С.Д. ЭЙДЕЛЬМАН


Параболические
системы
С. Д. ЭЙДЕЛЬМАН
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1964
517.2
Э 34
УДК 517.944
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................ 5
Введение .............................................   7
Глава 1. Фундаментальные матрицы решений линей-
ных параболических	систем........................ 12
Вводный параграф. О фундаментальных решениях парабо-
лических уравнений	второго порядка . . . ,....... 12
§ 1.	Леммы .......................................   36
§ 2.	Фундаментальные матрицы решений систем, коэффи-
циенты которых зависят от времени t................. 44
§ 3.	Фундаментальные матрицы решений линейных парабо-
лических систем...................................   64
§ 4.	Оценки матрицы Грина в полупространстве (по t) . . 116
§ 5.	О фундаментальных матрицах решений линейных
систем с растущими коэффициентами ......... 128
§ 6.	О поведении решений параболических систем в окре-
стности изолированной особой точки . . .............135
§ 7.	О связи между фундаментальными матрицами решений
параболических и эллиптических систем...............145
§ 8.	Априорные оценки фундаментального решения линей-
ного параболического уравнения второго порядка . . . 155
§ 9.	Изучение фундаментальной матрицы решений в ком-
плексной области....................................165
Глава 2. Некоторые свойства решений параболических
систем.........................ч.....................175
§ 1.	Внутренние оценки решений параболических систем . 175
§ 2.	Гипоэллиптичность параболических систем. Аналитич-
ность решений по пространственным координатам . . 213
§ 3.	Теоремы Лиувилля для решений параболических
систем..............................................220
Глава 3. Задача Коши...................................230
§ 1.	Корректность задачи Коши для линейных систем и
систем, близких к линейным, в классах быстро расту-
щих функций.........................................230
§ 2.	Единственность решения задачи Коши. Необходимое
и достаточное условия единственности решения задачи
Коши для систем с постоянными коэффициентами . . 256
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.	Задача Коши для некоторых систем с растущими коэф-
фициентами ..........................................277
§ 4.	Локальная разрешимость задачи Коши для произволь-
ных нелинейных параболических систем.................286
§ 5.	Продолжение решений задачи Коши для нелинейных
и квазилинейных параболических уравнений ..... 303
§ 6.	О нелокальных теоремах для уравнений второго
порядка..............................................315
§ 7.	Об устойчивости в смысле А. М. Ляпунова решений
задачи Коши..........................................331
§ 8.	О стабилизации решения задачи Коши для параболи-
ческих систем........................................336
Глава 4. Смешанная задача для линейных параболиче-
ских систем.........................................352
§ 1.	Смешанная задача для	полупространства...........352
§ 2.	Смешанная задача для произвольной цилиндрической
области в случае систем с переменными коэффициен-
тами ................................................393
§ 3.	Случай одного уравнения. Задача с косой производ-
ной для уравнений второго порядка .................. 416
Дополнение 1. О различных определениях параболич-
ности систем дифференциальных уравнений в част-
ных производных....................................  ...	424
Дополнение 2. О некоторых классах корректных, по
И. Г. Петровскому, систем с положительным родом .... 433
Литература..............................................438
ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1938 году появилась фундаментальная работа И. Г. Пет-
ровского «О задаче Коши для систем дифференциальных
уравнений с частными производными в области неаналити-
ческих функций», в которой было начато изучение неко-
торых важных классов систем дифференциальных уравнений
с частными производными. В ней, в частности, был опреде-
лен весьма широкий класс так называемых параболических
систем (параболических, по Петровскому, систем), являю-
щихся очень удачным обобщением важного в приложениях
уравнения теплопроводности. Изучение этого класса систем,
начатое И. Г. Петровским, проводилось весьма интенсивно,
особенно в последние годы, в результате чего многие важные
вопросы теории как линейных, так и нелинейных параболи-
ческих, по Петровскому, систем были выяснены с большой
полнотой. Особенно это относится к изучению фундамен-
тальных матриц решений параболических систем, для кото-
рых удалось получить полное аналитическое описание и
точные оценки, и их приложений, к изучению классов кор-
ректности задачи Коши и исследованию внутренних свойств
решений. Этому в основном и посвящена настоящая книга.
Кроме того, в книге проводится исследование специаль-
ных фундаментальных матриц решений, возникающих при
решении общих смешанных задач в случае полупростран-
ства.
Результаты, излагаемые в книге, получены методами клас-
сической математической физики: фундаментальные решения,
преобразования Фурье и Лапласа, изучение свойств решений
с помощью их представления интегралами типа потенциалов
и т. д. Впрочем, применение этих сравнительно скромных
средств позволило получить ряд окончательных результатов,
особенно при изучении задачи Коши,
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Подчеркнем, что книга посвящена именно параболи-
ческим, по Петровскому, системам, поэтому
многочисленные важные результаты, полученные для уравне-
ний второго порядка, остались за ее пределами. Отметим,
что в настоящее время имеется обстоятельный обзор
А. М. Ильина, А. С. Калашникова и О. А. Олейник [18]
по линейным параболическим уравнениям второго порядка.
Теория квазилинейных параболических уравнений второго
порядка сейчас интенсивно разрабатывается, и глубокие и
тонкие факты, полученные в ней, должны быть обобщены
в специальной монографии. Не излагаются в книге и резуль-
таты, полученные для важного подкласса параболических,
по Петровскому, систем, сильно параболических, по М. И. Ви-’
шику. Позитивность оператора, соответствующего ее правой
части, позволила для этого класса получить много важных
результатов с помощью методов функционального анализа.
При подготовке книги к печати мне оказали большую
помощь Н. С. Дронюк, Б. Я. Липко,* Н. В. Житарашу,
особенно ценным было для меня участие в работе над книгой
Степана Дмитриевича Ивасишена, совместно с которым
написаны § 1 гл. 2 и § 4, 5, 6 гл. 3. Всем им я выражаю
свою глубокую благодарность.
Моими учителями в работе над параболическими систе-
мами были И. Г. Петровский, Я. Б. Лопатинский и Г. Е. Ши-
лов, их исследования лежат в основе излагаемых в книге
результатов.
С. Эйдельман
Черновцы,
октябрь 1962 г.
ВВЕДЕНИЕ
Как уже отмечалось в предисловии, предлагаемая книга
посвящена определенному в 1938 году И. Г. Петровским
широкому классу так называемых параболических систем
дифференциальных уравнений с частными производными,
обобщающих важное в различных приложениях уравнение
теплопроводности
ди ___ д2и	.	д2и	.	д2и	,<>.
dt	дх?	дх2	dxl
I	Z	О
Определение это оказалось чрезвычайно удачным, так как
многие глубокие свойства решений уравнения (1) сохрани-
лись для определенных таким образом систем, как линейных,
ia< и нелинейных.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
д”1 щ (t, х)____
dtni ~~
-Лп + Л,+ ... 4-Л- ч
dt * дх*1... дхпп

(/=1, 2, .... N),
х = (хР х2, xn)t 2 означает суммирование по всем
(м
целым неотрицательным ks, сумма которых не превосходит
некоторого числа Л4, причем Л0<^у. Ду>0, д(М1 •••%)(/,
ui{t, х)— комплекснозначные функции действительных аргу-
ментов t и хР х2.....х„.
В определение параболичности входят два элемента:
1) некоторое предположение о конструкции системы, 2) свой-
ство корней специального алгебраического уравнения.
Дифференцированию по t приписывается вес р (р—целое
число) таким образом, что однократное дифференцирование
3
ВВЕДЕНИЕ
пехр х2.....хп соответствует — дифференцированиям по t
(р-кратному дифференцированию по хр х2» •••» хп— одно-
кратное дифференцирование по /).
В соответствии с этим в систему включаются только те
члены, у которых порядки производных удовлетворяют не-
равенствам
kQp + + ^2 + • • • + njP»
т. е. приведенная выше система имеет следующий вид:
д^щ_
dtn*
N
2	A^-kn>{t,x)-^—k-------%. (2)
.	1	dt^dx-i ...дх8п
•+»п<П}Р	1 л
/-1
Определение. Система (2) называется парабо-
лической в смысле И. Г. Петровского в области
пространства t, xv х2, ...» хл, если для любой
точки (/, хг..хл)£о? вещественные части ^-корней
уравнения
det

= 0 (3)
(где 2' означает, что суммирование проводится при
••• + &л = Пур) удовлетворяют неравенству
ReX(t х, ор о2............а„)< — 8(Л х) (4)
при любых вещественных ар о2» •••• °я» для которых
3(/. х)> 0.
ВВЕДЕНИЕ
9
Система (2) называется равномерно параболической
в смысле И. Г. Петровского в области если в не-
равенство (4) вместо функции 8 (/. х) поставить, для
всех (t, xv х2.....х„)£&, положительную постоян-
ную 8.
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать равномерно
параболические в смысле И. Г. Петровского системы, называя
их просто параболическими системами.
Из конструкции уравнения (3) сразу следует, что сово-
купность его корней (Х(/, х, а1..ая)} обладает свойством
однородности порядка р по отношению к ар а2....°п> т- в.
{Х(Л х. aat, аа2...аап)} — {ap\(t, х, av а2....вя)} (5)
для любого а.
Из равенства (5) следует, чТо р четно: ведь если поло-
жить а — 1, а = — 1, то при нечетном р получим противо-
речие с неравенством (4). Если в (5) положить
а = +	... 4-а2лр,
то из получающегося при этом равенства и неравенства (4)
следует, что
КеЦЛ х, av а2......~	+ ... _|_02)Т (6)
при любых вещественных ар а2.....ая.
В дальнейшем будут использованы следующие обозначе-
ния и определения:
1)	р = 2Ь,
2)	х = (хр х2....хя),
0 = (°р °2.°«).
А5 = (£р k2,	Ая);
з)	Н =(«Н’Н ...
°"=°>22 •••«>.
02 = в2-|-02_|_	_	а2.
10
ВВЕДЕНИЕ
4)
О»____________________
-- k k	k
дх*'дх2* ...дх„*
| Л | = 4~ + • • • Н~ ^л*
£>* = (- z/d£;
5)	Еп есть n-мерное евклидово пространство точек
л: = (х1, х2.....хп)\
6)	П[/о,/,) — полоса (слой) в пространстве En+V т. е.
совокупность точек (Л лгр ...» хл), для которых Z0<CZ < ZP
х£Еп\ аналогично определяются полосы П(/о,/j, П[/о,/»]
и /,)»
7)	С('"’а'р) (П[/о, /j) — пространство функций и (/, х), опре-
деленных в П[/о, и имеющих непрерывные и ограниченные
производные по х до порядка /п, которые удовлетворяют
условию Гельдера по х и t соответственно с показа-
телями а и р равномерно в П[/о, /j. Функции и (t, х), опреде-
ленные в полосах П(/о, /j и П(/о, принадлежат соответ-
ствующим пространствам
С(те’“’₽)(П№А1) и С('я’*-и(ПЛ,/1)),
если они удовлетворяют сформулированным выше условиям
в каждом замкнутом подслое:
8)	С^т*л)(Еп) — пространство функций и(х), определен-
ных в Еп и имеющих непрерывные и ограниченные произ-
водные до порядка т, удовлетворяющие условию Гельдера
с показателем а равномерно в Еп*.
С{т^\Еп) = С{т\Еп)\
С(0’а> (En)==C(ll\Eny,
9)	С(гл’а’р’J)(Q) — пространство функций /(Л х, у), опре-
деленных в области Q и имеющих непрерывные и ограни-
ченные производные по х, у до порядка т, которые удо-
влетворяют условию Гельдера по х, t и у соответственно
С показателями ос, р и 1 равномерно в Q.
ВВЕДЕНИЕ
И
Вектор-функция
«=(«р и2.......................в,)
принадлежит соответствующим пространствам
С(/п’	’ (П|,о. |). а) (Ея) и С<т’ *>’> (Q),
если каждая Uj (/=1, 2, ...» v) принадлежит этим прост-
ранствам;
10)	часто одними и теми же буквами мы будем обо-
значать различные постоянные, величины которых нас не ин-
тересуют.
ГЛАВА 1
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Хорошо известна та большая роль, которую играет при
исследовании различных задач для уравнения теплопровод-
ности
ди __д2п .	. д2и
dt дх% * дх2п
функция
G (t, х) = (2 ]Лг/)'"яехр {—| х 12/4t}
— фундаментальное решение этого уравнения. В настоящей
главе будут построены фундаментальные матрицы решений
(ф. м. р.) для линейных параболических систем, получено
их детальное аналитическое описание и точные оценки. При
этом окажется, что ф. м. р. обладает многими свойствами
функции G(/, х).
Изложение будет вестись для систем первого порядка
по это упростит записи и сделает доказательства более
простыми и наглядными.
Вводный параграф.
О фундаментальных решениях параболических уравнений
второго порядка
Для того чтобы дальнейшие общие построения были
более понятны, мы начнем изложение с рассмотрения простого,
но важного частного случая параболических, по Петровскому,
систем — линейного параболического уравнения с частными
ВВОДНЫЙ ПАРАГРАФ
13
производными второго порядка
п	п
*)«.
k,/ = 1	л-1
При этом все рассуждения будут проводиться так, чтобы
затем нетрудно было усмотреть, каким образом излагаемые
методы должны обобщаться на уравнение высшего порядка
(это будет кратко изложено в конце настоящего параграфа).
При этом некоторые специфические детали, относящиеся
именно к уравнениям второго порядка, будут при изложении
опущены.
1. Уравнение теплопроводности. Фундаментальное ре-
шение уравнения и фундаментальное решение задачи
Коши. Рассмотрим уравнение теплопроводности
£0(«)^
 ди	д2и д2и
dt	дх?
д2и ди
дх1 —dt
д« = о.
(1)
Хорошо известно *), что если
«о(*Р х2......................х„) = «0(х)
— непрерывная ограниченная функция, то следующим интег-
ралом (интегралом Пуассона):
оо	оо
ti(t, х)= (2 f f exp {— [(Xj — S,)2-b ...
—oo'	—oo
... + (x„ - W'} «0 (?!........U d^ . . . dln (2)
определяется функция, удовлетворяющая при t > 0 уравне-
нию теплопроводности и стремящаяся к «0(л:0), когда
(f, *)->(0, х°).
*) И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными
производными, Физматгиз, 1961; С. Л. Соболев, Уравнения
математической физики, Гостехиздат, 1954.
14
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. 1
Для упрощения дальнейших записей введем такие обо-
значения:
dK = d\dK2...d^n,
|х|2= x2-f-x|+ ... Н-Х2;
л-мерный интеграл по всему пространству будем
J* ... dk. Определим теперь функцию
обозначать
х) =
(2 П ехр {— | х 12/4/) = G (t, х),
О
t>0,
t <0.
(3)
Она обладает такими свойствами:
1) Функция
И1(/, x) = f &(t, х—g)a0(E)dt
w0(x)—достаточно гладкая, отличная от нуля лишь в конеч-
ной области (финитная) функция, имеет при t > 0 две непре-
рывные производные по хр х2.......хл, одну по /, удов-
летворяет уравнению (1) и начальным условиям
х) = н0(х).
/->о
2) Какую бы гладкую финитную функцию f(t, х) мы
ни взяли, функция
оо
«2 (t, х) = J" dt j" &(t — т, х — 5) / (т, 5) dt
— ОО
имеет непрерывные производные до второго порядка по
хр х2....хп, одну производную по t и удовлетворяет
уравнению'	х) = f(t, х).
Функция	х), обладающая свойством 1), называется
фундаментальным решением (ф. р.) задачи
Коши для уравнения (1), а свойством 2) — фундамен-
тальным решением уравнения (1). Фактически
ф. р. задачи Коши является функция O(t> х), а для
ВВОДНЫЙ ПАРАГРАФ
15
получения ф. р. уравнения нужно ее доопределить нулем при
Отметим, что ф. р. задачи Коши определяется един-
ственным образом, а к ф. р. уравнения можно прибавить
любое регулярное решение уравнения (1), и полученная
функция тоже будет обладать свойством (2), т. е. будет ф. р.
уравнения. Рассмотрим теперь подробно аналитические
свойства функции S(7, х).
При t > О
ё(Л х) = О(Л х) = ^яО1(<г);
О1(2;)=(2)Л;ГяеХр{-1(4+ ... +4)};
z — xfy t\ Gx(z)— целая функция комплексных переменных
zv z2, ...» *л; когда z2, . .>, zn все вещественны, она
быстро убывает (имеет второй порядок убывания), при ком-
плексных zv z2.....zn Gx(z) растет, имея порядок роста,
тоже равный двум. Если аргументы вещественны, то при
/->0, х =/= 0 все производные от О(Л х) стремятся к нулю.
На всей гиперплоскости t = 0 теряется аналитичность
&(/, х), а точка £ = 0, х = 0 является для нее существенно
особой.
Точно такое же полное аналитическое описание нами
будет дальше получено для ф. р. параболических уравнений
и систем.
2. Фундаментальное решение задачи Коши уравнения
второго порядка с коэффициентами, зависящими от t
Как было отмечено в п. 1, для построения ф. р. уравне-
ния достаточно построить ф. р. задачи Коши. Используя
преобразование Фурье, будем решать задачу Коши для пара-
болического уравнения
п	п
л,;=1
lim u(tt х)= я0(х),	(2)
c(t)— комплекснозначные функции веществен-
ного аргумента /, непрерывные на сегменте [0, Т], я0(х) —
достаточно гладкая финитная функция.
16
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ Т
, Параболичность уравнения (1) означает, что существует
положительная постоянная 8 такая, что для всех t £ [О, Г] и
любых вещественных <зр <з2» •••»
п
Ке 2 «*/(08 |а|2.
(3)
Искомое решение представим в виде обратного преобра-
зования Фурье от некоторой подлежащей определению функ-
ции v(t, о):
и (f. х) = F"1© = (2к)"л J е1 (t, о) da. (4)
Здесь
(х, <J) = S Xkak.
k-l
Считая, что все необходимые операции можно провести под
знаком интеграла, подставляем (4) в уравнение (1), тогда
относительно v(t, а) получим обыкновенное уравнение
(п	п	\
- 2 <мо w-H S ь* +с г (5)
kt/-1	л-1	/
и начальное условие
®Ut = 'po(0) = Fa = J r^u^dx.	(6)
Задача (5), (6) в рассматриваемом случае легко решается:
<j) = Q(t, х» <з)0о(<з),	(7)
где
Q(t, т, о) =
= ехр
—нормальное фундаментальное решение задачи Коши (в точке х)
для уравнения (5). Проведем оценку Q(t, х, а). Обозначим
через 2И = sup (|£л(0|» | с(/)|), тогда, используя условие
/С [о, Г]
параболичности, можно записать:
| Q (/» т, о) ехр | ( — 81 о |2 4- М 2 I ak I +	— х) г •
л-1	/ J
ВВОДНЫЙ ПАРАГРАФ
17
Если теперь воспользоваться неравенством
|a||&|<e2|a|2 + (2e)’W
то мы придем к оценке
|Q(t т, в)|<Сехр{-81|в|2(#-'с)),
31 = 8 —Л1е2,
С = ехр {(1 4-л (2s)"2) Л1Г}.
Вставим в (4) v(t, о) из формулы (7):
(8)
(9)
и (t, х) = (2к)"п f е‘ ’>Q (Л т, о) da J е~1 «> »>«0($) dl. (10)
При />т в силу оценок (9) и финитности и0(л:) многократ-
ный интеграл
/ /	т> °)*0(l)dlda
абсолютно сходится, поэтому можно записать
u(t, х) = f {(2«Гп f е1	т, O)da|«0(5)< (11)
Оценки (9) гарантируют законность дифференцирования
по х, t при />т под знаком интеграла в (10), (11), из
чего следует, что и (tt х) удовлетворяет при t > т урав-
нению (1).
Так как и0(а) является преобразованием Фурье достаточно
гладкой финитной функции, то интегрированием по частям и
последующей оценкой легко прийти к неравенству
|<'о(о)1<С1(1 + |<’|)"Л"1.	(12)
Оценки (9), (12) дают возможность перейти в формуле (10)
к пределу при /—под знаками интегралов, при этом по-
лучится
«(—|—т, x) = F”1F«0 = «0(х).
Таким образом, u(tt х), определенная формулой (11),
Дает решение задачи Коши (1), (2), поэтому ф. р. задачи
Коши (1), (2) определяется формулой
О (Л т, х) = (2к)~а f	т, a) da. (13)
Интеграл (13) в рассматриваемом частном случае вычисляется.
С. Д. Эйдельман
18
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
[ГЛ. 1
н<5 мы получим полное аналитическое описание О(/, х) с по-
мощью свойств Q(ft т, а) и оценок, методика получения ко-
торых носит общий характер. Основой этой методики является
изучение функции Q(tt т, $) для комплексных значений пара-
метра s = и получения на основании этого точных
оценок ее преобразования Фурье.
Q (/, т, $) = ехр
п i
— S S
/5,/ = 1 т
п t	t
Л = 1 ?	t
— целая функция п, комплексных переменных s2.......sn.
Проведем ее оценку. Обозначим через М1= sup
/С10, Г1
оценим	1
ср = Re
п t
k, J =1 T
4-У f ЫМ(/в*“ b) <— 2 Re/	+
* = 1 x	J	г
n
k,j~i
(n	. n \
2Ы4-Ц|ъ|)<
/5 = 1	/5 = 1	/
(П	П
2 + 2 I?* I
ft=l	*=1

<[-6|oj2H-2/t2Al1|a|nH-n2Al1|7|24-
-f Л4д|а|4-ЛЛ l-jj}(/- t).
Вводный ПАРАГРАФ
19
А теперь воспользуемся неравенством (8); тогда получим
<р [(_ 8	2Мхп№ + АГ/те2) | с 12 _|_
4- (1 Afj/te'24- Мхп + Мп) 1712] (t — т) 4- МТп (е“2 + 1).
Выбирая по 3 достаточно малое е и обозначая — 8 —|— 22И1п2е2 -|-
4- Мпе2 = — 8Р 8j > 0, у М^е"2 -|- Мхп -|- Мп = F,
ехр {Л4Т/1 (е~21)} = С, приходим к основному неравенству
|Q(t т, ^KCexpK-SJdp+FIll2)^-^}. (14)
Оценим теперь на основании (14) О (Л т, x-\-ly)t t — т > 0:
G(t, т, x+Zy) = (2ir)~“ J' el^x+ly-^Q(t, т. a)da =
l	₽\
= [2rc(f — т)2]	V*)2 'Q/f,x,---------W
Из оценки (14) следует, что О (Л т, х-}-1у) — целая функ-
ция х-\-1у.
Используя аналитичность подынтегральной функции, рас-
сматриваемой для комплексных значений переменных рр
₽2........₽1	+ ^р Рг-Н'Ъ......₽Я + Ч- и оценку (14),*
можно на основании интегральной теоремы Коши написать:
О (Л т, х~\-1у) —
г ₽+/Л
= [2л(/—т)2] У*е ч*-’)2 Qb> т, —
\
7l = (7li’ %»•••• ^л) — произвольный вектор. Переходим
к оценке G:
20
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
Положим теперь = sign xi •
I*/1
a-т)*/.
’io.
тогда
-(^  ") + FI’4!=(-’>»+F«<S)=-c(7^'
c>0, для достаточно малого положительного tq0; используя еще
раз неравенство (8), получим
\G(t. т. x-{-Zy)| <C[21t(/-t),/‘]-nX
X exp{.- с+ (ip  (jMy } / exp {(- 8, +	| ₽ |«| <$.
Выбирая e2 = 81/2, приходим к необходимому неравенству.
Оценки производных от G (t, т, х Н- /у) проводятся так же.
Итак, получены следующие оценки:
|Dj?O(t г. х-Ну)|<
< С. (( - <^ехр{ - с (JiL)’ + F, (-pUL,)’}. (15)
Пфстоянные Cm, с, F зависят лишь от 8, п, Mt Mv Т.
Из оценок (15) следует изложенное в конце п. 1 описа-
ние ф. р. задачи Коши.
3. Решение задачи Коши в классе ограниченных функ-
ций. Неоднородное уравнение. Рассмотрим задачу (1), (2)
п. 2, предполагая, что uQ(x) — непрерывная ограниченная
функция. Оценка (15) п. 2 гарантирует равномерную при
t — т е > 0 сходимость интеграла
u(t, х) = J О (Л т, х — 5)a0(5)d5	(1)
и результатов его формального дифференцирования (под зна-
ком интеграла) раз по /, два раза по xv х2, ...» хя, по-
этому u(t, х) удовлетворяет уравнению (1) п. 1.
Установим, что 1 im и (tt xQ) = uQ (x°). Пусть e (x) — бес-
конечно дифференцируемая финитная функция, равная единице
в шаре |х — х°|<1, 0<>(х)<^1. В п. 2 доказано, что *
функция u(t, x) = J G(t, т, х — 5) uQ (х°) е (5) является ре-
шением задачи Коши для уравнения (1) п. 1, построенным
ВВОДНЫЙ ПАРАГРАФ
21
по начальной функции я0 (х°) е (х). Поэтому достаточно по-
казать, что для функции v(t, x) = u(t, x)—u1(t, х) имеет
место равенство
F	lim v(t, х°) = 0.	(2)
Представим <u(t, х°) в таком виде:
v (Л х°) = J О (t, т, х° - D 1«0 (?) - ЙО (хО)] Я +
4- J О (t, т, х° — ?) [ и0 (5) — а0 (х°) е (?)] d?.
I Х>-£ I > 1)
В силу равномерной непрерывности «0(5) в шаре |5 —
| и0 (?) — uQ (х°)|	ср (ri), lim ср (т)) = 0; используя ограничен-
^->о
ность uQ(x), получим
\v(t,	ехр{—с|х°—5|2/(/ —т))(/ —т) *&+
+ 2ЛС0 ехр { — у ?)2/(/ — т) | X
X f ехр|—.yd*0 — 4W — *)}(*— *) ^d? =
= Oof (ng) 4- Со ехр | ~ rf/(t — т) |.	(3)
А теперь по любому е > 0 выберем вначале 7j так, чтобы
Соф Cq) < -j» затем зафиксируем т) и возьмем t — т столь
малым, чтобы Со ехр { — ~ т)2/(£ — т) |	±. Равенство (2),
таким образом, доказано.
Перейдем к рассмотрению объемного теплового потенциала
t
W(t, х)= j* d? J* G(t, т, x — 5)/(t, 5)
/о
предполагая, что плотность f(t, х) удовлетворяет условиям:
1) f(t, х) непрерывна и ограничена в слое
Про, г] (^о	— °° < xs < °°, 5=1,2, ..., л), tQ 0;
2) /G» х) удовлетворяет в П{/0> rj равномерному условию
Гельдера по х, т. е. существуют постоянные Виа, 0 < а 1,
такие, что j/(t х) — f(t>y)\^B\x — у|а для' любых
u. X), (t, у) из П1/о> л.
22
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. I
Справедлива следующая
Лемма. Если /(/, х) удовлетворяет условиям 1), 2),
то W (t, х) имеет в П(/о> Г| непрерывные производные
по t, две непрерывные производные по xv х2, ...» х„, при
этом первые производные по х вычисляются непосред-
ственным дифференцированием под знаком интеграла,
авторые производные по х и первая по t — по формулам
t
Х[/(Т. S)-/(T, Х)1Л,	(4)
t
x)= f <h f ±G(t, ?, x-5)X
4
X)}dl + f(t, X)4-
t
+	x'	*)• (5)
4
Доказательство. Установим формулу (4). Рассмо-
трим последовательность
/-л
Га(/. х) = f dz f t, X — 5)/(x,	Л>0. (6)
4	7
Так как подынтегральная функция в (6) имеет непрерывную
производную, то можно записать
t-h
4
t-h
= f d\f '	*>!«+
4
t-h
+f
4
Последний интеграл равен нулю, так как
f -^G{t, t, = - f x, x-0^ = 0
ВВОДНЫЙ ПАРАГРАФ
23
в силу формулы Остроградского и оценки (15) п. 1. Уста-
новим теперь сходимость интеграла
t
I{t, х)= f dxf -^-G{t, X,	х)И,
она следует из оценки
|/(Л Х)| <
<С2В f dx f {t —	— M'expj-С ^3;--} =
t
= С2В I* * (t—x) 2 dx У*|г|“ехр{—c|z|2}dz.
to
Покажем теперь, что стремится к /(/, х) при Л->0
равномерно по х. Повторяя только что проведенную оценку,
получим
<С2В У*(t — x)~~dx J* |z|’exp{— c\z\2}dz-j~>0.
t-h
Формула (4) установлена. Формула (5) получается аналогично ♦);
поясним только, как появляется в (5) второе слагаемое. При
t-h
дифференцировании J* dx J G(t, т, х — 5)/(т, по верх-
to
нему пределу получается
f Q(t, t — h, x — Z)f{t — h, =
= f G(t, t — h, x — Z)dKf{t — h, x)4-
G(t, t — h, x — t.)\f(t — h, 5) —
-f {t-h, x)Jdt.f (t, x)
С d
*) Отметим, что в силу равенства J G (t, т, х — 6)rf6 = O
t	7
третье слагаемое в (5) равно J c(t)dt J* G (/,	х — 5) dk f (т,
24
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. 1
равномерно по t (при фиксированном х): первое слагаемое
стремится к /(/, х) в силу проведенных в начале этого
пункта рассуждений, а второе оценивается так:
I f O(t, t — h, X — §{f(t — h. K) — f(t — h, x)]	<
<С()В J Л~exp {—c|x —5|2/Л]|х —
= C0BA° f |z|*exp{—c|*|2}dz^+0.
Из леммы следует, что W(tt х) удовлетворяет уравнению
L(W) = f (t, х). Действительно,
t
L(W)=f(t, х) + fd.f L(O)[f(x, $) —/(т. х)И+
to
t
+	O(t, T, X —5)d^/(T, x) = f(t, X);
to
в третьем слагаемом дописан равный нулю член
п
Таким образом, функция
I О (/, т, х), t > т,
l(t, т, х) = |	0
— Ф- Р* уравнения (1) п. 2.
4. О фундаментальных решениях уравнений, коэф-
фициенты которых зависят от параметра. Здесь при-
водятся некоторые вспомогательные предложения, нужные для
построения ф. р. уравнений, коэффициенты которых зависят
от всех координат.
Рассмотрим уравнение, коэффициенты которого зависят
от t и параметра у:
п
St — 2^ У) дхцдх,'	W
*./-1 7
ВВОДНЫЙ ПАРАГРАФ
25
у___любой вектор из «-мерного пространства Еп. Параболич-
ность (1) означает, что при любых (t, у) из слоя П {0 t Т,
у £ Еп\ и любых вещественных ov о2.......а„
п
Re 2 ak](t, У)а*а <-В|а|2.	(2)
*,/-1
При каждом у можно построить с помощью методики, изло-
женной в п. 2, ф. р. уравнения (1) G0(t, т, х, у). Установим
сейчас два свойства G0(t, х, х, у).
Свойство 1. Если akj(t, у) — непрерывные и огра-
ниченные в П функции, удовлетворяющие равномер-
ному условию Гельдера по у, то
т, х, y) — D?G0(t, х, х, г)|<
<СтВ|у-г|’(/-т)" 2 exp{-cJ^L-[, m<2. (3)
Доказательство. Рассмотрим тождества
п
dQ (/, т, s, у)	V	ч /д	ч
л
dQ (t, х, s, г) V	..	х Л .. х
— — 2j z)skSjQ<t> *)•
На их основании получим тождество для A(Q = (?(/, х, $, у)—
— Q(t, х, s, z)'.
п
akj(^ y)sksj^Q+~
*,/-1
п
+ Ц lak)(t, y)—ak](t, z)\sksfi(t, x,s, z).
k,j-i
Рассматривая последнее тождество как уравнение относи-
тельно AQ и используя начальные условия AQ|/=X = O, по-
лучим
t	г л
fQ(t, 0, S, у) 2 («*/(?• У>— «*/(₽’ X
«	L*./-1
Х<2(0. s, z)dp.
2б	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ [ГЛ. 1
•Из сделанных предположений следует, что для Q(t, т, $, у)
справедлива оценка (14) п. 2 с постоянными, не зависящими
от у. На основании этого найдем
t
|AQ|< JCexpK-Mep+FHPW-P)) X
XB|y-«|’/I2|sj2CeXp{(-81|a|2+F|7|2)(P-T)}dp =
= jy — z|’C2Zf/i2|s|2(£ — r)exp{(— 8i|e|2+F| ll2)(/ — x)} <
<C'exp {(- B2| a|2 + FJ T|2)(f-z)).| у - z\'.
0 < 32 < Fj > F. Из последней оценки, повторяя рассу-
ждения п. 2, получаем оценку (3).
Свойство 2. Если f(tt х) удовлетворяет усло-
виям 1), 2) л. 3, то
W(t. х)= fdtf O0(f, т, х -t В)/(т.
/о
имеет в П(/о> Г| непрерывные производные первого по-
рядка по х, которые вычисляются дифференцированием
под знаком интеграла, непрерывную первую производ-
ную по t и вторые по xv х2......хп, которые опре-
деляются формулами
t
I/ <’ '>-/<’ '>1*+
to
t
+ f ’• *-* «к *> <4>
to
t
+ f d\f 4t°^' T> x~e>	+
to
t
+ f f x~^‘ ^d')f^'	<5>
ВВОДНЫЙ ПАРАГРАФ
27
Формулы (4), (5) устанавливаются так же, как аналогич-
ные формулы в лемме, дополнительное последнее слагаемое
изучается с помощью равенства
д2	TI
и свойства 1, в силу которого
\^-fo,V, г. x-t.	(6)
5.	Фундаментальное решение линейного параболи-
ческого уравнения второго порядка. Вышеизложенное по-
зволяет построить ф. р. для параболического уравнения
п
г / \ ди V1	х д2и
. L^~ dt	дхкдх}
-^bk(t, X)^--c(t,x)a = 0.	(1)
й-1
Теорема. Если коэффициенты параболического
в слое II уравнения (1) удовлетворяют условиям*. 1) они
непрерывны в П, 2) удовлетворяют равномерному усло-
вию Гельдера с показателем а, 0<а<1, по х, тогда
у уравнения (1) есть ф. р. Z(tt т, х, 5), для которого
справедлива оценка
[DmZ(t, t, х, i)\^Cm(t-z)~J!~^L~exp{-c\x-W-z)},
|m|<2.	(2)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательное урав-
нение с параметром
п	‘
ди V* /х х д2и
dt ~	dxkdxj ’
28
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
Его ф. р. обозначим через О0(Л т, х, у). Будем отыскивать
ф. р. Z(t, т, х, $) по методу Э. Э. Леви в виде
Z(f, т, х, 5) = О0(/, т, х — $, ?)+
t
+	G0(t, р. х — у, у)<р(р, t. у, l)dy = OQ + W, (4)
где ср (/, т, х, 5) — подлежащая определению функция, о ко-
торой априори предполагается: при />т <р(£, т, х, 5) не-
прерывна и
|ср(Л X, хЛ)|<С(/ —х) 2 ехр {—с [х —5|2/(/—.т)}, (5)
|Д?| = |<р(/, х« х> &) —<Р(*. х- х'> *)К
/14-2—02
<с|х-х'|в1 а-т) ~ х
Xniax{exp(—с' ' j» ехр(—с' т' ’) } *
ах < а, а2 = а — аР
Из этих априорных ограничений легко следует, что для
любой непрерывной ограниченной функции я0($) будет
lim f Z (t т, x, 5) «0 (?) — lim f Go (/, t, x—$, $) «0 (5) rft
т. e. при t -> г в смысле «порядка» особенности W (Л т, х, 5)
является второстепенным членом (он прибавлен для того,
чтобы Z(/, т, х, 5), при надлежащем выбора <р(Л т, х, 5),
удовлетворяло при / >т уравнению (1)). Подсчитаем и оце-
ним K(t, т, х, $) = L(G0(/, т, х — $, $)):
п
дг г _
dxk dxj 0
|АГ(/, т,хД)]=	^)—аЛ7(Лх)]
п
-	*)-^а0-с(/.х)О0 <
Л-1
[п+2	п+1
С2п2В|х — $Г(/ — х) 2 +^44/1 (/ —т) 2 -+
—1
+ С0Л4 (/ — т)" 2 J ехр {— с | х — 512/(/— t)} <
п+2-я
<Д(/ — х)	2 ехр{— с\х — 5|2/(/ — т)}.
(7)
ВВОДНЫЙ ПАРАГРАФ
29
Применим теперь оператор L к W (t, т, х, $). Представим W
в виде суммы: W = f + J; в первом р < tx < /, поэтому
можно все дифференцирования провести непосредственно,
а ко второму в силу априорных предположений применимы
утверждения свойства 2. При этом мы получим
£(VQ==<p(6 Т, х, о +
t
+ f f
т
t / п	\
—P(?,t,x,E)]</y + f	f (	д£-+е(/’х)]	0,(/'
т	\Л-1	/
t
х ,(?. t, у, 5) dy+J d? [А ак} а,х} дх*дХ; ] X
т
х | Оо (6 3, х-у, у) dy<f> (?, t, X, 0.
В силу оценки (7) первый интеграл можно представить в виде
суммы двух интегралов, а затем второй из полученных таким
образом интегралов в сумме с последними даст нуль.
Итак, для того чтобы Z (t, т, х, 5) было при t > т ре-
шением уравнения (1), нужно, чтобы ср (t, т, х, £) было ре-
шением интегрального уравнения
<p(f, т, х, 8)= — K(t, X, X, 8)+
г
+ f d$f — K(t, ₽. х, у)ср(р, х, у, l)dy. (8)
Интегральное уравнение (8) решается методом последователь-
ных приближений, при этом ср(^, т, х, 5) является его ре-
зольвентой:
<Р(Л X, X, о = Д (—\TKm(t, X, X, 8),	(9)
Kx(t, х, х, = х, х, 8),
Km(t, x, x, 8) » fd^f K(t, 0, x,	t. У, §dy.
30
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
• Проведем оценку повторных ядер; оценим K2(t, т, х, $):

(<-₽)2
1У-Е Р
dy =
2я-л-2
♦/	2-а	2-я
' (*-0)2 (₽-т)“
1 ~с
X—— '
(?-т)2
= л=в(|. у)(/ехр|—с(icy
(последние интегралы легко вычисляются). Оценка K3(tt т, х, 5),
K^(tt т, х, 5) и т. д. проводится совершенно так же; при
этом с помощью индукции легко доказывается, что для лю-
бого т
\Km{t, г, хЛ)|<
"('"-О	та-п—2	1Л--ЕР
<—2	(/— т) 2 е'С . (10J
г(та^ \с'	™
Из оценок (10т) вытекает равномерная и абсолютная сходи-
мость ряда (9) при t — т е > 0 и справедливость для
<р(/, т, х, £) априорной оценки (5).
Установим теперь справедливость для ср (Л т, х, 5) нера-
венства (6). При (t — т)2 < |х — х'[ оно следует из (5), по-
этому рассмотрим случай |х—х'|<:(£—т)2. Оценим вначале*)
|ДК| =
п
2 [Да*ллх)’•*-*•*)+
!’7-1	т
+ Галу(Л 0 — akj{t,	Goj —
п
Л=1
♦) Так как Оценка | ДК | при (t — т),/з < | х — х' | сразу следует
из (7), то рассматривается случай | х — х' | < (t —• т)Ч
ВВОДНЫЙ ПАРАГРАФ
31
/	л+2
^ДсО0 — c(t, х')ДО0|<(С2В/г2|х — x'\*(t — т)' 2
4-	15 - х' Iх - х’ I (t - т)~^~ +
+ С1В"|х-хТ(/-<'^ +
п+2	п
4-С?Л1’|х — x'\(t— т) 2 4-СсВ|х — x'\a(t — т) 2 +
-j-C]Al |х— Х'|(^— т)~ 2 -J.&xp с } •<
П + 2-а2
<Л1|х —х'|в|(< —т) 2 ехр{ —с,—}. (11)
При проведении последних
представлялись по теореме
Все время использовалось
1* — х' I < (t — т)’/2 и -1
оценок члены вида Д -т—.— Оп
UXjOXk и
о среднем, а затем оценивались.
элементарное неравенство: .1Ри
<9<1
|х—6| < I X— g . g X— х' I < I X — g|
(t — т)'Л (t— -с)'/’	(t-T.)'!* (t — т)'/«
С помощью неравенств (5), (11) оценим
|Д1Г| = /d? / ДК(Л у)<рф. т. У, V)dy
t
< С А, | х - х' Г' /---------X
т (*-₽) 2 (?-*) 2
г -А Г -Г lx~y |2 -С '-г'-у!2 1 _е 1У-*'2
X / (/ — Р) 2 [е	-j-e	\е X
п	п+2-а-а,
Х(?-<2 dy<C2|x-x'|a‘(/-< х
X ехр {— Cj I х — t\2l(t — X)}.
Итак, априорные оценки (5), (6) установлены, поэтому
т, х, %) является при t > т решением уравнения (1). По-
лучим оценки (2), для этого достаточно оценить производные
32	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ (ГЛ. I
от 1F, используя формулы из свойства 2, неравен-
ства (5), (6) и неравенство (6) п. 4. Рассмотрим, например,
dxjdxk т’ х' Обозначая через tx =	» имеем
6
I d^W I Г
I dxkdxj | J
т
t
+ f dx&Sxj °0 T’ y' S) ~ T’ x' dy +
6
Л2
dxkdXj °о(М>
, х, х — у, у) dyj <р (р, х, х, 0
rfp
(<-р)(3-г) 2
_c|y_5|W_T)}--------*1-----
[(/-^(Р-г)]2

t,
ехр {- с Iх. - УIW ->)} X
(*-₽) 2
X ехр {— сг | у — 5 |2/(р — х))-----+
(₽-х)	2
/ 2~« 2~а
+ С'С / (<-₽) 2 (р — х)- 2 х
ti
X exp{—c|x — E[2/(p — x)} dp<
< C (t — x)	~' exp {— q | x — В |2/(f — x)J.
Теорема полностью доказана.
Следует отметить, что старшие производные от Z (/, т, х\ 6)
удовлетворяют условию Гельдера по х, доказательство чего
мы в этом вводном параграфе не приводим. Ф. р. имеют
многочисленные интересные и важные свойства, которые из-
ложены в основном тексте книги.
ВВОДНЫЙ ПАРАГРАФ
33
6. О задаче Коши для параболических уравнений
в классах растущих функций. Кратко изложим некоторые
непосредственные следствия из теоремы о существовании
матрицы Z(t т, х, £). Рассмотрим обобщенный интеграл
Пуассона
u(t, x) = fz (t, т, X, 5) «0 (5) dt = Аа0, (1)
предполагая, что непрерывная начальная функция и0(х) удо-
влетворяет оценке | uQ (х) [ < К ехр [а | х |2}. Считая t — т до-
статочно малым, оценим и (t, х):
л	--
|«(Л *)|<COKJ eXp{-c|x-e|2/(/-T)+aj$|2}(f-T) 2 <
Последний интеграл легко подсчитывается, при этом полу-
чается
IU(Л х)| <С0К	(с—а (/-X))" 2 ехр{-± --?_т) |а:»2}. (2)
Если предположить, что т < t т-f- с = Тр 0 < е < с,
то и (Л х) будет удовлетворять уравнению (1) п. 5, а при
т будет u(i, х)—>«0(х). Доказательство последнего
почти не отличается от рассуждений п. 3.
Оценка (2) описывает область значений оператора А.
Если через определить банахово пространство непре-
рывных функций /(х), для которых
11/11 = sup (|/(х)| ехр {—A(0|x|2})<-f-oo,
то А — ограниченный оператор из Са в С& Аналогично
этот оператор может быть Изучен в пространствах L с весом
ехр {— рА(0|х|2}.
С помощью ф. р. Z (t, т, х, 5) устанавливается коррект*
ная разрешимость задачи Коши в классах функций, растущих
как ехр {k(t) |х|2}, в предположениях теоремы п. 5.
Дифференциальные свойства объемного потенциала
t
J d'z J* Z(t, т, x, 5)/(т,
tz
3 С. Д. Эйдельман
34
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
[ГЛ. 1
/(Л	изучаются так же, как свойства
объемного теплового потенциала IF п. 3, откуда следует,
что решение задачи Коши для неоднородного уравнения
L(u,) = f(tt х) дается формулой
U(t, X) = f Z(t, t0, x, 5)B0($)d$ +
t
+ f(k f Z(t, T, X, S)dS.
В заключение отметим, что из единственности решения задачи
Коши для уравнения (1) п. 5 в классе ограниченных функ-
ций следует, что ф. р. Z(/, т, х, $) определяется единствен-
ным образом и для него справедлива важная формула свертки
Z(t,x, х, о = /z(t, р, х, y)Z(p, т. у, 5)dy, т<р <t
7. Замечание' о параболических уравнениях высшего
порядка. Рассмотрим уравнение
4г= S	С1)
1*1 <2*
=	/’*'	, |Л|=Л1 + Л2+ ... +ля. Его
дх,1 ... дх"
1	п	__
параболичность означает, что для любых (Л х)^Пи любых
вещественных <?2.......<зп
Re 5 ak(t. x)?< —8|а|2*.	(2)
I * |«2*
ak = а*> <5*2 ... а*л. Построение ф. р. для таких уравнений
проводится по изложенной для уравнений второго порядка
схеме. Здесь будут кратко изложены те йзменения, которые
нужно внести в проводящиеся при этом оценки.
Вначале будем считать коэффициенты зависящими лишь
от t. Нормальное ф. р. Q (t, т, $) уравнения =
~ 2	определяется формулой
1*1 <2*
Q(it т, $)=ехр
t
2 /мм**
|*1<2*т
ВВОДНЫЙ ПАРАГРАФ
35
Оценку Q можно провести, рассмотрев два случая:
I)	2) |т|>ч|°|» в первом случае, повторяя
оценки п. 2 и выбирая т] достаточно малым, получим
|Q(t т, s)|<Cexp{—	— t)},
во втором случае
|Q(t т, s)| <СеХр {(-8 |а|2Ч F(ij) |Т|2>)(/-т)}.
Изучение ф. р. — преобразования Фурье Q (t9 т, $) — прово-
дится также с помощью изменения области интегрирования,
при этом используется неравенство Юнга
|«*1<
|е*|2»
2Ь
1 р |«
Ч I « I ’
26
26 —1 ’
а сдвиг т) = (i7i. Ъ.....•»)«) выбирается так:
iQt = i7o(signxft)?x’~*.
При этом получится такая оценка:
n+l m I
| DmG (t^x)\<Cm (/-< *> exp.
(3)
Все построения п. 3 и 4 носят общий характер. Доказатель-
ство основной теоремы проводится по изложенной в п. 5
схеме, однако методика оценки повторных ядер иная. Она
вызвана желанием сохранить для строящейся функции
Z(t* т, х, S) экспоненциальную оценку (3). При рассмотрении
второго повторного ядра возникает необходимость оценить
интеграл
X[(/-₽)Ф-т)] ”dy. (4)
Оценка / основана на легко устанавливаемом неравенстве
? = (2*)'
. (*-У)?	, (у-5)’ (х-ф
_J_ '1	~Т~	~ ’
ф-т)24"1	0-т)»Г>
(5;
з»
36
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
из которого легко следует, что
___i_
I С (е) (t — -с) 26 ехр
/ х—? V)
— (с —е)	J_
\ /
(6)
е — любое положительное число, меньшее с.
Применение оценки (6) уменьшает в оценке каждого
следующего повторного ядра тип убывания на е, поэтому
для оценки всех повторных ядер она не годится. Мы посту-
паем так: оценку (6) применяют до тех пор, пока в оценках
повторных ядер есть отрицательная степень t — т; когда они
кончаются, т. е. для ь.екоторого ядра Кт* имеет место оценка
| Кт* (t, т, х, 5) К Cj ехр
то следующие ядра оцениваются уже на основании неравен-
ства (5).
§ 1. Леммы
Здесь излагается ряд элементарных лемм, нужных для
изучения свойств и получения точных оценок фундаменталь-
ных матриц решений.
1. Некоторые леммы. Лемма 1.1. Пусть f(s) — це-
лая функция п комплексных переменных s2. ...» sn,
sk — ak-\-1^ удовлетворяющая неравенству
{п	п	\
. (1)
Л-1	Л-1	)
р*>1, aft>0,
тогда ее преобразование Фурье ^(z) является целой
функцией переменных zv z2, .... zn, zk = хк + 1ук и для
нее справедлива оценка
{п
- +
Л» 1	*
п	ХЛ
+ S Р*| У»| ‘ . «А>0, (2)
ы	)
—+4-=i. —+4-=i.
Pi Pt	Як	Я в
ЛЕММЫ.
Доказательство. Используя аналитичность f (s)9
оценку (1) и применяя теорему Коши, запишем
ф(^)= Г	(o)d<s — J (x+ly> a+Wf(c-J-ttfda,
(z, а) = ^4- ... 4~гя<зя, da = da1 ... dan; интегрирование
распространяется на все л-мерное пространство ар а2» • • •» °л»
^ = (Тр ...» 7Я) — произвольно. Используя (1), получим
|У(г)| <Сехр (х. 7) +	Ьк |ъ|’* X
п сю
ХП Jexp{—«yhP + ly/vlJrf6? <3>
Для дальнейших оценок запишем неравенство Юнга
в котором т)у = [(1—s.)ajpj\p^, 0<е<1; в качестве
г 9 _ |
возьмем = — 8Л (sign хку кхкк	и воспользуемся очевид.
ным равенством (qk — *)Як=я'ь- Тогда из (3) получим
|Т (г)1 < в ехр {•2 (_ s, +^,) ।,,	।|’i}.
₽*= 4-1(1
5= СП f dOi/SL^i .
1-1 d	J _l
/-1 -oo	/-1
Так как qk pk > 1, то можно всегда выбрать достаточно
малые 84 так, чтобы. лк = — L 4- О’* были отрицательны.
Лемма доказана.
38
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ. I
Лемма 2.1. Если f(s)— вещественная непрерывная
однородная измерения 2Ь функция комплексных пере-
менных sp s2....sn. удовлетворяющая неравенству
/(а)<-8|ор,	(4)
то для любого 8Р 0 < < 8. найдется такая положи-
тельная постоянная F(8j), что для всех $
/(*)<-*!	+	(5)
Доказательство. Рассмотрим функцию
ф(«. I) = 1тГя (/(»+'-r)+s, H”i=/<Н-<т‘НА|Е|“;
Е = ТТГ- =	т*0’
она ограничена (постоянной, не зависящей от а, т)» так как
для |$| >/?, при достаточно большом /?,
близка к
Н'Ш+М’
отрицательной в силу (4), а при |Е| R ограниченность Ф (а, 7)
следует из ее непрерывности.
Заметим, что так же доказывается несколько более общее
предложение: если f(s) — вещественная, непрерывная
обобщенно однородная функция sv s2..sa. т. е. для
/ 1 1 1 \
любогоа>Ь	ap*s2..... aPnsn)=af (sv s2,..., sn),
n ч
то из неравенства /(a)^— 8	следует, что
/(*)<- is i«7 +p (»i) 2 17/'.
Лемма 3.1. Пусть A — произвольная матрица
N-го порядка с комплексными элементами*, пусть Хр
•••»	— характеристические числа матрицы* А.
а А = max Re Ху. Тогда при имеет место неравен-
ство
/V—1
И4 II О' 2(2/» лц)‘ '	(в)
^-0
ЛЕММЫ
39
§ 1]
И ||___норма матрицы (т. е. норма соответствующего
оператора в /У-мерном евклидовом пространстве)* *). Всюду
в дальнейшем мы для простоты норму матрицы будем обо-
значать |	| •
Лемма 4.1 (Гронуолла). Если u(f)9	a Cl—
положительная постоянная и если для t
t
«(0 < ci + J и СО СО
6
то
и (/) < С! ехр
t
J ti(x)dT
/о
(7)
Доказательство. Исходное неравенство можно пере-
писать в виде
----------------«(/),
С, + J « о) v (т) dt
to
интегрируя обе его части от tQ до t> получим
\ <
Cj 4~ J* и (т) v (т) dx I — In С, < J* v (т) dr,
to	'	to
таким образом,
t
а(0<С14- J u(x)v(x) dx^Cjexp
to
J* tf(x)dT .
to
2. Оценки и свойства некоторых интегралов.
Лемма 5.1. Для интеграла
Xt
(₽ —х)<
Gi
х — У |1-« ।
(f-0)a I
1	\ X
JJK*-₽)(₽--Or‘rfy. (I)
*) Эта важная для дальнейшего лемма заимствована из моно-
графии И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова, Некоторые вопросы
теории дифференциальных уравнений (Обобщенные функции, вып. 3)
L 7 iJfo же на СТР- 78—82 изложено ее доказательство), Физ-
м атгиз, 1Уоо.
40
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ. 1
0<а<1, *с<р<Л справедлива оценка
{1 ч
I (<—’)• I J
0<е<1.	(2)
Доказательство. Во-первых, докажем, что функция
1 1
f <v» = х~у 1х~“ I у~£ I1"*
/1(У)	(*-₽)* I + (₽—0“ I
удовлетворяет неравенству
достигается в точке
q, он
х —$
1 а. Используя это.
1
х—е
для х = В это очевидно, пусть х < 5 (для х > 5 рассмотре-
ние проводится аналогично), при у < х < 5 fx (у) монотонно
убывает, для х < 5 < у монотонно растет, поэтому ее мини-
мум находится на сегменте [х
-	т)+е(г—в) I
у = ——------------*2. и равен
t — т	I
оценим Ix(tt *с, х, 5):
т, х, 5)<ехр|— а(1 —е)
со
X f ехр {-	(у)} [(f - р) ф -1)]- dy.
—ОО
Оценим последний интеграл: если т < f < т + ~2~ •
Л. Q t 1
t — ₽ > —J- ’ то
оо
f ехр|-«Л(у)1 [(/_р)ф_х)]-</у<
— ОО
< 2е (/- т)-’J ехр {-еа [| у - М Ф - сГ’ПН X
—оо
ОО	1
Хф — t)-edy = 2eee-l(/ — т)-’ f dz;
§11
ЛЕММЫ
41
t т
в случае с +	— •< Р < оценка проводится аналогично.
Таким образом,
оо	1
/j(t <, X, 5X2V-1 J e~az 1~а dzx
— ОО
Хехр{ —а(1 — е)[|х — 5| (* —т)~ар~а }(/— т)~в.
1	/14
Заметим, что в случае а = '2' интеграл (1) легко вы-
числяется:	1
ла, Т, х, 5)=]/Ja-тПехр { —^|а;—т)-1}. (3)
Лемма 6.1. Для интеграла
°° I	1	1 )
/2(А х) = Jexpi — с(|х—(4)
—оо
1—«
0<а<1, 0 < /<	. О <е < с, а > 0, справед-
лива оценка
{а	1 )
Г 1~а	1	1—а I
(с—е)а[(с — е) *—ta “ J |х| J.
(5)
Доказательство. Введем новую переменную инте-
грирования у = (£ — х)ГЛ, тогда
/2(/, х)= Jexp{ —с|у|^4-а|х + уИГ:“}<Ъ’-
— ОО
Предположим, для определенности, что х > 0, и рассмотрим
функцию
1 1
Л(У) = -а-е).|у| 1-а +а |х4 у/а| ь-а;
хли у< — хГл, то
Л(У)<[— (с — е)+|у |т:г<0,
если —xt~* < у < О,
1 1 1
А (У) <С — (с — е) | у Г1-“ 4- а |х|1-в •< а |х|1-а,
42
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
[ГЛ. 1
при функция /2(у) дифференцируема, она
своего наибольшего значения при
достигает
Из вышеизложенного следует оценка (5).
Г 1та.
Замечание. Функция А (/, а) — са[с л —ta а J
фигурирующая в оценке (5), обладает важным «групповым»
свойством:
k(t — т, *(т, #)) = *(/, а).	(6)
Это свойство проверяется непосредственным подсчетом. Для
а = у интеграл /2 (*• *) вычисляется:
Лемма 7.1. Для интеграла
I(r) = f	ехр{ —	Р"2^}(7)
О
а > 0, с > 0, г > 0, 7 > 0, справедлива оценка
Сг2Ь~\	7 > 26,	(8j)
/(r)<	Clnl-f-Cp	Т = 2£,	(82)
С,	т < 2Ь.	(83)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай 7 > 2Ь\
__L
сделаем замену переменной гр 2’ =а, тогда
/, = 26г2»-т Jexpj—са?»-1 faT~ (2ft+1)tfa <Сг2й~т.
§11
ЛЕММЫ
43
Переходим к случаю -[==2#; будем для простоты считать
а = 1, этого всегда можно добиться введением новой Пере-
26
менной интегрирования. Обозначая z = cr2b~11 имеем
/(*) = /
= — f ?”5*ZT"1exp{—= —(26+1) —,
ClZ	е/	z
о
поэтому
2 1 1
7(г) = -(26+1) /’е-г-у-+ f eV2*"* ±.!
1	о
Разлагая в степенной ряд и проводя почленное интегри-
рование, получим
/(«) = (2»- 1) 1п±+(2»- 1) £+ С,.
Из последнего равенства непосредственно следует оценка (82).
Оценка (83) очевидна.
Лемма 8.1. Пусть <р(Л, Е) ограничена и непрерывна
и <р (0, х) = 0, тогда
lim /А= lim
Л->+0	4-> + 0
A"“"<p(A, E)dE=O.
О)
Доказательство. Пусть е > 0 и 8Р 82 выбраны так,
чтобы |<р(Л, Е)| <е при |Е— х| <8Р 0 < h < 82 и |х|
Тогда при h < 82
/•	л	1 I
4= J |<р(Л, 5)1 ехр
|ж-{|<«.	s-1L Й J J
р j	—1__I
<e J exp j — с X kJ 1_* j dz. (10)
44
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ. 1
Далее,
4 = f |<р(Л. 5)|ехр
I х-£1 > «1

<sup |<р(А. 5)1 J ехр
I z | > М-а
dz. (11)
Из (10), (11) следует (9); отметим, что стремление /л*к нулю
равномерно по х при	R — любое положительное
число.
Замечание. Равенство (9) остается справедливым, если
вместо ограниченности ср (Л, $) предполагать, что
0 < < с.
Оценку f'h в этом случае нужно провести с помощью леммы 6.1,
что дает
ехр
л 1
S-1
X J ехр
|3| >М~а
(ИЭ
Из оценок (10), (11') вытекает (9).
Заметим также, что нами была использована непрерыв-
ность <р(Л, 5) только в некоторой окрестности точки (0, х).
§ 2. Фундаментальные матрицы решений
систем, коэффициенты которых зависят
от времени t
1.	Решение задачи Коши по финитной начальной
функции. Решим задачу Коши для параболической системы
^=2 Ak(t)Dku^P(t, D)a, (1)
I И |<2»
lim «(/, x) = uQ(x),	(2)
СИСТЕМЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ ЗАВИСЯТ ОТ I 45
элементы матрицы Ak(t) предполагаются не-
прерывными на сегменте [О, Т] функциями, а составляющие
вектора uQ(x)— достаточно гладкими финитными (равными
нулю вне некоторого шара) функциями. Ищем решение задачи
Коши в виде обратного преобразования Фурье от некоторой,
подлежащей определению вектор-функции v(t, о):
и (t, х) = (2it)~" J* el <*• 'к) (t, a) da.	(3)
Если интеграл (3) равномерно (по х и t) сходится вместе
со всеми формальными (взятым^ под знаком интеграла) произ-
водными, входящими в систему (1), и равномерно сходится
при Т], то для того, чтобы u(t, х), определенная фор-
мулой (3), была решением задачи (1), (2), нужно, чтобы
и(/, а) являлась решением следующей задачи:
^- = P(t,a)v== 2	(4)
I* |<2»
• v(t, d) = v0(a),	(5)
=	(6)
Решение задачи (4), (5) записывается в виде
v(t, a) = Q(t, т, a)v0(a),	(7)
где Q(t, т, о)— нормальная ф. м. р. системы (4), т. е. ма-
трица, каждый столбец которой является решением системы (4),
удовлетворяющая условию
Q(t, т, g) = £.	(8)
В следующем пункте будет показано, что для Q(tt т, с)
справедлива оценка
|Q(t т, aJKCexpf-ajaPtf — т)},	> 0. (9)
Из того, что v0(g) является преобразованием Фурье гладкой
финитной функции, имеющей г непрерывных производных,
следует, что
1^о(°)1 ^И+НГ'.	(Ю)
При	оценки (9), (10) гарантируют законность всех
операций, проведенных выше, поэтому
« (f. х) = (2те)-л J е1 <*•	(/, т, а) J е~1 «• % (5) d\ da. (11)
46	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ (ГЛ. |
Так как при />т Q(tt т, а) экспоненциально убывает^,
а я0(5) — финитная функция, то интеграл
f j* el ’>(? (t, x, a) u0 ($) dt da
абсолютно сходится, поэтому на основании теоремы Фубини
можно записать
и (t, x) = f (W”/ el	”<? (t x, a) dauQ (?) dt (12)’
Определение. Ф. м. p. задачи Коши {матрицей
Грина) называется матрица G (t, х, х) такая, что *)
a(f, х) = J G(t, х, х — E)a0(5)d$
является решением задачи (1), (2) для любой гладкой
финитной функции и0(х).
Из вышеизложенного следует, что
О (t, х, х) — (2«)"" J е1 (*’ ’>Q (t, х, a) da	(13)
есть ф. м. р. задачи Коши (1), (2).
. 2. Оценка матрицы <?(/, т, $). Матрица Q(tt т, $),
5 = а4“^Т» как решение задачи Коши для системы с полино-
миальными по параметрам s2, .... sn коэффициентами,
построенной по единичной матрице начальных условий,
является целой функцией $2, .... sn. Проведем ее оценку,
используя леммы 2.1, 3.1, 4.1.
Вначале рассмотрим следующую систему с постоянными
коэффициентами:
<= 2 АЛ(!0)з*ъ==Р0(10. s)v. (1)
1*1-2*
напомним, что параболичность системы означает,
что для любого вещественного вектора о, |о| = 1, уравнение
detJ 2	ХЕ| = О	(2)
It*)—2*	J
*) Эту формулу мы будем называть в дальнейшем формулой
или интегралом Пуассона, по аналогии с уравнением теплопровод-
ности.
$ 2] СИСТЕМЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ ЗАВИСЯТ от t 47
Ймеет корни ky(a, Q, удовлетворяющие условию
ReX/o, ^0)< —8.	(3)
Функция
A(s)= sup maxRek^s, t)
ЩЬТ] j
является однозначной непрерывной однородной степени 2Ь
функцией s2, ...» sn, удовлетворяющей неравенству
Л(а)<^— 8 (<з[2*. Тогда в силу леммы 2.1
А(5)<-81|в|2» + Р01)|1|2»,	0 <8j <8.	(4)
Применим теперь к функциям	лемму 3.1, учиты-
вая оценку (4) и то, что |Р0(Л $)|	|$|2д. Тогда получим
| еР, (to, s) 11	в(_811 , |2* +F | т |»») t 2}1 (2С/ | S |2»)' <
< С1в(-8> । • l2*+/7‘ > т I*6)(5)
где 82— любая постоянная, меньшая 8Р a Fx — любая по-
стоянная, большая F, С1 = С1(82, Fj).
Матрица Q(/, т, s) удовлетворяет системе
#== 2 x*(^+ Ij
+ 2	=	s)Q+P0(t. t0, s)Q+Pt(i, s)Q.
1*1 < 26
(6)
Так как коэффициенты системы Ak(t) предполагаются
непрерывными функциями t на сегменте [О, Т], то они равно-
мерно непрерывны, поэтому какое бы f0£ [О, Т] мы ни взяли,
найдется такое е > 0, не зависящее от что при |$| = 1
|Р0(^ ^0. ®)| <Ч.	(П
как только — ^ol'Ce> — малая постоянная, которую мы
определим позднее. Так как в Px(t, s) входят полиномы от
s степени не выше 2Ь — 1, то при |s| >R
1Ла. ^K’lkl26-	(в)
Используя все это, перейдем к оценке Q(/, т, $) при
R	— пока фиксированная точка сегмента [0, Т].
48
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
[ГЛ. т
Из (6) следует, что
Q(tt т, =	х, $)-|-
+ Р₽.а^)«-»{Р0(Р, t0, s^+P'Q, s)}Q($, t, s)dp.
/о
|Q(f, t, s)| <Ci |Q(f0, t, s)|e(-‘»l«l*d+^ilTl,6)(*-W-|-
t
-I- Je(-«al»l2>+AlT I26)«-₽)2t) |s|2» |Q (p, T, l$)| dp. (9)
h
Обозначим
»(O=|Q(t t,
тогда неравенство (9) примет вид
t
u(tXCx\Q(fv x, s)|+ J 2т, |s|2» и (p) dp.
Отсюда в силу леммы 4.1 получаем
|Q(t X. $)!<<?! |Q(,0> х. s)| exp{(— 82 |a|2»-|-
+Л IiP + 27} |s|2»)(f-f0)}. (10) J
Используя неравенство
|Sp = (|e|2_|_|I|2)6<(2max{|a|2. |ТР})»<2»(|О|2Ч-|7р)	।
и выбирая	из (10) получим оценку
|Q(/, т, s)| <С1|<?а0, т, s)| ехр{(—83 |g|2^2 llP)(^o)b
(И)
0 <83<82. Полагая /0 = т, x-f-e,.... x + /nxe, =
и оценивая последовательно Q(x + e, т, 5), Q(x-|--2e, т, 5), ...
...,	т, s) с помощью неравенства (11) и считая
С, > 1, получим, что
|Q(t х, 5)|<C1m’exp{(-83|O|2» + F2|T|2»)(^_T)).
Для получения такой оценки для любых т, t, х < t* из
[Т1
Y +2» тогда
|Q(*. х. «)|<СГехр{(-83|О|2» + Р2|7|2»)(/_т)). (12)
§2]
СИСТЕМЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ ЗАВИСЯТ ОТ i 4®
Оценка (12) получена нами в предположении, что |$|^/?.
Если	то
\Q(t, t, s)|<C2<C2exp {(-83|°Р + F2|t|2»)(/-t))
<C3exp {(-83|e|»+^lll2*)(t-1)}.	(13)
Выбирая из постоянных С™ и C3 наибольшую и обозначая
ее через С, получим окончательную оцёнку
|Q(f, т, ^CexpK-W^+FjM2»)^-?)}. (14)
Для дальнейшего существенно знать, от чего зависят
постоянные С, F2. Вышеизложенная методика позволяет это
непосредственно выяснить всюду, кроме места, в котором
применяется лемма 2.1. Поэтому мы предложим несколько
иной подход для получения оценки (14), не использующий
эту лемму.
Вначале с помощью вышеизложенной методики оценим
Qtf, т, а):
|Q(t х, c)|<C1exp{-S1|a|2^(f-T)},	(15)
O<81<8, Cj зависит лишь от 8Р sup [ЛЛ(0|, |&|<:2&, Т
г]
и характера непрерывности Ak(t) с |&|=2£. Из соотноше-
ния (9) и леммы 4.1 следует, что
IQ(А т, s)|<C2exp {F2|s|2*(£ — х)},	(16)
С2, Г2 зависят от зир|ЛЛ(/)| и Т. Из оценок (15), (16)
с помощью теоремы Фрагмена — Линделёфа легко устанавли-
вается (14)*), при этом С, Р зависят только от 83,
8ир|Лл(/)|, и характера непрерывности Л^(/), |&'|=2£.
При вещественном $ оценка (14) превращается в оценку (9)
п. 1, таким образом, предположение, сделанное в п. 1,
доказано и все построения, проведенные в п. 1, обоснованы.
3. Аналитическое описание матрицы Грина. Свойства
матрицы Q(t, т, $), изученные в предыдущем пункте, позво-
ляют получить полное аналитическое описание матрицы Грина
*) И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Пространства основ-
ных и обобщенных функций, Физматгиз, 1958, стр. 250—257.
4 С. Д. Эйдельмаи
50
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
[ГЛ. I
и ее производных:
(/, х) = ~ f et (f, т, a) da. (1)
1
Введем новую переменную интегрирования р = (/— х)2Ь а,
тогда
DmQ (t, х}= (2я)"я У* е '	' р” X
/	й	\	*+1т|
XQItx,------2» .
\	<t-^2b I
Из оценок (14) п. 2 следует, что
Q(t, т, --Ц_\ <
\ (/-•»)" /
<Сехр{(- УР+^Т)). ₽ = Г + 'Г- (2)
Таким образом, Q It, х,------—j-\ , t > т, является целой
\	(t-^J
функцией комплексных переменных рр £2, ..., Рл, удовле-
творяющей оценке (2) с постоянными, не зависящими от t
и т, поэтому в силу леммы 1.1 ее преобразование Фурье,
как функция аргументов -t.....................--у-,
(/ —т)**	—
есть целая функция, удовлетворяющая оценкам (2) п. 1 § 1
с Pk = 4k = ^.
Таким образом установлена:
Теорема 1.1. Матрица Грина, рассматриваемая
как функция аргументов --------£l_ t -----£2__ , .. .
х
..., ----2-^-, есть целая функция порядка роста — х
{t-x)^
при комплексных значениях аргументов и такого же
порядка убывания при вещественных значениях. Для ее
§2]
СИСТЕМЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ ЗАВИСЯТ ОТ I 51
производных справедливы оценки*)
x+to)\^Cm(t—x) 26 ехр|^—cSjl-*tl55rT-|-
4-FSl^l^T')(^-<^rl. (3)
где через Ст, с, F обозначены положительные постоян-
ные, зависящие лишь от 8, Т, вир|Лл(/)|» |А|=26,
характера непрерывности Ak’(t) с |А'|=2д.
Если аргументы вещественны, то в силу оценок (3) при
f—>т, х=£0 все производные от матрицы Грина стремятся
к нулю; на всей гиперплоскости / = т теряется аналитичность
матрицы G(t, т, х), а в точке х = 0 этой гиперплоскости
G(t, т, х) имеет существенно особую точку (т. е. не имеет
определенного конечного или бесконечного предела при
стремлении к точке х = 0, / = т по любому пути), так как,
с одной стороны, при стремлении вдоль гиперплоскости / = х
к точке х == О О (t, т, х) и все ее производные равны нулю,
с другой стороны, О(/, т, х) не может быть тождественно
по х равна нулю на гиперплоскости t = v. Таким образом,
внутренние свойства матрицы Грина совершенно аналогичны
свойствам ф. р.
[2	— t)]’nexp[— 1
I *
( 1*1 \21
уравнения теплопроводности.
4. Матрица Грина общей параболической системы.
В предыдущих пунктах мы, для простоты изложения, все
рассуждения проводили для системы первого порядка по t.
*) Так как
»	2»	„	2»	24
„-24-1 1Л|»-! <2I*/I2d“1 <П1*|"-1 •
/-1
п
то в оценках типа оценок (3) можно всегда вместо 21 xj f ста-
вить |х| , и наоборот, изменяя, конечно, постоянные с и Л Этим
обстоятельством мы будем часто пользоваться в дальнейшем.
4*
52
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
[ГЛ. 1
Здесь будет рассмотрена произвольная параболическая, по
Петровскому, система
п n	k
2	<»
МЧ	**	At о 7
01	/-1 Ло2*+| k |<2длу	01
/=1, 2, Л.,М,
с непрерывными на сегменте [О, Т] коэффициентами.
Будем искать ф. м. р. задачи Коши для системы (1)
с начальными данными
=8Мг1аТ(х).	(2)
Ло = О, 1....п, —1.	1 — \, 2....N
Повторяя предположения и рассуждения
п. 1, приходим к выводу, что ф. м. р. задачи Коши (матрица
Грина) имеет вид
О(Р(Л т. х)= *	-с, a) de,
е/
/ = 1, 2...N,
где т» s)— решение следующей задачи:
N	k
^-2 2
at /-1 *02d+|*|<2d/iy	at
Z=l, 2.....N,
(3)
(4)
dt^
= \nr^u.
(5)
Ao = O. 1.nt— 1. Z=l, 2,
N.
Для оценки Q?(^, t, s), являющихся целыми функциями
.......sn, поступим следующим образом: введем новые
неизвестные функции вместо производных от функций v{
§2]
СИСТЕМЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ ЗАВИСЯТ ОТ t 53
до порядка — 1, сводя, таким образом, систему (4) к си-
стеме первого порядка по
dv.	dvN+l	_
—VN+1 = V\, 25
dt
—v ==v
VN+nt-l--Vl, />!-l
dv,
~ai ^+«1-1+1—v2,v
=tr .
dt	vN+n,-l+2--°2,2’
^+„,-1-^-2 _	=
vAr+/ii-l+/i2-l — 2, n2-V
(6j)
dt
dvn _
dt
V ДГ-1	p
N+(я/-1)+*
dv N
N+ S Л.-2
Z-l 1
dt
V "	-VN.n„-V,
N-t £ n,-l	N
/-1 *
dv	N
^=2 S	<.4
/-1 Л02д+1* 1<2длу
Z=l, 2,	v^ = vl0.
N
Система (6) имеет Nj = S nt уравнений, для дальнейших
z»=i
рассуждений нам будет удобна та двойная нумерация функ-
ций ггу, которая приведена выше.
Для того чтобы при оценке решений системы (6) можно
было использовать параболичность системы (4), сделаем,
следуя И. Г. Петровскому, следующее преобразование: введем
новые неизвестные функции
*0 =	(7)
j = l, 2...N,
54
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
(бО

и новую независимую переменную р = /|$|2*. Тогда уравне-
dvz^
ния	пеРейдУт в уравнения
dp t *•+!’
Рассмотрим теперь, как преобразуются уравнения (62).
Заметим, что v* п =	-Jsl2*. поэтому
л,.*	N
^=2 2
;-1 ft02»+| k |<26л,
N	'
2 2
/-1 *02*+| k \-2ЬП;

N

(6Э
*02*+|k| <2btij
систему уравнений (б^), (бг) в матричном виде
^=М'-Л
Матричное уравнение
dv* _ о
dp — В
эквивалентно в силу вышеизложенного системе уравнений
,п, * N	k .kQ *
Э“2 2	<9>
d?	Ь.2Ь+\к\-2Ьпл	“Р
Запишем
(6*)
(8)
V
J 1	»Q4t/T| к
а элементы матрицы B^t, s) стремятся к нулю при |$|->оо.
Все это позволяет применить к оценке нормальной фунда-
ментальной матрицы V*(ft т, $) системы (б4*) методику, из-
ложенную в п. 2, так как в силу условия параболичности
корни {Х(/, у)} уравнения

det
kQ2b+\k[-2brij

пы
= 0 (10)
§21
СИСТЕМЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ ЗАВИСЯТ от t
55
являются однородными функциями $ степени 2Ь, а функция
Д($)= max Re КД/, s), однородная степени 2Ь, непре-
о</<г
/.1, 2,.... N
рывная функция, удовлетворяющая в силу леммы 2.1 нера*
венству
А(«)<-81|»12г’ + '7|тР.
Таким образом, при |$|>1 получается оценка
т, s)|<Cexp{(—82|a|26 + F2|1|M)(f —т)}. (11)
Перейдем к оценке d	, Ло = °- 1...»<—1;
в силу преобразования (7)
(12)
из (5), (7) следует, что Q(z%e(T, -с, $) = lsl("r**)2\,ni-i&u,
поэтому
|<г'й'..(’. T,S)|<|S|('rcr>)i» = |S|“.	(,3)
Так как
<•	=	т, a)Q^,(t,	*).
Л = 1
то из (11), (12), (13) получаем
t, а) <
Л •
<С,|а|(*о+1-»/)2%хр {(_Мо|” + г2|тГ)(,—с)}. (14)
При |$|<1, 0</<?’,
в силу начальных условий (5)
d**	ч
—k~Qi (t. t, «)
dt 0
<С2(/ —т)яг*в-*,
поэтому для этих значений аргументов
т, s) <
dt**
<C3(f~x)nrk^ exp {(-82|а|2"4- F2|T|м)(/ —:)}. (15)
56
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
[ГЛ. 1
Докажем, что из оценок (14) следуют оценки (15) (с дру-
гими постоянными С3 и f2) для |s| > 1, воспользуемся для
этого следующим специальным приемом. Систему (4) пред-
ставим так:
+1 2	</.»).
Л026+|Л|<2дЯу	dt
тогда для т, 5) может быть записано равенство
(Л/-1)1
/ П \Ь
v-Ф-'	<'-”+
/ п \Ъ
ехр - 32 I	si I (f-₽) Л ф, $)<ф. (16)
\д»1 /
В силу оценки (14)
1ЛФ. s)l<20 в,|s|26	+
+	2	Bv|s||ftl+26<fto+1-n7)<B|s|2d. (17)
^02&+|Л]<2дЛу	0
Из (17), (16) очевидным образом следуют оценки (15). Таким
образом, оценки (15) установлены.
Используя теперь лемму 1.1 и повторяя рассуждения п. 3,
мы приходим к такому важному утверждению: матрица
Грина т, х) задачи Коши (1), (2) является целой
функцией аргументов —Xk р, для нее справедливы
§2]
СИСТЕМЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ ЗАВИСЯТ ОТ t 57
следующие оценки:
t, x-±-iv)
dt*
„ -Ь 1 n + 1
* 2b exp
я 2b \	____i
+F2>,|2*-1 )(/-*) 26-’
5=1	/
(18)
Именно эти оценки, точно учитывающие временные мно-
жители t — т, позволяют строить ф. м. р. для систем высшего
порядка по t с коэффициентами, зависящими от xt tt с по-
мощью совершенно той же методики, которая применяется
для систем первого порядка по t.
В заключение отметим следующее: можно построить ф. м. р.
G(t, т, х) задачи Коши для систем первого порядка по tt
которая получается из системы (1) введением новых неизвест-
ных функций вместо последовательных производных по t
от функций ut до порядка nt — 1, и провести ее оценки
с помощью изложенной в настоящем пункте методики, при
этом получается следующая оценка:
/1+| т | +Af-26
|DmO(f, t, x + Z©)|<Cm(/ — <	x
Kn	n \	1 1
-cS W’+FS	(19)
«-1	s-1	/	J
^Л1 = 26 max Пу).
5. Сопряженная система дифференциальных уравне-
ний. Нормальность матрицы Грина. Рассмотрим систему (1)
п. 4 в случае в, = п2 = ... = nN и запишем ее в матрич-
ном виде
2	лс.»(()^0<а.	(I,
Ло26+|Л| <26/ij
Матрицу Грина системы (1) Q(tt т, х — £) мы изучали, рас-
сматривая ее как функцию аргументов tt х; установим одно
важное свойство G (/, т, х — $) как функции аргументов т,
58
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ. 1
будем при этом предполагать, что коэффициенты Л(*°* Л)(0
имеют k0 непрерывных производных при
Рассмотрим систему, сопряженную к (1):
- a”'v = У  а>‘	(Л|>,'*|'0)(— О)*с) (2)
(А' — матрица, транспонированная к Л). Если система (1)
параболична, то система (2) «обратно» параболична, т. е.
превращается в параболическую систему, если вместо —т ввести
новую независимую переменную х'. Решая задачу Коши
d(— т)*°
путем придем к определению матрицы Грина следующей
формулой:
dn'Q*(x,t,«) _
й(-г)л-
= йо(О^о, Л1-1 Для системы (2), мы обычным
т-f—О
(3)
t, (Л(*” кУ (t) (-1)' *1	(t, t, a)). (4)
Ло2д+| k |<2»П|
^7-2^ = 8..,	*,-0.1..............»,-1.
a i— т;
Известно, что Q*(t, t, —a) = Q'(£, т, а)*). Таким
образом,
G*(t. t.Z) = -^yrf	т, -a)da =
= 79^ f ei (-E’ °>Q' T’ da = °'	“ 5>-
Итак, O'(tt t, x — 5) как функция переменных т, 5
является ф. м. р. задачи Коши для системы, сопря-
женной к (1). Это свойство будем называть нормаль-
*) Доказательство этого факта для случая одного уравнения
приведено в учебнике В. В. Степанова, Курс дифференциаль-
ных уравнений, Физматгиз, 1959, стр. 212—213, доказательство в
случае системы вида (4) такое же.
СИСТЕМЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ ЗАВИСЯТ ОТ I
59
$21
но с шью ф. м. р. О; матрица O(tt т, х— 5) таким обра-
зом является нормальной ф. м. р. задачи Коши.
Заметим, что если у системы порядки nv п<^ ..., nN
различны, то система, сопряженная к параболической, по
своей конструкции уже не является «обратно» параболиче-
ской, поэтому для изучения таких систем нами будет исполь-
зоваться специальный прием «выравнивания» порядков.
6.	Решение задачи Коши в классе ограниченных
функций. Случай неоднородной системы. Связь фундамен-
тальной матрицы решений системы с фундаментальной
матрицей решений задачи Коши. Для большей наглядности
и простоты мы будем опять все изложение вести для систем,
у которых ^ = ^2= ... =nN—\, как уже отмечалось,
наличие точных оценок (18) п. 4 позволяет все ниже изла-
гаемые рассуждения сохранить для произвольных систем.
В п. 1 решение задачи Коши
-g- = Pa, D)«,	(1)
«!<>+. = «о («)	(2)
в случае достаточно гладкой финитной начальной функции
было записано в виде интеграла Пуассона
u(t, х) = fO(t, t, х — 5)«о® Л.	(3)
Рассмотрим теперь формулу (3), предполагая, что uQ(x)—
непрерывная ограниченная вектор-функция. Здесь
О(/, т, х— ^) = т?Дл Г Q(t> ъ a)el<x^9}do
при />т удовлетворяет системе (1), так как в силу оце-
нок (14) п. 2 все дифференцирования можно провести под
знаком интеграла, а = Р.(Л <j) Q. Оценки (3) п. 3 позво-
ляют и в формуле (3) все необходимые дифференцирования
проводить под знаком интеграла, отсюда следует, что й(/, х),
определенная формулой (3), удовлетворяет уравнению (1).
Докажем теперь, что Нш u(t, х) = а0(х) равномерно
®° * в любом шаре пространства Е„. Вначале установим, что
lim f О (/, t, х — 5) Л ==£.	(4)
60
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
Рассмотрим функцию е (х), бесконечно дифференцируемую
и равную нулю вне шара радиуса R *4- 2 и единице в шаре
радиуса R + 1, 0<е(х)<1. Тогда
fG(t, t. х — 5)Л = f Q(t, t, х-5)(Е—е«(?))Л4-
+ f х, х — 5)e($)rf5 = /1 + Z2.
Как установлено в п. 1, /2(/, х)-+е(х)Е; установим, что
это стремление равномерно по х. Представим для этого
разность /2(Л х) — е(х)Е в виде
/2(/, х) — е(х')Е =
f e,(x”4Q(t. o)-Q(t, т, a)]da f (В)Л.
Q(t, т, а) — Q(t, т, а) = J*Л(£, a)Q(£, т, о)«ф
т
и в силу оценок (14) п. 2
|<?(/, т, c)-Q(x, т, 6)|<С(1 -|- |0|)"(/-г);
е(х) — бесконечно дифференцируемая финитная функция,
поэтому для ее преобразования Фурье справедлива оценка
|Fe(x)|<Cm[l+ |а|]-т.
Беря в последней оценке т — п	ЧЬ -|- 1, получим, что
|/2(Л х)-е(х)Е|<
v	J* (1 Ч Отсюда следует требуемое. Так как х)|<СJexp — $«1	- |<з I)"n_1 d<3{t — т) = С* (t — т). 1 1 ') *’ х
§2]
СИСТЕМЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ ЗАВИСЯТ ОТ I 61
а Е — е(х)Е = 0 для	то в СИЛУ леммы 8.1
lim 1г (f, х) = 0. Используя (4), можно записать
lim [ J О (/, т, х — 5) а0 (5) dl — «0 (х)] =
= lim JG(t, т, х— 5)[«o© —ао(*))^ = 0
на основании оценки (3) п. 3 и леммы 8.1.
Заметим, что из наших рассуждений следует, что
u(t, х) -> й0(х°).
t ->т*
Действительно,
u(t, х) — а0(х°) = [«(/, х) — «о(х)1+[во(х) — a0(x°)J.
в силу непрерывности я0(х) вторая разность мала при доста-
точно малом |х— х°|, поэтому достаточно убедиться в ма-
лости (равномерной по х) первой разности, а это было сде-
лано выше.
Рассмотрим теперь неоднородную параболическую систему
=	D)«+/(/, х),	(б)
предполагая, что функция f(t, х) имеет г непрерывных и
ограниченных производных. Определим матрицу
т, х — $) =
О (t, t, х — $)•
0
I
(6)
и изучим вектор-функцию
т
ux(t, x)=f dr f &(t, Т, X —0/(т.	(7)
0
в силу определения S(/, т, х — 6)
t
ax(t, х) = fdrf Q(t, t, x — 0/(x.
0
Если /(/, x) имеет г непрерывных ограниченных производ-
ных по х, .то столько же ограниченных производных имеет
62
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ. 1
яД/, х); действительно, в силу оценок (3) п. 3 и предполо-
жений о х) можно записать
t
Dxu^t, x) = f dx f DxG(t. t, x — 5)/(т, 5)<Й =
О
t
~~’• x—^f^' $)<n=
0
t
= f<hf G(f. t. x — tyDJfx.
0
Из последней формулы следует ограниченность Dxux(t. х).
Так же устанавливается существование у иг (t, х) г ограни-
ченных производных. Если гто ux(tt х) имеет огра-
ниченную производную по t> вычисляемую по формуле
t
^- = f(f.	('• х-*)/<’•	<* 8>
О
Действительно, считая для определенности h > 0, запишем
t
x/(t.	— J dxf G(f. х, X — l)f(x. В)Л
О
t+ь
=if d'f *—*)/(’•
t
dxf {G(f+h. x. x — l) — G(f. x. x —$)} X
X/(t. o^ = /1A + /2ft.
В силу непрерывности f(t. x) и выше проведенных рассу-
ждений
т, х — k)f(x, 5)dk—/(/, х)|<в,
§2] СИСТЕМЫ, КОЭФФИЦИЕНТЫ КОТОРЫХ ЗАВИСЯТ ОТ t 63
как только + Л — т| <8. Таким образом,
|Л*<А —	х)| <
УG(t + h. t. X — 0/(х,	— f(t, х)1<в

при Л <8/2, поэтому lim Ixh(t, x) = f(t, х).
Л->0
Так как J* О (t, т, х — 5) f (т, 5) имеет 2Ь непрерывных
и ограниченных производных по х при	и при
f >т:
± f G(t, т. х-?)/(т, 5)d; =
ul J
= P(t; D) f O(t. T, x — 5)/(T,
TO
t
lim/2A(t x)= f dx-~ f G(t, t, x — 5)/(t, |)Л.
Л->0	Ol J
причем последняя функция непрерывна и ограничена при
О <; t <; Т и любых х.
Из вышеизложенного следует, что
д
dt
P[t. D)]^, x) = /(f, x).
Дадим следующее
Определение. Ф. м. р. системы (1) называется
матрица §(/, т, х — В) такая, что вектор-функция
т
u(tt х) = Jdx J т, х — £)/(т, 5) dl при любой финит-
о
«ой гладкой функции f(t, х) является решением си-
стемы (5).
Формула (6) показывает, как по ф. м. р. задачи Коши
построить ф. м. р. системы (1). Заметим, что ф. м. р. системы
определяется неоднозначно, так как к ней можно прибавить
любое решение системы (1) и получить опять ф. м. р.

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
[ГЛ. I
§ 3. Фундаментальные матрицы решений линейных
параболических систем
В настоящем параграфе, занимающем в главе 1 централь-
ное место, будут построены ф. м. р. для параболической
системы
dniui____
dtni ~
N	ъ
; = 1 *02d+l* |<2&Лу
Z=l, 2....N.
Мы опять будем вести изложение в основном для систем
первого порядка по /, читателю не доставит труда убедиться
в том, что точные оценки (19) п. 4 § 2 позволяют сохра-
нить все рассуждения в общем случае.
1. Некоторые свойства матрицы Грина систем, коэф-
фициенты которых зависят от параметра. Здесь будут
изложены некоторые свойства матрицы Грина систем, коэф-
фициенты которых зависят от t и параметра у, нужные для
построения ф. м. р. линейных систем, коэффициенты которых
зависят от всех независимых переменных.
' Рассмотрим параболическую систему
#= S Я4(/,У)О‘«+ 2 М.У)О«-
= P0(t у, D)u + Px{tt у, D)u ^P(t. у. D)u. (1)
Параболичность системы (1) означает, что уравнение
D(t, s, X, y) = det J 2 Ak(t. y)<? — XEl = 0
имеет корни, удовлетворяющие неравенству ReX<—8
для у£Еп>	и любых вещественных а, для
которых |а| = 1; 8 — положительная постоянная.
Всюду будем предполагать выполненным условие:
(а) Коэффициенты системы (1) определены в полосе
y£En}t ограничены и непрерывны not
в Пр при этом непрерывность по t коэффициентов
P^t, У» D) равномерна по у, у£Еп.
§3)	ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	65
Повторяя оценки п. 2,3 § 2, получим, что для матрицы
Грина O(t, т, х — 5, у) системы (1) справедливы оценки
|DmG(/. t, х-5. y)|<Cm(/ —t)‘J^Lexp{-<p},
П	1	(2)
p=S|xs-es|’(/-<24-1,
положительные постоянные Ст, с не зависят от у.
Свойство 1. Рассмотрим параболические системы
—A(t, у, D)u	(3i)
^ = B(t,y,D)u-,	(Зг)
обозначим их матрицы Грина соответственно через
OA(t, т, х — 5, у) и OB(t, т, х — 5, у). Если
у) — Bk(t, у)| <е.
то
х, x — l. y) — OB(t, X, X — у)]|<
< Ст8 0 — т)	еХР {— Ср) •	(3)
Доказательство. Достаточно провести оценку
т, у, s) — QB(t. т, у, $).
Запишем тождество
dQD
-^=АЦ. У s)QB+lB(t. у; s) — A(t, у; s)]QB.
таким образом,
t, У. s) = QA(t, х, у, «)+
+ f Qa(^> ?. У. s) W у; s)- Л(₽. у; *)]QB(?. t. у, s)dp.
t
5 С. Д. Эйдельман
66
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. 1
Проведем оценку последнего интеграла, используя неравен*
ство (14) п. 2 § 2:
ехр {(-53|a|2d4-F3|7|26)(/-₽)} X
I *1 <26
<Л4е 2 |s||ft|exp {(-83|a|2ft + F3 |Т(")(/-1)} (/-т)<
1*1 <26
<^ieexp{(-84|a|24F4|T|26)(#—с)}. (4)
Из последнего неравенства и леммы 1.1 следует утвержде-
ние свойства 1.
Из свойства 1 непосредственно следует
Свойство 2. Если коэффициенты системы (1) удо-
влетворяют условию Гельдера по у с показателем а
(гелъдеровы по у), т. е.
\Ak(t, y + K)-Ak(t, у)| <£|Л|‘,	0<а<1,
то
|Dm[O(/, т, х— 5, у + Л) — O(t, т, х —у)}| <
<CmL |A|*(f - tf^exp {- ср}. (5)
Свойство 3. Если коэффициенты системы (1)имеют
г непрерывных и ограниченных производных по у, то
| Q (t. т. X - В, у) I < Стр (t -	ехр {- ср} (6)
(И = о, 1.....Г).
Доказательство. Достаточно установить, что
Wl(t, х. у, д)|<М,ехрК-8рН2Ч^тН(*-г)}. (7)
При р = 0 доказательство этого утверждения достигается
повт- рением рассуждений п. 2 § 2. Для произвольного р,
(7) доказывается по индукции, при этом исполь-
зуется то. что Q =D^xQt q<rt удовлетворяет системе
= Р (/, у; у) Q 4- 2	дарг1 "Q	(8)
И1-1
§3]	ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	67
и начальным условиям
Qb=< = 0.	(9)
Поэтому
t	0+1
Q(t. X. У. S) = J Q(t, p, у, s) 2 C;+1d;P(P, y; $) x
г	M-l
XD’+1"’Q(p, t. y, s)dp.
Оценка (7) следует из последней формулы с помощью оце-
нок, подробно проведенных при доказательстве свойства 1,
и индуктивного предположения.
Замечание. Таким же образом может быть устано-
влено предложение, обобщающее свойство Г.
Если коэффициенты систем (30 и (32) имеют г не-
прерывных и ограниченных производных, удовлетво-
ряющих неравенствам
y)-Bk(t, у)]|<е.	|s| =0, 1....г,
то
\DsyD*(GA — GB)|<Cfte(f — r)~ ехр{—ср}. (10)
В частности, если коэффициенты системы (1) имеют
ограниченные гелъдеровы производные до порядка г
по у, то
\D*Ifv[QA(t. т, jf —t У + Л) — OB(t, х, х — 5. у)]|<
<Сл|ЛГа-т)"Техр{-ср}. (11)
|s|=0, 1. 2.....г.
Ниже будут изложены некоторые свойства интегралов,
содержащих матрицу Грина системы (1).
В предположении (а) задача Коши для системы (1) имеет
решение, построенное по непрерывной и ограниченной на-
чальной функции, которое дается интегралом Пуассона; это
решение единственно в классе ограниченных функций. По-
следнее можно доказать, непосредственно используя матрицу
Грина сопряженной к (1) системе, см. § 2 гл. 3, можно
3*
68	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЯ (ГЛ. I
воспользоваться и общей теоремой единственности И. М. Гель-
фанда и Г. Е. Шилова
u(t, х; у) = J G(t, т. X — Е, у)«0(Е)</Е.	(12)
В силу оценки (2) и леммы 8.1 «(/, х, у)->и0(х) ПРИ
t —	причем это стремление равномерно по у.
Свойство 4. Если в систему (1) входят производ-
ные не ниже первого порядна, то
f Q(t, т, х — Е, y)dE = F.	(13)
Доказательство. В силу сделанных предположений
единичная матрица удовлетворяет системе (1);
J О(/, т, х— у) Л
при t > т является решением задачи Коши для системы (1),
построенным по начальной матрице Е, поэтому в силу тео-
ремы единственности справедливо равенство (13).
Дадим следующие определения:
Определение 1. Вектор-функция u(t, х) назы-
вается регулярной, если она имеет непрерывные произ-
водные, входящие в систему (1).
Определение 2. Будем говорить, что f(t, х) удо-
влетворяет обобщенному условию Гельдера (условию Н)
в некоторой области Q = 2X[^ Л»
которая область пространства Еп, если она непре-
рывна в Q, и функция
<“(*) = sup |/(t x) — f(t. Е)|
IUX |<з
W* Г]
a
такова, что интеграл J* - dz сходится при неко-
o
тором положительном а.
Свойство 5. Пусть в систему (1) входят произ-
водные не ниже первого порядка, коэффициенты си-
стемы гельдеровы по у, а вектор-функция f(t, х) огра-
ничена и удовлетворяет условию Н в каждой ограни-
S3]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
69
ценной области полосы (t09 Т]. Тогда
t
u(t. х) = fdxf G(t. х, х — g, 5) fix, 5)d?	(14)
to
является регулярной вектор-функцией. При этом произ-
водные u(t, х) по х до порядка 2Ь—1 получаются
формальным дифференцированием под знаками инте-
гралов, а
t
Dku(t. х)= fdxf DkG(t, х, x-l. 0 — fix, x)]d?+
to
t
-j-fdx [D*f G(t. x, x — 5, 5) Л] f(x, x),	(15x)
to	1
t
= x) + f dx f ±G(i. x, x-t ЭХ
Х1/М-/М1Л+
t
+ f O(f.*,x—t, 5) fix, x)dx. (152)
to
Доказательство. Докажем формулы (15х), (IS^;
существование младших производных непосредственно уста-
навливается с помощью оценок (2). Рассмотрим при 0 < h <
t-h
 Uhit, x) = f dx f Git, X, x — l. fyfix, ?)<£.	(16)
to
Очевидно, что
t-ь
Dkuh (t, x) = J dx J DkO (t, t, x — 6, 5) f (т, B) dZ =
to
t-ь	.
= J dx f D^Git, x. x-l, 5)[/(x, 5) — f(x, x)]d$+
to
t-tl
+ f dxD^f Git, x. x —?,	x). (17)
70	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ	[ГЛ. 1
Пусть возьмем область и представим первый
интеграл в формуле (17) в виде суммы интегралов по
О‘«А(Л x)=42‘’+4a,)+/A-
Равномерно в области Q = 2 X Ио» Л
t
t. х-е, е)-/(с, «ня.
Докажем равномерную в Q сходимость Установим сна-
чала сходимость интеграла
t
х) = f dx f DkG(t, х, х — 5, 5)[/(т. £) —/(т, x)]dk.
/о 21
Определим функцию
<|>(|х —$|)
0
А(|х-е|)х={
при
при
Тогда, используя оценку (2), получим
* r п+2Ь
|/21)(t х)|<С j dxj (/-?)"	ехр {—ср}Х(|х-$|)Л. (18)
Сделаем в последнем интеграле замену переменных Zj = Xj+
— x)2b . Тогда
Г 4л
c J exP
n
expl — с V lx,)9
\dz
J	t — x
t:
f -^-^<4-00.
0	1
Покажем теперь, что
§3)	ЛИНЕЙНЫЁ ЙАРАВОЛЙЧЁСКЙЕ сйстёмы
71
равномерно по (7, x)£Q. Повторяя только что приведенные
оценки, получим
1
f п	\z\h2b
f expl-c^lM’\dz f
(	Jo
- c £ ^h" 2»1-1 I f dy-^y (19)
y-l	Jo	h2l>
Так как
(«)== f -^TT-rfy-*0-
V У a->0
то из леммы 8.1 следует требуемое утверждение.
Докажем равномерную сходимость /Л. Заметим, что
a
|£>* t, х — е. 5)Л|<С(< — т)“1+'» .	(20)
Это следует из представления
D* fO(t. t, х — 5. £)<# =
= J [D*O(f, т, х — 5, 0 — D*G(t, т,
X — t у)] Л 4-
1у«х
H-D* J O(t, х.
х— 5, у)<Й
1у=х
В силу свойства 4 последнее слагаемое равно нулю, а пер-
вое оценивается нужным образом на основании неравенства
(11). Полученная оценка обеспечивает справедливость равен-
ства
Нш/Л(/, х)==
/о
х — 8, 5)	/ (т, х) dr.
Все вышеизложенное дает право перейти в формулах (17)
к пределу при	что и Дает равенство (150.
Равенство (150 устанавливается таким же образом, по-
ясним только, как при дифференцировании по верхнему пре-
делу в (16) и последующем переходе к пределу при Л->-f-0
72
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
[ГЛ. 1
появляется слагаемое /(/, х). Дифференцирование (16) по
верхнему пределу дает интеграл
JQ(t, t — h, х — I, §f(t — h,	=
= JQ(t, t — h, x — x)f(t — h, $)Л +
+ f [O(t, t — h, x — t $) — Q(t, t — h, x — I, x)] X
Xf(t-h, ^Л = ЛА)+ДА).
lim/JA)=/(t x);
A->6
14A) 1 < sup I f (t—h, 5) I Co /"exp
E, h	”
в силу леммы 8.1.
Замечание 1. Изучение дифференциальных свойств
интеграла
t
ui (*• х; у) = fdxfO(t9x.x — 5, у) / (т, В) Л
/о
проводится таким же путем, при этом рассуждения упро-
щаются, а формулы для производных приобретают вид.
£>%(Л х; у) =
t
“= f axf DkQ(t, t. x — В, у)[/(т. В) —/(t.x)]d$,

t
e f d*f	x~51	x).
Й
$3]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
73
2. Фундаментальные матрицы решений линейных па-
раболических систем (случай слоя). В этом пункте
строится ф. м. р. линейной параболической системы
= х;	х; D)« = P(f, х; D)«.	(1)
Напомним, что система (1) называется параболической
в смысле И. Г. Петровского в некоторой области О про-
странства (/, х), если уравнение
det{P0(t х; о) — ХЕ}=0
имеет корни, удовлетворяющие неравенству ReX<—8 при
(/• х) £ О и любых вещественных о, | <з | = 1; 8 — положи-
тельная постоянная.
Начнем с построения ф. м. р. системы (1) в случае, когда
коэффициенты заданы в слое	х£Еп}.
Теорема 2.1. Если выполнены условия: 1) коэффи-
циенты оператора P(t, х; D) непрерывны по tt при
этом непрерывность по t коэффициентов в х; D)
равномерна по х из Пр^2) коэффициенты P(tt х; D)
ограничены и удовлетворяют условию Гельдера по х
с показателем а, 0<а<^1, то у системы (1) суще-
ствует ф. м. р. Z(t, т, х, 5), удовлетворяющая нера-
венствам
я+1 fe |
|D*Z(/,x, x,5)|<C(f —т)	2й ехр{—ср}, p|^2Z>. (2)
\bhDkZ(t, t.x.D|<
Я+I*I+T
<C(f — с)--|A[T x
X max [exp {—cp(t, x, x, £)}, exp {—cp(t, x, x-)-A, ?)}]; (3)
здесь а дальше через С, с обозначаются постоян-
ные, зависящие от 8, а, Т, sup ] Ak(t, х)|, характера
, (6*)ёП|
непрерывности Ak(t, х), |А| = 2А, по t, констант Гель-
дера Ак (t, х), 7 = а, если | k | < 2Ь, 7 — любое положи-
тельное число, ценьшее а, при |А| — 2Ь.
74
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. 1
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную па*
раболическую систему
-^-=Р0(/,у; О)«	(4)
и обозначим ее матрицу Грина через O0(t, т, х — 5, у). Ис-
пользуя метод Э. Э. Леви, будем отыскивать Z (t, т, х. О
в виде
Z(t, т, х, $) = О0(/, х, х — В, 5)4-
+ f dp f O0(f. х — У< У)<Р(?‘Ъ У'*)аУ-	(5)
т
Подберем матрицу ср (Л т, х, 5) так, чтобы Z(tt т, xt 5), как
функция t и х, была при />т решением системы (1). При
этом будем предполагать, что ср (/, т, х, 5) при t > т есть
непрерывная функция Своих аргументов и для нее справед-
ливы оценки
I <Р (/, т, X, QI < С (t — т)	еХр {_ fp) t (6j)
/1 + 2& —Я}
|АЛФ(Л т, х,5)|<С[АГЧ/-т)' 26 X
X шах [ехр {—ср(/, т, х, £)}, ехр {—ср(/, т, х-|-Л, 5)}], (б^
04 < а, а2 = а — аР
Эти априорные ограничения будут потом доказаны. Приме-
няя оператор — P(t, х; D) к Z(/, т, х, В), определенной
формулой (5), и используя априорные предположения и
свойство 5 п. 1, получим относительно ср (/, т, х, 5) интеграль-
ное уравнение
< х, 5)=г/С(/, т, х, Е)+ -
4- f dp f К (t. 0, х, у) <Р (0. X. у, 5) dy, (7)
где
K{t, X, х. C) = (p(t х; D)—^O0(t, X, х — ВЛ) =
= х; D)—P?(t, £>)) Q^t, х, х—Ъ
§31
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
75
В силу оценок (2) п. 1 и сделанных предположений
| К (t, х, х, 5) |< Л1 (t — х) 2«г- ехр (_ ср},	(8)
<р(/, х, х, ?) = /Ст(Л х. 5),
Ki(t,x,x,\) = K{t,x,x,^.
Km (t. t, x. 5) = f d$ f Kx (t, p, x, y) Km_x(p, x, у, 0dy.
Используя лемму 5.1, оценим члены ряда (9):
\K2(t, х, хЛ)|<
< Л1 f----------2^7 Ц f ехР {— «Л (У,)} X
* [('-₽)(?-*)]" S-1
.	л+2^-2а
X-----ехр{-с(1-е)р}.
[(<-₽)(?-’)]"
Л(у)=/Л2^Г+/_1У=4Г
\(<-?)2Й/	\(Р-х)2*/
|Km(f,T, хД)1< Am(s)(t— х)~ 2Ь ехр {—с(1 — ет)р}.
(Ю)
Обозначим через т*	J4-1» тогда
I Кт* (/, т, х, В) |< Ат* (е) ехр {— с (1 — ет*) р).
Положим
—7Й^	Р>^-
76	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ [ГЛ? I

Повторные ядра Km(t> т, х, Е) при т > т* будем оценивать
следующим образом:
\Km»+k(t, X, хЛ)|<
й’1+»ехр {-“<?}• оо
4-0	'•	7
Тогда
*-*	/	«-г»
<Л(АЛ‘+1ехр{-ф}ПвЙ-’ l + w)J У-®21’ X
s-0	'	х
X (Р - х)Ъ d$=Av (FA^+1 (t - t)(T X
k
ХПВ(-2Р 1 + 5’)ехР|-с*РЬ
s-0 x
I si
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Таким образом, ряд (9) мажорируется сходящимся рядом *)
як
ехр {— с*р).
(12)
Итак, ряд (9) при 0 < 8	/ — т Т равномерно и абсо-
лютно сходится и для его суммы <р(/, т, х, 5) справедлива
оценка (60.
Заметим, что для систем второго порядка (£=1) оценки
норм повторных ядер Km(t9 т, х, В) могут быть проведены
весьма просто, единообразно для всех /п, при этом вместо
леммы 5.1 используется равенство (3) п. 2 § 1.
Проведем оценку	х>
т, х, 5)|
Л ?
хП /«₽{-'[М+<^]}Х
S-1 -оо
X [(/ -₽)(?- т)Г 2 dys < Ав (I. I) X
X (vM —	ехр {—с | х — 5|2(f — т)-1}.
\ у с /
*) При этом использовалась формула
(iH’+i)
г(>+4^) “
7а
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. 1
Полученная оценка позволяет таким же образом оценивать
K3(t, т, х, Е).
Переходим к установлению справедливости для <р (/, т, х, Е)
1
оценки (62). При | h | > (t — т)2Ь оценка (62) следует из (6|).
Поэтому достаточно рассмотреть случай | h |	(/ — т)2Ь.
Вначале оценим
I X, Е) | =
= IДА {[Ро(/, х; D) —P0(t Е; D) + Рх (/, х; D)] X
X O0(t, т, х-Е, Е)} |<|ДАад °)Оо(*. х, х + Л-Е, Е)| +
+ | [Р0(Л х; D) — PQ(t, Е; Р)]ДАад т, х-Е, Е)| +
л+2&
-Ь I ДЛ {Л Х> D>) °0 <!• Т’ * — £)} I <
5-1
X (, —х)-2^} + |	—	IАI х
ХеХр(-с1 |х,+ ел,--е,Г(/-г)'55М +
n+2b I п	1	\ “I
+|л|(*-< ехр -c2l^0A,-W-<2*-1 *)•
I s-1	JJ
Используя то, что функция
ехр {— с | z — b С ехр {— с | z |*}
при	и, следовательно,
ехр
5-1
xs — ^5
6
<Сехр{ — ср}
*) Фактически здесь должна стоять сумма слагаемых, в каж-
дом из которых стоит свое 0, — 1 < 0 < 1, но для дальнейших
оценок это не будет иметь значения.
| 3]	ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	79
1
в силу того, что | h | ^(t — т)2д, из последней оценки получим
| A*K (t Т. х, 5) I < СI h Г* (t — т)	ехр {— ср). (13)
04 — любое положительное число, меньшее а; 04 = а — аг
Переходим к оценке Дл<р (/, т, х, 5):
ДА<р(*. t, х, 5) = ДА/С (f, х, х, 5)4-
t
+ fd?f ₽• *• У>т(₽. т- У< §аУ-
т
Оценим второе слагаемое:
t
fd?f |ДАК(/, ₽, X, у)||<р(р, X, у, 5)1 dy ==
t—\h |2d
= f dp	p. x, y)||<p(₽, x. y, 5)|dy4-
T
t
4- J dp fl^hK(t. p. x, y)||<p(P, X, y, 5)|dy-Z,4-4
t-\h\2b
В интеграле Ix т —1^|2\ т. e. t — (3	| h |2*, по-
этому к bhK(tt p, x, у) можно применить оценку (13), тогда
получим
g2~~2^	а—2Ь
А<с|лг-/(/—р) 2» (р_X)-^dpx
X
ПЛ	I
хП f exp{-c/1(y4)}I«-p)(p-T)r^dyi<
s«l «оо
a+at—2b—n
<C(t — x) ”	IЛ Г* exp {-ср). (14t)
Оценим /2:
t
f dp/^(/,p,x4-A.y)||f(p.x,y.5)|dy4-
l-|A J2*
t
4- J <$J|K(tp. x, y)||f(p, г, y, 5)|dy,
i~ J* I2*
80
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. I
Так как оба написанных выше интеграла оцениваются оди-
наково, проведем оценку первого из них, используя оценки (8),
(6Х) и лемму 5.1:
t
f dp J |tf(/. p. x + A. y)||<?(p. t, y, 5)|dy<
/-I h I2*
*	g—2ft	a-2b	n
<C J (t — P) 2ft (P —T) 2» dpexp{—cP}(/ —T) 26 <
r-1 A |2*
a—2ft—n	i	g
< C (fexp J a-P)»" dp =
t-\k l2ft
a-2fr-n
= C | h |a (t— t) 2b exp {—ср}. (140
Из неравенств (13), (140, (142) получаем, что
| Дл<р(/, т, х, В)| < С | h |“1 (/ — т) 26 ехр {— ср),
ах — любое положительное число, меньшее а; <Х2 = а — ар
с > 0.
Матрица <р(/, т, х, 5) при />т непрерывна по своим
аргументам, удовлетворяет оценкам (60, (60, поэтому все
проведенные выше построения законны.
Установим теперь, что для Z (/, т, х, В) справедливы
оценки (2), (3). Так как удовлетворение этим неравенствам
первым слагаемым в (5) уже устанавливалось, следует оце-
нить лишь «довесок». Сделаем это, используя оценки матрицы
Грина и оценки (60, (60:
t
W(t, х, х, l) = fd$ f G0(t, p. x-y, y)<p(p, T. y. §dy, (15)
* tt~2d
|D*1T(/, t, x, 5)|<C f(t — p) 2* (p—t) 2* dp X
T
Л CO	1	'
X П f exP {- K* -₽)(?- dys <
S"1 —00
Л + 1 k I-Ct
<C(/ —t) 26 exp{— cp}. |A|<2A — 1. (16)
§3]	ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	81
Переходим к изучению производных порядка 2Ь. На осно-
вании формулы (150 п. 1 запишем:
DkW(t, т, х, 0 = Jdp f DkG0(t, р. х-у, у)Т(р. т, у, §dy +
t
+ fd?f Dk°o(f> ?• Х~У’ У)[фф.’.у.О — <Р(Р.х.х,Q]dy +
t,
+ f[&f °о(^т- х~у> уИу]<р(Р. *. х> 5)<Ф=4+4+4»
6
|А| = 2д, /1 = т + ±=^.
Оценки /j и Z3 получаются сразу из оценок (2) и (20), п. 1
и оценки (б^ для <р (t, т, х, £):
п+2Ь-а
» ехр {-ср}.	(17j)
141 <£(* — ’)	^~exp{—ср}.	(17g)
Переходим к оценке /2. Используя неравенство (62), получим
141 <С f d?f (f — Р)-^-ехр{—cp(f, р. х, у)} X
А
X I-* — уГ(Р — х) 26 }ехр{— ср(Р« т. у.5)} +
4- ехр {— ср (р. т, х, $)}] dy < С (t — т)	2» X
г -х+^
X ехр {— с'р (t, т, х, 0} J (t — Р) 26 dp =
Л
Л4-26-(х
= C(t — х)~ 26 ехр {—С'р}. (17а)
Здесь и дальше используется очевидное неравенство
/_|£Г1^-у'ехр{—ер(/,р, х, у)}<С(е). е > 0.	(18)
\(/-₽)“/
9 С. Д- Эйдсльмаж
82
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ. 1
Из оценок (17х), (17g), (17з) следует, что для | k | = 2Ь
т, хД)|<С(/ —ехр{— с'р}. (167)
Отметим, что оценки (16), (16х) показывают, что главной
частью матрицы Z (/, т, х, 5) по «порядку особенности»
является матрица Грина вспомогательной системы ^’==
= Р0(/, у; D)u; можно было бы определить ф. м. р. системы
как решение при t > т системы, имеющее структуру
Z (t, т, х Л) = О0 (/, т, х — £ Л) + W (t.x. х, Э, где W (/, т, х, Q
удовлетворяет оценкам (16), (16х). Как будет дальше пока-
зано, матрица Z (tt т, х, 0 является ф. м. р. задачи Коши,
а будучи доопределенной нулем при t т, и системы (1).
1
Переходим к установлению оценок (3). Для | h | > (/ — т)2*
они следуют из уже доказанных неравенств (2). Итак, рас-
1
сматривается случай [ h | (t — т)2\ В этом случае приме-
нение теоремы о среднем дает
| ДАО*О0 (t, т, X — 5) I < СIЛ Iе' (t — х)~ +12‘1+ ехр {— ср},
(19)
а' — любое число из (0, 1].
Оценим теперь &hDkW (t, т, х, 5), при этом мы для всех
производных, | k |	2d, будем пользоваться формулами (15j)
п. 1. Их справедливость для производных порядка не выше
2Ь — 1 очевидна:
ДА£>*Г (Л т. х, 5)=»
= f f W>O0(t. ₽. x — у. У)?ф. т. у, S)dy +
t
-|-ДАО* f d$ f O0(t, ₽. x — y, У)<р(р, X. y. Ddy^J^ + Ji.
ty
С помощью неравенства (19) получаем
д+l k I
Щ4С|л|’(^-т)' exp {-ср},	(20|)
$3)	ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	8J
На основании формул (150 запишем
У2=ДАО* f d$f O0(t, р. х — у. у)<р(р, т, у. $)dy =
«I
= ДА f &O0(f, m-у. У) X
t,
X [<р(₽.	у. Q —<рф. т. х, £)Иу+
Ч-ДАJ[D* J*°о<*« ₽••* — У> *'• хЛ)<ф=
t,
t—n
— f d$ ^hDkQo(f^>x—у.у)[<р(р.т.у,5)—<p(p.‘t,x,E)]dy4-
<1
/-•n
•+ J [aad* J °o(^ ₽• x — y, y)dy]<p(p. t, x, $)<$ +
+ /dp f DkO0(t. p, Х4-Л-У, у) X
Г-7)
X I<p(₽. t. У. Q — <p(₽. t. х-4-й. I)]dy —
— f	f DkO0 (t, p, x—y, y) [<p (p, t. y. 5)—<p (p, -t. x, QJ dy +
4- f(D*f Oo(M- *4-A — y. y)dy)<p(₽. t. Х-+-Л, Qdp —
<-ч
~ f(D*f °o(^ ?• x — y, y)dy]<p(p. T. JC. Qdp=
/-1)
&Я1 + Н2+//з+Я4_ЬНб + Лв; ,s=z|A|a>.
6*
84
фундаментальные матрицы решений
[ГЛ. 1
При оценке Нг используются (19) и (62):
л+|& |+«*
p/jKC f rfp/iftf'(#-?)" 24 х
2b
X exp {— Ср (t. p, x, y)} (P — <)	55 X
X I x — у |e* [exp {— cp (p. t. y, 5)} 4-exp {— ср (0, t, x, $)}] dy <
П *	I k l-f-g'-g!
<c[*r'(/—<» fit—₽)"	2*	(p—<24</px
tl	Л+1 *!+«'+«
X exp {— Ср} < СI h Г' (t — x)~ » exp {— cp}, (202)
если |ft|-|-a' — a1<Z2bt t. e. a' = a при |k | < 2b и a' —
любое число, меньшее a при |ft| = 2d, так как 04 можно
взять как угодно близким к а.
Оценим Н2. Воспользуемся представлением
Д*(р* f Х~У‘ У)ау) =
п xs+hs
= 2 f (^7 Dc<4) f °о(‘> ₽• -y> y)<*y)
где Cw = (Xj.....xs_v Cs. xs+14-A,+1.........*«	+ *«). и
свойствами 2 и 4 матрицы O0(t, 0, х — у, у):
дл (п* f Оо (*• М — У’ У) аУ
п
д

’ S
xs
D^O0(t,$Xs)-y, z) г-с(4)рУ<
s
" а л	„	Л+1Я-Н
<с£/ Л4</|С(,)-у| е-р)' 26 X '
4-1 Xs
"	I *!+!-«
Xexp{-cp(f.p.C(,).y))rfy<c2|Aj(f-p)‘ M •
J-l
$3] Линейные параболические системы
85
Используя последнее неравенство и то, что в рассматриваемом
случае [ h | < (t — Р)2*, получим
|Я,|<
л+2д-а	|
<СК-т) 24 | А |“’ехр {—ср} f (/ — ₽)'	» dp<
6
/1+1 fel-gg+a'
<С| А (“'(/ — <	» exp {—ср}, (20g)
а' = а, если |й| < 2d, .а'— любое число, меньшее а, если
|*| = 2d.
Интегралы Я3 и Н4 оцениваются одинаково, рассмотрим
один из них, например Н4. Используя оценку (62), получим:
П+2Ь-Ъ	*	I
|И4|<С(1-< » ехр{—ср} J(/-p)‘ » dp<
Г-,)
л+1А |+«,—«
<С|Л|7(^ — т)	2Ь ехр {—Ср]. (204)
Остается оценить Я5 и Яб, они тоже оцениваются одина-
ково, оценим 7/6. Используя оценки (20) п. 1 (они справед-
ливы при 0 < [ k |	2d, при | k | = 0 все оценки очевидны)
и (60, получим
t	1*1~*	л+2^—<х
!«•/< С f (t - ₽)” № (р - т)' 2д ехр {- ср (р, т, X, £)} dp <
л+2»-а
<С|Л|	26	(t — t)	2d ехр{ —ср}<
n+|fe l-g
<С|Л{“(/—т)" 2» ехр{ — Ср}. (20g)
1
Из оценок (20^21 з,4(д) следует, что для |Л|>С(# — т)2*
л+1 Л 1+т-*
I (Л Т. х Д) | < СI л Г (t — т) 25 ехр {— ср}. (20)
Из оценок (19), (20) следует оценка (3). Теорема 2.1, таким
образом, доказана.
86
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. t
Сделаем два полезных замечания:
Замечание 1. Если |х— Е|>2|Л|, то в оценке (3)
при | k | 2Ь — 1 можно вместо шах [ехр {— ср (tt т, х, Е)},
ехр {— ср (/, т, х-|- h, Е)} ] поставить ехр {—ср]; действительно:
л+|*| + 1
|AADftZ(f,t,x.5)|<C(/-T)" 2» |А[Х
г	1 । 
Хехр( — с\х— 5-|-6Л|?(£— т) 26-1 |»
|х-$4-0Л|>|х-£|-|Л|> 4|x-$|,
поэтому
\bhDkZ(t, т, хД)|<
<C(f —т) 26 |А|т/.1* 5Ц X
\2(f — г)2»/
Хехр{ — ^г|х —	—
л+| *1+т	(	1 ) ‘
^C(t — т)	I h |т ехр { — с|х —	— т)""5*31}’
где т — любое положительное число меньше единицы.
Замечание 2. Если коэффициенты системы (1) удо-
влетворяют условию Гельдера по Л х в П ^в смысле пара-
болического расстояния d (Р, Q) = ]/"| х—-х' |2-j~ | / —р)
с показателем а, тогда ф. м. р.	х, Е) можно кон-
струировать в виде
Z(tt т, х. Е) = О0(/ —т, х —Е; т, Е) +
t
+ f Opf O0(f — ₽. x — y; p, y)<Fj(P, t. y, t)dy =
= O0(t — t. x — S; t, 5)4- t, x, 5),
где O0(t — x, x — 5, t, 5) — матрица Грина системы
ss Po (t. 5; D) а, которая обладает всеми свойствами, изло*
S3)
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ~
87
женными в п. 1. Матрица (/, т, х, 5) удовлетворяет нера-
венствам (6j), (63), поэтому для (tt т, х, 5) справедливы
все оценки, установленные выше для W (tt т, х, £).
3. Сильно параболические системы. Введем, следуя
М. И. Вишику, важный класс параболических систем.
Определение. Система
называется сильно параболической в некоторой об-
ласти & пространства (/, х), если для любого ком-
плекснозначного вектора а. любых вещественных а и
любых (t х)£<£?
Ref 2 Л*(/, х)а*а, — 5|аР|а|2,	(1)
\|* 1-2*	/
N
(а, Ь) — 2	& — положительная постоянная.
Очевидно, что сильно параболические системы параболичны
в смысле И. Г. Петровского. Установим, что для сильно
параболических в систем ф. м. р. может быть построена
без предположения о том, что непрерывность по t коэффи-
циентов Ak(tt х), |£| =2д, равномерна по х (все остальные
условия предполагаются выполненными). Рассмотрим вспомо-
гательную систему
2 A У) D*u вв Ро (/, у; D) и (2)
I* |—2*
и двойственную ей систему
^Г = ро((’ У>	(3)
Пусть Qt— столбец с номером I нормальной ф. м. р.
Q(t, т, $, у) системы (3), запишем равенство
Re(P0(t у, s)Qt. Q0 =
= 4к₽« (< )> »)<?. ОД+(*W у. «)ОД од =
88
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ. 1
Из условия (1) и леммы 2.1 следует, что
Re(P0(t у. s'iQf, 0,)<(-М°12> + ЛМ2>)1<?Я2.
О < Bj < 8; Fj > О,
таким образом,
W<(~281|oP» + 2Fl|7|2») |QJ2,
поэтому
I<?/(*. s. y)|2<
< | Q{ (t. t, s, y) |2 exp {(-2^ | о |» + 2FX | T|«) (/ - t)J =
= exp {(-2^ | о I2» + 2F, | TI») (/ - г)},
так как Q(t, t, 5, y) = £.
Из последней оценки следует, что
|Q(t т, y)|<Cexp{(-81|a|^ + F1|T|2^)(/-T)}. (4)
Тдким образом, получено основное для всего дальнейшего
неравенство без предположения о равномерной по х непре-
рывности коэффициентов системы по t. Так как только для
получения неравенства (4) нужно было это предположение,
то ф. м. р. сильно параболических систем строятся без него.
4. Система высшего порядка по t. Замечание о случае
произвольной области. Фундаментальная матрица реше-
ний сопряженной системы. Рассмотрим линейную параболи-
ческую систему общего вида:
N	ъ
Ot /-1 Л02*+|Л|
>1Л02*+|*|<2*Лу
«Ри(«. х; D. J,) «+₽„(<. х; D. *)«-₽,(,.ж-.О.’). (1)
(/ = 1. 2....ДО-
Для нее может быть построена ф. м. р. |zP(f, т, х. £)|^\_!
при сформулированных в теореме 2.1 ограничениях, нала-
гаемых на коэффициенты системы (1),
$3]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
89
Для матрицы Грина системы, в коэффициентах которой
вместо х стоит параметр у, будут справедливы оценки
|-grD*Oi»(/.x.x-S.y)|<
>4-1*1 . - _,_ь
<См(/-г)	” +i 0 ехр {-ср}.	(2)
Аналогичным образом изменятся и все остальные оценки п. 1.
Ф. м. р. системы (1) отыскиваем по методу Э. Э. Леви в виде
х, X. = х. X — 5, В)4-
N <
+ 2if <4 ₽. x — y, т, у. S)dy. (3)
m«l т
Тогда относительно матрицы ЦсрЮ (t, t, х, 1 получается
интегральное уравнение
т, х, £)==Ку>(/, т, х, 5)4-
7V /
+	?• *•	У. № (4)
m«l t
Покажем, что |кР(<, t, х, В) £т_t = К (/, т, х, 5) удовле-
творяет неравенству (8) п. 2. Действительно, используя не-
равенство (2), получим
|^°(t t, X, D| = |{pw(t Х-, D, £)-Pw(t, 5; D, -£)}х
ХОЙ(<>	х — 5, 5)4-Pu(t, х; D. ^Ool(t, х, х—5, 5)|<
< S с I л!/°’4) АТгЛ) | х
*в26+|*|-2*яу
л — 1—л — JL^liZL
Х(< —*)*	* м ехр{—ср] 4-
00	Фундаментальные матрицы решений (ГЛ. t
+ С 2 \Atyk4t.	' »+"exp{-cp}<
Ло2&+ |*| <2bnj
< С| х-$ Г	ехр {-ер) +
т) 26 1+2> ехр{—ср}<<С(/—t)	2* ехр {—ер}.
Таким образом, интегральное уравнение (4) может быть
решено и исследовано с помощью методики, приведенной
при доказательстве теоремы 2.1. Производные по t и х
порядка |£| -1- kQt	—1, вычисляются непо-
средственно, а для вычисления производных, для которых
|Л|-|-2дА0 = 2дПу, используются те же формулы, что и для
вычисления производных порядка 2Ь в случае систем первого
порядка по t. При этом для ф. м. р. ||2^(/, т, х,
будут справедливы оценки
л-HJ
-V (t, х. хЛ) < С (/-т)" 2Ь
dt9
’	,-1-*°ехр{—ср}. (5)
До сих пор ф. м. р. строились в том случае, когда
коэффициенты системы заданы в слое ПР Если коэффициенты
системы (1) заданы в области <£? (конечной или бесконечной)
и удовлетворяют в ней условиям теоремы 2.1, то ф. м. р.
МОЖНО построить в любой области <3\ такой, ЧТО
Это можно сделать и непосредственно, повторяя, с неболь-
шими изменениями, рассуждения, приведенные выше, но
проще воспользоваться возможностью продолжения коэффи-
циентов в слой, содержащий область & таким образом, чтобы
сохранилась параболичность и коэффициенты продолжали
удовлетворять условиям теоремы 2.1.
Пусть теперь в дополнение к условию 1) теоремы 2.1
выполнено условие
3) пх = п2 — ... — nN, коэффициенты системы (1)
Л(*0’ k\t9 х) имеют 1^1 непрерывных ограниченных
производных по t9 х, удовлетворяющих условию Гель*
дера по х.
$3]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
91
В таких предположениях система, сопряженная в смысле
Лагранжа к системе (1),
L*(v) =
dn'v
2	iT^(~D)‘(X<wr(,’5)v>e0 (6)
и (— т) 0
А^ + |А1<2*лв 4	5 * 7
имеет ф. м. р. Z* (t, т, х» £) (по аргументам т, 5) т < /. Это
утверждение непосредственно следует из теоремы 2.1, так как
система (6) «обратно» параболична (см. п. 5 § 2). Матрица
£*(/, т, х, 5) определяется формулами
Z*(/• т, х, £>=Оо(Л т, х — 5, х)Н-
t
+ J Ооф. у)¥(/.р. х, y)dy**Go+W*. (7)
т
4T(t, х, х, 5) = 2 K*m(t, -с, х, ?),
т-1
K\(t9 х, х, £) = —£*(Оо(/. т, х — х)),
(8)
t
К*т (/. г, х, 5)= р? f г, у, 5)^, р, х, y)dy.
5. Некоторые свойства фундаментальных матриц
решений параболических систем. Ф. м. р. обладают весьма
важными для их применения разнообразными свойствами;
некоторые из них будут здесь приведены. В этом пункте
всюду будет предполагаться, что система (1) п. 2 удовле-
творяет условиям 1) теоремы 2.1 и 3) п. 4 (последнее усло-
вие только в свойствах 1—4). Будем пользоваться следую-
щей формулой Грина — Остроградского:
t
j* dx J* [vLu — u\ d\^=s
h v
k t L л n
u^ida*
92
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
[ГЛ. 1
где
«1-1
Ло-О
*о2*+|Л|<2*л,
1„_, (.)аав.Л0,°> -1(,Л«-’)+... + (-1)-‘	.
От /	От 1
1„.2 w=.л»- » - а (»/’«)+...+<-1)-г	•
j
(2)
1 L^v) = VA^-^-^, L0(v) — v,
BJ[v9 u} — билинейные формы, содержащие производные
по /. х порядков Л, Ло, 2йЛ04~|Л| < 2bn^ V — область Еп
с границей Г, которая может быть разбита на конечное число
кусков, каждый из которых допускает гладкую параметри-
зацию; vy — косинусы внешней нормали к Г; и, v — вектор-
функции подходящих размеров и гладкости, определенные
в замыкании & цилиндра <£? = {/0 х 7\
Свойство 1 (нормальность).
2* (t9 tQ9 х9 у) = Z' (/, /0, х9 у), t >
Доказательство. Положим в формуле (1) tr =
= £•'(/4-Л, т, х9 5), a = Z(x, f0 — h9 5, у), Л>0, а в ка-
честве V возьмем куб Уд{|^| </?, $ = 1, 2.л},	тогда
получим
Пт1	”
f 2	(t+h. <. x. 0) £ Z(t, t0-A, t.y) Л +
V/f L*.-o	dz	-It./,
t	e
<3>
ГЛ /-1
Перейдем в равенстве (3) к пределу при	тогда
5 31
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
93
в силу оценок (5) п. 4 предел второго интеграла будет
равен нулю. Итак,
»i-J
№ = f 2 £Я1-1-л,(2-' (Н-А. т, х. $)) X
к	Л»!-1
Х^2(Л/0-АЛу)Я=/ V/.„.-^.(Z^+A,^, хЛ))Х
*t-o
?.у)и,л=ЛА).
Найдем предел левой и правой части последнего равенства
при А —> 0. В силу оценок (5) п. 4. конструкции ф. м. р.
и формул (2)
Hm4A) = lim f °о«-|-А. t.x-5, х)|х.,Х
4->о k->oJ д^-ху*1 1	г
X Z(t, t0 — h, 5, y)dl = Z(t, t0. x, у),
lim4A)=lim Г [^Lz'(x, t0-h. £. y)Z*(H-A, t0. x.	=
A->0	A-^oL*' OXJx_/(1
= Z*'(t, t0. x. y).
Таким образом,
2* (t, t0, x, y') = Z,(t, t0, x. y).
Свойство 2. Если вектор-функция u(t, x) имеет
в цилиндре k0-р| к | непрерывных производных по t, х,
2АА0-|-|А| <:2&пр то для (t, х)^^ справедлива формула
u(t,x)=X. хЛ))|х./ф-^га(/0, Э<Гс+
V А.-0	0
В1 (Z(t, X, X. 9, U(x, IDvjds +
Ь Г /-1
t
+fdxf Z(f, х. х, $Ladl. (4)
4 V
94
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ. I
Доказательство. Формула (4) следует из (1), если
в ней положить v(xt ty — Z(t^ht т, х, ;) и перейти к пре-
делу при й->0.	_
Заметим, что если x^Vt то слева в (4) нужно поставить
нуль. Формулу (4) можно установить, предполагая, что
u(t, х) имеет непрерывные производные тех порядков, кото-
рые предполагаются выше, в #, а в К — только непрерыв-
ные, входящие в правую часть формулы (3).
Свойство 3 (обобщенная формула свертки).
Z(t, р. х, у) =
/1,-1	k
=	t. x,	p. 5, y)dl. (5)
Jfeo-0
< X < t.
Формула (5) следует из (4), если в последней положить
и(/, x) = Z(£, р, х, у), в качестве V взять куб V& а затем
устремить R к оо.
В частности, если пх = 1, то формула (4) представляет
собой обычную формулу свертки
Z(t. р. X, y) = f Z(t, х, х, £)Z(T. р, y)dt, р < т < t. (6)
Отметим одно полезное следствие из формулы (6).
Свойство 4. При ^ = 1 ф. м. р. Z(t, т, х, у) при
/ > т имеет непрерывные производные
D1xd;z. ^DfZ. ^DlxZ. J^z, |/|<2d, |«|<2*.
для которых справедливы неравенства
|AD;z|<C(/-t)"	** exp{—cp}. (7)
Для изучения последующих свойств ф. м. р. установим
следующую полезную лемму:
Лемма 9.1. Пусть матрица M(t, х, х, $) имеет при
t>x г непрерывных производных по х, a N(jt, х, х, 0
$3]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
95
имеет г непрерывных производных по х в П( х Пр
удовлетворяющих оценкам
я+2»-Р+|д|
11УМ (t, т, х, 5)1 < Cs (t — t)"	24 exp {— cjP} (8)
(HO. P>0).
предполагается также, что и
mv.....<9)
\	.1 ч /	\	ч /
обладают свойствами матрицы М (|$|	— А). Тогда
матрица
t
I(t, X, х. $=fd? f M(t. 0, x, y)/V(0, -c, y. l)dy
имеет г непрерывных производных no x, которые опре-
деляются формулами
t. x.
= f d$f PMif, 0, x, y)N($. t, y. 5)rfy +
T
t
+ fd$f S Ml.............y)x
/,	/ -0, lk
<io>
(M,1..............ls — Mtx.‘r1!»....1
_______dW(P, t, y, g)_____ t, y, g) \
...	... dylf — dylt ...	dy,,)'
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. Т
Эб
При этом имеют место оценки
л+26-2р+| 51
|D7(/, т, х, Q|<C*(/ — г) 2» х
(И)
(И =0. 1.......г).
Доказательство. Запишем матрицу /(£ т, х, 5)
в таком виде:
Л
l(t. х. X, 0 = fd$f M(t. p. X, y)N(p. t. y,
T
t
4- fd? f M(t. p, x, y)/V(p, x. y, »dy = /1+/2.
*i
В силу предположений и оценок (8) 1Х можно дифференци-
ровать по х непосредственно под знаком интеграла. Полу-
чим формулу дифференцирования /2 по Для этого про-
интегрируем выражение
р. х, y) + -^-M(t, р. х, у)=Л1,д(Л р, х. у),
Т < Р < t.
по х, от х\ до х, , тогда получим
'*
xh
M(f, р, х, у)= У* р. х, y)dxtk —
xtk
f Л1(/.р. х, y)dxlk + M(t, р. х'. у).
§31
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
97
Последнее равенство умножим справа на Af(0, т, у, 5) и
проинтегрируем (по у) по области VR {|у| </?}:
J* M(t, 0, х, y)N($, t, у, Qdy =
Vr
%
f dx‘. /*₽• *• т’ У’ 0<*у +
/	4
% *
%
+ f f M(f, p. X. ?) jy-W<₽. X. II.
— J* dxt У*M(t, 0, x, y)W(0, t, y, £)cos(«, yt )d$ +
% %
+ f M(t, 0, x'. y)2V(0, t. y, Z)dy.
Vr
Дифференцируя no Xik и интегрируя получившиеся выраже-
ния по р от /j до tt получим
t
= дТГ f f №&• ₽• х> У. 5)^У =
lk	lb 9/ t/
kty VR
t
= f d^ f 0, x, y)JV(0, t, y. Ody +
t
+ f<$f M(t. 0, x. y^w t, y. e)dy-
/. vR	l*
t
— J* d^ J* M(t, 0, x, y)N($, t. y, $)cos(n, lk)ds.
« rR
7 С. Д. Эйдельман
98
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. t
Переходя к пределу в этом равенстве при /?->оо и исполь-
зуя оценки (8), получим
t
дК Г /•
/ M,(t, ₽. х, у)АГф, г, у, B)dy +
t
+ /а$/м(!, ₽, x, y)^-N(p, T, y. B)dy.
Доказательство формулы дифференцирования /2 по х г раз
проводится по индукции: для получения формулы дифферен-
цирования /2 р раз нужно применить предыдущие рассужде-
ния к каждому члену в формуле дифференцирования /2
р — 1 раз. Оценки (11) непосредственно следуют из (10) и (8).
Замечание. Если предполагать в лемме дифференци-
руемость N(p. t, у, 5).	...Jft(p, t, у, В) по у и В, то
аналогично устанавливается возможность дифференцирования
I(t, т, х, ?) по В.
Переходим к непосредственному изучению дифференциаль-
ных свойств ф. м. р.
Свойство 5. 1) Если коэффициенты системы (1)
п. 2 имеют &0-Ь|&|> 2dft0-|- |А| =г, непрерывных огра-
ниченных и гельдеровых по х производных по t и х,
то ф. м. р. Z(t, т, х, В) имеет производные по t, х
порядка «Q-f-Iml, 2Ьтй + \т\-^.2Ъ-\-г, и производные
по В до порядка г.
2) Если же функции DxAm(t, х) имеют £0-{-|&|,
2ЛЛ0—|А|непрерывных ограниченных и гельдеро-
вых по х производных по tax, то нормальная ф. м. р.
Z(t, т, х. В) имеет /о4-|/|. 2W0-|- |Z|-<2&-|-/-, производ-
ных цо t и В. и тогда в силу формулы свертки она
имеет все смешанные производные до указанных по-
рядков по t, х; t, В.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай Ао = О.
Из формулы (5) п. 2 видно, что изучения требует второе
слагаемое, так как на первое непосредственно переносятся
дифференциальные свойства коэффициентов, а именно
O0(t, х,-х — В. В)- является целой функцией третьего аргу-
мента н имеет г производных по четвертому аргументу В>
S3]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
99
удовлетворяющих условию Гельдера (см. замечание к свой-
ствам 2 и 3 п. 1).
Продифференцируем второе слагаемое в формуле (5) п. 2
2Ь — 1 раз по х, тогда получим интеграл
t
J(t. t.x.li) = fd?f Du~xQQ(t, p, x — у. y)<?(p, t. y, §dy.
Докажем, используя лемму, что J(t, т, х, 5) имеет г 4-1
производных по х и г производных по t Справедливость
условий леммы 9.1 для первого сомножителя в J(t, т, х, 5)
очевидна, установим их для второго. В силу формулы (9)
п. 2 для этого нужно изучить свойства, повторных ядер
Km(t, X, X. 5).
Из определения следует, что Кх (t, т, х, £) удовлетворяет
условиям леммы 9.1 и замечания к ней: имеем г производ-
ных по х и 6, удовлетворяющих неравенствам (8) с р = а,
a ... ik(t, t, х, I), определенное формулой (9), имеет г—k
производных по х и 5, удовлетворяющих оценкам (8) с р=а.
Пусть теперь Кт„х (t, t. х, 5) удовлетворяет условиям леммы 9.1
и замечания к ней (P=s(m—1)а), тогда в силу леммы
^Km«.x.x.S) =
*1
f	p. x..y)Km-x^, t, y, \)dy +
t
p, x, y)Afm_1(p. t. y, t)dy +
/1
t
-I- f dp P. x, y)-^-Km.x^. T, y. l)dy. (12,)
tl	*
в силу замечания к лемме
*• S) =
=рр	р. У)Кт-1$. t. У. В)<*У+
7*
100
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
*1
+ /	р. х, y)Km_„ft(p. т. у, l)dy +
t
t
+ f <$f K(t, p, x, y)-^_^_1(p, t, y, k)dy. (12г)
tl	k
Складывая (12x) и (122), получим
(dxt	X' Xt
\ lk к /
t
= fd$f KUk(t. p. x. y)^(p, t. y. §dy +
T
t
+ fd$f Kx{t, p. x. y)Km_Uk^, x. y. l)dy. (13)
T
Аналогично устанавливается формула для многократного при-
менения оператора (-£—к Кт и формулы для про-
\ ох1ц °чк )
ИЗВОДНЫХ ОТ Кт1х
Из этих формул и леммы следуют оценки
t, X, 5)|<
л+2&-та+| р\ f	п	11
2» ехр
I <5-1	J
(И)
(£ = 0, 1....г, |р|=0, 1...........r — k).
Аналогично оцениваются производные по 5. Таким образом,
5) удовлетворяет условиям леммы 9.1 и замечания
к ней.
Матрицу ср (/, т, х, 5) представим в виде
?(/, X, $)= 2 Ks(t. т, х, 0+ 2	*. В)< (15)
§31
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
101
Для 5 2q -J- 1 можно записать
t
Ks(t, t. X. £) = J dp J Kq(t, p, X, y)Ks-q($, T, y, 5)dy =
T
3	1
X	!• У' М<(Ъ г. §dz [ dy.
Поэтому используя равномерную сходимость ряда (15), его
можно записать в виде
2q	t
<f(t. t, x. = T, X. Э+ pp/Kq(t. p, X. y) x
5-1	T
' 3
X fdi p(p. 7, y, z)Kq(^. t. z, t)dz dy. (16)
Пусть q >	, Установим, что <p (t, x, x, $) также
удовлетворяет условиям леммы 9.1 и замечания к ней. Дей*
ствительно, первое слагаемое в (16) удовлетворяет этим
условиям по доказанному, а второе в сиЛу сделанного о q
предположения допускает r-кратное дифференцирование по х
и $ под знаком интеграла. В силу этих соображений и оценок
(14) суммарное дифференцирование  1—gf— не повышает
порядка особенности ср(/, т, х, 5), т. е. для <pZj ... т, х» ;)
справедливы оценки
/1+2£-а4-|р|
I DP<ft, ...,л (*. *. *) | < Cpb (t - Z) *» X
X ехр | - с* S I xs - (t -1)‘	)	(17)
I	5 = 1	J
(£ = 0,1...r, |p|=0, 1....../	— £).
102	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ	[ГЛ. 1
Применяя теперь лемму к интегралу /(/, х, х, В). получим,
что он допускает r-кратное дифференцирование по х и 6.
Остается еще показать, что J(f, х, х, В) имеет /*4-1 произ-
водных по х. Для этого покажем, что производные по х
и 8 до порядка г от <р (Л х, х, 8) удовлетворяют условию
Гельдера. Будем использовать представление
<р(/, х, х, B) = ^(t х, х, 5)4-
+ f «ф f р. х, у)ф(₽. t, у, t)dy. (18)
Установление того, что производные от (t. х, х, 5) удовле-
творяют условию Гельдера, проводится так же, как доказа-
тельство гельдеровости самого K\(t> х, х, 5) (см. оценку (13)
п. 2). Дифференцирование по х, 5 второго слагаемого в (18)
проводится на основании леммы 9.1 по формуле (10). при
этом получаются интегралы от произведения двух матриц,
у которых первая, имея нужные оценки, удовлетворяет усло-
вию Гельдера, а вторая имеет нужные оценки. Таким обра-
зом получаются интегралы, аналогичные оцененным в п. 2
(оценки (140 и (142)). Проведя их оценки, получим, что
<р(/, х, х, 5) вместе со своими производными порядка г по х
и 5 гельдерова по х. Таким же точно путем устанавливается
справедливость условия Гельдера для (Л х, 8).
После r-кратного дифференцирования /(/, х, х, 5) с по-
мощью леммы 9.1 получим интегралы, допускающие на осно-
вании свойства 5 п. 1 еще однократное дифференцирование
по х в силу того, что <p(f, т, х, 5) вместе с производными
по х и 8 до порядка г удовлетворяет условию Гельдера.
Таким образом доказано, что Z(/, х, х, В) имеет произ-
водные по х до порядка 2ft-4 г и производные по В до по-
рядка г. Применяя к системе (1) п. 2 оператор D*, |Л|<>,
получим, что ф. м. р. имеет производные по /, х порядка
л*04-|Н’ 2ftm04- |/и|<2&4-г, mo = O, 1. Если для коэф-
фициентов kQ = 1, то после применения к системе оператора
— 2b, получим возможность дифференциро-
вания Z(/, т, х, В) по /, х /п04> |я*| раз, где /^^2. Про-
водя аналогичные рассуждения с Л0 = 2, 3....по'
лучим нужное нам утверждение.
i »
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
103
$3]
Свойство 6. Если коэффициенты системы имеют г
гельдеровых производных по х, то для ф. м. р. имеют
место оценки
+	D»*Z(/,t,x,E)|<C(/-t)	» ехр{—ср) (19)
(|/п|<2£,	Л<г).
Доказательство. Рассмотрим сначала случай AssL
В силу леммы 9.1 имеем
+4)°^ с*1- ’* «=й+4)°'ад ’• *-*• «>+
t
+ f (А 4-p, x — у, y)<?(p. 5. у, E)<fy +
t
t
+ f$f DpGQ(t, $,x-y,y)(± + -^$,x. y.^dy
(|p|<2*-l). (20)
Суммарное дифференцирование	в СИЛУ свойства 3
п. 1 не изменяет порядка особенности D^Oq^, т, х — Е, 6), это
же установлено выше для <р(/, т, х, В). Из (20) следует, что
не изменят порядка особенности	х. 5),
т. е. имеют место оценки (19). Продифференцируем тождест-
во (20) по х. При дифференцирования интегралов используется
свойство 5 п. 2, которое легко распространяется на первый
интеграл, так как матрица	j OQ(t> t, х — у, у) обла-
дает всеми нужными для этого свойствами 0$ (/, т, х — у, у),
и гельдеровость <p(f, t, х, Е) и Й + х’ х’*> по
Для случая k > 1 оценки (19) получаются последователь-
ным применением оператора	к ZXZ и повтб-
\ х‘л л/ ' '
рением предыдущих рассуждений с учетом доказанной
в свойстве 5 гельдеровости по х ^...^(i. х, Е).
104
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. 1
Свойство 7. Пусть f(ttx) ограничена и удовле-
творяет условию И в каждой ограниченной области
полосы (/0, Г]. Тогда
t
u(t, х)= fdxf Z(t, X, х, K)f(x, 5) л (21)
является регулярной вектор-функцией. При этом про-
изводные u(t, х) по х до порядка 2Ь—1 получаются
формальным дифференцированием под знаком интегра-
лов, а
t
&u(f, х)— f dx f D*Z(t, t. x, l)[/(x, Q — f(x, x)]rf^4-
t
+ f (o*fz (t, X, X. 5) л) / (x, x)dx, I k I — 2b,	(22x)
to
t
=	x)+ fdx f ±Z(t, X. X, 5) [/(t. 5)-
h
t
- / (x. X)] dx 4- f (± f Z (t. X, x, $) л) f (X, x) dx. (222)
to
Доказывается так же, как свойство 5 п. 1.
Свойство 8. Если коэффициенты системы (1) п. 2
удовлетворяют, в дополнение к условиям теоремы 2.1,
еще условию Гельдера по t с показателем (таким об-
разом, коэффициенты гельдеровы not, х в смысле пара-
болического расстояния), то справедливо неравенство
Т	л+|А|+у
|Дд>/Ьл2(/. т. хЛ)«С|Лр(/—с)	ехр{—ср). (23)
|А|< 2&.
при 0-^.h-^a(t — х), а — любое положительное чйсло,
— h, x) — f(t, x), T==a, для |A| < 2b,
•f — любое число, меньшее а, при |A| s=s2b, С, с зависят
от тех же величин, что и в теореме 2.1, и еще от
констант Гельдера по t коэффициентов системы.
§3]	ЛИНЕРГНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	105
Доказательство. В силу замечания 1 к теореме 2.1
Z (/, х, х, £) = О0 (t — т, х — 5; х, 5) -f-
4- J rfPf°o(i — ₽• Х~У> У)<Р1(?. *.У. 5)dy =
= O0 (t — T. X — 5; T ,5) +	(/. t. xД).
На основании формулы (152) п. 1 запишем
Дй> tDkZ (t, t. x, 5) = ДА, ркОй (t — t. X — 5, T, $)4~
4- ДА> tWx (t, t. x, 5) = ДА> (DkG0 (t — t, x — x, 5) 4-
4-f 4 /	—?• x~y« ?• У)?1(р. <. y. 5)dy4-
+fa?f ^ь,Рк°о({ — ^ x~ y> ₽• У) [<P1 (₽• x, y. 0 —
6	t
— ?!$. x, X, £)] dy 4- f ^tDk f O0(t — p, x — y, p. y)dyx
t,
t+h
X<Pi(p. t, X. e)dp4- J dp/о*О0(*4-А-р. x-y.p.y)X
X [<P1 (p. t. y, 5) — ?! (p. t. X, 5)] dy 4
t+h
4- J f&f О0(/-4Л —p, x — y, p, y)dy)<Pi(P. t, x, ?)dp==
=./14--44 4~b 44- «/54-
Предполагая, что h a (t — т), оценим каждый из интегра-
лов Jk, Используя теорему о среднем, найдем
141=1*4 04 (/ 4- 9* '• х - 5. X. 5) | <
af	/14|fel4-«'
^.Ch2b(t — i) 26 exp {—ср}. (24j)
4 сразу оценивается с помощью неравенств (24^), (6j) п. 2
106	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ	(ГЛ. 1
и леммы 5.1:
«	«+1*1
141	"	ехр{-ср}.	(24г)
Переходим к оценке J3, для этого представим его в виде
t к
t
J3= f d$f...dy+ J dp /...dy^’+J^.
A	, *
Л1) оценивается с помощью неравенств (240 и (60 п. 2 ана-
логично оценке Нг в доказательстве теоремы 2.1:
,. #|<С f dp j[
7	/1+|Л|+Т-«
—т)"	2» ехр {-ср}.
оценивается с помощью неравенств (2) п. I и (6J п. 2:
п+2Ь
—	» X
Хехр{—ср (Н-Л, р. х. у)}-Н<—Р) “~ехр {—ср(/, р, х, у)}]х
X | х — У Г* (Р — <)	55 ехр {—ср (р. т, у, $)} dy <
л+2»-ад	Г <	|А|-«1
<C(t—с)' 2» ехр {-ср}	— Р)" 2» dp +
t А
и~27
<	|А|-<х,	-1 Т	л+|А|+т-«
+	<Ch№(t—x)~	ехр{—ср}.
f-lS	J
Итак, получается такая оценка для J3:
т д+|*|+т-«
141<Са1№ (#-’)"	" ехр {-ср}.	(24g)
Переходим к оценке J4. Рассмотрим функцию
р. jf) = Afc/D* J O0(t — р, х — у, р. y)dy.
I
5 3]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
107
Используя свойства 2 и 4 п. 1, оценим р, х):
/+л
г+л
“ J rfvD^l0o(T—M—M..y)—
f — °о(Т — ₽.* — ?.₽• ^)]\t.xdy <
t+h
|Л|+2»-«	(»|+2»-«
» dt^Ch (/ — ₽)"	2»	, (25!)
t
С другой стороны, используя неравенство (20) п. 1, получим
М. р.Х)|< С(/+*-₽)’ 2» _|_С(/_р)- 2»
<С(/-Р) 2» . (252)
С помощью (25г), (252) оценим J4:
'“2?
4 е f ₽• <*) fi ф. *. Q <Ф+
t
-I- f vh (t, p. X)fl (p. T. X. E) dp.
,_2L
2a
В первом из этих интегралов воспользуемся оценкой (251),
во втором (25,):
<-Л.
2а
|Л|+2д-а	п+2Ь-л
Г 2» (Р —г)" 2»
Хехр{-сР(р,т, х, l-))dp + C J(/-p)‘ » х
2а
108
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
л+26-g	л+2д-а
X ф—2д ехр {—ср (Р, т, xt £)} dp < С (/—т)
X
X ехр {—ср}
т 2а . Т	| АI -н2г> —at
h2b j h 2b (/-P) 2b dp4-
6
g 2fr-lfe| T _ ”+l*t+T-g
+ h2b (t-x) 2b ^Ch2b (/-t) 2b	exp {—cp}. (244)
Оценка J5 проводится с помощью неравенства (62) n. 2 и
неоднократно использованной методики. При этом получится,
что
у	/i+lfcl+т-a
|У5|<СЛ^(/-т)	» ехр {-ср}.	(245)
Наконец, оценка J6 проводится на основании неравенств (20)
п. 1 и (6j) п. 2:
л+26-g *+л	|fc|- a
Mel<C(f-T)- 2b J (t + h — Р)" 2b dpexp{-cp}<
t
a	n+]£|-a
Ch2b (t — t) 2b exp {—cp}. (246)
Из оценок (24b 2t 3> 4> 5t 6) следует требуемое неравенство (23).
Свойство 9. Для ф. м. р. Z(tt т, х, 5) справедливы
оценки
|*| <2&,
л4- |&|= 2Ь,
п+ |Л|> 2Ь.
п. 2 имеем
Cln-j—
/о
С\х — $|2й-л-1*1,
Доказательство. В силу оценок (2)
/о
/о
t-h
Хехр| —с-— \
«-г)2»"1
Л+1&1
2& V
О
Хехр( — с|х — 5ГР 2»-Ч</р.
§ 3]
ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
409
Применяя лемму 7.1 к последнему интегралу, получим нуж-
ные оценки.
В заключение приведем два свойства объемных потен-
циалов, которые найдут содержательные применения при
изучении задачи Коши.
Свойство 10. Пусть коэффициенты Ak(t, х) си-
стемы (1) п. 2 принадлежат С(а) (ПИо,Г1), т. е. ограни-
чены и удовлетворяют условию Гельдера по t, х
с показателем а в П|/0,гь л вектор-функция f(t, х)
непрерывна, ограничена и удовлетворяет условию Гель-
дера с показателем а только по х.
Тогда объемный потенциал
t
u(t, X) = f dxf Z (t, x,x,t)f (x. $) dl (26)
/0
удовлетворяет следующим неравенствам*.
2d— |fe| +<*
р*«(/. x)|<C(* — Q 2b , 0<|6|<26,
|ADfta| = \Dku(t, x) — Dku(t', x')|-C
2b-|£| 4-a-y
—/0)	» t o<|6|<26,
2b-a
(27)
(28)
для точек (t, x), (tr,	здесь d =
= d [(£, x), (/', x')]—параболическое расстояние *) между
точками (t, х) и (Г, х')\ 7 = а для | k | < 26; 7 — любое
положительное число, меньшее а, при |6| =26; постоян-
ная С зависит от верхних граней модулей коэффи-
циентов и f(t, х), их констант Гельдера и чисел Т —10,
а» 7, 26 и 8 (из условия параболичности).
Доказательство проводится аналогично доказатель-
ству свойства 8. В случае 6 = 0 оценки (27), (28) получаются
непосредственно. Рассмотрим случай 0 < |6| <^26. Используя
*' Напомним, что d [(/, х), if', х')] =	— х' |2 + О' — 01/д-
ЦО
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
формулы (220 п. 1, запишем
t
D*u(t, x) = fdx J D*Z(/, т, x.	B) — /(t, x)]dB +
t
4- J Z(t, t, X, t)dt]f(x, x)dx.
Неравенства (27) сразу следуют из оценок ф. м. р., гельде-
ровости /(/, х) и неравенства
Id* f Z(t. г, х. 5)dd<C(/—(29)
которое следует из равенства Z(/, т, х, 5)=О0(/, т, х—5, т, В)+
-1-	(tt т, х, В) и неравенств (20) п. 1 и (16) п. 2.
Переходим к установлению (28). Если t —	то
неравенство (28) следует из (27). Поэтому достаточно рас-
смотреть случай йР* < t — tQ.
Используя опять формулы (220, представим &Dku(t, х)
в таком виде:
t-ч
bD*u(t. *) = f dxf AD*Z[f(x, В) — /(t, x)]«4-
t
4- fdxf D*Z[f(y,	x)]dH-
<-’1
+ J (AD* J Zd5)/(x, х)Л4- fD*f Zdl/fr x)dt —
t-
—	fdxf Dx>Z(t', x, x', e)[/(x, B) — f{x, xOJdB —
«-л
t'
—	f&*f Zif, x. x', fydtfix, x')dx =
(8Q)
$ 3]	ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	Щ
•»] = у (Р*. Для оценки Jt используются неравенства из свой-
ства 8
t-i)
1ЛК J * f (|Ax-x',xD»Z(A t, х, 5)14-
4-	\bt.-t,tD*.Z(t, t, x', 5)1)|/(t, 5)-/(t, x)|d5<
t-Ч	»+l*|-T
<C|x-x'|TJ dxf(t-x)~ » X
t,
x exp {— cp(t, X, x. 5)} I x —51* <75 4-
т t-ъ	Л+1А1+Т
-4	- C(t' -f dx J(7 -t)’ » X
t,
X exp {— Cf{t, X, x', 5)} |x' — 5 г <754-
т	Л+1Л1+7
4-C(/' —7)^J dx f (t-г)
Xexp{—ср(/. г, x't 5)} |x' —x|*d5<
t i*I+t-«
—t)-	»	dx-]-
h
/-I	l»l-T «	_J.
4-C<f+’J (7—t)‘ » Tj2»<fc(4) 2*<
t	1ЛЦ-Т-«	2»-|A|+a-T
—1)“ » dx^Cd'it — t^ 26	.(31i)
t.
На основании оценок ф. м. р. получаем
i г
Ра|<С JdxJ(t—x) 2» ехр{—ср(/,т, х, 5)) |х—5|\<75=
<-ч
2»-|»|+а	2»-|«|+а-т
= Ctj »	/о)	»	.	(31g)
Л12	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ	[ГЛ. 1
Аналогично
*'	|fe[-a	2d-|*l+a
I4i<c	2* <h=c(t'-t-^) ™	<
/-1]'
2Z>— | ЛI +a-|
< Cd2b~1 k l+’ < Cd1 (t —10)	%	.	(31^
Для оценки J4 используем неравенство (29)
/	I *1~«	2d-|d|+«
|J4|<C J(f— t) 2* dx = Cri <
2*-|*|+a-T
<C<f(/-<0)	. (314)
Так же оценивается
2d- | k l+a-y
| J6| < C<f {t - /о)	.	(31e)
Оценим, наконец, J3. Для этого рассмотрим вначале ДО* J* Z
|до*уг^|<|д,_ж,>го*|Z(t, т, х, В)«|+
+1 Дг .t, tDk. J Z (t, г, x'. 5) d\ | <
<|Дж-ж',хО* JO0(t — x, x — l, г, 5)Я| +
+1 Дж_ж., XD» f W. (t, x, x. 5) Я] +
+ |Д/'_<(/О*. f O0(t — X, x — ?. X, +
+ |ДГ_<(/О‘. fwx(f.x, x'. 5)d?|.
Воспользуемся неравенством
|дж-х,жО* Jo0(t—x, x—e, x, $)#|<
n	2d+|fc|-«
<c2 |x«—*)” 26
$-1
§ 3]	ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	ИЗ
(оно было выведено при оценке Н2 в доказательстве тео-
ремы 2.1), оценками (20) п. 2 и оценкой Д^-/, tD^W\ (t. т, xt $),
полученной при установлении свойства 8, тогда получим
I	|	П	I fe |+2»-а
AD* [Zdt 1<с2|*з — ^[(/ — т) 2»	+
I J I 5-1
1*|+T-<X	|*|+2*-а
+С|х —	— т)	24 +C(f — f)(t — т)"	2»	+
Т	I»l+т-«
+С(Р — /)24 (t-^x)	™	.	(32)
1
Так как |х$— х$|	d[2 (t — т)]2* в Jy a t'— t^d?b^
^.2{t — т), то с помощью (32) получаем оценку
t	|*|+|-«
р3|<С|х-х'|т f (t-x) ~dx±
to
t	|»|+T-a
+ Cd1 f(t — t) 25 dx +
*0
7 t	|»|+y—a	2»-|»|+a—
+ <?(/' — t)™ f (t — t) 25 dx < Cd1 (/ — Zq) 2»	.
(31з)
Из оценок (310 — (316) следует неравенство (28). Свойство 10
доказано.
Свойство 11. Рассмотрим параболическую си^
стему с «замороженными» коэффициентами*.
^= 2 А(₽.	(33)
1*1-2*
Пусть Лл(р, у) принадлежат (П[<0, rj), a f(t, х) удо-
влетворяет тем же условиям, что и в свойстве 10. Рас-
смотрим объемный потенциал
v(t, х; р, у) = fdx fo0(t — х. х —V, р, y)f(x, i)di.
8 С. Д. Эйдельман
114
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ. I
Обозначим через
B = sup |/(/. х)| + sup *»>~^ *a)-L,	0 < а < 1,
где первый sup берется по (t, х)^П[/иГ], а второй — по
(t. х>), (t, *2)6 ИцьЛ» отог^а для функции ux(t, х)=
= Dkv(t. х-, р. У)|(?1у)_(/>х). |A|=2i, справедлива в П(^л
оценка
lAaJsl^^, х)— ax(t'9 x^^CBd*.
Доказательство. Воспользуемся формулами замеча-
ния 1 (конец п. 2), а затем положим ф, у) = (Л х). Тогда
получим
i
u^t, x)=fdx j D*O0(t-x. x-5, t. x)[/(t, ?)-/(*. *)]<«.
/0
где D* означает, что дифференцирование по х проводится
только по второму аргументу.
Достаточно опять рассмотреть случай d?b < t — tQ. Исполь-
зуя свойство 4 п. 1, представим ^ах(19 x)—ax(t9 x)—ax(t't Xх)
в таком виде:
t
A^es J*dx J[D*O0(/ — t, x— 5» Л x)—
/0
_D*O(f_x, x — t Xх)](/(t. Q — /(t, x)]rf$ +
+ f dx	x-t f, xO-
—-^.q^—x. x'-e. f. хэ] [/(*.	х)]л+
t
4- fdxfD*O0(i—x,x-e. f, xz) [/ (X. 9-/ (t. X)J Л-
e
— fdxf D^Oo^—x, xx-t f. Xх)[/(t. l)-f(x, х*)]Л =
$3] |	ЛИНЕЙНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	Ц5
При оценке /, используется гельдеровость производных от
O0(t — t, х— В. р. у) по р, у (свойство 2 п. 1)
'	.	я+2»
|/,|<CBd“ J dxj (t — т)~ » ехр{—ср} |х — В|*Л<
й
^CBd'ft —
/3 и /4 оцениваются как J3 и J6 при установлении свойства 10
Из1 + 1Л1 <св<г.
При оценке /2 используются неравенства (24,) и (19) с л' > а:
|/2К f dxf [\b*-*',xD*o0(t—t, x—e, e. x')l +
h
4-IAr-t	x'-t |/(t. 0-/(t,
*—*1	2b+a'—a
^CBlx — х'Г’ f (t—< » dx +
/0
2^-b«r—д
+СВ(Г —1)№ f — 2b dt-h
<•
2fr+tt*.
4-CB(/z — |x — х'Г J (t — t)“ 2b
6
2&+ttr-tt	2fr+ttr
J (f-xf 2*	+	(/-T) 2b dT=:
/0	6
= СВ(Г' [<^ — (# —	+
4-CBd“+*’
+С#Г+в'(Гв’==СВЛ
Таким образом, доказано, что
|Дй,| <СВсГ.
&♦
41b
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ, 1
§ 4. Оценки матрицы Грина в полупространстве (по /)
1. Определения. Для исследования различных свойств
решений параболических систем весьма важно получить оценки
матрицы Грина в полупространстве /<^7 «ли t^T. Этому
и посвящен настоящий параграф.
Определение. Матрица Грина G(t, т, х) системы
D)u
(1
удовлетворяет условию А^Ад), если для любых t, т.
£>т, х из полупространства (или t^T) (в пер-
вом случае условие А будем обозначать А\ во вто-
ром имеют место оценки
\iy"G(t, х, х)|<Ста(/, т/техр| —
(Ai)
|DmO(f. х. х)|<Сжа(/, x)*meXp{-a(t
где a(ttx)9 b(ttx)— непрерывные монотонно возрастаю-
щие функции аргумента t, а(т, т) = 0, b(xt т) = 0; Ст,
с — положительные постоянные.
В этом параграфе будет приведено несколько классов
параболических систем, для которых выполнены условия Ар А^.
Для произвольных параболических систем эти условия в полу-
пространстве несправедливы. Примеры, это показывающие,
будут приведены в § 3 гл. 2. Отметим также, что парабо-
личность системы (1) предполагается нами в каждом сегменте
t2\ (tx <Zt2^T или t2 > /i T). Заметим и то очевидное
обстоятельство, что выполнение условия А2 влечет за собой
выполнение АР Для любой конечной полосы, как это показано
в § 2, всегда справедлива оценка (А0 с a(t, т) = (£— т)2*,
Ат = —п—|т|.
Можно дать аналогичные определения выполнимости усло-
вий Aj и для систем ^ = P(tt у; D)ut коэффициенты
которых зависят от параметра у. Все нижеприводящиеся кри-
терии Выполнимости условий Ар Аз распространяются и
на этот случай, если входящие в эти критерии оценки равно-
мерны по у.
§4]
ОЦЕНКИ МАТРИЦЫ ГРИНА
117
Отметим также, что выполнимость условия Aj влечет за
собой устойчивость в смысле Ляпунова, а А^— асимптоти-
ческую устойчивость решения задачи Коши, представимого
в виде интеграла Пуассона (§ 2 гл. 3). Поэтому признаки
справедливости оценок (АД (А^) заимствуются из теории
устойчивости.
Приводящиеся ниже критерии остаются справедливыми
(с соответствующим изменением чисел для матрицы Грина
системы первого порядка по t, полученной из параболиче-
ской, по Петровскому, системы высшего порядка введением
dkQui ,	- л	<
вместо производных —Ло=1, 2, ..., п>—1, новых
dtRQ
функций.
2. Случаи выполнимости условия АР 1) Сильно па-
раболическая система
1Г = 2 Ak(t)D*u.
1*1-2*
Для любого и любого комплексного вектора а
Ref S Ak(t)Gka, — 8|<з|2*|а|2,
\|*|=2*	)
коэффициенты Ak(t) предполагаются непрерывными и
ограниченными. Тогда матрица Грина удовлетворяет
1
условию А?" с km = — п—|/п|, а(/, т) = (^— т)2д.
Доказательство такое же, как проведенное для сильно
параболических систем в п. 3 § 3.
2)	Система с постоянными коэффициентами
2*	2*
#=Ё S AiDia Ё «•	<0
*-2r I/I-*	*-2г
Предполагаетея\ а) корни уравнения
{2Ь	\
^|=о
*-2r	J
118
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЯ
[ГЛ.1
имеют вещественные части, обращающиеся в нуль лишь
при а = 0; б) матрица Р2г(а) при |а| = 1 имеет соб-
ственные значения с отличными от нуля веществен-
ными частями. Утверждается, что тогда выполнено
условие Ах с km —— п—|л| и

a(t, t) =
t — т<1,
t—«>1.
Оценку достаточно
метим, во-первых, что
провести, сбитая, что t —1^-1. За-
корни уравнения
{2»	\
2Ps(o) —Х£} = 0
л-2г	J
Удовлетворяют неравенству
Rek(a)<-8(H*+|aP»).
(2)
Для |а| и |о| неравенство (2) вытекает из условия б)
и параболичности системы. Рассмотрим сличай е< |в| </?.
Пусть в этом случае наше утверждение неверно, тогда су-
ществует последовательность о<*>, е< |о<*)| </?, такая, что
Re XZo (aW)	8Л (| <j(*> 12*	1а(») |2r), lim 3А = 0. Из последова-
Л->оо
тельности можно выделить в силу теоремы Больцано —
Вейерштрасса сходящуюся подпоследовательность. Для ее пре-
дала а, 0 < е < | а К /?, будет справедливо неравенство
Re (с)^0> что противоречит условию а). Для корней урав-
нения ч
(2b	1
5 р до)	1=о
4-2r	)
из (2) следует оценка
ReX(a, р)<-8[|О|"+|а|2гр“-2г].	(2Э
Перейдем к установлению выполнимости условия Аг Ре-
шение соответствующей системы обыкновенных дифферен-
ОЦЕНКИ МАТРИЦЫ ГРИНА
119
циальных уравнений -^- = P(a)v имеет вид
2»	.
2 pj—
v (t—t. о)=ep	=/ “* \	=
2»	i-_
*	-L
= «*-2r	,	a==---i—p=s(f —t)2r,
{2»	4
является значением нормальной ф. м. р. системы
2»
4г=2?><«+адм''®' и
k-2r
при z=l. Рассмотрим два случая: 1) |«|>е, ₽>0;
2) |<х| <>10. ед — некоторая положительная постоянная. В пер-
вом случае (2') может быть записано в виде ReX<^ — 301а*|2д»
|а*| = j/Jap-j-p2. Система (3) в этом случае является пре-
образованием Фурье параболической система, содержащей
лишь группу старших членов. Поэтому к ней может быть
применена оценка (5) п. 2 § 2. Следовательно,
«+/7. ₽>|<Сехр(-»,|^|»+Л1т1ж|< '
<С«р{-«, |«|я-8, |«|‘'р"-,'+Л |Т|И).	(4.)
Перейдем к случаю 2); рассмотрим две возможности: а) |7|^
е2р; б) | у | > 8jP, *2 > еР В случае а), обозначая а в a -f- /7,
запишем
Выбирая достаточно малыми и % и применяя леммы 3.1
я 4.1, получим
|Г| <Сехр (Р2й’2г(-81 |a|2r + Л |7|2г)},
120	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ	[ГЛ. 1
откуда в силу |а| следует оценка
| WI < С ехр {- 8,1аI2* - 8,1а|2г $гь~2г + F. 17 |2г	(4^
В случае б) |т| е2р > 6$	|а|; запишем (3) в виде
|А?(а. ₽. Т)|<С 2 |'Г||*1Р2‘-|*1<С[|'Г|2Ч НТЛ
1*1-2/-
откуда опять с помощью лемм 3.1 и 4.1 получим оценку
| IF |< С ехр {— 8t | а I2* — 811 а |2г p24-2r +
+ Л1тГ + ^|-Т|2'Р2’'2г}- (4з)
Из оценок (4j)f (42), (43) следует
/.	а + п \
v I t—x, —\  j
а-х^1
4-ЛIтр а-т)1'“ -ь |7р} <Сехр {—8, |ар+Л1ТР).
Из последней оценки и леммы 1.1 следует сформулированное
выше утверждение.
3) Пусть
Re( 2	P*(te)a.a)<-8[|<’P + l«Pl/(OP|8.
Тогда выполнено условие с km — — п — (дп| и a(ft х)2г=
t
= J* при t—	1.
Доказательство ничем не отличается от доказательства
случая 2), если его проводить для случая одного уравнения.
3. Случаи выполнимости условия А2. 1) Система с
постоянными коэффициентами. Уравнение
det [Р (о) —ХЕ} = det J 2 Л.а* —XEl —0
11Л|<24>	I
имеет корни, вещественная часть которых не обра-
щается в нуль ни при каких вещественных а.
§41
ОЦЕНКИ МАТРИЦЫ ГРИНА
121
Рассмотрим уравнение
detJ 2 Ао*026-,Л| — ХЕ 1 = 0.
1|Л|<2д	f
Его корни X (а, Р), являющиеся однородными функциями из-
мерения 2Ь от о, р, на сфере |o|2-f-p2=l удовлетворяют
условию ReX<— 8. При р = 0 отрицательность ReX следует
из условия параболичности, а обращаться в нуль ReX не может
по предположению.
Рассмотрим соответствующую систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений = P(a)v и вспомогательную
систему
|А|<2*
Так как последняя содержит лишь старшую в параболиче-
ском смысле группу членов, в силу (5) п. 2 § 2 можно запи-
сать неравенство
IW (t - х. s. р)| < С ехр {(- 8t | а р + FIТ р - 8^) (t - г)}.
Так как W (t— т, 1) = гг(/ — т, $), то, применяя лемму 1.1,
получаем выполнимость условия Л2 с km——п—mt a(t, т)=
= (/— x)2b, b(t9 x) = \(t— т). Отметим, что
8j <8, 8 = min[—Хл(а, Р)], |о|2+р2=1.
2) Искусственные сильно параболические
системы. Рассмотрим систему
4г= S = D)e (1)
|Л|<2*
и запишем соответствующую ей систему обыкновенных диф-
ференциальных уравнений	о) г/ и вспомогательную
dW
систему	a, p)IF по вышеприведенной методике.
Пусть эта последняя, рассматриваемая относительно а, р,
соответствует сильно параболической системе. Тогда в силу
122	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ	(ГЛ, 1
рассуждений случая I) п. 2 и предыдущих рассуждений для
1
нее выполнено условие Ag с Лт=—п—|m|, a(t, т)=(/—т)2*,
b{t, т) = 81(/ — т). Сформулируем явно высказанное выше
условие:
Система (1) искусственно сильно параболическая,
если для любого комплекснозначного вектора а и лю-
бых вещественных с2, ••••	°л+1
Re( S	в)<-8(|вр+|вя+1|2)»|вр.
3) Системы, коэффициенты которых имеют,
слабую вариацию. Предполагается".
а)	система (1) при имеет ограниченные и не-
прерывные коэффициенты-,
б)	корни уравнения
det/ 2	XEl = O
J
удовлетворяют при |з|2-|~р2= 1 неравенству ReX < —8;
в)	для г>0иТ>0(гиТ определяются по системе)
найдется такое /? > О, что для t2> R .
IAfc(^l)	^ли [/j —/2|<7\
Докажем выполнимость условия А^. В силу рассуждений
случая 1), условия в), выбирая достаточно малым в и исполь-
зуя методику п. 2 § 2, получим» что нормальная ф. м. р.
системы = о)гя удовлетворяет неравенству
tv $)|<Сехр{(— 82|с|2* +
+ /7lTl2^-82)(^-y} tv з)|. (2)
.tm<t<tm+v + fi>R’ Выберем T = ^-lnC.
Утверждается, что для t£[tm, tm+1] справедливо неравенство
|v(t «)| <
<C exp { -	tW-*i) } •
(3)
J 41
ОЦЕНКИ МАТРИЦЫ ГРИНА
123
Докажем его по индукции. При я = 1 (3) совпадает с (2).
Пусть (3) справедливо для сегмента [fm_v tm\, тогда
/г ^)1<Сехр{—^(/я,-/я,_1)_А(#т_Л) +
4-(-82|a|2»+F|7|2»)(^-/i)}. (4)
Из (2), (4) и того, что Сехр|—= следует (3) для
^m+J- Из (3) следует, ЧТО ДЛЯ любого />-/1
|v(/, tv ®)|<Cexp{(-^-82|a|2»4-F|«f|»)(/-/1)}. (5)
Из (5) и леммы 1.1 следует выполнимость условия
с Ат =— л—|m|, a(t, *с) = (£— х)2Ь, b(t9 x) = -y(f — т).
Замечание. Соответствующим выбором Т можно по-
лучить оценку (5), в которой вместо -у стоит любое 83 < 82.
Если же брать достаточно малые е, то можно получить любое
32 <	\ Конечно, при этом будут налагаться допол-
нительные ограничения на коэффициенты системы.
Изложенные выше случаи относились к выполнимости
условия Аз» при котором b (t, х) = 80а (/, т)2*; последнее усло-
вие, как будет выяснено в дальнейшем, существенно ограни-
чивает те классы функций, для которых справедливы лиувил-
левы теоремы (так называемые усиленные теоремы Лиувилля).
Однако легко привести условия, в которых a(t9 х) и b(t9 х)
совершенно между собой независимы. Приведем Црймер этого.
4) Пусть
2Ъ
P(t,	o)+P0(t).
k-2r
(2b	_\
2 Pk(t. a) a, a)<-MH26+H2r)?i(Ol«l2.
Re (Po (0 a, a) < - ^ | a p /2 (/),
тогда выполнено условие c km = — n — m, a(t, t) =
J* / (?) d? j . b (t, t) = 32 J f2 (P) d$. Кроме того, пред-
124
фундаментальные матрицы решений
[ГЛ. 1
полагается, что частные от деления коэффициентов
системы на функцию fx(t) остаются ограниченными
при
Доказательство такое же, как в случае 2 п. 2, если его
проводить для одного уравнения.
4. Выполнимость условия А2 для некоторых систем,
коэффициенты которых зависят от всех координат. Вопрос
о получении оценок типа (А0, (Л2) для ф. м. р. систем, коэф-
фициенты которых зависят от всех координат, труден и под-
лежит дальнейшему исследованию. Ниже будет приведен один
класс систем, для ф. м. р. которой справедлива оценка (Л^).
Рассмотрим параболическую систему
2 W- x)OV26-|ft|«	(1)
1	k |<2*
и предположим, что для системы
2	(2)
выполнено условие А^с km = —п— | т |, a (tt т) = (t — х)2Ь,
b(t, т) = 80рь2* (t — т) и коэффициенты системы (1) удов-
летворяют условию Гельдера по х при t^T.
Проведем оценку ф. м. р. Z(t, т, х, £) системы (1) в полу-
пространстве t Т. Имеем в силу сделанных предположений
K(tt т, х, 5, [а) =
= 5 x) — Ak<t, £)1£*О0(/. Т. X — е.
1Л1С2Й
\K(t, т, х, 5. р.)| <
2Ь	л+| k |
X ехр {—80p.2ft(Z —т) —ср). (3)
Потребуем теперь, чтобы
t	26	n+|fe|
<2=	2	№	X
X ехр {— 80(1 —	— т) — с(1 —iq)?} Л < 1. (4)
0<т]< 1, 0<а<1. /<Т.
ОЦЕНКИ МАТРИЦЫ ГРИНА
125
Проведем, предполагая выполненным условие (4), оценки
повторных ядер. Для этого заметим, во-первых, что из
оценки (3) следует неравенство
\K(t, т, х. В, ц)|	2, X
X ехр {—S0(l — e)p,2ft(< — t) —с(1 —е)р}, е > 0. (5)
Используя лемму 5.1, оценку (3) и повторяя рассуждения,
приведенные при доказательстве теоремы 1.1, получим
л 4-2ft—та
т, х, 5, |х)|<Лт(е)(/-т)"	2» X
X ехр {— 80(1 —	— т) — с[1 — Ф+ 1)]р},
/и = 2, 3....V, у = [п+2г>]-|-1.
Обозначим через
8i = 8o(l— е), С1 = е[1—е(?4-1)], Ло = max Лт(е).
Оценки всех остальных повторных ядер проведем следующим
образом:
|лг,+1(/. т. х, в, р.)| =
f f K(t, 0, х, у, р.)К,(₽. х, у, В, v)dy <
/	/• ст	*+|*|
S^|x-y|e|p|“-lft,(/-0)" » Х
|М-о
Хехр -80р2б (/_£)_с 2 |х,-у,|’(/-0)" 2»-1 -
-8гр2»(р_т)__С12 |у,-6,Г(?-<“"* Jdy<
<Л0<?ехр {—S0(a —e)p2»(/_T)_C[7J_e(v_j_ 1»р},
K4+k(t, t, x, I, p.)|<
<Л0(?»ехр {—50(a —1»p}.
126
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЯ
(ГЛ. 1
Из этих оценок, неравенства Q < 1 и формул, которыми
определяется ф. м. р., получим, что
\Z(t, т, х, E)|<C(f — t)"2Fexp{—	т)—C7)ip}, (А^
где av — любые положительные постоянные, меньшие а
и т) соответственно.
Придадим теперь условию (4) более конкретный вид:
2Ь
|*|-0
X f	rfpx
—оо
X f l^l’exp j — с(1 —|z4|? dz =
|	5-1
2b
__ 1 V L C v(a
-..i« LL*L*l\
|A|-0
| fe I—2г>—oc
X[80(l-a)]
[C(l— 7])]” « х
dz<\. (4Э
Последнее условие выполнено, если, например, параметр р
достаточно велик или достаточно малы постоянные Гель-
дера £л, т. е. мало изменяются коэффициенты с изменением
пространственных координат.
Замечание 1. Таким же образом оценивается ф. м. р.
параболической системы
$-= 2 W x)£>V*-|ft|«+ 3 Bk{t, x)D^tt, (6)
|*|<2»	|*|+/<2>—1
если система
|*|<2fr

ОЦЕНКИ МАТРИЦЫ ГРИНА
127
удовлетворяет условиям настоящего пункта, коэффициенты
Bk(t, х) ограничены в полупространстве и
Q1=Q+w S Ы'“+<-2д+1сЛм4г(1±2^Ш)х
|*|+Z<2»-1
|*|—2»—1	п
X [80(1 — а)]	26	[С (1 - Т1)Г « [2<?Г (?)) < I
(Mk — постоянные, ограничивающие норму матриц Вк (/, х)).
Замечание 2. Рассмотрим систему
2 Л*(Л	(7)
|*1<2»
с непрерывными и ограниченными коэффициентами в полу-
пространстве />-0. Пусть ф. м. р. О0(Л х, х — 5, у)
системы
•^= 2
1*1-2»
удовлетворяет условию ЛР Дадим оценку ф. к. р. Z (t, х, х, 5)
системы j(7) в полупространстве t > х >• 0.
Рассмотрим вспомогательную параболическую систему
-^=2 Л('.*)Я*«1-Р2Ч+ 2	(8)
|*|-2»	|»|<2»-1
Матрица Грина системы
= 2 Ак(1, х)О^х^ах
1*1-2»
записывается так:
°i (t х — В. У) = О0(^ ’• •* —t У) exp {— !»•(/ —t)},
поэтому для ф. м. р. Zx (t, t, х, 5) выполнены условия, при-
веденные в замечании 1, при соответствующем выборе по-
стоянной р. Таким образом, ф. м. р. т, х9 5) систе-
мы (8) удовлетворяет оценке
lDmZl (t, t, х, 5)| < Ст (/ — т) ехр ср}.
.128	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ	(ГЛ. t
Но ф. м. р. системы (7)
Z(t, т, X, =	т, х, 5),
поэтому для Z(tt т, х, £) справедлива оценка
|DmZ(t, т, х, £)|<Ст(t — т) 2b ехр {р.2*(t — т) — ср},
О т < t < оо.
§ б. О фундаментальных матрицах решений
линейных систем с растущими коэффициентами
В § 3 конструировались ф. м. р. в предположении, что
коэффициенты системы ограничены в полосе ПР Здесь будет
изложена методика, позволяющая строить ф. м. р. для не-
которых систем с растущими коэффициентами.
1. Системы с диссипацией. Начнем с некоторых эле-
ментарных соображений. Если рассматривать уравнение
^•=Д« —?2(х) и,
q(x)— вещественная функция, то естественно ожидать, что
быстрый рост положительной функции q2(x) с ростом |х|,
означающий сильное поглощение энергии на бесконечности,
должен приводить к быстрому убыванию ф. р. этого уравне-
ния и, следовательно, к существенному расширению классов
корректности задачи Коши (и смешанных задач для беско-
нечных областей). Задача заключается в том, чтобы опре-
делить понятие «диссипации» для систем общего вида и
показать, что ф. м. р. действительно убывают (и указать
закон этого убывания) с ростом «диссипации». Кроме этого,
оказывается, что если коэффициенты не слишком быстро
растут, то систему можно преобразовать, сохраняя класс
корректности задачи Коши, в систему с «диссипацией». Это
преобразование естественно возникает при точном определе-
нии области значений интегрального оператора, ядром кото-
рого является ф. м. р. (§ 1 гл. 3).
Определение. Параболическую систему
^=2 Ak(t. x)D*u	(1)
I k |<2ft
будем называть диссипативной, если
МП 1
$ Sf ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С РАСТУЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 129*
1) существует положительная непрерывная функ-
ция /(х) {характеристика диссипации) такая, что
ID'Aktf. х)|	|s|<2&;
2) уравнение
det) 2 Вл(/,	— ХЕ)=0;
I l*l<2*	I
Bt (t, X) = At (t, X) f (X)l * 1-2*
(уравнение диссипации) имеет корни X, вещественная
часть которых при (/, х)£Пг а2 -|- ... -f- а2 -1- р.2 = 1
удовлетворяет неравенству ReX < — 8, 8 > 0.
Рассмотрим теперь систему
5= x)D*e + 2 ДДЛ =
= P{t, х; D)u + P(t, х\ D) и. (2)
Теорема 3.1. Если*. 1) система ^ — Ри диссипа-
тивная*, 2) Ak(t, х) имеют 2Ь непрерывных производных
по х, гельдеровых по х в каждом цилиндре Da{\x\^a,
x) = 4fe(t х) /(х)1 *\~2Ь непрерывны по t
равномерно относительно х£Еп*, Ak непрерывны по tt
и гельдеровы по х в Da и
\Ak(t, х)|<С/(х)2*-1*1-, е > 0,
тогда у системы (2) существуетвИф.м. р. Z(t, т, х, 5),.
для которой справедливы оценки
\DmZ{t, т, х, $)| <Cm(t — <^^екр{-ср),	(3)
|/n|<:26.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную си«
стему уравнений
.2 w>№*n+is*w- (о
1»1+*я+1-2»
В силу сделанных предположений и рассуждений п. 2 § 2
{t, г s, |*. у)| <
<Сехр {(-	+ Л|т|»)(/--<))	(5)
9 С. Д. Эйдельман
13о	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ [ГЛ. 1
для любого вещественного р; в частности, при р. — f (у)
система (4) превращается в систему
•^-=2	У)®*«.	(6)
I* |<2»
а оценка (5) принимает вид
|о(Л t, $. У)| <
< С ехр {(- 8! I/ (у)р - 8! |з |2» + F.| ТР) (/ - х)}. (7)
Дифференцируя (6) по у и используя первое предполо-
жение из условия диссипативности системы (1) и оценку (7),
получим
DyV(tt т, s, у)| <
< С ехр {(- 82 [/ (у)Г - 82 |о|2*4- т12*) (/ _ х)}, (8)
|А|<;26, 0 < 82 < 8Р F2>FP Из оценки (8) и леммы 1.1
следует, что матрица Грина О (Л т, х — Е, у) системы
2 ^(t.y^u	(9)
I* |<2й
удовлетворяет оценке
\D*D*G(t. т, х-5, у)|<
<С(t-1) ^“ехр {—сП/(У)Рtt-’) — ср}•	(Ю)
Ф. м. р. Z(t, х, х, £) системы (2) будем отыскивать
в виде
Z(t, т, х, t) = Q(t, х, х — 5, х)+
+ J dp J G(t, р, х — у, х)<р(р, х, у, fydy, (11)
где <р(/, т, х, =	х, х, В) 4-	
г 4- J dp f K(t, р, х, у)<р(р, х, у, $)dy,	•
t	(12)
К (t. X, X, ?) =	
x,D)--^G(f. x, x-l. x).	
$ 5] ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С РАСТУЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 131
Оценим K(t, х, х, 5):
\K(t, t. х. 5)| =
-=|| S Ak(t, x) 2	X, x-5, у)I
x |(|£|<2&	s<fe-1	I
+	2 Л(f> x)DkG(t, T, X —5, x)l|<
I*|<2»-1	fl
(n+|fe|-l
2 [/(X)]2*-!*1 (/ — T) 2b _|_
л+ifeh
+	2	l/(X)l26-l*l-(t- T) 2b X
X expl —L/(x)(/ —T)2q — q>J<
^C(t— t) 2b exp { — cp}, a = min(l,e). (13)
Оценка (13) дает возможность решить интегральное ура-
внение (12) с помощью методики, изложенной при доказа-
тельстве теоремы 2.1, при этом для ф. м. р. получатся
оценки (3). Теорема, таким образом, установлена.
Заметим, что в оценке (3) отсутствует характеристика
диссипации /(х), поэтому она требует уточнения. Для по-
лучения таких оценок поступим следующим образом: рас-
смотрим параболическую систему
2 Ak{t, x)Dku+f(t, х) (14)
1*|<2д
и введем новую неизвестную вектор-функцию ах(/, х) с по-
мощью равенства
u(t> x) — e£tt>x>Ui(tk х),	(15)
где g ft, х) — гладкая вещественная функция, тогда относи-
тельно х) получим следующее уравнение:
— У Ак (t, х) £)*«! (t, X) —	«I (t, х) +
|ft| <2*
-1- 2	J	x)+
1<|*|<24	j<k
-(-/(/. x)e-e<t,x> (16)
9*
132
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ. )
(У <Л означает, что берутся все векторы j(Jr......../я)
с целочисленными составляющими, у которых j5 < ks, ks
есть s-я компонента вектора k(kx....kn)).
Пусть система (16)(/ = 0) удовлетворяет условиям
теоремы 3.1, тогда в силу этой теоремы может быть по-
строена ф. м. р. х, х, 5) системы (16) (/ = 0), для
которой справедливы оценки (3). Тогда решение неоднород-
ной системы (14) будет в силу преобразования (15) иметь
вид
u(t, х) = $dxf ехр {g(t, x)—g(y, $)) Z^t, t, X, Q/(c, K)dK.
о
Таким образом, ф. м. р. системы (14) будет иметь вид
Z(t9 х, х, =	х, х, 5).	(17)
Покажем теперь, что в случае системы (2), удовлетво-
ряющей условиям теоремы 2.1, g(t9 х) может быть выбрана
растущей вместе с /(х). Пусть g(t> x) = g(x)— функция,
имеющая непрерывные производные до порядка 2^ —|— 1 и
удовлетворяющая оценкам
171 = 1.2.....2&. (18)
где — некоторая, возможно достаточно малая постоянная,
которая будет ниже выбрана. Подвергнем систему (2) преоб-
разованию (15); тогда получим систему
-^-=2 х>е~еМ 2	*)+
j<k
4- 2 x)r«w V
I * |<2t>-1
= /?(/, x;	x; D)uv (19)
При j-й производной в системе (19) стоит коэффициент,
являющийся суммой членов вида
Ak(t, x)e~s^Dk~leg Ak(t, x)e~s	<*>,
в силу оценок (18):
v .	- • И) и>| < Сч (/ (X))1 *1 >
§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С РАСТУЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 133
поэтому
| Ак (/, х) е~‘ <*> D^e* <х> | < Ст) [/ (х)]24'171
(аналогичная оценка справедлива для коэффициентов вида
Ak(t, x)e~g^ £^~Jeg^).
Таким образом, коэффициенты системы (19) удовлетво-
ряют условиям теоремы 2.1, если им удовлетворяют коэф-
фициенты системы (2). Остается доказать, что если 7) доста-
точно мало, то система -~^-==/?(/, х; D)ux диссипативная.
Для этого рассмотрим уравнение диссипации
det) S Bk(t, x)aV*-l*‘ +
I I k К 2d
+ S A 2
l<|d|<2d J<k
— XeI = 0 (20)
при |o|2 + |i2=l. В силу вышеприведенных оценок вторая
сумма в уравнении (20) не превосходит Coj, поэтому при
>	dih
малых 7} ReX остается отрицательным, и система =
= R (t, х; D) их диссипативная.
Таким образом, получаются следующие оценки ф. м. р.
Z(t, т, х, 5) системы (2), учитывающие характеристику дис-
сипации f (х):
\DmZ(tt х, х, £)|<
<с 2
я+|т|-| Д
24	I/ (*)]'Л ехр (g(x) —g (5)—ср}
(21)
(|/п|<2й).
Замечание 1. Если система (2) удовлетворяет условиям
теоремы 2.1 и |D74*(/, х)|<С[/(х)]24+|/,ч*|~*.при
этом входящие в оценки производные &Ак (t, х) гельдеровы
по х в каждой ограниченной области D, Dcz1Iv то система,
сопряженная к (2), обратно параболична и удовлетворяет
134
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
условиям теоремы 2.1, поэтому для нее может быть по-
строена ф. м. р. Z*(/, т, х, 5) вышеизложенным способом.
Для Z*(/, т, х, 5) будут справедливы оценки (21).
Замечание 2. Условие, налагаемое на уравнение дис-
сипации, будет, в частности, выполнено, если предполагать,
что
Ref 5 Bk(t,	— 8(|б|2> + н2>)|л|2.
2. Системы с растущими коэффициентами. В преды-
дущем пункте для учета диссипативной функции в оценках
ф. м. р. исходная система с помощью преобразования (15)
(при надлежащем выборе функции g(tt х)) преобразовалась
в новую систему с сохранением ее диссипативных свойств.
Здесь будет показано, что если коэффициенты системы
^= 2 Ak(t.x)&a	(1)
|Л|<2*
растут определенным образом, то ее с помощью преобразо-
вания (15) п. 1, в котором функция g(t9 х) заимствована из
оценки (5) леммы 6.1, можно преобразовать в систему с дис-
сипацией, удовлетворяющую всем условиям теоремы 3.1.
Пусть коэффициенты параболической системы (1) удовле-
творяют условию 2) теоремы 3.1 с гладкой функцией /(х),
1
равной при |х|>1 С|х|26-1. Применим к (1) преобразо-
вание (15) п. 1, взяв в качестве g(t9 х) достаточно гладкую
функцию, равную
1 л
Л[1 — (ЛА)2*-1/]~ 2Й-1
$-1
при |х|>1, 0 t -|-(Л&)1~26, k — произвольное фиксиро-
ванное положительное число, А — положительная постоян-
ная, выбором которой мы распорядимся дальше. Полученная
при этом система будет иметь коэффициенты, также удо-
влетворяющие условию 2) теоремы 3.1. Покажем, что она
за счет выбора А может быть сделана диссипативной. Со-
ставим уравнение диссипации; оно будет отличаться от урав-
§ gj ОКРЕСТНОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ точки 135
нения (20) членом, содержащим-^. Рассмотрим уравнение
det/ 2 Bk(t, x)oV*-i*l +
ll k I <2*
+ 22 c*e~g (tt x) {xwb~j if wfj l~2b -
Г	1 )
(2)
Его коэффициенты ограничены; при р = 0 ReX<—8|a|2d.
Таким образом, остается установить, что ReX=£0 при любых
вещественных а, р, но последнее, очевидно, может быть
достигнуто выбором достаточно большого А.
Таким образом, может быть построена ф. м. р. системы (1),
коэффициенты которой удовлетворяют оценкам
/	2ft—|&|\
|ЛЛ(/, х)|<с(1 4-|х| 2*-1 /	(3)
При этом для ф. м. р. будут справедливы оценки (3)
п. 1. Заметим в заключение, что если коэффициенты (1) удо-
влетворяют оценкам
\Ak(t, х)|<с(1-|- |х|^“‘)’ е>0, 1*1	(4)
то, считая, что система (1) имеет вид системы (2) п. 1
с Ak(t> х) = 0, |£| < 2bt Ak(tt x) — Ak(tt х), можно по-
строить ф. м. р. при весьма малых (описанных в теореме 3.1)
ограничениях на гладкость коэффициентов Ak(t, х), |£| < 2d.
§ 6. О поведении решений параболических систем
в окрестности изолированной особой точки
Известно, что функция, гармоническая в некоторой ок-
рестности V начала координат О (не включая О) и имеющая
полюсную особенность в О, с точностью до гармонической во
всей окрестности V функции является линейной комбинацией
производных от ф. р. уравнения Лапласа*).
*) С. Л. Соболев, Уравнения математической физики. 1954.
стр. 163—167.
136
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
Исследование ф. м. р. линейных параболических систем,
проведенное в § 2 и 3, показывает» что они являются реше-
ниями систем с точечной особенностью (если аргументы счи^
тать вещественными) типа существенно особой точки. Однако
при попытке описать поведение решений параболических
систем с точечной особенностью типа существенно особой
точки непосредственное сравнение решения с ф. м. р. вряд
ли может дать результат. Ведь игравшая в эллиптическом
случае основная количественная характеристика — порядок
полюса — здесь отсутствует. Однако достаточно проинтегри-
ровать ф. м. р. по времени, чтобы интеграл от нее (свой-
ство 9) имел полюсную особенность. Поэтому в основу
изучения поведения решений параболической системы в ок-
рестности изолированной особой точки мы кладем их инте-
гральную характеристику.
1. Описание поведения решения с точечной особен-
ностью по ее интегральной характеристике. Опреде-
ление. Функция <р(х), определенная в некоторой ко-
нечной области V пространства Еп, принадлежит
функциональному множеству Кр\ если она непрерывна
при х Ф x0£V, и выражение
. 1) J?(*)| I*-*оГ(Р > 0); 2) |-1п|'^о|| (Р = 0);
3) |?(х)| (р < 0)
ограничено. Будем обозначать /С*«_о = (J Кх*.
р <i<p q
Теорема 4.1. Пусть u(t, х) — регулярное решение
системы
=	Х-, D)a^ Ak(t. x)D* a (1)
\k |<2*
в цилиндре &{x£V,	за исключением точка
(£е, *о)* обладающее свойством
/ |/ —(/, х)|^К&н»-2М+1*|-2»-о-	(2)
N	N
|A«2i — 1; 1 = 0, 1......г. г=-^ при целом а
[N л	ft
•gj-J +1 яри нецелом.
§ 6]
ОКРЕСТНОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ
137
Предполагается, что коэффициенты системы (1)
удовлетворяют условиям свойства 5 (с г = №).
Тогда имеет место представление
a(t, х) —
2	Xq)4-
I k |+2д*0<ЛГ-1,
U*(ttX),	t^t*.
где u*(t, x) — регулярная в & функция.
Доказательство. Изолируем точку (/0, х0) цилинд-
ром а?р {$ С ^р»	и воспользуемся формулой (4) п. б
§ 3 для области &-а?р*.
t п
u(t, х) — Jt/x J ^B^[Z(t, т, х, 5), а(т, £)]v/Zs-|-
«1 г ;-1
+ fz(t, fv х, §a(fv —
V
Jr = f dx ^^B^Zft, t, x, Q, zz(t, S)] Vyz/s—H
^-fz(t,tvx,^u(tv^di.
(4)
Прежде чем заняться изучением Zp, получим некоторое
специальное представление решений системы, сопряженной
К (1):
—эт=р,<х-	<5)
Запишем систему (5) в виде
-	= А^, о,.... о (т. ?) v+Pi (х, 5; D) v. (S')
138
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
, о(^, 5) неособая:
стноси-
В силу параболичности матрица Дза.о,
|det А2ь, о, ...» о ('с. 5)|>А > 0. Разрешая систему (5')
d*bv
тельно —, получим систему уравнений
5; D)ti + (-l)6+4-6:0> ..„0^-.
(5")
Будем вначале предполагать, что коэффициенты системы
(5) — аналитические функции т, £ в окрестности точки (/0, х0),
тогда этим же свойством будут обладать и коэффициенты
системы (5").
Используя теорему С. В. Ковалевской, построим реше-
ния	$) системы (5") по следующим начальным
данным:
~ ^0)m° (^ — <'* • • •	~	„
de,	m0!m2! ... т„\	’	'
v = 0, 1, ...» 2b—1, тг — 0, 1...........2b—1. Очевидно,
что	£) удовлетворяет такому условию:
лЛлЧ-Й.4- ... 4-Л	.
° 1	в
Ле* •... йе*я
1 при m=kt
0 при m=^kt
(7)
k == (Z5q, kv ...» kn),
достаточно гладкое решение
коэффициентами. Представим
_ k) g(m,' k) _
X /q
/п = (/п0, mv
Пусть 5) — некоторое
системы (5) с аналитическими
его в виде
.. тп).
Л01
*о=О
dk*v
дъ*9
Л0+2^о <АГ-1
Таким образом,
k\
(т —*о)г
г\	’
(9)
(8)
Лр-0 I k \+2bk^N-l
(г-*,)** (&-*»)* ^Dk .	 о ( .
(10)
5 в]
ОКРЕСТНОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ 139
где
Ло»0

,.l+S,-« 41	_
, (T-toy d'v
f" rl dtr ’
(И)
d2bv	.
Вставим теперь вместо —ee значение, определенное фор-
мулой (5")» и соберем коэффициенты, стоящие при	Хо))
тогда получим
®(х, 5)=	2
|й |+2^о <ЛГ-1
(12)
Для производных от v запишем аналогичное представление
Dmv(x, $) =
| k | + 2bk0 < N-1
kx <2d-l
(13)
<С)	2	оГ’1?-* о|’*''|Я” + Н-ЛГ1- (14)
Применим теперь формулу (12) к решениям vm^m системы (5");
тогда в силу условия (7):
^т^пг (^>	^о* *о) == Qmom (^»	^0’ *^о) “Н (Рт^п)*
Находя отсюда Qm9m и вставляя в (12), получим
гг(т, $) =
1*|+2»Л,<Л-1
(15о>
140	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЯ [ГЛ. 1
/
где для R$(v) справедливы оценки (11). Для производных
те же рассуждения с использованием представления (13) дают
£>(?, £) =
-	2	('. Ь t„ xj £ D*v |„„ „ + RW «,).
\k\+2bk<><N-l
A>!<2d-1
<1б«>
Отметим, что v^(t, 5; /0, х0)— решения системы (5).
Установим теперь представление типа (15) в неаналити-
ческом случае. Используя предположения теоремы, запишем
—-^-=Р'(т. 5; О)г'=5(т, 5; /0. х0; D5)v-|-(P' — S)v,
(16)
где S—дифференциальный оператор с полиномиальными
коэффициентами, полученными с помощью формулы (10)
(первая сумма в этой формуле). В силу подробно проведен-
ных ранее вычислений, коэффициенты оператора Р' — S
будут удовлетворять неравенству (11). Для решений системы
— ^-=Sv	(17)
dt	v '
справедливы представления (15m).
Запишем формулу (12) для решений системы (16) и заме-
тим, что QkQk> \ k\-\-2bk0<^N—1 для решений систем (16)
и (17) одинаковые (это следует из метода их получения и
того, что второе слагаемое в (16) при (т, £) = (f0, х0) обра-
щается в нуль вместе со своими производными порядка
&о+1 I» 2^0 + | к | TV — 1). Поэтому в представлении (12)
можно вместо вставить г^ол(т, tQt х0), являющиеся
решениями системы (17). Таким образом,
?) =
2	S; (0. ^)S-.O‘«Uw+ «»’(?)
\k |+2Мо<АГ-1
kt<2b-1
<18)
Перейдем теперь k изучению /р из формулы (4). Так как
£'(/, т, х» 6) в силу свойства 1 п. 5 § 3, как функция
$ 6] ОКРЕСТНОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ 141
от t и 5, является решением системы (5), то к нему можно -
применить формулу (18)
D?Z'(t. т, х, $) =
=	/0, *0) ^D*Z'(Л т.х Л) |х_,о 4-
+	(19)
Вставив (19) в	выражение /р,	получим
/р=	2	to> х'	(20)
< 2&-1
И&(0 = Jdx / В/1®М(Х> *о> *о)> “(х> £)Ъ/^ +
<1 Тр /-1
+ У^Д'и 'о- *о)«('г № <21)
v₽
= У Л у 2	2 ВЙ R& (z') D* ds +
<1 Тр >-l|ml+l*l<2»-l
+ y^'(z')e< (22).
vo
Образуем последовательность р5, р5-1 > р5, ps—>0, $—>оо.
Применим формулу Грина — Остроградского (см. (1) п. 5 § 3)
в области — ^р5+т* взяв и ~ и (т* v =	^0’ хо)-
Учитывая то, что v является решением системы (17), получим
ИРД)(0-^”)Ю= У	t0. x0)a(t, Е)Л +
Ч"Ч+Я,
+ fd? f l(P'-S)vMre(t, Qdl-Zj+Zj. (23)“
h к. -к,
rs+m
.142	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ	[ГЛ. 1
Имеем
" dt = J 2 В'КЛ'- 4>-	«('•	(20
7-1
Пусть £0-j- е /2, е > 0, тогда последовательность (/)
равномерно сходится при $—>оо. Действительно, в силу
предположения о t первое слагаемое 1Х в (23) не превосхо-
дит С(е)р£, оценим второе
|/2|<cpt	/	(	2	l*-'ol*°l«-*ol'*1X
/| V. -Ир \|ft|+26ft0-W
fs es+m
х|«(т, е)| + |т-for|«(т, ?)|)л=
= С f */(	2	|£-*ol,*ll*-'ol*’l«M)| +
Ур -Ур 6 \l k | +2**0-TV
vs+m
+ lx—4>ri“(x-
Используя условие (2), получим (приводим оценку для п > 2й;
для п^2Ь оценка аналогична)
|/2|<C // 2 |S-xo|,ftlh-xorW"',+2ft+2Mo+,,+
Ир5 \|*|+2M0-W
г TV 1	\
+1 f _ ж.Г-Н®]	“У < с /| s_x. I”- л=еР>>.
Ч
Из последней оценки и оценки для 1Х следует, что (0
dW^s)
^^kok(f). Из (24) следует, что —при $—>оо и
£0+е<С7<С72- Поэтому Wkok (/) а (/о» *о)- Покажем те-
перь, что 8$—>0, р—>0. Стремление к нулю второго сла-
гаемого в формуле (22) при р—>0 очевидно; оценим первое,
i
\
§ 6] ОКРЕСТНОСТЬ ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ точки 143
используя неравенства (И), (14) и условие (2):
f dx f % JI W (Z') ds
h Тр /-1 Im |+l ft | <21,-1
<cfdxf 2 S lT~4)l*’X
6 Tp lm|+l*|<2M hl+2^
X|5-x0|,’l-|ml|Oft«|dS =
ds 2л
(m | + | *1 <2*-l
|v |4-2^о=ЛГ
|?_Xo|l’|-lmlJ|x_/o|ft.1DftaldT<
7„ |ml+|ft|<2ft-l
P |v|+2ftft0=W
X 15 — x0 |-Ar-',+2ft+2M«-l4 l+- ds =
p->0.
Переходя к пределу в (4), (20) при р5—>0 и используя до-
казанное, получим утверждение теоремы при t > /0; при
утверждение очевидно, так как в силу определения
ф. м. р. системы в этом случае из формулы (20) следует
/p = S^'-+0, р—>0.
В случае уравнения теплопроводности представлению (3)
можно придать следующую формулировку: с точностью
до регулярного распределения температур и (/, х) пред-
ставляет собой температуру тепловых «мультиполей» различ-
ного порядка, помещенных в точку (/g, Xq).
*144	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ’ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ	(ГЛ. 1
2. Теорема об устранимой особенности и фундамен-
тальные матрицы решении. Пусть и (t, х) — решение
системы (1) п. 1 с возможной особенностью в точке (/0,
и такое, что	/
t N
lim f dx	x, x, £), a(x. $)]vyds = 0;	(1)
Tp /-1
тогда в силу формулы (4) п. 1 и (tt х) совпадает при (/, х) 4s
4s (^о» хо) с регулярным во всей области & решением «*(*» х)
и поэтому, если его доопределить в точке (/0, х0) равен-
ством и(/0, х0) = а*(/0, х0), то оно превращается в регуляр-
ное в а? решение системы (1) п. 1. В частности, справедлива
Теорема 5.1 (об устранимой особенности). Если
u(t> х) является регулярным решением системы (1) п. 1
в <£Р, за исключением точки (/0, Хд), и удовлетворяет
условию
t
|х —х0|я"1	x)|d/<e(|x — хл|),
tl
|А|<<26— 1, е(|х — х0|)->0 при |х — х0|->0,
то его можно превратить в регулярное в & решение
соответствующим доопределением в точке (/0, Хд).
Последняя теорема позволяет установить интересные
свойства ф. м. р. Системы (1) п. 1. Нами в § 3 была по-
строена ф. м. р. задачи Коши Z(/, т, х, 5), в силу свой-
ства 2 она, будучи доопределена нулем при будет и
ф. м. р. системы (1) п. 1. Ясно, что ф. м. р. у систе-
мы (1) п. 1 много (можно, например, к Z(tt т, х, 5) приба-
вить любое регулярное решение системы (1)). Для описания
всей совокупности ф. м. р. системы (1) п. 1 будет удобно
дать иное по форме определение ф. м. р., чем приведенное
в п. 6 § 2/
Определение. Ф. м. р. параболической системы (1)
п. 1 будем называть квадратную матрицу W (t, 'и, х, 5),
являющуюся при t>x решением системы (1) n. 1
9 области & ц такую, что для любой гладкой в &
§n
ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
145
вектор-функции г>(/, х) выполнено равенство
h п
lim — J dt J 2 в> lv'	•*)> Т <*’ *о«х’ *о)1v; ds=v' (t0, xj.
>‘*°	тр /->	/2)
Теорема 5'.1. Если Wx(tt tQt х, х0) и W2(tt tQt xt xQ) —
две ф. м. р. системы (1) п. 1, то их разность можно
превратить в регулярное решение системы (1) доопре-
делением в точке (/0, х0).
Доказательство. Обозначим через W(/, /0, х> х^
разность Wx(t, /0, х, х0)— W2(tt tQt xt х0). Положим в (2)
(Z'(t, /, 5, х),
v(t. Х) = |	0
t < т,
тогда получим
lim Jdt J"£b'IZ(t, t, 5, х), W(t, t0, x, xo)]vyds = O.
f"*% Tp /-1
Из последнего равенства и рассужденйй, приведенных выше,
следует, что W (tt /0, х, х^ имеет в точке (tQt Xq) устрани-
мую особенность.
Из теоремы 5'.1 следует, что все ф. м. р. получаются
из матрицы Z(/, т, х, 5) прибавлением к ней регулярных
решений системы (1) п. L Кроме этого, ф. м. р. могут
быть так же определены, как решения (1) с точечной осо-
бенностью наименьшего порядка, при этом «порядок особен-
ности» понимается в смысле, определенном в теореме 4.1.
§ 7. О связи между фундаментальными матрицами
решений параболических и эллиптических систем
Здесь мы< укажем некоторые случаи, в которых по ф. м. р.
параболической системы, коэффициенты которой не зависят
от времени tt интегрированием по времени от 0 до оо можно
получить ф. м. р. эллиптической системы, являющейся пра-
врй частью параболической системы (если этот интеграл
расходится, то следует брать его регуляризацию). Тем самым
излагается еще один метод построения ф. м. р. эллипти-
ческих систем, являющийся иллюстрацией мысли о tqm, что
IQ с. д. эйдельмад
146	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ	[ГЛ. 1
/
решения стационарных уравне^й естественно получать как
пределы нестационарных при неограниченном росте времени t.
Отметим, что из получающихся формул легко следуют оценки
ф. м. р. эллиптических систем (как в окрестности особой
точки ф. р.» так и на бесконечности).
1.	Системы с постоянными коэффициентами. Рас-
смотрим параболическую систему
£	О)
Ф. м. р. этой системы обладает тем свойством (служащим
ее определением), что, какую бы гладкую финитную функ-
цию / (/, х) мы ни взяли,
t
u(t, X) = f dxfG(t — x, x — 0/(т.	(2)
О
является решением системы
-g-=-P(D)« + /(/, х).
Будем считать теперь f зависящей только от х. Сделаем
в (2) замену t — т = р и запишем u(tt х) в виде
t
« (/, X) = / J О (р. х - $)	(5) dt (2')
О
Естественно ожидать, что при £->оо u(t, х) будет стре-
миться к вектор-функции и (х), удовлетворяющей системе
р(D)u=f(х); если при этом можно перейти к пределу
при /~>оо под знаком интеграла (2')» то
х	оо
и(х) = / f °®’
о
поэтому матрица
оо
<p(x) = f G(p, X)dp	(3)
о
есть ф. м. р. эллиптической системы P(D)«==Q.
§ ?] ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ Й ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 147
Обоснование этих рассуждений с предварительной регу-
лирующей интеграла (3) будет для некоторых частных слу-
чаев проведено ниже.
Теорема 6.1. I) Рассмотрим параболическую си-
стему
= ~ S AkDku^-P(D)tt, (4)
2г < | k I < 2b
удовлетворяющую условиям: а) корни уравнения
det {Р(<з) + Х£} = 0 имеют вещественные части, обра-
щающиеся в нуль лишь при <5 = 0, б) матрица 2
1* | = 2г
при |<з| = 1 имеет собственные значения с отличными
от нуля вещественными частями. Пусть O(t, х) — ма-
трица Грина системы (4), тогда ф. м. р. эллипти-
ческой системы
Р(Р)и = Ь	(5)
дается формулой
о
(₽. *) — 2	— а1)
*-0
•••	*)1.
(6)
a — (av а2, ...» ап) =/= 0; выражение, стоящее в фигур-
ных скобках, представляет собой {(Xj — 00 04 + •••
...Ч-(хя — Дя)ал}*» г&е после возведения в степень
вместо (Г ставится при п>2г сумма в (6) от-
сутствует.
II) Рассмотрим параболическую систему
£=- S л.Л.
1*1 <2*
матрица 2 имеет собственные значения с от-
| * I < 2Ь
личными от нуля вещественными частями, тогда ф. м. р.
эллиптической системы
2
I* 1<2*
AjP*u — о
10*
148	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ	[ГЛ. I
дается формулой •	/
СО /
%(*) = f Х?(₽, х)ф	(7)
О
Для матриц <pj(x), <p2(x)		справедливы оценки при	
*I<1	c.	«+ |m| < 2b,'	
Рт?Лх)1<	С1П|1|+С„	n-|-|m| = 2^,	(/=1.2),
	,Cm|xr'”lm|+2*,	n -|- | m | > 2b,,	
(8)
а при |х| > 1
l^m?iW|<Cm|xr'’-|m|+2r, n + \m\>2r,	(9J
I	(x) | < Cme~* । * I,	Л>0.	(92)
Доказательство. Докажем первую часть теоремы.
Пусть | х |	/?, докажем, что при | х |	0 интегралы
оо
4 = / Р”О(₽. х)-от2г_я(О)}^,
О
pA°>=S4f [<*—’’Я7+ -
Л-0
•••+(*» — «») Д]* О (₽, х) |ХШЛ
сходятся; для них справедливы оценки (8), при этом сходи-
мость равномерна в каждом шаровом слое 0 < 8	| х | Ri
Отметим очевидные, нужные для дальнейших оценок свой-
ства полиномов Ру (О):
a)	L^Pjipy^Pj.^^C^Gy,
б)	DmG($, xj — D^P^iG)^
(2r —п —| m[4-1)! I/*1	dxt 4~ • • •
...	x)|
«J	jr—Л
$ 7) ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ИЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 149
\
а — свое для каждого элемента матрицы DmG. Пусть сна-
чала л-f-1 т |	2г, тогда
|/.|= f P”G(P. x)~DmP2f_n(Q)}d^
О
1 1
< f	x)|dp + f |ОяП-я(0)МР +
о	о
со
+ / |ДтОф, х)-О”Р2г_я(0)|ф
1
Дальше при оценках первых двух интегралов используется
оценка (3) п. 3 § 2, а третьего — оценка (Aj) п. 1 § 4 и
свойства P(G). Имеем
л л+| т | j	1 ч
RmK/r ” expt-c|x|’₽ *>-' |d₽ +
0
2г-л- | т I
+ 2 С1т^^\х-а\кХ
л-о
Z1	f	1 )	/Н-| т |+fe
expt —с|л|^р 2^’1 f? 2b +
0
00 1
4-C&-«+i'»2r"’-1 т 1+11	(/?)
1
при п—|—| /п|<2г < 2bt а при п-^\т\ = 2г = 2й в силу
леммы 7.1
150
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. 1
При «+|т| > 2г, используя те же оценки матрицы О((3, х),
получим
1	п+| mi (	___1_|
<Сотр 2® ехр| —с]х|’р 2*-> М4-
0
00 я+| т 1
ч-с;/₽" 2' 4=
1
2 т 1 I	1 )
= Сот/₽" 2» ехр|—с|х|’р" 2»-1 ]d$ + C~
о
Применяя теперь лемму 7.1, получим оценку
\Im\<Cm. п+\т\<2Ь,
]/m|<C;in4T + C;, » + |m| = 2d
и
l/mKCjnlxr'’-'”1^, n + \m\>2b.
Если 0 < 8 <С | х | R, то, оценивая
е
J [DmG(p, x)-D”P2r_„(O))dp
о
и
со
f (DmO^, x)-D'nP2r_„(G)}d₽
N
так же, как оцениваются соответственно
1
f [DmG (р, х) - DmP2r_a (О))
о
и
оо
J (D«O(₽, x)-D’"P2r_„(O))dp,
1
§ 7j ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 151
получим, что интеграл (6) и его формальные производные 1т
равномерно сходятся. Поэтому при х 0	(х) = 1т и,
следовательно, для Dmyx справедливы оценки (8).
Нужно теперь доказать, что при любой гладкой финит-
ной вектор-функции /(х)
«(*)=/ ?! (х—о/фм
является решением системы (5).
Запишем тождество
t
[4+P(Z))]/я/°®'
6
и преобразуем его следующим образом:
f O(t,
t
+ P(D)pg f [Оф, x-0-P2r_„(O)[ 4/(0 = /(x)
0
(вместо x в Р2г-л(^) поставлено х — $).
Обозначим через
t
?/(х-0 = /[Оф, х-5)-Р2г_л(О)14;
О
для Dmyt(x — 5) справедливы те же оценки, что и для
От«Р1(х — 6). Используя их, финитность и гладкость /(£)
можно записать
/G(t, х-0/(0^ + f<f^x-l)Pf(--D)f(№==f(x).
(Ю)
Перейдем в этом равенстве к пределу при /—>со; докажем,
во-первых, что lim f О(/, х — 0/(0 Л = 0:
/~>оо J
I р	.	_п
|J G(t. X — О/ОЛ <О0/ 2й/|/(0|Л-^0 при /->09,
152
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
Покажем теперь, что
Дт	0 Р' (~ D) f (О Л =	(х - 5) Р' (-D) / (5)
(И)
|/{<?,(*-*)-?! (*-$)}₽'(-О)/(5)Л|<
< / |?Дх^Э||Р'(-О)/(!-)|Л +
ир
-I-	f 1?1(*-9Ц/у(-£>)/(е)|л+
ур
£я-^
Ур—шар радиуса р с центром в точке х; так как |ср,(х)|
и | ср! (х) | оцениваются функцией вида | х |“л+\ > 0, то,
выбирая достаточно малым р, можно сделать первые два
интеграла меньшими у. Фиксируя р и используя то, что
при о<р<|х — £|<Я ъ(х — 0 ,=£» ?(Х — 5). полу-
чим, что для достаточно большого t третий интеграл
меньше у. Равенство (11) доказано.
Таким образом, из (10) получаем
Рассмотрим
P(D)JT1(x-£)/(?) Я;
используя свойства /(В) и применяя последовательно опера-
тор дифференцирования, перейдем к равенству
таким образом,
P(.D)fb(x-t)f
Первая часть теоремы доказана.
I fl параболические и ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 153
Доказательство второй части проводится так же, но
оценка (Aj) § 4
п+т
IZTOCP. х)|<СтГ 2» ехр(-М-с|х|*|
позволяет гораздо проще, чем в первом случае, оценить
производные от интеграла (7).
Установим оценки (9Х) (| х | > 1):
в силу леммы 7.1. Для установления оценки (92) заметим,
что функция
/(₽)=-м-си’Г2*1-1.
О < р < оо,
имеет максимум при
£
Р = [(2& —1)»! ] 1 Х1’
равный
£ 1
| х| с9 Ъ?ь2Ь
1 '
154
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. 1
поэтому при | X | > 1
f ехр{—8jP —с|х|?р 2»-1}? "b d$
О
f	1 1	_j_
— (с —	ЦЬ2Ь(2Ь— 1) « \х
I* е-^ 2*-i d?
6	ft2d
Отметим то существенное обстоятельство, что, как пока-
зывают оценки (9j), (92), характер поведения ф. м. р. ср(х)
на бесконечности определяется порядком младшего опера-
тора в системе (5).
2.	О системах с переменными коэффициентами. Про-
веденное в п. 1 доказательство остается в силе и для систем
с коэффициентами, зависящими от пространственных коор-
динат, если ф. м. р. параболических систем удовлетворяют
соответствующим оценкам.
В частности, если использовать оценки, установленные
в п. 4 § 4, то получается следующая
Теорема 7.1. Если выполнены условия п. 4 § 4,
то ф. м. р. ср (аг, 5) эллиптической системы
2	«+	2 вл(х)оу«=о (1)
|Л|<2£
определяется формулой
? (х, Л) == J Z (₽, х Д)	Z (Л г, х Д) = Z (t — т, х, $); (2)
О
при этом справедливы оценки
|^ср(х, S)| ^Стехр {—Л |р|| х|}, Л>0, |х|>1.' (3)
Отметим, что ф. м. р. <р(х, 5), определенная формулой (2),
обладает свойством нормальности, т. е. ср'(х, 5) как функ-
ция 5 является ф. м. р. системы, сопряженной к (1).
§8] АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 155
§ 8. Априорные оценки фундаментального решения
линейного параболического уравнения
второго порядка
В предыдущих параграфах были построены ф. м. р. для
параболических систем и из формул, которыми ф. м. р. опре-
делялись, получены их оценки. При этом входящие в оценки
постоянные зависели от константы 3, фигурирующей в опре-
делении параболичности, верхних граней модулей коэффи-
циентов системы, их констант Гельдера, характера равно-
мерной по х непрерывности коэффициентов по Л числа Т.
Настоящий параграф посвящен конспективному изложению
очень интересной работы Дж. Нэша *), в которой с помощью
оригинальной весьма физичной методики дается априорная
оценка ф. р. параболического уравнения с вещественными
коэффициентами
п
$-= 2	(1)
и на основании этого получается следующая оценка харак-
тера непрерывности любого ограниченного решения уравне-
ния (1):
Л\2(1+а)
(2)
где В = sup [ и (t, х) |, /2	— начальный момент
(6 х)
времени; Л, а — постоянные, зависящие только от с2 и п;
с2, с2^> q > 0, ограничивают сверху и снизу собствен-
ные значения матрицы c=||fy||.
Оценка (2) играет важную роль в теории линейных урав-
нений с разрывными коэффициентами, она оказалась весьма
существенной при исследовании квазилинейных уравнений.
Желательно, конечно, такого характера оценки получить для
более общих уравнений и систем.
*) J. N а с h, Continuity of solutions of parabolic and elliptic
equations, Amer. Journ. Math. 80, № 4 (1958), 931—954 (перевод:
Математика 4, № 1 (1960), 31—52).
156	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ	[ГЛ. I
1.	Первоначальная оценка фундаментального решения.
Коэффициенты уравнения (1) предполагаются достаточно глад-
кими. Получим первоначальную априорную оценку ф. р.
Z(t, 0, х, 0) = Т(/, х). Для этого рассмотрим функцию
E(f) = J* Т2^, x)dx. Оценим Ev используя условие парабо-
личности и факт быстрого убывания Т (/, х) при | х | —► оо;
тогда получим неравенство
—	—2q J’lVTpdx.	(3)
Используя равенство Персеваля, запишем, что
(2ir)’j*| VT |2 dx = J* | а |21 FT |2 da, |FT|<J |T|dx.
Поэтому для любого р > 0 справедливы следующие нера-
венства:
J |FT|2da<s1p»(j’|T|dx)2,	(4)
I» |<р
— объем л-мерного единичного шара;
/ lFT|2d<J<iy’|a|2|FT|2dO=^y*|VT|2d<J.	(5)
• I >р
Выберем теперь р так, чтобы сумма оценок, полученная
для интегралов (4), (5), была наименьшей. Разрешая получаю-
щееся неравенство относительно Г |VT|Mx, найдем, что
|VT(2^x>
Из свойств ф. р. T(tt х)^0, J* T(t. x)dx»\ и ив не-
равенств (6) и (3) следует оценка
* —	(?) I
$8] АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 157
(через k обозначаются все постоянные, зависящие только от п,
с., с<>). Из последнего неравенства и того, что lim E(f) = oo
1	+ о
(см. оценку ф. р.), следует, что
Используем теперь формулу свертки
T(t, x) = f z[t,	х. о, В, о)dl.
T2(t. *)< f Z.(t, x, f z(±, 0, g. 0p6<
таким образом, получаем первоначальную оценку ф. р.
п
T(t. х)<^"2.
(8)
2.	Оценка момента. Для точного изучения ф. р. про-
ведем дальнейшие оценки. При этом существенную роль будет
играть «момент» ф. р. М — J* | х | Т (/, х) dx, описывающий
скорость расплывания ф. р., и «энтропия» Q = — J*TlnTdx,
являющаяся вероятностной характеристикой расплывания. Из
оценки (8) сразу следует, что
± (1)
Используя то, что Т(t, х)0 и J* Т (/, x)dx = l, докажем,
что
М ke".	<2>
В элементарном неравенстве Т In Т-|- XT — е-х-1 положим
Х = ar-}-b, г = |х|; а, Ь — постоянные, которыми мы рас-
порядимся позже, и проинтегрируем его по всему простран-
ству, тогда получим
J* [Г 1а Тф (er+b\T\ dx> —J dx,
158
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. J
то есть
I п~1 й
— Q+aAl + &> —^-1а-лОл1<Ол = 2лк 2 I 2 J J-
Положив в последнем неравенстве а = гь = ~ап и
проводя элементарный подсчет, получим (2). Найдем теперь
оценку снизу скорости изменения энтропии Q:
Qt = — ]*(1 -Ь 1п Г) Ttdx = — J (1Н- In Т) V (cVT)dx =
= f V In TcV In TTdx.
Воспользуемся неравенством (с2сф, v)^ | cv |2:
c2Q,> J I eV In T I2 Tdx > (f TI eV In T |dx)2/ [J Tdx]2 =
= [J |cVT|dx]2.
С другой стороны, Mt = — § (Vr; cVT) dx, поэтому M (t)
J" ] cVT | dx, таким образом
с^ХЛ!,)2.	(3
Последняя оценка характеризует скорость возрастания энтро-
пии Q. Неравенства (1), (2), (3) и то, что lim М (0 = 0 (см.
t-*o
опять оценки ф. р.), дают возможность оценить Л4(0 и Q(t
сверху и снизу. Переходим к установлению этого.
Оценки (2), (3) означают, что
Q	/	1
ken < М < f (c2Qt)2 dt.	(4)
О
Определим теперь функцию R(f) равенством
nR = Q^k — ylnt
Заметим, что из (1) следует /?^0. Тогда (4) примет вид
1 1*1
ke^ < М (0 < (с2п)^ f (Rt -Ь 2 dt.
О
$8] АПРЙйРЙЫЁ ОЦЕНКИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 159
Если теперь в стоящем справа интеграле провести оценку,
используя элементарное неравенство
(*<+47 < (4-)* + 4 я, (2о*.
то получится
t2
откуда следует, что R(t) — ограниченная функция и, следо-
вательно, M(t) удовлетворяет неравенствам
1 1
kt2 <Л1(0<^2.	(5)
3.	Оценки функции О (/). Самым трудным является выяс-
нение поведения ф. р. в окрестности ее особой точки (источ-
ника). Введем функцию U(t, 5) = Рт(/2£, /), тогда
f U (t, 5) Л = 1, а если Л4 2, то J* I I Iх- Будем
сравнивать функцию U (t. 5) с ф. р. уравнения теплопро-
водности, которое в координатах t, $ имеет вид е-ISP. Для
такого сравнения рассмотрим вспомогательную функцию
G (0 = J* е~1 * I2 In (С/ + 3) Л, 8 — малая положительная по-
стоянная.
Существенный вклад в функцию О (t) дают те части инте-
грала, в которых |5| невелико, а положительная функция U
достаточно мала. Из неотрицательности U следует сразу не-
п
равенство 0^>гс21п8, однако может быть получена необхо-
димая для дальнейшего более тонкая оценка 0^ — k (—In 8)2 *
Для этого устанавливается, что для достаточно больших
отрицательных О:
2№j>*|O|2 + Aln8.	(1)
Пусть с2, л) — такое число, что при G^GX выпол-
нено неравенство (1), а 02 (сг с2, п, 8) =— Л(—In З)2^—
наибольшее из чисел, для которых &|0|2-|-&1п8> 0 для
160
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
‘ [ГЛ; 1
всех О < О2, тогда G(/)^G3 = min(Olt О2). Действительно,
если бы для некоторого tx было G(^) = G3— е, е > 0, то
из неравенства (1) следовало бы, что, для
о (0 < ° (Л)—ei,п т z—-*—
что противоречит оценке те2 In 8. Таким образом, для
достаточно малых 8 > 0
I.
О(0> —Л(— In 8)2.
4.	Оценка J min(T1, T2)dx. Обозначим через
ТД/, x) = Z(/, 0, х, xz), Z=l, 2,
через
u^t,	Д е,=-^-.
Проведем оценку функции
f min (Uv UJdt,
сравнивая ее с
W — J*min[exp {——$j|2}, ехр {—|5 —52|2}1Л.
являющейся, монотонно убывающей функцией |5j — $2|.
Применяя оценку, полученную в предыдущем пункте,
Запишем неравенство
£
J ехр(— |5 ——Л(—1п8)2,
из которого следует, что
/,-1-/2= Гтахехр(—15 — |2) max In (Щ-8)	.
Ji	I
-|- f min ехр {— 15 — е, |2} min In (£/, 8) d\ > — 4k (— in 8)*.
$8] АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 161
Введем следующие обозначения:
/1 = max ехр {— 15 — |2),
/2 = min ехр {— |В — 5J2}.
Оценим каждый из интегралов
/Л1П«Лпах+1)^<	+	1)<Й<
/2<4п8 У*/2Л-|-тах/2 J
< W In 8 -j- Г1 f Umla<%.
Таким образом, для достаточно малых 8 Вх
f min (Гр T2)dx=f l/mIn^>
>s[_2 — UZln8 — k(— ln8)’2] =
= —81n8[------?r
l4
Функция 81n-|- возрастает от 0 при 8 = 4-0 до ± при
&2 = £~1. Пусть 83 = min(8p 8g). Найдем 8 из равенства
Пусть Wz соответствует 83. Полежим
ехР I \ W )
8з
для W < Wz.
для IF>1P8.
11 С. Д. Эйдельман
162
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ. I
Тогда выражение (1) становится возрастающей функцией U
и убывающей — £2|. Обозначим ее через <р(	— 5а|)»
<р > 0. Таким образом,
f min (Tv Т2)dx><р /,	(2
\ t2 I
где <p(£) — убывающая положительная функция.
5.	Непрерывность по пространственным переменным.
Последовательно применяя неравенство (2) п. 4, можно по-
лучить его усиление. Заметим, что
Л(/)=4/17'1-7’21^ = 4/ [Л+^-гтад, T2)]dx<
< 1 — у/.!-?1. ~ Ц — Ф /,15±~М \.	(Ь
\ t2	I	\ А /
где ф—возрастающая функция, остающаяся меньше 1. Нас
интересует скорость стремления A (t) к нулю при -^*£7^*11 ->0.
Пусть Тл = шах(Т1— Т2, 0) и 7^ = шах(Т2—Л» 0). Тогда
fradx^f Tbdx=A(t)=^ f | Tj-T2\dx <ф
Для характеристики убывания A(t) с ростом t положим
x(t X,
Строя решения при t'^t по начальным функциям Та и Ть
в момент tt получим
А (/')<: f f Ф /	х, x)dxdx. (2)
Легко видеть, что Л(О<4(/), если Неравенство (2»
и является средством для применения итерационного про-
цесса, который позволяет усилить оценку (2) п. 4.
$8] АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 163
Для того чтобы охарактеризовать скорость стремления
A(t) к нулю при t ->оо, оценим последовательность
такую, что j4(Q = g*, а<1. Введем обозначения:
Ж«(0== f \x-x0\Tadx,
хо—	2
(аналогично
Л1, = тах[Л!в(/,), Мь (/,)].
Разложим Ta(t4, х) на «близкую» и «далекую» части сле-
дующим образом: для | х — х01 < 2a-’Afv пусть Т'а = Та,
для остальных точек 7^ = 0. Тогда
2^M^(Ta-T'a)dx<j\x-x^Ta-T'a)dx<
< J |х — x0|7’odx<M,,
и следовательно,
и из определения Л(О
(3)
Определим Т'ь аналогичным образом и положим
(х, х) = а-’Т; (х) Т'ь (х).
Запишем теперь оценку (2)
f f ф/ |ж~*| \ X, ж) —х'(*. *)]+
\ 2 /
+ Х^(*. *)}	f У* [x(7v. Х, *) — %;(*. x)]dxdx-|-
Ч-ф/	f zi(x. x)dxdx.
U'-M2/
11*
164
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
(ГЛ, 1
Продолжим оценки, используя (3):
Положим =	16a“2vAlv2d"'2 с а = -|-+	(d— не-
которое положительное число). Тогда	и, следо-
вательно,
/,+1 < г=/,+ leo-^d-2.	(4)
Итак, нужно получить оценку последовательности {ЛЦ.
Момент
Ма (!') = f I х' - х01 Та (Г, х') dx' <
< f f{\x' — x\+\x-x0\lZ(f, t, x',x)Ta(t.x)dx'dx<
Положим t = tr = 4" 1, запишем аналогичную оценку
A^(f) и проведем с помощью их оценку Afv:
А4,+1 < М, 4-	(Ui — /,)* < М, (1 4-	.
При t0 — 0 А10 = Ма (0) = Мь (0) = ± | хг — х21 (см. опре-
деление Ma(t) и свойства интеграла Пуассона). Поэтому
А1, < j | — х21 (1 4”	• Используя теперь (4) и оценивая
последовательно tv t2, ..., t4, получим, что
^•0
»9J
РЕШЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ области
165
таким образом,
—х2|-1 2 * * <Cr. т) = а-2(1
C = 4d2[a-2 (1 +^)2- 1]’’ •
Определим теперь функцию v(/), равную либо нулю, либо
такому целому числу, что
(0 < и *1 — Х2 Г2 < ъг «+»,
тогда /,(/)</, а
А(0 < A(t, w) = а’W < а-К2 ( |--,~Хг| Y,
\ t2 J
где
1Па . п
а — —_—> 0.
1п^
Таким образом, получена основная оценка
j*|Z(t t0, х, Xi) — Z(t, t0, x, x2)|dx<
<а(|х1-х2|(/-/0)’^)“/ (5)
Так как исследуемое нами уравнение самосопряженное, то и
J \Z(t, t0, xlt x) — Z(t, t0, x2, x)|dx<
<Д1(|х1-х2|(#-^)“. (5')
Используя интеграл Пуассона и последнюю оценку, получаем
основной результат нашего исследования при tl = t2=zt.
Для получения аналогичной оценки по временной координате
следует использовать интеграл Пуассона, оценку (5') и оценку
момента.
§ 9. Изучение фундаментальной матрицы решений
в комплексной области
1. Аналитическая продолжимость матрицы Z (t, т, х, §).
Здесь проводится изучение матрицы Z(t, т, х, 5), построен-
ной в § 3, в предположении аналитичности коэффициентов'
системы по пространственным координатам. Устанавливается,
что в этом случае матрица Z(t> т, х. £) может быть ана*
166
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ. 1
литически продолжена в комплексную по этим координатам
область. Нам представляется интересным прием, с помощью
которого устанавливается сходимость ряда, определяющего
ф. м. р., и получение оценок для его членов, заключающийся
в переходе в комплексную область и интегрировании по кон-
турам, специальным образом зависящих от временных коор-
динат /, т.
Рассмотрим параболическую систему
^- = P0(t, х-, D)u+Px(t, Х-, D)u^P(t, х; D)u (1)
и предположим выполненными следующие условия:
1) коэффициенты системы (1) определены в области
=	*2....*„)•	1*1 —Х11 <р; —oo<xs<oo;
s = 2. 3...n; О
и являются в ней аналитическими по zv ограниченными и не-
прерывными по z, t функциями; при этом непрерывность коэф-
фициентов оператора PQ(t, z; D) по t равномерна по z из Gp
2) коэффициенты системы (1) удовлетворяют условию
Гельдера по z из Ох с показателем а, 0<а<;1.
В этих предположениях матрица G0(f, т, z — С, С), С =
= (Ср Сг» •••• W» будет аналитической*) по zv Ср С^Ор
и для нее будут справедливы оценки
|D’“G0(t г, z-С C)|<COT(/—cf^exp^-c 2 |х,-^|« 4-
4- q | Vi — о>11«) (t — т)"
(q = х, 4- IVy q = 4- Zwj). (2)
Это непосредственно следует из представления
О0(/, г, х-С, 0 = f	X. а. С) do,
^=P0(t С, о)И0,	И0(г, г, а, С) = £
*) Всюду в дальнейшем будем говорить, что матрица анали-
тична по некоторому переменному, если все ее элементы являются
аналитическими функциями этого переменного.
59]
РЕШЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ	167
и рассуждений п. 2 § 2. Тогда матрица К (t, т, z, С) =
= {Р0(/, z\ D) — PQ(t, С; Dy+P^t. z; D)}O0(t г. z-C, С)
будет аналитической по zv из Ог и для нее будет спра-
ведлива оценка
л+2Ь-л
\K(t, Т. z, С)|<А(^ —г)- » X
Xexplf——ej’ + cjl®! —Wj|A/-t) »-»}. (3)
I \	$-1	/	/
ЛР £p c — положительные постоянные. Отметим, что из
оценки (3) следует существование положительного числа
такого, что для vi	справедлива оценка
I х\ *1 I
л+26-g
\K(t, т, z, С)К Л!(f —1)~ » ехр {— Сор}.	с0 > 0.	(4)
Продолжим матрицу Z (t, т, х, В) в комплексную по хР Bi
область О2аО1 таким образом, чтобы она там оказалась
аналитической по хР ВР Напомним, что матрица Z(t, х, х, В)
определяется формулой
Z(t, х, х, $)=о0(л	0+
/
+/₽• Х — У> У)?Ф- г У. 6)<?У.
т
<?(t, х, х. 2 кту, х, х. о. кх(f, х, х, у=к(I. х, х, о.
/и-1
t
Km(t. х. ХЛ) =	f K(t, ₽, x. ?)*«_,(₽, X, у. t)dy.
t
Начнем с продолжения повторных ядер Km(t, х, х, В).
Общую схему дальнейших рассуждений и оценок подробно
поясним на случае второго повторного ядра. Матрицы
К (t х, у). К ф. т, у, 0 могут быть определены и для
комплексных значений аргументов хр £р ур zv Ср У~=
вУ1~МУ* соответственно, удовлетворяющих неравенствам
i«j — x$|<p. |Ч —*?|<Р’ 1уГ~*1|<Р- как “«триад-
468
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
[ГЛЛ
функции этих аргументов при любых х2, ..., хя, • • •»
у2, • • •» Уп они аналитичны, если только т < £ < t /2.
Определим матрицу
K%\t, г, z, 0= J K(t, р, z, у)/С(р, X, у, Qdy, (5)
t+8j
с аналитической по zv yv Cj подынтегральной матрицей.
Рассмотрим комплексную плоскость у** и обозначим через Е
множество точек этой плоскости, лежащее внутри ромба R
с вершинами в точках {(xj— р, 0), (xj-|- р, 0), (xj, piq),
(xj, —р^)}, iq = tga, а через O2 — множество точек (з, C, t9 т),
удовлетворяющих условиям zx £ Ev — оо < xs < оо, s =
= 2, ..., n,	—oo<£s<oo, s = 2, ..., n, tx<
< t < / < #2* В	t, zt С) интегрирование по веществен-
ной оси yI заменим, используя аналитичность подынтеграль-
ной матрицы по у** и интегральную теорему Коши, интегри-
рованием по контуру —оо ABCDEF оо (рис. 1—3) в слу-
чае I) |	и по контору —ooABCDoo (рис. 4—6)
в случае II) |	| >
t-t,
t, Z,C)= f dp f dy”../
t4-6| —oo ABCDEF oo
или —oo ABCD oo
oo
... f K(t. ₽. z, y")K(p, t. y**)dy„. (5Э
— 00
Определим теперь K^it, t, z, С) формулой
t
K^t. x, zt = f dp f dy?...
t -oo ABCDEF oo
или -oo ABCD oo
oo
'	... J У**И(Р. у*. C)dy„. (6)
— 00
Перейдем к оценкам	т, z, С) и Ki(t, т, z, С).

170
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ, 1
Рассмотрим сначала случай I). В этом случае аргументы
*р У~; yj* ft (б) (рис. 1—3) удовлетворяют соотношению
I) и, следовательно, в силу оценок (4)
I к (t, ₽. z, у”) I < A (t - ехр {- СоР} (7)
(аналогично для K(t, р, у**, С)). Поэтому
|К2А(/. т, z, С)|<
f -----------х f ,-«»> X
х+61	[(/_Р) (Р__т)] ~ 2* -оо ABCDEF оо
X------—-------ТП f e-Ws)---------------------J-. (8)
(« -₽)(₽- <)]»	—	[(/ - р) (₽ - х>]2»
Используя лемму 5.1, отсюда получаем
№ (f. т, z. С) | < А2 (е) (t —	ехр {— с0 (1 - е) р} X
-2»	?
X J 1('~Р)(Р — т)] 2Ь </р J е~^>--------------------z.
<+«•	-«	[(*-?)(? -г)] 2»
(9)
Интегралы, входящие в оценки (8), (9), равномерно сходятся
по Ci из О2; так как их части в пределах (N, оо),
(—оо,—N) по у** мажорируют соответствующие части ин-
тегралов, которыми определяется с, z, С), то инте-
грал (5') равномерно сходится и, следовательно, является
аналитической функцией и в О2. Используя опять
лемму 6.1, из (9) получим оценку	С), не зави-
сящую от 8Р 82:
Т, z, С)|<Л2(е)(/ —<"+2» 2 ехр{—с(1—е)р}. (10)
Оценка /«А = |/<2А(*. t, z, — т, z, С)| проводится
совершенно так же и дает
П+2Ь—а /а а \
ЛА < А' а - Т) (8^ + 8p-J;	(11)
«Я
РЕШЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
171
Из (П) следует, что т, z, С) при 8Р 82~>0 стремится
к ЛГ2 (t, т, z, С) равномерно по zx и из О2 и, следовательно,
К2(/, т, z, С), определенная формулой (6), представляет собой
аналитическую матрицу от zv в О2 и для нее справедливы
оценки (10).
В случае Ц) все рассуждения проводятся так же, если
предварительно заметить, что при интегрировании по конту-
рам —ooABCDoo (рис. 3—6)
и поэтому
ехр
<ехр
Ci
(/ _ р) 26—Т
После вынесения последнего множителя из-под знака инте-
грала в оценках и получаются только что оце-
ненные в случае I) интегралы.
Таким образом, устанавливается аналитическая продол-
жимость К2(/, т, х, I) в область О2 и справедливость для
нее следующей оценки:
	л+2&-2а
K2(t, т, я,С)| <	(6)(f — X) 24	ехр {— с0 (1 — е) р) ПР" л+26-2а
	А (•)(* — т)	2»	ехр{-с(1—е)р-|- -+• q | «1 — W, |« (t — t)" 24Г*} 1 Д-е.’!>’’ (12)
Доказательство аналитической продолжимости K3(t, т, х, 5),...
..	-с, х, 5), .... проводится совершенно так же заменой
интегрирования по вещественной оси интегрированием по
соответствующим ломаным (рис. 1—6) с помощью аналогичных
оценок. Отметим, что в случае П) для всех повторных ядер
тип q сохраняется.
172
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИИ
(ГЛ* 1
Определим теперь т, z, С) в О2 рядом
T(t T,z,C)=	T.Z.C).	(13)
m = l
Используя оценки (3), (4), инвариантность типа q и повто-
ряя оценки повторных ядер, подробно проведенные в § 3,
получим, что ряд (13) сходится равномерно по z£O2, С^О2»
и так как его члены являются аналитическими матрицами
в О2, то <р(£, т, z, С) — аналитическая матрица по zv в О2.
При этом для ср (t, т, z, С) имеет место оценка
|(?(t *.*.01 <<?(/ — < 2» Х
X ехр { — С*р -ь q |«! — 1»! [’(t—х)” 2*3» }. П 4)
Для аналитического продолжения матрицы Z (t, т, х, 5) сле-
дует изучить второй член в формуле, которой она опреде-
ляется. Так как это проводится так же, как изучение по-
вторных ядер, то мы установили следующую теорему:
Теорема 8.1. Если выполнены условия 1), 2), сфор-
мулированные в начале параграфа относительно коэф-
фициентов системы (1), то ф. м. р. этой системы
Z(t, т, х, 5) может быть продолжена в область О2 та-
ким образом, чтобы она там была аналитической
по переменным zv При этом для Z(t9 т, z, С) спра-
ведлива оценка
\Z(f, Т, ж.С)|<С0(#—
Хехр{ — c*p+q|q —	—	(15)
Заметим, что матрица Z(t,x, z, С) имеет при />т 2Ь—1
непрерывных производных по х, аналитических по zv
для которых справедливы оценки
\DmZ(t, х, z. С) | < Cm(t — х)"^-1 х
( _________________________1)
X ехр( — c‘p+q] q —	— х)"(16)
РЕШЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
173
Действительно, используя представление
Z (t, t, z, С) = O0(f, t, z — С C) +
t
J	(17)
т	— oo ABCD oo
где последнее интегрирование проводится по контуру
— ооЛВСОоо, изображенному на рис. 7, и то, что при
таком выборе контура он не будет зависеть от (при из-
менении zx в заштрихованной на рис. 7 области), запишем
DmZ(t, т, z, Q = DmOQ(t. т, z — С, Q4-
t
+ Jf	₽, z—у**, /*)<?$, t, у*, C)rfy**.
t — оо ABCD оо
Из последней формулы в силу оценок (2), (14) с помощью
рассуждений случая II) следуют оценки (16).
2, Замечание о фундаментальных матрицах решений
для конечных областейо Так как аналитичность является
локальным свойством, то для установления аналитичности
решений естественно использовать ф. м. р., Построенные для
конечных областей. Построение таких матриц и их анали-
тическое продолжение проводится так же, как матрицы
Z (f9 т, х, 5).
174
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ РЕШЕНИЙ
[ГЛ. I
Теорема 8'.1. Пусть коэффициенты системы (1)
п. 1 удовлетворяют условиям: 1) они определены в об-
ласти Gj {| zx— xj|<p, |*5 — х®|<л, $ = 2, .... п\
/1</<f2}» аналитичны в ней по zv ограничены и не-
прерывны по t, z; при этом непрерывность коэффици-
ентов оператора PQ(tt z\ D) по t равномерна по z
из Gp 2) коэффициенты (1) гельдеровы в Qx по z. Тогда
существует в Gx ф. м. р. ш(/, т, х, 5), определенная
формулами:
<»(/, х, X, 5) = О0(/. х, х — 5. 0-Ь
t
+W G0(f. р. х — у, у)<р(р. t. у. t)dy,
# т V
<f(t, X. X. ?)=	X, X, ?),
ГИ“1
Kx(t, X, X, ?) = [—Х-, -D)]o0(/. X, x-l, 0.
t
Km(t, X. ХЛ) = Jrfp /K^t. ₽. X, y)Km-^. X, y, §dy,
t V
V= {| Xj — xj| < p; |x,—x°|<a; s = 2....n).
Она может бить продолжена в область
^М|г1 *i|<p; |Ч xi|<р’« |*4 х$|<а!
К—s=2.................п> '1<’<*<М
таким образом, чтобы она там была аналитической
функцией х1, Сг. При этом для w(t, х, х, Q и ее про-
изводных до порядка 2Ь — 1 по xv х2, хп справед-
ливы оценки (15), (16) п. 1.
ГЛАВА 2
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Здесь проводится исследование ряда важных внутренних
свойств решений параболических систем, основанное на по-
лученных в главе 1 результатах.
§ 1. Внутренние оценки решений параболических систем
В этом параграфе будут получены внутренние априорные
оценки решений параболических систем и дано их применение
к изучению внутренних свойств решений этих систем. Все
изложение мы будем проводить для одного параболического
уравнения, для систем рассуждения совершенно аналогичны.
Приводящиеся ниже доказательства существенно используют
результаты, сформулированные в теореме 1.1.
1. Некоторые определения и леммы. Будем рассматри-
вать параболическое уравнение
= 2 Ak(t. X)D*u+f(t, х) (1)
\k I <26
в ограниченной области D (п 4» 1)-мерного пространства
(t, х). В этом пространстве определим расстояние между
двумя точками P(t, х) и Q(t't х') таким образом:
d(P, Q)= j/^x —х'|2+|/ —гр,	(2)
где |х— х'| есть евклидово расстояние между точками
х и х'. Легко проверить, что так введенное расстояние
обладает всеми метрическими свойствами обычного расстояния.
176
СВОЙСТВА РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Будем говорить, что функция u(JP) непрерывна по Гель-
деру с показателем а в области D, если для каждого замкну-
того подмножества D существует константа Н такая, что
для всех пар точек Р, Q из этого множества выполняется
неравенство
|ц(Р)-ц((?)
d(P,QT
Введем следующие нормы:
Mp,i{u]= sup ^+/|d*«(P)|.
P£D
UH
M rtt] — SUD dp+a+i | Dku(P) — Dku(Q)\
mP, /+al“J = sup apq ---------- ,
p. Q€D	d(P, Q)
I k |«Z
где p, I — целые числа и такие, что p-f-Z^O, dp — рас-
стояние в смысле (2) от точки Р(т, х) до границы D, ле-
жащей в полупространстве t < т; = min (dp, dQ);
/-max(0, -p)
Рассматриваются только те функции й(Р), у которых
непрерывны все производные, входящие в определение норм.
Если а любое, то под MPta[u], | и |р> а будем понимать со-
ответственно	|я|р,/, i = a, если а — целое число,
и	|«|р,/+«• * = [«]• а = а — [а], если а —нецелое.
Приведем несколько полезных для дальнейшего лемм.
Лемма 1.2. Пусть р 0, Z 1 — целые числа. Спра-
ведливо неравенство
сМР'0[и],	(3)
е — любое положительное число, меньшее единицы,
с — постоянная, зависящая от р, е; MPti[u], 7Ир>0[д]
предполагаются ограниченными.
Доказательство. Сначала установим для любого е,
0 < е < 1, неравенство
МР' I [«] < еЛ1Р( <+1 [«] + s-’CjAlp,;.! [«], q = q (/>. /).	(4)
51)
ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИИ
177
Пусть — любое число из промежутка (0, 1). Возьмем
в области D произвольно фиксированную точку Р(т, х)
и рассмотрим в гиперплоскости / = т шар с центром Р
и радиусом jxdp. Пусть Рх и Р2— точки, лежащие на кон-
цах параллельного одной из осей (например, оси хх) диа-
метра шара Sx, и пусть Dkи (Р) =	— некоторая
производная от и (Р) порядка | k | = I. В силу теоремы о сред-
нем существует точка Р', лежащая на взятом диаметре, та-
кая, что
Dk~'u (Рх) — Dk-'u (Р2) = 2|idpD*a (Р'),
откуда	ь 1
max |
Используя это неравенство и снова применяя теорему о сред-
нем, получим
| Dku (Р) | < | Dku (Р) — Dku (Р') Ц-11? и (Р') К
max|Dft-’u|
< max | D*+1« | pdP+	.
В силу непрерывности Dk~xu, Dk+1u и замкнутости St имеем
max | Dk~lu | = | Dk~lu (P) |,
max|D*+la| = |D*+1«(R')|, P,
st
Отсюда
dp+i-!
i _1_ 1 FfZl	1

так как —p)dp для P£ST; действительно, пусть
dp = d(R, Q), тогда dp^d(P, Q)<d(P, R) + d(R. Q)<
< Hdp-4- dR, а отсюда dR (1 — p.) dp.
12 С. Д. Эйдельман
. 178 СВОЙСТВА РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Таким образом.
' |D*«(Р)| <	М„,+1 («) +
+	<-• W-
Перейдя к точной верхней грани по P£D и |Л| = / в ле-
вой части неравенства, получим
мр.И«1 <	Мр> <+»[й] + р(1-4)Р-м-1 МР> l~i1й1’
откуда следует неравенство (4). Действительно, беря в послед-
нем неравенстве только	получим
мр, i [«1 < 2p+l+1?Mp, i+1 [«] +	р>[а).
При р, = 2-д~/-1е получим неравенство (4).
Используя неравенство (4), докажем для любого е,
О < е < 1, справедливость неравенства
__J
И4р,у[«]<еЛ4л/[«Л-е 1-^с2Мр>0[и], с2 = с2(р, Q. (5)
для всех j <1. Проведем доказательство методом индукции
по I. Для I — 1 неравенство (5) очевидно с с2 = 1. Предпо-
лагая утверждение справедливым для 1 = Г^Л, докажем его
для Z = Z-j- 1. Рассмотрим сначала случай j = l. Из (4) имеем
Мр, ,[«]<! MPt ,+1 [а] 4- e-’qAf,, ,_1 [«].
В силу индуктивного предположения
Мр, 1-11«1 < -^7 Мр. 11«1 +	о [«].
Через с2 будем обозначать все постоянные, зависящие только
от р, I. Из последних двух неравенств получаем
мр> I [«] < еЛ4р> Z+1 [ и j 4- t-lc2MPt 0 [ и].
Пусть теперь j <1 любое. Тогда, используя предположение
§ n
ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
179
и предыдущее неравенство, запишем
________________________J_
МР, j («I <£iMp, i (“] + h '~} с2Мр> о [«J <
/
<ei(e2Mp,Z+ll“H-e2_/C24,P,olal)+ei *’ЧЛ*р,о1в1 =
j
i-i	i
если выбрать =	е2 = е*+1-Л
Просуммировав по j от 0 до I — 1 неравенства (5), полу-
чим утверждение леммы.
Лемма 2.2. Для а^О и целых р, q, I справедливы
неравенствах
I D*a Ip,а < I « Ip-Z,«+»• l*l==*.	(6)
lwlp+«,a<tf3(P. e)l«lp.«l4.*’	(7)
n
l“lp,a+i<l“lp,e-|a|+Sl dxj“Li /
s«l	“
Исходя из определения норм, неравенства (6) —-(8) легко
проверяются.
Нормы Мр>а[и], | и|Лв, определенные для подобласти А
области D, будем обозначать так: MPl а [«J. |«|р, а- Сово-
купность точек (t, х), для которых /° — сГь < t /°,
х®— d < х{ < x®-f- d, 1=1, 2, ..., п, будем называть полу-
кубом S(P0, d) с центром в точке P0(t°, х°) и ребром d.
Лемма 3.2. Пусть S — полукуб в D с центром Ро
dP
а ребром d =—===, тогда
2/лТТ
dl«lp,«<l	(9)
Доказательство. Согласно определению
М5Р, /(«]= sup dg+>|D*«(P)|,
где dp — расстояние Р(х9 х) до границы S, которая лежит
в полупространстве t < т. Имеем
J D*u (Р) | < d^J+1 \D*u(P)\-j—.	I* I=/.
p
12*
180 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2	•
Пусть dp = d(P, Q), тогда	’
dp,<d(P0, Q)<d(P0. P) + d(P. Q)=	!
= d(P0, P)+dP<V"n+ld + dp.
Отсюда
dp>dP,— /»+Td = 2 /n+Td—]/»+!</ =
= Vn+\d>d, dp>d.
Таким образом,
d£+} | О'и (/>) | < -1 d£+J+11 Dku (/>) |.
откуда
dMsp,j[u]^Mp+lt)[u].
Совершенно аналогично устанавливается неравенство
dMPt j+* 1^1	^p+l> y+«
a= a — [a].
Просуммировав последние неравенства no j от 0 до [а], по-
лучим неравенство (9).
Лемма 4.2. Пусть и(Р) определена в области D.
Предположим, что для некоторого неотрицательного р
существует постоянная Н, такая, что для каждой
точки Р из Dd\u\sPta^H, где S — полукуб с центром Р
и ребром d =—2Г=—" - • Тогда |й|р+1|в существует и
2 г л -J-1
ограничено СН, где С—постоянная, зависящая от р и а.
Доказательство. Достаточно доказать, что
^p+i, j Iй! СН.	[й] CH. j [а], а — а—[а].
(Ю)
Пусть Р(т, х) — произвольная точка области D, а S — полу-
куб с центром в Р и ребром d. Имеем
|D.„(₽)|= у_|н
где, как и выше, dp — расстояние точки Р до границы 5,
S П
ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
181
лежащей в полупространстве	Но dp — d, поэтому
.	. Ms„ .[а] Н СН
[о «(Р)1< d'p+j - < dP+1+J— dp.\+)
или d^+I+y|Dft«(P)|<CH, а отсюда Mp+l>j[u] < СН.
Для доказательства второго неравенства в (10) возьмем
произвольную точку Q в полукубе с центром в Р и
пебром —7== и запишем, используя условие леммы:
г г 2ул4-1
\Dku (Р) Dku (Q)l <	1 nS r#i<	|ь|__/
где dPQ = min(dp, dQ). Заметим, что dp — d, dQ^^dt дей-
ствительно, пусть R такая, что d(Q, R) = dQ, тогда имеем
d<d(P. R)<d(P. Q) + d(Q, R)<dQ +
+ l/»4-l —= do+~, QfS,.
r 2/a+1 Q 2 C 1
Поэтому
\Р*и(Р) — Рки, (Q)| < Н _ СН	СН
d(P,Q)a а(ЛЛР+У+Л ^+1+У+в^ ^1+у+’’
откуда следует Л4р+1>у+а [«]<<?#.
2. Вспомогательная теорема. Рассмотрим уравнение
Las 21 4>D*a—*) (О
I k |-26
с постоянными коэффициентами Afc, max | Ak | = Af. Пусть
k
S — полукуб с центром в P0(x°, t° + d?b) и ребром d.
В дальнейшем все постоянные, зависящие от n, 2Ь, будем
обозначать буквой С, а постоянные, зависящие от п, 2b, М и 8
(8—из условия параболичности) — буквой К.
Справедлива следующая
Теорема 1.2. Предположим, что f (t, х) непрерывна
по Гельдеру с показателем а в полукубе S. Пусть
u(f. х) — решение уравнения (1) в S, имеющее 2Ъ непре-
182
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ГЛ. 2
рывных производных по х, тогда	непре-
рывны по Гельдеру в S и существуют постоянные К
такие, что для | k | 2Ь имеют место оценки’.
|DM/%)|<d‘l*l*sup|a| + dw-|*ltfsup|/| +
+ d^»^KHp	(2)
^~“Т(рГо)*ц'(9)| <	^-| *'+*KHq' S1Л
если d(P0, Q)<|, (3)
^J/]*=sup^*)-/(*)l.
R,S вез
Доказательство. Обозначим через полукуб с цент-
ром в Ро и ребром и возьмем бесконечно дифференцируемую
функцию определенную в S и удовлетворяющую усло-
виям
?(<?) =
1.
2
0. Q£S — s2,
4
(4)
I £>№(*. x)|<Aud-2W-'M.
(5)
Пусть O(t — т, x — B)—:ф. p. уравнения £« = 0. Пусть
точка (Л х)£5ь Используя формулу Грина—Остроградского
7
(гл. 1, § 3, п. 5), оценки ф. р. G(t — т, х —£) (теорема 1.1)
и свойства функции <р, получим представление
t
u(t, х) = f f и(х, £)£*(<P(t.	— t. x-S)]O-
я
t
— ff	x-t)dldiz=E0-F0, . (6)
t* R
где R — нижнее основание S, L*—оператор, сопряженный к L.
Докажем неравенства (2), (3) для случая | k | = 2Ь\ дока-
зательство в случае | k |< 2Ъ аналогично, даже значительно
ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИИ
183
§ 1]
проще; обозначим
E = D2ftE0, F = DlbFQ
и получим оценки Е, Р в точке Q(t, x)£S\. Обозначим
7
2 = |	X Uo < т < И (рис. 8), тогда в силу того, что
L*G(t — г, х — £) = AkDkO(t — x. х-К) +
|*|-2,
+ £о(/-т, х-£) = 0,
получим
E = f и(х, Е)Х
xff 2	+	5)D2;O(/-t, х-е)])Лйг =
=/«(’• М 2	Пн,о(^.м|х
1	2	1|Л|-2д у<Л	)
ХЛЛ+ f и(г. «){£?(г, e)D|‘O(/-t, х-Е)+
+ ?(*. 5)Ад2»О(/_х х — 5)}ДЛ.
Используя оценки ф. р. и оценки (5), имеем
2^	л+26+1 У|
ElCKsupHI 2 d~u+^	2ft X
5	|v|—0	S
Xexp{ — K\x — ЕГ(/—
Интеграл в правой части неравенства представим так:
J = J* + J, где 2j — часть 2, для которой	|£—*°| •<
а е, с,
^d, 22 = 2 — 2t (см. рис. 8). Так как в J* вы раже*
~ 184
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
ние |х—?| эквивалентно d9 то
г /	-"+У+Н J _	—5-1
J<Cjd"(/-T)	2» ехр| —	— т) *>~i]dt.
2, /о
d2b
Делая в последнем интеграле замену переменных z — ;-•
I ““ т
Рис. 8.
получим j* г1. В интеграле J* разность t — т экви-
fi1 * ®2
валентна d, поэтому
У*d2»+hi+B f didx = d2b+^}+„ (?b+n = Kd 1 *.
S2	fij
Таким образом,
|E|<O-2*sup|«|.	(7)
5
Перейдем к оценке F, Так как функция <р (/, х) / (/, х)
непрерывна по Гельдеру в S, то в силу свойства 7 ф. м. р.
§ п
ТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
185
р может быть представлено в таком виде:
t
В = / f D?G(t-
T, X — £)[<р(т, ^)f(z, ?) —
/0 R
— <p(t X)f(t, x)]d$dT4-/(f, X)<p(/, x)X
t
JG(t-x, x — DM^ + F*
t* R
Будем пользоваться неравенством
| ср (В) / (В) —<p (<?)/(<?) | <Cd(Q, B/Hq^I/H-
_|_C/L£rin + hsi\sup|/|, B = (f, 5). (8)
\ a a ) S
которое легко проверяется.
Используя оценки ф. р. и (8), оценим
л п	п+2Ь
\^\<KHQtSlf] J J (/-< ” X
to R
X ехр{ — КIX — 51’ (t — t)"2^} [ IX — er+(/-T)2»]d5 dz+
4-#sup|7| / / (t — t) 2ft expl—K\x—£|?(/—X) 2<,-1jX ’
$	£ S
Делая замену переменных =	—т)26, $=1,2 п,
получим
+KsuP|/iU(f—
S L	**	J
Но так как t —	d3®, то
iFj^Wf^in + Ksupl/l.
186
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ {ГЛ. 2
$
< sup | /1 J* § D*°~l G (t — т, х — tyvdsdx <
Оценка F2 дается неравенством
' р	/I ry!»-i J J DxO(t-T, x-QdSdt <
/® R
to г
<Ksup|/|J	exp{-K|x-^-?)~^}d7 d-z,
S /0Г
где Г — граница R. В последнем интеграле |х — £| эквива-
лентно d. поэтому он оценивается так же, как интеграл J*
&i
в оценке Е\ итак,
|F2| <Ksup|/|.
s
Таким образом,
|F|<Ksup|/| + O%,sI/l- (9)
s
Из (6), (8), (9) следует
Dft«(Q)|<O‘2z,sup|«H-
+ Ksup|/| + O%(S[/],	1Л| = 2*
<s
для любой точки Q £ S i; беря Q а Ро, получаем неравенство
7
(2) в случае | k | = 2Ь.
Переходим к доказательству неравенства (3). Пусть
Q(t, x)£Su PQ(tv х°), /1=^°-|- (Рь, запишем неравенство
4
dg | (Рр) - P2ftH (Q) I I £ (Po) -£«?)!
d(P,Q)‘	d(Pt,Qy “r
+ -S+F-
§ 1]
ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
187
Проведем оценку Е'. Обозначим (см. рис. 8)
I 4	2)
2"=($3-SH XU<T<M.
I 4	2 J
Проведем оценки
d(Po.Q) s	s
X /* |D^+’O(^—t.x°—Q—D?+’O(f—x.x—£)|<Ot) +
+ Csuplal( S SlAlsupl^'Mx
d(Po,Q) s \|*|-2*v<*	5
X/|D?.«C(<,-<, «”-э1«‘г')+7(£едг8;р|>| X
Xsup|a| j"\D^Q(tx — t, x°—$) —
S'
^^sup^X
Xsup|«| f \D^O(tl — T, x« —o|#<fc +
+7(4; Q>‘ 8“p 1T1 s“p 1 a 1JI	°(/* - T« *° -?) -
—— T- * — 01 #	" (4, Q)« s%p t? I S“P i" i X
x f\^	*°-е)|ял=
8'	‘
= £; + E'^Ez+E'^Ei+Ei (10)
188 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ГЛ. 2
Интеграл в Ei в силу теоремы о среднем оценивается так:
-|_|Ао24+’0(Г_х, х_5)||^_
/л+2&+1 + | у |
ft—т) 2» X
2'
Хехр{ — К\х — 5|*ft —
/_	л+26+1 у |+2&
(*-<	26 X
S'
{— 1 )
— К\х — $|г((—*)“»-*/ЛЛ.
Оценив последние интегралы так же, как в оценке Е, получим
/	— л| + W,’l"2aft—Q.
S'
Таким образом,
£;</Csup|a|-----V <r26+NX
X (if ’|'11 xfi-x | + d->»i-2ft ft _ о).
Используя неравенства
О < ft — О2"5 < d (Ро, (?) < Cd,
|хо — x|<d(P0, <?)<Crf,
окончательно получим
Bj<O"2%up| а|.
5
Оценим Ег- Замечая, что в 2" выражение | х° — Е| эквива-
лентно d, получим
-а	Д	Л	/1+26+15>|
.X ехр{ — Kd9 ft —	) dt
«НИ •
5 П
ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
189
В последнем интеграле сделаем замену переменных
df
z =--------,—, тогда он оценится так:
Cd"’-1’1 f z^a+2b+^e-^^<
А
где
P- =
A = (. V* 1, u — любое положительное число. Взяв
-------- и заметив, что, — f<id(P0, Q)2b, получим
2b
Е'2 < К(Г2Ь sup | и |.
$
Остальные слагаемые Ез, Е$, Eq в (10) оцениваются ана-
логично и оценки для них получаются такие же. Таким
образом,
Е' < O~2*sup | и |.	(11)
s
Получим оценку F'. Используя представление для F,
имеем
t
f f
R
Fz ____________
rf(Po,Q)a
0/(T, ?) —
*°)/(Л> x°)] — D^Glt-x, x-5)[T(T, E)/(x. 0—
^(Eo, Q) /
l к
X[f(x. Q/(T, 5)-<p(/„ xO)f(tv *0)]|<Ot +
d
’ d(P9, Q)'
t
f(tv	f f D^Q^-z, X°-^dUx—
t* R
190
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ГЛ* 2
t
— f(t,	f f DxG(t~x, x — fydldx +
<• R
* Л
/(/p f f D^G^—x, x°—=
t R
d
d(P0,Q)'
= ^+^2+^3+
Оценка W2 проводится так же, как оценка
W,2'C^e^Po>sl/]4_^SUPl/l’
1F4 оценивается следующим образом:
На	Г /*	И+2д—1
X ехр I — К ——ds dx <
1	(f-J™
ja+n-l	ft	П+ЪЪ-Л
X exp {—Kd" ((, — Tp"»31) Л,
так как | х° — $ | эквивалентно d для 5 £ Г. Оценивая послед-
ний интеграл так же, как интеграл в получим
s
Для оценки Wz запишем А
W С
^d^Q)'
t
sup|/| D%-* 1 f fDxtG(tr-x, x°-t)dtdx-
s	t<g
t
— D?-1 f f DxG(t-x, x-K)d^dx 4-
Л R
-rT~r?HPt,s{f}d(PQ, Q)*X
«(P9, Q)
£ft~* / / DxG{t-x,x — K)d\dx
-Wt + Wb.
$ и	ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ	191
Интеграл в 1Гз уже оценен при оценке F2, поэтому
Ниже будет доказано, что
1Гз<^8ир|/|.	(12)
s
а отсюда
UZ3<Ksup|/| + Kdatf/>0,s[/].
Для доказательства (12) достаточно рассмотреть отдельно
два случая: 1) t — t^ 2) x = xQt так как общий случай сво-
дится к этим двум.
В случае 1) имеем
f f D^G^ — T, х° — t)dldx —
to R
t
— f — x — fydKdx
b R
t
D$~l f У О (/j — t, j^ — ^dfdx —
to Г
t
— D?'1 f f 0(^—1, x — fydydt
to Г
<|x° —x|	f f Otfi — T. x — k)dydx .
/с г
Последний интеграл оценивается аналогично оценке инте-
грала в F2, поэтому
если учесть, что |х° — х|ч=в</(Р0, Q)^d.
192
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
[ГЛ. 2
В случае 2)
1Гз =----—sup |/|
d(P9,Qy s^,J'
t
f f	х-Э-
/о Г
—	—-c. x —
d*
d(Pa,Q)e
sup|/|X
5
t h
f dtf d$f D^-^G^ — t, x — Qvds
to t Г
.«	/>' p	n+2b+2b-l
<K	d? J (P~T)~ 2& X
X exp (— Kd4 (0 — -t)"2»-1} dt.
О	du
Делая замену 2 = ^—-
оценивается через Kd~n+1~2b
, найдем, что внутренний интеграл
. Тогда

так как —# = d(P0, Q)2d<d2i.
Наконец, займемся оценкой IFj. Обозначим ij=-|-d(P0, Q)26.
запишем
d"
d(Pt,Qf
t-ц
f f [Z$G (ft — x, jc° — Q —
R
- D2xbG (t-t, x-0] [? (t, 5) f (t. 5)-<p (/v x°) / (fv x°)] dl dt -b
_|___4.___
^d^Pa,Q)'
У* f D?G(t — t, x — i)d^dt
to R
XI?(*1.	*°) — <t(t. x)f^> *)1+

X
»1)
ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
193
^d(P0,Qy
t
f f	xO-OI?(t. 0/0. 0-
-f(tv xO)<p(/lt	+
t
4- f f	x-OI<pO. 0/0. 0—
d (Po, Q) d J
— <t(t. x)JdUt .
Используя неравенство (8), получим
a Z-’1
v'<^f
- D?O 0— t, x - о I [c (| x° - $ Г+Oj -Hp„ 3 [/] +
+ Csup I/1	dl<h+
s \ *•	/ J
« /_’1
4-kV f f\D^O(t-x,x-^dtX
d(.P^ Q) d d
X [c (i xO—X I" + 01 — 0») Яр„ s I/J +
+Csup[/|(l^^+^)l +
$	\ a	a /J
+ 01-^)hp.,s(/J+Csup|/[(1-^^ + ^)]«^4-
х[с(|х-5Г4-0-хЯ)^,з1Л+
+ C sup I / I 4-	dx = У1 + ^2 + V3 + V4‘
S \ a	a J J
13 С. Д. Эйдельман
194
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ГЛ. 2
Оценка У2 проводится так же, как F2:
V^KtTHp* 5[/]+ Кsup |/|.
s
и V4 оцениваются совершенно одинаково, поэтому мы
оценим, например, V4:
4^d(P0> Q)“
Ял+26
- X
/-TJ R
X ехр{—К [х-	a-t)’2»-i} [(|х-$Г+(/-т)2») HQts [/] +
+ sup | f | (1^1 + -^)] d\dx <
s \ a a /
•r,a	л	26—a	KdF
X
<№/QiS[/] + Ksup|/|,
s
Осталось оценить еще V\. Для этого достаточно оценить,
например,
/IDSO((--’'X°-E)-
— D^G(t — х, х — 5)|[|х° — &Г+Р1— t)®]dSdT.
Рассмотрим сначала отдельно два случая: 1)/ = ^; 2) x — xQ.
В случае 1) имеем
a хо
^1<с7.рЛ7^/лf dx/l£>c6+1°(/i-t’^)lLl*°-qe+
d(/’o.Q)y d d
+|С-«Г+(^-#й]^<

X® ft-7)
---—ъ I'd: f dx f (ti — xf
dtP^Q/J J J"
/1+26+1
•26
X
§ 11
ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ	195
X ехр ( —KJC —£|?ft —т) "’ЧХ
x[k°-qe+|c-5|4-ft-t)4^<
г 'Гг	_2±!
+ft-< 2Ь м<
<к z^~Дк°—cr<21ftH-<^)^=/cd“.
Здесь использовались соотношения: t—fl—dt^d (Ро, Q)2b=4'q,
|х° —x| = d(P0, Q).
В случае 2)
*'<с«Ьг-Ь f d\f\D"
x [| x° - 5 Г+(p - tfb+ft - ₽Д dt
Далее оценка продолжается аналогично оценке в случае 1).
В общем случае запишем
t-ч
V1<—£— f f |D^Gft —t. JC°—?) —
^d^QyJ /
— D% G (t — t, x° — 5) | [ | X» — 11“ 4- ft — тр] Л dt 4-
t-4
4C—-— /* l’[D^G(t — t, x° — 0 —
d(P0,QyJ / 1
— D?G (t — t, x — 5)|[|x° — e|e4-(*—^’#]<Йй+
<-ч
+c^ /°-9-
— D^G{t — t. x —
ft-/A
13*
196
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
[ГЛ. 2
Первые два интеграла оцениваются как в случаях 1) и 2),
последний не превышает
t
Cd* f dZ У dt f \D?+lO(t — x, С—е)|<Й;
x	R
а этот, как в случае 1)» оценивается через
Kd* f -^-=Kd*.
х ч?
Складывая оценки, доказанные для Е' и F', получим неравен*
ство (3).
3.	Внутренние оценки шаудеровского типа. Переходим
к доказательству основной теоремы о внутренних оценках
шаудеровского типа решений параболических уравнений.
Будем рассматривать параболическое уравнение с пере-
менными коэффициентами в области 3:
Lu= Ak(t. x)D*u-^- = f{t. х).	(1)
|*|<2»
Теорема 2.2. Предположим, что: а) коэффициенты
А (Л •*) Уравнения (1) непрерывны по Гельдеру в 3
с показателем а и |	функция f(f. X)
также непрерывна по Гельдеру в 3 с показателем и
а |/|2ft_ в конечно. Пусть u(t, х) — решение уравнения (1),
имеющее непрерывные по Гельдеру с показателем а
производные по х до порядка 2Ъ и одну непрерывную
производную по t. Предположим, что sup | и | конечный,
ев
тогда имеет место неравенство
I«lo,2i+«<*(supl «1Н- I/U,.}	-(2)
где постоянная К зависит только от п, 2b, М и 8 из
условия параболичности.
Доказательство. Как и раньше, постоянные, завися-
щие от л. 2b, будем обозначать через С, а постоянные, кото*
|1)	ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ;	107
рые зависят от п, 2d, М и 8 — через К. В силу леммы !
имеем
2d
I U Io, 2d+a = । U 1о, 2d	^+“	^°* **	е^0» 2d [#Нт
2d
4-СЛ40. о [«] 4- 3 Мо, /+«[а]. Мо, О [«] = sup I №[.
/О	л
Поэтому для доказательства, теоремы достаточно доказать
неравенства
Afsll0.2»l«]<^(s«Pl«l4-|/U«y	(3)
M/s^o,j+«[«]KAr^sup|ef4r|/U^. -	(4)
/ = 0.1......2b.	:
Без потери общности можно предполагать, что Л!» Л!у
ограничены, так как в противном случае можйо"взять под-
область 35области 35 >	е->0, для которой, в силу
предположений теоремы, М, Mj ограничены, и доказать
(3). (4> в «®в. Тогда/ устремив $->0 и заметив, что
зависит от е, получим, что М, Mj ограничены и имеют нуф*
ные оценки. В силу ограниченности М существует точка
Ро£<2? и производная порядка 2d такие,, что. .	’
\	(i)
Пусть S— полукуб с центром в Ро и ребром.
(X будет определено позже, 0 < X < 1)1 Перепишем' уравне-
ние (1) в виде. ;- , , 	\	i ' • •
1*1-2»	|*|-2»	'•
- 2 л, (Л Ж)Dku + f(t, X)	ДСП
1*|<2»-1	’ .
Применив теорему 1.2 к уравнению (1/)» получим t
1°2й « (Fo) | < Kd~u sup | и | + К sup |F| 4-	Hp^s IFJsKZ.
198
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Будем пользоваться очевидным неравенством
Нр„ s [£*] < | g (,Р0) I ир„ s [Л] + sup | h | Hp* s [g].
•s
Оценим /. Очевидно.
,-2Л
d suj
s
(7)
(8)
я
Имеем
sup|F|<sup/|/(P)|+ V | ЛЙ(Р)||О‘«|4-
*	s \	|»l<a»-i
+ 2 M^-A^ll^lWup ГЛ#|/(Р)|4-
1*1-2»	J
+ 2 4ft-|ft||л*(/>)|4»*'|я*«(P)|\dpu+
1ЛК2&-1	/
+ 2 ^*Иа^\в"и(P)I x
Щ-2&	«(F0’F)
d(Pp, P)« rf-2»l
x 4^i*'+e p J’
Р(Л x)£S. Учитывая, что d(P0, P) n+1 Xdp0, a dp~^-
^-(1 — )/£ -f-1X)dpt (Xберется таким, чтобы 1 —X>0),
Получим
sup IP | •< Cdpf* (|Zla», o+
+(k (JS_x | Л |2ft_|ft|, о Mo, ui [«] + Л I»-»,.WWj-
В силу условия а) справедливо неравенство
sup I Р | < Cdp^ (I f U л+КI a Io, + ^X«Л^).	(9)
S
Используя (7), условие а) и Методику, примененную при
оценке sup JF|, получим
$
^Hpt, ЯЛ ^Cd^dp^ I/U..+
4-z 2 |Л(Ро)|я₽.,4оЧ+
-b^iftjS2 Hp„ sMJsup |D‘»| <aadp? |/|а,а+
+KXe«. 2 ^+l“^s[D‘a]+KX“dp,2i|a|0>26.
|Л|<2^—1
$ и
ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИИ
199
Но так как
Нр„ s[О*«] <Cdp\* 1 - Мо, |*|+« [в].
ТО
slF] <Ck“dpc2ft (|/|26>в+/С I«Io, и+^2 №,/+«[«]).
(10)
На (6), (8), (9), (10) следует, что
dpc/-СХ а sup | а	л |0>2о-1“|“^вЛЦ-^в| и |о,2о“Ь
3>
+ЛГ 2 A^+CI/I^.. (11)
/-о
Применим теперь лемму 1.2 и неравенства (6), (5), тогда
получим
/	2&-1	\
ЛККЛир I и|Ч-^|/|26.в-ЬАГкв( Л1 -4- 2 M'j). (12)
®	V /-о	/
Оценим теперь M'j. Начнем с Му>. В силу ограниченно-
сти Лм существуют точки Ро, Q и производная D2bu такие,
что

(13)
d (Ро, Q)a
где мы предположили без ограничения общности, что dptQ=dpt.
Если d(P0, Q)>X—7===, то
|Л (Pc)I + Cdgl-|D®«;(®I < <T'«. (14)
XtZ p
В случае d(P0, Q)<	к уравнению (1') применяем
теорему 1.2 для полукуба S с центром Ро и ребром
d = -^ р> :
сУ |ZX»a(P0)- 2>2fra(Q)| Kl Kd*H(i s (f],	(15)
d (?* Q)a
200
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ГЛ. 2
Так как / уже оценено (см. (11)). то осталось оценить
(FHq, s [F]. По аналогии с оценкой s [Р] найдем
d'HQ, S[F] <C^d^b	| «|0t26+
26-1	\
+* s Af0, /+,(«] 4-Cd“ 2 |4>(Po)-A»(QW$[D*«].
/-0	/	1*1-2»
(16)
Последний член в правой части (16) ограничен
KWt d (Ро, Q)“ HQ, s [О2й и] <
< КХ“ d (Ро, Of dp?-* Мо, ib+a [«] < Kkudp^bМ».
Таким образом,
d'HQ, s [/1 < CFdp? (|/|»,.+ К | И |0, »+
+ КклМ<а,+К	(17)
Из (13), (15), (И), (17) и леммы 1.2 следует, что
Af з»	sup |«| + кх-1 / |ж 5+
<' * - - л
(26-1	\
Л<+-2 Л/)Н-КХвЛ«2б4-К>."“Л4. (18)
;.о	/
В силу (14) оценка (18) справедлива для обоих случаев.
Так же устанавливается оценка Л!;, 7 = 0, 1.2d—1г
м < кг'- sup । и [+/а2*-'-в | /1», в+
(26-1	\
М + 2J М; }+K\2b-i+aM'u+Kk-aM0, j[u]. (19)
• /-0	/
Выбирая в (18) X таким, чтобы /СХ“ < -i , получим оценку М'ц,
подставим ее в (19) и, используя (12) и. (19), получим
26-1
М 4- s M'j < fa~u sup I a ] + К | f U „4-
/-0	Я
(26-1	\
м 4- 2 M'j ) 4-/CX-e | a Io, »_v (20)
/-o	/
j ]]	ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ	201
Выбирая X так, чтобы Кка , и используя опять лемму 1.2
для оценки последнего слагаемого в (20)
W I « Io, »-! < Т	К SUP I “ I’
s>
получим доказательство (3) и (4) для / = 0, 1, ...» 2Ь—1.
Доказательство (4) для J — 2b тогда следует из неравен-
ства (18).	,
Заметим, что, используя уравнение (1), оценку (2) и
лемму 2.2, можно легко доказать в предположениях тео-
ремы 2.2 справедливость оценки
|т|2„.<'ЧТ|“ж/М-
4.	Существование и оценки высших производных.
Полученные в п. 3- оценки позволяют установить факт пере-
несения гладкости с коэффициентов уравнения на решения.
Справедлива следующая	' '
Теорема 3.2. Предположим, что', а) коэффициенты
Ak(t, х) уравнения.(1) п. ^ имеют непрерывные по Гель-
деру с показателем а производные до порядйа г и
| АЛ»-i»i. г+а^-Мг’ б) /'(*’*) имеет непрерывные по
Гельдеру с показателем а производные до порядка г, а
l/la-r+a ограничено. Пусть u(t, х)— решение уравне-
ния (1) п. 3 в области 35, имеющее непрерывные по
Гельдеру с показателем а производные до порядка 2Ь
по х и одну непрерывну.ю производную по t, при этом
sup I и I конечно. Тогда и (t, х) имеет непрерывные по
& -
Гельдеру с показателем а производные по х до порядка
20-t-r а
I«Io, »+r+« < (sup | и 14-1 / la,, r+«y (1)
где Кг зависит от 2Ь, п, МТ, 8 и г.
’ Доказательство. Сначала докажем теорему для слу-
чая г = 1. Пусть А, В, С — подобласти^, которые удовле-
творяют условиям
АсВсВсСсСсЗК
202 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ГЛ. 2
Пусть Р, Рк—точки с координатами (хР х2, .... хп, t),
(хх, х2,	Х/ + А.......хя, t) соответственно, а
Если |й| мало и Р£В, то Ph£C. Если доказано, что
I *** 1о »+« ограничено постоянной, не зависящей от Л, то
существует производная -^D2bu, удовлетворяющая условию
Гельдера с показателем а. Действительно, из равномерной
по Л ограниченности |«*|q 2»+<х слеДУет> что производные
D*uA, | к |	2Ь, равномерно ограничены и равностепенно
непрерывны в А. Тогда в силу леммы Арцеля можно выде-
_ Ь h
лить равномерно сходящуюся подпоследовательность D и т>
|Л|-<2й. Но так как	Л-*0, то D*eA»»
| к |	2b. Значит. существует и удовлетворяет усло-
вию Гельдера в А. Но так как А произвольная подобласть
области 35. a i — любое из 1. .... л, то отсюда следует,
что u(t, х) имеет непрерывные по Гельдеру с показателем а
производные до порядка 2b-\- 1 в 35, т. е. следует доказа-
тельство теоремы для случая г=1 (без оценки (1)).
Докажем равномерную по к ограниченность |«*|^ 26+«.
Для этого уравнение (1) п. 3 запишем так:
2	.
2	(2)
1*1 <26
Применим теорему 2.2 к уравнению (2) в В:
I A%+.<K(s“pi«*i+i*&«)♦	"
Так как
8ир|«*|<зпр|-^-«|
I 1]	внутренние оценки решении	203
то достаточно оценить	Используя представление
л
/(^=4/ Df(P^di
о
и проводя оценки, аналогичные проведенным в предыдущем
пункте, получим
где const не зависит от h. Для оценки I 2 Ahk (Р) Dku (РА/
Ь,в
используем лемму 2.2 и условие а):
I 2 ^(Р)э‘«(РА)|в
1Л*	। f*l-b •+
<	, I “ Iс. 14.	. I “ t- ®
1 IЯ I ZP
В силу условий теоремы и того, что Сс.35, из (2), (4), (5)
следует ограниченность | g л постоянной, не зависящей от Л.
А тогда из (3) вытекает требуемое утверждение.
Осталось еще доказать, что
I « 1о, »+!+. <	(sup I и I +1 /1», «у	(1)
Для этого продифференцируем уравнение (1) п. 3 по х
2 ЛАОй(Оц)-^(Ой) = О/- 2 DA^g. (6)
1»|<2»	|Л|<2»
Применим к уравнению (6) в полукубе S с центром в точке Р
и ребром d = ^p=== теорему 2.2:
Р« Io, 2ft+. < K(sup \Du I -I-1 g k «).	(7)
$04 свойства решений параболических СИСТЕМ [ГЛ; >
Имеем в. силу лемм 3.2, 2.2 и условия а)
(1<|Л|<2&),
PA«l^.<7(rflDA)l2\.)lBlo,«<
7/(^1 Ajkft-l, l+«)lBlo,a^ ~d I А) I», 1+e I B Io, a	~a~ I Blo, a*
Отсюда в силу'(6), (7)
S 1в1о,|Л|+«“Ы/12»,1+«)х
\1*1 -о	/
К	(Iв 1о,»+«Н" If I2&, 1+Л
. 1Па1олб+«<-§-(1 Blo,26+«+l/ki>,i+«)r	(8)
Оценивая |и|о,зд+а в (8) в СИЛУ теоремы 2.2, получим
* Р« Io, В»*. < *1 (sup I и 14- | / |„>1+в),
а так как Р—произвольная точка в 35 > то, применяя
лемму 4.2, имеем
,2&+а <К1(зир|«Ц-|/|й.
1+a)•	(9)
По лемме 2.2
2|<jjq|i 2,+в	। 1°, 2ft+l+a |В1о,Л	О®)
Применяя теорему 2.2 к оценке | и , в (10), из (9), (10)
получаем (1).
Для доказательства теоремы в случае г = 2 дифференци-
руем уравнение один раз по х; к полученному уравнению
| I]	ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ	205
применяются рассуждения, проведенные для случая г = 1.
Доказательство теоремы при любом г проводится с помощью
индукции и тех же рассуждений.
5.	Дифференцируемость решений нелинейных парабо-
лических уравнений. С помощью теорем 2.2 и 3.2 можно
установить существование производных высших порядков от
решений нелинейных параболических уравнений. Рассмотрим
уравнение
= x-,Dku), |Л|<2$,	(1)
где F(t, х; D^u) есть заданная функция от t, х и произ-
водных от u(t, х) до порядка 23.
Уравнение (1) называется параболическим относи-
тельно данного решения и (t, х), если параболично
соответствующее ему уравнение в вариациях
|Л|<2* 1 J
Имеет место следующая
Теорема 4.2. Пусть и (t, х) — решение уравне-
ния (1), определенное в области 35, и пусть уравне-
ние (1) параболично относительно этого решения. Пред-
положим, что функция F имеет по аргументам х, Dku
производные до порядка г, которые непрерывны по
Гельдеру с показателем апо t, х равномерно по осталь-
ным аргументам и удовлетворяют условию Липшица
по Ь*а равномерно по t, х. Ёсли^ u(t, х) имеет непре-
рывные по Гельдеру с показателем а производные по х
до порядка 2Ь и непрерывную производную по t первого
порядка, тогда u(t, х) имеет непрерывные по Гельдеру
с показателем а производные по х до порядка
Доказательство. Проведем доказательство для слу-
чая г»1. Для любого г доказательство получается, если
последовательно дифференцировать уравнение (1) и к полу-
ченным уравнениям применять теорему 3.2. Пусть Р, Ph есть,
как и раньше, точки с координатами (хр ..., хп, t),
(хр .... Xj Л» .... xn,t) соответственно. Вставим вместо Р
в уравнение (1) РЛ, вычтем из полученного уравнения урав-
нение (!)• применим к разности в правой части теорему
206
СВОЙСТВА РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
о конечных приращениях и разделим на й» тогда относи-
тельно ил = ^1и(Рл)— и(Р)] получим линейное параболи-
ческое уравнение
* д“'
и
знак — над F означает, что соответствующая производная
берется в некоторой средней точке. В силу условий теоремы
коэффициенты уравнения (2) непрерывны по Гельдеру с пока-
зателем а. Применим к уравнению (2) теорему 2.2. Используя
условия теоремы, можно показать, так же как при доказа-
тельстве теоремы 3.2, что |#л|о 2*+а	ограничена по-
стоянной, не зависящей от h. А отсюда в силу леммы Арцеля
следует существование производных от u(t, х) порядка 2d+ 1
и их непрерывность по Гельдеру с показателем а.
6.	Следствия для решений, определенных в полосе.
Поскольку постоянные в оценках, установленных в преды-
дущих пунктах, не зависят от размеров области, то все ре-
зультаты, полученные для конечных областей, переносятся
на случай полосы П^П(о, ?] {^(0, Т], х£Еп].
Введем для этого случая некоторые определения.
Функция u(t, х), определенная в полосе П, назы-
вается непрерывной по Гельдеру с показателем а в П,
если для каждой полосы П[Т> гр т > 0, существует по-
стоянная Н такая, что для любых точек Р и Q
из П[Х, г] имеет место неравенство
|u(P)-u(Q)l
Поч аналогии со случаем конечной области определим
следующие нормы:
p+i
,/[«]= sup t ib ID*a(P)|.
\k\-l
Мр, <+«[«]= sup t ”
p, <?en
| D*u (P) — Dku (Q) I
d(P,Q/
$ ц	ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ	207
здесь (t, х) и (Г, х') — координаты точек Р и Q соответ-
ственно; / = min(£, /')»
1«|“/+.= S (</(«]+
20	/-тах(0, -р)
Следствие 1. Пусть u(t, х)— ограниченное реше-
ние уравнения (1) п. 3, которое определено в полосе П
и имеет непрерывные по Гельдеру с показателем а
производные по х до порядка 2Ь и одну непрерывную
производную по t. Предположим, что коэффициенты
Ak(t, х) и функция f(t, х) имеют в П непрерывные
по Гельдеру с показателем а производные до порядка г
« I ЛД“-|*].»•+«а конечно- Тогда с^е'
ствуют непрерывные по Гельдеру с показателем а в П
производные по х от u(t, х) до порядка 2Ь-±-г, для
которых справедливы оценки
I I, 2b+r+* <*,(8«р|а|+|/£,г+.).	(1)
где Кг зависит от Mr, п, 2Ь и 8 из условия парабо-
личности.
Для доказательства этого утверждения в случае r = 0
возьмем в П две произвольные точки P(t, х) и Q(t', х').
Рассмотрим цилиндр Oe{/£(0, Т], |х| < а}, который со-
держит точки Р и Q, и а выбрано так, чтобы расстояния
в смысле (2) п. 1 этих точек до нижнего основания
цилиндра Оа были меньшие расстояний их до боковой гра-
ницы цилиндра. В силу теоремы 2.2 имеем
I « I&»+« < *0 (sup | и | + I / й? «)•
\ а	/
Отсюда следует
I «1о%+.<*0 {sup I«| +1 / I.	(2)
где зависит только от п, 2Ь, 8 и постоянных, ограничи-
вающих соответствующие нормы коэффициентов, т. е. от п,
2Ь, 8 и Л40. Из (2) для точек Р, Q и любого I = | k | 2Ь
208
СВОЙСТВА решении параболических СИСТЕМ [ГЛ. 2
имеем
t W | D*a (Р) | < Ко (sup | а | +1 f |“ +.).
' "л (<?)' < Чт1 “ ।+17 Ч-
Так как Р и Q — произвольные точки из П, то. переходя
к верхней грани по Р н Q и 1^.26 в этих неравенствах
и складывая их, получим оценку (1).
Если применить теорему 3.2, в случае г > 0 к любому
цилиндру Оа, содержащемуся в П, то получим существова-
ние для u(t, х) нужных производных и их непрерывность
по Гельдеру с показателем а в каждом из цилиндров Оа.
Доказательство оценки (1), а значит непрерывности по Гель-
деру производных в П, в этом случае проводится так же,
как в случае г = 0.
Следствие 2. Пусть u(t, х) — решение уравне-
ния (1) п. 5. определенное в полосе П, и пусть урав-
нение (1) п. 5 парадолично относительно этого реше-
ния. Предположим, что функция F по аргументам х
Dku имеет производные до порядка г, которые огра-
ничены в каждой полосе П[Т, rj, т > 0, непрерывны по.
Гельдеру с показателем а по t, х в П равномерно
по остальным аргументам и удовлетворяют условию
Липшица по Dku равномерно по t, х из П. Если u(t, х)
имеет ограниченные в каждой полосе П1Т( ;•] и непре-
рывные по Гельдеру с показателем а в П производные
по х до порядка 2Ь и непрерывную производную по t
первого порядка, тогда u(t, х) имеет ограниченные
в каждой полосе П[т, rj в непрерывные по Гельдеру
с показателем а в П производные по х до порядка
2b-\-r. ч
Действительно, применяя теорему 4.2 в каждом из ци-
линдров Оа, получим существование для u(t, х) производ-
ных до порядка 2Ь+г, непрерывных по Гельдеру с пока-
зателем а в каждом из Оа. Чтобы доказать их ограничен-
ность в каждой полосе П[Т> г| и непрерывность по Гельдеру
в П, нужно постепенно дифференцировать по х уравне-
ние (1) п. 5 и к каждому из полученных таким образом
уравнений применять следствие 1. Покажем, например, огра.
§ 1]
ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИИ
209
ниченность и непрерывность по Гельдеру производных
порядка 2d+l в произвольно фиксированной полосе П[Т, л-
Продифференцировав уравнение (1) п. 5 по х, получим
^•= S 7^"rD*(Da)+DF-
dt
(3)
Чтобы применять следствие 1 (при г = 0) к уравнению (3),
нужно, чтобы нормы I  д_- I . и | DF |°ft в были
конечны. Но так как производные от F ограничены и удо-
влетворяют условию Гельдера в каждой полосе, содержа-
щейся в П, то, вообще говоря, конечны только такие нормы:
——I и | DF1°^’ Л, <с0 > 0. Применяя тогда след-
ствие 1 для полосы 0<т0<т, получим
sup i«i+mrh-riV
\П(Хо, Л	/
откуда следует ограниченность и непрерывность по Гельдеру
производных порядка 2d + 1 в полосе П[Т, гр
7.	О регулярных решениях параболических уравнений.
Для установления априорных оценок мы предполагали, что
рассматриваемые решения обладают непрерывными по Гель-
деру производными всех , порядков до порядка уравнения 2d.
Оказывается, что для справедливости априорных оценок
достаточно требовать только регулярности решений, т. ё.
существования непрерывных производных до йорядка 2d.
Ниже будет показано, что если коэффициенты параболиче-
ского уравнения
2 - Ak(t,:X)iy>U — -^-=f(t-.x)	.	(1)
1*1 <2^
и функция / (t, х) непрерывны по Гельдеру с показателем а
в области 35к а (/, х) — регулярное решение этого урав-
нения, то производные Dku(t, х), |&]<^2d, непрерывны
по Гельдеру с показателем а в области 36.
Ограничимся рассмотрением случая, когда область 36
является цилиндром & {0 <f <Т, х£ V}. Нужно доказать.
14 С. Д. Эйдельман
210
СВОЙСТВА РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
что производные Dku, | к |	2b, удовлетворяют условию
Гельдера с показателем а в любом замкнутом цилиндре
а?! {/х <7 < Т, х £ V\}. Рассмотрим цилиндр <^0 {/0 < t < Т,
x£V0} такой, что $xc:$oc:$oc:$. Воспользуемся приемом
Э. Хопфа*). Уравнение (1) запишем следующим образом:
1*1-2*
= f(t,x)- 2 Ak(t. x)D»« +
+ 2 [ЛА(С)-ДЛ(/,	=	ж).	(2)
|*|-2*	_
где Q(p, у)— произвольно фиксированная точка цилиндра <£?j.
Пусть O0(t — т, х — 5, р. у) — ф. р. уравнения 1^11 = 0, тогда
в силу свойства 2 п. 5 § 3 гл. 1 имеет место представление
«(/, x) = f O0(t —10, х — I, р. y)u(t0, QdS-f-
v,
t n
+ Jt. x — 5. p, y). «(t. S)]v,ds —
r, /-»
t
-fdtf G0(t-x. x-e, p. y)F(₽>y)(t, е)^=л+/2-/3. (3)
t„ v,	_
Го — граница Vo. Используя то, что точка (/, x)£&v и
свойство 5 п. 1 § 3 гл. 1, производные I^uit, х), |&|-^2д—1,
вычисляются по формулам
Я*в(/, х) = / О*О0«-/0, х — I, р, у)а(/0, 1)<Л-Ь
Vo
i п
4- f	х — 5, р, у), й(т, S)]vyd$—
h Го /-1

х—а, р, y)Ftf*y)(%
h Vo
Т,
*) Е. Hopf, Ober den funktionalen, insbesondere den analyti-
schen, Charakter der Ldsungen elliptischer Dlfferentialgleichungen
zweiter Ordnung, Math. Zeitschr. 34 (1932), 194—233.
ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
211
*1]
Эти производные удовлетворяют условию Гельдера с пока-
зателем а в а?Р Для доказательства этого используются
оценки ф. р., методика оценок, применяемая в гл. 1, и то,
что в первых двух интегралах интегрирование ведется по
границе цилиндра аР0, лежащей на положительном расстоя-
нии от
Остановимся на доказательстве гельдеровости производ-
ных х), [Л | = 26. Утверждаем, что имеет место пред-
ставление
Dku(t, х) = fDkO0(t — t0, х — 5, t, x)u(t0, £)</? +
Vo
t n
+ / dt	—x, x — p. y). «(t, vjds —
h г« /-1	y~x
t
— J dx f7%G0(t — t, x — 5. t, х)[Ф(т, £) —Ф(*. x)l<# +
t, vt
t
+ f dx fD*Q0(t — x, x — l, t, x)X
h Vo
X 2	^ — Ak(t. x)]Dt«O, 5)d$-
1*1-2» f
— Ф(£, x) J*/d* J*G0(t— x, x — 5, p, y)df\ dx =
<0 \ vt	/
y-Jf
=Л4_Л+Л+ЛН_Л’ (4)
где | k | == 2b, Ф (t, x) = / (t, x)— 2 Ak (t, x) D^a (t, x).
|»l <26-1
a Dk означает дифференцирование по x только по второму
аргументу.
Действительно, для интегралов 1Х и /2 из (3) имеем
O‘/1 = J DkQ^t —10. х — I, p, y)u(t0, 5)d?.
V\ n	}(5)
D‘/2 = J dx ^Bl^G^t-x, x-\. p, y). u(x, K)b}ds.
to Г. /-1
14*
2|2 СВОЙСТВА РЕШЕЙЙЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 3
Интеграл /3 запишем в виде
i
fdxf Oo(f—x' *—э р. у)ф(х, эл+
t. V.
t
+ f‘hj'G0(t — t,x — t,p,y)X
t, v,
X 2 (Л (M) - Л (’.*)]£*«(*.	== 4+
1*1-»
Используя свойство 5 п. 1 § 3 гл. 1, получим
t
О*1з= f dt f D*O0(t—t, x-l. p, у)[Ф(т, Э-Ф(Л х)]Л4-
t, v,
t
Ч-Ф(/, x) J(d* f o0(t—x. x—э p. у)л\л, (6)
t , \ v.	j
так как Ф(Л x) удовлетворяет условию Гельдера с показа-
телем а, в силу предположения и доказанного выше для
производных Dku с | k | 2Ь—1. Если повторить доказа-
тельство свойства 5 п. 1 § 3 гл. 1, то легко убедиться, что
в точке (t> х) = (р, у) существуют производные DkI$,
определяющиеся формулой
t
D*I^, у) = Jb*G0(f-t, х-1, р. у)Х
h V.
X 2 [А* (р. У) - Ак « ?)] D& dt |/ш₽.	(7)
|*|-2д	*-У
Так как формулы (5), (6), (7) имеют место для любой точки
(Р» у)С^р то беря в них (р, у) = (/, х) и учитывая (3),
получим представление (4).
Теперь нужно доказать справедливость условия Гельдера
с показателем а в <0^ для каждого из интегралов Jk. Для
первых двух интегралов это очевидно в силу того, что инте-
грирование в них ведется по границе <£%, лежащей на поло-
жительном расстоянии от Удовлетворение условию Гель-
| я ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ 213
дера интегралами J3, У4 и J5 доказывается так же, как
в теореме 1.2 (см. оценки F')» только в этом случае,
во-первых, не нужно так тщательно выяснять зависимость
постоянных в оценках от расстояния до границы, и, во-вто-
рых, будут возникать дополнительные слагаемые, содержа-
щие приращения производных от O0(f — т, х— 5, Л х)
по третьему и четвертому аргументам. Для оценки таких
слагаемых нужно пользоваться свойством 1 п. 1 § 3_гл. 1,
из которого следует гельдеровость этих производных по
третьему и четвертому аргументам.
Таким образом, доказано следующее утверждение:
Если коэффициенты уравнения (1) и функция f(t, х)
непрерывны по Гельдеру с показателем а в цилиндре &
и если u(t9 х) является регулярным решением урав-
нения (1), то производные Dku(tt х)» |А|<:2£, непре-
рывны по Гельдеру с показателем а. в
§ 2. Гипоэллиптичность параболических систем.
Аналитичность решений по пространственным
координатам
Здесь будут установлены важные внутренние свойства
решений параболических систем.
1. Обобщенные решения. Гипоэллиптичность парабо-
лических . систем. В § 1 было показано, как повышается
гладкость решений системы
Ak(t, x)Dku=O,	(1)
имеющих априори гельдеровые производные всех порядков,
входящие в систему, с гладкостью коэффициентов.. В силу
рассуждений п. 7 § 1 этим же свойством будут обладать и
регулярные решения системы. В частности, если коэффи-
циенты системы (1) бесконечно дифференцируемы, то все ее
регулярные решения бесконечно дифференцируемы.
Ниже будет показано» что любое обобщенное решение
параболической системы, являющееся производной конечного
порядка от непрерывной функции (обобщенной функцией
над пространством К)9 будет, если коэффициенты имеют
соответствующую гладкость, функционалом типа гладкой
214
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. >
функции; оно будет функционалом, определяемым бесконечно
дифференцируемой функцией, если коэффициенты бесконечно
дифференцируемы. Это свойство систем называется их гипо*
эллиптичностью.
Определение. Обобщенная вектор-функция
•v-	*)•
F(t, х)— непрерывная вектор-функция, называется
обобщенным решением системы (1) в цилиндре
& — [О, Т] X V (У — некоторая область пространства
хР х2....х„), если для любой бесконечно дифферен-
цируемой вектор-функции х), равной нулю вне
области с а? справедливо равенство
f f F'(t,	x) dtdx = 0.	(2)
r
Теорема 5.2. Если DkAk(t, x) определены в ци-
линдре & и имеют там /0-j-|Z| производных по t, х;
2WO+U|-C2^wto+Iml’ гельдеровых по х, то обобщен-
ное решение
ж,
является обычной вектор-функцией. имеющей +1^'|
производных по t. х. 2bkr^\k' |<С 2d/n0+| /пЦ-2д. По-
этому в силу равенства (2) u(t. х) — обычное гладкое
решение системы (1).
Доказательства*). Возьмем произвольную точку
(/0, хо)€^ и покажем, что в некоторой окрестности этой
точки u(t. х) совпадает с функционалом, порожденным
достаточно гладкой функцией. Пусть g(x, 5) — бесконечно
дифференцируемая вектор-функция, равная нулю вне области
|f0— т] < 8, |х0 — 6|<8, a a(t — х, х — 6) — бесконечно
дифференцируемая функция, отличная от нуля при | /—т | < 5,
*) Доказательство, по существу, такое же, как приведенное
(для случая эллиптических уравнении) в книге И. М. Гельфанда
и Г. Е. Шилова, Некоторые вопросы теории дифференциальных
уравнений, 1958, стр. 237—243.
§2]
ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
215
| х — 51 < 8 и равная 1 в некоторой окрестности точки
т = Л 5 = х.
Рассмотрим вектор-функцию
f(tt х) = J* J Z'(y, tt 5, x)a(t— т, х — ?)£(т, ?)АЙ =
у
= f J z'(t. t, t X)[a(/ — T, x —Q—+
9
+ f f Z'(x, t, ?, x)g(T,	(3)
9
Она имеет ту же гладкость, что и Z'(t, /,	х), и обра-
щается в нуль вне области {|/ — tQ | < 23, | х — х01 < 28}.
Используя свойства ф. м. р.» найдем, что
=	t. Е. *)Х
9
XIa(f_x, x-e)-l])g(T,	х).	(4)
Заметим теперь, что равенство (2) имеет место для любой
финитной функции <р(/, х), имеющей тп0-|-1 производных
по t и 26-j-1 т | по х. Пусть 3 выбрано так, чтобы шар ра-
диуса 38 с центром в точке х0 лежал в V и min(/0, Т—Zo)> 38,
тогда в (2) вместо <р(Л х) можно вставить f(t, х) и, исполь-
зуя (4), записать
f /x)-^Dmg(t, x)dtdx =
9
= -/ f[f f P'^^-^^Ll^Z'^-iyydtdx^X
Xg(r.i)dtdl = f f f'(t, x)g(t. xydtdx.
9
'(f,x) = _ f f F'(x, OX
9
T’ x’ *)[*(*-*. 5-x)-l])dTdt
.216
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Таким образом, линейный функционал (обобщенная функция)
(«. g) = (/7'.	х)) =
= // (— l)m’+lml/(t x)g(t. x)dtdx.
9
А это и означает, что u(t, х) в окрестности точки
(/0, хо) есть функционал типа гладкой вектор-функции
X).
2. Аналитичность по пространственным координатам
решений линейных систем. Изучение ф. м. р. в комплексной
области, проведенное в § 9 гл. 1, позволяет дать совер-
шенно элементарное доказательство аналитичности по про-
странственным координатам решений системы
4г = 2	х).	(1)
Теорема 6.2. Если выполнены условия теоремы 8х. 1
относительно коэффициентов системы, сопряженной к
(1), т. е. функций DkAk (t, х), а /(/, z), z = (zx, х2, ...,хл),
непрерывна по совокупности переменных и аналитична
по zx в области О1 {| — х°|<р;	— xj|<a;
s = 2, ..., п\ tx<it <£2}, то всякое регулярное в об ла-
сти О {| хх—х?| < р; | лу-х°|<а; $ = 2, ..., п\ tx < t < /2}
решение u(t, х) системы (1) может быть продолжено
в комплексную по zx область G2c:Ol так, чтобы оно
там было аналитическим по zx.
Доказательство, В силу сделанных предположений
система, сопряженная к (1), имеет ф. м. р. т, х, $),
из свойства 2 ф. м. р. (оно так же доказывается для ю*,
как й для z'(t, т, х, 5)) следует представление
u(t. х) = f ш*'(/, /0, x.S)u(fQ.
/ п
+f<hf'2iBk И й (т- ds+
t0 Гг
t
+- f dx f X, x, 5)/(T, 5)^,	(2)
§2]
ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ 217
V\— параллелепипед	$=1, ...» п}> 1\ — его
поверхность X [/0, t] с: G,	В силу теоремы 8'. 1
т, zt С), |т|^2й—1, — аналитические матрицы zv
Сх в области Ог (см. теорему 8'.1), для которых справед-
ливы оценки
т, z, С)|<
|л+| m I (	___
<ст(/ —т)-	26	expt—с*р +q|^ — «>11’(/—т) 20-1J •
(3)
Установим возможность аналитического продолжения каждого
слагаемого в (2). В правую часть первых двух слагаемых
вместо х вставим z и покажем, что полученные при этом
функции аналитичны по zv Аналитичность первого слагаемого
следует из аналитичности со* (ft tQt zt S) при t > /0, непре-
рывности #(£0, $) и конечности области интегрирования.
Переходим к изучению второго слагаемого. Пусть
min{|a5 — х5|, — xs ]} d > 0, d'—достаточно малое
число. Функции
/-а п
и, (/, Jf)s J л J 2 вкИ(/• т- *• и<х‘ э]ds (4)
<0 А л-1
аналитичны по zv Достаточно доказать их равномерную (от-
носительно 8) ограниченность, чтобы утверждать, что
/ п
U(t, z)— $ dt .J.JJ £*[»*'(/. z> £)•
<•. ri »-!
является аналитической функцией zv Действительно, из равно-
мерной ограниченности (tt z) следует в силу теоремы Мон-
теля *) компактность {я8}; выделяя из as(t, z) равномерно
сходящуюся подпоследовательность » получим, что ее
предел.U(t, z) является аналитической функцией zv Оче-
видно, что при вещественных zx U (t9 г) , совпадает со вторым
слагаемым в (2).
*) А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций,
1950, стр. 293.*	.
2ia
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Используя (3), приведем оценку одного из интегралов
в (4):
/ 1
<С di J' е-е*₽+й I »i’(*-•«) 2d-1 X
4 4-ai
kz	. d&i—j d^i+j ... d£n
л+26-l
e—o 26
/ 1
<C. /*е(-«*<«,+С11 f> !’)(<-*) 26-’ *L_
1 J	t — T
6
Аналитическое продолжение третьего слагаемого проводится
так. Рассматриваем последовательность интегралов
Р8(/, z)= f dr f «/(t, t, z, Q/(t, Q/Й.
«. vt
/%(/, x)— аналитические функции достаточно доказать,
что они ограничены в совокупности. Для этого, используя
аналитичность подынтегральной функции, заменим интегри-
рование до отрезку вещественной оси интегрированием по
ломаной А1АВСС1 (рис. 9), тогда
t
|F»(t г)|<С f dtf ехр {-с*р} —<Сг. .
Сделаем некоторые замечания:
1) Если коэффициенты (1) и f(tt z) являются аналитиче-
скими функциями совокупности аргументов zv z2.........
ГИПОЭЛЛИПТИЧНОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ 219
в комплексной по этим переменным окрестности веще-
ственной точки (10, х0), то любое регулярное в некоторой
вещественной окрестности точки (10, х0) решение этой си-
стемы аналитически продолжимо в комплексную по г2, ...
.... гл область а?3 с &2 таким образом, чтобы оно было
Рис. 9.
?ам аналитическим по совокупности аргументов гр г2, .... Дя.
Это утверждение следует из теоремы 6.2 и теоремы Осгуда *).
2) Для линейных параболических систем вида
S	2 Ak(t.x)&a+f(ttx) (5)
может быть установлено следующее предложение о классах
решений, содержащее, в частности, теорему об их анали-
тичности.
Пусть &— ограниченная область пространства (£, х),
— последовательность положительных чисел. Через
С (Mpt	v) обозначим класс вектор-функций и (t9 х), опре-
деленных в *?, бесконечно дифференцируемых и удовлетво-
ряющих оценкам
Dpu (1, х) | <	р 'ВЧй„,, (	(6)
в каждом компакте &0 с
Теорема 7.2. Если f (t, х), —	, Ак (t, х),
^Ak(t, х) принадлежат С(Мр, &, 0),
< АМр, i = 0, 1, .... р, р = 1, 2, .... то все регулярные
•) С. Бохнер и У. Г. Мартин, Функции многих ком-
плексных переменных, 1951, стр. 194.
220 СВОЙСТВА РЕШЕНИИ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ГЛ. 2
в & решения (5) принадлежат С (Mpt <£?, 0); если же
Ak(tt х) и f(tt х) принадлежат C(Mpt 2b)t то все
регулярные в & решения (5) тоже принадлежат
€(Mpt 2b).
Доказательство этой теоремы оеновано на оценках ф. м. pl
системы	представления \ с помощью
формулы (4) п. 5 § 3 гл. 1 любого регулярного решения (5)
и тщательных оценок последовательных производных от него,
j
§ 3. Теоремы Лиувилля для решений
[параболических систем
Проведенное в § 4 гл. 1 • изучение ф. м. р. в полупро-
странстве	позволяет установить ряд предложений,,
распространяющих на решения параболических систем из-.
Вестную для аналитических и гармонических функций теорему
Лиувилля.
Вообще под лиувиллевыми теоремами мы будем понимать
предложения об определении вида некоторых классов функ*-
ций по их асимптотическому'поведению. Классическая теорема
Лиувилля утверждает, например, что аналитическая в* ком-
плексной плоскости функция, имеющая степенной рост на
бесконечности, есть полином. В основе доказательства этой
тёоремы лежит возможность представлёния аналитической
функции интегралом Коши и произвольность радиуса той
окружности, через интеграл по которой дается представление.;
Наличие у решений параболических систем,, определенных
в полупространстве t Т й принадлежащих классу един-
ственности решения задачи Коши, интегрального представле-
ния и произвольность, начальной гиперплоскости, через зна-
чения нВ которой идет представление, позволяет получить
различные лиувиллевы теоремы ф для решений таких систем..
Изложению некоторых из них и посвящен, настоящий пара-
граф.	 " ' .
1. Теоремы Лиувилля. Рассмотрим регулярное в полу?:
пространстве ращение, х) сдстэды .
: . (1)
iii<2* .	-	.	- -
S s]
ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ
221
Справедлива
Теорема 8.2 (Лиувилля). 1) Если для системы (1)
выполнено условие Af, в котором a (t, т) —► оо,
т-> —оо
km -► —оо» то всякое регулярное в полупространстве
т-*а>
t^T решение системы (1), удовлетворяющее условию
|в|<С(1 + |*П’.	(2)
представляет собой полином по ж степени не выше [£)].
Если же в (1) |Л|>-1, то при (2) р < 1 ut постоянные.
2) Если для системы (1), коэффициенты которой
являются полиномами по t степени не выше г, | k |
^./>1, выполнено условие Alt с а(/, т)^т|т|’, а> О,
для достаточно больших |t|, km -> —оо, то регуляр-
т -> оо
ное в полупространстве t^T решение системы (1),
удовлетворяющее условию
|«|<С(1 + |х|]ЧГ+1-Ав.	(3)
представляет собой полином от t, х степени не выше [р]
по х и mln ([a], p(r-1- 1)—1), р—наименьшее це^гое
число >	,.по t.
Доказательство. 1)В силу единственности решения
задачи Коши для (1) (см. § 2 гл. 3) '	<.
u(t,x) = f О (t, t0, х — В) и (/0, О Л. (4)
Используем'оценки (А-) и (2)
ж)|<
<CCma(t,t/mf ехр|—
Делая замену переменных 5 = х-|-ла, придем к неравенству
х)| <Ст(х)а(/, /0)*"‘+р+л.
Выберем ffig так, чтобы для т^т^ Лт+ Р4-п < 0, тогда
в силу произвольности /0<< и того, что a (ft /0) -> оо,
оо
получим, что Dm*u(t, *) = 0. Итак, и (#, х) — полином-по х
степени не выше т%—1, ввиду (2) эта степень не выше [р].
I
i
*	222 СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
В частности, если р < 1, а зависит лишь от /, а так как
|А|> 1, то в силу (1) -^—- = 0, tt = const.
2) Так же, как в доказательстве первой части теоремы,
устанавливается, что u(t9 х)— полином по х степени
не выше [р]. Из этого, используя систему (1) и то, что
| k | I 1, получим, что производные некоторого порядка
от ut по t тоже равны тождественно нулю. Следует лишь под-
считать порядок этих производных. В силу того, что произ-
водные достаточно высокого порядка от (/, х) по х равны
нулю, следует учитывать в системе (1) лишь дифференци-
рования по х самого низкого порядка, а слева производные I
по t самого высокого. Можно при этом учитывать только
один из операторов, ясно, что при этом наиболее «неудо-
влетворительными» будут члены, содержащие высшую сте-
пень t. Такую операцию мы будем называть «сравнение по
младшим» и обозначать ее значком . Тогда
дт+ри _ дт+р~г itrDiu\~ О2» дт+р~2~2ги
dfn+p ^m+p-1 v /—	^m+p-2-2r '
Положим т**рг, повторяя сравнение по младшим р раз,
дт+ри Id
тогда получим ^+р u~Dpu. Отсюда следует, что при
ар(г+Ч„
Ip > [р]-|- 1	а 0, поэтому и — полином степени
не выше min ([а], р (г-|-1)—1) по t.
Установим теперь следующее предложение:
Теорема 9.2. Бела выполнено условие Л.9 (т = 0),
то любое регулярное в полупространстве t-^T реше-
ние системы (1), удовлетворяющее условию
|«(*. х)|<<р(Оехр{*|хП, 1 <Р<?= 26-1  <5>
. /,а
<Р (*о> а (.*•	exp I — b (t, /0)+
»=1 при р=1, v = 2^ при р> 1, тождественно равна
нулю. -........... .............................
$3)
ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ
223
Доказательство. Используя теорему единственно-
сти 3.3, запишем представление (4), из него в силу усло-
вий АГ и (5) получим оценку
ь С	I*1
|и(/, х)|<С0?(/0)а(/, fo) aJe 1 * 1	«•<•>. (7)
В (7) сделаем замену переменных 5 = х-|-аа, воспользуемся
неравенством | х + аа Iй v(|x[|fc-{- а|Д,|а||>’) и перейдем в полу-
ченном интеграле к сферическим координатам, тогда получим
X J ехр{—(8)
О
Функция /(/?) = ехр {—с0/?’+ftva*1/?11}	имеет максимум
в точке R = я «4** » равный
{ди,	,	-
pJL-V”’1 vfe ^"7^ |»
Представим интеграл, стоящий справа в (8), в виде
ОО	/?1	оо
f ехр(—CoR’-bvfeaV)R““ldR = J + f =IX+I2.
i	о
i
D __(
— I сГ/ »
\	'-’0 /
(9x)
J2< j,RB-le"r dR.	(9,)
о
Из (8), (9j), (9J) следует утверждение теоремы.
Следствие 1 (усаленнаятеорема Лиувилля).Пусть
b (t, /о) = 80а»-р -> оо, тогда любое регулярное решение
й->-“
224
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ (ГЛ. S
системы (1) в полупространстве t-^T, удовлетворяю-
щее условию
| и (t, х)|< С ехр {kx |х Г+k2 [а (Т, f)]"* }	(10)
а-й
‘• = т(Нл) '
— е2, </j -f- d2 = 1, в| -|- % > 0)»
если dk = 0, то a eft = 0, k — 1, 2), тождественно равно
нулю. Отметим некоторые частные случаи оценки (10).
Следствие 2. Пусть для достаточно больших
|/0| a (t, А |/0|’, А, в > 0. тогда условие (10) приоб-
ретает вид
|а(/, x)|<Ciexp(ft1|x|,l4-*2|/|'^’).	(И)
Следствие 3. Пусть b(t, t^=si0[a(t, t0)]2b. тогда
р=1 и (10) имеет вид
|В(/, х)|<Сехр{Л1|х|4-А2[а(Т, 0J2*}.
* XI	1
= (2ft)2Ь (МУ [<*Д - 2Ь  *2 =	- «2- (12)
X
В частности, npua(t9 т)==(£— х)2^ (12) записывается
|#(t *)| <Сехр{Лх |х|Н-Л2Н}-	О3)
2. Замечания о справедливости теорем Лиувилля.
В п. 1 были доказаны различные теоремы лиувиллевого типа
для систем, коэффициенты которых зависят от t, удовлетво-
ряющие условиям А£, Аг". Классы систем, обладающие по-
следний свойством, были приведены в § 4 гл. 1; сочетая
приведенные там результаты с терремами 8.2, 9.2, получим
различные лиувиллевы теоремы. в которых ограничения на- '
лагаются непосредственно на изучаемую систему (а не на ее
матрицу Грина).
Заметим, что при установлении первой части теоремы 8.2
и теоремы 9.2 использовались лишь оценки ф. м. р. в полу-
пространстве т < t Т. и корректная разрешимость задачи
Коши в классе функций |#(f, х)| <ССехр[й|*|*}. Так как
$3)
ТЕОРЕМЫ ЛИУВЙЛЛЯ
225
последнее установлено в § 1 гл. 3 и в том случае, когда
коэффициенты системы зависят от всех координат, то для
получения теорем Лиувилля нужно только уметь оценивать
ф. м. р. в полупространстве. В частности, используя оценки
п, 4 § 4 гл. 1, можно получить лиувиллевы теоремы для
некоторых систем, коэффициенты которых зависят от всех
координат.
Сделаем несколько замечаний:.
1) Если рассматривать регулярные во всем пространстве
(f, х) решения системы -^- = Р(О) и. то условием, необхо-
димым и достаточным, для справедливости теоремы Лиувилля
является предположение о том, что det(P(a) — t°n+iE) отли-
чен от нуля для любой вещественной точки
(°р *2.......°л+1)	* 0 *)•
2) Для параболической системы	AkDku с по-
\k\-tb
стоянными коэффициентами справедлива теорема 9.2; в том
случае, когда коэффициенты системы зависят от t для полу-
чения теорем Лиувилля, мы налагали некоторые дополнитель-
ные условия на систему. Ниже приводящийся пример пока-
зывает, что без дополнительных ограничений для параболи-
ческих систем с переменными коэффициентами классическая
теорема Лиувилля неверна.
Параболическая система уравнений
^г=(со82,-а)(-1/-^+
<?«. z.  :	д2Ьи, .	(1)
aT = (l + sin20(—l)e-^2F-|-
+ (-cos26-a)(-l/-g^-,
0<а< 1.
*) И. М. Гельфанд и Г. Е. Ш и л о в, Пространства основ-
ных и обобщенных функций, 1958, стр. 165—166.
15 С. Д Эйдельман
226
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
имеет решение
их (t, х) — *cos t, и2(/, х) =?s efJf+(i-*Hsin t, (2)
ограниченное в полуплоскости
3) Для параболических систем с постоянными коэффи-
циентами для справедливости усиленной теоремы Лиувилля
(регулярное в полупространстве t 0 решение системы, удо-
влетворяющее неравенству | а (/, х) | С ехр {kx | х | + k2 111},
тождественно равно нулю, kx и k2— положительные посто-
янные, определяемые системой) необходимо и достаточно,
чтобы корни определителя характеристической матрицы Р(а)*—
— ХЕ удовлетворяли неравенству ReX(a)<— 8, 8 > 0.
Достаточность устанавливается на основании следствия 3
из теоремы 10.2 и утверждения 1) п. 3 § 4 гл. 1. Если
уравнение det {Р(а)— ХЕ} =0 имеет корень Х(а), у которого
Re X (о)	0, то система = Р (D) и имеет решение
*(*»*), л=£0, ограниченное в полупространстве /^0,
отличное от постоянной.
В то же время у параболической системы*)
4- (cos 2/-а) +(-1 + Sin 2t) v2,
(3)
= (~ I)*"1	+ 0 + sin 20 + (—cos 2t—a) ®2-
0<a<l,
корни определителя характеристической матрицы X = —<з2Ь—а,
а система имеет решение
(t, х) = еО-*)* cos t, v2 (t, x) =	* sin t, (4)
ограниченное в полуплоскости t 0.
Заметим, что при а = 1 приведенные решения систем (1)
и (3) ограничены во всей плоскости (/, х) и отличны от
постоянных.
3. Лиувиллевы теоремы и единственность решения
некоторых задач без начальных данных. А. Н. Тихоновым **)
при изучении вопроса > единственности решения задачи без
*) При конструировании систем (1), (3) использованы примеры
Р. Э. Винограда, Успехи матем. наук 9, в. 2 (1954), 125—128.
♦♦) А. Н. Тихонов, Матем. сборник 42 (1937), 199--216.
«31
ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ
227
начальных данных (задачи Фурье) для уравнения теплопро-
водности
£ =	-оо<^<оо, х > 0.
«|х- + 0 = ?(О» — OO<f<OO.
установлена такая теорема:
Если ux(t, х), u2(t, х) непрерывны при х^О,
— оо и удовлетворяют уравнению теплопроводности
при х > 0, £>—оо, а их производные порядка п огра-
ничены, то из условия ux(t, G) = u2(t, 0) следует, что
й х) = и\ (t, х) — и2 (t, х) — полином степени не выше п.
Заметим, что решения уравнения теплопроводности обла-
дают таким свойством *):
Свойство (нечетного) продолжения. Если
u(t, х) — решение уравнения теплопроводности при
х > 0, t>—оо, непрерывное при х^>0, />—оо и
удовлетворяющее условию u(t, 0) = 0, то существует
решение U (t, х) уравнения теплопроводности для
— оо < х < оо, t > — оо, определенное равенствами
U (t, х) = и (t, х), U (t, — х) = — и (t, х), х > 0.
Из свойства нечетного продолжения и теоремы Лиувилля
сразу следует справедливость сформулированной выше тео-
ремы А. Н. Тихонова. Действительно, если ux(t, х) и u2(t, х)
удовлетворяют условиям теоремы, то построенная по функции
и (/, х) = иj (t, х) — и2 (t, х) функция U (t, х) будет опре-
делена во всем пространстве, а ее производная порядка п
тт	г
ограничена, поэтому в силу теоремы Лиувилля — const,
откуда и следует теорема А. Н. Тихонова.
Если рассматривать параболическую систему
^ = P(t, D)u,	(1)
содержащую только четные производные по хр то для про-
изводных от ее ф. м. р. G(t, т, 5) имеет место равенство
dmG (t, т, Е)
1	2 ...д?яя
= (-!)"”
1, 6)
...Я™*

- *) См. сноску ••) на стр. 226.
15»
228
СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 2
Из этого равенства, свойства 2 ф. м. р. и корректности
задачи Коши следует, что свойством нечетного продолжения
обладают решения, удовлетворяющие краевым условиям
д2ки
дх\к
= 0, А = 0, 1,
А-+0
6—1,
(2)
и оценкам
1,	(3)
в области
{0 < Х1 < °°’> ----------00 < Xs < °°»

$ = 2........п;
А)
<Т.
Таким образом, решение может быть продолжено в полу-
пространстве а там к нему можно применить лиувил-
левы теоремы. Из этих соображений следует:
Теорема 10.2 {единственности решения задачи без
начальных данных). 1) Если выполнено условие АГ, то
существует не более одного регулярного в области
—оо<х5<оо; s = 2,	/<Т) ограни-
ченного решения системы (1), удовлетворяющего усло-
виям (2) и (3).
2) Если же выполнено условие АГ. то существует
не более одного регулярного в области & решения си-
стемы (1), удовлетворяющего оценке (5) п. 2 и усло-
виям (2) и (3).
Сочетая теперь утверждение теоремы 10.2 с различными
критериями выполнимости условий Af. АГ» получим серию
предложений о единственности решения задачи без началь-
ных данных. Не останавливаясь на их перечислении, приведем
лишь одно предложение, являющееся непосредственным обоб-
щением упомянутой выше теоремы А. Н. Тихонова.
Рассмотрим параболическую систему

‘(4)
с четными производными по хР
Пусть u(tt х) — регулярное в & решение этой системы»
удовлетворяющее условию (2) и (3)
§31
ТЕОРЕМЫ ЛИУВИЛЛЯ
229
..., 2ft — 1, у которого ограничены все производные по-
рядка I. Тогда, используя свойство продолжения, найдем, что
\Dlu(t, х)| М в полупространстве t Т; применяя
к Dlu(t. х) теорему 8.2, получим, что они представляют
собой постоянные векторы. Используя то, что u(t9 х) удо-
влетворяет системе (4), приходим к следующей теореме.
Теорема 11.2 (обобщенная теорема Тихонова).
Каждое регулярное в & решение системы (4) с чет-
ними производными по xv удовлетворяющее условию (2)
и (3) m = l+ 1, Z—|- 2, ..., 2Ь— 1 (при 1<2Ь — \) с огра-
ниченными производными порядка I, представляет
собой систему полиномов степени I по х и Г-^-1 по t.
ГЛАВА 3
ЗАДАЧА КОШИ
Ф. м. р., построенные и изученные в главе 1, позволяют
провести изучение задачи Коши для линейных и нелинейных
параболических систем. Этому и посвящена настоящая глава.
§ 1. Корректность задачи Коши для линейных систем
и систем, близких к линейным, в классах
быстро растущих функций
Здесь излагаются теоремы о корректной разрешимости
задачи Коши для линейных систем и систем со слабыми
нелинейностями в классах растущих функций. Исследованием
охватывается и тот случай, когда вместо коэффициентов
в группе младших (по порядку дифференцирования) членов
стоят операторы, действующие в пространстве Lp со спе-
циальными весами.
1. Задача Коши для линейных систем. Рассмотрим
параболическую систему
^Г = 2 Ak(t. x)D*u=P(t, Х-, D)u (1)
I k |<2d
и будем считать, что выполнены предположения теоремы 2.1
относительно коэффициентов (1), тогда система (1) имеет
ф. м. р. задачи Коши Z(t, т, х, $).
Рассмотрим интегральный оператор
U(tt х)=Аи = J* Z(tt т, х, ?)к(т,	(2)
Проведем его изучение, используя оценки
/1+| т |	•
t. х,	» ехр {-ср}.	(3)
§11
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
231
Дадим следующее
Определение. Функция u(t, х) принадлежит про-
странству	1<^р<оо, если суммируема р-я
степень функции
|«(/, х)|ехр
п
-k(i) 2 |х,Г
5=1

In
5«1
функция u(t, х) принадлежит пространству Loo,k(t)=Ck^9
л
если |й(Л х)|ехр
непрерывна и огра-
5=1
ничена,
п
||«|1сь„ =sup !«(*• *)|ехр| — Л(о2|х,|»
k (0 х	“
Через LPt k (/)tS обозначим пространство вектор-функций
с s составляющими, каждая из которых принад-
лежит Lptk{fp и = (иг us),
ехр — pk(/)	I*»I*
Z-1
п
Справедливо следующее утверждение:
Лемма 1.3. Если u(t, х) £ LPt к (t>9 N,
k(t) =-------------а),
с—из неравенств (3), 0 < е < с, а—любое положительное
232
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ.З
число, при всех t из сегмента
то
— А)
1^1
*>4.,	“ «“(’• *>П<4)
. Доказательство. Вначале докажем лемму для р—оо.
В силу оценки (3)
_£m|
C(t — T) 2» X
Ck(z),N
Г I*/ —5/1 1’	__L
/«1 —оо
•J-
(5)
при а = — j и группового свойства
В силу леммы
k(f — t, А(т)) = А(/) из (5) получаем
Г оо	Iя	1ml
Ck (т), N
Пусть теперь 1 < р < оо, проведем оценки, используя не-
равенство Гельдера:
<н-*(’)2Хпх
X ехр -k(r)2lI
а+1 m I
= C(t — х)~ 26
\DmU(t, x)\^C(t—т)
5=1
f |я(тЛ)|ехр ——-Jpjx
5*1	J
л	Г
Хехр	<Й<С f |и(г,!;)|'>
п
— С

§1]
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
233
In
S=1
1
п	Рг	Л + 1 т |	I т |
х/р+х*(*)2Хгк (*-< 2*
5=1
1
X ехр
In
— IU?—у-p
5=1
п
*(о£| х,г
5-1
Таким образом,
|m I
1IDW. х)И^W>N<CV~< *
f dx У |и(т, 5)|РХ
X ехр
—1^1?—§-р
S-1
di
|ml
= C(f-?)' 2» ||«H£^n N
Pt k (t), W
|m|
= C(t-x)- 2» ||«||
p. k (x)»
В случае p — 1 оценка (4) следует из неравенства
\DmU(tt х)| <
л-Ь ( m I	JL
<(?(/-< 2» ехр *(021^1’
5»1
X
X J !«(’. 5)1 ехр
п
-ep-A(t)2l5sr
«1
di.
234
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
Изучим теперь свойства функции
и (t, х) = J Z (t, tQt х, 5) Uq (5) dl s Au0, (6)
предполагая, что uQ (x) £ LPt a> N, 0 < p < oo, f > tQ. Из
леммы 1.3 следует, что линейный оператор А с областью
определения Lpt aN и областью значений, лежащей в LPt к (<)> N,
ограничен; u(tt х) при t > /0 является решением системы (1).
Перейдем к подробному выяснению вопроса о том, в каком
смысле «(/, х) удовлетворяет начальному условию.
Пусть вначале 1 р < оо, докажем, что в этом случае
lim ||и(t, х)—— и0(х)||£	=0.	(7)
Воспользуемся конструкцией ф. м. р.
Z(t, t0, х. £) = G0(f, t0. x-E, x)+G0(t t0, x-e. I)—•
-G0(t, t0, x-5, х)Н-1Г(г, t0, x, B)==
*=O0(t, t0, x —5, xy-^-W^t, t0, x, 5),
t0. x, e)|<C(/ — exp{—cp}, a >0,
В силу рассуждений, приведенных при доказательстве
леммы 1.3,
fWjCf, /о,х.5)«о(?)^|	<C(t-||«||£	.
J p’a'N
Таким образом, остается доказать, что для любого ц > О
найдется такое 8 (ц) > 0, что при t —10	8 (тд)
II Г ^0’ х	"Ч- .
“	VLo,kU),N
Определим функцию
«<«)(х) =
и0(.х)
0
при
при
И <Я.
\х\^К
«11
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
235
в выберем = так, чтобы
р, к (t),N
1
6
II «о—«(Л)1Ь	<4
°	''Lp,k(t),N	6
первое из неравенств может быть получено на основании
леммы 1.3. Поэтому достаточно оценить
И О0и<*) (£)<# — «(*) (х)|	<
Ч»> к (Й, N
<|/оой«)(ОЛ-й(Л)(х)| Lp= Lp<о,N.
“Lp
Итак, нужно оценить
/ = J Ц О0 (t, t0, х — g, х) (?) d\ — и™ dx =
|х1>2Д	|Ж1<2Д
В /х | х — В |	R, поэтому
|Л|<С(Л)ехр
« R9
2 i
(80
Перейдем к оценке /2. Пусть и^(х) — средняя функция
для (х) *), тогда в силу свойств средних функций найдется
такое Л1 (>}), что при 0 < Л Л1 (?)) || и<Л> (х) — в^ (х) |£
-j-C)-	’ затем’ заФиксиРовав и используя то,
что и^(х) — гладкая финитная функция, можно в силу
леммы 8.1 получить неравенство
/о0(/, t0,x-k. х)^>(В)Л-<)(х)|<1(25Т1^)₽ .
*) С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального
анализа в математической физике, Л., 1950, стр. 18—20.
236	ЗАДАЧА КОШИ	[ГЛ Л	f
i
если t —	— объем n-мерного шара единичного *
радиуса. Таким образом,
1|ж|<2/?	J
1
+(	JIJ о0чл) ©	ю Гdx И +
1
+ | J —«(/?)(х)|р dx\p .
l|x|<2/?	J
Используя опять лемму 1.3, мы получим
|/2|^<(С+ 1)||^>-<>||£	<№. (82)
р	' '
Выбирая, если это нужно, еще меньшим t — tQt можно на
основании (80 получить оценку |/J< -g-. Из этого и (82)
следует высказанное выше утверждение.
Рассмотрим теперь случай р = оо. Начнем с такого заме-
чания. Если функция uQ(x) обладает следующим свойством:
для любого v > 0 найдется такое 8 (v), что
|«о(х) — “о(У)| mini ехр( — « 5 !*,!’)•
V \	5=1	/
ехр( —aS |yj’)l< v,
\	5-1	/ )
как только |х — у| <8(v), то
II Г х %) ® II
П	0сЛ(/)
{ Это следует из неравенств:
I{t, х)= f Go («оФ-«0 (*)]<#+
ix-e । < 5 (v)
+ f Go[ao(O —«0(х)]<Й = /1-Н2«
|ЛГ-И>««
$11
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
237
п
п
s=l
5-1
п
5-1
__1 1
-ylW(t — to) 2*-*jX
n
Xexpl а У
Функции, принадлежащие Са, обладают сформулирован-
ным выше двойством, если в нем а заменено на л—|—е0»
е0 — любое положительное число, поэтому для любой функ-
ции и0(х)£Са
lim II f O0(t, t0, x — I, x)«0(?)d? —a0(x)|	=0.
Заметим, что из. леммы 8.1 следует, что lim u(t, х) = а0(х)
+А>
в каждой точке непрерывности я0(х); если uQ(x) непрерывна,
то эта сходимость равномерна в каждой конечной области Еп.
Рассмотрим теперь задачу Коши для неоднородной системы
=	Х-, D)u+f(t, х),	(10)
lim || u(t, x) — u0 (x) || L =0.	(11)
В случае /> = оо начальное условие удовлетворяется в выше-
описанном смысле. Справедлива
Теорема 1.3. Если f (t, х) удовлетворяет условиям'.
а)	условию Н в каждой области 3*
1*|<а). t;>t0;	0
h
б)	И/Ц = /ll/(t х>11гр>й(/),ЛГЛ<+оо> то
to
il(t, х) = f Z(t, X, 5)Я0($)Л +
t
+ dx
\ T, x. 0/(t, 5) de (12)
238
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ Л
является решением задачи (10), (11) в полосе (t0, /J,
удовлетворяющим оценке
<13>
Если система (1) имеет нормальную ф. м. р. (т. е.
выполнены условия 1), 2) в. 2 и 3) п. 4 § 3 гл. 1), то
решение задачи Коши (10), (И) единственно в классе
функций u(t, х), удовлетворяющих условию
f П«а. *)Иг л <4-00.	(14)
/	p>k\t)>N
Доказательство. Рассмотрим вектор-функцию
t
v(t, x) = f<kf Z(t, T, x. I)/(т, 5)rf5.
Она при сформулированных относительно f(t, х) условиях
в силу свойства 7 ф. м. р. является при t > /0 регулярным
решением системы (10)*). При этом в силу леммы 1.2
справедлива оценка
*)11£ ... N<
р> k (/), N
t	t
<f4J<cf	<15>
£ IIJ \.W.N	£	LP.*M>N
Из неравенства (15) и предположения б) следует, что
||хг(/, х)||,	—>0 и ||v(f, х)||,	<С|1/|Ь.
11 V '"Lp,k(t),N '->+*>	11 V	117 "Afp
Из этого и ранее проведенных рассуждений следует первая
часть теоремы, включая оценку (13).
Переходим к установлению единственности решения за-
дачи (10), (И). Пусть u(tt х)— произвольное решение за-
*) Непосредственно свойство 7 используется в интеграле, где
интегрирование по 6 ведется по конечной области, содержащей
точку х. В остальной части интеграла у Z (/, т, х, 6) нет особен-
ностей, и условие б) позволяет все дифференцирования произ-
водить под знаком интеграла.
S11
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
239
дачи (10), (11), входящее в класс (14). Воспользуемся свой-
ством 2 ф. м. р.
u(t, х) = f Z(t, /04-е, х, $)«о(4)-Н’ ?)Л+
t	п	t
+ J в7 IZ,	f fa f Z(t, T, X, S)/(T, 1)Л,
*©+• г£ /ж1	*•+• VR
(16)
VR — шар радиуса R с центром в начале координат, — его
граница. Перейдем в (16) к пределу при /?->оо. Покажем,
что при этом второе слагаемое в (16) стремится к нулю.
Пусть х меняется в некотором фиксированном шаре |х|<; а,
a R— достаточно велико. Введем матрицу Y (t. т, х, £) =
= ^((£1)2 (Л т, х, 5); PR(y)— достаточно гладкая функ-
ция, равная единице, если у R — 1, и нулю при 0 у
— 2, и сделаем следующие преобразования:
*	п	*	п
f (к	u]vjds — J dr	u]»jds=:
*•+• rR /-1	*o+« TR
= ffa /’{(P*ry«-r-^-+r/}d5 =
<.+• v'r
«.+• VR
+ f y(t, f0-H, x, е)«(/0-н. *)<&
VR
При | x К л и достаточно больших R
|D*K(tx, хЛ)|<
<Cexp{-(c—^-jp—^-/?’(/-t)-^}. (17)
240
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
Используя (17) и повторяя оценки, проведенные при доказа-
тельстве леммы 1.3, получим, что
f DkY (t, t, х, S)a(t, e)de
Vr
< C (-£) exp { - -J- RO (t - tf^-i |
t
f dt f DkY(t, t, x, l)dl
*.+• vR
Lp,kh)
< C (-J-) exp | RO (t -	} || «Ц
M
Из этих неравенств следует, что предел при /?—>оо вто-
рого слагаемого в (16) равен нулю. Таким образом,
u(t, х) = f Z(t, f0-H, X, t.)u(tQ+s, eX +
t
+ J dt JZ(t, t, X, 5) f(t, eX (18)
Перейдем в (18) к пределу при е—>0. Оценим для этого
Z(f. /0-Н, х, ew0-H, ex—
- Гz(t, t0, х, е)«0(ех|	<
< f z(t, t. x, e)ij+,«o(e)de| +
*Lp, ft (/), N
J f z(t. /0-н, x, *)[«a04-e, e)-«0(e)i^|	<
II “o©ll£(b +q««.+.. S)-^	0.
Итак,
t
U(t, x)=f z(t, t0, x, e)«0(e)</e+j dt j z(t, t. x. e)/(t, ex
И теорема доказана,
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
241
Прокомментируем полученные результаты. Из теоремы 1.3
следует корректная разрешимость задачи Коши для си-
стемы (10) при сделанных в теореме предположениях в классе
функций u (t9 х), принадлежащих при каждом ££(£0, ^11
пространству LPtk{fhN и удовлетворяющих условию (14).
Теорема 1.3 носит локальный характер, вызванный тем, что
корректность устанавливается в классе функций максимально
2Ь
возможного порядка роста q =	если порядок роста
рассматриваемых решений меньше q, то все предыдущие
рассуждения можно провести, считая а как угодно малым,
что даст корректную разрешимость задачи Коши в любом
фиксированном слое (0, Г]. Теорема же единственности и
в случае максимального показателя носит нелокальный
характер, так как устанавливается существование не завися-
щего от начального момента tQ слоя [^q, tQ-|-Д], в котором реше-
ния совпадают, если они равны при 6==/0; поэтому, повторяя
рассуждения нужное число раз, можно получить доказательство
для любого конечного слоя [0, Г], условие (14) при этом,
г
естественно, заменяется условием Г ||я(/, х)|| L	оо,
J	^p»a>N
а — произвольное фиксированное положительное число.
2. Системы, близкие к линейным. Рассмотрим задачу
Коши для параболической системы
4г= 2 Л('•*)£>*«+ ^(*. £>*'«).	(1)
К
Где F— нелинейный, вообще говоря, оператор, действующий
в некотором специальном пространстве, построенном с учетом
проведенного в предыдущем пункте исследования.
Естественно, в соответствие задаче Коши для системы (1)
поставить систему интегро-дифференциальных уравнений
а(/, x) = f Z(t, tQ, х, 5)«0(?)Л+
t
+ fdTj,Z(t. t, x,	(2)
16 С. Д. Эйдельмац z
242
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
которую формальным дифференцированием по х нужное
число раз можно свести к интегральному уравнению
t
v(t, x) = v0(t. х)+ fdtf R(t, -c, x, £)F(t, v(x. £))#, (3)
it
R(tt x, xt £)= \\DkZ(tt x, x, 5)||—матрица, имеющая N столб-
цов и r = Ns строк, где s — число производных различных
порядков, входящих в (2).
Обозначим через MPt ^0, /j, у банахово пространство вектор-
функций u(ft х), принадлежащих	и таких что,
{л	ъ
— А (О 2 I xs Г I интегрируема по Бохнеру ♦)
(по t как элемент пространства £р):
||й(t, х)|| м = f IIя(t, х)||, dt.
/о	)
Если оператор F (Л v) действует из пространства MPt г
в пространство MPt N и удовлетворяет некоторым усло-
виям, главное из которых:
И((.	(4)
то интегральное уравнение (1) имеет единственное решение
в пространстве Мр = МРг [/„,г [40к]. Естественным пред-
ставляется следующее
/«’Л
Определение. Пусть I • I—решение уравнения (3),
W
t»0 = J*Ru^db, принадлежащее пространству Мр, тогда
вектор-функция ог(Л х) называется обобщенным реше-
нием задачи Коши для системы (1).
Ниже будет доказана теорема, дающая достаточное условие
того, что задача Коши для системы (1) имеет классическое
^Э.^Х и л л, Функциональный, анализ и полугруппы, 1951,
♦ И
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
243
решение. Ее локальность вызвана здесь также только жела-
нием включить функции максимального порядка роста, так
как условия на оператор P(t9 v) таковы, что в рассмотрение
включаются лишь весьма слабые нелинейности. Включение
сильных нелинейностей возможно, но при этом теоремы будут
носить, вообще говоря, локальный характер. Эти вопросы
будут подробно рассматриваться в последующих параграфах.
Теорема 2.3. Пусть F(t, v) является оператором,
действующим из пространства Мр в пространство
Мр, (/0, /j, n, удовлетворяющим условиям: а) оператор
F(t, <u)=V(t, х) все вектор-функции непрерывные (и гель-
деровы по х в каждой области 35^ переводит
в вектор-функции непрерывные (и удовлетворяющие
обобщенному условию Гельдера в 3\ б) для описан-
ных в условии а) вектор-фу нкций |F(f,	х)) —
С
^.Ca(t —10) 26 в каждой области 35а {/0
г) J --------
6 (f — т)2*	(f— f0)W
Тогда существует решение задачи Коши
Пт ||«(Л х)-«о(х)ЬА>ЮЛГ=О,
построенное по начальной функции t^(x)£LptatN, огра-
ниченной в каждом конечном шаре пространства х.
Это решение принадлежит вместе со своими производ-
ными порядка т по х пространству
В ...... --	"
нено
наем
случае р > ^ь — т Условие может быть заме-
неравенством (4), а условия в) и г) предположе-
/ ИС.0)||£ _
о том, что I ----------A*(T),jV	— /Л 2b,
£	('-'Г
>, р =	’ предположение об ограниченности
и0(х) (в каждой ограниченной области) излишне.
16*
244
ЗАДАЧА КОШИ
[nd
Если система ~ = P(t, х; D)u имеет нормальную
ф. м. p.t a F(t, v) удовлетворяет неравенству (4), то
решение задачи Коши для системы (1) единственно
в классе функций u(t, х), для которых
Доказательство. Начнем доказательство теоремы со
следующего замечания: если вектор-функция v(tt х)£Мр
ограничена в каждой конечной области <2^ • , то W х) =
t
= f f Я (*• т* Xt	/о> /о, удовлетворяет уело-
вию Гельдера по х в каждой конечной по х области. Дей-
ствительно,
\W(t, x + h) — W(tt х)|<
t
<fdr f |R(M. х+М)-Я(е.х.хЛ)||«(хЛ)]<М-
Л |ж-и>2|Л|
Ч)
t
+ f<k f \R(t, т, x + A, 5)||v(t, £)|Л+
Л |х-5|<2|Л|
4)
t
4- pt f lR(f, T, X, е)||г»(т, ^^=/,4-4+/,. (5)
Л 1Х-^|<2|Л|
г0
Второй и третий интегралы в (5) оцениваются одинаково*
оценим один из них:
/3 < С У* dx J* ехр {— ср} (t — т) 2b d\
♦	|ж-51<2|Л|
Ч)
л	я+т
У 2* х
Л 1г|<2
in
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
245
" 1
Хехр ——-с)”2*-1 dz =
S-1
X ехр
= С| Л|₽ [(t - <dx f I —й|г\_у~р X
/*	1*КЦ(/_г)й )
?}| г\?~п dz <С| Л|₽. (6^
1.
Перейдем к оценке /р используя замечание к теореме 2.1:
Л	/•	n + ffl + g
Ix^C\dx J | А |“ ехр {—ср) (/—-с)	2* |о(т, £)|#<
л |х—Е|>2|Л|
‘О
<С|А|‘
'	п+т+а
jdx j ехр {—ср} (/—т)	2»
л 2|Л|<|ж-е|<2У?
г0
л	/•	п+т+а
+ f dx J ехр{— Ср}(/ — х)~ 2*	|v(T, $)|d$
Л ЦГ-ЕО2Л
г0
В первом интеграле вектор-функция v(t, 5) ограничена по
предположению, во втором, беря R > у и используя лемму 1.3,
получим
Л<С|Л|а
<С|А|’(14-||г|Ц).	(62)
4
246
ЗАДАЧА КОШИ
(гл. з
Из (6Х), (62) следует высказанное выше утверждение.
Будем решать интегральное уравнение (3) методом после-
довательных приближений, положив
о<°) (/. х) = f R(t, t0, х, Q«o(O#+
t
+ fdx fR(!’ ’• *•
6
o(0 (Л х) = а(°)(Л x) +
t
+ f dx J# (t, x, x, 5)[F(t, a('-D(x, £)) — F(x, 0)]<Я,
6
/=1, 2, ...
(7)
Установим, во-первых, что все последовательные приближе-
ния а^(/, х) при />£0— непрерывные функции.
Непрерывность а<°> х) следует из сделанных предполо-
жений и теоремы 1.3. Оценим а(0) (Л х), считая, что (tt х)£
И<*}«
Пусть Va+1 — шцр радиуса а 4-1 в пространстве Еп. За-
пишем (tt х) в таком виде:
б<0) (#1 х) = р (t f0> х> |) а0 Ф dt+
Va+1
+ J R(t, t0, х, О«о(О^+
En-va+l
+ fdx f R(t. X. x, i)F(x, 0)^4-
*o Va+1
t
4- f dx f R(t, x, x, i)F(x, O)dt (8)
*0 En^Va+\
При оценке первого и третьего интегралов используется
ограниченность и0(х) и условие в), во втором и четвертом
$£Уа+1. поэтому при |х| < а ]х —	9Т0 позволяет
§1]
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
247
{1 1
— ^(t — т) 2Ь“1 | и воспользо-
п+т (	1	1
ваться тем, что (t— т) 2ft ехр|—^(t— т) 2*-1 J <<С(е),
затем используется неравенство Гельдера и принадлеж-
ность «о к Lp,a,N, a F к Мр:
_т	(л	ч
|о<0) (t. Х)| <C(t-Q +Сехр k(t) 2 Ixj? 11«оВ£,,а,*+
V S=1	)
m—2b-i-a	(	)
+ C(/-/o)-^ +Cexp *(/)2 |x,|’ ИЦ, •
I s = l J "
Итак,
|o(0)(t Х)[<С(/-/О)Л p<l.	(9)
Отметим, что
m
0)11,
+ C f-------------------(10)
*	(t— c)55’
А поэтому x)^Mp.
Непрерывность х) и наличие для них оценок типа
оценок (9), (10) легко следуют по индукции с помощыр
представления
t
a(D(t, х) = о(°) (t, X) + f dt f $[F(t, o('-0)-F(t, 0)J #+
‘о Уа+1
+ f dt f R[F (т, «a-»)) — F(t, 0)]<rt
En~Va+X
и условий a), 0).
248	ЗАДАЧА КОШИ	[ГЛ.?
Покажем теперь, что последовательность х) сходится
равномерно в замыкании любой области Sb * . Используя
чу а
условие б), можно записать, что
t
|O(Z)_O(Z-1)|^£ Jd-cf |Я||о(*-1>—...
6
... <L' f dxf
/о
t
Rt(t. г, x, 0= fd? f |R(/, p. x, y)|/?,_,(?. x, y, k)dy.
t
Rt оцениваются так же, как повторные ядра Km(t, х, 5)
при доказательстве теоремы 2.1. При этом получится
АВ1
Rt (t, т, х, 5)	—z z_l_ т \ ехР {— И3) ПРИ / > я + 26.
Г I—t— 1
\ 2b I
Отсюда, используя неравенство Гельдера, получим
| а<0 (t, х) — а<1- ’) (f, х) К
№
г	Р
п
*(о2кг м>ц,-
5«1
Таким образом, последовательность х)^=$^*(Л х)>
поэтов v*(t, х)— непрерывная функция в любом Sb ♦ ,
Ч)’ а
т. е. всюду в полосе (£0, /J.
Отметим, что с помощью леммы 1.3, используя неравен-
ство (4), являющееся следствием для непрерывных функций if,
принадлежащих Lptk^tf9 условия б) теоремы, легко можно
получить (см. случай р>	> что x)==>v*(tt х),
/-►оо. Перейдем в равенстве (7) к пределу при /->оо.
$1]
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
249
Оценим
Я [F (т, а*'-1)) — F (t, г»*)] #
'Lp, к (/), N
< ficdt Г-----------
J	J	т
**	**	(t-x)*
nt Z Г*	^b—m
Таким образом,
(t, х) = <з(°> (t, х)+
'S
+ f dx JR(t. x, X, $)[F(T, v*(x, ?)) — F(x, 0)]^+
h
t
+ f a* f &<*•X1 x‘ е(-х’ *))—F(x- °)1<&
Так как v*(tt x)£Mp и ограничена в каждой конечной об-
ласти 35 • , то в силу замечания, сделанного в начале до-
f0, а
казательства теоремы, х) удовлетворяет условию Гель-
дера по х. Поэтому F (т, v*) и удовлетворяет обобщенному
условию Гельдера.
Но тогда
t
Vl(t, x) — f Z«od5+ fdxf ZF(x, v*(x, £))# (11)
h
имеет все производные, входящие в систему (1); производные
порядка меньше 2Ь вычисляются непосредственным дифферен-
/ «1 \
I Dv, I
Пированием матрицы Z под знаком интегралов; v*a=
250
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. "В
и х) является регулярным решением задачи Коши для
системы (1).
Если р >	» то при сделанных в этом случае пред*
положениях доказательство проводится по той же схеме, не*
равенство Гельдера применяется без предварительного раз-
биения области интегрирования. Для а<°) (tt х) справедлива
оценка |а(0) (Л х)| < C(t — /0)"₽ в каждом 35 а, a |a(f+1) — о(0|
оцениваются так:
t
|а('+» — а(01< fdxf |Я||Г(т, а(0) —F(t,
С другой стороны,
t
<LC fl|a(^i)—a(^-2)n
Й
I
... <(£СУс0Цв(5Т, i)(f-/o)T(,+1)_1.
S=1
т = 1—g-, поэтому |0«+i)_e(«)|<C*(Cn1),+lf^^t
Единственность решения уравнения (3) в Мр устанавливается
обычным для интегральных уравнений Вольтерра способом.
Единственность решения задачи Коши для системы (1),
принадлежащего вместе со своими производными до по-
рядка т пространству	w, устанавливается так же,
| 1]	КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ	251
как в линейном случае; при этом получится, что каждое ре-
шение задачи Коши для системы (1) вместе со своими произ-
водными до порядка т является решением уравнения (3),
решение которого в Мр единственно.
Можно привести различные следствия из теоремы 2.3,
показывающие, что из нее следует корректная разрешимость
задачи Коши для систем с операторными коэффициентами,
в частности систем интегро-дифференциальных уравнений. Не
приводя формулировок этих следствий, отметим, что из тео-
ремы 2.3 следуют некоторые новые результаты для линей-
ных систем
5-= 2 Л»(и)Л+ 2 4(U)D»e«
‘	1Л1-2Э	|ft|<26—1
х; D)u-\-Px(t, х; D)u =
=PQ(t, х; D)u-{-F(t, х, Dk и).	(12)
Разрешимость задачи Коши для (12) может быть уста-
новлена в предположении, что коэффициенты Px(tt х; D)
ограничены и удовлетворяют условию Н в любой об-
ласти 26 • , а единственность решения задачи Коши — лишь
а
в предположении ограниченности этих коэффициентов.
Отметим, что и ф. м. р. системы (12) можно строить
в тех же предположениях, отыскивая ее как единственное
решение интегро-дифференциального уравнения:
А (Л т, х, О = 2о(Л т, х, ?)+-
t
+ pf> f Z0(t, ₽, x, y)P^, у; D)Z^. T, y. l)dy,
T
Z0(t t, x, 5) — ф. м. p. системы
^- = P0«, x; D)u.
3. Случай систем высшего порядка по t. При изуче*
нии задачи Коши для таких систем возникают некоторые
дополнительные по сравнению с системами первого порядка
по t трудности, на преодолении которых мы и остановимся
адесь. Будем для простоты рассматривать линейные системы..
252
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. В
Следующая задача Коши
dniUj 
2	2	x)Dk	х), (1)
7-1 2Ы»о+|*1<2»Л;	dt °
/=1, 2...N,
= 4*о) (х) 8jo, Я/_ь *о = О,1.......щ — 1 (2)
изучается точно так же, как задача Коши для системы с nt = 1.
Рассмотрим теперь систему (1), у которой пх = п2= ...
... = nN\ при определенных предположениях о коэффициен-
тах у (1) есть нормальная ф. м. р. Будем решать задачу
Коши для системы (1)
Jim
Ли
«(*») (х)
= 0, *о=О, 1,
Lp, k (0, N
n,-!. (3)
Вначале предположим, что решение u(t, х) задачи (1), (3)
существует; тогда, используя свойство 2 ф. м. р., можно
записать равенство
"i-1
, Х)= / У 1Л1-1.»0(2(/,т.хД))1 ,+ X
Vr %=о	°
к	р р N
хАг«^о+е.О^+ f	+ -
dt*	V г₽ j-i
t
+ f dt f Z(t, T, x, 0/(x.
z0+J VR
Если u(t, x) вместе co своими производными до порядка
«j — 1 по t принадлежит пространству Afp> (<0> <1!t N, то, по-
вторяя доказательство единственности решения задачи Ко-
ши, проведенное при установлении теоремы 1.3, придем к
tn
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
253
равенству
«(А *) = f
Л?о-О
+ fdxfz(t, х, х, 07(t. №	(4)
/о
Во-первых, таким образом устанавливается единственность
решения задачи Коши в вышеописанном классе функций,
во-вторых, предполагая, что и^(х) вместе со своими произ-
водными до порядка (пх— kQ—1)2& принадлежат простран-
ству Lpta N> можно, используя простые следствия из свойств
ф. м. р., показать, что правая часть формулы (4) действи-
тельно дает решение задачи (1), (3). Таким образом, в слу-
чае д1 = д2= ... — nN можно установить корректность
задачи (1), (3).
Переходим к случаю разных старших порядков nt. Для
определенности будем считать, что пх п2 ... nN.
Пусть йД/, х)— решение системы (1), введем новые неиз-
вестные функции х) с помощью равенств
*
4—ut(f. x') = al(t, X).
db°ui
dtkl>
k0=zo, i.....it
(5)
Z=l, 2...N,
Л=^+ ...
. Если функции x)
имеют производные по /, х порядка А0+|А|» 2&Л04-|Л|<^
<J2top то дД/, х) при />/0 являются решением следую-
щей системы:
-Б Б
/-1 »»в+|Л|<2»лу	ot
(6)
254
ЗАДАЧА КОШИ
* [ГЛ. 3
Система (6)—«параболическая, у нее все старшие порядки
дифференцирования по t совпадают и равны л1 = тахлу.
Последнее утверждение очевидно, а параболичность си-
стемы (6) следует из того» что для нее характеристический
определитель имеет вид
п
S •’
(х+Ю,=1 х

Переходим к решению задачи (5). Предположим, что
0/(Л х)— регулярное решение системы (1), у которого все
производные от «Д/, х) с tit < nv входящие в (1), удовлетво-
ряют условию Я, (t, х) и принадлежат пространству MPt
вместе со своими производными до порядка щ— 1 по t. Тогда
функции
яД/, х) = f dx f O*(t — x, x — \)ut(x9	(7)
являются решением задачи (5), при этом ut(t9 х) имеют не-
прерывные производные по х и t всех порядков, входящих
в систему (6). Производные по t от ut вычисляются по фор-
мулам
Ь _ 1
я-л.-1+Л- о
д 1	1 °Uj
Vc; Г-Ц,—
v-0	° fit4 1+*
дт 0
Oi(t — /о, х — ОХ

о
оЛ’1
Aq  0» 1 • • • • •
11]	КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ	285
Формулы (8) позволяют задаче Коши для системы (1)
= и^(х), Ло = О, 1.......щ — 1,
dt ‘ <-+г.
/=1. 2......N,
ставить в соответствие задачу Коши для системы (6),
Если известна функция uit то функция ut вычисляется по
формуле (5).
Таким образом, исследование задачи Коши для произ-
вольной системы с разными старшими порядками nt сводится
к исследованию задачи Коши для сепаратных уравнений (5)
и системы с совпадающими старшими порядками (6). При-
меняя приведенные в начале этого пункта результаты для
систем с совпадающими старшими порядками к уравне-
ниям (5) и системе (6), получаем следующее предложение:
Если коэффициенты (1) удовлетворяют условию 1)
теоремы 2.1 и условию 3'), коэффициенты системы (1)
х) имеют + ... непрерывных гель-
деровых по х ограниченных производных по t, х,
s = 0, 1................nt 2&Ло+| k' | <2#п/, то за-
дача Коши для системы (1) имеет не более одного ре-
гулярного решения ut(tt х), у которого все производные
от функций ut(t, х) с nt<nv входящие в (1), удовле-
творяют условию Н, принадлежащего вместе со своими
производными до порядка nz—1 пространству
Для существования решения задачи Коши
Um	=0’ *0 = 0.1.......«<-1.
^+<.1	Ц>,,(0>Лг
/=1......N,
достаточно, чтобы и^(х) имели — kQ—1)2# произ-
водных по х, принадлежащих пространству Lp,a,N-
В теоремах 1.3, 2.3 была установлена разрешимость за-
дачи Коши для линейных и простейших квазилинейных пара-
болических систем в специальных функциональных простран-
ствах.
Решение u(t, x) = ut(x) при каждом t рассматривалось
как элемент пространства Lpt k функций, зависящих только
256
ЗАДАЧА КОШИ
(гл. а
от х; при изменении t решение являлось траекторией в се-
мействе пространств Lp, к Пространственные координаты
хр х2, ..., хл и время t играли существенно различную роль.
Конечно, такой подход позволяет достаточно точно и
полно описать классы корректности задачи Коши, однако он
не является единственно возможным.
Можно рассматривать классы корректности задачи Коши
в пространствах функций и-|-1 переменных /, хр .... хл
♦иного характера, чем введенное пространство - Мр. Самым
простым и естественным пространством такого типа является
пространство Ck(t) функций u(t, xv ..., хп), непрерывных
по совокупности переменных в полосе П(/о, /,] и таких, что
{п 1
—(0 2 xs <+ оо.
5=1 J
В этом пространстве легко доказываются аналоги теорем 1.3,
2.3. Можно ввести аналогичное пространство типа про-
странств Lp с весом и для них тоже установить аналогичные
предложения.
Схема приведенных выше доказательств сохранится, но
они существенно упростятся.
§ 2.	Единственность решения задачи Коши. Необходимое
и достаточное условия единственности решения
задачи Коши для систем с постоянными
коэффициентами
1.	Теорема единственности С. Тэклинда для параболи-
ческих систем. В случае простейшего параболического урав-
нения
ди __(	1ч&-1 д^ьи
} дх™
С. Тэклинд установил, что для того, чтобы в классе функций
|а(/, х)|
решение задачи Коши было единственно, необходимо и до-
статочно, чтобы интеграл
со
Г dr
J
§2]	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ	257
расходился. Здесь будет доказана достаточность этого усло-
вия для систем с переменными коэффициентами, а в следую-
щем пункте — его необходимость в том случае, когда коэф-
фициенты системы постоянны.
Теорема 3.3. Пусть коэффициенты системы
-^-=2 Ak{t, x)Dku	(1)
t »l<26
удовлетворяют условиям 1), 2) п. 2 и 3) п. 4 § 3 гл. 1,
тогда любое регулярное при 0 < Z < Г решение задачи
Коши «|/=+о = О, удовлетворяющее неравенству
sup lu(t
о</<г
с функцией h(r) такой, что
СО
Г dr
J Л (г)2*’1 ~°°’
тождественно равно нулю.
Доказательство. В сделанных предположениях си-
стема (1) имеет нормальную ф. м. р. Z(tt т, х, 5), для кото-
рой справедливы оценки
/>+|т|
\D?Z(t. г. х,	» ехр{—ср}. (2)
Запишем теперь интегро-дифференциальное соотношение
u(t, х) = f Z(t, t0, х, Z)u(t0, £)d£4-
VR
t	n
+ J* J 2 Bi [Z. ubjds^ + I»	(3)
V# — шар радиуса R с центром в начале координат, ГЛ — его
поверхность, t0 > 0, | х | < R — 2. Преобразуем /2 с помощью
17 С. Д. Эйдельман
258
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. 8
приема, приведенного при доказательстве теоремы 1.3:
tn	tn
/2= J dz	e]vy/fc= J dz f%BJ[Y, u]vjds —
4 TR i~l	4 TR >-»
t
= fdz f L*(Y)adl+ f Y(t, t0, x. l)u(fy № '
<e VR	VR
(4)
Используя формулы (3), (4) и оценку (2), проведем оценку
a(t, х). Сначала оценим £* (F); при — 2 /,‘(K)sO,
поэтому оценку следует провести для $ из шарового слоя
Я —2<|£|<Я, |х|<Я —2. Имеем
|£*(П|<С(/ — т)"^ ехр{ —с|х —£|’(f —
Воспользуемся теперь такими элементарными неравенствами:
<^х|е| - и )’(#-
>(Я-2- |х| Г (/-
(t _ т)~ ехр { — с |х — 5|’ (/ —	} =
=(	)ехр{- с|х~	х
1 с	с
Х |х—е|	|х—$1	[Я—2 —|ж|]
для оценки u(t, х):
e(£x)J<C sup |e(Z0, x)l +
|Ж| <R
f. *	_Л±2»
4-е sup |«(t, х)| / dz /	(t—z) 2b X
|л|<Я	J J
t, Я-2<1Е|<Я
X exp{ — c| x — 6|’(/ — t)
<C sup |u(Zo> x)|-f-C sup |«(%, лг)|X
lx|<«	lxl</?
5 21	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ	259
(	1 ) /	а»-1
X expt-а(Я-2-1 х |]9 (i-/0) »-* f J	» ЛХ
to
X f (f—’) 26 ехр{—а,|х — 5|?(f — т) 24-1 }Х
Д-2<|Е1<Л
Хехр{ — (С — а — а,)|ж — 5|’(/ — х) 24-1 }
[J	1 )
sup |u(/0, x)|4-expt-a(/?-2-|x|)9a-/0)'2i-1 fX
1ж|<Я
Х(/?-2-|ж|)-» «ар |в(е.ж)|1,	(5)
1ж|<Л	I
k<x<i
|х| </? — 2, С — постоянная, зависящая лишь от Т. Нера-
венство (5) играет основную роль в дальнейшем.
Введем следующие числовые последовательности: Rt = 2l,
1 = 2, 3, ...» и
t = /-Г"’
1	\2J [Rih(Ri)]2b~l ’
Рассмотрим сумму
Af
5=5^. Л1>«>2,
__/a\24-1y [Rt_t — 2)24 _/a\24~1y	я
Л24'1*24-1^)
*	r1	1 i24
- \2/ /j ft24-i (/?,) L 2	2'-1 J
/^X24-1 у Rj	Г1_____1_Г =
Л24-1 (Rd L 2	23-1]
17*
260
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
М	М R1+1
#М+1
_ 1	Г dr
~ 24*\2/ J h2b^(r)9
Rm
Так как
со
л А
/ л2®-1 (Г)
расходится, то за счет выбора М сумма S может быть сде-
лана как угодно большой.
Используя эти рассуждения, проведем оценку |я(/, х)|,
считая Rm~i > а, а — любое положительное число. Положим
А) = + 0’ R — Rm> 0</<7ж, 1*1 <#3f_p тогда из нера-
венства (5) следует
\a(t, x)l^Cexp{-a(RM-RM_x-2yQ^} X
#жА (*л«)
X	<сехР {“(ЗД•	(6)
Применим теперь неравенство (5), считая, что R = RM_V
\х\<%м-2> тогда, используя (6), по-
лучим
I и (t, х)| < С2 ехр {- RMh (RM)} +С ехр {- R^h(RM_J}.
Продолжая этот процесс, мы в конце концов получим для
(Af \
т, 5 :
i = tn /
4 М	М-т
| и (t, х) I < С 2 С1~те~^	= Cke-Rm+Ith (ят+и) <
<	(₽m) <	Rmft (Rm) <
^•0	k-0
eRm4*m)_C (7)
§2]	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ	261
(мы воспользовались очевидным неравенством Rm+k = 2fcRm^
>(* + 1)Лт).
Из неравенства (7) уже легко следует утверждение тео-
ремы. Действительно, возьмем любое е > 0 и выберем т
настолько большим, чтобы р ------------< е, затем УИ > т
еЕтп \нт)_q
М
так, чтобы ^t^T, тогда для любых
1~т
\u(t. х)|^е. В силу произвольности е и a u(t, х) = 0
для всех х и t из сегмента [О, Г].
2. Системы с постоянными коэффициентами. Необхо-
димость условия С. Тэклинда. Установленное в предыду-
щем пункте достаточное условие единственности решения
задачи Коши для систем с постоянными коэффициентами
является и необходимым.
Для простоты и наглядности рассуждений проведем дока-
зательство этого факта для системы
5-= 2	(о
|^l=2Z>
Покажем, что существует вектор-функция u(t9 Aq)^=0, удо-
влетворяющая неравенству
со
|«(*. *1)|<е|-г,|А(|ж,1). f < + °°
и начальному условию и (0, ^0 = 0. В дальнейшем вместо Хг
будем писать х, вместо Л^ о,...»о — Л; заметим, что из
условия параболичности следует det Л 0.
Будем искать u(t> х) в виде ряда
оо
u(t. Х)=	(2)
m*0
Тогда, предполагая, что ряд можно дифференцировать По-
членно, получим, что для того, чтобы х) удовлетво-
ряло системе (1), нужно, чтобы
т=0. 1.... (3>
262
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
Положим f0(f) =
?(0
. /m(f)s=O, m = l; 2.......2b—	1,
f(0
тогда из равенства (3) можно найти последовательно все
т'^-2Ь, при этом /т(/)=0, если т^2Ьр, р — це-
лое число. —
Выберем теперь бесконечно дифференцируемую функцию
<р(/) ф 0 так, чтобы
|?(p)(O|<(-5;4(f>)p, fW(0) = 0, р = 0, 1. .... (4)
g(у)—функция, обратная к функции |х|h(|х|),	=	—
норма матрицы Л-1. Если считать функцию хЛ(х), О-Сх^оо,
монотонно возрастающей, то и g(y) будет монотонно расти:
g(j))> g (у) при р > у. Кроме этого, естественно ПреДПО-
гЗ
лагать, что хЛ(х)^-ах2*-1, а—положительное число, тогда
23
у aS (У)24-1 • Последнее неравенство перепишем так:
г гз-1
У 24 а 24	, поэтому естественно считать 	
функцией монотонно убывающей, lim-^^ = 0, _L-
У g(P) ' gw
при р-Су (если хЛ(х) = J*<р(т)Л, <р(0) = 0, <р(оо) = оо,
'	о
ф(т) монотонно растет на [0, оо), то это свойство g(y) легко
доказывается j >
СО
/dr
) и ряд
одновРеменно или сходятся, или расходятся.
д-1
Так как —монотонно убывает, то ряд	и
Д-1
13	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ	263
интеграл j*	одновременно сходятся или расхо-
1
ЛЭТе,(.Мь
'	р-1	1	р-1	/
S’(У)
Рассмотрим /	—» сделаем замену переменной инте-
am * w
грирования х = g (0 и воспользуемся очевидными равенствами
t=*xh(x), g(jt)h(g(t)) = t, тогда получим
а(у)	у
/* —— t (0 _
1 /g2»(y)	?(1)\ -
2b J /».-! 2b \ y2*-1	1	/ “
Отсюда непосредственно следует высказанное утверждение.
Переходим к установлению того, что существует функ-
ция <р(/), отличная от тождественного нуля и удовлетворяю-
щая всем перечисленным условиям. Для этого следует пока-
зать, что класс бесконечно дифференцируемых функций
с Ир} = {|ф(₽’ (ОК мр}. MP==(Bleg(p))№P не квазиана-
литичен*). Воспользуемся для этого теоремой Карлемана —
1
Островского: пусть р =infA4*, тогда необходимым и
p>q р
достаточным условием квазианалитичности класса
00
С{Л1р) является расходимость ряда • В нашем
j-i
„	. . I р \» / 1 \№ ( 1 а \я>
случае Р, = Ы(^)	(^) .потому
*) С. Мандельбройт, Примыкающие ряды, Регуляризация
последовательностей, Применения, 195% стр. 104.
264
З’АДАЧА КОШИ
[ГЛ. 8
рад 2т” = (“^7)	< + °°. Таким образом,
<7-1 q	</-1
существует функция <р(£), удовлетворяющая условиям (4) и
не равная тождественно нулю.
Покажем теперь, что u(t, х), определенное формулой (2),
целая функция х:
|й(/, х)|<	[вЛ(р) ] <
р-0
<+°° ПРИ Н<*
р-0
так как limg(p) = oo. Итак, u(t, х)— целая функция, от-
р->со
личная от тождественного нуля и удовлетворяющая системе (1).
Оценим u(t, х); пусть у = |х|Л(|х|), x = g(y), тогда
[у]	°°
la" -м < V. 1 Гpg^ 13*' । V	1
1 k ’ 7l^2j(2^)i u(p)d “* A L^(p)J (2mi^
р-0	P-[y]+l
(1 У 12^^	\
£-®7>г + £тЬ-
р-0	р-0	/
Утверждение полностью доказано.
3. Доказательство единственности решения задачи
Коши с помощью априорных оценок. Выше при доказа-
тельстве теорем единственности существенную роль играли
формулы Грина и нормальность ф. м. р.» которые имеют
место для систем с достаточно гладкими коэффициентами
(имеющими сопряженную в смысле Лагранжа систему). Здесь
будет доказана теорема единственности без этих предполо-
жений, но при этом класс функций, в котором гарантируется
единственность, несколько сузится. Такие теоремы единствен-
ности будут играть существенную роль при изучении задачи
Коши для нелинейных систем.
Теорема 4.3. Если коэффициенты системы
Ъ= 2 Л,(1. x>D>u	т
§2]
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
265
удовлетворяют условиям теоремы 2.1 (существования
ф. м. р.), то любое регулярное при	решение
u(t, х) задачи Коши п|/ж+/о = О такое, что:
1)	D^ult, х), |m(<2Ъ, удовлетворяет условию Гель-
дера по х в каждой ограниченной области полосы П(/о> /tj.
2)	\\Dmu(t, x)||c*^	*>*0» |л*|<26, тожде-
ственно равно нулю.
Доказательство. Обозначим
HDWaIIS<a№A,«Ie; '•
Вначале дополнительно будем предполагать, что
t
3)	$ Мт[и-, т, f0] dx <4-оо, |/п|<2&.
6
Пусть у — фиксированная точка Еп. Подставим u(t, х) в (1)
и полученное тождество запишем в виде
2 Л (Л y)D*u = F^(t' х) =
I&K2&
Д МЙ(Л х)-Л(*> У)1° «• (2)
I *|<2»
Применяя к неоднородной системе (2) теорему 1.3 и учиты-
вая нулевые начальные условия, получим тождество
t
u(t, х) == fdx J О (t, x, x — 5, у) F<y> (x, I) dl. (3)
t.
Производные от u(t, x) вычисляются по формулам
t
Dmu (t. x) = fdxf DmQ (Л t, x — В. y) F(y> (t, Q (4)
— 1,
h
DTu(t, x)=f dxf DmO(t, x, x — $, y)F<y>(T, £)#+
h
t
+ J dxf DmQ{t, x, x — 5, y)d?F<y)(t, x)+
t tl
+ f dxf ETGif, X, x — 5, y)[FW(T, 5) — F^(x, x)]dl, (5)
'•	|m|=2d.
266
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ.З
Положим в тождествах (4), (5) у = х, тогда в силу гель-
деровости коэффициентов
—М’ 2	о|. FW(x, х) = 0. (6)
Используя оценки (6) и лемму 1.3, получим, что
Afj[u; t. ЭД^]*(/—с)"1^	мт[и; т, ЭД Л, (7)
|ml<2»
|/| <2Ь.
Интегрируя, найдем, что
t
J М,[1Г, -ц,
to
<C1 J d$J	— ₽)	* 2 Ж-1в:
to ?	|л)<2»
f V	/	1Л~‘
= С1/ 2 Mm[«; ₽,/0]dpJ(7|-₽) 2» dl)=a
to |ral<2»	₽
<)h	Г 2»-1Л+«
=^iji+«Ci J ('~₽) 2ft 2	₽• '<>w<
to	I m \<2b
9*	JLdZl+i /
<-2f-l/i+«c>(*--*<>) 2> J 2 *U«;Moi^=
to |ral<2d
9*	2»~</l+“
= at-i7n-.c.«-W “
Просуммировав последнее неравенство no J, |/|-С2д, полу-
чим
W [и; fl < C(t—t^W [a; fl, C > 0,	(t0, fl], •
Из этого неравенства следует, что W [я; fl @ 0 для t £ (/0, ЭД,
удовлетворяющих неравенству
—	>0.
S3)
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
267
Повторяя, если нужно, все рассуждения сначала, уста*
новин W[tr, для всех t из [#0, /J.
Освободимся от дополнительного условия 3). В полосе
П|Т, /,|. 7 > /0, «(*• *) удовлетворяет условиям 1), 2), 3).
Рассмотрим вспомогательную функцию
v(t. х\ 7) = J Z(f, •[, х, Q а (7, 0<$-	(8)
При 7	она является решением системы (1), построен*
ным по начальной функции 11(7, х). В силу леммы 1.3
Мт [v; t. tQ] ^C(f -	[v. ъ /01.	(9)
|/n|^2d — 1.
Проведем оценку Mm[v; /0], Iм I = 2^ Представим произ-
водные порядка 2b в следующем виде:
х, ?) =
= J Dm [O0(t, 7, х-5, 0-1- W (t, 7, х, 01 а (7, 0<Я =
= /DmO0(t 7, х — 0 х)я(7, 0Я+
+	7. х, 0«(Т.0< (Ю)
Для
7, х,	7, х—о о—
—	7, х — a, x)-4-Dmr(/, 7, х. 0
в силу свойства 2 п. 1 § 3 гл. 1 и оценки W справедлива
оценка
l^(t 7. х, 0|<С(/-7)~Л » ‘ехр{—ср}.
Повторяя доказательство леммы 1.3» получим
Ъ 5)«Сь 5)^1	<
“	ИСЛ(О,ДГ
< С (/ - 7)"[«; 7. /0].	(11)
Для оценки первого интеграла в (10) проведем интегриро-
вание по частям, в силу предположения 2) и оценок 1Х”О0,
268
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ.В
при этом получим
|/DmG0(t т, х — t х)я(7.	=
= 1/D^O^t, 7, х-5, х)4-«(т, 0*1	<
<C(f-7)"TM и(ъ х)|	.	(12)
11 ох> Ucft(T)i N
Из (11), (12) получаем
(I т|-а
(/-7)" » h(7. *)llcftM7V +
K.\Jb
I т |—1 пл	и	\
+«-т) »|4«<ъ4>(лJ- <1з>
Из оценок (9), (13) и утверждения теоремы 2.1 о гельдеро-
вости производных от ф. м. р. следует, что v(t> х, 7) удо-
влетворяет условиям 1), 2), 3) и, следовательно, по доказан-
ному v(tt х, т) = я(/, х) при />т для любого у > tQ.
Устремим в (8) 7 к tQ, тогда v(t> х, 7) будет стремиться
к нулю при любых (/, х)£П(/0>^], что означает, что
u(t9 х)==0 в слое
Теорема полностью доказана.
4.	О корректности задачи Коши. Теорема 4.3 позво-
ляет установить корректную разрешимость задачи Коши для
линейной системы
§г= 2	*)£>*«+/('. *).	(I)
I* |<2»
lim u(t, х) = и0(х)	(2)
t-¥ +А)
в предположении, что коэффициенты системы (1) удовлетво-
ряют условиям теоремы 2.1.
Обозначим через	/,]) совокупность век-
тор-функций u(t9 х), определенных в слое П(/о, и удо-
влетворяющих следующим условиям:
1)	Dku(t, х), |й|<;/п, принадлежат Ck(t)t
«21
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
269
{п
S-1
2)	f || £>*«(*. х)11с*{0,лгЛ<-Ьоо5
/о
3)	Dku(t, х), |А|<т, непрерывны при t>t^ и для
каждого слоя Пг ♦ т существует постоянная С такая,
ГО' ч]
что
\Dfcu(t, х)— Dku(t, x')|min
ехр| —Л(02 <’) I <С|х — х'|“.
I <s«l J J
Вектор-функция u(t, х) принадлежит (Я[<„ /,|)>
если условие 1) выполняется для всех t £ [f0, ^], а усло-
вие 3) имеет место во всем слое П(<0, .
Наконец, вектор-функция и(х)^С<^'^(Еа'), если
1) D*e, |А|</ге, принадлежат CaN,
2) Dku непрерывны и существует такая постоян-
ная С, что для любых х, х' из Е„
|	(х) — D*« (х') | min
ехр{ — а 2 x'?|J <СС|*— х'[а-
Теорема 4'.3 (о корректности). Если коэффи-
циенты системы (1) удовлетворяют условиям теоремы
2.1 f(t, х^СадИП^), а ий{х)^:^(Еп), то век-
тор-функция
u(t, х) = f Z(f, t0, х, S)a0(5)^+
t
+Jл Jz[t, x, x, е)/(т, е)л=«1а. *)+«2(t x) (з>
является единственным решением задачи (1), (2), при-
надлежащим	,,])•
Доказательство. В силу теоремы 1.3 u(t, х) — ре-
гулярное решение задачи (1), (2). Нужно только показать.
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. 8
27CL
что u(tt x)^C^b(t)^N9 так как из теоремы 4.3 следует един-
ственность решения задачи Коши в этом классе при сделан-
ных о системе (1) предположениях.
Вначале установим, что
и (/, х) £	6]), т = а,
для производных порядка не выше 2d—1 и 7 <а для произ-
водных порядка 2d.
Из леммы 1.3 следует, что
1РЧ(^. ^llcft(/)tJV<C(^-^o)",‘lll«ollce,y 1*1 <2*- «>
Для |Jfe| = 2£
РЧ (t, х)| < | f DkZ(t, t0. x, 0 [e0(5) - «0(x)] ft I +
+ |«0(x)l IJ DkZ(t, t0, x, ?)Л|,
Отсюда с помощью леммы 6.1 и оценки (29) п. 5 § 3 гл. 1
получаем
|ОЧ(*. х)|<С(/ —ехр(л(ОЗ х? ).	(5)
I S-1 J
Отсюда
26-д
1РЧ(*. *)llcmAr<c('-4r " • Ю
Из (4), (4') следует, что ux(t9 х) удовлетворяет усло-
виям 1), 2) принадлежности классу С® (0,Tiv (П^о> ^). Третье
условие принадлежности этому классу следует из оценок
ф. м. р.» приведенных в теореме 2.1. Действительно, если
|х —	— ^о)26, то, используя гельдеровость DkZt за-
пишем
|Дх'-ж,	Х)|<
1*1+Т	( л »
<C|x-x'|T(f — t^r 2b ехр
V - s-1 J
§2]
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
271
Если же |х — х'|>(/ — /о) 2^, то можно воспользоваться
оценкой (5)
|Дх*-лг, х^^\ (t»
ехр{ Л(02 х’ l-bexpj Л(02 <11 <
L *	4-1 I I «“1	/ J
|Л|+Т-«
<С|х-х'|т(*-*оГ * X
X I ехр( Л(/)2S 4 } -НХ14 *(0S x's I I •
II 4-1 J I 4-1 J J
Из полученных неравенств получаем
|Дж»-х,	(/. х)| X
X min expl — k (/) T, xqs }	expl — k (t) 2	11
L I	J I s-1	JJ
i*i+t
<C|x — х'|т(/ — 2b ,
Переходим к изучению х). Представим его с помощью
свойства 7 ф. м. р. (оно справедливо и для функций f(t, х)
из	в виде
П*«2(/. x) = f dxf D*Z(t, т, х, i)f(x, В)Л+
6
/
4- fdx f D^Zit. x. x. 5)[/(t, t)-f(x, х)]Л +
"	t
4- f dxD*f Z(t. x, x, 0Л/(т. x).	(6)
(o
To что	x) удовлетворяет первым двум условиям
в определении	/()). доказывается также с помо-
щью лемм 1.3. 6.1 и оценки (29) п. б § 3.
272
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
Гельдеровость Dku2(t, х) по х устанавливается для пер-
вого слагаемого в (6) с помощью теоремы 2.1, а для двух
остальных — повторением рассуждений, приведенных при до-
казательстве свойства 10 (гл. 1, § 3, п. 5) объемных по-
тенциалов с ограниченной плотностью /(/, х).
В результате получается такая оценка:

2£>—|fe| — у Г	( п	1
<С|х-x'\\t-»	exp*(/)2*«} +
I	<5=1 J
{П
5=1 J J
показывающая, что Dku2(t, x) удовлетворяет третьему уело-
вию из определения С^^(П(/о> А)).
Итак, установлена принадлежность a(t, х), определен-
ной формулой (3), классу	/
Покажем теперь, что a(t,	Подставим
u(t, х) в систему (1) и полученное тождество запишем так:
•^=2 А^’	*)
1*1-2*
где
(7)
х)« 2 [Ak(t, х) —Ak(t,	х)+
|*|-2*
+ 2 Ak(t. x)D»e + /(t x),
|Л|<2*
у — фиксированная точка Еп,
Из установленного выше и предположений теоремы еле-
дует, что' Fw (Л х) £ с£’(<£ N (П(,ю А|), 0 < ? < а, поэтому
в силу теоремы 4.3
u(t, Х) = JO0(t. t0, Х-t, у)«о(?)^Ч-
4- pt J O0(t
T,
x — 5, y)F<*)(T,
§ 2]	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ	273
Рассмотрим производную
D*u(t, х) = f D^t, t0, x — l. y)«o(O^+
+ f dx f DkO0(t, x, x — 5,	£)<« +
zo
t
+ f dxf DkGQ(t, T, x — g, y)[F<y)(x, —	x)}(& +
*0
t
4- f D*f G0(t, x. x — 5, y)dtfW(x. x)dx. (8)
*
*0
Заметим, что в силу свойства 4 п. 1 § 3 гл. 1 последнее
слагаемое равно нулю. Положим в тождестве (8) у = х,
тогда получим
Dku (/, х) = f DkOQ (/, /0, х — 5» х) uQ (?) +
'о _
4- f dxf DkO0(t, x, x — l, x)F^(x, ЭЛ4-
fo
t
+ f dxf D*G0 (t. x, x — l, x) [F<x> (t. 5) —	(x, x)] dl.
zo
Для оценки первых двух интегралов используется то, что
F(">(t,	при f>0 и f Н^(тД)||Сй(х)>хЛ<
/о
< + оо, а третий интеграл оценивается с помощью свой-
ства 11 (гл. 1, § 3, п. 5) и того, что
|F^(t, 0 —FW(X, х)| X
X minlexp /—k(t) 2 х?|' ехр[—^(0 У,	— Ма*
L I 5=1 j I 5=1 JJ
18 С. Д. Эйдельман
271
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. 3
При этом получается неравенство
х) — Dku(tt x')|min
expf—
I 5-1
exp (—Л (0 2 х?
I	5-1 j
<C|x — x'\\
t > A?
Из всего вышеизложенного следует принадлежность «(/, х)
классу	Теорема 4'.3 доказана.
Если начальная функция обладает достаточной гладко*
стью, то построенное решение задачи Коши будет обладать
хорошими свойствами в замкнутом слое /,].
В линейных множествах	(^п) вве‘
дем нормы следующим образом:
II»(Л *) II»+«, к «) = sup f | Dku (t. х) | ехр	k (0 2	+
|Л1<т	'	3-1	'
sup
х, х>
\Dku(t, x) — Dku(t, х')|
|х —х'1« Х
х min |ехр (— k (0 2 А\ ехр (— k (0 2 х ?)| •
I \	5-1 /	J
II/(^llm+e, а —‘ II/OOllm+e, к (Л)*
Теорема 4".3. Если в дополнении к предположе-
ниям теоремы 4'.3 потребовать, чтобы f(t, х)£
€C^(nUei/d), а во^)бС^(£»)’ то Рвение задача
(1), (2) будет принадлежать	<t]).
При этом будет справедлива оценка
||«(t *)ll26+fc»w<C(||e0(x)||26+e,e4-||/(t х)||«,»(/)), (9)
где постоянная С зависит лишь от величин, определяю-
щих оценки производных ф. м. р, Z (t, т, х, 5) в теореме 2.1.
§2]	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ^ЗАДАЧИ КОШИ	275
Доказательство. Введем новую функцию v(t> х) =
==«(/, х)—«0(х), Т0ГДа в силУ теоремы 4.3 получим
v(t, x) = u(t, х) — а0(х) = J dx JZ(t, t. x, §fx(x, Qrf?.
x) = /(t x)-b 2 Ak(t. x)D*a0(x).
Запишем формулы для производных
t
D*v(t, x)=fdxf &Z(f, x. x, $)[Л(т, О-Л(т, x)]d5-h
t
+ f dx(D*f Z(t, X, x, ^)d^fx(x, jc).
4
Из этого равенства с помощью неоднократно повторяв-
шихся рассуждений устанавливаем, что Dkv(tt
для всех	и t£\tQ, При этом очевидно, что
нормы Dku (/, х) в Сл (/>t N оцениваются правой частью не-
равенства (9).
Наконец, то, что u(t, х) удовлетворяет условию Гель-
дера в П[4, /j в таком смысле:
\Dku(t, x) — Dku(tt х)| X
(	п	)	( п	) 1
X min ехр {— k (t) 2 •*? }• ехр {— (О 2	Iх—х'I"»
I	s-i	J	I	s-l	JJ
следует из свойства 11 (гл. 1, § 3, п. 5) и представления
Dku(t, х) = О*«0(х)-|-
t
+ f dx fD*O0(t, х.х — 1,х)№(х,	*)]«,
/о
где
/^(t. 5)= 2 {Ак{х, Э-А(’.	04-
|*|-2й
4- 2 Ак(х, l)Dtu(x, 04-Л*. 94-
|Л |<2*-1
18*

ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
Для установления оценки (9) нужно еще усмотреть, что
второе слагаемое из определения нормы || и (t, *)||2&+а, *(0
оценивается через правую часть (9). Это легко получается
из предыдущего представления Dku(t, х), если воспользо-
ваться свойством 11 и леммой 1.3 и учесть, что первое сла-
гаемое в Р1Х)(т, х) равно нулю, а производные Dku(t. х),
в силу отмеченного выше оцениваются по норме
N правой частью неравенства (9).
Для дальнейшего удобно сформулировать еще теорему
о корректной разрешимости задачи Коши в классе ограни-
ченных функций.
Теорема 5.3. 1) Если коэффициенты (1), /(/, х)
принадлежат классу С(0, а* О)(П[/о, т])» л (*) € С(2*’а)(£д)»
то u(t, х), определенная формулой (3), является един-
ственным решением задачи (1), (2), принадлежащим
2) Если коэффициенты системы (1) принадлежат
(о, а, —)
Ск 2Ь 7 (П[/о, у-]), то решение задачи (1), (2) принад-
(2ь, а,
лежит	2Ь 7 (ПИо> Г]).
Первая часть теоремы 5.3 следует из теоремы 4".3. Для
установления второй части записывается представление
Dku(tt x) = DfcuQ(it х)+
t
+ f dxf D*G0(t — x.x-tf. x)И’x)(t, ?)—F%‘x\x, x)]de,
?)= 2 1А(т,	x)]D&(x, ?)+
|*l = 2*
+ S л4(т, 5)D?e(t,0+/(t,0+ 5
и используется свойство 11 (гл. 1, § 3, п. 5).
Отметим, что попутно установлено такое полезное
Свойство. Если коэффициенты (1) принадлежат
С<°’ ” ) (Пи„ rj), f (t, х) е С(°’ 0) (П1<л Г1), и0 (х) € С(2Ь’ в)(Ея),
то решение задачи Коши (1), (2), принадлежащее
c(2ft,r’^’) (П1/в> Г)), принадлежит С^Ь‘	rj).
S 8]
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ
277
Если в С**’	26 * (П|/„, rj) ввести норму
Il«llm+a=^ S«P \&U(t, Х)| +
(Г,Ж>€ 14и Т|
SUO	X) —Р*а(Г, х')|
I 5UP	!Г\а ’
“ЯЛТГ''-" Gx'-xp+ir-,^
то из всего вышеизложенного в случае 2) следует и оценка
||«(А А;)||2,+в<С(||«0(х)||26+а, 0+ ll/а. Х)||а,о),	(10)
в которой постоянная С зависит от величин, определяющих
оценки производных от ф. м. р. Z(t, т, х. £) в теореме 2.1
и константы Гельдера коэффициентов системы по t.
В заключение приведем одно следствие из теорем 4.3,
4'.3.
Следствие. Если в однородную систему, для кото-
рой, выполнены условия теоремы 2.1, не входят производ-
ные порядка, меньшего | k |+ 1, то J Z(t. t0. х.
—xkE.
§ 3. Задача Коши для некоторых систем
с растущими коэффициентами
Проведенное в § 5 гл. 1 изучение ф. м. р. некоторых
параболических систем с растущими коэффициентами и рас-
суждения § 1 настоящей главы позволяют доказать для та-
ких систем ряд утверждений, аналогичных теоремам 1.3, 2.3.
1. Системы с диссипативной главной частью. Рас-
смотрим параболическую систему
^г = 2 Ak(t. x)Dkii+ 2 Ak(t. x)Dku^
\k\<2b
= P(t. x\ D)u, (1)
В этом пункте будем предполагать, что коэффициенты си-
стемы (1) удовлетворяют условиям теоремы 3.1; тогда у нее
есть ф. м. р. Z(t. т, х. $), для которой справедливы оценки
\DmZ(t, г, х, Ы<Ст 2	2ft f\x)ee{X)~e{i)~Ct,
/<|И»1	(п\
278
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. 8
|/п|<< 2d, где g(x)— любая функция, удовлетворяющая не-
равенствам \DJg(х)|<Cpif*J1 (х), |/| == 1, 2..2d;	/(х)—
характеристика диссипации.
Введем пространство Lpt к g м вектор-функций и (/, х)
таких, что u(t, х)ехр{—g (х)} принадлежит Lpt N и
«11£	= II« (t *) ехр {—£(*)} ||
/>.»(/). g U)	р, »«), N
Из оценок (2) и леммы 1.3 следует оценка
(3)
Из последней оценки, замечания 1. п. 1 § 5 гл. 1, обыч-
ных свойств ф. и. р. так же. как теорема 1.3, доказывается
Теорема б'.З. Пусть система (1) удовлетворяет
условиям теоремы 3.1. Если f(t,x) удовлетворяет
условиям'.
а) условию Н в каждой области 36»
»0.в
|х|<<0;
б) №ми-/ «/('•
<•
тор-функция
и (/. х) = JZ(t, t0, х, ?)йо(5И+
+ fdxf Z(t,x,x.t)f(xA)dl (4)
является решением задачи Коши
||««.ж)-«о(х)||£л1тгМ = 0	(5)
для системы
*L=P(t.x,D)u+f(t.x).	(6)'
Для u(t,x) справедливы оценки
sal
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ
279
Если в дополнение предполагать, что коэффициенты
ДД/,х) имеют |Л| гельдеровых в каждой ограниченной
области 3),	производных, удовлетворяющих
оценкам |D' Ak (t, x)j < Ck) {f (x)]2*|/| < |A|.
то решение задачи (5), (6) единственно в классе функ-
ций u(t,x), удовлетворяющих условию
/* ||«(/, х)|1,	Л<+оо, 0<е.<1.
л>
Заметим, что оценка (2) справедлива, если в качестве g(x)
взять (1 —ej)g(x), поэтому теорема 5.3 означает, что в про-
странстве Мр	задача Коши корректно разрешима.
2. Системы с растущими коэффициентами. Пусть ко-
эффициенты параболической системы
Ak(t,x)D*u	(1)
1*1 <2*
достаточно гладкие и удовлетворяют неравенствам
/	2*-1*1 \
|Л*(/,х)|<сД1+ М 2*-1 )•	(2)
Тогда в силу рассуждений, приведенных в п. 2 § 5 гл. 1,
найдется такое большое прложительное число А, что если
Мл)1-2*, то у системы (1) существует ф. м. р.
Z (t, т, х, В). Для Z (I, х, х, Q справедливы оценки
\D^Z(t. х. х,	X
X ехр [g(t,х)—g(x,t)—ер}, (3)
g(f.*)= (fr (Xa)2&\/_<o)]w-i; ПО9ТО“У для таких си*
стем корректно разрешима задача Коши в классах функций,
растущих как в достаточно узкой полосе /,).
Теорема 5". 3. Пусть коэффициенты системы (1)
удовлетворяют условиям’.
280
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. 3
1)	существует такая гладкая функция равная
1
яря |х|>1 CI*!2*-1, что |^ЛА(/,х)|<Ср[/(х)]2й‘,й1,
|$ | 2Ь\ матрицы Bk (t, х) = Ak (t, х) f	непрерывны
no t равномерно относительно x\
2)	производные Dk A (t, x), |&| =2bt гельдеровы no x
в каждом конечном цилиндре полосы 11(^1 •
Тогда вектор-функция
u(t,x) = fZ(t,t0,x,i)u0(i)^	(4)
с ао(х) £Lp,a,g(t,x) — решение задачи Коши
lim ||и(Лх) —а0(х)||,	=0
/->+6	^ptatg(ttx)
для системы (1).
Решение задачи Коши единственно в классе функ-
ций u(t,x), удовлетворяющих условию
tx
Г ||«(*,х)||г	d/<4-oo.
/о
Аналогичное утверждение справедливо для неоднородной
системы и систем, близких к линейным.
Заметим в заключение, что если коэффициенты системы (1)
удовлетворяют оценке |Ял(Л х)|Ck (1 + |х|)26"|л1’в, е > 0,
—1, то, записывая систему (1) в виде
^=2 Ak(t,x)b^u+ 2 A^t.x^u,
|Jfe|<2d-1
Л (/,*) = Ak(ttx)
и применяя рассуждения § 5 гл. 1, можно получить факт
существования решения, предполагая лишь гельдеровость
коэффициентов по х.
3.	Некоторые примеры. Здесь будут приведены некото-
рые примеры, показывающие существенность ограничений (2)
п. 2 на рост коэффициентов для единственности решения,
задачи Коши.
« ч _	ди д2и z \ z к
1)	Рассмотрим уравнение	— q (х) и\ q (X) — до-
статочно гладкая функция, равная —|х|2+‘, е>0 при
|х|>хо>О(хо — достаточно большое число); покажем, что
§3]
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ
281
для него задача Коши имеет неединственное решение уже в
классе функций, принадлежащих £2(—оо,оо) при каждом t.
Для этого рассмотрим обыкновенное дифференциальное урав-
нение
— &+?(*) у=х у-	(1)
Нас будут интересовать его решения, принадлежащие при
каждом к из полуплоскости Re Х^<з0 пространству L2 (— оо, оо),
аналитические при таких X и не слишком быстро расту-
щие при |Х|->оо. Существование таких решений устана-
вливается с помощью методики, изложенной в известной мо-
нографии М. А. Наймарка *), при этом основное внимание
сосредоточивается на свойствах рассматриваемых решений,
как функций X.
Уравнение (1) обычным путем приводится к системе
£ = ЛГ. У =g;).	=	(2)
С помощью преобразования
/р+ 8р«
Р = /Х —?(•») .
система (2) преобразуется к виду
£“(о _°)Z + C(X.X)Z.	(4)
где в силу сделанных о q(x) предположений элементы ма-
трицы С, суммируемые по х функции, аналитические по X
при <5^а0>0, Х = а—|—/т.
Вводя вместо Z новые неизвестные функции так:
Z = ехр
p(U)^ (У
, или так:
Z = exp
Хо
*) М.. А. Н а й м а р к, Линейные дифференциальные опера-
торы, 1954, стр. 164, 270.
282
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ.3
получим две системы уравнений, которые решаются анало-
гично. Приведем первую из них:
d	(6)
“57" = — 2^1 + С21 *11 + С22 ^2*
Ищется ее решение, удовлетворяющее таким условиям на бес-
конечности
lim ^(х, X)=l, lim 7j2(x,X) = 0.	(7)
х->+оо	Х->+оо
Задача (6), (7) сводится к системе интегральных уравнений
Ч1(х.Х)=1 — f (cub + Wl№
X
со 21 J р(6Х)Л
Ч2(х,Х)=— f е х	(^21^1 +
которые решаются методом последовательных приближений.
Легко доказывается, что последовательные приближения
т^(х9 X) мажорируются функциями
п
ет(х,К) у С(Кд
Л-О
где
оо
С(Х) = тах f 2icv(e,k)|dg,
* 1
<р(х. Х) = 2 J |Imp($,X)h&
Жо
Так как из конкретных формул, которыми определяются
Сц(х, X), видно, что С(Х) за счет выбора х0 может быть
сделана как угодно малой равномерно по X, то отсюда сле-
дует, что тйл> (х, X) —t ц (х, X) равномерно по х, X при х > х0,
Л-Хо
83]	ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ	283
ReX>-e0. Таким образом, получаем решения системы (6),
аналитические по к и удовлетворяющие неравенству:
И/(*А) К С ехр
ОО
2 f |ImpG> Х)|«Ц
X
О)
Аналогично строится решение второй системы (0, (х, X),
02(х, X)). Возвращаясь к функциям У, получаем существование
двух линейно независимых решений уравнения (1), аналити*
ческих по X и удовлетворяющих при х > х0 таким оценкам:
1 " )
(л;.Х)|СС[рР 2 ехр З J |Imp(U)|<«[. /=1,2. (10)
ль	J
Аналогично строятся два линейно независимых решения
Уу х < — *о» аналитические по X и такие, что
|у7(х.Х)|<С|рГ 2 expj 3 f |Imp(t X)|d?	(10')
I ""°0	J
X
Оценим теперь J* |ImpG> X)| d\ при |X|-»oo. Из равенства
Ж>
|Im p G, X)| =- |T|
V* V V(-«G)+’)*+’*-9 G)+•
следует, что
|ImpG.X)|<|t|2.	|ImpG.X)|<|t|(-?G))“T.
поэтому
1
Jt	|T|2+« j	oo	,
f |ImpG.X)|rf?< f	+ f
A	Xo	1
!=4TS-;	(»>
Дальше поступим таким образом. Возьмем одно из решений
^7 (х» ^)> например	и по начальным данным
УГЧ—ХоаК),^Ч—Xq, X) построим решение уравнения (1);
284
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
оно, очевидно, будет аналитической функцией X; рассмотрим
это решение в сегменте [— х0, х0]. Его возможный рост по
X оценивается на основании тождества
У (х.х) = У1 (— *0.х) -+- (х + Хд) у{ (— Хо, X) +
+ -А / (х-Э[Х-?(!-)ly(t X)dt
ул
-*о
из которого и леммы Гронуолла следует, что
|У(*.Х)К(|У1(—*o-x)l + 2lxol |yj(—*0>Х)1)Х
Xexp{2c|x0|/iXf},
что означает, что для у(х,Х), х £ [—xQt х0], имеет место
оценка вида
iHx.XJKCexpJcIXI1-8}.	(12)
А дальше функцию у (х, X) при х х0 представляем в виде
линейных комбинаций функций yj" (х,Х),/= 1,2. Легко про-
верить, что при этом
У (Хо. X) У2 (х0, X) у+ (х. X) — у+ (х0. X) у2+ (X, X)
У' (х0, X) у+' (х0 ,Х) у? (х, X) — у+' (х0. X) у2+ (х, X) *
Из асимптотических представлений для у у легко усмотреть*),
что №[у/» У2+1 зависит от х и X и равен — 2Z. Таким
образом установлено существование аналитической по X при
функции у(х,Х), удовлетворяющей уравнению (1), для
которой справедливы оценки
/|y(x.X)|2dx<C1exp {с2|Х|1-8}.	(13)
|у (х, Х)|<Сехр {cJXI1-8}.	(14)
*) М. А. Н а й м а р к, Линейные дифференциальные операторы,
1954, ₽тр. 270.
$3]	ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ	285
(Оценка (13) следует из того, что при |х|^-х0 |у(х, Х)|<^
-1- —
^С|х|	»2 ехр {с, |Х|1-8}, и оценки (12).)
Воспользуемся теперь тем, что существует аналитическая
в полуплоскости а < — а0 функция М (X), удовлетворяющая
неравенству*) \М (Х)|^Сехр {—2с2|Х|1-8}. С помощью ее по-
строим функцию у (х, X) = М (X) у(х, — X), у (х, X) — аналити-
ческая в полуплоскости Re X < — а0 функция, удовлетворяю-
щая неравенству
|«(х, 1)| <Сехр {-с2|Хр-8}.	(15)
— 99+1 СО
Функция u(t, — j* euv(x, tydk, принадлежащая
— во— I со
при каждом t L2(—оо, оо), — нетривиальное решение урав-
ди д2и z ч	дл
нения =~^2 — Я (*)оно равно нулю при t = 0, так как

Зтс
2
f у(х, \)dk <С f ехр{—c2R1-8} Rdf ^^->0
CR	2L
2
(CR — полуокружность радиуса R с центром в точке Xq =
= (-а0, 0)).
2)	Рассмотрим уравнение
-^- = а(х)2^+а(х)а'(*)^-.	(16)
Если ввести новую независимую переменную z — I Д-
то (16) перейдет в уравнение теплопроводности —
Если 2—оо при х —> —оо, —оо при х-> — оо, то
*) С. Мандельбройт, Примыкающие ряды, Регуляриза*
ция последовательностей, Применения, 1955,
286
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. 3
в силу теоремы Тэклинда решение задачи Коши для (16)
будет неединственно, например в классе функций | и (t, х)|
х 2+*
• В частности, если а(х) = х* при
о
|х|	1, а < 1, ч то единственность нарушается в классе
|«(/, х)|<Сехр{|х|(1-‘И2+,)}.
ОО
Если по крайней мере один из интегралов J* ^(y)dy9
о
о
J* ^(y)dy сходится, то задача Коши имеет неединствен-
—оо
ное решение в классе ограниченных функций. Действительно.
ОО	X
если J* a-1(y)rfy = X и J* а"1 (у) йу — В, то функция
о *	о
и (t, х) = — 1-|- -Д=- Г ехр {— z2} dz удовлетворяет
у те J
г О
уравнению (16). ограничена и lim«(f, х) = 0.
/->о
§ 4.	Локальная разрешимость задачи Коши
для произвольных нелинейных параболических систем
В настоящем параграфе будет установлена корректная
локальная разрешимость задачи Коши для нелинейных пара-
болических систем вида
-g- = F(t х, D*u),	|Л|<2*.	(1)
s F— вектор-функция с N составляющими, в классе доста-
точно гладких ограниченных функций. Для этого она будет
сведена к эквивалентной ей задаче Коши для некоторой
квазилинейной параболической системы, а последняя решена
методом последовательных приближений с помощью ф. м. р..
построенных в § 3 гл. 1. Ниже излагаемая методика позво-
ляет решить задачу Коши и для систем высшего порядка
по но здесь такими системами мы заниматься не будем.
§41
ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
287
Дадим следующее
Определение. Система (1) называется парабо-
лической в смысле И. Г. Петровского в области
|О*«|<А1, |&|<<2£}, если корни
уравнения
D(k, 0) = detf| 2
dFj
d [Dkuj\
(Za)*F — Xf| = 0
lli. I
удовлетворяют неравенству ReX < —В при (t, x, D*u) £ Q
u | о | = 1, 8 — положительная постоянная.
Будем исследовать разрешимость задачи Коши
«L.+6=°
(2)
для системы (1).
I. Сведёние задачи к эквивалентной задаче Коши для
квазилинейной параболической системы. Установим, что
если отыскивать решение задачи Коши в классе достаточно
гладких ограниченных функций, то решение задачи (1), (2)
эквивалентно решению задачи Коши для некоторой квази-
линейной параболической системы.
Пусть u(t, х) — решение задачи (1), (2), имеющее 2Ь 4-1
непрерывных производных по х, удовлетворяющих условиям:
*)| < Al, |£|<:2fr, D«|/_+/o'==O. Предположим,
что F(t, х, у) имеют в Q непрерывные производные по х, у.
Нам будет удобно записывать правую часть системы (1)
в виде
F(t. х, ГУ и, Dput ГУ и).	|г| <2£ — 2.
|?|=2&.
|p|=2ft— 1,
Продифференцируем систему (1) по хт (т — 1, 2.л):
д ди __ dF । dF ру ди
dt дхт ~~дх^' d[Dru] U -д^
дР Рр ди
д [Фи] дхт
&F j-м ди ,п!\
d[D4u] D дхт' (30
Здесь и в дальнейшем повторение индекса означает, что по
нему проводится суммирование. Припишем к системе (3^
288
задача КОШИ
[ГЛ Л
систему (1), представив ее в виде
l)d-1Ad«4-F(t х, D'a. Dpu, Dqu}~	
A —	_L	l dx{ *••• “l"	(Зй
В системах (3') и (3') введем обозначение = vm и за-
пишем их в виде
dvm		dF(t, x, DTu, Dp~1v/l, D‘!~lvk) n4-i dvm .	
dt	dlD’”1»*]	dxk 1	dF	I dF jy du . dP	. d[D₽-1vft]	dxk d[Dra] dxm dxm’ 1 -^ = (-l)ft-Wu+F(/, x, Dru, Dp~lvk, D’-4)+		(3)
	n +	<32) /-1	
Получилась линейная относительно производных порядка 2Ь
от и, vm система, состоящая из (п-1- 1)М уравнений.
Присоединим к системе (3) начальные условия
«!/-+/. = °- ®mb-+/o=O-	(4)
**4
Заметим, что квазилинейная система (3) является парабо-
лической, так как характеристическое уравнение для нее
имеет вид
(HI’IWfc а)]“ = 0,
где О(Х, а) — левая часть характеристического уравнения си-
стемы (1).
Итак, если u(t, х)— решение задачи (1), (2), удовлетво-
/ ди \
ряющее указанным выше условиям, то I ut -g -- J — решение
задачи (4) для квазилинейной параболической системы.
Покажем теперь, каким образом, зная решение квазили-
нейной системы (3), получить решение нелинейной системы (1).
>4]
ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
289
Будем предполагать, что F(f, х, у) принадлежит простран-
ству С(2, “’°*(Q), а производные , |Л|=2д, непре-
рывны по t равномерно по х, у из Q. Пусть w = (w, ^m)—
решение задачи (3), (4), определенное в полосе П(^о> Г] ==
= {Zo < Z Т, х £ ЕЛ}, принадлежащее пространствам
С(2М.°)(П[<° Г]) и с<2*+1,т.0)(п(/в Г]) с некоторым 0 < -у < 1.
и такое, что |D*w(Z, х)| < Л4, |&|	2& — 1, и Dw\t_ +/о = О.
Тогда u(tt х) — решение задачи (1), (2), принадлежащее про-
странствам С(2*+1’т’О)(П[/о, г]) и С(2*+2, т’0) (П(/о, г]) (определе-
ние этих пространств приведено в введении).
Действительно, если будет показано, что
/	1 л	\	ди
(zn=l, 2,	п), то, вставляя — вместо vm
охт
лучим, что u(t, х) является решением системы (I). Докажем,
что vn = -^-. Для этого продифференцируем систему (32)
по хт и результат вычтем из (30, тогда получим
ди \ - df pi-i dvm ।
dt\m dxj
। dF Dp-i дУт
d[D₽-41
dF
да
=^-—
т дхт
в (32), по*
дхь
дР D9-i dvm _
дхь d[D9-1vft] дхт
__________ гур-'^к I /	d2vi
d[DP-lvk] <>хт~Г( l> а Z4dXldxm
илт
Если
(5)
(/, OT=1, 2....n),
dxt dxm v
то из предыдущего равенства следует, что
dt\Tm дхт)	а \т дхт
Учитывая, что (vm—^-)|	= 0, и применяя теорему
\ dxm/l(.+t	ди
единственности решения задачи Коши, получим Фт =
ихт
Остается доказать равенства (5). Для этого /n-е уравне-
ние в (Зх) продифференцируем по хр a Z-e— по хт и из
первого вычитаем второе, тогда относительно разностей
19 С. Д. Эйдельман
'290
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ} а
* Дт1 =	----получим линейную однородную параболи-
OXi ОХт
ческую систему. Покажем это.
Так как в образовании разностей производные от и (tt х)
из системы (3^ не принимают участия, то для сокращения
дальнейших записей введем следующие обозначения:
. P(t, х, Dru, Dp~xvk,	х, Dp~xvk,
p ___ dF I dF jy du
m дхт~Г d[D'u] dxm‘
Тогда относительно Дт1 получим систему уравнений
d&mi
dt
(6)
где
р. ,. __ р , _|_dFm пР~г dvh I
<m/> ml+ d[Dp-lVfJ D dxj
I dFm Dq-i dv± , dF др-i d*vm .
d[Z)'7-1vJ dxi d	dxkdxt
I&F Dq~^ d2vm ।
d[Dq~	dxkdxi
_ I I	____।_________________£)p' -i dvs .
H	dxt “Г
I&2F^Vft I Dp~x dVm 1
dxi J dxk
। I_d?i_ ._____________d2F__Dp-i dvk .
"T” I d [Dq~1 vj	d [Dq“Ч] d [DP-4k]	дхг ~Г
I_________&2F____Dqt&Vs I ^Vft^
dxi J dxk ’
5
Представим F<mz> в виде суммы 2 a F<im> coot-
5
ветственно в виде 2 Wk и преобразуем разности Wk — ^k-
, w _ р	Пр~^ d2Vfn I_d2Vm
1 ml	dxkdxi	dxk dxt*
’ r>- - tiAj-0'4"' +	D'4-
$4]	ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ	291
W2 =
W2—W'2
d{DP-xVk\d{DP'-\s\
Гз— Wz	д2р
дРщ	dVk I____&vk I
d[Dp-1vJ	dxt ^[D47-1^] dxt
I____pp~x &Vm |__________ду-i dvm
d[Dp-1vJ dxk d[D^_1uJ dxk
Dp~x Д I $^1 Пр~х A I
7i^4TD ^kl+d[Dp^vk]D *mk +
I____dFm rfl~XK —1______d/7/ ГА~ХК\
+ d[D«~41 ° A*/+ <HD*-4I
&P Dp'~x dVs Dp~x dVm ,
dxt dxk
_________________f qp'-1 &vs Dp~x &Vm _
d[Dp~x vj dlD^'”1^] L dxi dxk
_ dp'-i dvs DP-i &°l 1
dxm dxkJ *
Во втором слагаемом поменяем индексы суммирования р с pf
и s с k> тогда получим
ltz-з — Гз =-------—--—:----fD₽'-1	Dp~x —
3	W’tbJdlD''-1»,] L dxt дхк
dxm дх^J
___________________Гdp’-\ dVs_ DP-1 dvm _
d[D₽-1t>ft] d[Dp’~1vJ I dxt	дхк
dp'-i dvs Dp-i dvk . др'-i dvs Dp-\ dvk
dxt dxm * dxi dxm
_dp-i4^cp'-i4!11:=
dxm dxs\
___________________Г r\P'~l Dp~lL -4-
dlDP-'vJdlDP'-'vJ L dxt	ml,^r
+ Dp~l Dp'~' Д,Л;
dxm «J
др. U7. =_____________——=— D" -l Dq~1
4	d[D?-1v*ld{D№ -1vJ dxt дхк.
19»
292
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
преобразуется так же, как IF3 — IF3, при этом получается
“7-	И "%	+
Для преобразования IF5 — IF5,
ш'_________d2F______/Э^-1 &Vk Г)р~1 dVm I -
5 д [DP'1 vk} d	dxt dxk
[_______________QP'1 &Vk D^'1 dVm
d[£^_1vj	dxi dxk
запишем
_________________________J Гp4'1 dVk Dp“1 dVm_
d[Dp'1vfc] d[Dq~1vk] 1L дх/ dxk
dxk dxm\ 1
I ГДР-l dvk Dq-l dvm _ D1-l dvk 1 dvt 11
' L dxi dxk	dxm dxk\i9
Преобразуя выражения, стоящие в фигурных скобках, полу-
чаем равенство
= яв,-W-41 Я0'-11 £>'”,д-+
+ DP-1	1_|_
•	п 1*	I 1
илт	J
+ [^'1	Я-'^+ОГ-1	D”- 1дм] }.
Таким образом, система (6) преобразовалась в систему
^=^-чт°'д"-+ S S
1 *J	Z,/-1 | k
где в Fmuj входят различные первые и вторые производные
от F и производные от vs до порядка 2Ь. Так как AmZ |+^=0,
то в силу теоремы 4.3 Дт1 = 0.
§4]
ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
293
2. Локальная разрешимость задачи Коши для квази-
линейной параболической системы. Рассмотрим задачу
Коши для квазилинейной параболической системы
5'= 2 Am(t. х, C^u)Dmu-\-F(t, х,
|m|-2>
sP0(Z, X, Dkir, D)«+F(/. x,	(1)
(|Л|<2*-1),
Ч-+<=°-	(2)
Обозначим через Q область Л»	|У/1 < Af,
7=1. 2....V}.
Справедлива следующая
Теорема 6.3. Пусть коэффициенты оператора
PQ(t, х, у; D) определены в области Q и Принадле-
жал. Л
жат пространству Cv 2b 7(Q), aF(t. х, у) классу
C(o,a’o,1)(Q), 0<а<1. Задача (1), (2) имеет единствен-
(м,*, —)
ное решение, принадлежащее классу	2Ь 7 (П^о> /в+д]).
Д > 0. Величина временндго интервала Д зависит от
верхних граней модулей коэффициентов и правой части
системы, верхних граней модулей их производных,
их констант Гельдера и Липшица, чисел а и 8 из
условия параболичности и области Q (т. е. чисел
Доказательство. Проведем его в несколько этапов.
а) Установим возможность нахождения последовательности
вектор-функций um(t, х), т=\, 2...удовлетворяющих
уравнениям
2 W *. x))Dkum+
|Л1-2д
+ F(t x,	x)) =
= P0(f, x, ит_^. xy,D)u+F(t, x, Um_x(t, x)),	<
*)=	*).....D4n-1(*.	*). • • -h
|A|<2Z>—1.
=po(t X. 0; D) «0+ F (t, X. 0),	(3$
2&4
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ.З
начальным условиям
+/0 = 0	(4jb)
и определенных формулами
«и(/, х)=? fdt	t, х, 5)F(T, 5,	5))Л, (5J
*0
где Zm(t, т, x, £) — ф. м. р. параболической системы
% = X. um_x(t, х); D)u = Pm(t, х; D)u. (6„)
Если t — tQ достаточно мало, то формулами (5т) могут
быть последовательно определены вектор-функции um(t, х),
имеющие 2Ь непрерывных ограниченных и гельдеровых по
/, х производных. Доказательство этого будем проводить
по индукции. Б силу условий теоремы функция uQ(t, х),
определенная формулой (50), дает решение задачи (30), (40).
Проведем оценки х). Через Со, Ср ... будем обо-
значать постоянные, зависящие от верхних граней модулей
коэффициентов и Fv их постоянных Гельдера, числа 8 из
условия параболичности и чисел М, а, Т — tQ. При этом,
как и выше, различные постоянные будут обозначаться оди-
наково.
В силу свойства 10 (гл. 1, § 3, п. 5) получим
2ft-| k |+»
I Д/, «о I== I & “о *)	^х' во (^ » х ) |
2&-| k |+а—у
<Со(/-<о)	<Г,
(7о)
|Л| -< 2Ь (в случае |Л|=0 в (70) вместо |6| стоит а),
(t, х), (I', х') £ П(/о, r\t </', d — параболическое расстояние
между тачками (/, X) л. х'). т = а для | k | < 2ft, 7 а
при | k | == 2b.
Выберем Aq = max(£ — /0) так, чтобы C^b < М, < 1,
тогда
' РЧ(/,‘х)|<Л4,	|£| <26.	(8q)

ЛбКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
295
Из (7о) следует, что
т
|ДО*и0(/, x)|<Af1d’r,
(%)
»-т
1*1 <2d, /0</<Г</04-А).	= Из (во), (^
^.т. —1
следует, что а0(/, х)£С\ w ' (П[/о,,,+4(lj).
Рассмотрим уравнение (3j). Ak(t, х, U0(t, х)) ограни,-
чены и удовлетворяют условию Гельдера по Л х. Поэтому
существует ф. м. р. Z^, т, х, 5), F(£, х, х)) также
ограничена и гельдерова по /, х.. Итак, решение иг (t, х)
задачи (30, (40 дается фэрмулрй (50. Опять, применяя свой-
ство 10 (гл. 1, § 3, п. 5), получим неравенства .
• 2P-I fel+g
|D4(t х)|<С1(/-/0)	»	,
IД/,	(t. X) I < С, (/ ->0)	d1.
(Л)
Выберем A =₽ max (t —10) так, ч!обы A Aq, CjA^ < M,
«-Т
CjA 2*	получим .
!©*«,(/, x)| <Л1,
. т
|D»ei(/, x^Xtf- 'o)^
|*| <2d,
|A/t (t, x)| <	.
(8.)
(9j)
"Пусть установлено существование вектор-функций um(t, х),
т = 0, 1......р, определенных в слое Пр„<,+д] и удовле-
'творяющих неравенствам	,
' ” ‘ *’ • т
|*j<2d,	m==0, 1, .... p.
Докажем существование u^+l(t, x), определенного в том же
слое /<+д] и удовлетворяющего неравенствам (8^+^, (9^+i).
296
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
Рассмотрим систему (3^0, Ak(tt х, Um_x(t9 х)) удовлетво-
ряют условию Гельдера по /, х и ограничены, при этом кон-
станты Гельдера коэффициентов и максимум их модуля огра-
ничены, в силу индуктивного предположения, теми же кон-
стантами, что и в случае т = 1. Поэтому постоянные
в оценках производных от ф. м. р. Z(t> т, х, Е) и констант
Гельдера этих производных не зависят от р (ведь согласно
теореме 2.1 эти постоянные определяются верхними гранями
модулей коэффициентов, их константами Гельдера, характе-
ром непрерывности коэффициентов по Л т. е. числами Л1г
и а, и числа 8 из условия параболичности). В силу нера-
венств (8Д (90 постоянные, ограничивающие модули соста-
вляющих вектора F(/, х, ^в1(/, х)) и константы Гельдера
по х этих составляющих не зависят от р. Поэтому функ-
ция х), определенная формулой (5^+1), является ре-
шением задачи (3^+0, (4^+0, и для ее производных спра-
ведливы оценки
2&-|
(t, х)|<С1(^— *0)
2&-|Л|+а~7 *
| ^IJCD%+1 (t, х) | < Ct (t -10)	* d\
где Cj такое же, как в оценке (70. Отсюда следуют оценки
(8^+0, (9ц+1) в слое Щ/о» *•+*!• Таким образом, установлено
существование последовательности решений задач (3m), (4т),
ит (t, х), определенных в слое П^о> /о+д] и удовлетворяющих
неравенствам (8m), (9т).
б) Установим сходимость последовательности um(t, х).
Введем обозначение em(f)= sup 2 |z>4('. *)-
х^Еп |*1 < 2Ь
— ат-1(^’ *)1> и-1(^’	— Запишем на основании (3^,
(3m+i) уравнение для разности	x) — am(t, х):
—*); D)[“m+1 —«ml +
+ [P0(/, x, Um(t, x); D) — P0(t, x, Um_x(t, x);
x,	x, Um_x) =
= P0(t, x, Um(t, x); D)[«OT+1 —«J + Ф^. x).
+re = O’
§4]
ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
297
Используя теорему 5".3 из § 3, получим
«т+1 —«т= f f Zm+l(t> X. 5)Ф(Т,
А)
Применяя оператор Dk, | k |	2d, к функциям, стоящим
в предыдущем равенстве, получим
°* («/»+! —«л») = f dx f	T. X, 5)Ф(т, Q Л.
Используя условия теоремы и оценки (8т), оценим Ф(£, х):
|Ф(0 Х)1<| 2 X, Um(t, х))-
||Л|=2&
-Ak(t. х, ит_га. x)')]Dkum(t, х)| +
+ |F(t х, Um(t, x)) — F(t, x, Um^(t, x))|<
<C2 2 |Oft(«m-«m_1)|<C2em(0.
I» l <2*
Используя оценки DkZm+x (t, t, x, $), | к | < 2b, оценим
Pft(wOT+1 —«m)|:
/	/•	Л+1
h
X exp {— cp} dl, < C2 J (t — t) (t) dx.
Отсюда получаем неравенство
«m+l (0 <C2f(t- Sm(i)dx, m = 0, 1..............
из которого легко следует, что
em(O<supe0(OnB(^-’
Л-1
298
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
для /£П0,	Из последнего неравенства следует равно-
мерная в слое П ,о+д] сходимость последовательностей
X), 1*1 < 2b. Действительно, оценим ряд
со	оо
2 |D*(««-e„-l)| <£•«(*)<
Й1-0	т«=0
ги	щ
< sup е0 (t) 2.С2т П в (А., i + 2^1Vf_Q2F<
m»0
о° / i \т
«supeHOS^^ [Г(^-)Г“7—
1	т-0	rU4
2b J
Рассмотрим теперь последовательность производных по-
рядка 2b: Dkum(tt х), |£| = 2д. Из оценок (8m), (9т) сле-
дует tt компактность в каждом цилиндре	{| х | v,
Но» ^о + ^П- Диагональным процессом можно выбрать
подпоследовательность D^um^t, х), равномерно сходящуюся
в каждом из цйлиндроЪ V*. Ее предел обозначим через v (t, х).
Так как Dk~1am(ft х) равномерно сходятся в слое П/о>/о+Д]
к Dk"1u(ft х), то x) = Dku(tt х) в силу замкнутости
операции дифференцирования.
Покажем теперь, что равномерно в каждом цилиндре
Vv, /1 {| х | v, Пр £0 —|— А]}, tx > ^о> сходится последова-
ла
тельность	Для этого, используя уравнения
(3/п^), запишем
^'(вя,;+р —“m/)=	[Л*(^ х' Um)+p~1)~
— An(t, х, иmri)]Dkumj+p +
+ 2 л*(^’ х' UmJ-1)D’t(amJ+~a'nj)^'
|*|-2*	7 Р
+ F(t, х, Um)+p^-F(t, х, Umr^
p=L 2, .... Из того, что для |k| — 2Ь равномерно
в каждом цилиндре сходится подпоследовательность
14]	ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ	299
(/, х), а при | k | < 2b — вся последовательность
Dkum(t, х), Ат и F удовлетворяют условию Липшица, то
получим, что
|1г(в'я/+Р —вя,/)| <е
для достаточно большого /, любых положительных р в V\
да”Ч
т. е. —0*' равномерно сходится в каждом цилиндре
_> ди
поэтому	в
Используя все вышеизложенное, перейдем в равенстве (Зт)
к пределу при ту—>оо, тогда получим, что предельная
вектор-функция u(t9 х) является решением систем (1).
Равенство u(t, х)|/в + ,=0 очевидно.
Из неравенств (8m), (9т) следует, что и (t, х) принадлежит
Ъ ' (Е[/о,/о+Д])- Подставим u(t9 х) в (1) и полученное
тождество рассмотрим как линейную параболическую систему,
воспользуемся свойством решений таких систем, сформули-
рованным при доказательстве теоремы 5.3 (§ 2 настоящей
главы), из которого получаем, что
«(/, х)ес(2й,а’^(п[/о,/о+д]).
в) Установим единственность полученного решения.
Пусть кроме построенного решения u(t9 х) есть еще
решение u(t9 х) задачи Коши (1), (2), принадлежащее классу
Л*2&) (Пр0,,о+д]). Тогда для их разности w(tx) =
= и (t9 х) — и (t9 х) получим уравнение
-^-= 2 х'	х), w|z_ + /, =0,
1А1-2Й
где
Ф(7, Х)= 2 X, U(t, х)) —
|А 1-2Й	_
— Ak(t, х, U(t, xY)\&u(t, x) +
x, U (t, x)) — F (t, x, U (t, x)).
300
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
Используя теоремы 5.3, получим представление
t
w(t, х) = J* dt J* Z(tt т, x, £)Ф(т,
6
Так как
|ф(^. е)|<с3 s |DtW(x, э|.
|*1 <2*
ТО
' /•	”+1*1
\Dkw{t, х)|<С3] * J(t — t) 2» X
A>
Xexp{—cp} |D*w(t, 6)|d?<
1*1 <2*
• / --!*!
<C3j (* —x) 26 sup 2
t.	X I* I < 2ft
Отсюда следует
sup | D^tt) (t, x) |
X
*	—Ш- <71
<^C3 J (t—t) 2b 2j sup|D*w(T, x)|dx. (10)
/о	1*1 <2*
Введем функцию
t
IF [w; Л = J sup | Dkw (t, x) | dx\
/о 1*1 <2*
из (10) легко получить неравенство
1
IF[w; t]^C3(t — tQ)2b IF[w; t]
для любого t£(tQ, £0+Д]- Из него следует, что IF[w; /] = 0
i
при C3(t — tQ)2b < 1, т. е. ^ = 0 для таких значений t\
повторяя нужное число раз это рассуждение, приходим к тому,
что w(f, х)^0 в слое П^о>/о+Д].
Теорема 6.3 таким образом доказана.
Замечание 1. Нами рассматривалась задача Коши
с нулевыми начальными данными. Решение задачи Коши
§4)
ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ
301
и |/я + /о==ср(х) можно свести к решению задачи Коши с нуле-
выми начальными данными, введя вектор-функцию v(/, х) =
= «(t х) — <р(х), если ч(х)£(У1Ь'а\Еп). При этом вели-
чина временного интервала Д, на котором по таким началь-
ным данным определяется решение, зависит еще от верхних
граней модулей D\(x), | k |	2d, и их констант Гельдера.
Замечание 2. Если предполагать, что Ak(t. х, у)
а — Й
и F (t, х, у) принадлежат С' ’ ’ 2b ’ ' (Q), то в силу след-
ствия 2 п. 6 § 1 гл. 2 решение u(tt х) задачи (1), (2) при-
надлежит С^1,	(П(/о, ?о+д]).
3. Задача Коши для произвольной нелинейной пара-
болической системы. В п. 1 решение задачи Коши для
нелинейной параболической системы
^ = F(t, х, Dku), |*|<2d.	(1)
было сведено к решению задачи Коши для квазилинейной
параболической системы вида, рассмотренного в п. 2, если
решение последней имеет производные до порядка 2d -р 1 •
удовлетворяющие условиям, сформулированным в п. 1. По-
скольку для такой системы задача Коши решена в преды-
дущем пункте и в силу замечания 2 этого пункта ее реше-
ние удовлетворяет условиям, при которых эта задача экви-
валентна задаче Коши для системы (1), то тем самым решена
и задача Коши для системы (1). В силу замечания 1 п. 2
для системы (1) можно также рассматривать задачу Коши
с произвольными достаточно гладкими начальными данными
Ч-+;, = ?(*)•	(2)
Итак, справедлива
Теорема 7.3. Если правая часть F(t, х, у) си-
стемы (1) определена в области Q и принадлежит
пространству 2b * (Q), 0 < а < 1, а ср(х) при-
надлежит C(2ft+2’а) (Ел), то задача (1), (2) имеет един-
ственное решение, определенное в полосе П^0^о+д] и при-
надлежащее С<2*+2’ 2Ь (П(/о, ,о+д|) П С<2*+1’ 2Ь ) (ПИо, +AJ X
302
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
4. Задача Коши для простейшей квазилинейной пара-
болической системы. Рассмотрим задачу Коши для про-
стейшей квазилинейной параболической системы
™ =Р0(Л х, D)u-{-F(t, х, Dka), |ft|</, i<2&— 1, (1)
Ч.+ 4 =?(*)•	(2)
Справедлива следующая
Теорема 8.3. 1) Если коэффициенты P{}(t, х\ D)
определены в Пг/(Ь Т] « принадлежат С(о’а,())(П1/о>Г]), при
этом непрерывность их по t равномерна по х; вектор-
функция F(tt х, у) определена в Q и принадлежит
e’°’1) (Q); начальная вектор-функция ср(х) принад-
лежит С^1*^ (Еп), тогда задача (1), (2) имеет един-
ственное решение u(t, х), определенное в П(/о>/о+Д] и
принадлежащее С{2Ь*а’0) (П(/о> /о+Д]).
2) Если же коэффициенты PQ(t, х; D) принадлежат
(q а tt А
пространству С' ' ’ 2Ь ' (П[,о г]), # <р(х) — простран-
ству С^ь*Л\Еп), то решение u(t, х) принадлежит
/.+*])•
Величина к зависит от верхних граней модулей
коэффициента PQ(t, х; D) и их констант Гельдера,
верхней грани модулей составляющих F(t, х, у), верх-
них граней модулей производных D\(x),	и их
констант Гельдера и чисел а, 8, Т—tQ, М.
Доказательство. Задаче (1), (2) ставим в соответ-
ствие интегро-дифференциальное уравнение
«(Л х) = f Z(t, t0, х, 5)<р(5)<Й+
t
4- f dt J*Z(t, x, 5)F(t, 5. D^u(z, £))(#, (3)
где Z(f, T, x, 5) — ф. м. p. системы
=	X-, D)u.
*8]
ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ
ЗбЗ
Уравнение (3) решается для малых t — tQ методом после-
довательных приближений. Решение х) уравнения (3)
имеет производные до порядка /. удовлетворяющие условию
Гельдера по х. Это доказывается аналогично тому, как .
доказывалось выполнение условий Гельдера для решения
интегрального уравнения при установлении теоремы 2.3. Так
как в силу этого F(/, х, Dku) удовлетворяет условию Гель-
дера по х, то u(tt х) можно на основании свойств ф. м. р.
дифференцировать 2Ь раз по х и один раз по t и доказать,
что оно является решением задачи (1), (2). То что «(/, х)
удовлетворяет условиям, сформулированным в теореме, легко
устанавливается с помощью представления (3) и свойств ф. м. р.
§ 5. Продолжение решений задачи Коши
для нелинейных и квазилинейных параболических
уравнений
Настоящий параграф посвящен доказательству ряда пред-
ложений о продолжении решений параболических уравнений.
Все рассуждения мы ведем для одного уравнения, в случае
системы уравнений они проводятся аналогично.
1. Теоремы о. продолжении. Мы будем изучать про-
должимость достаточно гладких решений параболических
уравнений. Каждое такое решение будет рассматриваться
как траектория в некотором пространстве (Еп). Пред-
положим, что функции, определяющие уравнения, заданы
в области {(/, х) г),	где к? — параллелепи-
пед в пространстве который определяется неравенствами
|Уу|<Л4у, /=1, 2, ..., v; v — число различных производ-
ных по х до порядка q\ q—наибольший порядок производных
аргументов функций, определяющих рассматриваемые урав-
нения; Т есть верхняя грань всех /, которые встречаются
в нашем рассмотрении. Обозначим через Qpt p^q, множе-
ство функций я(х), принадлежащих С(Р)(ЕЛ), и таких, что
a.==sup |£>*я| <	|&|О, J= 1, 2. ..., |х, р,— число
различных производных до порядка р, здесь ...,	—
постоянные, определяющие параллелепипед а М»+ь •. •
...,	— некоторые фиксированные постоянные. Приндд-
304
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3 .
лежность функции и (х) £ (Еп) множеству 2р будет
определяться с помощью нормы || и
1Мр<1).
Будем говорить, что решение u(t, х), определенное при
/ С (^0> /0, лежит в 2р, если оно как функция х при каждом
фиксированном t из (?0, принадлежит 2р. Через 2р будем
обозначать подмножество 2р, лежащее внутри 2р, определяе-
мое как совокупность функций и (х),п ринадлежащих С^(Еп),
для которых ||я||р<^я<1 с некоторым а.
Будем рассматривать три типа параболических уравнений:
11р = туахл?7 (для
= х, Dku), |*|<2d,	(1)
-^- = Р0(Л х. Dku\ D)u-\-F(t, х, Dk'u) (2)
(|*К/, /<2Z>—1, |£'|<2&—1),
^г = Рй(!’ D)u + F(t, x, Dku)	(3)
(|As|</, /<2&— 1).
Везде в этом пункте относительно коэффициентов и пра-
вых частей будут предполагаться выполненными следующие
условия:
а)	функция F(t, х, у) в уравнении (1) определена
в области Q(2d) и принадлежит б/2’*’ 2b *
б)	коэффициенты оператора х, у; D) и функ-
ция F(t, х, у) в уравнении (2) определены соответ-
ственно в Q® и Q(2b~1} и принадлежат С^0’*’ 2b ’ ^(Q^)
и c^a^^\Q(2b^
в)	коэффициенты P0(t, х\ D) в уравнении (3) принад-
лежат С^0, 2*^ (П[/о, г]), а функция F(t, xt у) определена
в Q(Z) и принадлежит С(0* n (Q(Z)).
Докажем следующую лемму о продолжении.
§5]
ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ
305
Лемма 2.3 (о продолжении). Пусть ux(t, х)— ре-
шение уравнения (1), определенное при t £ (f0, ^J,
(2Ь+2, а, __
принадлежащее Сч 2О/(П^0>/1]) и лежащее в 2^.
Существует единственное решение u(t, х) уравнения (1),
которое определено при t£(tQ, ^ + Д], Д>0, принад-
(2Ь+2, а, —)
лежит Cv	2Ь 7 (П(/п, /1+д]), лежит в 2^, и такое, что
u(t, x)=ux(t, х) при t£(tQ, fj.
Решение u(t, х) будем называть продолжением ре-
шения ux(t, х) до tx -j- Д по норме ||^||2£.
Это утверждение справедливо для решений уравне-
(2Ь, а, -Z-)
ния (2), принадлежащих Cv 2&7(П(^^) и лежащих
в 22£_р и для решений уравнения (3), которые принад-
лежат С^ь'а’0) (П(/о, /j) и лежат в Qt.
Доказательство. Так как выполняются условия
локальной теоремы 7.3, то из нее получаем, что существует
единственное решение u2(t, х) задачи Коши я2|/в+/ =
— ux{tx, х) для уравнения (1), которое определено при
+	Д>0, принадлежит	) (П16,6+А]) и
лежит в 22д.
Рассмотрим функцию
в(,х)_|м-4 ЩЬ, /1-4-Д]	(4)
и докажем, что она является решением уравнения (1) на полу-
сегменте (^0,/j-j-Д). В силу того, что
u2(f,x)Cc(2d+1,e’^)(n1/lt<1+4]),
производные Dku2(t, х), |k |<2b, удовлетворяют условию
Гельдера по t в слое П[^ /1+д], поэтому, в частности,
Dku2(t, x)=£Dkux(tx, х), |Л| <26.
Итак, достаточно только показать, что существует пра-
вая производная по t от u(t, х) в точке t = tx и она сов-
падает с левой производной по t от u(t, х), равной
20 С. Д. Эйдельман
306
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
-^и\(1\> х)- Для этого рассмотрим при t >
u(t, х) — u(tXi х) _ u2(t, х) — Ux(tu х)
t — tx	t — tx
t
= lim “»(Z’ x)~+e’ x) = lim *	=
e->0	*“*!	e+ot-~tx J дт
/1 + 8
t
= lim 7--1 . I F(t, x, Dku2(x, x))dx =
e->o 1 ri . У
/1 + 8
/
= t=F{ f F (x’ x' Dku2(x* x))TTt F&i.x- Dku2 tfi+°> x))=
1 л
= F(tv x, Dbux(tv x))=da'^’x) = -^ =0>x) .
Таким образом, и (t, x), определенное формулой (4), удовле-
(2ft+l, а, —)
творяет уравнению (1), принадлежит Cv 2* 7 (П(/о,/i+Д])
и лежит в Q2b. Используя следствие 2 п. 6 § 2 гл. 2, заклю-
^2/>4 2, а, “тгЛ
чаем, что u(t, х) принадлежит Cv 2*7 (П(/о,/i+Д])-
Доказательство леммы для уравнений (2) и (3) такое же,
только в случае уравнения (2) нужно пользоваться теоре-
мой 6.3, а в случае уравнения (3) — теоремой 8.3.
Возможность дальнейшего продолжения решения суще-
ственным образом зависит от того, обладают ли продолжае-
мые решения специальным свойством, которое будем назы-
вать свойством равномерного продолжения.
Свойство П (равномерного продолжения). Пусть
u(t, х) — решение, определенное на конечном интер-
вале (/0, т), принадлежащее С(т> а> ₽) (П(/о> х)) и лежа-
щее в Qp, тогда какое бы	Д —некоторое
произвольно фиксированное число, большее tQ, мы hu
взяли, найдется такое Д > 0, не зависящее от t, что
решение и (t, х) может быть определено при t £ (/0,	^1»
принадлежит Р)(П^7+Д|) и лежит в 2^,.
§ 5Г	ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ
Справедлива следующая
Теорема 9.3. Предположим, что решения рассма-
триваемых уравнений обладают свойством П и свой-
ством Г: все производные от решения, определенного
при (t$. Т). до порядка р удовлетворяют условию Гель-
дера по t равномерно в полосе П(/о,г). Пусть ux(t. х)—
решение, которое определено на конечном полуинтер-
вале (tQ. lj), принадлежит &т' Р) (П(/(И и лежит в 2р.
Тогда существует единственное продолжение u(t. х)
по норме ||«||р решения ux(t. х), которое или опре-
делено на полубесконечном интервале (/0, оо), или
lim ||и (t. х)|| =1 для некоторого конечного Т. При
1-*т	р
этом в случае уравнения (1) т = 2Ь-\-2. р^2Ь. В слу-
чае уравнения (2) т = 2Ь. р^2Ь—1 и в случае урав-
нения (3) т = 2Ь. р = 1.
Доказательство. Применим лемму о продолжении
для решения ux(t. х). Пусть u2(t. х) есть продолже-
ние ux(t. х) до f2. Для u2(t. х) снова можно применить
лемму и получить продолжение u3(t. х) до t3. Продолжая
этот процесс, мы придем к последовательности реше-
ний uk(t, х), каждое из которых является продолжением
до tk предыдущего. Обозначим через u(t. х) объединение
всех продолжений uk (t. х). Оно является решением уравне-
ния (1), определенным при tQ < t < Т=Пт/л.
Л->оо
Если Т = оо, то теорема доказана. Пусть Т конечно,
покажем, что тогда
lim ||«(/, х)|| =1.	(5)
t-+T
Заметим вначале, что
1М«||Р=1.	(6)
t+T И
Если бы (6) не выполнялось, тогда бы для всех Т)
|| и (t. х)||р а < 1, т. е. u(t. х)£2р. В силу свойства П
отсюда следовало бы, что какое бы 7 £ (^о» 71) мы ни взяли,
можно было бы указать такое, не зависящее от t. положи-
тельное Д, что решение было бы определено на полуинтер-
вале (t0. 7-|-Д]* чт0 ПРИ t>T—Д противоречило бы опре-
делению Т (ведь Г является пределом монотонно возрастающей
20*
308
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. 3
последовательности значений /, до которых существует
продолжение решения иг(1, х)).
Перейдем к доказательству равенства (5). В силу усло-
вия Г для любых Тр т2, /0 < Т1 < т2 <
|Oft«(T2, х) — 0*11 (xv х)|<С(т2 —Tj/, |£|<р.
Отсюда следует, что
11|«(^2. *)И,— И«(^р /OHpKCiC^—
Предположим, что равенство (5) не имеет места. Тогда,
используя непрерывность нормы || и (t9 х)||р как функции
от Л для некоторого тд > 0 можно указать последователь-
ность < Х1 < Х1 < Х2 < Х2 < • • ’ < xk < xk < • • • <
стремящуюся к Т и такую, что для каждого & = 1, 2, ...
имеем
1 — II«('*• *)11р = 2'П.	1 — ||«(t*. x)||p = 7i,
—||и(/, х)||р<27], если т*
В силу (7) для Л=1, 2, ... получим
’1 = П1«(хл- *)llp— II и(хк, х)||рКС1(тЛ —
т. е.
1
а это противоречит тому, что — тЛ~>0, Л->оо.
Таким образом, нижний предел нормы ||я (/, х)||р равен
верхнему и равен единице. Теорема доказана.
2. Возможность продолжения решений параболических
уравнений. В предыдущем пункте была доказана возможность
продолжения по норме ||«||р решений задачи Коши для квазили-
нейных и нелинейных параболических уравнений, обладающих
свойством П и свойством Г, сформулированным в теореме 9.3.
Займемся выяснением вопроса о справедливости для решений
параболических уравнений этих свойств.
Рассмотрим сначала квазилинейное параболическое урав-
нение вида
^- = po(t, X, Dka; D)u-\-F(t, х, Dk'u) (1)
(|Л[</, Z<2& — 2, |Л'|<2$— 1)
§ S]	ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ	309
и предположим, что коэффициенты оператора PQ(t, х, у; D)
и функция F(t, х, у) определены соответственно в и
и принадлежат *’ 2b' ^(Q^) и С(0' л* °’	(Q(2*~2)).
Установим справедливость свойств П и Г для решений уравне-
^2*, а, _
ния (1), принадлежащих пространству Сч 2&/(П(/о>Г)) и
лежащих в 22*_i.
Пусть u(t, х) — решение уравнения (1), которое опре-
f2b а —
делено при t £ (/0, принадлежит (А * ’2Ь' (П(/о, и ле-
жит в 22*. 1. Нужно доказать, что какое бы t из (/*. б),
/* > f0, мы ни взяли, найдется такое Д > 0, не зависящее
от 7, что решение u(t, х) определено при	£—|—Д]»
(2Ь а —
принадлежит С' ’ ’ 2а'(П(^7+д1) и лежит в 22*_ь
Решим задачу Коши для уравнения (1), взяв за началь-
ную функцию и (7, х). Величина Д временнбго интервала, на
котором определяется решение, в силу замечания 1 п. 2 § 4
может зависеть от t только через
Lm(t)= sup \Dku(t9 х)|, /п = 0, 1, .... 2b,
х^еп, I k |=те
и
и ,7ч	I Dk и (t, x) — Dku (£ x') |
= sup J-----------------------—AJ----LL,
X, x'£En,\k\~2b	\x — x' Iе
Так как решение u(t, x) лежит в 22г>-1, то Lm(t), m^2b — 1,
ограничены постоянными, не зависящими от t из (/0, /0.
Наше утверждение будет доказано, если мы установим, что
и H2b(t) ограничены едиными для всех 7^(^о. б) по-
стоянными.
Обозначим через ср(х) начальную функцию, по которой
построено данное решение u(t, х). Так как ограниченность
Lk(?)• ||<С2^, и (7) нужно доказывать для t£(/0, б)»
(^1 — величина временнбго интервала, в котором
гарантируется существование решения в теореме 6.3), то
можно сразу предполагать, что	а тогда
310
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. S
на основании теоремы 5.3 a (t, х) можно представить в виде
7
u(t, х) = <?(х)+f dxf Za(t, х, х, 1)Ф(х, I) dl; (2)
to
здесь Zu — ф. p. уравнения
^- = po(t x, D*«; D)o,
a
Ф(Л x) — F(t, x, Dt'uj+P^t, X, D*u(t, x), o)<p.
В случае одного уравнения или сильно параболической си-
стемы постоянные в оценках ZB зависят лишь от верхних
граней модулей коэффициентов, их констант Гельдера и ве-
личины слоя, в котором ведется рассмотрение. В силу того,
что u(t, х) лежит в все производные Dka(t, х),
| Л | 2Ь — 1, равномерно ограничены 4 в П(/о> поэтому
\Dfcu(x, 0| с | k | 2b — 2 удовлетворяют условию Гельдера
по х равномерно в П(/о> Отсюда с помощью теоремы 2.1
получаем, что оценки ф. м. р. ZB(/, т, х, 5) не зависят
от ?, а лишь от tx— tQ. Очевидно, что Ф(/, х) ограничено
в /а). Учитывая это, из равенства
7
Dku(t, x)==Dftcp(x)+J* dxf&Ztf, х, х, £)Ф(т,
/о
I k I < 2b,
и теоремы 2.1 сразу получаем, что производные Dk u(t, х),
| k | 2b — 1, равномерно по (tQ, tx) гельдеровы по х
с показателем а, 0 < а < 1. А отсюда следует, что и Ф(£, х)
удовлетворяет условию Гельдера по х с показателем а; теперь
можно применить оценку (8) из теоремы 4".3 с k(t)s 0, из
которой следует равномерная по t ограниченность
| tn | 2b и H2b (F). Нужно еще установить условие Г, но
оно сразу следует из неравенства (9) теоремы 5.3.
Итак, для сильно параболической системы (1) установлены
свойства П и Г решений и, следовательно, возможность их
продолжения. В случае произвольной параболической си-
стемы для получения оценок Zu{t, т, х, £) нужно, чтобы
f 5]	ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ	311
коэффициенты х, Dku\ D) были непрерывны по t
равномерно по х в П(/о /t). Поэтому нужно еще.доказать,
что Dku (t, х), | k — 2, удовлетворяют условию Гельдера.
Ниже это будет установлено в дополнительном предположе-
нии, что коэффициенты PQ(tt х, у, D) имеют ограниченные
производные по х и у.
Обозначим через Gu(t — т, х —5, р, у) ф. м. р. параболи-
ческой системы ~ = PQ($9 у, Dku($t у); D)v9 (£, у)—про-
извольная фиксированная точка слоя П(/о, Представим
Dku(t9 х), | k | 2b — 2, в виде
t
Dkti(tt x) = Dfe<p(x) + f d* f DkOu(t —	x — Р» y)X
to
X[F(t, 5,	Q) + Po(₽. У. Dku$, y); D)<p]d?-
t
~fdxf 2 ~{DkxOu[Am^, Dku(x,
to	|m|=2d	7
-Am($, y. Dku($, y)]Dm~1u(r, ?)} ft. (3)
Так как выражения, стоящие в фигурных скобках под
знаком интеграла, содержат Dku (т, $) с | k | 2Ь — 1, то
в силу предположения о том, что u(t9	оно огра-
ничено в слое П(/о> /j), поэтому из (3) сразу следует гельде-
ровость по t Dku(t9 х), | k | 2b — 2.
Из доказанного следует, что коэффициенты оператора
PQ(tt х, Dku(t, х); D) непрерывны по / равномерное П(/о,
и поэтому постоянные в оценках Zu также не зависят от t
из (/0, /j). Дальше доказательство продолжается, как в случае
одного уравнения.
Из справедливости свойств П и Г для решений системы
уравнений (1) следует справедливость этих свойств для ре-
шений нелинейного параболического уравнения
A = F(f, х, Dku), |Л| = 2&.	(4)
Действительно, в п. 1 § 4 была доказана эквивалент-
ность решений задачи Коши для уравнения (4) и квазили-
нейной системы, в коэффициенты группы .старших которой
312
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
входят производные от и (t, х) до порядка 2Ь — 1. Анало-
гично показывается, что решение задачи Коши для такой си-
стемы эквивалентно решению задачи Коши для квазилиней-
ной системы с коэффициентами в группе старших, зависящими
от производных от u(t, х) до, порядка 2Ь— 2, т. е. системы
уравнений типа (1). Так как решения этой системы, при-
(2Ь а —
надлежащие С' ’ *(П(/о, и лежащие в 22*_i, обладают
свойствами 77 и Г, то этими свойствами обладают и решения
(2д+3, а, —)
нелинейного уравнения (4), принадлежащие Cv 2д/ (П(/о>
и лежащие в 22д-ь
В случае простейшего квазилинейного параболического
уравнения
^ = P0(t,x',D)u-^-F(t,x,Dku) (| А| <Z, Z<2£ — 1) (5)
продолжение проводится для решений, принадлежащих
С(2>»а’°)(П(г0,/1)) и лежащих в 2Z. Справедливость свойств 77
и Г устанавливается так же, как для уравнения (1). В случае
системы типа (5) дополнительных ограничений не нужно.
Таким образом, мы пришли к следующему выводу:
Теорема 10.3. Если выполнены условия:
1)	функция F(t,x,y) в уравнении (4) определена в
области Q<2d> и принадлежит C^3,a’2d ’
2]	коэффициенты PQ(t, х, у, D) и F(t,x,y) в уравне-
нии (1) определены соответственно в Q® и Q^2b~^ и при-
надлежат с^°,а’2д ’ и С*0’**0»1) (Q*2*-1)) (если си-
стема не сильно параболическая, то дополнительно
предполагается, что коэффициенты PQ(t,x.y, D) имеют
ограниченные производные по х и у);
3)	для коэффициентов PQ(t,x*,D) и F(t,x,y) в ура-
внении (5) выполняются условия в) n.\t то свойства 77
и Г и, следовательно, утверждения теоремы 9.3 имеют
место для решений уравнения (4), принадлежащих
^(2д+з,а,2д) и лежащих в 2эд+ъ для решений урав-
нения (1), принадлежащих ^(2д+1,а,2д)	Г)) и лежащих
в « для решений уравнения (3), которые при-
§5]
ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ
313
надлежащ С<2д»а»°> (П^0,г)) и лежат в 2Z. Иными слова-
ми, решения с указанной гладкостью можно продол-
жать в случае уравнения (4) по норме Ц^Цгд+ь в случае
уравнения (1) по норме |[#||2*-1 а по норме ||#||z в слу-
чае уравнения (5).
3. Обсуждение результатов. В предыдущих пунктах
было показано, что гладкие решения задачи Коши для не-
линейных параболических уравнений можно продолжать по
некоторой норме ||#||р. Это значит, что при продолжении
решений, как траекторий в пространстве (Еп), они или
за некоторое конечное время выйдут на границу множества 2р
или определятся на всем полубесконечном интервале (/0,оо),
оставаясь внутри Qp. При этом для одних уравнений р рав-
нялось qt для других p>q. Норму || ||^ будем называть в
дальнейшем естественной, так как в ее определение входят
только те Мр которыми определяется область, где задано
уравнение. В норму || ||р, р > q, входят еще и некоторые
постоянные • • • . М^, не связанные с данным уравне-
нием. Как показано в п. 2, по естественной норме продол-
жаются решения уравнений (1) и (5).
В силу теоремы 10.3 продолжение решений по «неесте-
ственной» норме ||я||р всегда возможно. Ясно, что из воз-
можности продолжения решений как траекторий в простран-
стве С^)(£л) до границы множества 2р, вообще говоря, не
следует возможность продолжения до границы множества 2^,
если их рассматривать как траектории в СМ(£Л). То, что
решение и (t, х) продолжимо до границы 2р, означает, что
существует такое Т, для которого имеет место равенство
lim H# (t, х)|| = 1. Из него следует, что
t+T	р
\\muAt) = Mi9	(1)
t-*T J	J
хотя бы для одного	Н- Если равенство (1) имеет
место хотя бы для одного у, 1 .7 v» то IIи *)||а = 1 •
В этом случае решение и (tt х) мы можем рассматривать как
траекторию в пространстве СМ(£Л), и предыдущее равенство
показывает, что оно продолжимо по естественной норме.
Но, вообще говоря, равенство (1) может осуществляться
только для />v + 1, тогда границы множества 2^ решение
314
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ.З
не достигнет при t £ (f0, Т). Так как постоянные Afv+1, ...»
не связаны с областью задания уравнения, то вместо них
можно взять другие постоянные 44v+i, ...» 2Ир., соответ-
ственно бдльшие AL+i.....тИр.» и рассмотреть множество 2^,
принадлежность к которому характеризуется нормой ||я||р,
определенной прежними постоянными .......М? и постоян-
ными Mv+i................................Тогда решение u(t, х), определенное
при t £ (/0, Т), окажется лежащим внутри 2^, и поэтому к
нему применима теорема 10.3. В силу этой теоремы суще-
ствует продолжение ux(t, х) решения п(Лх), которое ичи
определено при t £ (f0, оо) или для него имеет место равен-
ство
Нш||И1||р=1.	Т,>Т.	(2)
Если при этом из равенства (2) будет следовать, что
lim || и. || = 1, то, как и выше, это будет означать, что
м-л *
решение продолжилось до границы множества Qq. В про-
тивном случае мы снова можем вместо .............взять
соответственно большие постоянные и провести такие же
рассуждения. Возможны два случая: или решение продол-
жится до границы 2^, или, сколько бы мы ни повторяли
предыдущие рассуждения, оно не достигнет этой границы.
Во втором случае есть две возможности: 1) решение u(t,x)
определится при t £ (tQ, оо) и 2) существует такое Т*, что
При	Иу(/)—>оо хотя бы для одного j>v+l.
Поэтому, очевидно, что если наложить ограничение, исклю-
чающее последнюю возможность, то решение продолжимо
по естественной норме.
Итак, справедливо следующее утверждение: если для
производных порядков q -(- 1, ..., р от решения для лю-
бого интервала (£0, Т) имеет место априорная оценка
| Dk и (Л х) ] С (Т), q -|- 1 <; | k ] р, то решение продол-
жимо по естественной норме. .
Так, решения нелинейного параболического уравнения.
продолжаются по естественной норме ЦпЦ^, если производ-
ные порядка 2Ь 1 от них априори ограничены.
О НЕЛОКАЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ
315
§ в]
§ в. О нелокальных теоремах для уравнений
второго порядка
Большой интерес представляет нахождение условий, при
выполнении которых решение задачи Коши может быть
определено при любом t > tQ, т. е. имеет место нелокальная
теорема о разрешимости задачи Коши.
Теорема 10.3 и следующие за ней рассуждения дают
достаточные условия, при которых решения задачи Коши
продолжимы до границы множества в пространстве (Ел),
определяемого той областью, в которой заданы уравнения.
Для получения нелокальных теорем в дополнение к этому
нужно уметь находить ограничения на определяющие урав-
нения функции, при которых для решений справедлива
следующая априорная оценка: для любого конечного интер-
вала (tQt Т) найдется такая конечная постоянная С(Т), что
для решения и (t, х) задачи Коши имеют место оценки
IIи II с(4)(еп)
При этом уравнение нужно задавать в области, которая,
диктуется априорными оценками, последовательно получае-
мыми для и (t, х) и ее производных.
В настоящем параграфе устанавливаются нелокальные
теоремы для простейших квазилинейных параболических
систем и некоторых квазилинейных уравнений второго по-
рядка. Нужные априорные оценки для этого получаются с по-
мощью простой методики, использующей ф.р. и их свойства.
Следует отметить, что в последнее время для уравнений
второго порядка с дивергентной главной частью получены
более тонкие нелокальные теоремы [24], [26].
1. Простейшие квазилинейные системы. Рассмотрим
задачу Коши для квазилинейной параболической системы
л
4г = S x)E-dSb+F(t’х> и> Pi...................Ра)' (1)
I, /»1	7
"I/--и,=*(*)♦	<2)
316
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
Справедлива следующая
Теорема 11.3. Пусть для всех и, рх........рп и
(t, х) £ П[<(Ь Г]
Вг (и, p)=2(F, и) -2atj (Pi, PjXL^u |2) (0. (3)
N	’ N
где |«|2= S («. «0=2 ИЛ- ^i(O— монотонно не-
S=1	S=1
oo
-	f dr .
убывающая функция такая, что I , -- = 4- оо,
*/ L\ v)
а
Lx (оо) = оо, (/) — положительная непрерывная функ-
ция. Пусть для любых ps, psi (s, Z=l, 2......n) и
(t, x, u)^Qt\ где
($>
(t, х)£П[ЛьГ1; |й|2<Л 1

( fi (О — монотонно возрастающая функция, обрат-
ная к функции
N
/,« = /,(ф«)+ / Т^.
Фо
В2(и. р) =
/ 'о дай	дР
—2 2 ( S "d^Epu+~dxs
s-i Lu, ;-i
п
'	— 2 а1}(р,1, psj)
t,j-\
Фо= SUP У Ср2(Х) ,
J
дР	дР \
1 52"Ps	dpy рК' рч
<^2( S 1л12)ф2(О.	(4)
М«1	/
оо
У* — 4~ °°» £2(оо) = оо, ф2(/) — положительная не-
а
прерывная функция. Если a^it, х) принадлежат
с(0, ’’ 1) (n[/s, n) п С(1’ ’• 0)(П[6, Г1), F (t, х. и, Р1.ря) -
О НЕЛОКАЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ
317
S 61
пространству C(I,e’0'где

п	I	Т \
Х1а12</2-1 Л(Ф1)+ f Ъ(<№ =ЛМ7')
z-i	'	/о	!
<р(х) — пространству С(1,а)(Ел), то задача (1), (2) имеет
единственное решение u(tt х), определенное при Т)
и принадлежащее С(3,т’0) (П(/о> Г)) (7 = а для производных
Dku с |Л|=0, 1 и 7<а, если |&|=2, 3).
Доказательство. Условия теоремы позволяют при-
менить теорему 8.3 о локальной разрешимости задачи (1),
(2) и теорему 10.3, которая гарантирует возможность про-
должения решения по естественной норме Для уста-
новления утверждения теоремы 11.3 достаточно еще устано-
вить, что для решения и (t, х) задачи (1), (2), определенного
при t £ (/0, а) и принадлежащего С(3’ь 0) (П^о, в)), справедливы
оценки
||<| <VXF> (5)
\ п)
для всех t £ (/0> а), /0 < °
Действительно, применяя теорему 10.3, получим продол-
жение построенного на основании теоремы 8.3 решения до
границы множества Sp определяемого постоянными
/ЛМТ); это решение определено на интервале (£0, Т), ибо
в противном случае в силу априорной оценки (5) имели бы
место неравенства
11“Ис(Ел)</ВД)</лмп,
1>1
\ Л/
которые противоречат тому, что решение продолжилось до
границы множества
318
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
Для получения (5) подставим u(t, х) в систему (1) и со-
ставим на основании полученного таким образом тождества
N
следующие соотношения для функций U (t, х) — 2 aUt, х)
Л-1
s=l Z»1
л	1
T =	+ Л <6>
4 = 2	х)^ + В1(«, р).	(7)
Из (6) и (7) следует, что при tQ < t < а
U(t, x) = f Z(t, /0, x, 1-)Ф0(!-)Л +
-|- J*dt J*Z(t, t, x, i)Bl(u, p)d£, (8)
P(t, x) = $Z(t, t0, x.
4- fdt f Z(t, t, X, 4)B2(u, p)dt. (9)
/0
где Z(it x, xt £) — ф. p. уравнения
dt ~	dxtdxj '
N	nN
фо (X) = Ё (X).	(x) = £ 2	.
^-1	Л-1 s«l
Используя то, что Z(t, t, x, 5) — неотрицательная функция*)
и т, хД)^ = 1, из (8), (9) на основании (3), (4)
♦) См., например, [18], стр. 81—82.
I в]
О НЕЛОКАЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ*
319
-получаем
t
sup U(t. х)<Ф0-|- J Zqfsup U\^T)dT.
x^En	t ' x '
Отсюда выводим, что ♦)
sup U
X	t
f
Фо	/о
ИЛИ
откуда
\	/о	/
для а) имеем
sup и < Д-11 /1 (Фо) + f Ф1 (т) di j = Mt (о),
sup Р < f~l I /2 (Ф1) + J* ф2 СО dx j = M2 («)•.
x	\	t„	I
Из последних неравенств следуют оценки (5).
Для системы
п
ди V zx х г д2и ,
dt ~ 2^ аО(/’ Х^Е dxtdxj +
п
х, + х, и) (10)
*) А. И. Перов, Об интегральных неравенствах, Труды семи-
нара по функциональному анализу (Воронежский университет), в. 5
320
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
нелокально разрешима задача Коши, если предпола-
гать, что
(п	\
х, u)pj-}-c(t, х, и), иj —
-2 ^atj (Р1,р}) < L (| и P) ф (/)	(11)
для всех и, pv ...» рп и (t, х)^П[/с, у], где L и ф удо-
влетворяют условиям, описанным в теореме 11.3,
а ац, bj, с — условиям гладкости, гарантирующим ло-
кальную разрешимость задачи Коши для системы (10).
Для доказательства этого достаточно получить апркорную
оценку решения и его производных первого порядка. Оценка
решения проводится так же, как в доказательстве теоремы 11.3.
Чтобы установить оценку первых производных, решение
и (t, x)t определенное в полосе П(/о> 0), представим в виде
U(t, х)== f Z(t, /0, х,	+
*	гп
+ f'dxf Z(t, Т, X. $)	t й)-^
to	L/=i	1
с(т, «)
п
,	du V*	\ о d2u
где Z —ф. м. p. системы ~^=	^(t, x)E •
i,/»i	J
Оценим
P~= Г
dxk J dxk t *-1-
*	Г n
+f^f-hz
Ч /о	L; = 1
С(т, 5, U) di
для любого k = 1, 2, ..., п
t «
О НЕЛОКАЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ
321
С = С(а).
Отсюда для 2u SUP |	| = £ (О получаем неравенство
t	_£
£(f)<C+C J(t — т)“8£(т)Л,
/о
из которого следует, что
L (0 < Сес<*-*•> < Се'<'-Ы=	(а).
Отметим, что в случае одного уравнения вида (10) для
справедливости нелокальной теоремы не нужно налагать ни-
каких ограничений типа неравенства (11) на зависимость
6у(/, х, и) от а.
Приведенные выше условия справедливости нелокальных
теорем связаны с расходимостью некоторых интегралов.
Приведем примеры, показывающие, что при ограничениях
00
типа (И) расходимость интеграла J* 'L^r) является сУЩе“
а
ственной для справедливости нелокальных теорем.
Пример 1. Рассмотрим систему
di дх2 ‘	' дх *
4(«) = В(«)С(и)В'’(и),
(12)
а = а(|а|), а(0)==0,
«=(«j. «2).
а (г) — монотонно неубывающая функция.
21 С. Д. Эйдельман
322
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ.»
Непосредственно проверяется, что (12) имеет решение
вида
«1(/. х) = г (£) cos (хО- x) = r (/)sin(x-|-0« (13)
где r(t) удовлетворяет уравнению
“ = Z[a(r) —1].	(14)
СО
Расходимость / -г Jzr—гг является необходимым и доста*
J —Ч
а
точным условием для того, чтобы решение (13) системы (12)
было определено при всех />/0. Для решения (13) усло-
вие (11) для системы (12) выполняется с функцией
L (г2) = 2г2 (а (г) — 1 ], ф (0 = I • Таким образом, для си*
со
стемы (14) условие j -т4^-9оо необходимо и доста-
J L \Г)
а
точно для возможности определения решения си-
стемы (12) при всех t>t0.
Пример 2. Для уравнения
п	п
#= £	*)•£+/(«).	<1S>
/,/-1	/-1	.
где / (г) — неотрицательная и .монотонно возрастающая функ-
ция, нелокальная разрешимость задачи Коши e|/-+/# = ip(jc)
имеет место тогда и только тогда, когда
СО
f 7^=+°°-	(16)
а
Остановимся на доказательстве необходимости последнего
условия, достаточность его устанавливается так же, как тео-
рема 11.3. Решение д(/, х) будем сравнивать с решением
u(t) задачи Коши:
^ = /(«), «(0L.+/. = «о <?(*)•	(1П
для которого условие (16) является необходимым для спра-
ведливости нелокальной теоремы. Очевидно, достаточно до-
14
О НЕЛОКАЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ
323
казать, что x)^u(t). Для этого к (Л х) и u(t) рас-
сматриваем как решения интегральных уравнений:
й(/, *)=f Z(t, t0, X,
t
+ fdxf Z(t, t, x, Э)Я,

t
й(о=йо+f /(«(*))Л,
6
где Z(t, t, x, 5) — ф. p. уравнения (15) c /(«)=0.
Используя свойства /(г) и то, что Z(t, т, х, 5)^-0 и
f ZV,	х, 5) Л= 1, легко доказать неравенства uk(t, *)>.
и4 (0 между последовательными приближениями для обоих
интегральных уравнений. Переходя в этих неравенствах
к пределу при А—>оо, получим требуемое неравенство.
2. Уравнения второго порядка. В предыдущем пункте
рассматривались простейшие квазилинейные уравнения. Зна-
чительно труднее исследовать задачу Коши для квазилиней-
ных уравнений, коэффициенты группы старших которых
зависят также от и.
Рассмотрим следующую задачу:
7Н~~ 2 аЧ^' ** dxtdxj +
i,7-i
п
ч- 2 bfit, X, в)	+с (f, X. в),	(1)
1
«!/.+,, = <₽(*)•	(2)
Будем предполагать, что функции ati, bJt с определены
в области <?r{(t	1в1<^(Ъ} и принадлежат
с(1,в* "aF'*)(РГ), а ф(х) принадлежит	Постоян-
ная М, определяющая область QT, диктуется априорной
оценкой решения tt (t, х), получение которой изложено ниже.
21*
324
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. $
При этих предположениях решение задачи (1), (2)
локально существует и продолжимо по неестественной нор-
ме || и || v Чтобы его можно было продолжать по естественной
норме, достаточно, как установлено в § 5, получить априор-
ную оценку первых производных от решения в предположе-
нии ограниченности самого решения.
Переходим к получению априорных оценок. Оценка
самого решения имеет место при небольших ограничениях
на нелинейность коэффициентов, а именно будем предпола-
гать, что для (Л х) £ П[/о> г] и всех и справедливо нера-
венство
2uc(t, х, «)<£(й2)ф(О.	(3)
где, как и выше, £(г)— монотонно неубывающая функция
со
такая, что £(оо) = оо, J	= -|- оо, а ф(/)— положи-
а
тельная непрерывная функция. Вставим решение a (t, х)
в уравнение (1) и на основании него составим следующее
соотношение относительно я2:
л
~дГ ~ аЧХ' й) dXi dxj +
+	*• «)-£?-+2ас(*« *. «)— 2 2<kjPiPj- (4)
/-1	1	i, /-1
Из (4) при Т) получаем
«2(/. x) = f Z(t, /0. х, £)<₽2(е)Я+
Г	/	я	\
+ f dx J Z (t, t. x, В) I 2ac — 2 ayptpJ dl, (6)
где Z(t, t, x, О —Ф- P- уравнения
я	n
x> dxidxj + SM’ Xt
i.J-l	' J*l	1
$ в)
О НЕЛОКАЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ
' 325
Используя неотрицательность Z (t, т, х, £), равенство
J* Z(t, t, х, В) cR = 1, условие (3) и условие параболичности,
из (5) получаем
to
Отсюда, как и при доказательстве теоремы 11.3, выводим
sup в2</11
АР (Т).
Итак, справедлива оценка |я(/; Ar)|^^(T) для всех
(л х)СП(/„ п-
Труднее оценить первые производные от решения. Сейчас
будет показано, что если коэффициенты «слабо» зависят
от «, т. е. если имеет место неравенство
С
А = sup
(*, х, п)С QT
daU
ди
(6)
где постоянная С зависит только от п и 8 из условия пара-
боличности, то могут быть оценены первые производные
решения.
Перейдем от функции и к новой функции v с помощью
равенства u = f (v)« Вид функции / определим впоследствии.
Она будет выбрана так, чтобы /' > 0, (yr j < 0. Из (1)
получаем уравнение для v.
п
+Я& 2 м'-•>££+
, t „ „ч dv , с (t, х, и)
/-1
326
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ.3
Продифференцируем его по xk (k = l, 2...л):
/,/-1	7	/,;-1	7
A datJ др, Г А да,,
2d dxjt dxj 2d du f PkPiPj^T
i.i-i	J	M-i
Умножим последние равенства соответственно на рк и затем
л
просуммируем их по k от 1 до п. Обозначая =
Л-1
получим
др v	. Г V др .
~дГ~ 2d aV dxtdxj + Г 2d ачРГдх; +
/•/-1 1
п	п
где
i «./>-^+ 2	'
7 -С Л л-1	7
• - +/r .S	2 ^рЛ+
5 6J
О НЕЛОКАЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ
327
Из (7) при t0 < t -С Т получаем
Р2 = JZ{t, t0. х,
-1-2рт]*Z(t х, х, $F(x, ОЯ, (8)
to
п
где Ф(х) = СгЦ2, а %—Ф* ₽• УРавнения (J) с *)=0*
Сначала оценим F(t, х). Для оценки первого и шестого
слагаемого в F используем условие параболичности и отри-
цательность (/"//')'•
S дрк dpk
aU dxi dxi
I, i, л-i

Следующие слагаемые оцениваются с помощью неравенства
ЛВ<;еЛ2-|“-~-В2, справедливого при любом е>0:
/./-1	Л 7-1
vr / др, \2 пгАг
<./-1 7
328
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. 3
/"Р2 2 PiPj<nAm^\f\p^,
i. J-i
j.l	7-1
+2 4г (£)p* < езр4+c*p2+сз-
Л«1
Постоянные Cv C2, C3 определяются максимумом модулей
функции /, коэффициентов уравнения и их производных.
Таким образом, имеем
Sj-sv)2-
— An max \f"\ — е3] р4 + С4р2 4- С3 (9)
при любых ер е2« ез€(°- П>
Возьмем е2 близким к единице, а функцию / подберем
так, чтобы
— 8 (угУ —	шах (Л2 — An max |/"| > 0.	(10)
Неравенство (10) имеет место, если выполнено неравенство (6),
а функция /(v) взята, например, в виде
п = /(v) = — 27И —|-
V
(11)
Когда и меняется в интервале [—М, Л4], v меняется на
конечном интервале [vp v2], где vv v2 определяются равен-'
ствами
v\
о
__	ОО
У* e~4‘ds = ^y-<-^- = У* e~s'ds.
о	о
5 в)
О НЕЛОКАЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ
329
Возьмем в неравенстве (9) функцию / в виде (11). а е, и 83
выберем настолько малыми, чтобы 8 — Зе2 — е,>.0 и коэф-
фициент при р4 был неотрицателен, тогда получим
F<C^4-C3.
(12)
Используя свойства Z и неравенство (12). из (8) найдем
t
sup р2 < sup Ф (х) 2С8 (t — /0) 4~ 2С4 f sup р2 dt.
XX	J X
Отсюда после применения леммы 4.1 находим
sup р2 < pup Ф (х) + 2С3 (t —	е2С<(*-*•)
< [sup ф (х) 4- 2С3 (Т -	е2С‘<г-w = М?.
Таким образом, получена оценка IDu(t, x)|^Af1 для
(t9 х)£П(/о> г)-
Заметим, что для уравнения (1) с одной пространствен-
ной координатой
= х, u)^+b(t. х.	х. а) (Iх)
ограничительное условие (6) излишне, так как в этом случае
удается выбрать требуемую функцию /, не накладывая ни-
каких ограничений на малость Уравнение (7) в случае
n = 1 записывается так:
д*р> ,
dt — а дх*
+ (2T“₽ + ^+/'^+s)4f+2/^ *>•
330
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
Функция Рг(1, х) оценивается так же, как и в общем случае
- 8 (£)' - А max l^l - •»] р‘ + с<₽ ’+с«-
Теперь нужно выбрать функцию f(v) так, чтобы
— 8 (-£-)' — А тах|/"| > 0.
В качестве такой функции можно взять
/(о) = — 2М+3;Ие f е-^ ds,
О
где т— достаточно большое число.
Справедлива следующая
Теорема 12.3: Если выполнены условия (3), (6),
коэффициенты bJt с определены в области QT и
(l а а Л
принадлежат С' **’ 2 ’ '(QT), а функция ср(х)£С(2,а) (Еп),
то существует единственное решение задачи (1), (2), опре-
деленное в полосе П(/0>т) и принадлежащее б/3’*' * (П^ ?)).
При п = 1 условие (6) излишне.
Доказательство. Как показано выше, условия теоремы
гарантируют возможность продолжения решений задачи (1),
(2) по естественной норме ||я||0. При этом наличие априорной
оценки решения u(tt х) позволяет так же, как в теореме 11.3,
доказать существование решения в полосе г).
Условие (6) значительно сужает класс уравнений, для
которых справедливы нелокальные теоремы. Оказалось ([24],
[26]), что для уравнений с дивергентной главной частью
4г= ЕтеИм**х'а' х-и' о
могут быть получены нелокальные теоремы без всяких огра-
ничивающих рост х, и, а’^ по и предположений.
*71 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ В СМЫСЛЕ А. М. ЛЯПУНОВА 331
§ 7. Об устойчивости в смысле А. М. Ляпунова
решений задачи Коши
1. Некоторые теоремы об устойчивости. Если ф. и. р.
параболической в каждой полосе П(о, г] системы удовлетво-
ряет неравенствам
|Z (/. 0. х. ЭК Са (t. 0)"я ехр | — с (. (АГ)
|Z(t 0. х, ЭК
< Са (t 0)"л ехр | — с (%$)' - V (Л О)2» }, (Л2+)
С, с, 80 —положительные постоянные, в полупространстве
t > 0, то тривиальное решение задачи Коши для таких си-
стем устойчиво в классе решений, представимых в виде
интеграла Пуассона. В дальнейшем класс решений параболи-
ческой системы, удовлетворяющий условиям какой-либо
теоремы единственности § 1, 2, будем обозначать через Е.
Так как из устойчивости решения всегда следует его един-
ственность, то устойчивость естественно исследовать в не-
котором классе решений, в котором заведомо гарантируется
единственность.
Определение. Тривиальное решение линейной пара-
болической системы устойчиво по Ляпунову, если для
любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что для всякого
решения u(t, х)£Е такого, что ||м (0, х)||£^ имеет
место неравенство ||и(t, х)||£^ (EPt ^устойчивость).
Тривиальное решение асимптотически устойчиво, если
дополнительно ||«(Л
1
(||«С*. *)11др> t — [fl«(*• *)|'ехр{ —	,
ll«(^	=	х)|ехр{ —*|х|}].)
Имеет место следующая легко устанавливаемая
Теорема 13.3. 1) Если ф. м. р. параболической
системы удовлетворяет неравенству (h.\\ то тривиаль-
ное решение системы Ер> ^-устойчиво. 2) Если же ф. м. р.
832
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
удовлетворяет неравенству (А^), то тривиальное реше-
I 1
ние асимптотически EPt ^-устойчиво, Л<(2680)26 (cQq)<i,
<С с.
Доказательство. Из представления
u(t, х) = f Z(t, 0, х, 5) «(О, £)d$	(1)
и оценки (Af) следует, что
ll«(t *)llip,o<Cll«<0’ *%,о-	(2)
Из оценки (Aj) и неравенства |х-1-51<:|х|-|-|$| получаем,
ЧТО
1
,11«(t x)ll£Ptft<c [/ехР {-cp'\a\4+kp'a(t, 0)|а|} da]p' X
X ехр {-М(Л 0)2»)||а(0, х)||£р Г
Функция /(/?) =— cp'R4 + kp'aR,	имеет максимум
=•	( ka„ р'(ka)2b
в точке /?=(-—)ч	, равный	* используя это,
получаем оценку
II«(t ^)Lp,*<C(ei)x
XexpU-^+A^Kc-eOyf-1)]®26^. 0)} ||«(0,х)||Др>#, (3)
— любое положительное число, меньшее с. Из нера-
венств (2), (3) следуют утверждения теоремы.
Сочетая утверждения теоремы 13.3 с критериями спра-
ведливости оценок (А0, (Ag), приведенными в § 4 гл. 1,
получаем * различные предложения, распространяющие на
параболические системы признаки устойчивости и асимп-
тотической устойчивости, хорошо известные для обыкно-
венных уравнений (теоремы К. П. Персидского, Важевско-»
го и др.).
Приведем еще теорему о сохранении устойчивости при
возмущении линейной системы нелинейным слагаемым типа
теоремы А. М. Ляпунова и ее обобщений.
f T) OB УСТОЙЧИВОСТИ В СМЫСЛЕ А. М. ЛЯПУНОВА 333
Рассмотрим систему
(4)
и предположим, что она имеет тривиальное решение. В слу-
чае линейных систем мы ввели понятие -устойчивости.
Заметим, что при этом в действительности решениями,
с которыми проводилось сравнение тривиального решения,
были вектор-функции, удовлетворяющие в каждой полосе
П[о, ту оценкам
ll«(t	(5)
Будем изучать устойчивость тривиального решения си-
стемы (4) в классе решений, удовлетворяющих оценкам (5).
Теорема 14.3. 1) Если выполнены условия: а) ф. м. р.
линейной системы удовлетворяет неравенству
\Z(t, х, х, l)\<Ca(t, <яехр{-с(-^-^-)?-80а(Л тр},
a(t, т)->оо при t->oo, a(t, т)2*— аддитивная
функция, т. е. a(t, tfa> = a(t, Р)26-|-а(р, т)2*, т < р < t-,
б) f(t, и)—нелинейный оператор, определенный в шаре
||«flip ,"СЯ, с областью значений, принадлежащей LPik',
В) ll/(^ *)ll£_ й<Н0||«||£_ , для u^LPtk, у которых
ae2» (t. 0) — J g (т) dx оо,
о
а—некоторая положительная постоянная, определяе-
мая через 80, с. kt Ь. то тривиальное решение си-
стемы (4) асимптотически Ер, к-устойчиво.
2) Если выполнены условия: а) для линейной системы
условие b}: \Z(t, т, х, $)]< Са (t, т)~*ехр {—с (
б) f (t, и) удовлетворяет условию б) предыдущего случая
с Л = 0; в) ||/||д 0<g(OII«ll£p,0 для ||а||£Р(0 < tj,
ОО
J* g (т) dx < + оо, то тривиальное решение системы (4)
о
Ept ^устойчиво.
334
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. Э
2.	Критерии неустойчивости. Примеры. Установим одно
простое предложение о неустойчивости решения задачи Коши.
Определение. Тривиальное решение системы
-%- = P(t,D)u	(1)
называется Ер> ^неустойчивым, если существует такое
е0>0, что какое бы 8>0 не было выбрано, всегда
найдется такое решение системы (1) и (t, х) £ Е,
|«(0.	и такое Т>0. что ||«(Т. х)||£р*>ео.
Теорема 15.3. 1) Тривиальное решение системы (1)
будет Ego, огнеустойчиво, если для каждого вектора
a — (Ci, .... Cj, bj¥X, ....	Cj+m+l, .... cN), b —
= (0......0,	fy+l, .... bj+m, 0..0). c = e — b, и хотя
бы одного набора а*......а*
Re {(/>(/, в*)а, b)-(P(t, а*)в. c)}>/(/)|d|2,
ОО
J* f
о
2) Для системы с постоянными коэффициентами
тривиальное решение будет Еаа, огнеустойчиво, если
хотя бы для одного набора а*, .... а* по крайней мере
один корень определителя матрицы Р(а)—ХЕ имеет
положительную вещественную часть.
Доказательство. 1) Рассмотрим решения системы (1)
вида u(t, х) = v (t) е1 (*••*>, тогда ^- = P(t, a*)v; введем
векторы a = v, b — (0..0,	Vj+1..0.........0),
с = а — b и обозначим £(/)« |6|2—|с|2, тогда
^- = 2Re((P(/. а‘)о. $)-(/>(/. «•)«. с)|>
It	1
2p(t)dt.
о J
Пусть t>,(0)s=i для	.... J-\-m и V|(0)sa0 для
остальных l, тогда последнее неравенство показывает, что
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ В СМЫСЛЕ А. М. ЛЯПУНОВА
335
/С(^)->оо, /~>оо, но тогда по крайней мере одна из функ-
ций |^(0| G =	1. ..., /Н-m) неограниченно возрастает.
Так как |v(/)| = |я(£, х)|, то утверждение теоремы доказано.
2) Очевидно, что можно выбрать начальные данные так,
чтобы хотя одна из функций, входящих в решение системы (1)
вида u(t, х) = я	была неограниченной при /~>оо.
Сделаем некоторые замечания:
1)	Рассмотрим систему
-^=2 AD*asP(D)«.
UH-2&
Из теоремы 13.3 следует Е», о-устойчивость тривиального
решения, покажем, что тривиальное решение такой системы
Eaot ^-неустойчиво с любым положительным т). Рассмотрим
два случая: a) д = 2£-|-1, б) b — 2k. В первом система
имеет решение
u(t, х) =	Ж)+Л,
т] = (»!,	т]), где X* — корень уравнения
det {РЙ) — Х*£} =0,
удовлетворяющий в силу параболичности системы неравенству
ReX*>8j>0; во втором случае решением будет
где X**— корень уравнения
det{p(;;+ztg^)-x"£}=o.
удовлетворяющий неравенству Re X— > 8, > 0.
2)	Для уравнения -^- = Ди — и, c = -i, 80 = 1, д = 1,
поэтому k < 1 и тривиальное решение в силу теоремы 13.3
асимптотически Ер> ^-устойчиво, но EPt 1+ч-неустойчиво, так
как уравнение имеет решение 8 ехр {(’Й 4-2^)/+(">1,4-1)*}.
0 < ’ll <
Вышеприведенные примеры, показывают, что для систем
с постоянными или ограниченными коэффициентами есте-
ственны теоремы о Ер> ^-устойчивости..
336
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ.3
Интересные примеры параболических систем, для которых
нет устойчивости, приведены в п. 2 § 3 гл. 2, уравне-
ния (1) и (3).
§ 8.	О стабилизации решения задачи Коши
для параболических систем
Под стабилизацией (установлением) решения некоторой
эволюционной задачи понимается существование у него опре-
деленного предела (понимаемого в том или ином смысле)
при /~>оо. В случае задач для ограниченных областей
устойчивости решения обычно сопутствует факт его уста-
новления, в случае задачи Коши возникают существенно
новые обстоятельства, связанные с характером изменения
начальных функций во всем пространстве.
1.	Определения. Пример М. Кжижанского. Дадим сле-
дующее
Определение. Функция и(/, х), определенная
в полупространстве стабилизируется к функ-
ции v(x) при если u(t, х) -t-^> v (*) равномерно
в каждой конечной области пространства Ея.
Рассмотрим систему
-5-= 2 ла)№	о
с непрерывными при t^O коэффициентами, параболическую
в каждой полосе Пр, л- Решение задачи Коши для системы (1),
удовлетворяющее одной из теорем единственности § 1, 2,
построенное по ограниченной измеримой начальной функ-
ции я0(х), определяется интегралом Пуассона
«</, *)=Jо(/, х—е)я0(е)<й, о(/, х)=О(?, о, х). (2>
Всюду в дальнейшем предполагается, что выполнены сле-
дующие условия:
1) Ло(/)=О;
2) Система (1) удовлетворяет условию А*:
x)|<Ca(0-’-,m,exp{-c(l^)*}, (Ах+)
а(0->оо при <->оо.
§8]	О СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ	ЗЗТ
Из условия Ai+ следует устойчивость решений системы (1)>
представимых в виде интеграла Пуассона, и стремление
к нулю \Da(tt х)| при /~>оо. Поэтому однопараметриче-
ское семейство функций a(tt х) (параметром считается время 0
компактно в каждом конечном параллелепипеде простран-
ства Еп. Приведем пример того, что даже для уравнения
ди д2и	,
это еще не гарантирует факт установления, т. е.
существования единого предела.
Рассмотрим обычный интеграл Пуассона
ОО
e(t *)== f 2^ехр{~'^£^гЧИ°(0Л’
—оо
где
«о(*)=
1 при х£Е =	Лв = 4[(-1)я4-1Н-2.
п
О при х£Е.
Рассмотрим функцию u(t, 0) и представим ее в виде
«	оо V’/2 ут
u(f,tyz=—^=r I*e~a,u0(2y^la)da = -^=- V f r* da.
ir те •/	у те	v
-oo	Л=1 Лгу?
Рассмотрим теперь последовательность tp = p2p, p = 1, 2,
Имеем
p-1
‘«P
*Я»“/2РР
Anp = J* <
»72PP
Так как	то
1Г«1
Pp
1V’-1 n
p
22 О. Д. Эйдельман
338
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. 3
поэтому
lim и (tp, 0) = lim Арр = lim -X-
р->оо	р->оо У я	р->оо У Я
2
J '-"to-
1
таким образом u(tp, 0) не имеет определенного предела
при р —> оо. Рассмотренную функцию и0 (х), очевидно, можно
заменить непрерывной так, чтобы соответствующий интеграл
Пуассона не имел определенного предела при f->oo.
Простым дополнительным условием, гарантирующим факт
установления, является предположение о том, что »0 (х) имеет
определенный конечный предел при |х|-*оо. При этом
стабилизация устанавливается, считая оценку (А]*), справедли-
вой только при т = 0. Однако это предположение исключает
из рассмотрения широкий класс справильно» колеблющихся
функций, построенное по которым решение имеет заведомо
единственный предел при /->оо.
2. Основная теорема о стабилизации. Обозначим через Rt
множество точек Еи, удовлетворяющих неравенствам
е1х1>0, е2х2>0.......еяхя>0,
e = (6j....е„) — фиксированный вектор, составляющие ко-
торого принимают значения -j-l или —1. Через Rea обозна-
чим параллелепипед	....еях„-<ая, а = (а,....ая);
at>0, i= 1, 2......я; через Reab— параллелепипед {^4<С
< х4 < bs 4- as. если = 1; bs—as < х4 < bs, если е4 = — 1.
$=1, 2.......п}, А = Ца4.
Теорема 16.3 (о стабилизации'). Пусть система (1)
п. 1 удовлетворяет условиям 1), 2) п. 1, а вектор-
функция а0(х) ограничена. Тогда если выполнено одно
из следующих условий'.
$g]	О СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ~	339
а)	лектор-функция а0(х) имеет угловые предельные
средние, т. е. существуют конечные пределы после-
довательностей -~j- j*u0(^)di, когда av .... ал> незави-
&еа
само друг от друга стремятся к бесконечности, при
атом предел I одинаков во всех Rt\
б)	в систему (1) л. 1 входят дифференциальные
операторы только четного порядка, a uQ(x) имеет
центрально-симметричные средние, т. е. существует.
конечный предел I последовательностей	л0(5) d£,
#еа+#-еа
когда составляющие вектора а независимо друг от
друга стремятся к оо, при этом предел I одинаков
во всех
в)	в систему (1) п. 1 входят только четные произ-
водные по каждому из переменных хг.....х„ в отдель-
ности, а и0(х) имеет предельное среднее, т. е.
‘2«4 У* • • ♦ У* «о®
-«1	"«я
когда av а„ независимо друг от друга стремятся
к оо, стремится к конечному пределу I, то вектор-
функция u(t, х)-*4, t-ь-оо, равномерно в каждом ко-
нечном параллелепипеде пространства Еп.
Доказательство. Пусть выполнено условие а). Прежде
всего сделаем два замечания. Во-первых, заметим, что дока-
зательство достаточно провести для случая Z=0, так как
в силу условия 1) п. 1
u(t, x)—l=	x-t)[u0(l)—l]dl,
а
4 /«0(1)^-/ = ^	-^j-^0.
Во-вторых, если uQ (х) имеет угловые предельные средние»
то -j- У* «0(E)dg	; а +<£*1 равномерно по всем векто-
22*
840
ГАДАЧА КОШИ
[ГЛ. •
рам Ъ,	Действительно, J и0 (£)</$—
#eab
= Т /1«о«)-ЛЛ“5в,» + 4 f М)-1]<Я, где Sa>b
#eab	#еа
представляет собой сумму, каждый член которой содержит
О	bk+*kak
интегралы вида •—> J* или i , которые стремятся
bk	*kak
к нулю при av .... ая->оо равномерно по всем bk, М.
Перейдем к непосредственному доказательству теоремы.
В интеграле (2) п. 1 сделаем замену переменной интегриро-
вания £ = х + а(ОР» тогда получим
u(t. x)-a(tyf G(t, -а(Ор)«о(* + *(ОМ==
~a(t)u f G(t,
₽t ₽»
X ap, L < / • • • / «о (* + * (W	-
0	0
₽l ₽«
=(-1)"a(tf f d^°d?n f — J\(*-H(0P*)<(1)
0	0
Последний переход сделан на основании оценок (Ai*) и того,
что | «01 М. Установим, что для любого е > 0 и х, | х| /С,
можно найти такое Т(е, К), что \u(t, х)| <е для />Т.
Представим u(t, х) в виде
и(£, х)= J* + J* + J* =Л~1_^2+^з
i₽<i>v	Л1 *4
(5=1, ...,Л)	(5 = 1, ...,Л)	(5=1, ...» Л)
“ (2)
дпо f	dnG
и ♦) заметим, что	— (— a (t)n)	, поэтому
*) В /] включены интегралы, в которых | 1 > Bs хотя бы
при одном s, в /2,—если hs < |	| < Bs при всех s, 5=1,2,..., п.
4 8]
О СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
341
в силу оценки (Af)
|	| < С® (О'” ехр {-с | 0 Г}.	(3)
Из оценки (3) сразу следует, что можно выбрать достаточно
большие Bs и достаточно малые hsi зависящие лишь от е,
так, чтобы для любых х, t
I'.K-y. I4l<i-
Переходим к оценке /2. Обозначим
₽|
0 °
сделаем замену переменных х-|-a (/)£*=* а, тогда gz(p) за-
пишется в виде
Xi+л (0 ₽,
• • f a0(a)da —
*п
Г|+а(0₽, xn+aWPn
1	? f u0(a)da.
'п
в ,(?)=«
п
*-» п<л<ом
5-1
Так как й0(х) имеет угловые предельные средние, то в силу
сделанного выше замечания
Xi+aCOPj жл+а(/)₽я
-7—1---- f ••• f a^da
n<a<ow xi *n
s-l
как только | a (t) 0, | > 1VS для любых x, | x | < К. Возьмем
8.
8 =
342
ЗАДАЧА КОШИ
(гл. а
N
и выберем такое Т, чтобы а (Т) шах , тогда для t>T
s
*,+в(0₽1
в0 (а) da
Таким образом. | a(t, х)|<е, и утверждение теоремы доказано.
Доказательство теоремы в предположениях б), в) проводится
таким же образом, но в силу того, что при выполнении усло-
вия б) О (f, — р) = О (t, Р), формулу (1) можно записать в виде
e(f.
d”
Xdp, ...d₽e
₽i	₽»
f ... f +	+
0	0
(П
а в случае выполнения условия в) О (t, pt. .... ря) =
= 0 (t, р,....—Ру.......р„) и (1) может быть записано так:
й(/.	G(f, a(t)$X
Хжттж- / - f «o(*+*(0₽*)rfM. (10
-₽1 -₽n
Представления O'), (О позволяют повторить рассуждения*
с помощью которых устанавливалось утверждение теоремы
при выполнении условия а), предполагая существование цен-
трально-симметричных предельных средних и предельного
среднего соответственно.
§8]
О СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
343
3. Некоторые замечания. Сделаем несколько замечания
к теореме 16.3.
1)	Очевидно, что для установления утверждения теоремы
не обязательно, чтобы матрица Грина экспоненциально убы-
вала. Так, доказательство останется в силе, если предпо-
лагать, что
\DmG(t, т, х)|<С(а(/, Х))—
а(/, t)>0, lim a(t, т) = оо,
/->оо
f /(|г|)(1+|г|2)^г< + 0О.
(4)
Оценки (4) могут быть получены весьма просто для более
широких классов систем, являющихся подклассами систем,
параболических в смысле Г. Е. Шилова (См. дополнение 1
и [17]).
2)	Естественно возникает вопрос о том, насколько широк
класс ограниченных функций, имеющих предельные средние
(угловые и центрально-симметричные). Рассматривая функции
одной переменной, отметим, что к0(х) имеет предельное сред-
нее, если к0(х) -> Z*. равное —	, предельное среднее
Ж->±оо	*
имеет любая равномерная почти-периодическая функция ♦),
w-почти-периодическая ♦♦) функция. Заметим, что эти функ-
ции имеют и угловые средние» совпадающие между собой.
3)	Более точные теоремы о стабилизации могут быть
получены, если известны линии уровня ф. м. р. системы
(т. е. поверхности в пространстве Еп. на которых ф. м» р*
постоянна, t фиксировано) и их свойства.
Так, например, для уравнения
МмоД+>*+‘й' с»
♦) Б. М. Левитан,
стр. 32.
♦♦) Там же, стр. 223
Почти-периодические функции, 1953,
344
ЗАДАЧА КОШИ
(ГЛ. 3
ф. р. явно выписывается:
G(t, х-0 = (2 УТ) "(detU^nr^WX
AtJ (t) = f at} (t) dx, Bt (t) bt (t) dx, C(i) = f c (t) dx,
°	о	0
A;(0 — элементы обратной к || Л^Ц матрицы. Линиями уровня
Q(tt х — 5) будут эллипсоиды
t i J 4//)(Bt 4- Xt-у (Ву+X)-ty=C2.
Если интеграл Пуассона представить так:
u(t, *)= lim [G(t,x— 5)e0(5)d$,
C->oo J
(2)
vt — объем записанного выше эллипсоида, а затем использо-
вать близкие к изложенным в доказательстве теоремы 16.3
рассуждения и оценки, то можно прийти к утверждению:
Теорема 17.3. Пусть’.
1)	lim A/y(Oldet ||ЛО||]1/Л = а/у, а„>0;
/->00
2)	limdet 114,(011 «в оо;
/->00
3)	lim [4 (О(det II AtJ(0Ц)~1Дл1 = ₽<;
/*>оо
4)	lim С(О = т;
/->оо
5)
«0(х) dx/mes Vе! =/,
где Vе — тело, ограниченное поверхностью
15 ^Л1] (•*/ — ?/)(•*/	?/) —
Тогда lim и (t, х)=1е'1 равномерно в каждой конечной
t-^QO
области Е-.
Я
$8]
О СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
345
Заметим, что если uQ(x)^l9 то характер тел, по кото-
рым предполагается существование среднего, в большой мере
безразличен; в частности, такими телами могут быть шары.
В общем же случае этот выбор существенно диктуется
характером линий уровня ф. м. р.
_	ди 1 д2и , д2и '
Рассмотрим, например, уравнение — =-----=- -I-=-,
dt 4 дх$ дх2
Хп	1
линиями уровня его ф. р. являются эллипсы х2 + -j- = С2;
Определим начальную функцию uQ(xv х2) так: если через Qmk
обозначить область плоскости (хр Xg), определенной в поляр-
ных координатах неравенствами тт < (m-f- l)m+1,
(2Л —1)-£<<о<(2А+1)-J, то
|	1 в Qmk с (m-J-Л) четным,
j —1 в с (тЧ»Л) нечетным,
д0(*1» *2) имеет предельные средние по кругам, но не имеет
предельного среднего по эллипсам х24~-^ = С2. Если решить
задачу Коши по д0(хр х2), то это решение не имеет единого
предела при £->оо.
4) Для уравнения второго порядка с дивергентной правой
частью и переменными по t и х коэффициентами
п
4г= S	(3)
«./-I	1
из оценок Нэша (см. § 8 гл. 1) для ф. р.:
Z(f, 0. х,	,	(4)
момента ф. р.:
о, ж,	д4э
и его модуля непрерывности:
,	_£/!?!-5, IV
|Z(/, т, х. ?!>—Z(t,x, х.	1) 2	~ * (S)
I (/-<)’ I
346
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ.З
константы а, К, зависят лишь от п, Cv С2 (С2'^С1 > 0—
постоянные, ограничивающие сверху и снизу собственные
значения матрицы л:)117, у-i)’ следует стабилизация ре-
шения задачи Коши, представимого интегралом Пуассона
и (t. х) = f Z (t. О, x. О а0 (5) dK,	(6)
если ограниченная функция и0(х) обладает равномерным
средним.
Теорема 18.3. Если коэффициенты уравнения (3)
определены в полупространстве t^Ou удовлетворяют
условиям".
(t, х), jj- a^t, х) принадлежат классу С*0, 0)(Пг)
в каждой полосе Пг. Т > 0;
2)	существуют такие положительные постоянные
Ср С2, что для любых t, х из полупространства /^>0
и любых действительных .........
а непрерывная начальная функция ий(х) условиям".
з)	|«о(*)1<*;
4)	7о1гй / uo(£)d^ -> 0 равномерно по х. Vn — куб
V”) J
с центром в точке х и ребром 2N, то u(t, х)->0 равно*
t-+o
мерно по х из Еп.
Доказательство. Введем в- (6) новые переменные
интегрирования ₽=(£ — x)t112 и полученный интеграл пред-
ставим в виде суммы двух интегралов, один из которых
берется'по кубу VB= {<23, а=1, 2, .... «}:
u(t, х) = /2 f Z(t, 0, х. х+ )/7₽)«0(* +	+
VB
Я /•	__
4-/2 J z(t, о. X, х4-//р)«о(*+ ]/7₽)<ф=
= «!(/, Х)4- «2 (2, X).
$8]	О СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ	347
Из оценки (4) и предположения 3) следует, что по за»
данному «>0 можно найти такое В — В (в, К, k, а),
что при всех t, х имеем*)
(7)
Оценим теперь at(/, х). Разобьем VB на (2s)* кубов, обо-
значим через У” v-й куб (а будет выбрано позже) и пред-
ставим и0(х) в виде разности его положительной и отрица-
тельной частей а0(х)==«^(х)— «о (х):
х) =
(2i)" п
= 2 t2( f Z(t, 0. х. x+V7₽) «+(x+/7p)dp-
— J z(t, 0. x. х+У7₽)йо(х+
v>
£_
= 2 I 0. x. x+ /7t,x} f a$ (x+ /7p) d₽ -
V-l L	у»
—z{t, 0. x. x-Ь VTp^/.r) J «<Г(х4-
V
-2 t2 {Z(f. 0. X. х4-/7р+6ж)—
—z{t, о. X. X 4- V7p; t, ж)} J «о+ (x 4- /7-Р) dp 4-
. 4-z(t o. x. x4-/7p;/tJr) J«0(x4-/7p)dp. (8)
♦) Действительно» из (4Z) следует, что
_______i_	n
K>S iei<~2Z(A О, X, 6)dS = /2 J|₽|Z(/,0,x,x4-VTp)d₽>
>tTf |₽|Z(f, 0, x, x4-/7₽)dP>ttTJzdp.
Кв
Таким образом, | «i (i, x) | < j.
848
ЗАДАЧА КОШИ
[ГЛ. 3
Была использована теорема о среднем. Так как tt к
И 1, х принадлежат V*, то | it х—ж| В. Пусть
ovf есть Z-я координата центра куба V*.
В силу условия 4) по заданному 8 > 0 можно найти
Т = Т(8, В, s), что при t>T
BVt\n f
«о®*
(9)
Неравенство (9) можно переписать в виде
/ «0(x+v*₽M=
= f a0(x+/7p)dp<8(-|-)B = 8mesVr1'- (9'>
V’
Ив оценок (4), (5), (9') следует неравенство
х)|<
< 2 l*1 № t, ж - ₽; t. ж|“ k mes V + Kb mes V’] <
v-1
(a	\
Klk-t^- + Kb](2B)n.
ST	/
А теперь выберем s и 8 так, чтобы
Ktkn^ff1 (2В)п/зл < -J-
и
К(2В)аЬ<^,
тогда j«i(t х)|<4 ПРИ	s) = T(n, Cv С^.	?’
jf
4 8]
О СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
349
5) Для уравнений с постоянными коэффициентами может
быть установлена такая
Теорема 19.3. Для равномерной стабилизации
решения задачи Коши для параболического уравнения
1*1-2*
(10)
с постоянными коэффициентами, представимого инте-
гралом Пуассона, необходимо и достаточно, чтобы
начальная функция uQ(x) имела предельное среднее.
Доказательство. 1) Достаточность. Пусть
zz0(x) имеет равномерное предельное среднее, равное 0. Это
значит, что для любого е > 0 найдется такое Af0 (е), что при
N > 2V0(s) и любом х
f ио(5)^
VN
(П)
Используя произвол в выборе х, легко из (11) усмотреть,
что функция я0(х) имеет равные нулю угловые предельные
средние. Но тогда по теореме 16.3
u(t, х)= Г O(t, х — 5)«0(?)de->0,
•'	f->oo
при этом в силу предположений об д0(х) это стремление
равномерно по х.
2) Необходимость. Доказательство теоремы будем
вести от противного. Пусть
«(*. х)= fo(t. х — а)«0(|)Л->0
/->оо
равномерно по х, а начальная функция не имеет равномер-
ного предельного среднего.
Последнее означает, что найдется такое е0 > 0, что для
любого положительного NQ найдется такое N > NQ и такая
точка М (т|р Ti2, .... т|л), что
(2N)n f
IW. ^1)1 =
>ео-
(12)
350
ЗАДАЧА КОШИ
(гл. а
Ниже будут использованы такие очевидные свойства функ-
ции О(/, х):
1) О(/, х^Г^О^х/УТ).
2) fo(t,t)dt=f Oj (<х) 4?0С==1 •
Представим J O1(a)da = j" O1(a)da~l~ j“ Ot(a)da и
vB	вя- vB
возьмем В настолько большим, чтобы
Bn~VB
10l(a)pa<-J.,
тогда
Vb
га
Сделаем в интеграле Пуассона обычную замену 5 = х+a 147:
га
U(t, *)= f (?i(e) »0(x4-a/7)<Га4-
VB
га
+ f Gi(a)u0(x+ Y7a)da = Ii + f2.
En~vB
Будем считать для простоты, что |a0(x)|<U, тогда
I4K-J--
Возьмем последовательность N$}-*-oo; по ней в силу
сделанного предположения можно найти последовательность
Л/д-хэо и такие, что |S(^. 'Ч»)|^-е0. Можно считать,
что S(Nk, ®0. Определим теперь последовательность
стремящихся к бесконечности времен	W* j2* •
| 8]	О СТАБИЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 351
Рассмотрим
(2Nkf j* u(fk’ У* Oi(a)rf« • <5 (Л^>. Ч>) —
— f OtWda pjl-y, f u„(x + tYl)dx —
eo e0 e0
Можно считать, что -n---т^-т»
2	4^4
Из неравенства (13) следует, что в каждом Vn* есть по
крайней мере одна точка хк9 в которой a(tk9 хк)^^,
a tk —► оо, что противоречит исходному предположению.
Отметим, что утверждение теоремы 19.3 сохраняет свою силу
и для параболических уравнений с переменными по t коэффи-
циентами и младшими членами, функция Грина которой удо-
влетворяет условию Ар
ГЛАВА 4
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Здесь рассматриваются общие смешанные (краевые) за-
дачи для параболических систем с переменными коэффициен-
тами в областях общего вида с гладкими границами. Выде-
ляется класс краевых задач, разрешимых при любых достаточно
гладких граничных функциях. Исследованием охватываются
также краевые задачи для некоторых неограниченных обла-
стей, при этом граничные функции могут расти экспоненци-
альным дбразом.
Вначале решается вспомогательная задача для полупро-
странства в простейшем случае: коэффициенты системы и
краевых условий считаются постоянными, в них входят одно-
родные, в параболическом смысле, операторы. Получающаяся
при этом полупространственная ф. м. р. (п. ф. м. р.) де-
тально изучается, для нее находится весьма полное аналити-
ческое описание и точные оценки.
Все это позволяет получить результаты для систем и
областей общего вида, с помощью специальных потенциалов,
в конструкции которых основную роль играет п. ф. м. р.
§. 1. Смешанная задача для полупространства
1. Формальное нахождение решения. Условие разре-
шимости. Рассмотрим задачу о нахождении решения u(t, х)
параболической системы
£ = 2 A*D‘«SA(D)«	(1)
1*1-2*
в области
QT {0 < Г, хл > 0, — оо < xs < оо, s= 1, 2...n— 1},
$ 1] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 353
удовлетворяющего условиям:
Ч-+о = О ПРИ хп > 0, — оо <	< со (2)
(s = 1. 2....л —1),
lim В, (-^т, D) « =
xn->+o l\di	)
N
= limn2	2	*)==/<(*. *'). (3)
X -> +0	ut 0
;=1 2dJfe0+|A?|-rz
/=1, 2, ...» bN,	• -^rbN = r при 0</<Т
и любых x' = (xv х2, ...» *л-1). Функции /Д/, х') пред-
полагаются пока «достаточно хорошими».
Поставленную задачу будем решать с помощью преобразо-
вания Фурье по хг и преобразования Лапласа по t. Удобно
отыскивать решение в виде интеграла
u(tt х) = J* е1 (*'>'') da' J* eptv(xn, pt<s')dp>
а^—.1сс>
°' = (вр °2.°Я-1)-	(4)
Тогда, для того чтобы u(tt х) удовлетворяла условиям (1),
(2), v(xn> р, а') должна быть решением следующей краевой
задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний: найти при хл^0 решение системы
удовлетворяющее краевым условиям:
.0==7(р,о')’ (6)
л п
7{р. д') = (2^«7/e-P'dtУ*V)#'. (7)
Решение краевой задачи (5), (6) и исследование свойств
получающихся при этом функций имеет решающее значение
для всего дальнейшего. Поэтому4 мы на этом подробно оста-
новимся.
23 С. Д Эйдельман
354
СМЁШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
Во-первых, заметим, что по самому смыслу формулы (4)
следует предполагать, что задача (5), (6) разрешима при
всех вещественных а' и p = aQ-\-lpv aQ — некоторая поло-
жительная постоянная, — оо < рх < оо. Для обеспечения схо-
димости интегралов, входящих в (4), следует брать не все
решения системы (5), а только убывающие при хп —>	°о«
Для проведения дальнейших рассуждений необходимо уста-
новить одно вспомогательное предложение алгебраического
характера.
Лемма 1.4. Уравнение
Ф(р, a)==det Д(р, а', ал) = 0,	(8)
р = а-{-1рх, а^О, —оо<р1<оо, —oo<az<oo,
1=1,'2......п—1 при р, а', одновременно не равных
нулю*.
1) не имеет вещественных <зп-корней\
2) имеет ровно r = bN <зп-корней с положительной
мнимой частью.
Доказательство. По определению параболичность
системы (1) означает, что вещественные части X-корней
уравнения
det {4(a) —ХЕ} =0	(9)
удовлетворяют неравенству
ReX(a)< — 8 |о|2*.
(Ю)
1) Если бы уравнение (8) имело вещественный ол-корень,
тогда совместное рассмотрение уравнений (8), (9) дало бы
Re р == Re к (о) == а < - 8 (| У р + <£)».	(11)
что невозможно. Действительно, при а>0 или |о'| >0 не-
возможность неравенства (11) очевидна, если же а = 0, а' = 0,
то в силу предположения рх 0, поэтому бй 0 и нера-
венство (11) тоже не может иметь места.
2) Заметим, во-первых, что в силу конструкции уравне-
ния (8) совокупность его ол-корней обладает свойством
обобщенной однородности
{«я(аи>Р. «И — {аа„ (р, «')}.
через {вя} обозначена 2М/-значная алгебраическая функция,
определяемая уравнением (9).
§ 1] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 355
Рассмотрим вначале случай п>1. Пусть о^(р, о')—
непрерывная ветвь этой функции; на пути, соединяющем две
точки пространства (a, pv ар <з2, ...» сп_г) и минующем
начало координат 0, не может измениться, в силу только что
доказанного, знак Im Пусть при (р, а') Ф 0 уравнение (8)
имеет г (р, с') корней с Im (р, о') > 0. Соединим (р, о')
с (р, —а') путем, не содержащим точки 0; из приведенных
рассуждений следует, что г(р, <з') = г(р. —а')» с другой
стороны, используя обобщенную однородность совокупности
корней, получим, что
Последнее означает, что число корней с Im <зп < 0 в точке
(р, У) совпадает с г(р, —с')» но в точке (р, а') корней
с Im <зп < 0 2bN — г (р, а') = г (pt —а') = г(р, а')- Поэтому
г (р, c') — bN. Итак, утверждение 2) установлено при
п > 1 . В случае п = 1 оно сразу следует из равенства
В силу леммы 1.4 система (5) имеет г линейно независи-
мых решений вида
Чт <хп> Р- °') = рт (ХП’ Р> а')	Im > О,
Рт(хл)—полином от хп. Рассмотрим теперь r-мерное подпро-
странство Нг 2г-мерного пространства решений системы (5),
убывающих при хп —>оо (это равносильно рассмотрению
решений (5), принадлежащих 12(®» °°))-
Пусть ^(хя, р, o'). v2(x„, р, а')...vT(xa, р, о') —
базис в НТ, тогда интересующие нас решения могут быть
определены формулой
®(*я. р. о')=:С^1(Ха. Р, o')4-C2V2(*„, р, оЭЧ- ...
... + crvr (х„. р, а') = V (хя) С. (12)
Для разрешимости задачи (6) в Нг при любых значениях
/(р, о') необходимо и достаточно, чтобы выполнялось сле-
дующее
Основное условие разрешимости (усло-
вие Ру. для любых вещественных а' и p=a-{-lpv а—не-
23*
356.
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
которая положительная постоянная. —оо < рх < оо,
detBfp.	р.
Отметим, что это условие гарантирует однозначную разре-
шимость задачи (6) в Нг. Очевидно, что отличие от нуля,
выписанного в условии определителя, не зависит от выбора
базиса подпространства Нг. Цель дальнейших построений —
более явная формулировка условия разрешимости и запись
решения задачи (5), (6) в форме, удобной для дальнейшего
исследования.
Воспользуемся вычетным методом решения систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений.
Лемма 2.4. Фундаментальная матрица решений
системы (5) дается формулой
IF (хя; р, в') = f eixn°n А'х (р. «) М (о„) </ая,	(13)
Г
м («„)=(£.	.....
(1 ... О	а	...	О	... О*»-1 ... О
п	п
. 1	.	.	а	.	.	02»-1 .
п	п
О ... 1 0 ... ая ... О ... а»-»
я	л
' Я '	'
Г — простой	замкнутый	контур	в	комплексной пло-
скости	<зп,	охватывающий	все	ап-корни	уравнения
ф(р, а', \) = 0.
Доказательство. То, что столбцы, составляющие
матрицу W(хп. р, а') — решение (5), — очевидно; покажем,
что эти столбцы линейно независимы. Для этого достаточно
доказать, что
det J М' (оя) Д’1 (р, о) М (оя) dau + 0.
Г
§ 1] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 357
Последнее проверяется непосредственным подсчетом; дей-
ствительно,
f Л4'(вя) Д-1(р, a)M(a„)da„ = f (^А^ (р, <,))’% <ЬЛ.
Г	г
Интегрирование по Г можно заменить, используя теорему
Коши, интегрированием по окружности достаточно боль-
шого радиуса /?, элементы Д"1^, °)~(ф(р^ а\)—отно*
шение полиномов Д^(р, а) степени 2b (N—1) и Ф(р, а', ал)
степени 2bNt поэтому при 2d подынтегральная функ-
ция имеет порядок не ниже и следовательно, в силу
произвольности R J* оя+у”2Д"1 (р, о)d<sn = 0 при I + /<2d,
г
но тогда
detpl'(a„) А~\р, a)Af(a„)de„==[det f <%-гД-1(р,<№п
г	L сд
2Ь
Таким образом, W (хя; р, o') — ф. м. р. системы (5), так как
f а^~1А~1(р, о) da„ = 2riA^„ 026.
Общее решение (5) дается формулой
«(хя; р, У) = Г(хж; р, а') - С,	(14)
С — одноколонная матрица размера 2г.
Лемма 3.4. Любой вектор аз Нг может быть полу-
чен аз формулы
о (•»«; Р> °') = f е1хп’лА~х (р, а) М (ая) da„  С (15)
г+
подходящим выбором вектора С. (Г+—контур, охваты-
вающий сл-корни уравнения Ф (р, о', ал) = 0, лежащие в полу-
плоскости Im ал > 0.)
Доказательство. Достаточно убедиться в том, что
среди 2г столбцов матрицы J* е1хп*пД~х (pt с)Л4 (сл)йоя будет
г+
358
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
г линейно независимых. Последнее сразу следует из сопо-
ставления двух фактов: известно, что ся-корню уравнения
Ф(р, <з', оя) = 0 кратности mj соответствуют линейно
независимых решений, которые имеют вид Р(хл)е1а^
i
р. ®')==2 J е<х»’»Л'*(р, a)M(a„)dan,
j-**,
Гу — окружность в Зд-плоскости достаточно малого радиуса
с центром в точке
Матрица J* eix*9*A~l (р. а) М (ая) dan должна иметь ровно
~ г/
mj линейно независимых столбцов (иначе W не могло бы быть
ф. м. р.), a J* -j- J* — /Пу -f- /Лу+1 линейно независимых
- г/ г/+1
столбцов, и следовательно, J* е1хп'пА~х (р> а)Л4(ая)</ая имеет
г+
г линейно независимых столбцов.
Если теперь удовлетворить граничным условиям (6), то
относительно С получится система г уравнений с 2г неиз-
вестными
J В (р, о) Л’1 (р, а) М (о„) da„ • С = f(p, с').	(16)
Условие Р может быть записано в виде
ранг f В(р, а)Л"*(р, а)М (а„)den = г. (17)
г+
Используя условие (17), можно, выделяя при каждом
значении' параметров (р, с') ранговый минор матрицы
J* B(pt	решать систему (16) по фор-
г+
мулам Крамера, найденную таким образом матрицу С под-
ставить в (15), a v(xn; р, а') затем в (4). Однако наличие
«прыгающего» рангового минора мало удобно для дальней-
шего, поэтому мы продолжим изучение условия разреши-
мости, доведя его до получения удобных для исследования
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
359
«11
формул. Установим некоторые важные вспомогательные
предложения.
Рассмотрим .первую краевую задачу для системы (1):
/=0. •......»•-/.
и соответствующую задачу для системы обыкновенных урав*
нений (5):
у=0'1.......4-‘- <18)
Лемма 4.4. Если выполнено условие Р в случае
первой краевой задачи*), то
Fx{p, o') = det /Х(оя)Д-1(р. a)Ai1(o„)dOe^0, (19)
o'—любое, p—a-±4pv a>0, M^aJ—fE, <зпЕ.........ajJ-lE).
Доказательство. Пусть при некоторых р и o'
Fx{p, o')ssO. Тогда существует такой ненулевой вектор Сх
размера г, что функция
«1 <хя\ р, о') = f в^пА-1 (р, о) АГ, (a,) da, . Сх (20)
i	i.
г+
удовлетворяет нулевым краевым условиям (18). Так как из
выполнения условия разрешимости следует, что задача (5), (6)
имеет в Нг единственное решение, то
Р< a')=0== J е1хпвпА~г (р, a)Al1(a,)da,  СР (21)
г+
Рассмотрим теперь функцию
«Г (х0. Р> °') = J* е^я'пА'1 (р, o)Aft(o,)do, • Ср
г“
♦) В. П. Михайлов в работах [30] с помощью развитой им
теории обобщенных тепловых потенциалов доказал корректную
разрешимость первой краевой задачи для параболических систем;
из его результатов следует, в частности, выполнение основного
условия разрешимости для произвольных параболических систем.
360
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
Г~—контур, охватывающий все ол-корни уравнения
Ф(р, о', ап) = 0 с 1шал < 0, при хл<;0. Она удовлетворяет
уравнению (5), принадлежит L2 (— оо, 0) и удовлетворяет нуле-
вым граничным условиям (18); последнее следует из равенств
f Ml (а„) А-1 (р, а) Ж, (а„) dcn = f М{ (а„) Л-1 (р, а) X
р”	—оо
X Ж, (□„) dan = / ж; (а„) Л'1 (р,. о) Mt (а„) da„.
г+
Выполнение условия Р для задачи (5), (18) на полуоси хл^>0
влечет за собой выполнение этого условия для задачи (5), (18)
на полуоси хл<^0. Действительно, задача (5), (18) может
быть записана так:
ф-) •' = <’
Поэтому, в случае хя-<0, вводя уя= — хя, перейдем к за-
даче на полуоси уя^>0, в которой вместо о' стоит —а', но
условие Р содержит однозначную разрешимость задачи (5), (18)
для любого о'. Но тогда
V,- == 0 = J Л"1 (р, а) М (ая) da„ . Cv (22)
г-
Складывая (21), (22), получаем равенство
f eixn’nA~x (р, а) М (а„) dan • С, = О,
Г
противоречащее линейной независимости столбцов W (хл; р, а')*
Таким образом, Рг(р, а') не может быть нулем; лемма
доказана.4
Из леммы 4.4, в частности, следует, что базис в Нг
составляют столбцы матрицы j'eix'f"A+1 (р, а) (ал)
г+
поэтому условие Р может быть записано в виде
det В (j>, а)Л-1(р, а) Ж1 (оя) d<sa + 0.
§ 1] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 361
Лемма 5.4 (о правосторонней факторизации). Если
выполнено неравенство (19), то существует матрица
А+ (р, О = 2 Л/ (р, o') <£, det Л»+ (р, о') =£ О,
J _л
/-0
корни детерминанта которой совпадают с корнями
уравнения Ф(р, о', оя) = 0 с 1тоя>0, которая делит
матрицу A(j>, о) справа, т. е. А(р, о) = Л_ (р, о) Л+ (р, о),
где А_(р, о)— полиномиальная по оя матрица*).
Доказательство. В силу (19) матрица
f elxn’nA'~l (р, о) (оя) dan
г+
имеет г линейно независимых столбцов, принадлежащих Н'г **),
поэтому любой вектор из Нг определяется формулой
v (хя; р, o') = f е^пА'-1 (р, о) Мг (оя) doa . С, (23)
где С — вектор (размеров г) произвольных постоянных.
Так как столбцы матрицы Г eixn9n<sbnAf-1 (р, d)dan принад-
лежат Hr, то существуют матрицы (размера N X N) Aj(P> °z)»
/ = 0, 1, .... b—1, такие, что
J* ?*»’лояЛ' 1 (р, о) da„ =
’-Л?'(р, о')
= f elx«'«A'~'(j>, a)Ml(a/l)da„ —Л»_1(р. o')
-At'(р, o')
*) Лемма 5.4 допускает обращение, т. е. из сущест-
вования Л+ (р, а) следует (19). Действительно, для системы
Л+ [р, а', —Z-^Д о = 0 первая краевая задача (18) превращается
в задачу Коши, всегда однозначно разрешимую.
**) Н'г — пространство решений системы Л' I р, а, — Z - j v=0,
принадлежащих L2.
362
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
Последнее равенство можно переписать так:
(24)
»-1
Обозначим через Л. (р, о) =	-} S Л£_/(Р> а')а«> транс-
у-о
понируя матрицы, стоящие в (24), запишем
е1хп’пА+ (р, о) A~l (р, a) dan »
р. < f е/ж»’»Л-*(р, а)Ля=0. (25)
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
л+ (р‘a''-l^v=Q-
(26)
Тождество (25) и результаты его дифференцирования b—1 раз
по хп означают, что столбцы матрицы
J e'V^-1(p, a)Mi(6„)da„
/
являются в силу (19) линейно независимыми решениями си-
стемы (26). Для завершения доказательства теперь доста-
точно воспользоваться следующим известным фактом ♦):
Если система	= 0 допускает все реше-
ния системы	= то существует полино-
миальная матрица Я.(ал) такая, что
В силу всего вышеизложенного
А(р, а) = А_ (р, а) А+ (р, о).
*) Е. Noether u. W. Schmeidler, Moduln In nichtkommu-
tatlven Bereichen, insbesondere ans Differential- und Dlfferenzenaus-
drficken, Mathem. Zeitschrift 8 (1920), 1—35.
$11
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
ЗбЗ
Отметим, что коэффициенты полиномиальной по а„ ма-
трицы А+ (р, а) могут быть вычислены из следующих систем
алгебраических уравнений:
/ М[{ая)аяА' 1(р, a)dan =
-Ai’ip. я')
г+
—Л»+Л(р. я')
-Л+'(Р. <0
(27)
Из лемм 1.4, 4.4 следует, что все векторы из Нг опреде-
ляются формулой
V (х„; р, а') = J е'жл’лл;’ (р, я) Afj (я„) da„ . С, (28)
Г
Г — контур в оя-плоскости, содержащий внутри себя все
ая-корни уравнения Ф+ (р, о) = det А+ (р, а) = 0. Система
для определения С имеет вид
J В (р, я) л;1 (р, я) МJ (я„) </я„ . С = f(p, я').	(29)
Г
а условие Р принимает вид
F (р, s') = det У В (р, а) Л;1 (р, а) Мj (я„) dcn + 0. (30)
Г
Обозначим через
R (Р- о') = Г У В(р. а) А71 (р, a) (ап) </а„1
Lr	J
тогда искомый вектор v(x„; р, о') определится так:
v(xa‘, р, я') = /(хя; р, a')f(p. <з') =
ОО
7(*я; Р. ^)—J е1х«'»А+1(р, a)Ml(aK)daltR(p, а').
Г
364
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
В п. 3 будет доказано, что при любых вещественных с',
р = а-|-/рр	хп > 0 матрица /(хл; р, о') является
аналитической функцией р, ее столбцы /у удовлетворяют
неравенствам
1Л(*Я; р. «')| <
<Cexp{-^(|a'|4-|Ap^)x„}(|fl|^+lAl^4-|’'l) ’ (32)
Если предполагать f(tt х') -финитной и бесконечно диффе-
ренцируемой, то /(р, с') будет целой функцией своих аргу-
ментов, удовлетворяющая оценкам
|/(р, а')| <Ст(|р|+ ИГ”	(33)
при любом т.
Оценки (32), (33) гарантируют равномерную сходимость
интегралов, определяющих и (t, х) формулой (4) и всех их
производных по х и t при любых x't хп^0,
Поэтому и (/, х) удовлетворяет системе (1) и краевым
условиям (3); удовлетворение нулевым начальным условиям
следует из того, что
я (0, x) — f da' J ^(хя; Р» °')dp9
aQ-ioo
а в силу интегральной теоремы Коши и оценок aQ может
быть взято любым положительным и
а0+1<*>
f v(xn; р, a') dp—>0.
а.-/оо
Такимч образом,
ай+1со
u(t, х) ——Ц- /* е1 <*'>’') da' /* ept dp f	a)X
(2x)»/^	J
OO
X M! (a„) daaR (p, a') f e-t* dx f e~>«	(x, П (34)
6
дает решение задачи (1), (2), (3).
§ 1] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 365
Абсолютная сходимость последнего многократного ин-
теграла при хп > 0 позволяет поменять порядок интегриро-
вания, что приводит к основной формуле
и(/, х) = fdx f O(t — x, X —£')/(?, ?')#' =
о
t
= fdTfG(f — t, х —$')<• (35)
О
где
a^ico
Q(t — x, x — V) = —-— f e‘ »’> da' f eP dp X
(2’) ‘ J	«.Лоо
X /е1хп°пА^(р, a)Mx(an)danR(p, a'). (36)
Г
Последний переход в (35) совершен на том основании,
что при хп > О G(t — т, х — $') равна нулю (дока-
зывается это точно так же, как то, что и (0, х) = 0).
G(t— т, х — £') — п. ф. м. р. задачи (1) — (3).
В следующих пунктах эта матрица будет подвергнута
детальному изучению и на основании этого будет, в част-
ности, выяснено, при каких естественных ограничениях, на-
лагаемых на f (/, х'), формула (35) дает решение задачи (1)—(3).
2. Некоторые леммы алгебраического характера. Для
изучения определенной в п. 1 п. ф. м. р. необходимо уста-
новить еще несколько лемм алгебраического характера.
Во-первых, более подробно, чем это сделано в лемме 1.4,
изучим расположение ол-корней уравнения
ф (р, с) = det (4 (o', <зл) — рЕ) = 0,	(1)
основанное на том, что для Х-корней уравнения
det(4(a) —Х£) = 0	(2)
справедливо неравенство ReX(o)<— 81a|2ft. Напомним, что
в § 2 гл. 1 отсюда было выведено неравенство
Rek(s)<-Г. »<>!<». « = «+<7. (3)
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
F(8,) зависит лишь от шах|Ль|, из которого следует, что
I А1-26
существует такое т; > О, что при | Ту |	|1
Re X (<?)< — 82|а|26,	^>0.	(4)
Л емма 6.4. 1)Рассмотрим уравнениеФ(р*, s', оя) = 0,
s' = o's*p, p* = (a-)-ip1)e2l,i'?, |<р|<е; tg2e = Tj, (р, о')#=0,
ровно г его корней с 1тоя > 0 расположены вне области
0<argart<e, 0<тг — argan<е.
2) Можно найти такое положительное Fv что
при | Im s( | Fxa2b9 р*— (a-^-ipJe121*?; а>0, |<р|<л ровно
г <зп-корней уравнения Ф(р*, s', <зя) = 0 с 1т сл > 0 лежат
вне полосы 0 1т ол С Fxa2b.
Доказательство. 1) В силу неравенства (4) уравне-
ние Ф(р, ол) = 0 при | <р | 2е не имеет ’оя-корней
в области 0 < |argая |	2s, 0<|тг— argonK;2e. Поэтому
уравнение
Ф (ре2Ь1ъ, а'е*?, ал) = е2&^»Ф (р, а'е1 (т-fi), ая*~ *?|) = 0
не имеет ал-корней в указанной в лемме области. То что
корней с Im ая > 0 ровно г, доказывается так же, как
в лемме 1.4.
2) Доказательство достаточно провести для [ 7 J = | Im st | >
> tg е | az |; /=1, 2, .... п—1. Как и при доказательстве
леммы 1.4, сравниваем решения уравнения (1) и (2)
ф(рг2**р, s', sn) = ®(p, s'e“4 5ле~*0 = 0.
Нужно исключить возможность неравенства
Re X = Re р =
=	— 81|acos<p+7Sin<p|2*-|“^,(8i)l 7C0S<F — a sin<p|2ft<
01)2 (l T/I+1	| • | ъ if < 226nF (80 F?a,
/«1
что можно сделать, взяв, например, Ft =
1
22"*1 nF 00
| 1) СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 367
Обозначим через множество, объединяющее сово-
купность точек (ре, s'), определенных так: =
р* = (а-|-Zpx) s2**?, а^О, рр ар а2.ал-1— любые ве-
щественные числа, |<р| ^е, (р, o') =£ 0, и точек (р*, s'),
удовлетворяющих неравенству |Imsz|	а> 0.
Заметим, что совокупность корней с 1шол>0 (р*, s')}'ш1
обладает свойством обобщенной однородности (о. о.):
относительно положительных р при значении (р*, s') £ a?,. pt.
Лемма 7.4. Функция са (р*, s')— min	Im o<w(p*, s')
»-l,2...r
при (/>*, s')£<£?,,^t удовлетворяет, неравенствам SqP<^
(	1\T
s')<A'P, p=\|s' |2-|-|p*\b) ,80—положительная
постоянная.
Доказательство. ол(р*, а') — однозначная положи-
тельная непрерывная функция о. о. по отношению к поло-
1 .
жительным -я-:
Р . ~
r n p26 • p j--	’ ° /•
°«	задана на ограниченном замкнутом множестве
точек (р*, s'), принадлежащих	для которых р = 1.
Поэтому найдется такое положительное 80, что авР^-,
таким образом» <з„(р*. $')>8ор. Оценка <з„(р*, s')^.K? не-
посредственно следует из о. о. а„(р*, s') и того, что модули
корней алгебраического уравнения не превосходят 14- —,
где а0 — минимум коэффициента при а2ь, а А — максимум
модулей остальных коэффициентов.
Переходим к изучению свойств функций
FJp. s') — det J M'i(an)A~r (p, s', аЛ) Ml(an)d<3„
и
s') = det J В(р, s', a„) А* (р, s', <зв) (а„) da„.
Г
368
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
В силу леммы 7.4 в качестве контуров Г и Р+ можно взять
границу Гр сегмента круга | <зп |	2К$, лежащего выше пря-
мой 1ш ал = ~- р. Мы этим будем неоднократно пользоваться
в дальнейшем.
Лемма 8.4. Если функции Fx(j), s'), F(p, s') от-
личны от нуля при любых вещественных s' и р = а0 + 1рх,
aQ—фиксированная положительная постоянная, —оо<
< Р\ < °о, то: 1) они отличны от нуля при любых
вещественных s' и любых р из полуплоскости Rep = а>0,
2) они отличны от нуля для любых (р, s')£&\	, Р2—
J’F*
некоторая положительная постоянная, меныиая Fx.
Доказательство. Вначале лемму установим для
Fx(p, s'), Легко подсчитать, что элементы матрицы
J М’х(рп)А~х (р, s', ая) Afj (ая) don, рассматриваемые при
г+
(р,	являются о. о. функциями порядка
у*]— 2ft-f-L Из этого следует, чтоР^р, s') о. о.
функция некоторого порядка т на a?e,Ff
1) Первое утверждение сразу следует из равенства
F1(« + /P,. .<) = (£)»А-,
2) В интегралах, через которые определяется Fx(p*, s'),
р* = ре2Ь1ч, s' — <з'е^, введем новую переменную интегриро-
вания sn = Gne~1?, тогда, используя о. о. Fx(p*, s'), можно
записать
F\ (Р*. s') = ехр {Zm<p} J Х(«Я)Л-1 (р, a', sn) M^fsjds,,,
Гх — совокупность точек <5яг”/<р, °п С Г+. Очевидно, контур Г+
может быть выбран таким образом, чтобы вне пересечения
областей, ограниченных контурами Г+ и Г*, не было ^-кор-
ней уравнения Ф(р, о', $л) = 0. Но тогда в силу аналитич-
$ 1] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 369
ности Х(5я)Л-1'(р, о', «„)• Ali(s„):
J Х($я)Д-1'(р, а', 8Я) Mi(sn)ds„==
rt
= f M{(sn)A~v(p, а', s„)411(sn)dsn.
Поэтому
Fi(p*. S') = ехр Fi(p, o') ¥= 0.
Остается установить существование F2 > 0 такого, что
2
ПРИ 11' I < F2a2b Ft (р*, s') =/= 0. В силу о. о.
И = ГЛ(^-. у).	(5)
Будем рассматривать /^(р*, s') на ограниченном замкнутом
множестве она непрерывна на этом множестве и, сле-
довательно, равномерно непрерывна на нем. Определим
на^л, ограниченное замкнутое подмножество <£?(2) = {(р*. а'),
|а'|2 + |Р*|* = 1. P*=(a + ipi)ellf; | <р | <, в>о|.
На ^(2) F1(p*,s')^Q, поэтому найдется е0 > 0, что для всех
(р*. s')^ \Fx(p*, s9|>80. в силу равномерной непре-
рывности /^(р*, s') на можно указать такое малое F2>0,
что при | 7/1 < Г2а2* | Fj (р*. s') | у, какую бы точку
(р*, о')£<£Р(2) мы ни взяли. Используя теперь равенство (5),
получим требуемое утверждение.
Переходим к изучению функции
F (р, s') e det f В\(р, а) Д;1 (р, с) Ж, (ая) don.
Г
Непосредственный подсчет показывает, что элементы ма-
трицы	о), вычисленные из системы (27) п. 1»
24 С. Д. Эйдельман
370
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
являются о. о. функциями р, s' порядка b — J, поэтому
ь
А+ (Р> а) = 5 j (Р* °л — о. о. функции pt s порядка Ь.
J-0
Из этого и о. о. строк полиномиальной матрицы В (р, а)
выводится о. о. элементов матрицы
J в (р. О) л;1 (р. о) Afx (а„)
Г
а затем F (pt s'). ол-корни уравнения Ф+ (р, а', ал) = 0 сов-
падают с ал-корнями Ф (р, а', ал) = 0, у которых Im ал > 0.
Все вышеизложенное позволяет доказать утверждения
леммы для F(pt s') повторением проведенных рассуждений.
Сделаем важное для дальнейшего заключительное заме-
чание. Если вместо А (а) рассматривать матрицу
А (а) —	а'2Ь = (а? + ... 4- о2.#,
то при достаточно малом 8Х > 0 для ал-корней уравнения
Ф (р — в) det {л (a'. о„) 4- \а'2ЬЕ — рЕ\ = 0
останутся справедливыми леммы 1.4, 6.4, 7.4 (с другими,
конечно, положительными постоянными е, Fv F2, 8^. Это
следует из того, что в основе всех рассуждений лежит
свойство «параболичности» полиномиальной матрицы Я (а),
устойчивое к малым изменениям ее коэффициентов. По этой же
причине для таким образом измененной матрицы А (а) остаются
справедливыми леммы 2.4, 3.4, 4.4, 5.4. Наконец, утвер-
ждения леммы 8.4 остаются справедливыми для функций
/^(р. a')^E1(p-bi<,'u, а'),
У) = ^(Р-V" 4
это может быть установлено как вторая часть леммы 814
(случай | V | -^ ^а2*), если прибавление — Sja'2* трактовать
как малое изменение аргумента р при |а'|264-|р|* = !•
3.	Оценки полупространственной фундаментальной
матрицы решений Q(t, х). Здесь будут получены основные
для всего дальнейшего оценки производных от п. ф. м. р.
$ 1] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 371
О (t, х), определенной в п. 1 формулами
O(t, х) = f	J eptdp f elxnanQ(p, a)d<3„,
ao—ioo	Г
Q(p> а)=ё^чА~+'(р'
(i)
A?’(p. diMifpJd',
я0>0. Матрица Q(p, о) будет рассматриваться при значе-
ниях р, o', для которых справедливы леммы п. 2. Непо-
средственный подсчет показывает, что ее элементы имеют
Qi i (Р> °)
вид qij(p9 о) = ф- , qy — полином по ол, являющийся
о. о. функцией р, а' порядка bN— rj—1. qy(j>9 о),
Ф+(р»о)— аналитические функции при всех рассматривае-
мых значениях аргументов. Последнее утверждение требует
подробного пояснения. Во-первых, установим аналитичность
коэффициентов Л£_/(р, о') полиномиальной матрицы
ь
A+(j>, <3)= 2 Аъ-) (р.
/-о
Они определяются как решения системы (27) п. 1:
f	c)do„ =
= [ Х(ол)Л"1’(р.о)М1(вл)</ап
У) “
— Afli (p, a')
(2)
А?’(р, У) _
Aq (pt a')=E. Контур Г+ всегда можно выбрать так, что-
бы ни на нем, ни в какой-либо его фиксированной окрестности
((р, а7) предполагаются изменяющимися в комплексной
окрестности некоторой точки (р°, о0')) не было ая-корней
24*
т
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
уравнения Ф(р, о', ая) = 0. При этом подынтегральные
функции в
J M'i (а„)апА~' (р, о) Mt (а„) da„
г+
и
* f X (ал) Л"1 (р, о) 41, (<з„) da„
г+
аналитичны по р, а, а сами интегралы — по р, а'. Так как
Л (Р. °) = det f М{ (<J„) Л-1' (р, a) Mt (ая) dan * О,
г+
то и Ab-j(pt o') — аналитические функции р, а'.
Аналитичность Ф+ (р, а) == det А+ (р, а) следует из ана-
литичности Л+(р, a), a qij(p, а)—из этого и отличия от
нуля Fj(p, а').
Убедимся в том, что формула (1) при хп > 0,
имеет смысл. Для этого нужно оценить интегралы
hj(p. «') =	(3)
Г
Как было отмечено в п. 2, ал-корни уравнения Ф+(р, о', ал)=0
удовлетворяют оценкам Im ал 8ор, |ал (а', р)| Кр,
р= |а'|24“ |рР , поэтому
/гу(Р. <0 = f eix^qtj(p, a)dan.
г₽
При ая£Г₽ |Ф+(р. о)0 a$bN, a mesT^^Cp, шезГр —
длина контура Гр, поэтому
-г, <с,в-лп. (4)
В сделанных выше предположениях о р из последней оценки
следует, что
|/0(р. а')| <С2ехр{ — 8q( |а | + jpj| 26) х„ } X
х(|а0|^ + |Р1|^-|-|«/|) \	(5)
§ tj Смешанная задача для полупространства 373
Ci, 80 — положительные постоянные. Оценки (5) гарантируют
равномерную по xt t при хп 8 > 0 сходимость интегра-
лов (1) и результата их формального дифференцирования
любое число раз по х и t, поэтому О(/, х), определенная
формулой (1), бесконечно дифференцируемая функция своих
аргументов.
Переходим к получению точных оценок G(f, х). Для
этого заметим, что в формуле (1) вместо а0 может быть
взято —Sjo'26-|- а, а — любая, 8j — достаточно малая поло-
жительные постоянные. Действительно, в силу заключитель-
ного замечания п. 2 все утверждения леммы 1.4 — 8.4
остаются справедливыми для р = — 8'а'26 а -|- lpv
0<8' >С8р поэтому, изменив, если нужно, положительные
постоянные 80 и /С, придем к тому, что оценка (5) (с дру-
гими постоянными) справедлива для указанных выше р
(вместо а0 в оценке (5) нужно поставить а). Используя
аналитичность 1^(р, а') при всех этих значениях аргументов,
оценку (5) и беря произвольные, но фиксированные значе-
ния аргументов а', а, можно, применяя интегральную тео-
рему Коши, написать, что
ao-hlco	о——гео
J eptIij{p, a') dp — f epiI4{p, a')dp.
В дальнейшем существенно используется аналитичность
Q(p, s) как функции аргументов р, s' в области
J	—
^(3) (It'I ^^0 = F3a2d, —оо < o'< оо, s' = а' +
Р = (а —М/2Й + /Р1)А	oo<pj<oo. а>0}
при ая£Г+, следующую из лемм п. 2. Оценки будут про-
водиться для самой матрицы G(t, х), оценки для производ-
ных получаются точно так же.
Рассмотрим у-й столбец матрицы О(/, х):
Gj(t, х) = J e/(x'.«')-8>a'26/ da' у e(a+ip,)tldpl X
—ОО
X f eix«a»Q}(p. a)da„. (6)
т
374
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
__1_
Считая />0, сделаем замену переменных ok = t 2bctk,
Л = 1, 2,..., п, . a-}-= обозначим yk = -^-t
&
Qj(— a + lpv a) = Qy(a-4-lpv a) = Q}(p, а); заме-
тим, что Qy тоже о. о. функция своих аргументов с теми же
свойствами, что и а). Тогда Gj(t9 х) представляется
в виде
л+20-l-fy
Qj (t, х) = t 26	j’е1 О'»	2&da' X
ai+l oo
X J* evdv J eut^nQj(v, a)dan~
at—too
я+2»-1-Гу e+/oo
= t 26 J* el &’• da.' J ev dv X
X J* e^nQ^v, a.)da„.	(7)
Г
Последний переход совершен на основании интегральной
теоремы Коши, при этом использована аналитичность подын-
тегральной функции и оценка (5). Это же применяется во
всех дальнейших рассуждениях.
Перейдем теперь от интегрирования по прямой, парал-
лельной мнимой оси (а — Zoo, a-j-Zoo) по v, к интегриро-
ванию по двум лучам, исходящим из точки a -f-Z 0 и обра-
зующим с мнимой осью углы <р0 при Im v 0 и — <р0 при
Im v 0, 0 < <р0 < ~. Такой переход возможен, так как
аналитичность подынтегральной функции гарантируется в об-
ласти <£? {z; z = (ax	—оо < vx < оо, аг > 0}, ко-
торая содержит область, заключенную между прямой Rez = а
и лучами Са {z = а + lvxel sl*nГ»’Р°; — оо < < оо}. Таким
образом,
л+2д-гу-1
Gy(t x) = t	2d J el (у',	Х
х f e*dz f e'VtQjta, z)da„. (8)
ce г
$ 1] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 375
На контуре Са jez| = ee_l'’>l8ln’‘, поэтому стоящие в (8)
интегралы сходятся и при уя<0. Считая |у'|>-1. сделаем
в (8) следующую замену переменных интегрирования
I	9JL
a* = Р* 1/1 2д~‘ • г = г11/Г. Я = 2FZu ’ тогда х)
запишется так:
/ 1 1
Gj(t, x) = V2fr ly'l2*"1)	X
1
c а
|у' I’
1
х f A,y,|2d ‘ ^(^,₽)dp„=
Гу.
.	/	1	1	\Л-1+2»-Гу
= (f 2»|y,|2»-lJ
Ca	Г
А теперь интегрирование no fl' заменим интегрированием по
прямым в комплексных плоскостях, параллельным веще-
ственным осям и отсекающим на мнимых отрезки = iqosign Уу.
Рассмотрим функцию
/ = Re [/(₽' +ftf. у') |y'f^-VP'+'V)2* l/ld-l-
+^i/r+(-^-)26i/r.
Беря т)о достаточно малым (чем и определяется выбор про-
извольного до сих пор числа а), приходим к неравенству
/<-83|/|?-82Р'2‘.
376
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
Из него и неравенства (5) получаем
n+2b-l-rj
^Ct 2* exp
I e	at/р
Переходя в первом из интегралов к сферическим коорди-
натам, приходим к оценке
|Ov(t Х)|<
л-1+26-Гу
” ехр {—
— vy j
е ^ndv
(9)
Формулой (8) Gj(t, х) при />0 продолжается с полупро-
странства хп > 0 на все пространство Еп. Так как такую же
замену контура в интегралах по q мы могли бы сделать
в формуле (6), то х) для всех xv х2..........хп является
решением системы Д^-=4(О)«, оценки (5) (с заменой кон-
стант) справедливы и при хп << 0, в дальнейших их оценках
знак хп нйгде не используется, поэтому оценка (9) справед-
лива и при хп 0. Для таких уп требуемая оценка уже
следует из неравенства (9). Действительно, интеграл
I(v)~ J ехр {—Wb-\-yv]dv, у>0,
4	о
оценивается так: функция —80tf2ft + vy имеет максимум
1 1
в точке	» Равный ~ [2£80] 2д-1 уя = с2уя, по-
этому
л+2^-1-Гу
|О/у(Л x)|<Q	25 ехр{—cj/l’ —CjSigny^J (10)
§ и СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 377
при	Докажем теперь, что оценка (10) имеет место
и при уп > 0 (с другой постоянной с2 > 0). Для этого,
1
считая уя>.1, введем в (8) новые переменные ak — fiky2b-i,
* = тогда
!	-|/1-1+2д-Гу
X
__1
г
Используя оценку (4), получим, что
[1	1	-|Л-1+26-Гу
Г^у^\ х
Хехрца — \а)Уп J J* *“8|₽r d$' J* e~^ dq.
о
Уменьшая, если это будет необходимо, а > 0 (соответ-
ственно rfo), придем к неравенству
л-1+2д-Гу
|О/у(/, х)|<С/	”	ехр{-^}.	(11)
Из (9), (11) следует (10) для уп > 0.
Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1.4. Если выполнено условие Р, то суще-
ствует п. ф. м. р. ||О/;(^	N » определенная
yZi;;/.; м>
при t > 0 во всем пространстве Еп формулой (8), бес-
конечно дифференцируемая по всем своим аргументам
и удовлетворяющая неравенствам
378
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
При х, лежащем вне конуса |х'|	|*я|» х« < 0),
все производные от G(t, х) стремятся к нулю при
/->4-0. При />0 Q(t, х) удовлетворяет системе (1)
и представляет решение краевой задачи для полупро-
странства хи > 0, построенное по финитным беско-
нечно дифференцируемым краевым функциям, формулой:
Ul(t. х)= J] fdxf	x-^fjCx, l')dl'. (13)
;-i о
4.	Оценка матрицы	*)• Для установле-
ния разрешимости граничных задач необходимо получить
точные оценки функций

Заметим, во-первых, что Frlj(t, х', 0) = 0 при />0. Дей-
ствительно,
в(^-,п)о(/.х) =
=—1— Г«<»')-«,•’ dez /* еР‘dp /*е1хпвпВ(р—Ъ1<з'21>,а)х
са г
X Л"*(р-V".	X
х [ f Btp-W*. о)А-х(р-Ъ^,
при этом в силу теоремы 1.4 ВО определено и непрерывно
при всех х, полагая в последней формуле хя = 0, получим
п
_1 Г»')-81ЛГePtdp.E
CJ_
SU
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
379
(Е — единичная матрица, имеющая bN строк и столбцов).
В силу теоремы Коши f ept dp = lim f ept dp, где Sn —
C,
меньшая дуга круга достаточно большого радиуса /?, заклю-
ченного между лучами, образующими Са. Очевидно, что
Г ept dp	©j > 0. В силу произвольности
SR
? > О отсюда следует, что
= 0.
Возьмем теперь произвольную точку х в полупространстве
хп > 0, опустим из нее перпендикуляр на плоскость хп = 0,
через него и начало координат проведем двумерную пло-
скость, а в ней окружность радиуса |х| с центром в начале
координат. Пусть ах — наименьшая дуга этой окружности,
соединяющая х с точкой а, лежащей в гиперплоскости
хл = 0. Для mes ах = | х | arcsin справедлива оценка
(1)
Я'
Используя равенство нулю х) при хя = 0, можно за-
писать
(2) .
(3)
п
£
Из оценок (12) п. 3 следует, что
л+2д+г^-гу
25 expf —с/цьу
I \t2b I
В силу оценок (1), (3) и того, что на дуге ах |х| по-
стоянно, получаем следующую важную оценку:
* ХлеХр(-с/1^
I \ tu
(4)
380
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
Оценка (3) справедлива и для точек х с хп < 0, лежащих
вне конуса АЦ|х'|< (т?/ + е |*л|, е>
точек справедлива и оценка (1) (с заменой xt
> 0 г. Для этих
П на |х„|). по-
этому для точек x£Kt имеет место оценка (4), в которой
вместо хп следует написать |хя|.
5.	О структуре полупространственной фундаменталь-
ной матрицы решений задач типа первой краевой задачи.
Рассматриваются задачи, в которых краевые условия со-
держат производные по хп порядка не выше b—1. Тогда
в силу рассуждений, приведенных при доказательстве
леммы 3.4,
«0 = f В(р, а)А~'(р, в)Л4!(ал)</ая =
г+
оо
= f В (р. а) А~' (р, а) Мг dan. (1)
— ОО
П. ф. м. р. G+ (t, х) для полупространства хп > 0 опреде-
лится такой формулой:
Q+(t, х) = —Ц- f е1(х’’Г eptdpX
(2«) 1 J	CJ
ОО
X J* е1х^пА~1(р, <3)Mx{<3n)danR(p, а').
— ОО
Но п. ф. м. р. G" (/, х) может быть определена той же фор-
мулой. Поэтому G(tt x) = G~ (t, х) при любых х и />0.
Используя теорему 1.4 для О+(/, х) в полупространстве
хя > О и для О" (/, х) при хп < 0, придем к выводу, что
для всех х
дт^ т
—^-D™Qj(t,x)
di й

л+2£-1+2дт0+| т |-r
2b
ехр I — Cl —р
I
(2)
§1]
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
381
Таким образом, в этом случае для производных от О(/, х)
справедливы такие же оценки, как для производных от
ф. м. р.» изученных в первой главе. Используя теорему 4.1
(о поведении решений в окрестности изолированной особой
точки), получим, что при Гу 2Ь — 1
GAt, х) =	2	D*O0(t, x)akJ,	(3)
|*|<2д-Гу-1
а при rj^2b производные порядка /п0-]-|/п|, 2&/п0+|/п| =
= Гу — 2d—1-1> могут быть представлены в виде
D?Gj (t, х) = Go (t, x) a^\	(4)
аЛу, — постоянные одноколонные матрицы, O0(t, х) —
ф. м. р. параболической системы -^- = А(р) и.
Таким образом, выделен класс краевых задач, п. ф. м. р.
которых имеют точечную особенность и сами (или их про-
изводные) являются линейной комбинацией производных от
ф. м. р. системы.
6.	Решение общей смешанной задачи для полупро-
странства. Теорема 1.4 и оценка (4) п. 4 позволяют дока-
зывать различные предложения о разрешимости задачи
(1) — (3) п. 1 в классах быстро растущих функций.
Приведем одно из них.
Теорема 2.4. Если x')t	удовлетво-
ряют условиям*.
1) имеют г — rj непрерывных производных по х'9
Г 7—Г/П
Ру= —— производных по t, удовлетворяющих не-
прерывному условию Гельдера *) по t с показателем
г = тахгу, {а} — дробная часть числа а);
2)	’х')|<Сехр{а|х'|4'},
*) f (0 удовлетворяют непрерывному условию Гельдера с по-
казателем а, если sup 1ZI£i)2zZ^2)J м q.
382 j
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
то
t
u(t, х) = j" dx J* G(t — т, x — V) / (т, S') d¥
о
в полосе О t с g , ц > 0, является решением
задачи (1) — (3) п. 1.
Доказательство. То что при х„ > 0, f>0 u(t, х)
удовлетворяет уравнению и нулевым начальным условиям,
очевидно. Докажем, что
lim Л(/) =
ж„->°
t ' bN
х/Г*+и0	7-1
^di'=ft(t, xo.
Если функции fj(t, x') бесконечно дифференцируемы и
финитны, то (3) очевидно. Определим вспомогательную
функцию
х Hr1*
|/|+2«0<г-Гу
X	Dlx.f (/, х') е (I X' - V I) е (t - т).
где е (г) — бесконечно дифференцируемая функция, опреде-
ленная при 0 <>< оо, равная 1 при г <>0 и НУЛ«> при
г^2г0. Заметим, что
/0(/, x') = fJ(t, х').
lim Л(/)= Um Л(/°)+ Ит /,(/-/») =
хп->+0	жп-*°	ж»->0
= Л(^. Х')+ lim htf-F).
xn-^0
4 Я Смешанная задача для полупространства 383
Установим теперь, что lim Zz(/— /°) = 0. Для этого пред-
жя-»+°
ставим It в виде
*о-Го
W-/°)=/ dx /.	4- fdx f...dt'+
о ух'	to-fo уХ’
Го	кГо
4-Jdx f ...Л'=/1)-|-/2)+/<3),	(3)
0 с -Vх'
П г То
V*’=={£', |5' — х'К>оЬ Начнем с оценки Z^. Для этого
рассмотрим
|/|+2WO<7—Гу
_ f (Т у (т-о'°
х')
df* 1
2W0+|/|<r-r

"/ : 
у (x-Ф	у	(У-Х1)1
2л iat	id и
1о-о	2М0+| 1\<Г-Г)
А 0	»
384
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
где е(го)->О при г0->0. Используя оценки (1) и (4) п. 4,
запишем, что
bN
/«1 о	_______L
26
/	r~9\
xl 2 i^-S'i'it-ri'o-bit-H 2» X
\|/I+2W0*r-ry	J
( 1 )
Xexpt — c(|x' — V\4x$(t — t) 26-1 [<Й'<
h	_____L_
<Ce(r0) f x"_L-e~c^(<~t) 2""1 dt<(?1e(r0).
0 (f — t)2*
Оценка Im проводится с помощью неравенства (4) п. 4:
|/(1)|<Cx„r0 2b ,
а
n
/-1 0
0
-5 /—/ X ~^'1'\g+al E' I’
e X^-t)2 /	Wo-x)2 /
n+2b+r-r^
(4>-t)	25
Zb + l + r	.	.
2ft	exp I — 80 /---—г j
<Cx„ro<2ft+l+V1|jr'l?
Ж
dx
Из полученных оценок следует, что lim /£(/ — /°) = 0
Гл->4-°
(достаточно вначале выбрать г0 так, чтобы e(r0)^-g*,
$ 1] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 385
а потом, зафиксировав г0, распорядиться малостью хп таким
образом, чтобы и I® были меньше у).
Из проведенных оценок следует, что стремление —f°)
к нулю равномерно по t, х', если О<Зо-^/^Т, | х' | R
(R— произвольная, но фиксированная постоянная). Из ра-
венства
х') =
a+Zoo
У* еР* dp I* [eZxn’n— e)X
a-Zoo	Г
X л;1 (J>. a) (a„) danR (p. o') X
X J e-P^dt J
0
оценки п. 3, финитности и бесконечной дифференцируемости
fQ(t, х') непосредственно следует, что lim / (/°) = fQ(t, х)
Xn*+Q
равномерно по /, х', взятых из указанного выше цилиндра.
Таким образом, lim u(tt х) = f (t, х') равномерно по
Хд->+0
(/, х'). А отсюда следует, что и (t, x)-+f (#0, х'^, если
(f, x)->(f0, х') по любому пути, лежащему в полупро-
странстве хп > 0.
7. Замечание о случае д=1. Для дальнейшего удобно
в этом случае решить еще одну задачу для полупространства.
Определим по матрице O(t, х) матрицу б (t9 x)9 столбцы ко-
торой задаются равенствами
a+Zco г“гу
6j(tx)= f ePlp~~^~dp f e^Qjip.^da. (1)
a—Zoo	\
Матрица 6 x) изучается так же, как О (t, х). Во-первых,
вводятся новые переменные q = pt, a. = at2bt />0, и ис-
пользуется аналитичность подынтегральной функции при
25 С. Д. Эйдельман
386
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
любом а > 0 для сохранения пути интегрирования. Затем
замечается, что интегрирование по р можно провести по Са;
дополнительный множитель, стоящий под знаком интеграла
в Qj(t, х), не имеет особенностей. После этого применяется
оценка (5) п. 3, из которой следует, что
ЧЪ-т
|Dm Gj(t. x)\^Cmt~ » ехр
Рассмотрим теперь вектор-функцию
t bN
Vi(t,x)== Glj(t — ‘t,x)'?j(i)dv (Z=l, 2,
о j~l
N).
(3)
v(t, x) — решение системы (1) п. 1. Найдем предел, к кото-
рому стремится Btv(t, х) при х->-|-0. Для этого, предпо-
лагая фу(т) «достаточно хорошими» с помощью известных
из операционного исчисления фактов, запишем слагаемые из
формулы (3) с г j < г при х > 0 так:
оо а+ /со
fdx f еР* dp f e^Qijip.aydaX
0 a—too	Г
oo
f eix‘>QlJ(p,a)da f e~P'I-_r (<py(t))dx
(?/) dx,
§ 1) СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 387
где	J	dt —оператор дробного
грирования порядка р. Таким образом.
t ьы
x) = f J	— Т. X)<py(t)dx= '
О /-1
t bN
— J 2 °и^—х‘ ^h-r. fy>dx'
°	-2Г
инте-
(3')
Так как непрерывные на сегменте [0, /] функции сру(т) можно
равномерно приблизить «хорошими функциями», а интеграль-
ные операторы, стоящие в (3')» непрерывны при х > О
в пространстве С [0, /], то v (tt х) при х > 0 равно послед-
ней в (3') сумме при любых непрерывных сру(т), поэтому
лг
х)= BG}(t-x, x)I-_T
_________________________L
Если — гельдеровы функции с показателем ау, то
Г — Гу
Z-_r (/у СО)— гельдеровы*) с показателем —gj---pay. По-
1Г
этому в силу теоремы 3,4
lim	(Т<(0).	(4)
Х->+0	t
2»
Таким образом. v(t, х) является решением краевой задачи
для полупространства, построенной по граничным функциям
~w
8. Фундаментальные матрицы решений для произволь-
ного полупространства. Рассмотрим более общую по форме
задачу. Ищется решение системы
= J	(1)
________________ 1*1-2»
♦) А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, 1939, стр. 223—224,
25е
388
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
(равномерной (по (т, £) параболической) в области (х, v) > О,
I > 0 (v — заданный единичный вектор)), удовлетворяющее
условиям:
«|,.„ = 0. lim Е; •£. d)B(<, х)=/«. ,).
Ж,’ ») > О
Z = x— (х, v)v,
(2)
в предположении, что выполнено условие Р, имеющее
в данном случае следующий вид'.
В (т, V, Р. С + pv) А? (т, I, р, С 4- pv) Л!, (р) dp >.
т
(	1Y5
>WF+IpH . (3)
bN
т =	ri —	^2~ — порядок однородности написанной
i-i
функции, С — любой вещественный вектор, ортогональный v,
pssaa0-i~lpv а0—некоторая положительная постоянная (она
может быть разной для разных (t, ?)), — оо < рх < р, Г —
замкнутый контур в p-плоскости, охватывающий все р*корни
уравнения
det А (т, 5; р, С 4- pv) = 0,	(4)
лежащие в полуплоскости Im р > 0, 8t > 0 не зависит от v,
*с, В (изменяющихся в ограниченных замкнутых множествах).
П. ф. м. р. О’(/, х; х, 5) задачи (1) — (2) определяется фор*
мулой
О’ (t, х; х, 0=—L- У* в1 о Л f е(р-	‘ dp X
х ft1 6; р-Ч?. C4-pv)^,(p)dp х
Г
х [ f В(х,ь р-8,^,С4-pv) X
х л;1	(р)	.• (5)

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
389
Из условия параболичности и ортогональности векторов С
и v следует, что уравнение det(4(x, В;	—Х£) = 0 имеет
Х-корни, удовлетворяющие неравенству
ReX<C,iO<-S'(|ReCP+|Ке|ф* +
4-F(8')(|ImC|2 4-|Im|i|2)\	(6)
Условие (3) и неравенство (4) позволяют распространить
теорему 1.4 на п. ф. м. р. G*(/, х; т, Е). В частности, имеет
место оценка
дто
dtm°
х; т, Е)
л-1+2&-Гу+2^/и0+| m |
<< р /	2Ь
X
J ( --VI
ехр i—с Ц х 1t 24 / f при (х, v)^-0,
J	I (7)
ехрц—c|x— (x, v)v|*-Wi|x. v|*H 24-1J
при (x, v) < 0.
N
Функции X', t, 5) = 2 BiitOkj удовлетворяют при/>0,
(x, v) > — | x — (x, v) v |, — достаточно малая положитель-
ная постоянная, неравенству
л+2&+г*-Гу
|Л/(*. х; X, 5)1	«	|(х, V) I ехр| — с ЛЦр-V 1
1 U24 / J
(8)
Изучим теперь зависимость матриц (Г(/, х; т, Е) и Fv(/, х;т, Е)
от направления v и параметров t, Е. Если коэффициенты си?
стемы (1) и краевого условия (2) непрерывны, гельдеровы
или непрерывно дифференцируемы по т, Е (или по некоторым
из них, равномерно относительно остальных), то и G* (tt х; т, Е)
и ее производные по t9 х будут обладать соответствующими
свойствами; при этом в случае непрерывности коэффициентов
390
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
имеют место оценки
х-, tb SO - G}(t, х; t2, b)] <
dt °
л-1+2д+2дт0+| m|—ry
Cmom	X
exp{ — c(|x|f **) }. (x, v)>0.
X J
exp( — q|x— (x. v)v|’-|-c2|(x, v)|7/	(x,v)<0,
(9)
где e->0 при — ё21 +1 Ti—	если коэффициенты
(	-LV
гельдеровы, то в оценках (9) е = К \ | — ё212 +1Т1 — х21 /
(а — показатель гельдеровости коэффициентов по отношению
к параболическому расстоянию), если крэффициенты диффе-
ренцируемые, то для производных по т, £ сохраняется
оценка (7). Аналогично записываются оценки для	(t, х; т, 5)
и их производных*).
Справедливость этих утверждений следует из формул, кото-
рыми определяются п. ф. м. р.; вначале делаются все необ-
ходимые для получения точных оценок преобразования: за-
мена переменных и сдвиг в комплексное пространство,
а затем проводятся оценки, основанные на обобщенной од-
нородности столбцов матрицы Gv(/, х; т, ?), позволяющие
после вынесения соответствующих нормирующих множителей
получить под интегралами функции, непрерывные или гель-
деровы по т, g равномерно по всем дополнительным пере-
менным. Отметим также, что оценки (9) равномерны по v,
таким образом, устанавливаемые свойства гладкости равно-
мерны по V.
Устайовим, что (Г(/, х; т, 5) — непрерывная функция век-
тора V. Будем изучать разность Д¥О (/, х; т, £) = (F (/, х; т, £) —
— Gv°(/, х; т, ?), vo = (O, 0, .... О, 1), a v — вектор, доста-
*) Постоянные в оценках (7) — (9) и дальнейших ((12) — (14))
не зависят от т, ё, Эти оценки устанавливаются с помощью
лемм п. 2, постоянные в которых могут быть выбраны не завися-
щими от т, ё, 'v, так как при их доказательстве рассматриваются
непрерывные по совокупности аргументов функции, определенные
на ограниченных замкнутых множествах.
§ 1] СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА	39Г
точно близкий к v0. Запишем его в таком виде: ^ = (еР е2, ...
.... ея_ь 1—ея). где 2e„=ei-j-..	а е„= 1—(v, v0)—
достаточно малая величина. Преобразуем выражение для
Gv (t, х; т, 5) следующим образом: из уравнения плоскости
е& + е2^2Ч- • • •	+U — ел)£л = 0 найдем Сл =
= (т', С) (составляющие вектора достаточно малы) и
вставим их в формулу (5), тогда она приобретет вид:
О’ (Л х; т. О = У* е1 и’’С)+tr»<T’’С) Л' X
(п	\ b
2 (’у+Т/Т;)^) ‘+Р‘
j	1,1	' dp X
X J е1 [(х’’ •'>-•«*«! •и '-V X
Г
(/ п	\ Ь
—М 2 (fy+irty) V,) .
Ч/-1	/
С' + «% Ст', С) + (1 -ея)н)^. (10)
А теперь сравним О* с Gv®, определенной формулой
О” (/. Х\ т. О = —1— f е1 (*’• с’> Л' X
(2«)л‘ J
X f е^-^+рУ dp f —	(11)
са	г
8j и контуры Са и Г могут быть взяты одни и те же в (10)
и (П).	t
Делаем в (10) и (11) замену переменных W^sssz',
pt = рх, а затем одинаковый сдвиг в комплексных пло-
скостях С/ на величину sign xt (/ = 1, 2, .... п — 1), при-
ходим с помощью обычных оценок к неравенству
х; г,	х; t, О) <
х л-1+2&-Гу+2Лт0+| т |	1 .
<CeJ/ 55 ехр{- Д|х|Г^) f (12)
892
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
£
(2е — е2)2
ДЛЯ ЛЮбыХ Хг И Хп — 7] | X' |,	7) > j —е " • ^3
оценки (12) следует, что
| (Fb (t х; г, ?) - F?j (t. х; т, ?)) | <
n+2b+rrrj
<C^2t 2b	ехр{—Д|х|/ 2b) [•	(13)
Получим теперь оценку для AVFV (/, х\ т, £), считая, что х
принадлежит конусу | х' [<;tgхд, хп > 0, а вектор v такой,
что конус находится в полупространстве (х, v) > 0.
Рассмотрим двумерную плоскость, проходящую через
начало координат и перпендикуляр на плоскость хд = 0.
В этой плоскости проведем окружность радиуса |х| с цен-
тром в начале координат, ха — наименьшая дуга окруж-
ности, соединяющая х с точкой а, принадлежащей гипер-
плоскости хп = 0, через аг обозначим ближайшую к х точку
окружности, принадлежащую плоскости (х, v) = 0 (мы будем
предполагать, что аг£ха, аналогично рассматривается слу-
чай, когда аг лежит на продолжении дуги ха):
| х;	х; тД)|<
Первый интеграл оценивается с помощью неравенства (13),
а при оценке второго используются оценки производных* от
G*(t, х; т, $) и неравенства mesа^а = |x|a«^-^-|x|sina^
2" ел^п(с os у) •
$2] СЛУЧАИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 393
§ 2. Смешанная задача для произвольной
цилиндрической области в случае систем
с переменными коэффициентами
Проведенное в § 1 изучение п. ф. м. р. позволяет уста-
новить существование решения смешанной задачи для систем
с переменными коэффициентами и переменными граничными
условиями в случае цилиндрических областей с гладкими
границами. В основе излагаемого ниже подхода лежит «прин-
цип локализации», заключающийся в следующем: в окрест-
ности каждой точки границы гладкая граничная поверхность
заменяется касательной гиперплоскостью, строится соответ-
ствующая последней п. ф. м. р., решение краевой задачи
ищется в виде интеграла по поверхности от п. ф. м. р. и
некоторой плотности р.(£, х); при удовлетворении граничным
условиям относительно р(Л х) возникнет интегральное урав-
нение с квазирегулярным ядром, в параболическом случае
уравнение Вольтерра второго рода, всегда однозначно раз-
решимое. Ниже излагаются основные этапы этого построе-
ния для случая, когда все порядки граничных операторов rt
не превосходят 2Ь—1.
1. Построение специальной матрицы решений системы
с переменными коэффициентами для выпуклых цилин-
дрических областей. Рассмотрим параболическую в цилиндре
= [О, Г] X V систему
£(В)=|_ 2 Л(и)Л- 2 4(U)D6«=
|Л|-2*	|Л|<2$-1
=	Л(*. *• D)u-Ax(t, х, D)u = Q. (1)
Пусть V, — выпуклая ограниченная область с гладкой
границей 5; на боковой поверхности Го цилиндра <£? =
= [О, Т] X У задан граничный оператор
В(/. х, D) = ( 5 bW(t, x)Dk+
+ 2 b(Pj(t,x)Dk\
..........................bN,
/-1, 2,...»
394
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что коэффи-
циенты оператора B(t, х, D) продолжены с сохранением
свойств гладкости в граничную полоску поверхности Го,
а коэффициенты параболической системы (1) заданы в слое Пх
—оо < х5<оо, $ = 1, 2.....................п}.
Проведем вспомогательные построения, нужные для на-
хождения решения в области & системы (1), удовлетворяю-
щего нулевым начальным и следующим краевым условиям:
lim В(/, х, £>)я = /(Л $).	(2)
жби
Будем предполагать, что для задачи (1), (2) выполнено
условие Р, имеющее в данном случае вид
det J В0(т, 5, C+i*v(O) Ло+(т, р, C-bp-v(S)) Л41 (р.) dp
Г
(3)
(т, $) — любая точка Го, v($) — внутренняя нормаль к S
в точке $, С — любой вещественный вектор, ортогональ-
ный v($), Р = ао + /Рр —оо < рх < оо, а0 — некоторая
положительная постоянная, могущая зависеть от т, 5.
Используя результаты п. 8 § 1, можно найти п. ф. м. р.
задачи:
-g-=A,(x, e;D)«,	(4)
«l/-+o = °« 1Im flo (*• t D) и = f (t, z).
x-*z
(x,va»>o
(z, v(D) = 0. (t, $)£Г0,	(5)
G*ft)(t, x; t, 5), для столбцов которой при (х, >(£))> О
справедливы оценки:
n-l+2b-rj+\k\
| D*O’(У (t, х; т, 5) | < Ckt 25 ехр I — с /-Ц1V1.
I \i^] J
(6)
Определение. Назовем специальной матрицей
решений системы (1), соответствующей задаче (2),
§2] СЛУЧАИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 395
матрицу E(t, т, х, 5), столбцы которой являются* в &
решением системы (1) и которая, в окрестности точки
(т, £)£Г0, имеет главной своей частью (по порядку
особенности) G'® (t — т, х— $, т, 6).
Теорема 3.4. Если коэффициенты (1) в & удовле-
творяют условиям: 1) Ak(t, х) с |Л|==26 условию Гель-
n +1
дера по t с показателем 1--------1- е, е> 0; 2) Ak(tt х)
имеют |Л| — (ry-f“ 1) непрерывных ограниченных произ-
водных по х, гелъдеровых по х\ при |Л| <Гу-|- 1 Ak(t, х)
непрерывны, ограничены и гельдеровы по х, то можно
построить специальную матрицу решений E(t, т, х, 5)
задачи (1), (2).
Доказательство. Построение столбцов искомой
матрицы решений существенно различно в случаях Гу = 2д—1,
Гу<2д—1. При Г] = 2Ь—1 столбец Ej(t> т, х, $) может
быть определен формулой
Ej(f, т, X, 5) = о/°а —т, X — 5; т, В) —
t
-fd?f Z(t, ₽, х, у)£(О’/у(Р-т, у-5; t, t))dy. (7)
t V
Очевидно, что Ej(t, т, х, 5) удовлетворяет (1) и его
главная, по порядку особенности, часть совпадает с
— т, х — 5; т, $). Если же rj^2b — 2, то второе
слагаемое в (7) теряет смысл, поэтому для определения столб-
цов Ej(t, т, х, 5), соответствующих таким Гу, необходимо
провести дополнительное построение. Проведем его, считая
для простоты, что начало координат помещено в точку
(т, 5), а ось хп направлена по v (5). Запишем /-й столбец ма-
трицы х: 0,O)=G(t, х) в виде
G)(t, x)=f el(x ,e )da J eptdp f eix^nQ}(p, a)dan, (8)
ca r
Г+ — контур, охватывающий о„-корни уравнения
det J 2j Л(0, 0)o*— pEl = 0
(.1*1-2*	J
c Im oe > 0, лежащий в полуплоскости Im ая > 0.
396
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
Начнем с преобразования системы (1). Используя фор-
мулу Тейлора, представим Ak(t, х) с |Л|>Гу-|-1 в виде
Л* (t. х) = At (t. x)—Ak (0, x) 4- 2 4 D‘ Ак <°‘ °) +
4- 2 7Г *) “ D*A* (°- °)1
и получающиеся суммы перегруппируем так:
2 S 4п'лио. о)^‘=
2»>]*|>гу+1 |1|<|*|-Гу-1
2»	z
“2 S ^-°ино.о)^=
|1-Гу+1 |*|-1Л-Р
= 2 Л*(0. 0)0»- 2 ^(х.О).
|d|«2d	Ji «Гу 41
Соответственно этому система (1) приобретет вид
£(«)==А_	Л,(0, 0)D»a +
|d|=2d
+ j L^x, tyu + Rtf. X-, D)« = 0, (1')
Ц-Гу+1
Ak(t, x) c |£|-^/y включены в R. Обозначим через
. ^(4’ d)=4- S a<o. 0)°*-
1*1-2»
Рассмотрим теперь столбец
/р=J"е,(ж J*ept dp $eix«enQ(p, 9)den,
ce r+
где Q(p, e) — столбец с теми же свойствами, что и Qj(p, в),
но другого порядка о. о., и имеющий, вообще говоря, осо*
J2J СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 397
бенности и в полуплоскости 1m ап < 0 комплексной «я-пло-
скости. Установим, что
= J e‘{x''e')da feptdp f e^L^-D,, d)Q(p, c)daa.
ca r
Следует пояснить, как умножение IQ на xk переводится
в применение оператора к Q(P> °)* Для Л==1» 2, .. .
. ..,n—1 используется тождество xkeixk°k =—
и производится интегрирование по частям по переменной ck,
члены, не содержащие интегрирования по ск, выпадают в силу
экспоненциального убывания eixi?* при хп > 0. Для k = п
поступают аналогично, но вначале Г+ заменяется контуром,
состоящим из лучей arga/J = -^-, argan = <rc — ~ (на пер-
вом |ал| меняется от 0 до оо, на втором от оо до 0), что
возможно в силу лемм о ал-корнях уравнения Ф(р, а', ал) = 0
и быстрого убывания при |ал| —>оо подынтегральной функции
в секторе между этими лучами; после интегрирования по
частям на каждом луче результаты интегрирования склады-
ваются, при этом уничтожаются внеинтегральные члены
при ся = 0.
Отметим, что применение оператора	к fq
приводит к умножению Q на матрицу рЕ — 4) (а).
По данной матрице Q}(p, а), фигурирующей в формуле (8),
определим строку матриц С$(р, а) (1 = 0, 1...2Ь—г}—1),
Q/(p, e) = Q/(P> °) равенствами
2 L».t+9 (ID,, a) (р, а) + [pF-Л (а)]	(р, а) = 0, (9)
|i=0
/=1, 2.......2Ъ — г,— 1.
Очевидно, что из (9) матрицы могут быть последова-
тельно определены. Они являются о. о. функциями р и в
порядка —Гу—I с теми же аналитическими свойствами,
что и Qj.
398
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
Поэтому матрицы O^(t, x)=IQ^ исследуются так же,
как Gj(t, х), в частности, для их производных справедливы
оценки
/!+2£-ry-l-Z+|m(
Iх) 1 KCmt 55 ехр f-c jЦ1Г|. (10)
Из равенств (9) и определения Gj(f. х) следует, что
^(4’ D}QT(t, х) = 0,
j Ln-i^tx. D) 0^(t. x)+Ly,	, d) G?(t. x)= 0,
H-0
Z=l, 2......2b — (ry4-l).
(П)

Если сложить все равенства (11), то получится
^2»O;4-Z,26-i(Oy — 0$	))-f- ...	=0,
где
2ft-(ry+l)
О}(/, х)= 2 G^t, х),
поэтому
2b
L (Оу) = 2 £»О/ + R (t. x; D) O*j =
l*. = fy+l
(2*-(ry+l)	\
S O(;J+... +£2»_1oS24-,>"1). (12)
Из предположений о Ak(tt x) и оценок (6) следует, что
|£(0})|<СГ
n+2b-9	(	1 |
2b expl —	f. (13)
Проведя такое построение для произвольной точки (т, ?) £ Го,
мы получим матрицу ОД/ — т, х — £; т, $). Тогда отыски-
ваемый столбец специальной матрицы решений системы (1)
§2] СЛУЧАИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 399
определяется формулой
Ej(t, т; х, =	— х — т, $) —
t
Z(t, р, х,	у — ?; t, 0)dy- (14)
t V
Оценки (10), (13) и свойства ф. м. р. Z(t, т, х, £) обеспе-
чивают то, что Ej(t, т, х, 0 удовлетворяет системе (1),
главным ее членом по порядку особенности является
Оу (/—т,х — 5; т, $), для нее в цилиндре & справедливы оценки
л+lml
\DmEj(tt t,x,0|<Cw(/-< * ехр
— с
. (15)
2. Случай невыпуклой области. Построение дополни-
тельного слагаемого, снимающего особенность специаль-
ной матрицы решений внутри рассматриваемой области.
В п. 2 § 1 п. ф. м. р. G(t, х) была продолжена в полу-
пространство хп < 0, при этом у нее, вообще говоря, могли
оказаться особенности в гиперплоскости t = 0, лежащие.
|x'|<tga|x„|, х„<0, tga = (-^V|.
Если область V не выпуклая, то, строя п. ф. м. р.
G(t — т, х — т, £), соответствующую точкам (т, £)£Г0,
и продолжая ее в полупространство (х — 5, v (5)) < 0, полу-
чим решение системы
4Н 2 л*<т’ ^Dka-
которое при t = x могут иметь особенности не только
в точке £, а и в точках конуса |(х — 5, v(£)|<^|x — $|cosa,
(х — 5, v (?)) < 0, часть которого может оказаться внутри
невыпуклой области V. Это обстоятельство уже не позволяет
определить строки специальной матрицы решений форму-
лами (7), (14) п. 1, оно не дает возможности применить
«принцип локализации». Поэтому придется, во-первых, изме-
нить несколько формулы (7), (14), во-вторых, построить
специальную добавку к матрице £(/, т, х, £), которая.
400
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
сохраняя характер ее поведения в окрестности точки (т, 5) £ Го,
устранит возможные ее особенности при t = т внутри области.
Будем предполагать, что коэффициенты системы
Ak(t.x)D*a	(1)
|* 1<2*
определены в полосе и удовлетворяют в ней условиям
теоремы 3.4. Обозначим через область, полученную из
пространства Еп удалением прямого кругового конуса с вер-
шиной в точке 5 осью v(5) раствора 2р, р > а. Используя по-
строения п. 1, можно определить матрицы ||O(jp (/—т, х—£; т, g)||,
не имеющие особенностей при в области V\.
Определим теперь столбцы матрицы Е (t9 т, х, $) формулой
Ej(t, т, х, ty = G*(t — т, х —т, £) —
t
-fd$f Z(t. ₽. х, у)£(О/(₽—с. y-fc t. Q)dy. (2)
*
В цилиндре (т, Т] X Для производных от так опреде-
ленной матрицы справедливы оценки (15) п. 1.
Переходим к построению специальной добавки к
Ej(t, т, х,
Будем предполагать, что коэффициенты системы (1)
дополнительно удовлетворяют условиям 3) п. 4 § 3
гл. 1 (гарантирующим нормальность ф. м. р. Z (/, т, х, 5)),
а невыпуклая область V обладает следующим свой-
ством*. существует такое достаточно малое число
Л > 0, что любой точки $ поверхности S можно
коснуться вершиной прямого кругового конуса с осью
— v(£), раствора 2р и высоты 2h, целиком лежащим
вне V.
Опять поместим начало координат в точку (т, £), обозна-
чим через боковую поверхность конуса Kq высоты h,
осью —v(0), вершина которого находится в начале коорди-
нат, через а — всю поверхность этого конуса.
В силу свойства 2 ф. м. р. и оценок, справедливых для
матриц Z(/, т, х, 0 и Ej(t, 0, х, О) = £у(Л х) для любой
$2] СЛУЧАИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 401
точки х £ V^, Е = 0, найдутся такие достаточно малые р, что
t	п
Ej (t x) = fdt f %B*IZ (t, t. x, 5), E} (t, ?)] vA ds, (3)
0 a—a +s_ Л«1
p p
sp— часть поверхности шара Vqp) радиуса p с центром в на-
чале координат, лежащая вне конуса, ар— часть а, лежащая
внутри Vop). Для	определим
t	п
М} (t, х) = lim f dt f B* [Z (t, t, x, |), E} ft, vA ds=
₽->° 0 «A-ap+,p * = 1
= limAf(p)(/, x). (4)
p->o 7
Установим, что если p взято таким, что xgV^p), то Л4;р)
не зависит от р. Для этого достаточно заметить, что из
равенства
п
0 = ZLEj - (L*zy Е} =	(ZEj)+£ - Д- В* [Z, Ej]
и того, что
Еу(0, $) = 0,	£=£0, Z(t. t. х, S) = 0,	х=££,
следует, что
t	п
fdt f ^Bk{Z. Ej}4kds =
0	+,p, ft”1
t	n
= fdx f ^Bk[Z, Ej]4ds.
0	’Л"’!»,+S
Очевидно, что x) является всюду в (0, T] X V
решением системы (1), для ее производных справедливы
обычные оценки. Рассмотрим теперь часть окрестности
точки (0, 0), принадлежащую области (0, Т] X V- В ней
в силу (3) и (4)
M}{t, x)=*Ej(t, х)4-ДЕу(Л х) =
t	п
=Е} (t. х)—fdt f % В* [Z (t, t, x, 5), E} (t, £)] v* ds. (5)
О а-<7дЙ-1
26 С. Д. Эйдельмаж
402
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
Формула (5) показывает, что в окрестности точки (0, 0) свой-
ства Mj(t, х) и Ej(t, х) одинаковы, так как эти функции
разнятся на bEj(tt х)— регулярную в окрестности (0, 0)
функцию. Таким образом, во всех дальнейших построениях
в случае невыпуклых областей матрицу Е (/, т, х, 5) следует
заменить матрицей M(t9 т, х, $), определяемой форму-
лами (5), (4), (2).
3. Случай граничных операторов равного порядка.
Рассмотрим общую краевую задачу для цилиндрической
области в предположении, что порядки всех граничных опе-
раторов Bt совпадают и равны г. В этом случае задачу
можно записать компактно
4г = 2 Ak(t, x)D^u,	(1)
I к I <2»
а |,	=0, lim B(t, х, D)u = f(t, z).	(2)
x+ztS
x$y
Предполагается выполненным условие P (см. (3) п. 1) в каж-
дой точке (т, В) £ Го = (0, Т] X 5. Область j? == (0, 7] X V
может быть конечной или бесконечной, выпуклой или не-
выпуклой. Рассуждения, и оценки п. 1 и 2 позволяют про-
вести доказательство существования решения во всех этих
случаях, если граница Го конечна.
Теорема 4.4. Если'. 1) коэффициенты (1) удовлетво-
ряют условиям теоремы 3,4 с Г) = г, 2) коэффициенты
краевого условия заданы в граничной полосе Го, огра-
ничены и гельдеровы по t и х; 3) граница S обладает
свойством-, некоторая окрестность каждой ее точки
в местной системе координат может быть предста-
влена уравнением 5e = <p(£'). ide %>(£') имеет непре-
рывные гельдеровы производные по ?2, * • • >
4) f(t, z) — непрерывная вектор-функция, удовлетво-
ряющая неравенству |/(/, д)| -<Сехр {а| z|’}, тогда
/ £___________________________________________7)
задача (1), (2) разрешима в полосе	——-I
(с — из оценки (15) п. 1).
Доказательство. Рассмотрим краевую задачу (1), (2)
для выпуклой ограниченной цилиндрической области.
§2] СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 403
Найдем на основании теоремы 3.4 специальную матрицу
решений задачи (1), (2) E(tt т, х, 5). Решение задачи (1), (2)
ищем в виде интеграла типа теплового потенциала
t
u(t9 х) = J dr fEtf, x, 5)р.(т,
0 s
(3)
P (x’ £) — подлежащая определению непрерывная вектор-
функция.
Очевидно, что u(tt х) — решение в а? системы (1),
удовлетворяющее начальному условию (2). Подберем плот-
ность р.(т, 5) так, чтобы u(t, х) удовлетворяла краевому
условию (2). Для этого исследуем поведение u(tt х) при
стремлении х к точке z£S. Из оценок для производных
от Е(/, т, х, 5)
DmE(tt т, х, ?)[ <
л-14-2^4-1 т 1-7
— -с)" и ехр
(4)
аналогичных оценок для слагаемых, составляющих матрицу
E(tt т, х, 5), и предположений о коэффициентах B(t, х; D)
следует, что исследовать фактически нужно только функцию
/(/, х) =
t
— fdxf BQ(t, 5; D)Ov(5)(f —t, x — 5; t, 5)р(т.	(5)
0	5
так как остальные слагаемые представляются равномерно
сходящимися интегралами в любой точке и поэтому
в них предельный переход может быть совершен непосред-
ственно под знаком интеграла.
Поведение I (t, х) характеризуется следующей важной
леммой.
Лемма 9.4. Для I(t, х) имеет место формула
скачка
lim /(/, x)==p(f,	+	z),	(6)
x->z£S
x-*-z, находясь внутри острого кругового конуса К*
с вершиной в z и осью v(z).
26*
404
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
Доказательство. Пусть z— некоторая фиксирован-
ная точка поверхности S; по предположению, ее достаточно
малая окрестность на S однозначно проектируется на каса-
тельную к S в 2-плоскость; пусть Sa — такая окрестность,
проекцией которой является шар Та с центром z радиуса а.
Выбирая начало местной системы координат в 2, п— ось
по v(2). можно уравнение куска Sa представить в виде
*» = ?(*'):
Е2...IE'|<®. ? (Г) 6 С1’’(ГД
<р(0) = -^-(0)=0.
Обозначим через
t, V = B0(t, fc D)O0(t — x, х-Г; t, 5).
Рассмотрим
t
I(t, x)= fdtf F’®(f—t, x — 5; t, 5)ц(т, 5)<M +
t 0 s-sa
+ fdt f F ® (/-t, x-5; t. $) ц (T, $) d^s=Ia + Is-sa- (7)
0 Sa
Проведем изучение /в. Для F’(^(/— t, x — ?; t, ?) cnpa-
ведлива оценка
|F’(?)(# —t, x — 5; t, 5)|<
- -S-’
__»±2L -ar
<СЛ(х. ?)(/ — т) 26 e (t-т)	,	(8)
где h(x, 5) = (x — 5, v(5)) — расстояние от точки x до каса-
тельной к S в точке В плоскости, которое определяется
формулой
ч	Л-1
—Т (?') — 2	~
h{x, 5) =---------7	------------.	(9)
г /-1
Заметим, во-первых, что интеграл Ia(t, х) и, следовательно,
/(/, х) имеет смысл в точке 2, Действительно, в ней
$ и СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 405
| Л(0, Е) I < К | г |‘+“. поэтому
t	(	1 1
dx / J£l^exp{^|E|^-<^M'<
0 ГД (/-т) *
л	л	(	1	1
° (t—x) 2b та (<—т) 2*
Представим теперь Ia(t, х) в таком виде:
/«</. *)=
t
— fdxf [Fv(5) (t—x, x—E; t, E)-F’(e)(/-t. x — E; t. 0)] X
0
t
Xp(t, E)<^+ fdx f [Fv<0(/-t, X-E; t, 0)-
0 r«ПОe'i >л*я)
Ед“*<6 >	___________
-F’<m(/-t, x-E'; t, 0)]p(x, Е)|Лl+£(w),<rt,+
t	j
+ fdx f	X — S; t. 0) —
0 T^TAxn	____________
*-E'; t, О)]И(Т. E)l/ l+Ef’S'P5' +
t
+ fdx f [F^p—x, x — E'; t, 0)—
° Г‘ПГ^ д
_r(0)(f-t, X—E'; t, 0)]p(t, E)l/ 1+2(-ЭгГл' +
F /-1
t
+ fdxf F’(0,(/—t. x-Ez; t. 0)p(t, E)rfes =
о sa
406
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
А — достаточно большая, не зависящая от х и а постоян-
ная, произволом в выборе которой мы воспользуемся позже.
В дальнейшем используются следующие элементарные нера-
венства, справедливые для В' £ Та и х из конуса
I х' I < tg х„:
1) i?(5')i<Kiei1+“, a
1т(П-т(*')1<»(*.в)|5'--*'1; «(X, а)—> 0,
г->0
а->0
2) h (х, 5) < [х„-? (х')] + К1 х' - 6' |1+“ < хп + К | х'-? |1+“,
3) |х-Ч|‘=|х'-Е' !’+[*„-? (x’)+f(x')-f(E')]’=
. _	..Г, .<*'>(2хл~’><-*•')]4-2 [*„-?(ж')] [<Р(ж')-? «')]+[? (x')-v «')]’ 1
[	I*'—Е Г+-*д	J
«=|ж-Е' |«(l + «i(x,e)i
I Х__g 12
Таким образом, 1 — ах •< -г——ftV -< 1 + а^, аг -> 0 при
х->0, о. х) оценивается на основании неравен-
ства (12) п. 8 § 1 и неравенств 2), 3):
ж)|<.(а) [ dx f Ха+1х'~^2ь+Л X
» Та (t-x)
k'-e'l’	4
1 1
X, (<-г)2а-1	(/-г) 2»-1 dl'^Cfta). (100
Оценка l^(t, x) проводится так:
I4”«. ж)|<
г I «-S' I*
f +	«' +
\o	(I-,) г>
t	c\x-i'\4
+fdt f -------------------dVJ<
О ГвП{|Е'|>4х„} (/_t) 2»	)
$ 2] СЛУЧАЯ ПРОИЗВОЛЬНОЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 407
• 1
<2С f dt f -----------W2b~1dl' +
0 ie'l>Ax„ (<_t) 2ft
0 (t — г) 4" Ta (t — i) 2» I (/_X)2»-»J
==2CJ14-C1J2.
Для оценки Jt поступим так: заменим порядок интегрирова-
ния по t и V, воспользуемся леммой 6.1, тогда
л<с у* -------------
|е’1>д«я[|У-б'|2+л2]Т
Сделаем в последнем интеграле замену переменных
£' = x'-\-xnz', тогда
Л -С С2	У*	д- dz'
|z-+Z.|>A [|г'|’+1]2
<С2 f -----------—----г = е(л>>	е(Л)—>0,
-у	А->оо
)и>д_<в|[|*'|‘+1р
Таким образом,
|4?(Л х)|<е(Л)+е(а, х).	(10,)
Оценим 1<а, используя формулу конечных приращений и
оценки 3):
-с /1	। у
|43)(Л x)\^cfdt [
0 гЛп’х y-t) *
<ССА(Г J dt J ---^ii-—e-ctd^ = ClAaa. (IO3)
0	(i-t)"®-
408
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
Наконец, оценка (/> х) следует из неравенства (14) п. 8 § 1,
при этом используется то, что вектор х — лежит в ко-
нусе, так как |х' — | < (л 4” tg j хп:
IW. Х)|<ел(а);	(104)
ел(а)—>0 при я—>0 и фиксированном А.
Таким образом,
l/^+^ + ^ + ^l <е(а,хН-е(Л)-|-С1Аа*4-еА(а). (11)
В силу теоремы 2.4
t
lim 45)(/, x) = lim f dx f F'm(t — x, x — V; t, 0)X
о' т
Г n-1
X 1/ 1 + £-#-(?)l»(x. s'. <Р(*'))Я' = Н*. ?)• (12)
F /-1 7
Утверждение леммы следует из вышеприведенных рассужде-
ний и равенства
I(t, x) — I(t, z) — P(t, z) = [/s_$a(t x) — Is-sa(t. •?)] +
+ [W.	г)] + к(*.	X)}-Ia(t, z).
Действительно, по данному e выбирается вначале А так, чтобы
e (Д) < -j~-, затем такие малые а и х, чтобы при таком А
е(а, х) + С1Лаа + ел(а) и |/л(/, г)| было меньше на-
конец, при фиксированном а за счет дальнейшего умень-
шения х первых два слагаемых делаются меньше -д-. Лемма
доказана.
Таким образом, для того чтобы u(tt х) было решением
краевой задачи (2), нужно, чтобы p(f, z) быль решением
интегрального уравнения
t
H(t «)+/dx fB(t, z, D)E(t, x, x, 5)^(1, ^diS = f(t, z),
0	5
(13)
§ 2] СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 409
для ядра которого K(t, т, zt %) = ВЕ справедлива оценка
(см. оценки 1а в доказательстве леммы)
|К('.ак—X
(/-г)	26
Хехр{ —	(14)
Последнее гарантирует существование непрерывного реше-
ния уравнения (13) и, следовательно, разрешимость исходной
задачи. В случае невыпуклой области матрицу E(t9 т, х, $)
следует заменить матрицей М (t, х, х> $), построенной в п. 2.
Если область не ограничена априори, нужно предполагать,
что плотность р. (Л z) удовлетворяет оценке |р. (Л z) | г
ах > а. Доказательство леммы 9.4 и все остальные рассу-
ждения сохраняют свою силу.
4. Общая краевая задача в случае п=1. В нижепри-
водящихся построениях используются специальные п. ф. м. р.,
определенные в п. 7 § 1, и операторы дробного интегриро-
вания и дифференцирования по временной координате t.
Излагаемый подход является обобщением известного приема
отыскания решения первой краевой задачи для уравнения
теплопроводности в виде теплового потенциала простого слоя;
получающееся при удовлетворении краевого условия интег-
ральное уравнение Вольтерра первого рода преобразуется
в уравнение второго рода с квазирегулярным ядром с по-
мощью оператора дробного дифференцирования.
Рассматривается задача о нахождении решения системы
>= 2 л««. *>(-'£)*« о)
1*1 <2*
в области Пг {0 < t < 7\ 0 < х < 1}, удовлетворяющего
условиям:
« I/-+0 = 0. Iim В(/, о, -1 А) и (t, X) = <Р(О,
*	4-0	\	ОХ /
lim В(/, 1;	(2)
410
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
Условие Р в данном случае имеет вид
det J B0(f. В. v5, а)Д;1(т. 5. р, a)Mi(p)do >
Г
m
/	1\2
>М1<И2+|рН , (3)
5 = 0,1.	v0=l,	\ = — 1,	0</<Т.
Теорема 6.4. Если коэффициенты (1) удовлетво-
ряют условиям 1), 2) теоремы 4.4 с Г] — г, a <]>,(/)
и коэффициенты краевых условий Вг(л V, —
5 = 0, 1, — условию Гельдера с показателем г< + е
в сегменте [0, 7], <рДО) = фг(О) = О, если rt<Zr, то за-
дача (1), (2) разрешима.
Доказательство. По методике п. 7 § 1 построим
матрицы Qj(t — «с, х— 5; т, 5), 5 = 0, 1, а по ним матрицы
Ej(t, т, х. 5):
26- (?+1)
E}(t. т, х. 5)= j	х~5; <, 0—
Z-0
t 1	/2d -(7+1)	\
—f d? f Z(t, ₽. X. y)£	£	5)ldy.
т 0	'	/-0	/
(4)
Затем решение задачи (2) — (1) будем искать в виде
t	i
u(t, х)=5=	х> 0)[X (т) dx + J* Е (/, Т» х, 1) v(t) dx, (5)
о	о
u(t, х)— решение (1) в Пг. Будем выбирать ц(О и v(£)
так *), чтобы и (t, х) удовлетворяла краевым условиям. Раз-
делим краевые условия на две группы: в одну объединим
все операторы Bl9 у которых rt < г, пусть это будет при
*) Их априори предполагаем гельдеровыми на сегменте [0, Г]
функциями.
$ 2J СЛУЧАИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ	411
/ев 1. 2,_..р, а остальные Bt с / = />-}- 1....bN имеют
порядок г. Всюду в дальнейшем используются оценки
2Ь—г—1+Л
26	ехр {—ср}.
(6)
-^-б(0(/ — <, х — 5; т, 5) <C(t — х)~
дхв
Если /=1,2........р, то в силу п. 7 § 1 и ограничений,
наложенных на коэффициенты краевых условий, можно за-
писать
<р.(/) = lim Bt(t, 0;—/Д4«(/, х)==
+0	'	ОХ !
bN
2b
/-1 О
-6//-Т. Х-, t. О)]|ж=о^(т)Л +
bN *
+S f М0, *	*• °)UoM’)dx+
>-1 о
bN п
+2 J вю(о, 1\ -/£)[2/-8Д.0|»,(<)л+
/-1 0
Я л
+ S f М0, * х’
/-1 о
(70)
При Z = p-|-1...bN в (70) должно стоять /+o(h(O)s
— Запишем уравнение (70) в компактном виде
bN г t
2Г	>-1Lo
о
t .
о
?/(/), /=1, 2............bN.
(7Э
412
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
Применим теперь оператор ВЦ/, 1; —и пеРейД^м
к пределу при х -> 1 — 0, тогда придем к уравнениям
bN г t
i-_f (мэ)+2 f
__I	n
=Ф,(0.
/ = 1. 2.
..Ж (7t)
Система (7<), (7t) представляет собой систему 2bN интег-
ральных уравнений Вольтерра первого рода с квазирегуляр-
ными ядрами. Покажем, как при сделанных предположениях
она может быть преобразована в эквивалентную систему
интегральных уравнений Вольтерра второго рода с квази-
регулярными ядрами с помощью оператора дробного диф-
ференцирования, который определяется формулой
Будем предполагать, что f(f) удовлетворяет условию Гель-
дера на сегменте [О, Т] с показателем (3 > а и /(0) = 0.
Выведем формулу для которой удобно пользоваться;
рассмотрим
функцию Ф (/) =
о
---- = f f(t — x)x~*dx.
t
f(t—т) можно представить в виде f(t — т) = -^- J* f($)d$,
таким образом,
t t
Ф(0 = f-bf
О /-Т
t к	t t
= f /(МР+a/ f /(₽)d₽t—
0	0 r-T
♦) Зигмунд, Тригонометрические ряды, 1939, стр. 221— 225»
5 2) СЛУЧАЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
413

1
Г(1-а)
t
Гв/(0 + * f
о
О)
Из формулы (9) непосредственно следует, что
удовлетворяет условию Гельдера с показателем р— а.
Переходим к краткому описанию того, как преобразовать
систему (7^, (7Х) к системе второго рода с квазирегулярными
ядрами; преобразовывать нужно, конечно, только первые р
уравнений; рассмотрим уравнения (7^, применим к /-у урав-
г-г*
нению оператор D2b , тогда получим
bN / r-rz t
мо+2	°* (о *) ъ со л+
/-1 V о
f-ft t	\	Г-Г£
-+-D™	-D» (Юс)
o	/
Итак, нужно преобразовать выражения вида
t
Eft f K(t. x)p (')<*'-
0
Воспользуемся для этого формулой (9), а затем поменяем
порядок интегрирования по т и z (законность этого пока
предполагается), тогда получим
t
D* f K(t, т)р(т)Л =
о
' t '
1 Г K(t9T) ... I
= T(-f-a) J	.
Q
t г t
+т(14_а) f f W’
o Lo
414
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
t-г
о	J
t Г-х
[ f [К (Ат)—/Ctf-z.Tjz-1—^ y.(x)dx. (11)
1 о
Г(1-в)о
Так как все ядра, входящие в (70), удовлетворяют оценке
2д-г+г*-в
I Kt)(A т)| <С (t-т)	(12)
a a= " ~2bl > то остается установить оценки
J [К(A т) — K(f — z, x)]z~* l~ ^dz
0
<С(/-т)1Ч T<1.
(13)
Покажем, как неравенство (13) доказывается в случае, когда
вместо ядра M°J0)(A т) стоит его главная часть:
F/y(A <) = Вй(а 0;	Х-, т, 0)-
— Gj(t—c, x; t, 0]|жя0;
оценка остальных слагаемых проще и устанавливается с по-
мощью аналогичных соображений. т) запишем покороче
так:
F(A t) = B(/)[6'(f — т, t) — Q'(t — -с, 0),
a r 0.r<- обозначим через а. Представим
t—x
I=f [F(t, x) — F(f—z, ^z-^dz
о
§2] СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ 415
так:
t—*
2
Z = J [B(t) — B(t — z)][G'(t—с. x)-G'(t-x,
О
2
+ f B(t — z){[G'(t — t,	t)\-
o
— {G'(t — t — z, t) — G'(t — t — z, t)}z^‘1-adz —
t—x
— J B(t-z){G'(f-x—z, f)-G'(t—i-z,t-z)}z-l-adz+
0
+ f [F(Z, ^-P(t-z, t)]z-»-«^ = /1+Z2+/3 + /4. (14)
/-t
2
Ix и/3 оцениваются без труда, так как |В(/)—B(t—z)|~C
<C|z|e+,t a \G'(t — т — z, t) — G'{t — x — z, t — z)|<
<C|z|“+,(f — t — zf~\ Оценим Z4:
1АК[т=т]1+у1^С<. W-’>+c
\	£z2	/
\	2	/
Наконец оценка Z2 проводится так:
t—t
~	t
!/,!</ |В«-г)|	')-
0	i-z
— Q' (it — t, 0) I dt^z->- dz <
<C('~ ’> f
416
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
Из абсолютной сходимости рассматриваемых повторных
интегралов следует законность замены порядка интегри-
рования (ранее предполагавшейся).
Итак, система (70), (70 преобразуется в систему интег-
ральных уравнений Вольтерра второго рода с квазирегуляр-
ными ядрами:
ьы / t	t	\
f	=
y-i 'о	о	/
r~rl
= D*>	(15o)
bN / t	t	\
v,(0+2	*)!»/(*)* +JftyVy.
/-1 \o	0	/
r~ri
= D*>	1=1, 2......bN. (150
Система (150), (150 решается обычным методом последо-
вательных приближений, ее решение p(Z), v(/) состоит из
гельдеровых на сегменте [О, Т] функций, последнее может
быть установлено с помощью формул (150), (ISj) непосред-
ственной оценкой интегралов, которыми p(f) и v(/) опре-
деляются. Подставляя р(/), v(/) в (150), (150 и применяя
оператор /_ , получим, что р (/). v (0 — решение системы
r~rz
2b
(70), (70. Подставляя теперь р (/). »(/) в (5), получим реше-
ние поставленной задачи.
§ 3. Случай одного уравнения.
Задача с косой производной для уравнений
второго порядка
Здесь будет проведена детализация условия Р и формул
для п. ф. м. р. в случае одного уравнения и проиллюстриро-
ваны полученные в § 1, 2 результаты на задаче с косой
производной для уравнений второго порядка.
§3]	СЛУЧАИ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ	417
1. Случай одного уравнения. В случае краевой задачи
для одного уравнения:
2 AkDku^A(D)u,	(1)
1Л|=2*
«L=+o = O,^liinoB,(^-. о)« =
= lim 2	x/)(	(2)
x ->+0	Ot °
n	*02*4-|*|=q
Z=l, 2,
условию P и формулам для п. ф. м. р. может быть придан
удобный обозримый вид. Соответствующая задаче (1), (2)
задача для обыкновенных уравнений имеет вид
<3>
Представим многочлен А(р, о) в виде А(р, <г) = А(<з)—р =
= 4)...026 Д (в„ — ° У (р. °')) Д (°Я —°л) (/>• °')) =
=А+ (р, а) А_ (р, а), где \р, <з') — ая-корни уравнения
Л(р,а)=0 с положительной (соответственно отрицательной)
мнимой частью. Условие Р имеет вид: при любых веще-
ственных а' и р — aQ^ipv а0 > 0, —оо < рг < оо,
О г	11<,й-1
Разделим многочлен по ап Bt(p, а) на А+(р, о):
Bt(p, <з) = А+(р, <s)Rt{p,	о). Qt(p. <J)
— многочлен по ап степени не выше b — 1. Очевидно, что
II Г Qi (р> °) °»-1	И&
F(p.0')a=det	•
IIг	ll/,*-i
27 С Д Эйдельман
418
' СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГЛ. 4
Равенство нулю строк матрицы	Р{р, о') означает линейную зависимость II	. f J Л+(р,а) "М Иг	и/, *-1
т. е. существование постоянных (по а„) с2......не все*
равных нулю, и таких, что для функции
»
V(p. a) = 'SiClQl(p, а)
i-i
справедливы равенства:
с «•(/>, а) о?-1
/	« da —о, Л=1, 2.............Ь,
J А+ (р, в) »
Г
и очевидное следствие из них
J ~~'А+(р,а) de» = °
для любого полинома Р(ая) степени Ь—1. Из последнего
равенства следует, что ЧГ (р, о) должна делиться на А+ (р, а),
а так как степень полинома ЧГ (р, о) меньше степени А+ (р, а),
то ЧГ (р, <з) = О тождественно по ал. Подставляя в ЧГ (р, а)
ь
Qi (р. о) = S Чц (Р> «') в7"1.
приходим к системе алгебраических уравнений, которым
удовлетворяют числа с1, с2......с,:
%Ч1}(Р' o')q = 0,	/=1.2..........Ь. (5)
I “1
Таким образом, равенство нулю Р(р, а') эквивалентно ра-
венству нулю функции Д(р, az) = det ||	(р,
Итак, условие Р означает, что Д (р, У) 0 при лю-
бых вещественных а' и р=а0-}-4р1, а0 > 0, — оо < pt < оо.
Переходим к получению удобных формул для п. ф. м, р.
Для этого установим следующие леммы:
Лемма 10.4. Определим по полиному A+(j>, о)
функции
А^{р, о)=ДЛ+0’>	1....b — 1.
Hl
СЛУЧАИ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ
419
тогда
J ----Л^«>	^,=2^,,. J. 4 = 0. 1. 2......4-1.
Г
Доказательство. В качестве Г можно взять окруж-
ность Гд с центром в начале координат достаточно большого
радиуса R. Утверждение леммы следует из тождества
/.	0) а*
J Л+ (р, а) °л
ГЯ
=	/S лм-—
Г/?	Г/?
и того, что второй интеграл равен нулю, так как его подынте-
гральная функция является отношением полиномов, причем
степень полинома, стоящего в знаменателе, превышает сте-
пень полинома, стоящего в числителе, не меньше, чем на 2,
a R может быть взят произвольно большим.
Лемма 11.4. Пусть ||^(р, а')II—матрица, обрат-
ная к ||?/;(р. о')||, определим функции
Nk(p. °)=^ч‘к(р,	а),
z = 1
тогда справедливы равенства
/Nk(p, с) Bi(p, в)
. ,	— dcn = 2*ЙД/, k, jr = 1, 2..b.
Я+ (p, a) «
г
Доказательство.
f Nk (A °) Bj (A «) . f (A °) Qj (A «) .
J ----A+(p, 'j—	= ./ ---A+(p,a)..d°n =
г	г
= S’" <'’ y) f------=
Z-l	г
b
= 2«Z S = 2kZ 2	“ 2lr/8^
i,i	<-i
21*
420
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
[ГЛ. 4
Легко непосредственной проверкой с помощью леммы 11.4
убедиться в том, что решение задачи (3), (4) определяется
формулой
v (х„; р, а') =	£ у е- ПА^в)(р, а'). (6)
;-1 г
а п. ф. м. р.
а0+ I00	ix а
ай—1<х>	Г
(7)
2. Задача с косой производной для уравнений второго
порядка. Здесь будет приведен простой пример, хорошо
иллюстрирующий свойства п. ф. м. р., найденные в § 1, и
результаты § 1.2.
Рассмотрим следующую простейшую задачу с косой
производной для двумерного уравнения теплопроводности:
ищется решение уравнения
ди  д2и , д2и
dt ~ дх? д%	Ш
в области QT {0 < t Т, — оо < х1 < оо, х2 > 0}, удовле-
творяющее условиям
=	+	='<'•<> <2)
др д2—вещественные постоянные, di + d|=l. Соответствую-
щая задача для обыкновенного уравнения записывается так:
=7(Р. ^1). (3)
аХ2	\	ах2) Х2.0
Полином
А+ (Р< e) = c2 —Z	В(р, а) = /(61о1+*2о2).
Для нахождения условия Р, в форме, указанной в п. 1, раз-
делим полином В(р, а) на Л Др, о), остаток, полученный
при этом, равен Q(p, a)~lb1al —
«Ч
СЛУЧАЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ
421
Итак, условие Р означает, что при любых вещест-
венных et и p = a0-\-lpv а0 — некоторое положительное
число, — оо <	< оо;	<j2 #= 0.
Так как вещественная часть У р + ¥= 0 при а0 > 0,
то условие Р означает, что Ь2 =# 0; можно считать Ь2 > 0.
Нужное решение задачи (3) дается формулой
а
О(/.х)=^т /
—СО
________dp________
ibft— b2'//’ + ’?
Если воспользоваться теоремой Эфроса и обычной операцион-
ной техникой, а затем проделать ряд элементарных преобра-
зований и ввести следующие обозначения: bx = cos a, b2 = sin а,
r — (xv х2), Z° = (cosa, sin a), m° = (—sin a, cos a), v° = (0, 1),
то Q(tt х) можно представить в виде
QV, х>—-)у.	Д-,^.
4	7 2nt	2nt^	„ •/
По теореме 1.4 0 (t, х) при t > 0 бесконечно дифференци-
руемая функция, ее возможные особенности при Z = 0 нахо-
дятся внутри конуса (угла), лежащего в полуплоскости х2 < О
плоскости (хр х2). Покажем, что в данном случае особен*
ности сосредоточены на полупрямой I с ортом —/°. Дей-
ствительно, второе слагаемое в (4) может быть записано так:
оо	(т\гУ
(А«°) f e-^dz(ma’r)e
(l*, r)
2У1
422
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
(ГД. 4
если (xv х2) стремится к точке, лежащей на полупрямой Ц
то при этом (Z0, г)<0, (/п°, г)->0, поэтому если одновре-
менно и О, то
J* e~z*dz-+ j/re,
(*% г)
2Vt
а функция
(m°, г)
(т®, г)’
е~ «
не имеет определенного
предела.
Все точки прямой I — существенно особые точки Q(t, х).
Если же |(/п°, г)| >80 > 0, то никаких особенностей у О(/, х)
при Z = 0 нет. Итак, «конус» особенностей вырождается
в этом случае в полупрямую. Теперь покажем, как опреде-
лить добавку к п. ф. р. G(tt х), которая укорачивала бы
особую линию I до некоторого достаточно малого отрезка h
(величину этого отрезка мы обозначим через — d, d > 0).
Это может быть сделано с помощью приемов, изложенных
в предыдущем параграфе, однако в данном случае нужный
довесок может быть получен непосредственно.
Запишем второе слагаемое в (4) в таком виде:
(у, m°) (т°, г)
(т®, г)»
е «
(P.O
2V1	оо
У* e~z* dz— У* e~z'dz
о	о
Отсутствие особенности у этой функции при (Z0, г) > 0 вы-
звано тем, что при Z—>-|- 0 выражение, стоящее в скобках,
стремится достаточно быстро к нулю. При (Z0, г) < 0 этого
уже не происходит.
оо
Поэтому естественно попытаться заменить J* e~z* dz таким
о
слагаемым, чтобы при (Z0, г) < —d ситуация была аналогична
той, которая складывается при (Z0, г) > 0. Для этого доста-
(fr, r)+d
оо	2Vi
точно J* e~z'dz заменить J e~z'dz. Легко усмотреть,
о	о
54
СЛУЧАИ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ
423
что при этом уравнение продолжает удовлетворяться, а при
(/°, г)<—d особенность устраняется.
Таким образом, добавка к п. ф. м. р. О (Л х) имеет вид
ДО
__ (A m°) (т°, г)
—	2^’А
(ft, r)+d
2 VI
j* е~*2 dz
о
Аналогичное построение можно сделать для n-мерного урав-
нения теплопроводности и общего линейного параболического
уравнения второго порядка [28].
ДОПОЛНЕНИЕ 1
О РАЗЛИЧНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ ПАРАБОЛИЧНОСТИ
СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Как указывалось, в определении параболичности, по
И. Г. Петровскому, имеются два элемента: 1) некоторое
предположение о конструкции системы, позволяющее выде-
лить группу старших членов по взвешенному порядку диф-
ференцирования, 2) предположение об отрицательности веще-
ственных частей корней специального алгебраического урав-
нения, соответствующего определенной группе старших
членов.
Возможными обобщениями этого определения являются:
1) отказ от какого-либо предположения о конструкции си-
стемы; единственное ограничение налагается на корни алге-
браического уравнения, связанного естественным путем с рас-
сматриваемой системой, 2) обобщение конструкции И. Г. Пет-
ровского, позволяющее для более широких классов систем
сохранить свойства параболических, по И. Г. Петровскому,
систем.
В указанных направлениях в настоящее время получены
существенные результаты, о них и будет идти речь ниже.
Доказательства здесь приводиться не будут, некоторые из
излагаемых ниже фактов подробно доказаны в моногра-
фии [10в].
1.	Параболические, по Г. Е. Шилову, системы. В своих
фундаментальных исследованиях классов корректности задачи
Коши для систем с постоянными коэффициентами
-^-=2 AkDk4 = P(P)4	(1)
I л I
О РАЗЛИЧНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ ПАРАБОЛИЧНОСТИ
425
Г. Е. Шилов ([39а], [10в]) ввел широкий класс параболи-
ческих систем.
Определение. Система (1) называется параболи-
ческой в смысле Г. Е. Шилова (параболической по Ши-
лову), если для любого вещественного вектора <з веще-
ственные части корней уравнения
det J 2	I = О
J
удовлетворяют неравенству
A(a) = maxReXy(o)< —С|а|А+СР	(2)
С и h — положительные постоянные.
Неравенство (2) гарантирует существование фундаменталь-
ной матрицы решений
G(t, *) = -(2£уГ /*	»)+₽(«)
задачи Коши (матрицы Грина) системы, являющейся обычной
матрицей - функцией.
Для описания классов корректности задачи Коши ♦) и
выяснения свойств решений системы (1) необходимо подроб-
нее изучить поведение целой матрицы-функции etP^. Оно
определяется порядком роста р0 этой функции, называемым
приведенным порядком системы (1), числом h из неравен-
ства (2), которое называется показателем параболичности
системы и новой важной характеристикой системы (1), так
называемым родом системы р.
Род системы определяется следующим образом: из нера-
венства (2) и леммы 3.1 следует, что
| е<₽(,) | <С (1 + |о|)ж	е~с 1 ’< Cj (0е~с' 1 ’	(3)
существуют такие v 1, что в областях, определяемых не-
равенствами
|Т|</С(1 + К.	(4)
*) В работах Г. Е. Шилова под классом корректности задачи
Коши понимается класс обычных функций, входящий в класс един-
ственности, удовлетворяющий системе уравнений и начальным усло-
виям в смысле обобщенных функций; непрерывная зависимость
решения от начальных функций понимается также в этом смысле.
426
ДОПОЛНЕНИЕ 1
будет
I gtp <«+ /Т)К с (/) е~а I ’ 1Л/;
(5)
тогда род p = supv, при этом предполагается, что если
в (4) положить v = p, то и тогда будет справедливо (5);
если же это не так, то в качестве рода р. берут любое число,
меньшее sup v.
Отметим, что для параболических, по И. Г. Петровскому,
систем |л= 1, р0 = Л = 2д.
Если использовать теоремы о поведении целых функций
и их преобразования Фурье [106] и учесть временные множи-
тели Л то для О(/, х) могут быть получены следующие
оценки [126]:
|DmO(/, х)|<
л
n+|m|+(N-l)(^-A) -с<, Г-Щ]*-1*
рь<0,
Ро
л-F I m 14-(ЛГ—1) (ЛТ—Л) -сJ
c,i * I b-'-J . ^>0.
<6)
Если р > 0, то классом корректности задачи Коши яв-
ляется класс функций fix), удовлетворяющих неравенству
ехр [ Ъ | х |( с каким-либо b 0 (решение принадлежит
этому классу при каждом t), интеграл Пуассона u(t, х) =
— J* О (t, х — ?) uQ (5) удовлетворяет системе при t > 0
в классическом смысле. Можно за счет повышения гладкости
начальной функции добиться того, чтобы начальные условия
принимались в классическом смысле.
Если же род р.'СО, то классом корректности является
класс функций |/(х)КСе 1 с любым Ь> 0 (отметим,
что	и, как видно (это было бы интересно дока-
зать), никаким повышением гладкости начальной функции
нельзя добиться удовлетворения начальным условиям в клас-
сическом смысле.
Из оценок (6) и результатов, изложенных в [39в], сразу
следует, что все параболические, по Г. Е. Шилову, системы
г о РАЗЛИЧНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ ПАРАБОЛИЧНОСТИ 427
с положительным родом гипоэллиптичны. В случае одного
уравнения высшего порядка по t показано, что положитель-
ность рода является необходимым и достаточным условием
гипоэллиптичности параболической системы [39в].
Уже перечисленные свойства систем показывают, что род л
является важнейшей их характеристикой.
В. М. Борок [16] дала формулы для вычисления рода
в случае одного уравнения с одной пространственной коорди-
натой; оказалось, что в этом случае род — целое число,
а так как он не может превосходить 1, поэтому, если р > О,
то р=1; единственным классом уравнений с положительным
родом является параболическое, по И. Г. Петровскому, уравне-
ние. Для уравнений со многими пространственными координата-
ми и систем с одной пространственной координатой этого уже
нет. Примеры таких уравнений и систем приводятся ниже.
В заключение отметим, что для параболических, по
Г. Е. Шилову, систем с переменными коэффициентами полной
общности до сих пор никаких содержательных результатов не
получено.
2.	Обобщения конструкции И. Г. Петровского. 2д-пара-
болические системы. Системы, параболические в смысле
Т. Сироты. В силу заключительного замечания п. 1 пред-
ставляет интерес нахождение подклассов параболических, по
Г. Е. Шилову, систем с переменными коэффициентами, для
которых могут быть установлены содержательные предло-
жения. Такие классы могут быть определены, если соответ-
ствующим образом обобщить конструкцию систем, предложен-
ную И. Г. Петровским.
Ниже будет приведено два таких обобщения.
1) Опишем новый класс так называемых 26-параболиче-
ских систем, определенных автором в [40м].
В определении параболичности по Петровскому дифферен-
цированию по пространственным координатам х2, ..., хя
приписывается вес по отношению к дифференцированию
по времени t. Будем разным пространственным координатам
приписывать, вообще говоря, разный вес по отношению ко
времени: координате xt припишем вес -g~-. Соответственно
с этим производной D* будем ставить в соответствие ее
428
ДОПОЛНЕНИЕ 1
взвешенный порядок k=-^~	—Ь	4--^- и Рао*
сматривать системы следующей конструкции:
л	.
^=2 2	<1)
/-1
Определение. Система (1) называется 2Ь-парабо-
лической в области если для любой точки (/, х)£<£Р
и любого вещественного вектора а корни X уравнения
Xя*
Xя*
det
A^(f. x)kW
= 0 (2)
имеют вещественные части, удовлетворяющие нера-
венству
ReX(f, х; о) < — 8 (аГ1 + 4- ••• +4*").	(3)
8 — положительная постоянная.
Для решений линейных 2д-параболических систем могут
быть, без особых дополнительных затруднений, установлены
многие свойства решений параболических, по И. Г. Пет-
ровскому, систем. Так, для 2&-параболических систем строятся
ф. м. р. Z(£, т, х, £), для которых справедливы оценки
~DkZ?(t, t, х, 5) <
dr0
< С (t —	Г~"ехр
1
2b
2bs
2bs~l
(4)
n= 2^ + ^-+'...+2I7. k0+k<nt. Эти оценки,
леммы 5.1, 8.1 позволяют описать классы корректности
О РАЗЛИЧНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ ПАРАБОЛИЧНОСТИ
429
задачи Коши для линейных систем и систем, близких к ли-
нейным, получить ряд новых результатов для нелинейных
2д-параболических систем [15], [16].
Отметим, что 2/?-параболические системы гипоэллиптичны,
если 2ЬХ = 2Ь2 = ... = 2ЬГ > 2Ьг+х ^ ... ^ 2ЬЛ и коэффи-
циенты линейной системы аналитичны по хр х2, ..., хг, то
и регулярные решения аналитичны по хр х2, ..., хг.
2) Т. Сирота (Taira Shirota) [54] предложил следующее
обобщение конструкции И. Г. Петровского. Рассмотрим
систему дифференциальных уравнений
N
x,D)u}, I = 1, 2.......N, (5)
/-1
a^tt, x; D) — оператор порядка 2b-\-pt— pf, pv p2, ...
..., Pn — целые числа *). Обозначим через aQ.j (/, х; D)
главную часть оператора a^(t9 х; О), т. е. члены, содержащие
дифференцирования порядка 2b-1- pi — pj.
Определение. Система (5) называется парабо-
лической по Сироте в области <&, если для любых
(/, х)£<£Р и любого вещественного вектора а уравнение
detЦа^(t, х; о) — 8/уХ|| = О имеет \-корни, веществен-
ная часть которых удовлетворяет неравенству
ReX(f, х; я) < — 8|о |2ft, 8 > 0.
Для таких систем установлена разрешимость задачи Коши
в некотором специальном гильбертовом пространстве, состоя-
щем из достаточно хорошо убывающих на бесконечности
функций [54].
Параболические, по Т. Сироте, системы являются подклас-
сом систем, параболических по Г. Е. Шилову, для них
р0 = h — 2b, р — 1. Таким образом, эти системы представляют
собой пример не параболических, по И. Г. Петровскому, систем
с р = 1. Легко указать параболические уравнения со многими
пространственными переменными, имеющие дробный положи-
тельный род. Для этого нужно рассматривать уравнения с
существенно различными свойствами по различным переменным;
♦) Если 2b + Pi — Pj < 0, то в системе (5) соответствующий
оператор aij(t, х, D) равен 0»
28 С. Д. Эйдельман
430
ДОПОЛНЕНИЕ 1
в этом случае естественно род определить как вектор
|лгк(|119	|хя), который возникнет, если области, опре-
деленные неравенствами (4) п. 1, заменить областями вида
|Ъ1<С(1 + Ы)’*,	6 = 1,2.....п.
Если рассмотреть уравнение
2 AtD*u	(6)
*-1+1
а
с 2Ьг > 2&2------------2^/г &2*	• • •» Ьп не являются дели-
телями blt а — = 	Д-, — наименьшее общее кратное
1 а	а	г
ъ.	ъ	1
чисел 2bv 2Ь2, .... 2Ь„, то уравнение	—р... | ^я- = 1
имеет целочисленное решение (kv ............ /гл) и род
и ~ (1___2*1_	1____2&2	1\.
Например, для уравнения
ди ________________ д4и . д6и ! д5и
dt дх* дх% dxf дх%
р°дн = (|,4)-
3. Внутренние характеристики параболических по Ши-
лову и параболических по Петровскому систем. Для ука-
занных классов систем могут быть установлены предложе-
ния, позволяющие определить эти системы по некоторым
внутренним их свойствам или свойствам их решений.
Для параболических, по Г. Е. Шилову, систем с одной
пространственной координатой В. М. Борок установила сле-
дующее замечательное предложение [1а]:
Если для системы вида
. Т= 2 а (-<£)*«	<»
1*1<л
известно, что
1) задача Коши u\t_h=su0(x) для нее корректна
в некотором классе функций М, содержащем все огра-
О РАЗЛИЧНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ ПАРАБОЛИЧНОСТИ
431
ничейные локально суммируемые функции, т. е. для
любой uQ (х) £ М существует одно и только одно реше-
ние u(t, x)£AL и из того, что последовательность
равномерно на любом компакте и огра-
ничена равномерно на всей прямой, следует, что соответ-
ствующая последовательность решений uk (t, х) > О
в том же смысле;
2) решение u(t, х) задачи Коши есть функция, не-
прерывно дифференцируемая при любом f > О,
то система (1) параболична по Г. Е. Шилову.
Параболические, по Г. Е. Шилову, системы, вообще го-
воря, неустойчивы к изменению коэффициентов, даже стоя-
щих при нулевой произвошой. У Хоу-синь *) привел следую-
щий пример этого: сйстеЖ
диг  ig д2и2 .	ди2  двих .	&2и2
dt	дх\ ’	dt	dxQ дх2
параболична по Г. Е. Шилову; если в первом уравнении
дописать —16lu2, то полученная система становится некор-
ректной (по отношению к задаче Коши).
Очевидно, что основные свойства параболических, по
И. Г. Петровскому, систем устойчивы по отношению к изме-
нениям коэффициентов группы младших членов. Как недавно
показал Hasegawa Yojiro, это свойство может служить
внутренней определяющей характеристикой параболиче-
ских, по И. Г. Петровскому, систем с постоянными коэф-
фициентами.
А именно, имеет место следующее предложение [56]:
Если для системы
N	k
+S 2	®
/-1 2W0+|ft|</iy	°*
*) У Хоу-синь, Об определении параболичности систем
уравнений в частных производных, Успехи матем. наук 15, в. 6
(I960), стр. 157-161.
28*
432
ДОПОЛНЕНИЕ I
задача Коши корректно разрешима в классе ограни-
ченных гладких функций при любых то суще-
ствует положительная постоянная 8 такая, что веще-
ственные части корней уравнения
при любых вещественных <з удовлетворяют неравенству
Rek(o)<—8|о|2*, т. е. (2)0— параболическая, по
И. Г. Петровскому, система.
ДОПОЛНЕНИЕ 2
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ КОРРЕКТНЫХ,
ПО И. Г. ПЕТРОВСКОМУ, СИСТЕМ
С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ РОДОМ
И. Г. Петровский в [32а] доказал, что необходимым и
достаточным условием корректности задачи Коши для системы
1Г= 2 Ak(f)Dku	(1)
I > \<М
в классе достаточно гладких ограниченных функций является
справедливость для нормальной фундаментальной матрицы
решений Q(t, т, о) системы
-^=2 A(t)°kv (2)
|*|<Л
оценки
\Q{t. т, в)|<С(1 + |в|Д	(3)
а — любой вещественный вектор.
Неравенство (3) сохраняется и для комплексных $ (справа
остается о) в областях вида
III <С(1 + |а|)\	(4)
Если v > 0, то система .(1) называется корректной, по
И. Г. Петровскому, системой с положительным родом р.
(р. определяется по числам v так же, как для параболических
систем).
Для корректных, по И. Г. Петровскому, систем с поло-
жительным родом классом корректности является класс функ-
( Ро )
ций, растущих как ехр\b |х| р*~* j [10в]. Ясно, что только
на основании весьма сложного анализа можно установить.
434
ДОПОЛНЕНИЕ 2
является ли система корректной, по И. Г. Петровскому
с положительным родом.
Целью этого дополнения является изложение простых кон-
струкций, позволяющих по параболическим системам строить
корректные, по И. Г. Петровскому, системы с тем же ро-
дом [40и].
Существенно то, что частными случаями этих конструк-
ций являются важные в приложениях уравнения и системы
уравнений.
Теорема. Если i~^ = P(t, D)u— параболическая,
по И. Г. Петровскому, система с дифференцируемыми
на сегменте [О, Т] коэффициентами, то система
-ji(^—pV.D)u} = R(t,D)u,	(5)
где R(t, D) — произвольный оператор порядка 2Ь с не-
прерывными на сегменте [О, Т] коэффициентами, кор-
ректная, по И. Г. Петровскому, и ее род ji=l.
Доказательство. Найдем оценку нормы нормальной
фундаментальной матрицы решений системы
Р(t,	= R(f, S)v, =	(6)
что эквивалентно изучению решений системы
построенных по начальным данным
(7)
(8)
Для доказательства теоремы все оценки достаточно про-
вести для s = a + Z'[, удовлетворяющих неравенству
|т <^(1+ Н)-
Все дальнейшее основано на том, что нормальная ф. м. р.
Q(t, т, s) системы

(9)
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ КОРРЕКТНЫХ СИСТЕМ
435
обладает оценкой (14) п. 2 § 2
| Q(f, -с, s) |	1«I т »-*).	(Ю)
из которой для достаточно малых у следует неравенство
|Q(/,	$) I < С^е-Ъ I•|2i '>.	(11)
Проинтегрируем (7) по t от 0 до тогда получим
t	t
~Ь У* R(x, s)v(t, s)dx = f(s)+ R (t, s)v(t, s)dz, (12)”
о	6
{-P(t. s),
I E
|/(s)| <C2(l+|a|2ft).
Рассматривая (12) как неоднородную систему, можно записать
v(t, s) —
Е *
+ [Q(f, т, s)f(s)dx+
0 QJ
t	t
+ fQ(t. t. S) f /?(£. S)V(P, s)d£dT. (13)
0	0
Оценим второе и третье слагаемое в формуле (13):
<с£,1
о	\ о
<М-Н<С3,
(И)
о
f Q(t. т, s) f Яф, s)v(p, s)d^dz <
о
<С2 JI v(₽, s)|dp/|Q(/. ₽, S)|(l + Н2М<
о	₽
<с4 J|t»(p, $)|</₽. (15)
о
436
ДОПОЛНЕНИЕ 2
Из (13), (14), (15) следует, что
t
|v«, s)|<C5+C4	s)|d₽.	(16)
0
Из (16) в силу леммы 4.1 получаем неравенство
\v(t. s)|<C5ec,r.
Теорема доказана.
Укажем возможные обобщения теоремы.
1)	Таким же образом устанавливается, что и система
т-1
_^_r±L_p(f, D) al = V Rk (t, D) и,
dtm \dt	J dtk *
у которой производные от коэффициентов, входящие в си-
стему, непрерывны на сегменте [О, Г], а порядки операто-
ров Rk(tt D) не превосходят 2Ь, корректна, по И. Г. Пет-
ровскому, и ее род равен 1.
2)	Если допускать в операторах Rk производные порядка
не выше 2Ь—1, то можно установить корректную разреши-
мость задачи Коши для системы
ж; О)«)=2^-Я,а. - DU
в классах функций, определенных в § 1 гл. 3, используя
аппарат ф. м. р. параболических систем.
3)	Если
-#= 2 X^»«SP(D)«
—параболическая, по Г. Е. Шилову, система с родом р и по-
казателем параболичности h(hvh2, ...,ЛЛ) (последнее обо-
-с |Л*Л
значает, что	/wl у, то система
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ КОРРЕКТНЫХ СИСТЕМ
437
где Rh(D) — дифференциальный оператор, в который входят
k k	k
производные порядка й, для которых
корректна, по И. Г. Петровскому, и ее род тоже равен р..
В заключение приведем примеры уравнений и систем урав-
нений, встречающиеся в приложениях и имеющие описанную
в теореме конструкцию.
Уравнение распространения звука в вязком газе*)
. 4 д л д / ds 4 А \ 2а
=с Д*+3	-dtbr—3	=
v > 0 — коэффициент вязкости, принадлежит классу уравне-
ний, описанному в теореме.
Рассмотрим систему уравнений, описывающую распростра-
нение возмущений в вязко-упругой среде**):
^-|(^,4“2P,)graddiv и — р/ rot rot и — р-^г| =
= р. rot rot и — (к + 2р.) grad div «, (17)
=	я2, я3), Ui — u^Xy х2, *з), V, р/— положитель-
ные пэстоянные.
Ря=(к-|-2р.) grad div я—р. rot rot и—оператор теории упру-
гости; нетрудно убедиться в том, что он сильно эллиптиче-
ский в смысле М. И. Вишика оператор, поэтому система
-^=Ра параболична по И. Г. Петровскому и, следова-
тельно, (17) имеет конструкцию, указанную в теореме.
*) С. С. В о й т, Распространение начальных уплотнений в вяз-
ком газе, Уч. зап. МГУ 5, в. 172, Механика (1954), стр. 125—142.
**) Е. М. Шемякин, Распространение нестационарных воз-
мущений в вязко-упругой среде, ДАН СССР 104, № 1 (1955)»
стр. 34—37, в статье есть дальнейшие литературные указания.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Борок В. М., а) Об одном характеристическом свойстве пара-
болических систем, ДАН СССР 100, № 6 (1956), 903—905.
б)	О численных характеристиках систем, корректных по
И. Г. Петровскому, Изв. вузов, Математика, № 1 (1959), 16—22.
2.	Брук С. 3., а) Фундаментальные решения систем дифферен-
циальных уравнений параболического типа, ДАН 60, № 1 (1948),
9—12.
б)	Задача Коши для систем дифференциальных уравнений па-
раболического типа, Изв. АН СССР, серия матем., 10, № 2 (1946),
105—120.
3.	Введенская Н. Д., Некоторые примеры параболических си-
стем уравнений, Успехи матем. наук 16, вып. 5 (1961), 218—219.
4.	Вентце ль Т. Д., а) Первая краевая задача и задача Коши
для квазилинейного параболического уравнения со многими про-
странственными координатами, Матем. сб. 41, № 4 (1957),
499—520.
б)	О некоторых квазилинейных параболических системах с ра-
стущими коэффициентами, ДАН СССР 140, № 2 (1961), 284—286.
5.	В и ш и к М. И. и Л ю с т е р н и к Л. А., Стабилизация решений
параболических уравнений, ДАН СССР 111, № 2 (1956), 273—275.
6.	Вишик М. И., а) О сильно эллиптических системах дифферен-
циальных уравнений, Матем. сб. 29, № 3 (1951), 615—676.
б)	О краевых задачах для квазилинейных параболических си-
стем уравнений и задаче Коши для гиперболических уравнений.
ДАН СССР 140, № 5 (1961), 998—1001.
в)	Задача Коши для уравнений с операторными коэффициен-
тами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных
уравнений и приближенный метод их решения, Матем. сб. 39
(81), № 1 (1956), 51—148.
7.	Вишик М. И. и Ладыженская О. А., Краевые задачи для
уравнений в частных производных в некоторых классов опера-
торных уравнений, Успехи матем. наук 11, вып. 6 (1956),41—97.
8.	В о л ь п е р т А. И., Об индексе и нормальной разрешимости гра-
ничных задач для эллиптических систем дифференциальных урав-
нений на плоскости, Труды Московск. матем. о-ва 10 (1961)
41-87.
ЛИТЕРАТУРА
439
9.	Г а в е л я Е. П., Про зведення до регулярных штегральних pi в-
нянь граничних задач для елштичних систем диференщальних
piBHHHb у випадку неопуклих областей, Науков! зап. Льв1в. держ.
ушверситету 44, серия мех. мат., випуск 8 (1957), 158—174.
10.	Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., а) Преобразование Фурье
быстро растущих функций и вопросы единственности решения за-
дачи Коши, Успехи матем. наук 8, № 6 (1953), 3—54.
б)	Пространства основных и обобщенных функций (Обобщен-
ные функции, вып. 2), М., Физматтиз, 1958.
в)	Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений
(Обобщенные функции, вып. 3), М., Физматгиз, 1958.
11.	Гуре а Э., Курс математического анализа, т. III, ч. I, ГТТИ,
Москва, 1933.
12.	Житомирский Я. И., а) Задача Коши для параболических
систем линейных уравнений в частных производных с растущими
коэффициентами, Изв. вузов, Математика, № 1 (1959), 55—74.
б)	Задача Коши для некоторых типов параболических по
Г. Е. Шилову систем линейных уравнений в частных производ-
ных с переменными коэффициентами, Изв. АН СССР, серия ма-
тем, 23, № 6 (1959), 925—932.
в)	Об одной теореме типа Лиувилля, Изв. вузов, Математика,
№ 1 (1961), 66—76.
13.	Загорский Т. Я., а) Некоторые краевые задачи для систем
дифференциальных уравнений параболического типа в полупро-
странстве, Укр. матем. журнал 9, № 3 (1957), 252—270.
б)	Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений
с частными производными параболического типа, Львов, 1961.
14.	Золотарев Г. Н., О единственности решения задачи Коши для
систем, параболических в смысле И. Г. Петрооского, Изв. вузов,
Математика, № 2 (1958), 118—135.
15.	И в а с и ш е н С. Д., BnyTpimni ощнки розв’язюв 25-парабол1ч-
них систем, Доловил АН УРСР, № 8 (1962), 1011—1016.
16.	И в а с и ш е н С. Д. и Эйдельман С. Д., а) О задаче Коши
для одного класса нелинейных параболических систем, ДАН
СССР 136, М2 (1961), 304—307.
б)	О продолжении решений задачи Коши для параболических
систем, ДАН СССР 149, № 6 (1963), 1274—1277.
17.	И в а с и ш е н С. Д., П о р п е р Ф. О. и Эйдельман С. Д.,
Теоремы ЛиуЬилля для параболических в смысле Г. Е. Шилова
систем, Изв. вузов, Математика, № 6 (1961), 169—179.
18.	Ильин А. М., Калашников А. С. и Олейник О. А., Ли-
нейные уравнения второго порядка параболического типа, Успехи
матем. наук 17, вып. 3 (1962), 3—141.
19.	И л ь и н А. М. и Олейник О. А., Асимптотическое поведение
решений задачи Коши для некоторых квазилинейных уравнений
при больших значениях времени, Матем. сб. 51, № 2 (1960),
191—216.
440
ЛИТЕРАТУРА
20.	Костюченко А. Г., О некоторых спектральных свойствах эл-
липтических операторов, ДАН СССР 115, № 1 (1957), 34—37.
21.	Красносельский М. А. и Крейн С. Г., К теории обыкно-
венных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах,
Воронеж, Труды семин. по функ. анализу, т. 2 (1956), 2—23.
22.	Красносельский М. А., Крейн С. Г. и Соболев-
ский П. Е., О дифференциальных уравнениях с неограничен-
ными операторами в банаховых пространствах, ДАН СССР 111,
№ 1 (1956), 19—22.
23.	Кружков С.. Н., Об априорной оценке решений линейных па-
раболических уравнений и решений краевых задач для некото-
рого класса квазилинейных параболических уравнений, ДАН
СССР 133, № 5 (1961), 1005—1008.
24.	Кружков С. Н. и Олейник О. А., Квазилинейные парабо-
лические уравнения второго порядка со многими независимыми
переменными, Успехи матем. наук 16, вып. 5 (1961), 115—155.
25.	Л а д ы ж е н с к а я О. А., а) О. единственности решения задачи
Коши для линейного параболического уравнения, Матем. сб. 27,
№ 2 (1950), 175—184.
б)	Решение первой краевой задачи в целом для квазилинейных
параболических уравнений, Труды Московск. матем. о-ва 7 (1958),
149—177.
в)	О нестационарных операторных уравнениях и их приложе-
ниях к линейным задачам математической физики, Матем. сб. 45,
№ 2 (1958), 123—158.
26.	Ладыженская О. А. и Уральцева Н. Н., а) Краевые за-
дачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений,
ДАН СССР 139, № 3 (1961), 544—547.
б)	Краевая задача для линейных и квазилинейных параболи-
ческих уравнений, Изв. АН СССР, серия матем., 26, № 1 (1962),
5—52.
27.	Л и п к о Б. Я. и Эйдельман С. Д., Об одной лиувиллевой
теореме, Матем. сб. 40, № 3 (1956), 273—280.
28.	Липко Б. Я, О смешанной задаче с косой производной для
параболического уравнения второго порядка, ДАН СССР 132,
№ 2 (1960), 279—282.
29.	Л о п а т и н с к и й Я. Б., а) Фундаментальные решения системы
дифференциальных уравнений эллиптического типа, Укр. матем.
журнал 3, № 1 (1951), 3—38.
б)	Поведение решений линейной эллиптической системы ц,
окрестности изолированной особой точки, ДАН СССР 79 (1951),
727—730.
в)	Об одном способе приведения граничных задач для системы
дифференциальных уравнений эллиптического типа к системе ре-
гулярных интегральных уравнений, Укр. матем. журнал 5, № 2
(1953), 123-151.
ЛИТЕРАТУРА
441
г)	Разложение полиномиальной матрицы на множители, Львов,
Научн. зап. Политехи, ин-та 38, серия физ.-матем., 2 (1956),
30.	М и х а й л о в В. П., а) О потенциалах параболических урав-
нений, ДАН СССР 129, № 6 (1959), 1226—1229.
б)	О смешанной задаче для параболических систем на плоско-
сти, ДАН СССР 126, № 6 (1959), 1199—1202.
в)	Решение смешанной задачи для параболической системы ме-
тодом потенциалов, ДАН СССР 132, № 2 (1960), 291—294.
31.	Олейник О. А. и Вентце ль Т. Д., Первая краевая задача
и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического
типа, Матем. сб. 41, № 1 (1957), 105—128.
32.	П е т р о в с к и й И. Г., а) О проблеме Коши для систем линейных
уравнений с частными производными в области неаналитических
функций, Бюлл. МГУ, секция А, 1, вып. 7 (1938).
б)	О некоторый проблемах теории уравнений с частными про-
изводными, Успехи матем. наук 1, вып. 3—4 (1946), 44—70.
33.	Полякова В. М., О стабилизации решения уравнения тепло-
проводности, ДАН СССР 129, № 6 (1959), 1230—1233.
34.	П о р п е р Ф. О. и Эйдельман С. Д., О стабилизации решения
задачи Коши для параболических систем, Изв. вузов, Матема-
тика, № 4 (1960), 210—217.
35.	Р е п н и к о в В. Д., Некоторые теоремы о стабилизации решения
задачи Коши для параболических уравнений, ДАН СССР 148,
№ 3 (1963), 527—530.
36.	Слободецкий Л. Н., а) О фундаментальном решении и за-
даче Коши для параболической системы, Матем. сб. 46, № 2
(1958), 229—258.
б)	Оценка в Ь2 решений эллиптических и параболических си-
стем. I. Оценки решений эллиптических систем, Вестник Ленингр.
ун-та, № 7, серия матем., механика и астр., вып. 2 (1960), 28—47.
37.	Соболевский П. Е., Об уравнениях параболического типа в
банаховом пространстве, Труды Московск. матем. о-ва 10 (1961),
297—350.
38.	Тихонов А. Н., а) Теоремы единственности для уравнения
теплопроводности, Матем. сб. 42, № 2 (1935), 199—216.
б)	Об уравнениях теплопроводности для нескольких перемен-
ных, Бюлл МГУ, секция А, 1, вып. 9 (1938).
39.	Шилов Г. Е., а) Об условиях корректности задачи Коши для
систем дифференциальных уравнений в частных производных с
постоянными коэффициентами, Успехи матем. наук 10, вып. 4
(1955), 89—100.
б)	О свйзи между фундаментальной функцией и фундаменталь-
ным решением задачи Коши. Изв. вузов. Математика, № 2
(1961), 160—167.
442
ЛИТЕРАТУРА
в)	Локальные свойства решений дифференциальных уравнений
в частных производных с постоянными коэффициентами, Успехи
матем. наук 14, вып. 5 (1959), 3—44.
40.	Эйдельман С. Д., а) Оценки решений параболических систем
и некоторые их применения, Матем. сб. 33, № 3 (1953), 359—382,
б) О связи между фундаментальными матрицами решений па-
раболических и эллиптических систем, Матем. сб. 35, № 1 (1954),
57—72.
в)	О задаче Коши для параболических систем, ДАН СССР 98,
№ 6 (1954), 913—915.
г)	О фундаментальных решениях параболических систем, Ма-
тем. сб. 38, № 1 (1956), 51—92.
д)	О задаче Коши для нелинейных и квазилинейных параболи-
ческих систем, ДАН СССР 116, № 6 (1957), 930—932.
е)	Фундаментальные матрицы решений общих параболических
систем, ДАН СССР 120, № 5 (1958), 980—983.
ж)	Лиувиллевы теоремы и теоремы об устойчивости для реше-
ний параболических систем, Матем. сб. 44, № 4 (1958), 481—508.
з)	О применениях фундаментальных матриц решений параболи-
ческих систем, Теор. и прикл. матем., Львов (1958), 99—149.
и)	Об одном классе регулярных систем дифференциальных
уравнений в частных производных, Успехи матем. наук 13, вып. 4
(1958), 205—209.
к)	О фундаментальных решениях параболических систем. II,
Матем. сб. 53, № 1 (1961), 73—136.
л)	Исследование по теории параболических систем (Авторефе-
рат докт. дисс.), Успехи матем. наук 15, вып. 1 (1960), 251—256.
м)	Об одном классе параболических систем, ДАН СССР 133,
№ 1 (1960), 40—43.
и)	О краевых задачах для параболических систем в полупро-
странстве, ДАН СССР 142, № 2 (1962), 812—814.
о) К теории общих граничных задач для параболических си-
стем, ДАН СССР 149, № 4 (1963), 792—795.
41.	A gm on S., Douglis A., Nirenberg L., Estimates near the
boundary for solutions of elliptic partial differential equations
satisfying general boundary conditions. I, Comm. Puri and Appl.
Math. 12 (1959), 623—727. (Перевод: С. Агмон, А. Дуглис
и Л. Ниренберг, Оценки вблизи границы решений эллиптиче-
ских уравнений в частных производных при общих граничных
условия^, I, ИЛ, М., 1962.)
42.	Aronson D. G., On the initial value problem for parabolic sy-
stems of differential equations, Bull. American Mathem. Society 65,
5 (1959), 310—318.
43.	F r i e d m a n A., a) Interior estimates for parabolic systems of
partial differential equations, Journ. Math, and Meeh. 7,№ 3 (1958),
393—417.
b)	Boundary estimates for second order parabolic equations
and their applications, Jcurn. Math, and Meeh. 7, № 5 (1958),
771—791.
ЛИТЕРАТУРА
443
с)	Classes of solutions of linear systems of partial differentia)
equations of parabolic type, Duke Math. J. 24, №3 (1957), 433—442.
44.	Hille E., The abstract Cauchy problem and Cauchy problem for
parabolic differential equations, J. Analyse Math. 3 (1953—54),
81—196.
45.	H о r m a n d e r L., a) On the theory of general partial differen-
tial operators, Acta Math. 94 (1955), 101—248. (Перевод: К тео-
рии общих дифференциальных операторов в частных производ-
ных, ИЛ, 1959.)
b) On the regularity of the solutions of boundary problems, Acta
Math. 99 (1958), 225—264. (Перевод: Математика 4, №4 (I960).)
46.	К о t a k e T., Sur I’inegalite d’energie pour 1’equation differentielle
p-parabolique, Proc. Japan. Acad. 34, № 10 (1958), 681—686.
47.	Levi E. E., Sulle equazioni lineare totalemente elliptiche alle de-
rivate parziali. Rend. Circ. Matem. Palermo 24 (1907), 275—317.
(Перевод: Успехи матем. наук VIII (1940), 249—292.)
48.	М i z о h a t a S., a) Hypoellip ticite des Equations paraboliques,
Bull. Soc. Math. France 85 (1957), 15—50.
b) Sur le probleme de Cauchy pour liquation differentielle
p-parabolique, J. Math. Japan 8, № 4 (1956), 269—299.
49.	N a c h J., Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations.
Amer. Journ., Math. 80, № 4 (1958), 931—954. (Перевод: Матема-
тика 4, № 1 (1960), 31—52.)
50.	N i с о 1 e s k о M., Sur liquation de la chaleur, Comment, math,
helv. 10 (1937), 3—17.
51.	Pagni M., Su un problema al contorno tipico per 1’equazione det
calore, Ann. Scuola norm super. Pisa 11, № 1—2 (1957), 73—115.
52.	Pogorzelski W., a) Etude de la solution fondamentale de
liquation parabolique, Ricerche Matem. 5 (1956),* 25—57.
b) Etude de la matrice des solutions fondamentales du systeme para-
bolique d’equations aux dfcrivfces partielles, Ricerche Matem. 7 (1958)t
c) Proprietes des integrates generalisees de Poisson-Weierstrass
et probleme de Cauchy pour un systeme parabolique, Ann. Sc.
L’Ec. Norm. Sup. 75 (1959).
53.	Schwartz L., Theorie des distributions, Paris, 1950—51.
54.	S h i г о t a T., О Cauchy Problem for Linear Partial Differential
Equations with variable Coefficients, Osaka Mathem. Journ. 8,
№ 1 (1957), 43—59.
55.	T a c k 1 i n d S., Sur les classes quasianalitiques des solutions des
fcquations aux derivies partielles du tipe parabolique, Nord Acta
Regial Sosietatis Scientiarum Upsaliensis 4, Ns 10 (1937).
56.	Yojiro Hasegawa, Strongly p-parabolic systems, Proc. Japan.
Acad. 37, Ns 8 (1961), 473-477.
Самуил Давидович Эйдельман.
Параболические системы.
М., 1964 го 444 стр. с нлл.
Редакторы В. И. Битюцков^ И. В. Кеппен.
Техн, редактор И. Ш. Аксельрод.
Корректор 3. В. Автонеева.
Сдано в набор 12/Х 1963 г. Подписано к пе-
чати 6/1II 1964 г. Бумага 84x108’/^. Физ.
печ. л. 13>875, Условн. печ. л. 22,76. Уч.-изд.
л. 20,85. Тираж 5 800 экз. Т-00963. Цена
книги 1 р. 14 к. Заказ № 1766.
Издательство «Наука».
Редакция математики.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2 имени
Евгении Соколовой «Главлолиграфпрома»
Государственного комитета Совета
Министров СССР по печати.
Измайловский проспект, 29.