Т.Г. Роева, Н.Ф. Хроленко
поштю
ТАШ1ЦА
10-П
*мсш
Учебное пособие
Согласовано с программой
Министерства образования и науки Украины
Харьков
2002

УДК 373.167.1:514+514(075.3)
ББК 22.14 я 721
Р62
РоеваТ.Г., Хроленко Н.Ф. Геометрия в таблицах. 10-11 класс: Учеб, пособие. -
X.: КраУна мр!й™, 2002. - 152 с.
Пособие содержит основные теоретические вопросы курса геометрии 10-11 классов в соот¬
ветствии с программой. Рассмотрены решения типовых задач каждой темы. Подобраны трениро¬
вочные упражнения, самостоятельные и контрольные работы ко всем разделам. Самостоятельные
и контрольные работы имеют три уровня сложности. К большинству задач даны ответы.
В рубрике «Страничка абитуриента» приведены решения задач повышенной сложности, это помо¬
жет подготовиться к вступительным экзаменам.
Пособие адресовано учащимся и учителям общеобразовательных школ, абитуриентам
Пос!бник м1стить основы теоретичн! питания курсу геометрв 10-11 клас!в вщповщно др про¬
греми. Розглянут! розв’язання типових задач кожно'У теми. П!д!бранУ тренувальн! вправи, самоспйнУ i
контролен! роботи до ecix розд!л!в. Самослйн! та контроль^ роботи мають три р!вн! складносп. До
бшьшост! задач надан! в!дпов!д!. В рубрищ "Стор!нка аб!тур!ента” подан! розв’язання задач п!дви-
щено'У складност!, що допоможе пщготуватися до вступних !спит!в.
Пос!бник адресований учням та вчителям загальноосв!тних шк!л, аб!тур!ентам.
Учебное издание
IV возрастная группа
Роева Татьяна Григорьевна
Хроленко Наталья Федоровна
Геометрия в таблицах
10-11 классы
Редактор Томашевская Н.В.
Компьютерная верстка Аскерова И.В., Евлахов В.Г., Цовма И.Н.
Дизайн обложки Терлецкий А.В.
Корректор Ольховская М.А.
Подписано к печати 2.07.2002г. Формат 60x90/8
Бумага офсет. Печать офсет.
Издатель Халимон Е.В.
Регистр, свид. №961 от 19.06.2002г
61146, г. Харьков, а/я 2656, тел. 58-50-70
ISBN 966-8220-12-9
©РоеваТ.Г., 2002
© Хроленко Н.Ф., 2002
©Терлецкий А.В., худож. оформл.,2002
© КраУна мр!й™, 2002

§1. Введение в стереометрию
Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
Основными фигурами
стереометрии являются
точка, прямая, плоскость:
точки: А , В, С, D ;
прямые: а, b;
плоскость: а.
Аксиомы стереометрии
Аксиомы стереометрии - это основные свойства основных фигур стереометрии.
Точка и прямая - это основные фигуры планиметрии, поэтому в стереометрии
справедливы аксиомы планиметрии.
Аксиомы планиметрии I.
Ц. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и
точки, не принадлежащие ей.
12.	Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Аксиомы стереометрии (С) - это основные свойства плоскостей в пространстве.
С-,. Какова бы ни была плоскость, существу¬
ют точки, принадлежащие этой плос¬
кости, и точки, не принадлежащие ей.
с
•
/л	/
/ *	в	/
/	 *	а/
Ле а; Be а;
Се а.
С2. Если две различные плоскости имеют
общую точку, то они пересекаются по
прямой, проходящей через эту точку.
/ч
А s'	/
/	\	Ct/
ал₽; ае а; ае Р;
а - прямая
пересечения
плоскостей а и р.
С3. Если две различные прямые пересе¬
каются, то через них можно провести
плоскость, и притом только одну.
У	-	/
/ХГа/
алр, a, be а;
а - единственная.
Следствия из аксиом стереометрии
Через прямую и не лежащую на
ней точку можно провести
плоскостей притом только одну.
Если две точки прямой принад-
лежат плоскости, то и вся прямая
принадлежит этой плоскости.
Плоскость и не лежащая на ней
прямая либо не пересекаются,
либо пересекаются в одной
точке.
Через три точки, не лежащие на
одной прямой, можно провести
плоскость, и притом только одну.
Al а;А,ае а;
а - единственная.
А е а; В е а; А е а;
Be а, то ае а.
at а; ас\и \ Ае а \ Ае а: И
А - единственная.
А, В, С <£ а \ А , В, С е & -
а - единственная.

УЧЕНИЧЕСКАЯ СТРАНИЧКА
Часто в стереометрических задачах для доказательства используют метод от
противного. Доказывая задачу методом от противного, рассуждают по алгоритму:
1.	Допускают обратное тому, что требуется доказать.
2.	Анализируют следствие, вытекающее из допущенного.
3.	Устанавливают противоречие: с условием задачи, с известными теоремами
и аксиомами и т.д.
4.	Формулируют вывод: допущенное неверно, а верно то, что требуется доказать.
Задача 1. Доказать, что если прямые АВ и CD не лежат в плоскости, то прямые АС
и BD также не лежат в плоскости.
Дано: АВ е а, CD g а. Доказать: ACg а, BD g а.
Доказательство.
Используем метод от противного.
1.	Допустим, что прямыеЛС v\BD лежат в одной плоскости а.
2.	Тогда точки этих прямых лежат в плоскости а, т.е. А, В, С, Dea. Значит,
прямыеЛ^ иС/) лежат в плоскости» (т.к. две их точки лежат в плоскости, то и сами
прямые лежат в плоскости).
3.	Получим противоречие условию задачи {АВ uCD не лежат в одной плоскости).
4.	Вывод: допущенное неверно, а верно то, что прямыеЛС nBD не лежат в одной
плоскости.
Задача 2. ТочкаС лежит на прямой АВ, точка/) не лежит на прямой АВ. Доказать,
что плоскостьЯВ/) и плоскостьCDB совпадают.
Доказательство.
Докажем методом от противного:
1.	Допустим, плоскостьЛ/?/) и плоскость C7)Z? не совпадают.
2.	Тогда точки А, В, C,D не лежат в одной плоскости.
3.	Получим противоречие: по условию задачи, D g АВ, тогда через точку/) и прямуюЛВ
проходит единственная плоскость, а так как Се АВ, то все точки А, В, C,D лежат в
одной плоскости.
4.	Вывод: допущенное неверно, а верно то, что плоскости ABD nCDB совпадают.
Задача 3. Точки А, В,С не лежат на одной прямой. А/еЛВ; КеАС; ХеМК.
Доказать, что точках лежит в плоскости АВС.
Доказательство.
Прямые АВ и АС имеют общую точку А, значит, АВ г» АС. Тогда они задают
плоскостьЛВС (аксиома С3), значит, все точки этих прямых лежат в плоскости АВС,
т.е.Ме {АВС) и Ке {АВС), следовательно, прямая МК лежит в плоскостиЛВС
(следствие из аксиом). Хе МК, значит, Хе {АВС).

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. На рис. 1 изображена треугольная призма:
А
В
Рис.2
а)	какие из точек А, В, С, D, М, F лежат в плоскости нижнего осно¬
вания призмы?
б)	изображение точек A,D и С, а также точек А ,В иГ лежат на
одной прямой. Лежат ли эти точки на одной прямой в действи¬
тельности?
в)	имеют ли общие точки прямые^# и DM',DM и ВС?
f г) назвать прямые, которые имеют общие точки;
д) назвать прямые, которые не пересекаются.
2.	На рис. 2 изображена призма ABCDAXBXCXDX, на поверхности
которой отмечены точки К, L, М, N:
а)	пересекаются ли отрезки^/?! иАгВ или их продолжения?
б)	лежат ли в одной плоскости точки М, N, D? А, D, Dx и М?
А, В, С И К? A, D, К ]Л L?
3.	Почему на ровном полу стол с тремя ножками стоит всегда
устойчиво, а с четырьмя - не всегда?
4.	Доказать, что четырехугольник лежит в одной плоскости, если его ди¬
агонали пересекаются или если пересекаются продолжения двух его несмежных сторон.
5.	Даны три точки: А ,В и С. Сколько плоскостей можно провести через эти точки, если
АВ = 5 дм, ВС = 7 дм, АС = 12 см?
6.	Плоскости аи₽ имеют общую точку. Пересекает ли прямая АВ, лежащая в
плоскости а, плоскость р ? При каком условии?
7.	Прямая а проходит через точку, которая является общей для плоскостей аир. Как
расположена прямая а относительно плоскостей аир?
8.	Даны две пересекающиеся прямые а и Ь. Точки А и Ах лежат на прямой а, а точки
В и Вх - на прямой Ь. Доказать, что прямые АВ и А1В1 лежат в одной плоскости.
9.	Верно ли, что Все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через
данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости?
10.	Верно ли, что три прямые, проходящие через одну точку, могут не лежать в одной
плоскости?
11.	Даны плоскость а и четырехугольник АВ CD. Может ли плоскости а принадлежать:
а) только одна вершина? б) только две вершины? в) только три вершины?
12.	Каждая ли точка дуги окружности принадлежит плоскости а, если известно, что
этой плоскости принадлежат:
а) две различные точки дуги? б) три различные точки дуги?
13.	Три плоскости, взятые попарно, пересекаются по прямым а, Ь, с. Доказать, что
если все три плоскости не имеют общей точки, то прямые а, Ь, с попарно не пере¬
секаются.
14.	Даны две прямые в пространстве, не лежащие в одной плоскости. Через касую
из них проведена плоскость, пересекающая вторую прямую. Доказать, что т-мая
пересечения этих плоскостей пересекает каждую из данных прямых.
15.	Плоскости аир пересекаются по прямой а. Через точку А прямой а цравещена
плоскость у, не содержащая прямую а. Доказать, что плоскость у яврвсвиет
плоскости а и р по двум разным прямым.
1	г
6

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-1-1
B-I
7 баллов
В -II
1. Сколько можно провести различных
плоскостей через любые три точки?
1. Сколько можно провести различных
плоскостей через любые четыре точки?
(Ответ объяснить.)
(Ответ объяснить.)
2. Прямыеа и Ь пересекаются в точке О.
Прямые^ и d, не проходящие через точку
О, пересекают каждую из прямыха и Ъ.
Доказать, что прямыес и d лежат в одной
плоскости.
2. Даны прямая а и не лежащая на ней
точка В. Через точку В проведены три
прямые, пересекающие прямую а.
Доказать, что все эти прямые лежат в
одной плоскости.
В - III
9 баллов
В -IV
1.	Можно ли провести две различные
плоскости через две точки? (Ответ
объяснить.)
2.	Прямые а, b и с проходят через точку 5.
Плоскость, не проходящая через точку S',
пересекает прямые а, Ь и с, в точках, не
лежащих на одной прямой. Доказать, что
прямые а, Ь и с не лежат в одной
плоскости.
1.	Можно ли провести две различные
плоскости через любые три точки? (Ответ
объяснить).
2.	Дана плоскость и три прямые АВ, ВС,
АС, пересекающие её в точках Л j, ВС х
соответственно. Доказать, что точки Аг,
Вх, Cj лежат на одной прямой.
B-V
12 баллов
В-VI
1. Через точку пересечения прямых АВ и
АС проведена прямая d, не лежащая с
ними в одной плоскости. Доказать, что
прямые d и ВС не пересекаются.
1. Прямые т и п не лежат в одной
плоскости. Прямые а и Ь пересекают
каждую из прямых т и п. Доказать, что
прямые а и Ь не пересекаются.
2.ABCDAXBXCXDX - куб. Точка М -
середина отрезка ВХСХ. Точка N -
середина отрезка DXCX, К - середина
DC. Пересекаются ли плоскости MNK и
? (Ответ объяснить.)
2.ABCDAXBXCXDX -куб. Пересекаются ли
плоскости ABXD} и JjCjC? (Ответ
объяснить.)
I

§2. Параллельность е пространстве
Взаимное размещение прямых в пространстве
Две различные прямые в пространстве либо пересекаются, либо параллельны,
либо скрещиваются.
Ъ
a^b,a II b;
а параллельна Ь;
нет общих точек..
a
aP\ b, a-tt b;
а не пересекает Ь;
а не параллельна b;
нет общих точек;
а и Ь — скрещивающиеся.
Признаки параллельности прямых
1. Если внутренние накрест лежа¬
щие углы, образованные двумя
прямыми и секущей, равны или
сумма внутренних односторонних
углов равна 180°, то прямые
параллельны.
С/
/	а
3	4
		6
Z1 = Z2 (внутренние накрест лежащие);
Z2 + Z3= 180° (внутренние односторонние);
а II Ь, с — секущая.
2. Две прямые, перпендикулярные
третьей прямой, — параллельны.
1	м
а|	1
I L с
Если a J- с; b ± с/го а II b.
3. Две прямые, параллельные
третьей прямой, параллельны.
с
b
Если а II с, b IIс, то а II Ь.
	свойство параллёльных прямых
Через точку, не лежащую на
данной прямой, можно провести
прямую, параллельную данной, и
только одну.
В ё a; Be b; b\\a‘, b — единственная.

Взаимное размещение плоскостей
Если две плоскости в простран¬
стве пересекаются, то они имеют
множество общих точек, лежащих
на прямой их пересечения.
Если две плоскости в простран¬
стве не пересекаются, то они
параллельны и не имеют общих
точек.
алР;аеа;ае Р;
а — прямая пересечения ос и Р.
а/?! р, ос II Р; а и р не имеют общих точек.
Признак параллельности плоскостей
Если две пересекающиеся прямые
одной плоскости соответственно
параллельны двум пересекающим¬
ся прямым другой плоскости, то эти
плоскости параллельны.
Если а II al, b II Ь{,
а г<Ь и лежат в а,
ах г Ьх лежат в Р;
то а II Р .
Свойства параллельных плоскостей
Если две различные плос¬
кости параллельны треть¬
ей, то они параллельны
между собой.
Если две параллельные
плоскости пересекаются
третьей, то прямые пере¬
сечения параллельны.
Отрезки параллельных пря¬
мых, заключенные между
параллельными плоскостя¬
ми, равны.
(ос II P,Y II Р) => (ос IIY) •
Если у г а по а, у п 3 по
b, ос II р, то а II Ь .
Через точку вне плоскости можно про¬
вести плоскость, параллельную данной
плоскости, и только одну.
Если прямая пересекает одну из парал¬
лельных плоскостей, то она пересекает и
вторую плоскость. (Доказательство смот¬
ри в «Ученической страничке».)
Если а II Р, АВ II CD
(Леа;Сеа;2?еР;
De Р), то АВ = CD.
Mi a, Mi р; а Пр, Р — единственная.
ос II Р; ага, а г Р.

Если одна из двух параллельных прямых
пересекает плоскость, то и вторая пря¬
мая пересекает эту плоскость.
Изображение пространственных фигур на плоскости
Для изображения пространственных фи¬
гур на плоскости пользуются методом
параллельного проектирования.
h — направление проектирования;
фигура F' — изображение фигуры F
при проектировании на плоскость а
в направлении h.
Свойства изображения фигур на плоскости
1.	При параллельном проектировании пря¬
мые проектируются в прямые, отрезки —
в отрезки.
2.	При параллельном проектировании
параллельность отрезков сохраняется.
3.	При параллельном проектировании от¬
ношение отрезков одной прямой или
параллельных прямых сохраняется.
Середина отрезка при изображении его
на плоскости тоже является серединой.
4.	При параллельном проектировании ве¬
личина угла и отношение длин непа¬
раллельных отрезков не сохраняется.
5.	При параллельном проектировании об¬
щая точка двух фигур является общей
точкой их проекций.
ас
вс
ЛЯН CD, АХВХ II CXDX.
Изображение пирамиды, призмы, цилиндра или конуса начинают с изображения их
основания — многоугольника или круга. Выполняя изображения фигур, нужно
придерживаться правил и требований черчения. Использовать сплошные линии
разной толщины, пунктирные и штрихпунктирные линии.
Изображения должны быть правильными, полными, наглядными и простыми в вы¬
полнении.

1.	Изображение треугольника.
Любой треугольник (прямоугольный,
равнобедренный, правильный) изобра¬
жается произвольным треугольником в
удобном расположении на рисунке.
Если АЛ— прямоугольный, то изо¬
бражение направлений двух его высот
(катетов) задано. Произвольно изобра¬
жаются высота, опущенная на гипотенузу,
и центр вписанной окружности.
Изображение перпендикуляра, опущен¬
ного из заданной точки гипотенузы на
какой-либо катет, является отрезком,
параллельным второму катету.
ДАВС — изобра¬
жение ZL4 Cj
на плоскость а.
ZC - 90°, АВ — гипотенуза,
Ke АВ, КМ Л. АС, КМ\\ВС.
Если ДА 1В1 Cj — равнобедренный, то изо¬
бражение медианы В1В>1 является изобра¬
жением высоты и биссектрисы
Изображение центра вписанной и описан¬
ной окружностей принадлежат BD.
в
BD — медиана (биссектриса, высота).
Если ДА {Вг С\ — правильный, то центры
вписанной и описанной окружностей
совпадают и лежат в точке пересечения
медиан. Поэтому построение изобра¬
жения этого треугольника не может быть
произвольным.
в
AM и BD — медианы (биссектрисы,
высоты), О — центр вписанной
и описанной окружностей.
2.	Изображение параллелограмма.
Любой заданный параллелограмм A^B^C^D^ (включая прямоугольник, квадрат,
ромб) может быть изображен произвольным параллелограммом ABCD.
На изображении параллелограмма общего вида изображения двух его высот,
опущенных из одной вершины, можно построить произвольно. Причем высоты,
опущенные из вершины острого угла параллелограмма-оригинала, лежат вне
параллелограмма, а высоты, опущенные из вершины тупого угла, — внутри него.

Если AXBXCXDX — ромб, то на изобра¬
жении определяется пара взаимно пер¬
пендикулярных прямых — это диагонали
ABCD. Поэтому произвольно можно
построить изображение лишь одной
высоты из данной вершины ромба на его
сторону. При изображении второй
высоты ромба учитывают, что основания
этих высот лежат на прямой, параллель¬
ной диагонали ромба. Аналогично изо¬
бражаются перпендикуляры, опущенные
на стороны ромба из любой точки его
диагонали.
ABCD — изображение ромба AXBXCXDX;
ВМ и BN — изображение высот ромба
ВХМХ и BXNX, MNII AC.
Если AjBjCjDj — квадрат, то его изображение ABCD (произвольный параллело¬
грамм), причем изображения высот, биссектрис, углов, перпендикуляров к сторонам
строить произвольно нельзя.
3.	Изображение трапеции
Любая трапеция AXBXCXDX (в том числе и равнобокая, прямоугольная) может быть
изображена произвольной трапецией ABCD .
Если AXBXCXDX —трапеция общего вида,
то изображение её высоты и одного из
перпендикуляров, опущенных из точки
основания на боковые стороны, можно
строить произвольно.
с
в
ABCD—изображение трапеции A XBXCXDX,
В К — высота.
Если AXBXCXDX — прямоугольная трапе¬
ция, то	изображение высо¬
ты трапеции уже задано на рисунке,
поэтому произвольно может быть изо¬
бражен лишь перпендикуляр к наклонной
боковой стороне.
в
A	D
ABCD — изображение прямоугольной
трапеции AXBXCXDX, CBYAB.
Если AXBXCXDX — равнобокая трапеция
(имеет ось симметрии), то изображением
высоты является отрезок, соединяющий
середины оснований или ему парал¬
лельный.
ВК = КС', AN = DN;
KN—изображение оси симметрии А
KN1AD; BM1.AD; ВМ и KN —
изображение высот трапеции А ХВХ CXDX.
1 г
13

4. Изображение окружности
Параллельной проекцией окружности
является эллипс.
Центром окружности на изображении
является точка пересечения сопряжен¬
ных диаметров эллипса.
Два диаметра окружности (эллипса) на¬
зываются сопряженными, если каждый
из них делит пополам все хорды, парал¬
лельные второму диаметру.
данная окружность; эллипс — изображение
данной окружности: АВ1 CD; АВ и CD —
сопряженные диаметры, О —изображение
центра окружности является центром
эллипса.
5.	Изображение правильного шестиугольника
У правильного шестиугольника противо¬
лежащие стороны попарно параллельны
и сторона шестиугольника равна радиусу
описанной около него окружности; хорды,
соединяющие симметричные относи¬
тельно диаметра вершины и центр
окруж-ности, делят этот диаметр на
четыре равные части.
Этот факт используется при параллель¬
ном проектировании правильного шести¬
угольника.
Две вершины — концы одного диаметра
эллипса. Делим этот диаметр на четыре
равные части и через точки деления
1,0,2 проводим прямые, параллельные
диаметру, сопряженному данному.
A'B'C'D'E'F' —
правильный
шестиугольник.
ABCDEF—
изображение
правильного
шестиугольника.
Изображение п -угольников и их комбинаций с окружностью
1.	Изображение правильного треуголь- 2. Изображение правильного треуголь¬
ника, описанного около окружности. ника, вписанного в окружность.
О' — точка пере¬
сечения медиан,
биссектрис, высот
ДЛ'5'С';
О'М' — радиус
вписанной окруж¬
ности.
ААВС — изобра¬
жение правильного
ЬА'В'С'; О —
изображение цент¬
ра вписанной в
ДЛ'В'С' окружности.
М
О' —точка пересе¬
чения медиан, бис¬
сектрис tsM'N' С.
А'В'IC'D'; О'С'
—радиус окружнос¬
ти.
B\D
N
&MNC — изобра¬
жение правильного
kM'N'C'; О — изо¬
бражение центра
окружности, описан¬
ной около EM'N'C';
ОС — изображение
радиуса окружности.
АВ и CD — сопря¬
женные диаметры.
14
I

3. Изображение квадрата, описанного
около окружности
4. Изображение квадрата, вписанного в
окружность
A'B'C'D'— квадрат,
описанный около
ABCD — изображе¬
ние квадрата
A'B'C'D'-,
О — изображение
центра окружности,
вписанной в квадрат.
окружности; О' —
центр окружности
(точка пересечения
диагоналей).
5. Изображение ромба, описанного около
окружности.
A'B'C'D' — квад¬
рат, вписанный в
окружность; О' —
центр окружности;
О'С', О'В', О'А',
ABCD — изобра¬
жение квадрата,
вписанного в окруж¬
ность; О —изобра¬
жение окружности;
ОС= ОВ= OD= ОА,
так как являются
O'D' — радиусы изображением ра-
окружности. диуса окружности.
Вписать ромб в окружность можно,
только если он является квадратом,
этот случай уже рассматривался выше.
A'B'C'D' — ромб,
описанный около
окружности; О' —
центр окружности
(точка пересечения
диагоналей).
ABCD — изобра¬
жение ромба;
О — изображение
центра окружности,
вписанной в ромб.
6.	Изображение трапеции и окружностей, вписанной в неё и описанной около неё
A'B'C'D' — равно¬
бокая трапеция, в
которую вписана ок¬
ружность; KXLX —
диаметр; Ох — центр
окружности.
ABCD — изобра¬
жение трапеции
A'B'C'D'-, К, L, О —
середины BD, АС
м KL , О — изобра¬
жение центра впи¬
санной в трапецию
окружности.
ABCD — изображение вписанной в ок¬
ружность трапеции A'B'C'D', которая
всегда является равнобокой.

УЧЕНИЧЕСКАЯ СТРАНИЧКА
1'. Доказать, что все параллельные между собой прямые, пересекающие данную
прямую, лежат в одной плоскости.
Дано: Oj II а2 II ... II ап, а1 n b ,а2 ел Ъ ... ап n b.
Доказать: ax,a2...an,b е а.
Доказательство.
Прямые ах и Ь задают плоскость а ,т.к. ах n Ь .а2 n Ь = В2.
Через точку В2 проведем прямую а2 , параллельную
прямой ах. В плоскости а такая прямая — единственная,
значит, а2 и а2 совпадают, т.е. а2 е а.
Аналогичные рассуждения доказывают, что а3...ап тоже лежат в плоскости а.
2.	Доказать, что если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она
лересекает и вторую плоскость.
Дано: а II Р; спа. Доказать: с п Р.
Доказательство.
Выберем в плоскости р произвольную точку и зададим
плоскость у точкой С и прямой с. Плоскость у
пересекает а по прямой а, причем точка А — это точка
пересечения прямой с с плоскостью а. Плоскость у
пересекает р по прямой Ь (Се Ь).
Прямые а и Ь лежат в плоскости у и не пересекаются, т.к.
не пересекаются плоскости аир, которым они принадлежат, значит, а\\Ь. Но так
как с п а, то с n Ь в точке В (В е Р), значит, прямая с пересекает плоскость р.
3.	Плоскости аир пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как
плоскости а, так и плоскости р. Доказать, что прямая а параллельна прямой АВ.
1			— г ~7 Дано: an Р по прямой АВ ,а II а, а II Р.
	ч а / Доказать: а II АВ .
~	у	Доказательство.
	•	Выберем произвольную точку С, лежащую на прямой АВ.
		у.—Л Зададим плоскость у, содержащую прямую а и точку С.
Тогда у п а по прямой с и у п р по прямой с'. Так как а II а, то а II с и а II Р, то а II с .
Значит, через точку С в плоскости у проходят с и с', параллельные прямой а .
Тогда прямые с и с' совпадают. Так как прямая сеансер, то она совпадает с
прямой АВ. То есть, а II АВ .
4.	Доказать, что если плоскость и прямая, ей не принадлежащая, параллельны
одной и той же плоскости, то они параллельны между собой.
Дано: a g а, а II Р, а II Р. Доказать: а II а, а II р.
Доказательство.
Докажем методом от противного. Допустим, что прямая а
пересекает плоскость а. Так как а||р, то прямая а
пересекает плоскость р. Это противоречит условию.
Вывод: а II а и а II Р.
‘l	г-*-
16
гг

с п DE DK DM п	znrz./Mi /-п/-.
5.	Дано: — = — = —. Доказать: (EKM) II (АВС).
IDA .L/C Dd
Доказательство.
Рассмотрим KADC. Так как	то EK IIЛ с
DA De
(теорема Фалеса). Аналогично доказывается, что
КМ\\СВ, тогда ЕКсхКМ и АСс\СВ и соответственно
параллельны, значит, (EKM) II (АВС) по признаку
параллельности плоскостей.
6.	Прямые а, Ь, с не лежат в одной плоскости и параллельны друг другу. АВ IIА ХВХ
и BCllBjCj, Доказать, что АС = АХСХ.
Дано: а II b || с, АВ\\АХВХ, ВС\\ВХСХ.
Доказать: АС = АХСХ.
Доказательство.
Рассмотрим плоскости АВС и АХВХСХ. (ABC) II (АХВХСх) ,
так как (АВ ВС) е (АВС), (АхВхслВхСх) е (Л^С,) и, по
условию, соответственно параллельны. AC IIАХСХ, так как
АСе (АВС) и АХСХ е (АХВХСХ) и АС и АХСХ принадлежат
плоскости ААХСХС. Тогда ААХСХС — параллелограмм,
AC v\ АХСХ —противолежащие стороны. АС = АХСХ.
7.	Параллелограммы ABCD и ABCXDX лежат в разных плоскостях. Доказать, что
четырехугольник CDDX Сх — параллелограмм.
Доказательство.
1)	АВ II CD, АВ = DC, так как ABCD — параллелограмм.
2)	AB\\DXCX, АВ = DXCX, так как ABCXDX — паралле¬
лограмм.
3)	Следовательно, DC\\DXCX и DC = DXCX, то есть
CDDXCX—параллелограмм.
8.	Дано изображение треугольника и двух его высот. Построить изображение центра
окружности, описанной около этого треугольника.
Решение.
Пусть ЕАВС — проекция некоторого треугольника. ВМ и
СК — проекции его высот. Центр окружности, описанной
около треугольника, совпадает с точкой пересечения
серединных перпендикуляров, тогда изображением сере¬
динных перпендикуляров будут отрезки ХО и YO, так как
X — середина АВ и Y — середина АС, а ХО\\КС и
YOWBM. Точка О — изображение центра описанной
около треугольника окружности.

9.	Построить на изображении ромба изображение его высоты, если угол ромба равен 45°.
р
Решение.
Пусть AXBXCXDX —ромб, /-Ах = 45° , ВХКХ — высота.
М.ХВХКХ —равнобедренный (АХКХ = ВХКХ), прямоуголь-
ный (ЛВХКХАХ = 90°).	Г
Тогда AXKX:AXDX = АХКХ:АХВХ = 1:72.	ь
[АХКХ = —^—'rAxDx— а.Если ABCD —изображение ромба, ~
к	2
то на стороне AD параллелограмма ABCD нужно выбрать Is-
точку К, чтобы выполнялось отношение АК :AD = 1:72. t
Построение.	Г
1)	На отрезке AD как на диаметре строим полу-_
окружность с центром в точке О .
2)	OP 1AD и ОР пересекает окружность в точке Р .	-
3)	Строим окружность с центром в точке А и радиусом ОР, пересекающую AD в точке К. ~
В К—изображение высоты ромба, так как А К = 1 и АР = 1, AD = 72 AK:AD = l:72.|u
10.	Построить сечение куба ABCDAXBXCXDX плоскостью, проходящей через вер-!~
шины А,С и точку К, взятую на ребре АХВХ . Установить вид сечения.
Решение.
Так как плоскость сечения проходит через точки А и С, то
она пересекает плоскость ABCD по прямой АС-
(ABCD)\\(AXBXCXDX), значит, плоскость сечения пере-г
секает плоскость AXBXCXDX по прямой, параллельной Г
прямой АС и проходящей через точку К. Отсюда -
проводим KL II AC (L & ВХСХ). AKLC — искомое сечение. -
Многоугольник AKLC — равнобокая трапеция: AC\\KL
(АС и KL — основания трапеции); KL = CL.\_
(Продолжим АК и CL до пересечения, получим -
МВМ= ЬСВМ. Они прямоугольные, АВ = СВ, ВМ

общий катет.) Отсюда AM = СМ. Поэтому кАМС — ~
равнобедренный, так как KL\\AC, kKML — равно- ”
бедренный, то есть КМ = LM. Отсюда следует:
АК = CL.
в,
А
Lw
D
А
Т	Г
18

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
Параллельные прямые в пространстве
1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX (рис. 1):
а)	найти несколько отрезков, параллельных отрезкам ССХ;
АХВХ; ВХСХ; АХСХ;
б)	найти несколько прямых, скрещивающихся с прямой ААХ ,
АВ, ВС, АХСХ, BD.	*
D
t
I
D
'в,
Рис. 1
2. Точка В отрезка АВ лежит в плоскости а, Через точку А
проведена прямая, пересекающая плоскость ос в точке A 1 (рис. 2).
Через середину отрезка АВ (точку С) проведена прямая с,
параллельная АА t :
а)	построить точку Сх пересечения прямой с и плоскости а ;
б)	вычислить ССХ, если ААХ = 22 см.
Рис. 2
3.	Отрезок АВ не имеет общих точек с плоскостью а.Через его
концы проведены параллельные прямые, которые пересекают плос¬
кость а в точках А, и Вх. Точка К — середина отрезка АВ (рис. 3):
а)	построить точку пересечения прямой, которая проходит
через точку К и параллельна прямым A A }, ВВХ и плоскости а;
б)	вычислить длину отрезка ККХ , если ААХ = 10см,
ВВХ = 6 см.
4.	Параллелограмм ABCD и треугольник АВСХ лежат в разных
плоскостях. Каково взаимное размещение прямых (рис. 4):
а)	A Cj и BD ;
б)	СХВ и AD;
в)	ССХ и AD;
г)	АСХ и BD?
5.	Через конец отрезка АВ проведена плоскость а, а через
конец В и точку С отрезка АВ проведены параллельные пря¬
мые, которые пересекают плоскость в точках Вх и Сх (рис. 5).
Найти: а) ВВХ , если АС = Зсм, АВ = 6см, ССХ = 4см;
б)	ССХ , если АС = 14см, АВ = 18 см, ВВХ = 9см;
в)	АВ, если А С = 2 см, ССХ = 4 см, ВВХ = 6 см.
6.	Равные прямоугольники ABCD и АВМК лежат в разных
плоскостях (рис. 6):
а)	найти длину ломаной АСВКА, если CD == 8 см, ВМ = 6 см;
б)	верно ли утверждение, что прямые АС и В К параллельны?
А
Рис. 3
А
D
Рис. 4
В
Рис. 5
К	М
В
D
Рис. 6
1—Г

7. Отрезок АВ, равный 16 см, лежит в плоскости а. Точка С не лежит
в этой плоскости. К и М — середины отрезков АС и ВС (рис. 7):
а)	может ли прямая КМ иметь общие точки с плоскостью
(Ответ объяснить.);
б)	вычислить расстояние между точками К и М.
а?
Рис. 7
8. Отрезок КМ, равный 10 см, параллелен плоскости а.
Через его концы проведены параллельные прямые,
пересекающие а в точках Кх и Мх (рис. 8):
а)	как расположены прямые КМ и КХМХ ?
б)	найти расстояние между точками , Мх;
в)	вычислить площадь четырехугольника КММХКХ,
если ККХ= 8 см, ЛКММХ= 30° .
м
Рис. 8
Параллельность прямой и плоскости
9. Через точку К стороны АС треугольника АВС проведена
плоскость а, параллельная прямой АВ (рис. 9):
а)	как расположены прямые АВ и КМ (М — точка
пересечения прямой ВС и плоскости а)?
б)	вычислить длину отрезка КМ, если АК = 4 см,
КС = 6 см, АВ = 5 см.
Рис. 9
10. Отрезок АВ параллелен плоскости а, через его концы
проведены параллельные прямые. Прямая, проходящая
через точку В, пересекает плоскость в точке Вх (рис. 10):
а)	построить точку пересечения второй прямой
с плоскостью а (точку Ах);
б)	вычислить периметр четырехугольника АВВХАХ,
если АВ\ВВХ= 5:2, АВ-ВВХ= 9см.
Рис. 10
11. Через точку К стороны АС треугольника АВС проведена
плоскость а, параллельная прямой АВ (рис. 11):
а)	построить точку пересечения плоскости а и стороны
ВС (точку М);
б)	вычислить длину отрезка КМ, если КМ+АВ = 26см,
СК.КА = 4 :5.
В
Рис. 11
12. В плоскости а, пересекающейся с плоскостью 0 по пря¬
мой с, проведена прямая а, параллельная с. В плоскости р
проведена прямая Ь, пересекающая прямую с (рис. 12):
а)	могут ли прямые а и Ъ иметь общие точки?
б)	доказать, что а и Ь — скрещивающиеся прямые.
Рис. 12

L
13.	Точки А,В,С и D не лежат в одной плоскости. К и М —
середины отрезков BD и CD (рис. 13):
а)	имеют ли общие точки прямая КМ и плоскость,
в которой лежат точки А,В и С?
б)	вычислить периметр треугольника АКМ, если рас¬
стояние между любой парой данных точек равно 8 см.
14.	Через точку К стороны AD параллелограмма .
проведена плоскость а, параллельная прямой DC (рис. 1
а)	на какие фигуры делит плоскость а данный параг
грамм? (Ответ объяснить.)
б)	вычислить длины отрезков, на которые делит пло<
а диагональ BD, если DK = 6 см, АК = 8 см, BD =
15.	Прямая а параллельна плоскости а. Верно ли утвержу
что любая прямая плоскости а параллельна прямой а ?
16.	Верно ли утверждение, что две прямые, параллельные
параллельны?
17.	Дан куб ABCDA^B'C^D' (рис. 15):
а)	построить отрезок, являющийся пересечением грани
АВВ1А1 и плоскости а, в которой лежит прямая СС{, а
точка К — середина АВ;
б)	построить сечение куба плоскостью а;
в)	вычислить периметр построенного сечения, если ребро
куба равно 20 см.
одной плоскости,
с
4
Рис. 16
Рис. 15
18.	Дан треугольник АВС и плоскость а, которая парал¬
лельна прямой АВ, пересекает сторону АС в точке D,
а сторону ВС — в точке К (рис. 16).
Вычислить:
а)	АВ, если DC = 8см, АС = 24см, DK = 6см;
б)	DK, если АВ = 6, 8 см, CD = 4,3 см, АС = 8,6 см-
в)	АВ, если А С = a, DC = b, DK = с;
г)	DK, если AD = а, АС = b, АВ = с.
19.	ABCD — параллелограмм. Плоскость а проходит через его вершины А и В и не -
проходит через вершину С. Доказать, что CD II а.
20.	Плоскость а и не лежащая в ней прямая а параллельны одной и той же прямой Ь. ~
Доказать, что прямая а и плоскость а параллельны.
21.	Плоскость а параллельна стороне ВС треугольника АВС и проходит через _
середину стороны АВ. Доказать, что плоскость а проходит также через середину -
стороны Л С.
22.	Доказать, что середины сторон пространственного четырехугольника являютс? ~
вершинами параллелограмма.
23.	Доказать, что все прямые, пересекающие одну из двух скрещивающихся прямы* . ~
параллельные другой, лежат в одной плоскости.

24.	Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник. Через боковое ребро,
соединяющее вершины прямых углов оснований и середину гипотенузы нижнего
основания, проведена плоскость. Доказать, что линия пересечения этой плоскости с
боковой гранью параллельна указанному боковому ребру.
25.	Через середины двух ребер основания правильной треугольной пирамиды
проведена плоскость параллельно боковому ребру. Доказать, что эта плоскость
пересекает две боковые грани пирамиды по прямым, параллельным между собой.
Параллельность плоскостей
26.	Точки А и В расположены в одной из параллельных
плоскостей, С и D — в другой. Отрезки АС и BD пересекаются
в точке 57) = 15 см, АВ = 4 см, DC = 6 см (рис. 17):
а)	как расположены прямые АВ и CD? (Ответ объяс¬
нить );
б)	вычислить длину отрезка DM.
27.	Через точку О, расположенную между параллельными плос¬
костями аир, проведены две прямые, которые пересекают
плоскости в точках А и A В и В1 (рис. 18):
а)	как расположены прямые АВ м АХВ}? (Ответ объяснить );
б)	найти длину отрезка АгВх, если АВ = 18 см,
АО:ОА{ = 3:5.
28.	Два луча с началом в точке А пересекают одну из параллельных
плоскостей в точках АХ,ВХ, а другую — в точках Л2,Т?2 (рис. 19):
а)	как расположены прямые А}В} и А2В2? (Ответ объяснить );
б)	вычислить АВ1, если= 4см,42В2 = 16см,ВгВ2 = 15см.
Рис. 19
Лучи МК и МР пересекают плоскость а, параллельную
а
29.
плоскости Р, в точках А и В, а один из них пересекает плоскость
в точке A j (рис. 20):
а)	построить точку В} пересечения плоскости а и луча МР;
б)	вычислить А, если МА \ААХ = 3:4, АВ = 6 см.
30.	Плоскости аир параллельны. Отрезок АВ расположен в
Рис. 20
плоскости а. Через его концы и точку К, лежащую между
плоскостями, проведены прямые. Одна из них пересекает
плоскость Р в точке Вх (рис. 21):
а)	построить точку пересечения прямой АК и плоскости а
(точку A j);
б)	вычислить ААХ и 2?^,если АХВХ:АВ = 3:4,АК = 6см,
ВК = 12 см.

I I I I I I I I I I I I I 1 I I J I !
31.	Через точки Bx и В2 стороны АВ равностороннего треугольника л\
АВС проведены плоскости аир, параллельные прямой ВС (рис. 22):
а)	на какие фигуры делится этот треугольник плоскостями аи|3?
б)	вычислить периметры этих фигур, если АС = 18 см и (jd V
АВ} = ВХВ2 =В2В.
22
32.	Плоскость а параллельна плоскости, в которой лежит квадрат а
ABCD. Через вершины квадрата проведены параллельные прямые, /д 7\
пересекающие плоскость а в точках АХ,ВХ,СХ и Dx (рис. 23):
а)	определить вид четырехугольника АХВХCXDX;	у-у \ у
б)	вычислить периметр четырехугольника АХВ} СхD}, если АВ = 12 см.	[У——X
33.	Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, К,М,Р — Рис. 23 D
середины отрезков АВ, AC, AD (рис. 24):	/\\
а)	доказать, что плоскости DBC и КМР параллельны;	/	|Х
б)	вычислить периметр треугольника КМР, если BD = 12см,		*"Т
ВС = 8 см, DC = 6 см.
34.	Плоскости аи₽ параллельны. Верно ли, что любая прямая Рис. 24 в
плоскости а параллельна плоскости Р? (Ответ объяснить.)
35.	Ребро куба ABCDAXBXCXDX равно 24 см. Точка К — середина ребра ВВХ. Через
точку К проведена плоскость а, параллельная плоскости ВСХАХ:
а)	построить отрезок, лежащий в плоскости айв грани АВВХАХ;
б)	построить сечение куба плоскостью а.
36.	Дан куб ABCDAXBXCXDX .Точкам—середина ребра АВ. Построить сечение куба
плоскостью, которая содержит точку К и параллельна плоскости BBXDXD.
37.	Параллельные плоскости аир пересечены плоскостью у, линии их пересечения —
прямые а и Ъ . В плоскости у проведена прямая с, пересекающая прямую Ь‘.
а)	могут ли прямые а и с лежать в одной плоскости? (Ответ объяснить.);
б)	построить линию пересечения плоскости, содержащей некоторую точку пря¬
мой а и прямую с, с плоскостями а и р. Верно ли, что две плоскости,
параллельные одной прямой, параллельны?
38.	Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки М, Р, К (рис. 25).
Рис. 25
Построения нужно выполнять с помощью линейки и угольника так, как строят
параллельные прямые.
39. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М,К,Р (рис. 26).

40.	Дан куб ABCDAXBXCXDX . Построить сечение куба плоскостью, проходящей через
данные точки, и определить, какие фигуры получились в сечении:
а)Ср К, D; б)С15 К, С, где точка К—середина АХВХ.
41.	Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки М,РУК (рис. 27):
а) точка К
принадлежит
плоскости а;
б) точка К принадлежит
плоскости а; рис 27 в)
42.	Построить сечение многогранника плоскостью, проходящей
параллельной плоскости МРК (рис. 28).
через точку Е и
а)
Изображение пространственных фигур
43.	Треугольник АХВХСХ — проекция равнобедренного треугольника АВС (АВ = АС).
Построить проекцию биссектрисы треугольника, проведенной из вершины А .
44.	Треугольник АХВХСХ — проекция равнобедренного треугольника АВС (АВ = АС).
Построить проекцию перпендикуляра, проведенного из середины боковой стороны до
основания треугольника.
45.	Параллелограмм AXBXCXDX — проекция ромба ABCD. Точка К — середина АВ.
Построить проекцию перпендикуляра, проведенного из точки К до диагонали АС.
46.	Построить проекцию прямоугольника ABCD, зная проекции его вершин А,В и
точки пересечения диагоналей — О ; точки АХ,ВХ,ОХ.
47.	Параллелограмм AXBXCXDX — проекция квадрата ABCD. Построить проекцию пер¬
пендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей квадрата до стороны AD.
48.	Треугольник АХВХСХ — проекция равностороннего треугольника АВС. Построить
проекцию перпендикуляров, проведенных из произвольной точки на стороне АВ до
двух других сторон.
49.	Построить на изображении ромба изображение его высоты, если угол ромба равен 60°.
50.	Точки А и В принадлежат внутренним областям боковых смежных граней
четырехугольной призмы. Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью
нижнего основания.
51.	Точки М и N принадлежат внутренним областям смежных боковых граней треуголь¬
ной призмы. Построить точку пересечения прямой MN с плоскостью нижнего основания.
1	г
24

B-l
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-2-1
Тема. Параллельность прямых в пространстве
7 баллов
В-II
9 баллов
Концы отрезка АВ лежат по одну сторону
относительно плоскости а. Через точки
А и В проведены параллельные прямые,
которые пересекают плоскость а в точках
Аг и В1:
а)	построить точку пересечения прямой
АВ и плоскости а (точку О);
б)	вычислить ААг и ВВ}, если
А^В^'.В^О = 3:2; ААХ+ВВ^= 35ед.
Пересекающиеся прямые а и Ь лежат в
плоскости а. Прямая с параллельна пря¬
мой Ь и пересекает a. Доказать, что пря¬
мая с лежит в плоскости ос.
В-III
10 баллов
В-IV
12 баллов
Точка К расположена вне плоскости
треугольника АВС, Е и F — середины
отрезков КА и КС:
а)	доказать, что отрезок EF равен и па¬
раллелен средней линии треугольника
АВС (МР)-,
б)	как расположены прямые ЕМ и FP?
(Ответ объяснить.)
Точка К не лежит в плоскости трапеции
ABCD. Через середины отрезков КА и
КВ проведена прямая EF (АВ II CD):
а)	доказать, что прямые EF и CD па¬
раллельны;
б)	определить вид четырехугольника DCFE,
если АВ DC = 2:1.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-2-2
Тема. Параллельность прямой и плоскости
B-I
В-II
Дан треугольник АВС. Плоскость а пере¬
секает его стороны АВ и ВС соответ¬
ственно в их серединах К и М. Доказать,
что прямая АС параллельна плоскости.
у* "Л
\ а \
Плоскость а пересекает стороны АВ и
А С треугольника АВС в точках М и К
так, что ЛАМК = ЛАВ С. Доказать, что
прямая ВС параллельна плоскости а.
Л
/ 	у /
/	'	\ V-/
У \
А	С
В-III
B4V	~
Плоскость а пересекает стороны А В и
АС треугольника АВС в точках М и К так,
что AM = ^АВ, АК = jAC. Доказать,
что прямая ВС параллельна плоскости а.
Дан треугольник АВС. Плоскость а,
которая параллельна прямой АС, пере¬
секает сторону АВ в точке К, а сторону
ВС в точке М. Доказать, что прямая КМ
параллельна прямой АС.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-2-3
Тема. Параллельность плоскостей
B-I
7 баллов
В -II
9 баллов
В - III
10 баллов
В-IV
12 баллов
1. Дано: all р; А,Ве a ; C,Z>e р ; ACc\BD = О.
Найти
АВ =
DC = 4см,
ОС =
АО,
3 см,
если
Найти OD,
АВ = 2 см,
DC = 4см,
ОВ = 5 см.
если
Найти АВ,
DC = 7,4 см,
АО ~ 2, 9 см,
ОС =5,8 см.
если
Найти DC, если
АВ = 2,9 см,
ОВ = 4,3 см,
OD = 8,6 см.
8 см.
4
Me АВ и Ke DC.
Me DDX и Ке ССГ
А
Me ААХ и Ke DDX.
Me AD и Ke ВХСХ.
2. Построить сечение куба ABCDAXBXCXDX плоскостью,
проходящей через точки вх,М,К, если:
26

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-2-4
Тема. Изображение пространственных фигур. Построение сечений
B-I
7 баллов
В-II
9 баллов
1. Треугольник Л j 2?! Q — проекция равно¬
бедренного треугольника АВС (АВ = ВС).
Построить проекцию высоты треугольника,
проведенной из вершины В.
2. Построить сечение куба ABCDAXBXCXDX
плоскостью, проходящей через вершину
D и точки Р и К, лежащие соответ¬
ственно на ребрах t Cj и ССХ.
1. Параллелограмм AXBXCXDX — проек¬
ция квадрата ABCD. Построить проек¬
цию перпендикуляра, проведенного из
точки пересечения диагоналей квадрата
к стороне АВ.
2. Построить сечение куба А В CD A XBXCXDX
плоскостью, проходящей через вершины
Ахи С и точку/С, лежащую на ребре ВВХ.
В-III
10 баллов
В-IV
12 баллов
1. Построить проекцию правильного тре¬
угольника АВС, зная проекции его вер¬
шины В и серединКиР сторон АВ и АС:
ВХ,КХ и Рх.
2. Построить сечение куба ABCDAXBXCXDX
плоскостью, проходящей через вершины
D и Вх и точку К, лежащую на ребре ААХ.
1. Построить проекцию квадрата ABCD,
зная проекции его вершин А и В и точки
пересечения диагоналей — О: точки
АХ,ВХ и Ох.
2. Построить сечение куба А В CD A XBXCXDX
плоскостью, проходящей через вершины
В и Dx и точку Л", лежащую на ребре ААХ.
27

КОНТРОЛ
Тема. Параллс
Ь
ЭЛ1
Н/
эН1
(ЯР/
=ie щ
ХБОТ/
эямые
1 К-2-1
л плоскости
В-1
7 баллов
В-II
9 баллов
1. Могут ли скрещивающиеся прямые а и Ь
быть параллельными прямой с? (Ответ
объяснить.)
1. Как расположены отрезки, по которым
секущая плоскость пересекает плоскости
граней АВВХАХ v\DCCxDx куба
ABCDAXBXCXDX ? (Ответ объяснить.)
2. Точка К не лежит в плоскости прямо-
угольника ABCD. Как расположена пря-
мая CD по отношению к плоскости АВК2
(Ответ объяснить.)
2. Прямые АВ и CD скрещиваются.
Доказать, что через середину отрезка АС
можно провести плоскость, параллель-
ную прямым АВ и CD, и только одну.
3. Доказать, что все прямые, пересека-
ющие две данные параллельные пря-
мые, лежат в одной плоскости.
3. Дан треугольник АВС. Плоскость,
параллельная прямой АВ, пересекает
сторону АС в точке Е, а сторону В С — в
точке F. Точка Е делит отрезок АС в
отношении 3:7, считая от точки С. Найти
длину отрезка EF, если АВ = 20дм.
4. Построить сечение куба ABCDAXBXCXDX
плоскостью, проходящей через ребра АВ
и DjCp
4. Дан равносторонний треугольник АВС.
Построить проекцию этого треугольника и
его высот на плоскость а.
В-III
10 баллов
В-IV
12 баллов
1. Даны скрещивающиеся прямые а, Ь и
прямая с, не параллельная прямой а.
Провести прямую, пересекающую обе
скрещивающиеся прямые а и Ь так, чтобы
она была параллельна прямой с. Всегда
ли это возможно? (Ответ объяснить.)
1. Даны скрещивающиеся прямые а, Ь и
прямая с, не параллельная прямой Ь.
Провести прямую, пересекающую обе
скрещивающиеся прямые а и Ь так, чтобы
она была параллельна прямой с. Всегда
ли это возможно? (Ответ объяснить.)
2. Через концы отрезка АВ и его середину
О проведены параллельные прямые,
пересекающие некоторую плоскость р в
точках Ах,вх и Ох соответственно.
Известно, что ААХ- 3,4дм, ВВХ- 5,6дм.
Найти длину отрезка ООХ, если отрезок
А В пересекает плоскость р.
2. Через концы отрезка АВ и его сере-
дину О проведены параллельные прямые,
пересекающие плоскость а в точках Ах,вх
и Ох соответственно. Известно, что
ААХ= 5м, ООХ=-- 4м. Найти длину отрезка
ВВХ, если отрезок АВ не пересекает
плоскость а.
3. Даны параллельные плоскости аир.
Через вершины треугольника АВС, лежа-
щего в плоскости а, проведены параллель-
ные прямые, пересекающие плоскость р в
точках АХ,ВХ и Сх соответственно. Найти
медиану треугольника АХВХСХ, проведен-
ную к стороне АХВХ, если АВ = 12 дм,
ВС = 10 дм, АС = 10 дм.
3. Даны две параллельные плоскости [3 и у.
Через вершины треугольника BCD, лежа-
щего в плоскости Р, проведены парал-
лельные прямые, пересекающие плоскость
у в точках ВХ,СХ и Dx соответственно.
Найти биссектрису треугольника BXCXDX,
проведенную к стороне Вх Сх, если
ВС = 10 м, BD = 13 м, CD = 13 м.
4. Треугольник АХВХСХ является па-
раллельной проекцией правильного тре-
угольника АВС на плоскость а. Постро-
ить проекции биссектрис треугольника
АВС.
4. Треугольник АХВХСХ является па-
раллельной проекцией равностороннего
треугольника АВС на плоскость а.
Построить проекции на плоскость а пря-
мых, перпендикулярных сторонам треуголь-
ника АВС, проведенных через точку М,
взятую на стороне треугольника АВС.
28

§3. Перпендикулярность
прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямых в пространстве
Определение. Так же как и на плоскости, две
прямые называются перпендикулярными, если
они пересекаются под прямым углом.
Признак. Если две пересекающиеся прямые
параллельны соответственно двум перпендику¬
лярным прямым, то они тоже перпендикулярны.
(с?! II bx,a2 II Ь2,а} ± а2) => b} 1 Ь2 .
Перпендикулярность прямой и плоскости
Определение. Прямая, пересекающая плоскость,
называется перпендикулярной этой плоскости,
если она перпендикулярна любой прямой, лежа¬
щей в этой плоскости и проходящей через точку
пересечения.
Признак. Если прямая перпендикулярна двум
прямым, лежащим в плоскости и пересекающим¬
ся, то она перпендикулярна данной плоскости.
(alb и а ± с) => а ± а;
х—любая прямая плоскости а.
Свойства прямой и плоскости, перпендикулярных между собой
Две прямые, перпендикулярные одной и той же
плоскости, параллельны между собой.
Если одна из двух параллельных прямых пер¬
пендикулярна заданной плоскости, то и вторая
прямая перпендикулярна этой плоскости.
Прямая, перпендикулярная одной из двух парал¬
лельных плоскостей, перпендикулярна и второй
плоскости.
Две плоскости, перпендикулярные одной и той же
прямой, параллельны между собой.
(ос II Р и а 1 а) => а 1 Р ;
(ос! а и Р±а) => а II |3.

Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется
отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой,
перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащего в плоскости,
называется основанием перпендикуляра.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой от¬
резок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и не являющийся перпендику¬
ляром к плоскости. Конец отрезка, лежащего в плоскости, называется основанием
наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной,
проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
Перпендикуляр коро¬
че произвольной на¬
клонной, проведен¬
ной к плоскости из
той же точки.
У равных наклонных, прове¬
денных к плоскости из одной
точки, проекции равны, и
наоборот.
А
АС<АВ.
Если АВ = AD, то СВ = CD.
Если СВ = CD, то АВ = AD.
Из двух наклонных, прове¬
денных к плоскости из одной
точки, больше та, у которой
проекция больше, и наобо¬
рот.
Если СВ > CD , то АВ > AD .
Если AB>AD ,10 CB>CD .
Теорема о трёх перпендикулярах
(имеет два утверждения: прямое и обратное)
Если прямая, лежащая в плоскости
и проходящая через основание
наклонной, перпендикулярна про¬
екции наклонной, то она перпен¬
дикулярна и самой наклонной.
Если прямая, лежащая в плоскости
и проходящая через основание
наклонной, перпендикулярна нак¬
лонной, то она перпендикулярна и
проекции наклонной.
АВ — перпендикуляр, АС — наклонная,
ВС — проекция наклонной АС на плоскость сх
КР — прямая на плоскости ос.
1)	Если ЛГР15С, то КР1АС.
2)	Если КРА.АС, то КРА.ВС.
1	г
30

Перпендикулярность двух плоскостей
Определение. Две пересекаю¬
щиеся плоскости называются пер¬
пендикулярными, если третья
плоскость, перпендикулярная пря¬
мой пересечения этих плоскостей,
пересекает их по перпендикуляр¬
ным прямым.
Если а пересекает р по прямой с, у 1 с,
у пересекает а по прямой а, у пересекает р по
прямой Ъ, alb. alZ),TOOcip.
Признак. Если плоскость проходит
через прямую, перпендикулярную
другой плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
Если b 1 а и Р проходит через Ь, то р 1 а.
Свойство. Если прямая, лежащая
в одной из двух перпендикулярных
плоскостей, перпендикулярна ли¬
нии их пересечения,то она перпен¬
дикулярна и другой плоскости.
Если Р ± а, Р пересекает а по а и b 1 а
{Ь лежит в Р), то b 1 а.
Расстояние в пространстве ( р — расстояние)
Расстояние между
двумя точками равно
длине отрезка, соеди¬
няющего эти точки.
Расстояние от точки до
прямой — это длина пер¬
пендикуляра, опущенного
из данной точки на прямую.
Расстояние между парал¬
лельными прямыми — это
расстояние от какой-нибудь
точки одной прямой до другой.
А
В
р(А, В) = АВ.
АВ ± а р(Л, а) = АВ.
а	Л
м	а II 6; А е а;
AM lb', ЬеЬ р{а, b) - AM.
Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из
этой точки на плоскость.
Проводим КМ 1 а
{Me а). КМ= р(2С;сс) .
SO 1а. Проводим КМIISO.
Тогда КМ 1 а и
КМ= р(К;а).
Проводим через точку К плос¬
кость р 1 ос (Р пересекает ос
по АВ). Проводим КМ1АВ.
Тогда КМ 1 ос и КМ= р(К;а).
В
31

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью
Расстоянием от прямой до
параллельной ей плоскости
называется расстояние от
произвольной точки этой
прямой до плоскости.
а || ос,	Ае
р(а;ос)= р(А;а) .
Выбираем на прямой
произвольную точку А
находим расстояние от этой точки до плоскости а.
а,
а
и
а
Расстояние между параллельными плоскостями
Расстоянием между двумя
параллельными плоскостями
называется расстояние от
произвольной точки одной
плоскости до второй плос¬
кости.
Р II ос,	В е
р(Р;ос)= р(5;а) .
Выбираем в плоскости
произвольную точку В
находим расстояние от этой точки до плоскости ос.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Общим перпендикуляром к двум скрещи¬
вающимся прямым называется отрезок с кон¬
цами на этих прямых, перпендикулярный каж¬
дой из них.
Расстоянием между скрещивающимися
прямыми называется длина их общего пер¬
пендикуляра. Она равна расстоянию между
параллельными плоскостями, которые прохо¬
дят через эти прямые.
В
АВ ± а, АВ ± Ь’,
р(а;Ь)= АВ .
Прямые а и Ь —
скрещивающиеся.
Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми
Проводим через пря¬
мую Ь плоскость Р II а.
параллельные
Проводим плоскость ala и
проектируем прямые а и Ь на
эту плоскость: а -» А, b -> Ь,.
Проводим через прямые
а и b
плоскости ос II р.
р(а;Ь)= р(«;Р) .
P(a;b)= p(A;bj) .
р(а;6)= р(а;р).
Т	г
32

УЧЕНИЧЕСКАЯ СТРАНИЧКА.
1. Отрезок CD длиной I лежит вне плоскости прямоугольного треугольника АСВ и
перпендикулярен его катетам АС и ВС. Найти расстояние от точки D до середины
гипотенузы Е, если АС = Ь,ВС = а.
Е
Дано: ДА СВ; ЛАСВ= 90°; АС= Ь; ВС= а; АЕ= BE;
CD L (АСВ); CD= I; CD LAC; CDLCB.
Найти: p(D;E) (р — расстояние).
Решение.
в Соединим точки С и Е; D и Е. Так как CDLAC и CDLCB, то
CD ± (АВС) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).
Из EABC; LACB= 90°. По условию, AB= Ja2 + b2; E — центр описанной окружности
Л£= ВЕ= СЕ= ^АВ; СЕ= ^Ja2 + b2. Из EDCE; LDCE= 90°; DCL(ABC); DCLCE
(по определению прямой, перпендикулярной плоскости). По теореме Пифагора,
DE= Jcd2 + CE2 , DE=
.	2 j. i2
+ а + b .
Ответ: л/4/2 + а2 + 62.
2. ABCD — параллелограмм. BE и FD — перпендикуляры к плоскости АВС.
Доказать, что плоскости АВЕ и DFC параллельны.
Е
В,
л
Решение.
/ Так как BE ± (АВС) и DF L (АВС), то BE IIDF по свойству двух
прямых, перпендикулярных плоскости. АВ II DC — как противо-
АВ II DC
“-/ положные стороны параллелограмма.
/	BE IIDF
a D по признаку параллельности двух плоскостей.
■=> (ABE)W(DFC}
3. Отрезок CD перпендикулярен плоскости треугольника ЛВС, ZACB= 90°;
DC= 7 см, DA = DB= 11 см. Найти длину гипотенузы АВ.
В
Ответ: 12 см.
Решение.
1)	CD ± (АВС). DA и DB — наклонные, СА и СВ — их проек¬
ции на плоскость АВС. Так как DA= DB, то СА= СВ.
2)	EADC; LDCA= 90° (DC 1 (АВС); следовательно, DC LAC).
AC = JaD2-DC2; AC = 7121-49= ^72 (cm).
3)	EACB ;ZACB= 9Q°;AC= CB;AB = AC • Jl'AB = jT2-j2 = 12(cm).

4.	В равнобедренном ЛАНС основание ВС = 12 см, боковая сторона равна 10 см.
Из вершины А проведен перпендикуляр AD к плоскости ABC, AD = 6 см. Найти
расстояние от точки D до стороны В С.
А
в
Решение.
1)	Проведем АН — медиану в N4BC к основанию ВС (АС = АВ).
CH = ^ВС; AHL ВС. Соединим точки D и Н, ADL(ABC), АН —
проекция наклонной DH на плоскость АВС. Так как ВС 1 АН, то
BCLDH по теореме о трех перпендикулярах; DH — искомое
расстояние.
2)	Из ILACH-. КАНС = 90°; АН = JaC2-CH2; АН = J1Q0 - 36 = 8 (см). -
3)	ИзДЛ£>Н:/ГМЯ = 90°; DA L(ABC),DA LAH;DH = JdA2+AH2-, DH = 736 + 64 = 10(см).
Ответ: 10 см.
5.	Если точка равноудалена от всех вершин многоугольника, то она проектируется на
его плоскость в центр описанного круга.
М
Дано: МА = МВ = МС = MD = ME, МО ± а.
Доказать: О — центр описанного круга.
Анализ. Мы докажем, что О — центр описанного круга, если
докажем, что точка О равноудалена от вершин А, В, С,.... Для
этого проведем отрезки ОА, ОВ, ОС... и сравним их.
Доказательство.
ОА = ОВ = ОС = ...(как проекции равных наклонных МА, МВ,...),
следовательно, О — центр описанного круга.
Если данная точка принадлежит плоскости многоугольника, то она проектируется в себя.
6. Доказать, что если точка равноудалена от всех сторон выпуклого многоугольника,
то она проектируется на его плоскость в центр вписанного круга.
м
А
Дано: MKLAB, MLLBC, MNLCD,...,
МК = ML = MN = ..., МО L ABCDE....	'
Доказать: О — центр вписанного круга.
Анализ. Мы докажем, что О — центр вписанного круга, если
докажем, что точка О равноудалена от всех сторон много¬
угольника ABCDE....
Доказательство.
Проведем отрезки OK, OL, ON,....
A)OKLAB, OLLBC, ON1CD,... (обратная теорема о трех перпендикулярах);
2)	ОК = OL = ON = ... (как проекции равных наклонных МК, ML,...);
3)	окружность О(ОК) по доказанному пройдет через точки К, L,..., а стороны
многоугольника ABCDE будут касательными, то есть О — центр вписанного круга.
Примечание. Если данная точка принадлежит плоскости многоугольника, то она
проектируется в себя.
т	г
34

Формулы зависимости стороны многоугольника
и радиусов описанной около него и вписанной в него окружностей
R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной окружности.
Правильный
треугольник
r = “Л , r =	, а — сторона правильного треугольника.
3	6
Прямоугольный
треугольник
r = |, г = a +	, а, Ь — катеты, с — гипотенуза.
Произвольный
треугольник
R =	R =	, г = -, р = —ь+~ (полупериметр),
45	2sina	р и	2	'	1 г
а, b, с — стороны треугольника, 5 — его площадь.
Квадрат
R =	г = т. , а —сторона квадрата.
Правильный
шестиугольник
R = а, г =	, а —сторона правильного шестиугольника.
Прямоугольник
R = |, d —диагональ прямоугольника.
7. Две взаимно перпендикулярные плоскости аир пересекаются по прямой MN.
Прямая а принадлежит плоскости а и параллельна MN, прямая Ь принадлежит
плоскости р и параллельна MN. Расстояние от а до MN равно 45 мм, а от Ь
до MN — 60 мм. Найти расстояние между прямыми а и Ь.
Решение.
1)	(6 II MN, all MN)=>a]]b.
2)	Be b; BB} 1 MN; В В j — расстояние от прямой MN до В;
BBi = 60 мм. По теореме о прямой, лежащей в одной из
двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярной
линии их пересечения, ВВ{ 1 а.
3)	В}А 1 а , В}А — расстояние от а до MN, В^А = 45 мм.
4)	Соединим точки А и В. АВ{ — проекция наклонной АВ на плоскость а. Так как
а 1АВ1, то а 1 АВ по теореме о трех перпендикулярах; АВ — искомое расстояние.
5)	Из ЬВВ'А : КВВ^А = 90° (ВВЛ 1 a, ВВХ1АВХ);
по теореме Пифагора АВ = Jbb] + АВ2; АВ = J152 + 602 = 75625 = 75 (мм).
Ответ: 75 мм.
8.	Через О —точку пересечения диагоналей квадрата ABCD проведен перпендику¬
ляр МО к его плоскости; AD = 2а. Найти расстояние между прямыми АВ и МО.
Решение.
АВ (АВС), МО су (АВС) = О; ОеАВ.
Следовательно, АВ и МО — скрещивающиеся прямые.
КО — средняя линия M.BD ; КО IIAD.
Так как ЛЯТЛДто ABLKO
МО 1 (АВС), следовательно, МО 1 КО
■ - КО общий
перпендикуляр скрещивающихся прямых АВ и МО.
КО — искомое расстояние. КО = ^AD; КО = а.
Ответ: а.
35
п

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1.	Прямая BS образует прямые углы со сторонами АВ и ВС равностороннего тре-

угольника ABC, BD — высота этого треугольника. Найти отрезок DS, если АС = 2 м,

BS = 1 м.	х

2.	Из точки М проведены к плоскости а наклонные МА и МВ и перпендикуляр МС,

равный а. Угол между каждой наклонной и перпендикуляром 45°.

Найти: а) площадь треугольника АВС, если проекции наклонных перпендикулярны; —
б)	угол между наклонными.

3.	Точка М одинаково удалена от всех вершин правильного треугольника АВ С и уда-

лена от его плоскости на 6 см. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника, —
если его сторона равна 8л/з см.	—
4.	Точка, равноудаленная от всех вершин прямоугольника, находится на расстоянии —
8 см от его плоскости. Найти расстояние от этой точки до вершин прямоугольника, если —
его меньшая сторона равна 8 см, а диагональ образует с большей стороной угол 30°. —
5.	В треугольнике АВС АВ = АС =
дой вершины треугольника АВС на
треугольника АВС.
6.	В треугольнике ABC КА = 45°,
на 6 см и находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника. Найти
длины МА , МВ и МС.
7.	Через вершину D прямоугольника ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр DK.
Доказать, что ККАВ = ККСВ = 90°.
8.	Отрезок МС перпендикулярен плоскости равностороннего \АВС
(рис. 1). Провести через точку М перпендикуляр к прямой АВ.
12 м, высота AF = 9 м. Точка М удалена от каж-
10 м. Найти расстояние от точки М до плоскости
ВС= 12 см. Точка М удалена от его плоскости
9.	Отрезок MD перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD.
Провести через точку М перпендикуляры к прямым ВС и ЛВ(рис. 2).
Рис. 2
10.	Отрезок MN перпендикулярен плоскости равнобедренного
треугольника АВС (АВ = АС; точка N лежит на Л С). Провести
через точку М перпендикуляр к прямой ВС (рис. 3).
Рис. 3
11.	Отрезок MD перпендикулярен плоскости равнобокой трапеции
ABCD (АВ = CD). Провести через точку М перпендикуляр к прямой
ВС (рис. 4).
дм.
12.	К плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр ВМ длиной 4
АВ = 2 дм. Найти расстояние от точки М до сторон и диагоналей квадрата.
13.	Через точку О пересечения диагоналей ромба к его плоскости проведен
перпендикуляр ОК длиной 5 см. Найти расстояние от точки К до каждой стороны
ромба, если диагонали ромба равны 40 см и 30 см.
1	г
36

14.	Отрезок EF является средней линией прямоугольного треугольника АВС
(КАСВ ~ 90°). Через точку Е проведен перпендикуляр ME к плоскости этого
треугольника. Доказать, что: a) MFA. А С; б) МС = МА.
15.	Площадь ромба 36</2 см2, один из его углов 135°. Найти расстояние от точки,
удаленной от каждой стороны ромба на 5 см, до его плоскости.
16.	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а основание 12 см.
Точка М удалена от каждой его стороны на 5 см. Найти: а) расстояние от точки М до
плоскости треугольника; б) площадь круга, вписанного в треугольник.
17.	Точка М одинаково удалена от сторон правильного шестиугольника, сторона кото¬
рого равна 6 см. Расстояние от точки М до плоскости щестиугольника равно Зл/б см.
Найти расстояние от точки М до каждой стороны шестиугольника.
18.	Ребро куба ABCDAXBXCXDX равно 20 см. Найти расстояние
между прямыми: а) ААХ иВС;б)ВС иЧЭ^С^в) AjDx и ВХС (рис. 5).
л	6
Рис. 5
19. Прямоугольники ABCD и АВМК лежат в разных плоскостях.
Сумма их периметров равна 46 см, АК = 6 см, ВС = 5 см.
Найти расстояние между прямыми АК и ВС (рис. 6).
D
В
К
~ м
Рис. 6
37

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-3-1
Тема. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность и перпендикулярность
B-I
7баллов
B-ll
9баллов
1.	Через центр О окружности с радиусом г
проведена прямая ОР, перпендикулярная
плоскости окружности. Найти расстояние
от точки Р до точки А, лежащей на
окружности, если ОР = 2 см, г = 6 см.
2.	Дан прямоугольник ABCD. Через пря¬
мую CD проведена плоскость а, перпен¬
дикулярная прямой ВС. Доказать, что
AD1 а.
1.	Через точку О пересечения диагоналей
квадрата со стороной 4 см проведена
прямая ОМ, перпендикулярная плоскос¬
ти квадрата. Найти расстояние от точки М
до вершин квадрата, если ОМ = 2 72 см.
2.	Дан прямоугольник ABCD. Через вер¬
шину прямоугольника D проведена пря¬
мая d, перпендикулярная прямой CD.
Доказать, что прямая АВ перпен¬
дикулярна плоскости прямых d и AD.
В-Ill
10баллов
B-IV
12баллов
1.	Через середину О стороны АВ равно¬
стороннего треугольника АВС со стороной
2 см проведена прямая ОК, перпендику¬
лярная плоскости треугольника. Найти
расстояние от точки К до вершин тре¬
угольника АВС, если ОК = 1 см.
2.	Дан квадрат ABCD. Через вершину
квадрата проведена прямая а, перпенди¬
кулярная прямой AD. Доказать, что пря¬
мая ВС перпендикулярна плоскости пря¬
мых а и АВ.
1.	Через центр окружности проведена
прямая а, перпендикулярная плоскости
окружности. Доказать, что любая точка
прямой а равноудалена от всех точек
данной окружности.
2.	Дан ромб ABCD. Через вершину С
ромба проведена прямая с, перпенди¬
кулярная прямым АС и CD. Доказать, что
прямая BD перпендикулярна плоскости
прямых с и АС.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-3-2
Тема. Перпендикуляр и наклонная.
Свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника
B-I
7баллов
B-ll
9баллов
1.	К плоскости квадрата ABCD проведен
перпендикуляр DM, равный 12 ' см.
Сторона квадрата равна 5 см. Найти:
а)	длины проекций наклонных МА, МВ
мМС;
б)	длины наклонных.
1.	Через середину гипотенузы прямо¬
угольного треугольника АВС проведен к
его плоскости перпендикуляр КО. Дока¬
зать, что наклонные КА, КВ и КС равны.
Найти длины проекций этих наклонных на
плоскость треугольника, если
АС = ВС = 6 см.
2.	Точка М находится на расстоянии 10 см
от вершины равностороннего треугольника
со стороной 6л/3 см. Найти расстояние от
точки М до плоскости треугольника.
2.	Точка М удалена от каждой вершины
квадрата на 10 дм. Найти расстояние от
точки М до плоскости квадрата, если его
сторона равна 6 72 дм.
38

В-Ill
10баллов
B-IV
12баллов
1.	Из точки М к плоскости проведены
наклонные МА и МВ длиной 10 см и
17 см. Найти расстояние от точки М до
плоскости, если длины проекций пропор¬
циональны числам 2 и 5.
2.	Точка М удалена от каждой вершины
прямоугольника на 10 дм. Найти рассто¬
яние от точки М до плоскости прямо¬
угольника, если его стороны равны 8 дм
и 4л/5 дм.
1.	Из точки А проведены к плоскости
наклонные АВ и АС длиной 12 см и
18 см. Найти длины проекций наклон¬
ных, если одна из них на 10 см больше
ДРУГОЙ.
2.	Катеты прямоугольного треугольника
равны 42 см и 56 см. На каком рассто¬
янии от плоскости треугольника нахо¬
дится точка, равноудаленная от каждой
из вершин треугольника на 125 см?
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-3-3
Тема. Теорема о трёх перпендикулярах
B-I
7 баллов
B-ll
9 баллов
1.	Отрезок МА перпендикулярен плоскости
равнобедренного ААВС; АВ = АС. Про¬
вести через точку М перпендикуляр к
прямой ВС.
1.	Отрезок МС перпендикулярен плоскости
квадрата ABCD. Провести через точку М
перпендикуляр к прямой BD.
2.	К плоскости прямоугольного В.АВС
<У-С = 90°) проведен перпендикуляр РВ.
РА = 13 см, = 30°, АС = 5 см. Найти
расстояние от точки Р:
а)	до прямой АС;
б)	до плоскости треугольника АВС.
2.	Сторона правильного ЛАВС равна
2л/3 см. К плоскости треугольника проведен
перпендикуляр А К длиной 4 см. Найти
расстояние от точки К до стороны ВС.
В-Ill
10 баллов
B-IV
12 баллов
1.	Отрезок МА перпендикулярен плоскости
ромба ABCD. Провести через точку М
перпендикуляр к прямой BD.
1.	Отрезок MN перпендикулярен плос¬
кости прямоугольного треугольника АВС
(точка N лежит на гипотенузе АВ).
Провести через точку М перпендикуляры
к прямым АС и ВС.
2.	Катеты прямоугольного треугольника
АВС равны 9 см и 16 см. Через середину
гипотенузы — точку О проведен перпен¬
дикуляр к плоскости треугольника длиной
6 см. Найти расстояния от концов
перпендикуляра до катетов и вершины
прямого угла треугольника.
2.	Катет АС прямоугольного треуголь¬
ника равен а, угол В равен <р. Через
вершину прямого угла проведен к плос¬
кости этого треугольника перпендику¬
ляр МС длиной а. Найти расстояния от
его концов до гипотенузы.
39

САМО
Тема. Свойство то1
ЮТОЯТЕЛЬНАЯ Р/
1ки, равноудаленной
ХБОТ^
от стор
С-3-4
он многоугольника
В-1
7 баллов
B-II
9 баллов
1. Точка К удалена от каждой стороны
правильного треугольника на 30 см, а
от его плоскости — на 18 см. Найти:
а)	длину радиуса окружности, вписанной
в данный треугольник;
б)	длину стороны треугольника.
1. Точка М удалена от каждой стороны
ромба на 20 см. Его диагонали равны 30 см
и 40 см. Найти расстояние от точки М до
плоскости ромба.
2. Точка М одинаково удалена от всех
сторон треугольника АВС, у которого
АВ = 6 см, ВС = 10 см, АС = 14 см.
Расстояние от точки М до плоскости
треугольника равно 1 см. Найти рассто-
яние от точки М до сторон треугольника.
2. Стороны треугольника равны 7 см,
24 см и 25 см. Точка М удалена от каждой
его стороны на 5 см. Найти расстояние от
точки М до плоскости этого треуголь-
ника.
B-III
10 баллов
B-IV
12 баллов
1. Точка М удалена от каждой стороны
прямоугольного треугольника на 5 см. Его
катеты равны 9 см и 12 см. Найти рассто-
яние от точки М до плоскости этого тре-
угольника.
1. Сторона ромба ABCD равна 20 см,
площадь его равна 320 см2. Точка М
удалена от плоскости ромба на 15 см и
одинаково удалена от его сторон. Найти
расстояние от точки М до сторон ромба.
2. Прямоугольная трапеция с острым
углом в 45° и большей боковой стороной,
равной 6^2 дм, расположена на плоское-
ти а. На расстоянии 4 дм от плоскости а
находится точка, равноудаленная от всех
сторон трапеции. Найти расстояние от
этой точки до сторон трапеции.
2. Точка, одинаково удаленная от всех
сторон равнобокой трапеции, находится
на расстоянии Зсм от её плоскости.
Периметр трапеции равен 48 см, а ост-
рый угол 60°. Найти расстояние от этой
точки до сторон трапеции.
т г
40

t
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-3-5
Тема. Перпендикулярность плоскостей
B-I
7 баллов
B-ll
9 баллов
1.	Прямые a, b и с, проходящие через
точку О, попарно перпендикулярны. Дока¬
зать, что плоскость, проходящая через
прямые а и Ь, перпендикулярна плос¬
кости, проходящей через прямые а и с.
2.	Из точек Р и Q, лежащих в двух пер¬
пендикулярных плоскостях, проведены
перпендикуляры РРХ и QQX на прямую
пересечения плоскостей. Найти длину от¬
резка PQX, если PXQX = 2см, РРХ = 3 см,
ООл = 6 см.
1.	Через каждую из диагоналей квадрата
проведена плоскость, перпендикулярная
второй его диагонали. Доказать, что эти
плоскости перпендикулярны.
2.	Плоскости равнобедренных треуголь¬
ников АВС и ABD с основаниями АВ
перпендикулярны. Найти расстояние
между их вершинами С и D, если
АВ = 5 см, АС = 6см, AD = 8 см .
В-Ill
10 баллов
B-IV
12 баллов
1.	Через каждую из диагоналей ромба
проведена плоскость, перпендикулярная
второй его диагонали. Доказать, что эти
плоскости перпендикулярны.
1.	Плоскости ос, р и у попарно перпенди¬
кулярны. Доказать, что прямые, по которым
пересекаются каждые две из этих плос¬
костей, тоже попарно перпендикулярны.
2.	Плоскости равностороннего треуголь¬
ника АВС и квадрата BCDE перпенди¬
кулярны. Найти расстояние между их
вершинами А и D, если высота треуголь¬
ника АВС равна 3 дм.
2.	Плоскости прямоугольных треугольников
ACD и BCD с прямыми углами С и D
перпендикулярны. Найти расстояние между
точками А и В, если CD = а, КА = 30°,
КВ = 60°.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-3-6
Тема. Расстояние между скрещивающимися прямыми
B-I
7 баллов
B-ll
9 баллов
К плоскости квадрата ABCD проведен
перпендикуляр KD. Сторона квадрата
равна 5 см. Найти расстояние между
прямыми:
а)	АВ и KD;
б)	KD и АС.
К плоскости равнобедренного треуголь¬
ника АВ С проведен перпендикуляр АК.
Площадь треугольника АВС равна 48 см2,
ВС = 16см, АК = 6 см, АВ = АС.
Найти расстояние:
а)	между прямыми АК и ВС;
б)	от точки К до прямой ВС.
В-Ill
10 баллов
B-IV
12 баллов
Через вершину С прямого угла треуголь¬
ника АВС проведена прямая а, перпен¬
дикулярная его плоскости. АС = 15 см,
ВС = 20 см. Найти расстояние между
прямыми а и АВ.
Через вершину острого угла С ромба
ABCD проведена прямая а, перпендику¬
лярная его плоскости. АВ = tn, КА = а.
Найти расстояние между прямыми:
а) а и AD; б) АВ и а.
41

B-I
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА К-3-1
7 баллов
1.	Отрезок длиной 13 см не пересекает
плоскость. Концы отрезка удалены от
плоскости на 2 см и 7 см. Найти длину
проекции отрезка на площадь.
2.	Из точки А на плоскость а проведен
перпендикуляр АО = 5см и две наклон¬
ные АВ = АС. АВА О = АС А О = 60°;
АСАВ = 90°. Найти расстояние между
основаниями наклонных.
3.	Из вершины В прямоугольника ABCD
со сторонами АВ = 5 см, ВС = 10 см к его
плоскости проведен перпендикуляр
ВМ = 5 см. Найти расстояние от точки М
до прямых CD и СА.
B-II
9 баллов
1.	Концы отрезка, не пересекающего
плоскость, удалены от неё на 3 см и 11 см.
Проекция отрезка на плоскость равна
15 см. Найти длину отрезка.
2.	Из точки А на плоскость а проведены
две наклонные АВ = АС = 6см. Угол
между ними равен 60°, а между их
проекциями — 90°. Найти расстояние от
точки А до плоскости ос.
3.	Из вершины С прямоугольника АВСР
со сторонами 6 см и 12 см к его плоскости
проведен перпендикуляр СМ = 6 см.
Найти расстояние от точки М до прямых
ВР и В А .
B-III
10 баллов
B-IV
12 баллов
1.	Отрезок длиной 17 см не пересекает
плоскость. Концы отрезка удалены от плос¬
кости на 4 см и 12 см. Найти длину
проекции отрезка на плоскость.
2.	Из точки, находящейся на расстоянии
5 см от плоскости а, проведены две
наклонные на плоскость, образующие
между собой угол 60°, а с перпендику¬
ляром к плоскости — угол 45°. Найти рас¬
стояние между основаниями наклонных.
3.	Из вершины Р прямоугольника АВСР
со сторонами 8 см и 16 см к его плоскости
проведен перпендикуляр РМ = 8 см.
Найти расстояние от точки М до прямых
АВ и АС.
1.	Концы отрезка, не пересекающего
плоскость, удалены от неё на 3 см и 8 см.
Проекция отрезка на плоскость равна
12 см. Найти длину отрезка.
2.	Из точки, которая находится на рас¬
стоянии 6 см от плоскости, проведены
две наклонные. Найти расстояние между
основаниями наклонных, если угол
между наклонной и её проекцией равен
30°, а между проекциями — 120°.
3.	Из вершины А прямоугольника АВСР
со сторонами 7 см и 14 см к его плоскости
проведен перпендикуляр AM = 7 см.
Найти расстояние от точки М до прямых
PC и РВ.
1	г
42

§47Декартовы координаты
и векторы в пространстве
Оси координат:
ось х - ось абсцисс, ось у - ось ординат, ось z - ось аппликат.
Точка О - начало координат. Произвольной точке простран¬
ства ставят в соответствие три числа: абсциссу х0, ординату у0
и аппликату z0. Эти числа называются декартовыми координа¬
тами заданной точки.
Расстояние между двумя точками: АВ = 7(х2-х1)2 + (у2~У1)2 + (z2~zi)2
Координаты середины отрезка
х,+х2 „_3'|+ъ Zl+Z2
X- 2 .У-~ .х = — •
Координаты точки, делящей отрезок в
У=
заданном отношении
с AD ОС]
Если —= — , то х=
DB ос2
ОС2	ОС]
	у. +	уэ Z=
а1+0С2	OCj+°C2 2
«2	,	«1
	-*1 ■*	,
ос.) + ос2 1 ОС] + ос2 2
«2	,	«1
	Zi т	Z-, .
ОС] + ос2 ОС] + ос2 2
B(x2;y2;z2)
C(x;y,z)




У
•B(x2;y2;z2)
D(x; у; z)
у	у
Преобразование фигуры F в фигуру Fx называется движением, если оно сохраняет
расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки А и В фигуры F в точки
Л] и 5] фигуры F] так, что АВ = А1В1.	■ _
Симметрия относительно плоскости	%
Пусть ос - произвольная фиксированная плоскость. Из точки X

опускают перпендикуляр на плоскость а {О - точка пересечения /	/
его с плоскостью ос) и на его продолжении за точку О откла- lSL		/
дывается отрезок ОХх, равный ОХ. Точки X и Хх называют
симметричными относительно плоскости a.
Преобразование фигуры F в Fx, при котором каждая точка X фигуры F переходит
в точку Хх, симметричную X относительно плоскости а, называется преобразова¬
нием симметрии относительно плоскости ос. При этом фигуры F и Fx называ¬
ются симметричными относительно плоскости а.
1 г
43

На рисунке 1 изображены две сферы, симметричные
относительно плоскости а.
Если преобразование симметрии относительно плоскости
переводит фигуру в себя, то фигура называется симметрич¬
ной относительно плоскости ос, а плоскость ос называется
плоскостью симметрии.
Рис.З
На рисунке 2
изображены две плоскости симмет¬
рии сферы. Заметим, что у сферы
таких плоскостей симметрии беско¬
нечное множество. У куба также име¬
ются плоскости симметрии. На ри¬
сунке 3 изображены две из них.
Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование,
при котором произвольная точка (x;y;z) фигуры F переходит в точку
(х + а\у + Z?;z + с), где а, Ь и с - постоянные. Параллельный перенос в пространстве
задается формулами хх = х + а, ух = у + b, zx ■= z + с.
На рисунке 4 призма АВСАХВХСХ при параллельном
переносе переходит в призму А'В'С'А' ХВ' ХС х.
Сформулируем некоторые свойства параллельного переноса:
1.	Параллельный перенос есть движение.
2.	При параллельном переносе точки смещаются по параллель¬
ным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.
3.	При параллельном переносе прямая переходит в парал¬
лельную прямую (или в себя).
4.	Каковы бы ни были две точки А и Ах, существует, и притом единственный, парал¬
лельный перенос, при котором точка А переходит в точку Ах.
5.	При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя,
либо в параллельную ей плоскость.
Гомотетия. Пусть F —данная фигура и О - фиксированная
точка (рис. 5). Проведем через произвольную точку X фигу¬
ры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХх, равный kOXt
где к - положительное число. Преобразование фигуры F,
при котором каждая ее точка X переходит в точку Хх, построен¬
ную указанным способом, называется гомотетией относи¬
тельно центра О. Число к называется коэффициентом гомотетии. Фигуры F и Fx
называются гомотетичными.
На рисунке 5 четырехугольник
Хх YXZX Ux гомотетичен четырехуголь¬
нику XYZU с центром гомотетии О
и коэффициентом гомотетии к = 2.
44

Преобразования подобия. Преобразование фигуры в фигуру называется преобра¬
зованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменя¬
ются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Это значит, что если
произвольные точки А и В фигуры F при этом преобразовании переходят в точки A j
и Вх фигуры Fx, то АХВХ = кАВ, где к>$.
Число к называется коэффициентом подобия (к > 0). При к = 1 преобразование
подобия является движением.
Углом между плоскостями аир, которые пересека¬
ются по прямой с, называется угол между прямыми, по
которым третья плоскость у, перпендикулярная линии
пересечения, пересекает плоскости а и (3.
Угол между параллельными плоскостями считается
равным 0°.
Угол между плоскостями не превышает 90°.
Способы построения:
а) на прямой с пересечения плоскостей аир
выбираем точку С; через С в плоскостях а и Р
проводим Прямые а и Ь, перпендикулярные с. Угол
между прямыми а и Ь равен углу между плоскостями.
б) возьмем точку А е а; А <£ с; опустим из неё перпенди¬
куляры на прямую с и плоскость Р: АВ 1 с; АА j 1 (3.
Соединим точки В и Ах: АХВ1 с по теореме о трёх
перпендикулярах; ZABAX - угол между плоскостями а
и р по определению.
Углом между прямой и плоскостью, которая её
пересекает, называется угол между этой прямой и её
проекцией на плоскость.
Для построения проекции прямой а на плоскость ос
достаточно найти две точки проекции: например, точку
пересечения прямой а и плоскости а и основание
любого перпендикуляра, опущенного из второй точки
прямой а на плоскость.
Угол между параллельными прямой и плоскостью счита¬
ется равным 0°.
а х Р= с; у 1с; у х а= а;
у х Р= b; Z(oc, Р)= /(а, Ь).
ах£= с; Z(a, Р) = Z(a, Z>);
Се с; а 1с; Z? 1 с; « с а;
А 01 а, ВО - проекция АВ
на плоскость а;
^LABO - угол между прямой
АВ и плоскостью а.
Если а II а (а лежит в а),
то Z(a, а) = 0.
а
45

Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью
равен 90°.
Углом между скрещивающимися прямыми называ¬
ется угол между прямыми, которые пересекаются и парал¬
лельны данным скрещивающимся прямым.
Если угол между скрещивающимися прямыми равен 90°,
то они называются перпендикулярными.
ala, то Z(a, a) = 90°.
Л
ах II а; bx II b;
Z(a;&) = Z(a1;61) = ср
(меньший из смежных углов);
0° < Z(a;Z?) < 90°.
а
b
Площадь ортогональной проекции
Ортогональной проекцией точки на плоскость
называется основание перпендикуляра, опущенного из
данной точки на плоскость.
14
а
ААХ1 a; ААХ х a = Ах;
A j - проекция А на плоскость a.
Проекцией отрезка на плоскость называется отрезок,
соединяющий проекции его концов.
Проекцией многоугольника на плоскость
называется фигура, ограниченная проекциями сторон
многоугольника на эту плоскость.
В
а 4
АХВХ - проекция отрезка АВ
на плоскость а.
4
А, В, С, D,- проекция четырех¬
угольника на плоскость а
Площадь ортогональной проекции многоугольника
равна произведению его площади на косинус угла
между плоскостью многоугольника и плоскостью
проекции.
в
4 = Scosa
Т	г
— 46

Скалярным произведением векторов а(а1;а2;а3) и b(br;b2;b3) в пространстве называ¬
ется число a jb j + а2Ь2 + а^з:
1)	а • а = а2 = |а|2; 2) а ■ b = |ё| • |б| cosy; 3)al.bt=>a-b-0- условие перпендику¬
лярности двух векторов, cosy =
Единичные векторы - это векторы, модули которых -
единицы.
Координатные векторы (орты) направлены вдоль осей
координат. Модули этих векторов равны 1.
ё^1 ;0;0), ё2(0;1 ;0), ё3(0;0;1).
Произвольный вектор а можно разложить единствен¬
ным способом по координатным векторам.
аз
г
к
	>1
a(apa2;a3) =	+ а2е2 + а3е3.
Коэффициенты разложения являются проекциями
вектора а на оси координат.
(■-
1 ез.
1—
** 1
“SmZ	1
Z!	!
1
*х
0	у
Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам
Компланарными называются векторы, параллельные одной и той же плоскости.
т - произвольный вектор пространства,
’ 7\
А.	\ ч	\
а, b и с - некомпланарны (то есть непараллельны
одной плоскости) векторы.
\	X
\ \
\	Z
Ч Vе	\
ч \	\
-> •> ■> >
Всегда существует разложение: т = аа + pb + ус (а, р
и у - единственные).
оД
*4? Ь

УЧЕНИЧЕСКАЯ СТРАНИЧКА
1.	Наклонная равна а и образует с плоскостью угол 45 °. Найти её проекцию на плоскость.
Решение.
Из точки А проведем перпендикуляр Л С на плоскость а и соеди¬
ним точки С \л В. АС /а, АВ - наклонная, СВ - проекция
наклонной АВ на плоскость. ЛАВ С - угол между наклонной и плос¬
костью, ЛАВС= 45°. Из \АВС\ ЛАСВ = 90°(ЛС1 а, АС1 ВС),
ВС = ABcos/ABC; ВС = acos45° =	.
2
Ответ:	.
2
1
2.	Катет АС равнобедренного прямоугольного ДЛ5С лежит в плоскости а, а катет ВС
образует с ней угол 45°. Найти угол, который образует гипотенуза АВ с плоскостью а.
Решение.
1)	Проведем BD1 а; CD - проекция катета СВ на плоскость а,
/.BCD = 45°; AD - проекция гипотенузы А В; /ВАР - иско¬
мый угол.
2)	ЬАВС\ /АСВ = 90°; АС = ВС.
Обозначим ВС через а. АВ = Jac2 +ВС2 = Ja2 + а2 = а Д.
3)	&BCD;/BDC = 90° (BD la; BD 1 DC); BD = CBsin/BCD;BD = asin45° =	.
2
4)	ШО'. /BDA = 90°; sin/BAD =	= ~a^ = ^следовательно, /ВАР = 30°.
AB 2-aj2	2
Ответ: 30°.
3.	Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Найти расстояние от вершины
прямого угла до плоскости, проходящей через гипотенузу и образующей угол 30°
с плоскостью треугольника.
Проведем С<	В; CD - искомое расстояние;
DO - проекция наклонной CD на плоскость а. По теореме
о трех перпендикулярах, DO 1АВ. Тогда /CDO = 30° -
угол между плоскостями isABC и a. SABC = ±АВ ■ СР;
sabc = \aC-CB; отсюда АВ • CD = АС-СВ; CD = ~ СВ ■ CD = -	.
АВ	Ja2 + b2
\ЛзМ)СО: СО = -DC; СО = -■ - аЬ
2	2 Ja2 + b2
2 г]а2 + Ъ2
т т
50

4.	ABCDAXBXC{DX - куб. Найти угол между прямыми ААХ и DC.
4
Решение.
1)	Прямые ААХ и DC - скрещивающиеся
(DC с (АВС), АА1 х (АВС) = А, А <£ DC).
2)	DD} llAAi-
3)	AD,DC = 90° - искомый угол.
Ответ: 90°.
5.	Найти площадь ортогональной проекции треугольника со сторонами 13 см, 14 см,
15 см на плоскость а, образующую с плоскостью треугольника угол 60°.
Решение.
= Scosfp; 5 = Jp(p-a)(p~b)(p-c); р = а --^ + с; р = -1— + 15 = 21 (см)',
S = 721(21-13)(21-14)(21-15) = 84(см2); 5 = 84 • cos60° = 42(см2).
Ответ: 42 (см2).
6.	Ортогональной проекцией треугольника АВС на плоскость а является
треугольник АВ} С. Высота BD треугольника АВС образует с плоскостью а угол 60°.
Найти площадь треугольника АВХС, если АС = 5 см, BD = 6см.
I I I I I 1 I I I I I I I I
Решение.
ВВХ1 а, В XD - проекция высоты BD ЛА В С на плоскость а
A.BDBX = 60° - угол между высотой BD и плоскостью а.
Поскольку А С1BD, то, по теореме о трех перпендикуля¬
рах, А С1DBX; Z.BDBX -угол между плоскостями а и (АВС).
SABic = sabc ' cosABDB,; SABxC = ±4С • BDcos60° = 1.5 • 6 • | = 7, 5 (см2).
Ответ: 7, 5 (см2).
7.	На оси аппликат найти точку А . равноудаленную от точек М(-2;3;5) и N(3;~5;1)
Решение	~
Пусть точкал имеет координаты Л (0;0;z). По условию, AM = AN .откуда л AT2 = ^N2
Так как ЛА/2 = 4 + 9 + (z-5)2, AN2 = 9 + 25 + (z-I)2, то 13 +(z-5)2 = 34 + (z-5)2.
3	(	ЗА
8z = 3; z = -. Следовательно, A 0;0;^ .
8	\	8/
Ответ: Л^0;0;^.

ГТТТ 1111 Т I I I I Т I I I I I I I Г I I I I I I I I I I I
8. Точка Л/(2;6;3) - середина отрезка, концы которого находятся на оси Ох и в
плоскости yz. Найти координаты концов и длину отрезка.
Произвольная точка, лежа
точка, лежащая в плоское
является серединой отрез
Тогда: 2 =	> 6 =
Л(4;0;0), £(0;12;6), АВ = Л
щая на оси Ох
ти yz, имеет к
ка, концами ко
2 з =
2 ’
имеет координаты (х;0;0); произвольная
юординаты (0;y;z). Пусть точка М(2;6;3)
торого являются точки Л(х;0;0), B(0;y;z).
откуда х = 4, у = 12, z = 6. Получим
= 14.
/(—4)2 + 122 + 62
Ответ: Л(4;0;0), В(0;12;6), АВ = 14.
9. Концы отрезка Л(5;-2;1) и 2?(5;3;6). Найти точку, симметричную середине отрезка
относительно плоскости xz.
Пусть серединой отрезка АВ является точка M(x;y;z). Найдем ее координаты по
*1+*2	У1+У2	zl+z2
формулам х -	2 ,у -	2 ,z~	2 , где Xj , Zj и х2,}/2, z2-координаты
концов: х =	= 5; у = ?2-+- = у z =	= у Следовательно, М(5;0,5;3,5).
Тогда симметричной точке М относительно плоскости xz является точка Мх = (50,5 ;3,5).
Ответ: Мх = (5;-О,5;3,5).
10. При параллельном переносе точка Л(2;11) переходит в точку ЛД!;—1;0).
В какую точку переходит точка Л/, симметричная точке А относительно плоскости ху ?
Пусть параллельный перенос, который переводит точку А в точку A ], задается
формулами х' = х + а, у' = у + b, z' = z + c. Подставив вместо х, у, z координаты
точки А, а вместо х', у', z' - координаты точки А}, найдем числа а, Ь, с. \ = 2 + а,
-1 = 1+6, 0 = -1 +с, откуда а = -1, Ь = -2, с = 1, Следовательно, х' = х -1,
у’ = у + 2, z' - z + 1 - формулы заданного параллельного переноса.
При симметрии относительно плоскости ху точка Л(2;1;-1) переходит в точку
М(2;1;1). Заданный параллельный перенос точку М переведет в точку Мх,
координаты которой xl=2-l = l,j1 = l- 2 = -l,z1 = l + l= 2.
Следовательно, точка М перейдет в точку Af^l;-!^).
Ответ: Mj(l;-1;2).
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1.	На оси х найти точку, равноудаленную от точек 5(3;-2;4) и С(0;5;-1).
2.	Даны вершины параллелограмма ABCD: Я(-3;-6;-1), 5(-1;2;-3), С(3;1;1).
Найти координаты четвертой вершины.
3.	При некотором параллельном переносе точка М(4;-2;0) переходит в точку Д-1 ;3;4).
В какую точку перейдет при этом параллельном переносе точка Р(2;1;-3) ?
i—г
52
Й

4.	Доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, если Л(2;3;4), Я(4;-2;2),
C(0;-l;-2), D(-2;4;0).
5.	Известны координаты вершин треугольника АВС: Л(0;3;4), В(4;-1;2), С(1;1;2).
Найти длину его медианы, проведенной через вершину С.
6.	Стороны прямоугольника ABCD равны 6 см и 6^/3 см. К плоскости прямоугольника
через точку пересечения его диагоналей проведен перпендикуляр ОК длиной 6 см.
Найти углы между плоскостью прямоугольника и прямыми КА, КВ, КС и KD.
7.	К плоскости а проведены наклонные МА, МВ и перпендикуляр МО. Углы между
МВ, МА и плоскостью а равны соответственно 30° и 45°. МО= 15см. Найти длины
наклонной МА и проекции наклонной МВ на плоскость а.
8.	Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника АВС проведен к его
плоскости перпендикуляр КО длиной 8,5 см; ВС ~ 8 см, АС = 15 см. Найти углы
между наклонными КА, КВ, КС и плоскостью треугольника.
9.	Через вершину М равностороннего треугольника МРК проведен к его плоскости
перпендикуляр МС. Угол между прямой СК и плоскостью треугольника равен 60°.
РК = 24 см. Найти длины перпендикуляра МС и наклонной СР.
10.	Через вершину тупого угла ромба ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр
DK длиной а. АВ = а, ХА = 60°.
Найти: а) углы между плоскостью ромба и прямыми АК, ВК, СК;
б)	угол между прямой АС и плоскостью DKB.
11.	Дан куб ABCDAXBXCXDX. Вычислить угол между плоскостями:
a)	ADDX и ABC; 5)DCCX и АВС;
в)	АВС и AXDC; г) АВВХ И AXDC.
12.	Угол между плоскостями аир равен 60°. Точка А, лежащая в плоскости а,
удалена от Р на 12 см. Вычислить расстояние:
а)	от точки А до линии пересечения плоскостей;
б)	от проекции точки А на плоскость р до линии пересечения плоскостей.
13.	Через вершину D квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр DK,
равный 10 см. Угол между плоскостями АВС и КВС равен 45°.
Найти площадь: а) квадрата ABCD;
б) треугольника ВСК.
14.	Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС проведен
перпендикуляр AD к его плоскости; AD = 6см, ZACB = 90°, ААВС =30°.
Угол между плоскостями BCD и АВС равен 60°.
Вычислить: а) угол между плоскостями BAD и CAD;
б) длины наклонных DC и DB.
15.	Через центр правильного треугольника АВС проведен к его плоскости перпенди¬
куляр МО .АВ = aj3. Угол между прямой МА и плоскостью треугольника равен 45°.
Вычислить угол между плоскостями:
а)	АМО и ВМО ;
б)	ВМС и АВС.
16.	Плоскости равносторонних треугольников АВС и AB'D перпендикулярны.
Вычислить угол между:
а)	прямой DC и плоскостью АВС;
б)	плоскостями ADC и BDC.
53

,1 1 I	I I I I I I J	L_J	L_I	I	I	I. I J L I	L_J	I	I	I	I	I	I I I I I I	L
17.	Прямоугольник ABCD и прямоугольный треугольник DCK лежат в разных
плоскостях. Вершина К проектируется в точку В. ВК = 4 см, АВ = 4^2 см, AD = 4 см.
Найти: а) угол между прямыми DK и АВ;
б)	угол между прямыми КС и AD;
в)	расстояние между прямыми АВ и КС.
18.	Через середину стороны AD квадрата ABCD проведен к его плоскости
перпендикуляр КЕ длиной а; АВ = 2а.
Найти угол между прямыми:
а)	АК nDC\
б)	АВ и КС.
19.	Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника, равный а, проведена
плоскость а. Угол между плоскостью треугольника и плоскостью а равен 45°.
Найти длины проекций сторон данного треугольника на плоскость а.
20.	Сторона АВ квадрата ABCD лежит в плоскости а. Прямая DC удалена от этой
плоскости на 18 см; ВС = 36 см. Вычислить:
а)	угол между плоскостью квадрата и плоскостью а;
б)	площадь проекции квадрата ABCD на плоскость а.
21.	Через вершину D тупого угла ромба ABCD проведен к его плоскости
перпендикуляр DM длиной 9, 6 см. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см.
Вычислить углы между плоскостями:
а)	ABC v\ МВС\
б)	AMD и CDM.
22.	Через центр О квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр КО.
Угол между прямой КС и плоскостью квадрата равен 60°; АВ = 18 см.
Вычислить угол между плоскостями:
а)	AKCv\DKC;
б)	АВСпВКС.
23.	Точки Л(3;1;8), В(4;7;1), С(3;5;—8) - вершины параллелограмма ABCD. Найти
координаты вершины D.
24.	В треугольнике АВС точка N( 1 ;3;4) - середина ВС, Р(2;7;-1) - середина АС.
Найти координаты вектора АВ.
25.	При каких а и Р вектор а = (3;-1;а) перпендикулярен вектору Ь = (2;Р;1
PI
если |Ь| = 3?
26.	Даны три точки Л(2;1;-1), В(3;2;-1), С(3;1;0). Найти величину угла между
векторами АВ и АС.
27.	В призме АВСА^С^ точка М лежит на отрезке В,С, так, что —-—
Б1С\
Разложить вектор AM на векторы АВ, AC, .
2
3‘
1	г
54

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-4-1
B-I
7 баллов
B-II
1.	Найти координаты точки, лежащей на
оси х и равноудаленной от точек А (1 ;3 ;2)
иВ(-2;1;4).
2.	Задать с помощью формул параллель¬
ный перенос, при котором точка М(-2;0;4)
переходит в точку, симметричную ей
относительно начала координат.
1.	Найти координаты точки, которая
принадлежит оси у и равноудалена от
точек Л(4;-1;3) иВ(1;3;0).
2.	Задать с помощью формул парал¬
лельный перенос, при котором точка А (2 ;4 ;6)
переходит в точку, симметричную ей
относительно плоскости ху.
B-III
9 баллов
B-IV
1.	Найти координаты точки, которая при¬
надлежит оси z и равноудалена от точек
Л(1;-2;6) и 5(-1;2;5).
2.	Задайте с помощью формул параллель¬
ный перенос, при котором точка К{-1 ;3 ;4)
переходит в точку, симметричную ей
относительно плоскости xz.
1.	Доказать, что треугольник с вершинами
Л(4;2;10); £(10;-2;8); С(-2;0;6)-равно¬
бедренный.
2.	Задайте с помощью формул параллель¬
ный перенос, при котором точка 5(-1 ;-2;3)
переходит в точку, симметричную ей
относительно оси у.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-4-2
B-I
7 баллов
B-II
1.	Из вершины В квадрата ABCD прове¬
ден к его плоскости перпендикуляр ВМ.
Прямая AM образует с плоскостью
квадрата угол 45°. Найти угол между
прямой MD и плоскостью квадрата, если
сторона АВ = 8 см.
2.	Через основание АС равнобедрен¬
ного ДАВС, у которого АВ = ВС = 20 см,
проведена плоскость а, образующая с
плоскостью треугольника угол 30°.
Расстояние от вершины В до плоскости
а равно 8 см. Найти площадь 1±АВС.
3.	Треугольник со сторонами 12 см, 17 см
и 25 см проектируется на плоскость, кото¬
рая образует с плоскостью треугольни¬
ка угол 60°. Найти площадь ортогональ¬
ной проекции этого треугольника.
1.	Из вершины С прямоугольника ABCD,
у которого АВ = \6см, ВС = 12 см,
проведен к плоскости перпендикуляр СК.
Прямая ВК образует с плоскостью
прямоугольника угол 30°. Найти угол
между прямой АК и плоскостью прямо¬
угольника.
2.	Через катет АС прямоугольного тре¬
угольника АВС, гипотенуза которого
АВ = 30 см, проведена плоскость ос,
образующая с плоскостью треугольника
угол 45°. Расстояние от вершины В до
плоскости а равно 15 см. Найти площадь
МВС.
3.	Ортогональной проекцией треуголь¬
ника, площадь которого 180 см2, на плос¬
кость является треугольник со сторона¬
ми 12 см, 17 см и 25 см. Найти угол между
плоскостями этих треугольников.

B-III
9 баллов
B-IV
1.	Из вершины А прямоугольного равно¬
бедренного треугольника АВС,
Z.C = 9Q°, АС = СВ = 6 см, проведен к
плоскости треугольника перпендикуляр
AD. Прямая DC образует с плоскостью
треугольника угол 45°. Найти угол между
прямой DM и плоскостью треугольника,
если М - середина катета ВС.
2. Через сторону АВ равностороннего тре¬
угольника АВС проведена плоскость а,
образующая с плоскостью треугольника
угол 60°. Расстояние от вершины С до
плоскости а равно 9 см. Найти площадь
треугольника АВС.
1. Из вершины прямого угла С
равнобедренного прямоугольного
треугольника АВС, у которого
АС = СВ = 12см, проведен к плоскости
треугольника перпендикуляр СР. Прямая
ВР образует с плоскостью треугольника
угол 60°. Найти угол между прямой МР и
плоскостью треугольника, если М -
середина гипотенузы АВ.
2.	Через гипотенузу AB прямоугольного
треугольника ABC проведена плоскость а,
образующая с плоскостью треугольника
угол 30°. Расстояние от вершины С до
плоскости а равно 2 см. Найти площадь
треугольника АВС, если известно, что
3.	Ортогональной проекцией треугольни¬
ка с площадью 84 см1 2 3 на плоскость явля¬
ется треугольник со сторонами 7 см, 17 см,
18 см. Найти угол между плоскостями этих
треугольников.
3.	Ортогональной проекцией треуголь¬
ника с площадью 360 см2 на плоскость
является треугольник со сторонами 13 см,
30 см, 37 см. Чему равен угол между
плоскостями этих треугольников?
B-I
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-4-3
Тема. Векторы
7 баллов
B-II
1. Даны векторы а(1;2;-2), Ь(2;5;1).
Найти абсолютную величину вектора
За-2Ь.
2.	Даны точки Л(3;2;-1), 5(0;-1 ;2),
С(1;2;-4). Найти точку Z)(x^^) так, что .
АВ = CD.
1. Даны векторы т(6;2;-2), и(1;4;5).
Найти абсолютную величину вектора
т-2п.
2. Даны точки Л(?и;1;3), 5(-2;л;0),
C(3;4;jp), D(5;~1 ;1). Найти т, п, р, если
известно, что В А = DC.
3.	Найти косинус угла А треугольника
АВС, если Л(2;-1;3), 5(-2;0;1),
С(0;-2;3).
3.	Найти косинус угла 0 треугольника
АВС, если Л(0;2;-1), 5(1 ;-2;0), 0(1 ;0;2).
56

B-III
9 баллов
B-IV
1. Даны векторы 6(0;-3;3), с(1;2;-2).
Найти абсолютную величину вектора
46 + Зс.
1. Даны векторы а(—1 ;14), &(0;-2;-4).
Найти абсолютную величину вектора
2а-Ь.
2. Даны точки А(2;1;3), В(5;2;1),
С(-1 ;2;4). Найти точку £)(х^у;6), если
известно, что векторы АВ и DC -
коллинеарные.
2. Даны точки М(т;-1 ;2), N( 1 ;и;3),
Р(-4;2;6), £(1;3;5). Найти т \лп, если из-
вестно, что векторы MN \лРК - колли-
неарные.
3. Найти косинус угла D параллелограм-
ма ABCD, если Л(2;1;3), 2?(0;0;0),
С(—4;1;—1), £>(-2;2;2).
3. Найти косинус угла D параллелограм-
ма ABCD, если А(4;2;-2), Л(1;-2;0),
С(0;0;0), Р(3;4;-2).
САМОСТОЯГЕЛЫН
АЯ РАБОТА С-4-4
В-1
7 баллов
В-11
1. Через вершину прямого угла С равнобед-
ренного прямоугольного треугольника АВС,
у которого гипотенуза Л В = 8 см, проведен
к плоскости треугольника перпендикуляр
СР, а точка Р соединена с вершинами А
и В. Плоскости треугольников АРВ и АВС
образуют между собой угол 60°. Найти:
длину перпендикуляра СР; площадь М.РВ;
угол между прямой АР и плоскостью кАВС.
1. Через вершину В равнобедренного
ДАВС, у которого АС = 30 см,
АВ = ВС = 25 см, к его плоскости про-
веден перпендикуляр BD, а точка D со-
единена с вершинами А и С. Плоскости
треугольников ADC и АВС образуют
между собой угол 45°. Найти: длину пер-
пендикуляра BD; площадь Д4РС; угол
между прямой CD и плоскостью &АВС.
2. Даны точки А(-1;7;2) , В{-1;3;4) ,
С(1;2;9) . Найти абсолютную величину
вектора т = АВ + 2ВС.
2. Даны точки М(1;0;-8), К(-1;8;4) ,
Р(2;9;12). Найти абсолютную величину
вектора с = ^МК + КР.
B-III
9 баллов
B-IV
1. Через вершину В квадрата ABCD со
стороной, равной 6 см, проведен перпен-
дикуляр ВМ к его плоскости, а точка М
соединена с вершинами А и С.
Плоскость треугольника АМС образует с
плоскостью квадрата угол 45°. Найти:
длину перпендикуляра ВМ; площадьММС;
угол между прямой AM и плоскостью
квадрата.
1. Через вершину А равностороннего
ДЛВС со стороной 6 см проведен к его
плоскости перпендикуляр АК , а точка К
соединена с вершинами В и С. Плоское-
ти треугольников СКВ и АВС образуют
между собой угол 30°. Найти: длину пер-
пендикуляра АК; площадь кСКВ; угол
между прямой КВ и плоскостью М.ВС.
2. Даны точки А(3;~ 1 ;0), В(-1;3;-14),
С(1;-1;-4). Найти абсолютную величину
вектора п - АС-2ВС.
2. Даны точки М(-4;0;8), АГ(0;812),
Р(4;13;-20). Найти абсолютную величину
вектора а = 0,5МК-РК.
т г
57

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-4-5
В-1
7 баллов
В-11
1. Из вершины В квадрата ABCD прове-
ден к его плоскости перпендикуляр ВМ.
Прямая AM образует с плоскостью квад-
рата угол 45°. Найти угол между прямой
MD и плоскостью квадрата, если сторона
АВ = 8 см.
1. Из вершины С прямоугольника ABCD,
у которого АВ = 16 см, ВС = 12 см, про¬
веден к его плоскости перпендикуляр СК.
Прямая ВК образует с плоскостью
прямоугольника угол 30°. Найти угол
между прямой АК и плоскостью
прямоугольника.
2. Через основание ЯС равнобедренного
ЬАВС, у которого АВ = ВС = 20 см,
прове-дена плоскость ос, образующая с
плос-костью треугольника угол 30°. Рас-
стояние от вершины В до плоскости а
равно 8 см. Найти площадь &АВС.
2. Через катет ЯС прямоугольного кАВС,
гипотенуза которого АВ = 30 см, прове¬
дена плоскость а, образующая с плос¬
костью треугольника угол 45°. Рассто¬
яние от вершины В до плоскости а равно
15 см. Найти площадь ДЛВС.
B-III
9 баллов
B-IV
Из вершины А прямоугольного
равнобедренного кАВС, у которого угол
С - прямой и АС = СВ = 6 см, проведен
к плоскости треугольника перпендикуляр
AD. Прямая DC образует с плоскостью
треугольника угол 45°. Найти угол между
прямой DM и плоскостью треугольника,
если М - середина катета ВС.
1. Из вершины прямого угла С равно¬
бедренного прямоугольного ЛАВС,
у которого АС = СВ = 12 см, проведен
к плоскости треугольника перпендику¬
ляр СР. Прямая ВР образует с плоско¬
стью треугольника угол 60°. Найти угол
между прямой МР и плоскостью тре¬
угольника, если М - середина гипоте¬
нузы АВ.
2. Через сторону АВ равностороннего
треугольника АВС проведена плоскость
а, образующая с плоскостью треугольни-
ка угол 60°. Расстояние от вершины С
до плоскости а равно 9 см. Найти пло-
щадь треугольника АВС.
2. Через гипотенузу АВ прямоугольного
треугольника АВС проведена плоскость
а, образующая с плоскостью треуголь¬
ника угол 30°. Расстояние от вершины С
до плоскости а равно 2 см. Найти пло¬
щадь треугольника АВС, если известно,
что ХА = 60°.
1	г
58

—
КС
>HTPOJ
ПЫЧАЯ РА
БОТА
К-4-1
В-1
7 баллов
В-11
1. Из точки, удаленной от плоскости на
расстояние 18 см, проведены две наклон¬
ные, образующие с плоскостью углы по 60°,
угол между проекциями наклонных — пря¬
мой. Найти расстояние между основаниями
наклонных.
1. Из точки, удаленной от плоскости на
расстояние 12 см, проведены две наклон¬
ные, образующие с плоскостью углы 30°,
а между собой - прямой угол. Найти расстоя¬
ние между основаниями наклонных.
2. Доказать, что четырехугольник с
вершинами Л(4;2;1), В(31 ;0),
С(-6;-2;5), Z>(-5;1;6)- параллелограмм.
2. Доказать, что четырехугольник ABCD с
вершинами Л(3;5;4), 5(5;0;2), С(1;1;-2),
D(-l;6;0) - ромб.
B-III
9 баллов
B-IV
—
1. Из точки О пересечения диагоналей
ромба ABCD проведен к его плоскости
перпендикуляр ОМ = 8 см. Прямые МС
и MD образуют с плоскостью ромба
соответственно углы 30° и 45°. Найти
сторону ромба.
1. Из точки, удаленной от плоскости на
расстояние 6 см, проведены две наклон¬
ные, образующие с плоскостью углы по
30°. Угол между проекциями наклонных
равен 120°. Найти расстояние между
основаниями наклонных.
2. Доказать, что четырехугольник MNK.P
с вершинами Л/(-3;2;0), 7У(1;-6;О),
.К(7;-4;2), Р(3;4;+2) - параллелограмм.
2. Доказать, что четырехугольник ABCD с
вершинами J(2;l;2), Б(4;-4;0),
С(0;-3;-4), Г>(-2;2;-2) - ромб.

Ответы
Тренировочные упражнения
§ 1. 5. Множество А,В, Се а. 12. а) Нет; б) Да.
§ 4. 5. (6,5; 2; -6). 23. D (2; -1; -1). 24. АВ (-2; -8; 10). 25. cq = -8,	= -2,
«2 = -4. ₽2 = 2-26. ?.27. iAB + ^AC + AA,.
z z	3	3	3	1
Контрольные работы
К-2-1. В-ll. 3. 6 дм. B-III. 1. Не всегда. 2. OOl = 1,1 дм. 3. 8 дм. B-IV. 1. Не всегда.
2.	ВВ} = 3 м.З. 12 м.
К-3-1. B-I. 1. 12 см. 2. 10^/2 см. В-11. 1.289 см.
60

Illi	I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
§ 1. Многогранники. Призма
Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла
Двугранным углом называется фигура,
образованная двумя полуплоскостями с
общей прямой, которая их ограничивает.
Полуплоскости ос и р - грани двугранного
угла. С - ребро двугранного угла.
Линейным углом двугранного угла
называется угол между лучами, по кото¬
рым плоскость, перпендикулярная ребру
двугранного угла, пересекает его грани.
Плоскость линейного угла перпендикулярна
каждой грани двугранного угла.
Способы построения линейного угла:
1) На ребре выбирается точка, через нее в
гранях проводятся лучи, перпендикуляр¬
ные ребру. Угол, образованный этими луча¬
ми, и будет искомым линейным углом.
2) В одной из граней берется точка А , из
нее опускается перпендикуляр АВ на дру¬
гую грань и АС - на ребро. Тогда или угол
АСВ, или смежный с ним и будет линей¬
ным углом.
Y-LC; упа = ЛМ;
YnP = МВ;
ZAMB - линейный
угол; 0<АМВ< 180°.
Me с;
МА 1 с (в грани а);
МВ 1с (в грани [3);
ZAMB - линейный.
ПРИЗМА
Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников,
лежащих в разных плоскостях и совмещающихся параллельным переносом, и всех
отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.
А
л!
А
' Е
/
А
D
ее
Элементы призмы
1.	Основания призмы ABCDE и AXBXCXDXEX.
2.	Боковые грани ААХВХВ, ВВХСХС, ....
3.	Боковые ребра ААХ, ВВХ,....
4.	Вершины призмы А, В, ....
5.	Высоты призмы НХН (расстояние между плоскостями

оснований).
6.	Диагональ призмы ВХЕ (отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие
одной грани).
7.	Диагональное сечение ААХСХС (сечение призмы плоскостью, проходящей через
два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани).
8.	Перпендикулярное сечение призмы - сечение призмы плоскостью, перпендикулярной
боковым ребрам (или их продолжениям).
Свойства
1.	Основания призмы равны и параллельны.
2.	Боковые ребра равны и параллельны.
3.	Боковые грани - параллелограммы.
Т	г
62

Виды призм
1.	Прямая призма - призма, у которой боковые ребра перпен¬
дикулярны основаниям (рис. 1).
Свойства прямой призмы:
а)	Нпрямой = АА = В В = ... Высота прямой призмы равна боко-
призмы
вому ребру.
б)	Боковые грани прямой призмы - прямоугольники.
- прямоугольник, ВСС}В} - прямоугольник,...
2.	Наклонная призма - призма, у которой боковые ребра не
перпендикулярны плоскостям оснований (рис. 2).
3.	Правильная призма - прямая призма, в основании которой
лежит правильный многоугольник. У такой призмы все боковые
грани - равные прямоугольники.
4.	Треугольная, четырехугольная	л-угольная призма - в
основании призмы лежит треугольник, четырехугольник

л-угольник.
о
А
рис. 1
перпендикулярное
сечение
рис. 2
4
треугольная
четырехугольная
пятиугольная
шестиугольная
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПРИЗМЫ
Наклонная призма
Прямая призма
Боковая
поверхность
5бок. =	где ^пер. - пери¬
метр перпендикулярного сечения,
/ - длина бокового ребра.
^бок. = росн. • Н, где РОСН - пери¬
метр основания, Н — высота.
Полная
поверхность
^полн. = ^бок. + 2 ’ ‘S’och.
^полн. ~ ^бок. + 2 • S
VvH.
Объем
^ = 5пер-/;^=5осн-я,где
Snep “ площадь перпендикуляр¬
ного сечения, 1 - боковое ребро.
v = Sow.	где^осн. - площадь
основания призмы, ту	высота

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Параллелепипедом называется призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Свойства
1.	У параллелепипеда все грани - парал¬
лелограммы.
2.	У параллелепипеда противоположные
грани параллельны и равны.
3.	Все четыре диагонали параллелепипеда
пересекаются в одной точке и точкой пере¬
сечения делятся пополам.
О -середина АХС, BDX, АСХ, BXD.
О - центр симметрии параллелепипеда.
в,
4
А
1.	Прямой параллелепи¬
пед - параллелепипед,
у которого боковые ребра
перпендикулярны плоскос¬
тям оснований. У прямого
параллелепипеда четыре
боковые грани - прямоуголь¬
ники, а два основания - па¬
раллелограммы.
Виды параллелепипедов
2. Наклонный параллеле¬
пипед - параллелепипед,
у которого боковые ребра
не перпендикулярны плос¬
костям оснований. У наклон¬
ного параллелепипеда все
шесть граней - паралле¬
лограммы.
3. Прямоугольный парал¬
лелепипед - прямой парал¬
лелепипед, у которого осно¬
ванием является прямоу¬
гольник. Три ребра прямоу¬
гольного параллелепипеда,
выходящие из одной вер¬
шины, называются его изме¬
рениями.
\d 4
14
В
Свойства прямоугольного параллелепипеда
1.	У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники.
2.	В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадра-
2	222	2	2	2	2
тов трех его измерении, d = а +b +с (АСХ = АВ +AD +ААХ ).
В прямоугольном параллелепипеде все 4 диагонали равны между собой.
3-	%«уг пар». = ЛВ-AD АЛ, = аЪс.
4-	= Л,». • лл, = 2(Л5 + ЛР) • ЛЛ, = 2(а + fc)c; 5ПОД„. =	+ 2S„K..
КУБ
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
Свойства
1.	У куба все грани - квадраты.
2.	d = a,/? (d1 = а2 + а2 + а2, где а - ребро
куба, d - диагональ куба).
3-	= “’ ■
2	2
4-	*^бок. куба ~	’ *^полн. куба —	.
Т	г
64

УЧЕНИЧЕСКАЯ СТРАНИЧКА
		ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
—	Построить сечение означает начертить многоугольник в плоскости сечения, по ко-
торому эта плоскость пересекает грани многогранника.
—	Следом сечения на указанной плоскости называется прямая пересечения этой плос-
кости с плоскостью сечения.
		Основные правила построения сечений
—	1. Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани мно-
—	гогранника, то след сечения в этой плоскости - прямая, проходящая через эти точки.
2.	Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основа-
нием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определен-
ной боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой
боковой гранью (она является точкой пересечения данного следа с общей прямой
основания и данной боковой грани).
—	3. Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить как точку
—	пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с ее проекцией на плоскость
	 	 основания.
Способы построения сечений
	Способ соответствия состоит в том, что для построения сечения нужно сначала
		построить те точки нижнего основания многогранника, которые взаимно однозначно
_ соответствуют точкам искомого сечения.
	Способ следов состоит в том, что на плоскости нижнего основания (иногда на какой-
		то другой плоскости) выполняется построение следов (линий и точек пересечения
		секущей плоскости, некоторых прямых). С помощью этих следов легко выполняется
		построение точек пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и
		линий пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.
—	1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки К, L,
М, лежащие на ребрах, которые не пересекаются.
—	Решение
—	Опустим из заданной точки L перпендикуляр LN на ребро AD. Проведем прямые
LM и NC до их пересечения в точке Е (обе эти прямые лежат в одной плоскости,
которая определяется тремя точками L, М, N, и не параллельны, а значит,
	обязательно пересекутся в некоторой точке Е).
Проведем прямую ЕК до пересечения с прямыми
ВС и AD соответственно в точках F и G. Проведем
прямую GL до пересечения с прямыми АА, и DD{
в точках Н и Р. Точку Р соединим с заданной точкой
М и на пересечении РМ с ребром Dx Cj получим
точку Q. Точки L, Q, М, F, К, Н последовательно
соединим. Фигура LQMFKH - искомое сечение.

2.	Построить сечение куба ABCDAXBXCXDX плоскостью, проходящей через три задан¬
ные точки N, С, Dx.
а
Решение
Следы сечения на гранях ABCD и CCXDXD получаем,
соединяя точки N и С, С и D. Для построения следов на
гранях АВВХАХ и ADDXAX продолжаем прямые CN
и DA до их пересечения в точке К. Точка К лежит на
продолжении ребра AD, а значит, и на грани ADDXAX.
Соединим точки К и Dx. Прямая KDX обязательно пересечет ребро ААХ, которое
также лежит на грани ADD j A ,. Полученную при пересечении прямых A A j и KD j точку М
соединим с точками N и Dx, NCDXM - искомое сечение.
3.	Построить сечение куба ABCDAXBXCXDX (рис. 1) плоскостью, проходящей через
точки Е, Р, К его ребер.
А
4i^
А Е D
Рис.1
4
4/
Vk
—'е' d
Рис.2
Решение.
Пусть а - плоскость, определяемая точками Е, Р, К. Для
построения искомого сечения нужно построить пересечения
плоскости а с гранями данного куба. Для построения линии
пересечения двух плоскостей достаточно знать две общие
точки этих плоскостей. Плоскость ос с плоскостью грани ABCD
пересекается по прямой ЕР (рис.2). Итак, определилась
одна сторона сечения - отрезок ЕР. Прямая ЕР пересекает
плоскость грани ВВХСХС в точке М (рис. 2).
Теперь определены две точки, принадлежащие плоскости а
и плоскости грани ВВХСХС. Это точки М и К. Строим прямую КМ
пересечения этих плоскостей. Определились еще.две сто¬
роны искомого сечения - отрезки KF и FP. Прямая ЕР пере¬
секает плоскость ААХВХВ в точке N. Определены, таким обра¬
зом, две точки, принадлежащие плоскости а и плоскости грани АА ХВХВ. Это точки N и
К. Строим прямую NK пересечения этих плоскостей (рис. За). Прямая NK пересекает
ребро ААХ куба в точке L. Определены стороны KL и LE искомого сечения.
Сечение куба плоскостью а полностью построено. Это пятиугольник EPFKL (рис. 3,6).
Т7
А
в
А
—м
4
V-
ДЕ
I
I
4
A
A
F
А
N
a)
Рис.З

%
А
4.	Основание прямого параллелепипеда - ромб со стороной а, угол между плоскос¬
тями боковых граней <р, большая диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости
основания под углом р. Найти объем параллелепипеда.
Решение.
ABCDA]B\C\DX — прямой параллелепипед, основание
которого — ромб ABCD. AD = а, АС и BD — его диагонали,
О - точка их пересечения, AC>BD (ABAD < ААВС).
ААХ - высота параллелепипеда ААХ1 (АВС).
Следовательно, АА^ А АВ, АА} .LAD, ABAD — угол между
плоскостями боковых граней, ABAD = <р. АС - проекция
диагонали АгС. АА^СА = р. V = S0CH Н, Н = ААХ, S0CH = AD2 sin АВ AD,
V = AD2 sin АВ AD • AAX.
А
&AOD: по свойству диагоналей ромба AAOD = 90°; AOAD = 2; АС = 2АО;
90°;
АО = ADcosAOAD; АО = acos^; АС = 2acos^; кА^АС; АА^АС
А*	А*
■А1А ~ ACtgAA^CA , ААу = 2acos^tg$. V = a sin ср • 2а cos^tgft = 2а2 sintycos^tgft.
2	2
Ответ: 2a3sin(pcos^tgP.
5.	В основании прямой призмы лежит равнобокая трапеция с боковой стороной с и
острым углом а. Диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны. Диагональ
призмы образует с плоскостью основания угол у. Определить объем призмы.
Решение.
Пусть в основании прямой призмы лежит трапеция
ABCD, АВ = CD = с, АА = AD = а<90°, AC1BD,
AD^BD = у.
Поскольку &ABD = МУСА (АВ = CD.AD - общая,
ABAD = ACDA), то BD = АС и ABDA = ACAD.
Пусть О — точка пересечения диагоналей трапеции.
Тогда AOD - равнобедренный прямоугольный треугольник и, значит, /вол = 45°.
И3 МУ’ = BD =
Находим площадь основания: S = ±BD AC- sin90° = ±BD2 = 2 -sin2a.
Из ADjZXS (ZZ) = 90°): H = DXD = BD •	= J2c • sina • tgy.
* OCH. ' H - c2 • sin2a ■ J2c ■ sina. • Zgy = J2c2 ■ sin^a ■ tgy.
Ответ: 72c3 • sin2,a • tgy.
67—

6.	В правильной шестиугольной призме большая диагональ равна 4^3 см и
наклонена к основанию под углом 60°. Найти площадь полной поверхности призмы.
5
4|И
С	Решение.
В шестиугольной призме ABCDEFAXBXCXDXEXFX FCX = 4^3 см -
zf 1 большая диагональ. Тогда FC - большая диагональ основания
ii{ призмы. По условию, XCxFC = 60°.
Из ACjCF (ХС = 90°): FC = CXF- cosXF = 4Л • = 2^3 (см);
г 7з
Р	р Схс = CXF■ sinXF = 473 • ~ = 6 (см). Известно, что тремя
большими диагоналями правильный шестиугольник разбивается на шесть равных
равносторонних треугольников, сторона которых равна половине диагонали:
ЛВ = у" = см. Поэтому S0CH = 6 • АВ2 •	= ^(см2).^ = 6 • АВ = 6^3 см,
^б. ~ Р' ССХ — 6л/3 • 6 = 3675 (ом2). 5П = 2S0CH +S6 - 9л/3 + 36л/3 = 45л/3 (см2).
Ответ: 45 л/з см2.
7.	Основание прямой призмы - треугольник, две стороны которого равны Ь, а угол
между ними - а. Через одну из данных сторон основания и противоположную
вершину второго основания призмы проведено сечение, образующее с основанием
призмы угол ср. Найти объем призмы.
4
Г
f
A
В
Решение.
Пусть основанием прямой призмы АВСАХВХСХ является тре¬
угольник АВС, в котором АВ = АС = Ь, ХА = а. Сечение
призмы проведем через сторону АВ одного основания и вер¬
шину Cj - другого. Проведем дальше CN1AB. По теореме о
трех перпендикулярах, CXN1AB и, согласно условию, XCxNC = ср.
Из M.NC (XN = 90°): CN = АС • sin ХА = bsina.. Из NCCXN
(ХС = 90°): ССХ = Н = CN ■ tgXN = bsind • Zgcp. Тогда
= -AB-AC-sinv. - -b2 since V = S H = \b2since • bsin a • tgep = ;zb3 sin2 cetgty.
£	2	2
с
N
S - 1 "
OCH. 2
1 3	2
Ответ: -b sin azgcp.
8. На грани двугранного угла в 45° дана точка, лежащая от ребра на расстоянии а.
Найти расстояние от этой точки до другой грани.
Решение.
В е Р, ВС 1т, Се т, ВС = а. Проведем BA 1 а. По теореме
о трех перпендикулярах, СА1 т. Тогда ХВСА - линейный угол
данного двугранного угла. ХВСА = 45°. Из 1ВСА : ХВАС = 90°
имеем BA = BCsinXBCA, ВА = оугп45° =
2
Ответ: -X-.

9.	В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом р при
основании и радиусом вписанной окружности г. Диагональ боковой грани, содержа¬
щей основание этого треугольника, образует с плоскостью основания призмы
угол а. Определить объем призмы.
Решение.
п
Пусть в основании прямой призмы лежит треугольник АВС,
АВ = ВС, ААСВ = р, АСХАС = а. Центр О окружности,
вписанной в &АВС, является точкой пересечения биссектрис
в BN и СМ. В равнобедренном треугольнике биссектриса BN
является его высотой (и медианой). Так как 0N1AC, то ON
является радиусом вписанной окружности и ON = г.
Из AON С (AN = 90°, АС = |): NC = г • ctg$. Из &BNC'.
BN = NC ■ tgfi = г- ctg&tgfi. 5ОСН = ^АС • BN = NC • BN = r2ctg2^tg^.
Из ЬАСХС\ H = CCj = ACtga = 2NC-tga = 2r-ctg&tga.
Тогда V = S0CH • H = r2c/g2|/gP • 2r ■ ctg^-tga = 2r3 • ctg3^ • /gp • tga.
Ал	Ал	Ал
-Ответ: 2r • czg3| • tg$ • tga.
10.	Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат со стороной а, а бо¬
ковые грани - ромбы с острыми углами по 60°. Найти объем параллелепипеда.
д с	Решение.
' Из точки А опустим перпендикуляры на основания и сторо-
/У ны основания: АХО А(АВС); AXKLAD; AXMLAB.
А •	/ КО и МО - проекции наклонных АХК и АХМ.
По теореме о трех перпендикулярах, AD 1 КО, АВ 1 МО.
Из Равенства прямоугольных треугольников АХКА и АХМА
а~к—d	(по гипотенузе и острому углому) следует: АК = AM.
Прямоугольные треугольники АКО и АМО равны по катету АК = AM и общей
гипотенузе АО. Отсюда АОАК = АО AM, следовательно, АО - биссектриса a raid
Из &АХАК: ААХКА = 90°; АХА = а; ААХАК = 60°; АК = acos6Q° = ?;
АХК = asin6Q° = Из МКО: ААКО = 90°; АОАК = ААОК = 45°; АК = КО.
Из &АХОК: ААХОК = 9Q°;AXO = ^АХК2 - КО2; АХО =	.
V == S„H-и; К- AD2 A,O; V = а = «L/2.
-
Ответ:
2
Примечание. При решении этой задачи мы доказали: если ребро наклонной призмы
образует равные углы со сторонами основания, то это ребро проектируется на прямую,
содержащую биссектрису угла, образованного этими сторонами основания.

1. Дан двугранный угол в 60°. Точка Л одной его грани удалена на 12 см от другой.
Найти расстояние от точки А до ребра данного двугранного угла.
2.	Внутри двугранного угла дана точка М, которая лежит от каждой грани на расстоя¬
нии 2 дм. Найти расстояние от точки М до ребра двугранного угла, если угол между
перпендикулярами, опущенными из точки М на его грани, равен 120°.
3.	Внутри двугранного угла, который равен 120°, дана точка, которая удалена от каж¬
дой грани на 6 дм. Найти расстояние между основаниями перпендикуляров, опущен¬
ных из точки на каждую грань.
4.	Построить сечение треугольной призмы АВСАХВ1С1 плоскостью,
проходящей через вершины А, В и середину ребра А}С}.
5.	Дана четырехугольная призма ABCDAXBXCXD} и на ее боковых
ребрах точки К& ВВХ, Р е DDX (рис.1). Описать по рисунку, как
можно построить сечение данной призмы через точки К, Р, Сх.
6.	Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1Dl плос¬
костью, проходящей через выделенные точки (рис.2).
7.	а) В основании параллелепипеда лежит квадрат. Боковое реб¬
ро ААХ образует равные углы со сторонами АВ и AD основания.
Построить линейные углы двугранных углов при сторонах
основания АВ и AD.
б) В основании параллелепипеда лежит ромб ABCD с острым
углом при вершине А . Боковое ребро ААХ образует равные углы
со сторонами АВ и AD основания. Построить ортогональную проекцию ребра ААХ на
плоскость основания.
8.	а) Дан прямой параллелепипед. Построить угол наклона его большей диагонали к
плоскостям боковых граней.
б) Построить углы наклона диагонали прямоугольного параллелепипеда к его граням.
9.	а) Ребро куба равно а. Определить площадь сечения, проходящего через диаго¬
нали двух смежных его граней.
б) Ребро куба равно а. Определить площадь сечения, проходящего через диагонали
параллельных граней.
10.	Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки, указанные на
рисунках.
11.	Диагональ куба равна см. Вычислить его объем.
12.	Площадь боковой грани правильной треугольной призмы 48 см2, а периметр
основания 12 см. Найти боковое ребро призмы.
70 4 1-1 I I I I I I I 4 I I I I I I—1-14—I-1	4-N-4-

Рис.7
13.	Площадь диагонального сечения правильной четырехугольной призмы равна 10 72 см2,
ее высота 2 см. Определить полную поверхность призмы.
14.	В прямоугольном паралелепипеде высота равна 8 дм, а стороны основания равны
7дм и 24 дм. Определить площадь диагонального сечения.
15.	Найти объем правильной шестиугольной призмы, в которой наибольшая диагональ
равна d, а боковые грани - квадраты.
16.	Две боковые грани наклонной треугольной призмы образуют угол 60°, расстояния
от их общего ребра до остальных боковых ребер равны 5 см и 10 см, боковое ребро
равно 8 см. Найти площадь боковой поверхности призмы.
17.	Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 см, 5 см
и 6 см, диагональ меньшей боковой грани составляет угол 45° с
большей боковой гранью (рис.4). Найти объем призмы.
18.	Стороны основания прямого параллелепипеда 6 см и 4 см, угол
между ними равен 60°. Диагональ большей грани равна 10 см. Найти
площадь полной поверхности параллелепипеда.
19.	Основанием прямой призмы служит треугольник, стороны ко¬
торого 5 см, 5 см, 6 см; высота призмы равна большей высоте этого треугольника.
Найти площадь полной поверхности призмы.
20.	Стороны основания прямого параллелепипеда, равные 7 см и
718 см, образуют угол 45°, меньшая диагональ параллелепи¬
педа составляет угол в 45° с плоскостью основания (рис.5). Найти
объем параллелепипеда.
21.	Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 см и
3 см и углом 120° между ними. Большая из площадей боковых
граней равна 35 см2 (рис.6). Найти объем призмы.
22.	Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная 12 см,
составляет угол 30° с плоскостью боковой грани и угол 45° с бо¬
ковым ребром (рис.7). Найти объем параллелепипеда.
23.	Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в
которую можно вписать окружность. Боковая сторона основания
равна а, а острый угол <р. Расстояние между параллельными и
неравными ребрами верхнего и нижнего оснований равно Ь.
Вычислить объем призмы.
24.	Сторона основания правильной четырехугольной призмы
равна а. Диагональ призмы образует с плоскостью боковой грани
угол р. Найти объем призмы.
25.	Диагональ прямоугольного параллелепипеда наклонена к плос¬
кости основания под углом а. Угол между диагоналями основа¬
ния равен р. Определить объем данного параллелепипеда, если его высота равна Н.
26.	Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с углом р при
вершине и радиусом описанной окружности R. Диагональ грани, проходящей через
боковую сторону треугольника, наклонена к плоскости основания под углом <р.
Определить объем призмы.
27.	В основании прямой призмы лежит треугольник с углами аир. Диагональ боко¬
вой грани, содержащей сторону, для которой данные углы являются прилежащими,
равна I и образует с плоскостью основания угол ср. Определить объем призмы.
71

v	v
28.	В основании прямой призмы лежит ромб с большей диагональю d. Большая ди¬
агональ призмы наклонена к плоскости основания под углом а, а диагональ боковой
грани - под углом 0. Определить боковую поверхность призмы.
29.	В правильной четырехугольной призме диагональ боковой грани наклонена к плос¬
кости основания под углом 0. Определить площадь полной поверхности, если площадь
основания равна Q. Вычислить, если Q = 36 см1 2, р = 60°.
30.	В основании прямой призмы лежит ромб. Через большую диагональ нижнего
основания и вершину тупого угла верхнего основания проведено сечение, образу¬
ющее с плоскостью нижнего основания угол а. Сечением является треугольник с углом р
при вершине верхнего основания и площадью S. Определить объем призмы.
Вычислить, если 5 - 36 см2, а = 45°, Р = 60°.
31.	В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с углом а. Площадь
боковой грани, содержащей гипотенузу этого треугольника, равна S, а ее диагональ
наклонена к плоскости основания под углом р. Определить объем данной призмы.
Вычислить, если 5 = 36 см2, а = 30°, Р = 45°.
32.	Основание наклонного параллелепипеда - квадрат со стороной а . Одна из вер¬
шин второго основания проектируется в центр этого квадрата. Высота параллелепи¬
педа равна Н. Найти боковую поверхность параллелепипеда.
33.	В основании прямой призмы лежит равнобокая трапеция с тупым углом Р.
Диагонали этой трапеции перпендикулярны к боковым сторонам. Диагональ призмы
равна I и образует с плоскостью основания угол у. Определить объем призмы.
САМОСТОЯГЕЛЬНАЯРАБОТА С-1-1
B-l
7 баллов
B-ll
1.	Точка, лежащая между гранями дву¬
гранного угла, равного 60°, удалена от них
на расстояние 3 см. Найти расстояние от
этой точки до ребра двугранного угла.
2.	Основанием прямой призмы служит
ромб. Диагонали призмы равны 8 см и 5 см,
высота равна 2 см. Найти сторону основа¬
ния.
1.	Точка, лежащая между гранями дву¬
гранного угла, равного 120° равноудалена
от них и удалена от ребра на 8 см. Найти
расстояние от заданной точки до грани.
2.	Сторона основания правильной четы¬
рехугольной призмы равна а. Диагональ
призмы наклонена к плоскости боковой
грани под углом 30°. Найти высоту призмы
и угол наклона диагонали призмы к плос¬
кости основания.
В-Ill
9 баллов
B-IV
1.	На гранях двугранного угла взяты две
точки, которые удалены от ребра двугран¬
ного угла на 6 см и 10 см. Одна из этих
точек удалена от другой грани на 7,5 см.
Найти расстояние от второй точки до про-
дивоположной грани двугранного угла.
2.	Боковое ребро наклонной призмы
наклонено к плоскости основания под
углом в 30°, высота призмы равна 15 см.
Определить длину бокового ребра.
1.	Две точки лежат на грани двугранного
угла и удалены от второй грани на 48 см и
60 см. Одна из этих точек удалена от ребра
двугранного угла на 50 см. Найти расстоя¬
ние от второй точки до ребра двугранного
угла.
2.	Каждое из ребер правильной шести¬
угольной призмы равно а. Найти диаго¬
нали призмы.
1	г
— 72

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-1-2
B-I
7 баллов
4
N
В
А
Построить сечение че¬
тырехугольной призмы
ABCDAXBXCXDX плос¬
костью, проходящей че¬
рез вершину Dx и тонким
и N, соответственно
принадлежащие реб¬
рам АВ и ВВХ.
B-III
А
А
B-II
Построить сечение тре¬
угольной призмы
АВСА}ВХСХ плоскостью,
проходящей через точки
Me AC,Ne ВС,РеАхВх
9 баллов
Дана четырехугольная
В, призма ABCDA}BXC}DX,
у которой ребра АВ
и DC непараллельны.
Построить ее сечение
плоскостью, проходя-
f щей через ребро АВ
и точку М, принадлежа¬
щую ребру £>]С].
4
B-IV
, Построить сечение тре¬
угольной призмы
АВСАХВХСХ плоскостью,
проходящей через точки
Me AB,Ne AiCl
и Ре ВХС{ .причем
NP^A}BX.
САМОСТОЯГЕЛ ЬНАЯ РАБОТА С-1 -3
B-I
7 баллов
B-II
1. В основании прямой призмы АВСА ХВХ Сх
лежит прямоугольный треугольник А СВ
{Z.C = 90°), АС = 4, ВС = 3. Через
сторону АС и вершину Вх проведена
плоскость ZBXAC = 60°. Найти площадь
боковой поверхности призмы.
1. В основании прямой призмы АВСАХВ1С1
лежит прямоугольный треугольник АВС
(ZC = 90°). Через сторону ВС и вер<-
шину Ах проведена плоскость, АС = 5 ,
ZBAXC = 30°,АхВ = 10. Найти площадь
боковой поверхности призмы.
2. Стороны основания прямоугольного
параллелепипеда равны 4 см и 6 см, бо-
ковое ребро - 12 см. Найти диагонали
параллелепипеда и угол наклона диагона-
ли к плоскости основания.
2. Стороны основания и диагональ прямо¬
угольного параллелепипеда равны соот¬
ветственно 8 см, 9 см и 17 см. Найти вы¬
соту параллелепипеда и угол между ди¬
агональю и плоскостью основания.
B-1II
9 баллов
B-IV
1. В правильной треугольной призме ди-
агональ боковой грани равна d и обра-
зует с плоскостью основания угол а.
Определить боковую поверхность призмы.
1. Диагональ правильной четырехуголь¬
ной призмы равна / и образует с плос¬
костью основания угол 0. Определить
боковую поверхность призмы.
2. Основанием прямого параллелепипе-
да является ромб со стороной а и ост-
рым углом а. Угол между большей ди-
агонапью параллелепипеда и плоскостью
основания равен р. Найти полную поверх-
ность параллелепипеда.
2. Основанием прямого параллелепипеда
является ромб со стороной а. Угол между
большей диагональю и стороной - [3.
Меньшая диагональ параллелепипеда об¬
разует с плоскостью основания угол а. Най¬
ти боковую поверхность параллелепипеда.
73

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-1-4
B-I
7 баллов
B-II
1.	Основанием прямой призмы явля¬
ется треугольник со сторонами 5 см, 5 см
и 8 см. Меньшая диагональ боковых гра¬
ней наклонена к основанию под углом 45°.
Вычислить объем призмы.
2.	Основанием наклонной призмы явля¬
ется параллелограмм, стороны которо¬
го равны 6 дм и 7 дм, а один из углов 45°.
Боковое ребро призмы равно 8 дм и нак¬
лонено к плоскости основания под уг¬
лом 45°. Вычислить объем призмы.
1.	Основанием прямой призмы является
ромб с углом 60°. Большая ее диагональ
равна 12 см и наклонена к основанию под
углом 45°. Вычислить объем призмы.
2.	Боковые ребра треугольной призмы
равны по 20 см, а расстояние между ними-
10 см, 12 см и 18 см. Вычислить объем
призмы.
B-III
9 баллов
B-IV
1.	Наибольшая диагональ правильной
шестиугольной призмы равна 24 см.
Она наклонена к плоскости основания
под углом 60°. Вычислить объем призмы.
2. Основанием призмы является пра¬
вильный треугольник. Ортогональной
проекцией одной из вершин верхнего
основания является центр нижнего основа¬
ния. Боковое ребро призмы равно 6 см
и наклонено к плоскости основания под
углом 60°. Вычислить объем призмы.
1.	Основанием прямой призмы является тре¬
угольник, стороны которого равны 8 см, 15 см
и 17 см. Угол между плоскостью, содер¬
жащей меньшую сторону нижнего основа¬
ния и противоположную вершину верхнего
основания, и плоскостью основания ра¬
вен 60°. Вычислить объем призмы.
2.	Основанием призмы является правиль¬
ный треугольник. Радиус окружности, опи¬
санной около него, равен 24 см. Боковые
грани призмы - квадраты. Вычислить
объем призмы.
1—г
74

rrm-ri m 1111111111111111111111 i и,
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА К-1-1
B-I
7 баллов
B-II
1. Боковая грань правильной треугольной
призмы - квадрат, диагональ которого
равна 2 72 см. Вычислить периметр
основания призмы.
1. Боковая грань правильной треугольной
призмы - квадрат, площадь которого рав¬
на 64 см2. Вычислить периметр основания
призмы.
2. Найти полную поверхность
прямоугольного параллелепипеда, сто-
роны основания которого равны а и Ь,
а диагональ наклонена к плоскости
основания под углом сс.
2. Сторона основания правильной шести¬
угольной призмы равна а, наибольшая
диагональ призмы наклонена к плоскости
основания под углом а. Найти полную
поверхность призмы.
B-III
9 баллов
B-IV
1. В основании прямой призмы лежит
равнобедренный треугольник с углом а
при вершине и радиусом описанной окруж-
ности R. Диагональ боковой грани, содер-
жащей основание этого треугольника,
образует с плоскостью основания угол р.
Определить высоту призмы.
1. В основании прямой призмы лежит
равнобедренный треугольник с углом а
при основании и радиусом вписанной окруж¬
ности г. Диагональ боковой грани, содер¬
жащей боковую сторону этого треуголь¬
ника, образует с плоскостью основания
угол (3. Определить высоту призмы.
2. В основании прямой призмы лежит
ромб с острым углом ф и высотой h.
Меньшая диагональ призмы образует
с боковым ребром угол а. Определить
боковую поверхность призмы.
2. В основании прямой призмы лежит ромб
с тупым углом а и площадью S. Определить
полную поверхность этой призмы, если
диагональ боковой грани наклонена к плос¬
кости основания под углом ф.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА К-1-2
B-I
7 баллов
В-11
1. В основании прямой призмы лежит
равнобедренный треугольник с боковой
стороной 10 см и медианой, проведен¬
ной к основанию, 8 см. Вычислить объем
пирамиды, если диагональ большей боко¬
вой грани равна 13 см.
1. В основании прямой призмы лежит
равнобедренный треугольник с основа¬
нием 12 см и боковой стороной 10 см.
Вычислить объем этой призмы, если ди¬
агональ меньшей боковой грани равна 26 см.
2. Меньшая сторона основания прямо¬
угольного параллелепипеда равна а,
диагональ большей боковой грани равна d
и образует с плоскостью основания угол
Р. Найти объем параллелепипеда.
2. В основании прямой призмы лежит пря¬
моугольник, диагональ которого образует
с одной из его сторон угол а. Диагональ
призмы / образует с плоскостью основа¬
ния угол р. Определить объем призмы.
B-III
9 баллов
B-IV
1. В основании прямой призмы лежит
равнобокая трапеция с острым углом 60°
и боковой стороной 4 см. Диагонали тра¬
пеции являются биссектрисами острых
углов. Диагональ призмы наклонена к плос¬
кости основания под углом 45°. Найти
объем призмы.
1. В основании прямой призмы лежит
прямоугольная трапеция с тупым углом 120°
и меньшим основанием 3 см. Диагональ
трапеции является биссектрисой острого
угла. Большая диагональ призмы образует
с плоскостью основания угол 45°. Найти
объем призмы.
2. Основание прямой призмы - прямо¬
угольный треугольник с гипотенузой с
и острым углом а. Диагональ боковой
грани, содержащей катет, противолежа¬
щий углу а, образует с плоскостью основа¬
ния угол р. Найти объем призмы.
2. Основанием прямой призмы является
прямоугольный треугольник с катетом а
и прилежащим к нему углом а. Диагональ
боковой грани, содержащей гипотенузу,
образует с плоскостью основания угол р.
Найти объем призмы.
ГП

7А
/ и
1 1

§2. пирамида
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника
(основания пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины пирамиды), и
всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
1. Высота пирамиды:
2.	Боковые грани:
3.	Боковые ребра:
4.	Боковая поверхность пира-
миды равна сумме площадей
боковых граней пирамиды.
5бок. - $SAB + $SBC + SSCD
+ $SDE + SSEA
SABCDE — пирамида,
ABCDE — основание пирамиды, S
пирамиды,
SO — высота пирамиды (SO = Н, SO 1 (ABODE)),
SK — высота боковой грани (SK1АВ, SK = h).
Элементы пирамиды
перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды
на плоскость основания.
SASB, ASBC, S.SDC, ASDE, kSAE.
SA, SB, SC, SD, SE.
5. Полная поверхность пира-
миды равна сумме боковой
поверхности пирамиды и пло¬
щади основания пирамиды.
<?	= с j- с
°полн. °бок. °осн.
вершина
6. Объем пирамиды равен
произведению одной треть¬
ей площади основания пи¬
рамиды на ее высоту.
v =	■ н
А
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если ее основание является правильным п-
угольником, а основание высоты пирамиды совпадает с центром этого и-угольника.
Осью правильной пирами¬
ды называется прямая, со¬
держащая высоту пирамиды.
Апофемой правильной пи¬
рамиды называется высота
боковой грани.
Н — высота,
SO — ось,
к — апофема,
Некоторые виды правильных пирамид
Треугольная
А
в
&АВС — правильный;
О — точка пересечения ме¬
диан (высот и биссектрис),
центр вписанной и описан¬
ной окружностей.
Четырехугольная
А
ABCD — квадрат;
О — точка пересечения
диагоналей.
Шестиугольная
с
ABCDEF — правильный
шестиугольник;
О — точка пересечения
диагоналей AD, BE и FC.

Основные соотношения правильной пирамиды
SABCD —правильная четырехугольная пирамида;
АВ = ВС = CD = DA = а — сторона основания;
ACDA = ADAB = ААВС = ABCD = 90°;
SA = SB = SC = SD = I — боковое ребро;
SO = H — высота; SK = к — апофема.
ASKO = a—линейный угол двугранного угла при
основании (угол наклона боковой грани к
плоскости основания); ASAO = 0 —угол наклона
бокового ребра к плоскости основания. Все
боковые ребра равны и одинаково наклонены к
основанию; ADSC = у — плоский угол при
вершине боковой грани;
АО = R — радиус окружности, описанной около
основания;
ОК = г — радиус окружности, вписанной в
основание; ON ESC ABND = (р —линейный угол
двугранного угла при боковом ребре SC ;
ESAB = ESBC = ESCD = ASD&— боковые грани
являются равными равнобедренными треуголь¬
никами и одинаково наклонены к основанию.
Л
■с
SOI (ABCD) ; SKA. DC;
OK1DC.
*^бок 2^осн SK 2^осн ’
5б“ = ^'^жо = а-угол
наклона боковых граней к
основанию); 5бок = 5бокгр-л,
(п — число граней);
е —С _1_ С • у — J. С J.T
°ПОЛН °бок °ОСН’ К 2 осн 1 ’
Положение высоты в некоторых видах пирамид
1. Если все боковые ребра
пирамиды равны или равно-
накпонены к плоскости осно¬
вания, то вершина пирамиды
проектируется в центр описан¬
ной около основания окруж¬
ности. .
2. Если все боковые грани
пирамиды наклонены к осно¬
ванию под одним и тем же
углом или все высоты боко¬
вых граней равны, то высота
пирамиды проектируется в
центр окружности, вписанной
в основание пирамиды.
3. Если только одна боковая
грань пирамиды перпенди¬
кулярна плоскости основания,
то высотой пирамиды являет¬
ся высота этой боковой грани.
Е
если SA = SB = SC = ... или
ASAO = ASBO = ASCO = ...,
то SO ± (ABC), О — центр
описанной окружности.
SKEAB, SE1BC, SPECD ...;
ASKO = ASEO = ASPO = ...,
то О — центр вписанной окруж¬
ности.
(ASC) Е(АВС), SOEAC.
SO е (ASC)
SO — высота пирамиды.
i—т
78

4.	Если две смежные боковые
грани пирамиды перпенди¬
кулярны плоскости основа¬
ния, то высотой пирамиды бу¬
дет их общее боковое ребро.
(SAB) 1 (АВС),
(SAC) 1 (АВС), SA 1 (АВС)
SA — высота пирамиды.
5.	Если две несмежные боко¬
вые грани пирамиды перпен¬
дикулярны плоскости основа¬
ния, то высотой пирамиды
будет отрезок прямой, по
которой пересекаются плос¬
кости этих граней.
6.	Если только две боковые
грани пирамиды (или наклон¬
ной призмы) одинаково на¬
клонены к основанию или
общее боковое ребро этих
граней образует равные углы
со смежными с ними сторо¬
нами основания, то это общее
боковое ребро проектируется
на прямую, содержащую бис¬
сектрису угла между смежны¬
ми с этим ребром сторонами
основания (и обратно).
(SAB) 1 (АВС), (SDC) 1 (АВС),
(SAB) г\ (SDC) по прямой SO
SO 1 (ABC), SO — высота
пирамиды.
а)	ASKO = ASMO или
ASAB = ASAC и SOL (АВС)
SO — высота;
АО —биссектриса ABAC.
б)	АО — прямая, содержащая
биссектрису ABAC.
Усеченная пирамида
Образование усеченной пирамиды
Если задана пирамида SAB С и проведена
плоскость АХВХСХ, параллельная основанию
пирамиды ( (yl^Cj)II (АВС)), то эта плоскость
отсекает от заданной пирамиды пирамиду
SAXBX С], подобную данной.
z_.	. .	с	A]Bi
(С коэффициентом подобия к = —- = ——1.)
SA АВ
Другая часть заданной пирамиды — многогранник
АВСАХВХСХ — называется усеченной пирамидой.
ЛАВ С и ЛА ХВХСХ —основания;
(ABC) II (^jBjCj) ААХСХС\
Высотой усеченной пирамиды
называется расстояние между
плоскостями ее оснований.
ССХВХВ, ВВХАХА —боковые
грани (трапеции).
АХО1(АВС), АХО = Н
^усеч. пир. —	+ $2 +
(5*! и S2 — площади оснований). '

УЧЕНИЧЕСКАЯ СТРАНИЧКА
Практические приемы построения линейного угла двугранного угла
А
В
А
В
Me с
MA 1c (в грани a),
MB 1 с (в грани p).
SOI (ABC);
(SO — высота пирамиды).
Проводим OM1BC и со¬
единяем точки S и М. Тогда
SMLBC (по теореме о трех
перпендикулярах), поэтому
KSM0 — линейный угол дву¬
гранного угла при ребре ВС.
1. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен р.
Определить боковую поверхность пирамиды, если радиус окружности, вписанной
в боковую грань, равен г. Вычислить, если г = 6 см, р = 60°.
5'
В
D	с
SABCD —правильная пирами¬
да. Проводим CM A. SB и со¬
единяем точки А и М. Тогда
SAMB = SCMB (по двум сто¬
ронам и углу между ними),
следовательно, ЛА МВ =
= ЛСМВ = 90° ,т.е. AM Л SB
и ЛАМС — линейный угол
двугранного угла при ребре SB.
Пусть SABCD — данная правильная пирамида. Боковыми
гранями правильной пирамиды являются равные между собой
равнобедренные треугольники. По условию, ADCS = р.
Проведем апофему SN грани DSC. Эта апофема является
одновременно биссектрисой треугольника DSC, следовательно,
центр О вписанной окружности лежит на SN. Так как ON A. CD,
то ON является радиусом данной окружности, ON = г.
Пусть К — точка касания окружности к ребру SC. Тогда ОК 1SC и ОК = г. Из SSOK
(ЛК = 90°, AS = 2): SO =
2	sin AS
Г
sin ■
• Гр
sin\
SN = SO + ON =
sin
^12
Из NSND (ZN = 90°); DN = SN ■ tgKS =
1 + .у/и £
р
1 + sin
sin
cosl -
Учитывая, что DN = NC, находим:
DC • SN
S6 = 4Sadsc =	= 4DN ■ SN = 4r	— • r-
(i + T)2
k 27
При r = 6 cm, p - 60°: 56 = 8 • 62	— = 432^3 cm2.
7з
				2

1 + sin
sin
1 + sin *-
Д 2.
=8 г2	—
sin р
2
Ответ: 8г2	——; 432 Дз см2.
5Z«P
i—г
80

2.	В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Определить
площадь боковой поверхности пирамиды, если радиус окружности, описанной около
боковой грани, равен R.
1	Пусть SABC — данная правильная треугольная пирамида,
/I	ZASC = a, R — радиус окружности, описанной около
/ Л''/ боковой грани.
1	з
с	^бок. = 3 ■ S&isc = 3 1	'	■ sina =	‘ sina. Боковое
ребро SA найдем из ДЯЗ’С по следствию из теоремы синусов.
Так как в этом треугольнике ZC = ^(180°-Z5) = 90°--, то -SA = 2R\
2	2 sinZ_C
SA = 2R- sin\ 90° -
у j = 2R- cos^. Значит, S6oK = -f27?cos^J sina - 6R2 cos2 —sin a.
2,J	~	27	2
Ответ: 6R2 cos2-sina.
2
3.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом а при основании.
Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом р. Определить
объем пирамиды, если расстояние от основания высоты до бокового ребра равно I.
Пусть SABC — данная пирамида, АВ = ВС, Z.CAB = а.
Проведем высоту SO. Проекциями боковых ребер SA, SB,
SC являются соответственно отрезки ОА, ОВ, ОС. По
условию, Z.SAO = Z.SBO = Z.SCO = р. Треугольники SAO,
SBO, SCO имеют общий катет SO и равные острые углы.
Поэтому NSAO = tsSBO = &SCO. У равных прямоугольных
треугольников высоты,проведенные к гипотенузам, равны.
Это значит, что расстояния от точки О до боковых ребер равны. Проведем из точки О
перпендикуляр ON к ребру SB. По условию, ON = I. Из LONB (ZN = 90°):
OB =	= -L-. Из NSOB (ЛО = 90° )\Н = SO = OB- tgAB =	• teP = — ■
sin АВ	sinfi	sinp cayp
Так как ОА = ОС = ОВ (это следует из равенства треугольников SAO, SBO, SCO), то
точка О является центром окружности, описанной около треугольника АВ&, а ОВ
является радиусом этой окружности. По следствию из теоремы синусов для &АВС:
= 2ОВ', ВС = 2OBsina = ?--■$ Так как в треугольнике АВС АВ = ВС и
sina	sinp
АВ = 180°-2а,то£осн = --AB - BCsin(180°-2a) = |f^nr|2szn2a = ^inl^in2a
0CH- 2	v	2< sznP )	sin2f>
Тогда V = -S H = - - ^^2sin2ct‘sin^a I _ 4Z3 sin2 asm 2a
	3 0CH' 3	sin2 P	cOj,P, 3sznpszn2p
Примечание. Если в некоторой пирамиде, все боковые ребра равны или если они
образуют с плоскостью основания один и тот же угол, то расстояния от основания
высоты пирамиды до боковых ребер равны между собой.

4.	В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с высотой пирамиды угол
а. Перпендикуляр, проведенный к середине бокового ребра, пересекает высоту пирамиды
в точке, находящейся на расстоянии d от вершины основания. Определить объем пирамиды.
D
MN — серединный перпендикуляр к ребру SC (Me SO\,
CM = d, /SCO = а. Так как M — точка серединного
перпендикуляра к ребру SC, то MS = МС = d.
Из ASNM\ SN = d ■ cosa. SC = 2d ■ cosa. Из ASOC:
ОС = 2d - cosa - sina = d ■ sin2a\ H - SO = 2d ■ cos2a.
S0CH = 2^ ’ ^C)2 =	• sin22a. V = |socH • H = ‘^d3sin22a ■ cos2a.
Пирамиды, в которых боковые ребра наклонены к основанию
		под одним и тем же углом
5.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом а при
основании и радиусом описанной окружности R. Определить объем пирамиды, если
все боковые ребра ее образуют с плоскостью основания угол р.
A
В
Пусть SABC — данная пирамида, /САВ = /АСВ = а.
Проведем высоту SO пирамиды. Тогда ОА, ОВ, ОС —
проекции боковых ребер на плоскость основания. По условию,
/SAO = /SBО = /SCO = [3. Прямоугольные треугольники
SAO, SBO и SCO имеют общий катет SO и равные острые углы,
следовательно, равны между собой. Тогда ОА = ОВ = ОС,
то есть точка О является центром окружности, описанной около
треугольника АВС. По условию, О А = R. Объем пирамиды V = ^S0CHH. Из ASAO
(/О = 90°): Н = SO = Rtgfi. Из треугольника АВС по следствию из теоремы
А Я
синусов находим:	= 2R\ АВ = 2Rsina.
sina
Тогда: S0CH = - ■ АВ ■ ВС • sin/АВС = | ■ (2Rsina)2 • ^zn(180°-2a) = 2R2sin2a ■ sin2a\
1	2
К = - • 2R2sin2a ■ sin2a ■ Rtgfi = -R3sin2a ■ sin2a ■ tgfi.
					''	_j

2
Ответ: -R3sin2a ■ sin2a ■ tgfi.
6. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом р и радиусом
вписанной окружности г. Определить объем пирамиды, если все ее боковые ребра
наклонены к плоскости основания под углом а.
S
Пусть SABC—данная пирамида,	СВ = 90°, /АВС = р,5(9—
высота пирамиды, /SAO = /SBO = /SCO = а. Обозначим
АВ = х.ТогдаЛС = х- sin$\BC = х- cos ft. Площадь основания
5 = | • АС • ВС = ±x2sin2&. С другой стороны, S = р • г, где
X	4J.
P ~ 2X ’ (1 + cas₽ + sin₽) — полупериметр. Тогда ±x2sin2(3 = ±x ■ (I + cos(3 + sinfi) ■ r,
гптл/по v —	1 COS (3 “b sin (3^ t«. .. _ л-ч	v
откуда x - —i'Точха 0 является Центром окружности, описанной около пря-
моугольного ААВС, то есть является серединой гипотенузы. Из ААSO: Н = SO = |х • tga.
Тогда V - |$оснн = 1 • ;Аи2(*, •	. tga = £ • ^2|3 ■ tga =
3 4	2	24
3sin22$
- 82

Пирамиды, в которых боковые грани наклонены к плоскости основания ~
		 		 под одним и тем же углом
7.	В основании пирамиды лежит ромб с острым углом а. Все боковые грани
пирамиды образуют с плоскостью основания угол р. Определить полную
поверхность пирамиды, если ее высота равна Н.
Пусть SABCD — данная пирамида, ABCD — ромб,
ABAD = a, SO = Н — высота пирамиды. Точка О — центр
окружности, вписанной в ромб, и точка пересечения его
с диагоналей. Проведем SMAAD (Me AD). Тогда ОМА AD и,
по условию, ASMO = р. Из Д5М0: ОМ = Hctg$. Из ААОМ
(AM = 90°, АА = ^):
АО =	Из АЛОВ (АО = 90°):OD = АО ■ tg- = ~ct^ .	= H ctgfi
sinl	2 sin* 2 cosa ‘
22	2	2
Тогда S0CH = | • AC • BD = | • 2AO ■ 2OD = 2 •	. H' dgfi = Alfictg2^
1	2	sin* cos* sina
2	2
Так как 5бок
С
~осн.
С<мР ’
ТО С — С 4- С — С I 5ОСН. _ 1 + СО^Р	4//2Cfff2P(l + СО5р)
Т0 ^п. %сн. + “Чок. - %сн. + —о	• 5осн.

cosp cosp	sina-cosa
8.	В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция с тупым углом р. Все
двугранные углы при основании пирамиды равны у. Высоты боковых граней,
проведенных из вершин пирамиды, равны h. Определить объем пирамиды.
ВС||Л£>, АВ = CD, ААВС = р, SM1AD, SM = h, SO —
высота пирамиды, ASMO = у. Из ASM О'. H=h-siny,
ОМ = h • cosy. О —центр окружности, вписанной в трапецию.
ВК — высота трапеции. ВК = 2ОМ = 2h ■ cosy. Из ААВК
(АК = 90°, АА = 180°-р): АВ = 2Л '	.
sinfi
Воен = \(BC + AD) ВК = \(2АВ)-ВК = —2 ’ С^У. V =	' ™У.
2	2	лт Р	3 sin Р

Пирамиды, в которых две смежные боковые грани перпендикулярны
плоскости основания
9.	Основание пирамиды — ромб с острым углом а. Две боковые грани пирамиды,
содержащие стороны этого угла, перпендикулярны основанию. Две другие боковые
грани наклонены к нему под углом р, а расстояние от основания высоты пирамиды
до этих граней равно d. Определить объем пирамиды.
Пусть PABCD — данная пирамида, ABCD — ромб,
ADAB = а <90°. Тогда, по условию задачи, перпендикуляр¬
ными плоскости основания являются грани PAD и РАВ, а значит,
и прямая РА их пересечения. Поэтому отрезок РА — высота
пирамиды. Проведем высоту РК грани PDC. По теореме о трех
перпендикулярах, АК 1 CD. По условию задачи, АРКА = р.

Проведем из точки А перпендикуляр AN к грани PDC\ AN = d.
Покажем, что точка N принадлежит высоте РК грани PDC. Действительно, прямая
CD перпендикулярна высоте РК и ее проекции А К на плоскость основания.
Поэтому прямая CD перпендикулярна
содержит прямую CD, то она также
перпендикуляр AN к плоскости PDC
основание N принадлежит высоте РК.
Из LANK (KN = 90°): АК = Из LPAK (КА = 90°):
sin р
Н = РА = АК- Г£0 =	■ tgfi = -4—. Так как АВ II CD, то KADK = а.
sinfi cosp
Из LAKD (КК = 90°): AD =	=	*	 Тогда < = Л£)25/па =

sina sinfisina	осм'	sin2$sina
Следовательно, V = |soCH -Н=\		= 	—	.
3	3 sin2 0 sin a cos Р	3 sin2 $ cos Р sin a
—— -
Ответ:	.
3	sin1 P cos P sin a
плоскости РКА. Так как плоскость PDC
перпендикулярна плоскости РКА. Тогда
лежит в плоскости РКА и поэтому его
Пирамиды, в которых одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания
10.	Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом а при
основании. Боковая грань, содержащая боковую сторону этого треугольника,
перпендикулярна основанию,’ а две другие — наклонены к нему под углом 0. Высота
пирамиды равен Н. Определить объем пирамиды.
Пусть SABC —данная пирамида, SO —ее высота, SO = Н,
АВ = ВС, КС АВ = a, (SAB) 1 (АВС). Проведем высоты SM
и SN граней SBC и SAC. Тогда ОМ и ON — проекции этих
высот на плоскость основания и поэтому углы SMO и SNO
являются линейными углами двугранных углов при ребрах
ВС и АС. По условию задачи, KSMO = KSNO = 0.
Р = ^осн. Н- Так как боковая грань SAB перпендикулярна
Объем пирамиды
плоскости основания, то основание О высоты пирамиды принадлежит прямой АВ.
Из равенства прямоугольных треугольников SOM и SON (SO — общий катет,
КМ = KN) следует, что ОМ = ON. Из равенства прямоугольных треугольников
ОМС и ON С (ОС — общая гипотенуза, ОМ = ON) имеем: КОСМ = KOCN.
Следовательно, СО — биссектриса треугольника АСВ.
Из LSON (КО = 90°): ОН = Н- cfgP. Из LONA (KN = 90°): АО =	.
sina. sina
Из LOMB (КМ = 90°, КВ = 180°-2а): ОВ « 	—	 =	.
5in(180°-2a) sin2a
Тогда АВ = АО + ОВ =	+	- Hctg^(2cosa+l)
sina sin2a	sin2a
Soch = \AB ■ BC • 5zn(180o -2a) = ^AB2 ■ sin2a =	г)2.
2	2	2sin2a
V = |Soch • n = "V*21”01)2.
3		6tg2$sin2a

—г
— 84

-+
Пирамиды, в которых задан перпендикуляр,
		проведенный из некоторой точки к боковой грани

11.	В правильной треугольной пирамиде высота образует с плоскостью боковой
грани угол р. Расстояние от середины высоты до боковой грани равно Ь.
Определить объем пирамиды.

Пусть SABC—данная пирамида, SO —ее высота, точка L —се¬
редина высоты, LN — перпендикуляр, проведенный из точки L
к грани SAC, LN = Ъ. Покажем, что точка N принадлежит
апофеме SM грани SAC. Действительно, прямая АС перпен¬
дикулярна апофеме SM и ее проекции ОМ на плоскость осно¬
вания. Поэтому прямая АС перпендикулярна плоскости SOM.
плоскость SAC содержит прямую АС, то она также перпендикулярна
4
Так как
плоскости S0M. Тогда перпендикуляр LN к плоскости SAC лежит в плоскости SOM.
Он является перпендикуляром, проведенным из середины катета прямоугольного
треугольника SOM к гипотенузе SM, следовательно, его основание N принадлежит
апофеме SM. Из перпендикулярности плоскостей SOM и SAC следует, что проекцией
прямой SO на плоскость SAC является прямая SM. Поэтому, по условию, A.MSO = 0.
Объем пирамиды V = |soCH >//. Из &SNL {AN = 90°): SL -
3	sin р
Н = SO = 2SL = Из S.SOM {АО = 90°): ОМ = SO • rgB = -Цг • tgQ =	.
Так как точка О — центр треугольника АВС, то ВМ = ЗОМ = Из &АВМ
cosp
(ZM = 90°): AM = BM-ctg60°
= ЪЦь в правильном треугольнике высота ВМ
cosp
является медианой. Поэтому S0CH
= \aC-BM = АМ'ВМ =
2	СО5р СО52Р COS2$
Следовательно, V = | • 12~4^ • 4^ =	.
3 COS2P Sin Р COS2P • s/zzP
Ответ:
cos2 р • sin р
Примечание. Если в произвольной пирамиде из некоторой точки ее высоты опустить
перпендикуляр к боковой грани, то основание этого перпендикуляра лежит на высоте
данной грани, проведенной из вершины пирамиды.

Усеченные пирамиды
V = \h(Sx + JSXS2 + S2) (S’! и S2 — площади оснований, Н — высота).
12.	Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды относятся как
1:2, высота пирамиды равна 3 см, боковое ребро образует с большим основанием
угол 45°. Найти площади оснований пирамиды.
А
в.
Пусть АВСАХВХСХ — данная правильная усеченная
пирамида, АХСХ:АС = 1:2, О и Ох — центры оснований.
Тогда ОХО — высота пирамиды, 00 х = 3 см. Плоскость
АООХ проходит через вершину полной пирамиды и поэтому
содержит боковое ребро АХА усеченной пирамиды, откуда
следует, что ААХОХО — плоский четырехугольник.
Кроме того, эта плоскость пересекает параллельные плоскости оснований пирамиды
по прямым АХОХ и АО и содержит ее высоту, следовательно, АХОХ \\АО и АО1ОХО.
Таким образом, ААХОХО — прямоугольная трапеция. Проведем высоту АХМ этой
трапеции. Так как JjMilOjO, то АХМ1(АВС). Тогда отрезок МА является
проекцией бокового ребра АХА на плоскость АВС. По условию, ХАхАМ = 45°.
Из &АХМА (ХМ = 90°): AM = АХМ• ctg45° = ОХО ■ 1 = 3 см. Треугольники АХВХСХ и
АВС подобны и поэтому отношение радиусов ОХАХ и ОА окружностей, описанных
около этих треугольников, равно отношению сторон: ОХАХ :ОА = 1:2; ОА = 2 • ОХАХ.
Учитывая, что ОХАХ = ОМ, имеем: ОА = 2 • ОМ. Значит, точка М — середина
отрезка ОА. Следовательно, ОА = 2АМ = 6 см.
Находим площадь большего основания через радиус ОА описанной окружности:
S^BC = qpW = 3^ . 62 = 27л/з (c^).
Так как Л,с, :ЛС = 1:2, то - 1^дс = (cQ.
Ответ:	см2 и 27 Л см2.
I г
-— 86

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1.	РАВС - пирамида, основание которой - правильный треугольник. Какой из отме¬
ченных углов является линейным углом двугранного угла с ребром А С, если:
а)	D - середина отрезка А С, РВ1 (Л5С) (рис. 1);
б)	М - середина отрезка AC, CWII ВМ и РО L (АВС) (рис. 2)?
в
Рис. 1
с
в
А
Рис. 2
с
2.	РАВС - пирамида; D - середина отрезка AC, PBL(ABC) (рис. 3). Каким должен
быть треугольник АВС, чтобы линейным углом двугранного угла с ребром А С являлся
угол PDB; угол РАВ; угол РКВ ?
3.	Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде РАВС\
а)	LAB С - правильный, О - точка пересечения медиан, POL(ABC) (рис. 4);
б)	LABC - правильный, О - середина отрезка АВ, РО 1 (АВС) (рис. 5).
4.	Дан прямоугольник ABCD и точка Р вне его плоскости. Построить линейный угол
двугранного угла с ребром DC, если:
а)	BPL(ABC) (рис. 6);
б)	точка О принадлежит отрезку АВ, РО 1 (АВС) (рис. 7);
в)	О - точка пересечения диагоналей, POL (АВС) (рис. 8).
5.	Дан ромб ABCD; прямая PC 1 (АВС). Построить линейный угол двугранного угла
с ребром BD (рис. 9).
Рис. 10
Рис. 12
Рис. 11
6.	Построить линейный угол двугранного угла с ребром AD, если:
а)	ABCD - трапеция, LBAD = 90°, РВ L(ABC) (рис. 10);
б)	ABCD -трапеция, LBAD = 90°, точка О принадлежит отрезку ВС, РО L(ABC) (рис. 11 );|—
в)	ABCD - равнобокая трапеция, BP L (АВС) (рис. 12);	—
г)	ABCD - равнобокая трапеция, PCL (АВС) (рис. 13).
7.	Дана пирамида РАВС. Найти величину двугранного угла с ребром АС, если:

а)	РВ 1 (АВС), LC = 9Q°, ВС = РВ = 4 см (рис. 14);

б)	LABC - правильный, АВ = 6 см, О - точка пересечения медиан, OP L(ABC),—
OP = 4 см (рис. 4);
в)	LABC - правильный, точка О - середина отрезка АВ, АВ = 6 см, OP 1(АВС)
ОР = 4 см (рис. -б).

т—rj
87—

	8. ABCD - прямоугольник, BD = 4^3 см, РВ 1 (АВС), РВ = 6 см, двугранный угол с
—	ребром DC равен 60°. Найти стороны прямоугольника (рис. 6).
—	9. ABCD - прямоугольник, его площадь 48 см2, DC = 4 см, РО/(АВС), РО = 6 см.
—	Найти величину двугранного угла с ребром DC (рис. 8).
~~ 10. ABCD - ромб, BD = 4 см, PC 1 (ABC), PC = 8 см. Двугранный угол с ребром BD
	равен 45°. Найти площадь ромба (рис. 9).
	11. В параллелограмме ABCD /ADC = 120°, AD = 8 см, DC = 6 см, PC/(ABC),
PC = 9 см (рис. 15). Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь
—	параллелограмма.
—	12. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3 см. Боковая грань
—	наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найти сторону основания пирамиды.
13.	В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6л/3, а высота 3.
“ Найти:
а)	длину бокового ребра и угол наклона этого ребра к плоскости основания;
б)	двугранный угол между плоскостями боковой грани и основанием.
14.	В основании пирамиды MABCD - прямоугольник ABCD, МА / (АВС), АС = 5,
~~ DC = 4. Двугранный угол между (MDC) и (ADC) равен 60°. Найти:
	а) длину МС и угол наклона МС к плоскости АВС\
	б) площади ДМ£)С, ЬСВМ, /АМВ.
	15. В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Все
		боковые ребра пирамиды равны 13 см. Найти высоту этой пирамиды.
	16. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, основание которого
	12 см, боковая сторона 10 см. Высоты всех боковых граней равны 5 см. Вычислить
высоту пирамиды.
17. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов
которого равен 6 см. Все боковые ребра пирамиды равны 13 см. Высота пирамиды
—	равна 12 см. Вычислить второй катет этого треугольника.
—	18. По данной стороне основания а и боковому ребру b определить высоту
—	правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
19. По данной стороне основания а и высоте Н определить апофему правильной
пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
—	20. Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 3 см и
—	7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения
—	диагоналей основания и равна 4 см. Определить боковые ребра пирамиды.
—	21. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, у которого
		основание равно 12 см, а боковая сторона 10 см. Боковые грани образуют с
—	основанием равные двугранные углы, каждый из которых равен 45°. Определить
—	высоту этой пирамиды.

22.	Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см; каждое
боковое ребро равно 13 см. Определить высоту пирамиды.
23.	По стороне основания а и высоте Н определить полную поверхность правильной
пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
24.	В правильной четырехугольной пирамиде боковая поверхность равна 14,76 м2, а
полная поверхность 18 м2. Определить сторону основания и высоту пирамиды.
25.	Определить боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если сторона
основания равна а и боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°.
26.	Определить боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если
сторона основания равна а, а боковая грань равновелика с диагональным сечением,
проведенным через диаметр основания.
27.	Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 20 см и 36 см, и
площадью 360 см2; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей
основания и равна 12 см. Определить боковую поверхность пирамиды.
28.	В основании пирамиды - равнобедренный треугольник, у которого одна сторона
равна 40 см, а две других по 25 см. Высота пирамиды проходит через вершину угла,
образованного равными сторонами основания, и равна 8 см. Определить боковую
поверхность этой пирамиды.
29.	Основанием пирамиды является треугольник со сторонами: 13 см, 14 см, 15 см.
Боковое ребро, лежащее против средней по размеру стороны основания,
перпендикулярно плоскости основания и равно 16 см. Определить полную
поверхность этой пирамиды.
30.	Основанием пирамиды является правильный шестиугольник со стороной a; одно
из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания.
Определить боковую поверхность этой пирамиды.
31.	Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной a; одна
из боковых граней (также равносторонний треугольник) перпендикулярна плоскости
основания. Определить боковую поверхность этой пирамиды.
32.	Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен ос.
Определить полную поверхность пирамиды, если боковое ребро равно Ь.
33.	В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует со стороной
основания угол р. Определить боковую поверхность пирамиды, если радиус
окружности, вписанной в боковую грань, равен г.
34.	В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен ос.
Определить боковую поверхность пирамиды, если радиус окружности, описанной
около боковой грани, равен R.
35.	В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от основания высоты до
середины бокового ребра равно Ь. Определить объем пирамиды, если ее боковые
ребра образуют с плоскостью основания угол р.
36.	Расстояние от основания высоты правильной четырехугольной пирамиды до ее
бокового ребра равно a, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол р.
Найти боковое ребро пирамиды.
37.	Найти боковое ребро правильной треугольной пирамиды, высота которой равна
Н, а двугранный угол при стороне основания равен ос.
38.	В правильной треугольной пирамиде высота образует с плоскостью боковой грани
угол р. Расстояние от середины высоты до боковой грани равно Ь. Определить объем
пирамиды.
89

рГГ'ГП'Т ГГ1~Г 1 ГТГ1 I I I ! I I I I I I 1~| I I I I 1П~Т
39.	В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а.
Определить полную поверхность пирамиды, если расстояние от основания ее высоты
до боковой грани равно d.
40.	В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань образует с плоскостью
основания угол а. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды с серединой
апофемы, равен а. Определить объем пирамиды. ’
41.	В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью
основания угол 0. Определить объем пирамиды, если радиус окружности, вписанной
в ее основание, равен г.
42.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием а и
углом ос при вершине. Все боковые ребра пирамиды образуют с ее высотой угол у.
Определить объем пирамиды.
43.	Основанием пирамиды является прямоугольник с углом у между диагоналями.
Все боковые ребра пирамиды равны / и наклонены к плоскости основания под углом р.
Определить объем пирамиды.
44.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом р при
основании и радиусом вписанной окружности г. Все боковые ребра пирамиды
образуют с ее высотой угол у. Определить объем пирамиды.
45.	В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом р, радиус
вписанной в него окружности равен г. Определить объем пирамиды, если все ее
боковые ребра наклонены к основанию под углом а.
46.	В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом р. Все боковые
грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол а. Определить боковую
поверхность пирамиды, если ее высота равна Н.
47.	В правильной треугольной пирамиде боковая грань образует с плоскостью
основания угол ос. Определить объем пирамиды, если радиус окружности, описанной
около ее основания, равен R.
48.	Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой с и
острым углом ос. Все двугранные углы при основании пирамиды равны у. Определить
объем пирамиды.
49.	Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной Ь
и углом р при вершине. Все двугранные углы при основании пирамиды равны у.
Определить объем пирамиды.
50.	Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с радиусом
описанной окружности R и острым углом а. Все двугранные углы при основании
пирамиды равны у. Определить боковую поверхность пирамиды.
51.	Основанием пирамиды является ромб с большей диагональю d и острым углом а.
Все двугранные углы при основании пирамиды равны р. Определить объем
пирамиды.
52.	Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием а и
углом р при основании. Основанием высоты пирамиды является точка пересечения
медианы этого треугольника, проведенной к основанию, и биссектрисы угла при его
основании. Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к боковой стороне
данного треугольника, образует с плоскостью основания пирамиды угол у.
Определить боковую поверхность пирамиды.
•—1————————————————————————————————

90

53.	Основанием пирамиды является правильный треугольник со сторонами а. Две
боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья наклонена к нему
под углом Р. Определить боковую поверхность пирамиды.
54.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом р при
основании, радиус вписанной в него окружности равен г. Две неравные боковые грани
перпендикулярны основанию, а третья наклонена к нему под углом ос. Определить
объем пирамиды.
55.	В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Две боковые грани
пирамиды перпендикулярны основанию, а третья образует с высотой пирамиды угол у.
Расстояние от середины высоты пирамиды до третьей боковой грани равно I.
Определить объем пирамиды.
56.	Основание пирамиды - квадрат со стороной а. Две смежные боковые грани
пирамиды перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углом ос.
Найти боковую поверхность пирамиды.
57.	Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с углом ос при основании.
Две боковые грани пирамиды, содержащие стороны этого угла, перпендикулярны
основанию, а третья наклонена к нему под углом р. Расстояние от основания высоты
пирамиды до третьей боковой грани равно I. Найти объем пирамиды.
58.	Основание пирамиды - ромб с тупым углом р. Две боковые грани пирамиды,
содержащие стороны этого угла, перпендикулярны основанию. Две другие боковые
грани наклонены к нему под углом ос, а расстояние от середины высоты пирамиды до
этих граней равно d. Определить объем пирамиды.
59.	Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник АВС с основанием
АС = 70 см, боковой стороной АВ = 37 см. Ребро пирамиды, проходящее через
вершину В, перпендикулярно плоскости основания и равно 16 см. Вычислить боковую
поверхность пирамиды.
60.	Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с острым углом р. Высота
этого треугольника, проведенная к гипотенузе, равна Н. Боковая грань, содержащая
катет, прилежащий к данному углу, перпендикулярна основанию, а две другие
наклонены к нему под углом сс. Найти объем пирамиды.
61.	Основанием пирамиды является правильный треугольник, площадь которого
равна S. Одна боковая грань пирамиды перпендикулярна основанию, а две другие
наклонены к нему под углом ос. Определить объем пирамиды.
62.	Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой с и
острым углом а. Боковая грань, содержащая гипотенузу, перпендикулярна основанию,
а две другие наклонены к нему под углом р. Определить объем пирамиды.
63.	Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной
b и углом р при вершине. Боковая грань, содержащая основание этого треугольника,
перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом ос. Определить
объем пирамиды.
64.	Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой с и
острым углом р. Боковая грань, содержащая гипотенузу, перпендикулярна плоскости
основания, а две другие наклонены к плоскости основания под углом ос. Определить
боковую поверхность пирамиды.

__ 65. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом а при
  вершине. Боковая грань, содержащая основание этого треугольника, перпендикулярна
плоскости основания пирамиды, а две другие - наклонены к плоскости основания под
~ углом Р. Определить объем пирамиды, если ее высота равна Н.
	66. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а.
Определить полную поверхность пирамиды, если расстояние от основания ее высоты
до боковой грани равно а.
67. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен сс.
Определить полную поверхность пирамиды, если расстояние от основания ее высоты
до боковой грани равно d.
—	68. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом р при
—	вершине. Две боковые грани пирамиды, содержащие стороны этого угла,
—	перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к нему под углом а.
—	Расстояние от основания высоты пирамиды до третьей боковой грани равно d.
—	Определить объем пирамиды.
—	69. Диагонали оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны
—	6 см и 2 см, а двугранный угол при ребре большего основания - 60°. Найти площадь
—	боковой поверхности усеченной пирамиды.
—	70. В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона нижнего основания равна
—	15 см, а боковое ребро длиной 8 см наклонено под углом 30° к основанию пирамиды.
—	Найти объем усеченной пирамиды.
—	71. Определить полную поверхность правильной треугольной усеченной пирамиды,
—	боковое ребро равно 10 см, а стороны оснований - 18 см и 6 см.
72.	Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны 2 см и 6 см.
—	Боковая грань образует с большим основанием угол 60°. Найти высоту пирамиды.
73.	Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды -4 дм и 1 дм, а
боковое ребро - 2 дм. Найти высоту пирамиды.
	74. Найти объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны
_ оснований которой равны 4 дм и 8 дм, а диагональ - 11 дм.
75.	В правильной усеченной четырехугольной пирамиде сторона верхнего основания
равна 3 см, а боковое ребро длиной 5 см наклонено к большему основанию под углом
45°. Найти объем усеченной пирамиды.
76.	Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 4 см, стороны
оснований - 2 см и 8 см. Найти площадь диагонального сечения.
77.	Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Стороны
—	оснований 10 см и 2 см. Определить боковое ребро пирамиды.
—	78. Определить высоту правильных усеченных пирамид: треугольной, четырёхуголь-
—	ной, шестиугольной, если дано боковое ребро с и стороны а и b нижнего и верхнего
—	оснований.
i—г
92

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-2-
Тема. Пирамида. Свойства пирамиды
B-I
7 баллов
B-II
9 баллов
1.	РАВС - пирамида; АА СВ = 90°,
PBL(ABC). Доказать, что угол РСВ -
линейный угол двугранного угла с ребром
АС.
1.	РАВС - пирамида; АВ = ВС, D -
середина отрезка АС, PBL(ABC).
Доказать, что угол PDB - линейный угол
двугранного угла с ребром АС.
a
2.	Высота правильной четырехугольной
пирамиды 7 см, а сторона основания
8 см. Найти боковое ребро пирамиды.
2.	В правильной четырехугольной пира¬
миде боковое ребро, равное 5 см, состав¬
ляет с плоскостью основания угол 45°.
Найти тангенс угла наклона боковой
грани к плоскости основания.
В-Ill
10 баллов
B-IV
12 баллов
1.	PABCD - пирамида; РВА (АВС),
BKLDC. Доказать, что угол РКВ -
линейный угол двугранного угла с ребром
CD.
2.	Боковая грань правильной четырех¬
угольной пирамиды наклонена к плоскости
основания под углом 60°. Площадь осно¬
вания пирамиды 16 см2. Найти апофему
пирамиды.
1. Построить линейный угол двугранного
угла с ребром АС, если в пирамиде
РАВС АВ = ВС, РВ 1 (АВС).
2. Найти сторону основания правильной
четырехугольной пирамиды, если ее
боковое ребро составляет с плоскостью
основания угол 45°, а площадь диаго¬
нального сечения равна 36 см2.
93

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Тема. Свойства пирамиды
С-2-2
B-I
B-II
В основании пирамиды лежит прямо¬
угольный треугольник, катеты которого
6 см и 8 см. Все боковые ребра пирамиды
равны 13 см. Вычислить высоту пира¬
миды.
В-Ill
В основании пирамиды лежит прямоуголь¬
ный треугольник с углом а. Все боковые
ребра пирамиды равны Ь и наклонены к
плоскости ее основания под углом ср.
Определить площадь основания пирамиды.
В основании пирамиды лежит прямо¬
угольный треугольник с углом а. Все
боковые ребра пирамиды образуют с
плоскостью основания угол ф. Высота
пирамиды равна Я. Определить площадь
основания пирамиды.
B4V	:
В основании пирамиды лежит прямо¬
угольный треугольник с углом а. Высоты
всех боковых граней равны Н и образуют
с плоскостью основания пирамиды угол
ф. Найти площадь основания пирамиды.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-2-3
Тема. Поверхность пирамиды
B-I
B-II
Боковое ребро правильной треугольной
пирамиды равно Ь, а плоский угол при ее
вершине равен ф. Найти боковую поверх¬
ность пирамиды.
B-lll
Основанием пирамиды является ромб с
острым углом а и радиусом вписанной
окружности г. Все двугранные углы при
основании пирамиды равны у. Опреде¬
лить полную поверхность пирамиды.
Расстояние от высоты правильной четы¬
рехугольной пирамиды до ее боковой
грани равно d, а двугранный угол при
основании а. Найти боковую поверх¬
ность пирамиды.
Основанием пирамиды является ромб с
тупым углом 3. Все двугранные углы при
основании пирамиды равны у. Высота
пирамиды равна Я. Определить полную
поверхность пирамиды.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Тема. Объем пирамиды
В-1
Найти объем правильной четырех-
угольной пирамиды, если ее боковое
ребро составляет с плоскостью основа¬
ния угол 45°, а площадь диагонального
сечения равна Q.
В4П
Боковое ребро правильной четырех¬
угольной пирамиды составляет с осно¬
ванием угол а, а середина его удалена от
основания на расстояние а. Найти объем
пирамиды.
B-II
Основанием пирамиды является тре¬
угольник со сторонами а, а и Ь. Все
боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 60°. Найти объем
пирамиды.
B-IV
В основании пирамиды лежит прямо¬
угольник, площадь которого равна 5;
боковые ребра пирамиды равны и
образуют с плоскостью основания угол
45°. Угол между диагоналями основания
равен 60°. Найти объем пирамиды.
94

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА К-2-1
B-II
1.	Площадь боковой грани правильной
четырехугольной пирамиды равна 48 см2,
а периметр основания 16 см. Вычислить
апофему пирамиды.
2.	Стороны основания треугольной пира¬
миды равны 9 см, 12 см, 15 см, вершина
пирамиды удалена от всех сторон
основания на одинаковое расстояние,
равное 5 см. Найти высоту пирамиды.
1.	Боковая грань правильной четырех¬
угольной пирамиды - правильный тре¬
угольник, высота которого равна 2л/з см.
Вычислить периметр основания пирамиды.
2.	В основании пирамиды лежит равно¬
бедренный треугольник с острым углом
а при вершине. Все боковые ребра
пирамиды наклонены к плоскости основа¬
ния под углом ф. Высота пирамиды равна
Н. Найти площадь основания пирамиды.
В-Ill
B-IV
1.	Стороны основания треугольной пира¬
миды равна 6 см, 6 см и 8 см\ боковые
ребра равны и длина каждого 9 см. Найти
высоту пирамиды.
2.	Расстояние от основания высоты
правильной четырехугольной пирамиды
до ее бокового ребра равно а, а ее
боковое ребро образует с плоскостью
основания угол р. Найти боковое ребро
пирамиды.
3.	Построить сечение пирамиды плос¬
костью, проходящей через точки М, N, к.
1.	Основанием пирамиды является тре¬
угольник со сторонами За/ТЬ см, зУ1О см
и 6 см. Все боковые ребра наклонены к
основанию под углом 30°. Найти высоту
пирамиды.
2.	Диагональ основания правильной
четырехугольной пирамиды равна т, а
двугранный угол при ребре основания а.
Определить площадь боковой грани
пирамиды.
3.	Построить сечение пирамиды плос¬
костью, проходящей через точки М, N, К.

B-I
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА К-2-2
вц[
1.	В правильной треугольной пирамиде
боковое ребро равно 4 см, а сторона
основания 6 см. Найти боковую по¬
верхность пирамиды.
2.	Основанием пирамиды MABCD явля¬
ется квадрат ABCD со стороной 6 см.
Ребро МВ является высотой пирамиды и
равно 8 см. Найти площадь полной
поверхности пирамиды.
В"-ТГ|
1.	В правильной четырехугольной пирамиде
высота 12 см, а сторона основания 10 см.
Найти площадь поверхности пирамиды,
2.	Найти площадь боковой поверхности
пирамиды SABCD, если ее основание -
квадрат ABCD со стороной а, грани SAB
и SAD перпендикулярны плоскости
основания и высота равна Ь.
1.	В правильной четырехугольной пира¬
миде высота равна 12 см, а апофема
боковой грани 15 см. Найти площадь
боковой поверхности пирамиды.
2.	Найти площадь боковой поверхности
пирамиды SABCD, если ее основание
квадрат ABCD со стороной а, боковое
ребро SA перпендикулярно плоскости
основания и равно Ь.
BW
1.	Определить площадь полной поверх¬
ности правильной четырехугольной пира¬
миды, если ее высота 9 м, а апофема 18 м.
2.	Найти площадь боковой поверхности
пирамиды SABCD, если ее основание
квадрат ABCD со стороной а, все
боковые грани - прямоугольные тре¬
угольники, а высота пирамиды Ь.
B-I
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА К-2-3
ВЛТ
1.	В основании пирамиды лежит прямо¬
угольный треугольник с гипотенузой с и
острым углом а. Все боковые ребра пира¬
миды образуют с плоскостью основания
кугол у. Определить объем пирамиды.
2.	Основанием пирамиды является квад-
рат. Две смежные боковые грани пер¬
пендикулярны плоскости основания, а
две другие наклонены к нему под углом 0.
Высота пирамиды равна Н. Определить
боковую поверхность пирамиды.
B-lll
1.	В основании пирамиды лежит равно¬
бокая трапеция с тупым углом 0 и боль¬
шим основанием а. Диагональ трапеции
является биссектрисой тупого угла. Все
боковые ребра пирамиды образуют с ее
высотой угол у. Определить объем пира¬
миды.
2.	В основании пирамиды лежит ромб
с острым углом а. Две боковые грани
пирамиды, содержащие стороны этого
угла, перпендикулярны плоскости осно¬
вания, а две другие - наклонены к нему
под углом р. Высота пирамиды равна Н.
Определить боковую поверхность пира¬
миды.
1.	В основании пирамиды лежит прямо¬
угольный треугольник с острым углом 3.
Все боковые ребра пирамиды равны I и
образуют с ее высотой угол а. Опре¬
делить объем пирамиды.
2.	Основанием пирамиды является квадрат
со стороной а. Две смежные боковые грани
пирамиды перпендикулярны плоскости ос¬
нования, а две другие наклонены к нему
под углом а. Определить боковую поверх¬
ность пирамиды.
bjv
1.	В основании пирамиды лежит равно¬
бокая трапеция с боковой стороной с и
острым углом а. Диагональ трапеции
является биссектрисой острого угла. Все
боковые ребра пирамиды наклонены к
плоскости основания под углом у.
Определить объем пирамиды.
2.	В основании пирамиды лежит ромб
со стороной а и тупым углом (3. Две
боковые грани пирамиды, содержащие
стороны этого угла, перпендикулярны
плоскости основания, а две другие
наклонены к нему под углом а. Опре¬
делить боковую поверхность пирамиды.
zi
7	Г
96

§3. тела вращения.
Поверхности и объемы тел вращения
Цилиндр
Цилиндром (круговым цилиндром) называется тело, состоящее из двух кругов,
которые не лежат в одной плоскости, а совмещаются параллельным переносом, и
всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.
Круги - основания цилиндра.
Отрезки, соединяющие соответствующие точки
окружностей кругов, - образующие. ААХ', ВВХ -
образующие цилиндра.
Цилиндр называется прямым, если его образующие
перпендикулярны плоскостям оснований.
Свойства
1.	Основания цилиндра равны и параллельны. —
ОА =	= R; (ОАВ)\\(АХОХВХ) - Оцентр нижнего основания, Ох - центр
верхнего основания.
2.	Образующие цилиндра параллельны и равны. ААХ II ВВХ; ААХ = ВВХ.
3.	Высота цилиндра (расстояние между плоскостями оснований) равна образующей.
^цил. = ААХ = 00 р
4.	При вращении прямоугольника около его стороны как
оси образуется цилиндр.
ОММХОХ - прямоугольник; 00х - ось образованного
цилиндра {ООХIIММХ).
*цил. = ОМ = ОХМХ, /7ЦИЛ> = ММХ = 00х.
Площадь поверхности и объем цилиндра
Боковая поверхность Полная поверхность	Объем
%к. = 2nRH	^полн. = 2лЛ(Т? + Я)	V = nR2H
R - радиус основания. Н - высота цилиндра.
Сечения цилиндра плоскостями
Осевое сечение цилиндра
ABCD -осевое сечение (сечение, проходящее через ось 00х).
ABCD - прямоугольник ( если ABCD - квадрат, то
цилиндр называется равносторонним).
AD = rf0CK. = 2Я; АВ = нит .
АВ и CD - образующие цилиндра.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси
(LMKN) || ОО{;
KLNM - прямоугольник;
KL и MN - образующие цилиндра;
KL = #ЦИЛ,-
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его основаниям
Плоскость, параллельная плоскости основания цилинд¬
ра, пересекает его боковую поверхность по окружности,
равной окружности основания.
О = /?
лпер. лцил. •
Конус
Конусом (круговым конусом) называется тело, состоящее из круга, точки, не
лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих заданную точку с
точками круга.
Круг - основание конуса.
Точка S - вершина конуса.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками
окружности основания, - образующие.
SA; SB - образующие конуса.
Конус называется прямым, если SOI (АОВ) (О - центр
круга основания).
Свойства
1.	Образующие конуса равны. SA = SB = ...
2- Яконуса = SO;(SO.L(AOB)).
3.	При вращении прямоугольного треугольника около его
катета как оси образуется конус.
&AOS - прямоугольный, ZAOS = 90°;
прямая SO - ось конуса;
^конуса = А0'> ЯКОНуса = so> AS ~ образующая; AS = I.
Площадь поверхности и объем конуса
Боковая поверхность
Полная поверхность
Объем
^бок. =
*-*полн. ~	+ L)
V = yiR2H
R - радиус основания; L - образующая; Н ~ высота конуса.
98

Сечения конуса плоскостями
Осевое сечение конуса
Д5ЛВ - осевое сечение (сечение, проходящее через ось SO).
ASAB - равнобедренный.
SA = SB (SA и SB - образующие).
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину
&SMK - равнобедренный.
SM = SK (SM и SK - образующие).
Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию
Плоскость, параллельная плоскости основания конуса,
пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по
окружности с центром на оси конуса.
Rce4.
^кон. $0
Усеченный конус
Усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и
сечением, параллельным основанию.
Ъысотой усеченного конуса называется расстояние
между плоскостями его оснований.
В частности, ООХ = Нусеч конуса, где О и О} - центры
оснований усеченного конуса.
U
''Н\—
Свойства
1.	Осевое сечение усеченного конуса - равнобокая
трапеция:
MKNT - осевое сечение;
MT\\KN, МК = TN (образующие);
МТ = 2г; KN = 2R \ ОО} 1.KN; ОО} = Н.
2.	При вращении прямоугольной трапеции (ОВАО{) около
оси, проходящей через боковую сторону, перпенди¬
кулярную основаниям, образуется усеченный конус.
\к
о
о,
н
Площадь поверхности и объем усеченного конуса
Боковая поверхность
Полная поверхность
5бок. = n(R + r^L
5ПОЛН = n(R + r)L + nR2 + пг2
Объем
V = ^tcH(R2 + Rr + г2)
L - образующая. R и г - радиусы нижнего и верхнего оснований.

Сфера и шар
Сферой называется множество всех точек пространства, находящихся на данном
расстоянии R от заданной точки О. При вращении полуокружности около ее
диаметра получаем сферу.
Шаром называется множество всех точек простран¬
ства, находящихся от заданной точки О на рассто¬
янии, не большем данного расстояния R.
При вращении полукруга около его диаметра полу¬
чаем шар.
Сфера является поверхностью шара.
Сечение шара плоскостью
Любое сечение шара плоскостью есть круг.
Центр этого круга - основание перпендикуляра,
опущенного из центра шара на секущую плоскость.
О - центр шара, Ох - центр круга сечения.
ООХ1 а. Из ДОО,А: Ясеч = jR2uiapa - OOj.
/ s'а /
Г °i'R )
Сечение, проходящее через центр шара, -
большой круг.
D	— D
^большого круга лшара
Сечение сферы любой плоскостью есть окружность.
Площадь сферы
S = 4tiR2
Объем шара
4
V = ^лЯ3
Части шара
Сегмент
Объем: V=
Площадь сегментной поверхности: S6oK = 2itRH.
О
Сектор
о
Объем: V = -itR2H.
Площадь полной поверхности:
«попн. = nR(.2H+j2HR-lfl).
О
Срез
Объем: V = ^тгН3 + |rc(rf + rj)H.
Площадь боковой поверхности: 5бок = 2itRH.
~1 г
101

УЧЕНИЧЕСКАЯ СТРАНИЧКА
1. В цилиндре площадь основания равна Q, а площадь осевого сечения S.
Определить полную поверхность цилиндра.
R =
Тогда 5Л0ЛН 2тг
Решение.
В цилиндре S0CH = Q и SABCD = S. Найти 5ПОЛН цилиндра.
Обозначим АО = R и AD = Н; тогда 5ПОЛН = 2nR(H + R).
По условию задачи, 2RH = S, nR* 2 = Q, откуда
= TtS+2Q.
Ответ: 7г5 + 22.
2.	Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, отсекающая от окружности
основания дугу а. Диагональ образовавшегося сечения равна I и наклонена к
плоскости основания под углом р. Определить объем цилиндра.
Решение.
Сечением цилиндра плоскостью, параллельной его оси ОО} и
пересекающей основание, является прямоугольник. Пусть это
прямоугольник АА}В}В, в котором А}В = Z, и пусть дуга АМВ
равна а. Тогда ЛАОВ = а. Так как АА} 1(АОВ), то проекцией
диагонали А^ на плоскость основания является хорда АВ.
Поэтому ААХ В А = (3.
Объем цилиндра V = nR2H. Из М.АхВ (ZA. = 90°):
Н ~ ААХ = I - sin^- АВ = /■ со5р. Из точки О проведем перпендикуляр ON к хорде
АВ. Так как ДАОВ равнобедренный, то AAON = %-.
£
AN - АВ ~ ~l. cos^ Из M0N (AN = 90°):
Тогда V п'№-Н=П'
Ответ: - ' cg£jP • sin Р
Asin2 —
2
R °А sinAAON
AN _ / • cosP
n . a
2sin
I • COSP
~ . a
2sza. —
2 2
, . п я ■ I3 ■ cos2 В • sin В
• I • sin р

Asin2
102

3.	Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы отрезка, длина которого
10 дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найти расстояние между данным
отрезком и осью.
Решение.
В данном цилиндре АМ = 6 дм; АО = 5 дм и отрезок MN = 10 дм.
Найти расстояние между отрезком MN и осью цилиндра 00.
MN и ОО} - скрещивающиеся прямые. Проведем плоскость
MAN через прямую MN параллельно оси ОО{; тогда расстояние
от любой точки оси 00х до проведенной плоскости будет искомым.
00х 1 (ANO), (AMN) 1 (ANO), BOLAN (по свойству медианы равнобедренного
треугольника ANO (NO = АО = R), проведенной к основанию AN). BOL(AMN) -
по теореме о прямой, лежащей в одной из перпендикулярных плоскостей и
перпендикулярной к линии их пересечения. ВО - искомое расстояние.
Из прямоугольного NMAN получим: AN = JmN1 - AM2 = JlQ2-62 = 8 (дм).
Из прямоугольного АЛ В О (ВО LAN; АВ = 4^): О В = ^АО2-АВ2 = 752-43 = 3 (дм).
В этом случае CD = ВО = 3 дм.
Ответ: 3 дм.
4.	Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая его основание по
хорде, которую видно с вершины под углом а, а из центра основания - под углом |3.
Определить боковую поверхность конуса, если расстояние от центра его основания
до середины образующей равно d.
Решение.
Пусть сечением конуса плоскостью является треугольник SAB,
SO - высота конуса, точка М - середина образующей SA. По
условию, AASB = а, ААОВ = ft, ОМ = d. Боковая поверхность
конуса S6oK = nRl, где R = ОА - радиус основания, I = SA -
длина образующей. В прямоугольном треугольнике SOA
(АО = 90°) середина М гипотенузы SA является центром
описанной окружности. Поэтому MS = МА = МО,
откуда SA = 2 • ОМ = 2d. Из вершины S проведем перпендикуляр SN к хорде АВ.
По теореме о трех перпендикулярах, ON LAB. Так как SA = SB, то высота SN
является биссектрисой и медианой треугольника ASB.
Поэтому ANSA = и AN = NB. Аналогично ANOA = |.	j
Из ASNA : NA = SA- sin ANSA = 2d • sin%. Из &ONA : О A =	•
2	sinLLNOA sin(p/2)
Тогда S6oK = it • OA • SA = n •	• 2d = 471'	-
бок	5йз(0/2)	5ш(Р/2)
_ 4я • d2 • sin(a/2)
Ответ:	;■ zo Д	L
sin($/2)
-J
103

5.	В усеченном конусе радиусы оснований 5 см и 3 см, высота . Через две его
образующие проведено сечение плоскостью, отсекающей от окружностей оснований
дуги по 120°. Найти площадь сечения.
Решение.
1)	Проводим ОМЕ ВС, ОХМХ , тогда ВМ = МС,
в ВХМХ = МХСХ (теорема о радиусе, перпендикулярном хорде).
с ■
2)	ММХ1ВС (как ось симметрии трапеции ВВХСХС).
ВС + В J Cj
3)	S'ceM. = 		0) (формула площади трапеции).
4)	ВС = OAj3 = 5^3, ВХСХ = 3^3 СМ (2) (ВС = а3 = R^3).
5)	В трапеции 00хМхМ проводим МХНЕОМ\ из ЕНМХМ\ ММХ = JHM2 + Н1И2 (3)
(теорема Пифагора); НМХ = ООХ = см.
6)	НМ = ОМ-ОН = ОМ-ОХМХ (4); Z.OCB = (180°-120°) :2 = 30°.
7)	Из ЕСОМ\ ОМ = OCsin3Q° = 5-| =	v\3 ЕСХОХМХ:
13	с э
ОХМХ = Oxcxsin30° = 3 • - = -; подставим эти значения в (4): НМ =	= 1 (см).
8) ММХ
9) Из (5), (2) и (1): 5сеч =	+
Ответ: 12 (см2).
12 (см2).
6. Внутри шара проведены две параллельныёПтлоскости по одну сторону от его
центра на расстоянии 3 см друг от друга. Эти плоскости дают в сечении два малых
круга, диаметры которых 9 см и 12 см. Вычислить объем шара.
О.
о
Решение.
По условию, АВ = 12 см; CD = 9 см. Треугольники ОЕВ и OGD —
прямоугольные, откуда 7?2 = ОЕ2 + ЕВ2 или R2 = OG2 + GD2,
OG = ОЕ + 3; тогда имеем R2 = (ОЕ + З)2 + GD2. Сравнивая
выражения, получим ОЕ2 + ЕВ2 = (ОЕ + З)2 + GD2
_	„	/о\2	О
или ОЕ2 + 62 = {ОЕ + З)2 +1 - => ОЕ = - (см).
8
Тогда 7? - ^ОЕ2 + ЕВ2 =	+62 = 6,1 см; V = KR3 = ^6,13 = 946 (см3),
у	о	□
Ответ: 946 см3.
1	1—
104

7.	Стороны треугольника равны 15 см, 14 см и 13 см. Найти удаление от плоскости
треугольника до центра шара, касательной к сторонам треугольника, если радиус
шара равен 5 см.
~ ~с	Решение.
Дан шар О с радиусом R = 5 см и МВС, стороны которого
касаются поверхности шара и равны АВ = 15 см, ВС = 14 см и
АС = 13 см. Найти расстояние от центра шара до плоскости
М.ВС.
Плоскость ЬАВС пересечет шар О по кругу, вписанному в данный треугольник.
Основание перпендикуляра OD, опущенного из центра шара О на плоскость &АВС,
попадает в центр этого круга D.
Пусть DM = г - радиус круга D, проведенный в точку касания стороны СВ
поверхности шара. Тогда из прямоугольного MJDM находим OD = JOM2 - DM2.
Радиус шара R = ОМ = 5 см. Радиус круга D, вписанного в данный треугольник,
5
находим по формуле г = DM = -, где S - площадь, а р - полупериметр
треугольника: DM =	= J21-6-1-S = 4
р	21	' '
Подставляя найденные значения в формулу для OD, находим искомое расстояние
OD = 752-42 = 3 (см).
Ответ: 3 см.	'
8.	Радиусы оснований шарового пояса равны 10 см и 12 см, а его высота - 11 см.
Найти поверхность сферического пояса, если параллельные плоскости,
пересекающие шар, расположены по разные стороны от центра шара.
к	Решение.
®На рисунке ОгА = 10 см, О2В =12 см, Н = ОХО2 = 11 см.
Площадь поверхности пояса: S = 4лА2 -	+ $2), где R - радиус
шара, Sj, S2 — площади поверхностей шаровых сегментов с
высотами Нг = ОХМ и Я2 = О2К.
м	5 = 4тс7?2 - (2л7?Я] + 2л7?Я2) = 2nR(2R-H1 -Н2) = 2nRH.
Найдем Я: ОХО + ОО2 = О}О2; Jr2-102 + Jr2- 122 = 11 ;
Л2-IO2 = (И -	_ 122)2; R = 12,5 см.
Следовательно, S = 2тс • 12,5 • 11 = 275л (см2).
Ответ? 275л см2.	’	~~

9.	Доказать, что если МВС вращается вокруг стороны ВС = а, то объем
4 О2
полученного тела Va = -п ■	, где Q - площадь треугольника.
в
D
о ~~
А
Решение.
Объем тела вращения состоит из двух конусов BAD и CAD.
Обозначим А О = h высоту МВС, опущенную на сторону ВС,
которая является и радиусом
обозначив объем искомого тела
^кон. ABD ^кон. CAD ’ И^И
оснований конусов. Тогда,
вращения через Va, имеем
X-nh\CO + OB) =
1	,2	1 a2h2	4 Q2
-nah1 = -л	 = -п—, что и
3	3 а	3 а
Учитывая, что, по условию, ah = 2Q, найдем Va =
требовалось доказать. Формула верна для любого треугольника, но если угол будет
тупой, то при доказательстве надо учитывать, что тогда Va = Ккон ABD- Икон ACD.
10.	Ромб ABCD с АА = 60° и стороной АВ = а вращается вокруг оси АО 1AD.
Найти объем тела вращения.
1
Решение.
с Объем тела вращения равен разности объемов усеченного
конуса ADCO и конуса АВО:
Vx = \ti-AO{OC2+AD- OC + AD2)-\n- АО- OB2 =
= ~7С • АО(ОС2 + AD • ОС + AD2 - ОВ2).
Рассмотрим MOB (АЛОВ - 90° и АВ АО = 30°). В этом треугольнике АВ = а,
1 7з
тогда ВО - -а, АО ——а. Подставляя эти значения в формулу для объема тела
1 7з «3 Л2 3 С\ '
вращения, найдем Vx = -п ■ ^а[	+ а •	+ а2 - [±а
па3.
Зл/З о
Ответ: -у-тга3.
4
W6

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1.	Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, площадь которого 48 см2. Площадь
основания цилиндра равна 36л см2. Вычислить высоту цилиндра.
2.	Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого 8 см. Вычислить
боковую поверхность цилиндра.
3.	Длина окружности основания цилиндра равна 12л см, его высота равна 10 см.
Вычислить объем цилиндра.
4.	Радиус основания цилиндра 37 дм, высота 24 дм. На каком расстоянии от оси
цилиндра находится сечение, имеющее форму квадрата?
5.	В цилиндре параллельно оси проведена плоскость, отсекающая от окружности
основания дугу в 120°. Длина оси 15 см, ее отстояние от секущей плоскости 4 см.
Вычислить площадь сечения.
6.	Хорда основания цилиндра равна а и стягивает дугу 2а. Расстояние от центра
второго основания до этой хорды равно d. Найти полную поверхность цилиндра.
7.	В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, пересекающая нижнее
основание по хорде, которая видна из центра этого основания под углом а. Диагонали
образованного сечения образуют между собой угол 0. Площадь сечения равна S.
Определить площадь основания цилиндра.
8.	В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого
наклонена к плоскости основания под углом (р. Это сечение пересекает нижнее
основание по хорде, которая стягивает дугу а. Найти объем цилиндра, если его
высота равна Н.
9.	Образующая конуса равна Тб см и составляет с плоскостью основания угол 45°.
Найти объем конуса.
10.	Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90°, площадь сечения 18 см2.
Найти объем конуса.
11.	Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде,
которая видна из центра основания под углом (3, а из вершины - под углом а. Радиус
основания равен R. Найти площадь сечения.
12.	Через вершину конуса, радиус которого равен R, проведена плоскость под углом а
к плоскости основания. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу 2а.
Найти высоту конуса.
13.	Через вершину конуса, высота которого равна h, проведена плоскость под углом 0
к плоскости основания. Образующая конуса образует с высотой угол а. Найти длину
хорды, по которой плоскость пересекает основание.
14.	Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая его основание по
хорде, которая видна из центра основания под углом 0, а из вершины - под углом а.
Найти радиус основания конуса, если площадь сечения равна S.
15.	Через вершину конуса проведена плоскость под углом 0 к плоскости основания.
Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу 2а. Расстояние от вершины
конуса до хорды, стягивающей эту дугу, равно I. Найти образующую конуса.
16.	В основании конуса проведена хорда, которая видна из его центра под углом а, а
из вершины конуса под углом (р. Определить боковую поверхность конуса, если его
радиус равен R.
107

17.	В конусе из центра основания к образующей проведен перпендикуляр, который
наклонен к плоскости основания под углом а. Длина перпендикуляра равна а.
Определить полную поверхность конуса.
18.	Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1 : 3. Образующая конуса
равна 4 и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найти объем конуса.
19.	Высота усеченного конуса равна 5, а диагональ осевого сечения - 13. Радиусы
оснований относятся как 1 : 2. Найти объем конуса.
20.	Прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим острым углом а
вращается около этого катета. Найти поверхность тела вращения.
21.	В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны,
образующая равна I и составляет с плоскостью основания угол а. Найти объем
усеченного конуса.
22.	Стороны прямоугольника равны 4 см и 5 см. Найти площадь поверхности и объем
тела, полученного при вращении прямоугольника около его меньшей стороны.
23.	В равнобедренном треугольнике АВС АС = СВ = 25, АВ = 48. Треугольник
вращается вокруг оси, проходящей через вершину В и перпендикулярной АВ. Найти
объем тела вращения.
24.	Хорда длиной а, лежащая в основании конуса, удалена от центра
на расстояние т\ плоскость, проходящая через хорду и вершину
конуса, составляет с плоскостью основания угол ср. Найти объем
конуса.
25.	Ромб с площадью S и тупым углом ср вращается вокруг оси,
проведенной через вершину острого угла перпендикулярно стороне.
Найти объем фигуры вращения (рис. 1).
26.	Как изменится поверхность шара, если его радиус увеличить в три раза?
27.	Какая фигура имеет больший объем: шар с радиусом 1 дм или правильная
треугольная призма, каждое ребро которой равно 2 дм?
28.	Во сколько раз нужно увеличить радиус сферы, чтобы увеличить площадь сферы
в 10 раз?
29.	Отношение площадей двух сфер равно 2. Найти отношение диаметров этих сфер.
30.	Объем шара равен V. Определить его поверхность.
31.	Радиус шара равен 17 см. Найти площадь сечения шара плоскостью, находящейся
на расстоянии 15 см от центра.
32.	Все стороны правильного треугольника касаются сферы с радиусом 2 дм. Найти
расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если сторона его равна 6 дм.
33.	Радиус шара равен R, а диаметр его сечения плоскостью равен а. Найти
поверхность меньшего сферического сегмента.
34.	Шар касается всех сторон прямоугольного треугольника, катеты которого равны
6 дм и 8 дм. Найти радиус шара, если расстояние от центра шара до плоскости
треугольника равно 14 дм.
35.	Дуга осевого сечения шарового сектора равна 120°. Найти отношение объема
шарового сектора к объему соответствующего шарового сегмента.
36.	Площадь сферической поверхности шарового сектора радиуса R
равна площади большого круга шара. Найти площадь конической
поверхности сектора (рис. 2).
I
D Рис. 1
108

-4

т
_J

J—
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-3-
Тема. Цилиндр
В-1
B-II
1. Осевым сечением цилиндра является
квадрат, диагональ которого равна 472 см.
Вычислить длину основания цилиндра.
1. Осевым сечением цилиндра является
квадрат. Площадь основания цилиндра
равна 64л см2. Вычислить высоту ци¬
линдра.
2. Параллельно оси цилиндра проведена
плоскость, пересекающая основание по
хорде, которая стягивает дугу р. Опре¬
делить боковую поверхность цилиндра,
если диагональ образованного сечения
равна а и составляет с плоскостью
основания угол а.
2. Параллельно оси цилиндра проведена
плоскость, пересекающая основание по
хорде, длина которой равна а. Эта хорда
стягивает дугу ос. Найти объем цилиндра,
если диагональ образованного сечения
составляет с плоскостью основания угол р.
В-111
B-IV
1. В цилиндре параллельно оси проведена
плоскость, отсекающая от окружности
основания дугу в 60°. Длина оси 10 см, ее
удаление от секущей плоскости 2 см.
Вычислить площадь сечения.
1. Площадь осевого сечения цилиндра 8 м2,
площадь основания 12 м2. Вычислить пло¬
щадь сечения, параллельного оси и отсто¬
ящего от нее на 1 м.
2. В нижнем основании цилиндра прове¬
дена хорда, которая видна из его центра
под углом а. Отрезок, соединяющий
центр верхнего основания с концом
хорды, наклонен к плоскости основания
под углом р. Определить объем ци¬
линдра, если расстояние от центра
нижнего основания до этого отрезка
равно а.
2. В нижнем основании цилиндра про¬
ведена хорда, стягивающая дугу р.
Отрезок, соединяющий центр верхнего
основания с серединой хорды, образует с
плоскостью основания угол ос. Опре¬
делить боковую поверхность цилиндра,
если расстояние от центра нижнего
основания до этого отрезка равно Ь.
109

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-3-2
Тема. Конус, усеченный конус
B-I
1.	В конусе через его вершину проведена
плоскость, пересекающая основание по
хорде, длина которой равна а. Хорда
стягивает дугу 90°. Наибольший угол
между образующими конуса равен 60°.
Найти площадь боковой поверхности
конуса.
2.	Длины окружностей оснований усечен¬
ного конуса равны 4л и Юл. Высота
конуса равна 4. Найти площадь поверх¬
ности усеченного конуса.
3.	Через вершину конуса проведена
плоскость под углом 60° к плоскости
основания, пересекающая основание по
хорде, стягивающей дугу 60°. Высота
конуса равна 4'Тз . Найти объем конуса.
B-III
1.	Центральный угол в развертке боковой
поверхности конуса равен 120°. Площадь
боковой поверхности равна 12л. Найти
площадь осевого сечения конуса.
2.	Образующая усеченного конуса равна
I и составляет с плоскостью основания
угол а. Диагональ осевого сечения кону¬
са перпендикулярна образующей. Найти
площадь боковой поверхности конуса.
3.	Угол в развертке боковой поверхности
конуса равен 120°. Площадь боковой
поверхности конуса равна Зл. Найти
объем конуса.
В-11
1.	Через вершину конуса проведена
плоскость, пересекающая основание по
хорде, длина которой равна т . Угол
между образующими в сечении прямой, а
наибольший угол между образующими
конуса 120°. Найти площадь боковой
поверхности конуса.
2.	Найти радиусы основания усеченного
конуса, если его боковая поверхность
равна 208 л, образующая -13, а высота - 5.
3.	Через вершину конуса проведена плос¬
кость, пересекающая окружность основа¬
ния по хорде, равной 6л/з и стягивающей
дугу в 120°. Плоскость составляет с
плоскостью основания угол 45°. Найти
объем конуса.
1.	Центральный угол в развертке боковой
поверхности конуса равен 240°. Высота
конуса - 5^5. Найти площадь боковой
поверхности конуса.
2.	Образующая усеченного конуса со¬
ставляет с плоскостью нижнего осно¬
вания угол ф. Диагональ осевого сечения
конуса перпендикулярна его образую¬
щей. Сумма длин окружностей оснований
равна 2лт. Найти площадь боковой
поверхности конуса.
3.	Длина хорды и радиус развертки
боковой поверхности конуса соответ¬
ственно равны 673 и 6. Найти объем
конуса.
Т	1

110-
—
I 1 V
1 1

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-3-3
Тема. Шар и его части
В-1
1.	Линия пересечения сферы и рлоскости,
удаленной от центра сферы на 8, имеет
длину 12л. Найти площадь поверхности
сферы.
2.	Плоскость пересекает шар. Диаметр,
проведенный в одну из точек линии
пересечения, составляет с плоскостью
угол 45°. Найти площадь сечения, если
диаметр шара равен 4л/з .
3.	Радиус шара равен 7?. Определить
объем шарового сектора, если дуга в
осевом сечении сектора равна 90°.
вчп
1.	Сечения шара двумя параллельными
плоскостями, между которыми лежит
центр шара, имеют площади 144л и 25л.
Найти площадь поверхности шара, если
расстояние между параллельными плос¬
костями равно 17.
2.	Через точку, не лежащую на сфере,
проведены две плоскости, касающиеся
сферы. Найти расстояние от центра
сферы до линии пересечения плоскостей,
если угол между плоскостями равен 60°,
а площадь сферы 32л.
3.	Радиусы оснований шарового пояса
равны 3 м и 4 м, а радиус шара равен 5 м.
Определить объем шарового пояса, если
параллельные плоскости, пересекающие
шар, расположены по одну сторону от
центра шара.
B-II
1.	Сечение шара плоскостью, удаленной
от его центра на 12, имеет площадь 25л.
Определить площадь поверхности шара.
2.	Плоскость пересекает сферу. Диаметр
сферы, проведенный в одну из точек
линии пересечения, имеет длину 4^2 и
составляет с плоскостью угол 45°. Найти
длину линии пересечения:
3.	Радиус шара равен R. Определить
объем шарового сектора, если дуга в
осевом сечении сектора равна 60°.
B4V
1.	Сечения сферы двумя параллельными
плоскостями имеют длины Юл и 24л.
Найти площадь сферы, если расстояние
между плоскостями равно 7 и центры
сечений лежат на одном радиусе.
2.	Через точку на поверхности шара
проведены две плоскости, пересекающие
его. Обе плоскости удалены от центра
сферы на расстояние 2^3, угол между
ними равен 60°. Найти площадь
полученных сечений.
3.	Радиусы оснований шарового пояса
равны 3 м и 4 м, а радиус шара равен 5 м.
Определить объем шарового пояса, если
параллельные плоскости, пересекающие
шар, расположены по разные стороны от
центра шара.

КОНТРОЛ
Ь
Н/з
РАБОТА К-3-1
в-
B-II
1. Найти объем и боковую поверхность
равностороннего цилиндра, если длина
окружности его основания равна 16л см.
1. Образующая конуса равна а, угол при
вершине осевого сечения равен ос. Найти
объем конуса и его боковую поверхность.
2. Шар с радиусом 13 см пересечен двумя
параллельными плоскостями, находящи¬
мися на расстоянии 7 см и 5 см от центра
шара. Найти площади образованных
сечений.
2. В шаре на расстоянии 12 см от центра
проведена секущая плоскость так, что
образовавшийся в сечении круг имеет
радиус 5 см. Найти площадь поверхности
сферического сегмента, отсеченного от
шара этой плоскостью.
3. В основании конуса хорда, равная а,
стягивает дугу а. Отрезок, соединяющий
вершину конуса с серединой этой хорды,
наклонен к плоскости основания под
углом ср. Найти объем конуса.
3. В цилиндре параллельно его оси
проведено сечение, диагональ которого
образует с плоскостью основания угол ф.
Это сечение пересекает основание по
хорде, которая стягивает дугу ф и равна а.
Найти объем цилиндра.
B-III
B-IV
1. Найти объем и боковую поверхность
конуса, диаметр основания которого
равен d, а угол при вершине осевого
сечения равен а.
1. Диагонали осевого сечения цилиндра
взаимно перпендикулярны. Периметр се-
чения равен 8а. Найти объем цилиндра и
площадь его боковой поверхности.
2. Сечение шара плоскостью, отстоящей
от его центра на расстоянии 3 см, имеет
радиус 4 см. Найти площадь сферы и
объем шара.
2. Шар радиусом 13 см пересечен двумя
параллельными плоскостями, располо-
женными по разные стороны от центра
шара. Площади образовавшихся сечений
равны 64л смг и 49л см2. Найти рассто-
яние между плоскостями сечений.
3. В цилиндре параллельно его оси
проведено сечение, диагональ которого
наклонена к плоскости основания под
углом ср. Это сечение пересекает нижнее
основание по хорде, стягивающей лугу а.
Найти объем цилиндра, если его высота
равна Н.
3. В основании конуса хорда равна а и
стягивает дугу ос. Найти объем конуса,
если его образующая наклонена к
плоскости основания под углом Р.
■

§4. Комбинации геометрических тел
Возможные типы комбинаций
1.	Многогранник и многогранник. (Призма, вписанная в пирамиду, или пирамида,
вписанная в призму, и другие.)
2.	Многогранник и тело вращения. (Пирамида, вписанная в конус, или конус,
вписанный в пирамиду; цилиндр, вписанный в пирамиду, или пирамида, вписанная в
цилиндр, и другие; шар, вписанный в пирамиду, или пирамида, вписанная в шар;
призма, вписанная в шар, или шар, вписанный в призму, и другие.)
3.	Тело вращения и тело вращения. (Шар, вписанный или описанный около
цилиндра, конуса, и другие.)
Цилиндром, вписанным в призму, называется
цилиндр, основания которого — круги, вписанные в
основание призмы, а боковая поверхность цилиндра
касается боковых граней призмы.
Радиус цилиндра — г.
Ось цилиндра совпадает с высотой призмы — Н.
Цилиндр называется описанным около призмы, если
его основания — круги описанные около оснований
призмы, а образующие совпадают с ребрами призмы.
Радиус цилиндра — R .
Ось цилиндра совпадает с высотой призмы — Н.
Конусом, вписанным в пирамиду, называется конус,
основание которого — круг, вписанный в многоугольник
основания пирамиды, вершина совпадает с вершиной
пирамиды, боковая поверхность конуса касается
боковых граней пирамиды.
Конус называется описанным около пирамиды, если
его основание — круг, описанный около пирамиды,
вершина совпадает с вершиной пирамиды, а образующие
совпадают с ребрами пирамиды.
Высоты конуса и пирамиды совпадают на основании
единственности прямой, перпендикулярной плоскости и
проведенной через точку, не
плоскости.
Радиус вписанной в основание
(круга) перпендикулярен стороне
щего в основании пирамиды, и является проекцией
образующей конуса на плоскость основания.
лежащую в данной
пирамиды окружности
многоугольника, лежа-
г — радиус конуса;
Н — высота пирамиды
и конуса.
' \н
R — радиус конуса;
г — высота пирамиды
и конуса.

Шар называется вписанным в многогранник, если все
грани многогранника касаются шара. Многогранник в этом
случае называется описанным около шара (сферы).
Центр шара, вписанного в многогранник, равноудален от
всех его граней. Он является точкой пересечения
полуплоскостей, проведенных через ребра двугранных
углов, образованных двумя смежными гранями, которые
делят этот угол пополам. Расстояние от центра шара до
граней — его радиус.
Шар называется описанным около многогранника,
если все вершины многогранника лежат на поверхности
шара (сферы).
В этом случае многогранник называют вписанным в
шар.
Центр шара, описанного около многогранника, равно¬
удален от всех его вершин, то есть является точкой
пересечения плоскостей, проведенных через середины
ребер многогранника (призмы, пирамиды) перпенди¬
кулярно им. Расстояние от центра шара до вершины
многогранника — его радиус.
Шар можно описать около призмы, только если она
прямая и её основание является прямоугольником,
вписанным в окружность.
Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на
середине высоты призмы, соединяющей центры
окружностей, описанных около оснований призмы.
'ЛЛО.
О — центр шара;
R — радиус шара;
ОХО2 — высота призмы;
г — радиус окружности,
описанной около основа¬
ния призмы
„2 (НУ1 , 2
Примечание. Центр шара, описанного около прямоугольного параллелепипеда,
лежит в точке пересечения диагоналей параллелепипеда, а каждая диагональ па¬
раллелепипеда является диаметром описанного шара.
— 115

Шар можно вписать в прямую приз¬
му, если её основания являются
многоугольниками, описанными око¬
ло окружности, а высота призмы
равна диаметру шара и диаметру
этой окружности.
Центр шара, вписанного в прямую
призму, лежит на середине отрезка,
соединяющего центры окружнос¬
тей, вписанных в основания приз¬
мы. Причем радиус шара равен
радиусу окружности, вписанной в
основание призмы, а диаметр шара
равен высоте призмы.
О — центр шара; R — радиус шара;
OjО2 — высота призмы и диаметр шара;
г—радиус окружности, вписанной
в основание призмы,
Примечание. Шар можно вписать и в некоторые наклонные призмы. Если
рассмотреть перпендикулярное сечение призмы, проходящее через центр
вписанного шара, то получим, что радиус шара, вписанного в наклонную призму,
равен радиусу окружности, вписанной в перпендикулярное сечение призмы, а диа¬
метр шара равен высоте призмы.
Если в многогранник можно вписать
сферу, то объем многогранника
равен одной трети произведения
площади полной поверхности мно¬
гогранника на радиус вписанной
сферы.
= 3 г ^полн.многогр.
AqBqCq — перпендикулярное сечение
(AqBqCq) -L АА\,
ТО гвпис.шара гокр., впис. в перпенд. сечение Ао5оС0 ’
^впис. шара ~ ^призмы •
Шар называется описанным око¬
ло пирамиды, если все вершины
пирамиды лежат на поверхности
шара.

Центр шара, описанного около про¬
извольной пирамиды, лежит на пря¬
мой, перпендикулярной плоскости
основания, проходящей через центр
окружности, описанной около осно¬
вания, в точке пересечения этой
прямой с плоскостью, перпендику¬
лярной боковому ребру и прохо¬
дящей через его середину.
/s ■'	\
Г'
7
\Х\ *2s у
О — центр окружности, описанной около
основания, ООХ 1 (АВС);
М — середина SA, а 1 SA (М е а);
а пересекает ООХ в точкеС^ ;
О' — центр описанного шара.
Если вершина пирамиды проекти¬
руется в центр окружности, опи¬
санной около основания, то центр
описанного шара лежит на прямой,
содержащей высоту пирамиды в
точке пересечения этой прямой с
серединным перпендикуляром к
боковому ребру.
/Я
\ Z- —г ~ АХ* /
SO — высота пирамиды, О — центр
окружности, описанной около основания
пирамиды, М — середина ребра SA,
МО' ± SA', МО' n SA в точке О, ;
О' — центр описанного шара, SOX = R (шара);
АО = г (окружности, описанной около
основания пирамиды).
Примечание. Центр описанного шара может находиться в середине пирамиды (на
высоте, рис. 1); вне пирамиды (на продолжении высоты, рис. 2); в плоскости
основания пирамиды (совпадает с основанием высоты пирамиды, рис. 3).
/ »/iV\ \	X/ i\\\
1 /	\	1	I		 1	I	\ / ч
\ / \
X.	X.	s'
Рис. 1	Рис. 2	Рис. 3
Если центр описанного шара лежит
на высоте пирамиды (или на её
продолжении), то при решении
некоторых задач можно исполь¬
зовать такой приём: продлить
высоту пирамиды до пересечения с
шаром в точке и соединить точку
5] с точкой А. Тогда SSl —диаметр
шара и ZSAS1 = 90° как вписанный
угол, опирающийся на диаметр.
"а! X.
7	/ * Vk
/	/	1 1 \	\
/	/	1 \ \	1
1	/	1 1 \	1
у
К	\ / у

Шар называется вписанным в
пирамиду, если все грани пира¬
миды касаются шара.
в
Ох — центр шара;
К — точка касания с гранью SAC;
ОХК = г (радиус шара), ОхКХ. (SAC).
Если вершина пирамиды проекти¬
руется в центр окружности, вписан¬
ной в основание, то центр вписанного
шара лежит на высоте пирамиды, в
точке пересечения высоты с биссек¬
трисой линейного угла двугранного
угла при основании пирамиды. (Счи¬
тают, что плоскость линейного угла
проходит через высоту пирамиды.)
в
SO — высота пирамиды;
О — центр окружности, вписанной
в основание пирамиды;
ASMO — линейный (OMLBC; SMX.BC);
МО{ — биссектриса ASMO;
О1 — центр вписанного шара;
ООг — радиус вписанного шара;
ОМ — радиус окружности,
вписанной в основание пирамиды.
Примечание. Центр шара, вписанного в пирамиду, лежит в точке пересечения
биссекторных плоскостей двугранных углов при ребрах пирамиды.
Биссекторной плоскостью дву¬
гранного угла называется плос¬
кость, которая проходит через
ребро двугранного угла и делит этот
угол пополам. /
А
в
О1
О} — центр вписанного шара;
(ВСО}) — биссекторная плоскость
двугранного угла при ребре ВС;
ОХК1(АВС);
ОгК — радиус вписанного шара.
*
■J
Т I "
118

Шар называется вписанным в
цилиндр (конус), если основания
(основание) и все образующие,
которые образуют цилиндр (конус),
касаются шара. Такой цилиндр (конус)
называется описанным около шара.
 Шар можно вписать только в такой
_ цилиндр, высота которого равна
_ диаметру основания (такой цилиндр
_ называют равносторонним).
_ Шар касается оснований цилиндра
в их центрах и боковой поверхности
~ цилиндра по большей окружности
_ шара, параллельной основаниям
_ цилиндра.
Диаметр шара равен высоте цилиндра.
R радиус вписанного шара;
г — радиус цилиндра; н — высота цилиндра;
R = г, 2R = Н.
Шар можно вписать в любой конус.
Шар касается основания конуса в
его центре и боковой поверхности
конуса по окружности, лежащей в
плоскости, параллельной основа-
нию конуса.
~ Центр вписанного шара лежит на
■*“ оси конуса и совпадает с центром
Г- окружности, вписанной в треуголь-
ник, являющийся осевым сечением
конуса.
R — радиус вписанного шара;
г — радиус конуса; /у — высота конуса;
R __
Шар называется описанным око-
ло цилиндра, если основания
цилиндра являются параллель-
		ными сечениями шара (рис. 1).
Шар называется описанным око-
ло конуса, если основание конуса
		является сечением шара, а вер-
		шина конуса лежит на поверхности
		шара (сферы) (рис. 2).
! Такие цилиндр и конус называ¬
ются вписанными в шар (сферу).
Рис. 1	Рис. 2
1	1—
119

Шар можно описать около любого
(прямого, кругового) цилиндра.
Окружности оснований цилиндра
лежат на поверхности шара.
Центр описанного шара лежит на
середине высоты цилиндра, прохо¬
дящей через ось цилиндра.
ABCD — осевое сечение цилиндра;
R — радиус описанного шара;
г — радиус цилиндра; Н — высота цилиндра;
Шар можно описать около любого
конуса.
Окружность основания конуса и
вершина конуса лежат на поверх¬
ности шара.
Центр описанного шара лежит на
оси конуса и совпадает с центром
окружности, описанной около тре¬
угольника, являющегося осевым
сечением конуса.
кМАВ — осевое сечение конуса;
R — радиус описанного шара;
г — радиус конуса;
Н — высота конуса;
R2 = (H-R)2 + r2.
120

УЧЕНИЧЕСКАЯ СТРАНИЧКА
1. В цилиндр вписан параллелепипед со стороной основания а. Диагональ паралле- -
лепипеда наклонена к плоскости основания под углом ос и образует угол р с боковой -
гранью, проходящей через сторону а. Найти боковую поверхность цилиндра -
Вычислить, если а = 6 см, ос = 45°, 3 = 15°.
решение	-
Очевидно, что вписанный в цилиндр параллелепипед — -
прямой, поскольку, по определению, его ребра совпадают с -
образующими цилиндра. Основание параллелепипеда — _
параллелограмм, который, по условию, вписан в окружность, __
Сумма его противолежащих углов равна 180°, а каждый из них _
равен 90°. Следовательно, в основании параллелепипеда лежит _
прямоугольник. Центром окружности, описанной около	_
является точка пересечения его диагоналей (равноудалена от -
а
прямоугольника,
каждой пары противолежащих вершин). Боковую поверхность цилиндра можно —
вычислить по формуле: 5бок = ndH, где d = BD, а Н = ВВХ. Решение задачи _
сводится к выражению диагоналей основания и высоты параллелепипеда с -
помощью известных параметров AD = a, ABXDB = а и АА XDBX = р. В треугольнике -
BXBD BD = BxDcoscl. Из прямоугольного №XAXD имеем: AXD = BxDcos$. р
1	2
Следовательно, 5бок = tiBxDcosql- BxDsina = -nBxD sin2a.	—
Здесь, чтобы избежать в дальнейшем громоздких выражений и их преобразований,
выведенные из треугольника BXBD формулы для BBxv\ BD вначале подставили в Г
формулу боковой поверхности цилиндра, которая после этого упростилась. В Г
дальнейшем отпала необходимость искать BXDX, а затем ВВХ и BD, поскольку Г
удобнее сразу найти BXD и подставить в полученную формулу.
Рассмотрим АЛ XAD. Он прямоугольный, следовательно, A XD2 = АА2 + AD2.
Но ААХ = ВВХ = BxDsina и AD = а. Тогда (BXD • cosfi)2 = (BXD ■ sin а)2 + a;
BXD2 • cos2p = В XD2 sin2 CL + a2 , ВXD2(cos2 ft- singed) = a2 ,
В D2 = q2 		a2	=
cos2 p-sin2 a I(i + co.y2p)-|(l-co52a)
= 	a2	 _ 	a2	 n n <?	_ 	Tta2sin2cL		_
cos2ft+cos2a cos (cl + ft) cos (cl-ft)' °ЭТ бок-	2cos(cl + P)cos(a-P)’ _
Вычислим боковую поверхность цилиндра для данных значений параметров а = 6 см -
	 	 лсод 	 1 т л с 	, it62 sin90	7i • 36	72it л . [z л с\
а = 45°,Р = 15°,т.е5б0К = 				.	= 	- = — = 2473л = 130, 6 см2
2cos60°sin3Q 1 7з 7з	~~
2'2'~2
Tta2sin2cL
Ответ:  		——-	х-; =130, 6 см2.
2cos(cl + P)cos(a- Р)
Примечание. Если бы в задаче было сказано, что в цилиндр вписан прямой
параллелепипед, то первую часть приведенного в задаче пояснения следует
опустить.
1	г~
121

2.	В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой с и
острым углом р. Диагональ грани, которая содержит противолежащий данному углу
катет, наклонена к плоскости основания под углом а. Вычислить боковую поверхность
цилиндра, вписанного в данную призму. Вычислить, если с = 12 см, а = 60°, (3 = 30°.
Решение.
Пусть в основании прямой призмы лежит треугольник АВС, в
котором ZC = 90°, Z.B = р, АВ = с. Проекцией диагонали АСХ
на плоскость основания является отрезок АС. Поэтому, по
условию, £СХАС = а. Высота я цилиндра, вписанного в
данную призму, равна высоте призмы, а радиус г основания
равен радиусу окружности, вписанной в треугольник АВС.
Боковая поверхность вписанного цилиндра 5бок = 2л • г ■ Н .
Из isABC'. АС = с ■ sinfi; ВС = с ■ со^р.
Тогда S^BC = -АС-ВС= • sinfi • с ■ со$Р = ^-c2sin2fi.
С другой стороны, SMBC=p-r, где р — полупериметр треугольника АВС.
Поскольку р = |(с + с ■ sinf> + с ■ cosP) = ^(1 + sinf} + cosfr), то
__ ддлвс с • sin2Q	л
Г р ‘ 2(1 + «„₽ + «»₽) • Из ЛЛСС,: Я= СС, = ЛС ■ (ga = с ■	• tga.
Следовательно, ,S6M. - 2П • -	■ е ■	■ tga =
с = 12 см, а = 60°, Р = 30° получим:5бок = 	-	 = 36(3 - 73)л (ovf).
1 +1 + V3
2	2
Ответ:	36(3 -
	1 +	Р + cos Р	'
3.	Основанием прямой призмы является ромб с острым углом а. Диагональ боковой
грани призмы равна / и образует с плоскостью основания угол р. Определить
боковую поверхность цилиндра, вписанного в данную призму.
Решение.
Пусть в основании прямой призмы лежит ромб ABCD,
в котором ZJ = a<90°. Проекцией диагонали АВХ грани
ААХВХВ на плоскость основания является сторона АВ ромба.
А о	По условию, АВХ = I, ХВхАВ = $.
Высота Н цилиндра, вписанного в данную призму, равна высоте призмы, а радиус г
основания равен радиусу окружности, вписанной в ромб ABCD. Боковая поверх¬
ность вписанного цилиндра 5бок = 2л • г ■ Н .
Из М.ВХВ(АВ = 90°): Н = ВВХ = I • sinfi; АВ = l-cosfi. Из формулы для площади
ромба S = р ■ г, где р = 2 • АВ — его полупериметр, находим:
„ _ S _ АВ2 • sin а	1	.	1 , о
г~~	л р'~ = since =	сол?р • since.
Р Z ’ Ad Z	Z
Следовательно, 5бок = 2л • - • I • со^р • since ■ I ■ sin fi = |л • I2 ■ sin2fi • since.

4.	В основании пирамиды лежит прямоугольник, площадь которого равна S и угол
между диагоналями равен а. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости
основания под углом р. Вычислить объем конуса, описанного около этой пирамиды.
Вычислить, если S = 36 см* 2, а = 60°; р = 60°.
Решение.
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD,
SAbcd = S, О — точка пересечения диагоналей АС и
BD, /.COD = а. Поскольку боковые ребра пирамиды образуют с
плоскостью основания один и тот же угол, то вершина 5
проектируется в центр окружности, описанной около прямо¬
угольника, то есть в точку О. Следовательно, SO 1 (АВС)
по условию, /SAO = р.
1	1	?
Поскольку S = - • А С ■ BD ■ sina = - • АС ■ sina, то АС =
и,
’ 2S D _ AC _
		. к — — —
sin a 2
1	/ 2S
2	у sin a
Из
SSOA . Н = SO = ОА -/gp =
э	3	2
Тогда
объем описанного
конуса:
C2S _7t-S-tgfi
у sina 12 sin а
2S
у sin а
V =
~ 7t • S • tgB
Ответ: ———•
		i2sina /^sina

5.	Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной
b и углом Р при основании. Все двугранные углы при основании пирамиды равны у.
Определить боковую поверхность конуса, вписанного в данную пирамиду.
s
в
Решение.
Пусть SABC — заданная пирамида, АВ = ВС = Ь, /ВАС = р.
Проведем высоту SO пирамиды и перпендикуляры
SK,SL,SM к сторонам АВ, ВС, АС. По теореме о трех
перпендикулярах, OKLAB, OLLBC, OMLAC. Поэтому углы
SKO, SLO и SMO являются линейными углами двугранных
углов при основании пирамиды. По условию, /SKO = /SLO = /SMO = у. Прямо¬
угольные треугольники SKO, SLO и SMO имеют общий катет SO и равные острые углы.
Поэтому SSKO = SSL О = SSMO, отсюда вытекает SK = SL = SM и ОК = OL = ОМ.
Кроме того, OK LAB, OLLBC, ОМ LAC и точка О является центром окружности,
вписанной в треугольник АВС. Поэтому ОМ для вписанного в пирамиду конуса является
радиусом основания, a SM — образующей. Поскольку прямая ВО содержит биссектрису
угла при вершине равнобедренного треугольника, то BOLAC. Прямая ОМ тоже
перпендикулярна прямой АС. Поэтому прямые ВО и ОМ совпадают. Значит, точки В, О
и М лежат на одной прямой. Из SABM (/М = 90°): AM = b ■ cosfi.
Из SAOM /М= 90°, /А = $ : г = ОМ = AM-tg(J} = b- со5р-г/|\
2
b • cos Р • tg
Из SO MS (/О = 90°): 1= SM = — = 	—.
cosy cosy
Находим боковую поверхность вписанного конуса:
Ь • cos (5 •	л • b2 ■ со52Р •
•Sfinx лг/ = лЬ ’ cos В ■ tg Ы	 = 	■
бок-к \2J cosy cosy
i—I—
123

6.	В шар с радиусом R вписан прямоугольный параллелепипед, диагональ которого
образует с меньшей боковой гранью угол а. Диагональ основания параллелепипеда
образует с большей стороной основания угол р. Вычислить измерения параллелепипеда.
Решение.
Центром шара, описанного около прямоугольного параллелепи¬
педа, является точка пересечения его диагоналей — точка О.
Учитывая, что в прямоугольном параллелепипеде 1 (AAXDXD),
получаем, что ADX — проекция на плоскость AAjDjD.
Следовательно, по условию, KC}AD = а.
Если AAXDXD — меньшая боковая грань, то AD — меньшая сторона основания
(соответственно АВ — большая). Тогда, по условию, Z.CAB = р.
Из прямоугольного треугольника AClDj: CjDx = АСХ ■ sina = 2R ■ sina.
Но AB = CjZ)] = 2R • sina. Тогда из прямоугольного треугольника ABC:
СВ - АВ ■ tgfi - 2Rsina ■ ZgP .
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех
его измерений. Следовательно, АС] = АВ2 + ВС2 + ВВ]. Отсюда
В В ] = Ja С] - АВ2 -ВС2 = 2Rjx - sin2a - sin2а ■ tg2$ = 2R^cos2a- sin2 а ■ Zg2P .
Ответ: 2Rsina-, 2Rsina tg$\ 2R J cos2 a - sin2 a • rg2p.
7.	Нарисовать правильную треугольную призму, описанную около шара.
Решение.
Сначала нарисуем основание описанной призмы — треугольник
АВС, обозначим точку О], в которой пересекаются медианы
этого треугольника (рис.1). Представим себе, какой должна быть
проекция вписанного шара: это будет круг, касающийся сторон
треугольника АВС в их серединах. Нарисуем соответствующий
эллипс. Больший диаметр этого эллипса должен быть равен
высоте описанной призмы. Строим приблизительно такой же
высоты боковые ребра АА}, ВВХ и СС,. Пусть точка О2 — точка
пересечения медиан ДА lBl С,. Точки О2 и Ох — полюсы вписан¬
ного шара. Из середины О отрезка О2ОХ как из центра проводим
окружность диаметром, немного большим, чем О2ОХ. Эта окруж¬
ность — очертание вписанного в данную призму шара.
Можно начинать выполнение рисунка не с основания призмы, а с её сечения
плоскостью, которая проходит через середины боковых ребер (рис.2).
Нарисуем изображение равностороннего треугольника КРТ. Впишем в него эллипс
так, чтобы он касался каждой стороны треугольника в её середине. Пусть О — центр
этого эллипса. Проведем через точки К, Р, Т и О вертикальные прямые и отложим
на них отрезки КА = КАХ = РВ = РВХ = ТС = ТСХ = ООХ = ОО2, длина каждого из
которых равна половине длины большего диаметра эллипса. АВСАХВХСХ —
изображение правильной призмы, описанной около шара с центром О\ Ох и О2 —
полюсы этого шара. Радиусом, немного большим, чем ООХ, опишем её очертание.
Рисунок готов.	‘
124

Шары и сферы, описанные около пирамид или конусов
8.	В основании пирамиды лежит треугольник с углами а и р и площадью 5. Все боковые
ребра пирамиды образуют с её высотой угол <р. Определить поверхность сферы,
описанной около пирамиды. Вычислить, если S = 36 см2, а = 60°, р = 30°, <р = 45°.
Решение.
Пусть SABC — данная пирамида, SMBC = S, АСАВ = а,
ААВС = р. Проведем высоту SO пирамиды. Тогда
ZASO = Z.BSO = Z.CSO = ср. Пусть О} —центр сферы, описан¬
ной около пирамиды. Площадь поверхности сферы вычисляется
по формуле ^сф. = 4х/?2, где Л = 0}S — её радиус. Покажем,
что центр сферы лежит на прямой SO.
Прямоугольные треугольники ASO, BSO, CSO имеют общий катет SO и равные острые
углы. Поэтому AASO = tsBSO = ACSO, откуда следует, что ОА = ОВ = ОС, то есть
точка О является центром окружности, описанной около треугольника АВС. Поскольку
О'А = 0}В = 0{С ■= R, то проекции наклонных О1А,О1В и 0}С на плоскость АВС
равны между собой. Это означает, что проекция точки О{ на плоскость АВС
равноудалена от точек А, В и С, то есть этой проекцией является точка О. Поскольку
проекциями точек S и О j на плоскость АВС является одна и та же точка О, то Ох е SO.
Так как расстояния от точки О{ до концов ребер пирамиды равны между собой, то центр
сферы, описанной около заданной пирамиды, является точкой пересечения прямой,
содержащей высоту пирамиды, с плоскостью, которая перпендикулярна одному
из боковых ребер и проходит через его середину.
Пусть R = OtC = х. Из точки Ог проведем перпендикуляр 0}N к ребру SB.
Из /^OlSN: SN - O^S • cos(p = x • coscp. Поскольку OAS = OXB, to SN = NB,
и поэтому SB = 2SN = 2x ■ costp.
Из NSOB (Z.0 = 90°): OB = SB ■ sinip = 2x • coscp ■ sirup = x ■ sin2<p.
По следствию из теоремы синусов для треугольника АВС:
ЛС- = ВС- = 2 • ОВ = 2х ■ sin2<p; АС = 2х • sin2<p ■ sinf}; ВС = 2х ■ sin2(p ■ sina.
sin Р	sin а
Тогда S = SMBC =	• 7?C.yzn(18O0 - а-Р) =
= | • 2х • 5«2(р • Л'гир • 2х ■ sin2<p ■ sina ■ sin(a + Р)= 2x2sin22(p • sina ■ sinfi ■ sin(a + p),
7	S
откуда x2 = 			-	— ■
2зш22ф • sina ■ 5z«P • sin(a + P)
Следовательно, SC(b = 4ti7?2 = 4nx2 = ——■	;————— ■
c<₽-	sin22<p ■ sina ■ sinp ■ sin(a+p)
2nS
Ответ:	. Q . . , Q.
sin22<p ■ sina • sinp • sin(a + p)
1—I—
125

s
Рис. 1
s
Рис. 2
.Нары, вписанные в пирамиды или конусы
9.	В правильной треугольной пирамиде высота равна Н, а боковые грани наклонены
к плоскости основания под углом а. Определить объем шара, вписанного в данную
пирамиду.
Решение.
Пусть SABC — данная правильная пирамида (рис. 1), высота
SO = Н. Из вершины 5 проведем перпендикуляр SN к стороне
ВС. По теореме о трех перпендикулярах, ONLSN. Поэтому
Z.SNO является линейным углом двугранного угла,
образованного плоскостями SBC и АВС, и, по условию,
KSNO = а. Пусть Ох — центр вписанного шара. Объем шара
4 ,
найдем по формуле V = -л7?3, где R — её радиус.
Покажем сначала, что точка Ох лежит на высоте пирамиды. Для
этого проведем из точки Ох перпендикуляр ОХК к ребру ВС и
перпендикуляры OXL и ОХМ к граням АВС и SBC (рис. 2).
Так как ОХК1ВС, то LKX.BC и MKLBC. Из того, что ребро ВС
перпендикулярно МК, ОХК и LK, следует, что точки ОХ,М, К, L принадлежат одной
плоскости. По построению, точки L и М являются точками касания вписанного шара
к граням АВС и SBC\ OXL = ОХМ = R. Точка Ох равноудалена от сторон угла MKL,
и поэтому лежит на его биссектрисе. По условию задачи, KMKL = а. Поэтому
K.OXKL = ~. Из S.OXKL\ LK = OxLctg^ = Rctg^, то есть расстояние отточки L до
(X
стороны ВС равно Rctg-. Аналогично можно показать, что расстояние от точки L до
^6
сторон АВ и АС тоже равно Rctg^. Поэтому точка L является центром окружности,
вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точки L и О совпадают. Поскольку
проекциями точек 5 и Ох на плоскость основания является одна и та же точка О, то
OxeSO, а именно: Ох является точкой пересечения высоты пирамиды с
биссектрисой угла MKL.
Вернемся к рисунку 1. Из сказанного следует, что 0,0 = R и Z.O,NO = -
2
Из ASCW (ZO = 90°): ON=H-ctga.
Из kOxON(KO = 90°): R = ОХО = ON■ ctgZOxNO = Hctgatg^.
Следовательно, V = ^nR3 = |л773 • ctg3a ■ tg3~.
Ответ: ^tiH3 ■ ctg3a -tg3^-
—Г" г
126

111111; i и 11111-
10.	Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом р. Определить
объем конуса, если радиус описанного около него шара равен R.
Решение.
На рисунке изображено осевое сечение конуса и шара,
SO — высота, SA = SB — образующие конуса, ZSBA = 0,
Ох — центр описанного шара, OXS = R. В равнобедренном
треугольнике ASB центр Ох описанной окружности лежит на
прямой, содержащей высоту SO. Из SABS по следствию, из
A R
теоремы синусов, получим:	= 2R-, АВ = 2R • 5z«(180o-2р) = 2Rsin2$.
sin
ОВ - -Л5 - R ■ sin2$; SO = ОВ • tgf} = R ■ sin2$ ■ ZgP = 2R • sin2&. Объем конуса:
V = X-Tt OB2SO = ^■(Rsin2^)22Rsin2fi =	• sm22$.
2
Ответ: -nR3sin2^ ■ sin22$.
11.	Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом ос. Определить
объем конуса, если радиус вписанного в него шара равен г. Вычислить, если г = 6 см,
а = 60°.
Решение.
На рисунке изображено осевое сечение конуса и шара,
SO — высота, SA = SB — образующие конуса, ZSBA = Р,
Oj — центр вписанного шара. В равнобедренном треугольнике
ASB центр <91 вписанной окружности лежит на высоте SO.
Поскольку ОХО1АВ, то О — точка касания вписанного шара к
основанию конуса.
По условию, ОХО = г. Центром окружности, вписанной в треугольник, является
точка пересечения его биссектрис. Поэтому, ZOXAO =
Из SAOXO (ZO = 90°): R = ОА = OxO-ctg^ = г ■ ctg-.
2	2
Из SA SO (ZO = 90°): H = SO = AO ■ tga = r • ctg^ ■ tga.
Объем конуса: V- ^nR2H = -(rctg^\ ■ r ■ ctg^ ■ tga = ^nr3ctg3^ • tga.
J \	Zt /	Z.	J	Z*
1	3 Ct
Ответ: -7ir3c/g - • tga.

12.	В правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой а и
двугранный угол при основании а, вписан цилиндр. Найдите объем цилиндра, если
высота цилиндра равна радиусу основания.
Решение.
Пусть SABCD — правильная четырехугольная пирамида,
АВ = ВС = CD = AD = а, точка 5 проектируется в центр
--основания. Проведем SKA. ВС, тогда OKI ВС и Z.OKS = а.
По условию задачи, высота цилиндра равна радиусу его
основания, поэтому ОМКХОХ — квадрат, и для нахождения
точки Кх касания верхнего основания цилиндра с апофемой ОК биссектриса
прямого угла KOS-. КХМ = ОХКХ = г = Н. V = пг2Н = яг3.
Из подобия треугольников OSK и OXSKX получим:	.
ОХКХ = г- ОК = . Из LOSK-. SO = yga. Тогда SOX
= SO-OOX = ^tga-r.
а	а
-tga-г	-tga
		. Отсюда г = 	.
а	1 + tga
2,ga
Подставив эти значения в пропорцию, получим: -
а
2
Учитывая, что rg45° = 1 и Zg45° + (ga =	+ а) , предыдущее равенство
cos 45° • cos а
примет вид: г = —ajlsina—
45z/z(45° + а)
Объем вписанного цилиндра V = яг3 = 7ta32^-yzw3a. = tta^Jlsirfia
64szn3(45° + ос) 32sm3(45° + cc)
Ответ:	.
325/п3(45° + а)
13. В цилиндр, боковая поверхность которого равна S, вписана правильная
пятиугольная пирамида так, что её основание вписано в основание цилиндра,
а вершина лежит в плоскости другого основания цилиндра. Вычислить объем
пирамиды, зная, что её боковые грани наклонены к основанию под углом а.
Решение.
Строим изображение цилиндра, а так же вписанного в его
нижнее основание правильного пятиугольника ABCDF. Напом¬
ним, что диагонали правильного пятиугольника параллельны
его противолежащим сторонам, а отношение половины диа¬
метра, конец которого взят в качестве одной вершины
правильного пятиугольника, до отрезка, образованного этой
вершиной и точкой пересечения диаметра с диагональю,
параллельной противолежащей стороне, является
128

величиной постоянной и равно — . MN и СЕ — сопряженные диаметры,
СО . СР = 10 : 7 и BD II AfTVll AF. Поскольку пирамида правильная, то её вершина
L содержится в центре верхнего основания. Проведем апофему LK грани BLA ,
тогда AOKL = а. V = jQH- По условию, 2nRE = S, где R — радиус основания
цилиндра, Н — высота и цилиндра, и пирамиды. Из ELOK-. Н = LO = OKtga.
Из ЕВОА-. ААОВ =	= 72°, a КАОК = ]гКАОВ = 36°. Тогда из прямоугольного
треугольника АОК, где ОА = R, ОК = Rcos 36°, поэтому Н = Rcos36°tga.
Q = $abcdf =	= 2^2sin^° ■
Найдем R из равенства 2nRH = S: S = 2nR ■ Rcos36°tga = 2nR2cos36°tga.
Отсюда R = /			.
^2ncos36°tga
Тогда V = ~QH = ■ ^R2sin 72° ■ Rcos36°tga = ^R3 sin 72° cos 36° tga =
J	j	о
5	( I S’ A3 5
= -sin 72° cos 36° tga! /	 = -sin72° .
6	W7tcos36°tgaJ 6	8n3 cos 36° tga
S3
= ^sin36°
!s3 cos 36'
8n3tga
Птоа-г- TZ - $ • ого S3COS36°
Ответ: V = -sin36 /

3 л/ 87i3/ga
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1.	Высота цилиндра 10 см, в него вписана треугольная пирамида, стороны основания
которой 12 см, 16 см, 20 см. Найти:
а)	радиус основания цилиндра;
б)	объем пирамиды.
2.	Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с углом £ при
вершине. Диагональ боковой грани, содержащей основание этого треугольника, равна
а и наклонена к плоскости основания под углом а. Определить боковую поверхность
цилиндра, описанного около призмы.
3.	Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом £.
Диагональ боковой грани, содержащей прилежащий к этому углу катет, равна Ь
и наклонена к плоскости основания под углом а. Определить объем цилиндра,
описанного около данной пирамиды.
4.	В основании прямой призмы лежит прямоугольник, диагональ которого образует
с боковой стороной угол у. Диагональ боковой грани призмы, содержащей меньшую
сторону прямоугольника, равна d и образует с плоскостью основания угол а.
Определить боковую поверхность цилиндра, описанного около данной призмы.
5.	Основанием прямой призмы, боковая поверхность которой равна S, является
прямоугольный треугольник с острым углом а. Определить боковую поверхность
описанного около призмы цилиндра.
6.	Основанием прямой призмы, объем которой V, является прямоугольный
треугольник, острый угол которого равен а. Определить объем описанного около
призмы цилиндра.
129

7.	Основание прямой призмы - прямоугольник с углом а между диагоналями.
Диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом р. Найти объем
цилиндра, описанного около этой призмы, площадь основания которой равна 5.
Вычислить для S = зТз, а = 60°, Р = 30°.
8.	Основание прямой призмы - ромб со стороной а и углом р, который образует
эта сторона с большей диагональю ромба. Меньшая диагональ призмы образует
с плоскостью основания угол ос. Определить объем цилиндра, вписанного в эту призму.
9.	Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник с острым углом р при вер¬
шине. Диагональ грани, проходящей через боковую сторону треугольника, равна а
и наклонена к основанию под углом ос. Определить боковую поверхность цилиндра,
вписанного в данную призму.
10.	В цилиндр вписана треугольная призма, а в призму вписан цилиндр. Найти
отношение объемов цилиндров.
11.	В правильную треугольную призму вписан цилиндр, а в цилиндр вписана
правильная треугольная призма. Найти отношение объемов призм.
12.	В основании прямой призмы лежит ромб, площадь которого равна S и тупой угол
равен Р. Диагональ боковой грани призмы образует с площадью основания угол ос.
Определить боковую поверхность цилиндра, вписанного в данную призму. Вычислить,
если S = 36 см2 а = 60°, 0 = 120°.
13.	Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с боковой стороной Ь
и острым углом Р при вершине. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости
основания под углом а. Определить боковую поверхность конуса, в который вписана
эта пирамида. Вычислить при Ь = 30 см, ос = 60°, Р = 60°.
14.	Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с острым углом ос при
вершине. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом
р. Найти объем конуса, описанного около пирамиды, если площадь ее основания
равна 5. Вычислить при S = 9д/з, ос = 60°, Р = 30°.
15.	Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с острым углом а.
Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне. Все боковые ребра пирамиды
образуют с ее высотой угол р. Расстояние от основания высоты пирамиды до боковой
стороны трапеции равно Ь. Определить боковую поверхность конуса, описанного
около данной пирамиды.
16.	В основании пирамиды лежит остроугольный треугольник. Все боковые ребра пира¬
миды образуют с площадью основания угол у ■ Расстояние от основания высоты пира¬
миды до одной из сторон основания равно /, а углы, прилежащие к этой стороне, равны
аир. Определить боковую поверхность конуса, описанного около данной пирамиды.
17.	В основании пирамиды лежит прямоугольник, диагональ которого образует с боль¬
шей стороной угол а. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания
под углом у. Отрезок, соединяющий середину большей стороны прямоугольника
с основанием высоты пирамиды, равен а. Определить объем конуса, описанного
около данной пирамиды.
18.	Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с основанием а и
углом а при вершине. Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания
угол у. Определить боковую поверхность конуса, описанного около данной пирамиды.
130—

19.	Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетом а и приле¬
жащим к нему острым углом а. Все боковые ребра пирамиды образуют с площадью
основания угол у. Определить объем конуса, описанного около данной пирамиды.
20.	Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна а, а двугранный угол при
стороне основания - а. Найти объем и боковую поверхность вписанного конуса.
Вычислить для а = 4, а = 60°.
21.	В пирамиду, основанием которой является равнобокая трапеция с тупым углом 0,
вписан конус. Все двугранные углы при основании пирамиды равны у - Расстояние
от основания высоты пирамиды до вершины данного угла трапеции равно а.
Определить боковую поверхность конуса.
22.	Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой с
и острым углом 0. Все двугранные углы при основании пирамиды равны у.
Определить объем конуса, вписанного в данную пирамиду.
23.	В треугольной пирамиде все двугранные углы при основании равны у. Расстояние
от основания высоты пирамиды до вершины одного из углов основания равно d., а два
других угла основания равны аир. Определить боковую поверхность конуса,
вписанного в данную пирамиду.
24.	В основании пирамиды лежит ромб с острым углом а. Все двугранные углы при
основании пирамиды равны у. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды
с серединой стороны ромба, равен Ь. Определить объем конуса, вписанного в данную
пирамиду.
25.	Найти радиус сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда с изме¬
рениями а, Ь, с (рис. 1).
26.	Найти радиус сферы, описанной около прямой призмы, высота которой равна с,
а основанием является прямоугольный треугольник с катетами а и Ъ (рис. 2).
27.	Найти радиус сферы, описанной около треугольной пирамиды, три ребра которой
попарно перпендикулярны и имеют длины а, Ь, с (рис. 3).
28.	Около правильной четырехугольной призмы описана сфера. Радиус сферы,
		проведенный к вершине призмы, образует с ее боковым ребром угол у. Определить
		поверхность сферы, если боковое ребро призмы равно а.
29.	Радиус шара равен R. Найти площадь диагонального сечения вписанного в шар куба.
30.	Около правильной четырехугольной пирамиды описан шар. Боковое ребро
		пирамиды образует с плоскостью основания угол у. Высота пирамиды равна Н.
		Определить объем шара.
31.	Около правильной треугольной пирамиды описан шар. Высота пирамиды равна Н
		и образует с боковым ребром угол у. Определить объем шара.
— 131

II
32.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом Р при вер¬
шине. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом у.
Определить объем пирамиды, если радиус описанного около нее шара равен R.
33.	В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом а. Все
боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом у. Определить
объем пирамиды, если радиус описанного около нее шара равен R.
34.	В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, сторона основания
которой равна а. Определить поверхность шара, если боковое ребро пирамиды
наклонено к основанию под углом <р.
35.	В шар вписана правильная треугольная пирамида, высота которой равна R.
Определить объем шара, если боковое ребро пирамиды наклонено к основанию
под углом р.
36.	В правильной треугольной пирамиде боковая грань наклонена к основанию под
углом ф. Определить площадь боковой поверхности пирамиды, если радиус шара,
вписанного в пирамиду, равен г.
37.	Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом у. Расстояние
от вершины конуса до центра вписанного в него шара равно d. Определить
площадь боковой поверхности конуса.
38.	Конус вписан в шар, радиус которой равен R. Найти площадь боковой поверхности
конуса, если угол при вершине его осевого сечения равен а.
39.	Высота конуса равна радиусу R его основания. .Радиус шара с центром,
R
совпадающим с центром основания данного конуса, тоже равен R. На расстоянии -
от вершины конуса проведена плоскость, параллельная его основанию. Найти площадь
части сечения, заключенной между боковой поверхностью конуса и поверхностью шара.
40.	Около шара описан цилиндр. Найти отношения их поверхностей и объемов.
41.	В шар вписан цилиндр, радиус основания которого относится к высоте как т : п.
Определить полную поверхность этого цилиндра, если поверхность шара равна 5.
42.	Высота конуса Н, образующая /. Определить радиус описанного шара.
43.	Радиус шара 5 см. В шар вписан конус, радиус его основания 4 см. Найти Высоту
конуса.
44.	Радиус шара 2 м. В него вписан равносторонний конус. Найти полную поверхность
и объем конуса.
45.	В конус с радиусом основания г и образующей / вписан шар. Определить длину
линии, по которой поверхность шара касается боковой поверхности конуса.
46.	Около шара с радиусом г описан конус, больший угол между образующими
которого прямой. Определить полную поверхность конуса.
47.	Высота конуса 20 м, образующая 25 м. Найти радиус вписанного полушария,
основание которого лежит на основании конуса.
—i—г
132

САМОСТОЯТЕ]
Тема. Комбина
ПЬНАЯ РАБОТА
ция призмы И ЦИЛИН/
С-4-1
ipa
B-I
7 баллов
B-II
9 баллов
В цилиндр вписана правильная тре¬
угольная призма, сторона основания
которой равна 6 см, а высота 8 см. Найти
длину окружности основания цилиндра.
В цилиндр вписана правильная четырех-
угольная призма, сторона основания
которой 4 см, а высота 7 см. Найти
площадь основания цилиндра.
B-III
11 баллов
B-IV
12 баллов
Ребро куба равно а. Найти площадь
осевого сечения описанного цилиндра.
Площадь осевого сечения цилиндра равна
16 см. Найти боковую поверхность вписан¬
ной правильной шестиугольной призмы.
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА С-4-2
Тема. Комбинация конуса и пирамиды
B-I
7 баллов
B-II
9 баллов
Образующая конуса равна 13 см. В конус
вписана пирамида, основанием которой
служит прямоугольный треугольник с
катетами 6 см и 8 см. Найти высоту
пирамиды.
Образующая конуса равна 4 см и накло-
йена к плоскости основания под углом
60°. Найти боковую поверхность вписан-
ной правильной треугольной пирамиды.
В-Ш
11 баллов
B-IV
12 баллов
В конус, радиус основания которого R,
вписана правильная четырехугольная
пирамида. Найти: а) высоту конуса;
б) объем пирамиды.
Сторона основания правильной треуголь¬
ной пирамиды равна а, боковое ребро
наклонено к плоскости основания под
углом а. Найти объем и боковую поверх-
ность описанного конуса. Вычислить для
а = 6, а = 60°.
■
- 133

кон
Тема
ТРС
Ком
!Л
би
ЬНАЯ Р/
нации гес
кБОТ/
метрик
К
юски
[-4-1
х тел
В-1
7 баллов
B-II
9 баллов
1. Основание прямой призмы — равно-
бедренный прямоугольный треугольник.
Найти радиус основания цилиндра, опи-
санного около призмы, если высота
призмы 5 см, а её боковая поверхность
равна 10 см2.
1. В цилиндр вписана правильная тре-
угольная призма, сторона основания
которой равна а, а боковое ребро — b.
Найти площадь боковой поверхности
цилиндра и его объём.
2. Сторона основания правильной шести-
угольной пирамиды равна 2а, двугран-
ный угол при основании равен 60°. Найти:
а) объем пирамиды; б) образующую конуса.
2. Ребро правильного тетраэдра равно 6 см.
Найти: а) объём тетраэдра; б) радиус
основания описанного конуса.
B-III
11 баллов
B-IV
12 баллов
1. В правильную шестиугольную призму
вписан цилиндр. Найти площадь боковой
поверхности цилиндра и его объём, если
сторона основания призмы 2а, а её
боковое ребро 1.
1. Основанием прямой призмы является
равнобокая трапеция с острым углом а.
Диагональ трапеции является биссек-
трисой острого угла. Диагональ боковой
грани, содержащей боковую сторону
трапеции, равна 1 и образует с плос-
костью основания угол у. Вычислить
объём цилиндра, описанного около
данной призмы.
2. Около конуса описана треугольная пи-
рамида, основанием которой является
равнобедренный прямоугольный тре-
угольник. Высота пирамиды равна 5 дм,
боковая поверхность — 10 дм2. Найти
радиус основания конуса.
2. Дан конус, осевым сечением которого
является равносторонний треугольник.
В конус вписан шар радиуса R. Найти
объём данного конуса.
3. Высота цилиндра равна радиусу R его
основания. Радиус шара с центром,
совпадающим с центром одного из
оснований цилиндра, тоже равен R. На
R
расстоянии - от основания цилиндра
проведена параллельная ему плоскость.
Найти площадь части сечения, заклю-
ченной между боковой поверхностью
цилиндра и поверхностью шара.
3. В полушарие с радиусом R вписан
R
цилиндр, высота которого равна —.
72
Найти объём этого цилиндра.
-

СТРАНИЧКА АБИТУРИЕНТА
Прямые и плоскости в пространстве
Деление отрезка в заданном отношении
1.	Пусть А{, Вх - параллельные проекции на плоскость а концов А, В заданного
отрезка, а Сх - проекция точки С, делящей отрезок АВ в отношении т : п, считая от
точки А. Выразим длину отрезка ССХ через длины ААХ = а, ВВХ = Ь и числа т, п.
Рассмотрим случай, когда точки А и В лежат по одну сторону от плоскости а и
а > Ь. Проведем ВКIIА до пересечения с прямыми АА j и СС, в точках К и М
соответственно (при а < Ь эту прямую проводили бы через точку А). Тогда из
подобия треугольников СВМ и АВК\ СМ = АК ■ (СВ:АВ) = (а-Ь) • - ” .
Поэтому СС, = СМ+МСХ = (а-b)-	+ ь = ап + Ьт _	(*)
1	1	т + п	т + п
Пусть теперь точки А и В лежат по разные стороны от плоскости а. Перенесем
отрезок АВ на вектор ВВХ. Обозначим через D и Е образы точек А и С.
Тогда AD = СЕ = ВВ} = b,DA} = AA}+DA = а + Ь, а точка Е делит отрезок DBX в
отношении пг.п. Из подобия треугольников В}СХЕХ и BXAXD\
ЕСХ = тП+ ~ ■ DAX = ^++^" ■ Поэтому в зависимости от того, по одну или по раз-ные
стороны от плоскости а лежат точки С и Е, имеем: ССХ = +ЕСХ ^ЕС.
(а + Ь)п
т + п
_ \ап -bml
т + п
В обоих случаях: ССХ =
Значительно быстрее формулы (*) и (**) можно получить из координатных фор¬
мул деления отрезка в заданном отношении. Если координатную плоскость Оху
системы координат Oxyz совместить с плоскостью а, то длины ААХ = а и ВВХ = Ь
взятые с одним и тем же знаком, если точки А, В лежат по одну сторону от плоскости
а, и с противоположными знаками, - если по разные стороны, будут пропорциональны
аппликатам zx и z2 точек А и В соответственно. Поэтому формулы (*) и (**) стано¬
вятся простыми следствиями известной формулы
nzx + mz2
z = 		 .
т + п
135

2.	Из точки пространства до вершин равнобедренного треугольника с основанием 24 дм
проведены равные отрезки длиной 25 дм. Расстояние от данной точки до плоскости
треугольника равно 20 дм. Вычислить площадь треугольника, одна сторона которого
совпадает с основанием данного треугольника, противолежащая вершина принадлежит
противолежащему проведенному отрезку, а плоскость перпендикулярна этому отрезку.
Решение.
Пусть АВС - данный треугольник, АВ = АС, ВС = 24 дм;
Р - заданная точка, РА = РВ = PC = 25 дм; РО - перпен¬
дикуляр к плоскости АВС, РО = 20 дм; К - такая точка
прямой РА, что {КВС) 1 РА. Необходимо вычислить площадь
треугольника КВС. Из равенства прямоугольных треугольни¬
ков РОА, РОВ, РОС (углы при вершине О у них прямые, так
как РО 1 {АВС)) следует равенство отрезков О А, ОВ, ОС, то есть
О - центр окружности, описанной около треугольника АВС.
Из LPOA {ЛО = 90 °): О А = JpA2-PO2 = 7252-202 = 15 дм.
Обозначим М = АОг\ВС. Тогда AM - медиана и высота в М.ВС, а РМ - в &РВС.
Поэтому ВМ = ^ВС = 12 дм, а из LOMB {ЛМ = 90°, ОВ = ОА = 15 дм):
ОМ = JOB1-MB1 = J\52- 122 = 9 {дм). Следовательно, в зависимости от размещения
точки О по отношению к ДЛВС имеем: AM = АО + ОМ = 24 дм или
AM = АО-ОМ = 6 дм.
Точка М является основанием высоты КМ в треугольнике КВС. Действительно, так
как ВС 1 AM, ВС 1 РМ, то ВС 1 {РМА) и, следовательно, ВС 1 КМ. Сравнивая
площади треугольника РМА, определенные двумя способами, получим равенство:
КМ' РА = РО ■ AM, откуда КМ =	- 19,2 {дм) или
КМ * ^25^ = 4>8(<М Поэтому = [вС'КМ - ВМ-КМ = 12 • 19,2 = 230,4 (дл^)
или S^BC = 12 • 4,8 = 57,6 (дм2).
Ответ: 230,4 дм2 или 57,6 дм2.
3.	Большее основание и боковая сторона равнобокой трапеции соответственно равны
50 см и 25 см. Из некоторой точки пространства к плоскости трапеции и к ее большему
основанию проведены два перпендикуляра. Основанием первого перпендикуляра
является вершина тупого угла трапеции. Длина второго перпендикуляра и расстояние от
него до меньшего основания трапеции соответственно равны 25 см и 12 см. Вычислить
площадь трапеции.
Решение.
Пусть в трапеции ABCD: АВ II CD, AD = ВС = 25 см, DC = 50 см.
Пусть Р -данная точка; РА А. {АВС), РЕ 1.DC {Ее DC), РЕ = 25
см, а N - основание перпендикуляра, опущенного из точки А на
прямую РЕ. По теореме о трех перпендикулярах, АЕ1DC,
и, поскольку ABWDC, то АЕ1АВ. Кроме того, АВ1РА, так как
РА 1 {АВС).
136

Следовательно, АВ 1 (РАЕ), откуда АВ 1 AN. Таким образом, AN - общий перпен¬
дикуляр прямых АВ и РЕ. По условию задачи, AN = 12 см.
Отрезок AN является высотой прямоугольного треугольника РАЕ, проведенной из вершины
прямого угла. Поэтому, обозначив NE = х см (тогда PN = PE-NE = 25-х см), имеем:
PN-NE = AN2', (25-х)-х = 122; х2 - 25х + 144 = 0; х, = 16 , х2 = 9.
Из NANE (KN = 90°). АЕ = JaN2 + NE2 = л/122 + 162 = 20 (см) или
АЕ = 7122 + 92 = 15 (см). В первом случае из EAED (ЕЕ = 90°):
DE = Jad2-AE2 = л/252 - 202 = 15 (см), и, таким образом, АВ = DC-2DE = 20 см.
Во втором случае DE = Т^2^ = 20 (см) и Ав = 10 см в первом случае для
площади трапеции имеем: SABcd = ±(АВ + DC) ■ АЕ = \(20 + 50) - 20 = 700 (см2), а
во втором - SABCD = 450 см2.
Ответ: 700 см2 или 450 см2.
Многогранники. Тела вращения
4.	Около шара описана прямая призма, основанием которой является ромб.
Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол, равный а Найти
острый угол ромба.
Решение.
Поскольку в условии задачи вообще нет отрезка, то для решения
этой задачи введем неизвестный отрезок. Например, 7?шара = х
Как известно, диаметр шара, вписанного в призму, является
высотой этой призмы, но, по условию, данная призма
ABCDAXBXCXDX - прямая, следовательно, ее высотой будет
боковое ребро, то есть СС1 - Нпр = д?шара = 2х. Если в ромбе ABCD углы А и С -
острые, то большей диагональю призмы будет АСХ. Покажем это. Из
прямоугольного треугольника АСС1: АСХ = JCC^ + AC2 = ^Н2р +АС2. (1)
Из прямоугольного треугольника BXBD\ B{D = Jbb^ + BD2 = Jh2p + BD2. (2)
Если угол А - острый угол ромба, то АС - большая диагональ ромба АС>BD. Тогда,
сравнивая формулы (1) и (2), получаем, что при AC>BD АСХ >BXD, то есть
АСХ большая диагональ призмы. Тогда, по условию, А.СХАС — сс (учитывая, что
АС - проекция АСх на плоскость основания).
. Из прямоугольного треугольника АСХС: АС = ССХ ■ ctga = 2xctga.
Радиус шара, вписанного в прямую призму, равен радиусу окружности,
вписанной в основание призмы. Но диаметр окружности, вписанной в ромб, является
высотой ромба, значит, СК = 2x(CKLAD).
Из прямоугольного треугольника АСК'.
sinZCAK ~^ =	= tgck. Тогда ЕСАК = arcsin(tga) ,так
как диагональ ромба является биссектрисой его углов, имеем:
ABAD = 2К.САК = 2arcsin(tga).

5. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен Р. Опре¬
делить объем пирамиды, если расстояние от основания ее высоты до боковой грани равно q.
Решение.
Пусть в правильной треугольной пирамиде SABC: SO -
высота, SM - апофема грани SAB, (АВК) 1SC, где К -
с точка прямой SC, 0N1SM (Уе SM). Тогда ONI (SAB)
по условию задачи, ON = q, ЛА КВ = (3.
Пусть K.SMO = а. Из kMNO: МО =	. Из kSOM'.
sina
Н = SO = МО-tga = -У—. Из ЬОМВ\ МВ = МО - ctg3tf> =	. АВ = ЪИя..
cos a	sin a sin a
.2	- Ллп2 _ Л 12?2 _	TZ - 1c O- _	V3.3
4	4 sin2 a	sin2 a 3
Найдем sin2a ■ cosa. Из &SOM: SM =
cosa
a cos2 a sin2 a
"	’ П0СК0ЛЬКУ S&3AB
sin a sin
2
2*j3q q qjl +3cos2a Jbq .
sina sinacosa sinacosa . B’
sinasin^
И,
sin2acos a
4

Из &SMB: SB = JSM2 + MB2 =
Из NKMB: В К =	■-
sin 2
sinacosa
_ gjl + 3cos2a _ $
sinacosa
то: AB-SM = SC BK\
2sin^ = Vl + 3cos2a; cos2a =
sin2acosa = (1 - cos2a)cosol
Л 4 . 2В	П	4 2В 1 Л . 2В	,
= 1 - ~sin2lr	+ -	• cosa^	-cos2^ ■ — 4sin2% -	1.
k 3	2	Зу	3	2^/зу	2
9q3
Следовательно, V =
s
Примечание. Двугранный угол a при основании пирамиды можно было бы найти по
другой теореме косинусов для трехгранного угла с вершиной С:
cosP - -cos a ■ cosol + sina • sina • со^бО0.
6.	В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре
равен а. Вычислить площадь основания пирамиды, если высота пирамиды равна Н.
Решение.
Пусть SABCD- правильная пирамида. Тогда ABCD - основание
пирамиды и квадрат, а основание высоты совпадает с центром этого
квадрата, точка О - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD,
то SO - высота пирамиды, и, по условию, SO = Н. Построим
линейный угол двугранного угла при боковом ребре SC.
Его удобно строить так: в грани SBC проведем ВМ 3. SC и соединим
образовавшуюся точку М с точкой D. &CMD = кСМВ (ВС = CD как стороны
квадрата, МС - общая, ZDCM = ZBCM как плоские углы равных боковых граней).
138

Из равенства треугольников имеем: DM = MB wZCMD = Z.CMB = 90°, то есть
DM 1 SC. Учитывая, что по построению ВМ1SC, имеем, что Z.BMD - линейный
угол двугранного угла при боковом ребре SC, то есть Z.BMD = а.
Соединим точку М с точкой О. Поскольку О - середина диагонали BD, то МО -
медиана равнобедренного треугольника BMD и, следовательно, МО - высота и
1	CL
биссектриса треугольника BMD (тогда ADM0 = -ZDMB = -). (BMD) 15С,
значит, ОМ LSC. Поскольку данный угол Z.BMD и данный отрезок SO «не
объединяются» в один треугольник, то введем неизвестный отрезок.
Пусть АВ = ВС = CD = AD = х. Тогда OD = ОС = ^BD =
Из &0DM {AMOD = 90°): ОМ = ODctg^ = ^ctg^.
Из ДОМС {ЛОМС = 90°У.МС = JoC1-ОМ1 = l-ctg2%.
J2.4	2
Для составления уравнения используем подобие прямоугольных треугольников
SOC и ОМС. Тогда	то есть ——— -
ОМ мс
хЛ ■ etg^	2х J1 - etg1^
нЛ-h-ctg1^
Отсюда х =

^2
7.	В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб с тупым углом р. Все боко¬
вые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ф. Определить
полную поверхность пирамиды, если расстояние от центра вписанного шара до вер¬
шины пирамиды равно d.
~	Решение.
—	Пусть SABCD - данная пирамида. SO - ее высота {ABCD - ромб). В условии
“ задачи сказано, что все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости
—	основания (а не к основанию!) пирамиды, поэтому вершина проектируется в точку,
—	равноудаленную от прямых, содержащих стороны ромба.
—	S	Такая точка единственная (г. м. т., равноудаленных от параллель-
“	/Ж	ных прямых АВ и CD, - это прямая а, параллельная этим
//J I \	прямым и проходящая посредине между ними. Аналогично
""	//'ло\ \ г’ м’т’’ Равноудаленных от параллельных прямых ВС и AD, - это
L	V-A с прямая Ь, параллельная этим прямым и проходящая посредине
—	ы&жщ ними. Но две прямые а и b могут пересечься только
_	т D в одной точке. Значит, существует только одна точка О -
_ равноудаленная от прямых, содержащих стороны ромба) - это точка пересечения
_ диагоналей ромба, то есть центр окружности, вписанной в ромб (фактически в этой
задаче все боковые грани пирамиды одинаково наклонены и
J к плоскости основания, и к самому основанию).Если вершина пирамиды
J проектируется в центр вписанной в основание окружности, то центр вписанного шара
: J находится на высоте пирамиды в точке пересечения высоты с биссектрисой линейного
J угла двугранного угла при основании.

Построим линейный угол, например, при ребре АВ: ОМ 1 АВ, тогда SM 1 АВ (по
теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ASM О - линейный и, по условию,
ASM О = (р.
Проведем биссектрису МОj угла SMO (А0М0х = |). Ох - точка пересечения
биссектрисы с высотой SO - центр вписанного шара, а ООХ - радиус вписанного
шара. По условию, SOX = d.
Поскольку данный отрезок d «не объединяется» с данными углами 0 или ф в
один треугольник, то введем неизвестный отрезок, например, ООХ = х. Чтобы
составить уравнение, выразим отрезок SOX = d через х.
Из прямоугольного треугольника МОХ О (А0х0М = 90°): ОМ = OOxctg^ = xctg^.
Из прямоугольного треугольника SOM\ SO = ОМ - tg<p = xctg^tgcp.
Тогда SOX = SO-OOX, то есть d = xctg^tgtp-x. Отсюда x = 			.
xctg^tg(p- 1
D
ТогДа 5пов.
dctg^
Следовательно, ОМ = xctg* = 	.
2 ф ,
‘~ 1
Для определения площади боковой поверхности используем то, что все боковые
грани данной пирамиды наклонены под одним углом ф к основанию (!) пирамиды.
Тогда 5бок = и 5П0В = 5бок +S0CH = —+ 50СН = 50CHf—
DOK‘ COSty П0В’ D0K' 0CH’ СО5ф 0CH’ °СН\СО5ф
Чтобы найти площадь основания, рассмотрим
вынесенный рисунок основания. Если ААВС = 0, то
ABAD = 180° -0 (так как ABCD - ромб). Проведем
DKAAB.
Тогда DK = 2ОМ (диаметр вписанной окружности
является высотой ромба) и из прямоугольного треугольника AKD:
DK	2ОМ ~	2ОМ
AD = —/1СПо о, = —й • Следовательно, S0CH • = АВ -KD = —£■
5Z«(18O -р)	5Z«p	sinp
WM2? 1	>
—т-тН	+ 1 , и, подставляя значение ОМ,
sinp \costp J
A
4OM2
5П2 0
COSty
получаем: 5ПОВ
	6 2 Г 1
Ф V Дсолф
dg 2 • ^ф - 1 I -s/np
140

8.	Радиус шара 15 см. Определить площадь части ее поверхности, которая видна из
точки, лежащей на расстоянии 25 см от центра шара.
Решение.
Из точки S мысленно проведем лучи, касательные к данному	S
шару.Точки касания будут лежать на окружности с центром Ох	/м* \
радиуса ОХА. Эта окружность делит поверхность шара на две
части. Необходимо найти площадь меньшей части.	/	\/А \
Радиус шара ОА известен, нужно определить высоту МОХ I q )
меньшего сферического сегмента. Прямоугольные треугольники \	J
00 ХА и OAS подобны, так как угол при вершине О у них общий.
Поэтому ОХО : ОА = ОА : OS или ОХО : 15 = 15 : 25, откуда ОХО = 9,
МОХ = ОМ-ООХ = 15-9 = 6. Значит, искомая площадь Q = 2л ■ 15 ■ 6 = 180л.
Ответ: 180л см2.
9.	В правильной четырехугольной пирамиде расстояние от середины высоты
пирамиды до боковой грани равно d. Определить радиус основания и образующую
вписанного в пирамиду конуса, если его образующая наклонена к плоскости
основания под углом а.
Решение.
Если конус вписан в пирамиду, то их вершины совпадают, а
основание конуса вписано в основание пирамиды. Тогда
совпадают их высоты, то есть SO - высота пирамиды и конуса.
Чтобы изобразить расстояние от середины высоты пирамиды
(точки М) до боковой грани (например, до SDC), вспомним, что
плоскость линейного угла перпендикулярна каждой грани
двугранного угла. Поэтому построим стандартный линейный угол
двугранного угла при ребре DC: проводим OT1DC и соединяем
-	точки 5 и Т. По теореме о трех перпендикулярах, STYDC. Тогда Z.STO - линейный
" угол двугранного угла при ребре DC. Но тогда (STO) 1 (SDC). Проведем в плоскости
STO МК1 ST. Тогда МК1 (SDC), то есть МК - расстояние от середины высоты до
]! боковой грани SDC, значит, МК = d.
Так как ОТLDC, то ОТ - радиус вписанной в основание пирамиды окружности
-	и тогда ST - образующая конуса, а ОТ - ее проекция на плоскость основания,
то есть KSTO - это угол наклона образующей конуса к плоскости основания
’ (ASTO = а). Тогда K.SMK = AST О = а.
" Из прямоугольного треугольника SMK: SM =	.
J	cosa cosa
■ Точка М - середина SO, следовательно SO = 2SM =	.
j	cos а
1 Из прямоугольного треугольника SOT находим радиус основания конуса (ОТ) и
1 образующую конуса (ST): ОТ = SO • ctga =	; ST =	= 	—	.
<	sin ос	sin a sin а ■ cos а
~I—г
141

10.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом ос при
основании. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под
углом 0. Определить высоту пирамиды и площадь ее основания, если радиус шара,
описанного около нее, равен R.
Решение.
Пусть SABC - данная пирамида и SO - ее высота. Боковые ребра пирамиды
наклонены к плоскости основания . под углом 0, поэтому вершина пирамиды
проектируется в центр окружности, описанной около основания. Следовательно,
О - центр окружности, описанной около ЛАВС (АВ = АС; АВ АС = а). Центр
описанного шара лежит на высоте пирамиды или на ее продолжении, то есть на
прямой SO в точке пересечения прямой SO с серединным перпендикуляром к
боковому ребру. Например, в плоскости ASO проведем КОХ1AS, где К - середина
AS, тогда О] - центр описанного шара, a SOX - радиус шара.
Так как проекцией ребра SA на плоскость основания является АО, то ASAO -
угол наклона ребра SA к плоскости АВС, то есть AS АО = 0. Но тогда
ASOXK = 9Q°-AKSOX = ASAO = 0.
Из прямоугольного треугольника SKOX SK = SOX • лш0 = Rsinfi, тогда
SO = 2SK = 2Rsin$.
Из прямоугольного треугольника SAO высота пирамиды
SO = SA ■ sinfi = 2Rsin2$; АО = SA ■ cos0 = 2Rsin$cos$ = Rsin2fi.
Так как АО - радиус окружности, описанной около треугольника АВС, то из
формулы для радиуса описанной окружности найдем сторону АС: АО =	,
2 sin а
тогда АС = 2АО ■ sina - 2Rsin2fisina.
Найдем площадь основания по формуле:
S^4Bc = \dC-AB-sinACAB = ^(2Rsin2$sina)2sin(180°-2а) =
A*	L
= 2/?25z«2205/n2a5'in2a.
Примечание. В зависимости от величины угла а положение точки О - центра
описанной около треугольника АВС окружности - может быть различным:
1)	при 45° < a <90° треугольник АВС - остроугольный, и точка О находится
внутри треугольника;
2)	при а = 45° АСАВ = 90° и точка О лежит на середине ВС (совпадает с
точкой М, где М - середина ВС);
3)	при 0<а<45° АСАВ - тупой, следовательно, точка О лежит вне
треугольника АВС (на продолжении AM).
Аналогично, в зависимости от величины угла 0 положение центра описанной
окружности шара - точки Ох - также может быть различным:
1)	на высоте SO пирамиды (если 45° < 0 < 90°);
2)	совпадать с точкой О (если 0 = 45°);
3)	на продолжении высоты SO за основание (если 0 < 0 < 45°).
''142-1 4 -I	I I 1-1	4-4	 11-11 I - III —

Поскольку возможны любые комбинации значений а и 0, то всего к этой задаче
можно построить 9 различных рисунков.
Рис.8	Рис.9	Рис. 10
Если мы захотим в процессе решения этой задачи использовать фиксированное
положение точек Ох и О (например, использовать, что SO = SOX + ООХ), то нужно
будет это решение коррректировать для каждого из 9 случаев расположения точек
О и Ох. В связи с этим, решая задачи на описанный шар (как и задачи на описанную
! окружность), целесообразно использовать только такие формулы и соотношения,
которые справедливы для всех конкретных значений углов и сторон рассматрива¬
емых фигур. Здесь использованы именно такие факты: для радиуса описанной около
основания окружности формулу R =	, справедливую для любого треугольника и
для определения положения точки Ох, - общий подход к нахождению положения
|центра шара, описанного около любой пирамиды.
Найденное решение можно использовать при любых значениях а и 0.
Примечание. Решая эту задачу, можно было не фиксировать положение центра
шара с помощью серединного перпендикуляра к боковому ребру SA, а дополнить
высоту SO пирамиды до диаметра шара. В этом случае начало решения задачи
может быть таким: «Если все боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к
плоскости основания, то вершина пирамиды-проектируется в центр окружности,
описанной около основания пирамиды». Но в этом случае центр описанного шара
нежит на высоте пирамиды или на ее продолжении. Продолжим высоту SO
■ирамиды за основание до пересечения с шаром в точке (рис. 10.). Так как центр
шара лежит на прямой SSj, то 5'5Г1 - диаметр шара, то есть SSX = 2R. Соединим
точку S'! с точкой А и рассмотрим сечение шара плоскостью ASO.
							1
^"1	I I г
И			143

Рис.11
Рис.1
с
KJ--
А
" О,
В
Секущая плоскость проходит через центр шара, поэтому в сечении
получим круг, радиус которого равен радиусу шара, в который впи¬
сан треугольник (рис. 11). Вписанный угол SASX опирается на диаметр,
следовательно, он прямой (ZSASl = 90°). Тогда
ZAS^S = 90°-ZASSt = ZSAO = р. Из прямоугольного треуголь¬
ника SA$i: SA = SSX ■ sin ft = 2Rsin$. Дальнейшее решение пол¬
ностью совпадает с приведенным выше решением.
	»

11.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом а при вершине.
Две равные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости его основания,
а третья боковая грань образует с ней угол <р. Определить высоту пирамиды, если
радиус вписанного в нее шара равен г.
Решение.
Пусть SABC - данная пирамида (рис. 1). Если боковые гра¬
ни SAB и SBC перпендикулярны плоскости основания, то
высотой пирамиды является их общее боковое ребро SB
(SB 1 плоскости АВС). Проведем ВМ1АС, тогда ВМ1АС
(по теореме о трех перпендикулярах), следовательно,
ZSMB - линейный угол двугранного угла с ребром АС, то
есть угол наклона грани ASC к плоскости основания. По
условию, ZSBM = (р.
Находим центр вписанного в пирамиду шара как точку пересечения биссекторных
плоскостей двугранных углов при ребрах пирамиды.
Так как плоскость АВС 1 SB (SB - высота), то ZABC - линейный угол двугранного
угла с ребром BS. Кроме того, ВМ - биссектриса угла АВС (ВМ - высота, медиана
и биссектриса в ААВС). Следовательно, плоскость SBM является биссекторной
плоскостью двугранного угла с ребром BS (центр вписанного в пирамиду шара лежит
в этой плоскости),
в
Чтобы построить биссекторную плоскость двугранного угла с ребром
АС, проведем биссектрису МК линейного угла SMB ( тогда
ZBMK = 2 )■ Через биссектрису МК и проходит биссекторная
плоскость двугранного угла с ребром АС. Но МК принадлежит
двум построенным биссекторным плоскостям, следовательно, МК
- прямая пересечения этих биссекторных плоскостей, и центр О
вписанного шара лежит на прямой КМ.
Опустим из центра шара - точки О - перпендикуляр ООХ на каса¬
тельную к шару плоскость АВС. Тогда 00 { = г - радиус шара.
А Рис 2 С Спроектируем (ортогонально) данную комбинацию тел на плоскость
основания АВС. Проекцией шара будет круг, радиус которого
равен радиусу шара. Центр шара спроектируется в центр круга - О{. Боковые грани
пирамиды SAB и SBC, перпендикулярные к плоскости основания, проектируются на
стороны А В и ВС (соответственно) треугольника АВС (рис. 2). Так как шар был вписан
в пирамиду, то грани SAB и SAC были касательными к шару, значит, отрезки АВ
и АС - касательные к кругу, то есть круг вписан в угол АВС (если 0}Е 1АВ ,то
0}Е = г - радиус круга).
- 144
i±

Из прямоугольного треугольника О.BE (АО.BE = -)• ВО. =
2	1 .а
szn —
2
Из прямоугольного треугольника ОО{М (рис. 1): 0{М = OO,ctg^ = rctg^.
f, , . ос mA
m П1 +^2Ctg?
Тогда ВМ = ВО. + О.М = — + rctg* = 		—
. ос 2	.а
sin—	sin —
2	2
и 1 + sin^ctg^jtgcp
Из прямоугольного треугольника SBM SB = ВМ - tg<p = —:			высота
. а
ял —
2
пирамиды.
Примечание. Очевидно, что после нахождения отрезка ВМ из треугольника АВС
можно найти любые его элементы и площадь.
12.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом р при
основании. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости его
основания, а третья боковая грань составляет с ней угол ос. Найти высоту и площадь
основания пирамиды, если радиус описанного около нее шара равен R.
Решение.	$
Пусть SABC - данная пирамида, основанием которой
является равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). ==
По условию задачи, ABAC = ЛАСВ = р. Если грани SAB и к
SBC перпендикулярны плоскости основания, то высотой а'
пирамиды будет их общее боковое ребро SB, то есть
SB 1 ( ABC).	в22	*	 л
Проведем в плоскости основания ВМ L АС. Тогда SM1AC
(по теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, угол SMB - линейный угол
двугранного угла
с ребром АС, то есть угол наклона грани SAC к плоскости основания. По условию,
ASMB = а.
Центр описанного шара лежит на прямой, перпендикулярной к плоскости основания
пирамиды, проходящей через центр окружности, описанной около основания
пирамиды. Если О - центр окружности, описанной около треугольника АВС и Ог -
центр описанного шара, то ОО} 1 ( АВС).
ОО1 и SB - два перпендикуляра к плоскости АВС, следовательно, ООХIISB. Но
параллельные прямые лежат в одной плоскости. В этой плоскости точка О, равно-
■ удалена от точек В и S (ОХВ = OXS = R), поэтому точка <?1 лежит на серединном
’ перпендикуляре КО} к ребру SB (на рисунке проводим КОХ параллельно ВМ, так
(как это два перпендикуляра к одной прямой SB и между собой они параллельны).
Получим плоский четырехугольник КВООХ с прямыми углами, следовательно,
f; КВОО{ - прямоугольник. Тогда ООХ = ВК = ^SB (кроме того, 0{В = R).
145

Данные по условию отрезки и углы «не объединяются» в один треугольник, по¬
этому введем неизвестный отрезок. Пусть А В = вс = х. Так как ВО - радиус окруж¬
ности, описанной около треугольника АВС, то ВО ~		 = —-—.
2 sin ZA СВ	2 sin fl'
Из прямоугольного треугольника ОВО{ (ЛОХОВ = 90°):
00 х = Jo^B2-BO2 =
у 4 sin2 fl
1	I	2—
Но OOr--SB, следовательно, SB = 200, = 2 1R2	*—.
N 4szn2P
Тогда из прямоугольного &SBM: ВМ = SBctga = 2 R2_—^—^ga,
N 4 sin2 fl
С другой стороны, из прямоугольного &СВМ\ ВМ = BCsinfl = хл/лгР.
i-i	[	^2
Получим равенство: 2 iR2	—ctgoL = xsinft.
У	4 sin2 (5
Обе части этого уравнения положительны (х > 0 как длина отрезка, аир- острые
углы по условию задачи). Следовательно, после возведения обеих частей уравнения
в квадрат получим равносильное ему (на области определения) уравнение:
(	X2 \
4 Я2- , . cfg2a = x2sin2В.
\	4sinzflJ
Отсюда х2 = ^.^ast^fl
sin4fl + ctg2a
ТогДа5осн. = smbc = хАВ • ВС • sin(180°-2 fl) = yc2sin2fl = 2R2ctfasin2flsin2£
2	-	2	sin4fl + ctg2a
X2
2Rsin2fla
Haup = SB = 2fe’- .

N 4 sin P	J sin4 fl + ctg2a
13.	Угол между образующей конуса и его высотой равен р. Расстояние от центра
описанного около конуса шара до основания его высоты равно /. Найти радиус
основания и высоту конуса.
Решение.
Рассмотрим осевое сечение комбинации данных тел. Осевым сечением шара будет
круг (радиус которого равен радиусу шара), а осевым сечением конуса будет равно¬
бедренный треугольник (основание которого равно диаметру основания конуса,
а высота - высоте конуса). Так как окружность описана около конуса, то круг будет
описан около треугольника. Угол между образующей конуса и его высотой является
углом между высотой равнобедренного треугольника и его стороной (ZBSO} = ZASO} = р).
5
Рис.1
о
Рис.2
T46

В зависимости от величины угла [3 центр описанной около треугольника окружности
может находиться: 1) (при 0°< р<45°) внутри &ABS на высоте SOj (рис.1);
2) (при 45° < Р < 90°) вне M.BS на продолжении высоты (рис. 2).
В каждом из этих случаев 00 х = I. Соединим в каждом из этих случаев точки О и В.
Для случая 1: ЛОХОВ ~ 2Р (как центральный угол, соответствующий вписанному
углу BSOX). Тогда из прямоугольного треугольника ВООХ: R0Cli = ВОХ = /rg2p, а из
прямоугольного треугольника SBOX \ Нкон = SOX = BOxctg^ = ltg2$ctg&.
Для случая 2: ZOXOB = 2ZSAB = 2(90°-р) = 180°-2р.
Тогда из прямоугольного треугольника ВООХ:
/?осн = в0\ = ^g(180°-2P) = -Zrg2p, а из прямоугольного тре¬
угольника SBO}: HKQli = SO} = BOxctg$ = -ltg2$ctg$.
Примечание. Кроме двух случаев размещения точки Ох, показан¬
ных на рис. 1 и 2, теоретически возможен также случай, изобра¬
женный на рис. 3: при р = 45° точки О и Ох совпадают, так как
треугольник ASB - прямоугольный. Учитывая то, что по условию Рис.З
ООХ = / ^ 0, делаем вывод, что последний случай не удовлетворяет условию
задачи.
14.	Найти объем тетраэдра, вершины которого имеют следующие координаты:
Л(3;0;0), В(0;2;0), С(2;3;0)£>(1;1;4).
Решение.
Аппликаты точек А, В и С - нули, поэтому грань АВС тетра¬
эдра лежит в плоскости ху (рис.1). Аппликата вершины D
равна 4, то есть расстоянию от точки D до плоскости ху.
Следовательно, высота данной пирамиды Н = 4. Необходи-
•- мо определить площадь основания.
Для решения задачи можно было бы использовать формулу
Герона, но тогда необходимо будет выполнить громоздкие
вычисления, так как стороны ДАВС выражаются
иррациональными числами: АВ = 79 + 4 + 0 = 713, АС = 71+9 + 0 = 710.
Поэтому лучше воспользоваться скалярным произведением
РО1ГГПППЙ' Cz.crv - ,‘АС - 3+6 + 0	_	9
Dv l\ I	С-С/М xJv	~	—•	* 1 *	■
MJc| 713-710 7130 ■
Следовательно, ВАВС = ^713 ■ 710 ■ J1 -	= 3,5 ;
1	14 о
V= |-3,5-4 = у (ед3.).
Еще надежнее вычислить площадь треугольника АВС, если считать его
вписанным в прямоугольник (рис.2). Тогда достаточно будет из площади квадрата со
стороной в 3 единицы длины вычесть площади трех прямоугольных треугольников,
что вычислить можно и устно: SABC = 9 — 3 — 1 — 1,5 = 3,5.

о
в
15.	Основанием пирамиды является квадрат со стороной а, две боковые грани
пирамиды перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к основанию под
углом а. В пирамиду вписывают прямоугольные параллелепипеды так, что четыре
вершины каждого из них лежат на боковых ребрах пирамиды, а четыре - на ее
основании. Какой из этих параллелепипедов имеет наибольший объем? Найти его.
Решение.
Если основание пирамиды SABCD - квадрат, то перпендику¬
лярными к ней могут быть только смежные боковые грани, их
общее боковое ребро SC также перпендикулярно к площади
основания. Так как CD 1AD, то, по теореме о трех пер¬
пендикулярах SD1AD. Следовательно, SDC = а и высота
пирамиды SC = CDtga = atga.
Верхнее основание вписанного в данную пирамиду паралле¬
лепипеда можно рассматривать как сечение пирамиды плоскостью, параллельной
основанию, поэтому основаниями вписанных параллелепипедов являются
квадраты.
Обозначим сторону основания и высоту вписанного параллелепипеда
соответственно буквами х и у. Тогда его объем V = х2у, где 0 < х < а, 0 <у < atga.
Определим у через х. Если СР = х, то PD = а-х, у = (a-x)tga.
Следовательно, К = x2(a-x)tga.
Найдем наибольшее значение этой функции на (0;а). Очевидно, что когда х
стремится к 0 или а, то V стремится к 0. Поэтому наибольшее значение функция
принимает во внутренней точке отрезка [0;а].
V' = (2ах -3x2)tga.
Г = 0 тогда, когда 2ах = Зх2, то есть при х = 0, или х = ^а. Тогда на (0;а)
рассматриваемая функция принимает наибольшее значение при х = |а. Тогда при
таком х наибольший объем V - ~^a3tga.
4	2
Ответ. Наибольший объем V = —a3rga имеет параллелепипед со стороной - стороны
основания пирамиды.
1—I—
148

2	УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯГЕЛ ЬНОИ РАБОТЫ
_1. Через вершины треугольника и точку пересечения его медиан проведены
_ параллельные прямые до пересечения с плоскостью, не имеющей с треугольником
_ общих точек. Длины отрезков этих прямых от двух вершин треугольника и точки
~ пересечения его медиан до плоскости соответственно равны 43 см, 29 см и 41 см.
_ Вычислить длину отрезка от третьей вершины треугольника до этой плоскости.
	2. Основания равнобокой трапеции равны 36 см и 24 см, а ее площадь 540 см2. Точка
—	пространства удалена от всех вершин трапеции на 2л/374 см. Вторая точка
—	пространства равноудалена от данной точки и всех вершин трапеции. Вычислить
—	расстояние от второй точки до плоскости трапеции.
3. Две стороны треугольника равны 21 см и 15 см, а его площадь - 90л/з см2. Из точки
пространства на равных расстояниях от данных сторон проведен перпендикуляр к
плоскости треугольника, основание которого принадлежит третьей стороне.
Расстояние от этой точки до одной из данных сторон равно 10 см. Вычислить
расстояние от точки до плоскости треугольника.
	4. В основании прямой призмы лежит ромб с тупым углом 0 и большей диагональю d.
		Меньшая диагональ призмы образует с боковой гранью угол а. Определить объем
		призмы.
—	5. В основании прямой призмы лежит равнобедренный остроугольный треугольник с
—	углом 0 при вершине. Расстояние от центра окружности; описанной около этого
—	треугольника, до его основания равно а. Диагональ боковой грани призмы,
—	содержащей боковую сторону основания, образует с плоскостью основания призмы
угол а. Определить объем призмы.
6. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а.
Точка высоты пирамиды, находящаяся на расстоянии а от ее вершины, равноудалена
от боковой грани и плоскости основания. Определить объем пирамиды.
—	7. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а.
—	Через одну из сторон основания проведено сечение, плоскость
		перпендикулярна противолежащей боковой грайи. Площадь сечения
		Определить площадь боковой поверхности пирамиды.
	8. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро наклонено к
основания под углом 0. Точка высоты пирамиды, находящаяся на расстоянии Ь от
бокового ребра, равноудалена от концов этого ребра. Определить объем пирамиды.
23 9. В основании пирамиды лежит треугольник с углами а и 0. Все боковые ребра
пирамиды равны Ь. Отрезок, соединяющий точку высоты пирамиды, равноудаленную
от ее бокового ребра и плоскости основания, с вершиной основания, наклонен к
—_ плоскости основания под углом у - Определить объем пирамиды.
	10. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом а при
основании и радиусом вписанной окружности г. Все боковые ребра пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом 0. Определить объем пирамиды.
11.	В основании пирамиды лежит ромб с острым углом а. Все двугранные углы при
основании пирамиды равны между собой. Некоторая точка высоты пирамиды удалена
—	от ее вершины и стороны основания на расстояние Ь. Перпендикуляр, проведенный
—	из этой точки к стороне основания, образует с плоскостью основания угол 0.
		Определить объем пирамиды.
которого
равна S.
плоскости
149

12.	В основании пирамиды лежит прямоугольная трапеция с острым углом а. Все
двугранные углы при основании пирамиды равны между собой. Точка высоты
пирамиды, равноудаленная от плоскости основания и бокового ребра, содержащая
вершину угла а, соединена отрезком с вершиной этого угла. Длина отрезка равна а,
а угол, образованный им и плоскостью основания, равен 0. Определить объем
пирамиды.
13.	В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 0.
Определить полную поверхность пирамиды, если радиус вписанного шара равен г.
14.	Радиус основания конуса равен г, а образующая наклонена к плоскости основания
под углом 0. Около этого конуса описана пирамида, в основании которой лежит
равнобедренный треугольник с углом 2а при основании. Определить объем
пирамиды. Вычислить, если г = 4 см, а = 30°, 0 = 60°.
15.	Основание пирамиды - ромб со стороной а и острым углом а. Каждая боковая
грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 0. Найти объем шара,
вписанного в пирамиду. Вычислить, если а = 6 см, а = 30°, 0 = 60°.
16.	В шар радиусом R вписана четырехугольная пирамида, боковые ребра которой
наклонены к плоскости основания под углом ср. Найти объем пирамиды, если в ее
основании лежит прямоугольник с углом а между диагоналями. Вычислить, если
R = 3 см, (р = 30°, а = 60°.
17.	Дана сфера с радиусом R. Определить высоту вписанной в нее правильной
треугольной призмы наибольшего объема.
18.	В правильной треугольной призме сумма длин всех трех его ребер, имеющих
общую вершину, равна 4. При каком значении высоты призмы площадь боковой
поверхности будет наибольшей?
19.	В правильной треугольной пирамиде длина бокового ребра 2^3. При каком
значении угла, образованного этим ребром и основанием пирамиды, объем будет
наибольшим?
20.	В основании наклонной призмы АВСА^С^ треугольник ABC, ZACB = 90°,
АС : ВС = 2, А}О - высота призмы, А}О + АС + ВС = 18. Какая должна быть длина
ВС, чтобы объем призмы был наибольшим?
150

Ответы
Тренировочные упражнения
§ 1- 1 • 873 см. 2. 4 дм. 3. 6 дм. 4. 6 дм. 32. 2aJ^H2 + a2
§2. 12.6 см. 13. а) 375; tga = |;б) 45°. 31. a) tg^MCA о бТз
б) 5ШОС - бед2; SsCMB = 1,5 743 ед2; S&AMD = бТЗед2. 15. 12. 17. 8 18 ГГЦ.
/	2		 I—	 ' Ч з ’
2) Р2 - у; 3) 7б2 - а2. 19. 1) | 4h2 + — ■ 2) - J4h2 + а2 ■ 31 1 Гл13	;
2	7 2л/	3 ,Z)2V4/2 а >3)274/г2 +3«2-20.5и6 см.
21.3 см. 22.12 см. 23.1)	+	. 2)	+ (,2.3)	+
2	2	2
24. 1,8 м; 4 м. 25. а-715.26. Зя2.27. 768 см>. 28. 540 см\ 29. 448 см>. 30. ^(6 + 77);
2	2
: за . 31. ^-(Л +7Й). 32. 2./37™,|.™f| + |p3. 4;2софр 34
35.	36.	37. лЛ + 4с</а.41. 27зЛгр. 42.
24 sina
з	, зВ
2-1	r ctS %ctgy з
43. -I cos2$sin$siny .44. 	=-— 45 r (1 + со-у(3 +
6 cos2 P	3 sjni 2 p
,e h ctg2atgP>(\ R>2	/3	,	D /
6> 2cosa l?+cZg2j ’ 47 ‘ ^^^.49. Ь3 sinfisin$tg( 45°50. ff2^n2a
2	3	4j	cosy
52 2^e. 54. 2c^pya<gp 5S	56 Л„яа+,)	Д2^р(я.„а+1)
1	3tg3^	9 cos2 у sin у	cos a '	'	cos a	'
58.
8/
V . 2„	■ 69. 1292 cm2. 62
3sinzacosasinfi
3
—^.^'л2а^р	63 J’ ^^tga 6 2H3ctg2^
24(sma+cosa) ’ /	. pV 3sina
of I + 2sin^j
6j3a2ctg^ Sd2ctg~
66-		 ■ 67.		. 68.
sin2a	sin 2 a
73. 1 дм. 74. Дм2. 75. 156 Л cm2. 76. 20 Л cm2. 77. 9 cm
,3. В
d tg^
-T——.70. 93 73 cm2. 71. (9073+ 228) cm2.72.2cM-
j

§3.11. 5 =	«. 12. H = Rsina. 13. AB =	14 R =
z z	адалшВ	. В
^n2
		2 Ct
15	q£^g 1fi g	яя2(1(яа+|)
cosa	‘	’ бок.	• i'-	;	.
coszasina
151

2	•	3
r и 9 710 ‘ sinct о л • b • cos2a ■ sina A
§4'	2^₽	-4-
it • d2 ■ sm2a o з . 7d
	—	. 8. 2ла sin2 6 cos'-В tga.
2sina
9. ла2$ш2а$1>ф/45о-^ . ю. 4:1. 11. nS/ga; Зб^Зл см2. 15. —		.
2 v 4y	sin2asin$
2 .	„ л fa + BA
.2	з	na sin2*2 з .n	ltd cos ——4
16.	™	 у gg tgy 21 	-.22 nc cos 23	\ 2 J
cosycos2(a + P) 3sin3a' ' cosy / BA3	cosy
t1+cZg2j
24. ^itb3sin3atgy. 25. R = }Ja2 + b2 + c2.26. R = \Ja2 + b2 + c2.27. R = -Ja+b2 + c2.
*	Z	2	2s
2	Tt//3	AT3
28'	30' db'7' 3t 32' |я’«'>2«™2а^2|^₽- 33. ?Я3™^и22у^2а.
~	2	j2	2
o A ZltU ъе И" л-»	2	2(0	2	CL	71R
34 ■ 5zn22(p ’ 35' 55Z„2p • 3^-	cosqctg . 38. 2itR sinacos- . 39. —. 43. 8 см или 2 см.
44. 9 л м3; Зл м3. 45. 2itr~-.46. пг2(5^2 + 7).47. 12 м.
Самостоятельные работы
С-1-1. B-I. 1. 6 см. 2. а = 4, 5 см. B-II. 1. 4^3 см. 2. h = aj2\ а = 45°.
B-III. 1. h = 4,5 см. 2. / = 30 см. B-IV. 1. / = 62, 5 см. 2.	= а^5-	= 2а.
С-1-3. B-I, 1. 12^39.2.14 см; а = arcsin^. B-II. 1. 50(1 + 72) = 120, 5.2. h = 12 см;
а arcsinh— . В-Ill, 1.5= \d2sin2a.. 2. S = 2a2(sina + 4см^ + 4CM—<pR
17	2	2	2
C-2-3. B-I. h2sinф. B-II.	. В-Ill. -r (1 + cos^ . B-IV.	^Ш2
2	sinasin2a sinacosy	sinfi
Контрольные работы
K-2-1. B-I. 1.24 см. B-II. 1. 16 см. B-IV. 2. см2.
2 cos a
K‘2-2. B-I. 1. 9^7 cm2.2. 144 cm2. B-II. 1. 540 cm2.2. ab + aja2+~bi ed2.
B-III. 360 cm2.2. ab + aJa2 + b2 ed2. B-IV. 1. 324^3(73 + 1) M2.2. ab + aJ^+T2 ed2.
K-2-3. B-I. 1. ^c3sin2atgy. 2. dfictg^l +	. B-II. 1. ~i3sin2psin2asina.
2‘ ~^^sina+ J)- В-Ш. 1- ^a3cos&ctgy. 2. —	+	. B-IV. 1. ~c3cos3-tgy
cosw.	3	2 61 sinasinfi	3 os 2lgy'
2 a2s':n^sina+l
cosa
K-4-1.B-II. ^ab, ^a2b. B-III. 1. 2ла/Тз, Зла2/. 2. 6-4Д дм. 3.
Тз 3	4 •
B-IV. 1. ’^cos^ysiny 2	3 Л^
4sin2^	2^2
152