очерке говорилось, что физика плазмы начиналась с изучения
газовых разрядов. Однако это весьма сложные системы, и для их описания недоста-
недостаточно тех методов, которые изложены в предыдущих трёх параграфах. Знакомство
с физикой разрядов мы отложим до 6-й и 7-й глав.
Как говорилось в п. В.2, серьёзный прогресс в понимании плазменных процессов
был связан с исследованием "пучковых" структур — катодных и анодных ("канало-
вых") лучей и их поведения в электрических и магнитных полях. Но эти процессы
уже могут быть во многом описаны рассмотренными выше методами. Поэтому п. 1.4
мы посвятим этим системам, хотя они, по сути, образованы частицами одного
знака, т. е. представляют собой не плазму в классическом смысле, а, как теперь
часто говорят, "заряженную плазму". Однако, результаты, полученные в 1.4, нам
неоднократно потребуются в дальнейшем.
В существенной степени прогресс науки и техники в прошедшем ХХ-м столе-
столетии был обязан достижениям корпускулярной (электронной и ионной) оптики. Это
электронные радиолампы — основа радиотехники и вычислительной техники первой
половины прошлого века, осциллографы и телевизионные трубки, электронные и ион-
ионные микроскопы, ускорители заряженных частиц, ионные космические двигатели
3 А. И. Морозов
66
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
и многое другое. В последние десятилетия становится всё более очевидным, что
плазма открывает совершенно новые возможности в управлении потоками частиц и,
что особенно важно, позволяет перейти от (как правило) слаботочных ККО-систем
к сильноточным системам. В результате начала разрабатываться идеология "плазмо-
оптики", эффективность которой была продемонстрирована на примере стационарных
плазменных двигателей для космических аппаратов и на плазменных линзах.
Поэтому знакомство с основами плазменной корпускулярной оптики необходимо
для цельного представления о современной плазмодинамике.
В данном параграфе — в качестве введения в этот круг вопросов, мы рассмотрим
элементы классической (не плазменной) ККО: а именно получения ионных (элек-
(электронных) потоков и способы их фокусировки электрическими и магнитными полями
[58]. В классических — "вакуумных" ККО-системах находятся частицы одного знака.
Поэтому вид формул не зависит от того, идёт ли речь об электронных или ионных
потоках. Учитывая, однако, что в дальнейшем (гл. 5) речь будет идти о плазмооптике,
в которой рассматривается фокусировка именно ионных потоков, здесь мы будем
говорить о "ионных" потоках. Это тем более оправдано, что именно ионные источни-
источники классического типа широко используются в исследованиях по УТС, а также как
космические двигатели, где они конкурируют с плазменными двигателями.
1.4.1. Ионные источники. Простейшая схема ионного источника положитель-
положительных ионов изображена на рис. 1.4.1. Здесь A) — генератор ионов. Обычно в его
1 1а
Рис. 1.4.1. Схема ионного источника с трехэлек-
тродной ионно-оптической системой: 1 — эмиттер
ионов; 2 — ускоряющий электрод; 3 — корпус
источника; 4 —нейтрализатор
Рис. 1.4.2. К выводу формулы Чайлда-
Ленгмюра
основе электрический разряд, того или иного типа, а может быть накалённая пла-
пластина, в контакте с которой ионизуются атомы рабочего вещества (см. п. 7.1). Непо-
Непосредственно к генератору ионов примыкает Aа) — формирующий электрод, который
вырезает из широкого ионного потока, создаваемого генератором, узкие цилиндри-
цилиндрические или пластинчатые потоки. Генератор вместе с формирующим электродом
находится под высоким положительным потенциалом U по отношению к внешнему
("земляному") электроду и катоду C) — эмиттеру электронов D), которые имеют
потенциал Uk ~ 0. Ускоряющий электрод B) имеет потенциал Uy < 0. Это делается
для того, чтобы предотвратить поток электронов на ускоряющий и формирующие
электроды со стороны катода. Выбор формы электродов, отверстий в них требует
очень обстоятельных расчётов. Однако связь между вытягиваемым ионным током
1.4. Элементы классической корпускулярной оптики (ККО) 67
Ji и ускоряющим напряжением можно с точностью до множителя ~ 1 вывести
достаточно просто. Этим мы и займёмся.
Формула Чайлда-Ленгмюра
Рассчитаем простейшую модель ускорения частиц одного знака в промежутке
между двумя плоскими электродами, один из которых (анод) является эмиттером
этих частиц (рис. 1.4.2).
Особый практический интерес представляет случай, когда эмиссионная способ-
способность анода не ограничена, а ток между электродами ограничен объёмным зарядом.
Такая ситуация возникла при разработке электронных ламп с накалённым катодом.
Именно в те времена (в 1911 году) вольт-амперную характеристику такого диода
рассчитали Чайлд и Ленгмюр. Установленную ими зависимость часто называют
"законом 3/2". Со временем (начиная где-то с тридцатых годов) аналогичная схема
стала использоваться для получения пучков ионов в "ионных источниках" ("ионных
инжекторах"). О них мы и будем, для определённости, говорить.
Схема рассуждений Ленгмюра такова. Прежде всего, поскольку поток частиц
редкий, то можно пренебречь столкновениями и учитывать только коллективное
электрическое поле облака частиц, т. е. использовать уравнения Максвелла в виде
^ ). A.4.1)
Считая скорости всех ионов одинаковыми, плотность ионов можно выразить через
плотность протекающего ионного тока j = const и скорость v(x)
A42)
Пренебрегая начальной скоростью ионов на аноде, можно написать
Здесь U — потенциал анода по отношению к катоду
Уравнение
аналогично уравнению колебаний шарика в потенциальной яме W@), где ф играет
роль смещения, а х — роль времени. Это уравнение имеет первый интеграл (интеграл
энергии)
= const. A.4.5)
Полагая на аноде (в силу потенциальной неограниченности эмиссии)
Е = -
dx
= 0, A.4.6а)
х=0
а на катоде
Ф\х=о = О, A.4.66)
после интегрирования уравнения A.4.5) и учёта граничных условий A.4.6) получаем
"закон 3/2"
68
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
Проведенный вывод и полученная формула для нас интересна по нескольким
причинам.
Во-первых, здесь вводится "самосогласованное" поле, которое создаётся части-
частицами, движущимися в этом же поле. Понятие "самосогласованного поля" является
исходным в кинетической модели Власова (см. гл. 4). Во-вторых, полезно представить
себе соотношение плотности тока, даваемого ионным инжектором с плотностью тока,
даваемой плазменным ускорителем, где плотность тока не ограничена объёмным
зарядом.
В-третьих, полезно убедиться, что поток импульса, уносимый ионным потоком,
определяется максвелловским натяжением
MnV2 =
О7Г
A.4.8)
где Ek — напряжённость электрического поля на катоде.
В то же время максимальная тяга в двигателе с магнитным полем, как было
показано в 1.1 определяется выражением
8тг'
A.4.9)
Очевидно, создать магнитное поле Н = 104Э несравненно проще, чем электриче-
электрическое с Е = 104аб.ед. = 3 • 106В/см. О ионных и плазменных ускорителях см. также
раздел 10.4
1.4.2. Примеры систем вакуумной корпускулярной оптики. Итак, будем пре-
пренебрегать собственным объёмным зарядом пучка частиц, поля считаем вакуумными
и динамику рассматриваем в одночастичном приближении.
Фокусировка потока частиц однородным поперечным магнитным полем
(рис. 1.4.3)
Пусть И — "точечный" источник ионов. Вы-
Вышедшие из него частицы описывают окруж-
окружность. Если все частицы выходят по всем на-
направлениям, то никакой видимой фокусировки
нет, если не считать того, что частицы, вышед-
вышедшие в один и то же момент, вновь все вернутся
в точку И спустя время
LJ
2тгМс
еН '
A.4.10)
Но от такой фокусировки в стационарных
условиях пользы нет. Однако если из И вы-
выходит узкий пучок с малыми разбросами по
углам и величине скорости, то, как видно
на рис. 1.4.3, пройдя половину ларморовской
окружности, пучок фокусируется (сжимается)
и приобретает очень малый поперечный размер:
И П
Рис. 1.4.3. Фокусировка 80-
градусная" частиц в однородном
магнитном поле: И — источник
частиц, П — приёмник
где 5v — разброс продольной скорости v, a a — полуугол расходимости потока,
восходящего из точки А.
1.4. Элементы классической корпускулярной оптики (ККО)
69
Выражение A.4.11) показывает, что размытие "изображения" за счёт разброса
скоростей носит совершенно разный характер, в зависимости от того, варьируется
модуль скорости или угловой разрыв. В первом случае связь 5 и 5v линейная, во
втором случае — квадратичная.
Отсюда видно, что фокусировка в данном случае осуществляется только по
углам, но не по модулю скоростей. Модуль скорости, а точнее количество движения
(mv), определяет местоположение фокуса. Это обстоятельство наглядно видно из
уравнения движения частиц, если вместо dt перейти к dl/v, где I — длина дуги
траектории. Тогда имеем
d I г TJ1
u-mv = - v, H .
dl e
"Сокращая" v в обоих частях уравнения, получим
dl ~ —5(Mv).
A.4.12)
Это общее свойство систем с фокусировкой одним магнитным полем: оно фокусирует
по импульсам.
Фокусировка узкого пучка электрическим полем. В качестве примера этого спо-
способа фокусировки рассмотрим так называемый энергоанализатор Юза-Рожанского
(рис. 1.4.4).
©
Рис. 1.4.4. Схема энергоанализатора Юза-Рожанского ("фокусировка в угле тг/л/2"): 1 —
электроды, 2 — пучки частиц разной энергии, 3 — приёмники пучков, 4 — источник
Принцип его прост. Радиальное Е-поле создаётся в промежутке между двумя
цилиндрическими электродами. Для некой "базовой" энергии частиц sq = mv^/2
напряжённость Е подбирается такой, чтобы эти частицы (будем иметь в виду ионы)
двигались по окружности радиуса Rq, проходящей между электродами. Очевидно,
для этого должно быть (Eq > 0).
„2 о
еЕ0 =
mv
A.4.13)
Рассмотрим поведение ионов, энергия которых отлична от базовой и равна г =
= Sq + fe, где 5s/sq <C 1. В цилиндрической системе координат уравнение движения
частиц определяется функцией Лагранжа A.2.1)
- еф(г),
70 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
и, учитывая независимость Е-поля от азимута, т. е. сохранение момента количества
движения, можно ввести эффективный потенциал A.2.3а)
и = еф+- s-, D = mr29, ф = Е0Ы— A.4.14а)
2т г1 Ко
и написать <лтт d jj i
гаг = -— = -еЕ^- + з- A.4.146)
or r mr6
Базовая траектория определяется из условия dv/dr = 0, г = Ro,
еЕ=™
uiRq Ro
что естественно совпадает с A.4.13). Ищем траектории в окрестности базы, полагая
r = Ro + ?. A.4.15а)
Получаем, переходя от независимой переменной t к 9
^|+2^ = Я0^. A.4.156)
Здесь учтено, что Dq = 2mR^eo и 5D2 = 2mR^5e. Полагая при 9 = 0 величину ? = 0,
получаем
^ = ^A -cos(>/20))+^2sin(>/20), A.4.16а)
где
Из A.4.16а) следует, что вышедший из источника А (9 = 0), слабо расходящийся
пучок частиц, если 5г = 0, фокусируется при 9 = 9*, где
Если же fe т^ 0' то точка фокуса смещается по радиусу на величину
A.4.166)
A.4.16b)
Измеряя ?* и зная го, можно найти 5г.
Как видно, в данном случае при фокусировке Е-полями, положение фокуса
определяется только энергией частиц 0.
Безаберрационная сепарация по массам. Разные свойства фокусировок: магнит-
магнитным полем по импульсам
р = rav A.4.17а)
и электрического поля по энергии частиц
е = ^- A.4.176)
1) И это естественно. По аналогии с A.4.12), можно написать: mv— = —еЧф. Отсюда
di
1.4. Элементы классической корпускулярной оптики (ККО)
71
открывают большие возможности для создания корпускулярно-оптических систем,
способных фокусировать, по-видимому, по практически любому параметру
g = mavC. A.4.17в)
Опишем безаберрационную систему, которая независимо от вариаций модуля
и направления скорости vq на выходе из точечного источника А собирает все частицы
опять в точечные фокусы Ат\, Ат2, ..., положение которых определяется только
массой частиц т\, ТП2, ...Разумеется, такой базаберрационный массовый сепаратор
можно создать только используя Е- и Н-поля.
Эта система (рис. 1.4.5) содержит два взаимно перпендикулярных поля: электри-
электрическое и магнитное. В п. 1.2.1 отмечалось, что движение в этих полях представляет
собой суперпозиции вращения по ларморовской окружности с угловой частотой
еН
и дрейф со скоростью
иЕ =
mr
с [Е, Н]
Я2
Отсюда сразу становится понятным принцип работы этого сепаратора.
Рис. 1.4.5. Схема безаберрационного сепаратора по массам
Поскольку период ларморовского оборота не зависит от скорости, то все частицы
с данной массой в соответствии с D.6.3), вышедшей из А в момент to опишут свои
окружности за время тш = 2п/иоп и придут в одну точку Ат, отстоящую от А на
расстоянии
(^\ A.4.18)
Эта схема в обычной вакуумной оптике не получила распространения, но описан-
описанный здесь процесс реализуется при движении космических аппаратов с плазменными
или ионными двигателями в магнитосфере.
В этом случае роль скорости и играет скорость самого аппарата. Более того,
подобного рода "фокусировка" имеет место и при отсутствии двигателя на аппарате.
Своим движением аппарат возмущает ионосферную плазму и поэтому за аппаратом
тянется причудливый хвост (рис. 1.4.6). Разумеется, описанная схема не фокусирует
компоненту скорости частиц, направленную вдоль поля Н.
Фокусирующие свойства вакуумных магнитных и электрических линз. Ниже
при рассмотрении плазмооптики нам будет полезно знание фокусирующих свойств
вакуумных магнитных и электрических линз.
Ограничимся рассмотрением тонких линз, свойства которых — как и "школьных"
оптических линз, для приосевых (параксиальных) пучков определяются только фо-
фокусным расстоянием. Поэтому ниже эти расстояния и будут рассчитываться.
72
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
©н
Рис. 1.4.6. Схема ионного пучка, генерируемого электрореактивным двигателем на космиче-
космическом аппарате, движущемся поперёк магнитного поля магнитосферы
Исходим из уравнения A.2.3а), считая азимутальное магнитное поля Hq отсут-
отсутствующим, а в силу параксиальности момент количества движения D = 0. Тогда
можно написать
ди
тг = — -
U = е
dU
дг ' 2mc2r2'
Отсюда следует закон сохранения энергии
mz = — -
1 / -2 , -2
2^r +z
U vl
— = -7- = const.
m 2
A.4.19a)
A.4.196)
Здесь v0 — параллельная оси скорость падающих частиц вдали от линзы. Поскольку
нас интересует только геометрия траекторий, вместо независимой переменной t
целесообразно взять координату z. Тогда уравнения движения и закон сохранения
энергии примут вид
. d .dr _ 1 dU
dz dz m dr '
^"
A.4.20a)
2-(l+r'-) + —=vo, V = —. A.4.206)
H- и Е-поля будем задавать в виде разложений по степеням г, которые легко
вычислить с помощью A.1.25) и A.1.4в), зная величину (J)q(z) и поле Hq{z) на оси.
Эти разложения имеют вид
ф = Сно(г)-йЩ(*) + - A.4.21а)
0 = <Ш - Т0о W + - A.4.216)
Чтобы определить фокусное расстояние линзы, достаточно в первом неисчезаю-
щем приближении рассчитать угол отклонения частицы, первоначально двигавшейся
параллельно оси линзы на расстоянии го. Тогда
1=-г/(^00). A.4.22а)
Величина гх(+оо) получается методом ионно-оптического приближения (п. 1.2.6).
После интегрирования уравнения A.4.19) по z от —оо до +оо:
+ ОО
1 f dz (dU(r,zy
v0r'(+oo) = -
М
z(r,z)\ дг
A.4.226)
Рассчитаем F для простейших тонких линз, образованных либо кольцом с током
(рис. 1.4.7а), либо таким же, но заряженным кольцом (рис. 1.4.76).
1.4. Элементы классической корпускулярной оптики (ККО)
73
а б
Рис. 1.4.7. Схемы тонких корпускулярных линз: а — магнитная линза и её силовые линии; б —
электростатическая линза и её эквипотенциали. 1 — источник ионов, 2 — линза, 3 — экран
(мишень), 4 — пучок ионов
Магнитная линза. В этом случае можно ограничится первым членом разложения
A.4.21а)
Г
U =
8с2
т
z = v0, г = г0.
A.4.23)
Поэтому
и, следовательно
Т
(М^оJ 4с2
\dz
1
+ ОО
HUz.
A.4.24)
A.4.25)
A.4.26)
В частности, в случае фокусировки ионов Аг+ с энергией г = ЮкэВ при R = 5 см,
J = 7500 А, имеем F « 50 м.
Электростатическая вакуумная линза. В этом случае, если поставить
в A.4.226), как было сделано выше, г = го, ? = ^о, то интеграл будет равен нулю.
Поэтому надо учесть члены второго порядка малости:
На оси кольца с током J и радиусом R величина
До(г) = (
и фокусное расстояние равно
/ 2
2е0о
М
В результате получим первое приближение
_/ г.л г0
'0
A.4.27)
A.4.28a)
74 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
A.4.
Подставляя эти выражения в A.4.226), получаем окончательную формулу:
1 * е2 +Г
. (<l>'0(zJdz. A.4.29)
MylY J
Если помещённый на кольца заряд равен Q, то
Q
Z =
VR2 + z2
и фокусное расстояние такой линзы равно
2 "-
Полагая энергию ионов ?0 = ЮкэВ, С/ф = 1 кВ получаем F# « 200 м. Как Fh, так
и Fe при выбранных параметрах J, С/ф, ?о оказались очень большими. Совсем иную
ситуацию мы увидим в разделе 5.7, посвященном плазмооптике.
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что электростатические и маг-
магнитные вакуумные линзы всегда собирающие, независимо от знака фокусируемых
частиц. И эта особенность не зависит от деталей конструкций линз.
Осесимметричные вакуумные линзы обладают ещё одним существенным недо-
недостатком. В них принципиально не устранена сферическая аберрация, то есть зави-
зависимость фокусного расстояния от расстояния точки предмета до оптической оси.
Поэтому пока не существует "естественных" схем линз, позволяющих рассматривать
атом в деталях, хотя длина волны де Бройля в электронных микроскопах много
меньше размеров атом.
1.5. Диэлектрическая проницаемость и волны в однородной
холодной плазме [59, 60]
К числу наиболее характерных процессов в любой среде относятся её собственные
колебания, т. е. колебания, происходящие в отсутствии внешних воздействий. Коле-
Колебания многообразны. Они характеризуются частотой, пространственной структурой,
амплитудой.
Волны малой — формально бесконечно малой, амплитуды называются "линей-
"линейными" волнами, поскольку они описываются уравнениями, в которые входят члены,
зависящие от амплитуды только линейно. В свою очередь, теория линейных волн
особенно проста в случае однородной среды. В этом разделе мы рассмотрим общую
теорию линейных волн в однородной холодной плазме, находящейся в однородном
магнитном поле, основываясь на решении одно-частичной задачи A.2.16). В главе
3, раздел 3.5 будет показано, что построенная таким образом модель относится
к холодной (pi,pe —> 0) бездиссипативной плазме.
Заметим, что модель однородной среды может во многих случаях (хотя и не
всегда) применяться и к неоднородным средам, если длина волны много меньше
масштаба неоднородности среды L:
1.5. Диэлектрическая проницаемость и волны в однородной холодной плазме 75
1.5.1. Диэлектрическая проницаемость 0. Как видно из уравнений Максвел-
Максвелла A.1.6), для описания собственных волн, т.е. волн при внешних j и д, равных
нулю, надо знать тензор диэлектрической проницаемости
D = Е + 4тгР = VE, A.5.1)
где Р — вектор поляризации среды, который в случае малых возмущений можно
записать в виде
Р = ^екщк%к = ^екщк%к{Е). A.5.2а)
(к) (к)
Здесь ^(Е) — смещение частицы fc-ro сорта под действием электрического поля
Е. Эти смещения были вычислены в одночастичном приближении в разделе 1.2.
Это формулы A.2.16). Достаточно очевидно, что их можно применить к однородной
холодной редкой плазме без столкновений.
Подставляя в A.5.2а) формулы A.2.16), получаем для двухкомпонентной (г, е)
плазмы ^^ ^^
VE = Е + 4тгепо(^ - %е) = Е + 4тт( 5 г - S е)Е. A.5.26)
Отсюда следует
/г] гС 0\
V= -< rj 0 , A.5.3а)
V 0 0 е)
ГДе 2 2
^ со2 uoi
9 9
^ 2 Нк ткс и/с тк
Предельные случаи этого тензора:
а. Пусть Н —> 0. Тогда тензор становится числом, т. к.
= 0, V = ^Y, A.5.4)
где / — единичный тензор.
б. Если и2н ^> и2 и плазма двухкомпонентная, то
г,е Н
Здесь
это квадрат альфвеновской скорости. Величины rj и са уже упоминались нами
в разделе 1.3.
1.5.2. Уравнения для волн в однородной плазме. При анализе собственных
волн систему уравнений Максвелла удобно свести к векторному уравнению, содержа-
*) Диэлектрическая проницаемость плазмы при гидродинамическом описании была введена
В. Л. Гинзбургом, а в кинетике — М. Е. Герценштейном
76 Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
щему только электрическое поле Е Дифференцируя A.1.6а) по времени и учитывая
A.1.6в), получаем при jCT = 0:
= ^ 2 . A.5.6а)
С помощью векторного тождества
rot (rot a) = Vdiv a - Да, A.5.66)
получаем
АЕ - VdivE = -2 б2 . A.5.6в)
Заметим, что из уравнения Максвелла A.5.6а) следует уравнение:
divVE = 0. A.5.7)
Так как тензор *lt — величина с постоянными компонентами, то простые реше-
решения A.5.6в) могут быть найдены для гармонических полей
Е ~ ехр{-Ш + гкх), A.5.8)
Поэтому ниже речь будет идти только о гармонических волнах.
В этом случае уравнения A.5.6) и A.5.7) принимают вид:
(x25ik - щкк)Ек = -g-е
«. =0.
= 0. A.5.10)
Для того, чтобы система линейных уравнений A.5.9) имела нетривиальное решение,
её детерминант должен равняться нулю
ио2
1 к с2 (
Это уравнение, связывающее частоту uj и волновой вектор х, называется дисперсион-
дисперсионным уравнением. В однородной среде вектор и характеризуется двумя параметрами
I 27Г а хН
К = —- И COSt/ = -, zr^,
Л |х| |Н|
т. е. длиной волны Л = 2тг/х и "питч-углом" — углом между волновым вектором
и напряжённостью магнитного поля.
Знание и{х) позволяет определить две важные величины:
фазовую скорость
A.5.11а)
которая показывает, с какой скоростью и в каком направлении распространяется
фиксированная фаза волны
хх — ujt = const; A.5.116)
групповую скорость
дио дио дио
гр у дкх ' дку ' дкг )
Это — скорость переноса волновой энергии или скорость движения "пакета" волн.
1.5. Диэлектрическая проницаемость и волны в однородной холодной плазме
11
1.5.3. Волны в холодной плазме без магнитного поля. Общее дисперсионное
уравнение A.5.10) мы достаточно подробно рассмотрим в главе 3. А пока применим
это уравнение для случая, когда внешнего магнитного поля нет, т. е. когда справед-
справедливо выражение A.5.4).
Учитывая изотропность холодной плазмы при отсутствии магнитного поля, на-
направим ось z вдоль волнового вектора х, а ось х в плоскости (Е, х). Тогда Е =
= (EX,Q,EZ), и система A.5.9) примет вид
Её детерминант равен
х = 0;
^eEz = 0.
cz
= 0.
A.5.12)
A.5.13)
A.5.14)
Следовательно, существует два типа линейных процессов при отсутствии магнитного
поля (рис. 1.5.1)
ж х
а б в
Рис. 1.5.1. Три поляризации волн при Н = О
а. Поперечные волны (E_Lx)
2 2 2
U б = КС.
A.5.15)
Нужно отметить, что при одних и тех же и и х, поперечные волны, как
известно, могут иметь две поляризации. При нашем выборе координатных осей
им соответствуют волны, например, с Е-полями вдоль х и у (рис. 1.5.1а, б),
б. Продольным волнам (Е||х), как видно из A.5.14), соответствует
6 = 0. A.5.16)
Далее подставляя в A.5.15) выражение A.5.4) для б, получаем связь и; с х
в поперечных волнах:
1 1
9
9
9 л 9
;0 = 4тге щ
т
Отсюда видно, что если плотность плазмы пренебрежимо мала, т. е. uoq
имеем обычные электромагнитные волны (свет, радиоволны), в которых
A.5.17а)
О, то мы
2 2
A.5.176)
т. е. и = ±хс. Наличие двузначности выражения связано с тем, что реально A.5.17а)
описывает две волны, распространяющиеся в прямо противоположных направлениях.
В случае A.5.176) фазовая и групповая скорости совпадают и не зависят от
частоты. Но наличие достаточно плотной плазмы (u;2 ~ oofy радикально влияет
78
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
на распространение волн. Так, если ио < иоо, то волна может распространяться от
источника (или от границы вглубь плазменного слоя) только на расстоянии
Л 1 с
О ~ г = .
A.5.17в)
И затем волна отражается
Но, если ио > ooq, to, хотя волна и распространяется в плазме, но теперь фазовая
и групповые скорости различаются и зависят от длины волны
A.5.18)
1 +
"о
Продольные волны A.5.16) при условии A.5.4), т.е. в холодной плазме при Н =
= 0, приводят к ленгмюровским колебаниям.
и2=и20. A.5.19)
A.5.20а)
В этом случае фазовая скорость может быть любой
* к
и определяется длиной волны возмущения (рис. 1.5.2). Это наглядно видно из
уравнения для фазы A.5.116). Групповая скорость ленгмюровских волн равна нулю
Urp = ^=0, A.5.206)
т. е. ленгмюровские волны "топчутся" на месте и не переносят энергии. Но это только
при Ti = Te= 0.
Е
Е
Е
Е
Рис. 1.5.2. Особенность ленгмюровских колебаний в холодной плазме: частота колебаний ио
не зависит от длины волны ж
И ещё два общих замечания. Во-первых, в дальнейшем волны с угр / 0 будем
называть "сигнальными". Во-вторых, как мы показали, в холодной плазме при Щ = 0
каждой частоте — за исключением одного значения uj = ljq, соответствуют только
две сигнальные волны — в данном случае поперечные, отличающиеся поляризацией.
1.6. Блочные модели импульсных плазменных систем
(импульсные плазменные пушки и Z-пинчи)
1.6.1. Двухкомпонентная модель магнито-электрического рельсотрона
(А. И. Морозов)[57]. Анализ динамики двухкомпонентной блочной модели плазмы
(рис. 1.6.1) в скрещенных полях Н = @, 0, Н), Ео = @, Ео, 0) весьма полезен для
понимания процесса ускорения рассмотренной в п. 1.3.1 перемычки, а потом и для
объяснения возникающих при этом трудностях в экспериментах.
1.6. Блочные модели импульсных плазменных систем
79
Уравнения, описывающие движения центров тяжести ионного и электронного
блоков, а также ж-компоненты электрического поля, обязанных сдвигу блоков друг
относительно друга за счёт разности масс и зарядов ионов и электронов, имеют вид:
= еЕх
т-
= -еЕх -
etfn
dt
Ex = 4пещ(хе — ;
vey,
т-
—— = ещ 1
at с
dve
uey _
dt
= -еЕ
0
A.6.1)
н
©
Не приводя простого, но несколько гро-
громоздкого расчёта данной системы линейных
уравнений, изобразим графически результат
расчёта.
На рисунке 1.6.2а показаны траектории
центров тяжести блоков при очень малой
плотности (по —> 0), т. е. когда не реализует-
реализуется квазинейтральность, и блоки двигаются
независимо. В этом случае периоды по х
у ионов и электронов различны, а смещение
по у у ионов велико, а у электронов мало.
Совсем иначе выглядят траектории частиц
при больших по, когда реализуется квазинейтральность (рис. 1.6.26).
Е„
(C\\\
x\
xe
1
\\\\\\\\\4X
Рис. 1.6.1. Схема двублочной модели
рельсотрона; хе, xi — координаты центров
тяжести блоков
Н©
Е
а б
Рис. 1.6.2. Траектории ионов и электронов в двублочной модели ускорения перемычки рель-
рельсотрона при ujq —»> 0 (a); ujq —»> оо (б); хтах — координата, где скорость плотной перемычки
максимальна
В этом случае электроны уходят далеко вдоль у, тогда как смещение ионов
вдоль этой оси мало. То-есть, функцию создания тока в перемычке берут на себя
электроны, а ионы являются "чисто инерционным" компонентом системы. Ускорение
ионов осуществляется возникающим в объёме перемычки продольным (вдоль х)
электрическим полем Ех. В начале периода скорость ионов мала, электроны их
обгоняют и тянут за собой. Наоборот, на стадии торможения перемычки электроны
отступают и тянут ионы в обратную сторону.
Но средние скорости дрейфа ue вдоль х у ионов и электронов, очевидно, одина-
одинаковы при любых по.
Итак, динамика ионов в плотном (квазинейтральном) блоке определяется само-
самосогласованным продольным полем. Это поле называют "холловским". В реальных
рельсотронах перемычки находятся в контакте с хорошо проводящими металличе-
металлическими электродами. Естественно, что в этих условиях вблизи электродов продольное
80
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
поле разрушается, и этот эффект мешает получить большие скорости плазменных
сгустков.
1.6.2. Электродинамическая модель рельсотрона (Л.А Арцимович), [61].
Разобранная в п. 1.6.1 модель ускорения плазменной перемычки в рельсотроне
с внешним магнитным полем, проста формально, но реализация её сравнительно
громоздка. Проще оказались импульсные электродные ускорители с собственным
магнитным полем, предложенные позднее Л. А. Арцимовичем [61]. В дальнейшем,
наряду с электродами в виде двух рельс (рис. 1.6.3), стали использовать систему
двух коаксиальных электродов, либо цилиндрических (рис. 1.1.2), либо конических.
Коаксиальные импульсные ускорители появились около 1957 года сразу в нескольких
местах. Они широко используются и до настоящего времени.
В нуль-мерном приближении, когда
плазменный сгусток рассматривается как
жёсткая перемычка, теория одинакова
и для рельсотрона, и для цилиндрического
коаксиальных электродов. Как и в п. 1.3.2,
процесс описывается двумя уравнениями:
для координаты z и протекающего по кон-
контуру тока J
d2z
d2
Z 2c2 dz ;
J л
A.6.2)
Здесь Со — ёмкость конденсатора, L
полная индуктивность, равная
L =
A.6.3)
Рис. 1.6.3. Схема электродинамического
рельсотрона (Л. А. Арцимович); 1 — рель-
рельсы, 2 — перемычка, 3 — откачка
Записав уравнения A.6.2) в безразмерных переменных
_ Ъ ^ U
где I/Q — начальная индуктивность контура,
а член lz учитывает её увеличение при дви-
движении токовой перемычки. Система уравне-
уравнений решается при начальных условиях (t =
= 0):
U = и0, zq = 0, i0 = 0.
A.6.4)
и, введя величину J = —
1
Г = UJot,
-, получаем систему
d2z
dtr2
и = -
_d_
~dr
^dU
A.6.5)
1.6. Блочные модели импульсных плазменных систем
81
с граничными условиями
Z(O) = O, %
U@) = 1;
dU
= 0;
= 0.
В системе A.6.5) содержится единственный безразмерный параметр
A.6.6)
A.6.7а)
Физически смысл q — это квадрат соотношения масштаба периода колебания элек-
электрического контура Тк ко времени пролёта сгустком ускорителя Ту
q-Ш- A-6.76)
На рис. 1.6.4а изображены зависимости z от времени при разных значений q. А на
рисунке 1.6.46 приводится сопоставление расчётного и измеренного перемещения
перемычки в эксперименте Л. А. Арцимовича. Хотя явно видно различие между
расчётом и прямым измерением z(t), что вполне естественно для перемещения
сгустка, поскольку он "механически" взаимодействует со стенками канала. Однако
различия не существенны для осциллограмм тока и напряжения. Поэтому электро-
электродинамической моделью в основном пользуются при выборе электрического контура.
/, см
р
Z
0,8
0,4
0
842 1
III/
" ////
/////
¦ //
2
1/2 1/4
/ /
//
/
/
¦ i
4
6
X, МКС
30
20
10
0 4 8 12 х, мкс
а б
Рис. 1.6.4. Результаты численного решения уравнения движения перемычки для различных
значений параметра q : а — зависимость пройденного перемычкой расстояния от времени; б —
теоретические и экспериментальные (пунктир) кривые — зависимости от времени расстояния,
проходимого перемычкой и плазменным сгустком. Пережигание медных проволочек диамет-
диаметром, мм: 1 - 0,02; 2 - 0,05; 3 - 0,1; 4 - 0,27
1.6.3. Z-пинчи. В историческом обзоре уже говорилось о Z-пинчах О — са-
самосжимающихся под действием магнитного поля прямых электродных разрядах,
в которых впервые была получена плазма с Г^ 100эВ и даже выход нейтронов,
хотя и не термоядерного происхождения. Основные особенности этого разряда,
обнаруженные на эксперименте, были объяснены с помощью нуль-мерной модели
М.А. Леонтовичем и СМ. Осовцом.
1) У нас в стране Z-пинчи предложил Л. А. Арцимович. Начальный этап их исследований
подробно описан в его книге [25]
82
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
Классический Z-пинч. Схема экспериментальной установки с Z-пинчем, изучав-
изучавшаяся в начале 50-х годов, изображена на рис. 1.6.5а.
Наиболее информативными экспериментальными данными являются кадры сверх-
сверхскоростной съемки разряда в кварцевой толстостенной трубе (рис. 1.6.56). На
рис. 1.6.5в приведены также осциллограммы разрядного тока и напряжения. Нуль-
Нульмерная модель строилась из следующей предпосылки, согласующейся с киносъемкой
и локальными зондовыми измерениями.
К поджигающему
устройству
5 - 2420 ее
в г
Рис. 1.6.5. Установка Z-пинч: а — принципиальная схема установки; б — схематическое изоб-
изображение кадров сверхскоростной киносъемки процеса сжатия Z-пинча (время в наносекундах
от начала разряда; в — избранные кадры сверхскоростной киносъёмки Z-пинча (момент
разрыва перетяжки ?5 и предшествующий ему момент времени U); г — осциллограммы тока
и напряжения, особенность на осциллограмме соответствует схлопыванию пинча на оси
В начальный момент, когда разрядник замыкает цепь, и на электроды подается
напряжение, под действием электрического поля начинается ионизация газа во всем
объёме и, соответственно, рост проводимости. В некий момент проводимость а
достигает такого значения, что разрядный ток сосредотачивается в тонком (^ 1 см)
скин-слое. Этот скин-слой с большой плотностью тока превращается в непрозрачный
"поршень", который начинает сгребать — при своем движении к центру, ионизиру-
ионизирующийся газ. Сжатие скиновой оболочки объясняется тем, что давление магнитного
поля существенно превосходит давление плазмы в скин-слое, а тем более давление
слабо ионизованного газа внутри оболочки. Отличие нуль-мерной модели Z-пинча от
рассмотренных выше моделей импульсных пушек состоит в том, что здесь движется
переменная масса, а плазменный объём имеет вид цилиндра.
1.6. Блочные модели импульсных плазменных систем
83
Первые расчёты проводились в упрощенном виде, а именно, выписывалось только
уравнение движения оболочки высотою h = 1 см, сгребающей газ с плотностью р:
d
где
= ртг(а2 — г2),
A.6.8а)
A.6.86)
а вместо уравнения цепи просто, в соответствии с осциллограммой тока для началь-
начальных стадий, полагалось
J = at, H =
2J
сг
A.6.9)
Если ввести безразмерные величины
r t
г = -, г = —,
a t0
то система A.6.8) и A.6.9) примет вид
если в качестве to выбрать величины
*о= ( —)
V а )
Отсюда видно, что в переменных г; t уравнение A.6.10) имеет универсальный вид,
при начальных условиях
r@) = l; f@)=0.
Результат численного решения уравнения A.6.10) представлены на рис. 1.6.6.
Видно, что при т ~ 1,5 расчётный радиус оболочки обращается в нуль. Разумеет-
Разумеется, это результат пренебрежения давлением плазмы на последней стадии сжатия.
Реально, как показывает эксперимент, цилиндр сжимается до некоего гт-т, затем
расширяется и снова начинает сжиматься.
A.6.10)
A.6.11)
1,0
X
0,5
\\ \
\\ X.
"V v \
\\ \
V x
\\ x
v Ч^
\\
\\
\\
\\
\\
X /
1 v'
0 0,5 1,0 1,5 t
Рис. 1.6.6. Рассчитанное по Леонтовичу-Осовцу изменение во времени радиуса Z-пинча без
учёта давления (сплошная линия) и с учётом давления (штриховые линии) [25]
84
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
Но вот что важно. Формула для момента максимального сжатия, которая может
быть записана в виде
imax = 1,5*0= 1,5 (-) М'/4, A.6.12)
a /
очень хорошо подтверждается экспериментом.
Фундаментальной особенностью сжатия Z-пинчей является потеря устойчивости
шнура t ~ tmax. Наблюдаются неустойчивости разных видов, но наиболее отчётливо
проявляется осесимметричные "перетяжки" (рис. 1.6.5N и изгибные деформации
с последующим расплыванием шнура. Появление деформаций типа перетяжки легко
можно понять, если предположить, что область, занятая током, также гофрируется.
Тогда там, где радиус шнура меньше, там давление магнитного поля (Рм = ^Г2/8тг)
больше и, следовательно, возникшая перетяжка будет прогрессивно нарастать, и, no-
Напуск газа
б ч ,
> а
В /Х Vy/y/7Z//////X/
!< 10 СМ
Рис. 1.6.7. Многообразие пинчей: а — "плазменный фокус": сплошными тонкими линиями
показано последовательное изменение фронта тока в камере; б — установка "Триакс" 1 — ввод
тока, 2 — электроды, 3 — внешний проводник, 4 — внутренний проводник, 5 — плазма, 6 —
изоляторы; в — #-пинч (установка "Сцилла"), пунктиром показан ход силовых линий
1.7. Простейшие модели статических магнитных ловушек. 85
хоже, что в ряде случаев шнур может быть вообще разорван 0 (модель Б. А. Трубни-
Трубникова). В этот момент ток частиц в этом промежутке подхватывается током смещения
1 <9Е
JcMeui~4^-
Возникающее при этом огромное электрическое поле может быть ответственно за
ускорение ионов до энергии порядка нескольких сот кэВ. Такой поток, возникший
в разрыве шнура, будет бомбардировать "малоподвижные" ионы шнура и вызывать
ядерные реакции, генерирующие нейтроны. Нужно, однако, отметить, что разви-
развитие "перетяжек" на Z-пинче частично объясняется ещё и неустойчивостью Рэлея-
Тейлора 2). Развитие этой неустойчивости принципиально связано с динамичностью
Z-пинча.
Также нетрудно убедиться, что случайно возникший изгиб токонесущего шнура
будет непрерывно нарастать из-за возникающей неравномерности магнитного давле-
давления на поверхность шнура.
О многообразии Z-пинчей. Сегодня существует много различных пинчей. На
рисунке 1.6.7 изображены неклассические пинчи: (а), "плазменный фокус Филиппо-
Филипповых", в котором форсируется перетяжка, что приводит к эффективной генерации (в
зависимости от режимов) рентгеновского излучения быстрых электронных, а также
ионных потоков; (б) "Триакс" — плазменные оболочки цилиндрической геометрии.
О (квази)стационарных компрессионных течениях Морозова будет сказано в пп. 2.6.1
и 3.7.4. Наряду с пинчами, обязанными сжимающему действию азимутального
магнитного поля, исследуют плазменные конфигурации, обязанные сжатию плазмы
под действием продольного магнитного поля (рис. 1.6.7в). Этот тип конфигурации
называют ^-пинчами.
1.7. Простейшие модели статических магнитных ловушек.
Проблема удержания плазмы многолика. Она возникает и при создании плазмы,
и при её транспортировке по специальным плазмоводам и, наконец, в связи с её
поведением в "ловушках", предназначенных для УТС, где температура должна быть
~ A00—500) • 106К. В этом параграфе мы будем говорить только о ловушках.
Избежать контакта плазмы с энергопоглощающими "стенками" (твердыми, жид-
жидкими, газообразными) можно, либо переходя на очень кратковременные процессы,
когда плазменный сгусток образуется в вакууме и не успевает достичь стенок
("Инерциальное удержание" Г. Н. Басова-О. Н. Крохина), либо — в случае, когда
плазменное образование стационарно или квазистационарно, оно должно быть отго-
отгорожено от стенок электромагнитными полями (принцип О. А. Лаврентьева). Сейчас
нас будут интересовать только (квази)стационарные магнитные системы удержания.
Об инерциальных системах будет сказано в разделе 10.5.
В этом случае естественно было бы поступить так, как при создании сосудов
(баллонов) для жидкостей или газов. А именно, создать адекватный плазме маг-
магнитный или магнитоэлектрический сравнительно тонкостенный "корковый" баллон
и налить в него плазму (рис. 1.7.16).
х) На рис. 1.6.5в это момент 2420 нс.
2) Неустойчивость Рэлея-Тейлора — это неустойчивость границы раздела между двумя
жидкостями в поле тяжести, в случае, когда наверху находится более тяжёлая жидкость. В Z-
пинче роль лёгкой жидкости играет Н-поле, а роль ускорения силы тяжести — ускоренное
движение скин-слоя.
86
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
Рис. 1.7.1. Две схемы удержания плазмы
магнитным полем: а — магнитная "губка"
(поле и плазмы перемешаны, J3 <С 1); б —
магнитный баллон (поле и плазма в основ-
основном разделены, C0 ~ 1); область, занятая
магнитным полем, заштрихована, область
локализации плазмы выделена серым цве-
цветом
Однако, в силу исторических причин, о чём подробнее сказано в разделе 10.5,
современный подход к магнитному удержанию плазмы опирается не на корковые
схемы, а на "засев" сильных магнитных полей сравнительно редкой плазмой, т. е. на
системы с (см. рис. 1.7.1а)
В то время как в корковых ловушках
щ
1.
Здесь ро ~~ давление плазмы внутри баллона, а Н§ — характерная напряжённость
барьерного (коркового) поля.
Существующие и мыслимые стационарные магнитные ловушки для плазмы могут
быть разбиты по величине топологической связности плазменного объёма на три
большие группы. Это
- односвязные (открытые) ловушки;
- двусвязные (тороидальные замкнутые) ловушки;
- многосвязные ("корковые" и другие галатеи 0).
Здесь мы рассмотрим принципы наиболее известных из современных ловушек,
а именно, из открытых ловушек - ловушку Будкера-Поста и некоторые другие её мо-
модификации, а затем две схемы тороидальных ловушек — токамаков и двухзаходных
стеллараторов [62]. Что же касается галатей, то они будут описаны в разделе 10.5.
Там же будут подробнее рассмотрены и другие представители одно- и двусвязных
ловушек.
1.7.1. Пробочная ловушка Будкера-Поста. Эта ловушка схематически мо-
может быть представлена как система двух катушек с токами одного направления
(рис. 1.7.2). Здесь магнитное поле минимально в центре Щ и нарастает в на-
Рис. 1.7.2. Схема пробочной ловушки
Будкера-Поста и траектории частиц в ней
Рис. 1.7.3. Конусы ухода частиц в пробоч-
пробочной ловушке в минимуме Н-поля
правлении "пробок" — областей внутри катушек (Нт). Если в средней плоскости
имеется частица со скоростью Vb, направленной под углом ао к силовой линии,
то она будет двигаться по направлению к пробке, вращаясь вокруг силовой линии.
1) Понятие "галатея" объясняется в п. 10.5.3.
1.7. Простейшие модели статических магнитных ловушек. 87
V2
При этом, в силу сохранения поперечного адиабатического инварианта J± = -^ =
V2
= -j- sin2 а$ (см. A.2.13), поперечная компонента скорости будет расти, а продольная
Vjl уменьшаться из-за сохранения энергии (Vq = V\_ + V? = const)
Я
= yV02 - J±tf = VoWl - — sin2a0. A.7.1)
Здесь а — угол между вектором магнитного поля Н и скоростью v.
Отсюда видно, что, если
A.7.2)
то частица не выйдет из ловушки, а, отразившись от пробки, будет колебаться внутри
ловушки.
Кроме того, благодаря неоднородности поля, частица будет также дрейфовать
вдоль азимута ловушки. Об этом говорит член, пропорциональный [Н, VH] в урав-
уравнении A.2.18). На рис. 1.7.3 изображено пространство скоростей в координатах (Vj_,
Vj|), и в нём "конус ухода", попав в который, частица тут же покидает ловушку.
Реально динамика частиц в пробкотроне выглядит следующим образом. Частицы
вводятся в ловушку с помощью инжектора нейтральных атомов 0 с нужной энергией
и фиксированным направлением скорости. Попав в ловушку, быстрые нейтраль-
нейтральные атомы ионизуются. Сталкиваясь с уже находящимися в ловушке частицами,
"новенькие" постепенно изменяют поперечный адиабатический инвариант и, дойдя
до запретного конуса, покидают ловушку. Расчёты, выполненные первоначально
Г. И. Будкером и уточненные в дальнейшем другими авторами, показали, что время
жизни частиц в пробкотроне порядка времени между столкновениями, умноженному
на логарифм отношения Н^/Щ. Для ионов это будет (см. п. 5.6.2).
A.7.3)
Конвективная неустойчивость в пробкотроне с резкой границей плазмы В ис-
историческом обзоре отмечалось, что, вскоре после формулировки принципа пробко-
трона, теоретики Розенблют и Лонгмайер (США), а затем несколько позже Б. Б. Ка-
Кадомцев, показали, что плазма в пробкотроне при достаточно больших градиентах
давления (критерии см. раздел 8.1.2) должна быть неустойчивой. Покажем это,
следуя первым двум авторам, которые фактически воспользовались тем же методом,
которым мы рассматривали падение ион-электронного бруска в поле тяжести при
наличии магнитного поля.
Считаем границу плазмы резкой: вне этой границы плазмы нет, а внутри плот-
плотность плазмы постоянна. Пусть, за счёт случайных причин, через границу перешла
магнитная трубка с плазмой, а та магнитная трубка, на место которой пришла трубка
с плазмой, опустилась внутрь плазменного объёма (рис. 1.7.4). Для простоты считаем
сечение рассматриваемых трубок прямоугольным. Введём координаты (х,у,?) так,
как показано на рисунке. Здесь ? — дуга, отсчитываемая вдоль силовой линии
в середине сечения выступа. Будем предполагать, что ионы и электроны замагниче-
ны, и их динамика может описываться дрейфовыми уравнениями. Тогда, благодаря
1) См. раздел 10.1, где такой инжектор описан.
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
I \
а б в
Рис. 1.7.4. Схема развития конвективной неустойчивости в пробочной ловушке с резкой
границей плазмы: а — выступ на поверхности плазмы в координатах (г, z)\ б — то же в сечении
z = const, при t = 0; в — разделение зарядов в выступе за счёт градиентного магнитного
дрейфа и возникающее электрическое поле приводят к электрическому дрейфу
неоднородности магнитного поля, частицы будут двигаться вдоль х со скоростями
магнитного дрейфа A.2.18)
2(-е)Я3
vu)
тдН _ cQe8H
[ } ду - еЯ2 ду '
дН _ Q% дН
[ ] ду ~ еЯ2 ду '
A.7.4)
Смысл введенных величин Qe и Qi очевиден — это аналоги температур. В этих
формулах предполагается, что направление Н и координаты ? совпадают.
Дрейф частиц по азимуту ловушки, т. е. вдоль х, приводит к потоку зарядов на
боковые поверхности выступа и впадины. Этот поток равен
jx =
- RXte) =
A.7.5)
Отсюда видно, что направление потока дрейфующих зарядов зависит от знака
Э 1 г
— . Если на силовой линии эта производная положительна, т.е. магнитное поле
дуН
убывает с удалением от границы плазмы, то jx > 0, и накапливающийся на боковых
поверхностях заряд будет создавать электрическое поле
:0, A.7.6а)
е
где а — среднее (по силовой линии) значение заряда на выступе. Появление поля
такой ориентации приводит к электрическому дрейфу от границы раздела
е[Е,Н1 А
иЕ,у =
Я2
A.7.66)
т.е. выступ будет нарастать, а впадина будет углубляться.
Если же напряжённость магнитного поля растёт с удалением от границы, то Ех
меняет знак, и выступ "вдавливается" в плазменный объём. Следовательно, в первом
из рассмотренных случаев граница раздела неустойчива, а во втором — устойчива.
В простом пробкотроне (рис. 1.7.2) в средней части —->0, а в окрестности
Й 1
пробок — < 0. Поэтому результирующий эффект зависит от того, какой из участ-
1.7. Простейшие модели статических магнитных ловушек.
89
ков вносит больший вклад в поляризацию. Интегральность эффекта объясняется тем,
что заряды легко перетекают вдоль силовых линий.
Если плазма сосредоточена в средней части ловушки, то она "конвективно"
неустойчива. Это было прекрасно продемонстрировано М.С. Иоффе A960, ИАЭ).
Эту неустойчивость нетрудно подавить, отказавшись от осевой симметрии и учиты-
учитывая, что в критерий устойчивости входит интеграл вдоль участка силовой линии,
занятого плазмой.
Простейший стабилизатор ("якорь") был предложен Иоффе. Это просто квадру-
польное поле, созданное четвьмя "палками" с чередующимися направлениями потока
(рис. 1.7.5). Это поле почти перпендикулярно полю пробкотрона и поэтому квадрат
a D — w B
Рис. 1.7.5. Схема стабилизации конвективной неустойчивости квадрупольным магнитным по-
полем ("палками Иоффе"): а — система двух колец, создающих поле пробкотрона; б — палки
Иоффе, создающие квадрупольное поле, в — суммарное магнитное поле
модуля результирующего поля
Н2 = Н2 + Н а2 A7 7)
Квадрупольное поле \НКВ\ ~ г2, и оно компенсирует убывание пробочного поля
с радиусом.
Вид магнитных поверхностей комбинированного поля показан на рис. 1.7.5в.
В настоящее время имеется целый ряд "яко-
"якорей", способных подавить конвекцию (рис. 1.7.6).
Однако остаётся проблема "запирания" торцов.
Здесь также есть интересные предложения (см.
раздел 10.5), но пока успеха, достаточного для
решения проблемы УТС, на этом пути не достиг-
достигнуто.
Рис. 1.7.6. "Бейсбольная" катушка
для стабилизации плазмы в про-
пробочной ловушке
1.7.2. Тороидальные ловушки. Учитывая,
что частицы в магнитном поле свободнее всего
двигаются вдоль магнитных силовых линий, есте-
естественно использовать магнитные поля, силовые
линии которых остаются в пределах некоторого,
в простейшем случае двусвязного тороидального
объёма.
Среди возможных вариантов тороидальных ("замкнутых") ловушек мы отметим
токамаки и стеллараторы (все чаще теперь называемые "геликоидальными" ловуш-
ловушками). Эти ловушки характеризуются достаточно сильным азимутальным полем.
И о полях этих ловушек мы уже говорили в разделе 1.1.
Тороидальный дрейф. Простейшая магнитная конфигурация такого типа — это
поле прямой нити с током. Естественно желание взять его за основу и выделив
в нём тор — например, прямоугольного сечения, наполнить его плазмой, достаточно
90
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
редкой, чтобы можно было пренебречь столкновениями. Взяв направление тока за
ось z, для единственной азимутальной компоненты поля можно написать
Нв= -На,
г
A.7.8)
Здесь а — некий "опорный" радиус внутри кольца, на котором Но = На, г°-
единичный вектор вдоль радиуса.
Поскольку Х7Н ф 0, то возникает магнитный дрейф вдоль оси z A.2.28):
(Uz)i,e =
2еЯ3
[H, VH]Z =
2еН0а
A.7.9)
Отсюда видно, что ионы и электроны дрейфуют в разные стороны, как и в рассмот-
рассмотренных ранее случаях падения бруска в магнитном поле, или эволюции выступа на
поверхности плазмы в пробкотроне. Эти дрейфы приводят к появлению на торцах
тора противоположных по знаку поляризационных зарядов(рис. 1.7.7).
а б в
Рис. 1.7.7. Поляризация плазменного тора за счёт тороидального дрейфа: а — тороидальный
плазменный объём, ограниченный магнитными полями, б — направления тороидальных дрей-
дрейфов электронов и ионов, в — принципиальная схема снятия поляризации
Плотность поляризационного заряда нарастает по закону (е^ = е, ее = —е):
& = en(uH,i ~ иНе) =
,i±(iQj L
+
A.7.10)
Появление электрического поля вдоль z ведёт к совместному дрейфу ионов и элек-
электронов вдоль радиуса, т. е. расширению кольца. Это расширение происходит с уско-
ускорением (ср. A.3.4))
dv
cEz
Отсюда видно, что при с2А <С с2 и г = а, имеем
dvr _ 4жпс%а з, ._, , _,. _ 3 к(Т: + Т*)
Ма
A.7.11а)
A.7.116)
если положить
m
= 1кТ*.
1.7. Простейшие модели статических магнитных ловушек.
91
Обращает на себя внимание, что полученная формула для ускорения при с2А > с2
не содержит магнитного поля и индивидуальных характеристик частиц. В A.7.116)
входят только эффективная скорость звука
2 _3fc(Te*+?y)
С
Сг2 М '
Это говорит о том, что расширение кольца плазмы в магнитном поле представляет
собой обычный газодинамический процесс. Действительно, рассмотрим расширение
наполненного газом абсолютно растяжимого в длину кольца сечением S и радиусом
а (рис. 1.7.8). Выделим малый сектор с углом а. Его масса
/i = апМ,
а действующая на него в радиальном направлении сила давления со стороны сосед-
соседних участков кольца равна
Fr = Spa.
A.7.12)
Следовательно, расширение кольца идёт с ускорением
уг = Ei = JL
{1 аМ
С точностью до коэффициента ~ 1, связанного с оценочным характером расчёта
формулы A.7.Ив) и A.7.12) совпадают.
Снятие поляризации в тороидальных системах. Очевидно, для того чтобы
создать тороидальную конфигурацию, которая не будет выбрасываться на стенки
камеры, надо предотвратить возникновение в плазменном объёме электрического
поля, создающего "выбрасывающий" дрейф частиц.
Если бы температура плазмы была неве-
невелика, то снимать поляризацию можно бы-
было бы, просто соединив торцы плазменно-
плазменного тора накоротко хорошим проводником
(рис. 1.7.9а). И такая стабилизация имеет
место в токамаках на стадии "разгорания"
разряда, когда полоидальное поле мало.
Очевидно, если закорачивающий проводник
плазменный объём имеет заметное сопро-
сопротивление, то в объёме плазменного шнура
сохранится небольшое электрическое поле,
и шнур будет непрерывно смещаться в сто-
сторону больших радиусов. Это так называе-
называемая "диффузия" Пфирша-Шлютера, в слу-
случае, если внешнее сопротивление цепи до-
достаточно мало.
Однако борьба с поляризацией пошла по
пути использования магнитных полей, си-
силовые линии которых образуют и обвивают
магнитные поверхности (рис. 1.7.96). В ре-
результате "верхняя" и "нижняя" стороны поверхности оказываются закороченными.
В схеме магнитного реактора, предложенной А. Д. Сахаровым, использовалась
магнитная конфигурация И.Е. Тамма (рис. 1.1.4), т.е. внутри тороидальной камеры
с азимутальным магнитным полем мыслилось помещать жёстко соединенное с ис-
источником питания металлическое кольцо, по которому шёл бы ток, т. е. речь шла
Рис. 1.7.8. К расчёту расширения торои-
тороидального баллона с газом: Fpi, Fp2 —
силы давления, действующие на сечение
баллона, Fr — результирующая этих сил
92
Гл. 1. Поля, частицы, блоки (нуль-мерные модели)
о галатее (рис. 1.7.10). Полоидальное поле этого кольца и замыкало "верх" с "низом".
Позднее от кольца, естественно, отказались, и генератором полоидального поля стал
ток, непосредственно текущий по плазме. Но для того, чтобы обеспечить грубую
устойчивость и получить токамак, надо было подобрать правильное соотношение
величин азимутального и полоидального полей. Ориентиром здесь служил критерий
Крускала-Шафранова (раздел 10.5).
б в
Рис. 1.7.9. Способы снятия поляризации: а — путём закорачивания проводником (например,
диафрагмой); б — закорачивание силовыми линиями "верха" и "низа" шнура; в — путём
перекручивания тора ("восьмерка" Л. Спитцера, предшественник стелларатора)
Очевидно, сказанное о снятии поляризации справедливо и для стеллараторов,
поскольку в основе их лежат поля с вложенными поверхностями, образованные
спиральными силовыми линиями. Отметим, что чёткое понимание того, что в стел-
лараторах имеется система вложенных магнитных поверхностей, силовые линии
которых обходят магнитную ось, появилось не сразу. Первые стеллараторы имели
вид "восьмёрок" (рис. 1.7.9в) и были сделаны из тех соображений, что при такой
конфигурации тороидальный дрейф на одном участке ABC компенсируется торои-
тороидальным дрейфом на другом участке EFGi.
Пролётные и запертые частицы в тороидальных ловушках
Общими для всех тороидальных ловушек являются осложнения, связанные
с непостоянством напряжённости магнитного поля вдоль силовых линий. Рассмотрим
простейший случай осесимметричного поля (рис. 1.1.4). Напряженность поля больше
Рис. 1.7.10. Схема плазменной конфигурации
А. Д. Сахарова: 1 — плазма, 2 — центральный
проводник (миксина) с током, 3 — подвод
тока к центральному проводнику
Рис. 1.7.11. Траектории в токамаке пролётных
B) и запертых C) частиц (бананы); 1 — маг-
магнитные поверхности
на тех участках силовых линий, которые ближе к центру системы и меньше на
периферии при больших радиусах. Наглядно можно сказать, что мы имеем здесь
своеобразный аналог пробкотрона. А это означает, что частицы, находящиеся в такой
ловушке, можно разделить на две группы — те, у которых продольная компонента
велика и те, у которых она мала. Точнее, если (см. A.4.2))
sin a
A.7.13а)
1.7. Простейшие модели статических магнитных ловушек. 93
где а — угол между V и Н на внешней стороне магнитной поверхности, где
магнитное поле минимально (Нт-т), то частица отразится от магнитной пробки
в районе i^max и окажется запертой. Если же
A.7.136)
то частица окажется "пролётной", т. е. будет обходить всю магнитную поверх-
поверхность. Оказывается, что траектории пролётных и запертых частиц весьма различны
(рис. 1.7.11). А именно, если пролётные частицы за счёт дрейфа отходят от "своей"
магнитной поверхности на расстояние
Vt
?прол —, A.7.14а)
где слназ — ларморовская частота, рассчитанная по азимутальному (полному) полю,
тогда как смещение запертых частиц существенно больше и по порядку равно
?зап ^—. A.7.146)
-^полоид
Здесь интлтА — ларморовская частота, рассчитанная по полоидальному полю, vt —
тепловая скорость частиц.
Эти оценки непосредственно следуют из интеграла дрейфовых уравнений A.2.19),
который является уравнением дрейфовой траектории. Указанное различие смещений
имеет принципиальное значение для диффузии плазмы из ловушки. Подробнее об
этом будет сказано в разделе 5.7.
В схеме предложенного А. Д. Сахаровым магнитного термоядерного реактора
полоидальное поле полагалось равным всего 200 Э. Нетрудно видеть, что при таком
поле и скорости частиц ~ 108см/с смещение 5зап ~ 1 м (!). Разумеется, это неприем-
неприемлемо.
Глава 2
ОДНОЖИДКОСТНЫЕ МОДЕЛИ ПЛАЗМЫ
Нуль-мерные модели аппроксимируют плазменные конфигурации одним или
несколькими блоками. Естественно, что такие модели весьма ограничены по своим
возможностям. Несравненно большими возможностями обладают гидродинамические
модели, в которых среда разбивается на малые, формально бесконечно малые,
квазиавтономные "капли". Координаты (х) каждой капли зависят от времени (?).
Для поля капель характерны плотность п(х, ?), скорость v(x, ?), температура Т(х, ?),
напряжённости полей Н(х, ?), Е(х, t) и др. Уравнения для этих величин и образуют
"базовую" модель гидродинамического приближения. В данной главе мы сначала
напомним принципиальные моменты классической газодинамики, а затем рассмотрим
одножидкостную "магнитную гидродинамику". Двухжидкостной плазмодинамике по-
посвящена следующая глава.
2.1. Особенности гидродинамических моделей
2.1.1. Уравнения Эйлера. Простейшая модель среды, которая может быть
в гидродинамике 0 — это среда полностью автономных, абсолютно "гладких" капель,
которые взаимодействуют между собой только давлением друг на друга по нормали
к поверхности капли (рис. 2.1.1)
Fp = - n"pdS.
(s)
B.1.1)
Здесь п° — внешняя нормаль к рассматриваемой
"капле", dS - скаляр.
Эта модель — в предположении изотропии дав-
давления, приводит к гидродинамике Эйлера. Она бу-
будет прототипом дальнейших, собственно плазмен-
плазменных, гидродинамических моделей, и поэтому рас-
рассмотрим её подробнее.
Обозначим объём и плотность "капли" буквами
V и р. Тогда ее масса /i = pV. В силу сделанных
предположений об автономности капли, можно напи-
написать уравнение сохранения массы капли, уравнение
Ньютона и условие сохранения энтропии s
Рис. 2.1.1. Разбиение сплошной
среды на "капли"; п^ — нор-
нормаль к поверхности капли
~dt
= 0;
B.1.2а)
1) Всюду ниже слова "гидродинамика" и "газодинамика" будут пониматься как синонимы.
2.1. Особенности гидродинамических моделей 95
r/v
/i—=FP + Fo6; B.1.26)
Вместо уравнения B.1.2в) для энтропии часто используют его эквивалент — уравне-
уравнение энергии, которое возьмём в виде первого начала термодинамики при отсутствии
нагрева
ifc + P§=0. B.1.2г)
at M at
3 Mv^
где ? = -kT -\ —. Здесь d/dt = д/dt + (vV) — субстанциональная производная
по времени, учитывающая перемещение капли в пространстве; ?р — сила давления
B.1.1), F06 — объёмная сила, действующая в объёме капли (например, сила тяже-
тяжести), s — энтропия единицы массы, М — масса частицы.
Приведём интегральные уравнения B.1.2) к последовательно дифференциальной
форме, исключив вспомогательную величину V — объём капли.
Уравнение непрерывности. Скорость изменения объёма выделенной капли в по-
потоке определяется, очевидно, выражением
^= lvn°dS B.1.3а)
Используя формулу Гаусса-Остроградского при достаточно малом объёме капли,
можно записать B.1.3а) в виде
^= [ vn°dS= [div vdV = (div v) V. B.1.36)
J J
Следовательно, учитывая сохранение массы капли при её движении,
имеем о
^+divpv = 0. B.1.4)
Это и есть стандартная запись закона сохранения массы.
Уравнение динамики. Используя формулу Гаусса-Остроградского, находим ком-
компоненты силы, обязанные давлению B.1.1):
Fpx = - I px°dS = -l^dV = -^V ит.д. B.1.5а)
Здесь х° — проекция нормали п° на ось х.
Следовательно
Fp = -VVp.
Полагая
Fo6 = Vt,
подставляя в B.1.26) выражения для /i, Fp и F06 и сокращая V, получаем уравнение
Эйлера для динамики среды:
( ) = "Vp+f' BЛ'5б)
96 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Уравнение для энтропии очевидно, будет
Ля
—+ (vV)S = 0. B.1.6а)
Система уравнений B.1.4)-B.1.6а)) должна быть дополнена уравнением состоя-
состояния вещества (газа)
^-) exp( —1. B.1.66)
Здесь 7 = Ср/су — показатель адиабаты.
В дальнейшем мы часто будем писать вместо B.1.6а) и B.1.66) уравнение баро-
тропности
р = р(р). B.1.6в)
Баротропными, в частности, являются изотермические (Т = const) и адиабатиче-
адиабатические (р = ро (р/роO) течения.
Если аналогичным образом преобразовать уравнение термодинамики B.1.2г), то
получим
д р ( Mv2\ Л ( р ( Mv2\\ Л ,пл^
К + +div NV U + -S- =0. B.1.7)
dtM I 2 \М
\ / \
2
Здесь М — масса частицы, w = -fcT — энтальпия, г = |fcT.
Если учесть теплопроводность, то в правую часть этого уравнения надо подста-
подставить divx^VT. kt — коэффициент теплопроводности.
2.1.2. Обеспечение автономности капель. Остановимся теперь на условиях
"автономности капель". Очевидно, автономность прежде всего связана с допустимым
верхним размером капель при описании процесса в данной системе. Чем более
плавно изменяются параметры в рассматриваемом объёме среды, и чем быстрее она
течёт, тем большего размера капли могут быть использованы для описания процесса.
Сказанное особенно наглядно проявляется при построении дискретных схем для
численных расчётов. Это формально подтверждается и на примере классической
гидродинамики. Как известно, более общим, чем уравнение Эйлера B.1.56) является
уравнение Навье-Стокса [13]
+ |) graddivv. B.1.8)
Здесь г] и ( — динамические коэффициенты вязкости, причём для обычных газов
Здесь v = OXvt, — кинематический коэффициент вязкости, Л — длина свободного
пробега, vt — тепловая скорость частиц, образующих среду, в ~ 1. Если обозначить
масштабы величин фигурными скобками, например
{х} = L; {v} = V и т.д.,
то отношение масштабов вязкостных членов к динамическим равно
B.1.9)
LV Re'
2.1. Особенности гидродинамических моделей 97
Здесь Re — безразмерное число Рейнольдса. Если во всем рассматриваемом
объёме Re > 1, то в первом приближении вязкостью можно при расчёте пренебречь.
Напомним, что появление в уравнении Навье-Стокса вязкостных членов связано
с учётом трения капли о каплю (коэффициент rj), а такие трения при сжатии капли
(коэффициент ( + 7//3)
Аналогичное можно сказать и об уравнении для энтропии B.1.6а). Здесь источ-
источниками энтропии являются тепловыделения при трении и передача тепла от капли
к капле за счёт теплопроводности:
^ = div(xTVT) + I^ + ^ ^Sk^ +C(divv). B.1.10)
at 2 \oxk oxi 3 m^y
Здесь к — коэффициент теплопроводности, который связан с коэффициентом темпе-
температуропроводности х соотношением
Отметим ещё безразмерное число Прандтля, которое для газов порядка единицы
Р = -~1. B.1.11)
Но вернемся к общей оценке условий автономности капель.
Из формул B.1.9), B.1.11) видно, что достаточным условием малости дисси-
тативных членов являются большие размеры системы, относительно малое время
пребывания "капель" в рассматриваемом объёме и малая величина свободного про-
пробега, что хорошо отражает число Рейнольдса и его аналог — число Прандтля.
Но малость длины свободного пробега не является обязательной. В последующих
разделах будут рассматриваться течения плазмы поперёк магнитного поля. Если
поле достаточно сильное, то ларморовские радиусы электронов и ионов будут малы,
и это обеспечивает квазиавтономность "капель" — в данном случае вытянутых вдоль
магнитных силовых линий трубок с плазмой. Однако длина свободного пролёта по
отношению к столкновениям может быть сколь угодно велика.
И ещё один случай гидродинамического описания (правда с сильно выраженной
диссипацией). В плазме сравнительно легко могут развиваться мелкомасштабные
колебания, которые приводят к появлению сильно флуктуирующих электрических
полей, на которых происходит рассеяние электронов, а в ряде случаев и ионов.
Таким образом, возникают "аномальные столкновения", создающие предпосылки для
гидродинамического описания.
Все сказанное подтверждает важность идеальной гидродинамики для широкого
класса течений плазмы. Очевидно, вне этой модели остаются "пограничные" слои,
образующиеся при контакте газа (жидкости) с твердыми поверхностями, а также
турбулентные процессы, сопровождающиеся образованием мелкомасштабных вихрей.
Эти образования явно зависят от величин свободных пробегов.
2.1.3. Два закона сохранения при течении идеального газа. Для вывода
законов сохранения уравнение динамики B.1.56) полезно записать в виде
) -VP + f°6- B-1-12)
Здесь использовано векторное тождество
-V2
(vV)v = Vy-[v, rotv]. B.1.13)
4 А. И. Морозов
98 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Уравнение Бернулли (закон сохранения энергии). Пусть течение стационарно
и fo6 =0, р = р(р).
Тогда можно ввести обобщенную энтальпию
B.1.14)
и записать B.1.12) в виде
V2
= [v, rotv]. B.1.15)
Умножая это уравнение скалярно на v, получаем О
Это выражение означает, что вдоль траектории капли (обозначим траекторию
через ф) сохраняется сумма тепловой и кинетической энергии, нормированных на
единицу массы:
V— +i(p) = и(ф). B.1.16)
Если при течении энтропия капли сохраняется в соответствии с B.1.6а), то
з = з(ф). B.1.17а)
Учитывая этот факт и используя общее уравнение состояния р = р(р, s), можно
ввести энтальпию для данной капли
Г dn(n я(<1/Л\
B.1.176)
и мы получим аналогичную B.1.16) формулу
^ B.1.17b)
Наконец, если объёмная сила, отнесённая к единице массы, является потенци-
потенциальной (как, например, сила тяжести), то-есть
— = -\7W, B.1.18)
Р
то вместо B.1.17в) получается более общее выражение
B.1.19)
v2
— +i(p,s) + W
Сохранение циркуляции скорости по ''жидкому контуру". В XIX веке В. Кель-
Кельвин и Г. Гельмгольц доказали, что из уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости
следует сохранение "циркуляции"
С = I* vdl = const, B.1.20a)
G)
1) Такое же соотношение непосредственно следует из B.1.7), если положить d/dt = О
и учесть уравнение непрерывности divpv = 0.
2.2. Примеры задач гидродинамики Эйлера
99
где интеграл вычисляется вдоль "жидкого" контура 7> т- е. контура, образованного
так или иначе помеченными элементами среды и деформирующегося в результате
течения среды.
Действительно, по теореме Стокса можно написать
С = vdl=
G)
(rotv)dS,
B.1.206)
— площадь поверхности, натянутой на контур 7-
Дифференцируя 2.1.206 по t, получаем (рис. 2.1.2)
дС
drotv
(rotv)[v,dl] =
(т)
= rot [v,rotv]dS+ [rotv,v]dl =
= I* ([v,rotv] + [rotv,v])dl = 0. B.1.21)
G)
Рис. 2.1.2. К выводу теоремы Кельвина-
Гельмгольца: 71 ~~ гладкий контур, пере-
переходящий при движении среды в контур 72,
d\ — элемент контура, v — скорость среды
Здесь было использовано уравнение
д
— rot v — rot [v, rot v] = 0,
B.1.22)
которое непосредственно следует из B.1.12) при р = р(р) и fO6 = \7W. Кроме того,
мы учли (см. рис. 2.1.2, что дифференциал изменения площади контура за счёт его
деформации равен ^-^S = [v, dl].
Впоследствии мы используем и обобщим уравнение Бернулли и теорему
Кельвина-Гельмгольца.
2.2. Примеры задач гидродинамики Эйлера
Реализуя намеченную во введении программу, мы рассмотрим здесь четве класса
задач гидродинамики Эйлера: гидростатику, линейные волны в однородном газе,
течение газа по тонким трубам переменного сечения и прямые ударные волны.
2.2.1. Гидро(газо)-статика. Под статическими конфигурациями понимают кон-
конфигурации, где d/dt = 0, v = 0.
В этом случае система уравнений Эйлера сводится к одному уравнению
Vp = f . B.2.1)
100 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
1. Если объёмными силами (в частности силой тяжести) можно пренебречь, то
уравнение B.2.1) принимает вид
Vp = 0. B.2.2)
Это закон Паскаля: в неподвижной жидкости или газе в отсутствии внешних сил
давление во всём объёме одно и тоже.
2. Рассмотрим теперь несжимаемую жидкость в поле тяжести. Тогда fO6 = gp,
и уравнение B.2.1) элементарно интегрируется (ось z направлена вниз)
Р = Ро + pgz.
Отсюда следует закон Архимеда.
Барометрическая формула (уравнение Больцмана). Пусть имеется газовый
столб при постоянной температуре. Тогда можно написать:
р = nkT; р = пМ.
Здесь п — плотность газа, к — постоянная Больцмана. Подставляя эти выражения
в B.2.1) и интегрируя, получаем "барометрическую формулу"
Mgz
п = ще Т . B.2.3)
Вопрос об устойчивости барометрического и других распределений плотности по
высоте будет рассмотрен в разделе 8.1.
2.2.2. Линейные волны в однородном газе. Такие волны малой амплитуды
в однородной неизменяющейся во времени среде легко исследуются с помощью
линеаризации исходной системы уравнений.
Система уравнений Эйлера:
^ + divpv = 0; р № + (vV)v)) = -Vp; p = р{р). B.2А)
Это весьма сложная нелинейная система. Но в то же время она имеет ряд простых
решений. В частности, однородное статическое распределение, когда
Р = Ро = const, р = Ро = const, v = 0.
Если теперь слегка нарушить это равновесие, положив
^'> v = vi, B.2.5а)
то систему B.2.4) можно "линеаризовать".
Малость возмущения означает, что \р\ | <С ро, \v\ | <C ст, где cj — скорость звука.
Ниже мы увидим, что
ОРО 2 2 1^Т . - .
—— = ст, ст = , B.2.56)
Здесь 7 — показатель адиабаты.
Подставляя B.2.5а) в уравнения Эйлера и учитывая малость возмущения, прене-
пренебрегаем квадратичными и кубичными членами. В результате приходим к следующей
линейной системе уравнений.
^-+podivvi =0; B.2.6а)
dt H v ;
B.2.66)
2.2. Примеры задач гидродинамики Эйлера 101
Звуковые волны. Полученная система, в частности, описывает звуковые волны.
Действительно, продифференцировав первое уравнение по времени и исключая (с
помощью второго уравнения) v, получаем классическое волновое уравнение.
В этом уравнении искомой величиной является возмущение плотности р\. Как видно
из уравнения B.2.66), зная р\, можно найти возмущения давления и компоненты
скорости, возникающие при распространении волны. Очевидно также, что компонен-
компоненты возникающей скорости также удовлетворяют волновому уравнению.
Важные свойства звуковых волн в однородных средах можно понять на простом
примере плоской монохроматической волны. При проведении расчётов с линейными
уравнениями удобно пользоваться экспонентами и только в окончательных формулах,
если это необходимо, брать вещественную часть от комплексного выражения. В этом
случае можно написать
р\ = ReAexpj—iuot + ixx} = Acos(uot — xx). B.2.8)
Здесь ио — угловая частота ио = 2тг/Т, к — волновой вектор, характеризующий
направление распространения волны и длину волны (\к\ = 2тг/А), Т и Л — период
и длина волны. Подставляя B.2.8) в B.2.7), получаем связь частоты с волновым
вектором
ио2 = с2тя2. B.2.9а)
Как это уже отмечалось в разделе 1.5, связь ио и к называют дисперсионным
соотношением. В случае звуковой волны фазовая скорость для всех длин волн одна
и та же и равна cj:
^ = ^ = уФ = ст. B.2.96)
ах к
Заметим, что, волны, распространяющиеся в плазме, как правило, этим свойством
не обладают, т. е. фазовая скорость зависит от к.
Звуковые волны — продольные волны, поскольку смещение частиц среды v при
их распространении параллельно волновому вектору (см. B.2.66))
v = x^. B.2.9b)
UOpo
Поперечные "волны" в газе. Нетрудно убедиться, что переход от полной линейной
системы уравнений B.2.6) к уравнению B.2.7) для звуковых волн сопровождается
потерей одного типа структур. Действительно, если в B.2.6) подставить B.2.8), то
получится система из четвех однородных алгебраических уравнений первого порядка
-иорх + poxkvx = 0; B.2.10а)
uopovx -c2Txpx =0. B.2.106)
Эта система имеет нетривиальные решения, если её детерминант равен нулю:
—ио
-с2тях иоро 0 0
D(u, x) =
—с^Ку 0 иоро 0
z 0 0 иоро
B-2.11)
102
Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Очевидно, этот детерминант и есть общее дисперсионное уравнение для данного
случая. В него входят два существенно разных сомножителя
J1 = 0, J1 - с2Тя2 = 0.
B.2.12а)
Второе выражение описывает рассмотренные выше звуковые волны. А первое —
стационарную конфигурацию. Подставив в B.2.10) и = 0, получаем решение в виде
xvi = 0, pi=0. B.2.126)
А это означает, что здесь имеет место стоячая "волна". То обстоятельство, что
имеется два корня (и2 = 0), указывает на возможность двух ориентации смещений
среды по отношению к волновому вектору, т.е. две поляризации.
Более наглядно природа "волн" с ио = 0 выступает, если рассмотреть плоский
случай. Тогда единственное уравнение, описывающее эти возмущения, будет иметь
вид я я
_ дщ^ дщу_
дх
ду
B.2.12в)
Поступим теперь полностью аналогично тому, что было сделано ранее, когда рас-
рассматривались симметричные магнитные поля. А именно, вводим функцию потока
ду
дх
B.2.12Г)
И тем самым автоматически удовлетворяем уравнению B.2.12в) при любом виде
ф(х,у). Очевидно, что траектории "капель" жидкости, как и силовые линии магнит-
магнитного поля, есть линии
ф(х,у) = const. B.2.12д)
В частности, полагая
a b 2 I \а Ь) \а
получим мозаику вихрей (рис. 2.2.1), которая возникает как суперпозиция двух
"косых волн".
B.2.13)
i
0
0
0
0
0
0
О
0
0
0
0
0
У
Рис. 2.2.1. "Мозаика" вихрей
а б
Рис. 2.2.2. Плоская модель обтекания крыла са-
самолёта: а — дозвуковым потоком; б — сверхзву-
сверхзвуковым потоком
Обтекание тонких профилей стационарным однородным потоком газа. Выше
были рассмотрены малые возмущения однородного неподвижного газа. Эта модель
автоматически обобщается на случай, когда в качестве невозмущённого состояния
берется движущийся с постоянной скоростью однородный поток
Р = Ро = const, v = vq = const.
B.2.14а)
2.2. Примеры задач гидродинамики Эйлера 103
В этом случае уравнения для звуковых волн, как нетрудно убедиться (либо непосред-
непосредственно линеаризуя систему B.2.4) при условии B.2.14а), либо применяя к B.2.7)
преобразование Галилея), принимает вид
2
B.2.146)
Это уравнение можно использовать, в частности, для анализа обтекания однородным
потоком "тонких профилей" — например, крыла самолета. Если процесс рассмат-
рассматривается в системе отсчёта, связанной с крылом ("с точки зрения пассажира"), то
процесс будет стационарным, и тогда d/dt = 0. В результате получаем уравнение
(v0VJpi=4APl. B.2.14b)
В плоском случае, направив ось х вдоль скорости набегающего потока, уравнение
B.2.14в) можно записать в виде
Отсюда видно, что если скорость набегающего потока дозвуковая (г^о < Ст), то
полученное уравнение является уравнением эллиптического типа. А это означает,
что все возмущение потока оказывается сосредоточенным около самолета. Но если
^о > Ст, уравнение становится гиперболическим, и описываемые им возмущения
уходят на бесконечность (рис. 2.2.2). Это хорошо известные ударные волны, по-
порождаемые сверхзвуковыми самолетами. При этом зона возмущения имеет ширину
порядка ширины крыла.
2.2.3. Течение идеального газа в тонкой трубке переменного сечения. Те-
Теперь рассмотрим простейшую модель устройства, превращающего тепловую энергию
газа в его кинетическую энергию. Это будет "тонкая" трубка переменного сечения
(рис. 2.2.3), на вход в которую поступает нагретый газ (температура То) с малой
скоростью, а на выходе в "пустоту" он истекает уже охлажденный (Твых —> 0)
с кинетической энергией частиц гвых ~ kT$. "Тонкость" трубки означает, что в данном
приближении можно пренебречь зависимостью продольной скорости v и плотности р
от расстояния г до оси:
vx(r,z) = v(z) + O(r2);
Процесс считаем стационарным и адиабатическим. Именно такую модель в 60-х
годах XIX века рассмотрел французский ученый Гюгонио 0.
Динамика газа при сделанных допущениях описывается системой двух алгебра-
алгебраических уравнений: законом сохранения вещества и уравнением Бернулли:
pvS = га = const; B.2.16a)
2
у + i(p) =io = const. B.2.166)
l) Впервые профилированные трубки, адекватные теории, на практике реализовал француз
Лаваль (^1860 г.) в паровой турбине ("сопло Лаваля").
Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Рис. 2.2.3. Течение в трубке переменного сечения: а — схема трубки, б — изменение сечения
S, скорости потока v и местной скорости звука ст вдоль трубки
Здесь S — сечение трубки, а во втором уравнении предположено, что на входе можно
пренебречь кинетической энергией газа по сравнению с его тепловой энергией.
В случае адиабатического процесса р = Ро \ —
-\
dp(p)
7
сто
dp 7-I \poj \poj
Из B.2.16b) видно, что на выходе, где р
ная скорость равна
энтальпия равна
7-1
с* =7^.
7-1
О, а следовательно и i(p)
B.2.17)
^шя.х —
Ро
¦> 0, максималь-
B.2.18)
т. е. она порядка скорости звука на входе.
Учитывая, что р = nkT, p = Мп, имеем:
СТ =
видно, что vmax тем больше, чем выше температура на входе (в камере сгорания)
и меньше масса образующихся частиц. Поэтому наибольшие скорости истечения
создаются "криогенными" двигателями, в которых используются водород и кислород,
а в результате получается вода.
Но вернемся к системе двух уравнений B.2.16) и выясним условия, при которых
имеет место регулярный (без разрывов) разгон газа за счёт тепловой энергии. Это
проще всего сделать, записав уравнения в дифференциальной форме:
fo + 4—=0. B.2.19)
Р
Исключая отсюда dp, получаем связь dv с dS\
dp dv dS
p v S
- 1
dv
v
dS
B.2.20)
Отсюда видно, что если течение дозвуковое (cj > v), то скорость потока возрастает
(dv > 0), если сечение трубки сжимается (dS < 0). При переходе через местную
скорость звука (v = ст) сечение должно быть минимальным (dS = 0). Наконец,
возрастание скорости сверхзвукового потока требует расширения канала (dS > 0).
Таким образом, регулярный разгон газа от v ~ 0 до v ~ vmax может происходить
2.2. Примеры задач гидродинамики Эйлера 105
только в капле с перетяжкой ("критическим сечением"), где скорость потока перехо-
переходит через местную скорость звука (рис. 2.2.36).
Ну а если в зоне сверхзвукового потока начать уменьшать сечение трубки, то
в таком месте, как правило, возникнет ударная волна.
Наглядно разное поведение дозвукового и сверхзвукового потока в трубке можно
пояснить следующим образом. В дозвуковой зоне расширение газа мало и здесь
газ ведёт себя практически как несжимаемая жидкость. А ведь хорошо известно,
что скорость воды возрастает при сужении потока. Наоборот, в сверхзвуковой зоне
взаимодействие между частицами (каплями) ослабевает и здесь происходит переход
поперечной энергии частиц в продольную за счёт столкновений со стенками. А в
силу сохранения поперечного адиабатического инварианта (J± = v±h) для этого
ширина канала h должна возрастать.
Замечание. Вторая половина XX века ознаменовалась техническим достижением,
которое быстро пронизало все области человеческой деятельности, включая идеоло-
идеологию.
Речь идёт о выходе человека в космос. Это огромное достижение было обеспече-
обеспечено, прежде всего, созданием жидкостных ракетных двигателей (ЖРД). Первый мощ-
мощный ЖРД, развивавший огромную для своего времени (начало 1940-х годов) тягу
(~ 20т), был двигатель, разработанный и доведённый до практического применения
тридцатилетним немецким инженером Вернером фон Брауном, руководившим рабо-
работами по созданию ракеты "ФАУ-2", носившей рабочее название "А-4" (Agregat-4) 0.
Эта ракета имела массу ~ 13 тонн, длину ~ 14 метров, а её двигатель работал на
смеси этилового спирта и жидкого кислорода, выбрасывая в 1 секунду около 100 кг
продуктов сгорания (рис. 2.2.4) [63].
Созданные фон Брауном двигатели были установлены на первых баллистических
ракетах (P-I) у нас и в США, куда был вывезен после войны выдающийся инженер.
Позднее ЖРД претерпели серьёзные изменения, основным был переход от камер
сгорания низкого давления (~ 20атм) к камерам высокого давления (> бОатм).
Будучи уже в Америке, фон Браун совершил ещё одно чудо. Под его руководством
был создан двигатель Сатурн-V, который развивал тягу ~ 1000т (рис. 10.4.1). Эти
двигатели обеспечили американцам возможность послать трёх человек на Луну
и вернуть их на Землю (июль 1969г).
У читателя естественно может возникнуть вопрос: какое это всё имеет отношение
к плазмодинамике? На самом деле — прямое.
Во-первых, ЖРД у нас выступит как некий эталон, когда мы будем говорить
(раздел 10.4) об электрореактивных двигателях (ЭРД).
Во-вторых, в камере сгорания ЖРД, работающих на кислороде и водороде, темпе-
температура достигает ~ 4000 К, а это температура солнечных пятен, и здесь концентрация
электронов ~ 0, 1% от общего числа частиц. Поэтому не удивительно, что продукты
сгорания ракетных топлив используются в МГД-генераторах как проводящая среда.
В-третьих — при возвращении космических аппаратов на Землю, вокруг них обра-
образуются облака плазмы, как около метеоритов. Поэтому общее знакомство с ракетной
техникой необходимо всякому, кто посвящает себя работе с плазмой.
2.2.4. Ударные волны в идеальном газе [65]. Рассмотрим ещё одно фунда-
фундаментальное явление классической гидродинамики — ударные волны (УВ).
1) В своих воспоминаниях об отце дочь С. П. Королёва, которая была с ним на месте
создания А-4 пишет, что в честь первого успешного запуска ракеты "...у стартовой площадки
был тогда установлен огромный валун, а на нём бронзовая доска с надписью: «3 октября 1942
года этот камень упал с моего сердца. Вернер фон Браун»" [64]
106
Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Рис. 2.2.4. Ракета А-4 (ФАУ-2): а — двигатели ракеты, камера сгорания наверху; б — схема
ракеты А-4; 1 — бак со спиртом; 2 — бак с жидким кислородом; 3 — турбина подачи рабочих
веществ; 4 — камера сгорания; 5 — стабилизатор
Такие волны представляют больший интерес и для плазмодинамики, поскольку
они с неизбежностью сопровождаются ионизацией газа, если образующие их потоки
движутся с большими скоростями (вход космических аппаратов в атмосферу, метео-
метеориты, атомные взрывы и др.). На рис. 2.2.56 представлена скоростная фотография
распространяющейся У В, вызванной взрывом блока ВВ в воздухе ([66]).
УВ
1
•.'•'."•':•¦:"
Рис. 2.2.5. Генерация ударной волны в цилиндре с подвижным поршнем, v — скорость
движения поршня (а); ударная волна, вызванная взрывом 20 тонн тринитротолуола (б)
Одна из простейших схем генерации УВ такова. Представим себе трубу с газом,
которая с одной стороны закрывается наглухо, а с другой — подвижным поршнем
(рис. 2.2.5а). Если поршень вдвигать с малой скоростью (vuop <C ст), то давление на
2.2. Примеры задач гидродинамики Эйлера 107
всей длине трубы будет подниматься практически равномерно с запаздыванием на
время го ~ 2L/ct, где L — длина трубы.
По мере возрастания скорости движения поршня, но при vuop < ст, распределение
давления в закрытой части трубы становится всё менее однородным. Но картина
радикально изменяется, когда скорость поршня г>пор превзойдёт скорость звука ст
в газе. В этом случае возникает "бесконечно тонкий" разрыв — скачок параметров
(р, Т, v) — то, что называют "ударной волной". При этом перед УВ газ остается
неподвижным, а за УВ он движется с постоянной скоростью, причём с возросшей
плотностью и температурой.
Если перейти в систему отсчёта, связанную с УВ, то нетрудно, исходя из
уравнений Эйлера, найти связь параметров (po,To,vo) перед волной и после волны
(/01, Тыл).
Действительно, поскольку течение предполагается стационарным и одномерным,
то выполняются законы сохранения массы, количества движения и энергии
P\v\ = P2V2; B.2.21а)
P\v\+p\ =P2vt+P2; B.2.216)
9 2
VT Vo
-w+i\(p\) = y+^Ы- B.2.21в)
Отсюда видно, что мы имеем систему 3-х алгебраических уравнений для трёх
неизвестных р2, г?2, Р2- Разумеется, предполагается, что параметры газа перед УВ
известны.
Анализ системы B.2.21) приведён в любом учебнике по газодинамике (см.,
например, [65]). Поэтому, отсылая интересующихся к этим книгам, приведем окон-
окончательные формулы Ренкина-Гюгонио для соотношений параметров до и после УВ
для политропного газа с показателем политроны 7-
Р2 г; 1 G+1) М\
Р\ Щ G"
р\ 7+ 1 7+ 1
Т2_ B7Mf-G-l))(G-l)M12+2)
Т G+1JМ,2
Здесь: М\ = v\/ct\ — число Маха набегающего потока.
Отсюда, в частности, видно, что при больших числах Маха (Mf —> 00) имеем
Р2 7 + 1.
Г) B2'23)
Иными словами, при Mf —> 00, плотность газа возрастает всего в 4 раза в одно-
одноатомном газе G = 5/3) и в 6 раз в двухатомном G = 7/5). Соотношения B.2.22)
оставляют без ответа два вопроса: каковы механизмы, обеспечивающие образование
УВ и какова их характерная толщина. Частичный ответ на первый вопрос даёт
адиабата Гюгонио, которая непосредственно следует из системы B.2.21)
)(p2pl) B.2.24)
Р\ Рч.
108 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Отсюда следует, что в УВ происходит возрастание энтропии. В частности, при
небольшой интенсивной УВ из B.2.24) легко находится скачок энтропии
Следовательно, для образования УВ принципиально необходима диссипация.
Её конкретная природа определяет структуру и толщину волны, но, в принципе
практически любая диссипация (вязкость, теплопроводность, конечная проводимость,
турбулентность разных типов, что характерно особенно для плазмы) может обес-
обеспечить появление УВ. В случае достаточно сильной УВ в "обычном" газе толщина
УВ порядка длины свободного пробега частиц. Но это тогда, когда отсутствует
возбуждение внутренних степеней свободы частиц.
2.3. Одножидкостная магнитная гидродинамика (МГД)
Плазма — проводящая среда. Поэтому в ней легко возбуждаются токи. Если
в таком плазменном образовании появляется магнитное поле, то на плазму начинает
действовать амперова сила с плотностью
f = ^[j,H]. B.3.1)
Ранее мы уже говорили о таком взаимодействии, рассматривая импульсные уско-
ускорители и пинчи. Но эти системы появились в 50-х годах. А лет за 10 до этого
астрофизиком X. Альфвеном была рассмотрена гидродинамическая теория самосо-
самосогласованного поведения хорошо проводящей токонесущей плазмы и магнитного поля
[21].
Альфвен показал, что для большого числа астрофизических явлений диссипация
в первом приближении не существенна. Поэтому такие явления могут быть описаны
совместной системой уравнений идеальной гидродинамики, уравнений Максвелла
и законом Ома при а —> оо. При этом можно считать процессы нерелятивистскими
и током смещения пренебречь. Пренебрежение диссипации радикально упростило
систему и это позволило существенно продвинуться в понимании магнито гидроди-
гидродинамических процессов.
Эта упрощенная система уравнений "магнитной гидродинамики" (МГД) оказы-
оказывается весьма эффективной не только для моделирования астрофизических про-
процессов, но и для описания ряда лабораторных плазменных систем. О Благодаря
относительной простоте МГД, ею часто пользуются, особенно на начальной стадии
моделирования лабораторных плазмодинамических систем.
2.3.1. Уравнения МГД .
Формулировка системы уравнений. В соответствии со сказанным исходим из
следующей системы уравнений (а — проводимость, кт — теплопроводность плазмы):
% +divpv = 0; р^ = -Vp+ - [j,H]; рТ% = *- +divxTVT, B.3.2a)
at at с at a
rotH=—j; rotE = --?5; divH = 0, B.3.26)
с с ot
l) Течения сравнительно плохо проводящих жидкостей (ртути и др.) в магнитном поле
изучал Гартман за десять лет до Альфвена.
2.3. Одножидкостная магнитная гидродинамика (МГЦ) 109
- =E + -[v,H]. B.3.2в)
а с
Первая группа уравнений B.3.2а) — это система уравнений Эйлера, в которой
в качестве объёмной силы введена сила Ампера и уравнение для энтропии, в котором
учтены джоулево тепло и теплопроводность.
Как и в разделе 2.1 вместо уравнения для энтропии часто используется уравне-
уравнение энергии. В случае МГД оно получается, если в первый член B.1.7) добавить
плотность энергии магнитного поля Я/8тг, а во второй — вектор Умова-Пойнтинга
П:
+ ^- ) + div ( -F-v ( w
9 (
П =
Р
м
с
4тг
/
[Е,
Н
pv
2
W \м \ 2 / / B.3.2г)
В большинстве случаев в данной главе мы будем пренебрегать детальным рас-
рассмотрением тепловых процессов и вместо уравнения для s просто использовать
уравнение баротропы
р = р(р). B.3.2д)
Вторая группа B.3.26) — уравнения Максвелла без тока смещения 0 Из нее следует
условие замкнутости (точнее "соленоидальности") токов
div j = 0. B.3.3а)
Наконец последнее уравнение B.3.2в) — это обычный закон Ома, учитывающий
явление электромагнитной индукции. Если взять rot от закона Ома и воспользо-
воспользоваться уравнениями B.3.26), то можно исключить Е. В результате при а = const
получаем
^- = rot [v, H] + vmАН. B.3.36)
(УС
2
Здесь уш = магнитная вязкость.
4тг а
В правой части этого уравнения стоят два члена: конвективный и диссипативныи.
Если рассматриваются неподвижные проводники, то конвективный член исключён.
Получается обычное уравнение типа уравнения для теплопроводности, и оно опи-
описывает скин-эффект. Конвективным членом можно пренебречь и в том случае, если
"магнитное число Рейнольдса" Rem мало, то есть
^ « ,. B.3.4)
у
Rem = = « ,.
{iymAH} уш
Здесь, как и ранее, фигурными скобками обозначен масштаб величины.
Если наоборот, магнитное число Рейнольдса
Rem = — » 1, B.3.5)
то можно обычно пренебречь омическим членом в B.3.36).
1) Пренебрежение токами смещения означает малость величины dE/dt по сравнению
с величиной 4ttj. Как правило, условие {dE/dt} <C 4?r{j} означает низкую частоту процесса.
ПО Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Ниже будут рассматриваться преимущественно бездиссипативные процессы.
В этом случае система МГД-уравнений имеет вид:
B.3.6а)
^ + (W) v) = -Vp + l- [j, H]; B.3.66)
Р = р(р)\ B.3.6b)
rotH=—j; B.3.6r)
е
divH = 0; B.3.6д)
— = rot[v,H]. B.3.6e)
Эта система уравнений может быть формально несколько упрощена, если исклю-
исключить j из уравнения B.3.66) с помощью уравнения B.3.6г).
Учитывая векторное тождество
а2
[a, rota] = V— - (а\7)а,
Получим:
(? ) ( ?) (-S.
2.3.2. "Вмороженность" магнитного поля в плазму. Уравнение B.3.бе), если
учесть, что Н = rot А, где А — вектор-потенциал, формально полностью эквивалент-
эквивалентно уравнению B.1.22) для v. Но из последнего уравнения был получен инвариант
Кельвина-Гельмгольца — циркуляция скорости. Очевидно, такой же инвариант су-
существует для А:
С = | Adi = [ [*HdS = const. B.3.7)
B.3.8)
G) ^7
А это означает, что магнитный поток через произвольный жидкий контур 7
ФG) = [ [
s
в идеально проводящей плазме сохраняется (рис. 2.3.1).
Очевидно, здесь мы имеем несколько своеобразную формулировку известного
утверждения классической электродинамики о сохранении магнитного потока, про-
проходящего через идеально проводящий контур при всех его деформациях без разрывов
и склеек. Это видно из закона электромагнитной индукции Фарадея и закона Ома
для всей цепи. Действительно, для такого контура, обладающего сопротивлением R,
можно написать , ЛЯч
-!?-,* „з„
Отсюда следует, поскольку ток не может быть бесконечно большим, что при R —> О
т. е. Ф = const.
2.3. Одножидкостная магнитная гидродинамика (МГЦ)
111
ж z
J
\ J
-*
1 j
[ J
i Н
У
Рис. 2.3.1. Вмороженность маг-
магнитного поля в плазму: сохра-
сохранение магнитного потока, про-
проходящего через контуры 71, 72
Рис. 2.3.2. К выводу формулы B.3.10а) — кольцеобразный
плазменный элемент в азимутальном магнитном поле (а).
Плоское течение плазмы в поперечном магнитном поле (б),
Н — магнитные силовые линиии, v — скорость течения
Интегральной формуле B.3.7) можно придать более удобную для использования
форму, в случае, если система обладает осевой симметрией, а поле содержит только
азимутальную компоненту. Для этого выделим в плазменном потоке произвольную
магнитную тороидальную поверхность малого сечения S (рис. 2.3.2а). При движении
такого тороида в нём сохраняется и масса /i = 2irrSp и магнитный поток Ф = Н S.
Поэтому сохраняется и величина - "параметр вмороженности"
о Ф Н
К = Z7T— = = COnSI.
ji pr
B.3.10а)
Параметр вмороженности п сохраняется вдоль всей траектории выделенного кольца,
но он может быть разным на разных траекториях. Если п постоянен во всем потоке,
то такой поток называют "изомагнитным". Если течение "плоское", т. е. зависит
только от (х,у), а магнитное поле имеет только z-компоненту (рис. 2.3.26), то такое
течение можно рассматривать как осесимметричное при г —> оо. В этом случае
параметр вмороженности принимает более простой вид
Я
х\ = —.
Р
B.3.106)
Такие плоские изомагнитные баротропные течения формально полностью аналогичны
эйлеровым течениям газа, но с модифицированным баротропным соотношением
Р(р) = Р(р) + g^ =
B.3.11а)
Это утверждение непосредственно следует из B.3.6ж) и B.3.106). В таком случае
система уравнений B.3.6) принимает явно "эйлеров" вид
—— + divpv = 0; р— = —VP(p). B.3.116)
Об изотропии давления в МГЦ. В уравнении динамики B.3.2) входит скалярная
величина — давление. Эта скалярность следует из предположения об изотропии
давления.
112
Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
При наличии магнитного поля в отсутствии столкновений распределения обычно
неизотропны. Чтобы изотропизация произошла, частицы должны испытать несколько
столкновений, причём на всем объёме системы. Наглядным примером плазменной
системы с анизотропным давлением является пробкотрон, у которого в пространстве
скоростей есть конус потерь. Кроме того, при движении частицы к пробкам, у них
продольная энергия переходит в поперечную. Поэтому пробкотрон с плазмой, ото-
оторванной от торцов, не может описываться МГД моделями.
Отметим, что была попытка построить газодинамику с анизотропным давлением
(Чу, Гольбергер, Лоу), однако она не получила широкого применения.
2.4. МГД-статика
В соответствии с общим планом разбора типичных ситуаций для каждой базовой
модели плазмодинамики, начнём с рассмотрения статических (d/dt = О, v = 0)
плазменных конфигураций в МГД.
2.4.1. Общие свойства равновесных МГД-конфигураций. В этом случае
система B.3.6) радикально упрощается и сводится к двум векторным и одному
скалярному уравнениям:
rotH= —j;
е
divH = 0.
B.4.1а)
B.4.16)
B.4.1в)
1. Из первого уравнения сразу следуют (путем скалярного умножения на Н и j),
два закона сохранения
(HV)p = 0;
(jV)p = 0.
B.4.2а)
B.4.26)
А это означает, что давление остается
постоянным на магнитных силовых лини-
линиях G) и на линиях электрического тока E
), т.е. на "магнитотоковых поверхностях"
(рис. 2.4.1)
= р{р(,5).
B.4.3)
Тот вывод, что в МГД давление остает-
остается постоянным вдоль магнитных силовых
линий, т. е. отсутствует частичное отра-
отражение от областей с большей напряжён-
напряжённостью поля, есть следствия предположе-
предположения об изотропности давления, обязанно-
обязанного, как отмечалось в предыдущем пункте,
частым столкновениям частиц. Роль редких столкновений мы рассмотрим в разде-
разделе 5.6.
Постоянство давления на магнито-токовых поверхностях (р7> 5) сразу приводит
к двум важным выводам.
Рис. 2.4.1. Магнито-токовые поверхности,
образованные магнитными силовыми линия-
линиями G) и линиями электрического тока (S),
ф — эквипотенциали при Те —*> 0
2.4. МГД-статика 113
а. Для того, чтобы при наличии столкновений частиц (т. е. при изотропии р)
магнитное поле удерживало плазму, его силовые линии должны оставаться
целиком в пределах некоего конечного объёма.
б. Если плазменный объём окружен холодной стенкой, то между центральной
зоной с наибольшей температурой и стеной должен располагаться ряд слоев,
каждый из которых образован силовыми линиями, не выходящими за пределы
"своего" слоя. Тогда мы можем получить градиент давления в системе
Vpi,i+i ~ -= •
Здесь pi — давление в г-том случае, 5 — толщина переходного слоя.
Если магнитная конфигурация имеет структуру в виде системы вложенных торо-
тороидальных поверхностей 0 (рис. 1.1.2), очевидно, градиент может не иметь скачков.
Очевидно, в силу B.4.3) эти магнитные поверхности являются одновременно
и токовыми поверхностями.
2. Перед тем, как двигаться дальше, обратим внимание на отмеченную В. Д. Ша-
Шафрановым [67] следующую аналогию между системой B.2.4) для стационарных
течений несжимаемой идеальной жидкости и системой уравнений B.4.1) для равно-
равновесных МГД-конфигураций. Вот сопоставление:
a) Vp=^[j,H] b)
j = —- rot И q = rotv v 7
4тг
divH = 0 divv = 0.
С точностью до оговорок, связанных со знаками р и Р, в одном и другом случае,
системы (а) и (б) формально одинаковы.
3. Вернемся ещё раз к магнито-токовым поверхностям и будем иметь в виду
замкнутые (тороидальные) конфигурации и, соответственно, тороидальные магнито-
токовые поверхности. Заведомо эти поверхности плотно заполняют весь объём плаз-
плазменной конфигурации при наличии осевой симметрии, как это было и в вакуум-
вакуумном случае. Но сегодня построены примеры несимметричных тороидальных МГД-
конфигураций, также заполненных идеальными вложенными друг в друга тороди-
альными магнитными поверхностями 2).
2.4.2. Одномерные равновесные МГД конфигурации. Построение конкрет-
конкретных моделей плазменный МГД конфигураций начнём с одномерных конфигураций
реальными прототипами, которых являются в- и Z-пинчи. Только теперь это будут
не импульсные системы, а статические образования.
Для этого, исключив из системы уравнений B.4.1) ток
Vp+-^-[H,rotH] =0,
4тг
получаем (см. B.3.6ж))
Плоский случай. Пусть все параметры зависят только от координаты х
(рис. 2.4.2).
х) То-есть магнитных слоев предельно малой толщины.
2) См. Приложение А.
114
Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
а б
Рис. 2.4.2. Поле и плазма в одномерной равновесной системе, а — одиночная граница раздела,
б — токовый или нейтральный слой
Тогда в общем случае Н = @, 0, Hz(x)), и правый член в B.4.5) равен нулю.
А это означает, что сохраняется суммарное давление плазмы и поля
V + Рм = Р
8тг
= р = const.
B.4.6)
Важным примером такого рода плоских конфигураций является так называе-
называемые "токовые слои", в которых магнитное поле с обеих сторон плазменного слоя
одинаково по величине, но противоположно по направлению (рис. 2.4.26). Такие
слои называют также "нейтральными слоями". Эти слои играют значительную роль
в космических объектах. В частности, "хвост" магнитосферы Земли (раздел 9.2)
представляет собой такой нейтральный слой.
Цилиндрические конфигурации (пинчи). Рассмотрим теперь Z-пинч с одним
азимутальным магнитным полем Н = @, Hq, 0). В этом случае магнитное поле не
только давит на плазму, как в плоском случае, но и добавочно сжимает её за
"натяжений" силовых линий (см. 1.1). Поэтому в данном случае надо в B.4.5)
счет
учитывать член
(HV)H Я2
B.4.7)
4тг 4тгг
Здесь г° — единичный вектор вдоль радиуса. В результате уравнение B.4.5) прини-
принимает вид я
r2f + ^-fr2tf2 = O. B.4.8)
or отг dr
В отличие от плоского случая, это уравнение в общем виде не интегрируется и,
чтобы его решить, надо задать р(г) или Н(г).
В частности, если плотность тока в плазме постоянна jo, то
и, следовательно,
Н =
4тг
= аг
= const =
B.4.9)
Здесь ро ~~ давление в центре пинча, где Н = 0. Видно, что в данном случае вклад
магнитного поля в интеграл больше, чем в плоском случае.
Формула Беннета. В ряде случаев полезен интегральный эквивалент уравнения
B.4.8), имеющий место при Т = const. Тогда, как легко убедиться,
"Т = ±-Л-
B.4.10)
Здесь N = 2тгг / nr dr — полное число частиц на единицу длины пинча, a Jo — ток
в нём.
2.4. МГД-статика 115
О принципиальной цилиндричности пинча с одним азимутальным полем. По-
Покажем, что не существует зависящих от z статических МГД-конфигураций при
наличии одного азимутального поля.
Действительно, из B.4.5) и B.4.6), при Н = Ho(r,z), р = p(r,z) следует
* B.4Л,а)
4тгг
ё)а BА11б)
Последнее уравнение означает, что
Я2
р+-=Р(г).
Подставляя это соотношение в первое уравнение B.4.11а), находим:
т. е. Н является функцией только г. Но тогда из B.4.116) следует, что и р = р(г). Эта
особенность Z-пинча в МГД может быть связана с тороидальным дрейфом частиц
в азимутальном магнитном поле, о чем говорилось в 1.7.
2.4.3. Двумерные (симметричные) конфигурации. Уравнение Грэда-
Шафранова [68].
1. Исходная система уравнений МГД статики B.4.1) содержит 7 скалярных
неизвестных (jx, jy, jz; Hx, Hy, Hz,; p). Исключив j, получаем систему B.4.5),
содержащую 4 величины. Используя интегралы B.4.11) в общем случае, можно
последнюю систему свести к двум уравнениям, не дел ая никаких специальных допу-
допущений. Но эта система имеет весьма экзотический вид, что связано с возможностью
расщепления магнитных поверхностей [69]. Однако, если сделать предположение
о наличии симметрии, то, как мы знаем, появляются магнитные поверхности, и си-
систему B.4.1) можно свести к одному уравнению. Покажем это для осесимметричного
случая. Впервые это сделали Э. Ферми и Чандрасекар, а затем независимо Грэд
и В. Д. Шафранов A957, [67]). Это уравнение обычно называют "уравнением Грэда-
Шафранова".
Учитывая осевую симметрию, уравнению divH = 0 можно тождественно удо-
удовлетворить, как это делалось в разделе 1.1, введя функцию потока ip(r,z) для
полоидального поля, полагая
Я, = -^; Hx = -l-W B.4.12а)
Г OZ Г ОГ
Взяв дивергенцию от первого уравнения Максвелла, получим
divj = 0.
Это уравнение позволяет аналогично ввести функцию полоидального электрического
тока /(г, z):
> = -^, j. = -l-?. B.4.126)
г oz г or
Подставляя B.4.12) в B.4.2), получаем равенство нулю двух якобианов
1=0 и ^Ц=0. B.4.13а)
r,z) D(r,z) v ;
116 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
А это означает, что давление р можно рассматривать и как функцию ф, и как
функцию /, т. е.
(ф) A) B.4.136)
Если взять за основу функцию магнитного потока ф(г, z), то не только р, но и /
является функцией ф
1 1(ф) B.4.13b)
Этот вывод полностью согласуется с тем, что было сказано в пункте 2.4.2а, а именно,
магнитная поверхность ф = const одновременно является токовой поверхностью / =
= const, и в то же время она (ф) является поверхностью постоянного давления.
Теперь рассмотрим два уравнения Максвелла, содержащие азимутальную компо-
компоненту магнитного поля:
дН0 _ 4тг . 4тг 1 д! 1 дгН0 _ 4тг . _ 4тг 1 д!
Jr о » о Jz о~ •
Z С С Г OZ Г ОГ С С Г ОГ
Отсюда следует:
гНв = —/ + const. B.4.14)
с
Не уменьшая общности, можно положить const = 0.
Третье уравнение Максвелла, содержащее азимутальную компоненту тока jo, как
уже отмечалось ранее (п. 1.1.3), имеет вид
A*il> = -—rje, B.4.15)
с
где А*ф— модифицированный оператор Лапласа.
Для завершения вывода надо найти выражение для jo через ф. Оно находится из
любой полоидальной компоненты уравнения равновесия, например, г-той:
^; (jezjzo)
Используя B.4.12) и B.4.13), получаем:
,п.дф 1 Л Хдф 1Т,пЛдф4тг1\
Р W-E- = ~ Jo-^r - -I (Ф)-?г • B.4.16)
' дг с \ г дг г дг с г)
Здесь штрих — производная по ф.
Сокращая дф/дг, находим искомое выражение:
Подставляя это выражение в B.4.15), получаем уравнение Грэда-Шафранова
А*ф = Атгг2р\ф) - (—} IV. B.4.18)
Это скалярное уравнение напоминает уравнение Пуассона. Однако правая часть
зависит от ф. Поэтому, в зависимости от вида р(ф) и 1(ф), оно может быть
уравнением эллиптического типа или уравнением гиперболического типа 0. Чаще
реализуется первый случай. Обсудим подробнее свойства полученного уравнения.
Прежде всего видно, что оно становится определённым, если априори заданы распре-
) Простейший одномерный аналог эллиптического типа — уравнение ф" — а ф = 0, а ги-
гиперболического — уравнение ф" + а2ф = 0.
2.4. МГД-статика 117
деления давления р(ф) и полоидального тока Лол = 2тг 1(ф). Кроме того, для функции
ф должно быть поставлено соответствующее граничное условие. Наглядно можно
сказать так. Представим себе набор вложенных друг в друга тонких тороидальных
абсолютно растяжимых "мешков", между которых заданы полоидальные магнитные
потоки 5ф. Пусть в каждом из таких зазоров создана плазма с давлением р(ф)
и создан полоидальный электрический ток 53иол(ф). И теперь эти мешки требуется
уложить в некий тороидальный ящик, поддерживая при укладке постоянным 53шл(ф)
и давление 5р(ф). Уравнение Грэда-Шафранова позволяет рассчитать получающуюся
геометрию "оболочек-мешков", предполагая их абсолютно деформируемыми. Не надо
думать, что модель с "мешками" абсолютно абстрактна. Современные методы инжек-
ции нейтральных частиц, а также СВЧ нагрева плазмы, позволяют создать давление
нужной величины в окрестности каждой магнитной поверхности и вызвать нужные
величины полоидальных токов.
Уравнение Грэда-Шафранова оказывается линейным, когда
Тогда задача легко решается аналитически в случае тороидального короба пря-
прямоугольного сечения с граничным условием фу = const методом разделения пере-
переменных. Используя компьютеры, рассчитывались структуры МГД-конфигураций при
самых разных зависимостях р(ф) и 1(ф).
При специальных выборах р{ф) и 1{ф) решение уравнения Грэда-Шафранова
выражается простыми алгебраическими формулами. Вот два примера.
1. "Сферомак" — тороидальная конфигурация без полоидального тока (рис. 2.4.3).
В этом случае, полагая I = 0,р = а + Ьф, получаем (В. Д. Шафранов)
B420)
Смысл фо,Л представлен на рисунке.
Сепаратриса соответствует ф = 0. Параметр а определяет вытянутость конфи-
конфигурации вдоль z. За пределами сепаратрисы расчёт поля проводится с помощью
уравнения
А> = 0.
2. Токамак с D-образным сечением шнура (рис. 2.4.4).
Полагая р' = const; 12(ф) = фт + п, т,п—const, получаем (Б. А. Трубников)
9 9
r z
' min / \ max ^max /
Смысл rmin, rmax, ^max виден из рисунка. Азимутальный ток в этой модели равен
je = (— + Д)г) к; а, /3, к - const. B.4.22)
Заканчивая рассмотрение осесимметричных конфигураций, отметим два момента:
1. Во многих случаях зависимости р(ф) и 1(ф) непосредственно не задаются,
а находятся из тех или иных дополнительных условий, например, из соображений
устойчивости.
2. При наличии трансляционной (т. е. независимости от z) или винтовой симмет-
симметрии можно построить уравнения, аналогичные уравнению Грэда-Шафранова.
118
Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
\|/<0
ф <0
Рис. 2.4.3. Сферомак "алгебраический".
На рисунке изображены магнитосиловые
линии и соответствующие им значения
функции магнитного потока
ф >0
Рис. 2.4.4. Токамак с D-образным сечени-
сечением шнура: сечения магнитных поверхно-
поверхностей 4f(r,z) = const. Заштрихована внут-
внутренность сепаратрисы
3. Вывод уравнения Грэда-Шафранова принципиально предполагал наличие по-
лоидального поля, т. е. ф ф 0. Если же такого поля нет, то схема редукции уравнения
равновесия должна быть несколько иной и она приводит к естественному уравнению
1 dp(I) _ 4тг
l~dT ~^V'
B.4.23)
которое можно получить из B.4.18), просто отбрасывая левую часть. Из полученного
выражения сразу видно, что в этом случае плазменная конфигурация не зависит от
z.
О параметре C в равновесных конфигурациях. При рассмотрении плазменных
конфигураций важным безразмерным параметром является отношение газодинами-
газодинамического давления р к магнитному рм, о котором говорилось в п. 1.1:
Рм kil
Эта величина фигурирует и как локальный параметр /3(х), и как интегральный, под
которым понимается отношение максимального давления плазмы в системе тах
к некоторому, характерному значению поля Яо: в этом случае будем писать /3
с индексом "О": ~
А) = ^fF« B-4-24)
Приведем несколько числовых примеров (см. также раздел 10.5).
Характерными параметрами плазмы в случае (D, Т)-реакции являются пот =
= пе « 1014см~3, Т{ ~ Те ~ ЮкэВ « 108К. Это соответствует давлению
Р = (пот + пе)кТ « 2, 7 • 106 дин/см2 « 2, 7 атм.
При Д) = 1 для удержания такой плазмы необходимо внешнее поле Щ « 8 кЭ.
Подобные параметры характерны для ^-пинча или магнитных баллонов — галатей.
В то же время в современных токамаках в центре шнура, где п и Т максимальны,
Д) < 5%, что определяется границей устойчивости плазменной конфигурации. Поэто-
2.5. Линейные МГД волны в однородной плазме 119
му, взяв C = 4%, мы приходим к полю на оси шнура Яось « 40 кЭ, а соответственно
на внутренней границе шнура (см. раздел 10.5) это поле — в оптимизированных
установках, раза в три больше, т.е. ~ 100—120кЭ.
Отметим, что поле Н = 40 кЭ создает давление ~ бОатм, а поле Н ~ 100 кЭ, —
уже давление 400атм. Из этих оценок видно, как важен поиск схем ловушек с C ~ 1.
Но ситуация ещё больше обостряется при переходе от (DT) к другим термоядерным
горючим (см. раздел 10.5).
2.5. Линейные МГД волны в однородной плазме
Ознакомившись со статическим МГД-конфгурациями, перейдем к рассмотрению
волн малой амплитуды (линейных волн) в однородной идеальной плазме с однород-
однородным магнитным полем. В отличие от обычной газодинамики здесь мы будем иметь
три пары сигнальных волн и одну пару энтропийных волн (см., например, [10],[14]).
2.5.1. Исходные уравнения. Рассмотрим однородную неподвижную идеальную
плазму (ро, vo = 0, р^а = оо), находящуюся в однородном магнитном поле Но. При
наличии воздействий, обязанных начальным и граничным условиям 0, однородность
плазмы нарушиться и её параметры окажутся "возмущёнными", т. е. теперь будет
Н = Н0 + Нь р = ро + ри v = vb p = po+P\. B.5.1)
Если возмущения (Н\, р\, v\, p^ достаточно малы, то их динамика может
быть описана линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, которые
получаются из системы B.3.6) путём процедуры линеаризации,
Ро^г = -40Vpi - ^ [Н0, rot Hi]; B.5.2)
^-= rot [vi,Но].
Эта система семи уравнений с семью неизвестными описывает четве разные волны.
Проще всего выявить особенности этих волн, рассматривая гармонические возмуще-
возмущения
(pi, vi, Hi) ~ exp{—iujt + гхх}. B.5.3а)
В результате получим однородную систему алгебраических уравнений
= 0;
- с%хрх - -?- [Но, [(х, НО]] = 0; B.5.36)
4тг
+ [x,[v,,Ho]]=0.
Условием существования нетривиального решения, т. е. существования "самоподдер-
"самоподдерживающихся волн", является равенство нулю детерминанта этой системы
D(u;,x,po,Ho,cT) =0.
1) Здесь исключаются внутренние источники возмущений — различного рода "сторонние
силы", т. к. они будут приводить к появлению в линеаризованных уравнениях МГД "правых
частей".
120
Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Это условие является дисперсионным уравнением для волн в рассматриваемой среде.
Простые, но сравнительно громоздкие вычисления, показывают, что
j, х)
B.5.4)
Отсюда видно, что могут существовать четве типа ("моды", "ветви") колебаний,
которым были присвоены следующие названия:
- энтрпийная ио = 0;
- альфеновская ио = ±с<;а;
- быстрая магнитозвуковая ио =
- медленная магнитозвуковая ио =
Рассмотрим теперь каждую из ветвей.
2.5.2. Энтропийная волна, (ио = 0) 0 Эта волна существует только в том слу-
случае, если волновой вектор х перпендикулярен внешнему полю Но. Действительно,
система B.5.3) при ио = 0 имеет вид (хз = хм):
= 0;
= 0;
[*,[vi,Ho]] =
Комбинируя эти уравнения, получаем
к\у\ = 0;
- — Xj_(H0Hi);
4тг
= 0.
Ч
4тг
= 0.
B.5.5а)
B.5.56)
B.5.5в)
B.5.6а)
B.5.66)
Н
Системе уравнений B.5.6) удовлетворяют две
структуры. Обе они не зависят от z.
Одна из них (рис. 2.5.1) соответствует потокам
плазмы с чередующейся скоростью вдоль оси z,
но без возмущения плотности и поля. Это и есть
"энтропийная" волна.
Вторая структура представляет собой слои-
слоистую равновесную конфигурацию, вообще говоря,
с отличной от нуля, но постоянной во времени
скоростью v±x. В этой второй структуре плот-
плотность плазмы изменяется вдоль х в противофа-
зе с изменением напряжённости магнитного по-
поля. Учитывая наличие вмороженности магнитного
поля в плазму, в частности, в форме B.3.106),
нетрудно видеть, что вторая структура не может
без диссипации возникнуть при возмущении из
однородного состояния. Поэтому в качестве моды
с ио = 0 мы должны взять первую структуру.
Рис. 2.5.1. Течение плазмы в энтро-
энтропийной волне, скорость v направ-
направлена вдоль напряжённости магнит-
магнитного поля Н, а волновой вектор н
перпендикулярен Н
1) Естественно было бы получить две энтропийные волны. Однако для этого надо учесть
уравнение энергии.
2.5. Линейные МГД волны в однородной плазме
121
2.5.3. Альфвеновские волны. Эти строго поперечные волны, распространяю-
распространяющиеся вдоль магнитного поля без возмущения плотности (рис. 2.5.2)
дР
at
= 0; divv = 0
B.5.7а)
были впервые описаны X. Альфвеном A942 г). В этом случае система B.5.3Ь)
принимает вид:
| = -^ [Но, rot Н,] = -i- (V(H0H,) + (HoV)H,);
= rot
= (HoV)vi -
B.5.76)
B.5.7b)
а б
Рис. 2.5.2. Возмущение магнитных силовых линий G) в альфвеновской волне; а — начальное
невозмущённое состояние, б — деформация магнитных силовых линий при смещении плазмы
Из ^-компонент этих уравнений следует, что
viz = 0; H\z = 0.
B.5.7г)
И поэтому оставшиеся компоненты v и Hi описываются двумя симметричными
уравнениями:
dt
(Я0У)
4тг
Н±1;
¦_L1
dt
= (HoV)v±i.
И, следовательно
= (cAVJHi;
B.5.7д)
B.5.8)
Здесь сд — альфвеновская скорость
ел =
Нр
Подставляя в B.5.8)
(Hi, vi) ~ ехр{—iujt + i,
получаем дисперсионное уравнение (хз = хц)
9 / \9 9 9
шг = (хеАу = с\к1ъ.
Отсюда видно, что фазовая скорость равна
\к
UJ I X
V* = T-\—l]=CA
УС\
к\
B.5.9)
B.5.10а)
и фаза вдоль z бежит со скоростью сд.
122 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Групповая скорость альфвеновских волн направлена строго вдоль магнитного
поля независимо от ориентации н\
??)Л). B-5.106)
Подобие уравнений B.5.8), описывающих поведение возмущения магнитного поля
Hi и скорости vi позволяет рассматривать распространение альфвеновской волны
как поперечные колебания силовой линии, натянутой с силой То = Н^/Ап. Действи-
Действительно, если есть нить с плотностью ро и натяжением То, то скорость бегущей по
ней волны, как хорошо известно, равна
B.5.11)
Специфика магнитного поля здесь проявляется в том, что вместо максвелловского
натяжения Я2/8тг в формулу B.5.11) надо подставить Н2 /Аи. Причиной этого явля-
является то, что магнитные силовые линии не только натянуты, но и оказывают друг на
друга боковое давление (п. 1.1.2). Сам факт синфазности vi(?,x) и Hi(?,x) является
наглядной демонстрацией вмороженности магнитного поля в плазму. Альфвеновские
волны играют большую роль в магнитосферах планет (в том числе Земли), а также
в верхних слоях атмосферы Солнца (раздел 9.3). Они также проявляются в токама-
ках и могут быть сравнительно просто воспроизведены в специальных экспериментах
с жидкими металлами. Например в кварцевой трубе, наполненной ртутью и нахо-
находящейся в однородном магнитном поле для возбуждения альфвеновских колебаний
сверху помещается "лопата", совершающая колебательные движения. Вдоль трубы
расположены небольшие катушки, фиксирующие появление поперечных компонент
магнитного поля. Опыт показывает, что в катушках действительно наводится перио-
периодическая эдс, а сдвиг фазы по длине соответствует альфвеновской скорости.
В следующей главе мы увидим, что альфвеновские волны с описанными свойства-
свойствами существуют при uj<ujjh, т.е. при частотах меньше ионной ларморовской частоты.
2.5.4. Магнитозвуковые волны (МЗВ). Теперь рассмотрим МГД волны, со-
сопровождающиеся возмущением плотности плазмы. Для этого сведем систему B.5.2)
к одному уравнению для р, как это раньше делалось при рассмотрении звуковых
волн в гидродинамике Эйлера.
Учитывая равенства
[Но, rot Hi] = V(Ho#i) - (H0V)tfi;
rot [v, Ho] = (H0V)v - Hodiv v,
и дифференцируя первое и третье уравнения B.5.2) по t и подставляя в них второе
уравнение B.5.2), получим:
B.5.12а)
_ 2 Но d*Pi tfo &рх
2.5. Линейные МГЦ волны в однородной плазме
123
Дифференцируя ещё два раза первое уравнение B.5.12а) по t и подставляя в него
B.5.126), получаем искомое уравнение
B.5.13)
dz2
Зная р\, можно найти возмущения скорости плазмы vi и поля Hi. Они определяются
выражениями:
о
Здесь L и L\ — операторы
1
1
- слслтт
9 7 тт /47Г Г д 9^
L[Hl=_ )c LVpi-CA
B.5.14)
д2
Подставляя в B.5.13) экспоненту р\ ~ ехр{—iut + гк • х}, получаем дисперсионное
уравнение
4 D \)V 443! = 0. B.5.15)
со4 -
Это биквадратное уравнение определяет два типа волн с квадратом частоты
,2.5.,6a)
B.5.166>
D "
Здесь D =
Волны с частотой uj = ±о;б называются "быстрыми магнитозвуковыми волнами",
а с частотой и = ±и;м — "медленными магнитозвуковыми волнами".
Исследуем их свойства.
1. Прежде всего, видно, что фазовая и групповая скорости не зависят от длины
волны, т.е. \к\ = к, а зависят только от угла между направлениями Них.
2. Если волны распространяются вдоль магнитного поля, то
B.5.17а)
B.5.176)
3. Если волны распространяются поперёк магнитного поля, то
l = D
ш2ж = 0.
Наглядное представление о зависимости фазовой скорости от угла между Них
даёт полярная диаграмма (рис. 2.5.3а). Здесь изображены три линии, соответствую-
соответствующие быстрым (Б), альфвеновским (А) и медленным (М) МГД волнам.
Различие в поведении быстрой и медленной МЗВ объясняется тем, что в быстрой
волне упругость среды есть сумма газокинетического и магнитного давлений (см.
B.5.16)). В то же время в медленной волне при к ^ Но происходит, образно говоря,
"вычитание" газокинетического давления и магнитного натяжения. А это ослабляет
124
Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Рис. 2.5.3. Полярные диаграммы фазовых (а) и групповых (б) скоростей МГД-волн. А —
альфвеновская волна, М — медленная, Б — быстрая магнитозвуковая волна
эффективную упругость среды при распространении медленной магнитозвуковой
волны. Выражение для ио^ в случае к\ЛИ совершенно естественно в свете того, что
говорилось о плоских течениях поперёк магнитного поля B.3.11).
Если угол между к и Но не равен нулю, то картина здесь достаточно сложна,
о чем говорит, в частности полярная диаграмма групповых скоростей, построенная
Фридриксом (рис. 2.5.36).
На этой диаграмме альфвеновские группы вырождаются в две точки, медленным
МЗВ соответствуют криволинейные обособленные треугольники, и только быстрые
МЗВ характеризуются овалом, похожим на овал фазовых скоростей. Подробнее об
этом цикле вопросов см. [70, 71].
Диаграмма групповых скоростей может быть использована для построения картин
возмущения однородной плазмы при разных ориентациях и величины скорости vo
"возмутителя" по отношению к внешнему магнитному полю Hq. Эта картина не
проста даже если таким "возмутителем" является точечный объект. Поэтому мы
отсылаем интересующегося к цитированной литературе [10].
2.6. Стационарные течения плазмы в поперечном магнитном
поле [72]
В п. 2.2.3 было рассмотрено в приближении "узкой трубки" течение газа в сопле
Лаваля. И этот анализ выявил три принципиальных момента.
- В сопле происходит непрерывный переход тепловой энергии в кинетическую.
При этом максимальная скорость на выходе (г>м) определяется энтальпией (го)
в зоне, где нагретый газ покоится
- Характеристическим параметром, определяющим эволюцию потока, является
скорость звука
2.6. Стационарные течения плазмы в поперечном магнитном поле
125
- Сечение сопла, в случае течения без разрывов, непостоянно. Оно сначала
убывает, а затем растёт. В минимальном ("критическом") сечении скорость
потока v* равна местной скорости звука
V* = СТ*.
Так же говорилось, что скорость истечения из термохимических ракетных дви-
двигателей малы для оптимального решения большинства космических задач. Новые
возможности открывают плазменные двигатели.
2.6.1. Течения в узких каналах. Начнем с рассмотрения плоского течения
плазмы в узком профилированном канале в поперечном магнитном поле (рис. 2.6.1а).
В плоском случае всё сказанное о сопле Лаваля остается качественно справедливым
и здесь, так как такое течение описывается системой B.3.116) с одним только
отличием. Теперь роль скорости звука будет играть быстрый магнитный звук
B.6.1)
B.6.2)
Максимальная скорость потока на выходе соответственно будет равна
Утя! —
7-1
А •
Таким образом, в данном случае можно говорить о "магнитоплазменном сопле".
Важное отличие этого сопла от газодинамического состоит в том, что здесь скорость
истечения слабо зависит от температуры плазмы, так как в наиболее интересных
случаях
с\ > с2т. B.6.3)
Рис. 2.6.1. Разновидности магнито-плазменного сопла: а — плоское, б — осесимметричное
сопло
Приведём числовой пример. Пусть магнитное поле 7^ = 5кЭ, которому (см.
п. A.1.2)) соответствует давление рм ~ 1 атм. В сопле разгоняется аргоновая плазма
плотностью (на входе) щ ~ 1016см~3 0. Тогда, учитывая, что масса одного атома
г, получаем
Vpa ~ 30 км/с.
аргона М ~ 6 • 10 23
Эта скорость радикально превосходит скорости, достижимые в газовых ракетных
соплах.
1) При нормальных условиях это соответствует давлению ро ~ 0,3 Тор.
126 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Плоская модель магнитоплазменного сопла, о которой только что говорилось,
в существенной степени преследовала методические цели, так как выход плазмы
из магнитной системы такого ускорителя затруднён. Другое дело, если речь идёт
об осесимметричной модели (рис. 2.6.16). В этом случае не возникает проблемы
с выходом плазмы из магнитного поля, поскольку плазма просто уносит вмороженное
в нее поле, точнее магнитный поток, но при Я —> 0.
Как и в плоском случае, магнитное поле здесь перпендикулярно скорости потока,
так как является азимутальным и создается за счёт разрядного тока между двумя
профилированными коаксиальными электродами. Для расчёта выделим узкую коль-
кольцевую трубку. Средний радиус её будем считать переменным — r(z), как и зазор
между "электродами" — f(z). Кроме этих геометрических величин, характеризующих
трубку, параметрами плазмы в трубке будут плотность p(z), продольная скорость
v(z) и напряжённость азимутального магнитного поля H(z). Предполагая омическое
сопротивление отсутствующим, можно написать три алгебраических закона сохране-
сохранения: массы, магнитного потока и энергии (уравнение Бернулли)
pvBnrf) = т = const; B.6.4а)
— = к = const; B.6.46)
рт
2 тт2
тг + *(/°) + 1— = и = const- B.6.4b)
Z 47Г/9
Здесь не сразу очевидна запись уравнения Бернулли в том же виде, что и для
плоского случая. Однако это легко доказать, предположив изомагнитность течения
(А. И. Морозов, 1959 г). Действительно, входящую в правую часть уравнения B.4.2а)
амперову силу (после деления на р) можно преобразовать следующим образом (см.
тождество B.1.13))
1 1 / Я2 (HV)H\ 1 Я2 Я2г°
рс р \ 8тг 4тг J р 8тг 4тгрг
~ =V^. B.6.5)
Отсюда следует B.6.4в).
Ускорительный и компрессионный режимы течения [73]. Перейдем к исследо-
исследованию системы B.6.4). В отличие от газодинамического и плоского МГД случаев,
где было два уравнения и три параметра (p,v,f), здесь три уравнения для пяти
параметров (p,v,H,r, /).
Появляющийся добавочный произвол делает возможным не один, а два типа
течений.
Действительно, в газодинамике имеются только два вида энергии — кинетическая
и тепловая, и здесь может быть только один переход О
io^^f- B.6.6)
В МГД сопле энергия в общем случае имеет три компоненты: кинетическую, теп-
тепловую и магнитную. Наиболее интересен случай, когда вклад магнитного поля пре-
1) Обратный процесс -^ —»> го в бездиссипативном регулярном течении не реализуется.
Здесь возникает ударная волна.
2.6. Стационарные течения плазмы в поперечном магнитном поле
127
валирует. Тогда могут быть реализованы два крайних режима течения (см. B.6.4в))
4тгр0
2 '
и =
B.6.7а)
B.6.76)
Течения первого типа называют ускорительными, а второго — компрессионными [73].
Рассмотрим их свойства подробнее.
Чтобы реализовался ускорительный режим, на выходе магнитное поле и плот-
плотность должны неограниченно убывать
В силу условия вмороженности это будет в том случае, если радиус трубки r(z)
останется более или менее постоянным (рис. 2.6.2а). Если взять г = го = const, то
система B.6.4) становится формально эквивалентной газодинамической:
pvf = const =
т
2тггп'
Я =
I I i(n\
ж2г2п\ Н2
0^ ) - 0 - г2
~^г) - ^ - Са
В данном случае (при с2А0 > го)
Vmax = VZCAO-
Для реализации компрессионного режима на выходе из канала должны быть
выполнены условия (рис. 2.6.26)
Я -> 0, v -> 0.
Тогда
B.6.9)
Зона компрессии
^777777777^
а о
Рис. 2.6.2. Схемы течений в коаксиальной стационарной системе; а — ускорительное течение;
б — компрессионное течение
128 Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
Условия вмороженности показывают, что эти условия могут быть выполнены,
если радиус трубки потока неограниченно убывает г —> 0. Ясно, что такого рода
течение принципиально не реализуются в плоском случае. Исходя из условия B.6.9)
и, предположив политропическую связь давления и плотности
Р = Ро{ —
находим максимальную степень сжатия
2 \ V(^-l)
^) . B.6.10)
4о
При этом температура возрастает до
kTmax = (v-l)c2A0M. B.6.11)
Так, при адиабатическом сжатии ионизованного (одноатомного) газа имеем v =
= | = 7, и если скорость сао = 3 • 107 см/сек, то степень сжатия будет
По мере приближения v к 1 степень сжатия быстро растёт. Реально при больших
степенях сжатия происходит очень сильный разогрев плазмы. Это вызывает мощное
излучение и эффективно уменьшает показатель политроны v. А это свою очередь
способствует дальнейшему сжатию. Это явление получило название "радиационного
коллапса". Об экспериментальных исследованиях ускорительных и компрессионных
течений будет сказано в следующей главе.
2.7. О численном моделировании МГД течений
МГД течения невязкой и нетеплопроводной плазмы в канале были одними из
первых предметов численного моделирования плазменных процессов в начале 60-х
годов. Они были стимулированы экспериментальными исследованиями МГД-течений,
начатых в это время в Институте Атомной энергии А. И. Морозовым и Г. Я. Щепки-
Щепкиным.
Численное моделирование течений плазмы в каналах проводилось в Институте
Прикладной Математики АН СССР (ИПМ) учеником И.М. Гельфанда Константи-
Константином Владимировичем Брушлинским с сотрудниками [74]
2.7.1. Расчёты течения идеальной плазмы в осесимметричном канале. Это
простейший случай, который описывается системой B.3.6). Расчёт удобнее вести
в безразмерном виде, взяв в качестве единиц измерения L — длину канала; ро, Tq —
плотность и температуру плазмы на входе; Щ — напряжённость магнитного поля на
входе на некотором радиусе г$. Из этих величин можно образовать единицы скорости
Щ, времени to, давления р0:
Но - L _ Н2
to = —, Ро =
4тг
2.7. О численном моделировании МГД течений
129
В безразмерных переменных системах имеет вид:
dp
dt
9H
dt
dT
~dt
= rot [v, H],
= -G- l)Tdivv.
B.7.1)
B.7.2)
B.7.3)
B.7.4)
Здесь /3 = 8тгр0 /Щ. Последнее уравнение следует из адиабатыB.1.6б) и уравнения
непрерывности.
Безразмерные граничные условия на входе в канал записываются следующим
образом:
р=1; Г=1; Я=^.
г
1 z
Рис. 2.7.1. Результаты расчёта компрессионного течения плазмы в канале: а — плотность; б —
температура; в — электрический ток; г — линии потока (числа на кривых — безразмерные
значения соответствующих параметров)
Электроды предполагаются идеально проводящими и непроницаемыми для плаз-
плазмы:
ЕТ = 0; vn = 0,
где п° — нормаль, а г — касательная к поверхности элеткрода. На выходе граничных
условий не требуется, если плазма идеальна и покидает канал со сверхсигнальными
скоростями. Форма электродов была разная (см рис. 2.7.1 и рис. 2.7.2).
Основные результаты приведённых расчётов главной модели сводятся к следую-
следующему.
5 А. И. Морозов
130
Гл. 2. Одножидкостные модели плазмы
о z
Рис. 2.7.2. Схема течения плазмы
в канале, сопровождающегося об-
образованием вихря электрического
тока
1. Течение устойчиво выходит на стационарный или близкий к нему квазистаци-
квазистационарный режим за пролётное время to ~ L/vq.
2. Если профиль электродов изменяется достаточно плавно, то картина течения
близка к той, которая следует из приближения узкого канала (рис. 2.7.1).
3. Зависимость магнитного поля от радиуса приводит к тому, что скорость на
выходе из канала зависит от радиуса.
Если C = 8тгро > 1, то течение носит газо-
газодинамический характер и близко к одномерному;
в этом случае зависимость г;(г) очень слабая.
Уменьшение C увеличивает разброс скоростей на
выходе. При достаточно сильных магнитных по-
полях (C < 0, 3) качественная картина распределе-
распределения скоростей на выходе практически перестаёт
зависеть от C. Наконец, при всех значениях C
зависимость выходных скоростей от г оказывается
слабее, чем г.
4. В каналах с достаточно сильной зависимо-
зависимостью сечения от z и при больших C в дозвуковой
части вблизи электродов наблюдаются вихри элек-
электрического тока (рис. 2.7.2). Теоретический ана-
анализ этого явления показал, что их возникновение
связано с неизомагнитностью потока.
2.7.2. Об ударных волнах в МГД [75]. В газодинамике Эйлера потоки газа
характеризуются одним вектором — скоростью и одной сигнальной скоростью —
скоростью звука ст. Если поток встречает стенку (считаем, что она плоская), то
появляется ещё один вектор — нормаль п° к плоскости. В зависимости от взаимной
ориентации v и п° возникают УВ разной конфигурации. В п. 2.2.4 мы рассматривали
случай, когда v и п° коллинеарны.
В МГД ситуация, в целом, несравненно сложнее. Здесь в объёме потока суще-
существуют два вектора V и Н и три типа сигнальных скоростей (А, БМЗ, ММЗ).
Поэтому даже для идеальной МГД плазмы систематическое описание УВ требует
много места. А если речь идёт о структуре МГД-УВ, то надо учитывать не только
вязкость и теплопроводность, но и омическое сопротивление. К сказанному надо
добавить, что, кроме объёмности векторов (v, H), надо учитывать и взаимодействие
потоков с препятствиями. Но и здесь часто возникает особая ситуация. А именно,
препятствием для потока может быть магнитное поле, которое деформируется под
действием потока.
Учитывая всё сказанное, мы ограничимся здесь одной иллюстрацией численного
расчёта (Морозов А. И., Савельев В. В.). А именно — обтеканием магнитного поля
кольца с током сверхзвуковым потоком плазмы с конечной проводимостью — как
механизмом диссипации [75]. Для удобства расчёта кольцо было помещено в сверх-
сверхпроводящую трубу (Нп = 0). На рис. 2.7.3 видна ударная волна, "севшая" на кольцо,
продолжение которой встречает трубу и порождает отраженную волну. Линии на
этом рисунке — это линии постоянной плотности.
В заключение отметим, что образование ударной волны при встрече сверхзву-
сверхзвукового плазменного потока с магнитным полем наиболее впечатляюще видно при
взаимодействии солнечного ветра с магнитным полем Земли (раздел 9.2). Отметим
также эксперименты, которые показали, что поток нейтрального газа, имеющий
скорость > 10—15 км/с, встречая на пути магнитное поле, ионизуется и образует
светящуюся ударную волну.
2.7. О численном моделировании МГД течений
131
О 3 6 9 12 15
Рис. 2.7.3. Обтекание магнитного поля кольца с током сверхзвуковым хорошо проводящим
плазменным потоком. Линии на рисунке — линии постоянной плотности при C = 0, 2, v = 0, 1,
М = 2,0
2.7.3. О роли омического сопротивления в динамике хорошо проводящей
плазмы. Если плазма обладает высокой проводимостью, то магнитная вязкость
4тга
и в уравнении B.3.36) мы отбрасывали диссипативный член z/mAH. Однако он
содержит вторую производную по координатам, и при малых расстояниях он может
играть существенную роль. Примером этого может служить только что рассмот-
рассмотренный пример обтекания магнитного поля, сопровождающегося образованием УВ,
толщина которых
У т. =
1,
Отметим ещё ряд важных случаев, когда в хорошо проводящем плазменном по-
потоке возникают тонкие диссипативные слои. Сюда относятся, в частности, процессы
"гидромагнитного динамо", т.е. генерации магнитного поля в трёхмерных потоках
плазмы (например, на Солнце), или в конвективных потоках магмы внутри Земли.
Картины этих процессов достаточно сложны и далеки от завершения. Некоторое
представление об этом содержится в [76], куда мы и отсылаем читателя.
Другими примерами могут служить "тиринг-неустойчивость" токовых слоев и пе-
перезамыкание магнитных силовых линий (раздел 9.2), а также фронты ионизации
и вход плазмы в магнитное поле [77], где учёт диссипации принципиально необхо-
необходим, если мы желаем получить представление о структуре возникающих здесь слоев
(см. разделы 6.8 и 6.9).
Глава 3
ДВУХЖИДКОСТНЫЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ПЛАЗМЫ
Одножидкостные МГД являются радикальным обобщением однокомпонентных
блочных моделей. Однако, как было показано во введении, даже фундаменталь-
фундаментальную характеристику плазмы — ленгмюровскую частоту, можно вывести только из
двухкомпонентной блочной системе. Наглядной демонстрацией специфики плазмен-
плазменных процессов был анализ падения бруска плазмы в магнитном поле, проведенный
в рамках двухкомпонентной блочной модели в главе 1 (п. 1.3.2). Было показано,
что квазиавтономность динамики каждой из компонент ведёт к возникновению
в объёме плазмы сильного электростатического поля. Это поле очень чувствительно
к внешним условиям, примером чему является ситуация с тороидальным дрейфом,
рассмотренная в разделе 1.7. Приведённые примеры показывают необходимость во
многих случаях перехода к двухжидкостной модели плазмы. Такую модель можно
рассматривать как результат разбиения каждого из двух блоков на N —> оо квазиав-
квазиавтономных "капель". Формулировке двухжидкостной модели из наглядных "физиче-
"физических" соображений, а также использованию её для расчёта ряда плазмодинамических
структур будет посвящена настоящая глава. Строгая схема вывода уравнений этой
модели на основе столкновительной кинетики будет описана в главе 5.
Двухжидкостная магнитная гидродинамика особенно эффективна при рассмотре-
рассмотрении лабораторных плазменных систем с малой плотностью и относительно неболь-
небольших размеров. Это легко понять, исходя из простой формулы для разности электрон-
электронной и ионной скоростей
V; - ve = —.
en
В металлических проводниках, например, в ртути или жидком натрии, плотность
электронов проводимости пе ~ 1022см~3. Поэтому при плотности тока j = 1 А/мм2
|vi — ve| ~ 0, 06 см/с.
В то же время при той же плотности тока в плазме, например, токамака (n ~
~ 1014см-3)
Vi-ve| ~6- 106см/с.
Из этих оценок хорошо видно, что первоначальная "капля" размером 1 см, содержа-
содержащая так или иначе "помеченные" ионы и электроны, расщепится на две непересека-
непересекающиеся капли ионов и электронов уже за 1,5 • 10~7с (рис. 3.1.1).
3.1. Уравнения двухжидкостной гидродинамики
3.1.1. Формулировка уравнений. Выделим в плазменном объёме две группы
"капель": ионные и электронные.
Концентрацию частиц, температуру, скорость "капли" как целого и её объём
обозначим, соответственно, для ионов — щ, Ti, v^, Vi, для электронов — пе, Те,
ve, Ve. Ионы всюду будем считать однократно заряженными (+е) с массой М. Элек-
3.1. Уравнения двухжидкостной гидродинамики
133
троны характеризуем зарядом (—е) и массой га. Как и в случаях одножидкостных
гидродинамик, мы не будем здесь выписывать уравнения для температуры, а будем
считать компоненты изобарическими
Pi =Pi(ni),pe =Pe(ne), C.1.1)
в частности, изотермическими (Ti = const, Te = const) или адиабатическими.
Предполагая отсутствие рождения и ги-
гибели частиц и считая, что границы капель
каждой компоненты — непроницаемые для
частиц и тепла гладкие поверхности, можно
написать следующие уравнения для капель
Н
mNt
dt
~dF
dve
~dt~
dt
C.1.2)
¦ e,p
Здесь N = nV, Fp = — Wp — сила давле-
давления на данную каплю со стороны других
капель той же компоненты* 0, f — плотно-
плотности объёмных сил, которые будем считать
обязанными только электрическому и маг-
магнитному полям
= e(E+-[vifH;
1
fe = -ef(E + -[v
C.f.3)
Наконец, учтём силу трения между компо-
компонентами в виде 2)
Рис. 3.1.1. Расползание ионной и элек-
электронной капель под действием электро-
электромагнитных полей
Н
(av)
lav)
= -a(vi - ve);
[Vi -VP) =
C.1.4)
Здесь (Jy> — сечение e—i столкновений, /i — приведённая масса пары ион-электрон.
Исключая вспомогательные величины — объёмы капель Vi и Ve, так, как это было
сделано в разделе 2.1, и вводя уравнения Максвелла, приходим к системе уравнений
двухжидкостной гидродинамики
dt
dne
~dt
+ div riiVi = 0;
+ div neve = 0;
+ en;
C.1.5a)
C.1.56)
-ve); C.1.5b)
Pi =Pi(jii)\
1) См. п.5.3.4
2) Учёт силы трения между компонентами, тогда как мы пренебрегаем вязкостью компо-
компоненты, объясняется большой относительной скоростью компонент по сравнению с перепадом
скоростей внутри компонент.
134 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
тпе
=
Ре :
rot
rot
div
div
—Vpe — ene
= Pe
H =
E =
H =
E =
(Пе)',
4тге
с
i эй
= 0;
= Атге(щ
Е
\
— и
+ -[ve
- neve)
е).
-Н]
1
+ -
Ж
Ж'
ve); C
C
C
C.
C
.1
.1
.1
1.
.1
.5г)
•5д)
.5е)
5ж)
.5з)
В уравнениях Максвелла учтено, что плотности тока и заряда имеют следующий
вид:
j = e(niVi - neve), ре = е(щ - пе). C.1.6)
В общем, получилась громоздкая система уравнений, однако, как мы увидим ниже,
во многих случаях её анализ оказывается относительно простым.
3.1.2. Редукция системы C.1.5). Система C.1.5) может быть при тех или
иных допущениях редуцирована к более простым системам.
Двухжидкостные уравнения для квазинейтральной плазмы. Если характерные
размеры системы L достаточно велики (L ^> г&), то плазму можно считать квази-
квазинейтральной. В этом случае, полагая
щ = пе = п, C.1.7а)
мы фактически добавляем к исходной системе ещё одно уравнение и для того,
чтобы не сделать систему переопределённой, надо отбросить уравнение C.1.5з).
Однако учитывая, что div от C.1.5д) приводит к уравнению C.1.5з), необходимо
в C.1.5д) отбросить ток смещения. В таком случае получаем из C.1.5д) естественное
уравнение
div j = 0. C.1.76)
Если положить щ = пе = п в двух уравнениях непрерывности, то при условии
C.1.76) достаточно оставить одно уравнение для ионов
дп ,
— + div nvi = 0,
ot
а уравнение для электронов может быть отброшено.
Итак, для квазинейтральной плазмы система C.1.5) принимает вид
3 л
C.1.8а)
a{yi ~Ve); C-J -8в)
C.1.8г)
C.1.8д)
C.1.8e)
~dt +
dve
rotH
rotE:
divH
div nvi =
= —\7pi
= — Vpe
4тге.
с
1<9H
с dt
= 0.
0;
l
— en |
1
с
1
3.1. Уравнения двухжидкостной гидродинамики 135
Закон Ома. Если характерный масштаб L много больше не только дебаевского
радиуса г^, но и электронного ларморовского радиуса ре, L > ре, то можно прене-
пренебречь в C.1.5г) инерцией электронов, и мы получаем "обобщённый закон Ома"
C.1.9)
a en
(У,
Здесь а = — — локальная проводимость плазмы. Обобщённый закон Ома от-
еп
личается от обычного закона Ома B.3.2в) в двух отношениях. Здесь появился член
с Vpe — ответственный за термоявления в классической физике и "эффект Холла",
связанный с тем, что в B.3.2в) входит не скорость среды v (т.е. ионов), а скорость
электронов ve. Ниже мы займемся подробным анализом обобщенного закона Ома,
а пока продолжим редукцию.
Переход от двухжидкостной модели к одножидкостной. Предполагая плазму
квазинейтральной, ат^О, систему C.1.8) можно записать в виде
f)n
—+divnv = 0; v = v*; C.1.10a)
at
Мп \7Г + (vV)v) = - Vpi + en (е + - [v, H] j - ien; C.1.106)
0 = -Vpe - en (e + 1 [ve,H]\ + j^; C.1.10b)
rot H = —en(v - ve); C.1.Юг)
rotE = ^; C.1. Юд)
с at
divH = 0. C.1. lOe)
Складывая уравнения C.1.106) и C. 1.10b) и вводя массовую плотность среды р =
= Мп и суммарное давление р = щ + ре, получаем
|^+divpv = 0; C.1.11a)
C.1.116)
C.1.11b)
C.1.1 lr)
C.1. Ид)
C.1.1 le)
Сравнение этой системы с одножидкостной МГД системой показывает, что все
отличия этих систем содержатся в законе Ома. Если пренебречь Vpe и различием ve
и Vi, то обе системы совпадут. Можно, очевидно, сказать, что одножидкостная МГД
описывает динамику "склеенных" пар ион-электрон.
Связь двухжидкостных уравнений с уравнениями динамики одиночных ча-
частиц. Эта связь казалось бы очевидна. Для этого достаточно отбросить члены с гра-
градиентами давлений и силу трения. Однако это действительно так, если траектории
частиц, принадлежащих к одной компоненте, не пересекаются. В противном случае
dv
a
rotH =
rotE =
divH =
i
с
4тге
с
1 (
с
0.
j;
г\тп
9t
1
с
г
L
HI
en
136 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
в гидродинамике должны появиться разрывы, т. к. сплошная среда (в гидродинами-
гидродинамике!) является однозначной.
3.1.3. Связь компонент плазмы с магнитным полем. В предыдущей главе
были приведены два взаимоаналогичных закона сохранения: сохранение в идеальном
газе циркуляции скорости вдоль "жидкого" контура и сохранения магнитного потока
через жидкий контур
Г
cbvdl = const; C.1.12a)
7
(fj)HdS = const. C.1.126)
7
Последнему выражению можно придать вид, аналогичный C.1.12), если учесть, что
Н = rot А. Тогда получим
(fj)HdS = f Adi = const. C.1.13)
7 7
Оба закона C.1.12) следовали из доказанного утверждения, что если некий вектор
а удовлетворяет уравнению
-—+ [v,rota] =X7W, C.1.14a)
то циркуляция а по жидкому контуру сохраняется:
)adl = const. C.1.146)
7
Нетрудно убедиться, что уравнения динамики C.1.5в) и C.1.5г) могут быть — при
отсутствии омического сопротивления, приведены к виду C.1.14). Покажем это на
примере уравнения динамики ионов. Подставляя в него тождества
v2 1 г)\
(vV)v = V— - [v,rotv] ; H = rotA, E= -— - Х7ф,
получаем
|- (Mv--A) - [v, rot v--rot A] =-V^ + y +еф\. C.1.15)
Отсюда видно, что для ионов и электронов сохраняются величины
Ci = ldl(Mv- -A] = const; C.1.16а)
J V с )
7г
Се = | dl (mv + -A) = const. C.1.166)
J V с J
7е
Из C.1.16) следует, что если можно пренебречь инерцией электронов, то маг-
магнитный поток вморожен в электронный, а не в ионный жидкий контур. И только
если можно пренебречь также массой ионов, магнитный поток вморожен и в ионную
компоненту.
3.2. Электронная магнитная гидродинамика. Обобщённый закон Ома 137
Очевидно, при наличии осевой симметрии и одного азимутального магнитного
поля, сохраняются формулы B.3.10) для вмороженности, но теперь они справедливы
для электронных траекторий, если m^0,aM- конечно.
3.1.4. Закон сохранения энергии при стационарных течениях двухкомпо-
нентной плазмы. Введём понятие траектории ионного и электронного потоков, как
линий, касательные к которым параллельны скоростям соответствующих компонент
dr^ll Vi ; dve ||ve .
Эти траектории будем обозначать буквами ^ и i/)e.
Полагая в C.1.5) d/dt = 0 и умножая одно уравнение на v^, а аналогичное
уравнение для электронов на ve, получаем законы сохранения энергий
Л//"?/ mil
-—- + ц + еф = ег(фг); — + We - еф = ее(<фе). C.1.17)
3.2. Электронная магнитная гидродинамика. Обобщённый закон
Ома
Большое различие в массах ионов и электронов ведёт к относительной незави-
независимости процессов в электронной компоненте от процессов, в которых вовлечены
ионы. Если речь идёт о колебаниях, то характерные для электронов частоты — элек-
электронные ленгмюровские и ларморовские частоты, на порядки величин отличаются от
соответствующих ионных частот.
Так, при плотности электронов в водородной плазме токамака пе = 1014см~3
и магнитном поле Н = 50 кЭ, электронные частоты равны
^ = 5 • 1011 с, ujHe = 8 • 1011 с~{ ,
тогда как для дейтерия (рабочего вещества термоядерных реакторов на ДТ)
и$ «8- Ю9^1, cjhd = 2,7 • Ю8^1.
Хотя выбранная для оценок система, по сути, случайна, тем не менее, приведён-
приведённые величины правильно отражают тенденции в масштабах характерных времен для
электронных и ионных процессов. Ниже в главе 5 мы увидим, что и кинетические
процессы — формирование функций распределений, идут быстрее внутри каждой
из компонент плазмы, чем между компонентами. Отсюда следует, что электронные
процессы во многих случаях можно рассматривать на неподвижном ионном фоне.
Раньше такая модель называлась "электронной плазмой", теперь же обычно говорят
об "электронной МГД".
Если же речь идёт о медленных процессах, то, как правило, можно пренебречь
инерцией электронов, и дифференциальное (по отношению к v) уравнение C.1.5г)
становится алгебраическим "обобщенным законом Ома" C.1.9) или "законом Ома
с учётом эффекта Холла". В этом разделе мы подробно рассмотрим эту безинерци-
альную модель динамики электронов.
3.2.1. Безразмерные характеристики обобщенного закона Ома. Ниже мы
будем писать обобщённый закон Ома в одной из двух форм: либо
^ = Е + - [ve, Н]; j = en(v - ve), C.2. la)
138 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
или, исключая ve, в виде
i=E+-[v,H]-^iM. C.2.16)
а с епс
В последней записи явно выделен "холловский" член, обязанный различию v
и ve. В C.2.1а) содержится четве члена, и в разных условиях их относительная
роль различна. Для оценки этой роли удобно использовать безразмерные параметры.
Рассмотрим наиболее интересные из них.
Число Ома. Отношение масштаба омического члена {j/a} к масштабу напряжён-
напряжённости электрического поля {Е} назовем "числом Ома"
Здесь фигурные скобки — знак масштаба. В обычной электротехнике в неподвижных
проводниках 0=1.
В то же время в плазменных системах величина О может быть весьма малой. Так
в стационарных двигателях (СПД), о которых подробно будет сказано в разделе 10.4,
плотность тока в рабочих моделях находится на уровне j ~ О, 2 А/см2 = 6 • 108 аб. ед.
При этом электронная температура Те ~ 13 эВ 0, электрическое поле Е ~ 0, ЗкВ/см
~ 1 аб. ед. и, следовательно,
О- 1(Г6.
Локальный параметр обмена определяется как отношение масштабов относи-
относительной скорости электронов и ионов ("токовой" скорости u = v^ — ve) к направле-
направлению скорости ионов по отношению к стенкам канала
бок = Щ. (з.2.з)
В одножидкостной магнитной гидродинамике реально полагается ?лок —> 0.
Параметр Холла ujere. чтобы ввести этот параметр, воспользуемся формулой
3.2.16, в которой явно выделен "холловский" член
Ехол = -И. C.2.4а)
епс
Параметром иоете 2) является отношение масштабов Ехол к омическому члену
C.2.46)
Учитывая общую формулу для проводимости в плазме а = e2ner j m, где г — время
свободного пробега электрона, получаем
| ( |= Were}. C.2.4B)
епес) { me
1) Этой температуре соответствует классическая (см. п. 5.3.4) проводимость а
1013(ТеK/2эВ «5- 1014 аб.ед.
2) Он так и читается "а;еТе"("омега е-тау е")
3.2. Электронная магнитная гидродинамика. Обобщённый закон Ома
139
В плазмодинамических системах характерные значения иоете могут быть в пол-
полном смысле слова какими угодно. Так в низкотемпературных (Т ~ 2000°С) МГД-
генераторах с плотной, но слабо ионизованной, плазмой, величина иете < 1, тогда
как в токамаках величина ujere ~ 3 • 108.
Параметр термализации определим как отношение
пг =
{ВД
C.2.5)
{Е} {ебфУ
Здесь 5ф — период потенциала в системе. Как правило 0 ^ Ит < 1.
Во многих случаях в плазменных системах температуры компонент существенно
различны. Такие системы называют неизотермическими. Они могут представлять
значительный интерес, например, как плазменные ускорители с горячими электро-
электронами (Те > Тг), в котором Е-поле создаётся практически только за счёт Уре(см.
раздел 3.6).
Интегральный параметр обмена. Су-
Существует ряд плазменных систем с про-
протоком вещества и проходящим через него
электрическим током (рис. 3.2.1).
К таким системам относятся (ква-
зи)стационарные плазменные ускорители
и МГД-генераторы. Если массовый расход
через эту проточную плазмодинамическую
систему равен т и вещество полностью
однократно ионизуется, то этому расходу
можно сопоставить эквивалентный ток
^ 777, — т\ /г '' °
м
Отношение Jp к разрядному току
Рис. 3.2.1. К определению интегрально-
интегрального параметра обмена: 1 — проточная
плазмодинамическая система; 2 — вхо-
входящий поток рабочего вещества; Jp —
электрический ток
C.2.6а)
г и называют интегральным параметром обмена О
? = ^-. C.2.66)
Очевидно, интегральный параметр обмена пропорционален локальному параметру об-
обмена, умноженному на геометрический фактор, зависящий от конструкции системы.
3.2.2. Бездиссипативная электронная компонента: "вырожденный закон
Ома" "лоренцовы поля". Приведённые выше оценки показывают, что класси-
классическая проводимость, т. е. обязанная парным столкновениям ионов и электронов,
в большинстве плазменных систем средних и высоких энергий — очень мала.
Поэтому в этих случаях в первом приближении омическим сопротивлением можно
пренебречь. Тогда закон Ома C.1.11в) вырождается и принимает вид
= E+-[ve,
е
еп
C.2.7)
Это уравнение будем называть "вырожденным законом Ома". Если к тому же можно
пренебречь термической компонентой, то уравнение 3.2.7 принимает совсем простой
вид: 1
C.2.8а)
E+-[ve,H]=0.
1) Этот параметр называют также "параметром Морозова" и обозначают Мо.
140 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
В этом частном, но весьма важном случае электростатическое Е-поле будем называть
"лоренцовым Е-полем" 0. Отсюда видно, что для существования в объёме плазмы
лоренцова электрического поля принципиально необходимо Н-поле и дрейф электро-
электронов.
Ниже будем рассматривать "вырожденный закон Ома" только для случая безвих-
безвихревых полей, т. е. будем считать
Е = -Щ. C.2.86)
Эквипотенциализация магнитных силовых линий в плазме. "Термализованный
потенциал'. Оставаясь в пределах гидродинамической модели, можно считать, что
теплопроводность электронной компоненты вдоль магнитных силовых линий велика
(см. п. 5.3.4), и поэтому температура электронов является функцией только номера
магнитных силовых линий гу:
Т =ТG). C.2.9а)
Тогда
ре = пкТе = ре(п, т). C.2.96)
И с учётом потенциальности Е-поля C.2.86) уравнение C.2.7) принимает вид
\7ф - — VnkT(j) = - [ve u]. C.2.10а)
en с
Умножим это уравнение на Н, получаем
(HV) (ф - ^^ In п\ = 0. C.2.106)
А это означает, что вдоль магнитной силовой линии 7 сохраняется величина
кТ (лЛ
фт{п) = 0(х) - ^^И In n(x). C.2.10b)
Эту величину, отличающуюся от обычного электрического потенциала ф "терми-
"термической" добавкой, будем называть "термализованным потенциалом", а постоянство
его вдоль магнитной силовой линии — "эквипотенциализацией магнитных силовых
линий в плазме". Очевидно, соотношение C.2.10в) означает ничто иное, как наличие
больцмановского распределения электронов вдоль силовой линии:
/ еФ \ / еФт\
п = щ ехр I ——- I ; щ= щещ> I — —— I = const. C.2.Юг)
\ук,1е J \у к1е J
Эквипотенциализация магнитных силовых линий (ЭПМ) является фундаменталь-
фундаментальным свойством хорошо проводящей плазмы. Благодаря этому магнитные силовые
линии с навитыми на них электронными спиралями можно рассматривать как
прозрачные магнито-электронные электроды (МЭЭ) (рис. 3.2.2).
Отметим некоторые свойства термализованного потенциала, следующее из урав-
уравнений C.2.10). Прежде всего, видно, что в случае холодной плазмы, когда
ктЛп
термализованный потенциал и обычный электростатический потенциал совпадают
при любом разумном распределении плотности в системе, так что (рис. 3.2.2а)
C.2.11)
1) Однако чаще это поле называется "холловским".
3.2. Электронная магнитная гидродинамика. Обобщённый закон Ома
141
Н
a L * J б
Рис. 3.2.2. Эквипотенциализация магнитных силовых линий G) в неоднородной плазме: а —
холодная плазма, Те —>> 0; б — нагретая плазма, Те ф 0
Однако если электронная температура значительна, а градиенты плотности вели-
велики (такую ситуацию мы имеем, например, в системах с пучками ионов, где велики
поперечные перепады плотности), то роль теплового члена в C.2.10в) становится
существенной (рис. 3.2.26).
Отличие термализованного потенциала от электрического связано с тем, что
для обеспечения квазинейтральности (п = пе ~ щ) те участки силовой линии, где
плотность ионов больше, должны иметь и долее высокий электрический потенциал,
чтобы "удерживать" электроны. Проявление более высокого потенциала в области
повышенной плотности приводит к добавочному расширению ионного пучка. Этот
эффект есть не что иное, как расширение пучка под действием электронного дав-
давления. Оно проявляется особенно сильно вблизи границы пучка, где |Vn| особенно
велик (см. п. 5.7.3).
Выражения C.2.10) для термализованного потенциала опиралось на распреде-
распределение Максвелла-Больцмана. Однако во многих плазмодинамических системах ре-
реальная функция распределения электронов далека от указанного. Тем не менее
и здесь можно ввести термализованный потенциал. Действительно, практически
всегда можно написать О
р(х) =р(п,7) C.2.12а)
и ввести "энтальпию плазмы на силовой линии"
,п)
C.2.126)
7=const
Тогда "термализованный потенциал", который по своей сути является, с точностью
до постоянного множителя, обобщённой энтальпией, примет вид
Фт(т) = Ф -
C.2.12в)
Зависимость Фт(т)- Выражение C.2.12в) описывает изменение электрического
потенциала только вдоль силовой линии. Но оно не определяет, как потенциал
меняется от одной силовой линии к другой, т. е. остается неопределённой зависи-
зависимость Фт от 7- В принципе, можно рассматривать две схемы "фиксации потенциала".
Первая из них связана с диссипативными процессами в канале, благодаря которым
электронный поток пронизывает весь интересующий нас плазменный объём и создает
1) Если давление не изотропно, то связь ф с р может иметь достаточно сложный. Точнее,
это так, если напряжённость магнитного поля (|Н|) вдоль силовой линии изменяется и сохра-
сохраняется адиабатический инвариант.
142
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Рис. 3.2.3. Фиксация потенциала магнит-
магнитных силовых линий пристеночными элек-
электродами: 1 — диэлектрические стенки,
2 — фиксирующие электроды
распределения Ф(г) в зависимости от локального сопротивления объёма. Примером
такой ситуации может служить СПД, в котором, за счёт колебаний, омической и при-
пристеночной Ч проводимостей от среза к аноду проходит поток электронов. Различные
участки канала представляют разное сопротивление для потока, и соответственно
этому в канале устанавливается определённое распределение потенциала.
Вторая схема фиксации потенциала —
с помощью специальных, вообще говоря,
эмитирующих электродов (рис. 3.2.3). Этот
способ основан на том факте, что, если
процессы в плазменном объёме не приво-
приводят к аномально большой ("турбулентной")
проводимости, то скачок Ф вблизи электро-
электрода оказывается порядка кТе/е 2). Поэтому
в тех случаях, когда 5Ф — разность потен-
потенциалов в плазменном объёме, много больше
кТе/е, т.е. \5Ф\ > кТе/е, описанная фик-
фиксация с помощью специальных электродов
оказывается реальной. На первый взгляд
может показаться, что с помощью электро-
электродов одинаково просто (или одинаково сложно) задаётся любое распределение потен-
потенциала. Однако это не так. Этот вопрос подробно рассмотрен ниже, а сейчас сделаем
ещё одно замечание, связанное с эквипотенциальностью магнитных силовых линий.
Магнитоэлектрические системы. Для большей наглядности будем считать, что
термическая поправка в C.2.12) мала, и поэтому магнитные силовые линии являются
в обычном смысле эквипотенциалями: Ф = ФG)-
Отсюда следует, что, выбирая магнитные поля различной конфигурации, можно
создавать в плазме надтепловые потенциальные рельефы различной формы, а тем са-
самым и "магнитоэлектрические" плазменные приборы самого различного назначения.
На рис. 3.2.4 схематично изображены основные типы этих приборов с незамагничен-
ными ионами (А. И. Морозов [6]).
К ускорителям типа изображённых на рис. 3.2.4а относятся двигатели с азиму-
азимутальным дрейфом, в том числе СПД (см. раздел 6.7).
Если же направить энергичный квазинейтральный поток ионов против электри-
электрического поля, то он будет тормозиться, отдавая энергию источнику электрического
поля. Такие тормозящие системы часто называют рекуператорами (см. рис. 3.2.46).
На рис. 3.2.4в изображена "плазменная линза" (см. раздел 5.7). Здесь под
"линзами" понимаются самые различные устройства, служащие для фокусировки,
а также для сепарации по массам и энергии квазинейтральных сильноточных ионных
потоков. Такая "линза" является условным изображением будущей сильноточной кор-
корпускулярной оптики — "плазмооптики", которая радикально дополнит современную
слаботочную "вакуумную" корпускулярную оптику. Наконец, в настоящее время име-
имеются и плазменные ловушки, относящиеся к типу, изображённому на рисунке 3.2.4г.
Они называются "магнитоэлектрическими" 3).
Условие автономности идеальной электронной компоненты. Выше отмеча-
отмечалось, что если все магнитные силовые линии пересекают стенки объёма, то с по-
помощью фиксаторов можно реализовать практически любое распределение Фт(т)-
1) См. подробнее п. 7.3.2
2^ См. раздел В.1
3) К ним можно отнести первые схемы ловушек, предложенные О. А. Лаврентьевым.
3.2. Электронная магнитная гидродинамика. Обобщённый закон Ома
143
Ф0>Ф!
V
Ф,
-0
Ф0>Ф1
в г
Рис. 3.2.4. "Магнитоэлектрические" плазменные устройства: а — ускорители компенсирован-
компенсированных ионных потоков (КИП); б — рекуператоры энергии КИП; в — линзы для фокусировки
КИП; г — магнито-электрические плазменные ловушки; штриховые линии — магнитные
силовые линии; сплошные линии — эквипотенциали
Однако возникает вопрос о "плате", необходимой для осуществления того или иного
потенциального рельефа в плазменной системе с данными Н(г) и п(г), и, в част-
частности, вопрос о "бесплатных" в известном смысле распределениях потенциала. Под
"бесплатными" или "естественными" распределениями потенциала мы будем пони-
понимать такие потенциальные рельефы, при которых не происходит (если пренебречь
диссипацией) непрерывного обмена электронами между фиксаторами и плазмой.
В этих случаях электронную компоненту плазменного объёма можно считать "авто-
"автономной", а движение электронов сводится к колебаниям вдоль магнитных силовых
линий и дрейфовым переходам от одних линий к другим. Таким образом, "есте-
"естественное" распределение потенциала с точностью до малых диссипативных потерь
поддерживается само собой. В данном пункте нас будет интересовать равновесие
рассматриваемых систем, а не их устойчивость.
Исследование вопроса о "естественных" и "неестественных" стационарных рас-
распределениях потенциала будет проведено с помощью следующей системы уравнений
для электронной компоненты
div nue = 0;
en
-[ue,H] =0; Е = -УФ;
C.2.13a)
C.2.136)
cv(n(ue\7)Te-Te(~fa- l)(ueV)n) =divVVTe. C.2.13b)
Здесь ^ — тензор теплопроводности, cv = C/2)k, 7a — показатель адиабаты.
В случае идеальной плазмы следует считать
0,
оо.
C.2.14а)
144
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Рис. 3.2.5. Выбор ортогональной системы
координат: 1 — магнитная поверхность,
2 — магнитная силовая линия Н, которая
совпадает с осью жз
В системе C.2.13) при условии C.2.14а)
считаются заданными п и Н, а искомыми ф
и Те. Не стремясь к общности, ограничим-
ограничимся случаем, когда справедливы C.2.13в),
C.2.14а), т.е.
Те = Te(j), фт (т) — Ф ~ 1П —•
е п0
C.2.146)
Предположим, что магнитное поле допуска-
допускает введение такой ортогональной системы
координат, одна ось которой (х3) совпадает
с магнитными силовыми линиями. Две дру-
другие координаты обозначим х\ и х2.
В этих координатах запишем:
Ге=ГеG)=Ге(ж1,ж2);
Ф*(жьж2) = Ф
In
C.2.14b)
п0
Выбор координат показан на рис. 3.2.5.
Как известно, метрическая форма, градиент и дивергенция в произвольной орто-
ортогональной системе координат имеют вид:
h\dx\
V =
diva =
-h2h3a{
9
дхо
<~v
Здесь /ii, /12, Л3 — параметры Ламэ.
Используя C.2.136), выводим следующие формулы для компонент электронной
скорости поперёк магнитного поля:
Щ = -
с
Hh2
с /9Ф*
9Ф*
Hhx \ дх
C.2.15)
Здесь во — основание натуральных логарифмов.
Для того чтобы найти третью компоненту и, подставим C.2.15) в уравнение
непрерывности C.2.13а). После преобразований получим
_
1
?>(и;,Ф*) к Р{Х,Те
D(x\,X2) e
где
L = lu-
luy0J J ° Н ' v 0/ J Я поео
а а
и а = #з@) ~~ координата "начала" силовой линии, где г^з = 0.
C.2.16а)
C.2.166)
3.2. Электронная магнитная гидродинамика. Обобщённый закон Ома
145
Предполагая, что в "начале" и "конце" магнитной силовой линии скорость щ
обращается в нуль, из C.2.15) находим уравнение, связывающее Ф* и Те, то есть
условие автономности:
D{4>t,W) , kD(Te,A) /о917ч
-Щ^)+-е^-^=°- C-2Л73)
Здесь
да да
дх\
д/3 д/3
дх\
- якобиан.
П
C.2.176)
где dl — элемент длины силовой линии, а, Ь — начало и конец силовой линии.
Если плазма в объёме имеет пренебрежимо малую температуру (Те —> 0) или
система изотермична (Те = const), то потенциал ф постоянен на поверхностях с по-
постоянным значением W = const, т. е.
w =
C.2.18)
Величину Wi^f) будем называть "нагруженностью" магнитной силовой линии
(А. И. Морозов [6]). Пример использования связи C.2.18) будет приведён ниже.
Магнитно-дрейфовые поверхности. Все сказанное в предыдущих подпунктах
опиралось на эквипотенциализацию магнитных силовых линий, т. е. на интеграл
C.2.10), который получался после умножения полного уравнения Е-поля C.2.7) на
Н. Аналогичные по форме дифференциальные уравнения можно получить, умножив
C.2.7) скалярно на ve Однако это уравнение нельзя проинтегрировать при произ-
произвольной зависимости р = р(п, j).
Исключением является случай баротропной электронной компоненты р = р(п).
Тогда, вводя энтальпию, единую для всего плазменного объёма
¦J
dp(n)
получаем
(veV) ф -
U{n)
= 0,
и, следовательно, в этом случае термализованный потенциал сохраняется вдоль
дрейфовых траекторий
ф--г{п) = фт{5)- C-2.19)
Сегодня особый практический интерес представляет специальный случай, когда
система обладает осевой симметрией. В этом случае полезным понятием является по-
понятие "магнито-дрейфовой поверхности". Эти осесимметричные магнито-дрейфовые
поверхности изображены на рис. 3.2.6.
Очевидно, магнито-дрейфовые поверхности можно ввести и при холодных элек-
электронах. В этом случае
ф фE). C.2.20)
146
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Рис. 3.2.6. Топология магнитодрейфовых поверхностей: а — при замыкании дрейфа через
внешнюю цепь, б — при наличии только азимутального магнитного поля, в — с азимутальным
дрейфом и квазирадиальным магнитным полем, г — совокупность тороидальных вложенных
друг в друга магнитных дрейфовых поверхностей. Сплошные линии — магнитные силовые
линии, штриховые — линии дрейфа электронов
3.2.3. Динамика электронной компоненты с а ф оо, "тензорная проводи-
проводимость". Учёт конечной проводимости электронной компоненты необходим, если
параметр Холла а;ете меньше или порядка единицы:
UJeTe =
епс
В этом случае нужно исходить из полного обобщенного закона Ома:
I
а
еп
i[v.4--L||.
с епс
C.2.21)
C.2.22)
Учёт конечной проводимости резко усложняет анализ поведения электронной ком-
компоненты: теряет свою строгость понятие термализованного потенциала, становится
несправедливым уравнение равновесных электронных конфигураций и т. д. В извест-
известном смысле весь анализ приходится начинать сначала.
Тензорная проводимость. Запишем уравнение C.2.22) в виде
епс
en
C.2.23)
где Е* — "эффективная напряжённость электрического поля".
Уравнение C.2.23) содержит плотность тока j в неявном виде. Чтобы найти
явное выражение для j, проще всего воспользоваться координатной записью этого
уравнения. Если направить ось z вдоль магнитного поля, то его компоненты будут
3.2. Электронная магнитная гидродинамика. Обобщённый закон Ома
147
иметь вид
а епс у а
Используя "тензор сопротивлений"
епс
1
О
?=в-
аН
епс'
C.2.24а)
C.2.246)
систему уравнений C.2.24) можно записать в форме
Е* = tfj. C.2.24в)
Тензор, обратный О , будет тензором проводимости Е . Нетрудно увидеть, что
w , w а ( ! -^г- °\
" -т^ were 1 0 . C.2.25а)
1 +
О
О
1
Зная тензор проводимости, можно вычислить плотность тока через напряжённость
эффективного электрического поля:
j= ЕЕ*.
C.2.256)
Рассмотрим два частных случая, предполагая, что градиентом электрического давле-
давления (Vpe) и скоростью плазмы v можно пренебречь, так что Е* = Е.
1. Пусть электрическое поле Е направлено вдоль магнитного поля Н. Тогда
Е = @,0, Ez); jz = aEz.
Отсюда видно, что протекание тока вдоль магнитного поля происходит так же, как
и при отсутствии магнитного поля.
2. Пусть теперь электрическое поле на-
направлено поперёк магнитного поля, например,
вдоль оси х. Тогда
У
= (Ех,0,0);
аЕх
1т, =
acjereEx
+ (^в) + (ee)
C.2.26а)
Таким образом, наличие электрического
поля, направленного вдоль оси х, порожда-
порождает электрический ток, текущий под углом
к направлению электрического поля, причём
(рис. 3.2.7)
О
н
0-
Е
Рис. 3.2.7. Векторы j, E при наличии
эффекта Холла; Н = (О, О, Н)
Зх
C.2.266)
Если время между столкновениями электрона с тяжелыми частицами те неограни-
неограниченно возрастает (плазма превращается в идеально проводящую), то, как следует из
C.2.266), составляющая электрического тока jx стремится к нулю. В то же время,
т. к. а = е2пте/ га, составляющая jy стремится к пределу:
Зу
Е
-епс-.
C.2.26в)
148 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Физическая интерпретация выражения C.2.26в) очень проста. При отсутствии столк-
столкновений электроны дрейфуют в скрещенных полях вдоль оси у со скоростью vAp =
= с[Е, ~Н]/Н2. Но поскольку мы предполагаем, что ионы покоятся, этот дрейф
электронов и представляет собой рассматриваемый ток.
В заключение отметим, что формулу C.2.26а) в общем случае можно записать
ВВИД6 / [Е Н1\
l[^ C.2.26г)
где 2
в» = ттта: ^ = (ЫеТе)й>» = ттта- C-2-26д)
3.2.4. Электродинамика плоских течений несжимаемой плазмы в попереч-
поперечном магнитном поле [78, 79]. Одним из фундаментальных классов плазмодинами-
ческих процессов является течение плазмы в различного рода каналах, у которых
все стенки или часть из них являются электродами. Под электродами в общем
случае понимаются стенки, через которые протекает ток. Эти системы разбивают-
разбиваются на два — формально взаимообратных класса: на "ускорители", преобразующие
подводимую электроэнергию в кинетическую энергию плазменного потока, и "реку-
"рекуператоры" — генераторы электроэнергии за счёт кинетической энергии плазменно-
плазменного потока. Их аналогами в классической электротехнике являются электромоторы
и электрогенераторы ("динамомашины"). Интересующие нас рекуператоры называют
МГД-генераторами.
В данном пункте в основном будут рассматриваться нуль-мерные модели
с небольшим числом рисунков поясняющих электродинамику (т. е. распределения
Е и j) процесса. Плотность и скорость плазмы будут предполагаться постоянными.
Реально такой подход ближе к дозвуковым МГД-генераторам, но мы будем
отмечать также особенности электродинамики и в ускорительном режиме, т. к. эти
особенности сохраняются и в реальных ускорителях. Двумерной самосогласованной
динамике электронов, ионов и полей в симметричном случае будет посвящен
раздел 3.6.
Здесь будут рассмотрены электрические поля и токи — т. е. электродинамика,
на базе закона Ома с учётом эффекта Холла, в плоском потоке, движущемся
в поперечном магнитном поле с постоянной скоростью в канале постоянного сечения
при а = const т^ 0. Итак, речь будет идти о решении уравнения
^ = Е + - [v, H] - ^S C.2.27а)
а е епс
при разных граничных условиях.
Учёт лоренцевого члена позволяет рассмотреть два режима течения: режим уско-
ускорителя плазмы, когда
-[j,H]v>0 C.2.276)
и режим "тормозителя" — МГД-генератора, когда
-[j,H]v<0. C.2.27b)
Результаты рассмотрения первого режима нам будут полезны при анализе течений
плазмы в экспериментах с ускорителем, описанных ниже, а свойства второго режима
дадут представление о МГД-генераторах. Наш обзор будет двухэтапным. Сначала
будет рассмотрены процессы при условии, что их характеристики не зависят от
3.2. Электронная магнитная гидродинамика. Обобщённый закон Ома
149
продольной координаты х ("однородный" канал), а затем будет приведён пример,
когда зависимость от х существенна ("неоднородный" поток).
Процессы в однородных каналах. Указанные два режима (ускорения и рекупе-
рекуперации, т. е. генерации тока) могут быть реализованы разными способами. Здесь мы
ограничимся тремя реализациями.
(a) E_Lv; (б) j_Lv; (в) E||v. C.2.28)
Реализации (а) и (б) называются фарадеевскими, а (в) — холловской. Рассмотрения
будем вести в координатной форме. В этом случае уравнение C.2.27) записывается
в виде (х = uiere, H||z°, v||x°)
jx = (JEX - XJy',
C.2.29)
Рассмотрим теперь каждый из указанных выше случаев.
а). Канал с E_Lv. Предполагая параметры системы независящими от х, имеем
Ех = 0, Еу = Е, и, следовательно, при эквипотенциальных электродах
Jx — XJy'> Jy —
а(Е - "-
C.2.30)
Отсюда видно, что если Е > ^Н, то канал работает как ускоритель, поскольку jy > 0
и С 1
Fx = -jyH > 0.
При этом jx < 0. В результате возникает сила Fy, прижимающая поток к катоду
(рис. 3.2.8а). Если же Е < ^Н, то jy < 0 и амперова сила
[V,H]
а б
Рис. 3.2.8. МГД канал при E_Lv: а — режим ускорения; б - режим генерации
Fx = -J
0,
и канал работает как "тормозитель" — МГД генератор. В этом случае изменяются
знаки jx и силы Fy. Теперь поток прижимается к аноду.
б). МГД канал с j_Lv. В этом случае jx = 0, и из C.2.29) следует
C.2.31а)
или
= у(Е--сН
C.2.316)
Как и в предыдущем случае, данная схема соответствует МГД генератору, если
Е < -Н, и ускорителю при Е > -Н. Здесь вдоль электродов должен изменяться
с с
150
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
потенциал, причём перепад потенциала прямо пропорционален протекающему току
jy. Характерно, что при переходе от режима ускорителя к режиму генерации направ-
направление продольного (Ех) поля изменяет знак. Это означает, что в первом случае поле
Ех направлено вдоль скорости ионов v, а во втором — противоположно.
Реально перепад потенциала вдоль электродов можно создать одним из двух
способов: либо с помощью электродов, обладающих соответствующим сопротивлени-
сопротивлением, вдоль которых пропускается ток, либо путём использования секционированных
электродов (рис. 3.2.9а). В первом случае процесс недостаточно устойчив и реального
применения он не нашел. Второй же способ стал основным при создании МГД
генераторов (рис. 3.2.9, [78]). Однако он непригоден для ускорителей (см. ниже).
Катод
П
П
\
п
ш
1 П
•©:•
•VH-.
1'
Анод Изолятор
Рис. 3.2.9. МГД канал при j+v (неэквипотенциальные электроды): а — схема цепей и ориен-
ориентации Е и j в режиме генерации энергии; б — схема линий тока в пределах одной секции
канала с секционированными электродами (ие те = 3) [78]
в). Холловский канал с E||v. В этом случае Еу = 0, и, соответственно,
jx = аЕх - xjy\ Jy = -сг-Н + xjx-
Отсюда следует
3x~ i + x2
а (хЕх - \ j
3v= i ^ J
C.2.32а)
C.2.326)
На рис. 3.2.10а изображена схема с "замыкателями" секционированных электро-
электродов, а на рис. 3.2.106 — кольцевая система, где замыкатели отсутствуют, а их роль
выполняет сам поток. Очевидно, коаксиальная схема явно предпочтительна. Она
получила широкое применение для ускорителей, но очень мало исследовалась для
МГД-генераторов. Но в принципе эта схема генератора наиболее эффективна при
Х> 1.
3.2. Электронная магнитная гидродинамика. Обобщённый закон Ома
151
П
—
П
R
1—
П
U
1 *
п
•©:•
•VH-.
L
—Е
Рис. 3.2.10. Электрические цепи и каналы холловских МГД систем (E||v): a — канал прямо-
прямоугольного сечения в режиме генерации, б — кольцевой канал в режиме ускорения
Особенности холловской схемы выступают отчётливо при \ —> оо. В этом пределе
C.2.33)
]х -> env, jy
Е
епс-.
Следовательно, jx — это просто ток, переносимый ионами, a je — дрейфовый ток
электронов. Об ускорителях этого типа подробно будет сказано в разделах 6.7 и 7.5.
Течение между эквипотенциальными электродами конечной длины. Выше рас-
рассматривалось течение в бесконечно длинном канале. Более реалистичной моделью
течения плазмы между эквипотенциальными электродами (по крайней мере с точки
зрения картины распределения токов) является модель, изображённая на рис. 3.2.11.
1
1
Рис. 3.2.11. Линии тока в МГД канале
при конечной длине сплошных электро-
электродов: а — при отсутствии эффекта Хол-
Холла, ujere = 0; (б) — при наличии эффекта
Холла, шете ф 0. Режим ускорения. 1-1,
2-2 — электроды; ААь ДД1 — стенки
диэлектрического канала. Магнитное поле
перпендикулярно плоскости рисунка
б
Д
Здесь по-прежнему длина канала бесконечна, расстояние между стенками посто-
постоянно, магнитное поле однородно на всей протяженности бесконечного канала. Однако
стенки канала являются всюду диэлектрическими, за исключением сравнительно
короткого участка, где размещены два идеально проводящих электрода, между
которыми приложена разность потенциалов. Если эффект Холла отсутствует, то при
постоянной скорости потока распределение тока симметрично относительно обоих
электродов (см. рис. 3.2.11а). Если же среда обладает явно выраженным эффектом
Холла, то расчёт приводит к несимметричной картине токов. В ускорительном ре-
режиме (см. рис. 3.2.116) обращает на себя внимание концентрация тока на входной
кромке катода и на выходной кромке анода (прианодное скольжение тока). В режиме
МГД-генератора, картина обратная.
152
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
О другой модели, когда поток плазмы входит в зону с магнитным полем, будет
сказано в разделе 3.8.
3.3. Холловские структуры
Аналогия вырожденного закона Ома и уравнение МГД-равновесия. Выше пред-
предполагалось, что магнитное поле в плазменном объёме задано. Теперь откажемся от
представления об априорно заданном магнитном поле, а вместо этого используем
уравнения Максвелла
rotH=—j; divH = 0.
с
Чтобы в этом случае получить конкретные результаты, надо сделать определённые
допущения о динамике ионов.
Простейшее предположение — плазма однородна, неподвижна и изотермична
п = const, Vi = О, Те = const.
Считая электрическое поле потенциальным, вырожденный закон Ома
1
можно записать в виде:
где
E+-[ve,H]=0.
VP=-[j,H],
Р = —епф, j = —enve.
C.3.1а)
C.3.16)
Уравнение C.3.1а) замечательно тем, что оно
полностью аналогично уравнению МГД-статики
B.4.1) [80]. В частности, при наличии осе-
осевой симметрии, его можно свести к уравнению
Грэда-Шафранова. Описываемые C.3.1а) струк-
структуры естественно назвать холловскими конфигу-
конфигурациями. Они могут быть реализованы не толь-
только в плазме, но и в полупроводниках. Важной
особенностью холловских конфигураций является
то, что они не сопровождаются (в принципе) воз-
возмущением плотности среды и носят "чисто элек-
электрический" характер. Поэтому Р может быть как
положительной величиной, так и отрицательной,
тогда как в МГД конфигурациях Р > 0.
Протекание тока по гофрированному про-
проводнику при больших иете [81]. В предыдущем
разделе речь шла о протекании тока в плазме
в магнитном поле с прямыми силовыми линиями
при наличии достаточно сильного эффекта Холла.
Оказывается, переход к электродинамике осесимметричных проводников с азиму-
азимутальным магнитным полем создает совершенно новые ситуации. Проиллюстрируем
это на примере протекания тока по неподвижному гофрированному проводнику
(рис. 3.3.1) с явно выраженным эффектом Холла.
Плотность проводника и его проводимость считаем постоянной (n = const, a =
= const). Эта задача позволяет весьма наглядно проиллюстрировать отмеченную
выше аналогию между вырожденным законом Ома (уравнением Е-поля) и уравне-
0,9 1,9 2,9 3,9
Рис. 3.3.1. Распределение тока
в гофрированном проводнике при
разных значениях Yo. Штриховые
линии соответствуют Yo = 10,
сплошные — Yo = 50
3.3. Холловские структуры 153
нием МГД-статики и сводится к построению простейшей нетривиальной холловской
структуры.
В п. 2.4.2 отмечалось, что, при наличии только одной азимутальной компоненты,
существуют только цилиндрические равновесные конфигурации, независящие от z.
Следовательно, в силу отмеченной аналогии, область, занятая током в гофрирован-
гофрированном проводнике должна быть при ujere —> оо цилиндрической, т. е. ток должен пере-
перестать заходить в гофры. В то же время при отсутствии эффекта Холла распределение
тока подчиняется уравнению Лапласа, и в гофры ток заходит.
Выведем общее уравнение (нестационарное) для закона Ома в случае одного
азимутального поля, а потом покажем, как при иоете —> оо токовая конфигурация
стремится к цилиндрической форме. При сделанных допущениях задача сводится
к решению системы уравнений
^=Е- —[j,H]; rotE = --^; j =-%оШ. C.3.2а)
а епс с at 4тг
Используя аксиальную симметрию, из последнего уравнения находим
19/. 181 с
jr = — о-; ь = -тг; 1 = ^гНвГ- C.3.26)
г oz г or 4тг
Не равные нулю компоненты первых двух уравнений C.2.1) суть:
jr F + 1 Я 1 ¦ jz F 4 1 Я 1 ¦ ЭЕг dEz l ЭНв П Ч 9^
= Е + ЩЗ =E + H03 = C32В)
Исключая Ег и Ez и учитывая C.2.16), приходим к основному уравнению электро-
электромагнитных процессов при Hr = Hz = 0:
2 /tfj д \8Г
[О.б.б)
Аист у dz2 dr r dr J dt enr2 dz
Если d/dt = 0 и a —> оо, то это уравнение принимает вид
9/2/fe = 0, C.3.4)
означающий цилиндричность конфигурации. Если эффект Холла слабо выражен, что
имеет место при 1/(еп) —> 0 или г —> оо, т. е. система становится плоской, то уравне-
уравнение C.3.3) аналогично уравнению теплопроводности. Если процесс стационарен, то
d/dt = 0, и получаем следующее уравнение:
2 'дЧ д1д1^ 1 д12-. C.3.5)
4тга \ ozz or г or J enr1 oz
Нетрудно убедиться, что отличие от плоского случая определяется параметром
ooeTeL/R, где L — масштаб возмущения, a R — радиус кривизны.
Самой замечательной особенностью уравнения C.3.5), по сравнению с аналогич-
аналогичным уравнением для плоского случая, является наличие нелинейного холловского
члена 0.
Для того, чтобы исследовать эволюцию картин при увеличении иоете был проведен
численный расчёт уравнения C.3.3) при разных значениях этого параметра. После
1) В плоском случае, когда Н = @,0,Hz(x,y), холловский член ЕХ0Л = — ——-, при п =
епс
1 ТТ
= const, равен Ехол = V-r—• Поэтому уравнение для Hz не содержит нелинейного члена.
еп отг
154 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
обезразмеривания уравнений в качестве искомой величины использовался пропорци-
пропорциональный / безразмерный "ток"
Y(p,Q = -WeTeP, C.3.6)
Здесь р — безразмерный радиус, а ? — обезразмеренная координата z. Уравне-
Уравнение C.3.3) численно решалось методом установления в области, изображённой на
рис. 3.3.1 со следующими граничными условиями.
а. На внешней поверхности проводника задавался "полный" ток, нарастающий от
нуля до Уо по закону
У*(г)=У0[1-ехр{-^}], C.3.7)
где г — безразмерное время.
б. На оси (р = 0), полагали Y = 0.
в. Значения на торцах связывались условием периодичности.
Результаты расчётов представлены на рис. 3.3.1. Здесь пунктир соответствует
Уо = 10, а тонкая сплошная линия — Уо = 50. Тенденция к цилиндризации области,
занятой током, чётко видна.
3.4. Статические конфигурации в двухжидкостной
гидродинамике
Познакомившись с рядом общих особенностей двухжидкостной гидродинамики,
перейдём к анализу на её основе типичных плазменных структур. Начнем со статики.
В п. 2.4 были рассмотрены статические МГД конфигурации, описываемые уравнени-
ями 1 4тг
Vp=-[j, H]; rotH=— j; divH = 0. C.4.1a)
Пусть совокупность функций
K = {p(x),H(x),j(x)} C.4.16)
есть некая конфигурация — решение системы C.4.1а).
Двухжидкостная система уравнений, описывающая равновесные конфигурации
при отсутствии диссипации, получается из C.1.8), если пренебречь инерцией ионов
и электронов. Она имеет вид
=0, C.4.2а)
, = en (-Щ + -с [vif нЛ , C.4.26)
= -en (-Уф + -с [ve,U]\ , C.4.2в)
4тг
rotH= —enfe-ve), C.4.2r)
с
divH = 0. C.4.2д)
Конфигурация C.4.16), очевидно, удовлетворяет системе C.4.2), поскольку сумма
уравнений C.4.26) и C.4.2в) даёт первое уравнение C.4.1)
pe) = ^ti.H]. C.4.3)
3.4. Статические конфигурации в двухжидкостной гидродинамике 155
При полной аналогии C.4.3) и C.4.1), между ними видно одно явное различие.
Здесь вместо р фигурирует сумма pi + ре. А это означает, что одному и тому же ре-
решению К C.3.26) могут, в принципе, соответствовать сколько угодно конфигураций,
отличающихся отношением Рг/ре. А это в свою очередь варьирует ф и v^.
Далее для определённости будем иметь в виду тороидальную конфигурацию
с вложенными магнитными поверхностями (ф). Учитывая постоянство полного дав-
давления р на магнитных поверхностях (р = р(ф)) и делая предположение о постоянстве
температуры как ионов, так и электронов на каждой поверхности:
Тг=Тг(ф), Те=Те(ф), C.4.4а)
приходим к выводу, что различие давлений р^ = п(ф)кТ{(ф) и ре = п(ф)кТе(ф)
обязано различию температур компонент. В свою очередь, температуры Те и Т^
определяются механизмами нагрева компонент и механизмами потерь ими энергии
(см. главы 5 и 10). Заметим попутно, что в статической конфигурации при условии
C.3.4а) каждая компонента является баротропной. Действительно, так как
п(ф) = 0L = ^, C.4.46)
кЩф) кТе(ф)
то
Pi = Pi(n) ; Ре = Ре(п). C.4.4в)
Учитывая баротропность плазмы в конфигурации из двух продольных по Н компо-
компонент уравнений C.4.26, в), получаем два термализованных потенциала
отличающиеся на функцию, зависящую только от ф. Отсюда следует, что и потен-
потенциалы ф на магнитных поверхностях постоянны.
Особенности конфигураций при разных pe/pi- Чтобы пойти дальше, преобразуем
систему C.4.3) к виду:
ел Vp=-j, H;
= 0; е
en e e
divH = 0.
Здесь первые два уравнения отражают специфику двухкомпонентности, а три послед-
последние — характеризуют конфигурацию в целом. Отсюда видно, что, задав произволь-
произвольную зависимость pi(n), т.е. фактически распределение ионной температуры, а также
ф(ф) мы находим из второго уравнения C.4.5) поперечную к полю компоненту
ионной скорости
е п
а, подставив это выражение в divnv^ = 0, найдем уц\ — компоненту скорости ионной
компоненты вдоль Я.
Однако вопрос об общих критериях однозначности v^ на магнитных поверхностях
тороидальных систем, рассчитанных таким образом, остаётся открытым.
Априори возможны два крайних случая: pe/pi = 0 и Pi/pe = 0. Рассмотрим их.
1. ПуСТЬ ре = 0, р = Pi
156 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
В этом случае
Щ=- [ve, Н]; ^ = -Щ + - [vif H]. C.4.7а)
с еп с
Эти два уравнения могут быть удовлетворены по-разному. Опять возьмём два край-
крайних случая.
а. Ионы замагничены, т.е. pi <C L. Тогда они могут удерживаться одним магнит-
магнитным полем, и, следовательно,
C.4.76)
б.
Ионы
Yi
en
незамагничены.
Vp
Тогда pi
.Н]; q
^> L и
7ф; V(/
1
с
[Ve
= 0.
,Н].
(З.4.7в)
В этом случае ионы удерживаются электрическим полем, которое создают электроны,
удерживаемые магнитным полем.
2. Пусть теперь pi = 0, р = ре.
Тогда
_Х^ = _у0 + - [ve, H]; 0 = -V0 + - [vif H]. C.4.8а)
Здесь опять имеют место два крайних случая.
а. ф = 0. Электроны держатся магнитным полем, а ионы покоятся
^ = -[ve,H], Vi=0. C.4.86)
en с
б. ve = 0. Электроны удерживаются ионами, а ионы — магнитным полем
_ Vp = _у^ Q = _у^ + ^ ^^ ^ ^ C.4.8в)
Таким образом, двухкомпонентная плазма может образовывать много различных
конфигураций, которые соответствуют одной однокомпонентной конфигурации.
3.5. Линейные волны в однородной плазме (двухжидкостная
модель) [82, 83]
В предыдущих параграфах мы уже рассматривали линейные волны в однородной
плазме 0. В разделе 1.5 методом одночастичного приближения была вычислена
диэлектрическая проницаемость ^ для холодной плазмы при Но ф 0 A.5.3а) и най-
найдено общее дисперсионное уравнение A.5.10), которое было проанализировано для
частного случая Но = 0. При этом было показано, что для всех частот и, кроме
одной (и = uq) существует только одна поперечная волна, если не различать поляри-
поляризации. В МГД модели B.5.4) линейных колебаний однородной плазмы, в отличие от
газодинамики, где наблюдается только одна сигнальная волна (звук), имеются при
р ф 0 три волны (быстрый и медленный звуки, альфвеновские волны), а при р = 0 —
два типа сигнальных волн: альфвеновские и быстрые звуковые.
В двухжидкостной гидродинамике, которая включает в себя модель раздела
2.5, мы получаем возможность увидеть общую картину гидродинамических волн
1) Волны в неоднородной плазме, а также нелинейные волны для ряда случаев будут
рассмотрены в гл. 8.
3.5. Линейные волны в однородной плазме (двухжидкостная модель) 157
в идеальной полностью ионизованной плазме. К сожалению, общая картина весьма
громоздка. Поэтому сравнительно подробно мы рассмотрим волны в плазме: (а) —
без магнитного поля, но при pije ^ 0 и (б) - волны в холодной плазме при Но ф 0.
Что же касается общего случая, когда р^е фО и Но ф 0, то ограничимся несколькими
графиками зависимости фазовой скорости от частоты и.
3.5.1. Волны в отсутствии внешнего магнитного поля при Pi,pe Ф 0. Как
и в случае холодной плазмы мы воспользуемся здесь уравнением A.5.9) для Е-
поля волны. Но для этого надо вычислить диэлектрическую проницаемость "тёплой"
плазмы, исходя из её определения
^Е = Е + 4тгпое(^ — ?е). C.5.1)
Здесь и ниже невозмущённые величины отмечаем ", а возмущённые пишем без
индексов.
Смещения ^ е при распространении волны опять будем рассчитывать для плоско-
плоского гармонического случая
(Е, v, п, ?) ~ ехр{—iujt + гхх},
исходя из линеаризованной системы уравнений C.2. Юг) при Но = 0 и отсутствии
столкновений,
-7— + nodiv Vi = 0; М^— = — \- еЕ;
п° C 5 2а)
дпе dve mc2TVne
-х- + nodiv ve = 0; т-р— = ^ еЕ.
at at щ
Отсюда для гармоничной волны следует
цУ. = _cT»M^v»)+ieE.
о U, , M C.5.26)
u;ve = - ie - г—Е.
о; ш
Разложив Е-поле и v на компоненты Е\\ и Е± и аналогично v по отношению
к волновому вектору х, находим с учётом уравнения непрерывности
Отсюда следует
3±; 6n = -^ 9 El ,- C.5.3а)
C.5.36)
Аналогичные выражения для смещения электронов имеют вид
moo1 —
Подставляя C.4.3) в C.4.1) получаем две диэлектрические постоянные: для
поперечных волн
^ A ^) C.5.4а)
158 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
и для продольных волн
2 2
1 Ог Ое /о с /1^\
ец = 1 g г~2 2 2~~2~' C.5.46)
Естественно, что на поперечные волны нагрев плазмы не повлиял, в отличие от
продольных волн.
Итак, даже в изотропной плазме диэлектрическая проницаемость является тензо-
тензором. Если ось z направить вдоль х, то этот тензор имеет вид
А± О 0\
V = 0 е± 0 . C.5.5)
\о о С||;
Рассмотрим теперь характер волн, для которых была рассчитана диэлектрическая
проницаемость <Гё>.
Поперечные волны. В этом случае, учитывая A.5.9) и C.5.4) имеем простое
дисперсионное уравнение
J1 = и\ + я2 с2.
Отсюда, в частности, следует, как уже отмечалось в разделе 1.4, что существует
граничная частота ио* = uq, ниже которой в плазме волны распространяться не могут.
Наглядно это проявляется при облучении плазменного образования (например, слоя)
потоком СВЧ-волн с изменяющейся во времени частотой. Если поставить приёмные
антенны за слоем и перед слоем, то в некоторый момент, когда, уменьшаясь, частота
передатчика uj достигнет lj* « ujq приёмная антенна за слоем перестает принимать
сигнал, а антенна перед слоем примет эффективно отраженный сигнал.
Описанная ситуация часто используется для определения плотности электронов
пе в плазменных образованиях, как в лабораторных, так и в космических масштабах,
например, при зондировании ионосферы (см. подробнее раздел 9.2).
Продольные волны. В этом случае дисперсионное уравнение в соответствии
с A.5.9) и C.5.46) имеет вид ец = О
' '2 U02
Т+ О 09 о=^М- C'5-6а)
9
uoz — pe п
Избавляясь от знаменателей, получаем (а = сте, Ъ = ст%)
и;
4 - и2(я2(а2 + Ъ2) - и2е - и2) + а2Ъ2яА + я2(и2еЪ2 + и2а2) = 0. C.5.66)
Это уравнение является биквадратным и по и и по к. Будучи формально простым,
это уравнение имеет весьма громоздкие для анализа корни. Поэтому качественное
представление об этих корнях проще получить графическим способом. На рисун-
рисунке 3.5.1 изображен график функции F(u).
Как видно на рисунке, дисперсионное уравнение при всех значениях к имеет
четыре вещественных решения: два высокочастотных |о;| > \к\сте и два низкочастот-
низкочастотных \к\стг < М < М^Те-
Первые волны — ленгмюровские, о которых уже говорилось ранее, а вторые —
ионно-звуковые, с которыми мы познакомимся здесь.
Ленгмюровские волны. В этом случае, полагая |о;| > uoqi и |о;| > \к\сти уравнение
C.5.6а) можно записать в виде
, ,2 , ,2 , ,2
02 _ Г2 2 и2 _ Г2 2 '
°L CTeK ^L СТеК
3.5. Линейные волны в однородной плазме (двухжидкостная модель)
159
(О
Рис. 3.5.1. График функции F(uS)
Отсюда следует
C.5.76)
Таким образом, если к вещественно, то uj > ujoe, и, следовательно, отброшенный
в C.5.7) член действительно мал:
9
00т
.2 ^2_
~2~ 2~
L Ое
m
Ж
Из C.5.76) видно, что, если электронная температура велика и волновое число к
настолько велико, что
"ое « *Че. C.5.8а)
то мы имеем обычные звуковые волны в электронной компоненте
uj2 « я2с2Те. C.5.86)
Очевидно, условие C.5.8а) можно записать в виде сравнения длины волны Л с деба-
евским радиусом rjj
2 2
к rD =
2тг
т
Здесь дебаевский радиус определен как отношение
ст
гв = —•
C.5.9а)
C.5.96)
Наоборот, если Л ^> г&, то uj -^ ujo, и мы имеем ленгмюровские волны с малой
групповой скоростью
г2
Те
~2 пЛ ^0
Те
C.5.10)
Распространяющиеся (т. е. имеющие вещественные значения uj и к) ленгмюров-
ленгмюровские волны имеют место только при uj > ujq. Однако ленгмюровская ветвь колебаний
может быть продолжена и в области uj < ujq. Об этом будет сказано чуть ниже.
160 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Ионно-звуковые волны. Предполагая, что ио2 <С ^2(?Те, уравнение C.5.6а) можно
записать в виде:
1 = -^V + 2 Ш<Н2 2 • (З-5-11)
-К СТе LOS - К СТ{
Отсюда следует:
а,2 = x2c2Ti + я2с2Те ( 2 Ш(н2 2 ^ . C.5.12а)
О
Введём дебаевский радиус формулой C.5.96). Тогда, учитывая, что —^ = —-, дис-
дисперсионное уравнение C.5.12а) можно записать в виде
\
C.5.126)
Как видно, зависимость и{х) при достаточно малых к <С 1/го является линейной
V-*i ~г -1-е) /о г 1 о \
7^—-. C.5.13а)
Эта формула полностью аналогична формуле для обычного звука B.2.56), но толь-
только теперь вместо температуры газа входит сумма температур ионов и электронов 0.
Во многих плазменных системах Те ^> Ti, и тогда фазовая скорость
C.5.136)
т.е. упругость среды определяется электронами, а инерция — ионами. При этом
групповая скорость совпадает с фазовой.
Иной характер носит ионный звук в случае коротких волн, когда к > \/rjj.
В этом случае, пренебрегая единицей в знаменателе C.5.12), получаем
со2 « >c2c2Ti + о;ог» C-5.14а)
и в случае достаточно холодных ионов {\х\ст% "С
uo = uooi. C.5.146)
Иными словами, колебания происходят не с электронной ленгмюровской частотой,
как, казалось бы, следовало ожидать, а с ионной ленгмюровской частотой. Это
объясняется тем, что в данном случае возмущения практически неподвижны (vrp =
= 0), неподвижны и электроны, создающие периодический потенциальный рельеф,
в углублениях которого колеблются ионы.
Дебаевское экранирование. Выше рассматривалась зависимость частоты колеба-
колебаний среды при заданной длине волны. Однако во многих случаях задается частота
и ищется пространственный масштаб возмущений. Типичный пример такой ситуа-
ситуации — это возмущение плазменного объёма зондом, на который подан переменный
потенциал. Если потенциал зонда постоянен, т.е. и = 0, то общее дисперсионное
уравнение принимает вид:
^L< 1 C.5.15)
СТе CTi rD0
1) Это естественно следует из уравнения динамики C.1.11).
3.5. Линейные волны в однородной плазме (двухжидкостная модель)
161
(п, ф) rsj exp < —
Здесь rDo — дебаевский радиус, учитывающий температуры обоих компонент. Сле-
Следовательно, в данном случае величина к — мнимая, и возмущение всех параметров
- —1, C.5.16)
ч
т. е. убывает при удалении от зонда или любого предмета, в том числе стенок,
ограничивающих объём. Поэтому в этом случае о гв часто говорят, как "радиусе
экранирования". Этот факт уже отмечался во Введении, п. 1. Очевидно, если начать
повышать частоту модуляции потенциала зонда, то, прежде всего, возбудятся ионно-
звуковые колебания при
где L — длина столба плазмы, а при и —> ujQe возбудятся ленгмюровские колебания.
Все эти выводы хорошо подтверждает эксперимент.
Подводя итог сказанному в данном пункте, мы видим, что для каждого значения
uj в нагретой плазме, при Щ = 0, мы имеем три типа колебаний: поперечные,
ленгмюровские {к — мнимое при ио < ujq) и ионно-звуковые.
3.5.2. Линейные волны в однородной плазме при Hq ф 0 (холодная плаз-
плазма). В п. 3.1.2 отмечалось, что двухжидкостные уравнения движения плазмы при
Pi^e = 0 идентичны уравнениям динамики одиночных частиц, если нет пересечения
траекторий разных частиц. А при малых амплитудах колебаний однородной плазмы
таких пересечений нет; поэтому тензор диэлектрической проницаемости <гё>, вы-
вычисленный в разделе 1.5 в рамках одночастичного приближаения, пригоден и для
двухжидкостной модели при р = 0. Для удобства перепишем его здесь
2 2 2 \
v~^ Оск ' v~^ otH Qot r\
(а) и — иаН (а) и\и ~ иotH)
б =
(а) '
9 \
9 9
0
0
0
\
C.5.17а)
Напомним, что этот тензор имеет такой вид в системе координат, где ось z направ-
направлена вдоль внешнего магнитного поля.
Общая структура выписанного тензора следующая
C.5.176)
Как известно из обычной оптики (и электродинамики), такая структура *~б*
соответствует одноосному гиротропному кристаллу, т. е. кристаллу с выделенным
направлением (примером может служить исландский шпат) и вращающим плоскость
поляризации волны. Гиротропность определяется величиной д.
Тензор C.5.17) эрмитов, то есть
е<хр = е*ра, C.5.18)
где звёздочка — знак комплексного сопряжения. Эрмитовость тензора ^t является
необходимым и достаточным условием сохранения электромагнитной энергии рас-
распространяющейся волны [10].
6 А. И. Морозов
162 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Для описания распространения гармонических плоских волн будем пользоваться
уравнением A.5.9) для электрического поля
2
х2Е - х(хЕ) = % VE. C.5.19а)
cz
Приравнивая нулю детерминант этой линейной системы уравнений для Е, получаем
дисперсионное уравнение
D(o;,x)=0. C.5.196)
Дисперсионное уравнение C.5.196) при подстановке тензора C.5.17) оказывается
очень громоздким. Поэтому мы не будем рассматривать подробно его, но сделаем
несколько шагов к такой его формулировке, которая пригодна для расчётов, либо
численных, либо аналитических.
Прежде всего, введём показатель преломления [82]
N=-x.
Общее дисперсионное уравнение теперь принимает вид (в — угол между х и Н):
a7V4 + WV2 + c =0, C.5.20)
где
а = б sin2 в + г] cos2 в;
b = g2 sin2 9-eirj- e{(e{ sin2 в + f]cos2 0); C.5.21)
с = e2{rj - rjg2.
Корни уравнения C.5.21) равны
N2 = 5-! ((е2 - g2 - oj) sin2 в+
2(б1 sin^ 0 + ry cos2 6>) t
+2бгу ± у (е2 - ^2 - егуJ sin4 в + V^2 cos2 0 L C.5.22)
Для дальнейшего компоненты тензора C.5.17) удобно записать в виде
1 _ л2 /^(^2 ~ У)
(а2 - 1)(а2 - и2I
[ 9 Д ^ j C.5.23а)
111 /^/^ ill ii
Здесь
-m)nc2 M ии
Я0
C.5.236)
Подставляя C.5.23) в C.5.22), находим выражения для N(uj,0):
= ?. C.5.23b)
3.5. Линейные волны в однородной плазме (двухжидкостная модель) 163
Здесь
[ ] } n2 ?+
2 - /х + 1)а2 - /i2] } sin
+ 2(а2 - /М2) [(а2 - \)(а2 - /i2) - fiA2(a2 - /х)] , C.5.23г)
р2 = |/i3A4 - /М2 Ufi2 - /х + 1)а2 - /i2] } sin4 #+
+ 4(a2 - /xA2JA4/x2 (/x - IJa2 cos2 0,
C.5.23д)
Q = 2 [a2{a2 - 1){a2 - fi2) - fiA2a2{a2 - /x) sin2 0-
-/iA2(a2 - \)(a2 - /x) cos2 в] . C.5.23e)
Полученные выражения громоздки. Поэтому прежде чем их анализировать целе-
целесообразно привести графики зависимостей N2(uj,9) для разных значений [i и А2. Эти
графики, рассчитанные численно, представлены на рисунке 3.5.2. Здесь очевидным
является наличие для каждой частоты и двух значений N2, т. е. двух волн с разными
о
К .
Всего в общем случае при р^?е = 0 существуют пять ветвей колебаний, ко-
которые ограничены тремя вертикальными асимптотами, проходящими через cc;f° «
~ инг, ^2° ~ °°не и ^3° ^ ^0- В интервале 0 < о; < cc;f°находятся альфеновская
(А) и быстрая магнитозвуковые волны (Б). Отсутствие медленной магнитозвуковой
волны естественно, поскольку она исчезает (как это отмечалось в п. 2.5.2) при Т —>
->0.
В интервале uj^° < и < и^ сохраняется модифицированная БМЗ волна, здесь её
называют "вистлером" или "свистящим атмосфериком" 0.
Вторая ветвь дисперсионного соотношения не может распространяться в плазме
в интервале oof0 < со < ш[ и только при и > оо\ её фазовая скорость становится
вещественной. Колебания в интервале частот 0 < ии < и^ называются низкочастот-
низкочастотКолебания с частотами ио > оо^ — высокочастотными (или, чаще, сверхвысокоча-
сверхвысокочаными, если ленгмюровская частота uuq ^> иоен — электронной ларморовской частотой.
Колебания с частот
стотными — СВЧ).
Далее, в интервале щ < ^4 сУЩествУет одна высокочастотная волна.
И, наконец, в области частот и > с^имеются ленгмюровские и обычные попе-
поперечные волны.
Рассмотренные особенности ветвей колебаний показывают важность критических
частот ш\[^з и частот ш\[23- Первые соответствуют волнам, при которых длина волны
Л = 2тг|х| неограниченно уменьшается, тогда как во втором случае длина волны
неограниченно увеличивается.
Обстоятельный анализ поведения волн с частотами ио°° показывает, что они
хорошо поглощаются плазмой. Поэтому в настоящее время на частотах ии^° и ио^
производится нагрев плазмы с помощью электромагнитных волн. Особенно эффекти-
*) "Вистлер" — "свистящий атмосферик" - термин из практики радиосвязи. В физике
твёрдого тела эти волны называются "геликонами".
164
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Рис. 3.5.2. Зависимость квадрата показателя преломления N2(uj,0) от частоты: для холодной
плазмы (а, б, в, е); для нагретой плазмы в двухжидкостной модели (г, д). а — с^о > ооне', Р = 0;
в = 0; 6 — ujo > ооне', Р = 0; 0 ф 0, тг/2; в — с^о > ^яе; р = 0; 0 = тг/2; г — с^о > ^яе; Р ф 0;
0 = 0; д - ujq > шНе\ рфО;вфО, тг/2; е - ujq < шНе\ р = О;вфО,тг/2.
вен нагрев на и;^, т. к. для него можно использовать высокоэффективные гиротроны,
а малая длина волны позволяет всё оборудование делать компактным.
А теперь рассчитаем частоты, при которых показатель преломления обращается
в нуль и бесконечность.
Нулевые значения N соответствуют Р = 0. Независимо от угла в величина N
обращается в нуль, как видно из C.5.22) при выполнении одного из условий
77 = 0;
б2,2 0; C.5.24а)
В первом случае, как видно из C.5.22),
,(°) -
,2 —
т. е. при плазменной частоте. Во втором случае
C.5.25)
C.5.26а)
3.5. Линейные волны в однородной плазме (двухжидкостная модель) 165
Если ujoe > сине, то, пренебрегая ионной и ларморовской частотами, получаем
4°з ^0±^7р. C.5.266)
Бесконечные значения N соответствуют Q = 0. Здесь также три корня. Они
выглядят просто, если волны распространяются вдоль магнитного поля (9 = 0). Тогда
(оо) ш (оо) . / \ (оо) / \ /q Г оу\
Для волновых векторов, почти перпендикулярных магнитному полю
| -в < —, C.5.28а)
с точностью до величин ~ l//i.
IT / о . о . . ГТ^1 п д1 C-5-286)
, cos 9 ± л vL+ иь„ - 2ujopujhp. cos 0
Что же касается углов 9 непосредственно примыкающих к тг/2, то
'2 C.5.28в)
^-0;
(оо)
В ЧаСТНОСТИ, еСЛИ ШНг^Не ^ ^0г' Т0
°
C.5.29)
Отметим, что ус^ + и;д-е называется верхней гибридной частотой, a
нижней гибридной частотой.
Если N2 < 0, то волна не может проникнуть на глубину больше, чем
s~- = -m-r C-5-3°)
к оо \N\
Видно также, что альфвеновская волна (А) перестает существовать при ио = ини
тогда как быстрый магнитный звук исчезает при и^ , т.е. при нижней гибридной
частоте C.5.29). Следует обратить также внимание на "электронную" волну Ен,
которая "останавливается" на верхней гибридной частоте.
Плазменные конфигурации всегда имеют неоднородные магнитные поля и распре-
распределение плотности. Поэтому, если через плазменный объём проходит поток электро-
электромагнитных волн с частотой w, ив некой зоне эта частота совпадает с одной из частот,
где N —> оо, то волна "останавливается" и поглощается. Таковы основы нагрева
плазмы при падении волн перпендикулярно Н с помощью ионно-циклотронного
резонанса, нижнегибридных и верхнегибридных резонансов. Эффективным является
также нагрев на основе электронного циклотронного резонанса (ЭЦР) с помощью
СВЧ-волн, идущих вдоль Н.
3.5.3. Линейные волны в однородной нагретой плазме при Н = 0. Учёт
конечной температуры компонент плазмы заметно усложняет ситуацию. Выше мы
подробно рассматривали колебания нагретой плазмы только при Н = 0 и показали,
что при Т = 0 существует только одна волна — ленгмюровская, тогда как при
166 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Т ф О — две, добавляется ионный звук. Мы видели также, что в одножидкост-
ной гидродинамике при ст ф 0 появляется ещё медленная магнитозвуковая волна.
Оказывается, это справедливо и в общем случае. Дисперсионное уравнение теперь
оказывается бикубическим и, следовательно, каждому значению ио соответствует
три значения N2, т.е. имеется шесть ветвей колебаний. Представление о них даёт
рисунок 3.5.2. Подробное рассмотрение колебаний в однородной среде при Н ф О
и Tif Теф0 см. в [84].
3.5.4. Простейшая двухжидкостная модель пучковой неустойчивости. Спе-
Специфическая особенность плазмы состоит в том, что в ней часто существуют две или
большее число компонент, которые движутся сравнительно свободно друг относи-
относительно друга. Естественно ожидать, что при приближении относительной скорости
этих компонент к характерным скоростям волн в среде, должна начаться раскачка
колебаний (волн). Эта ситуация напоминает генерацию звуковых волн при движении
со сверхзвуковой скоростью тел в воздухе. Только в плазме раскачка вызывается не
посторонним предметом, а движением компонент самой плазмы.
Такого рода нарастающие колебания обычно называют "пучковыми" неустойчиво-
стями, поскольку они проще всего инициируются при инжекции пучков — обычно
электронов, в плазму. Большую роль неустойчивостей, вызванных относительным
движением компонент, впервые должным образом подчеркнули украинские физики
А. И. Ахиезер и Я. Б. Файнберг A949), детально рассмотрев взаимодействия пучка
электронов малой плотности с электронной компонентой плазмы [85]. Практически
одновременно в 1948-49 гг. аналогичную задачу, но менее основательно и с целым
рядом ограничений, независимо рассматривали также А. Гаеф, Д. Бом и Е. Гросс.
Проиллюстрируем сказанное соответствующим расчётам, считая плазму холод-
холодной, ионы бесконечно тяжелыми (тп/М —> 0), а пучок также холодным, но движу-
движущимся со скоростью ^о вдоль оси х. Описывая и неподвижную электронную компо-
компоненту, и пучок уравнениями гидродинамики, получаем дисперсионное уравнение для
продольных колебаний в виде
4^Ц=0. C.5.31)
Здесь ujq и ujQb — ленгмюровские частоты электронов плазмы и пучка. Уравнение
C.5.31) можно получить, непосредственно решая методом Фурье линеаризованную
систему уравнений
дп dv л дщ д
+щ 0 +
\t дх
дЕ
—— =
Здесь величины без индексов относятся к возмущениям электронов плазмы, с индек-
индексом "Ь" — к электронам пучка. Нулем отмечены невозмущённые величины (vq = г>об)-
Однако дисперсионное уравнение C.5.32) автоматически следует из выражения
C.5.4) для е, если учесть эффект Допплера для пучка
Ш —> Ш — ЯУ().
3.5. Линейные волны в однородной плазме (двухжидкостная модель)
167
Уравнение C.5.31) при данном волновом числе к является алгебраическим урав-
уравнением четвёртой степени, но его решение громоздко. Однако нетрудно получить
представление об этих решениях, используя график функции
C.5.33)
(и;-xv
2.
%v
ш
%v
(О
Рис. 3.5.3. Графики функции F(uS) для двухпучковой системы (к формуле C.5.33); а —
неустойчивый режим, б — неустойчивый режим
Как видно на рис. 3.5.3, это уравнение всегда имеет два вещественных корня,
а другие два корня могут быть как вещественными (рис. 3.5.3а), так и комплексными
(рис. 3.5.36). Критическое значение к- vq, при котором два "вторых" корня совпадают
и, следовательно, вещественны, равно
C.5.34)
При
<
q корни уравнения C.5.31) становятся комплексными
7
и один из этих корней (п + ij) ведёт к росту амплитуды колебаний по закону
А ~ e7t. C.5.35)
Критерий неустойчивости можно записать в виде
2/з\ 2/3
Л
1.
C.5.36)
А это означает, что, если длина волны Л заметно больше дебаевского радиуса г в, то
система (плазменные электроны-электронный пучок) — неустойчива.
Строго решая уравнение C.5.31), можно найти максимальный инкремент роста
неустойчивости 7- он равен
/^ C.5.37а)
24/3
при
168 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
ReH = -щ ущ. C.5.376)
Здесь а = щ/щ, Re (а;) — вещественная часть частоты.
Видно, что 7 ~ ^о даже при а = 1/10, т.е. неустойчивость развивается очень
быстро — за несколько ленгмюровских колебаний.
Полезно отметить, что дисперсионное уравнение типа C.5.31) мы получим и в том
случае, если будем рассматривать движение электронов относительно ионов.
Надо только вместо ш\ взять величину
Чтобы полученная картина находилась в согласии с экспериментом, надо учесть
Те и Т{. Аккуратный анализ этого случая будет описан в разделе 4.4. Фундаменталь-
Фундаментальный обзор плазменных неустойчивостей дан в двухтомной монографии А. Б. Михай-
Михайловского [86].
3.6. Бездиссипативные аксиально-симметричные течения
в двухкомпонентной гидродинамике
Рассмотренная в разделе 3.2 электродинамика плазменных течений даёт хотя
и важную, но весьма ограниченную картину процессов при течении плазмы в магнит-
магнитном поле. Но естественно желание получить существенно более общее и наглядное
представление о плазмодинамических процессах [87].
В главе 1 отмечалось, что простая структура магнитных полей существует только
при наличии симметрии. Поэтому первое допущение, которое следует сделать, это
ограничиться осесимметричными системами. Второе допущение — считать плазму
идеально проводящей. Тогда сохраняются энергия, вмороженность, момент количе-
количества движения, обязанный осевой симметрии.
Итак, в данном разделе речь будет идти о горячей плазме и больших скоростях,
при которых магнитное число Рейнольдса Rem > 1.
Основным элементом развиваемого здесь метода является использование функций
потока ионов и электронов, напоминающих те, которые использовались при выводе
уравнений Грэда-Шафранова.
3.6.1. Вывод законов сохранения. Итак, предположим, что течение стационар-
стационарно, и его можно описать следующей системой уравнений:
divneve=0; divn^v^ = 0; C.6.1)
M(v,V)v, = -^ + е (е + - [vif H]
M(veV)ve = -^ - е (Е + - [ve, H]
пР \ с
Pi =Pi(ni,Si); (viV)si = 0;
Ре = Ре(пе, Se)\ (veV),Se = 0;
4тгв
rotH= {jiiWi — neve); divH = 0; C.6.5)
с
C.6
C.6
C.
C.
..2a)
.26)
6.3)
6.4)
3.6. Бездиссипативные аксиально-симметричные течения 169
= -УФ; спуЕ = 4тге(п;-пе). C.6.6)
Считая, что электромагнитные поля и течение обладают осевой симметрией, напи-
напишем уравнения непрерывности C.6.1) и второе из уравнений C.6.5) в координатной
форме:
—rnvr + —rnvz = U;
% % C.6.7а)
-T^rHvr + -7^rHvz = 0.
9 9
Этим уравнениям можно удовлетворить тождественно, если ввести три функции
потока ф{, фе, фн'-
(rnvr)i,e = ^—;
Гйг " dz ' rHz - дг ¦
Нетрудно видеть, что линии
ф^г, z) = const; фе(г, z) — const
изображают соответственно проекции траекторий ионов и электронов на плоскость
г, z. Величина ф(г, z) связана с числом частиц N, проходящих в единицу времени
внутри аксиально-симметричной поверхности ф(г, z) = const, следующим соотноше-
соотношением:
N = 2тгф. C.6.7в)
Аналогичными свойствами, как об этом уже говорилось в разделе 1.1 обладает
и функция магнитного потока фн-
Учитывая векторное тождество
Vv2
(vV)v = — [v rot v],
уравнения движения C.6.2) можно записать в виде
Wt = ^[vbH*]; We = -^[v€,H:]. C.6.8)
Здесь введены обозначения "эффективных магнитных полей":
Л/Тf ТПС
Н*=Н+ rotvi; H*=H rotve, C.6.9)
е е
полных энергий частиц:
Mv2 Mv2
Ut = -^ + W% + еФ; Ue = —^ + We - еФ C.6.10)
и, с учётом C.6.3) и C.6.4), функций, пропорциональных энтальпии:
Wie= [^. C.6.11)
J ГЫ,е
Точнее, вводя C.6.11), считаем, что во всём потоке энтропия единицы массы
каждой из компонент одна и та же (изоэнтропичность течения).
170 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Умножая C.6.8) скалярно на v^ и ve и учитывая C.6.7), получаем О
D{r,z) D{r,z)
Отсюда следует, что
Ui = Ui^i); ие = ие(фе). C.6.126)
Это означает, что энергия электронов и ионов сохраняется вдоль их траектории
движения, как уже говорилось в п. 3.1.4. Прямой проверкой можно убедиться, что
zie = -Q^-' rH*ie = —^Ч C.6.13а)
где
о^^я + ^г^0; ае = ^я-^гг;<е). C.6.136)
Используя выражения C.6.7), C.6.8), C.6.12а) и C.6.13а), получаем законы сохра-
сохранение моментов
ai = ai(ipi); ае = ае(фе). C.6.14)
В свою очередь, из r-компоненты (или z-компоненты) уравнений C.6.8) и законов
сохранения C.6.12а) следуют уравнения для функций ^, фе\
С-Щ = ^ - -L (Щ + ^rot.vA ; C.6.15а)
с , veOafe 1 /' Me \ ,QC1^
— U'e = Нв rot#ve ; C.6.156)
е г гпе Vе/
тт' dU r da /Qun
U = —-; а = -—. C.6.15в)
Наконец, используя C.6.7) и уравнения Максвелла C.6.5) и C.6.6), находим
4тте
А*^я = г(щуго - nevee); C.6.16)
9 19 б>2
or г or ozz
Для большей наглядности выпишем все механические уравнения вместе, исключив
при этом из уравнений C.6.5) величины rot#v^e с помощью C.6.7). В результате
получим [87]:
+ Wt + еФ = иг{фг); C.6.17а)
+ We - еФ = ие(фе)\ C.6.176)
vfivi
1) Напомним, что символом D(f,g)/D(x, ) обозначен якобиан:
df/дх df/dy
dg/дх dg/ду
Равенство якобиана нулю означает, что функции / и g связаны соотношением / = f(g).
3.6. Бездиссипативные аксиально-симметричные течения 171
Мс
фн Н ГУМ = аг(фг); C.6.17в)
ТПС
фн гуев = ае(фе); C.6.17г)
' ^ = %<«: C.6..7Д,
тщдттщ дг тщ dz тщ dz ) тщ т г е
тт
-^—о!е = ~и^(фе). C.6.17е)
тпе дг тпе дг rne dz rne dz J rne r e е
В этих шести уравнениях для шести величин ф^ фе, щ, пе, Vio, ve$ содержатся
четыре функции: и^фг), ие(фе), а^фг), ае(фе), которые в принципе могут задаваться
произвольно.
Здесь видна аналогия с произвольными функциями Р(ф) и 1(ф), о которых
говорилось в п. 2.4.3. Трёхпотоковая (фе,Фг,Фн) система уравнений C.6.16), C.6.17)
была выведена А. И. Морозовым и Л. С. Соловьёвым.
Термализованный потенциал. Аналог термализованного потенциала C.2.12в)
следует из C.6.176) — закона сохранения энергии и из C.6.17г) — закона сохранения
момента количества движения электронной компоненты при т —> 0. Действительно,
при т = 0
We - еФ = ие(феу фн = ае(фе). C.6.18а)
Исключая отсюда фе, приходим к закону сохранения:
ФТ(Фн) = Ф - — = - —. C.6.186)
ее
Выражение для Фт тождественно термализованному потенциалу C.2.12в).
Вмороженностъ. Если т —> 0, то уравнение C.6.17е) также превращается в из-
известный закон сохранения — вмороженность магнитного поля в электронную компо-
компоненту:
= ~ + -U'e(^e). C.6.19)
тпе те
Уравнение C.6.19) уточняет известное выражение B.3.10) и конкретизирует уравне-
уравнение C.1.16). Во-первых, оно учитывает влияние "полоидального" поля фн и наличие
упорядоченного азимутального движения электронов; во-вторых, оно даёт при veo =
= 0 явное выражение для постоянной Но/рт, входящей в B.3.10). Эта постоянная
оказывается равной -и'е(фе). Если U'e = const, то такие течения изомагнитные.
3.6.2. Качественный анализ системы уравнений C.6.17).
Течение холодной плазмы (We = Wi = 0 при т = 0). Для ряда проблем, в том
числе для создания плазменных ускорителей средних и высоких энергий, особый
интерес представляет электромагнитное ускорение сравнительно холодной плазмы
с малой диссипацией.
Если положить We = Wi = 0, то система уравнений C.6.17) примет вид:
Mv2
—^+еФ = иг(фг); C.6.20)
еФ = -ие(фе)) C.6.21)
Mr
Фн + ГУМ = пг(фгУ C.6.22)
фн = ае(феу C.6.23)
172
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Мс
д 1 дф{ д 1 дф
+ ^
дг nr dr dz n d
гп
гп
C.6.24)
C.6.25)
Из уравнений C.6.21) и C.6.23) ясно видно, что магнитные силовые линии явля-
являются эквипотенциалями, а электроны "привязаны" к магнитным силовым линиям.
Следует различать два класса аксиально-симметричных систем: системы, в кото-
которых имеется только азимутальное магнитное поле Hq, и системы, в которых имеются
все три компоненты магнитного поля. Рассмотрим каждый класс в отдельности.
Течение в собственном магнитном поле (фн = 0,а^е = 0). Итак, будем иметь
в виду систему, изображённую на рис. 3.6.1а. Уравнение C.6.22) утверждает, что
электроны движутся по эквипотенциалям. Этот простой факт приводит к весьма
важному выводу, что в системе со сплошными проводящими коаксиальными элек-
электродами при отсутствии высокочастотных колебаний или диссипативных процессов
не может существовать регулярное поступление электронов ни из катода в плазму,
ни из плазмы на анод. Самый радикальный выход из создавшегося положения —
это отказаться от электронов как переносчиков тока и возложить эту функцию на
ионы ("ионный токоперенос"). Если мы все же хотим сохранить "электронный токо-
перенос", то должны будем либо согласиться с наличием диссипативных процессов
в системе (например, в виде сингулярностей — "привязок", пока на электродах типа
тех, которые изображены на рис. 3.2.11), либо перейти от стационарных режимов
к "пулемётным", либо, наконец, пойти на неэквипотенциальные (например, "секцио-
"секционированные") электроды.
Анод
Вход
Выход
Катод
а б
Рис. 3.6.1. Коаксиальный плазменный ускоритель с собственным магнитным полем (а) и схема
его эпюры (б)
Картина процессов в межэлектродном промежутке коаксиального ускорителя
приобретает весьма большую наглядность, если воспользоваться так называемой
"эпюрой ускорителя". Для этого изобразим межэлектродный промежуток в виде
прямоугольника (см. рис. 3.6.16), стороны которого соответствуют входу, выходу
и двум электродам, и проведем линии / = const, фг = const, фе = const. Будем
считать, что процесс стационарный и регулярный, и не возникает никаких трудностей
с "размазыванием" тока по электродам. Это, как только что было отмечено, может
быть при неэквипотенциальных электродах в режиме электронного токопереноса,
а при эквипотенциальных электродах — в режиме ионного токопереноса. Рассмотрим
каждый из режимов в отдельности.
Электронный токоперенос между неэквипотенциальными электродами
(рис. 3.6.2). В этом случае токовые линии / = const можно представить
системой равноотстоящих вертикальных линий. Линии ф{ = const изображаются
горизонтальными прямыми, причём линиям ф^ = 0, фг = фм соответствуют анод
3.6. Бездиссипативные аксиально-симметричные течения
173
и катод. Разумеется, мы предполагаем, что ионы не высаживаются на электродах.
При выбранных координатах уравнения [см. C.6.16)]
?ш
Анод
-¦-*'** >.
Катод
а
/
?i
?ш
?i
' '4
/ / /
f / /
/ / /
¦//
/ /
/ /
/ /
/ /
/> /
Анод
/ / / /
/ / / /
/ / ,#'
/ //Р/ /
/ / / /
Катод
б
/
sf
/
/
/
/
/
/
/
/
/
f j
/
/
/
/
/
/
/
/
/
I
Рис. 3.6.2. Эпюры ускорительного канала при электронном токопереносе: параметр обмена
? «С 1, гидродинамический режим (а); ? > 1, холловский режим (б)
2тге
изображаются наклонными линиями. Заметим, что в левом нижнем углу эпюры ф^ =
= 0, / = /о, величина Т
То обстоятельство, что в этой точке эпюры фе ф 0, объясняется наличием элек-
электронного потока в катоде. В правом нижнем углу эпюры, положив 1\ = 0, получим
значение фе = 0, так как здесь ф^ = 0.
Если пренебречь инерцией электронов, то электрический потенциал
и параметр вмороженности
Ф = --
тп
сохраняются вдоль линий фе = const, тогда как Щ сохраняется вдоль линий ф^ =
= const. Очевидно, ионы ускоряются за счёт того, что перемещаются в область более
низкого потенциала.
В принципе, следует различать два типа эпюр, которые можно называть гид-
гидродинамическими и холловскими (см. рис. 3.6.2). Как нетрудно видеть, в первом
случае основная часть электронов, выходящих из ускорителя, вошла в него вместе
с ионами. Во втором случае электроны, входящие в ускоритель, высаживаются на
анод в начале канала, и всюду дальше компенсация объёмного заряда осуществля-
осуществляется электронами, выходящими из катода. Поэтому, если в первом случае величина
параметра вмороженности почти не измененяется по длине ускорителя, то во втором
её легко изменить.
Переход от одного режима к другому, очевидно, определяется величиной
т.е. интегральным параметром обмена (см. п. 3.2.1) 0:
Т J
-1-0 Jn
2тгеф
C.6.26)
1) Здесь мы предположили, что ток не выносится из ускорителя и 1\ = 0.
174 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Ионный токоперенос между эквипотенциальными электродами. Эпюра коак-
коаксиального ускорителя при ионном токопереносе изображена на рис. 3.6.3.
В этом случае на осях откладываем /
Анод и фе, тогда как линии ф{ = const определя-
определяем из уравнения
\|/е= const-
Фг = Фе +
Катод 1
2тге*
Здесь в левой нижней точке эпюры целе-
целесообразно приписать величинам следующие
значения:
Рис. 3.6.3. Эпюры ускорительного канала /^ ч = Q /n = j /^ ч = _ Jo_^
при ионном токопереносе 2тге
Такой выбор начала отсчёта объясняется
тем, что ионы, попав на катод, гибнут (нейтрализуются), и ток в цепи замыкается за
счёт потока электронов в катоде, которые "спариваются" с приходящими ионами.
Для нормального функционирования механизма ионного токопереноса необходи-
необходимо, чтобы катод поглощал падающие на него ионы, а анод их эмитировал. Реально
это означает, что через анод должно подаваться ионизованное вещество. Такого рода
условия создаются в описываемом ниже КСПУ.
Очевидно, режим ионного токопереноса может представлять практический инте-
интерес лишь при достаточно малых параметрах обмена ?. В противном случае слишком
много ионов будет гибнуть на катоде.
Течение во внешнем магнитном поле. Пусть теперь в системе присутствуют все
три компоненты магнитного поля (внешнего и собственного). Благодаря аксиальной
симметрии магнитное поле можно рассматривать как систему магнитных поверхно-
поверхностей фн = const с "привязанными" к ним электронами (фн = ае(фе)). В силу уравне-
уравнений C.6.21) и C.6.23), эти поверхности являются эквипотенциальными. Распределе-
Распределение потенциала между ними определяется либо диссипативными процессами в объ-
объёме, либо той или иной системой электродов, расположенных на стенках каналов.
Поскольку электроны привязаны к эквипотенциальным поверхностям, перенос тока
при наличии внешнего поля может осуществляться только ионами. По-видимому,
следует различать два варианта. В первом магнитные поверхности идут параллельно
боковым стенкам ускорительного канала, поэтому стенки могут быть сделаны ме-
металлическими, а распределение потенциала между магнитными поверхностями будет
определяться его распределением на "заднем" диэлектрике. Этот вариант бездисси-
пативного сильноточного ускорителя практически очень близок к рассмотренному
выше ускорителю с азимутальным магнитным полем в режиме ионного токопереноса.
Здесь также необходима подача части рабочего вещества через анод, и отбор через
катод, и также электроны движутся, не пересекая поверхности электродов.
Во втором варианте ускорителей с внешним магнитным полем все магнитные
поверхности пересекают боковые стенки канала. Поэтому они не должны обладать
продольной проводимостью. Этот ускоритель полностью аналогичен холловским МГД
системам, о которых шла речь в разделе 3.2, а также СПД, о которых подробно
сказано будет в разделе 6.7. Поэтому здесь мы не будем на нём специально останав-
останавливаться.
В ускорителях с внешними магнитными полями существует проблема выхода
плазмы из магнитных полей. В первом варианте ускорителя, в котором замагничены
ионы, для выхода из магнитного поля принципиально необходима диссипация. Во
3.6. Бездиссипативные аксиально-симметричные течения
175
втором варианте ионы не замагничены, и можно обойтись применением эмиттеров
электронов-компенсаторов, "поливающих" выходящий ионный поток (см. раздел 6.7).
Термическое ускорение в ''магнитном сопле", (рис. 3.6.4)
Рассмотрим другой крайний случай, ко-
когда разгон происходит только за счёт высо-
высокой температуры, или, точнее, за счёт эн-
энтальпии компонент плазмы. Если речь идёт
о получении сравнительно небольших ско-
скоростей истечения, которым соответствуют
энергии частиц (имеются в виду тяжелые
частицы) порядка 1 эВ, то нетрудно нагреть
обе компоненты — и ионы, и электроны.
Если же речь идёт об энергиях в десятки,
а тем более в сотни и тысячи электрон-
вольт, то основной интерес начинают приоб-
приобретать так называемые неизотермические ускорители, в которых Те > Т^. Поскольку
нагреть электроны до высоких температур (^ 1 кэВ) в настоящее время не пред-
представляет особых трудностей. Это можно сделать как с помощью СВЧ-полей, так
и с помощью энергичных электронных пучков.
Поэтому энтальпию ионов мы по-прежнему положим равной нулю и будем счи-
считать горячими только электроны. Пренебрежем также инерцией электронов. В таком
случае получаем систему уравнений:
Рис. 3.6.4. "Магнитное сопло" для неизо-
неизотермического ускорения
Mvj
Мс
Фн ^ r
= ai(ilJi);
Me ( 1 д 1 дфг д д 1 дф{
е \гп дг гп дг rndzrn dz
Не Уев г стт1 ( , \
— + —ае = -ие(фе).
гп г е
we
Фн
с ,
е г
-еФ = ие
= ае{Фе);
(ф-) + —
гп
г
C.6.27)
C.6.28)
C.6.29)
C.6.30)
Из написанной системы видно, что и в этом случае электроны "сидят" на
магнитных поверхностях фн = const. Однако теперь магнитные поверхности не
являются эквипотенциальными. Делая различные предположения об условиях на
входе в систему, т.е. о функциях С/^е, а^?е, получаем различные режимы.
Одним из простейших является течение, при котором ф{ = фе, т.е. траектории
ионов и электронов вдоль системы совпадают. В этом случае можно положить
равным нулю азимутальное поле (Не = 0). Если теперь допустить, что ионы стартуют
с нулевой азимутальной скоростью, то из условия ф^ = фе и уравнений C.6.28)
следует, что всюду vie = 0. В результате систему C.6.28)-C.6.30) можно записать
в виде:
Mv2
1 д 1
1 д 1
C.6.31)
гп дг гп дг гп dz rn dz
176 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Нетрудно убедиться, что если положить Ue(ipi) = const, то получим модель чисто
термического ускорения, описываемого обычными газодинамическими уравнениями:
divnv; = 0; M(v;V)v; = - —
Щ
и происходящего в "магнитном сопле".
Необходимо отметить, что, благодаря высокой электронной теплопроводности
вдоль силовых линий, гидродинамическая модель неизотермического ускорения тре-
требует определённой корректировки. Проблема выхода плазмы из магнитного поля
в неизотермических ускорителях та же, что и в рассмотренных выше случаях. Экс-
Эксперименты с магнитными соплами и неизотермической плазмой описаны, например,
в [100]
3.6.3. Метод "плавных" течений для системы C.6.17). Система уравнений
C.6.17) обладает тем замечательным свойством, что она не содержит членов, ли-
д и * д" * (д
неиных относительно — • В уравнения входят либо члены ~ тг^т, либо ~ —
oz ozz \oz ^
Очевидно, если сечение потока изменяется достаточно плавно, то роль таких членов
должна быть мала. Поэтому можно построить приближение "плавных" течений,
отбросив члены, содержащие производные по z. В результате получается система
обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую входят только производные
по г (А. И. Морозов, Л. С. Соловьёв [72]). Однако не надо думать, что второе измере-
измерение безнадежно потеряно. Зависимость от координаты z входит теперь в постоянные
интегрирования.
Для того чтобы проиллюстрировать данный метод, рассмотрим простейший слу-
случай течения квазинейтральной плазмы с т = 0 в собственном азимутальном маг-
магнитном поле (Hr = Hz = 0). В таком случае система C.6.16), C.6.17) может быть
записана в виде:
+Жг(п)+еФ = игШ; C.6.32а)
We(n) -еФ = ие(фе); C.6.326)
то or nr or
O=-Ufe-—] C.6.32r)
em
4ttp
rH = ЫI- <фе) + Уо. C.6.32д)
с
Очевидно, приближение медленно меняющегося канала напоминает приближению
пограничного слоя в теории вязких течений 0.
В ряде случаев система C.6.32) имеет один интеграл и сводится к квадратурам.
Для этой цели сложим попарно первые четыре уравнения C.6.32):
М
"т/ ч " / ' ч ¦ " / ' ч C.6.33а)
1) Однако в уравнения для вязкого слоя принципиально входит первая производная по z.
Поэтому отбрасывание членов ~ д2/dz2 не приводит в этом случае к обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнениям.
3.6. Бездиссипативные аксиально-симметричные течения 177
М |-L^i = с/;(^) + аде); (з.б.ззб)
nr or nr or
W = Wi(n) + We(n). C.6.33b)
Продифференцировав теперь первое уравнение по г, а второе умножив на -^, вычтем
полученные выражения друг из друга. В результате находим связь:
Это уравнение заменяет второе из уравнений C.6.33), и система из C.6.33) и C.6.34)
часто бывает более удобной, поскольку эта система уравнений первого порядка.
Однако главное достоинство уравнения C.6.34) состоит в том, что оно имеет очень
простой физический смысл и в ряде случаев интегрируется. Остановимся, прежде
всего, на его физическом смысле. Учитывая C.6.32d), C.6.32e) и определение W:
W
= (dp
получаем из C.6.34) уравнение радиального равновесия в медленно изменяющемся
потоке:
-б- [Р+-Б-] = —Л—• C.6.35)
or \ 8тг) 4тгг
Уравнение C.6.35) в плоском случае интегрируется в общем виде:
Р+^=ф). C.6.36)
О7Г
В аксиально-симметричном случае вместо C.6.35) удобнее писать уравнение C.6.34),
которое легко интегрируется при одном из двух условий: W = 0 или и^(фе) = const.
В этих случаях задача полностью сводится к квадратурам.
Дополним изложенную общую схему одним конкретным расчётом. Пусть течение
изомагнитно:
Ue = кфе C.6.37а)
и изобернуллиево О
Ui = U0- кфг. C.6.376)
В таком случае уравнения C.6.34) и C.6.33b), описывающие течения, принимают
вид:
-<фг)+С1(г)-, C.6.38а)
М ^
2п2г2 \ дг
= ^0 - C\{Z) = . F.0.660)
1) Иными словами, мы предполагаем, что во всем объёме потока величина интеграла
Бернулли одна и та же:
v2 H2 Г dp
— + -: h — =
2 Атгр р
178 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Отсюда видно, что скорость ионов при таком течении оказывается не зависящей от
г. Нам удобнее поэтому будет вместо c\(z) пользоваться vq(z). Полагая в C.6.32е)
Уо = 0, U'e = к, получаем
В реальном случае при 7 = 5/3 разрешение этого уравнения относительно п доста-
достаточно громоздко. Поэтому возьмём 7 = 2. Тогда
W = *Ш. C.6.40)
поо
Здесь роо и поо ~~ некоторые начальные значения давления и плотности плазмы. При
сделанном предположении
п = Щ, C.6.41а)
а2
где
1/ Mvl(z)\ 2 4тге2 poo to а лл*\
^ ; а =-гг-г-Ь; ь = 2—- C.6.416)
kzcz nz
2
Подставляя C.6.41) в C.6.38), получаем выражение для функции ионного потока:
2
1
а2
Здесь го(^) — постоянная интегрирования. Чтобы довести до конца решение этой
задачи, нам нужно задать условия, с помощью которых можно будет определить
две функции ^о(^) и ro(z). В простейшем случае электронного токопереноса, когда
потоком ионов на стенки можно пренебречь, можно задать геометрию обоих элек-
электродов — катода rk(z) и анода ra(z) — с помощью условий
*l>i(rk(z), z) = 0; фг{га{г), z) = ф0 = const. C.6.426)
Очевидно, первое условие удовлетворяется автоматически, если положить rk(z) =
= ro(z). Однако подстановка второго условия C.6.426) в C.6.42а) приводит к ре-
решению кубического уравнения для vo, поскольку щ ~ const. Кубическое уравнение
всегда имеет один вещественный корень, поэтому рассматриваемая нелинейная кра-
краевая задача всегда имеет решение.
Зная фг и п с помощью C.6.38а) можно найти и траектории электронов фе.
Замечательной особенностью решения C.6.42а) является то, что оно описывает
также течение с укороченным центральным электродом. В этом случае при z > 0
надо положить ro(z) = 0. Очевидно, мы получаем здесь область компрессии.
3.6.4. Анализ системы C.6.17) методом узкого канала. Выше мы рассчита-
рассчитали в приближении "плавного течения" поведение изомагнитного изобернуллиевого
потока в собственном азимутальном магнитном поле. К сожалению, для получения
простой формулы C.6.426) пришлось положить 7 = 2, и это несколько затушевало
важные особенности найденного класса течений.
Рассмотрим этот вопрос подробнее, используя приближение узкого потока, ана-
аналогичное тому, которое мы использовали при анализе течения в сопле Лаваля (см.
раздел 2.2), а также в МГД — раздел 2.6. Следует отметить, что приближения
3.7. Численные и экспериментальные исследования 179
узкого потока и приближение плавного потока по сути являются дополнительными.
Действительно, в первом случае мы считаем, что характеристики потока слабо изме-
изменяются в поперечном направлении, тогда как во втором случае "слабым" параметром
является продольная координата.
Считая течение по-прежнему изобернуллиевым и изомагнитным 0, можем напи-
написать два закона сохранения:
9 тт9
v H
—- + Up) + -— = Щ = const;
2Н ^Р C.6.43а)
— = k = const.
рг
Здесь энтальпия . . , .
г(р) = ДП)^ eW. C.6.436)
Эти выражения при сделанных предположениях не связаны с допущением узости
потока. Чтобы прийти к модели узкого потока, надо отбросить уравнение для вихря
C.6.17) и дополнить систему C.6.436) уравнением сохранения потока в коаксиальной
трубке
pvrf = 5ф = const, C.6.43в)
где / — ширина канала. Теперь все входящие в C.6.43) величины надо рассматривать
как функции одной продольной координаты, например z. Очевидно, полученная
система уравнений полностью аналогична системе B.6.4) для одножидкостного по-
потока. Поэтому подробнее на системе C.6.43) мы останавливаться не будем. Заметим
только, что соотношения Гюгонио (см. B.2.20)). могут быть написаны не только для
газодинамики, но и для любых узких потоков, в частности для уравнений C.6.43).
В этом случае для изменения скорости можно получить
C.6.44)
9 9 9 9
cs = СТ + СЛ5 С
s 1 А
Здесь cs — скорость сигнала (быстрого звука):
9 9 9
1 А л 4тгр
Отсюда видно, что тепловое ускорение связано с изменением сечения канала /г,
а электромагнитное — с изменением отношения f/r. He представляет труда написать
аналогичное уравнение для изменения других параметров потока.
3.7. Численные и экспериментальные исследования
(квази)стационарных течений в коаксиальных системах
с собственным магнитным полем
Теоретический анализ течений плазмы в поперечных магнитных полях, изло-
изложенный в разделах 2.6 и 3.6 был стимулирован экспериментами, выполненными
в начале 1960-х годов в ИАЭ А. И. Морозовым с сотрудниками, а затем и чис-
численными расчётами, проводившимися позднее в Институте прикладной математики
К. В. Брушлинским с сотрудниками [88]. В данном параграфе рассматриваются толь-
*) В одножидкостной модели течение при параметре обмена ? = 0 в узком канале автома-
автоматически изомагнитное и изобернуллиево.
180
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
ко сильноточные ускорители и компрессоры с собственным азимутальным магнитным
полем.
3.7.1. Численное моделирование течений плазмы в коаксиалах со сплошны-
сплошными электродами. Численные расчёты по сравнению с аналитическим моделировани-
моделированием имеют ряд неоспоримых достоинств. Прежде всего, можно описывать весь процесс
течения от подачи неионизованного газа в канал до выхода плазменного потока
в вакуумную камеру. Во-вторых, численные расчёты позволяют учесть эффект Холла
и диссипативные процессы, в первую очередь омическое сопротивление при разных
граничных условиях. В-третьих, и это особенно важно, численное моделирование
автоматически даёт представление об устойчивости течения по отношению к осе-
симметричным возмущениям. Это связано с тем, что стационарные течения обычно
рассчитывают методом установления, т. е. с учётом явной зависимости величин от
времени.
0,5
0
0,5
0,5
0
0,5
0,5
0
0,5
а б ' в
Рис. 3.7.1. Влияние эффекта Холла на линии тока в канале ускорителя со сплошными элек-
электродами: а — ? = О, б — ? = 1/3, в — ? = —1/3
В данном пункте мы опишем картину осесимметричного течения полностью
ионизованного газа с учётом омического сопротивления, рассчитанную методом
установления при разных значениях параметра Холл, исходя из системы уравнений
(Т = const)
+ divpv = 0;
dp
dt
i=E + lfv,Hl-
с
rotH =
j;
J
0,4
epc
1 dH
rotE = —.
с dt
C.7.1)
0 12 3
Рис. 3.7.2. Зависимость ?(+) от v при трёх
разных значениях C
Начальные условия брались достаточно
произвольными, электроды считались экви-
эквипотенциальными. Для более чёткого про-
проявления именно эффекта Холла, на входе
в канал подавалась готовая плазма. Течение
считалось изотермическим. Расчёт проводился при разных локальных параметрах
обмена ?лок. Оказалось, что существуют некоторые критические значения Qok и Сок
соответственно для наружного и внутреннего анодов (полярностей), которые разде-
разделяют устанавливающиеся стационарные решения и течения со "взрывом" на аноде,
при котором течение абсолютно разрушается.
3.7. Численные и экспериментальные исследования
181
На рис. 3.7.1 приведены токовые линии при разных ?лок и полярностях, а на
рис. 3.7.2 зависимость критических значений <^+^ от обратного магнитного числа
Рейнольдса — магнитной вязкости v = 1/Rem при разных /3 на входе. Графики
достаточно наглядно демонстрируют переход от радиальных токов при ? = 0 к приа-
нодному скольжению токов при ? ф О, и затем, при уш —> 0, т. е. росте проводимости,
к срыву течения. Последнее явление называют обычно "кризисом тока". О кризисе
тока мы скажем подробнее чуть ниже, а о собственно "взрывах" — в гл. 8.
3.7.2. Экспериментальные исследования ускорителей со сплошными элек-
электродами [89-91]. Ниже будем называть (квази) стационарные сильноточные (с
собственным магнитным полем) коаксиальные плазменные ускорители с сплошными
электродами просто "коаксиалами", если центральный электрод по длине близок
к наружному электроду и "торцевыми сильноточными ускорителями (ТСУ)" если
центральный электрод существенно более короткий 0. Системы, создающие компрес-
компрессионные потоки, называют "магнитоплазменными компрессорами (МПК) (рис. 3.7.3).
Рис. 3.7.3. Одноступенчатые коаксиальные ускорители с собственным магнитным полем и со
сплошными электродами: а — "коаксиал", б — торцевой сильноточный ускоритель (ТСУ), 1 —
катод, 2 — диэлектрик, 3 — анод, в — магнито-плазменный компрессор (МПК)
К разобранным выше теоретическим схемам ближе всего подходит "коаксиал"
КПУ-1, который к тому же был первым объектом достаточно тщательных физических
исследований плазменных ускорителей этого типа, проводившихся в ИАЭ с начала
1960 г. Эксперименты проводились на установке, изображённой на рис. 3.7.4, которая
работала в квазистационарном режиме. Длительность рабочего импульса траб ~ 1-
10 мс, с одной стороны не создавала трудностей с нагревом коаксиала и не требовала
большой энергии (в данном случае, конденсаторной батареи), а с другой — выбранное
1) Торцевые ускорители плазмы без внешнего магнитного поля были предложены А. А По-
ротниковым, а с внешним продольным полем были предложены в России И. Н. Острецовым
[45]
182
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
1
Рис. 3.7.4. Схема установки КПУ-1 (ИАЭ): 1 — внешний электрод, 2 — внутренний электрод,
3 — буферный объём, 4 — пьезодатчики — измеритель давления, 5 — форобъём, б — клапан,
7 — отверстия в диафрагме.
время было почти на два порядка больше пролётного времени
L
VM
3- 1(Г6с,
где L — длина канала (~ 15 см), а ум — ожидаемая скорость истечения (~5х
х 106см/с). При таком выборе траб, процесс можно было считать квазистационарным.
Ускоритель помещался в вакуумную камеру. Подача газа (N2, Ar, H2) осуществ-
осуществлялась из буферного объёма, который импульсно наполнялся с помощью быстродей-
быстродействующего клапана. Разрядные токи были ~ 20-100кА.
Что же выяснилось в процессе экспериментов?
Экспериментальные данные в большой степени были неожиданными, поскольку
в 1959 г. особенности проявления эффекта Холла не были должным образом извест-
известны, а исходными были представления одножидкостной МГД модели.
Оказалось, что при малых разрядных токах (H2/Stt < nk(Ti + Te), линии элек-
электрического тока близки к радиальным, т. е. таким, которые предсказывает одножид-
костная МГД.
Особенно чётко этот эффект проявился при использовании в коаксиале длинного
накалённого термокатода. Затем подробно этот режим изучался многими авторами
на "сильноточных торцевых ускорителях" (рис. 3.7.36).
Но если при постоянном расходе вещества m начать увеличивать разрядный ток
J, то при некоем "критическом" значении J* картина резко изменяется. Прежде всего
это видно на вольтамперной характеристике. А именно, если при J < J* напряжение
U на разряде растёт с увеличением тока сравнительно медленно
U ~ Ja, 2<a<3,
C.7.2)
то при J > J* напряжение начинает круто расти (рис. 3.7.5).
При этом в ускорителе раскачиваются колебания большой амплитуды, существен-
существенная часть разрядного тока выносится за срез ускорителя. Вынесенный ток формирует
область компрессии, хорошо видимую на фотографии (рис. 3.7.6).
Вынос тока из канала становится вполне понятным, если вспомнить описанную
в пп. 3.2.4 и 3.7.1 роль эффекта Холла при течении плазмы поперёк магнитного
поля в канале с эквипотенциальными электродами. Там было показано, что в такой
3.7. Численные и экспериментальные исследования
183
20 40 60 I кА
20-,
4 /,кА
Рис. 3.7.5. Вольтамперные характеристики: а —
разряда в КПУ-1, (водород: т = 1,5 г/с A); т =
= 4.5 г/с) B); б — торцевого сильноточного уско-
ускорителя (ТСУ) на литии
Рис. 3.7.6. Внешний вид выходяще-
выходящего потока и области компрессии на
установке КПУ-1
системе, наряду с "омической" компонентой тока, идущей вдоль Е-поля, появляется
продольная "холловская" компонента тока.
Появление этой компоненты тока приводит к отжатию плазмы от анода. Понижение
концентрации заряженных частиц в этой области увеличивает ujere и ещё больше
усиливает ток вдоль анода и т. д. В результате, при дальнейшем небольшом измене-
изменении разрядного тока, происходит полная перестройка структуры разряда. Экспери-
Эксперименты показали, что критический разрядный ток JKp связан с токовым эквивалентом
расхода ^
J™" М'
где е — заряд иона, М — его масса, соотношением
/2
К(Г).
C.7.3)
Здесь К (Г) — практически универсальная величина, зависящая в основном от
геометрии системы.
Из C.7.3) в частности следует, что в докритическом режиме максимальная ско-
скорость истечения рабочего вещества (см. A.1.1))
т
JrnM/e M'
C-7.4)
Иными словами, скорости при данной геометрии ускорителя тем больше, чем меньше
атомная масса рабочего вещества. Поэтому на коаксиальных (квази)стационарых
ПУ с собственным магнитным полем наибольшие скорости были достигнуты при
использовании в качестве рабочего вещества водорода и лития.
Выражению для максимальной скорости истечения можно придать другой вид,
используя формулу Беннета B.4.10) для цилиндрического Z-пинча. Это особенно
разумно в случае торцевых ПУ. Тогда, полагая число частиц N на единицу длины
пинча равной (ш — массовый расход)
т
N =
получим, используя B.4.10) и C.7.3),
_ Л2Р _ 2NkT
max c2m m
2кТ
C.7.5)
C.7.6)
184
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Т.е., как и следовало ожидать, критическая скорость оказывается порядка тепловой
скорости частиц.
г,см
11
9
7
5
5
7
9
11
, —¦ """V
2,0
— ^ У
"^ —
Рис. 3.7.7. Распределение линий тока (ai, аг) и эквипотенциалей Fi, 62) при разных полярно-
полярностях в КПУ-1 в закритическом режиме. Рабочее вещество — азот, т ~ 5 г/с, Jp = 35 кА
Физический смысл критического разрядного тока прост. Это тот ток, при котором
в достаточно большом объёме ускорительного канала Холловский параметр иоете
сравнивается по порядку с единицей
1.
Если принять, что (см. E.3.16))
получаем:
7
C.7.7)
C.7.?
V
enc
C.7.9)
Электронная температура, естественно, растёт с ростом разрядного тока. Полагая
Te~J«, C.7.10)
получаем условие появления "кризиса"
иоете
г
Т2
1.
C.7.11)
Отсюда видно, что, приняв а = 2/3, что не противоречит явно опыту, мы получаем
критерий C.7.3).
3.7. Численные и экспериментальные исследования
185
На установке, показанной на рис 3.7.4, были сняты карты линий электрического
тока и эквипотенциалей при закритических разрядных токах. Они приведены на
рис. 3.7.7 для двух полярностей электродов [89]. Здесь хорошо видны скольжения то-
тока вдоль анода и образование прианодного скачка потенциала. Подробнее о влиянии
этого на состояние поверхности анода будет сказано ниже (п. 7.6.6), а здесь отметим
только одну особенность, когда центральный электрод является анодом. В этом
случае скольжение тока ограничено концом анода, и на этом конце в пределах малого
пятна диаметром ~ 1 см выделяется большая энергия. Это приводит к тому, что при
длительности всего ~ 1 мс эта зона оплавляется при токе ^40кА, независимо от
того, каков материал анода — медь или тантал.
Рис. 3.7.8. СФР-граммы колебаний фронта ионизации, снятые через продольную щель: а —
продольные колебания при разряде в водороде, б — вращательная неустойчивость фронта
ионизации при разряде в азоте; в — схема потоков при вращательной неустойчивости; 1 —
нейтральный газ, 2 — фронт ионизации, 3 — область плотного плазменного потока
Заканчивая краткий обзор работы ускорителя КПУ-I, отметим ещё один факт.
Если сделать продольную щель во внешнем электроде и зафиксировать свечение
с помощью скоростной кинокамеры, то можно увидеть, как ведёт себя фронт иони-
186
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
зации. Он колеблется — колебания в продольном направлении хорошо видны на
водороде (рис. 3.7.8а), и качественно картина напоминает то, что даёт расчёт (см.
раздел 6.9). Однако на азоте была обнаружена другая форма неустойчивости фронта
ионизации — "вращательная спиновая" неустойчивость (рис. 3.7.86), схема которой
изображена на рис. 3.7.8в.
3.7.3. Коаксиальный сильноточный плазменный ускоритель с ионным то-
копереносом (КСПУ).
Принципиальная схема КСПУ в целом ([92]-[94]). В п. 3.2.4 мы видели, что
"холловский" перекос тока можно устранить, используя неэквипотенциальные элек-
электроды. Такой способ используется в МГД генераторах, в которых работает плотный
слабоионизованный газ, а скорости потока относительно невелики (< 1 км/с). Совсем
иная ситуация в плазменном ускорителе. Здесь мала плотность и большие скорости,
измеряемые сотнями и тысячами км/с. Здесь рассечка электродов неприемлема,
т. к. электроды должны иметь магнитную защиту от идущего в канале высоко-
энергетичного потока, а при рассечке это невозможно. Анализ течений идеальной
плазмы в осесимметричных каналах, проведенный в разделе 3.6, показал, что можно
оставить электроды эквипотенциальными, но тогда надо переходить на перенос
разрядного тока ионами (рис. 3.6.3). А для этого надо сделать анод способным
эмитировать ионы, а катод — их принимать. Таким образом, роль сплошных метал-
металлических электродов должны взять на себя сложные плазмодинамические системы,
которые способны сопрячь ионный токоперенос в канале ускорителя с электронным
токопереносом во внешней цепи. Такие системы был названы "трансформерами".
И ещё один существенный элемент КСПУ. Выше, при описании процесса в про-
простом коаксиальном квазистационарном ускорителе КПУ-I, отмечалась неустойчи-
неустойчивость фронта ионизации. Для того, чтобы избежать неприятностей с этой неустойчи-
неустойчивостью, при создании КСПУ была принята двухступенчатая система: поступающий
в ускоритель газ сначала попадает во входные ионизационные камеры (ВИК), где
он ионизуется и приобретает некую начальную скорость. Эти ВИК'и также были
коаксиальными сильноточными ускорителями, которые работали при Jp < JKp.
В созданных КСПУ использовались 4-6 ВИК'ов. Генерируемые ими потоки плаз-
плазмы поступали в "дрейфовый" канал, где растекались по азимуту и подстраивались
под изомагнитную конфигурацию, для чего генерировали токовые вихри. В итоге
общая схема КСПУ имеет вид, представленный на рис. 3.7.9.
Трансформеры. Принципиальные схемы
функционирования трансформеров изобра-
изображены на рис. 3.7.10. В анодном транс-
формере (рис. 3.7.10а) имеется 4 основных
элемента: 1 — газоразрядные устройства
АИК'и (анодные ионизационные камеры),
создающие плазму из поступающего в них
нейтрального газа, 2 — магнитной систе-
системы, формирующей тракты для движения
электронов и ионов в объёме трансформера,
а также экранирующие (где надо) поверхно-
поверхности твёрдотельных элементов трансформе-
трансформера, 3 — приемник электронов, замыкающий
объём трансформера с внешней электриче-
электрической цепью, 4 — магнитная поверхность,
II
Рис. 3.7.9. Структурная схема КСПУ: I —
первая ступень, ВИК — входная иониза-
ионизационная камера, ДрК — дрейфовый канал,
II — вторая ступень, Тд — анодный транс-
формер, Тк — катодный трансформер
разделяющая трансформер и ускорительный канал. Через эту магнитную анодную
поверхность — "МАП", токонесущие ионы из трансформера поступают в канал.
3.7. Численные и экспериментальные исследования
187
Функциональная схема катодного трансформера изображена на рис. 3.7.106.
В этом трансформере имеются элементы, "ответные" к анодному трансформеру: 1 —
магнитная катодная поверхность (МКП), принимающая ионы, выпадающие из уско-
ускоряемого потока, 2 — эмиттер электродов, соединённый с внешней цепью и дающий
электроны для компенсации объёмного заряда ионов, идущих из ускоряемого потока,
и тем самым для "перехвата" функции переноса тока от ионов к электронам. Нако-
Наконец, в состав катодного трансформера входят магнитная система C) и "плазмоотвод"
обесточенной плазмы D).
Использование трансформеров, т. е. переход на ионный токоперенос, ещё более
остро ставит проблему магнитной экранировки электродов. Эта экранировка может
быть реализована магнитными полями самой разной конфигурации. На рис. 3.7.11
изображена магнитная система анодного Z-трансформера (Z-Тд). Его так называ-
называют, поскольку магнитная конфигурация здесь в основном формируется вытянутыми
вдоль оси стержнями с током. Здесь выделены магнитные поверхности: МАП —
анодная, эмитирующая ионы, и МК — катодная, принимающая ионы. В анодном
трансформере вдоль нулевых линий магнитного поля из специальных инжекторов —
анодных ионизационных камер (АИК), инжектируется плазма, которая растекается
по всей МАП. Сами АИК изображены на рис. 3.7.12, и представляют небольшие
квазистационарные плазменные ускорители — КПУ, работающие при докритических
Рис. 3.7.10. Функциональные схемы трансформеров: а — анодный трансформер, б — катодный
трансформер
АИК
МАП
МАП
МК
в
а б
"УСЫ"
Рис. 3.7.11. Магнитная система анодного ^-трансформера (Z—Ta): сечения проводников,
формирующих магнитную конфигурацию (а), вид сепаратрисной поверхности (б), положение
замыкающих электродов (ЗЭ) (в); АИК — анодные ионизационные камеры, МЭП — магнитная
эмитирующая поверхность, МК — катодная, принимающая ионы, поверхность
188
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
разрядных токах. Приемники электронов здесь имеют вид изогнутых пластин, пе-
пересекающих сепаратрису (рис. 3.7.11 в). Стержни с током, формирующие магнитную
конфигурацию анодного трансформера, хорошо экранированы магнитным полем.
Впрочем, в объёме и вблизи этого трансформера плазма малоэнергичная. Схематиче-
Схематический вид КСПУ с анодным и катодным Z-трансформерами изображён на рис. 3.7.13.
Здесь приемник электронов в в Z—T& имеет вид многоарочной поверхности, которая
находится под потенциалом земли. Он хорошо виден на фото 3.7.14а.
Рис. 3.7.12. Схемы вариантов анодных ионизационных камеры (АИК) и входных ионизаци-
ионизационных камер (ВИК): а — модель ХФТИ, г.Харьков; б — модель ИФ, г.Минск. На схемах
показаны: 1 — катод, 2 — анод, 3 —клапан, 4 — кожух
6 7
1
а ^ Х8 б
Рис. 3.7.13. Общая схема КСПУ: сечение плоскостью (r,z) (а), сечение плоскостью z = const
(б); 1 — анодный трансформер, 2 — анодный коллектор, 3— магнитная система анодного
трансформера, 4— катодный трансформер, 5— анодная ионизационная камера (АИК), б—
дрейфовый канал, 7— входная ионизационная камера (ВИК), 8— медные трубки катодного
трансформера, 9— игольчатые катодные эмиттеры
Остановимся теперь коротко на катодных трансформерах. Конструктивно они, так
же как и анодные трансформеры, могут быть выполнены разными способами. Однако,
пока "жизнеспособным" оказался только катодный Z-трансформер. Его внешний вид
наглядно представлен на фотографии 3.7.146. Z-трансформер набирается из медных
трубок, изогнутых так, как показано на этих рисунках. Внутри трубок протягивается
сильноточные кабели, которые запитываются от внешнего источника. Их магнитное
поле способствует формированию соплообразного канала КСПУ и тепловой защите
трубок от выпадающих из потока на катод "токонесущих" ионов. На внутренней
3.7. Численные и экспериментальные исследования
189
(по отношению к катоду) стороне трубок укреплены иглы (9), которые являются
эмиттерами электронов, поскольку они провоцируют зажигание дуговых разрядов.
Таким образом, из пришедших внутрь трансформеров ионов и электронов образуется
"обесточенная" плазма, которая через прорези в центральной трубе поступает в эту
трубу и вытекает наружу.
Рис. 3.7.14. Трансформеры КСПУ К50: а — анодный, б — катодный трансформеры
Создание КСПУ и эксперименты с ним. Наиболее совершенный КСПУ — его
трансформеры изображены на фото 3.7.14, создан совместно ИАЭ, НИИЭФА и ХФ-
ТИ (А. И. Морозов, В. И. Терещин с сотр.) [94,95]. Он имел следующие параметры.
Общая длина ~ 1,5 м, диаметр МА около 0,5 м, число АНК'ов — 10, ВИК'ов — 5.
При разрядных токах ~ 0, 5 МА (это в режиме ионного токопереноса) и напряжении
разряда rsj Ю кВ в течении ^0,2мс (это время определялось энергозапасом в пи-
питающих конденсаторах) КСПУ генерировал ионный поток с эквивалентным током
Jrh ~ ЮМА и энергией водородных ионов ~ 1 кэВ. Эта энергия соответствовала
формуле B.6.2)
В критическом сечении, как и следовало из теории, местная скорость потока v
равна альфвеновской скорости, так как тепловая добавка мала. Экспериментально
снятые распределения тока и потенциала в канале КСПУ, а также интегральные
характеристики хорошо согласуются с теорией.
В заключение отметим, что достаточно эффективен в течение короткого времени
(~0,1 мс) и упрощенный вариант КСПУ (рис. 3.7.15), когда вместо трансформера
анод набирается из стержней, а поступление токонесущих ионов в канал со стороны
анода происходит за счёт ионизации окружающего остаточного газа [96].
3.7.4. Квазистационарные компрессионные течения [97, 98]. В предыдущей
главе в п. 2.6.1 говорилось, что течения плазмы в поперечном магнитном поле бывают
двух типов: ускорительный и компрессионный. В предыдущих пунктах речь шла
об исследовании ускорительных течений. Теперь мы коротко опишем эксперименты
с компрессионными течениями.
190
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
Принципиальной особенностью этих течений является сходимость потока к оси
и образование в её окрестности "области компрессии (ОК)". Образование такой
области происходит практически во всех коаксиальных системах с собственным
магнитным полем, хотя в ускорителях параметры плазмы в ОК как правило далеки
от предельных величин, даваемых формулами B.6.10), B.6.11). Наличие таких обла-
областей, как уже отмечалось, видно "невооруженным" глазом по более яркому свечению
(рис. 3.7.6).
Для обеспечения большей компрессии централь-
центральный электрод делают с плавно уменьшающимся диа-
диаметром (рис. 3.7.3в). Степень сжатия, как видно из
B.6.10), тем больше, чем меньше показатель по-
политроны, иными словами, чем выше интенсивность
сброса энергии за счёт излучения. Поэтому особенно
сильно наблюдается компрессия при работе на тяже-
тяжелых газах. Так, при достаточно скромных разрядных
токах (~ 50 кА) на азоте получались степени сжа-
сжатия ~ 500. На водороде — соответственно меньшие
величины ~ 70 крат. К сожалению, несмотря на ряд
попыток, компрессионные течения так и не были
должным образом изучены, смоделированы и опти-
оптимизированы. Наглядное представление об их мак-
макроустойчивости даёт рис. 3.7.16, на котором пред-
представлены кадры, снятые с помощью сверхскоростной
камеры, и рис. 3.7.17, где дано распределение плот-
плотности плазмы, снятое с помощью лазерного интерфе-
интерферометра в разные моменты времени. Отметим, что при указанных выше параметрах
разряда, но при использовании дейтерия, был обнаружен выход нейтронов из области
компрессии [99].
На рисунке 3.7.18 приведён пример образования области компрессии (точнее,
области фокусировки) потока малой плотности за счёт радиальной составляющей
кинетической энергии частиц, выходящих из импульсной пушки (М. И. Пергамент,
[44]).
В настоящее время МПК используются обычно в эрозионном варианте, как
мощные источники некогерентного излучения.
Рис. 3.7.15. Схема КСПУ
П-50 (ИФ НАН Белоруси,
г.Минск В.М. Асташинский):
1 — стержни анода, 2 —
входные ионизационные
камеры (ВИК), 3 — трубки
катодного трансформера, 4 —
иглы
3.8. Динамика плазменных потоков в магнитных полях
В предыдущих разделах речь шла о плазменных потоках, "втиснутых" между
стенками того или иного канала. На практике, наряду с этим часто приходится
встречаться со "свободными", в определённом смысле слова, потоками плазмы, кото-
которые движутся в магнитных полях различной конфигурации. В этом параграфе будут
рассмотрены следующие случаи.
1. Движение оторванного от стенок потока (сгустка) в поперечном магнитном
поле и его автополяризация [101, 102].
2. Одномерная диффузия неполяризованной плазмы в поперечном неоднородном
магнитном поле.
3. Особенности входа неполяризованной плазмы в магнитное поле [103, 104].
3.8.1. Движение автополяризованного плазменного потока (сгустка) в по-
поперечном магнитном поле [101, 102]. Рассмотрим движение плазменного сгустка
в поперечном магнитном поле или оказавшегося в таком поле потока, ограниченного
3.8. Динамика плазменных потоков в магнитных полях
191
Рис. 3.7.16. Магнитоплазменный компрессор (МПК): а — схема: 1 — анод (внешний электрод),
состоящий из системы прямых стержней, 2 — катод конической формы с центральным
отверстием; б — течение в МПК, Не, щ = 1 Тор, Щ = ЗкВ; в — СФР-граммы, показывающие
эволюцию области компрессии во времени. Видна протяжённая и весьма устойчивая область
компрессии
в поперечном направлении. Если ларморовские радиусы электронов много меньше
характерных размеров сгустка Ь:
Re <С Ъ,
C.8.1)
то на первый взгляд могло бы показаться, что движение такого сгустка в магнитном
поле вообще невозможно. Однако это не так. Оказывается, если с помощью, напри-
например, пушки, помещённой в магнитное поле, создать сгусток, то он будет двигаться
и после выхода из пушки. Это связано с тем, что происходит "автополяризация"
сгустка (рис. 3.8.1), в результате чего в объёме сгустка появляется однородное
поперечное электрическое поле, называемое полем поляризации. Суть автополяри-
автополяризации состоит в том, что, попав в магнитное поле, ионы и электроны под его
действием отклоняются в разные стороны, тем самым покрывая боковые стороны
потока положительными и отрицательными зарядами. Под действием магнитного
поля и поля поляризации частицы, находящиеся в плазменном объёме, дрейфуют со
скоростью, равной начальной скорости сгустка vq,
v0 = с
[Е,Н]
Я2 '
C.8.2)
192
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
11016см-3
8 z9cm 0
б
8 z,cm
1-10
8 z, см
1,5
Рис. 3.7.17. Мгновенные распределения
плотной плазмы в области компрессии по-
потока, выходящего из МПК, ИАЭ, А. К.
Виноградова, ро = 0,25 Тор: а — t =
= 30 мкс, разрядный ток Jp = 205 кА; б —
t = 40 мкс, Jp = 160 кА; в — t = 60 мкс,
Jp = 60кА
1,0
\\\\\\\\К\\\\\\\\\\Л\\\\\1\\У\\Х
-0,2-1015
4,0 3,0 2,0 1,0
1 2 3
Рис. 3.7.18. Формирование "инерциальной" области компрессии: 1 — линии тока, 2 — линии
равной плотности, 3 — траектории ионов (ТРИНИТИ, М. И. Пергамент)
Видно, что выражение C.8.2) эквивалентно условию (при ре —> 0)
C.8.3)
Если можно считать, что вне сгустка вакуум, то тогда электрическое поле
удовлетворяет уравнению Лапласа и имеет вид, изображённый на рис. 3.8.1. Если
же вне сгустка существует редкая плазма, то картина электрического поля может
оказаться значительно сложнее.
Из только что изложенной картины движения плазменного сгустка вытекает
ряд важных следствий. Прежде всего видно, что, если каким-либо образом снять
поляризацию, то сгусток остановится. Нетрудно видеть, что снятие поляризации
будет означать протекание тока через сгусток и некую внешнюю цепь. Взаимодей-
Взаимодействие протекающего по сгустку тока с магнитным полем создает амперову силу,
тормозящую сгусток. Можно сказать, что в данном случае мы имеем модель МГД-
3.8. Динамика плазменных потоков в магнитных полях
193
Рис. 3.8.1. Автополяризация оторванного от сте-
стенок плазменного сгустка, движущегося поперёк
однородного магнитного поля
Рис. 3.8.2. Фрагмент тороидальной
магнитной конфигурации в торои-
тороидальной системе координат
генератора. Далее, на боковых сторонах сгустка там, где расположены поляриза-
поляризационные заряды, поперечное электрическое поле меньше, чем в объёме сгустка.
Поэтому боковые стороны сгустка будут двигаться медленнее, чем его середина.
В результате за сгустком будет тянуться плазменный шлейф. Одновременно в этим
будет происходить растекание плазменного сгустка, особенно зон поляризации, вдоль
магнитного поля. Эксперименты хорошо подтверждают приведённые рассуждения.
Рассмотрим несколько конкретных схем снятия поляризации.
а. Если плазменный сгусток (или ограниченный в поперечных направлениях
поток) движется в металлической трубе, то плазма, растекаясь вдоль магнитного
поля, достигает этой трубы, и через неё возникает контакт между противоположно
заряженными сторонами сгустка. В результате происходит, естественно, деполяриза-
деполяризация.
б. Деполяризация может произойти и при движении сгустка в диэлектрической
трубе существенно большего диаметра, чем сгусток Здесь, опять-таки растекаясь
вдоль силовых линий, плазма достигает трубы, и если Е-поле, обязанное поляри-
поляризации C.8.1), достаточно велико, то, благодаря "пристеночной проводимости" (см.
п. 7.3.2), вблизи диэлектрической стенки протекает ток, который и производит депо-
деполяризацию. А о том, насколько может быть велико напряжение U между боковыми
сторонами сгустка, можно судить по такому примеру. При Н = 3 • 103 Э, v = 107 см/с,
D = 5 см, имеем
UAb = D-H= 1500Б.
с
Здесь D — ширина сгустка.
в. В разделе 1.7 говорилось о тороидальном дрейфе, приводящем к поляризации,
и о способах борьбы с ней. Способность тороидальный конфигураций с вложенными
магнитными поверхностями снимать поляризацию осложняет проблему инжекции
плазмы в такие системы. Поэтому в тороидальные системы энергичную плазму
обычно создают путём нагрева в самой ловушке джоулевым теплом или с помощью
СВЧ-волн, либо путём инжекции энергичных нейтральных атомов, которые прони-
пронизывают магнитные поля, а затем ионизуются в плазменном объёме (подробнее см.
раздел 10.1).
3.8.2. Одномерная классическая диффузия плазмы в магнитном поле.
В предыдущем пункте мы видели, какую большую роль при движении плазмы в Н-
поле играет появление электрического поля в плазме. Если же Е-поле отсутствует,
7 А. И. Морозов
194 Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
т. е. условия таковы, что снимаются все поляризации, то в этом случае имеет место
сравнительно медленная диффузия плазмы поперёк магнитного поля.
Рассмотрим простейший случай, когда напряжённость магнитного поля имеет
только одну компоненту Hz, зависящую от ортогональной координаты х
Н= @,0,Я(>,?)),
Все другие величины также будем считать зависящими от х и t.
Учитывая, что диффузия — медленный процесс, в уравнении для v можно прене-
пренебречь инерциальным членом, а, в силу квазинейтральности ж-компоненты, скорости
ионов и электронов должны быть равны
vxi = vxu. C.8.4)
Тогда уравнение непрерывности, уравнение равновесия и обобщённый закон Ома,
с учётом предположения, что Е = 0, можно записать в виде
? + !¦»«. = <>; ^ = V; ^ = Ля. C.8.5)
at ох ох с а с
Отсюда находим
дх
и, следовательно
дп д { п& др
=
Если считать температуру плазмы постоянной и ввести магнитную вязкость v и па-
параметр /3,
с1 8тгр
то уравнение C.8.7) можно будет записать в виде обычного уравнения диффузии
dt дх дх
где
D = v^. C.8.86)
Полученные выражения для коэффициента диффузии плазмы в магнитном поле
содержит два характерных момента. Во-первых, сюда входит магнитная вязкость
iym, однозначно определяемая проводимостью плазмы, которая, в свою очередь, опре-
определяется частотой ион-электронных столкновений, а не частотой ион-ионных или
электрон-электронных столкновений. Это объясняется тем, что при столкновении
одинаковых частиц в однородном магнитном поле центр масс не перемещается.
Вторая особенность формулы C.8.8) в том, что коэффициент диффузии плазмы
отличается от z/m, коэффициента диффузии Н-поля в плазму, множителем /3/2, т.е.
поля диффундирует в плазму быстрее, чем плазма в поле.
Наконец ещё одно замечание. Выше не раз говорилось о тороидальных равновес-
равновесных конфигурациях магнитного поля, которые представляют собой систему вложен-
вложенных друг в друга замкнутых тороидальных поверхностей. Как правило, вдоль малого
азимута uj (рис. 3.8.2), напряжённость поля непостоянна. Поэтому интенсивность
диффузии в силу C.8.7) будет сильно зависеть от ио. В результате процесс переноса
плазмы между поверхностями будет иметь двухступенчатый характер. А именно,
там, где |Н| меньше плотность диффузионного потока, будет больше. Но наряду
с этим медленным процессом будет идти выравнивание плотности на поверхности
3.8. Динамика плазменных потоков в магнитных полях 195
за счёт быстрого перетекания плазмы вдоль силовых линий. Эта двухступенчатость
очень усложняет конкретные расчёты.
3.8.3. Вход плазменного потока в магнитное поле. Если плазменный поток
без магнитного поля встречает на своем пути магнитное поле, то могут быть два
варианта процесса. Либо поток тормозится полем, образуя слой почти неподвижной
плазмы, либо поток продавливает поле и продолжает движение, постепенно диф-
фузируя в окружающее поле. Во втором варианте картина существенно зависит от
наличия или отсутствия автополяризации.
В первом варианте давление налетающей плазмы уравновешивается магнитным
давлением
пМг&+ре = Ц. C.8.9)
Если свободный пробег частиц достаточно большой, то, по расчётам, переходный
слой плазма-поле оказывается порядка электронного ларморовского радиуса, рас-
рассчитанного по энергии налетающих ионов (обычно kTe <C Mv^/2). В переходном
слое возникает электрическое поле, и ионы тормозятся в пределах этого слоя. Теория
и эксперимент (как в лаборатории, так и в космосе при изучении границы магнито-
магнитосферы) показывают, что этот переходный слой неустойчив и быстро размывается до
толщины порядка ? ~ л/PiPe > гДе Р — ларморовский радиус.
Наличие неустойчивости переходного слоя наиболее ярко проявилось в экспери-
экспериментах К. Б. Карташёва и В. И. Пистуновича в виде всплесков СВЧ и рентгеновского
излучения при налетании плазменного сгустка на магнитное поле, причём энергия
рентгеновских квантов соответствует энергии электронов, равной энергии налетаю-
налетающих ионов [103].
Эксперименты показывают, что во многих случаях плазменный поток проникает
в плазму при отсутствии автополяризации и при
Это связано с тем, что, при контакте квазиплоского фронта плазмы с полем, на
фронте образуется заостренные выступы, которые и проникают в поле (В.Ф. Деми-
чев, В.М. Струнников [104]). А это резко ускоряет проникновение магнитного поля
в плазму, рис. 3.8.3.
Процессы входа плазмы в магнитное поле подробно изучались для плотной столк-
новительной плазмы при малых магнитных числах Рейнольдса, в связи с проблемой
МГД-генераторов и МГД-расходомеров [78,79]. Рассмотрим простейший пример.
Пусть в плоском канале (х, у) постоянного сечения магнитное поле, ориентированное
в основном вдоль оси z, нарастает от нуля до некоторого постоянного значения
Hq, и затем спадает до нуля, и в этот канал с постоянной скоростью vq входит
поток плазмы. Тогда, как показывают теория и эксперимент, на входе и выходе
из магнитного поля возникают токовые вихри, замыкающиеся вне магнитного поля
(рис. 3.8.4). Очевидно, что, как на входе, благодаря вихрям, так и на выходе, проис-
происходит торможение потока. Ток в вихре и размеры вихря определяются проводимостью
среды и параметром Холла. Если проводить расчёт с учётом эффекта Холла, то
даже в двумерном случае (х, у) решить электродинамическую задачу в сколько-
нибудь обозримых выражениях удаётся в предположении, что магнитное поле имеет
"ступенчатый" характер (Н = 0 при х<О,х>ЬиН = Но = const при L > х > 0).
Тогда при а —> оо джоулевы потери, отнесенные к 1 см длины вдоль оси z, равны
196
Гл. 3. Двухжидкостные гидродинамические модели плазмы
5.4 мкс 8,1 мкс 10,8 мкс
Рис. 3.8.3. Вход плазменной струи в поперечное магнитное поле
конечной величине, не зависящей от проводимости плазмы [79]:
Обращает на себя внимание, что Q ~ h2, а не h.
Щх)
4 f
C.8.10)
Рис. З.8.4. Зависимость напряжённости магнитного поля в каналах от продольной координаты
х (а); токовые вихри в плотном плазменном потоке при входе и выходе из магнитного
барьера (б)
Тот факт, что потери Qoo не равны нулю, свидетельствуют о неизбежности
диссипативных процессов при входе плазмы в магнитное поле, а пропорциональность
Qoo квадрату ширины пластины h2, а не первой степени, говорит об отмеченной
выше невозможности построить одномерную модель входа плазмы в магнитном поле.
Глава 4
БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ПРОЦЕССОВ В ПЛАЗМЕ. УРАВНЕНИЯ
ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА
В рассмотренных выше блочных и гидродинамических моделях плазмы никак
в явной форме не учитывалось влияние на плазмодинамические процессы особенно-
особенностей функций распределения частиц по скоростям. Вместо этого в уравнениях ди-
динамики фигурировали макрохарактеристики: плотность, скорость, давление; причём
связь давления с плотностью бралась в большей степени из соображений формальной
простоты. Для очень многих случаев такой подход себя оправдывает и, не только
качественно, даёт правильный масштаб параметров процесса.
Однако, наряду с квазигидродинамическими, существуют плазменные системы,
при описании которых надо принципиально учитывать в явной форме особенности
функций распределения либо ионов, либо электронов, либо и тех и других частиц
вместе. И связано это, в конечном счёте, с большими длинами "свободных" пробегов,
причём многие плазменные системы только при больших пробегах и могут работать.
Приведем несколько характерных примеров.
1. Примером принципиального значения ФРИ (функции распределения ионов)
может служить описанная в разделе 1.7 пробочная ловушка Будкера-Поста.
Там отмечалось, что она может держать только частицы с относительно малой,
продольной компонентой скорости. Но, благодаря столкновениям, частицы пе-
перемещаются в пространстве скоростей и раньше или позже попадают в "конус
ухода". Очевидно, для практики большое значение имеет время жизни частицы
вне этого конуса.
2. Интенсивности процессов возбуждения, ионизации и излучения сильно зависят
от вида ФРЭ. В свою очередь функции распределения тяжелых частиц по
энергетическим уровням ("заселённости уровней") определяют многие свойства
плазмы, в том числе возможность генерации когерентного (лазерного) излуче-
излучения (п. 6.11.1).
3. В объёме плазмы легко создать ФРЭ состоящих из нескольких движущихся
относительно друг друга групп электронов. Для этого, например, можно просто
инжектировать пучок электронов в "неподвижную" плазму. Это происходит ав-
автоматически в электрических разрядах, где такого рода "пучки" инжектируются
катодами. Как правило, наличие пучка приводит к раскачке ленгмюровских
и других колебаний непосредственно вблизи катода и тем самым способствует
быстрой "максвеллизации" вышедшего из катода потока.
И этот список, демонстрирующий роль ФР частиц, можно как угодно далеко
продолжить.
Однако анализ кинетики частиц не только позволяет описать указанные процес-
процессы, он позволяет также уточнить условия применимости гидродинамических моделей
и, что особенно важно, получить формулы для коэффициентов переноса, т. е. омиче-
омического сопротивления плазмы, её теплопроводности и вязкости (см.п. 5.3.4).
198 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
4.1. Исходные понятия
4.1.1. Фазовое пространство и функция распределения (ФР). Развитие
вычислительной техники, которое наблюдается сегодня, создает впечатление, что
плазменные системы будут рассчитываться в обозримом будущем практически точно,
непосредственно отталкиваясь от "первых принципов", т. е. уравнений Ньютона-
Лоренца для всех N частиц системы и уравнений Максвелла.
тт 1 дЕ 4тг / ^А
rotH--—- = — у (
с dt с \^
D.1.1)
rotE = --П™
т
( Ni Ne
-xj) I ; divH = 0.
и такого рода систему, правда, очень огрублённую, уже решают методом "крупных"
частиц. Но нас здесь будут интересовать аналитические подходы. А для этого надо
как-то упорядочить "стаю мошек" — совокупность хаотически бегающих частиц.
Эффективно это делается путём объединения частиц в слабо расползающиеся
"капли". Очевидно, такие капли должны состоять из частиц, пространственно близко
расположенных друг к другу и имеющих близкие скорости v. Тем самым в рас-
рассмотрение вводится 6-мерное, так называемое фазовое пространство (х, v) и на нём
определяется функция распределения /(?,х, v), как плотность частиц в единице
фазового объёма .
/-?.
Здесь 5Г = 5x5v = 5х5у 5z5vx5vy5vz.
Зная функцию распределения /, можно найти любые макроскопические харак-
характеристики потока. В частности, плотность частиц в данной точке координатного
пространства получается интегрированием / по скоростям:
n(x)= /dv. D.1.3а)
Аналогично плотность потока частиц
n(x)v(x) = Ivfdv. D.1.36)
Здесь v — средняя ("гидродинамическая") скорость потока.
"Кинетическая" температура, которая является мерой хаотической энергии ча-
частиц, может быть определена формулой
(v-vJ/dv, D.1.3b)
поскольку внутренняя хаотическая энергия единицы объёма в состоянии термодина-
термодинамического равновесия равна C/2)пкТ. Подчеркнём, что кинетическую температуру,
4.1. Исходные понятия
199
в отличие от термодинамической, можно ввести для любой системы, находящейся
сколь угодно далеко от равновесия.
Если совокупность частиц находится в термодинамическом равновесии, то их
функция распределения / является максвелловской:
= п
т
2ъкТ)
\3/2 Г m(v-vJ
i exp <^ -
2кТ
D.1.4)
Здесь Т — температура частиц. Очевидно, это распределение согласуется с форму-
формулами D.1.3).
4.1.2. Уравнение Лиувилля. В общем случае функция распределения частиц
/ находится как решение некоего кинетического уравнения. Это уравнение должно
описывать расползание и деформацию "капель" в фазовом пространстве. Его вывод
предельно прост. Предполагая, что частицы не рождаются, не исчезают и не "прыга-
"прыгают" (за счёт столкновений) из одной точки фазового пространства в другую, можно,
исходя из D.1.2), написать:
i i
dt
dt
Если учесть, что в любом, в том числе и в фазовом, пространстве с координатами
(^к) производная объёма 5Г равна
D.1.56)
D.1.6а)
получаем в нашем случае, когда ? = (х, v)
Здесь divx и div^ — операторы дивергенции соответственно в обычном ("конфигура-
("конфигурационном") пространстве и в пространстве скоростей, и, кроме того, считается, что
—- = v;
dt
dt
= а.
Элементарными преобразованиями приводим
D.1.6а) к виду:
D.1.7)
где учтено уравнение Ньютона
а =
М'
Как видно из приведённых выкладок, при вы-
выводе D.1.7) не сделано никаких предположений
о характере сил, действующих на частицы. Од-
Однако динамика заряженных частиц подчиняется
уравнениям Гамильтона. Но для гамильтоновских
систем имеет место теорема Лиувилля о сохране-
сохранении фазового объёма. А именно, если выделить
D.1.6
Рис. 4.1.1. Деформация капли фа-
фазового объекта со временем
200 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
в фазовом пространстве произвольную область (рис. 4.1.1), оконтуренную частицами,
то, как бы ни изменялась форма этой области со временем, её объём не изменяется
-\
dxdv = const. D.1.8)
Учитывая этот факт в уравнении D.1.5), нужно положить 5Г = 0, и тогда полу-
получается кинетическое уравнение Лиувилля
?1 = д1+Л + ^д1-0 D19)
Dt " dt +vax Mdv к }
Оно описывает динамику облака независимых частиц, движущихся в потенциальных
и электромагнитных полях.
Наглядный пример. Космонавт выходит из космического корабля, находящегося
вдали от Земли и вытряхивает пыль из коврика. Пылинки движутся без столкнове-
столкновений. Задача о движении облака пылинок ставится в этом случае так: дана функция
распределения /о в начальный момент времени
/о = /(О, х0, v0). D.1.10)
Требуется определить функцию / в любой другой момент времени.
Если корабль летел далеко от Земли и тяготение пренебрежимо мало, то частицы
будут двигаться по инерции, т. е.
х0 = х — vt; v = v0, D.1.11)
и функция распределения частиц в произвольный момент t будет
/ = /o(x-vt, v). D.1.12)
Она, очевидно, удовлетворяет уравнению D.1.9) при а = 0:
at ax
Общее решение уравнения D.1.9). Вернёмся к общему случаю квазилинейных
дифференциальных уравнений
^+a{^ + ... + an-^=g, D.1.13a)
ОХо ОХ\ ОХп
где а/с = ak(xo, x\,...,xn, /). Известно, что общее решение уравнения D.1.13а) мо-
может быть сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dxo_ = dx]_ = = dx<n = d[_
1 а\ '" ап g '
В математике их называют уравнениями характеристик. В случае уравнения Лиувил-
Лиувилля D.1.9) они имеют вид
dx dv F
—r=v', —- = —-, D.
dt dt M
т. е. являются обычными уравнениями Ньютона для движения частиц. А такие
задачи мы умеем решать (см. раздел 1.2).
В общем нестационарном случае система D.1.136) имеет шесть интегралов с ше-
шестью постоянными (^о, которые характеризуют начальное положение и скорость
частицы:
**«......&.*) = &о; *=1.....б;
6,2,3 = 2, X, у] ^4,5,6 = Vz, Vx, Vy.
4.1. Исходные понятия 201
Если /о(бсо) — значение функции распределения / при t = 0, то в любой другой
момент
f(Z,t)=fo(9(ZM ? = (&,...,&); 9 = (9i,...,9e). D.1.146)
Во многих случаях особый интерес представляют стационарные процессы, когда
параметры плазмы не зависят от t. В этом случае в качестве независимой переменной
естественно взять одну из координат, например ?i = z. Тогда, исключив t с помощью
первого уравнения D.1.136), получим пять интегралов
= 2,...,6, D.1.15а)
и, следовательно, если при z = 0 функция распределения есть /о(?аю)> то в любом
другом сечении
№) f№)). D.1.156)
4.1.3. Соотношение кинетического и гидродинамического описаний.
Внешне уравнение кинетики D.1.9) радикально отличается от системы уравнений
гидродинамики. Поэтому важно осознать их связь. Начнём с простого примера.
В ряде систем, например в ионных источниках, разброс скоростей частиц мал,
и поэтому функцию распределения / можно считать пропорциональной (^-функции 0:
/(х, Vх, t) = n(x, tM(v' - v(x, ?)). D.1.16)
В данном случае поток характеризуется четырьмя параметрами: n,vx,vy,vz, которые
являются функциями только четырёх (а не семи!) независимых переменных t,x,y,z.
Чтобы найти уравнения для этих функций, умножим D.1.9) на l,vx,vy,VQ и про-
проинтегрируем полученные выражения по скорости, учитывая D.1.16).
В результате придем к уравнениям гидродинамического типа, полагая F =
/ тр _|_ 1 г тт1 \
дп .
——Ь divnv = 0;
dl _ е ( 1 \ DЛЛ7>
dt М \ с ) '
Отсюда видно, что при условии D.1.16) кинетическое уравнение D.1.9) эквивалентно
системе D.1.3).
Рассмотрим теперь случай произвольной функции распределения /(t,x, v/)
и учтём связь / с гидродинамическими параметрами D.1.3)
Г / /ч /
n(t,x) = /(?,х, v )dv ,
J D.1.18)
nv = vf f(t,x,vf)dvf.
Кинетическое уравнение возьмём без привязки к сорту частиц и без конкретиза-
конкретизации действующей на частицы силы, считая её функцией t и х 2)
-7W + v't— H -J-—т— = 0. D.1.19)
dt <9x M dwr
1) В отличие от D.1.3), здесь скорость, входящая в /, отмечена штрихом, а гидродинами-
гидродинамическая — без штриха.
2) Скорость в F реально входит только в виде силы Лоренца, а её учёт не изменит
качественно наших выводов.
202 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
Если проинтегрировать это уравнение по v/, то получим:
Или, учитывая D.1.18) и обращение / в нуль при v —> ±00, имеем
дЛ + d±Vxn + д + ^Vzn = о, D.1.206)
dt дх ду dz
т. е. получаем обычное гидродинамическое уравнение непрерывности
с)п
—+divnv = 0. D.1.20в)
Теперь умножим уравнение на v'x и проинтегрируем по dv':
Или
о , о _ nFX0
Уравнения D.1.20) и D.1.21) — это уравнения гидродинамического типа, т.к.
входящие в них величины n, v, Pap есть функции пространственных координат
и времени (х, t). Но выписанные уравнения обладают одной "негидродинамической"
особенностью: они не образуют замкнутую систему. Действительно, изменения п во
времени определяется потоком частиц nv. В свою очередь поток частиц определяется
1-м моментом кинетического уравнения, т.е. D.1.21). Но в последнем уравнении
появляется тензор потока импульса Рар- Чтобы получить уравнения для определения
Рар, надо вычислить вторые моменты кинетического уравнения, умножая его перед
интегрированием на v'av'p. Но тогда у нас появятся дивергенция тензора 3-го порядка
Qap-y =
и т. д. Отсюда видно, что конвективный член (vdf/dx.) при вычислении n-го момента
уравнения порождает (п+ 1) момент /, и цепочка моментных уравнений оказывается
бесконечной. Таким образом, в общем случае одно кинетическое уравнение оказыва-
оказывается эквивалентно бесконечной цепочке уравнений гидродинамического типа.
Однако при тех или иных допущениях эту цепочку можно оборвать, и тогда
получается "обычная" или "почти обычная" гидродинамика. Об это конкретно будет
говориться в п. 5.3.4.
А сейчас вернемся к уравнению D.1.216) и придадим ему более привычный
вид. Для этого полную скорость частиц v, представим как сумму усредненной
("гидродинамической") скорости v и хаотической составляющей w:
Vх = v + w, v = v(x, t).
Хаотическая составляющая определяется условием
[w/dv' = 0. D.1.22а)
4.2. Уравнения Власова-Максвелла 203
Тогда
)a(v + w)dw =uaiipn + pap. D.1.226)
Подставляя эти выражения в D.1.216), получаем
М —nva + а р ) =-^+nFa. D.1.23а)
\ot охр J охр
Если учесть уравнения непрерывности
дп дпир
dt дхр
то, дифференцируя левую часть, получим:
= 0,
Отсюда следует, что в том случае, когда тензор давлений Р ар — диагональный
и изотропный ^
РаР=р5ар, D.1.23В)
мы получаем стандартное по форме уравнение Эйлера:
vP+f; ^
Однако вся бесконечная цепочка, о которой говорилось выше не исчезла, несмотря
на допущение D.1.23в). Она скрыта в величине р, которая пока никак не определена.
4.2. Уравнения Власова-Максвелла
4.2.1. Формулировка системы уравнений. Принципиальное отличие систем
заряженных частиц от системы нейтральных частиц состоит в том, что заряженные
частицы взаимодействуют друг с другом, находясь на большом расстоянии, т. е.
при отсутствии непосредственного контакта. Можно сказать, что каждая частица
взаимодействует со всей совокупностью заряженных частиц в целом, т. е. в данном
случае преобладает не парное, а коллективное взаимодействие.
Во многих случаях в редкой плазме можно в первом приближении вообще прене-
пренебречь парным столкновением и сохранить только коллективные столкновения в виде
так называемого самосогласованного поля. Фактически этот подход был использован
в разделе 1.4 при выводе закона 3/2 и в уравнениях двухжидкостной гидродинамики,
когда в уравнения Максвелла подставлялся суммарный ток частиц j = e(n^v^ — neve)
и общая плотность заряда q = е(щ — пе).
Использованная при написании двухжидкостных уравнений идея о движении ча-
частицы в поле, созданном всеми остальными частицами, легко может быть обобщена
следующим образом. Пусть имеется совокупность N сортов частиц, характеризуе-
характеризуемых функциями распределения /ь...,/дг. В таком случае плотность электрического
заряда, созданная всеми частицами всех сортов, будет равна (см. D.1.3))
а=\
204 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
Аналогично плотность электрического тока выражается формулой
/adv. D.2.16)
Подставляя эти выражения в уравнение Максвелла A.1.1), получаем уравнения
"самосогласованного поля":
= -- —; D.2.2)
с dt
N
div E = 4тг V^ fadv: rot H = 0.
Поскольку мы пренебрегаем столкновениями, а формально самосогласованное поле
ничем не отличается от внешнего поля, уравнение движения каждой частицы подчи-
подчиняется уравнению Ньютона-Лоренца:
И, следовательно, для каждого сорта частиц может быть написано уравнение Ли-
увилля
^ + v^ + — (Еа + - [v, U}) ^ = 0. D.2.3)
dt дх та \ с J dv
Совокупность уравнений D.2.2) и D.2.3) была предложена А. А. Власовым [105].
4.2.2. Является ли система уравнений Власова точной? Система уравнений
Власова, несмотря на простоту и естественность своих предпосылок в свое время
вызвала активную дискуссию по вопросу о своей точности. И эта дискуссия, приняв
характер конкретных исследований, по сути, не затухает до сих пор. А связано это
с тем, что, будучи полученным в предположении, что на частицы действует толь-
только коллективное самосогласованное поле и пренебрегается столкновениями частиц,
неожиданно оказывается, что это уравнение может описывать и абсолютно точно
динамику частиц. Действительно, пусть дана совокупность N одинаковых точечных
заряженных частиц. Введём функцию распределения
N
Ых, v, t) = Y, 5(х - x*(*))<*(v - vfe(*)). D.2.4)
(k)=\
Здесь Xfc(t), Vk(t) — координата и скорость fc-й частицы. Нетрудно убедиться, что
функция /дг(х, v, t) удовлетворяет уравнениям Власова. Поскольку fN аддитивна,
то проверить это утверждение можно на примере одной частицы. Имеем
^ - vk(t)) - vfc5(x - xk(t)N'(v - vk(t)) =
-к-
4.2. Уравнения Власова-Максвелла 205
Отсюда видна справедливость уравнения
dfN dfN F dfN =
dt дх М dv
Аналогично подтверждается и справедливость уравнений Максвелла
тт 4тг Г ? 7 1Ж 4тг^ г/ , 1 9Е
rotH = —е v/ArdvH — = — \ vfcd(x-xfc) H — и т.д.
с } с dt с ^ с dt
е v/ArdvH= \ vfcd(xxfc) H
с } с dt с ^ с dt
Итак, видно, что система уравнений Власова может точно описывать динамику N
частиц. Но в этом случае нет никаких процедур усреднения, а все сводится к точному
решению уравнений Ньютона-Лоренца для N частиц совместно с уравнениями
Максвелла.
И в то же время эта система описывает бесстолкновительную плазму, когда
частицы как бы размазываются по некоему плазменному объёму. Оказывается,
можно оценить пространственный масштаб такого размазывания для случая, когда
состояние плазмы не слишком далеко от термодинамического равновесия. Идея
сводится к оценке расстояния, на которое проникает поле данной частицы, т. е.
к определению длины экранирования поля этой частицы.
Во введении было показано, что экранирование поля каждой частицы происходит
на расстоянии порядка дебаевского радиуса, причём число частиц в дебаевской сфере
Nn равно
АТ \ъ з 4тг (кТ K/2п (кТ K/2
3 3 D7reznoN/z n[/z
Отсюда видно, что при уменьшении концентрации частиц число частиц, с которыми
взаимодействует данная частица, непрерывно растёт. Дебаевский радиус полезно
сравнить со средним расстоянием между частицами
^ D.2.6а)
Следовательно
ГВ л/Щф D.2.66)
Это отношение также растёт при убывании плотности. Взяв, например Те = 100эВ,
получаем
rD _ 2 • 104
а ~ п1/6
Полагая п = 1015см~3, находим
г° 2
4.2.3. Гибридное приближение. В общем виде система уравнений Власова-
Максвелла сложна. Поэтому, как правило, она решается при целом ряде допущений.
Особенные трудности возникают при расчётах динамики электронной компоненты
в плазменных конфигурацях, с размерами, существенно большими ларморовских
радиусов электронов. Однако существует много ситуаций, когда ионы "слабо замаг-
ничены", т. е. их ларморовский радиус
206 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
т. е. больше или соизмерим с размерами системы, тогда как электронный ларморов-
ский радиус
В этих случаях динамику ионов можно описывать кинетически, а электронов —
законом Ома. Примеры таких систем будут рассмотрены ниже (разделы 5.7 и 6.7).
Модели, в которых ионы описываются кинетически, а электроны — с помощью
гидродинамики, называют обычно гибридными.
4.3. "Статические" кинетические конфигурации
Предполагая "статичность" (точнее, стационарность, т. к. в кинетике всё движет-
движется) конфигурации, можно записать, например ионное кинетическое уравнение D.1.9)
в виде
^W iW D.3.1)
9х ' М \ vr ' с1 ' V c>v
Очевидно, система характеристических уравнений D.1.13) при (д/dt = 0) всегда
имеет интеграл энергии
Mv2
Таким образом, в этом случае
Л = Л(е,У,У2,Уз,У4). D.3.2)
Здесь Yk — остальные интегралы характеристических уравнений, для определе-
определения которых требуется конкретизация вида 0(х) и Н(х). В практически важном
случае, когда система обладает симметрией, будем считать осевой, при отсутствии
столкновений сохраняется также обобщённый момент количества движения одной
частицы A.2.2)
тг2в + -ф = D = const.
с
Тогда функция распределения будет иметь вид
/ = f(e, D, Y\, У2, У3)- D.3.3)
Интегралы Yk определяются всем видом магнитного и электрического полей
и соответствуют очень запутанным траекториям. Однако если частицы замагниче-
ны, то есть р <С L, то, наряду с точными интегралами г и D, существуют ещё
адиабатические инварианты, о которых речь шла в п. 1.2.5, которые сохраняются
очень долго, и поэтому усреднить / только из критерия "запутанности" траектории,
как правило, нельзя. Однако при наличии шумов и столкновений, разрушающих
адиабатический инвариант, останутся в D.3.3) только два "локальных" интеграла,
и функция распределения будет иметь вид:
f = f(e,D). D.3.4)
Ниже мы используем этот результат.
4.3.1. Одномерные статические кинетические конфигурации [107, 108].
Теория предельно упрощается, если речь идёт о плоских одномерных конфигурациях,
зависящих от одной декартовой координаты х, в которых магнитное поле имеет
только компоненты (Ну, Hz) и не имеет компоненты Нх.
4.3. "Статические" кинетические конфигурации 207
В этом случае система уравнений характеристик D.1.13) имеет вид
D.3.5а)
dx dvx dvy dvz
~ = =
л/г i TT + -(vyHz-vzHy)
М \ дх с у у
Если ввести вектор-потенциал с компонентами Ау(х), Az(x), так что
^ . тт у
Тогда система D.3.5а) полностью интегрируется
Mv2 e e
е = — Ь еф; Mvy + -Ау = D2; Mvz + -Az = D\. D.3.56)
z с с
В результате функция распределения ионов в данном случае имеет вид
e e
^ + еф, Mvy + -Ay, Mvz + -.
= Fl(el,Dx,D2) = Fl[ -^+еф, Mvy + -Ay, Mvz + -Az) D.3.6а)
и определена с точностью до вида функции F(e,P\, P2).
Аналогичный результат можно получить и для электронов:
/О \
/ ТЛИ Р Р \
fe = Fe(ee, DuP2) = Fel — - еф, mvy - -Ау, mvz - -Az J . D.3.66)
Вид функций Fife(e, P\, P2) должен либо задаваться априори, либо находиться из
каких-либо добавочных соображений.
Если Fi, Fe известны, то, используя уравнение Максвелла, можно найти про-
пространственные распределения ф(х), Ау(х), Az(x).
Подставляя в уравнения Максвелла функции D.3.6а), получаем
d2Av
dx2
= -Ане и
Jy
Mv . _ _ е . _ _ е . .
~y~ + еф, Mvy + -Ау, Mvz + -AZ) -
mv1 e e \\
—Fe —- еф, mvy Ay, mvz Az dv;
V 2 с с J\
d2Az л Г Г^ (Mv2 ± п/г е . п/г е . \
= -A7re\vz ^1-—+еф9Муу + -Ау9Муг + -Аг\ -
dx j L V с с J
_ (mv1 , е е \1
/-/ ( Р/7) ТИП /л ТИП /л I П\Г'
^Ч 2 e(p,mvy ^s±y,mvz ^i av,
Г Г (Mv2 е е \
= -4тге ^ [ —г Ь е0, Mv^ + -Ay, Mvz + -Аг -
~ГТ — -I/it bt г —о
9 \ "I
I/V в в \
е0, mvy Ay, mvz Az dv;
2 с с ;j
Таким образом, задача при известных Fi, Fe сводится к системе трех обыкновенных
дифференциальных уравнений: для трех неизвестных Ау, Az, ф:
208 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
Учитывая закон сохранения импульса, нетрудно убедиться, что система D.3.8) имеет
первый интеграл:
— = Mniv\ + mnev\. D.3.86)
О7Г
Если в рассматриваемой области плазму можно считать квазинейтральной, то, пола-
полагая щ = пе, имеем связь ф с Ау и Az:
D.3.9)
Найдя связь
<l> = Q{Ay,Az), D.3.10)
получаем возможность свести систему трёх уравнений D.3.8) к системе двух урав-
уравнений для Ау и Az.
Полученные системы уравнений (А. И. Морозов, Л. С. Соловьёв [108]) позволяют
рассчитать целый ряд интересных одномерных структур. К ним относятся переход-
переходные слои плазма-поле в ловушках, прианодные слои в сильноточных плазменных
ускорителях со сплошными электродами (так называемая "магнитная изоляция"
высоковольтных вакуумных токоподводов), дебаевский слой и многое другое. Неко-
Некоторые из этих структур будут рассмотрены ниже.
4.3.2. Обратная задача Бернштейна-Грина-Крускала [107]. При отсут-
отсутствии магнитного поля и известных Fi(ei) и Fe(se) уравнение D.3.8)
-ф = -4тге (Fi(ei)+Fe(ee))dv = 4тгУ@) D.3.11а)
позволяет рассчитать распределение потенциала ф(х), т.е. найти ^-структуру. Этому
способствует и наличие первого интеграла — закона сохранения импульса D.3.86)
Mv2Fi(?i) + mv2Fe(se))dv=\Y(<t>)d(f> +const = Q(<t>). D.3.116)
Отсюда следует квадратура
К сожалению, вид Fi и Fe как правило сложен 0, и доведение решения системы
D.3.11а) требует численного счёта.
Определение ф(х) при известных Fiisi) и Fe(se) естественно назвать "прямой"
задачей расчёта ^-структур. Однако уравнение D.3.11а) позволяет решить и "об-
"обратную" задачу, т. е. при заданном распределении потенциала ф(х) найти функции
распределения частиц, обеспечивающие равновесность ^-системы. Впервые это сде-
сделали Бернштейн, Грин, Крускал A957). Суть их результата состоит в следующем.
Пусть в неком одномерном объёме находится несколько групп электронов и ионов
с известными функциями распределения F^ и Fqg, при которых плазма в объёме не
находится в равновесии. Тогда, как показали упомянутые авторы, к данной совокуп-
совокупности частиц можно добавить группу электронов или ионов, запертых в потенциаль-
потенциальной яме заданного профиля, которая и обеспечит стационарность всей системы. При
1) Например, в случае распределения Максвелла.
4.3. "Статические" кинетические конфигурации
209
этом функция распределения (ФР) "стабилизирующих" частиц может быть найдена
как решение интегрального уравнения Абеля.
Воспроизведем схему решения обратной задачи. Для того, чтобы не усложнять
анализ формальными моментами, будем считать, что зависимость ф(х) — перио-
периодическая, и в пределах периода имеется один максимум, т. е. профиль напоминает
синусоиду (рис. 4.3.1а). Траектории ионов и электронов на фазовой плоскости (х, v)
весьма различны (рис. 4.3.16,в). Здесь мы видим траектории "пролётных" частиц,
которые "слабо" чувствуют электрическое поле и "запертых" частиц, имеющих за-
замкнутые траектории внутри соответствующих потенциальных ям.
I 1 I
Рис. 4.3.1. К расчёту прямой задачи БГК: а — профиль потенциала; б — фазовые траектории
электронов, в — то же для ионов
Пусть у нас заданные, например ФР всех ионов (Fi) и ФР только пролётных
электронов (Fe ), а также задан потенциальный рельеф ф(х). Требуется подобрать
ФР запертых электронов (FeU), при которой будет существовать стационарная Е-
конфигурация, т.е. будет справедливо уравнение D.3.11а).
Учитывая одномерность конфигурации, можно выразить вторую производную
d2ф(x)/dx2 через ф:
<^ = МФ).
а поскольку плотность всех ионов щ и плотность пролётных электронов пе также
зависят только от ф, то из D.3.11а) получаем уравнение для ФР запертых электронов
п(зап) =
D.3.12)
Полученное интегральное уравнение для FJ3an^ при известной функции 3(ф)
легко сводится к уравнению Абеля. Действительно, взяв в качестве независимой
210 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
переменной вместо скорости v энергию частиц,
mv2
е= — -еф,
которая изменяется в пределах 0 < г < ?тах = — ефт[п (здесь принят за нуль ф
максимум потенциала), можем написать D.3.12) в виде
,«.13,
^/2m(e + еф)
— сер
В D.3.13) учтено, что
ае ае
mv y/2m(e + еф)
а коэффициент 2 появился из учёта частиц, имеющих скорость как v > О, так и v <
< 0. Наконец, через фт обозначено минимальное значение потенциала.
Уравнение D.3.13) является искомым интегральным уравнением.
Для большей наглядности, введём переменную \ = —еф- Тогда D.3.13) запишется
в каноническом виде
Г F0(e)de
X
Решения этого уравнения имеет вид
D.3.14)
D.3.15)
Стоящее справа выражение содержит интегрируемую сингулярность, и это явно
наводит на мысль, что Fq(s) не будет линейно зависеть от фт — амплитуды воз-
возмущающего потенциала, если \фт\ —> 0. И действительно, анализ показывает, что
в случае, когда путём подбора ф(х) и /о(^) можно избежать в Fq(s) сингулярности,
то функция распределения запертых частиц при малых фм имеет вид:
F0(?,<I>m) = Ах{г){-ефм - вI/2 + А2(г)(-ефм - efl2 + ... D.3.16)
Таким образом, разложение идёт по полуцелым степеням. Отсюда следуют два
важных вывода:
- не существует линейных стационарных волн в электронное плазме, без захва-
захваченных частиц;
- захваченные частицы позволяют построить равновесную конфигурацию из
"неравновесных" ФР 0.
Эти выводы мы сейчас подтвердим прямым расчётом линейных волн в модели
Власова. Принципиальные особенности нестационарности линейных волн были вы-
выявлены А. А. Власовым, Л. Д. Ландау, Ван Кампеном.
Причина отсутствия стационарных линейных ?^-волн объясняет рис. 4.3.1.
А именно.
Если Е-поле отсутствует, то фазовые траектории имеют вид прямых, идущих
параллельно оси х. Над этой осью траектории идут направо, а под осью — налево.
Появление сколь угодно малого ?^-поля радикально изменяет топологию фазовых
1) Разумеется, вопрос об устойчивости найденной конфигурации остается открытым.
4.3. "Статические" кинетические конфигурации
211
траекторий частиц вблизи оси х: возникает цепочка "бусинок". При этом ограничи-
ограничивающая их сепаратриса определяется уравнением
mv2
— еф = -ефтгп
Таким образом квадрат возмущения скорости, а не просто возмущение скорости,
оказывается пропорциональным возмущению ф.
4.3.3. "Одноларморовские" структуры. В качестве примера применения урав-
уравнения D.3.7) при Н^О, рассмотрим следующую задачу (рис. 4.3.2).
Будем считать, что при х —> —оо магнитное поле
Н —> Hq, потенциал Ф —> Фо, тогда как при х —> оо
соответственно Я —> Н\, Ф —> Ф\. Переход между ука-
указанными значениями параметров происходит в пределах
узкого слоя (—d < х < 0) толщиной порядка электрон-
электронного ларморовского диаметра. Электронную компоненту,
которую мы считаем холодной и неподвижной при х > 0,
х < —d, пронизывает поток ионов, причём в области х <
< —d считаем скорость ионов очень малой, так что их
импульсом можно пренебречь. Наоборот, в области х >
> 0 ионы несут существенный импульс, определяемый
условием D.3.86)
Я0,Ф0
-d
J
ДА
0
X
(Щ -
8тг
= Мщу2.
D.3.17)
Н® >Е
Рис. 4.3.2. Схема ускоряю-
ускоряющего слоя
Мы здесь пренебрегли слагаемыми Е , поскольку плаз-
плазма предполагается квазинейтральной, а в этом случае величина Е2/5Н2 <С 1. Не
уменьшая общности, можно принять, что
Ф@)=0; А@)=0,
D.3.18)
и пренебречь действием магнитного поля на ионы, т.е. вместо D.3.6а) взять ра-
равенство vy = const. При сделанных предположениях функции распределения ионов
и электронов записываются в виде:
2-(Ф-Ф0;
= NeSlvz - 2-Ф) Slvv AM(vz).
х т I \ тс '
D.3.19а)
D.3.196)
Здесь Ni и Ne — постоянные, имеющие размерность потока и определяемые из
начальных или граничных условий. Выражение для fi учитывает старт ионов при
потенциале Фо и отсутствии действия на них магнитного поля. Выбор функции рас-
распределения для электронов определяется специальным допущением, что в слое, т. е.
в области скачка потенциала, все электроны двигаются по циклоидам (рис. 4.3.3а),
а при х = 0, где Ф = 0 и А = 0, электроны останавливаются. Разумеется, это один
из возможных вариантов движения электронов в слое (см. рис. 4.3.36,в). Подставляя
выражения D.3.19) в D.3.7), переходим к следующим уравнениям для электрическо-
электрического и магнитного потенциалов:
N,
2е(Ф0 - Ф)
М
2еФ
т
eAY
тс)
212
Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
-d
У
а б в
Рис. 4.3.3. Возможные типы движения электронов в "одноларморовских" слоях: а — трахоида,
б — циклоида, в — гипоциклоида
4тге еА
N,
с тс /2еФ (еА\2
т
тс)
Вводя новые переменные:
2 — Ф = 5;
т
е
тс
тс2
получаем
SS
2v
= —с
m
(So - S) л/^^ '
M
d2a
av
D.3.20a)
D.3.206)
Если плазма нерелятивистская и достаточно плотная, то её можно считать квазиней-
квазинейтральной, т.е. можно приравнять нулю правую часть D.3.20). Отсюда
После очевидных преобразований находим:
а
т
-1
D.3.21)
Обращает на себя внимание тот факт, что уравнение D.3.21) не удовлетворяет
условию D.3.18). Из D.3.21) следует, что при а = 0 величина S ~ Ф равна не нулю,
т
1
-1
4.3. "Статические" кинетические конфигурации
213
Очевидно, это неувязка объясняется тем, что в непосредственной окрестности х = О
нарушается квазинейтральность и существует, хотя и малый, но конечный скачок
потенциала. В то же время на левой границе слоя при х = —d, где
S = S0; S = а2,
D.3.22)
выражение D.3.21) при подстановке D.3.22) даёт правильное значение нормирован-
нормированного потенциала S = So-
Подставляя D.3.21) в D.3.206), получаем уравнение, определяющее структуру
слоя:
dt*
Л
м
т
(So ~ а2
Отсюда, интегрируя, находим
I) =-J(^+4-2)(So-a2)+const.
D.3.23)
Учитывая D.3.22) и считая поле Щ при х = — d заданным, определяем постоянную
интегрирования:
/da
const = | -
hn =
1т
Интеграл D.3.23) тождествен D.3.17). Написав его для точки х = 0, получаем
D.3.24)
D.3.25)
D.3.26)
Из формулы D.3.19) следует, что поток ионов равен
vxfidv = -Ni.
о
Сопоставляя D.3.23) и D.6.16), приходим к выводу, что член
. о т
и должен быть отброшен, поскольку должен выполняться закон сохранения импуль-
импульса:
Н2 - Н2
8^
х>0
Иными словами, величина Аь>2т/М — порядка тех членов, которые ответственны за
нарушение квазинейтральности и которыми следует пренебречь.
Учитывая D.3.25), уравнение D.3.23) можно записать в виде
da
M(S0 - a2)
m
D.3.27)
214 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
В общем случае решение этого уравнения выражается через эллиптические ин-
интегралы. Однако в двух предельных режимах, когда
или
т " \j m
вычисления элементарны. Нетрудно убедиться, что первый случай соответствует
такому слою, который полностью "съедает магнитное поле", т. е. обращает Н\ в нуль,
тогда как второй описывает режим, когда, наоборот, магнитное поле мало возмуща-
возмущается слоем. В последнем случае а « /iq?, и, следовательно, толщина ускоряющего
слоя ,
ТП С / Р
d~^T\ /2-фо. D.3.28)
При выводе D.3.28) мы учли D.3.22). Как и следовало ожидать, для d получили
выражение, равное электронному ларморовскому радиусу, рассчитанному по скачку
потенциала.
4.4. Кинетика волн в плазме при Но = 0 [105, 110]
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением кинетики волн только в однород-
однородной плазме при Но = 0. Естественно, что это связано с громоздкостью теории при
Но т^ О- С ней можно ознакомиться в [113].
4.4.1. Исходные уравнения. Нестационарные ленгмюровские волны. Элек-
Электронные продольные линейные волны уже рассматривались выше в рамках гидро-
гидродинамической модели. Анализ стационарных волн малой амплитуды, выполненный
в предыдущем пункте, указывает, что в кинетике мы должны столкнуться с пробле-
проблемой захваченных частиц. Так оно и есть.
Исходными для описания линейных одномерных продольных волн в бесстолк-
новительной кинетике при отсутствии внешнего магнитного поля в однородной
электронной плазме является система уравнений (заряд электрона - е)
dt dx m dx dv
f dv
Здесь по — концентрация ионов, которые мы считаем неподвижными. Полагая
в невозмущённом состоянии
а при наличии возмущений
Подставляя эти величины в D.4.1) и отбрасывая величины второго порядка
малости (ф\, /i ~ 0), приходим к линейной системе
dt ' " dx ' m dx dv "v> J-9 " — i^— <4-4-2)
Попробуем искать решение D.4.2) в виде экспоненты
/i = /1 (^) ехр{—io;t + гк • х)\ ф\ = фх ехр{—iuot + гх • ж}.
4.4. Кинетика волн в плазме при Но = О
215
В результате получим
е -1
l
= к—ф\^—; х фх = —4тге /idiJ.
Отсюда следует
е <9/0- 1
г—я~Ф\
т ov оо — xv
; 0i=0i
dfo dv
dv uo — kv
D.4.3)
D.4.4)
Сократив ф\ в последнем уравнении, получаем, казалось бы, простое дисперсион-
дисперсионное уравнение (Власов, 1938 г)
, ч Л Ане2 Г dfo dv Л /Л л ^ч
( ) \-^7 г = 0. D.4.5)
J ov (ел XV)
тя
7
(ел — XV)
Однако, предполагая, что х w oj — вещественны, имеем особенность под интегра-
интегралом при "кинематическом резонансе"
= — =V,
К
D.4.6)
т.е., когда фазовая скорость волны равна скорости частиц 0.
Встает вопрос: как обойти эту сингулярность? Физически ясно, что при условии
D.4.6) имеет место сильное взаимодействие между "резонансными" частицами и вол-
волной. Но взаимодействуют с волной не только строго резонансные частицы. Сильное
взаимодействие наблюдается и вблизи резонансного условия. Так если
т I
ефт\ >
х)
то частица может оказаться захваченной в потенциальную яму. При этом, если
её скорость v < и/х, то она будет ускоряться (рис. 4.4.1а), а при v > ио/к —
тормозиться (рис.4.4.16). Т.е. в первом случае волна передает свою энергию частице,
а во втором — частица волне.
а
Рис. 4.4.1. Динамика электрона в поле бегущей электростатической волны: фазовая скорость
волны больше начальной скорости частицы (а); фазовая скорость волны меньше начальной
скорости частицы (б)
Итак, особенность процессов в окрестности кинематического резонанса достаточ-
достаточно ясна. Однако, исходя из этого, пока непонятно, как все-таки обращаться с подин-
*) Условие D.4.6), очевидно, аналогично условию Маха B.2.22). В настоящее время не
существует устоявшегося термина для этого резонанса. Его часто называют "резонансом
Черенкова", часто — "резонансом Ландау" и др. Исторически правильнее его было бы называть
"резонансом Маха" или, что отвечает сути дела, "кинематическим резонансом". Этим термином
мы ниже и будем в основном пользоваться.
216 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
тегральной сингулярностью. Но ситуация становится более ясной, если учесть, что
система D.4.3), кроме D.4.5), имеет ещё одно решение
f2 = f25(uj — kv), ф2 = 0. D.4.7)
5-образная функция f2 описывает, очевидно, строго резонансные частицы, дви-
движущиеся с фазовой скоростью волны. Это, так сказать, "истинно" захваченные
частицы. Впервые на них обратил внимание голландский математик Ван Кампен
[111], который доказал, что волны f\ и f2 образуют полную систему собственных
волн в одномерной кинетике. При этом f\ вычисляется в смысле главного значения.
Поэтому "волны" /2, то-есть потоки частиц с v = ио / к часто называют "волнами Ван
Кампена". Их также называют "баллистическими модами" или "квазиволнами".
4.4.2. Преобразование Лапласа. Очевидно, все сказанное пока не даёт нам
правила учёта сингулярности в D.4.5). Среди возможных подходов, наибольший
интерес представляет решение задачи с начальными условиями. Эту задачу можно
решить, применив разложение Фурье для зависимости ф и / от пространственной
координаты х:
j * D.4.8а)
f(x,v,t)= \(
а для фус{€) и fn(v,t), вместо преобразования Фурье использовать преобразование
Лапласа (Л. Д. Ландау, 1946) [ПО]
оо оо
г г
fp(v)= exp{— pt\fn(v, t)dt; фр = ещу^—р^фЛ^йЬ. D.4.86)
J J
о о
Здесь р = а + is, причём вещественная часть Rep = а > 0. Начальное возмущение —
"источник", обозначим через g(vM(t).
Умножая Фурье-компоненту (по к) уравнения D.4.2) на ехр{— pi} и интегрируя
по t, получаем
U = W^ + K -^Фр- D-4-9)
гр — kv гр — kv m ov
Здесь g(v) определяется начальным значением dfo/dt. Как мы видим, это выражение
отличается от D.4.4) добавлением слагаемого с д и заменой и на гр. Подстановка
D.4.9) во второе уравнение D.4.4) и учёт выражения D.4.5) для е позволяет найти
Фр = -^
По известному фр нетрудно найти
1 Г
exp(pt)(/)pdp. D.4.106)
)
Теперь вместо р удобно перейти к переменной ио = ip, а так как по переменной р
интегрирование проводится в правой полуплоскости, интегрирование по комплексной
переменной и следует проводить в верхней полуплоскости. Поэтому, когда вычис-
вычисляется б и другие интегралы с кинематическим резонансом D.4.6), величина и
g{v)dv g=1 + Wr^ dv
1г(к, ip) J ip — kv' тк J dv (ip — kv
4.4. Кинетика волн в плазме при Но = 0 217
считается имеющей положительную мнимую часть, а интегрирование по v идёт по
вещественной оси (рис. 4.4.3а). Итак
— oo-\-ia
Аналогично находится и f^(v,t).
+гоо+сг
^ ( 9(v) Н Фр^л~ ) du. D.4.116)
(J — IXV у 771 <7t> у
— ioo+(j
Выражения D.4.11) полностью решают задачу об эволюции колебаний плазмы,
вызванных начальным возмущением g(v). Из него видно, что, вообще говоря, не
существует определённой зависимости и от х: при заданном х интегрирование
в D.4.11) производится по всем и. Однако, если g(v) не имеет особенностей, то,
в соответствии с теорией вычетов функций комплексного переменного, значения
интеграла D.4.11) будут определяться нулями е(х,и;).
г(х,иик) = 0. D.4.12а)
Таким образом, из решения D.4.11) выделяются ветви плазменных колебаний с соб-
собственными частотами ик, и, следовательно,
ф(Ь) ~exp{-iukt}. D.4.126)
Частный случай: максвелловское распределение fo(v). Если электроны имеют
максвелловское распределение с температурой Т, то диэлектрическая проницаемость,
даваемая выражением D.4.5), может быть вычислена точно и представлена в виде
[12] ^?2
ГП''' D.4.13)
где сс;ре - ленгмюровская частота, z = ui/kvre, ^Te = л/2Т/те — средняя тепловая
скорость, а функция
z
W(z) = exp{-z2} + 4^ f exp{-^2 +?2}d?. D.4.14a)
V ^ J
о
При больших и малых z функция w(z) аппроксимируется простыми выражениями
w(z) = -^- A + ^ + ^ + ---) + ехр{-/}; D.4.146)
\z\^\
w(z) = 1 + -^. D.4.14в)
Приравнивая D.4.13) нулю, можно найти действительную и мнимую части ком-
комплексной частоты. При малых к <С 1/го, где го — дебаевский радиус, величина
218
Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
z > 1, и после несложных выкладок находим, что выражение для действительной
части частоты имеет вид
D.4.15а)
о о Огъ-L о
UJ = Шпез -\ К ,
т
и мнимая её часть (т. е. декремент затухания 7) равна
ехр \ - 2 I.
D.4.156)
Как мы видим, при малых кгв декремент затухания экспоненциально мал.
Формула D.4.15а) отличается от формулы C.5.76) коэффициентом 3 перед вто-
вторым членом. Это связано с тем, что здесь рассматривалась одномерная задача, т.е.
с одной степенью свободы, когда показатель адиабаты ja = 3.
W A
G)
=\©г
а б
Рис. 4.4.2. Контуры интегрирования при вычислении интегралов с резонансным знаменателем:
а — общий случай, б — случай слабого затухания (нарастания) колебаний
Общий случай /о при малом декременте затухания \j/uj\ <C 1. Рассмотрим
теперь случай ФРЭ произвольного вида /о, но при малой величине 7- Частоту uj
следует считать находящейся в верхней полуплоскости, но близкой к действительной
оси, поэтому обходить особенность можно так, как показано на рис. 4.4.26. То
есть путь интегрирования можно взять в виде двух отрезков оси v, соединённых
полуокружностью в нижней полуплоскости с радиусом р —> 0 и обходящей особую
точку v* = и/х. Интегрирование вдоль отрезков определяет главное значение Р
соответствующего интеграла 0. Данное правило обхода полюса принято называть
правилом Ландау. С его учётом диэлектрическая проницаемость D.4.5) оказывается
комплексной:
4тге2 Г dv dfo 4тге2 гтг dfo
¦f-
J и-
Считая v*
+ ОО
можно написать
+ ОО
р
dfo dv
dv uj — kv uj
+
kv dv
KV
KVfle
K\
dv
D.4.16)
dfo
dv
к
D.4.17a)
Подставляя 4.4.17a и uj =
+ г7 в 4.4.16, получаем явное выражение для 7-
7 =
1 mo dv
D.4.176)
l) Ленгмюровские колебания при учёте только главного значения интеграла рассматри-
рассматривались А. А. Власовым [105]. Они соответствуют стационарным волнам с захваченными
частицами.
4.4. Кинетика волн в плазме при Но = О
219
При очень больших t определённый вклад в интеграл D.4.116) вносит также
полюс uo—KV = 0, соответствующий свободному разлету частиц от начального воз-
возмущения, т. е. "волнам Ван Кампена" Эту группу частиц описывает первый член
в интеграле D.4.116). Так что зависимость потенциала ф от времени может быть
сложной.
4.4.3. Затухание и раскачка ленгмюровских волн. Поведение волн во вре-
времени определяется знаком мнимой добавки 7 к частоте ио = uoq + ij. Как видно
из D.4.176), знак 7 совпадает со знаком производной невозмущённой функции
распределения
sign7 = sign^ . D.4.18)
dv v=u;0/x
Поэтому, если fo(v) — максвелловская или
любая другая монотонно убывающая функция,
то в такой электронной компоненте ленгмюров-
ская волна будет затухать. Но если функция
распределения немонотонная (рис. 4.4.3), т.е.
имеются диапазоны скоростей, где dfo/dv > О,
то здесь, наоборот, ^ > 0, т.е. амплитуда вол-
волны будет нарастать. Ранее в главе 3, в рамках
двухжидкостной модели рассматривалась пуч-
пучковая неустойчивость. Очевидно, электронная
компонента плазмы плюс электронный пучок
можно рассматривать как единую компоненту
с немонотонной ФР. Таким образом, здесь ки-
кинетическая и гидродинамическая модели хоро-
хорошо согласуются друг с другом.
Из формулы D.4.16) следует также, что волна резонансным образом не затухает
и не раскачивается, если dfo/dv = 0 при v ~ ио/к. Отмеченная связь 7 и dfo/dv име-
имеет наглядное истолкование в свете того, что было изображено на рис. 4.3.1 и 4.4.1.
Очевидно, бегущая электростатическая волна будет взаимодействовать с электро-
электронами плазмы. Динамика частиц при достаточно малом 7> т-е- в квазистационарной
волне в системе координат, связанных с волной, наглядно описывается фазовой
диаграммой, изображённой на рис. 4.4.1. Если скорость частицы v строго равна ио/к,
то она остаётся неподвижной в центре "раковин". Если скорость частицы меньше
резонансной, то она начнёт разгоняться волной, а если больше, то тормозиться.
В свою очередь, ускорение или торможение должно сопровождаться отбором энергии
от волны или, наоборот, передачей энергии волне. В первом случае волна будет
затухать, а во втором — нарастать.
В плазме много частиц, которые двигаются в отсутствие волны, как медленнее
фазовой скорости, так и быстрее её. Поэтому на начальной стадии (т. е. за время,
меньшее времени обегания изображающей точкой ("частицей") фазовой траектории)
волна будет усиливаться или ослабляться в зависимости от того, каких частиц
больше: v > ио/я или v > ио/я. А это различие в количествах частиц и определяется
dfo
Рис. 4.4.3. Пример неустойчивой од-
одномерной функции распределения. За-
Заштрихована область скоростей, раска-
раскачивающих ленгмюровские колебания
знаком
dv
Заключительная стадия эволюции волны. Но что происходит дальше? Здесь
могут реализовываться три ситуации, учитывая, что линейные волны в конце долж-
должны либо затухнуть, либо выйти на некий стационар с фазовой диаграммой типа
изображённой на рис. 4.3.1.
220
Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
а. 7 < 0' Ы > l/Tl/2l' где т\/2 - полупериод обхода по фазовой траектории.
Иными словами, волна затухает достаточно быстро. В этом случае возмуще-
возмущение остается линейным, а электрическое поле быстро затухает (кривая 1 на
рис. 4.4.4а).
а О 20 40 60 80 ж,см б II
Рис. 4.4.4. Эволюция ленгмюровских колебаний в максвелловской плазме: а — зависимость
амплитуды колебаний от расстояния между зондом-излучателем и зондом-приёмником при
изменении амплитуды возмущения, т.е. потенциала зонда V: V = 0,96В A); V = 2,85В B);
V = 9 В C); б — конечная стадия изменения функции распределения — образование плато
б. j < 0, \j\ < 1/t"i/2I • В этом случае, спустя время t ~ т\/2, частицы на
фазовой траектории совершат половину обхода, и теперь взаимодействие частиц
с волной изменяет свой знак. Те частицы, которые отбирали энергию от волны,
теперь передают ей свою энергию, и наоборот. Затухание волны — если было
dfo/dv < 0 — останавливается, и амплитуда начинает расти. Складывающаяся
ситуация уже не описывается линейной теорией, волна выходит на некий
стационарный уровень, что хорошо подтверждает эксперимент. А на исходной
ФР образуется "плато" (см. кривые 2 и 3 на рис. 4.4.4а). Здесь формируются
те структуры с захваченными частицами, о которых говорилось в предыдущем
параграфе.
в. Наконец, если dfo/dv > 0, то волны захватывают весь интервал скоростей v\ <
< uj/'к < V2, амплитуда нарастает и раньше или позже выходит на нелинейный
стационарный уровень.
В связи с рассмотрением резонансного затухания волн, которое часто называют
"затуханием Ландау", следует сделать одно замечание. Это "затухание" в отчётливой
форме проявляется только при достаточно больших 7- Но быстро затухает только
электрическое поле, тогда как динамика частиц "помнит" о волне фактически время
те, т.е. время свободного пробега электронов до кулоновского столкновения. Об
этом говорит не только формула D.4.116), но и прямые эксперименты, в которых
наблюдались захваченные частицы. Особенно наглядно это выступает в описанном
ниже просветлении волновых барьеров, предсказанном В. Н. Ораевским. Другим
подтверждением наличия памяти является эффект "плазменного эхо" [112].
4.4.4. Экспериментальные исследования резонансных затуханий.
Исследования затухания электрического поля [111]. В этих экспериментах
было измерено пространственное затухание продольной электронной волны вида
ехр{—iuot + ikrx — kix}, возбуждаемой с помощью высокочастотных колебаний, пода-
подаваемых на ленгмюровский зонд. Плазма с плотностью 108-109см~3 и температурой
от 5 до 20 эВ создавалась с помощью плазмотрона. Для регистрации колебаний слу-
служил второй ленгмюровский зонд, находившийся на разных расстояниях от первого
зонда. Было показано, что затухание действительно имеет место, причём экспери-
4.4. Кинетика волн в плазме при Но = О
221
ментальные точки хорошо ложатся на теоретические кривые, если 7 велико. Если
же 7 мало, то волна выходит на стационарный уровень.
Чтобы проверить, действительно ли это затухание связано с резонансными элек-
электронами, в эксперименте изменяли потенциал вспомогательного электрода и тем
самым "обрезали хвост" максвелловского распределения, т. е. устраняли наиболее
быстрые электроны. Как только граница обрезания доходила до некоторого опреде-
определенного значения г;*, наблюдалось резкое изменение затухания. Величина v* оказа-
оказалась близкой к фазовой скорости волны г?ф = ш/k, что убедительно свидетельствует
0 затухании волны на резонансных электронах.
Обнаружение захваченных частиц. Выше мы говорили о роли захваченных
частиц в эволюции ленгмюровских колебаний, в особенности если эти колебания
родились без захваченных частиц. Красивый метод обнаружения этих частиц был
предложен В. Н. Орловским [112]. Суть его сводится к следующему. В достаточно
длинной трубе создается плазма переменной плотности (рис. 4.4.5). Затем в зоне
1 начинается генерация ленгмюровских волн с частотой и > ojqi, бегущих к зоне
с повышенной плотностью, причём ujqjj > и. Расстояние между источником коле-
колебаний — зондом, подключенным к СВЧ-генератору и барьером, а также амплитуда
колебаний выбираются такими, чтобы хорошо оформилась структура совокупности
захваченных частиц. Тогда в зоне III, где ио^ц = с^о/, зонд начинает регистрировать
колебания с частотой ио. Очевидно, в отличие от гармонической волны, которая не
может преодолеть барьер, "волны Ван Кампена" преодолевают барьер и раскачивают
ленгмюровские колебания в зоне III.
II
III
Рис. 4.4.5. Схема экспериментов В. Н. Ораевского по изучению эффекта просветления барьера
для ленгмюровских волн; а — схема эксперимента: Г — генератор колебаний, 1, 2, 3 —
ленгмюровские зонды, I, II, III — плазменные объёмы; б — распределение концентрации
электронов плазмы вдоль оси z
"Плазменное эхо". Об обратимости затухания волн. Может показаться, что
затухание волн — необратимый процесс, но это не так. Уравнения Власова обратимы
во времени. Об этом говорит, в частности, эффект "плазменного эха". Суть его свя-
связана с тем, что эффективное затухание Е-поля обязано разбросу скоростей частиц,
близких к резонансным, и поэтому с удалением от источника волновая структура
размывается из-за этого разброса. Тем не менее частицы "помнят" о своем былом
участии в волне и эту память можно проявить, подав на погруженный в плазму зонд,
туда, где Е-поле уже исчезло, переменный потенциал соответствующей частоты.
222
Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
Тогда, в казалось бы забывшем о волне потоке, вновь появится Е-поле с комбинаци-
комбинационной частотой (рис. 4.4.6).
Рис. 4.4.6. Схема наблюдения эффекта "эхо" по схеме Веденова-Дыхне: 1 — протяжённый
источник света, 2 — решётка, модулирующая световой поток источника, 3 — решётка,
"проявляющая" модуляцию, 4 — экран
Наглядную модель "эха" предложили А. А. Веденов и A.M. Дыхне [9]. А именно,
пусть имеется протяжённый источник света. Между ним и экраном ставим решётку
с волновым числом k\ = 2tt/Ai . Естественно, что достаточно удалённый экран будет
освещен практически равномерно. А теперь возьмём еще одну решётку — с другим
fc2 = 2тг/Л2. и поместим её между первой решёткой и экраном. Не трогая решётки,
будем двигать экран. Тогда в некотором положении на нём появится достаточно
чёткое изображение решётки с к% = &2 ~~ &ь
Формально это описывается следующим образом. На расстоянии ? от каждой
решётки распределение света по углу будет содержать гармонику
Здесь к = к\, к^, ? = х, х — d (см.рис. 4.4.6), а Ф@) — распределение интенсивности
света перед решёткой. Очевидно, на расстоянии х от первой решётки до экрана,
после прохождения второй решётки интенсивность излучения будет пропорциональна
ехр {гкху + гкххв ± (ik2y + ik29( - d))} Ф@) dO.
Отсюда следует, что на расстоянии
х =
— к\
экспонента перестаёт зависеть от 0 и на экране появляется "муар" с
кз = к2 — к\.
Перенос модели Веденова-Дыхне на плазменные системы достаточно очевиден.
Поэтому мы не будем продолжать рассмотрение этого вопроса, а рекомендуем озна-
ознакомиться с ним по книге [111].
4.5. О колебаниях двухкомпонентной плазмы 223
4.5. О колебаниях двухкомпонентной плазмы
4.5.1. Ионный звук. Если колебания продольные, то, независимо от модели,
дисперсионное уравнение линейных волн имеет вид
Когда речь шла только о колебаниях электронной компоненты, то D.4.5)
а/о.
и
Если же рассматривается электронно-ионная плазма, то
е<> = 1+ —[-&*— + ??- [-&*—. D.5.1)
и и
Здесь указано, что сингулярность обходится снизу.
На примере ленгмюровских волн в электронной плазме мы видели, что диспер-
дисперсионное уравнение в кинетике, за исключением мнимой добавки, совпадает с ана-
аналогичным уравнением, полученным в двухжидкостной гидродинамике. Очевидно,
то же должно иметь место для электрон-ионной плазмы. Но здесь, при кг в <С 1,
низкочастотные ионно-звуковые волны имеют фазовую скорость
Поэтому, если Те ^ Т^, то г?ф ~ утг, и, следовательно, ионный звук должен быстро
затухать из-за большого числа резонансных частиц. Поэтому реально ионный звук
существует только при Те ^> Ti (см. [113, 114]).
4.5.2. Колебания в токонесущей плазме (при Но = 0). Одной из простейших
ион-электронных систем с относительным движением частиц является токонесущая
плазма, в которой относительно ионов двигаются электроны. Естественно в такой
системе создаются предпосылки для раскачки колебаний. Рассмотрим эту ситуацию
подробнее, предполагая, что магнитным полем можно пренебречь. Дисперсионное
уравнение по-прежнему имеет вид е = 0 и в случае, когда невозмущенные функции
распределения ионов и электронов максвелловские, это уравнение похоже на урав-
уравнение D.5.1), но только со сдвигом скоростей:
v^ = w\ + u.
Итак
Здесь и^ — токовая скорость а-компоненты.
Анализ этого уравнения громоздок и поэтому, отослав интересующихся расчё-
расчётом к [31], приведём диаграмму областей возбуждения различного рода колебаний
(рис. 4.5.1).
Наиболее интенсивно колебания развиваются в случае, когда токовая скорость
порядка тепловой скорости электронов. Это так называемая неустойчивость Будкера-
224
Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
Кинетическая неустойчивость
горячих ионов
Неустойчивость Бунемана
Неустойчивость ионно-
звуковых колебаний
Неустойчивость
ионных
ленгмюровсжих
колебаний
Устойчивость
О
1 mi/me тут;
Рис. 4.5.1. Диаграмма областей колебаний в токонесущей плазме
Бунемана. Если попытаться создать в конфигурации Z-пинча разряд в газе малой
плотности с тем, чтобы выполнялось условие
и ~vTe,
то развивающиеся мелкомасштабные колебания вызывают интенсивный разогрев
электронов. Этот процесс называют "турбулентным нагревом".
4.6. Квазилинейное приближение [7, 115]
4.6.1. Вывод основного уравнения. В том случае, когда в начальный момент
функция распределения /(v, 0) содержит области неустойчивости (df/dv > 0), а ам-
амплитуда возникающих колебаний достаточно мала, так что резонансные частицы не
успевают обежать "устрицу" ("глазок") фазовой диаграммы, то нетрудно построить
уравнение, описывающее в первом приближении обратное действие возникающих
волн на f(v,t). Это можно сделать методом усреднения совершенно по той же
схеме, которая была использована в разделе 1.2 при расчёте динамики частиц
в неоднородном высокочастотном поле.
Для этого, полагая процесс однородным и одномерным, представим
f(v,x,t),E(x,t) в виде
/ = F(v,t) + J{v,x,t)\ E = E0 + E{x,t), D.6.1)
Подставляя D.6.1) в кинетическое уравнение D.4.1) и считая Eq = 0, имеем
D.6.2)
В этом уравнении F — медленная функция времени, а / осциллирует с ленгмю-
ровской частотой. Поэтому, используя усреднение по этим осцилляциям, разбиваем
уравнение D.6.2) на два:
4.6. Квазилинейное приближение 225
dF dF e /df\ „рол
+ (*# D-6-3а)
U + vU = ±jt?. D.6.36)
at аж т ov
_Далее схема решения очевидна. Пренебрегая зависимостью F от t, находим /
и Е системы из уравнения D.6.3Ь) и уравнения Пуассона
div E = ^e\jdv D.6.4)
в виде Фурье-компонент по пространству
7 е % dF
f
т оо — kv
D.6.5)
Предполагая интенсивность колебаний слабой, а спектр широким 0, электриче-
электрическое поле можно записать в виде суперпозиции независимых гармоник
+ ОО
г
E(x,t)= Е„ехр{-1(и)Л-к-х)}A>с. D.6.6)
Здесь ojx = uj^o + ijx- Учитывая вещественность Е, имеем
(ж)о 1 7(>ф
Используя допущение малой плотности пучка, т. е. малости 7> можно воспользо-
воспользоваться правилом обхода контура типа Ландау и положить
1 Р
5(xv — oj^o). D.6.7)
OJx — KV UJq — KV
Теперь находим
\
ГП \ (Jjyr — KV
— \
m }
?f. D.6.8)
ov
Считая конфигурацию однородной по х и учитывая только резонансный член
в 4.6.8, получаем окончательную систему уравнений квазилинейного приближения
(Романов-Филиппов, Веденов-Велихов-Сагдеев, Драммонд-Пайил)
1) Реально это можно сделать, инжектируя в плазму пучок электронов с широкой функцией
распределения по скоростям.
8 А. И. Морозов
226 Гл. 4. Бесстолкновительные кинетические модели процессов в плазме
9F д №. тге2г, 2.
9Е1
0
Z/ = = V.
к
Отсюда следует, в случае, когда функция f(v,0) = F(v,0) имеет интервал, где
dfo(v)/dv > 0, эволюция F(v,t) приводит к образованию плато (рис. 4.4.46).
4.6.2. Несколько замечаний о кинетике ленгмюровских волн.
1. Мы видели, что линейные волны сравнительно быстро либо затухают, либо
выходят на нелинейный уровень. Взаимодействия нелинейных волн друг с другом
порождают большое разнообразие процессов. В частности эти взаимодействия могут
приводить к слиянию волн с сохранением продольного типа, а могут приводить
к превращению продольных волн в поперечные электромагнитные волны с последу-
последующим излучением (раздел 8.1). В свою очередь слияние с сохранением продольности
ведет — благодаря силе Миллера, к образованию областей с пониженной концен-
концентрацией ионов и последующему схлопыванию этих "ленгмюровских резонаторов"
или, как говорят, "коллапсу" ленгмюровских волн. Так идет бесстолкновительная
перекачка энергии волн в "тепловую" энергию разлетающихся электронов.
2. Рассмотренное выше квазилинейное кинетическое уравнение пригодно лишь
для слабой "турбулентности", когда взаимодействием волн можно пренебречь, т. е.
рассматривать возмущение среды как совокупности волн со случайными фазами
и малыми амплитудами. Тем не менее это уравнение интересно тем, что это простей-
простейшее кинетическое уравнение для частиц с правой частью. Но здесь, в отличие от
уравнения Больцмана и других ему подобных, учитываются не столкновения частиц
друг с другом, а взаимодействие частиц с волнами.
Если система такова, что надо учитывать взаимодействие волн друг с другом, то
аналитически здесь мало что можно сделать за исключением построения полукаче-
полукачественных моделей с ограниченной достоверностью. Здесь большую роль начинают
играть численные расчёты, больший вклад в методику которых внес Юрий Сергеевич
Сигов (Институт прикладной математики РАН) [40].
Глава 5
КИНЕТИКА ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ ПЛАЗМЫ ПРИ
КЛАССИЧЕСКИХ СТОЛКНОВЕНИЯХ
В предыдущей главе мы подчеркивали роль коллективных процессов в плазме,
тем не менее во многих случаях, даже если имеем дело с относительно редкой
плазмой, приходится учитывать парные столкновения частиц. Об этом и будет теперь
идти речь.
Однако перед тем, как переходить к написанию формул, рассмотрим рису-
рисунок 5.0.1, на котором схематически изображена эволюция области, занятой частица-
частицами в пространстве скоростей при различных типах столкновений.
Рис. 5.0.1. Эволюция облака частиц в пространстве скоростей при различном характере
столкновений между ними: а — начальная форма облака; б, в, г — форма облака при t\ > 0,
описываемая уравнением Лиувилля (б); в условиях наличия сильных, близких столкновений
(в); при наличии слабых (дальних) столкновений (г)
Рисунок 5.0.1а изображает начальную область, одинаковую для всех случаев. На
рис. 5.0.16 изображена её эволюция к моменту Т\ > 0 при отсутствии столкновений.
Форма её при этом может стать самой экзотической, но при этом сохранится фазовый
объём и сохранится "оболочка", содержащая все частицы.
На рис. 5.0.1 в изображена, в тот же момент t\, область, занятая частицами при
наличии сильных парных столкновений ("Больцмановский случай").Видно, что ча-
частицы могут выскакивать за пределы оболочки, попадать в неё извне и перемещаться
хаотически внутри оболочки.
Наконец, на рис. 5.0.1 г схематически показана эволюция области, занятой ча-
частицами в пространстве скоростей в случае слабых (далёких), но достаточно частых
столкновений. Видно, что эта область расползается и, как оказывается, подчиняется
закону диффузии.
5.1. Введение
Уравнение Больцмана. Кинетическое уравнение Лиувилля описывает регулярную
динамику на всех уровнях детализации описания плазменного объёма от предельно
плавных равновесных конфигураций (f = l(s)) до системы индивидуальных частиц.
Однако, если первые - предельно сглаженные модели - во многих случаях недоста-
недостаточны для моделирования реальных процессов, то вторые - излишне детализированы.
228 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Поэтому часто нужны промежуточные модели, в которых при достаточной гладко-
гладкости функции распределения в то же время в неком "первом приближении" учитыва-
учитывались бы мелкомасштабные (по пространству и времени) процессы. По сути речь идёт
о своеобразном аналоге того, что было сделано в XIX веке в гидродинамике. Тогда
были обобщены уравнения Эйлера путём учёта вязкости, т. е. написаны уравнения
Навье-Стокса A821-54), в которых учитывались эффекты ~ X/L, где Л — длина
свободного пробега частиц среды.
В XIX веке то же происходит и с кинетикой газов. Действительно, в 1852 году
Ж. Лиувилль сообщил о формулировке кинетического уравнения О
для функции распределения не взаимодействующих частиц. А в 1872 году Л. Больц-
ман опубликует своё знаменитое кинетическое уравнение для газа с учётом столк-
столкновений [116]
f(t,x,v) = S, E.1.2а)
где больцмановский столкновительный член имеет вид (da — дифференциальное
сечение рассеяния, см. E.2.1)
//l' ~//l} |v ~Vl1 dadvi = Sl~ S2' Eл'2б)
Предполагая, что читатель имеет представление об уравнении Больцмана, мы лишь
коротко остановимся на нем. Второй член справа E.1.26)
S2 = [ f/(t,x,v)/(t,x,vi)|v-vi|d<Tdvi=/(t,x,v)n(t>a;)(<T|v-vi|) E.1.3)
описывает "выбивание" частицы из его местопребывания в пространстве скоростей
за счёт столкновения с любой частицей. А первый член Si в правой части E.1.26)
характеризует "вброс" частиц в данную ячейку. Особенность входящих сюда функ-
функций // и ft\ являются только их аргументы
Pi ^^ =шлг-
E.1.4)
P + Pi
P-Pl
2М
где /х = /(?,х, Vх), /| = /(?, х, Vj), е0 — единичный вектор.
Такой выбор аргументов обеспечивает при столкновении частиц со скоростями Vх
и vxi появление частицы со скоростью v. Разумеется, речь идёт об упругих столк-
столкновениях, при которых сохраняется импульс и энергия частиц. При этом считается,
что силы взаимодействия частиц имеют малый радиус действия и частицы можно
считать просто упругими шариками, находящимися на расстоянии / > а, где а —
радиус частиц.
Заметим, что вывод уравнения E.1.2а) самого Больцмана был "физическим".
Формальный вывод его был дан в 1946 году Н. Н. Боголюбовым [14]. Метод Н. Н. Бо-
Боголюбова позволяет также уточнить рассматриваемое уравнение.
1) Теорема о сохранении фазового объёма была опубликована Лиувиллем в 1838 году.
5.1. Введение 229
Особенности кинетических уравнений для кулоновских частиц. Кинетическое
уравнение для частиц с кулоновским взаимодействием, принципиально должно учи-
учитывать дальнодействие поля частиц. Параметром малости, по которому надо вести
разложение последовательных приближений столкновительного члена, здесь будут
величина 0 . ,п
ez/nl/6
б= кТ '
Здесь в числителе стоит потенциальная энергия взаимодействия двух частиц, нахо-
находящихся на среднем расстоянии го ~ п/3.
Формально уравнения E.1.1) легко превращается в уравнении с правой частью —
столкновительным членом, если произвести усреднение /, Е, Н по микрофлуктуаци-
ям. Для этого, следуя классическому подходу Лоренца, нужно положить
Не касаясь деталей выбора схемы усреднения, будем считать
</> = /о. </i>=0;
<Е) = Е0, (Е,)=0,
и аналогично для Н.
Тогда, усредняя E.1.1), получаем
1 \ 9/о / е ( 1 , Л dfx \ _
E0+-[v,H0J -т- = -( Т7 Ei + -lv,Hij -=- ) = S. E.1.5)
Отсюда видно, что для того, чтобы определить S в данной схеме, надо выразить
через /о, Ео, Но корреляционные функции
Однако найти эти функции в неравновесном случае в общем виде нельзя хотя в ряде
случаев можно приближённо.
Вычислил первый член разложения S Л.Д. Ландау [117], исходя из уравне-
уравнения Больцмана, пренебрегая близкими столкновениями и учитывая далекие. Это
накладывает ограничения на область применимости этого кинетического уравнения.
Масштабы рассчитываемых процессов должны удовлетворять условиям
L>n-1/3 = r0; *>—. E.1.6)
^отн
Здесь L и t — пространственный и временной масштабы.
Были предложены (Ленард, Балеску, Климонтович и др.) и более точные выраже-
выражения для столкновительного члена, но они мало эффективны из-за своей сложности.
Здесь мы выведем столкновительный член Ландау, взяв за основу конкретную
схему расчёта, предложенную Б. А. Трубниковым. Его подход не только предельно
прозрачен, но по ходу вывода кинетического уравнения даёт ряд весьма полезных
формул, имеющих самостоятельный интерес [119].
Марковские процессы. Уравнение Фоккера-Планка. Вывод уравнения Ландау
будет прозрачнее, если мы учтём один факт из теории случайных процессов. Среди
вероятностных процессов существует класс "предельно детерминированных процес-
процессов" — это так называемые, марковские процессы. Они обладают тем свойством,
что, зная вероятность распределения некой совокупности параметров {а\} при t\, мы
однозначно находим вероятностное распределение параметров {а^} в любой другой
230 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
момент времени ?2- Формальное определение непрерывных марковских процессов та-
таково. Вводится функция перехода из состояния 1 в состояние 2 в течение промежутка
времени (t2,t\):
W = W(a2]t2\ai]ti), E.1.7a)
Очевидно, функция W(l|2) может рассматриваться как функция распределения
/(t,x, v) в момент t, нормированная на единицу. Но, в отличие от /, в W явно
указывается распределение параметров /o(t,x, to) в начальный момент to. Процесс
является марковским, если удовлетворяется интегральное уравнение
W(a2,t2|ai,ti) = W(a2,t2\a,t)W(a,t\ai,ti)da. E.1.76)
Естественно, что все виды кинетических уравнений являются уравнениями для
функций перехода соответствующего марковского процесса. Так уравнение Больц-
мана соответствует процессам, при которых параметры системы (скорости частиц)
изменяются "большими" скачками. Иное дело в случае кулоновских систем. Здесь,
если б <С 1, скачки скорости малы и поэтому процесс оказывается диффузионным
и описывается вытекающим из E.1.7а) уравнением Фоккера-Планка.
\ ГП /l \ ТТ7""| Г\ /Г 1 О \
/ J ^— 1-^\7'/\^> ^1' ^2» • • • > ttnj И/J = U, @.1 .oaj
где коэффициенты Aj и Bji определяются равенствами
Aj(t,a\,a2,...,an) = — (Auj)
dtd E.1.86)
Bji(t,aua2,...,an) = — (Auj, Ащ).
Здесь dj(t) есть случайные координаты точки, движущейся в фазовом пространстве
{}, a Adj — скачки; угловые скобки означают усреднение
Wds.. E.1.8в)
При выводе уравнения Фоккера-Планка предполагается, что Aai таковы, что
среднее от произведения трёх и более скачков пренебрежимо мало.
Из сказанного видно, что, применительно к кулоновским системам, нам надо
вычислить Ai, Bjk и доказать, что Сцъ = 0.
Фазовое пространство {а} в интересующей нас кинетике — это (х, v), но нас
будет интересовать более специальный случай, когда скачками изменяются только
скорости (Av), тогда как координаты частиц при этом не изменяются. Но, не
испытывая скачков, координаты частиц могут изменяться благодаря их скорости,
а скорости — кроме скачков — за счёт внешних детерминированных сил. Поэтому
можно написать
Ах = vAt, Av = — At + Avst = Avd + Av . E.1.9)
m
5.2. Кинетика сталкивающихся заряженных частиц 231
Здесь Yd — детерминированная сила, a Avst — изменения скорости из-за столк-
столкновений. Подставляя E.1.9) в E.1.86), находим коэффициенты Aj и Bji
4i-3) =
dt
= v; А(з_б) =
dAv
dt
d
m dt
-Avst. E.1.10)
В то же время коэффициент Bji зависит только от (Av)st, поскольку детерминиро-
детерминированные компоненты
At2
AvdtjAvdtl\~At\At^0^0. E.1.11)
Таким образом, при отсутствии столкновений мы естественно получаем уравнение
Лиувилля, но пока без учёта сохранения фазового объёма:
dt <9x <9v m
Учёт теоремы Лиувилля "мягких" (далеких) столкновений позволяет привести урав-
уравнение E.1.8а) при сделанных конкретизациях к уравнению Фоккера-Планка
|i !k|/ i» > # о. E1Л2)
|+v + | + (F,t/)
dt ax mow mow 2 ovjdvi
Здесь Dji — тензор диффузии частиц в пространстве скоростей. Вывод уравнения
E.1.12) и будет нашей ближайшей целью.
5.2. Кинетика сталкивающихся заряженных частиц
5.2.1. Основные понятия. Парные столкновения частиц удобно описывать,
используя некий эффективный диаметр частиц d и соответственно величину —
сечение столкновения
a = ird2. E.2.1)
Сечение имеет размерность площади. В случае нейтрального достаточно разреженно-
разреженного газа, когда d <C vq — среднего расстояния между частицами (го ~ 1/п1/3), сечение
упругих столкновений определяется геометрическими размерами частицы и слабо
зависит от температуры и плотности газа.
Когда молекула проходит в газе путь L, она должна столкнуться со всеми
молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра с высотой L и площадью
основания а = ird2. Длиной свободного пробега Л называется такой отрезок L, на
котором частица испытывает одно столкновение. Простая оценка Л исходит из того,
что Хап = 1, отсюда О
Л=—. E.2.2)
па
Масштаб времени свободного пробега равен
г = - = —. E.2.3)
V ПУСТ
1) Если скорость vo рассматриваемой частицы существенно меньше v\ — характерной
скорости частиц, среди которых она движется, то длина свободного пробега этой частицы
выражается формулой Л ~ vo/(jktvi). Примером этому может служить движение нейтрального
атома в облаке ионизующих его электронов.
232 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Здесь v — средняя относительная скорость рассматриваемых частиц.
Зная скорость частиц и длину свободного пробега, можно оценить коэффициенты
теплопроводности \ и вязкости rj, которые определяют соответственно плотность
потока импульса тга/з и потока энергии q, обусловленные столкновениями в газе.
В обычном неионизованном газе
q = -
dva dvp 2 \ E.2.4a)
^ ^^dlvvJ
Коэффициенты x, 77, принято называть коэффициентами переноса. Кинетическая
теория газов показывает, как известно, что эти коэффициенты приближенно можно
оценить по формулам:
т? = —; х = —, E.2.46)
а а
где vt = л/kT/m — тепловая скорость молекул.
Если газ ионизован, то появляется ещё один коэффициент переноса — проводи-
проводимость Ge
j = сг^Е. E.2.5а)
При этом в отсутствие магнитного поля
аЕ = ^>. E.2.56)
Для детальной характеристики различных процессов следует ввести не одно,
а несколько сечений и, соответственно, несколько длин свободного пробега и времён
релаксации.
Так, для упругих столкновений сферически симметричных частиц, основной
интерес представляют величины вида
а{к) = [ A - cosfc 0)da; k = 1,2, 3,... E.2.6)
Здесь (см. рис. 5.2.1)
da = p@)dp@)dip = ^°l d^dU; du = sin ddddip, E.2.7)
sin и аи
так называемое дифференциальное сечение рассеяния, р — прицельный параметр как
функция угла рассеяния в в системе центра инерции.
Сечение ,
а^ = (l-cosO)da E.2.8)
называют транспортным, или диффузионным сечением. Это связано с тем, что мно-
множитель A — cos#) определяет потерю направленной скорости частицы при упругом
рассеянии:
Avz = —г
Величину
E.2.9)
удобно было бы назвать сечением отклонения, так как множитель 1 — cos2 в =
= sin в характеризует среднеквадратичное приращение поперечной скорости частиц
при рассеянии плоского потока на неподвижном силовом центре. В обычных газах
5.2. Кинетика сталкивающихся заряженных частиц
233
B)
, тогда как
вязкость и теплопроводность газа определяются сечением отклонения а
диффузия — сечением а^1\
5.2.2. Кулоновские столкновения: сила, действующая на пробную части-
ДУ [П9].
Сечения столкновений. Основу теории парных упругих 0 столкновений заряжен-
заряженных частиц составляет формула Резерфорда для рассеяния зараженной частицы с за-
зарядом е^ и массой т на неподвижном кулоновском центре с зарядом еа (рис. 5.2.1).
Рис. 5.2.1. К расчёту средней силы, действующей со стороны потока заряженных частиц на
подвижный центр
Вследствие центрального характера сил движение одной частицы всегда можно
рассматривать, как происходящее в плоскости. Частица при этом движется по
гиперболе, а угол рассеяния в связан с прицельным параметром р следующим
соотношением: л
в Р ее
tg2 = 7;
mvz
E.2.10)
Здесь ро ~~ значение прицельного параметра, при котором частица отклоняется на
прямой угол (в = тг/2). Однако в плазме нас интересует не отклонение индиви-
индивидуальной частицы, а рассеяние потока одинаковых частиц, падающих на рассеи-
рассеивающий центр. Пусть для начала они имеют одинаковую скорость vq. Различные
частицы в потоке обладают разными прицельными расстояниями и соответственно
рассеиваются под разными углами в. Обозначим dN число частиц, рассеиваемых
в единицу времени на углы, лежащие в интервале между в и в + d9, и (р и (р + dtp.
Само по себе это число неудобно для характеристики процесса рассеяния, так как
оно зависит от плотности падающего пучка (пропорционально ей). Поэтому введём
дифференциальное сечение E.2.7)
^ dN ,i ,i
da = = pdpdcp,
E.2.11)
где v = tiqVq — плотность потока частиц.
Это сечение определяется видом рассеивающего поля. Используя формулу,
E.2.10) и определение дифференциального сечения E.2.11), нетрудно получить
sin3 @/2)
гсоБ(9/2)A9Aф
3 sin3(<9/2)
E.2.12)
l) Неупругие столкновения, приводящие к возбуждению и ионизации, специально рассмот-
рассмотрены в главе 6.
234 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Следует обратить внимание на два момента: во-первых, сечение рассеяния умень-
уменьшается обратно пропорционально квадрату энергии рассеиваемой частицы, и, во-
вторых, полное сечение рассеяния при больших прицельных параметрах (и соответ-
соответственно малых в) расходится:
2тг
а(р —> оо) = \ da —> оо.
+0 0=0
Это означает, что при вычислении полного сечения или связанных с ним величин
мы должны обрывать интегрирование не некоторых "максимальных" расстояниях
9тпах •
Сила, действующая на неподвижный центр. Зная выражение для дифферен-
дифференциального сечения рассеяния, нетрудно рассчитать силу, с которой поток частиц
действует на неподвижный центр. Эта сила F равна (с обратным знаком) изменению
в единицу времени суммарного импульса частиц потока. Таким образом
da(p,0,(j))Apf3(e,(j)). E.2.13)
Здесь /3 — индекс пролетающих частиц, а р^ — импульс /3-ой частицы. Так как
столкновение с неподвижным рассеивающим центром носит упругий характер, то
скорость частиц после столкновения изменится лишь по направлению, но не по
абсолютной величине. Поэтому
= v0(l-cos0), ApP = mAvP. E.2.14)
Через элементарную площадку da = pdpdcj) плоскости ? (см. рис. 5.2.1) перпен-
перпендикулярной оси z, за единицу времени проходит число частиц /3, равное npvda.
Умножая эту величину на Apf = mAv^ и интегрируя по плоскости ?, от р = О до
9 = /Wo найдем изменение за единицу времени импульса потока, а следовательно,
и силу F, действующую на неподвижный центр
F = А—е^прЦ = a^npvfimvP. E.2.15а)
Здесь Л — так называемый "кулоновский логарифм", а <т(кул) — эффективное сечение
кулоновских столкновений /3-частиц с неподвижным центром,
а^л\ E.2.156)
Ро
В качестве ртах естественно взять дебаевский радиус rjj, рассчитанный по энер-
энергии падающих частиц. Это объясняется тем, что на расстоянии дебаевского радиуса
поля отдельных частиц, грубо говоря, сливаются в общее поле О
Итак,
Л«1п( — ) . E.2.15в)
\9oJ
1) Более подробный анализ показывает, что заряженный центр, возмущая движение окру-
окружающих частиц, приводит к такому изменению окружающего объёмного заряда, которое
экранирует поле центра на расстоянии порядка дебаевского радиуса. Фактически это означает
корреляцию траекторий частиц друг с другом.
5.2. Кинетика сталкивающихся заряженных частиц 235
Характерные значения кулоновского логарифма обычно лежат в пределах Л = 10-
20. Если в E.2.15а) опустить множитель Л, то получим (по порядку величины) ту
силу, которая обязана так называемым близким столкновениям, при которых угол
рассеяния оказывается порядка единицы (в ~ 1).
Появление кулоновского логарифма есть проявление дальнодействия электриче-
электрического поля частиц. Можно сказать, что, если нейтральные частицы реагируют лишь
на "грубые" непосредственные столкновения, то заряженные частицы очень "дели-
"деликатны" и уже на большом расстоянии "раскланиваются" с встречными частицами.
Сила, действующая на движущуюся частицу. Имея выражение для силы
E.2.15а), действующей на неподвижный центр, легко найти среднюю силу, дей-
действующую на произвольную заряженную частицу а, движущуюся со скоростью v
в среде, состоящей из заряженный частиц /3, распределение которых по скоростям
описывается функцией fp(v').
Действительно, если мы имеем две частицы, потенциал взаимодействия между
которыми зависит только от расстояния между ними |ri — r2|, то уравнения их
движения будут иметь вид
=-ViC/(|ri -r2|);
Ш2Г2 = —V^U (\r\ — Г2 |) •
Здесь
7
i,2 =
Складывая написанные уравнения, получаем закон инерции — движение центра
тяжести
MR = m\Y\ + 7П2Г2 = const
с постоянной скоростью. В то же время разность координат
Р = ri - г2
подчиняется уравнению типа движения одной частицы
/Ч2Р= -W(p). E.2.16а)
Здесь ш 2 — приведенная масса ш 2 = . Очевидно
7711 + 7712
r2 = R ——р. E.2.166)
)Pi, 2
ТП\ + 7712 ) ТП\ + 7712
Отсюда следует, что изменение импульса частиц в результате столкновений будет
равно
Api = miAvi = /iAu; Ap2 = miAv2 = —/iAu. E.2.17a)
Здесь u = p. Таким образом, переход от формул для рассеяния на неподвижно центре
к формулам для рассеяния на движущемся центре ("пробной частице"), сводится
к замене
mi ->/xi,2. E.2.176)
Выделим из всей совокупности частиц /3 элементарный поток частиц, движущих-
движущихся со скоростью Vх. Плотность частиц в этом потоке равна
/) = ff3(v/)dv/. E.2.18а)
236 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Тогда сила, действующая на частицу а со стороны этого элементарного потока, на
основании E.2.15а) и E.2.6) даётся формулой
d?a = -A—e\e\ V~V fp(v')dv'. E.2.186)
/Jj(xR V — V '
Интегрируя E.2.186) по dvf, найдем искомую среднюю силу, действующую на
частицу а, движущуюся через среду из частиц /3 со скоростью v:
Fa(v) = \dFa = -А—е2ае20 f V ~ V' fp{v')dv'. E.2.19)
Важной особенностью формулы E.2.19) является наличие в знаменателе правой
части приведённой массы. Если взаимодействуют две частицы одинаковой массы, то
wiaa = ^, т- е. приведённая масса только в два раза отличается от массы одного
иона. Однако, если взаимодействуют ион и электрон, то jiei ~ те. И соответственно,
при одинаковых скоростях сила Fie существенно больше, чем сила Fa. Это связано
с тем, что при столкновении иона с электроном последний отклоняется, при данном
прицельном параметре р, значительно сильнее, чем ион. Однако, если Те ~ Ti, то
Fi,e ~ Fi,i-
Б. А. Трубниковым было отмечено 0, что интеграл по пространству скоростей
в E.2.19) имеет в точности такой же вид, каким выражалось бы электростатическое
поле системы зарядов, непрерывно распределенных в обычном координатном про-
пространстве с плотностью qe(r) = fp(r):
E(r) = [ T~T\qe(r')dr' = -УгФ(г). E.2.20)
J |r - rx|
Здесь потенциал Ф(г) удовлетворяет уравнению Пуассона АФ = — Airq и равен
Имея в виду эту полезную аналогию, введём формально "потенциальную" функцию
(), такую, что
А^Ф/з = //з;
v)_ Шу')<*у' E.2.22)
т.е. аналогичную электростатическому потенциалу Ф (множитель, 1/4тг как и в ра-
рационализированной системе СИ, выбран из соображений удобства). Используя функ-
функцию Ф^(у), выражение E.2.19) для Fa можно представить в виде
Fa(v) = -Ата + ШРD1геаерJЧуФр(лг) = -^^У.Ф^, E.2.23а)
E.2.236)
Функция Ф^ для многих конкретных видов fp(v) может быть написана непосред-
непосредственно по аналогии с формулами электростатики для электрического потенциала.
Функцию Ф(з будем называть "первой функцией Трубникова".
1) Приблизительно в то же время аналогичное утверждение сделали М. Розенблют, В. Мак-
Дональд и Д. Джадд [119].
5.2. Кинетика сталкивающихся заряженных частиц 237
5.2.3. Кулоновские столкновения: диффузионные коэффициенты. Для за-
завершения вывода кинетического уравнения нам остается найти тензор
Djk = ^ (AvjAvk). E.2.24)
Эти вычисления проведём в два этапа фактически так же, как это делалось при
вычислении Fst в предыдущем пункте. А именно, будем отталкиваться от рассеяния
на неподвижном центре односкоростного потока. Вычисления упрощаются, если
ввести две системы координат: декартову для записи компонент тензора и сфериче-
сферические — для их расчёта. При этом ось z выберем вдоль потока. В отличие от случая
расчёта силы торможения, когда нам было достаточно учитывать только изменения
^-компоненты скорости, и поэтому азимутальный угол ср не играл роли, теперь надо
учитывать все компоненты приращения скорости. Они, очевидно, будут равны
Аих = щ sin в cos cp
Аиу = г^о sin в sin cp E.2.25)
Auz = щ(\ — cosO).
Теперь можно написать, по аналогии с E.2.13), выражение для
gje = — (AujAui) = n^u AujAuida. E.2.26)
ijj^ J±. \ J l I U J l V /
Здесь da = pdpdcp, nu — плотность потока частиц со скоростью и, направленной
вдоль оси z. Как и раньше, р и da определяются формулами E.2.10), а Аи можно
записать в виде
2
Аих = 2и 2РРо 2 cos0; Аиу = 2и 2РРо 2 sin0; Auz = -2и /° 2- E.2.27)
Подставляя эти выражения в E.2.26) и интегрируя по (р, мы увидим, что тензор
Qjk — диагональный
(В 0 0 \
gjk=[0 В 0 . E.2.28)
\0 0 BJ
Здесь
о Ртах
В=9х, = д„=п^(Аи,)'\,Л,= ^(^^\ j f\,. E.259)
. "в»1'
Этот интеграл также расходиться, и его также надо обрезать на неком ртаж, в каче-
качестве которого естественно взять дебаевский радиус. При этом
' + р \)
где Л определяется формулой E.2.15в).
Учитывая, что Л ^> 1, можно считать
ЛB) «Л, E.2.31)
так что 2
в= 1 /4тге«е^\ д
Ажи \ Ца/з )
238 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Нетрудно убедиться, что интеграл В\ = п J (AuzJuda не расходится при р —> оо,
и поэтому им можно пренебречь по сравнению с В. Таким образом, в окончательно
выбранной системе координат и моноскоростном потоке
(В О 0\
gji=[0 В 0 . E.2.33)
\о о оу
Чтобы перейти от взаимодействия набегающего потока с неподвижным цен-
центром к взаимодействию с движущимися частицами, надо воспользоваться формулой
Av = ^Ди. E.2.34)
Кроме того, надо перейти к произвольно ориентированной системе декартовых коор-
координат. Пусть в этой системе скорость и имеет компоненту и = (их, иу, uz). Тогда, как
нетрудно проверить, диагональный тензор E.2.33) с нулевой ^^-компонентой будет
иметь вид / и и \
gik = В (Sik - -±±) . E.2.35)
V и1 J
Учитывая E.2.34), E.2.32), получаем окончательную формулу для Dj^
E.2.36)
Но её можно записать и более компактно, если учесть, что u = v — Vх и
д2 \и\ 5ik
E.2.37)
Тогда получаем
E.2.38)
Здесь ф — "вторая функция Трубникова":
Вспомним первую функцию Трубникова E.2.22)
Ф
4тг
Нетрудно убедиться, что /,фиф связаны соотношениями
= /. E.2.40)
Отметим ещё две формулы, связывающие изменение импульса и энергии пробной
(а) частицы, движущейся среди полевых (/3) частиц.
Очевидно E.2.23а)
^ = -^У,Ф,. E.2.41)
at цар
Изменение энергии пробной частицы связано не только с потерей начального им-
импульса, но и с отклонением от первоначального направления. Поэтому
dsa ma d / d , . Id,. А Л /^^,^ч
УУ m[v (V) + (АуАу) E.2.42а)
dt 2 dt L L " V Ldt x ч ' 2dt
5.2. Кинетика сталкивающихся заряженных частиц 239
Используя формулы E.2.39), получаем
(^ ±) E.2.426)
Формулы E.2.41) и E.2.42а) мы используем в разделе 5.4.
5.2.4. Столкновительный член Ландау. Учитывая, что изменение фазовых
координат облака частиц может происходить не только под действием столкновений,
но и под действием внешних регулярных сил F^, с помощью формул E.2.23а)-
E.2.38), подставленных в уравнение Фоккера-Планка E.1.8а), получаем кинетиче-
кинетическое уравнение для данного случая:
at ax ma ov
где
E.2.436)
Подставляя E.2.436) в E.2.43а), используя связь E.2.40) между /,Фиф, получаем
кинетическое столкновительное уравнение для кулоновской плазмы в дифференци-
дифференциальной форме Б. А. Трубникова
(tf/?№)) E.2.4ЗД
Dt ma у dvidvk \ dvidvk J
Выражение E.2.436) для потока Ъа^ можно привести к более наглядному виду,
введя
д2 v- vx| Sik щик
игк =
Тогда, учитывая, что Ф^ = Афр, получаем
гк Т, dw']
д 1 ^
I Vik~^—a\ ,
E.2.44)
д д
Подставляя E.2.44) в формулу E.2.436), выражение для потока Ь^' запишем
в симметричной форме:
240 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
И тогда получаем окончательное выражение для кинетического уравнения
Больцмана-Ландау
E.2.45)
5.3. Уравнения переноса в двухжидкостной гидродинамике
Столкновительный член Ландау сложен. Поэтому в полном виде уравнение
E.2.45) аналитически решалось редко и то либо весьма приближенно, либо с боль-
большим числом оговорок. Проводились также численные расчёты уравнения Ландау.
Большое значение имел проведенный С. И. Брагинским вывод уравнений двухжид-
двухжидкостной гидродинамики из рассматриваемых уравнений при малых длинах свободно-
свободного пробега (A<L). Тем самым были получены строгие "классические" формулы для
коэффициентов переноса в полностью ионизованной плазме.
Учитывая большую роль уравнений СИ. Брагинского в плазмодинамике, мы,
прежде всего, рассмотрим схему их вывода и сами уравнения [120].
5.3.1. Схема решения кинетического уравнения при частых столкновениях.
В п. 4.1.3 рассматривалась связь бесстолкновительной кинетики с гидродинамикой.
Там отмечалось, что в общем случае одно кинетическое уравнение эквивалентно
бесконечной цепочке уравнений гидродинамического типа. В случае кинетики со
столкновениями, при малой длине свободного пробега, ситуация совсем другая. Одно
уравнение кинетики в данном случае эквивалентно трём уравнениям гидродинамики:
для плотности п, скорости v и температуры Т.
Если длина свободного пробега частиц существенно меньше характерных мас-
масштабов неоднородности потока L столкновительный член в кинетическом уравнении
становится преобладающим. Символически это можно записать в виде
f = b[fj}. E.3.1)
Здесь введено обозначение
и явно выделен малый параметр Л, под которым можно понимать длину свободного
пробега, отнесённую к размерам системы.
Если Л стремится к нулю, то, при отсутствии особенностей, уравнение E.3.1)
принимает вид
[(°) «>)] E.3.2)
Это уравнение имеет единственное несингулярное 0 решение, соответствующее со-
состоянию компоненты, находящейся в термодинамическом равновесии. Этим решени-
решением является максвелловская функция:
^} <5ЛЛ>
1) Сингулярные решения уравнения E.3.2) описывают конфигурации с точечными источ-
источниками
5.3. Уравнения переноса в двухжидкостной гидродинамике 241
В общем случае n, T, v являются функциями координат и времени. Ниже,
чтобы избежать путаницы, мы всюду скорость, входящую как аргумент в функцию
распределения /(vx), будем отмечать штрихом.
Если учесть теперь конечность длины свободного пробега, то решение уравнения
E.3.1) можно искать в виде
/ = /@) +Л/A) + ... E.3.4)
Подставляя это разложение в E.3.1) и учитывая E.3.2), получаем систему уравнений
последовательных приближений:
5
Dt '
Как видно, на каждой ступени расчёта приходится решать линейное относитель-
относительно неизвестной функции интегральное уравнение. Техника решения полученных
уравнений для случая больцмановского столкновительного члена была разработана
Энскогом, Чепменом и Каулингом, а для столкновительного члена Ландау её развили
С. И. Брагинский, Л. Спитцер и др. Оказалось, что построение указанных решений
приводит к определённым уравнениям для функций: n(r,?); T(r,?); v(r,t), введённым
с помощью выражений E.3.3). Это и есть уравнения гидродинамического приближе-
приближения.
5.3.2. Уравнения переноса. Общий вид. Запишем в общем виде кинетическое
уравнение:
df д д Fk
+ (v ) +
wr + д(v kj) + ^г
dt дхи dv'k\m
Умножим это уравнение последовательно на 1, mv', (mvf /2) и проинтегрируем по
скоростям. В результате получим "уравнение переноса"
= I
E.3.6)
//Тб/7/ / о\\ //77/77/ / 9 \\ -щ^,
di{-T\v/)+div\-T\vv)-enEv = \
Здесь введены обозначения:
v(t,r) = - \vff(t,r,vf)dvf = (vx);
П| E.3.7)
j и к — координатные индексы, причём если в одночлене встречаются два одинако-
одинаковых индекса, то по ним предполагается суммирование.
Если не учитывать превращение частиц одного сорта в частицы другого сорта —
ионизацию, диссоциацию и т.п., то
Г Sdw' = 0. E.3.8)
242 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Действительно, выписанный интеграл даёт изменение числа частиц в рассмат-
рассматриваемом объёме за счёт столкновений с другими частицами, но при упругих
столкновениях, очевидно, такого изменения не происходит.
Уравнения E.3.6), путём введения новых величин и обозначений:
'-v; R= {muSdv'; Q= {^
J j 2
4 ^ + (W); w = v'-
at at
B) = nkT; 7Yjk = nm (wjWk) Sjk (w2
p = -nm (w2) = nkT; 7Yjk = nm (wjWk) - -^Sjk (w2); E.3.9)
о \ / о \ /
q = — w2v 'f(t, r, v r)dv' = nm I —-v
приводятся к более прозрачному виду:
дп .
——h divnv = 0;
ot
- [v,H] J +R; E.3.10)
С I
3 dT
2U~dt
При написании уравнений E.3.10) были использованы также следующие обозначе-
обозначения:
(f ) -
(/вяз),- -
Система уравнений E.3.10) записана для одной из компонент, причём е > 0
соответствует ионам, а е < 0 — электронам. Из закона сохранения импульса следует,
что Иг = —Re.
Уравнения E.3.10) имеют традиционный гидродинамический вид и были получе-
получены без каких-либо ограничений на функцию распределения. Однако их универсаль-
универсальность обесценивается тем, что входящие в них величины тг^, R, q, Q не выражаются
в общем случае через гидродинамические параметры n, v, Т. Поэтому эта система
уравнений переноса не является в общем случае замкнутой.
5.3.3. Модель идеальной плазмы. В пределе, когда длина свободного пробега
Л —> 0, функция распределения может считаться максвелловской, и в этом случае
все диссипативные члены тг^, R, q и Q обращаются в нуль. В результате получаем
уравнения идеальной гидродинамики для каждой из компонент:
дщ , ^ dso , „ч
—- + div щ-Wi = 0; —- + (viV)si = 0;
дпе 1 Л dse , „ч
— + div neve =0; — + (ve V)^ = 0;
dv- \ ( 1 \ E.3.12)
-^ + (viVv) j = -Х7рг + еты\Е+- [vif H] J ;
/<9ve , ^ Л ^ (^ 1
rnne ( -^r- + (VfiVVfi) I = -\/Ve. - em ( E + -
5.3.4. Уравнения Брагинского. Вернёмся снова к общему случаю, когда Л
мало, но конечно. Используя методы, указанные в п.5.3.1 можно найти отклонение
функции распределения от максвелловской функции и явные выражения для дисси-
5.3. Уравнения переноса в двухжидкостной гидродинамике 243
пативных членов в уравнениях E.3.10). К сожалению, эти расчёты весьма громоздки
(см. [120]), и мы ограничимся только приведением окончательных результатов.
Перед тем как их выписывать, введём электронное и ионное времена между
столкновениями:
A/10.z?1 (".is,
_ 3,0- 106 Т1'1
~ Л/10 ZW
Здесь Мр — масса протона; Z — кратность заряда иона; Л — кулоновский логарифм,
введенный ранее. Для расчёта Л при Те < 50 эВ можно использовать формулу
Л = 23,4- l,151gn + 3,451gTe. E.3.14)
В "практических" формулах E.3.13) и др. температура выражается в электронволь-
тах, а все остальные величины — в гауссовой системе единиц.
Значения диссипативных членов R, q, Q, iijk существенно зависят от величины
магнитного поля, точнее, от параметров Холла а;^ и слете, где Ui = еН/(Мс), awe =
= eH/(mc) — ларморовские частоты.
Следуя работе С. И. Брагинского, приведё м здесь значения диссипативных чле-
членов для случая, когда параметры Холла иот ^> 1, а заряд иона Z = 1.
Начнём с силы трения R, которая входит в E.3.9).
Передача импульса при столкновениях от ионов к электронам R = Ки + Кт
складывается из двух частей: силы трения Ки, обусловленной наличием относитель-
относительной скорости u = v^ — ve = j/(en), и термосилы R^, возникающей из-за градиента
температуры электронов:
E.3.15)
RT = -0,71nV||?:T€ - |— [h, V(feTe)].
Здесь знаками || и _L отмечены составляющие вдоль и поперёк магнитного поля,
a h = Н/Н — единичный вектор, ориентированный вдоль Н; величины <тц и а±
соответственно равны:
е^ / = 1,96а((А;ТеK/2;
о.'э-ю13 E-зл6)
Поток тепла, переносимого электронами, также может быть представлен в виде q =
= q« + qr, где
E-ЗЛ7)
о 1 п^^^е^е е * пп Пк±еТе /го 1 о\
= 3, 16 ; К\ =4,66—т гтг. E.3.18)
m т(иоетеу
Здесь к — постоянная Больцмана;
е
244 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Поток тепла, переносимого ионами при щъ > 1, равен
q< = -фУцТ4 - KikV±T{ + У^- [h,
К пкТгП 6
11 М И M(uoiTiJ
Коэффициенты переноса при Н = 0 непосредственно следуют из написанных
формул, так как они совпадают с коэффициентами переноса вдоль магнитного поля.
Тепло, получаемое ионами при столкновениях с электронами, равно
Ql = QA = 3^ye(Te-Tl). E.3.20)
Тепло, выделяющееся в электронной компоненте вследствие столкновений с ионами,
даётся выражением
= -Ru - QA = J-l + &- + —jRT - ^k{Te - Ti). E.3.21)
cry a± ene Mr
Тензор вязких напряжений при отсутствии магнитного поля определяется одним
коэффициентом щ\
E.3.22)
где тензор сдвигов
dvj dvk 2
i ^dwv E-3-23)
В сильном магнитном поле (ит ^> 1) компоненты тензора тг^ имеют следующий вид
в системе координат с осью z, параллельной магнитному полю:
1 1
1 1
1
{Wyy - wxx) + ri3wxy; E 3 24)
on
>у\^лХ шу
KyZ = Kzy = —T]2Wyz + T]4WXZ.
Выражения E.3.24) годятся и для ионов, и для электронов, но для каждого сорта
частиц надо, конечно, подставить свой тензор Wjk и свои коэффициенты вязкости.
Коэффициенты вязкости для ионов и электронов соответственно равны (Z = 1):
г]г0 = 0,96щкТгТЦ Г7§ = 0, 37пекТете;
°51
\\ E.3.25)
I nekTe
= 24;
5.4. Примеры столкновительной релаксации в кулоновской плазме 245
В уравнение энергии E.3.10) входит член, учитывающий вклад вязкости. Пренебре-
Пренебрегая величинами порядка (ojt)~2, получаем
гл dvJ 3 2 \ (dvx dvy odvz\2 szoc,a\
J охи 4 6 \ox oy oz J
Приведённые выражения для диссипативных членов следует подставить в уравнения
E.3.10).
В обзоре [120] даны формулы для более общих случаев, когда параметры Холла
иот < 1, a Z ф 1. Там же дан обстоятельный и наглядный анализ факторов, опреде-
определяющих структуру диссипативных членов.
5.3.5. Замечания к уравнениям Брагинского. В главе 3 мы написали уравне-
уравнения двухжидкостной гидродинамики, руководствуясь простыми физическими сооб-
соображениями. Теперь мы имеем их в достаточно обоснованной форме. И ряд следствий
из них мы рассмотрим ниже.
Как видно, написанные выражения оказываются достаточно громоздкими. Если
к тому же учесть, что во многих плазменных системах предположение об очень
малой длине свободного пробега, как правило, не является строгим, а наличие
микромасштабных (~ г в) турбулентных процессов существенно влияет на коэффи-
коэффициенты переноса, то становится понятным, почему при конкретных расчётах (как
аналитических, так и численных) систему уравнений Брагинского обычно сильно
огрубляют.
Из сказанного не должно, однако, сложиться впечатление, что гидродинамиче-
гидродинамические уравнения просто не интересны. На самом деле, поскольку в их основе лежат
законы сохранения массы, импульса и энергии, они обладают завидным "запасом
прочности" и при аккуратном обращении могут давать качественно правильную
картину даже там, где длина свободного пробега больше размеров системы. В то же
время, они несравненно проще кинетических уравнений, и расчёты их обычно можно
довести до конца.
Система уравнений С. И. Брагинского должна быть дополнена граничными усло-
условиями, учитывающими эквипотенциальность электродов, гибель ионов на граничных
поверхностях и т. п. Подробнее вопрос о граничных условиях будет рассматриваться
в главе 7. В заключение отметим, что гидродинамические модели динамики плазмы
не исчерпываются уравнениями Брагинского. Чаще других в литературе упомина-
упоминаются уравнения Чу-Голдбергера-Лоу для редкой плазмы, в которых пренебрегается
столкновениями и давление является тензором [121].
5.4. Примеры столкновительной релаксации в кулоновской
плазме
Рассмотрим ряд примеров столкновительной релаксации в кулоновской плазме.
5.4.1. Парадокс Беляева-Будкера. Указанный парадокс состоит в следующем.
Если в плазме электроны и ионы имеют изотропные функции распределения, причём
частицы с малыми скоростями отсутствуют, т. е. при Vi < v* и v < v* функции fi и /е
обращаются в нуль, то поток любых заряженных частиц, движущихся со скоростью
vb < min(v*,v*) E.4.1)
в плазме с указанными функциями распределения за счёт столкновений тормозиться
не будет.
246 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Это сразу видно из электростатической аналогии Трубникова E.2.23а). Действи-
Действительно, внутри заряженного шарового слоя электростатического поля нет, а значит,
нет и торможения потока, если выполнено условие E.4.1).
5.4.2. Релаксация редкого потока быстрых ионов в изотропной плазме.
В настоящее время в целом ряд случаев приходится иметь дело с быстрыми
ионами (г^, тормозящимися в плазме с изотропными функциями распределениями
электронов и ионов, причём начальная энергия много больше энергии плазменных
частиц е0 > (&т/пл), &Те(пл)) и при этом v0 > ^пл) > у[ш). Конкретными примерами
в лабораторной практике могут служить процесс нагрева плазмы "нейтральными"
(быстро ионизующимися) пучками частиц с энергией в сотни и тысячи кэВ, а также
торможение заряженных продуктов термоядерных реакций в установках ядерного
синтеза. Например, D + Т —> а^Не2) + п, причём энергия а-частицы ~ 4мэВ.
Здесь наблюдается достаточно своеобразная картина, обязанная сильной зави-
зависимости силы торможения от приведённой массы сталкивающихся частиц и осо-
особенностей функций распределения скоростей ионов и электронов (эффект Беляева-
Будкера).
На начальной стадии торможение быстрых частиц определяется "эффективным
полем" созданным совместно электронами и ионами. Однако поскольку приведённая
масса быстрой частицы и электрона т/>е <С m/д, то реально торможения определяют
столкновения с электронами. Достаточно очевидно, что при этом рассеяние быстрых
частиц минимально, и они, теряя скорость, практически сохраняют её первоначаль-
первоначальное направление.
Но вот скорость инжектированных частиц настолько упала, что она вошли на
уровень электронных скоростей. В игру вступает эффект Беляева-Будкера, и элек-
электроны с энергией г™ > Si(t) уже не оказывают тормозящего действия. Поэтому
вклад электронов в торможение убывает, тогда, как вклад ионов остается практи-
практически неизменным. Но скорость инжектированных ионов продолжает падать и при-
приближается к скорости плазменных ионов. Теперь столкновения с ионами определяют
процесс торможения, которому, естественно сопутствует сильное рассеяние замедля-
замедляемых ионов.
Ознакомившись с качественной стороной процесса столкновительного торможе-
торможения, приведем количественный расчёт, предположив, что в плазме электроны и ионы
распределены по Максвеллу.
Исходим из системы уравнений E.2.41) и E.2.42а). Индекс а сохраним за
инжектированным ионом.
) (\ E.4.2a)
dt \flai
V
dt \iiai ma ) \iiae m
Функции распределения плазменных частиц берем в виде:
.3/2 (_т. .,2
Vv + ^^^ . E.4.26)
™,i,e У I mi,eV . /х л о\
{Ь EАЗ)
Напряжённость эффективного Е-поля, учитывая сферическую симметрию по теореме
Гаусса, равна
E.4.4а)
v2 v'
5.4. Примеры столкновительной релаксации в кулоновской плазме 247
Отсюда следует
Ef(x) = nW(xp), E.4.46)
где
о
есть "функция Максвелла". Её значения
W(X/3) = -j=r j e-'Vtdt; xp = mp-?^r E-4.4в)
2ж ¦¦¦;'
Зная ЕЭ{?, находим Фд:
> = п^М±ШМ; W'(«) = ^. E-4.5)
ф v ах
В результате получаем:
^(^ ?Щ E.4.6)
Изменение тормозящего фактора. Из E.4.4г) видно, что если ж, 3> 1, и же 3> 1,
то W(xi) и W(are) « 1,
^fL L^-^^. E.4.7)
На этой стадии торможение быстрого инжектированного иона определяется элек-
электронами. Тормозящие действия электронов и ионов сравниваются при г;*, когда
WM = WM. E.4.8)
Считая Жг* > 1, а же* <С 1, из уравнения E.4.8) с учётом E.4.4в) находим
2 з/2 = Мое ^ П.
В частности, при инжекции ионов с той же массой, что и ионы в плазме, т^ =
и мы можем переписать 5.4.9 в виде
. E.4.10)
Дальнейшее торможение при га < еа* осуществляется в основном ионами.
Изменение кинетической энергии инжектированной частицы. Подставляя
в E.4.2Ь) выражения E.4.4), E.4.5) для Ф и ЕЭф, в случае максвелловского распре-
248 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
деления ионов и электронов в "тормозящей" плазме, можно записать уравнение для
изменения энергии инжектированных частиц в виде
at mava {\rrii J \m
Qai = Qae = Ъ E.4.11)
rriiV2 rrii ea mev2 me ( ea
9hT m hT ' 9hT m \ hT
Здесь также отдача энергии сначала идёт преимущественно электронам, а затем
ионам.
5.4.3. Убегающие электроны. Сильная зависимость сечения столкновения за-
заряженных частиц от их относительной энергии приводит к важному явлению, полу-
получившего название "убегающих электронов" или, как образно его назвал Г. И. Будкер
впервые столкнувшийся с ним, "просвиста". Наиболее наглядно этот эффект прояв-
проявляется в токамаках в виде генерации рентгеновского излучения с энергией фотонов
во многие сотни кэВ, тогда как напряжение вихревого электрического поля на
обходе всего порядка сотни вольт. Очевидно, чтобы набрать энергию порядка энергии
фотонов, электрон должен совершать порядка тысячи обходов вдоль магнитной оси
плазменного шнура и при этом не терять существенно энергии.
Уравнение "пробного" электрона, движущегося среди ионов при наличии элек-
электрического поля следует непосредственно из E.4.7)
^ = -—п^-еЕ. E.4.12)
at \iei vz
Очевидно, столкновения ускоряемого электрона почти неподвижными ионами смогут
отбирать у электронов энергию, если
E.4.13)
В противном случае электрон будет непрерывно набирать свою энергию. Функция
С - W
v2
имеет максимум при v « 1, и если в некий момент электрон превзойдет эту крити-
критическую скорость, то разгон может продолжаться в принципе неограниченно долго,
если побочные факторы не сорвут этот процесс.
В реальных условиях в начальный момент мы имеем некое распределение элек-
электронов по скоростям. И первыми кандидатами для ухода в "просвист" являются
наиболее быстрые электроны. Это произойдет, если приложенное электрическое поле
превзойдет "поле Драйсера", определяемое формулой
Ещш = 0,214^-^. E.4.14)
rD rD
Т.е. ?^крит — порядка поля элементарного заряда на дебаевском расстоянии. Так, при
Те rsj 1 кэВ, п rsj Ю15см~3, Л rsj 15, критическое поле ?^рит ~ 1 В/см.
5.4.4. Времена релаксации функций распределений в двухкомпонентной
плазме. Аккуратный расчёт времен релаксации для произвольных функций рас-
распределения требует использования кинетических уравнений для компонент плазмы.
Однако во многих случаях достаточно простых оценок, основанных на сечениях
5.4. Примеры столкновительной релаксации в кулоновской плазме 249
кулоновских столкновений. Итак, будем считать, что мы имеем плазму не слишком
далекую от состояния равновесия, так что можно использовать понятия температур
ионов Ti и электронов Те, понимая под ними меры средних значений энергий
указанных частиц.
В этом случае сечение столкновений всех заряженных частиц определяется
только их энергией. Если Ti ~ Те, имеем
1 E.4.15а)
Если же Ti существенно отличается от Те, то
1
Соответственно ведут себя свободные пробеги
па'
Однако времена свободных пробегов существенно различаются. Остановимся на этом
подробнее. Времена свободного пробега от соударения до соударения практически
одинаковы для столкновений с участием электронов
те'е~—J—, те'г~—Х—. E.4.16)
Время ион-ионного свободного пробега при Ti ~ Те существенно больше
тм -. \/—те'е. E.4.17)
nal^Vi у m
Одиночное столкновение электронов друг с другом приводит к изотропизации функ-
функции распределения электронов, а многократные — в пределах масштаба неодно-
неоднородности конфигурации, к максвеллизации, тем более полной, чем больше число
столкновений.
То же можно сказать и о столкновении ионов с ионами.
Столкновения электронов с ионами слабо отражаются на функции распределения
ионов, если столкновения резки. Однако, в случае большого числа столкновений -
как, например, в плазменных ловушках или низкотемпературной плазме, — за счёт
столкновений может идти выравнивание температур электронов и ионов E.3.20).
Характерное время этого процесса
Te(J~^Te,e. E.4.18)
Итак мы имеем три характерных масштаба времен
^. E.4.19)
га
Отсюда видно, что релаксация внутри каждой компоненты идёт быстрее, чем
между компонентами.
250 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
5.5. Влияние термосилы на равновесие и теплоперенос
в плазменной конфигурации
В п. 2.4.3 было выведено уравнение Грэда-Шафранова, описывающее статические
осесимметричные МГД конфигурации. В это уравнение входят две произвольные
функции р(ф) и 1(ф). Реально они определяются начальными условиями и/или
диссипативными процессами. Поэтому в общем случае расчёт конфигурации оказы-
оказывается сложным. Здесь мы рассмотрим предельно простую модель — конфигурацию
плазмы в магнитной оболочке миксины галатеи (см. раздел 10.5), в которой распреде-
распределение плотности и температуры формируется за счёт диффузии и теплопроводности.
Особенностью галатей является наличие внутри плазменного объёма левитирующих
проводников 0 — обычно, колец с током, магнитное поле которых экранирует эти
проводники (они названы "миксинами") от контакта с плазмой.
Предметом приводимых ниже расчётов будет определение параметров плазмы
в магнитной оболочке миксины [122, 123].
5.5.1. Равновесная конфигурация магнитной оболочки миксины. Под маг-
магнитной оболочкой миксин (MOM) будем понимать область с полем и плазмой,
которая с одной стороны ограничена твёрдой поверхностью миксины, а с другой —
сепаратрисой магнитного поля.
Рассмотрим равновесие, устойчивость и теп-
теплоперенос в MOM, полагая, что радиус сечения
MOM b^ < R^ — большой радиус миксины.
Принципиально важным свойством плазмен-
плазменной конфигурации MOM является наличие пе-
перепада температуры между её внешней границей
и поверхностью миксины. В результате, благода-
благодаря термодиффузии, в MOM поддерживается ток,
который приводит к падению давления по направ-
направлению к поверхности миксины. Хотя этот факт
отмечал ещё А. Д. Сахаров [23, т. 1], приведём
здесь его вывод, так как нам будут интересны
и ег° обобщения.
Наиболее просто все выглядит при наличии
осевой симметрии и одного полоидального маг-
магнитного поля. А поскольку этот случай для нас
особенно интересен, им и ограничимся.
Считая плазму квазистатической, имеем два уравнения движения (п. 5.3.4)
Рис. 5.5.1. Схема кольцевой микси-
ны и выбор осей координат: 1 -
миксина 2 — MOM
1 Х7Р 1
= Е + - [V,H] + R, -^ = Е + - [VeH] - R,
en с en с
где
H
E.5.1)
E.5.2)
Направив ось х перпендикулярно магнитным поверхностям, ось у вдоль направ-
направления симметрии (азимута), а ось z вдоль Н (рис. 5.5.1), получим ^-компоненту
1) Реально они поддерживаются магнитным полем.
5.5. Влияние термосилы на равновесие и теплоперенос в плазменной конфигурации 251
второго из уравнений E.5.1) в виде
^ = | — ?*Ге. E.5.3)
а 2 иоете их
Здесь учтено, что дРе/ду = О, Еу = 0, Vex = 0. Подставляя E.5.3) в уравнение МГД-
равновесия
которое следует из E.5.1), получаем
|-№ + Ге) = |п§. E.5.4)
Если считать, что Ti = Te =Т, то
= 0m = const. E.5.5)
Принимая на внешней поверхности MOM щ = 1014см~3, То = ЮкэВ, а температуру
плазмы вблизи поверхности миксины Т = 1 эВ, будем иметь около миксины плот-
плотность плазмы пм = 1015см~3.
Однако в общем случае Ti ^ Те, и если положить Te/Ti = ио = const, то вместо
E.5.5) получим
пТС-/2)/^) = const. E.5.6)
Следовательно, в случае холодных электронов {и = 0)
Р = const. E.5.7)
Если же электронная температура возрастает, то плотность плазмы все слабее
зависит от Т и при uj = 2 она становится постоянной. При и > 2 зависимость п от
Ti качественно меняет свой характер.
Два замечания: только что полученная связь между п и Т в условиях MOM
автоматически обеспечивает устойчивость магнитно-плазменной конфигурации по
отношению к гидродинамической конвекции. Это видно из критерия устойчивости
Розенблюта-Лонгмайера-Кадомцева (п. 8.1.2)
РГ > 0- E-5-8)
где U = JH~ldl — удельный объём магнитной силовой трубки, а ф отсчитывается от
поверхности миксины. Условие E.5.8) есть условие возрастания энтропии единицы
массы плазмы при удалении от миксины.
Взяв для оценки поле прямого проводника (JM — ток в миксине), получим
U«0 E.5.9)
и, комбинируя E.5.8), E.5.9), находим для 7 = 5/3 условие устойчивости
^Т3/4гЮ/3>0 E5Ш)
or
Это условие заведомо выполняется с большим запасом, так как Т растёт с удалением
от миксины.
5.5.2. Теплопроводность в MOM. В [122] рассмотрена классическая теплопро-
теплопроводность в MOM. Изложим основные результаты этой работы.
252 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Полная система уравнений для осесимметричной конфигурации MOM имеет вид
Д*Ф = -^-^, E.5.11а)
Ti=TiDf), Те=Те(Ф), E.5.116)
divx^VTi = Qi, E.5. Ив)
divxe±VTe = Qe - —, E.5.Иг)
je 3 1
а 2 ecjpTe
T7,WT6
Здесь первое уравнение — это уравнение Грэда-Шафранова, ф — функция маг-
магнитного потока. Уравнения E.5.116) означают постоянство электронной и ионной
температур на магнитных поверхностях. Кроме того здесь фигурируют коэффициенты
теплопроводности E.3.18)
2пкТ, . „ пкТг
f mujzere
где
4 = \
3 n УМ (А;ТгK/2
а величины Qi и Qe соответственно равны E.3.20)
_3mnk
Ql~ ~МТеЦе 1г)'
Qe = — Qi — olv2\JkTe, a = const.
Последний член в Qe учитывает тормозное излучение (см. ниже п. 6.3.2).
Система E.5.11) весьма сложна. Но, учитывая оценочный характер данных рас-
расчётов, можно в первом приближении считать магнитное поле вакуумным, пренебречь
омическим нагревом и переносом тепла электронами, считать равными температуры
электронов и ионов. В результате задача сводится к решению одного уравнения
div(x±VT) = an2Vf, E.5.13)
Учитывая E.5.5), его можно записать в виде
= ав2. E.5.14)
Плоская модель. Рассмотрим сначала плоскую модель, когда п и Т являются
функциями декартовой координаты х, а магнитное поле Н = const. Характерным раз-
размерным параметром, определяющим решения уравнения E.5.14), является величина
^ E.5.15)
да
Тогда
^ E.5.16)
Для дейтериевой плазмы
А* «5- 105Э-см. E.5.17)
5.6. Кинетика ухода частиц плазмы из ловушек 253
Используя этот параметр, уравнение E.5.14) в одномерном случае можно записать
ввиде ? я2 1
^ыт=а^гд- E518)
Отсюда следует
{) {j E519)
Здесь принято, что на границе с плазменным объёмом температура равна То, а на
поверхности мискины (х = L) равна Т\.
При произвольных То и Т\ найденная зависимость Т(х) оказывается не монотон-
монотонной, а имеющей минимум при
Естественно, что нас интересует такой режим, когда поток тепла направлен
только в одну сторону — к миксине. Поэтому должно выполняться неравенство
хт[п > L. Взяв в качестве толщины MOM L = хт[п, получим связь L и Ti/T0:
?{=Щ'
Найдём с помощью этой формулы L, полагая То = 104эВ, Т\ = ЮэВ, Н = 104Э
и беря для А* значение E.5.17). Тогда
190 см. E.5.20)
Это сравнительно большая величина, но она явно завышена, так как здесь взято
минимальное для реактора значение магнитного поля и не учтена квазицилиндри-
квазицилиндрическая геометрия поля в окрестности миксины. Кроме того, в реальных условиях
в плазме всегда будет некоторая доля примесей с Z > 1, например тех же а-частиц,
и это существенно уменьшает А*, а значит, и L.
Отметим, что расчёт осесимметричной модели при тех же условиях дает величину
L = 50 см.
5.6. Кинетика ухода частиц плазмы из ловушек
В разделе 1.7 отмечалось, что в случае пробочной ловушки в пространстве
скорости (импульсов) есть "конус ухода", попадание в который, при отсутствии элек-
электрического поля сразу выводит частицу из ловушки. Таким образом, в пространстве
скоростей за счёт столкновений устанавливается течение частиц из зоны инжекции
к конусу потерь. Задача о таких потоках впервые рассмотрел на модельном уровне
Г. И. Будкер в своей работе 1954 г. [124], где был предложен пробкотрон. Ниже мы
коротко отметим особенности расчёта Будкера.
Но пробкотрон не единственная система, у которой в пространстве скоростей
имеются зоны повышенного ухода частиц. В пробкотроне конус ухода — это, по
сути, "черная дыра" системы. Однако, во многих системах "черных дыр" нет, но
в пространстве скоростей есть "серые" ("слабо держащие") зоны, попав в которые
частицы значительно быстрее уходят из системы. Так в п. 1.7.2, мы говорили
о дрейфовых траекториях в токамаках и наличии в них пролётных и запертых
254 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
частиц. Мы отмечали, что запертые частицы описывают траектории в виде широких
серпов — бананов, и это резко ухудшает их удержание. Подробнее об этом будет
сказано в п. 5.6.3.
В главе 7 мы познакомимся с пристеночной проводимостью и там также будут
свои "запертые" и "убегающие" частицы. Поэтому неоднородность пространства
скоростей по отношению к удержанию частиц является весьма распространенным
свойством плазменных систем и её роль всегда существенна.
5.6.1. Уход частиц из ловушек антипробочного типа. Весьма своеобразными
"черными дырами" обладают ловушки антипробочного типа [123]. Здесь речь будет
идти о ловушках с /Зо = 1, т.е. антипробковых ловушках и галатеях со встречными
полями (галатеи-А), изображёнными на рис. 5.6.2 0. В этих ловушках магнитный
барьер — переходный слой плазма-поле может быть < р/ — ларморовского радиуса
ионов. Поэтому анализ ухода частиц здесь необходимо проводить в рамках кинетики.
Рассмотрим простую модель магнитного барье-
барьера в виде ступеньки, в которой поле при х > О
направлено вдоль оси z и постоянно, а при х < О
поле равно нулю (рис. 5.6.1). Пусть на этот барьер
падает в точке А заряженная частица (например,
ион) со скоростью Vo = (Vqx, Voy). Если Hz > О,
а Voy < 0, то сила Лоренца будет направлена
в область х < 0, и, описав дугу, меньшую, чем
половина окружности, частица выйдет в точке В
из области поля со скоростью Vi = (—Vox,Voy).
Если теперь в точку В направить ту же ча-
частицу со скоростью Vi* = — Vi, то она опи-
опишет совсем иную траекторию, пройдя дугу, боль-
большую, чем "полуокружность". Это различие тра-
траекторий связано с неинвариантностью уравнения
Ньютона-Лоренца при наличии магнитного поля
по отношению к изменению знака времени.
Столкновение первой частицы с магнитным ба-
барьером назовем "костолкновением", а испытывающие их частицы в данном контек-
контексте — "кочастицами". Столкновение второй частицы назовем "контрастолкновением",
а такие частицы — "контрачастицами".
Наличие двух типов столкновений может сильно сказываться на удержании
частиц в ловушках. Весьма наглядно это проявляется в открытых осесимметричных
ловушках с полоидальным магнитным полем: антипробкотронах и галатеях-А. В ука-
указанных случаях сохраняется обобщённый момент количества движения
В
/
/
Рис. 5.6.1. Два типа столкновений
частиц с магнитным барьером: 1 —
костолкновения, 2 — контрстолк-
контрстолкновения
MrVe + -Ф = D = const.
с
E.6.1)
и движение по г и z можно представить как движение в поле сил с эффективным
потенциалом A.2.3а)
^2
Будем считать, что в центральной части магнитное поле равно нулю и здесь
можно положить Ф = 0. Рассмотрим теперь некоторый участок магнитного барьера,
где для определённости положим Ф > 0. Тогда частица, у которой D < 0, не
1) Подробнее об этих ловушках см. раздел 10.5
5.6. Кинетика ухода частиц плазмы из ловушек
255
может проникнуть внутрь барьера, поскольку потенциал U монотонно нарастает
вовне. Однако, если Ч? и D имеют одинаковые знаки, то потенциал имеет провал при
Ф = D, и в этот провал могут захватываться частицы.
Рассмотрим подробнее антипроб-
котрон (рис. 5.6.2а). В этой ловушке
в барьере, окружающем плазму, на-
направление магнитного поля изменяет-
ся, и соответственно изменяется знак
Ф. Поэтому, независимо от знака мо-
момента D, либо слева, либо справа
от радиальной щели в потенциальном
?<0
D>0
D<0
Рис. 5.6.2. Столкновения частиц с барьером:
в антипробкотроне (а), в Галатее-А (б)
рельефе U(r, z, D) образуется канал
ухода. Для захвата в канал части-
частица должна иметь продольную (вдоль
граничной сплошной линии) состав-
составляющую скорости, направленную к осевому выходу из ловушки. По мере уменьшения
г, как видно из E.2), высота стенок канала растёт и частица оказывается захвачен-
захваченной. Выйдет она через осевую пробку или нет, теперь уже определяется пробочным
отношением \ = ^тах/^* (Нтах - магнитное поле в пробке, Н* — поле в точке
захвата).
Таким образом, имеются два фактора, которые приводят к уходу частицы из
антипробкотрона: наличие канала захвата и "подходящих" составляющих скорости
поперёк и вдоль канала у вошедшей в него частицы. Именно эти факторы приводят
к тому, что площади эффективных осевых отверстий для ухода частиц из этой
ловушки оказываются неожиданно большими:
San ос 27rRpm[n. E.6.3)
Здесь R — наибольший радиус плазменного объёма, рт-т — ионный ларморовский
радиус в пробке.
Ситуация с Галатеей-А сложнее. Здесь граница плазмы также состоит из двух
элементов — поверхности магнитной оболочки миксины S^ и "общей" магнитной
поверхности So (рис. 5.6.26), на которых Ф имеет разные знаки. Однако поверхность
S^ не выходит за пределы плазменного объёма. Поэтому для тех частиц, у которых
D имеет тот же знак (пусть положительный), что и Ф на поверхности миксины,
наличие здесь канала захвата на потенциальном рельефе U не приводит к потере
частиц. В результате уход кочастиц происходит через эффективную щель, равную
ОС
E.6.4)
Иная ситуация у частиц с D < 0. Они являются кочастицами для магнитной
оболочки миксины и контрачастицами для общей магнитной оболочки. Поэтому
S{
'cont
ос
E.6.5)
Из сказанного следует, что, если наполнить незамагниченной плазмой Галатею-
А, то в первую очередь из ловушки должны уйти частицы с ?)Ф° > 0 (Ф° —
значение Ф в окрестности оси). После этого в объёме ловушки останется плазма
с частицами, у которых ?)Ф° < 0. Такая плазма начинает вращаться, и уход частиц
из ловушки резко ослабевает. Это связано не только с уменьшением эффективного
сечения отверстия ухода в Rjpi раз, но и с отжатием частиц от оси за счёт вращения.
Столкновения между оставшимися частицами будут рождать частицы с 1)Ф° > 0
и тем самым ещё сильнее раскручивать остающуюся плазму из частиц с °
256 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
< О, если, конечно, не разовьются неустойчивости, которые все это развалят.
К сожалению эти процессы пока не изучены должным образом.
5.6.2. Уход частиц из пробочной ловушки. Принципиальная схема пробочной
ловушки была описана в разделе. 1.7, и там было отмечено, что в пространстве
скоростей есть "конус ухода". Здесь будет рассматриваться стационарное "течение"
частиц только в пространстве скоростей и пренебрегать временем между попаданием
частицы в конус ухода и её выходом через пробки. Мы также будем считать
электрическое поле в ловушке отсутствующим. Вся информация о ловушке у нас
будет фигурировать в виде угла раствора запретного конуса во или квадрата синуса
этого угла
sin2 во = а = —j^~- E.6.6)
Кроме того, в пространстве скоростей будет задаваться "область старта" — ско-
скоростей инжектированных ионов. Расчёт течения от области старта к конусу будем
проводить с помощью уравнения Ландау, пренебрегая близкими столкновениями, хо-
хотя это может быть неоправданно вблизи достаточно тонких конусов. При сделанных
допущениях исходное уравнение запишется в виде E.2.45)
'2к24- f dp' (^j - |М Wi = Q. E.6.7)
(i,e) Uy%] ^k
Здесь п — плотность частиц, а под / понимается нормированная на единицу функция
распределения интересующих нас ионов в пространстве скоростей (импульсов). Эта
функция / = О при в = #о и # — тг — во, a Q(v) — интенсивность инжекции.
Решение уравнения E.6.7) аналитически весьма сложно, поэтому мы ограничимся
только описанием схемы того, в общем оценочном по своей сути, метода, который
использовал Г. И. Будкер. При этом будет рассматривать только ион-ионные столк-
столкновения одинаковых частиц [124].
Учитывая, что "штрихованные" частицы входят только под интегралом, (J...dpx),
не сделав большой ошибки, положим в E.6.7)
/V)=BmfcW/2exp{-2^}- E-6-8)
Тогда уравнение для / примет вид
2тгЛе4п2 д [ ,( p'k df\ f (p1J \
'dP \z^f + ^r ехР \~ё^ \wik = Q- E.6.9)
BпткТу/2 дрг Г \ткТ-> ' дрк) к\ 2ткТ
Переходя к безразмерным переменным
(~ -') 1 ( ') - , иг E 6 10)
[Рг>Рг) -> ^2mkT [Рг'Рг)' Щ ~* ^2кТ/т '
вместо E.6.9) имеем
dpi
= -q. E.6.11)
upi \_yup j j
Здесь
е4п2Л
wik =
E.6.12)
п3
5.6. Кинетика ухода частиц плазмы из ловушек 257
Явный вид а(р) и Ь(р) приведён в [124], но нам он не потребуется, и поэтому мы его
не уточняем.
В сферической системе координат уравнение E.6.11) записывается в виде
Это уравнение легко решается, если положить
q(p)=qoew{-f}^. E.6.14а)
Тогда решением будет
/ = ещ>{-р2}ф{в), E.6.146)
причём ф(9) удовлетворяет уравнению
1 д ^q0. E.6.15а)
sin в двv ' дв
Отсюда прямо следует
mil м
E.6.156)
Окончательно приближенное решение кинетического уравнения, удовлетворяющее
граничному условию / = 0 при в = #о можно записать в виде
E.6.16)
Учитывая, что / должно быть нормировано на 1:
находим
E.6.17а)
7r°/z {-[ntg{Uo/2) - cost
и при sin2 во = а <^ 1
2 2
% = ^3/2(|lrm|+21n2-2) ~ 7г3/2(|1пс^| -0,6)* E-6Л76)
Общий поток частиц на запрещённый конус равен интенсивности поступления ча-
частиц в ловушки
" , 9 , 6, 1
" * |1па|-0,6
о
Если ввести эффективное сечение ухода <тЭф по формуле
/ = п2аэфуотн, E.6.186)
ГкТ
то, полагая v0TH = \ — , получим
V га
3 Ле4
E.6.18в)
9 А. И. Морозов
258 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Отсюда видно, что эффективное сечение ухода порядка времени одного кулонов-
ского столкновения и очень слабо зависит от пробочного отношения Ятах.
Г. И. Будкером был рассчитан ряд моделей попадания частиц в конус ухода — при
разных положениях зоны инжекции и при учёте столкновений ионов с электронами.
Логарифмическая зависимость <тЭф от а = Нтах/Нт[п везде сохранялась.
Это подтвердили и численные решения уравнения E.6.7).
И последнее замечание. Первые эксперименты с пробкотронами показали, что
в простом осесимметричном пробкотроне плазма держится очень малое время
(^ 1 мкс), которое в тысячи раз меньше того, что даёт формула E.6.18в). Оказа-
Оказалось — и об этом уже говорилось в п. 1.7.1, что плохое удержание связано с развити-
развитием конвективной неустойчивости. Поэтому пришлось отказаться от осесимметричных
плазменных конфигураций. Тогда действительно удалось выйти на "классические"
времена удержания, определяемые формулой E.6.18в). Но все равно классическое
время при тех температурах, которые нужны для D-T реакции, на порядок мень-
меньше, чем необходимо для термоядерной реакции с положительным выходом. Эта
трудность, по крайней мере, в принципе, была преодолена в схеме, предложенной
Г. И. Димовым (см. раздел 10.5). Эксперименты подтвердили правильность его ос-
основной идеи, но обнаружились новые трудности, которые пока не изучены.
5.6.3. Неоклассическая диффузия в тороидальных системах. Ранее
в п. 3.8.2 была рассмотрена классическая диффузия плазмы в плоском (однонаправ-
(однонаправленном) магнитном поле. Интересные особенности носит классическая диффузия
плазмы в тороидальных полях. Поскольку интересующие нас черты практически
универсальны для тороидальных полей, то мы проиллюстрируем их на простейшей
симметричной конфигурации — токамаке.
Эти черты связаны с двумя специфическими особенностями тороидальных конфи-
конфигураций: тороидальным дрейфом и появлением запертых частиц, которые, как было
показано в п. 1.7.2, описывают в проекции на плоскость (r,z) серпообразные "бана-
"банановые" траектории. Ширина этих "бананов" определяется полоидальным магнитным
полем v±
еН±'
E.6.19а)
тогда как пролётные частицы имеют ларморовскую ширину, определяемую напря-
напряжённостью полного поля (А. И. Морозов, Л. С. Соловьёв [125])
5прол^2^%. E.6.196)
eii
Реально отношение ,
-р^ < 0,2-0,3, E.6.19в)
и поэтому коэффициент диффузии запертых частиц существенно больше коэффици-
коэффициента диффузии пролётных частиц
Эти простые соображения указывают на наличие трёх режимов диффузии, в за-
зависимости от величины отношения времени обхода банана (при отсутствии столкно-
столкновений т$) по времени свободного пробега тсп
Г]= .
5.6. Кинетика ухода частиц плазмы из ловушек
259
Если г] <С 1, то банановая траектория
не реализуется. Если 7/^1, то между
столкновениями успевает прорисоваться
заметный кусок банановой траектории и,
наконец, если г] ^> 1, частица успевает
описать несколько раз банановую тра-
траекторию. В результате D± зависит от
частоты столкновений так, как показа-
показано на рис. 5.6.3. Рассмотрим подробнее
каждый из указанных режимов [126].
(а) Режим частых столкновений.
Будем считать, что время свободного
пробега го ^> 2тг/ин — ларморовского
оборота в полном поле Н = |Hq + Н^ .
Тогда, казалось бы, коэффициент диф-
диффузии будет просто равен (п. 3.8.2)
D
III
/
/
/
/ п
/
/
I
>
Fie HQ
3/2
FTe
Рис. 5.6.3. Зависимость коэффициента нео-
неоклассической диффузии от частоты столк-
столкновений: I — квази-МГД режим (Пфирша-
Шлютера); II — "плато"; III — "банановый"
режим
1.
E.6.20)
Однако это не так из-за тороидального дрейфа. Действительно, как уже отме-
отмечалось, тороидальный дрейф создаёт "сверху" и "снизу" кольца поляризационные
заряды, которые затем стекают вдоль силовых линий и нейтрализуются. Но для
того, чтобы такое стекание происходило при конечном сопротивлении плазмы между
"верхом" и "низом" плазменного кольца, должна существовать разность потенциа-
потенциалов С/пол- Иными словами, в объёме кольца должно существовать ориентированное
преимущественно вдоль оси z электрическое поле. Наличие такого Е-поля и ази-
азимутального магнитного поля приводит к дрейфу частиц вдоль радиуса, причём этот
дрейф обязан конечной проводимости, как и обычный дрейф. Расчёты показывают
(Пфирш, Шлютер), что коэффициент радиальной диффузии в этом случае равен
где D±q — классический коэффициент диффузии в однородном поле,
"запас устойчивости"
аН\\
RH±'
E.6.21)
1, a q —
E.6.22)
Здесь а и R — малый и большой радиусы плазменного шнура, Щ — азимутальное,
а Н± — полоидальное поля.
Поскольку характерные значения q > 1— часто ~ 3—5, то учёт тороидального
дрейфа увеличивает классический коэффициент диффузии, даже при г] > 1 почти на
порядок.
В области значений r\ ~ 1 естественно ожидать, что коэффициент диффузии будет
слабо зависеть от частоты vie, т.к. несущественно, произошло столкновение вверху,
в середине наружного участка или внизу банана. Если к тому же учесть, что доля
запертых частиц по отношению к полной концентрации ~ у'ajR 0, то коэффициент
1) Это следует просто из относительной величины объёма конуса ухода в пространстве
скоростей.
260 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
диффузии на "плато" будет (Галеев, Сагдеев) [126]
Наконец, если г\ <С 1, то
E.6.24)
Здесь А — ларморовский радиус, вычисленный по полоидальному полю. Диффузия
при г] ~ 1 и г] <С 1 называется неоклассической (А. А. Галеев, Р. 3. Сагдеев [126]).
В целом зависимость коэффициента "неклассической" диффузии от частоты со-
соударений выглядит так, как показано на рис. 5.6.3. Представленные здесь три
области обычно называют: МГД-область, плато, банановая область.
Зависимость коэффициентов теплопроводности для каждой из компонент от
ще, такая же, как и зависимость коэффициента диффузии. Но здесь есть ионная
и электронная теплопроводности. Неоклассическая ионная теплопроводность в опре-
определённых пределах согласуется с экспериментом, а электронная расходится на 1—2
порядка.
5.6.4. Удержание энергии и плазмы в реальных ловушках. Скейлинги.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели ряд классических, т. е. неколебательных,
уходов частиц плазмы из ловушек. Однако реально существует ещё множество фак-
факторов, приводящих к уходу энергии и частиц из ловушки. К их числу относятся унос
энергии теплопроводностью электронной и ионной компонент, а также такой мощный
фактор как излучение примесей глубоко ионизованных тяжелых ионов, так или иначе
попадающих в водородную плазму термоядерного реактора. Но подлинным бичом
этих реакторов являются "неустойчивости" — спонтанные процессы, приводящие
к разрушению магнитной конфигурации.
Наряду с крупномасштабными колебаниями существенную роль обычно играют
СВЧ-колебания с плазменными (uq) и электронно-ларморовскими частотами, вызван-
вызванные различного рода "пучковыми неустойчивостями". Наличие таких высокочастот-
высокочастотных Е-полей большой интенсивности ("сильной турбулентности") приводит к тому,
что частицы начинают рассеиваться Е-полями, что радикально может уменьшать rei,
тем самым существенно увеличивать коэффициент диффузии.
Наконец, нужно отметить и такой, казалось бы "чисто технический" фактор, как
недостаточная юстировка магнитных полей. В п. 1.1.4 мы говорили о неустойчивости
морфологии магнитных полей, т. е. разрушении магнитных поверхностей, в том числе
при увеличении /3. Из сказанного видно, что анализ диффузии плазмы в плазменных
системах определяется не неким локальным параметром — "коэффициентом диф-
диффузии", как, например, при диффузии лёгкого газа в тяжёлом, а свойствами всей
системы в целом. Только что сказанное объясняет, почему до сих пор, спустя почти
45 лет нет количественной теории ухода энергии и частиц плазмы из токамаков,
а вместо этого используются различные "скейлинги".
О скейлингах. Этим словом в настоящее время называет полуэмпирические
формулы, полученные в результате обработки больших массивов экспериментальных
данных с учётом законов подобия. Такие скейлинги пришли в физику плазмы из
гидродинамики. Примером может служить формула, связывающая характеристиче-
характеристический параметр — критическую скорость перехода ламинарного пуазейлевого течения
в турбулентное, с диаметром трубы, вязкостью, шероховатостью стенки.
Скейлинги особенно естественны, когда речь идёт об очень сложных (для сего-
сегодняшнего дня) системах. Со временем реальная ситуация проясняется, и появляются
физически обоснованные формулы, которые заменяют скейлинги.
5.7. Плазмооптика (гибридные модели) 261
В свете сказанного выше о сложности процессов переноса в реальных ловушках,
например токамаках, естественно, что здесь широко используются скейлинги.
Чтобы дать представление о характере скейлингов, приведем, так называемый
"новоалкаторный", опирающийся в основном на базу экспериментальных данных,
полученных на токамаке "Алкатор" (США). Этот скейлинг для времени удержания
энергии при джоулевом нагреве плазмы имеет вид
те ~ neR2aq. E.6.25)
Здесь пе — средняя по сечению плотность электронной компоненты, R — большой
радиус тора, а — малый радиус, ад — запас устойчивости E.6.22).
Зависимость E.6.25) хорошо описывает эксперимент. Ну а какова физика форму-
формулы E.6.25) не ясно. А ведь, казалось бы, мы должны были бы иметь формулу типа
2
тЕ~в—. E.6.26)
Х±
Здесь х± — коэффициент неоклассической температуропроводности.
Но расчётные значения по E.6.26) во многом не согласуются с эксперименталь-
экспериментальными данными, особенно для электронов. Причины те же, что и в случае диффузии
плазмы - "аномальные" (динамические) процессы (см. о скейлингах, например,
[127]). .
5.7. Плазмооптика (гибридные модели)
Выше отмечалось, что из-за большого различия масс электронов и ионов часто
эффективными оказываются "гибридные" модели. Когда ионы описываются кинети-
кинетически, а электроны гидродинамически. В этом параграфе мы рассмотрим этот подход
на примере плазмооптических систем.
Применения плазмы многообразны. Среди них все более видное место начинает
занимать её использование как среды, формирующей необычные электромагнитные
конфигурации. Так, уже много десятилетий Я. Б. Файнбергом и А. А. Рухадзе разра-
разрабатываются и используются плазменные волноводы, многими изучались "когерент-
"когерентные" методы ускорения тяжёлых частиц, в том числе с так называемой "кильватерной
струей", и т. п.
В п. 3.2.2 мы отмечали возможность создания самых различных рельефов элек-
электростатического потенциала на основе эквипотенциализации магнитных силовых
линий. Там же были указаны принципиальные схемы различных классов устройств,
которые могут быть созданы на этой основе. В данном параграфе мы рассмотрим один
из них — фокусирующие плазмооптические системы (ПОС). Раздел плазмодинамики,
изучающий совокупность таких систем называют "плазмооптикой" [128, 129] 0.
Классическую корпускулярную оптику будем называть "вакуумной". При всех её
замечательных достижениях она обладает двумя большими недостатками. Преж-
Прежде всего она слаботочна, и размеры соответствующей оптической системы, даже
в случае предельной сильноточности — как это было показано на примере диода,
ограничены дебаевским радиусом. Ясно, что овладение оптикой квазинейтральных
потоков — плазмооптикой, радикально изменит ситуацию. Плазмооптические систе-
системы, став сильноточными, явятся мощным инструментом промышленных технологий.
1) Принципы плазмооптики сформулированы А. И. Морозовым
262 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Вторым недостатком вакуумных оптических систем является лапласов характер
используемого в них электростатического поля, т. е. подчинение вакуумного электро-
электростатического поля уравнению Лапласа
АФ = 0. E.7.1)
Это обстоятельство приводит к целому ряду нежелательных эффектов. Так, напри-
например, нельзя сделать одиночные осесимметричные линзы (как магнитные, так и элек-
электрические) рассеивающими параллельный поток частиц (они всегда собирающие),
нельзя устранить в таких линзах сферическую аберрацию, что не позволяет увидеть
атомы в электронный микроскоп и т. д.
В плазмооптике вместо уравнения Лапласа потенциал подчиняется закону экви-
потенциализации магнитных силовых линий
Фт = Фт(т)> E.7.2)
и здесь указанные трудности могут быть устранены.
В данном параграфе мы рассмотрим особенности плазмооптических систем
в упрощенном гибридном приближении. А именно, мы будем в основном описывать
динамику ионов в одночастичном приближении, а электроны будем считать холод-
холодными, и поэтому будем пренебрегать термализацией электрического потенциала.
Отказаться от этих допущений не трудно, и это мы проделаем в конце этого
параграфа.
5.7.1. Общие принципы плазмооптики. Отмеченную выше слаботочность ва-
вакуумных систем можно проиллюстрировать следующими оценками. За счёт соб-
собственного электрического поля пучок ионов с энергией частиц ~ 1 кэВ и током 1 мА
расширяется в два раза в случае водорода на длине L ~ 5D, где D — диаметр пучка,
а при тех же условиях пучок ионов аргона расширяется в два раза при L ~ 12D.
Если используется только одно магнитное поле, то такая система может фоку-
фокусировать квазинейтральный ионный поток. Примером может служить рассмотренная
в п. 1.4.2 фокусировка в однородном магнитном поле. Но здесь нас будут интересо-
интересовать системы с объёмным электростатическим полем.
При этом желательно обеспечить автономность электронной компоненты в смыс-
смысле п. 3.2.2. Проще всего это реализуется в осесимметричных системах с использова-
использованием полоидальных (Е, Н)-полей, при которых дрейф замкнут.
Рассмотрим два примера плазмооптических систем с квазинейтральными ионны-
ионными потоками.
"Электростатическая" плазменная линза. Выше в разделе 1.4 мы рассмотрели
фокусировку частиц простейшими кольцевыми линзами в вакуумном режиме.
Теперь рассмотрим фокусировку, когда имеется катушка, по которой течёт ток,
а кроме того кольцо заряжено. Если плотность ионного пучка щ мала, так что
дебаевский радиус рассчитанный по Те и плотности пучка много больше радиуса
кольца R.
Пётр
W E7-3а)
то, при Те <С Si, где Е{ — энергия иона, и при указанных выше параметрах системы,
фокусное расстояние FJf^ по-прежнему окажется очень большое, т. к. по "школьной"
формуле 1 1 1
~^Г = ~F^ + ~БШ- E.7.36)
А теперь увеличим плотность пучка с тем, чтобы дебаевский радиус стал много
меньше радиуса кольца, а магнитное поле выберем таким, чтобы был достаточно мал
5.7. Плазмооптика (гибридные модели)
263
также электронный ларморовский радиус (ре <С R). При этих условиях реализуется
эквипотенциализация магнитных силовых линий и происходит полная перестройка
эквипотенциалей. В результате знакопеременная радиальная компонента электриче-
электрического поля Ег, какой она была в вакуумном случае, превращается в знакопостоянную
величину (рис. 5.7.1). И совершенно очевидно без вычислений, что фокусное рассто-
расстояние, которое ранее зависело от квадрата напряжённости Е-поля, теперь зависит от
первой степени напряжённости Ег. В результате резко сокращается длина фокусного
расстояния, и линза может быть как собирающей, так и рассеивающей.
Рис. 5.7.1. Перестройка эквипотенциалей
электростатической линзы при переходе
от вакуумного режима к квазинейтрально-
квазинейтральному: 1 — источник компенсированного ион-
ионного пучка, 2 — катушка, создающая маг-
магнитное поле, совмещенная с электродом,
3 — люминесцентный экран, 4 — сфоку-
сфокусированный квазинейтральный пучок
Проиллюстрируем сказанное расчётом. Возьмём простейший случай, когда
ф = кф. E.7.4)
Функция ф в окрестности кольца с током равна
2 с(
Если связь E.7.2) линейная (
phi ~ ф), то
2
= —a(z), a{z) = —
2Ua\ R2
R J {R2
E.7.5)
Здесь Ua — эффективный потенциал кольца. Подставляя E.7.5) в A.4.226),
получаем
^ E.7.6)
Взяв еКИН = ЮкэВ, R = 5см, Ua = 1 кэВ, получаем F^1 « 25см(!). Разница
огромная по сравнению с тем, что мы имели в разделе 1.4.
Схема плазменной линзы и установки в целом, на которых впервые в 1967 году
в ИАЭ В. В. Жуковым, А. И. Морозовым и Г. Я. Щепкиным была осуществлена
описанная перестройка фокусировки, изображена на рис. 5.7.2 [130]. Проведенные
исследования подтвердили приведённые выше расчёты.
Нужно, однако, отметить, что качество фокусировки несколько ухудшается при
больших токах (~ 1 А). Не вызывает сомнений, что этот недостаток будет прёодолён.
Описанную линзу называют электростатической плазменной, поскольку реальный
вклад собственно магнитного поля остаётся таким же малым, как в вакуумном
случае, а его роль реально сводится к обеспечению структуры Е-поля, для чего
достаточно малых полей, лишь было бы выполнено условие, необходимое для экви-
потенциализации
ре <Я,
264 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Рис. 5.7.2. Схема экспериментальной установки с электростатической плазменной линзой; 1 —
источник пучка ионов, 2 — компенсированный полный пучок, 3 — электроды, фиксирующие
потенциалы силовых линий в линзе, 5 — квазинейтральный ионный пучок, прошедший линзу,
б — экран
а также условие "притормаживания" потока
Н2
— > MnvjS.
О7Г
На рисунке 5.7.3а изображена современная плазменная линза, разработанная и ис-
исследованная А. А. Гончаровым с сотрудниками [131]. Эта линза фокусировала по-
потоки ионов от углерода до висмута. Характерные параметры ионных потоков: Si ~
~ 20—ЮОкэВ, Ц < 0, 5 А, диаметр пучка на подходе к линзе ~ 10 см. Результат
фокусировки представлен на рис. 5.7.36.
Л 15 -
0,5 м
12 3 4 5 6
Радиус г,(см)
Рис. 5.7.3. Схема экспериментальной установки с электростатической плазменной линзой
А. А. Гончарова (а): 1 — источник пучка ионов, 2 — плазменная линза, 3 — цилиндр Фарадея;
радиальное распределение плотности компенсированного ионного тока на расстоянии 0,5 м от
линзы, измеренного с помощью цилиндра Фарадея (б). На рисунке указаны напряжения на
линзе; магнитное поле в линзе 800 Гс, энергия ионов 22кэВ
Плазмооптический масс-сепаратор [132]. Здесь мы опишем схему одного про-
простейшего масс-сепаратора квазинейтральных потоков, содержащих ионы с разными
массами, но с одинаковым зарядом. Разработка такого сепаратора сейчас начата.
Идея этого сепаратора, в известном смысле, отталкивается от принципа энергоана-
энергоанализатора Юза-Рожанского (рис. 1.4.4.). А именно, если сделать так, чтобы энергия
5.7. Плазмооптика (гибридные модели)
265
частиц, поступающих в цилиндрический конденсатор зависела только от массы
частиц (гКИН = г(т)), то на разных расстояниях от опорной поверхности будут фоку-
фокусироваться частицы с разными массами. Такой сепаратор осесимметричной геометрии
с однородным магнитным полем, ориентированным вдоль оси системы, и радиальным
Е-полем изображен на рис. 5.7.4. В этом сепараторе дрейф очевидно замкнут. На
рисунке видно, что ионный поток поступает в сепаратор от кольцевого достаточно
сильноточного источника. Им может быть ионный инжектор или плазменный уско-
ускоритель с замкнутым дрейфом. При этом от источника требуется, чтобы уровень
азимутально несимметричных шумов бы мал, и на выходе из канала хаотическая
азимутальная компонента скорости была мала
5щ_
VM
AM
E.7.7)
где AM — разделяемая разность масс ионов. Кроме того, предполагается, что
плотность частиц в потоке сравнительно слабо колеблется.
Рис. 5.7.4. Схема плазмооптического масс-сепаратора с ^-фокусировкой (ПОМС-Е): 1 — коль-
кольцевой плазменный ускоритель — источник ионов, 2 — азимутатор, 3 — сепарирующий объём,
4 — наружный цилиндрический положительный электрод, 5 — внутренний отрицательный
электрод, б — приёмники разделённых масс (Mi, M% — державки приёмников), 7 — катушки
слабого магнитного поля Но в сепарирующем объёме, служащего для замагничивания элек-
электронов, 8 — фокусировка ионов, вышедших из одной точки кольцевой щели
Компенсированный ионный ("плазменный") поток подходит к входной щели се-
сепаратора перекрыт достаточно сильным поперечным магнитным полем. Этот блок
сепаратора называется азимутатором. Магнитный поток, пересекаемый частицами,
равен 2тг"ф = 2irRhH, где h — ширина азимутатора, R — радиус щели. В силу закона
сохранения момента количества движения (на входе в канал ускорителя считаем в =
= О, ф = 0)
тгЧ + -?/> = ?>« 0.
с
266 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
г, см
200
150
- а =2,5
100
м=т
Z , СМ
100
200
300
400
500
-50 —
-100
б -200
100
-100 0
Рис. 5.7.5. Расчётные траектории ионов в плазмооптическом масс-сепараторе ПОМС-Е: проек-
проекции на плоскость (г, z) траекторий ионов разных масс, вышедших из одной точки источника
с одинаковой энергией, рассчитанные в одночастичном приближении (а); проекции на плос-
плоскость (г, в) при тех же условиях (б)
Частицы, пройдя азимутатор, приобретают азимутальную скорость
eHh
ve = .
с т
Эта скорость зависит только от массы частицы и здесь применима формула A.4.16в)
для смещения по радиусу
т
После прохождения азимутатора частица сохраняет часть продольной скорости
Здесь нулем отмечена скорость частиц перед азимутатором, а буквой А — компонен-
компоненты скоростей после азимутатора. Пример расчётных траекторий в таком сепараторе
дан на рис. 5.7.5.
5.7. Плазмооптика (гибридные модели)
267
Оценки показывают, что такой сепаратор диаметром ~ 3 м может за год перера-
перерабатывать ~ 20—ЗОт вещества со средней атомной массой ~ 50—100. Поэтому такие
плазмооптические сепараторы способны внести большой вклад в технологию, особен-
особенно в атомной промышленности, где реально требуются изотопно чистые конструкци-
конструкционные материалы, а также необходима сепарация отходов ядерных предприятий.
5.7.2. Некоторые особенности плазмооптических систем. Транзитивные
и нетранзитивные системы. На примере электростатических линз мы видели, что
переход от вакуумного режима к квазинейтральному (при наличии добавочного маг-
магнитного поля) сопровождается радикальной перестройкой эквипотенциалей. Такие
системы называют нетранзитивными.
С другой стороны в основном объёме описанного выше сепаратора имеется
однородное магнитное поле и радиальное (~ 1/г) электрическое поле. Здесь выпол-
выполняется одновременно условие ф = ф(ф) и уравнение Лапласа для ф и ф. Поэтому
такой сепаратор без перестройки полей может работать как в режиме одиночных
частиц, так и в режиме квазинейтральных потоков. Такие системы будем называть
транзитивными.
"Тривиально-транзитивными" являются, очевидно, оптические системы, содержа-
содержащие только одно магнитное поле.
Условия эквипотенциализации магнитных силовых линий В случае нетранзи-
нетранзитивных систем эквипотенциализация связана с появлением в системе электрических
зарядов. Оценим их масштаб для осесимметричных систем, исходя из уравнения
Пуассона
Аф(ф) = -4тгегл E.7.8)
Здесь v = щ — пе — плотность некомпенсированных частиц. Очевидно, критическая
плотность п*, при которой эквипотенциализация стала почти совершенной должна
по крайней мере на порядок превосходить v. Поэтому можно написать следующий
критерий плазмооптического режима
п > п
10*/.
Используя уравнения E.6.10), E.6.11), получаем
10 4тге
а * / д ! */>
Здесь учтено, что Aw = г— —
or г or
~дг~
dz
E.7.9)
E.7.10)
= 0.
В случае, когда
линейно зависит от ф имеем
2дф 1 2ЕГ
v =
1
г дг 4тге г 4тге'
По порядку величины данное выражение эквивалентно оценке
E.7.11)
E.7.12)
Здесь го — дебаевский радиус, рассчитанный по скорости ионов, L — характерный
масштаб системы.
О произволе задания ^-поля в плазмооптических системах. Важнейшей осо-
особенностью плазмодинамических систем является несравненно больший произвол
при задании электрического поля в системе. Действительно, в вакуумном случае
268 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
распределение Е-поля в объёме определяется уравнением Лапласа и при данном
граничном условии
ф = ф(М)\3 ,
где М — точка на граничной поверхности S, выражается интегралом
ф(х) =
Здесь G(x,M) — функция Грина для данной области. Отсюда видно, что значение
ф в точке х определяется всем распределением на границе области. Другое дело
в квазинейтральном случае. Здесь потенциал приносится вдоль силовой линии,
соединяющей точку х с точкой М на поверхности.
Формально больший произвол в построении ф(х) в плазмооптике виден также
из того, что эквипотенциализация реально означает переход от уравнения Лапласа
к уравнению Пуасона.
И уже совсем конкретный пример — электростатические поля в осесимметричных
параксиальных системах.
Г2
Учитывая, что в этом случае ф\г^о ~ —Hq(z) —> 0, можно написать
= j (ф'@)Н0(г)) + j (V(О)#о2(*) - ^рЯо'м) • E-7.13)
Отсюда видно, что если в вакуумном случае поле определяется одной функцией
фо(%), то в плазменном случае фигурируют две функции Hq(z) и ф(ф). Этот доба-
добавочный произвол позволяет, в частности устранить сферическую аберрацию.
5.7.3. Расширение квазинейтрального пучка под действием электронного
давления. В предыдущих пунктах электроны предполагались холодными, и, соот-
соответственно, энергетический потенциал был постоянен на силовых линиях (магнитных
поверхностях)
Ф = Ф{ф).
Покажем, как можно учесть влияние на поведение квазинейтральных пучков конеч-
конечной электронной температуры, если она невелика,
V(nkTe) < УФ. E.7.14)
Предполагая распределение электронов максвелловским, берём термализованный
потенциал в виде C.2.10)
Ф = фт(ф) + —L In —. E.7.15а)
е п0
Соответственно, кинетическое уравнение для квазинейтрального пучка ионов будет
иметь вид (при Н = 0)
(ЪФТ(Ф) + W) M = о. E.7.156)
m \ е п у Vv
В силу квазинейтральности
пе « щ = fidv. E.7.15в)
5.7. Плазмооптика (гибридные модели) 269
Учитывая малость теплового члена, искать решение системы E.7.15), можно методом
последовательных приближений
/ = /0 + /1+/2 + -' E.7.16а)
П = По + П\ + П2 + ... •
Реально эти разложения идут по степеням
е = ^. E.7.166)
Здесь Si — характерная энергия ионов.
Введя обозначения
Df0 df df e df
^ = Ж + у^ + м
можно написать следующую цепочку последовательных приближений:
Df0
Dt
= 0;
Dt e Щ dv
Щ2 кТ±д/± { '
Dt m n\ dv '
Г Г
Щ = \ fo dv; n\ = /i dv.
Таким образом, задача сводится к решению линейных уравнений в частных произ-
производных с известной правой частью.
Проиллюстрируем последний метод на простом примере. Пусть в свободное по-
полупространство z > О поступает квазинейтральный поток, ионы которого при z = О
имеют функцию распределения
Г у2]
/@H|г =пооехр^ --2 \5(vz -voM(vy). E.7.18)
Температуру электронов Те считаем постоянной. Кинетическое уравнение для ионов
в этом случае имеет вид
Нулевое приближение функции распределения удовлетворяет уравнению
(W)/(o) = 0,
характеристики которого описывают равномерное прямолинейное движение
vyz
vyo=vy; vz0 = vz; yo = У —.
Следовательно, и при любом х,
Г у2]
/о = nOoexp<^ -~2 \5{vz -voM(vy). E.7.19)
270 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
Отсюда находим распределение плотности пучка в нулевом приближении и уравне-
уравнение первого приближения
п0 = ^ 2
,vdfA1_kn2ydf1_ ( ¦ }
dz +Vy ду м Vdvy~u-
E.7.21a)
Его характеристическая
имеет решения
система
dz
Vz
dy
Vy
dvz
0
dvy
kTe2y
M b2
^)-^sh(^);
E.7.216)
yo = у ch (—) - —sh (—); <i2 =
yvz J q \vz I ' Mb2
Подставляя E.7.216) в E.7.19), получаем
'I
> x
x 5 (vzo - vo) 5 ( vy ch ( — ) - qy sh ( — ) ) . E.7.22)
Vz />1
Учитывая, что
упростим выражение
expi--2-ch2—
/i = n00 l , ,Vz)S (vz0 - v0) 5 ( vy - qy th ( ^ ) ) . E.7.23)
Отсюда видно, что под действием сил электронного давления квазинейтральный
пучок начинает расширяться. Плотность пучка, соответствующая первому прибли-
приближению E.7.23), равна
n(i)=noo 1 , ч Vz) ¦ E.7.24)
vz
Зная n(i), можно найти /B), и т.д. Как видно из структуры решения E.7.23),
безразмерным параметром малости является величина
г E.7.25)
v7 v7 УМ
5.8. Кинетическое уравнение Больцмана-Давыдова
271
5.8. Кинетическое уравнение Больцмана-Давыдова для
электронов в слабо ионизованной плазме
В этом разделе мы рассмотрим ещё одну модификацию столкновительного чле-
члена кинетического уравнения Больцмана, полученную Б. И. Давыдовым в 1936 го-
году [135] 0. она описывает электронную компоненту в слабо ионизованной плазме
(СИП), когда можно пренебречь столкновениями электронов друг с другом и с иона-
ионами. СИП — распространённая форма плазмы как в лабораторных (например, тлею-
тлеющий разряд, различные пламена), так и в природных (ионосфера) условиях, Кроме
того, её теория относительно проще. В СИП при наличии электрического поля (как
в тлеющем разряде) создаётся существенно неравновесная плазма. Электроны здесь
могут набирать значительные энергии, несмотря на частые столкновения с атомами,
тогда как ионы остаются — при наличии не слишком удалённых стенок, практически
холодными, как и нейтральные атомы. Это объясняется, очевидно, малой величиной
отношения масс т/М ^ 10~3 —10~5, то-есть тем, что при е < еф*, где ф* — пер-
первый потенциал возбуждения тяжёлых частиц, столкновения электронов с атомами
носят упругий характер, при которых электроны теряют мало энергии, всего 5ге ~
~ (т/М)ге. В то же время ионы, сталкиваясь с атомами, передают последним свою
энергию в среднем за несколько столкновений Mi/Ma, а атомы передают энергию
стенкам.
Благодаря этому атомы в первом приближении (при т/М = 0) считаются непо-
неподвижными, и вся кинетика сводится только к кинетике электронов. Соответствующее
кинетическое уравнение находится из кинетического уравнения Больцмана для смеси
трёх газов, один из которых будем считать электронами:
Dt
= Si[fe,fa]+S2[fe,fe]+S3[fe,fi.
E.8.1)
Пренебрегая, из-за малых концентраций S\
и $2 и учитывая "неподвижность" ионов, а так-
также (при т/М = 0) неизменный модуль скорости
электронов |v| при столкновении с атомами, полу-
получаем промежуточное кинетическое уравнение
E.8.2)
Здесь па = J fa dvf. Поскольку модуль скорости
электронов при столкновении не изменяется, а из-
изменяется только направление скорости, то целесо-
целесообразно ввести единичные векторы направлений
скоростей частиц
Рис. 5.8.1. Траектории частиц,
сталкивающихся со сферой
E.8.3)
Вычислить da можно таким же образом, как в п. 5.2.2 вычислялась аналогичная
величина. Надо только учесть, что вместо соотношения E.2.10), связывающего
прицельный параметр р с углом отклонения 0, здесь, как видно на рис. 5.8.1
E.8.4)
cos [-= = -,
2 а
') См. также [133] и [134]
272 Гл. 5. Кинетика двухкомпонентной плазмы при классических столкновениях
где а — радиус атома, который будем считать сферическим. Тогда получим:
da = rhodpdcf) = d(f) cos - о2 • - sin ( — I dO = — sin в dO d(j) = -7-dft. E.8.5)
Отсюда находим полное сечение
а = па2. E.8.6)
Окончательный вид искомого столкновительного члена таков:
Учёт членов ~ т/М, т. е. упругой передачи энергии от электронов к ионам,
приводит к добавке в правой части E.8.2) интеграла
ДЛ""СТ~-Я I IV"/ ^eVT / " jev/l^^* E.8.8)
Таким образом, кинетическое уравнение для электронов в СИП имеет вид
dfe , „а/е в ^Е + :1
f+*i
Здесь Q(v) — член, описывающий неупругие процессы (возбуждение и ионизацию).
Функция распределения электронов в СИП при Е = const. Приведём результаты
расчёта с помощью E.8.9) ФРЭ в однородном СИП при наличии постоянного элек-
электрического поля.
Если предположить, что длина свободного пробега постоянна, то
E8Ю)
Здесь го = сЕХ — энергия, набираемая электроном на длине свободного пробега.
Постоянная С определяется процессами ионизации и гибелью частиц.
Оценим масштаб го для газосветной трубки с Аг при р = 1 Торр. В этом случае
Л ~ 0,02 см и, если взять Е = 1 В/см, то характерная энергия электронов будет
E'8Л1)
Эта величина близка кГе~ 2эВ, которая имеет место в этих устройствах.
Глава 6
ПЛАЗМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ С ТРАНСФОРМАЦИЕЙ
ЧАСТИЦ И ИЗЛУЧЕНИЕМ
6.1. Введение
В предыдущих главах плазма рассматривалась как совокупность точечных элек-
электронов и ионов, движущихся в электромагнитном поле. Однако реальные ситуации
во многом далеки от такой простой схемы. Объясняется это наличием у тяжёлых
частиц, кроме трёх 0 внешних (пространственных), еще большего числа внутренних
степеней свободы, связанных с электронными оболочками (исключение составляет
лишь ион водорода) и ядрами. О собственно ядрах мы скажем в разделах 10.5-6,
а здесь будем иметь ввиду только электронные оболочки и лишь совсем немного
коснемся колебания ядер в молекулах. "Развязывание" внутренних степеней свободы
(трансформация частиц 2)), есть следствие увеличения энергии, которую могут иметь
частицы в плазме. В то же время в классической газодинамике (кинетике) частицы
остаются неизменными, поскольку энергия их находиться на уровне < 0, 1 эВ ~
~ 1000 К. Для однократной ионизации нейтральных атомов (ионов) требуется энер-
энергия электронов ~ 5—15 эВ. Для образования многозарядных ионов необходимы су-
существенно большие энергии (см.рис. 10.6.1).
Очевидно, в процессе ионизации с необходимостью возникает смесь нейтральных
частиц, ионов разной зарядности Z и электронов. Аналогичная ситуация имеет
место вблизи энергопоглощающих стенок даже высотемпературных термоядерных
реакторов, например, токамаков. И это при том, что в центре таких установок
температура достигает > ЮкэВ « 108К, при которых начинаются реакции слияния
легких ядер (раздел 10.5). Классическими примерами плазменных образований с не
полностью ионизированной плазмой являются наиболее распространенные сегодня
тлеющие и дуговые разряды, о которых подробнее будет сказано в разделе 6.10.
И наглядный космический пример. Наше Солнце, о котором справедливо говорят
как о плазменном образовании, имеет на поверхности температуру ~ 5800 К, при
этом соответствующая степень ионизации водорода всего « 0,1%. Конечно, в глубине
Солнца вещество полностью ионизировано.
Два параметра — Z^ — номер тяжёлой частицы в таблице Менделеева и Z —
кратность ее ионизации, не исчерпывают список характеристик частицы в плаз-
плазме. Действительно, при Z < Z^ у тяжёлой частицы сохраняется часть электронов
и поэтому существует огромное число способов их распределения по уровням. Эти
уровни образуют еще одну (или, если хотите, несколько) степень свободы, которую
будем условно характеризовать символом ф. Отсюда следует, что в идеале при
1) Если частицы не обладают сферической симметрией, то таких степеней свободы может
быть 5 или 6.
2) Под "трансформацией" тяжёлых частиц понимаются процессы с участием их внутренней
степеней свободы.
274 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
кинетическом описании динамики реальной плазмы каждому значению комплекса
а = (Z^, Z, ф) должна соответствовать своя функция распределения в 6-мерном
фазовом пространстве
fa =/c(x,V,t),
или обобщенная функция распределения
в обобщенном 9-мерном фазовом пространстве в = (х, va, а), где а — в общем случае
дискретные координаты.
Но введением в и F мы еще не оконтурили проблему реалистического описания
плазмы. Даже в случае, если плазма образована атомами, а не молекулами, переходы
между уровнями могут осуществляться за счёт разных причин: спонтанно, с испуска-
испусканием фотона (если начальная энергия уровня еш > гп), за счёт столкновения частиц
друг с другом или поглощения фотонов. Переходы между уровнями, сопровождаю-
сопровождающиеся излучением порождают огромное многообразие фотонов с энергией
iLLUmn = ?т — ?п,
здесь Ь — постоянная Планка, и — угловая частота. Относительная роль излучения
в динамике плазмы может быть весьма разной. Во многих случаях, например в мощ-
мощных разрядах излучение уносит из плазмы более 80% подводимой энергии. Даже
в классических разрядах "энергетическая цена иона" 0 бион находиться обычно на
уровне трех "потенциалов ионизации"
Сион ^ 3/.
Под потенциалом ионизации / по сложившейся традиции понимают собственно
энергию ионизации, выраженную в эВ. Различие межу / и етн объясняется тем,
что столкновение электрона, даже обладающего энергией г > 1, чаще приводит не
к ионизации, а к возбуждению атома, который потом сбрасывает "лишнюю" энергию
излучением, которая теряется для системы, если она "прозрачна" в данном диапазоне
частот. Но в плотной и достаточно холодной плазме фотон может поглотиться,
в частности, возбудить другой атом и т.д., и в этих условиях цена иона бион может
приближаться к /.
Из сказанного видна необходимость описания "переноса излучения" каждого
сорта фотонов с учётом вероятности излучения (qu) и поглощения (яш) при данных
(*, х).
Очевидно, для этого требуется уравнение кинетики фотонов в 6-мерном простран-
пространстве (х, х), где я — волновой вектор. Это уравнение имеет вид:
Очевидно, для этого требуется уравнение кинетики фотонов в 6-мерном простран-
пространстве (х, ), где — волновой вектор. Это уравнение имеет вид:
^ + cdivft/ = qu- хш1, F.1.1)
здесь 7(х, х, t) — интенсивность светового потока с частотой ио = с\х\ в направле-
направлении Г2 = х/\х\, с — скорость света. Показатель преломления плазмы для фотонов
считается обычно равным 1.
Большие трудности расчёта динамики излучающей плазмы связаны не только
с большим числом искомых функций. Наличие множества дискретных уровней у ато-
атомов, молекул, ионов превращает функции qu, xu в гребенки весьма прихотливого
х) Подробнее см. раздел 6.6
6.1. Введение
275
вида (рис. 6.1.1). Но этого мало. В реальных условиях спектральные линии, как
говорят, "уширены" за счёт различных механизмов: эффекта Доплера (обязанного
движению излучающей частицы), эффекту Штарка (обязанного действию электриче-
электрических, в частности, межчастичных полей) и т.д. Таким образом, функции q^, к^ не
только зависят от структуры электронных оболочек частиц в идеальных условиях,
но и от хаотического движения частиц и от макропараметров динамики потока,
в котором они участвуют, т. е. от его скоростей, температур и плотностей, а также
электромагнитных полей.
я
I ю-1
I
1 ю-2
I
13
Ю =
ю-5 =
I
О 10~6
ю-7 =
ю-8
ж
!
Е
X.
1
'Ml
i i
h
1
К
1
50000
10000 150000
Волновое число, см4
Рис. 6.1.1. Спектр радиационного потока к поверхности космического аппарата в 500 000 точ-
точках по волновым числам. Для сравнения представлена спектральная интенсивность излучения
абсолютно черного тела при такой же температуре поверхности
Кинетические уравнения для частиц при наличии трансформации также суще-
существенно усложняется. Они теперь принимают вид
F.1.2а)
здесь Dfa/Dt — субстанциональная производная в фазовом пространстве, Sa — опи-
описывает упругое взаимодействие, Na — неупругие трансформационные столкновения
частиц, Ra — взаимодействие частиц с излучением.
При переходе к гидродинамическому описанию динамики трансформирующейся
плазмы, система уравнений также становиться многокомпонентной по а. В частности
уравнение непрерывности принимает вид
(in
-^+dwnava = (Na)f + (Ra}f, F.1.26)
здесь (...)f — усреднение по
276 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Итак, трансформация очень усложняет теорию, поэтому неудивительно, что здесь
существует относительно небольшое число аккуратно решенных задач с учётом
многих тысяч переходов, и то преимущественно в одномерных случаях, а чаще всего
дело ограничивается сравнительно грубыми оценками. Во второй половине данной
главы мы приведем соответствующие примеры.
Естественно, к F.1.1) и F.1.2а) надо добавить уравнение Максвелла. Переход
к рассмотрению динамики трансформирующейся плазмы, как мы его описали выше,
введя вместо одной функции распределения /(?, х, v) набор функций распределения
fa(t,x,v) — пригоден только для достаточно редкой плазмы, когда среднее расстоя-
расстояние между частицами
>
много больше характерных размеров атома а или остаточных электронных оболочек
ионов. В этом случае мы имеем две, в общем сравнительно слабо связанные системы:
собственно плазму (классическую) и микромиры тяжёлых не полностью ионизиро-
ионизированных частиц. Их связь в конечном счёте, характеризуется некими "интегральными"
характеристиками, такими как сечения возбуждения, ионизация, вероятность спон-
спонтанного перехода и т. д.
Разумеется, когда расстояние между частицами d ~ а, ситуация радикально изме-
изменяется. Здесь возникает некое "перемешивание" плазменных и атомных электронов,
приводящее, в частности, к возникновению различного рода кластеров. Но как мы
подчеркивали во введении, физика плотной плазмы выходит за пределы нашей книги
(см., например, [18, 19]).
Из сказанного видно что мир явлений, связанный с трансформацией электрон-
электронных оболочек, практически необозрим, хотя он и ограничен сравнительно низкими
электронными температурами. Сейчас наиболее освоенной является область II на
рисунке В.2.1. Сюда относятся все классические разряды, газовые лазеры, плазмо-
химия и многое другое (см. гл. 10). И вряд ли можно сомневаться, что область
"низкотемпературной плазмы", принесет еще многочисленные сюрпризы 0.
6.2. Скорости трансформационных процессов [136]
Динамика внутренних степеней свободы описывается квантовой механикой, и мы
не будем ее здесь касаться, а просто будем приводить нужные нам данные. Многие
из них взяты из справочника [47].
6.2.1. Энергетические уровни. Как известно из квантовой механики [136],
состояние электрона в атоме (и соответственно уровни энергии атома) определяется
набором из четырёх квантовых чисел: п, I, га, s, где п — главное квантовое число,
I — орбитальное квантовое число, га — магнитное квантовое число и s — спин.
В ряде случаев имеет место так называемое вырождение, т. е. независимость уровня
энергии от какого-либо из квантовых чисел. Так, в отсутствие магнитного поля все
уровни вырождены по числам га. Наиболее просто уровни энергии определяются
для атома водорода или водородоподобных систем, т. е. систем, образованных ядром
с зарядом Ze и одним электроном. В этом случае энергия уровня зависит только
1) Чаще всего приходится сталкиваться с процессами трансформации в системах с низко-
низкотемпературной плазмой, которым посвящены тома "Энциклопедии низкотемпературной плаз-
плазмы" [40]. В этих томах весьма подробно рассмотрен широкий класс таких систем, в том числе
и тех, которые описаны в данной главе.
6.2. Скорости трансформационных процессов
277
от главного квантового числа п (если пренебрегают релятивистскими эффектами)
и дается формулой
?n = z!|^!9B, F.2.1)
где Z — заряд ядра, а энергия отсчитывается от границы ионизации (т. е. от-
отрицательные энергии соответствуют связанным состояниям, а положительные —
непрерывному спектру).
Для атомов с двумя и более электронами не существует точного аналитического
выражения для энергии уровня. В настоящее время энергетические уровни многих
атомов (ионов) экспериментально определены и имеется обширная библиография,
посвященная расположению уровней [См.напр. [47], с. 794-837]. На рис. 6.2.1а
приведены основные уровни и переходы для атома лития.
5,39
5
4,35
4
3,85
3,38
3
,85
ns np nd nf
Sl/2
2 0
Pl/2, 3/2
D3/2, 5/2
2 0
?7/2,5/2
0—2s
-5f
~4f
6707,844
(^=2,7- 10Г8)
b'W
Рис. 6.2.1. Основные уровни и переходы для атома лития (указаны длины излучаемых волн
о о
(А, ангстрем А = 10 см) и время жизни (в секундах) возбуждённых состояний) (а), и для
молекулы азота (б)
При достаточно низких температурах (кТе < 1 эВ) определенную роль в интере-
интересующих нас системах могут играть не только атомы, но и молекулы и молекулярные
ионы. Энергетических уровней у молекулы значительно больше, чем у атомов. Это
связано с тем, что в молекуле наряду с переходами электронов возможно колебатель-
колебательное и вращательное движение ядер (рис. 6.2.16). С учётом существования малого
параметра тп/М (тп — масса электрона, М — масса ядра) в нулевом приближении
энергию двухатомной молекулы можно представить в виде суммы электронной,
вращательной и колебательной энергий:
Е = Ue + Тьоое
п2
278
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Здесь Ue — электронная энергия с учётом энергии кулоновского взаимодействия
ядер; 1м — момент инерции молекулы; и;е — частота колебаний; п = О, 1, 2,... —
колебательное квантовое число; j = 0, 1, 2,... — вращательное квантовое число.
В таблице 6.2.1 приведен параметр Ьие для ряда молекулярных ионов.
Таблица 6.1
Параметр
flUJe, ЭВ
N2
0,29
о2
0,19
н2
0,54
s2
0,09
0,27
ot
0,23
6.2.2. Упругое рассеяние электронов на атомах. Процесс упругого рассеяния
электронов на атомах существующая теория описывает вполне удовлетворительно.
На рис. 6.2.2 приведены типичные зависимости сечения упругого рассеяния элек-
3,8
3,4
3,0
2,6
2,2
1,8
1,4
1,0
-
1
¦у
1 1
Ne
стД2
о
10
15
20
it, А2
50
в 0 12 3 4 5
Рис. 6.2.2. Полное сечение рассеяния электрона на различных атомах: Ne (а), Хе (б), Na (в);
6.2. Скорости трансформационных процессов
279
трона на различных атомах от энергии. При рассеянии электронов с малой энергией
на некоторых атомах (аргон, криптон, ксенон) наблюдается так называемый эффект
Рамзауэра, т. е. существование глубокого минимума в сечении рассеяния, связанного
с рядом тонких квантовых эффектов Отметим, что минимум сечения рассеяния на
атомах с не равным нулю спином выражен не так резко, как при рассеянии электрона
на атомах с нулевым спином (Аг, Хе, Кг).
Для оценки сечения упругого рассеяния в области больших энергий (г > 30 эВ)
электронов, когда они проникают в электронную оболочку, можно использовать
формулу борновского приближения:
СМ2
F.2.2)
где г — энергия электрона, эВ; Z — заряд ядра атома. Упругое рассеяние электронов
малой энергии (г ^ 30 эВ) на ионах хорошо описывается формулой Резерфорда,
рассмотренной в гл. 5.
Расчёт упругих рассеяний ионов на нейтральных атомах и упругих столкновений
атомов даёт для сечений (которые часто называют сечениями столкновений) зна-
значения ~ 10~15см2. Так, согласно ряду работ, сечения столкновения Аг-Аг+ слабо
зависят от скорости, и при Т = 103 К, а « @, 6-0, 9) 10~14 см2.
6.2.3. Возбуждения и ионизация атомов электронным ударом [137-139].
Рассмотрим теперь процессы возбуждения и ионизации атомов при столкновениях
частиц. Наибольшее значение имеют столкновения с электронами как с наиболее
подвижными частицами плазмы. Очевидно, что сечение возбуждения атома в зави-
зависимости от энергии должно иметь вид, изображенный на рис. 6.2.3.
Действительно, из закона сохранения
энергии ясно, что сечение должно об-
ращаться в нуль при г < ?
порог
При
больших энергиях налетающих электро-
электронов сечение тоже должно стремиться к ну-
нулю, поскольку эффективное время взаи-
взаимодействия уменьшается, так что вероят-
вероятность возбуждения стремится к нулю. При
больших энергиях справедлива асимпто-
асимптотика a rsj In г/г*, следующая из борновско-
го приближения. Что касается зависимо-
зависимости сечения от энергии вблизи порога, то
с достаточной для наших целей точностью
можно считать, что вблизи порога имеем
а ~ (г — ?ПОрог)- На Рис- 6.2.3 приведены
сечения возбуждения уровней ряда атомов
электронным ударом. Точных расчётов сечений многоэлектронных атомов (ионов)
нет. Поэтому все представленные формулы являются полуэмпирическими. Для оце-
оценок сечений возбуждения можно пользоваться формулой Гризинского:
10 20 30
Энергия электрона, эВ
Рис. 6.2.3. Сечения возбуждения различ-
различных атомов в зависимости от энергии элек-
электрона
2,2- 104 /2 Я,
= Ек-Ег. F.2.3)
1) Энергия электрона в атоме водорода не зависит от азимутального числа L Поэтому его
изменение может происходить без затраты энергии, так что здесь ?ПОрог = 0
280
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Здесь энергия измеряется в эВ.
70
60
« 50
40
зон
20
ю-
10
-
_
/
/
\
\
I 1
\
I III
Ч
3,2
2,4
1,6
0,8
0
6 10
1
0
0
6
1
с
8
0
0
о
3
к
О Wo,
О -L XX
0
ч
1.
\
»!!¦¦¦*
ю2
Е, эВ
2,4
S 1.8
0,6
0
с
L
8
8
<
L
О
0
и
с
(
о
э
if
(
о
(
)
о
с
о
)
i
< >
pi
ч
\
••
II
о
г°5
С
с
oj
J
ZTX.
о (
о •
о •
о
LI *
в 10 102 10J Е,эВ г 10 20 Е,эВ
Рис. 6.2.4. Сучения ионизации в зависимости от энергии электронов: водорода (а), аргона (б),
ксенона (в), лития и натрия (г)
Частным случаем возбуждения является ионизация, когда конечное состояние
первоначально связанного электрона находится в непрерывном спектре. Положение
с расчётом сечений ионизации в настоящее время такое же, как и с расчётом
сечений возбуждения. Общий характер зависимости сечения ионизации от энергии
оказывается таким же, как и сечения возбуждения (рис. 6.2.4). Приведём для оценок
формулу Лотца, которая часто используется вследствие своей простоты и сравни-
сравнительно хорошей точности. Она представляет собой сумму а = Т>а™я, где
= 4,5-
Не/1к)
exp
1
F.2.4a)
здесь к — номер оболочки, тк — число эквивалентных электронов в этой оболочке,
г — энергия налетающего электрона, 1к — потенциал ионизации в эВ, ак,Ък,ск —
постоянные (см. [47]). Их значения лежат в пределах: 0,6 < ак < 1, 0 < Ък < 1,
0 < Ck < 0,5. Величины потенциалов первой и второй ионизации для ряда элементов
приведены в таблице 6.2. Примеры потенциалов диссоциации /д и потенциалов
первой ионизации молекул приведены в таблице 6.3.
6.2. Скорости трансформационных процессов
281
Таблица 6.2
эВ
Ii
h
Li
5,39
75,6
Na
5,14
47,3
Аг
15,70
27,6
Cs
3,89
23,4
Xe
12,13
21,2
Hg
10,44
18,73
Bi
7,29
16,6
Таблица 6.3
эВ
1д
I
н2
4,47
15,42
N2
7,3
15,6
o2
5,08
12,2
H2O
5,2
12,6
NH3
4,8
10,3
s2
4,35
8,3
На рис. 6.2.4 приведены примеры экспериментальных значений сечений иониза-
ионизации ряда атомов и с расчётные данные для водорода.
Определенный интерес в ряде случаев представляет распределение по энергиям
электронов, образующихся при ионизации. С достаточной для наших целей точно-
точностью можно считать, что функция распределения оторванного электрона, нормиро-
нормированная на единицу, имеет вид
/(*)
F.2.46)
где х = г/1, г — энергия оторванного электрона.
6.2.4. Процессы рекомбинации ионов. В силу обратимости уравнений класси-
классической и квантовой механики во времени имеет место "принцип детального равнове-
равновесия", т. е. каждому "прямому" процессу соответствует обратный процесс. В частности,
ионизации и возбуждению атома электронным ударом соответствуют рекомбина-
рекомбинация электронов с ионами и процессы девозбуждения в результате столкновения
с электронами, которые иногда называют ударными второго рода или сверхупругими
столкновениями.
Однако несколько нагляднее особенности рекомбинации ионов с электронами
могут быть описаны следующим образом. Рекомбинация по простой схеме
А+ + е -> А (*)
не может происходить в силу законов сохранения импульса и энергии. Это хорошо
известно из обычной механики, описывающей столкновения двух склеивающихся
шаров. При таком неупругом столкновении кинетическая энергия системы уменьша-
уменьшается на величину
= М1(АУ1J М!(АУ2J
2 2'
которая переходит в тепло. Здесь |AV| — разность скорости шара до столкновения
и скорости центра масс двух шаров.
Аналогично и в случае рекомбинации должен быть реализован сброс "лишней"
энергии, т.е. процесс должен идти не по схеме (*), а по схеме
А+ + е^ А + ц(Ае). (**)
Здесь 1л(Ае) — носитель энергии Аг. Если роль /i играет улетающий фотон
то говорят о "фоторекомбинации". Если же роль /i выполняет "сторонний" электрон,
или другая частица (ион, атом), то такая рекомбинация называется тройной или
282 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
трехчастичной. Обычно в качестве сторонней частицы выступает электрон. Поэтому
схема рекомбинации имеет вид
Однако роль /i-частицы могут играть и "внутренние" частицы, входящие в состав
рекомбинирующего иона. Отметим два процесса этого типа.
"Диэлектронная" рекомбинация имеет место в случае многоэлектронных ионов.
Здесь под действием падающего на ион электрона избыток энергии идет на возбуж-
возбуждение внутренних электронов ионного остова
а это возбуждение потом снимается либо излучающимся фотоном, либо столкнув-
столкнувшимся с А* сторонним электроном.
Диссоциативные рекомбинации. Эти процессы реализуются в молекулярной
плазме и происходят по схеме
Ниже мы ограничимся учётом фоторекомбинации и тройной (г + 2е) рекомбинации.
Первая — превалирует в редкой плазме, а вторая — в плотной.
Чтобы нагляднее представить роль различных процессов трансформации, напи-
напишем уравнение изменения концентрации ионов в плазме с учётом основного процесса
ионизации электронным ударом и указанных типов рекомбинации:
—? = папе (vamH) - ПгПеарад - щп2еа{ее). F.2.5)
Здесь щ, пе, па — плотность ионов, электронов и атомов соответственно; атн —
сечение ионизации электронным ударом; арад = (wpaA) — коэффициент парной
(излучательной) рекомбинации; а^ — коэффициент тройной рекомбинации при
столкновении электрон-ион-электрон. Здесь мы пренебрегли процессами фотоиони-
фотоионизации, а также ионизации при взаимном столкновении атомов.
Для коэффициента радиационной рекомбинации в разреженной плазме арад имеет
место следующее выражение
«^М ,6.2.6а)
где Z — заряд иона, ф(х) — очень медленно (в области х > 1) меняющаяся функция.
При х ~ \ ф ~ \, так что для оценок можно считать, что ф = \. Характерное время
изменения электронной плотности из-за радиационной рекомбинации есть
F.2.6б)
В достаточно плотной и холодной плазме коэффициент рекомбинации а^ можно
определить по следующей формуле:
а^ = 8, 75 • l(T27Z3neT-9/2. F.2.7)
Сравнивая F.2.6) и F.2.8), видим, что при увеличении плотности плазмы возрас-
возрастает роль тройной рекомбинации, поскольку т(ее) ~ l/^2-
6.2. Скорости трансформационных процессов
283
Время фоторекомбинации равно времени трехчастичной рекомбинации когда
<^рад = nla(ee\ Используя формулы F.2.6) и F.2.7), находим характеристическую
плотность электронов
пе*=2.1013^. F.2.8)
Соответственно, при пе < п* преобладает фоторекомбинация, а при пе > п* —
трехчастичная рекомбинация. Важной особенностью формулы F.2.8) является сла-
слабая зависимость п* от индивидуальных свойств ионов.
На рис. 6.2.5 приведены области приме-
применимости формул F.2.6), F.2.7) и F.2.8) для
цезиевой и ксеноновой плазмы. В плазме
с параметрами, лежащими ниже соответ-
соответствующих кривых, преобладает радиацион-
радиационная рекомбинация, а выше — превалирует
трехчастичная рекомбинация. В холодной
плазме с очень низкой степенью ионизации
возможна рекомбинация с участием иона,
нейтрального атома и электрона.
6.2.5. Отрицательные ионы. Отрица-
Отрицательные ионы (ОИ) в последнее время при-
привлекли к себе серьезное внимание не толь-
только физиков, но и прикладников. Неожидан-
Неожиданно выяснилась их большая роль в природе
и технических устройствах.
Отрицательные ионы представляют со-
собой атом или молекулу, к которой "прилип"
электрон
10 Те,эВ
применимости фор-
форОД 1
^ __r ^ Рис. 6.2.5. Области
мул F.2.6), F.2.7) и F.2.8) для цезиевой
Как правило, отрицательные ионы образуют и ксеноновой плазмы
атомы с незаполненными электронными оболочками. Благородные газы не образуют
ОИ, тогда как у галогенов энергия связи Е^ прилипшего электрона (среди атомов)
максимальна. В частности у хлора Е^ = 3,6эВ. В таблице 6.4 указаны энергии
связи Е?м(~) для разных элементов.
Таблица 6.4
Элемент
Энергия сродства, эВ
Li
0,6
Bi
0,7
Hg
1,54
S
2,1
Cs
0,23
0
1,46
С
1,25
Сечение разрушения отрицательного иона электронным ударом велико. Напри-
Например, для иона Н~ сечение в максимуме составляет 4,5- 10~15см2 (рис. 6.2.6).
Отрицательные ионы образуются как за счёт объёмных процессов, так и процессов
на поверхности. О последних мы скажем в следующей главе, а здесь отметим,
что образование ОИ фактически идет по тем же схемам, что и рекомбинация,
а исчезновение похоже на ионизацию.
В настоящее время наибольшее применение получили системы с поверхностной
генерацией ОИ, а объёмные процессы наиболее впечатляюще работают в природных
условиях.
Вот примеры. Уже отмечалось, что светящаяся "поверхность" Солнца — фото-
фотосфера, имеет температуру ~ 5600 К, а ее излучение близко к планковскому с этой
284
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
2
ь
2 -
; А
\
| 1
о °
1 1 1
ср о о
1 1 1
15
20
Рис. 6.2.6. Сечение разрушения отрицательного иона водорода при столкновении с электроном
температурой. То есть типично тепловое излучение. А вот механизм генерации его
связан с испусканием фотонов при фотоприлепании электронов к атомам водорода.
Другой пример. Если степень ионизации, например воздуха, невелика и он
достаточно холоден, то, благодаря сравнительно большой энергии связи Е^ у ато-
атомов кислорода (Е(~"> « 1,5эВ), такая плазма состоит не из ионов и электронов,
а из положительных и отрицательных ионов. Естественно, что из-за сравнительно
малой подвижности ОИ по сравнению с электронами проводимость такой плазмы
оказывается малой.
6.2.6. Возбуждение и ионизация молекул электронным ударом. Возбужде-
Возбуждение электронных уровней молекулы электронным ударом в основном описывается
теми же закономерностями, что и возбуждение атомов. Сечение возбуждения имеет
максимум вблизи порога и достигает при этом величины
где ао — боровский
радиус. На рис. 6.2.7 приводятся сечения возбуждения некоторых электронных со-
состояний в азоте. При сравнительно низких температурах (Те < 1 эВ) в молекулярных
газах большую роль играет также возбуждение колебательных и вращательных уров-
уровней. При малых энергиях электрона сечение возбуждения вращательных уровней
молекулы удовлетворительно описывается формулой Герджоя-Стейна:
1/2
0~к,к+2 =
15 Bfc+l)Bfc
Bfc + 3)-
1 -
\
F.2.9)
где г — энергия налетающего электрона; Q — безразмерный квадрупольный момент
молекулы (например, для молекулы N2Q = 1,10); 1м — момент инерции молекулы.
При больших скоростях электронов эта формула даёт заниженный результат.
Сечение возбуждения электронным ударом колебательных уровней молекул обыч-
обычно гораздо меньше, чем вращательных. Однако в ряде случаев возможно и большее
значение сечения (~ 10~16 см2). Этот факт связан с образованием неустойчивого от-
отрицательного иона молекулы и последующим распадом на электрон и возбуждённую
молекулу. На рис. 6.2.8 приведено суммарное сечение возбуждения колебательных
6.2. Скорости трансформационных процессов
285
1,0
0,8
т
о
Ь0,4
0,2 -
- ^
-
\
1
г
1
\а'1Ь 1
(V
с3пи
8
4 8 12 16 20 е,эВ
Рис. 6.2.7. Сечения возбуждения неко-
некоторых электронных состояний молекулы
азота
1,5 2 2,5 3 е,эВ
Рис. 6.2.8. Суммарное сечение возбужде-
возбуждения колебательных уровней молекул азота
электронным ударом
уровней молекулы азота электронным ударом. На рис. 6.2.9 изображены сечения
ионизации различных молекул электронным ударом.
Рис. 6.2.9. Сечения ионизации молекул
азота, кислорода и водорода электронным
ударом (сплошные линии — теория), ао —
боровский радиус
Для молекул, наряду с процессами возбуждения и ионизации, весьма важен
процесс диссоциации. Диссоциация может происходить как под действием излучения
и под действием электронного удара, так и при столкновении с тяжёлой частицей.
Рассмотрим сначала диссоциацию под действием электронного удара. Этот процесс
может идти нескольким каналам. Обычно наинизший энергетический порог имеет
место для реакции, которая называется диссоциативным захватом: е + АВ —> А +
+ В~ при ?Ц)ог = 5-8эВ и а = 10~18см2. При несколько более высокой энергии
имеет место ударная диссоциация: е + АВ —> А~ +В + е с ^порог = 5-10эВ и а =
= 10~17 см2. При увеличении энергии возможны реакции типа: е + АВ —> А+ + В~ +
286
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
+ е с EuomY = 10-15 эВ и а = 1СГ18см2 и е + АВ -> А+ + В + 2е с Еиотг = 20-
^порог
'порог
25эВ и <т = 10 16см2. В принципе возможен процесс диссоциации при рекомбинации
молекулярного иона и электрона (этот процесс обычно называют диссоциативной
рекомбинацией), который происходит по схеме: е + АВ+ —> А + В. Этот процесс
существен при низких (комнатных) температурах.
6.2.7. Взаимодействия тяжёлых частиц.
Упругие столкновения. Ясно, что сечения возбуждения и ионизации, вообще
говоря, должны быть в этом случае меньше, чем при столкновениях электронов
с атомами, поскольку столкновения тяжёлых частиц при Т < 1 кэВ являются адиа-
адиабатическими, так как выполняется условие aAE/(Tiv) ^> 1, где а — характерный
размер частицы, АЕ — характерная переданная энергия, a v — скорость тяжёлых
частиц (так называемый критерий Месси). Действительно, как нетрудно проверить,
это условие выполняется даже для водорода вплоть до энергии 1 кэВ. Эксперименты
подтверждают указанные соображения.
Возбуждения и ионизация. Для оценки сечения ионизации при столкновении
атома с тяжёлой частицей можно использовать формулу, предложенную для иониза-
ионизации атома водорода, находящегося на уровне г.
а] ' =
13,6
та
2га,
Wj — 1
1 +
2тпР
гаа
-тР
F.2.10)
Здесь Ei — энергия уровня (отсчитываемая от границы ионизации), эВ; та — масса
налетающего атома, wi = (Еа — E^jEi, Ea = mav2a/2 — энергия налетающего атома
в системе центра инерции; гпн — масса протона. Формула F.2.10) содержит малый
множитель гае/гаа, и поэтому значение <тг- очень мало.
В целом можно сказать, что роль атомных процессов может быть сравнимой с ро-
ролью электронных процессов только при очень малых степенях ионизации (~ 0, 1%)
и для переходов с очень малой передачей энергии (~ 10~3-10~2эВ). Только в этом
случае, например, при так называемой ионизации Пеннинга, соответствующие сече-
сечения достигают больших значений (~ 10~15см2).
Перезарядка. Важным видом взаимодействия тяжёлых атомных частиц между
собой является так называемая перезарядка — процесс обмена электроном между
ионом и нейтралом.
Перезарядка может быть двух ти-
типов: резонансная и нерезонансная. Ре-
Резонансная перезарядка представляет
собой переход электрона из состояния
данного атома (иона) в такое же со-
состояние аналогичного атома, например
HAS) + Н+ -^Н+ + HAS). Нерезо-
Нерезонансной перезарядкой называется про-
процесс перехода электрона между различ-
различными атомными частицами, например
процесс O+DS) + Н -^Н+ + ОCР2).
Можно сказать, что для резонанс-
резонансной перезарядки дефект резонанса (т. е.
разность энергетических термов систе-
системы до и после столкновения) равен нулю, тогда как для нерезонансной перезарядки
он отличен от нуля. Очевидно, что в случае резонансной перезарядки сечение
D,l 1 10 100 е,эВ
Рис. 6.2.10. Зависимость сечения перезарядки
от энергии частиц
6.3. Элементарные процессы излучения 287
должно быть существенно больше. Характерные значения резонансной перезарядки
в области энергий сталкивающихся частиц (~ 1 —103 эВ) достигают 10~14-10~15 см2.
Например, a(Li)= 2, 7 • 1(Г14см2, сг(Хе)=7,2- 10-15см2, a(Hg)= 1,4- 10см2, cr(Cs)=
= 3- 10~14см2, причём зависимость от скорости оказывается довольно слабой, так
ЧТО ДЛЯ ПрИКИДОЧНЫХ ОЦеНОК МОЖНО ИСПОЛЬЗОВаТЬ ВеЛИЧИНу <7рез.перез ~ 10~14СМ2.
Сечения нерезонансной перезарядки при тех же энергиях сталкивающихся частиц
существенно меньше.
На рис. 6.2.10 приведены характерные зависимости от энергии сечения резонанс-
резонансной и нерезонансной перезарядки для ряда пар.
6.3. Элементарные процессы излучения [140, 142, 143]
В плазмодинамических системах за излучения в основном ответственны элек-
электроны при их взаимодействии с другими атомными частицами. Что же касается
излучения, обязанного вращению электронов в магнитном поле ("магнитотормозное"
или "синхронотронное" излучение), то они в энергетике системы существенны только
в релятивистской (для электронов) области, когда ге ~ тс2. Отметим также, что
столкновения электронов с электронами не приводит к дипольному излучению. Это
общее свойство столкновений частиц с одинаковыми е/т.
Если начальное и конечное состояние электрона в поле иона находится в непре-
непрерывном спектре, то такой переход принято называть свободно-свободным (/-/-
переходы). При этом в принципе возможны как излучение фотона (тормозное из-
излучение), так и поглощение (тормозное поглощение или обратное тормозное излу-
излучение). Если конечное состояние излучающего электрона находится в дискретном
спектре, то такой переход принято называть свободно-связанным (/-6-переходы),
а сам процесс — фоторекомбинацией (или излучательной рекомбинацией). Во многих
случаях значительно большую роль, чем указанные выше процессы играют переходы
в дискретном спектре (связанно-связанные или 6-6-переходы).
В принципе для расчётов интенсивности излучения необходимо использовать
квантово-механическую теорию, однако в ряде случаев — это касается в первую оче-
очередь свободно-свободных переходов, т. е. тормозного излучения, расчёты с разумной
точностью можно выполнить в рамках классических схем.
6.3.1. Линейчатые спектры излучения. Различают спонтанное излучение
и вынужденное излучение атомов (молекул), обусловленное влиянием полей, уже
имеющихся в системе фотонов. В соответствии с этим различают три вероятности
переходов, которые обычно называют коэффициентами Эйнштейна. Между ними
существует определенные соотношения. Пусть Aki — вероятность перехода атома
из верхнего /с-уровня в нижний г-уровень за счёт спонтанного излучения; Bki —
вероятность перехода для вынужденного излучения, а Bik — вероятность перехода
при поглощении фотона. Далее, пусть равновесный газ находится в полости, прони-
пронизываемой равновесным излучением с плотностью XIш. Тогда число актов поглощения
за 1 с в 1 см3 дается выражением
Nlk=nlUUJBlk, F.3.1а)
где щ — плотность атомов на нижнем уровне, а число актов излучения
Nki = nkAki + пкишВы. F.3.16)
288
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
В равновесии Uu выражается формулой Планка:
тг2с3 ( ехр
кТ
F.3.2а)
Кроме того, в равновесии плотности частиц на уровнях ink связаны формулой
Больцмана
пк = Щ— ехр <^ —ь———'- } , F.3.26)
а интенсивности потоков вверх и вниз равны
Nik = Nki.
Подставляя F.3.2) в F.3.1), получаем
ехр
Вгк9г ~ Вы9к)= Аы (ехр
F.3.2в)
F-3-3)
Чтобы это соотношение было справедливо при любых к, должны быть справедливы
формулы Эйнштейна
Bik =
Вы',
F.3.4)
Здесь gi — статистический вес уровня г.
Вместо вероятностей перехода часто используют более формальную величину —
силу осциллятора при поглощении /, которая связана с Б^ соотношением (сила
осциллятора удобна тем, что она является безразмерной величиной):
Jik =
F.3.5)
Сила осциллятора связана с квадратом матричного элемента дипольного момента
атома, взятого между конечным и начальным состояниями.
Поскольку точные аналитические выражения для волновых функций известны
только для атома водорода, то точные значения сил осцилляторов (соответственно
этому и вероятностей переходов) известны только для атома водорода.
При расчёте вероятностей переходов в других атомах приходится использовать
приближенные методы. В табл. 6.5 приведены силы осцилляторов для ряда переходов
в Li (см. табл. 6.5), и Hg (см. табл. 6.6), рассчитанные различными методами.
Таблица 6.5
Переход 22P3/2-22S1/2
о
Л, А
f
6707
0,498
32Р3/2-22Р1/2
3232
0,003
32S1/2-22P1/2
8126
0,11
32D5/2-22P3/2
6103
0,582
42D5/2-22P3/2
4603
0,109
42S1/2-22P1/2
4971
0,0125
6.3.2. Сплошной спектр излучения. Наряду с линейчатым излучением часто
определяющую роль играет непрерывное излучение. Приведём и кратко прокоммен-
прокомментируем формулы для мощности тормозного и рекомбинационного излучений.
Тормозное излучение. Спектральный состав тормозного излучения электрона,
пролетающего около иона, описывается весьма громоздкими формулами. Поэтому
6.3. Элементарные процессы излучения
289
Таблица 6.6
Переход
о
Л, А
1
б1
So-б1
1849
1,2
Pi
б1
So-63
2537
0,03
Pi
б3
Р2-73
5461
0,16
Si
б3
Ро-73
4047
0,21
Si
б3
Pi-63
3650
0,3
D3
б3
Pi-63
3131
0,2
D3
б3
Ро-63
3126
0,1
D2
приведем только формулу для мощности излучения единицы объёма плазмы с макс-
велловским распределением электронов
F.3.6)
см°с
Учитывая связь процессов излучения и поглощения, можно показать, что коэффици-
коэффициент поглощения за счёт обращенного тормозного процесса равен
^торм = Ю9
см
-1
F.3.7)
Здесь пе и щ даны в см 3, а Те в эВ.
Рекомбинационное излучение. Этот тип излучения обусловлен переходом элек-
электрона со скоростью v из непрерывного в дискретный спектр. Энергия излучаемого
кванта, очевидно, определяется соотношением Ьи = mv2 /2 + %п, где Хп — энер-
энергия связи электрона на уровне п, на который происходит рекомбинация. Задача
о рекомбинации и обратном процессе — фотоионизации, для атома водорода может
быть решена достаточно точно, однако, как и в случае тормозного излучения, по-
получающиеся формулы, из-за громоздкости, малопригодны для конкретных расчётов.
Весьма хорошим приближением являются квазиклассические формулы, полученные
Крамерсом с помощью принципа соответствия:
(п)
фотоион
n—20
0 U
см ;
= 7,9-10-'«^ ^ , см
F.3.8)
F.3.9)
Здесь сгр^к — сечение рекомбинации на уровень п; сг^тошя — сечение фотоионизации
с уровня п; е — энергия рекомбинирующего электрона, эВ; Тьооп = \п.
Из F.3.8) видно, что сечение рекомбинации быстро падает с ростом п, так что
основной вклад в фоторекомбинацию вносит рекомбинация на основной уровень,
причём характерные значения сечения для иона с Z = 1 оказываются ~ 10~21/^см2.
Зная выражение для <Тр^к, легко найти полную мощность рекомбинационного излу-
излучения единицы объёма 0. Действительно, в случае водородоподобной плазмы имеем
F.3.10)
Угловыми скобками обозначено усреднение по функции распределения электронов.
Для максвелловского распределения получаем в классическом пределе (Ze2/(Tiv) ^>
F.3.11)
1) Предполагаем, что плазма является оптически тонкой, т. е. все кванты выходят из
системы.
10 А. И. Морозов
290
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Здесь Те дано в эВ, QveK — в эрг/(см3с).
Зная выражение для сечения фотоионизации, нетрудно подсчитать коэффици-
коэффициент связанно-свободного поглощения водородоподобного газа. С учётом поглощения
кванта с частотой ио с основного и возбуждённых уровней имеем, очевидно,
v^
п=щ
F.3.12а)
где Nn — плотность атомов на уровне п; щ — наименьшее из квантовых чисел,
удовлетворяющее условию Ьи > Хп- Если распределение атомов по уровням описы-
описывается формулой Больцмана, то в случае малой энергии (Ьи < Хп) квантов
F.3.126)
U!J
kTe
где N — плотность атомов в основном состоянии, Те — температура электронов (эВ),
I — потенциал ионизации (эВ). Для коэффициента поглощения фотонов с энергией
большей потенциала ионизации имеем
Хио = 5 •
F.3.12в)
В таблице 6.7 приведены сечения рекомбинаций на различные уровни атома
цезия.
Таблица 6.7
Уровень
сг, 1022см2
6S
1,36
6Р
0,45
5D
0,16
7S
0,30
7Р
0,282
8S
0,14
6.3.3. Механизмы уширения спектральных линий. Для спектральной линии,
наряду с вероятностью перехода, весьма важной характеристикой является ее про-
профиль. Даже в идеальном случае изолированного атома испускаемая линия не может
быть строго монохроматичной, поскольку конечность времени жизни возбуждённо-
возбуждённого атома, согласно соотношению неопределенности, приводит к размытию уровня.
Влияние теплового движения и электрических полей других частиц также вызывает
уширение линии. Рассмотрим основные механизмы уширения.
Естественная ширина спектральной линии. В рамках классической электро-
электродинамики корректное рассмотрение задачи о радиационном затухании осциллятора
приводит к следующему выражению для нормированного (J^° P(uj)duj = l) лоренцева
профиля линии:
^F.3.13)
2тг (и - щJ + (т/2J
где 7 — 2е2и;д/3тс3 = 1,7 • 10~22u;q — естественная ширина линии с центральной
частотой uoq) m — масса электрона. Нетрудно видеть, что в шкале длин волн
(более принятой в практической спектроскопии) естественная ширина не зависит от
о
длины волны и равна AAeCT = 1,2 х 10~4А Последовательное квантово-механическое
рассмотрение приводит к такому же выражению для Р(ш), в котором 7 слагается
из ширины начального и конечного состояний, причём вместо 7 следует подставлять
коэффициенты Эйнштейна для спонтанных переходов А^. Обычно А^ « 108 с. От-
Отметим здесь, что возможно существование уровней, для которых А^ <С 108с-1, т.е.
их время жизни весьма велико по сравнению с обычными временами радиационных
переходов (~ 10~8с). Такие уровни называют метастабильными, и их естественная
6.3. Элементарные процессы излучения 291
ширина очень мала. Обычно метастабильные уровни — это уровни с другим спином
(в отличие от спина основного состояния атома), так что наиболее вероятные элек-
электрические дипольные переходы запрещены из-за правила отбора AS = 0.
Доплеровское уширение спектральных линий. Этот тип уширения обусловлен
движением излучающих частиц. Как известно, частота осциллятора, скорость ко-
которого в направлении луча зрения равна v, в соответствии с принципом Доплера
смещена на величину Auod = uoqv/c.
Можно убедиться, что, если f(v) — функция распределения по скоростям излу-
излучающих частиц, то
Г f(vN (w - ujq - —n°v)dv
J7(
v)dv
F.3.14)
Здесь ft — единичный вектор направления распространения волны. В частности,
если атомы распределены по Максвеллу
,, . ( М \3/2 (Mv2\
f(V) = п I I ran < >
ТО
1 / Д/Г^З Г Mr2 (f.i-f.^2^
F.3.15)
Формула F.3.13) справедлива, если выполнено соотношение 2тг1/ > А, где L —
длина свободного пробега излучающего атома; А — длина волны. Если выполняется
обратное условие (что возможно в плотной плазме или для очень длинных волн),
то имеет место интересный эффект диффузионного сужения линии. В этом случае
профиль линии оказывается дисперсионным (т.е. дается формулой типа F.3.13))
с шириной существенно меньшей, чем ширина при доплеровском механизме. Для
оптического диапазона длин волн (А ~ 5 • 10~5 см) условие 2тг1/ > А эквивалентно
условию п < 1019см~3. Характерные значения доплеровской ширины при Т « 1 эВ
оказываются следующими: для Li Aujjj = 1,7 • lO~5u;o; для Cs Aujjj = 4 • lO~6u;o.
При uoq « 1015с-1, Au;?>(Li) = 1,7- Ю1Ос~1, Au;?>(Cs) = 4 • 109c~1. В шкале длин
о о
волн AA(Li) = 0,34Д AA(Cs) = 0,08А Легко видеть, что доплеровская ширина
значительно превосходит естественную ширину линии.
При направленном движении плазмы как целого существует доплеровский сдвиг
линии (что позволяет измерять скорость атомов). Так, при ускоряющем потенциале
~ 100 В доплеровский сдвиг линии в 10 раз больше, чем приведённые выше допле-
ровские ширины, обусловленные хаотическим движением сТ~ 1 эВ.
Уширение линий при взаимодействии с заряженными частицами. Прежде чем
перейти к обсуждению важного механизма уширения линий при взаимодействии из-
излучающего атома с заряженными частицами, естественно обсудить наиболее простой
случай уширения спектральной линии под действием внешних полей — уширение
в статическом электрическом поле. Точное квантово-механическое решение задачи
о сдвиге уровней под действием статического электрического поля простыми сред-
средствами возможно лишь для атома водорода (или водородоподобного иона). В этом
случае из-за случайного кулоновского вырождения уровней по / имеет место линей-
линейный штарк-эффект, т. е. сдвиг уровня пропорционален напряженности приложенного
поля, а расщепление линий (т. е. расстояние в шкале частот между максимально
ю*
292 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
удаленными расщепленными компонентами) дается выражением:
Аи; = 1п(п- 1) —, F.3.16а)
2 те
Для всех других атомов имеет место квадратичная зависимость сдвига уровня от Е,
т. е. так называемый квадратичный штарк-эффект.
Уширение уровней атома (иона) в плазме определяется воздействием многих
частиц. При высокой степени ионизации наибольший интерес представляет вза-
взаимодействие излучающей частицы с электронами и ионами. Электрические поля
возмущающих частиц приводят к смещению уровней излучающих частиц и тем
самым к смещению (и расщеплению) спектральных линий. Теория уширения линии
заряженными частицами интенсивно развивается в настоящее время, и здесь мы
изложим лишь основные положения и некоторые результаты.
Прежде всего, отметим, что строгое и полное решение задачи в наиболее общей
постановке в настоящее время отсутствует. Поэтому при анализе приходится исполь-
использовать различные допущения. Наиболее распространенными являются так называе-
называемое ударное приближение и квазистатическое приближение (дальше мы рассмотрим
подробно только уширение линий излучения неводородоподобных систем). Границы
области применимости для каждого из этих приближений можно оценить следующим
несложным образом.
Нахождение возмущающей частицы на расстоянии R от излучающего атома
(иона), приводит к сдвигу частоты:
Alo(R) = ^, F.3.166)
где т — некоторое целое число, а Ст — постоянная. Для квадратичного штарк-
эффекта, когда сдвиг уровня пропорционален квадрату напряженности возмущаю-
возмущающего поля, т = 4. Тогда величина С\ называется постоянной квадратичного штарк-
эффекта. В ударном приближении принимается, что при пролёте возмущающей
частицы на некотором расстоянии р ^ ро (ро — радиус Вайскопфа) происходит
сильный сбой фазы излучения, т. е. нарушается когерентность колебаний. Для ро
можно получить следующее выражение:
где v — скорость налетающей частицы.
Для применимости ударного приближения значение ро должно быть мало по
сравнению с межчастичным расстоянием, которое порядка п/3, т.е.
или / с \
п(;-м«1. F.3.18)
При этом условии большая часть интенсивных линий сосредоточена в области опи-
описываемой ударной теорией. Поскольку обычно С\ ~ 10~15 —10~12 см4/сек из F.3.18))
следует, что ударная теория применима для многих систем. В рамках этой модели
получается лоренцев или дисперсионный профиль линии:
Р(ш) = -- 1- г> F.3.19)
7Г То / \9 i
(о; - uj0J + -г
Т
6.3. Элементарные процессы излучения 293
где 1/то — частота столкновений с возмущающими частицами. Ширина распре-
распределения (расстояние между симметричными точками и\, 0J2, для которых Р{ил) =
= 1/2 Ртах) равна 7 = 2/то. Обычно вводят понятие ширины линии Л = 2сто.
Для 7 ударная адиабатическая теория (т. е. предполагается, что возмущение не
вызывает перехода между различными состояниями атома) приводит к следующему
выражению
7= 11,4пС42/У/3. F.3.20)
Здесь п, v относятся к возмущающим частицам.
Для С\ можно взять оценки
^м4/с F.3.21)
Здесь АЕ — расстояние между уровнями, эВ, / — сила осциллятора данного
перехода.
Уширение под действием нейтральных атомов. Наконец, укажем еще на один
тип уширения — уширение линий из-за взаимодействия с нейтральными частицами.
Здесь возможны два механизма: резонансное взаимодействие излучающего атома
с такими же атомами, способными поглощать излученный квант, и вандерваальсово
взаимодействие, если излучающий и возмущающий атомы различны. Оба эти ме-
механизма могут давать вклад, сравнимый, например, с уширением при квадратичном
штарк-эффекте, если пе/щ ^ 10~3 —10~2 (по — плотность нейтральных атомов).
Совместное действие различных механизмов уширения. Выше мы рассмотрели
механизмы уширения спектральных линий в отдельности. На практике же чаще все-
всего приходится сталкиваться с условиями, когда два или более механизмов действуют
совместно.
Если имеется несколько механизмов уширения различной физической природы,
а действия их можно считать независимыми друг от друга, то результирующий
профиль линии Pi+2(^~^o) может быть найден по формуле
'. F.3.22)
6.3.4. Коэффициент поглощения в спектральных линиях. Процессы излуче-
излучения и поглощения фотонов являются взаимообратными, и поэтому факторы, ответ-
ответственные за уширение спектральных линий, существенно влияют и на коэффициент
поглощения фотонов к^ = \/Ьш, где Ьш — длина свободного пробега фотона
данной частоты и. Распространяясь в среде, фотоны могут передавать свою энергию
электронам и, в частности, возбуждать атомы и ионы. В результате происходит, как
говорят, поглощение фотонов в "линиях". Используя связь между коэффициентами
Эйнштейна, нетрудно получить выражение для коэффициента поглощения излучения
с частотой uj, близкой к частоте спектральной линии uoq = (Ek-Ei)/Ti:
^(и). F.3.23)
Здесь щ — концентрация частиц, находящихся на нижнем уровне Ei)\ B^ — второй
коэффициент Эйнштейна. Используя понятие силы осциллятора F.2.46), запишем
F.3.23) в виде
яш=щ.Пк—же2Р(ю). F.3.24)
тс
294 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Из формулы F.3.24) видно, что максимум ки приходится на ту частоту, при которой
Р{ио) = max. Как правило, максимум Р приходится на центральную частоту uoq. Если
обозначить 5uj характерную ширину спектральной линии, то, учитывая нормировку
(J^° P(uj)duj = 1), можно считать Р@) ~ \/5и. Следовательно, для оценки кш(ио) —
коэффициента поглощения центральной частоты, можно использовать формулу:
о л 9 9 1
оЛп тге 1
Кш{М0 ~ rhifik-7-% = nifik -г-- F.3.25)
4irz тс оси
Отсюда видно, что если 5со —> 0, то ки -^ оо. Наименьшая возможная ширина линии
определяется естественным затуханием. Используя F.3.13), имеем Р@) = —-—„,
и поэтому
ЕСТ/ \ ^* 0 ЕСТ /с. о ос\
К^ (^0/ ^ Tlijik о = ^i^ik ' (D.o.ZDj
Здесь Ло = 27гс/соо — длина волны, a crf^T = /гкт^л2 ~ сечение поглощения
о
фотонов с центральной частотой cjq. Подставляя в F.3.25) f\k = 1, Ао = 5000А,
получаем оценку длины пробега фотона
Таким образом, если бы уширение было естественным, то достаточно взять кон-
концентрацию атомов п всего 1010см~3, чтобы иметь пробег фотонов < 1см. При
доплеровском уширении
5u = vT-, F.3.27)
с
о
где vt — среднее значение хаотической скорости. Полагая vt = Ю см/с, А = 5000 А,
fik = 1, получаем с помощью F.3.25) величину к^ ~ 2 • 10~12п^, см.
Эта оценка показывает, что излучение, соответствующее переходам на основной
уровень, заперто в зонах ионизации, если там концентрация нейтральных частиц
находится на уровне > 1013см~3.
Используя формулы F.3.15) и F.3.25), нетрудно убедиться, что штарков-
ское уширение начинает приближаться к доплеровскому лишь при плотностях ~
~ 1015 —1016 см~3, и далее оно становится преобладающим.
Систематическое описание поведения излучения в условиях, когда поглощение
играет существенную роль, может быть выполнено только с помощью кинетического
уравнения для фотонов или его классической формы — уравнения переноса излуче-
излучения. К нему мы и переходим.
6.4. Уравнение переноса излучения (кинетика фотонов) [139]
6.4.1. Формулировка уравнения переноса. После знакомства с основными
"элементарными" процессами взаимодействия частиц друг с другом и с фотонами
перейдем теперь к описанию динамики совокупности частиц, и фотонов. Мы начнем
с описания кинетики фотонов, как наиболее прозрачной по своей логике.
В разделе 3.5 рассматривалось дисперсионное уравнение для волн в двухкомпо-
нентной плазме и было видно, что при частотах
00 > UJQ,
6.4. Уравнение переноса излучения (кинетика фотонов)
295
где uoq — плазменная частота, волны перестают чувствовать плазму и подчиняются
уравнению
9 9 9
Очевидно, этот предельный переход носит общий характер и не зависит от конкрет-
конкретной модели плазмы. По мере роста uj энергия фотонов растёт, и с некого уровня,
зависящего от состава плазмы, они начинают играть важную роль в процессах
трансформации частиц, а также в переносе энергии. Для ориентировки в масштабах
параметров отметим, что длина волн в желтом дуплете натрия
600HM.
Это соответствует частоте и энергии
= 3 • Ю
с, гш = П « 2эВ
Заметим, что ленгмюровская частота uoq равна и^а при плотности
Пш ~ -Ю22СМ~3.
Таким образом, между интересующим нас диапазоном плотностей и плотностью Na
лежит большой промежуток величин.
Поскольку учёт электромагнитного измерения "трансформационного" уровня ча-
частот часто необходим, встает вопрос о наиболее простом их описании. Благодаря
относительно малой длине волны этих излучений, вместо волнового уравнения обыч-
обычно используется лучистое приближение, т. е. по сути, уравнение кинетики фотонов.
Для описания кинетики фотонов необходимо, как и в случае частиц, ввести 6-
мерное фазовое пространство Г7 = (х, к), где к — волновой вектор (|к| = и/с) или,
что эквивалентно, пространство Г7 = (х, о;, Л), здесь Г2 = k/|k| — единичный вектор,
вдоль направления распространения волны 0.
Скорость света (фотонов) ниже считается постоянной, поскольку в интересующем
нас диапазоне плотностей диэлектрическая постоянная ?± ~ \, так как частота
ленгмюровских колебаний uiQe <w - частоты света. Аналогично D.1.2) может быть
определена функция распределения фотонов в фазовом пространстве
5N
,a;,«) = —, 6r
Однако обычно вместо функции распреде-
распределения F пользуются понятием интенсивности
потока 1Ш
F.4.1)
1Ш = cF(t, х, о;, П).
F.4.2)
Нормаль
Эту величину можно определить, не прибегая
к квантовым представлениям, как количество
энергии, пронизывающей единицу площади за
единицу времени внутри единичного телесно-
го угла перпендикулярно выбранной площадке
(рис. 6.4.1). Интенсивность излучения 1Ш можно связать с плотностью энергии излу
Рис 6ЛЛ к определению интенсивно-
сти излучения
*) Здесь волновой вектор будет обозначаться в виде к с тем, чтобы избежать путаницы
с коэффициентом поглощения.
296 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
чения данной частоты иш, которая аналогична плотности частиц с данной энергией.
Для иш имеем
иш = - \ljn)dn, F.4.3)
с J
где интегрирование проводится по всему телесному углу, в котором распространяется
излучение. Наряду с 1Ш и иш важной характеристикой поля излучения является
лучистый поток S^, определяемый следующим образом:
S^= \ I^ftdft, F.4.4)
D7Г)
Для дальнейшего нам понадобятся оптические характеристики вещества. По
существу мы уже ввели их выше при рассмотрении отдельных механизмов излуче-
излучения. Здесь они будут записаны в самом общем виде, без конкретизации механизма
излучения.
Пусть q^ duduo — количество энергии, спонтанно излучаемой средой за 1 с в 1 см3
в телесном угле d?l и в интервале частот duo. Если учесть индуцированное излучение,
то полная энергия, излучаемая за 1 с в 1 см3 в интервале dftduo, будет равна F.3.4)
\ + 47^") • F.4.5а)
При прохождении излучения через вещество его поток, кроме того, ослабляется. Это
ослабление может быть обусловлено либо поглощением, либо рассеянием. В силу
линейности уравнений электродинамики (нелинейных эффектов мы касаться не
будем, поскольку они несущественны в подавляющей массе случаев), можно считать,
что ослабление потока при прохождении слоя dS = dx?l пропорционально потоку,
т. е. имеем
сИш = -XuIudS - du duj. F.4.56)
Коэффициент ослабления к^ складывается из собственно коэффициента поглощения
Хш и коэффициента рассеяния хс? . В дальнейшем под коэффициентом ослабления
хш будем понимать только коэффициент поглощения, т. е. будем пренебрегать процес-
процессом рассеяния, поскольку сечение рассеяния на электронах (а именно этот процесс
является главным в рассеянии) оказывается чрезвычайно малым (а « 6 • 10~25см2).
Теперь мы можем написать так называемое "уравнение переноса излучения". Это
нагляднее всего можно сделать, рассматривая излучение как поток фотонов и приме-
применяя эту же схему рассуждений, которая была использована в разделах 4.1 и 5.1 при
выводе кинетических уравнений для частиц. Исходя из F.4.1), в соответствии со
сказанным можно написать закон сохранения частиц в фазовом пространстве (х, к)
Здесь 5N — разность между числом рождения и числом гибели фотонов в еди-
единицу времени и в единице объёма фазового пространства. Учитывая, что х = сГ2,
а изменениями длины волны и направлением ее распространения мы пренебрегаем
(к = 0), приводим F.3.6) к виду
°^ = Шш. F.4.7)
6.4. Уравнение переноса излучения (кинетика фотонов)
297
Возвращаясь к интенсивности потока 1Ш = cFu и учитывая выражения F.4.5а)
и F.4.56), окончательно получаем
1д1ш
с ~Ж
V " =
4тг3с2г .
F.4.?
Это уравнение аналогично кинетическому уравнению E.1.1) при отсутствии внешних
сил.
Формально уравнение F.4.8) при известных qu и яи есть простое линейное
уравнение в частных производных первого порядка. В подавляющей массе случаев
приходиться иметь дело с еще более простыми стационарными вариантами уравнения
F.4.8)
4тгг
= a + /?/„. F.4.9)
4тгг
Это связано с большой скоростью света, благодаря чему времена установления
лучистого потока, особенно в лабораторных условиях, весьма малы. Иными словами,
зависимость 1Ш от t параметрическая и определяется зависимостью от времени
характеристик плазменного потока q^ и кш, т. е./а(х, t) или в гидродинамическом
приближении величинами
Рис. 6.4.2. Перенос излучения — в общем случае (а), в плоском бесконечном слое (б)
Предполагая ^(х), х(х) известными функциями х, найдем в явной форме реше-
решение уравнения F.4.9).
Обозначим через G поверхность, ограничивающую излучающий плазменный объ-
объём (рис. 6.4.2а) и рассмотрим световой поток, проходящий в направлении Q через
некую точку на границе объёма Ро(хо)- Этот поток идет вдоль прямой, пересекающей
поверхность G в точке Pi(xi). Очевидно, если на G извне не падает поток излучения,
то приходящий в точку на прямой P(xq) поток будет рождён (и в общем случае
частично поглощён) на прямой о(х)~ (х)- Точки на этой прямой имеют координаты
5 = х0 + ?ls,
где s — расстояние, отсчитываемое от точки Pq(xo)- То-есть считаем при Pq величину
sq = 0, а при Р\ она равна s\.
298 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Теперь уравнения переноса F.4.9) можно записать в виде обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения О
—/w(xo + tos) = ^(х0 + fts)(l + А1Ш) - кш(х<о + ns)Iw =
= а(х0 + Sis) - /3(х0 + ns)/w(xo + П°в).
Его решение с граничным условием Iu(so) = 0 имеет вид
{S \ /S fs' \ \
- \Cds \ I faexpi \Cds" \ds'\. F.4.10)
о J Vo lo J /
Пример: пусть а и (З постоянны, тогда поток, выходящий из плазменного объёма,
равен
1Ш = exp{[3s*}a exp{Cs}ds = — (l -exp{Cs}). F.4.11a)
о
Полагая s = I — длина отрезка Р\Ро, получаем
) F.4.116)
Отсюда следует что если объём прозрачен, то-есть C1 <С 1, то находим 1Ш = al.
И, следовательно, имеет место обычное объёмное высвечивание
Если же размер плазменного объёма велик, так что C1 ^> 1, и система близка
к равновесию, то (см. ниже F.4.13) и F.4.14))
1ш = ^=1{?л), F.4.11b)
а 1и — планковская интенсивность. Следовательно, по данному направлению
плазма излучает как абсолютно черное тело.
6.4.2. Перенос излучения в условиях, близких к равновесным [139, 140].
Если плазма и излучение находятся в состоянии, близком к термодинамическому
равновесию, то кинетическое уравнение переноса излучения F.3.8)
можно привести к гидродинамическому виду. Иными словами, от функции 1Ш,
определяемой в 6-мерном пространстве (и;,п,х) можно перейти к функциям U и S
в трёхмерном пространстве (х), которые были определены выше (см. F.4.3), F.4.4)).
Однако перед этим, предполагая квазиравновесность плазмы, уравнения F.5.19)
целесообразно несколько преобразовать. Учитывая F.3.26) и F.3.4) при д^ = д^,
получаем
Пи3 ( *"' F.4.13)
кТ
Формула F.4.13) справедлива для любого механизма излучения, несмотря на то, что
при ее выводе мы рассмотрели частный случай линейчатого излучения, поскольку
о л 4тг3с
Здесь Л = -^г-
6.4. Уравнение переноса излучения (кинетика фотонов) 299
F.4.13) есть не что иное, как закон Кирхгофа. Подставляя F.4.13) в F.4.12),
получаем уравнение переноса в виде
(- exp l-^X) 1Ш. F.4.14)
И, наконец, отсюда выводим традиционную запись уравнения переноса для квази-
квазиравновесных условий
1^ ?>/„,). F.4.15)
Здесь
^ ({^}) F.4.16а)
равновесная (планковская) интенсивность лучистого потока.
Теперь можно было бы воспользоваться той же идеей перехода от кинетики
к гидродинамике, которая первый раз была описана в п. 4.3.1. А именно, умножая
F.4.15) на 1, Q,a, Q,aQ,p,... и интегрируя по телесному углу О:
dCl = sin 9 d9 Aф; ?lx =sin9cos(/), ?ly = sin9sin(/), uz=cos9, F.4.17a)
получаем бесконечную цепочку уравнений гидродинамического типа
с at oxa
- W
d^W^ X>- F.4.176)
д , , ( ) 4
Здесь 5ар — символ Кронекера,
Оборвать полученную цепочку можно, считая интенсивность 1Ш мало отличающейся
от равновесной 1^ . Однако это лучше сделать несколько иначе, взяв для простоты
уравнение F.4.15) при
^-1ш=0, (ШIш = х'A*?1-1ш), F.4.18а)
то-есть
A+хКо; = 1?). F.4.186)
Здесь х — оператор
F.4.18в)
300 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Решение уравнения F.4.186) можно записать в виде
/„ = A + хГ'& = & - Й?> + ХХ& - ... =
^(^#>)-... F.4.19)
Из F.4.18) следует, что разложение идет по степеням
1
F.4.20)
x'V
где L — масштаб неоднородности температуры и плотности в плазменной конфигу-
конфигурации. Иными словами для быстрой сходимости ряда нужно, чтобы L было много
больше длины свободного пробега фотона
Зная 1Ш можно рассчитать все характеристики потока. Так, мощность выделения
в единицах объёма
сю сю сю
qs = divS = div I* Sudu; = div I* du j* Ш^П = I du I (fiV)/wdH =
0 0 4тг О 4тг
сю
F.4.21)
Это естественная формула. Она выражает тот факт, что радиационный выход из
элемента плазменного объёма определяется излучением и поглощением.
Если в F.4.21) подставить разложение F.4.19), то, учитывая, что
П dft = 0,
ненулевой вклад даёт только второй и последующие чётные степени разложения.
Итак,
о о
Здесь
Uij = dtKlitij. F.4.23)
J
4тг
Используя выражения F.4.17а), найдем, что
шхх = шУу = ujzz = -r-, cJij = (J при г т^ j.
о
Учитывая, что 1/%^ = ?ш — свободный пробег фотона, можно написать
сю сю
Qs = ~^- | duoAiv (—) VI$ = ^div | ludu)VI^\ F.4.24)
о о
6.4. Уравнение переноса излучения (кинетика фотонов) 301
Последний интеграл, полагая cUu = 4тг/<1, , можно представить в виде
сю
f = 1RVU = 4?RaC-BT3X7T, F.4.25a)
где сгс-б — постоянная Стефана-Больцмана. Закон Стефана-Больцмана связывает
равновесную плотность энергии излучения U с температурой Т:
U = сгс_БТ4. F.4.256)
В F.4.25а) введен некий усредненный по планковскому распределению свободный
пробег фотонов в данном плазменном объёме
lR = -j-41 . F.4.26а)
Эту величину называют росселандовым пробегом. Видно, что у нас появляется
специфическая функция
F.4.27)
dT
в которой использован закон Стефана-Больцмана.
Подставляя в F.4.27) формулу Планка, получаем явное выражение для G{u)
Используя формулы F.4.25а) и F.4.26), можем написать
qs = div (Urcjc^Vt) . F.4.29)
Эта формула приобретает более естественный вид, если ввести вектор светового
потока S. Тогда
S = -^<7с-бТ3УТ, qs = -divS. F.4.30)
о
При поверхностном взгляде может показаться, что росселандов пробег универ-
универсален для всех плазменных объёмов, оптически толстых и близких к равновесному
состоянию, россландов пробег одни и тот же, однако это не так. Различие здесь
связано с разной зависимостью к^ от частоты и температуры.
Аппроксимация ?r [157]. Выше подчеркивался сложный вид зависимости ко-
коэффициента поглощения к^ от частоты, а тем более от температуры и плотности.
Однако в ряде случаев имеются аппроксимационные формулы разумной точности.
Они относятся к ЛТР (см. п. 6.5.7)
• Для тормозного поглощения при Ьи < кТ (Крамере)
TK. (б.4.31а)
302 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
• Коэффициент поглощения в плазме с частицами, имеющими один ионизацион-
ионизационный уровень (литий)
Тьио
F.4.316)
• Плазма с многозарядными ионами (Крамерс-Унзольд)
^(Кр-Ун) _
{Z)
Здесь
Если рассматривается тормозное излучение на ионах с зарядом Z (п. 6.3.2), то
росселандов пробег
24^^ F.4.32)
6о
Здесь по — концентрация ионов.
Если же излучение линейчатое, то для ионов с Z> 1 приемлемой для оценок
аппроксимацией является выражение
^д = 4,4- 102
Z(l+Z)
6.5. О схемах описания динамики частиц трансформирующейся
плазмы
6.5.1. Общая характеристика моделей. В предыдущем параграфе говорилось
о динамике излучения в отрыве от динамики заселённости корпускулярной компо-
компоненты плазмы, которая характеризовалась лишь априорными параметрами qu и нш.
В данном параграфе, наоборот, будет речь преимущественно о трансформацион-
трансформационной динамике частиц. Примеры самосогласованных динамических процессов транс-
трансформации будут приведены в ряде следующих параграфов.
Основной вопрос, который нас здесь будет интересовать, это возможные пути
упрощения описания гигантского многообразия компонент в плазме при "развязыва-
"развязывании" внутренних степеней свободы, о чем говорилось в вводной части этой главы.
Выбор схемы упрощения реальной совокупности уровней определяется свойства-
свойствами рассчитываемой системы, целью её функционирования, а также имеющимися
средствами для расчёта. Наиболее важными параметрами, которые определяют во
многом эту схему, являются
^е 7"рад л / \
а = —-, 7 — —' ^ = {av}neT*.
6.5. О схемах описания динамики частиц трансформирующейся плазмы 303
Здесь а — отношение электронной температуры к характерной разности энергий
уровней после и до перехода, 7 ~~ отношение времени трад — радиационного девоз-
буждения (рекомбинации) к тстолк — аналогичному процессу, обязанному столкнове-
столкновением с частицей, в — отношение времени жизни частицы в возбуждённом состоянии
т* к времени возбуждения (ионизации).
6.5.2. Два подхода к упрощению реальных ситуаций. В основе упрощения
в большинстве случаев лежат две простые идеи. Первая из них состоит в переходе от
реальных частиц с большим числом состояний (а-параметров) к неким эффективным
частицам с малым числом ф и Z, т. е. с малым числом ионизированных (Z) и малым
числом возбуждённых состояний. Несмотря на наличие компьютеров, для оценок
и сейчас используются двух- (Z = 0, 1, ф = 0) и трёх- (Z = 0, 1,^ = 0, 1) уровневые
модели.
В первом случае принималось, что "эффективная частица" может быть либо
нейтральным атомом (Z = 0)в основном состоянии, либо ионом (Z = 1) также
в основном состоянии (ф = 0). Во втором случае в рассмотрение вводится ещё
возбуждённый уровень (ф = 1).
Естественно, что как уровням, так и характеристикам перехода между ними,
присваивались некие усредненные параметры. Классический пример — ионизация,
когда нас не интересует конкретный механизм перехода атом^ион, а только энерге-
энергетические затраты на один акт ионизации, так называемая "цена иона".
Приближение малого числа уровней используется в реальной плазме фактически
всегда, хотя и не обязательно в таких крайних формах, как модели с двумя и тремя
уровнями. Модели с большим числом эффективных уровней получают все большее
распространение с развитием численных методов и появлением все более мощных
компьютеров. Сейчас проводятся расчёты моделей молекулярных плазм с учётом ты-
тысяч уровней. Это важно, например, при расчёте свечения метеорита или космического
аппарата, вошедшего в атмосферу Земли или Марса.
Однако существует ряд плазменных систем, где практически точные данные мож-
можно получить с помощью моделей с очень малым числом уровней. Это, прежде всего,
системы, в которых основной процесс связи с одним или несколькими выделенными
уровнями. К таким системам относятся лазеры и многие плазмохимические реакторы,
о которых будет сказано в разделе 6.11. Кроме лазеров и плазмохимии малое
число уровней работает в системах, которые можно назвать коротковременными. Эти
системы, в которых нейтральные частицы находятся под действием возбуждающих
и/или ионизирующих факторов короткое время, и поэтому возбудиться могут лишь
единичные уровни.
Нас будет здесь интересовать частный случай короткоимпульсных систем, а имен-
именно фронты ионизации в плазменных ускорителях со сравнительно редкой плазмой.
Эти фронты обладают тем важным свойством, что в них успевает пройти несколько
раз возбуждение и ионизация, но не успевает пройти рекомбинация.
Эти структуры будем называть пролётными. О них подробнее будет ниже
в п. 6.5.3. и в п. 6.7.1.
Второй способ упрощения описания состояний частиц в системе используется
тогда, когда рекомбинация должна учитываться, а, кроме того, может требоваться
учёт возбуждения большего числа различных уровней. В этих случаях систему
можно в первом приближении считать квазиравновесной и определять заселенности
уровней с помощью конечных выражений, находимых из простых линейных урав-
уравнений, зависящих от нескольких параметров. Эти параметры могут определяться из
обычных уравнений гидродинамического типа.
304 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Очевидно, эта та же идея, которая ранее использовалась в разделе 5.3 для
перехода от кинетических уравнений к уравнениям гидродинамическим. Тогда за
основу бралось распределение Максвелла с локально переменными параметрами
п(х, ?), v(x, ?), Т(х, t) теперь же в аналогичных условиях (X/L <С 1) основой бу-
будет распределения Максвелла-Больцмана. Конкретно это приближение, называемое
"приближением локального термодинамического процесса" (ЛТР), мы подробнее его
рассмотрим в п. 6.5.5.
Однако приближения ЛТР не единственные квазиравновесные приближения.
Таких приближений в принципе может быть много. Среди них достаточно часто
встречается квазиравновесное "корональное равновесие" или равновесие Эльверта-
Шкловского.
Нагляднее всего соотношение ЛТР и коронального равновесия видно на двух-
двухуровневой гидродинамической модели плазмы (атом и ион в основном состоянии ).
Уравнение для плотности ионов можно записать в виде, полагая для простоты v = 0.
dfli n 2 /п г 1 \
— = рПаПе - аПеЩ - JUeTli, F.5.1)
здесь C = (av)mH, а — коэффициент тройной рекомбинации, 7 = 1Драд> где tpaci —
время жизни возбуждённого состояния по отношению к фоторекомбинации, точнее
фото- и диэлектронной рекомбинации. Уравнение типа F.5.1) мы уже писали ра-
ранее F.2.5), а теперь будем считать, что система находиться в равновесии. Тогда
(Зпапе — ащщ — 'уПеЩ = 0. F.5.2а)
Отсюда видно, что возможны два крайних случая
(Зпапе - ап\щ « 0, ( - .
(Зпапе - >упещ = 0.
В первом случае процесс ионизации электронным ударом уравновешивается
тройной рекомбинацией. Это взаимно обратные процессы, и их равенство означает
термодинамическое равновесие. В неоднородной среде это ЛТР.
Во втором случае ионизация электронным ударом уравновешивается фото- и ди-
диэлектронной рекомбинацией. Если плазма достаточно разрежена, тогда ионизация
осуществляется из основного состояния, а фоторекомбинация либо непосредственно
"сажает" электрон на основной уровень, либо в результате цепочки переходов.
Возникающая в стационарных условиях заселенность уровней с помощью ука-
указанной схемы и называется корональным равновесием. Подчеркнем, что для этого
равновесия характерны два момента: ионизация электронным ударом из основного
состояния и фоторекомбинация.
К сказанному о квазиравновесиях нужно добавить замечания:
Уравнение F.5.1) выписано для случая ионизации атомов (молекул, ионов). Но
аналогичные уравнения можно записать и для возбуждений. В двухуровневой модели
это будет основные состояния (") и возбуждённые ("), а уравнение равновесия
примет вид:
CLTI'
—j = р\щпе - а\щпе - 7ini = 0. F.5.3)
Здесь также можно говорить об ЛТР, когда
C\щпе — а\П\пе = 0 F.5.4а)
и о корональном равновесии, если
C\щпе — 7№ = 0. F.5.46)
6.5. О схемах описания динамики частиц трансформирующейся плазмы 305
Как видно из уравнений F.5.2) и F.5.4) при известных пе и щ, определение
концентраций ионов щ и возбуждённых атомов щ*, определяется линейными ал-
алгебраическими уравнениями. Этот фундаментальный факт справедлив не только для
двухуровневых моделей, но и для любой совокупности процессов, если среди них
нет столкновений возбуждённых тяжёлых частиц друг с другом. Поэтому, наряду
с ЛТР и корональными моделями, могут быть построены и другие квазиравновесные
модели заселенности в трансформирующейся плазме.
К настоящему времени в литературе описано много конкретных схем расчёта
заселенностей уровней. Большинство из них представляет собой комбинации ука-
указанных здесь подходов. Использование все более мощных компьютеров позволяет
явно учитывать многие сотни и тысячи а-компонент, о чём мы подробнее скажем
в разделе 6.8.
А теперь подробнее охарактеризуем пролётные, корональные и ЛТР модели.
6.5.3. Пролётные системы. Характерную особенность пролётных систем, как
об этом мы сказали выше, можно выразить неравенством:
Тион < Т0 <С Грек- F.5.5)
Здесь го — время воздействия на нейтральную субстанцию трансформирующих
факторов (энергичных электронов, фотонов и т.п.), причём время то больше или
порядка времени тион, необходимого для ионизации, но то существенно меньше
времени, необходимого для рекомбинации.
Условие F.5.5) хорошо реализуется, например, в зоне ионизации стационарных
плазменных двигателей с относительно редкой плазмой ксенона. Рассмотрим этот
случай подробнее. Сам двигатель описан в разделе 6.7, а на рис. 6.7.1 дано его
изображение. Толщина зоны ионизации L ~ 1 см, электронная температура здесь
Те ~ 10 эВ. Характерная скорость атомов ксенона до ионизации ~ 104см/с, коэффи-
коэффициент ионизации
Р = (<rve)mH ~ IO^cmV1.
Используя приведённые параметры, находим то и тион при пе ~ 1012см~3
Vct F.5.6)
Гион = —5 = 10С-1.
Видно, что величины tq и тион одного масштаба. Поскольку плотность электронов
пе < пе*, которая определена формулой F.2.8), то достаточно ограничиться оценкой
времени фоторекомбинации F.2.66). Расчёт при Z = 1 даёт
Трек ~rpa ~ 15 с, F.5.7)
то есть условие F.5.5) в рассмотренном случае выполнено с большим запасом.
Во время прохождения рассматриваемой зоны атом Хе до ионизации может
несколько раз возбудиться, поскольку сечение возбуждения и ионизации близки.
Очевидно динамика тяжёлых компонент в пролётном режиме описывается урав-
уравнением (без учёта возбуждения)
-тг = АюНпопе. F.5.8)
Заметим, что в слое могут произойти и повторные ионизации, но эти процессы редки,
и мы не будем их касаться.
306 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
6.5.4. Корональное равновесие [140]. Для корональных систем характерны
два момента: ионизации (возбуждения) атома (иона) электронным ударом из основ-
основного состояния, а затем возвращение в исходное состояние благодаря излучению.
При этом предполагается, что плазменный объём оптически прозрачен. Первым
исследованным объектом этого класса была солнечная корона.
Итак, схема коронального цикла с ионизацией
Ао + е -+ А+ + 2е
/1+ . а , F.5.9а)
А^ + е -> А + 7-
Здесь индекс "нуль" отмечает основное состояние.
К корональным процессам можно отнести и схему возбуждения частицы из
основного состояния электронным ударом и затем его излучения.
Переход частицы в начальное состояние может идти непосредственно из иони-
ионизованного (возбуждённого) состояния в начальное (основное), а может носить сту-
ступенчатый (каскадный) характер. Как именно реализуется этот переход, определяется
в основном конкретным характером уровней: атома или иона.
Здесь мы рассмотрим только "однопереходные" фоторекомбинации, используя
следующие обозначения: nz — концентрация ^-кратно ионизованных ионов, /3ZtZ+\ =
= (o-v)zz+l — скорость перехода иона из z в [z + 1)-ю степень ионизации за счёт
столкновения с электроном
A+z + e -> A^z+{> + 2e. F.5.10a)
jZfZ-\ — скорость перехода z —> z — 1 благодаря фоторекомбинации
A+z + e -> A+(z-V + 7ztZ_i. F.5.106)
Тогда система уравнений, описывающая корональное равновесие с бескаскадными
переходами примет вид
dt
dnz
= 0;
= —f3ZfZ+\nzne — jz,z-\^z^e + /3z-\,znz-\ne = 0; F.5.11)
т
Здесь z* — максимальный заряд иона в данных условиях.
Простые выкладки показывают, что
nz = nz-\——— = nz-\ (crve)^_] • rz z-\, rz z-\ = , F.5.12)
lz,z-\ ' ' lz,z-\
т. e.
n\ = no ((tv)qi no, n2 = n0 ((tv)qi {(tv)X2t\oT2\.
Отсюда видна важная особенность коронального распределения. Оно явно не
зависит от пе и определяется только концентрацией частиц в исходном состоянии
и Те.
6.5. О схемах описания динамики частиц трансформирующейся плазмы 307
Конкретные расчёты по формулам F.5.11) проводятся, используя величины (av)
и т(рад\ типа приведённых в разделах 6.1 и 6.2.
Отметим одно важное, хотя и очевидное свойство неветвящегося коронального
равновесия. Очевидно мощность излучения единицы объёма равна
Pz^z-i = nenzhu(Zx^z_X) (o-v)z_{^z , F.5.13)
и таким образом не зависит от вероятности излучательного перехода.
Корональная модель снизу при малых плотностях частиц ограничена "параметром
пролётности"
0 > 1, F.5.14)
'рек
т. е. достаточно большой величиной времени жизни (то) частиц в система, а сверху —
тройной рекомбинацией
в1 = -щ^1- <6-5-15)
Трек
6.5.5. Динамика квазиравновесной трансформирующейся плазмы. Рассмот-
Рассмотрим теперь поведение трансформирующейся плазмы, когда, как и раньше, ионизация
происходит за счёт электронного удара, а рекомбинация преимущественно благодаря
тройному столкновению. В этом случае мы имеем локальное термодинамическое
равновесие (ЛТР).
Равновесная заселенность энергетических уровней атомов (ионов, молекул).
При наличии термодинамического равновесия всякий процесс, идущий в системе,
уравновешивается строго обратным процессом ("принцип детального равновесия").
Отсюда следует, что при термодинамическом равновесии в кинетических урав-
уравнениях для частиц все столкновительные члены обращаются в нуль, и функции
распределения являются функциями Максвелла-Больцмана
)} F-516)
а излучение подчиняется закону Планка F.3.2а). Здесь а = (Z^, Z, ф) — характе-
характеристика состояния частицы 0, Еа — энергия внутренних степеней свободы, Na —
общая концентрация частиц сорта a, Zq — их статистическая сумма по дискретным
состояниям
X>iW|M F.5.17)
(а)
да — статистический вес уровня, vo — средняя скорость частиц.
Если мы проинтегрируем F.5.16) по скоростям и учтём условие нормировки
J2 j fa (v,a)dv = Na, то получим формулу Больцмана для случая дискретных
к
уравнений (ф = к):
Отсюда получается обычная формула Больцмана, связывающая заселенности различ-
различных уровней (к и /):
W = ?kniexp\_^\. AEkl = Ek-El. F.5.19)
l) Zy, — номер элемента в таблице Менделеева, Z — степень ионизации
308 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
При полном термодинамическом равновесии излучение, строго говоря, также
должно находиться в равновесии с частицами, однако в плотной плазме, даже не
прозрачной, оно может быть неравновесным, так как роль столкновения частиц
в формировании заселённости уровней превалирует.
Однако по мере возрастания температуры плотность фотонов растёт ~ Т3. Это
следует из закона Стефана-Больцмана F.4.256) и того факта, что характерная
энергия фотонов теплового излучения
Поэтому, при фиксированной плотности частиц и должной оптической толщине,
с ростом температуры возбуждение и девозбуждение начинают происходить преиму-
преимущественно за счёт фотонов. Таким образом, мы переходим фактически к эйнштей-
эйнштейновской модели равновесия, рассмотренной в п. 6.3.1.
Используя равновесные функции распределения, нетрудно получить связь между
константами скоростей прямых и обратных процессов. Действительно, рассмотрим
простую двухуровневую схему, где могут под действием некого фактора 7 (например,
электронов с концентрацией 7V7) совершаться переходы 1<->2. Тогда получим в ста-
стационарном случае уравнение баланса:
О = n\N1 (va\2) — n2N1 (va2\), F.5.20)
где усреднение проводится по равновесной функции распределения фактора j,
a 7V7 — его концентрация. Отсюда
^ = ??4, F.5.21)
и, в соответствии с F.4.18), имеем
<W21>=^exp^^^L F.5.22)
(vo~i2) g2
Полученное соотношение иногда называют соотношением Клейна-Росселанда.
Хотя оно выведено при рассмотрении равновесной функции распределения, область
его применимости гораздо шире. Для того чтобы было справедливо соотношение
F.5.22), необходимо лишь, чтобы функция распределения частиц — факторов, при-
приводящих к переходам между уровнями 1 и 2, была равновесной. В данном случае
таким фактором являются электроны.
Очевидно, что это же условие является необходимым, но недостаточным для того,
чтобы заселенность уровней соответствовала формуле Больцмана F.5.16).
Заметим, что распределение Больцмана по уровням возбуждения может устанав-
устанавливаемся под действием различных факторов
Формула Саха [15]. Ранее мы рассматривали кинетические уравнения, учи-
учитывающие только парные взаимодействия. Однако среди процессов трансформации
большую роль играют также трехчастичные процессы, в частности рекомбинация
с участием двух электронов. Это процесс является детально обратным по отношению
к ионизации электронным ударом. Термодинамические равновесные концентрации
атомов, ионов и электронов, обязанные процессам
А + е^А+ + е + е, F.5.23а)
описываются уравнением Саха. Поскольку мы не анализировали кинетических урав-
уравнений с тройным взаимодействием, рассмотрим прямой термодинамический вывод
этого уравнения.
6.5. О схемах описания динамики частиц трансформирующейся плазмы 309
Пусть имеется обратимая реакция
vkAk = 0, F.5.236)
где Ак — символ компоненты, а^ - стехиометрические коэффициенты 0. Тогда из
термодинамики следует "закон действующих масс":
^^/^ = 0, F.5.23в)
где fa — химический потенциал г-й компоненты реакции.
Если каждая компонента плазмы является идеальным газом, то имеет место
соотношение
/1 = Т In п - Т In Z0Z{. F.5.24a)
Здесь Zq — статистическая сумма по уровням, a Z\ обязана кинетической энергии
частиц.
Подставляя F.5.24а) в F.5.23в), получаем
е
где Zq'j6'* — статистические суммы соответствующих компонент. Кинетические со-
сомножители ионов и атомов практически равны z\ = z\, a Zq = 2 соответственно двум
ориентациям спина. Величины Zq и Zq берутся из двухуровневой модели. Поэтому
можно положить — учитывая, что в 6.5.246 входит их отношение, Zq = ga, Zq =
= дгехр{—el/kT. Здесь / — потенциал ионизации. Подставляя эти выражения
в F.5.246), получаем формулу Саха.
ткТе \3/2 Г el \
exP I > F.5.25а)
па дг
Для удобства расчётов выражение F.5.25а) можно представить в виде (кТ, el —
в эВ, п — в см~3).
ПеЩ = 2%3 1(J1 з/2 Г_^1 F.5.256)
Зная температуру электронов Те и полное число частиц данного сорта 7V0 в еди-
единице объёма, можно с помощью рекуррентной, по своей сути, формулы Саха найти
плотность каждой из компонент nz и полную плотность электронов
9 Пе Пе F.5.26)
п0 т, . 2n0 v 7
пе пе
Здесь Kz(T) — правая часть F.5.25а), соответствующая переходу (Z — 1) —> Z.
На рис. 6.5.1 приведены зависимости от Те концентраций ионов разной кратности
для кислорода.
Эффективный заряд ионов и термодинамические соотношения в термической
плазме. Если рассмотреть кривые зависимостей концентрации ионов с данным Z от
температуры (см. рис. 6.5.1), то обращает на себя внимание, что при каждой темпе-
температуре, как правило, преобладают ионы 2—3 сортов с близкими значениями Z. Это
1) В нашем случае это будет v =l,z/e=l, щ = — 1, vee = —2.
310
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
0III 0IV0VGVI
0VII
OVIII 0IX
104 105 106, К
Рис. 6.5.1. Зависимость концентрации ионов кислорода разной кратности от температуры
вычисленная в предположении, что устанавливается равновесие
Саха
электронов при пе = 1017см 3
делает целесообразным введение среднего заряда иона Z. Если в плазме содержатся
ионы с достаточно большим Z', то можно аппроксимировать зависимость потенциала
ионизации Iz+\ иона с зарядом Z — в результате чего появляется ион с зарядом
Z+ 1 — некой непрерывной функцией I(Z), полученной интерполяцией значений
потенциала ионизации Iz+\ от целочисленного аргумента Z+ 1. В результате, как
показано в [144], величину Z можно найти как решения трансцендентного уравнения
1
AT3/2
F.5.27)
Здесь слева стоит полусумма потенциалов ионизации ионов с зарядом Z — \ и Z.
Величина
V
Выражения для термодинамических функций р(п, Т) и внутренней энергии доста-
достаточно очевидны (плазма предполагается идеальной)
Z)kT.
F.5.28)
Чтобы написать выражения для внутренней энергии, учтём, что она в уравнениях
динамики относится к единице массы и включает как тепловую энергию, так и за-
затраты на возбуждение и ионизацию. Поэтому
F.5.29)
Здесь Q(Z) — сумма затрат на отрыв от атома Z электронов, a W — энергия
возбуждения.
Электропроводность и теплопроводность трансформирующейся плазмы. На-
Наряду с термодинамическими функциями р(п, Т) и е(Т) необходимо знать зависи-
зависимость электропроводимости и теплопроводности плазмы от плотности и температуры.
6.5. О схемах описания динамики частиц трансформирующейся плазмы 311
Общая формула для классической электропроводности, как известно, имеет вид
е2п0гэф
а = -, F.5.30)
т
причём
— = V—, F.5.31)
Гэф (а) Геа
где суммирование ведётся по всем а-сортам частиц.
При низких температурах проводимость определяется малой концентрацией элек-
электронов и, в соответствии с формулой Саха
} F-5-32)
и это в целом хорошо подтверждает эксперимент.
Начиная с температур Т ^ 0, 3—0, 5эВ, существенным фактором становятся куло-
новские столкновения электронов с ионами. Этот переходный интервал простирается
до Т ~ 1,5 эВ, а далее проводимость становится "спитцеровской"
а ~ Т3/2. F.5.33)
/ \-1
В этом случае nerei не зависит от пе, т.к. те^ = 1щ (av) 1 , а в силу квазиней-
квазинейтральности щ ~ пе
Затем, если это не водород, начинаются последующие ионизации. При этом пе ~
~ Zrii, но кулоновское сечение ~ Z2/T2 и зависимость а от Т становится более
слабой
а~Т?, 0,5 <^< 1,5. F.5.34)
Пример зависимости а от Те, рассчитанной на основе уравнения Саха и формулы
F.5.30) представлен на рис. 6.5.2.
Что же касается теплопроводности, то здесь при отсутствии магнитного поля
перенос тепла при хорошей ионизации преимущественно производится электронами.
Коэффициент этой теплопроводности
к2Т
Хе = -^о-. F.5.35)
Здесь а — спитцеровская проводимость.
При достаточно сильном магнитном поле тепло переносится в основном ионами.
Но зависимость здесь сложная, и мы не будем её выписывать (см. п. 5.3.4).
О применимости модели ЛТР и формулы Саха. Поскольку эта модель относит-
относится к плазме с достаточно высокой плотностью электронов, то критерий применимости
ЛТР в определённом диапазоне атомных уровней в оптически тонкой плазме есть
условие на плотность
пе ^ 1014T1/2(AEK = nf, F.5.36)
где АЕ — максимальная разность между энергетическими уровнями в спектре атома,
эВ, Т — температура, эВ . В табл. 6.8 приведены значения nlp для Li, Cs, Hg, Xe.
Если плазма является оптически толстой в резонансных линиях, то критерий
применимости локального термодинамического равновесия имеет вид
F-5 37)
312
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
1
о
1
О
1-Г
70
60
50
40
30
/ А
Mr
/у
/М
if
/
У
20
10
о
4 6 8 Ю 12 14 16 Т,Ю3К
Рис. 6.5.2. Типичная зависимость коэффициента электропроводности плазмы от температуры
электронов: сплошная кривая — расчёт электропроводности аргоновой плазмы; различные
значки — экспериментальные данные разных авторов
Таблица 6.8
Элемент
Li
Cs
Хе
Hg
Т = 1 эВ
6,2-1014
2,7-Ю14
5,6-1016
3,5-1016
Т = 3 эВ
1015
4,7-Ю14
9,7-Ю16
6-Ю16
Т =5 эВ
1,4-1015
6-1014
1,2-1017
8-1016
Т = 10 эВ
1,9-1015
8,5-1014
1,8-1017
1Д-1017
Т = 30 эВ
3,4-1015
1,5-1015
ЗД-1017
1,4-1017
где
— доплеровский профиль;
— дисперсионный профиль.
При достаточно высоких температурах атомы и ионы возбуждены в соответствии
с уравнением Больцмана. И здесь возникает вопрос о количестве уравнений, кото-
которые должны учитываться, поскольку с ростом главного квантового числа п растёт
статистический вес д ~ п2.
Однако нетрудно видеть, что высоковозбуждённые уровни не играют, как пра-
правило, заметной роли. Энергия связи удаленного электрона — на том же примере
с водородом, убывает ~ 1/п2.
И поэтому, при потенциале ионизации I ~ 15 эВ при п ~ 10, энергия связи
становится равной ею ~ 0, 15 эВ, что соответствует температуре всего ~ 1700К.
Однако учёт нескольких первых уровней возбуждения часто имеет смысл. Поэтому
при очень больших плотностях обращение с формулой Саха требует осторожности.
Необходимым условием справедливости формулы Саха является неравенство
6.5. О схемах описания динамики частиц трансформирующейся плазмы 313
Таким образом, равновесная формула Саха является нулевым членом разложения по
параметру
п а(ег) < 1-
Это условие может быть записано в виде
nfn>- 1017см-3, F.5.38)
Если же выполняется обратное условие, что имеет место в системах с малой плот-
плотностью, то мы переходим также к стационарному, но неравновесному корональному
распределению.
6.5.6. Диффузионное приближение. Перейдём теперь к случаю достаточно
плотной плазмы, когда время между двумя столкновениями тяжёлой частицы с элек-
электронами существенно меньше её радиационного времени жизни в возбуждённом
состоянии. Если к тому же допустить, что kT <C el, то в такой плазме будут
преобладать многоступенчатые процессы (рис. 6.5.3). Поэтому естественно в этих
условиях рассматривать процессы возбуждения, рекомбинации (ионизации) как про-
процесс диффузии электрона в пространстве энергий (рис. 6.5.3). Эта идея восходит,
повидимому, к Крамерсу, позднее она была успешно применена Будкером и Беляевым
к рассмотрению процесса рекомбинации. Диффузионность процесса обусловлена
тем, что вероятность столкновительного перехода связанного электрона с большим
изменением квантового числа мала, так как Кпш ~ {Еп — Ет)~4. Следовательно,
в среднем за несколько столкновений энергия электрона меняется мало, а при таком
условии кинетическое уравнение можно свести к уравнению Фоккера-Планка. При
этом предполагалось, что спектр отрицательных 0 энергий является непрерывным.
Такой подход позволил вычислить коэффициент рекомбинации в плотном газе, когда
основное время, затрачиваемое на рекомбинацию, электрон проводит на высоковоз-
высоковозбуждённых уровнях. Поскольку в этой области энергий структура уровней различ-
различных атомов не слишком индивидуальна, то коэффициент рекомбинации практически
не зависит от сорта ионов. В целях более точного описания в работе [141] развито
так называемое модифицированное диффузионное приближение, которое описывает
блуждание электронов между уровнями атома как процесс диффузии с помощью
уравнения Фоккера-Планка, но уже в дискретном, а не в квазинепрерывном про-
пространстве.
6.5.7. Уравнения динамики квазиравновесной плазмы [27, 144]. Если
в плазменном объёме достаточно хорошо выполняется ЛТР, а относительные
скорости друг по отношению к другу ее тяжёлых компонент (в частности,
с разными Z) пренебрежимо малы, то динамику такой плазмы можно описать
одножидкостной или двухжидкостной гидродинамикой, считая температуры всех
компонент одинаковыми. Без учёта вязкости в одножидкостном приближении имеем:
^г- | е+^- + — | +div (pv('^ + W)+—
ОТ \ Z О7Г / \ \ Z / 47Г
соответствующих связанным состояниям.
314
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
J
7//////////М
Рис. 6.5.3. Типичные траектории блуждания электронов по уровням
Е
1
rotE = —
а с
1 <9Н
с dt
,Н
F.5.39)
divH = 0.
Здесь S = — A6<7ob/3)T3VT — лучистый поток, р = J2 rnz^Za — общая массовая
(Z,a)
плотность, массой электронов можно пренебречь, ре и пе — давление и плотность
электронов, П — вектор Умова-Пойнтинга.
Эта система уравнений должна быть дополнена граничными условиями. Они для
частиц будут обсуждаться в следующей главе. Что же касается лучистого потока,
то здесь свои особенности, прежде всего связанные с тем, что вблизи границы
плазменного объёма (который мы предполагаем оптически толстым) принципиально
нет термодинамического равновесия. Этот вопрос обсуждается в [27].
Отличие системы F.5.39) уравнений от магнитной гидродинамики Альфвена
(п. 2.3.1) сводится, прежде всего, к тому, что теперь уравнения состояния и формула
для внутренней энергии имеют вид F.5.28), F.5.29), а коэффициенты электропро-
электропроводности а и теплопроводности подчиняются формулам F.5.32) и F.5.31) с учётом
формулы Саха. Наконец, в системе F.5.39) появляется лучистый энергоперенос.
Однако, даже для условий ЛТР, но рассматривая оптически полупрозрачную плазму
надо пользоваться россландовым пробегом, и этот параметр должен непрерывно
корректироваться в связи с изменением плотности и температуры в каждой точке
потока.
6.6. Радиационная цена иона в корона л ьной модели
Рассмотрев основные особенности трансформационных процессов и их описания
перейдем к расчёту конкретных характеристик ряда плазмодинамических систем.
Конкретные расчёты с детальным учётом структуры коэффициентов поглощения
очень громоздки. Поэтому здесь мы - за исключением одного примера (ударных
волн) — ограничимся рассмотрением простых моделей.
6.6. Радиационная цена иона в корональной модели 315
Начнем с оценки "радиационной цены иона" sr — минимально необходимых при
данных п, Те и степени прозрачности объёма энергетических затрат на образование
одного иона 0. Величина Sr определяется работой ионизации el и неизбежными
потерями на излучение:
eR = eI + R. F.6.1)
Получение выражения для sr в общем случае требует решения самосогласован-
самосогласованной задачи о динамике нейтральных атомов, ионов, электронов и переносе излучения,
о чем говорилось в предыдущих параграфах. Здесь же мы получим формулы для sr
в случае коронального равновесия по возбуждениям.
Излучение предполагается не запертым (кЬ < 1).
Иными словами, в данном случае электроны сталкиваются с невозбуждёнными
атомами, а всякое неупругое столкновение приводит либо к ионизации атома, либо
к его возбуждению с основного уровня на уровень к и последующему испусканию
фотона с энергией Tiuiok — Er — Eq.
Нетрудно видеть, что в этих условиях
1 N
ef] =el + г Y, Тшок ЫУе) • F.6.2)
\°~HOHVe) ^
Здесь N — число "возбуждаемых" уровней. Часто это первый возбуждённый уровень.
Входящие в F.6.2) сечения могут быть определены, например, по формуле F.2.3)
Формула F.6.2) следует из простых рассуждений. Действительно, пусть все
N уровней возбуждаются из основного состояния и для каждого уровня известен
коэффициент перехода (ave)Ok. Тогда вероятность возбуждения fc-ro уровня будет
P^. F-6.3)
Е М(И
Аналогично вероятность ионизации равна
q
Е Мог
То, что суммирование идет не до N, а до N + 1 связано с учётом ионизации. Отсюда
следует выражение F.5.8) для радиационных потерь на один акт ионизации
N
R=^
Добавив к R потенциал ионизации /, получим формулу F.5.8).
Величина Sr через cfqi существенно зависит от вида /е и, в первую очередь, от
средней энергии электронов. В простейшем случае, когда /е является максвеллов-
ской, представление о величине Sr даёт таблица 6.9. Отсюда видно, что если Те
достаточно велика (^ 10эВ), то sr ~ 20эВ. Эта величина является весьма разумной
оценкой для реальных условий в системах, где плотность нейтральных атомов мала
1) Реальная цена иона ?о, как правило, значительно больше sr. Это объясняется потерями
ионов и электронов на стенках, теплопроводностью компонент плазмы, затратами на нагрев
вспомогательных элементов и т. п.
316
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
(~ 1013см 3), а электронная температура порядка указанной выше. Однако для
оптически прозрачных систем с низкой Те цена иона существенно превосходит
потенциал ионизации.
Таблица 6.9
Элемент, /, эВ
Li, 5,4
Cs, 3,9
Hg, 10,4
Т= 1эВ
1330
150
1167
Т = ЗэВ
61
23
100
Т = 5эВ
36
20
39
Т= 10эВ
26
17
25
Т= 15эВ
24
17,5
21
Т = 30эВ
23
19
18
В системах с плотным газом необходимо учитывать запирание излучения и столк-
столкновения электронов с радиационно-возбуждёнными атомами. В результате величина
Sr при не слишком низких Те приближается к /.
6.7. Объёмные процессы в стационарных плазменных двигателях
(СПД) и законы подобия [145, 146]
Рассмотрим теперь несколько конкретных плазмодинамических систем с яв-
явным описанием процессов трансформации. Нашим первым примером будет СПД
(рис. 6.7.1). СПД обладает рядом важных особенностей. Отметим некоторые
из них. Прежде всего это простая по схеме (но не по физике!) система (см.
рис. 6.7.1), которая, благодаря малой плотности атомов (п ~ 1013см~3) и ионов
(щ ~ 1011 — 1012см~3), описывается гибридной моделью. Её рабочий объём работает
в пролётном режиме по отношению к ионизации (т.е. без рекомбинации 0, а воз-
возбуждение и излучение, разумно соответствуют корональной модели. В частности для
них пригодны приведённые выше оценки радиационной цены иона sr.
Кроме того СПД сыграли огромную роль в развитии общей плазмодинамики. Как
уже отмечалось во введении, они были первой системой, где удалось стационарно
создать достаточно большое объёмное надтепловое электростатическое поле и тем
самым почти реализовать классическую проводимость Таунсенда и опровергнуть
"закон Бома" (раздел В.З), который держался около 20 лет, да и предыдущие — до его
формулировки, 30 лет также убедили газоразрядчиков, что объёмнык надтепловые
Е-поля в плазме недостижимы.
Наконец, СПД уже более 30 лет работают в космических аппаратах СССР
(России), а в последние годы — Франции и США.
6.7.1. Общая характеристика процессов в СПД. В п. 3.2.2 была отмечена
возможность создания плазменных ускорителей с полоидальными (Е, Н) полями или,
как обычно говорят, "ускорителей с замкнутым дрейфом". Конструктивная схема
первого двигателя этого типа и внешний вид штатного двигателя М-100 даны
в разделе 10.4. Здесь же будут указаны основные функциональные блоки СПД
и описана принципиальная схема его работы. После этого мы отметим особенности
объёмных трансформационных процессов в канале СПД. Далее физика процессов
в СПД будет описана в следующей главе в разделе 7.5
Блочная схема СПД. Эта схема изображена на рис. 6.7.1 и состоит она из трех
основных блоков. Первый блок — осесимметричная магнитная система, включаю-
включающая магнитопровод Aа) с двумя полюсами: центральным и кольцевым наружным,
а также катушки намагничивания A6). Второй блок (газово-плазменный) включает
1) Не считая тех частиц, которые рекомбинируют, выпадая на стенки канала
6.7. Объёмные процессы в стационарных плазменных двигателях
317
За
26
^N36
три элемента: трубку подачи газа Bа), газораспределитель — буферный объём
B6) и ускорительный канал с диэлектрическими стенками Bв). Магнитное поле,
созданное полюсами пересекает ускорительный канал, причём силовые линии близки
к радиальным.
Третий блок — электрическая цепь, содержа-
содержащая три основных элемента: холодный анод (За),
термокатод C6) с протоком части рабочего веще-
вещества, а также источник питания (Зв) с пассив-
пассивными Z = (I/, С) элементами, корректирующими
колебания в разряде.
Схема функционирования. В установившем-
установившемся режиме она выглядит следующим образом
(рис. 6.7.2а). При включенных магнитной системе
и электрической цепи в канале создается квазира-
квазирадиальное магнитное поле, а между анодом и ка-
катодом - продольное Е-поле. В скрещенных полях
электрон дрейфуют преимущественно по азимуту,
медленно перемещаясь к аноду за счёт столкновений с тяжёлыми частицами и со
стенками канала, а также под действием хаотических Е-полей, возникающих за счёт
тех или иных неустойчивостей, которые всегда присутствуют в плазме, особенно при
протекании тока.
щ<щ
Рис. 6.7.1. Три блока СПД
III
Jp
Рис. 6.7.2. Схема функционирования СПД (а) 1 — нейтральный атом, 2 — ионизация, 3 — ион,
4 — электрон, нейтрализующий заряд уходящего иона, 5 — анод, I — зона слабо ионизованной
плазмы, II — зона ионизации, III — зона ускорения. Схема вольт-амперных характеристик
СПД (б)
Магнитное поле делается нарастающим от анода к срезу канала и в максимуме
обычно находится на уровне ~ 200-400. Нарастающее магнитное поле обладает фун-
фундаментальным для работы СПД свойством. Оно подавляет самую сильную "враща-
"вращательную" неустойчивость, которая приводит к появлению азимутальной компоненты
Е-поля, и тем самым к дрейфу электрона от катода к аноду, т. е. к их закорачиванию.
Вращательная неустойчивость образуется, если магнитное поле убывает от анода
к катоду.
Нейтральные атомы — в современных двигателях используется ксенон, из буфера
поступают в ускорительный канал, где ионизуются в облаке дрейфующих по азимуту
электронов. Характерные значения плотности нейтралов Хе на входе в канал в совре-
современных СПД ~ 1013см~3, а ионов в канале ~ 1012см~3. При указанных величинах
магнитного поля и при длине канала L ~ 1-5 см имеют место сильные неравенства
F.7.1)
318 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
т. е. электроны сильно замагничены, а ионы практически не чувствуют магнитного
поля. Поэтому образовавшийся при ионизации ион фактически движется только под
действием электрического поля и на выходе из канала имеет энергию
е = еф*, F.7.2а)
где ф* — потенциал точки рождения.
В одноступенчатых СПД, о которых здесь идет речь, средняя энергия ионов на
выходе
г = OeUp, F.7.26)
где в ~ 2/3—3/4, г ир — напряжение между анодом и катодом.
Выход на анод электронов, образовавшихся при ионизации — поскольку ре <С L,
это сложный многовариантный процесс. Его обсуждение мы отложим до следующей
главы. Нарастание магнитного поля к срезу — поскольку оно слабо искажается
токами в плазме и может считаться вакуумным, имеет магнитные силовые линии,
выпуклые в сторону анода. Учитывая эквипотенциализацию магнитных силовых
линий (п. 3.2.2) в плазме и тот факт, что ионы рождаются практически с нулевыми
скоростями, мы видим, что ускоряемый в канале поток ионов отжимается от стенок
к середине канала. Отмеченный в п. 3.2.2 эффект "термализации" электрического
потенциала ухудшает отжатие ионного потока от стенок, но тем не менее, СПД мо-
может быть так оптимизирован, чтобы бомбардировка стенок ионам была минимальна.
Что касается распределения потенциала вдоль канала, то в первом приближении
можно принять условие "изодрейфовости"
тр
ue = с— = const. F.7.3)
Н
Это условие, хорошо подтверждаемое экспериментально вне зоны ионизации,
означает, что основная часть электронной компоненты в канале вращается как
твёрдое целое. И этот факт достаточно естественен, т. к. сильная зависимость ue от
z способствовала бы развитию неустойчивости типа Релея-Тимофеева, которая ведёт
к изодрейфовости.
Для расчёта динамики потока ионизующихся тяжёлых частиц, надо еще знать
зависимость Te(z). Эта величина нужна как для определения коэффициентов иони-
ионизации и возбуждения, а также для учёта эффекта термализации потенциала. К со-
сожалению, она не описывается простым конечным выражением и должна браться
из эксперимента. Мы вернемся к экспериментальным данным и моделированию
динамики электронов в следующей главе. Отметим только, что в современном СПД
характерная величина Те лежит в среднем в пределе
10<Те < 20эВ.
Однако надо иметь в виду, что функция распределения электронов здесь принци-
принципиально не максвелловская (см.п. 7.5.1). Зная масштабы концентраций нейтральных
атомов и электронов, а также электронную температуру, можно уточнить особенно-
особенности трансформационных процессов.
а. Свободный пробег атома Хе до ионизации оценивается по формуле
л - v<*
Аион — / \ •
Здесь va ~ 104см/с — средняя скорость атомов Хе вдоль канала при температуре
стенок газоподвода Т ~ ЗОО°С; пе ~ 1012см~3, a (ave)mH ~ 10~8см3с~1, если Те ~
~ 15 эВ. Тогда
Лион « 1 СМ.
6.7. Объёмные процессы в стационарных плазменных двигателях 319
Реально в экспериментах Лион ~ 0,5 см. Причина различия оценочного и экспери-
экспериментального значения Лион объясняется произволом в числовых коэффициентов при
оценке va, ne, (rv)mH. Приводившиеся в п. 6.2.4 оценки показывают, что рекомбина-
рекомбинация ионов в объёме канала СПД практически исключена.
б. Можно оценить, используя указанные параметры, длину свободного пробега
иона до возбуждения при его движении в ускорительном канале. Оценки дают
Авозб. ^ 102см. Полученные величины Лион и ЛВОЗб однозначно указывают на пролёт-
пролётный режим трансформаций частиц в СПД.
Отметим одну важную особенность протекания продольного тока в канале СПД.
Суть дела изображена на рис. 6.7.2а.
Здесь изображены три зоны: окрестность анода (I), зона ионизации (II) и зона
ускорения (III). В окрестности анода степень ионизации мала и здесь разрядный ток
переносится (между зоной ионизации и анодом) преимущественно электронами
Jp = J7 « Je. F.7.4a)
В зоне ионизации в переносе тока участвуют как электроны, так и ионы
Jp = JlI = Ji + Je' F-7.46)
Наконец, в зоне III — в зоне основного ускорения ионов, разрядный ток перено-
переносится в основном ионами
JP = Jin ~ Ji- F.7.4в)
В оптимизированном двигателе степень ионизации рабочего вещества близка
к 100%, что хорошо подтверждается экспериментально. Поэтому разрядный ток Jp
определяется прежде всего расходом и равен (рис. 6.7.26)
PTY1
Jp = J[{l+a) + Je ¦ F7-5)
Здесь а — доля дважды ионизованных ионов (а ~ 10—20%), т — масса подаваемого
в канал рабочего вещества в единицу времени.
В правой части F.7.5) входит еще "сквозной" электронный ток, который, протекая
непрерывно от катода к аноду, стабилизирует разряд (J^ckb) ~ 5%JP).
Очевидно, для нормальной работы СПД необходимо, чтобы пробег нейтральных
атомов до ионизации был относительно мал. И чем это пробег будет меньше, точнее,
чем меньше перепад потенциала на длине свободного пробега, тем выше будет кпд
двигателя.
Гибридная модель СПД [145]. Примером расчёта пролётного режима с иониза-
ионизацией нейтральных частиц может служить приводимая ниже гибридная одномерная
модель СПД с питающей его электрической цепью. В этой модели динамика ней-
нейтралов и ионов описывается кинетическими уравнениями, в которых правая часть
учитывает только однократную ионизацию
9t+vd^ = -/3(Te)ne/o; пе = пг=\
dt Ox J F 7 6)
dfi. df e dfi R{T, [ " }
at ox M ov
В соответствии с тем, что говорилось выше о функционировании СПД, здесь мы
пренебрегли действием магнитного поля на ионы. Зависимость /3(Те), выбранная
с ориентацией на Хе имела простой вид
го т < т -
/3(Т)= ' " F.7.7)
\а{1 — 1*), 1 > i*, a = const.
320
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Динамика электронов описывалась в омическом приближении
divnve = /ЗП()Пе,
J — envj = аЕ.
F.71
Проводимость плазмы предполагалась, с точностью до одного подгоночного коэффи-
коэффициента (в), классической
а = 6 а° „,— ~ -г—,. F.7.9)
у enc J
Этот подгоночный коэффициент в определялся по величине электронного тока между
зоной ионизации и срезом канала, наблюдаемого экспериментально.
Наконец, уравнения динамики тяжёлых частиц и электронов связывались инте-
интегральным уравнением для электрической цепи
L
dt
F.7.10)
Здесь е — эдс источника тока, L — индуктивность цепи, а интеграл описывает
напряжение, приложенное к двигателю.
Система уравнений F.7.6), F.7.7), F.7.8) дополнялась взятым из эксперимента
распределением нарастающего по длине канала магнитного поля Н(х), а также гра-
граничными условиями, функцией распределения нейтралов и ионов на входе в канал:
fi(v,O,t) =0. F.7.11)
Начальные условия были достаточно произвольны, и от них спустя некоторое (про-
(пролётного масштаба) время в дальнейшем процесс не зависел. Расчёты проводились
при разных эдс (г), расходах (га), проводимостях канала (в), величины магнитного
поля на срезе канала Щ. Результаты расчётов оказались весьма интересными. Наи-
Наиболее сильным параметром, влияющим на качественную картину процесса, является
проводимость канала, т. е. величина в.
Если проводимость была велика, то течение быстро выходило на стационарный
уровень, т.е. все параметры переставали зависеть от времени. На рис. 6.7.3а показа-
показаны зависимость от х плотностей нейтралов и ионов, а также средней скорости ионов.
к 0,8
°0,4
«в о
0,2 0,4 0,6 0,8
х, отн. ед.
0,2 0,4 0,6 0,8
х9 отн. ед.
0,2 0,4 0,6 0,8
х, отн. ед.
а б
Рис. 6.7.3. Распределение параметров в канале СПД в установившемся режиме
При уменьшении проводимости (в) процесс в канале (и, соответственно, в элек-
электрической цепи) из стационарного становится периодическим, причём амплитуда
колебаний растёт, и форма "осциллограмм" все дальше уходит от синусоидальной
(рис 6.7.4а). Наконец, при еще меньших 0 колебания становятся хаотическими,
хотя определенная квазипериодичность сохраняется. Вид осциллограмм становится
6.7. Объёмные процессы в стационарных плазменных двигателях
321
чувствительным к самым малым вариациям любого параметра (рис. 6.7.46). Характер
30
20
10
46
47 48
^,отн. ед.
49
Рис. 6.7.4. Нестационарные течения в СПД при малой проводимости канала и различных
разрядных токах (а) и (б)
эволюции во время распределения параметров плазмы в канале для одного периода
колебаний приведен на рис. F.7.5). К сказанному нужно добавить следующее. При
? 10
о 5
sr 0
1
1 "^^^^^^Щ
234.
0,2 0,4 0,6 0,8
х, отн. ед.
$ 5
й °
о -5
0,2 0,4 0,6 0,8
х, отн. ед.
L- Г =41,4 3- f=41,8
I- Г =41,6 4- t = 41,9
0
0,2 0,4 0,6 0,8
х, отн. ед.
Рис. 6.7.5. Эволюция параметров плазмы по длине канала в течение одного "периода" колеба-
колебания
фиксированных остальных параметрах изменение эдс приводит к изменению раз-
разрядного тока, которое близко к экспериментально наблюдаемому и, если усреднить
колебания тока, то зависимость J(e) слабо (в пределах нескольких процентов)
чувствует колебания. То же можно сказать и о кпд. Обнаруженная при расчётах
сильная зависимость характера колебаний от малой вариации параметров хорошо
подтверждает и эксперимент
Критерии подобия разрядов в СПД. Схема СПД допускает большое число реа-
реализаций. Двигатели могут иметь разные размеры, работать при разных напряжениях
и расходах, а также на разных веществах. Поэтому естественно встает вопрос о кри-
11 А. И. Морозов
322 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
терии (или критериях), который определял бы сопоставимость рабочих процессов
в разных ускорителях (СПД).
Полное подобие процессов в двух ускорителях естественно может быть лишь при
совпадении значений достаточно большого числа безразмерных критериев подобия.
Однако был выявлен один критерий, от которого сильно зависят характеристики
СПД. Это неоднократно подтвержденный опытом критерий Меликова-Морозова,
обобщённый затем А. И. Бугровой и Н.А. Масленниковым. Он был получен из
анализа кинетических уравнений, описывающих стационарную динамику нейтралов
и ионов с учётом ионизации. Эта система аналогична F.7.6) и имеет вид (в одномер-
одномерном случае)
dfi еЕ dfi
Й? М dv F.7.12)
Здесь /3 = (сг^)ион — коэффициент ионизации.
Нужный нам критерий подобия можно получить, обезразмерив систему F.7.12),
взяв в качестве масштабов длины, плотности, электрического поля, коэффициента
ионизации соответственно длину канала L, плотность поступающего газа пао и его
скорость vao, величину Eq = Up/L, характерное значение /Зо, можно систему F.7.12)
записать в виде: л л
vf + Ш = Wo;
% \ dv Я F.7.13)
%1
Здесь для безразмерных величин оставляем прежние обозначения. Эта система
содержит два безразмерных параметра подобия: аналог числа Фруда и аналог числа
Кнудсена (:
^ ^V F.7.14)
Теперь нетрудно убедиться, что комбинация (д0 = ЩЩа)
Я2 _ eUpv2a0
по сути представляет собой квадрат отношения масштаба длины свободного пробега
до ионизации Лион к длине рабочей зоны канала L
{^ион/
L
Здесь фигурные скобки означают масштаб соответствующей величины.
Действительно, величина Лион определяется характерными значениями скорости
нейтралов va, плотности электронов пе и коэффициента ионизации C:
Аион = ^. F.7.17)
рпе
Учитывая, что eUp ~ Mvf, a q = щуоа ~ щУг, щ = пе и получим оценку
F.7.17).
В качестве критерия нормального горения разряда, по-видимому, можно принять
условие
М<Мтах=1/Ю, F.7.18)
6.8. Ударные волны с излучением 323
которое означает, что длина пробега до ионизации составляет величину Лион, мень-
меньшую длины области сильного Е-поля, как минимум втрое. Отсюда видно, что
выход на нормальный режим (/i < 1/10) при постоянном разрядном напряжении Up
определяется в первом приближении массовым расходом т независимо от сорта рабо-
рабочего вещества, поскольку при достаточно высокой температуре (энергии) электронов
значения C близки для разных газов. Действительно, соотношение F.7.15) можно
записать в виде
s
Здесь Ь — ширина канала, причём обычно b/L ~ I, R — средний радиус канала.
Итак, можно принять для оценок, что минимальный расход, при котором СПД
выходит на нормальный режим, дается выражением
aeUp,^ua
mmin = 27tRJ -^ • F.7.20)
Эта оценка с точностью < 2 согласуется с экспериментом.
6.8. Ударные волны с излучением
6.8.1. Особенности УВ с излучением. В главе 2 рассматривались УВ в обыч-
обычной гидродинамике с помощью законов сохранения.
Там же было отмечено, что анализ структуры УВ в рамках уравнений Навье-
Стокса, т. е. гидродинамики с учётом вязкости, а также с помощью уравнения
Больцмана показал, что ширина УВ порядка нескольких длин свободного пробега.
Однако по мере роста скорости потока, набегающего на препятствия, ситуация со
структурой УВ начинает радикально изменяться. Возрастания температуры в УВ
ведет сначала к возбуждению и диссоциации а затем и к ионизации газа и область
УВ начинает светиться (при Т > 3000К). Уже сам факт свечения говорит о том, что
область УВ должна расширяться и перестраиваться.
До середины 1940-х годов сильные У В, возникающие при больших скоростях
потоков, набегающих на препятствия, вызывали лишь научный интерес в связи
с падением метеоритов, но теперь обстоятельства изменились. Атомные взрывы,
движение космических аппаратов в атмосферах Земли, Венеры и Марса и ряд других
ситуаций требуют детального знания свойств сильных УВ.
Основы теории излучающих УВ в нашей стране были развиты Я. Б. Зельдовичем
и Ю. П. Райзером [27], которые разработали аналитическую модель таких УВ.
В частности, ими были введены два безразмерных параметра, характеризующие
"реальную" и "видимую" силу УВ, а, точнее, роль излучения. Первый из них имеет
вид
Х=^^. F.8.1)
Qh
Здесь <7с-б — постоянная Стефана-Больцмана, Ts — температура за фронтом по
адиабате Гюгонио, qh = (l/2)poDUg — плотность гидродинамического потока через
фронт УВ, D — скорость УВ, Us — массовая скорость газа за фронтом, ро ~~
плотность покоящегося газа перед ним. Если \ ^ 1> то УВ были названы докрити-
ческими, при % ^ 1 — критическими, а при % ^ 1 — сверхкритическими.
324 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Однако спектральный состав излучения внутри УВ и снаружи ее, а тем более
на расстоянии порядка одного или нескольких метров, существенно различаются
(см.ниже). Поэтому вводится еще один безразмерный параметр
Хо = -. F.8.2)
Qh
Здесь qo — плотность потока излучения, уходящего на "бесконечность", a qh —
плотность потока излучения на фронте УВ. Параметр
X = Xh~Xo
характеризует долю излучения, поглощающегося перед фронтом и образующего так
называемый прогреваемый слой.
В настоящее время расчёт радиационных УВ проводится преимущественно чис-
численно ([144]).
Здесь мы опишем первые численные модели сверхкритических УВ при больших
скоростях набегающего потока, измеряемого десятками км/с (И. В. Немчинов с сотр.,
1981, [148]). Для нас они интересны тем, что относительно просты и были выпол-
выполнены "почти точно", т. е. с учётом ~ 4000 переходов между уровнями и достаточно
корректным расчётом переноса излучения. Правда, расчёты проводились для ксенона,
поскольку таким образом можно было избежать множества химических реакций
и связанных с ними существенного увеличения переходов, которые надо было бы
учитывать. Хотя УВ в ксеноне — достаточно экзотический объект, тем не менее,
в сверхкритических режимах качественно процессы в ксеноне и воздухе похожи.
В пользу этого говорит хотя бы тот факт, что тщательно рассчитанная в 80-х
годах структура волны на ксеноне качественно близка к структуре УВ на воздухе,
приближенно (при тогдашних возможностях) рассчитанной Я. Б. Зельдовичем и др.
в 60-х годах. О достаточно универсальной структуре УВ в атомных и простых
молекулярных газах при больших скоростях потоков говорят и более поздние как
экспериментальные, так и численные исследования.
6.8.2. Итоги расчётов [148]. Расчёты радиационно-газодинамической задачи
проводились при скоростях поршня 3 < U < 40 км/с и при плотности Хе, равной 1/30
от плотности при нормальных условиях.
При скорости поршня 3-5 км/с параметр х = 0,3-0,45 , при скорости U = 10 км/с
величина х ~ 2. Таким образом в расчётах анализировались как докритические, так
и сверхкритические УВ.
При расчётах использовались подробные таблицы спектральных коэффициентов
поглощения 0 и термодинамических свойств Хе.
Одним из первых результатов расчётов было уточнение поглощения ультрафио-
ультрафиолетового излучения в реальных условиях перед фронтом УВ. Ранее предполагалось,
что фронт УВ излучает "вперед" как абсолютно черное тело фотоны с энергией г <
< е* = 1\. Здесь 1\ — первый потенциал ионизации холодного благородного газа.
В то же время фотоны с энергией г > ?*, быстро поглощаются и не видны со стороны
холодного газа уже на небольшом расстоянии от УВ.
Однако указанные расчёты показали, что в спектре уходящего от УВ излучения
отсутствуют не только фотоны с г > ?*, но и вырезана часть излучения г < е'1. Это
связано с уширением профиля поглощения линии в области прогретого перед УВ
газа. Расчёты показали, что эффективная граница пропускания е* для гелия — 21 эВ,
а для неона — 20 эВ, в то время как 1\ « 24,6эВ и 21,6 эВ соответственно.
1) Учитывая преобладающий штарковский механизм уширения спектральных линий.
6.8. Ударные волны с излучением
325
Чтобы не пересказывать чётко написанный авторами расчётов обзор полученных
ими результатов, мы просто процитируем их текст из [148], опуская отдельные
фрагменты.
"На рис. 6.8.1 приведены распределения температуры Т и плотности потока
излучения q по расстоянию х, отсчитанному от поршня при его скорости U\ = 10 км/с
для различных моментов времени t. В этом случае параметр % = 2,2.
PQ 4
2
-Ж
i i
I I
15
110
о
J_
1
х, см
0
1
X, СМ
Рис. 6.8.1. Распределение температур и плотности потока излучения в сверхкритической
ударной волне: 1 — t = Юмкс, 2 — t = 23мкс, 3 — t = 27мкс. Скорость поршня 10 км/с
Гидродинамический разрыв распространяется по уже нагретому излучением газу.
Поэтому непосредственно за фронтом возникает пик температуры.
В более глубоких слоях газ быстро остывает, и температура выходит на некоторое
постоянное значение Т\, (в данном случае Т\ = 2,5эВ). Максимальная температура
в пике Т+ (в данном случае 5,1эВ) намного выше, чем температура по ударной
адиабате Ts C,9эВ). Температура перед фронтом Т_ C,6эВ) уже почти достигла
температуры Ts. В рассматриваемые моменты времени B0-30мкс) величины Т+, Т_,
Т\ уже почти постоянны. Они сильно изменялись лишь в первые 2-3 мкс с начала
движения, когда ударно-сжатый газ был прозрачен. Здесь же за фронтом плазма
является оптически толстой.
Для волны "критической" амплитуды (U\ = 5 км/с) в расчётах получено Т_ =
= 0,70эВ, т.е. намного меньше Ts = 1,8эВ.
В табл. 6.10 приведены основные параметры ударных волн в ксеноне при ро —
= 1/30 pL для различных скоростей U\. Здесь t — время, до которого вёлся расчёт,
Pl — плотность Хе при нормальных условиях.
Значения параметров за сильными ударными волнами
Таблица 6.10
U и
км/с
3
5
10
15
20
30
40
Ts,
эВ
1,15
1,8
3,9
6,2
10,8
15
21
Ти
эВ
1,0
1,4
2,5
4,3
5,3
7,5
9,0
т,
эВ
0,10
0,70
3,6
5,5
6,7
11,7
12,3
эВ
1,15
1,8
5,1
8,4
11,1
19,7
27
9h,
МВт/см2
0,28
1,5
11
40
100
270
600
00,
МВт/см2
0,13
0,45
3,6
5,8
9,0
9,0
10
Xi
0,63
0,8
2,2
4,5
7,4
21
34
t,
мкс
200
70
35
20
10
6
2
Как видно из табл. 6.10, значения Ti примерно в 2 раза ниже Ts как при U\ =
= 20-30 км/с, когда потери энергии на бесконечность не превышают 3-10%, так
и при скорости U\ = 40 км/с, когда они вообще ничтожно малы. Поток излучения
qo при скоростях 20-40 км/с примерно постоянен и составляет 9-10МВт/см2, что
соответствует температуре эквивалентного черного излучателя 1,7-1,8 эВ, в то время
326
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
как истинная температура даже у поршня составляет 5-9 эВ. Поэтому большая часть
испускаемого сквозь "пик" излучения принадлежит квантам с энергиями, большими
потенциала ионизации 1\ = 12, 1 эВ.
Причина состоит в том, что, хотя параметры Т+, Т_, Т\ почти не меняются со
временем, толщина прогревного слоя быстро растёт — задача в целом оказывается
нестационарной. Энергия излучения ударно-сжатого слоя расходуется на продвиже-
продвижение волны ионизации, на расширение прогревного слоя. Это видно из рис. 6.8.2,
где представлены зависимости от времени t толщины хт прогревного слоя при
различных скоростях поршня U\. В качестве границы прогревного слоя принята
точка с температурой 1 эВ. Таким образом, существует достаточно длительная по
времени стадия, когда пробка ударно-сжатого слоя оптически толста, параметры
плазмы у поршня и вблизи фронта ударной волны почти постоянны, но размеры
прогревного слоя почти линейно увеличиваются со временем.
В соответствии с описанным распределением
температуры излучения УВ содержит как низко-
низкоэнергетические фотоны, соответствующие энергии
Т, так и высокоэнергетичные фотоны, соответ-
соответствующие Т\. При этом интегральная мощность
потока фотонов малой энергии близка к общей
мощности жестких фотонов.
Расчёты же показали, что около 30% излучен-
излученных квантов приходится на область в > 80 эВ, т. е.
рождено в пике. Спектр излучения испущенного
температурным пиком, определяется не только его
температурой, но и поведением спектральных ко-
коэффициентов поглощения — большую роль игра-
играют линии.
Расчёты позволили определить спектр выходя-
выходящего излучения для различных скоростей U\. На
рис. 6.8.3 приведены зависимости спектральных
яркостных температур Те от энергии квантов е,
0 5 4 мкс
Рис. 6.8.2. Толщина прогревного
слоя как функция времени при раз-
различных скоростях поршня
соответствующие излучению, уходящему на расстояние 100 см от фронта для U\ =
= 3; 10; 40 км/с в моменты времени 200; 35; 2 мкс соответственно, когда пробка
ударно-сжатого газа велика.
Легко видеть, что при низких скоростях U\ = 3-10 км/с и когда Те в среднем
постоянна, возникают значительные провалы за счёт линий поглощения в прогревном
слое. При U\ = 10 км/с заметны уже "завалы" в ИК- и в УФ-областях еще при е <
< 1\. В случае U\ = 40 км/с экранировка прогревным слоем излучения, испущенного
фронтом, существенна в очень значительных областях спектра. С другой стороны,
излучение, уходящее на большие расстояния, в основном само в большой степени
определяется прогревным слоем.
Результаты численного исследования задачи о распространения излучающих
ударных волн в воздухе подтвердили справедливость основных изложенных выше
представлений и в то же время позволили выделить новые качественные особенно-
особенности таких ударных волн, которые отсутствуют при их распространении в ксеноне
(и других инертных газах). Так, для воздуха, являющегося молекулярным газом,
была обнаружена двухобластная структура прогревного слоя. Анализ спектров излу-
излучения и характера изменения групповых и интегральных (по спектру) односторонних
потоков излучения показал, что причина возникновения двухобластной структуры
заключается в различии поведения коэффициентов поглощения в разных участ-
участках спектра при изменении температуры. Падение коэффициентов поглощения для
6.8. Ударные волны с излучением
327
во 5 Ю е,эВ
Рис. 6.8.3. Спектральная яркостная температура на расстоянии 100 см от ударного фронта.
Скорости поршня: 3(а), 10F), 40км/с(в)
фотонов с энергией 6,5-11 эВ при температурах 0,7-0,9 эВ, связанное с диссоциа-
диссоциацией молекул воздуха, приводит к возникновению волны нагрева и просветления.
Излучение с большими энергиями квантов, которое способно к фотоионизации,
образуют горячую область, прилегающую к фронту УВ. Между волнами ионизации
и диссоциации и возникает протяжённая, сравнительно холодная зона.
На этом мы кончим рассмотрение расчёта УВ, основанных на учёте большого
числа переходов и распространения, связанных с ними излучений. Отметим в за-
заключение, что теперь рассчитано большое число плазменных систем с такой детали-
детализацией процесса — это и падение метеоритов, и посадка космических аппаратов на
Землю и планеты, лазерный УТС и атомные взрывы.
6.8.3. Схема расчёта У В с реальным спектром [144]. Существует ряд кон-
конкретных методов расчёта динамики излучающего газа, сопровождающийся обра-
образованием УВ. Однако почти все они работают по следующей "челночной" схеме.
В предположении ЛТР сначала рассчитываются уравнения состояния, энергети-
энергетическое уравнение, а с помощью квантовой механики и коэффициент поглощения
излучения в нужном диапазоне плотностей, температур и частот
р(Т,п), е(Т,п),
Результаты расчётов заносятся в базу данных.
Далее, в начальный момент задается более или менее разумное распределение
п(х, 0), Т(х, 0) и с помощью уравнения лучистого переноса и соответствующих
граничных условий рассчитывается поле излучений
328 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Этот расчёт проводится групповым методом, т. е. диапазон частот разбивается —
с учётом специфики к(ио) на то или иное, но достаточно большое число Nu групп 0.
Аналогично поступают с угловым распределением. Здесь вводится Nk групп. После
того, как найдено распределение 7(х, 0;^, Г2), вычисляется вклад излучения в энер-
энергетике плазмы (divS = q). Далее выбираются соответствующие шаги по времени
и пространству и рассчитывается динамика среды n, T, v с учётом поглощения
излучения. После того, как произойдет заметная перестройка потока, снова решается
уравнение переноса излучения и находится
и после этого снова рассчитывается гидродинамика потока и т. д.
6.9. Течения ионизующейся плазмы в коаксиале [149]
"Разрывные" течения, вызванные трансформацией, достаточно распространены
в ПДС. В предыдущем параграфе мы рассмотрели одно из таких течений сильные
УВ. Другим примером являются фронты ионизации в плотной плазме. Пример
течений с таким фронтом мы сейчас и рассмотрим.
При этом будет продемонстрирована возможность весьма существенного упроще-
упрощения модели.
В главе 2 рассматривалась квазиодномерная схема стационарного коаксиального
плазменного ускорителя. При этом предполагалось, что речь идет об ускорении
полностью ионизованной идеальной плазмы. Однако в экспериментах обычно исполь-
используются одноступенчатые ускорители этого типа (рис. 3.7.4) и поэтому на вход в канал
подается нейтральный газ, который может быть лишь слегка ионизован излучением
разряда. Уже первые эксперименты на этой установке показали (см.рис. 3.7.4), что
в потоке образуется чёткий фронт ионизации, так что до этого фронта поток не
светится, а после — поток ярко светится, причём спектр свечения соответствует
преимущественно однократно ионизованным ионам азота (если азот был рабочим
веществом). Кроме того, скоростная фоторегистрация показала, что фронт ионизации
неустойчив. Эти неустойчивости весьма регулярны и могут быть двух типов. Один
тип связан с продольными колебаниями фронта при разряде в азоте, он представ-
представлен на (рис. 3.7.8а). Другой тип (на водороде) — это вращательная ("спиновая")
неустойчивость (рис. 3.7.86) Моделирование спиновой неустойчивости — это реше-
решение довольно сложной трёхмерной плазмодинамической задачи. В то же время моде-
моделирование продольной неустойчивости может быть реализовано в квазиодномерном
приближении.
Постановка задачи. Здесь был использован простейший способ описания факта
ионизации — просто крутой рост проводимости с температурой. Течение газа, а за-
затем плазмы рассматривалось в приближении узкого канала, как это уже делалось
в п. 2.6.1. Канал будем считать плоским, а магнитное поле перпендикулярно плоско-
плоскости течения. Тогда система уравнений для безразмерных величин имеет вид
1) В рассмотренных выше примерах УВ Хе величин Nu ~ 600. В настоящее время расчёты
делаются с Nu ~ 104—105 групп.
6.9. Течения ионизующейся плазмы в коаксиале
329
дх
Здесь мы пренебрегли вязкостью и теплопроводностью, а также эффектом Холла.
Как и ранее, / — ширина рассматриваемого канала.
Процесс ионизации в данной модели описывался следующей разрывной зависи-
зависимостью проводимости от температуры
при
при
Т <Т*;
Т>Т*,
F.9.2)
Запись F.9.2) означает, что вплоть до Т = Т* газ остается неионизованным, а затем
сразу ионизуется. В процессе ионизации расходуется тепло, и чтобы отразить это
в расчётах, в правую часть уравнения энергии добавлено слагаемое
-/0рехр{-а(Т-Т*J}.
F.9.3)
Экспонента в F.9.3) с достаточно большим а влияет на процесс только вблизи
значения Т = Т*, соответствующего ионизации. Формулами F.9.2) и F.9.3) и огра-
ограничивается учёт ионизации в данной модели.
Расчёты течения проводили для плоского канала, сечение которого было задано
соотношениями:
0,3-0,8жA -х) при
1,5ж — 1,2 при
5.
F.9.4)
Результаты расчёта. В случаях, когда его > 1, а проводимость ионизованного га-
газа невелика, т. е. коэффициенты а\ и а2 в формуле F.9.2) порядка единицы, течение
устанавливается за время порядка пролётного. Стационарный режим характеризуется
не разрывными, а достаточно гладкими функциями: Т и v монотонно возрастают,
а р и Н монотонно убывают вдоль канала. Температура непрерывно переходит через
критическое значение Т* в окрестности минимального сечения канала.
12 3 4
х, отн. ед.
Рис. 6.9.1. Зависимость параметров течения от координаты вдоль канала в установившемся
режиме
Наиболее резко реагирует на процесс ионизации магнитное поле Я, которое
круто падает сразу после перехода Т через Т*, что соответствует большой плотности
электрического тока в этом месте. На рис. 6.9.1 показана зависимость р, Т, v и Н
330
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
от расстояния х. вдоль канала в установившемся течении при значениях параметров:
/3 = 0,2; сг0 =0,05; ах = а2 = 1; к = 0; Т* = 1,5; / = 0,3.
При уменьшении его (в расчётах от 0,05 до 0,01) течение начинает терять
устойчивость и при о~о = 0,01 наблюдаются незатухающие колебания температуры
в выходной части канала, т.е. на нисходящей ветви графика Т(х). Если же про-
проводимость ионизованного газа сделать достаточно большой, то течение вообще не
устанавливается и носит квазипериодический пульсирующий характер. В то же время
наблюдаются резкие колебания температуры. Положение ионизации колеблется во
времени вблизи минимального сечения сопла (х « 0,5).
На рис. 6.9.2 изображены поведение
температуры Т в точке х = 0, 7 и положе-
положение фронта ионизации ЖфР во времени. Оба
рисунка (верхний и нижний) соответству-
соответствуют форме канала F.9.4) и тем же пара-
параметрам, что и рис. 6.9.1 за исключением
проводимости за фронтом ионизации; здесь
о~\ = сг2 = 100. На этом рисунке отчётли-
отчётливо виден пульсирующий характер течения
с периодом At ~ 0,6. Амплитуда колеба-
колебаний температуры растёт при возрастании о\
и сг2, а также при уменьшении сто на выходе.
Очевидно, возникновение колебаний фрон-
фронта ионизации связаны с большим различием
скоростей подтока к фронту газа и скоро-
скоростью уходящей от него плазмы. Состояние
перед фронтом близко к стационарному. За
фронтом находится узкая нагретая область
с колеблющимся максимумом температуры.
Нагретые проводящие слои плазмы перио-
периодически отделяются от фронта и движутся
вправо, остывая и растекаясь по ширине.
Напряженность магнитного поля спадает
слева направо практически до нуля, причём почти все падение Н приходится на
пульсирующую прогретую область за фронтом ионизации. Это соответствует тому,
что электрический ток "пробивает" канал в нагретом, т. е. наиболее проводящем
месте.
Эта задача была рассчитана также А.Н. Козловым [150] без введения разрыва
проводимости , а просто при использовании крутой зависимости v от т. Здесь также
при соответствующих параметрах возникают колебания, аналогичные изображённым
на рис. 6.9.2.
17
18
19
0
16
17
19
18
t, отн. ед.
Рис. 6.9.2. Колебания температуры и по-
положения фронта ионизации в канале во
времени в нестационарном режиме
6.10. О тлеющих и дуговых разрядах
Исследования плазмодинамики космических объектов, разработка термоядерных
реакторов и плазменных ускорителей, а также создание других принципиально новых
плазменных систем могли породить мнение, что такие классические разряды как
тлеющий, дуговой, искровой и др. давно изучены и их возможности исчерпаны.
Однако такое мнение совершенно неверно. В полном смысле слова можно сказать,
что любой тип плазменных систем неисчерпаем как в смысле своей физической
организации, так и в смысле приложений. Наглядным подтверждением актуальности
6.10. О тлеющих и дуговых разрядах 331
"старых добрых разрядов" могут служить часто появляющиеся посвященные им
книги (см. например [ 151] —[ 157]), не говоря уже о потоке статей в журналах.
Поэтому знакомство с основами физики наиболее распространенных разрядов
представляется оправданным. Здесь мы рассмотрим тлеющий (ТР) и дуговой (ДР)
разряды, которые вместе с искрой представляли ту базу, на которой росла физика
газового разряда, а затем — до начала 1940-х годов, и физика плазмы.
Хотя ДР был открыт в первом десятилетии XIX века, а ТР — в 30-х годах того же
века, целый ряд их важнейших особенностей был выяснен лишь во второй половине
XX в. Это касается в первую очередь приэлектродных областей и устойчивость их
плазменных конфигураций. Отмеченный прогресс стал возможен благодаря росту
общего уровня "плазменного мышления", появлению мощной вычислительной техни-
техники, позволявшей решать системы сложных интегро-дифференциальных уравнений,
описывающих динамику и трансформации частиц и переносы излучения.
Вторым фактором, породившим большой интерес к старым типам разрядов, яви-
явилось появление новых областей их приложений, таких, как лазеры, плазмохимия,
термоэмиссионные преобразователи, плазменные технологии поверхностей и др. Эти
направления предъявили новые требования к рабочим параметрам газоразрядных
систем, таким как масштабы, мощность, устойчивость плазмы. А создание таких
устройств требует больших объёмов исследования.
В этом параграфе будет сказано об общих свойствах ТР и ДР и главным образом
о положительных столбах этих разрядов. Приэлектродные процессы в этих разрядах
будут рассмотрены в разделе 7.6 следующей главы.
6.10.1. Общая характеристика тлеющего и дугового разрядов. Оба эти
разряда опираются на электроды, напряжение между которыми чаще всего бывает
постоянным, что и мы будем предполагать.
1. ТР — это разряд типичный при давлениях ~ 0, 1 —ЮТорр, холодных электро-
электродах 0, а напряжение и между электродами порядка нескольких сот вольт. Харак-
Характерные плотности тока на катоде в "нормальном" ТР ~ 10мА/см2. В классических
работах ТР изучался обычно в цилиндрических стеклянных трубках диаметром ~
^2 см, которым придавались, — если их использовать для рекламы, самые различные
формы, а сейчас — при использовании ТР в качестве активной среды лазеров,
применяются сосуды в виде параллелепипедов. Ниже мы будем иметь в виду разряд
в прямых трубках.
Как правило, в ТР достаточно чётко видны
три области (рис. 6.10.1а): прикатодная об- - fy//A''•''• *' '•'•'•' •' ''•''•' *''"•'* Г
ласть (К), яркий "положительный" столб (ПС) \Y//A\ ; •';.•':;.•:; ./.-У-.'
и прианодный слой (А). Ключевым физическим
фактором определяющим специфику ТР явля-
ется механизм прохождения тока через при-
катодный слой. Подробнее этот вопрос будет
разобран в следующей главе, а здесь отметим
только, что ток здесь переносится преимуще- Рис. 6.10.1. Зоны тлеющего разряда
ственно ионами, которые набирают энергию (а). 1 — прикатодная зона, 2 — поло-
в прикатодном перепаде потенциала и бомбар- жительный столб, 3 — прианодная зо-
дируют катод, вызывая эмиссию электронов. на; схема ТР со стратифицированным
Замечательной особенностью ТР являет- положительным столбом (б)
ся своеобразная "автономия" приэлектродных
1) В люминисцентных лампах ("лампах дневного света") реализован "гибридный" разряд:
там катод накаленный, но разрядный ток мал и положительный столб такой же, как в ТР.
332 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
слоев. А именно, если сближать электроды, то изменяться будет только длина ПС,
тогда как приэлектродные слои практически не изменяются. Не изменяются сколь-
нибудь существенно и параметры разряда. Следует отметить, что положительный
столб ТР, в случае когда рабочим веществом являются благородные газы, часто
бывают слоистым (рис. 6.10.16), эти слои называются стратами. Теория страт сравни-
сравнительно деликатна. Её основы, после многократных попыток разных исследователей,
заложил А. В. Недоспасов в [153].
Ниже в данном параграфе мы подробнее рассмотрим только свойства стационар-
стационарных ПС ТР.
2. ДР — электродный разряд при достаточно больших давлениях (р ^ 10 Тор)
вплоть до десятков и более атмосфер, его внешними признаками могут служить
наличие также трех зон: прикатодной, положительного столба и прианодного слоя.
Однако организация процессов в этих зонах в ДР совсем другая, чем в ТР, соот-
соответственно различны параметры плазмы и ВАХ. Действительно, в отличие от ТР,
дуговой разряд низковольтный. Характерные напряжения 15—ЗОВ. ДР — сильноточ-
сильноточный, его разрядные токи Jp ^ 1 А и могут достигать многих тысяч Ампер.
Принципиальной особенностью ДР является электронная эмиссия с катода. Это
реализуется в двух формах. Либо катод, так или иначе (т. е. за счёт внешних
факторов или самим разрядом) греется до высоких температур, при которых он
становится термоэмиттером, либо на катоде наблюдается очень сильное контрагиро-
вание плазмы — а это имеет место на холодных катодах, в результате чего начинает
работать автоэмиссия, или чаще возникает "взрывная эмиссия" (п. 7.2.4)
Радикально различаются и положительные столбы. В ТР он термодинамически
неравновесен, а в ДР он с хорошей точностью находится в термодинамическом
равновесии.
Представление об областях параметров (р, Up), где реализуется ТР и будет дано
в следующей главе в связи с приэлектродными областями ТР.
Положительный столб ТР.
Основные экспериментальные данные о ПС ТР
- Свойства ПС ТР практически не зависят от его длины (ниже мы будем иметь
в виду фрагмент ПС — цилиндр с радиусом, равным внутреннему радиусу
стеклянной трубки, и более или менее произвольной длины, но заведомо много
большей длины свободного пробега).
- Электронная температура в ПС Те ~ 2эВ, тогда как ионная температура ti
порядка комнатной (Ti ~ 0, ОЗэВ).
- Плотность электронов пе < 1010см~3 и, соответственно степень ионизации а =
= пе/щ < 10~6 при плотности атомов щ > 1016см~3.
Таким образом, видно, что плазма в ТР принципиально неравновесна, поскольку
имеет место большой разрыв величин электронной и ионной температур, и, кроме
того, степень ионизации совершенно не соответствует при данной Те значению,
даваемому формулой Саха, со всеми оговорками, которые здесь можно сделать. Это
определяют три основных процесса:
- нагрев электронов в электрическом поле происходит при частом рассеянии
на нейтральных атомах (описываемый кинетическим уравнением Больцмана-
Давыдова);
- амбиполярная диффузия электронов и ионов из объёма на стенки трубки, где
они в основном и рекомбинируют;
- эффективная (из-за близости масс) передача энергии тяжёлых частиц ионов
и атомов друг другу и вынос ее на стенки.
Использованный здесь общепринятый термин "амбиполярная диффузия" означает
такую диффузию, при которой ионы и электроны переносятся с одинаковой скоро-
6.10. О тлеющих и дуговых разрядах 333
стью, т. е. это "бесстоковая" диффузия О
j = ji-je =0.
Уточним формальную сторону дела.
Особенностью динамики электронов и ионов, в случае слабой ионизации и срав-
сравнительно высокой концентрации нейтралов, является малая длина свободного пробе-
пробега этих частиц и возможность гидродинамического описания их динамики. "Сильное
трение" этих компонент о нейтралы позволяет пренебречь инерциальными членами
и уравнения Эйлера принимают вид (щ ~ пе = п)
0 = -Vpi + enE -,.m.t^.v,
*-, ^ F.10.1)
0 = —vpe — enti — veavemn.
Здесь Vi и ve отсчитываются от скорости нейтралов, z/ia и z/ea — частоты
столкновений заряженных частиц с атомами.
Отсюда следует, что реализация условия v^r = ver = vr требует появление ради-
радиального "амбиполярного" электрического поля, определяемого из уравнения
VrPi en ЕаМ;Г _ VrPe en Еам?г
^ МП
' Vrpe VrPi \
F.10.^
Mn nvem ve mn
и равного
1 1
еп
М vem
где
Ve = Z/ea, ^ = Via.
В литературе по газовому разряду система F.10.1) записывается в других обо-
обозначениях. Мы приведем эту запись
nvj = Г?- = —DiVn + щпЕ:
Очевидно, считая градиенты температур малыми, можем написать
Vpi = Щ\/п; Vpe = kTeVn,
и, соответственно, коэффициенты диффузии
кТ
F.10.4a)
кТ
i mve
а "подвижности"
i r mve
Из сопоставления F.10.4а) и F.10.46) следуют соотношения Эйнштейна
F.10.46)
± = *Ъ. Fло.5)
1) По существу любой поток квазинейтральной плазмы можно назвать амбиполярным или
почти амбиполярным. Наглядным примером может служить расширение плазменного облачка
в вакууме, о котором мы говорили во введении.
334 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Используя введенные обозначения, можно написать
EaM,r = -(f ~De\\7rn. F.10.6)
и, следовательно
(DelJLi + DilJLe)
Величина ^ u- + D-u
Дш = ¦ F.10.7)
называется коэффициентом амбиполярной диффузии. Этот коэффициент — через De,
Di, зависит от характерной энергии частиц, которую с естественными оговорками
будем называть температурой. Итак,
nvi?r = nve?r = Г = -DaM(Ti,Te)Vrn. F.10.8)
Напомним, что здесь п = пе « щ.
Имея выражение для потока частиц и используя уравнения непрерывности для
стационарного режима, получаем уравнение для п(г):
div rDaM\7rn + (Зпап = 0. F.10.9)
Здесь /3 = (<тг>е)ион — коэффициент ионизации, который зависит от Те, а реком-
рекомбинацией в объёме трубки пренебрегается. Уравнение F.10.9) должно решаться
с соответствующими граничными условиями.
Модель ПС ТР. Энгель и Штеенбек впервые написали и исследовали уравнение
F.10.9) применительно к ТР A930г). Они решали его для цилиндрической геомет-
геометрии с граничными условиями
c)ti
— =0; п|г=д = 0. F.10.10)
В этом случае решением уравнения F.10.9) является бесселева функция
F.10.11)
где ? = г у /3na/Dau , а щ — концентрация электронов на оси трубки. При г = R,
то-есть на стенках, величина п = 0 и, следовательно,
= аь F.10.12)
Здесь ai = 2,4 — первый корень бесселевой функции Jo@- Таким образом парамет-
параметры плазмы оказываются связанными с радиусом R разрядной трубки соотношением:
^ =па -B,4J Я2, F.10.13)
А)
где na — плотность нейтрального газа.
Стоящая в левой части равенства F.10.13) величина зависит от Ti и Те. А по-
поскольку Т{ определяется "комнатной" температурой, то связь F.10.13) позволяет
найти Те. Предполагая распределение электронов максвелловским 0, Энгель и Ште-
*) Более адекватным является использование функции распределения электронов опреде-
определяемых кинетическим уравнением Давыдова, однако качественно это не скажется на выводах.
6.10. О тлеющих и дуговых разрядах
335
енбек получили связь Те/1 с Rp. Этой связи Ю.П. Райзер придал универсальный
вид, изображенный на рис. 6.10.2, введя подгоночный для каждого сорта частиц,
коэффициент (с), равный для Не — 4 • 10~3; для Аг — 4 • 10~3; для N2 — 4 • 10~2
[152]. Здесь / — потенциал ионизации. Теперь можно найти и связь напряженности
Te/l
ю4
103
2
102
10™3 2 4 610™2 10 1
cpR, см-Top
Рис. 6.10.2. Кривая Штеенбека-Энгеля-
Райзера для зависимости Те/1 от cpR
Е/р, В/см-Тор
10
\
\
\
\
ч
—-¦¦».
— —
¦— ¦
Не, 25 мА
Не, 200 мА
Аг, 25 мА
Ne, 25 мА
Ne, 200 мА
Аг, 200 мА
Хе, 100 мА
10
pR, см-Тор
Рис. 6.10.3. Экспериментальная зависимость
Е/р от pR в положительном столбе ТР при
разных разрядных токах для Не, Ne, Аг, Хе
продольного Е-поля в трубке с величиной электронной температуры Те. Она опреде-
определяется из условия энергетического баланса.
Действительно, поскольку каждый фрагмент ПС можно считать автономным,
то в нем выделяющаяся за счёт Е-поля энергия должна диссипировать в этом же
фрагменте. В простейшем случае эта диссипация происходит на стенках трубки.
Поэтому можно написать для 1 см ПС уравнение энергетического баланса
EJP = 2irR (nevr)\r=R • eR. F.10.14)
Здесь Er — энергия электронов, попадающих на стенки, a Jp — разрядный ток
R
Jp = e
nvz2irrdr rsj E,
F.10.15)
т. к. dn/dz = 0, Е = const, то в силу F.10.3) имеем nvz = цепЕ.
Поскольку движение электронной компоненты вдоль радиуса является диффузи-
диффузионным, величина _ дп
(nvr)\r=R = -i
дг
r=R
Из F.10.14) и F.10.15) при известных Те, Т и n(z) находится Е полей в напряжен-
напряженность положительного столба ТР.
Полученное выражение для Е представляется странным, так как оно не зависит
от протекающего тока, а только от давления нейтрального газа ра или, точнее, от
плотности па. Этот вывод хорошо подтверждает эксперимент (рис. 6.10.3)
Поведение ТР при изменении в широких пределах напряжения между электрода-
электродами имеет нетривиальный характер, о чем будет сказано в гл. 7.
Излучение ПС ТР. Излучение ПС ТР имеет сложную структуру. Это объяс-
объясняется тем, что нейтральные атомы имеют практически комнатную температуру, их
доля существенно больше доли ионов, и поэтому они возбуждаются из основного
состояния и девозбуждаются излучением. Ширина соответствующих спектральных
336 Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
линий близка к естественной ширине и они практически заперты при р > 0,1 Тор,
которые обычно имеют место в ТР. Поэтому для того, чтобы обеспечить эффективное
излучение ТР к основному газу, например аргону, добавляют пары ртути. Так
сделано, например, в лампах дневного света (раздел 10.2).
6.10.2. Положительный столб дугового стационарного разряда. Повышение
плотности газа в разрядном промежутке или увеличение напряжения приводит
к переходу от нормального ТР к аномальному ТР, а затем к дуговому ряду (ДР).
Разновидностей ДР очень много. Они связаны с различием катодных процессов,
давлений, форм и размеров сосудов окружающих дугу и т.д. Однако сущность
ПС ДР можно выразить одной фразой: "Положительный столб ДР — это объём
термически равновесной плазмы".
Поэтому, если ПС ТР описывается системой двух уравнений: уравнением набора
энергии электроном от внешнего поля и уравнением диффузии электронов и ионов
к стенке'— месту рекомбинации, то основу теории ДР со слабым протоком плазмы
представляет уравнение энергии (температуры)
ВТ I2
Cvp^- = divxVT+ К F.10.16)
ot a
Здесь R — радиационный вынос энергии. Это уравнение — в стационарном вари-
варианте, было положено в основу анализа процессов в ДР Эленбассом и Геллером.
Поэтому его часто называют их именами. Все же остальное определяется законами
термодинамического равновесия (п. 6.5.7), которые именно на ДР экспериментально
и проверялись. Поэтому не удивительно название классической книги по дугам,
написанной В. Финкельбургом и Г. Меккером "Электрическая дуга и термическая
плазма" [155].
Не будем входить в сколь-нибудь подробное описание положительных столбов
ДР, поскольку, с одной стороны, основное уже сказано, а, с другой, дугам посвя-
посвящена большая и доступная литература. Отметим только несколько универсальных
факторов, касающихся дуг горящих в неограниченной атмосфере.
- ВАХ таких дуг — падающая. Поэтому для стабилизации разряда в цепь
включается балластное сопротивление.
- При достаточно больших разрядных токах собственное магнитное поле дуги
начинает ее сжимать (пинч-эффект).
- В хорошем согласии с экспериментами расчёты показывают, что: радиус канала
растёт с увеличением разрядного тока Jp, а плотность тока возрастает только
логарифмически; также от Jp слабо зависит температура плазмы (возрастает),
а напряженность Е-поля падает.
- Температура в дуге обычно находится на уровне 5000—10000 К, и она особенно
круто изменяется вблизи периферии плазменного объёма (рис. 6.10.4).
Применения ДР исключительно многообразны. Коротко о приложениях ДР будет
сказано в гл. 10.
6.10.3. Квазистационарные сильноизлучающие Z-пинчи [157]. Для
многих целей важно создания мощных источников излучения в широком
диапазоне параметров (длин волн, мощностей, длительности светового им-
импульса, размеров источника). В случае, когда речь идет об источниках из-
излучения с эффективной температурой < 1 эВ во многих случаях достаточ-
достаточно дугового разряда просто открытых, в атмосфере. Однако для генерации
вакуумного ультрафиолета и мягкого рентгена необходимо радикально уве-
увеличить удельную мощность разряда, отнесенную к единице объёма плазмы.
6.11. Системы, использующие выделенные уровни возбуждения частиц
337
Анод
Излучающие разряды такого типа могут
быть реализованы многими способами, по
наиболее подходящими являются Z-пинчи
и компрессионные течения в вакуумных
условиях, поскольку стекло, кварц и другие
материалы эффективно поглощают излуче-
излучение с малой длиной волны. Таким образом,
можно поднять температуру до нескольких
десятков эВ и более. Мы не будем здесь
описывать их модели, основанные на систе-
системе уравнения F.5.39) тем более, что для
этого нужно использовать компьютеры как
в случае оптически прозрачного плазменно-
плазменного столба, так и в случае непрозрачного.
Подробно эти вопросы были рассмотрены
в [159] для разрядов длительностью ~ 1-
10 мкс. Отметим, что с помощью наносе-
кундной сверхмощной энергетики изучают-
изучаются аналоги Z-пинчей, дающие мощные по-
потоки рентгеновского излучения (см. Прило-
Приложение Б).
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
Катод
Рис. 6.10.4. Типичные распределения тем-
температуры (К) в электрической дуге, го-
горящей в атмосфере (Jp = 200 А, диаметр
катода 0,4 см)
6.11. Системы, использующие выделенные уровни возбуждения
частиц
6.11.1. Газоразрядные и плазменные лазеры [161]. В предыдущем пункте
рассматривались разряды, в которых плазма находится в локальном термодинамиче-
термодинамическом равновесии. В этих средах концентрация частиц монотонно убывает с возрас-
возрастанием их энергетического уровня
Такие среды устойчивы. Иное дело, если на неком интервале энергий создать
инверсную заселенность, при которой, на одном или нескольких возбуждённых
уровнях, концентрация частиц больше, чем на ниже расположенных уровнях. В свое
время в п. 4.4.3. мы видели, что если на функции распределения электронов, f(vx)
появляется участок с df/dvx > 0, то в плазме начинают раскачиваться колебания.
То же имеет место и при нарушении равновесного распределения по энергиям
возбуждённых частиц. Впечатляющие возможности, которые здесь появляются, были
продемонстрированы лазерами — генераторами когерентного излучения, впервые
созданными Г.Н. Басовым и A.M. Прохоровым. Абсолютное подавляющее боль-
большинство лазеров схематически может быть изображено рисунком 6.11.1. Здесь 1 —
активная прозрачная среда, которая и является собственно генератором когерентного
индуцированного излучения, 2,3 — оптический резонатор, обычно два параллельных
зеркала, одно из которых — полупрозрачное для вывода генерируемого излучения C),
а другое B) — "глухое" наконец, 4 — система "накачки" энергии в активную среду.
Это может быть просто нагрев газообразной активной среды как в газодинамических
лазерах, электрический разряд, поток электронов, мощное "стороннее" некогерентное
излучение и т. п.
338
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
Рис. 6.11.1. Принципиальная схема ла- Рис. 6.11.2. Функциональная схема лазера: (Н) —
зера 1 — активная среда, 2 — непро- накачка активной среды, (s\) — верхний энер-
зрачное зеркало, 3 — полупрозрачное гетический уровень, {г^) — нижний уровень,
зеркало, 4 — накачка, 5 — лазерный (СП) — спонтанный переход электрона с верх-
луч него уровня на нижний, (СИ) — спонтанное из-
излучение, (ИП) — индуцированный переход элек-
электронов, (ЛИ) — лазерное когерентное излучение,
(ОНУ) — очистка нижнего уровня
Принципиально важным свойством активной среды является наличие двух уров-
уровней (рис. 6.11.2), из которых верхний (г\) имеет при отсутствии индуцирующего
излучения сравнительно малую вероятность перехода на некий нижний уровень (г^),
а тем более на другие нижние уровни. В то же время нижний уровень обладает
большой вероятностью очищения и поэтому он всегда почти пустой.
Лазеры могут работать как в импульсном, так и стационарном режиме.
Вот схема работы в импульсном режиме.
Включается "накачка". Начинает заполняться верхний уровень г\. Одиночные пе-
переходы с верхнего уровня на нижний не создают достаточно интенсивного излучения
в активной среде, чтобы стимулировать когерентные излучения. Поэтому на этой
стадии излучение лазера носит спонтанный стохастический характер. Но дальнейшая
накачка верхнего уровня в некий момент приводит к столь сильному спонтанному
излучению, что выделяемая резонатором гармоника начинает индуцировать излуче-
излучения возбуждённых частиц (атомов, молекул), и далее процесс приобретает лавинный
характер. В результате чего верхний уровень опустошается E) и запасенное в ре-
резонаторе излучение постепенно выходит из него из-за полупрозрачности зеркала.
Разумеется, самым быстрым процессом в описанной системе является сброс электро-
электронов с низшего уровня. Чтобы сделать это явным — имея в виду импульсный режим,
можно написать следующее предельно упрощенное уравнение для концентрации
частиц на верхнем уровне, после того как произошла накачка этого уровня:
дп ..
— = -па(\
1
а =
г(спон)
F.11.1а)
Уравнение переноса излучения — учитывая, что, благодаря наличию резонатора, ин-
интенсивность излучения нарастает не в пространстве, а во времени, следует записать
в виде
-—. F.11.16)
Последний член справа описывает уход излучения из резонатора. Вводим суборди-
субординацию времен
то <тн <Стл «тш.
6.11. Системы, использующие выделенные уровни возбуждения частиц 339
Здесь го — время опустошения нижнего уровня, тц — время накачки, тл — время
возбуждения активной среды, ти — время ухода излучения из резонатора.
Рассмотрим теперь процессы опустошения верхнего уровня после завершения
накачки. Поскольку в начальный момент величина 1Ш мала и носит некогерентный
характер, то система F.11.1) принимает вид (по — концентрация возбуждённых
частиц после накачки)
дп д1ш
— «(Зщ, F.11.2)
/3riot. F.11.3)
Когда величина /^7 становится больше единицы, все большую роль начинает
играть индуцированное излучение, и теперь систему F.11.1) можно записать в виде
^ ^Ъщ1ш. F.11.4)
и, соответственно
(
Здесь а = а^\ Ъ = /3j. Система F.11.4) имеет очевидный интеграл
ni+hIu = Ni; h=^, F.11.5)
о
где N\ — начальная концентрация возбуждённых атомов (молекул).
Подставляя F.11.5) в F.11.4), получаем
дщ (N\ -п\\ . /ЛТ ч
^ ащ ( l Ч =-bni(Ni-m).
Отсюда следует
^^i = e-Nbt, F.11.6a)
а
Т°"еСТЬ 1 N ехрШШ
n = N L = FЛ1-6б)
Таким образом опустошение верхнего уровня идет практически по экспоненте
и тем круче, чем больше первоначальная заселённость.
После этого наступает последняя стадия — уход излучения из резонатора:
т.е. 1Ш rsj exp | — t/грез} • Чтобы получить модель непрерывно работающего лазера,
достаточно в уравнение F.11.1а) добавить в правую часть постоянный член Y =
= const, описывающий непрерывную накачку верхнего уровня.
В заключение отметим принципиальные схемы и активные среды трех распро-
распространенных классов лазеров.
а. Гелий-неоновые лазеры. В этих хорошо известных газоразрядных лазерах
используется двухступенчатая схема накачки активной среды-неона (рис. 6.11.3).
Сначала идет накачка (заселение) метастабильного уровня гелия, на котором накап-
накапливаются электроны с энергией, близкой к энергии уровня 3s неона, подходящего
для роли верхнего уровня лазерной генерации. Передача от указанного уровня Не
к уровню 35 неона идет быстро. В то же время нижний уровень 2р неона, на который
сваливаются электроны, легко очищается, и тем самым поддерживается непрерывная
когерентная генерация излучения.
340
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
160
150
140
130
Is
Is2 'So
i 6
2p
Рис. 6.11.3. Схема уровней гелия и неона. Указа-
Указаны 3 вида индуцированных переходов в лазере
е-1035смш1 Гелий-неоновые лазеры — систе-
He Ne мы малой мощности. Типичная мощ-
мощность на излучение не превосходит
нескольких сот миливатт.
б. СО^-лазеры. В этих лазерах ис-
используется возбуждение колебатель-
колебательных уровней молекул. Среди них осо-
особый интерес представляют газодина-
газодинамические СО2~лазеры.
По своей схеме такой лазер — это
газодинамическое сопло, в сверхзву-
сверхзвуковой части которого помещается оп-
оптический резонатор.
Основным активным компонентом
в газодинамических лазерах является
углекислый газ (СО2), который, так
или иначе, нагревается в форкамере.
В простейшем случае это может про-
происходить просто за счёт сжигания уг-
леродосодержащего топлива в возду-
воздухе. При этом, благодаря высокой тем-
температуре (до ~ 4000 К), возбуждают-
возбуждаются колебательные уровни. При даль-
дальнейшем течении газ быстро охлажда-
охлаждается. Возникает инверсная заселенность, и, проходя между зеркалами резонатора,
газ генерирует инфракрасное когерентное излучение. Мощность газодинамических
СО2~лазера может достигать десятки кВт при кпд, по отношению к топливу, до ~
~ 2%. В настоящее время СО2-лазеры существуют с разными системами накачки,
в том числе и с газоразрядной системой. Это стационарные лазеры с мощностью
луча десятки кВт, длиной волны ~ Юмкм и кпд ~ 10% "от розетки".
в. Эксимерные лазеры. Высокими характеристиками обладают лазеры, использу-
использующие в качестве активной среды эксимеры 0. Наиболее популярны эксимеры Хе*С1
и Кг*Р(звездочками обозначены возбуждённые атомы). Такой лазер представляет
собой газоразрядное устройство, в котором непрерывно синтезируются эксимеры
(см. следующий пункт). Поскольку это принципиально возбуждённые молекулы,
то это и есть возбуждённая активная среда. А при снятии возбуждения молекулы
разваливаются, что автоматически обеспечивает эффективное опустошение нижнего
уровня.
Эти лазеры работают короткими импульсами (~ 30-50 не), но в периодическом
режиме их средняя мощность может достигать кВт и кпд — нескольких процентов.
6.11.2. Особенности плазмохимии [158, 159]. До сих пор речь шла о взаи-
взаимодействии тяжёлых частиц со свободными электронами и излучением. Теперь мы
остановимся на взаимодействии тяжёлых частиц друг с другом при участии элек-
электронов, уделив основное внимание химическим реакциям при температурах порядка
нескольких тысяч градусов. Эту область науки обычно называют плазмохимией.
Многообразие плазмохимических процессов огромно, Здесь мы коротко остановимся
на трех примерах, а несколько других будет описано в разделе 10.3. Плазмохими-
ческие реакции могут протекать в существенно неравновесных условиях, а могут
1) Эксимеры — молекулы, существующие только в возбуждённом состоянии.
6.11. Системы, использующие выделенные уровни возбуждения частиц
341
и в квазиравновесных условиях. Примером последних может служить окисление
азота.
Примерами неравновесных плазмодинамический реакций, которых мы здесь кос-
коснемся, будет синтез в разрядах "эксимеров" — метастабильных соединений с участи-
участием благородных газов (Аг^, Кг*С1 и т.п.). Вторым примером будет синтез фуллере-
нов 0, открытых в 1985 году и представляющих собой удивительные многоатомные
углеродные структуры, рис. 6.11.4.
Рис. 6.11.4. Фуллерены С70, C72 (а); нанотрубка открытая (б), нанотрубка закрытая (в)
Специфической особенностью плазмохимических процессов является наличие
у электронов и/или тяжёлых частиц значительной энергии ("сверкомнатной"), обес-
обеспечивающей активацию частиц.
Реакции между двумя тяжёлыми частицами могут либо приводить, в конечном
счёте, к выделению энергии (экзотермические реакции), либо к поглощению энергии
1) Эти молекулы поучили такое общее имя в честь американского архитектора Фуллера,
который разрабатывал конструкции зданий, в основе которых лежала пространственная ре-
решётчатая структура.
342
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
(эндотермические реакции). Наглядными примерами экзотермических реакций явля-
является процесс горения углерода в кислороде
Сп + пО2 -> пСО2 + п.
Примером эндотермических реакций является диссоциация молекулы кислорода
О2 ->2О + ...
U(R)'
Рис. 6.11.5. Типичный потенциал взаимо-
взаимодействия двух атомных частиц в зависи-
зависимости от расстояния между ними
Ясно, что эндотермические реакции мо-
могут идти только при наличии энергичных
частиц с уровнем энергии > гЭНА0. Но даже
в случае экзотермических реакций обычно
требуется активация. Это связано в первую
очередь с тем, что у вступающих в реак-
реакцию частиц валентные связи, так или ина-
иначе, замкнуты. Так мы имеем в нормальных
условиях в свободном состоянии не атомы
кислорода О, а молекулы О2 и т. п. Поэтому
для того, чтобы частицы вступили в ре-
реакцию, нужно затратить, так называемую
энергию активации ?акт (рис. 6.11.5). В про-
простых случаях это энергия диссоциации. Но
затем в результате реакции — в случае экзотермической реакции, выделяется энер-
энергия ?р = ?акт + Q. Очевидно также, что если возможна обратная реакция, то она
является эндотермической.
Естественно, что все реакции (или почти все) идут быстрее при повышенной
температуре, и если продукты этих реакций нам нужны (как, например, получение
окислов азота), а сама реакция обратима, то нужно "заморозить" образовавшийся
при высокой температуре состав. Сделать это можно, быстро охлаждая ("закаливая")
среду, в которой содержатся продукты реакции. Если продукты реакции неустойчивы
при комнатной температуре, то надо связывать их в устойчивые комплексы.
Окисление азота. Наглядным примером специфики квазиравновесных плазмохи-
мических процессов является окисление азота, глобальна формула которого имеет
вид
°+ N +
Этот процесс, реализуемый в дуговом разряде при атмосферном давлении, использо-
использовался с конца XIX века в Норвегии, богатой гидроэнергоресурсами, для производства
"норвежской селитры" Са(ЫОзJ- А именно, поток воздуха, прошедший через дугу
и обогащенный N0, направлялся в чан с раствором гашеной извести Са(ОН), где
происходила реакция, дающая указанную селитру.
Если использовать экспериментальные данные о вероятности прямого превраще-
превращения двух молекул О2 и N2 в две молекулы N0, то оказывается, что равновесная
концентрация N0 при Т = 2000 К на 5-6 порядков меньше, чем наблюдается в экс-
экспериментах. Это говорит о том, что реально процесс идет многостадийно. Предельно
упрощенная схема реакции, которая, однако, даёт количественные данные, разумно
согласующиеся с экспериментом, выглядит так:
N + 02 ^ NO + О + 1,4 эВ.
6.11. Системы, использующие выделенные уровни возбуждения частиц 343
Из этих схем видно, что атом кислорода играет роль катализатора, он входит в про-
промежуточные реакции и снова появляется в конечной реакции. Медленно идет первая
реакция, так как она требует большой (по сравнению с типичной температурой 3000-
5000 К) энергии. Но на самом деле ситуация еще сложнее. Первая реакция носит
"многоходовой" характер. Реально она включает стадию диссоциации N2, которая
требует 9,8 эВ, и лишь затем часть энергии — 6,5 Эв, возвращается при образовании
NO.
Стадия диссоциации N2 идет через ряд последовательного возбуждения колеба-
колебательных уровней.
Эксимеры. Потребовалось около 60 лет, чтобы классическими химическими мето-
методами получить всего несколько соединений, включающих благородные газы. Первым
было таким образом получено в 1962 году канадским химиком Нилом Бартлеттом
соединение XePtFe.
Начиная приблизительно с 1970 года появилось большое число сообщений о полу-
получении соединений благородных газов друг с другом (Аг2, Кг2, Хе), с галогенами (ArF,
KrCl, KrF, XeBr, XeCl, XeF) с кислородом (АгО, KrO, XeO). Однако большинство
этих соединений короткоживущие и существуют только в возбуждённом состоянии
(эксимеры).
Галогеносодержащие эксимеры образуются в трубках с разрядом при давлении
порядка 10 2 — 1 атм. При давлении ^ Юатм под действием энергичных электронных
пучков идет образование димеров. Образования моногалогенов выглядит следующим
образом. Возбужденный разрядом атом благородного газа R* взаимодействует с мо-
молекулой галогена (Х2)
R* + Х2 -> RX* + X.
Или
R+ + Хе- -> RX* + R.
Образование димера протекает обычно по схеме
R+ + 2R -> R+ + R,
а затем
R% + е -> R + R*
R* + 2R -> R+ + R.
Энергетику образования эксимеров позволяет лучше уяснить рис. 6.11.6, где изобра-
изображена энергия связи г в зависимости от расстояния между компонентами эксимера.
Видно, что е(г) для невозбуждённых частиц практически не имеет ямы, тогда как
для возбуждённого эксимера такая яма существует.
На эксимерах созданы лазеры, которые упоминались выше.
Наглядно существование возбуждённых эксимеров можно объяснить просто.
Возбуждение, например, атома Хе переводит электроны с заполненной оболочкой
на близлежащий незаполненный уровень. В результате Хе* превращается в ана-
аналог щелочного атома, но с "дыркой" внутри. Этот квазищелочной атом реагирует
с галогеном, не обращая внимания на дырку. Но в некий момент дырка втягивает
вырвавшийся наверх электрон и эксимер рассыпается.
Фуллерены и нанотрубки. Углерод до недавнего времени был известен в двух
основных аллотропных модификациях — в виде графита со слоистой структурой
и в виде алмаза. Энергия связей в графите относительно невелика, и поэтому уже
в дуговом разряде с графитовыми электродами происходит почти полная диссоциация
поступающих в разрядный промежуток кластеров углерода (графита) на отдельные
344
Гл. 6. Плазменные процессы с трансформацией частиц и излучением
атомы со свободными валентностями и, уходя из горячей зоны, они начинают ак-
активно соединяться друг другом, создавая не только плоские, но и пространственные
конфигурации, так сказать, пространственные аналоги бензольного кольца.
2 R
Рис. 6.11.6. Потенциальная энергия взаи-
взаимодействия двух атомных частиц в зави-
зависимости от расстояния между ними при
образовании эксимера A); потенциаль-
потенциальная энергия невзаимодействующих атомов
B); 3 — излучательные переходы между
A) и B)
Рис. 6.11.7. Схема одной из первых уста-
установок для синтеза фуллеренов. 1 — гра-
графитные электроды, 2 — охлаждаемые во-
водой токоподводы, 3 — охлаждаемая по-
поверхность колпака, на которую оседает са-
сажа с фуллеренами, 4 — пружина
В 1985 году в конденсате угольных паров дугового разряда (рис. 6.11.7), наряду
с сажей, были обнаружены шарообразные молекулы Сбо из 60 атомов углерода
(рис. 6.11.4а). Их удалось выделить, поскольку фуллерены растворяются в органиче-
органических жидкостях, а сажа — нет.
Формирование фуллеренов представляет собой стохастический процесс. Поэтому
реально получаются молекулы с разным числом атомов углерода. Позднее были об-
обнаружены и качественно иные структуры, в частности, в виде трубок. Эти структуры
получили название нанотрубок (рис. 6.11.46,в).
В настоящее время детали кинетики образования фуллеренов во многом неясна.
Поэтому мы не будет на ней специально останавливаться. Отметим только, что
сейчас освоена техника введения внутрь молекулы фуллерена атомов разного вида.
В частности, при введении внутрь щелочных металлов были получены сверхпро-
сверхпроводники с критической температурой Ткр до 33 К. Фуллерены обладают большим
числом и других замечательных свойств, и их создание — прекрасная иллюстрация
огромных возможностей плазмохимии.
Глава 7
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПЛАЗМЫ С ПОВЕРХНОСТЯМИ
ТВЁРДЫХ ТЕЛ
7.1. Введение
В предыдущих главах речь шла о "базовых" системах уравнений, которые с той
или иной степенью идеализации описывают процессы в плазменных объёмах. Но при
этом практически не затрагивался вопрос о граничных условиях, которые обычно
ставятся на поверхности твёрдого тела (ТТ). Эти граничные условия должны фор-
формально выражать характер взаимодействий плазмы с ТТ. Рассмотрению ряда таких
процессов и посвящена эта глава.
Роль граничных условий ("стенок") в формировании макроструктуры течений
газов и жидкостей видна всюду. В разделе 2.1 были рассмотрены в рамках уравнений
Эйлера: обтекание тонких профилей и течения в соплах. Было показано, как стенки
формируют общую структуру потока. Однако воздействие стенок не ограничивается
созданием макроструктуры. Они организуют вблизи себя свою собственную дина-
динамическую структуру — "пограничный слой", в пределах которого происходит согла-
согласование комплекса параметров, характеризующих стенку (ее скорость, температуру,
шероховатость и др.), с соответствующими параметрами основного потока или, как
часто говорят, "ядра" потока.
Свойства этого слоя, как правило, радикально отличаются от свойств основного
потока. Так, в обычной гидродинамике, в ядре течение может быть практически
бездиссипативным, тогда как в пограничном слое диссипация в виде вязкости
принципиальна. Эти вязкостные слои, будучи часто весьма тонкими, по сравнению
с основным потоком — такая ситуация имеет место, например, при обтекании крыла
самолета, — тем не менее могут существенно влиять на поток в целом. Так, в примере
с крылом диссипативный пограничный слой, нарушая закон Кельвина-Гельмгольца
о сохранении вихря, приводит к отличию от нуля циркуляции вокруг крыла и тем
самым обеспечивает подъемную силу крыла.
"Тонкость" погранслоев по сравнению с размерами ядра потока объясняется
обычно тем, что они формально определяются малым параметром при старшей
производной в уравнениях. Пограничные слои по своей сути близки к другим мел-
мелкомасштабным возмущениям рассматриваемой сплошной среды. Особенно наглядно
ламинарные погранслои и их связь с волнами выступает в тех случаях, когда
они образуются в однородных потоках при обтекании или контакте с достаточно
плавными профилями. В этих случаях поведение пограничного слоя на значительном
расстоянии от создающего его ТТ может быть рассмотрено как малое возмущение,
т.е. с помощью линеаризованных уравнений динамики данной среды 0.
1) В плазме в силу подвижности заряженных компонент и неподвижности ТТ, здесь всегда
возникает погранслои.
346
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
7.1.1. Пограничный слой Прандтля-Блазиуса (гидродинамика Навье-
Стокса). Проиллюстрируем сказанное на примере первого изученного погранслоя,
а именно вязкостного пограничного слоя в несжимаемой жидкости, описываемого
уравнениями Навье-Стокса.
Простейший пример такого слоя является слой, образующийся при обтекании
однородным (в ядре) потоком полубесконечной плоскости (рис. 7.1.1). Практически
точно этот слой был рассчитан в 1908 году Блазиусом на основе общих уравнений
для вязкостных погранслоев, полученных ранее Прандтлем путем некого упрощения
уравнений Навье-Стокса. Это решение имеет вид (см., например, [13, 162])
G.1.1)
где г>о — скорость набегающего потока, v — кинетическая вязкость, у = 0 соот-
соответствует полуплоскости, координата х отсчитывается от границы полуплоскости.
Функция /(?) подчиняется весьма экзотическому уравнению
по
0,8
0,4
0 1 2 3 4
Рис. 7.1.2. График функции /'(?)
.— —•
Рис. 7.1.1. Течение вязкой жидкости около
полуплоскости (модель Блазиуса-Прандтля):
1 — условная граница пограничного слоя; 2 —
зависимости скорости от расстояния до полу-
полуплоскости
и граничным условиям
//" + 2/'" = О
/@); /'@)=0; /'(оо) =
G.1.2а)
G.1.26)
Зависимость производной /х(<^) от ? изображена на рис. 7.1.2. В окрестности ? = 0
функция /(?) аппроксимируется формулой:
G.1.3а)
Здесь а = 0, 332. Отсюда видно, что при у = 0 выполняются два граничных условия
vx=0 и vy = 0. G.1.36)
Таким образом, рассматриваемое решение удовлетворяет не одному, как в случае
уравнения Эйлера, граничному условию "непроницаемости плоскости"
7.1. Введение 347
но также условию прилипания потока к полуплоскости
Очевидно, это эффект вязкости.
При ? —> оо справедлива аппроксимация
| | G-1-4а)
о о
Постоянная /3 = 1,72, Ф(з) — интеграл ошибок
s
() ^
V71"
о
Из G.1.1) и G.1.4а) следует, что при ? ^ 1
^ -> ^Ф(е) -> ад vy -> 0. О G.1.46)
Далее, приняв за границу погранслоя некое значение ?*, видим, что ширина у*
погранслоя возрастает при увеличении х, как л/х, так как в силу G.1.1)
^ = const. G.1.5)
Такое поведение толщины погранслоя связано с диссипативным характером вязкости,
ответственной за этот погранслой.
Наконец заметим, что при ? > 1 первой формуле G.1.46) можно придать более
наглядный вид, учитывая, что
Л 1 ехР{-е2}\
v - Щ 1 1= -
Течение Прандтля-Блазиуса в линейном приближении. В линейном приближе-
приближении картина становится более наглядной, если рассматривать течение сжимаемого
газа.
Тогда система уравнений Навье-Стокса имеет вид (если пренебречь "второй"
вязкостью)
i ^- + (vV)v) = -Vp + z/pAv, p = p{p). G.1.6a)
Линеаризация этой системы приводит к уравнениям
^т +»0n- j Pi +podivv1 =0, ро ( — + vo~q- J vi = -CyVpi + ^/90Avi. G.1.66)
348 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Нетрудно убедиться, что эта система расщепляется на две системы (v = vi + v2):
о
°dxJ ' G.1.7а)
pi=0; divwi=0; ( — + vo-^- J w\ = uAw\. G.1.76)
Первая из них — гиперболическая, описывает течение vi в ядре потока и о которой
говорилось в разделе 2.2. Вторая система — параболическая, и она описывает течение
wi в погранслое. Общее решение в рассматриваемой области имеет вид
v = vox° + vi + awi. G.1.8)
Коэффициент а должен определяться из граничных условий. Однако, учитывая, что
погранслой реально описывается нелинейным уравнением @ < v < vmax), определе-
определение а достаточно условно.
Применительно к стационарному течению около бесконечной полуплоскости мож-
можно считать vi = 0, а линейное уравнение G.1.7) можно записать в виде
дх ду1
Здесь мы пренебрегли членом d2w\x/ дх2, из-за его малости (при малых и) по
сравнению с d2w\x/ду2.
Если на плоскости считать vx = 0, что для линейного приближения грубо, но для
асимптотики разумно, то в качестве граничного условия для w\x надо взять
wix\y=o = -vo- G-1.10)
Уравнение G.1.8) с граничным условием G.1.10) даёт для vx = vq + w\x выражение,
полностью аналогичное классическому решению задачи об остывании полуограни-
полуограниченного стержня, равномерно нагретого до температуры То, благодаря включению
при t = 0 холодильника, поддерживающего на конце стержня постоянную темпера-
температуру Т = 0. В этом случае
G.1.11)
Здесь t — время, х — координата сечения стержня, а к, — коэффициент температу-
температуропроводности 0. Заменив Т на vx, Tq — на (vq), x — на у, к — на v/vq, a t на х,
мы получаем нужное нам решение G.1.4).
Из всего сказанного выше вытекают три следствия.
1. Линейное приближение правильно описывает асимптотику возмущения потока,
вызванного ТТ.
2. Число типов линейных волн, появляющихся в модели, равно числу граничных
условий, которые нужно ставить в данном случае на поверхности ТТ.
3. Ширина погранслоя определяется кинетикой частиц, так как в силу G.1.5)
f* ~>/Аж, G.1.12)
Соответствующее уравнение теплопроводности имеет вид dT/dt = кд2Тjдх2.
7.1. Введение
349
где Л — длина свободного пробега частицы, поскольку (п. 5.2.1)
Таким образом, классический вязкостью пограничный слой принципиально связан
с внутренним масштабом среды. Очевидно, что отмеченные особенности погранич-
пограничного слоя носят общий характер и они применимы, при естественных оговорках,
и к плазменным системам.
Но вернемся к гидродинамическому погранслою. Очевидно, в общем случае,
к уравнениям Навье-Стокса G.1.6) надо добавить уравнение теплопроводности, а это
позволит поставить еще одно граничное условие на поверхности ТТ — например, его
температуру То
7 1г = 7о-
Однако, за пределами гидродинамического описания пограничного слоя остается
один принципиально важный момент. Он связан с тем, что уравнение Навье-Стокса
не описывает того, что происходит непосредственно вблизи ТТ, в пределах, так на-
называемого "кнудсеновского подслоя", толщина которого 5к порядка длины свободного
пробега частиц потока
$к ^ А.
А здесь происходят два важных процесса. Во-первых, благодаря столкновению ча-
частиц потока с поверхностью, функция распределения этих частиц /(~)(v,x) превра-
превращается в иную функцию распределения отраженных частиц /(+)(v,x)
свойства которой определяются микроструктурой поверхности ТТ. В частности,
обращение в нуль макроскорости потока на поверхности ТТ может быть следствием
изотропного диффузного рассеяния падающих частиц. Но отражение бывает и более
сложным. Происходящие в кнудсеновском подслое первые столкновения частиц друг
с другом, подготавливают максвеллизацию частиц в области Навье-Стокса. Учесть
все это можно только переходя к кинетическому уравнению Больцмана и соответ-
соответствующим этому уравнению граничным условиям (см.ниже).
Подводя итог краткой характеристике области взаимодействия потока с ТТ в газо-
газодинамике, представим ее графически в виде 5 слоев (рис. 7.1.3). Здесь I — толща ТТ,
которая может разрушаться при большой энергии частиц и плотностях потока, II —
"атомарный слой" ТТ, непосредственно испытывающий столкновения с частицами
потока, III — кнудсеновский подслой, IV — вязкостный пограничный слой, V — ядро
потока.
V
Рис. 7.1.3. Характерные слои гидродина-
гидродинамической пристеночной области: I — твёр-
твёрдое тело; II — наружный "атомарный"
слой ТТ; III — Кнудсеновский подслой;
IV — вязкостный пограничный слой, V —
ядро потока
Мы рассмотрели простейший случай ламинарного погранслоя. В реальных усло-
условиях картина чаще бывает нестационарной, но основные качественные черты, опи-
описанные здесь, обычно сохраняются.
350
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
7.1.2. Общая структура переходного слоя плазма-твёрдое тело. Общая
картина взаимодействия плазмы с ТТ несравненно сложнее, чем в газодинамике.
Это связано как с большим числом компонент плазмы (электрические и магнитные
поля, электроны, ионы, атомы и др.), так и с огромным многообразием форм вза-
взаимодействий компонент друг с другом и с ТТ, а также и свойствами самих ТТ,
которые не различаются в обычной газодинамике (диэлектрики, металлы, электроды
и т.п.), но приводят к разным эффектам при взаимодействии с плазмой. Поэтому
мы не будем пытаться дать достаточно общую классификацию переходных структур
в области, прилегающих к ТТ, а ограничимся самыми общими характеристиками
таких структур и рядом конкретных примеров.
Прежде всего изобразим схему типа рис. 7.1.3 для системы "плазма-ТТ". Теперь
в ней выделим семь подобластей, но главное здесь не в числе, а в содержании
(рис. 7.1.4) подобластей III, IV, которые будем различать не моделями описания
(они могут быть любыми (кинетическими и гидродинамическими)), а преобладающей
ролью отдельных компонент в формировании структур в данных областях. А имен-
именно, к области III отнесем электронные структуры с масштабами — дебаевского
и электронно-ларморовского радиусов; к области IV — структуры электронно-
гидродинамических масштабов (типа скин-слоя) к областям Шг,п и V^n — структуры
ион-атомных масштабов. Хотя области I и II сохраняют в целом тот же смысл, что
и в газодинамике, но их функции становятся несравненно богаче.
V
IVe
Щ,п
III e
Рис. 7.1.4. Характерный слои в пристеночной
области плазмы: I — твёрдое тело; II — на-
наружный слой ТТ; Ше — область электрон-
электронных структур дебаевского и электронного лар-
моровского масштабов; Шеп — область структур
электронно-атомных масштабов; IVe — струк-
структуры электронно-гидродинамических масштабов;
IVi.n — область структур ионно-атомных масшта-
масштабов; V — ядро потока
Нужно подчеркнуть, что схема рис. 7.1.4 весьма идеальна, и во многих случаях
указанные подобласти могут быть хитрым образом перемешаны.
Кроме описанных выше явлений, в пристеночной области могут возникать раз-
различного рода динамические структуры, которые отличаются высокой концентрацией
энергии и относительной автономностью. Одни из них порождаются, например,
скользящим сильноточным разрядом вдоль диэлектрика, как в импульсных эрозион-
эрозионных плазменных двигателях, другие наблюдаются при контрагировании разряда на
электродах. Типичным примером структур второго типа являются катодные пятна
дуг, горящих между холодными электродами (см. раздел 7.6).
В первой части этой главы будут описаны основные процессы взаимодействия
частиц плазмы с поверхностями ТТ, т.е. в подобласти П. Вторая часть посвящена
пограничным слоям. Из-за большого числа разновидностей этих слоев основное
внимание будет уделено электронным слоям в относительно редкой плазме (rjj,pe <C
< А - столкновительный свободный пробег частиц). В третьей части описывается
7.1. Введение 351
ряд плазменных систем, в которых пристеночные процессы нетривиальны и играют
большую роль в общей картине разряда.
Выше мы говорили о влиянии стенок на процессы в плазме. Однако сами ТТ
могут при этом подвергаться серьезной модификации, что находит все большее
прикладное применение, о чем будет сказано в разделе 10.3. Здесь же, в п. 7.4.3,
мы рассмотрим простую модель ионного ("катодного") распыления поверхностей
быстрыми ионами и атомами. В конце главы будет коротко сказано о так называемой
"пылевой плазме". Само название говорит о сути такой системы.
Переходя к конкретным вопросам, связанным с данным кругом явлений, начнем
с уточнения терминологии.
Прежде всего, всю совокупность процессов, возникающих при взаимодействии
потока со стенкой и расположенных между областями I и VI на рис. 7.1.4, мы будем
называть пристеночными явлениями или процессами. Будем ниже говорить лишь
о "собственных" пристеночных процессах, имея в виду процессы, разыгрывающиеся
на расстояниях d <C D, где D — "диаметр" потока. Слово "собственно" там, где это
не может привести к путанице, будем опускать.
Среди собственно пристеночных процессов в первую очередь выделяются находя-
находящиеся в области II поверхностные явления, т. е. явления, которые происходят либо
на самой поверхности стенки, либо на расстоянии от нее порядка нескольких атом-
атомных размеров. Эти явления очень разнообразны: распыление поверхностей быстрыми
частицами, фото- и термоэмиссия, адсорбция, поверхностная ионизация, испарение
и т.п.
Между поверхностью и ядром потока лежит множество различных пограничных
слоев, относящихся к областям III, IV, V. Они обязаны, как уже говорилось, харак-
характерным масштабам разных компонент плазмы.
7.1.3. Функции эмиссии. Все элементарные процессы эмиссии, происходящие
на стенке, могут быть разбиты на три группы.
К первой отнесем процессы спонтанной эмиссии: термоэмиссию, поверхностную
ионизацию и автоэмиссию электронов, а также испарение вещества под действием
высокой температуры. Эти процессы можно характеризовать функциями ga(v, Г).
Индекс а указывает на сорт эмиттируемых частиц (электроны, нейтральные атомы,
нейтральные молекулы, ионы). Символ Г представляет собой совокупность парамет-
параметров, таких, как температура стенки, наличие или отсутствие на ней пленок, напря-
напряженность электрического поля около нее и т.п. Сама по себе функция ga(v, Г) =
= vnGa(v, Г) характеризует плотность потока частиц, a Ga — плотность частиц,
эмиттированных "спонтанно" 1см2 со скоростями, лежащими в пределах v,v + dv.
Поэтому за время dt площадка ds эмиттирует dNa частиц:
dNa = ga(v, T)dSdwdt. G.1.13a)
Если нас не интересует угловое и энергетическое распределение эмиттируемых
частиц, то можно ограничиться плотность потока эмиссии va(T), равной
G.1.136)
Если речь идет о спонтанной эмиссии заряженных частиц, то наряду с иа часто
пользуются плотностью тока эмиссии ja = eaiya. Примером зависимости }а(Т) может
служить уравнение Ричардсона-Дешмана.
Ко второй группе элементарных процессов отнесем процессы эмиссии частиц под
действием излучения, т. е. фотоэмиссии, описываемые функциями
352 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
где 7 — характеристики падающего на элемент поверхности светового потока (часто-
(частота, угол падения, поляризация). Если обозначить 1Ш интенсивность светового потока,
падающего на стенку, то плотность потока частиц будет равна
dN
-?¦ = Pa(v,T,1)IbJd1dSdv. G.1.14a)
Здесь dj = doodQ, где ио — частота, a d?l — телесный угол, в пределах которого
распространяется излучение. Если вместо интенсивности 1Ш, выраженной в энерге-
энергетических единицах, перейти к потоку квантов /^кв\ то вместо G.1.10) получим
^ = Ya(v,T,1)I^d1dSdv. G.1.146)
Величину Ya называют квантовым выходом.
Наконец, в третью группу элементарных процессов на поверхности включим те,
которые происходят под действием падающих на нее частиц. Пусть на поверхность
падает поток частиц сорта C. Эти частицы могут иметь самое различное распреде-
распределение по скоростям, и поэтому их естественно характеризовать либо кинетической
функцией распределения fp(x.f,V,tf), либо кинетической функцией потока:
gp(x'y,t') = v'Mx!y,t'), G.1.15а)
где v'n — нормальная к данному элементу поверхности составляющая скорости
частиц. Падающие частицы порождают потоки самых различных частиц а. Эти
потоки мы также будем характеризовать кинетическими функциями потока:
^=^(x,v,?). G.1.156)
Мы отметили аргументы функций др штрихом с тем, чтобы подчеркнуть тот факт,
что падающие частицы имеют другие скорости, чем выбитые частицы, что они
покидают поверхность с запаздыванием по отношению к моменту падения частиц
C и, наконец, что они могут покидать поверхность не в том месте, куда упали
первичные частицы. Наиболее отчётливо различие между х и хх, t и t' наблюдается
в тех случаях, когда упавшая частица адсорбируется и достаточно долго живет на
ней. За это время благодаря тепловому движению она успевает переместиться на
значительное расстояние (поверхностная диффузия частиц). Такого рода процессы
весьма важны, например, при поверхностной ионизации цезия на вольфраме.
С формальной точки зрения поверхность твёрдого тела может быть охарактери-
охарактеризована неким оператором S, который переводит функцию др в да:
ga = Sa/p\gi3,r]. G.1.16)
Макроскопические параметры Г, характеризующие поверхность, также во многом
определяются падающими потоками и, как правило, изменяются во времени^ Поэтому
для полного описания процессов на поверхности кроме знания операторов Sa/p[gp,T]
необходимо иметь уравнения для параметров х, Г:
|^,O,r(x',O;x,*]. G.1.17)
Система G.1.16), G.1.17) является в общем случае нестационарной и нелинейной.
В качестве примера можно указать на сильное изменение свойств S при покрытии
поверхности адсорбированными атомами. Так, поверхностная ионизация в случае це-
цезия на вольфраме практически полностью прекращается, если адсорбированный слой
цезия имеет плотность ~ 0, 1 мономолекулярного. Это обстоятельство лимитирует
допустимую плотность потока J gpdv нейтрального цезия на поверхность эмиттера.
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела 353
Оператор S удобно писать в виде
|). G.1.18а)
Здесь ? = (,v,t), а S^/^f^l^F) — функция, которую будем называть функцией
вынужденной эмиссии либо функцией рассеяния 0. Учитывая G.1.18а), запишем
G.1.16) в виде
#a(x,v,?) = I dt I dx' I dv/5fCK//3(x,v,t|x/,v/,t;r)^(x/,v/,t). G.1.186)
\dx! [
Если характерное время жизни частицы в связанном состоянии много меньше
времени изменения макроскопических параметров поверхности (Г), а характерное
расстояние миграции за это время много меньше макроскопической неоднородности,
то можно написать
' ';x-x!;t-t'). G.1.19)
Учёт различия t и tf, x и xf представляет практический интерес в тех случаях, когда
эти разности соизмеримы с временными и пространственными масштабами в рас-
рассматриваемых процессах. Если можно пренебречь вообще временным запаздыванием
и диффузией, то
Sa/p = si/Uvlv'; х> ^Жх - х'Ж^ - О G-1 -20)
'). G.1.21)
Здесь и далее при написании S^°L опущен индекс @).
Нетрудно видеть, что функция Sa/p(v\vf;x,t) показывает, сколько частиц сорта
а со скоростью, лежащей в интервале v, v + dv, эмиттируется 1 см2 площади поверх-
поверхности при падении на нее одной частицы /3 со скоростью, лежащей в диапазоне Vх,
Vх + dvf:
dNa = Sa/p(v\v';x,t)dvdv'. G.1.22)
Во многих случаях не требуется детально знать распределение эмиттировнных
("вторичных") частиц по всем скоростям. Часто ограничиваются различного рода
"свертками" функции Sa/p(y/vx). В частности, если нас интересует общее число
частиц сорта /3, то используют коэффициент вторичной эмиссии
G.1.23)
При теоретических расчётах функции S и а часто моделируют простыми выражени-
выражениями, что и будет сделано в ряде случаев ниже.
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела [166]
7.2.1. Адсорбция "тёплых" частиц [163, 164].
Адатомы. Поверхность любого твёрдого или жидкого тела обладает адсорбци-
адсорбционной активностью. Это объясняется тем, что поверхностный слой атомов (молекул)
1) В газодинамике функцию S(v/vf) называют иногда ядром рассеяния или функцией
взаимодействия.
12 А. И. Морозов
354
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
имеет по сравнению с атомами в объёме тела ненасыщенные связи. Поэтому, попав
с небольшой энергией на поверхность, атом оказывается захваченным и превраща-
превращается в так называемый адатом. Характер связи адатома с поверхностью может быть
различным. Обычно различают два крайних случая взаимодействий.
Физическая адсорбция. В этом случае удержание атома осуществляется за счёт
поляризации адатома силами изображения или силами Ван-дер-Ваальса (рис. 7.2.1а).
Такого рода взаимодействие является сравнительно слабым, поскольку оно не со-
сопровождается значительной перестройкой оболочки адатома. Примером физической
адсорбции является адсорбция благородных газов металлами, а также адсорбция
газов (О2, N2 и др.), активированным углем, силикагелями и другими сорбентами.
Металл Металл Металл
а б в
Рис. 7.2.1. Схема связи адатома с твердым телом: а — поляризационная связь; б — акцепторная
связь; в — донорная связь
Мерой связи адатома с поверхностью является так называемая теплота адсорбции
I. Характерные значения теплот физической адсорбции приведены в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Адсорбируемое
вещество
Аг
Хе
Кг
Хе
Хе
Адсорбент
Вольфрам
Молибден
Тантал
Теплота
адсорбции 1, эВ
0,08
0,35-0,4
0,2
0,35
0,2
Энергия
поверхностной
миграции ия, эВ
0,02-0,05
-0,1
>0,05
Химическая адсорбция. Более распространенной чем физическая адсорбция яв-
является так называемая химическая адсорбция (хемосорбция), при которой элек-
электронная оболочка адсорбируемого атома или молекулы испытывает существенную
перестройку, в результате чего высвобождается часть связей, идущих на сцепление
с поверхностью.
Процессы хемосорбции условно может быть разделена на два вида в зависимости
от характера преобладающей связи атом-твердое тело.
Гомополярная связь. В этом случае хотя и происходит интенсивный обмен
электронами между адатомами и твердым телом, тем не менее, в среднем адатом не
отдает "своего" электрона и не отбирает "чужого" и поэтому остается нейтральным.
Энергия связи в этом случае может быть соизмерима с энергией при физической
адсорбции. Примером может служить адсорбция водорода на относительно нейтраль-
нейтральных к нему металлах (например, никеле).
Гетерополярная связь (сильная хемосорбция). Адсорбция при гетерополярной
связи сопровождается изменением зарядового состояния частицы. Следует различать
два типа гетерополярной связи. Первая из них — это так называемая прочная
акцепторная связь, при которой электроны твёрдого тела локализуются вблизи
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела 355
адатома О, образуя отрицательный комплекс (см. рис. 7.2.16). Примером может
служить адсорбция химически активных газов О2, N2 и галогенов на поверхностях
реагирующих с ними металлов. Вторая возможность — это прочная донорная связь,
когда электрон сорбированной частицы "растворяется" в твердом теле, оставляя
положительно заряженный остов (см. рис. 7.2.1 в). Это наблюдается в наиболее яркой
форме при адсорбции паров металлов, у которых потенциал ионизации / существен-
существенно меньше работы выхода металлической поверхности. Примером такой ситуации
является взаимодействие паров щелочных металлов К, Rb, Cs с поверхностями таких
тугоплавких металлов, как Pt, W, Mo.
В случае образования слоя отрицательных адатомов (см. рис. 7.2.16) работа
выхода повышается. Например, если работа выхода чистого W (?> = 4,54эВ, то
у окиси вольфрама WO3 <р = 6, 15 эВ.
Если же / < (р и на поверхности возникает слой положительно заряженных
адатомов, то работа выхода снижается, поскольку положительно заряженные ионы
частично компенсируют объёмный заряд электронного облака, окружающего металл.
Так, если для вольфрама ср = 4, 54 эВ, то работа выхода вольфрама, покрытого цезием
приближается к работе выхода цезия (ф = 1,81 эВ).
Миграция адатомов. Адатом непрерывно движется, хотя бы потому, что поверх-
поверхность, на которой он находится, непрерывно волнуется за счёт тепловых колебаний
составляющих ее частиц, и потенциальная энергия адатома U, наряду с постоянной
составляющей /, содержит осциллирующую функцию координат U:
Здесь / — теплота адсорбции, а величина U > О связана с локальными потенци-
потенциальными ямами. Если глубина локальной потенциальной ямы (max U), которую
мы обозначим С/я заметно больше кТ/2, то адатом существенную часть времени
будет проводить вблизи того или иного "хозяина", изредка перескакивая от одного
к другому. Характерное время жизни частиц в связанном состоянии определяется
формулой Френкеля:
{М G.2.1)
Здесь г ~ h/kT; h — постоянная Планка. Если амплитуда U ~ кТ, то адатом
скользит с тепловой скоростью вдоль поверхности, рассеиваясь на ее неоднородно-
стях и сталкиваясь с другими адатомами. Величину U% часто называют теплотой
миграции. Её величины обычно ~ 1 эВ.
Распространение совокупности адатомов по поверхности представляет собой диф-
диффузионный процесс, который можно характеризовать коэффициентом диффузии Ds.
Если степень покрытия в <С 1, то множество адатомов по их свойствам можно
рассматривать как двумерный газ, близкий к идеальному. Если же значение в
соизмеримо с единицей, то начинается "конденсация" этого газа с образованием
плотных скоплений — пятен.
Следует также иметь в виду, что при достаточно высокой температуре адатомы
могут диффундировать в толщу твёрдого тела и, наоборот, из объёма тела на его
поверхность (это происходит, например, в керамике LaBe, которая используется как
термоэмиттер электронов при Т > 1500°С).
1) Точнее, электрон из зоны проводимости или валентной зоны переходит на локальный
уровень хемосорбированной частицы.
12*
356
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Десорбция адатомов. Опыт показывает, что наряду с нейтральными атомами
могут испаряться также положительно и отрицательно заряженные ионы. Физиче-
Физическая причина десорбции проста и связана с тем, что, находясь на поверхности,
адатом испытывает случайные толчки не только вдоль поверхности (о чем говорилось
выше), но и по нормали к ней. В некий момент сила нормального воздействия
может достигнуть такой величины, что адатом получит энергию, достаточную для
преодоления энергии связи 1. Можно показать, что время жизни адатома также
должно подчиняться уравнению Френкеля:
г = r0 exp <^ -
Здесь величина то та же, что и в G.2.1). О масштабах величин дают представление
следующие оценки времени жизни т, вычисленные для комнатной температуры
(табл. 7.2).
Таблица 7.2
Теплота
адсорбции /, эВ
т, с
0,004
1-103
0,065
ью-12
0,174
1 • Ю-10
0,65
2.10-2
0,87
1-Ю2
1,3
4-109
Таким образом, видно, что при теплоте адсорбции > 1 эВ время жизни адатома
становится очень большим.
Поверхностная ионизация. Отметим еще одну специфическую форму взаимодей-
взаимодействий атомов (и не только их) с поверхностью ТТ. Это так называемая поверхностная
ионизация, при которой атом, упавший на поверхность ТТ отражается в виде иона.
Это явление находит разнообразные применения. Так существуют ионные двига-
двигатели, в которых ионизация рабочего тела осуществляется при контакте с нагретой
пластинкой. Обычно это цезий, который, попав на поверхность вольфрама, десорби-
руется с нее преимущественно в виде ионов. Это объясняется тем, что работа выхода
вольфрама (~ 4, 5 В) больше потенциала ионизации атомов цезия (/ = 3,89 В). По-
Поэтому энергетически более выгодной является эмиссия положительных ионов Cs+.
При поверхностной ионизации энергия, необходимая для отрыва электрона от атома,
берется от нагретой пластины. Поверхностная ионизация, или, точнее, положитель-
положительная поверхностная ионизация, в принципе происходит при любом соотношении / и (р,
но в случае I ^ (р она оказывается малоэффективной.
Наряду с положительной поверхностной ионизацией существует отрицательная
поверхностная ионизация, которая может быть значительной, если сродство атома
к электрону S соизмеримо с работой выхода.
От эффективности положительной поверхностной ионизации можно судить по
приводимой здесь таблице, в которой указаны в эВ работы выхода (р и потенциалы
ионизации /.
Таблица 7.3
Вещество
Ч>
Вещество
I
Nb
3,99
Li
5,39
Mo
4,2
Na
5,14
Та
4,13
К
4,34
W
4,54
Rb
4,18
Re
4,98
Cs
3,89
Pt
5,4
MoSi2
5,0-6,0
H2O
6,1
La
5,61
Hg
5,5
Ba
5,81
Al
5,98
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела
357
Степень ионизации а идущего от поверхности ТТ (эмиттера) потока, определяет-
определяется формулой Саха-Ленгмюра
Щ 1
па 2
кТ
Здесь Т — температура эмиттера. Отсюда видно, что для увеличения а надо по-
понижать его температуру. Но это будет снижать скорость десорбции оказавшихся,
например, на W атомов (ионов) Cs.
Из-за присутствия Cs будет уменьшаться ср, и таким образом ионизация может
прекратиться. Оптимальная Т для пары W-Cs ^1500-1700 К.
7.2.2. Взаимодействие частиц надтепловой энергии с поверхностями. Свой-
Свойства функций Sa/p(y, х, t|v/, Xх, t) сильно зависят от энергии падающих частиц.
Поэтому интервал возможных значений энергий естественно разбить на ряд диа-
диапазонов. Мы выделим три диапазона: низких энергий (г < 0, 1 эВ), средних AэВ
< гр < 10 эВ) и высоких (гп > 50-100эВ).
Частицы низких энергий не в состоянии произвести с заметной вероятностью
необратимых повреждений решетки, и поэтому здесь основной интерес представляют
функции Sp/p. Эти функции в указанном диапазоне сравнительно слабо зависят
от энергии частиц, хотя сильно зависят от температуры поверхности. Как прави-
правило, падающая медленная частица взаимодействует сразу с большой совокупностью
частиц твёрдого тела. Иными словами, процесс в этом диапазоне энергий носит
принципиально коллективный характер.
Здесь обнаружились весьма любопытные явления. Так, несмотря на казалось бы
неизбежную шероховатость поверхностей монокристаллов на атомарном уровне, уда-
удалось в отдельных случаях реализовать практически зеркальные отражения падающих
частиц. Такое отражение наблюдается, например, при взаимодействии потоков гелия
с монокристаллическими поверхностями разных металлов (рис. 7.2.2а). Появление
на поверхности адсорбированных частиц и различного рода дефектов, а также повы-
повышение температуры поверхности, размывает отраженный пучок. Кроме гелия почти
столь же зеркально могут отражаться пучки водородных молекул. Однако другие
атомы и молекулы отражаются существенно более диффузно (рис. 7.2.26).
Для характеристики взаимодействия частиц с поверхностью часто измеряют
так называемый коэффициент аккомодации энергии од, который просто определить
в эксперименте. Этот несколько архаичный в наше время параметр был введен
Кнудсеном с помощью соотношения:
од = Нт
G.2.2)
Здесь гп — средняя энергия падающих частиц; г0Т — средняя энергия отраженных
частиц; гст — средняя энергия этих же частиц, соответствующая температуре стенки.
В табл. 7.4 приведены значения од для разных газов на вольфраме.
Таблица 7.4
тст, °к
113
193
303
Не
0,0137
0,0148
0,0166
Ne
0,049
0,042
0,045
Аг
0,47
0,34
0,27
Кг
0,74
0,57
0,46
Хе
0,93
0,85
0,77
358
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
-30-20-10 0 1020 3040 50 60 70 8090
Угол рассеяния, град
-30-20-10 0 1020 3040 50 60 70 8090
Угол рассеяния, град
-30-2040 0 1020 3040 50 60 70 8090
Угол рассеяния, град
Рис. 7.2.2. Угловое распределение атомов,
рассеянных кристаллическими поверхно-
поверхностями: а — рассеяние атомов гелия при
разных температурах поверхности (грань
111) монокристалла серебра; б — рассе-
рассеяние атомов ксенона при различной тем-
температуре поверхности монокристалла се-
серебра, в — рассеяние атомов ксенона при
различных углах падения на поверхность
монокристаллического серебра (стрелками
указаны углы зеркального отражения)
Из таблицы видно, что значение од может быть очень мало, и это находится
в согласии с малой вероятностью прилипания Не в указанном диапазоне температур.
Наоборот, те газы (Кг и Хе), которые имеют в данном диапазоне температур веро-
вероятность прилипания, близкую к единице, имеют близкий к единице и коэффициент
аккомодации.
Адсорбция и отражение быстрых ионов и атомов (ги ^> Eq). В диапазоне
средних энергий AэВ < ги < ЮэВ), когда кинетическая энергия ги падающей
частицы соизмерима с энергией связи атома (иона) в решетке Eq, необходимо учиты-
учитывать огромное количество факторов. Поэтому мы не будем на них останавливаться,
а перейдем к большим энергиям, когда ги ^> Eq 0, т.е. ги > 100эВ. Общие черты
происходящих здесь процессов были выяснены с помощью "динамического" метода.
В этом методе поверхность облучается короткими импульсами ионов и одновременно
1) Нужно отметить, что применяемые здесь термины "малые", "средние" и "большие"
энергии не совпадают с теми, что используются при исследовании взаимодействия ионных
потоков с поверхностями. Поэтому мы вынуждены в этом и следующем пунктах пользоваться
разными терминами.
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела 359
проводится анализ частиц, идущих от поверхности. Изучение запаздывания прихода
частиц показало, что следует различать три группы частиц:
1) собственно отраженные частицы, которые приходят с минимальным запаздыва-
запаздыванием и достаточно большой энергией, соизмеримой с гп;
2) испаренные частицы, представляющие собой результат десорбции прилипших
к поверхности бомбардирующих частиц;
3) диффундированные частицы, которые образовались в результате проникнове-
проникновения первичных частиц вглубь приповерхностных слоев и затем за счёт диффу-
диффузии вышли на поверхность и десорбировались.
Экспериментальный и теоретический анализ показывает, что при ги ^ 200 эВ
процесс отражения легких ионов от поверхности в первом приближении можно
рассматривать как парное столкновение этих ионов с атомами (ионами) поверхности.
Слова "легкие ионы" подразумевают, что их масса Мп < М$ — массы частиц тела.
Если падающий ион "легкий", то, столкнувшись с "тяжелой" поверхностной частицей,
он отскакивает от нее. Если же, наоборот, масса Мп > Мо, то падающий ион
увлекает за собой частицу поверхности, и в этом случае процесс взаимодействия
быстро приобретает коллективный характер, так как в нем начинают участвовать
многие частицы тела. Поэтому, в частности, коэффициент отражения легких ионов
значительно выше, чем тяжелых.
При столкновении падающей по нормали к поверхности частицы с массой Мп
и энергией ги с неподвижной частицей Mq максимальная энергия отраженных частиц
4ах будет равна
е' -М°~Мпс -us G23)
Этот случай реализуется при таком прицельном расстоянии, когда угол между
начальной и конечной скоростями падающей частицы равен тг/2.
Примером экспериментальных данных, выполненных при разных соотношениях
Мп/Мо могут служить энергетические спектры ионов Rb и Cs, отраженных от
поверхности Мо 0 (рис. 7.2.3а). Видно, что спектр ионов Rb+ простирается в область
энергий более 200эВ, что находится в хорошем согласии с G.2.3), если учесть, что
для пары Мо + Rb+ ц = 0, 12, а Еп в данном случае равна 2кэВ. В то же время
энергетический спектр Cs+ весь сжат в области малых энергий < 50 эВ, поскольку
упавший ион взаимодействует с целой группой атомов тела. Если предположить,
что падающие частицы отражаются только от первого слоя атомов поверхности, то
можно показать, что функция распределения отраженных частиц имеет вид
{o 1-Г'^/- G.2.4)
L rain ^ max*
Таким образом, в рамках модели парных столкновений функция распределения
должна иметь вид "столика", и тенденция к этому хорошо видна в эксперименте при
достаточно больших \± (см. рис. 7.2.36). Однако наличие в этих спектрах большого
числа частиц малой энергии однозначно указывает на роль коллективных процессов
даже при Мп < Мо.
В настоящее время исследование энергетических спектров рассеянных первичных
ионов превращается в мощный инструмент изучения химического состава поверхно-
поверхностей (метод СИР — спектроскопия ионов рассеяния).
1) Напомним, что относительные атомные массы Re, Cs, Mo соответственно равны 85,5,
132,9 и 95,5.
360
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
., отн. ед.
а 0 50 100 150 е7, эВ
N
О
1
\ 1
1 I
А1
t
0,2
0,4
0,6
0,8
е'/еп
б 0 50100250550 1000 1450 е7, эВ в
Рис. 7.2.3. Энергетические распределения отраженных ионов: а, б — отражение от поверхности
молибдена первичных ионов с энергией 2кэВ, падающих по нормали; в — отражение ионов
Не+ с энергией 1.5 кэВ от поверхности окиси алюминия
Моделирования на компьютерах и прямые эксперименты показали, что в за-
зависимости от сорта ионов и облучаемого тела отражение происходит от разного
числа кристаллических слоев. В таблице 7.5 приведены характерные данные при
бомбардировке ионами с энергией 2,2 кэВ плоскости @01) меди.
Обращает на себя внимание про-
Таблица 7.5 никновение ионов Не+ на большую
глубину. Это обстоятельство приво-
приводит к тому, что внутри облучаемо-
облучаемого образца может происходить скап-
скапливание Не в микропузыри, кото-
которые, лопаясь, отшелушивают чешуй-
чешуйки бомбардируемого материала (про-
(процесс блистеринга).
До сих пор, говоря об отраженных
тяжелых частицах, мы не касались
их зарядового состояния. Как показывают эксперимент и качественные соображения,
доля ионов в отраженном потоке тяжелых частиц существенно зависит от соот-
соотношения потенциала ионизации отражаемого атома / и работы выхода мишени (р.
Если I > (р, что имеет место, например, при бомбардировке ионами благородных
газов металлов, доля заряженных ионов очень мала (^ 1%). Наоборот, если / <
< (р, то отраженный поток будет состоять практически только из положительно
заряженных ионов. Наглядной демонстрацией этого могут служить опыты, в которых
ионы щелочных металлов (например, К или Cs) бомбардировали поверхность нака-
накаленного вольфрама. В этом случае полный поток отраженных заряженных частиц
был практически равен падающему потоку ионов.
7.2.3. Распыление поверхностей [165]. В случае, если энергия падающих
частиц превышает энергию связи Eq частиц твёрдого тела, то при ударе о поверх-
Номер слоя п
1
2
3
Е(п>з)
Падающий ион
Си+
1
0
0
0
Аг+
0,23
0,39
0,24
0,13
Ne+
0,27
0,27
0,21
0,25
Не+
од
од
0,04
0,76
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела
361
ность они начинают "распылять" ее, т. е. выбивать атомы, ионы или небольшие
комплексы. Здесь мы будем рассматривать только распыление чистых поверхностей
ионами. Впервые такое распыление наблюдалось на катоде газоразрядной трубки
(Гроув, 1852 г.), и поэтому его называют часто катодным. Продукты распыления
представляют собой в подавляющей массе нейтральные атомы, тогда как доля ионов,
как правило, не превосходит 1%. Распыление поверхностей ионами имеет большое
значение как для технологий, так и для самих плазмодинамических систем, посколь-
поскольку во многих случаях именно оно ограничивает их ресурс.
Рис. 7.2.4. Схема зависимости коэффициента рас-
распыления от энергии бомбардирующих ионов. I —
область отсутствия распыления, II — переход-
переходная область, III — линейная область, IV — об-
область максимального коэффициента распыления,
V — область убывания коэффициента распыле-
q е* е е е еп ния с ростом энергии частиц
I
II
III
/ IV
V
а»
Основной характеристикой распыления ионами является коэффициент распыле-
распыления
Np'
G.2.5)
который характеризует количество эмит-
тируемых распыленных атомов 0 на один
упавший ион. Типичный вид зависимости S
от энергии гп падающих ионов изображен
схематически на рис. 7.2.4. На рисунке вы-
выделено пять областей. В области I распыле-
распыление отсутствует. Область II — окрестность
порога распыления, г* ~ 30 эВ. В области
III коэффициент S с большой степенью точ-
точности растёт линейно, причём характерные
значения е\ ~ C0—50) эВ, е^ ~ 0, 5 кэВ. Да-
Далее рост замедляется, проходит через мак-
максимум в области IV и в области V (vu ~
~ 108 см/с) обычно начинается падение S.
Прежде чем переходить к конкретным
характеристикам распыления в каждой из
указанных областей энергий, сделаем одно
общее замечание. На первый взгляд может
показаться, что физическая картина процес-
процессов, ответственных за распыление, проста
и легко поддается теоретическому анализу.
Однако это совсем не так, и механизм распыления оказывается весьма сложным.
Распыление само по себе является в известном смысле побочным и очень слабым
эффектом в общей картине взаимодействия энергичных частиц с поверхностью,
о чем говорит хотя бы тот факт, что энергия, уносимая выбитым атомом, обычно
Рис. 7.2.5. Расчётные траектории движе-
движения иона иридия с начальной энергией
50кэВ и каскадов смещенных атомов, воз-
возникающих в кристалле окиси бериллия;
о — место остановки атома кислорода; • —
место остановки атома бериллия; А — за-
замещающее столкновение
1) Это определение естественно в тех случаях, когда речь идет о распылении простых
веществ. В случае распыления сложных веществ (изоляторов) удобнее пользоваться массо-
массовыми характеристиками типа S = Am/(ji), где j% ~ плотность ионного тока, Am — масса,
распылённая в единицу времени.
362
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
составляет менее 1% энергии падающей частицы. Основным же процессом при
взаимодействии быстрого иона с поверхностью твёрдого тела является разрушение
решетки в приповерхностном слое.
Общее представление о происходящих явлениях можно себе составить по
рис. 7.2.5, на котором изображена рассчитанная на машине модельная картина
движения иона иридия с гп = 50 кэВ в двумерной кристаллической решетке. Из этого
рисунка видно, что процесс распыления действительно является побочным. Обра-
Обращает также на себя внимание наличие длинных прямолинейных участков движения
выбитых частиц. Эти участки образуются за счёт движения частиц между атомными
слоями (эффект шкалирования). Подвергаемый облучению приповерхностный слой
является существенно неравновесной системой с высокой подвижностью частиц, что
способствует образованию при бомбардировке, в частности, экзотических структур
типа изображенных на рис. 7.2.6 0. Попытки создать метод расчёта коэффициента
распыления S предпринимались неоднократно, но до последнего времени они имели
очень ограниченную ценность, так как не учитывали всей сложности процессов,
приводящих к распылению. Наиболее эффективные результаты в этой области дают
систематизация экспериментальных данных и численные расчёты на компьютерах.
73Ш
Рис. 7.2.6. Фотографии поверхности монокристалла меди, подвергнутого бомбардировке иона-
ионами Аг с энергией 40кэВ
Распыление вблизи порога. Такой
порог существует, поскольку для каж-
каждой пары ион-поверхность коэффици-
коэффициент распыления быстро убывает при
приближении к некой энергии ?0- Для
ряда пар можно считать, что вблизи
порога распыления
S~(en-e0)n, G.2.6)
где п ~ 2—3. При одних и тех же па-
падающих ионах, как правило, го растёт
с увеличением теплоты возгонки мише-
мишени. Экспериментальные оценки ?q для
ряда пар приведены в таблице 7.6
Таблица 7.6
Ион
Мишень
Be
А1
Ti
Си
Mo
W
Re
Ar+
15
13
20
17
24
33
35
Xe+
15
-
-
15
-
30
30
Hg+
-
18
25
20
-
30
35
Cs+
-
-
-
16
-
16
-
l) Но наряду с этим распылением при соответствующих условиях (в частности при больших
углах падения) можно полировать поверхность ТТ (см. ниже).
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела
363
Пороги распыления диэлектриков заметно выше порога распыления металлов.
Область средних энергий (ги ~ (О, 1— 5)кэВ). На рис. 7.2.7 приведены характер-
характерные зависимости скорости распыления для разных пар ион-мишень. Здесь обращают
на себя внимание следующие моменты:
200 400 600 800 еп,эВ
S,
1,5
1,0
0,5
атом
ион
/
У
/
/
ч
200 400 600 800?п,эВ
10 20 30 40 50 еП5кэВ
Рис. 7.2.7. Коэффициенты распыления меди (а) и молибдена (б) ионами благородных газов.
Коэффициент распыления плавленого кварца ионами ксенона (в)
- зависимость S(en) близка к линейной практически во всех случаях, если
50 эВ <Еп< 500 эВ;
- в области Еи > 800эВ функция S(eu) разумно аппроксимируется зависимостью
л
- коэффициент распыления диэлектриков обычно меньше коэффициента распы-
распыления для металлов.
Как уже отмечалось, процессы, приводящие к распылению весьма сложны. Это
наглядно проявляется, в частности, в зависимости S от атомных номеров падающих
ионов Zn и мишени Zq на рис. 7.2.8. Видно, что S(en, Zn, Zq) является квазиперио-
квазипериодической функцией как Zu, так и Zq. Периодичность S в зависимости от Zq прежде
всего определяется периодичностью энергии связи поверхностных атомов.
Коэффициент распыления существенно зависит также и от ряда других пара-
параметров. Характерная зависимость коэффициента распыления от угла падения ионов
приведена на рис. 7.2.9. Видно, что с увеличением угла падения коэффициент
распыления сначала быстро возрастает:
364
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Ag
50
40
к
I»
В 20
10
2,4
я
о
м/и
, ато
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
Be
с.
Аг+
А1С
IP
TI
•
Si
Си
f
Ni|
*Ge
Zr<
Pd,
/
Ru
?Mo
Nb
Hf '
Аи
т
ptl
Rejb
rw
Та
s |
U
•
>Th
10 20 30 40 50 60 70 80 90 Z
-У
Ag
Си
Та 4J
f
Be С ONeMgSiS ACaTi CrFeNiZnGeSeKrSrZr MoPdCdSnTeXeBaCeNdSmGdDyYbHfW Pt HgPb
LI В N Na Al P C1K ScVMnCoCuGaAsBrRbY Nb Agin Sb I CsLaPr Ед Та Аи Tl BI
б 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Z
Рис. 7.2.8. Зависимость коэффициента распыления мишени от атомного номера распыляемого
элемента при облучении ионами аргона с энергией 45кэВ (а). То же при облучении мишеней
из Ag, Си, Та ионами 68 элементов (б)
а затем начинает падать, приближаясь
к нулю. Причем чем больше энергия
ионов, тем при больших углах начинает-
начинается убывание S. В этой области скользя-
скользящего падения пучка и наблюдается хо-
хорошая полировка.
При распылении монокристаллов на-
наблюдается сильная зависимость выхо-
выхода распыленных атомов от направления
кристаллографических осей. Коэффици-
Коэффициент распыления зависит также от кри-
кристаллографической плоскости, на кото-
которую падают ионы.
На рис. 7.2.10 приведены энергетиче-
энергетические спектры распыленных атомов, вы-
выбитых из монокристалла меди ионами
криптона с энергией 80-1200 эВ. Функ-
Функция распределения атомов по энергиям
имеет вид
dN
'de' Г
и
J
р
1
<—1
^^
00 э1
W
си
ОУ
(
А
7
ОэВ
/
/
/
/
У
20
»—•—
ОэВ'
HI-
1,5
0,5
од
0 20 40 (р, град
Рис. 7.2.9. Типичная зависимость коэффици-
коэффициента распыления от угла падения (распыление
вольфрама ионами ртути)
ё
G.2.7)
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела
365
где В и W — постоянные коэффициенты. Угловое распределение распыленных
частиц при достаточно малых энергиях (еи < 1 кэВ) сплющено и заметно отличается
от закона косинуса (рис. 7.2.11). При увеличении энергии частиц сплющенность
полярной диаграммы уменьшается..
dN
25
20
15
10
5
0
Г\
'„%•
0
5Озоо
00
' Л50
80
Си (ПО]
<110>,0
=~—-__
-Кг+
12
10
20
30
40 е',эВ
J
*
Си A1
<110>
у-——
Си A1
60°
О^Кг1
,о
1
1
а - — — ¦- -,— бО 200 400 600 800 1000 еп, эВ
Рис. 7.2.10. Энергетические спектры (а) и средняя энергия (б) атомов, выбитых из монокри-
монокристалла меди ионами криптона
Рис. 7.2.11. Угловое распределение атомов, выбитых ионами Hg с различной энергией из Мо
и Ni
7.2.4. Эмиссия электронов с поверхностей [167, 168]. Эмиссия электронов
может быть спонтанной (термоэмиссия), а может вызываться самыми различными
факторами: электрическими полями (авто- или холодная эмиссия), электромагнит-
электромагнитным излучением (фотоэмиссия), бомбардировкой поверхности электронами (вторич-
(вторичная электронная эмиссия) и ионами (ион-электронная эмиссия), протекающим током
(взрывная эмиссия). В реальных условиях эффективность эмиссии сильно зависит
от состояния поверхности, которая в свою очередь во многом определяется окру-
окружающей средой. В результате эмиссия электронов в исследуемой установке может
существенно отличаться от табличной.
Термоэмиссия. Эффективные катоды.
Термоэмиссия, как известно, объясняется тем, что те электроны в объёме ме-
металла, которые находятся вблизи его поверхности и получили за счёт столкновений
достаточно большую скорость в направлении, перпендикулярном поверхности, ока-
оказываются способными преодолеть силы притяжения к металлу и покинуть его.
Термоэмиссии металлов описывается законом Ричардсона-Дешмана
%]¦ G-2.8)
366 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Здесь А— постоянная Ричардсона, (р — работа выхода. Эту формулу можно вывести
термодинамически, рассматривая равновесие между вырожденным электронным га-
газом внутри металла и классическим электронным облаком вблизи металла.
В случае бария, ср = 2,5эВ, А = 60А-см2/град2, для молибдена ср = 4,ЗэВ, А =
= 60А-см2/град2, для вольфрама ip = 4,6эВ, А ~ 100А-см2/град2.
Стремление получить эффективные эмиттеры с низкой работой выхода привели
к созданию четырех типов катодов.
Катоды сложного состава со сверхнизкой работой выхода. К ним относятся
так называемые оксидно-бариевые катоды, которые представляют собой сложные
системы окислов Ва, Sr, Ca. Их характерная работы выхода составляет 1,0-1,2 эВ.
В то же время благодаря тому, что Ва и другие металлы связаны кислородом,
скорость их испарения невелика. При рабочей температуре ~ 900°С они могут
работать тысячи часов, эмиттируя токи плотностью до 1 А/см2. К сожалению, они
легко "отравляются", в частности, на воздухе. Физические процессы в этих катодах
сложны, и мы не будем их касаться. Рекордными с точки зрения малости работы
выхода являются катоды фотоэлементов, сделанные на основе Ag-0-Cs. В них
работа выхода достигает 0,6 эВ. Однако это очень "нежные" поверхности.
Стойкие катоды сложного состава с малой работой выхода. Примером эмит-
эмиттера этого типа является, в полном смысле слова, знаменитый гексаборид лантана
LaBe с высокими механическими характеристиками. Работа выхода LaBe в рабочем
дипазоне температур (до 1500°С) ip « 2,6эВ, постоянная Ричардсона ~ 50А/см2.
Катод из гексаборида лантана может работать на воздухе и сохраняет свои свойства
при хранении в агрессивных средах. Характерные значения плотности тока j соот-
соответственно равны: 0,3 А/см2 при Т = 1300°С; 1,0 А/см2 при Т = 1400°С и 10 А/см2
при Т = 1600°С. Срок службы при 1600° С составляет не менее 5000 ч.
Катоды с "восстанавливаемой" поверхностью (пленочные катоды). Наиболее
отчётливо принцип пленочных катодов реализован в так называемых металлокапил-
лярных катодах (Л-катод). По мере десорбции, активный материал (например, Ва)
диффундирует из специальной коробочки через пористую диафрагму на эмитирую-
эмитирующую поверхность. По существу к этому же классу относятся катоды из торирован-
ного или лантанированного вольфрама. Только здесь пленка поддерживается за счёт
диффузии активной присадки (La, Th) из объёма катода.
Полые катоды. Такой катод — по существу уже некое газоразрядное устройство.
Отличительная особенность его — катодный блок, представляющий собой полость
с малым отверстием (рис. 7.2.12). Если внутренняя часть полости является активным
эмиттером, то при весьма малой скорости испарения удается получать большие токи
за счёт "проваливания" в полость электрического поля и образования там плазмы,
собирающей поток электронов со всей поверхности полости.
Автоэлектронная и взрывная эмиссии. Если вблизи рассматриваемой поверх-
поверхности появляется значительное электрическое поле, вытягивающее электроны, то оно
влияет на эмиссионные свойства этой поверхности. Поля средних масштабов (~ 104-
105 в/см) приводят к количественному изменению тока эмиссии (поправка Шоттки),
а большие поля (^ 106В/см) дают качественно новое явление холодной или авто-
автоэлектронной эмиссии. Причины указанных эффектов легко понять, если изобразить
картину распределения потенциальной энергии электрона в системе (рис. 7.2.13).
Видно, что появление внешнего электрического поля способно качественно по-
повлиять на выход электронов из металла. Действительно, если при Е = 0 толщина
потенциального барьера, окружающего "яму с электронами", неограничена, то при по-
появлении поля (Е < 0) барьер становится тем тоньше, чем больше Е. Благодаря этому
появляется возможность "туннельного" просачивания электронов непосредственно из
всей "ямы" (а не только из окрестности уровня Ферми) во внешнюю часть простран-
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела
367
1 2
Металл $; А ¦
Вакуум
Рис. 7.2.12. Схема полого катода: 1 — нагре-
нагреватель, 2 — корпус, 3 — активный эмитирую-
эмитирующий слой, 4 — полость, 5 — эквипотенциали
Е-поля
Рис. 7.2.13. Потенциальный барьер на грани-
границе металл-вакуум при отсутствии Е-поля (а),
при небольшом (б) и сильном поле (в)
ства. Такое просачивание, очевидно, может происходить при Т = 0, и поэтому этот
тип эмиссии часто называют холодной эмиссией, хотя наиболее распространенным
термином для нее является "автоэлектронная эмиссия". Выражение для плотности
тока автоэлектронной эмиссии было получено Фаулером и Нордгеймом. Оно имеет
вид
|^j?pJ G.2.9)
Здесь (р — работа выхода; а =
еЕ
а =
; Ъ = —\[Ъп. Функция 9(а) — функ-
8тгш бп
ция Нордгейма, которая может быть аппроксимирована выражением (И. И. Бейлис)
'1 -а"
9(а) = 1 - а211 - 0, 85 sin f-Ц^) }
О порядках величин, даваемых формулой G.2.9), можно судить по следующим
значениям: при (if = 4, 5 эВ и Е = 3 • 107 В/см плотность тока j = 0,03 А/см2.
Экспериментальная проверка уравнения Фаулера-Нордгейма показывает, что на
опыте существенная эмиссия с холодных электродов наблюдается при полях ~
~ 105-106В/см, тогда как теория требует для получения тех же плотностей токов
полей в 10-100 раз больше. Причина этого различия во многом оказалась свя-
связанной с наличием микроскопических острий, их взрывом под действием больших
токов и влиянием образующейся плазмы как на усиление поля около эмиттера,
так и на эмиссию электронов этой плазмой. В этом режиме эмиссия называется
"взрывной" (Г. А. Месяц). На микрофотографиях было обнаружено также весьма
своеобразное явление роста на поверхности холодного катода тонких "усов". Этот
рост обязан "текучести" поверхности металла под действием сильных электрических
полей. Учёт острий на электродах и учёт появления плазмы позволяет согласовать
теорию Фаулера-Нордгейма и эксперимент.
Если создать электрическое поле у нагретого термоэмиттера, то влияние поля
на ток эмиссии можно заметить и при относительно небольших значениях Е. Это
явление называется эффектом Шоттки, учитывается с помощью так называемой
поправки Шоттки в уравнении Ричардсона-Дешмана:
= AT2exp{-
кТ
G.2.10)
368 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Таким образом, эта поправка сводится к эффективному снижению работы выхода на
величину (—л/ёЁ).
Фотоэмиссия. До сих пор речь шла о влиянии электростатических полей на
эмиссию электронов. Остановимся теперь на другом крайнем случае — эмиссии
электронов под действием видимого и более коротковолнового излучения.
Фотоэмиссия электронов (внешний фотоэффект) пока играет скромную роль
в плазмодинамических системах. Однако со временем ее значение, по-видимому,
возрастёт, как в лабораториях в связи с ростом мощности источников света, так
и в условиях космического пространства, где фотоэмиссия под действием солнеч-
солнечного или лазерного излучения может стать источником электронов для решения
самых разных задач. Основные законы фотоэмиссии хорошо известны, и поэтому мы
ограничимся здесь лишь тем, что приведем экспериментальные значения квантового
выхода Y для ряда материалов.
о
Напомним, что hv = 1 эВ при Л = 12400А В видимой области квантовый выход
чистых металлов достаточно мал (~ 10~3-10~4). В то же время, используя сложные
катоды (Cs + О + Ag; Sb + Cs + О и др.), можно существенно поднять квантовый
выход. Так, кислородно-цезиевый катод имеет Y « 2—3%, а сурьмяно-цезиевый —
до 20-30%.
Вторичные эмиссии электронов.
Эмиссия под действием падающих электронов: вторичная электрон-
электронная эмиссия — ВЭЭ. Мы не будем касаться вопросов теории данных
взаимодействий, а ограничимся основными экспериментальными результатами.
Наибольшее количество экспериментальных данных относится к а — так называе-
называемому полному коэффициенту вторичной электронной эмиссии, измеренному при
нормальном падении пучка первичных электронов на поверхность. Поток вторичных
электронов (т. е. электронов, эмиттируемых поверхностью под действием падающего
пучка электронов) часто разбивают на три группы: упруго отраженные, неупруго
отраженные и истинно вторичные электроны [169],
Если а — общее количество электронов, эмиттируемых поверхностью под дей-
действием одного падающего электрона, то соответствующие количества для упругого
отраженных, неупруго отраженных и истинно вторичных электронов обозначаются
соответственно г, rj, 5. Очевидно,
сг = г + ту + 5. G.2.11)
Коэффициент неупругого отражения г] часто определяют как отношение числа
вторичных электронов с энергией больше 50 эВ к числу падающих первичных элек-
электронов. Таким образом, при ги < 50 эВ неупруго рассеянные электроны считаются
отсутствующими.
Типичные зависимости а от энергии первичных электронов гп для металлов
изоляторов изображены на рис. 7.2.14а. Видно, что значение а сначала нарастает
с увеличением энергии, а затем начинает падать. При этом абсолютные значения а
для диэлектриков значительно больше, чем для металлов (рис. 7.2.146). В области
малых энергий кривые а(еп), г(еп), 5(еп) для разных металлов и диэлектриков имеют
подобный вид (рис. 7.2.15).
Для большинства плазменных систем, связанных с взаимодействием электронов
с поверхностями принципиально важно условие: а < 1 или а > 1, т.е. является ли
поверхность поглотителем электронов или их источником. В связи с этим каждую
поверхность можно характеризовать двумя энергиями гп\ и ги2, при которых а = 1.
Эти значения будет соответственно называть первым и вторым порогом размножения.
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела
369
сг, отн. ед.
1,6
1,2
0,8
0,4
0 1
/
ь
Ge
*- —
К
Аи
— —
20
16
12
8
4
/
'/
¦—
¦-*-^.
-Слю
MgO
NaCl
да
Зеп,кэВ 6 0 12 еп,кэВ
Рис. 7.2.14. Полный коэффициент ВЭЭ при средних энергиях
(г, ё, г, отн. ед.
а, О, г
8 12 16 20 24 еп, эВ
Рис. 7.2.15. Зависимость составляющих вторичной электронной эмиссии от энергии падающих
электронов ЕП в области малых энергий
В таблице 7.7 приведены для ряда веществ значения ги\ и ги2, а также максимальные
значения ат и соответствующие им энергии
Обращает на себя внимание тот факт, что у диэлектриков первый порог размно-
размножения еп\ ~ 20эВ, что значительно меньше первого порога размножения металлов.
С этим связано также то, что аш для диэлектриков значительно выше, чем для
металлов.
Зависимости а и г от энергии падающих электронов для ряда поверхностей изоб-
изображены на рис. 7.2.16. Первый максимум кривой соответствует истинно отраженным
частицам.
Таблица 7.7
Вещество
Be
MgO
А12О3
Кварц
NaCI B0° С)
Li
С (графит)
Си
Мо
La
Та
W
Hg
Cm
3,4
20,0
1,5-4,8
2,1-4,9
17,0
0,5
1,0
1,4
1,2
1,0
1,3
1,4
1,6
ерш, ЭВ
2000
1500
350-1300
400-440
1000
75
300
700
600
500
700
700
700
?PU ЭВ
16
20
30-50
20
-
-
200
200
200
200
200
?р2, ЭВ
4000
4000
4000
2300
3200
-
-
3000
3000
2000
2000
2400
К сказанному следует добавить, что изучение взаимодействия электронных пуч-
пучков с поверхностями породило целый ряд современных методов контроля структуры
370
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Рис. 7.2.16. Коэффициенты ВЭЭ для разных диэлектриков (а, б) и металлов (в) в области
малых энергий
и химического состава поверхностей. Среди них особое распространение получила
так называемая электронная оже-спектроскопия, основанная на изучении спектра
вторичных электронов, что позволяет определить атомарный состав поверхности ТТ,
рис. 7.2.17.
Эмиссия электронов под действием ионов. Если поток ионов падает на по-
поверхность, то, как правило, наблюдается эмиссия электронов, которую называют
вторичной электронно-ионной эмиссией. Оказалось, что существуют два механизма
вырывания электронов с поверхности вещества: потенциальное вырывание и кинети-
кинетическое.
При потенциальной эмиссии энергия, необходимая для вырывания электронов,
выделяется при рекомбинации иона на поверхности Если / — потенциал ионизации,
а (р — работа выхода, то необходимым условием потенциальной эмиссии является
условие
/ > 2е(р.
Действительно, для обеспечения заметной эмиссии подлетающий к поверхности ион
должен вырвать не один, а два электрона. Один из них идет на нейтрализацию иона
(в результате чего и выделяется энергия el), а второй уходит свободным. Поэтому
потенциальная эмиссия может наблюдаться лишь в случае, когда / достаточно велик
7.2. Процессы на поверхности твёрдого тела
371
,эВ
400
800 еп, эВ
Рис. 7.2.17. Типичный вид спектров вторичных электронов: а — схематический вид кривой
распределения вторичных электронов по энергиям A — электроны Оже; 2 — пики характери-
характеристических потерь); б — зависимость е^т от еП
либо (р очень мала. На рис. 7.2.18 приведены экспериментально снятые зависимо-
зависимости коэффициента потенциальной эмиссии j(sn). Обращает на себя внимание то
обстоятельство, что выход электронов практически не зависит от энергии падающих
ионов ?п.
/л
/''
i
(Чнаби)
У
Г/
1ПОТ
1кин
f I
<
A
/XAr+
^ (Ким)
выч) ^^
1пот =0,074
J
1 набл
1пот + Ккин
электрон/ион
0,20 -
0,15-
1
I одо
0,05 -
0 1000 2000 епэВ
Рис. 7.2.18. Энергетические зависимости наблюдаемых значений полного коэффициента вто-
вторичной электронной эмиссии 7набл, а также коэффициентов 7пот и 7кин для случая облучения
ионами Аг+ и атомами Аг чистой поликристаллической поверхности молибдена
Энергия большинства вторичных электронов меньше / — еф.
Потенциальная эмиссия с поверхности может быть вызвана не только ионами,
но и метастабильными атомами. При этом если энергия возбуждения Е ~ I, то
коэффициент эмиссии электронов может быть близок к коэффициенту электронно-
ионной эмисии.
372 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Кинетическая эмиссия обязана кинетической энергии частиц. Поэтому она может
наблюдаться в тех случаях, когда / < 2ф. Кинетическая эмиссия имеет чётко выра-
выраженный порог. На рис. 7.2.18 приведены экспериментальные кривые коэффициентов
вторичной эмиссии при бомбардировке чистой поверхности Мо ионами Аг+ и атома-
атомами Аг. Видно, что они отличаются постоянной составляющей, равной коэффициенту
потенциальной эмиссии. Энергетический спектр вторичных электронов лежит в об-
области г < 10 эВ.
7.3. Электронные пограничные слои
До сих пор мы говорили о процессах, происходящих непосредственно на поверх-
поверхности диэлектрика или проводника, соприкасающегося с плазменным или ионным
потоком. Теперь рассмотрим примеры ряда конкретных структур пограничных слоев,
согласующих параметры на стенке с параметрами в потоке.
В этом параграфе мы рассмотрим пограничные слои электронного масштаба
и учтем динамику ионов только в той степени, которая существенна для понимания
электронных слоев. Электронная компонента имеет три внутренних масштаба: деба-
евский радиус г и и электронный ларморовский радиус ре, а также длину свободного
пробега Ае О
VTe VTe /7 Q 1 \
ГВ = , ре = . G.3.1)
UJq UJ
Кроме этих масштабов реально всегда присутствует еще один — масштаб системы
или, точнее, масштаб неоднородности потока L. Для того чтобы можно было вообще
говорить об электронных пограничных слоях как о квазиавтономных объектах,
необходимо выполнение хотя бы одного из критериальных неравенств
^«1; ^«1; ^«1. G.3.2)
Li Li Li
При анализе конкретных ситуаций полезно знать отношение дебаевского радиуса
к ларморовскому. Учитывая G.3.1), имеем
rD ujHe 1 Я
Ре ^0 с V 4ТГШП
Стоящая справа величина есть отношение электронного аналога скорости Альфвена
к скорости света. Как правило это отношение мало. Так даже при п = 1011 см~3
величина го < Ре, если Н < 103Э. Ниже будем считать, что
rD < Ре-
Наряду с тремя внутренними масштабными параметрами важным — во многих
отношениях, является еще один параметр, который является своеобразным аналогом
числа Маха, и который можно назвать "внешним" параметром слоя. Его естественно
определить как отношение масштаба токовой скорости и± = j±/(en) поперёк слоя
к тепловой скорости электронов Уте ~ сте. Назовем его в честь Бунемана и Будкера
(см. п. 4.5.2) Бг^-параметром
Ви =
СТе
1) Во многих случаях приходится различать длины свободных пробегов по отношению
к столкновениям разных типов, но здесь мы не будем уточнять смысл Ае.
7.3. Электронные пограничные слои
373
Итак, как видно, имеется не менее четырех существенных безразмерных парамет-
параметров, и, следовательно, многообразие пристеночных электронных слоев очень велико.
Поэтому рассматриваемые ниже конкретные слои составляют малую часть существу-
существующих вариантов слоев, и их выбор для этих параграфов во многом субъективен.
Мы рассмотрим в данном параграфе только "бестоковые" слои (Ви —> 0). При-
Примеры токовых слоев (приэлектродных) будут приведены в связи с конкретными
системами — дуговыми и тлеющими разрядами, а также разрядами в коаксиальных
ускорителях со сплошными электродами в п. 7.6.2 и п. 7.6.6.
Кроме того, в данном параграфе мы будем пренебрегать объёмными столкнове-
столкновениями. Таким образом рассматриваемые нами электронные слои будут характеризо-
характеризоваться дебаевским радиусом го и электронным ларморовским радиусом.
Несмотря на сделанные достаточно жесткие ограничения, остаются три прин-
принципиально разных класса слоев. Они различаются ориентацией Е- и Н-полей по
отношению друг к другу и к "стенке".
Рис. 7.3.1. Схема потоков вблизи ДС: хо —
начальное положение электронов; fe\ — функ-
функция распределения падающих электронов; /е2 —
функция распределения упруго отраженных
электронов; /ез — функция распределения
вторично-эмиссионных электронов
а) Если Н-поле отсутствует (точнее, мало, так что ре ^> г в) или Н||Е, то вблизи
стенки возникает многократно уже упоминавшийся дебаевский слой (ДС),
который может быть вблизи как диэлектрической, так и проводящей стенки
(рис. 3.7.1).
б) В случае, когда Н перпендикулярно стенке, а Е — параллельно ей: однород-
однородный слой может возникнуть только около диэлектрической стенки. Этот слой
будем называть диффузным или "слоем пристеночной проводимости", так он
порождает новую форму неоклассической проводимости, обязанную рассеянию
электронов на стенке (рис. 7.3.5).
в) Если Н параллельно стенке, а Е перпендикулярно ей, то возникает "дрейфовый
слой", называемый часто слоем "магнитной изоляции". Модели слоев этого
типа рассматривались в п. 4.3.3. Обычно он реализуется около проводников,
по которым течёт ток, создающий касательное к поверхности магнитное поле
(п. 7.3.3).
7.3.1. Дебаевские слои на диэлектрических стенках [170]. Дебаевские слои
(ДС), которые практически всегда появляются около диэлектрических элементов,
соприкасающихся с плазмой, представляются настолько "надежными" структурами,
что во многих случаях остаются вне поля зрения исследователей. В результате этого
(как не парадоксально), мы знаем о поведении ДС на диэлектрических поверхностях
в реальных условиях значительно меньше, чем о поведении многих весьма экзотиче-
экзотических образований.
374 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Казалось бы, проблему ДС для диэлектрических поверхностей исчерпывают ри-
рисунок В. 1.3 и оценки по формуле (В. 1.1)
( аТТ^ Л
G.3.3)
которая следует из условия равенства ионного и электронного потоков, "прили-
"прилипающих" к стенке. В G.3.3) jin и jen — плотности нормальных потоков ионов
и электронов на поверхность, UD — модуль пристеночного ("дебаевского") скачка
потенциала, а — интегральный коэффициент вторичной электронной эмиссии.
Однако, во многих плазмодинамических системах (например в СПД) картина
несравненно сложнее. Во-первых, функция распределения электронов, падающих на
поверхность, существенно не максвелловская. Во-вторых, поверхности изоляторов
обычно негладкие. Это связано как с крупнозернистостью материалов изоляторов,
так и с их эрозией под действием энергичных частиц, которая приводит к обра-
образованию на поверхности макроструктур, которые на порядок больше толщин ДС,
оцененных по Уте и и;о. К этому следует добавить, что все указанные неровности,
как правило, содержат острые кромки и выступы. Наконец, в-третьих, электронная
компонента может содержать много частиц, для которых а(е) > 1 и здесь формула
G.3.3) просто теряет свой смысл.
Здесь мы ограничимся рассмотрением одномерных ДС на плоских диэлеткриче-
ских поверхностях. При этом будет предполагаться, что они образуются за счёт паде-
падения на поверхность бесстолкновительных ионного и электронного потоков, идущих
из квазинейтрального (плазменного) объёма с известными функциями распределения
fio(v) и /e(v). Наряду с этим будет учитываться также электронный идущий от
стенки поток, вызываемый вторичной электронной эмиссии (рис. 7.3.1).
Очевидно теория ДС должна строится на основе системы уравнений Власова,
если, разумеется, столкновениями в пределах ДС можно пренебречь:
—^ =0, е > 0;
1 °V G.3.4)
/\ф = — 4тге ( щ — \ fedv J .
и граничных условий типа G.1.21).
Стационарные дебаевские слои около диэлектрических поверхностей. Кон-
Конкретное рассмотрение ДС мы начнем со стационарных ДС около диэлектрических
поверхностей. Точнее, с ДС, которые не пронизываются электрическим током, так
что в стационаре сумма нормальных составляющих ионного и электронного потоков
к поверхности ТТ равна нулю
jin + jen =0. G.3.5)
ДС именно на диэлектриках интересны по ряду причин. В частности, у диэлек-
диэлектриков коэффициент вторичной электронной эмиссии (ВЭЭ), как уже отмечалось
в разделе 7.2, существенно выше, чем у металлов, и поэтому здесь легче достигается
критическое значение а = 1. Что касается стационарности, то это наиболее распро-
распространенный случай.
Всюду ниже мы ограничимся ДС на плоских гладких поверхностях, т. е. будем
считать, что толщина слоя ho удовлетворяет условиям
5 <С ho <С R.
Здесь 5 — масштаб шероховатости поверхности, a R — ее радиус кривизны.
7.3. Электронные пограничные слои
375
На рисунке 7.3.1 изображена функциональная схема рассматриваемых ДС. Ко-
Координату левой границы ДС обозначим через xq, координату поверхности ТТ будем
считать х = 0. В пределах ДС выделяются три электронных потока: 1 — поток,
идущий от хо, а её потенциал Фо = 0, он порождает поток вторичных электронов —
3; поток 2 — это поток малоэнергичных электронов, которые не достигают стенок,
если
mv
<eUn
Здесь Um[n — отрицательный потенциал в пределах ДС (если он есть).
Более адекватными, чем рис 7.3.1 являются фазовые диаграммы (x,v), изобра-
изображённые на рис. 7.3.2. На рис. 7.3.2а представлены траектории при а < 1. В этом
случае поверхность ТТ заряжена отрицательно и часть электронов (II) не достигает
этой поверхности. Штриховая линия разделяет траектории частиц, достигающих
поверхность, от траекторий, не достигающих стенки. На рисунке 7.3.26 изображена
фазовая диаграмма при а > 1. В этом случае стенка заряжается положительно,
и картинка существенно усложняется. Мы рассмотрим простейших случай, когда
энергия ионов достаточно велика, и все они достигают поверхности ТТ и там
рекомбинируют. Кроме того, потенциал в объёме слоя изменяется монотонно от нуля
по Фр = Uad > 0. Слои с такими свойствами будем называть "антидебаевскими"
(АДС). Нетрудно понять, почему при а > 1 (в АДС-режиме с монотонным ходом
потенциала) имеются также три потока электронов. Наряду с двумя потоками I и III,
которые были при а < 1, здесь появляется поток медленных вторичных электронов,
возвращающийся на положительно заряженную поверхность ТТ.
Рис. 7.3.2. Фазовые диаграммы динамики частиц: при а < 1 (а) и а > 1 (б)
Расчёт как ДС, так и АДС в стационарном режиме может быть произведен
по схеме, описанной в разделе 4.3. А именно, зная функции распределения ионов
и электронов, выходящих из квазинейтральной плазмы (рис. 7.3.2). В случае а < 1
считаем известными три функции
fi(v,X0), fe\(v,X0),
G.3.6а)
и по формулам D.3.6) сразу получаем зависимости этих функций от v и ф во всем
объёме слоя:
/г(у,ф), /ei(e,0), Ыу,Ф). G.3.66)
Зная зависимости первого потока на стенке от v
fe\(v,UD)
376
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
и оператор рассеяния S(v\v\), находим функцию распределения электронов (группа
3), идущих от стенки _
/еЗ = Sfe\(v,UD),
а тем самым и зависимость /e3(v, ф). Так будет в случае а < 1. Если же <т > 1, то
идущий от стенки расщепляется на два /ез и fey, первый из них покидает слой при
х = хо, а второй возвращается на стенку. Очевидно, раздел этих потоков происходит
при
mv
Определив все функции /е, в том числе и /г(у,ф), мы можем вычислить плотность
заряженных частиц и написать уравнение Пуассона
G.3.7)
dx2
и, соответственно с тем, что было сказано в разделе 4.3, найти зависимость ф от х
и трех постоянных С\, С^ и пристеночного скачка Ud
G.3.8)
U=o = 0. G.3.9)
Эти постоянные определяются граничными условиями
ф(х0) = 0; ф'(хо) = О; jin + ^ie
Мы не будем приводить конкретных расчётов ф(х) и определение Ujj. Это, как
правило, весьма громоздкие выкладки, требующие к тому же привлечения компью-
компьютера.
Примеры результатов расчётов п(х) и ф(х) при малых и больших Те приведены
на рисунках 7.3.3 и 7.3.4.
Рис. 7.3.3. Распределение плотности элек-
электронов в пристеночном слое: при а < 1
(кривые 1, 2, 3) и при а > 1 (кривые 4, 5)
Рис. 7.3.4. Распределение потенциала
плазмы в пристеночном слое: при а < 1
(кривые 1, 2, 3) и при а > 1 (кривые 4, 5)
Отметим, что в случае, если fe\(v,xo) и /ез(^, 0) — максвелловские функции
с одной и той же температурой, а а = const < 1, мы получим уравнение баланса
в традиционной форме G.3.3). Но если хотя бы одно из указанных условий не
выполнено, то уравнение баланса непосредственно не выражается через граничные
7.3. Электронные пограничные слои 377
условия, т.е. значение jin и jen и энергию частиц на границе слоя (х = хо). В этом
случае требуется полное решение сформулированной выше задачи.
Условие исчезновения ДС при контакте максвелловской плазмы с диэлек-
диэлектрической стенкой. В предыдущем подпункте коэффициент ВЭЭ а предполагался
постоянной. Однако, как видно на рисунке 7.2.1, величина а для диэлектриков
достаточно сильно зависит от гп — энергии падающих электронов. Эту зависимость
в пределах О < гп < е*, где е* — первый порог размножения (сг(е*) = 1), можно
аппроксимировать линейной функцией
<7(е) = <7о + A-<7оLг- G.3.10)
Учитывая G.3.6), ФРЭ /г падающих электронов непосредственно перед стенкой
имеет вид
М») = *0е (У»2 + — )¦ G.3.11)
V т )
Следовательно, поток электронов, оседающих на стенке будет равен
-a(e))vfrdv, G.3.12)
или ^
G.3.13)
Заметим, что для существования классического ДС эта величина должна быть равна
по модулю току ионов jin, приходящих на стенку
jeT = jin-
Предполагая, что Fq — одномерное максвелловское распределение
получаем
Таким образом, классический ДС в одномерном случае может существовать только
при
кТе<е*. G.3.16)
В трёхмерном случае условие более жесткое
кТе<^е\ G.3.17)
Энергия, передаваемая электронами стенке в стационарном режиме. Элек-
Электрон, падая на стенку, приносит на нее свою кинетическую и потенциальную (работа
выхода — еф) энергии. В свою очередь, выбитая частица уносит работу выхода
и некоторую кинетическую энергию.
Простые вычисления показывают, что при максвелловских распределениях элек-
электронов и ионов поток энергии в стенку
q = ие {[{2кТе + ефе) + BЩ + ефг)} - а [(ёе + ефе)] + A - аI} . G.3.18)
378
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Здесь
eUp]
kTe)
G.3.19)
это поток первичных электронов, достигающих стенки, ефе и ефг — работы выхода
соответствующих частиц, ее и гг — кинетические энергии, с которыми электроны
и ионы покидают дебаевский слой, / — энергия рекомбинации электрона и иона на
поверхности ТТ.
Численное моделирование ДС. Были проведены численные расчёты нестационар-
нестационарной системы уравнений G.3.4) с соответствующими граничными условиями как при
а(Те) < 1, так и при а(Те) > 1. Падающие на стенку ионы брались энергичными,
чтобы их скорость не меняла направление. Расчёты подтвердили, что и при <т < 1,
и при <т > 1, около стенок существуют стационарные слои. Распределения потенциала
и плотности при максвелловском распределении падающих на стенки электронов
при ~сг(Те) < 1 и ~сг(Те) > 1 приведены на рис. 7.3.3 и 7.3.4. Видно, что зависимости
пе(х) и ф{х) в этих режимах во многом противоположны. Если при а < 1 стенка
заряжается отрицательно, и плотность электронов около нее падает, то при а >
> 1 стенка заряжается положительно, и плотность электронов около нее возрастает.
Поэтому, если в первом случае мы имеем классический дебаевский слой (ДС), то во
втором — возникающую структуру можно назвать "антидебаевским слоем" (АДС).
Весьма любопытным оказалось исследование устойчивости ДС и АДС. Это иссле-
исследование было также проведено численно путем наложения периодических возмуще-
возмущений разной амплитуды и частоты на поток, идущий из "бесконечности". Оказалось,
что при <т < 1 амплитуда возмущений убывает по мере приближения к стенке неза-
независимо от частоты и амплитуды. Если же <т > 1, то, наоборот, амплитуда колебаний
нарастает при приближении к стенке и с ростом величины <т. Тем не менее, колебания
происходят около стационарного состояния.
7.3.2. Диффузионный пограничный слой. Пристеночная проводимость
[171].
Общая характеристика. Диффузионный по-
пограничный слой обязан своим появлением рассея-
рассеянию частиц на стенке, ограничивающей плазмен-
плазменный объём, при условии, что имеются магнитное
поле, пересекающее стенку, и электрическое по-
поле, параллельное ей (рис. 7.3.5). Если рассматри-
рассматриваемые частицы замагничены, т. е. их движение
в плазменном объёме представляет собой дрейф
в направлении, перпендикулярном Е и Н, то срыв
дрейфа по той или иной причине позволяет им
перемещаться поперёк магнитного поля вдоль на-
направления Е-поля.
Этот срыв дрейфа может быть — при низ-
низком уровне шумов, обязан либо столкновениям
электронов с тяжелыми частицами (классическая
проводимость), либо столкновениям со стенками.
Н
Е
Рис. 7.3.5. Ориентация Е- и Н-
полей и траектории электронов до
и после столкновения со стенкой
в диффузионном пограничном слое
Второй перенос, как уже отмечалось, был назван пристеночной проводимостью
(ПП) 0. По своей сути ПП — эффект классического типа. При ПП происходят
столкновения со "сверхтяжелой частицей" — поверхностью стенки. Это еще одна
разновидность неоклассической проводимости. В принципе, ПП может быть обязана
1) Пристеночная проводимость в плазме впервые была описана А. И. Морозовым [171]
7.3. Электронные пограничные слои 379
как ионам, так и электронам. Однако здесь будет рассмотрена только ПП, связанная
с электронами. Ионы в этом подразделе будут рассматриваться как однородный фон.
В отсутствие магнитного поля объёмная проводимость, эквивалентная ПП, равна
а =е-^, G.3.20)
^ т
где тЭф = Ь/vt — характерное время между двумя столкновениями электрона со стен-
стенками, Ь — поперечный размер плазменного объёма, vt — тепловая скорость частицы.
Отсюда следует, что при наличии магнитного поля ПП приводит к классическому
выражению для проводимости поперёк магнитного поля:
enc
Выражения G.3.20) и G.3.21) аналогичны классическим формулам (п. 3.2.3).
Однако, наряду с общими чертами, между ПП и объёмным классическим переносом
у ПП имеется ряд существенных особенностей.
а. Во-первых, четкая пространственная локализация мест столкновений электро-
электронов со "сверхтяжелой" стенкой. Если в классическом случае места срыва дрейфа
расположены хаотически по всему объёму, то в случае ПП срывы дрейфа происходят
на поверхности. Возникает своеобразная пространственная синхронизация срывов,
и это приводит к образованию пристеночных токовых слоев толщиною, как правило,
порядка электронного ларморовского радиуса
5(хре(х —. G.3.22)
Это объясняется тем, что восстановление электрического дрейфа происходит на
длине порядка такого масштаба.
б. Во-вторых, плотность тока, обязанная пристеночной проводимости, как пра-
правило, немонотонно изменяется при удалении от поверхности рассеяния. Эта осо-
особенность ПП, которая является ее диагностическим признаком, может быть про-
проиллюстрирована следующим образом. Представим себе канал, образованный двумя
параллельными рассеивающими плоскостями, покрытыми бесконечно тонкими деба-
евскими слоями. Пусть коэффициент вторичной электронной эмиссии а = 1, и коэф-
коэффициент аккомодации к = 1. Магнитное поле считаем однородным и направленным
вдоль оси х, электрическое поле — также однородным и направленным вдоль оси z.
Тогда электроны, падая на верхнюю плоскость, преодолевают дебаевский слой, теря-
теряют практически всю энергию и, отразившись от поверхности, снова пронизывают ДС,
затем с той же энергией идут (со скоростью г>ц = д/2еС/о/ш) к нижней плоскости,
одновременно выписывая циклоиду. На рис. 7.3.6а изображена проекция траектории
на плоскость (x,z). Видно, что промежуток между плоскостями разбивается на слои
с чередующимися направлениями электронного тока jez = —envez. Толщины слоев
с током одного направления равны
Л = „„^. G.3.23)
В зависимости от расстояния L между плоскостями, а также в зависимости от
величины L/v\\ между плоскостями может укладываться разное число токовых слоев.
Если укладывается равное число слоев с токами противоположных направлений,
то суммарный ток между слоями будет равен нулю (рис. 7.3.66). В общем же
380
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
<хххххххх>
случае суммарный ток может иметь любой знак, но по абсолютной величине он
не превосходит тока одного слоя. Разумеется, описанная картина идеальна, но она
явно указывает на возможность возникновения осциллирующих по пространству
распределений электронного тока в окрестности стенок. Обычно же прослеживается
немонотонная структура jez(r), которую можно трактовать как наложение распреде-
распределения типа изображенного на рис. 7.3.6а, но с разными г>ц.
Пристеночная проводимость в по-
z < 0 лубесконечной плазме вблизи микро-
z > 0 шероховатой плоскости. Простейшей
моделью может служить ПП вблизи
плоской микрошероховатой поверхно-
поверхности (рис. 7.3.5), ограничивающий по-
полубесконечный плазменный объём при
наличии однородного магнитного поля
(ось х), перпендикулярного плоскости
и однородного электрического поля па-
параллельного этой плоскости (ось z).
<хххххххх>
Рис. 7.3.6. Токовые слои между двумя стенка-
стенками, обязанные ПП: а — ток вдоль Е максима-
максимален, б — ток вдоль Е равен нулю
Будем считать также, что дебаевский
слой много меньше толщины слоя, обя-
обязанного ПП, и при расчёте его толщиной можно пренебречь. В таком случае,
как движение падающих частиц, так и движение отраженных частиц описывается
уравнениями (раздел 1.2)
x = Vxt, Vx = Vx0 = const, u=—]
?1
A
у = b + ut -\ sin(uet + a), Vy = и + Acos(uet + a);
UJe
z = a -\ cos(u;e? + a), Vz = Asm(cjet + a).
G.3.24)
При рассмотрении статических задач в G.3.24) время следует исключить при помощи
уравнения х = Vxt. Если известны значения функций распределения падающих
частиц /+(v', 0, y,z) и отраженных /~(v', 0, у, z) на поверхности стенки, то, используя
G.3.25), легко найти значения этих функций при любых х, подставив вместо Vх, у, z
величины
V' —> V •
* гу * X 1
V! -> Vz
Vx
Vz
sin u,
'V,
V^u + (Vy - и) cos (uey J + Vz si
— (Vy — и) sin
1 Г f x\ ( x
— \VZ cos \ooe— I - (Vy - u) sin uoe —
Ue L V VxJ \ Уп
- (Vy — u) cos
G.3.25)
У~и^Г +
- V^sin [Ue^r
Je I V Vx
vx
Функцию распределения падающих частиц /+ будем считать максвелловской со
сдвигом в пространстве скоростей, равным скорости дрейфа и:
1
ЛГ+
ехр
2~
сто
G.3.26)
7.3. Электронные пограничные слои 381
Функцию распределения отраженных частиц (при х = 0) возьмём в виде "непо-
"неподвижной" максвелловской функции
^^;)} 4^ <7-327)
Нормировочные коэффициенты равны
где п+ и п — плотности падающих и отраженных от стенки частиц. Если ае —
коэффициент вторичной электронной эмиссии, то
п^стоо~е = п~ст\- G.3.29)
Проведя замену G.3.25) в G.3.26), G.3.27) нетрудно убедиться, что функция G.3.27)
не изменится, тогда как G.3.26) примет вид
Vx + Vz + (^ - Uf + ^ + 2^(% - ^) C0S
G.3.30)
i Г l
cT1
Интересно отметить, что п = J/ dv не зависит от ж.
В нашем случае интерес представляет ^-компонента тока, и поэтому ограничимся
вычислением только ее. В силу чётности функции f^(vz^, её вклад в jz равен нулю
и поэтому имеем (знак "-" перед интегралом опускаем):
о
JZ = 6\ I \Vzf~dw'
Vx = — сю
Подставляя сюда выражение G.1.29), получим
о
2п~ Е Г . ( XUOe\ 2 /-7ОО1Ч
72 = е^^с—: sin ехр(—а )аа. G.3.31)
Vtt Я J \с^1а/
— сю
Отсюда видно, что распределение плотности тока вблизи стенки определяется функ-
функцией
сю
Y(k) = \ sin ( - ) exp{-a2}da, k = — = —, a=—. G.3.32)
J \a J CT1 Ре СТ1
0
. Плотность тока обращается в нуль при х = 0 и нарастает несколько быстрее, чем
по линейному закону при удалении от стенки (Y ~ к In |fc|).
При к —> оо функция y(fc) может быть аппроксимирована функцией
Y(k) « fcexp |-^з l^|2/3} cos f ^J |fc|2/3 + const J . G.3.33)
Общий вид зависимости jz(x) изображен на рис. 7.3.7.
382
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
У///////////////,
L
Е
Как и следовало ожидать, ток оказывается пре-
преимущественно сосредоточенным в слое ~ ре. Сум-
Суммарный ток, протекающий в слое толщиной 1 см
вдоль оси z
г = jzdx.
При подстановке сюда выражения G.3.31) и ис-
используя выражения для плотности электронного
тока на стенку je0 = еп+сТо/л/7г и и = сЕ/Н,
получаем (ае коэффициент ВЭЭ)
и . h
иоР 2'
G.3.34)
Рис. 7.3.7. Распределение плотно-
плотности тока jx(y) вблизи стенки
сать в виде закона Ома [171]
Здесь h = 2и/иое — высота циклоиды. Физический
смысл полученной формулы очевиден.
Равенство G.3.34) (при распределении элек-
электронов, близком к максвелловскому) можно запи-
тс2
г = аР
Е.
G.3.35)
Оценим теперь масштаб г, взяв параметры, похожие на параметры потока, идуще-
идущего на стенку (точно мы их сегодня не знаем): а = 1, п+ = 0, 5 • 1011 см~3, сто = 2 х
х 108см/с, что соответствует Т+ = ЮэВ, Е = 100В/см, Н = 150Э. Подставляя их
в G.3.35), получим 7 = 0, 14 А/см, что разумно соответствует экспериментальным
данным для СПД (см. [172]).
ПП электронной плазмы для плоского слоя. Естественным обобщением рассмот-
рассмотренной задачи является задача о ПП плазмы в виде плоского слоя. Полагая толщину
слоя равной 2Ь, функции распределения отраженных от стенок электронов макс-
велловскими с параметрами п+, Т+, п~, Т~ соответственно, получим следующее
выражение для продольного тока
ей
n+Y
¦n~Y
G.3.36)
Здесь р^ = BТ±/тI/2/и;е — ларморовские радиусы, рассчитанные по температурам
верхней и нижней стенки.
Мы рассмотрели примеры с простейшей моделью отражения, когда вторичные
электроны подчинены максвелловскому закону. Очевидно, аналогичные расчёты мо-
могут быть выполнены при любой функции рассеяния S(v, v').
О ПП, обязанной макронеоднородностям поверхности. В сказанном выше было
подчеркнуто, что на "зеркальных" плоскостях, перпендикулярных Н и параллельных
Е, ПП не появляется. Однако если поверхность макронеоднородна и возмущает ско-
скорость дрейфа, то и в этом случае появляется ПП, даже если поверхность зеркальна,
т.е. покрыта отражающим дебаевским слоем.
7.3.3. Дрейфовые электронные пограничные слои.
"Магнитная изоляция". Начиная с конца 50-х-начала 60-х годов обратили
на себя внимание электронные слои, возникающие вблизи гладких металлических
7.3. Электронные пограничные слои
383
проводников при наличии касательного к ним магнитного поля и ортогонального
электрического поля (рис. 7.3.8).
Первоначально они были обнаружены на
границе плазменного цилиндра в продольном
магнитном поле в так называемом ионном
магнетроне М. С. Иоффе и Е. Е. Юшмановым
(рис. 7.3.9).
Спустя некоторое время они были обна-
обнаружены группой А. И. Морозова на описан-
описанных в п. 3.7.2. коаксиальных ускорителях со
сплошными анодами (рис. 7.11.6), а американ-
американские ученые их обнаруживают при создании
установок для генерации релятивистских элек-
электронных пучков (РЭП). Такие слои появлялись
на коаксиальных и "полосковых" линиях, со-
соединяющих накопитель энергии с диодом —
собственно генератором таких пучков. Поскольку токи в таких линиях достигают
сотен тысяч и миллионов ампер, постольку возникают сильные магнитные поля.
Благодаря этому, несмотря на мегавольты, приложенные к полосам, электроны не
"перепрыгивают" с одной полосы на другую в течение рабочего импульса. Это
явление получило название "магнитной изоляции". Возникающие здесь электронные
структуры ничто иное как вариации "одноларморовских" структур, о которых речь
шла в 4.3.3.
Рис. 7.3.8. Ориентация полей в дрей-
дрейфовом электронном пограничном слое:
1 — катод, 2 — анод, 3 — дрейфовый
электронный пограничный слой
1
2 3
Рис. 7.3.9. Ионные магнетроны; а — магнетрон Иоффе-Юшманова: 1 — источник плазмы;
2 — стенки камеры; 3 — плазменный пучок; 4 — отражатель (Up = 5 кВ, Н = 2 кЭ, р =
= 5 • 10~5Тор); б — магнетрон Жаринова: 1 — торцевой сетчатый катод; 2 — анод; 3 —
цилиндрический катод; 4 — торцевой сплошной катод (Up = A —10)кВ, Н ^ 1,3 кЭ, р = A х
х 1(Г5-1 • Ю-3) Тор
Большая энергия, заключенная в этих слоях при высоких напряжениях пе-
передаваемой энергии, делает их не очень устойчивыми. Они раньше или позже
"спотыкаются" на какой-либо неровности и вызывают локальный взрыв. Поэтому
в реальных условиях в мегавольтовом диапазоне магнитная ионизация держится ~
~ 1 мкс. В последнее время магнитная изоляция, в соответствующих устройствах,
используется для коммутации токов огромных мощностей [41].
Ионные магнетроны. Выше мы упомянули ионные магнетроны Иоффе-
Юшманова [23], TIV. Это коаксиальные системы с продольным магнитным
полем. В центре системы может находиться плазменный цилиндр (рис. 7.3.9а)
384 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
под положительным потенциалом по отношению к периферии. В установке
центральный "стержень" создавался плазмой, вытекающей из камеры с горящей
дугой. В последующих экспериментах Жаринова, в которых ионные магнетроны
детально изучены, это мог быть просто твёрдотельный цилиндр-анод (рис. 7.3.96).
В этом случае в системе поддерживалось небольшое давление газа ~ 10~3Тор.
За счет разности потенциалов, приложенной между анодом и внешним кольцевым
электродом загорался разряд. В этих системах толщина зоны ионизации и ускорения
составляет несколько электронных ларморовских радиусов. Поэтому достаточно
небольшого числа столкновений, чтобы возникший в слое за счет ионизации
электрон мог попасть на анод. В то же время возникающие ионы покидают слой
без столкновений, ускоряясь электрическим полем. Динамика нейтральных частиц
и ионов в ионных магнетронах полностью описывается простой кинетической
моделью, тогда как для электронов можно написать следующую гидродинамическую
систему уравнений:
— {пи )=/Зпщ-
дх G.3.37)
^ = ^ + -[и,Н]+Е.
a en с
Здесь ? — энергетическая цена иона. Ряд существенных выводов о системе можно
сделать с помощью простых оценок. Учтем, что приложенная разность потенциалов
достаточно велика и составляет многие сотни вольт. Как следует из G.3.37), элек-
электронная температура Те в слое соизмерима с приложенной разностью потенциалов,
т.е. по крайней мере Те ~ 100эВ. При таких значениях Те коэффициент ионизации
/3 = (av) практически перестает зависеть от энергии электронов. Усредняя первое
из уравнений G.3.37) по толщине слоя 5, получаем число электронов, рождающихся
в слое и попадающих, в конечном счете, на анод:
(Пе^)анод = (™е)ион ПеПа5, G.3.38)
где па — концентрация атомов. В то же время ж-компонента второго уравнения
G.3.37), если пренебречь Vpe и единицей в законе Ома, имеет вид
Зех « 7^9 ' G-3-39)
Приравнивая G.3.38) и G.3.39) и учитывая, что
^ и. _ е2пете_ __ ___ , , _ __ 1
где 1УИ0Н — частота ионизационных столкновений; щ — частота рассеяния электронов,
получаем выражение для толщины прианодного слоя (А. В. Жаринов, [44])
G.3.40)
и /2eU me
Здесь ре = \ —: — ларморовскии радиус, рассчитанный по полному приложен-
приложенному напряжению. Формула G.3.40) показывает, что при классической проводимости
толщина прианодного слоя порядка электронного ларморовского радиуса. Подробнее
исследования свойств рассматриваемого слоя были выполнены на приборах типа
изображенного на рис. 7.3.96. Они показали разумное соответствие расчётного зна-
значения толщины слоя с экспериментальным.
7.4. Примеры пограничных процессов с участием тяжелых частиц
385
7.4. Примеры пограничных процессов с участием тяжелых
частиц
Пристеночные плазменные процессы с участием тяжелых частиц весьма много-
многообразны и, как правило, сложны. Мы отметим здесь несколько простых случаев
характерных именно для плазменных систем. Хотелось бы описать и излучающие
вязкостные погранслои, которые возникают около метеоритов и спускаемых кос-
космических аппаратов, а также при обработке энергичными плазменными потоками
различных деталей, но это сложно, о чем можно судить по описанной в предыдущей
главе теории одномерных излучающих ударных волн.
7.4.1. Рециклинг. В большинстве плазменных систем около стенок наблюдает-
наблюдается "рециклинг". Суть этого явления во многих случаях предельно проста и сводится
к следующей схеме (рис. 7.4.1а).
iv
«
Температура
\
Область ионизации |
и перезарядки
быстрых
нейтральных
частиц
Т^ Область ионизации и перезарядки
I медленных нейтральных частиц
Плотность
ионов
Медленные
нейтральные
частицы
Быстрые
I / х нейтральные)
Рис. 7.4.1. Рециклинг: Принципиальная схема рециклинга (нейтральный атом заштрихован)
(а); модель рециклинга в магнитном термоядерном реакторе по А. Д. Сахарову (б)
Поток ионов из плазменного объёма падает на стенку, там в существенной сте-
степени нейтрализуется, и в виде нейтралов возвращается в плазменный объём. Здесь
он снова ионизуется, преимущественно благодаря перезарядке, и под действием
положительного потенциала объёма плазмы (по отношению к стенке), снова начинает
двигаться к стенке и т. д.
Рециклинг — весьма распространенный процесс, появление которого почти неиз-
неизбежно при наличии плазменного объёма и стенки. Он имеет место и в приэлектрод-
ных зонах обычных газовых разрядах и вблизи "пассивных" стенок, как, например,
в положительном столбе тлеющего разряда и в термоядерных ловушках.
Толщина зоны рециклинга порядка длины свободного пробега нейтралом до
перезарядки. При этом может быть и так, что эта длина порядка размеров сосуда.
Не входя в детали расчётов процессов рециклинга, хотя бы по причине их
многообразия, приведем рисунок из первой статьи А. Д. Сахарова, посвященного
проблеме УТС (рис. 7.4.16). Здесь изображены распределения параметров плазмы
13 А. И. Морозов
386 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
вблизи стенки МТР — "магнитно-термоядерного реактора". Лежащие в основе этого
рисунка расчёты рециклинга были выполнены совместно И.Е. Таммом и А. Д. Са-
Сахаровым [23], T.I. Однако, как показали позднейшие эксперименты, в токамаках
процессы рециклинга оказываются несравненно сложнее. Они разворачиваются не
только в пространстве, но и во времени. Вот как описывает наблюдаемую ситуацию
в своем фундаментальном обзоре физики токамаков СВ. Мирнов [174].
"...Основное назначение разрядной камеры токамака — создание тороидального
вакуумного объёма, необходимого при организации плазменного шнура. Предвари-
Предварительным этапом такой организации можно считать процедуру вакуумной очистки
стенок камеры и откачку ее до остаточного давления A0~7—10~9) мм рт. ст. Следую-
Следующая операция — наполнение камеры до давления A0~4—10~3) мм рт.ст. спектрально
чистым водородом.
Далее включают тороидальное магнитное поле Bq, затем индукционное элек-
электрическое и управляющее поперечное Ву. Включение электрического поля Ее C-
ЗОВ/м) вызывает разряд в водороде.. .После завершения ионизации в плазменном
объёме остается всего лишь 20-40% ионов от начального числа атомов 0, нахо-
находившихся в камере, т. е. напущенный водород в основном связывается на ее стен-
стенках...Связь эта непрочная. Как показывают измерения интенсивности спектральных
линий водорода, значительный поток его медленно возвращается со стенки в шнур
на протяжении всего разряда...
После окончания разряда ионы водорода, оказавшиеся на стенке, рекомбинируют
и большей частью возвращаются в объём камеры. Если стенка изготовлена из
нержавеющей стали, возвращение происходит в два этапа. Первая, меньшая порция
возвращается сравнительно быстро (~ 0, 1с), а большая медленно, за несколько
часов."
Мы привели этот фрагмент, чтобы подчеркнуть нетривиальность взаимодействия
плазмы и стенки. Но этим дело не ограничивается. Если энергия ионов в ловушке
велика (> 100эВ), то, попадая на стенку, ионы водорода могут выбивать из нее
тяжелые частицы, которые после многократной ионизации резко увеличивают интен-
интенсивность тормозного излучения (~ z2) и способствуют существенному охлаждению
плазмы.
Но и этим многообразие процессов не стенке токамаков не ограничивается.
Наблюдаются блистеринг (см. п. 7.2.3) и зажигание "униполярных дуг".
7.4.2. Разряды, скользящие по поверхности диэлектрика. Существует ряд
плазмодинамических систем, в основе которых лежит скользящий по поверхности
диэлектрика разряд, который вызывает его эрозию (точнее, "абляцию") и таким
образом создает плазму, обеспечивающих саму возможность разряда.
Отметим два семейства таких плазмодинамических систем. В первое семейство
включим импульсные эрозионные плазменные ускорители и магнитоплазменные ком-
компрессоры, в которых сила Ампера ускоряет плазму. Три варианта таких систем
изображены на рис. 7.4.2. Первый из них, "пуговичный источник" (рис. 7.4.2а),
американского физика У. Бостика A952). Он представляет собой цилиндрик из
оргстекла диаметром ~1,5 см, в котором были вставлены два насыщенные водородом
титановых стержня-электрода, подключенные к внешней цепи, содержащей емкость
и разрядник (ключ). "Пуговица" помещалась в вакуумную камеру. При замыкании
цепи развивался поверхностный разряд длительностью ^0,5 мкс, который вызывал
десорбцию водорода из стержней и испарение оргстекла. Под действием амперовой
силы, обязанной собственному магнитному полю разряда, плазменное образование
1) Здесь речь идет о сравнительно небольших лабораторных моделях токамаков
7.4. Примеры пограничных процессов с участием тяжелых частиц
387
3.
2 3 4
Рис. 7.4.2. Схемы эрозионных ускорителей и ком-
компрессоров (МПК): а — механизм образования плаз-
плазменного сгустка тороидальной конфигурации в пуш-
пушке Бостика; б — импульсный эрозионный плазмен-
плазменный двигатель для космического аппарата LES-6:
1 — электроды; 2 — поджиг разряда, 3 — пру-
пружина, перемещающая эродируемый изолятор D) по
мере эрозии, 5 — разряд; в — расчётная структура
эрозионного МПК в газе: 1, 2 — электроды, 3 —
^плазмообразующий диэлектрик (фторопласт), 4 —
поток плазмы, 5 — зона компрессии; б — коническая
ударная волна, 7 — зона ударно-сжатого газа, 8 —
контактная граница, 9 — зона турбулентного переме-
перемешивания. Разряд в гелии, р = 2 • 10~2 кг/м3, Jmax =
= 0.24 MA, Т/2 = 28 мкс, момент времени t = Т/А.
Излучательная способность ~ 1010Вт/м3 ([49], том
III, раздел 9)
в начальный момент, напоминало Z-пинч, затем вытягивалось и к концу разряда
отрывалось в виде тороида. Бостик назвал эти тороиды, летевшие со скоростями
измеряемыми многими десяткам км/с, "плазмоидами" [178]. На рис. 7.4.26 изобра-
изображена схема плазменного эрозионного двигателя для легких космических аппаратов
(см. раздел 10.4), служащий для коррекции их траектории. Он представляет собой
рельсотрон, плазма в который поступает благодаря испарению изолятора. Под дей-
действием потока тепла от разряда образующаяся плазма ускоряется газокинетическим
давлением и амперной силой. Скорости истечения в зависимости от условий лежат
в широких пределах от ~10 км/с до ^100 км/с. Энерговклад в одиночный импульс
для двигателей ^1 — 100 Дж. Рабочими веществами для этих двигателей часто
служит тефлон. Несмотря не простоту схемы эрозионного двигателя сегодня нет ак-
13*
388
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
куратной количественной теории таких систем. Это объясняется не только сложным
химизмом перехода от твёрдого диэлектрика к плазме из относительно простых ча-
частиц, но и большой ролью неоднородностей формирующихся на поверхность тефлона,
поскольку разряд лишен симметрии и носит вид стримеров. Поэтому надежны только
экспериментально снятые характеристики двигателей. Двигатель LFS-6 удерживал
спутник связи в определенном месте геостационарной орбиты в течение многих лет
(см. также [178]).
Наконец, на рис. 7.4.2в изображен эрозионный магнито-плазменный компрессор
(МПК). В отличие от только что рассмотренного двигателя с малым энерговкладом,
этот МПК — квазистационарное сильноточное устройство, разрядные токи в котором
достигают сотне кА при напряжении Up ~ A —10) кВ. Характерная длительность
импульсов здесь ~ 1 мс, а диаметр канала ~ 10 см.
Эрозионные МПК в настоящее время разра-
разрабатываются преимущественно как мощные источ-
источники некогерентного излучения. Главным излуча-
излучателем здесь является область компрессии, кото-
которая при указанных параметрах разряда излучает
почти как черное тело с температурой Т ~ C-
5)эВ. МПК является весьма эффективным пре-
преобразователем электрической энергии в световую
(точнее, в ультрафиолетовое излучение). Поверх-
Поверхностная мощность излучения ~ 3 • 107 Вт/см2. Из
подведенной к МПК энергии в излучение ухо-
уходит — в указанном диапазоне, до 70%. Эрозия
изолятора идет под действием излучения разряда.
В описанных системах сила Ампера ускоря-
ускоряла плазму, образующуюся в результате эрозии.
Однако существует ряд плазмодинамических си-
систем, в которых сила Ампера прижимает разряд
к диэлектрику (рис. 7.4.3). Эти "прижатые" разряды, импульсные и сильноточные,
представляют также интерес как источники излучения большой мощности. Их до-
достоинством является большая устойчивость плазменной конфигурации.
Заканчивая этот краткий обзор специфических пограничных плазменных слоев на
диэлектриках, подчеркнем, что здесь, как и в случае рециклинга, имеет место поток
частиц на диэлектрик из основного плазменного объёма (это особенно проявляется
на маломощных разрядах), но, кроме того, может быть велика и роль излучения,
которые вызывают испарение стенки в мощных разрядах.
7.4.3. Кинематика распыления поверхности моноскоростным ионным по-
потоком. Выше уже говорилось о том, что изменения приповерхностных слоев ТТ
под действием плазмы (и прежде всего ее ионной компоненты) могут быть самыми
разнообразными (рис. 7.2.6). Одной из наиболее простых и в то же время распро-
распространенных структур, образующихся на поверхности ТТ, облучаемой косым ионным
потоком @ < в < #тах, где #тах — угол максимального распыления, является
конфигурация "щучьего языка" (рис. 7.4.6). Эта конфигурация легко рассчитывается
аналитически в приближении редкого ("квазиодночастичного") потока [179].
Уравнение кинематики ионного распыления. Исходными являются выражения
для 5 - скорости перемещения плоской поверхности по нормали в результате распы-
распыления
6 = NnS0(eMa,e). G.4.1)
Рис. 7.4.3. Схема "прижатого" раз-
разряда: 1, 3 — электроды, 2 — ди-
диэлектрик, 4 — разряд
7.4. Примеры пограничных процессов с участием тяжелых частиц
389
Здесь Щ — нормальная плотность потока частиц, So — коэффициент распыления
при нормальном падении, Ф(а,г) — угловой фактор (Ф@, г) = 1), а — угол падения,
г — энергия падающих частиц.
В дальнейшем будем считать, что профиль
зависит только от одной координаты х. Его мы
обозначим через
z = z(x,t).
G.4.2а)
Если и — угол между направлением падения ча-
частиц и плоскостью z = const, то угол падения их
на элемент поверхности (рис. 7.4.4)
z .
Учитывая, что
dz
уравнение G.4.1) можно записать в виде
at
cos
G.4.26)
G.4.2b)
Рис. 7.4.4. Взаимное положение уг-
углов a, f3 и и при падении частиц на
G 4 Ч^ неплоскую поверхность (пояснение
к формуле 7.4.26)
Если Щ, So, Ф, ио не зависят от х, то уравнение G.4.3) имеет вид
z = F(z').
В противном случае
z = F(x,zf).
ие G.4.3)
ди д(р(и)
G.4.4а)
G.4.46)
Если продифференцировать уравнение G.4.3) по х, то получим изучавшееся многими
математиками уравнение
Пи rltnl it \
= 0. G.4.5)
Ot Ox
Здесь и = dz/dx. Простейшим вариантом этого уравнения является уравнение дви-
движения газа с нулевое температурой
% + ~=о.
Хорошо известно (см. например, [9]), что решения этого уравнения даже при глад-
гладких начальных условиях могут иметь особенности (разрывы). Тем более для этого
создаются предпосылки при немонотонной зависимости Ф(и).
Общее решение уравнения G.4.4а) находится методом характеристик, которые
определяются уравнениями
dx _ dF(q) dz _
dt dq ' dt
F{q) = F{z%,
Проинтегрировав систему G.4.6), получаем
dF dq
J~dqJ ~dt
= 0,
X =
dF
~;—t
dq
= - F-q
dF
G.4.6)
G.4.7a)
390 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Здесь хо и zo — интерпретируются как координаты поверхности при t = 0. Отсюда
следует параметрическое представление искомой поверхности
-<Ш<). G.4.7.,
Исключив из этой системы q, найдем уравнение поверхности
z = z(x,t).
Из G.4.7а) видно, что можно говорить о перемещении при эрозии точек профиля со
скоростями
? (?)
Учитывая сложность общего решения, мы ограничимся здесь кратким рассмотре-
рассмотрением только стационарных процессов, частным случаем которых является образова-
образование щучьего языка.
Стационарные структуры. Уточним термин. Под стационарными структурами
будем понимать такие модификации поверхности, которые не изменяют со временем
своей формы и только перемещаются как целое.
Из G.4.7) видно, что возможны разные стационарные изменения поверхности.
а) Поверхность может однородно "опускаться". Этому случаю соответствует
q = 0, zo = O, z = F(O)t. G.4.9)
Более общим решением этого типа является эрозия однородной наклонной площадки
zo = qx, zf0 = q = const. G.4.10a)
В этом случае
(^)K) GА10б)
б) Для возникновения нетривиальной самоподобной поверхности эрозии должно
существовать, как видно из общего решения G.4.8) несколько значений q^, удовле-
удовлетворяющих условию
№Л '--,??) =¦¦¦¦ G.4.116)
Этим условиям можно придать весьма наглядную форму в виде "правила касатель-
касательной". А именно. Пусть в точках q^ характеристические скорости одинаковы. Тогда
условие равенства ж-компонент этой скорости G.4.11а) будет условием равенства
углов наклона касательной к кривой F(q) (рис. 7.4.5). А условие G.4.lib) означает,
что все значения q^, которым соответствует одна и та же характеристическая ско-
скорость, являются координатами тех точек Fk на кривой F(q), которые лежат на одной
прямой, касательной во всех этих точках к F(q). Этот геометрический критерий,
эквивалентный условиям G.4.11) назовем "правилом касательной".
Образование конфигурации "щучьего языка". Используя это правило, легко
убедиться, что при двугорбом угловом факторе Ф(а) (см. рис. 7.2.9) единствен-
единственным стационарным и периодическим профилем является "щучий язык" (рис. 7.4.6
и 7.2.6в). Действительно, уравнение G.4.3) написано для произвольно ориентирован-
7.4. Примеры пограничных процессов с участием тяжелых частиц
391
Т
1
I
I
f
I
11
\
\
\
\
X
i i
5
4
3
2
Ar+
12
~ /
- /
i i i
-Mo
кэВ
\
\
\
11
^80-60-40-20 0 20 40 60 80
Рис. 7.4.5. К формулировке "правила касательной": а — в случае многогорбовой функции F(q);
б — то же в случае двугорбой кривой
ного падающего пучка. Если же за ось z принять направление этого пучка, то G.4.3)
примет вид
^ = -50Ф(/3). G.4.12)
ас
В этом случае функция F(q)
с точностью до постоянного множи-
множителя и выбора аргумента совпадает
с функцией угловой зависимости ко-
коэффициента распыления Ф(/3). Видно
(рис. 7.4.56), что в двугорбом случае
существуют только два угла падения
(им соответствует горизонтальная ка-
касательная, параллельная оси а)
Рис. 7.4.6. Схема "щучьего языка" при наклонном
падении потока
которые определяют наклоны пря-
прямолинейных участков поверхности,
имеющих одну и ту же характери-
характеристическую скорость. В этих точках
функция Ф(/3) достигает максимума. Зная, что в стационарной конфигурации угол
между плоскостями равен 2/3*, а направление пучка совпадает с направлением
биссектрисы, нетрудно построить "щучий язык" и в том случае, когда поток падает
под углом к поверхности. Если задан угол падения пучка ио и "шаг" структуры L, то
стороны выступа будут (рис. 7.4.6)
а = L
sin /
cos 2/3*'
b = L
sin/3i
cos 2/3*'
/32 = ж-и-C
На этом мы закончили разбор аналитической модели "щучьего языка". Заметим,
что проведенные численные расчёты нестационарного уравнения G.4.3) подтвердили
устойчивость рассматриваемой конфигурации распыляемой поверхности.
392 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
7.5. Поверхностно-детерминированные разряды (на примере
СПД [180]
В подавляющем большинстве плазмодинамических систем, особенно с плотной
плазмой (X/L <С 1) формирование функции распределения электронов (ФРЭ) и ха-
характер переноса определяется, в основном, объёмными процессами. В этих условиях
ФРЭ "тяготеет" к максвелловской, а коэффициенты переноса приближаются к тем,
о которых говорилось в гл. 5.
Однако в достаточно редкой плазме (при X/L > 1) кинетика электронов может
определяться столкновениями частиц со стенками, ограничивающими плазменный
объём.
Такого рода картины реализуются в приэлектродных слоях (о них на примере тле-
тлеющего и дугового разрядов мы скажем ниже в разделе 7.6), а также вблизи стенок,
о чем мы говорили выше, описывая дебаевские слои и пристеночную проводимость.
Однако представляет значительный интерес плазмодинамические системы, в которых
ФРЭ во всем объёме, совместно с процессами переноса, определяются стенками.
Наглядным примером такой системы являются СПД, о которых уже говорилось
в гл. 6.
Рассмотрев ДС и ПП на диэлектрических стенках, мы получили основу для
анализа процессов в СПД. Этим объясняется "скачок" из главы 6 в эту главу. Здесь
мы сравнительно подробно рассмотрим только функцию распределения электронов
в ускорительном канале СПД, а остальные особенности динамики электронов отме-
отметим предельно кратко.
7.5.1. Функция распределения электронов в канале СПД [181]. В СПД
объёмные процессы являются определяющими с точки зрения формирования ФРЭ
только в зоне ионизации и вблизи среза канала. При этом и там, и там большая
роль принадлежит коллективным СВЧ-колебаниям, которым специально посвящен
п. 7.5.4. В то же время в зоне ускорения и в прианодной зоне роль колебаний от-
относительно невелика, и здесь основным фактором, влияющим на ФРЭ, оказываются
классические, по сути, столкновения со стенками. Это позволяет построить для этих
зон простые аналитические модели ФРЭ.
Качественная характеристика ФРЭ. Из самых общих соображений видно, что
в тех частях канала СПД, где большую роль играют столкновения со стенками,
должны возникать три группы электронов, которые мы будем называть "запертыми",
"убегающими" и "промежуточными" (рис. 7.5.1). Появление 3-х групп объясняется
тем, что центральная часть ("ядро") потока имеет более высокий потенциал чем
поверхности стенок. Этому же способствуют и дебаевские слои около стенок.
Группу "запертых" образуют электроны, удерживаемые от выхода на стенку ради-
радиальным электрическим полем. Разумеется, это удержание не является абсолютным.
Столкновения электронов друг с другом, с тяжелыми частицами, а также колебания
разных частот обеспечивают постоянное обновление этой группы электронов. В груп-
группу "убегающих" электронов входят те частицы, которые систематически испытывают
упругие столкновения со стенкой. Очевидно, энергия этих частиц должна нарастать
по мере приближения к аноду по закону ?р « (Ф — Ф*), где Ф* — потенциал,
при котором происходит "рождение". Но по мере приближения к аноду амплитуда
функции распределения этих частиц, естественно, падает, благодаря потерям на
стенках за счет "примеси" неупругих столкновений.
Наконец, промежуточную группу образуют электроны, энергия которых доста-
достаточно велика, чтобы достигнуть стенок, но столкновения с ними носят неупругий
характер. Соответственно энергия промежуточных частиц лежит между максималь-
7.5. Поверхностно-детерминированные разряды (на примере СПД)
393
ХХХХУХХХХХХХХУХХХХХХХХХХХХХ
Maxwell
а хххххххх;
хххххххх:
б ххххххххххххххххххххххххххх
ххххххххххххххххххххххххххх
ххххххххххххххххххххххххххх
Рис. 7.5.1. Траектории и функции распределения трех групп электронов, формируемых столк-
столкновениями со стенкой: а — траектории запертых электронов и их функция распределения
(справа); б — то же для убегающих электронов; в — то же для электронов промежуточной
группы
ной энергией запертых частиц
Esc
°mm
и минимальной энергией убегающих электронов
Loc
Int
„Esc
G.5.1)
Максимум функции распределения промежуточных электронов расположен недалеко
ОТ ^тах-
Экспериментальные данные о ФРЭ в канале СПД. А. И. Бугровой с сотруд-
сотрудниками были проведены детальные исследования ФРЭ в ряде моделей СПД [181].
Для этой цели были использованы направленные ленгмюровские зонды с приемными
поверхностями ~ 0, 2 х 0,2 мм2, укрепленными на алундовых трубочках с диаметром
~ 1 мм. Измерение проводились в разных точках канала (общее число точек было
равно 20) при разных режимах и при шести ориентациях приемных поверхностей.
Сигналы фиксировались статическими приборами и поэтому усреднялись по времени.
Используя зондовые характеристики (Р — точка, где проводилось измерение)
JX,V,Z(P, Ф) = J Vx,y,zfe(P, V, <5>)dVSPR,
G.5.2)
можно было методом Друвестейна восстановить вид функции распределения элек-
электронов /е = /e(v, P). В результате установлены следующие основные факты:
394
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
1. В зонах генерации "каналовых" электронов (зона ионизации и зона входа
электронов из катода-компенсатора в канал) существует единая "одногорбая" ФРЭ.
Этот факт коррелирует с высоким уровнем СВЧ-шумов в этих зонах.
2. По мере ухода электронов по направлению к аноду от зон генерации единая
ФРЭ начинает расщепляться на три компоненты, соответствующие запертым, убега-
убегающим и промежуточным частицам (рис. 7.5.2).
fe
fe
fe
fe
fe
„fe
II
I
Рис. 7.5.2. Схема эволюции функции распределения элеткронов в канале СПД: I — область
входа электронов, эмиттируемых катодом, в магнитное поле канала; II — область основной
ионизации рабочего вещества. Между I и II, а также II и анодом функция распределения из
одногорбой постепенно превращается в двугорбую и трехгорбую
3. Функция распределения запертых частиц хорошо аппроксимируется линейным
сплайном 0.
/e°C(v) = i-T
N 1 О ,
?* > 0 .
Здесь
— u)
u —
G.5.3)
G.5.4)
Отсюда видно, что запертые электроны вращаются как твёрдое тело ("изодрейфо-
вость электронной компоненты").
4. Функция распределения убегающих частиц характеризуется следующими осо-
особенностями:
а) с точностью эксперимента ffsc зависит только от полной энергии
/fc(v,r)=F(e);
б) максимум этой функции приходится на
G.5.5а)
G.5.56)
где Ф* — некий средний потенциал, соответствующий зоне рождения электро-
электронов;
в) амплитуда f^sc практически экспоненциально убывает по мере приближения
к аноду;
г) энергетическая ширина функции распределения А практически не зависит от г.
1) Подобная ФРЭ образуется, в частности, в индукционных плазмотронах без магнитного
поля.
7.5. Поверхностно-детерминированные разряды (на примере СПД) 395
Итак, на основании приведенных экспериментальных фактов, имеем
ехр
(v,r) =
е-е(Ф-Ф*)
1 О, А < \е-е(Ф-Ф*)
Здесь Л и А — постоянные. Аппроксимация G.5.6) находится в полном соответствии
с той качественной характеристикой, которая была дана выше (рис. 7.5.2).
5. Промежуточные электроны, которые в основном обеспечивают пристеноч-
пристеночную проводимость, труднее всего прорисовываются при зондовой диагностике. Это
объясняется как их относительной немногочисленностью, так и тем, что их зона
локализации тесно прижата к наружному изолятору, а функция распределения по
энергии прижата к высокоэнергетичной части запертых частиц.
7.5.2. Аналитические модели фрагментов ФРЭ.
Кинетика убегающих электронов. В данном и следующих пунктах будут даны
полуфеноменологические выводы функций распределений убегающей и запертой
компонент электронов.
Начнем с убегающих частиц. Основные элементы формулы G.6.7) могут быть
получены из стационарного одномерного кинетического уравнения
dfF e дФ dfF fF
OZ Tfl OZ О V z Tq
Здесь тс — эффективное время между столкновениями, при которых амплитуда
убывает в е раз. В качестве величины тс естественно взять
тс = — ~ —_. G.5.8а)
Здесь Ъ — расстояние между стенками, V± — "радиальная" составляющая скорости
электрона, которую, в силу изотропности рассеяния на стенках, можно считать
пропорциональной Vz:
V±&aVz, a = const. G.5.86)
В таком случае общее решение G.5.7) имеет вид
G.5.9)
Функция А(е) определяется условиями в зоне генерации быстрых электронов. Экс-
Эксперимент указывает, что А{е) хорошо аппроксимируется квадратичным сплайном.
Функция распределения запертых электронов. /^ос. Запертая компонента фор-
формируется из промежуточной и убегающей компонент за счет редких столкновений
и не слишком интенсивных шумов. Поэтому расчёт ее непрост. Однако существует
одно важное обстоятельство, которое позволяет с точностью до вида функции одного
аргумента — эту функцию можно взять из эксперимента, определить /^ос. Этим
ключевым обстоятельством является уже упоминавшаяся выше "изодрейфовость"
электронного облака, т. е. вращение его в канале СПД как твёрдого тела О
ив = ( Е^2 ) =Or' ^ = const- G.5.10а)
V t
1) По-видимому, в широком диапазоне параметров протяженные системы с полоидальными
полями являются изодрейфовыми. Факт изодрейфовости плазменных линз подтвержден экс-
экспериментально.
396 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Здесь
ЕТ = -УФТ = Е + -. G.5.106)
еп
Из G.5.10а) автоматически следует связь термолизованного потенциала Фт
с функцией магнитного потока Ф
ФТ = О(Ф +const). G.5.11)
Эксперимент явно указывает, что изодрейфовость — фундаментальное свойство
запертой компоненты электронов. Причинами изодрейфовости являются вязкость
и раскачка различного рода колебаний диакотронного типа.
Посмотрим теперь, как можно использовать факт изодрейфовости для определе-
определения /^ос. Если столкновения редки, то /^ос в первом приближении удовлетворяет
кинетическому уравнению Лиувилля О
+ 1[v,hA^ = 0. G.5.12)
с ) dv
Это уравнение в осесимметричном случае имеет пять интегралов
е = Sk — еФ = const, Р = mrVo Ф = const,
с G.5.13а)
Ya(r,z, v) = const, a = 1,2,3,
так что общее решение G.5.12) может быть записано в виде
fe=F(e,P,Yi,Y2,Y3). G.5.136)
Разумеется, функции Ф(г) и Ф(г) предполагаются известными. Интегралы e(r, v)
и P(r, v) являются локальными в том смысле, что зависят только от точки фазового
пространства (г, v). В то же время интегралы Ya определяются всем видом функций
Ф(г) и Ф(г), т.е. траекторией частицы в этом пространстве. Отсюда следует, что
функция распределения убегающих и промежуточных электронов, которые начинают
двигаться по новой траектории после каждого столкновения со стенкой, должна
описываться функцией F, зависящей от всех пяти интегралов (г, Р, Ya). В частности,
поэтому в формуле G.5.9) для /Esc у нас появилась явная зависимость от z, что
эффективно отражает необходимость учета интегралов Ya.
Иное дело с запертыми электронами. Они живут в одном месте долго, подвер-
подвергаясь воздействию хотя и относительно слабых, но перемешивающих воздействий,
которые, в конце концов, должны приводить к забыванию начальных параметров
траекторий 2). А это означает, что спустя некоторое время после образования данной
группы запертых частиц их функция распределения будет зависеть только от двух
локальных интегралов
fe = F(e,P). G.5.14)
Если теперь учесть изодрейфовость G.5.11), то приходим к одноаргументной функ-
функции
fe=F(x), x = e-UP + A, G.5.15)
а А — постоянная, поскольку функции Ф(г) и Ф(г) определены с точностью до
постоянной.
1) Индекс Loc ниже опустим.
2) По-видимому, наибольшим масштабом времени забывания является время забывания
поперечного адиабатического инварианта.
7.5. Поверхностно-детерминированные разряды (на примере СПД)
397
Аргументу х можно придать и другой вид
где
-l#-jt +?
G.5.16а)
= Пг. G.5.166)
Интерпретация величин г, и — очевидна.
Теперь надо связать проведенный общий анализ с конкретными условиями
в СПД. Как уже отмечалось выше, здесь мы имеем изодрейфовый режим вне зоны
ионизации и относительно тонких пристеночных слоев. Чтобы определить вид функ-
функции F(x) нужен либо эксперимент, либо детальный анализ конкретной ситуации
в канале. Нам проще воспользоваться приведенными выше экспериментальными
данными, которые указывают, что функция F(x) может быть аппроксимирована
линейным сплайном G.5.2)
_ 11>-
~ w \o,
е < /1
€>0.
Величина \i на основе G.5.16) равна
Ф- -Ф ] -
с
Фо - -Фо
с
G.5.17а)
G.5.176)
имеет смысл максимальной энергии электронов в точке канала с данными Ф, Ф, г.
7.5.3. Экспериментальные исследования пристеночной проводимости в СПД
[172]. Первые аргументы в пользу существования в СПД ПП носили интегральный
характер. Вот некоторые из них:
- При ведении вдоль канала со стороны среза керамической палочки (державки
зонда, например) существенно возрастает разрядный ток.
- Разрядный ток, тяга и кпд двигателя весьма чувствительны к материалу изо-
изолятора и загрязнению поверхности.
- Если на поверхности изолятора наносить продольные царапины, то разрядный
ток Jp и электронная температура Т не будут существенно изменяться, если
глубина царапины не станет больше некоторой величины порядка дебаевского
радиуса, рассчитанного по (ее) и пе.
Систематические экспериментальные
исследования ПП были выполнены
А. И. Бугровой с сотрудниками [172]
с помощью ориентированных зондов,
позволявших снимать распределения по
радиусу ^-компоненты плотности элек-
электронного тока jzir)- Важность именно
этой характеристики для идентифика-
идентификации ПП отмечалась в п. 7.3.2, поскольку,
в отличие от объёмной проводимости,
зависимость jz от радиуса носит немо-
немонотонный ("осциллирующий") характер,
рис. 7.5.3.
Распределения jz(r) снимались при разных разрядных напряжениях и магнитных
полях, а также при разных тормозящих потенциалах на зонде. Были обнаружены
пространственные осцилляции jz(r) и ожидаемые эффекты, например уменьшение
О
24
28
32
г, 1(Г3м
Рис. 7.5.3. Экспериментально измеренное рас-
распределение продольного электронного тока
в канале СПД
398 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
расстояния между осцилляциями при возрастании магнитного поля, а также неожи-
неожиданные эффекты. К ним, прежде всего, относится несимметрия распределения jz(r)
по отношению к внешнему и внутреннему изоляторам и, особенно, наличие близко
расположенного к внешнему изолятору острого пика, обязанного "слишком" мало-
малоэнергичным электронам. О том, что он обязан именно таким электронам, говорит
в частности его исчезновение при подаче на зонд тормозящего потенциала порядка
1-2 В, но и следующая оценка. Очевидно, максимум плотности тока, созданной
группой электронов с близкими значениями уц — скорости вдоль Н, будет отстоять
от стенки на расстоянии
frmax = уц-
Зная 5rmax ~ 2 мм, Н « 50Э, находим уц « 7 • 107см/с. Этой скорости соот-
соответствует eff ~ 1 эВ, что заведомо меньше характерной энергии тех же запертых
электронов (sjj ~ 15 эВ). Именно это различие между двумя этими энергиями
заставило высказать гипотезу о "срыве ДС" 0 при достаточно больших Т . Об
этом говорилось в п. 7.3.1. Позднее появились и экспериментальные указания (при
излучении СВЧ-шумов) на срыв ДС.
Что же касается несимметрии распределения jz(r) по отношению к поверхностям
наружного и внутреннего изоляторов, то это объяснили расчёты траекторий электро-
электронов, которые показали большую роль радиальной неоднородности магнитного поля
и отражение существенной доли электронов, идущих к внутреннему изолятору за
счет "пробочного" эффекта, т. е. сохранения поперечного адиабатического инвариан-
инварианта.
7.5.4. СВЧ-колебания в канале СПД. Исследования поведения ФРЭ в канале
СПД с помощью обычных ленгмюровских зондов показали, о чем говорилось выше,
что в зоне ионизации происходит "перемешивание" всех трех компонент ФРЭ, в том
числе идущих от среза. Объяснить это можно только допустив развитие силь-
сильных высокочастотных (/ ^ 106Гц) колебаний. Определение мест генерации СВЧ-
колебаний, их частот и амплитуд, является эффективным индикатором процессов
в канале двигателя.
Здесь нас будут интересовать выполненные К. П. Кирдяшевым [182,183] ис-
исследования продольных СВЧ-колебаний с точки зрения диагностики электронных
процессов в канале. Для этой цели использовался "двухпроводный" зонд, индук-
индуктивно связанный с регистрирующей аппаратурой. Расстояние между проводниками
бралось Д/ rsj 0,8 мм. Естественно, что выбор этого расстояния влияет на величину
фиксируемого сигнала в окрестности а < 1, где а = кА1. Здесь к — волновое
число. Проводилась коррекция по а, однако она была достаточно условной. Поэтому
ниже мы обратим внимание, прежде всего, на результаты качественного характера,
в которых нельзя сомневаться.
Характерные частоты СВЧ-колебаний. Измерения охватывают частотный диа-
диапазон
0,5ГГц</<30ГГц. G.5.18)
Электронные ларморовские частоты для типичных в каналах СПД магнитных полей
в интервале 100 эрг < Н < 300 эрг лежат в пределах
280 МГц < / < 840 Мгц. G.5.19)
1) То есть появление "антидебаевского" слоя.
7.5. Поверхностно-детерминированные разряды (на примере СПД)
399
Видно, что диапазоны G.5.18) и G.5.19) полностью не перекрываются, и поэтому
окончательный вывод о величине шумов на ларморовских частотах делать нельзя,
но в области перекрытия зонд не ловит колебания электрон-ларморовских частот.
В то же время ленгмюровские частоты, соответствующие характерному диапазону
11 3 123
р р
концентрации электронов 1011 см
~3
пе
у рр
1012см~3 лежат в пределах
G.5.20)
и хорошо проявляются на спектрограммах.
Локализация источников шумов. На рис. 7.5.46 типичные распределения уровня
шумов вдоль канала при двух частотах f\ = 1,9 ГГц и f\ = 4,0Ггц. Видно, что
амплитуда шумов резко возрастает в зоне ионизации и вблизи среза канала.
I
ддддл
VWW
Ш^7л
1а
Вт
16
м'МГц
4,0 ГГц
1,95 ГГц
20
40
60
80 z,mm
40 г, мм
Рис. 7.5.4. Уровни СВЧ-шумов в канале СПД: а — зоны с априори повышенным уровнем
шумов, I — катод, 1а — зона ионизации, 16 — пристеночная зона, II — зона входа электронов
из катода в магнитное поле канала, III — зона захвата электронов уходящим ионным потоком;
б — распределение уровня шумов разной частоты по длине канала: первый максимум соот-
соответствует зоне ионизации, второй — окрестности катода; в — распределение интенсивности
шумов по радиусу
400 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
На рис. 7.5.4в даны аналогичные распределения по радиусу амплитуды шумов
для частот /i = 1,7 ГГц и f\ = 4,5 ГГц. Уровень шумов вблизи наружного
изолятора существенно больше чем у наружного. Детали распределения амплитуды
шумов и максимальные значения этих амплитуд для различных моделей и режимов
работы СПД варьируются, но качественный вид не меняется. На рис. 7.5.4а схема-
схематически заштрихованы зоны генерации шумов. Видно, что они связаны с местами,
где возникают группы электронов с различными скоростями. Действительно, в зоне
ионизации вновь родившиеся электроны взаимодействуют с электронами, "давно"
дрейфующими по азимуту. Вблизи изоляторов опять-таки дрейфующие по азимуту
электроны "сталкиваются" с идущим от стенки заторможенным потоком. Более того,
как мы видели выше (п. 7.3.1), раскачка колебаний на ленгмюровских частотах
может возникать и в том случае, когда температура Те падающих на изолятор
электронов приближается к первому порогу размножения е*.
Характерной особенностью радиального распределения интенсивности шумов
(рис. 7.5.5) является резкая асимметрия между окрестностями внутреннего и на-
наружного изоляторов. Но эта асимметрия прекрасно согласуется как с особенностями
электронных траекторий, так и с особенностями ПП.
Шумит также зона выхода из канала. Интерпретация процессов в этой зоне,
приводящих к генерации шумов на выходе из канала, сложнее. В принципе здесь есть
два совершенно разных процесса. Один — это "квазиомический" бесстолкновитель-
ный захват в магнитном поле электронов, идущих от катода в канал. Другой — это
захват электронов из того же источника в уходящую плазменную струю. Первый из
них принципиально связан с электрон-ионным взаимодействием, и поэтому он дол-
должен быть относительно низкочастотным. И действительно, здесь преобладают шумы
с частотами ~ 0, 5-0,8/,ГГц. Второй процесс может быть электрон-электронным,
т. е. проходить на ленгмюровских частотах.
Указание на возможность срыва ДС. Срыв ДС или отсутствие срыва должны
существенно влиять на характер СВЧ-колебаний в канале СПД. Показано, что
огибающая СВЧ-излучения имеет хаотически расположенные по времени выбросы
длительностью до ~ 100 мкс и находящиеся друг от друга на расстояниях ~ 100—
500 мкс. Интерпретация выбросов огибающей как результат срыва ДС представляет-
представляется вполне естественной.
7.5.5. Эрозия изоляторов в СПД. Фокусировка ионного потока в СПД далека
от идеала, и часть ускоренных ионов выпадает на стенки, вызывая их распыление.
Кроме того, вблизи стенок, благодаря наличию скрещенных полей, течет электрон-
электронный пристеночный ток, и это приводит к новым эффектам (Б. А. Архипов, Р. Ю Гни-
здор, Н.А. Масленников, А. И. Морозов, [180]).
На моделях СПД первого поколения, где велика расходимость ионного потока,
в течение первых ~ 500 часов эрозия проявляется только в виде "щучьего языка",
которая представляет собой ориентированные вдоль азимута заостренные выступы,
наклоненные навстречу падающему потоку, расстояние между которыми (вдоль z)
порядка 0,1-0,2 мм. Появление указанной структуры — назовем ее классической,
визуально создает "муаровый" рисунок. В течение указанного времени стачивается
~ 2,5-3 мм изолятора, и его профиль (в (г, ^-плоскости) "подстраивается" под
профиль ионного потока. В результате ионное распыление существенно ослабляется
и начинает проявляться "аномальная" эрозия. Её первые признаки — это появление
все углубляющихся "царапин", ориентированных преимущественно вдоль канала.
Эти "царапины" в СПД М-100, после появления, приобретают через ~ 500 часов
длину ~ 5 мм, ширину ~ 1мм и глубину ~ 1мм. Боковые поверхности "царапин"
носят "рваный" характер, а расположены они на более или менее равных расстояниях
7.6. Примеры приэлектродных процессов
401
Рис. 7.5.5. Характер аномальной эрозии изоляторов СПД: а — общий вид СПД М-100 после
5000 часов работы; б — характер эрозии выходной кромки наружного изолятора; в — эрозия
выходной кромки внутреннего изолятора
друг от друга ~ 1-2 мм. Это расстояние масштаба электронного ларморовского ради-
радиуса. Со временем эта картина эволюционирует и через ~ 1500 часов принимает свой
"окончательный" вид (рис. 7.5.5). Теперь скорость эрозии уменьшается раза в два
и стабилизируется на уровне ~ 2-3 мкм/час. Установившаяся макроструктура имеет
ряд особенностей. Во-первых, видна асимметрия эрозии внешнего и внутреннего
изоляторов. На внешнем изоляторе структура выявляется "резко", а на внутреннем
эрозионные образования выражены значительно слабее, а очертания их относитель-
относительно плавные, как бы смазанные. Другой важной особенностью является наличие
следов эрозии в "затененных" от прямого попадания ионов участках изолятора.
Периодичность структуры аномальной эрозии остается все время одинаковой —
масштаба электронного ларморовского радиуса ре. Удивительно, что интегральные
характеристики (разрядный ток, тяга, кпд) при постоянном расходе т и разрядном
напряжении Up практически не изменяются в течение > 7000 часов работы, несмотря
на то, что выходная часть изолятора полностью "стачивается", и начинается стачи-
стачивание магнитных полюсов. В то же время уровень СВЧ-шумов ведет себя совсем
иначе. Сначала на новой модели он на квазиравновесном уровне, определяемом Те,
затем быстро растёт, превосходит тепловой уровень в ~ 102-103 раз и достигает
максимального значения на стадии развития "царапин" аномальной эрозии, а затем
убывает примерно 10 раз при переходе к установившемуся профилю эрозии.
Аномальная эрозия, хотя детали ее не очень ясны, безусловно связана с элек-
электронной компонентой. Об этом говорят следующие факты:
а) более сильная эрозия наружного изолятора;
б) электронный масштаб периода структуры;
в) характер "промоин", которые ориентированы вдоль потока;
г) поведение СВЧ-колебаний, связанное с перестройкой поверхностной структуры
и т.д.
Аналогом, похоже, может считаться эрозия изоляторов в эрозионных космических
двигателях (п. 7.4.2)
Можно сказать, что трудно придумать более явный аргумент в пользу большой
роли прямых столкновений электронов со стенками, чем явление аномальной эрозии.
7.6. Примеры приэлектродных процессов
В предыдущих трех параграфах мы рассматривали процессы около диэлектри-
диэлектрических (точнее, бестоковых) стенок. Теперь рассмотрим несколько примеров при-
приэлектродных процессов, т. е. процессов, происходящих при протекании тока через
границу раздела "плазма-ТТ".
402
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Начнем с одной простой модели, которая может служить некоторой точкой
отсчета в случае термокатодов.
7.6.1. Формула Маккоуна. Система уравнений Власова позволяет описывать
не только дебаевские слои на изолированных (и, прежде всего, диэлектрических)
поверхностях, но и приэлектродные — "токопроводя-
щие", слои. Простейший случай такого слоя был в свое
время рассмотрен Маккоуном. Это слой между неогра-
неограниченно эмитирующим катодом и плазменным столбом.
Для простоты будем считать, что имеется плоский катод
(плоскость х = 0), который эмитирует в плазму поток
холодных электронов с плотностью тока je.
Из плазмы на катод идет поток холодных ионов
с плотностью ji. Плотность тока в рассматриваемом
промежутке будет равна j = ji + je. Начальные ско-
скорости и ионов, и электронов считаем равными нулю
(рис. 7.6.1).
Требуется рассчитать распределение электрического
поля в прикатодном слое при условии, что в глубине
плазмы (формально при х —> — оо) напряженность элек-
электрического поля можно считать равной нулю, а потенци-
потенциал — заданным, т. е.
Рис. 7.6.1. К выводу фор-
формулы Маккоуна: I — ква-
квазинейтральная плазма, II —
область объёмного заряда
(Пе ф Пг), Ш — ЭМИТИруЮ-
Й термокатод
U.
G.6.1)
Потенциал катода примем равным нулю (Ф@) = 0). Расчёт для простоты проведем
в гидродинамическом приближении.
В силу уравнений непрерывности и сделанных предположений можно написать
следующие выражения для плотностей заряженных частиц:
щ =
Л
пе, =
Je
2е(Ц-Ф)
М
Подставляя эти значения в уравнение Пуассона, получаем
dx2
= —4тге
Ji
Je
2е(и-Ф) /2еФ
м eV
G.6.2)
Отсюда находим
8тг
G.6.3)
Постоянная интегрирования С определяется из условия G.6.1) и оказывается равной
l2mU
С = ~je
С помощью G.6.3) определяется напряженность поля около катода:
/2
е
G.6.4)
G.6.5)
7.6. Примеры приэлектродных процессов 403
Это выражение и называют формулой Маккоуна.
В частном случае, когда вытягиваемый из катода электронный ток меньше тока
насыщения Ричардсона-Дешмана, на катоде можно положить ЕШТ = 0. Тогда
G.6.6)
Это соотношение между плотностями токов в реальных условиях выполняется
с разумным приближением лишь в редких случаях. Как правило же, доля ионного
тока оказывается несравненно больше той, которая следует из G.6.6). Существует
ряд причин, ответственных за это явление. Это объясняется, в частности, необходи-
необходимостью достаточно большого потока ионов для компенсации потерь энергии катодом
за счет его теплопроводности, теплового излучения, а также потерей, обязанной
работе выхода электронов. Конкретными же механизмами, вызывающими большой
поток ионов на катод, являются отличие Екат от нуля, шероховатость катода, неустой-
неустойчивости и т. п.
7.6.2. Приэлектродные слои в тлеющих и дуговых разрядах. В разделе 6.6
было начато рассмотрение двух типов классических разрядов: тлеющих (ТР) и дуго-
дуговых (ДР). Там сравнительно подробно говорилось только о положительных столбах:
неравновесном — в ТР и равновесном — в ДР. В данном параграфе рассматри-
рассматриваются приэлектродные области этих разрядов. Мы ограничимся разрядами при
относительно высоких давлениях (р > 10~2Тор), когда свободные пробеги частиц
достаточно малы по сравнению с размерами газоразрядных объёмов. Это позволит
нам пользоваться гидродинамическими моделями.
Прикатодная область тлеющего разряда [183]
В тлеющих разрядах катод обычно холодный, и около него образуется спе-
специфическая плазменная структура. Распределение параметров в прикатодной зоне
схематически изображено на рис. 7.6.2. Неожиданным оказалось то, что между
собственно катодом и положительным столбом располагаются 5(!) слоев. Это:
- астоново тёмное пространство (АТП);
- катодное свечение (КС-е);
- круксово тёмное пространство (КТП);
- отрицательное (или тлеющее) свечение (ОС);
- фарадеево тёмное пространство (ФТП).
И только после этого идёт положительный столб, о котором речь шла в разделе 6.6.
Внешне эта структура сравнительно слабо зависит от давления.
Перенос тока через переход "плазменный объём"-твердотельный холодный элек-
электрод осуществляется потоком ионов, идущих из плазмы, и выбиваемыми ими из
электрода "вторичными" электронами.
Как видно из распределения потенциала, а еще лучше — напряженности элек-
электрического поля, в прикатодной области четко выделяются две области: область
большого перепада потенциала, включающая в себя АТП, КС-е, КТП, и область
с малой напряженности Е-поля, включая участок, где Е-поле может изменять знак.
Сюда входят главным образом ОС и часть ФТП.
Первая из указанных областей, которую часто называют просто катодным слоем,
является основным блоком ТР, нарушение которого — например, при сближении
электродов, приводит к погасанию разряда. На эту область приходится основное
падение напряжения, приложенного к электродам ТР. Поэтому целесообразно рас-
рассмотреть ее ВАХ.
404
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Темное астоново Темное катодное Темное фарадеево Темное анодное
пространство
пространство
пространство
пространство
К/?:: :?::::?: •>!•»»::::%: ПоЛОЖИТСЛЬНЫЙ =:
У::\::::::::: ч ::::::::: столб
Катодное Отрицательное Анодное
свечение свечение свечение
Рис. 7.6.2. Картина тлеющего разряда в трубке вместе с приэлектродными областями: распре-
распределения интенсивности свечения J, потенциала ср, продольного поля Е, плотностей электрон-
электронного и ионного токов je, ji и зарядов пе и щ, объёмного заряда р = е(пг — пе)
Из приведенных на рис. 7.6.2 распределений плотностей электронов и ионов
в катодном слое видно, что здесь нарушается квазинейтральность и преобладают
ионы. Поэтому из уравнения Максвелла получаем в одномерном случае связь Е и щ
dE
——
ах
G.6.7)
Эксперименты показывают, что в катодном слое спад Е(х) происходит по закону,
близкому к линейному
(^ G.6.8)
Здесь d— толщина слоя, Eq — напряженность на поверхности катода. Подставляя
G.113) в G.112), получаем связь Eq, d и щ:
Eq = Aireriid. G.6.9)
Для следующего шага учтем, что для поддержания стационарного разряда необ-
необходимо, чтобы каждый электрон, выбитый из катода, двигаясь в плазменном объёме,
должен осуществить столько актов ионизации, сколько в среднем ионов требуется
для выхода одного электрона. Если 7 — число вторичных электронов, выбиваемых
одним ионом, реально величина 7 <^ 1> то каждый электрон должен осуществить
1/7 актов ионизации.
Для этого процесс должен идти каскадным образом. А именно, вылетевший
из катода электрон набирает энергию в Е-поле и, столкнувшись с нейтралом,
вызывает "первую" ионизацию. В результате получаются два электрона, которые
опять набирают энергию, достаточную для ионизации, и теперь порождают еще два
электрона, и т. д. Размеры катодного слоя и напряженность поля в нем автоматически
подстраиваются так, чтобы обеспечить нужное число актов ионизации. Развитие
7.6. Примеры приэлектродных процессов
405
лавины идет в соответствии с уравнением
dN
dx
= aN или N = exp •
adx
Здесь N — число электронов, порождаемых одним ("катодным") электроном на
расстоянии х от катода. Величину а называют "первым ионизационным коэффици-
коэффициентом Таунсенда". Величина а зависит от давления и напряженности электрического
поля. Очевидно, что а ~ щ ~ р — концентрация нейтралов, а кроме того а должно
зависеть от энергии, набираемой электроном на длине свободного пробега
л Е Е
? = EX rsj — rsj —.
п р
Таким образом, зависимость а от р и Е в первом приближении следует ожидать
в виде
И действительно, как последовательный теоретический анализ, так и эксперимент
хорошо подтверждают этот закон подобия.
Исходя из неких наводящих соображений и экспериментальных данных, Таундсен
предложил следующую формулу О
( В
а=рАехр\-щ
Постоянные Аи В зависят от природы газа, наполняющего трубку. Вот несколько
характерных примеров.
1. Аргон
2. Азот
3. Водород
4. Ксенон
5. Ртуть
А, (см-Тор) 1
12
8,8
5
26
20
В, В/см-Тор
180
275
139
350
320
Е/р, В/см-Тор
100-600
27-200
22-1000
200-800
200-600
В соответствии со всем сказанным для катодного слоя получаем следующие
уравнения для равновесия разряда
1
7
= ехр
а = Ар ехр < —
Е/р
G.6.10а)
Эти уравнения при известных 7, А, В, р дают нам еще одну связь Eq и d.
Чтобы замкнуть систему уравнений нам надо определить щ. Но если принять
связь щ с разрядным током jp, который равен 2)
Эр ~ Эг =
1,
G.6.106)
1) Странный на первый взгляд аргумент экспоненты становится понятным, если учесть, что
Те - EX.
2) Ток в катодном слое переносится в основном ионами (рис. 7.6.2)
406
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
то мы получаем вольтамперную характеристику катодного слоя
j = F(Uk), Uk=Eod,
К сожалению, следующую из равенств G.6.10), связь Eq и d трудно запи-
записать в аналитической форме, но ее нетрудно рассчитать численно. Получающиеся
в результате ВАХ изображены на рис. 7.6.3. Особенностью этих кривых является
наличие минимума.
И вот здесь физики столкнулись с парадок-
парадоксальной ситуацией. Оказывается, что устойчивы-
устойчивыми являются только режимы, соответствующие
минимуму ВАХ . Точнее, если мы попробуем,
изменяя напряжение, увеличить или уменьшить
плотность тока в условиях, когда катодное пятно
занимает только часть катода, то плотность то-
тока на катоде не изменится, а просто произойдет
соответствующее расширение площади катодного
пятна. При этом напряжение на разряде практи-
практически не изменится. Уменьшение разрядного тока
сопровождается уменьшением площади катодного
пятна. Такого рода режим называют "нормальным
ТР". Но если при возрастании разрядного тока
катодное пятно займет всю поверхность, то даль-
дальнейшее увеличение тока ведет к крутому росту
разрядного напряжения. Этот режим называют
"аномальным тлеющим разрядом" и при неком на-
напряжении, зависящим от особенности конструк-
конструкции системы, разряд из тлеющего превращается в дуговой (рис. 7.6.4). Отмеченная
особенность катодных пятен нормального ТР долго оставалась загадочной и была
объяснена только в начале 1980-х годов после проведения численных двумерных
расчётов катодной области. Было показано, что это явление объясняется структурой
эквипотенциалей вблизи катода, который делает другие распределения тока на катоде
в стационарном режиме неустойчивыми [183].
Рис. 7.6.4. Вольтамперная характеристика разря-
разряда между электродами в широком диапазоне то-
токов и нагрузочная прямая: А — область несамо-
несамостоятельного разряда, ВС — темный таунсендов-
ский разряд, ДЕ — нормальный тлеющий разряд,
EF — аномальный тлеющий разряд, FG — пере-
переход в дуговой разряд, GH — дуговой разряд
1(
Г2
1 10 1(Г
ю3 У
Рис. 7.6.3. "Теоретическая" ВАХ
тлеющего разряда
Теперь коротко рассмотрим вторую квазинейтральную часть катодной области.
В этой подобласти, точнее в ОС, идет интенсивная ионизация газа электронами,
разогнанными и нагретыми в катодном слое. Здесь возникают те ионы, которые
бомбардируют катод, и электроны, которые потом будут переносить ток в начале
положительного столба. В ОС плотность плазмы выше, чем в других областях,
и растекание плазмы, как и перенос тока, происходит преимущественно за счет
Vpe. Поэтому в основной части ОС электрическое поле мало и может даже иметь
7.6. Примеры приэлектродных процессов
407
отрицательное направление. Благодаря этому слой ОС становится ловушкой для
ионов. Перенос тока от слоя ОС к ПС за счет Vpe ведет к тому, что здесь суще-
существенно понижается Те и, как следствие, резко ослабляется свечение. Так возникает
фарадеево тёмное пространство. А дальше появляется Е-поле, и появляется ПС.
Аккуратное описание прикатодной области в целом требует большой системы дву-
двумерных уравнений с учетом динамики энергии электронов и трансформации тяжелых
частиц. Поэтому даже сейчас нельзя сказать, что исследования здесь закончены.
7.6.3. Окрестность дугового термокатода. Катоды дуговых разрядов несколь-
несколько условно можно разбить на два больших класса: термокатоды ("горячие" катоды)
и "холодные" катоды. О процессах около холодных катодов мы скажем в следующем
пункте, а здесь коротко отметим особенность того, что происходит около термокато-
да.
На первый взгляд могло бы показаться, что процессы в катодных областях ДР
с термокатодами предельно просты и описываются уравнением Маккоуна G.6.5).
Однако, во многом это не так. И здесь несколько причин. Одна из них — это малые
толщины прикатодных слоев в дугах при нормальном давлении, а тем более при
высоких давлениях. Так при нормальном давлении окружающего воздуха и полной
его ионизации имеем п ~ 1018см~3 и, следовательно,
При Те ~ 5 эВ характерная скорость электронов ve
дебаевский радиус
2-Ю8 . ,Л_Я
2- 108см/с и, следовательно,
Эта величина порядка 0,1 длины волны желтой линии.
В связи с этим структура слоя долж-
должна быть чувствительна к шероховатостям
поверхности катода и его "пятнистости" —
т. е. наличии на поверхности катода разных
пленок.
Второй причиной, усложняющей анализ
интересующей нас области, является доста-
достаточно высокий уровень энерговыделения,
что ведет к'плавлению и испарению катода,
а также вызывает достаточно интенсивные
термо-электро-химические реакции — в том
числе "отравление" катода. Но может быть
и обратная ситуация. Так, гафний (Ш), ис-
используемый в качестве катода ДР в возду-
воздухе, активируется в процессе разряда благо-
благодаря образованию на его поверхности нит-
нитрида гафния (HfN) — красивого соединения
золотистого цвета, с высокой эмиссионной
способностью.
В общем случае за счет неизбеж-
неизбежных примесей в практически используемых
электродных материалах и примесей в окру-
окружающих газах (воздух, аргон) вблизи конца
электрода обычно образуются многослой-
многослойные структуры (рис. 7.6.5). Кроме того,
Рис. 7.6.5. Многослойная структура в объ-
объёме термохимического катода из циркония
(Zr) в медной оболочке (Си) после работы
в воздухе ~ 1 ч., J = 100 А. 1 — неповре-
неповрежденный Zr, 2 — зона расплава, 3 — зона
реакций в твердой фазе, 4 — зона реакции
в'жидкой фазе, 5 — активная поверхность
катода
408
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
здесь же наблюдается рост в катоде монокристаллов, ориентированных вдоль теку-
текущего тока. И этот список осложняющих обстоятельств можно было бы продолжить.
По этим причинам мы не будем описывать достаточно индивидуальные модели
термокатодов ДР, а отметим два существенных момента.
Термокатоды обычно работают — в зависимости от разрядного тока, в двух
режимах: "с катодным пятном" и в "диффузном" режиме. В первом случае удельная
эрозия катода больше, во втором — меньше.
Теоретические модели прикатодного слоя ДР носят, в силу сказанного выше,
качественный характер. Чаще других говорится о двухслойной модели прикатодной
зоны (рис. 7.6.6).
На рисунке приведены распределения параметров плазмы в прикатодной зоне, со-
соответствующие двухслойной модели. Первый слой — слой объёмного заряда, меньше
длины свободного пробега ионов и электронов 0. В нем вследствие относительно
большой доли ионного тока возникает избыточный положительный пространствен-
пространственный заряд, приводящий к появлению скачка потенциала у поверхности катода. Доля
ионного тока в первом слое постоянна. Второй слой разделяет первый слой и столб
дуги называется ионизационным; в нем выполняется условие квазинейтральности
и происходит интенсивная генерация заряженных частиц за счет энергии, приобре-
приобретенной электронами в первом слое, как и в ОС тлеющего разряда.
JJeJi
Рис. 7.6.6. Двуслойная модель прикатодной зоны в дуговом разряде с термокатодом. Рас-
Распределение тока j (а); концентрации электронов и ионов (б) и электрического поля (в)
в прикатодной области
Доля электронного тока S(z) растёт от S ~ 0,7-0,9 у поверхности катода до S =
= be/(be + hi) в столбе разряда (be, hi — подвижности электронов и ионов). Большая
величина ионного тока, поддерживаемая процессами, происходящими во втором
слое, обеспечивает образование избытка положительного заряда и скачка потенциала
в первом слое. Таким образом, процессы в обоих слоях тесно связаны друг с другом.
Приносимая на поверхность катода ионами энергия затрачивается на нагрев до
температуры, необходимой для эмиссии.
Из сказанного ясно, что процессы в прикатодной области дуги должны суще-
существенно зависеть от свойств поверхности и материала катода, его геометрии и усло-
условий охлаждения. Например, если материал катода обладает повышенной работой
1) В идеале, слой Маккоуна.
7.6. Примеры приэлектродных процессов 409
выхода, то для обеспечения необходимой эмиссии электронов требуется поднять
температуру поверхности. Но для этого следует увеличить тепловой поток на поверх-
поверхности из прикатодной области, что может быть обеспечено перестройкой процессов
в ней, приводящих к росту катодного падения потенциала.
Минимальную величину прикатодного скачка потенциала — без учета теплопро-
теплопроводности катода и его излучения, можно оценить по формуле
min Uk =
\-S'
Здесь фе — работа выхода электрона, которая ~ 3—5эВ и, следовательно, при S ~
^0,8 имеем min Uk ~ A5-25) В.
7.6.4. Пятна на холодном катоде. Дугу с холодным катодом обычно зажи-
зажигают путем кратковременного контакта подвижного анода (или вспомогательно-
вспомогательного электрода-игнитора) с холодным катодом. Хорошо известным примером может
служить зажигание дуги при электросварке. В месте контакта — при достаточно
больших токах, происходит сильный разогрев электродов, начинается испарение
контактирующих участков, образующиеся пары ионизуются, и зажигается дуга.
Если разряд длительный, то эволюция катодного пятна существенно зависит от
того, может ли катод нагреться до температур, при которых термоэмиссия обеспе-
обеспечивает разрядный ток, или его температура кипения слишком низка и необходимые
значения термоэмиссии не достижимы. В первом случае спустя некоторое время
возникает стационарная более или менее однородная эмиттирующая зона с малой
скоростью эрозии, а во втором — на катоде появляются мелкие пятна, сохраняю-
сохраняющиеся все время. Всюду ниже, говоря о длительных разрядах, будем иметь в виду
катоды с низкой температурой кипения.
Эти пятна наблюдаются в очень широком диапазоне разрядных токов — от деся-
десятых долей ампера до тысяч ампер и выше, как в классических устройствах (например,
в ртутных выпрямителях или на разрываемых сильноточных электроконтактах), так
и в плазменных ускорителях с холодными катодами (см.ниже). Пятна вызывают
сильную эрозию материала катода, причём продукты эрозии выбрасываются в виде
ионизованного пара и капель с характерным диаметром порядка нескольких мик-
микрон 0. Генерация плазмы катодным пятном приводит к тому, что его характеристики
сравнительно слабо зависят от давления окружающей среды, по крайней мере,
в пределах от 0 до 1 атм. В связи с широким распространением в свое время ртутных
выпрямителей процессы на холодных катодах изучались часто на приборах с ртутным
катодом.
В зависимости от разрядного тока и скорости перемещения катодной зоны по
электроду (или времени, прошедшего с момента начала разряда) можно говорить
о трех типах пятен, которые наблюдаются на катоде [184].
"Быстрые" пятна ("ячейки" по И. Г. Кесаеву) — это структуры с характерными
размерами ~ 1-10мкм и током в каждом пятне ~ 0,1-1 А. Они быстро переме-
перемещаются по поверхности катода со скоростью несколько десятков метров в'секунду,
оставляя специфические неглубокие (~ 0, 1-0,3 мкм) повреждения в виде "елочек"
или "веточек" (рис. 7.6.76,в).
"Медленные" пятна наблюдаются при разрядных токах более 100-300 А. Они
имеют размер ~ 0, 1 мм и перемещаются со скоростью нескольких метров в секунду.
На рис. 7.6.7а изображены следы медленных пятен. При разрядных токах ~ 1000 А
характерные значения тока в одном пятне ~ 200-500 А (медь).
1) То есть здесь мы имеем взрывную эмиссию.
410
Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
а 10 мм б ¦ ^^—••> - 1 мм в 1ММ
Рис. 7.6.7. Различные типы следов эрозии холодного катода дугового разряда при разных
скоростях движения катодного пятна: а — v = 0.2 м/с, Jp = 400 А; б — v = 20.2 м/с, Jp = 40 А;
в — v = 60 м/с, Jp = 100 А
"Неподвижные" пятна наблюдаются в условиях, когда дуга при токе ~ 100 А и бо-
более стационарно горит между двумя достаточно близко расположенными электрода-
электродами. Существование неподвижной дуги сопровождается образованием расплавленного
пятна. Эти типы пятен хорошо видны на рис. 7.6.8 [185].
Рис. 7.6.8. Фотография медленных катодных пятен на цинковом электроде при силе тока Jp ~
« 103А. Межэлектродный зазор — 2 мм
По своим свойствам наиболее любопытными являются быстрые пятна. Отметим
некоторые из их особенностей.
1. Размеры пятен по разным оценкам лежат в пределах 1-10 мкм.
2. Движение пятен хаотично, и смещение их подчиняется стохастическому закону
х2 ~t.
3. "Квантование" тока. В широком диапазоне разрядных токов ток в одной ячейке
изменяется в сравнительно узких пределах от некого минимального Jo до
максимального < 3Jo. Если разрядный ток становится меньше Jo, то разряд
погасает, а если больше 3Jo, то пятно делится на два. Величина Jo зависит от
температуры кипения материала катода и его теплопроводности. Характерные
значения Jo следующие
7.6. Примеры приэлектродных процессов
411
Hg- 0,07 А, А1 - 1А, Fe- 1,5 А, Си - 1,5 А.
4. Оценки показывают, что характерные плотности тока в ячейках ~ 105-
106А/см2. Такие большие плотности тока указывают на взрывной характер
эмиссии.
5. Время жизни ячеек (время пребывания на одном месте) ~ 10~4—10~6.
6. Катодное падение потенциала лежит обычно в пределах ~ 10—15 В.
7. Парадоксально, но факт: при наложении магнитного поля параллельно по-
поверхности катодные пятна движутся не по направлению амперовой силы, а в
противоположном направлении.
7.6.5. О прианодных слоях в ТР и ДР. Эти слои возникают при контакте поло-
положительных столбов ТР и ДР с токоприемным металлическим анодом. Характерным
проявлением этих слоев является наличие АПП — "анодного падения потенциала"
А Уд. Это падение может быть как положительным, так и'отрицательным.
Появление AVa того или иного знака определяется большим числом разных
факторов. Первый критерий знака AVa был сформирован Ленгмюром и Мотт-
Смитом. Они связали знак AVa с величиной Л отношения плотности хаотического
к плотности разрядного тока jp, т. е. величиной
•(х)
электронного тока je
л =
А*)
Ъ
Если Л > 1, то по Ленгмюру и Мотт-Смиту AVa < 0, а если Л < 1, то AVa > 0.
Этот критерий во многих случаях позволяет предсказать знак А Уд.
Однако в этом критерии есть неопределенность: где брать значения jex , по-
поскольку наличие анода ведет к перестройке положительного столба на значительных
(порядка диаметра столба) расстояниях. Поэтому на знак AVa, особенно при Л ~ 1,
рассчитанном по параметрам положительного столба, влияет материал электродов,
геометрия электродов, давление и др.
Абсолютные величины А Уд < 0
порядка кТе/е, а А Уд > 0, порядка
потенциала ионизации. Теоретиче-
Теоретический анализ реально стал возможен
только при появлении достаточно
мощных компьютеров. Однако по-
пока рассчитывались только простей-
простейшие модели осесимметричной гео-
геометрии.
О том, что таких моделей
недостаточно, говорят удивитель-
удивительные фотографии (рис. 7.6.9) анод-
анодных пятен в тлеющем разряде.
В целом экспериментальные дан-
данные, касающиеся анодных слоев,
также весьма скромны. Сложность
процессов в прианодной зоне в су-
существенной степени связано с тем,
что электрод здесь не эмиттирует
частицы, в отличие от того, что мы
имеем на катоде.
Тем не менее, ряд достаточно общих черт прианодных процессов можно отметить.
Прежде всего очевидно, что независимо от знака AVa около анода имеется неквази-
Рис. 7.6.9. Примеры фигурных анодных пятен
412 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
нейтральный слой, где п+ ф пе. Если А Уд > 0, то он возникает из-за того, что ионы
не могут подойти к положительно заряженному аноду. И наоборот, если А Уд < О,
к нему затруднен подход электронов.
Более изученным является случай с А Уд > 0. Для этого режима (он чаще
наблюдается на слаботочных разрядах) характерно следующее. Прежде всего, наблю-
наблюдается переход положительного столба в тёмное анодное пространство, а на самом
аноде образуется покрывающая его яркая пленка. При увеличении давления пленка
становится неоднородной, на ней появляются выпуклые образования, и пленка распа-
распадается на отдельные пятна "перлы". Эти перлы составляют, как правило, правильные
фигуры. Иногда эти пятна быстро движутся, образуя светящиеся кольца.
При отрицательном А Уд или малом АУд > 0 на аноде светящаяся пленка отсут-
отсутствует.
Образование светящейся пленки при АУд > 0 понятно. Это результат того, что,
подходя к аноду, электроны набирают энергию, достаточную для ионизации ней-
нейтралов. Появление пятен — результат потери пленкой устойчивости. Возникающее
спонтанно утолщение повышает в данном месте потенциал плазмы, что способствует
добавочному притяжению электронов, идущих к аноду и росту первоначального
малого выступа.
7.6.6. Эрозия электродов и процессы в коаксиальных (квази)стационарных
ускорителях. Рассмотрим теперь эрозию электродов в "закритических" режимах
в сильноточных коаксиальных плазменных ускорителях (КПУ и др.), о которых речь
шла в п 3.7.2. Из приведенных там данных видно, что процессы на аноде и катоде
принципиально различны. В частности, в закритическом режиме на аноде мы имеем
тонкий слой — не прорисовываемый зондами, с большим скачком потенциала тогда,
как около катода скачок мал (^ 10В). Поскольку структуру этих слоев прорисовать
пока не удалось, ограничимся рассмотрением только следов эрозии электродов.
В отличие от обычной дуги, анод эродировал гораздо сильнее, чем катод. На
рис. 7.6.10 показаны следы эрозии центрального электрода в зависимости от поляр-
полярности. Видно, что при отрицательной полярности на электроде появляются следы
эрозии в виде изморози (рис. 7.6.10в), типичные для дуги на холодном катоде. Совсем
другая картина наблюдается при положительной полярности. Разрушения электрода
имеют троякий характер. Прежде всего, поверхность электрода испаряется, в резуль-
результате под микроскопом становятся хорошо видны фигуры травления и межкристалли-
межкристаллические промежутки. Далее, как правило, в этих промежутках появляются кратеры
диаметром ~ 0, 1-1 мм, некоторые из которых развиваются в широкие проплавленные
борозды (рис. 7.6.Юг). Наконец, на конце анода при каждом разряде образуется
круглое оплавленное пятно диаметром порядка сантиметра (рис. 7.6.10а). Наличие
травления, проплавленных борозд и мелких пятен свидетельствует о существовании
вблизи анода мощного, не очень устойчивого слоя. Наличие пятна на конце анода
свидетельствует о контрагировании разряда в этом месте.
Если анодом является наружный электрод (сопло), то на его выходной кромке
при работе на водороде заметно обгорание и частичное разрушение. Вряд ли можно
сомневаться, что обнаруженные следы эрозии анода обязаны слою магнитной изоля-
изоляции, толщина которого ~ ре.
7.7. Пылевая плазма
Под "пылевой плазмой" понимают плазму, содержащую наряду с обычным мик-
микрочастицами (атомами, молекулами, ионами и электронами), также макрочастицы —
пылинки, капли и т. п. В настоящее время в основном рассматриваются "пылинки"
7.7. Пылевая плазма
413
Рис. 7.6.10. Фотографии эрозии центрального электрода КПУ-1 в зависимости от его поляр-
полярности: а — анод, б — катод, в — катодные дорожки на протравленной поверхности электрода
(увеличение 60х), г — эрозионная структура анода в области проплавленной дорожки (увели-
(увеличение 130х)
размером ~ A-10) мкм. В буквальных обозначениях "область основных интересов"
сегодня выглядит так
b<^rd<^ld, ld~^—. G.7.1)
Здесь rid — концентрация макрочастиц, Ъ — ее радиус, го — дебаевский радиус
собственно плазмы.
Чаще всего в теории предполагается — а в эксперименте создаются, макрочасти-
макрочастицы сферической формы. Ниже газообразную компоненту плазмы мы будем называть
"фоновой плазмой". "Фоновая плазма" создается традиционным средствами: прямыми
разрядами (дуговыми, тлеющими), ВЧ-разрядами того или иного типа, ультрафио-
ультрафиолетовым облучением и т.п. Если пылинки не эмитируют электроны, а температура
414 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
электронов мала
к <?*, G.7.2)
т. е. меньше первого порога размножения при вторичной электронной эмиссии, то
пылинка заряжается отрицательно, причём в типичных условиях ее заряд
q = Zde~(\03-\04)e. G.7.3)
Здесь е — элементарный заряд. Ясно, что появление таких гигантов в обычной
(фоновой) плазме существенно сказывается на ее свойствах.
Очевидно, пылевую плазму можно рассматривать как своеобразную разновид-
разновидность трансформирующейся плазмы, о которой речь шла в предыдущей главе.
Впервые о плазме с пылью, по видимому, сказал в 1920-х годах все тот же
И. Ленгмюр. Однако серьезный интерес к запыленной плазме начал расти с 60-х
годов в связи с МГД-генераторами, работавшими на продуктах сгорания твёрдых
топлив. Несколько позднее проблемой пыли в плазме — причём в чисто утилитарном
плане, стали заниматься в конце 60-х-начале 70-х годов в связи с развитием
технологии плазменного напыления. Однако объектом интенсивных научных иссле-
исследований пылевая плазма стала только во второй половине 80-х годов. В нашей
стране ведущую роль в изучении пылевой плазмы играет коллектив В. Е. Фортова.
Существенный вклад в разработку теории этих систем внёс В. Н. Цытович.
Пылинки, о которых идет речь, могут быть занесены извне, но они могут
и спонтанно возникать в объёме в результате конденсации частиц фоновой плазмы.
Пыль весьма распространена в Космосе. Солнечная система, скорее всего, также
сформировалась из пылевого облака, и это типично для эволюции звездных систем.
При этом, благодаря излучению центрального скопления, пыль в существенной
степени была ионизована. Пыль появляется и вокруг космических аппаратов, и она
также ионизуется под действием Солнца, его излучения и солнечного ветра.
Нет сомнений, что физика пылевой плазмы сегодня находится в младенческом
возрасте: ее интенсивное и плодотворное развитие в будущем неизбежно.
7.7.1. Зарядка макрочастиц и их взаимодействие друг с другом.
Заряд макрочастиц. Выше мы отметили только один вариант зарядки макро-
макрочастицы: макрочастица не эмиттирует, а электронная температура фоновой плазмы
мала. При этих условиях макрочастица заряжается отрицательно. Если же под
действием того или иного фактора частица начинает эмиттировать электроны (тер-
(термоэмиссия, фотоэмиссия, вторичная электронная эмиссия при кТе > ?*), то макро-
макрочастица будет заряжаться положительно. Видно, что разнообразие электрического
состояния пылевой плазмы велико, особенно если учесть, что можно комбинировать
частицы с разными эмиссионными свойствами.
В частности, условие квазинейтральности пылевой плазмы имеет, очевидно, вид
(±)Z^en^ + ещ — епе = 0.
Отсюда видно, что если пыль заряжена положительно, то она может связывать основ-
основную часть электронов и таким образом сильно снижать проводимость. И наоборот.
Если q < 0, то величину q можно оценить из простого соображения: "типичному
электрону" (последнему!) должно хватить кинетической (тепловой) энергии, чтобы
достичь уже заряженную макрочастицу. Иными словами, т. к. кТе ~ qe/b, то
Zd ~ ^. G.7.4)
Из этой оценки и следуют указанные выше значения Zd.
7.7. Пылевая плазма
415
Поле каждой частицы окружено экранирующим слоем, которое и описывается на
расстоянии г >го обычным "потенциалом Юкавы"
• = — exp
г
НУ-
TD =
G.7.5а)
Однако на больших расстояниях, из-за неравновесного распределения ионов потен-
потенциал может убывать медленнее, например,
<?~^. G.7.56)
Взаимодействие макрочастиц. Ситуация с взаимодействием макрочастиц до-
достаточно сложная. Дело в том, что, благодаря большим размерам, макрочастицы
достаточно сильно экранируют потоки ионов, идущие к соседним частицам, и в ре-
результате между удаленными макрочастицами возникают силы притяжения. Поэтому
потенциальная энергия двух частиц имеет яму. Эта особенность приводит к тому,
что здесь можно говорить о разных фазовых состояниях совокупности макрочастиц:
- "газообразном", когда положение частиц нескоррелировано друг с другом;
- "жидком" — когда имеется сильная корреляция только на близких расстояниях;
- "твердом" ("кристаллическом") — когда корреляция имеет место на значитель-
значительном расстоянии.
Возможность существования разных фазовых состояний облака макрочастиц
в плазме можно связать с большими значениями коэффициентов неидеальности,
которых в пылевой плазме
kTd
к = (nxJ*\d
-1
G.7.6)
Численное моделирование показало, что "кристаллизация" наступает при К • lg Г ^ 4.
Рис. 7.7.1. "Кристалл" из пылевых частиц: ти-
типичное видеоизображение горизонтального сече-
сечения упорядоченной структуры частиц, получен-
полученной в приэлектродной области ВЧ-разряда. Пока-
Показана область 6,1 х 4,2 мм2, содержащая 392 ча-
частицы диаметром 6,9 мкм. Представленная струк-
структура имеет гексагональную решетку
Экспериментально поведение макрочастиц особенно хорошо наблюдать в ем-
емкостном ВЧ-разряде (рис. 7.7.1). Оказалось, что особенно четко кристаллизация
проявляется в расположении частиц в горизонтальных плоскостях. Что же касается
расположения вдоль вертикали (большую роль играет сила тяжести), то частицы вы-
выстраиваются строго одна за другой. При повышении температуры плазмы "кристалл"
переходит в "жидкое" состояние, а затем и в "газ".
7.7.2. Линейные колебания в однородной пылевой плазме при Н = 0. Появ-
Появление в фоновой плазме заряженной пыли естественно изменяет спектр ее колебаний.
Сейчас во всем диапазоне параметра неидеальности Г^ анализ можно сделать только
численно. Поэтому ниже мы ограничимся случаем, когда Г^ <С 1, то есть и пылевую
компоненту можно считать идеальной.
416 Гл. 7. Взаимодействие плазмы с поверхностями твёрдых тел
Тогда гидродинамическая система уравнений будет иметь вид (для изотермиче-
изотермического случая и q < 0)
dnd
— h div плул = 0
dt
Md f -^ h (vdV)vd ] = —eZ^V0 Vpdl
V <n ) rid
pd = kndTd]
*ча G77)
-^ +divnCKvCK = 0;
Г + (.vaV)va = -еа\7ф ; a = г, е;
Аф = — Атге(щ — ne —
Здесь мы считаем, что эффекты прилипания (эмиссия) к макрочастицам не играют
существенной роли.
Линеаризуя эту систему обычным образом и предполагая невозмущенную плазму
неподвижной, а волны плоскими
~ ехр {—iujt
получаем для продольных волн дисперсионное уравнение
6=1 9
99299
z uoz — с?п>с оо —
Его корни в предельных случаях имеют вид
9 9,99
r
Первые соответствуют ленгмюровским волнам, вторые — ионному звуку при
кг Be "С 1, третьи — пылевому звуку. Очевидно различие що и пео связано не с на-
нарушением квазинейтральности, а наличием отрицательно заряженных макрочастиц.
Глава 8
НЕУСТОЙЧИВОСТИ И САМООРГАНИЗАЦИЯ
ПЛАЗМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Данная глава целиком посвящена нестационарным процессам в плазменных си-
системах. Такие процессы уже рассматривались эпизодически в предыдущих главах.
Это были волны в однородных средах (гл. 2-3-4), колебания, связанные с процессом
ионизации (гл. 6), а также с недостаточной проводимостью в канале СПД (гл. 6).
Здесь же рассмотрение нестационарных явлений будет проведено с более общих
позиций. Однако надо сразу подчеркнуть, что множество нестационарных процессов
в плазменных системах необозримо и не только потому, что самих этих систем много.
Даже в отдельно взятых системах многообразие "колебаний" огромно и, как правило,
остается по-настоящему неизученным. В лабораторной практике примером этого
могут служить токамаки, в которых, несмотря на гигантские затраты (^ 30 млрд. $)
и около 50 лет исследований, остаются неясными многие динамические явления.
В данной главе мы не будем касаться линейных возмущений в однородных
средах (кроме п. 8.1.1), а будем рассматривать линейные возмущения в неоднородной
плазме, которым посвятим первые два параграфа 0. В третьем параграфе рассмотрим
квазиавтономные нелинейные структуры с помощью модельных уравнений. Далее
коснемся динамического хаоса и отметим некоторые важные черты турбулентных
течений как гидродинамических, так и плазменных. Закончим главу кратким описа-
описанием стабилизации колебаний с помощью обратных связей.
Особенности плазменных неустойчивостей. Одним из фундаментальных
свойств любых систем — природных или созданных человеком, является их
устойчивость или неустойчивость, т. е. способность сохранять или не сохранять
свое функционирование (состояние) в течение длительного промежутка времени при
наличии неизбежных внутренних (например, тепловых флуктуации) или внешних
небольших воздействий. Если система неустойчива, то спустя некоторое время
она либо гибнет, либо переходит в некое устойчивое состояние, и тогда говорят
о самоорганизации 2).
Плазма обладает огромным числом степеней свободы и поэтому практически
всегда проявляет тенденцию к самоорганизации, что в существенной степени связано
с дальнодействием электромагнитного взаимодействия частиц плазмы друг с другом.
В конечном счете, вся драматическая, более чем пятидесятилетняя, история
работ по управляемому термоядерному синтезу есть в большей степени борьба
с самоорганизацией плазмы. Но даже если получающаяся ПДС более или менее
соответствует расчётной схеме, она всегда "шумит". И это не только в лабораторных,
но и в природных плазменных системах. Яркий пример тому — Солнце. Казалось бы
шар и все. Но гигантская корона, огромные пятна, протуберанцы — все это результат
самоорганизации ПДС, которую извне ничто "не трогает".
х) Обзоры большого числа линейных неустойчивостей см. в [190] и [191].
2) В последние десятилетия пытаются создать общую науку о самоорганизации, названную
"синергетикой".
14 А. И. Морозов
418 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
Итак, плазмодинамические системы, практически всегда полны самоорганизую-
самоорганизующихся движений — "шумов" во всем диапазоне масштабов от размера системы (L)
и до дебаевского радиуса (го).
td < АЭф < L.
Здесь АЭф — пространственный масштаб "колебаний". При этом структуры колебаний,
как правило, весьма вычурны, нелинейны и чувствительны к вариациям внешних
условий. Понятие "самоорганизация" весьма адекватно отражает важнейшее свой-
свойство плазменных систем. Поэтому "подстроиться" под плазменный "нрав" и создать
устройство, выполняющее нужную работу, всегда очень трудно.
Термином "колебания", которым обычно пользуются, хотя он во многом неадеква-
неадекватен сути, будем пользоваться и мы. В существенной степени он идет от начальной
стадии теоретических исследований плазменных систем, когда изучались только
линейные возмущения систем. При этом особое внимание уделялось поиску нарас-
нарастающих во времени возмущений, т.е. неустойчивости плазменных конфигураций.
Постоянно круг исследуемых возмущений расширялся. Большое внимание стали
уделять нелинейным возмущениям, и тогда появился термин "коллективные процес-
процессы". Его также с трудом можно принять, так как в любой сплошной среде подав-
подавляющая часть процессов носит коллективный характер и не связана со спецификой
плазмы и ее возмущений. Но оставим эту терминологическую дискуссию и перейдем
к сути дела.
Колебания (включая сюда и процессы самоорганизации) можно несколько условно
разбить на три группы.
В первую группу мы включим колебания с характерным масштабом
где L — определяющий размер плазменного образования в целом. Эти колебания
будем называть крупномасштабными или, в соответствующих случаях — низкоча-
низкочастотными.
В третью группу включим колебания с масштабами
А3 ~ A-10)тах(г?>,ре)-
Здесь ре — характерный ларморовский радиус электронов, а гд - радиус Дебая.
Колебания этой группы будем называть мелкомасштабными или — высокочастот-
высокочастотными. Частоты этих колебаний лежат обычно в диапазоне > 0,1 —1000 ГГц. Они
генерируются за счет различных "пучковых неустойчивостей" или трансформации
волн (см. ниже).
Наконец вторая группа колебаний, масштабы которых лежат в интервале
А3 <А2 < Аь
мы будем называть колебаниями средних масштабов. Они обычно сами по себе не
играют большой роли, но могут быть связующим звеном между крупно- и мелкомас-
мелкомасштабными колебаниями.
Ниже мы остановимся только на первой группе колебаний. Это объясняется тем,
что колебания второй группы обычно весьма индивидуальны, а примеры колебаний
третьей группы рассматривались в главах 3 и 6.
Крупномасштабные колебания должны, как правило, рассчитываться совместно
с "основной" конфигурацией, поскольку они быстро переходят на нелинейный уро-
уровень, превращаясь в самоорганизованные динамические структуры, чувствующие
граничные условия и характер системы в целом. Примером могут служить резуль-
8.1. Гидродинамические и плазменные неустойчивости
419
таты численных расчётов гибридной одномерной модели СПД, о котором говорилось
в разделе 6.7. Однако, несмотря на большую степень индивидуальности многих
крупномасштабных неустойчивостей, есть среди них ряд достаточно универсальных,
некоторые из которых мы здесь отметим.
Эти "универсальные" неустойчивости можно разбить на две группы: "неспе-
"неспецифические" и "специфические". В первую группу входят такие неустойчивости,
которые слабо связаны со спецификой плазмы и проявляются в других средах.
Такова, например, термическая (или джоулева) неустойчивость, которая возникает
в любой среде — твёрдой, жидкой, газообразной, если ее проводимость возрастает
с температурой.
Такого рода неустойчивости мы рассмотрим в первую очередь. А затем остано-
остановимся на неустойчивостях специфических для плазмы.
8.1. Примеры аналогичных между собой гидродинамических
и плазменных неустойчивостей
8.1.1. Перегревные ("джоулевы") неустойчивости. Простейшие системы, где
они могут проявляться - это некий проводящий столб, на противоположных торцах
которого расположены электроды (рис. 8.1.1). Примерами могут служить тлеющий
и дуговой разряды, бруски полупроводников и др. Для развития интересующей нас
неустойчивости нужно, чтобы проводимость среды достаточно сильно зависела от
температуры.
Уравнение для температуры возьмём в про-
простейшем виде
дТ
pCv^t =
(8.1.1)
Применительно к дуговому разряду это —
нестационарное уравнение Эленбааса-Геллера,
о котором уже говорилось в п. 6.10.2.
Будем считать, что в стационарном состоя-
состоянии джоулево энерговыделение (аоЕ2) уравно-
уравновешивается теплоотводом (d
а(Т0)Е2 + div (
= 0.
(8.1.2)
Рис. 8.1.1. Пример перегревной
неустойчивости (шнуровая неустойчи-
неустойчивость мощного тлеющего разряда)
Но вот по каким-то причинам стационарность нарушилась. Посмотрим, что
произойдет в простейшем случае, когда напряженность электрического поля Е не
изменяется, а теплопроводность к — величина, постоянная во всем объёме. Для
этого линеаризуем уравнение (8.1.1) в окрестности равновесной температуры То:
\ТХ\ «Го.
Тогда с учётом (8.1.2) при р = const, получим
дТх
<т(Т) = а0
J.1.3)
Опять-таки, ради простоты будем считать, что граничные условия позволяют
искать решение в виде плоских волн
Т\ =
(8.1.4)
14*
420 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
Тогда получаем
р= (а{Е2-як2). (8.1.5)
рСу V )
Отсюда видно, что есть два режима.
Устойчивое распределение температуры. В этом случае, возникшая по тем или
иным причинам, модуляция температуры затухает с декрементом
7 = -V = —(>ск2 - охЕ2) > 0, (8.1.6а)
то есть
Тх = Аехр{-7? + гк-х}. (8.1.66)
Этот режим реализуется, если велика роль теплопроводности, а проводимость срав-
сравнительно слабо зависит от температуры или мала напряженность электрического
поля.
Неустойчивое распределение температуры (р > 0) имеет место при условиях,
противоположных предыдущему случаю.
Разумеется, экспоненциальный рост возмущения температуры происходит только
на начальной стадии. Затем он замедляется.
Яркими примерами проявления указанной неустойчивости является "шнурование"
распределенного тлеющего разряда или сам факт горения дуги в виде сравнительно
тонкого плазменного столба между протяженными электродами. Как мы знаем,
зависимость проводимости от температуры может определяться не только ростом
подвижности электронов, но и увеличением степени ионизации.
8.1.2. Конвективные неустойчивости. Одной из универсальных форм движе-
движения сплошных сред является конвекция, обязанная наличию градиента температуры.
Большую роль конвекция играет в атмосфере, в водных объёмах и в ПДС, в которых
градиенты температур обычно особенно велики. В данном пункте мы рассмотрим
сначала критерий устойчивости слоя неравномерно нагретого обычного газа в поле
тяжести, а затем условия устойчивости плазмы с C <С 1 в магнитных полях открытых
ловушек и ловушек с замкнутыми магнитными силовыми линиями.
Условия конвекции газа (рис. 8.1.2). Выделим
на высоте z\ малый объём V\ и обозначим дав-
давление и плотность в нем через р\ и р\ и пред-
предположим, что он медленно смещается вверх на
расстояние 5z и приобретает объём V<}. Давление
и плотность окружающего газа на этой высоте
обозначим через р2 и 92- Теперь плотность газа
g / / \/ / / в рассматриваемом объёмчике будет определяться
~ уравнением адиабаты
7 Р% 7 /о 1 7\
9\\ = —9\ • (о.1./)
Pi
Рис. 8.1.2. К выводу условия устой- 3Десь учтено, что в объёме V2 давление равно
чивости по отношению к конвек- внешнему давлению. Если
ции неоднородного нагретого газа
Р\\> 92,
то состояние газа устойчиво, поскольку объёма V^ будет иметь удельный вес больше,
чем окружающий газ. Если же
р\\ < 92,
то V2 будет более легким и "всплытие" будет продолжаться.
8.1. Гидродинамические и плазменные неустойчивости
421
Учитывая, что
Р_
Р7
(8.1.8)
мы видим, что конвекция в среде отсутствует, если энтропия с высотой растёт [13].
Конвекция редкой плазмы в МГД модели при замкнутых магнитных силовых
линиях. Об этой конвекции уже шла речь в разделе 1.7, где она рассматривалась
с помощью дрейфовых уравнений [194, 195]. Здесь же опишем ее гидродинамически
[196].
Рис. 8.1.3. К выводу условия неустойчивости плазменной конфигурации с замкнутыми сило-
силовыми линиями
На рис. 8.1.3 схематически изображена конфигурация с замкнутыми силовыми
линиями — для определенности поля кольца с током. Выделим произвольную маг-
магнитную трубку с редкой плазмой (/3 <С 1). Предполагая, что известен удельный объём
магнитных трубок
' |, (8.1.9)
давление плазмы вдоль силовых линий — постоянное в силу (раздел 2.4). Давление
во всем плазменном объёме можно представить как функцию двух аргументов
= p(U,a)
(8.1.10)
Здесь а — любой параметр, например, азимут, вместе с U фиксирующий магнитную
силовую линию. Если система осесимметрична, то для координации магнитной сило-
силовой линии достаточно одного параметра U. Ограничимся этим случаем. Обобщения
на трёхмерных случай очевидно. Считаем, что к периферии ловушки U растёт.
Если теперь предположить, что произошла перестановка между положениями А и
В двух магнитных трубок с одинаковыми магнитными потоками, но разными U, то
масса в каждой из трубок не изменится из-за вмороженности, а изменится давление
в соответствии с уравнением адиабаты
p\U? =pnU^ = const.
Если изменённое давление р\ —>рц будет меньше, чем в равновесной конфигурации
(Р2Б) на месте нового положения трубки, то трубка не будет расширяться дальше,
и конфигурация устойчива.
Этот критерий устойчивости обычно пишется в виде (Б. Б. Кадомцев, [194])
dU
и
(8.1.11)
422 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
Отсюда следует, что для устойчивости необходимо, чтобы энтропия конфигурации
росла с увеличением U.
Примеры. 1. Z-пинч. Как уже оговаривалось, полученный критерий (8.1.11)
справедлив только для редкой плазмы. Поэтому он может быть пригоден только для
периферии стационарного диффузного Z-пинча. В этой области
/о 1 ю\
Т)(8.1.12)
Подставляя это выражение в (8.1.11), получим
PoUoo > Лг-2т. (8.1.13)
В частности для одноатомного газа 7 — 5/3 и закон спада на грани устойчивости
ро-г-10/3. (8.1.14)
Таким образом, даже при достаточно крутом спаде давления, Z-пинч может быть
устойчив по отношению к конвекции. Однако с более резкой границей плазма-поле
Z-пинч неустойчив.
Если, используя энергетический метод (см. п. 8.2.1), решить задачу об устойчи-
устойчивости Z-пинча без ограничения на плотность плазмы, то получим критерий устойчи-
устойчивости в виде
^>"Н^- (8.1.15)
d In r 2 + 7/3
Если /3 = Snp/H2 —> 0, то этот критерий совпадает с (8.1.14). Если теперь
учесть уравнение равновесия Z-пинча (п. 2.4.2), то можно получить следующие
параметрические формулы для риг, при которых пинч еще устойчив к перетяжкам
[196]
( (8ЛЛ6)
Здесь /3 = 8тгр/Н2, ро — давление плазмы в центре шнура, а — некий характерный
радиус шнура. Нетрудно видеть, что при /3^0 радиус г неограниченно растёт,
а давление при наличии равновесия
р~^. (8.1.17)
2. Диполь. Магнитное поле Земли на не слишком больших расстояниях от нее
близко к дипольному. В этой зоне существуют радиационные пояса 0. Эти плазмен-
плазменные образования, хотя и подвержены периодическим возмущениям под действием
солнечного ветра или в результате переполнения захваченными частицами, тем не
менее, могут считаться устойчивыми.
Особенно наглядно их устойчивость была проявлена в 1980-х годах, когда
небольшая комета врезалась в Юпитер. Юпитер также обладает магнитным полем
дипольного типа. Наблюдения с Земли показали, что плазменные конфигурации
поясов и магнитосферы в целом сохранились. Эта устойчивость поясов подтолкнула
японского астрофизика Хасегаву предложить плазменную ловушку в виде левитиру-
левитирующего сверхпроводящего кольца. Эта ловушка под названием "Диполь" сооружается
сейчас в США (рис. 10.5.9).
1) О них подробнее будет сказано в следующей главе.
8.1. Гидродинамические и плазменные неустойчивости
423
8.1.3. Гидродинамический резонанс Рэлея-Тимофеева. Рассматривая ленг-
мюровские волны в модели Власова, мы столкнулись с кинематическим резонансом
в пространстве скоростей
uj-kv = 0. (8.1.18)
Благодаря этому резонансу в зависимости от знака /$(уф), где Уф = и/х,
происходит либо затухание, либо раскачка волн. При этом, поскольку электронная
компонента предполагается в целом неподвижной, а Уф, как правило, много больше
Уте условие (8.1.20) выполняется для малой части функции распределения /o(v)
в пространстве скоростей. Совсем иная ситуация может сложиться в том случае,
когда плазма находится в неоднородном движении. В этом случае условию (8.1.20)
могут удовлетворять с приемлемой точностью большие пространственные области
плазмы.
Впервые теорию этого явления для плоского течения несжимаемой жидкости
построил Рэлей в 1880 году, а в последние десятилетия XX века перенес ее на неод-
неоднородные течения плазмы А. В. Тимофеев, назвав это явление "гидродинамическим
резонансом" [197].
Перед тем как воспроизвести формально
модель Релея, опишем сначала качественно
ее суть. Для этого рассмотрим две парал-
параллельные пластины, расположенные на рас-
расстоянии h друг от друга (рис. 8.1.4), меж-
между которыми течет идеальная несжимаемая
жидкость. Если в объёме скорость жид-
жидкости постоянна, то распространяющихся
волн здесь не существует. Однако, если
невозмущенная скорость течения зависит
от поперечной координаты
У//////////////////////////////////////
= щ(у),
(8.1.19)
Рис. 8.1.4. К понятию гидродинамического
резонанса
то в жидкости могут распространяться объёмные волны. Если в такой поток внести
малое возмущение (например
), то могут быть в принципе два сценария:
либо возмущение затухает, либо будет нарастать и выйдет на некоторый нелиней-
нелинейный уровень. Во втором случае оно будет, как показывает анализ, сосредоточено
в окрестности ординаты у*, где находится максимум \дуо/ду\, т.е. д2Уо/ду2 = 0.
В системе отсчета, где Уо(у*) = 0, частота нарастающей волны будет равна
и
(8.1.20)
а фазовая скорость будет, как всегда, хуф(у*) = и/ х. Тогда, если в потоке имеется
точка ys, где скорость Уо(у3) = Уф(у*), то волна в у* будет либо раскачиваться, либо
гаситься. Это и есть гидродинамический резонанс. Итак, для раскачки возмущений
необходимо два условия:
- существование незатухающих волн;
- наличие резонансной зоны потока.
Нужно, однако, отметить, что вопрос о резонансном гашении волны менее изучен.
А теперь коротко рассмотрим модель Рэлея.
В основе модели лежит плоское течение несжимаемой идеальной жидкости между
двумя параллельными стенками, причём в невозмущенном состоянии линии пото-
потока — прямые. Однако скорость зависит от поперечной координаты у, т. е.
vox =vo(y).
(8.1.21)
424 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
Вопрос состоит в том, при каких зависимостях vo(y) течение устойчиво.
Исходными являются два уравнения Эйлера
divv = 0, -^ + (vV)v = -.
ot р
А возмущения предполагаются малыми
v = vo(y) +v\(t,x,y), p = pQ+p\(t,x,v). (8.1.22a)
Тогда г, у
divvi =0, -^- + (v0V)vi + (viV)v0 = —. (8.1.226)
Первому уравнению тождественно удовлетворим, вводя функцию потока ф:
vix = ^; vly = -W (8.1.23)
ду у дх
Подставляя (8.1.23) в (8.1.226), получим
д дф д дф , дф 1 др
dt ду дх ду дх р0 дх
_д_&ф_^ д_ /дф\ __J_dpi_ уол.м)
dt дх дх \ дх J ро ду
Дифференцируя первое из этих уравнений по у, а второе по х и вычитая одно из
другого, приходим к искомому уравнению для ф — уравнению Рэлея.
<di = °- (8Л-25а)
Решение этого уравнения можно искать в виде
ф = f(y) exp{-icot + гкх), (8.1.256)
где к — произвольная постоянная, uj — величина, определяемая из условия регуляр-
регулярности и граничных условий на твёрдых стенках {у = 0, у = h):
/@) = f(h) = 0. (8.1.26)
Подставляя (8.1.256) в (8.1.25а), получим обыкновенное уравнение второго порядка
(ш - v0H)(f" - x2f) + v"oxf = 0. (8.1.27)
Заметим, что требование регулярности решения существенно, поскольку уравнение
(8.1.27) содержит особенность при координате у = ?/*, определяемой условием
кинематического резонанса
г>оЫ = -. (8-1.28)
Чтобы справиться с особенностью, связанной с резонансом, надо ввести в (8.1.22а)
малую вязкость, подобно тому, как при анализе ленгмюровских волн удобно ввести
редкие столкновения.
Уравнения типа
A - a(y))Z"(y) + (а + P(y))Z(y) = 0 (8.1.29)
аналитически решаются при многих а(х), C(х). Однако нас интересуют условия на
vo(y) общего вида, при которых течение устойчиво, то есть и — вещественно.
Для этого воспользуемся следующим искусственным приёмом.
8.1. Гидродинамические и плазменные неустойчивости 425
Умножим (8.1.27) на ф* и вычтем из полученного его комплексного сопряженное
выражение. Получим
u = ux+i"f (8.1.30)
\ dy dyj (иi - kv^Y +
Интегрируя (8.1.30) от стенки (у = 0) до стенки (у = К) и учитывая (8.1.26),
получаем
0 J 1Л'
J
о
Отсюда видно, что если нет точки перегиба, т.е. у^(у) всюду сохраняет знак, то
7 = (Imo;) =0, (8.1.32а)
и течение устойчиво. Это и есть теорема Рэлея. Если же есть точка перегиба, то есть
vo(y) — знакопеременная величина, то интеграл может обращаться в нуль, и тогда
когда
7 = (Imo;) ^0, (8.1.326)
т.е. течение может быть неустойчивым. Таким образом, необходимым, хотя и недо-
недостаточным, условием неустойчивости течения с VQx(y) является наличие точки пере-
перегиба
<Ы=0. (8.1.32в)
Подчеркнем важность гидродинамических резонансов.
Эти резонансы радикально воздействуют на устойчивость неоднородно движу-
движущегося потока, приводя, в частности, к генерации вихрей. Примером такого вихря,
обязанного перегибу зависимости vo(y) является гигантское Большое Красное Пят-
Пятно Юпитера (см. раздел 9.1). Ниже в разделе 8.3 мы покажем, что формальным
аналогом рассмотренных гидродинамических течений являются дрейфовые потоки
в плазме. Учитывая аналогию между кинетической теорией ленгмюровских волн
(раздел 4.4) и уравнением Рэлея, можно утверждать, что гидродинамические резо-
резонансы могут раскачивать, а могут и гасить колебания, в зависимости от конкрет-
конкретных условий и, по-видимому, впервые стабилизирующее воздействие неоднородного
движения на колебания плазмы наблюдалось еще в 60-х годах в экспериментах на
открытых ловушках ОГРА-1 и "Алиса", где плазма искусственно приводилась в неод-
неоднородное вращение.. .Похоже, что этот механизм подавления аномальных переносов
наблюдается сейчас B004 г.) и на токамаках.
Понятие гидродинамического резонанса позволяет выявить наиболее общие за-
закономерности, определяющие колебательные свойства и устойчивость неоднородных
течений произвольных "сплошных" сред.
8.1.4. Трансформация волн. Ранее, производя линеаризацию, мы отбрасывали
нелинейные члены, считая их малыми более высокого порядка. Однако это можно
делать далеко не всегда. Нелинейные члены, несмотря на их малость, могут при-
приводить к раскачке до больших амплитуд как волны того же типа (простые волны
Римана эволюционируют благодаря этому механизму в ударные), так и волны других
типов. Ниже мы рассмотрим "слияние" двух продольных линейных ленгмюровских
волн в поперечную электромагнитную волну.
В основе способности малых нелинейных членов сильно влиять на волновые
процессы лежит явление резонанса. Напомним суть дела.
426 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
В простейшем случае точечного осциллятора его поведение под действием гармо-
гармонической силы описывается уравнением
х + ijj\x = A sin cot (8.1.33а)
Если со ф ujq, то колебания, спустя некоторое время после начала воздействия,
выходят на стационарный уровень
Asincot 2 2
х = -— г-; D = con—co . (8.1.336)
D(u,uo)
Отсюда видно, что амплитуда установившихся колебаний непрерывно возрастает по
мере приближения со к coq. Если же со = coq, to установившихся колебаний вообще
нет, поскольку теперь амплитуда непрерывно увеличивается
At
х = —-— cosujot. (8.1.33в)
2со0
Аналогичная картина имеет место и в случае, когда сплошная среда подвергается
воздействию некого "бегущего возмущения", например, воздух возмущается летящим
самолетом.
Для формальной простоты будем считать возмущение гармоническим
q = Asm(ut — kyl) = А\ ехр{—i(cot — хх)} + к.с. (8.1.34)
Здесь А\ = A/2i, к.с. — комплексно сопряженное с предыдущим слагаемое. Пока-
Покажем, как выглядит ситуация с резонансами в многомерных системах на примере
наиболее интересных для нас волн в плазме, взяв за основу уравнение A.5.6в)
АЕ - VdivE = —j + 4т^. (8.1.35а)
с с1 otz
Здесь j — сторонний ток-возмутитель. Взяв Е в виде (8.1.34)
Е = Ео ехр{—iuot + ixx},
получаем систему алгебраических уравнений, обобщающую систему A.5.9)
я2Ек - як{щЕе) - ^еиЕе = —jk. (8.1.356)
С1 С
Решение этой системы имеет вид
Mfc(j,x,u;)
Ьк = —— г—. (8.1.3b)
Здесь Мк — "крамеровский" детерминант, a D{x,uj) — детерминант левой части
системы (8.1.35)
cz
(8.1.37)
где с\, ..., сдг — скорости собственных волн в среде — корни уравнения D(uj,x) = 0.
Имея формулы (8.1.36) и (8.1.37), мы можем теперь повторить почти те же
рассуждения, которые были сказаны в связи с формулами (8.1.33). А именно, если
фазовая скорость возмущения Уф = ujjн приближается к скорости собственной волны
среды, то амплитуда возрастает, а при Уф = с^ стационарного режима в линейном
приближении по j вообще нет.
8.1. Гидродинамические и плазменные неустойчивости
427
Нас здесь будет интересовать простейший случай, когда резонансным фактором
является в уравнении (8.1.35) является квадратичный — по отношению к линейному,
член:
). (8.1.38)
Здесь а — соответствует (uja,xa), a C соответственно (cvp,xp), а индекс " указы-
указывает, что это величины линейного приближения, то есть
у } . . / (8.1.39а)
В этом случае
jB)~ exp {—i(uja + ujp)t — i(xa + нр)^) + аналоги = ехр {—iuo^t + гх7х} + аналоги.
Под аналогами мы понимаем
UJr\i —— UJп/ ~~г~ UJ R', —UJп/ ~~г~ UJr', UJn/ — UJи', —UJn/ — LUR
(o.l.o9o)
Очевидно, резонанс и, следовательно, перекачка энергии от линейных волн а и /3
к волне 7 будет в том случае, если при о;7, х7 детерминант
L>(u;7,x7)=0. (8.1.39b)
Наряду с процессами слияния двух волн в одну, естественно, может идти
и обратный процесс "распада" одной волны на две G —> а + /3). Схематически это
изображено на рис. 8.1.5. Очевидно, что могут идти процессы с участием большим,
чем три, числом волн [198, 199].
Рассмотрим конкретный пример слияния двух
продольных (ленгмюровских) волн в поперечную
электромагнитную волну. Это весьма универсаль-
универсальный процесс в различных плазмах. Он, в частно-
частности, представляет значительный интерес для ди-
диагностики ленгмюровских колебаний бесконтакт-
бесконтактным методом с помощью наружных антенн. Это
объясняется тем, что продольные волны не излу-
излучаются. Однако благодаря слиянию двух продоль-
продольных волн возникает поперечная электромагнитная
волна, которая выходит из плазменного объёма
и несет информацию о ленгмюровских колебани-
колебаниях.
В гидродинамическом приближении частоты
волн равны
а б
Рис. 8.1.5. Схемы слияния двух
волн в одну (а) и обратного про-
процесса — распада волны (б)
2 2,22
Поэтому условия резонанса имеют вид
(8.1.40а)
(8.1.406)
В уравнении (8.1.406) можно исключить о;7, используя связь и = с\ка + кр\ для
электромагнитных волн
+
о
= С
(8.1.40в)
428
Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
Таким образом мы получили одно уравнение для 6 неизвестных (ха,хр), считая uoq
и ст заданными. К этому следует добавить, что обычно тепловая добавка в (8.1.40)
мала по сравнению с ленгмюровской частотой и поэтому уравнение (8.1.40в) можно
представить в виде
с<Лу « 2иог)\ к^ = . (8.1.41)
7 и, 7 с v ;
Но это еще не определяет в общем случае поперечную волну. Для этого должно
быть выполнено условие поперечности:
(Еа + Ер)(ха + хр) =0. (8.1.42)
Учитывая продольность линейных волн, можем написать
(8.1.43)
где /3\ и /З2 — скаляры, пропорциональные амплитудам соответствующих волн. Они
должны быть определены из условия (8.1.42). Подставляя (8.2.1) в (8.1.42), получаем
уравнения для /3\ и /%:
= 0
(8.1.44)
Рис. 8.1.6. Слияние ленгмюровских волн и об-
образование поперечной волны
сохранения
В простейшем случае, когда на и х$
перпендикулярны и по модулю равны,
уравнение (8.1.44) приводится к просто-
простому соотношению
А = -/%.
Этому соответствует схема попереч-
поперечной волны, изображенная на рис. 8.1.6.
Условия слияния (8.1.40) приобрета-
приобретают особенно прозрачный смысл, если
их умножить на постоянную Планка h.
Видно, что они эквивалентны законам
е{+е2 = е3, pi+p = p3. (8.1.45)
Здесь г = шЬ, р = хЬ — соответственно энергия и импульс "квазичастицы-
плазмона".
Квантовая аналогия широко используется в теории плазменных волн и плазмен-
плазменной турбулентности.
Заметим, что условия (8.1.45), которые называют часто условием слияния или
распада волн, выполняются далеко не для всех типов плазменных волн.
8.2. Примеры специфических МГД возмущений плазменных
систем
Выше мы не раз отмечали, что многообразие плазменных неустойчивостей необо-
необозримо и, прежде всего, именно специфических. Здесь мы рассмотрим ряд специфи-
специфических возмущений плазменных систем.
Это будут
- критерий устойчивости в целом статических плазменных МГД конфигураций,
основанный на "энергетическом методе";
8.2. Примеры специфических МГД возмущений плазменных систем 429
- "тиринг" ("разрывные") неустойчивости, сопровождающиеся перестройкой ("пе-
("перезамыканием") магнитных силовых линий МГД конфигураций;
- критерий неэволюционности симметричных конфигураций с "ортогональным"
магнитным полем, проявляющейся в идеальной двухжидкостной гидродинами-
гидродинамике в виде "взрывов" всего течения.
Все эти процессы исследуются в линейном приближении.
8.2.1. Анализ устойчивости МГД
конфигураций энергетическим методом.
Суть этого метода предельно проста и ана-
аналогична анализу устойчивости равновесных
состояний материальной точки в потенци-
потенциальном поле (рис. 8.2.1). А именно, если
по возможным направлениям, исходящим о ^ а , ч
из точки покоя, потенциал нарастает, то Рис 8.2.1. Устойчивые (а) и неустойчивые
Л ^ (б) положения равновесия шарика в потен-
положение частицы устойчиво. И наоборот, иальном поле
если есть направления, по которым
потенциал убывает, то положение покоя неустойчиво. И этот способ анализа
устойчивости не требует решения уравнений динамики, что часто существенно
упрощает проблему. Чтобы дальнейшее изложение было более прозрачно, отметим
простой факт из линейной алгебры в n-мерном пространстве.
Если даны п линейных форм
\i = 2_\aikxky 1 ^ г, fc ^ П, (8.2.1)
(к)
то для того, чтобы существовал "потенциал" U(xi...xw), порождающий эти формы
Xi = У2агкХк = о—, и=У2 o(Xiaikxk), (8.2.2а)
необходимо и достаточно, как легко непосредственно убедиться, чтобы матрица
была симметричной
а1к = аы. (8.2.26)
Из этого равенства следует соотношение "самосопряженности" матрицы А
yi(aikxk) = Xi(aikyik). (8.2.3a)
Или в векторной форме ^ ^
у(Ах) = (Ау)х (8.2.36)
свойство самосопряженности оператора А автоматически переносится в пространство
функций в виде
[ ф(Аф)Aх = I* (Аф)фAх. (8.2.4)
Если теперь мы имеем систему линейных дифференциальных уравнений
^ ,...ф2), (8.2.5а)
и оператор L самосопряженный, то такую систему можно получить из лагранжиана
-и'М' (8-2-5б)
430 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
варьируя действие
S = I ?dt.
Здесь w [ф\ — функционал, играющий роль потенциальной энергии системы, равный
(8.2.6)
Зная вид функционала w [ф] и доказав его положительную определенность для
любых ф(х), мы получаем достаточное условие устойчивости статической конфигу-
конфигурации.
В принципе, условия положительной определенности w для всех возможных ф
не требуется, поскольку реально надо было бы ограничиться только теми ф, которые
удовлетворяют уравнению (8.2.5а). Но это потребовало решения этого уравнения,
и тогда энергетический подход потеряет смысл.
Рис. 8.2.2. Общая схема магнитной ловушки для
плазмы: Vi — объём, занятый плазмой; Ve —
объём, занятый только магнитным полем; S —
граница раздела плазма-поле; Г — внешняя гра-
ничная поверхность
В связи с проблемой УТС исследовалась устойчивость систем, состоящих из
плазмы и магнитного поля, рис. 8.2.2. Здесь Vi — объём занятый плазмой и полем,
S — граница раздела плазма-поле, Ve — объём, занятый только магнитным полем,
Г — внешняя граничная поверхность. На этой границе обычно ставятся условия
vn = 0; Et = 0, (8.2.7)
а на границе раздела плазма-поле —
Нп = 0. (8.2.8)
Линеаризуя обычную идеальную систему МГД уравнений B.3.6), получаем
^| + Vp = i- [rot Но, Н] + i- [rot H, Но];
д т 4п 4п (8.2.9)
т- + vVpo + TPodiv v = 0;
f = rot[v,H0].
Здесь возмущения параметров выписаны без индексов.
Не касаясь сравнительно громоздких вычислений, приведем вытекающие из
(8.2.9) уравнение для смещений ? = J vdt
d2t I
P°g^ = V ^V^o + TPodiv^} + — [rot Ho, rot [§, Ho]] +
+ -i- [rot rot [§, Ho], Ho] = L {$} . (8.2.10)
4тг
8.2. Примеры специфических МГД возмущений плазменных систем 431
И, наконец, выражения для потенциальной энергии возмущения [200]:
1
w = -
Здесь ? — смещение и А — возмущение вектор-потенциала.
Чтобы убедиться в устойчивости или неустойчивости данной равновесной конфи-
конфигурации (ро, ро, Но) надо проверить знак w для всех возможных ?()• Разумеется,
это совсем не просто, и такой анализ удается провести в сравнительно небольшом
числе случаев и то, как правило, для определенного класса ?, считаемых по тем
или иным признакам наиболее опасными. Тем не менее, таким образом был получен
ряд весьма важных критериев устойчивости. Здесь мы опишем схему вывода одного
такого критерия.
Устойчивость резкой (тонкой) границы плазма-поле. Плазменные системы,
в которых плазма и поле пространственно разделены, встречаются достаточно ча-
часто. Такими являются антипробочные ловушки и галатеи, Z- и #-пинчи, а также
динамические системы, в которых плазменный поток без магнитного поля омывает
магнитную конфигурацию. Примером последней приближённо может служить маг-
магнитосфера Земли, обтекаемая солнечным ветром (раздел 9.2).
В этом случае выражение для потенциальной энергии (8.2.11) существенно упро-
упрощается и принимает вид:
w = I |7(div§Jpodx+ ^ | (rot AJdx + ^ | ^
vt ve So
Отсюда видно, что если напряженность магнитного поля при удалении от границы
раздела всюду нарастает, т. е.
Я Я2
^>0, (8.2.13)
on
то w > 0 и конфигурация устойчива при любых смещениях ?.
Однако, если существуют участки поверхности So, где дЩ/дп < 0, то в этих
местах будут возникать выбросы плазмы, несмотря на то, что первые два члена
в (8.2.12) всегда положительны. Действительно, если взять возмущение, не сопро-
сопровождающееся сжатием плазмы, а такой выбор ничему не противоречит, то будет
div? = 0 и первый член в (8.2.12) исчезнет.
Избавиться от второго члена полностью нельзя, но если взять возмущение, вытя-
вытянутое вдоль силовой линии и достаточно узкое, то есть в виде "языка", пролезающего
между силовыми линиями (рис. 8.2.3), то второй член может быть сделан заведомо
меньше отрицательного поверхностного интеграла. Следовательно, конфигурации
с д/дп (Hq)\s < 0 неустойчивы, если граница плазма-поле достаточно тонка. Но
если плазма и поле перемешаны, то, как мы видели в предыдущем параграфе,
конфигурация может быть устойчивой.
Поскольку магнитное поле вне плазмы безвихревое, то из (8.2.13) следует
=^, (8.2.14)
432
Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
где R — радиус кривизны силовой линии. При этом R > О, если центр кривизны
находится на продолжении нормали и R < 0 в противном случае (рис. 8.2.4).
¦\7|Н|
V\R
Рис.
3.2.3. Плазменный "язык" внедряется
в магнитное поле Z-пинча
Рис. 8.2.4. Связь направления градиен-
градиента напряженности вакуумного магнитного
поля с кривизной силовых линий
Естественно, возникает желание создать идеальную плазменную ловушку, в ко-
которой плазма и поле разделены. Однако просто это сделать нельзя.
А именно, если мы хотим сделать всюду нарастающее — при удалении от
границы, поле, в силу критерия устойчивости (8.2.13) приходим к остроугольной
граничной поверхности и, тем самым к галатеям. Подробнее об этом см. раздел 10.5.
В заключение нужно сделать одно замечание. Критерий (8.2.13) получен для МГД
статической конфигурации. А это означает, в частности, что функция распределения
частиц, падающих на границу должно быть "полуизотропной". В противном случае,
если мы имеем поток плазмы (ионов) с ионным числом Маха Mi > 1, равновесная
граница раздела определяется условием
2povl+po = ^. (8.2.15)
Но она может оказаться неустойчивой даже при условии (8.2.13).
Это объясняется тем, что в набегающем плазменном потоке могут происходить
"схлопывания" траекторий частиц, образуя "клинья", которые будут развивать дина-
динамическое давление
Здесь ро и Ро — параметры при подлете к границе, а р\ и р\ — в клиньях (см. п.
3.8.3).
8.2.2. "Перезамыкание" магнитных силовых линий в плазме. Тиринг-
неустойчивость. Перестройка топологии магнитного поля в плазме может идти
только при нарушении вмороженности. Но для этого принципиально необходимо
участие омического сопротивления. А это означает, что если не разыграются мощные
колебательные процессы, приводящие к большим "аномальным" сопротивлениям
(см.ниже п. 9.3.4), и диссипация ограничивается лишь классическим сопротивлени-
сопротивлением, то область перезамыкания будет иметь размеры порядка обычного скин-слоя.
В разделе 1.1 рассматривались магнитные поля различной морфологии. Так,
в зависимости от того, сколько прямых проводников с током участвовало в создании
поля, получались разные сепаратрисы. Или, накладывая разные возмущения на
тороидальные поля, мы получали различные расщепленные магнитные поверхности.
Переход от одной структуры к другой при том или ином воздействии сопровожда-
сопровождается, как теперь принято говорить, перезамыканием магнитных силовых линий [43].
Одним из самых простых и наглядных примеров перезамыкания такого рода является
8.2. Примеры специфических МГД возмущений плазменных систем
433
образование сепаратрисы в виде восьмерки при сближении двух прямых токов одного
направления. Это просто все происходит, если рассматриваются поля в вакууме. Со-
Совсем иначе процесс перезамыкания магнитных силовых линий происходит в случае,
когда поля находятся в хорошо проводящей плазме.
Теория перезамыканий даже в линейном МГД приближении громоздка, поскольку
этот процесс протекает в системах с большими градиентами и "малым коэффици-
коэффициентом при старшей производной", пропорциональном малому сопротивлению плазмы.
Поэтому расчёты перезамыкания в реальных системах проводятся применительно
к конкретным случаям и преимущественно численно.
Простейшим примером системы, в которой может реализовываться перезамыка-
перезамыкание, является токовый или нейтральный слой плазмы, сжатой с двух сторон однород-
однородными магнитными полями противоположного направления (см. п. 2.4.2 и рис. 8.2.5а).
© <НЭ ©
Рис. 8.2.5. Схема тиринг-неустойчивости: а — исходная конфигурация;
"нейтрального" слоя; Q — токи J
расщепление
Как отмечалось в п. 2.4.2, эта равновесная конфигурация описывается уравнением
Я2
р+ —- = Р = const.
О7Г
Особенностью токового слоя является его малая толщина и большая плотность
тока в окрестности плоскости х = 0, где Н = 0. В МГД-приближении идеаль-
идеально проводящая плазма устойчива. Однако, если учесть конечность проводимости,
а реально она всегда конечна, то при определенных условиях слой разбивается на
цепочку магнитных островов — токонесущих пинчей (рис. 8.2.56). Это и есть пример
специфической неустойчивости "тиринг-моды".
По-английски "tearing" — "разрыв". Линейная гидродинамическая теория тиринг-
моды начала разрабатываться в 1963 году М. Розенблютом с сотрудниками. Затем
эта работа была продолжена рядом исследователей, как в гидродинамике, так и в ки-
кинетическом приближении.
Характерная структура формулы для инкремента развития неустойчивости имеет
вид
(ALJ
0~ 1;
1
КСА
4тгсг*
(8.2.16а)
(8.2.166)
Здесь к — волновое число вдоль токового слоя (ось у), а — проводимость, (AL) l =
1 дНУ о
= 7—- — характерная ширина т окового слоя. Времена tr и та называют дисси-
434 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
пативным и альфвеновским. Величина а в разных условиях изменяется в пределах
1/2-3/5.
Возникшая система токовых пинчей-волокон обычно продолжает эволюциони-
эволюционировать — начинается процесс слияния тонких волокон в более крупные, но далее
картина зависит от конкретных особенностей системы.
Первыми стали интересоваться магнитным перезамыканием в плазме астрофи-
астрофизики (Паркер - 1957, 1963, Данжи - 1958, 1961, Свит - 1958, Петчек - 1964).
В нашей стране эти исследования были развиты СИ. Сыроватским [202]. В группе
А. Г. Франк в институте Общей Физики РАН [203] экспериментальные исследо-
исследования магнитного перезамыкания применительно к задачам астрофизики начались
в конце 60-х годов. Несколько позднее проблема перезамыканий, преимущественно
в форме расщепления магнитных поверхностей, начала исследоваться на токамаках
СВ. Мирновым [174], который опирался на теоретические работы А. И. Морозова,
Л. С. Соловьева и И.М. Гельфанда о перезамыкании в вакууме (см. раздел 1.1).
В начале 2005 года на русском языке вышла монография Э. Приста и Т. Форб-
са "Магнитное пересоединение. Магнитогидродинамическая теория и приложения"
объёмом 592 страницы под редакцией В. Д. Кузнецова и А. Г. Франк. Естественно,
что при таком объёме книга широко охватывает проблему магнитного перезамыкания
[43].
8.2.3. Холловская неэволюционность плоских течений идеальной плазмы.
В п. 7.6.5 говорилось о сильной эрозии анода в коаксиальных сильноточных ускори-
ускорителях. Эти эксперименты стимулировали численное моделирование течений в таких
системах и при этом были обнаружены "прианодные взрывы", суть которых состояла
в том, что при достаточно большом эффекте Холла в некий момент в небольшой об-
области начинался стремительный рост параметров, и счет прекращался. Этот эффект,
который разумно коррелировал с привязками на аноде, стимулировал приводимый
ниже анализ, выполненный К. В. Брушлинским и А. И. Морозовым. Воспроизведем
его.
Рассмотрим плоские двумерные течения в декартовых координатах (х, у), считая,
что магнитное поле направлено вдоль оси z. Таким образом, имеем vz = 0; Нх =
= Ну = 0; d/dz = 0. Кроме того учтем, что при а —> оо закон Ома с учетом эффекта
Холла можно записать в виде
-[v,H]-—Ц,Н]. (8.2.17а)
с епс
Взяв от этого уравнения rot, получим
дН | dvxH | dvyH _,\„1
dt дх ду s [ р 8тг
Здесь учтено, что при сделанных допущениях
При этом ? = М/4тге. Мы вводим это обозначение как указатель на холловский
член. В результате нужная нам система уравнений принимает вид:
^ + ^0; (8.2.18а)
дх ду
8.2. Примеры специфических МГД возмущений плазменных систем 435
р^ = .^(р+ё1). (8.2.186)
dt ох у отг у
dt vy \ 8тг у
дН дНи dHv Я [дрдН дрдН\ л ,ооюч
dt дх ду р2 \дх ду ду дх
и = vT: v = vv\ Я =
где d а э д
dt dt ' дх ' %¦
Особенностью двумерного течения поперёк магнитного поля является вырожден-
вырожденный характер эффекта Холла (8.2.18г): в написанных уравнениях члены, обязанные
эффекту Холла, содержат лишь первые производные по координатам, тогда как
в общем трёхмерном случае они содержат вторые производные. Заметим также, что
холловские члены всегда нелинейны по первым производным в отличие от всех
остальных слагаемых уравнений (8.2.18). Оба указанных обстоятельства играют
роль в дальнейшем рассуждении: вырождению обязана простота получения основно-
основного результата, а нелинейность является причиной неэволюционности уравнений.
Для исследования устойчивости течения линеаризуем указанные уравнения. Ко-
Коэффициенты полученной системы линейных уравнений положим постоянными, по-
поскольку речь идет о мелкомасштабных возмущениях, которые можно рассматривать
локально, в малой окрестности любой точки, "заморозив" в этой точке значения
коэффициентов. При линеаризации нелинейных холловских слагаемых в (8.2.18г)
производные невозмущенного решения играют роль коэффициентов, и их также
следует считать постоянными.
Если отметить малые возмущения индексом " (рх, их, v\, Hx), то после линеа-
линеаризации уравнений (8.2.18) получим
dpx , (дщ dv\\ dux , с2 дрх , Я дН\
dt у дх ду J dt p дх Аир дх
cl
if + л^
р ду 4тгр ду
Н дНх л ? ,
тгр ду
Я (др дЩ _ дрдЩ 9Я др± _ 9Я др± \ =
д д д д д д д д I
н [дщ дщ \ Я (др дЩ _ дрдЩ 9Я др± _ 9Я др± \ =
dt \дх ду I V I дх ду ду дх ду дх дх ду I
(8.2.19а)
Решение этой системы уравнений ищем в виде плоских волн exp{icjt + ix\x +
-{-гщу}. Важной особенностью системы (8.2.19) является наличие в ее членах только
производных первого порядка от параметров возмущений (р, v\, их, Н\). Благодаря
этому частота и линейно зависит от модуля волнового числа
u = Wx. (8.2.196)
Направление плоской волны определяется единичным вектором х° = х/\х\, поэтому
можно записать
где т — направление вдоль фронта волны, ортогональное >с°. Наконец, если поло-
положить W + Vx= z, то дисперсионное уравнение, связывающее и, щ и Х2, принимает
^cz + ^0 (8220)
р2 dTz cmz+ p2 дт I -О, {Ь.2.20)
436 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
Н2 Н2
4 4+ Р+
ГДе4г = 4+; Р^
Условием корректности задачи Коши для систем (8.2.18) и (8.2.19) является,
очевидно, неравенство
%и = k ImA = к Imz > const (8.2.21)
при любых действительных н\, к\ и к > 0. При конечных значениях к решения Z
всегда конечны, поэтому практически нужно требовать выполнения условия (8.2.21)
при к —> оо. Коэффициенты уравнения (8.2.20) действительны и не зависят от к.
Поэтому если уравнение имеет два комплексно сопряженных корня, то для одного
из них Im Z < 0 и Imw ^ —оо при к —> оо, т.е. условие (8.2.21) не выполняется.
Отсюда следует, что корректность задачи Коши эквивалентна действительности всех
трех корней уравнения (8.2.20).
Известно, что все корни уравнения z3 + pz2 + qz + г = 0 с действительным
коэффициентами действительны тогда и только тогда, когда дискриминант
D = p2q2 + ISpqr - Dp3r + 4q3 + 27г2) > 0. (8.2.22a)
В применении к уравнению это значит
D = 4gY2 + (c4m + I8c2mg - 27g2)Y + 4с6т, (8.2.226)
где
Y =
dp
дт
(8.2.23а)
Элементарное исследование квадратного трёхчлена (8.2.22) показывает, что необхо-
необходимым условием устойчивости, т. е. D ^ 0 при др/дт —» 0 является условие
-27g2Y2 + 4cbm > 0. (8.2.236)
Действительно, при др/дт —> 0 величины
м, следовательно, все члены в правой части (8.2.226), кроме (8.2.236), исчезают.
Подставляя в (8.2.236) (8.2.23а), получаем необходимое условие устойчивости
dTj , _, , —™- (8-2.24)
Это условие всегда выполняется при отсутствии эффекта Холла и если VP||p.
Последний случай реализуется, например, в равновесных конфигурациях.
Если это условие не выполнено, бездиссипативная конфигурация неэволюционна,
т.е. стоит ей возникнуть, как она "взрывается" [204]. Такие выводы были первона-
первоначально обнаружены при численных расчётах двумерных течений с учетом эффекта
Холла и достаточно высокой проводимостью вблизи анода, где за счет прианодного
скольжения (см. п.7) угол между VP и Vp особенно велик. Позднее было показано,
что такие взрывы можно получить в любых местах канала, где сильнее проявляется
непараллельность VP и Vp.
Неэволюционность исчезает, если рассматриваются трёхмерные конфигурации
или если а ф оо. В этих условиях мы имеем "нормальные" неустойчивости. Они про-
8.2. Примеры специфических МГД возмущений плазменных систем 437
являются не только в коаксиалах со сплошными электродами, но и в магнитосфере
Земли (раздел 9.2).
8.2.4. Дрейфовые течения поперёк магнитного поля. Уже в гл. 1 было
обращено внимание на важность систем, в которых движение частиц является
дрейфовым, то есть их ларморовские радиусы
ре,р1 <С I/,
где L — масштаб неоднородности плазменной конфигурации. В гидродинамических
моделях дрейфовые течения описываются двухжидкостными уравнениями, в которых
пренебрегается инерциальными членами не только в уравнении динамики электро-
электронов, но и в уравнении динамики ионов. В результате, полагая течение баротропным,
можно написать (v = v^, u = ve)
r\
-?¦ + div nv = 0; (8.2.25a)
0 = -Y2i_ V0+-[v,Hl; (8.2.256)
en с
-^ + div nu = 0; (8.2.25b)
0 = -—+V0--[u,H]. (8.2.25r)
en с
Эта система с точностью до производных dn/dt в уравнениях непрерывности анало-
аналогична уравнениям равновесия двухкомпонентной плазмы (раздел 3.4).
Вводя термализованный потенциал
Фт = Ф
е
уравнения динамики (8.2.256,г) можно записать в виде
= Irv и V0 = I[u,H]. (8.2.26)
с с
en с
Система (8.2.25) и соответственно система (8.2.26) совместно с уравнениями непре-
непрерывности весьма богаты по своему содержанию, и поэтому мы ограничимся случаем,
когда Vz = uz = 0, а магнитное поле имеет только одну ^-компоненту. Тогда для
электронной компоненты находим:
и, подставляя эти выражения в (8.2.25в), получаем после простых преобразований О
dn D (фт, ^-)
at D(x, у)
) --7—Чг — якобиан.
D(x,y)
438 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
Аналогично уравнение динамики ионной компоненты (8.2.26) можно преобразовать
к виду
с (дфТ 19, Л
Н\ду епдук V (8229)
у Я V дх ' епдх^1 ' 1
Подставляя эти выражения в уравнение непрерывности (8.2.25а), получаем
dt D(x,y) e D(x,y)
Отсюда видно, что если магнитное поле и давление плазмы pi + pe связаны условием
равновесия B.4.6),
Pi+Pe + -Z- = COnst,
О7Г
1
D(x,y) "• v-"-/
В этом случае уравнения (8.2.28) и (8.2.29) совпадают.
Предполагая условие (8.2.31) выполненным, рассмотрим подробнее уравнение
дрейфовых потоков (8.2.28) для слоя
дп
~dt ' ~ D(x,y) "'
Если считать, что фиксаторы термализованного потенциала обеспечивают независя-
независящую от времени величину фт(х), тогда как п зависит от t, x, 7, то можно написать
при Н = Н(х):
D (фт, ^
с—^Ь—-
х, у) Н ох \ оу Н ^
Подставляя (8.2.32) в (8.2.28), получим уравнение для дрейфовых волн в независя-
независящем от времени магнитном поле
^+%^=0, иу = иу(х). (8.2.33)
ut Oy
В том случае, когда в исходной статической конфигурации нет электрического поля
Те = const
фт = -In —
е п0
и скорость дрейфа будет равна
с№.±Ъ (8234)
у Н е щ дх
Величина иу не содержит мнимой добавки и, следовательно, не изменяется со
временем. К рассмотрению дрейфовых волн при учете инерции ионов во втором
приближении по амплитуде возмущения мы вернемся в разделах 8.3 и 9.1.
8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур
439
8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур
(" автоструктур ")
Выше речь шла о линейных волнах. Однако большую, а во многих случаях
и определяющую роль играют нелинейные динамические структуры. Причем размеры
их могут быть как порядка, так и существенно меньше характерных масштабов
системы L.
Наглядными примерами интересующих нас здесь структур может служить сет-
сетка локализованных возмущений, образующихся на тонком слое воды, текущей по
асфальту, развитие перетяжки на Z-пинче, циклоны и антициклоны в атмосфере,
в том числе Большое Красное Пятно на Юпитере, о котором подробнее будет сказано
в следующей главе и др.
Такого рода нелинейные образования, наблюдаемые в гидродинамике, газоди-
газодинамике и плазме 0, адекватно описываются модельными уравнениями, которые не
только несравненно проще полных исходных уравнений, но часто имеют простые
аналитические решения.
Мы здесь рассмотрим модельные уравнения: Кортевега-де Фриза (КдФ), Чарни-
Обухова D0) (и его эквивалент Хасегавы-Мимы (Х-М)) и одну модельную систему
из двух уравнений — Чаплыгина-Трубникова (Ч-Т).
Дж. С. Рассел
Б. А. Трубников
8.3.1. Уравнение Кортевега-де Фриза. Солитоны [205-207]. Примером
структур, описываемых уравнением КдФ, может служить упомянутая сетка "волн"
на поверхности тонкого слоя воды.
Уравнение КдФ, сделав ряд допущений, можно вывести формально из уравнений
Эйлера, но его можно получить также, исходя из весьма простых соображений. Здесь
мы воспользуемся вторым способом. А именно, ограничимся одномерным случаем,
т.е. будем считать, что искомая функция и зависит от двух переменных (t,x)
и является некой скоростью, смысл которой будет уточнен ниже. Мы хотим, чтобы
1) Сюда относятся и менее очевидные объекты — например, нервные импульсы, распро-
распространяющиеся по нейронам и др.
440 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
уравнение для u(t,x) описывало уединенные нерасплывающиеся образования, т.е.
среди прочих имело место решение типа
и = и(х - at). (8.3.1)
Такого рода решения автоматически реализуются в средах без дисперсии, т. е. когда
J1 =а2я2, (8.3.2а)
и все гармоники имеют одну и ту же фазовую скорость. В этом случае уравнение
для и имеет вид о о
9^ + ар = 0. (8.3.26)
dt дх
Ну а если есть слабая дисперсия, но нет диссипации, то дисперсионное уравнение
для и должно иметь вид о о о
J1 = У+ахЧ..., (8.3.3а)
т. е. квадрат частоты должен разлагаться по четным степеням волнового числа. Фи-
Физически это означает, что поведение возмущений не должно зависеть от направления
его распространения.
Из (8.3.3а) следует, что
со = ая + Ъя3 + ..., Ъ=?-. (8.3.36)
2а
Этому дисперсионному уравнению соответствует дифференциальное уравнение
ди ди 1 д3и л /п о ,ч
---а--+6--,=0. 8.3.4
dt дх дх3
Если из гармоник этого уравнения сделать пакет, то он будет растекаться. Чтобы
предотвратить этот процесс, нам нужен некий "собирательный" фактор. И такой
фактор в гидродинамике хорошо известен. Этот эффект связан с тем, что в уравне-
уравнении Эйлера, в левую часть, входит нелинейный член vdv/dx 0. Поэтому, заменив
в (8.3.4) постоянную величину а на и, получим, как мы вскоре убедимся, уравнение
с нужным нам свойством
ди ди д3и л /о о гч
dt дх дх6
Это уравнение было получено в 1895 году Кортевегом и де Фризом из уравнений
Эйлера, применительно к возмущениям тонкого слоя воды, о котором мы упоми-
упоминали выше. Уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) выводятся для многих случаев,
в частности ионно-звуковых, ленгмюровских и альфвеновских возмущений в случае
плазмы и аналогично для других сред. Заметим, что если /3 = —/3, где /3 > 0, то, сде-
сделав замену и —> — и, х —> —х, мы получим в точности уравнение (8.3.5), но с заменой
/3 на /3. Такая замена соответствует переходу от волны, распространяющейся вправо,
к волне, бегущей налево.
Стационарные решения уравнения КдФ. Будем искать решение (8.3.5) в виде
и = и(х — at).
Учитывая, что в данном случае
ди 1 ди
дх a dt'
1) Именно благодаря этому члену в уравнении Эйлера гармоническая звуковая волна
достаточно большой амплитуды спустя некоторое время превращается в цепочку ударных волн
[13].
8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур
441
можно записать уравнение (8.3.5) в виде обыкновенного дифференциального уравне-
= 0. (8.3.6а)
Проинтегрировав один раз, получаем
d2U U2 (Qoa*\
Ртг~2 + ~^ аи = ^1- (о.о.DO)
Без ограничения общности — просто добавив к и постоянное слагаемое, можно
считать С\ = 0, а уравнение (8.3.66) записать в виде
дх2
dw
ди '
где
аи
и
3
w = —-
5.3.7а)
(8.3.76)
По своей форме (8.3.7) полностью аналогично уравнению движения материальной
точки массой C в потенциальной яме w(u). Форма этой "ямы" изображена на
рис. 8.3.1. Очевидно, здесь колебания будут носить гармонический характер, если
величина и близка к 2а. Однако по мере роста амплитуды форма колебаний все боль-
больше будет отличаться от синусоидальной. Наконец, когда амплитуда станет настолько
велика, что будет достижима точка и = 0, то график и(х) выродится в одиночный
горб — "солитон" (от "solitary wave"), рис. 8.3.2. И это понятно, поскольку, начиная
двигаться в сторону и > 0 от точки близкой к и = 0, частица долго будет набирать
скорость", а затем, скатившись, отразится от противоположной стороны ямы и снова
бесконечно долго будет приближаться к х = 0. Уравнение профиля солитона имеет
и =
2 i х — at
(8.3.8)
ch
Здесь Ъ — характерная ширина солитона. Амплитуда солитона
скоростью и шириной соотношениями
г^о = За, Ъ2щ = 12/3.
связана с его
(8.3.9)
w3=0
Щ
JUUY
\ W3
Рис. 8.3.1. График эффективного
потенциала w(u)
Рис. 8.3.2. Графики колебаний и(х) при разных
эффективных энергиях
442
Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
Свойства солитонов. На первый взгляд может показаться, что солитоны —
экзотические и малоинтересные объекты. Однако это не так. Прежде всего, обращает
на себя внимание их автономность. Они существуют в принципе бесконечно долго
на фоне однородной среды. В этом смысле они аналогичны вихрям в идеальных
условиях. Наглядно об этом говорит устойчивая сетка возмущений на мелкой воде.
В современных оптических волокнах связи световой солитон может проходить рас-
расстояние без серьезных потерь своих характеристик порядка 5 тысяч километров.
Неожиданными оказались результаты столкновений солитонов, обнаруженные
в процессе численных расчётов. Если скорости солитонов сильно различаются, то
происходит своеобразное прохождение одного солитона через другой. Точнее, в это
момент возникает "двухсолитонное" состояние, которое несколько позднее распа-
распадается на два солитона, в точности совпадающих с начальными. Поэтому внешне
картина выглядит так, как будто бы солитоны прошли друг через друга. При малой
относительной скорости, когда более быстрый солитон (соответственно с большей ам-
амплитудой (8.3.9)) догоняет более медленный, то на малом расстоянии более быстрый
солитон через соединяющую их перемычку "переливает" часть возмущения в более
медленный. В результате медленный солитон ускоряется, а быстрый - замедляется
(рис. 8.3.3).
Рис. 8.3.3. Двухсолитонное взаимодействие
Весьма своеобразно происходит и распад произвольного начального возмущения
в модели КдФ. Оно превращается в цепочку солитонов убывающей амплитуды,
с малым квазигармоническим "хвостиком" (рис. 8.3.4).
Солитонам посвящена огромная лите-
литература. Для более подробного знакомства
с солитонами можно рекомендовать книги
[205-207].
Об истории открытия и изучения со-
солитонов. Эта история весьма необычна
~ЗГ и о ней рассказывают во всех книгах о со-
литонах. Последуем их примеру.
Рис. 8.3.4. Распад произвольного началь- История начинается в августе 1834 г.,
ного возбуждения достаточно большой ам- когда ш такое явление об внрша_
плитуды о~
J ние 26-летнии выпускник университета
в г. Глазго Джон Скотт Рассел A808-1882).
Это была выдающаяся личность, о чем говорят хотя бы два факта. Во время учебы
8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур 443
в Глазго он посещал лекции еще в двух университетах Сент-Эндрюс и Эдинбургский.
А потом в 1860-х годах руководил постройкой самого большого корабля XIX века
'Трэд Истерн", с помощью которого была осуществлена первая прокладка телеграф-
телеграфного кабеля между Европой и Америкой.
Но вернемся к 1830-м годам. После окончания университета Д. С. Рассел по-
получает задание изучить пропускную способность канала Юнион, который входит
в систему каналов, соединяющих восточное и западное побережья Шотландии.
И вот как был обнаружен солитон "на мелкой воде".
"Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара
лошадей, когда баржа неожиданно остановилась, но масса воды, которую баржа
привела в движение, не остановилась; вместо этого она собралась около носа судна
в состояния бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь
вперед с огромной скоростью, и принимая форму большого одиночного возвышения,
т. е. округлого гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал
свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости.
Я последовал за ним верхом, и когда нагнал его, он по-прежнему катился вперед
со скоростью приблизительно восемь или десять миль в час, сохраняя свой перво-
первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута
до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух
миль погони я потерял его в изгибах канала..." И далее. "Это самое прекрасное
и необычное явление; день, когда я впервые увидел его, был лучшим днем моей
жизни". Вот так...
Д. С. Рассел глубоко верил в большое будущее солитонов и многократно об этом
писал. Однако только в 1895 году появилась статья Кортевега и де Фриза, в которой
из общих уравнений гидродинамики было выведено то уравнение, которое мы теперь
называем уравнением КдФ.
И оно также не привлекает особого внимания, оставаясь известным узкому
кругу специалистов. Такое "почти безразличие" к солитонам и уравнению КдФ
продолжалось до 60-х годов XX столетия. Здесь первым толчком были исследования
численным методом релаксации колебаний в ангармонических цепочках, выполнен-
выполненные Ферми, Пастом и Уламом, которые обнаружили странный - для представлений
того времени эффект "нерелаксирующих" колебаний.
Этот парадокс стимулировал исследования свойств уравнения КдФ, и в 1967 г.
появилась работа Гарднера, Грина, Крускала и Миуры, в которой было показано, что
существует аналитическое решение задачи Коши для этого уравнения, основанное не
тесной связи исследуемого уравнения с квантовой механикой, и что задача его реше-
решения может быть сведена к решению линейного интегрального уравнения Гельфанда-
Левитана-Марченко для обратной задачи квантовой теории рассеяния. Под обратной
задачей здесь понимается восстановление формы потенциала в уравнении Шредин-
гера по данным рассеяния на этом потенциале "зондирующими частицами". Это
открытие позволило не только решить в полном объёме уравнение КдФ, но и ряд
других нелинейных уравнений, играющих важную роль в самых различных областях
физики.
В последующем, отталкиваясь от работы Крускала с сотрудниками, удалось
создать стройную и весьма общую науку об интегрируемых нелинейных уравнени-
уравнениях в частных производных. Здесь велика заслуга наших физиков и математиков
В. Е. Захарова, С. П. Новикова, Л. Д. Фаддеева, А. Б. Шабата.
Применительно к проблемам физики плазмы следует отметить разработку тео-
теории сильной ленгмюровской турбулентности на основе концепции ленгмюровских
солитонов (А. С. Кингсеп), а также выявление роли солитонов во многих других
плазменных процессах.
444
Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
8.3.2. Учет затухания в уравнении КдФ. Распространение солитонов есте-
естественно сопровождается их затуханием, которое уже отметил сам Рассел. В разных
условиях механизм этого затухания может быть разный: вязкость, классическое
сопротивление в плотной плазме, "аномальное" сопротивление в редкой плазме О
и т.д.
Естественный — и простейший учет диссипации сводится к добавлению к клас-
классическому КдФ диссипативного члена вязкостного типа
дЛ + идЛ+13д^ = р^ (8310)
ot ох ох1 ох1
Выше мы рассматривали только стационарные решения типа
и = f(x — at)
и получили либо периодические решения, либо одиночный солитон. Если и для
уравнения (8.3.10) искать стационарные решения, то получим после однократного
интегрирования
(8.3.11)
dx2 dx
dw uz
-^— = аи ——
ou 2
Если сопоставить х —> г, и —> ?, то это выражение можно рассматривать как уравне-
уравнение колебаний материальной точки с массой c§j2k\ в потенциальной яме w(?) при
наличии трения. Начав движение при г —> —оо в точке ? = 0, частица сваливается
в яму, постепенно теряя энергию, и останавливается при г —> +оо при
& =и^=2а. (8.3.12)
На рис. 8.3.5а изображено движение эффективной частицы в яме, а на рис. 8.3.56
и рис. 8.3.5в изменения и в зависимости от х. Видно, что мы явно получаем струк-
структуру ударной волны. Обращает на себя внимание осцилляторный характер перехода
от одного состояния в другое. При этом, в зависимости от знака дисперсионной
поправки в (8.3.10), осцилляции могут предшествовать основному спаду и, а могут
опережать этот спад. На рис. 8.3.2 изображено экспериментально определенное
изменение плотности в "бесстолкновительной" ионно-звуковой ударной волне. Соот-
Соответствие рис. 8.3.5 и рис. 8.3.2 очевидно.
Рис. 8.3.5. Затухание колебаний в потенциальной яме (а) и ударные волны в средах с отрица-
отрицательной (б) и положительной (в) дисперсиями
8.3.3. Неустойчивости типа Чаплыгина-Трубникова [208]. Выше мы по-
получили нелинейное модельное уравнение для возмущений в слабодисперсирующей
среде, отталкиваясь от дисперсионного уравнения для линейных возмущений гипер-
гиперболического типа
1) Подробнее об "аномальном" сопротивлении сказано в п. 8.4.4
8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур
445
2000 х,км
U2 =
Рис. 8.3.6. Профиль магнитного поля
во фронте косой (в ~ 60°) межпланет-
межпланетной ударной волны с числом Маха М
= 2,5 по измерениям на борту спутни-
спутника ISEE 26 октября 1977 г. Отношение
газокинетического давления к магнит-
магнитному C^3. Толщина ударного фронта
А ~ 90 км, что составляет примерно
2c/ujpi (Russel СТ., Greenstadt E.W.
"Report of Inst. of Geophys. and Planet
Phys.", 1978 №1847)
Б. А. Трубниковым и С. К. Ждановым была построена и исследована модельная
нелинейная система уравнений, исходя из другого дисперсионного уравнения для
линейных возмущений эллиптического типа
4 (8.3.13)
V=o(x4)
Если уравнение КдФ, соответствующее (8.3.3) описывает не только динамические, но
и стационарные конфигурации, то уравнения, соответствующие (8.3.13), описывают
только принципиально динамические конфигурации. В качестве модели указанными
авторами было предложено взять систему двух 0 уравнений гидродинамики с отри-
отрицательным давлением.
dp* dv о i/0 . ч
—г- = — p*divv; —- = ckqvpj . (8.3.14)
at at
Здесь звездочка около р поставлена с целью подчеркнуть, что в конкретных рассмат-
рассматриваемых неустойчивостях роль плотности могут играть весьма различные парамет-
параметры.
Система уравнений типа (8.3.14) впервые появилась в 1896 г. в работе С. А. Ча-
Чаплыгина, в которой рассматривалась динамика идеального газа с аномальной зави-
зависимостью давления от плотности
= Po
(8.3.15)
Очевидно, она будет удовлетворять системе (8.3.14) при q = —1/2, Cq =poPo-
В своих работах Трубников и Жданов показали, что к системе (8.3.14) сводится
при тех или иных допущениях большое число неустойчивостей. Некоторые из них
приведены в таблице 8.1.
Важной особенностью системы уравнений Чаплыгина-Трубникова является то,
что в двухкоординатных случаях (?, х) или (х, у) она может быть сведена с помощью
преобразования Лежандра, т.е. перехода от искомых функций p*(t,x), v(t,x) к иско-
искомым функциям t = ?(р*, v), х = х(р*, v) к одному линейному дифференциальному
уравнению второго порядка.
Это уравнение для некой функции
ф(р, v, ф) - pmt(p, v, ф), (8.3.16)
которая удовлетворяет уравнению Лапласа
1) Возможность описания гиперболических возмущений одним уравнением КдФ объясняет-
объясняется разлагаемостью си2 — cl>c2 на вещественные множители, соответствующие волнам, идущим
в противоположных направлениях.
446 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
= 0. (8.3.17)
Параметр ф — чисто вспомогательный и предполагается, что
ф = ф\ (р, у) cos тф. (8.3.18)
Таблица 8.1
m
-2
-1
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1/2
1
1
3/2
3/2
3/2
Квазичаплыгинская среда
Цилиндр жидкости с поверхностным натяжением
Перетяжки на сжимаемом сканированном пинче
Одномерный нестационарный газ Чаплыгина
Двумерный стационарный поток газа Чаплыгина
Бунемановская неустойчивость плазмы
Тиринг-неустойчивость плазменного слоя с током
Параметрическая неустойчивость плазмы в переменном поле
Возмущения солитонов синус-Гордона
Возмущение солитонов Кадомцева-Петвиашвили
Возмущения солитонов нелинейного уравнения Шредингера
Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца
Нагревно-излучательная неустойчивость слабоионизованной плазмы
Опрокинутая мелкая вода (капли на потолке)
Газ Ван-дер Ваальса в неустойчивой области
Длинноволновая неустойчивость Рэлея-Тейлора
Самофокусировка света в кубической среде
Модуляционная неустойчивость ленгмюровских волн в плазме
Самофокусировка поперечных волн в плазме
Коллапс ленгмюровских волн в плазме
Самофокусировка волновых пакетов по Лайтхиллу
В частности, волн на глубокой воде (теория "9-го вала")
Неустойчивость гравитационного газового слоя
Неустойчивость тангенциального разрыва скорости:
"Затопленной" цилиндрической струи в жесткой трубке
Стратифицированный "мелкой" атмосферы;
Бунчировка электронного пучка в плазме
Разбиение его же на слои и нити (филаменты)
Бунчировка ионов, ускоряемых на биениях волн в плазме
Возмущения солитонов Бенджамена-Она
Филаментация лазерного луча в кубической среде
Возмущения солитонов Кортевега-де Фриза
Солитон нелинейного уравнения Шредингера с дефокусирующей нелиней-
нелинейностью
Ямки плотности слабонеидеального бозе-газа
8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур 447
Решив уравнение (8.3.17) при соответствующих граничных и начальных условиях,
можно, двигаясь от ф, уже алгебраически определить
р = p(t,x), v = v(t,x).
Возможность такого рода линеаризации хорошо известна в газодинамике (см., на-
например, [13]), и впервые была продемонстрирована тем же Чаплыгиным.
Мы не будем подробно рассматривать конкретные примеры расчётов Трубникова-
Жданова, прежде всего, из-за необходимости преодолеть сравнительно громоздкий
формальный барьер на начальном этапе, и отсылаем заинтересованного читателя
к оригинальным публикациям. Особенно рекомендуем книгу [34], знакомство с ко-
которой впечатляет своей новизной и общностью. В связи с этим отметим одно общее
положение, сформулированное авторами. Обычно исследование возмущений прово-
проводится с помощью гармонических представлений. Однако знакомство с уравнением
КдФ и солитонами показывает, что для нелинейных ситуаций более адекватными
являются локализованные структуры, в рассмотренном выше случае — солитоны.
Оказалось — и это показали Жданов и Трубников для системы (8.3.14), здесь также
более адекватными являются локализованные структуры.
Наглядным примером может служить
неустойчивость тонкой жидкой пленки на I
потолке бани, рис. 8.3.7. При некой тол- \? о ° о ° С
щине пленка теряет устойчивость и начина- ^-^~О 2 О
ет провисать. В провисающий участок сте- л ^
кается жидкость из окрестных частей плен- ^ 5
ки, и в результате отрывается капля. Этот б
процесс, не считая последней стадии, когда ° 6 б
требуется учет поверхностного натяжения, Рис. 83.7. Неустойчивость тонкой жидкой
описывается системой (8.3.14) с т = 1. То пленки на гладком потолке бани
же можно сказать и об образовании перетя-
перетяжек на Z-пинче, которые могут появляться в одиночку, но даже если их появляется
несколько штук, они практически не связаны непосредственно друг с другом.
И что еще важно, оказывается, в плазме существует всего четыре универсальных
типа локализованных возмущений, соответствующих т = —1, —1/2, 1/2, 1.
8.3.4. Уравнение Чарни-Обухова [32, 209, 210]. Уравнение КдФ и уравнения
Чаплыгина-Трубникова не описывают такие хорошо известные автономные структу-
структуры как вихри. Однако уравнение, описывающее многие типы вихрей есть, и мы его
сейчас рассмотрим. Оно относится к классу дрейфовых течений, в которых уже гово-
говорилось в п. 8.2.4. Но там речь шла только о безинерционных возмущениях. Здесь же
будут рассмотрены дрейфовые возмущения в плазме с учётом инерции ионов, а также
глобальная динамика атмосфер планет. Речь пойдет об уравнении, которое впервые
было получено геофизиками Дж. Г. Чарни A948г.) и A.M. Обуховым A949г.).
Позднее, в 1978 году, в связи с разработкой теории нелинейных дрейфовых процессов
в плазме аналогичное уравнение было опубликовано А. Хасегавой и К. Мимом.
Мы приведем здесь вывод в простейшей форме уравнения Чарни-Обухова, как
более простого. После этого без вывода выпишем обобщенные уравнения Чарни-
Обухова и Хасегавы-Мимы.
Ниже в разделе 9.1 рассматривается аналогия между двумерной динамикой
плазмы в поперечном магнитном поле и динамикой "мелкой воды" со свободной
границей во вращающемся сосуде, т. е. при наличии силы Кориолиса. В последнем
случае система уравнений имеет вид (9.1.5)
448 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
— + div_L/iv = 0, (8.3.19а)
at
S ) O\- (8.3.196)
Здесь h = /i(x, t) — толщина жидкого слоя, р — плотность несжимаемой жидкости,
ft — угловая скорость вращения сосуда, g — ускорение силы тяжести, индексом "_1_"
отмечена двумерность операторов.
Как видно, уравнения (8.3.19) аналогичны уравнениям динамики ионов в двух-
жидкостной модели плазмы при наличии магнитного поля.
Нас будет интересовать случай, когда Кориолисова сила существенно больше
силы инерции, т.е. члена в левой части уравнения (8.3.196) и уравновешивается
преимущественно силой гидростатического давления. А это значит, что параметр
До = ^<1, (8.3.20)
где г — характерный временной масштаб процесса, например, время оборота вихря.
Этот параметр геофизики обычно называют параметром Россби-Кибеля. Очевидно,
он означает, что период циркуляции в вихре должен быть много больше времени
оборота сосуда или планеты вокруг оси. В свете отмеченной аналогии между ди-
динамикой "мелкой" воды и плазмой в магнитном поле, можно сказать, что критерий
Россби-Кибеля полностью соответствует критерию замагниченности частиц, т. е.
применимости дрейфового приближения (п. 1.2.5).
Чтобы не усложнять вычисления, рассмотрим случай, когда невозмущенная среда
однородна и неподвижна. Тогда, ограничиваясь квадратичными по амплитуде возму-
возмущениями скорости, можно положить
h = h0 + h\ + h2, h0 = const, ,ooon
yo.d.Zl)
vx = ^l + Щ\ vy = щ + Щ.
Допущение (8.3.20) позволит нам величины ~ dv\/dt считать величинами второго
порядка малости. Подставляя разложение (8.3.21) в (8.3.19) и группируя члены
одного порядка, получим
^ + |-Mi + S-houi = 0; (8.3.22)
at ox ay
яь : (8.3.23)
dh2 д n 7 ч д n 7 ч л
+ (hv + hv) + {hu + hxu\) = 0;
2Clu2; (8.3.24)
at ox oy ox
дщ дщ дщ dh2
at ox oy oy
Подставляя (8.3.23) в (8.3.22), получаем
,..
8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур 449
т. е. в первом приближении плотность среды при наличии дрейфовых возмущений
остается постоянной (сравните с п. 8.2.4). В первом приближении скорость дрейфо-
дрейфовых движений равна г -.
vi =-x[v/ii,n°J (8.3.26)
Здесь х — 77^' а Г2° — единичный вектор вдоль оси вращения сосуда.
Учитывая выражение (8.3.23) для vi = (v\,u\), нетрудно убедиться, что
dv\ dv\ 2D(h\y,h\) дщ дщ Z_V.1X.,..1/
г?1— Ьгм-^—=л 7^—ч—; v\— \-Щ—— = — у -, :—. (8.3.27)
дх ду D(x,y) дх ду D(x,y)
Подставляя (8.3.27) и (8.3.26) в (8.3.24), находим выражения для г>2 и и^'.
_ X , X2 D(hix,hi)m
t)o — —^i^in — ib\tT H~ / \—5
",7 (8-3.28)
Здесь индексы ж, у, t означают соответствующие частные производные.
Подставляя (8.3.28) в (8.3.24) и учитывая (8.3.26), получаем
(8.3.29)
Это упрощенный случай уравнения Чарни-Обухова. Его иногда называют уравнени-
уравнением Ларичева-Резника, по имени тех, кто детально изучали его свойства.
В нашем выводе невозмущенная конфигурация была неподвижной. Однако разви-
развитие волн (вихрей, солитонов) Россби (как и дрейфовых волн) обычно происходит на
движущемся фоне. Поэтому в (8.3.21) при выводе уравнения Чарни-Обухова надо
положить
v = vo + vi, v0 = (vo,O).
Соответственно этому получается уравнение, которое в стандартной безразмерной
форме имеет вид D(h д/ч
(Ah - h)t + vohx + vohhx + Д/ / = 0. (8.3.30)
Учитывая геофизические приложения данного уравнения, величину г>о надо считать
функцией поперечной (широтной) координаты
vo = щ(у) « здо (l - Щ- (8.3.31)
где R — радиус меридиальной кривизны.
Соответствующее уравнению (8.3.30) уравнение Хасегавы-Мимы, записанное для
возмущения потенциала в плазме, имеет вид:
(Аф - ф)г + уо{ф)фх + vi#я + ?' У = 0. (8.3.32)
Здесь ^о — дрейфовая скорость.
Отметим основные особенности уравнения (8.3.30).
а. Видно, что если пренебречь нелинейными членами, то мы получим линейные
возмущения с дисперсионным уравнением
и = кх(\ + х2)-1. (8.3.33)
15 А. И. Морозов
450 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
Это уравнение совпадает с уравнением (8.2.33), если пренебречь здесь величи-
величиной к2 в знаменателе, которое обязано учету инерции среды в членах второго
порядка малости.
б. В уравнении (8.3.30) есть два нелинейных члена: "скалярный" ~ hhx и "век-
„ D(h,Ah)
торный ~^т Г-
D(x,y)
Если векторный член мал, то мы имеем в области малых волновых чисел урав-
уравнение Картевега-де Фриза (КдФ) с его волнами и солитонами. Действительно,
при отсутствии векторной нелинейности в одномерном случае имеем
d3h dh , ,9ft л
ox1at at ox
Учитывая, что в линейном приближении (при к —> 0)
можно написать Q Q
дЧ дЧ
Если, наоборот, превалирует векторная нелинейность, то здесь есть, кроме
линейных волн с указанным законом дисперсии, также вихри и вихреобразные
солитоны. В том, что в (8.3.30) содержатся вихри, проще всего убедиться на
примере стационарного уравнения (8.3.29)
=0. <8.3.34а)
Отсюда, в частности, следует возможное решение
Aft = — q n,
где
ft = A smxx -sinx22/; >c\ + х| = q2. (8.3.346)
Вихревая структура этого выражения уже была ранее изображена на рис. 2.2.1.
Подробнее о вихревых структурах будет сказано в разделе 9.1.
8.4. О стохастичности процессов в плазме [211]
8.4.1. Стохастичность и турбулентность 0. Большая подвижность частиц
в плазме, многообразие различного рода волновых процессов делают все характе-
характеристики плазменных систем стохастическими величинами. Особенно это касается
локальных параметров плазменного объёма. Обычно эти нестабильности называют
"шумом", если процесс по макропараметрам идет достаточно регулярно. Если же
и макропараметры ведут себя нерегулярно, то обычно говорят о "турбулентности"
процесса.
До начала 60-х годов считалось, что стохастичными могут быть только системы
с большим числом степеней свободы. Например, равновероятность выпадения обеих
сторон монеты при бросании есть результат сложной системы вихрей, образующихся
1) Турбулентность — от латинского turbulentus — бурный, беспорядочный.
8.4. О стохастичности процессов в плазме 451
при обтекании летящей монеты. Однако в 60-е годы 0 происходит резкий перелом
в общественном мнении. Хотя было несколько событий, приведших к этому, но
наиболее впечатляющей была работа Е. Лоренца A963), посвященная модельному
описанию тепловой конвекции в кольцевом зазоре между двумя трубами при наличии
разности температур между нижней и верхней торцевыми крышками. Используя
метод Галеркина, Е. Лоренц свел задачу к системе трех обыкновенных нелинейных
дифференциальных уравнений
х = а(у — х)\ у = —у + (Зх — xz\ z = ху — jz. (8.4.1)
Здесь x(t) — амплитуда скорости движения жидкости, y(t) — симметричная состав-
составляющая температуры, z(t) — несимметричная составляющая температуры, учитыва-
учитывающая разность температур крышек, а — число Прандтля, C = Ra/Rac — приведенное
число Релея 2), 7 — параметр, определяющий волновое число возмущения. Система
(8.4.1) решается численно.
При расчётах обычно полагается а = 10, 7 — 8/3, а переменным является пара-
параметр C. В зависимости от величины C характер происходящих процессов меняется
следующим образом.
При /3 < 1 жидкость неподвижна. При 1 < /3 < /% = 13,92 устанавливается
циркуляция с постоянной скоростью, направление которой определяется начальными
условиями При /3 > /З2 течение становится чувствительным к малым вариациям
начальных условий, скорость течения становится нерегулярной, то направленной
в одну сторону, то в другую. Так осуществляется переход от устойчивого состояния
покоя к "динамическому хаосу", который раньше был бы назван "турбулентностью".
Ранее похожее изменение динамики жидкости, налитой тонким слоем на сково-
сковороду и подогреваемую снизу, наблюдал Бенар ("ячейки Бенара" — рис. 8.4.1).
Не касаясь глубоких причин такого поведения модели Лоренца и других моделей,
отметим только, что в системах с двумя параметрами, а не более, хаотизация
решения невозможна 3).
Вторым циклом исследований, сыграв-
сыгравшим важную роль в осознании фундамен-
фундаментальной роли динамического хаоса, т. е. ха-
хаоса в системах с малым числом степеней
свободы (N > 3) было "наведение науки"
на движение частицы в "биллиарде" с кри-
кривыми стенками при условии, что отражение
от бортов происходит зеркально (рис. 8.4.2).
Здесь большую роль сыграли работы со-
а б ветского математика Я. Г. Синая. Но исто-
Рис. 8.4.2. Движение шара в биллиардах рически, по-видимому, первыми были ра-
с кривыми стенками (а) и между шара- боты Н.С. Крылова A930 годы), который
ми (б)
1) Отдельные высказывания о возможной стохастичности систем с малым числом степеней
свободы были и раньше, но они не "резонировали" с общим настроением.
2) Число Прандтля: Рг = Срц/к, где ср — теплоёмкость, ц — динамическая вязкость, к —
теплопроводность. Это число характеризует отношение тепла, выделяемого за счёт вязкости,
к теплу, отводимому теплопроводностью. Для обычного воздуха Рг = 0,7.
Число Релея: Ra = gL3f3 АТ/иа, здесь J3 — коэффициент объёмного расширения среды,
v — кинематическая вязкость, а — коэффициент температуропроводности, L — масштаб
неоднородностей (длина волны), AT — перепад температур.
3) Это связано с появлением в принципиально трёхмерном пространстве параметров (ж, у, z)
специфической структуры — "странного аттрактора" (см. [211]).
15*
452 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
Рис. 8.4.1. Упорядоченная структура конвективных ячеек Бенара, возникающая в слое жид-
жидкости при нагревании его снизу (а); схема эксперимента (б); вид экспериментальной установ-
установки (в)
исследовал необратимость кинетики и под-
подчеркнул стохастичность динамики шаров.
А предтечей явно был А. Пуанкаре, изучавший топологию кривых, определяемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Наконец, третий цикл работ был связан с исследованием (автором с сотрудни-
сотрудниками) магнитных силовых линий вакуумных полей в начале 60-х годов. О возника-
возникающих здесь структурах уже говорилось в разделе 1.1. Там же отмечалось, что при
нарушении симметрии система магнитных поверхностей начинает разрушаться, при-
причём наиболее чувствительным к воздействиям оказывается окрестность сепаратрисы
и здесь, как уже об этом говорилось, возникает хаос.
Отметим интересный факт. Если некий объём до возмущений представлял си-
систему магнитных трубок, разделённых сепаратрисами, то при наличии возмущения
образующиеся околосепаратрисные слои с хаосом представляют единую систему,
и силовая линия из окрестности любого участка "хаотической паутины" рано или
поздно (в смысле пройденного пути) попадает в окрестность любой точки паутины.
Это явление носит название "диффузии Арнольда" по имени российского математика,
установившего этот факт.
Итак, мы видим, что уже простейшие дифференциальные уравнения порождают
хаос. Ясно, что переход к более сложным моделям будет сопровождаться порожде-
порождением, как правило, еще более изощренных структур со стохастическими областями.
В разделе 6.7 рассматривалась одномерная модель СПД, и там мы видели переход
от регулярного течения к хаотическому при изменении только одного параметра —
эффективного сопротивления канала.
Сказанное позволяет более осмысленно подойти к вопросу о турбулентности.
8.4.2. Турбулентность. Термин турбулентность используется обычно очень ши-
широко почти как синоним любого стохастического процесса. Здесь мы не будем
пытаться дать безупречное определение турбулентности, отметим только, что ха-
характерной чертой турбулентности является развитие в среде достаточно большого
8.4. О стохастичности процессов в плазме 453
числа неустойчивостей, ведущих к образованию иерархии нелинейных динамических
структур и диссипации энергии макродвижения.
Первые этапы изучения турбулентности. Турбулентные процессы начали ис-
исследоваться во второй половине XIX века О. Рейнольдсом A883 г.). Он изучал пере-
переходы ламинарных течений в цилиндрических трубах в турбулентные (хаотические)
и установил, что этот переход определяется величиной
Re=-, (8.4.2)
которая позднее получила название числа Рейнольдса. В (8.4.2) v, I — характерные
значения скорости и масштаба потока, a v — кинетическая вязкость. Критическое
значение ReKp, при котором происходит указанный переход, в круглых гладких
трубах равно Re « 1800, если / = D/2, где D — внутренний диаметр трубки.
Далее в течение многих лет наиболее популярной была вероятностная модель ста-
стационарной турбулентности в однородной гидро(газо)динамической среде. Эта модель
была развита на основе соображений подобия Колмогоровым и Обуховым A941 г.).
Она исходила из предпосылки существования каскада вихрей разных масштабов,
по которому идет перекачка энергии от вихрей большого масштаба ("запускающих"
движение среды) к вихрям малого масштаба. Предполагается, что число Рейнольдса
Reo, запускающее каскад вихрей
Reo = ^ 1, а малого масштаба — Remin = ~ 1.
V V
При такого рода допущениях указанные авторы получили универсальную зависи-
зависимость характерной скорости пульсации от волнового числа к в интервале Remin <
<Re<Re0 [13]:
v~k~5/3. (8.4.3)
Эта зависимость хорошо подтверждается экспериментально в диапазоне изменения
к на три порядка. Тем не менее, численное моделирование показало, что локальная
зависимость v(k,x) носит фрактальный характер, и в отдельных точках потока
отличие v от v может достигать больших величин.
Мы не будем здесь останавливаться на специфических особенностях турбулентно-
стей в газо-гидродинамике, а отметим здесь наиболее общие свойства турбулентных
процессов.
Подходы к изучению турбулентности. Обычно различают слабую и сильную
турбулентность.
К слабой турбулентности относят турбулентность волновых полей, слабо взаи-
взаимодействующих друг с другом (в виде распадов, слияний, рассеяния), и к которым
применима гипотеза случайных фаз волн.
Выше мы описывали динамический хаос в СПД и один из элементарных процес-
процессов, лежащих в основе турбулентности полей: слияние волн.
Важной особенностью слабой турбулентности является относительно небольшая
размерность N ее фазового пространства (N ^ 10). В той же модели Лоренца N =
= 3.
Сильная турбулентность может реализовываться по разным причинам. Сюда
относятся:
- гидродинамическая турбулентность при Reo ^> 1. В частности — турбулент-
турбулентность Колмогорова-Обухова;
- динамика систем с сильно нелинейными волнами (например, ударными), кото-
которые к тому же сильно взаимодействуют друг с другом;
454 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
- турбулентность при наличии многих солитонов, вихрей и других квазиавто-
квазиавтономных структур, размерность фазового пространства или число независимых
возбужденных мод ^ 100.
При изменении "управляющего параметра" переход от регулярного режима —
воспроизводимого при одинаковых начальных и граничных условиях, к турбулент-
турбулентному — невоспроизводимому при равных условиях в начале и на границах, может
происходить как плавно (это мы видели на примере Е. Лоренца и модели СПД), так
и скачкообразно.
Большая сложность и многообразие турбулентных процессов были причиной
разработки ряда подходов к ее теоретическому моделированию. Основных подходов
три: статистический, структурный и динамический.
Статистический подход начал разрабатываться О. Рейнольдсом. В его основе
лежит переход к усредненным характеристикам порождаемых уравнениями Навье-
Стокса, которые в случае несжимаемой жидкости имеют вид (при постоянной вязко-
вязкости)
divv = 0;
<9v I
— + (vV)v = —Vp + z/Av.
at p
Представим теперь скорость и давление в виде регулярных величин U и Р, а
кроме того хаотических добавок и и q
Можем и написать
div (U + и) = 0;
^(U + и) + ((U + и), V) (U + и) = -V(P + q) + z/A(U + и). (8А4)
Предполагая, что существует функция распределения 0 и, усредняя по этому рас-
распределению, получим при условии (и) = 0, (q) = 0:
divU = 0;
д (8.4.5)
—U + (UV)U = -VP + z/AU - ((uV)u).
Чтобы определить ((uV)u) надо умножить (8.4.5) на и и снова усреднить и т.д.
Эта процедура аналогична переходу от кинетического уравнения к системе
гидродинамических уравнений. Здесь, как и там, получается бесконечная система
уравнений для определенных моментов. Она реально должна быть так или иначе
оборвана, однако никаких априорных правил для этого нет. Поэтому, несмотря на
то, что такой подход в комбинации с использованием либо теоретических, либо
экспериментальных данных полезен, интерес к нему постоянно угасает, особенно
в связи с появлением мощных компьютеров.
Структурный подход к описанию турбулентности основан на выделении —
в большей степени на основе экспериментальных наблюдений, неких структур, ди-
динамика которых описывается сравнительно простыми уравнениями. По сути этот
подход был использован Е. Лоренцем.
1) На самом деле это должен быть функционал Ф[?7,х, t], где r\ = (v, P) — решения
уравнений Навье-Стокса. Последовательно схема описания турбулентности с помощью веро-
вероятностного функционала была развита Хопфом.
8.4. О стохастичности процессов в плазме 455
Применительно к гидродинамической турбулентности речь идет о системе вихрей
различающихся масштабом. Этот подход начал разрабатывать в 1922 году Л. Ричард-
Ричардсон, предложивший конкретную модель передачи энергии от крупных вихрей к более
мелким. В его модели исходное течение с Reo = vIq/v является неустойчивым
и порождает вихрь с масштабом 1\ < /о и т.д. вплоть до Remin, при котором вихри
устойчивы и разрушаются только вязкостью.
Описанная ранее модель гидродинамической турбулентности Колмогорова-
Обухова, очевидно, опирается на два указанных подхода: статистический
и структурный.
Отметим еще один из обнаруженных на опыте фактов. Оказывается, если мел-
мелкомасштабная турбулентность анизотропна или среда сжимаема, то развитая турбу-
турбулентность может оказаться неустойчивой, и тогда наблюдается инверсия энергети-
энергетического потока: энергия идет от мелких масштабов к крупным. В частности, этот
процесс ответственней за формирование планетарных вихрей, о которых речь пойдет
в разделе 9.1.
Динамический подход. Суть этого подхода в прямом решении уравнения Навье-
Стокса, хотя для этого могут применяться те ли иные приближенные методы.
Динамический подход сейчас становится доминирующим, и это, прежде всего,
благодаря появлению мощных компьютеров и изощренных вычислительных про-
программ.
8.4.3. Некоторые особенности плазменных турбулентностей [43,44]. Эти
турбулентности естественно отличаются от турбулентности вязкой жидкости или га-
газа наличием несравненно большего числа типов волн и вихрей, обязанных наличием
электромагнитных полей в плазме. Это приводит к тому, что различают: МГД, ионно-
звуковую, ленгмюровскую и дрейфовые турбулентности.
Вот их краткие характеристики.
МГД турбулентность. При высокой проводимости перемещение плазмы проис-
происходит вместе с магнитным полем из-за вмороженности. Однако хаотичность движе-
движения порождает много х-точек, где происходит пересоединение магнитных силовых
линий. Особенно большую роль этот вид турбулентности играет в космических
условиях, в частности, на Солнце. Здесь, как и в других объектах, он способствует
усиленному переносу массы, энергии, а также генерации и переносу магнитного
поля. Малопараметрические формы МГД турбулентности проявляются в крупных
ловушках — токамаках, стеллараторах.
Ионно-звуковая турбулентность. Этот вид турбулентности при малых частотах
напоминает газодинамическую турбулентность, а при высоких в ней возникает силь-
сильное взаимодействие ионно-звуковых волн, приводя к аномальному сопротивлению
плазмы.
Ленгмюровская турбулентность. Её предшественницей на линейной стадии
являются ленгмюровские колебания, раскачиваемые, например электронным пучком.
Эти колебания быстро выходят на нелинейный уровень, порождая ленгмюровские
солитоны 0, которые оказываются в трёхмерном случае неустойчивыми по отноше-
отношению к схлопыванию, сопровождаемому переходами энергии электрических колебаний
в кинетическую энергию разлетающихся электронов. Это явление получило название
"коллапса ленгмюровских волн". Этот коллапс играет, по-видимому, основную роль
в очистке нижнего уровня в каскаде турбулентных переходов (В.Е. Захаров).
1) В их возникновении определенную роль играет смещение ионов под действием силы
Миллера (п. 1.2.4), обязанной ленгмюровским колебаниям.
456 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
Дрейфовая турбулентность. Выше было приведено уравнение для нелинейных
дрейфовых волн (8.3.32), которое описывает все виды возмущений, если выполняется
условие слабой инерционности. Поэтому оно описывает и дрейфовую турбулентность.
Здесь также мы имеем переход от ламинарных течений, солитонов и вихрей к хаосу.
К этому вопросу мы еще вернемся в разделе 9.1.
О самоорганизации процессов в плазме. Многообразие видов взаимодействий
в плазме не только усложняет общую картину возможных турбулентных движений,
но во многих случаях приводит к ее упрощению за счет самоорганизации весьма
устойчивых структур. В частности, переход от первоначального возмущения к ко-
конечному — статическому состоянию, идет обычно не путем монотонной деградации,
а проходит стадии образования крупномасштабных долгоживущих структур, как это
мы видели на примере численной модели Пасти-Ферми-Улама, которая проходит
через стадию образования солитонов, и как это будет показано в разделе 9.1 на
примере планетарных вихрей.
Мы ограничились очень кратким перечислением типов турбулентных процессов
в плазме. Современное состояние этой области физики плазмы, разумеется, несрав-
несравненно богаче. Однако, здесь ясности в целом меньше, чем в случае гидродинамики,
где во многом речь идет об уточнении и конкретизации уже прорисованных общих
схем. В случае плазмы мы далеки от этого, поскольку сегодня имеем главным
образом описание попыток построить теорию плазменных турбулентностей, но не
сами теории.
8.4.4. Аномальное сопротивление плазмы [7]. Выше говорилось о трех типах
процессов переноса: классических, неоклассических ("банановой", "пристеночной")
и аномальных, обязанных мелкомасштабным колебаниями.
В данном пункте будет рассмотрен один конкретный случай плазменной турбу-
турбулентности, приводящей к аномальному сопротивлению плазмы.
Среди различных механизмов создания аномальной проводимости большую роль
играют механизмы, обязанные появлению в плазме "хаотических" мелкомасштабных
электростатических колебаний с достаточно большой амплитудой. Появление таких
колебаний уменьшает эффективное время свободного пробега тЭф и, соответственно,
коэффициента проводимости
_ е2птэф
т
Оценка величины тЭф может быть дана в виде
V е2 )'
Здесь ио — характерная частота пульсаций, Е — напряженность хаотического элек-
электрического поля. Эта формула следует из соображений, аналогичных тем, которые
приводят к формуле Эйнштейна для броуновского движения
/Г2\ л2
тэф = ^~, D=T,
а Л и г — длина и время свободного пробега.
В нашем случае роль х играет v — тепловая скорость частицы, роль г ~ uj~x —
величина, обратная частоте, а роль Л — скорость, набираемая от хаотического поля
за период его "колебания" (Л = Av ~ еЕ/гпи).
8.5. Активные методы стабилизации плазменных неустойчивостей 457
Как видно из сказанного, вопрос о величине тЭф сводится к определению харак-
характерной частоты пульсации ио и среднего значения квадрата пульсирующего электри-
электрического поля Е. Определение этих величина требует достаточно сложных теоретиче-
теоретических построений. Поэтому мы отсылаем интересующихся теорией мелкомасштабной
турбулентностью, приводящей к аномальному сопротивлению к книгам [7, 10]. Здесь
же будут коротко описаны эксперименты по так называемому турбулентному нагреву
плазмы, а затем будут приведены простые оценки наблюдаемой зависимости плотно-
плотности тока j от напряженности электрического поля j(E).
Эксперименты по турбулентному нагреву (Е.. .Завойский, Л.И. Рудаков). Дан-
Данная турбулентность легко реализуется в самых разных установках. В частности,
это можно сделать на прямом электрическом разряде типа Z-пинча с наложенным
продольным магнитным полем. На водороде рабочий диапазон давлений лежит в пре-
пределах 10~4-10~2 Тор, длительность разрядного импульса ^0,2-0,6 мкс, а плотность
тока ~ 102А/см2. Во время разряда температура электронов стремительно подни-
поднимется до нескольких кэВ, а ионная — до 100-300 эВ. Это как нетрудно убедить-
убедиться разумно согласуется со значением порога инкремента развития неустойчивости
Буземана-Будкера.
Закон Ома при больших напряженностях электрического поля (Яо = 0 или
Н||Е). Если напряженность электрического поля мала и электрон, набирая от поля
энергии между столкновениями в состоянии отдать ее тяжелым частицам, то плот-
плотность тока прямо пропорциональна напряженности Е:
j = aE 1^-мало •
Однако с увеличением Е скорость набора энергии и токовая скорость возрастают
и после того, как скорость щ приближается к скорости ионного звука, зависимость
j от Е ослабляется и становится в первом приближении ~ \[Ё. А при значениях
щ г^ уТе плотность тока мало изменяется при дальнейшем возрастании.
Картина в целом усложняется, плазменный столб становится неоднородным (по-
(появляются, в частности, так называемые двойные слои с очень большим сопротивле-
сопротивлением аномального типа) и увеличивается доля убегающих электронов.
Как эксперименты, так и теоретический анализ показывают, что общий вид
зависимости j(E) подобен изображенному на рис. 8.4.3. При больших электрических
полях основным типом колебаний здесь являются коротковолновые ионно-звуковые
колебания с длиной волны порядка дебаевского радиуса. Характерный вид функции
распределения электронов, полученный численным методом, приведен на рис. 8.4.4.
Видно, что распределение имеет столообразную форму, обязанную высокому уровню
колебаний xrjj ~ 1 и "отрастанию" убегающих электронов.
Хотя многие особенности аномального сопротивления, обязанного высокочастот-
высокочастотным колебаниям, выяснены, тем не менее здесь еще остается неясным целый ряд
важных вопросов.
8.5. Активные методы стабилизации плазменных
неустойчивостей [215]
Выше речь шла о поведении плазменных конфигураций, ограниченных некими
стенками и предоставленных самим себе. Однако в окружающем нас мире мы
повсюду сталкиваемся с информационными системами, которые управляют теми или
иными процессами. Это управление может осуществляться человеком, животными
(например, пчелы поддерживают определенную температуру в улье), автоматически-
458
Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
j=envc __
уЛ | Квазилинейная
/ I теория
ак.
Рис. 8.4.3. Общий вид закона Ома в случае ионно-звуковой турбулентности [7]
а 0 300 t б ^1000 0 1000 v
Рис. 8.4.4. Динамика электронов в разряде при возрастании Е: а — зависимости токовой
скорости и и тепловой скорости Уте от ?; б — типичная функция распределения электронов
на турбулентной стадии [7]
ми системами (автопилот обеспечивает выполнение самолетом определенной про-
программы полета) и т.д..
Общая тенденция развития техники состоит в том, что все большая часть блоков
сложной системы становится под контроль специальных диагностирующих и управ-
управляющих органов. Так на американских Шатлах находится около 30000 датчиков,
которые все непрерывно опрашиваются компьютером за время ~ 1 секунда и при
этом вырабатываются нужные команды рабочим системам. Совершенно очевидно,
что и плазменные системы также все в большей степени будут насыщаться авто-
автоматическими информационно-управляющими системами и классические плазменные
"амебообразные" объёмы будут превращаться в "киберплазменные" структуры.
Простейшая система стабилизации плазменного объекта появилась еще в XIX
веке и обеспечивала стабильное горение электрической дуги. Необходимость такой
стабилизации объясняется падающей ВАХ дуги, которая делает разряд неустойчи-
неустойчивым. Поэтому последовательно с дугой ставится специальное сопротивление, которое
и обеспечивало устойчивость разряда благодаря растущей в целом ВАХ. Но это
была "пассивная" стабилизация, которая в отличие от "активной" стабилизации не
содержит специальных датчиков состояния системы.
Одной из первых систем стабилизации плазменной конфигурации была система
стабилизации положения плазменного шнура в токамаке. Это плазменное кольцо
из-за протекающего по нему тока стремится расшириться. Этому можно противодей-
8.5. Активные методы стабилизации плазменных неустойчивостей
459
ствовать, если поместить плазму в сверхпроводящий 0 короб: тогда магнитное поле
между хорошо проводящим шнуром и непроницаемой для поля стенкой будет при
расширении кольца сжиматься (усиливаться), что и остановит этот процесс. Однако,
сверхпроводящие кожухи неудобны, а медные непригодны из-за роста скин-слоя при
больших временах удержания.
Рис. 8.5.1. Схема активной стабилизации диамет-
диаметра плазменного шнура в токамаке: 1 — датчики
размера шнура, 2 — регулятор тока в управляю-
управляющих катушках, 3 — управляющие катушки
Рис. 8.5.2. Схема активной ста-
стабилизации локальных возмущений
плазменной конфигурации A) с по-
помощью слоя датчиков B), и слоя
локально возбуждаемых токов кон-
контуров
Поэтому сейчас используется активная система стабилизации положения кольца
с обратной связью, блок-схема которой изображена на рис. 8.5.1. В нее входят
магнитные катушки — датчики положения кольца, система обработки информации
и управления током в силовых катушках, создающих магнитное поле с преимуще-
преимущественным направлением вдоль оси системы. Изменяя величину магнитного поля, мы
изменяем величину амперовой силы ~ JqH±_ и тем самым управляем размерами коль-
кольца. Следует отметить, что в настоящее время показано преимущество плазменных
шнуров с вытянутыми сечениями, а без обратных связей они неустойчивы.
В приведенных примерах стабилизировался некий интегральный параметр. Оче-
Очевидно, в принципе можно воздействовать не на систему в целом, а на любой ее
фрагмент, имея соответствующие датчики и средства воздействия — рабочие органы
стабилизатора.
Впервые теоретическая модель стабилизации распределенных неустойчивостей
плазменного шнура с помощью системы с обратными связями было рассмотрено
А. И. Морозовым и Л. С. Соловьевым в 1964 году [215]. Принципиальная схема
рассмотренной там системы изображена на рис. 8.5.2.
В качестве исполнительных органов рассматривалась мозаика катушек изменяв-
изменявших локально напряженность магнитного поля около шнура в соответствии с сигна-
сигналом локального датчика.
Там же в работе отмечалось, что, используя пучки нейтральных атомов и на-
направленные потоки СВЧ волн, можно воздействовать и на внутренние области
1) Роль сверхпроводника в первых токамаках с относительно коротким временем жизни
играл толстый медный "кожух" с относительно тонким скин-слоем.
460
Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем
шнура. Публикация этой статьи вызвала целый ряд обстоятельных теоретических
исследований, а также экспериментальные реализации идеи.
Здесь мы коротко рассмотрим выполненные в ИАЭ экспериментальные исследо-
исследования стабилизации колебаний обратными связями в пробочной ловушке с редкой
плазмой (В. В. Арсенин, В. А. Чуянов с сотр., 1967-76 гг. [216]).
Подавление конвективной неустойчивости в осесимметричном пробкотроне.
Описываемые ниже эксперименты проводились на ловушке "Огра-3", в которой длина
плазменного объёма была ^8 см, а его диаметр ~14 см. Магнитное поле в центре
ловушки rsj 20 кЭ, плотность плазмы без стабилизации ~ 108см~3.
Система стабилизации была ориентирована на подавление желобковых неустой-
чивостей, развивающихся на достаточно резкой границе плазмы. Идея стабилизации
сводилась к тому, чтобы с помощью внешних электродов-панелей создать в объёме
вытянутого вдоль Н плазменного выступа Е-поле, противоположное полю поляри-
поляризации, обязанному магнитному дрейфу. Эта идея опиралась на малую величину
плотности плазмы в ловушке, точнее, малость диэлектрической постоянной е± ~ 1.
Поскольку развитие неустойчивости носит случайный характер, и они могут
иметь разную форму, то схема стабилизатора ориентировалась на возмущения, кото-
которые можно представить как сумму 6 гармоник
ф =
к=\
В связи с этим использовалась система 6 пар зондов-датчиков, погруженных в пе-
периферийную зону плазмы, и 6 пар панелей. Сигналы от датчиков поступали в блок
пространственного Фурье анализа, а затем в блоки, вырабатывающие управляющие
сигналы для каждой моды и последующей подачи их на панели. Упрощенная схема
стабилизатора (где для простоты изображены 6, а не 12 панелей) изображена на
рис. 8.5.3 0.
а -—— б
Рис. 8.5.3. Схема стабилизации конвективной неустойчивости в пробкотроне с помощью
внешних электродов
Отметим, что на той же ловушке "Огра-3" проводились эксперименты и по
подавлению циклотронной неустойчивости.
Подавление колебаний с помощью обратных связей изучалось в СПД В. А. Нев-
ровским с сотрудниками [217]. Ряд авторов успешно стабилизировали дрейфовые
неустойчивости низкотемпературной плазмы в магнитном поле [218,219].
Применение описанной системы стабилизации позволило увеличить плотность плазмы
в ловушке "Огра-3" почти в 50 раз. Начальная плотность была ~ 10 см
-з
Глава 9
ПРОЦЕССЫ В КОСМОСЕ И ПЛАЗМОДИНАМИКА
В данной главе будут коротко описаны некоторые типичные плазменные и не
только плазменные космические образования. При этом особое внимание будет,
с одной стороны, обращено на специфику ряда космических явлений, а с другой — на
наличие нетривиальных аналогий между космическими процессами и "классической"
динамикой плазмы в лабораторных условиях.
Ярким примером таких подобий является прямая (формальная) аналогия нели-
нелинейных дрейфовых вихрей в неоднородной плазме с циклонами и антициклонами
в атмосфере Земли и планет (в частности с Большим Красным Пятном на Юпитере)
и далее с динамикой ряда спиральных туманностей (раздел 9.1).
Этот и другие многочисленные факты говорят о плодотворности "перетекания"
достижений космической плазмодинамики в лабораторную (наглядный пример —
влияние книги X. Альвфена "Космическая электродинамика") и наоборот. Приме-
Примером последнего может служить быстрое истолкование радиационных поясов Земли
с позиции физики пробочных ловушек или моделирования магнитосфер планет
в лаборатории (И.М. Подгорный [220]).
Но можно привести пример и более отдаленной аналогии. Так, учитывая, что
ньютоновское гравитационное взаимодействие подобно кулоновскому, — но без "за-
"зарядов" двух знаков, многое из плазмодинамики может быть перенесено на описанные
скопления гравитирующих масс, таких как туманности или кольца планет. Этот
подход, в частности, привел А. М. Фридмана к предсказанию существования спут-
спутников Урана, которые вскоре были обнаружены американским межпланетным зондом
"Вояджер" в 1986 году [221]).
И еще один пример. Ранее в главе 1 говорилось о генерации быстрых частиц в Z-
пинче. В последние годы Б. А. Трубниковым была развита релятивистская модель
этого процесса, и оказалось, что энергетический спектр быстрых частиц имеет вид
где а = 1 + л/3 [222]. Но этот показатель степени прекрасно согласуется с на-
наблюдаемым значением а = 2, 7 для галактических космический лучей. Разумеется,
нужны дополнительные исследования, чтобы оценить это совпадение, но заявка
Б. А. Трубникова впечатляет.
Выход человечества в Космос делает Солнечную систему предметом исследования
на совершенно новом уровне. Это не только рассмотрение ее составляющих "вблизи"
космических аппаратов, но и непосредственные посещения планет и спутников,
активные экспериментальные исследования их магнитосфер, а также солнечного
ветра. Таким образом, рамки земных лабораторий вышли в Космос.
Но дело не ограничивается теперь чисто научными интересами к Космосу. Работа
человека на космических станциях требует прогнозирования "космической погоды",
в частности, появления мощных выбросов Солнцем плазмы и излучения. Такие вы-
выбросы могут приводить к катастрофическим последствиям для космонавтов, а также
462
Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
к выводу из строя систем связи и энергосистем не только в космосе, но и на Земле
(см. например, [223]).
Даже более скромные солнечные выбросы заметно возмущают магнитосферу
("магнитные бури"), и это сказывается на самочувствии людей. Более того, они
отражаются на социальных процессах в человеческом обществе. Такого рода связи
выявил и описал выдающийся русский ученый Александр Леонидович Чижевский
в свей книге "Земное эхо солнечных бурь" [237]).
Наконец, сейчас созданы плазменные двигатели с большими скоростями истече-
истечения для космических аппаратов, которые несравненно более адекватны для дальних
полетов (см. раздел 10.4). Вряд ли можно сомневаться, что овладение, по крайней
мере, околосолнечным космосом во многом будет обязано этим двигателям.
В этой главе мы сначала рассмотрим планетарные вихри и их связь с дрейфовыми
волнами в плазме. В следующем параграфе познакомимся с ближайшим космиче-
космическим МГД образованием — магнитосферой Земли. А в конце главы опишем МГД-
конфигурации и МГД-ураганы на нашем бесценном Солнце.
9.1. Планетарные вихри. Спиральные туманности
9.1.1. Циклоны и антициклоны. Зональные течения. Циклоны и антицик-
антициклоны — достаточно частые явления в нашей земной атмосфере. Они представляют
собой крупномасштабные (> 1000 км) вихри в атмосфере. При этом в циклоне
вращение воздуха по направлению совпадает с направлением вращения Земли,
а в антициклоне происходит вращение воздуха в обратном направлении. Обычно
в атмосфере Земли одновременно существует несколько циклонов и антициклонов
(рис. 9.1.1а). Давно было установлено, что свойства циклона и антициклона весьма
различны.
20° ю.ш. 60° в.д.
20° ю.ш.
60° з.д
90°
120° в.д.
20°
180°
20° ю.ш. 120° з.д.
20° ю.ш.
Рис. 9.1.1. Планетарные вихри на Земле: система циклонов (L) и антициклонов (Н) в ат-
атмосфере Земли над Антарктидой (на рисунке показаны эквидистантные уровни изобари-
изобарической поверхности в южном полушарии) (а); схема расположения антициклонов и струй
крупномасштабных течений в прилегающей к Центральной Америке части Тихого океана
в конце февраля 1976 г. (Контуры антициклонов проведены по границе, отделяющей теплую
поверхностную воду снаружи вихрей от холодной воды внутри них. Для одного из вихрей
условно показан его дрейф на запад) (б) [224]
9.1. Планетарные вихри. Спиральные туманности
463
Так в центре циклона давление ниже, чем в окружающей среде, а в центре
антициклона — наоборот, повышенное. Циклоны — обычно коротко живущие об-
образования, тогда как антициклоны живут, как правило, значительно дольше (более
устойчивы). О других особенностях будет сказано ниже.
Мы привыкли к циклонам и антициклонами в атмосфере Земли. Однако анало-
аналогичные по своей сути вихревые движения наблюдаются и в океанах (рис. 9.1.16), где
они, однако, имеют меньшие размеры.
Но особенно впечатляющими являются вихри на планетах-гигантах и, прежде
всего, на Юпитере (рис. 9.1.2). На фотографии видно "Большое Красное Пятно"
(БКПЮ), которое наблюдали еще в 1660-х годах Р. Гук и Дж. Кассини. Теперь уста-
установлено, что БКПЮ — это гигантский антициклон в атмосфере Юпитера. Наряду
0
200
Рис. 9.1.2. Большое красное пятно Юпите-
Юпитера: крупный тёмный овал — БКПЮ, юж-
южнее и юго-западнее — вихри Белые Овалы;
видна зональная структура ветров, дую-
дующих вдоль параллелей
100
<и>, м/с
Рис. 9.1.3. Зональные течения в верхней атмо-
атмосфере Юпитера: усреднённая скорость (и) ветра,
дующего вдоль параллели (положительное на-
направление ветра на восток), в зависимости от
планетарной широты. Указаны координаты ос-
основных крупных долгоживущих вихрей (БКП —
Большое Красное Пятно, МКП — Малое Красное
Пятно, БО — Белые Овалы, Б — "баржи") и их
знаки (а — антициклон, ц — циклон)
с вихрями, на последней фотографии видны так называемые "зональные течения" —
атмосферные потоки, текущие вдоль географических параллелей. Направление, а тем
более скорости этих потоков достаточно хаотично изменяются с широтой и во
времени. Появление этих широтных потоков обязано сложной цепочке процессов,
которая включает турбулентные процессы и слияние мелкомасштабных возмущений
в более крупные.
Отмеченный нерегулярный механизм их генерации ответственен за ту изменяю-
изменяющуюся во времени прихотливую зависимость азимутальной скорости от полярного
угла, которая изображена на рис. 9.1.3. Наличие широтной вариации скорости
зональных течений и приводит к появлению вихрей вследствие механизма Рэлея
(раздел 8.1).
Наблюдения крупно масштабных вихрей показали:
1. Циклон-антициклонную асимметрию, о чем было сказано выше.
2. Иерархию масштабов и времён жизни планетарных вихрей. Вихри имеют разме-
размеры порядка нескольких тысяч километров и даже больше, и наблюдаются более
464 Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
или менее стационарно в течение длительного времени, доходящего до десятков
и сотен лет. Чем крупнее вихрь, тем больше его время жизни. Так, Большое
Красное Пятно Юпитера наблюдают уже более 300 лет. Несколько южнее
его локализуются Большие Белые Овалы, возникшие в 1938 году, вследствие
сильного возмущения атмосферы Юпитера.
3. Все крупные вихри дрейфуют вокруг оси планеты. Направления дрейфа могут
быть любые.
4. Период собственного вращения твих у всех крупных вихрей значительно больше
периода обращения планеты Тпл. У Юпитера Тпл ~ 10ч., тбкпю ~ 7 дней.
5. Линейные скорости частиц в вихрях ~ 10 м/с и приблизительно на порядок
превосходят их скорость дрейфа.
6. Все антициклоны наблюдаются в тех районах зональных течений, где ротор
скорости течений — антициклонический.
7. Все крупные вихри локализуются в районе тех параллелей, где меридианный
градиент скорости зональных течений проходит через локальный максимум,
и выполняется критерий неустойчивости типа Рэлея.
9.1.2. Аналогия Лармора. В свое время Лармор обратил внимание на то, что
движение заряженной частицы в магнитном поле очень напоминает движение ча-
частицы во вращающейся системе координат, причём аналогом силы Лоренца является
сила Кориолиса.
Действительно, уравнение движения частицы без магнитного поля в неподвижной
системе координат имеет вид
M—=F. (9.1.1а)
at
Переходя к вращающейся системе координат, полагаем
v = w+[«,r] = -j-, (9.1.16)
где ft — вектор угловой скорости, г - радиус-вектор частицы и получаем [12]
М^- = МП2г± + 2М [w, П] + F. (9.1.2а)
Отсюда видно, что если F = — VC/i(rj_), то
г1х\г
М— = [w, 2МП] - VC/(r), (9.1.26)
где «V
Уравнение (9.1.26) аналогично уравнению
Таким образом имеем соответствие О
1) Кстати, именно эта частота, в два раза меньшая, чем циклотронная, в свое время
называлась "ларморовской".
9.1. Планетарные вихри. Спиральные туманности 465
На этой основе была установлена адекватность двух первоначально развивавших-
развивавшихся независимо научных направлений. О них — связанных с дрейфовыми волнами,
уравнением Хасегавы-Мимв и течением в "тонкой атмосфере", описываемом уравне-
уравнением Чарни-Обухова, говорилось выше в предыдущей главе.
Рассмотрим течение в тонких слоях подробнее.
9.1.3. Двумерная гидродинамика тонких слоев. Начнем с хорошо извест-
известной в гидродинамике аналогии между плоскими (двумерными) изотермическими
течениями газа и динамикой несжимаемой
"мелкой воды", налитой тонким слоем на ^:t¦ ?<ty}• |Ъу/>>тГ<<\у?у^уг
плоскую поверхность. В этом случае роль //УУУУУУу'уууу^/у''уу'/'/->'>9У/У//>
внутреннего давления будет играть гидро- yg
статическое давление (рис. 9.1.4
г _ i (Ъ \ А\ ^ис> 9-1-4- Гидростатическое давление как
V — Р?п> w- • ) аналог газокинетического давления
где h — переменная высота слоя жидкости. Тогда, очевидно, система уравнений,
описывающая динамику слоя будет
— + div ftv = 0;
|v <9Л-5>
— + (vV)v = -gVh.
Аналогия этой системы с уравнениями газодинамики очевидна. Очевидно и то,
что такая система может быть использована для описания длинноволновых возму-
возмущений в атмосфере, если длина возмущения Л много больше эффективной толщины
воздушного слоя h:
Л > h.
Но для того, чтобы описывать процесс с точки зрения земного наблюдателя, систему
(9.1.5) надо записать во вращающейся системе координат. Эта вращающаяся система
координат определяется связью (9.1.16) скоростей v и w.
^+div/iw = 0; (9.1.6a)
ot
( ) ,Q]. (9.1.66)
Здесь д — ускорение силы тяжести, р — плотность жидкости, а когда речь идет
об атмосфере, то некая усредненная плотность, V^ — двумерный градиент. При
написании уравнения (9.1.66) мы отбросили в правой части член
описывающий центробежный эффект. Это было связано с тем, что он в условиях
Земли (и не только) много меньше члена pgV±h.
Сравнение уравнения C.1.106) для ионной компоненты двухжидкостной модели
с уравнениями (9.1.6) показывает их тождественность.
9.1.4. Параметр Россби [224]. . Среди плазменных конфигураций много таких,
которые описывается в первом приближении дрейфовой системой уравнений, т. е.
масштаб которых больше ионного ларморовского радиуса.
В разделе 8.3 говорилось, что аналогом такого рода конфигураций в атмосферах
планет или в крупных водоемах (морях, океанах) являются крупномасштабные вих-
вихревые течения (зональные потоки, циклоны и антициклоны). Впервые применительно
466 Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
к атмосфере Земли такие вихри обстоятельно исследовались шведским геофизиком
Карлом Густавом Россби в 40-х годах XX века. Он показал их большую роль в общей
циркуляции атмосферы. Несколько позднее была установлена их определенная роль
в океанических течениях (Гольфстрим, Куросио и др.). Считая для простоты, а в
большой степени и по сути, течение стационарным, можно записать уравнения
(9.1.66) в виде
div hw = 0;
/i(wV)w = -gVh - 2h [«, w]. ( '
Как уже отмечалось, относительная роль инерции потока определяется параметром
Россби-Кибеля (8.3.20)
|(wV)w} {w}
Ео = = (9Л"8)
Здесь { } означает масштаб величины, а {L} — масштаб неоднородности течения.
Параметр Rq особенно мал для атмосфер планет-гигантов (Юпитер, Сатурн) или для
больших водных бассейнов на Земле. Вот характерные числа для земных водоемов
п = ^ «7,3- lO^c, v~ 10м/с, L= 150км,
имеем Rq = 1. Для воздушных потоков характерную скорость можно считать ~
~ 30 м/с и тогда Ro = 1 при L ~ 500 км. Может показаться, что взятые значения v
великоваты. Однако надо учесть, что реально здесь фигурирует разность скоростей
на большом расстоянии L.
Мы оценили параметры потока при Щ = 1. Реально, чтобы Ro можно было
считать малым, его величина должна быть ~ 0, 1-0,2. При тех же значениях v
масштаб L должен быть увеличен в 5-10 раз. Если Ro <C 1, то, как мы видели
в разделе 8.3, систему (9.1.7) можно свести к одному скалярному уравнению Чарни-
Обухова (8.3.4).
Отметим, что сейчас аналитически построены и весьма обстоятельно исследованы
на устойчивость наиболее существенные типы структур Россби [225]. Было показа-
показано, в частности, что циклоны, в отличие от антициклонов, неустойчивы, а также были
получены критерии возникновения вихревых структур под действием неустойчивости
типа Рэлея.
9.1.5. Аналоговые эксперименты М. В. Незлина [224]. Можно создать уста-
установку, процессы в которой будут описываться системой уравнений (9.1.7). Наибо-
Наиболее тщательно и всесторонне процессы, происходящие на установках такого рода,
были изучены М. В. Незлиным с сотрудниками (ИАЭ им. И. В. Курчатова). Такое
аналоговое моделирование явилось весьма полезным дополнением к наблюдениям
в природных условиях, аналитическому анализу и численным расчётам.
Основой описываемых установок является вращаемая параболическая 0 "кастрю-
"кастрюля", в которой создается тонкий (~ несколько мм) слой воды постоянной высо-
высоты. Чтобы вызвать в этом слое зональные течения или вихри, часть стенок этих
"кастрюль" делается подвижной (рис. 9.1.5а). Подробный анализ работы установок
дан в указанном обзоре авторов. А здесь отмерим только следующие результаты
наблюдений.
1. Если с помощью небольшого вращающегося диска, помещённого на боковой
стороне "кастрюли", создать одиночный вихрь, то при циклоноподобном враще-
*) Точнее, близкая к параболической форме, чтобы подавить ряд вторичных эффектов,
в частности роль вязкости.
9.1. Планетарные вихри. Спиральные туманности
467
а б
Рис. 9.1.5. Экспериментальная установка для изучения неустойчивости тангенциального раз-
разрыва скорости в мелкой воде со свободной поверхностью: а)— схема установки: 1 — сосуд
с параболическим дном; 2 — поверхность жидкости, при вращении сосуда растекающейся по
его дну ровным слоем; 3 — фотоаппарат; 4, 5 — кольцевые участки дна, создающие встречные
зональные течения; По — угловая скорость вращения сосуда и фотоаппарата; ро — радиус
тангенциального разрыва скорости; ро = 10 см, D = 28 см. На виде сверху стрелками показано
направление течений относительно сосуда при циклоническом скачке скорости; б) — картина
течений слоя мелкой воды со свободной поверхностью; белая окружность, проходящая через
центры циклонов, — линия тангенциального разрыва скорости [224]
нии, он быстро распадается за времена, соответствующие дисперсии линейных
волн. Наоборот, если вихрь подобен антициклону, то он существует долго не
расплываясь, пока его не "погасит" вязкость. Иными словами мы имеем здесь
солитон, длительное существование которого — на языке уравнения Чарни-
Обухова, объясняется компенсацией дисперсионного растекания нелинейным
членом, чего нет в циклонном режиме.
2. Эксперименты с "метками" (цветными пылинками) на поверхности воды пока-
показали, что солитон Россби захватывает частицы среды во вращении, в отличие
от солитонов КдФ. Ещё одно существенное различие солитонов Россби и КдФ
состоит в том, что столкновение двух солитонов первого типа приводит к их
слиянию, тогда как во втором случае они не сливаются.
3. Если два кольца, помещённые в стенку и создающие зональные течения, распо-
расположены на малом расстоянии (~ 1 мм), то есть смоделированный тангенциаль-
тангенциальный разрыв, то хорошо генерируются вихри как циклонного, так и антициклон-
антициклонного типа. Однако, если расстояние между генерирующими кольцами велико,
то устойчивой оказывается генерация только антициклонных конфигураций
(рис. 9.1.56).
4. Число вихрей на периметре цепочки определяется перепадом скорости в систе-
системе встречных течений. При относительно малом перепаде наблюдается до 10
антициклонов. При увеличении перепада скорости их число уменьшается.
468 Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
Более того, при достаточно большой скорости генерируется только один вихрь —
антициклон Россби. Вихрь представляет собой результат самоорганизации уединён-
уединённой структуры в системе встречных течений. При возникновении вихря профиль
течений радикально изменяется, подстраиваясь под тот, который самосогласуется
с вихрем. При этом профиль течения изменяется не только в месте формировании
самого вихря, но и на противоположной стороне сосуда.
Ещё одно важное свойство описываемого уединенного вихря состоит в том, что
его максимальная завихренность (ротор скорости) в несколько раз больше, чем
окружающего течения — аналогично тому, что имеет место у крупных вихрей
в атмосферах больших планет.
9.1.6. Спиральные структуры в галактиках. Большинство галактик (в том
числе и наша Галактика) имеет ярко выраженную спиральную структуру (рис. 9.1.6).
В строении таких галактик различают три основных компоненты: диск, почти сфери-
сферическое гало и корону (рис. 9.1.7а). Нас будет интересовать дисковая компонента —
плоское (на основной своей части), круглое образование, толщина которого на
два порядка величины меньше его радиуса. Вклад диска в общую массу невелик.
Небольшая часть его массы (для Галактики — около 10%) приходится на газ — это
практически весь газ, имеющийся в Галактике.
Именно в диске располагаются спиральные рукава, занимающие значительную
часть его площади. Рукава видны, прежде всего, как области повышенной свети-
светимости. Они светятся ярко по сравнению с остальной частью галактики не потому,
что в них звезды есть, а в остальной — нет: различие в общей концентрации звезд
в рукавах и между ними сравнительно невелико — всего порядка 10%. Контраст
свечения рукавов определяется рождением в них молодых массивных звезд, которые
значительно ярче старых. Яркость рукавов определяется также свечением возбужден-
возбужденного водорода, а также свечением "тёплых" молекулярных облаков Н2. Наблюдения
показывают, что почти весь газ сосредоточен в рукавах галактики — повышенная
плотность газа и обеспечивает в них постоянное звездообразование.
Галактические диски находятся в состоянии вращения, причём это вращение
носит ярко выраженный дифференциальный характер: угловая скорость вращения
вещества диска весьма сильно зависит от расстояния до центра галактики. Типичный
пример радиального профиля вращения, характерный для спиральных галактик,
приведен на рис. 9.1.76. Профиль вращения галактики определяется распределением
тяготеющих масс. Это распределение таково, что в центральной части диска имеется
сравнительно компактное и плотное утолщение — так называемый "балдж".
Гравитационный потенциал, созданный этой областью, нарастает от центра к ее
краю, за которым быстро убывает на фоне сравнительно медленного нарастания
гравитационного потенциала, обусловленного действием остального диска, гало и ко-
короны. В результате суммарный гравитационный потенциал оказывается таким, что
график зависимости равновесной линейной скорости от радиуса представляет собой
N-образную кривую: к практически твёрдотельной вращающейся центральной части
примыкает относительно узкий участок с резким спадом скорости 0. Вращение диска
спиральной галактики в первом приближении можно считать стационарным: центро-
центробежная сила вращения уравновешивается радиальной компонентой силы тяжести.
Иными словами, гравитация является фактором равновесия галактики. Наблюдения,
основанные на эффекте Доплера, показывают, что рукава типичной спиральной
галактики выгнуты назад — в сторону, обратную направлению движения вещества
1) Типичные значения ро — единицы килопарсек, w (в максимуме у центра и на плато
вдали от него) — до сотен километров в секунду.
9.1. Планетарные вихри. Спиральные туманности
469
Рис. 9.1.6. Примеры типичных спираль- Рис. 9.1.7. Характеристики спиральной галак-
ных галактик тики: а — осевое сечение спиралей галактики
(схема); 1 — диск, 2 — гало, 3 — корона,
4 — балдж, 5 — центральная плоскость, б —
ось вращения; б — зависимость скорости вра-
вращения спиральной галактики w от радиуса р
(р = Ро — радиус "скачка" скорости)
диска. Такие спиральные рукава называются "отстающими" ("trailing spirals"). Про-
Противоположная ситуация - "лидирующие" спирали ("leading spirals") — в изолирован-
изолированных галактиках не наблюдается. Они встречаются крайне редко: только в системах
взаимодействующих галактик, да и то лишь при определенных условиях.
На первый взгляд, спиральный вид галактик соответствует нашей интуиции:
любые радиальные перемещения вещества должны закручиваться в спирали в со-
соответствии с законом сохранения момента количества движения. Но если бы спи-
спиральные рукава создавались вследствие радиальных перемещений частиц, то, из-за
сильной дифференциальности вращения вещества, они исчезли бы уже в течение
нескольких оборотов галактики. В самом деле, любой такой рукав за указанное
470
Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
время должен размыться, поскольку его часть, более близкая к центру галакти-
галактики, вращается значительно быстрее его периферии. Астрономические наблюдения
показывают, что время одного оборота спиральной галактики имеет порядок ста
миллионов лет, тогда как спиральный узор существует на два порядка дольше.
Эти данные с неизбежностью приводят к выводу, что спиральные структуры га-
галактик вращаются твёрдотельно. Трудность интерпретации твёрдотельного вращения
спиральной структуры на фоне дифференциального вращения вещества галактики
привела в свое время Джинса к предположению, что феномен спиральной структуры
галактик определяется новыми, еще не познанными физическими законами. Так
возникла проблема спиральной структуры, в решении которой принимали участие
Гейзенберг и Вайцзеккер, Чандрасекар, Ферми. Фундаментальный шаг к разрешению
этой проблемы был сделан в 1941 году Линдблаадом. Он выдвинул концепцию,
согласно которой спиральные рукава — это волны плотности, а стационарная во
времени форма рукавов объясняется тем, что волна плотности распространяется
вокруг оси галактики с постоянной угловой скоростью.
9.1.7. Установки для моделирования спиральных структур галактик и ре-
результаты экспериментов. Эти установки, в принципе, были похожи на те (опи-
(описанные выше), которые применялись для моделирования генерации атмосферных
и плазменных вихрей встречными течениями [224].
Основу экспериментальных установок (рис. 9.1.8а) представлял круглый сосуд,
у которого центральная часть дна ("ядро", угловая скорость вращения tl\) вращается
быстрее внешней ("периферия", угловая скорость l^)- Диаметр ядра 2ро = 8см,
диаметр периферии D = 30 см. Внешняя часть сосуда была либо вообще неподвижна,
либо вращалась с относительно небольшой скоростью — такой, что радиус Россби-
Обухова tr был всего в четыре раза меньше радиуса сосуда. При такой невы-
невысокой скорости вращения параболическая свободная поверхность жидкости слабо
отличалась от плоской, поэтому периферия сосуда этой модификации была сделана
в виде полого конуса, поверхность которого была наклонена к горизонтали под углом
около 2°. Внутренняя часть сосуда ("ядро") так же имела вид конуса с наклоном
образующей к горизонту в 45°.
D
Рис. 9.1.8. Моделирование спиральной галакти-
галактики: а) — схема экспериментальной установки для
моделирования механизмов генерации спираль-
спиральных структур в газовых дисках галактик: 1 —
ядро, 2 — периферия, 3 — слой мелкой воды,
б) — спиральные волны, возбуждаемые в диффе-
дифференциально вращающейся воде: моды т = 8—0
при По = 0; ядро и спиральный узор вращаются
по часовой стрелке
= ==ze= ===
(*х*х*)
х
Опыты дали следующие результаты.
9.2. Магнитосфера Земли
471
1. Дифференциальное вращение мелкой воды со скачком скорости между быст-
быстро вращающимся ядром и сравнительно медленно вращающейся периферией
неустойчиво как при малых значениях числа М = (tl\ — Г^ро^^т?) 2 < 1»
так и при больших 1 ^ М ^ 12 (здесь ?1\ и Г^2 — угловые скорости вращения
ядра и периферии).
2. Развитие неустойчивости приводит к возникновению спиральных волн поверх-
поверхностной плотности, пересекающих разрыв (область генератора) и распростра-
распространяющихся от него по периферии и ядру. В установившемся режиме волны
образуют симметричный узор рукавов — возвышений на поверхности жидкости
(мода ш/0). Узор стационарно вращается в ту же сторону, что и ядро.
9.2. Магнитосфера Земли
Рассмотрение магнитосферы представляет интерес по двум причинам. С одной
стороны это ближайшее к нам космическое "магнитоплазменное море", существенно
влияющее на наши земные дела, а с другой стороны — впечатляющий пример того,
насколько сложна реальная плазменная система, которая образована, казалось бы,
простейшими компонентами: дипольным полем Земли, солнечным ветром и подсти-
подстилающей магнитосферу земной атмосферой. Правда надо еще учитывать и световой
поток (особенно его ультрафиолетовую компоненту), идущий от Солнца.
От атмосферы к магнитосфере.
0°С
л i |—i ) ц |—г^_ 0,001
Атмосфера — мы будем сейчас го-
говорить только о Земле, представля-
представляет собой весьма непростую слоистую
систему (рис. 9.2.1). В предыдущем
параграфе мы имели в виду ее самую
нижнюю часть — тропосферу. Вы-
Выше, казалось бы, следовало ожидать
монотонного изменения всех ее па-
параметров и, прежде всего плотности
и температуры. Плотность действи-
действительно монотонно падает, но темпе-
температура ведет себя немонотонно. Это
результаты поглощения на определен-
определенных высотах теми или иными моле-
молекулами воздуха "резонансных" полос
солнечного спектра. Но, тем не ме-
менее, до высот ~ 100 км элементный
состав воздуха остается почти таким
как около поверхности Земли. В ин-
интервалах 50-120 км, за счет погло-
поглощения ультрафиолетового излучения
и частично за счет корпускулярно-
корпускулярного потока от солнца, появляются две
зоны с заметной (~ 1%) ионизаци-
ионизацией. Это так называемые D и Е-слои
ионосферы. На высотах 150—300 км
появляются новые ионизованные слои
0,001е
101 ^Тропопауза
Тропосфера
till!
1000
200 220 240 260
Температура
К
1000
Рис. 9.2.1. Строение атмосферы и вертикальное
распределение температуры в атмосфере
(средняя высота ~ 170 км) и F2 (средняя
высота ~ 250 км). Плотность электронов при спокойном Солнце в D-слое
п
(D)
472 Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
~ 300см, в Е-слое п^Е) ~ 1,3 • 105см~3, в Fi-слое n^F1) ~ 2,4 • 105см~3, а в F2-cyioe
nf2) -6- 105см-3.
Слои Е и Fi отражают радиоволны соответственно с / ^ 4 МГц и / < 10МГц.
На высотах более 100 км начинает изменяться и газовый состав атмосферы:
резко возрастает доля атомарного кислорода. Выше 110 км его становится больше
молекулярного О2, а на высоте ~ 300 км преобладающим становится ионизованный
водород (сначала на ночной стороне). На высотах порядка тысячи км ионосфера
переходит в магнитосферу — обширную область, в которой резко возрастает доля
ионизованной компоненты, приближаясь к 100% от общего числа тяжелых частиц.
9.2.1. Понятие "магнитосферы". Высокая степень ионизации в магнитосфере
обязана УФ-излучению Солнца, а также плазме солнечного ветра, проникающей
частично в магнитосферу, несмотря на магнитную "оболочку". Естественно, что
образующаяся практически полностью ионизованная плазма начинает хорошо "слу-
"слушаться" магнитного поля, а появляющиеся в ней токи начинают влиять на конфи-
конфигурацию этого поля. Так возникает особая самосогласованная магнито-плазменная
конфигурация. Это и есть магнитосфера Земли, обтекаемая солнечным ветром 0.
Перед тем, как подробнее описать физику магнитосферы, отметим роль магнито-
сферных (и тесно связанных с ними ионосферных) явлений в жизни землян.
— Одним из наиболее красочных и впечатляющих небесных зрелищ являются
полярные сияния 2).
— "Магнитные бури" (они разыгрываются в магнитосфере и ионосфере), сильно
действуют на организмы.
— Наличие ионосферы делает возможным радиосвязь почти на всей Земле. Маг-
Магнитные бури, возмущая ионосферу, могут не только сорвать эту связь, но
и, — правда, в исключительных случаях, приводить к выходу из строя линий
электропередачи.
— В магнитосфере находятся, так называемые "радиационные пояса" из энергич-
энергичных протонов (ер до 800 МэВ) и электронов (ее до 500 кэВ). Это исключает
длительное пребывание в них космических аппаратов (с полупроводниковой
электроникой), а тем более космических кораблей с людьми. Особенно сильно
влияние энергичных электронов, генерирующих 7~лучи при столкновении с ап-
аппаратами.
— В настоящее время магнитосфера становится полигоном для активных плаз-
плазменных экспериментов (см. ниже).
— Магнитосфера очень чувствительна — как это не парадоксально, к глубинным
процессам в Земле. Сейчас начата разработка методики предсказания земле-
землетрясений на основе фиксации определенных возмущений в магнитосфере.
И этот список можно далеко продолжить.
1) Существуют магнитосферы и у планет, не обладающих собственным магнитным полем.
Они обязаны собственному магнитному полю солнечного ветра.
2) "Небо пылало. Бесконечная прозрачная вуаль покрывала весь небосвод. Какая-то неви-
невидимая сила колебала ее. Вся она горела нежным лиловым светом. Кое-где показывались
яркие вспышки и тут же бледнели, как будто на мгновенье рождались и рассеивались
облака, сотканные из одного света. Сквозь вуаль ярко светили звезды. Вдруг вуаль исчезла.
В некоторых местах еще раз вспыхнули лиловые облака. Какую-то долю секунды казалось,
что сияние погасло. Но вот длинные лучи, местами собранные в яркие пучки, затрепетали
бледно-зеленым светом. Вот они сорвались с места и со всех сторон, быстрые, как молнии,
метнулись к зениту, на мгновение замерли в вышине, образовали огромный сплошной венец,
затрепетали и потухли. (Г. А. Ушаков) [227]
9.2. Магнитосфера Земли 473
Магнитосфера — пока единственный объект космических масштабов, где разыг-
разыгрывающиеся МГД-процессы доступным всесторонним исследованиям, что очень важ-
важно для прогресса плазмодинамики и атсрофизики.
Основные этапы исследования ионосферы и магнитосферы.
Впервые назвал Землю большим магнитом, как известно, придворный врач коро-
королевы Елизаветы I В. Гильберт в книге "О магните, магнитных телах и о большом
магните — Земле" A600г.). При этом он рассматривал Землю как намагниченный
железный шар. В XIX веке осознается, что Земля — это "виток с током", но только
в середине XX века строятся модели генерации этого тока неким гидромагнитным
динамо. Однако и сегодня B005 г.) нет общепринятой модели земного гидродинамо.
Наличие в верхних слоях атмосферы ионизованной компоненты было доказа-
доказано в начале XX века благодаря развитию радиосвязи и, прежде всего, в связи
с эпохальным достижением Г. Маркони, осуществившим в 1901 году радиосвязь
Европы с Америкой. Главным в этом достижении было доказательство того, что
сравнительно короткие (~ 1 км) волны смогли обогнуть почти четверть земного шара.
А ведь ученые того времени, когда Маркони готовился к своей передаче, доказывали,
что дифракция в данном случае — а это был единственный известный им фактор,
работавший в пользу Маркони, не может обеспечить успех. Но энтузиаст Маркони
не слушал их и совершил для того времени чудо.
Это неожиданное с точки зрения оптики явление было объяснено А. Кеннели
и О. Хевисайдом A902 г.), которые предположили существование над Землей про-
проводящего слоя-экрана, отражающего радиоволны. Этот полугипотетический слой
долгое время назывался "слоем Хевисайда". Кстати, ученое общество не признавало
идею О. Хевисайда почти до середины 1920-х годов, пока прямыми экспериментами
не было показано, что короткие волны приходят не вдоль поверхности Земли,
а сверху (!).
Предложение Хевисайда стимулировало изучение свойств ионосферы, а с нею
и магнитосферы с помощью зондирования их радиоволнами разных частот. Можно
сказать, что к концу 40-х годов наука о распространении радиоволн в указанных
сферах была доведена до высокого уровня совершенства, и эти исследования во
многом явились базой последующей общей теории волн в плазме 0.
Параллельно с этим, естественно прояснились свойства самой магнитосферы.
Кстати сам термин "магнитосфера" ввел в 1959 году Т. Голд.
Наряду с радиофизикой стимулом для изучения магнитосферы были полярные
сияния. Ещё в начале 1910-х годов шведские ученые пытались разобраться в их
природе, в частности, направляя на магнитный диполь пучок электронов. Несколько
позднее два теоретика, Чепмен и Ферраро, построили простую модель отражения
магнитным полем диполя плазменного потока, поскольку было признано существо-
существование солнечного ветра, хотя бы как фактора, раскачивающего магнитное поле
Земли в периоды возрастания солнечной активности и вызывающего интенсивные
полярные сияния. Однако вплоть до 1950 г. оставался открытым вопрос: дует ли
солнечный ветер непрерывно, либо только во время вспышек. В 1950 году Л. Бирман,
анализируя динамику хвостов комет, привел убедительные аргументы в пользу
непрерывного существования солнечного ветра. В 1957 году Е. Паркер теоретически
доказал принципиальную динамичность солнечной короны и тем самым поддержал
выводы Бирмана.
1) Здесь следует отметить работы В. М. Гинзбурга и его монографию "Распространение
электромагнитных волн в плазме" /citeB.9.
474
Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
Новый этап исследований магнитосферы Земли начался в 60-х годах, прежде
всего в связи с выходом аппаратов в Космос. Такие аппараты, оснащенные раз-
различными диагностическими средствами (электрическими и магнитными зондами,
антеннами, спектральными приборами и т. п.) позволили в деталях прорисовать
строение магнитосферы, ее связь с земной атмосферой и солнечным ветром.
Наряду с появлением космической техники, быстрый прогресс в исследовании
магнитосферы был связан еще с двумя обстоятельствами. Прежде всего, надо отме-
отметить начавшееся интенсивное развитие физики плазмы, связанное, как упоминалось
ранее, с выходом книги Альфвена "Космическая электродинамика", так и работами
по проблеме управляемого термоядерного синтеза. Второе обстоятельство — это
практическая потребность в надежном знании "новой среды обитания" аппаратов
и человека — магнитосферы.
И последнее замечание. Основное содержание данного параграфа посвящено
магнитосфере Земли.
9.2.2. Характерные особенности магнитосферы [226,228]. Магнитосфера
Земли представляет собой полость в солнечном ветре, обязанную магнитному полю
Земли. Внешний вид этой полости схематически изображен на рис. 9.2.2. "Подсол-
"Подсолнечная" точка на границе магнитосферы отстоит от Земли на расстоянии ~ 60 000
км, боковая поверхность полости отстоит на расстоянии до ~ 500 000 км, а хвост
протянулся на многие миллионы километров.
Нейтральна! точка
Солнечный ветер
ьиловые линии
магнитного диполя
Рис. 9.2.2. Общая схема магнитосферы
В первом приближении граница магнитосферы (ее называют "магнитопаузой")
определяется из условия равенства газокинетического давления солнечного ветра О
(9.2.1а)
1) Мы не учитываем силовой эс(
поскольку он относительно мал
рект от магнитного поля, вмороженного в солнечный ветер,
9.2. Магнитосфера Земли
475
и давления магнитного поля в магнитосфере
(Ж -С) = П
Р 8^
(9.2.16)
м-с
В (9.2.1а) ~ vn — нормальная к магнитопаузе компонента скорости солнечного ветра,
/ = 1—2 — показатель упругости отражения, рСв — давление в ветре. В подсолнечной
части магнитосферы напряженность поля ~ 10~3Э, что заметно больше магнитного
поля земного диполя на данном расстоянии. Очевидно, это результат токов, текущих
в магнитопаузе. Параметры солнечного ветра на орбите Земли в случае спокойного
Солнца приведены в таблицах 9.1 и 9.2.
Таблица 9.1
Скорость
Концентрация потоков
Температура протонов
Температура электронов
Напряженность магнитного поля
Плотность потока протонов
Плотность потока кинетической энергии
400 км/с
~ бсм~3
5- 104К
1,5- 105К
5- 10~5Э
2,4- 108смс
О,3эрг-см~2сек~1
Таблица 9.2
Компоненты солнечного
ветра
'н+
4Не+
3Не+
0+
%
96
4
1,7- 10
5-Ю-2
Структура магнитосферы сложна, и она все время изменяется как за счет враще-
вращения Земли вокруг оси, так и движения по орбите.
Поэтому рассмотрим простейший случай, когда магнитная ось Земли и радиус-
вектор Солнце-Земля перпендикулярны друг другу. В этом случае картина маг-
магнитных силовых линий в плоскости, проходящей через магнитную ось и Солнце,
будет иметь вид, изображенной на рис. 9.2.2, а объёмная структура поля — как
на рис. 9.2.3. Как видно, на дневной стороне выделяются 4 разделяющих поверх-
поверхности. Это 1 — ударная волна, тормозящая солнечный ветер (СВ), далее идет 2 —
"магнитопауза", где оканчивается магнитное поле Земли, поджатое СВ. К границе
2 примыкает входной слой, в который проникает плазма непосредственно из СВ.
Следующая поверхность раздела — "плазмопауза" C). Это граница между "почти
пустой" зоной магнитного поля и плазмосферой, которая пополняется частицами
в основном из ионосферы, и, наконец, поверхность 4 — граница между плазмосферой
и ионосферой. На этой границе происходит переход от слабоионизованной плазмы
ионосферы к сильноионизованной плазме плазомсферы.
Область между ударной волной A) и магнитопаузой B) называется "магнитным
переходным слоем", в котором происходит переход магнитного поля СВ к полю
магнитосферы.
476
Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
Направление на Солнце
Рис. 9.2.3. Объёмная схема магнитного поля и токов в магнитосфере. Светлыми широкими
стрелками показаны токи в магнитопаузе и в плазменном слое, кольцевой и продольные токи
Характерной особенностью магнитосферы является ее хвост. Он образован двумя
магнитными потоками противоположного направления, разделенных нейтральным
слоем, в котором течет ток, так, как показано на рис. 9.2.3.
Магнитные силовые линии как дневной, так и вечерней сторон в основном входят
в земную атмосферу преимущественно в районе магнитных полюсов. Здесь нахо-
находятся расширяющиеся воронки (каспы), образованные силовыми линиями, которые
разделяют их на те, которые проходят по дневной стороне и те, которые уходят на
ночную сторону. Таким образом, это сепаратрисная зона.
На этих рисунках видно, что сепаратрисная зона на дневной стороне выходит
в магнитопаузу и в солнечный ветер. В свою очередь вблизи Земли эта сепаратриса
при спокойном Солнце располагается в окрестности ~ 70° геомагнитной широты
(т.е. вблизи магнитного полюса). И вот оказалось — сначала это было обнаружено
путем анализа наблюдений из разных точек Земли, а затем непосредственно сфо-
сфотографировано из Космоса, что полярные сияния сосредоточены в зоне сепаратрисы
на расстоянии ~ 100-150км над поверхностью Земли (рис. 9.2.4). И этот красивый
во всех отношениях факт понятен. Через касп врываются вглубь магнитосферы
частицы из солнечного ветра и, за счет дрейфа и конвекции в неоднородном поле,
растекаются, — хотя и достаточно хаотично (см. рассказ Ушакова на стр. 472) по
всему азимуту. Зоны полярных сияний получили название "авроральных овалов".
Стороны овалов могут быть сравнительно узкими — порядка километра, это во
время спокойной магнитной обстановки, а могут расшириться до тысячи километров
во время сильных магнитных бурь и спускаться далеко к югу, захватывая Скан-
Скандинавию и более южные районы. Высота, на которой располагается овал, связана
с плотностью атмосферы, которая собственно и светит.
О динамике плазмы около и в магнитосфере 0. Течения плазмы в окрестности
и внутри магнитосферы многообразны. Даже если ограничиться периодами спокой-
спокойного Солнца, то и тогда картина весьма сложна. Поэтому, не пытаясь нарисовать
1) Напомним, что в п. 2.7.2 приведены результаты численного расчёта двумерной картины
обтекания магнитного поля сверхзвуковым потоком.
9.2. Магнитосфера Земли 477
а День Ночь б день Ночь
Рис. 9.2.4. Северный авроральный овал Земли: а — в виде узкого кольца в магнитоспокойные
периоды и б — в виде заштрихованной области в магнитовозмущенные периоды. Цифрами
указаны высоты овала над поверхностью Земли
сколько-нибудь полную картину, отметим ряд специфических особенностей динами-
динамики плазменных потоков, порожденных непосредственно солнечным ветром.
(а) Бесстолкновительная ударная волна.
Плазменный поток, идущий от Солнца, является сверхсигнальным, т. е. сверх-
сверхзвуковым и сверхальфвеновским (число Маха ~ 7), поэтому его торможение на
магнитом поле Земли связано с образованием ударной волны. Толщина фронта
этой волны в подсолнечной области составляет порядка 100-200 км. Это волна
бесстолкновительная, поскольку свободный пробег частиц до и после прохождения
фронта составляет величину ~ 100 млн. км, что несоизмеримо с наблюдаемой толщи-
толщиной фронта. Между фронтом ударной волны и магнитопаузой в подсолнечной зоне
расстояние ~ 20000 км и приблизительно в слое такого масштаба приторможенная
плазма солнечного ветра обтекает магнитосферу. В подсолнечной области магнито-
пауза удалена от Земли на расстояние ~ 70000 км.
Пройдя ударную волну, плазма греется до температур Т ~ 100-300 эВ. Наряду
с втеканием плазмы в каспы из переходного магнитослоя, происходит и "непо-
"непосредственное" проникновение плазмы в магнитное поле магнитосферы, образуя так
называемый входной слой. В целом это нерегулярный процесс, в существенной
степени определяемый взаимодействием магнитного поля, приносимого солнечным
ветром с полем магнитосферы. Здесь важную роль играет механизм пересоединения
магнитных силовых линий.
Остановимся подробнее на роли процесса пересоединения магнитных силовых
линий в захвате плазмы магнитосферой. Этот механизм, эквивалентный терринг-
моде, был предложен в 1961 году астрофизиком Данжи. Его идея, по сути, проста
(рис. 9.2.5) и сводится к следующему. Солнечный ветер несет магнитное поле. По-
Поэтому после прохождения ударной волны магнитное поле солнечного ветра вступает
в зону магнитного поля магнитосферы, и происходит взаимодействие двух полей.
Будем для наглядности считать, что силовые линии поля в набегающем потоке лежат
в той же плоскости, что и на рис. 9.2.3 и направлены строго либо сверху вниз
(рис. 9.2.56), либо наоборот (рис. 9.2.5а).
Как видно на рис. 9.2.56, в этом случае возникает х-точка, и зона солнечного
ветра оказывается соединенной с внутренней зоной магнитосферы. При этом проник-
проникновение внешнего поля (т. е. положение х-точки) в магнитосферу будет тем глубже,
чем больше поле ветра. Но если магнитное поле ветра направлено снизу вверх
(рис. 9.2.5а), то перестройки морфологии силовых линий в зоне взаимодействия
разных магнитных полей не происходит. И это хорошо подтверждают наблюдения
в космосе (ход магнитного поля в солнечном ветре) и одновременно на Земле
(возмущения магнитного поля магнитосферы, полярные сияния).
(б) Течение плазмы в объёме магнитосферы и в хвосте.
478
Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
Н i
а б
Рис. 9.2.5. Модель Данжи взаимодействия магнитного поля солнечного ветра с магнитным
полем Земли: а — поля совпадают по направлению; б — поля противоположны по направлению.
Н отмечены области вблизи нейтральных линий магнитного поля
Входя в поле магнитосферы — вне каспов, на дневной стороне, плазма движется
на ночную сторону в приповерхностном слое под действием ряда факторов, и в том
числе вязкостных сил со стороны обтекающего солнечного ветра. Безусловно, как на
входе плазмы в магнитосферу, так и на ее дальнейшее движение влияют электро-
электростатические поля, возникающие благодаря конечным размерам магнитосферы в на-
направлении, перпендикулярном и Н и vcb- Т.е. здесь может проявляться ситуация,
описанная в п. 3.8.3.
Но, так или иначе, плазма, попадая на ночную сторону магнитосферы, как
показывают наблюдения, лишь частично уходит в хвост, а часть ее вместе с вмо-
вмороженным магнитным полем дрейфует на дневную сторону. Казалось естественно
было бы ожидать спокойного течения плазмы, хотя бы в хвосте. Однако есть все
основания считать, что этот биполярный магнитный поток неустойчив по отношению
к тиринг-моде, и в нем также происходят перезамыкания, как показано на рис. 9.2.6.
В результате, за счет срабатывания натяжения магнитных силовых линий, часть
плазмы из хвоста выбрасывается в сторону Земли, а часть в дальние зоны хво-
хвоста, способствуя его удлинению. Модель перезамыкания магнитных силовых линий
в хвосте магнитосферы была также предложена Данжи.
Но наряду с этой схемой обсуждается и другой механизм перетекания плазмы
с ночной на дневную сторону — просто за счет давления в перенесенной плазме
и связанного с ней вмороженного поля. Это модель Аксфорда и Хайнса. Весьма
вероятно предположение о работе обоих механизмов. Уже приведенный беглый обзор
нескольких фрагментов динамики плазмы и поля в магнитосфере говорит, насколько
там все не просто [229].
9.2.3. Радиационные пояса. А вот еще одна особенность, которая оказалась
совершенно неожиданной и была открыта, как только на искусственные спутники
были поставлены регистраторы быстрых частиц. Речь идет о радиационных поясах,
которые были обнаружены в плазмосфере в 1958 г. советским исследователем кос-
космических лучей Верновым и американцем Ван-Алленом независимо, но практически
в одно время.
Эти наблюдения, дополненные последующими обстоятельными исследованиями,
показали, что магнитосфера является весьма эффективным ускорителем частиц,
а также удерживающей их пробочной ловушкой (рис. 9.2.7а). При этом, если рань-
раньше, говоря о плазме, наполняющей магнитосферу, речь шла об энергиях частиц
^ 100—1000эВ и плотностях ^ 10—12см~3, то в радиационных поясах, хотя плот-
плотность ЭНерГИЧНЫХ ЧаСТИЦ И Мала (Птах
10~3СМ~3 ДЛЯ ПрОТОНОВ И Птах
10~4СМ~3
9.2. Магнитосфера Земли
479
Головная ударная волна
ОЕ
Дневная
нейтральная
линия
Солнечный
ветер
Синхронно'
вращающаяся
плазмосфера
Магнитопауза
Рис. 9.2.6. Перезамыкание магнитных силовых линий в хвосте магнитосферы
для электронов — при спокойном Солнце), но зато энергия протонов достигает
многих сотен МэВ, а электронов - многих сотен КэВ. Кроме протонов и электронов,
обнаруживаются и тяжелые ионы (Не+ и др.).
Приведённые величины плотностей энергичных частиц в поясах могут пока-
показаться очень малыми по сравнению с плотностью частиц в солнечном ветре или
в самой магнитосфере. Но это впечатление обманчиво, так как эти плотности надо
сравнивать с плотностью космических лучей, которая ~ 10~10 —10~п см~3. Более
адекватной характеристикой является поток N частиц на 1 см2 в 1 с. Так вот, если
для космических лучей N ~ 1см~2с~\ то в радиационных поясах эта величина для
мегавольтового уравнения больше на 4—6 порядков. Зоны относительно большой
концентрации высокоэнергичных частиц действительно образуют пояса. Внутренний
пояс, преимущественно протонный, содержит частицы с энергией ~ 30—800 МэВ.
Он ограничен магнитной поверхностью, силовые линии которой пересекают земную
поверхность при ±40° геомагнитной широты. Основной объём этого пояса находится
на расстоянии 600—1500 км от поверхности Земли. На рис. 9.2.76 изображены линии
с одним и тем же потоком (в 4тг) частиц и энергией гр > 30 МэВ. Числа около
этих экви-линий указывают потоки [N] штук/см2 • с в спокойных условиях. Анализ
показал, что более энергичная компонента находится ближе к Земле. И это есте-
естественно, так как, чем больше энергия, тем больше ларморовский радиус и больше
коэффициент диффузии. То есть энергичные частицы хуже, чем менее энергичные,
удерживаются в удаленных от земли областях, где меньше магнитное поле. Внешний
радиационный пояс иногда называют "электронным". Этот пояс заключен между
магнитными поверхностями, образованными линиями, пересекающими поверхность
Земли на геомагнитных широтах ±50—70° (рис. 9.2.7в). Максимумы интенсивностей
потоков протонов с энергией гр > 1 МэВ и гр > 30 МэВ, расположенных на расстоя-
расстояниях соответственно 2 • 104 и 104км (рис. 9.2.76)
Удержание частиц в этих поясах типично "пробочное" и объясняется возрас-
возрастанием напряженности магнитного поля при приближении вдоль силовой линии
к Земле. Расчёт зависимости давления плазмы в магнитосфере от "номера" магнитной
480
Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
поверхности показывает, что здесь выполняется критерий (8.1.10) конвективной
устойчивости.
Весьма сложным явля-
является вопрос о механизмах
набора энергии частицами
образующими пояса. Схе-
Схематически сегодня картина
ускорения выглядит следу-
следующим образом.
Частицы (прежде всего
протоны) в целом находят-
находятся в кругообороте, который
начинается с верхних сло-
слоев атмосферы. Здесь, при-
приобретая энергию порядка
нескольких эВ, частицы че-
через полярные области дви-
движутся в плазменный хвост
магнитосферы и, благода-
благодаря непрерывным пульсаци-
пульсациям в этой зоне, увели-
увеличивают свою энергию до
нескольких кэВ. Затем из
хвоста они возвращаются
на внешнюю границу ради-
радиационного пояса, где, благо-
благодаря большим нестационар-
нестационарным ?^-полям, их энергия
еще увеличивается на 1-2
порядка, и, благодаря рас-
рассеянию на частицах и коле-
колебаниях, протоны попадают
в область сильного магнит-
магнитного поля Земли, и здесь
рост энергии продолжает-
продолжается за счет индукционного
электрического поля. Там
энергия протонов достига-
достигает многих сотен МэВ. Но
постепенно частицы попа-
попадают в "конус ухода" и вы-
высыпаются на Землю. Уход
частиц резко возрастает во
время магнитных бурь. Учитывая, что пояса восстанавливаются за несколько суток,
можно утверждать, что таков и масштаб времени жизни частиц в поясах. Ясно, что
за это время они проходят огромный путь. Но следует подчеркнуть, что описанная
многоступенчатая схема заполнения радиационных поясов во многом носит гипоте-
гипотетический характер.
Более того, только что описанная модель заведомо не может считаться един-
единственной. Так, уже давно указывалось на возможность появления наиболее быстрых
Внутренний радиационный пояс
ер > ЗОМэВ, ]Vp~ 102 см-2 с-1
R3 10 9876543210123456789
^ -*¦ Внешний радиационный пояс ее> 500кэВ
в R310 9876543210 1234 567i?3
Рис. 9.2.7. Радиационные пояса Земли: а — схема траекто-
траекторий частиц в радиационном поясе; б — внутренний (протон-
(протонный пояс); в — внешний (электронный пояс). Расстояние
указано в радиусах Земли R3
9.2. Магнитосфера Земли 481
протонов за счет самораспада нейтронов
п —> р + е + и,
образующихся при столкновениях космических частиц с частицами магнитосферы.
Не исключен и столкновительный захват космических частиц и т. д.
9.2.4. Активные эксперименты в магнитосфере. Под активными эксперимен-
экспериментами понимаются обычно эксперименты, осуществляемые путем внесения в исследо-
исследованную систему специфических возмущений и наблюдений реакций системы на эти
возмущения.
Для изучения магнитосферы она подвергалась воздействию радиоволн, электрон-
электронных и плазменных пучков, плазменных ("бариевых") облаков. К этому надо добавить
наблюдения над реакцией магнитосферы при воздействии на нее переменных косми-
космических факторов: вариации солнечного ветра, падения метеоритов и т. п.
Самыми грандиозными активными экспериментами в верхних слоях атмосфе-
атмосферы были взрывы там атомных бомб. Первый такой взрыв произвели американцы
в августе 1958 года над коралловым атоллом Джонсон в Тихом океане. Одним
из неожиданных результатов этого и подобных других взрывов было переполнение
радиационных поясов, сохранявшееся в течение более года. Но для науки большую
информацию дают спокойные эксперименты. Коротко мы их сейчас и рассмотрим.
Радиозондирование. Выше уже упоминалось, что именно особенности распро-
распространения радиоволн привели к открытию ионосферы ("слоя Хевисайда") и дали
первичные наблюдательные данные о неоднородности и вариациях магнитосферы.
Эти же данные стимулировали теоретические работы по распространению волн
в плазме.
Электронные пучки в магнитосфере. Пред-
Представления о динамике частиц в магнитосфере бы-
были уточнены в ряде экспериментов с инжекци-
ей электронных пучков в магнитосферу. Опишем
коротко одни из них — франко-советский экс-
эксперимент под названием "Араке" 0. Схема его
изображена на рис. 9.2.8. Здесь показана силовая
линия магнитного поля Земли, фиксирующая две
магнитосопряженные точки на земной поверхно-
поверхности: одна — на французском острове Кергелен
в Индийском океане, а вторая — в Архангельской
области около поселка Согра. С острова Кергелен
стартовала ракета, поднявшая на высоту ~ 100 км Рис. 9.2.8. Схема эксперимента
электронную пушку, которая начала посылать им- "Араке": 1, 2 — магнито-
пульсы электронов с энергией ~ 12кэВ и общим сопряженные точки: 1 —
током - 1 А. "Держась" за силовую линию, эти Французский остров Кергелен, 2 -
электроны поднимались на высоту ~ 36000 км и, Архангельская область
описав дугу общей длиной ~ 100000 км, "высыпа-
"высыпались" в верхних слоях атмосферы, вызвав мерцающую с частотой пушки сияющую
полосу. Правда, сияние было слабым, но надежно фиксируемым с помощью усилите-
усилителя света. Этот результат говорит об относительно слабом "сбое" электронов с расчёт-
расчётной траектории под действием столкновений и различных колебаний. Эксперимент
Араке был произведен в 1975 году.
1) С советской стороны руководителем эксперимента был Р. 3. Сагдеев.
16 А. И. Морозов
482 Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
"Бариевые облака'. Весьма ценную информацию дали эксперименты с так на-
называемыми "бариевыми облаками", предложенными И. С. Шкловским. Эти облака
создаются путем взрыва на интересующей высоте контейнеров с металлическим
барием, которые выносили в магнитосферу геофизические ракеты. При взрыве
образуется облако паров бария, которое быстро ионизуется излучением Солнца
и превращается в облако плазмы. Появившиеся ионы Ва+ возбуждаются опять-
таки солнечным светом и начинают излучать характерную зеленую линию, которую
хорошо наблюдать с Земли. Эксперименты с такими облаками позволяют наблюдать
ориентацию магнитных силовых линий (светящаяся плазма растаскивается вдоль
силовых линий магнитного поля), особенности диффузии плазмы поперёк магнитных
силовых линий (т. е. выяснение роли классических и различного рода аномальных
процессов), наличие поперечного электрического поля (по скорости дрейфа облака
поперёк магнитного поля) и т. д.
Искусственные плазменные потоки. Большое разнообразие процессов иниции-
инициируется при работе в магнитосфере электрореактивных двигателей разных типов. Та-
Такие двигатели посылают компенсированный (квазинейтральный) поток ионов с энер-
энергией в сотни и тысячи эВ.
В разделе 3.8 отмечалось, что квазинейтральный плазменный поток может дви-
двигаться поперёк магнитного поля благодаря явлению поляризации, т. е. появлению
на "боковых" сторонах потока положительных и отрицательных зарядов, создающих
в объёме потока электрическое поле, величина которого самосогласованно уста-
устанавливается на таком уровне, чтобы скорость электрического дрейфа была равна
"начальной" скорости потока
сТг — ^поток-
?1
Такая же ситуация возникает и при выходе квазинейтрального (плазменного) потока
из ЭРД в магнитосферу. Но легко видеть, что в магнитосфере поле поляризационных
зарядов будет либо притягивать (к положительно заряженной стороне) электроны из
тех участков магнитосферы, которые лежат вблизи магнитной поверхности, которая
проходит вблизи положительно заряженной стороны потока, либо сбрасывать их,
если речь идет об отрицательно заряженной стороне. Результатом этих взаимодей-
взаимодействий является ослабление — при удалении от источника поляризации пучка, т. е.
замедление движения потока как целого и превращение его в пучок "независимых"
ионов, объёмный заряд, который теперь уже компенсируется электронами магнито-
магнитосферы. Вот этот захват магнитосферных электронов и развал пучка сопровождается
раскачкой интенсивных колебаний, спектр которых позволяет определить локальные
характеристики магнитосферы.
Другое дело, если плазменный поток инжектируется вдоль магнитного поля.
В этом случае поляризация потока выражена значительно слабее, и колебания
раскачиваются слабее.
Сказанное хорошо подтвердили многочисленные наблюдения колебаний в магни-
магнитосфере с помощью антенн, установленных как на космических аппаратах с ЭРД,
так и на Земле. Была также реализована специальная программа исследований
динамики потока и колебаний, вызванных ЭРД в международных экспериментах
"Поркупайн" 0. В этом случае процессы в струе и ее окрестностях наблюдались
несколькими космическими аппаратами, снабженными большим числом зондов.
Но "рассыпанием" пучка и вспышкой ВЧ излучений дело не кончается. Образо-
Образовавшийся поток свободных ионов двигается теперь под воздействием одного магнит-
Руководитель эксперимента с советской стороны — В. Н. Ораевский
9.2. Магнитосфера Земли
483
ного поля и, как нетрудно видеть, здесь возникает красивое явление фокусировки
ионного потока, о чём уже говорилось в разделе 1.4 (рис. 1.4.6).
Планировавшийся активный эксперимент [231]. Здесь будет рассказано об
одном активном эксперименте, который был подготовлен рядом институтов РФ
к началу 1990 года, но в 1992 году эти работы были прекращены из-за финансовых
трудностей. Планировалось, используя мощный источник ультрафиолетового излуче-
излучения, осветить значительный объём ионосферы и существенно увеличить количество
возбужденных атомов и молекул.
Учитывая интересную схему задуманного эксперимента, опишем ее подробнее.
Предлагалось излучающий комплекс поднять стандартной метеоракетой МР-12 на
высоту 100-140 км. В качестве источника УФ-излучения был выбран короткоим-
пульсный эрозионный МПК с разрядным током ~ 2 • 106 А и длительностью импульса
~ 10 мкс. Особенности ракеты накладывали ограничение на массу излучающего
комплекса (она должна была быть ^ 125 кг) и ее габаритные размеры (^ 0150 х
х L700мм). Естественно, что ни емкостный, ни индуктивные накопители не под-
подходят из-за своей массы, поскольку общий запас энергии должен быть порядка
нескольких сотен кДж.
Здесь единственным источником энергии может быть только взрывной магнит-
магнитный генератор (ВМГ) 0. Опишем его принцип и ту схему, которая была положена
в основу создаваемой системы.
Взрывной магнитный генератор (ВМГ). Идея ВМГ проста (рис. 9.2.9). Пред-
Представим себе два достаточно хорошо проводящих цилиндра, и пусть внутренний на-
наполнен взрывчаткой (ВВ), а внешний хорошо укреплен. Тогда, если предварительно
в зазоре создать магнитное поле Яо, то после взрыва зазор будет уменьшаться и,
R2-a2
в силу сохранения потока поля, будет расти H(t) =
]R2-
;. Здесь R — радиус
А \ \ \ \\
внешнего цилиндра, а — начальный радиус внутреннего цилиндра, r(t) — текущий
радиус расширяющегося внутреннего цилиндра.
У/////////////// л
а *' б
Рис. 9.2.9. Принципиальная схема взрывного магнитного генератора (ВМГ) (а): 1 — взрыв-
взрывчатое вещество (ВВ), 2 — проводящая оболочка ВВ, 3 — зазор с магнитным полем, 4 —
внешний проводящий цилиндр. Схема энергоизлучательного комплекса ВМГ-МПК (б): 1 —
конденсатор питания ВМГ, 2 — разрядник; 3 — электродетонатор, 4 — спираль ВМГ, 5 —
кассета с ВВ, б — анод МПК, 7 — плазмообразующий диэлектрик (фторопласт), 8 — катод
МПК
Если наружный цилиндр разрезать по винтовым линиям, то мы получим мощный
генератор тока.
Отметим, что с помощью ВМГ были получены рекордные величины магнитного
поля - Я-20- 106Э.
Излучающий комплекс в целом. Схема комплекса в целом изображена на
рис.9.2.11. Слева находится блок ВМГ, а справа — эрозивный МПК. Каждый из этих
1) Генераторы этого типа были предложены А. Д. Сахаровым.
16*
484 Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
блоков был тщательно отработан, как по отдельности, так и в комплексе. Приведем
основные характеристики излучающего комплекса.
- масса В В — 1,5 кг;
- максимальный ток — 1,8- 106А;
- электрическая мощность, рассеиваемая в плазме — 15ГВт;
- излучение разряда — 100 кДж;
- энерговклад в плазму — 200 кДж;
- скорость плазменного потока в максимуме тока — 60—65 км/с.
Энергоизлучающие комплексы с такими параметрами имели диаметр 120 мм
и длину 600 мм.
9.2.5. Моделирование магнитосферы. К настоящему времени выполнено
большое количество работ по моделированию процессов магнитосферы эксперимен-
экспериментальными, численными и аналитическими методами. Моделировались как магнито-
магнитосфера в целом, так и ее отдельные фрагменты.
Здесь мы отметим только моделирование в целом.
Как упоминалось ранее, первые попытки экспериментально изучить взаимодей-
взаимодействие плазмы с магнитным полем дипольного типа предпринимались еще в 10-х
годах XX века. Однако схема первых экспериментов была не адекватна натурной
ситуации.
Реалистические эксперименты проводились в 60-х годах прошлого века
И.М. Подгорным с сотрудниками [223]. Источником движущейся плазмы —
аналога солнечного ветра, здесь служила квазистационарная коаксиальная
пушка. Параметры плазменного потока и величина магнитного поля подбирались
таким образом, чтобы большинство безразмерных параметров, характеризующих
взаимодействие потока и поля в эксперименте и в натуре, были близки между
собой. Тщательно подготовленная работа дала свои результаты. Была получена
адекватная конфигурация магнитного поля с длинным хвостом, головная ударная
волна, продемонстрирован захват в магнитное поле частиц из потока и др.
Существенными достоинствами этих экспериментов были: дешевизна, возмож-
возможность быстрого анализа магнитосфер других планет и, разумеется, доступность для
измерения любых параметров в любых точках системы.
Численное моделирование требовало ряда важных допущений для преодоления
вычислительных трудностей. В связи с этим на начальном этапе первые модели
были гидродинамическими и двухмерными, типа той, которая описана в п. 2.7.1.
Но постепенно модели становились более адекватными и сейчас уже построены
трёхмерные модели, хотя и с сильной гидродинамической "составляющей".
9.3. Солнце
Данный раздел посвящен ближайшей к нам звезде — Солнцу. Мы увидим
насколько все там сложно. Это не просто "термоядерный реактор над головой", как
часто говорят, но и сложнейший МГД-генератор токов и магнитных полей. Если
рассмотренные в разделе 9.1 атмосферные вихри хорошо описываются аналитически
и моделируются в "кастрюле" с водой, если облик магнитосферы разумно моделирует-
моделируется на компьютерах и в лабораторном эксперименте, а, кроме того, детальный анализ
свойств магнитосферы можно выяснить в любой ее точке с помощью космических
аппаратов и активных экспериментов, то в случае с Солнцем ситуация совершенно
иная.
А, тем не менее, как уже говорилось ранее, знание механизмов функционирова-
функционирования Солнца имеет большое практическое значение, в частности для предсказания
9.3. Солнце 485
космической погоды и принятия защиты космонавтов и космических аппаратов,
защиты наземных систем связи и энергетических сетей, а также предупреждения
о вредных воздействиях магнитных бурь на организмы людей. Наряду с этим изуче-
изучение процессов на Солнце является мощным двигателем научного прогресса многих
областей знания, вплоть до общего мировоззрения.
В середине XX века складывалось впечатление, что в основном физика Солнца
ясна: оформилась концепция термоядерной природы энерговыделения внутри Солнца
DН^ |Не), а появившаяся "космическая электродинамика" позволит просто все
объяснить.
Но вот проходит более 50 лет, и видно, что, хотя базовые представления о тер-
термоядерной энергетике и роли магнитного поля не изменились, целый ряд принципи-
принципиально важных явлений остается необъясненным. Вот самые известные из них [232]:
- 11-летний период активности Солнца, в том числе период смены полярности
его общего магнитного поля;
- дифференциальное вращение Солнца, благодаря которому время оборота на
разных глубинах и широтах разное;
- механизмы генерации и структура магнитного поля в глубине Солнца и осо-
особенности его выхода на поверхность Солнца в виде пятен, факелов и других
образований;
- механизмы выброса плазмы в виде протуберанцев;
- волокнистая "структура" всех наблюдаемых образований на Солнце.
И этот список можно продолжать и продолжать...
Причины плохого знания физики Солнца известны. Это, прежде всего,
- Большая сложность происходящих на Солнце процессов и невозможность по-
построения сравнительно простых адекватных самосогласованных моделей Солн-
Солнца. Этому препятствуют трёхмерность турбулентных МГД-процессов, огромный
диапазон плотностей и температур, а также ядерное энерговыделение;
- Удаленность Солнца не только от Земли, но и от специальных космических
аппаратов. Из-за этого нельзя рассмотреть объекты, меньшие ~ 300 км. В то
же время наблюдения показывают универсальность волокнистого строения всех
объектов видимых на Солнце, а недостаточное разрешение изображения не
позволяет определить минимальный размер волокон;
- Отсутствие способов заглянуть в глубины Солнца, хотя 11-летний цикл маг-
магнитного поля и многое другое определяются именно внутренней зоной Солнца.
Но, к счастью, ситуация сейчас начинает резко изменяться. Начать с того, что
космические аппараты все ближе подлетают к Солнцу и позволяют непрерывно
наблюдать Солнце, снимая фильмы во многих случаях от начала процесса до его
конца, и при этом без искажений, вносимых атмосферой Земли и ее вращением.
Отсутствие атмосферы между космическим аппаратом и Солнцем позволили для
наблюдений использовать весь спектр электромагнитных волн, а это дает много
нового материала.
Вторым принципиальным достижением последних десятилетий является — каза-
казалось бы, совершенно невероятное, создание методов диагностики внутренних обла-
областей Солнца. Таких методов сегодня два.
Первый из них сводится к фиксации солнечных нейтрино, образующихся в ре-
результате термоядерной реакции
Известно, что нейтрино обладает очень малым сечением взаимодействия с другими
частицами, и поэтому почти свободно выходит из глубин Солнца. Но, естественно,
что, благодаря этому, ловить нейтрино, приходящие на Землю, очень непросто. И,
486 Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
тем не менее, такие детекторы были созданы сначала в Япониии, Канаде, а затем
в других странах. Представление о масштабах этих установок дают параметры
японского детектора Superkamoikande. Его основой является бак с очень чистой
водой диаметром ^ 35 м и высотой 45 м. На стенках этого бака размещается 13 • 103
датчиков для фиксации излучения, возникающего при захвате нейтрино.
Эти эксперименты привели к фундаментальному открытию "осцилляции нейтри-
нейтрино", но для нас важно, что с помощью указанных детекторов были подтверждены
рассчитанные параметры солнечного термоядерного реактора.
Другим направлением развития диагностики внутренних областей Солнца явля-
является так называемая "гелиосейсмология", т. е. изучение колебаний солнечного шара,
подобно обычной сейсмологии, которая позволила "просветить" глубины Земли [235].
Отметим, что гелиосейсмология берет свое начало в 1960 году, когда Р. Лейгтон,
анализируя локальные допплеровские сдвиги на изображениях Солнца, показал, что
поверхность Солнца ритмично пульсирует с периодом ~ 5 минут. Однако комплекс-
комплексное исследование такого рода колебаний в широком диапазоне частот началось в 1990
году. Эти исследования, в частности, подтвердили предсказание наличия в Солнце
ядра, где энергия переносится излучением, и внешней оболочки, где перенос энергии
происходит благодаря конвекции (рис. 9.3.1).
Но есть еще одно обстоятельство, которое радикально способствует прогрессу
в изучении Солнца. Это появление мощных компьютеров. Очевидно вызванный
космической гелиосейсмологией и нейтринными наблюдениями, огромный поток ин-
информации был бы в существенной степени обесценен, если бы параллельно не шел
рост мощности компьютеров и изощренности моделирования солнечных процессов.
Вот мнение астрофизика Р. Стайна: "В изучении Солнца компьютерные модели
сыграли не меньшую роль, чем спутники и телескопы" [236].
В итоге, как говорят сами астрофизики, наступает "золотой век изучения Солн-
Солнца". И еще одно замечание. Создается впечатление, что время, когда астрофизики
поймут главное в солнечных процессах, будет то же время, когда на Земле физики
и инженеры создадут промышленные термоядерные реакторы.
Но вернемся к нашей книге. Процессы на Солнце исключительно многообразны.
Поэтому в данном параграфе будут предельно коротко описаны только поверхностная
(видимая) структура Солнца в "спокойном состоянии" (грануляция, солнечные пятна
и спокойные протуберанцы), а затем хорошо видимые бурные динамические процессы
(эруптивные протуберанцы, вспышки, выбросы корональной массы).
В конце параграфа будет описана "стандартная" модель Солнца в целом и пока-
показано место Солнца среди других звезд.
9.3.1. Интегральные характеристики Солнца [233, 234, 236]. Для лучшей
ориентировки в нижеследующем описании процессов на Солнце приведем его инте-
интегральные характеристики.
К этому следует добавить, что вращение поверхности Солнца, по визуальным
наблюдениям, дифференциальное. Быстрее всего вращается экваториальная зона
A4,4° за 24 часа). Вблизи полюсов за 24 часа поворот происходит на 10°. Данные
солнечной сейсмологии указывают, что разные внутренние слои также вращаются
с разными скоростями. Так, ядро Солнца вращается почти в два раза быстрее
поверхности Солнца.
На рис. 9.3.1 изображено схематически строение Солнца. Подробнее о самих рас-
расчётах распределения параметров плазмы в глубине Солнца будет сказано в п. 9.3.5.
Отметим здесь только, что излучение в центре Солнца лежит в основном в рентгенов-
рентгеновском диапазоне, а родившиеся там фотоны, многократно переизлучаясь, достигают
9.3. Солнце
487
поверхности приблизительно через 1 млн лет и переходят при этом в видимый
диапазон.
1. Среднее расстояние от Земли
2. Радиус
3. Масса
4. Средняя плотность
5. Ускорение силы тяжести на поверхности
6. Первая космическая скорость
7. Скорость убегания
8. Энергия протона при скорости убегания
9. Полное излучение
10. Излучение с 1 см2 поверхности
11. Эффективная температура поверхности
12. Характерная температура в центре
больших пятен @ ^ 10000 км)
13. Оценка температуры в центре Солнца
14. Оценка плотности в центре Солнца
15. Состав Солнца в целом (оценка)
водород
гелий
другие элементы
Фотосфера Хромосфера Внутренняя
корона
р« 2 • 10™7 г/см3 р« 3 • 1012 г/см3 р= 10™15 г/см3
Г^бОООК Г« 10000 К Г=1,5-106К
/? = 0,1атм р=Ю~6жм /? = 6-10"8атм
и=1017см™3 w=1012cm n =3-108см^-
- 150- 106км;
6,96- 105см;
1,99- 1033г;
1,4 г/см3;
2,74- 104 см/сек2;
-4- 107см/с;
-5,7- 107см/с;
- 1600 эВ;
3,86- 1033 эрг/с;
6,35- 10ю эрг/с;
5830 К
4100-4500 К;
1,6- 107К
- 160 г/см3;
68%;
30%;
2%.
| 1500 км Протуберанец Корональный луч
Зона Нижнее основание
энерговыделения конвективной зоны
р« 1,6-102 г/см3 р« 10 г/см3
Рис. 9.3.1. Распределение параметров плазмы вдоль радиуса от центра Солнца до короны по
стандартной модели Солнца (п. 9.3.5). Здесь р — плотность, Т — температура, п — число
частиц в 1 см3, р — давление. Размеры фотосферы и хромосферы на рисунке преувеличены
[234]
9.3.2. Строение видимой области Солнца.
фотосфера, хромосфера и корона.
Видимыми являются три области:
488
Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
Фотосфера — основной источник излучения Солнца. Это относительно плотная
газовая оболочка с невысокой степенью ионизации. Она излучает (за исключением
рентгеновского и радио диапазонов) как абсолютно черное тело с температурой ~
~ 5800 К. Толщина фотосферы ~ 350 км.
Таблица 9.3
h,
км
+50
-200
- 335
- 450
Т,
К
4626
5090
6460
8260
Р,
дин/см2
8000
40 000
125 000
250000
Ре,
дин/см2
0,9
6,8
69
2000
Представление о параметрах фо-
фотосферы дает следующая таблица,
где h — расстояние от поверхности
вглубь Солнца.
Из таблицы видно, что степень
ионизации плазмы вблизи h = 0 по-
порядка 10~4, т.е. очень мала. Отсюда
видно, что условия в верхних слоях
фотосферы близки к условиям дуго-
дугового разряда при пониженном давле-
давлении.
Проводимость такой плазмы а ~ 3 • 1012 абс. ед. и, следовательно, магнитная
вязкость vm = с2/4тга ~ 2 • 107 см2с-1.
В этих условиях классический скин-слой за 1 час прорастает на глубину ~ Зкм.
Хромосфера. Хромосфера — слой толщиной условно ~ 1500 км, к которому
наиболее точно подходит термин "атмосфера Солнца". Он расположен между плотной
и сравнительно холодной фотосферой и короной — разреженной и горячей. Хро-
Хромосфера в основном прозрачна для сплошного спектра фотосферы, но отдельные
участки она поглощает, образуя темные линии Фраунгофера. Благодаря своему
промежуточному положению хромосфера — весьма динамичная система.
Корона и солнечный ветер. Как видно на рис. 9.3.1 на переходе хромосфера-
корона происходит резкий скачок плотности и температуры. При этом толщина
переходного слоя всего 10—100 км. Внешней границы у короны реально нет. Она
непрерывно переходит в солнечный ветер, который наблюдается не только около
Земли, но и достигает границы солнечной системы, где его давление становится
порядка давления межзвездного газа. Такая протяженность короны, а точнее "сол-
"солнечной магнитосферы", объясняется тем, что она — принципиально динамическое
образование. Кстати, свечение короны с точностью до нескольких процентов, есть
результат томсоновского рассеяния излучения фотосферы на электронах сравнитель-
сравнительно плотных частей короны.
Наиболее характерной особенностью короны можно считать ее высокую темпе-
температуру. Эта температура создается за счет энергии магнитных полей как в виде
волн, идущих из фотосферы, так и за счет диссипации (классической и аномальной)
кавзистатических полей в структурах типа токовых слоев (раздел 8.2) при переза-
перезамыкании магнитных силовых линий. Что же касается нагрева короны волнами, то
здесь особую роль играют поперечные альфвеновские волны. Их поглощение обязано
механизму, хорошо известному из общей теории волн. А именно, при распростране-
распространении волны в неоднородной среде со все возрастающей групповой скоростью, частицы
среды начинают двигаться все быстрее, и их скорость может стать сверхсигнальной.
А это приводит к быстрой диссипации энергии волны.
Нагрев плазмы до температур миллионного (в Кельвинах) масштаба в свою
очередь приводит к тому, что многие ее частицы приобретают скорость порядка ско-
скорости убегания и покидают окрестность Солнца. Так возникает низкоэнергетичная
компонента солнечного ветра. Имеющееся в дальней короне магнитное поле, как из-
за своей величины, так и своей конфигурации, не может удержать поток и, более
того, само увлекается солнечным ветром.
9.3. Солнце 489
Наряду с энергичными частицами, уходящими от Солнца в виде ветра, имеется
поток достаточно энергичных частиц, идущих из короны в хромосферу. Пройдя
в хромосфере несколько длин свободного пробега, быстрая частица из короны тормо-
тормозится, передав свою энергию частицам хромосферы, которые получают возможность
перейти в корону. Зная плотность частиц в хромосфере ( п ~ 1012см~3) и энергию
ионов из короны (~ 1000эВ), находим длину свободного пробега Л ~ 1км, что
в значительной степени и объясняет малую толщину переходного слоя хромосфера-
корона.
Как показывают наблюдения затмений (рис. 9.3.2), форма короны непостоянна.
И это понятно, поскольку она определяется, прежде всего, местами поступления
плазмы из хромосферы, т.е. местами ее нагрева, а они непостоянны.
а 0
Рис. 9.3.2. Солнечная корона: во время минимума солнечной активности (а), в период макси-
максимума солнечной активности (б)
Недавно были выявлены те "отдушины", через которые основная масса корпускул
вырывается в межпланетное пространство. Это так называемые корональные дыры.
Они легко замечаются на рентгеновских фотографиях Солнца, дающих картину
корональной структуры. Это темные области, резко контрастирующие с обширными
светлыми. В них плотность вещества в три раза меньше, чем у нормальной спокойной
короны. Температура тоже ниже — не превышает 1,0- 106К. Корональные дыры
в глубоких слоях проявляют себя как области монополярного магнитного поля, то
есть (в фотосфере и хромосфере) поля, открытого в межпланетное пространство.
В результате возникает усиленный поток корпускул вдоль незамкнутого магнит-
магнитного поля, что и подтверждается наблюдениями солнечного ветра. Корональные дыры
вблизи полюсов Солнца обычно существуют на протяжении месяцев, но их потоки
корпускул не достигают Земли.
9.3.3. Квазиравновесные структуры, связанные с фотосферой. Если
несколькими словами охарактеризовать современное состояние наших знаний
о локальных структурах Солнца, то, за малым исключением, оно состоит из
огромной массы фотографий, которые, однако, не "сжаты" в четкие схемы,
описываемые математическими моделями. Поэтому здесь мы ограничимся описанием
связанных с фотосферой трех типов структур, которые, с некими оговорками, можно
назвать термическими, магнитными и токовыми. Это гранулы, солнечные пятна
и "спокойные протуберанцы", а также сопровождающие их "подструктуры". В этом
пункте речь будет идти о квазистационарных состояниях указанных структур,
а в следующем — о взрывных процессах, связанных с солнечными пятнами
и спокойными протуберанцами.
490 Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
Гранулы. На рис. 9.3.3 представлен типичный участок фотосферы с малыми сол-
солнечными пятнами при хорошем разрешении. Видно, что поверхность не однородна,
а имеет ячеистое строение. Эти ячейки конвекции называются обычно гранулами.
Они подобны ячейкам Бенара. Характерный размер гранул 500-1000 км. Гранулы
живут недолго — обычно ~ 5-7 минут.
§
~« • ¦«..%. i* 3
' " ^ V, ..¦
t
, *" * ¦>
Рис. 9.3.3. Солнечная грануляция и маленькие Рис. 9.3.4. Хромосфера со спикулами
пятна 5 июля 1885 г. Масштаб 1 мм = 1"
Внимательное рассмотрение грануляции фотосферы показывает, что эти гранулы
объединяются в некие комплексы — супергранулы, которые наиболее четко проявля-
проявляются в расположенной над фотосферой хромосфере.
Магнитные поля в районе гранул — если солнечные пятна далеки, составляют
величину ^ 10 Э.
На спектрогелиограммах хромосферы также видны при благоприятных услови-
условиях съемки гранулы фотосферы. Однако чаще видна сетка из объединений гранул
(супергранул), которые покрывают весь диск Солнца. Супергранулы представляют
собой внешнюю часть более крупных (~ 3000 км) и соответственно глубже распо-
расположенных в толще Солнца конвективных ячеек. Таким образом, мы сталкиваемся
здесь с иерархией конвективных структур: от крупных в глубине до относительно
мелких в фотосфере Солнца.
Исследования доплеровского сдвига на разных участках супергранул показывают,
что в центре поток солнечной субстанции направлен из солнечных глубин к поверх-
поверхности, а на периферии наоборот — вглубь Солнца.
Супергранулы плотно покрывают поверхность Солнца, и поэтому их границы
имеют вид многоугольников. Так что поверхность Солнца в целом напоминает
ананас.
Супергранулы живут сравнительно долго ~ 10 часов. Течение плазмы от центра
супергранул к их периферии сопровождается переносом магнитного поля. В резуль-
результате на границе между ними "скапливается" магнитное поле, величина которого
достигает сотен эрстед, а в углах ~ A—2) • 103Э. Магнитное поле, существующее
между супергранулами, проникает в верхние слои хромосферы и в корону. Вдоль
силовых линий этих полей проходят кратковременные плазменные потоки — "спику-
лы", рис 9.3.4. Им обязана во многом волокнистая структура хромосферы. Спикулы
хорошо видны в виде частых сравнительно тонких и не длинных выбросов вблизи
края солнечного диска.
9.3. Солнце
491
Солнечные пятна. На рис. 9.3.5а,б представлены фотографии типичного одиноч-
одиночного солнечного пятна и типичной группы пятен. У пятен различают тёмное бес-
бесструктурное пятно — "тень" и "полутень", образованную большим числом вытянутых
"волокон". Размеры пятен весьма различны. Так однажды наблюдалось пятно диамет-
диаметром ~ 180000 км. Однако средние размеры пятен ~ 40000 км. Пятна, по сравнению
с гранулами, долгоживущие объекты. Хотя разброс времен жизни весьма велик,
но среднее время для малых пятен порядка недели, а для крупных — несколько
месяцев. При возникновении пятна, когда его полутень еще мала, в нем видны
те же фотосферные гранулы, которые потом уступают место волокнам с большим
временем жизни. Что касается видимой глубины пятен, то часто они представляют
собой углубления (в виде мелкой тарелки) с конически сжимающимися стенками,
уходящими вглубь Солнца.
ч ¦" чт
Рис. 9.3.5. Солнечные пятна: а — оди-
одиночное пятно, хорошо видна грануляция
фотосферы Солнца; б — группа пятен;
в — возможная структура приповерхност-
приповерхностной части группы пятен
В зоне пятна наблюдается сложная картина течений со значительными скоро-
скоростями (~ 3 км/с). При этом преобладает вытекание вещества из пятна в районе его
стенок и втекание в центральной части пятна. Существующие данные четко указы-
указывают, что в пятне температура находится на уровне ~ 4500 К, тогда как в фотосфере
она rsj 5800 К. Таким образом, солнечные пятна сравнительно холодные образования.
Благодаря этому степень ионизации водорода и особенно гелия здесь мала.
Характерно, что во многих случаях наблюдаются сравнительно далеко распо-
расположенные друг относительно друга пятна противоположной магнитной полярности,
явно проявляющие взаимную связь. Это дает основание считать, что наблюдаемые
пятна суть сечения поверхностью Солнца магнитных трубок, частично погруженных
в Солнце. Темная центральная часть пятна соответствует той углубленной части
трубки, где газокинетическое давление окружающей плазмы Р0.п. становится равным
магнитному давлению, т. е.
Роп.
= Рн.
492 Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
Магнитное поле в пятне ~ 4-5 кЭ и его давление (~ 1 атм) больше давления окру-
окружающей плазмы фотосферы (^0,01 атм), а тем более прилегающей хромосферы (~
~ 10~5атм). Поэтому здесь магнитный поток расширяется, образуя "полутень" пятна.
В этой области фотосфера имеет вид хорошо сформированных волокон.
На фотографиях видно, что около пятен наблюдаются (особенно вблизи края
диска) светлые неправильной формы волокнистые образования. Они получили назва-
название "факелов". Сравнительно часто эти факелы покрывают значительные площади,
образуя так называемые факельные поля. Факелы и их поля проникают, растекаясь,
достаточно глубоко в хромосферу, и при съемке в узких участках спектра в хромо-
хромосфере они могут экранировать большие площади. Характерный размер одиночных
факелов порядка размеров гранул, время их существования — месяцы, их температу-
температура ~ 6500 К. Факелы могут быть истолкованы как каналы более интенсивного сброса
энергии из внутренних объёмов магнитной трубки, компенсирующие её слабый сброс
из солнечных пятен.
Упомянутую выше структуру в виде группы тесно расположенных пятен можно
пытаться трактовать как результат расщепления за счет неустойчивости единого
первоначального магнитного потока.
В соответствии со сказанным, кажется вероятной структура типичных пятен,
подобная рисунку 9.3.5в.
Спокойные протуберанцы [223, 232]. В отличие от гранул и солнечных пятен,
спокойные протуберанцы представляют собой более сложные и даже загадочные
образования. На фотографии 9.3.6а такой протуберанец снят при небольшом про-
пространственном разрешении на фоне солнечного диска. Он виден как длинное тонкое
и тёмное образование, длина которого соизмерима с радиусом Солнца. На второй
фотографии (рис. 9.3.66), снятой с хорошим разрешением, показан фрагмент проту-
протуберанца, а на фотографии рис. 9.3.6в спокойный протуберанец находится на краю
диска и виден сбоку, весьма напоминая арочный мост. Характерные размеры таких
протуберанцев грандиозны: их длина достигает ~ 200000 км, высота над хромосфе-
хромосферой до 50000 км, а толщина горизонтальной части ~ 10000 км. Горизонтальная часть
опирается на вертикальные столбы — "основания", которые уходят в фотосферу.
Типичная плотность протуберанцев ~ 1010—1011 см~3, тогда как плотность короны,
в которую они погружены, на два порядка меньше (~ 108—109 см~3). Температура
плазмы, образующей протуберанец, ~ 10000 К, тогда как температура прилегающей
короны на два порядка больше (~ 1—2 • 106К). Таким образом, давления в протубе-
протуберанце и короне близки.
Отметим еще несколько особенностей рассматриваемых структур. Время их жиз-
жизни изменяется в широких пределах: от нескольких дней (для малых) и до нескольких
месяцев для больших протуберанцев. Располагаются они, в основном в полярных
зонах Солнца и вытянуты преимущественно в широтном направлении.
На снимках (рис. 9.3.66, и 9.3.6в) с хорошим пространственным разрешением
видно, что для данных протуберанцев характерна прерывисто-волокнистая структу-
структура. Ширина фрагментов ^ 350 км, хотя может оказаться, что они, в свою очередь,
состоят из более мелких субволокон.
Несмотря на видимую "лохматость" протуберанца, наиболее вероятным фактором,
удерживающим его тяжелую горизонтальную часть от падения на фотосферу, явля-
является наличие электрического тока, текущего вдоль этой конфигурации. Необходимое
для создания поддерживающей амперовой силы магнитное поле должно, так или
иначе, генерироваться в фотосфере и хромосфере. Таким образом, если солнечные
пятна — это магнитные структуры, то спокойные протуберанцы могут считаться
токовыми структурами.
9.3. Солнце
493
Шф
Рис. 9.3.6. Спокойные протуберанцы: протуберанец на фоне диска (а), структура протуберан-
протуберанца, снятого при высоком разрешении, на фоне диска (б), то же на краю диска (в)
Рис. 9.3.7. Вероятные магнитные конфигурации спокойного протуберанца в плоскости, пер-
перпендикулярной протуберанцу: а — конфигурация с линией нулевого магнитного поля, б —
конфигурация с током изображения в фотосфере
494
Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
Многочисленные наблюдения показывают, что спокойные протуберанцы распо-
располагаются преимущественно вблизи границ между супергранулами. В зоне горизон-
горизонтальных участков таких протуберанцев магнитное поле параллельно солнечной по-
поверхности и имеет значительную компоненту вдоль его оси. Таким образом, силовые
линии как спирали обвивают протуберанцы. Наконец, установлено, что протуберанец
располагается, как правило, над нулевой линией в фотосфере. В сечении, перпенди-
перпендикулярном протуберанцу, силовые линии, возможно, выглядят так, как показано на
рис. 9.3.7. Т.е. плазма лежит на силовых линиях, образующих "люльку".
Рис. 9.3.8. Протуберанцы: а — эволюция короткоживущего протуберанца A, 2, 3,4 — вре-
временная последовательность кадров. На кадре 1 в виде яркой точки для сравнения изображён
приблизительный размер Земли; б — примеры активных (эруптивных) протуберанцев
На промежутках между основаниями плазма может поступать в протуберанец
как из хромосферы, так и из короны ("конденсация" корональной плазмы) и стекать
в основания со скоростями ~ 5 км/с. Эта скорость меньше скорости звука и альфве-
новской скорости.
9.3.4. Катастрофические процессы, видимые на Солнце (вспышки, выбросы
корональной массы). Сказанное выше далеко не охватывает всего, что происходит
9.3. Солнце
495
в окрестностях фотосферы. Так, часто возникают "активные протуберанцы", которые
могут вздыматься над поверхностью Солнца на многие десятки, а то и сотни тысяч
километров [233].
Они очень разнообразны (рис. 9.3.8). Для них характерно быстрое развитие
и недолгое существование, иногда в пределах одного часа. Активные протуберанцы
могут возникать как за счет выброса вещества из хромосферы (фотосферы), так
и путем конденсации корональной плазмы, охлажденной излучением и теплопровод-
теплопроводностью.
Движение вещества в активных протуберанцах происходит с большими скоростя-
скоростями, достигающими ~ 700 км/с. При подъеме вверх иногда наблюдается скачкообраз-
скачкообразные ускорения потоков за счет неясных факторов. Потоки плазмы обычно имеют вид,
напоминающий силовые линии магнитного поля. Часто они втягиваются в фотосферу
и исчезают (рис. 9.3.86).
Все такие протуберанцы ранее назывались "эруптивными" ("взрывными").
Однако, это рядовое проявление
активности Солнца. Но, наряду с та-
такими процессами, один или несколь-
несколько раз за период активного Солнца
(см. следующий пункт) происходят
грандиозные катастрофы. Они име-
имеют две существенно различающиеся
формы и, соответственно называют-
называются "вспышками" и "выбросами" коро-
корональной массы - ВКМ [202,223].
В течение длительного времени
их не различали. Тем более что ино-
иногда они проявляются совместно. Об-
Общие у них, однако, только два пара-
параметра: огромное энерговыделение (до
1032эрг) и характерное время выбро-
выброса (~ 103с).
Вспышки связаны с солнеч-
солнечными пятнами и сопровождаются
преимущественно (~ 50% энергии) Рис. 9.3.9. Фотография выброса корональной
рентгеновским (г ~ 100эВ) и гамма- массы (ВКМ), сделанная со спутника SOHO, Ев-
излучением. Остальную энергию ропейское космическое агентство и НАСА
уносят энергичные протоны (еп ~
~ 1МэВ).
Большая вспышка напоминает внешне очень яркое факельное поле. Спектр из-
излучения мощных вспышек сплошной, что указывает на значительные оптические
толщины объёма вспышки. Основная энергия вспышки уносится в корону и далее
в межпланетное пространство. Обычно менее мощные вспышки наблюдаются как
резкое увеличение яркости хромосферы и хромосферных линий, охватывая площадь
до 10~3 видимой полусферы Солнца.
Был высказан ряд моделей механизмов вспышки.
Так, только что сказанное, по мнению автора и ряда других исследователей,
делает весьма правдоподобным предположение, что вспышка — это некий "суперфа-
"суперфакел" или "суперспикула", в основе которого лежит прорыв излучения и плазмы из
достаточно глубоких слоев Солнца вдоль неких "магнитных плазмо-световодов". Т. е.
по этой модели вспышки являются процессами, напоминающими извержения земных
вулканов. В качестве источника энергии здесь выступают высокотемпературные сол-
496 Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
нечные глубины. В целом процесс вспышки выглядит так. В силу в чем-то случайных
причин — а внутренность Солнца находится в турбулентном состоянии, отдельные
магнитные потоки образуют цепочку, пронизывающую конвективную зону Солнца,
создавая магнитный световод. Вдоль него из глубины к поверхности начинает идти
мощнейший "вал" плазмы, "насыщенной" излучением, выметающий все препятствия.
Интенсивность излучения имеет масштаб
где <7с-б — постоянная Стефана-Больцмана, а Т* - температура слоя в Солнце,
из которого к поверхности начинает "рваться" лучистый поток. Полагая Т* = 106К,
получаем оценку
/ - 5 • 1012 Вт/см2 = 5 • 1019 эрг/см2с.
Полагая время излучения равным т= 103с, получаем выброс энергии Q =
= 5- 1О22эрг. Следовательно, достаточно 1км2, чтобы общее энерговыделение было
> 1О32эрг. Итак, суть гипотезы предельно проста: вспышка — это извержение вдоль
случайно возникающего магнитного светоплазмовода.
Но сейчас предпочтение отдается моделям, в которых вспышки рассматриваются
как хромосфено-корональный процесс, в основе которого лежит постепенное накоп-
накопление энергии в магнито-плазменных структурах, которые затем теряют устойчи-
устойчивость. Происходит перезамыкание силовых линий, и поле сбрасывает свою энергию
в виде вспышки. При этом основной сброс энергии происходит в короне. В пользу
этой схемы приводится тот факт, что во многих случаях вспышка разыгрывается
вблизи нулевых линий [202].
Теперь коротко о корональных выбросах массы. Сегодня их механизм кажется
более прозрачным. А именно, киносъемка показывает, что развитие ВКМ начинается
с потери устойчивости горизонтальной части спокойного протуберанца. Эта часть
быстро удаляется от поверхности Солнца, захватывая все большую часть короны.
При этом основания протуберанца остаются неподвижными. При удалении массы
плазмы на расстояние порядка радиуса Солнца или более, магнитные силовые линии
рвутся, и огромный "ком" плазмы с захваченным магнитным полем, имея массу
порядка триллиона тонн, со скоростью ~ 50 км/с покидает Солнце. Именно такой
выброс вывел из строя огромную энергосистему в Канаде 13 марта 1989 года [223].
Но выбросы малой мощности могут происходить и в периоды спокойного Солнца.
9.3.5. Цикличность солнечной активности [233].
Динамика солнечных пятен. Выше отмечалось, что время жизни на поверхности
Солнца солнечных пятен ограничено. Поэтому число их все время меняется. В 1845
году Швабе, анализируя данные о числе пятен в разные годы, установил, что их
число существенно изменяется с периодом ~ 11 лет. На рис. 9.3.10 изображена
зависимость числа Вольфа от времени. Число Вольфа w определяется формулой
w=Wg + f. (9.3.1)
Здесь g — число групп пятен, а / — число одиночных пятен, включая те, которые
входят в группы.
Так, например, если на Солнце имеется только одно пятно, то w = 10 + 1 = 11.
Число Вольфа, как оказалось, с хорошей точностью характеризует долю F солнечной
поверхности, покрытой пятнами
F=l6,7w. (9.3.2)
Здесь F выражено в миллионных долях солнечной поверхности.
9.3. Солнце
497
1610 1630 1650 1670 1690 1710 1730
160
1730 1750 1770 1790 1810 1830 1850
1850 1870 1890 1910 1930 1950
Рис. 9.3.10. Изменение числа Вольфа по годам
1970
Рис. 9.3.10 четко указывает на периодичность появления минимумов на кривой
w(t) с интервалом ~ 11 лет, причём во время минимумов солнечной активности
пятна либо исчезают совсем, либо остается одно пятно. В то же время максимумы w
в разные периоды разные. В этой связи можно отметить любопытный факт. Во время
царствования Людовика XIV во Франции с 1643 по 1715 г., который был прозван как
известно "королем-солнцем", солнечные пятна практически отсутствовали, а группа
пятен появилась только один раз ("минимум Маундера").
Отметим еще несколько важных особенностей поведения пятен.
а. Пятна чаще всего появляются парами с противоположной магнитными поляр-
полярностями.
б. Когда пятно начинает убывать, то напряженность поля его не изменяется,
а уменьшается только его площадь. Наблюдения показывают, что магнитное
поле не исчезает после исчезновения пятна, но продолжает существовать и про-
провоцирует появление новых пятен в той же области.
в. Пятна обычно дрейфуют на запад. И если они появились парой, то одно из
них (то, которое расположено западнее) называется ведущим. Наблюдения
показали, что полярность ведущего пятна и следующего за ним через период
меняется. Таким образом, истинный период оказывается равным ~ 22 годам.
г. Область появления пятен ограничена 1—2° и 30° как северной, так и южной
гелиографической широты. С начала периода они рождаются около 30° широты,
а со временем их места рождения приближаются к экватору. Существенно, что
498
Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
полярности ведущих пятен в северном и южном полушариях противоположны.
Отмеченная периодичность пятен является проявлением общей периодичности
солнечной активности, в том числе и в интенсивности солнечного ветра, и, как
следствие, в возмущениях земной магнитосферы.
д. Общее магнитное поле Солнца мало (~ 1Э) и достаточно четко наблюдается
во время минимума солнечной активности и при широтах > ±30°, где пятна
отсутствуют. Общее поле также подвержено 11-летнему циклу и, в частности,
с таким периодом меняется его полярность. Последний переворот полярности
общего поля был в 2000 году.
е. Кроме указанного периода магнитной активности имеются указания — в част-
частности по данным анализов ежегодных колец деревьев или содержания изотопов
в слоях полярных льдов, а также в исторических материалах, что имеют место
колебания солнечной активности с периодами ~ 80,200 лет.
Из сказанного видна глобальная роль магнитных полей на Солнце. В то же время
магнитные структуры достаточно четко делятся на два класса: со слабыми полями
(^ 10Э), связанные с гранулами и рядом других образований, и с сильными полями
(^ 1 кЭ), проявляющимися в солнечных пятнах.
Сейчас нет убедительных данных о поведении сильных полей в глубинах Солн-
Солнца. Обычно предполагается, что генерация таких полей главным образом обязана
дифференциальному вращению Солнца, при котором в плоскости экватора вращение
происходит быстрее, чем вблизи полюсов. В результате силовые линии (вмороженные
в плазму) вытягиваются так, как показано на рисунке 9.3.11, и таким образом про-
происходит накопление энергии в магнитном поле. Это объясняется тем, что в глубине
Солнца 0 проводимость плазмы большая, и поэтому магнитный поток в трубке не
изменяется, а длина трубки увеличивается. При этом возможно "слипание" витков
потока.
Рис. 9.3.11. Генерация тороидального поля при дифференциальном вращении проводящей
среды с вмороженным в неё полоидальным магнитным полем
Но эта схема не объясняет 11-летний цикл и многое другое.
Построение убедительной модели солнечного гидромагнитного динамо требу-
требует учета большого количества факторов, таких как дифференциальное вращение
Солнца, силы Кориолиса, выделение и транспорт энергии, конвекция, турбулентные
пульсации.
Очевидно, построение реальной МГД-динамики Солнца — одна из впечатляющих
проблем физики плазмы XXI века.
9.3.6. Стандартная модель макроструктуры Солнца. Все сказанное выше
фактически касалось наблюдаемых внешних оболочек Солнца. О состоянии и ди-
динамике внутренних — невидимых непосредственно, подфотосферных зон можно
1) Обычно считается, что генерация поля происходит на границе зон радиационного и кон-
конвективного переноса энергии.
9.3. Солнце 499
судить лишь на основе наблюдений поверхности и моделей внутреннего строения
Солнца, согласующихся с данными таблицы 9.1. В основу таких моделей кладутся те
или иные схемы термоядерных реакций, обеспечивающие нужное энерговыделение.
Сейчас наибольшим признанием для Солнца пользуется "термоядерная" реакция,
в процессе которой водород превращается в гелий
2(\Н + \Н) -+ \Н + 2/3+ + 2i/ + 7- (9-3.3)
Здесь /3+ — позитрон, v — нейтрино, 7 ~~ фотон. Реальная цепочка реакций,
приводящая к превращению четырех [Н в JH выглядит следующим образом
lH + }H->?D + /?+ + i/ (+1,44МэВ); г = 8- 109лет,
}H + ^D^i]He + z/ (+5,49МэВ); г = 4с, (9.3.4)
i]H + iJHe^!He + 2}H (+12,85МэВ); г = 5- 104лет.
Указанные здесь времена вычислены для Т = 1,5 • 107К, рп = 102г/см3, что харак-
характерно для центральных областей звезд типа Солнца.
Среди разных моделей внутреннего строения Солнца чаще всего используется
простая, так называемая "стандартная" модель Солнца. В этой модели Солнце счи-
считается сферически-симметричной статической конфигурацией 0, описываемой систе-
системой из двух основных уравнений.
Уравнение гидростатического равновесия
ЭР А (9.3.5а)
дМг 4тгг4
и уравнение теплового баланса
дМг df у '
Здесь в качестве независимой пространственной координаты взят не радиус г, а мас-
масса Солнца внутри сферы радиуса г:
г
Мг = 4тг pr2dr.
о
Тепловой поток L представляет собой сумму лучистого и конвективного потоков
/ ягг АТ\
L = 4тгг2 -4ттг2рК—— - Nu ¦ К— . (9.3.5в)
у uJVLr I I
Здесь лучистый перенос описывается в диффузионном приближении и К =
= 16сгТ3/Зхр, а к — эффективный коэффициент поглощения. Член конвективного
переноса пропорционален числу Нуссельта Nu 2), AT — перепад температуры
в конвективных ячейках, / — длина перемешивания. Остальные величины — р, S,
б имеют обычный смысл: давления, энтропии, мощность, вырабатываемая единицей
массы. К уравнениям (9.3.5) добавляются уравнения состояния р = p(p,T,Xi), s =
= s(p,T,Xi), выражение для коэффициента поглощения к = >c(p,T,Xi) и скорость
1) Как указано выше, здесь учитывается конвекция, но она входит просто как некая
добавочная теплопроводность.
2) Nu = all к,а = q/(T\ — Т2), q — плотность теплового потока, к, — коэффициент тепло-
теплопроводности.
500
Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
генерации энергии е = e(p,T,Xi). Здесь Хг — относительное содержание по массе
элементов с атомным номером г. Разумеется, когда рассматривается эволюция
Солнца, то пишутся уравнения для изменения Х{.
Выписанная система уравнения добавляется четырьмя граничными условиями:
заданными давлением и лучистым потоком на поверхности Солнца и двумя очевид-
очевидными условиями в центре Солнца: Мг|г=о = 0, L\r=o = 0.
Параметры Солнца, рассчитанные по стандартной модели, представлены в табли-
таблице 9.4.
Таблица 9.4
Параметры Солнца согласно стандартной модели (Bachall et al., 1982)
Светимость (L)
Масса (М©)
Радиус (Rq)
Возраст (t©)
Плотность в центре (рс)
Температура в центре (Тс)
Содержание водорода по массе на поверхности (Х\)
Содержание водорода по массе в центре (Х\>с)
Эффективная температура поверхности (Тэ)
Начальное содержание гелия по массе (Х^)
Начальное содержание тяжелых элементов по массе (Z)
Глубина конвективной зоны
Доля энергии водородного цикла
Доля энергии углеродно-азотного цикла
Поток нейтрино от РР-реакции
Поток нейтрино от реакции распада ядер 3В
3,86- 1033 эрг/с
1,99- 1033г
6,96-10ю см
4,7-109 лет
156 г/см3
15,5-106К
0,732
0,355
5,78-103 К
0,25±0,01
0,018
О,27Я0(МГ-О,О2М0)
0,985
0,015
6,1-1010см-2.с-1
б.б-К^см-^сГ1
Проведенные расчёты стандартной модели, а также систематизация имеющих-
имеющихся фактов, приводят к схеме строения внутренней — невидимой, части Солнца,
которая изображена на рис. 9.3.1. Здесь выделяется прежде всего ядро радиусом
гя « 0, 25Rq, где Rq — радиус Солнца, в котором р ~ 160 см~3, Т ~ 1,6 • 107К
и где идет основное энерговыделение за счет реакции 4}Н^ ^Не. Затем идёт слой
радиационного переноса энергии из ядра к поверхности. Он лежит в интервале
0,25Я© <r <0,7RQ.
Далее идет конвективный слой, в котором присутствует иерархия конвективных яче-
ячеек, проявляющаяся в виде супергранул и гранул. Он находится в пределах 0, 7Rq <
< г ^ li?Q — в разумном соответствии с данными гелиосейсмологии.
9.4. Об эволюции звезд главной последовательности [233]
В заключение коротко остановимся на эволюции звезд, близких к Солнцу по
своим параметрам и происхождению.
Такие звезды, как считают на основе наблюдательных данных и их систематики,
возникают из холодных газо-пылевых скоплений, в которых в силу тех или иных
причин начинается под действием гравитация стягивание вещества. Эта "контракция"
ведет к его разогреву. В результате появляется "протозвезда", размеры которой все
уменьшаются, а температура и давление в ее центре растут. В некий момент в ее
9.4. Об эволюции звезд главной последовательности
501
центре создаются условия, при которых начинаются термоядерные реакции сначала
на Li, Be, В, которых мало, а затем и в виде водородного цикла. Теперь это уже
"настоящая" звезда. После перехода на сжигание водорода эволюция светимости
звезды, в том числе и Солнца, идет медленно.
И еще одно общее замечание. Не надо думать, что рождение звезд происходило
только в очень древние времена. Показано, что и в наше время идет образование про-
тозвёзд и образование новых звезд. Характерным отображением типичной эволюции
звезд является так называемая диаграмма Герцшпрунга-Рассела. В этой диаграмме
на осях отложены светимость звезды и ее "спектральный класс" 0 (рис. 9.4.1).
Типичными считаются звезды, лежащие на "главной последовательности".
Спектральный класс
0 В0ДВ2 В5 В8В9 АО А2 A3 А5 F0 F2 F5 F8 GO G5 КО К2 К5 М
-5
-3
-1
+3
+5
+7
+13
+15
- '
_ i 4 : i : % Сверхгиганты . r \ ¦
\ _ a^<<
- Белые карлики -' * I
т г т i
Полоса нестабильности
i-;¦'• i "И • Гиганты
Tiifni*. '
- ^ "™Sf | .• t.-
• :•' : 4 ¦
* - \
:
i i
20000 10000 8000 7000 6000 5000
Эффективная температура Тэ, К
Рис. 9.4.1. Диаграмма Герцшпрунга-Рессела положения стационарных звёзд, расстояния до
которых известны
В целом существует много вариантов "послеводородной" эволюции звезд. Это
зависит от массы звезды, ее химического состава и т. п.
Отметим только, что наиболее эффектными являются случаи, когда эволюция
заканчивается вспышкой с образованием "белого карлика", нейтронной звезды (пуль-
(пульсара) или, наконец, "черной дыры".
Белые карлики. Белые карлики образуются после выгорания водорода в звездах
с массой М ^ М@ — массы Солнца. Это хорошо подтверждают как измерения масс
звезд по гравитационному сдвигу спектра в красную сторону, так и теоретические
расчёты. Аналогично было установлено, что радиус белых карликов не менее i?min ~
~ 1000 км, а плотность не превосходит ртах ~ 2 • 1О1Ог/см3.
Для белых карликов характерна вырожденность электронной компоненты,
несмотря на высокую температуру Т ~ 107К. Однако такой температуры недоста-
*) Спектральный класс — комплекс характеристик спектра звезды, в существенной степени
связанных с ее эффективной температурой.
502 Гл. 9. Процессы в космосе и плазмодинамика
точно для сколько-нибудь интенсивных ядерных реакций, и они светят за счет
накопленной ранее тепловой энергии.
Белые карлики обладают магнитным полем с напряженностью, достигающей
108Э. Появление такого поля происходит во время сжатия звезды, так как первона-
первоначальный магнитный поток сохраняется.
Пульсары. Если масса коллапсирующей звезды лежит в пределах
1,5М0 <М < B-3)М0,
то сжатие идет дальше сжатия белых карликов и приводит к образованию "нейтрон-
"нейтронных звезд". В этом случае электроны в подавляющей массе соединяются с протонами,
образуя нейтроны — что понижает давление среды и ведет к дальнейшему сжатию —
и делает нейтроны устойчивыми по отношению к распаду п —> }Н+е. Нейтроны
внутри звезды вырождены и предполагается, что они образуют сверхтекучую жид-
жидкость, а наружный слой — тонкий и твердый. При этом радиус таких звезд ~ 10 км,
плотность образующегося нейтронного вещества достигает р ~ 5 • 1014г/см3, а тем-
температура оказывается > 1010К. Нейтронная звезда была впервые обнаружена J. Bell,
сотрудницей группы A. Hewish (Кембридж) совершенно неожиданно, благодаря
последовательности радиовсплесков, обладающих невероятно постоянным периодом
(с точностью до 12 знаков). Источники этого вида радиоимпульса получили название
"пульсаров". Периоды радиовсплесков у известных сейчас пульсаров изменяются
в пределах ~ 0,0016-4,3 с.
Вскоре после открытия радиовсплесков ответственные за них звезды были отож-
отождествлены с предсказанными ранее нейтронными звездами. Радиоизлучение пульса-
пульсаров это синхротронное излучение электронов в сильном магнитом поле пульсара.
При этом периодичность всплесков объясняется тем, что между осью вращения
пульсара и его магнитной осью есть угол, а поток радиоизлучения идет в уз-
узком конусе вокруг магнитной оси и один раз за оборот "чиркает" наблюдателей
на Земле. Большая скорость вращения объясняется сохранением момента количе-
количества движения при сжатии "нормальной" звезды в пульсар. Выше были отмечены
"допустимые" масштабы масс пульсаров. Однако они могут образовываться также
из звезд, существенно более массивных. Это происходит тогда, когда звезда при
взрыве сбрасывает достаточно толстые внешние слои. Тогда наблюдается вспышка
"сверхновой". Хрестоматийной стала вспышка в 1054 году в Созвездии Тельца,
которая была видна даже днем. Результатом этого взрыва стала расширяющаяся
(скорость до ~ 1000 км/с) Крабовидная туманность, а в ее центре обнаружен пульсар.
В настоящее время генерация радиоизлучения пульсарами представляется в виде
следующей цепочки процессов, порожденных в'конечном счете магнитным полем,
которое достигает величины ~ 1012Э 0. Вращение пульсара приводит к появлению
в ее окрестности сильного электрического поля; в этом поле частица ускоряется
до ультрарелятивистских энергий; двигаясь вдоль искривленных магнитных силовых
линий, такие частицы генерируют 7~излучение; в свою очередь эти 7~кванты рожда-
рождают электронно-позитронные пары. Развитие неустойчивостей в электрон-позитронной
плазме и приводит в частности к генерации надтеплового радиоизлучения пульсаров.
Такова общая схема перекачки энергии вращения пульсара в радиоизлучение.
Естественно, что пока многие детали этой связки процессов неясны. Но то об-
обстоятельство, что первичным источником излучения является вращение пульсара,
1) Из соотношения Эйнштейна (Е = тс2) следует то, что масса 1 см3 такого поля равна
:40 г.
9.4. Об эволюции звезд главной последовательности 503
подтверждается фактом медленного увеличения периода между радиовсплесками,
обращенного замедленного вращения пульсара.
К сказанному можно добавить такие оценки: концентрация электрон-позитронной
плазмы около поверхности пульсара ~ 1013 —1019 см~3. Энергия частиц плазмы ~
~ A0— 104)тес2. Эта плазма пронизывается пучками электронов и/или позитронов
с энергией ~ A06—107)тес2, но с плотностью в ~ 103 —104 раз меньше, чем плот-
плотность плазмы около поверхности пульсара.
Черные дыры. В случае если водород выгорает в звезде с массой много большей,
чем масса Солнца М > ЗМ0, то либо она взрывается, превращаясь в рваную
расширяющуюся оболочку, либо при этом образуется сверхмассивное принципиально
новое образование — "черная дыра" (black hole), как назвал ее Уиллер.
Возможность существования объектов, обладающих настолько сильным гравита-
гравитационным полем, что оно в состоянии удержать свет, впервые была указана в конце
XVIII века (Лаплас), исходя из представлений Ньютона о свете как о потоке
корпускул. Затем — в связи с блестящими успехами волновой теории света, идея
черных дыр исчезает из поля зрения ученых. Затем она возрождается после открытия
квантов света и универсальной связи энергии и массы. Пользуясь классическим
законом тяготения Ньютона, можно написать
G —^ — = пи.
\ с2 J г*
Отсюда следует "гравитационный" радиус черной дыры с массой М
G^=r*. (9.4.1)
Здесь G — гравитационная постоянная.
Аккуратный анализ особенностей пространства-времени статического гравитаци-
гравитационного поля точечной массы был проведен на основе общей теории относительности
Шварцшильдом. Он показал, что критической величиной является не г*, определяе-
определяемая формулой (9.4.1), а величина в два раза большая
С2
Черные дыры проявляют себя двояко. Это прежде всего масса, влияющая на
движение близко находящихся тел. Другим признаком является втягивание веще-
вещества близлежащих объектов, сопровождающиеся мощным излучением, в том числе
рентгеновским, по мере приближения к критической поверхности г*. Так происходит
потому, что траектория тел в поле Шварцшильда — спираль, а не конические
сечения, как в поле Ньютона.
Черные дыры изучены слабо. Однако, похоже, что они представляют собой кварк-
глюонную среду ("КГП"), которая является аналогом плазмы, в которой роль частиц
играют кварки, а роль фотонов — глюоны.
Но все это уже далеко выходит за пределы нашей книги. Отметим только, что
"КГП" получили в ЦЕРНЕ на микроуровне, столкнув два многозарядных иона,
разогнанных до больших энергий (см. раздел 10.6).
И последнее замечание. Только что упомянутая "КГП" по-видимому, была в боль-
больших количествах рождена при Большом взрыве и явилась тем материалом, из
которого образовался весь видимый нами мир.
Глава 10
ПРИМЕРЫ СОВРЕМЕННЫХ ПЛАЗМЕННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
Всякое открытие со временем находит практическое применение и создает новый
товар. Однако переход от открытия к практически нужной вещи, как правило, не
прост. Наглядным примером может служить переход от обнаруженного Эрстедом от-
отклонения магнитной стрелки при включении тока в расположенный рядом проводник
к электромоторам самых разных масштабов, включая моторы для прокатных станов,
электровозов и электрических бритв.
В предыдущих главах мы говорили об основных физических законах, определя-
определяющих динамику плазмы, и рассматривали ряд плазменных систем, мало интересу-
интересуясь их прикладной ценностью. Здесь, наоборот, основное внимание будет уделено
прикладной стороне. В первых четырех параграфах речь будет идти о системах,
принявших "товарный" вид, в том числе о плазме в быту и медицине, в технологиях,
включая синтез ювелирных алмазов, и о электрореактивных космических двигате-
двигателях. В пятом параграфе мы обрисуем современные технические решения основных
термоядерных схем, а в разделе 10.6 остановимся на возможностях, которые откры-
открывают многозарядные ионы в фундаментальной физике.
Говоря о "товарных" плазменных системах, мы не будем касаться тех из них, кото-
которые давно вошли в нашу жизнь и стали привычными. Сюда относятся газоразрядные
источники света — мы остановимся только на простой трубчатой люминесцентной
лампы, не будем говорить о дуговой электросварке и свечах зажигания в двигате-
двигателях автомобилей. Мы не будем касаться самых разнообразных электротехнических
плазменных устройств, таких, как дугогасительные камеры коммутаторов мощных
электроцепей, ртутные выпрямители, газотроны, тиратроны и др.
Это перечисление, а также сказанное в следующих параграфах, говорит о том,
что в XXI веке плазма станет фундаментальным компонентом "суммы технологий"
человечества. А сейчас все освоенное — это только первые шаги в плазменное
Эльдорадо.
10.1. Генераторы плазмы [238]
В основе плазменных технологий, естественно, лежат генераторы плазмы, т. е.
системы, в которых происходит ионизация рабочего вещества и сообщение энергии
образующейся плазме.
Об удержании плазмы. Как уже неоднократно отмечалось выше, в земных усло-
условиях генерация плазмы тесно связана с её удержанием, и принципиальным является
вопрос, каково время жизни плазмы и ее энергии в системе. В тех случаях, когда
она образуется в среде плотного газа или внутри какого-либо баллона, это время
порядка времени пролета ионов до окружающей среды.
Если же необходимо удерживать плазму в течение существенно больших времен,
то для этого в основном используются электромагнитные поля. Особенно остро стоит
эта проблема при удержании высокоэнергетичной плазмы в связи с задачами УТС. об
этом мы еще скажем в разделе 10.5. Однако изоляция плазмы от энергопоглощающих
10.1. Генераторы плазмы
505
гибельных "стенок" нужна не только здесь. Так в п. 3.7.3 был описан КСПУ с маг-
магнитной экранировкой электродов от разрушительного воздействия мощного потока
плазмы.
Проблема изоляции плазмы от стенок встает и в системах более скромных
масштабов. Это касается, в частности, ГРК — газоразрядных камер ионных источ-
источников разного назначения, в том числе и ионных двигателей. Здесь используют-
используются разные способы, но особенно прогрессивным оказались магнитные мозаичные
"стенки", предложенные впервые Муром в 1969 г. для ГРК ионных двигателей
(рис. 10.1.1). Эти "стенки" набираются из постоянных магнитов, располагаемых вне
корпуса ГРК, и которые могут образовывать разные конфигурации [239]. Под арками
силовых линий корпус камеры имеет положительный — по отношению к плаз-
плазме, потенциал. В результате ионы отражаются электрическим полем от корпуса,
а электроны не могут непосредственно попасть на корпус из-за магнитного поля.
Таким образом, время жизни частиц N S N S
в камере увеличивается во много раз. Важ-
Важным достоинством периферийной магнит-
магнитной стенки является возможность создавать
большие объёмы однородной плазмы без
магнитного поля.
10.1.1. Типы генераторов плазмы.
Создание плазмы может происходить под
действием самых различных энергоноси-
энергоносителей: электромагнитных полей, потоков
электронов, ионов, нейтральных потоков га-
газа, если они имеют нужные параметры. Ни-
Ниже, в соответствии с общим содержанием
книги будем говорить в основном о стаци-
стационарных и квазистационарных генераторах
и лишь немного коснемся импульсных ис-
источников плазмы и генераторов, питаемых
ВЧ.
Генераторы плазмы по своим конструк-
конструктивным особенностям и по характеру проте-
протекающих процессов можно несколько услов-
условно разбить на 5 типов, каждый из которых
в свою очередь подразделяется на суще-
существенно отличающиеся подтипы.
Вот эти типы.
А. "Нагреватели плазмы в замкнутых объёмах'. Здесь естественно выделяются
два подтипа: нагреватели низкотемпературной плазмы и нагреватели высокотемпе-
высокотемпературной плазмы. К первому подтипу относятся классические разряды в замкнутых
объёмах (например, различные газоразрядные лампы на основе тлеющего и дугового
разрядов, о которых говорилось в главах 6 и 7).
Ко второму подтипу — омические режимы в токамаках и стеллараторах, а также
режимы с нагревом в них плазмы СВЧ излучением и потоками быстрых нейтральных
атомов. О втором подтипе будет сказано ниже. Специфические генераторы многоза-
многозарядных ионов будут описаны в п. 10.6.1.
Б. Генераторы плазменных потоков. Здесь также естественно выделяются два
подтипа:
Рис. 10.1.1. Схема ионного источника ти-
типа Мура (а): ГРК — газоразрядная ка-
камера, ИОС — ионно-оптическая система;
геометрия магнитной системы (б): 1 —
магнит, 2 — стенка ГРК, 3 — зонд, 4 —
магнитопровод
506 Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
- плазмотроны;
- плазменные ускорители.
Плазмотроны — это генераторы низкоэнергетических потоков, обычно работающие
при атмосферном давлении. Если потоки на выходе дозвуковые, то плазмотроны мож-
можно рассматривать как генераторы-нагреватели, однако по схеме функционирования
они "потоковые" системы.
Плазмотроны в настоящее время весьма многообразны. Они работают в посто-
янноточном режиме, под действием ВЧ и СВЧ волн, а также лазерного излучения.
Плазмотроны — одни из наиболее распространенных плазмодинамических систем.
Они существуют в самых различных модификациях, имеют мощность от сотен ватт
до мегаватт. Ниже в п. 10.2.3 мы опишем их весьма неожиданное применение
в медицине. Их главные применения в плазмохимии, машиностроении, научных
исследованиях.
Плазменные ускорители (ПУ) — это генераторы плазменных сгустков (импульс-
(импульсные пушки) или потоков (стационарных или квазистационарных) с достаточно боль-
большими энергиями частиц; от десятка ЭВ до сотен КЭВ и выше.
Среди импульсных ПУ микросекундного диапазона чаще всего используются
коаксиальные электродные пушки, о которых уже говорилось в п. 1.1.2. Они разли-
различаются по своим масштабам и энерговкладам в разряд: от сотен джоулей до сотен
килоджоулей. Здесь наиболее сложным узлом является клапан, который должен за
времена ~ 0,03-0,1 мс сформировать между электродами газовую "шайбу", через
которую потом потечет ток, ионизуя ее и ускоряя под действием амперовой силы.
В настоящее время для ряда задач также разрабатываются сильноточные ускорители
наносекундного диапазона [240]. Но они находятся за пределами нашей тематики.
Стационарные плазменные ускорители и почти аналогичные им — квазистаци-
квазистационарные ускорители, различаются, прежде всего, механизмами ускорения. В этих
ускорителях плазма квазинейтральная, и на гидродинамическом языке действующая
в них ускоряющая сила
f = -Vp+-[j,H].
Здесь давление р равно сумме давлений ионной pi и электронной ре компонент
Отсюда видно, что можно выделить следующие подтипы ПУ:
- Изотермические (pi ~ pe, a [j,H] — мало). К ним относятся обычные газодина-
газодинамические сопла и многие плазмотроны;
- амперовы (р — мало). Сюда относится большинство ПУ;
- неизотермические (( i <Cpe, a [j,H] — мало);
- "термо-магнитные" (|Vp| ~ ^ [J>H]).
Амперовы ускорители естественно разбиваются на три класса:
- Сильноточные ПУ с собственным магнитным полем, к ним относятся КСПУ,
описанные в разделе 3.7. К ним близки магнитоплазменные компрессоры
(МПК), о которых говорилось в разделах 2.6 и 3.7. Особенностью последних
является образование на выходе, под действием магнитного поля и набегающего
потока, зоны с большей плотностью и температурой. Эту зону называют либо
зоной компрессии или "стационарно текущим Z-пинчем". Зона компрессии
является мощным источником излучения, когда используется рабочее вещество
с большим Z. При работе на дейтерии — зона компрессии может быть источ-
источником нейтронов.
- Слаботочные (Jp < 100А) с внешним магнитным полем. Это преимущественно
"холловские" ПУ. Об одном из них — стационарном плазменном двигателе,
10.1. Генераторы плазмы
507
будет сказано в разделе 10.4, а принцип и элементы физики этих систем
обсуждались в разделах 6.7 и 7.5.
- ПУ с комбинированным магнитным полем, в которых магнитное поле в рабочей
зоне представляет собой суперпозицию внешнего и собственного полей.
В. Ионные источники как генераторы плазмы. Схема одного из вариантов
мощного ионного источника с газоразрядной камерой (ГРК) изображена на ри-
рисунке 10.1.2. Это ионный источник 70-х годов, разработанный для инжекторов
Вода
Рис. 10.1.2. Ионный источник без магнитного поля Н.Н. Семашко
нейтральных атомов водорода. Параметры этого источника следующие. ГРК имеет
прямоугольную форму размером 20смх12см. Вдоль длинных сторон расположены
два катодных блока A) с пластинами ЬаВб, закрепленных в танталовые обоймы
и подогреваемые излучением вольфрамовых спиралей B). Разрядный ток в ГРК ~
~ 700 А. Ионная оптическая система (ИОС) источника C,4,5) трехэлектродная
(эмитирующий, ускоряющий и'земляной электроды). В ИОС имеются три щели.
Мощность ионного пучка на выходе источника — до 3 МВт, энергия ионов ~ 40кэВ,
длительность рабочего импульса ~ 1,5 с.
В данном источнике в ГРК отсутствует магнитное поле, что позволяет получить
практически нешумящие ионные пучки. А это очень важно для сохранения квази-
квазинейтральности пучка после его выхода из источника и последующего прохождения
магнитных систем (см. рис. 10.1.3).
Выходящий из источника ионный поток энергично "ищет" доступный источник
электронов, чтобы нейтрализовать свой объёмный заряд и стать квазинейтральным,
т. е. "плазменным". Если это космический двигатель, то на нем крепится специальный
источник электронов — нейтрализатор ("катод-компенсатор").
Ионные источники особенно удобны, когда речь идет о высокоэнергичных по-
потоках ионов с малой массой (см. формулу Ленгмюра). Специфической формой ис-
использования высокоэнергичных ионных потоков является превращение их, за счет
перезарядки, в нейтралы и последующий ввод в термоядерные ловушки с магнитным
508
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
К токамаку
Рис. 10.1.3. Инжектор высокоэнергичных нейтральных атомов: 1 — ионный источник, 2 —
газовая мишень для перезарядки (At + А —*> А* + А+, * — знак большой энергии), 3 —
жалюзный магнитный экран, 4 — магнит, отклоняющий неперезарядившиеся ионы
полем, где они и ионизуются (рис. 10.1.3). Отметим, что основной вклад в разработку
мощных ионных источников для УТС в нашей стране внес коллектив Н. Н. Семашко
[241]].
Г. Эрозионные источники плазмы. В предыдущих пунктах предполагалось, что
в исходном состоянии рабочее вещество находится в виде газа и затем оно ионизует-
ионизуется. Однако во многих случаях исходным является твёрдое состояние. Под действием
разряда вещество испаряется, и пары ионизуются. Конкретные зоны эрозии могут
быть разными. В дуговых разрядах это обычно катоды (сварка, ртутные выпрямите-
выпрямители, катодные пятна на холодном катоде). В последнее время все большее внимание
уделяют разрядам, в которых эродирует диэлектрик, разделяющий анод и катод.
О них уже говорилось в разделе 7.4 и будет еще сказано вразделе 10.4.
Д. Затормаживаемые гиперзвуковые потоки
Наиболее яркими представителями этого типа генераторов плазмы являются
метеориты, космические корабли, возвращающиеся на Землю, а также атомные
взрывы. Ниже мы их касаться не будем, отметим только, что ударные волны большой
амплитуды рассматривались в разделе 6.8.
10.2. Плазма в быту
Плазма в быту уже сегодня занимает заметное место. Начиналось это с ре-
рекламных газосветных трубок, появившихся в 1906 году, и свечей для зажигания
в автомобилях 0.
Здесь мы коротко опишем 4 системы: лампы дневного света, плазменные экраны,
плазменные скальпели и люстры (лампы) Чижевского.
10.2.1. Лампы "дневного света" (люминесцентные лампы). Эти лампы в на-
нашей стране были созданы С. И. Вавиловым. Они представляют собой обычно стек-
стеклянную прямую трубку (длиною ^ 50см и диаметром 25 мм), на торцах которой
находятся периодически нагреваемые электроды. Внутри трубки находится аргон при
давлении р~ 1 Тор и ^0,1 грамм ртути, которая испаряется в течение нескольких
десятков секунд после начала разряда. В установившемся режиме в трубке горит
обычный тлеющий разряд, который, благодаря наличию ртути, в основном излучает
в УФ-области, причём световое кпд превосходит раз в 5 кпд ламп накаливания.
Чтобы превратить это излучение в "дневной свет", внутренние стенки газоразрядной
1) Ещё раньше для освещения начали применяться дуговые разряды — "свеча Яблочкова".
10.2. Плазма в быту
509
стенки покрывают специальным люминофором, который превращает излучение раз-
разряда в видимый свет (рис. 10.2.1а).
Эти лампы питаются напрямую —
точнее, через индуктивность, от пе-
переменного сетевого напряжения. По-
Поэтому оба электрода в лампе одина-
одинаковы (рис. 10.2.16).
Весьма оригинально сделана си-
система электропитания этих ламп пе- *
ременным током, которая обеспечи-
вает также их зажигание. Происхо-
Происходит это следующим образом. После
замыкания цепи A) напряжение по-
подается на лампу B) и неоновую лам-
лампочку, которая загорается. Протека-
Протекание тока в этой вспомогательной це-
цепи разогревает спиральные электро-
электроды лампы, которые начинают эмит-
тировать электроны. Параллельно с нагревом спиралей нагревается в неонке би-
биметаллическая пластина, которая размыкает контакт в цепи неонки и тем самым
гасит в ней разряд. Прерывание тока, благодаря наличию индуктивности в общей
цепи, дает импульс напряжения между спиралями лампы и тем самым зажигает
тлеющий разряд в лампе. Переменное напряжение, приложенное к системе, приводит
к перемене полярности электродов лампы. При этом лампы шумят, а свет мерцает,
хотя последнее обычно мало заметно.
В последнее время разработаны так называемые люминесцентные лампы "Ала-
дины", которые имеют обычный цоколь и могут ввинчиваться в традиционные па-
патроны (рис. 10.2.2а). Они укомплектованы преобразователем частоты напряжения
(рис. 10.2.26), благодаря чему устраняются недостатки обычных люминесцентных
ламп (шум и мерцание).
б L
Рис. 10.2.1. Схема люминесцентной лампы (а)
и питающей её цепи (б): 1 — один из электродов,
2 — слой люминофора на внутренней стороне
трубки, 3 — неоновая лампочка с биметалличе-
биметаллической пластинкой
50 Гц
Выпря-
Выпрямитель
Сглажи-
Сглаживающий
фильтр
40 кГц Подогрев катодов
Высоко™
частотный
генератор
Стабили-
Стабилизатор
Колба
Рис. 10.2.2. Люминесцентная лампа "Аладин". а — лампа накаливания и люминесцентная
лампа с одинаковыми световыми потоками, б — блок-схема электронного пускорегулятора
10.2.2. Плазменные телевизионные панели. Около 2000 года в продаже по-
появились телевизоры и компьютерные мониторы с "плазменными" экранами (пане-
(панелями). Эти панели обладают целым рядом достоинств. Вот характеристики первой
510
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
из них (РОС-42 IV): размер 961 х 512 мм2, количество пикселей 853 х 480, кон-
контрастность 300:1 и 25 градаций яркости, угол зрения 160°, толщина панели 99мм.
Прогресс здесь стремительный, и за небольшое время характеристики панелей уже
существенно улучшились.
По своей сути такая панель представляет собой ~ 3 х 0, 5 • 106 люминесцентных
лампочек трех базовых цветов: красного, зеленого, синего. Схема одной трехцветной
ячейки изображена на рис. 10.2.3. Эти ячейки образованы двумя стеклянными
пластинами, на которые нанесены полупрозрачные электроды. На наружной пла-
пластине на каждую ячейку приходится один электрод в виде прямоугольника, а на
внутреннюю — три прямоугольника. Поверхность внутренней пластины фигурная.
В пределах одной ячейки она содержит три "корытца", боковые стенки которых
непрозрачны. Пространство между стеклянными пластинами заполняется обычно
ксеноном, а весь объём герметизируется. В каждом корытце при подаче напряжения
загорается разряд типа тлеющего, который и является источником УФ. Подавая
импульсы напряжения разной длительности на электроды разных корыт, можно
управлять яркостью свечения их люминофоров, и таким образом получить нужный
цвет ячейки в целом. Достаточно сложная коммутационная система, управляющая
потенциалами на электродах, позволяет получить нужное изображение на экране.
1а
Рис. 10.2.3. Схема ячейки плазменного дисплея: 1 — наружная стеклянная пластина с по-
полупрозрачным электродом Aа); 2 — внутренняя фигурная пластина с тремя "корытцами" на
каждую ячейку: 2а — электроды для каждого корытца; 3 — базовые люминофоры: (За) —
синий, C6) — зеленый, (Зв) — красный
10.2.3. Плазменный скальпель [243]. Плазма как хирургический инструмент
на первый взгляд кажется противоестественной. Однако в МГТУ им. Н.Э. Баумана
под руководством Н. П. Козлова совместно с рядом медицинских учреждений был
создан миниатюрный плазмотрон с отверстием в аноде ~ 1 мм, работающий на
воздухе, который дает узкую (диаметром ~ 2 мм) сравнительно длинную (порядка
Зсм) струю плазмы, которая может быть использована как хирургический скальпель.
На рис. 10.2.4а изображена серийная установка "Плазмон", а на рис. 10.2.46 —
разрез этого скальпеля. Как видно, аппарат "Плазмон" достаточно компактен. Его
размеры 19 х 23 х 33 см, а масса с принадлежностями около 8,5 кг. При работе он
потребляет мощность ~ 500 Вт. Разрядные ток и напряжение плазмотрона соответ-
соответственно 15А и ЗОВ. Энергетическое кпд плазмотрона ^40%, температура на оси
струи вблизи выхода из плазмотрона ~ 3000 К, а степень ионизации воздуха ~ 1%.
10.2. Плазма в быту
511
v л ^ Охлаждение
Охлаждение
Рис. 10.2.4. Установка "Плазмон", а — внешний вид установки, б — схема генераторной части
манипулятора: 1 — анод; 2 — электрическая дуга; 3 — межэлектродная вставка; 4 — катод
По сравнению с традиционным металлическим скальпелем скальпель "Плазмона"
имеет ряд принципиальных достоинств.
Прежде всего, обжигаемая плазмой поверхность разреза практически не крово-
кровоточит, поскольку кровь коагулирует и запирает кровеносные сосуды. Это особенно
важно при хирургической обработке крупных ранений в боевых условиях, что было
подтверждено использованием в передвижных военных госпиталях.
Но этим преимущество "Плазмона" не ограничивается.
В 2000 г. молекулой года — есть такой конкурс мирового сообщества химиков,
была объявлена ко всеобщему изумлению молекула монооксида азота N0. И в том
же году была присуждена Нобелевская премия за открытия замечательных физиоло-
физиологических свойств этой молекулы. Оказывается, она является мощным стимулятором
целого ряда важных органов организма, в том числе сердца. Лауреаты, в частности,
установили, что давно известное благотворное действие нитроглицерина на сердце
основано именно на выделении N0 при его употреблении. Сейчас интерес к N0 во
всем мире большой. Проводятся специальные международные конференции и т. п.
Так вот, плазменный поток вызывает образование в прилегающем воздухе N0
и тем самым стимулируют репаративные процессы при лечении ран, трофических
язв, пролежней и др. путем обдувания их газовым потоком с температурой до
40°С, содержащим монооксид азота. Поэтому полное название аппарата звучит так
"скальпель-коагулятор-стимулятор воздушно-плазменный".
10.2.4. Люстра Чижевского [244]. Все хорошо знают, что в разных местах
по-разному дышится. Одно дело в замкнутом помещении и другое — на улице после
дождя, в лесу, в горах. Исследования показали, что в существенной степени это
различие связано с наличием в воздухе отрицательных аэроионов. Искусственно
создать атмосферу свежего воздуха смог замечательных ученый А. Л. Чижевский.
Принцип его "люстры" прост. Это слаботочный высоковольтный разряд между ка-
катодом с острием и гладким анодом (рис/10.2.5). При подаче на такую электрод-
электродную систему напряжения ~ 300 В основное падение напряжения происходит около
острия, где загорается темный разряд в условиях высокого атмосферного давления.
Образующиеся в процессе разряда отрицательные ионы уносятся от катода за счет
электростатического отталкивания. Вне околоострийной зоны проводимость мала,
и поэтому ионы движутся широким потоком к аноду. В то же время положительные
ионы высаживаются на развитую гладкую часть катода недалеко от острия.
Положительный эффект люстры был неоднократно подтвержден, и она применя-
применяется не только у нас, но и во многих странах: Германии, Японии, Франции и др.
Неоднократно проводились и продолжают проводиться исследования лечебного
эффекта люстры. Вот некоторые данные, полученные Чижевским вместе с врачами
512
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
ф А Вид до стрелке А
Рис. 10.2.5. Люстра Чижевского, оригинал для промышленных помещений: 1 — высоковольт-
высоковольтный изолятор, 2 — иглы-катоды
в Карагандинской клинической больнице в'1950-57 годах 0. Близкие результаты
Таблица 10.1
Название
болезни
Стенокардия
Гипертоническая
болезнь
Бронхиальная
астма
Начальная ста-
стадия туберкулеза
Бессонница
Грипп
Полное
выздоровление
35
83
69
94
66
65
Значительное
улучшение
59
15
24
6
20
25
Неопределенные
результаты
6
2
7
0
14
10
Ухудшение
0
0
0
0
0
0
были получены и другими исследователями.
Но люстра Чижевского не только генерирует нужные ионы, она играет также роль
электроразрядного фильтра. А именно, пылинки и микробы, находящиеся в воздухе,
приобретают заряд, притягиваются к электродам и оседают на них. Таки образом,
как добавочный эффект идет очистка воздуха от малых частиц. Отметим, что
в последнее время начинают выпускаться за рубежом кондиционеры со встроенными
ионизаторами воздуха.
1) В это время А. Л. Чижевский находился в ссылке в Караганде за свои работы по
солнечно-земным связям, которые тогда считались противоречащими официальной идеологии.
10.3. Формирование структур на твёрдых телах 513
10.3. Формирование структур на твёрдых телах методами
плазменной технологии
10.3.1. Общая характеристика плазменной обработки материалов [245,
246]. Использование плазмы, а именно, ионно-плазменных систем в машиностро-
машиностроении, в микроэлектронике, покрытии пленками разной природы предметов быта,
инструментов и др. все шире внедряется в практику. Переход к плазменным техноло-
технологиям позволяет заменить трудоемкие или экологически грязные методы несравненно
более легкими и чистыми.
Во многих случаях плазменные методы открывают принципиально новые возмож-
возможности, недостижимые с помощью обычных технологий. Очевидно, эти возможности
связаны с относительно высокой энергией частиц по сравнению с обычными (не
плазменными) тепловыми энергиями, которые не превосходят C—4)- 103К, т.е.
0,3—0,4эВ. В то же время энергия плазменных частиц неограниченна. Особый
интерес для обработки поверхностей представляют энергии ионов ~ A—1000)эВ.
Нижний предел — это тепловой уровень, а верхний — это окрестность максималь-
максимального коэффициента распыления поверхности.
Процессы, происходящие в приповерх-
приповерхностных слоях при взаимодействии с плаз-
плазмой весьма многообразны. Их очень грубо 1
можно разбить на шесть групп.
В первую из них входит термическое
воздействие, приводящее к оплавлению по-
поверхности. Фактически сюда можно отне-
отнести сварку и плавку электрической дугой,
а также резку металлов с помощью плаз- 4:
мотронов. рис> Ю.3.1. Ионно-лучевая установка
Особенностью второй группы, так на- (ИЛУ) В.М. и М.И. Гусевых: 1 — ис-
зываемой имплантации, является насыще- точник ионов; 2 — диффузионные насосы;
ние приповерхностных слоев мишени иона- 3 — приемник ионов; 4 — электромагнит-
ми другой природы. Характерные толщины ный анализатор; 5 - обмотка электромаг-
насыщаемых слоев измеряются обычно ве- нита анализатора [247]
личиной порядка A —100) мкм.
Имплантация в случае полупроводников обычно используется для изменения
носителя тока, но может использоваться для упрочнения поверхностных слоев ме-
металлов. Для имплантации ионам сообщается энергия ~ A0—100) кэВ. Основы этой
технологии были заложены В.М. Гусевым и М.И. Гусевой в 1960-х годах [247]
(рис. 10.3.1).
Изображенная на этом рисунке ионно-лучевая установка (ИЛУ-4) предназначена
для имплантации ионов в любые полупроводниковые материалы, металлы и диэлек-
диэлектрики. Контролируемое введение имплантационных нарушений в твердые тела позво-
позволяет модифицировать их электрофизические, структурные, химические, оптические
и другие свойства. ИЛУ получили применение в электронной, металлургической,
химической и других отраслях промышленности 0. Технические характеристики
ИЛУ следующие:
1. ионный ток — до 30 мА;
2. энергия ионов:
1) В частности, имплантации подвергались подшипники гребных валов ледокола "Арктика",
и таким же образом обрабатываются лопатки компрессоров авиационных двигателей.
17 А. И. Морозов
514 Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
- однозарядных — до 100 кэВ,
- трехзарядных — до 300 кэВ;
3. площадь, обрабатываемая сканирующим пучком ионов на приемнике —
B0-50) см2.
К третьей группе можно отнести различные случаи напыления слоев на некую
"подложку" без изменения химического состава напыляемой субстанции. Простей-
Простейшим примером может служить покрытие оконных стекол тонкой металлической
пленкой, благодаря чему стекло становиться "зеркальным" при наблюдении через
него помещения, более тёмного, чем то, где находится наблюдатель.
Четвертую группу образуют процессы, при которых на поверхности "подложки"
происходят реакции, благодаря которым образующаяся пленка имеет иной химиче-
химический состав, чем падающая на поверхность компонента плазмы. К такого рода по-
покрытиям относятся сейчас хорошо известные "золотые" покрытия из нитрида титана
(TiN) или нитрида молибдена (MoN). Другим примером могут служить покрытия
различными полимерами металлических поверхностей. В частности, это тефлоновые
покрытия кухонной посуды.
В пятую группу входят "утрамбовки" поверхности, т. е. радикальное изменение
структуры приповерхностных слоев. Для металлов реально это может быть осу-
осуществлено быстрым (~ 1 мкс) нагревом до плавления и столь же быстрым охла-
охлаждением. При этом часто образуется аморфный слой металла с очень высокой
твёрдостью, низкой истераемостью, большой стойкостью по отношению к коррозии.
Близкие результаты можно получить, используя относительно маломощные ста-
стационарные плазменные ускорители. Так, например, облучая металлическую пластину
потоком ионов Аг с энергией частиц порядка B00—300) эВ и с плотностью тока ~
~ 100тА/см2 в течение нескольких часов можно радикально уменьшить размеры
кристаллов, образующих приповерхностные слои и приблизить их свойства к свой-
свойству аморфного металла.
Шестую группу образуют специальные методы распыления поверхностей. Вот ти-
типичные примеры. Известно, что максимальная точность, которую может обеспечить
механическая шлифовка достаточно больших оптических поверхностей, находится
на уровне 10 нм. Однако, используя плазменные ускорители типа СПД легко можно
уменьшить погрешность почти в 10 раз (т.е. до предела, разрешаемого системой
контроля), а затраченное время свести к десяткам минут. Другой пример — форми-
формирование с помощью распыления сверхбольших интегральных схем, будет рассмотрен
в п. 10.3.3. И такого рода примеров можно привести много.
Ниже мы рассмотрим примеры технологий, относящиеся ко 2-6 группам по нашей
классификации.
10.3.2. Примеры технологий покрытий.
Напыление металлических пленок. Нанесение пленок металла на поверхно-
поверхности разных изделий известно многие тысячи лет. В настоящее время к старым
методам добавились многие новые, но здесь мы опишем один: создание пленок
с помощью распыленных атомов. Принципиальная схема метода такова: имеется
генератор достаточно быстрых ионов, которые бомбардируют мишень. Образующиеся
"распыленные" частицы, как правило, нейтральные, летят к обрабатываемой пластине
и оседают на ней. Этот метод по сравнению с классическим не требует "мокрых"
процессов или достаточно изощренных способов "вжигания" порошков или тонких
фольг в обрабатываемую поверхность. И, тем не менее, он обеспечивает очень
хорошее сцепление покрытия с основой. Это связано с тем, что энергия распыленных
частиц порядка 3—10 эВ, что несравненно выше обычных тепловых энергий, и такие
энергичные частицы прочно "вколачиваются" в поверхность.
10.3. Формирование структур на твёрдых телах
515
Сегодня для рассматриваемых напыли-
тельных процессов широко используется
так называемый "магнитронный распыли-
распылитель" (МР) О, изображенный на рис. 10.3.2,
который, как нетрудно видеть, представля-
представляет собой специализированный вариант плаз-
плазменных ускорителей с замкнутым дрейфом.
Можно сказать, что МР представляет
собой СПД, у которого закрыт выход из
канала и открыт вход.
В этом магнетроне также используется
магнитное поле, нарастающее по направле-
направлению движения ускоряемых ионов или, как
говорят применительно к данному ускорите-
ускорителю — "арочное" магнитное поле, что необ-
необходимо для обеспечения устойчивости раз-
разряда по отношению к несимметричным воз-
возмущениям, типа азимутально несимметрич-
несимметричных возмущений в СПД.
Ионное распыление использовалось
и существенно раньше для практических
задач, однако применявшиеся для этих
целей обычные ионные источники были
слаботочны и энергоемки, поскольку
максимальный выход распыленных частиц
приходится на реально недоступную для ионных источников энергию Si ~
~ C00—500) эВ 2). В то же время этот диапазон энергий ионов оптимален для СПД,
ДАС с анодной полостью и их производного — МР.
В указанном диапазоне энергий МР может обеспечить плотность ионного тока
до A—2)- 103А/м2. Верхнее значение плотности ионного тока обычно ограничи-
ограничивается допустимым нагревом обрабатываемой детали. Охлаждение в МР требует
также бомбардируемая ионами мишень, т.к. мощность нагрева достигает величины
~ C—10) • 105 Вт/м2. Ионизация и ускорение образующихся ионов происходят в слое
толщиной ~ @,5—1) см, на который приходится ~0,9[/р, где Uv — напряжение
между мишенью — катодом, и корпусом установки — анодом.
Давление газа в камере (например, Аг, N2), при котором начинается эффективное
распыление мишени 0,13-0,4 Па. Магнитное поле в максимуме ~ 0, 1 Тл. О произво-
производительности МР можно судить по такому числу: при напылении солнце- и теплоза-
теплозащитных покрытий на стекла для окон, за год обрабатывается одним распылителем
несколько тысяч квадратных метров.
Напыление нитрида титана 3). Нитрид титана (TiN) — диэлектрик, обладает
целым рядом достоинств. Его цвет напоминает цвет золота. Он обладает высокой
прочностью, твёрдостью и малой истираемостью. Поэтому покрытия из TiN нашли
самые различные применения и как декоративные (посуда, купола Храма Христа
Рис. 10.3.2. Магнетронный распылитель:
а — схема распылителя (показана полови-
половина); б — функциональная и электрическая
схемы: 1 — распыляемый материал (ка-
(катод); 2 — анод; 3 — деталь-подложка
х) Его также часто называют просто "магнетроном", но он весьма далек от электронного
прибора — магнетрона.
2) Обычно энергия ионов, ускоряемых в ионных источниках вг > 1 кэВ.
3) Впервые промышленные установки ("Булат") для этих работ были созданы в Харьков-
Харьковском физико-техническом институте под руководством В. Г. Падалки и В. Т. Толока [248].
17*
516
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
Рис. 10.3.3. Схема установки "Бу-
"Булат" для нанесения покрытий из
TiN на базе холловского торцевого
ускорителя: 1 — катод из Ti; 2 —
анод ускорителя; 3 — катушки маг-
магнитного поля; 4 — обрабатываемая
деталь; 5 — трубка подачи азота
Спасителя и др.), и как упрочняющие, например коронки для зубов, резцы для
токарных работ, фрезы, сверла.
На рис. 10.3.3 изображена стандартная схема
установки "Булат" для напыления TiN. Образова-
Образование покрытия осуществляется следующим обра-
образом. В торцевом холловском ускорителе из титана
делается катод, а в вакуумную камеру напуска-
напускается азот. Выбитые из катода атомы Ti частично
ионизуются в его окрестности и вместе с атомами
азота образуют на обрабатываемом предмете "зо-
"золотое" покрытие.
Алмазные и алмазоподобные пленки. Свой-
Свойства алмаза уникальны: красота прозрачных гра-
граненых ("ювелирных") алмазов, твёрдость (в 150
раз тверже корунда), малая истираемость и неве-
невероятная теплопроводимость (в 4 раза больше, чем
у меди). До середины XX века единственным
источником алмазов были редко встречающиеся
месторождения (Южная Африка, Якутия — основ-
основные). Подавляющая масса добываемых алмазов
(мелкие и с дефектами) идет в промышленность
для изготовления самых разных режущих инструментов и шлифовальных средств.
Ювелирные алмазы встречаются редко, и каждый из крупных алмазов порождает
цепочку исторических событий.
После того как в начале XIX века было показано, что при температуре ~ 700°С
алмаз переходит в графит, начинаются попытки превратить графит в алмаз. Однако,
это оказалось очень сложной задачей. Почему это так, дает представление фазовая
диаграмма, изображенная на рисунке 10.3.4а [250]. Видно, что при низких давлениях
и невысоких температурах алмаз является метастабильным и может в принципе
перейти в стабильный графит. Но этот переход неимоверно медленный и практи-
практической опасности не представляет. Аналогично в статических условиях при низких
р и Т, как видно на фазовой диаграмме (область 1), переход графит^алмаз, хотя
и возможен, но также очень затруднен. Этот переход происходит эффективно лишь
при р ~ 2 • 1010 Па и Т ~ 2000 К. В этих условиях переход занимает время ~ 1 часа.
Впервые воспроизводимым образом наладить производство синтетических техни-
технических (мелких и темных) алмазов удалось только в середине XX века (Швеция,
США, СССР). Этот синтез происходил в области 2 фазовой диаграммы.
В 70-х годах прошлого века происходит существенный прорыв. Обнаружена воз-
возможность создания алмазоподобных пленок на поверхности металлов и диэлектриков
при облучении их углеродной плазмой с энергией ионов ~ A — 10) эВ. Суть проис-
происходящих при этом процессов состоит в том, что при ударе ионов соответствующей
энергии на подходящую мишень на атомных масштабах создаются условия близкие
к указанным выше.
Таким образом, удается получить алмазоподобные пленки, макрохарактеристи-
макрохарактеристики которых близки к характеристикам кристаллов алмаза. Это достаточно для
многих практических целей, хотя структура пленок является поликристаллической
(рис. 10.3.46). Поэтому ряд ионно-плазменных и газоразрядных методов синтеза
пленок с целью повышения стойкости поверхностей деталей к истиранию и коррозии
внедрен в промышленность. К сожалению, в то время толщины пленок были мик-
микронного масштаба. Более толстые начинали разрушаться.
10.3. Формирование структур на твёрдых телах
517
Р} ГПа
100
80
60
40
20
Металлический /
углерод
Г***^«чч<)A1(>^ / Жидкий углерод
Алмаз ^vi T-
\
Л3
_ Алмаз - ^
- метастабильный графит
1
_. Графит -
- метастабильный
алмаз,
0
Кривая равновесия графит-алмаз
Кривая плавления графита
Кривая плавления метастабильного графита
" (граница существования метастабильного
графита в области существования А)
.«^ Кривая плавления метастабильного А. (гра -
"*"*¦" нища существования метастабильного А.
в области существования графита)
X— Предполагаемая граница алмаз-металли-
алмаз-металлический углерод (твердая фаза)
¦ ~ К ивая плавленир алмаза и металич.
углерода (граница существования этих фаз)
т. 1,0 мкм
1000
2000 3000 4000 т, °С
Рис. 10.3.4. а — Фазовая р-Т-диаграмма углерода: 1 — область синтеза алмаза с приме-
применением металлов-растворителей-катализаторов; 2 — область экспериментальных работ по
превращению графита в алмаз статическим методом при прямом переходе; 3, 4 — области
экспериментальных работ по превращению графита в алмаз динамическим методом; 5 —
область экспериментальных работ по кристаллизации алмаза из расплавленного углерода;
Т — тройная точка графит-алмаз-жидкий углерод; Т1 — предполагаемая тройная точка
жидкий углерод-алмаз-металлический углерод; точки на диаграмме состояния отвечают тем
температурам и давлениям, от которых производится сброс температуры (закалка образцов)
для сохранения образовавшейся фазы; б — полученное с помощью сканирующего электронного
микроскопа изображение поверхности поликристаллической алмазной пленки
Все последние годы продолжался интенсивный поиск методов получения дешевых
крупных "ювелирных" (то есть монокристаллов) алмазов. К 2003 году эти работы
завершились успехом, причём почти сразу на двух направлениях [251].
Одно из них связано с разработкой относительно простых камер, в которых созда-
создается давление > 50000 атм и температура ~ 1200 К, при которых термодинамически
устойчивым является уже не графит, а алмаз. Рост алмаза начинается с малого
"затравочного" кристаллика, и за три дня формируется "ювелирный" камень массой
~ 3 карата.
Другой метод — плазменный. Это предельно оптимизированный прежний метод
получения алмазных пленок. Здесь также наращивание идет на затравочную алмаз-
алмазную поверхность.
Особенно чистыми и правильными являются алмазы, полученные плазменным
методом. Метод не требует больших давлений и высоких температур и позволяет,
в принципе, создавать большие алмазные пластины. А это очень важно для микро-
518 Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
электроники. Дело в том, что дальнейшее увеличение быстродействия компьютеров
связано с увеличением плотности монтажа элементов на кремниевых пластинах.
А это ведет к большим тепловым нагрузкам. При температуре ~ 100°С кремниевые
пластины теряются нужные свойства. В то же время температурный потолок рабо-
работоспособности у алмазов во много раз выше. Это связано с тем, что алмаз обладает
уникально высокой теплопроводностью.
Разумеется, большие размеры и дешевизна алмазных кристаллов совершат техно-
технологическую революцию и в других областях техники. Так что нас ожидает будущее
во многом "бриллиантовое".
Нанесение полимерных покрытий. Сюда относится большое число различных
процессов. Нас будут интересовать устройства с плазменной компонентой, в которых
на обрабатываемых поверхностях идет процесс полимеризации простых органических
молекул. Образование твёрдых отложений на стенках электроразрядных устройств
при наличии углеводородных было описано еще в 1874 году (А. Тэнард, П. де Вилде).
Но они преимущественно воспринимались просто как грязь, хотя давно были извест-
известны их твёрдость, плохая растворимость во многих случаях, а также высокая адгезия
к поверхностям. В 1960-х годах в связи с развитием микроэлектроники ситуация
начинает меняться. Эти плазмополимеризационные пленки становятся предметом
серьезных исследований. Выясняется следующая схема полимеризации на поверх-
поверхности. Она начинается с появления здесь активных центров, которыми могут быть
свободные радикалы или ионизованные молекулы. Появление этих центров обязано
разряду - обычно тлеющему. Активный центр захватывает мономерную молекулу,
а эта последняя — следующую и т.д. Так идет цепная полимеризация. Вот пример
построения цепочки, которая начинается с ионизации
е;
сн2
сн2
R
= СН+
СН2 =
+ сн2
СИ+ +
1
1
R
= СН
СН2 = СН -СН = СН+,
I I
R R R R
и т.д.
Далее цепочка молекул строится как с положительным радикалом, так и с электро-
электроном.
Рост цепочек может прекращаться по разным причинам, в частности, при встрече
двух цепочек разных знаков
М+ + М~ -> обрыв.
Типичная схема реактора для получения описанных покрытий такова. Источником
плазмы является тлеющий разряд. В реактор вводятся полимеризуемая субстанция
и буферный газ, например Аг. Образующиеся в разряде свободные атомы и радикалы
диффундируют к поверхности и вызывают цепную полимеризацию.
10.3.3. Формирование схем микроэлектроники. Прогресс современной элек-
электроники в существенной степени связан с миниатюризацией электронных блоков,
переходом от больших интегральных схем (БИС) к ультрабольшим интегральным
схемам (УБИС). Вот уже около 20 лет подтверждается, так называемый "закон
Мура", который утверждает, что число транзисторов на микросхеме удваивается
каждые 18 месяцев. Если в конце 80-х годов минимальные размеры транзисторов
10.3. Формирование структур на твёрдых телах
519
были ~ B—3) мкм, то в конце 90-х годов ~ 0, 2 мкм, а к 2007 году до 0,07 мкм. И это
на кристалле площадью 1400 мм2. Естественно, что такие фантастические параметры
могут быть достигнуты с помощью весьма изощренной техники.
Напомним, что создание интегральных схем сегодня производится на кремниевых
кристаллических пластинах, которые последовательно покрываются слоями SiO2
или металлом, на которых затем прорезаются "узоры", обеспечивающие формиро-
формирование нужного элемента схемы. В принципе реализация сказанного осуществляет-
осуществляется следующим образом. Возьмём для простоты случай, когда надо вырезать узор
непосредственно на кремнии. Для этого поверхность кремния покрывают тонкой
светочувствительной пленкой — "фоторезистом". Затем на фоторезист проецируют
"маску" с нужным "узором". Под действием света — по возможности более корот-
коротковолнового, свойства фоторезиста изменяются. Теперь — так было при "мокрой"
технологии, облученную пластинку с пленкой обрабатывают подходящим раствором.
В результате фоторезист остается только на тех участках, которые должны остаться
неизменными. После этого пластинку опускают в другой раствор, который растворяет
до нужного уровня кремний. Наконец, пластина попадает в третий раствор, который
смывает защитный фоторезист, а на кварцевой пластине остается протравленный
узор. А дальше, чтобы получить следующие элементы интегральной схемы, процесс
повторяется, но уже с другой программой.
Как видно из сказанного, "мокрая" технология связана с большими количествами
реактивов. Это не только создает экологические проблемы с их захоронением, но
и приводит к большому проценту брака. Однако кроме этого мокрая обработка
имеет еще и принципиальный технологический порок. Это то, что называют "изо-
"изотропностью действия реактивов", суть которой поясняет рис. 10.3.5. Иными словами
профиль углубления сравнительно плохо поддается контролю.
Ион
Нейтральная
химически
активная
частица
Летучие
продукты
Летучие
продукты
Рис. 10.3.5. Форма "тренчей" (канавок), формируемых в результате травления: а — химическое
изотропное травление; б — ионно-стимулированное травление с участием ингибитора частиц
(атомов, молекул и т.п.), осаждающихся на поверхность из плазмы и защищающих стенки от
воздействия изотропных химически активных частиц
Для того чтобы обойти эту трудность, надо использовать факторы с анизотроп-
анизотропным (направленным) действием. Такие возможности представляют пучковые и плаз-
плазменные системы: электронные пушки, ионные источники, плазменные ускорители
разных типов. Кроме направленного действия от источника потока требуется еще
целый ряд качеств. Необходимо обеспечить высокую скорость травления, сильную
зависимость скорости травления от химического состава облучаемой поверхности,
а также минимума радиационных повреждений приповерхностных слоев.
10.3.4. Модификация металлических поверхностей под действием энергич-
энергичных плазменных сгустков. Обработка поверхностей без внесения "инородных"
субстанций, т. е. модификация структуры приповерхностных слоев с целью увели-
увеличения твёрдости, коррозионной стойкости к истиранию и т. п. становится все более
привлекательной. Для этого используются лазеры, электронные и ионные источники,
520
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
1
lo
0
f
k
2
3 4
ржи
плазменные ускорители, низкотемпературные разряды и комбинации всего сказанно-
сказанного.
Благодаря своей относительной просто-
простоте и эффективности, много внимания уде-
уделяется модификации поверхностей с помо-
помощью энергичных плазменных сгустков, со-
создаваемых импульсными пушками, корот-
коимпульсным МПК и квазистационарным
ускорителем. В качестве рабочих веществ
используются газы: Н2, Не, Ar, N2, О2.
Для примера рассмотрим воздействие на
Fe-Ni сплавы. Характер модификации по-
поверхности зависит прежде всего от удельно-
удельного энерговклада. "Жесткий" режим, сопро-
сопровождающийся плавлением поверхности при
длительности воздействия ~ 5 мкс, реализуется при потоке
0,1-5 15-20 50-100 Z, мкм
Рис. 10.3.6. Модификация структуры при-
приповерхностного слоя металла под воз-
воздействием высокоэнергичного плазменно-
плазменного сгустка: схема слоев с разной пере-
перестройкой структуры
О C-5)- 106 Вт/см2.
При этом образуется универсальная структура приповерхностного слоя, изобра-
изображенная на рис. 10.3.6. Здесь четко выделяются три модифицированных слоя, не
считая неизменного слоя D).
Толщина первого слоя — застывшего расплава ~ C—5) мкм. Он имеет значитель-
значительное количество несплошностей (раковин, пор и т.п.).
Второй слой весьма однороден и имеет рав-
равномерную толщину до 15 мкм, здесь обычно
реализуются регулярные структуры, формиру-
формирующиеся преимущественно за счет термических
напряжений, связанных как с быстрым нагре-
нагревом, так и быстрым охлаждением. Эти струк-
структуры близки либо к цилиндрам, либо к гекса-
гексагональным столбикам. Эти различия определя-
определяются преимущественной ориентацией кристал-
кристаллической структуры.
В третьем слое, резко отличающемся от
второго, сохраняется неповрежденной струк-
структура исходного материала. Однако в каж-
каждом зерне, лежащем на глубине вплоть до
A00—150) мкм от наружной поверхности, на-
наблюдается большое количество полос скольже-
скольжения. Это указывает на то, что благодаря терми-
термическим напряжениям, деформации переходят
порог упругости материала.
Далее находится немодифицированный ма-
материал. Как видно из сказанного, перестройка
приповерхностных слоев при кратком энергич-
энергичном воздействии весьма нетривиальна.
Добавочным подтверждением возможности нетривиальной перестройки поверхно-
поверхности при плазменном "ударе" может служить микрофотография поверхности кремни-
кремниевой пластины (рис. 10.3.7), подвергнутой воздействию плазмы из МПК. Пластина
помещалась в область компрессии. Параметры потока азотной плазмы были следую-
Рис. 10.3.7. Структура кремниевой
пластины после воздействия плазмен-
плазменного сгустка, вышедшего из МПК
("бревна Асташинского")
10.4. Ионные и плазменные космические двигатели
521
щие: скорость ~ 5 • 106см/с, плотность ионов в области компрессии ~ 7 • 1017см 3,
температура ~ 2эВ, время существования потока ~ 80мкс. При взгляде на пластину
создается впечатление, что на эту поверхность навалили "микробревна" (В. М. Аста-
шинский и др. [252]).
10.4. Ионные и плазменные космические двигатели
/КМ
10.4.1. Принципиальный недостаток термохимических двигателей. Реак-
Реактивный принцип движения, о котором говорилось в п. 2.2.3 пока остается основным
в космонавтике. И вот, в частности, к чему он сегодня приводит. На рис. 10.4.1
изображен американский космический комплекс Аполлон-Сатурн 0, который впер-
впервые высадил людей на Луну и затем вернул их на Землю [253].
Стартовая масса комплекса 2900 тонн, а вернувшийся
на Землю "командный модуль" (КМ) имеет массу всего ~
~ 5 тонн. Такое различие объясняется тем, что двигатели
этого комплекса — реактивные. Они создают тягу за счет
выброса массы, находящейся в самой ракете, и эта тяга
равна
F = mw, A0.4.1)
здесь т — секундный расход массы, w — скорость ее
вылета по отношению к аппарату. Из A0.4.1) непосред-
непосредственно следует, что, сохраняя тягу, можно уменьшить
расход массы, только увеличивая скорость истечения.
Ещё нагляднее связь стартовой массы Mq космического
аппарата с его конечной массой М и скоростью истечения
выступает в формуле Циолковского
v = w\n-^. A0.4.2)
Здесь v — так называемая "характеристическая скорость
перелета". Это та скорость, которую приобрел бы косми-
космический аппарат, двигаясь в отсутствии внешних сил по
прямой, при условии, что двигатели работают в том же
режиме, что и при реальном перелете.
Вот характеристические скорости ряда оптимальных
перелетов с опорной орбиты около Земли (h = 140км).
• опорная орбита — геостационарная орбита: v ~
~ 5 км/с;
• опорная орбита — орбита вокруг Луны: v ~ 7 км/с;
• опорная орбита — орбита вокруг Луны-посадка на
Луну-возвращение на Землю: v ~ 14 км/с.
Из приведённых значений характеристических скоростей
видно, что для создания КА, у которых при указанных
полётах м
w^l0>
Рис. 10.4.1. Комплекс
"Апполон-Сатурн"; КМ —
командный модуль
1) Двигатели для этого комплекса были созданы под руководством В. фон Брауна.
522 Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
требуются скорости истечения
10 км/с < w < 50 км/с. A0.4.3)
В то же время скорости истечения из весьма совершенных современных двигателей,
работающих на керосине и жидком кислороде (РД-107, F = 102 т)
w = 3010 м/с, A0.4.4а)
а на кислороде и водороде
w~ 4500 м/с. A0.4.46)
Отсюда видно, что при сколько-нибудь сложном полете гигантская начальная масса
неизбежна, даже если идти на многоступенчатые системы 0 и использовать водород
и кислород, указанная скорость истечения паров воды вообще близка к пределу для
продуктов химических реакций. Поэтому скорости нужного диапазона A0.4.3) мож-
можно получить, только вкладывая энергию в ускоряемый поток от постороннего источ-
источника. Это можно делать по-разному, но наиболее гибкими являются электрические
ракетные двигатели (ЭРД), питаемые от бортового электрогенератора, первичным
источником для которого является Солнце, ядерный реактор или энергогенератор
с радиоактивным изотопом.
Следует отметить, что в каждом реальном перелете КА существует некое оп-
оптимальное значение скорости истечения w. Это объясняется тем, что чем больше
скорость, тем выше энергетическая цена тяги
Здесь N — мощность, подводимая к двигателю, F — его тяга, г] — "тяговое" кпд.
Увеличивая v, мы уменьшаем расход массы, но увеличиваем массу энергетической
установки. Это и определяет оптимальную скорость истечения.
10.4.2. О разновидностях ЭРД. В основе конкретного ЭРД может лежать
практически любая система, переводящая электрическую энергию в кинетическую
энергию потока. Почти для каждой программы полета КА можно подобрать схему
ускорителя с наиболее адекватными характеристиками. Подчеркнем, что речь идет
о принципиальной схеме, поскольку для того, чтобы на ее основе получился дви-
двигатель, всегда требуется большая работа по оптимизации конструкции. Поэтому не
удивительно, что фронт поисковых разработок ЭРД, особенно на начальном этапе
E0-60-е годы XX столетия), был очень широк [254]. Исследовались ^30 разных
вариантов ускорителей. Но постепенно стали вырисовываться схемы, обладающие
совокупностью важных достоинств, которые обеспечивали им в будущем достаточно
многообразные применения. Естественно, что этим ускорителям стали уделять ос-
основное внимание [255].
ЭРД несколько условно можно разбить на три типа:
- подогревные (с твёрдотельным или дуговым источником тепла и ускорением
рабочего вещества за счет Vp);
- ионные, включая коллоидные (в ускорительном зазоре находятся только поло-
положительно заряженные частицы, ускоряемые электростатическим полем);
- плазменные (с квазинейтральным хорошо ионизованным потоком и преимуще-
преимущественным ускорением под действием силы Ампера).
1) Первая ступень двигателя Аполлон-Сатурн работала на керосине и жидком кислороде,
а две другие — на водороде и кислороде.
10.4. Ионные и плазменные космические двигатели
523
Каждый из этих типов распадается на ряд подтипов. Очевидно, простейшими ЭРД
являются подогревные с твердотельным подогревателем. И они сегодня работают на
более чем 30 связных геостационарных аппаратах. Они поддерживают местоположе-
местоположение спутников, компенсируя действие солнечного ветра, несферичности гравитаци-
гравитационного поля Земли и т. п. Основной выигрыш от этих двигателей связан с тем, что
при очень малых размерах они дают потоки легких нейтральных газов (например,
Н2 или продуктов разложения аммиака и т. п.) со скоростями ^ 4 км/с и кпд ^ 50%.
Несколько десятков (~ 30) геостационарных спутников оснащены электродуго-
электродуговыми двигателями. Эти двигатели имеют относительно невысокий кпд (^ 40%), но,
используя водород как рабочее тело, могут обеспечить скорости истечения w ~
~ 12 км/с.
Рассмотрим теперь ионные и плазменные двигатели, которые уже работали в кос-
космосе. Таких типов ЭРД четыре. Первые из них — ионные и импульсные ЭРД,
к сегодняшнему дню (конец 2003 года) проработали единичными экземплярами
или малыми сериями в общей сложности порядка 20 раз каждый. Двигатели тре-
третьего типа — стационарные плазменные двигатели, обычно называемые по своей
аббревиатуре (СПД), стали штатными системами и уже работали более чем на 35
спутниках. Им мы посвятим специальный п. 10.4.3. Наконец, двигатель четвертого
типа, называемый "двигателем с анодным слоем (ДАС) — пока работал только на
одном КА. Он близок к СПД, и поэтому на нем мы специально останавливаться не
будем.
Ионные двигатели. Для скоростей истечения ^ 40 км/с и не очень больших
мощностей (^ A0—30) кВт) рядом достоинств обладают многопучковые (многоапер-
турные) ионные двигатели с единой газоразрядной камерой (ГРК), впервые пред-
предложенные Г. Кауфманом (США). На рис. 10.4.2 изображена схема его первого
многоапертурного ионного двигателя. Средняя плотность тяги, развиваемой ионными
двигателями, ограничена объёмным зарядом в ускорительном промежутке (закон
/2") и равна
/ =
8тг
Так, при Е ~ 1 кВ/мм величина
4 •
г/см
Рис. 10.4.2. Многопучковый ион-
ионный двигатель Г. Кауфмана: 1 —
подача рабочего вещества в ГРК
и нейтрализатор; 2 — полый катод;
3 — корпус ГРК; 4 — анод; 5 —
катушка магнитного поля; б — ко-
кожух двигателя; 7 — ускоряющий
промежуточный электрод; 8 — ней-
нейтрализатор; В — силовые линии
Поэтому такие двигатели высоковольтны, а чтобы снизить скорость выходящего
потока до оптимальной величины, в ионных двигателях используют вещества с боль-
большим атомным весом.
Первые ионные двигатели, успешно работавшие на спутниках США, были вы-
выведены в 1970 г, а на баллистических ракетах — в 1964 г. Они были созданы
Г. Кауфманом. До настоящего времени B005 г.) было порядка 20 полетов ионных
двигателей на спутниках.
524
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
Рис. 10.4.3. АИПД термическо-
термического типа, работавшие в космосе
(Зонд-2, 1964 г., СССР): 1 -
тефлон, 2, 3 — электроды, 4, 5
— инициатор разряда (поджиг)
Импульсные абляционные двигатели.
Эти эрозионные (абляционные) импульсные плаз-
плазменные ускорители и, соответственно, двигате-
двигатели (АИПД) существуют двух типов: электротер-
электротермические (рис. 10.4.3а) и электродинамические
(рис. 7.4.26). В обоих случаях рабочим веществом
является плазма, образующаяся из диэлектрика под
действием скользящего разряда. Характерная масса,
поступающая за импульс с изолятора в разряд, обыч-
обычно в двигателях порядка нескольких десятков милли-
миллиграмм. В электротермическом АИПД образующаяся
плазма нагревается джоулевым теплом и ускоряет-
ускоряется обычным гезокинетическим давлением. Наоборот,
в электродинамическом АИПД эрозионная плазма
разгоняется преимущественно амперовой силой, для
чего используется обычно схема рельсотрона, т. е.
система двух плоских электродов.
АИПД — это двигатель малой тяги. Они использовались либо для систем ори-
ориентации, либо для поддержания положения малых КА на орбите. Первый АИПД
(термического типа), изображенный на рисунке 10.4.3, был выведен в Космос на КА
"Зонд-2" в 1964 году в СССР. Он был создан под руководством A.M. Андрианова
(ИАЭ). Первый АИПД электродинамического типа был выведен в США, где про-
проработал около двух лет, поддерживая положение космического аппарата LES-6 на
геостационарной орбите (рис. 7.4.26).
10.4.3. Стационарные плазменные двигатели (СПД). Сегодня СПД привле-
привлекает особое внимание специалистов.
Принципы СПД уже были описаны в разделах 6.7 и 7.5. Коротко напомним,
что по своей функциональной схеме СПД напоминают ионные двигатели, но только
роль твёрдотельных электродов здесь играет то, что можно назвать "электронно-
магнитными электродами" (ЭМЭ). Это объясняется тем, что в плазме магнитные
силовые линии с точностью до сравнительно слабых тепловых возмущений становят-
становятся эквипотенциальными. Поэтому силовые линии с навитыми на них электронными
траекториями можно рассматривать как прозрачные нитчатые электроды. Принципи-
Принципиальная схема и физические особенности этих двигателей были рассмотрены выше,
а здесь мы опишем три модели: первую двигательную установку (ДУ) с СПД, вы-
вышедшую в космос (ДУ "Эол"), современный двигатель СПД М-100 и перспективную
модель СПД-Атон.
Первая двигательная установка с СПД "ЭОЛ-1" [256] К середине 1968 г. в Ин-
Институте Атомной Энергии в лаборатории Г. Я. Щепкина по идее и под руководством
А. И. Морозова была создана устойчиво работавшая модель СПД с радиационным
охлаждением и кпд > 35% [257]. Созданный там же через год макет двигательной
установки был передан в ОКБ "Факел" (Калининград), где и был доведен до нуж-
нужного технического уровня под руководством главного конструктора Р. К. Снарского
и поставлен в конце 1970 г. во Всесоюзный НИИ электромеханики для установки на
спутнике "Метеор" (главный конструктор А. Г. Иосифьян).
Основные параметры установки следующие: мощность ДУ ~ 400 Вт, тяга ~
~ 0,02 Н, масса ~ 18 кг. Конструктивная схема СПД-ЭОЛ и его внешний вид
изображены на рисунке 10.4.4. 31 декабря 1971 г. спутник "Метеор" был выведен
в космос. В начале 1972 г. испытания ДУ ЭОЛ прошли успешно [256]. Основными
результатами были:
10.4. Ионные и плазменные космические двигатели
525
т -I
Рис. 10.4.4. СПД ЭОЛ-1: а — схема конструкции; 1 — разрядная камера, 2 — анод-
газораспределитель, 3 — магнитная система, 4 — высоковольтный ввод, 5 — полый катод, б —
поджигающий электрод; б — внешний вид
а) демонстрация надежности работы ДУ с СПД и ее совместимость с космиче-
космическим аппаратом;
б) отсутствие существенного влияния плазменной струи на связь с Землей;
в) хорошее соответствие тяговых характеристик, определенных на стенде и по
изменениям траектории спутника. Вместо заявленного ресурса 100 часов ДУ
ЭОЛ проработала ~ 150 часов, использовала весь запас ксенона и обеспечила
полезную коррекцию орбиты аппарата, поставив его на условно-синхронную
орбиту, подняв высоту орбиты на 15 км.
СПД ЭОЛ имел кпд ~ 30%. Вскоре после пуска ЭОЛ-1 в ИАЭ было показано, что
кпд можно существенно (до ~ 50%) поднять, если перейти к "тонким" полюсам т.е.
увеличить градиент магнитного поля вдоль длины камеры. Это было реализовано
в двигателе ЭОЛ-2. В результате уже более 30 лет ОКБ "Факел" производит ДУ
с СПД.
СПД М-70 и СПД-100 [258]. В конце 1970-х годов в ОКБ "Факел" на основе
СПД ЭОЛ создается штатный модуль СПД М-70 0. Он был рассчитан на мощность
~ 1 кВт, тягу ~4г и КПД ^45-50%. СПД М-70 был установлен почти на 15
спутниках.
1) Число указывает внутренний диаметр внешнего изолятора в мм.
526
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
В 1990-х годов была начата эксплуатация двигателя СПД М-100, (ОКБ "Факел"),
рассчитанного на мощность ~ 1,5-2 кВт. Он близок по конструкции к М-70, но
у М-100 увеличена толщина изолятора вблизи среза. Его внешний вид приведен на
рисунке 10.4.5 и на обложке книги 0. Рабочее напряжение М-100 ~ 250-400В, тяга
6-10 г, кпд ^50%, а расходимость потока аЭф « ±45°.
10 см
Н
Рис. 10.4.5. Внешний вид СПД М-100 (ОКБ "Факел", г. Калининград)
Самым замечательным свойством М-100 является его ресурс. Несмотря на то,
что ионный поток "съел" за 8000 часов не только изолятор, но и часть полюсов (см.
рис. 7.5.5), тяговые характеристики двигателя остались неизменными. Сейчас СПД
М-100 работают на многих спутниках 2).
Успехи СПД стимулировали аналогичные разработки в ряде фирм в России,
а также в США, Франции и других странах. В настоящее время (декабрь 2005 г.)
два КА Франции и один КА США оснащены СПД и работают в космосе. В общей
сложности СПД стоят более чем на 40 космических аппаратах.
Заметим, что СПД и близкие системы привлекают все большее внимание, так же
как новые инструменты пучковых технологий, для обработки поверхностей.
1) На обложке воспроизводится рисунок из [274]
2) В разработке штатных СПД участвовали сотрудники Московского Авиационного Инсти-
Института (В. Ким и др).
10.4. Ионные и плазменные космические двигатели 527
10.4.4. Перспективные схемы ЭРД. В будущее ЭРД перекроют диапазон мощ-
мощностей от единиц Вт до многих мегаватт. Они будут многорежимны, иметь управля-
управляемый вектор тяги, высокие кпд вплоть до г] > 80%. Скажем коротко о ближайших
задачах.
1. Описанные выше штатные СПД имели относительно небольшой кпд и боль-
большую расходимость пучка. Было ясно, что радикально уменьшить расходимость
потока можно только поместив зону ионизации не вблизи среза канала, а в глубине
канала — в зону, где кривизна силовых линий наибольшая, применяя магнитные
поля с нулевой точкой [259].
Лабораторная модель этого двигателя получила название СПД АТОН. Размеры
устройства примерно такие как у М-70. После оптимизации эта модель показала уни-
уникальные характеристики. Её кпд (с учетом расхода ксенона в катоде-компенсаторе)
приблизился к 65%, эффективный угол расходимости стал <^ 15°. Непосредствен-
Непосредственные наблюдения показывают, что в оптимальном режиме поток внутри канала
практически оторван от стенок, и при этом выходящая струя имеет цилиндрическую
геометрию.
Эта разновидность СПД была создана в МИРЭА (лаборатория А. И. Бугровой по
идее А. И. Морозова (ИАЭ) и финансовом обеспечении французской фирмы SEP).
В перспективные схемы СПД допускают существенное расширение диапазона
рабочих параметров. Так, в лаборатории ИАЭ проводились успешные испытания
модели с диаметром внешнего изолятора 300 мм. Мощность двигателя доходила до
30 кВт, а тяга, в зависимости от разрядного напряжения, была в интервале 100-150 г
A-1,5 Н). При этом кпд было > 60% (рабочее вещество — ксенон). Но это далеко
не предел.
Наконец, надо отметить, что были проведены испытания СПД на разных рабочих
веществах. В частности, начиная от водорода и до ксенона. Полученные результаты
хорошо соответствуют установленному ранее критерию подобных разрядов (раз-
(раздел 6.7).
2. В ряде лабораторий (СССР — РФ, Германия, США, Япония) интенсивно
изучаются и оптимизируются прототипы возможных в будущем "торцевых" двига-
двигателей: сильноточных (ТСД) и холловских (ТХД), о которых говорилось в п. 3.7.2.
Первые опираются на собственное магнитное поле разряда, во вторых используется
также внешнее магнитное поле. В англоязычной литературе ТХД обычно называ-
называют "магнито-плазменными" двигателями (МПД)". Существенный вклад в создание
и оптимизацию этих двигателей в СССР внесли А. А. Пбротников, В. Б. Тихонов,
И.Н. Острецов [255].
ТХД и особенно ТСД имеют приемлемые характеристики (кпд. > 50%) при до-
достаточно больших мощностях (> 100 кВт) и при легких рабочих телах, в особенности
на литии. В этих двигателях также наблюдается кризис тока, (п. 7.6.6) и по этой
причине их следует называть "термо-магнитными".
Только что рассмотренные торцевые двигатели являются двухэлектродными. Они
содержат катод и сплошной анод. Однако был создан трехэлектродный ТСД, напоми-
напоминающий КСПУ. Его замечательной особенностью является отсутствие кризиса тока,
по крайней мере, при тех параметрах (w,Jp), при которых кризис наблюдался на
двух электродных моделях [255].
3. В начале п. 10.4.2 говорилось, что испытывалось в свое время много различных
схем возможных прототипов ЭРД. Не описывая их сколько-нибудь подробно, только
назовем наиболее привлекательные схемы:
- двигатель с анодным слоем одноступенчатый;
- двигатель с анодным слоем двухступенчатый;
528 Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
- "коллоидный" двигатель (аналог ионного двигателя), но с ускорением заряжен-
заряженных микрочастиц, возможно, наночастиц;
- лазерный двигатель (аналог дугового, но с оптическим разрядом).
10.5. Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС)
Одним из основных факторов, определяющих обстановку в сегодняшнем мире,
является добыча энергоносителей. Часть этих энергоносителей возобновляема (сол-
(солнечная энергия и ее производные: дрова, ветер, морские течения и т. п. и, с оговор-
оговорками, геотермальная энергия), а другая — невозобновляема (уголь, нефть, газ, уран,
торий и др.). Сегодня основными являются невозобновляемые энергоносители, но их
источники распределены неравномерно, и это порождает всем известные коллизии.
Но существует энергоноситель, который есть всюду, и его запасы практически
неисчерпаемы. Это вода, обыкновенная вода. Точнее, 0,02% от общего количества
водорода, содержащегося в воде. Именно такую роль в естественной воде составляет
тяжелый изотоп водорода — дейтерий D= ^H.
А энергия здесь выделяется при слиянии двух ядер дейтерия. В результате, как
увидим ниже, 1 литр обычной воды, благодаря наличию дейтерия, эквивалентен
~ 300 л бензина! Проблема УТС и есть проблема извлечения этой энергии в "спо-
"спокойных" условиях, в отличие от взрывов водородных бомб, где также идет реакция
синтеза легких ядер [260].
10.5.1. Исходные принципы [261,262] .
"Термоядерные" реакции синтеза ядер. Масса ядер гая, как хорошо известно,
меньше суммы масс образующих их протонов тр и нейтронов тп
тя - (Zmp + Nmn) = Am > 0.
Величина Am называется дефектом масс, и она дает меру той энергии е = Атс2,
которая выделяется при образовании данного ядра из протонов и нейтронов. В рас-
расчёте на один нуклон максимум (Am)i приходится на середину таблицы Менделеева.
Поэтому легкие элементы выделяют энергию при синтезе ядер, а тяжелые — при
распаде. Реакции синтеза ядер наиболее легких элементов называют "термоядерны-
"термоядерными".
Ниже приведены уравнения этих реакций и указаны выделяемые при этом
энергии, а представлены графики зависимости сечений синтеза в зависимости от
относительной энергии частиц.
Реакции упорядочены в соответствии с убыванием сечений:
1. Дейтерий-тритий (DT)
2. Дейтерий-изотоп гелия i]He-(D3He)
+ iJ
D + iJHe -> ^Не + р + 18,4 МэВ.
3. Дейтерий-дейтерий (DD). Эта реакция может идти по двум каналам
D (т(=?Н)+р + 4,
"* |3Не + п + 3,ЗМэВ.
Получающийся при этом тритий быстро реактирует с дейтерием. Несколько
хуже реагирует с дейтроном ядро |
10.5. Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС)
529
Нетрудно убедиться, используя указанное энерговыделение, что действительно
1 литр обычной воды, благодаря дейтерию, эквивалентен по энергосодержанию
указанному количеству бензина.
4. Нейтрон-литий (nLi)
U , бт
Li
4,8МэВ.
Эту реакцию предполагают использовать для получения трития при работе на
DT.
5. Дейтерий-Литий (D6Li). Здесь синтез идет по двум каналам
и т.д.
D
Как видно на рис. 10.5.1, наибольшим сечением реакции обладает пара DT. При этом
сечение велико уже при г ~ 20кэВ. Поэтому именно DT сегодня рассматривается как
основное рабочее вещество на начальной стадии создания термоядерного реактора.
10"
10"
10"
10"'
10"
1(Г
10"
а, см2
(<jv), см3-с™1
ю-16
10"
10"
10"
10"
10™
10"
-18
Г,эВ
a 10J 104 103 б ^ Ю3 Ю4 10"
Рис. 10.5.1. Зависимости сечений а от энергии (а) и скоростей термоядерных реакций (av) от
температуры (б) для разных смесей
Поскольку в реакторе будут частицы с разными скоростями, то при расчётах ос-
основную роль играет скорость реакции (av), причём усреднение обычно производится
по максвелловскому распределению реагирующих частиц (рис 10.5.1).
10.5.2. Кривые Лоусона. Знание сечения реакции при разных энергиях частиц
и величины выхода энергии еще недостаточно, чтобы ответить на вопрос, какими
свойствами должен обладать сам реактор и система превращения кинетической
энергии образующихся при реакции частиц в электрическую энергию — если нагрев
производится вне реактора за счет именно электрической энергии, чтобы система
в целом имела положительный выход. А еще лучше, если работа реактора станет
самоподдерживающейся.
В принципе кинетическую энергию а-частиц и протонов можно превратить непо-
непосредственно в электрическую с помощью разных систем "прямого преобразования" —
рекуператоров. В то же время кинетическую энергию нейтронов сейчас превратить
в электрическую энергию можно только через тепловой цикл. Заметим, что в на-
настоящее время нейтроны рассматриваются как нежелательный продукт реакции, не
только из-за необходимости теплового цикла, но и в связи с большой радиационно-
активирующей способностью нейтронов.
530
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
Сечение реакций, о которых говорилось выше, и которые изображены на
рис. 10.5.1, весьма малы. Отсюда следует, что нельзя добиться положительного
выхода энергии, если облучать быстрыми частицами какие-либо мишени. Действи-
Действительно, поскольку сечение упругих столкновений быстрой частицы с ядрами мишени
значительно больше сечения с ядерной реакцией, то быстрая частица скорее потеряет
энергию, чем произведет реакции. Поэтому необходимо создать некие "ловушки",
где частицы смогут достаточно долго жить, многократно сталкиваясь между собой,
пока не произойдет нужная реакция. Это утверждение можно назвать основным
принципом УТС или "принципом О. А. Лаврентьева".
Итак, мы должны иметь ловушку, в которой выделяющаяся энергия больше
энергии, идущей на предварительный нагрев частиц до нужной "температуры", на
неизбежные потери за счет излучения, теплопроводности и просто "выскальзывании"
частиц из ловушки.
Иными словами, должно выполняться условие
л
п
пе
—
an
I E
A0.5.1)
Здесь г] — коэффициент преобразования выделяющейся ядерной энергии в электри-
электрическую (обычно принимается г\ ~ 1/3 0), бя — энерговыделение в единичной реак-
реакции, (о~и)т — усредненная по функциям распределения тяжелых частиц скорость
реакции, коэффициент 1/4 учитывает участие в реакции двух частиц, jn — интен-
интенсивность тормозного излучения, пе/т* — потери энергии за счет "выскальзывания"
частиц из ловушки и теплопроводности, те — "время жизни энергии в ловушке".
Уравнение A0.5.1) можно записать
|у17
1 ftl5
10
ю14
пт
(d,
(a
\
t)
CIV
t)
\
\
•c
\
\
\
\
fit)
\
'd,d).%
\
\
\
•
(d,a
У
\
У
?
> T
X
\
1/300
= 1/30
/
/
i/3
Л = 1/3
/1
в виде
Здесь А =
птЕ > А.
Аа
A0.5.2)
Условие A0.5.2)
2 3 4 5 7 10 20 30 5070100 200 400
кТ, кэВ
Рис. 10.5.2. Зависимость постоянной (пара-
(параметра) Лоусона пте от температуры для раз-
разных смесей
называется, не очень справедливо, кри-
критерием Лоусона, хотя оно в той или иной
форме формулировалось раньше други-
другими исследователями.
На рис. 10.5.2 изображены зависимо-
зависимости постоянной Лоусона А от темпера-
температуры плазмы для разных смесей. Вид-
Видно, что наименьшее значение (пт)т[п =
= А « 1014см~3с достигается для сме-
смеси DT при температуре Т ~ ЮкэВ «
~ 108К. Для чистого дейтерия и сме-
смеси D3-He величины (пт)т[п на порядок
больше, а оптимальная температура ле-
лежит в окрестности Топт ~ E0—60) кэВ.
Для других "термоядерных" смесей ве-
величины (nr)min и Топт еще выше.
Полученные значения (пт) соответ-
соответствуют режиму, когда в реактор подбра-
*) В настоящее время B005 г.) началось широкое внедрение газовых турбин, кпд которых
в 2 раза выше, чем паровых турбин. Поэтому теперь можно ориентироваться на значение г] =
= 2/3.
10.5. Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС) 531
сывается "горючее" с рабочей температурой. Для того, чтобы реактор перешел в ре-
режим "зажигания", т. е. когда достаточно подбрасывать холодное горючее, необходимо
выполнение условия:
(яг)™ > 2А
Здесь учтено, что в случае DT-реакции 4/5 выделяющейся энергии уносят ней-
нейтроны, и нагрев вбрасываемого холодного рабочего вещества осуществляют только
а-частицы.
Оценим параметры плазмы для простейшего — и сейчас основного, случая, когда
реакция идет на смеси DT (nr)m[n = А, а энергетическое время ловушки те = 1 с.
При этих условиях концентрация заряженных частиц щ = пе = п = 1014см~3. Из
условия равновесия и определения параметра C
тт2
2пкТ= —/3, A0.5.3а)
О7Г
находим
При /3 = 5- 10~2, что соответствует максимальному значению C в токамаках, то
имеем Н = 4 • 104Э. Энергия электронов и ионов, заключенная в 1 м3 равна
W = 2n^kTV = 0, 5 МДж. A0.5.36)
И, следовательно, если те = 1 с, то термоядерная мощность, генерируемая 1 м3 такой
плазмы, равна 0,5 МВт.
10.5.3. Схемы ловушек. Как отмечалось во Введении (раздел В.З), эксперимен-
экспериментальные исследования по управляемому термоядерному синтезу начались в 1950 г.
и до сих пор максимум, что получено — это несколько секунд работы на DT с (пте) =
= 0,4см~3с, Т ~ ЮкэВ. Это было сделано в конце 90-х годов прошлого столетия на
токамаке JET и японском токомаке JT-60 (см. ниже).
Центральной проблемой УТС является создание ловушек для плазмы, удовлетво-
удовлетворяющих критерию Лоусона, т. е. удержание энергии плазмы в течение достаточно
длительного времени те при соответствующей температуре.
Для осуществления УТС были испробованы самые различные способы:
- стационарные ловушки, использующие магнитные поля;
- стационарные ловушки, использующие комбинированные магнитные и электри-
электрические поля;
- импульсные магнитные системы (z и #-пинчи различной конфигурации);
- сверхмощные короткоимпульсные системы с инерциальным удержанием (на-
(нагрев и сжатие малых - <1 мм - мишеней с помощью когерентного и некоге-
некогерентного излучений, электронных потоков, потоков тяжелых ионов и т.п.);
Эти системы очень различаются друг от друга. Достаточно сказать, что плотность
водородной плазмы (DT) в предполагаемых и реализованных системах варьируются
от ~ 5 • 1О~1Ог/см3 до ~ 100г/см3, а длительность те от ^ \ не до секунд и более
(последнее в перспективе) Ч.
1) Существует и неплазменные подходы к проблеме УТС. Наиболее известный из них "мю-
катализ", при котором используются /х-мезоны, но они короткоживущие, а затраты энергии на
их создание велики.
532 Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
Ниже основное внимание мы уделим схемам стационарных ловушек с магнитным
удержанием. Однако для полной картины мы сначала коротко остановимся на систе-
системах с инерциальным удержанием, исследованию которых было во всем мире уделено
много внимания, и при этом был получен ряд выдающихся достижений.
Параметры системы с инерциальным удержанием [261]
Основными элементами таких систем являются
- сферическая "мишень" диаметром ~ 1 мм, содержащая D+T;
- система мощных генераторов потоков энергоносителей, сфокусированных на
мишень. В принципе, в качестве энергоносителей могут использоваться потоки
частиц, но сейчас наиболее удобными являются потоки когерентных излучений
коротковолновых лазеров на неодимовом стекле и некогерентного рентгенов-
рентгеновского излучения "двухступенчатого Z-пинча" (см. Приложение Б).
И мишени, и генераторы потоков когерентного излучения являются очень непросты-
непростыми системами, и на их особенностях мы останавливаться не будем.
При термоядерных температурах скорость разлета нагреваемой мишени ~
~ 108см/с. Поэтому рабочий импульс при указанных размерах мишени должен
быть ~ 10~9с = 1нс. Энерговклад в мишень для получения положительного
энергобаланса, как показывают расчёты и экспериментальные данные, должен быть
порядка нескольких мегаджоулей. Соответственно мощность лазерного импульса
должна быть rsj Ю15Вт.
Если учесть, что кпд лазерных систем на Nd-стекле < 0, 3%, постоянная Лоусона
будет А > 1016см~3с. И, следовательно, плотность частиц изотопов водорода должна
быть а
п~ — ~ 1025см~3.
ТЕ
В то же время плотность твёрдого водорода в нормальных условиях пт ~ 5 х
х 1022см~3. Отсюда видно, что мишень должна быть сжата почти в 1000 раз.
Более тщательные расчёты увеличивают эту оценку в 3—5 раз, и тогда приходим
к массовым плотностям ~ B00—300) г/см3.
Сжатие такого масштаба можно получить (а сейчас получены сжатия всего на
один порядок меньше) за счет реактивного давления со стороны массы, испаряющей-
испаряющейся и улетающей под действием излучения с поверхности мишени.
В настоящее время наиболее впечатляющие результаты были получены в 1990-
х годах на американской установке "Нова" (рис. 10.5.3). Там лазерный импульс
длительностью ~ 1 не обладал энергией ~ 100 кДж. При этом были получены пте ~
« B-5) • 1014см-3с, Т « A,5-2КэВ, р ~ B0-30) г/см3. Это весьма высокие пара-
параметры, и поэтому в США детально проработан новый проект лазерной установки
с инерциальным удержанием (Проект NIF), способной дать положительный энерге-
энергетический выход.
Однако физика инерциального удержания относится в основном к физике плотной
неидеальной плазмы. Поэтому мы на ней останавливаться не будем.
А теперь перейдем к стационарным магнитным ловушкам, которые смотрятся
предпочтительнее для промышленных целей.
Три типа систем магнитного удержания. Стационарные магнитные системы по
топологии плазменного объёма, как уже говорилось в разделе 1.7, можно разбить на
три типа:
- односвязные;
- двусвязные;
- многосвязные,
К первому типу относятся в- и Z-пинчи и "открытые" ловушки с про-
продольным магнитным полем, торцы которых прикрыты разнообразными "пробками"
10.5. Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС)
533
Рис. 10.5.3. Камера установки "Нова", в которой облучается мишень
(рис. 10.5.4). Это прежде всего соленоид вообще без пробок "пролетотрон" — "соле-
ноидальная ловушка" (рис. 10.5.4а). Сегодня он не реализуется, прежде всего, из-за
большой энергоемкости. Идея пролетотрона была высказана А. И. Морозовым в 1968
году с целью создать некую точку отсчета для оценки масштабов реакторов [271].
Длина пролетотрона на DT порядка нескольких километров.
Но роль идеи пролетотрона оказалась более существенной. Отталкиваясь от этой
идеи, Г. И. Будкер [271] предложил гофрированную ловушку с плотной плазмой (см.
ниже), а Д. Д. Рютов — гидродинамическую ловушку (рис. 10.5.46). Последняя схема
основана на том, что длина пролетотрона, удовлетворяющая критерию Лоусона,
в случае DT должна быть на порядок больше длины свободного пробега по отно-
отношению к ион-ионным столкновениям. Поэтому в первом приближении пролетотрон
можно рассматривать как газодинамическую систему и уменьшить потери, усилив
поле на торцах. Тогда уход частиц уменьшится в Нта^/Но раз. Правда, из-за
большей величины Щ выигрыш реально в длине < 2.
Далее на рис. 10.5.4в идут "пробкотроны", называемые также "зеркальными" или
"адиабатическими" ловушками. Об этих ловушках говорится в п. 1.7.1 и п. 5.6.2.
Удержание в них частиц осуществляется благодаря сохранению частицами попе-
поперечного адиабатического инварианта (J± = v\/H). Время удержания частиц в них
порядка времени ион-ионных столкновений. Чтобы увеличить время удержания
частиц в пробочной ловушке, Г. И. Димовым была предложена трехсекционная
ловушка, изображенная на рисунке 10.5.4г. Идея Димова состояла в следующем.
В концевых ловушках (секциях) создается ионно-горячая плазма с Т^ ~ 1 МэВ. При
такой температуре время между столкновениями возрастает и становится больше
534
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
dxdx:icxix:i
Рис. 10.5.4. Схемы открытых ловушек: а — пролетотрон; б — газодинамическая ловушка; в —
простая пробочная ловушка Будкера-Поста, г — трехсекционная ловушка Димова с электро-
электростатическим запиранием ухода частиц через торцы; д — простая антипробочная ловушка; е —
длинная антипробочная ловушка "ДАЛ"), ж — диффузионная ловушка Морозова (ЭСПЛ),
з — гофрированная ловушка Будкера (ГОЛ), S — инжекция рабочего вещества
те в средней секции, где происходит основное число ядерных реакций. Плотность
плазмы nmax в концевых секциях создается больше, чем щ в центральной секции,
и поэтому потенциал там в силу п. 3.2.2 ниже, чем на краях:
, , К.1р '«тлях
е п0
Эти горбы потенциала и удерживают ионы в главной секции. Подбирая nmax, no,
^i,max, ^e,max, Te$ и объёмы секций, можно было рассчитывать на положительный
выход энергии реактора. Но., .появление новых факторов — большого электрического
поля и высокой Т — породило новые трудности, которые пока не преодолены.
На рисунках 10.5.4д и 10.5.4е изображены схемы "антипробочных ловушек".
В этих ловушках обеспечена гидродинамическая устойчивость плазмы, но имеющи-
имеющиеся большие щели не позволяют надеяться на обеспечение положительного выхода
энергии.
Принцип следующих диффузионных ловушек прост (рис. 10.5.4ж, з). Это цепочки
из неких элементарных "стохастизирующих ячеек". Такие ячейки имеют два отвер-
отверстия, через которые частицы могут входить и выходить. При этом, войдя в ячейку,
частица "забывает", где вошла и с равной вероятностью может выйти через любую
из двух. В результате начинается блуждание вдоль цепочки, и время жизни частицы
в ловушке из N ячеек будет
tn~N2. A0.5.4)
Впервые идея этих ловушек была высказана А. И. Морозовым около 1961 года. Позд-
Позднее Г.М. Будкером A969 г.) такие ловушки были реализованы в многопробочных
10.5. Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС)
535
(гофрированных) полях. Для обеспечения стохастизации в качестве ячейки исполь-
использовались либо короткие пробкотроны, длина которых ^ pi — ионного ларморовского
радиуса (ловушка ЭСПЛ, А. И. Морозов) О, либо ячейки с очень плотной плазмой,
при которой длины свободного пробега А ~ L — длины ячейки (ловушка "Гол"
Будкера [271]).
Ловушки с двухсвязным плазменным объёмом. Это тороиды различной конфи-
конфигурации, магнитные поля которых состоят из вложенных друг в друга магнитных
поверхностей (рис. 10.5.5).
120°
120°
Рис. 10.5.5. Схемы тороидальных ловушек: а — токамаки, б — стеллараторы, в — компактные
торы; г — ловушка "Дракон" (две проекции)
При наличии осевой симметрии, как об этом подробно говорилось в разделе 1.1,
такие магнитные конфигурации в камере можно сделать только с помощью катушек,
создающих азимутальное магнитное поле, и азимутального электрического тока.
Если ток течет по плазме, находящейся в камере, то системы именуются токамаками
и до настоящего времени остаются объектами наиболее интенсивных финансовых
вложений и наиболее детальных конструкторско-технологических проработок, хотя
утверждать, что именно они войдут в будущую термоядерную энергетику, никак
нельзя. Тем не менее мы им посвятим следующий п. 10.5.4.
Полоидальная
катушка \
Криостат
Вакуумная камера
Рис. 10.5.6. Схема стелларатора LHD
Винтовая
катушка
"риогенная
опорная
Опора стойка
1) См. в [263]
536 Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
Протекание сильных токов по тороидальному плазменному шнуру создает ряд
трудностей с устойчивостью плазменной конфигурации и'необходимостью годами
(если речь идет о промышленных установках) поддерживать ток в плазменном
торе. Поэтому все больший интерес вызывают ловушки, в которых конфигурация
вложенных магнитных поверхностей создается внешними по отношению к плаз-
плазме "винтовыми" проводниками. Однако такие системы лишены осевой симметрии
и магнитные "поверхности" оказываются слегка размытыми. Эти системы имеют
собирательное название "стеллараторы" или "геликоидальные ловушки". Фрагменты
их теории рассмотрены в п. 1.7.2. Наиболее крупной установкой этого типа является
японская установка LHD (large helicoidal device) со сверхпроводящей магнитной
системой. Схема рабочей зоны этой ловушки изображена на рис. 10.5.6.
Вот некоторые ее параметры. Диаметр
кольцевой магнитной оси D = 7,3 м, диа-
г><П .--- ч метр сечения плазменного шнура d = 1,2 м,
- ,^р?22^Р^^ магнитное поле на кольцевой оси Щ ^ ЗТл.
/" ,__!""" \ На этой установке была получена в разных
\ \ экспериментах плазма с пе = 5 • 1013см~3,
i .<TVA |/1 Те> ЮкэВ, тЕ < 0,4 с, Ti < 5кэВ, /3 =
= 8тгр/Я2~B-3)%.
Ловушка "Дракон" На рисунке 10.5.5г
J0Y-/ / j I %> изображена двусвязная ловушка с Длин-
//^ < ^ ной РАвновесной Конфигурацией, пред-
// Щ ставляющая своеобразный гибрид пробко-
У ?-¦¦{' трона и стелларатора. Она была пред-
Щг / ^ ложена и разработана Б. Б. Кадомцевым,
3 Б. А. Трубниковым, В.М. Глаголевым. Кри-
"-/•^::^-з1 волинейные элементы (крэлы), соединяю-
7^ггт4т- щие пробкотроны, выбраны с такой геомет-
геометрией, чтобы "градиентные токи" (j ~ Vp) не
Рис. 10.5.7. Общая схема галатеи: 1 — переходили в пробкотроны [9].
опёртые катушки, 2 - миксины Многосвязные ловушки ("галатеи".)
[263] Для галатей характерно то, что часть
проводников, создающих магнитное поле, погружено в плазму (рис. 10.5.7). Эти
погруженные проводники называют миксинами. Использование миксин позволяет
создать бесщелевые "корковые ловушки" или "магнитные баллоны". Принципиальное
отличие магнитных баллонов от классических односвязных и двусвязных ловушек
состоит в том, что в последних магнитное поле и плазма перемешаны, тогда как
в баллонах поле сосредоточено на периферии (в виде "корки"), а плазма находится
в центре ловушки, где магнитного поля практически нет (рис. 1.7.1). Это различие
принципиально и ведет к ряду существенных преимуществ галатей. Вот главные из
них.
- Плазма диамагнитна. Поэтому помещение плазмы в объём магнитного поля
с точки зрения физики нежелательно, так как диамагнетики выталкиваются
магнитным полем. Конечно, сейчас нашли способы преодолеть "грубое" вытал-
выталкивание, но более изощренные формы проявления — в виде различных "сла-
"слабых" неустойчивостей, все равно ведут к сокращению времени жизни плазмы
в ловушке. В галатеях диамагнетизм, наоборот способствует удержанию, так
как препятствует проникновению плазмы в "корку".
- Современная ориентация на использование в качестве рабочего вещества сме-
смеси D-T явно носит временный характер. Наиболее естественно использовать
реакцию D-D, т. е. опираться только на изотоп, находящийся в воде. Но тогда,
10.5. Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС)
537
как видно из графика 10.5.2, потребуется рабочая температура Т ~ 50кэВ
ипт~ 1015см~3с. При такой высокой температуре резко возрастают потери на
синхротронное излучение, обязанное центростремительному ускорению элек-
электронов в магнитном поле. Радикальным преодолением этой трудности является
переход к корковым ловушкам — магнитным баллонам. Синхротронное излу-
излучение вряд ли позволит эффективно работать токамакам и стеллараторам на
DD, т. к. максимальное C в первом случае ~ 5%, а во втором ~ 3%. Если
использовать много колец-миксин, то область, занятая магнитным полем, будет
мала по сравнению с областью, занятой плазмой, т.е. мы действительно будем
иметь баллоны. Такая конфигурация магнитной системы, очевидно, наиболее
экономична.
Однако, чтобы в корковой конфигурации резкая граница раздела плазма-поле была
устойчива, эта граница должна быть "вдавлена" в плазменный объём (см. п. 8.2.1).
Так получается "остроугольная конфигурация". А чтобы при этом не образовалось
щелей, один выступ ("касп") должен быть замкнут на другой. В результате проводни-
проводники с током оказываются окруженными со всех сторон плазмой. Тонкий слой плазмы,
соединяющий каспы, называют "мантией". Таким образом проводники, создающие
магнитное поле, должны быть левитирующими, т. е. подвешенными на магнитном
поле (рис. 10.5.8).
Рис. 10.5.8. Общий вид (а) и сечение (б) ловушки "Дублон": 1 — левитирующие проводники
с током, 2 — линия нулевого магнитного поля, 3 — остроугольный "основной плазменный
объём", 4 — "мантия"
На первый взгляд может показаться, что такая подвеска создает непреодолимые
технические трудности. И такие утверждения можно найти в литературе. Однако
простые оценки показывают, что это не так [263]. Рассмотрим подробнее три основ-
основных возражения против магнитной подвески [263-265].
Первое из них — эта сама возможность подвески. Очевидно, чтобы токонесущая
миксина "не падала", необходимо создать внешнее радиальное по отношению к мик-
сине магнитное поле Нг. Если речь идет о ловушке, в которой отсутствуют ядерные
реакции, то оценить величину Нг можно, учитывая только вес сверхпроводника.
В этом случае имеем
pgls = 0, ljlsHr.
Здесь р — плотность сверхпроводника (г/см3), s — его сечения (см2), / — длина
миксины (см), j — плотность тока (А/см2). Взяв типичные значения для сверхпро-
сверхпроводников (например NbSn) величины ~ Юг/см3, j ~ 104 А/см2, находим
цт = \qPQ. по ЮЭ.(!)
j
Это поле очень мало по сравнению с типичными полями для ловушек УТС Н ~
~ 104Э. Чтобы лишний раз убедиться в отсутствии проблем с собственно магнитной
подвеской, отметим, что в Японии, Германии, Китае ведется опытная эксплуатация
пассажирских сверхскоростных (> 500 км/час) поездов на магнитной подвеске [264].
538 Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
Не возникает принципиальных технических проблем и в случае галатей — реак-
реакторов с УТС, в которых миксины подвергаются воздействию нейтронного и других
энергонесущих потоков с характерной плотностью ~ A—2)МВт/м2. Для этого на
сверхпроводящую "хорду" должна быть одета трехслойная защита. Эти слои ино-
иногда называют: наружный — красным, следующий — серым, третий (криозону) —
голубым. Они должны быть разделены теплоизолирующими прокладками. Крас-
Красный слой делается из высокотемпературных материалов (графит, вольфрам и т.п.).
Под действием приходящей энергии он нагревается до температур ~ 2000-2300 К
и сбрасывает указанную выше мощность в виде теплового излучения. Серый слой
в основном перегораживает проникающие потоки нейтронов и 7~квантов на пути
к криозоне. В серой и криозонах должны находится холодильники, поддерживающие
нужные температуры. То есть здесь создается система, напоминающая бытовые хо-
холодильники. Энергия для них может подводиться извне с помощью, например, СВЧ-
волн. Появление высокотемпературных технологичных сверхпроводников, очевидно,
радикально упростит проблему поддержания хорды в сверхпроводящем состоянии.
Примеры экспериментальных установок — галатей, изображены на рисун-
рисунке 10.5.9, а на рисунке 10.5.9* приведены схемы полей этих ловушек. На
рисунке 10.5.9а изображена галатея С. Иошикавы с трехкомпонентным магнитным
полем, имеющая одну сверхпроводящую миксину [265]. Она близка по схеме
к тороидальной ловушке А. Д. Сахарова и не является, очевидно, магнитным
баллоном. На рисунке 10.5.96 показана октупольная галатея-баллон Висконсинского
университета с четырьмя теплыми миксинами. Установка работает импульсно.
Благодаря этому обеспечивается левитация и устойчивость миксин за счет
скин-эффекта в окружающем кожухе [263]. Рисунок 10.5.9в дает представление
о ловушке "Торнадо" (ЛФТИ им. А. И. Иоффе), предложенной Г. В. Скорняковым
и реализованной Б. П. Перегудом [263] 0. Наконец, на рисунке 10.5.9г изображена
создаваемая сейчас галатея "Диполь", предложенная Хасегавой. Эта ловушка по-сути
есть модель радиационных поясов планет.
Не приводя подробных данных полученных на разных галатеях, подчеркнем
основной результат этих исследований. Здесь были достигнуты режимы С КЛпССи-
ческими переносами (!).
Начавшиеся в 1960-х годах интенсивные исследования галатей, к огромному
сожалению, были прекращены в начале 70-х годов из-за веры в безусловную перспек-
перспективность и простоту токамаков. Но трудности, вставшие при дальнейшем развитии
токамаков, стимулировали в 1990-х годах возобновление интереса к галатеям.
10.5.4. Токамаки. (см., например, [266, 267]).
Токамаки прошли много этапов развития. При этом изменялась как конструкция
самих установок, так и их функционирование (рис. 10.5.10). На рис. 10.5.106 изоб-
изображена схема первых токамаков, а на рис. 10.5. Юг схема современных токамаков.
Типичные параметры тех и других приведены в таблице 10.2.
Общим для обеих схем являются:
1 — тороидальная вакуумная камера, которая наполняется рабочим газом (обычно
водородом или дейтерием) при давлении ~ 10~3Тор);
2 — катушки, создающие в камере продольное (азимутальное) магнитное поле на-
напряженностью ~ B0—50) кЭ;
3 — перемагничиваемый железный сердечник, создающий в камере вихревое элек-
электрическое поле, обеспечивающее пробой в холодном газе, находящемся в ка-
*) В настоящее время исследования Торнадо ведутся под руководством К. Б. Абрамовой.
1) Основным организатором работ по ИТЭР'у является академик Е. П. Велихов.
10.5. Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС)
539
н <?
б*
Рис. 10.5.9. а — галатея Иошикавы; б — галатея Висконсинского Университета; в — галатея
"Торнадо"; г — схема лабораторной модели ловушки-галатеи "Диполь": 1 — левитирующее
кольцо с током A,24 МА), 2 — "поддерживающий" виток @,3 МА), 3 — горячая электронная
плазма; а*, б*, в* — представлены схематические изображения соответствующих установок
мере, и появление в ней тока, который выполняет две очень важные функции.
Во-первых, благодаря ему продолжается ионизация газа и нагрев образую-
образующейся плазмы до Ti ~ Те порядка нескольких сот эВ. Во-вторых магнитное
поле этого тока обладает полоидальными (Hr, Hz) компонентами, благодаря
чему замкнутые — в идеале, магнитные силовые линии азимутального поля
"размыкаются" — превращаются в спирали и образуют вложенные друг в друга
тороидальные магнитные поверхности. Тем самым появляется магнитная кон-
конфигурация, снимающая "тороидальную" поляризацию и способная удерживать
плазму.
Возможность простым способом осуществить сразу и нагрев плазмы, и ее удер-
удержание было продемонстрировано в 1969 году Л. А. Арцимовичем на международной
конференции МАГАТЭ в Новосибирске и вызвало бурную "токаматизацию" термо-
термоядерных исследований во всем мире.
540
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
Рис. 10.5.10. Схемы и фотографии токамаков: а — первая тороидальная система, созданная
в ИАЭ; б — токамак Т-3; в — токамак JET, г — проект токамака ИТЭР
Однако последующие исследования, теперь уже во всем мире, показали, что все
не так просто. Все это и нашло отражение в конструкциях и схемах функциониро-
функционирования токамаков в последующие годы.
Первое, что обращает на себя внимание — это существенное увеличение размеров
установок. А ведь JET, наиболее крупный из действующих токамаков, построенный
Европейским сообществом в Англии — это экспериментальная установка, на кото-
которой не были получены стационарно термоядерные параметры даже при работе на
DT. Ещё более крупным является по международному проекту токамак ИТЭР со
стационарно 0 идущей термоядерной реакцией на DT, где пока не предполагается
1) Точнее короткими рабочими стадиями длительностью ~ 1000 с.
10.5. Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС)
541
Таблица 10.2
1
2
3
4
5
Наименование
установки. Страна
Токамак Т-3 (СССР)
Токамак Т-10 (СССР)
JET (Европейское
сообщество)
JT-60 (Япония)
Проект ИТЭР
(Международный) 1)
год ввода
- 1965
1975
1983
1987
-
Rm, M
1
1,5
3
3
8,1
а/Ъ,
см
25/25
78/78
125/210
190/190
240/450
Но, Тл
—
5
3,5
4,5
5,7
Нагрев
плазмы
омический
нейтральная
инжекция
- //-
- и-
самоподдер-
самоподдерживающиеся
R — радиус магнитной оси системы, а и Ь — диаметры сечения плазменного шнура
по г и z, Но — максимальная напряженность азимутального поля на магнитной оси
камеры.
зажигания, т. е. разогрев вводимого в реактор холодного топлива а-частицами, обра-
образующимися при реакции.
Второе принципиальное различие — это способ получения нужных термоядер-
термоядерных температур. В ранних токамаках вся надежда была на джоулев нагрев током,
текущим в плазме. Однако этот метод становится малоэффективным при больших
толщинах плазменного объёма и при высокой проводимости плазмы, которая растёт
3/2
~ Те' и уже при Те « 1 кэВ равна проводимости меди. Оценки и эксперимент
показывают, что предел джоулева нагрева как раз Те ~ \ кэВ, а надо иметь Ti ~
~ Те ^ ЮкэВ в случае DT реакции.
Ясно, что нужны неджоулевы методы нагрева плазмы. Как отмечалось в разде-
разделе 10.1, сегодня используют два метода: электронно-циклотронный резонанс (ЭЦР)
и инжекции быстрых нейтралов.
Следующим очень важным различием ранних и современных токамаков явля-
является время поддержания в них азимутального тока. Естественно, что без соответ-
соответствующей ЭДС в плазменном тороиде ток будет затухать в течение сравнительно
короткого скинового времени (< 1ч. для промышленных токамаков). Но допустить
это в промышленном реакторе нельзя, т. к. при этом "первая" стенка токамака
будет работать в условиях переменных тепловых нагрузок, что резко сократит срок
службы токамака-реактора, не говоря уже о'других отрицательных последствиях
такой периодической работы. Поэтому были приложены большие усилия, чтобы
найти наиболее простые и эффективные методы поддержания тока. Такими методами
оказались те же, что нужны для нагрева плазмы. Это прежде всего касательная
инжекция нейтралов, которые, ионизуясь, дают ионный ток, поскольку электро-
электроны "запутываются" в магнитном поле и в целом останавливаются. Другой метод
электронно-циклотронного резонанса (ЭЦР) основан на использовании, как средства
создания, потока электронов. Оба эти метода были опробованы и подтвердили свою
эффективность.
Следует отметить, что имеется еще один метод поддержания тока в шнурах, хотя
он в нужной степени это осуществляет только в условиях классических переносов.
Суть в том, что, благодаря диффузии, плазма от оси шнура движется к периферии
поперёк магнитного поля и тем самым создается ЭДС, которая и поддерживает ток.
Таким образом достаточно инжектировать рабочее вещество на ось шнура, а оно, вы-
выходя на периферию, будет поддерживать ток. Экспериментально на токамаках таким
542 Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
путем (этот эффект называют "бутс-трепом" — "зашнуровкой") удалось увеличить
время сохранения тока в шнуре на ~ 30%.
Принципиальная возможность самоподдерживания тока в плазменном шнуре за
счет диффузии плазмы в собственном магнитном поле шнура можно пояснить на
простой одномерной модели. Пусть в слой толщиной L при х = 0 непрерывно
поступает плазма с плотностью потока
i> = nv = const. A0.5.5a)
В силу стационарности и уравнения непрерывности поток i> сохраняется во всем
объёме слоя. Три другие уравнения (Эйлера, закон Ома и уравнение Максвелла) при
Те = 0 и Ti = const имеют вид:
Щп+^- = ^-\ к = _^; j _сдН (ю.5.56)
отг отг а с 4тг ох
Здесь учтено, что электрическое поле отсутствует. Выразив п, v, г через Н, получаем
простое уравнение
дН uHSirkTi л Я л uSirkT ,Лпrr^
уш = — = i/m6—2 5 0 = . A0.5.6а)
Отсюда находим
Я02 In -^ + Н\Н = Ох. A0.5.66)
Сществование стационарного решения в данном случае и означает существование
бутстрепа.
Следующее важное отличие ранних и современных токамаков связано с пробле-
проблемой загрязнения рабочей (горячей) зоны плазменного объёма тяжелыми частица-
частицами, поступающими со стенок благодаря воздействию на них плазмы и излучений.
В первых моделях это взаимодействие ослаблялось благодаря постановке в камеру
диафрагм, которые ограничивали поперечный размер шнура, и, за исключением узкой
зоны контакта шнура с тонкой диафрагмой, отрывали его от стенок.
В современных токамаках контакт рабочей зоны со стенкой предотвращается с по-
помощью, так называемого "дивертатора", предложенного еще в 50-х годах прошлого
века Л. Спитцером (США). Его суть сводится к тому, что с помощью проводника,
расположенного вне камеры, ток в котором совпадает по направлению с током
в плазменном шнуре, магнитные силовые линии, прилегающие к первой стенке,
выводятся из камеры, где они пересекают "диверторные" пластины (рис. 10.5.Юг).
Примеси, идущие от стенки, а также плазма, диффундирующая из рабочей зоны
наружу, войдя в магнитный поток дивертора, выходящий наружу, быстро стекают
на диверторные пластины, расположенную вне камеры, где они, так или иначе,
связываются. В частности, газообразные продукты откачиваются насосами. Дивертор
хорошо виден на схеме ИТЭР'а.
О важном отличии методов стабилизации положения плазменного шнура в камере
в старых и новых токомаках говорится в разделе 8.5, и здесь мы не будем на этом
останавливаться.
Ещё одно существенное отличие старых и новых токомаков связано с выбором
материала для "первой" стенки камеры, находящейся в непосредственном контакте
с плазмой. Первоначально это была нержавеющая сталь, однако она обладает суще-
существенным недостатком. Входящие в нее атомы железа и никеля, попадая в рабочий
объём, ионизуются в горячей плазме до Z ~ 20 и тем самым резко увеличивают
потери на тормозное излучение, поскольку они растут ~ Z2. А значит, уровень
10.5. Проблема управляемого термоядерного синтеза (УТС) 543
примесей в рабочей зоне должен быть < 0, 1 %, чтобы не превосходить тормозное
излучение водорода. Поэтому поверхность первой стенки должна быть сделана из Li
или Be. В частности, первая стенка JET покрыта бериллием.
Всё сказанное выше даёт некоторое представление о многообразии проблем,
которые приходится решать. А к этому надо добавить разработку адекватных систем
нагрева плазмы и ввода рабочего вещества, систем диагностики, способных работать
в условиях мощных потоков нейтронов и 7"излУчении- Необходимо также создать
комплекс роботов, способных ремонтировать такой реактор, а также систему генера-
генерации трития, которого нет в природе в заметных количествах и т.д.
Генерацию трития сейчас предполагается осуществить с помощью "бланкета"
("одеяла"), который окружает со всех сторон камеру с плазмой. Толщина бланкета
~ 1 м, а внутри него находится в той или иной форме литий (Li), который пере-
перехватывает нейтроны, образующиеся при слиянии D и Т. В результате в бланкете
происходит реакция с образованием трития
Тритий откачивается и поступает, так или иначе, в зону реакции.
Мы перечислили принципиальные конструктивные разработки, которые были
выполнены за прошедшее время. Естественно, был выполнен огромный объём экс-
экспериментальных, теоретических и численных исследований. Однако пока нельзя
сказать, что все ясно. Это видно хотя бы по тому, что в основе проектирования круп-
крупных установок лежат скейлинги, о которых говорилось в главе 5, а не бесспорные
теоретические модели.
Заканчивая краткий обзор основных достижений за прошедшие почти 50 лет
изучения и совершенствования токамаков отметим, что же дали эти работы с точки
зрения конечной цели — создания стационарного промышленного реактора синтеза
на DT-смеси.
Сейчас нет проблем с нагревом электронов до нескольких десятков кэВ. Инжек-
ция нейтралов позволяет получать потоки частиц с энергией до A— 2) МэВ.
Однако при нужных значениях плотности (п ~ 1014см~3) и температуры Т^ ~
~ Те ~ ЮкэВ пока не удается получить нужные времена удержания те.
Тем не менее уже продемонстрирована возможность получения на токамаках
достаточно мощного ядерного энерговыделения. Лучшее, что было сделано, так это
на JET, где в течении нескольких секунд была получена на смеси DT мощность
реакции ~ 17 МВт.
А что дальше?
Предположим, что дальнейшее изучение токамаков, в том числе ИТЭР, не
принесет принципиальных трудностей, и поэтому затраты времени на развитие
токамак-энергетики будут минимальны. По предварительным оценкам собственно
строительство ИТЭРа потребует около 10 лет. Порядка 5 лет потребуется на освоение
этой установки и ввода ее в режим. Предполагается, что полномасштабные испы-
испытания с использованием трития займут около 10 лет. Однако эти испытания будут
проводиться относительно короткими импульсами ~ 1000с, т.е. перед ИТЭРом не
ставится задача непрерывной длительной работы. Вскоре после выяснения основных
особенностей работы ИТЭРа должна быть спроектирована и создана установка
ДЕМО, параметры которой близки к ИТЭРу, но которая должна будет работать в ре-
режиме непрерывного горения дейтериево-тритиевой смеси, нагреваемой а-частицами,
образуемыми после реакции. Этот реактор будет работать в циклическом режиме,
при этом время непрерывной работы ~ 1 —10 дней. Общее время работы ДЕМО
предполагается ~ 8 лет без смены элементов. Заметим, что термоядерная мощность
ДЕМО предполагается равной 2,44 ГВт. Взяв для ориентировки 10 лет для создания
544 Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
и изучения ДЕМО, мы видим, что потребуется 35-40 лет для того, чтобы приступить
к созданию серийных промышленных электростанций на базе токамаков. А это ещё
потребует минимум 10 лет. Так пройдёт около 50-ти лет, и вполне естественно,
что целый ряд стран, не вошедших в свое время в программу ИТЭР, будет искать
свои пути решения термоядерной проблемы, а здесь имеются большие возможности.
Прежде всего, это непрерывно растущая мощность компьютеров, что позволит су-
существенно сократить время на эксперименты. Далее: токамаки имеют — особенно
в перспективе, два существенных недостатка. Во-первых, токамаки, имея малое /3,
порядка 5%, ориентированы сейчас на работу с D-T смесью, что соответствует,
как мы уже говорили, температуре ~ ШкэВ и пте ~ 1014см~3с. В то же время,
программа УТС в свое время развивалась под знаменем реакции D-D, основанной
на дейтерии, находящемся в обычной воде. Но переход на D-D реакцию потребует
температуры ~ 50кэВ и пте ~ 1015см~3с. Если учесть, что сегодня B005 г.) не
достигнуты нужные параметры даже для D-T реакции, то ясно, что вероятность
создания токамаков, использующих D-D реакцию ничтожно мала. Но этого мало.
В токамаках и стеллараторах плазма погружена в сильное магнитное поле. При
температуре эллектронов ~ E0—60) кэВ и наличии сильного магнитного поля резко
возрастает синхротронное излучение, и это, скорее всего, и будет непреодолимым
препятствием для ловушек с C <С 1. Поэтому термоядерные реакторы на D-D должны
иметь C ^ 1, т.е. в основном объёме плазмы магнитное поле должно практически
отсутствовать. Иными словами, если речь идет о ловушках с магнитным удержанием,
это должны быть магнитные баллоны, а не ловушки с малым /3.
Второй причиной, стимулирующей поиск новых схем термоядерных реакторов,
является явное несоответствие между параметрами ИТЭРа и принципиально воз-
возможными параметрами ловушек с /3 = 1 и классическими переносами при тех же
Т и пте. Известно, что рано или поздно технические устройства в своей эволюции
выходят на физический предел. Естественно ожидать, что такой же выход на предел
(/3 ~ 1, классические переносы) произойдет и в случае систем УТС еще до момента
превращения ДЕМО в промышленные системы.
10.6. От генераторов многозарядных ионов к острову
стабильности и черным дырам в эксперименте
В этом последнем параграфе книги мы рассмотрим методы получения тяже-
тяжелых ионов с Z > 1 вплоть до водородоподобных и вообще лишенных электронов
и опишем сделанные с их помощью два крупнейших шага в познании нашего
мира, которые со временем приведут буквально к фантастическим технологиям. Речь
будет идти о синтезе далеких трансурановых элементов и о создании мельчайших
"черных дыр". Оба эти достижения связаны с разгоном до больших скоростей мно-
многозарядных ионов на специальных ускорителях заряженный частиц. Трансурановые
элементы (с Z > 92) создавались преимущественно в Беркли (Калифорния, США)
и в Дубне (СССР-Россия) 0 с использованием весьма изощренной технологии по-
получения и идентификации единичных атомов новых элементов. Синтез "микродыр"
был в начале осуществлен в ЦЕРН'е (Швейцария), а затем и в Брукхэвине (США).
Использованные для указанных целей ускорители не входят в круг рассматри-
рассматриваемых здесь плазменных систем, но их "сердцем", как сказал академик Георгий
Николаевич Флеров — создатель трансурановой физики в нашей стране, является
источник многозарядных ионов.
1) Определенный вклад в эти достижения позднее внесли ученые в г. Гессене (Германия).
10.6. От генераторов многозарядных ионов к острову стабильности
545
10.6.1. Источники многозарядных (Z> 1) ионов. Выше, как правило, име-
имелись в виду однократно ионизованные ионы, к которым могли "случайно" приме-
примешиваться двукратно ионизованные частицы, как например, в СПД. В предыдущем
параграфе, посвященном токамакам, упоминались ионы тяжелых элементов cZ»
^> 1 (вплоть до полной потери электронов). Там они фигурировали как "грязь", как
нежелательная примесь.
Однако существуют случаи, когда ионы с большой кратностью ионизации (Z > 1)
принципиально необходимы. Здесь мы коротко остановимся на схемах получения
таких ионов. Эти ионы в соответствующих ускорителях заряженных частиц приоб-
приобретают энергию пропорциональную Z, что позволяет добиться принципиально новых
результатов. Об этом будет сказано в следующих пунктах этого раздела. А пока
коротко скажем о способах получения таких ионов.
Существующие методы получения многозарядных (вплоть до полной обдирки
электронов) ионов естественно разбиваются на две группы.
В первой группе обдирка осуществляется при прохождении достаточно быстро
летящей частицы через фольгу подходящей толщины. Начинается этот процесс
в каком-либо плазменном объёме, где нейтральные атомы приобретают небольшой
заряд Z. Затем они ускоряются до энергии обычно мэвного масштаба и проходят
через фольгу. Часть из них теряется, а остальные приобретают заряд Z2 > Z\.
"Выжившие" ионы снова ускоряются и снова проходят через фольгу. Появляются
ионы с Z% > Z2 и т. д. Этот метод используется при генерации микрокапель кварк-
глюонной плазмы (КГ.П), о чем речь будет в п. 10.6.3.
Другую группу образуют более традиционные методы, в которых используется
сравнительно редкая плазма. Эти методы более универсальны, и им мы уделим
больше внимания. В частности, они применяются в системах синтеза далёких транс-
трансурановых элементов.
Особенности многократной ионизации в относительно редкой плазме. Пер-
Первое, с чем здесь приходится сталкиваться — это большие потенциалы ионизации
Iz^z+\ ~ Z2. На рисунке 10.6.1 представлены значения потенциалов ионизации для
всех степеней ионизации всех элементов. Здесь каждая изломанная линия соответ-
соответствует определенной степени ионизации, указанной на левом конце линии.
10
20
30
70
80
90 100
40 50 60
Атомный номер Z
Рис. 10.6.1. Потенциалы ионизации многозарядных ионов всех элементов [46]
18 А. И. Морозов
546
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
Как видно, потенциал фиксированной степени ионизации Iz убывает, с ростом
Z^ — номера элемента в таблице Менделеева. Однако величина Iz^z+\ быстро растёт
с увеличением Z при Z\i = const. Так, для получения урана U+92 необходима энергия
?i ~ /gi-92 ~200кэВ.
Но этим трудности не ограничиваются. Сечение ионизации с ростом Z убывают
(Ti ~ Z~\
а, соответственно, скорость ионизации
Z
-з
1/2 1/2
так как ve ~ ее' ~ lz'^z^x. Далее, генерация ионов с Z > 1 в основном идет путем
последовательной ионизации. Поэтому время, необходимое для достижения нужной
степени Z, определяется очевидным выражением
1
nerz =
A0.6.1)
Соотношение A0.6.1) аналогично критерию Лоусона. Величина А — минимальная
для данных Z^, Z, ее. Реальное требование к источнику должно быть записано в виде
nerz > A.
Учитывая, что а ~ Z~4 нетрудно убедиться,
что А — большая величина, если Z > 1. Об этом
говорят кривые (Z, г) для урана (рис. 10.6.2).
Они, правда, определены не для пте, а для А\ =
— jeTz, т- е. А\ = eveA. Целесообразность перехо-
перехода на плотность электронного потока связана со
спецификой ионного источника ИИЭП, о которой
будет сказано ниже. Как видно на рис. 10.6.2,
кривые A\(Z, ee), как и кривые Лоусона, также
имеют минимум A*(Z, se)m-in для каждого Z.
Видно, что для достижения нужной кратности за-
заряда Z, ионы должны достаточно долго находить-
находиться в источнике. Об этом же говорят и графики
рис. 10.6.3. Таким образом, источники многоза-
многозарядных ионов должны быть сравнительно хоро-
хорошими ловушками. Здесь на рисунке 10.6.4 демон-
демонстрируются в координатах (пет^-?е), достигнутые
к настоящему времени характеристики разных ти-
типов источников.
Ниже мы рассмотрим подробнее схемы трех
типов. Одна из них — схема источника с осцилли-
осциллирующими электронами, имеет своим прототипом
"ячейку" Пеннинга, которая была создана в 1930-
х годах для ионизационных манометров. В даль-
дальнейшем, претерпев ряд существенных изменений,
эти ячейки превратились в весьма популярные
источники ионов для самых различных целей.
Источники этого типа получили собирательное название PIG-источники (PIG —
Penning Jonization Giange). Эта схема источников оказалась удобной, в частности,
и для получения ионов с Z ^ 10—15.
1 Л25
10
ю24
ю23
1022
1021
ю20
1019
1 /\18
10 5
ю17
Щ1б
j%i, К Л/СМ2
\
*"
V
у
/
у/
92+
У
УУ
'%
У
/
у
/
80+
'7Л+
60
40+
30+
^20+
10+
ю-1 1 ю ю2 ю3 ю4
Е, кэВ
Рис. 10.6.2. Зависимость jn от
энергии электронов при разных
степенях ионизации [46]
10.6. От генераторов многозарядных ионов к острову стабильности
547
10^ 10^ 10^ 10^ 10^ 10^* 10^ 10^ 10^
j%i, Клгсм
Рис. 10.6.3. Зависимость jn от энергии электронов для 5 элементов: Ne, Аг, Кг, Хе, U [46]
6
5
РР
¦-PI-J"
ИИЭЦР1 1
: (холодный --:— ----- *
: катод), PIG (горячий
¦ Дуоплазматрон ¦
]
] ]
ииэп,—
,«.--- ----------
¦ Лазер
] ]
i i
Г"
j \
Токамак
i i
i
90Н
"ff
В
ь
—DT—
?рмояд.
еактор_
i
2|
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
lgwxi {п%ь см-3-с)
Рис. 10.6.4. Возможности разных ионных источников в координатах (пгг-ее). ЭЦР-источник
на электронном циклотронном резонансе [46]
Второй интересующий нас тип источников многозарядных ионов, это так назы-
называемый ИИЭП — ионный источник с электронным пучком, созданный Е. Д. Донцом
в 1967 г.
Наконец, третий тип источников многозарядных ионов был разработан под влия-
влиянием исследований магнитных ловушек для УТС, в которых "сами собой" получались
хорошо "ободранные" ионы тяжёлых примесей. И это естественно, поскольку в таких
ловушках достигаются большие Те и большие времена удержания.
PIG-источники [268]. Эти источники были разработаны в двух вариантах. Пер-
Первый из них был предназначен для получения ионов с Z = 8 из газообразного ^о^е'
второй — ионов с Z = 13 из твёрдого кальция f^Ca.
Ионы неона использовались для получения трансуранов с номером Z^ до 113,
а ионы кальция — для синтеза трансуранов вплоть до Z^ = 118.
18*
548
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
Л
Рис. 10.6.5. Схема PIG — источника ионов
Рис. 10.6.6. Ионный источник Б. Н. Ма-
Макова (Дубна). 1 — нить вспомогательного
источника электронов, 2 — катод, 3 —
плазменный шнур, 4 — подача газа, 5 —
распыляемая вставка, 6 — окошко, 7 —
анод, 8 - антикатод; стрелками показано
направление силовых линий магнитного
поля
Типичная схема PIG приведена на
рис. 10.6.5. Здесь 1 — цилиндрический
анод; 2 — накаленный катод; 3 — "отра-
"отражатель"; 4 — щель в аноде, через которую
вытягиваются положительные ионы с по-
помощью ионно-оптической системы 5, 6 —
распыляемая вставка. Этот источник поме-
помещается в сильное продольное магнитное по-
поле. Особенностью этого источника является
наличие отражательного электрода 3, ко-
который находится под потенциалом катода.
Поэтому электроны эмиттированные като-
катодом и ускоренные в прикатодном скачке,
пройдя вдоль магнитного поля, отражаются
отражателем и достаточно долго осцилли-
осциллируют в разряде, медленно диффузируя через
магнитное поле к цилиндрическому аноду.
По отношению к аноду центральная часть
плазменного объёма имеет отрицательный
потенциал, и поэтому она удерживает ионы
в течение времени порядка времени свобод-
свободного пробега ионов по отношению к столк-
столкновениям их друг с другом.
На рис. 10.6.6 изображен источник мно-
многозарядных ионов, созданный Б. Н. Мако-
Маковым. Конструктивной особенностью этого
источника является катод, нагреваемый за
счет бомбардировки электронами, эмитируемыми вспомогательной раскаленной ни-
нитью 1. Использование такой схемы нагрева позволило добиться большого срока рабо-
работы без переборки. Этот источник может работать как на газообразных рабочих телах,
так и на твёрдотельных. Для этого в анод вставляют выступающий кусок металла.
10.6. От генераторов многозарядных ионов к острову стабильности
549
Плазменный шнур "лижет" его и заставляет метан "распыляться". Образующиеся
атомы попадают в плазму, где они ионизируются.
Источник ионов с электронным пучком (ИИЭП) Е. Донца [269]. Схема этого
источника изображена на рис. 10.6.7. Его конструктивная схема имеет много общего
со схемой PIG. Здесь также ионы и электроны движутся вдоль магнитного поля, но
в отличие от PIG здесь поле может достигать уровня 10 Тл, и оно часто создается
с помощью сверхпроводящих катушек. Анод здесь также цилиндрический, но его
длина достигает 1 м и более, и он секционирован. Число секций ~ 20. Это позволяет
варьировать распределение потенциала вдоль цепочки секций. Вместо относительно
простого катода PIG здесь на одном конце секционированной трубы помещается
высоковольтный интенсивный источник электронов. Плотность электронного потока
> 100А/см2, хотя диаметр пучка небольшой ^ 1мм. На другом конце системы
помещается приемник электронного пучка.
ИИЭП работает импульсами. Сценарии могут быть разные, но вот простейший.
В канал, при включенном магнитном поле и работающей электронной пушке,
впрыскивается из вспомогательного источника струя слабоионизованных частиц. При
этом на противоположный конец трубы подается положительный потенциал, который
отражает ионы и не позволяет им выйти из ИИЭП. Образовавшиеся ионы начинают
ионизоваться и двигаются назад. К моменту их подхода к месту начальной инжекции
потенциал концевой секции возрастает, и ионы отражаются и т.д. Таким образом,
создается ловушка с электростатическими пробками.
Когда ионизация достигает нужного уровня, одна из пробок выключается и ионы
выходят из ловушки.
б в
Рис. 10.6.7. Схема ИИЭП "Крион-2" Е.Д. Донца, а — распределение магнитного поля; б —
распределение потенциала вдоль пролетной трубы в режиме удержания ионов; в — то же
в режиме вывода ионов; ЭП — электронная пушка, 1-25 — секции пролетной трубы, КЭ —
коллектор электронов, ВЭ — вытягивающий электрод
ЭЦР-источники многозарядных ионов [270]. Это источники, в которых процесс
нагрева электронов осуществляется за счет электронного циклотронного резонанса
в магнитном поле пробочной ловушки. Схема такого источника изображена на
рисунке 10.6.8.
В этой пробочной ловушке используется стабилизация конвективной неустойчи-
неустойчивости фактически по схеме "палок Иоффе". Отличие носит чисто технический харак-
характер: вместо квадрипольного стабилизирующего поля используется шестиполосное,
и создается оно не проводниками с током, а полосовыми постоянными магнитами из
самарий-кобальтового сплава.
550
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
2-я ступень
Шестиполюсная
Катушки И Н система
^^.Вытягивающая
система
0 25 м
Рис. 10.6.8. Ионный источник на электронном циклотронном резонансе (ЭЦР): 1 — подача
холодной плазмы, 2 — подача СВЧ мощности для основной ступени
Разработка ЭЦР-источников началась в нескольких лабораториях в 1972-74 гг,
и к настоящему времени они достигли весьма совершенного уровня и находят
применение в различных физических лабораториях Америки и Европы. В 1985 году
в Америке (в Беркли, в лаборатории им. Лоуренса) с помощью ЭЦР-источника были
получены водородоподобные (U+91) и гелиоподобные (U+90) ионы урана.
10.6.2. На пути к острову стабильности. До 1940 года таблица Д. И. Мен-
Менделеева кончалась 92-м элементом — ураном. В 1940-м году путем бомбардиров-
бомбардировки нейтронами урана в Беркли получают два трансурановых элемента: нептуний
(gsNp) и плутоний (94PU). Атомные реакторы позволили достаточно быстро получить
элементы от америция с Z = 95 до калифорния Z = 98. С большим трудом
в 1952 году путем переработки продуктов термоядерного взрыва на атолле Бикини
выделяют атомы эйнштейния (Z^ = 99) и фермия (Z = 100). Однако все попытки
продвинуться дальше подобным путем ни к чему не привели. Это связано с тем, что
движение от урана (или его классических соседей) ко все большим Z^ шло путем
последовательного захвата нейтронов, сопровождающегося затем /3-излучением. Но
с ростом Z^ время жизни ядер становится все меньше (см. табл. 10.3) — в основном
благодаря становящимся все более частым спонтанным делением ядер 0. И с неко-
некоторого критического Z* время жизни т* становится меньше времени захвата еще
одного нейтрона и дальнейший рост Z прекращается.
Казалось бы можно было успокоится: природа дальше Z^ = 100 не пускает.
Правда уже в 1955 году в Беркли синтезируют 17(!) атомов элемента с Z^ =
= 101, который будет назван менделевием (Md). Он был получен при бомбардировке
эйнштейния (дд3?^)а-частицами, разогнанными на небольшом циклотроне. Этот
эксперимент был важен тем, что впервые для создания далеких трансуранов были
использована бомбардировка тяжелой мишени многочастичными ионами
253
99
- 256ЛЛН
- mima
Наряду с этим еще одно обстоятельство не давало покоя. В 1950-х годах анализ
устойчивости изотопов разных элементов таблицы Д. И. Менделеева привел к вы-
*) Спонтанное деление ядер урана было открыто советскими физиками Г. Н. Флёровым
и Петржаком в 1939 г.
10.6. От генераторов многозарядных ионов к острову стабильности
551
воду о существовании магических чисел протонов и нейтронов, при которых ядра
особенно устойчивы. Примером могут служить ядра с дважды магическими числами:
ядра гелия (Z^ = 2, N = 2 нейтрона), кислорода (ZM = 8, N = 8), кальция
(ZM = 20, N = 20), свинца (ZM = 82, N = 126).
Существование магических чисел указывало на наличие в ядре структур, которые
условно — но только условно, можно назвать "оболочками". Здесь ситуация напоми-
напоминает ту, которая имеет место в атомах, в которых заполнение электронных оболочек
приводит к инертным газам. Итак, определив закономерность появления магических
чисел, ученые пришли к выводу, что за ураном будет ядро с дважды "магическими
числами" Z^ = 114 и TV = 184. Поэтому вблизи этих чисел должен появиться
"остров стабильности", по отношению к спонтанному делению. Совершенно очевидно,
что овладение этим "островом стабильности" сулит массу нового и неожиданного.
Так появилась цель дальнейшего продвижения в области Z^ ~ 114—116.
Но как это сделать? Идея фактически уже была, и она была продемонстриро-
продемонстрирована при синтезе менделевия Md. А именно, надо взять достаточно тяжелые ядра
и столкнуть их с другими тяжелым ядром, при этом числа нейтронов (N\ и ЛГ2)
у сталкивающих частиц должен быть как можно больше, т. к. рост числа нейтронов
N в ядрах обгоняет рост числа протонов Z^. Так, у гелия при Z^ = 2 величина N =
= 2, а в ядре урана при Z^ = 92, число нейтронов в ядре основного изотопа (g^U)
равно N = 146. Идя таким путем, в Беркли были синтезированы элементы с Z^ =
= 102 (нобелий, 1958 г.) и ^ = 103 (лоуренсий, 1961г.). Там же были сделаны
заявки на открытие ряда последующих элементов. Однако они были не вполне
убедительны. Темп и, главное, надежность получаемых результатов резко возросла,
когда в начале 60-х годов академиком Георгием Николаевичем Флеровым A913-
1990) в г. Дубна в Объединенном институте ядерных исследований (ОИЯИ) была
основана лаборатория синтеза трансуранов. Вскоре в этой лаборатории создается
самый мощный в мире ускоритель тяжелых ионов. Рабочими веществами становятся
обогащенные нейтронами изотопы сначала неона igNe, а в последствии кальция 2(jCa.
Уже в 1968-69 гг. с помощью неона-22 синтезируется новый элемент z Z[l= 104,
а затем в 1970 и элемент z Z[l= 105. Практически одновременно атомы этих элемен-
элементов были получены в Беркли под руководством А. Гиарсо. Позднее международной
организацией химиков элемент 104 был назван резерфордием, а 104 назван дубнием.
Далее последовательно были получены элементы вплоть до 113-го и при этом,
как и ожидалось, с увеличением Z быстро сокращалось общее время жизни, хотя
после 108 по отношению к спонтанному делению оно начало расти. Все ждали, что
же покажут 114-й и 116-й элементы. Элемент 114-й был синтезирован в Дубне
Таблица 10.3
93
94
95
96
97
98
99
100
101
Названия
Нептуний
Плутоний
Америций
Кюрий
Берклий
Калифоний
Эйнштейний
Фермий
Менделевий
Символ
Np
Pu
Am
Cm
Bk
Cf
Es
Fm
Md
max
2-106 г
8-107 г
7400 г
l,5-107 г
1400 г
900 г
275 дн
100 дн
51 дн
на рубеже 1998-1999 г. Мишенью служил обогащенный нейтронами плутоний
552
Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
который облучался ионами кальция
из реакций
^4pu+;
, также обогащенными нейтронами. Вот одна
289
114
Несколько позднее были синтезированы ядра 116-го элемента. И тут оказалось, что
ряд изотопов 114-го, а тем более 116-го элемента, имеет по отношению к спон-
спонтанному делению очень большое время жизни тд. Во всяком случае измеряемые
многими годами. В то же время эти далекие трансураны оказались подверженными
интенсивным а-распадам. И типичная ситуация выглядит так, как показано на схеме
A14) -^» A12) -^» (ПО) —> спонтанное деление.
Синтезированные к сегодняшнему дню далекие трансураны имеют дефицит ней-
нейтронов. Это хорошо видно на рисунке 10.6.9. Здесь представлены в координатах
(ZM,7V) теоретически рассчитанные линии тс.р. = const, т.е. линии постоянной вре-
времени жизни по отношению к спонтанному распаду. Здесь же отмечены координаты
синтезированных изотопов. Видно, что они находятся вблизи подножья пика устой-
устойчивости, и все из-за недостатка нейтронов. А его устранить пока не могут. Надежно
установлен синтез ядер с Z^ 115, хотя есть указания, что были созданы ядра
с Zn ^ 118, но пока это не всеми признано.
114
о. Стабильности
Урановая верш и на
пик Свинца ~^%,
о. Тяжёлых
Ядер
Радиоактивности
пик Олова
50
20
пик
Кальция
20
50
184
126
число нейтронов
Рис. 10.6.9. Условное изображение в координатах N,Z^ области стабильности и нестабиль-
нестабильности изотопов по отношению к спонтанному распаду. "Горные вершины" соответствуют
устойчивым изотопам
Тем не менее существование "острова стабильности" не вызывает теперь сомне-
сомнения.
10.6. От генераторов многозарядных ионов к острову стабильности 553
10.6.3. "Черные дыры" в лаборатории [270]. Появление в 50-х годах XX века
ускорителей, способных сообщать частицам энергии более гигавольта A09эВ) О
и создание адекватных систем наблюдения траекторий частиц и их анализа привели
к неожиданному результату. Началось открытие всё новых и новых короткоживущих
частиц, которые, по существовавшим тогда представлениям, должны были быть
признаны элементарными. Сравнительно скоро число такого рода частиц, способных
к сильным взаимодействиям, перевалило через сотню. Стало ясно, что подавляющая
масса этих частиц является возбужденными состояниями систем из "по настоящему
элементарных частиц", которые, не уточняя, что же это такое, Р. Фейнман назвал
"партонами". Но подлинную ясность в этот вопрос независимо друг от друга внесли
в 1964 году М. Гелл-Ман и Дж. Цвейг, которые показали, что все известные тогда
частицы с сильным взаимодействием можно систематизировать, если ввести три
субчастицы с дробным зарядом, которые Гелл-Ман назвал "кварками". Позднее было
показано, исходя из достаточно общих соображений, и в согласии с экспериментом,
что всего кварков 6 типов, но последние три кварка образуют только короткоживу-
щие частицы. Поэтому ниже будем говорить только о первых трех кварках, которые
обозначаются как u-, d- и s-кварки. Им приписываются электрические заряды 2/3, —
— 1/3, 1/3. Естественно, что у этих кварков существуют антикварки (d, п, ~s) 2).
В частности, протон и нейтрон имеют следующие "кварковые формулы"
p=(u,u,d), n=(u,d,d).
Когда идея кварков овладела сознанием физиков, то начался интенсивный поиск
свободных кварков. Их искали и в атомных реакторах, и в продуктах взаимодействия
ускоренных частиц с разными мишенями, в морских глубинах и на вершинах гор на
станциях, изучающих космические лучи. И нигде свободные кварки обнаружены не
были. И тогда сформировался закон: кварки принципиально объединены в группы
с целым электрическим зарядом. Однако не все так просто. Оказывается в объёме,
скажем, протона (гр ~ 1016см) кварки могут двигаться почти свободно. Однако при
увеличении расстояния между ними силы взаимопритяжения растут и система двух
кварков не может принять макроразмеры.
Описанное явление получило название конфайнмента ("удержание") кварков.
Специфические силы, удерживающие кварки, обязаны так называемым глюонам
(glue — клей), которые несколько напоминают фотоны в обычном электромагнитном
взаимодействии. Но глюоны взаимодействуют друг с другом, в отличие от фотонов,
которые непосредственно не взаимодействуют друг с другом. Но вот что в свое время
предсказали теоретики. Если сжать вещество до плотности и ~ 1010см~3 и иметь
при этом температуру Т > 300 МэВ, то кварки начинают гулять по всему объёму
тела, а глюконы этому не препятствуют. Возникающая структура была названа
"кварк-глюонной плазмой" (КГП). Естественно возникла идея, что вещество внутри
черных дыр находится именно в виде КГП. Но опять-таки уже давно высказывалось
предположение, что черные дыры сродни тому образованию, которое существовало
на начальной стадии Вселенной Большого Взрыва. И вот вопрос: а нельзя ли
получить, столкнув при большой энергии ядра тяжелых элементов, приведенные
выше значения плотности и температуры? Оценки показали, что это возможно уже
с имеющейся техникой, хотя это не просто.
) Эйнштейновская энергия протона г = трс « 0, 9ГэВ.
2) Кроме того, каждый из кварков имеет еще специфическое квантовое число, называемое
условно "цветом". Этих квантовых числе 3.
554 Гл. 10. Примеры современных плазменных технологий
Итак, достаточно неожиданно появилась возможность получить микрокаплю
кгп.
Работа по осуществлению такого эксперимента в Европейском центре ядерных
исследований (ЦЕРН — окрестность Женевы) началась в 1994 году, а уже в начале
2000 года были подведены итоги. Не касаясь практически невероятной изощренности
экспериментов, когда надо было на уровне мощного фона выявить образование
микрокапель КГП, опишем вкратце, что было сделано.
В качестве разгоняемых частиц были взяты практически полностью лишенные
электронов ионы свинца. Эти ионы попадали в ускоритель, где они ускорялись до
энергии 33000 ГэВ и затем летели на тонкую свинцовую мишень.
При лобовом столкновении частиц образуются микрокапли КГП, которые очень
быстро охлаждаются, испуская энергичные фотоны и в конце превращаются в поток
тяжелых частиц со стандартными наборами кварков, связанных глюонами. Наблю-
Наблюдения фотонов, излучаемых на стадии КГП, свойства которых были рассчитаны,
и являются наиболее прямым и наглядным подтверждением образования нужного
объекта. Кроме этого диагностического показателя, образование КГП проявляется
и в особенностях генерации других частиц.
Предварительные результаты получения и исследования КГП в ЦЕРНе были
подтверждены в 2001 и последующих годах в Брукхэвене (США) с использованием
самой мощной в мире установки для изучения реакций со встречными тяжелыми
пучками (RHIC — Relativistic Ion Collider). Эксперименты проводились с ионами
золота, энергия которых была на порядок больше, чем в ЦЕРНе. В результате сейчас
не осталось сомнений в том, что кварк-глюонную плазму действительно удается
получить в лаборатории.
Итак, с помощью многозарядных ионов началось моделирование эволюции Все-
Вселенной.
Приложение А
ЗАМЕЧАНИЯ О ТОПОЛОГИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
В. И. Илъгисонис, Институт Ядерного Синтеза, Курчатовский Институт
Ключевые черты магнитного поля определяются его соленоидальностью
divB = 0. (А.0.2)
В окрестности произвольной точки пространства уравнение (А.0.2) может быть
разрешено в виде
В = [V/z,W], (А.0.3)
где /i и v — некоторые различные функции пространства и времени (потенциа-
(потенциалы Клебша или просто клебши). Для простоты рассмотрим статический случай.
Представление (А.0.3), заведомо справедливое локально, может не иметь место во
всем пространстве для магнитного поля произвольной топологии. Действительно,
пусть представление (А.0.3) справедливо в окрестности некоторой точки с радиус-
вектором го. Тогда, поскольку
B-V/i = BVu = 0 , (А.0.4)
то силовая линия магнитного поля, проходящая через точку г0, лежит на поверх-
поверхностях /i(r) = const = /i(ro), v(r) = const = ^(i*o), т.е. служит пересечением этих
поверхностей. Такое пересечение может быть либо замкнутой линией, либо лини-
линией, концы которой лежат на бесконечности. Таким образом, представление (А.0.3)
непригодно для описания магнитных полей, силовые линии которых покрывают некие
поверхности или эргодически заполняют объём. Общность представления (А.0.3) мо-
может быть расширена, если считать /i и v многозначными функциями в пространстве,
однако в этом случае наглядность (А.0.3) зачастую теряется, и работать с этим
представлением (особенно в нестационарном случае) становится неудобно.
Вместе с тем математическое обобщение (А.0.3) на поля любой топологии не
вызывает трудностей. Действительно, введём триаду координат, вообще говоря, кри-
криволинейных {аг(г)}, г= 1,2,3, и связанный с ней базис, образованный единичными
векторами
L 2 Va] Г з
" ' jy "LV ' v J v " D(x\x\x*Y
Здесь J — якобиан. Данная триада невырождена при J ^ 0. Разложив вектор В по
этому базису в виде
з
В = Y^ AlJei = Al[Va2, Va3} + A2[Va3, Va1] + ^[Va1, Va2] , (A.0.5)
i=\
556 Прил. А. Замечания о топологии магнитного поля (В. И. Ильгисонис)
получим, что коэффициенты Аг как функции координат а1 ...а3 обеспечивают соле-
ноидальность тогда и только тогда, когда
дА1 дА2 дА3 А /ЛА?:ч
+ + 0 А06
так как [Х7аг,Х7аг] =0. Коэффициенты Аг и соответствующие им компоненты маг-
магнитного поля заданы в пространстве однозначно.
Представление (А.0.5) позволяет наглядно проиллюстрировать возможные раз-
различия в топологии магнитного поля. Действительно, пусть А1 = А2 = 0. Тогда
представление (А.0.5) сводится к (А.0.3):
В = [А3(а\а2)Х7а\Х7а2},
поскольку в качестве /i и v можно выбрать, например,
а2
ц = а\ и= \ A3(a\x)dx . (А.0.7)
В этом случае силовые линии магнитного поля, как отмечалось выше, либо замкну-
замкнуты, либо приходят из бесконечности и уходят на бесконечность. Пусть теперь лишь
один из коэффициентов в представлении (А.0.5) равен нулю, скажем, А1 = 0. В этом
случае вместо (А.0.4) имеем B-Va1 = 0, т.е. силовые линии магнитного поля лежат
на поверхности а1 = const. Наконец, для описания полей существенно трёхмерной
топологии в разложении (А.0.5) должны присутствовать все 3 члена.
Рассмотрим подробнее структуру магнитного поля, силовые линии которого фор-
формируют систему тороидально-вложенных магнитных поверхностей; именно на полях
такой топологии основана, главным образом, концепция магнитного УТС. Возмож-
Возможность создания магнитных полей с такой структурой силовых линий отнюдь не явля-
является очевидной. На заре термоядерных исследований было показано, что магнитные
поля с топологией тороидально-вложенных поверхностей могут быть созданы токами
определенной симметрии: аксиальной и/или винтовой. Поскольку какие-то наруше-
нарушения симметрии неизбежны в любой реальной конструкции, вопрос о возможности
создания полей искомой топологии в отсутствие точной симметрии продолжает
оставаться актуальным и поныне. Отметим, что представление (А.0.5) позволяет
ответить на этот вопрос положительно. Действительно, используя преобразования
координат, аналогичные (А.0.7), запишем выражение для В в виде
В = [Щ, V0] - q[Vi/>, Vip]. (A.0.8)
Здесь ф — индекс магнитной поверхности. Функции (ф, 0, ср) всегда могут быть
выбраны так, чтобы величина q была бы "поверхностной" функцией, q = q(ijj).
Проводя аналогию с токамаком, заметим, что величины вир играют в (А.0.8) роль
тороидальной и полоидальной угловых координат соответственно. В этом случае
формальное сведение (А.0.8) к (А.0.3) в виде ^ —> /i, в — qcp ^ u в классе однознач-
однозначных в пространстве и угловых переменных не проходит. Подчеркнем еще раз, что
представление (А.0.8) само по себе не предполагает аксиальной или какой-либо иной
симметрии; магнитные поверхности ф(г) = const могут быть вполне произвольны.
Таким образом, ответ на поставленный вопрос может быть получен из решения
обратной задачи: рассматривая 0 и (р в качестве аналогов координат в полоидальном
и тороидальном направлении и выбирая в качестве ф произвольную функцию коорди-
координат, точки максимумов/минимумов которой локализованы в пространстве (например,
лежат на замкнутой кривой - магнитной оси системы), получим, что силовые линии
Прил. А. Замечания о топологии магнитного поля (В. И. Ильгисонис) 557
магнитного поля (А.0.8) лежат на поверхностях ф = const. Такое поле В формируется
электрическими токами с пространственной плотностью
j = -^rotB . (A.0.9)
4тг
Тем самым, вместо угадывания искомого распределения токов и последующей про-
проверки топологии магнитных силовых линий, можно задать магнитные поверхности
подходящей формы и рассчитать токи, необходимые для создания соответствующего
магнитного поля. Поясним сказанное на примере.
Возьмём в качестве исходной конфигурации простейший набор вложенных торов
круглого сечения, описываемый в цилиндрических координатах {г, 9, z} уравнением
ф = В0((г - г0J + z2) = const , (А.0.10)
где Bq - некоторое характерное значение магнитного поля, а го - радиус магнитной
оси. Для описания тороидального поля в форме (А.0.8) выберем полоидальную
координату естественным образом,
ю = arctg , (А.0.11)
г-го
и — для определенности, — некоторую функцию q(i/j), например, в виде
q = const.
В этом случае компоненты магнитного поля (А.0.8) в цилиндрической системе
координат имеют вид:
R 2ZR
Dr = Щ ,
Г
Be = 2qB0, (A.0.12)
2(r-rp)
Bz = Bq .
Г
Силовые линии такого магнитного поля действительно образуют поверхности
(А.0.10), в чем легко убедиться прямой проверкой, трассируя уравнения (А.0.12).
На рис. А.0.10 представлены результаты такой численной трассировки в сечениях
0 = 0, тг/6, 5тг/3, Птг/6 (по сути — сечения Пуанкаре для силовых линий;
изображены следы 100 оборотов трех силовых линий в этих сечениях). Совершенно
очевидно, что, отказавшись от аксиальной симметрии, но сохранив замкнутость
поверхностей ф = const в полоидальном направлении, мы не нарушим тороидальную
вложенность этих поверхностей. Введём, для примера, тороидальную гофрировку,
модифицировав (А.0.10) следующим образом:
t/> = В0((г - г0J+ //(#)), (А.0.13)
где периодическая по 9 функция / неотрицательна. Тогда в соответствии с (А.0.8)
компоненты магнитного поля приобретают вид
558
Прил. А. Замечания о топологии магнитного поля (В. И. Ильгисонис)
в = 30
в= о
0,5 1,0
1,5
0
z
0,5
п п
и,и
0 5
,5
/
[
(
\
\
1
х«-—
г
,0
«ч,
J
\
\
J
у
\
1
1,
5
г
в= 300° 0= 330°
Рис. А.0.10. Результаты численной трассировки уравнения (А.0.12) при / = 1 в сечениях в =
= 0, тг/б, 5тг/3, Птг/б; изображены следы 100 оборотов трёх силовых линий в этих сечениях
= _J> 2(г - r0) - ^3
переходящий в (А.0.12) в пределе /^1. На рис. А.0.11 приведены результаты
трассирования поля (А.0.14) в тех же сечениях, что и на рис. А.0.10, для функции
/@) = 1 +0,3sin2<9
(А.0.15)
Как легко видеть, данные поверхности, не обладая непрерывной симметрией, тем
не менее, сохраняют вложенность в окрестности магнитной оси.
Нетрудно предложить и пример магнитного поля, спадающего на бесконечности,
но с магнитными поверхностями, охватывающими все пространство. Модифицируем
(А.0.13), обеспечив согласование магнитного потока при г —> 0 и г —> оо:
(А.0.16)
- ехр
Искомое магнитное поле, по-прежнему, дается (А.0.8); величины (р и f{0) заданы
(А.0.11) и (А.0.15) соответственно. На рис. А.0.12 приведены сечения поверхностей
(А.0.16) плоскостями О = 0 и О = Птг/6 с шагом по ф равным 5-10~2Д)г;).
Итак, асимметричные замкнутые магнитные поверхности существуют, причём
в некоторой части пространства (или даже всюду!) они вполне могут обладать топо-
топологией вложенных торов. Отдельно следует обсудить вопрос об их топологической
Прил. А. Замечания о топологии магнитного поля (В. И. Ильгисонис)
559
в = 3(Г
9=0
и
z
,5
/
\
(
\
\
1,
^--
/
ч
^^
"-—
0
)
"
ч
л
j
1
,5
г
0,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
1,5
0= 300° 0= 330°
Рис. А.0.11. Результаты численной трассировки уравнения (А.0.15) для / в сечениях 9 =
= 0, тг/б, 5тг/3, Птг/б; изображены следы 100 оборотов трёх силовых линий в этих сечениях
-2,0
0,0 3,0 0,0
Рис. А.0.12. Сечения поверхностей (А.0.16) плоскостями 9 = 0 и
равным 5 • 1О~2Д)Го
-2,0
= Птг/б с шагом по ф,
устойчивости. Общее представление (А.0.5) для магнитного поля позволяет сделать
немедленный вывод о топологической неустойчивости конфигураций с замкнутыми
силовыми линиями (А.0.3) и магнитными поверхностями (А.0.8), поскольку возмуще-
возмущение общего вида (А.0.5) способно нарушить исходные частные представления (А.0.3)
и (А.0.8). Система замкнутых силовых линий (А.0.3) наиболее неустойчива; на
практике нарушение структуры магнитных поверхностей (А.0.5) также, как правило,
связано с размыканием имеющихся в этой структуре замкнутых силовых линий
560 Прил. А. Замечания о топологии магнитного поля (В. И. Ильгисонис)
- с расщеплением магнитной оси и/или рациональных магнитных поверхностей.
При этом магнитные поверхности, в основном сохраняются, нарушается лишь их
вложенность. Однако в некоторых случаях возможно, разумеется, и разрушение
поверхностей как таковых с образованием стохастических слоев.
Топологическая структура магнитного поля в плазме или в другой жидкой среде
может меняться не только из-за внешних возмущений, но и из-за движения самой
среды. Однако в хорошо проводящей среде такие изменения затруднены.
В рамках идеальной магнитной гидродинамики представление (А.0.5) магнитного
поля сохраняется при движении среды, и созданная в некий начальный момент
времени структура магнитного поля эволюционирует без нарушения топологии си-
силовых линий, которые могут сколь угодно сильно растягиваться, изгибаться и пр.,
но не рваться и перезамыкаться. Последнее возможно лишь за счет диссипативных
процессов.
Приложение Б
ОБ ИНЕРЦИАЛЬНОМ УТС С ПОМОЩЬЮ ЛАЙНЕРОВ
Лазерный термояд встречает огромные технические трудности, связанные с необ-
необходимостью использовать систему параллельных лазеров, способных выдать в тече-
течение 3-10 не импульс излучения с энергией 10-20 МДж.
В ТРИНИТИ В. П. Смирновым в последнее время был предложен метод гене-
генерации рентгеновского излучения нужных параметров несравненно более простым
и дешевым способом, используя Z-пинч.
Рис. Б.0.1. Сверхбыстрые лайнеры и Z-пинчи для инерционного удержания. Мощные генерато-
генераторы наносекундного диапазона (V < 10MB, / < 20MA, t = 10—100нс). Внутренний лайнер —
полый цилиндр E0% агар-агар + 50% Мо, 150-300 мкг/см, радиус 2 мм). Внешний лайнер —
полая струя Хе A00-200мкг/см, радиус 16мм). Внешний лайнерэкранирует излучение из
полости в момент удара
Схема установки изображена на рис. Б.0.1. Её особенность состоит в том, что
используются два лайнера, внутри которых находится мишень. Внешний лайнер
диаметром ^Зсм подключен к электродам. Он образован полой струей ксенона.
Сегодня типичные параметры разряда через такой лайнер: Jp ~ 5-20 МА, время
разряда тр ~ 0,1-1 мкс, мощность разряда N ^5-50 ГВт. Под действием магнитного
поля такого разряда ксеноновая оболочка, сжимаясь, достигает скорости ~ 500 км/с
и сталкивается с внутренним лайнером диаметром ^4 мм. Возникающая при этом
в Хе сверхмощная ударная волна генерирует рентгеновское излучение, которое
достаточно изотропно (из-за соотношения длины / и диаметра d малого лайнера
l/d ^> 1) облучает мишень. При этом в рентгеновское излучение переходит до 1/3
энергии, вложенной в разряд через внешний лайнер. Эффективности нагрева мишени
способствует и запирание образующегося излучения ксеноновым лайнером.
Для зажигания реакции в мишени требуется разряд с энерговкладом ^50 МДж.
Список литературы
А. Учебники
1. Франк-Каменецкий Д. А. Плазма — четвертое состояние вещества. -М.: Гостатомиздат,
1961, -131с.
2. Голант В.Е., Жилинский А. П., Сахаров И.Е. Основы физики плазмы. -М.: Атомиздат,
1977, 384 с.
3. Кролл Н., Трайвелпис А. Основы физики плазмы. -М.: Мир, 1975, -525 с.
4. Смирнов Б.М. Физика слабоионизованного газа, -М.: Наука, 1978, -416 с.
5. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. -М.: Наука, 1992, -536 с.
6. Морозов А. И. Физические основы космических электрореактивных двигателей. -М.:
Атомиздат, 1978, -326 с.
7. Арцимович Л. А., Сагдеев Р. 3. Физика плазмы для физиков. -М.: Атомиздат, 1979,
-320 с.
8. Ковальский И.Г. Лукьянов СЮ. Горячая плазма и управляемый ядерный синтез. -М.:
Изд. МИФИ, 1999, -432 с.
9. Трубников Б. А. Теория плазмы. -М.: Энергоатомиздат, 1996, -464 с.
10. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. -М.: Наука, 1988, -303 с.
11. Кингсеп А. С. Введение в нелинейную физику плазмы, -М.: Изд. МФТИ, 1996, -205 с.
12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика. -М.: Наука, 1982.
13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, -М.: Наука, 1986, -733с.
14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. -М.: Наука, 1982, -620с.
15. Лифшиц Е.М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. -М.: Наука, 1972, -527 с.
16. Михайлов Д.Я. Курс общей астрофизики, М."Наука", 1979г.
П. Грибков В. А., Григорьев Ф.И., Калин Б. А., Якушин В. Я. Перспективные
радиационно-пучковые технологии обработки материалов, -М.: Изд.дом "Круглый год",
2001, -527 с.
18. Акишев Н.Н. Неравновесная плазма в плотных газах (физика, химия, техника и приме-
применение в экологии), -М.: МИФИ, 2002, -150с.
19. Фортов В.Е., Храпак А. Г., Якуба И. Т. Физика неидеальной плазмы. -М.: Физматгиз,
2004, -528 с.
Б. Монографии и сборники
20. Власов А. А. Теория многих частиц. -М-Л.: Гостехиздат, 1950, -345 с.
21. Альфвен X. Космическая электродинамика. -М.: Изд.иностр.лит. 1952, -291с.
22. Лаврентьев О. А. Ранняя история термоядерных исследований в СССР. -Препринт /ФИ-
АН. 1984.
23. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. Ред М. А Леонтович,
Тома I-IV. -М.: Изд.АН СССР, 1958.
24. Физика горячей плазмы и термоядерные реакции //Материалы П-й Женевской конфе-
конференции по мирному использованию атомной энергии. -М.: Атомиздат, 1959, -715 с.
25. Арцимович Л. А. Управляемые термоядерные реакции. -М.: Физматгиз. 1961, -468 с.
26. Арцимович Л. А. Замкнутые плазменные конфигурации. -М.: Наука, 1969, -160 с.
27. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродина-
гидродинамических явлений. -М.: Наука, 1966, -686 с.
Список литературы 563
28. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. -М.: Физматгиз, I960,
-552с.
29. Силин В. П., Рухадзе А. А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред.
-М.: Госатомиздат, 1961, -244 с.
30. Александров А.Ф., Рухадзе А. А. Лекции по электродинамике плазмоподобных сред.
-М.,: МГУ, 1999, -336с.
31. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. -М.: Атомиздат. Т.1, 1975,
Т.2, 1977.
32. Петвиашвили В. И., Пахотелов О. Л. Уединенные волны в плазме и атмосфере. -М.:
Энергоатомиздат, 1989, -199 с.
33. Незлин М. В., Снежкин Е. Н. Вихри Россби и спиральные структуры: Астрофизика
и физика плазмы в опытах на мелкой воде. -М.: Наука, 1990, -240 с.
34. Жданов С. К., Трубников Б. А. Квазигазовые неустойчивости среды. -М.: Наука, 1991,
-174с.
35. Тимофеев А. В. Резонансные явления в колебаниях плазмы. -М.: Физматлит, 2000,
-224 с.
36. Вопросы теории плазмы. Серия сборников под ред. М. А. Леонтовича и ф.-М.: Госа-
Госатомиздат. Издавались с 1963 по 2000 г.
37. Физика плазмы //Итоги науки и техники. Сборники — редактор В. Д. Шафранов. -М.:
ВИНИТИ. Издается с 1980 г.
38. Соловьев Л. С. Избранные труды в 2-х томах. -М.: Наука, 2001.
39. Кадомцев Б. Б. Избранные труды в 2-х томах. -М.: Физматлит, 2003.
40. Сигов Ю. С. Вычислительный эксперимент. Избранные труды. -М.: Физматлит. 2001.
41. Месяц Г. А. Импульсная энергетика и электроника. -М.: Наука, 2004, -704 с.
42. Никифоров А.Ф., Новиков В. Г., Уваров В. Б. Квантовостатистические модели высоко-
высокотемпературной плазмы, -М.: Физматлит, 2000, -399 с.
43. Прист Э., Форбс Г.. Магнитное пересоединение. -М.: Физматлит, 2005, -591 с.
44. Плазменные ускорители. Под общей ред. Л.А.Арцимовича, -М.: Машиностроение, 1973,
-312с.
45. Физика и применение плазменных ускорителей. Под ред. А. И. Морозова, -Минск: Наука
и техника, 1974, -399 с.
46. Физика и технология источников ионов. Под ред. Я. Бранда, -М.: Мир, 1988, -495 с.
47. Физические величины. Справочник. Под ред. И. С. Григорьева, Е.З. Мелихова -М.:
Энергоатомиздат, 1991, -1231с.
48. Физическая энциклопедия. Т. 1-5, -М.,: Советская энциклопедия, 1988-1998.
49. Энциклопедия низкотемпературной плазмы под ред. В. Е. Фортова. -М.: Наука, 2000.
ТОМ I. -586с.
1. Низкотемпературная плазма. Основные понятия, свойства
и закономерности. С. 1-189.
2. Элементарные процессы в плазме. С. 190-266.
3. Термодинамические, оптические и транспортные
свойства низкотемпературной плазмы. С. 267-586.
ТОМ П. -634 с.
4. Генерация плазмы и газовые разряды. С. 5-392.
5. Диагностика и метрология плазменных процессов. С. 393-634.
ТОМ III. -524 с.
6. Взаимодействие низкотемпературной плазмы с конденсированным
веществом, газом и электромагнитным полем. С. 7-229.
7. Численное моделирование низкотемпературной плазмы.
С. 230-291.
8. Химия низкотемпературной плазмы. С. 292-382.
9. Плазмодинамика. С. 383-524.
ТОМ IV. -505 с.
564 Список литературы
10. Плазменная электроника. С. 4-153.
11. Плазмотехнические системы. С. 154-460.
Плазменная электроэнергетика. С. 154-219.
Ионные и плазменные ракетные двигатели. С. 291-330.
Общие вопросы прикладной плазмохимии. С. 331-450.
12. Инженерные плазмофизические проблемы. С. 460-505.
В. Цитируются в тексте
Введение
50. Богомолов А. И. Математики, механики. Биографический справочник. -Киев: Наукова
думка, 1983, -638 с.
51. Храмов Ю.А. Физики. Биографический справочник. -М.: Наука, 1983, -398 с.
Глава I
52. Тамм И.Е. Основы теории электричества. -М.: Гостехиздат, 1946.
53. Морозов Л. И., Соловьев Л. С. Геометрия магнитного поля. см. [36], 1963, вып. 2, С. 3-91
54. Морозов А. И., Соловьев Л. С. Движение заряженных частиц в электроматнитных полях,
см. [36], 1963, вып. 2, С. 117-264.
55. Мирное СВ. Физические процессы в плазме токамаков. -М.: Энергоатомиздат, 1971.
56. Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных
колебаний. -М.: Гостехиздат, 1958.
57. Морозов А. И. Об ускорении плазмы магнитным полем. // ЖЭТФ, Т.32, вып 2, 1957.
-306 с.
58. Стоянов П. А. Электронная и ионная оптика, см. [39], С. 545-549.
59. Гинзбург В. Л. см. [28].
60. Шафранов В. Д. Электромагнитные волны в плазме, см. [36], С. 3-140.
61. Арцимович Л. А., Лукьянов С. Ю., Подгорный И. Л., Чу ватин С. А. Электро-динамическое
ускорение сгустков плазмы. //ЖЭТФ, 1957, Т.33, вып. 1.
62. Ковальский И.Г., Лукьянов СЮ. см. [8].
Глава 2
63. Mielke H. Der Weg ins All, Verlag Neues Leben 1957, -282 p.
64. Королева Н. С Отец. Т.2. -M.: Наука, 2002, -219 с.
65. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. см. [13, 14].
66. Гласе И. И. Ударные волны и человек. -М. Мир, 1977.
67. Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле, см. [36], С.92-103.
68. Шафранов В. Д. О равновесных магнитогидродинамических конфигурациях. //ЖЭТФ,
1957, Т.ЗЗ, С.710.
69. Морозов А. И., Волков Т. Ф. Двухпараметрическая система уравнений МГД-равновесия,
//ДАН СССР, Т.277, №5, 1984, С. 1119-1123
70. Кадомцев Б.Б. См. [10].
7\. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. -М.: Физматлит, 1962,
-248 с.
72. Морозов А. И., Соловьев Л. С. Стационарные течения плазмы в магнитном поле. см. [36],
вып. 8, С. 3-87.
73. Морозов A.M. Стационарные течения плазмы, сопровождающиеся её сжатием. //ЖЭТФ,
1967, Т. 37, С. 2147.
74. Брушлинский К. В., Морозов А. И. Расчёт двумерных течений плазмы в каналах, см.
[36], вып. 8, 1974. С. 88-163.
75. Морозов А. И., Савельев В. В. Численное моделирование обтекания плазменным потоком
дипольных полей . //Физика плазмы, 1997, Т.29, С. 12-15.
Список литературы 565
76. Рузмайкин А. А. Гидромагнитное динамо. См. [48] Т. 1, С. 469-470.
77. Морозов Л. И. См. [49] Т.1 Раздел 9, Плазмодинамика, С. 419-470.
Глава 3
78. Ватажин Л. Б., Любимое Г. А., Регирер С. А. МГД течения в каналах. -М. Наука, 1976.
79. Плазменные МГД-генераторы для электроэнергии, см [49], Т.4. С. 154-218.
80. Морозов А. П., Шубин А. П. К теории электромагнитных процессов при наличии эффекта
Холла. //ЖЭТФ, 1964, Т.46, С. 710.
81. Брызгалов В. П., Морозов А. И. Стационарное протекание тока в аксиально-симметричном
теле при сильном эффекте Холла. //ЖЭТФ, 1965, Т.49, №6, С. 1789.
82. Шафранов В. Д. Электромагнитные волны в плазме, см. [36], вып. 3, 1963, С. 3-140.
83. Александров А. Ф., Богданкевич Л. С, Рухадзе А. А. Основы электродинамики плазмы.
-М.: Высшая школа. 2-е изд., 1988.
84. Брагинский СИ. //ДАН СССР, Т. 115, 1957, С. 475.
85. Ахиезер A.M., Файнберг Я. Б. //ЖЭТФ, Т.21, 1959, С.1262.
86. Михайловский А. Б., см. [31].
87. Морозов А. И., Соловьев Л. С, см. [72].
88. Брушлинский К. В., Морозов А. И., см. [74].
89. Ковров П. Е. Морозов А. И., Токарев Л. Г., Щепкин Г. Я. Распределение магнитного поля
в коаксиальном инжекторе плазмы. //ДАН СССР, 1967, Т. 172, №6, С. 1305.
90. Ковров П. Е., Шубин В. П. Сильноточный коаксиальный плазменный ускоритель в квази-
квазистационарном режиме. [45], С. 78-102.
91. Морозов А. И. Квазистационарные течения плазмы в азимутальном магнитном поле,
см. [40], Т.З, С. 467-476.
92. Морозов А. И. Принципы коаксиальных (квази)стационарных плазменных ускорителей
(КСПУ). //Физика плазмы, 1990, Т.16, №2, С. 131.
93. Морозов А. И. Высокоэнергетичные квазистационарные плазменные ускорители с соб-
собственным магнитным полем (КСПУ). //Радиационная плазмодинамика, под. ред. Ю. С.
Протасова, 1991, -М.: Энергоатомиздат, С. 157-190.
94. Физика плазмы. 1990, Т.16, вып. 2, С. 131-196, (в данном номере журнала опубликована
серия работ о создании элементов КСПУ типа П-50 и К-50)
95. Morozov A. I., Pavlichenko О. S., Tereghin V. I. et al. QSPAKh-50 full scale high-power
quasistationary plasma. //Plasma Devices and Operations, 1992, V.2, P. 155.
96. Асташинский В.М., Маньковский А. А., Минько Л. Я., Морозов А. И. Исследование
физических процессов, обуславливающих режимы работы КСПУ. //Физика плазмы, 1992,
Т.18, №1, С. 90-98.
97. Морозов A.M. Стационарные самосжимающиеся течения. //ЖТФ
98. Виноградова А. К., Морозов А. И. Стационарные компрессионные течения, см. [45].
99. Виноградова А. К., Виноградов В. П., Морозов А. И. Нейтронное излучение в магнито-
плазменном компрессоре. //ЖТФ, 1974, Т.44, №8. С. 1637.
100. Кузнецов В. В., Семашко И. И. Наблюдение стационарного ускорения ионов до энергий
2-20 кэВ в неизотермической плазме. //ЖТФ, 1972, Т.42, №12, С. 2609.
101. Падалка В. Г. Динамика плазменных потоков в неоднородных поперечных магнитных
полях. См. [45], С. 199-238.
102. Морозов А. И. Динамика сгустков и потоков в магнитном поле. См. [49], Т.З, С. 503-512.
103. Карташов К. Б., Пистунович В. И., Платонов В. В. и др. Обнаружения быстрых элек-
электронов при инжекции плазменных сгустков в поперечное магнитное поле. //Письма
ЖЭТФ, 1972, Т.15, С. 7.
104. Демичев В. Ф., Струнников В.М. ДАН СССР, 1963, Т. 150, №3. С. 153-526.
Глава 4
105. Власов А. А. О вибрационных свойствах электронного газа. //ЖЭТФ, 1938, Т.8, С. 291.
566 Список литературы
106. Власов А. А. См. [20].
107. Бернштейн П., Грин Д., Крускал М. Строгая теория нелинейных колебаний плаз-
плазмы. В сб."Колебания сверхвысоких частот в плазме", под ред. Г.А.Бернашевского
и 3. Е.Чернова. -М.: Изд-во иностранной литературы, 1961, С. 278-290.
108. Морозов А. И., Соловьев Л. С. Кинетическое рассмотрение некоторых равновесных плаз-
плазменных конфигураций. //ЖЭТФ, 1961, Т.40, вып. 3, С. 1316.
109. Месяц Г. А. Импульсная электроника. -М.: Наука, 2004, С. 177-192.
ПО. Ландау Л. Д. Колебания электронов плазмы. //ЖЭТФ, 1946, Т. 16, С. 574.
111. Кадомцев Б. Б. См. [10], С. 186-200.
112. Ораевский В. И. Периодические волны в бесстолкновительной плазме. В сб. "Основы
теории плазмы", Т.1. Под ред. А. А. Галеева и Р. Судана, -М.: Энергоатомиздат, 1983,
С. 241-278.
113. Михайловский А. Б. См. [31].
114. Александров А. Ф., Богданкевич Л. С, Рухадзе А. А. Основы электродинамики плазмы.
-М.: Высшая школа, П-е изд., 1988.
115. Романов Ю.А., Филиппов Г. Ф. //ЖЭТФ, 1961, Т.40, С. 123.
Веденов А.А., Велихов Е.П., Сагдеев Р. 3. //Ядерный синтез, 1961, Т.1, С.82.
Drummond W.E., Pines D //Nucl. Fusion, 1962, V.3, P. 1041.
Глава 5
116. Смирнов Б.М. См. [4].
Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. см. [15].
117. Ландау Л. Д. Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия. //ЖЭТФ,
Т.7, 1937, С. 203.
118. Ливов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. -М.: Мир, 1974, -222 с.
119. Трубников Б. А. Столкновения частиц в полностью ионизованной плазме, см. [36], вып. 1,
1963, С. 98-182.
120. Брагинский СИ. Явление переноса в плазме. См. [36], вып. 1, 1963, С. 183-272.
121. Волков Т. Ф. Гидродинамическое описание сильно разреженной плазмы. Там же, вып. 4,
1964, С. 3-19.
122. Морозов А. И., Пастухов В. П. Переносы в миксинах галатей. //Физика плазмы, Т. 18,
1992, С. 790.
123. Морозов А. И., Савельев В. В. О галатеях — ловушках с погружёнными в плазму
проводниками. //УФН, 1998, Т.168, №11, С. 1133-1194.
124. Будкер Г. И. Термоядерные реакции в системе с магнитными пробками. К вопросу о непо-
непосредственном превращении ядерной энергии в электрическую, см. [23], Т.З, С. 3-31.
125. Морозов А. П., Соловьев Л. С. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях,
см. [36], вып. 2, С. 177-264.
126. Арцимович Л. А., Сагдеев Р.З., см. [7]
127. Кадомцев Б. Б., см. [39] Т.1. С 552-556.
128. Морозов А. И. Фокусировка холодных квази-нейтральных пучков в электромагнитных
полях. //ДАН СССР, 1965, Т. 163, №6. С. 1363.
129. Морозов А.И., Лебедев СВ. Плазмооптика. См. [36]. С. 247-381.
130. Жуков В. В., Морозов А. И., Щепкин Г. Я. Экспериментальное исследование плазменной
фокусировки ионных пучков. //ЖЭТФ, 1969, Т.2, С. 24.
131. Goncharov A. A., Protzenko L.M.,Braun J.G., et all. Some characteristics of moderate
energy metal ion beams focusing by a hight current plasma lens. //Rev. Sci. Instrum. 1998,
V.69, №2, P. 1135.
132. Морозов A.M., Савельев В. В. Плазмооптический масс-сепаратор (ПОМС). //Физика
плазмы, 2005, №4.
133. Лифшиц Е.М., Питаевский Л. П.. См. [15]
Список литературы 567
134. Смирнов Б.М. Кинетика электронов в газах и конденсированных системах. //УФН, 2002,
Т.172, №12, С. 1411-1447.
135. Давыдов Б. И. К теории движения электронов в газах и полупроводниках. //ЖЭТФ, Т.7,
вып. 9-10, 1937, С. 1069-1089.
Глава 6
136. Елецкий А.В., Смирнов Б.М. Элементарные процессы в плазме. См. [40], Т.1,
С. 190-266.
Хастед Дж. Физика атомных столкновений. Перевод с англ. -М.: Мир, 1965, -710 с.
137. Вайнштейн Л. Л., Собельман И. И., Юков Е.А. Сечения возбуждения атомов и ионов
электронами. -М.: Наука, 1963.
138. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. -М.: Физматлит, 1963, 2-е изд.,
-М.: Наука, 1977.
139. Зельдович Я. Б., Райзер Ю.П. См. [27].
140. Вайнштейн Л. И., Собельман И. И., Юков Е.А. Возбуждение атомов и уширение спек-
спектральных линий. -М.: Наука, 1979, 319 с.
141. Биберман Л.М., Воробьёв В. С, Якубов П. Т. Кинетика ударно-радиационной ионизации
и рекомбинации. //УФН, 1972, вып. 3, -С. 353-380.
142. Норман Г.Э., Суржиков СТ. Оптические свойства низкотемпературной плазмы.
См. [49], т.1, с. 339-345
IA3. Протасов Ю.С., Чувашев СП. Низкотемпературная плазма. Основные понятия, свой-
свойства и закономерности, см. [49], Т.1, С. 1-71.
144. Четверушкин Б. И. Динамика излучающего газа. -М.: Наука, 1985, 304 с.
145. Morozov A.I., Savelyev V. V. Fundamentals of stationary Plasma Thruster theory. Zi:
//Reviews of Plasma Physics, v.21, 2000, P. 203-391.
146. Морозов А.И. Разработка идеологии СПД. //Физика плазмы, 2003, №3.
147. Морозов А. И. Плазмодинамика, см. |citeB.3O, T.I.
148. Протасов Ю. С, Немчинов А. П., Чувашев СП. Интенсивно излучающие ударные вол-
волны, см. [49], Т.З, С. 549-568.
149. Брушлинский К.В., Морозов А.И. Расчёт двумерных течений плазмы в каналах. См. [36],
Т. 8, С. 156-160.
150. Козлов А. И. Кинетика ионизации и рекомбинации в канале плазменного ускорителя.
//Известия РАН. МЖГ. 2000, №5, С. 181-188.
151. Капцов П. А. Электрические явления в газах и вакууме. -М.: Гостехиздат, 1950.
152. Райзер Ю.П. См. [5].
153. Педоспасов А.,В. К теории страт. //УФН, 1968. Т.94. С.463.
154. Голубовский Ю.Б. Тлеющий разряд постоянного тока. Положительный столб, см. [49],
Т.2, С. 28-36.
155. Финкелънбург В., Меккер Г. Электрические дуги и термическая плазма, Перевод с нем.
под ред. В. А. Фабриканта -М.: ИЛ, 1961.
156. Асиновский Э.И., Кириллин Э.И. Разряды типа дугового. Положительный столб стаби-
стабилизированной электрической дуги. См. [49], т.2, С. 93-107.
157. Александров А. Ф., Рухадзе А. А. Физика сильноточных электроразрядных источников
света. -М.: Атомиздат, 1976, -184 с.
158. Кочетов И. В., Лебедев Ю.А., Сковецкий Д. И. и др. Кинетика и механизмы газофазных
химических реакций в плазме, см. [49]. Т.З. С. 292-329.
159. Лебедев Ю.А., СурисА.А., Васильев М.Н. и др. Общие вопросы прикладной плазмохи-
мии. см. [49], Т.4. С. 331-445.
160. Алексеев Б. В., Гришин А. П. Физическая газодинамика реагирующих сред. -М.: Высшая
школа, 1985, -464 с.
161. Яковленко СИ. Плазмотехнические системы. Газовые и плазменные лазеры, см. [49]
Т.4. С. 262-291.
568 Список литературы
Глава 7
162. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа, б-е изд., -М., 1987.
163. Де Бур Я. Динамический характер адсорбции. Перевод с англ., -М.: Изд-во
в иностр.лит., 1962.
164. Коленчиц О. А. Тепловая аккомодация систем газ-твердое тело. -Минск: Наука и техни-
техника, 1977, -126с.
165. Плешивцев П. В. Катодное распыление. -М.: Атомиздат, 1968, -343 с.
166. Взаимодействие плазмы с конденсированным веществом. См. [49]. Т.З
Попов А. П., Протасов Ю. С, Чувашев С. Н. Взаимодействие с поверхностью тепловых
атомов и ионов. С. 92-100.
Курнаев В. А. Внедрение, отражение и стимулированная десорбция частиц. С. 100-109.
Мартыненко Ю.В. Распыление. С. 117-126.
Беграмбеков Л. Б. Модификация поверхности твёрдых тел при ионном и плазменном
воздействии. С. 126-138.
167. Гомоюнова М. В., Крылова И. В., Татаринова Н. В., Курнаев В. А. Электронные эмиссии
с поверхности твёрдого тела. см. [49]. Т.З. С. 66-84.
168. Протасов Ю.С., Чувашев СП. Эмиссии электронов при взаимодействии частиц с по-
поверхностью. См. [49]. Т.З. С. 84-92.
169. Бронштейн И.М., Фрайман Б. С. Вторичная электронная эмиссия -М.: Наука, 1969.
170. Морозов А. П., Савельев В. В. Структура стационарных дебаевских слоев в разреженной
плазме вблизи диэлектрических поверхностей.
Физика плазмы, Т.30, №4, 2004, С. 299-306. Т.31, №3. 2005.
171. Морозов А. И. Эффект пристеночной проводимости в хорошо замагниченной плазме.
//Прикладная механика и техническая физика, 1968, №3, С. 19.
172. Бугрова А. П., Десятсков А. В., Морозов А. П., Харчевников В. К. Эксперментальное
исследование пристеночной проводимости. //Физика плазмы, 1992, Т. 18, №8, С. 963-975.
173. Морозов А. И. Квазистационарные течения плазмы в азимутальном магнитном поле,
см. [49]. Т.З, С. 467-471.
174. Мирное СВ. Физические процессы в плазме токамаков. -М.: Энергоатомиздат, 1971.
175. Гусева М.И., Мартыненко Ю.В. Взаимодействие частиц плазмы с поверхностью,
см. [36], вып. 11, С. 150-190.
176. Недоспасов А. В., Токарь М.В. Пристеночная плазма в токамаках. см. [36], вып. 18,
1990, С. 68-208.
т.Гусева М.И., Мартыненко Ю.В. Радиационный блистеринг. //УФН. 1981. Т.141.
С. 78-98.
178. Казеев М.Н. Абляционные импульсные плазменные ускорители, см. [49]. Т.З.
С. 493-503.
179. Курочкина В. А., Морозов А. И. //ЖТФ, 1990, Т.60D), С. 77-82.
180. Morozov A.I., Savelyev V. V. Fundamentals of Stationary Plasma Truster theory. //Reviews
of Plasma Physics, 2000, V.21, P. 203-391.
181. Бугрова А. П., Морозов А. И. Особенности физических процессов в УЗДП. //Ионные
инжекторы и плазменные ускорители. -М.: Энергоиздат, 1990, -С. 42-50.
182. Кирдяшев К. П., Бугрова А. И. Десятсков А. В., Морозов А. И. СВЧ-колебания в уско-
ускорительном канале СПД-Атон. //Письма в ЖЭТФ, 2005, Т.31, вып. 14, -С. 7-15.
183. Райзер Ю.П. См. [5].
184. Кесаев И. Г. Катодные процессы электрической дуги. -М.: Наука, 1968.
185. Мицкевич М.К., Бакуто И. А., Бушик А. И. Характер развития электродных пятен...//В
книге: Тезисы докладов III Всесоюзной конференции по плазменным ускорителям,
-Минск: Ин-т физики АН БССР, 1976, С. 174.
186. Морозов А. И. См. [6], С. 220-228.
187. Экспериментальные исследования плазмотронов. Под ред. М. Ф. Жукова, -Новосибирск:
Наука, 1977, -391с.
Список литературы 569
188. Молотков В. И., Нефедов А. П., Петров О.Ф., Храпак А.Е., Храпак С. А. Пылевая
плазма, см. [49]. Т.З. С. 160-182.
189. Цытович В. П. //УФН. 1997. №167. С. 57.
Глава 8
190. Михайловский А. Б. См. [31].
191. Протасов Ю.С., Чувашев СП. Плазменные неустойчивости. См. [49] Т.1. С. 145-172.
192. Райзер Ю.И См.[5]. С. 309-313.
193. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. См. [13]. С. 22
194. Кадомцев Б. Б. Желобковая неустойчивость. См. [10]. С. 213-221.
195. Rosenbluth M., Longmire С. //Ann. Phys. 1957, V.I, P. 120.
196. Кадомцев Б. Б. См. [36]. вып. 2. С. 132-176.
197. Тимофеев А. В. См. [35].
198. Ораевский Б. П. Параметрические неустойчивости магнитоактивной плазмы. //Основы
физики плазмы, Т.2. Под редакцией Р. 3. Сагдеева и М.П. Розенблюта, -М.: Энерго-
атомиздат. 1984. С. 7-47.
199. Кингсеп А. С. [10]. С. 592.
200. Кадомцев Б. Б. Гидромагнитная устойчивость плазмы. См. [36]. Т.2, С. 139.
201. Furth П. P., Killeen J., Rosenbluth M.N. Finite-Resistivity Instabilities of Sheet Pinch.
//Phys. of Fluids. 1963, V.6, №4, P. 459-484.
202. Сыроватский С. И. Динамическая диссипация магнитного поля и ускорение частиц.
//Астрон. журнал, 1966, Т.43, С. 340-355.
203. Богданов С. Ю., Кирий П. П., Франк А. Г. Эволюция двумерных токовых слоев в линей-
линейных и нелинейных режимах. //Труды ИОФАН, Т.51, -М.: Наука. 1996. С. 3.
204. Брушлинский К. В., Морозов А. И. //Прикладная математика и механика. 1968. Т.32,
№5, С. 957-959.
205. Кадомцев Б. Б. Нелинейные волны в слабодиспергирующих средах, см. [10], С. 128-155.
206. Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. -М.: Мир. 1983.
207. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. -М.: Наука, 1975. 174 с.
208. Жданов С. К., Трубников Б. А. См. [34].
209. Петвиашвили В. И. Красное пятно Юпитера и дрейфовый солитон в плазме. //Письма
в ЖЭТФ. 1980. Т.32. Вып. 11. С. 632-635.
210. Незлин М.В., Снежкин Е.П. См. [33].
211. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука.
1984.
Физическая энциклопедия, Т.4. М.: Советская Энциклопедия. 1988-1998.
Афраймович В.Е., Рабинович М.П. Стохастические колебания. С. 694-696.
Афраймович В. Е., Рабинович М. П. Странный аттрактор. С. 698-700.
212. Кадомцев Б. Б. Турбулентность плазмы. См. [10]. С. 210-285.
213. Кингсеп А. С. См. [11].
214. Сигов Ю. С. См. [40].
215. Морозов А. П., Соловьев Л. С. Кибернетическая стабилизация плазменных неустойчиво-
стей. //ЖЭТФ. 1964. Т.34, вып. 9, С. 1566.
216. Арсенин В. В., Чуянов В. А. Подавление неустойчивостей плазмы методом обратных
связей. //УФН, Т.123, вып. 1. 1977. С. 83-129.
217. Морозов А. П., Невровский В. А., Смирнов В. А. Воздействие на поток плазмы в ускори-
ускорителе с замкнутым дрейфом (УЗДП-ДАС) системой с обратными связями. //ЖТФ, Т.43,
вып. 3, С. 543-544.
218. Simonen Т. С, Chu Т.К., Hendel H.W. Feedback Control of collisional drift waves...
//Physical Review Letters. V.23/ №11/ 15 sept. 1969, P. 568.
219. Lindgren N.E., Birdsall. Feedback superessionw of collisionaless, multimode drift waves in
a mirror-confined plasma. //Physical Review Letters. V.24, №21, 25 may 1970. P. 1150.
570 Список литературы
Глава 9
220. Подгорный И. М., Сагдеев Р. 3. Физика межпланетной плазмы и лабораторный экспери-
эксперимент. //УФН 1969. Т.98. С. 409.
221. Поляченко В.А., Фридман A.M. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем.
-М.: Наука. 1976. 447с.
Гарькавый И.И., Фридман A.M. Физика планетарных колец. Небесная механика сплош-
сплошной среды. -М.: Наука. 1994. 348 с.
222. Трубников Б. А. Ударно-волновой и плазменно-пинчевый механизм рождения галактиче-
галактических космических лучей. //ЖЭТФ. 2005. Т.128, вып. 1G). С. 183-192.
223. Филиппов И. В. Кусочки Солнца "Навынос". //Природа. 1999. №10. с. 32-40.
224. Незлин М.В., Снежкин Е.Н. См. [33].
225. Петвиашвили В. И., Похотелов О. Л. См. [32].
226. Солнечная и солнечно-земная физика. Иллюстрированный словарь терминов. Под ред.
А. Бруцека и Ш. Дюрана, перевод с англ. -М.: Мир, 1980. -254 с.
227. Алексеева Л.М. Магнитосфера Земли. Строение и физика. //Итоги науки и техники.
Физика плазмы. Т.4. Под. ред. В. Д. Шафранова. -М.: ВИНИНИ. 1983. С. 113-193.
228. Лайонс Л., Уильяме Д. Физика магнитосферы. Количественный подход. 1987.
229. Ажур-Абдала М., Зеленый Л. М., Перутян В. Крупномасштабное кинетическое мо-
моделирование динамики магнитосферного хвоста. //Труды Физического института им.
П. Н. Лебедева, 2000, Т.227, С. 70-88.
230. Ораевский В. И., Ружин Ю. Я., Докукин В. С, Морозов А. И. Динамика квазинейтраль-
квазинейтральных плазменных потоков. //Физика плазмы, Т.29, вып. 3, С. 293.
231. Плазменная техника и плазменные технологии. -М.: Издательство МГТУ им. Н.Э.
Баумана, -2003 с.
232. Космическая магнитная гидродинамика. Перевод с англ. Под ред. В. И. Ораевского. -М.:
Мир. 1995. 439 с.
233. Мартынов Д. Я. См. [16].
23 4. Качар о в Т.Е., Косовичев А. Г., Лифшиц М.А., Черток И.М. Солнце, см. [39], Т.4,
С. 589-598.
235. Косовичев А. Г. Солнечная сейсмология. См. [39], Т.4, С. 580-583.
236. Супли К. Термоядерный реактор над головой. Солнце, //National Geographic (Россия),
июль 2004, С. 28-55.
237. Чижевский А. Л. Земное эхо солнечных бурь. 2-е изд. -М., 1976.
Глава 10
238. Генерация плазмы и газовые разряды, см. [49].
239. Moor N. D. Magneto-electrostatic plasma containment ion thruster. //AJAA Rep. 1969. №69.
P. 1-13.
240. Месяц Г. А. см. [41].
241. Семашко Н.Н., Владимиров А. И., Кузнецов В. В. и др. Инжекторы быстрых атомов.
-М.: Энергоиздат, 1981, гл. 3.
242. Аладин с московского электролампового. //Наука и жизнь. 1997. №11. С. 64.
243. Ваганов А.В., Грачев СВ., Козлов И.П. и др. Многофункциональный воздушно-плаз-
воздушно-плазменный медицинский аппарат "Плазон". //В сб. "Плазменная техника и плазменные
технологии". -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2003. С. 39-52.
244. Чижевский А. Л. Аэроконофикация в народном хозяйстве. -М.: Госпланиздат. I960.
245. Грибков В. А., Григорьев Ф.И., Калин Б. А., Якушин В. Л. Перспективные
радиационно-пучковые технологии обработки материалов, см. [16].
246. Общие вопросы прикладной плазмохимии. см. [49], Т.4, С. 331-445.
247. Гусев В.М., Гусева М.И. Ионное легирование полупроводников. //Природа. 1979. №12.
С. 42-52.
Список литературы 571
Гусева М. И. Ионная имплантация в металлы. //Поверхность: физика, химия, механика.
№4. С. 27-41.
248. Падалка В. Г., Толок В. Т., Методы плазменной технологии высоких энергий. //Атомная
энергия. 1978. Т.44, вып. 5. С. 476.
249. Аксёнов И. И., Падалка В. Г., Толок В. Т. Хороших В. М. Вакуумная плазменная техно-
технология высоких энергий. //Физика плазмы. 1980. Т.6. С. 918.
250. Безруков Т.Н. Алмаз, см. [48], T.I, С. 60-62.
251. Дейвис Джошуа. Алмазный век грядет. //Прикладная механика. 2004. №6. С. 22-28.
252. Углов А. В., Анищик В. М., Асташинский В. В., Асташинский В. М. и др. Формиро-
Формирование субмикронных цилиндрических структур при воздействии на поверхность крем-
кремния компрессионным плазменным потоком. //Письма в ЖЭТФ. 2001. Т.74, вып. 4.
С. 234-236.
253. Villain Jacques. A la conquete de la Lune. -Larousse Bordas, 1998, -99 p.
254. Гильзин К. А. Электрические межпланетные корабли. 2-е изд. -М.: Наука. 1970 -432 с.
255. Гришин С. Д. Ионные и плазменные ракетные двигатели. См. [49], Т.4. С. 291-331.
256. Арцимович Л. А., Андронов И.М., Морозов А. И., Снарский Р. К., Щепкин Г. Я. Разра-
Разработка стационарного плазменного двигателя (СПД) и его испытания на ИЗС "Метеор".
//Космические исследования. Т. 12, вып. 3. 1974. С. 451-468.
257. Морозов А. И. Разработка идеологии СПД. //Физика плазмы, 2003, Т. 19, вып. 3.
с. 261-276.
258. Козубский К.Н., Мурашко В.М., Рылов Ю.П., Трифонов Ю.В. и др. СПД работают
в космосе. //Физика плазмы. 2003. Т. 19, вып. 3, С. 277-292.
259. Морозов А. И., Бугрова А. И., Харчевников В. К. и др. Стационарный плазменный
ускоритель-двигатель АТОН. //Физика плазмы. 1997. Т.23, №7. С. 635-645.
260. Путвинский С. В. Возможна ли будущая мировая энергетическая система без ядерного
синтеза. //УФН, 1998. Т.168. №11. С. 1235-1246.
261. Лукьянов С. Ю., Ковальский Н. Г. Горячая плазма и управляемый ядерный синтез, см. [8].
262. Коган В. И., Лисица B.C. Радиационные процессы в плазме, см. [49] 1983. Т.4.
С. 194-274.
263. Морозов А. И., Савельев В. В. О галатеях-ловушках с погруженными в плазму провод-
проводниками. //УФН. 1998. Т.168. С. 1153-1194.
264. Статья в японской газете "The Japan Times", 13 December, 1997 "Maglev sets new world
record of 531 km p h".
265. Yoshikawa S. Experiments on plasma confinement in internal-ring devices. //Nucl. Fusion.
1973. V.13, №3. P. 433-450.
266. Арцимович Л. А. см. [26].
267. Кадомцев Б. Б. Физика плазмы и проблемы управляемых термоядерных реакций. Из-
Избранные труды. Т.2, часть 1. С. 5-480.
268. Гавин Б. Ионные PIG-источники. [Б.32], С. 180-201.
269. Донец У. Ионные источники с электронным пучком. Там же. С. 267-304.
270. Жонжен И., Линейс К. Ионные источники на электронном циклотронном резонансе. -
Там же. С. 223-247.
271. Будкер Г. И. Управляемый термоядерный синтез в установках с плотной плазмой. Из-
Избранные труды. -М.: Наука. 1982. С. 130-138.
272. Будкер Г. И. Работы на встречных пучках Сибирского Института Ядерной Физики
(Состояние дел и перспективы). Избранные труды. -М.: Наука. 1982. С. 363-365.
273. Флеров Г. И., Ильинов А. С. На пути к сверхэлементам. -М.: Педагогика. 1977. С. 86-87.
274. Популярная механика, №12, 2005.
Научное издание
МОРОЗОВ Алексей Иванович
ВВЕДЕНИЕ В ПЛАЗМОДИНАМИКУ
Редактор В.Е. Рокотян
Оригинал-макет: В.Е. Рокотян
Оформление обложки: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 25.01.06. Формат 70x100/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 46,67. Уч.-изд. л. 51,3. Тираж 200 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0681-3
9 785922406818