И. М.

СМИРНОВА, В. А. СМИРНОВ

Устные упражнения
по геометрии

10-11

классы

Учебное пособие
для учащихся

общеобразовател ьн ых
учреждений

«М £льс

Москва 2010

УДК 373.167.1:514
ББК 22.151.0я721
С50
Смирнова
С50

И. М.

Устные упражнения по геометрии. 10 11

пособие

учеб.
общеобразоват. учреждений / И. М.
М. : Мнемозина, 2010.
223 с. : ил.
Смирнов.
классы :

для учащихся

Смирнова, В. А.

ISBN 978-5-346-01404-1
В пособии

представлены устные задачи по основным темам школьного
курса стереометрии. Книга может быть использована на уроке, на
дополнительных занятиях, а также при выполнении домашних заданий.
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151.0я721

Учебное

издание

Смирнова Ирина Михайловна,
Смирнов Владимир Алексеевич
УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ
10 11 классы
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
для учащихся

общеобразовательных учреждений

Генеральный

директор издательства М. И. Безвиконная
Главный редактор К. И. Куровский. Редактор С. Б. Забелина
Оформление: И. В. Цыцарева. Технический редактор И. Л. Ткаченко
Корректоры Л. А. Ключникова, А. С. Селезнева
Компьютерная верстка и графика: А. Л. Бабабекова
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.003577.04.09 от 06.04.2009.
Формат 70x90 У1б. Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная».

Печать офсетная. Уел. печ. л. 16,38. Тираж 3000 экз. Заказ № 25012 (л эш).
Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 296.
Тел.: 8 (499) 367 5418, 367 5627, 367 6781; факс: 8 (499) 165 9218.
E-mail: ioc@mnemozina.ru
www.mnemozina.ru
Магазин «Мнемозина»
(розничная и мелкооптовая продажа книг, «КНИГА

ПОЧТОЙ»).

105043, Москва,

ул. 6-я Парковая, 296.
Тел./факс: 8 (495) 783 8284; тел.: 8 (495) 783 8285.
E-mail: magazin@mnemozina.ru

Торговый дом «Мнемозина» (оптовая продажа книг).
Тел./факс: 8 (495) 665 6031 (многоканальный). E-mail: td@mnemozina.ru
Отпечатано в ОАО «Смоленский полиграфический комбинат».
214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
©
ISBN 978-5-346-01404-1

«Мнемозина», 2010
© Оформление. «Мнемозина», 2010
Все права защищены

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник

содержит около двух тысяч

содержанию и трудности устных
использован при

с учащимися,

работе

упражнений

на уроке,

разнообразных

по геометрии.

Он

может

по

быть

на различных дополнительных занятиях

а также при выполнении домашних

заданий. Целью пособия

явилась систематизация устных задач по основным темам школьного курса
стереометрии старших классов.

Представленный учебный материал соответствует
общеобразовательных учреждений.
учебно-методического комплекта по геометрии для

типовой программе по математике для
Данное

пособие

10 11-го

является частью

классов авторов

И. М. Смирновой, В. А. Смирнова. В соответствии

сборника разбито на главы и параграфы, названия которых
совпадают с рубриками учебника И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия.
10 11 классы (М. : Мнемозина, 2008). Завершается пособие ответами ко всем
с этим содержание

рассмотренным задачам.

Устная работа

Прежде
необходимо в

занимает важное место в преподавании математики.

чем приступать к решению

любой,

даже самой

трудной,

задачи

проанализировать ее условие, наметить подходы и составить общий план
решения. От того, насколько правильно это будет сделано, зависит успешность
уме

выполнения задания. Поэтому для того чтобы научиться решать задачи, нужно
прежде всего научиться мысленному анализу ее условия, поиску путей

Это

важнейшую часть того, что называется сообразительностью.
сообразительности учащихся предназначены устные упражнения
настоящего сборника.
Устной работе уделяется большое внимание в начальных и младших
в основной школе, и, к сожалению,
(5 6-х) классах, значительно меньше
решения.

Для

составляет

развития

Вместе с тем
10 11-м классах.

она довольно часто игнорируется в старших классах.
ее цели остаются актуальными и полезными в

основные

Среди основных дидактических функций выделим следующие:
1) подготовка учащихся к работе на уроке, в частности к восприятию
нового материала;

условий для улучшения усвоения математики (для более
неформального усвоения предмета);
3) систематическое повторение пройденного;
4) проверка знаний, умений и навыков учащихся;

2)

создание

сознательного

5)

развитие у учащихся внимания, памяти, наблюдательности,

сообразительности, инициативы

и т.

п.;

7) формирование интереса к предмету;
8) активизация учебной деятельности на
1*

уроке.

3

Следовательно,

в

устной работы

содержание

по возможности нужно

включать упражнения следующих типов:

а)
б)
в)

на закрепление и

отработку

текущего материала;

на повторение;

(например, для подготовки к восприятию нового
ребят геометрической ситуацией и т. д.);
г) развивающего характера (в том числе нестандартные, занимательные
упражнения, задачи на сообразительность).
Устные упражнения по геометрии направлены на то, чтобы способствовать
с элементами творчества

материала, с новой для

развитию пространственных представлений учащихся, они должны помогать
более четкому формированию геометрических понятий, подготавливать к
восприятию новых пространственных соотношений и расширять имеющийся
у школьников запас геометрических образов. Задания могут предлагаться в
различной форме, например по готовой модели или чертежу. Особенно такие
упражнения полезны при изучении первых разделов как планиметрии, так
и стереометрии, когда ребята еще плохо ориентируются в различных

Например,
вырабатываться

геометрических ситуациях.

на первых уроках

по стереометрии

у них

умение устанавливать соответствие между
и
их
объектами
изображениями. С этой целью включаются
пространственными
упражнения на чтение чертежей. По чертежу может быть также восстановлено
только начинает

доказательство теоремы или решение задачи (например, на построение). Чертеж
дается и для самостоятельного составления по нему задачи или вопроса.
Условие устного упражнения можно представить через кодоскоп,
или
компьютер, с помощью плаката, таблицы, а можно прочитать
проектор
При последнем способе условие задачи может оказаться трудным для

вслух.

запоминания, например, из-за длинного текста или большого количества числовых данных.
В этом случае, чтобы не нагружать память, а сосредоточить внимание
учащихся на ответе, чтение задачи лучше сопроводить краткой записью условия.
словами, желательно, чтобы условие предлагаемой задачи тем или
иным способом было представлено ученикам в зрительной форме.

Другими

Выскажем
устной работы.

еще несколько практических

рекомендаций

по

проведению

Начинать устную работу следует с более легкого упражнения, постепенно
Это делается для того, чтобы темп устной работы

усложняя задания.

увеличивался плавно, а инициатива и активность учащихся при этом не подавлялись.

Продолжительность работы

не должна превышать

10 минут (оптимально

7 8 минут).

Планировать

устную

представлять весь урок в
это
Устная работа

работу

лучше

в конце подготовки конспекта,

чтобы

целом, его основные цели и конкретные задачи.

прекрасное активное, мобилизующее, настраивающее
работу начало урока. Отчасти это связано с тем, что, как известно, в начале
урока (приблизительно на третьей минуте) наступает первый кризис внимания
школьников. Второй кризис внимания, как правило, бывает в середине
урока (23 25-я минута). В это время тоже хорошо отвлечь ребят несколькими

на

уместными устными вопросами.

4

Чтобы стимулировать активность, инициативу учащихся, дать

себя, можно ввести следующую систему оценок во время устной
каждый ответ ученик получает «+», «-», «±», «+». Если учащийся

возможность проявить

работы:

за

за несколько уроков), например, пять знаков « + », то он
за
оценку «4» и т. д., при этом
получит оценку «5»,
четыре « + » и один «-»
все
возможные
сочетания
четырех указанных знаков.
учитываются
Как показал опыт нашей работы, такая система оценок хорошо

наберет (может быть,

принимается

учащимися.

гибко реагировать

Причины этого
ребята

на ответы,

заключаются

в

том,

что

она позволяет

могут проявить себя, добиться

хорошей

отметки.
В устной работе особенно ярко проявляется еще один аспект современного
обучения: она дает возможность для формирования и развития диалоговой
культуры учащихся, которая является элементом общей культуры

современного человека. Она позволяет развивать умение вести диалог, т. е. умение
общаться, убеждать, слушать собеседника. Это умение необходимо при ведении
диалога с компьютером. В настоящее время создаются даже школы диалоговых
культур.
Помимо отдельного дидактического момента урока, устные упражнения
с успехом применяются на других его этапах. Например, для более активной
проверки домашнего задания учащимся можно предложить серию
специально подобранных вопросов, которые дают возможность установить наличие

домашнего задания и правильность его выполнения.

проверки

позволит

выявить

наиболее

нюансы решения той или иной задачи.

важные

и

Причем

характерные

такая форма
особенности,

Также устные упражнения

с успехом

применяются при опросе учащихся, закреплении нового материала, решении
задач, повторении.

Глава I. НАЧАЛА СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 1. Основные

понятия и аксиомы стереометрии

Повторение курса планиметрии
Решение стереометрических задач часто сводится к последовательному
решению нескольких планиметрических задач. При этом затруднения учащихся
бывают вызваны как раз неумением решить соответствующие задачи по пламетрии.

Помимо важной функции повторения, планиметрические задачи

большое
чувствуют

себя еще неуютно,

обращение

они только привыкают к новому предмету, поэтому

к знакомому материалу имеет

так как вселяет

настрой

имеют

значение для первых уроков по стереометрии. В это время ученики

в

ребят

большое

психологическое значение,

уверенность в своих силах, создает положительный

и установку на изучение нового раздела геометрии.

Остановимся

на темах, связанных с основными плоскими

геометрическими ситуациями.
1.1. На сколько частей могут делить плоскость две

1.2. Известно,

что

фигурами

прямые?
Верно

прямая делит плоскость на две части.

и

ли, что

только прямая делит плоскость на две части?
1.3. Назовите все случаи взаимного расположения на плоскости:

а)

двух;

б)

трех прямых.
1.4. Каким должен быть каждый из смежных углов, чтобы их разность
была равна прямому углу?

1.5. Один из смежных углов равен
Сделайте общий вывод.

ср. Найдите угол между биссектрисами

этих углов.

2:3, третья сторона равна

1.6. Отношение двух сторон треугольника равно

50

см.

На

какие части делит третью сторону

треугольника?
1.7. Каково взаимное

биссектриса

противоположного

угла

перпендикулярных

одной

1.8. Может
1.9. Можно
точки и

и

той

расположение двух прямых на плоскости,

же

прямой?

ли наклонная одновременно являться
ли провести прямую так,

чтобы

перпендикуляром?

она проходила через две данные

была бы перпендикулярна данной прямой?

1.10. Как

данной прямой
данной прямой?

можно построить прямую, параллельную

проходящую через данную точку,

не принадлежащую

1.11. Существует ли треугольник,
1, 2 и 3? Почему?

стороны

которого

и

пропорциональны

числам

1.12. Отношение острых углов прямоугольного треугольника равно 3:1.
Найдите
6

эти углы.

1.13. Как можно найти центр окружности, имея один чертежный
угольник?
1.14. Существует ли у окружности: а) наименьшая; б) наибольшая хорда?
1.15. Сколько диаметров можно провести через точку, расположенную
внутри данной окружности?
1.16. Внутри круга укажите точку, через которую можно провести
бесконечно много равных между собой хорд.
1.17. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найдите
диаметр описанного круга.
1.18. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите
медиану, проведенную к гипотенузе.
1.19. Составьте и решите задачу по рисунку 1.

1.20. Сколько сторон и углов нужно знать, чтобы построить

четырехугольник?
1.21. Можно ли из шести равных отрезков составить параллелограмм с
его диагоналями?
1.22. Может ли диагональ параллелограмма быть меньше одной из его
сторон?
1.23. Меньшая диагональ ромба равна его стороне. Найдите углы ромба.
1.24. Диагональ АС четырехугольника ABCD делит его углы А и С пополам.
Что можно сказать о сторонах и диагоналях этого четырехугольника?
1.25. Сколько острых углов может быть у выпуклого я-угольника?
1.26. Сколько диагоналей имеет: а) четырехугольник; б) пятиугольник;
в) шестиугольник; г) л-угольник?
1.27. Дан произвольный четырехугольник. Определите вид
четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

четырехугольников?
1.28. В трапеции ABCD (ВС || AD) диагонали АС и BD пересекаются
(рис. 2). Назовите: а) равновеликие; б) подобные треугольники.
Как связаны площади этих

в точке О

7

1.29. Могут

площади?
1.30. Могут
равными? Ответ

История

ли

многоугольники

иметь равные периметры,

ли равносоставленные

но различные

фигуры быть подобными,

но не

поясните.

возникновения и развития стереометрии

В самом начале курса учащимся обязательно нужно показать, зачем
изучать геометрию в школе, продемонстрировать, что это очень

интересный
объекты, факты, яркие

раздел математики, в котором рассматриваются красивые

что он имеет богатую историю, связанную с именами великих
При этом нужно подчеркнуть, что геометрия как теоретическая наука
возникла в Древней Греции, что многие современные геометрические термины
имеют древнее происхождение. Труды древнегреческих математиков сыграли
исключительно важную роль в развитии науки вообще и геометрии в
частности. Они стали достоянием общей культуры человечества. Именно поэтому

приложения,

ученых.

сведения об

основных результатах и достижениях этого исторического периода

учебного материала.
стереометрия?
Что означает термин «стереометрия»?
Как возникла стереометрия?
Когда существовала Древняя Греция?
Назовите основные философские школы Древней Греции.
Какие предметы изучались в философских школах?
Когда жил Фалес Милетский?

непременно должны входить в содержание изучаемого

1.31. Что изучает

1.32.
1.33.
1.34.
1.35.
1.36.
1.37.

1.38. Какие открытия связывают с именем Фалеса?
1.39. Как определял Фалес расстояние от пункта А, находящегося
до

корабля (К),

находящегося в море в пределах видимости с

1.40. Как Фалес определял высоту египетских пирамид?
1.41. Как использовался способ Фалеса для определения
столба и т. п. предметов?
1.42. Длина тени, отбрасываемой деревом, равна 10 м. В то

на берегу,
берега (рис. 3)?

высоты дерева,

же время длина

тени человека ростом 1,5 м равна 3 м. Найдите высоту дерева.
1.43. Когда жил Пифагор?

1.44. Какие

основные достижения

пифагорейской

1.45. Какая геометрическая фигура была

пифагорейцев?
8

школы вы

знаете?

отличительным знаком

1.46. Какие свойства пентаграммы вам известны?
1.47. Как пифагорейцы объясняли устройство мира?
1.48. Назовите какие-нибудь правильные многогранники.
1.49. Почему гексаэдр называют также кубом?

1.50. Как
написанная в

1.51. Что

называется самая знаменитая историческая книга по геометрии,

Древней Греции? Кто ее автор?
Архимеда? Когда

вам известно про

1.52. Какая: а) окружность

он

жил?

называется окружностью

сферой Аполлония?
1.53. Сформулируйте три знаменитые

Аполлония; б) сфера

называется

циркулем и

задачи на

задачи древности

построение, которые неразрешимы циркулем и линейкой.
1.54. Сформулируйте задачу об удвоении квадрата.

Разрешима

ли

она

линейкой?

1.55. Как разделить прямой угол
трисекцию прямого

на три

равные части,

т.

е.

построить

угла?

1.56. Что вы знаете о Гиппократе Хиосском?
1.57. На рисунке 4, а закрашена луночка Гиппократа. Объясните,
построена. Сформулируйте определение гиппократовой луночки.

как она

1.58.

Докажите, что площадь луночки Гиппократа, изображенной на
4, б, равна площади треугольника БОС.
1.59. Как построить квадрат, площадь которого равнялась бы площади
луночки, изображенной на рисунке 4, б?
рисунке

Рис. 5

9

1.60. На рисунке 5 изображены четыре луночки. Гиппократ заметил, что
Объясните

их суммарная площадь равна площади заштрихованного квадрата.

почему.
Основной

учебный

материал

1.61. Почему вводятся основные понятия стереометрии? Назовите
1.62. Что идеализируют основные понятия стереометрии?
1.63. Что означает термин «аксиома»?

их.

1.64. Зачем нужны аксиомы?
1.65. Сформулируйте аксиомы стереометрии.
1.66. Приведите примеры: а) плоских; б) неплоских; в) пространственных
фигур.
1.67. Является

1.68. Прочтите

д)

Ъ с у; е)

с £

куба плоскостью?
а) А е а; б) В <£ а; в) М е (3; г)
К; и) N е (LN); к) d <Х о; л) О
с; з) а п Ъ

ли грань

следующие записи:

у; ж) а п

(3

=

=

=

(ABC) з (EF).
1.69. Какое минимальное число точек
плоскость?
1.70. Можно ли провести прямую через

N g (3;
h п тс;

м)

определяет:

две точки,

а)

прямую;

б)

находящиеся,

потолке?
1.71. Сколько плоскостей проходит через три точки? Ответ обоснуйте. При
каком расположении трех точек через них можно провести бесконечно много
например, на полу и на

плоскостей?
1.72. Верно

ли утверждение, что всякие: а) три точки;
принадлежат одной плоскости?
1.73. Выберите в классе любые три точки, через которые

б)

четыре точки

можно провести

плоскость, и движением руки покажите ее.

1.74. Верно

ли утверждение о том, что все точки окружности принадлежат

а) две; б) три общие точки?
1.75. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только
общие точки?
1.76. Как расположены плоскости а и Р на рисунке 6?

плоскости, если эта окружность имеет с плоскостью:

две

1.77. Сколько общих точек имеют две пересекающиеся плоскости?
1.78. Как расположены две плоскости, если: а) в них содержится один
тот же треугольник;

10

б)

они имеют две

общие точки?

и

1.79. Сколько плоскостей

куба?
1.80. Верно

можно провести через:

а)

одну прямую;

б)

три

вершины

Можно

ли, что любые две точки всегда принадлежат

ли то же самое сказать о трех

1.81. Верно ли утверждение о
принадлежит линии их пересечения?

1.82. Можно

одной прямой?

точках?

том, что

общая

точка двух

плоскостей

пространства? Если
точку?
точки пространства?

ли провести плоскость через данную точку

да, то сколько различных плоскостей можно провести через эту

1.83. Можно ли провести плоскость через две данные
Если да, то сколько различных плоскостей можно провести через эти точки?
1.84. Какое минимальное число общих точек необходимо задать, чтобы
две плоскости совпали?
1.85.

Определите

по рисунку

7,

каким плоскостям принадлежит точка М

плоскости а.

1.86. На рисунке 8 изображена треугольная пирамида ABCD. Пересекается
АС с плоскостью KLM1

ли отрезок

1.87. Проведите

мысленно плоскость через три точки

расположенные так, как показано на рисунке

А, Б

и

С,

9.

11

1.88. Сколько плоскостей

1.89. Справедливо

ли

окружностью только одну

можно провести через

следующее

общую

ребро куба?
«Прямая,

утверждение:

имеющая с

точку, является касательной к окружности

в этой точке»?
1.90. Найдите

на рисунке 10, если: а) а и Р
А, Б, С принадлежат как а, так и (3; б)

ошибку

плоскости, и точки

две пересекающиеся

три попарно
(3, у
пересекающиеся плоскости, причем точки К, L, М принадлежат плоскостям
а и (3, а точки N, О, Р
плоскостям а и у.
а,

1.91. Ученику нужно было изобразить следующую геометрическую
ситуацию: «Дана точка А g а, через нее проведена плоскость Р, которая имеет с
плоскостью а

Верно

общие точки М
решение?

и N».

Он дал решение, представленное

на рисунке

11.

ли это

Рис. 11
1.92. На рисунке 12 попарно пересекающиеся прямые а,
плоскость а соответственно в точках

рисунок?

12

А, Б, С. Правильно

Ь>

с пересекают

ли выполнен

Рис. 12
ли пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не
линии
принадлежащую
пересечения этих плоскостей?
1.94. Три плоскости попарно пересекаются. Сколько получилось линий

1.93.

Могут

пересечения?
1.95. Какое наибольшее

число

плоскостей

можно провести через различные

тройки из четырех данных точек пространства?
1.96. Верны ли следующие утверждения: а)
а точка В принадлежит плоскости

плоскости а,
пересекаются по

прямой АВ; б)

если треугольники

общую точку, то плоскости ABC и
1.97. Верно ли, что если точка
принадлежит плоскости BCD?
1.98. Может ли стул на трех

если точка А принадлежит

|3,

ABC

то плоскости а и
и

ADE

(3

имеют только одну

ADE имеют только одну

общую точку?
ABC, то точка А

D принадлежит плоскости

ножках,

имеющих

разную

длину,

не

качаться?
1.99. Почему штатив фотоаппарата имеет три ножки?
1.100. Чтобы выровнять зазубрившееся ребро линейки, мастер поступает
так: тщательно выстругивает широкую поверхность линейки и ее боковую
узкую поверхность. На каком основании можно утверждать, что после
выполнения этих операций линейка окажется пригодной к употреблению?

§ 2. Следствия

из аксиом стереометрии

Сформулируйте следствия из аксиом стереометрии.
2.2. По рисунку 13 воспроизведите доказательства следствий из аксиом
2.1.

стереометрии.

б)

а)

в)

Рис. 13

13

2.3. В

плоскости а даны три точки

прямой. Что

А, В

и

С,

не принадлежащие

можно сказать о расположении сторон треугольника

одной

ABC

а?
2.4. Назовите все случаи такого расположения четырех точек в пространстве,
чтобы через них можно было провести плоскость и притом только одну.
2.5. На рисунке 14 изображены два плоских четырехугольника ABCD и
точки пересечения их сторон. Принадлежат
AjSjCj-Dj. Точки Е, F, G, Н, К, L
ли точки А, С и D плоскости второго четырехугольника?
относительно плоскости

2.6. Четыре

одной плоскости. Могут ли три из этих
одной прямой?
2.7. Три вершины параллелограмма принадлежат некоторой плоскости.
Верно ли утверждение о том, что и четвертая вершина этого параллелограмма
точки не принадлежат

точек принадлежать

той же плоскости?
2.8. Две вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма

принадлежит

принадлежат

одной

плоскости.

Верно

ли

утверждение

вершины параллелограмма принадлежат

о

том,

что

и две другие

этой плоскости?

2.9. Совпадает ли плоскость, в которой лежит трапеция, с плоскостью,
проходящей через: а) середины ее боковых сторон; б) середины ее оснований; в) середины
всех ее сторон; г) диагонали; д) вписанную окружность, если она существует?
2.10. Прямая и плоскость параллелограмма ABCD имеют две общие точки
Е nF (рис. 15). Как расположены

точки

G

и

Н

относительно плоскости данного

параллелограмма?

2.11. Могут

замкнутой ломаной, состоящей
одной плоскости?
2.12. Могут ли вершины замкнутой ломаной, состоящей из
принадлежать одной плоскости?
ли вершины

из трех звеньев,

не принадлежать

не

14

четырех звеньев,

2.13. Прямые

а и

Ь пересекаются

плоскость а, через прямую Ъ

в точке

плоскость

плоскостей?
2.14. Даны прямая и точка,

(3,

С. Через прямую а проходит
Как проходит линия

отличная от ос.

пересечения этих

не

принадлежащая

этой прямой. Лежат

прямые, проходящие через эту точку и пересекающие данную прямую, в

плоскости?
2.15. Верно

ли утверждение, что

любая прямая, пересекающая каждую

двух данных пересекающихся прямых, лежит в плоскости этих

ли

одной
из

прямых?

2.16. Верно ли, что через любые две прямые проходит плоскость?
2.17. Верно ли, что через три пересекающиеся прямые проходит плоскость?
2.18. Из некоторой точки пространства проведены три луча. Сколько
плоскостей можно провести через различные пары из данных лучей? Рассмотрите
возможные случаи.

2.19. Верно ли, что если отрезки АВ и CD: а) пересекаются; б) не
пересекаются, то точка А принадлежит плоскости BCD?
2.20. Сколько плоскостей можно провести через четыре точки?
2.21. Сколько плоскостей можно провести через различные тройки из
точек, никакие четыре из которых не принадлежат

пяти

одной плоскости?

2.22. На какое наибольшее число частей могут делить пространство: а) одна
плоскость; б) две плоскости; в) три плоскости; г) четыре плоскости?
2.23. На сколько частей делят пространство п плоскостей, пересекающихся
по

общей прямой?
2.24. Чтобы проверить, хорошо

в различных

просвета.

направлениях

обработана плоская поверхность, к ней
ребро линейки и смотрят, нет ли
используют?
ли

прикладывают

Какое свойство при

этом

2.25. При формовке

кирпича поступают так: закладывают глину в форму
имеет
вид
(она
коробки без крышки), а лишнюю глину снимают линейкой,
передвигая ее по двум противоположным верхним краям формы. Объясните,
почему при такой обработке поверхность кирпича будет плоской?

2.26. Чтобы
наковальни

выровнять проволоку, ее кладут на плоскую поверхность
выпуклостям. После нескольких ударов проволоку

и ударяют по ее

поворачивают. Зачем это делают?
2.27. Крышка коробки закреплена на двух шарнирах А и В

Чтобы

она не закрывалась,

ее подпирают в

некоторой

точке

(рис. 16).

планкой CD. Дайте

геометрическое обоснование этому факту.

Рис. 16
15

2.28. Когда открывают крышку рояля, то ее
Какое свойство плоскости при этом применяется?

2.29. Когда

подпирают в

одной

точке.

брус (рис. 17), он, чтобы наметить
бруса прямые (на
чтобы пила шла по этим прямым. Дайте

плотнику нужно распилить

плоскость распила, проводит по двум смежным граням

рисунке АВ и

АС)

и затем пилит так,

геометрическое обоснование этому факту.

2.30.

Столяр с помощью двух нитей проверяет, будет ли устойчиво
имеющий четыре ножки. Как нужно натянуть нити?

стоять

на полу стол,

§ 3. Пространственные фигуры
3.1. Какая фигура

3.2. Назовите

называется

многогранником?

основные элементы многогранника.

3.3. Какой многогранник

называется параллелепипедом?
Какой параллелепипед называется прямоугольным?
Какой многогранник называется призмой?
Какая призма называется: а) прямой; б) наклонной?
Какая призма называется правильной?
Назовите основные элементы призмы.
3.9. Какой многогранник называется пирамидой?
3.10. Какая пирамида называется правильной?
3.11. Назовите основные элементы пирамиды.
3.12. Что называется диагональю многогранника?
3.13. Приведите примеры: а) многогранников; б) фигур,

3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.

не являющихся

многогранниками.

3.14. Назовите примеры предметов

форму многогранников.
3.15. Сколько ребер может

из окружающего нас мира,

которые

имеют

сходиться в вершине многогранника?
3.16. Какое наименьшее число многогранных углов может иметь
многогранник?
3.17. Существует ли призма, которая имеет: а) 4 ребра; б) 6 ребер;
в) 12 ребер; г) 21 ребро?
3.18. Какой многоугольник лежит в основании призмы, которая имеет:
а) 18 ребер; б) 24 вершины; в) 36 граней?

16

3.19. Существует ли пирамида, которая имеет: а) 10 ребер; б) 6 ребер;
24
в)
ребра; г) 33 ребра?
3.20. Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, которая имеет:
а) 8 ребер; б) 22 вершины; в) 60 граней?
3.21. Найдите сумму всех плоских углов: а) параллелепипеда; б) тетраэдра;
в) четырехугольной пирамиды.
3.22. Сколько диагоналей у: а) куба; б) тетраэдра; в) параллелепипеда;
г) пятиугольной призмы; д) шестиугольной пирамиды; е) октаэдра?
3.23. Призма имеет: а) 18 вершин; б) 42 ребра; в) 9 граней; г) 36 плоских
углов.

Определите

ее вид.

3.24. Пирамида
углов.

Определите

имеет:

а) 12

вершин;

б) 36 ребер; в) 72

грани;

г) 48

плоских

ее вид.

3.25. Как разбить куб

на: а) шесть четырехугольных пирамид; б) три
пирамиды?
3.26. Существуют ли многогранники, отличные от куба, все грани
квадраты?
которых
3.27. Существуют ли многогранники, отличные от параллелепипеда, все
параллелограммы?
грани которых
3.28. Существуют ли многогранники, отличные от тетраэдра, все грани
треугольники?
которых
3.29. У многогранника шесть вершин и в каждой из них сходится четыре
ребра. Сколько у него ребер?
3.30. У многогранника двенадцать граней и все они пятиугольные. Сколько

четырехугольные

у него

ребер?

§ 4. Моделирование многогранников
4.1. Какие способы
4.2. Какая фигура

4.3. Какие

из

моделей многогранников вам известны?
разверткой многогранника?

изготовления

называется

фигур, изображенных

развертками правильного

на рисунке

18,

не являются

тетраэдра? Почему?

Рис. 18

17

4.4. На рисунке 19 укажите развертки куба. Сколько

их

10

12

18

13

14

15

11

17

16

22>

20

19

получилось?

23

21

25

24

27

26

29

30

31
Рис. 19

32

4.5. Среди фигур, представленных на рисунке 20,
правильного октаэдра. Сколько их получилось?

WW

28

33

выберите

развертки

4.6. Ребро правильного тетраэдра равняется: а) 1 см; б) 2 ед.; в)
площадь его развертки.
4.7. Ребро правильного гексаэдра равняется:
площадь его развертки.

а.

Найдите

^

а) 2

дм;

б)

-

см;

в) Ь. Найдите

4.8. Ребро правильного: а) октаэдра; б) икосаэдра равно 4 мм. Найдите
площадь его развертки.
4.9. Сторона основания правильной четырехугольной: а) призмы; б)

ребро равно 5 см. Найдите площадь ее развертки.
4.10. На рисунке 21 укажите фигуры, которые являются развертками

пирамиды равна 6 см, боковое

призм.

Определите

их вид.

Рис. 21

4.11. На рисунке 22 укажите фигуры, которые
пирамид.

Определите

являются развертками

их вид.

А

V

б)
Рис. 22

4.12.

Разверткой

какого

многогранника может

служить

пентаграмма

(рис. 23)?

Рис. 23
4.13. Может ли

4.14. Как

разверткой

многогранника быть

выглядит развертка:

а)

цилиндра;

квадрат?
б) конуса?
19

4.15. Может
(боковых граней)

ли

параллелограмм

наклонного

быть разверткой боковой поверхности

параллелепипеда?

4.16. Является ли фигура, изображенная
некоторого параллелепипеда?

на рисунке

24, разверткой

п
и
Рис. 24
4.17. Может ли треугольник быть

разверткой боковой

поверхности

правильной

треугольной пирамиды?
4.18. Может ли равнобедренная

трапеция быть гранью какого-нибудь
многогранника?
4.19. Разверткой какой из правильных четырехугольных пирамид,
изображенных на рисунке 25, может быть фигура, изображенная на рисунке 26?

4.20. На рисунке 27 представлены

изображении (рис. 28) ребра,
развернуть ее в данные

20

части развертки

куба. Покажите

разрезав по которым его поверхность,

фигуры.

на его

мы сможем

4.21. Среди фигур, изображенных

куба ABCDA1B1C1D1 (А.,.2^), чтобы

на рисунке

его вершины

19, найдите такую развертку
А, Вг и Dx на ней являлись

вершинами прямоугольного треугольника.

4.22. Развертка параллелепипеда по одному из ребер была разрезана на
две части, показанные на рисунке 29. Найдите на них отрезки, которые
совпадали до разрезания.

К

Рис. 29

4.23. Окраска граней многогранника называется правильной, если соседние
грани имеют разные цвета. Какое минимальное число красок потребуется для

правильной окраски граней: а) треугольной; б) четырехугольной; в)
пятиугольной; г) шестиугольной; д) я-угольной пирамиды?
4.24. Какое минимальное число красок потребуется для правильной
окраски граней: а) треугольной; б) четырехугольной; в) пятиугольной; г)
шестиугольной; д) n-угольной призмы?
4.25. Какое минимальное число красок потребуется для правильной
окраски граней правильных многогранников?
Глава II. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 5. Параллельность прямых
5.1. Какие две прямые: а)

параллельными?
5.2. Что означают

слова:

5.3. Покажите рукой

в

в

пространстве

на плоскости;

«Прямые

классной

б)

лежат в

в

пространстве

называются

одной плоскости»?

комнате прямые,

через которые нельзя

провести плоскость.

5.4. Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые?
а || Ъ. Верно ли, что Ъ || а?
5.6. Достаточно ли для доказательства параллельности двух прямых в

5.5. Прямая

пространстве установить, что они не имеют

5.7. Будут ли лежать
пересекающиеся прямые?
5.8. Сколько прямых

в

одной

общих точек?
а) параллельные; б)

плоскости две:

в пространстве, параллельных данной

проходит через точку, не принадлежащую этой

прямой,

прямой? Почему?
21

5.9. По рисунку 30 воспроизведите доказательство теоремы
точку в пространстве, не принадлежащую
единственная прямая, параллельная

данной.

5.10. В параллелепипеде A...Dl

5.11. Даны

назовите все пары параллельных

Будут ли все прямые,
одной плоскости? Почему?

две параллельные прямые.

обе данные прямые,

5.12. Известно,

о том, что через

данной прямой, проходит

лежать в

ребер.

пересекающие

что в плоскости прямая, пересекающая одну из

пересекает и вторую прямую. Будет ли это утверждение верно
пространства?
5.13. Верно ли для пространства утверждение, справедливое на плоскости:
«Две прямые, перпендикулярные двум параллельным прямым,

параллельных прямых,
для

параллельны»?
5.14. Даны две параллельные прямые и точка, не принадлежащая им. Как
установить, принадлежит ли точка плоскости этих прямых?

5.15. Рассмотрите

все возможные случаи

взаимного расположения

трех

попарно пересекающихся прямых.

5.16. Верно

ли следующее утверждение:

«Если две прямые параллельны,

то все плоскости, пересекающие одну из них, пересекают и

другую»?

5.17. Сколько

различных плоскостей можно провести через три
параллельные прямые так, чтобы по крайней мере две из них лежали в проведенной

Рассмотрите различные случаи.
5.18. Каково должно быть взаимное расположение трех прямых, чтобы
можно было провести плоскость, содержащую все прямые?
плоскости.

5.19. Найдите геометрическое место (ГМ) прямых, пересекающих две
данные параллельные прямые.
5.20. Какие способы задания плоскости в пространстве вы знаете? Сколько
всего таких способов?
5.21. В пространстве даны п параллельных между собой прямых. Сколько
плоскостей можно провести через различные пары этих прямых, если известно,
что никакие три из них не лежат в одной плоскости?
5.22. Сколько пар параллельных
призма;

ребер

имеет:

а)

тетраэдр;

б)

треугольная

в) октаэдр?

§ 6. Скрещивающиеся прямые
6.1. Какие две прямые называются скрещивающимися?
6.2. Что означают слова: «Прямые не лежат в одной плоскости»?
6.3. Продолжите фразу: «Две прямые
скрещивающимися, если они не пересекаются...»

22

в пространстве называются

6.4. Какие две прямые: а)

на плоскости; б) в пространстве не параллельны?
6.5. Как могут быть расположены относительно друг друга две прямые в
пространстве?
6.6. Всегда ли две не пересекающиеся прямые в пространстве параллельны?
6.7. В тетраэдре ABCD назовите все пары скрещивающихся ребер.

6.8. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.
6.9. По рисунку 31 воспроизведите доказательства признака
скрещивающихся прямых.

Рис. 32

Рис. 31

6.10. Будут

ли прямые, изображенные на рисунке 32, параллельными?
6.11. Прямые а и b лежат в плоскости а. Могут ли они: а) пересекаться;
б) быть параллельными; в) скрещиваться?
6.12. Две скрещивающиеся прямые пересечены третьей. Сколько
плоскостей можно провести таким образом, чтобы каждая плоскость проходила через

две из трех данных

6.13. Прямая

прямых?

плоскости. Сколько прямых, скрещивающихся с
этой прямой, проходит через точку, взятую в той же плоскости?
6.14. Прямая а лежит в плоскости а. Прямая Ъ пересекает плоскость а в
точке В. Через Ъ проведена плоскость (3, которая пересекает плоскость а по
прямой с || а. Как расположены относительно друг друга прямые а и Ы
6.15. Прямая а скрещивается с прямой b, а прямая Ъ скрещивается с

прямой

лежит в

с. Следует ли отсюда, что прямые а и с скрещиваются?
6.16. Сформулируйте утверждение, обратное утверждению,

в задаче 5.16 из предыдущего параграфа. Верно ли оно?
6.17. Даны две пересекающиеся плоскости. В каждой из них лежит прямая,
пересекающая линию пересечения плоскостей. Как могут быть расположены

сформулированному

эти прямые относительно друг

6.18.

В

друга?

плоскости двух пересекающихся прямых а

принадлежащая этим прямым.

Прямая

быть расположена прямая с относительно
6.19. В плоскости двух параллельных
принадлежащая этим прямым.

Прямая

и

Ъ дана точка С, не
С. Как может

с проходит через точку
прямых а и

Ь1

b дана точка С, не
точку С. Как может быть

прямых а и

с проходит через

расположена прямая с относительно прямых а и Ы
6.20. Прямая d пересекает сторону АВ треугольника ABC. Каким может
быть взаимное расположение прямой d и прямой ВС?
6.21. Существуют ли две параллельные прямые, каждая из которых
пересекает две данные скрещивающиеся прямые?
23

6.22. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ъ, на прямой а взяты точки
точки С и D (рис. 33). Как расположены относительно
Б, на прямой Ъ
друг друга прямые AD и БС?

А

и

6.23. Каково взаимное расположение диагоналей пространственного
четырехугольника? (Пространственным (косым) четырехугольником называется
четырехугольник, вершины которого не принадлежат одной плоскости.)
6.24. Верно ли утверждение, что через любые две стороны
пространственного четырехугольника можно провести

6.25. В

вершинами параллелограмма.

Верно

четырехугольника?
6.26. Найдите кратчайший
до вершины

плоскость?

плоском четырехугольнике середины

сторон являются

путь по поверхности

куба A...D1

от вершины

D

Бх (рис. 28).

6.27. Сколько пар скрещивающихся ребер
треугольная призма;

его

ли это утверждение для пространственного

имеет:

а)

тетраэдр;

б)

в) куб; г) октаэдр?

§ 7. Параллельность прямой
7.1. Какая прямая

и плоскости

называется

параллельной плоскости?

7.2. Когда

прямая не параллельна плоскости?
7.3. Как могут быть расположены относительно друг друга прямая и
плоскость?

Сформулируйте признак параллельности двух прямых в пространстве.
7.5. По рисунку 34 воспроизведите доказательство признака
параллельности двух прямых в пространстве.
7.4.

24

7.6. Как
относительно

может

быть расположена прямая а, лежащая
в той же плоскости?

в плоскости а,

прямой Ъ, лежащей

7.7. Как

может

быть расположена прямая а, пересекающая

плоскость а,

прямой Ь, лежащей в той же плоскости?
7.8. Верна ли следующая формулировка признака параллельности прямой
плоскости: «Прямая, параллельная какой-нибудь прямой на плоскости,

относительно

и

параллельна и

самой плоскости»?

7.9. Сформулируйте признак параллельности прямой

и плоскости.

7.10. По рисунку 35 воспроизведите доказательство признака
параллельности

прямой

и плоскости.

7.11. Сформулируйте утверждение, обратное признаку параллельности
прямой и плоскости. Верно ли оно?
7.12. Верно ли следующее утверждение: «Если две плоскости пересекаются
и

в

одной

из них проведена прямая,

другой плоскости,
параллельны»?

параллельная

прямая и линия пересечения данных плоскостей

то эта

7.13. Каким образом

через точку вне плоскости провести прямую,
этой
плоскости?
Сколько решений имеет задача?
параллельную

7.14. Можно ли построить в плоскости прямую, параллельную данной
прямой, проходящей через данную точку вне данной плоскости?
7.15. Верно ли утверждение: «Прямая, параллельная плоскости,
параллельна любой

прямой, лежащей

в

этой плоскости»?

7.16. Верно

ли утверждение:

7.18.

параллельные прямая и плоскость. Сколько можно провести

прямые, параллельные одной и той же
плоскости, параллельны между собой»?
7.17. Как расположена прямая, параллельная линии пересечения двух
плоскостей, относительно каждой из этих плоскостей?

в

этой

Даны

плоскости прямых,

между собой

эти

7.19. Только

«Две

параллельных

данной прямой? Как расположены

прямые?
одна из сторон параллелограмма лежит в плоскости а. Как

расположены по отношению к ней другие стороны данного

7.20. Может

ли плоскость,

параллелограмма?

проходящая через середины двух сторон

треугольника и не совпадающая с его плоскостью, пересекать третью

сторону?
25

7.21. Только

AD трапеции ABCD лежит в плоскости а. Как
ней другие стороны данной трапеции?
7.22. В правильном шестиугольнике ABCDEF сторона АВ лежит в
плоскости (3, не совпадающей с плоскостью шестиугольника. Как расположены
основание

расположены по отношению к

(3 другие стороны шестиугольника?
7.23. Дан куб A...D1(pnc. 28). Как расположены: а) ребро ААг относительно
граней ББ^С и CC^DjD; б) ребро DC относительно граней ABCD и АА^Б;
относительно

в)

диагональ

АВ1

грани

ААХВХВ

относительно грани

7.24. Прямые аиЬ параллельны. Какое

DDfifil

положение может занимать прямая

проходящей через прямую Ъ?
7.25. Как расположена прямая, лежащая в плоскости, относительно прямой:
параллельной данной плоскости; б) пересекающей данную плоскость?

а относительно плоскости,

а)

7.26. Даны прямая и плоскость, параллельные между собой. Как
расположена данная прямая относительно прямых: а) лежащих в данной плоскости;
б) параллельных данной плоскости; в) пересекающих данную плоскость.

7.27.

Даны

плоскость.

две параллельные прямые.

Эти две

плоскости пересекаются.

Через

каждую из

Как расположена

них

проведена

их линия

прямых?
четырехугольной

пересечения относительно данных

7.28. В

пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD. Найдите пары параллельных ребер и граней.
основании

7.29. Можно
плоскостью так,

чтобы

ли две пересекающиеся плоскости пересечь
линии пересечения

7.30. Дана прямая, параллельная

плоскости.

можно построить прямые, параллельные

7.31. Одна

третьей

были параллельны?

Всегда

ли в

этой

плоскости

данной?

из двух параллельных прямых параллельна плоскости.

ли утверждение о том, что и вторая прямая параллельна

7.32. Даны две пересекающиеся

плоскости.

Сколько

Верно

этой плоскости?

можно провести

плоскостей, пересекающих две данные плоскости по параллельным прямым?
7.33. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит
параллелограмм. Каково взаимное расположение прямой пересечения плоскостей граней
SAB и SCD и плоскости основания ABCD1
7.34. Даны две скрещивающиеся прямые. Как через одну
плоскость, параллельную

7.35. Можно
и параллельную

7.36. В

из них провести

другой?

ли построить плоскость, проходящую через данную прямую

другой данной прямой?

плоскости а даны две пересекающиеся прямые а и

принадлежит плоскости а.

Каковы

Ь. Точка С

возможные случаи расположения

не

прямой,

проходящей через точку С, относительно прямых а и Ь?
7.37. Даны две прямые а и Ъ и точка М, не принадлежащая этим прямым.
При каком взаимном расположении прямых а, Ъ и точки М через нее можно
провести плоскость, параллельную каждой из прямых?
7.38. Даны параллельные прямая и плоскость. Как расположена эта
плоскость относительно прямых: а) параллельных данной прямой; б) пересекающих
данную прямую; в) скрещивающихся с данной прямой?
26

§ 8. Параллельность двух плоскостей
8.1. Какие две плоскости называются параллельными?
8.2. Когда две плоскости не параллельны?
8.3. Как могут быть расположены относительно друг друга две плоскости?
8.4. Сформулируйте теорему, которая связывает понятия параллельности
двух плоскостей и параллельности двух прямых. По рисунку 36
воспроизведите ее доказательство.

8.5.

Через

всякую ли прямую можно провести плоскость, параллельную

данной плоскости?
8.6. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.
8.7. По рисунку 37 воспроизведите доказательство признака
параллельности двух плоскостей.

8.8. Можно ли признак параллельности двух плоскостей сформулировать
следующим

а)

если

образом:
прямая

одной

плоскости параллельна

прямой другой

плоскости,

то плоскости параллельны;

б)

если две прямые

одной

плоскости параллельны двум прямым

другой

плоскости, то плоскости параллельны;

в)

если две пересекающиеся прямые

одной

плоскости параллельны

параллельны?
лишние слова в следующей формулировке: «Если

другой

плоскости, то плоскости

8.9. Есть

ли

пересекающиеся прямые
прямым

другой

одной

плоскости

параллельны двум

плоскости, то эти плоскости

две

пересекающимся

параллельны»?
27

8.10. Что

можно сказать о противоположных гранях прямоугольного

параллелепипеда?
8.11. Назовите

в правильном октаэдре

8.12. Даны две плоскости, каждая
прямым.

Будут

SABCDS' параллельные грани.

из которых параллельна двум данным

ли эти плоскости параллельны между

8.13. Каким образом через точку
ей плоскость?

собой?

вне плоскости провести параллельную

8.14. Каким образом провести прямую, параллельную двум данным
плоскостям, через точку, не принадлежащую этим плоскостям?
8.15. Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той

прямой?
8.16. Могут

же

быть параллельными две плоскости, проходящие через
непараллельные прямые?
8.17. Через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость.
ли

Верно ли утверждение о том, что эти плоскости параллельны?
8.18. Плоскость а пересекает плоскости Р и у по параллельным
Будут ли плоскости Р и у параллельны?
8.19. Что

можно сказать о параллельных отрезках,

прямым.

заключенных между

плоскостями?
8.20. Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключенные
между параллельными плоскостями?
8.21. Две плоскости параллельны. Как расположена каждая прямая одной
параллельными

другой плоскости?
8.22. Даны две параллельные плоскости и прямая, параллельная одной из
них. Будет ли эта прямая параллельна второй плоскости?
8.23. Как могут быть расположены относительно друг друга три плоскости,
если: а) две из них параллельны; б) все три попарно пересекаются?
8.24. Как построить параллельные плоскости, каждая из которых проходит
через одну из двух данных скрещивающихся прямых?
8.25. Найдите наибольшее число прямых, по которым могут попарно
пересекаться: а) две плоскости; б) три плоскости; в) четыре плоскости; г) п
плоскости относительно

плоскостей.

§ 9. Векторы
9.1. Что

в

пространстве

называется вектором: а) на плоскости; б) в пространстве?
9.2. Какой вектор называется нулевым?
9.3. Что называется длиной вектора?
9.4. Как еще называется длина вектора?
9.5. Чему равна длина нулевого вектора?
9.6. Какие два вектора в пространстве называются: а) одинаково
направленными; б) противоположно направленными?
9.7. Какие два вектора называются равными?
9.8. Какие операции над векторами определяются в пространстве?
9.9. Как сложить два вектора (например, а и Ь)?

28

9.10. Что

называется

9.11. Как
9.12. Что

суммой векторов?
(а) на число (£)?

умножить вектор

называется произведением вектора на

9.13. Что получается при умножении вектора

число?

нуль?
9.14. Что называется разностью векторов (а и Ъ)1
9.15. Назовите свойства операций для векторов в пространстве.
9.16. В кубе
A...Dl (рис. 28) назовите пары: а) одинаково; б)
на

противоположно направленных векторов.

9.17. Точки А, В, С, D, Е

и

F

вершины правильного плоского

шестиугольника (рис. 38). Назовите с их помощью несколько пар векторов: а) равных;
б) противоположно направленных; в) одинаково направленных, но не равных.

В

Е

Рис. 38
9.18. В параллелепипеде

A...DX (рис. 39)

назовите векторы, равные

векторам: a) CD; б) CjC; в) AlD1; г) АВХ; д) АС.
9.19. В каком случае длина суммы векторов
9.20. Всегда ли верно равенство |f| \а\
\ta\l

равна сумме их

длин?

=

9.21. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О и делятся в ней пополам.
Назовите равные векторы, которые определяются точками А, В, С, D и О.
9.22. В кубе

б) АВ

+

A...D1 (рис. 28)

AD; в)АВ

+

DDX; г)

АВ +

9.23. В параллелепипеде

a) BD

+

А1В1

+

АА^; б)-А^А

равный: а) АВ

вектор,

+

ВС;

BxDr

A...D1 (рис. 39) найдите

+ ЯО +

А
Рис. 39

назовите

DC; в) -DB

+

А1В1

-

БС; г) АС

F

D

вектор,
-

равный:

А^А

-

AD.

Н

Рис. 40
29

9.24. Верны

sl)AB

+ DF

ли следующие утверждения

=

г) АО

A€;

=

-(DC

+

(см.

рис.

40):

FH);

2
б )FG-HG

в

)BC

+ DF

=

=

CB;

P)BF

DH;

e)FC-BC

9.25. Назовите

номера

KLMNK1L1M1N1 (рис. 41): 1)
3)

LM + НР

6) MXN

-L^L

=

=

=

верных

1Щ

NN; 4) 2tfP

=

=

-BG + -BF + KD;
3
2
CE + 2BO + -AH?
3

утверждений

L^N\

МХМ

=

+

+

для

NJf; 2)

МЛГ; 5)

2А^О

=

параллелепипеда

NK +

=

ММ,
+

+

N,M,

+

Z^L;

LK.

§10. Коллинеарные и компланарные векторы
10.1. Какие два вектора

10.2. Как могут быть
10.3. В каком случае
10.4. Могут

ли

называются

коллинеарными?
векторы?

направлены коллинеарные
вектор

векторы,

Ъ коллинеарен ненулевому вектору а?

определенные противоположными

тетраэдра, быть коллинеарными?
10.5. В кубе A...D, (рис. 28) укажите несколько пар:

б)

а)

ребрами

коллинеарных;

некол линеарных векторов.

10.6. Векторы т и Я, Я и k коллинеарны. Будут ли векторы Я и k коллинеарны?
10.7. Какие три вектора называются компланарными?
10.8. В каком виде можно представить любой вектор с через два неколлинеарных вектора а и Ь? Сколькими способами это можно сделать?
10.9. Сформулируйте теорему о представлении любого вектора через два
данных неколлинеарных вектора.
30

10.10. По рисунку 42 воспроизведите доказательство теоремы о
любого вектора (с) через два данных неколлинеарных вектора (а

представлении

10.11. Можно
10.12. В кубе

ли в тетраэдре

A...DX (рис. 28)

и

Ъ).

ABCD указать компланарные векторы?
укажите:

а)

компланарные;

б)

некомпланарные векторы.

10.13. Векторы fh, fi, k

k,11
10.14. Векторы
линеарны?
10.15. Векторы

fi, I

и т,

компланарны.

Компланарны

ли векторы

т,

с +

а и

d

и

с

-

d коллинеарны. Будут

Ъ коллинеарны. Будут

ли

что векторы рид коллинеарны и

направление имеет вектор:

а) р

б) q

-

р;

в) р

-

q

векторы

векторы а +

коллинеарны?
10.16. Известно,

+ q;

ли

|j3| < |g|.

и какова его

Ъ

и

cud
а

-

кол-

Ъ

Какое

длина?

§11. Параллельный перенос
11.1. Какое преобразование: а)

плоскости;

б)

пространства называется

движением?
11.2. Какие две фигуры:

а) на плоскости; б) в пространстве называются
равными?
11.3. Какое преобразование: а) плоскости; б) пространства называется
параллельным переносом?
11.4. Что значит, что фигура F' получается параллельным переносом из
фигуры F

на вектор

11.5. Является

а?

параллельный перенос движением? Сформулируйте
соответствующую теорему и по рисунку 43 воспроизведите ее доказательство.
ли

31

11.6. В какую фигуру при параллельном переносе переходит: а) прямая;
плоскость;
в) окружность; г) шар; д) треугольник; е) тетраэдр?
б)
11.7. При параллельном переносе некоторая фигура Ф перешла в фигуру Ф'.
Всегда ли равны фигуры Ф и Ф'?
11.8. При каком условии параллельный перенос переводит одну: а) прямую;

б)

плоскость на

11.9. Даны
а'

другую?

(3 || Р'. Всегда

ос

||

а)

прямую а на прямую

плоскость

и

ос',

а) прямых а || а' и b || Ъ'\ б) плоскостей
параллельный перенос, переводящий:
Ъ на прямую Ь'; б) плоскость а на

две пары параллельных:

а плоскость

ли

Р

существует

а',

а прямую

на плоскость

Р'?

11.10. Приведите примеры фигур: а) плоских; б) неплоских, которые
параллельным переносом переводятся в себя.
11.11. Может ли параллельный перенос перевести две: а) прямые; б)

одну?
11.12. Сколько существует
прямую; б) плоскость в себя?
плоскости в

параллельных переносов, переводящих:

а)

11.13. Сколько существует параллельных переносов, переводящих одну
параллельную: а) прямую; б) плоскость на другую?

11.14. Существует ли параллельный перенос, переводящий ребро ААХ куба
A...D1 (рис. 28) в ребро: а) ВВХ\ б) СХС; в) CD; г) DDX; д) АВ?
11.15. Существует ли параллельный перенос, который переведет: а)
боковую грань в боковую грань; б) боковую грань в основание; в) одно основание
в другое основание треугольной призмы?
11.16. Существует ли параллельный перенос, который переведет: а)
боковую грань в боковую грань; б) боковую грань в основание; в) одно основание
в другое основание четырехугольной призмы?
11.17. Существует ли параллельный перенос, который переведет: а)
боковую грань в боковую грань; б) боковую грань в основание шестиугольной
пирамиды?
11.18. Существует ли параллельный перенос, переводящий одну грань
правильного: а) гексаэдра; б) октаэдра на другую его грань?
§12. Параллельное проектирование
12.1. Как задается параллельное проектирование?
12.2. Как задается направление параллельного проектирования?
12.3. Как определяется параллельная проекция точки: а) принадлежащей
прямой, которая определяет направление проектирования; б) принадлежащей
плоскости проектирования; в) не принадлежащей ни прямой, ни плоскости
проектирования?
12.4. Какое соответствие называется параллельным проектированием?
12.5. Что называется параллельной проекцией фигуры в пространстве?
12.6. Сформулируйте основные свойства параллельного проектирования.
12.7. Всегда ли параллельной проекцией: а) точки будет точка; б) прямой
будет прямая?
12.8. В каком случае параллельной проекцией прямой будет точка?
32

12.9. Какими фигурами могут быть параллельные проекции: а) отрезка;
б) луча; в) прямой?
12.10. Сколько точек может получиться при проектировании трех

пространства?
12.11. Какими фигурами могут быть параллельные проекции: а) плоскости;
б) пространства?
12.12. Может ли одна точка иметь две разные параллельные проекции?
12.13. Могут ли две точки иметь одну и ту же параллельную проекцию?
12.14. Сколько точек имеют параллельной проекцией данную точку?
12.15. Какие фигуры могут служить параллельными проекциями двух
пересекающихся прямых?
12.16. Какие фигуры могут быть параллельными проекциями двух
скрещивающихся прямых?
12.17. Могут ли две пересекающиеся прямые быть параллельными

различных точек

проекциями двух параллельных прямых?
12.18. В каком случае параллельной проекцией двух параллельных прямых
являются две точки?
12.19. В каком случае

параллельной проекцией

двух параллельных прямых

является одна

прямая?
12.20. Справедливо ли

утверждение: «Параллельные прямые, не
параллельные направлению проектирования, проектируются в параллельные

12.21. Справедливо

ли утверждение:

проектируются в параллельные прямые или в одну

«Параллельные
прямую»?

прямые»?

прямые

12.22. В пространстве задана прямая. Может ли ее параллельная проекция
быть параллельной этой прямой?
12.23. Сохраняются ли при параллельном проектировании: а) длины
б) величины углов?
12.24. Как должны быть расположены две прямые,
проекцией были прямая и принадлежащая ей точка?

отрезков;

чтобы их

параллельной

12.25. Как должны быть расположены две прямые, чтобы их
прямая и не принадлежащая ей точка?

параллельной

проекцией были

12.26. Как должны быть расположены прямая и точка, чтобы они
этой прямой?
12.27. В какую фигуру проектируется прямая пересечения двух плоскостей,

проектировались в прямую и точку, принадлежащую

параллельных направлению проектирования?
12.28. В каком случае параллельная проекция
положение

в

§13. Параллельные проекции
13.1. Может
отрезку?
13.2. Может

ли

плоских

параллельная

2

определяет ее

которой параллельна

Смирнова, 10-11

кл.

фигур

проекция

ли параллельная проекция

фигуре?
13.3. Сформулируйте теорему
плоскость

прямой

пространстве?

о

отрезка

быть равна самому

плоской фигуры равняться самой

параллельной

проекции плоской фигуры,

плоскости проектирования.

33

13.4. По рисунку 44 воспроизведите доказательство теоремы о
параллельной проекции плоской фигуры, плоскость которой параллельна

плоскости

проектирования.

Рис. 44

13.5. Какой фигурой может быть параллельная проекция: а) треугольника;
б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) п-угольника?
13.6. Может ли параллельной проекцией равностороннего треугольника

быть разносторонний треугольник?
13.7. Как расположен ттг-угольник относительно плоскости проектирования,
если он проектируется в: а) отрезок; б) равный ему тп-угольник; в) неравный
ему /72-угольник?
13.8. При каком расположении отрезка относительно плоскости
проектирования его проекция: а) равна самому отрезку; б) является точкой?
13.9. Может

ли проекция отрезка

отрезка?
13.10. Отрезок

быть: а) больше; б)

меньше

проектируемого

параллельно проектируется на плоскость.

Куда

при этом

проектируется его

середина?
13.11. Плоскость фигуры

направление проектирования.

б)

не параллельна

Какая фигура

прямой, определяющей
проекцией: а) треугольника;

является

в) трапеции?
13.12. Какой фигурой может быть параллельная проекция: а)

параллелограмма;

прямоугольника; б) ромба?
13.13. При

каком условии параллельной проекцией квадрата является:
б) прямоугольник?
13.14. Объясните, как в общем случае построить параллельную проекцию:
а) трапеции; б) правильного шестиугольника; в*) правильного пятиугольника
(рис. 45)?

а)

квадрат;

С

В
D

А

34

L

а)

б)
Рис. 45

в)

13.15. Приведите примеры геометрических фигур, расположенных
пространстве, которые проектируются в:

13.16. Какой

получить?
13.17. Может

фигурой

является

ли проекция

а)

прямую;

б)

параллельная

плоской кривой

в

отрезок.
проекция

линии

круга? Как

ее

быть прямой?

Приведите пример.

§14.

Изображение

пространственных фигур

14.1. Какая

плоскость называется плоскостью изображений?
Что называется изображением фигуры?
Как построить изображение л-угольной призмы?
Как построить изображение я-угольной пирамиды?
Изображением какого многогранника является четырехугольник
проведенными в нем диагоналями (рис. 46)? Какая неточность в этом
изображении?

14.2.
14.3.
14.4.
14.5.

14.6. Изображение

какого многогранника представлено на рисунке

14.7. На рисунке 48 приведены различные изображения одного

с

47?

и того же

куба A...DV по-разному расположенного относительно плоскости изображений.
Укажите изображения куба: а) грань которого параллельна плоскости
изображений; б) грани которого не параллельны плоскости изображений; в) для
2*

35

которых прямая, определяющая направление проектирования, параллельна

ребру куба,

или его диагонали, или диагонали его грани.

б)

в)

ССС,)

A(AJ
г)

д)

а

D

36

14.8. Изображение

14.9. Верно ли,
четырехугольная

какого многогранника представлено на рисунке

что на рисунке

49?

50 изображена правильная

пирамида?
М

14.10. На рисунке 51 дана параллельная проекция:

а)

равностороннего

б) ромба. Как
перпендикулярной: а) стороне
треугольника;
К'

ее параллельная

точку L, V

построить параллельную проекцию прямой,
АС треугольника, проходящую через точку К,
проекция; б) диагонали BD ромба, проходящую через

ее параллельная

проекция?

Рис. 51

37

14.11. На рисунке 52 дана параллельная проекция равнобедренной
трапеции. Как построить параллельную проекцию высоты трапеции, проведенной
из вершины С?

D'

14.12. На рисунке 53 дана параллельная проекция окружности, где
О'

параллельная проекция центра О данной окружности. Как построить
ее
а) диаметра, перпендикулярного хорде АВ (А'В'

параллельную проекцию:
параллельная

CD

(CD'

проекция); б)

диаметра, перпендикулярного данному диаметру

проекция); в) радиуса, перпендикулярного
проекция); г) биссектрисы центрального
параллельная проекция)?

его параллельная

радиусу ОМ
угла KOL

(О'М'
(K'O'L'

его параллельная
его

а)

б)

в)

г)

Рис. 53
14.13. На рисунке 54 дана параллельная проекция окружности. Как
построить параллельную проекцию ее

14.14. Что изображено

центра?

на рисунке

55?

Рис. 55
38

14.15. Возможна

ли такая ситуация, как на рисунке

56?

Рис. 56
14.16. Как
невозможные

называется направление в живописи, в котором

фигуры,

или невозможные

изображаются

объекты?

14.17. Назовите автора гравюр, изображенных
жил?

на рисунке

57. Когда

он

а)

б)
Рис. 57
39

14.18. Почему объекты, представленные

автор

этих

на рисунке

58, невозможны? Кто

рисунков?

§15. Сечения многогранников
15.1. Приведите примеры взаимного расположения плоскости и
многогранника, при которых не получаются сечения.
15.2. В каком случае говорят о сечении многогранника плоскостью?
15.3. Что называется сечением многогранника плоскостью?
15.4. Какой фигурой является сечение многогранника плоскостью?
15.5. В каком случае задача на построение сечения многогранника
плоскостью считается решенной?

15.6. Как

может

15.7. Как найти

15.8. Как найти

быть задана

плоскость

сечения?

на чертеже пересечение двух пересекающихся
на чертеже

быть задано?
15.9. Как найти на чертеже
должно быть задано?

пересечение

прямой

и

прямых?

плоскости? Что для

этого должно

15.10. Какое

сечение:

а)

пересечение двух

призмы;

б)

плоскостей? Что для

этого

пирамиды называется

диагональным?
15.11. Сколько диагональных сечений имеет:

а) треугольная; б)
в) пятиугольная; г) n-угольная призма?
15.12. Сколько диагональных сечений имеет: а) треугольная; б)
четырехугольная; в) пятиугольная; г) п-угольная пирамида?
15.13. Какой многогранник называется: а) усеченной пирамидой; б)
правильной усеченной пирамидой?
15.14. Сколько диагональных сечений имеет усеченная: а) треугольная;
б) четырехугольная; в) пятиугольная; г) n-угольная пирамида?
15.15. Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) равносторонний;
б) равнобедренный; в) прямоугольный; г) тупоугольный треугольник?
15.16. Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) квадрат;
б) прямоугольник; в) параллелограмм; г) ромб?
15.17. Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) равнобедренная;
б) прямоугольная трапеция?
четырехугольная;

40

15.18. Может

а) пятиугольник;
б) правильный пятиугольник?
15.19. Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) шестиугольник;
б) правильный шестиугольник?
15.20. Может ли в сечении куба плоскостью получиться: а) семиугольник;
б) двенадцатиугольник? Почему?
15.21. Какой многоугольник с наибольшим числом сторон может
получиться в сечении: а) тетраэдра; б) четырехугольной пирамиды; в) шестиугольной
призмы; г) я-угольной призмы?
15.22. Какой фигурой будет сечение куба плоскостью, проходящей через
концы ребер, выходящих из одной вершины? Найдите периметр сечения, если
ребро куба равно 1.
15.23. Найдите площадь сечения единичного куба плоскостью,
проходящей через три точки, взятые в серединах его ребер, выходящих из одной
ли в сечении

вершины.
15.24. Какой

фигурой
проходящей через вершину А и
соответственно

куба

куба

плоскостью получиться:

является сечение

куба A...D

плоскостью,

М, N, являющиеся серединами ребер куба
59)? Найдите периметр сечения, если ребро

точки

A,BV AXDX (рис.

равно 1.

с

вх

Рис. 59
15.25. Какой
через вершины

фигурой

Bv

D

является сечение

и точку

К

куба A...D, плоскостью, проходящей
ребра ССХ (рис. 60)?

середину

вх

с

Рис. 60

41

15.26. Какой фигурой

является сечение куба
A...D1 плоскостью, проходящей
ребер AD, АгВ19 ВгСг?
15.27. В какой правильной n-угольной призме все диагональные сечения
равны?
15.28. Определите вид сечения правильной треугольной призмы (рис. 61)
плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и середину

через середины

скрещивающейся с ней стороны верхнего основания.

15.29. Верно ли утверждение о том, что в сечении правильной
шестиугольной призмы A...F1 (рис. 62) плоскостью, проходящей через середины двух
боковых ребер AAV ВВг и вершину С19 получается равнобедренная трапеция?
15.30. Какой фигурой является сечение куба плоскостью, которая проходит
через две противоположные вершины «нижнего основания» и середину одного из

«верхнего основания»? Найдите его периметр, если
15.31. Какой фигурой является сечение правильного

ребер

ребро куба
тетраэдра

равно а.

ABCD

и середины ребер AD, CD?
15.32. Как построить сечение правильного тетраэдра ABCD плоскостью,
параллельной грани BDC и проходящей через точку К
середину ребра AD?
15.33. Какими многоугольниками являются диагональные сечения
усеченной пирамиды?
15.34. Может ли диагональным сечением усеченной пирамиды быть
равнобедренная трапеция?
15.35. Как пересечь правильную треугольную призму тремя плоскостями
таким образом, чтобы получилась правильная шестиугольная призма?
15.36. Существует ли сечение куба плоскостью в форме: а) треугольника;

плоскостью, проходящей через вершину В

б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника, имеющее
наименьший периметр?
Глава III.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

§16. Угол между прямыми

в пространстве.
Перпендикулярность прямых

16.1. Какая фигура

в

пространстве называется

16.2. Какая фигура называется
прямыми в пространстве?
42

углом

углом?

между двумя

пересекающимися

16.3. Какие две пересекающиеся прямые

в пространстве называются

перпендикулярными?
16.4. Какие два луча в пространстве называются сонаправленными?
16.5. Сформулируйте теорему об углах с сонаправленными сторонами.
16.6. Используя рисунок 63, воспроизведите доказательство теоремы

об

углах с сонаправленными сторонами.

16.7.
прямыми,

Почему углы, образованные соответственно параллельными
равны?
16.8. Как определяется угол между скрещивающимися прямыми?
16.9. Какие две скрещивающиеся прямые называются

перпендикулярными?
16.10. Какие: а) две прямые; б) два отрезка в пространстве называются
перпендикулярными?
16.11. Дан отрезок GH, точка G принадлежит плоскости а точка Н
плоскости (3 (рис. 64). В плоскости |3 проведен луч НО параллельно прямой ВС
линии

пересечения данных

прямыми ВС

и

плоскостей, Z.GHO

=

45°. Найдите угол между

GH.

16.12. Дан куб

A...D1 (рис. 28). Найдите

б)ADCX; в) BfiC,; г) С^В,; д)

между прямыми

следующие углы:

ААХ и Bfij е)

а) ААХВХ\

между прямыми

DDX и АХВ.
16.13. Дана треугольная призма
являются правильные треугольники, а

А...С1 (рис. 61),

основаниями

боковыми гранями

которой

квадраты. Найдите

43

а)А1АС; б) ВХССХ; в) С^Б^ г) АБС; д) между прямыми ААХ

следующие углы:
и

ВС.

равным

16.14. Дана правильная треугольная призма А...С1
1. Найдите косинус угла: а)А1ВС1; б)АС1В.

(рис. 61)

с

ребром,

16.15. Дана треугольная пирамида ABCD,

все грани которой правильные
(рис. 65). Найдите угол (или его косинус): a) ABC; б)AFB, где F
середина ребра АВ; г) DBF; д) между
середина ребра DC; в) CED, где Е
скрещивающимися ребрами АВ и DC пирамиды.

треугольники

Рис. 65
16.16. В пространстве даны прямая

а и принадлежащая

провести прямую, перпендикулярную прямой
Сколько таких прямых можно построить?

16.17. В

точка

А. Как

А?

пространстве даны прямая а и не принадлежащая ей точка А. Как

прямой
построить?

провести прямую, перпендикулярную

Сколько

ей

а и проходящую через точку

таких прямых можно

16.18. Даны

плоскость

и

параллельная

перпендикулярных этой прямой,

а и проходящую через точку

А?

ей прямая. Сколько прямых,

можно провести в

данной

плоскости через

точку?
16.19. Из данных утверждений выберите верные:
1) две прямые в пространстве, перпендикулярные третьей прямой,

данную

параллельны;

2)

через точку, принадлежащую данной

прямой,

можно провести

ей;
данной прямой,
перпендикулярных данной.

бесконечно много прямых, перпендикулярных

3) через точку,

не принадлежащую

бесконечно много прямых,

16.20. Почему

в прямом параллелепипеде

боковое ребро перпендикулярно

сторонам оснований?
16.21. Из точки О проведены три луча ОА, ОБ
перпендикулярными прямые ОА и ОБ, если: a) ZAOC
=

ZBOC

=

45°; в) ZAOC

=

30°, ZBOC

=

можно провести

и
=

ОС. Могут ли быть
ZBOC
90°; б) ZAOC
=

=

60°?

16.22. Дан правильный октаэдр SABCDS' (рис. 66). Найдите угол: a) ASC;
б) ABC; в) ABD; г) BS'D; д) ASS'; е) DBS.
44

Рис. 66
16.23.

АВ

||

DC

||

Рис. 67

По рисунку 67 назовите номера верных

EF

утверждений,

если

|| GH, ВС || FG, DE || АН:

1) угол BCD прямой;
2) угол НАВ прямой;
3) угол ABC непрямой;
135°;
4) ZHGB
=

EFC и HGB параллельны;
6) четырехугольники CDEF и BAHG равны;
7) углы ADE и HAD равны;
8) плоскости HEF и BCD не параллельны.
16.24. Прямые а и Ъ параллельны. Прямые а

5)

плоскости

углом.

Каково

взаимное расположение прямых

равен угол между

углом

и с пересекаются под прямым

Ъ

и с

16.25. Прямые а и Ъ параллельны. Прямые а и
45°. Каково взаимное расположение прямых Ъ и с

равен угол между

(в общем случае)

и чему

ними?
с

пересекаются

(в общем случае)

под
и чему

ними?

16.26. В прямоугольном параллелепипеде угол между диагоналями одного
сечений равен 90°. Может ли угол между диагоналями разных
диагональных сечений равняться 90°?
из диагональных

16.27. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, основанием которого
больше стороны основания. Найдите углы между

является квадрат, вдвое

диагоналями параллелепипеда.
16.28. Найдите угол между скрещивающимися

§17. Перпендикулярность прямой

ребрами

октаэдра.

и плоскости

называется перпендикулярной плоскости?
17.2. Какой отрезок называется перпендикулярным плоскости?
17.3. Почему прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает

17.1. Какая прямая

эту

плоскость?
45

17.4. Верно

ли следующее утверждение:

1)

прямая, перпендикулярная некоторой
перпендикулярна и самой плоскости;

2)

прямой, лежащей

прямая, перпендикулярная двум прямым, лежащим

перпендикулярна

3) прямая,

лежащей

и

в

плоскости,

в плоскости,

самой плоскости;

не лежащая в плоскости и перпендикулярная

в плоскости, перпендикулярна и

некоторой прямой,

самой плоскости;

4) прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим
перпендикулярна и самой плоскости?

в плоскости,

17.5. Прямая пересекает

плоскость и не перпендикулярна

ей. Существуют

данной прямой?
17.6. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой

ли в плоскости прямые, перпендикулярные

и плоскости и

воспроизведите его доказательство по рисунку 68.

17.7.

Докажите, что в кубе A...DX ребро: а) ААХ перпендикулярно грани
б) ВС перпендикулярно грани АА^В; в) DC перпендикулярно грани

AAXDXD.
17.8. Докажите,

что в

кубе

каждое

ребро

перпендикулярно двум его

граням.
17.9. Прямая проходит через вершину А треугольника ABC и
перпендикулярна сторонам АВ и ВС. Какой угол она образует со стороной ВС?
17.10. Как расположена относительно плоскости треугольника прямая,
перпендикулярная двум его сторонам?

17.11. Три луча ОА, ОВ и ОС попарно перпендикулярны. Как расположен
лучей по отношению к плоскости, определяемой двумя другими
лучами?
17.12. Боковое ребро параллелепипеда перпендикулярно диагоналям
основания. Верно ли, что этот параллелепипед является прямым?
каждый из

46

17.13. Где расположены точки, находящиеся
вершин некоторого

17.14. Дан

на равном расстоянии

от

прямоугольника?

квадрат ABCD, О

точка пересечения его

диагоналей,

точка К

DK. а) Как
СК
расположена прямая КО относительно сторон квадрата ABCD1 б) Как расположена
прямая АО относительно сторон треугольника BKD1
17.15. Найдите ГМТ в пространстве, равноудаленных от трех точек, не
не принадлежит плоскости квадрата, причем АК

ВК

=

=

=

прямой.
17.16. Верно ли, что прямая, пересекающая круг в центре и
перпендикулярная: а) его диаметру; б) двум его диаметрам, перпендикулярна плоскости
круга?
17.17. Справедливо ли утверждение, что прямая, пересекающая круг в
принадлежащих одной

центре и перпендикулярная: а) радиусу; б) двум радиусам, перпендикулярна
плоскости круга?

17.18. Как

расположена относительно плоскости круга прямая,
перпендикулярная двум его хордам?
17.19. По рисунку 67 назовите номера верных утверждений,
АВ || DC || EF || GH, ВС || FG, DE || АН:

если

1) прямая AD перпендикулярна

плоскости BGH;
AD
2) прямая
перпендикулярна плоскости CDE;
3) прямая АВ перпендикулярна плоскости BCG;
4) прямая АН не перпендикулярна плоскости EFG;
5) прямая BG перпендикулярна плоскости ADC;
6) отрезок АН перпендикулярен прямым СВ и FG;
7) прямая АН перпендикулярна прямой АЕ;
8) прямая BF не перпендикулярна прямой DC.
17.20. Какое проектирование называется ортогональным?

17.21. Какими свойствами обладает ортогональное проектирование?
17.22. Дан правильный шестиугольник и точка вне его плоскости,
равноудаленная от его вершин. В какую точку плоскости шестиугольника
проектируется данная точка при ортогональном проектировании?

17.23. Может

ли ортогональная проекция отрезка

быть: а)

меньше отрезка;

в) больше отрезка?
17.24. Может ли ортогональная проекция угла быть: а) меньше угла;
б) равна углу; в) больше угла?
17.25. Может ли ортогональная проекция квадрата быть: а) квадратом;
б)

равна отрезку;

б) прямоугольником; в) параллелограммом; г) трапецией?
17.26. В плоскости дан многоугольник. Существуют
точки,

существуют такие

г)

A...Dх (рис. 28)

принята плоскость грани

а) вершины Аг;

б)

в

пространстве

AAXBXB\ ж)

за

плоскость

ортогонального

ABCD. Найдите ортогональную проекцию:

в) точки пересечения диагоналей грани
диагоналей грани ВВХСХС\ д) ребра ББХ; е) диагонали АВХ

вершины С;

точки пересечения

грани

ли

каких многоугольников

точки?

17.27. В кубе
проектирования

вершин? Для

равноудаленные от всех его

диагонали

BDX; з)

грани

A^Bfi^D^ и)

грани

BBfifi.
47

17.28. Найдите ГМТ

в пространстве, равноудаленных от двух данных

17.29. Найдите ГМТ

в пространстве, которые принадлежат прямым,

точек.

перпендикулярным данной прямой.
17.30. В правильном тетраэдре ABCD через ребро АВ и точку Н
середину
ребра CD проведена плоскость. Будет ли она перпендикулярна ребру CD?
17.31. Если прямая перпендикулярна плоскости, то может ли она быть
параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости?
проходящим через данную точку и

17.32. Если прямая параллельна плоскости, то может ли она быть
перпендикулярной к какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости?
17.33. Прямая и плоскость параллельны. Верно ли, что прямая,

данной прямой: а) перпендикулярна данной плоскости; б)
данной плоскости?
17.34. Прямая и плоскость параллельны. Верно ли утверждение о том,
что прямая, перпендикулярная данной плоскости, перпендикулярна данной
прямой?
17.35. При каком взаимном расположении двух прямых через одну из них
перпендикулярная
параллельна

можно провести плоскость, перпендикулярную

17.36. Определите

другой?

вид треугольника, если через одну из его сторон можно

другой стороне.
17.37. Точки А и В принадлежат плоскости а, равные отрезки ААг и ВВХ
перпендикулярны плоскости а и расположены в: а) одном полупространстве;
провести плоскость, перпендикулярную

б)

разных полупространствах относительно нее.

четырехугольника

Определите

вид

ABCXBV

17.38. Какой фигурой

является сечение:

а) АВгС^; б) CDA1B1 куба A...DX?

Почему?
17.39. Через

сторону параллелограмма проведена плоскость,
перпендикулярная его смежной стороне. Как расположена эта плоскость по отношению к
другим его сторонам? Определите вид данного параллелограмма.
17.40. Чтобы построить навес,

следующим

образом:

перпендикулярных поверхности
кладут навес.

он

к

будет

а)

перпендикуляром, опущенным из точки на

плоскости?

18.2. Из точки М провели к плоскости
перпендикуляр MB. Какое утверждение верно:

1) МА
2)
3)
4)
5)
48

MB;
МА < MB;
МА < MB;
МА > MB;
МА > МБ? Почему?
=

На

параллелен поверхности земли?

и наклонная

18.1. Что называется:

б) наклонной

поверхности земли, поступают

столбов одинаковой длины,

земли и располагающихся в разных плоскостях.

Почему

§18. Перпендикуляр
плоскость;

параллельный

ставят несколько

наклонную

МА

и опустили

них

18.3. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.
18.4. По рисунку 69 воспроизведите доказательство теоремы

о трех

перпендикулярах.

18.5. Сформулируйте теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах.
ли она?
18.6. По рисунку 69 воспроизведите доказательство теоремы, обратной

Верна

теореме о трех перпендикулярах.
18.7. На рисунке 70 прямая h перпендикулярна

плоскости

середина отрезка ВС и НМ _L ВС; б) ABCD
HD 1 DC; в) ABCD
ромб; г) ZACB 90°, АС 8 см, АВ

а)

точка М

=

Требуется: а) доказать,

что AM

=

=

ABC, причем:

параллелограмм

10

см и

биссектриса угла САВ; б) доказать,

ZAHC

=

и

45°.

что ABCD

прямоугольник; в) определить, перпендикулярны ли прямые BD и ОН;
г) найти длину отрезков ВС, ВН и АН.

18.8. К

плоскости прямоугольника

восстановлен перпендикуляр.
точка

М

18.9.

Верно

ABCD

в точке пересечения

этого перпендикуляра равноудалена от вершин

Точка М равноудалена

диагоналей

ли утверждение о том, что произвольная

прямоугольника?
Верно ли

от всех точек окружности.

утверждение о том, что она принадлежит перпендикуляру к плоскости окружности,
проведенному через ее

18.10. Верно

центр?

утверждение: «Если из двух различных точек, не
принадлежащих плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции
тоже равны»?
ли

18.11. Сформулируйте
Верно ли оно?

утверждение,

обратное

утверждению

предыдущей

задачи.

18.12. Из

точки

М,

не

принадлежащей

плоскости перпендикуляр и наклонная.

Как

плоскости

а,

проведены к этой

в плоскости а провести прямую,

наклонной?
18.13. Дан квадрат ABCD. Из некоторой точки М к его плоскости проведен
перпендикуляр МН. Какое положение должна занимать точка Н в плоскости
квадрата, чтобы угол МАН равнялся углу МВН1
18.14. Дан квадрат ABCD. АК
отрезок, перпендикулярный плоскости
перпендикулярную

квадрата; точка К соединена с вершинами Б и С.

Докажите,

что треугольник

КВС

прямоугольный.
18.15. Дан треугольник

ABC. Из точки А восстановлен перпендикуляр AD
к его плоскости. Из точки D проведен перпендикуляр к прямой ВС. Какие
условия должны быть выполнены, чтобы этот перпендикуляр: а) пересекал
отрезок ВС в его внутренней точке; б) проходил через один из его концов;

в)
к

пересекал его

продолжение?
18.16. Найдите ГМ оснований наклонных одинаковой
данной плоскости из данной точки.

длины, проведенных

18.17. Найдите ГМТ в пространстве, одинаково удаленных от: а) вершин
вписанного в окружность многоугольника; б) сторон описанного около
окружности многоугольника.
18.18. Поставьте на стол карандаш и проверьте с помощью чертежного
треугольника, что он перпендикулярен плоскости стола. Какой геометрический

факт при этом используется?
18.19. Как нужно установить

на крестовине срубленную елку, чтобы она
была перпендикулярна плоскости пола?
18.20. Как проверить с помощью чертежного треугольника, что стержень
поршня цилиндра перпендикулярен плоскости поверхности поршня?

18.21. Сколько прямых и каким образом нужно начертить на поверхности
четырехугольной деревянной балки, чтобы, направив по ним пилу, получить
плоскую поверхность распила, перпендикулярную ребру балки?
18.22. Из точки А, взятой вне плоскости круга, опущен на нее
перпендикуляр
трех

АО, где О

точек

основание перпендикуляра.

окружности данного

круга.

через его центр.
18.23. Из точки Н

плоскости

Из

данной

50

точки М проведены к

8

Точка А одинаково удалена от
что прямая АО проходит

Докажите,

восстановлен к

ней перпендикуляр НМ.
МА, МБ и МС.

плоскости три равные наклонные

Точки А, Б

и

С

Докажите,

их основания.

окружности с центром в точке

что эти точки принадлежат

Н.

18.24. Громоотвод защищает

от молнии все предметы, расположенные от

высоты. Нужно установить громоотвод на
здания,
имеющей форму прямоугольника с диагональю 40 м. Найдите
крыше
его наименьшую высоту.

его основания не далее его

двойной

18.25. Для установки радиомачты к ней на высоте 4 м прикреплены три
растяжки, привязанные к кольям, вбитым на расстоянии 3 м от основания
мачты. Найдите длину каждой растяжки.

§19. Угол между прямой
19.1. Что
она

и плоскостью

называется углом

между

наклонной

и

которой

к

плоскостью,

проведена?
19.2. Какая прямая образует с плоскостью прямой угол?
19.3. Сформулируйте теорему о величине угла между наклонной

и

плоскостью.
19.4. По рисунку 71 воспроизведите доказательство теоремы о величине
угла между наклонной и плоскостью.

19.5. Что называется углом между отрезком и плоскостью?
19.6. Можно ли угол между наклонной и ее проекцией на плоскость
углом между

19.7. С

наклонной

какими

и

прямыми,

лежащими

в

плоскости,

наклонная

углы, равные углу между этой наклонной и плоскостью?
19.8. Даны две параллельные наклонные, проведенные к
плоскости.

Что

можно

считать

плоскостью?

сказать

о

величине

углов,

которые

одной
они

образует
и

той

же

образуют

с

плоскостью?
19.9. Прямые

а и

Ъ образуют

параллельны?
19.10. Найдите угол

с плоскостью а равные углы.

Будут

ли эти

прямые

грани ABCD.
19.11. Докажите,
гранью.
19.12.
точки, не

между диагональю

что диагональ

Докажите, что
принадлежащей

АСг куба A...Dг

куба образует

равные наклонные,

плоскости,

образуют

и плоскостью его

равные углы с каждой его

проведенные
с

к

плоскости

из

ней равные углы.
51

19.13. Как найти угол наклона бокового ребра правильной треугольной
пирамиды к плоскости основания?
19.14. Будут ли в пирамиде боковые ребра равны, если они образуют
равные углы с плоскостью основания? Сформулируйте обратное утверждение.
Верно ли оно?
19.15. Дан треугольник ABC и
Наклонные DA, DB, DC

плоскости.

треугольника.

Докажите,

что

треугольника является центр

точка

D, которая

составляют

ортогональной проекцией
описанной

19.16. Даны треугольник

и

не

равные

его

принадлежит
с

углы

точки

D

плоскостью

на плоскость

около треугольника окружности.
не

точка,

принадлежащая

его

плоскости.

Перпендикуляры, опущенные из точки на стороны треугольника, одинаково
наклонены к плоскости треугольника. Докажите, что ортогональной

проекцией данной

точки на плоскость треугольника является центр

вписанной

в

треугольник окружности.

19.17. Может

образовать

с

ли

равнобедренного прямоугольного
проходящей через гипотенузу, угол

катет

плоскостью,

треугольника
в 60°? Какова

наибольшая величина угла между катетом и этой плоскостью?
19.18. Только основание равнобедренного треугольника лежит в
плоскости а. Какой из углов больше: угол наклона боковой стороны треугольника к
плоскости а или угол наклона к плоскости а высоты треугольника,
проведенной к его основанию?
19.19.
плоскости.

Прямая а
Существуют

пересекает плоскость а и не перпендикулярна
ли в плоскости а прямые, перпендикулярные

19.20. Диагональ параллелограмма (ромба)
утверждение о том,

что

углы с плоскостью а?
19.21. Две плоскости

стороны

с

Верно ли
(ромба) образуют равные

лежит в плоскости ос.

параллелограмма

образуют

этой

а?

данной прямой равные

расположены друг относительно друга эти плоскости?
19.22. Какую фигуру на плоскости ос образуют

углы. Как

основания наклонных,

проведенных к плоскости ос из точки вне плоскости и

образующих

равные углы

с плоскостью а?
19.23. Какая точка является

равноудаленной от четырех данных точек, не
одной плоскости?
19.24. Прямая пересекает две параллельные плоскости. Что можно сказать

принадлежащих

об углах, которые она

образует

с этими

плоскостями?

19.25. Даны две параллельные прямые, пересекающие одну плоскость.
можно сказать об углах, которые они образуют с этой плоскостью?
19.26. Один

катет равнобедренного прямоугольного
другой образует с этой плоскостью угол

Что

треугольника лежит

45°. Найдите угол,
который образует гипотенуза данного треугольника с той же плоскостью.
19.27. Найдите угол между диагональю АХС куба A...DX и плоскостью
в плоскости, а

в

АВА.
19.28. Определите вид треугольника,
сторон,

принадлежит перпендикуляру к

проведенному через центр

52

описанной

если точка,

равноудаленная от его

плоскости этого треугольника,

около него окружности.

§ 20. Расстояния между точками, прямыми

и плоскостями

20.1. Как определяется

в пространстве расстояние между: а) двумя
б) прямой и не принадлежащей ей точкой; в) двумя параллельными
прямыми?
20.2. Что называется расстоянием между плоскостью и не принадлежащей
ей точкой?
20.3. Что называется расстоянием между двумя параллельными

точками;

плоскостями?
20.4. Почему расстояние между двумя параллельными

выбора точки? По рисунку
(М
выбранная точка).

зависит от

факта

20.5. Что
прямых?
20.6. Что

называется

плоскостями

не

72 воспроизведите доказательство этого

общим перпендикуляром

двух скрещивающихся

называется расстоянием между двумя скрещивающимися

прямыми?
20.7. По рисунку 73 воспроизведите доказательство: а) существования;
б) единственности общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых.

20.8. Дан куб

A...D, (рис. 28), ребро

которого равно а. Найдите

расстояние от:

а) вершины Ах до плоскости грани ABCD;
б) вершины В до плоскости DCDX\
в) вершины Cj до вершины А;
53

г)

центра грани

д)

точки пересечения

АВВХАХ

до плоскости грани

диагоналей грани

CDDfi^
ВВХСХС до плоскости BCD;

плоскости
АВВХ до плоскости DDXCX;
ж) плоскости грани ВСС1В1 до плоскости ADDX\
з) центра куба до плоскости ABBV

е)

20.9. Расстояние между параллельными плоскостями равно 2 дм. Концы
отрезка длиной 4 дм принадлежат этим плоскостям. Докажите, что его
ортогональные проекции на данные плоскости равны и

20.10. Отрезок длиной 13

найдите

их длины.

см пересекает плоскость, из его концов на нее

опущены перпендикуляры, равные

7

см и

5

см.

Найдите отрезок, соединяющий

основания перпендикуляров.

20.11. Концы отрезка,
а) 4 м и 7 м; б) а

расстояния:

не пересекающего плоскость, удалены от нее на
и

Ъ. Найдите расстояние

от его середины до

данной

плоскости.

20.12. Докажите, что концы данного отрезка находятся на равных
любой точки плоскости, проходящей через его середину.

расстояниях от

20.13. Из точки А, не
наклонная.

принадлежащей плоскости ос, проведена к ней
Найдите угол между наклонной и плоскостью ос, если расстояние

А до плоскости а равно: а) ортогональной проекции наклонной; б)
меньше самой наклонной.

точки
раза

20.14. Найдите ГМТ

данной

от

в два

в пространстве, удаленных на данное расстояние

d

от

плоскости.

20.15. Найдите ГМТ

в пространстве,

равноудаленных от двух

параллельных плоскостей.
20.16. Найдите ГМ середин отрезков, заключенных между параллельными
плоскостями.
20.17.

Дан единичный куб A...DV Найдите расстояние между
а) АС и BtDt; б) ADX и БХС; в) АВг и CDV
20.18. В плоскости у лежит прямоугольный треугольник АБС (ZC
90°)
(рис. 74), катет ВС равен: а) 5 см; б) а. В точке А восстановлен к плоскости у
скрещивающимися прямыми:

=

перпендикуляр AD. Найдите расстояние
расстояние от точки D до точки Б равно:

от точки

а) 13

см;

D до

катета

БС,

если

б) d.

20.19. Точка М удалена от каждой вершины прямоугольного треугольника
на 10 см. Найдите расстояние от нее до плоскости треугольника, если
гипотенуза треугольника равна 16 см.
54

20.20. Точка К,
от его вершины на

от

этой

АСБ, удалена
Найдите расстояние

не принадлежащая плоскости прямого угла

5 см,

а от

каждой стороны

на

4

см.

точки до плоскости данного угла.

20.21. Определите вид треугольника,

если точка,

равноудаленная от его

вершин, принадлежит перпендикуляру к плоскости треугольника,

вписанной в данный треугольник.
20.22. Точка L, не принадлежащая плоскости равностороннего
треугольника АБС, находится на равных расстояниях от его сторон. Как расположена
прямая: a) AL относительно прямой ВС; б) BL относительно прямой АС; в) CL
относительно прямой АБ? Будут ли они перпендикулярны?
проведенному через центр окружности,

20.23. На рисунке 75 представлена ортогональная проекция треугольника
АБС на плоскость тт. Известны расстояния от его вершин А, Б, С до плоскости я,
которые соответственно равны: а) 3 см, 5 см и 7 см; б) а, b, с. Найдите
расстояние от центроида

М данного треугольника до

плоскости я.

20.24. Из вершины большего угла треугольника
6 дм

со сторонами

8 дм, 10 дм

и

равный 4,8 дм. Как найти
треугольника? Чему оно равно?

восстановлен к его плоскости перпендикуляр,

расстояние от его конца до большей стороны

20.25.

В плоскости а найдите ГМТ, удаленных от точки А,

не

принадлежащей ей, на расстояние, равное: а) 12 мм; б) d.
20.26. В плоскости Р даны окружность с центром в точке О и точка М, не
принадлежащая ей (рис. 76). Из точки М проведена к окружности касательная
MB (Б
точка касания). Найдите расстояние от точки М до точки Р, которая
не принадлежит плоскости Р и удалена от всех точек окружности на: а) 5 см,
если МБ

=

2>/б

см;

б) h,

если

МБ

=

d.
Р

55

20.27. В единичном кубе
и плоскостью

AD

АВ^; б)

A...D1 найдите расстояние между: а) вершиной Аг
АВХ и BCV

прямыми

20.28. В единичном тетраэдре ABCD найдите расстояние между прямыми
ВС.

и

§ 21. Двугранный угол
21.1. Какую фигуру

б)

можно считать пространственным аналогом:

в) плоскости; г) полуплоскости; д) угла?
21.2. Что называется двугранным углом?
21.3. Назовите основные элементы двугранного

а) прямой;

луча;

21.4. Какая фигура

называется

угла.

линейным углом данного двугранного

угла?
21.5. По рисунку 77 воспроизведите доказательство того, что
линейного угла двугранного угла не зависит от выбора плоскости,

перпендикулярной

его

величина

ребру.

21.6. Что называется величиной двугранного угла?
21.7. Какой двугранный угол называется прямым?
21.8. Что называется углом между двумя пересекающимися прямыми?
21.9. Что называется углом между соседними гранями многогранника?
21.10. Верно ли следующее определение линейного угла двугранного угла:
«Линейным углом двугранного угла

называется угол между двумя

перпендикулярами:

1) восстановленными из одной точки его ребра;
2) лежащими в каждой его грани и проведенными
ребра;
3) к его ребру, проведенными в каждой его грани»?
56

через

одну точку

21.11. На одной

из граней двугранного угла дана точка Е, из нее опущены
ЕН
и EG соответственно на другую его грань и ребро (рис. 78).
перпендикуляры

Докажите,

что угол

21.12. Можно

EGH

ли

в

линейный угол данного двугранного угла.

плоскости

линейного угла данного двугранного угла

ребром I провести прямую: а) параллельную I; б) перпендикулярную
в) образующую с I острый угол; г) образующую с I тупой угол?

I;

с

21.13. Верно ли следующее утверждение: «Если двугранные углы равны,
то равны и их линейные углы»?
21.14. Сформулируйте утверждение, обратное утверждению предыдущей
задачи. Верно

21.15. Что

оно?

ли

можно сказать о взаимном расположении плоскости

ребра
образует ребро двугранного

угла некоторого двугранного угла

21.16. Какой

угол

этого двугранного

и

линейного

угла?
прямой,

угла с любой

в плоскости его линейного угла?
21.17. Из вершины В квадрата ABCD к его плоскости восстановлен
перпендикуляр BN. Укажите на рисунке 79 линейный угол двугранного угла

лежащей

с

ребром: а) АВ; б) ВС; в) CD; г) AD; д) BN.

21.18. Дан куб A...DV Найдите двугранный
ABCD

и сечением

AXBXCD; б)

гранью

ССХDXD

угол,

образованный: а)

и сечением

гранью

AAfifi.
57

21.19. Дан куб

A...DV Найдите

составленного сечением, проходящим через

величину двугранного угла,

ребра ВВг

б) CDDXCV
21.20. Какую фигуру можно считать
биссектрисы угла? Как она называется?

и

DDV

и

гранью:

a) ADD^A^

пространственным аналогом

21.21. Как разделить данный двугранный угол пополам?
21.22. Плоскости двух равнобедренных треугольников с общим

образуют двугранный угол. Верно ли утверждение о том, что высоты,
к общему основанию треугольников, образуют линейный угол
двугранного угла?
21.23. Какие из приведенных ниже утверждений можно принять за
основанием

проведенные

линейного угла двугранного угла:
1) линейным углом двугранного угла

определение

перпендикулярами, восстановленными из

одной

называется угол между

точки

ребра;

2) линейным

углом двугранного угла называется угол между двумя
перпендикулярами, лежащими в каждой грани двугранного угла и проведенными
через одну точку

3) линейным
перпендикулярами к

ребра;
углом двугранного угла называется угол между двумя
ребру, проведенными в каждой грани двугранного угла?

21.24. Как найти двугранный угол при некотором ребре правильного:
а) тетраэдра; б) гексаэдра; в) октаэдра?
21.25. На одной из граней двугранного угла дана точка М. Из нее
опущены два перпендикуляра: МО на ребро и МН на другую грань двугранного
угла. Какой угол можно считать линейным углом данного двугранного угла

почему?
21.26. Из точки L, взятой внутри двугранного угла, опущен перпендикуляр
LH на его ребро с (рис. 80). Докажите, что отрезок LH и его ортогональные
и

проекции на грани двугранного угла лежат в

Рис. 80

58

одной

плоскости.

Рис. 81

21.27. Из

перпендикуляры МН

точки

и

образованным

МР

М, взятой внутри двугранного угла, опущены

на его грани

(рис. 81). Найдите

этими перпендикулярами, и

зависимость между углом,

линейным углом данного

двугранного угла.

21.28. Через гипотенузу, равную с, равнобедренного прямоугольного
треугольника (рис. 82) проведена
треугольника.

проведенной

плоскость под углом:

Найдите расстояние

а) 30°; б) 60°

к плоскости

от вершины прямого угла треугольника до

плоскости.

21.29. Сколько двугранных углов

а) треугольной призме; б)
четырехугольной пирамиде; в) /г-угольной призме; г) л-угольной пирамиде?
21.30. В основании пирамиды лежит: а) равносторонний треугольник;
б) квадрат; в) ромб; г) правильный шестиугольник; д) разносторонний
в:

треугольник. Все двугранные углы при сторонах основания равны. Укажите
ортогональную проекцию вершины пирамиды. Сделайте вывод.
21.31. Сформулируйте утверждение, обратное утверждению предыдущей
задачи. Верно ли оно?

Сторона АВ треугольника ABC лежит в плоскости у, которая
с
плоскостью
треугольника угол в 30°. Найдите расстояние от вершины
образует
С треугольника до плоскости у, если АС
10 см и угол ВАС равен: а) 30°
21.32.

=

(рис. 83, а); б) 150° (рис. 83, б).

Рис. 83
21.33. Можно

ли построить

прямой двугранный угол, грани которого
а) пересекаются; б) параллельны;

проходят через две данные прямые, которые:

в) скрещиваются?
59

§ 22. Перпендикулярность плоскостей
22.1. Какие две плоскости называются перпендикулярными?
22.2. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей

и по

рисунку 84 воспроизведите его доказательство.

22.3. Каково взаимное расположение

граней

двугранного угла и плоскости

линейного

угла?
22.4. Как доказать, что смежные грани куба перпендикулярны?
22.5. Верно ли утверждение о том, что две плоскости, перпендикулярные
третьей, параллельны?
22.6. Верно ли утверждение о том, что прямая и плоскость,
перпендикулярные другой плоскости, параллельны между собой?
22.7. Как провести плоскость, перпендикулярную двум другим
пересекающимся плоскостям? Сколько таких плоскостей можно провести?

22.8. Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости, можно
прямую?
22.9. Где расположено основание высоты пирамиды, у которой одна из
боковых граней перпендикулярна основанию?
22.10. Даны две перпендикулярные плоскости. В одной из них проведена
прямая, пересекающая вторую плоскость в некоторой точке М. Каким
образом во второй плоскости построить прямую, перпендикулярную проведенной
прямой?
22.11. Плоскость и прямая параллельны. Верно ли утверждение о том, что
провести через данную

плоскость,

перпендикулярная

прямой?
22.12. Плоскость
том,

что

плоскость,

и

данной

прямая

плоскости, перпендикулярна и

данной

Будет ли верно утверждение о
прямой, перпендикулярна и данной

параллельны.

перпендикулярная

плоскости?
22.13. При возведении каменной стены иногда проверяют ее
перпендикулярность горизонтальной плоскости при помощи отвеса. Почему?

22.14. Плоскость

а перпендикулярна плоскости

плоскости а перпендикулярна плоскости

22.15. Даны две перпендикулярные

(3. Будет

ли всякая прямая

(3?

плоскости.

Опишите

возможные случаи

прямой, лежащей в одной из этих плоскостей, относительно
прямой, лежащей в другой плоскости. Проиллюстрируйте свой ответ на модели.

расположения

60

22.16. Даны две перпендикулярные
проведена прямая а таким

образом,

плоскости а и

что она является

р.

В

плоскости

наклонной

(3

к плоскости а.

Где расположена ортогональная проекция наклонной

а на плоскость ос?
22.17. Даны две перпендикулярные плоскости ос и р. Плоскость у пересекает
каждую из этих плоскостей и перпендикулярна плоскости р. 1) Каким образом

расположена линия пересечения плоскостей а и у по отношению к плоскости Р?
2) Какой угол образуют линии пересечения плоскостей ос, у и плоскостей Р, у?

22.18. Для пирамиды, изображенной
верных

на рисунке

85,

назовите номера

утверждений:
1) угол между плоскостями SAB и DBC прямой;
2) плоскости SBC и SAB перпендикулярны;
3) плоскости SAC и DBC перпендикулярны;
4) угол между плоскостями SCD и DBC прямой;
5) плоскости DBC и ASP перпендикулярны;
6) угол между плоскостями SBC и ASP прямой.
22.19. По рисунку 86 докажите, используя метод доказательства

от

одной

из них

опущен перпендикуляр на другую плоскость, то он полностью лежит в

первой

противного,

что если две плоскости перпендикулярны и из точки

плоскости.

Рис. 85

Рис. 86

22.20. Докажите, используя результат предыдущей задачи, что если
из двух пересекающихся плоскостей перпендикулярна третьей
плоскости (рис. 87), то линия их пересечения перпендикулярна этой третьей
каждая

плоскости.

Рис. 87

Рис. 88

61

22.21. Докажите,

б) CDAJS,
22.22.

и

что в

кубе A...D1 (рис. 88)

ABCXDX\ в) ADClBl

Верно

и

BCD1А1

ли такое утверждение:

любая прямая, проведенная

сечения:

а)АСС1А1

BDD^B^

и

перпендикулярны.

«Если две

одной

плоскости

прямой,
лежащей в другой плоскости»?
22.23. Даны две перпендикулярные плоскости. Докажите, что из всех
прямых первой плоскости только прямая, перпендикулярная линии их
пересечения, перпендикулярна второй плоскости.
перпендикулярны, то

в

из них, перпендикулярна

22.24. Лестница длиной 5 м прислонена к отвесной стене. Ее нижний конец
4 м. На какой высоте находится другой ее конец?

отстоит от стены на

22.25. Телефонный провод прикреплен
дома

на высоте

4

м.

Расстояние

от

к

столба до

Найдите длину провода. (Провисание провода

22.26. Сколько

можно

провести

столбу

на высоте

9 м,

а к стене

стены дома по земле равно

12

м.

учитывается.)
плоскостей: а) перпендикулярных;
не

б) параллельных данной плоскости и проходящих через данную точку, не
принадлежащую ей.
22.27. По рисунку 89 составьте

«Дано: АС

Ъ, CD

устный

план решения

следующей

задачи:

h. Найдите: а) угол между плоскостями DAB и DBC;
ADB и ABC; в) площадь треугольника ADB».
плоскостями
б) угол между
=

а, СВ

=

=

А
Рис. 89

22.28. По рисунку 90 составьте устный план решения следующей задачи:
«Найдите все прямые углы на рисунке и угол между плоскостями А1В1С1 и
1:2».
ABC, если O^D, : 01С1
=

АВ

22.29. По рисунку 91 составьте устный план решения такой задачи: «Дано:
b, ВС || AD. Найдите: а) угол между плоскостями BAD и AHD;
a, AD
=

=

б) расстояние от точки С до плоскости AHD; в) угол между
и ABD; г) угол между прямой АС и плоскостью AHD».

22.30. Найдите ГМТ
плоскостей.

в пространстве,

плоскостями

НАВ

равноудаленных от двух

пересекающихся

§ 23*. Центральное проектирование.

Изображение
в

23.1. Как
23.2. Как
23.3. Для
Для

пространственных фигур

центральной проекции
задается центральное

проектирование?

определяется центральная проекция точки?
всех ли точек пространства определена центральная

каких точек она не

проекция?

существует?

Какое соответствие называется центральным проектированием?
Что называется центральной проекцией фигуры?
Как по-другому называется центральное проектирование?
Какое изображение фигуры получится в центральной проекции,
если плоскость проектирования расположить между фигурой и центром
проектирования?
23.8. Какое изображение фигуры получится в центральной проекции, если
центр проектирования находится между фигурой и плоскостью
проектирования? Где используется такое изображение?
23.9. Какое изображение фигуры получится в центральной проекции, если
она расположена между плоскостью и центром проектирования? Где
используется такое изображение?
23.10. Что можно сказать о центральной проекции плоской фигуры,
которая расположена в плоскости, параллельной плоскости проектирования?
23.11. Сформулируйте теорему о центральной проекции плоской фигуры,
расположенной в плоскости, параллельной плоскости проектирования.
23.4.
23.5.
23.6.
23.7.

63

23.12. По рисунку 92 воспроизведите доказательство теоремы о
центральной проекции плоской фигуры, расположенной в плоскости, параллельной
плоскости проектирования.

23.13. Рассмотрите
плоскости,

и сравните два случая

параллельной

расположения плоской фигуры

плоскости проектирования, а именно:

а)

в

плоскость

фигуры находится между центром проектирования и плоскостью проектирования;

б)

плоскость проектирования расположена между центром проектирования и

фигуры. Как определяется соответствующий коэффициент подобия?
23.14. Укажите ГМТ в пространстве, для которых не существует

плоскостью

центральных

проекций
23.15. Что

на плоскость п с центром проектирования
является

23.16. Пусть
Покажите
часть

прямой

64

ее

получить?

и не проходит через точку

S.

93, куда при центральном проектировании переходит

а, расположенная:

23.17. Могут

перейти

прямая а пересекает плоскость я

на рисунке

S.

центральной проекцией прямой? Как

а)

«выше»;

б)

«ниже»

плоскости п.

ли при центральном проектировании параллельные прямые

в пересекающиеся

прямые?

23.18. Приведите примеры из окружающей нас действительности, когда
создается впечатление, что параллельные прямые пересекаются.
23.19. Рассмотрите вопрос о том, куда при центральном проектировании
переходит прямая, параллельная плоскости п.
23.20. В каком случае центральной проекцией двух прямых
параллельные

будут

две

изображена центральная проекция куба. Объясните,
куб относительно плоскости проектирования.

как

прямые?

23.21. На рисунке

94

в каждом случае расположен

F'

*F'

В

%%A_£iS

D
в)

23.22. На рисунке 95 изображена центральная проекция правильной
четырехугольной пирамиды. Объясните, как она расположена относительно
плоскости проектирования.

Рис. 95

3

Смирнова, 10-111

65

23.23. На рисунке 96 изображен прямой круговой цилиндр

проекции. Объясните,

в

центральной

как он расположен в каждом случае относительно

плоскости проектирования.

Вопросы

из истории перспективы

23.24. Когда и где возникла теория перспективы?
23.25. С именами каких ученых Древней Греции связана история учения
о перспективе?
23.26. Какие ученые эпохи Возрождения занимались изучением теории
перспективы?
23.27. Какое устройство для получения перспективы предложил в своих
работах Альбрехт Дюрер?
23.28. Какие основные части перспективы выделил Леонардо да Винчи?

В каком произведении он представил их?
23.29. Кого математики считают основателем раздела математики

начертательной геометрии?
23.30. С именами каких российских

художников связано развитие теории

перспективы в XIX веке?

Глава IV. МНОГОГРАННИКИ
§ 24. Многогранные углы
24.1. Какая фигура в пространстве
24.2. Назовите основные элементы

называется многогранным

углом?

многогранного угла.

24.3. Какие бывают многогранные углы?
24.4. Сформулируйте теорему о плоских углах трехгранного угла.
24.5. По рисунку 97 воспроизведите доказательство теоремы о плоских
углах трехгранного угла.

66

24.6. Сформулируйте следствие

из теоремы о плоских углах трехгранного

угла.

24.7. Можно ли составить трехгранный угол с такими плоскими углами:
а) 103°, 96°, 78°; б) 112°, 45°, 164°; в) 82°, 67°, 150°?
24.8. Выясните, из каких плоских углов нельзя составить трехгранный
угол: а) 100°, 70°, 40°; б) 130°, 85°, 36°; в) 150°, 120°, 90°.
24.9. Сколько трехгранных углов в п-угольной: а) призме; б) пирамиде;
в) усеченной пирамиде?
24.10. Докажите, что если в трехгранном угле два плоских угла прямые,
то и противоположные им двугранные углы тоже прямые (рис. 98).

24.11. Сформулируйте
Верно ли оно?

утверждение,

обратное

утверждению

предыдущей

задачи.

24.12. Могут

ли в трехгранном угле все плоские углы

можно сказать о его двугранных

24.13. Могут

Что

ли

быть

в трехгранном угле все двугранные углы

можно сказать о его плоских

24.14.

прямыми?

углах?

В трехгранном угле с вершиной

60°. На одном

быть прямыми? Что

углах?

в точке

S

все плоские углы равны

К (рис. 99),

и через нее проведена
и
SK
пересекающая два других ребра в точках L
(3, перпендикулярная
М соответственно. Найдите периметр треугольника KLM, если SK
1 см.

по

из его

ребер

взята точка

плоскость
и

=

24.15. Дан трехгранный угол SABC, у которого все
SAB взята точка Н. Как восстановить

прямые. В его грани

плоские углы
в

ней перпендикуляр

этой грани?
24.16. Плоскость у отсекает

к плоскости

на ребрах трехгранного угла, у которого все
плоские углы
прямые, равные единичные отрезки. Какая фигура получается
при этом в сечении? Найдите ее: а) периметр; б) площадь.

3*

67

24.17. Могут ли все плоские углы четырехгранного угла быть прямыми?
24.18. Известно, что ортогональная проекция треугольника на одну из
трехгранного угла равна данному треугольнику, а его ортогональные
проекции на две другие грани являются отрезками. Что можно сказать о

граней

угла?
24.19. Сколько и какого типа многогранных углов у: а) шестиугольной
пирамиды; б) усеченной десятиугольной пирамиды; в) девятнадцатиугольной
призмы; г) октаэдра?
24.20. Что изображено на рисунке 100?
двугранных углах данного трехгранного

24.21. Трехгранный угол
прямые, пересечен плоскостью,

Используя рисунок 101,

докажите,

на плоскость сечения

ABC,

с вершиной S, все плоские углы которого
пересекающей его ребра в точках А, Б, С.
что основание О перпендикуляра SO, опущенного

является ортоцентром треугольника

24.22. Плоскость пересекает
полученные на

них

АБС.

ребра многогранного угла так, что
отрезки равны. Можно ли около получившегося сечения описать
все

окружность?
§ 25. Выпуклые многогранники. Призмы
25.1. Какая фигура

25.2. На

называется

г)

пирамиды

выпуклой?

рисунке 102 укажите выпуклые

а)

и невыпуклые

в)

б)

д)
Рис. 102

68

и

е)

фигуры.

25.3. Может

ли

быть невыпуклой фигурой: а) треугольник; б) круг;

в) тетраэдр; г) треугольная призма?
25.4. Какой многогранный угол

25.5. Сформулируйте

называется

выпуклым?

теорему о сумме всех плоских углов выпуклого

многогранного угла.
25.6. По рисунку 103 воспроизведите доказательство теоремы о сумме всех
плоских углов выпуклого многогранного угла.

25.7. Можно ли составить выпуклый четырехгранный угол с такими

а) 56°, 98°, 139°
129°; г) 43°, 84°, 125° и 101°.

плоскими углами:
и

25.8. Какой многогранник

25.9. На

и

72°; б) 32°, 49°, 78°

называется

и

162°; в) 85°, 112°, 34°

выпуклым?

рисунке 104 укажите выпуклые и невыпуклые многогранники.

Рис. 104
69

25.10. Используя рисунок 105, докажите,

что в выпуклом многограннике

все грани являются выпуклыми многоугольниками.

25.11. Может

ли

невыпуклый

многоугольник быть гранью выпуклого

многоугольника?
25.12. Приведите

пример невыпуклого многогранника, у которого все грани
являются выпуклыми многоугольниками.
25.13. Каким образом можно составить данный выпуклый многогранник

общей вершиной? Приведите примеры.
25.14. Можно ли любой выпуклый многогранник разбить на конечное число
тетраэдров? Как это сделать?
25.15. Может ли выпуклый многогранник иметь 15 плоских углов? Как
связано число плоских углов с числом его ребер?
25.16. Может ли выпуклый многогранник иметь 15 ребер? Приведите
пример такого многогранника. Сколько у него плоских углов?
25.17. Назовите выпуклый многогранник, у которого: а) 5 вершин;
б) 7 вершин; в) вершин столько же, сколько граней; г) 5 граней.
25.18. Можно ли привести пример выпуклого многогранника, у которого:
а) 6; б) 8; в) 7 ребер?
25.19. Верно ли утверждение о том, что выпуклый многогранник лежит
по одну сторону от плоскости каждой своей грани?
25.20. Сформулируйте утверждение, обратное утверждению предыдущей
задачи. Верно ли оно?
из пирамид с

25.21. Какой фигурой является сечение выпуклого многогранника
плоскостью?
25.22. Всегда ли пересечение выпуклых фигур будет выпуклой фигурой?

25.23. Верно

ли утверждение о том, что пересечение выпуклых

многогранников является выпуклым

25.24. Всегда
фигурой?
25.25. Верно
многогранников

многогранником?

ли

объединение выпуклых фигур

ли

утверждение о

является выпуклым

том,

что

является

выпуклой

объединение выпуклых

многогранником?

Призмы
25.26. Какой многогранник называется призмой?
25.27. Верно ли следующее определение: «Призмой

называется

многогранник, у которого две грани
равные многоугольники с соответственно
параллельными сторонами, а все остальные грани
параллелограммы»?

70

25.28. Назовите основные элементы призмы.
25.29. Может ли в призме быть: а) 12; б) 15; в) 60 многогранных углов?
25.30. Сколько многогранных углов в n-угольной призме?

25.31. Призма

имеет:

а) 5; б) 18; в)

т

граней. Какой

многоугольник лежит

основании?
25.32. Почему у призмы не может быть 16 ребер?
25.33. Почему все боковые ребра призмы параллельны между собой?
25.34. Определите вид призмы, имеющей: а) 8 вершин; б) 15 ребер;
в) 10 граней; г) 42 плоских угла.
25.35. Какое наименьшее число граней может иметь призма?
25.36. В каком случае призма является выпуклым многогранником?
в ее

25.37. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины призмы:
а) треугольной; б) четырехугольной; в) пятиугольной; г) п-угольной?
25.38. Сколько: а) диагоналей; б) диагональных сечений можно провести
в

n-угольной призме?
25.39. В какой n-угольной призме число диагональных сечений равно
числу боковых граней?
25.40. Может ли у призмы быть: а) 21 диагональ; б) 9 диагональных
сечений?
25.41. Определите, какой многоугольник

которой: а) 40 диагоналей; б) 14
25.42. Почему все высоты
25.43. Какая призма

лежит в основании призмы, у

диагональных сечений.
призмы равны между

собой?

а) прямой; б) правильной?
25.44. У призмы только одно боковое ребро перпендикулярно плоскости
основания. Будет ли она прямой? Сформулируйте соответствующее утверждение.
25.45. Сформулируйте утверждение, обратное утверждению предыдущей
задачи. Верно ли оно?
25.46. Верны

1)

называется:

ли следующие утверждения:

если в призме две смежные

боковые грани перпендикулярны

плоскости

основания, то призма прямая;

2)

если в призме две

боковые грани перпендикулярны

плоскости

прямая?
25.47. Верно ли, что если высота призмы равна высоте боковой грани, то
призма прямая?
25.48. Сформулируйте утверждение, обратное утверждению предыдущей
задачи. Верно ли оно?

основания, то призма

25.49. В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?
25.50. Докажите, что плоские углы основания прямой призмы являются
линейными углами двугранных углов, образованных смежными боковыми
гранями призмы.
25.51. Какое наибольшее
ребрах

может иметь прямая:

а)

число острых двугранных углов при

четырехугольная;

б)

пятиугольная;

боковых

в)

п-угольная

призма?
25.52. Суммы площадей
четырехугольной призмы равны

противоположных боковых граней прямой
между собой. Каким свойством должен обладать
четырехугольник, лежащий в основании?
71

25.53. Определите вид сечения прямой призмы плоскостью, проходящей
через диагональ призмы и ее ортогональную проекцию на основание.
25.54. Определите вид сечения прямой четырехугольной призмы, в
основании

которой

лежит

трапеция,

непараллельных боковых

25.55. Существует

ли

плоскости

перпендикулярно
25.56. Существует

плоскостью,

проходящей

через диагонали

граней.
призма,

у

которой

только одно

боковое ребро

основания?

ли призма, у которой только одна боковая грань
перпендикулярна плоскости основания?
25.57. Известно, что боковое ребро треугольной призмы перпендикулярно
только одной стороне основания. Какого вида призма? Какова форма ее

боковых

граней?
25.58. Возможна

ли треугольная призма, у которой только две боковые
форму прямоугольника?
25.59. Может ли боковое ребро наклонной призмы быть перпендикулярным:

грани

имеют

а) стороне основания; б) диагонали основания?
25.60. В призме только одна боковая грань перпендикулярна

основанию.

а) правильный
в) правильный пятиугольник; г) правильный шестиугольник?
25.61. Две смежные боковые грани призмы перпендикулярны основанию.
Прямой или наклонной является данная призма?
25.62. Могут ли диагональные сечения наклонной призмы быть

Может ли

б)

основанием

этой

призмы служить:

треугольник;

квадрат;

прямоугольниками?
25.63. Основанием наклонной призмы
грани перпендикулярны основанию.

Через

является трапеция.

Две боковые

какие стороны основания

могут

грани?
25.64. Является ли призма правильной, если у нее все: а) ребра равны;
прямоугольники?
квадраты; в) боковые грани
б) боковые грани
25.65. В основании треугольной призмы лежит равносторонний
треугольник. Одна из боковых граней является прямоугольником и перпендикулярна
плоскости основания. Будет ли данная призма правильной?
25.66. Всегда ли прямая четырехугольная призма, у которой диагональные
сечения равны и перпендикулярны, будет правильной?
25.67. В какой правильной я-угольной призме все диагональные сечения
проходить эти

равны между собой?
25.68. Ортогональная проекция одной из вершин верхнего основания
треугольной призмы принадлежит стороне нижнего основания. Как может быть
расположена высота призмы, проведенная из этой вершины, относительно

граней призмы?
25.69. Площади параллельных боковых граней прямой призмы, в
основании которой лежит трапеция, равны 26 см2 и 15 см2. Найдите площадь сечения,
проходящего через средние линии оснований призмы.
25.70. Может ли прямоугольник быть одним из диагональных сечений
наклонной призмы? Приведите пример такой призмы.
72

Параллелепипеды
25.71. Какая фигура называется: а) параллелепипедом; б) прямым
в) прямоугольным параллелепипедом?
25.72. Боковое ребро параллелепипеда перпендикулярно диагоналям
оснований. Докажите, что такой параллелепипед является прямым.

параллелепипедом;

25.73. В прямом параллелепипеде

параллелепипед

являться

25.74. Диагональное

Будет

данный

ли

каждой
данной призмы?

сечение прямого параллелепипеда равно

боковых граней. Какая фигура

25.75. Может

все диагонали равны.

прямоугольным?
лежит в основании

ли диагональ прямоугольного параллелепипеда

быть

меньше:

а) бокового ребра; б) стороны основания; в) диагонали боковой грани?
25.76. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 дм,
6 дм. Найдите длины

25.77. Диагональ
Найдите расстояние

25.78. При

его

из

3 дм

и

диагоналей.

основания прямоугольного

от точки пересечения его

параллелепипеда равна

d.

диагоналей до боковых ребер.

каком соотношении между измерениями а,

Ъ

и с прямоугольного

будет квадратом?
диагонали равны?

параллелепипеда его диагональное сечение

по

25.79. В каком параллелепипеде все
25.80. Всякие ли два диагональных сечения параллелепипеда пересекаются
его диагонали?
25.81. Известно, что только две боковые грани параллелепипеда

перпендикулярны основанию. Какого вида параллелепипед?
25.82. Верно ли утверждение о том, что параллелепипед,
которого перпендикулярны

плоскости основания,

две

боковые грани

прямой?

25.83. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат.
Одно из боковых ребер параллелепипеда одинаково наклонено к смежным
сторонам основания. Как располагается высота параллелепипеда, проведенная
из конца этого ребра? Тот же вопрос, если в основании прямого

ромб.
25.84. Сколько боковых граней прямоугольной формы может иметь
параллелепипед?
25.85. Возможен ли параллелепипед, у которого только одна боковая грань:
параллелепипеда

а) перпендикулярна основанию; б)

25.86. Две боковые грани
плоскости основания.

имеет

форму прямоугольника?

наклонного параллелепипеда перпендикулярны

Какой вид

основанием параллелепипеда служит

имеют две другие

боковые грани,

если

прямоугольник?

25.87. Будет ли кубом параллелепипед, в котором равны все ребра и плоские
при: а) одной из вершин; б) двух вершинах одного и того же ребра?
25.88. В правильной четырехугольной призме высота равна стороне
основания. Что это за призма?
25.89. Площадь сечения, проведенного через диагонали противоположных
граней куба, равна 9л/2 см2. Найдите ребро куба.
25.90. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения, проходящего через
диагонали двух смежных его граней.
углы

73

Пирамиды
25.91. Какой многогранник называется пирамидой?
25.92. Какая пирамида называется правильной?
25.93. В каком случае пирамида является выпуклым многогранником?
25.94. Может ли пирамида иметь: а) 7 вершин; б) 9 ребер; в) 21 грань;
16
плоских углов?
г)
25.95. Определите в я-угольной пирамиде число: а) вершин; б) ребер;
в) граней; г) плоских углов.
25.96. Определите вид пирамиды, которая имеет: а) 12 вершин; б) 30 ребер;
в) 11 граней; г) 24 плоских угла.
25.97. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида?
25.98. Пирамида имеет п многогранных углов. Сколько в ней ребер?
25.99. Найдите сумму всех плоских углов л-угольной пирамиды.
25.100. Как пересекает диагональное сечение пирамиды ее основание?
25.101. Сколько диагональных сечений можно провести через одно ребро

а) треугольной; б) четырехугольной; в) пятиугольной; г)

пирамиды:
ной?

/г-уголь-

25.102. Закончите фразу: «Число диагональных сечений пирамиды равно
числу ее...»
25.103.

Куда ортогонально проектируется вершина пирамиды, у которой
равны все: а) боковые ребра; б) двугранные углы при основании?
25.104. Верно ли утверждение о том, что пирамида является правильной,
если ее основанием является

равны?
25.105. Будет

ли

а основание высоты
основание высоты

правильный

пирамида

многоугольник и все боковые

правильной,

диагоналей

а основание высоты

равны между собой,

правильная?

25.107. Верно

о том, что если все

ли утверждение о том, что если все

б)

этого прямоугольника;

в) равносторонний треугольник,
медиан этого треугольника?
25.106. Верно ли утверждение
то пирамида

а) квадрат,
прямоугольник, а

если ее основание:

одна из вершин этого квадрата;
точка пересечения

ребра

точка пересечения

боковые ребра пирамиды

боковые ребра пирамиды

правильная?
25.108. Основание пирамиды
квадрат. Боковые грани одинаково
наклонены к основанию. Будет ли пирамида правильной?
25.109. Будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями
являются: а) равные треугольники; б) равные равнобедренные треугольники?
25.110. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне
основания. Найдите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
25.111. Как в правильной пирамиде найти точку, равноудаленную от всех
ее: а) вершин; б) граней?
25.112. Найдите угол между боковым ребром правильной четырехугольной
пирамиды и непересекающей его диагональю основания.
одинаково

наклонены к основанию, то пирамида

25.113. Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше
наклона бокового ребра к плоскости основания.

Найдите угол
74

ее высоты.

25.114. Боковые ребра пирамиды равны между собой. Может ли основание
быть: а) ромбом; б) прямоугольником; в) правильным
шестиугольником?
25.115. Боковые ребра пирамиды равны между собой. Какая точка является
пирамиды

проекцией вершины пирамиды на основание, если основание: а)
прямоугольник; б) прямоугольный треугольник?
25.116. В основании пирамиды лежит квадрат. Высота пирамиды равна
стороне квадрата и проходит через одну из его вершин. Определите двугранные
углы при основании пирамиды.
25.117. В основании пирамиды лежит параллелограмм, угол которого
равен 60°. Высота пирамиды совпадает с одним из ее боковых ребер. Найдите

линейный

угол двугранного угла, составленного гранями пирамиды,
проходящими через это ребро.

25.118. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна половине
стороны основания. Найдите двугранный угол при основании.
25.119. Две боковые грани треугольной пирамиды перпендикулярны
плоскости основания и образуют между собой угол, равный 40°. Определите углы
основания пирамиды, если равны два ее боковых

ребра.

25.120. Боковые ребра пирамиды

равны гипотенузе прямоугольного
треугольника, лежащего в ее основании, и равны 12 см. Найдите высоту пирамиды.
25.121. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости
основания. Как расположена высота этой пирамиды?
25.122. Двугранные углы при основании пирамиды равны между собой.
Может ли в основании пирамиды быть: а) равнобедренный треугольник;

б) ромб; в) прямоугольник?
25.123. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения
диагоналей основания. Будут ли равны двугранные углы при основании пирамиды,
если основанием является: а) параллелограмм; б) ромб; в) равнобедренная
трапеция?
25.124. В треугольной пирамиде через середины боковых ребер проведено
сечение. Что можно сказать о расстояниях от вершин пирамиды до плоскости
сечения?
25.125. Основанием пирамиды является многоугольник, площадь которого
равна 100 см2. Найдите площадь сечения, проходящего через середину высоты
боковой грани параллельно плоскости основания.
25.126. В пирамиде проведено сечение параллельно основанию через
середину высоты. Площадь основания равна Q. Найдите площадь сечения.
25.127. В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в
отношении 1 : 2 (считая от вершины к основанию), а площадь сечения меньше
площади основания на

25.128. На
провести

а)

б)

каком

80 см2. Найдите площадь
расстоянии

от

вершины

сечение параллельно основанию,

в)

-

основания.
пирамиды

чтобы площадь

с

высотой h надо

сечения равнялась:

площади основания?

25.129. Какие многоугольники можно получить в сечении
пирамиды плоскостью?

четырехугольной

75

25.130. Существуют ли такие четырехугольные пирамиды, у которых две
боковые противоположные грани: а) перпендикулярны плоскости основания;
перпендикулярны между собой?
25.131. Сколько боковых граней, перпендикулярных плоскости основания,
может иметь пирамида?

б)

25.132. Можно ли заполнить пространство без просветов правильными
четырехугольными пирамидами, у которых противоположные боковые грани
перпендикулярны ?
25.133. Диагональные

сечения

четырехугольной пирамиды

перпендикулярны плоскости основания. Какая точка основания является

вершины пирамиды?
25.134. Боковые грани четырехугольной пирамиды равны
Какой четырехугольник может быть ее основанием?
25.135. Диагональные сечения четырехугольной

проекцией

между собой.

пирамиды

взаимно

Какой четырехугольник может быть ее основанием?
25.136. Боковое ребро пирамиды перпендикулярно одной стороне
основания. Можно ли принять это ребро за высоту пирамиды?
перпендикулярны.

25.137. Основание пирамиды
прямоугольник, одно боковое ребро
перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Определите вид боковых граней
пирамиды.
25.138. В основании пирамиды лежит квадрат. Высота пирамиды равна
половине стороны квадрата и проходит через его центр. Найдите двугранные
углы при основании пирамиды.
25.139. Пирамида пересечена плоскостью,
что в сечении

образовался

параллельной

многоугольник, стороны которого

основанию так,
в

3 раза

меньше

сходственных сторон основания. В каком отношении эта плоскость разделила

пирамиды?
25.140. В основании

высоту

пирамиды лежит многоугольник,

площадь которого

равна 400 см2. Через середину высоты, проведенной к стороне основания
боковой грани, проведено сечение параллельно основанию пирамиды. Определите

вид сечения и

найдите

его площадь.

Усеченные пирамиды
25.141. Какая пирамида

усеченной?
25.142. Как

называется:

а) усеченной; б) правильной

проведенный из любой точки
другого?
25.143. Определите вид усеченной пирамиды, имеющей 15 ребер.
25.144. Какими фигурами являются: а) боковые грани; б) диагональные
сечения усеченной пирамиды?
25.145. Известно, что все боковые грани усеченной пирамиды являются
равнобедренными трапециями. Верно ли утверждение о том, что эта пирамида
является правильной усеченной пирамидой?
25.146. Сколько: а) вершин; б) ребер; в) граней имеет тг-угольная усеченная
пирамида?
одного из

76

называется

перпендикуляр,

оснований усеченной пирамиды

на плоскость

25.147. Сколько диагоналей

имеет усеченная пирамида: а)
б) пятиугольная; в) шестиугольная; г) тг-угольная?
25.148. Сколько диагональных сечений формы прямоугольной
трапеции может иметь: а) четырехугольная; б) пятиугольная; в) шестиугольная;
г) n-угольная усеченная пирамида?
25.149. Какое наибольшее число плоских прямых углов может иметь
треугольная усеченная пирамида?
25.150. Какие многоугольники можно получить в сечении четырехугольной
усеченной пирамиды плоскостью?
25.151. Две параллельные грани многогранника
неравные квадраты, а
сечения
диагональные
равные равнобедренные трапеции. Какой вид имеет
данный многогранник?
25.152. Определите вид сечения правильной треугольной усеченной
пирамиды плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и середину
скрещивающейся с ней стороны верхнего основания.
25.153. Существует ли усеченная пирамида, все ребра которой равны?
25.154. Основаниями усеченной пирамиды являются правильные
одноименные многоугольники. Как узнать, является ли она правильной?
25.155. Какой многоугольник с наибольшим числом сторон может быть
получен в сечении шестиугольной усеченной пирамиды?
25.156. Могут ли два боковых ребра усеченной пирамиды быть

четырехугольная;

перпендикулярными основанию?
25.157. Сколько ребер, перпендикулярных
иметь усеченная

плоскости основания,

может

пирамида?

25.158. Два односторонних плоских угла при ребре боковой грани усеченной
пирамиды равны между собой. Найдите эти углы.
25.159. В какой правильной усеченной пирамиде плоский угол боковой
грани может равняться: а) 45°; б) 60°?
25.160. Найдите ошибку в следующем условии задачи: «Плоский угол
боковой грани правильной пятиугольной усеченной пирамиды равен 45°. Найдите
сумму всех плоских углов данной пирамиды».
§ 26. Теорема Эйлера
26.1. Когда жил Леонард Эйлер?
26.2. Сформулируйте теорему Эйлера.
26.3. В каком году Л. Эйлер открыл свою

26.4. По

знаменитую теорему?
рисунку 106 воспроизведите доказательство теоремы Эйлера.

26.5. Какой

раздел математики называется топологией?
77

26.6. Почему историки математики называют теорему Эйлера первой
теоремой топологии?
26.7. Для каких невыпуклых многогранников выполняется теорема
Эйлера?
26.8. Где в доказательстве теоремы Эйлера использовалось условие
выпуклости многогранника?
26.9. Как называются многогранники, для которых справедлива теорема
Эйлера?
26.10. Приведите пример многогранника, для которого не выполняется
теорема Эйлера.
26.11. Чему равна эйлерова характеристика многогранников (В Р + Г, где
В
число вершин, Р
граней многогранника), представленных
ребер и Г
-

на рисунке 107?

Рис. 107

Для многогранников с «дырами» была сформулирована обобщенная
теорема Эйлера. В чем она заключается?
26.13. Как изменится число вершин, ребер и граней выпуклого
26.12.

многогранника, если к одной из его

26.14. Как

граней

пирамиду?
ребер и граней выпуклого
многогранных углов?

пристроить

изменится число вершин,

многогранника, если от него отсечь один из

26.15. Гранями выпуклого многогранника являются только
четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет 12 ребер? Назовите

этот

многогранник.

26.16. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит четыре
ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число его ребер равно 12?
Назовите этот многогранник.
26.17. Существует ли выпуклый многогранник, у которого 15

граней,

а в

15 сторон?
26.18. Сформулируйте задачу Эйлера «О трех домиках и трех колодцах».
26.19. По рисунку 108 воспроизведите решение задачи Эйлера «О трех
домиках и трех колодцах».

каждой грани

78

по

26.20. Почему

в

26.21. Почему
вершины
26.22.

многограннике не может быть нечетного числа

(индекс
ребер, сходящихся в ней) должно быть четным?
Докажите, что в любом многограннике найдутся по крайней мере
в многограннике число вершин нечетного индекса

ребро,

все грани

треугольники, то

к которому примыкают только острые углы.

26.24. Докажите,
а) Г <

с

число

две грани с одинаковым числом сторон.
26.23. Докажите, что если в многограннике
найдется

граней

сторон?

нечетным числом

что для

любого многогранника справедливо соотношение:

| Р; б)В<|р.

26.25. Приведите пример многогранника, у которого

нет

трех

граней

с

одинаковым числом сторон.

§ 27. Правильные многогранники
27.1. Какой многогранник называется правильным?
27.2. Сформулируйте определение правильного многогранника,

аналогичное

определению правильного многоугольника.
27.3. Перечислите правильные многогранники и объясните, почему они
так названы (рис. 109).

27.4. Почему

правильные многогранники называются также телами

Платона?
27.5.

Верно

ли утверждение о том,

равны все двугранные углы, то он

что если у выпуклого многогранника

правильный?
79

27.6. Почему гранью правильного многогранника
правильный шестиугольник?
27.7. Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)

правильный многогранник?
27.8. Что можно

не может

имеет

быть

каждый

граней и вершин пар многогранников:
(куб)? Как называются пары этих
многогранников? Какой многогранник будет двойственным тетраэдру?
27.9. На рисунке 110 изображена правильная пятиугольная пирамида, у
которой равны все ребра. Будет ли она правильным многогранником? Почему?
сказать о числе

икосаэдр и додекаэдр, октаэдр

и

гексаэдр

27.10. Представьте многогранник
бипирамиду, составленную из двух
правильных тетраэдров совмещением их оснований. Будет ли она правильным
многогранником? Почему?
27.11. Сколько пар параллельных ребер имеет октаэдр?
27.12. Сколько пар параллельных граней в: а) гексаэдре; б) октаэдре?
27.13. Каким образом можно доказать существование правильных
многогранников?
27.14. Как можно построить куб?
27.15. Каким образом из куба получить: а) тетраэдр; б) октаэдр; в)
додекаэдр?
27.16. Каким образом из додекаэдра получить икосаэдр? Можно ли
икосаэдра получить додекаэдр?
27.17. Как из тетраэдра получить октаэдр?
27.18. Ребро октаэдра равно 1. Найдите расстояние между его
противоположными вершинами.
27.19. Найдите угол между двумя противоположными
выходящими из одной вершины.

ребрами

из

октаэдра,

27.20. Какая фигура получается в сечении октаэдра плоскостью,
а) два параллельных его ребра; б) одну из его вершин и середины

проходящей через:

двух параллельных ребер, которым не принадлежит данная вершина.
27.21. Как, имея правильную четырехугольную пирамиду, все ребра

которой

равны, построить

октаэдр?

27.22. В

правильные /г-угольники
правильном многограннике все грани
и в каждой вершине сходится т ребер. Какими могут быть числа п и ml
27.23. Через центры двух противоположных граней куба проведено по
четыре плоскости, каждая из которых проходит через центры двух смежных

граней. Определите
80

вид

образовавшегося

многогранника.

27.24. Найдите сумму плоских углов при каждой вершине правильного:
а) тетраэдра; б) гексаэдра; в) октаэдра; г) додекаэдра; д) икосаэдра.
27.25. Сколько пятигранных углов имеет икосаэдр?

27.26. Сколько трехгранных углов имеет додекаэдр?
27.27. Найдите сумму плоских углов правильного: а)
гексаэдра; в) октаэдра; г) додекаэдра; д) икосаэдра.

тетраэдра;

б)

27.28. Какие правильные многогранники имеют равные плоские углы?
27.29. На рисунке 111 изображена пространственная фигура, составленная
из семи

кубов (трехмерный крест). Почему

этот многогранник не является

правильным? Сколько квадратов ограничивают
и вершин у этого

его

поверхность? Сколько ребер

многогранника?

Рис. 1 1 1
27.30. Поверхность куба, сторона которого равна 3 дм, окрашена в
зеленый цвет. Сколько разрезов нужно сделать, чтобы получить из данного

куба
стороной 1 дм? Сколько всего получится маленьких кубов?
Сколько получится маленьких кубов, у которых число окрашенных граней равно:
а) 4; б) 3; в) 2; г) 1; д) 0?
27.31. Может ли плоскость пересечь ровно: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 6 ребер
куба?
27.32. Существует ли сечение правильного тетраэдра плоскостью в форме:
а) треугольника; б) четырехугольника наименьшего периметра?
27.33. Через ребра правильного тетраэдра проведены плоскости параллельно
противоположным ребрам. Сколько ребер имеет многогранник, ограниченный
кубы

со

этими

по

плоскостями?

27.34. На грани правильного тетраэдра сидит муха. Она хочет проползти
каждой его грани и вернуться в исходную точку. Укажите кратчайший путь

мухи

и

найдите

27.35.

его длину, если

Существует

ребро тетраэдра равно 1.
куба плоскостью в форме: а) треугольника;

ли сечение

б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника

наименьшего

периметра?
27.36. Через

вершины куба перпендикулярно его диагоналям, проходящим
через эти вершины, проведены плоскости. Сколько вершин имеет

многогранник,

ограниченный

этими

плоскостями?
81

27.37. На грани куба сидит муха. Она хочет проползти по каждой его грани
Укажите кратчайший путь мухи и найдите его

и вернуться в исходную точку.

ребро куба равно 1.
Перпендикулярно диагонали единичного куба на расстоянии 1 от
проведено сечение. Определите вид сечения и найдите его периметр.

длину, если

27.38.
вершины

27.39. Какого
чтобы через

него

наименьшего периметра должно
прошел

в) тетраэдр?
27.40. Куб обвязан веревкой

(рис. 112). Можно

ребром

27.41. Можно
3?

§ 28*.

по периметру правильного

ли снять веревку с

ли

куба,

правильный тетраэдр

Полуправильные

быть веревочное кольцо,

единичный правильный: а) гексаэдр; б) октаэдр;
шестиугольника

не развязывая и не разрывая

с

ребром 4

поместить в

куб

ее?

с

многогранники

28.1. Какой многогранник называется полуправильным (равноугольно
полуправильным)?
28.2. Какие n-угольные призмы можно отнести к полуправильным
многогранникам?
28.3. Какой многогранник называется антипризмой (рис. 113)?

28.4. Как получить: а) четырехугольную; б) пятиугольную; в)
г) п-угольную антипризму из соответствующей призмы?
28.5. Можно ли получить треугольную антипризму?
28.6. В каком случае антипризма будет полуправильным

шестиугольную;

многогранником?

82

28.7. Попробуйте назвать все
114. Сколько

изображенные на рисунке

многогранники

тела

их и почему они так

Архимеда,

называются?

Рис. 114

28.8. Когда

жил Архимед?
28.9. Назовите открытия Архимеда.
28.10. Как из соответствующего правильного

многогранника получить

усеченный: а) тетраэдр; б) октаэдр; в) икосаэдр?
28.11. Найдите ребро усеченного: а) тетраэдра; б) октаэдра; в) икосаэдра,
если

ребро

соответствующего правильного многогранника равнялось 24 см.

28.12.

Определите количество и вид граней усеченного: а)
б) октаэдра; в) икосаэдра.
28.13. Как из куба получить усеченный куб (рис. 115)?

тетраэдра;

Рис. 115

83

28.14. Определите

количество и вид граней усеченного гексаэдра.
28.15. Как из правильного додекаэдра получить усеченный додекаэдр

(рис. 116)?

28.16. Определите

количество и вид

28.17. Найдите число вершин и

в)

ребер

граней

усеченного додекаэдра.

усеченного:

а)

тетраэдра;

б)

гексаэдра;

октаэдра; г) додекаэдра; д) икосаэдра.
28.18. Из каких правильных многогранников можно получить

кубооктаэдр? Каким образом?
28.19. Найдите число вершин, ребер и граней кубооктаэдра.
28.20. Какой многогранник получится, если в правильном: а) икосаэдре;
б) додекаэдре провести секущие плоскости через середины ребер, выходящих
из одной вершины?
28.21. Почему: а) кубооктаэдр; б) икосододекаэдр получил такое
название?
28.22. Как еще

можно назвать:

28.23. Найдите

на рисунке

икосододекаэдр. Определите число

28.24. Найдите

а) кубооктаэдр; б) икосододекаэдр?

114 усеченный: а) кубооктаэдр; б)

его вершин,

ребер

и

граней.

114: а) ромбокубооктаэдр; б) ромбоикосододекаэдр. Сколько квадратов добавили к граням соответствующего: а) кубооктаэдра;
на рисунке

б) икосододекаэдра?
28.25. На рисунке
доархимедовым.

84

На

117

изображен многогранник, который называется псевАрхимеда он похож? Как он получен из него?

какое тело

28.26. Когда был открыт псевдоархимедов многогранник?
28.27. Поверхность какого многогранника напоминает изображение

футбольного

мяча

(рис. 118)?

Рис. 118

куба разрезать на две части каждый и сложить
усеченный октаэдр (рис. 114, 2)?
28.29. На рисунке 114, 12 изображен так называемый плосконосый, или
курносый, куб. Определите, сколько треугольников прибавили к шести граням
соответствующего куба.
28.30. На рисунке 114, 13 изображен так называемый плосконосый, или
курносый, додекаэдр. Определите, сколько треугольников прибавили к
28.28. Как четыре равных

из них

двенадцати граням соответствующего додекаэдра.

28.31. Найдите

число вершин,

ребер

и

граней

плосконосого, или курносого:

а) куба; б) додекаэдра.
28.32. На рисунке

119 даны изображения многогранников, двойственных
некоторым полуправильным многогранникам. Назовите каким.

Рис. 119

§ 29*. Звездчатые многогранники
29.1. Приведите примеры звездчатых многогранников из окружающего
нас мира.
29.2. Сколько существует типов правильных: а) многоугольников; б)
в)
29.3. Как

многогранников;

звездчатых

многогранников?

по-другому назвать правильные звездчатые

многогранники?
85

29.4. Как получаются правильные звездчатые многогранники

из

многогранников?
29.5. Из каких правильных многогранников нельзя получить правильные
звездчатые многогранники?
29.6. Назовите многогранники, представленные на рисунке 120.
правильных

Рис. 120
29.7. Сколько правильных звездчатых многогранников получится из
правильного

додекаэдра?
29.8. Сколько правильных звездчатых многогранников
правильного икосаэдра?
29.9. По рисунку 121 объясните, какой многогранник
образом.

получится из
строится

и

каким

а)
Рис. 121
29.10. По рисунку 122

объясните, какой многогранник строится

образом.

а)
Рис. 122
86

и каким

29.11. По рисунку 123 объясните, какой многогранник строится

и каким

образом.

а)
Рис. 123
29.12. На рисунке 124 укажите какие-нибудь плоскости, содержащие грани
икосаэдра, из которого получен большой икосаэдр.

Рис. 124
29.13.

Определите

число вершин,

ребер

правильного многогранника.
29.14. Как называется многогранник,

и

граней

каждого звездчатого

представленный

на рисунке

125?

Рис. 125
87

29.15. Кем был открыт многогранник, изображенный на рисунке 125?
29.16. Является ли звездчатый октаэдр правильным звездчатым

многогранником? Почему?
29.17. Объединением каких многогранников является звездчатый
октаэдр?
29.18. Как получить звездчатый октаэдр из куба (

29.19. Что является пересечением двух
Кеплера?
29.20. Справедлива ли для правильных
теорема Эйлера?

многогранников,

составляющих

звезду

§ 30*. Кристаллы

звездчатых

многогранников

природные многогранники

30.1. Какую форму

имеют кристаллы: а) поваренной соли; б) льда; в)
(кварца); г) алмаза; д) исландского пшата; е) пирита?
30.2. Какой кристалл имеет форму ромбододекаэдра (рис. 126)?

горного хрусталя

Рис. 126

ромбододекаэдр?
30.4. Какой многогранник называется ромбододекаэдром?
30.5. Как объясняются химические и физические свойства кристаллов,
которые вы изучали на соответствующих уроках?
30.6. Кто является основоположником геометрической
кристаллографии?
30.7. Сколько вершин, ребер и граней имеет кристалл граната?
30.8. Сколько и каких многогранных углов у гранатоэдра?
30.9. Покажите, что двугранный угол ромбододекаэдра равен 120°, опираясь
на наглядные соображения.
30.10. Покажите, что противоположные грани четырехгранных углов
ромбододекаэдра перпендикулярны, опираясь на наглядные соображения.
30.3. Как еще называется

88

30.11. Как

можно получить ромбододекаэдр из куба?
30.12. Как можно ромбододекаэдром заполнить все пространство?
30.13. Каким правильным многогранником можно заполнить все
пространство?
30.14. Какой многогранник будет двойственным к ромбододекаэдру?
30.15. Через ребра куба, перпендикулярно его диагональным сечениям,
проходящим через эти ребра, проведены плоскости. Какой многогранник,
ограниченный этими плоскостями, получится?
30.16. Через ребра правильного октаэдра, перпендикулярно его
диагональным сечениям, проходящим через эти ребра, проведены плоскости. Какой
многогранник, ограниченный этими плоскостями, получится?
30.17. Вершинами какого многогранника являются центры граней
ромбододекаэдра?
30.18. Можно ли составить пространственный паркет из усеченных кубов
и октаэдров?
30.19. Можно ли составить пространственный паркет из октаэдров и
правильных тетраэдров?
30.20. Какой многогранник нужно добавить к кубооктаэдру, чтобы из них
можно было составить пространственный паркет?

Глава V. КРУГЛЫЕ ТЕЛА

§ 31. Сфера

и

шар. Взаимное расположение сферы и плоскости

31.1. Какие фигуры
плоскости?

являются пространственными аналогами окружности

и круга на

31.2. Дайте определение: а) сферы; б) шара через понятие ГМТ.
31.3. Назовите основные элементы: а) сферы; б) шара.
31.4. Что называется:

а) большой

окружностью сферы;

б) большим

шара?
31.5. Какая плоскость называется касательной к сфере?
31.6. Сколько касательных плоскостей можно провести через
сферы?
31.7. Назовите все случаи взаимного расположения сферы и
От

чего они

31.8. В

кругом

точку

плоскости.

зависят?
каком случае говорят, что:

а) сфера; б)

пересекаются? Какая фигура является их пересечением?
31.9. Какая прямая называется касательной к

31.10. Сколько

касательных

прямых

можно

шар и плоскость

сфере?
провести

через

точку

сферы?
31.11. Сформулируйте теорему об отрезках касательных, проведенных из
данной точки к данной сфере.
89

31.12. По рисунку 127 воспроизведите доказательство теоремы об отрезках
касательных, проведенных из данной точки к данной сфере.

31.13. Что является ортогональной проекцией сферы?
31.14. Сформулируйте теорему об ортогональной проекции

сферы и по

рисунку 128 воспроизведите ее доказательство.

31.15.

При

каком условии сечения шара плоскостью:

разные площади, какое из них

31.16. Какое

31.17. Сфера,

а)

равны;

б)

имеют

больше?

сечение шара плоскостью имеет

наибольшую площадь?

равен 10 дм, пересечена плоскостью на
расстоянии 8 дм от центра. Найдите длину окружности сечения.
31.18. Шар, радиус которого равен 5 см, пересечен плоскостью на
радиус

которой

расстоянии 4 см от центра. Найдите площадь сечения.
31.19. Через середину радиуса шара проведена плоскость,
перпендикулярная к нему. Какая часть площади большого круга составляет площадь круга,
полученного

90

в

сечении?

31.20. Точка лежит: а) вне; б) внутри сферы, радиус которой равен R
Найдите наибольшее и наименьшее расстояния от нее до точек сферы, если
расстояние от нее до центра данной сферы равно d.
31.21.

Верно ли утверждение о том, что через две точки сферы проходит
круг?
31.22. Сколько диаметров можно провести через точку, взятую внутри
шара?
31.23. Сколько окружностей большого круга можно провести через точку
шаровой поверхности?
31.24. Можно ли построить сферу, зная три ее точки, принадлежащие

один большой

большой окружности?
31.25. Какая фигура

31.26. Через

является пересечением двух

больших кругов шара?

шаровой поверхности можно провести
несколько окружностей большого круга?
31.27. Через всякие ли три точки можно провести сферу? Как провести
сферу через три точки, не принадлежащие одной прямой? Сколько сфер можно
провести через четыре точки, не принадлежащие одной плоскости?
31.28. Сколько сфер можно провести через четыре точки, которые
являются: а) вершинами квадрата; б) ромба; в) равнобедренной трапеции?
31.29. Верно ли, что окружность лежит на сфере, если она имеет со сферой:
а) две общие точки; б) три общие точки?
31.30. Сколько общих точек может иметь сфера и: а) прямая; б) плоскость;
в) другая сфера?
31.31. Сколько сфер можно провести через: а) одну и ту же окружность;
б) окружность и точку, не принадлежащую ее плоскости?
какие две точки

31.32. В пространстве даны два круга. Как узнать, являются ли они
сечениями одного и того же шара?

31.33. Как определить центр сферы, проходящей через четыре точки, не
принадлежащие одной плоскости?
31.34. Как определить центр сферы, проходящей через окружность и точку,
не принадлежащую ей?
31.35. Где находится центр шара, если известна окружность на его
поверхности

и касательная плоскость в точке, принадлежащей окружности?
31.36. Чему равно наибольшее число точек, которые можно разместить на
сфере таким образом, чтобы расстояния между любыми двумя точками были
равны?
31.37. Центры двух окружностей, плоскости которых параллельны,
принадлежат прямой, которая перпендикулярна этим плоскостям. Можно ли через
эти окружности провести сферу?
31.38. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проведена сфера

радиусом R. Какой величины должен быть радиус сферы, чтобы задача имела

решение? При
сфера; б)

каком условии через эти три точки проходит:

только одна

31.39. Две

а)

хотя

бы одна

сфера?

неравные окружности касаются друг друга, их радиусы,
образуют прямой угол. Можно ли через эти

проведенные в точку касания,
окружности провести сферу?

91

ним

31.40. Через конец радиуса шара проведена плоскость, составляющая с
угол в 60°. Найдите отношение площадей сечения и большого круга

шара.
31.41. На поверхности шара даны три точки, расстояние между каждыми
двумя из них равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через эти
точки.
31.42. Можно ли к любым двум

прямую?
31.43. Сколько

касательных

а) через прямую, проходящую

сферам провести общую касательную

плоскостей
вне

можно провести к данной сфере:
сферы; б) через точку, лежащую вне

сферы?
31.44. Какой фигурой является пересечение двух сфер?
31.45. На плоскости, которая касается сферы диаметром 12

см,

находится точка, удаленная от точки касания на расстояние, равное 8 см.

а)

31.46. Две
Докажите, что
большую сферу

плоскости,

расстояние,

которые

в

сферы, пересекают

ГМТ: а) удаленных от данной точки на
28 см; б) превосходящее 28 см; в) из которых

виден под прямым углом.

31.48. Назовите в пространстве

R, которые

меньшей

пространстве

не превосходящее

данный отрезок

касаются

по равным окружностям.

31.47. Назовите

радиусом

Найдите:

б) наибольшее

расстояние от этой точки до точек сферы.
неравные сферы имеют общий центр (концетрические сферы).

наименьшее;

ГМТ, принадлежащих данной сфере
окружностей радиусом г.

являются центрами

31.49. Назовите в пространстве ГМТ, из которых касательные, проведенные
к сфере радиусом Я, имеют длину, равную L
31.50. Назовите в пространстве ГМТ, которые являются центрами сфер
данного радиуса R, касающихся поверхности данного шара диаметром D.
31.51. Назовите

в

пространстве ГМТ, которые являются центрами сфер

данного радиуса R, касающихся данной плоскости.
31.52. Назовите в пространстве ГМТ, которые являются центрами сфер,
касающихся данной плоскости в данной на ней точке М.
31.53. Назовите в пространстве ГМТ, которые являются центрами сфер,
проходящих через вершины:

равнобедренной

трапеции;

а)

квадрата;

б)

прямоугольника;

в)

г)

прямоугольного треугольника.
31.54. Назовите ГМ середин равных хорд сферы.
31.55. Назовите ГМ центров равных сечений шара.

§ 32. Многогранники,

вписанные в

сферу

32.1. Какой многогранник называется вписанным в сферу?
32.2. Какая сфера называется описанной около многогранника?
92

32.3. Сформулируйте теорему

о

сфере, описанной

около

треугольной

пирамиды, и по рисунку 129 воспроизведите ее доказательство.

б)

а)
Рис. 129

прямой призмы можно описать сферу?
сферу около наклонной призмы?
32.6. Приведите пример прямой призмы, около которой нельзя описать
сферу.
32.7. Около треугольной призмы описана сфера, центр которой лежит вне
32.4. В каком случае около

32.5. Можно

призмы.

Какой треугольник

32.8. При
треугольной

является основанием

каком условии центр

призмы, лежит:

32.9. При
треугольной

ли описать

а)

призмы?

сферы, описанной

внутри призмы;

б)

вне

около

прямой

призмы?

сферы, описанной около прямой
одной из боковых граней призмы?
прямой призмы лежит ромб. Можно ли эту

каком условии центр

находиться на

призмы,

будет

32.10. В

основании

призму

сферу?
32.11. При каких условиях можно описать сферу около призмы, в
основании которой лежит трапеция?
32.12. Можно ли описать шар около: а) прямоугольного параллелепипеда;
наклонного
б)
параллелепипеда, в основании которого лежит прямоугольник;
в) прямого параллелепипеда; г) наклонного параллелепипеда?
32.13. Около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 1 дм,
вписать в

2 дм и 2 дм, описана сфера. Вычислите ее радиус.
32.14. Как доказать, что около прямоугольного параллелепипеда можно
описать сферу?

12

32.15. Можно ли описать сферу около куба?
32.16. Ребро куба равно 1. Найдите радиус описанной сферы.
32.17. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны: а) 4
см; б) а, Ъ и с. Найдите радиус описанного шара.

см, 6 см и

32.18. Радиус шара равен 9 см. В него вписана правильная четырехугольная
высотой 14 см. Найдите сторону ее основания.
32.19. Какая точка в правильной пирамиде равноудалена от всех ее

призма с

вершин?
32.20. Можно ли описать сферу около любой четырехугольной

пирамиды?
93

32.21. Какими свойствами должна обладать пирамида, чтобы
было описать сферу?

около нее

можно

32.22. Приведите

пример пирамиды, около

32.23. Около правильной пирамиды

центр?
32.24. В правильной

которой нельзя описать сферу.
сфера. Где расположен ее

описана

пирамиде боковое

ребро

равно b

и составляет с

ф. Найдите радиус описанного шара.
32.25. В правильной пирамиде боковое ребро равно b,

основанием угол

высота равна

h.

описанного шара.

Найдите радиус
32.26. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида,
боковое ребро которой составляет с основанием пирамиды угол ср. Найдите ее

боковое ребро.
32.27. Диагональным

сечением

является

треугольник, катет которого равен а. Вычислите

прямоугольный

правильной четырехугольной

пирамиды

радиус описанного шара.
32.28. Основание пирамиды

равнобедренная

трапеция.

проекция вершины пирамиды на плоскость основания

Ортогональная

точка, расположенная

сферу?
32.29. Почему около любой правильной усеченной пирамиды можно
описать сферу?
32.30. Почему, если около усеченной пирамиды можно описать сферу, то
сферу можно описать и около соответствующей полной пирамиды?
32.31. Почему, если в усеченной пирамиде равны боковые ребра, то около
нее можно описать сферу?
32.32. Сформулируйте утверждения, обратные утверждениям двух
предыдущих задач. Верны ли они?
32.33. Около всякого ли правильного многогранника можно описать сферу?
32.34. Где расположен центр сферы, описанной около правильного
многогранника?
32.35. Чему равен радиус сферы, описанной около единичного октаэдра?
32.36. В сферу, радиус которой равен R, вписан правильный октаэдр.
Определите площадь поверхности октаэдра.
вне трапеции. Можно ли около такой пирамиды описать

32.37. Около всякого ли полуправильного многогранника можно описать

сферу?
32.38. Можно

ли описать

§ 33. Многогранники,

сферу

около

описанные около

ромбододекаэдра?

сферы

33.1. Какой многогранник называется описанным около сферы?
33.2. Какая сфера называется вписанной в многогранник?
33.3. Какая фигура называется биссектральной, или биссекторной,
плоскостью?
94

33.4. Сформулируйте теорему

о

сфере, вписанной

в

треугольную

пирамиду.
33.5.

При каком условии в прямую треугольную призму можно вписать
сферу?
33.6. Каким свойством должна обладать прямая призма, чтобы в нее можно
было вписать сферу?
33.7. Приведите пример прямой призмы, в которую нельзя вписать
сферу.
33.8. Можно ли вписать сферу в куб?
33.9. Ребро куба равно 1. Найдите радиус вписанной сферы.
33.10. Можно ли вписать сферу в прямоугольный параллелепипед?

Почему?
33.11. Приведите

пример наклонного параллелепипеда, в

который

можно

вписать шар.

33.12. В

основании

прямой

призмы лежит

ромб. Можно

ли в нее вписать

сферу?
33.13. Каким

условиям должна удовлетворять четырехугольная призма,
чтобы в нее можно было вписать сферу?

33.14. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник
с острым углом ф и гипотенузой с. Найдите радиус сферы, вписанной в эту
призму.
33.15. Основанием

прямой

призмы является

30°. Найдите радиус сферы, вписанной в эту
33.16. Около шара, радиус которого равен R,

углом

треугольная призма.

Найдите сторону

ромб

со

стороной 8

см

и

призму.

описана правильная

ее основания.

33.17. Около сферы

описана правильная n-угольная призма. Найдите угол,
который образует диагональ боковой грани с плоскостью основания.
33.18. При каком условии в я-угольную пирамиду можно вписать

сферу?
33.19. В любую ли правильную пирамиду можно вписать сферу?
33.20. Приведите пример пирамиды, в которую нельзя вписать сферу.
33.21. Почему в пирамиду, у которой двугранные углы при основании
равны, всегда можно вписать сферу?
33.22. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную треугольную
пирамиду, у которой высота равна h, а угол между боковой гранью и основанием
равен

60°.

33.23. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом а.
Углы между боковыми гранями и основанием равны ф. Найдите радиус сферы,
вписанной в эту пирамиду.
33.24. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, центр
которой делит высоту пирамиды в отношении 2:1,
Найдите двугранный угол при основании пирамиды.
33.25.
и

сфера,

Сфера,

считая от вершины.

вписанная в правильную четырехугольную пирамиду

описанная

около

нее,

имеют

один

и

тот

же

центр

SABCD,

О. Объясните
95

по рисунку
равен

130, почему плоский угол при вершине (например, угол CSD)

45°.

33.26. Сфера
пирамиды

и

ее

касается

основания.

боковых ребер правильной четырехугольной

Найдите радиус сферы,

если диагональным сечением

равносторонний треугольник со стороной а.
куб поместить два шара таким образом, чтобы каждый
шар касался пяти граней куба и другого шара?
33.28. Можно ли задачу, аналогичную задаче 33.27, решить для
правильной призмы?
33.29. При каком условии в правильную четырехугольную усеченную
пирамиду можно вписать сферу?
33.30. В треугольную усеченную пирамиду вписана сфера. Где расположен
ее центр?
33.31. Во всякий ли правильный многогранник можно вписать сферу?
33.32. Верно ли, что центры вписанной и описанной сфер правильного
пирамиды является

33.27. Можно

ли в

многогранника совпадают?
33.33. Сторона правильного октаэдра равна 1. Найдите радиус вписанной
в него сферы.
33.34. Верно ли утверждение о том, что центр описанной и вписанной сфер
правильного тетраэдра является также центром сферы, касающейся всех его
ребер в их серединах. Можно ли этот результат обобщить для всех правильных

многогранников?
33.35. В куб
и

сферы

и

как

вписана сфера. Какие фигуры образуются

они

взаимно расположены,

если

в

сечении

плоскость сечения

середины всех параллельных между собой

куба

проходит

ребер; б) диагонали двух
граней куба?
33.36. Можно ли вписать сферу в: а) усеченный тетраэдр; б) усеченный куб;
в) усеченный октаэдр; г) усеченный икосаэдр; д) усеченный додекаэдр?
33.37. Можно ли вписать сферу в ромбододекаэдр?

через:

а)

параллельных

96

§ 34. Цилиндр. Конус
34.1. Какая фигура называется: а) прямым цилиндром, или просто
б) наклонным цилиндром?
34.2. Что называется: а) основаниями; б) высотой; в) осью; г) образующей;
д) боковой поверхностью; е) осевым сечением цилиндра?
34.3. Сколько образующих имеет цилиндр?
34.4. Что можно принять в цилиндре за его высоту?
34.5. Какая фигура является осевым сечением цилиндра?
34.6. Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью: а) проходящей
через ось; б) параллельной основанию; в) параллельной оси; г) пересекающей
все образующие?
34.7. Можно ли в сечении цилиндра плоскостью получить равнобедренный
треугольник?
34.8. Какая фигура получится в сечении цилиндра плоскостью, не
цилиндром;

параллельной его основаниям?
34.9. В каком цилиндре его сечение плоскостью,

параллельной оси, может
квадратом?
34.10. Осевым сечением цилиндра является квадрат, площадь которого
равна: а) 9 см2; б) 2 см2; в) Q. Найдите радиус основания цилиндра.
являться

34.11. Осевое сечение цилиндра
квадрат, площадь которого равна S.
оснований
цилиндра?
Чему равна площадь

34.12. Радиус

основания цилиндра равен

2 м,

высота

3

м.

Найдите

диагональ осевого сечения.

34.13. Высота цилиндра 6 см, радиус

основания

5

см.

Найдите площадь

сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.
34.14. Высота цилиндра 12 см, диаметр основания 20 см. Цилиндр
пересечен

плоскостью

параллельно

Найдите расстояние
34.15. Радиус
13

оси

так,

что

в

сечении

получился

квадрат.

от этого сечения до оси.

основания цилиндра равен

6 см, диагональ

осевого сечения

Найдите площадь осевого сечения.
34.16. Из каких фигур состоит развертка цилиндра?

см.

34.17. Какой

поверхностью является катящаяся поверхность всякого

колеса?
34.18. Высота цилиндра равна его

условия?
34.19. Образующая

образующей. Какой

вывод можно

сделать из этого

Под

34.20. На

основаниях

образующая

к плоскости

высоты.

цилиндра взяты две непараллельные хорды.

Что

кратчайшим расстоянием между этими хордами?
34.21. Цилиндр пересечен плоскостью, проходящей через параллельные,
не равные хорды оснований. Определите вид сечения.
34.22. Радиус основания цилиндра равен 25 дм, площадь сечения,

будет
но

больше его
основания?

наклонного цилиндра в два раза

каким углом наклонена

являться

параллельного оси, равна

16 дм2. Найдите высоту цилиндра, если
15 дм от оси цилиндра.

плоскость данного

сечения находится на расстоянии

4

Смирнова, 10-11

кл.

97

34.23. Сколько плоскостей

можно провести через

какую-либо образующую

цилиндра перпендикулярно плоскости основания?
34.24. Сколько существует плоскостей, рассекающих данный цилиндр на:

а)

б) две равные фигуры?
34.25. Какое сечение цилиндра, проходящее через две его образующие,
имеет: а) наибольший периметр; б) наибольшую площадь?
34.26. Два цилиндра имеют две общие образующие. Какая фигура
получится при пересечении их плоскостью, перпендикулярной их осям?
два равных цилиндра;

34.27. Через образующую цилиндра проведены два перпендикулярных
сечения, площадь каждого из которых равна S. Найдите площадь осевого
сечения.

34.28. Назовите ГМТ, равноудаленных от всех точек боковой поверхности
цилиндра.
34.29. Как найти положение оси цилиндра, если оно не задано?

34.30. Назовите ГМТ, равноудаленных
цилиндра.
34.31. Какая фигура называется:

б)

наклонным

а)

от двух данных

образующих

прямым конусом, или просто конусом;

конусом?

34.32. Что называется: а) основанием; б) вершиной; в) высотой; г) осью;
д) образующей; е) боковой поверхностью; ж) осью конуса?
34.33. Сколько образующих имеет конус?
34.34. Может ли высота конуса равняться одной из его образующих?
34.35. Одинаково ли наклонены к плоскости основания образующие
конуса?
34.36. Любые ли два отрезка а и Ъ могут быть соответственно: а)
образующей и высотой конуса; б) высотой и радиусом основания конуса?
34.37. Высота конуса равна h, радиус основания г. Найдите образующую
конуса.
34.38.

Образующая конуса равна 10 м и наклонена к плоскости основания
под углом 60°. Найдите площадь основания конуса.
34.39. Какое сечение конуса плоскостью называется осевым?
34.40. Какой фигурой является осевое сечение конуса?
34.41. Может

ли осевым сечением конуса

равносторонний треугольник?
34.42. Какой фигурой является
его

быть: а) прямоугольный; б)

сечение конуса плоскостью,

параллельной

основанию?
34.43. Радиус

основания конуса равен: а) 1 см; б) г. Осевым сечением
прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.
34.44. Радиус основания конуса равен: а) 1 дм; б) г. Осевым сечением
служит равносторонний треугольник. Найдите площадь осевого сечения.
34.45. Осевое сечение конуса
равносторонний треугольник со стороной
Найдите радиус основания и высоту конуса.
служит

34.46. Высота конуса h. На

каком расстоянии

от вершины надо

чтобы площадь
а) половине; б) трети; в) четверти площади основания?

провести плоскость параллельно основанию,

98

а.

сечения

была равна:

34.47. Образующая конуса больше диаметра
угол наклона

образующей

34.48. Может

его основания.

к плоскости основания конуса

Докажите,

что

больше 60°.

ли в сечении конуса плоскостью получиться

равнобедренный

треугольник, отличный от осевого сечения?
34.49. Какое сечение конуса, проходящее через его вершину, имеет
наибольший периметр?

34.50. Какое сечение конуса, проходящее через его вершину, имеет
наибольшую площадь?
34.51. Высота конуса равна радиусу основания. Найдите угол при вершине
осевого сечения конуса.

34.52. Образующая конуса равна: а) 4 см; б) 12 дм; в) I. Найдите площадь
сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 30°.
34.53. Какая зависимость должна существовать между образующей
конуса

I

и

радиусом его основания R, чтобы при пересечении конуса плоскостью,

проходящей

через две

треугольник?
34.54. Угол
между

образующие,

осевого сечения

образующими

при

можно

было получить равносторонний

вершине

конуса

того сечения, площадь которого:

а)

тупой. Найдите
является

угол

наибольшей

для данного конуса; б) равна площади осевого сечения.
34.55. Из каких фигур состоит развертка конуса?

34.56. Полукруг
конуса.
34.57.

Полукруг

радиуса R свернут в конус. Найдите радиус основания
свернут в конус. Найдите угол между его

образующей

и

120°. Сектор свернут

в

высотой.
34.58. Радиус сектора равен 3 м,
конус.

Найдите радиус

его угол равен

основания конуса.

34.59. Сколько плоскостей, перпендикулярных

основанию конуса, можно

какую-нибудь
образующую?
34.60. Может ли высота наклонного конуса равняться одной из его
образующих?
34.61. В конусе две образующие, проходящие через концы одного
диаметра основания, образуют между собой угол в 90°. Существует ли в этом конусе
сечение с углом между образующими в 60°?
34.62. Назовите ГМТ, равноудаленных от всех образующих конуса.
провести через

его

34.63. Как определить положение оси конуса, если она не задана?
34.64. Может ли прямая иметь только две общие точки с конусом?

34.65. Образующая конуса составляет с основанием угол, равный 46°.
образующую конуса провести плоскость таким образом, чтобы она
с
образовала плоскостью основания угол, равный: а) 45°; б) 50°?
34.66. Какая фигура называется усеченным конусом?
34.67. Назовите основные элементы усеченного конуса.
34.68. Сколькими элементами определяется усеченный конус? Какими?
34.69. Из каких фигур состоит развертка усеченного конуса?
Можно ли через

4*

99

34.70. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3

см и

6 см,

высота 4 см.

Найдите образующую конуса.
34.71. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 1 см,
образующая 5 см. Найдите высоту конуса.
34.72. Высота усеченного конуса равна h. Образующая составляет
плоскостью основания угол в

34.73. Какой фигурой

с

30°. Найдите образующую конуса.
является осевое сечение усеченного

конуса?

34.74. Радиусы оснований

усеченного конуса равны 3 см и 9 см, его высота
равна 10 см. Найдите площадь осевого сечения.
34.75. Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г (R > г).

Образующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите:
площадь осевого сечения конуса.

а)

высоту;

б)

Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см,
10
см.
Найдите площадь осевого сечения конуса.
образующая
34.77. Диаметры оснований усеченного конуса равны 6 см и 14 см,
образующая равна 5 см. Найдите площадь осевого сечения.
34.76.

34.78. Площади оснований усеченного конуса равны 4 см2 и 16 см2.
Найдите площадь сечения плоскостью, параллельной его основаниям и делящей
его высоту пополам.

34.79. Площади оснований усеченного конуса равны 4 см2
разделена

и

25 см2. Высота

на три равные части, и через точки деления проведены плоскости,

Найдите площади сечений.
оснований
Радиусы
усеченного конуса равны rnR(r< R),

параллельные основаниям.

34.80.

I. Найдите образующую

образующая

усеченный конус.
34.81. Докажите,

полного конуса, из которого получен

что сечение усеченного конуса, проходящее через две его

образующие, является равнобедренной трапецией.
34.82. Высота усеченного конуса равна разности радиусов
Найдите угол между образующей и плоскостью основания.
34.83. Всегда

ли

данный

можно

его оснований.

описать окружность около осевого

сечения

конуса?
34.84. Образующая

усеченного

усеченного конуса наклонена к плоскости большего
основания под углом ср. В каких пределах лежит угол \}/, который образует
плоскость, проходящая через

34.85. Меньшее
перпендикулярном

образующую,

с плоскостью основания

конуса?

основание усеченного конуса перемещается в направлении,

большему

основанию.

Как

изменяется угол наклона

усеченного конуса к плоскости большего основания?
34.86. Какое ГМ образуют середины отрезков, пересекающих ось усеченного
конуса, концы которых принадлежат окружностям его оснований?

образующей

34.87. Как через точку, принадлежащую одному из оснований усеченного
конуса, провести отрезок наибольшей длины, второй конец которого
принадлежит окружности второго основания?
34.88. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 2:3. Найдите

их, если
в

60°.

100

образующая

равна 12 см

и составляет с плоскостью основания угол

34.89. Радиусы оснований усеченного конуса равны 11 см и 27 см.
17 : 15. Найдите площадь осевого сечения.
34.90. Диагональ осевого сечения усеченного конуса равна а и образует

Образующая относится к высоте как

плоскостью основания угол в:

усеченного конуса, если радиусы его

§ 35. Поворот.

Фигуры

35.1. Что означает,

оснований

1:3.

относятся как

вращения

что точка

А!

на плоскости а получена из точки

же плоскости поворотом вокруг центра

35.2. Что

с

а) 30°; б) 45°; в) 60°. Найдите образующую

О

А этой

ср?

на угол

означает, что точка А! пространства получена из точки А

прямой а на угол ср?
Какое преобразование пространства называется поворотом?
Как по-другому называется поворот?
Что называется осью вращения?
Какие фигуры в пространстве называются фигурами вращения?

поворотом вокруг

35.3.
35.4.
35.5.
35.6.

35.7. Приведите примеры фигур вращения.
35.8. Какая фигура получается при вращении

точки вокруг прямой?
35.9. Какая фигура получается при вращении отрезка вокруг прямой,
проходящей через один из его концов и перпендикулярной прямой, на которой
он

лежит?
35.10. При вращении какой фигуры вокруг какой прямой

можно получить:

а) сферу; б) шар; в) цилиндр; г) конус; д) усеченный конус?
35.11. Какая фигура получается при вращении квадрата вокруг прямой,
содержащей его сторону?
35.12. Какие поверхности ограничивают тело, если оно образовано
вращением:

а)

квадрата вокруг оси, лежащей в плоскости квадрата,

стороне и не

б)

пересекающей

параллельной

его

его;

прямоугольного треугольника вокруг оси,

проходящей

через вершину

острого угла перпендикулярно катету;

в)

остроугольного треугольника вокруг оси,

проходящей

через его вершину

перпендикулярно стороне;

г)

тупоугольного треугольника вокруг оси,

проходящей

через вершину

тупого угла параллельно противолежащей стороне;
д) трапеции вокруг меньшего ее основания;

е) трапеции вокруг большего ее основания;
ж) равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг оси,
перпендикулярной гипотенузе и проходящей через вершину острого угла?
35.13. Какая фигура получится при вращении прямоугольного
треугольника вокруг прямой, содержащей один из его катетов?
35.14. Какая фигура получится при вращении равнобедренного
треугольника вокруг высоты, опущенной на основание треугольника?
35.15. Какая фигура получится при вращении круга вокруг диаметра?

101

35.16. Какая фигура получится при вращении круга вокруг хорды, которая

диаметром?
35.17. Какая фигура

не является

получится при вращении круга вокруг

касательной?
35.18. Какая фигура получится при вращении квадрата вокруг
диагонали?
35.19. Какая фигура получится при вращении произвольного
остроугольного треугольника вокруг одной из его сторон?

35.20. Какая фигура

получится при вращении произвольного тупоугольного
треугольника вокруг одной из его сторон, содержащих тупой угол?

35.21. Какая фигура получится при вращении прямоугольной трапеции
вокруг оси, проходящей вне трапеции на расстоянии 5 см от ее меньшей
боковой стороны?

35.22. Как получить следующую фигуру вращения: а) эллипсоид; б)
параболоид; в) гиперболоид вращения?
35.23. Как получить фигуру вращения, которая называется тором (она
напоминает бублик или баранку)?
35.24. Цилиндр катится по плоскости. Какая фигура описывается при
осью?
35.25. Какая фигура получится при вращении прямой вокруг оси,

этом его

данная прямая:

а)

параллельна оси;

б)

пересекается с осью;

в)

если

скрещивается

с осью?
35.26. Назовите ГМТ в пространстве, удаленных от данной
данное расстояние

прямой

на

d.

35.27. Назовите ГМ центров сфер радиуса R, касающихся данной
прямой.
35.28. Назовите ГМТ
более

в

пространстве,

удаленных

от

данной прямой

не

чем на а.

35.29. Назовите ГМ прямых, пересекающих данную прямую

в

данной

точке

под данным острым углом.

35.30. Назовите ГМ прямых, проходящих через данную точку М

и

данную плоскость а под данным острым углом.
35.31. Назовите ГМ отрезков данной длины Z, у которых один конец
находится в точке N, а другой принадлежит плоскости (3 (N £ (3 и I больше

пересекающих

N до плоскости (3).
35.32. Какая фигура получится при вращении прямоугольника вокруг оси,
которая пересекает продолжение одной из его сторон под прямым углом?

расстояния от точки

35.33. Какая фигура получится
б) четырехугольной; в) гс-угольной

при вращении правильной:
призмы вокруг ее высоты?

35.34. Какая фигура получится при вращении

б) четырехугольной; в) /г-угольной

а) треугольной;

правильной: а) треугольной;

пирамиды вокруг ее высоты?

35.35. Какая фигура получится при вращении правильного октаэдра вокруг

прямой, соединяющей его противоположные вершины (оси октаэдра)?
35.36. Какая фигура получится при вращении отрезка, лежащего на
прямой Ь, вокруг прямой а, которая скрещивается с прямой b?
102

35.37. Какая фигура получится при вращении куба
диагонали

A...D1

вокруг

АСг?

35.38. Какая фигура получится при вращении октаэдра вокруг прямой,
соединяющей центры противоположных граней?
35.39. Фигура получена при вращении икосаэдра вокруг его оси (прямая,

вершины). Из каких фигур состоит
фигура вращения?
35.40. Фигура получена при вращении икосаэдра вокруг прямой,
проходящей через центры противоположных граней. Из каких фигур состоит
полученная фигура вращения?
35.41. Фигура получена при вращении правильного додекаэдра вокруг
прямой, проходящей через противоположные вершины. Из каких фигур состоит
полученная фигура вращения?
35.42. Фигура получена при вращении правильного додекаэдра вокруг
прямой, проходящей через центры противоположных граней. Из каких фигур
состоит полученная фигура вращения?
35.43. Назовите ГМ прямых, параллельных данной прямой и удаленных
соединяющая его противоположные

полученная

d.
35.44. Назовите ГМ осей цилиндрических поверхностей радиуса г,
проходящих через ось данной цилиндрической поверхности.
от нее на расстояние

§ 36. Вписанные

и описанные

цилиндры

36.1. Какая сфера называется: а) вписанной в цилиндр; б) описанной около
цилиндра?
36.2. Какой цилиндр называется: а) описанным около сферы; б) вписанным
в сферу?
36.3. Во всякий ли цилиндр можно вписать сферу? Какими свойствами
должен обладать цилиндр, чтобы в него можно было вписать сферу?
36.4. Сформулируйте теорему о цилиндре, в который можно вписать сферу.
в

36.5. По рисунку 131 воспроизведите
который можно вписать сферу.
I

доказательство теоремы о цилиндре,

36.6. В цилиндр

вписана сфера. Найдите ее радиус, если образующая
а) 1 дм; б) 18 см; в) I.
36.7. Можно ли описать сферу около цилиндра?
36.8. Где находится центр сферы, описанной около цилиндра?
36.9. По каким известным элементам цилиндра можно определить радиус
описанной около него сферы?
36.10. Дана сфера, радиус которой равен R. Найдите радиус основания

цилиндра равна:

вписанного

в нее цилиндра, высота которого равна радиусу сферы.
36.11. Сколько, цилиндров можно вписать в данную сферу?

36.12. Какая плоскость называется касательной к цилиндру?
36.13. Какая прямая называется касательной к цилиндру?
36.14. Каково взаимное расположение оси цилиндра и плоскости,
касательной к цилиндру?
36.15. Как расположена прямая пересечения касательной плоскости
цилиндра и плоскости его основания?
36.16. Как расположена касательная плоскость цилиндра по отношению к
осевому сечению этого цилиндра, проходящему через образующую, лежащую
в касательной плоскости?
36.17. Через всякую ли: а) точку пространства; б) прямую в пространстве
можно провести плоскость, касающуюся цилиндрической поверхности?
36.18. Назовите ГМТ, принадлежащих всем касательным, проходящим

через данную точку цилиндрической поверхности.
36.19. Какая призма называется: а) описанной

около цилиндра; б)
вписанной в цилиндр?
36.20. Какой цилиндр называется: а) описанным около призмы; б)
вписанным в призму?
36.21. В любую ли призму можно вписать цилиндр?
36.22. Приведите пример прямой призмы, в которую нельзя вписать
цилиндр?
36.23. Можно ли в прямоугольный параллелепипед вписать цилиндр?
36.24. Можно ли описать цилиндр около любой треугольной призмы?
36.25. Можно ли описать цилиндр около произвольной правильной
призмы?
36.26. Суммы площадей противоположных боковых граней прямой
четырехугольной призмы равны. Можно ли в эту призму вписать цилиндр?
36.27. Верно ли утверждение о том, что ось цилиндра, вписанного в

боковых граней?
36.28. Около правильной четырехугольной призмы

призму, одинаково удалена от всех ее

основания которого равен R.

36.29. Около цилиндра
углы при боковых

36.30. Можно

Найдите сторону

ли

которой равны
данной призмы.

описана призма, у

ребрах. Определите
вписать

вид

цилиндр

в

цилиндр, радиус

описан

основания призмы.

прямую

все двугранные

четырехугольную

боковых граней которой относятся как 3 : 5 : 7 : 9?
36.31. Может ли прямая четырехугольная призма, вписанная

призму,

площади

иметь равные двугранные углы

грани? Приведите пример.
104

при

боковых ребрах,

но

в цилиндр,

не равные

боковые

36.32. В пятиугольной призме,
равны все диагональные сечения.

36.33. Докажите,

что если

около

Будет

которой

ли призма

можно описать цилиндр,

правильной?

боковые грани призмы, вписанной

в цилиндр,

то

призма правильная.
36.34. В цилиндр вписана четырехугольная призма. Найдите суммы
противоположных двугранных углов при ее боковых ребрах.
равны,

у

36.35. Можно ли описать цилиндр около прямой четырехугольной призмы,
которой двугранные углы при боковых ребрах относятся как 5 : 4 : 3 : 2?
36.36. В цилиндр,

образом,

высота

которого

равна

h,

вписан

октаэдр

таким

центры оснований цилиндра. Найдите

что две его вершины

ребро

октаэдра.
36.37. В цилиндр вписана прямая призма, в основании которой лежит
прямоугольный треугольник. Как расположена ось цилиндра по отношению к
граням

прямой призмы? Верно

ли утверждение о том, что две

боковые грани

данной прямой призмы перпендикулярны?
36.38. Можно ли из деревянного бруса, перпендикулярное сечение
которого

квадрат со

стороной 3

ученический пенал в форме пустотелого
см?
1,5
цилиндра
36.39. Поперечным сечением деревянного бруса является трапеция. Как
определить наибольший диаметр основания цилиндра, который можно
см, сделать

с внутренним радиусом

бруса?
36.40. Диаметр вертикального

выточить из этого

установить клеть

ствола шахты равен 4

лифта, поперечным

стороной 3 м?
36.41. Назовите ГМ лучей

м.

Можно

ли в нем

сечением которого является квадрат со

вершиной в данной точке, касающихся
заданной цилиндрической поверхности.
36.42. Вне цилиндра дана прямая, параллельная его оси. Назовите ГМ
прямых, перпендикулярных данной прямой и касающихся цилиндрической
с

поверхности.
36.43. Назовите ГМ осей цилиндрических

поверхностей,

проходящих через

две параллельные прямые.
36.44. Назовите ГМ осей цилиндрических
радиусом
радиусом

R, которые

касаются

поверхностей с одним и тем
данной цилиндрический поверхности с

же

2R.

§ 37*. Сечения цилиндра плоскостью. Эллипс
37.1. Как

связаны сечения цилиндра плоскостью с параллельным

проектированием?
37.2. Когда
б) эллипс?
37.3. В чем

в

сечении

цилиндра плоскостью может получиться:

заключается

а)

круг;

фокальное свойство эллипса?
105

37.4. По рисунку 132 воспроизведите доказательство теоремы

свойстве

о

фокальном

эллипса.

Рис. 132

37.5. Как
на

использовать

бумаге?
37.6. Что

называется:

37.7. Что

называется:

фокальное свойство

а) большой; б) малой
а) большой; б) малой

эллипса для его

осью

изображения

эллипса?

полуосью эллипса?
37.8. Какая фигура получается в сечении боковой поверхности цилиндра
плоскостью?
37.9. Чему равны большая и малая полуоси эллипса, являющегося
сечением боковой поверхности цилиндра плоскостью, проведенной под углом:

б) 30°; в) 60°

а) 45°;

основания? Радиус основания цилиндра равен 1.
37.10. Чему равна площадь сечения цилиндра плоскостью, проведенной
под углом: а) 45°; б) 30°; в) 60° к плоскости основания? Радиус основания
цилиндра равен 1.
к плоскости

37.11. Если обернуть свечу несколько раз листом бумаги, перерезать
ее острым ножом, затем разнять обе половинки свечи и, наконец,

бумагу, то
(рис. 133, 134)?
развернуть

какую линию

будет образовывать разрезанный край бумаги

У

х

О

а)

б)
Рис. 133

106

Рис. 134
37.12. Какая кривая получится в сечении цилиндра плоскостью, если
сечение провести под углом:

37.13. Под

а)

в

45°; б) 30°; в) 60°; г) ср?

какими углами нужно проводить секущие плоскости цилиндра,

чтобы получить: а) сжатие; б) растяжение sin х по оси Оу1
37.14. Какая синусоида получится, если исходный прямоугольник свернуть
в цилиндр не единичного, а некоторого другого радиуса основания R и
произвести с ним аналогичные

§ 38. Вписанные

операции?

и описанные

38.1. Какая сфера

конуса?
38.2. Какой конус
в сферу?
38.3. Во всякий ли

конусы

называется:

а) вписанной

называется:

а)

описанным около

конус можно вписать

центра сферы, вписанной в

в конус;

сферу? Как

б) описанной

сферы; б)

около

вписанным

определить положение

конус?

38.4. Сформулируйте

теорему о сфере, вписанной в конус.
38.5. По рисунку 135 воспроизведите доказательство теоремы о сфере,
вписанной в конус.

Рис. 135
107

38.6. По известному радиусу

основания конуса

R

и его высоте

h найдите

радиус вписанной сферы.
38.7. Можно ли описать сферу

около конуса?
38.8. Около конуса описана сфера. Как расположен ее центр относительно
элементов конуса?
38.9. Сколько конусов можно вписать в данную сферу?
38.10. Центр сферы, описанной около конуса, совпадает с центром
основания конуса. Каковы величины углов осевого сечения конуса? Как

описанной сферы,

расположен центр

если угол при вершине осевого сечения конуса:

а) тупой; б) острый?
38.11. Основанием

конуса, вписанного в сферу радиусом R, является
большой круг сферы. Найдите площадь осевого сечения конуса.
38.12. Какая плоскость называется касательной плоскостью к конусу?

38.13. Какая прямая называется касательной к конусу?
38.14. Что является пересечением касательной плоскости
плоскости его

к

конусу

и

основания?

38.15. Как расположена

касательная плоскость к конусу по отношению к

его плоскости осевого сечения,

проходящего через

образующую,

лежащую в

этой касательной плоскости?
38.16. Как определить угол между касательной плоскостью к конусу и
его плоскостью основания? Что можно сказать об углах наклона касательных
плоскостей к одному и тому же конусу?

38.17. Образующая конуса составляет с основанием угол, равный 46°.
образующую конуса провести плоскость таким образом, чтобы она
образовала с плоскостью основания угол, равный: а) 45°; б) 50°?
38.18. Как построить касательную плоскость конуса, проходящую через
данную образующую?
38.19. К боковой поверхности конуса проведены две касательные плоскости.
Можно ли через

Как расположена прямая пересечения этих плоскостей?
38.20. Прямая имеет с боковой поверхностью конуса

только одну

общую

точку. Как может быть расположена данная прямая по отношению к этой

поверхности?
38.21. Назовите ГМТ,

принадлежащих всем касательным, проходящим
через данную точку конической поверхности.
38.22. Какая пирамида называется: а) описанной около конуса; б)

вписанной

в конус? Как при этом называется конус?
38.23. В любую ли пирамиду можно вписать конус?
38.24. Приведите пример пирамиды, в которую: а) можно; б)

нельзя

вписать конус.

38.25. Можно
основания

ли описать конус около

которой

четырехугольной

пирамиды, углы

последовательно относятся как 1 : 3 : 5 : 9?

38.26. Можно ли конус вписать в четырехугольную пирамиду, стороны
основания

которой

38.27. В конус
прямоугольный треугольник.

108

относятся как

1

:

3

:

5

:

9?

вписана пирамида, в основании

Как расположена

которой

лежит

ось конуса по отношению к граням пира¬

миды? Верно

ли утверждение о том, что две

перпендикулярны?
38.28. Докажите, что вершина

боковые грани данной пирамиды

взаимно

конуса, вписанного в пирамиду, одинаково

удалена от сторон основания конуса.

38.29. Всегда

ли высота конуса,

вписанного в

пирамиду,

является и

высотой

пирамиды?
38.30. Около треугольной пирамиды описан конус. При каком условии
высота конуса проходит: а) вне; б) внутри пирамиды?
38.31. Ортогональная проекция вершины треугольной пирамиды на
плоскость ее основания лежит вне основания. Можно ли около этой пирамиды
описать конус?

38.32. В конус вписана четырехугольная пирамида, три угла основания
которой относятся как 6:4:3. Найдите углы основания данной пирамиды.
38.33. В конус, наибольший угол между образующими которого равен 90°,
вписана правильная четырехугольная пирамида. Найдите плоский угол при
ее вершине.

38.34. В конус

вписана пирамида, в основании

многоугольник с равными сторонами.

Определите

которой

лежит

вид этой пирамиды.

Докажите, что оси двух конусов, один из которых вписан, а другой
правильной пирамиды, совпадают.
38.36. В какой правильной пирамиде радиус основания конуса, описанного
около нее, в два раза больше радиуса основания вписанного в нее конуса?
38.37. Назовите свойства четырехугольной пирамиды: а) описанной около
38.35.

описан около

конуса; б) вписанной

38.38. В конус

в конус.

Вершина пирамиды и
конуса движется по лучу, лежащему на их высоте, по направлению к
основанию. Как при этом изменяются: а) боковые ребра пирамиды; б) ортогональные
вписана четырехугольная пирамида.

ребер пирамиды на плоскость ее основания; в) угол наклона
конуса к плоскости основания; г) углы диагональных сечений при
вершине пирамиды; д) углы осевых сечений при вершине конуса?
проекции боковых

образующей

38.39. Какая сфера

называется

вписанной

в

усеченный конус? Как

при

этом называется усеченный

конус?
38.40. В какой усеченный конус можно вписать сферу?
38.41. В усеченный конус вписана сфера. Под каким углом образующая
конуса видна из центра сферы?
38.42. Какая сфера называется описанной около усеченного конуса? Как
при этом называется усеченный конус?
38.43. Можно ли описать сферу около усеченного конуса?
38.44. Где расположен центр сферы, описанной около усеченного конуса?
38.45. Можно ли в усеченную пирамиду вписать усеченный конус?
38.46. Можно ли около усеченной пирамиды описать усеченный конус?
38.47. В каком случае в усеченную пирамиду, основаниями которой
являются трапеции, можно вписать усеченный конус?
38.48. В усеченный конус вписаны правильные усеченные треугольная,
четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Верно ли, что: а) углы наклона
109

боковых ребер

б) углы наклона боковых граней к основанию в
равны?
38.49. Может ли ось усеченного конуса проходить вне четырехугольной
усеченной пирамиды, вписанной в него?
к основанию;

этих пирамидах

38.50. Каким условиям должна удовлетворять четырехугольная усеченная
пирамида, чтобы ее можно было: а) вписать в усеченный конус; б) описать
около усеченного

конуса?

§ 39*. Конические

сечения

образуется коническая поверхность?
39.2. Как коническую поверхность можно получить с помощью вращения
прямой?
39.3. Назовите ГМ касательных к шару, проведенных через данную
39.1. Как

точку

М.

39.4. Как связаны сечения конуса плоскостью с центральным
проектированием?
39.5. В каком случае в сечении конической поверхности плоскостью

окружность?
39.6. Какие кривые

получается

могут получиться в сечении конической поверхности

плоскостью?

Сформулируйте теорему о сечении конической поверхности
образует с осью соответствующего конуса угол, больший,
между образующей и этой осью.

39.7.

плоскостью, которая
угол

чем

39.8. По рисунку 136 воспроизведите доказательство теоремы, которая
была сформулирована в предыдущей задаче.

110

39.9. Сформулируйте теорему
поверхности плоскостью

параболы

о получении в сечении

и по рисунку

39.10. Сформулируйте теорему
поверхности плоскостью

гиперболы

конической

137 воспроизведите

ее доказательство.

конической
138 воспроизведите ее

о получении в сечении

и по рисунку

доказательство.

39.11. Что представляет собой

сечение

конической поверхности,

а) оси; б) образующей?
39.12. Как изменяется вид сечения конической поверхности плоскостью,

параллельное:

проходящей через диаметр

основания конуса,

если угол наклона плоскости

сечения к плоскости основания конуса изменяется от

39.13. Какие древнегреческие ученые
сечений?

0° до 90°?

занимались изучением конических

111

39.14. Кто впервые представил систематическое учение о конических
сечениях?
39.15. Что означают термины, которыми называются конические
сечения?
39.16. Какую форму принимает поверхность воды в наклоненной
конусообразной колбе?
39.17. Пучок света карманного фонарика имеет форму конуса. Какую форму
имеет

освещенный фонариком участок ровной поверхности
фонарика?

в зависимости от

угла наклона

§ 40. Симметрия пространственных фигур
40.1. Какому ученому принадлежит следующая известная фраза:
«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении
совершенство»?
а) центральная; б)

веков

пытался постичь и создать порядок, красоту и

40.2. Как определяется на плоскости:
симметрия?
40.3. Какие две точки пространства называются

осевая

симметричными

относительно точки? Как называется эта точка?
40.4.

Сформулируйте

определение центрально-симметричных фигур

в

пространстве.

40.5. Приведите примеры центрально-симметричных
центрально-симметричных фигур в пространстве.
40.6. Может ли фигура иметь два

40.7. Существуют

ли

точки,

или

прямые,

и не

более центров симметрии?
плоскости,

симметрия переводит на себя?
40.8. Какое преобразование пространства

которые

центральная

будет преобразованием, обратным
центральной симметрии?
40.9. Какое преобразование будет композицией (последовательным
выполнением) двух центральных симметрий с одним и тем же центром?
40.10. В какую фигуру при центральной симметрии переходит: а) прямая;
плоскость?
б)
40.11. Может ли одна из двух плоскостей перейти в другую при
центральной симметрии, если плоскости: а) параллельны; б) пересекаются?
40.12. Из перечисленных ниже фигур назовите центрально-симметричные
и укажите их центры симметрии: а) отрезок; б) луч; в) прямая; г) угол;
д) плоскость; е) объединение двух пересекающихся плоскостей; ж) объединение
двух параллельных плоскостей; з) объединение плоскости и пересекающей ее
прямой.
40.13. Имеет ли центр симметрии: а) прямоугольный параллелепипед;
б) правильная n-угольная призма; в) прямая призма, основанием которой
является ромб и высота которой равна стороне основания; г) правильный тетраэдр;
д) правильная n-угольная пирамида; е) октаэдр?
40.14. Имеет ли центр симметрии: а) цилиндр; б) конус; в) шар; г)
усеченный конус?
112

40.15. Существуют

ли центрально-симметричные усеченные пирамиды?
40.16. Верно ли, что центрально-симметричный многогранник имеет четное
число вершин, ребер и граней?
40.17. Какие две точки пространства называются симметричными
относительно прямой? Как называется эта прямая?
40.18. Какая фигура в пространстве называется симметричной
относительно прямой?
40.19. Приведите примеры фигур, имеющих осевую симметрию.
40.20. Назовите оси симметрии следующих фигур: а) отрезка; б) луча;
в) прямой; г) плоскости; д) параллелограмма; е) правильного треугольника;
ж) квадрата; з) окружности; и) объединения двух пересекающихся прямых.
40.21. Верно ли утверждение о том, что если плоская фигура имеет центр
симметрии, то она имеет в пространстве и ось симметрии?
40.22. На рисунке 139 изображена четырехугольная пирамида SABCD.

У нее грани SAB и SAD перпендикулярны плоскости основания; равные
диагонали основания в точке пересечения делятся пополам; Н
середина ребра

SC; ребра SA и АВ
а) точки В и D
б) точки В
в) точки А

и

равны. Будут ли симметричны:
относительно прямой АС;
D относительно прямой НО;

и

С

относительно

и

С

относительно

прямой BD;
г)
прямой НО;
д) треугольники SBC и SDC относительно прямой НО;
е) треугольники ABC и ADC относительно прямой АС;
ж) треугольники SCB и SCD относительно прямой НС;
з) будет ли прямая АС осью симметрии четырехугольника
точки

А

ABCD1

40.23. Сколько осей симметрии имеет шар?
40.24. Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, не

имеющий квадратных граней?
40.25. Докажите, что фигуры вращения

являются симметричными

относительно оси вращения.

113

40.26. Имеет

ли ось симметрии:

40.27. Какие

а)

цилиндр;

б)

конус;

в) усеченный конус?

две точки в пространстве называются симметричными

относительно плоскости? Как называется эта плоскость?
40.28. Как по-другому называется симметрия относительно плоскости?
40.29. Какая

фигура

в пространстве называется

симметричной

относительно

плоскости?
40.30. Приведите примеры фигур, имеющих плоскость симметрии.
40.31. Какие прямые при симметрии относительно плоскости совпадают

образами?
40.32. Существуют

со своими

плоскости переводит на

40.33. Каким

может

ли

плоскости,

которые

относительно

симметрия

себя?
быть при симметрии

относительно плоскости взаимное

а) прямой и ее образа; б) плоскости и ее образа?
40.34. Приведите примеры пространственных фигур, имеющих

расположение:

плоскости

симметрии.
40.35. Сколько плоскостей симметрии имеет прямоугольный
параллелепипед, не имеющий квадратных граней?

40.36. В кубе через середину ребра перпендикулярно ему проведена
плоскость. Будет ли эта плоскость являться плоскостью симметрии куба?

40.37. В кубе

через два параллельных

ребра,

не лежащих в

одной грани,

куба?
40.38. Сколько всего плоскостей симметрии имеет куб? Изменится ли это
число, если две параллельные грани куба выкрасить в другой цвет?
40.39. Назовите номера верных утверждений по рисунку 139 (описание
изображенной пирамиды см. в задаче 40.22):
1) точки В и D симметричны относительно плоскости ASC;
2) плоскость ASC является плоскостью симметрии прямой AS;
3) треугольники SBC и SDC симметричны относительно плоскости НОС;
проведена

плоскость.

Будет

ли она плоскостью симметрии

4) отрезки CD и АВ симметричны относительно плоскости ASC;
5) отрезки SB и SD симметричны относительно плоскости ASC;
6) отрезки НС и HS симметричны относительно плоскости HDB.
40.40. На рисунке 140 изображен параллелепипед
ABCD

ромб. Отрезок АгО

принадлежит отрезку АС. Верно ли,

симметрии?

114

A...D1.

перпендикулярен плоскости ABC,
что

данный параллелепипед

Основание

и точка

О

имеет плоскость

40.41. Докажите, что фигуры вращения являются симметричными
любой плоскости, проходящей через ось вращения.
40.42. Сколько плоскостей симметрии имеет правильный: а) октаэдр;

относительно

б) додекаэдр?
40.43. Почему правильный тетраэдр не имеет центра симметрии?
40.44. Сколько у цилиндра: а) осей; б) плоскостей симметрии?
40.45. Сколько у конуса: а) осей; б) плоскостей симметрии?
40.46. Сформулируйте определение оси симметрии n-го порядка.
40.47. Приведите примеры пространственных фигур с осями симметрии
3-го, 4-го,

...,

n-го порядков.

40.48. Осью симметрии

какого порядка являются прямые,

проходящие

граней куба?
40.49. Сколько самосовмещений имеет: а) правильная четырехугольная
пирамида; б) куб?
40.50. Какая существует зависимость между числом осей симметрии разных
порядков и числом самосовмещений многогранника?
40.51. Какая существует зависимость между числом самосовмещений
правильного многогранника и числом его ребер?
40.52. Какими видами симметрии обладает: а) правильная четырехугольная
призма; б) прямоугольный параллелепипед?
40.53. Сколько у правильной шестиугольной призмы: а) осей; б)
плоскостей симметрии?
40.54. Сколько у правильной (2п
1)-угольной призмы: а) осей; б)
плоскостей симметрии?
40.55. Назовите некоторые свойства прямой призмы (наличие центра
симметрии, осей симметрии, плоскостей симметрии), основанием которой
является ромб.
40.56. В основании прямой призмы лежит ромб. Сколько она имеет:
осей;
а)
б) плоскостей симметрии?
40.57. Приведите примеры пространственных фигур, у которых есть ось
симметрии, но нет плоскости симметрии и, наоборот, есть плоскость
через центры противоположных

-

симметрии, но нет оси симметрии.

40.58. Каким видом симметрии обладает

наклонная призма, в основании

которой лежит правильный многоугольник с четным числом сторон?
40.59. Какими видами симметрии обладает наклонный параллелепипед?
40.60. Имеет ли центр симметрии наклонная призма, основанием которой
является правильный девятиугольник?
40.61. Сколько осей и плоскостей симметрии имеет правильная я-угольная
нечетное число?
четное; б) п
пирамида, если: а) п
40.62. Может ли неправильная пирамида иметь: а) ось; б) плоскость
симметрии? Приведите примеры таких пирамид.
40.63. Может ли неправильная пирамида иметь две плоскости симметрии?
40.64. Сколько у правильной л-угольной усеченной пирамиды: а) осей;
б) плоскостей симметрии?
40.65. В правильном тетраэдре закрасили одну грань. В результате каких
перемещений он самосовместится?
115

40.66. В результате каких перемещений переходит в себя куб, у которого
закрашена одна грань?
40.67. Сравните элементы симметрии двойственных правильных

многогранников (гексаэдра

и

октаэдра, додекаэдра и икосаэдра).
пирамида, около которой можно описать

40.68. Пятиугольная

одну плоскость симметрии.

Будет

ли она

конус, имеет

правильной?

40.69. Пятиугольная призма, в которую можно вписать цилиндр, имеет
две плоскости симметрии. Будет ли она правильной?
40.70. Сколько самосовмещений

имеет

ромбододекаэдр?

§ 41. Движение
41.1. Какое преобразование пространства
41.2. Приведите примеры движений.
41.3. Приведите пример преобразования

называется движением?
пространства, которое не

будет

являться движением.

41.4. Могут

ли при движении разные точки переходить в одну точку?
41.5. Могут ли при движении разные прямые переходить в одну прямую?
41.6. В какую фигуру переходит при движении: а) прямая; б) луч; в)
плоскость; г) полуплоскость; д) пространство; е) полупространство?
41.7. Какие две фигуры в пространстве называются равными?
41.8. Даны две равные сферы. Какими движениями можно перевести одну
из них на другую?
41.9. Приведите пример движения, которое оставляет на месте только одну:
а) точку; б) прямую; в) плоскость.

41.10. Существует

ли движение,

в другую данную прямую,

которое переводит одну данную прямую

а) параллельна первой; б)
первой прямой?
которая:

первой; в) скрещивается с
41.11. При некотором движении

луч АВ переходит в луч CD.

Следует
переносом?

параллельны и одинаково направлены.
движение является параллельным

пересекается с

ли из этого,

Причем

они

что данное

41.12. При

некотором движении луч АВ переходит в луч CD, который
и
параллелен
противоположно направлен ему. Следует ли из этого, что данное
движение является

центральной симметрией?

41.13. Назовите

движения, при которых каждая прямая переходит в
параллельную ей прямую или в себя.
41.14. Верно ли утверждение о том, что если некоторое движение переводит
каждую прямую в параллельную

ей прямую,

то оно является параллельным

переносом?
41.15. Приведите

пример неплоской фигуры, которую можно перевести на
себя с помощью параллельного переноса.
41.16. Некоторое движение оставляет на месте две: а) пересекающиеся;
б) параллельные прямые. Какие еще фигуры оно оставляет на месте?
41.17.
принадлежащие одной

116

Некоторое движение оставляет на месте три точки, не
прямой. Какие еще фигуры оно оставляет на месте?

41.18. Почему

является движением: а) параллельный перенос; б)
в) осевая симметрия; г) зеркальная симметрия?
41.19. Почему является движением осевая симметрия п-го порядка (п > 2)?
41.20. С помощью каких движений можно перевести грань BCD
правильного тетраэдра ABCD на грань ABD таким образом, чтобы ребро BD оставалось
центральная симметрия;

на

месте?
41.21. Существует

ли движение,

правильного тетраэдра ABCD

D, С, Б; в) А, Б, D, С?
41.22. Существует

Dx куба A...DX

в

ли

в

которое

движение,

которое

вершины соответственно:

Б, A, D?
41.23. Докажите,

переводит

вершины

вершины соответственно:

переводит

А, В, С, D

а) С, А, Б, D; б) А,
вершины

Av Bv Cv

а) А, Б, С, D; б) Av D, Cv В; в) С,

что параллельные плоскости переводятся

любым

движением в параллельные плоскости.

41.24. Докажите,

что при движении

параллельные

плоскость и

прямая

переходят в параллельные плоскость и прямую.

41.25. Докажите, что композиция (последовательное выполнение) двух
движений является движением.
41.26. Сколько движений, переводящих многогранник сам в себя, имеет

правильный: а)

тетраэдр;

б)

гексаэдр;

в)

октаэдр;

г)

икосаэдр;

д) додекаэдр?

§ 42*. Ориентация поверхности. Лист Мёбиуса
42.1. Чем

42.2. От

отличаются рисунки

141,

а и

141, б?

чего зависит направление поворота, заданного на

42.3. Что
42.4. Что

такое ориентация

плоскости?

плоскости?

поверхности?
Приведите примеры двусторонних поверхностей.
Как определяется понятие ориентации поверхности?
Существуют ли неориентируемые поверхности?
Является ли ориентируемой: а) поверхность шара; б) боковая
поверхность цилиндра; в) поверхность конуса?
42.9. Что называется листом Мёбиуса?
такое сторона

42.5.
42.6.
42.7.
42.8.

117

42.10. Как

иначе называется лист Мёбиуса?
42.11. Когда жил Август Фердинанд Мёбиус?
42.12. Как получить лист Мёбиуса из бумажной

В

полоски

(рис. 142)?

С

А

D
Рис. 142

42.13. Какую поверхность, помимо листа Мёбиуса, можно получить из
бумажной полоски (рис. 142)?
42.14. Сколько: а) краев; б) сторон имеет лист Мёбиуса?
42.15. Может ли поверхность иметь два края? Приведите примеры.
42.16. Может ли поверхность иметь две стороны? Приведите примеры.
42.17. Сколько: а) краев; б) сторон имеет тор?
42.18. Как практически можно определить число сторон поверхности?
42.19. Какое свойство используется при изготовлении ременных передач
в виде листа Мёбиуса (рис. 143)?

Рис. 143

42.20. Что

получится, если лист

Мёбиуса

разрезать по его

«средней

ли-

НИИ»?
42.21. Сколько сторон
при его разрезании по

42.22. Сколько

имеет поверхность,

сторон имеют поверхности,

изображенные

б)

а)
Рис. 144
118

полученная из листа

Мёбиуса

«средней линии»?
на рисунке

144?

Глава VI. ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
§ 43. Объем фигур

в

пространстве. Объем цилиндра

43.1. Что значит измерить объем фигуры?
43.2. Что такое объем фигуры?
43.3. Что принимается за единицу измерения:

а)

длины;

б)

площади;

в) объема?
43.4. Назовите свойства площадей

плоских фигур.
43.5. Назовите свойства объемов неплоских фигур.
43.6. Какие: а) плоские; б) неплоские фигуры называются равновеликими?

43.7. Назовите формулу вычисления объема: а) прямоугольного
параллелепипеда; б) прямой призмы; в) цилиндра (прямого кругового).
43.8. Два тела равны. Равновелики ли они?
43.9. Два тела равновелики. Равны ли они?
43.10. Приведите примеры равновеликих,

фигур?
43.11.

но не равных пространственных

г

Ребро

данного

куба

-

равно

части

5

ребра

единичного

куба. Чему

куба?
43.12. Равновелики ли две правильные четырехугольные призмы, если их
диагональные сечения равновелики?
43.13. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный
треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите
равен объем данного

объем данной призмы.
43.14. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, сторона
основания которой 5 см и высота 8 см.
43.15. Как изменится объем прямого параллелепипеда, если: а) одно
его

измерений

увеличить в 2 раза, в 3 раза,

увеличить, причем каждое из них в
увеличить в

2, 3,

п

2, 3,

в п

п раз;

раз;

в)

б)

из

если два его измерения

если все три его измерения

раз?

43.16. Найдите высоту правильной
ее основания 20 см и объем 4800 см3.

четырехугольной

призмы, если сторона

Дан единичный куб. Найдите объем пирамиды, вершинами которой
а) вершина куба и четыре вершины противоположной грани куба;
б) центр куба и четыре вершины одной из его граней; в) центр одной из граней
куба и середины сторон противоположной грани.
43.17.

являются:

43.18. Сколько можно построить прямоугольных параллелепипедов
заданного объема, зная:

а) два; б) одно из
43.19. Кубатура одной комнаты

его

измерений?

120 м3. Найдите кубатуру
другой его комнаты, если ее ширина в полтора раза больше ширины первой
комнаты, а длина в три раза меньше длины первой комнаты.
43.20. Сколько воды необходимо для наращивания льда в ледяном складе
здания равна

прямоугольной формы размером 20 х 40 м, если на 1 м2 складской
требуется 8 м3 воды (с учетом ее расширения при замерзании)?

площади

119

43.21. Прямоугольный параллелепипед распилен

а) 4

на равные прямоугольные

б) 5 раз меньше
измерений данного параллелепипеда. Сколько получилось маленьких
параллелепипедов?
43.22. Помещение выставочного зала в форме прямоугольного
параллелепипеда имеет модель, выполненную в масштабе: а) 1 : 20; б) 1 : 30. Как
параллелепипеды,

измерения которых в:

раза;

соответствующих

относятся

объемы модели и зала?
относятся объемы правильных призм

43.23. Как

с

одной

если их основания являются одноименными правильными

и

той

же

высотой,

многоугольниками?

43.24. Сколько можно построить правильных шестиугольных призм с
стороной основания и объемом?
43.25. Найдите ошибку в условии следующей задачи: «Сторона основания
правильной пятиугольной призмы равна 10 см, а высота, опущенная из центра
основания на его сторону, равна 5 см. Найдите объем призмы, если ее высота
заданными

равна

20

см».

43.26. Найдите объем прямой четырехугольной призмы, каждое ребро
которой равно а, а один из углов основания равен: а) 30°; б) 60°.

43.27. Сечение железнодорожной насыпи имеет форму равнобедренной
высота которой равна 3 м, а стороны оснований равны 4 м и 8 м.
Определите, сколько земли нужно на 1 км этой насыпи.
трапеции,

43.28. Перпендикулярным сечением канала является трапеция с
6 м и 14 м. Участок канала между шлюзами длиной 2 км вмещает
104 м3 воды. Найдите глубину канала.

основаниями

6

43.29. В

основании прямой призмы лежит трапеция, высота которой равна h.
Площадь сечения, проходящего через средние линии оснований, равна Q.
Найдите объем призмы.
43.30. Прямая треугольная призма пересечена плоскостью, которая
проходит через боковое ребро и делит площадь противолежащей ему боковой грани
: п. В каком отношении делится при этом объем призмы?
43.31. Объем правильной шестиугольной призмы равен V. Найдите объем
призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований
в отношении т

данной призмы.
43.32. Правильная четырехугольная призма, все ребра которой равны b,
пересечена четырьмя плоскостями, проходящими через середины сторон
оснований параллельно боковым ребрам. Найдите объем оставшейся части призмы.

43.33. Правильная треугольная призма пересечена тремя плоскостями,
таким образом, что образовалась правильная
шестиугольная призма. Какая часть объема данной призмы отсечена плоскостями?
43.34. От прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через
боковое ребро и центр противолежащей ему боковой грани, отсечена

параллельными ребрам,

треугольная призма, объем которой равен V. Найдите объем параллелепипеда.
43.35. Изменится ли объем цилиндра, если диаметр его основания
увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза?
43.36. Найдите объем цилиндра, если разверткой
является квадрат со

120

стороной 10

см.

его

боковой поверхности

43.37. В цилиндрический сосуд диаметром 10 см
конфигурации. Определите объем тела, если уровень
поднялся на 4 см.

опущено тело

сложной

жидкости в сосуде

43.38. Цилиндрическая цистерна заполнена горючим материалом. Ее
5 м, уровень горючего равен 3 м. Сколько горючего содержится в
цистерне, если ее емкость равна 15 т?
43.39. Автомашину грузоподъемностью 3 т нужно загрузить стальными
болванками цилиндрической формы. Какие нужно произвести измерения и
вычисления, чтобы найти наибольшее число болванок для загрузки
автомашины?
43.40. В цилиндре параллельно оси проведено сечение, которое делит
высота равна

основание на части в отношении

3

:

2. В

каком отношении делится при этом

объем цилиндра?
43.41. Проволоку диаметром 4

мм и длиной 1 м вытягивают в проволоку
2
мм.
На
сколько
этом
диаметром
при
увеличится ее длина?
43.42. Объем модели промышленного сооружения, имеющего форму

цилиндра,
его

8000 раз меньше объема реального объекта. Во
линейные размеры?
в

43.43. Диаметр одного круглого бревна
меньше диаметра другого
бревен

бревна. Как

в:

а)

сколько раз уменьшены

больше; б) три раза
объемы, если длины

два раза

относятся их

равны?
43.44. Как

относятся объемы равносторонних цилиндров?
43.45. Два цилиндра образованы вращением одного и того же
прямоугольника

вокруг его смежных сторон а и Ъ. Как относятся объемы полученных

цилиндров?
43.46. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой
высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить в сосуд, диаметр
основания которого в два раза больше диаметра основания первого сосуда?
43.47. Как выразить объем пустотелого цилиндра через радиусы его
оснований, равные R, г ( R > г), и высоту h?
43.48. Два водяных
минуту одно и

насоса имеют поршни

то же число качаний.

одного диаметра и

Ход поршня

делают

в

одного насоса в два раза

больше хода поршня второго насоса. Во сколько раз

первый насос
второго?
43.49. Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной
четырехугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же
призму?
43.50. Радиус основания цилиндра равен 1, высота
3. Через точку
окружности основания под углом 45° к нему проведена плоскость. Найдите объемы
частей, на которые эта плоскость делит цилиндр.

производительнее

§ 44. Принцип Кавальери
44.1. Когда и где жил Бонавентура Кавальери?
44.2. Сформулируйте принцип Кавальери.
121

44.3. Обоснуйте принцип Кавальери (рис. 145).

44.4. Сформулируйте теорему об объеме

доказывается?
44.5. Назовите формулу
наклонного

вычисления

наклонного цилиндра.

Как

она

объема: а) наклонной призмы; б)

(кругового) цилиндра.
Сформулируйте теорему

44.6.
об объемах двух конусов, у которых равны
высоты и равновелики основания. Как она доказывается?
44.7. Верно ли, что пирамиды, имеющие общее основание и вершины,
расположенные в плоскости,

44.8. Докажите,

что

параллельной

каждая

основанию,

диагональная

равновелики?

плоскость параллелепипеда

делит его на равновеликие части.

44.9. Равновелики

ли две призмы с равными высотами, если их

сторонами?
44.10. Докажите, что плоскость, проходящая через боковое ребро и медиану
основания треугольной призмы, делит ее на две равновеликие части.
44.11. Две призмы с ромбами в основаниях имеют равные высоты и равные
боковые поверхности. Равновелики ли эти призмы?
44.12. В треугольной призме через параллельные средние линии оснований
проведена плоскость. В каком отношении делится при этом объем призмы?
44.13. Докажите, что плоскость, проходящая через боковое ребро и
основаниями являются одноименные многоугольники с равными

биссектрису основания треугольной призмы, делит ее на две части, отношение
объемов которых равно отношению сторон, заключающих биссектрису.

44.14. Сечением,

перпендикулярным

боковому ребру

наклонного

параллелепипеда, является прямоугольник со сторонами

3

данного параллелепипеда, если его боковое

равно 6 см.

ребро

см и

5

см.

Найдите объем

44.15. Справедливо ли следующее утверждение: «Объем наклонной призмы
равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро»?
Обоснуйте свой вывод.
44.16. В основании призмы лежит трапеция, средняя линия которой равна
4 см. Найдите объем призмы, если ее высота равна высоте
7 см, а высота
трапеции.

44.17. Параллелепипед, объем которого равен V, пересечен двумя
плоскостями, проходящими через середины смежных сторон верхнего основания
параллельно

122

боковому ребру. Найдите объемы образовавшихся

призм.

44.18. Равновелики

ли пирамиды с равными высотами, если их

основаниями являются четырехугольники с соответственно равными

сторонами?

44.19. Два

конуса получены вращением неравнобедренного прямоугольного
треугольника вокруг каждого из катетов. Равны ли объемы этих конусов?
44.20. Два цилиндра имеют равные высоты, а площади их оснований

относятся как:

а) 2

1; б) 3

:

44.21. Два конуса

а) 1

8; в)

т :

п.

Как

относятся их

5; в) k

объемы?
оснований

относятся

Как относятся их объемы?
44.22. В основании наклонной призмы лежит: а) квадрат со стороной а;
ромб с диагоналями dx и d2. Найдите ее объем, если боковое ребро, равное b,

как:

б)

3; б) 6

:

имеют равные высоты, а площади их

:

:

: I.

наклонено к плоскости основания под углом

ф.
44.23. Одно из диагональных сечений параллелепипеда имеет площадь Q и
отстоит от бокового ребра на расстояние а. Найдите объем параллелепипеда.

44.24. Найдите объем цилиндра,
правильного тетраэдра,

ребро

зная, что скрещивающиеся

ребра

которого равно а, являются диаметрами оснований

цилиндра.

§ 45. Объем пирамиды
45.1. К какому историческому периоду относятся первые упоминания о
вычислении объема пирамиды? Где они были найдены?
45.2. Как древние ученые
пирамиды

со

стороной

вычисляли

основания,

объем правильной четырехугольной

равной 1,

и

высотой, равной

^?
Си

45.3. Какой ученый впервые вывел общую формулу вычисления объема
пирамиды? Когда и где он жил?
45.4. Сформулируйте теорему об объеме пирамиды.
45.5. По рисунку 146 воспроизведите доказательство теоремы об объеме
пирамиды для случая треугольной пирамиды.

45.6. Как,

зная

формулу

для вычисления объема

вывести формулу для вычисления объема

я-угольной

треугольной

пирамиды,
пирамиды, где п > 3?
123

45.7. Как относятся объемы правильной треугольной пирамиды и
правильной треугольной призмы, если основания и высоты у них равны?
45.8. Как относятся объемы двух правильных пирамид с равными
основаниями, но разными высотами

45.9. Как

изменится

hx

и

/г2?

объем правильной пирамиды,

если ее высоту увеличить

раз?
45.10. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен: а) 6 см3;
б) 12 дм3. Найдите размеры пирамиды, если известно, что они выражаются
в п раз, а сторону основания уменьшить во столько же

целыми числами.

.

45.11. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, каждое
ребро которой равно: а) 1 см; б) 2 см; в) Ъ,
45.12. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее
диагональным сечением является

равной 1

правильный

треугольник со

стороной,

см.

45.13. Как
объем?

по

данной развертке правильной пирамиды определить

ее

45.14. Имеется модель правильной: а) пирамиды; б) усеченной пирамиды.
Какие измерения надо произвести, чтобы вычислить ее объем?
45.15. Найдите ГМ вершин пирамид данного объема, основаниями которых

данный многоугольник.
45.16. Через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию
проведено сечение. Найдите объем отсеченной пирамиды, если объем данной
является

пирамиды равен 48 см3.
45.17. Центры граней куба, ребро которого равно 1, служат вершинами
октаэдра. Найдите его объем.
45.18. В куб с ребром, равным 1, вписан правильный тетраэдр таким

образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Найдите
объем тетраэдра.
45.19. Пирамида, объем которой равен V, а в основании лежит
прямоугольник,

пересечена четырьмя плоскостями, каждая из которых проходит через
и середины смежных сторон основания. Найдите объемы

вершину пирамиды

образовавшихся частей пирамиды.
45.20. Параллельно основанию пирамиды проведено сечение, которое делит
высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от ее вершины. Найдите объем
отсеченной пирамиды,

если объем данной пирамиды равен 54 см3.
45.21. Взаимно перпендикулярные боковые ребра треугольной пирамиды
равны а, Ъ, с. Через середину одного из них проведена плоскость, параллельная

плоскости основания. Найдите объем образовавшейся усеченной пирамиды.
45.22. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно взаимно
перпендикулярны. Площадь каждой боковой грани равна 18 см2. Найдите объем
пирамиды.
45.23. Сколько можно построить правильных пятиугольных пирамид с
заданными объемом и высотой?
45.24. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, если сторона
ее основания равна 2 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания
под углом

124

45°.

45.25. Две правильные четырехугольные пирамиды

имеют равные

одной пирамиде перпендикулярны противоположные боковые ребра, а
боковые грани. Объем какой пирамиды больше и во сколько раз?
другой
высоты. В

в

45.26. В каком отношении делится объем правильной шестиугольной
пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и меньшую
диагональ основания?
45.27. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен V. Найдите объем
многогранника, ограниченного меньшими диагональными сечениями.
45.28. Объем некоторой пирамиды равен 420 см3. Найдите объем другой
пирамиды, если площадь ее основания в два раза больше площади основания
данной пирамиды, а высота в три раза меньше.
45.29. Правильная восьмиугольная призма, все ребра которой равны по 2а,
пересечена плоскостями, каждая из которых проходит через середины трех
ребер, выходящих из одной вершины. Найдите объем отсеченных частей
призмы.

45.30. Правильный тетраэдр, объем которого равен V, срезан четырьмя
плоскостями, каждая их которых проходит через середины ребер, исходящих
из одной его вершины.

Найдите объем оставшейся

части тетраэдра.

§ 46. Объем конуса
46.1. Сформулируйте теорему об объеме конуса. Как она доказывается?
46.2. Назовите формулу для вычисления объема: а) усеченного конуса;
б) усеченной пирамиды.
46.3. Выразите объем конуса через диаметр основания и его высоту.
46.4. Диаметр основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого
сечения равен

46.5. Как

90°. Вычислите объем конуса.
собой объемы конусов, имеющих равные

относятся между

высоты?
46.6. Как

изменится

объем конуса,

б) радиус основания уменьшить в 5 раз;
основания увеличить в 3 раза?
46.7. Конус

и

цилиндр

Найдите объем: а) конуса,

высоту увеличить в 4 раза;
высоту уменьшить в 2 раза, а радиус

если:

в)

имеют одно и

а)

то же основание и

равные высоты.

объем цилиндра равен 96 см3; б) цилиндра,
если объем конуса равен 102 мм3.
46.8. Высота конуса равна 8 см, образующая
10 см. Найдите объем
если

конуса.
46.9. Найдите объем конуса,
основания

24

если его

46.10. Образующая конуса равна I и наклонена
1 см
углом ф. Найдите объем конуса, если: а) I
45°.
=

под

Ф

=

равна 13 см, а диаметр

образующая

см.

46.11. Объем равностороннего конуса уменьшен
основания?

к

и

в

плоскости

ф

=

основания

30°; б) I

8 раз. Как

=

2 дм

и

изменился

радиус его

125

46.12. Квадрат ABCD вращается вокруг стороны АВ. Найдите отношение
объемов фигур, полученных вращением треугольников ABC и ADC.
46.13. Найдите объем фигуры, полученной вращением квадрата вокруг
своей диагонали, равной: а) 6 см; б) d.
46.14. Две фигуры получены вращением одной и той же равнобедренной
трапеции вокруг ее оснований. Равновелики ли эти

46.15. Верно

фигуры?

ли, что если два конуса равновелики, то равновелики и их

основания?
46.16. Через вершину конуса и хорду основания, которая делит площадь
основания в отношении: а) 1 : 4; б) 2 : 3, проведена плоскость. В каком
отношении эта плоскость разделит

объем конуса?

равные и параллельные хорды основания
проведены плоскости. Как найти объем фигуры, заключенной между ними?
2
46.18. В цилиндрический сосуд, наполненный водой на
высоты, опустили

46.17. Через вершину конуса

и две

-

о

металлический конус,

высота и диаметр основания которого равны

соответствующим размерам цилиндра.

46.19. Стог

сена имеет

На

сколько поднимется уровень воды в

форму конуса. По

сосуде?

высоте шеста в середине стога

Какие еще измерения нужно произвести, имея только
чтобы определить объем стога?
46.20. В правильную треугольную пирамиду, высота основания которой

определили его высоту.
мерную веревку,

равна 6 см, вписан конус с высотой 9 см. Определите объем конуса.
46.21. Около конуса описана правильная четырехугольная пирамида,
6 см. Найдите объем конуса.
сторона основания которой равна 2 см, а высота

46.22. В конус

вписан цилиндр,

среднее сечение конуса

(параллельно

верхним основанием которого является
основанию и проведено через середину

объемов цилиндра и конуса.
46.23. Плоскость, проведенная через середину высоты конуса

высоты). Найдите

отношение

плоскости основания, разделила конус на две

которых равна V. Найдите объем конуса.
46.24. Игрушечное ведерко в форме усеченного конуса
5 раз

меньше соответствующих размеров

емкость ведра

больше

параллельно

фигуры, разность объемов
имеет размеры в

настоящего ведра.

Во

сколько раз

ведерка?
имеют общее

емкости

46.25. Цилиндр и конус
основание, размещены в одном
полупространстве от него и равновелики. Какая часть объема конуса находится
вне цилиндра?
46.26. Найдите отношение объемов двух конусов, один из которых описан
правильной: а) треугольной; б) четырехугольной пирамиды, а другой

около

вписан в нее.

46.27. Назовите формулу для вычисления объема усеченного конуса через
h и диаметры оснований D и d.

его высоту

46.28. Как изменится объем усеченного конуса, если радиус его оснований
в 3 раза, а
46.29. Основания

увеличить

высоту уменьшить в

боковые стороны наклонены
объем усеченного конуса.
его

126

4 раза?

осевого сечения усеченного конуса равны

3

к плоскости основания под углом

см и 5 см, а
45°. Найдите

46.30. Высота усеченного конуса равна 3 дм. Радиус одного из оснований
вдвое больше радиуса другого, образующая наклонена к плоскости основания
под углом 45°. Найдите объем усеченного конуса.

§ 47. Объем шара

и его

частей

47.1. Сформулируйте теорему об объеме шара.
47.2. По рисунку 147 воспроизведите доказательство теоремы об объеме
шара.

47.3. Назовите формулу для вычисления объема шара через его диаметр D.
47.4. Какая фигура называется шаровым: а) кольцом; б) сегментом?

47.5. Назовите формулу

для вычисления объема шарового кольца,

(R > г).
б) высотой

образованного шарами, имеющими радиусы R и г

47.6. Что

шарового сегмента?
47.7. Назовите формулу для вычисления объема шарового сегмента по
высоте h и радиусу соответствующего шара R.
называется:

а)

основанием;

а) сектором; б) поясом?
б) высотой шарового пояса?
его: а) радиус равен 3 см; б) диаметр

47.8. Какая фигура называется шаровым:

47.9. Что

называется:

а)

основаниями;

47.10. Найдите объем шара, если

равен 4 дм.
47.11. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить
в: а) 3; б) 4; в) п раз?

47.12. Сколько нужно взять шаров радиусом 2 см, чтобы сумма их объемов
равнялась объему шара радиусом 6 см?
47.13. Радиусы трех шаров равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите радиус шара,
объем которого равен сумме объемов этих шаров.
47.14. Есть ли в следующей задаче лишнее условие: «Свинцовый шар,
диаметр которого равен 20 см, переливается в шары с диаметром в 10 раз
меньшим.

Сколько

47.15. Радиусы

таких шаров

получится?»

трех шаров относятся как 3:2:1.

Верно

ли утверждение

объем большего шара равен сумме объемов двух других шаров?
47.16. Объем одного шара равен сумме объемов двух других шаров. Найдите

о том, что

а) радиусами; б) диаметрами этих шаров.
Докажите, что объем шара равен объему такого конуса,

зависимость между:

47.17.

высота

которого равна радиусу шара, а радиус основания равен диаметру шара.

127

47.18. Выразите: а) радиус; б) диаметр шара через его объем V.
47.19. Во сколько раз объем шара, вписанного в куб, меньше объема шара,
описанного около того же

47.20.

куба?

В шар вписан равносторонний цилиндр. Найдите отношение

их

объемов.
47.21. Около равностороннего цилиндра описан
Найдите отношение объемов этих шаров.

шар и в цилиндр вписан

шар.

47.22. Во
конуса,

сколько раз

47.23. Из объемов

части,

объем шара,

больше объема шара,

описанного около равностороннего

конус?

вписанного в этот же

объем шарового сектора?
47.24. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на две
равные 3 и 9. Как относятся объемы соответствующих частей шара?
каких

фигур

состоит

47.25. Найдите объем сегмента, который отсекается от шара радиусом R
плоскостью, делящей диаметр шара в отношении 1:3.
47.26. Найдите объем шарового кольца, образованного шарами
радиусов

>

Rx и R2 (Rx

R2).

47.27. Какую
у которого

часть

объема шара

высота равна:

а)

47.28. Радиус шарового
б) 120°. Найдите его объем.

47.29. Как

относятся

-;
2

б)

-

4

составляет

диаметра

объем шарового сегмента,

шара?
а) 90°;

сектора равен R, угол в осевом сечении:

объемы шаровых секторов одного

и того же

радиуса?
со

47.30. Найдите объем общей части правильной четырехугольной пирамиды
основания 2 и высотой 1 и единичного шара с центром в вершине

стороной

этой пирамиды.

§ 48. Площадь поверхности
48.1. Как

вычисляется площадь поверхности

48.2. Что

называется площадью

пирамиды?
48.3. Из

каких

площадей

многогранника?

боковой поверхности: а) призмы; б)

состоит

б) пирамиды?
48.4. Как найти

площадь

поверхности:

площадь боковой поверхности
призмы по стороне основания а и боковому ребру Ъ?

а)

призмы;

правильной п-угольной

48.5. Чему равна площадь поверхности куба с ребром: а) 1 мм; б) 3 см;
а?
в)
48.6. Чему равна площадь поверхности правильного: а) тетраэдра; б)
октаэдра; в) икосаэдра с ребром 1?
48.7. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, боковое
ребро Ь. Как выражается площадь ее боковой поверхности? Найдите ее при:
4 см.
7 см, Ъ
5 см; б) а
1,5 см, 6
а) а
=

=

=

=

48.8. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной
призмы, сторона
128

основания

которой

равна 1,5 дм, а боковое

ребро 10

см.

48.9. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной
основания которой равна 5 см, а высота 10 см.
48.10. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной

призмы, сторона

которой 5 см и высота 8 см.
48.11. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный
треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите
призмы, сторона основания

площадь поверхности данной призмы.
48.12. Как изменится площадь поверхности
увеличить в: а) 2 раза; б) 3 раза; в) п раз?

куба,

если каждое его

ребро

48.13. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой
ромб с диагоналями 6 см и 8 см и боковым ребром 10 см.

лежит

48.14. Найдите площадь боковой поверхности правильной: а)
четырехугольной пирамиды, сторона

основания

которой

равна 6 см и высота 4 см;

6

см и высотой 1 см; в)
шестиугольной пирамиды со стороной основания 4 см и высотой 2 см.
48.15. Высота боковой грани правильной треугольной пирамиды,
проведенная из ее вершины, в 3 раза больше высоты основания. Найдите отношение

б) треугольной

пирамиды со

стороной

основания

боковой поверхности пирамиды к площади ее основания.
48.16. Как изменятся площади боковой и полной поверхностей пирамиды,
если все ее ребра: а) увеличить в 2 раза; б) уменьшить в 5 раз?
площади

48.17. Развертка поверхности правильной треугольной пирамиды
собой равносторонний треугольник, площадь которого равна 80 см2.

представляет

Найдите площадь грани пирамиды.
48.18. Сколько можно построить
боковой поверхностью и

48.19. Сколько

можно

с заданными площадью

48.20. Сколько

одной

прямых параллелепипедов с заданными

из сторон

построить

оснований?

правильных

боковой поверхности

и

восьмиугольных

призм

высотой?

можно построить правильных четырехугольных пирамид

заданной площадью боковой поверхности?
48.21. Площадь диагонального сечения правильной четырехугольной
призмы равна Q. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
48.22. Площадь наибольшего диагонального сечения правильной
шестиугольной призмы равна Q. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
48.23. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды,
у которой апофема (высота боковой грани, проведенная к стороне основания
с

пирамиды)

равна стороне основания, равна 54 см2. Найдите сторону основания

пирамиды.
48.24. В основании пирамиды, боковые грани которой
основанием равные углы, лежит

ромб. Площадь одной

из

образуют

с

боковых граней равна Q.

Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
48.25. В правильной треугольной пирамиде сторона основания вдвое больше
апофемы (см. условие задачи 48.23) боковой грани. Боковое ребро пирамиды
равно Ь. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
48.26. Найдите угол между апофемами (см. условие задачи 48.23)
правильной треугольной пирамиды, у которой площадь боковой поверхности равна
утроенному квадрату апофемы.
5

Смирнова, 10-11

кл.

129

48.27. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
больше площади основания.
плоскости основания.

Определите

в

два

раза

угол наклона боковой грани к

48.28. В каком отношении делится площадь боковой поверхности
правильной

треугольной призмы

плоскостью,

проходящей через

две соответствующие

средние линии ее оснований?
48.29.

Докажите,

что

плоскость,

проходящая через ось

симметрии

параллелепипеда, делит его на две четырехугольные призмы, имеющие равные
площади поверхности.

48.30. Имеется модель наклонной призмы. Какие размеры необходимо
определить, чтобы вычислить площадь ее боковой поверхности?
48.31. Имеется модель правильной пирамиды. Какие измерения надо
произвести, чтобы вычислить площадь ее поверхности?

48.32. Имеется

модель

правильной усеченной пирамиды. Какие измерения
поверхности?

надо произвести, чтобы вычислить площадь ее боковой

48.33. В правильной четырехугольной пирамиде через середины
противоположных сторон основания и вершину пирамиды проведено сечение, две стороны
которого равны 4 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
48.34. Боковыми гранями правильной треугольной пирамиды
являются

прямоугольные

данной пирамиды

и

Как относятся боковые поверхности
боковыми ребрами которой являются апофемы

треугольники.

пирамиды,

задачи 48.23) данной пирамиды?
48.35. Как относятся боковые поверхности правильных треугольной
шестиугольной пирамид, если последняя получена в результате сечения
треугольной пирамиды тремя плоскостями?
48.36. Ребра наклонной четырехугольной призмы равны 13 см, а
перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите боковую

(см. условие

и

поверхность призмы.
48.37. Для амбара размером 30

х 8 м нужно сделать двускатную крышу.
Скаты крыши представляют собой прямоугольники, которые образуют между
собой угол, равный 60°. Найдите площадь поверхности крыши.
48.38. Можно ли из куска жести прямоугольной формы размером 31 х 11 см

коробку без крышки в форме прямоугольного параллелепипеда
х 10 х 6 см?
10
размером
48.39. Можно ли из картона прямоугольной формы размером 52 х 22
сделать модель правильной четырехугольной призмы с высотой 20 см и
сделать

стороной

основания

48.40. Может

см

10 см?
ли сумма

площадей ортогональных проекций боковых граней

пирамиды на ее основание быть больше площади основания?
Площадь поверхности цилиндра и конуса

разверткой боковой поверхности: а)
б) конуса; в) усеченного конуса?
48.42. По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности:
48.41. Какая фигура является

цилиндра;

а) цилиндра; б) конуса; в) усеченного конуса?
130

48.43. По какой формуле

а) цилиндра;
в) усеченного конуса?
48.44. Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра, если:
а) радиус основания увеличить в 2 раза, а образующую уменьшить в 4 раза;
б) радиус основания уменьшить в 2 раза, а образующую увеличить в 3 раза?
48.45. Как относятся площади боковых поверхностей двух цилиндров,
высоты которых равны?
48.46. Имеются два цилиндра, у которых равны радиусы оснований. Высота
второго цилиндра равна сумме радиуса и высоты первого цилиндра. Сравните
б)

вычисляется площадь поверхности:

конуса;

площадь полной поверхности первого цилиндра и площадь боковой
поверхности второго цилиндра.
48.47. Радиус основания

цилиндра равен

боковой поверхности цилиндра.
48.48. Площадь осевого сечения

2 м,

высота

цилиндра равна:

3

м.

Найдите площадь

а) 4 м2; б) Q. Найдите

площадь боковой поверхности цилиндра.
48.49.

основания цилиндра равен 1, высота равна длине
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Диаметр

окружности основания.

48.50. Осевое

сечение цилиндра

квадрат. Площадь основания равна S.

Найдите площадь поверхности цилиндра.
48.51. Площадь боковой поверхности равностороннего цилиндра равна
20 дм2. Найдите площадь его основания.
48.52. Два цилиндра образованы вращением одного и того же
прямоугольника вокруг его неравных сторон. Равны ли у этих цилиндров площади:

а) боковых; б) полных поверхностей?
48.53. Высота равностороннего цилиндра

равна h. Найдите площадь
боковой поверхности.
48.54. Радиус основания цилиндра равен R, площадь боковой поверхности
равна сумме площадей оснований. Найдите высоту цилиндра.
48.55.

Длина

окружности основания цилиндра равна 10я см,

образующая

равна 70 см. Найдите площадь поверхности цилиндра.
48.56. Какая зависимость должна существовать между радиусом г
основания конуса и его образующей I, чтобы разверткой его боковой поверхности
с дугой 90°?
48.57. Образующая конуса равна диаметру основания. Докажите, что
разверткой его боковой поверхности является полукруг.
48.58. Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор,

служил круговой сектор

дуга которого равна 60°, а хорда равна b. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.
48.59. Образующая конуса равна 6 см, а угол развертки его боковой
поверхности равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
48.60. Как изменится площадь боковой поверхности конуса, если радиус
основания: а) уменьшить в 3 раза; б) увеличить в 4 раза, а образующую
увеличить в

в 5 раз, а образующую уменьшить в 5 раз?
конуса равна 6 см, радиус основания 8 см. Найдите площадь

2 раза; в) увеличить

48.61. Высота

боковой поверхности конуса.
5*

131

48.62. Высота конуса равна 4 см, образующая 5

см.

Найдите площадь

поверхности конуса.
48.63. Как относятся

между собой площади основания, боковой
полной поверхности равностороннего конуса?
48.64. По высоте h равностороннего конуса найдите площадь его

поверхности и

поверхности.

48.65. Образующая конуса равна 4 дм, а угол при вершине осевого сечения
90°. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
48.66. Осевое сечение конуса
равносторонний треугольник. Выразите

равен

площадь поверхности конуса через радиус его основания.
48.67. Как изменится площадь поверхности конуса, если
радиус основания уменьшить в

образующую

и

4 раза?

48.68. Как

относятся площади поверхностей равносторонних конусов?
48.69. Два конуса образованы вращением одного и того же прямоугольного

треугольника вокруг его неравных катетов. Равны ли у этих конусов площади:

а) боковых; б) полных поверхностей?
48.70. Площади боковых поверхностей

двух конусов, образованных
вращением одного и того же прямоугольного треугольника вокруг каждого из

Определите вид треугольника.
Две фигуры получены вращением одной

катетов, равны.
48.71.

трапеции вокруг оснований. Равны ли площади их

и той же равнобедренной
поверхностей?

48.72. Образующая усеченного конуса равна 6 дм, длина окружности
среднего сечения (параллельно основанию и проходит через середину высоты)
равна 17 дм. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.
48.73. Площадь боковой грани правильной четырехугольной призмы
равна Q. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную
призму.
48.74. Около цилиндра описана четырехугольная призма, у
двугранные углы при боковых ребрах равны по 90°. Одна из боковых

которой
граней

квадрат со стороной 2 дм. Найдите площадь поверхности цилиндра.
48.75. В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Как
относятся площади их боковых поверхностей?
призмы

48.76. В

цилиндр вписана шестиугольная призма с равными боковыми
гранями. Площадь боковой грани равна Q. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.
48.77. В конус с

образующей, равной 20 см, вписана треугольная
которой равны 13 см, 12 см и 5 см. Найдите площадь

пирамида, стороны основания

боковой поверхности конуса.
48.78. Выразите площадь боковой поверхности пустотелого цилиндра через
радиусы его оснований R и г (R > г) и высоту h.

48.79. В цилиндр

вписан

правильный октаэдр

с

ребром

а таким

образом,

что две его вершины совпадают с центрами оснований цилиндра, а остальные

боковой поверхности. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра.
48.80. В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр и около этой
призмы описан цилиндр. Как относятся площади боковых поверхностей этих
принадлежат

цилиндров?
132

§ 49. Площадь поверхности шара

и его

частей

49.1. Почему для нахождения площади поверхности шара

нельзя

разверткой?
49.2. Какой метод используется для нахождения площади поверхности
шара?
49.3. Назовите формулу площади поверхности шара через его: а) радиус;
б) диаметр.
49.4. Как изменится площадь поверхности шара, если его радиус: а) увеличить
в 3 раза; б) уменьшить в 7 раз; в) увеличить в п раз; г) уменьшить в т раз?
49.5. Что произойдет с радиусом шара, если площадь его поверхности:
а) уменьшится в 25 раз; б) увеличится в 2 раза?
49.6. Площади поверхностей двух шаров относятся как: а) 4 : 9; б) 625 : 289.
воспользоваться

Найдите отношение их диаметров.
49.7. Площадь большого круга шара равна: а) 4п см2; б) 3 см2; в) Q. Найдите
площадь поверхности шара.
49.8. Сечение шара плоскостью, отстоящей от его центра на расстояние 3 дм,
имеет радиус 4 дм.

49.9.

Шар

принадлежит

Найдите

площадь поверхности шара.

с центром в точке
плоскости а и

ОБ

О
=

касается плоскости а в точке

13 см, АВ

12

=

см.

А. Точка В

Найдите площадь

поверхности шара.
49.10. Площадь поверхности шара равна 100я см2. Найдите объем шара.
49.11. Объем шара равен 28871 дм3. Найдите площадь его поверхности.
49.12. Площади поверхностей двух шаров относятся как: а) 9 : 16; б) 8 : 27.
Найдите отношение их объемов.
49.13. Площади поверхностей двух шаров
отношение их объемов.
49.14. Объемы двух шаров относятся как

относятся

а

:

как

Ь. Найдите

а

:

Ъ. Найдите

отношение

площадей поверхностей.
49.15. Найдите площадь поверхности полушара, если радиус шара
а) 4 см; б) R.
49.16. Найдите отношение площадей поверхностей шара и полушара

их

равен:

одного

и того же радиуса.

49.17. На рисунке 148 изображена четверть шара. Докажите,
ее

кривой

поверхности равна сумме

площадей

ее плоских

что площадь

поверхностей.

49.18. На окраску поверхности шара диаметром 1 дм расходуется 20
Сколько краски потребуется для окраски шара диаметром 5 дм?
49.19. Гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника служат

г

краски.

трех

диаметрами

Какая существует

шаров.

зависимость

между площадями

их

поверхностей?
49.20. В куб вписан шар. Найдите отношение площадей их поверхностей.
49.21. Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около куба,
больше площади поверхности шара, вписанного в этот же куб?
49.22. Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны
1 дм, 2 дм

3 дм,

Найдите площадь его поверхности.
равносторонний цилиндр. Найдите отношение
площадей поверхностей этих фигур.
49.24. Во сколько раз площадь поверхности шара, описанного около
и

описан шар.

49.23. В шар вписан

больше площади поверхности шара,

равностороннего цилиндра,
же

цилиндр?
49.25. В шар

вписан

равносторонний конус.
конуса?

вписанного в этот

В каком отношении делится

площадь поверхности шара основанием

49.26.

Во

сколько раз площадь поверхности шара, описанного около

равностороннего конуса,

больше площади поверхности шара,

вписанного в этот же

конус?
49.27.

В шар радиусом R вписан конус, угол при вершине осевого сечения
которого равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
49.28. Около октаэдра, ребро которого равно 2 дм, описан шар. Найдите
площадь поверхности шара.
49.29. Какие поверхности ограничивают шаровой:

а) сегмент; б) сектор;
в) пояс?
49.30. Как относятся площади поверхностей двух сегментов одного и того
же шара?
49.31. Секущая плоскость делит диаметр шара в отношении т : п. В каком
отношении делится этой плоскостью площадь поверхности шара?

49.32. Длина дуги

осевого сечения шарового сегмента равна

49.33. Около шара

Какую

часть площади

поверхности шара составляет

сегмента?
описан цилиндр.

цилиндра, делит его на две части.

отсеченного

длины окруж-

3

ности большого круга.
площадь поверхности

-

цилиндра или часть

Плоскость, параллельная

основаниям

Что больше, площадь боковой поверхности
площади поверхности шара, заключенной

цилиндра?
49.34. Около равностороннего

внутри

этого

конуса, высота которого равна h, описан шар.
Найдите площадь поверхности шарового сегмента, высотой которого является
высота конуса.
49.35.

полученного

134

Круговой

сегмент, дуга которого равна

120°,

является частью круга

1 дм. Найдите площадь сферической части поверхности тела,
вращением данного сегмента вокруг своей оси симметрии.

радиусом

49.36. Радиус шара равен 3 дм. Найдите площадь

который

отсекается от шара плоскостью,

проходящей

основания

сегмента,

на расстоянии

1 дм

от

его центра.

49.37. Дуга осевого сечения шарового сегмента равна 240°. Найдите
площадь сферической поверхности сегмента, если радиус шара равен R.
49.38. Около куба, ребро которого равно а, описан шар. Найдите площадь
поверхности шара, заключенную между плоскостями противоположных
граней куба.

49.39. В шар, радиус которого равен 10 см, вписан усеченный конус с
высотой 6 см и радиусом основания 1 дм. Найдите площадь поверхности шарового
пояса, основаниями которого являются основания конуса.
49.40. Шар, радиус которого равен R, пересечен двумя параллельными
плоскостями, которые делят диаметр шара

в отношении

поверхности шара, заключенную между секущими

1:2:3. Найдите площадь

плоскостями.

Глава VII. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
§ 50. Прямоугольная

система координат в пространстве

координатной?
прямоугольной системой координат на
50.3. Что такое начало координат?
50.4. Что называется прямоугольной системой координат
50.1. Какая прямая называется

50.2. Что

называется

плоскости?

в

пространстве?
50.5. Как по-другому

называется прямоугольная система

координат?

Почему она так называется?
50.6. Когда жил Рене Декарт?

50.7. Какой метод

называется методом координат?
50.8. Что такое координаты точки: а) на плоскости; б) в пространстве?
50.9. Как определяются координаты точки в пространстве?
50.10. Как называются оси координат: а) на плоскости; б) в

пространстве?
50.11. Что

такое координатные

50.12. Как

называются координаты точки:

плоскости? Сколько их?

а)

на плоскости;

б)

в

пространстве?
50.13. Даны точки А(0, 1, 2), В(-2, 0, 3), С(3, -1, 0), D(0, 0, 1), Е(4, 0, 0),
F(0, -7, 0), G(l, 1, 1), Н(0, 0, 0). Какие из них принадлежат: а) оси Ох; б) оси
Оу; в) оси Oz; г) плоскости Оху; д) плоскости Охг; е) плоскости Оуг?
50.14. Дана точка М( 1, 2, -3). Назовите координаты оснований
перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные плоскости.
50.15. Дана точка К(-2, 4, -5). Назовите координаты оснований
перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси.

135

50.16. Дан куб A...Dl (рис. 149), ребро которого равно: а) 1; б) а. Начало
координат находится в точке А. Положительные лучи осей координат
соответственно АВ, AD и
ААГ Назовите координаты всех вершин куба.

50.17. Дан куб А.-.Х^рис. 150), ребро

которого равно 2. Начало координат

находится в центре грани A1B1C1D1, ребра куба параллельны соответствующим
осям координат, вершина D имеет координаты (1,1, -2). Назовите координаты
остальных вершин

куба.

50.18. Назовите ГМТ в пространстве, у которых абсцисса равна: а) 0; б) 5;
в) -17.
50.19. Назовите ГМТ в пространстве, у которых ордината равна: а) 0; б) 14;
в) -1.
136

50.20. Назовите ГМТ

в пространстве, у которых аппликата

равна:

а) 0; б) 1;

«4
50.21. Назовите ГМТ

б) абсцисса

и аппликата;

в

в)

пространстве, у которых:
ордината

и аппликата

а) абсцисса

и ордината;

равны 0.

К(2, 1, 5),
L(-3, 4, -1), М(0, -5, 7), N(-6, 0, 0) на координатную плоскость: а) Оху; б) Oxz;
в) Oyz.
50.23. Найдите координаты ортогональных проекций точек Р(1, -5, 6),
R(-2, 7, 4), S(8, 0, -5), Т(0, -1, 0) на координатную ось: а) Ох; б) Оу; в) Oz.
50.24. Пусть в пространстве заданы две точки А и В. Найдите координаты
50.22. Найдите координаты ортогональных проекций точек

середины отрезка АВ,

если данные точки имеют соответственно следующие

а) (2, 3, 4) и (-2, -4, -10); б) (0, 5, 6)
(15, -6, 0); г) (хг, yv 2г) и (х2, у2, г2).

координаты:
и

и

(3, 0, -8); в) (-12, 4, -9)

50.25. Центром правильного октаэдра (рис. 151) SABCDS'
координат.

Найдите координаты

его вершин, если

А(-3, 0, 0)

является начало
и

С(3, 0, 0).

50.26. В пространстве задана точка Е(3, -4,5). Найдите координаты точки Ех>
симметричной Е относительно координатной плоскости: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz.
50.27. В пространстве задана точка F(-1, -2, 8). Найдите координаты
точки Fv симметричной F относительно координатной оси: а) Ох; б) Оу; в) Oz.
50.28. В пространстве задана точка Н, имеющая координаты: а) (-11, 5, -3);
б) (0, -10, -12); в) (6, 0, -13); г) (5, -6, 9). Найдите координаты

симметричной

точки

Hv

Н относительно начала координат.

50.29. В пространстве задана точка М(х, у, z). Найдите координаты точки
М относительно: а) координатной оси Ох; б) координатной

Mv симметричной
оси

координатной

Оу; в) координатной
плоскости

оси Oz; г) координатной плоскости Оху; д)
Oxz; е) координатной плоскости Oyz; ж) начала координат.

50.30. Начало координат лежит в центре грани АБС правильного
ABCD. Вершина А принадлежит оси Ох и имеет положительную
оси Oz и имеет положительную аппликату (рис. 152).
абсциссу, а вершина D
единичного тетраэдра

137

Найдите координаты

остальных вершин тетраэдра.

Однозначно

ли они

определяются?

§51. Расстояние между точками

51.1. Какой формулой
точками

Ax(xv ух)

и

в планиметрии выражается расстояние между

А2(х2, y2)?t

51.2. Сформулируйте теорему

а2(Х2>

У2

г2>

в пространстве

о расстоянии между точками

Ax(xv

yv

zj

и

в пространстве.

51.3. По рисунку 153 воспроизведите доказательство теоремы
между точками

Ax(xv

yv

zt)

и

А2(х2,

у2,

z2)

в

о расстоянии

пространстве.

51.4. Назовите уравнение сферы. Укажите по нему координаты центра
сферы и ее радиус.
51.5. Назовите неравенство, которому удовлетворяют координаты точек
шара. Укажите по нему координаты центра шара и его радиус.
51.6.

Координаты точек какой
х0У + (у- у0)2 + (г- z0f

-

а) (х

фигуры удовлетворяют неравенству:
<

R2; б) (х

51.7. Найдите расстояние между

б) С(0, 0, -8)
Я(0, -7, 1).
138

и

-

точками:

D(2, -4, 5); в) £(5, -1, 0)

и

+ (у
у0f + (z 2/ > R2?
а) А(-1, 0, -2) и В(1, 2, -3);
F(0, -1, 8); г) G(ll, 0, -2) и

х/

-

-

51.8. Какая точка дальше от начала координат: а) М(-4, 0, -5) или
ЛГ(2, 1, 8); б) #(0, -3, 4) или L(0, -1, 2)?
51.9. Назовите уравнение сферы с центром в начале координат и диаметром,
равным: а) 1; б) л/2; в) 9; г) 12.
51.10. Назовите уравнение сферы с центром в начале координат и
проходящей через точку: а) А(0, 1, 2); б) В(2, -1, 0); в) С(-1, 2, -3); г) £>(-4, 5, 1).
51.11. Определите вид треугольника, если его вершины имеют координаты:
а) А(0, 0, 1), В( 1, 0, 0), С(0, 1, 0); б) А(0, 0, 1), В(0, 1, 1), С(0, 1, 0); в) А(0, 1, 1),
В(1, 0, 1), С(0, 0, -1); г) А(0, 1, 0), В(1, 1, 1), С(-1, -1, -1).
51.12. Назовите координаты центра сферы и ее радиус: а) х2 4- у2 + z2
2z
5
2х 4- 4у
6z + 9
0; б) х2 4- у2 4- г2 4- 4х 4- 2
0; в) х2 4- у2 4- г2
0;
0.
г) х2
10у 4- 25 4- у2 + z2 4- 8л:
-

-

=

-

=

-

=

-

=

-

4х 4- 2z 4- 4
0 следующая
сфере х2 4- у2 4- z2
а) А(-1, 0, -1); б) В(1, 0, -1); в) С(2, 0, 0); г) D( 1, 2, -1); д) Е(2, 0, -2);
е) F(3, 0, -1)?
51.14. В каких пределах лежат координаты точек, принадлежащих шару

51.13. Принадлежит

=

-

ли

точка:

(х

4-

I)2

4-

у2

4-

(z

2)2

-

< 4?

51.15. Назовите несколько точек, принадлежащих сфере:

б) (х
+ (z

-

-

I)2
I)2

+
=

+ г2

у2

2)2
б) (х
+ (z 4- 7)2

4-

9; в) х2

4-

(у

4-

+

4)2

(z

-

I)2

4; г) (х

=

а) х2

4-

I)2

-

у2
+

4- z2

(у

4-

=

25;

I)2

+

z2 <

1;

16.

51.16. Назовите
+

=

у2

4-

(z

-

несколько точек, принадлежащих шару:

I)2

< 4;

в) (х

+

8)2

+

(у

-

2)2

+ г2 <

а) х2 4- у2 +
2)2 + (у

25; г) (х

-

-

6)2

+

< 36.

51.17. Назовите несколько точек, не принадлежащих шару: а) х2 + у2 + z2 < 5;
З)2 + (у
I)2 + z2 < 4; в) (х + I)2 4 (у- З)2 + (z 4- 5)2 < 125; г) (х 4- 4)2 +
+ (у 4- 2)2 4- (z
I)2 < 625.

б) (х

-

-

-

51.18. Назовите уравнение большой окружности сферы х2 4-

4- z2

9,
координатной плоскости: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz.
51.19. Назовите ГМТ в пространстве, координаты которых удовлетворяют
следующему неравенству: а) (х
I)2 + (у 2)2 + (z З)2 < 1; б) х2 + z2 < 4; в) z > 9;
г) \у\ < 5.
51.20. Как расположены относительно друг друга следующие сферы:
9 и х2 4- у2 4- z2
1 и х2 + у2 4- z2
1; б) (х 6)2 + у2 + z2
25;
а) х2 + у2 4- z2
+
+
+
4441
и
16; г) (х + 2)2 +
в) (х
З)2 (у З)2 (z I)2
(х
З)2 4-(у- З)2 (z
I)2
+ (у+ I)2 + (z
25 и (х 4- I)2 + (у
9?
4)2
I)2 + (z 4- I)2

лежащей

у2

=

в

-

=

=

-

-

-

-

=

-

=

-

=

=

=

-

=

§ 52. Координаты вектора
52.1. Что

такое координаты вектора?
52.2. Какие векторы называются координатными?
52.3. Как обозначаются координатные векторы?
52.4. Сформулируйте теорему о представлении вектора

через координатные

векторы.
52.5. По рисунку 154 воспроизведите доказательство теоремы о
представлении вектора через координатные векторы.
139

52.6. Даны два вектора

а)

ax(xv

yv

zt)

и

а2(х2,

у2,

z2).

Какие координаты

имеет:

б) разность этих векторов?
52.7. Дан вектор Ъ(х, у, z). Какие

сумма;

координаты имеет произведение этого
вектора на число t?
52.8. Чему равны координаты вектора АВ, если А(ах, а2, а3) и В(ЬХ, Ъ2, Ь3)?

52.9. Как выражается длина вектора: а) а(х, у, z); б)
и

в)

А2(х2,
с

у2,

АХА2,

если

Ax(xv

yv

zj

2г)?

52.10. Назовите координаты вектора: а)
18/ + k.
-10i; г) d

а

=

i

+5у

-

3k; б) Ъ

=

-у + 8k;

=

=

52.11. Назовите координаты вектора MN, если: а) М(1, 0, -3), N(-6, 5, 18);
б) М(6, -8, 9), ЛГ(20, 0, -16); в) М(0, -90, 1), N(-8, 0, -8); г) М(-1, -2, 13),
АГ(30, -50, 7).
_52.12. Найдите длину вектора: a) EF(-1, 5, -7); б) GH(0, -11, 6);
.

_

в) IJ( 12, -5, 0); г) lfL(15, 0, -20).
52.13 Найдите длину вектора PH,

если: а) Р(0, -1, 3), Н(5, 0, -8); б) Р(-1, 2, 4),
Я(0, -7, 11); в) Р(-2, -3, -9), Я(3, 7, -19); г) Р(5, >/б, 17), Я(17, 5>/б, 27).
52.14. Даны векторы /Я(1, 0, -9) и Я(-2, 6, 10). Найдите координаты

вектора:

а)

т

-

2Я; б) -3/Я

+

5Я; в) 8т

-

^Я

52.15. Найдите длину вектора: a) if

1т
г) q

=

2т

i

2

у

3

+

;

=

г) 6/Я
-i + у ;

+

^Я.

б) h

-3/

=

-

8&; в) р

=

Ы +1 j

-

к;

5-:
k.
6

.

a) iiS(-l, 0, 15) и R(2, -5, 0);
и
б) Д£(6, 3, -4) Д-10, -7,11); в) ^S(0, -8,10)и Д(-5,16, -18); r)RS(19, -15, -11)
и #(0, 9, -20).
52.17. Найдите координаты точки U, если: a) UV( 1, -2 -4) и F(0, -5, 6);
52.16. Найдите координаты

точки

S,

если:

б) UV(0, -10, 2) и F(6, -8, 11); в) UV{-5, 3, 1) и F(-l, 13, -19); г) UV(6, -9, 2)
и F(-5, 0, -15).
52.18. Найдите координаты вектора, если известно, что все они равны и
1
длина

140

вектора равна:

а) 6; б) 15; в)

-;

2

г)

52.19. Найдите длину вектора: а) 2а
если

а(-4, 2, 0)

и

-

Ъ; б)

Ь(0, -6, -1).

-а

-

ЗЬ; в)

~а

-

2Ъ; г) -5а

+

В,

^

52.20. На рисунке 155 представлен прямоугольный параллелепипед
OABCO^Bfi^ у которого вершина О совпадает с началом координат. Найдите
координаты вектора:

а) ОА; б) ОС; в) ОВ; г) ООх; д) ВСХ; е) ВХСХ; ж) ААХ; з) ОВх;

и) OjB.

§ 53. Скалярное произведение векторов
53.1.
53.2.
53.3.
векторов?
53.4.

Как определяется угол между векторами?
В каком случае угол между векторами считается равным нулю?
Что называется скалярным произведением двух ненулевых

Скалярное произведение векторов это вектор или число?
Чему равно скалярное произведение векторов, если хотя бы один из
них равен нулю?
53.6. Что называется скалярным квадратом?
53.7. Какое равенство для скалярного квадрата следует из формулы
скалярного произведения векторов?
53.8. Какой физический смысл имеет скалярное произведение векторов?
53.9. Может ли скалярное произведение векторов быть отрицательным
числом? Чем это определяется?
53.10. Как, зная координаты векторов a(av а2, а3) и b(bv Ъ2, Ъ3), найти их
скалярное произведение?
53.11. Какими свойствами обладает скалярное произведение векторов?
53.12. Как, зная координаты векторов m(xv yv zx) и п(х2, i/2, z2), найти
53.5.

угол между ними?
53.13. Какой знак
ними равен:

имеет скалярное произведение векторов, если угол между

а) 30°; б) 45°; в) 120°; г) 150°?

53.14. В каком случае скалярное произведение двух ненулевых
нулю? Сформулируйте соответствующее утверждение.

векторов

равно

141

53.15. Сформулируйте утверждение, обратное утверждению предыдущей
задачи (задача 53.14). Верно ли оно?
53.16. Найдите скалярное произведение а
Ь, если: а) а(0, -1,18) и 6(5, -8, 0);

б) а(-11, 5, 16)

и

6(7, -20, -1); в) а(4, -6, 0)

и

Ь(-1, -2, 17); г) а(9, 3, -2)

и

£(-20,

0, -30).
53.17. Найдите скалярное произведение векторов: а)

53.18. Дан прямоугольный треугольник АБС, АВ
Найдите А В А С + ВС БА + СА СВ.

53.19. Дан правильный шестиугольник ABCDEF

Найдите скалярное произведение: а) А Б ED; б) A Z)
OD; е) А Б AD; ж) А В АС.
д) ОА
53.20. Дан прямоугольный параллелепипед
представленный

на рисунке

б) CjOj

§

и

а и -а;

б)

О

CjA^ в)

и

ОБ; г) САХ

54. Уравнение плоскости

в

и

СА; д) ОхБ

и

ka.

стороной а.
ОС;
ОБ; г) ОА

с центром

СБ; в) ОА

и

OABCOjAjBjCj,

155. Найдите скалярное произведение векторов: а)
АБ

а и

гипотенуза, равная с.

ААг

и

ОБ;

СХБ.

пространстве

54.1. Каким уравнением задается: а) прямая

на плоскости;

б)

плоскость в

пространстве?
54.2. Какой вектор называется вектором нормали?
54.3. Как, зная уравнение плоскости, определить координаты ее вектора
нормали?
54.4. Что можно сказать о векторах нормалей двух: а) параллельных; б)
совпадающих плоскостей?
54.5. Дано уравнение плоскости ах +

by + cz + d
а) параллельной данной; б) совпадающей

=

0. Назовите уравнение

данной.
54.6. Как определить угол между двумя пересекающимися плоскостями?
0 и а2х + Ь2у +
54.7. Две плоскости заданы уравнениями ахх + Ьгу + cxz + d1
+
+
+
0.
Что
это означает? Сформулируйте
0,
причем
ага2
bj)2 с1с2
c2z
d2

плоскости:

с

=

+

=

=

соответствующее утверждение.
54.8. Сформулируйте утверждение, обратное утверждению предыдущей
задачи (задача 54.7). Верно ли оно?
54.9. Какие уравнения имеют координатные плоскости: а) Оху; б) Oxz;

в) Oyzl
54.10. Назовите несколько точек: а) принадлежащих; б) не принадлежащих
плоскости 2х
0.
6у + 2- 3
54.11. Дана плоскость: а) х у + 5
0; б) 2х + Зу z + 2 0; в) 4х 6у 3z =0;
=

-

=

-

г)

х +

2у

+ 4z

=

-5. Найдите

-

=

-

-

точки ее пересечения с осями координат.

1
6
54.12. Дана плоскость: а) 5х
0; в) \Ъх + у
0; б) Зх + 18г
у
-8 z + 14
0. Назовите координаты вектора нормали.
0;г)л;-3 у + 152
54.13. Назовите уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1, 2, 1),
-

=

-

=

Я, если он имеет следующие
б) (6, -1, 3); в) (-4, -2, -1); г) (-3, -8, 0).
с

вектором нормали

142

-

=

-

=

координаты:

а) (0, -5, 2);

54.14. Точка Р

с

координатами:

г) (4, -7, 0) является
координат 0(0, 0, 0) на

а) (0, -1, 2); б) (5, 0, -8); в) (0, 3, 0);

основанием перпендикуляра, опущенного из начала
данную плоскость.

Назовите

ее уравнение.

54.15. Назовите уравнение плоскости, которая проходит через точку S(2, -3,1)

координатной плоскости: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz. Сколько таких
провести?
54.16. Приведите примеры уравнений перпендикулярных плоскостей.

и параллельна

плоскостей

можно

54.17. Назовите уравнение плоскости, которая проходит через точку

Т(-5, -2, 4) и перпендикулярна координатной плоскости: а) Оху; б) Oxz;
в) Oyz. Сколько таких плоскостей можно провести?
54.18. Как расположены относительно друг друга следующие плоскости:
8
0 и 5х
16
0 и ~6х + 12у
0; б) х
а) Ъх
у + 7z
2у + Ыг
у + z
24z
30z + 12
0 и -10х
0; в) 15х + 9у
0; г) -2х
6у + 20z 8
2у +
-

-

=

-

=

-

=

-

=

-

0 и Зх + Зу
6z + 21
О?
54.19. Плоскость задана уравнением Зх

4- 4г + 14

=

симметричной ей

б) Oxz; в) Oyz.
54.20. Плоскость

-

относительно

5у

+ 6z + 1

=

-

0. Назовите

координатной

задана уравнением 2х + 31 у

уравнение плоскости, симметричной ей

а) Ох; б) Оу; в) Oz.
54.21. Плоскость

-

=

-

=

-

уравнение плоскости,

=

-

-

9z + 14

-

15у

=

а) Оху;

0. Назовите

координатной прямой:

относительно

задана уравнением 17л: +

плоскости:

-

z

-

11

=

0. Назовите

уравнение плоскости, симметричной ей относительно начала координат.
54.22. Сфера, заданная уравнением х2 + у2 + z2
16, пересечена
1
плоскостью: a) z
3
0. Найдите координаты
0; б) z + 2
0; в) у
0; г) х + 1
=

=

-

=

-

=

=

центра сечения и его радиус.
54.23. Назовите уравнение плоскости, которая касается сферы х2 4- у2 +
+ z2
25 в точке: а) А(0, 0, -5); б) В(5, 0, 0); в) С(4, 0, -3); г) £>(-3, 4, 0).
=

§ 55*. Уравнение прямой
55.1. Какие

в

пространстве

аксиомы стереометрии определяют прямую в

55.2. Назовите способы
55.3. Почему прямую

аналитического задания

прямой

в

пространстве?
пространстве.

в пространстве можно определить с помощью системы

уравнений? Что эти уравнения должны задавать?
такое направляющий вектор прямой?
55.5. Что, помимо направляющего вектора, нужно задать, чтобы
определить прямую?
55.6. Назовите условия, которым должна удовлетворять точка А(х, у, г),
чтобы принадлежать прямой, проходящей через точку А0(х0, у0, zQ) с
направляющим вектором е(а, Ъ, с).
55.7. Какие уравнения называются параметрическими уравнениями
прямой в пространстве?
55.8. Как определить направляющий вектор прямой, если известны две ее

двух

55.4. Что

точки:

A(av

а2,

а3)

и

B(bv Ъ2, Ь3)?
143

55.9. Назовите параметрические уравнения прямой
и

в пространстве, которые

ту же прямую.

определяют одну
55.10. Какими уравнениями задается ось:

а) абсцисс; б)

ординат;

в)

аппликат, если рассматривать ее как линию пересечения двух плоскостей?

а) абсцисс;
в) аппликат?
55.12. Назовите параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку: а) К(-1, 2, 6) с направляющим вектором е(Ъ, -6, 1); б) L(0, -3, 4) с
направляющим вектором е(10, -2, -4); в) М(-10, 1, 0) с направляющим вектором
е(0, 5, 11); г) iV(0, 0, -17) с направляющим вектором е(-9, 12, 0).
55.13. При каком условии параметрические уравнения
55.11. Какими параметрическими уравнениями задается ось:

б)

ординат;

х

=

at + хл1»

=

bt + yv

у
=

X

=

и

Ct + 2Х

kt +

X,
2

у

It + у2,

2

mt + z2

=

прямые?
55.14. Назовите параметрические уравнения прямой, проходящей через
точки: а) £(1, -2, 3) и F(5, 4, -6); б) G(8, -1, 0) и Н(-7, 10, 11); в) 0(0, 0, 0)
и Р(-3, 4, 10); г) R(-5, 16, 5) и S(20, 0, -9).
55.15. Назовите параметрические уравнения прямой, которая проходит
1
0;
через точку N(-12, 5, -8) и параллельна плоскости: а) 2х
6у + 7г
+
+
+
+
11
х
17z
-6х
г
15
4х
9г
0.
0; в)
0; г)
б)
Зу
8у
у
задают перпендикулярные

-

-

=

55.16. Прямая

-

=

-

-

-

=

=

в пространстве задана параметрическими уравнениями
х

-

х0

<у -у0
2

=

=

=

~

20

at,

bt,
Ct.

прямой, симметричной данной прямой
координатной плоскости: а) Оху; б) Охг; в) Оуг.
55.17. Прямая в пространстве задана параметрическими уравнениями

Назовите параметрические уравнения
относительно

х

-

х0

у -у0
2

=

=

=

-

20

at,

bt,
Ct.

прямой, симметричной данной прямой
координатной прямой: а) Ох; б) Оу; в) Oz.
55.18. Прямая в пространстве задана параметрическими уравнениями

Назовите параметрические уравнения
относительно

х

-

х0
-

У
2

Уо
~

20

Назовите параметрические уравнения
относительно начала координат.

144

=

=

=

at,

bt>
Ct.

прямой, симметричной данной прямой

55.19. Какой физический

смысл

имеет

длина

направляющего

вектора

прямой?
55.20. Точка движется прямолинейно и равномерно в направлении
0 она имела координаты
вектора е(2, -1, 4). В начальный момент времени t
1;
(3, 0, -5). Какие координаты она будет иметь в момент времени: a) t
=

=

б)

t

=

2; в)

t

=

10?

55.21. Точка движется прямолинейно
она имела координаты

(0, -4, 1). Какова

(2, 0, -5),

и

равномерно. В момент времени £

а в момент времени

t2

=

5

=

3

координаты

скорость движения точки?

§ 56. Аналитическое

задание пространственных

фигур

56.1. Как задается: а) сфера; б) шар?
56.2. Сколько полупространств определяет одна плоскость?
56.3. Как задается: а) плоскость; б) полупространство?
56.4. Как определить, какому полупространству с одной и той

же граничной

плоскостью принадлежит заданная точка?
56.5. Как в пространстве можно задать

выпуклый многогранник?
56.6. Сколько неравенств должно быть в системе, определяющей: а)
тетраэдр; б) четырехугольную призму; в) октаэдр; г) додекаэдр; д) я-угольную
призму; е) я-угольную пирамиду; ж) я-угольную усеченную пирамиду?
56.7. Есть ли у тгсл упространств, определенных одной и той же плоскостью,
общие точки?
56.8. Два полупространства задаются неравенствами ахх 4- Ьгу 4- схг 4- dx > 0,
4а2х
b2y 4- c2z 4- d2 > 0. Как будет задаваться пересечение этих
полупространств?
56.9. Определите, какому полупространству: Зх
4у 4- z 4- 10 > 0 или
Зх
4г/ + z 4- 10 < 0 принадлежат точки А(1, 0, -5), Б(6, -8, 11), С(-7, 3, -3),
D( 1, 2, -5), Я(0, -15, -6), F(3, 4,5, -1).
56.10. Назовите координаты вектора нормали плоскости, определяющей
6у + z
следующее полупространство: а) 5х
15<0;б)х + 3г/+ 17г + 18< 0;
>
+
<
21
24
18г
0.
ЗЗх
0; г) 16у
в)
-

-

-

-

-

-

56.11. Опишите полупространство, которое задается следующим

а) х > 0; б) 2у < 0; в) -Юг > 0.
56.12. Какая фигура определяется следующей системой неравенств:

неравенством:

56.13. Каким уравнением

можно задать

параболоид вращения, у которого
а) Ох; б) Оу; в) Ozl
пространстве куб ОАВСОхА1В1С1

осью вращения является координатная прямая:

56.14. Каким образом можно задать в
(рис. 156) с ребром: а) 1; б) 2; в) 15; г) а, если

его вершина О

это начало

145

координат, а положительные полуоси Ох,
векторами

ОА, ОС

56.15. То

и

же условие, что и в

отрицательные полуоси Ох,

56.16. То
векторы

Оу

и

Oz задаются

Оу

и

предыдущей

задаче, только задаются

Oz.

же условие, что и в предыдущих задачах

ОА, ОС

и

соответственно

ООг?

OOt

56.14

и

56.15,

только

определяют соответственно положительную полуось Ох,

отрицательную полуось

Оу

и отрицательную полуось

Oz.

56.17. Назовите систему неравенств, определяющих куб
изображенный на рисунке 150.

с

ребром

а,

56.18. Назовите систему неравенств, определяющих прямоугольный
параллелепипед, изображенный на рисунке 155.
56.19. Опишите многогранник, который задается системой неравенств
0 < х < 2,

0 < у < 2,
0 < 2 < 2,
х + у + z >

56.20.

Назовите

систему

неравенств,

ABCEDFO^B^C^ изображенный

146

4.

на рисунке

определяющих
157.

многогранник

§ 57*. Многогранники
57.1. Назовите
57.2. Кто

в задачах оптимизации

несколько задач оптимизации.

из отечественных ученых считается одним из основоположников

линейного программирования?
57.3. Когда он жил?

57.4. Какой высокой премии

был удостоен

за свои работы?
прикладной задачи.
57.6. Что значит составить математическую модель задачи?
57.7. Приведите пример какой-нибудь транспортной задачи.

57.5. Назовите

он

основные этапы решения

57.8. В каком случае говорят о геометрическом решении задачи линейного

программирования?
57.9. Что называется многогранником ограничений?
57.10. В каком случае получается многоугольник ограничений?
57.11. Каким может быть число п
число переменных в задачах
линейного программирования?
57.12. Какое пространство потребуется для получения геометрической
интерпретации задачи линейного программирования, которая имеет 4, 5,
п переменных?
6,
57.13. Почему многогранник ограничений определяется системой
линейных неравенств?
57.14. Почему линейная функция принимает свое наибольшее
(наименьшее) значение в одной из вершин многогранника ограничений? Покажите это
...,

с помощью рисун^^.

158.

Рис. 158

57.15. Какую
0 < х <

1,

х + г/ + 2 < 2;

фигуру

определяет

[0

< х < 4,

[х

+ у + z > 1?

следующая

система

неравенств:

147

57.16. Придумайте условия задач,

математические модели которых

в предыдущей задаче
ограничений,
57.15).
57.17. Какая фигура является графиком линейной функции у ах + cz + dl
57.18. Как расположен график линейной функции х
by + d по

описываются системами

представленных

(задача

=

=

отношению к оси Oz?
57.19. Как расположен

график линейной функции у

координат?
57.20. Что произойдет с графиком линейной функции

=

ах + cz +

d

по

отношению к началу

а) уменьшить; б) увеличить

на

z

=

ах +

by

+

d,

если

d:

2?

§ 58*. Полярные координаты на плоскости
58.1. В

каких случаях на плоскости

удобнее

применять не декартовы, а

координаты?
58.2. Что значит на плоскости задать полярную систему координат?
58.3. Что называется полярной осью?
58.4. Что называется полярным: а) радиусом; б) углом; в) полюсом?
58.5. Какие координаты называются полярными?
58.6. Если на плоскости задана декартова система координат, то при
к полярной системе координат что обычно принимают за полярную ось?

полярные

переходе

58.7. Как выражаются декартовы координаты (х, у)
координаты

точки через полярные

(г, ср) (рис. 159)?

58.8. Как выражаются полярные координаты (г, ф) точки через декартовы
координаты (х, у) (рис. 159)?
58.9. Каким уравнением в полярных координатах задается окружность?
58.10. Каким уравнением в полярных координатах задается спираль
Архимеда?
58.11. Каким уравнением в полярных координатах задается
логарифмическая спираль?

58.12. Каким
148

уравнением в полярных координатах задается

трилистник?

58.13. Каким

важным

геометрическим

Архимеда; б) логарифмическая спираль?
58.14. Приведите из окружающего нас

свойством обладает: а) спираль

мира примеры:

Архимеда; б) логарифмической спирали.
58.15. Переведите полярные координаты точки
а)

I1, i)б) I2, _i); в)
(>/2, -72);

б)

(-л/з,

58.17. Могут

спирали

в декартовы

координаты:

1я); I71 -14
г)

58.16. Переведите декартовы координаты

а)

а)

1); в) (1, -л/3); г) (-V2,
а) декартовым

точки в полярные координаты:

-л/2).

координатам; б) полярным
координатам соответствовать одинаковые точки на плоскости?
58.18. Найдите ГМТ на плоскости, для которых полярный: а) радиус
постоянен и равен 10; б) угол постоянен и равен -60°.
ли разным:

58.19. Что представляет собой на плоскости ГМТ, полярные координаты
а) 0 < г < 1; б) 2 < г < 5; в) 180° < ср < 270°;

которых удовлетворяют неравенствам:

<
ф < 90°, 0 < г < 100?
58.20. Найдите расстояние между

г) 30°

§

59*. Сферические координаты

в

точками

А

и

В,

если

A(rv фг)

и

В(г2, ф2).

пространстве

59.1. Где

и для чего используются сферические координаты?
59.2. С помощью рисунка 160 дайте определение сферических координат

точки.

59.3. Как выражаются декартовы координаты (х, у, z)
сферические координаты

59.4. Как

точки через

(г, \|/, ф) (рис. 160)?

(г, \|/, ф)
(х, у, z) (рис. 160)?
59.5. Какой фигурой можно считать поверхность Земли?
выражаются сферические координаты

точки через

декартовы координаты

59.6. Как выбираются на поверхности Земли оси Ох и Oz?
59.7. Почему положение точки на поверхности Земли определяется
двумя

только

сферическими координатами (\|/, ф)?
149

59.8. В
добавляют

59.9. В

каком случае при указании координат точки на поверхности
слова:

а) «северной

Земли

б) «южной широты»?

широты»;

каком случае при указании координат точки на поверхности

Земли

добавляют
а) «восточной долготы»; б) «западной долготы»?
59.10. Что называется: а) параллелью; б) меридианом?
59.11. Какой путь, соединяющий две точки на сфере, называется
ортодромией?
59.12. Какая кривая называется локсодромией?
59.13. Как переводится с греческого языка слово: а) ортодромия; б)
локсодромия?
59.14. Что такое триангуляция? Когда, кем и для чего она применялась?
59.15. Назовите имена ученых, которые занимались измерением размеров
слова:

Земли.
59.16. Переведите декартовы координаты

а)

р2, -V2, ^J;

б)

(л/з,

0,

2); в) Го. 0,

точки в

сферические координаты:

г) (0, 3, -3).

59.17. Переведите сферические координаты

точки в декартовы координаты:

а) (2, 30°, 90°); б) (1, 0°, 45°); в) (3, 45°, 135°); г) (-4, -60°, 120°).
59.18. Найдите сферические координаты точки, симметричной точке
М(г, ц/, ф) относительно координатной плоскости: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz.
59.19. Найдите сферические координаты точки, симметричной точке
М(г, \{/, ф) относительно координатной прямой: а) Ох; б) Оу; в) Oz.
59.20. Найдите сферические координаты точки, симметричной точке
М(г, \|/, ф) относительно начала координат.
59.21. Найдите ГМТ

в

удовлетворяют условию: а)
59.22. Какая фигура
< г < 1, VI/ < 0;

60.

Геометрические

=

1; б) \|/

=

в пространстве задается

в) 0 <

б) 0

сферические координаты которых
90°.
30°; в) ф

пространстве,
г

г

=

неравенствами: а) 0 < г < 1;

< 1, 0 < ф < я?

места в пространстве

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
место точек (ГМТ), делящих пополам отрезки
две
данные
прямых, пересекающих
параллельные плоскости и заключенные
между этими плоскостями.

60.1.

Найдите геометрическое

60.2. Найдите ГМТ, которые являются серединами отрезков, концы
которых принадлежат двум скрещивающимся прямым.
60.3. Найдите геометрическое место прямых (ГМП), проходящих через
данную точку и параллельных данной плоскости.
60.4. Найдите ГМТ в пространстве, одинаково удаленных от двух данных
точек А и В.

150

60.5. Найдите геометрическое
и

место

осей симметрии двух данных

точек

А

В.

60.6. Найдите ГМТ, одинаково удаленных от всех точек окружности.
60.7. Найдите ГМТ, одинаково удаленных от двух пересекающихся
плоскостей на данное расстояние.
60.8. Найдите ГМТ, одинаково удаленных

от

сторон:

а)

треугольника;

б) ромба.
60.9. Найдите ГМТ

в пространстве, одинаково удаленных от двух
пересекающихся плоскостей.
60.10. Найдите геометрическое место оснований равных наклонных,
проведенных из одной точки, не принадлежащей данной плоскости.

60.11. Найдите геометрическое
опущенных из

данной

точки

А,

место

оснований перпендикуляров,

принадлежащей данной прямой

не

а, на все плоскости,

проходящие через прямую а.

Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров,
данной точки А на все плоскости, проходящие через точку В.
60.13. Найдите ГМТ в пространстве, отстоящих от данной плоскости
60.12.

опущенных из

на

данное расстояние.

60.14. Найдите ГМП, удаленных от данной плоскости на
60.15. Найдите геометрическое место середин наклонных,
точки А к данной плоскости а.
60.16. Найдите геометрическое
проведенных из

данной

точки к

60.17. Какой фигурой
отрезков,

имеющих

общее

данной

60.18. Какой фигурой
А

место середин равных наклонных,

плоскости.

А

на

данной

плоскости

а и

наклоненных

к

углом?
данной
данной прямой CD?

является ГМТ в пространстве, симметричных

относительно всех прямых, параллельных

60.19. Найдите ГМТ

h.

проведенных из

является геометрическое место концов равных

начало

этой плоскости под данным

точке

расстояние

в пространстве, одинаково удаленных от

сторон

данного угла

(но не от их продолжения).
60.20. Дана прямая АВ, параллельная

плоскости а. Найдите

геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точек

прямой АВ

на

плоскость а.

60.21. Найдите ГМТ, одинаково удаленных

от линий

пересечения

трех

плоскостей, проходящих через одну точку.
Многогранники
60.22. Определите ГМТ,

одинаково удаленных от боковых

граней прямой
треугольной призмы.
60.23. Определите ГМТ, одинаково удаленных от боковых ребер прямой
призмы, в основании которой лежит равнобедренная трапеция.
60.24. Дана правильная призма. Найдите в ее внутренней области ГМТ,
одинаково удаленных от: а) концов одного из боковых ребер; б) двух вершин
одного из ее оснований.
151

60.25. Дана правильная призма. Найдите
одинаково удаленных от:

а)

на ее поверхности

концов одного из боковых

ребер; б)

ГМТ,

двух вершин одного

из ее оснований.
60.26. В

кубе найдите ГМТ,

одинаково удаленных от концов диагонали

его грани.
60.27. В прямом параллелепипеде
двух его оснований.
60.28. В правильной

удаленных от:

в)
от

а)

найдите ГМТ,

одинаково удаленных от

четырехугольной призме найдите ГМТ,
граней; б) боковой грани и

одинаково

двух смежных боковых

основания;

боковых граней.
60.29. В прямой треугольной призме найдите ГМТ, одинаково удаленных
всех ее боковых граней.

всех

60.30. Дайте определение

высоты

правильной

пирамиды с помощью

понятия ГМТ.
60.31. Найдите ГМТ, одинаково удаленных от двух вершин основания
правильной
ее

треугольной пирамиды: а)
области; в) в пространстве.

на поверхности пирамиды;

б)

во

внутренней

60.32. Найдите ГМТ, одинаково удаленных от трех вершин основания
правильной треугольной пирамиды: а) на поверхности пирамиды; б) во внутренней
ее

области; в)

в пространстве.
60.33. Найдите точку, одинаково удаленную от всех вершин правильной

треугольной

пирамиды.

60.34. В

треугольной пирамиде найдите ГМТ, одинаково удаленных
от двух вершин основания: а) на поверхности; б) во внутренней области;
в)

в

а)

на поверхности пирамиды;

пространстве.
60.35. Дана четырехугольная пирамида. Найдите ГМТ, одинаково
удаленных от вершин двух углов основания, прилежащих к одной стороне:

б)

во

внутренней

ее

области; в)

в пространстве.

60.36. Внутри правильной четырехугольной пирамиды найдите ГМТ,
одинаково удаленных от:

а)

вершин основания;

б)

всех вершин пирамиды.

60.37. Дана правильная пирамида. Найдите ГМТ, одинаково удаленных
от ее вершины и центра основания:

внутренней

ее

а)

на поверхности пирамиды;

б)

во

области.

60.38. На поверхности правильного тетраэдра найдите ГМТ, одинаково
от двух его граней.
60.39. Найдите ГМТ, одинаково удаленных от трех боковых граней
правильной треугольной пирамиды в ее внутренней области.
60.40. Найдите ГМТ, одинаково удаленных от трех вершин октаэдра.
60.41. Что является ГМТ, сумма расстояний которых от всех граней

удаленных

правильного тетраэдра равна его

высоте?

Круглые тела
60.42. Найдите ГМТ, одинаково удаленных
пространстве.

152

Сравните

от

данной прямой

его с аналогичным ГМТ на плоскости.

в

60.43. Найдите ГМП

в

пространстве,

находящихся

от

данной прямой

на

данном расстоянии.

60.44*. В плоскости дана прямая. Где расположены оси цилиндрических
поверхностей, касающихся этой плоскости по данной прямой?
60.45*. Цилиндрические поверхности касаются граней двугранного угла.
Каково расположение осей цилиндрических поверхностей по отношению к
ребру двугранного угла? Найдите геометрическое место осей этих
цилиндрических поверхностей.
60.46*. Каково должно быть взаимное расположение двух прямых, чтобы
через эти прямые можно было провести цилиндрическую поверхность? Сколько
цилиндрических

прямые? Где

поверхностей

можно провести через две параллельные

лежат оси этих цилиндрических

поверхностей?

60.47. Найдите

геометрическое место осей цилиндров с радиусом
основания г и высотой h, касающихся цилиндра с радиусом основания R (R
и

>

г)

высотой h.
60.48. Найдите

на гранях двугранного угла

ГМТ, удаленных

ребра

от

угла

на расстояние а.
60.49. Найдите ГМТ, одинаково удаленных от двух пересекающихся
плоскостей и удаленных на данное расстояние а от линии их пересечения.
60.50. Найдите геометрическое место осей цилиндрических

поверхностей,

касающихся двух данных параллельных плоскостей.

Найдите ГМП, проходящих через данную точку и образующих
данной плоскостью.
60.52*. Где расположены оси конических поверхностей, касающихся
60.51.

равные углы с

данной плоскости по данной на ней

60.53*. Каково
отношению

к двум

прямой?

расположение осей конических

пересекающимся

плоскостям,

если

поверхностей

поверхности

по

касаются

этих

плоскостей?
60.54*. Где

лежат оси конических

прямые?
60.55. Найдите ГМТ

поверхностей,

проходящих через

пересекающиеся

точек окружности его

на поверхности конуса, одинаково удаленных от двух

основания?

60.56. Дайте определения сферы
60.57. Найдите ГМП

в

и шара с помощью понятия ГМТ.
пространстве, находящихся на данном расстоянии т

от данной точки М.
60.58. Найдите ГМП, касающихся шара

60.59. Найдите ГМТ

в

в

в

одной

и

той

же точке.

пространстве,

из

которых

данный отрезок

виден

пространстве,

из

которых

данный отрезок

виден

под прямым углом.
60.60.

Найдите ГМТ

под данным углом.
60.61.

Найдите геометрическое

касающихся данной плоскости;
на

ней

б)

место центров: а) равных шаров,
шаров, касающихся данной плоскости в

данной

точке.

153

60.62. Найдите геометрическое
шара в

данной

место центров шаров, касающихся данного

на нем точке.

60.63. Где расположены центры шаров, касающихся двух: а) параллельных
плоскостей; б) пересекающихся плоскостей?
60.64. Где расположены центры шаров данного радиуса R, касающихся
данной прямой?
60.65. Как провести прямые, касающиеся данного шара

данной прямой? Сколько

таких прямых можно

представляет геометрическое место этих

60.66. Найдите

и параллельные

провести? Что собой

прямых?

геометрическое место центров сфер, проходящих через три

точки, не принадлежащие одной

прямой.

60.67. Найдите

геометрическое место центров сфер данного радиуса г,
касающихся данной сферы радиуса R с центром О (R > г).
60.68. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной сферы,

проведенных параллельно данной прямой.

ОТВЕТЫ

§ 1. Основные

понятия и аксиомы стереометрии

1.1. На 3 (параллельные прямые)

или

4 (пересекающиеся прямые). 1.2. Нет,
1.3. а) Параллельны или

также делит плоскость на две части.

окружность

б) параллелельны, или две параллельны и третья пересекает их, или
попарно пересекаются в трех разных точках, или пересекаются в одной точке.
1.4. 45° и 135°. 1.5. 90°; угол между биссектрисами смежных углов всегда равен
пересекаются;

90°. 1.6. 20

см

и

30

см.

1.7. Параллельны. 1.8. Может,

1.9. Не всегда, можно в том случае, если точки
перпендикулярной данной прямой. 1.10. Достаточно из
на данную

1.11. Нет,

прямую,
так

как

и

не

67,5°. 1.13. Возьмем

к

нему

восстановить

выполняется

но к

находятся на

другой прямой.
прямой,

точки опустить перпендикуляр

перпендикуляр

неравенство

в

данной

треугольника.

точке.

1.12. 22,5°

и

на окружности точку, поместим в нее вершину угольника

образом, чтобы его стороны шли по хордам, точки, где они пересекут
будут концами ее диаметра; взяв на окружности другую точку и
повторив предыдущее построение, получим второй диаметр данной окружности;
точка пересечения построенных диаметров будет искомым центром окружности.
таким

окружность,

1.14. а) Нет; б) да, это ее диаметр. 1.15. Один, если точка не является центром
бесконечно много в противном случае. 1.16. Центр круга. 1.17.13 см.

окружности, и

1.18. 5

см.

1.19. «Докажите,

что две вершины треугольника равноудалены от

выходящая из его третьей вершины».
прямой,
которой
1.20.5 элементов, из которых не меньше двух
стороны. 1.21. Нельзя. 1.22. Может.
1.23. Два по 60° и два по 120°. 1.24. АВ
AD; ВС
CD; АС 1 BD. 1.25. Не более

на

лежит

медиана,

=

/

трех. 1.26.

а) 2; б) 5; в) 9; г)

=

о\

-

.

2

1.27. Параллелограмм, площадь которого

равна половине площади данного четырехугольника. 1.28. Треугольники:
a) ABD и ACD, ABC и BCD, АОВ и COD; б) AOD и СОВ. 1.29. Могут,
со стороной, равной 1, и прямоугольник со сторонами 1,5 и 0,5.
1.30. Не могут, так как равносоставленные фигуры равновелики; если площади
подобных фигур равны, то отношение их сходственных сторон будет равно 1,

например квадрат

1.35. Ионийская школа:
Платона:
V IV вв. до н. э.;
школа: III II вв. до н. э. 1.36. Грамматика,
поэзия, музыка, философия, логика, геометрия, гимнастика. 1.37. 635 548 гг.
до н. э. 1.38. Вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного
т. е. фигуры равны. 1.34. VII в. до н. э.

VII

Пифагорейская
Александрийская

VI вв. до н. э;

школа:

III

в. н. э.

VI

V

вв. до н. э.; школа

треугольника равны; диаметр делит круг пополам; угол, вписанный в
полуокружность, прямой; равноугольные треугольники имеют пропорциональные
стороны; определение высоты предмета по его тени; определение расстояния от
до корабля, который находится в пределах видимости; теорема Фалеса:
«Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной
его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его

берега

1.39. На берегу выбирают еще один пункт
В (рис. 3), измеряют
АВ
и
А
и
Б
в
после
этого, например с
расстояние
углы
треугольнике АВК,
стороне».

155

помощью тригонометрических формул, находят расстояние, в частности, по
АВ
теореме синусов

АК

sin В

=
.

sin К

его собственная тень становится

1.40. Сначала Фалес обнаружил, что, когда

равной

его росту, солнечные лучи

образуют,

условно говоря, с землей угол, равный половине прямого (получается
равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами
рост, тень); этот
и

был

использован им в определении высоты египетских пирамид.

Способ Фалеса

ясен из рисунка

дерево и АС

его тень;

0.1:

В1С1

треугольники

человек,

А1В1С1

и

А1С1

его тень,

факт

1.41.

ВС

ABC подобны, следовательно,

Рис. 0.1
1.42. 5

м.

1.43. 580 500

гг. до н. э.

состояла из четырех разделов:

1.44. Пифагорейская

система

арифметики, геометрии, музыки

и

знаний

астрономии;

среди основных достижений отметим следующие: фигурные числа, пифагоровы

тройки, пифагорейская логистика, учение о пропорциях, правильные
многогранники, теорема Пифагора, пифагорова гамма и др. 1.45. Пентаграмма
правильный невыпуклый, или звездчатый, пятиугольник (рис. 0.2).

D

Рис. 0.2

1.46. Назовем

несколько

Рис. 0.3
свойств: а) пентаграмму

можно

получить из

способами, а именно, продолжив его
стороны до пересечения или проведением диагоналей (рис. 0.3); б) острые углы
пентаграммы (например, угол А) равны 36°; все треугольники пентаграммы
золотые, их два типа, например, треугольник AFG (углы 36°, 72° и 72°) и
правильного пятиугольника двумя

156

треугольник АНХ>

(углы 108°, 36°

и

36°). (Напомним,

треугольник, у которого основание

равнобедренный

что золотым называется
и

боковая сторона (или

пентаграммы делятся в
золотом отношении, а именно: возьмем АС, в точке G происходит золотое деление
отрезка CG; пентаграмма является гранью
отрезка АС, в точке Н

наоборот) находятся

в золотом

отношении.) Стороны

правильных звездчатых многогранников: малого звездчатого додекаэдра

(рис. 120, а)

большого звездчатого додекаэдра (рис. 120, в). 1.47. Пифагорейцы дали
философское объяснение устройства мира, тесно связанное с математикой; выделяя
и

стихии как первоосновы

бытия, древние ученые приписывали их атомам форму
форму тетраэдра (рис. 109, а),

правильных многогранников, а именно: атомам огня

воды

куба (рис. 109, г), воздуха
октаэдра (рис. 109, б),
(рис. 109, в), и всей Вселенной присваивалась форма

гексаэдра, или

земли

икосаэдра

додекаэдра (рис. 109, д). 1.48. Их пять: правильные тетраэдр, гексаэдр, октаэдр,
и икосаэдр. 1.49. Гексаэдр
шестигранник, от греческих слов

додекаэдр

шесть и в8ра
название игральной кости, имеющей форму
грань; куб
гексаэдра. 1.50. «Начала» Евклида. 1.51. 287 212 гг. до н. э. (см. учебник, § 28
«Исторические сведения»). 1.52. а) Окружность Аполлония
геометрическое место точек (ГМТ) на плоскости, для которых отношение расстояний от

двух заданных в

этой

плоскости точек равно данному положительному числу;

б) сфера Аполлония

ГМТ

в пространстве, аналогичное окружности

1.53. 1) Задача об удвоении куба: требуется построить ребро
куба, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба. 2) Задача
Аполлония на плоскости.

требуется произвольный угол разделить на три равные части.
требуется построить квадрат, площадь которого
площади данного круга. 1.54. «Требуется построить квадрат,

о трисекции угла:

3) Задача

о квадратуре круга:

равнялась бы

в два раза больше площади данного квадрата»; эта
задача разрешима циркулем и линейкой, ее легко решили древние греки: если
сторона данного квадрата равна а, сторона искомого квадрата равна х, то,

площадь которого была бы

согласно условию задачи,

будем

иметь

квадрата, на рисунке 0.4 ABCD

х2

=

2а2,

х

=

л/2а; V2а

данный, ACEF

диагональ данного

искомый квадрат.

1.55. Со времен Пифагора древние греки умели разделить прямой угол
три равные части, т. е. построить трисекцию прямого угла: пусть дан

угол АОВ

(рис. 0.5),

из его вершины

О,

на

прямой

как из центра, проводим окружность

157

четверти окружности), которая пересечет стороны угла ОА и ОБ
соответственно в точках С и D; из точек С и D тем же радиусом делаем засечки

(достаточно

соответственно Е и F на окружности, проводим хорды СЕ и DF, в
равносторонних треугольниках СОЕ и DOF все углы, в том числе СОЕ и DOF, равны по 60°,
следовательно, ZCOF
угла.

=

ZFOE

=

1.56. Гиппократ Хиосский

ZEOD

30°, т. е. построена трисекция прямого
древнегреческий математик и астроном, жил
в. до н. э.; по одной из легенд неудачливый
=

Афинах во второй половине V
Гиппократ был ограблен пиратами и направился жаловаться на них в
Афины, здесь он встретился с мудрецами, которые проводили время, занимаясь
в основном решением геометрических задач; не найдя управы на грабителей,
Гиппократ утешился тем, что превзошел в геометрии самых искусных
в

купец

мудрецов; он пытался осуществить квадратуру круга; сумел построить несколько
фигур, ограниченных дугами окружностей и равновеликих некоторому
квадрату, это так называемые луночки Гиппократа. 1.57. Луночку Гиппократа

образом: на хорде произвольного круга, как
образом полуокружность; фигура, ограниченная
меньшей дугой окружности данного круга и проведенной полуокружностью, и
является луночкой Гиппократа, или гиппократовой луночкой. 1.58. По
теореме Пифагора АВ2
2ВС2; пусть S
площадь полукруга с центром в точке О,
2
S
ОБ2
, площадь
тогда
площадь полукруга с центром в точке О,,
Sл1
1
1
Sj
ОхВ2
можно определить

следующим

на диаметре, строят внешним

=

=

=

S
сектора БОС равна

,

т.

е.

равна

Си

Sv

отсюда нетрудно видеть, что площадь

заштрихованной луночки равна площади прямоугольного треугольника
Используя решение предыдущей задачи, остается найти квадрат,
равновеликий треугольнику ВОС, решение показано на рисунке 0.6, где

ВОС. 1.59.

ОМ и ON
перпендикуляры соответственно к ВС и АС: легко видеть, что
четырехугольник OMCN
квадрат, площадь которого равна площади
треугольника ВОС, а значит, и заштрихованной луночки Гиппократа.

Рис. 0.6

1.60. Решение следует из

решений предыдущих

1.61. Основные понятия стереометрии
являются

158

задач 1.58 и 1.59.

точка, прямая и плоскость

идеализацией объектов реального мира. 1.62. Точка идеализирует

очень маленькие

можно пренебречь; прямая
прямоугольной формы, по прямой

объекты, размерами которых

тонко натянутую нить,

край

стола

свет; плоскость
ровную поверхность воды, стола, зеркала и т. п.
1.63. «Аксиома» в переводе с греческого языка означает утверждение,
«достойное признания». 1.64. Аксиомы нужны как отправные первоначальные
утверждения, положения, не требующие доказательства, бесспорные. 1.67. Нет,

распространяется

только частью плоскости.

1.69. а) 2; б) 3

точки.

1.70. Можно. 1.71. Одну,

если

одной прямой; бесконечно много, если точки
1.72.
одной прямой.
а) Да; б) нет. 1.74. а) Нет; б) да. 1.75. а), б) Нет.

точки не принадлежат

принадлежат

1.76. Плоскости а и Р пересекаются по прямой, которой принадлежит точка А.
1.77. Бесконечно много. 1.78. а) Совпадают; б) пересекаются по прямой.

1.79. а) Бесконечно

много;

б)

одну. 1.80. В первом случае да, во втором

1.81. Верно. 1.82. Да, бесконечно
не

принадлежащие

1.88. Бесконечно
окружности,

много.

1.83. Да, бесконечно

одной прямой. 1.85. Плоскостям

много.

1.89. Нет,

а,

(3,

много.

у

и

я.

нет.

1.84. Три,
1.86. Нет.

так как прямая может не лежать в плоскости

но пересекать эту плоскость в точке,

принадлежащей

1.90. Точки: а) А, В, С; б) К, L, М должны принадлежать одной прямой.
1.91. Нет, так как точки М и N должны принадлежать прямой пересечения
плоскостей а и р. 1.92. Нет. 1.93. Нет. 1.94. Три или одна. 1.95. Наибольшее число
окружности.

плоскостей получим,

одной плоскости, и
Обозначив
точки А, Б, С, D,
одной прямой.
определяются следующими тройками точек:

если данные точки не принадлежат

никакие три точки не принадлежат

получим плоскости, которые
(А, Б, С), (А, Б, D), (Б, С, D)

и

(А, С, D). Таким образом, можно провести
Да, его концы принадлежат одной

4 плоскости. 1.96. а), б) Нет. 1.97. Да. 1.98.
плоскости.

1.99. Для устойчивости. 1.100. На

пересекаются по

прямой (в

узкая поверхность

основании того,

что плоскости

нашем случае широкая поверхность

рисунок

линейки

и ее

0.7).

Рис. 0.7

§ 2. Следствия

из аксиом стереометрии

2.3. Лежат в плоскости ос. 2.4. Три точки принадлежат одной прямой,
четвертая точка этой прямой не принадлежит; две точки принадлежат одной
другой прямой, пересекающейся или параллельной
прямой, две другие
159

первой. 2.5. Да,

так

как

2.6. Нет. 2.7. Да. 2.8. Да,

четырехугольники

лежат

в

одной

плоскости.

если даны две смежные вершины параллелограмма.

если даны противоположные вершины параллелограмма. 2.9. а), б) Нет;
в), г), д) да. 2.10. Принадлежат плоскости параллелограмма ABCD. 2.11. Нет.
2.12. Да. 2.13. Через точку С. 2.14. Да, этой плоскостью является плоскость,
проходящая через данные точку и прямую. 2.15. Нет, достаточно провести

Нет,

прямую, не лежащую в плоскости этих прямых, через точку их пересечения.
2.16. Нет. 2.17. Нет. 2.18. Можно провести 3 или 1 плоскость. 2.19. а) Да; б) нет.
2.20. О, или 1, или бесконечно много. 2.21. 10. 2.22. а) 2; б) 4; в) 8; г) 15.
2.23. 2п. 2.24. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая
лежит в этой плоскости. 2.25. В данном случае используется тот
две точки

прямой

принадлежат плоскости, то прямая лежит

в

факт,
этой

что если

плоскости

(рис. 0.8).

2.26. Используется тот факт, что если две точки прямой принадлежат
плоскости, то прямая лежит в этой плоскости. 2.27. Через прямую и не
принадлежащую ей точку можно провести единственную плоскость. 2.28. Через
прямую и не принадлежащую ей точку можно провести единственную плоскость.
2.29. Через две пересекающиеся прямые можно провести единственную
плоскость. 2.30. Нити нужно натянуть по диагоналям четырехугольника,
вершинами которого условно считают концы ножек стола; если нити пересекаются,
то концы ножек принадлежат
на полу

одной

плоскости, в этом случае стол

будет

стоять

устойчиво.

§ 3. Пространственные фигуры
3.15. Любое число, не меньшее 3. 3.16. Четыре. 3.17. а) Нет; б), в), г) да.
а) Шестиугольник; б) двенадцатиугольник; в) тридцатичетырехугольник.
3.19. а), б), в) Да; г) нет. 3.20. а) Четырехугольник; б) двадцатиодноугольник;
3.18.

в) пятидесятидевятиугольник. 3.21. а) 2160°; б) 720°; в) 1080°. 3.22. а) 4; б) 0;
в) 4; г) 10; д) 0; е) 3. 3.23. а) Девятиугольная; б) четырнадцатиугольная;
в) семиугольная; г) шестиугольная призма. 3.24. а) Одиннадцатиугольная;
б) восемнадцатиугольная; в) семидесятиодноугольная; г) двенадцатиугольная
пирамида. 3.25. а) Взять в качестве вершин четырехугольных пирамид любую
внутреннюю точку куба, а в качестве их оснований
грани куба; б) пусть дан
160

куб A...DV возьмем четыре четырехугольные
0.9), С1АА1В1В, C1AAlD1D.

пирамиды

C1ABCD (она

показана

на рис.

Рис. 0.9

Рис. 0.10

Рис. 0.11

0.10, 111. 3.27. Да, см. рисунки 0.11, 126. 3.28. Да,
например правильные октаэдр и икосаэдр. 3.29. 12. 3.30. 30.
3.26.

Да,

см. рисунки

§ 4. Моделирование многогранников
4.3. Фигура 3, так как у нее имеется точка, в которой сходятся четыре
треугольника, а у тетраэдра имеются только вершины, в которых сходится по
три

ребра. 4.4. Фигуры 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 28, 29, 30

4.5. Фигуры 6, 9

и

л/з см2; б) 4>/з
80>/з мм2. 4.9.

10. 4.6. а)

ед.2; в)

л/з а2.

и

32,

всего

11 фигур.

4.7. а) 24 дм2; б) 1,5 см2;

в) 6Ъ2. 4.8. а) 32>/3 мм2; б)
а) 192 см2; б) 84 см2. 4.10. а), б), в),
г), д). 4.11. а), в), г), д). 4.12. Правильной пятиугольной пирамиды. 4.13. Да,
см. рисунок 0.12. 4.14. а) Два круга и прямоугольник, одна сторона которого
равна длине окружности данного круга; б) круг и сектор, длина дуги которого
равна длине окружности данного круга. 4.15. Нет. 4.16. Нет. 4.17. Нет. 4.18. Да,
может, например основанием призмы, пирамиды, боковой гранью

усеченной

пирамиды. 4.19. Пирамиды а).

А

Л,
В

D

Рис. 0.13
6

Смирнова, 10-11F

А
Рис. 0.14
161

4.20. На рисунке 0.13
4.22. Одно
и KL. 4.23.

1 8

числами

следует разрезать его поверхность.

показаны

ребра куба,

4.21. Ответ представлен

решений показано на рисунке 0.15, где
2k, т. е. п
а) 4; б) 3; в) 4; г) 3; д) если п

из

3 краски, если п
б) 3; в) 4; г) 3; д)
п
2k + 1, т. е.

2k + 1,

если п
п

2k,

=

е,

четное число, нужно

п

4.24. а) 4;

3 краски,

§ 5. Параллельность прямых

5.11. Да,

определяемой данной прямой

так

плоскости

как

4,

в пространстве

5.4. Одну. 5.5. Да. 5.6. Нет. 5.7. а), б) Да. 5.8. Одна прямая, которая
в плоскости,

если

нужно 4 цвета. 4.25. Тетраэдра
4 цвета.
4, икосаэдра
2, додекаэдра

нечетное число,

3, октаэдра

гексаэдра

т.

0.14.

четное число, нужно

нечетное число, нужно 4 цвета.

т. е. п

которым

совпадают отрезки CF

=

=

по

на рисунке

две точки

двух данных

каждой

из

параллельных

и

лежит

данной точкой. 5.10. Всего 18 пар.

проведенных

прямых

значит,

прямых,

и

принадлежат

прямые лежат

в

этой плоскости. 5.12. Нет. 5.13. Нет. 5.14. Через данную точку провести
из

прямую, пересекающую одну

параллельных

прямых;

если

она пересечет

другую, то точка принадлежит плоскости параллельных прямых.

и

5.15. 1)

пересечения прямых являются вершинами треугольника. 2) Три прямые
имеют общую точку пересечения и лежат в одной плоскости. 3) Три прямые
имеют общую точку и не лежат в одной плоскости. 5.16. Да. 5.17. 3 или 1.
5.18. Плоскость можно провести, если: а) прямые попарно пересекаются и точки
Точки

пересечения различны;

б)

прямые пересекаются

прямая, пересекающая каждую из них

пересечения); в)

(в

в

одной

точке и существует

точке, отличной от точки их

две прямые параллельны и третья пересекает их;

г) прямые
пересекающая их. 5.19. Плоскость, в которой лежат
две данные параллельные прямые. 5.20. Плоскость можно провести, и притом
только одну: 1) через три точки, не принадлежащие одной прямой; 2) через
параллельны и существует прямая,

прямую

и не

принадлежащую ей точку;

3)

через две пересекающиеся прямые;
/

4)

через две параллельные прямые. 5.21.

1 \

-.

5.22. а) 0; б) 6; в) 6.

§ 6. Скрещивающиеся прямые
6.4. Если они: а) пересекаются; б)
6.5. Могут пересекаться, или быть
параллельными, или скрещиваться. 6.6. Нет, они могут скрещиваться. 6.7. АВ
и CD; ВС и AD; АС и BD. 6.8. «Если прямая лежит в плоскости, а другая
6.3.

«...и

не

параллельны».

пересекаются или не лежат в

одной

плоскости.

прямая пересекает эту плоскость в точке,

не

принадлежащей первой прямой,

то

данные прямые скрещиваются». 6.10. Нет, они скрещиваются. 6.11. а), б) Да;
в) нет. 6.12. Две плоскости. 6.13. Бесконечно много, если точка не

принадлежит

прямой;

ни

одной,

если точка принадлежит

b скрещиваются. 6.15. Нет. 6.16. «Если

прямой. 6.14. Прямые

Верное
Прямая с

двух данных прямых, пересекают и другую, то прямые параллельны».

утверждение. 6.17. Они могут пересекаться или скрещиваться. 6.18.
162

а и

все плоскости, пересекающие одну из

может:

пересекать данные прямые в точке их пересечения или в различных

точках данных прямых; пересекать одну из прямых и

каждой
Ъ; пересекать каждую

другой; скрещиваться
а и

прямым
с

каждой

из них.

плоскости

с

из них.

6.20. Прямая d

треугольника;

6.19. Прямая

быть параллельной
быть параллельна

с может:

из параллельных прямых;

может:

пересекать

пересекать прямую

прямую

ВС,

но

скрещиваться

ВС

и лежать

в

не лежать в плоскости

треугольника; быть параллельной ВС; совпадать с ВС; скрещиваться с ВС.
6.21. Нет. 6.22. Скрещиваются. 6.23. Лежат на скрещивающихся прямых.
6.24. Нет, так как противоположные стороны пространственного

6.25. Да. 6.26. Обратимся к
0.16: четырехугольники (служащие гранями куба)AA1D1D и A1B1C1D1
одной плоскости; BJ) < DK 4- ВгК, К
произвольная точка А^г,

четырехугольника лежат на скрещивающихся прямых.
рисунку

лежат в

равенство достигается, когда точка К совпадает с точкой М
отрезка BJ), следовательно, кратчайшим путем является D > М
середина

серединой
»

Bv

М

AXDV

6.27. а) 3; б) 9; в) 24; г) 24.
§ 7. Параллельность прямой

и плоскости

7.3. Прямая может лежать в плоскости, или пересекаться с ней, или быть
параллельной ей. 7.6. Они могут пересекаться или быть параллельными.
7.7. Они могут быть пересекающимися или скрещивающимися. 7.8. Нет, нужно
уточнить,

что данная прямая не лежит в

параллельна плоскости,

то в

этой

данной

плоскости.

7.11. «Если прямая

плоскости существует прямая, параллельная

данной». Верное утверждение. 7.12. Да. 7.13. Возьмем

в

прямую; через нее и данную точку проведем плоскость; в

ней через данную точку

данной

плоскости

проведем прямую, параллельную взятой прямой; проведенная прямая будет
искомой; задача имеет бесконечно много решений, все проведенные прямые
пересекаются в данной точке. 7.14. Можно только в том случае, если данная
параллельна данной плоскости. 7.15. Нет. 7.16. Нет. 7.17. Прямая
параллельна каждой из плоскостей или лежит в одной из них и параллельна
другой. 7.18. Бесконечно много прямых, параллельных между собой. 7.19. Сторона,
прямая

противоположная данной стороне параллелограмма, параллельна плоскости,
ее. 7.20. Не может, так как третья

две другие стороны пересекают

данной плоскости. 7.21. ВС а, АВ и CD пересекаются с ос.
стороны AF и ВС пересекают плоскость р, стороны EF и DC ее не
пересекают. 7.23. а) Параллельно им; б) лежит, параллельно; в) параллельна.
сторона параллельна

7.22. DE

6*

||

|| Р,

163

7.24. Прямая а может лежать в этой плоскости или быть ей параллельной.
7.25. а) Параллельна этой прямой или скрещивается с ней; б) пересекает
или

скрещивается с

данной прямой. 7.26. а) Параллельна

или скрещивается;

б) пересекается, или скрещивается, или параллельна; в) пересекается или
скрещивается. 7.27. Параллельна данным прямым. 7.28. Стороны основания
данной пирамиды параллельны
например АВ

|| (SCD).

плоскостям

7.29. Можно, для

этого в

противоположных

каждой

граней,

плоскости нужно взять

прямой, параллельной их линии пересечения, и через них провести
Да. 7.31. Нет, вторая прямая может лежать в данной плоскости.

по

плоскость. 7.30.

7.32. Бесконечно

много.

7.33. Параллельны. 7.34. На одной

из скрещивающихся

прямых нужно взять точку и через нее и вторую прямую провести плоскость,
в

этой

плоскости провести через взятую точку прямую, параллельную

второй

через эту прямую и первую скрещивающуюся прямую
провести плоскость, которая и будет искомой. 7.35. Если прямые параллельны, то

данной прямой,

можно провести бесконечно много таких плоскостей; если скрещиваются
ни одной. 7.36. Прямая может скрещиваться
одну; если пересекаются

с

каждой из данных прямых; быть параллельной одной из них и скрещиваться
с другой; пересекать данные прямые в точке их пересечения; пересекать одну
из данных прямых и скрещиваться с другой. 7.37. Если прямые
скрещиваются и точка М не принадлежит плоскостям, проведенным через каждую из
них параллельно другой; если прямые пересекаются и точка М не

принадлежит

плоскости этих прямых; если прямые параллельны, точка

М при

этом

может как принадлежать плоскости этих прямых, так и не принадлежать

7.38. а) Параллельна

в)

ей.

параллельна или пересекает их;
параллельна, пересекает или проходит через них.
или проходит через них;

б)

§ 8. Параллельность двух плоскостей
8.3. Пересекаться или быть параллельными. 8.5. Только через прямую,
параллельную данной плоскости. 8.8. а), б) Нет; в) да. 8.9. Да, это второе слово
«пересекающимся». 8.10. Они параллельны. 8.11. Четыре пары параллельных
граней, например ASB и CS'D. 8.12. Нет, только в случае, если прямые не
параллельны.

8.13. Для

параллельные

и

данной

этого через данную точку нужно провести две прямые,

плоскости, и через них провести плоскость, которая

будет искомой. 8.14. Если

плоскости пересекаются,

нужно провести через

данную точку прямую, параллельную линии их пересечения; если плоскости
параллельны, нужно провести через данную точку прямую, параллельную

произвольной прямой, лежащей в одной из данных плоскостей. 8.15. Да. 8.16. Да.
8.17. Нет. 8.18. Не обязательно. 8.19. Они равны. 8.20. Да. 8.21. Параллельна.
8.22. Нет; только в случае, если не лежит во второй плоскости. 8.23. а)

1) третья плоскость параллельна двум данным плоскостям;
плоскость
пересекает их по параллельным прямым, б) Пусть даны
третья

Возможны два случая:

2)

три плоскости а,

и Ъ лежат в

164

одной

Р, уиапР

=

а, апу

=

&, рпу

=

с; поскольку прямые а

плоскости а, возможны следующие три случая:

А

Рис. 0.17

1) а совпадает с Ъ, тогда а совпадает и с с, и плоскости пересекаются по
одной прямой (их расположение напоминает раскрытую книгу, рисунок 0.17, а);
2) а пересекается с Ъ в некоторой точке А, тогда А принадлежит всем трем
плоскостям (как боковые грани треугольной пирамиды, рисунок 0.17, б); 3) а || Ъ,
тогда а || с, покажем это: пусть это не так и а п с
В, т. е. В принадлежит
=

плоскостям ос, (3, у, значит, В принадлежит линии пересечения плоскостей а и у,
В принадлежит (3, другими словами, а пересекается с Ъ, что противоречит
условию, таким

боковые

т. е.

образом, плоскости пересекаются по параллельным прямым (как
треугольной призмы, рисунок 0.17, в). 8.24. Для каждой из двух

грани

скрещивающихся прямых построить плоскость, проходящую через нее и

другой данной прямой. Полученные
п(п 1}.
а) 1; б) 3; в) 6; г)

параллельную

плоскости

будут

параллельны.

~

8.25.

2

§ 9. Векторы в пространстве

9.8.

Операции

сложения векторов и умножение вектора на число.

9.17.

Например: а) АВ, ED; б) AF, DC; в) AD, FE. 9.18. Например: а) БА; б)

в) ВС; г) DCX; д) АХСХ.
Например, АО
9.23. а)

=

DXD;

9.19. Векторы одинаково направлены. 9.20. Да. 9.21.

ОБ, АС

=

DB, AD

=

ВСХ; б) АД; в) б; г) АВХ.

АВХ; г)

AD.

9.24. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) да; е)

нет.

СВ

и т. д.

9.22. а) АС; б) АС; в)

9.25. Верные утверждения: 2, 3, 5, 6.

§10. Коллинеарные

и компланарные векторы

10.5. Например: а) А Б
единственным образом:

AjCjj б)

А Б, БС

и

DCX.

с

и
=

CD; б) А Б и AXDX. 10.6. Да. 10.8. Можно представить
ta + sb. 10.11. Нет. 10.12.

Например: а) АВ, ВС

10.13. Да. 10.14. Нет. 10.15. Да. 10.16. Если векторы р

и

и

q

165

одинаково направлены, то вектор:
=

\Р\

+

б)

-

q

а) р

+ q имеет то же направление и

р имеет то же направление

и

\q

-

направление, противоположное данным векторам

р\
и

=

\р

\q\
-

\р\; в) р
q\ \q\ [р|.
-

=

-

вектора

q противоположно направлены, то вектор: а) р + q имеет
q и \р + q\
\q\ \р\; б) q р имеет направление вектора q и \q

в)

имеет направление вектора р и

векторы р

и

=

-

р

q

-

-

\р

-

q\

=

\р\

-h

\р

+

q\

=

q имеет
Если

-

направление

р\

-

=

|д|

+

|р|;

\q\.

§11. Параллельный перенос

а) себя или параллельную прямую; б) себя или
в) равную окружность; г) равный шар; д) равный
треугольник; е) равный тетраэдр. 11.7. Да. 11.8. а) Прямые параллельны;
б) плоскости параллельны. 11.9. Нет; существует только в случае, если: а) все
11.6. Переходит

в:

плоскость;

параллельную

прямые параллельны и лежат в

плоскостях и расстояния между а,

а'

одной плоскости или в параллельных
Ъ, Ъ' равны; б) все плоскости параллельны

и

расстояния между плоскостями а,

а'

и

(3, (3'

равны. 11.10.

а) Прямая,

и

плоскость;

пространство. 11.11. а), б) Нет. 11.12. а), б) Бесконечно много. 11.13. а), б) Два.
11.14. а), г) Да; б), в), д) нет. 11.15. а), б) Нет; в) да. 11.16. а) Да, но только для
противоположных боковых граней; б) нет; в) да. 11.17. а), б) Нет. 11.18. а) Да,
для противоположных граней; б) нет.

б)

§12. Параллельное проектирование
12.1. Плоскостью

и

пересекающей

пересекает плоскость проектирования.
является:

а)

ее

прямой. 12.2. Прямой, которая

12.3. Параллельной проекцией данной

точки

прямой, задающей направление проектирования
проектирования; б) данная точка; в) точка пересечения прямой,

точка пересечения

с плоскостью

через нее, и параллельной прямой, задающей направление
с
плоскостью проектирования. 12.4. Соответствие, при котором
проектирования,
каждой точке пространства сопоставляется ее параллельная проекция на заданную

проходящей

плоскость
12.5.

в заданном

направлении, называется параллельным проектированием.

Параллельной проекцией фигуры

направлении называется

данной фигуры

на заданную плоскость в заданном

фигура, состоящая

из параллельных

проекций

на заданную плоскость в заданном направлении.

всех точек

12.7. а) Да;

нет. 12.8. В случае, когда данная прямая параллельна или совпадает с прямой,
задающей направление проектирования. 12.9. Точкой или: а) отрезком; б) лучом;
в) прямой. 12.10. а) Одна, если точки принадлежат одной прямой, параллельной
или совпадающей с прямой, определяющей направление проектирования; б) две,

б)

если одна из прямых, проведенных через две точки, параллельна или совпадает
с прямой, определяющей направление проектирования; в) три в остальных

случаях. 12.11.

а) Плоскостью

12.14. Бесконечно
данных прямых
является

166

много.

или прямой; б) плоскостью. 12.12. Нет. 12.13. Да.
12.15. Могут быть: а) одна прямая, если плоскость

параллельна направлению проектирования,

линией пересечения

эта прямая

плоскости прямых и плоскости проектирования;

две пересекающиеся прямые. 12.16. Могут быть:
б) в остальных случаях
и
точка
из
если
одна
данных прямых параллельна прямой,
а)
прямая,
определяющей направление проектирования; б) две пересекающиеся прямые, если ни одна
из них не параллельна прямой, определяющей направление проектирования;

в) две параллельные прямые, если параллельные плоскости, проведенные через
данные прямые, параллельны прямой, определяющей направление
проектирования. 12.17. Нет. 12.18. В случае, когда одна из данных прямых параллельна
направление проектирования. 12.19. В случае, когда
плоскость данных прямых параллельна прямой, определяющей направление
проектирования, но сами данные прямые не параллельны ей. 12.20. Нет.

прямой, определяющей

12.21. Нет. 12.22.
проектирования.

Да,

если данная прямая параллельна плоскости

12.23. Вообще говоря: а), б)

12.24. Прямые пересекаются,

нет.

и одна из

параллельна направлению проектирования. 12.25.

них

и одна из них

Прямые скрещиваются,
параллельна направлению проектирования. 12.26. В следующих

а) если точка принадлежит прямой, которая не параллельна прямой,
определяющей направление проектирования; б) если точка не принадлежит
прямой, и их плоскость (определяемая данными точкой и прямой) параллельна
прямой, определяющей направление проектирования, но сама данная прямая
случаях:

не параллельна ей. 12.27. В точку. 12.28. В случае, когда данная прямая
параллельна прямой, определяющей направление проектирования.

§13. Параллельные проекции плоских фигур
13.1.

Да. 13.2. Да,

проектирования.

если плоскость

13.5. Отрезком

данной фигуры параллельна

плоскости

треугольником; б) четырехугольником;
я-угольником. 13.6. Да. 13.7. а) Данный тп-угольник лежит

в)

или:

а)

пятиугольником; г)
в плоскости, параллельной

прямой, определяющей направление
б) данный /n-угольник лежит в плоскости, параллельной плоскости
проектирования; в) в остальных случаях. 13.8. Данный отрезок лежит: а) в плоскости,
параллельной плоскости проектирования; б) на прямой, параллельной прямой,
определяющей направление проектирования. 13.9. а), б) Да. 13.10. а) Если
данный отрезок не параллелен прямой, определяющей направление
проектирования, то его середина проектируется в середину проекции; б) если данный
отрезок параллелен прямой, определяющей направление проектирования, то
его проекцией является точка, в которую проектируются все точки отрезка,
проектирования;

13.11. а) Треугольник; б) параллелограмм; в)
трапеция. 13.12. а), б) Отрезком, параллелограммом, прямоугольником, ромбом,
квадратом. 13.13. а) Если данный квадрат лежит в плоскости, параллельной
в том числе и его середина.

плоскости проектирования;
проектирования
составляет

с

плоскости

и

прямая,

б)

если сторона квадрата параллельна плоскости

определяющая

направление

проектирования,

ней прямой угол, при этом плоскость квадрата не параллельна
проектирования. 13.14. Сначала построить изображение, например:

а) А'В'С' треугольника ABC,

затем провести луч

A'D\ параллельный В'С',

ADB'C'
, ABC D
равный

и от-

~

дожить на нем отрезок A D

,

искомое

изображение;
167

6)A'0'E'F' ромба AOEF,

центр данного шестиугольника, затем отложить

где О

О'Е', О'С' O'F'
изображение; в*) A'O'D'E' ромба AODE,

равные отрезки, а именно: О'В'
искомое

диагоналей АС

и

=

BD, поскольку

ОВ

ОС
=

отношении, т. е.

=

точка

и

O'D', каждый

=

где О

О'A', A'B'C'D'E'F'
точка пересечения

О делит отрезки А'С'

и

B'Z>'

в золотом

V5-1
-

Л/т

, нужно отложить соответственно отрезки О В

^

1

и

O'D'

O'D'

из которых равен

или

*

ОА', A'B'C'D'E'

изображение. 13.15. а) Прямая; пересекающиеся или параллельные
прямые, плоскость которых параллельна прямой, определяющей
искомое

направление

проектирования,

но

данные

ей; плоскость,
прямой, определяющей
направление проектирования; б) отрезок,
не параллельный прямой, определяющей
направление проектирования; плоские
прямые

не

параллельны

параллельная

фигуры, плоскость которых параллельна

прямой, определяющей направление
проектирования. 13.16. Пусть F
круг в
его
пространстве (рис. 0.18), F'
параллельная проекция на плоскость п (плоскость
проектирования) в направлении прямой I
(заметим, что если прямая I параллельна
или лежит в плоскости круга, то его

проекцией
диаметру

является отрезок, равный
круга); рассмотрим случай, когда

прямая I пересекает плоскость круга;
пусть АВ

эту плоскость.

круга,

плоскости л, и А'Б' его проекция на
АВ'. Рассмотрим какой-нибудь другой диаметр CD
проекция. Обозначим отношение C'D' : CD через k;

диаметр круга,

и пусть

Тогда АВ
C'D'

=

его

параллельный

так как при параллельном проектировании сохраняются параллельность и
отношение длин параллельных отрезков, то для

параллельной диаметру CD,

C/Z)/ : CrDx будет

ее проекция

произвольной хорды CXDV

C^D^ будет

параллельна C'D'

и отношение

равно k; таким

образом, проекция круга получается сжатием
или растяжением круга в направлении какого-нибудь его диаметра в одно и
то же число раз, следовательно, параллельной проекцией круга в этом случае
является фигура, ограниченная эллипсом. 13.17. Может, например, синусоида,
плоскость которой параллельна направлению проектирования.

§14. Изображение пространственных фигур
14.5.

Изображением тетраэдра, например, МАВС (рис. 46), при этом ВС
ребро, которое следует изобразить штриховой линией. 14.6. Данное
изображение можно принять за изображение куба, а также за изображение
любого параллелепипеда. 14.7. а) Рис. 48, б, г, д, к, л, м; б) рис. 48, а, в, е,
невидимое

168

в) рис. 48, д
ребру AAV

ж, з, и;

параллельна
рис. 48, е, з

прямая, определяющая направление проектирования,
рис. 48, ж
параллельна диагонали BJ), грани куба,

параллельна диагонали куба BJ). 14.8. Правильной
пирамиды. 14.9. Нет, это может быть четырехугольная пирамида,
в основании которой лежит прямоугольник, или ромб, или параллелограмм.

четырехугольной

14.10. а) Соединить вершину В'

с

серединой

стороны

А'С',

назовем ее

точкой М,

через точку К' провести прямую, параллельную В'М; б) провести
диагональ А'С' и через точку V повести прямую, параллельную А'С'. 14.11. На
A'D'-B'C'
СН
искомая параллельная
луче DA' отложить отрезок D'H'
и

,

,

=

,

проекция.

14.12. а) Искомый диаметр проходит через точку О'

и

середину

проведем хорду, параллельную C'D\ искомый диаметр пройдет
через ее середину и точку О'; в) проведем диаметр, лежащий на прямой О'ЛГ
хорды

А!В'\ б)

и поступим как в предыдущем случае, проведем диаметр, ему

перпендикулярный, любой

из двух радиусов, лежащих на проведенном диаметре, будет
г) искомая биссектриса пройдет через точку О' и середину хорды K'L'.
Нужно провести две параллельные хорды и диаметр через их

искомым;

14.13.

середины, затем провести еще две параллельные хорды, не параллельные первым,
и через их середины провести второй диаметр, точка пересечения
построенных диаметров будет искомой параллельной проекцией центра окружности.
14.14.

Правильный

куба
14.16.

разделенный на 12 равных ромбов, или три
два сверху, один снизу. 14.15. Нет.
куба
невозможность.
латинского слова «impossibilitas»

шестиугольник,

один сверху и два снизу, или три

Импоссибилизм,

от

14.17. М. Эшер (Maurits Cornells Escher) (1898 1972). 14.18. Автор
шведский архитектор Оскар Рутерсвард.

§15. Сечения многогранников
15.1. Если многогранник
то он может:

общую

а)

вершину

точку

сторону от данной плоскости,
одной общей точки; б) иметь одну
ребро
многогранника; в) иметь общий отрезок
общий многоугольник
грань многогранника.
лежит

по

одну

не иметь с плоскостью ни

многогранника; г) иметь
15.2. Если плоскости принадлежат некоторые внутренние точки многогранника.
15.3. Если у многогранника имеются точки, лежащие по разные стороны от
данной плоскости, то общей частью многогранника и плоскости будет
многоугольник, называемый сечением многогранника плоскостью. 15.4.

Многоугольником. 15.5. Если найдены пересечения плоскости сечения с каждой гранью
многогранника (пересечение может быть и пустым). 15.6. Например: 1) тремя
точками, не принадлежащими одной прямой; 2) прямой и не принадлежащей ей

точкой; 3)

свойств параллельности

и перпендикулярности прямых
например, плоскость сечения можно задать
двумя точками параллельно некоторому ребру многогранника или одной
точкой параллельно некоторой грани многогранника. 15.7. Это точка пересечения
и

с помощью

плоскостей

в

пространстве,

прямых, которые изображают данные прямые. 15.8. На рисунке 0.19 показано
точки пересечения прямой АВ с плоскостью а; для
построение точки X
169

прямой и плоскости должны быть заданы две
(в нашем случае точки А, Б и их проекции
плоскость а).

построения точки пересечения
точки

прямой

соответственно

и их проекции

Aj, Вх

на

В

прямой XY, по которой
прямой пересечения двух

15.9. На рисунке 0.20 показано построение
пересекаются плоскости

АБС

и а; для построения

плоскостей должны быть заданы, например, три точки, принадлежащие плоскости,
и три их проекции (в нашем случае заданы точки А, Б, С и их проекции

Ах, Bv Сг на плоскость а). 15.10. а) Сечение призмы плоскостью,
проходящей через диагональ основания и два прилежащих к ней боковых
ребра, называется диагональным сечением; б) сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через диагональ основания и вершину, называется диагональным
п(п 3)
п(п 3)
сечением. 15.11. а) 0; б) 2; в) 5; г)
15.12. а) 0; б) 2; в) 5; г)
соответственно

-

-

2

15.14. а) 0; б) 2; в) 5; г)
в), г) Да. 15.17. а) Да; б)
в сечении

сторон

б)

куба

нет.

-

3)

2

15.15. а) Да; б)

15.18. а) Да; б)

нет.

да;

в), г)

нет.

15.16. а), б),

15.19. а), б) Да. 15.20. Нет,

плоскостью не может получиться многоугольник с числом

больше шести,

пятиугольник;

Равносторонний

п(п

в)

так как у

куба

граней. 15.21. а) Четырехугольник;
г) (п + 2)-угольник. 15.22.

шесть

восьмиугольник;

треугольник, периметр которого равен

3%/2.

15.23.

15.24.

^

+

л/5.

4 и п
5.
15.25. Ромбом. 15.26. Правильным шестиугольником. 15.27. При п
15.28. Равнобедренная трапеция. 15.29. Да. 15.30. Равнобедренной трапецией,
=

=

периметр которой равен

+

^}

а.

15.31. Равнобедренным треугольником.

15.32. В треугольнике ABD через точку К надо провести среднюю линию KL
параллельно DB; в треугольнике ACD через точку К надо провести среднюю
линию КМ параллельно DC; AKLM будет искомым сечением. 15.33.

Трапециями. 15.34. Да,

если дана правильная усеченная пирамида.

плоскость нужно провести через две точки,
нижнего основания и отстоящие от их

общей

вершины на

параллельно боковому ребру призмы. 15.36.
г) да, это правильный шестиугольник.

170

15.35. Каждую

принадлежащие сторонам

а) Нет; б)

i

длины этой стороны,

да, это квадрат;

в)

нет;

§16. Угол между прямыми

в пространстве.

Перпендикулярность прямых

16.11. 45°. 16.12. а) 90°; б) 90°; в) 45°; г) 45°; д) 90°; е) 45°. 16.13. а) 90°; б) 45°;
в) 60°; г) 60°; д) 90°. 6.14. а), б)

f. 16.15. а) 60°; б)

cos AFB

=

3

4

в)

cos

CED

=

о

г) 30°; д) 90°. 16.16. Через

данную прямую а провести произвольную плоскость
и в ней провести прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную
а; бесконечно много. 16.17. Через данные точку и прямую провести
плоскость и в ней через данную точку провести прямую, перпендикулярную

прямой

данной прямой; одну. 16.18. Одну,

16.19. Верно

утверждение

скрещиваться с данной

она будет
2). 16.20. Потому

что в

прямом

прямой.

параллелепипеде

боковое ребро перпендикулярно плоскостям оснований. 16.21. а) Да; б), в) нет.
16.22. а) 90°; б) 90°; в) 45°; г) 90°; д) 45°; е) 45°. 16.23. Верные утверждения:
1), 2), 4), 5), 6), 7). 16.24. Прямые Ъ и с скрещиваются, если прямая с не лежит
в плоскости прямых а и Ъ, и пересекаются в противном случае; угол между b
и с равен 90°. 16.25. Прямые Ъ и с скрещиваются, если прямая с не лежит в
плоскости данных прямых, и пересекаются в противном случае; угол между Ъ
и с равен 45°. 16.26. Не может, в данном прямоугольном параллелепипеде
диагональные сечения

квадраты, а диагонали параллелепипеда, лежащие

разных диагональных сечениях, лежат в одном

диагонали которого не могут быть перпендикулярны.
сечения данного параллелепипеда являются квадратами,
между диагоналями параллелепипеда,

в

(не квадрате),
Диагональные

прямоугольнике
16.27.

следовательно,

углы

которые лежат в одном диагональном

90°, углы между диагоналями параллелепипеда, которые лежат
в разных диагональных сечениях, равны 60°. 16.28. 60°.

сечении, равны

§17. Перпендикулярность прямой и плоскости
17.3.

Потому

что

эта

прямая

не

может лежать в

данной

плоскости

или

быть ей параллельной. 17.4. 1), 2), 3) Нет; 4) да. 17.5. Да. 17.7. а) Ребро

АА±
A^D, и AXBV значит, оно
AJZfifij б) ребро ВС перпендикулярно двум

перпендикулярно двум пересекающимся прямым
перпендикулярно плоскости грани

пересекающимся прямым ВВг и ВА, значит, оно перпендикулярно плоскости
грани АА^В; в) ребро DC перпендикулярно двум пересекающимся прямым
DA и DDV значит, оно перпендикулярно плоскости грани AAflJ). 17.9. 90°.

17.10. Перпендикулярна плоскости треугольника. 17.11. Перпендикулярен
этой плоскости. 17.12. Да. 17.13. На перпендикуляре, проведенном к плоскости
прямоугольника через точку пересечения его

перпендикулярна каждой

диагоналей. 17.14. а) Прямая КО
ABCD; б) перпендикулярна им,

из сторон квадрата

так как АО перпендикулярна плоскости BKD.

определяемой

этими точками,

17.15.

Перпендикуляр

к

проходящий

через центр окружности,
описанной около треугольника, вершинами которого являются данные точки.
17.16. а) Нет; б) да. 17.17. а) Нет; б) нет, так как два радиуса круга могут
плоскости,

образовывать один диаметр. 17.18.

Перпендикулярна,

если хорды не параллельны.

17.19. Верные утверждения: 1), 2), 6), 8). 17.22. В центр правильного
шестиугольника. 17.23. а) Да; б) да; в) нет. 17.24. а), б), в) Да. 17.25. а), б), в) Да;
171

г)

нет.

около

17.26. В общем случае нет, существуют
которых

перпендикуляру,
около

можно

описать

проведенному к

него окружности.

окружность,

плоскости

только для многоугольников,

точки

принадлежат

многоугольника через

17.27. а) Точка А; б)

точка

С; в)

центр

описанной

точка пересечения

диагоналей грани ABCD; г) середина отрезка ВС; д) точка В; е) отрезок АВ;
ж) отрезок BD; з) квадрат ABCD; и) отрезок ВС. 17.28. Плоскость, проходящая
через середину отрезка, концами которого являются данные точки, и
перпендикулярная этому отрезку. 17.29. Плоскость, перпендикулярная данной прямой
и проходящая через данную точку. 17.30. Да. 17.31. Нет. 17.32. Да, например,
с какой-нибудь скрещивающейся прямой, лежащей в данной плоскости и угол
с которой равен 90°. 17.33. а), б) Нет. 17.34. Да, прямые либо пересекаются,
либо скрещиваются и образуют между собой прямой угол. 17.35. В случае,
если прямые перпендикулярны. 17.36. Прямоугольный. 17.37. а)
Прямоугольник; б) параллелограмм. 17.38. а), б) Прямоугольником. 17.39. Данный
параллелограмм является прямоугольником; плоскость параллельна стороне,
противолежащей данной стороне, и перпендикулярна четвертой его стороне.

17.40. Можно применить признак параллельности двух плоскостей.
§ 18. Перпендикуляр

и наклонная

18.2. Верно утверждение 5 (гипотенуза больше катета). 18.7. а) Треугольник
ABC
равнобедренный, у него AM является медианой и высотой, значит, и

биссектрисой; б)

в

параллелограмме ABCD угол ADC

прямой,

6 см, ВН
2\[7 см, АН
18.9. Да. 18.10. Нет. 18.11. «Две наклонные, проведенные к

это прямоугольник;

различных точек,
равны».

Нет. 18.12. В

в)

да;

г) ВС

=

=

не принадлежащих

ей,

=

следовательно,

8л/2

см.

18.8. Да.

плоскости из двух

и имеющие равные проекции,

плоскости а нужно провести прямую,

перпендикулярную

ортогональной проекции данной наклонной на данную плоскость (теорема о
трех перпендикулярах). 18.13. Точка Н должна лежать на серединном
прямоугольный, так как
перпендикуляре к отрезку АВ. 18.14. Треугольник КВС
КВ _L ВС (теорема о трех перпендикулярах). 18.15. а) Углы Б и С треугольника
ABC
прямой; в) угол Б или угол С
тупой.
острые; б) угол Б или угол С
18.16. Окружность, лежащая в данной плоскости, центром которой является
основание перпендикуляра, проведенного из данной точки к этой плоскости,
радиус окружности равен
перпендикуляра. 18.17.

yjd2

Прямая,

-

h2,

где d

и проходящая через центр окружности:

б) вписанной

длина

наклонной, h

длина

перпендикулярная плоскости многоугольника

а) описанной

около многоугольника;

18.18. Признак перпендикулярности прямой и
плоскости. 18.19. Поставить елку перпендикулярно двум сторонам крестовины.
18.20. Нужно дважды приложить одну из сторон треугольника к поршню, чтобы
в многоугольник.

вторая сторона

занимала при этом разные положения.

Используется

признак

18.21. Две прямые,
перпендикулярные ребру балки, проходящие через одну его точку и лежащие в разных
боковых гранях балки. 18.22. Из условия задачи следует, что данная точка А
принадлежит ГМТ в пространстве, одинаково удаленных от точек окружности
перпендикулярности

172

прямой

и

плоскости.

данного круга, следовательно, О
что ортогональные проекции

А, Б

18.23. Из условия задачи следует,

его центр.

НА, НВ

С одинаково удалены

НС данных

и

наклонных равны, значит,

Н,

следовательно, они принадлежат
окружности с центром в точке Н. 18.24. 10 м. 18.25. 5 м.
точки

и

от точки

§19. Угол между прямой и плоскостью
19.6.

Да,

если проекция ортогональная.

ортогональной проекции данной наклонной

19.7. С прямыми, параллельными
на данную плоскость. 19.8. Углы

V2
равны. 19.9.

Вообще

говоря, нет. 19.10. tg ф

19.13. Это угол между данным ребром

опущенной

из вершины,

пирамиде все

принадлежащей

боковые ребра равны,

и

=

,

где

d*

высотой

искомый угол.

ф

основания пирамиды,

ребру. 19.14. Да. «Если в
образуют равные углы с плоскостью

данному

то они

основания». Это верное утверждение. 19.15. Из равенства данных углов следует
равенство наклонных и их ортогональных проекций, следовательно, точка, в
которую проектируется точка D, одинаково удалена от всех вершин
треугольника АБС, т. е. является центром описанной около треугольника окружности.

19.16. Из равенства углов

наклона данных отрезков следует равенство самих

проекций, следовательно, точка, в которую
данная
точка,
одинаково
удалена от всех сторон треугольника,
проектируется
т. е. является центром окружности, вписанной в треугольник. 19.17. Нет,
отрезков и их ортогональных

наибольшая

величина угла

это прямые, лежащие в

45°. 19.18. Больше угол

данной

наклона высоты.

плоскости и перпендикулярные

19.19. Да,

ортогональной

проекции данной наклонной. 19.20. В случае параллелограмма равные углы
все стороны. 19.21. Если
противоположные стороны; в случае ромба

образуют
углы

отличны от прямого, то плоскости

либо параллельны, либо пересекаются

по

прямой, перпендикулярной данной. Если углы прямые, то плоскости параллельны.
19.22. Окружность, центром которой является основание перпендикуляра,
опущенного из данной точки на данную плоскость. 19.23. Центр сферы, описанной
около треугольной пирамиды с вершинами в данных точках. 19.24. Углы равны.
19.25. Углы равны. 19.26. 30°. 19.27. 90°. 19.28. Равносторонний треугольник.
§ 20. Расстояния между точками, прямыми и плоскостями
20.8.

а)

а;

б)

отрезок, равный

а;
и

>/за;

в)

г)

а;

д)

параллельный

;
A

е)

а;

ж)

а;

20.9.

з)

2л/з

дм. 20.10. Возьмем

Ct

данному отрезку, таким

образом, чтобы

один

его конец принадлежал плоскости, тогда расстояние от его второго конца до
12 (см), его ортогональная проекция
плоскости будет равно 7 + 5
искомый
=

отрезок, равный
линии

V132

прямоугольной

-

122

=

5 (см). 20.11. Искомое расстояние равно средней

трапеции, основаниями

которой

являются

перпендикуляры, проведенные из концов данного отрезка к плоскости, таким

CL

б)

образом: а) 5,5

м;

Ъ
.

20.13. а) 45°; б) 30°. 20.14. Две плоскости, параллельные данной

пло¬

173

скости и отстоящие каждая от нее на данное расстояние

параллельная данным

<2. 20.15. Плоскость,
d

плоскостям и отстоящая от каждой из них на расстояние

,
Ci

расстояние между данными плоскостями. 20.16. Плоскость, паралd
лельная данным плоскостям и отстоящая от каждой из них на расстояние ,
где d

где d

расстояние между данными плоскостями. 20.17.

лIDB2
ВС2, таким
(рис. 74), DC
а2. 20.19. Из условия задачи следует, что основанием

расстояние равно длине отрезка DC
образом:

а) 12

см;

б)

y/d2

а), б), в) 1. 20.18. Искомое

-

=

-

перпендикуляра МО является центр окружности, описанной около данного
треугольника, т. е. середина его гипотенузы, следовательно, искомое
расстояние равно 6 см (рис. 0.21). 20.20. Из условия задачи следует, что основанием
перпендикуляра КО является точка, принадлежащая биссектрисе данного угла
(рис. 0.22), тогда четырехугольник НСРО
квадрат, где точки Н и Р

АСВ

являются основаниями перпендикуляров, опущенных из данной точки К на
СР
3 см, искомое
стороны угла СА и СВ соответственно, следовательно, СН
=

расстояние

КО

=

у/7

=

см.

20.21. Равносторонний треугольник. 20.22. а), б), в) Скрещивающиеся
перпендикулярные прямые. 20.23. Ортогональной проекцией центроида М данного
треугольника будет центроид Мх треугольника А1В1С1
ортогональной проекции
данного треугольника ABC на плоскость я, тогда в трапеции AAXBXB (рис. 75)
средняя линия

LL1

=

АА1+ВВ1
,

из трапеции

2

CCXLXL

получим

ММ1

=

2ЬЦ+ССЛ
к
L
3

АА + ВВл + СС

(поскольку ММг || LLX

СМ

и

: ML

=

2:1),

следовательно,

ММХ

=

3

а "Ь Ъ -} С'
таким

образом,

искомое расстояние равно:

а) 5

см;

б)

.

20.24. Из условия

о

задачи следует, что дан

прямоугольный

треугольник, назовем его ABC, с

гипотенузой АВ, равной 10

дм; из вершины С восстановлен к плоскости
треугольника перпендикуляр СМ
4,8 дм. Проведем МН _L АВ, тогда СН будет высотой
треугольника АБС. Используя формулу площади треугольника, имеем АС ВС
=

=

=

АВ

СН, откуда СН

=

треугольника СМН находим МН
174

4,8

=

дм. Из

4,8л/2

равнобедренного прямоугольного
Окружность, лежащая в плоскости

дм. 20.25.

а,

центром

которой

является основание перпендикуляра, опущенного из точки

плоскость а и радиус
расстояние от

что РО J_

данной

Р

и

a) Vl44

мм;

+

MB2,

-

h2,

А

на

где h

точки до

л1рв2

РВ _L MB, значит, РМ

расстояние равно: а) 7 см; б)

§21. Двугранный

б) \ld2

h2

которой равен:
данной плоскости. 20.26. Из условия задачи следует,
-

\Ih2

d2. 20.27. а), б)

+

следовательно искомое
20.28.

3

2

угол

а) Плоскость; б) полуплоскость; в) пространство; г)
д) двугранный угол. 21.10. 1), 2), 3) Неверно. 21.12. Любая

21.1.
полупространство;

лежащая в плоскости линейного угла данного двугранного угла с
перпендикулярна I, следовательно:

а)

б)

нельзя;

можно;

21.14. «Если линейные углы двугранных углов равны,

в), г)

нельзя.

прямая,

ребром I,
21.13. Да.

то равны и двугранные

Верное утверждение. 21.15. Перпендикулярны. 21.16. 90°. 21.17. Угол:
a) NBC; б) NBA; в) DCN; г) DAN; д) ABC. 21.18. а), б) 45°. 21.19. а), б) 45°.
21.20. Полуплоскость, которая делит двугранный угол пополам, называется биссектральной, или биссекторной. 21.21. Нужно провести биссектрису линейного
угла данного двугранного угла, затем провести биссектральную полуплоскость
через проведенную биссектрису и ребро двугранного угла, она и разделит его
пополам. 21.22. Верно, высоты пересекаются в середине общего основания
углы».

данных треугольников.
высотами смежных
смежных

граней

так как прямая

21.23. 2). 21.24. Угол между: а) пересекающимися

граней; б)

пересекающимися сторонами грани;
октаэдра, проведенных к общему ребру. 21.25.

в) высотами
Угол МОН,

ОН перпендикулярна ребру двугранного угла (теорема

о трех

перпендикулярах). 21.26. Проведем LP 1аи LQ _L Р (рис. 80), тогда плоскость
(LPQ) 1 с (так как с 1 LP и с ± LQ), отсюда следует, что плоскость LPQ
пересекает с в точке Н, значит, искомые ортогональные проекции PH и QH лежат
в одной плоскости. 21.27. ZHMP
180°
линейный угол данного
ф, где ф
=

-

двугранного угла. 21.28. Проведем НО, где О

середина гипотенузы данного

равнобедренного

(рис. 0.23),

прямоугольного треугольника

линейный угол двугранного угла, следовательно,

угол СОН

с
ние

СН равно СО

sin ZCOH, учитывая,

г

б)

sin 60°

=

л/з
2~,

что

СО

=

-

и:
*

I

тогда СО _L АВ и
искомое расстояс
1
=
-, имеем -;

a) sin 30°

2

4

Тзс
имеем

7~.

21.29. а) 9; б) 8;

в) 3п; г) 2п. 21.30. Вершина

пирамиды
ортогонально проектируется в центр окружности,
вписанной в ее основание, следовательно,
получаем:
треугольника;

б)

а)

центр равностороннего

точку пересечения диагоналей квадрата;

в) точку пересечения диагоналей ромба;
г) центр правильного шестиугольника; д) центр
вписанной окружности. «Если все двугранные
углы при сторонах основания равны, то вершина
175

в центр окружности, вписанной в ее
21.31. «Если вершина пирамиды ортогонально проектируется в центр
окружности, вписанной в ее основание, то все двугранные углы при сторонах

пирамиды ортогонально проектируется
основание».

ее основания равны».

21.33. а), б), в) Да,

Верное

утверждение. 21.32.

можно построить

бесконечно

а), б) СН

=

5 см, СО

=

2,5

см.

много прямых двугранных углов.

§ 22. Перпендикулярность плоскостей
22.3. Перпендикулярны. 22.4. По
признаку перпендикулярности двух плоскостей.
22.5. Нет, см. рисунок 0.24, где а JL Р, а 1 у и

Р

п у

=

22.6. Верно при условии, что прямая
данной плоскости. 22.7. Провести

с.

не лежит в

плоскость, перпендикулярную линии
пересечения данных плоскостей; бесконечно

7'

22.8. Если данная прямая

много.

не перпендикулярна

данной

плоскости, то можно провести только
одну перпендикулярную плоскость; если пер-

Рис. 0.24

бесконечно много. 22.9. На
пендикулярна
стороне основания, которая лежит в боковой
грани, перпендикулярной основанию пирамиды. 22.10. Во второй плоскости через
точку М провести прямую,

перпендикулярную линии пересечения плоскостей.

22.11. Нет. 22.12. Да. 22.13. Используют признак перпендикулярности двух
плоскостей. 22.14. Нет. 22.15. Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть
параллельными. 22.16. На линии пересечения плоскостей а и р. 22.17. 1)
Перпендикулярна плоскости р. 2) 90°. 22.18. Верные утверждения: 1), 3), 5).
22.19. Допустим, что из точки Me а проведена прямая МН 1Р (рис. 86), где МН & ос;
проведем МО 1 с, где с

отсюда следует,
плоскостях а и

Р),

что

=

a n

ZMOH

=

Р,

тогда с 1

(МНО),

так как с 1 МО и с 1

МН,

90° (линейный угол при перпендикулярных

значит, в треугольнике МОН два прямых угла, чего быть не может;

предположение неверно, а именно: МН с а. 22.20. Возьмем на
линии пересечения первых двух плоскостей точку М (рис. 87) и опустим из нее
перпендикуляр МН на третью данную плоскость у, тогда, согласно результату
таким

образом,

задачи, МН с а и МН с Р, т. е. является линией их пересечения.
22.21. а), б), в) Соответствующие линейные углы являются прямыми. 22.22. Нет.
22.23. В противном случае данная прямая либо параллельна, либо пересекается
с линией пересечения со второй плоскостью, значит, не перпендикулярна ей.

предыдущей

22.24. 3 м. 22.25. 13 м. 22.26. а) Бесконечно много; б) одну. 22.30.
тральные плоскости данных пересекающихся плоскостей.

Две биссек-

§ 23*. Центральное проектирование.
Изображение пространственных фигур в центральной проекции
23.3. Нет, не для всех точек пространства, например, не определена для
точек, которые принадлежат

параллельной

прямой, проходящей

плоскости проектирования.

через центр проектирования

и

23.4. Центральным проектированием

называется соответствие, при котором точкам пространства сопоставляются их

176

центральные проекции. 23.6. Перспектива. 23.7. Получится прямое
уменьшенное изображение фигуры. 23.8. Перевернутое равное изображение фигуры;
получается на пленке
проектирования.

фотоаппарата, объектив которого помещен

оно

в центр

23.9. Прямое увеличенное изображение фигуры; примером такой
быть тень, отброшенная предметом от близко расположенного

может

проекции

точечного источника света;

такие проекции получаются на экране при показе

кинофильмов, диафильмов и т. п. 23.10. В этом случае проекция фигуры подобна
самой фигуре. 23.13. а) Увеличенное изображение фигуры, k > 1; б) уменьшенное
изображение, 0 < k < 1, где k
коэффициент подобия, который равен отношению
расстояний от центра проектирования до соответственно плоскостей
проектирования и фигуры. 23.14. Плоскость, проходящая через центр S проектирования
и параллельная плоскости проектирования.

23.15. Прямая

или точка:

1)

данная

прямая не проходит через центр проектирования, тогда, если она пересекает
плоскость проектирования, на рисунке 93 показано, как получить центральную
ее
А, прямая АС без точки S', где SS' а
проекцию прямой а п п

||

=

центральная проекция; если данная прямая параллельна плоскости проектирования, то
для построения

центральной

прямая, проходящая через

их

проекции достаточно взять любые две ее точки,
центральные проекции,

будет искомой; 2)

данная

прямая проходит через центр проектирования, тогда, если она не параллельна
плоскости проектирования, то проекцией будет точка пересечения с плоскостью
проектирования; если же данная прямая параллельна плоскости
проектирования, то у

такой прямой

лучей AD'

и

S'C' без

его концов, т.

е.

без

не существует

их начал, т. е.

точек

А

и

центральной проекции. 23.16. а) В точки
точек А и S'; б) в точки отрезка AS' без

без

S'. 23.17. Да, могут,

если прямые не проходят

через центр проектирования и пересекают плоскость проектирования,
построение показано на рисунке

0.25. 23.18. Впечатление,

что параллельные прямые

пересекаются, возникает, когда мы смотрим на уходящую вдаль дорогу,
железнодорожные рельсы, провода и т. п.

случае,

если

прямые

параллельны,

23.19. См.

не

параллельны плоскости проектирования,
плоскости проектирования.

ответ к задаче

проходят через

23.15. 23.20. В

центр

проектирования,

и их плоскость не перпендикулярна

23.21. а) Грань

ADD^A, куба параллельна плоскости

проектирования; б) ребро ВВХ куба параллельно плоскости проектирования;
в) грань ABCD куба параллельна плоскости проектирования и точка F лежит

внутри

изображения этой

грани;

г)

плоскость

проектирования не параллельна никакому

ребру куба. 23.22. а) Плоскость

основания

пирамиды параллельна плоскости
проектирования,

прямая

SM перпендикулярна
S
центр

плоскости проектирования, где

проектирования, М

б)

вершина пирамиды;

плоскость основания пирамиды

параллельна плоскости проектирования;

в)

плоскость основания не параллельна плоскости
проектирования.

23.23. Плоскость

проектирования: а) параллельна; б)

не параллельна

основаниям цилиндра.

177

Вопросы

из истории перспективы

23.24. Центральное проектирование,
в

Древней Греции (VII

в.

перспективе встречаются в

или перспектива, как наука возникло

н. э.). 23.25. Первые упоминания о
работах Эсхила (525 456 гг. до н. э.). Значительное

до н.

III

э.

в.

место изображению пространственных фигур с использованием перспективы
уделено в трактате «О геометрии» известного мыслителя и ученого Демокрита
(ок. 460 370 гг. до н. э.). Следующее упоминание о перспективе находим в

работах Евклида. Помимо
сочинений. В

том числе в

своих знаменитых

«Начал», он написал много
с позиций геометрии

других

работе «Оптика» Евклид

подробно изложил природу человеческого зрения, того, как получается

различных предметов на сетчатке глаза. Самыми значительными

изображение
работами по

работы римского архитектора
Марка Витрувия Поллиона (конец I в. до н. э.). Способы построения
изображений в перспективе изложены ученым в десяти книгах «Об архитектуре».
Одним из обязательных компонентов архитектуры Витрувий считал ординацию,
перспективе древнегреческого периода считаются

и инженера

так

им

было

названо проектирование,

отдельным частям

зданий. Витрувий
был одним

которое придавало надлежащую меру

пользовался чертежами планов и

фасадов

основателей начертательной геометрии.
23.26. Теоретиком перспективы эпохи Возрождения считался итальянский
архитектор Филиппо Брунеллески (1377 1446), а практиками, воплотившими ее

зданий,

тем самым

из первых

достижения в своих произведениях,

художники, скульпторы, архитекторы
этого замечательного периода, самыми выдающимися из которых были Леонардо
да Винчи (1452 1519) и Альбрехт Дюрер (1471 1528). 23.27. Для получения
перспективного изображения какого-либо предмета между глазом наблюдателя
и предметом помещается стеклянная пластинка или рамка. Сначала копируются
контуры модели на стеклянной пластинке, а затем полученное изображение
переносится на

бумагу. 23.28. Леонардо

да Винчи в своем произведении

живописи» делит перспективу на три основные части.

которая изучает

законы построения уменьшения

наблюдателя. 2. Воздушная

«Трактат

о

1. Линейная перспектива,

фигур

по мере удаления их от

и цветовая перспектива, которая трактует изменение

цвета предметов в зависимости от их расстояния до
воздуха на насыщенность и локальность цвета.

наблюдателя

3. Перспектива

и влияния слоя

четкости

в которой анализируется изменение степени отчетливости
и
границ фигур
контраста света и тени на них по мере удаления их в глубину
пространства, изображаемого на картине. Два последних раздела не получили

очертания

формы предмета,

дальнейшего теоретического развития

Первый

из-за сложности исследования

же раздел развился в точную науку

проблемы.

линейную

перспективу, которая
позднее вошла как составная часть в начертательную геометрию. 23.29.
Основателем начертательной геометрии считают французского ученого, геометра,
инженера и активного общественного деятеля Великой французской революции

Гаспара Монжа (1746 1818). Его

книга «Начертательная геометрия»,
изданная в 1795 году, явилась первым систематизированным изложением методов
изображения пространственных фигур на плоскости. 23.30. Русские художники

XVII XIX вв. хорошо владели
картинах.

Крупнейшим

рисовальщиком своего времени

178

теорией перспективы и применяли ее в своих
русской академической школы, лучшим
был А. П. Лосенко (1737 1773). Он требовал

представителем

от своих учеников тщательного изучения теории перспективы и применения ее
законов в академическом рисунке.

Более 20

способа овладения видением натуры на основе
известный русский художник А. Г. Венецианов (1780 1847).
Он считал, что обучение художественным навыкам необходимо начинать с
лет вел поиск

законов перспективы

изучения законов перспективы,

которую художник рассматривал как

метод

изображения реальных предметов в конкретной обстановке.
Большое значение придавал изучению перспективы замечательный

русский
художник и педагог Н. Н. Ге (1831 1894). Обращаясь к своим ученикам, он
говорил: «Учите перспективу, и когда овладеете ею, внесите ее в работу, в рисование.

Никогда

ее не

отделяйте

(т. е. рисуют по чувству,
перспективы). Напротив,
пусть перспектива
спутником вашей работы и стражем верности».

от рисования, как делают многие

а потом поправляют по правилам

у вас

будет

всегдашним

§ 24. Многогранные углы
24.4. Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других
его плоских углов. 24.6. Каждый плоский угол трехгранного угла больше
разности двух других его плоских углов. 24.7. а) Да; б), в) нет. 24.8. Нельзя составить

трехгранный угол из следующих плоских углов: б), в). 24.9. а) 2щ б) п; в) 2п.
24.10. Рассмотрим плоский прямой угол ASB, ему противолежит двугранный угол
с ребром SC (рис. 0.26), где S
вершина данного угла, поскольку BS1 (ASC) (по
условию BS 1SA и BS JL SC), значит, перпендикулярны плоскости BSC и ASC, т. е.
прямой; аналогично, поскольку (ASB) ± (ASC)
двугранный угол с ребром SC
(BS лежит в плос::гсти ASB), двугранный угол с ребром SA
прямой.

24.11. «Если

прямые, то
утверждение. 24.12.

в трехгранном угле два двугранных угла

противоположные им плоские углы тоже прямые».
все двугранные углы
прямые. 24.13. Да;

Верное
все

плоские углы

2.14. Из прямоугольных треугольников SKL и SKM следует, что KL
a SL

SL
равен

=

2 см,
SM
LM
2 см,
SM
=

2(V3

=

=

=

+

1)

см.

SC (рис. 0.27),

равностороннего

таким

треугольника

образом, искомый

=

КМ

=

л/3 см,

SLM следует,

что

периметр треугольника KLM

24.15. Провести через точку Н прямую, параллельную прямой

она и

равносторонний

из

Да;

прямые.

будет искомой,

поскольку SC 1
Г

треугольник:

а) Зл/2; б)

(ASB). 24.16. В

сечении

л/з
.

24.17. Нет. 24.18. Плоскость

179

треугольника параллельна одной из граней трехгранного угла и перпендикулярна
плоскостям двух других его граней; следовательно, общее ребро этих двух граней
перпендикулярно плоскости треугольника, значит, они перпендикулярны первой
грани трехгранного угла; итак, у данного трехгранного угла два прямых
двугранных угла. 24.19. а) 7, из них: 1 шестигранный угол и 6 трехгранных углов;

б) 20, все углы
трехгранные; в) 38, все углы
трехгранные; г) 6, все углы
четырехгранные. 24.20. Куб внутри трехгранного угла или куб вне трехгранного

(с

угла

такими неоднозначными

изображениями

мы уже встречались выше,

в

рисунок 55). 24.21. Проведем SH 1 АС, тогда ОН 1 АС; ребро
SB _L (ASC), значит, SH
проекция наклонной ВН на плоскость ASC, поэтому
ВН _L АС; следовательно О е ВН и ВН
высота треугольника ABC; аналогично

параграфе 14,

см.

можно доказать, что

СР

высота треугольника

пересечения высот, или ортоцентр, треугольника
многогранного угла, назовем ее

S, опустим

ОА3

=
...

ОАп,

т. е.

О

О

точка

из вершины

50А1? SOA2, SOA3,

...,

SOAn,

(по

SO

Av..An
ОАх ОА2

и

где

гипотенузе и катету), отсюда
центр окружности, описанной около сечения.

сечение, все треугольники равны
=

т. е. точка

на плоскость сечения перпендикуляр

рассмотрим прямоугольные треугольники

=

ABC,

ABC. 24.22. Да;

=

=

§ 25. Выпуклые многогранники. Призмы и пирамиды
25.1.

Фигура

называется

точками целиком содержит и

выпуклой, если вместе с любыми двумя своими
соединяющий их отрезок. 25.2. Выпуклые

фигуры: а), г), е); невыпуклые фигуры: б), в), д). 25.3. а), б), в), г) Нет. 25.4.
Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е.
вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий
их отрезок. 25.5. «Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла
меньше 360°». 25.7. а) Нет; б) да; в) нет; г) да. 25.8. Многогранник называется
выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т. е. вместе с любыми двумя

соединяющий их отрезок. 25.9. Выпуклые
многогранники: а), г), е); невыпуклые многогранники: б), в), д). 25.11. Нет.
25.12. См. рисунок 104, б, рисунок 111. 25.13. Взять точку внутри
своими точками целиком содержит и

многогранника

это

общая вершина пирамид,

многогранника.

(см.

решение

25.14. Да,

предыдущей

основаниями которых являются грани

сначала многогранник

задачи

на треугольные пирамиды, два

25.13),

способа

показаны на рисунке

Рис. 0.28
180

разбиваем

на

а затем каждую пирамиду

0.28.

пирамиды

разбиваем

25.15. Нет,

так как число плоских углов

многогранника. 25.16.

четно, оно равно

2Р,

где Р

например пятиугольная призма или
пятиугольная усеченная пирамида; они имеют по 30 плоских углов. 25.17.
Например: а) четырехугольная пирамида или треугольная бипирамида

ребер

число

(многогранник,

состоящий

Да,

из двух равных пирамид,

вершины которых расположены по

общего основания); б) шестиугольная пирамида
или пятиугольная бипирамида; в) тетраэдр; г) четырехугольная пирамида или
треугольная призма. 25.18. а) Тетраэдр; б) четырехугольная пирамида; в) не
разные стороны от плоскости их

25.19. Да. 25.20. «Если многогранник

существует.

каждой своей грани,

лежит по одну сторону от плоскости

выпуклый». Верное утверждение. 25.21. Выпуклым
Да. 25.23. Нет. 25.24. Не всегда. 25.25. Нет.

то он

многоугольником. 25.22.
Призмы

25.27. Нет, см., например, рисунок 104, б или рисунок 126. 25.29. а) Да;
нет;
в) да. 25.30. 2п. 25.31. а) Треугольник; б) шестнадцатиугольник; в) (т
б)
2)-

угольник. 25.32. Число

ребер я-угольной призмы равно 3п, т. е. число, кратное 3,
следовательно, у призмы не может быть 16 ребер. 25.33. Можно доказать этот факт,
используя транзитивность отношения параллельности прямых в пространстве
с > а | с). 25.34. а) Четырехугольная; б) пятиугольная; в) восьмиугольная;
г) семиугольная призма. 25.35. Пять. 25.36. Тогда и только тогда, когда ее

(а || b, ЪI

основанием является

г)

п

выпуклый

3. 25.38. а) п(п

-

может,

так как и число

четные

(см.

-

многоугольник. 25.37.

3); б)

ге(га~3).

диагоналей,

решение задачи

а) Ни одной; б)

одну;

в)

две;

25.39. В пятиугольной. 25.40. а), б) Не

и число диагональных

сечений призмы

25.38). 25.41. а) Восьмиугольник; б)

числа

семиугольник.

25.42. Как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными
плоскостями. 25.44. Да; если у призмы одно боковое ребро перпендикулярно
плоскости основания, то она

прямая. 25.45. «Если призма прямая, то ее боковое

ребро перпендикулярно плоскости основания». Верное утверждение. 25.46. 1) Да;
2) нет. 25.47. Нет, на рисунке 0.29 изображен наклонный параллелепипед, у
высота равна высоте
AJ) боковой грани ААХDXD. 25.48. «В прямой
призме высота равна высоте боковой грани». Верное утверждение. 25.49. В
прямой, в частности правильной, призме. 25.50. Лучи, на которых лежат стороны
данных плоских углов, перпендикулярны соответствующим боковым ребрам
призмы. 25.51. а), б), в) Три, так как в выпуклом
многоугольнике может быть не больше трех

которого

острых углов (это следует
внешних

360°).

углов

выпуклого

из

того,

что

/г-угольника

25.52. В четырехугольник

Аг
У
/

сумма
равна

можно вписать

Прямоугольник. 25.54. ТраНет. 25.56. Да. 25.57. Наклонная
боковая грань которой является

/
/ в/

окружность. 25.53.
пеция. 25.55.

призма, одна

25.58. Нет. 25.59. а), б) Да.
25.60. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 25.61. Прямой.
25.62. Да, но не все. 25.63. Через основания
прямоугольником.

^11.
р

181

трапеций. 25.64. а), б), в) Нет. 25.65. Да. 25.66. Нет. 25.67. При п 4 или п
25.68. Если сторона нижнего основания призмы, которой принадлежит
=

=

5.

проекция вершины верхнего основания, и сама вершина лежат в одной боковой
внутри
грани, то высота призмы лежит в этой грани, в противном случае
призмы. 25.69. 20,5 см2. 25.70. Может, см. рисунок 0.29.

Параллелепипеды
25.72. У такого параллелепипеда боковые ребра перпендикулярны
основаниям, следовательно, параллелепипед является прямым. 25.73. Да, из условия
задачи следует, что в основаниях лежат параллелограммы с равными
диагоналями, т. е. прямоугольники или квадраты.

диагоналей равна стороне
25.77.

25.78.

с

25.74. Ромб, у которого одна из
60°. 25.75. а), б), в) Нет. 25.76. 7 дм.

или один из углов равен

=л/а2

+

Ъ2. 25.79. В

прямоугольном параллелепипеде. 25.80. Нет.

Да, если эти боковые грани смежные; нет, если они
В
обоих случаях расположена в диагональном сечении.
25.83.
противоположные.
25.84. 2 или 4. 25.85. а), б) Нет. 25.86. Прямоугольники. 25.87. а) Нет; б) да.
25.81. Наклонный. 25.82.

1ч
25.88. Куб. 25.89. 3

см.

25.90.

^а2.

Пирамиды
25.93. Пирамида

является выпуклым многогранником тогда и только

выпуклый многоугольник. 25.94. а) Да; б) нет;
в) да; г) да. 25.95. а) п + 1; б) 2п; в) п + 1; г) 4п. 25.96. а) Одиннадцатиугольная;
б) пятнадцатиугольная; в) десятиугольная; г) шестиугольная пирамида. 25.97. 4.
25.98. 2(п 1). 25.99. 360° (п 1). 25.100. По диагонали основания. 25.101. а) Ни
3. 25.102. «...диагоналей основания». 25.103. В центр
одного; б) одно; в) два; г) п
окружности: а) описанной около основания; б) вписанной в основание

тогда, когда в ее основании лежит

-

-

-

25.104. Да. 25.105. а), б) Нет; в) да. 25.106. Нет. 25.107. Нет. 25.108. Да.
25.109. а) Нет; б) да. 25.110. 60°. 25.111. а) Это центр сферы, описанной около

пирамиды.

пирамиды; б) это центр сферы,
25.112. 90°. 25.113. 30°. 25.114. а) Нет; б),

правильной

диагоналей основания;

б)

вписанной

в)

в правильную

да. 25.115.

а) Точка

пирамиду.

пересечения

середина гипотенузы основания. 25.116. 90°, 90°, 45°,

45°. 25.117. 60° или 120°. 25.118. 45°. 25.119. 40°, 70°, 70°. 25.120.

бл/з

см.

25.121. Совпадает с высотой данной грани. 25.122. а), б) Да; в) нет. 25.123. а) Нет;
б) да; в) в общем случае нет. 25.124. Все расстояния равны половине высоты
пирамиды. 25.125. 25 см2. 25.126.

25.127. 90 см2. 25.128.
4

а)

^h; б)
&

в)
Ci

А.
Tl

25.129. Треугольники, четырехугольники и пятиугольники. 25.130. а), б) Да.
Пример такой пирамиды приведен на рисунке 0.30, где изображены три
взаимно перпендикулярные плоскости AOS, DOS и AOD, вершина S четырехугольной
пирамиды SABCD принадлежит линии пересечения плоскостей AOS и DOS,
основание

182

ABCD

лежит в плоскости

AOD. 25.131. 1

или

2. 25.132. Можно,

шесть

таких пирамид

вершиной

образуют куб: их общей
куба, а основаниями

является центр

его

25.133. Точка пересечения диагоналей
основания пирамиды. 25.134. Квадрат, ромб.
25.135. Четырехугольник с
грани.

квадрат, ромб, трапеция,
(четырехугольник, составленный из
двух равнобедренных треугольников,
имеющих общее основание, третьи вершины лежат
по разные стороны от общего основания).
25.136. Нет. 25.137. Прямоугольные
перпендикулярными диагоналями:

дельтоид

25.138. 45°. 25.139. В

треугольники.

считая

от

подобный

вершины

отношении

1

:

Рис. 0.30

2,

25.140. Сечением

пирамиды.

является

основанию пирамиды, площадь которого равна

многоугольник,

100 см2.

Усеченные пирамиды
25.142. Высотой усеченной пирамиды. 25.143. Пятиугольная. 25.144. а), б)
Трапециями. 25.145. Нет. 25.146. а) 2п; б) 3п\ в) п + 2. 25.147. а) 4; б) 10; в) 18;
-

г) п(п

3). 25.148. а) 1; б) 2; в) 3; г)

п

-

3. 25.149. 6. 25.150. Треугольники,

шестиугольники. 25.151. Правильная
четырехугольная усеченная пирамида. 25.152. Равнобедренная трапеция. 25.153. Нет,
так как основания усеченной пирамиды не равны. 25.154. Например, по

четырехугольники, пятиугольники

и

боковых ребер. 25.155. Восьмиугольник. 25.156. Нет. 25.157. Только
одно. 25.158. 90° и 90°. 25.159. В правильной усеченной: а) треугольной;
б) треугольной, четырехугольной, пятиугольной пирамиде. 25.160. Плоский
угол боковой грани правильной пятиугольной усеченной пирамиды должен
равенству

360° -108°
быть больше 54°

=

126180О

_

12go

=

54Cj

§ 26. Теорема Эйлера
26.1. Леонард Эйлер (1708 1783). 26.2. «Для любого выпуклого
многогранника
число

В

имеет место равенство

ребер

и

Г

число

26.5. Топология

граней

Р + Г

число вершин, Р
2, где В
данного многогранника». 26.3. В 1752 году.
-

=

который изучает свойства фигур,
деформациях, допускающих любые

раздел математики,

меняющихся при непрерывных

не

без разрывов

или дополнительных склеек. Такие свойства
Р + Г
2 для
26.6. Соотношение Эйлера В
является
топологическим
свойством
ответ
выпуклых многогранников
(см.
растяжения и сжатия,

но

называются топологическими.

задачи

26.5),

-

=

многогранник можно как угодно деформировать, при этом

ребра

и грани могут искривляться, однако их число, следовательно, и соотношение

Эйлера

26.7. Например, для невыпуклых призм и пирамид,
креста (рис. 111) и др. 26.8. В действительности в

не меняются.

пространственного
доказательстве теоремы

без «дыр»,

Эйлера

использовалось условие того, что получилась

отсюда теорема

Эйлера

для

фигура

справедлива не только для выпуклых, но
183

и

невыпуклых

некоторых

или

многогранниками

рода

выполняется для многогранников с

(без «дыр»). 26.10. Теорема Эйлера
или

«дырами»,

«окнами»,

не

например см.

107. 26.11. а) 0; б) -2. 26.12. «Для многогранника с р-дырами имеет
2- 2р, где В
число вершин, Р
число ребер и

рисунок

место равенство В-Р + Г

Г

26.9. Многогранниками Эйлера,

многогранников.

нулевого

=

данного многогранника». 26.13. Пусть пристроена я-угольная
пирамида, тогда количество вершин станет (В + 1), ребер
(Р + /г), граней
(Г + п). 26.14. Пусть отсекли m-гранный угол, тогда количество вершин будет

(В

число

+ т

-

граней

1), ребер
куб,

(Р

+

т), граней

(Г

+

1). 26.15. У

него Г

6

=

и

В

=

и

Г

=

8,

=

«2*Р=1515»,т.е.

случае должно быть
нечетному,

8,

6
четырехугольная усеченная пирамида. 26.16. У него В
это, например, октаэдр. 26.17. Не существует, так как в противном

это, например,

чего

быть

не может.

четное число должно равняться

26.18. «Три соседа

имеют три

общих

колодца.

Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому

колодцу?» 26.19. Предположим,

Отметим домики

что это можно сделать.

Кх, К2, К3 (рис. 108). Каждую

точкуД1? Д2, Д3,
домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять ребер, которые
попарно не пересекаются. Эти ребра образуют на плоскости многоугольник,
точками

а колодцы

разделенный на более
вершин, ребер и граней
Добавим

точками

мелкие многоугольники

к рассматриваемым граням еще одну

по отношению к исходному многоугольнику.

2, причем В
граней имеет по крайней

примет вид В
из пяти

-

Р + Г

=

=

6

и

Р

Р + Г'

-

=

1.

внешнюю часть плоскости

Тогда

соотношение

9. Следовательно, Г

=

для числа

Поэтому
Эйлера В

грани.

должно выполняться соотношение

ребра,

мере четыре

Эйлера
=

5. Каждая

поскольку по условию

задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома
или два колодца. Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то коли5-4
чество

ребер

должно быть не меньше

=

10,

что противоречит условию, по

Z
которому их число равно
в задаче отрицателен

каждого домика к

9. Полученное противоречие показывает,

каждому колодцу.

многогранника равно

что ответ

нельзя провести непересекающиеся дорожки от

2Р,

т.

е.

гранях с четным числом сторон

нечетным числом сторон должно

26.20. Общее

число четное,

быть

число сторон

во всех гранях

общее

число сторон в

при этом

четно, следовательно, число
четно.

26.21. Решение

граней

с

аналогично решению

общее число всех вершин граней равно 2Р, т. е. число
четно,
общее число ребер, сходящихся в четных вершинах
следовательно, число нечетных вершин должно быть четно. 26.22. Выберем в
многограннике грань с наибольшим числом сторон, пусть это будет некоторый
я-угольник, его окружают п граней, среди которых могут быть
треугольники, четырехугольники, пятиугольники,
(п
1)-угольники, т. е. только
(п 3) разных многоугольников, следовательно, найдутся грани с одинаковым
числом сторон. 26.23. Возьмем наибольшее ребро многогранника, к нему
примыкают два треугольника, значит, к этому ребру
стороне треугольников
примыкают только острые углы (в треугольнике против большей стороны
лежит и больший угол); если в данных треугольниках есть равная выбран¬
предыдущей

задачи:

четное, при этом

-

...,

-

184

ному ребру сторона, то в таком равнобедренном
треугольнике все углы острые. 26.24. а) Если все

треугольники,

грани данного многогранника

то ЗГ

числом

б)

2Р,

=

могут

сторон,

тогда

если в

вершины,

в

ребра,

и

ЗГ <

каждой вершине

сходится по три
и

быть

но

2Р,

с

или

большим
2
Г < ~Р;

данного многогранника

ЗВ

то

которых

грани

=

2Р,

сходится

но могут

большее

быть

число

2

ребер,

тогда ЗВ <

2Р,

или

В < -Р. 26.25. Наприо

мер, треугольная призма, у
из вершин

§

которой

усечена одна

(рис. 0.31).

27. Правильные многогранники
27.4.

Древнегреческий ученый-философ Платон (429 348

математиком,

но очень

многочисленных произведениях.

любил

гг. до н.

э.)

не

был

использовать математику в своих

Например,

в

работе «Тимей»

он

подробно

описал

свойства

поэтому правильные многогранники и
правильных многогранников,
называются телами Платона. 27.5. Нет, например, у ромбододекаэдра (рис. 126)
именно

все двугранные углы равны, но он не является правильным.

шестиугольника внутренний угол равен 120°, значит,

27.6. У правильного

из правильных

трехгранный угол. 27.7. Тетраэдр: В 4, Р 6,
6; октаэдр: В
8, Р
12, Г
6, Р
12, Г
8;
20. 27.8. У данных
12, Р
12; икосаэдр: В
30, Г
пар многогранников число граней одного равно числу вершин другого, и
наоборот, число вершин первого равно числу граней второго; это взаимно
=

шестиугольников нельзя сложить даже

Г
4; гексаэдр (куб): В
20, Р
30, Г
додекаэдр: В
=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

двойственные многогранники; тетраэдр двойственен самому себе. 27.9. Нет, например, у
пять треугольников и один пятиугольник. 27.10. Нет,
нее грани разного типа

у данного многогранника многогранные углы двух
четырехгранные. 27.11. 6. 27.12. а) 3; б) 4.
доказывается его построением. 27.14. В

ABCD; через

типов

его вершины проводим перпендикуляры к

одну сторону от нее,

трехгранные и

27.13. Существование многогранника
некоторой плоскости строим квадрат

равные стороне квадрата;

данной

плоскости по

Av Bv Cv Dx\
Bv С и Dx

получим точки

куб. 27.15. а) В кубе A...D, вершины A,
(остальные вершины куба также являются
вершинами другого тетраэдра); б) центры граней куба являются вершинами октаэдра;
в) через каждое ребро куба провести плоскость под определенным углом, в их
пересечении получится додекаэдр. 27.16. Центры граней додекаэдра являются
вершинами икосаэдра, и наоборот, центры граней икосаэдра являются
вершинами додекаэдра. 27.17. Середины ребер тетраэдра являются вершинами октаэдра.
многогранник

A...D,

являются вершинами тетраэдра

27.18.

л/2.

27.19. 90°. 27.20. а) Квадрат; б) ромб. 27.21. Взять две

пирамиды и составить из них

чтобы вершины

бипирамиду,

такие

т. е. совместить равные основания так,

оказались по разные стороны от их плоскости.

27.22. 3 <

п <

5

185

3 <

5. 27.23. Октаэдр. 27.24. а) 180°;
б) 270°; в) 240°; г) 324°; д) 300°. 27.25. 12.
27.26. 20. 27.27. а) 720°; б) 2160°; в) 1440°;
г) 6480°; д) 3600°. 27.28. Тетраэдр, октаэдр
и

т <

и икосаэдр.

27.29. Он невыпуклый; 30
60. 27.30. Нужно сделать
получится 27 маленьких

32, Р
квадратов; В
6 разрезов, всего
=

=

кубов: а) 0; б) 8; в) 12; г) 6; д) 1. 27.31. а) Нет;
б), в), г), д) да. 27.32. а) Нет; б) да. 27.33. Куб,
12 ребер. 27.34. 2. 27.35. а), б), в) Нет;
г) да. 27.36. Октаэдр. 6 вершин. 27.37. Зл/2.
27.38. Шестиугольник периметра

3>/2

(рис. 0.32). 27.39. а) 4; б) 3; в) 2. 27.40. Да.
27.41. Да.
§

28*. Полуправильные многогранники

28.2. Правильные призмы с равными ребрами. 28.3. На рисунке 113, б
изображена шестиугольная антипризма, она получена из шестиугольной призмы
(рис. 113, а) поворотом одного из оснований относительно другого на угол 30°;
каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя
ближайшими вершинами другого основания. 28.4. Повернуть одно из оснований призмы
180°
относительно другого на угол:

а) 45°; б) 36°; в) 30°; г)

.

28.5. Да, нужно

п

треугольной призмы относительно другого на 60°.
ребра будут равны. 28.7. 1) Усеченный тетраэдр;
2) усеченный октаэдр; 3) усеченный икосаэдр; 4) усеченный куб (усеченный
гексаэдр); 5) усеченный додекаэдр; 6) кубооктаэдр; 7) икосододекаэдр; 8)
усеченный кубооктаэдр; 9) усеченный икосододекаэдр; 10) ромбокубооктаэдр;
11) ромбоикосододекаэдр; 12) плосконосый (курносый) куб; 13) плосконосый
(курносый) додекаэдр. 28.8. Архимед (287 212 гг. до н. э.). 28.9. Архимед
был уникальным ученым
механиком, физиком, математиком, инженером.
Основной чертой его творчества было единство теории и практики, что делает
изучение трудов Архимеда интересным и полезным для историков современной
математики, для ученых многих специальностей. Широко известна теорема
повернуть одно из оснований

28.6. В случае,

если все ее

Архимеда о потере веса телами, погруженными в жидкость.

«О плавающих

Эта теорема находится

учебниках по физике
называется законом Архимеда. Среди инженерных изобретений ученого известна
катапульта
«архимедов винт» (иногда его называют также «кохлея»
улитка)
это оборонное сооружение. Архимед участвовал
для поднятия наверх воды
в защите своего родного города Сиракузы, при осаде которого и погиб.
Архимед, по выражению современников, был околдован геометрией, и хотя у него
было много прекрасных открытий, он просил на могиле начертить цилиндр и
содержащийся в нем шар и указать соотношение их объемов. Позже именно
по этому памятнику и была найдена могила великого ученого. 28.10. а), б),
в трактате

186

телах» и в современных

в) Провести

правильном многограннике плоскости, отсекающие по

в

ребер,

-

выходящих из одной вершины. 28.11. а), б), в) 8 см. 28.12. а) 8 граней, 4
правильные треугольники и 4
правильные шестиугольники; б) 14 граней,

6
правильные четырехугольники (квадраты) и 8
правильные
шестиугольники; в) 32 грани, 12
правильные пятиугольники и 20
правильные
боковое ребро правильной
шестиугольники. 28.13. См. рисунок 115, где х
отсекают от вершины

пирамиды, которую

куба, у

f2х2
а

куба,

сторона

тогда х и у можно найти из

куба,

сторона усеченного

следующей

у2,

=

\

системы

(2 х + у

откуда у

=

\[2х,

42.x

значит, 2х +

28.14. Всего 14 граней,

из них

=

а,

^
=

а, следовательно, х

6

=

а и у

-

=

(42

-

1 )а.

правильные восьмиугольники и 8

28.15. См. рисунок 116, где х
боковое ребро
правильной пирамиды, которую отсекают от вершины додекаэдра, у
сторона
правильные треугольники.

усеченного додекаэдра, а

сторона додекаэдра, тогда х

и

у можно найти из

4l-i
следующей системы:

Заметим, что боковые грани отсекаемых

2

У
2х + у

=

а.

пирамид являются тупоугольными золотыми треугольниками, у которых отно«
шение боковой стороны к основанию равно золотому отношению

S-i
значит ,

-у,

(V5

1Ч

,
1 )У + У

28.16. Всего 32 грани, из них 12
правильные треугольники. 28.17. а) В

г) В

=

60, Р

провести

в

=

них

90; д) В

секущие

одной вершины. 28.19. В

28.21. Потому

что состоит

-

, откуда

5-V5

л/5
=

а> следовательно, у

=

а их

=

а.
1U

5

правильные десятиугольники и 20

12, Р
18; б) В
24, Р
90. 28.18. Из куба
60, Р

=

'fe-1

=

=

=

=

плоскости

через

середины

=

36; в) В

или

=

24, Р

октаэдра,

ребер,

=

36;

нужно

выходящих из

14. 28.20. а), б) Икосододекаэдр.
12, Р
24, Г
из граней: а) куба

=

=

=

октаэдра; б) икосаэдра и додекаэдра.
28.22. а) Октогексаэдр; б) додекоикосаэдр.
и

48, Р
72, Г
26; б) В
120,
а) В
62. 28.24. а) 12; б) 30. 28.25.
180, Г
Похож на ромбокубооктаэдр, восьмиугольная
28.23.

Р

=

=

=

=

=

=

чаша которого повернута на 45°. 28.26. В
середине прошлого столетия, т. е. более 2000 лет
спустя после открытия полуправильного
многогранника

ромбокубооктаэдра. 28.27.

Поверхность усеченного икосаэдра. 28.28.
Провести в каждом кубе сечение
правильный

шестиугольник, которое проходит, например,
через середины ребер AAV В1С1 и CD кубаA...DX
187

(рис. 0.33). 28.29. 32
Р

60, Г

38; б) В

треугольника. 28.30. 80 треугольников. 28.31.

60, Р

150, Г

а) В

=

24,

92. 28.32. а) Шестиугольной призме;
б) шестиугольной антипризме; в) кубооктаэдру; г) усеченному икосаэдру;
д) курносому кубу.
=

=

=

=

=

§ 29*. Звездчатые многогранники
29.1. Например, снежинки. 29.2. а) Бесконечно много; б) пять; в) четыре.
29.3. Правильные невыпуклые многогранники. 29.4. Правильные звездчатые
многогранники получаются из правильных многогранников продолжением их

граней или ребер. 29.5. Из тетраэдра, гексаэдра и октаэдра. 29.6. а) Малый
звездчатый додекаэдр; б) большой додекаэдр; в) большой звездчатый додекаэдр;
г) большой икосаэдр. 29.7. Три. 29.8. Один. 29.9. Малый звездчатый додекаэдр
получается из правильного додекаэдра продолжением его ребер, что приводит
к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником
пентаграммой. 29.10. Большой додекаэдр получается

из

правильного додекаэдра

граней, причем возникают две возможности, в данном случае
правильные (выпуклые) пятиугольники. 29.11. Большой звездчатый

продолжением его

выбирают

додекаэдр получается из правильного додекаэдра продолжением его граней,
причем возникают две возможности и в данном случае выбирают правильные
звездчатые (невыпуклые) пятиугольники. 29.12. Например, плоскости ADG,

12 (выпуклых
ВЕР, CFQ, 29.13. а) Малый звездчатый додекаэдр имеет В
12 (звездчатых пятиугольных граней);
30, Г
пятигранных углов), Р
12 (звездчатых пятигранных углов), Р
30,
б) большой додекаэдр имеет В
Г
12 (выпуклых пятиугольных граней); в) большой звездчатый додекаэдр
12 (звездчатых пятиугольных
имеет В
20 (трехгранных углов), Р
30, Г
=

=

=

=

=

=

=

=

=

12 (звездчатых пятигранных углов),
граней); г) большой икосаэдр имеет В
Р
20 (треугольных граней). 29.14. Звездчатый октаэдр, или звезда
30, Г
Stella octangula. 29.15. Иоганном Кеплером (1571 1630).
восьмиугольная
=

=

=

29.16. Нет,

ребер или граней ни одного
Правильных тетраэдров. 29.18. Взять
объединение двух правильных тетраэдров ACBlDl и AfifiD, вписанных в куб
A...DV 29.19. Правильный октаэдр. 29.20. Да.
его

нельзя

получить продолжением

правильного многогранника. 29.17.

§

30*. Кристаллы
30.1.

г)
д)

природные многогранники

а) Куба; б), в)

напоминают

отточенный

чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда

с

двух

куба

сторон

и даже

карандаш;

кубооктаэдра;

е) куба или октаэдра, иногда встречается в
кубооктаэдра. 30.2. Граната. 30.3. Ромбоидальный, или ромбический,

наклонного параллелепипеда;

виде

додекаэдр; в кристаллографии называют также гранатоэдр. 30.4.
Ромбододекаэдром называется двенадцатигранник, у которого все грани
равные ромбы.
30.5. Геометрическим строением кристаллов. 30.6. Евграф Степанович Фёдоров

(1852 1919). 30.7. В
из

188

них

6

=

14, Р

четырехгранных

=

24, Г

и

8

=

12. 30.8. Всего 14 многогранных углов,

трехгранных. 30.9. Мысленно проведем

плоскость, перпендикулярную

ребру ромбододекаэдра,

в

сечении

получится

шестиугольник, смежные стороны которого образуют линейный
угол искомого двугранного угла, поскольку внутренний угол правильного
шестиугольника равен 120°, соответствующий двугранный угол тоже равен 120°.

правильный

30.10. Мысленно проведем линию пересечения плоскостей, в которых лежат

какого-нибудь четырехгранного угла ромбододекаэдра,
перпендикулярную линии пересечения. В сечении получится
квадрат, смежные стороны которого образуют линейный угол искомого
двугранного угла, следовательно, этот двугранный угол
прямой. 30.11. Возьмем два
противоположные грани
и плоскость,

разобьем на шесть равных пирамид, основаниями
его центр, затем приложим эти
куба, а вершиной
чтобы
основания
к
пирамид совместились
граням второго куба так,
пирамиды
с его гранями, получим ромбододекаэдр. 30.12. Сначала заполним
пространство равными кубами, затем раскрасим их в шахматном порядке, например,
в белый и черный цвета. К граням каждого белого куба примыкают шесть
черных кубов. Каждый из них разобьем на шесть равных пирамид (см.
решение предыдущей задачи 30.11) и присоединим соответствующие пирамиды к
прилегающим к ним белым кубам. При этом каждый белый куб достроится
до ромбододекаэдра, и они будут заполнять все пространство. 30.13. Кубами.
равных

куба

и один из них

которых являются грани

30.14. Кубооктаэдр. 30.15. Ромбододекаэдр. 30.16. Ромбододекаэдр. 30.17.
Кубооктаэдра. 30.18. Да. 30.19. Да. 30.20. Октаэдр.

§ 31. Сфера

и шар. Взаимное расположение

сферы

и плоскости

31.6. Одну. 31.7. Касаются, пересекаются,

не имеют общих точек; взаимное
сферы и плоскости зависит от длины перпендикуляра, опущенного
сферы на плоскость. 31.8. Имеют более одной общей точки: а)

расположение
из центра

окружность;

б)

круг. 31.10. Бесконечно много. 31.13. Эллипс. 31.15. Находятся на:

равных расстояниях от центра сферы; б) разных расстояниях от центра сферы,
сечение с большей площадью находится ближе к центру сферы. 31.16. Большой
3
площади большого круга. 31.20.
круг. 31.17. 12п дм. 31.18. 9тг см2. 31.19.

а)

-

Соответственно:

a) d

+

R, d

-

R; б) d

+

R, R

-

d. 31.21. Да, если точки не
31.22. Один. 31.23. Бесконечно

принадлежат одному диаметру; нет, в противном случае.

много. 31.24. Да. 31.25. Отрезок, который является диаметром
31.26. Через концы диаметра. 31.27. Нет, точки не должны

данного шара.
принадлежать

одной прямой. Центр сферы принадлежит ГМТ, одинаково удаленных от трех
точек, не принадлежащих одной прямой. Одну. 31.28. а) Бесконечно много;
б) ни одной; в) бесконечно много. 31.29. а) Нет; б) да. 31.30. а) Две, одну, ни
одной; б) бесконечно много точек, принадлежащих окружности; одну, ни одной;
в) бесконечно много точек, принадлежащих окружности; одну, ни одной.
31.31. а) Бесконечно много; б) одну. 31.32. Нужно через их центры провести
перпендикуляры к их плоскостям, если они: а) пересекутся; б) совпадут, то
данные круги являются сечениями одного и того же шара. 31.33. Среди данных
точек найдутся три точки, не принадлежащие одной прямой, нужно провести
189

перпендикуляр к плоскости этих точек через центр окружности, описанной
около треугольника, который ими определяется; центр искомой сферы
точка

перпендикулярной отрезку,
соединяющему одну из выбранных точек с четвертой точкой, и проходящей
через его середину. 31.34. Через данную точку и центр данной окружности
проведем плоскость, перпендикулярную плоскости этой окружности; через
две точки пересечения построенной плоскости с данной окружностью и
пересечения этого перпендикуляра и плоскости,

данную точку проведем окружность; ее центр будет центром сферы. 31.35. Центр
шара находится на пересечении перпендикуляров, один из которых проведен
к плоскости окружности через ее центр, а

другой

данной

к

плоскости через

31.36. Четыре точки, они служат вершинами
31.37. Да. 31.38. При R> г, где г
радиус окружности,

точку, заданную на окружности.
правильного тетраэдра.

проходящей

через данные три точки:

a) R

31.41. 12п см2. 31.42. Можно при условии,

> г;

б) R

=

31.39. Да. 31.40.

г.

-.

что ни одна из них не лежит внутри

другой. 31.43. а) Две; б) бесконечно
б) 16

много. 31.44. Окружностью. 31.45. а) 4 см;
31.46. Проведем через точку меньшей сферы касательную плоскость,
пересечения большей сферы и проведенной плоскости находятся на

см.

точки

расстоянии
и

л/Д2

г2

-

от точки касания, где

меньшей сфер. Обратно,

точки касания равно

Заметим,

\Ir2

-

что все плоскости,

большую сферу

31.47. а) Шар

R

и г радиусы соответственно

если расстояние от точки

г2,

данной

исключая

в)

большей сфере.
меньшей сферы, пересекают

точки

сферы, построенной

концы данного отрезка.

центром в центре

данной сферы,

V-R2

-

г2,

т.

е.

они равны.

точке, радиус которого равен 28 см;

пространства, лежащие вне шара с центром в

равен 28 см;

большей

плоскости до

то взятая точка принадлежит

которые касаются

по равным окружностям радиуса

с центром в

проведенной

данной

б)

точки

точке, радиус которого

на данном отрезке, как на диаметре,

г2 (R > г) с
\Ir2
данной. 31.49. Сфера,

31.48. Сфера радиуса

т. е. концентрическая

концентрическая данной, радиус которой равен

\Ir2

+

-

Z2. 31.50. Сфера,

кон-

D
центрическая

раллельные

данной, радиус которой равен R

данной

+

31.51.

Две

и отстоящие от нее на расстояние, равное

плоскости, па¬

R. 31.52. Прямая,
данную точку М.

перпендикулярная данной плоскости и проходящая через
31.53. Прямая, перпендикулярная плоскости данной фигуры

и

проходящая

через: а) точку пересечения диагоналей квадрата; б) точку пересечения
диагоналей прямоугольника; в) центр окружности, описанной около равнобедренной
трапеции; г) середину гипотенузы прямоугольного треугольника. 31.54. Сфера,
концентрическая данной, радиус которой равен расстоянию от центра данной
сферы до равных хорд. 31.55. Сфера, концентрическая данной, радиус которой
равен расстоянию от центра данной сферы до плоскостей равных сечений.
§ 32. Многогранники, вписанные в сферу
32.4. Если можно описать окружность около основания данной
Например, прямая призма, в основании которой лежит

призмы. 32.5. Нет. 32.6.

190

параллелограмм. 32.7. Тупоугольный
треугольник. 32.8. В основании призмы лежит:

а) остроугольный; б) тупоугольный
треугольник. 32.9. В основании призмы лежит
прямоугольный треугольник. 32.10. Нет, так
как около

ромба

нельзя описать окружность.

32.11. Призма должна быть прямой, трапеция
в ее основании должна быть
равнобедренной. 32.12. а) Да; б) нет; в) не всегда; г) нет.
32.13. 1,5 дм. 32.14. Середина отрезка,
точки пересечения диагоналей
оснований прямоугольного параллелепипеда,

соединяющего

ис'

одинаково удалена от всех его 8 вершин,
следовательно, является центром описанной

сферы. 32.15. Да. 32.16.
32.19. Центр

32.21. В
можно

^

32.17. а) 7

описанной

сферы,

л/а2
см;

б)

окружность.

параллелограмм.

Ь2
г

данной

около

+

+

с2
.

32.18. 8

см.

а

пирамиды.

ее основании должен лежать многоугольник,

описать

лежит

Я

32.20.

Нет.

около которого

32.22. Например, пирамида, в основании которой
32.23. На перпендикуляре, проведенном к плоскоЬ

сти

основания

через

его

центр.

32.24.

см*

2sin(p

РисУнок

0.34,

на

котором

изображен случай четырехугольной правильной пирамиды, где SH
высота, О
радиусы описанной сферы,
центр описанной сферы, ОА и OS
ZSOE
ОЕ 1 AS, АЕ
ES, заметим, что ZSAH
ср, тогда из прямоуголь=

=

=

Ъ
ного

треугольника

32.25.

см.

SOE следует,

рисунок

что

радиус

0.34. 32.26. 2ifr3in(p,

искомой сферы равен

см.

рисунок

0.34. 32.27.
Ci

Cili

центром описанного шара является основание высоты, т. е. центр квадрата,

который

лежит в основании пирамиды.

32.28. Да; то,

что ортогональная

проекция вершины пирамиды расположена вне ее основания, не имеет значения,
важно, что в основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция
многоугольник, около которого можно описать окружность. 32.29. Центр описанной
середина высоты, соединяющей центры оснований данной усеченной
сферы

пирамиды, эта точка

будет

одинаково удалена от всех вершин как нижнего,

так и верхнего оснований. 32.30.

Потому что около основания
соответствующей полной пирамиды можно описать окружность. 32.31. Если в усеченной
пирамиде равны боковые ребра, то около ее оснований можно описать сферу.
32.32. «Если около пирамиды можно описать сферу, то сферу можно описать и
около усеченной пирамиды, полученной из нее»; неверное утверждение. «Если
около усеченной пирамиды можно описать сферу, то ее боковые ребра равны»;
верное утверждение. 32.33.

Да. 32.34. В

точке пересечения перпендикуляров,

191

V2
проведенных к двум смежным граням через их центры. 32.35.

V2i?;

октаэдра равно
равна

4л/зR2.

33.5. Если

y/SR2
площадь

одной грани равна

описанные около

высота призмы

-

; площадь поверхности

сферы

лежать многоугольник,

в

больше радиуса окружности,

в два раза

33.6. Во-первых,

в ее основание.

который

в основании

33.7. Например,

вписанной

в основании призмы лежит

призмы должен

центр вписанного шара

будет

в основание

окружности.

параллелограмм. 33.8.

33.10. Нет, так как в прямоугольник нельзя вписать
Например, наклонный параллелепипед, у которого все

диагоналей. 33.12. Можно,

прямой

можно вписать окружность, и, во-вторых,

высота призмы должна равняться диаметру

(ромбоэдр),

32.3. Ребро

32.37. Да. 32.38. Нет.

§ 33. Многогранники,

вписанной

.

Да. 33.9.
33.11.

окружность.

ромбы

равные

грани

находиться в точке пересечения его

вписанной

если высота призмы равна диаметру

окружности. 33.13. В основание призмы можно вписать окружность,
призмы равна диаметру вписанной в ее основание окружности. 33.14.

ромб
высота

-.

Радиусом вписанной сферы является радиус окружности, вписанной

в

моугольный треугольник, который

(S

данный пря-

2S

вычисляется по

формуле

в

и

площадь,

поскольку стороны треугольника равны с, с sin ср,
csincpcoscp
33.15. Радиусом впис cos ф, получим, что искомыи радиус равен
1 + sin ф + COS ф
санной сферы является радиус окружности, вписанной в данный ромб, который

Р

периметр

треугольника),

-.

^

равен половине его высоты, т. е. 2 см. 3.16.

2л/зR.

180°
33.17. 90°

; см. рис. 0.35:
п

ZMAH

=

ZOAH,

так как прямоугольные треугольники АМН и АОН

равны

по двум

180°
катетам

(ААЛ1

=

2МН

=

2ОН),

откуда ZMAH
вании

ZOAH

=

90°

.

33.18. В

осно-

п

пирамиды

должен лежать

л-угольник,

в

33.19. Да.
33.20. Например, четырехугольная пирамида, в

который

В

=

можно вписать окружность.

основании

которой

параллелограмм.

лежит прямоугольник или

33.21. В

основание

такой пирамиды

можно вписать окружность, значит, в пирамиду
h
можно вписать

сферу. 33.22.

; см. рис. 0.36: SH
о

В

высота пирамиды, О
центр вписанной сферы,
из прямоугольного треугольник SOP следует, что
OP
SO sin ZOSP; ZOSP
90°
60°
30° из
=

л

eer

Рис. 0.35
192

=

=

-

прямоугольного

треугольника SHM, SO

тогда OP

33.23.

=

3

\a
2

sin a

tg^.
2

=

h

OP,

33.24. 60°

рис. 130). 33.25. Из общего центра О опущен
перпендикуляр ОН на плоскость грани CSD,
при этом точка Н
центр окружности,
описанной около CSD; поскольку грани CSD и ABCD

(см.

равноудалены от точки О

окружностей,
равны между собой,

(ОН

описанных
т. е.

=

ОЕ),

то радиусы

CSD и ABCD,
HD
£С
ED,

около

НС

=

=

=

следовательно, треугольники Ci/JD и C1£Z> равны,
таким

ZCSD

образом, ZCED

=

ZCHD

=

90°, откуда

45°. 33.26. Радиус данной сферы равен
радиусу окружности, вписанной в
диагональное

=

сечение

треугольник со

искомый

т.

е.

стороной

а,

пирамиды,

yfsа
радиус равен

.

равносторонний
таким образом,

33.27. Нет. 33.28. Можно при условии,

что высота

6
пирамиды в 4 раза

больше апофемы правильного многоугольника

сторону).
проходящей через середину
стороны основания перпендикулярно ей, является равнобедренная трапеция,
в которую можно вписать окружность, т. е. сумма оснований которой вдвое
больше боковой стороны. 33.30. Центр вписанной в данную пирамиду сферы
находится на пересечении трех биссектральных плоскостей углов, образованных
(перпендикуляр, опущенный

33.29. Если

сечением

из

центра правильного

данной пирамиды

многоугольника на его

плоскостью,

боковыми

гранями пирамиды с основанием. 33.31.

33.34. Да;

этот результат можно

многогранников. 33.35.

а) Квадрат,

в

больших сторон которого в

Да. 33.32. Да. 33.33.

V6
.

обобщить для всех правильных
который вписана окружность; б) прямоугольник,
их серединах касается окружность. 33.36. а), б),

в), г), д) Нет. 33.37. Да.
§

34. Цилиндр. Конус
34.3. Бесконечно много. 34.4.

Перпендикуляр, проведенный

из

любой

В частности, это может
соединяющий центры его оснований.

точки одного основания на плоскость другого основания.

быть образующая цилиндра или отрезок,
34.5. Прямоугольник, в частном случае квадрат (такой цилиндр называют

равносторонним). 34.6. а), в) Прямоугольник; б)
34.8. Эллипс (часть эллипса)

или прямоугольник.

круг;

г)

эллипс.

34.9. В случае,

34.7. Нет.
если высо-

V2
та цилиндра меньше диаметра основания.

34.10.

а

1,5

см;

б)

см;
£

в)

Jq
-.
с*

7Т Я

34.11.

.

34.12. 5

м.

34.13. 36 см2. 34.14. 8

см.

34.15. 60 см2. 34.16. Из двух

34.17. Боковой поверхностью цилиндра. 34.18. Имеем
прямой цилиндр. 34.19. 30°. 34.20. Эти хорды являются скрещивающимися
кругов и прямоугольника.

7

Смирнова, 10-11

кл.

193

кратчайшим расстоянием между ними будет их общий
перпендикуляр, равный высоте цилиндра. 34.21. Часть эллипса. 34.22. 4
прямыми,

34.23. Бесконечно

много.

34.24. а) Одна плоскость, параллельная

б) бесконечно

цилиндра и проходящая через середину его оси;

см.

основаниям

много

34.25. а), б) Осевое сечение.
34.26. Два пересекающихся круга. 34.27. «Основаниями» прямоугольников
(сечений) являются равные перпендикулярные хорды оснований, опирающиеся
на его диаметр, S
аЪу где а
длина хорды, Ъ
образующей, площадь

плоскостей, являющихся

осевыми сечениями цилиндра.

=

2Rb9

осевого сечения равна

R

радиус основания цилиндра, легко видеть, что

где R

V2CL

I

=
г

образом,

таким

,

цилиндра. 34.29.
Плоскость, в которой

площадь осевого сечения равна v2S. 34.28. Ось

Провести

прямую через центры оснований. 34.30.

лежит осевое

сечение

цилиндра,

образующих. 34.33. Бесконечно

плоскости данных

л/й2

перпендикулярное

много.

34.34. Нет. 34.35. Да.

г2. 34.38. 2571 м2. 34.40. Равнобедренным
(такой конус
равносторонним). 34.41. а), б) Да. 34.42. Кругом. 34.43. а) 1 см2; б) г2.

34.36. а) Нет; б) да. 34.37.

+

треугольником, в частном случае равносторонним треугольником

называется

34.44. а)

л/3 дм2; б) >/Зг2.

V2
а)

h; б)

7з

1

о

£

h; в)

h,

34.45. Соответственно

^

34.46. На расстоянии:

и

считая от вершины конуса.

34.47. Из условия следует,

осевое сечение данного
конуса
равнобедренный треугольник, у которого
боковая сторона больше основания, значит, угол при основании этого
треугольника больше угла при вершине, противолежащей ему, следовательно, угол при
основании больше 60° (у равностороннего треугольника все углы равны по 60°).

что

34.48. Да,

это сечение конуса плоскостью, которая проходит через две

образующие конуса, но не проходит через его ось.

сечение,

сечение, у которого угол при вершине

б) 36 дм2; в)

сечение.

34.50. Осевое

I2
.

34.55. Из круга

34.61. Да;

в

34.53. R

и сектора.

данном

<

I <

2R. 34.54. а) 90°; б) дополнительный до 180°.

34.57. 30°. 34.58. 1

34.56.

конусе

осевым

треугольник, если обозначить через I
равен

34.49. Осевое

острый или прямой; в противном случае
конуса прямой. 34.51. 90°. 34.52. а) 4 см2;

если его угол при вершине конуса

у/21,

берем

в

основании

сечением

хорду,

34.59. Одну. 34.60. Да.

является

образующую

конуса

м.

прямоугольный
будет

конуса, то его диаметр

равную

I,

тогда сечение,

проходящие через ее концы, будут
значит,
треугольником,
угол между этими образующими
равносторонним
равен 60°. 34.62. Ось конуса. 34.63. Нужно провести прямую через
проходящее через нее, и

образующие,

вершину конуса и центр его основания. 34.64. Нет. 34.65.

а) Нельзя; б)

будет

можно.

34.68. Тремя, например, образующей и радиусами оснований или образующей,
высотой и радиусом одного из оснований и т. п. 34.69. Из двух кругов и части
кругового кольца. 34.70. 5 см. 34.71. 4 см. 34.72. 2А. 34.73.

трапецией. 34.74. 120 см2. 34.75. a) R
34.78. 9 см2. 34.79. 9 см2
194

и

б) R2

Равнобедренной

г2. 34.76. 128 см2. 34.77. 30 см2.
R
16 см2. 34.80. См. рисунок 0.37: АВ
/, ОА
-

г;

-

=

=

и

0ХВ

г, поскольку треугольники ASO и
R
AS
RI

=

=

имеем

,

откуда AS

=
.

БО^ подобны,

34.81. Поскольку

R-r
г
AS
I
плоскость сечения пересекает две параллельные плоскости
оснований усеченного конуса, в сечении две стороны
-

параллельны, а две другие его стороны
образующие
конуса, они равны, значит, имеем равнобедренную трапецию.

34.82. 45°. 34.83.

Да, так как осевое сечение усеченного
равнобедренной трапецией (у которой сумма
противоположных углов равна 180°). 34.84. ср < \|/ < 90°.
конуса является

34.85. С увеличением высоты конуса угол наклона
образующей увеличивается; с уменьшением
уменьшается.
34.86. Окружность, плоскость которой параллельна плоскостям оснований
усеченного конуса, центр

находится в середине отрезка, соединяющего
г
R
, где Б и г
центры его оснований, а радиус равен
радиусы соответствен-

но большего

провести
через
ОЛ

ЛЛ

Ч

и меньшего

2
оснований конуса. 34.87. Через данную точку нужно

осевое сечение усеченного конуса, диагональ которого,

нее,

34.90. а)

которой

будет

^а

яч

; б)

34.88. 12

см

получается

из

искомым отрезком.

4l0a

ч

18

и

проходящая

34.89. 1140 см2.

м.

Vl3а

- ; в)

-

.

§ 35. Поворот. Фигуры вращения
35.1. Точка А! на плоскости
поворотом вокруг центра

О

ос

на угол

35.2. В пространстве задана прямая
прямой. Через точку А проведем

ср,
а

если
и

ОА'

точка

плоскость ос,

=

А,

точки

ОА
не

и

А этой

угол

плоскости

А'ОА равен ср.

принадлежащая

перпендикулярную

этой

прямой

а,

А' пространства
получается из точки А поворотом вокруг прямой а на угол ср, если в
плоскости ос точка А' получается из точки А поворотом вокруг центра О на угол ср.
35.3. Преобразование пространства, при котором точки прямой а остаются на
и точку пересечения а и а обозначим О.

месте,

Говорят,

что точка

а все остальные точки поворачиваются вокруг этой

и том же

направлении)

на угол

35.5. Прямая, вокруг которой осуществляется поворот,

фигура Ф

прямой (в

одном

ср, называется поворотом. 35.4. Вращением.
или вращение.

35.6.

вращением фигуры F вокруг оси а,
если точки фигуры Ф получаются всевозможными поворотами точек фигуры F
вокруг оси а. Фигура Ф при этом называется фигурой вращения. 35.8. При

Говорят,

что

в пространстве получена

вращении точки А вокруг

прямой а получается окружность с центром в точке О,
являющейся пересечением прямой а с плоскостью, проходящей через точку А
и перпендикулярной прямой а. 35.9. Круг. 35.10. а) Полуокружности вокруг
прямой, на которой лежит диаметр; б) полукруга вокруг прямой, на которой
лежит диаметр; в) прямоугольника вокруг прямой, на которой лежит сторона;
г) прямоугольного треугольника вокруг прямой, на которой лежит катет;
д) прямоугольной трапеции вокруг прямой, на которой лежит меньшая боковая
сторона. 35.11. Цилиндр. 35.12. См. рисунок 0.38: а) цилиндр
7*

с вырезанным

195

внутри цилиндром; б) цилиндр с вырезанным внутри конусом; в) усеченный
конус с вырезанным внутри конусом; г) цилиндр с вырезанными внутри
двумя конусами, имеющими общую вершину; д) цилиндр с вырезанными внутри

е) цилиндр, на основания которого поставлены конусы;
конус с вырезанным внутри конусом.

двумя конусами;

ж) усеченный

35.13. Конус. 35.14. Конус. 35.15. Шар. 35.16. Объединение двух
пересекающихся шаров. 35.17. Объединение двух касающихся шаров. 35.18. Объединение
двух равных конусов с общим основанием (биконус). 35.19. Объединение двух
конусов с общим основанием (биконус). 35.20. Фигурой вращения является
конус, из которого удален второй конус с тем же основанием. 35.21. Усеченный

конус, из которого удален цилиндр, радиус основания которого равен 5 см.
35.22. При вращении: а) эллипса вокруг его оси получается поверхность,

б) параболы вокруг ее оси получается
параболоидом вращения; в) гиперболы вокруг ее оси
получается поверхность, называемая гиперболоидом вращения. 35.23. Если
круг вращать вокруг прямой, лежащей в его плоскости и не имеющей с ним
называемая эллипсоидом вращения;

поверхность, называемая

фигура вращения называется тором и по форме
бублик. 35.24. Полоса, лежащая в плоскости, параллельной

общих точек, то полученная

напоминает

данной

баранку

или

плоскости.

35.25. Если прямая: а) параллельна оси,

фигура,

называемая

то при вращении

цилиндрической поверхностью; б)

пересекает
ось, то при вращении получается фигура, называемая конической
поверхностью; в) скрещивается с осью, то при вращении получается гиперболоид
получается

вращения.

35.26. Цилиндрическая поверхность радиуса d, осью которой является
35.27. Цилиндрическая поверхность радиуса R, осью которой явля¬

данная прямая.

196

ется данная прямая.

35.28. Часть пространства, ограниченная цилиндрической
осью которой является данная прямая. 35.29.
осью которой является данная прямая. 35.30. Коническая

поверхностью радиуса а,
Коническая поверхность,

поверхность,

осью

которой

является перпендикуляр к плоскости а,

проходящий

через точку М. 35.31. Боковая поверхность конуса, вершина которого находится
точке N, а основание
на плоскости р. 35.32. Цилиндр, внутри которого
вырезан цилиндр. 35.33. а), б), в) Цилиндр. 35.34. а), б), в) Конус. 35.35. Два
равных конуса с общим основанием (биконус). 35.36. Гиперболоид вращения.
в

35.37.
35.38.
вращения.

Фигура вращения состоит из двух конусов и гиперболоида вращения.
Гиперболоид вращения. 35.39. Из двух конусов и гиперболоида

35.40. Из трех гиперболоидов вращения. 35.41. Из двух конусов

и трех

гиперболоидов вращения. 35.42. Из двух усеченных конусов и гиперболоида
вращения. 35.43. Цилиндрическая поверхность радиуса d, осью которой
является данная прямая.

которой

является ось

§ 36. Вписанные

35.44. Цилиндрическая поверхность радиуса г,

и описанные цилиндры

36.3. Не во всякий; осевое сечение цилиндра
36.4. Если образующая цилиндра равна диаметру
можно вписать

осью

данной цилиндрической поверхности.

сферу. 36.6. а) 5

см;

б) 9

см;

в)

-.

36.10.

y/SR
.

быть квадратом.

его основания,

то в

него

36.7. Да. 36.8. В середине

резка, соединяющего центры оснований цилиндра.

и радиусу основания.

должно

36.11. Бесконечно

36.9. Например,
много.

от-

по высоте

36.12. Касательной

dk
плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через

образующую
прямой

цилиндра и не имеющая с ним других общих точек. 36.13. Касательной
к цилиндру называется прямая, лежащая в

пересекающая

образующую,

по

которой

касательной

плоскости к нему и

касательная плоскость касается

36.14. Они параллельны. 36.15. Является касательной к окружности
36.16. Перпендикулярна данному осевому сечению. 36.17. а) Через
любую точку пространства, лежащую с внешней стороны по отношению к

цилиндра.

основания.

поверхности; б) в общем случае нет, можно провести через
прямую, лежащую с внешней стороны цилиндрической поверхности и
параллельную ее оси, а также через прямую, касающуюся цилиндрической

цилиндрической

поверхности. 36.18. Касательная плоскость к цилиндрической поверхности,
проходящая через ее образующую, которой принадлежит данная точка. 36.21. Нет,
только в прямую призму, в основания которой можно вписать окружность.

36.22. Например, прямая призма, в основаниях которой
параллелограммы. 36.23. Можно при условии, что два измерения
параллелепипеда равны,

только около
основания

т.

е.

имеются две

прямой треугольной

этой призмы

можно

прямоугольного

квадратные грани.

призмы. 36.25.

вписать окружности.

36.29. Правильная призма. 36.30. Нет, в
окружности. 36.31. Четырехугольная призма,

лежат

36.24. Можно

Да. 36.26. Можно,

в

36.27. Верно. 36.28.

л/2R.

ее основания нельзя вписать

в основаниях

которой

лежат прямо¬

197

лежат

Да. 36.33. Такая

призма является прямой и в ее основаниях
правильная. 36.34. 180° и
правильные многоугольники, значит, она

угольники. 36.32.

180°. 36.35. Нет. 36.36.

ч/ЗЛ
.

36.37. Ось цилиндра

лежит в

боковой грани при¬

змы, проходящей через гипотенузу основания. Боковые грани призмы,
проходящие через катеты основания, перпендикулярны. 36.38. Нельзя. 36.39.
Наибольший диаметр равен высоте трапеции. 36.40. Нет, так как в окружность
с

4

диаметром

36.41. Грани

м

можно

вписать

двугранного угла без

ребра,

стороной

со

квадрат

за исключением

2л/2

данной

м

(2V2

<

3).

точки, которая

Две пересекающиеся плоскости, линией пересечения
которых является данная прямая. 36.43. Плоскость, перпендикулярная
плоскости данных прямых и равноудаленная от них. 36.44. Две цилиндрические
поверхности с радиусами R и 3R.
принадлежит ему. 36.42.

§ 37*. Сечения цилиндра плоскостью. Эллипс
37.1. Сечение цилиндра плоскостью можно рассматривать как
параллельную проекцию основания цилиндра на плоскость сечения. 37.2. а)

Если
б) если плоскость
плоскостью основания острый угол. 37.5. Для того чтобы
потребуются нить и кнопки. Прикрепим кнопками концы

плоскость сечения параллельна плоскости основания цилиндра;
сечения

образует

с

нарисовать эллипс,
нити к

фокусам. Карандашом

натянем нить так,

чтобы

его острие касалось

бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась
натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге эллипс. 37.6. а)
Отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через его фокусы; б)
отрезок, соединяющий две точки эллипса, проходящий через середину большой оси
и перпендикулярный ей. 37.7. а) Половина большой оси эллипса; б) половина
малой

оси

эллипса.

плоскостям

2
и

1; б)

37.8. Окружность,

оснований цилиндра,

и

если плоскость сечения

эллипс

/я
3

37.12. а) у

=

параллельна

противном случае. 37.9.

a) V2

2\1з
и

г

в

1; в) 2

sin х; б) у

и

=

1. 37.10. а)

^

тг>/2; б)

sin х; в) у

=

yjs

п~

;

в) 2я. 37.11. Синусоиду.

о

sin х; г) у

=

tg ср

sin

х.

37.13. Под

х

углом:

а)

меньшим

45°; б) большим 45°. 37.14. у

=

R sin

.

it

§ 38. Вписанные и описанные конусы
38.3. Во

высоты конуса и

всякий; центр вписанной сферы

биссектрисы

угла наклона

38.6. Искомый радиус равен R

tg ф,

находится на пересечении

образующей

где ф

к

плоскости основания.

половина угла наклона

образую-

h

щей

конуса к плоскости основания, причем tg

2ф

описанной сферы находится на высоте конуса или
Бесконечно много. 38.10. 90°, 45°, 45°: а) вне конуса

б)

=
.

38.7. Да. 38.8. Центр

на ее продолжении.

38.9.

на продолжении его высоты;

внутри конуса. 38.11. R2. 38.12. Касательной плоскостью к конусу называ¬

198

ется плоскость,

проходящая через

образующую
прямой

других общих точек. 38.13. Касательной
лежащая в

которой

касательной

конуса и не имеющая с ним
к конусу называется прямая,

плоскости к конусу и пересекающая

касательная плоскость касается конуса.

образующую,

38.14. Касательная

38.15. Перпендикулярна плоскости данного
38.16. Этот угол равен углу наклона к плоскости основания

окружности основания конуса.
сечения.

соответствующей образующей;

все

касательные

плоскости

одинаково наклонены к плоскости его основания.

38.18. Надо провести касательную

данной образующей (лежащий
данную

образующую

одного и

по

к
осевого

того же конуса

38.17. а) Нельзя; б)

можно.

к окружности основания конуса через конец

в основании

конуса) и через эту касательную
будет искомой. 38.19.

и

провести плоскость, которая и

Проходит через вершину данного конуса. 38.20. Может касаться поверхности;
проходить через вершину конуса; проходить через точку окружности основания.
38.21. Касательная плоскость, проходящая через данную точку конической
поверхности. 38.23. Не в
нужно

чтобы

окружность.

любую; чтобы

в пирамиду можно

в ее основании лежал многоугольник, в

38.24. а) Любая треугольная

пирамида, в основании

которой

или

было

который

правильная

лежит прямоугольник.

вписать конус,
можно вписать

пирамида;

б)

38.25. Нет. 38.26. Нет.

38.27. Ось конуса лежит в боковой грани пирамиды, проходящей через
гипотенузу основания; не верно. 38.28. Основание высоты конуса является центром
окружности, вписанной в основание пирамиды, значит, оно одинаково
удалено от сторон его основания, откуда следует искомое утверждение. 38.29.
В основании пирамиды лежит: а) тупоугольный; б) остроугольный

Да.

38.30.

Да, если ее боковые ребра равны. 38.32. 120°, 80°, 60° и 100°.
38.33. 60°. 38.34. Правильная. 38.35. В основании правильной пирамиды лежит
треугольник. 38.31.

многоугольник, у которого центры описанной и вписанной
окружностей совпадают. 38.36. В правильной треугольной пирамиде. 38.37.
Например: а) в основание пирамиды можно вписать окружность, т. е. суммы его

правильный

противоположных сторон равны;

б)

около основания

можно описать

180°, и боковые ребра
пирамиды равны. 38.38. а) Уменьшаются; б) сохраняются; в) уменьшается;
г), д) увеличиваются. 38.39. Сфера называется вписанной в усеченный конус,
окружность, т. е. суммы его противоположных углов равны по

если она касается оснований усеченного конуса и пересекается с его боковой
поверхностью по окружности. Усеченный конус при этом называется
описанным около сферы. 38.40. В осевое сечение такого конуса можно вписать
окружность, т. е. осевым сечением является
равнобедренная трапеция, сумма оснований которой

равна сумме ее боковых сторон
боковой

(удвоенной

длине

стороны),

другими словами, у конуса
сумма радиусов оснований должна равняться

образующей. 38.41. 90°; см. рисунок 0.39, на
котором изображено осевое сечение усеченного конуса
с

вписанной

сферы, Z.COD

описанной

в него окружностью,

О

искомый. 38.42. Сфера

центр
называется

около усеченного конуса, если окруж¬

199

ности его

данной сфере. Усеченный конус при этом
38.43.
сферу.
Да. 38.44. В середине его высоты. 38.45.
что в основании пирамиды лежит многоугольник, в который

оснований

лежат на

называется вписанным в

Только при условии,

можно вписать окружность.

38.46. Только при условии, что около основания
38.47. Если в основаниях усеченной

пирамиды можно описать окружность.

пирамиды лежат трапеции, у которых сумма оснований равна сумме боковых сторон.
а) Да; б) нет, угол наклона боковой грани правильной усеченной

38.48.

треугольной

пирамиды наибольший. 38.49.

описать окружности, т.

равняться 180°,

е.

Да. 38.50. а) Около

ее

сумма противоположных углов

оснований

можно

оснований должна

и высота пирамиды должна равняться высоте конуса;

б)

в ее

окружности, т. е. суммы их противоположных сторон
равны, и высота пирамиды должна равняться высоте конуса.
основания можно вписать

§ 39*. Конические сечения
39.1. Для данного конуса коническая поверхность образуется прямыми,
проходящими через вершину конуса и точки окружности его основания. 39.2.
Коническую поверхность можно получить вращением прямой вокруг оси,
пересекающей эту прямую под острым углом. 39.3. Коническая поверхность с

вершиной

в точке

М. 39.4. Сечение конуса

плоскостью можно рассматривать

как центральную проекцию основания конуса на плоскость сечения.

случае,

если

плоскость сечения

перпендикулярна оси

39.5. В

конической поверхности

и не проходит через ее вершину. 39.6. Эллипс, парабола или гипербола.
39.11. а) Гипербола; б) парабола. 39.12. Окружность, эллипс, парабола,
гипербола, две пересекающиеся прямые. 39.13. Менехм (IV в. до н. э.), Евклид
(IV в. до н. э.), Архимед (III в. до н. э.), Аполлоний Пергский (III II вв. до н. э.).
39.14. Аполлоний Пергский. 39.15. Недостаток, приложение и избыток.

39.16. В зависимости от наклона колбы поверхность воды ограничена
эллипсом,

параболой

или

гиперболой. 39.17. В

освещенный участок ограничен

§

эллипсом,

зависимости от наклона

параболой

или

фонарика

гиперболой.

40. Симметрия пространственных фигур

Герману Вейлю (1885 1955). 40.4. Фигура Ф в пространстве
центрально-симметричной относительно точки О, если каждая точка А

40.1.
называется

фигуры Ф симметрична

относительно точки О некоторой точке А' фигуры Ф.
40.5. Соответственно куб, тетраэдр. 40.6. Может, например, прямая или
плоскость; однако ограниченные фигуры не могут иметь более одного центра
симметрии. 40.7. Да, это соответственно центр симметрии; прямые, проходящие
через

центр

симметрии;

плоскости,

проходящие

через

центр

симметрии.

40.8. Центральная симметрия. 40.9. Тождественное преобразование, которое
все точки пространства оставляет на месте. 40.10. а) В себя или прямую,
параллельную данной; б) в себя или плоскость, параллельную данной. 40.11. а) Да;
в середине отрезка; б) не имеет; в) центр
б) нет. 40.12. а) Центр симметрии
любая точка прямой; г) не имеет; д) центр симметрии
любая
симметрии
200

точка плоскости;

е)

точки данных плоскостей;

з)

точка пересечения

центр симметрии

прямой

и

40.13. а) Да; б) да, если п
2k; в) да; г) нет; д) нет; е) да. 40.14. а),
г) нет. 40.15. Нет. 40.16. Да. 40.19. Куб, правильная пирамида, в
=

которой

основании

конус.

точка линии пересечения

середина любого отрезка, соединяющего

плоскости.

в) Да; б),

любая

центр симметрии

плоскостей; ж) центр симметрии

лежит многоугольник с четным числом сторон,

40.20. а) Любая прямая, перпендикулярная отрезку

цилиндр,

и проходящая через

его середину, а также прямая, содержащая данный отрезок; б) прямая,
содержащая данный луч; в) любая прямая, пересекающая и перпендикулярная

данной прямой, и сама данная прямая; г) любая прямая, лежащая в данной
плоскости, а также любая прямая, перпендикулярная данной плоскости; д) не
имеет; е) прямые, содержащие высоты треугольника; ж) прямые, содержащие
диагонали квадрата, и прямые, проходящие через середины противоположных
сторон, а также прямая, перпендикулярная плоскости квадрата и проходящая

через его центр; з) прямые, содержащие диаметры данной окружности, а
также прямая, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее
центр; и) прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных данными
прямыми, а также прямая, перпендикулярная плоскости данных прямых и
проходящая через точку их пересечения. 40.21. Да, осью симметрии будет
прямая, перпендикулярная плоскости данной фигуры и проходящая через
центр ее симметрии. 40.22. б), г) Да; а), в), д), е), ж), з) нет. 40.23. Бесконечно

много,

так

как осью

лежит его диаметр.
пересечения

симметрии

40.24. Три

шара является

любая прямая,

на

которой

оси симметрии, проходящие через точки

диагоналей противоположных граней. 40.25. Фигуры вращения

являются симметричными относительно оси вращения по определению,

любом повороте,
40.26. Да, это прямая,
при

в

частности

содержащая

так как

180°, они совмещаются сами с собой.
ось: а) цилиндра; б) конуса; в) усеченного

на

Зеркальной симметрией. 40.30. В правильном тетраэдре плоскость,
через его ребро и середину противоположного ребра. 40.31. Прямые,

конуса. 40.28.

проходящая

лежащие в данной плоскости, а также прямые, ей перпендикулярные.
40.32. Да, это сама плоскость симметрии. 40.33. а), б) Пересекаются, совпадают
или параллельны.

40.34. Например, у отрезка

плоскостью симметрии является

плоскость, перпендикулярная к нему и проведенная через его середину; у
плоскостью симметрии является, например, диагональная плоскость.

куба

40.35. Три

плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер.
40.36. Да. 40.37. Да. 40.38. Всего 9 плоскостей симметрии; изменится, их
будет 5. 40.39. Номер 2. 40.40. Да. 40.41. Фигуры вращения можно представить

себе составленными из окружностей; поскольку каждая такая окружность
симметрична относительно плоскости, проходящей через ось вращения, то и

фигура будет симметрична

40.43. При центральной

относительно

симметрии отрезок

параллельный ему отрезок (прямая,

симметрии);

на

которой

одна совпадает с

это прямые,

прямой,

отображается

на

лежит отрезок,

на

вся

а) 9; б) 15.
равный и

плоскости. 40.42.

но у правильных тетраэдров нет параллельных

Бесконечно много:
другие

данной

которой

не пересекает ось

ребер. 40.44. а)

лежит ось цилиндра,

проходящие через середину оси и

а

перпендикулярные

201

ей; б) бесконечно
перпендикулярная его

она совпадает с

много

это плоскости осевых
п-то порядка
но

прямой

а

это плоскости осевых

сечений

и плоскость,

образующим и проходящая через их середины. 40.45. а) Одна,
прямой, на которой лежит ось конуса; б) бесконечно много
сечений. 40.46. Прямая

а называется осью симметрии

относительфигуры Ф, если при повороте фигуры Ф на угол
п
Ф
сама
с
собой.
40.47.
Высота
совмещается
фигура
правильной

я-угольной пирамиды

является осью симметрии

соответственно треугольная, четырехугольная,

40.48. 4-го порядка. 40.49.

...,

а) 4; б) 48. 40.50.

п-то порядка,

значит,

тг-угольная правильные пирамиды.
Пусть многогранник имеет 12 осей

симметрии 2-го порядка, 1г осей симметрии 3-го порядка, Z4 осей симметрии 4-го
порядка, ..., 1п осей симметрии п-го порядка, тогда общее число всех

самосовмещений

данного многогранника

равно 1 +

будет

40.51. В правильном многограннике любой
вместиться

с

каждым

своим

плоским

его

углом,

12

+

213

+

3/4

плоский угол

в

том числе

+

...

4-

(п

-

1 )1п.

может самосо-

и с

самим

собой,

двумя способами;

следовательно, искомое число равно удвоенному числу
плоских углов многогранника, т. е. учетверенному числу его ребер. 40.52. а)
Имеет центр симметрии
точка пересечения диагоналей; одна ось симметрии 4-го
порядка, проходящая через центры оснований; две оси симметрии 2-го
порядка, проходящие через точки пересечения диагоналей противоположных
боковых граней призмы; две оси симметрии 2-го порядка, проходящие через

середины противоположных боковых

ребер; три плоскости симметрии, которые
проходят через середины ребер, лежащих в параллельных плоскостях; две
плоскости симметрии
диагональные плоскости; б) имеет центр симметрии

точка пересечения

через

диагоналей; три оси симметрии 2-го порядка, проходящие
диагоналей противоположных граней

точки пересечения

параллелепипеда; три

плоскости симметрии, которые проходят через середины

ребер. 40.53. а), б) 7. 40.54. а), б) 2п. 40.55. Данная

призма имеет центр
оси
точки
соединяющая
симметрии;
симметрии
прямая,
пересечения
диагоналей оснований, а также прямые, проходящие через середины
противоположных боковых ребер; плоскости симметрии
диагональные сечения и
параллельных

плоскость, параллельная основаниям и делящая боковые

ребра

пополам.

40.56. а) Три оси симметрии: одна проходит через точки пересечения
диагоналей оснований, две другие
через середины противоположных боковых ребер;
три плоскости симметрии, каждая из которых проходит через две из трех
осей симметрии. 40.57. Есть ось симметрии, а нет плоскости симметрии у
четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит параллелограмм, и

б)

вершина которой проектируется в точку пересечения его диагоналей. Нет оси
симметрии у правильного тетраэдра, но он имеет 6 плоскостей симметрии,
каждая из которых проходит через ребро и середину противоположного
скрещивающегося с ним ребра. 40.58. Центральной симметрией. 40.59. Имеет центр

симметрии

точка пересечения

симметрии n-го порядка и п

такой пирамиды
основанием

является

высоты

диагоналей. 40.60. Нет. 40.61. а), б) Одна

ось

плоскостей симметрии. 40.62. а), б) Да; примером

пирамида,

является

у

которой

точка пересечения

в

основании лежит

его

ромб,

а

диагоналей. 40.63. Да,

например четырехугольная пирамида, в основании которой лежит ромб и
высота которой проходит через точку пересечения его диагоналей. 40.64. а) Одна
202

ось симметрии п-то порядка;

120° вокруг

б)

п

плоскостей симметрии. 40.65. При повороте

оси симметрии тетраэдра,

перпендикулярной закрашенной

на

грани;

при симметриях относительно плоскостей симметрии тетраэдра,
перпендикулярных закрашенной грани. 40.66. При повороте на 90° вокруг оси симметрии

куба,
перпендикулярной закрашенной грани; при симметриях относительно плоскостей
симметрии куба, перпендикулярных закрашенной грани. 40.67. У
двойственных многогранников одни и те же элементы симметрии с той лишь
разницей, что плоскости и оси симметрии, проходящие у одного через вершины и
центры

граней,

у другого проходят

наоборот

через центры

граней

и вершины.

40.68. Нет. 40.69. Нет. 40.70. 48.

§ 41. Движение
41.3. Подобие с коэффициентом, не равным 1. 41.4. Нет. 41.5. Нет.
41.6. В: а) прямую; б) луч; в) плоскость; г) полуплоскость; д) пространство;
е) полупространство. 41.7. Две фигуры в пространстве называются равными,
если существует движение, переводящее одну из них в другую. 41.8.

который задается вектором ООх (или ОхО), где О и Ох
центральной симметрией с центром в середине отрезка
ООосевой симметрией относительно прямой, перпендикулярной ООг и
проходящей через его середину (бесконечно много таких осей); зеркальной
симметрией относительно плоскости, перпендикулярной ООх и проходящей через его
середину. 41.9. а) Центральная; б) осевая; в) зеркальная симметрия. 41.10. а) Да,
центральная симметрия, зеркальная симметрия, параллельный перенос;
б) осевая симметрия, поворот, зеркальная симметрия; в) осевая симметрия.
Параллельным переносом,

центры данных сфер;

41.11. Нет,

это может

быть

осевая симметрия.

41.12. Нет. 41.13. Центральная

параллельный перенос. 41.14. Нет. 41.15. Пространство. 41.16. а),
б) Всю плоскость, в которой лежат данные прямые. 41.17. Всю плоскость,
симметрия

и

которая определяется данными точками. 41.18. а), б), в), г) При данном
преобразовании сохраняется расстояние между точками. 41.19. При данном
преобразовании сохраняется расстояние между точками. 41.20. Поворотом, зеркальной
симметрией. 41.21. а) Поворот вокруг оси, на которой лежит высота тетраэдра,
проходящая через точку

ACN,

АВМ, где М
вектором

АХА;

плоскости

ABC

относительно плоскости

зеркальная симметрия относительно плоскости,
и

симметрия относительно

параллельной
ребра ААг; б) зеркальная
плоскости А,С,С; в) сначала параллельный перенос, который

проходящей

задается вектором

BDDV

D; б) зеркальная симметрия

середина BD; в) зеркальная симметрия относительно плоскости
середина CD. 41.22. а) Параллельный перенос, который задается

где N

АХА,

через середину

затем зеркальная симметрия относительно плоскости

41.26. а) 24; б) 48; в) 48; г) 120; д) 120.

§ 42*. Ориентация поверхности. Лист Мёбиуса
42.7. Да,

42.12. Если

лист

(лента) Мёбиуса. 42.8. а), б), в) Да. 42.11. 1790 1868.

перед склеиванием противоположных сторон АВ и CD одну из них
203

повернуть на 180° и соединить точку А с точкой С, точку В с точкой D, то
получим лист Мёбиуса. 42.13. Боковую поверхность цилиндра. 42.14. а) Один;
б) одну. 42.15. Да, плоскость, сфера, тор, цилиндрическая поверхность,

42.16. Да, плоскость, сфера, тор, цилиндрическая
поверхность. 42.17. а) Два; б) две. 42.18. Например,
поверхность,
путем ее закрашивания. 42.19. Если ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то
он будет изнашиваться вдвое медленнее, чем обычный: это объясняется тем,
коническая поверхность.

коническая

работе ремня, изготовленного в виде листа Мёбиуса, принимает участие
вся поверхность, а не только внутренняя ее часть, как у обычной ременной
передачи. 42.20. Дважды перекрученная лента. 42.21. Две. 42.22. Одну.

что в

§ 43. Объем фигур

в пространстве.

43.4. 1) Площадь фигуры

является неотрицательным числом;

вающихся
и

Ф2,

фигур Фг

Ф2,

то

3)

равные

если

£(Ф)
^(Ф^ + £(Ф2). 43.5. 1) Объем фигуры является
числом; 2) равные фигуры имеют равные объемы; 3) если фигура Ф
=

т. е.

неотрицательным

и

2)

фигура Ф составлена из двух неперекрыплощадь фигуры Ф равна сумме площадей фигур

фигуры имеют равные площади;

Фг

Объем цилиндра

фигур Фг и Ф2, то объем фигуры Ф
равен сумме объемов фигур Фх и Ф2, т. е. ^(Ф)
Т^Ф^ 4- 1^(Ф2). 43.6. Две
фигуры, имеющие равные: а) площади; б) объемы, называются равновеликими.
43.8. Да. 43.9. Не обязательно. 43.10. Например, два прямоугольных
составлена из двух неперекрывающихся

=

параллелепипеда

с измерениями

2, 6, 3

и

43.12. Не обязательно.

3, 3, 4. 43.11.

1^0

43.13. 60 см3. 43.14. 200 см3. 43.15. Увеличится

б) 4, 9, п2

раз;

в) 8, 27, пг

соответственно в:

раз. 43.16. 12 см. 43.17.

а)

б)

в)

К

а) 2, 3,

п раз;

43.18. а) Один;

б) бесконечно много. 43.19.60 м3.43.20.6400 м3.43.21. а) 64; б) 125.43.22. а) 1:8000;
б) 1 : 27 000. 43.23. Например, как квадраты сторон оснований. 43.24. Одну.
43.25. Высота, опущенная из центра правильного пятиугольника на его сторону,
т. е. радиус вписанной в пятиугольник окружности, не может равняться
половине

его

стороны, см. рисунок 0.40, Z.AOH
С

=

36°. 43.26. а)

б)

.

2

43.27. 18 000 м3, нужно найти объем прямой
призмы,

в

основании

D

которой

данная

равна 1 км. 43.28. 3 м,
это высота трапеции, которая лежит в
основании прямой призмы, высота которой равна 2 км
трапеция и высота

и объем

43.30.

т

которой

которой
п.

равен 6

104 м3. 43.29. hQ.

43.31. -V. 43.32.
4

43.33.

250
43.34. 4V. 43.35. Нет. 43.36.
высота цилиндра равна

204

см°,

10 см, радиус

так

как

основа-

43.37. ЮОя см3; объем

см.

ния равен

тела равен

объему

цилиндра высотой

я

4 см и диаметром основания 10 см. 43.38. 9 т. 43.39. Во-первых, нужно найти
площадь основания болванки, измерив ее диаметр, и определить, сколько
болванок поместится в автомашину; во-вторых, вычислить их вес и
проверить, не превосходит ли он 3 т. 43.40. 3 : 2. 43.41. На 3 м. 43.42. В 20 раз.
43.43. а) 4 : 1; б) 1 : 9. 43.44. Как кубы радиусов (или диаметров) их

оснований. 43.45.

а :

раза. 43.50. п

Ь. 43.46. 4
и

см.

43.47. nh( R2

-

г2). 43.48.

В два раза. 43.49. В два

2п.

§ 44. Принцип Кавальери
44.1. Бонавентура Кавальери (1598 1647)
итальянский математик.
44.7. Да. 44.8. Эти части
треугольные призмы, они равновелики, так как
у них равны высоты и основания. 44.9. Не обязательно. 44.10. Эта плоскость
делит данную призму на две треугольные призмы, они равновелики, так как
у них равны высоты и площади оснований. 44.11. Не обязательно. 44.12. 1 : 3.
44.13. Эта плоскость делит данную призму на две треугольные призмы, у
которых равны высоты, а площади оснований относятся как стороны,
заключающие данную биссектрису. 44.14. 90 см3. 44.15. Да; рассмотрим прямую
призму, основание которой равно перпендикулярному сечению данной призмы
и боковое

ребро которой равно боковому ребру данной призмы, расположим
их так, как показано на рисунке 0.41, где А...Е1
данная призма, А2...Е3
прямая призма, сделаем

параллельный

А...Е2 перейдет

многогранник
этих многогранников равны,

в

перенос, заданный вектором

многогранник

прибавим

к

AV..E3,

ним

АА19

тогда

следовательно, объемы

объем многогранника

AV..E2,

объем
последней равен произведению основания на боковое ребро, значит, объем
наклонной призмы равен произведению ее перпендикулярного сечения на

получим равновеликие призмы

боковое

ребро. 44.16. 112 см3. 44.17.

44.20. а) 2

в) k

данную

:

:

1; б) 3

:

I. 44.22. а) а2Ь

8;

в

)т:п.
r

sm

\

^F, ^V1 ^V. 6
44.21.
7_

:

и

прямую

А2...Е3>

но

44.18. Не обязательно. 44.19. Нет.

и

а)

d]do

3; б)

:

5;

sin ф. 44.23. Дан¬

f-b

ф б)

А...Е,

ный параллелепипед равновелик параллелепипеду,
у которого одна из граней имеет площадь Q и
отстоит от параллельной грани на расстояние а,

следовательно, его объем равен Q

а.

44.24. Площадь

па2
основания цилиндра равна

-j-,

а

образующая

равна расстоянию между скрещивающимися
^

ребрами

правильного тетраэдра с ребром а, оно равно
^

искомыи объем равен

V2а
,

пу[2а3
о

.

205

§ 45. Объем пирамиды
45.1. Первые упоминания
папирусах древних вавилонян

брали куб

ребром,

с

о

вычислении

равным единице

правильных четырехугольных пирамид,

куба,

грани

каждой

а вершина

объема пирамиды найдены

(свыше 3000 лет до
измерения, и разбивали

и египтян

будет

из них

6 полученных пирамид равны, отсюда следует,

\ объема куба. 45.3. Архимед (287

212

его на

основаниями этих

гг. до н.

объем каждой

э.),

жил в

6 равных

будут
куба, все

пирамид

находиться в центре
что

в

э.). 45.2. Они

н.

из них равен

Древней Греции,

в

6

Сиракузы. 45.7. 1

городе

Сторона
и

:

3. 45.8.

45.9. Уменьшится

:

hx hr

а) 3

основания и высота пирамиды равны соответственно:

1 дм. 45.11. а)

Щ-6 см3; б)

см3; в)

3

45.12.
Щ~ЪЪ.
6

сторону основания, боковое ребро и по ним,
описанной около основания, найти высоту и
45.14. Измерить: а) сторону

основания и

и вычислив радиус окружности,

1^

в п раз.

см и

45.10.

2 см; б) 6 дм

см3. 45.13. Измерить

вычислив

радиус

окружности,

площадь основания пирамиды.

боковое ребро пирамиды,

описанной около основания,

зная которые
найти высоту

б) стороны основания, боковое ребро, зная
окружностей, описанных около оснований, найти

пирамиды и площадь основания;
которые и вычислив радиусы

высоту усеченной пирамиды
параллельные

и

площади ее

3V
т7
с
, где V и S соответственно данный
^
1

ние, равное высоте данных пирамид, или

объем пирамид

и площадь данного многоугольника.

45.16. 6 см3. 45.17.

-,

6

>/2
такого

оснований. 45.15. Две плоскости,

плоскости данного многоугольника, отстоящие от нее на расстоя-

октаэдра равно

1

.

45.18.

-,

I

ребро

V
объемом

ребро

такого тетраэдра равно

V2. 45.19. Одна

V
объемом

каждая. 45.20. 2 см3. 45.21. Данную
2
8
пирамиду можно рассматривать как пирамиду, в основании которой лежит

часть

прямоугольный

; четыре

части

треугольник с катетами, равными а, Ъу

Тогда объем данной пирамиды равен

l(l

\
аЬс

8\6

1
=

)

и

высотой, равной

с.

объем отсеченной пирамиды равен
\abc,
6
7

аЬс, следовательно, объем усеченной пирамиды равен

48

аЬс.
48

45.22. Из условия задачи следует, что все боковые ребра пирамиды равны,
значит, каждое из них равно 6 см; рассматривая данную пирамиду как пирамиду,
основании

18

см2,

которой

лежит

прямоугольный

а высота пирамиды равна

45.23. Одну. 45.24.

4V3

в

треугольник, площадь которого равна

6 см, получим,

что ее

см3. 45.25. Второй пирамиды

объем равен 36 см3.

в два раза.

45.26. 1

:

5,

так как в таком отношении делится площадь правильного шестиугольника его
V
меньшей диагональю. 45.27. , так как у

пирамиды в основании многоугольник

полученной шестиугольной
(на рисунке 0.42 ABCDEF), площадь которого

равна трети площади основания данной пирамиды.
206

V2

45.28. 280 см3. 45.29.

отсеченные части представляют из

^а3»

треугольные пирамиды (на рисунке 0.43 SABC), у которых

у/2

1
а площадь основания равна-а

sinl35°

а

=

(SA)

равна а,

о

а

(АВ

=

АС

=

a, ZBAC

=

135°).

4

2
45.30.

высота

себя

V
, в результате отсечем четыре правильных тетраэдра, объем каждого из
V

(их

которых равен

стороны в два раза меньше сторон данного

тетраэдра).

о

§ 46. Объем конуса
nD2h
46.3. V

=
,

диаметр основания конуса, h

где D

высота конуса.

высота данного конуса равна радиусу его основания. 46.5. Как
квадраты радиусов оснований конусов. 46.6. а) Увеличится в 4 раза; б) уменьшится
в 25 раз; в) увеличится в 4,5 раза. 46.7. а) 32 см3; б) 306 мм3. 46.8. 96я см3.

46.4. 9я см3;

2\[2п

я

46.9. 240я см3. 46.10. а)

см3; б)
о

-

дм3. 46.11. Радиус

уменьшился в два

о

раза. 46.12. Соответственно 1:2; при вращении треугольника ABC получим
конус с высотой АВ и радиусом основания ВС, а при вращении треугольника
ADC получим цилиндр (с теми же высотой и радиусом основания), из которого
вырезан этот конус.

46.13. Получится биконус, у которого

высота и радиус осноя

вания равны половине диагонали квадрата, значит, получим:

46.14. Нет. 46.15. Нет. 46.16. а) 1

:

4; б) 2

:

а) 18я см3; б)

<23.

3. 46.17. Нужно определить, какую

часть площади основания конуса занимает сумма

площадей соответствующих

сегментов, соответствующую часть объема конуса занимают объемы
фигур, отсеченных от него, следовательно, искомый объем, равен разности объема

равных

конуса и суммы объемов отсеченных от него частей. 46.18. На

-

высоты цилин-

о

образом, цилиндр будет полностью заполнен водой. 46.19.
Например, определить длину окружности основания конуса и по ней вычислить

дра, таким

найти искомый объем. 46.20. 12я см3. 46.21. 2п см3.

радиус основания, затем

46.22. Соответственно 3

:

8;

у цилиндра высота и радиус основания меньше в
207

два раза соответственно высоты и радиуса основания конуса. 46.23. Объем
отсеченного конуса составляет

-

объема данного конуса, следовательно, разность

о

3
объемов полученных фигур равна

-

4V
равен

.

о

46.24. В 125 раз. 46.25.

объема V данного конуса, значит,
8
;

высота конуса в

27

его

3 раза больше

объем

высоты

цилиндра, следовательно, вне цилиндра находится конус, высота и радиус осно2
вания которого равны
соответственно высоты и радиуса основания данного
о
46.26.
Искомое
отношение
конуса
равно соответственно отношению
-

квадратов радиусов

описанной

вписанной окружностей основания, следовательно:

и

а) 4 : 1; б) 2 : 1. 46.27. V

=

XZ

h(D2

+ Dd +

d2). 46.28. Увеличится

в

2,25 раза.

49я

см3. 46.30. 63л дм3.

46.29.
J. Z

§ 47. Объем шара
47.3. V

=

и его частей

Щ-.
0

47.5. Vкольца

=

-л(Л3
3

-

г3). 47.7.

Vсегмента

=

лh{R

-

I

-h
^

32я
47.10.

а) 36я см3; б)

дм3. 47.11. Увеличится

-т-

в:

а) 27

б) 64

раз;

в) п3

раза;

раз.

о

47.12. 27 шаров. 47.13. 6

47.15. Нет. 47.16. a)

=

47.14. 1000 шаров; диаметр шара, равный 20

Д23

+

гДе

h,

Д33; б)

D*

-Rn(2R)2

=

gTi#3

=

^шара»
Ш

ра

вания конуса и радиус шара.

47.20.

4л/2

:

3. 47.21.

2л/2

£>/

+

£>33.

47.17.

шарового сегмента радиусом

R

г и

R

=

47.18. a) R

высотой h равен

и

5

5
.

24

^hnr2

=

соответственно высота, радиус осно-

Итак, объем шарового сегмента равен

=

[3V

(4Я; б) D

lev
?/Я . 47.19. 1

=

V

г

:

V

nh2\^R

-В

нашем случае

4

nR3. 47.26. -я( R2

-

3V3.

h

=

R2). 47.27. а)

1
-;

14

nR3. 47.29. Отношение объемов

47.28. a) -nR3; б)
3

зависит от углов со-

9
2

ответствующих осевых

разбить

сечений. 47.30. -я; заметим,

на шесть пирамид

(вершина каждой
куба), равных данной

данный

шар вписан

в

радиус шара равен 1,

куб, искомый объем
его

что

куб

с

ребром 2

можно

из которых лежит в его центре, а

основаниями являются грани

208

Fонуса

см.

1. 47.22. В 8 раз. 47.23. Из объема конуса и шарового
общее основание. 47.24. 5 : 27. 47.25. Объем

:

сегмента, которые имеют

б)'

=

4

1
=

R,3

см.

равен

пирамиде, таким

^

образом,

объема шара, поскольку

6
4
объем равен -тс, следовательно,

2
ответ -я.

§ 48. Площадь поверхности
48.4. nab. 48.5. а) 6 мм2; б) 54 м2; в) 6а2. 48.6. а) 73; б) 2>/3; в) бТз.
ЗаЬ; а) 105 см2; б) 18 см2. 48.8. 6 дм2. 48.9. 300 см2. 48.10. 210 см2.
48.11. 132 см2. 48.12. Увеличится в: а) 4 раза; б) 9 раз; в) п2 раз. 48.13. 248 см2.
48.7. S

=

а) 60 см2; б) 18 см2; в) 48 см2. 48.15. 9 : 1. 48.16. а) Увеличатся в 4 раза;
б) уменьшатся в 25 раз. 48.17. 20 см2. 48.18. Бесконечно много. 48.19. Одну.
48.22. 3Q. 48.23. 6 см. 48.24. 4Q, так как
48.20. Бесконечно много. 48.21.
48.14.

2\[2Q.

боковые грани данной пирамиды равны. 48.25.
назовем сторону основания и

значит,

а

2h

=

линия основания
угол

48.27. 60°;

ги h

ABC),

HDP, равны

я-угольника),
(на

апофему

и в треугольнике

по

см.

в

3 Ъ2

48.26. 60°;

.

h

тогда 3

(HP

равностороннем треугольнике все углы,

-ah

3 h2,

=

средняя
в том числе и

60°.

рисунок

0.45,

назовем

сторону основания

(правильного

радиус вписанной в него окружности и апофему соответственно а,

SH),

тогда 2п

-аг

=

п

тah,

1
=

значит,

ah,

все стороны равны

рисунке соответственно отрезки АВ, ОН и
г

0.44,

i

соответственно a

HDP

см. рисунок

2

-

и

ZOHS

=

60°. 48.28. 1

2

:

2. 48.29. Плоскость, проходящая через

ось симметрии параллелепипеда, делит его на две равные части, следовательно,

поверхностей равны. 48.30. Боковыми гранями данной призмы
являются параллелограммы; чтобы определить площадь каждого из них, нужно
измерить одну из его сторон и опущенную на нее высоту параллелограмма.
48.31. Нужно измерить сторону ее основания и найти апофему. 48.32. Нужно
площади их

измерить стороны ее оснований и найти высоту боковой грани
(равнобедренной трапеции). 48.33. 64 см2; сторона основания равна 4 см. 48.34. Как 4 :
см.

рисунок

0.46,

сторона основания

назовем

второй

сторону основания

2а,

>/3;

апофема равна

тогда

а,

пирамиды тоже равна а, тогда площади боковых
1

поверхностей пирамид равны соответственно 3
искомое отношение равно 4 :

7з.

-а

о

2а

и

3

1
-а

V3a
откуда

48.35. Как 3:2; площадь боковой поверхности
209

треугольной пирамиды

-h

равна 3

За, где

h и За соответственно ее апофема и сторона
основания, тогда площадь боковой
поверхности

шестиугольной

пирамиды равна 6

а,

следовательно, искомое отношение равно 3:2.
48.36. 260 см2. 48.37. 480 м2. 48.38. Да;

площадь куска жести равна 341 см2, а площадь
поверхности коробки равна 300 см2 или 340 см2.

48.39.
х
Рис. 0.46

2

=

Да;

площадь картона 52 х 22

1144

дели равна
пирамиды

(см2),

1000 см2. 48.40. Да,
не

=

572

х

а площадь поверхности моесли высота

ее

проходит через

основание.

48.41. а) Прямоугольник; б) сектор; в) часть кольца. 48.44. а) Уменьшится в
2 раза; б) увеличится в 1,5 раза. 48.45. Как радиусы их оснований. 48.46. Они
равны. 48.47. 12я м2. 48.48. а) 4я м2; б) Qn. 48.49. п2. 48.50. 6S. 48.51. 5 дм2.
48.52. а) Да; б) нет. 48.53. nh2. 48.54. R. 48.55. 750я см2. 48.56. I
4г.
к12
48.57. Площадь боковой поверхности такого конуса равна , т. е. равна площа=

2

ди полукруга радиуса I, где I
48.60. а) Уменьшится

в

кЬ2

образующая

конуса. 48.58.

3 раза; б) увеличится

в

48.59. 12я см2.

.

6
8 раз; в)

не

изменится.

48.61. 80л см2. 48.62. 24л см2. 48.63. Как 1:2:3. 48.64. nh2. 48.65. 8yf2n дм2.
48.66. 3nR2. 48.67. Уменьшится в 16 раз. 48.68. Как квадраты радиусов их
оснований. 48.69. а), б) Нет. 48.70. Прямоугольный равнобедренный
треугольник. 48.71. Нет. 48.72. 102 дм2; площадь боковой поверхности усеченного
соответственно образующая и радиуконуса равна nb(R + г), где b, R и г
17
сы

оснований конуса,

из условия задачи

следует,

что

R +

=

г

.

48.73. nQ.

я

48.74. 6я дм2; данная четырехугольная призма
в

который

вписан цилиндр, значит,

является

образующая

кубом

с

2 дм и 1 дм, следовательно, искомая площадь
48.76. 2nQ. 48.77. 130я см2; из условия задачи

равны соответственно

48.75. Как 4
основанием

:

я.

является

ребром 2

дм,

и радиус основания цилиндра

равна

6я дм2.

следует,

что

прямоугольный

треугольник, гипотенуза
которого равна 13 см, значит, радиус описанной около него окружности
равен 6,5 см, следовательно, искомая площадь равна я х 6,5 х 20
130я (см2).
пирамиды

=

48.78. 2nh(R + г). 48.79. 2яа2; образующая цилиндра
ны соответственно

v2a

л/2
и

48.80. Как радиусы окружностей вписанной

описанной около правильного шестиугольника,

§ 49. Площадь поверхности шара

49.3. б) S
в) увеличится
210

=

в

и радиус основания рав-

т. е. как

>/з

:

и

2.

и его частей

nD2. 49.4. а) Увеличится в 9 раз; б) уменьшится в 49 раз;
п2 раз; г) уменьшится в т2 раз. 49.5. а) Уменьшится в 5 раз;

б)

увеличится

в

42

а) 2

раз. 49.6.

3; б) 25

:

:

17. 49.7. а) 16я см2; б) 12 см2; в) 4Q.

см3. 49.11. 144я дм2. 49.12. а) 27 : 64;

49.8. ЮОя дм2. 49.9. 100я см2. 49.10.
О

зГТ

Г~
б)

16л/2

:

81-Уз.

49.13.

49.14.

49.15. а) 48л см2; б) ЗяД2. 49.16. 4

jjL.

49.17. Площадь поверхности четверти шара равна nR2, где R
сумма площадей плоских

и

равна

радиус шара, а

\nR2 \nR2
+

&

nR2,

=

£

поверхности равна сумме площадей ее плоских
равна, заметим, площади большого круга шара. 49.18. 500 г

значит, площадь ее

поверхностей,

поверхностей данной фигуры

3.

:

кривой

краски. 49.19. Площадь поверхности шара, радиус которого равен гипотенузе
данного треугольника, равна сумме площадей поверхностей двух шаров, радиусы
которых равны его катетам. 49.20.

49.23.

Sm 5ц
:

=

основания цилиндра,

4

3,

:

Sm

=

SK : Sm

=

6

: п.

49.21. В 3 раза. 49.22. 14тс дм2.

так как радиус шара равен

8nR2,

цилиндра шара равен

=

5ц
42R, где

вписанного шара равен R, таким

42R,

6яД2. 49.24. Радиус

где R

радиус

описанного около данного

радиус основания цилиндра, радиус
образом, площадь поверхности описанного шара в
R

3R
,

2 раза больше площади вписанного шара. 49.25. 3:1; высота конуса равна

радиус шара, таким

где R

образом,

основание конуса делит

шара на поверхности двух шаровых сегментов,
3R
как их высоты, которые равны

данного конуса,

и

R
.

49.26. Радиус шара,

образующая

где а

равен

поверхность

площади которых относятся

конуса

описанного около

(сторона

равносто-

о

роннего треугольника,

который

является

4&а
вписанного

шара

шара равен

в четыре раза

равносторонний

осевым

сечением

конуса),

g.

; таким образом, площадь поверхности описанного

^norr
больше площади поверхности вписанного шара. 49.27.

конус, сторона осевого сечения которого равна

разующая конуса

радиус

и

радиус

его основания равны

4SR,

соответственно

3nR2
&

т. е.

Rt?
voit

,

об-

&R
и

.

половине оси октаэдра, т. е. 42 дм. 49.29. а) Часть
б) часть шаровой поверхности и боковая
шаровой поверхности и два круга. 49.30. Как высоты дан-

49.28.8тг дм2; радиус шара равен

шаровой

поверхности и круг;

поверхность конуса;

в)

часть

R
1
ных сегментов. 49.31. т : п. 49.32. -; высота данного сегмента равна , где R
4nh2
радиус шара. 49.33. Равны. 49.34.

.

49.35.

п

^

дм2,

получится шаровой сег¬

мент, высота которого равна 0,5 дм, а радиус соответствующего шара равен 1 дм.
I

л/З

2

49.36. 8я дм2. 49.37. 3nR2. 49.38. v3па ; радиус

описанного шара равен

^"а>
211

плшцадь каждого сегмента,

3 а2,

2
большим

отсекаемого противоположными гранями,

искомая площадь поверхности шара равна

л/Зтга2.

основанием данного усеченного конуса является

4tlR2
шара. 49.40. - ;

равна

49.39. 120п см2;

большой круг данного

из условия задачи следует, что одна из секущих плоскостей

о

является плоскостью

большого круга данного шара,

а другая отстоит от его

2
центра на

расстоянйе, равное -В.

§ 50. Прямоугольная

система координат

50.5. Декартовой системой координат. 50.6. Рене Декарт (1596 1650).
50.7. Введение прямоугольных координат на плоскости и в пространстве
позволило

свести

многие

геометрические

наоборот, алгебраические

задачи

к

задачи к геометрическим.

чисто

алгебраическим

Метод, основанный

и,

на этом

сведении, называется методом координат. 50.13. а) Е, Н; б) F, Я; в) D, Я; г) С,
Е, F, Я; д) Б, D, Е, Я; е) A, D, F, Я. 50.14. (1, 2, 0); (1, 0, -3); (0, 2, -3).
50.15. (-2, 0, 0); (0, 4, 0); (0, 0, -5). 50.16. а) А(0, 0, 0), Б(1, 0, 0), С(1, 1, 0),
Щ0, 1, 0), Ах(0, 0, 1), Вг(1, 0, 1), Сх(1, 1, 1), Dx(0, 1, 1); б)А(0, 0, 0), В(а, 0, 0),

С(а, а, 0), D(0, а, 0), Ах(0, 0, а), Бх(а, 0, а), Сх(а, а, а), £^(0, а, а).
50.17. А(-1, 1, -2), Б(-1, -1, -2), 0(1, -1, -2), А^-1, 1, 0), Б^-1, -1, 0),
Сх(1, -1, 0), Dx( 1, 1, 0). 50.18. а) Координатная плоскость Oyz; б) плоскость,

координатной плоскости Oyz и проходящая через точку с координатами
(5, 0, 0); в) плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz и проходящая
через точку с координатами (-17, 0, 0). 50.19. а) Координатная плоскость Oxz;
б) плоскость, параллельная координатной плоскости Oxz и проходящая через
точку с координатами (0, 14, 0); в) плоскость, параллельная координатной
плоскости Oxz и проходящая через точку с координатами (0, -1, 0). 50.20. а)
Координатная плоскость Оху; б) плоскость, параллельная координатной плоскости Оху
и проходящая через точку с координатами (0, 0, 1); в) плоскость,
параллельная координатной плоскости Оху и проходящая через точку с координатами
параллельная

09 09

I

50.21. а) Ось Oz; б)

ось

Оу; в)

ось

Ох.

2J
50.22. а) (2, 1, 0), (-3, 4, 0), (0, -5, 0), (-6, 0, 0);
б) (2, 0, 5), (-3, 0, -1), (0, 0, 7), (-6, 0, 0); в) (0,1, 5),
(0, 4, -1), (0, -5, 7), (0, 0, 0). 50.23. а) (1, 0, 0),
(-2,0,0), (8,0,0), (0,0,0); б) (0, -5,0), (0, 7,0), (0,0,0),
(0, -1, 0); в) (0, 0, 6), (0, 0, 4), (0, 0, -5), (0, 0, 0).
50.24. а) (0, -0,5, -3); б) (1,5, 2,5, -1);
'

2,+Z

~

в) (1,5, -1, -4,5); г)
2

2*2

50.25. S(0, 0, 3), В(0, -3, 0), D(0, 3, 0), S' (0, 0, -3).
50.26. а) £^(3, -4, -5); б) Ег(3, 4, 5);
Рис. 0.47

212

в)Е1(-3, -4,5). 50.27. а)*\(-1,2, -8); 6)^(1, -2, -8);

в) 2^(1, 2, 8). 50.28. а) ЯД 11, -5, 3); б) ЯД0, 10, 12); в) ЯД-6, 0, 13); г) (-5, 6, -9).
50.29. а) МДх, -у, -г); б) МД-х, г/, --г); в) МД-х, -г/, г); г) МДх, у, -z);
д) МДх, г/, г); е) МД-х, г/, z); ж) МД-х, -г/, -г). 50.30. Грань ABC данного
тетраэдра лежит в координатной плоскости Оху; положение точек Б и С
определено однозначно, только их можно обозначить, поменяв местами (обходим
вершины треугольника ABC по часовой стрелке или против нее, см. рису¬
нок 0.47, где Я

В

'-Л

1

середина стороны

-1

о

9

2

6

9

Л

~

6

2

§ 51. Расстояние между

ВС); А

£>

0,0,

Я

н

о
-До,
6

о

точками в пространстве

51.6. Точки: а) внутри сферы, которая определяется уравнением (х
+

У0)2 (^ zQ)2 R2; б)
г0)2
х0)2 + (г/ у0)2 + (г
+

-

х0)2

+

сферы, которая определяется уравнением
Д2. 51.7. а) 3; б) Vl89; в) V89; г) >/179.
(х
51.8. a) N; б) К. 51.9. а) х2 + у2 + г2
0,5; в) х2 + г/2 +
0,25; б) х2 + г/2 + г2
+
+
+
+
+ г2
г2
z2
36.
х2
х2
51.10.
5; б) х2 + у2 + г2
5;
20,25; г)
а)
у2
у2
+
+
+
+
z2
х2
z2
42.
51.11.
х2
14;
а) равносторонний;
г)
Треугольник:
в)
у2
у2

(У

~

=

-

вне

-

-

=

-

=

=

=

=

=

=

=

=

б) равнобедренный; в) равнобедренный; г) разносторонний. 51.12. а) С(0, 0, 1),
4.
Д
г) С(-4, 5, 0), Д
в) С(1, -2, 3), Д
б) С(-2, 0, 0), Д
51.13. а) Нет; б) да; в) да; г) нет; д) да; е) да. 51.14. -3 < х < 1, -2 < у < 2, 0 < z < 4.
51.15. Например: а) (0, 0, 5), (-5, 0, 0); б) (1, 0, 3), (4, 0, 0); в) (0, -4, 3),
=

л/б;

=

V2;

=

Тб;

=

(0, -2, 1); г) (1, -1, -3), (1, -1, 5). 51.16. Например: а) (1, 0, 0),

(^, |,

б) (-2, 0, 0), (0, 0, 1); в) (-8, 2, 5), (-6, -1, 0); г) (2, 6, -1), (2, 6, -5). 51.17.
Например: а) (1, 0, 4), (-1, 2, 8); б) (-1, 1, 5), (0, 0, 0); в) (0, 15, 0), (И, 0, 1);
г) (21, 0, 0), (1, 23, 1). 51.18. а) х2 + у2 9; б) х2 + z2 9; в) у2 + z2 9. 51.19. а)
1; б) точки, принадлежащие и
Внутренность шара с центром в точке С(1, 2, 3) и R
лежащие внутри цилиндрической поверхности, у которых -2 < х < 2 и -2 < z < 2;
в) «верхнее» полупространство, определяемое плоскостью, параллельной
координатной плоскости Оху и проходящей через точку с координатами (0, 0, 9);
г) точки, расположенные между двумя плоскостями, каждая из которых
параллельна координатной плоскости Oxz и проходит одна через точку (0, -5, 0),
а другая
через точку (0, 5, 0). 51.20. а) Две концентрические сферы с общим
центром в начале координат; б) касаются внешним образом; в) не имеют общих
точек, одна лежит вне другой; г) пересекаются.
=

=

=

=

§ 52. Координаты вектора
52.6.

52.8.
=

а) (д^

AB(b1

J(x2-Xl)2

+

х2, j/j + у2, zx

-

-

+

z2); б) (Xj х2, у1
as). 52.9. a) |a|

-

bs
+(y2 -у,)2 +(Z2-Zl)2.
аг,

b2

a2,

-

-

г2). 52.7. (tx, ty, tz).
+ y2 + z2; б) |АгА2\

-

у2, гх
=

yjx2

=

52.10. a)5(1, 5, -3); 6)b(0, -1, 8); в) c(-10, 0, 0);

r) d(-18, 0, 1). 52.11. a) (-7, 5, 21); 6) (14, 8, -25); в) (-8, 90, -9); г) (31, -48, -6).
213

г) (19, -6, -31). 52.17. а) (-1, -3, 10); б) (6, 2, 9); в) (4, 10, -20); г) (-11, 9, -17).
52.18. а) (2л/з, 2л/з,
или (-2л/з, -2%/з,
2n/3); б) (бТз, 5^3, бТЗ) или
Тз -v/з 7з
v/з _V§ _л/з
2%/з 2%/з 2%/з
ИЛИ
ИЛИ
(-5V3, -5-Уз, -5V3); в) 9
;г)
9

2^3)

9

9

9

9

27

27

27

у

2>/з

2Уз

2V3

27

27

27

52.19. Вектор

.

Vl65;

б) (4, 16, 3),
г) (20, -16, -1), его
на

а) (-8, 10, 1),

с координатами:

его длина равна

>/281;

в) (-2, 13, 2),

его длина рав-

у/Ш:

его длина равна

длина равна V657. 52.20. а) ОА(0, 8, 0); б) ОС(-5, 0, 0)
ООДО, 0, 6); д) ВСД0, -8, 6); е) ВД(0, -8, 0); ж) ААД0, 0, 6)
з) ОВД-5, 8, 6); и) С^В(-5, 8, -6).

в) ОВ(-5, 8, 0); г)

53. Скалярное

произведение векторов

Нулю. 53.7. а2
|а|2. 53.8. Скалярное произведение
простой физический смысл и связывает работу А,

53.4. Число. 53.5.

векторов

имеет

=

производимую постоянной силой F при перемещении тела на вектор а, составляющий
с направлением силы F угол ср, а именно, имеет место следующая формула:
А

=

F

а

=

\F\

-

\а\

cos

работа

ср, означающая, что
53.9. Да,

произведением силы на перемещение.
угла»,

т.

е.

является скалярным

это определяется «знаком косинуса

скалярное произведение векторов является отрицательным

числом в случае тупого угла между ними.

хлх9

^

53.12. cos ф

=

-

,

+

-i-.

У,2
у:

+ улу9

-

+

53.10.

Ъ

а

а1

+ z,z9
=,

,.

,

v
2

у22

+

где
1ДС

Ъ1

+

Ш

ф

а2

'

Ъ2

+

«3

'

К

угол.

искомыи

z22

+

53.13. a), б) Плюс; в), г) минус. 53.14. Скалярное произведение двух ненулевых
векторов равно нулю, если угол между ними равен 90°, поскольку именно в
этом случае косинус угла между этими векторами равен нулю. 53.15. «Если угол
то их скалярное произведение равно нулю». Верное
а) 8; б) -193; в) 8; г) -120. 53.17. а) ~\а\2; б) k\a\2. 53.18. с2.
ОВ
ОС
а2; б) аЪ СВ -2а2; в) <М
г) ОА

между векторами равен 90°,
утверждение. 53.16.

53.19. а) АВ

ED

д) ОА

-а2; е) АВ

OD

=

=

=

AD

=

=

а2; ж) АВ

АС

=

|а2;

^а2.

=

53.20. а)

0, 0), С^(5, 8.J)), СД"
АВ
ОВ
25; г) САД5, 8, 6), СА(5, 8, 0), СА,
в) АВ(-5Л), 0), ОВ(-5, 8, 0),
100.
89; д) OjB(-5, 8, -6), CjB(0, 8, -6), ОгВ CtB

ОВ(-5, 8, 0),

АА^

ОВ

=

0;_б) C^(5,

Cg

=

=

-|а2;

ААД0, 0, 6),

=_25;
СА

=

=

§ 54. Уравнение

плоскости в пространстве

54.4. а), б) Векторы нормалей, пусть пх
числа t (t Ф

0)

выполняется равенство

пх

=

и

й2 коллинеарны,

tn2. 54.5.

t Ф 0:

a)

т. е. для некоторого

tax +

thy

+ tcz +

dx

=

0,

с11Ф td; б)

0. 54.6. Найти угол между их векторами
«Если скалярное
произведение векторов нормалей двух плоскостей равно нулю, то плоскости
перпендикулярны». 54.8. «Если две плоскости перпендикулярны, то скалярное
tax + tby
54.7.
нормалей.
Данные
где

произведение их векторов

0; в)

=

б) у

х

+ tcz + td

=

плоскости перпендикулярны.

нормалей

равно нулю».

утверждение. 54.9.

Верное

a)

=

z

0;

0. 54.10. Например: а) (0, 0, 3), (1, 0, 1); б) (2, 1, 0), (-1, 2, -10).

=

54.11. а) (-5, 0, 0), (0, 5, 0); б) (-1, 0, 0), (0,

0), (0, 0, 2); в) (0, 0, 0),
-|,
54.12.
0,
-1,

0);
-1,25).
а) (5,
(0, 0, 0), (0, 0, 0); г) (-5, 0, 0), (0, -2,5, 0), (0,
0, или Ъу
б) (3, 0, 18); в) (15, 1, -8); г) (1, -3, 15). 54.13. а) -Ъу + 2г + 8
2z
8
0; в) -4х
0, или 4х + 2у + z
0; б) 6х
2у z + 1
у + 3z + 5
5
13
0. 54.14. а) -у + 2z
1
0,
0; г) -Зх
0, или Зх + 8у
8у + 13
=

=

-

-

=

-

=

-

-

=

-

-

=

-

-

=

-

=

-

9
8z
89
2z + 5
0,
0, или 5х
0; в) Зу
0; б) -5х + 8z + 89
1
65
0. 54.15. a) z
3
или у
0;
0, или 4х
0; г) -4х + 7у + 65
Ту
2
0. Можно провести одну такую плоскость. 54.16. х + у +
0; в) х
б) у -1- 3
+ z- 5
4
0.
0. 54.17. a) z
0; б) у + 2
0; в) х + 5
0h2x-i/-2: + 10
Можно провести бесконечно много плоскостей. 54.18. а) Пересекаются; б)
пересекаются; в) совпадают; г) параллельны. 54.19. а) Зх
Ъу 6z + 1 0; б) Зх + 5у +
+
4+
+ 6z + 1
1
6z
1
6z
или
Зх
0. 54.20. а) 2х
-Зх
0,
0; в)
Ъу
Ъу
14
31 у
9z
31 у + 9z + 14
0, или 2х
0;
0; б) -2х + 31 у + 9z + 14
14
0. 54.21. -17х
31 у
9z + 14
0, или 2х + 31 у 4- 9z
в) -2х
1Ъу +
=

=

-

или

у

=

-

=

-

=

=

=

-

+ 2-11

R
б)

=

-

5

-

х

=

0,

=

или

17*+

1Ъу

=

-

§ 55*. Уравнение прямой

=

=

-

0. 54.22. а) С(0, 0, 3), R

=

=

=

=

-

в пространстве

действительное

55.7. См. систему уравнений

-

av

b2

-

а2,

Ь3

-

а3).

у

=

kat + х0,

=

kbt + у0,

55.9. Параметрические уравнения

и ту же

X

=

t,

x

=

0,

=

t,

0,
0.

55.11. a)

II

N
x

=

101,

6)< У

=

-21

z

=

X
-

bt + у0,

z

ct + z0,

вектор

х

=

at + х0,

у

=

bt + у0,

=

и

ct + zn

о,
определяют одну

прямую. 55.10.

kct + zn

в)

=

у

берется

Z

х

at + х0,

в решении

задачи 55.6. 55.8. В качестве направляющего вектора

предыдущей

АВ(ЪХ

число.

=

х

55.5. Нужно задать точку, принадлежащую этой прямой. 55.6.

где t

=

-

=

Vl5;

-

-

V7; б) С(0, 0, -2),
R
54.23.
Vl5.
0;
0,
г) С(-1,
0),
а) 2 + 5
0.
0; г) Зх
4г/ + 25
11

2 +

в) С(0, 1, 0), R
3z
25
0; в) 4х

-

-

-

-

=

=

-

=

-

2V3;

=

=

=

-

-

=

=

=

-

=

-

=

-

-

=

-

-

=

-

-

=

=

-

3, в)

-41 + 4;

<

У
z

II

0

VO

0

=

-10,

=

Ы + 1, r)

=

lift

У
z

=

x
.

У
z

H

в)

0;
=

=

=

<

у
z

II

=

=

а)

0

x

0, 55.12. a)
t.

L

0;

-

у

=

=

z

=

=

0,

5f

0;

=

-

1,

-6t + 2,
t +

6;

-9 ft

12ft 55.13. ak

+ bl + cm

-17.
215

=

41 4 1,

=

6*

X

55.14. а)

У

55.15. а)

У

x

55.16. а)

=

-6t 4 5, б)

у

у

71

у

-cf

=

6)

[z

=

-Ы

-

в)

lit;

=

=

St 4 5,

-

-17*

х

в)

=

at + x0,

=

-to

х

У

ct + z0;

x

-at

у0, б) у

=

bt + y0,

У
z

г/0, в)

-

<

8;

-

=

Z

=

-

55.21.

-61

=

-f 4

5,

=

bt + у0,

=

-14f + 5.

X

=

4f

г)

=

со <м» +

<

У

=

г

-at

-

-9*

-

-

х0,

Ct + ZQ.

b)|i/у

-bt

[z

z

=

12,

-

=

=

=

у

5,

-

-16* + 16,

=

00

1

=

25f

х

т 1 о +~Г

=

-at

-

00 оь

.Г**

II

х

x0,

.

точки по

У

=

-

z
г
-ct
z
-ct
z0;
Zq
55.19. Длина направляющего вектора прямой
=

II

Z

12,

t

=

<

1

II

X

1,

-

=

z/

z0;

at + х0,

lit

x

-

=

У

=

=

z

8;

bt + y0,

=

х

12,

-

-Ш 4 8,

х

at 4 x0,

=

2

55.17. а)

21

-

=

Z

=

=

Z

91 4 3;

=

Z

X

б)

2,

-

X

-

x0,
-

y0, 55.18.

4 z0.
ct +
zn.

x

=

-at

jу

=

-bt

[z

=

-ct

-

y0,
-

z0.

является скоростью движения

данной прямой. 55.20. а) (5, -1, -1); б) (7, -2, 3); в) (23, -10, 35).

>/14.

§ 56. Аналитическое задание пространственных фигур
56.2. Два. 56.3. а) Уравнением ах + by + cz + d
0; б) неравенством ax + by +
4- cz 4- d > 0 или неравенством ах + by + cz + d < 0, где а, Ъ, с vl d
действительные числа, причем а, Ъ, с одновременно не равны нулю. 56.4. Подставить
=

ее координаты в соответствующее неравенство и определить знак полученного
выражения.
соответствующих

56.5. Выпуклый многогранник

полупространств и,

агх
няться система неравенств

+

Ъху

+

cxz

+

> О,

dx

которая и определяет этот
ах + b
п

и + cz +
п

dn > О,
7

п

2; е) п + 1; ж) п + 2. 56.7. Да, это
56.8. Системой данных неравенств.
Е принадлежат первому полупространству, точка С

многогранник. 56.6.

а) 4; б) 6; в) 8; г) 12; д)

точки, принадлежащие
и

пересечением

для его точек должна выпол-

\
^

56.9. Точки А, В

является

следовательно,

данной

п 4-

плоскости.

второму, точки D и F принадлежат обоим полупространствам, так как принадлежат
их плоскости. 56.10. а) (5, -6, 1); б) (1, 3, 17); в) (33, 0, -18);
О
г) (0, 16, 0). 56.11. Полупространство, которое задается плоскостью: а) х
(координатная плоскость Oyz) и включает в себя положительную полуось Ох;
б) у 0 (координатная плоскость Oxz) и включает в себя отрицательную полуось Оу;
0 (координатная плоскость Оху) и включает в себя отрицательную полуось Oz.
в) z
56.12. Цилиндр с радиусом основания, равным: a) R, высотой, равной h, ось

определяющей

=

=

=

координатной оси Oz; б) 3 и высотой, равной 3, ось
координатной оси Ох; в) V2, высотой, равной 11,
расположена на координатной оси Оу. 56.13. а) х
а(у2 + г2);

которого расположена на

которого расположена на
ось

б)

у

216

=

которого
=

Ъ(х2

+

z2); в)

z

=

с(х2

4-

z2).

О <

О < у < 1, б)
О < 2 < 1;

56.14. а)

-1 <
56.15. а)

0 <

1,

jc <

ж

0 <

-1 < у < 0, б)
-1 < г < 0;
0 < дс < 1,
-1 < у < 0,
-1 < 2 < 0;

56.16. а)

а

2

<

-15 <

0,

<

х

<

0 <

15,
г)

<

х

<

а,

0 < у < а,

0 <

15;
х

<

0,

-15 < у < 0, г)

2

<

а.

-а

<

х

у
2

-а

<

-2 < 2 < 0;

-15 < г < 0;

-а

<

0 <

0 <

0 <

)

I

х

2,

<

DO /А

в)

/А О

W

-2 < г < 0;

1

х

<

15,

Н* СЛ /А <5= /А О

г)

-15 < г < 0;

<

< -а

х

^

< у

-а < 2

а

^ х ^
2

,

2
< у

56.17.

0 <

-2 < у < 0,

х

0 < у < 15,

в)

2;

<

2

-2 <

О,

<

0 <

2,

<

*

0 < у < 2,

-5 < х < 0,
56.18.

2

0 < у

<8,

0 <

<6.

2

-а < z < 0.

2

56.19. Первыми тремя неравенствами задается куб
с

ребром,

равным 2, на рисунке 0.48 он обозначен
граничная плоскость

OABCOjA^Cj,

полупространства, которое задается четвертым неравенством
данной системы, пересекает координатные оси Ох,

Оу
£>(4, 0, 0), £(0, 4, 0)
и F(0, 0, 4), вершины В(2, 2, 0),
АД2, 0, 2) и СД0, 2, 2)
и

02

соответственно в точках

принадлежат граничной плоскости этого
полупространства, таким образом, искомый многогранник

-4 <

56.20.

тетраэдр

<

0,

0 < у < 4,
0 < г < 4,
X

§ 57*. Многогранники

х

-

-

у

2

<

в задачах оптимизации

57.2. Леонид Витальевич Канторович. 57.3. 1912 1986. 57.4. Нобелевской
премии (в 1975 году). 57.5. 1) Анализ условия задачи, перевод его на язык
математики, т. е. составление математической модели; 2) решение задачи
внутри математической модели; 3) перевод полученного решения с языка
математики на язык

57.6.

Перевести

исходной

задачи, т. е. интерпретация полученного решения.

условие задачи на язык математики. 57.8.

геометрическом решении задачи

линейного программирования,

Говорят

о

если соответствующая

система определяет многоугольник или многогранник, т. е. имеет
соответственно две или три независимые переменные.

57.9. Многогранник, который опреде217

ляется соответствующей системой уравнении или неравенств, составленной на
задачи. 57.10. Если полученная система имеет решение.
57.11. Сколь угодно большим. 57.12. Соответственно четырехмерное,
пятимерное, шестимерное,
я-мерное пространства. 57.13. Потому что многогранник

основании условия

...,

является пересечением полупространств,

граней. 57.15. См. рисунок: а) 0.49,
это многогранник

которые задаются плоскостями его

OABCCfi^; б) 0.49, б,

а, это многогранник

ABCD^D^Dfi^B^C^

57.17. Плоскость. 57.18. Перпендикулярен оси Oz. 57.19. Не проходит через
57.20. а) Опустится; б) поднимется на 2.

начало координат.

§ 58*. Полярные координаты

58.6. Ось абсцисс. 58.7.

на плоскости

rcoscP

{

[у

у

sin ф

58.9.

R,

г

=

г

^g.8.

г

=

sin ср.

yjx2

у2,

cos

ср

=
-

радиус окружности. 58.10. г

где R

-,

yjx +у

некоторое фиксированное число. 58.11. г

где а

+

=

аф, где

а

а<р,

некоторое

фиксированное положительное число, ф
угол, измеряемый в радианах.
sin Зф. 58.13. Геометрическим свойством, характеризующим: а)
58.12. г
=

Архимеда,

является постоянство расстояний между соседними витками,
них
из
каждое
равно 2па, действительно, если угол ф увеличивается на 2п, т. е.
точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиус увеличивается на
2па, что и составляет расстояние между соседними витками; б)

спираль

логарифмическую спираль, является то, что каждый

подобен
2п, т. е. точка делает один
предыдущему, действительно,
оборот против часовой стрелки, то радиус увеличивается в а2п раз, это означает,
что следующий виток подобен предыдущему, и коэффициент подобия равен а2п,
используя это свойство, построив один виток логарифмической спирали, все

следующий

ее виток

если угол увеличивается на

остальные витки можно получить

в)

л/2

л/б

2

2

;

г)

.л/з
.

2

подобием. 58.15. а)

58.16. а)

2,

58.17. а) Нет; б) да. 58.18. а) Окружность
218

V2
2
; в)

72
; б)

(л/2, -л/2);

Ч}г)Мя

с центром в начале координат и ра-

диусом, равным 10;

координатной четверти

б) луч с вершиной в начале координат, лежащий в IV
образующий угол 60° с осью абсцисс. 58.19. а) Круг с

и

1; б) внутренние

центром в начале координат и радиусом, равным

концентрическими окружностями с центром

образованного

радиусы которых равны

г)

ZAOB

§

0.50,

см. рисунок
=

30°, ОА

=

2

и

5; в) III координатная четверть без осей координат;
ГМТ
это сектор БОС, без лучей ОБ и ОС, где

искомое

100. 58.20.

у] г2

59*. Сферические координаты
X

59.3.

у
2

sin ф

=

Г COS

\|/

=

г cos

\|/ sin ф,

=

У

=

.

fx2+у2

г

точки кольца,

в начале координат,

COS

+

r22

-

2r1r2cos(<p1

-

ср2).

в пространстве

ф,
59.4.

г

=

yjx2

+

у2

+

г2,

sin

\j/

sin \|/.

59.5. Поверхность Земли

можно считать

=

5

,jx2+y2+z2

сферой. 59.6. Начало

координат находится в центре сферы-Земли, ось О2 выбирается проходящей
через северный полюс, а ось Ох так, чтобы соответствующая плоскость 0x2
проходила через обсерваторию английского города Гринвича. 59.7. Потому что все
точки на

сфере-Земле

одинаково удалены от начала координат О. 59.8.

указании координат на поверхности

Земли для: а)

положительных

\j/

При

от нуля до

90°

широты»; б) отрицательных \|/ от нуля до -90°
берут абсолютную величину \|/ и добавляют слова «южной широты». 59.9. При
указании координат на поверхности Земли для: а) положительных ф от нуля

добавляют

до

слова

«северной

180° добавляют

-180°

б) отрицательных ф от нуля до
величину ф и добавляют слова «западной долготы».

слова «восточной долготы»;

берут абсолютную

59.10. Точки на поверхности Земли, имеющие одинаковый угол: а) \|/, образуют
окружность, которая называется параллелью; б) ф, образуют полуокружность,
называемую меридианом. 59.11. Кратчайшим путем, соединяющим две точки
на сфере, является соединяющая их дуга большой окружности, такой путь
называют ортодромией. 59.12. Наиболее простым маршрутом движения по сфере
является кривая, образующая равные углы с разными меридианами, которая
называется

локсодромией. 59.13. а) «Прямой бег»; б) «косой бег». 59.14. Для

нахождения расстояния между значительно
удаленными друг от друга пунктами голландский математик

В. Снеллиус (1580 1626) строил сеть треугольников
с началом в одном и концом в другом,

которую он

триангуляцией, сеть строилась таким образом,
чтобы из каждой вершины были видны соседние с ней
вершины, измерив расстояние между какими-нибудь
соседними вершинами, и углы, образованные
назвал

сторонами треугольников,
тригонометрических

формул,

можно

с

помощью

найти расстояние между

исходными пунктами. 59.15. Эратосфен (III век до н. э.),
Фалес Милетский (VI век до н. э.), В. Снеллиус
(1580 1626), И. Ньютон (1643 1727), П. Лаплас

219

(1749 1827). 59.16. а)
sin ф

=

0; в)

г

=

,

г

=

2

sin \|/

=

sin \|/

1, sin ф

=

sin ф

=

=

3^

0,

,

2

Ci

90°, 0°
ft

sin <р

=

(Зл/2,

1,

-45°, 90°). 59.17. а) (0,

7з,

;

б)
г)

I

СЛ

г

V7,

sin \|/

3%/2,

sin у

=

=

=

7
=

Л

0

2); б)

г

;

в) (-1,5, 1,5,

1,5^2);

&

г) (1, -41, 2л/3). 59.18. а) (г, \|/, ф); б) (г, \|/, -ф); в) (г, \|/, 180°
ф).
59.19. а) (г, -\{/, -ф); б) (г, -\|/, 180° ф); в) (г, \|/, 180° + ф). 59.20. (г, -\|/, 180° + ф).
59.21. а) Сфера с центром в начале координат и радиусом 1; б) коническая
поверхность с вершиной в начале координат; в) полуплоскость без граничной
прямой. 59.22. Единичный: а) шар; б), в) полушар.
-

-

§ 60. Геометрические места в пространстве
60.1. Плоскость, параллельная данным плоскостям. 60.2. Плоскость,
параллельная параллельным плоскостям, в которых лежат данные скрещивающиеся
прямые. 60.3. Плоскость, параллельная данной плоскости и проходящая через
данную прямую. 60.4. Плоскость, перпендикулярная
через середину отрезка

прямой АВ

и проходящая

АВ. 60.5. Плоскость, перпендикулярная прямой АВ

проходящая через середину отрезка АВ. 60.6.

Перпендикуляр, проведенный

и

к

60.7. Четыре прямые, параллельные линии
пересечения плоскостей. 60.8. Перпендикуляр, проведенный к плоскости:
а) треугольника; б) ромба, через центр вписанной в него окружности. 60.9. Две
биссектральные плоскости данных пересекающихся плоскостей. 60.10.
Окружность. 60.11. Окружность, лежащая в плоскости, перпендикулярной прямой а,
диаметром которой является перпендикуляр, опущенный из точки А на прямую а.
60.12. Сфера, диаметром которой является отрезок АВ. 60.13. Две плоскости,
параллельные данной плоскости и отстоящие от нее на данное расстояние. 60.14. Все
плоскости окружности через ее центр.

данной

прямые, лежащие

в двух плоскостях, параллельных

нее на расстоянии

h. 60.15. Плоскость, параллельная данной

проходящая через середину перпендикуляра,

плоскости.

плоскости

перпендикулярная

плоскости и

данной точки А на
плоскости, параллельной

опущенного из

60.16. Окружность, лежащая в
60.17. Две окружности, лежащие в плоскостях, параллельных
а. 60.18. Плоскость, проходящая через точку А и

данную плоскость а.

данной
данной

и находящихся от

данной прямой CD. 60.19. Полуплоскость, перпендикулярная

плоскости угла и делящая угол

пополам.

60.20. Линия пересечения

плоскости а и

перпендикулярной а и проходящей через прямую АВ. 60.21. Шесть
на которых лежат биссектрисы плоских углов, образованных линиями

плоскости,

прямых,

пересечения данных

центры окружностей,

плоскостей. 60.22. Высота призмы, проведенная через
60.23. Высота призмы,

вписанных в ее основания.

окружностей, описанных около ее оснований
трапеций. 60.24. Внутренние точки: а) сечения, проходящего через
середину данного бокового ребра призмы перпендикулярно ему; б) сечения,
перпендикулярного стороне основания, содержащей данные вершины, и
проходящее через ее середину. 60.25. а), б) Соответственно границы сечений, ука¬
проведенная через центры
равнобедренных

220

занных в задаче 60.24. 60.26. Диагональное сечение куба, перпендикулярное
данной диагонали. 60.27. Сечение, проходящее через середины боковых ребер
параллелепипеда. 60.28. а) Диагональное сечение, содержащее их общее боковое

ребро; б)
отрезок

(рис. 0.51) и боковой грани DDfifi
двугранный угол с ребром DC пополам; в)
центры оснований призмы. 60.29. Отрезок,

для основания ABCD

прямоугольник DEFC,

который

делит

00v который соединяет

соединяющий центры окружностей, вписанных в основания призмы. 60.30. Высота
правильной пирамиды является ГМТ пирамиды, одинаково удаленных от всех
вершин основания пирамиды; высота правильной пирамиды является ГМТ
пирамиды, одинаково удаленных от всех боковых граней пирамиды. 60.31.
Рассмотрим две вершины Б и С основания ABC правильной треугольной пирамиды
ABCD (рис. 0.52): а) замкнутая ломаная ADM, где М
середина ребра ВС;
б) внутренняя часть треугольника ADM; в) плоскость, в которой лежит
треугольник

ADM. 60.32. а) Вершина пирамиды

концы высоты данной пирамиды;

б)

и

центр ее основания, другими словами,

высота пирамиды

без концов; в)

которой лежит высота пирамиды. 60.33. Точка пересечения ее высоты с
плоскостью, перпендикулярной одному из ее боковых ребер и проходящей через
прямая,

на

его середину, т. е. центр сферы, описанной около данной пирамиды. 60.34. В
произвольной треугольной пирамиде ABCD для вершин Б и С проводим сечение,
точку Е; пусть
перпендикулярное ребру ВС и проходящее через его середину
в сечении получился четырехугольник EFGH, тогда: а) замкнутая ломаная EFGH;
б) внутренняя часть четырехугольника EFGH; в) плоскость, в которой лежит
четырехугольник

SABCD, где ABCD

EFGH. 60.35. Дана пирамида
основание;

выберем

две

вершины А и Б и проведем сечение, перпендикулярное
стороне АВ основания и проходящее через ее
середину, тогда:

а)

граница сечения;

б)

внутренность

60.36. а) Высота
пирамиды без концов; б) центр сферы, описанной
сечения;

в)

плоскость сечения.

данной пирамиды,

около

т. е. точка пересечения ее высоты

перпендикулярной боковому ребру и
проходящей через его середину. 60.37. а) Граница

с плоскостью,

сечения, параллельного основанию пирамиды и
проходящего через середину ее высоты; б) внутренность

а). 60.38. В правильном тетраэдре
и ADC искомым ГМТ
АБС
граней
являются два отрезка: АЕ и СЕ, где точка Е
середина
ребра DB, и ребро АС. 60.39. Высота пирамиды без
концов. 60.40. Дан октаэдр SABCDS'; ГМТ, одинаково
удаленных от трех вершин А, Б, С, является прямая,
на которой лежит ось октаэдра SS'. 60.41. Вся
сечения из пункта

ABCD для

внутренняя

часть правильного тетраэдра и все точки его

поверхности.
осью

которой

60.42. Цилиндрическая поверхность,
60.43. Прямые,

является данная прямая.

касающиеся цилиндрической поверхности, радиус
которой равен данному расстоянию и осью которой
221

60.44. Лежат в плоскости, проходящей через данную
перпендикулярной данной плоскости. 60.45. Параллельны ребру
двугранного угла и лежат в биссектральной плоскости этого двугранного угла.

является данная прямая.

прямую и

60.46. Прямые должны быть параллельны. Бесконечно
плоскости,

перпендикулярной

много.

плоскости параллельных прямых и

Оси

лежат в

отстоящей

от этих

60.47. Поверхности двух цилиндров высотой /г,
ги окружности оснований
радиусы оснований которых равны Я + ги J?
являются
по
отношению
к окружностям оснований
которых
концентрическими
данного цилиндра. 60.48. Две прямые на гранях двугранного угла, параллельные
его ребру и находящиеся от него на расстоянии а. 60.49. 4 прямые,
прямых на равное расстояние.

-

параллельные линии пересечения плоскостей и лежащие в биссектральных плоскостях.
60.50. Все прямые, лежащие в плоскости, параллельной данным плоскостям и
находящейся от них на равном расстоянии. 60.51. Коническая поверхность

с

вершиной

в

данной

точке

и

осью,

перпендикулярной данной

плоскости.

60.52. В плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной
данной плоскости. 60.53. Лежат в биссектральных плоскостях по отношению
к данным. 60.54. Лежат в плоскостях, проходящих через биссектрисы углов,

образованных данными прямыми, и перпендикулярных их плоскости.
60.55. Стороны равнобедренного треугольника, являющегося пересечением
поверхности конуса и плоскости, проходящей через середину отрезка,
соединяющего данные точки, и перпендикулярной ему. 60.56. Сферой называется
ГМТ в пространстве, одинаково удаленных от данной точки; шаром
называется ГМТ в пространстве, удаленных от данной точки на расстояние, не
превышающее данное. 60.57. Касательные к шару с центром в данной точке

М и

60.58. Касательная плоскость к шару, проведенная через
данную на его поверхности точку. 60.59. Сфера, для которой данный отрезок
является диаметром, без концов этого диаметра. 60.60. Поверхность,
радиусом, равным т.

образованная вращением дуги окружности,

для

которой данный отрезок

является

хордой, без

концов этой хорды. 60.61. а) Две плоскости, параллельные данной
плоскости и отстоящие от нее на расстояние, равное радиусу шаров; б) прямая,

перпендикулярная данной плоскости и проходящая через данную точку.
60.62. Прямая, проходящая через центр данного шара и данную на его
поверхности точку. 60.63. а) В плоскости, параллельной данным и находящейся от них
на равном расстоянии;

б)

в

биссектральных

плоскостях двугранных углов,

60.64. На цилиндрической
поверхности радиуса R, осью которой является данная прямая. 60.65. Через
центр шара провести плоскость, перпендикулярную данной прямой. Через
точки полученного в сечении большого круга провести прямые, параллельные
данной прямой. Получится бесконечно много прямых, которые образуют
образованных данными пересекающимися плоскостями.

цилиндрическую поверхность. 60.66.

Прямая, перпендикулярная

точек и проходящая через центр окружности,

описанной

60.67. Две сферы,
60.68. Большой круг, плоскость

вершинами которого являются три данные точки.
концентрические

данной,

с радиусами

которого перпендикулярна

R +

г и

R

-

данной прямой.

г.

плоскости данных

около треугольника,

ОГЛАВЛЕНИЕ
3

Предисловие
Глава I. НАЧАЛА СТЕРЕОМЕТРИИ
§

1.

Основные

§

2.

Следствия

§

3.

Пространственные фигуры

16

§

4.

Моделирование многогранников

17

понятия и аксиомы стереометрии

6

13

из аксиом стереометрии

Глава II. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
21

§

5.

Параллельность прямых

§

6.

Скрещивающиеся прямые

22

§

7.

24

§

8.

Параллельность прямой и плоскости
Параллельность двух плоскостей

§

9.

Векторы

§

10.

Коллинеарные

§

11.

Параллельный перенос

§

12.

Параллельное проектирование

32

§

13.

Параллельные проекции

фигур
Изображение пространственных фигур
Сечения многогранников

33
35
40

§ 14.
§ 15.

в пространстве

27
28

в пространстве

30

и компланарные векторы

31
плоских

Глава III. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 16.
§ 17.
§

18.

§

19.

§ 20.
§ 21.
§ 22.
§ 23*.

Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых
Перпендикулярность прямой и плоскости

42

Перпендикуляр и наклонная
Угол между прямой и плоскостью

48

45
51

Расстояния между точками, прямыми

и плоскостями

53

Двугранный угол

56

Перпендикулярность плоскостей

60

Центральное проектирование.
Изображение пространственных фигур

в

центральной проекции

63

Глава IV. МНОГОГРАННИКИ
§ 24.

Многогранные углы

§ 25.
§ 26.

Выпуклые многогранники. Призмы

§ 27.
§ 28*.

Правильные многогранники

79

Полуправильные многогранники
Звездчатые многогранники

82

Кристаллы

88

§ 29*.
§ 30*.

,

и пирамиды

Теорема Эйлера

природные многогранники

66
68
77

85

223

Глава V. КРУГЛЫЕ ТЕЛА
§ 31.
§ 32.

§
§
§
§

33.
34.
35.
36.

и шар. Взаимное расположение сферы
Многогранники, вписанные в сферу

Сфера

и плоскости

Многогранники, описанные около сферы
Цилиндр. Конус
Поворот. Фигуры вращения
Вписанные и описанные цилиндры

89

92
94
97
101
103

§ 37*.
§ 38.

Сечения цилиндра плоскостью. Эллипс
Вписанные и описанные конусы

105

§ 39*.
§ 40.
§ 41.

Конические

110

Симметрия пространственных фигур

112

Движение

116

§ 42*.

Ориентация поверхности. Лист Мёбиуса

117

сечения

107

Глава VI. ОБЪЕМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
§ 43.
§ 44.

§ 45.
§ 46.
§ 47.
§ 48.
§ 49.

Объем фигур

в пространстве.

Объем цилиндра

Принцип Кавальери
Объем пирамиды

123

Объем конуса
Объем шара и его частей
Площадь поверхности
Площадь поверхности шара

119
121
125
127
128

и его

частей

133

Глава VII. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
§

50.

§ 51.

§
§
§
§

52.
53.
54.
55*.

§ 56.
§ 57*.
§

58*.

§

59*.

§ 60.
Ответы

Прямоугольная система координат в пространстве
Расстояние между точками в пространстве

135

Координаты вектора
Скалярное произведение векторов
Уравнение плоскости в пространстве
Уравнение прямой в пространстве

139

Аналитическое задание пространственных фигур

145

Многогранники

в задачах оптимизации

138

141
142

143
147

Полярные координаты на плоскости
Сферические координаты в пространстве

148

Геометрические места в пространстве

150

149

155