/
Текст
ISSN 0130 9358
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
Николай Гурьевич Четаев — советский математик и
механик, член-корреспондент АН СССР (1943}.
Родился в с. Карадули (ныне Татарская АССР).
Учился в Казани. Еще будучи студентом
университета (1920—1924), опубликовал свою первую
крупную научную работу.
А [926 г. он стал аспирантом кафедры механики
Казанского университета. За время аспирантуры,
которчю блестяще закончил в 1929 г., выполнил
ряд глубоких исследований по трудным проблемам
механики, в частности по устойчивости фигуры
вращающейся жидкой массы.
Общая теория устойчивости движения была
создана великим русским математиком и механиком
А. М. Ляпуновым (1857—1918). Одиако в этой
обл’асгч исследований Ляпунов не имел прямых
последователей. Интересы наиболее
вида! щеюся из его учеников В А. Стеклова
(1864—1926) были довольно далеки от проблем
устойчивости. Однако именно академик Стеклов
в научной переписке со студентом из Казани
Четаевым порекомендовал ему изучение трудов
Ляпунова
В 1929 г И Г. Четаев как один из наиболее
талантливых молодых ученых был командирован
на один год р Германию для работы в
Геттингенском университете. Там он
познакомился с передовой для того времени
аэродинамической школой Л. Праидтля и
продолжил свои исследования преимуществзнно
по теории устойчивости.
Вопросы аналитической динамики, теории
устойчивости, математической физики,
качественной теории дифференциальных
уравнений всю жизнь волновали Николая
Гурьевича Четаева.
По возвращении в Казань в начале 1930 г.
Н. Г. Четаев становится доцентом, а в
сентябре 1930 г.— профессором и
заведующим кафедрой механики физмата КГУ.
Научные исследования кафедры в тот период
в значительной степени были ориентированы
на решение задач аэродинамики, что создало
предпосылки для открытия на ее базе в 1931 г.
аэродинамического отделения, а менее чем
через год — для выделения из университета
Казанского авиационного ^института. Душой
этого важного начинания и в организационном,
и в научном отношении был Н. Г. Четаев,
исполнявший в период становления института
обязанности заместителя директора по научной
и учебной части. Однако ученый не порывал
связи с университетом и возвратился в него,
продолжая руководить научным семинаром при
авиационном институте.
Главными в работе семинара стали проблемы
теории устойчивости, аналитической динамики
и качественной теории дифференциальных
у равнений. Для семинара было характерно
рассмотрение на его заседаниях сообщений о
незаконченных исследованиях и обсуждение тех
затруднений, которые появлялись в ходе
работы. Возникали плодотворные дискуссии,
которыми умело и тактично руководил Николай
Гурьевич. Так в механике создавалось
направление, ставшее известным впоследствии
как казанская школа теории устойчивости.
30-е гг. — пора наиболее яркой творческой
деятельности Н. Г. Четаева. Первым его классических*
результатом, относящимся к этому времени,
является обращение знаменитой теоремы
Лагранжа об устойчивости равновесия (1930).
Далее следуют фундаментальные работы: «Одна
теорема о неустойчивости» (1934), «Об устойчивых
траекториях динамики» (1932, 1936),
«Устойчивость и классические законы» (1936)
и ряд других. В этих трудах безупречно
строгие в математическом отношении результаты
Ляпунова получили творческое развитие
и практическую реализацию. Дальнейшее
развитие науки и техники показало, насколько
важно было в то время предвидеть необходимость
исследований в новой области механики
(значение которой первоначально было неясным),
организовать эти исследования и привлечь к ним
молодежь,— в этом одна из первейших заслуг
Николая Гурьевича Четаева.
В 1940 г. Н. I Четаев получил приглашение
работать в АН СССР. Он переезжает в Москву
и становится рук "водителем Отдела общей
механики Института механики АН СССР (в 1945—
1953 г. он был директором этого института).
С 1940 г. Н. Г. Четаев — профессор Московского
университета по кафедре теоретической
механики. Впоследствии он заведовал этой
кафедрой. С 1945 г. ученый был ответственным
редактором журнала «Прикладная математика »
механика». В тот период теория устойчивости,
исследования в которой возглавлял Н. Г. Четаев,
проникает в самые разнообразные отрасли
техники. Современные проблемы автоматического
регулирования, гироскопии, управления
летательными аппаратами оказалось теперь уже
невозможным решать без теоретически
обоснованных расчетов по Ляпунову — Четаеву.
Б Москве Николай Гурьевич завершил исследованиям,
относящиеся к развитию оптико-механической
аналогии, углублению введенных Пуанкаре
методов теории rpvnn Ли в механике и тругим
вопросам. Н. Г. Четаевым были выполнены работы,
большого оборонного значения.
Поавительство высоко оценило научную и
общественно-педагогическую деятельность
Н. Г. Четаева. В 1945 г. он был награжден
орденом Трудового Красного Знамени, а в 1953 г.—
орденом Ленина.
В 1960 г. цикл работ Н. Г. Четаева по
устойчивости движения и аналитической механике,
опубликованных в 1952—1958 гг., был отмечен
присуждением Ленинской премии.
Каугко-г.етояическмй
ЖурНЬЛ
Министерш а просеэщенпг
СССР
Москва «Ведегасмса»
Издается с 1534 года
Выходит один раз
в две месяца
МАТЕМАТИКА
ШКОЛЕ
ноябрь — декабарь
3 Слсвгый юбилей Советской страны
К 60-ЛРТИЮ ОБРАЗОВАНИЯ СССР
Б. В. Гнеденко
Р. В. Сьркисян
К. У. Асимов
А. Э. Тельгмаа
6 Математическое образование и мст< матика СССР за 60 лет
10 Развитие математического образовения i Армянской ССР
12 Развитие математического образования в Советском Таджикистане
15 О развитии преподавания математики в школах Эстонско i ССР
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
VI Всесоюзные педагогические чтения
М. И. Айзенберг 18 Обучение учащихся методам самостоятельной работы с учебником и
математической книгой
В. Р. Илларионова 21 Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе
Н. Р. Гайбуллаев 22 Повышение эффективности практической деятельности учащихся при об-
учении математике
Из опыта работы по профооиентацги
и экономическому воспитанию
В. Д. Горский, Т. П. Кравчук
К. Г, Кожабаев
3. А. Магомеддибирова
24 Программирование — профиль трудового обучения
27 О производственных экскурсиях
28 Расширять формы профориентационной работы
Методы решения задач
Ю. А. Розка
Г. Н. Васильева
С. Б. Верченко
В. А. Гусев, А. И. Медяник
30 Поиск решения зад 1ч на доказательство итраллельности и перпендику-
лярности прямых и плоскостей в пространстве
33 Задачи как средство овладения геометрическими понятиями
34 Задачи на наблюдение для развития пространственных представлений
у учащихся IV—V классов
39 Примерные планирование и контрольные работы по геометрии для
VI класса (II полугодие)
39 Самостоятельные работы по геометрии в VI классе
В помощь учителям вечерних (сменных)
школ
Л. 3. Наспер, А. С. Фомченко 42 О преподавании математики в IX—XI классах вечерней (сменной) школы с заочной формой обучения
Внеклассная работа
Т. А. Сарычева, 46 XVI Всесоюзная математическая олимпиада
Ю. В. Нестеренко П. А. Крупин 51 Задачи на принадлежность точек прямой и плес кости
Э. Г. Готман 54 Задача о правильном шестиугольнике и ее обобщение
С С. Гамидов 56 Две практические задачи на деление с ость ком
Ф. М. Рафикова 57 Научные конференции юных м тематиков — важный стимул творческой
В. М. Пташник 58 работы учащихся Математическая игра для IV—VI классов
Зенимательная страница
И. И. Михайлов 59 Числовые курьезы
Э. Э. Рекстин 61 Арифметический ребус
Задачи 61
@ Издательство «Педагогика», «Математика в школе», 1982 г.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
В. Н. Молодший, Г. И. Рузавин 69 Вопросы математики в трудах философских семинаров СО АН СССР
С. Г. Губа 70 О книге Б. А. Кордемского «Уалечь школьников математикой»
Д. В. Клименченко 71 Полезные советы по решению задач
Ф. М. Шустеф 73 Новые книги
ХРОН4КА
А. Д. Гетманова 74 Всесоюзный семинар-совещание преподавателей логики
В. Н. Шапкина 74 Научно-методический семинар «Передовые идеи в преподавании мате- матики в СССР и за рубежом»
М. И. Немытова 75 О работе СсМинера «Воспитание логической культуры при обучении в школе» при НИИ ОмО АПН СССР
Поздравляем юбиляра
А. Д. Тайманов, М. Н. Очиров, 76 Базар Содномович Содномов
В. А. Костеев 77 Тематический указатель статей, опубликованных в журнале в 1982 г.
Редакционная коллегвя:
Главный редактор Р. С. Черкасов
Зам, главного редактора А. И. Верченко
Члены редакционной коллегии)
//. М. Веская
В. Г. Болтянский
Н. Ф, Власик
Г. Глейзер
Б, В. Гнеденко
Г. В, Дорофеев
Н. А, Ермолаева
А. Н. Колмогоров
Ю. М. Калягин
М. Р, Леонтьева
Г. Г. Маслова
К. И. Пешков
Л. М. Пашкова
И. С. Петраков
Н. Я, Розов
К. П. Сикорский
В. А. Скворцов
3. А, Скопец
П. В. Стратилатов
3. С, Сухотина
К. И. Шалимова
С. И. Шварцбурд
Г. А. Ястребинецкий
Редакционный совет
(представители союзных республик);
А. М. Алиев (АзССР)
X. А. Асадов (ТаджССР)
Б. Б. Бердыев (ТССР)
В. А. Гусев (РСФСР)
А. С. Зибеотас (ЛнтССР)
Д. И. Икрамов (УэССР)
К К. Кожаспаев (КаэССР)
Ш. М. Майлиев (КиргССР)
В- Я. Миллере (ЛатвССР)
3. И. Моисеева (РСФСР)
С. Ф. Рубанов (БССР)
Н. Н. Садовников (РСФСР)
Р. В. Саркисян (АрмССР)
3. И. Слепкань (УССР)
А. Э. Тельгмаа (ЭССР)
И. Ф. Тесленко (УССР)
Р. А. Хабиб (РСФСР) 1
А. М. Хоштария (ГССР)
Зав. редакцией
3. В. Шепелева
Художественный редактор
Б. Ф. Рябов
Технический редактор
Л. В. Розанова
Корректор
М. А. Суворова
Сдано в набор 22.10.82. Подписано
в печать 03.12.82. Формат 84X108l/ie.
Печать высокая. Усл. печ. л. 8.40.
Уч.-изд. л. Ц,7. Усл. кр.-отт. 9,03.
Тираж 382 600 экз. Цена 45 кон. Зак. 355.
Издательство «Педагогика» Академии пе-
дагогических наук СССР и Государствен-
ного комитета СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
Адрес издательства Ю7847, Москва,, ГСП
Б-05, Лефортовский пер., д. 8
Адрес редакции: 129278. Москва,
ул. П. Корчагина, д. 7. телефон 283-85-83.
Московская типография № 13
ПО «Периодика» ВО «Союзполиграфпром»
Государственного комитета СССР по делам
издательств полиграфия и книжной
торговли.
107005, Москва, S-5, Денисовский пер.,
дом 30.
Славный юбилей Советской страны
Коммунистическая партия постоянно и неук-
лонно руководствуется принципом пролетар-
ского интернационализма. Под его знаменем
одержаны выдающиеся победы советского
народа. Ярким подтверждением торжества
пролетарского интернационализма, ленинской
национальной политики является создание
30 декабря 1922 г. Союза Советских Социа-
листических Республик.
Образование многонационального -осудар-
ства рабочих и крестьян — продолжение де-
ла Великого Октября, революционных преоб-
разований в масштабах всей страны. Оно
явилось выдающимся результатом революци-
онного творчества всех народов во главе с ра-
бочим классом под руководством Коммуни-
стической партии. Образование СССР оказа-
ло огромнейшее влияние на развитие совет-
ского общества. Оно сыграло значительную
роль в достижении всемирно-исторического
успеха — построении общества развитого со-
циализма.
Создание многонационального Советско-
го государства способствовало укреплению
дружбы народов, заложило крепкук основу
для всестороннего развития всех наций и на-
родностей страны. В обществе развитого со-
циализма сформировалась новая историче-
ская общность — советский народ. «Она,—
указывается в постановлении ЦК КПСС
«О 60-й годовщине образования Союза Со-
ветских Социалистических Республик*,— ре-
зультат возрастающей интернационализации
хозяйственной и всей общественной жизни,
развития в нашей стране социалистических
наций, между которыми сложились отноше-
ния подлинного равноправия, братской взаи-
мопомощи и сотрудничества, уважения и вза-
имного доверия».
Сплочение народов в Союз Советских Со-
циалистических Республик принесло богатые
плоды. Советский народ в целом, все нации
и народности нашей страны добились круп-
ных успехов в борьбе за социализм и ком-
мунизм. В обществе развитого социализма на
основе дальнейшего укрепления Союза ССР
особенно ярко раскрываются преимущества
интернационального характера созидатель-
ной деятельности всех наций и народностей
Советской страны, творческой активности со-
ветского народа. Каждый успех созидатель-
ной деятельности в Стране Советов является
результатом объединенных творческих усилий
всех наций и народностей Союза ССР, их ин-
тернациональным вкладом в строительство
коммунизма, в укрепление мирового социали-
стического содружества. Совершается подлин-
но всенародный подвиг строителей коммуниз-
ма, подвиг созидателей-патриотов и интерна-
ционалистов.
За 60 лет национальный доход Советского
Союза возрос многократно. Доля СССР
в мировом промышленном производстве под-
нялась с 1% в 1922 г. до 20% в настоящее
время. На базе общих экономических целей
и интересов всех наций и народностей сло-
жился единый народнохозяйственный комп-
лекс. Велик вклад каждой союзной респуб-
лики в экономику страны в целом, в создание
материально-технической базы коммунизма.
Все нации и народности Советской страны
вносят срой весомый вклад в выполнение
исторических решений XXVI съезда КПСС,
в выполнение плана одиннадцатой пятилетки.
Коммунистическая партия видит в интерна-
циональной и патриотической сплоченности
советского обшества, в дружбе народов вели-
чайшее достижение партии, развитого социа-
лизма, уникальное, как говорил товарищ
Л И. Брежнев, достояние социализма, бесцен-
ную, необоримую силу и делает все для того,
чтобы умножить э- достояние, укрепить эту
силу.
Образование Союза Советских Социалисти-
ческих Республик оказало огромное плодо-
творное влияние на успешное решение задач
культурной революции, на достижение высо-
кого подъема духовной жизни всех наций
и народностей Советской страны.
Утвердилась идеология марксизма-лени-
низма, социалистического интернационализ-
ма и дружбы народов. Интернационализм
советских людей является важным фактором
развития их активной жизненной позиции.
Сложилась общность нравственных и куль-
турных ценностей. Достигла расцвета социа-
листическая по содержанию, национальная
по форме культура народов СССР. Всемир-
ным признанием пользуются достижения со-
ветской культуры.
1*
3
В СССР сложилась единая интернациональ-
ная культура советского народа, которая во-
брала в себя лучшие духовные достижения
и ценности каждой нации и народности. Бур-
но идет процесс взаимообогащения этими до-
стижениями и ценностями. Важное место
в этом процессе принадлежит языковому
общению. Всестороннее развитие языков всех
социалистических наций и народностей яв-
ляется результатом успешного претворения
в жизнь национальной политики партии, ее
интернационализма. Все нации и народности
СССР добровольно избрали русский язык
в качестве общего языка межнационального
общения и сотрудничества. И он стал могу-
чим орудием в данном процессе.
Велики успехи Советского Союза, всех его
наций и народностей в области народного
образования. Впервые в истории цивилизации
ликвидирована неграмотность. По инициати-
ве и под руководством Коммунистической
партии взят важный рубеж по завершению
перехода к всеобщему обязательному средне-
му образованию. Во всех союзных республи-
ках достигнуты крупные успехи в развитии
средней общеобразовательной и высшей шко-
лы, дошкольного воспитания. Постоянно про-
является большая забота о дальнейшем раз-
витии шкслы в условиях общества зрелого
социализма. Большие успехи достигнуты, на-
пример, в РСФСР. Здесь, как и в других союз-
ных республиках, завершен переход к обяза-
тельному всеобщему среднему образованию.
За годы десятой пятилетки среднее образова-
ние в дневных и вечерних средних школах,
в средних ПТУ и техникумах получили
12,5 млн. человек, в том числе в общеобра-
зовательной средней школе — 9,7 млн. чело-
век. В 74 414 школах РСФСР обучается
17 млн. школьников и 2,5 млн. молодых тру-
жеников народного хозяйства. Их обучают
и воспитывают 1 млн. 125 тыс. учителей
и воспитателей. Более 2 млн. детей, т. е. 55%
всех детей дошкольного возраста, охвачены
общественным дошкольным воспитанием.
В республике работает 488 высших учебных
заведений, которые только в 1980 г. подгото-
вили свыше 450 тыс. высококвалифицирован-
ных специалистов.
Много внимания уделяется укреплению ма-
териальной базы народного образования. За
годы десятой пятилетки за счет государствен-
ных капиталовложений построены новые шко-
лы на 5,9 млн. ученических мест. Перевыпол-
нены задания по дальнейшему развитию школ
и групп с продленным днем. В основном за-
вершен перевод школ на кабинетную систему.
Особо важное значение имеет забота Ком-
мунистической партии о дальнейшем качест-
венном совершенствовании обучения и воспи-
тания в условиях развитого социализма. Это
с особой силой подчеркнул XXVI съезд КПСС.
«Главное сегодня в том,— указывал на
XXVI съезде партии в Отчетном докладе ЦК
КПСС товарищ Л. И. Брежнев,— чтобы повы-
сить качество обучения, трудового и нрав-
ственного воспитания в школе, изжить форма-
лизм в оценке резулотатов труда учителей
и учащихся, па деле укрепить связь обучения
с жизнью, улучшить подготовку школьников
к общественно полезному труду». XXVI съезд
КПСС потребовал решительно устранить
имеющиеся серьезные недостатки в организа-
ции и содержании школьного, образованья.
Нуждается в улучшении качество школьных
программ и учебников, требуется преодолеть
их усложненность. Задачи, поставленные
XXVI съездом КПСС, его требования положе-
ны в основу деятельности всех работников
народного образования и активно претво-
ряются в жизнь.
Много усилий прилагается к тому, чтобы
неуклонно улучшалось трудовое обучение и
профориентация учащихся. Создана широкая
сеть межшкольных УПК. Их число возросло
с 240 в 1975 г. до 2259 в 1981 г. Укрепляется
содружество школ и профессионально-техни-
ческих училищ. Дальнейшее развитие полу-
чили трудовые объединения школьников, ко-
торым партия дала высокую оценку.
В приветствии участникам Всесоюзного
слета представителей трудовых объединений
школьников товарищ Л. И. Брежнев писал:
«В вашем стремлении уже в школьные годы
принять посильное участие в борьбе за ус-
пешное выполнение исторических решений
XXVI съезда партии проявляются замечатель-
ные качества советской молодежи — безгра-
ничная преданность великому ленинскому де-
лу построения коммунизма, пламенная любовь
к нашей многонациональной Родине, горячий
энтузиазм и кипучая энергия.
Вы молоды, полны сил и задора. Направь-
те же свои силы и знания на то, чтобы уже
сегодня приносить пользу любимой Родине.
Пусть работа на полях и фермах, в цехах
промышленных предприятий, в сфере обслу-
живания, на благоустройстве городов и сел
станет для каждого из вас подлинной школой
жизни, самоотверженного, творческого труда.
С юных лет воспитывайте в себе заботливое
отношение к родной земле, всему, что созда-
но руками старших поколений, чувство береж-
ливости, умение хорошо организовать свою
работу, высокую сознательную дисциплину,
ответственно относитесь к порученному делу.
Ваше движение и впредь будет получать по-
стоянную помощь партийных и государствен-
ных органов, профсоюзов, комсомола, трудо-
вых коллективов».
-4
Коммунистическая партия и Согетское го-
сударство, добиваясь нового подъема народ-
ного образования, проявляют все большую
заботу об учительстве. «Решающая роль
здесь, конечно,— указывалось в Отчетном док-
ладе ЦК КПСС XXVI съезду партии,— при-
надлежит учителю. Не следует скупиться на
внимание к его труду, быту, повышению ква-
лификации».
В настоящее время подготовку работников
просвещения, кроме университетов, ведут
200 педагогических институтов и 400 педучи-
лищ. За годы десятой пятилетки в школы
и другие учебно-воспитательные учреждения
пришли работать 680 тыс. молодых специали-
стов. Г ходе выполнения исторических реше-
ний XXVI съезда КПСС значительно улуч-
шилась подготовка педагогических кадров,
вырос их идейно-теоретический уровень, повы-
силось профессиональное мастерство. Соот-
ветствующие успехи достигнуты во всех союз-
ных республиках. Более чем трехмиллионная
армия советских учителей настойчиво и твор-
чески добивается дальнейшего совершенство-
вания обучения и воспитания учащейся мо-
лодежи.
В соответствии с постановлением ЦК КПСС
«О 60-й годовщине образования Союза Совет-
ских Социалистических Республик» вся дея-
тельность партийных, советских, профсоюзных
и комсомольских организаций направлена на
дальнейший подъем политической и трудовой
активности масс.
Большую роль в борьбе за новый трудовой
подъем играет социалистическое соревнова-
ние. По инициативе передовых коллекти-
вов Москвы, Ленинграда, всех союзных рес-
публик развернулось социалистическое сорев-
нование за достойную встречу 60-й годовщи-
ны образования СССР, успешное выполнение
и перевыполнение плана экономического и со-
циального развития страны на 1982 г., зада-
ний одиннадцатой пятилетки. ЦК КПСС
одобрил эту инициативу передовых коллекти-
вов страны. В настоящее время в социалисти-
ческом соревновании участвуют более 109 млн.
человек. И каждый участник соревнования
стремится весомым трудовым вкладом отме-
тить 60-летие СССР. Эта решимость была от-
мечена майским (1982 г.) Пленумом ЦК
КПСС, XVII съездом профсоюзов СССР и
XIX съездом ВЛКСМ.
Движимые идеями советского патриотизма
и социалистического интернационализма, со-
ветские люди добились в 1982 г.— юбилейном
году — году 65-летия Великого Октября и
60-летия образования СССР — новых больших
успехов. По сообщениям ЦСУ, задания по вы-
пуску промышленной продукции успешно вы-
полняются; выполнен полугодовой план по
общему объему продукции; прирост производ-
ства по сравнению с соответствующим перио-
дом прошлою года составил 2,7%; произво-
дительность труда выросла на 2%; снижена
себестоимость продукции, увеличилась при-
быль. Успехов добились и труженики сельско-
го хозяйства. Весь советский народ горячо
и единодушно поддержал решения майского
(1982 г.) Пленума ЦК КПСС. С огромным
энтузиазмом все нации и народности Совет-
ского Союза участвуют в борьбе за реализа-
цию Продовольственной программы СССР.
Работники народного образования активно
участвуют в юбилейном соревновании. Сорев-
нование в органах и учреждениях народного
образования приобрело новые качественные
черты, значительно совершенствовалась его
организация и повысилась эффективность.
Оно оказало большое влияние на дальнейшее
улучшение организации обучения и воспита-
ния подрастающего поколения, на творческий
поиск в борьбе за выполнение решений
XXVI съезда КПСС в области народного об-
разования.
Коммунистическая партия считает важней-
шей задачей усиление воспитания советских
людей в патриотическом и интернациональ-
ном духе. «Священный долг партии,— под-
черкнуто в От четном докладе ЦК КПСС
XXVI съезду партии,— воспитывать трудя-
щихся в духе советского патриотизма и со-
циалистического интернационализма, гордого
чувства принадлежности к единой великой
Советской Родине». В постановлении ЦК
КПСС «О 60-й годовщине образования Сою-
за Советских Социалистических Республик»
отмечено, что подготовка к такому крупному
политическому событию в жизни советского
общества, как 60-летие образования СССР,
«должна способствовать дальнейшему улуч-
шению идейно-политического, патриотическо-
го и интернационального воспитания трудя-
щихся, их классовой закалке». ЦК КПСС
подчеркнул, что необходимо «усилить патрио-
тическое и интернациональное воспитание мо-
лодежи».
В ходе подготовки к празднованию 60-ле-
тия образования СССР в советской школе на-
коплен новый ценный опыт патриотического
и интернационального воспитания учащейся
молодежи. Нет сомнения в том, что в после-
дующем этот опыт будет приумножен.
Работники народного образования вместе
со всем советским народом достойно встреча-
ют славный юбилей Советского многонацио-
нального государства.
5
К 60-ГЕТИЮ
ОБРАЗОВАНИЯ СССР
Математическое образование
и математика в СССР за 60 лет
Б. В. Гнеденко
(Мсгква)
30 декабря 1922 г. в Москве открылся I съезд
Советов Союза Советских Социалистических
Республик, который торжественно провозгла-
сил декрет об образовании первого в мире
многонационального социалистического госу-
дарства. Этому историческому акту предше-
ствовали съезды Советов УССР, БССР,
ЗСФСР (Закавказской Советской Федератив-
ной Социалистической Республики) и РСФСР,
принявшие решение о необходимости объеди-
нения в единое союзное государство.
Решение об образовании союза равноправ-
ных наций вызвало последствия исключитель-
ной значимости во всех областях жизни наро-
дов, населяющих нашу страну.
Образование Советского Союза позволило
покончить с вековым наследием феодализма
и капитализма — бесправием людей и почти
полной неграмотностью населения. Достаточ-
но сказать, что непосредственно перед Вели-
кой Октябрьской социалистической революци-
ей почти 75% населения царской России бы-
ло неграмотным. Еще хуже обстояло дело
с грамотностью женщин, а также населения
окраин империи. Так, владение начатками
грамотности у узбеков достигало лишь 1,5%,
у туркмен — 0,7%. у киргизов — 0,6%, а у тад-
жиков лишь 0,5%. Немногим лучше было по-
ложение с грамотностью других народов, на-
селявших Российскую империю.
В статье «В союзе равных» (Известия,
1982, 3 авг.) Председатель Президиума Вер-
ховного Совета Молдавской ССР тов, И. Ка-
лина привел такие данные: «...в досоветской
Молдавии девять из каждых десяти человек
не умели ни читать, ни писать. В крае не бы-
ло ни одного высшего учебного заведения,
ни одного научно-исследовательского учреж-
дения. Да что говорить — букваря не было.
Какой же далекой кажется та жизнь — без
электричества, кино, радио, телевидения, те-
6
атров, клубов, Домов культуры, библиотек,
спортивных залов, стадионов».
Сказанное показывает всю мудрость пред-
видения В. И. Ленина, когда на III Всерос-
сийском съезде Советов он говорил: «Раньше
весь человеческий ум, весь его гений творил
только для того, чтобы дать одним все блага
техники и культуры, а других лишить самого
необходимого — просвещения и развития. Те-
перь же все чудеса техники, все завоевания
культуры станут общенародным достоянием
и отныне никогда человеческий ум и гений
не будут обращены в средства насилия,
в средства эксплуатации».
В нашей стране с первых же дней рево-
люции социальной началась другая револю-
ция— культурная, когда всему народу, всем
слоям населения был открыт путь к грамоте,
к знаниям. Право на образование деклариро-
валось и подтверждалось соответствующими
статьями Конституции — в первые годы на на-
чальное, теперь — на среднее. И эти права
народа подкреплялись делами — открытием
школ, развитием сети педагогических учеб-
ных заведений, в которых происходила и про-
исходит подготовка учителей для начальных
и средних школ.
Когда-то при царском режиме на всей
огромной территории Средней Азии, вклю-
чающей в себя современные Казахскую, Кир-
гизскую, Таджикскую, Туркменскую и Узбек-
скую союзные республики, полные средние
школы — гимназии и реальные училища —
насчитывались единицами. Сейчас же в лю-
бом крупном колхозе или совхозе работает
десятилетняя школа и внуки ранее бесправ-
ных и неграмотных дехкан получают в ней
полноценные сведения по всем отраслям
знания.
Если всеобщее образование детей удалось
осуществить в самые первые послереволюци-
онные годы, то ликвидация неграмотности
и малограмотности взрослого населения по-
требовала огромных усилий всего советского
народа. Это удалось осуществить во второй
половине 20-х гг. По всей стране были орга-
низованы десятки тысяч школ, в которых
студенты, врачи, педагоги, служащие, инже-
неры на общественных началах обучали
соотечественников умению читать и писать,
считать и логически мыслить. Это великое
общественное движение за несколько лет
привело к поразительному результату — в
огромной стране не осталось неграмотных,
миллионы соотечественников получили воз-
можность приобщиться к просвещению, бо-
гатствам мировой культуры. Несомненно, что
этот шаг в истории страны содействовал то-
му, что наш народ получил название «самого
читающего».
Царская Россия обладала исключительно
редкой сетью высших учебных заведений. До-
статочно сказать, что восточнее Урала был
единственный университетский центр — Томск.
Царское правительство не нуждалось в обра-
зованных, мыслящих людях. Ни одного выс-
шего учебного заведения не было во всей
Средней Азии, Закавказье, Белоруссии, Мол-
давии. Народы, населявшие эти территории,
не имели возможности для развития своих
способностей. Впрочем, русскому и украинцу
из рабочей или крестьянской среды также
практически невозможно было получить выс-
шее образование и заняться научным твор-
чеством.
Великая Октябрьская революция открыла
всему нашему народу путь к равноправию
и просвещению, позволила подготовить базу
для организации Советского Союза и тем са-
мым поставила задачу создания во всех союз-
ных республиках фундамента для расцвета
национальной науки и культуры. Для реше-
ния этой задачи требовалась широкая сеть
не только средних, но и высших учебных за-
ведений. На протяжении 20-х и 30-х гг. она
была создана. Молодежь стремилась к полу-
чению образования, поскольку именно в зна-
ниях она видела величайшую силу, которая
выведет страну из застоя и позволит добить-
ся невиданного прогресса науки и культуры.
Эта идея вызывала огромный энтузиазм мо-
лодежи, который позволял преодолевать
трудности, связанные с разрухой, голодом,
отсутствием учебников, нехваткой опытных
педагогов. Об этом времени прекрасно сказал
академик П. С. Александров — выдающийся
советский математик и талантливый педа-
гог, создатель советской школы теоре-
тико-множественной топологии: «Период на-
чала 20-х гг. ... был довольно своеобразным
явлением. Важным положительным фактором
этой эпохи в истории математики Московско-
го университета являлся безграничный науч-
ный энтузиазм молодежи. Своей идейной поч-
вой этот энтузиазм имел великие патриотиче-
ские идеи советской научной культуры, возбу-
дившие у учащихся и ученых то подлинное
научное горение, которое с такой силой ни-
когда не проявлялось в стенах дореволюцион-
ного математического факультета Московско-
го университета». Те же идеи вдохновляли
молодежь и в других университетах страны.
Недаром именно в 20-е гг. возник ряд науч-
ных математических школ — грузинская в
Тбилиси, среднеазиатская — в Ташкенте. Тог-
да же в университетах, в том числе и совсем
молодых, воспитывались специалисты, кото-
рых можно назвать математическими просве-
тителями — они без остатка отдавали свои си-
лы и знания пробуждению интереса к мате-
матике п развитию способностей учащихся
к этой науке.
Образование Советского Союза способство-
вало созданию математической терминологии
на всех языках союзных республик и многих
автономных. Сейчас трудно себе представить,
что совсем недавно, каких-нибудь 50—60 лет
назад, на узбекском, туркменском, казахском
и многих других языках нашей Родины мате-
матические термины ограничивались самыми
начатками арифметики и геометрии. Теперь
мы имеем право говорить о замечательных
достижениях в области математики ученых
всех союзных республик. В развитии науки
принимают деятельное участие представители
всех народов, населяющих nanrv Родину,
и многие из них получили серьезную между-
народную известность.
Несомненно, что на формирование матема-
тических школ в ряде союзных республик
большое влияние оказало создание нацио-
нальных академий наук. В академических ин-
ститутах ученые могут цели эм отдаться науч-
ному творчеству. Но имеются многочисленные
представители специалистов другого склада,
для которых необходима ученическая среда,
в общении с которой и проявляется талант
исследователя в полную силу. Такие лица
стремятся направить внимание и мысль уче-
ника на еще недостаточно разработанные
объекты, в которых следует дополнительно
рассмотреть важные стороны иля же обратить
внимание на те связи между, казалось бы,
различными вопросами, которые следует уста-
новить. В общении с учениками у таких уче-
ных рождаются новые идеи, новые проблемы,
новые подходы к решению назревших вопро-
сов. Они умеют пробудить интерес своих уче-
ников, заставляют работать их мысль и ста-
вить перед собой пели, а затем добиваться
их осуществления. Для страны, для прогресса
этот тип исследователей особенно ценен, по-
скольку именно он воспитывает молодое по-
коление — будущее науки и практической
деятельности в духе вечной неудовлетворен-
ности, исканий и радости познания.
Великая Октябрьская революция выдвину-
ла в математике ряд таких ученых. В первую
очередь к ним нужно отнести следующих лиц:
на Украине Д. А. Граве (1863—1939), в Узбе-
кистане В. И. Романовского (1879—1954),
в Грузии —Н. Н. Мусхелишвили (1891—
1976), в Москве — Н. Н. Лузина (1883—
1950), П. С. Александрова (1896—1982),
А. Н. Колмогорова. Ученики и ближайшие со-
трудники А. Н. Колмогорова составили к его
60-летию список учеников, защитивших под
его руководством диссертации. Он со-
держал более 70 фамилий. Среди них 8 ака-
демиков, свыше 20 докторов. В свою очередь,
Т
его ученики сыграли и играют видную роль
в организации науки, развитии ряда ее на-
правлений, применении результатов теории
к практическим задачам, воспитании нового
поколения ученых.
Сделанное в Советской стране в 20-е и
30-е гг. принесло многочисленные и прекрас-
ные плоды. Это помогло нам создать соб-
ственную авиацию, а позднее успешно решить
задачи создания вычислительной техники,
овладения атомной энергией, осуществить за-
пуски космических станций. Впереди иас ждут
многие другие проблемы, столь же важные
для жизни страны и человечес гва, как только
что названные. В наше время без развитой
науки, без многочисленных ученых, способных
не только идти по традиционно проложенным
путям мышления, но и создавать новые, по-
ставлены под угрозу само существование го-
сударства и безопасность народа.
До революции учебная и монографическая
литература по математике практически не су-
ществовала. Академия наук и университеты
издавали ученые записки, печатали диссерта-
ции и труды ученых, но это были единичные
издания. В начале XX в. в Одессе усилиями
энтузиастов было создано специализирован-
ное физико-математическое издательство
«Матезис», которое занималось преимущест-
венно переводом и публикацией выдающихся
работ западноевропейских ученых. Однако
изданием отечественных учебников и систе-
матических серий монографий по актуальным
вопросам математики никто не занимался. Во-
прос о создании собственной учебной и моно-
графической литературы по математике и фи-
зике возник уже в 20-х гг. Но в ту пору еще
не было ни материальных, ни технических
условий для осуществления этой мечты. Корен-
ным образом положение изменилось в нача-
ле 30-х гг. в связи с организацией Изда-
тельства технико-теоретической литературы,
которому был поручен выпуск книг по физике,
математике и астрономии. В развитии мате-
матической культуры Советского Союза и в
прогрессе отечественной математики это из-
дательство сыграло выдающуюся роль. За
короткие сроки ему удалось организовать
подготовку и издание учебной литературы по
математике и физике для университетов, тех-
нических учебных заведений, педагогических
институтов весьма высокого качества. Изда-
тельство быстро завоевало международное
признание, многие выпущенные им книги бы-
ли переведены на другие языки и вышли
в ряде стран. Отметим, что зарубежные чи-
татели весьма высоко оценили методические
принципы советских учебников. Позднее ГТТИ
было переименовано в Издательство физико-
математической литературы, а затем вошло
в качестве Главной редакции в издательство
«Наука». В действительности же Главная ре-
дакция физико-математической литературы
издательства «Наука» представляет собой од-
но из крупнейших издательств мира по вы-
пуску книг по астрономии, физике и матема-
тике.
В настоящее время книги и учебники по
математике выходят также в издательствах
«Высшая школа», «Просвещение», «Педаго-
гика», республиканских издательствах, изда-
тельствах академий наук и университетов.
Заслуживает внимания широкая деятельность
издательства «Просвещение» по выпуску ме-
тодической, методологической, учебной лите-
ратуры и литературы по истории математики.
Большим достижением советской школы
следует считать то, что теперь все молодые
граждане нашей страны знакомятся с фунда-
ментальными понятиями алгебры, геометрии,
элементами теории функций и математическо-
го анализа. Пусть мы пока еще не сумели
добиться полноценного овладения этими зна-
ниями от всех школьников, но для них поня-
тия и задачи этих наук становятся известны-
ми. Они имеют хотя бы общие сведения об
эт»к дисциплинах и хотя бы в самых общих
чертах знакомятся с практическим значением
этих знаний. Уже сам этот факт представля-
ет собой огромную ценность. Далеко не каж-
дому выпускнику школы потребуются впо-
следствии все тонкости курса математики, но
основные ее идеи, ее связи с другими предме-
тами школьного курса, ее значение для есте-
ствознания, техники, экономики педагоги
должны довести до сознания всех школьни-
ков. Учащиеся обязаны четко представлять
себе всю важность математики для современ-
ного мира. И эти представления необходимы
не только тем, кто займется впоследствии
математикой или техникой, но и представи-
телям гуманитарных направлений деятельно-
сти, а также тем, кто выберет себе рабочие
профессии. Мы не можем забывать о том, что
многие тысячи рабочих нашей страны заняты
изобретательством и совершенствованием
техники. Для них математические знания
крайне необходимы.
Для того чтобы дать образование десят-
кам миллионов шкотьников, необходима
огромная армия учителей. Их нужно подгото-
вить. С этой задачей успешно справились
многочисленные педагогические техникумы,
педагогические институты и университеты.
Они воспитали большое число учителей, лю-
бящих свое дело и обладающих глубокими
знаниями, как научными, так и педагогиче-
скими. Работники пединститутов дали очень
многое также для развития и математпче-
8
ской, и методической науки. В некоторых из
пединститутов созданы сильные научные
школы.
Однако каждый шаг прогресса открывает
новые проблемы перед педагогическим обра-
зованием. В частности, следует сказать о за-
даче, связанной с уничтожением формализма
в приобретении знаний студентами. Важно,
чтобы студенты не только знали (а значит,
и понимали) основные положения математи-
ческих дисциплин, но и видели их связь с за-
дачами практики и школьного естественно-
научного образования. Важно, чтобы изучение
дисциплин учебного плана повышало педа-
гогический уровень студента, открывало бы
перед его умственным взором широкую кар-
тину возможностей математики для позна-
ния окружающего нас мира, а также глубо-
кую связь современной математики с теми
ее элементами, которые изучаются в средней
школе. Пединституты должны воспитывать
любовь к педагогической профессии, показы-
вать то исключительно важное место в жизни
общества, которое занимает педагог как вос-
питатель поколений, как друг и наставник
молодежи, как человек, который не только
учит, но и пробуждает способности, таящиеся
в каждом ребенке, как человек, который от-
крывает перед подростком ценность и увле-
кательность труда, направленного на всеоб-
щую пользу.
Педагог более чем кто-либо другой должен
овладеть великим искусством общения с
людьми и оказания на них влияния. Он дол-
жен всей своей жизнью внушать уважение
и давать образец гражданственности, честно-
сти, увлеченности делом, стремления помочь
окружающим.
Учитель должен представлять математику
не сборником формальных правил и последо-
вательности теорем, логически вытекающих
друг из друга, но мощным орудием познания
окружающего мира. Он должен уметь пока-
зать значение математики в современном ми-
ре, раскрыть роль математических методов
в познании окружающих нас явлений, в прог-
нозировании точными количественными мето-
дами протекания этих явлений. Школьному
учителю математики должна быть знакома
история его науки, известен тот длинный
и тяжелый путь прогресса, который она про-
шла за истекшие тысячелетия. Этот путь был
связан с нуждами практической деятельности
людей, с одной стороны, и с высокими поле-
тами мысли — с другой. В результате обще-
ния с учителем учащиеся должны не только
научиться правильно производить те или иные
действия и с пониманием отвечать на вопро-
сы, но и представлять себе исключительную
силу математической абстракции, а также
воспринимать красоту математики и ее по-
строений.
Нам нужно добиться такого положения,
чтобы профессия учителя была любимой мо-
лодежью. Необходимо показывать творческую
направленность педагогической деятельности,
поскольку без творческого горения, без по-
стоянного обновления педагогических подхо-
дов нельзя провести урок так, чтобы в классе
не было равнодушных, чтобы все были захва-
чены широтой и значимостью возникающих
перед ними концепций и методов.
В дореволюционной России подготовка ма-
тематиков высшей квалификации велась на
немногочисленных математических отделе-
ниях физико-математических факультетов
11 университетов. На всю огромную страну
ежегодно выпускались несколько десятков
дипломированных специалистов. Некоторых
оставляли при университетах для подготовки
к профессорскому званию, остальных направ-
ляли в не очень многочисленные гимназии
и реальные училища. Научных учреждений,
которые нуждались в математиках-творцах,
в стране не было. Академия наук в своем со-
ставе институтов не имела. Социальная си-
стема была построена так, что в университет
пробиться крестьянину или рабочему прак-
тически было невозможно. Студенческий со-
став в значительной степени состоял из пред-
ставителей состоятельных кругов или же де-
тей чиновников, священнослужителей.
Положение резко изменилось в связи с Ве-
ликой Октябрьской революцией и восстанов-
лением страны после интервенции и граждан-
ской войны. Образование Советского Союза
дало новый толчок к развитию высшего обра-
зования в союзных республиках. Прогресс
техники и всего народного хозяйства приво-
дит к тому, что стране требуется все больше
и больше специалистов с серьезным матема-
тическим образованием пе только для целей
преподавания, но и для исследовательской
работы в самой математике и особенно в ее
инженерных и экономических направлениях.
Теперь намечается необходимость использова-
ния математики в биологии, медицине, сель-
ском хозяйстве. Этому способствует развитие
вычислительной техники, рациональное ис-
пользование которой нуждается в большой
предварительной квалифицированной матема-
тической работе. Достаточно сказать, что ес-
ли первые электронные вычислительные ма>
шины были продуктом преимущественно ин-
женерной мысли, то теперь при конструиро-
вании новых ЭВМ требуется напряженный
труд математиков. И если в первые годы су-
ществования ЭВМ стоимость машины на 90%
определялась стоимостью составляющих ее
элементов и труда сборщиков, то теперь более
9
60% стоимости составляет ее математическая
часть, так называемое математическое обес-
печение. Без него машина слепа и глуха, ее
«разум» ограничен и она не использует свои
возможности даже в небольшой степени. Роль
математического труда в производстве и ис-
пользовании вычислительной техники возра-
стает год от года.
Появление ЭВМ не только использовало
накопленные математические знания и уме-
ния, но и привело к необходимости развития
совершенно новых областей математического
знания. В первую очередь потребовалось
создать теорию программирования для ЭВМ,
во вторых — пересмотреть методы приближен-
ных вычислений с позиций ьозможностей
ЭВМ, в третьих — приспособить ЭВМ для
решения задач управления процессами и ав-
томатического выбора оптимального режима.
Математика в результате появления ЭВМ
обогатилась, в ней появились новые направ-
ления исследований. Советская математика
была подготовлена к этому этапу ее разви-
тия и очень быстро сумела обогатить новые
направления исследований результатами пер-
востепенного значения. В этом рука об руку
шли практика и теория, помогая друг другу.
Несомненно, что на успехи в области исполь-
зования ЭВМ и разработки связанных с этим
теоретических направлений огромную роль
сыграли такие важные области знания, как
ядерная физика, ракетостроение, освоение
космоса, а также поиски оптимальных мето-
дов управления процессами (движения, тех-
нологическими, экономическими и др.).
Двойной юбилей нашей страны — 60-летме
Советского Союза и 65-летие Великой Ок-
тябрьской социалистической революции — со-
ветская математика встречает серьезными
успехами. Однако новые условия выдвигают
новые проблемы в самой математике, ее ме-
тодологии, истории, в ее преподавании. Не
ослабляя усилий в развитии теоретической
математики, советские ученые стремятся к
установлению более тесной связи не только
с традиционными областями ее применения,
но и с другими — проблемами социологии,
медицины, сельского хозяйства. Впереди нас
ждет большая и увлекательная рабога.
Развитие
математического образования
в Армянской ССР
Р. В. Саркисян
(Ереван)
Армянский народ — один из древнейших в на-
шей стране. Он прошел большой и сложный
исторический путь.
В 1828 г. Восточная Армения присоедини-
лась к России. Это событие имело огромное
значение для развития армянской культуры.
Культурные связи между Арменией и Рос-
сией с течением времени окрепли. Были от-
крыты армянские школы. Так, в Москве бы-
ла основана Лазаревская семинария (1815—
1921), в Тбилиси — Нерсисянская школа
(1824—1924), в Эчмиадзине — Георгиевская
семинария (1874—1917). Обучение математи-
ке в них было поставлено на высоком уровне.
Русская математическая наука конца XVI11—
начала XIX в. оказала плодотворное влияние
на развитие математики в Армении. Однако
в 1914—1920 гг. армянский народ оказался
под угрозой физического уничтожения. В этот
критический момент народ Армении под руко-
водством Коммунистической партии поднял
восстание, и с помощью 11-й Красной Армии
29 ноября 1920 г. в Армении была установле-
на Советская власть. 30 декабря 1922 г. Ар-
мения вошла в состав СССР.
С установлением Советской власти армян-
ский народ переживает период национально-
го возрождения во всех сферах жизни. Уже
17 декабря 1920 г. было решено основать
в Ереване народный университет, торжествен-
ное открытие которого состоялось 23 января
1921 г. С 1923 г. он стал называться Ереван-
ский государственный университет.
Важнейшей задачей университета в первые
годы его существования была подготовка пе-
дагогов со специальным образованием, а в
дальнейшем — подготовка преподавателей для
высших учебных заведений, а также сотруд-
ников для научно-исследовательских институ-
тов республики.
В 1933 г. в Ереванском государственном
университете открывается физико-математи-
ческий факультет, в 1959 г.— механико-мате-
матический, от которого в 1971 г. отделился
факультет прикладной математики и кибер-
нетики. Эти факультеты готовят специалистов
высокой квалификации в области физико-ма-
тематических наук.
В октябре 1921 г. в Ереванском государ-
ственном университете был открыт педагоги-
ческий факультет, на базе которого основы-
вается Ереванский государственный армян-
ский педагогический институт. Его официаль-
10
ное открытие состоялось 7 ноября 1922 г.,
в день пятилетия Великой Октябрьской со-
циалистической революции. В педагогическом
институте продуктивно работали А. О. Тонян,
3. А. Холжанетян, Б. А. Баатрян, Л. А. Семе-
нов, А. М. Тер Мкртчян, Л. Г, Берберян,
Е. С. Адамян, М. Н. Бадалян и другие.
Многие преподаватели Ереванского педин-
ститута, его Горисского филиала, Кировакан-
ского, Ленинаканского пединститутов совме-
щают педагогическую работу с методической.
Знаменателен факт их активного участия
в издании учебников на армянском языке
для школ республики, в издании учебно-мето-
дической литературы.
В 1969—1975 гг. в I—III классах общеобра-
зовательных школ республики с армянским
языком обучения математика преподавалась
по написанному на армянском языке учебни-
ку «Математика» (авторы Г. К. Мхитарян,
А. М. Еганян, В. А. Оганесян). Были изданы
также методические указания к этому учеб-
нику.
Программно-методическое управление Ми-
нистерства просвещения Армении совместно
с Научно-исследовательским институтом педа-
гогических наук проделало большую работу
по созданию учебников математики и нагляд-
ных пособий для подготовительных классов.
Несколько раз переиздавалось учебное посо-
бие «Математика в подготовительных клас-
сах» (авторы: А. В. Абраамян, А. П. Байра-
мян, Ж. В. Мурадян, Р. В. Саркисян).
В Математическом институте при Академии
паук АрмССР, Ереванском государственном
университете, других вузах республики кро-
ме подготовки высококвалифицированных
специалистов ведется плодотворная научная
работа в области теоретической и приклад-
ной математики.
В Армении сложился достаточно сильный
коллектив способных математиков, исследова-
ния которых в области важнейших проблем
теории функций сразу обратили на себя вни-
мание научной общественности нашей страны
и за рубежом. И сейчас вопросы теории
функций остаются основными в исследовани-
ях многих ученых Армении.
Широко известны выдающимися исследова-
ниями руководитель научного семинара,
взрастивший много талантливых ученых, ака-
демик АН АрмССР А. Л. Шагинян, академик
АН АрмССР М. М. Джрбашян, член-коррес-
пондент АН СССР, академик АН АрмССР
С. Н. Мергелян.
В 1956 г. в Армении был создан Научно-
исследовательский институт математических
машин и завод, руководителем которого был
С. Н. Мергелян. Сейчас во многих научно-ис-
следовательских институтах, производствен-
ных объединениях, заводах, министерствах
созданы очаги прикладной математики, счет-
но-вычислительные центры, лаборатории, сек-
торы, группы, где вместе с другими специа-
листами плодотворно работают математики,
решая многие проблемы в научных, техниче-
ских, экономических, социальных сферах. Не
только в нашей стране, но и за рубежом боль-
шой известностью пользуются математические
машины «Наири», «Раздан» и др.
Сотрудники математического института при
АН АрмССР подготовили и издали около
350 работ, в том числе ряд капитальных тру-
дов. Работы издавались как в справочнике
АН АрмССР «Математика», так и в централь-
ной печати.
В Ереванском политехническом институте
им. К. Маркса профессорско-преподаватель-
ский состав кафедр высшей и прикладной
математики включает около 130 человек, из
которых трое — В. С. Закарян, Н. Е. Товма-
сян, Р. М. Барсегян — доктора, 40 — кандида-
ты физико-математических наук.
Успехи математической науки в Армении
благотворно влияют на математическое обра-
зование школьников. Ученые-математики тес-
но связаны со школой.
Трудно переоценить значение математиче-
ских олимпиад в развитии интереса и любви
к математике, в раскрытии талантов, в про-
фессиональной ориентации учащихся.
В 1946 г. в Ереване состоялась первая ма-
тематическая олимпиада, основными участни-
ками которой были школьники Еревана. Пер-
вая республиканская математическая олим-
пиада учащихся V—X классов состоялась
в 1961 г., председателем жюри был заведую-
щий кафедрой высшей алгебры и геометрии
Ереванского государственного университета
Н. Г. Гаспарян. В 1965—1972 гг. работой жю-
ри руководил А. Л. Шагинян, с 1973 г.—
С. Н. Мергелян. Многие победители олимпиа-
ды в дальнейшем стали известными матема-
тиками.
В Армении созданы физико-математические
школы: школа-интернат № 1 при Ереванском
государственном университете, школа в г. Ле-
нинакане; в 23-х школах открыты 49 классов
с математическим уклоном. При Ереванском
университете работают заочная школа юных
математиков (руководитель Г. А. Тонояи)
и Научное общество учащихся (руководитель
Р. Н. Тоноян). Они вносят большой вклад
в дело профессиональной ориентации учащих-
ся, углубляя их знания по математике, приви-
вая к ней любовь.
Уже четвертый год в некоторых школах
республики (№ 35, 68, 120 Еревана, ср. шк.
с. Дзорахпюр Абовянского района, с. Воске-
11
ваз Аштаракского р-на) проходит экспери-
мент по использованию в начальных классах
на уроках математики микрокомпьютеров с
целью определить продуктивность их приме-
нения.
Проведены широкие подготовительные ра-
боты для организации в 1982/83 учебном году
в четвертых классах школ № 69, 119 Еревана,
№ 2 г. Абовяна, № 5 г. Эчмиадзина экспери-
мента, который разработан в НИИ ШОТСО
АПН СССР. Предполагается, что внедрение
системы средств обучения (тетради с печат-
ной основой, звукозаписи, тексты математиче-
ских диктантов, брошюра с заданиями, на-
стенные таблицы, микрокомпьютеры) позво-
лит существенно интенсифицировать урок и
добиться резкого повышения качества знаний
при значительном сокращении объема домаш-
них заданий.
Учителя Герой Социалистического Труда
С. А. Дагбашян (ср. шк. № 3 им. Абегяна
Еревана), К. Арустамян (ср. шк. № 7 г. Ка-
фана), А. Саакян (ср. шк. № 2 г. Дилижана),
В. Геворкян (ср. шк. с. Тазагюх Мартунин-
ского р-на), В. Шахназарян (ср. шк. № 118
Еревана), Г. Арутюнян (ср. шк. № 132 Ере-
вана), А. Степанян, К. Мнацаканян, К. Араке-
лян (физико-математическая школа-интернат
№ 1 Еревана) и другие дают своим ученикам
прочные знания.
В республике работает много учителей ма-
тематики, которые своей профессиональной
подготовкой, методикой преподавания обеспе-
чивают высокий уровень процесса обучения,
совершенствуя его, используя новые современ-
ные методы преподавания. Достойны упоми-
нания М. Навасардян (ср. шк. № 1 с. Берд
Шамшадинского района), Р. Григорян (вось-
милетняя шк. с. Лернадзор Кафанского райо-
на), Дж. Енокян (ср. шк. № 1 пос. Веди),
А. Агабабян (ср. шк. № 120 Еревана),
Ю. Налбандян (ср. шк. № 112 Еревана) и др.
Они продолжают традиции известных учите-
лей математики, имеющих многолетний опыт
работы.
Опытные учителя, инспекторы, методисты
Министерства просвещения АрмССР, сотруд-
ники НИИ педагогических наук, заведующие
кабинетами городского и республиканского
институтов усовершенствования учителей
(А. М. Авоян, Ж. А. Мнацаканян, Ж. А. Ягд-
жян, Э. В. Григорян) способствуют распро-
странению передового опыта, совершенствова-
нию учебного процесса.
Около 4800 учителей математики республи-
ки вдохновенно трудятся на ниве математи-
ческого образования, достойно отмечая весо-
мым трудовым вкладом великий праздник —
60-летне со дня образования СССР.
Развитие
математического образования
в Советском Таджикистане
К. У. Асимов
(Душанбе)
Выдающиеся ученые Средней Азии IX—XVвв.
внесли заметный вклад в развитие математи-
ки. Как установлено советскими историками-
математиками, ученые Средней Азии «не толь-
ко сообщили общее новое направление раз-
витию математики в целом, они произвели
ряд фундаментальных открытий» '. К ним от-
носятся усовершенствование позиционной си-
стемы счисления, открытие десятичных дро-
бей, разработка приемов извлечения корней,
выделение алгебры в особую математическую
дисциплину, применение ее методов в измери-
тельной геометрии и тригонометрии, создание
геометрической теории кубических уравнений,
составление чрезвычайно точных и полных
тригонометрических таблиц и многое другое.
Однако в результате наступления реакци-
онных сил, особенно после уничтожения Са-
маркандской обсерватории в XV в., занятия
по математике были фактически прекращены.
Народ приучался смотреть на шариат, как
на науку, и верить, что только шариат дает
надежный ответ на любой вопрос, который
может возникнуть у человека. Научные заня-
тия превратились в жалкую, схоластическую
казуистику.
В мактабах (мактаб — начальная школа)
Средней Азии математикой, даже арифмети-
ческими действиями над натуральными числа-
ми, вообще не занимались. В XIX в. царское
правительство начало создавать так называе-
мые русско-туземные школы, где изучали
арифметику и элементы геометрии, но их бы-
ло слишком мало. Например, в 1911 г. на
территории современного Советского Таджи-
кистана насчитывалось всего 10 таких школ,
в них 13 учителей и 369 учащихся1 2.
Что же касается медресе (высшая духов-
ная школа), то в них наряду с четырьмя пра-
вилами арифметики знакомились с измерени-
ем площадей треугольников и четырехуголь-
ников, однако расчеты проводились самым
первобытным способом.
Как мы видим, учащиеся школ дореволю-
ционной Средней Азии, в том числе и Таджи-
кистана, были лишены возможности не только
ознакомиться с математическим наследием
своих предков, но и знать простейшие мате-
1 Юшкевич А. П. Математика народов Средней Азии
в IX—XV вв. — В кн.: Историко-математические иссле-
дования.— М.; Л, 1951, вып. IV, с. 461
2 Цифры и факты великих побед. — Сталинабад.,
1940, с. 58.
12
матические правила, необходимые для повсе-
дневной работы.
В начале XX в. в Средней Азии оформилось
движение национальной буржуазии. Его пред-
ставители выступали, в частности, за рефор-
му школ, так как национальной буржуазии
в ее конкурентной борьбе за рынки были не-
обходимы свои грамотные приказчики. Начи-
ная с 1906 г. в некоторых городах Туркеста-
на стали появляться так называемые новоме-
тодные школы для подготовки таких приказ-
чиков. В них наряду с другими учебными
дисциплинами изучалась и математика. Одна-
ко на территории современного Таджикистана
таких школ было всего 4, и преподавание
в них имело цель готовить только покорных
слуг буржуазии, способных давать ей при-
быль. Но даже такие школы встречали силь-
ное сопротивление со стороны реакционного
духовенства. Например, в Бухаре новометод-
ные школы были ликвидированы по приказу
эмира.
Таким образом, накануне Великого Октяб-
ря в целом в Средней Азии, и в частности
в Таджикистане, дети трудящихся фактически
не имели возможности получить какое-либо
образование. Народные массы этой отсталой
окраины царской России «были ограблены
в смысле образования, света и знания»3.
Залпы «Авроры» осветили народам, лишен-
ным в течение нескольких веков своих прав,
путь к науке и образованию.
Таджикский народ в едином стрсю с други-
ми народами первого в мире социалистическо-
го государства также начал борьбу за строи-
тельство новой жизни, и в первую очередь за
новые, уже советские школы.
Первые советские школы с пятилетиим
сроком обучения для мальчиков и начальные
для девочек местной национальности были от-
крыты в 1919 г. в Ходженте (ныне Ле-
нинабад). В конце 1920 г. в этом городе функ-
ционировало уже 75 школ, а в других городах
и селах Северного Таджикистана были откры-
ты десятки школ.
В то же время южная часть нынешнего
Таджикистана находилась под игом Бухар-
ского эмирата. И только в 1921 г. территория
Восточной Бухары, куда входили южные
районы современного Таджикистана, была
освобождена, и сразу же в Душанбе создали
отдел народного образования. В июле 1921 г.
был созван съезд работников народного об-
разования, на котором, в частности, обсуж-
дался и вопрос о подготовке учительских кад-
ров как на краткосрочных курсах, так и в ин-
ститутах народного просвещения (инпрос).
Эти институты были организованы в Ташкен-
3 Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 23, с. 127.
те, Самарканде и Бухаре. Начали функцио-
нировать новые школы и в Южном Таджики-
стане, и на Памире. Однако наймиты меж-
дународного империализма — басмачи — еще
бесчинствовали: они убивали учителей и акти-
вистов Советской власти. Только бандами Иб-
рагимбека были убиты 80 учителей, в том
числе 7 женщин4.
В таких тяжелых условиях советская шко-
ла продолжала работать. Но по многим дис-
циплинам, в том числе и по математике,
не существовало еще ни учебников для уча-
щихся, ни методической литературы для учи*
телей.
Первым учебным пособием по начальному
курсу математики, изданным после установ-
ления Советской власти в Таджикистане, бы-
ло «Краткое руководство к арифметике»
Н. Нисормухамедова. Эта книга появилась
в 1923 г. в Ташкенте на таджикском языке
(с арабской графикой). В ней рассматрива-
лись четыре действия над натуральными
и дробными числами, проценты, площади и
объемы простейших геометрических фигур.
Каждая тема снабжалась методическими ука-
заниями для учителя, что явилось большим
достижением автора. В то время подобная
методическая помощь была крайне необходи-
ма. Но таджикская математическая термино-
логия была еще совершенно не разработана,
поэтому в упоминаемой книге мы встречаем
очень много арабских слов.
После образования Таджикской Автоном-
ной Советской Социалистической Республики
в октябре 1924 г. народное просвещение ста-
ло развертываться особенно быстрыми тем-
пами. Уже в декабре этого года начал функ-
ционировать Наркомпрос ТаджАССР и Госу-
дарственный ученый совет (ГУС) при Нар-
компросе, руководимый А. Лахути.
Все более интенсивно стала публиковаться
учебная и методическая литература. В 1925 г.
в Ташкенте издается на таджикском языке
учебник по арифметике И. Змуяганцева,
А. Бурнашевского и Г. Васильева. Перевод-
чик С. Ризозоде делает первые попытки заме-
нить некоторые арабские термины таджик-
скими.
Еще одним шагом в этом направлении
явился перевод книги Л. В. Ланкова «Сбор-
ник задач по арифметике» (Самарканд, 1927),
выполненный С. Ализоде. Переводчик стре-
мился разъяснить каждый арабский термин,
предлагал его таджикский вариант, а иногда
и вовсе заменял таджикскими словами.
4 Обидов И. История развития народного образова-
ния в Таджикской ССР; (1917—1967J.—Душанбе,
1968, с. 22.
13
1923 год для молодого Советского Таджи-
кистана был рекордным по количеству издан-
ных учебников по математике. Все они были
написаны арабским алфавитом, но процесс
внедрения таджикских математических тер-
минов постепенно расширялся. А. Раджбар —
переводчик книги А. М. Воронца «Арифмети-
ка», ч. I — в добавление к уже имевшимся
таджикским терминам ввел новые, которые
употребляются до настоящего времени. Ка-
биршо и Махзара, переводившие «Геометрию»
А. Н. Кавуна, еще более расширили круг
таджикских математических терминов. Из
других книг, вышедших в том же, 1928 году
в Ташкенте и Самарканде, назовем следую-
щие: А. А. Грацианский «Сборник арифмети-
ческих задач для I, II, III классов»; А. А. Гра-
цианский, А. Н. Кавун «Арифметика», «Ра-
бочая книга по математике для I—V клас-
сов»; К. Ф. Лебединцев «Арифметика и на-
чальная геометрия», «Руководство по ал-
гебре».
В октябре 1929 г. образовалась Таджик-
ская ССР. К тому времени в республике на-
считывалось 718 учителей, 382 школы и
18,6 тыс. учащихся. В 1929/30 учебном году
число учителей возросло до 982. Правитель-
ство только что образованной Советской Рес-
публики готовилось к переходу на новый ал-
фавит, основанный на латинской графике.
В течение 1929—1930 гг. был издан пере-
вод книги Д. Л. Волковского по математике
для I—V классов сначала на арабской, а за-
тем на латинской графике. В 1930 г. вышел
в свет перевод «Сборника геометрических за-
дач» Я- И. Перельмана.
В тот период в советскую школу стали про-
никать такие методы обучения, как «Долтон-
план» и «метод проектов», которые давали
неправильное направление организации про-
цесса обучения в школе.
Известные постановления ЦК ВКП(б) от
25 августа 1931 г. «О начальной и средней
школе», от 25 августа 1932 г. «Об учебных
программах и режиме в начальной и средней
школе», от 12 февраля 1933 г. «Об учебни-
ках для начальной и средней школы» показа-
ли правильные пути искоренения этих ошибок.
С 1933 г. учащиеся таджикских школ на-
чали изучать геометрию по учебникам
Ю, О. Гурвица и Р. В. Гангнуса «Начальные
сведения по геометрии» (1933—1936) и «Си-
стематический курс геометрии» (1936). Тад-
жикский перевод этих книг сделан уже на ла-
тинской графике и отпечатан в Ленинграде.
В том же году на таджикском языке появи-
лась «Алгебра» А. П. Киселева. Затем после-
довали книги Е. С. Березанской «Сборник
задач по геометрии» (1934), А. Н. Кавуна
«Арифметические задачи в начальной школе»
(1937—1939), А. П. Киселева «Геометрия»
(1939), «Арифметика» (1939).
С конца 30-х гг. все учебники и задачники
по математике уже стали едиными для всех
школ Советского Союза.
Качество перевода математической литера-
туры из года в год улучшается, и таджикская
математическая терминология становится все
устойчивее. В ее развитии большую роль
сыграли «Русско-таджикский словарь мате-
матических терминов» (1941) и его вариант,
переработанный X. Мухамадиевым (1960).
В улучшении методики преподавания мате-
матики в общеобразовательной школе, где
обучение ведется на таджикском языке, нема-
лую роль сыграл научно-методический жур-
нал Минпроса Таджикской ССР «Мактаби
Совети» («Советская школа»). На его стра-
ницах выступали ведущие методисты, ученые-
математики и передовые учителя нашей рес-
публики со своими советами и предложения-
ми. Активными сотрудниками этого журнала
являются преподаватели математики Душан-
бинского, Ленинабадского, Кулябского педа-
гогических институтов и Таджикского госу-
дарственного университета им. В. И. Ленина.
В развитии математического образования
большую роль сыграла научно-методическая
литература по математике, выпущенная
НИИПН и ЦИУУ Таджикистана, педвузами
республики (особенно Душанбинским педин-
ститутом), университетом и республикански-
ми издательствами «Ирфон» и «Маориф».
За годы Советской власти Таджикистан
сделал огромный исторический скачок от фео-
дализма и отсталости к социализму и про-
цветанию.
Если в дореволюционном Таджикистане не
было не только высших и средних специаль-
ных учебных заведений, но даже и общеобра-
зовательных школ, то сейчас в Таджикской
ССР имеется своя Академия наук с большой
сетью научно-исследовательских институтов,
несколько десятков высших и средних специ-
альных учебных заведений, развитая сеть об-
щеобразовательных школ.
Математическая наука, в современном зна-
чении этого понятия, стала развиваться в рес-
публике сравнительно недавно. Первые науч-
ные кадры в этой области появились в50-егг.
Подготовке высококвалифицированных науч-
но-педагогических кадров уделяется присталь-
ное внимание. Например, если в 1972 г.
в республике было 137 кандидатов физико-
математических наук, то в 1982 г. их стало
278. За этот же период количество докторов
физико-математических наук от 9 выросло до
15 человек. Среди них — академики АН
ТаджССР А. Джураев, 3. Усманов, член-кор-
респондент АН ТаджССР Л. Г. Михайлов,
14
профессора Н. Раджабов, Э. Мухамадиев,
В. Я. Стеценко, П. В. Цой и другие.
Ими и их учениками «впервые разработана
теория краевых задач для систем уравнений
с частными производными составного типа
с двумя независимыми переменными... Ведет-
ся разработка алгоритмов управления техно-
логическими процессами на гибридной вычис-
лительной системе на основе ме года линейной
оптимизации. Рассматриваются модели про-
цесса деформации русел при создании круп-
ных водохранилищ (в связи со строитель-
ством Нурекской и Рогунской ГЭС). Разра-
ботана методика расчета гидродинамического
состояния подземных вод в системе взаимо-
действующих водоносных горизонтов при раз-
личных нелинейных проявлениях фильтраци-
онных процессов»5.
Успехи в области математического образо-
вания, достигнутые в годы Советской власти
в Таджикистане, стали возможными благода-
ря национальной политике нашей родной пар-
тии, бескорыстной помощи народов нашей
прекрасной Советской Социалистической Ро-
дины.
6 Академия паук Таджикской ССР. — Душанбе, 1979,
с. 89—90.
О развитии
преподавания математики
в школах Эстонской ССР
А. Э. Тельгмаа
(Таллин)
Эстония вошла в состав СССР в августе
1940 г. Проследим, как развивалось обучение
математике в эстонских школах в годы Со-
ветской власти.
В первое время после окончания Великой
Отечественной войны преподавание математи-
ки в школах с эстонским языком обучения
велось на основе созданных в республике
оригинальных учебников, а также местной
программы. В семилетней эстонской школе
математика преподавалась как один предмет,
в котором курс геометрии имел пропедевти-
ческий характер; вопросы планиметрии были
тесно связаны с элементами пространствен-
ной геометрии. В XI классе средней школы
изучалась аналитическая геометрия на плос-
кости.
В последующие годы программы по мате-
матике для эстонских школ были постепенно
согласованы с программами, действовавшими
в школах с русским языком обучения.
В целях дальнейшего развития школьной
математики и для оказания помощи Мини-
стерству просвещения ЭССР в 1957 г. при ми-
нистерстве была создана предметная комис-
сия по математике. Она разработала и пред-
ставила на обсуждение учителей некоторые
основные предложения по дальнейшему улуч-
шению программы по математике для семи-
летних школ. Наиболее существенными из
них были следующие:
1. Систематический, основанный на дедук-
тивных доказательствах курс геометрии дол-
жен начинайся не с VI, а лишь с VIII клас-
са. Это предложение подкреплялось целым
рядом аргументов. Прежде всего, в школе от-
сутствовал подготовительный, пропедевтиче-
ский курс геометрии; те же немногочислен-
ные геометрические понятия, которые встре-
чались в курсе арифметики IV—V классов,
еще не составляли пропедевтического курса.
Комиссия констатировала, что подобный спо-
соб обучения не согласуется с историческим
развитием геометрической науки и с позна-
вательной деятельностью человека. В качест-
ве второго аргумента указывалось, что «де-
дуктивное обоснование геометрии на таком
этапе, когда возраст учащихся еще не допус-
кает дедуктивного подхода к материалу, ког-
да учащиеся еще не ощущают необходимости
доказательства и не умеют делать всех нуж-
ных логических заключений, может свести
обучение этому предмету в лучшем случае
к утомительной зубрежке, которая подорвет
естественный ход умственного развития уча-
щихся и привьет им неверное отношение
к предмету». В-третьих, другие учебные пред-
меты (география, физика, черчение) требога-
ли знания таких геометрических понятий,
изучение которых начиналось гораздо позже,
в XI классе. Было сочтено необходимым, что-
бы геометрические тела изучались в семилет-
ней школе.
2. Математические дисциплины следует пре-
подавать в V—VII классах как один предмет
«математика».
3. Для каждого класса следует издавать
единую учебную книгу, которая содержала
бы как теорию, так и материал для упражне-
ний. Было отмечено, что такое решение даст
лучшие возможности для согласования теоре-
тических разделов и их приложений.
Предложения активно обсуждались на
страницах периодической печати и нашли под-
держку со стороны учителей. В результате
обсуждения, затронувшего и старшие классы
средней школы, был составлен проект про-
граммы по математике для V—XI классов,
опубликованный для всеобщего ознакомления
в июле 1957 г. Переработанные варианты
проекта программы, в которых учитывались
и последние изменения в общеобразователь-
ной системе СССР, были опубликованы
15
в 1959 г. для I—VIII классов и в 1960 г. для
IX—XI классов. При окончательной обработ-
ке проекта программы были тщательно
изучены деятельность Академии педагогиче-
ских наук РСФСР по модернизации школьной
математики и материалы дискуссии, прово-
дившейся на страницах журнала «Математи-
ка в школе».
На основе первого варианта проекта про-
граммы были составлены пробные учебники
по математике для V класса, преподавание
по которым началось в 1958/59 учебном году
в сорока классах. В старших классах сред-
ней школы работа по проверке пробных учеб-
ников началась в 1962/63 учебном году. Были
организованы курсы повышения квалифика-
ции учителей, занятых в эксперименте.
В объяснительной записке проекта про-
граммы было подчеркнуто, что в V—VII клас-
сах следует преподавать математику в основ-
ном индуктивными методами, т. е. к ее поня-
тиям, истинам и правилам следует подходить
на основе достаточного количества наблюде-
ний, измерений и опытов (проб). Дедуктив-
ное доказательство должно вводиться посте-
пенно, начиная с VII класса, причем и здесь
ему должно предшествовать открытие дока-
зываемой истины индуктивным путем.
Для развития пространственных представ-
лений учащихся в программу каждого класса
были включены элементы пропедевтической
пространственной геометрии: в V классе —
прямоугольный параллелепипед, прямой па-
раллелепипед, прямая треугольная призма,
прямая призма с трапецией в основании, пло-
щадь поверхности и объем указанных тел;
в VI классе — правильная призма и правиль-
ная пирамида, площадь их поверхности и
объем; в VII классе — тела вращения, пло-
щадь их поверхности и объем. Порядок изло-
жения материала был впоследствии несколь-
ко изменен, так что изучение тел вращения
было перенесено в VIII класс.
Понятие функции — одно из основных в ма-
тематике— было решено сделать центральным
понятием и в школьной математике. Одновре-
менно в школьный курс математики были
включены и элементы математического ана-
лиза: предел, непрерывность, производная и
интеграл. Пропагандирование преподавания
упомянутых тем в школе, а также организа-
ция необходимой экспериментальной работы
были проведены доцентом Тартуского госу-
дарственного университета О. Принитсом.
В связи с введением понятия функции
в программу были включены также геомет-
рические преобразования и элементы анали-
тической геометрии (прямая, окружность, па-
рабола, эллипс).
Для развития вычислительной куньтуры
учащихся и приближения преподавания к
нуждам практики в VII классе начали пре-
подавать вычисления с приближенными чис-
лами и на счетной линейке
Было решено создать для каждого класса
единый учебник по математике, который со-
держал бы. как теоретический материал, гак
и упражнения.
Одним из основных изменений явилось
применение принципа фузионизма, т. е. пере-
ход к обучению математике как одному пред-
мету. Инициатором реализации принципа фу-
зионизма был председатель предметной ко-
миссии по математике в го время Э. Этверк.
Преподавание математики как одного пред-
мета первоначально было намечено до
VIII класса включительно. Позже пришли
к выводу, что оно целесообразно и в старших
классах средней школы. Центральным поня-
тием, связывающим воедино отдельные части
предмета, должно было стать понятие функ-
ции. На этом пути решение соответствующих
уравнений и неравенств было увязано с
изучаемыми функциями, арифметическая про-
грессия— с линейной функцией, геометриче-
ская прогрессия — с показательной функцией,
а понятия обратной функции, четной и нечет-
ной функции были изложены в связи с геомет-
рическими преобразованиями. Задачи на вы-
числение площади поверхности и объема гео-
метрических тел стали решаться с помощью
определенного интеграла.
Все указанные ранее идеи были (с некото-
рыми изменениями в их форме) реализованы
в практическом преподавании. При совершен-
ствовании программы и учебников учитыва-
лось, что выпускники одиннадцатых классов
школ с преподаванием на эстонском языке
за время пребывания в школе должны изучить
все те разделы, что и выпускники десятых
классов школ с преподаванием на русском
языке. К 1965/6G учебному году по ногой
программе и учебникам обучались все (т. е.
I—XI) классы эстонских школ. Этот год мож-
но условно считать концом первого этапа об-
новления школьной математики в эстонских
школах.
Второй этап начался после того, как Ака-
демия педагогических наук РСФСР (с авгус-
та 1966 г.— Академия педагогических наук
СССР) представила в 1965 г. на всеобщее об-
суждение первый вариант проекта новой
программы по математике. Министерство про-
свещения Эстонской ССР и предметная ко-
миссия по математике сочли очень важным
продолжить работу по усовершенствованию
программы и учебников, выработанных на
первом этапе реформы, поскольку обсужде-
ние проектов программы и создание учебной
16
литературы превратились в один из важней-
ших стимулов развития педагогической мыс-
ли в республике» С другой стороны уже про-
деланная работа по модернизации курса ма-
тематики в школах й эстонским языком
обучения придала преподаванию математики
определенную направленность, к которой
учительские кадры были уже подготовлены.
Проекты всесоюзной типовой программы да-
ли благоприятную возможность продолжить
работу в уже сформировавшихся направлени-
ях, так как некоторые основные положения
ее были уже претворены в жизнь в эстонских
школах.
В проектах типовой программы содержа-
лось много заслуживающих признания поло-
жений, таких, как: использование в школе
понятий теории множеств и тогики, раннее
введение буквенных обозначений (по сущест-
ву использование понятия переменной), воз-
можно более раннее изучение понятий нера-
венства и уравнения, придание большего вни-
мания геометрическим преобразованиям в
восьмилетней школе и т. д. При создании про-
екта новой программы по-прежнему учитыва-
лось требование, чтобы выпускники школ
с эстонским языком обучения познакомились
со всеми разделами, которые предусматрива-
лись всесоюзной типовой программой. В об-
суждении проекта программы приняли актив-
ное участие кафедры математики вузов Эс-
тонской ССР, а также комиссия по матема-
тике Учебно-методического совета Министер-
ства просвещения СССР Одновременно с по-
мощью контрольных работ и анкетирования
учителей собиралась информация о внедре-
нии новой программы и учебников.
В первых классах занятия по новой про-
грамме начались в 1967/68 учебном году.
Переход на новое содержание школьной мате-
матики в основном закончился в 1973/74 учеб-
ном году, когда все выпускники одиннадца-
тых классов эстонских школ прошли курс
математики по новой программе, а частично
по ее переходным вариантам.
Республиканским институтом усовершен-
ствования учителей были организованы встре-
чи с авторами учебников и краткосрочные
(до 6 дней) курсы повышения квалификации
для всех учителей, начавших работу по новой
программе и учебникам. Под руководством
преподавателя Тартуского государственного
университета К. Арива проведен педагогиче-
ский эксперимент по аксиоматическому изло-
жению пространственной геометрии в старших
классах средней школы (на основе аксиома-
тики Вейля). Откорректированный учебник
для X класса вышел из печати в 1976/77 учеб-
ном году, а учебник для XI класса — в
1977/78 учебном году.
Проект программы по математике для
школ s эстонским языком обучения, имея
много общего с всесоюзной типовой програм-
мой, отличался расположением материала и
методикои его изложения»
Некоторые гемы типовой программы (деся-
тичные логарифмы, показательная функция,
прогрессии) перенесены из восьмилетней шко-
лы в старшие классы.
В восьмилетней школе 1Гропедевтически
изучаются Формулы вычисления площади по-
верхности и объема пространственных тел.
Названная тематика распределена по отдель-
ным годам обучения начиная « rV класса.
Понятия, необходимые для ознакомления
учащихся с аксиоматическим методом (опре-
деление, аксиома, теорема), вводятся в
VII классе, а не в VI, как предусмотрено ти-
повой программой Но в целом геометриче-
ский материал в VII—VIII классах не изуча-
ется строго дедуктивно. Ознакомление уча-
щихся эстонских школ с сущностью аксиома-
тического метода планируется только в
XI классе.
В настоящее время осуществляется дора-
ботка и совершенствование как программы,
так и учебно-методической литературы. Для
проведения этой работы при НИИ педагоги-
ки ЭССР создана специальная комиссия, ко-
торая обсуждает все вводимые в программу
изменения, а также рукописи учебников, ме-
тодических руководств и т. д.
В связи с созданием интегрированного кур-
са школьной математики, как и при пере-
стройке преподавания в конце 50-х гг., есте-
ственно возникает вопрос: каковы те общие
понятия, методы и идеи, на основе которых
может произойти соединение этого курса не
только в один, но, по возможности, и в еди-
ный учебный предмет? В настоящее время
кроме ранее названного понятия функции
следует отметить еще ряд других понятий,
которые должны сыграть свою роль в увязы-
вании в единое целое отдельных частей
школьной математики. Перечислим наиболее
существенные из них: элементы теории мно-
жеств (вместе с соответствующей символикой
и терминологией); понятие соответствия (от-
ношения, преобразования, отображения); век-
торный аппарат; понятие меры (длина, пло-
щадь, объем; определенный пнт“грал от по-
ложительной функции, число элементов ко-
нечного множества и др.); метод координат;
система задач и упражнений.
Реализация названных общих идей и созда
ние интегрированного курса школьной мате-
матики еще требуют дальнейшей тщательной
исследовательской работы.
17
gj МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
VI ВСЕСОЮЗНЫЕ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ЧТЕНИЯ
Обучение учащихся методам
самостоятельной работы
с учебником и математической
книгой
М. И. Айзенберг,
учитель средней школы № 14 г. Бельцы
Молдавской ССР
Познавательный интерес учащихся, качество
знаний во многом зависят от умения учителя
научить школьников рациональным методам
работы с учебником, книгой, справочной и
иной литературой.
В данной статье мы излагаем опыт работы
с книгой в процессе обучения математике на
уроке или на внеклассных занятиях. Цель ра-
боты: обучить учащихся рациональным прие-
мам работы с учебником математики, само-
стоятельной проработки математической ли-
тературы; привить интерес к чтению матема-
тической книги; научить составлять доклад
на математическую тему и выступать с ним.
Самостоятельная работа школьников с учеб-
ником будет протекать успешно, если у них
достаточный уровень навыка чтения. Поэтому
одной из первых задач учителя яьляется раз-
витие у учащихся навыков быстрого и беглого
чтения. Скорочтение важно для учащихся,
оно делает их труд намного производительнее.
На уроке можно предлагать занимательные
упражнения (задания), различные игры (на
математическом материале), развивающие
внимание, периферическое зрение, вырабаты-
вающие умение расширять поле чтения.
Большое внимание следует уделять приви-
тию культуры работы с книгой, воспитанию
умения школьников читать учебник, матема-
тическую литературу. С этой целью в кабине-
те математики был организован уголок «Как
работать с книгой». В нем разместили список
литературы, знакомящей с тем, как нужно
работать с книгой; инструктивные памятки,
методические рекомендации: «Заповеди чита-
теля», «Методы чтения», «Правила быстрого
чтения», «Условные пометки», :Как читать
математическую книгу», «Как решать задачу»
(составлено по ст.: Коржакова Т. С. Приемы
учебной работы при обучении решению за-
дач.— В кн.: Из опыта преподавания матема-
тики в школе. М..: Просвещение, 1978),
«Как доказывать теорему»; правила для
написания планов, конспектов, тезисов, рецен-
зий, аннотаций; советы (инструкции), как
писать и оформлять статью, доклад, подгото-
вить выступление и как выступать с матема-
тическим докладом; инструкции по самопро-
верке своей работы с помощью учебника; со-
веты, как пользоваться каталогами, библио-
графическими указателями. Все эти материа-
лы мы используем на уроках, кружковых за-
нятиях, индивидуальных и групповых кон-
сультациях с учащимися.
Планируя уроки математики, мы выделяем
те разделы или отдельные вопросы, которые
учащиеся будут изучать по учебнику самостоя-
тельно. Формы организации этой работы сле-
дующие: самостоятельное чтение параграфа и
выделение основных моментов и главной мыс-
ли в тексте.
Когда формирование умения вычленять ос-
новные моменты учебного текста только начи-
нается (IV—VIII классы), учитель обычно
заранее ставит вопросы, которые нацеливают
учащихся на выделение основных моментов и
главной мысли в тексте. Например, предлагая
для самостоятельного чтения в IV классе § 33
«Умножение», можно заготовить на кодопози-
тиве следующие вопросы:
а) Что называется произведением чисел
а и Ь?
б) Как называются компоненты умноже-
ния?
в) О каком свойстве умножения говорится
в тексте?
г) Как его сформулировать, записать с по-
мощью переменных а и Ь?
д) Привести примеры, где это свойство при-
меняется.
Поставленные вопросы охватывают все
основные моменты нового материала. Ответы
на них покажут степень усвоения учащимися
изучаемого материала.
В старших классах, если ученики уже на-
учились выделять основные положения в тек-
сте, учитель может предложить найти их са-
мостоятельно, составить план ответа и подго-
товить ответ по каждому его пункту. Напри-
мер, в IX классе при изучении § 20 «Колли-
неарные векторы. Умножение вектооа на чис-
ло» учащимся предлагалось
а) самостоятельно прочитать текст учеб-
ника,
б) составить план ответа,
18
в) обсудить составленный план,
г) уметь ответить на любой из пунктов со-
ставленного плана.
Перед тем как ученики начали составлять
план, им было указано, что в данном пара-
графе есть четыре основных момента; их вы-
деление они выполнили уже самостоятельно.
В других случаях учитель на уроке может
указать основные теоретические положения,
на которых основывается доказательство тео-
ремы, т. е. сообщить идею доказательства, а
основную работу по усвоению деталей доказа-
тельства предложить учащимся провести са-
мостоятельно на уроке или дома. Так, напри-
мер, в IX классе могут быть изучены теорема
«Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна плоскости, то и другая пер-
пендикулярна этой плоскости» из § 30 и тео-
рема, обратная теореме о признаке перпенди-
кулярности плоскостей, из § 39.
Давать задания по составлению плана
конкретного материала из учебника или ка-
кой-либо математической книги целесообраз-
но начинать уже с IV класса. Это приучает
школьников выделять в материале узловые
моменты. План способствует тому, что их от-
веты становятся более стройными, последова-
тельными и исчерпывающими.
Так, в IV классе на уроке по теме «Уравне-
ние» после объяснения гемы ученикам было
предложено написать план. Затем тут же на
уроке они зачитывались и обсуждались, отме-
чались достоинства и недостатки каждого из
них. Вот как, например, может выглядеть
план к названному уроку:
1) Определение уравнения.
2) Корень уравнения.
3) Что значит решить уравнение?
4) Количество корней уравнения.
Еще один прием, который мы использовали
в своей работе,— это выполнение упражнений
с одновременным чтением правила, определе-
ния по учебнику. В этом случае сразу после
вывода того или иного правила ученикам
предлагается открыть учебник и, читая прави-
ло по частям, решать примеры.
Необходимо учить школьников пользовать-
ся учебником для установления связи нового
материала с пройденным, а так же для само-
проверки.
Например, можно рекомендовать ученикам
обратиться к учебнику для сравнения форму-
лировок теорем об окружности и сфере, опре-
делений окружности и круга, окружности и
сферы, попросить указать их сходство и раз-
личие. Разыскать в учебнике нужные места они
должны уметь самостоятельно. В помощь уча-
щимся при осуществлении сравнения полезно
предложить следующий алгоритм:
1) выясните цель сравнышя:.
2) определите объекты, подлежащие сравне-
нию;
3) выявите признаки, по которым будет
проводиться сравнение;
4) сделайте вывод из сравнения объектов.
Чтобы использовать учебник для самопро-
верки, следует постоянно приучать учащихся
в процессе работы с ним и по окончании
сравнивать свою работу с каким-то образцом:
с текстом учебника, примером, решенным в
тексте, и т. д.
Весьма полезна, особенно в старших клас-
сах, работа с учебником или другой матема-
тической книгой по определенному заданию
учителя. Укажем два из них
1. Задания по конспектированию материала
отдельных параграфов или разделов. В по-
мощь ученикам сообщаются этапы конспек-
тирования:
1) ознакомительное чтение текста;
2) вдумчивое чтение текста с использова-
нием пометок карандашом,
3) составление плана прочитанного;
4) чтение текста и отбор главного материа-
ла по каждому пункту плана;
5) запись отобранного содержания своими
словами или в виде цитат.
2. Составление тезисов, Чтобы учащимся
легче было выполнять эту работу, полезно
сообщить им правила составления тезисов:
1) ознакомительное чтение текста;
2) повторное чтение текста, разделение его
(с помощью плана или без него) на части;
3) в каждой части прочитанного текста вы-
деление главной мысли в самом тексте книги
(легким подчеркиванием карандашом);
4) изложение мысли своими словами или
цитатами;
5) тезисы должны быть краткими, четкими,
ясными;
б) запись тезисов в форме утверждений или
отрицаний.
Подводя итог сказанному, отметим, что в
классах, где последовательно и целенаправ-
ленно осуществлялась работа по вооружению
учащихся умениями и навыками самостоя-
тельной работы с учебником и математиче-
ской книгой, качество знаний выше, чем в
других классах. Как праьило, многие ученики
этих классов самостоятельно совершенствуют
свои знания, учась в заочтьтл ф-Тзико-матема-
тических чщсл-х; являются победителями и
призерами городских математических олим-
пиад, участниками республиканских научно-
георетичесьих конференций старшеклассни-
ков.
Учителя отмечают высокую эбщую матема-
тическую культуру как отдельных учащихся
этих классов, так и класса в целом.
В заключение приведем го некоторым клас-
19
сам примерный перечень пунктов (парагра-
фов) учебников по математике, которые были
предложены учащимся для самостоятельного
изучения полностью или частично.
IV КЛАСС
П. 18 «Уравнение». Составление плана от-
вета.
П. 19 «Неравенство». Выделение узловых
•'оментов и составление плана изучаемого ма-
териала.
Н. 33 «Умножение» и п. 58 «Вычитание де-
сятичных дробей». Самостоятельное изучение
пункта с предварительной постановкой учите-
лем вопросов.
П. 64 «Деление десятичной дроби на 10,
100, 1000 и т. д.». Самостоятельное изучение
пункта, используя сравнение с материалом
п. 61 «Умножение на 10, 100, 1000 и т. д.».
IX КЛАСС
Алгебра и начала анализа
П. 6 «Бесконечные числовые последователь-
ности». Самостоятельное изучение после крат-
кого повторения изученного в VIII классе.
П. 16 «Возрастание и убывание функции».
Самостоятельное изучение с предваритечьной
постановкой вопросов.
П. 26 «Критические точки функции, ее мак-
симумы и минимумы». С помощью системы
поставленных вопросов учащиеся самостоя-
тельно изучают понятия «критическая точка»,
«точка минимума», «точка максимума».
Остальной материал излагает учитель.
П. 28 «Наибольшее и наименьшее значения
функции». Самостоятельное изучение.
П. 33 «Знаки значений тригонометрических
функций». Изучают самостоятельно, состав-
ляют тезисы.
П. 34 «Четные и нечетные функции». Учи-
тель формулирует определения четной и нечет-
ной функции, а доказательство теоремы о чет-
ности тригонометрических функций предлага-
ет учащимся разобрать самостоятельно.
П. 38 «Тригонометрические функции двой-
ного аргумента». Самостоятельное изучение.
П. 43 «Производные функций косинус, тан-
генс и котангенс». Задается на дом изучить
самостоятельно.
Геометрия
§ 8 «Транзитивность параллельных пря-
мых». Перед доказательством теоремы 5 на-
поминаем ученикам об аналогичном факте из
планиметрии. Учащиеся сравнивают формули-
ровки этих теорем, выясняют их различие
(сходство); теорему 5 доказывают самостоя-
тельно.
§ 11 «Теоремы о параллельных плоскостях».
Теорему 7 и следствие из теоремы 8 учащиеся
доказывают самостоятельно. Теорему 8 рас-
сматривает учитель.
§ 20 «Коллинеарные векторы. Умножение
вектора на число». Самостоятельное изучение.
§ 30 «Два перпендикуляра к плоскости. Ор-
тогональное проектирование на плоскость».
Теорему 15 доказывает учитель с участием уча-
щихся. Теорему 16 они изучают самостоятель-
но или в классе, или дома.
§ 33 «Две плоскости, перпендикулярные
прямой». Рассматривая модели, учитель под-
водит учащихся к формулировке теоремы 19
и теоремы, обратной ей. Доказательство тео-
рем они проводят самостоятельно.
§ 38 «Двугранный угол. Измерение двугран-
ных углов». Содержание параграфа излагает
учитель. На дом учащимся предлагается со-
ставить конспект этого материала, используя
учебник.
X КЛАСС
Геометрия
§ 42 «Координаты вектора. Правила дейст-
вий над векторами, заданными своими коор-
динатами». Правила 2 и 3 учащиеся доказы-
вают самостоятельно, весь остальной мате-
риал объясняет учитель.
§ 43 «Вычисление длины вектора и угла
между двумя векторами по их координатам».
Учащиеся изучают самостоятельно.
§ 49 «Свойства параллелепипеда». Учащие-
ся самостоятельно доказывают теорему 29.
§ 51 «Площадь поверхности призмы». Уча-
щиеся изучают самостоятельно на уроке, пос-
ле того как учитель проиллюстрировал на мо-
делях содержание теоремы.
§ 52 «Пирамида». Вопрос о вычислении пло-
щади боковой поверхности правильной пира-
миды учащиеся изучают самостоятельно.
§ 62 «Сфера и шар» и § 64 «Плоскость, ка-
сательная к сфере». Учашпеся изучают само-
стоятельно, сравнивая с соответствующим ма-
териалом, изученным в VI классе.
§ 68 «Объем шара». Учащиеся изучают са-
мостоятельно в классе.
20
Актигизация познавательной
деятельности учащихся
в учебном процессе
В. Р. Иллапмоно! а,
заслуженный учитель школы РСФСР,
старший преподаватель школы № 2 г. Томска
Эффективность процесса обучения математи-
ке в наше время определяется многими факто-
рами, но главная роль принадлежит учителю.
Его зацача прежде всего воспитать активно
мыслящую личность. От мастерства учителя,
его умения управлять процессом формирова-
ния знаний учащихся, развитием их мышле-
ния во многом зависит, сможет ли ученик
творчески подойти к изучаемому материалу.
Остановимся на некоторых приемах, способ-
ствующих успешному усвоению учебного ма-
териала, развитию познавательной самостоя-
тельности школьников.
Обычно, прежде чем продумать содержание
и методику проведения конкретного урока,
учитель планирует материал всей темы. При
этом важно, чтобы планирование было комп-
лексным. Смысл его заключается в том, что
устанавливается связь изучаемого материала
с материалом других предметов, определяется
продолжение работы на внеклассных заня-
тиях и выявляется воспитательное значение
рассматриваемого вопроса.
Так, например, составляя комплексный
план изучения какой-либо темы по алгебре,
мы включаем в него следующие разделы:
1) № п/п; 2) подтема; 3) класс; 4) связь с
геометоией; 5) связь с другими предметами
(предмет указывается конкретно); 6) практи-
ческая ценность и воспитательная роль изу-
чаемого материала; 7) факультативные и
кружковые занятия; 8) рекомендуемая лите-
ратура. Число разделов в этом плане может
меняться в зависимости от числа предметов,
с которыми устанавливается связь по данной
теме.
Комплексное планирование помогает учите-
лю правильно сориентироваться в материале
и является хорошей основой систематизации
знаний учащихся.
Одним из средств активизации познаватель-
ной деятельности школьников является широ-
кое использование их жизненного опыта.
Большую роль при этом играют лабораторные
и практические работы, а также решение за-
дач с практическим содержанием.
Расскажем о решении, например, задачи на
нахождение высоты предмета с привлечением
различного теоретического материала в зави-
симости от класса, в котором она предлага-
лась. Так, учащимся VI класса было дано за-
дание сделать макет школы для шкпЛьпбго
музея. Чтобы выполнить задание, необходимо
было знать соответствующие размеры. И вот
практическая задача поставила пепед шести-
классниками вопрос: «Как найти расстояние
до недоступной точки?» Ученики сумели от-
ветить на него, используя свойства пропорций.
Когда в VII классе изучалась тема «Пропор-
циональные отрезки», учащиеся вернулись к
рассматриваемой задаче и уже самостоятель-
но провели теоретическое обоснование нахож-
дения высоты предмета. С интересом они вер-
нулись к этой задаче, когда им предложили
дать теоретическое обоснование решения по-
ставленной задачи с помощью преобразова-
ния гомотетии, а затем подобия (используя
шест с вращающейся планкой для нахожде-
ния необходимых размеров) В VIII классе
ученики были приятно удивлены, узнав, что
быстро и легко можно определить расстояние
до недоступной точки, зная определения три-
гонометрических функции (с помощью угло-
мерного инструмента). Итак, из класса в
класс учащиеся возвращались к одной и той
же задаче, знакомясь с ролью исторического
опыта людей, значением математической тео-
рии для практики В дальнейшем уже перед
членами кружка была поставлена проблема:
«Как найти высоту предмета, если к основа-
нию предмета подойти нельзя». Они сумели
ее разрешить и показали практическую цен-
ность знания теоремы синусов В ходе изуче-
ния этого вопроса учащиеся па уроке и на
кружковых занятиях делали сообщения о раз-
личных профессиях, где приходится сталки-
ваться с решением подобных задач Этот ма-
териал интересно изложен в занимательной
геометрии Я. И Перельмана (М. Физматгиз.
1959, с. 11—29) Изучение темы завершилось
проведением практической работы на местно-
сти: ученикам было предложено найти рас-
стояние до недоступной точки (высоту дерева,
столба, ширину реки), но в каждом случае
выбрать свой способ Такой подход к изуче-
нию вопроса показал им практическую значи-
мость ряда тем школьного курса.
Лабораторные работы можно проводить не
только при закреплении изучаемого материа-
ла, но и при его начальном рассмотрении. Та-
кие поисковые работы, например, были пред-
ложены учащимся X класса в связи с нахож-
дением поверхностей и объемов многогранни-
ков различных видов. Так, при изучении темы
«Поверхность наклонной призмы» проводился
урок групповым «’©годом- 1 группа получила
задание найти боковую поверхность правиль-
ной призмы, II — боковую поверхность прямой
призмы, IIIповерхность наклонной призмы.
Перед десятиклассниками была постиг пена
проблема: «Всегда ли можно находить по-
21
верхность призмы по формуле 5бок=Л>сн-#?»
Учащиеся заметили, что если дана наклонная
призма, то необходимо находить площадь
каждой грани, а уж затем их сумму. После
этого им было дано задание. «Найти наимень-
шее число измерений для определения боко-
вой поверхности призмы». Возникла догадка:
раз все боковые ребра призмы конгруэнтны,
то достаточно принять за основание каждого
параллелограмма ее боковое ребро, а за вы-
соту сторону перпендикулярного сечения
призмы. Обобщая полученные наблюдения,
учащиеся вывели формулу поверхности приз-
мы через периметр перпендикулярного сече-
ния, справедливую для любого вида призм.
Такая поисковая деятельность при проведе-
нии практических работ развивает познава-
тельную активность учащихся, создает воз-
можность самостоятельно сделать вывод, до-
казать теорему.
Большое значение для правильной поста-
новки обучения имеет характер предлагаемых
учащимся заданий. Особое внимание следует
обращать на задания, которые формируют
умение анализировать, сравнивать, обобщать,
выделять главное, контролировать и планиро-
вать свою деятельность и т. д.
Так, при прохождении темы «Решение тре-
угольника» ученикам в качестве домашнего
задания было предложено, используя реко-
мендованную литературу, составить рассказ о
теореме синусов или теореме косинусов по
плану:
1. Что вы знаете об истории возникновения
этой теоремы?
2. Какого типа задачи вы можете решать с
помощью этой теоремы?
3. Как теорему можно использовать в дру-
гих предметах или в практической жизни че-
ловека?
Задания, аналогичные приведенному, вы-
полняют ряд существенно важных функций:
систематизируют знания учащихся, учат их
видеть основное, повышают речевую актив-
ность.
Для воспитания познавательной активности
школьников мы широко используем в своей
практике ознакомление их с различными спо-
собами доказательства теорем, различными
подходами к решению одной и той же задачи.
Собранный материал хранится в школе в «те-
матических» папках и широко используется
на обобщающих уроках по теме.
Заметим, что активизации познавательного
интереса к математике способствуют задания,
подчеркивающие роль математических поня-
тий, их свойств в практической деятельности
людей; углубляющие ранее полученные зна-
ния, показывающие связь математики с дру-
гими учебными предметами, включающие эле-
менты занимательности, содержащие историче-
ский материал
Подводя итог сказанному, можно сделать
вывод, что важную роль в эффективности про-
цесса обучения математике играет активная
позиция каждого ученика. Одним из признаков
активности школьников является их увлечен-
ное отношение, их интерес к предмету, к изу-
чаемому материалу, к содержанию заданий и
способам их выполнения.
Повышение эффективности
практической деятельности
учащихся при обучении
математике
Н. Р. Гайбуллаев,
зам. директора по науке УзНИИПН,
кандидат педагогических наук
Для лучшего усвоения теоретического мате-
риала математические понятия следует фор-
мировать на основе практики, параллельно с
процессом абстрагирования. Эту сложную
функцию обучения возможно успешно осуще-
ствить путем усиления роли практических за-
нятий в обучении.
Структура познавательной деятельности
учащихся на практических занятиях по мате-
матике может быть охарактеризована следую-
щим образом: учебно-практическое задание-*
процесс выполнения практического задания-*
обобщение результата в практической дея-
тельности, абстрагирование-*формулировка
математических понятий-*систематизация ма-
тематических знаний-*интерпретация полу-
ченных знаний.
По дидактическим функциям практические
занятия мы делим на обучающие, познава-
тельные и проверочные.
Эффективность познавательной деятельно-
сти учащихся повышается при проведении
обучающего практического занятия. Этот вид
работы для учащихся является творческим.
Выполнение задания и обобщение результатов
приводят их к новому математическому зна-
нию. В этих условиях познавательная дея-
тельность представляет собой самодвижение.
В результате такой работы новые знания не
поступают извне в виде информации, а яв-
ляются внутренним продуктом практической
деятельности самих учащихся.
Приведем пример. Обычно тема «Основные
свойства расстояний» учащимися VI класса
воспринимается как формальное перечисление
само собою разумеющихся свойств. Изучение
этой темы мы начали с выполнения учениками
обучающих практических заданий.
1. Отметьте на плоскости ове точки А и В.
Измерьте расстояние от точки А до точки В.
2. На прямой р отметьте три точки А, В, С.
Измерьте расстояние от точки А до точки В,
от точки В до точки С. Чему равно расстоя-
ние от точки А до точки С?
3. Отметьте на плоскости три точки А, В, С,
не лежащие на одной прямой. Измерьте рас-
стояния от точки А до точки В и от точки В
до точки С. Как выразится через эти расстоя-
ния расстояние от точки А до точки С? Со-
ставьте неравенство
Выполнив эти задания, учащиеся сами
смогли сформулировать три свойства расстоя-
ний; учитель лишь уточнил их.
После установления свойств расстояний уче-
никам было предложено построить точки по
данным расстояниям, а уж затем решить за-
дачи по учебному пособию.
На практических занятиях познавательного
характера изучение новой темы или понятия
осуществляется на основе решения задач, свя-
занных с той областью промышленного про-
изводства или сельского хозяйства, котооая
составляет основу экономики данного района
(области, края, республики).
Приведем пример, который был рассмотрен
перед изучением темы «Прогрессия». Прежде
всего учащиеся вспомнили некоторые сведе-
ния о строении и развитии хлопчатника, хо-
рошо известные им из ботаники и жизненных
наблюдений Выяснили, что все плодоносные
ветви куста делят на ярусы, по три ветви в
каждом, и что имеется определенная законо-
мерность в расположении цветков, позволяю-
щая легко определить теоретически число
цветков на кусте хлопчатника для любого
числа ярусов: в первом ярусе — три цветка,
во втором — шесть, в третьем — девять, в чет-
вертом— двенадцать, в пятом — пятнадцать.
Полученную последовательность 3, 6, 9, 12,
15 выписали на доске и установили ее свойст-
ва. После введения определения арифметиче-
ской прогрессии были выведены формулы п-го
члена и суммы п ее членов. Затем уже уча-
щиеся по формуле и непосредственно подсчи-
тали число цветков на кустах хлопчатника с
различным числом ярусов.
В практике работы школы были проведены
самые разнообразные практические занятия,
связанные с хлопководством и определенным
программным материалом по математике.
Аналогичные практические занятия возможны
и по другим видам сельскохозяйственных
культур
Проверочные практические занятия прово-
дятся в тех случаях, когда нужно определить
уровень знаний учащихся и закрепить теоре-
тические знания.
Рассматривая приведенные примеры, заме-
чаем, что ознакомление с новым теоретиче-
ским материалом может осуществляться в
процессе выполнения практического задания,
которое предлагается на различных этапах
урока как обучающее, познавательное и акти-
визирующее средство учебно-воспитательного
процесса. При таком подходе к организации
урока создаются благоприятные условия для
познавательной деятельности учащихся — они
сами делают обобщения, формулируют теоре-
мы. При этом если доказательство трудной
теоремы и проводит учитель, го ход доказа-
тельства учащиеся воспринимают уже глуб-
же, осмысленнее. При таком введении новых
понятий и изучении теорем активно осуществ-
ляется закрепление учебного материала и его
применение. Новые понятия вводятся с по-
мощью выполнения практических заданий,
связанных с практической деятельностью уча-
щихся; они легко находят аналогичные прак-
тические задачи из повседневной жизни и са-
мостоятельно их решают.
Конечно, не всегда в процессе обучения ма-
тематике следует связывать математические
понятия непосредственно с реальными веща-
ми. После введения новых понятий путем об-
общения результатов практических занятий
дальнейшее развитие их основывается уже на
имеющемся опыте учащихся. Таким образом,
возможно естественным путем, отправляясь
от практических занятий, воспитывать у уча-
щихся способность абстрактно мыслить, учить
их построению строгих дедуктивных доказа-
тельств.
Практические занятия должны сочетать
репродуктивные и продуктивные методы обу-
чения. В процессе обучения математике уча-
щимся нужны и чисто технические навыки и
умения, как, например, вычислительные, алго-
ритмические, навыки математического моде-
лирования и др., которые формируются и за-
крепляются на практических занятиях.
Наши наблюдения показывают, что на тех
уроках, где выполняются практические зада-
ния, активность учащихся намного выше, чем
на других уроках, а в результате и качество
запоминания и воспроизведения изучаемого
материала в экспериментальных классах луч-
ше, чем в контрольных Причина, очевидно, в
том, что при такой работе ученики не только
воспринимают материал из уст учителя, но и
сами активно участвуют в его создании и
усвоении путем сочетания мыслительных опе-
раций с практическими действиями.
Отметим еще, что практические занятия
развивают у учащихся творческую самостоя-
тельность, инициативу, помогают лучше реа-
лизовать в обучении принцип связи теории и
практики.
23
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ ПО ПРОФОРИЕНТАЦИИ
И ЭКОНОМИЧЕСКОМУ ВОСПИТАНИЮ
Программирование —
профиль трудового обучения
В. Д. Горским, Т. П. Кравчук
(Москва)
В условиях широкого распространения вычис-
лительных машин нельзя обойтись без озна-
комления с программированием самых широ-
ких кругов работников различных отраслей
народного хозяйства.
Длительное время существовало мнение,
что изучение программирования в условиях
школы доступно только учащимся, имеющим
ярко выраженные математические способно-
сти. Программирование рассматривалось
только в школах и классах с углубленным
изучением математики, а в обычных классах
изредка было темой факультативных занятий.
Но эти занятия посещали опять-таки школь-
ники, проявлявшие повышенный интерес к ма-
тематике. Однако и в математических клас-
сах, и на факультативных занятиях изучение
программирования являлось прежде всего до-
полни .ельной формой математического разви-
тия учащихся.
Признание необходимости всеобщего озна-
комления с основами программирования и с
электронной вычислительной техникой (хотя
бы в самых общих чертах) нашло отражение
в том, что в'курс математики VIII класса ны-
не включена тема «Алгоритмы и элементы
программирования». Заметное форсирование
процесса внедрения программирования в
школьное образование можно ожидать от вве-
дения его в число специальностей, изучаемых
в межшкольных учебно-производственных
комбинатах (УПК). Такие УПК (их число
медленно, но неуклонно увеличивается) могут
служить базой для выработки форм более ши-
рокого изучения программирования в рамках
массовой школы.
УПК № 1 Октябрьского района Москвы ве-
дет трудовое обучение по семи специально-
стям, связанным с электронно-вычислительной
техникой. Более половины его учащихся зани-
маются программированием. Наш многолет-
ний опыт работы в этом УПК с учащимися,
значительное число которых приходят из
обычных средних общеобразовательных школ,
показал, что для изучения программирования
не нужно привлекать какие-либо специальные
знания, выходящие за пределы школьной ма-
тематики. Мы установили, что для этой про-
фессии требуются не столько знания по мате-
матике, сколько логическая культура, трудо-
любие и аккуратность.
Комплектуя учебные группы всеми желаю-
щими заниматься программированием, мы не
исключаем и тех, кто имеет по математике
оценку «удовлетворительно» Мы давно обра-
тили внимание, что в программировании кро-
ется «реабилитационный момент». Имеется в
виду следующее: многие школьники, запус-
тившие математику и слабо успевающие по
этому предмету, но обладающие некоторой
логической культурой, легко справляются с
программированием: на базе весьма скромно-
го математического багажа они решают боль-
шое количество математических задач по про-
граммированию, зачастую довольно сложных.
В результате повышается их математическая
подготовка, а успехи в программировании все-
ляют в учащихся уверенность в их силах. Они
начинают лучше успевать в школе по матема-
тике, и не только по математике.
Изучение программирования строится на
способности логически мыслить и в то же вре-
мя развивает такое мышление. Происходит,
на что уже обращалось внимание в различ-
ных публикациях, взаимное обогащение
школьного курса математики и программиро-
вания общими понятиями, разбираемыми за-
дачами, подходом к их решению. Значительно
расширяется область применения математиче-
ских знаний. Улучшающаяся математическая
подготовка учащихся облегчает им в дальней-
шем восприятие технических дисциплин само-
го широкого диапазона специальностей.
Ппограммированпе, как никакая другая
дисциплина, требует максимума настойчиво-
сти, собранности, терпения, аккуратности, уме-
ния и желания довести задачу до конца.
Написание программы — это только начало
работ ы над ней. Дело в том, что электронно-
вычислительная машина признает только аб
солютную правильность программы и по фор-
ме и по содержанию. Мы называем такое со-
ставление программы «интеллектуальной че-
стностью». Не настаивая на самом термине,
хотим его пояснить. Любой значок, написан-
ный рукой составляющего программу на мно-
гих ее листах, должен быть абсолютно верен.
Ничто не должно подразумеваться, все долж-
но быть сформулировано. Такая педантич-
ность сама по себе представляет для школьни-
ков затруднение, в преодолении которого вос-
питывается не только будущий программист,
но и вообще работник, предъявляющий высо-
кую требовательность к результатам своего
труда.
Наш межшкольный учебно-производствен-
ный комбинат ведет ориентацию школьников
2-1
яа выбор специальностей, связанных в той или
иной форме с электронно-вычислительными
машинами. Именно поэтому за нами укрепи-
лось второе наименование: «Учебно-производ-
ственный центр вычислительной техники», ко-
торое достаточно полно выражает эту специ-
фику. Совершенно естественно, что среди всех
специальностей, предлагаемых учащимся для
изучения, есть и программирование. Но в па-
шем случае это не просто дисциплина, разви-
вающая ученика. Это профиль трудового обу-
чения. Причем мы относим его к такому про-
филю, освоение которого открывает для окон-
чивших X класс возможность либо сразу на-
чать конкретную трудовую деятельность на
конкретном рабочем месте, либо правильно
выбрать место дальнейшей учебы.
Изучаемая специальность носит название
«Программист-лаборант». «Программист» вы-
ражает профиль специализации, «лаборант» —
уровень приобретаемой квалификации. Эта
специальность интересна, пользуется автори-
тетом у молодежи и доступна подавляющему
числу учащихся (на «4» и «5» по ней успевают
в среднем до 80—85% обучающихся). Эта
специальность перспективна, и поэтому более
50% оканчивающих УПК избирают ее для
дальнейшего трудоустройства или продолже-
ния учебы. Называя эти цифры, еще раз обра-
щаем внимание на то, что речь идет не о вы-
пускниках специализированных школ и клас-
сов с углубленным изучением математики, а о
значительном контингенте учащихся средних
общеобразовательных школ. Среди них есть
ребята из спецшкол нематематического про-
филя, например, из школ с углубленным изу-
чением иностранного языка. Наблюдения за
ними дают основание утверждать, что приви-
тые им за годы более насыщенного учебного
труда настойчивость, собранность, аккурат-
ность приносят отличные результаты при за-
нятиях программированием.
В настоящее время во всех УПК трудовые
знания и умения приобретаются последова-
тельно. Одна из причин этого связана с тем,
что курс обучения в УПК рассчитан на реали-
зацию его одним преподавателем.
Для усвоения программирования как вида
трудовой деятельности необходимо овладеть
приемами вычислительной математики, зна-
ниями возможностей и структуры электронно-
вычислительных машин, научиться програм-
мировать на одном или нескольких конкрет-
ных языках. Исходя из своего опыта, мы ре-
комендуем по профилю «программист» не-
сколько иную, чем обычно принято, структуру
обучения в УПК. Предлагаемое нами содер-
жание обучения программированию разбито
на учебные предметы, или курсы. Последова-
тельность их введения определяется логикой
освоения специальности и основывается на
связи со школьной математикой.
С начала I полугодия IX класса школьники
осваивают параллельно так называемые ввод-
ные курсы: «Основы программирования», «Ос-
новы ЦЭВМ», «Вычислительная математика».
Затем изучаются одновременно три языка про-
граммирования: Алгол, Фортран, Ассемблер.
Каждый предмет ведет свой преподаватель.
Они чередутся друг с другом в течение у еб-
иого дня, который учащиеся проводят в УПК.
В курсе «Основы программирования» изу-
чается программирование на одном простей-
шем языке для одной (условной) простейшей
универсальной машины с плавающей запятой.
Программы, составленные учениками, выпол-
няются на фактически имеющихся машинах с
помощью программных интерпретаторов, раз-
работанных для этой цели в нашем учебно-
производственном центре.
Это дает возможность усвоить существо
программирования, не отвлекаясь па особен-
ности инженерных построений фактических
машин, не изучая синтаксиса и правил совре-
менных языков программирования и избегая
большой неблагодарной работы программиро-
вания в кодах. Параллельно с овладением
теоретическим материалом учащиеся делают
упражнения, т. е. пишут и отлаживают про-
граммы.
На первых занятиях они знакомятся с исто-
рией программирования, его фактическим и
перспективным применением, занимаются по-
зиционными системами счисления, в частности
десятичной, двоичной и восьмеричной, изуча-
ют логическую схему машины и структуру
команды, пишут простейшие программы.
Далее учащиеся последовательно знакомят-
ся с ветвящимися, циклическими программа-
ми, использованием подпрограмм и библио-
течных программ, современным методом орга-
низации программы.
Заканчивается курс общим рассказом о
структуре современных машин, их операцион-
ных системах и языках программирования вы-
сокого уровня.
Программирование на условной машине ве-
дет к достаточно быстрому обучению програм-
мированию, так как из него удалено все, что
не служит этой цели. И на его базе в даль-
нейшем хорошо усваивается программирова-
ние на языках высокого уровня и на Ассемб-
лере для современных машин третьего поко-
ления. Познакомившись с системой команд,
школьники сравнительно быстро осваивают
простейшие программы и могут передавать их
для обработки на ЦЭВМ.
Составление простейших программ строит-
ся на уже известном учащимся материал0
школьной математики (вычисление значений
25
простых функций, корней системы уравнений
с двумя неизвестными, площадей треугольни-
ков и др.). Таким образом, учащиеся видят
прикладное значение материала, ранее изу-
ченного в школе, и по-иному его оценивают.
На базе курса «Основы программирования»
изучаются современные языки программиро-
вания. Учащиеся осваивают язык Ассемблер,
который тесно связан с настоящим машинным
языком и функционально почти совпадает с
ним. На специальных курсах в УПК изучают-
ся наиболее удобные для научных и инженер-
ных расчетов и поэтому наиболее распростра-
ненные языки Алгол и Фортран.
Программы, составленные школьниками,
обсчитываются на ЭВМ третьего поколения,
поэтому ребята вынуждены работать в режи-
ме программистов «третьего поколения». По-
лучая задачу, они составляют программу ее
решения на бланках, сдают в перфобюро, от-
куда программы уже без участия школьников
поступают в ВЦ и пропускаются в ЭВМ в па-
кетном режиме. Школьники получают распе-
чатки (листинги). По листингам и перфокар-
там они находят свои и чужие ошибки и, вно-
ся исправления, отлаживают программы.
Именно такая форма обработки программы
при «безмашинном» обучении поставила нас
перед необходимостью ввести для учащихся
дополнительный курс, который мы условно
назвали «Основы ЦЭВМ». Этот курс несет не-
сколько специфическую нагрузку, устраняя
разрыв, который образуется в силу того, что
программист не всегда имеет непосредствен-
ный контакт с ЭВМ. Однако полезно, а иног-
да и просто необходимо, чтобы он четко пред-
ставлял себе архитектуру комплекса, техноло-
гию прохождения программы и физические
принципы работы отдельных устройств ЭВМ.
Курс «Основы ЦЭВМ» начинается с исто-
рии возникновения и развития вычислитель-
ной техники. Рассматривая классификацию и
области применения средств вычислительной
техники, учащиеся знакомятся с ее многооб-
разием и широтой распространения. Они осо-
знают универсальность современных ЭВМ,
т. е. возможность их применения не только в
сфере материального производства, но и в не-
производственной сфере (культура, медииина,
военное дело). Это особенно важно для той
группы учащихся, которые к изучению спе-
циальностей, связанных с ЭВМ, сначала от-
носятся недостаточно серьезно, предполагая,
что в дальнейшем, после школы знания в об-
ласти программирования им в жизни никогда
не потребуются.
Первый раздел курса завершается рассмот-
рением блок-схемы ЭВМ и экскурсией в вы-
числительный центр УПЦ ВТ«
Следующий раздел посвящен устройствам
подготовки информации для ЭВМ и ввода ее
в машину. Соприкасаясь с носителями инфор-
мации (перфоленты и перфокарты), учащиеся
знакомятся с ГОСТами, системой стандарти-
зации, ЕСКД. Изучая устройства ввода ин-
формации в ЭВМ, они расширяют свои позна-
ния в области механики и фотоэффекта. Для
учащихся приобретают практический смысл
понятия о световом и электрическом импуль-
се. Несмотря на такое количество новой ин-
формации, курс не является теоретическим.
Под руководством преподавателя учащиеся
знакомятся с устройствами и сами набивают
информацию на ленточном перфораторе (те-
летайпе), перфскарточном устройстве, дубли-
руют носителей информации, вводят данные в
ЭВМ с ленточного и карточного фотосчитыва-
телей. Таким образом «квадратики» блок-схе-
мы ЭВМ приобретают реальные очертания
конкретных устройств, работающих на этом
этапе обучения в автономном режиме.
Изучение запоминающих устройств, накап-
ливающих информацию на магнитных лентах,
магнитных барабанах и магнитных дисках,
начинается с разбора принципов работы обык-
новенного магнитофона. Рассматриваются
устройства головок записи и считывания, ма-
териалы, из которых они изготовлены, разби-
раются вопросы, связанные с магнитным по-
лем. Учащиеся проводят практические заня-
тия по изучению работы накопителя на маг-
нитных лентах, действующего в автономном
режиме.
Изучению арифметического устройства
(АУ) ЭВМ предшествуют занятия по матема-
тической логике. После знакомства с работой
АУ учащиеся переходят к ознакомлению с
устройствами вывода и управления.
Заканчивается курс «Основы ЦЭВМ» экс-
курсией в вычислительный центр. На предше-
ствующем занятии и во время самой экскур-
сии рассматриваются порядок прохождения
программ в ЭВМ, режим работы ВЦ, задачи
программиста, инженера, техника, электрон-
щика, механика и других представителей пер-
сонала современной электронно-вычислитель-
ной машины. Внимание учащихся обращают
на сбои программ в ЭВМ и на выяснение при-
чин сбоев. Подчеркивается, что труд персона-
ла ЭВМ коллективно-индивидуальный. Только
при четком выполнении своих индивидуаль-
ных функций программистом, перфораторщи-
ком. оператором, механиком возможно успеш-
но решать задачи на ЭВМ, продуктивно ис-
пользовать дорогостоящее оборудование. Не-
достатки работы одного сотрудника могут
свести на нет труд целого коллектива. В свя-
зи с этим затрагиваются вопросы научной ор-
ганизации труда работников ВЦ.
Во время этой экскурсии учащиеся знако-
мятся с теми устройствами, которые не рас-
сматриваются в курсе, например с дисплеем,
позволяющим ввести в ЭЗМ чертеж, трафик,
буквенно-цифровую информацию с экрана.
Знакомство с этой техникой производит силь-
ное впечатление на учащихся, заметно повы-
шает их интерес к ЭЁМ.
Об изучаемых в нашем УПК языках про-
граммирования мы не пишем по двум причи-
нам. С одной стороны, выбор их носит не-
сколько субъективный характер и в иных ус-
ловиях могут быть рассмотрены иные языки
программирования, чем у нас. С другой сто-
роны, о конкретных языках программирова-
ния уже много писали на страницах этого
журнала.
Курс «Вычислительная математика» и посо-
бия для его реализации заимствованы нами
практически без изменений из специальных
математических школ.
Научиться программированию можно толь-
ко программируя. Этот принцип положен в
основу методики учебного процесса в нашем
УПК. Ученики в ходе занятий составляют и
отлаживают очень много программ.
В результате за два года ребята настолько
приобщаются к программированию, что изъ-
являют желание сдавать экзамены квалифи-
кационной комиссии и многие избирают для
дальнейшей учебы или работы эту сложную,
массовую, современную специальность.
О производственных экскурсиях
К. Г. Кожабаев
(г. Кокчетав)
Главная цель учебной экскурсии — показать
школьникам, как в условиях конкретного про-
изводства используются те или иные знания,
полученные ими на уроках. Учебными плана-
ми школы не предусмотрены производствен-
ные экскурсии собственно по математике, но
учитель математики может проводить их сов-
местно с учителями других естественных дис-
циплин. Такие экскурсии обычно называют
комплексными.
Комплексные экскурсии должны вносить су-
щественный вклад в решение двух взаимосвя-
занных задач — общеобразовательной и вос-
питательной. К ним прежде всего относятся
следующие задачи: раскрытие роли естествен-
нонаучных дисциплин как теоретического фун-
дамента производства, расширение политех-
нического кругозора учащихся, приобретение
новых научных сведении, в гом числе о прак-
тике измерений, вычислений и о применении
математических фориул в хонхрегных ситуа-
циях; воспитание у «чащйхся трудолюбия,
коллективизма, чувства ответстс<'тт”^г'тп за ре-
зультаты своей работы. Экскурсии вносят су-
щественный вклад в развитие у учащихся
уважительного отношения к труду, к людям
труда, ко всему тому, что создано их разу-
мом и руками. Реализация этих задач не мо-
жет не натолкнуть учащихся на более созна-
тельный выбор своей будущей профессии.
В ходе экскурсии зачастую возникает необ-
ходимость затрагивать сущность производст-
венного процесса, который базируется на оп-
ределенных законах естественных наук. По-
этому для обеспечения эффективности экскур-
сии необходимо при составлении ее плана
скоординировать программы соответствую-
щих естественнонаучных дисциплин. Комп-
лексные экскурсии можно проводить по двум
и более дисциплинам одновременно, например
по математике и физике, по математике, фи-
зике и химии, и т. д. При организации экс-
курсии учителю математики надо заранее по-
думать, дает ли она возможности для прове-
дения различных практических работ. Если
такие возможности имеются, их надо непре-
менно использовать. Например, во время экс-
курсии учащиеся могут тренироваться в опре-
делении расстояний на глаз и шагами, произ-
водить съемку плана местности, делать изме-
рения для составления задач по материалам
экскурсии.
Образовательный и воспитательный эффект
экскурсии зависит от тщательности ее подго-
товки и проведения, от своевременного и ка-
чественного подведения итогов. Экскурсия
пройдет успешно, если учитель совместно со
своими коллегами — преподавателями других
дисциплин определит темы, по которым мож-
но провести экскурсию, правильно поставит ее
цель, удачно выберет экскурсовода, подгото-
вит текст вступительной беседы, составит
групповые и индивидуальные задания уча-
щимся, продумает способы подведения итогов
экскурсии и порекомендует учащимся необ-
ходимую литературу.
Для подведения итогов экскурсии могут
быть использованы следующие формы* заклю-
чительная беседа по материалам экскурсии и
заключительная конференция. На конферен-
ции заслушиваются индивидуальные и кол-
лективные отчеты учащихся о работе, проде-
ланной во время экскурсии и после нее. Это
может быть решение задач, составленных уча-
щимися по данным, собранным во время экс-
курсии, обзоры истории развития данного за-
вода (колхоза), а также целой отрасли инду-
стрии, которую этот завод представляет, рас-
сказы о профессиях, необходимых на данном
предприятии, ит. д.
Собранные во время экскурсии материалы
можно оформить в нид^ таблиц, схем, стендов.
27
Отдельные задания, оформленные в виде до-
кладов с иллюстрациями, выставляются в ка-
бинете математики, становясь достоянием
всех учащихся. За содержание и качество вы-
полненных заданий учащимся выставляются
оценки.
Анализ работы школ показывает, что наи-
более трудным для учителя математики явля-
ется определение темы экскурсии и выбор
объекта в соответствии с нею. Нами составлен
примерный тематический план комплексных
производственных экскурсий с учащимися V—
VIII классов. В плане указаны цели каждой
экскурсии и разделы тех учебных предметов,
по которым она проводится.
Физика. Тепловые явле-
ния, теплопередача и рабо-
та: способы изменения
внутренней энергии тела;
энергия топлива; закон со-
хранения и превращения
энергии в механических и
тепловых процессах. Тепло-
вые двигатели
Описать основные техни-
ческие характеристики
тепловоза: тип теплово-
го двигателя, расход го-
рючего, максимальная и
эксплуатационная ско-
рости, тормозной путь,
система смазки двигате-
ля, система охлаждения
VIII класс
ЧЕРЧЕНИЕ И МАТЕМАТИКА
V класс
МАТЕМАТИКА И БОТАНИКА
Объект экскурсии — элеватор
Объект экскурсии — конструкторское бюро завода
Разделы учебных
предметов
Черчение. Аксонометри-
ческие проекции плоских
фигур. Развертки поверх-
ностей .геометрических тел.
Разделы учебных
предметов
Ботаника. Состав семян,
их сортировка, условия про-
растания.
Математика. Повторе-
ние темы «Проценты», столб-
чатые диаграммы, графики
Цель экскурсии
Ознакомление учащихся
со способами определе-
ния влажности зерна,
сортировки семян и ус-
ловиями их хранения.
Получение числовых дан-
ных для построения диа-
грамм и графиков
Математика. Тригоно-
метрические функции: соот-
ношения между сторонами
и углами прямоугольного
треугольника. Приближен-
ные вычисления
Цель экскурсии
Ознакомление учащихся
с работой чертежника, с
чертежными инструмен-
тами, применяемыми в
технике. Вычисление ре-
альных размеров плоских
фигур по чертежам, вы-
полненным в определен-
ном масштабе в аксоно-
метрической проекции.
Вычисление некоторых
элементов пространст-
венных фигур по дан-
ным, указанным иа их
развертках. Тренировка в
измерении отрезков и уг-
лов с заданной степенью
точности
VI класс
МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА
Объект экскурсии — строительная площадка,
башенный край
Разделы учебных
предметов
Математика. Понятие
об обратной пропорциональ-
ности, свойство обратной
пропорциональности.
Физика. Работа и мощ-
ность Энергия. Равенство
работ при использовании
простых механизмов, «зо-
лотое правило механики»
Цель экскурсии
Рассмотреть простые ме-
ханизмы, используемые в
строительстве: рычаг,
блоки, лебедки и т. д.
Установить, какие физи-
ческие величины явля-
ются обратно пропорцио-
нальными. Сделать необ-
ходимые измерения для
составления задач на
вычисление силы, требу-
ющейся для поднятия тел
данной массы с помо-
щью рычага
VII класс
МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА
Объект экскурсии — отделение железной дороги
Разделы учебных
предметов
Математика. Повторе-
ние темы «Функция»: спо-
собы задания функций, оп-
ределение значений функции
по данному графику. При-
ближенные вычисления. По-
добные фигуры: применение
свойств подобных фигур в
измерительных приборах.
Цель экскурсии
Выяснить, какие табли-
цы, графики и номограм-
мы используются работ
никами железнодорожно-
го транспорта, какие
расчеты выполняются с
их помощью. Ознакомить
учащихся со способами
измерения величины за-
зора между рельсами и
ширины колеи. Произвес-
ти ряд измерений этих
величин и определить до-
nyci асг.'ые отклонения.
Расширять формы
профориентационной работы
3. А. Магомеддибирова
(с. Карата ДагАССР)
От учителя математики требуется постоянное
внимание к профессиональной ориентации
учащихся.
В поиске путей совершенствования деятель-
ности учителя математики сельской школы
по профориентации учащихся представляют
определенный интерес результаты выполнен-
ного нами изучения постановки этой работы
в ряде школ Дагестана.
Учителям математики был задан такой во-
прос: «Какова Ваша роль как преподавателя
общеобразовательного предмета и как класс-
ного руководителя в работе по профориента-
ции учащихся?» Только 18% из 146 опрошен-
ных ответили, что они проводят экскурсии на
производство, беседы с учащимися о выборе
профессии, устраивают встречи со специали-
стами, разъясняют прикладную роль матема-
тики, подбирают и составляют задачи с про-
изводственной тематикой, пспользуя краевед-
ческие и статистические материалы, и т. п.
Большинство же учителей ссылались на то,
что школьные программы перегружены и это
не позволяет уделять проблеме профориента-
ции должное внимание.
28
Во внеклассной работе учителя математики
большое место занимает проведение турниров,
утренников, олимпиад по математике, круж-
ков, пропаганда математических знаний через
стенную печать, стенды, таблицы, альбомы
и т. д. Однако профориентационная работа не
находит здесь должного внимания. Например
лекции и беседы о профессиях проводят толь-
ко 5% опрошенных учителей, просмотр и об-
суждение теле- и радиопередач о выборе спе-
циальности— 12,3%, встречи со специалиста-
ми разных профессий—9,6%, экскурсии на
местные предприятия и в производственно-
технические училища — 18,9% В то же время
все учителя считают эти виды работы по
профориентации весьма полезными.
Опрошенные указали ряд объективных
трудностей в работе учителя математики сель-
ской школы по вопросам профориентации уча-
щихся. Чаще всего они связаны с недостатком
популярной литературы для учащихся по вы-
бору профессии и методической литературы
для учителей по этим вопросам. Подавляющее
большинство (94%) наших собеседников от-
метил! также, что профориентацию усложня-
ет неосведомленность учителей в том, какие
профессии необходимы для сельскохозяйст-
венных и промышленных производств района,
совхоза, где находится школа.
В целях выявления того влияния, которое
оказывает школа на выбор учащимися своей
профессии, полезно проанализировать мотивы,
побуждающие учащихся восьмых классов
продолжить свое образование в ПТУ. Мы про-
вели анкетирование 162 учащихся сельских
ПТУ. На вопрос «Чю оказало влияние на вы-
бор вами той профессии, которой вы обучае-
тесь в ПТУ?» были получены такие ответы:
совет товарища (9,8%), совет родителей
(8%), рекомендация учителей школы (13,5%),
приглашение работников ПТУ или предприя-
тия (19,4%), самостоятельное, свое решение
(49,3%).
Не все учащиеся поступили именно в те тех-
никумы или училища, которые они первона-
чально избрали. Причиной того, что их наме-
рения не осуществились, молодые люди счи-
тают: 1) недостаточные знания по профили-
рующим дисциплинам, в основном по матема-
тике (53%); 2) советы родителей (47%).
Следующий вопрос анкеты был таким: «Не-
обходимы лн знания по математике в избран-
ной вами профессии?» Положительно на него
ответили 88% учащихся ПТУ — будущие ме-
ханизаторы, столяры, плотники, каменщики,
швеи, кулинары и др. Причем они перечисли-
ли, для каких именно практических целей им
необходимы знания по математике.
На вопрос «Какие формы профориентаци-
онной работы в школе, и в частности на уро-
ках математики, могут быть особенно полез-
ными?» учащиеся техникумов и училищ дали
следующие ответы
1 Встречи со специалистами разных про-
фессий, экскурсии на предприятия и в ПТУ,
беседы о выборе профессии, диспуты Более
подробное знакомство в школе с теми профес-
сиями, которые нужны в данном районе.
2 Решение задач производственного содер-
жания, по более интересных, чем те. которые
даются в учебниках и задачниках.
3 Математические вечера, посвященные
различным приложениям математики, в осо-
бенности ее роли в производстве
4 . Учащиеся высказывали предложение со-
здать в школах группы по ш-тересам и вести
с ними разнообразную работу по выбору про-
фессии как на уроках, так и во внеурочное
время. С такими группами можно было бы
решать задачи из сборников задач и упраж-
нений для'поступающих в строительные, сель-
скохозяйственные, кооперативные техникумы
и училища, а также использовать сборники
задач, связанные с рабочими и массовыми
профессиями.
Изучение интересов учащихся к различным
профессиям позволило нам расширить исполь-
зуемые в школах методы профориентационной
работы. Одной из новых и перспективных
форм является проведение с учащимися VII—
VIII классов факультативных практикумов по
тематике, согласованной с местными УПК,
ПТУ и органами народного образования Та-
кие факультативные практикумы позволяют за
сравнительно небольшое время не только по-
знакомить учащихся со спецификой той или
иной профессии, но и дать им некоторые прак-
тические навыки по математике и другим
предметам, необходимые для успешного овла-
дения циклом изучаемых в ПТУ или УПК
профессиональных дисциплин. Этим факуль-
тативам обычно предшествуют различные
формы внеклассной профориентационной ра-
боты, которые проводятся учителями матема-
тики совместно с преподавателями смежных
дисциплин.
9Г1
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Поиск решения задач
на доказательство параллельности
и перпендикулярности прямых
и плоскостей в пространстве
Ю. А. Розка
(Волгоград)
Большие трудности при решении задач в кур-
се стереометрии вызывают обоснования па-
раллельности и перпендикулярности прямых и
плоскостей в пространстве как данных в усло-
вии задачи, так и дополнительно проведен-
ных в ходе ее решения. Эти трудности во мно-
гом можно объяснить тем, что у учащихся не
сформированы приемы поиска решения задач.
Одним из возможных путей лучшего обуче-
ния учащихся поиску решения задач на дока-
зательство является постоянное внимание при-
менению аналитико-синтетического метода,
который позволяет сводить предложенные за-
дачи к более простым подзадачам. Нужные
подзадачи учащиеся находят лучше, если в
процессе поиска они пользуются некоторым
набором указаний в форме обобщенных во-
просов (кратко — вопросов), облегчающих са-
мостоятельное проведение анализа задачи.
Предлагаем один из возможных вариантов
указаний-вопросов, которые используются при
поиске решения задач на доказательство па-
раллельности и перпендикулярности прямых и
плоскостей в пространстве. Каждый вопрос
соответствует определенной теореме1.
I. Если надо установить параллельность
прямой и плоскости, то следует проверить:
найдется ли в этой плоскости поямая, па-
раллельная данной прямой (Б).
И. Если надо установить параллельность
двух плоскостей, то еледует проверить:
найдутся ли в очной из плоскостей две пря-
мые соответственно параллельные двум пере-
секающимся прямым другой плоскости (Hi);
найдется ли плоскость, параллельная каж-
дой из данных плоскостей (П2);
найдется ли прямая, перпендикулярная к
каждой из данных плоскостей (П3).
III Если надо установить параллельность
двух прямых в пространстве, то следует про-
верить:
будет ли одна из этих прямых параллельна
плоскости, в которой лежит другая прямая, и
будут ли они принадлежать одной плоскости
(ПБ);
1 В статье используется система теорем из учебного
пособия «Геометрия 9—10» под ред. 3. А. Скопеца
30
будет ли одна из этих прямых линией пере-
сечения двух плоскостей, проходящих соответ-
ственно через другую из этих прямых и пря-
мую, параллельную второй прямой (1112);
найдется ли прямая, параллельная каждой
из данных прямых (Ш3);
будут ли данные прямые линиями пересече-
ния двух параллельных плоскостей третьей
плоскостью (ИМ;
найдется ли плоскость, перпендикулярная к
каждой из данных прямых (Illg).
IV. Если надо установить перпендикуляр-
ность прямой и плоскости, то следует прове-
рить:
будет ли эта прямая перпендикулярна двум
пересекающимся прямым, лежащим в данной
плоскости (IVi);
будет ли эта плоскость перпендикулярна
прямой, параллельной данной прямой (IV2);
будет ли эта прямая перпендикулярна плос-
кости, параллельной данной плоскости (IV3);
будет ли прямая перпендикулярна линии
пересечения двух взаимно перпендикулярных
плоскостей, одна из которых данная, а в дру-
гой лежит эта прямая (IVJ.
V. Если надо установить перпендикуляр-
ность двух плоскостей, то следует проверить:
найдется ли в одной из плоскостей прямая,
перпендикулярная другой из этих плоскостей
(V,).
VI. Бели надо установить перпендикуляр-
ность двух прямых в пространстве, то следует
проверить:
перпендикулярна ли одна из данных пря-
мых плоскости, в которой чежит др^ая из
них (VIi);
будет ли одна из данных прямых проекцией
наклонной к плоскости, в которой лежит дру-
гая прямая, и перпендикулярна ли наклонная
этой второй прямой (Vis);
будет ли одна из данных прямых наклонной
к плоскости, в которой лежит другая прямая,
и перпендикулярна ли проекция наклонной
этой второй прямой (VI3).
Умения учащихся отвечать на эти вопросы
формируются на задачах, решение которых
состоит в применении одного какого-нибудь
теоретического положения (теоремы, аксио-
мы, определения) Такие задачи называются
одношаговыми
Научить учащихся решать одношаговые за-
дачи является целью первого этапа обучения
решению стереометрических задач на доказа-
тельство, Набор указаний-вопросов для ана-
лиза задач появляется постепенно: после изу-
чения теоремы формулируется соответствую-
щий ей вопрос. Затем учитель может предло-
жить учащимся решить устно или полуустно
задачи, например такие:
1. Даны две пересекающиеся плоскости а и
р. Доказать, что прямая, проведенная в плос-
кости а параллельно линии пересечения плос-
костей акр, параллельна плоскости 0.
2. Доказать, что прямая, проведенная в од-
ной из параллельных плоскостей, параплвль-
на другой из них.
3. Три плоскости а, 0, у пересекаются в од-
ной точке. При этом j4j0»=/n, afh = o, уЛ₽*=Р-
Доказать, что прямая а, проведенная в плос-
кости а парал^е 1ьно пряной т., параллельна
плоскости 0.
4. Две пересекающиеся по прямой с плоско-
сти а и р пересечены третьей плоскостью у
так, что у("|а=й, у[]0=а и й||с. Доказать, что
о||Ь и а[]с.
5. Дан тетраэдр ABCD, в котором надо про-
вести сечение плоскостью а, проходящей через
середины ребер AD и BD и внутреннюю точку
ребра АС. Доказать, что плоскость а парал-
лельна прямой АВ, и достроить сечение
(рис. 1).
Каждую из приведенных задач можно
«усложнить».
1°—3°. Возможно ли, и если возможно, то
как, провести прямую:
лежащую в одной из пересекающихся плос-
костей и параллельную другой из них (Г);
лежащую в одной из параллельных плоско-
стей и параллельную другой из них (2°);
лежащую в одной из трех пересекающихся
в одной точке плоскостей и параллельную од-
ной из двух других плоскостей (3°) ?
4°. Возможно ли, и если возможно, то как,
провести две параллельные прямые, лежащие
в двух пересекающихся плоскостях?
5°. Точки М и N — середины ребер AD и BD
тетраэдра ABCD. Постройте сечение тетраэд-
ра плоскостью, проходящей через М, N и
внутреннюю точку ребра АС.
Ясно, что решение задач 1—5 в первой ре-
дакции непосредственно следует из ответа на
соответствующий вопрос. Например, для зада-
чи 1 рассуждения ученика выглядят так:
«Нам надо доказать параллельность прямой и
плоскости. Проверим, найдется ли в этой плос-
кости прямая, параллельная данной прямой
(Ii)». Далее смотрит на рис. 2 и делает вы-
вод: «Так как а[|с и ccz0, то, по признаку па-
раллельности прямой и плоскости, а||0».
Если учащимся предложен гусложненный
вариант», то решение начинается с предполо-
жения о том, как может проходить прямая
или плоскость в данной ситуации. Например,
для задачи 4° возможны только два исхода —
«да» или хнет». Естественно, что ученик ’’на-
чала пробует изобразить на рисунке задан-
ную ситуацию, например, так, как на рис. 3,
Теперь надо доказать, что прямые а и Ь па-
раллельны. Обратившись к вопросам под
третьей рубрикой, учащийся рано или поздно,
но найдет вопрос Ш3 (найдется ли поямая,
параллельная каждой из данных прямых?).
Поиск такой прямой приводит к линии пере-
сечения данных плоскостей Теперь становит-
ся понятным и построение (рис. 4).
Формирование приема аналитико-синтети-
ческого поиска решения многошаговых задач
на доказательство происходит на итоговых
уроках по теме «Параллельность в простран-
стве». Для таких задач в стереометрии нет
единого алгоритма решения. Здесь учащемуся
всякий раз приходится делать выбор очеред-
ного шага решения в соответствии с заданной
ситуацией, что во многом облегчается нали-
чием набора приведенных выше вопросов. На
первых порах выбоп производится простым
перебором вопросов, однако учащиеся от это-
го скоро отказываются, а выбор становится
избирательным- Даже в случае простого пе-
ребора ученик анализирует заданную ситуа-
цию в соответствии с четко выраженной в вы-
бранном вопросе целью.
Рассмотрим пример поиска решения одной
задачи: «Дано. лЦа, а||0. Доказать: а||0».
Для того чтобы доказать, что а||0 (рис. 5),
надо проверить, найдется лн в этой плоскости
прямая, параллельная данной прямой (h).
Предположим, что такая прямая есть и
проходит она так, как показано на рис. 6.
Чтобы доказать, что аЦй надо проверить2,
найдется ли прямая, параллельная каждой из
данных прямых (1ПЛ). Предположим, что она
существует и расположена в плоскости a
(рис. 7). (Здесь возможен и тупиковый ход.)
Чтобы доказать, что а[|с, надо проверить,
будет ли одна из этих прямых параллельна
• Здесь и дальше мы не будем рассматривать тупико-
вые ходы. Они выявляются при попытке ответить на во-
прос и отбрасываются.
31
плоскости, в которой лежит другая прямая, и
будут ли они лежать в одной плоскости
(Illi). Параллельность а и а дана по усло-
вию, плоскость у проводим через а и а
(рис. 8).
Для того чтобы доказать, что с||б, надо про-
верить, будут ли данные прямые линиями пе-
ресечения двух параллельных плоскостей
третьей плоскостью (Ш4). Параллельность а
я 0 дана по условию; плоскость б проведем
через прямую с и N С Р (рис. 9).
Поиск решения задачи закончен. Его можно
изобразить с помощью графоподобной схемы:
и>=>Ш,=>1я=^о||л.
Учащимся, которые затруднятся в поиске
решения, можно оказать более существенную
помощь, предложив частично заполненную
схему поиска, например;
° •
Оформление решения приводить не будем.
Отметим, однако, что после поиска решения
задачи, рассмотренного выше, учащиеся пред-
лагали «другое» решение: «Так как аЦа, то в
плоскости а найдется прямая с, параллельная
прямой а Плоскости аир параллельны, а
прямая с лежит в плоскости а, поэтому най-
дется такая прямая Ь. что с||Ь и 6cz0. По-
скольку сЦЬ и clja, то а\\Ь. Так как аЦб и остр,
то а||р»,
В этом решении использована та же идея,
что и в первом случае. Разница лишь в том,
что учащиеся свели основную задачу к ранее
решенным задачам на перьом и втором шаге.
Ино1да учащиеся используют прошлый
опыт в весьма широких пределах. Так, напри-
мер, па втором шаге поиска решения задачи
при попытке доказательства параллельности
прямых а и Ь, пробуя ответить на вопрос Illi,
ученик вдруг начинает рассуждать «от про-
тивного» «Пусть прямая а пересекает плос-
кость р Так как плоскости аир параллель-
ны, то прямая а пересечет и плоскость а. Это
противоречит условию, что aha. Следователь-
но, а ||р».
Следует признать, что если ученик может
доказать использованное положение о пересе-
чении двух параллельных плоскостей прямой,
то это весьма изящное решение. В противном
случае исходная задача свелась бы к подза-
даче— доказать, что прямая, пересекая одну
из параллельных плоскостей, пересекает и
другую. Эта подзадача является задачей, про-
тивоположной исходной задаче, и ссылаться
на нее нельзя, т. е. решение исходной задачи
будет не завершено.
Анализ задач на доказательство параллель-
ности и перпендикулярности прямых и плос-
костей в пространстве показал, что при их
решении наиболее часто используются сле-
дующие подзадачи:
1) Если прямая параллельна плоскости, то
в этой плоскости найдется прямая, параллель-
ная данной прямой. Доказать.
2) Если одна из двух параллельных прямых
пересекает плоскость, то и другая прямая пе-
ресекает эту плоскость. Доказать.
3) Если прямая лежит в одной из двух па-
раллельных плоскостей, то она параллельна
и другой плоскости. Доказать.
4) Если одна из параллельных плоскостей
пересекается прямой (плоскостью), то и дру-
гая пересекается этой же прямой (плос-
костью). Доказать.
5) Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна данной прямой, то и другая
перпендикулярна этой же прямой. Доказать.
6) В одной из двух взаимно перпендикуляр-
ных плоскостей всегда можно найти прямую,
перпендикулярную другой плоскости, Дока-
зать.
После тщательного доказательства этих
утверждений па текущих уроках в дальней-
шем учащимся можно разрешить ссылаться
на них как на «очевидные».
Указанные подзадачи 1)—6) мы назвали
элементарными. Они дополнили элементарные
задачи на проведение прямых и плоскостей в
пространстве, рассматриваемые в теоретиче-
ской части учебного пособья «Геометрия 9-
10».
Формирование рассмотренного приема мо-
жет быть продолжено па уроках по теме
«Перпендикулярность в пространстве».
В заключение отметим, что предлагаемая
методика обучения учащихся поиску решения
задач на доказательство не требует дополни-
тельной затраты времени. Заучивать наизусть
вопросы для анализа решаемой задачи не сле-
дует Набор этих вопросов должен использо-
ваться учениками как справочный материал
в случае затруднений при анализе заданной
ситуации. В сочетании с другими методами п
приемами решения задач предлагаемый прием
поиска дает хороший эффект.
32
Задачи как средство овладения
геометрическими понятиями
Г. Н. Васильева
(г. Пермь)
В обучении математике задачи чаще всего ис-
пользуются в процессе закрепления, примене-
ния изученного понятия. При решении задач
продолжается процесс его формирования, а
именно происходит овладение понятием. От
степени овладения отдельным понятием зави
сит успешность дальнейшей познавательной
деятельности учащегося: успешность приобре-
тения новых знаний и их применение к реше-
нию задач, самостоятельность школьника в
обучении.
Овладение понятием характеризуется уме-
нием применять его в новой ситуации. В боль-
шинстве своем геометрические задачи разли-
чаются составом данных, т. е. для конкретно-
го понятия каждая задача представляет собой
новую ситуацию. Поэтому овладение поня-
тием предполагает сформированность у уча-
щихся умения устанавливать связь между по-
нятием и условием задачи, на основе которой
осуществляется его аналитико-синтетическая
деятельность. Необходимость этого умения
для процесса анализа задачи, когда соверша-
ется выделение существенных для заданных
условий признаков понятия, очевидна. Такое
выделение одного или нескольких признаков
определяется степенью их усвоения в процес-
се формирования понятия и является резуль-
татом актуализации знаний. Покажем эго на
примере следующей задачи.
Отметьте две различные точки А и В. Най-
дите центр поворота, при котором точка В яв-
ляется образом точки А.
Анализ
Из условия задачи следу-
ет- B—Rx(A), где X —
центр поворота; в процес-
се решения задачи учащие-
ся в первую очередь вос-
производят признаки, вхо-
дящие в определение пово-
рота. (1)
Из того, что по условию
задачи точка В есть образ
точки А при повороте, уча-
щиеся выделяют в определе-
нии поворота его признак —
равенство расстояний | ХА |
и |ХВ| формулируют вы-
вод, направляющий поиск
решения задачи: построить
точку X, равноудаленную от
точек А и В. (2)
Построение
Построить точку X та-
кую, что B = Rx(A), где
Х-^-Х, А^-В-. 1X^1===
= |ХВ| АХВ — а, 0°«g
^аг^180г и направле-
ние поворота задано. (1)
Построить точку X при
заданных точках А н В,
если |ХЛ| = |ХВ|. (2)
|ХА| = |ХВ|, если
Х£т, где B=Sm(A).
(3)
Выделение в анализе свойства точек А и В
«равноудаленость от точки X» н формулирова-
ние вывода (2) характеризуют усвоение этого
признака при изучении поворота и способст-
вуют дальнейшему формированию понятия в
процессе решения задачи. Самостоятельное
выделение признака понятия в процессе ана-
лиза показывает способность учащихся к вос-
произведению признака в новой ситуации, при
решении задачи. Способность вычленять при-
знак понятия в новой ситуации характеризу-
ет качество сформированности понятия, кото-
рое в дальнейшем будем называть обобщен-
ностью его признаков1. Обобщенность при-
знаков понятия является показателем качест-
ва знаний учащихся. Самостоятельное выде-
ление указанного признака поворота при
решении рассмотренной задачи свидетельству-
ет об овладении учащимися понятием по-
ворота.
Равноудаленность точки X от точек Л и В
является признаком точек оси симметрии (2).
Выделение в ходе анализа этого признака
способствует актуализации понятия оси сим-
метрии точек А и В. Таким образом, обоб-
щенность признаков понятий «поворот» и
«ось симметрии» способствует нахождению
плана решения задачи:
1) построить прямую т — ось симметрии
точек А и В;
2) указать точку X, такую, что Х£ т и
|ХД| = |ХВ|.
Заметим, что для анализа задачи учащиеся
должны сделать рисунок, записать условие и
требование задачи, а также отметить на ри-
сунке элементы задачпой ситуации. Самостоя-
тельное выполнение рисунка способствует со-
знательному выделению условия и требования
задачи, запоминанию используем ых понятий.
Обычно в решении задач применяются не
все признаки понятия, а один или несколько;
их выделение является обобщением предше-
ствующего ему анализа.
В VI классе на первых уроках геометрии
изучается большое число понятий. Их исполь-
зование при решении задач должно способст-
вовать выработке умений обосновывать, дока-
зывать, объяснять, что необходимо для даль-
нейшего успешного овладения геометрией.
Содержание учебного материала, очевидно,
должно быть таким, чтобы признаки изучае-
мых понятий можно было четко выделить и
применить при решении задач. Для этого не-
достаточно иметь только представление, образ
понятия (т. е. распознавать понятие), необхо-
димо знать связь между его признаками, а
1 Существует несколько видов обобщения; самый про-
стой из них — движение от частного к известному об-
щему, подведение частного случая под общее правило.
Именно этот процесс наблюдается в ходе поиска реше-
ния геометрической задачи; поэтому-то и необходимо
сформировать умение воспроизводить нужные признаки
понятия в данной ситуации. .
2 «Математика п школе* № 6
33
также уметь устанавливать связь с ранее изу-
ченными понятиями. Поэтому работе над пер-
выми понятиями необходимо уделять особое
внимание в плане формирования обобщенно-
сти признаков этих понятий.
Полезно, чтобы введению определения по-
нятия предшествовала работа по выделению
признаков, входящих в него. Этой цели
должна служить специально организованная
деятельность, например решение задач, в ко-
торой учащимися выявляются, самостоятель-
но формулируются признаки понятия, входя-
щие в определение; их выделение посредством
решения специально подобранных задач спо-
собствует постепенному, полному усвоению
признаков понятия и понятия в целом.
Первый этап работы по формированию по-
нятия заканчивается формулировкой опреде-
ления. На этом этапе рано говорить о сфор-
мированное™ понятия, обобщенности его при-
знаков, даже если учащиеся безукоризненно
формулируют определение. Для обобщенности
признаков понятия необходим опыт их ис-
пользования во взаимосвязи с другими поня-
тиями. Этой цели и служат задачи.
Так, при изучении понятия «лежать между»
необходимо прежде всего сформировать такие
частные умения:
1) по заданному равенству расстояний для
трех точек указывать их расположение на
прямой;
2) для трех точек прямой устанавливать ис-
тинность равенства или неравенства расстоя-
ний;
3) составлять равенство на основании дан-
ного описания расположения точек;
4) применять условие расположения данной
точки между двумя другими для нахождения
расстояния между точками.
В пелях качественного овладения первыми
понятиями курса геометрии совокупность за-
дач, предложенных пособием, можно допол-
нить. Например, для формирования понятия
«лежать между», для введения определения
понятия можно использовать следующие за-
дачи:
1. Отметьте точки А, В, С так,
а) АВ
б) АВ
в) АВ =5 см,
Сделайте
точек в каждом случае.
2. Для точек М, К, Р справедливо равенст-
во | КР | — | КМ | 1Л1Р |. Отметьте указанные
= 5 см,
=4 см,
выводы
точки.
чтобы:
ВС
ВС
ВС
АС =3 см,
АС —6 см,
АС =2 см,
о взаимном расположении
—2
=2
=6
см\
см-
см.
а) Каким может быть расстояние
если \КР |=5,3 см?
б) Как расположена точка Л1 относительно
точек К и Р?_
В решении этих задач выделяются призна-
ки изучаемого понятия: а) принадлежность
точек прямой; б) равенство расстояний |ЛС| +
+ |ВС| и |ЛВ|; в) три точки, не принадлежа-
щие одной прямой; г) из трех точек прямой
одна лежит между двумя другими.
В качестве дополнительных задач можно
предложить еще и такие:
3. Определите расстояние |ЛС|, если:
а) |ЛВ| =5 см, |£С| =3 см и точка В лежит
между А и С; б) |ДВ|=6,2 см. |ВС|=3,8см
и точка С лежит между точками А и В.
4. Три точки К, М, Р принадлежат прямой.
Определите расстояние | АГ/3!, если | КМ | =
= 3,2 см и | AfT3 [ =6,8 см.
5. Дан отрезок CD длиной 14 см и точка А
такая, что | ДС| +1 AD | = | CD |. Найдите рас-
стояние между серединами отрезков АС и AD.
Задачи на наблюдение
для развития пространственных
представлений у учащихся
IV — V классов
С. Б. Верченко
(Москва)
Наблюдая предметы окружающей действи-
тельности, модели простейших фигур, выпол-
няя под руководством учителя геометрический
анализ увиденного, учащиеся IV—V классов
накапливают геометрические факты, перера-
ботка которых в их сознании приводит к фор-
мированию и развитию пространственных
представлений.
Однако такие наблюдения при изучении
подготовительного курса геометрии в настоя-
щее время осуществляются не систематически
и явно недостаточно: упражнения, связанные
с наблюдением геометрических объектов, поч-
ти не выполняются; фактически на уроках ма-
тематики не проводится работа, направлен-
ная на выработку поавильных пространствен-
ных представлений и понятий и подготовку
перехода от предметных действий к выполне-
нию умственных операций. Поэтому учащиеся
приступают к изучению систематического кур-
са геометрии не совсем подготовленными к от-
четливому пониманию материала, у них не
хватает пространственных представлений и
пространственного воображения, вследствие
чего их дальнейшее развитие идет медленно.
Следует подчеркнуть, что в III—IV классах
на уроках рисования учащиеся изображают
предметы сложной формы, сочетающие в себе
элементы цилиндра, конуса и шара. В IV
классе они рисуют с натуры гипсовый куб,
шестиугольную призму, цилиндр, предвари-
тельно рассматривая каркасные модели этих
34
тел. На уроках труда в IV классе ребята из-
готовляют отдельные детали этих тел по за-
данной форме и размерам с использованием
технического рисунка и простейшего чертежа.
Однако деятельность учащихся на уроках
труда, рисования и математики не скоорди-
ннрованна.
Учитель математики не принимает во вни-
мание, что на уроках труда и рисования уча-
щиеся уже прошли первый этап подготовки к
предстоящему курсу стереометрии, и не под-
крепляет работу своих коллег собственными
усилиями. Однако в IV—V классах учитель
математики вполне может выделить какое-то
(пусть очень небольшое) учебное время для
занятий по развитию пространственных пред-
ставлений учащихся. В статье «Развитие про-
странственных представлений учащихся IV—
V классов» (Математика в школе, 1980, № 5)
были указаны темы, в связи с которыми по-
лезно разбирать данные вопросы. Методиче-
скую помощь в проведении таких занятий мо-
жет оказать описанный ниже опыт работы.
Мы предлагали учащимся три вида зада-
ний: на распознавание моделей, на рассмот-
рение чертежей (в том числе и на зрительные
иллюзии) и на одновременную работу с мо-
делью, чертежом и рисунком.
I. Распознавание моделей
1. Учащимся демонстрируется набор моде-
лей (рис. 1) и предлагается найти среди них
пирамиду (конус).
2. Учащимся предъявляются пары моделей:
параллелепипед и призма, конус и пирамида,
цилиндр и параллелепипед, пирамида и тре-
угольник (рис. 2,а—г). Предлагается сравнить
модели каждой пары, выявив их сходство и
различие.
3. Среди моделей на рис. 3 указать те, ко-
торые имеют центр (ось) симметрии.
Рис. 1
Рис. 2
▼ Рис. 3
4. На подставку, края которой окрашены в
разные цвета, например в красный и зеленый,
помещаются несколько различных моделей
(рис. 4). Требуется указать, какая из моде-
лей, конус или цилиндр, находится ближе к
красному (зеленому) краю стола. Описать,
используя слова «справа», «слева», «перед»,
«сзади», местоположение шара (призмы) от-
носительно цилиндра (конуса или пирамиды).
Дадим характеристш у этим заданиям.
Задание 1 «на распознавание» учит ребят
мысленно представлять виденную уже однаж-
ды фугуру, выделять те се свойства, которые
позволяют отыскать ее среди множества дру-
гих фигур. Весьма полезно включать в набо-
ры моделей как пространственные, так и плос-
кие фигуры. Пространственные модели нужно
располагать в различных положениях. Напри-
мер, на рис. 1 мы видим как стоящий конус
(6), так и «лежащий» (15). Там же мы встре-
чаем две пирамиды: одна стоит на основании
(13), другая — на боковой грани (17), и т. д.
Рис. 4
2*
35
Такие задания позволяют уточнить уже имею-
щиеся у ребят первоначальные представления
о пространственных фигурах. Учащиеся уже
не просто выбирают модель, а вспоминают
прежде всего характерные свойства требуемой
фигуры, соотнося их с признаками данных мо-
делей.
При выполнении задания 2 важно, чтобы
учащиеся не просто указывали «это цилиндр,
а это пирамида», а путем рассуждений выяв-
ляли сходные или различные свойства этих
фигур. Так, при сравнении призмы с паралле-
лепипедом они должны рассуждать следую-
щим образом: «обе эти фигуры являются про-
странственными, но они имеют неодинаковое
количество граней, ребер, вершин, так как у
одной фигуры в основании лежит треугольник,
а у другой — прямоугольник. Боковые грани
обеих фигур есть прямоугольники». В V клас-
се учащиеся могут проверить с помощью
угольника перпендикулярность ребер основа-
ниям. Сравнивая круглые тела и многогранни-
ки, учащиеся всегда сами убеждаются, что у
известных им круглых тел (конус, цилиндр,
шар) или вообще нет вершин (цилиндр, шар)
или одна вершина (конус). Они часто замеча-
ют, что круглые тела можно катить, а много-
гранники катись невозможно.
Что касается задания' 4, то такого рода уп-
ражнения помогают учащимся лучше ориен-
тироваться в пространстве, определяя место-
положение окружающих их объектов и выяв-
ляя при этом пространственные отношения
как между объектами, так и между их эле-
ментами.
II. Рассмотрение чертежей
1. Подсчитайте число лучей на рис. 5,а.
2. Что общего и что различного в располо-
жении отрезков на рис. 5,а и 5,6?
3. Сколько углов вы видите на рис. 6,а; на
рис. 6,6?
4. Сколько треугольников на рис. 7,а; на
рис. 7,6?
5. Укажите, в каких случаях фигуры на
рис. 8 симметричны относительно оси I. Про-
верьте свои ответы измерениями.
6. На рис. 9 угол АОВ развернутый, лучи
OD, ОМ и ON — биссектрисы углов АОВ,
DOA, DOB соответственно. Найдите, не поль-
зуясь измерениями, прямые углы на этом ри-
сунке.
7. Какие из фигур на рис. 10 симметричны
относительно а) оси Ох, б) оси Оу?
8. На рис. 11 изображен параллелепипед.
Укажите, какие из его вершин можно соеди-
нить отрезками такой же длины, что и отре-
зок: а)ДД, б) АС, в) BDt. Проверьте свои от-
веты измерениями по каркасной модели.
Упражнения 1—8 развивают «геометриче-
скую зоркость» учащихся. Выполняя их, ре-
бята должны прежде всего уяснить себе, о ка-
кой фигуре идет речь. Для этого необходимо
вспомнить характеристические признаки фигу-
ры, представить себе зту фигуру и выделить
ее на чертеже. Эти упражнения нацелены на
тренировку учащихся в умении ориентиро-
ваться в сложных конфигурациях, вычленяя
из них более простые элементы, не теряя в то
же время из виду всю конфигурацию в целом.
В IV—V классах учащихся следует готовить
к доказательству геометрических положений,
многие из которых первоначально кажутся
им очевидными. В силу этого особое значение
приобретает иллюстрация зрительных иллю-
зий, убеждающая детей в том, что мы не мо-
жем безраздельно доверять нашим органам
чувств. Задания, указанные ниже, помогают
учащимся уяснить, что выводы, получаемые с
помощью наблюдений, необходимо проверять
измерениями и путем логических умозаклю-
чений.
9. Определите на глаз значения углов на
рис. 12. Проверьте свои результаты транспор-
тиром.
36
Рис. 17
Рис 14
Рис. 15
10. Какие из квадратов на рис. 13 больше3
Светлые или темные?
И. Одинаковы ли круги В на рис. 14,а и на
рис. 14,6?
12. Являются ли параллельными линии с и
d на рис. 15,а, б?
13. Какой из отрезков на рис. 16,а—в длин-
нее: с или d?
14. Могут ли существовать тела, изобра-
женные на рис. 17?
Необходимо сообщить учащимся причины
возникновения зрительных иллюзий. Напри-
мер, глаз переоценивает величину острого и
недооценивает величину тупого угла — с этим
фактом учащиеся столкнутся в упражнении 9.
Погрешности в ответах к заданию 10 связаны
с тем, что темная фигура на светлом фоне ка-
жется больше, чем равная ей фигура, распо-
ложенная на темном фоне. В заданиях 11—13
использовано то, что наш глаз делает ошибку
в определении размеров фигур в «заполнен-
ном» и «пустом» пространстве, искаженно
воспринимает направления, расстояния и
формы фигур под влиянием других близко
размещенных предметов и фигур. Несколько
особняком стоит задание 14. Оно иллюстри-
рует следующую мысль: нарисовать можно
любую фигуру, даже ту, которой нет в дейст-
вительности. Поэтому надо осторожно отно-
ситься к рисункам, проверяя их правильность
на моделях или путем рассуждений.
III. Одновременное рассмотрение модели,
чертежа и рисунка
1. Рассмотреть модель куба и найти его
развертку среди конфигураций на рис. 18.
2. На рис. 19,а, б даны развертки прямо-
угольных параллелепипедов и на них отмече-
ны кружок и крестик. Перенести их на имею-
щиеся модели этих фигур.
3. На модели прямоугольного параллелепи-
Рис. 18
37
Рис. 19
педа (рис. 20,а) отмечены кружок и крестик.
Перенести их на развертку этой же модели
(рис. 20,6).
4. Расположить модель куба так, чтобы на-
блюдатель видел ее сначала в положении
а) на рис. 21, потом в положении б) на том же
рисунке. Аналогичное задание выполнить для
конуса (см. рис. 21,в,г).
5. Дана модель цилиндра (пирамиды). На-
рисовать ее в различных положениях к на-
блюдателю.
6. Модель правильной четырехугольной пи-
рамиды окрашена так, что ее основание крас-
ного цвета, а боковые грани поочередно зеле-
ные или желтые. Раскрасить развертку пира-
миды в соответствующие цвета.
7. На рис. 4 несколько моделей. Такие же
модели вручены учащимся. Требуется распо-
ложить их так, как указано на рисунке.
При выполнении работ по наблюдению
наиболее трудным является переход к обоб-
щению наблюдаемых фактов, доведение част-
ных случаев до общего положения, обучение
учащихся использовать установленные ранее
факты для обоснования новых фактов и для
решения конкретных задач. Задачи на наблю-
дение подводят учащихся к необходимости
доказательств, чем обеспечивается база для
предстоящего изучения систематического кур-
са геометрии.
Однако выполнение таких заданий учителю
нужно строго контролировать. Следует требо-
вать, чтобы учащиеся не только указывали
тот или иной объект, но и давали хотя бы
простейшие пояснения, уточняли, почему вы-
брано то или иное решение. Когда учащиеся
рассуждают вслух, у них отрабатывается чет-
кость математической речи и этим подготав-
ливается почва для овладения умением
строить дедуктивные выводы.
По указанной выше системе упражнений
проводился эксперимент в IV—V классах мос-
ковских школ. Упражнения предлагались уча-
щимся в виде карточек-заданий или с по-
мощью кодоскопа. Необходимые модели
школьники выполняли на уроках труда или
дома. Во время занятий учитель раздавал мо-
дели на каждую парту.
Задания включают материал, не выходя-
щий за рамки школьной программы. Некото-
рые виды заданий учащиеся получали на дом,
другие выполняли на внеклассных занятиях,
но большинство упражнений было рассмотре-
но в урочное время.
В результате проведенного эксперимента
были написаны контрольные работы на уста-
новление уровня развития пространственных
представлений у учащихся. Анализ этих работ
показал, что планомерная и систематическая
реализация предлагаемой системы упражне-
ний помогает подвести учащихся к необходи-
мому уровню развития пространственных
представлений и подготовить их к изучению
систематического курса геометрии.
Примерные планирование
и контрольные работы
по геометрии
для VI класса (II полугодие)1
Планирован! ie
(2 ч в неделю)
§ 3. Признаки равенства треугольников
(продолжение, 3 ч) 2
Решение задач 1 ч
Контрольная работа № З3 1ч
§ 4. Сумма углов треугольника (14 ч) 2
Признаки параллельности прямых 3 ч
Сумма углов треугольника 4 ч
Прямоугольный треугольник 2 ч
Существование и единственность перпендикуля-
ра к прямой 1 ч
Решение задач 2 ч
Контрольная работа № 4 1ч
§ 5. Геометрические построенич (16 ч) 2
Окружность 3 ч
Построение треугольника с данными сторонами 1 ч
Построение угла, равного данному 1 ч
Построение биссектрисы угла 1 ч
Деление отрезка пополам 1 ч
Построение перпендикулярной прямой | 2 ч
Геометрическое место точек ' 1 ч
Метод геометрических мест 1 ч
Углы, вписанные в окружность 3 ч
Контрольная работа № 5 1ч
Повторение (3 ч)
Контрольные работы
№ 4
I вариант
1. Один из углов, получившихся при пере-
сечении двух параллельных прямых третьей
прямой, равен 122°. Определите остальные 7
углов.
2. В равнобедренном прямоугольном тре-
угольнике DEK точка М, лежащая иа гипоте-
нузе DK, соединена с вершиной Е. Чему равен
угол МЕК, если Z_DME=8(F?
3. Прямая m перпендикулярна отрезку АВ и
проходит через его середину С. На прямой m
по разные стороны от точки С отмечены точки
D и Е, причем AD = BE. Докажите, что
AD\\BE.
II вариант
1. Один из углов, получившихся при пере-
сечении двух параллельных прямых секущей,
равен 98°. Определите остальные 7 углов.
2. Точка D на основании РК равнобедрен-
ного треугольника МРК соединена с верши-
1 Планирование дается в соответствии с учебным по-
собием А. В. Погорелова «Геометрия G—10»; подготов-
лено Н. Б. Мельниковой, И. Л. Никольской, Л. 10. Чер-
нышевой. Планирование на 1 полугодие помешено в№3
нашего журнала за 1982 г. (с. 17).
2 1 ч — резервный.
3 Эта работа помещена в Л1» 5 за 1982 г. на с. 43.
ной М. Чему равен угол MDK, если Z_PKM=
=30°, Z_PMD=40°?
3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке
О под прямым углом. Докажите, что если
CO^OD и AC=BD, то ЛСЦВД.
№ 5
I вариант
1. Хорды АВ и CD окружности с центром О
равны между собой. Докажите, что Z-AOB—
= ZLCOD.
2. Постройте треугольник, вершинами кото-
рого служат середины сторон данного тре-
угольника.
3. Дана окружность с центром О. Вписан-
ный в нее угол АВС равен 30°. Докажите, что
ДАОС равносторонний.
II вариант
1. А, В и С — три точки, лежащие на окруж-
ности с центром О, Z_AOB=Z_COB. Докажи-
те, что хорды АВ и АС равны.
2. Данный отрезок разделите на 4 равные
части
3. Угол АВС, вписанный в окружность с
центром О, равен 150°. Чему равен угол АОС?
Самостоятельные работы
по геометрии в VI классе
В. А. Гусев
(Москва),
А. И. Медяник
(Харьков)
В данной статье публикуются самостоятель-
ные работы, составленные в соответствии с
§ 4 «Сумма углов треугольника» и § 5 «Гео-
метрические построения» учебного пособия
«Геометрия 6—10» А. В. Погорелова1.
С-10 Признаки параллельности прямых2
Вариант 1
1. Внутренние односторонние углы, образо-
ванные при пересечении двух параллельных
прямых третьей прямой, относятся, как 2 :3.
Чему равны эти углы?
2. Отрезки АС и BD пересекаются в точке
О так, что АО=ОС. Известно, что AB}[DC.
Докажите, что OB = OD.
Вариант 2
1. Один из внутренних односторонних углов,
образованных при пересечении двух парал-
лельных прямых третьей прямой, больше дру-
гого на 32°. Чему равны эти углы?
1 Самостоятельные работы по материалу § 1—3 опуб-
ликованы в № 4 и 5 журнала «Математика в школе»
за 1982 г.
2 Ко вторым заданиям всех вариантов этой работы
по усмотрению учителя могут быть даны рисунки.
39
2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О
так, что zLACO—zLBDO, CO=DO. Докажи-
те, что Z_CAO —Z.DBO.
Вариант 3
1. Один из внутренних односторонних уг-
лов, образованных при пересечении двух па-
раллельных прямых третьей прямой, в 4 раза
больше другого. Чему равны эти углы?
2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС
отмечены соответственно точки Р и Q так, что
Z_APQ=Z_ABC. Докажите, что Z_ZQP=
=Z_ACB.
Вариант 4
1. Найдите каждый из восьми углов, обра-
зованных при пересечении двух параллельных
прямых третьей прямой, если один из внут-
ренних односторонних углов в 3 раза мень-
ше другого.
2. Отрезки BD и СА пересекаются в точке
О. Известно, что BC\\AD и АО—DO. Докажи-
те, что A>ABD = A>DCA.
С-ll. Сумма углов треугольника
Вариант 1
1. В равнобедренном треугольнике угол при
его вершине равен 40°. Найдите угол при ос-
новании.
2. Биссектрисы АК и CD равностороннего
треугольника АВС пересекаются в точке О.
Найдите угол DOA.
Вариант 2
1. В равнобедренном треугольнике АВС
(АВ=ВС) внешний угол ВСК равен 150°
,(рис. 1). Найдите угол АВС.
2. В Прямоугольном треугольнике АВС с
прямым углом С проведена биссектриса BD.
Найдите углы треугольника ABD, если
X_CBD=20°.
Вариант 3
1. В равнобедренном треугольнике ВРМ
(ВР=ВМ) внешний угол ВРТ равен 126°
(рис. 2). Найдите угол РМВ.
2. В треугольнике АВС, в котором Z_/l=60o,
’Z_B=80°, проведена биссектриса AD. Найди-
те углы треугольника ACD.
Вариант 4
1. Найдите углы равнобедренного треуголь-
ника, если один из его углов равен 40°.
2. В треугольнике АВС, в котором Z_A =
=40°, Z_C=80°, проведена высота AD. Най-
дите углы треугольника ADB.
С-12. Окружность
Вариант 1
1. Постройте какой-нибудь отрезок АВ. От-
метьте на плоскости несколько точек, рас-
стояния до которых от точки А равны АВ. Ка-
кую фигуру образуют все такие точки?
2. Дана окружность с радиусом 3 см. Про-
ведите окружность с радиусом 1 см, имею-
щую с данной внутреннее касание, и окруж-
ность с радиусом 2 см, имеющую с данной
внешнее касание.
Вариант 2
1. Пост’л йте окружность радиуса 3 см с
центром О отметьте на ней точку D. Найдите
на окружности точки, расстояния до которых
от точки D равны: а) 3 см, б) 5 см. Обозначь-
те найденные точки и соедините их с точкой
D. Сколько отрезков получено? Лежит ли
центр окружности на одном из этих отрезков?
2. Две окр] жности диаметром 10 и 15 см
касаются внутренним образом. Чему равно
расстояние между центрами этих окружно-
стей?
Вариант 3
1. Постройте окружность радиуса 2 см с
центром О; отметьте на ней точку М. Найдите
на окружности точки, расстояния до которых
от точки М равны: а) 2 см, б) 3 см. Обозначь-
те найденные точки и соедините их отрезками
с точкой М. Сколько отрезков получено? Ле-
жит ли центр окружности на одном из этих
отрезков?
2. Две окружности диаметром 4 и 8 см ка-
саются внешним образом. Чему равно рас-
стояние между центрами этих окружностей?
Варнант4
1. Постройте две окружности с центром в
данной точке О, радиусы которых равны и и
г2. Заштрихуйте фигуру, состоящую из всех
точек X, для которых выполняется условие
г1^ОХ^г2.
2. Даны две окружности с общим центром и
радиусами 4 и 8 см. Проведена третья окруж-
ность, касающаяся первых двух окружностей
(возможны два случая). Чему равен радиус
этой окружности?
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
4?
С-13. Построение треугольников.
Построение угла, равного данному3
Вариант 1
1. Постройте треугольник по двум сторонам
а, b и периметру ш.
2. На рис. 3 дан угол АОВ. Постройте угол,
равный этому углу.
Вариант 2
1. На рис. 4 дан треугольник АВС. Построй-
те угол, равный углу А треугольника АВС.
2. Постройте равнобедренный треугольник
по основанию а и боковой стороне Ь.
Вариант 3
1. На рис. 5 дан треугольник МКВ. По-
стройте угол, равный углу В треугольника
МКВ.
2. Постройте треугольник АВС по сторонам
АС=Ь, ВС=а и Z_C=y.
Вариант 4
1. Постройте угол, равный углу А треуголь-
ника АВС, если Z_B = 30°, Z_C=50°.
2. Постройте треугольник АВС по стороне
ВС=а, = и Z_C—у.
С-14. Деление отрезка пополам
Построение перпендикулярной прямой
Вариант 1
1. Дана прямая а и принадлежащая ей точ-
ка М. Постройте перпендикуляр к прямой а,
проходящий через точку М.
2. Постройте прямоугольный треугольник по
катету а и прилежащему острому углу 0.
Вариант2
1. Дан треугольник АВС. Постройте медиа-
ну этого треугольника, проведенную к стороне
АВ.
2. Постройте равнобедренный прямоуголь-
ный треугольник по его катету а.
Вариант 3
1. Дан треугольник МКР. Постройте метиа-
ну этого треугольника, проведенную к стороне
МР.
3 В задачах на построение используются линейка и
циркуль. Операции, которые можно выполнять этими
инструментами, описаны на с. 51—52 учебного пособия.
В условиях задач стороны треугольников обозначены
через а, Ь, с, а углы, лежащие против этих сторон —
соответственно а, 0, у.
2. Постройте прямоугольный треугольник по
его катетам а и Ь.
Вариант 4
1. Постройте серединные перпендикуляры к
сторонам данного треугольника.
2. Постройте треугольник по стороне а,
Z_B = $ и медиане tn, проведенной к стороне а.
С-15. Геометрическое место точек.
Метод геометрических мест
Вариант 1
1. Найдите геометрическое место центров
окружностей с данным радиусом, касающихся
данной прямой.
2. Дан острый угол АВС. На стороне ВА
этого угла найдите точку, равноудаленную от
точек М и К, принадлежащих стороне ВС.
Вариант 2
1. Даны две пересекающиеся прямые а. и Ь.
Найдите геометрическое место точек, равно-
удаленных от этих прямых.
2. Дана окружность с центром О и точка А
на ней. Найдите на этой окружности точки,
равноудаленные от точек О и Л.
Вариант 3
1. Найдите геометрическое место точек, рав-
ноудаленных от двух данных параллельных
прямых.
2. Найдите на данной окружности точки,
равноудаленные от точек А и В, лежащих на
этой окружности.
Вариант 4
1. Даны две параллельные прямые на рас-
стоянии d друг от друга. Найдите геометриче-
ское место точек, сумма расстояний от кото-
рых до этих прямых равна 2d.
2. Найдите на данной окружности точки,
равноудаленные от двух данных пересекаю-
щихся прямых а н Ь, точка пересечения кото-
рых лежит внутри окружности.
В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЯМ ВЕЧЕРНИХ (СМЕННЫХ)
ШКОЛ
О преподавании математики
в IX—XI классах вечерней
(сменной) школы
с заочной формой обучения
Л. 3. Наспер, А. С. Фомченко
(Ленинград)
Предлагаемые рекомендации содержат примерные пла-
нирование учебного материала и контрольные работы
па II полугодие 1982/83 учебного года. Планирование
н контрольные работы на I полугодие, а также некото-
рые общие сведения помещены в № 4 журнала «Мате-
матика в школе» за 1981 г. (с. 46—49).
Основными формами занятий в заочной школе явля-
ются групповые и индивидуальные консультации, вы-
полнение самостоятельных работ и зачеты. В помощь
учителям для групповых консультаций (число их ука-
зано в колонке справа) в планировании приведен учеб-
ный материал с указанием параграфов, пунктов и но-
меров упражнений. Рекомендованные упражнения пред-
ставляют собой типы заданий, которые могут быть ис-
пользованы для самостоятельной работы учащихся.
IX КЛАСС
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА1
Зачетный раздел III.
Производная
Возрастание н убывание функции. Приращение
функции (п. 16, 17, № 215, 217, 221, 231, 232, 835—
238) 2
Понятие о производной функции в тонко. Опреде-
ление производной. Примеры нахожден я произ-
водной по определению (п. 18, № 243—246) 1
Производная суммы, произведения, частного двух
функций. Производная функции f(x)=xa, аС R (с
доказательством дня целых а) (п. 19, № 252—254,
257, 261, 265. 266, 268) 2
Сложная функция. Правило дифференцирования
функции f(k :-)-fc). Правило дифференцирования
сложной функции (без доказательства) (п. 20, 21,
№ 271 -276. 279, 280, 28.3) I
Контрольная работа № 5 1
Закч очнтсльпо-обобщающая консультация по раз-
делу. Инструктаж к зачету 1
Зачетный раздел IV.
Применение производной
Примеры вычисления приближенных значений диф-
фср< нцнруемых функций (п. 22, № 288, 289, 291) 1
Касательная к графику функции. Геометрический
смысл производной (угловой коэффициент каса-
тельной). Уравнение касательной к графику функ-
ции (п. 23. № 292, 294, 298, 302) 1
Вычисление скорости п ускорения прямолинейного
движения (п. 24, № 309, 310/ 312, 314) 1
Теорема Лагранжа (без доказательства). Доста-
1 В курсе алгебры н начал анализа зачетные разделы
III и IV из IX класса и II из X класса спланированы
по учебному пособию «Алгебра и начала анализа 9—
10» под род А. Н. Колмогорова (М.: Просвещение,
1981) В других зачетных разделах ссылки на пункты
этого пособия обозначены через А.9—10.
42
точный признак возрастания (убывания) функции
на промежутке (п 25, № 315, 317—319) 1
Критические точки функции. Точки максимума и
минимума функции. Необходимое и достаточна ус-
ловия экстремума дифференцируемой функции. Схе-
ма исследования функции (п 26, 27, № 320, 321(6),
324, 325, 328, 330, 333, 343, 348, 351) 3
Наибольшее и наименьшее значения функции на
промежутке. Правило нахождения наибольшего и
наименьшего значений функции па отрезке (п. 28,
№ 353—356, 358) 1
Контрольная работа № 6 1
Заключнтельио-обобщающая консультация по раз-
делу. Инструктаж к зачету 1
Повторение 3
ГЕОМЕТРИЯ
Зачетный раздел 1 2
Повторение планиметрии
Понятие отображения. Перемещения. Примеры пе-
ремещений плоскости (параллельный перенос, пово-
рот, осевая симметрия). Признаки конгруэнтности
треугольников. Определение и свойства параллело-
граммов (§ 14—17, № 5, 6 — с. 29; § 28 № 3—5;
§ 38—39, Кг 7, 9 —с. 77, № 1, 2 —с. 78; § 50—55,
j*fe 1, 4 —с 98, № 2 —с. 104. № 8 12, 13 —с. 108,
§ 67—72, № 1, 3, 8, 12—с. 130—131) 2
Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умно-
жение вектора па число (5 8,8. № 6. 8, 10; § 89,
Кг 2—6; § 90, К? 2—6; § 91,'№ 1—3, 6) 1
Гомотетия и подобие. Признаки подобия тре-
угольников (§ 94—96, Кг 1, 6 — с. 182, § 100 104.
Кг 4, 6, 8 —с. 192) I
Вписанные и описанные многоугольники Площади
плоских фигур (§ 134, № 1- 5, 9; § 79. 80, № 6 -
с. 154, К' 12 —с. 155; § 81, Кг 5; § 83, № 7; § 84,
Кг 3; § 85, № 3; § 86 № 7, 15) 1
Контрольная работа Кг 1 (домашняя) —
Определение тригонометрических функций, их из-
менение с изменением угла в пределах от 0 до 180°.
Тригонометрические тождества. Таблицы значений
тригонометрических функций (§ 116, Кг 2; § 117,
№ 1, 2; § 118, № 1—4 (по 2 задания); § 122,
Кг 2, 3) 1
Теорема косинусов. Формулы площади треуголь-
ника. Теорема синусов. Решение треугольников (5 123,
№ 3, 6; § 124, № 1, 3, 10; § 125, № 4, § 126, Кг 3,
5, 7) 2
Контрольная работ г Кг 2 1
Заключительно-обобшаюгцая консультация по раз-
делу. Инструктаж к зачету 1
Зачетный раздел II3.
Основные понятия стереометрии.
Пара л дельность в пространстве
Основные понятия и аксиомы стереометрии. След-
ствия из аксиом. Полупространство (§ 1—3, Кг 1.
2, 4, 16, 25) 1
Задачи на построение в пространстве (§ 4, 5.
Кг 28, 32, 34) 1
Скрещивающиеся прямые. Взаимное расположение
прямой и плоскости. Признак параллельности прямой
и плоскости. Транзитивность параллельности пря-
2 Материал этого раздела спланирован по учебному
nocot иг для VI—IX классов вечерней (сменной) шко-
лы Г. Д. Глейзера «Геометрия» (М.: Просвещение,
1980).
3 Материал этого и остальных зачетных разделов по
геометрии для всех классов спланирован по учебному
пособию «Геометрии 9—10» под ред. 3. А. Скопеца
(М.: Просвещение, 1981).
мых (без доказательства) (§ 6—8, № 36, 42, 53, 56,
67) 1
Контрольная работа № 3 (домашняя) —
Взаимное расположение дгух плоскостей. Признак
параллельности плоскостей. Теоремы о параллельных
плоскостях (§ 10, И, № 77, 81, 84, 89, 92, 9b) 1
Параллельная проекция фигуры. Свойства парал-
лельного проецирования (без доказательства) При-
меры изображения фигур в стереометрии (§ 12, 13,
№ 103, 106, 108, 116, 118) 2
Контрольная работа № 4 1
Заключительио-обобщающая консультация по раз-
делу. Инструктаж к зачету 1
Повторение 1
X КЛАСС
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Зачетный раздел II.
Тригонометрические функции, их производные,
свойства и графики
sinx
Предел Нт -— = I и непрерывность трнгоно
х -* 0 х
метрических функций. Производные синуса, косину-
са, тангенса и котангенса (п. 42, 43, № 639, 645, 650,
653, 657, 659, 663) 2
Понятие о второй производной. Гармонические ко-
лебания. Уравнение у"=—сЛ/ (п. 50, № 731, 733,
735) _ 1
Свойства и графики функций синус, косинус, тан-
генс и котангенс (п. 46—48, упражнения на иссле-
дование тригонометрических функций и построение
графиков) 1
Понятие об обратных тригонометрических функ-
циях. Решение простейших тригонометрических урав-
нений и неравенств. Примеры доказательства триго-
нометрических тождеств (п. 51—54, № 770—775,
782, 784, 788, 801, 803, 805, 815, 829, 831, 842) 2
Контрольная работа № 3 1
Заключительно-обобщающая консультация по раз-
делу. Инструктаж к зачету 1
Зачетный раздел III.
Показательная, логарифмическая и степенная функции
Показательная функция, ее свойства и график.
Примеры решения показательных уравнений (А.6—94 5,
§128 131, № 961—964; А.9—10, п. 63, №1111
1113, 1118, 1124, ИЗО, 1138) 2
Логарифмическая функция, ее свойства и график.
Примеры решения логарифмических уравнений
(А.6—9, § 132—136, 138, № 1000, 1002, А.9—10, п. 64,
№ 1145—1147, 1153, 1156, 1158, 1168, 1173) 2
Контрольная работа № 4 (домашняя) __
Производная показательной функции. Число е.
Натуральный логарифм. Производная логарифмиче-
ской функции (А.9—10, п. 65, 67, Л% 1196—1200,
1203, 1205, 1219, 1232—1235, 1245) 2
Степенная функция, ее свойства и график. Произ-
водная степенной функции (А.6—9, § 125—127
№ 922, 924, 926. 929—931, 939, 942, 945, 946; А.9—10
п. 68, № 1264—1266) ’ 1
Примеры решения иррациональных уравнений
(А.9—10, п. 69, № 1267. 1269, 1273, 1276) 1
Контрольная работа № 5 1
Заключительно-обобщающая консультация на раз-
делу, Инструктаж к зачету 1
4 Через А.6—9 обозначены ссылки на параграфы учеб-
ного пособия для VI—IX классов вечерней (сменной)
школы М. С. Гельфанда, В. П. Простосердова «Алгеб-
ра» (М.: Просвещение, 1981).
ГЕОМЕТРИЯ
Зачетный раздел II.
Перпендикулярность в пространстве.
Двугранные и многогранные углы (продолжение)6
Перпендикулярность прямой и плоскости (повто
рение). Две плоскости, перпендикулярные прямой
(§ 28, 30, 33, № 265, 281, 282, 284, 307, 309) 2
Расстояние от точки до плоскости. Общий перпен-
дикуляр скрещивающихся прямых (§ 34, 35, № 311,
313, 317, 326, 328) 1
Теорема о трех перпендикулярах. Угол между на-
клонной и плоскостью (§ 36, 37, № 331, 335, 337,
339, 342, 348) 2
Двугранный угол. Измерение двугранных углов
(§ 38, № 352, 358, 362, 365) 1
Перпендикулярность плоскостей. Признак перпен-
дикулярности плоскостей (§ 38 — последний абзац,
39, № 369, 370, 374, 378, 382) 1
Многогранный угол. Трехгранный угол (§ 40, 41,
№ 383, 386, 390, 392, 396, 398) 1
Контрольная работа № 3 1
Заключительно-обобщающая консультация по раз-
делу. Инструктаж к зачету I
Зачетный раздел III.
Координатный метод в пространстве
Координаты вектора в прямоугольном базисе Пра-
вила гействий над векторами, заданными своими ко-
ординатами. Вычисление длины вектора и угла меж-
ду двумя векторами по их координатам (§ 42, 43,
№ 1—3, 6, 8, 10, 12, 14) 2
Прямоугольная система координат. Координаты
точки. Расстояние между двумя точками, заданными
своими координатами (§ 44, № 16—18, 20, 21) 1
Уравнение плоскости (без вывода) (§ 45, № 23
28, 30, 32) 2
Решение задач на применение метода координат 1
Контрольная работа № 4 1
Заключительно-обобщающая консультация по раз-
делу. Инструктаж к зачету 1
Повторение 1
XI КЛАСС
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА®
Зачетный раздел III.
Решение неравенств и систем неравенств
Неравенство с двумя переменными. Решение нера-
венств с двумя переменными (§ 85, 89, 92, № 693,
694, 699, 717, 718) 1
Решение системы неравенств (§ 90, 91, №702, 705,
710, 718; п. 75, № 1488, 1492, 1501) 1
Контрольная работа № 4 1
Заключительно-обобщающая консультация по раз-
делу. Инструктаж к зачету 1
Повторение
Числовая функция. Числовые последовательности.
Условие сходимости последовательности. Теоремы
о пределах последовательностей. Сумма бесконечной
геометрической прогрессии при |</| < 1 (п. 6—9,
Справочный материал — 5° —7°, № 98, 102, 108, ПО,
112, 1682, 1728) 1
5 Зачет по разделу II проводится во II полугодии.
Начальные темы этого зачетного раздела приведены в
планировании на 1 полугодие.
6 Материал спланирован по учебным пособиям
А.6—9 (указываются параграфы) и А.9—10 (указы-
ваются пункты).
Четность, нечетность, непрерывность функций. По-
нятие предела функции. Теоремы о пределах функ-
ций (п. 9—14, № 125, 127, 148—150, 157, 165, 169,
1804) 1
Производная, ее определение, геометрический и фи- /
зический смысл. Формулы дифференцирования фупк-'
ций (п. 16—21, 23, 24, № 243—245, 257, 267, 284,
287, 300- 302, 312, 314, 1754, 1755, 1758, 1759) 2
Монотонность функций и экстремумы. Наибольшее
и наименьшее значения функции на отрезке. Иссле-
дование функции и построение схемы ее графика
(п. 16, 25—28, Справочный материал—15°, №318,
319, 325, 331, 343, 349, 352, 357, 394, 410, 429, 1783) 1
Линейная функция. Решение линейных уравнений,
неравенств и их систем. Квадратичная функция. Ре-
шение квадратных уравнений, неравенств и их си-
стем. Показательная и Члогарифмическая функции,
их производные. Показательные и логарифмические
уравнения (п. 63 —65, 67, Материал для повторе-
ния—5, 6, 9, № 1136, 1137, 1220, 1303, 1309, 1330,
1505, 1506, 1513, 1519) 2
Первообразная и интеграл. Основные формулы ин-
тегрирования. Площадь криволинейной трапеции. За-
дачи на интегрирование (п. 56—60,-Справочный мате-
риал—16°, № 1059, 1068, 1070, 1083, 1807, 1822,
1826) 1
Контрольная работа № 5 (домашняя) —
Определение, свойства, графики и производные три-
гонометрических функций (п. 31—35, 42, 43, 46—48,
№ 669, 676, 681, 684, 692, 700, 710, 714, 783, 785,
787) 2
Тригонометрические теоремы сложения. Функции
двойного и половинного аргумента (п. 36—39, Спра-
вочный материал — 9°—12°, № 859—864, 871, 878,
914, 940, 1702) 2
Сумма и разность одноименных тригонометрических
функций. Формулы приведения. Решение тригочоь.ет-
ричесснх уравнений и доказательство тождеств
(п. 40, 41. 52—54, Справочный материал—13°, 14°,
№ 866—869, 889, 913, 1697, 1708, 1710, 1837, 1842) 2
Контрольная работа № 6 1
Заключительно-обобщающая консультация по по-
вторению. Инструктаж к экзаменам 1
ГЕОМЕТРИЯ
Зачетный раздел III.
Фигуры вращения
Параллельная проекция окружности. Понятие о
фигуре враше шя. Цилиндр. Площадь поверхности
цилиндра (S 59, 60, № 191, 196, 200, 202, 205) 1
Конус. Площадь поверхности конуса (§ 61, №206,
210. 213—215) 1
Сфера. Шар. Уравнение сферы. Сечение сфепы.
Плоскость, касательная к сфере (§ 62—64, № 217—
220. 223, 225, 227, 229—231, 233) 2
Объем цилиндра (теорема 38 без доказательства)
(§ 65, № 236—241) 1
Объем фигуры, полученной при вращении криво-
линейной трапеции (§66, № 242 (1—3, 5)) 1
Объем конуса. Объем шара (§ 67, 68, № 243, 245,
247. 249, 252—254) 1
Площадь сферы (§ 69, № 260—262, 264, 266) 1
Контрольная работа № 4 1
Заключительно-обобщающая коисультацця по раз-
делу. Инструктаж к зачету 1
Повторение
Повторение сведений по курсу планиметрии (мате-
риал разделов Б и В на с. 194—216) 1
Взаимное расположение прямых и плоскостей в про-
странстве. Параллельность прямой и плоскости. Па-
раллельность плоскостей Параллелепипед. Параллель-
ная проекция фигуры (§ 7—12, № 113—116, 135,
141, 148) 1
Направление в пространстве. Векторы. Действия
над векторами. Коллинеарные и компланарные век-
торы (§ 16—23, № 167, 172, 181, 185, 190, 195, 200
203, 210, 212) 1
Угол между двумя векторами. Скалярное умноже-
ние двух векторов. Основные свойства скалярного
умножения векторов. Решение задач с помощью век-
торов (§ 24—27, № 218, 222, 226, 227, 234, 249, 261) 1
Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема
о трех перпендикулярах. Двугранные углы. Перпен-
дикулярность плоскостей (§ 28—30, 34, 36, 38, 39,
№ 405, 409, 416, 422, 437, 445, 454) 1
Координаты точки. Правила действий над векто-
рами, заданными своими координатами. Длина век-
тора. Уравнения плоскости, сферы (§ 42—45, 62
№ 40—42, 44, 45, 219—221) 1
Основные сведения о многогранниках и фигурах
вращения. Формулы площадей поверхностей и объ-
емов. Решение задач (§ 47- 49, 51—54, 56—58, 60—
69, № 54, 59, 70, 93, 97, 122, 127, 146, 165, 187, 274,
275) 1
Практическая работа на вычисление объемов и
площадей фигур 2
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
IX КЛАСС
Алгебра и начала анализа
№ 5
1. Дайте определение производной. Пользуясь опре-
делением производной, найдите производную функции
f(x)—x2—4х. Вычислите f(—2) и ['(— 2).
2. Найдите производные функции:
f (х) =4х3—х2—3,
g(x)=x(v«+l),
3. Найдите производную функции f(x) = (хг—2х— I)8.
Вычислите f'(x) в точке х=—1.
№ 6
1 Вычислите приближенное значение корней с точ-
ностью до второго десятичного знака: ул9,06 , тл121.
2. Тело, имеющее массу 3 кг, движется прямолинейно
.1
по закону s (О = ~t3 + i'2 + t (s — путь в метрах,
t — время в секундах). Найдите силу F, действующую
на тело в момент времени 1~3.7 с.
3. Исследуйте функцию f(x) =х3—Зх2 с помощью
производной и постройте ее график. Найдите наиболь-
шее и наименьшее значения функции на отрезке
[-1; з].
Геометрия
№ 1
1. Дана трапеция ABCD. Построите образ этой тра-
пеции при осевой симметрии плоскости относительно
прямой АВ.
2. В треугольнике АВС |Л5| = 1,2 м, |ВС|=2,4 м,
|АС|=3 м. Вычислите длины сторон подобного ему
треугольника, если его периметр .равен 11 м.
3. На тело действуют одновременно равные по вели-
чине силы f|, F2, F3. При этом угол между Ft и Fa
равен 20°, между F2 и F3 равен 70". Построите вектор,
являющийся суммой (равнодействующей) этих сил.
№ 2
1. Решите треугольник АВС по следующим данным:
1) дм, с» 10 дм, С=90°; 2) а«17 дм, i>=24 дм,
В =32°.
44
2. Наедите площадь равнобедренной трапеции, длина
нижнего основания которой равна 40 см, длина боковой
стороны — 20 см, величина угла при вершине верхнего
основания— 150°.
№ 3
I. Постройте сечение куба ABCDA [В^.0, плоскос-
тью, проходящей через вершину В и середины ребер
АЛ, и СС,.
2. Через одну из двух скрещивающихся прямых про-
ведите плоскость, параллельную другой прямой.
№ 4
1. Дан тетраэдр ABCD-, точки М, N, Р являются со-
ответственно серединами ребер DA, DB, DC. Докажи-
те, что (MNP) || (АВС).
2. Проекцией отрезка АВ, пересекающего плоскость
проекций в точке М, служит отрезок А,В|. Известно,
что |4Л| = 14 см, |А[Л1| : (AfBJ =3 : 4. Найдите |АЛ4|
и |МВ|.
3. Какую фигуру можно получить, проецируя на
плоскость два параллельных отрезка?
X КЛАСС
Алгебра и начала анализа
№ 3
,1. Найдите производную функции f (х) = sin 2x4-
42 cos* 2 з * х. При каких значениях переменной /'(х) = 0?
2. Решите уравнение:
X X
a) sin-rj--cos-^-= 0,5;
б) t"2 х—tgx—2=0.
3. Докажите тождество
cos 25° cos 65° — sin 25° • sin 65°
cos2 10° — sin2 10° =0-
№ 4
1. Решите уравнение:
a) 16* 0,5x-2 = 64;
6) 2-7x+‘—3-7x = 77;
в) logo-,(x2—1) =3;
i) log33x—log3 (x—2) =2.
2. Постройте схематически график функции:
a) y=V, б) f/=log4x.
№ 5
1. Сравните значения выражений
2 1g 0,2 — 1g 0,4 и 1g 3.
2. Найдите производную функции:
з
a) f/=3°-7x; б) у= V хг ; в) 1/=е5х;
г) f/=log5x; д) f/=ln3x;
е) f(x)—e2x sin2x, вычислите f'
3. Решите уравнение
/ 2 (3/а + 5) = 3/ — 1-
Геометрия
№ 3
!.Из вершины прямого угла треугольника EFK прове-
ден к его плоскости перпендикуляр ED. Вычислите рас-
стояние от точки D до гипотенузы ВЛ, если |ВЕ| =
=20 см, |К£| = 15см, |ОЕ| = 16см.
2. Концы отрезка АВ принадлежат различным граням
прямого двугранного угла. Точки At и В,— ортогональ-
ные проекции соответственно точек А и В на грани,
которым данные точки ие принадлежат. Найдите
если |АА[|=6см, |ВВ[|=18 см, ]ЛВ]=21 см.
3. Докажите перпендикулярность двух смежных бо-
ковых граней куба.
№ 4
1. Даны векторы: а=(—4; 8; —12), t>=(2; —5; 7),
с=(—1/2; 0; —6) Найдите координаты вектора zn=
= 1/2а+ЗЬ—2с.
2. Вычислите координаты точки, принадлежащей оси
Ох и одинаково удаленной от точек А(—3; 0; 5) и
В(— 1; 2; 3).
3. Постройте линию пересечения координатной плос-
кости хОу с плоскостью —х-)-2у—4z-|-5=-0.
XI КЛАСС
Алгебра и начала анализа
№ 4
На координатной плоскости изобразите множество ре-
шений системы:
у — 2х— 3<0,
х + у < 4,
У>0;
( у + X2 •< 1 ,
[ 2х + у>-2.
№ 5
1. Дана функция f(x)=i—Xs. Найдите а) проме-
жутки возрастания и убывания функции; б) экстрему-
мы функции; в) уравнение касательной к графику функ-
ции в точке с абсциссой хо=—1. Постройте график
функции.
2. Найдите область определения функции:
__2
а) ,о£?-_ЛуГ: б) In х 4 In (х2 — 5);
в) Yх2 — х— 2 .
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной лииия-
X2
мн у=0, У = У' х = 0, х = 3.
№ 6
1. Докажите, что функция у—Зх*— 5cosx является
четной.
2. Упростите выражение
2 sin2 а
-Г——+ 2з1п(1,5Л + а).
3. Найдите значения х, при которых сумма функции
f/=sin2x и ее производной будет равна cos2x.
Геометрия
№ 4
1. В цилиндре через середину радиуса основания пер-
пендикулярно к нему проведено сечение. В сечении
образовался квадрат, площадь которого 36 дм2. Вы-
числите площадь ‘ боковой поверхности и объем ци-
линдра.
2. В основание конуса вписан прямоугольник, стороны
которого имеют длины 12 и 9 им Найдите площадь
полной поверхности конуса, если угол при вершине его
осевого сечения равен 120°.
3. Дан шар радиуса 12 см Вычислите его объем и
площадь поверхности. Найдите массу пробкового шара,
имеющего эти размеры, если плотность пробки
45
ВНЕКЛАССНАЯ РАГОТА
XV! Всесоюзная
математическая олимпиада
Т. А. Сарычева, Ю. В. Нестеренко
(Москва)
Заключительный этап XVI Всесоюзной математической
олимпиады, посвященной 60-летию образования СССР,
проходил в апреле на территории Украинской ССР в
городе герое Одессе. В нем приняли участие 156 уча-
щихся VIII—X классов- представителей всех 15 союз-
ных республик. Жюри олимпиады также оыло много-
национальным. Действительный член АП СССР А. И. Кол-
могоров присутствовал па олимпиаде в качестве почет-
ного председателя жюри. Работу жюри возглавлял ака-
демик АН Украинской ССГ Б. В. Гнеденко. Его замес-
тителями и первыми помощниками были профессор
Киевского государственного университета, доктор фи-
зико-математических наук М. И. Ядренко и доцент Мос-
ковского государственного университета, кандидат фи-
зико-математических наук Ю. В. Нестеренко. Работа
жюри отличалась большой четкостью и организован-
ностью.
Олимпиада проходила па базе украинского респуб-
ликанского пионерлагеря «Молодая гвардия», располо-
женного на берегу Черного моря. Программа, состав-
ленная оргкомитетом олимпиады под председательст-
вом заведующего Одесским областным отделом народ-
ного образования Л. И Фурсенко, была интересна и со-
держательна. Она включала знакомство с достоприме-
чательностями г. Одессы, интересные прогулки, встречи.
Надолго останутся в памяти ребят экскурсия по горо-
ду, посещение катакомб, знакомство с архитектурой зна-
менитого Одесского театра оперы и балета. Театра му-
зыкальной комедии, спектаклями этих театров, морская
прогулка и многое другое. Участники олимпиады были
гостями одесских школьников на вечерах, посвященных
60-летию образования СССР, а во время коммунистиче-
ского субботника заложили аллею Дружбы народов на
территории пионерлагеря «Молодая гвардия».
В день закрытия эстафета Всесоюзной олимпиады бы-
ла передана представителям Молдавской ССР.
Согласно Положению 'о Всесоюзной олимпиаде школь-
ников, учащиеся, награжденные на заключительном эта-
пе дипломами I и II степени (как правило, выполнив-
шие более 75% предложенного задания), являются офи-
циально участниками будущего заключительного этапа.
Приводим список победителей XVI Всесоюзной мате-
матической олимпиады.
Диплом I степени
VIII класс: Абакумов Евгений (ФМШ № 45 при
ЛГУ), Бура.о Андрей (ФМШ № 45 при ЛГУ), Виксна
Юрис (шк. № 1, г. Алуксне ЛатвССР), Игнатьев Конс-
тантин (шк. № 2, Москва), Оридорога Леонид (шк.
№ 64, г. Донецк).
IX класс: Кохась Константин (шк. № 239, Ленин-
град).
X класс: Левин Александр (шк. № 239, Ленин-
град), Перельман Григорий (шк. № 239, Ленинград),
Спивак Александр (ФМШ № 18 при МГУ), Шестаков'
Сергей (шк. № 2, Москва).
Диплом II степени
VIII к Гасс: Астрелин Андрей (шк. № 121, г. Ново-
сибирск), Богомольная Апиа (шк. № 234, Ленинград),
Грудманс Данга (шк. N 1, Рига), Дуйсекулов Мадиар’
(шк. № 6, с. Архалык Тургайской обл. КазССР).
IX класс: Бриталс Янис (шк. № 1, Рига), Бури-
ченко Владимир (ФМШ № 165 при НГУ), Жуков Игорь
46
(шк. № 239, Ленинград), Семенов Александр (ФМШ
№ 18 при МГУ), Садэтов Семен (шк. № 14, г. Ростов-
на-Дону), Черанс Карлис (шк. № 1, Рига).
X класс: Беспалов Юрин (ФМШ при КГУ), Д)
бицкас Артурас (шк. № 1, г. Таураге ЛитССР), Дран-
ко Олег (ФАШ при КГУ), Зиганшин Ильнур (шк. №5,
Дмитровград Ульяновской обл.), Кисиль Владимир (шк.
№ 33, г. Одесса), Матюшов Сергей (ФМШ № 18 при
МГУ), Матвеев Константин (ФМШ № 165 при НГУ),
Николаев Игорь (ФМШ № 45 при ЛГУ), Самборский
Сергей (ФМШ № 18 при МГУ), Титенко Владимир
(Блужская ср. шк. Минской обл.).
Задачи, предлагавшиеся на олимпиаде, затрагивали
достаточно широкий спектр тем школьного курса мате-
матики. Традиционно для решения ряда задач предпо-
лагались при минимуме математических знаний проявле-
ние сообразительности и высокий уровень логической
культуры.
Задания для каждою класса включали по 8 задач
разной тематики, различного характера и уровня слож-
ности. Далее предлагаются наиболее интересные из этих
задач с решениями и методическими выводами. Они
расположены в некотором тематическом порядке. Одна-
ко отметим, что такое деление условно, так как часто
трудно четко выделить тему, по которой составлена
олимпиадная задача: пои ее решении чаще проверяется
общий математический кругозор школьника, его уме-
ние строить логическую цепочку умозаключений, приво-
дящую к желаемому результату.
Каждая задача имеет двойной номер. Например, но-
мер IX.6 означает, что указанная задача предлагалась
в IX классе под номером 6. В скобках после форму-
лировок указаны фамили авторов задач.
Алгебраические задачи
VIII. 2. В числовых последовательностях (ап) и (Ь„)
каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух
предыдущих, причем О| = 1, 02=2 и Ь{ = 2, Ь2 = 1.
Сколько существует чисел, встречающихся как в пер-
вой. так и во второй последовательности? (А. Анджан)
Ответ: три числа.
Решение. Выпишем несколько первых членов по-
следовательностей (On) и (Ьп):
1, 2, 3, 5, 8. 13, ...;
2, 1. 3, 4, 7, И.
Мы видим, что числа 1, 2, 3 встречаются в обеих по-
следовательностях. Докажем теперь, что все члены вто-
рой последовательности начиная с Ь4, в первой после-
довательности не встречаются и, более того, заключены
строго между соседними членами (ап): при л^4
Оп-| < Ьп < йп. (1)
Для этого заметим, что при л=4 и л = 5 неравен-
ства (1) выполняются, и если (1) справедливо для зна-
чений п, равных k и /г+1, то (1) будет выполняться
и для n = fc+2: складывая неравенства
ал-i < bk < аь и ал < Ьл+i < ал+1,
получим нужное неравенство
ал+i < Ьл+г < 0-ь+г.
Проведенные рассуждения показывают, что неравен-
ство (1) выполняется при всех п>4, что и нужно бы-
ло доказать.
Это была одна из сравнительно простых задач VIII
класса.
1Х.5. Докажите, что для всех положительных значе-
ний х выполнено неравенство
12,— 4,— 6,—
V х + 2* х > 2-2* х .
(Б Романьков)
Доказательство. Применив к левой части до-
казываемого неравенства неравенство между средними
fa + b r—X
(—2— У а° )> получим
12,—
12.— 4_ уху ух
2^х +2^х >2-2 2
Применив то же неравенство к показателю степени, бу»
дем иметь
Из этих двух неравенств и следует доказываемое.
Задачу решили 2/3 участников. Часть девятиклассни-
ков решала ее стандартными методами исследования
функций, сталкиваясь при этом с большими трудностя-
ми, которые удалось обойти лишь немногим с помощью
довольно топких рассуждений.
Х.1. Числа а, Ь, с лежат в интервале ]0; л/2[ и удов-
летворяют равенствам
cos а=а,
sincos b=b,
cossin с—с.
Расположите эти числа в порядке возрастания.
(С. Гессен)
Ответ: b < а < с.
Решение. Если Ь^а, то в силу монотонного убы-
вания косинуса на [0; л/2] и неравенства 0<cos Ь<л/2
получим
b—sincos t><cos 6^ cos а=а,
что противоречит предположению. Значит, Ь<а.
Далее, если с^а, то в силу монотонного убывания
косинуса на [0; л/2| и неравенства O^sin с<с^а<л/2
получим
c=cossin c>cos c^cos а—а
в противоречие с предположением. Значит, с>а. За-
дача решена.
Все представленные решения задачи можно разбить
на два класса. Первый составляют различные модифи-
кации приведенного выше решения. Ко второму отно-
сятся различные графические решения, в которых про-
водится аккуратное исследование поведения функций и
расположения точек пересечения графиков, В целом
участники олимпиады проявили хорошее владение соот-
ветствующими разделами школьного курса.
Х.6. Докажите, что для любого натурального числа п
и любого действительного числа а справедливо нера-
венство:
i nl
|-| а — 1 | | а— п | > .
где (а) — расстояние от числа а до ближайшего к нему
целого чиелл. л!=1-2-3-... -п. (А. Гельфонд)
Доказательство. Обозначим числа множества
{0, 1, 2, .... п] через о0, Щ. а„ так, чтобы выполня-
лись неравенства
|а—а0| |а—ai| sC.. sC \а—ап|.
Для каждого натурального числа k в интервале
|х—а\ < й/2 лежит не более 1г чисел из нашего множе-
ства. Следовательно, для значений k от 1 до п спра-
ведливы неравенства
|а—а*| > fe/2. (1)
Перемножая неравенства |а—а0|Х“> и (1), получим
| д | - | д—1 | | а — п | =
- 1« —“о I • I | | а — аП | >
12л nl
*2 ' 2 " • • ‘ 2 = * 2я ’
что и требовалось доказать.
Многие участники олимпиады справились с задачей.
Помимо различных вариантов приведенного решения
встречались такие, которые были основаны иа прямом
подсчете. К числу недостатков следует отнести нестрой-
ность рассуждений, неумение выделить и перебрать все
нужные случаи.
Х.7. а) Существуют ли многочлены Р—Р(х, у, г),
Q=Q(x, у, z), R=R(x, у, г) от переменных х, у, г та-
кие, что выполнено тождество:
(х—У+1) 3Р + (У—г-1) 42+ (z—2х+1) ’R = 1 ?
б) Тот же вопрос для тождества
(х-у+1) ЗД+ (у—г-1) 3Q+ (z-x-f-1) ’К = 1 -
(Ю. Нестеренко)
Ответ: а) не существуют, б) существуют.
Решение, а) Тройка чисел (х, у, г) = (1, 2, 1)
удовлетворяет уравнениям
х—#-{-1=0, у—г—1=0, z—2х+1=0,
и если бы нужные многочлены Р, Q, R существовали,
то после подстановки указанных значений переменных
в данное тождество мы получили бы: 0=1.
б) Обозначим f—x—у+1, g=y—z—1, h—z—х-|-1.
Очевидно тождество f-|-g4-h=l. Возведя его в седь-
мую степень, получим, что 1 представляется в виде сум-
мы слагаемых вида pg'lv», где й^0, 1^0, m^O,
По крайней мере одно из чисел 1г, I, m не
меньше 3. Следовательно, каждое слагаемое делится
или иа f3, или на g3, или иа й3. Группируя вместе все
слагаемые, делящиеся на Р, получим рР. Группируя те
из оставшихся слагаемых, которые делятся на g3, полу-
чим g3Q. Сумма остальных слагаемых имеет вид й3К.
Таким образом получается тождество вида, указанного
в условии задачи.
Задача оказалась в целом трудной для учащихся
X класса, хотя для ее решения требуется только умение
работать с алгебраическими выражениями. Если с за-
дачей а) справилось большинство школьников, то за-
дачу б) решили только 6 человек. В одной из работ
доказательство состояло в непосредственном выполне-
нии действий, указанных в условии задачи.
Задачи с использованием геометрического материала
VI11.7. На координатной плоскости Оху изобразили
график функции у=х2. Потом оси координат стерли—•
на рисунке осталась только парабола. Как при помощи
циркуля и линейки восстановить оси координат и еди-
ницу длины? (А. Анджан)
Решение. Проведем две параллельные прямые.
Пусть АВ и CD — отрезки, высекаемые нз этих прямых/
графиком данной функции (рис. 1). Через середин^
отрезков проведем прямую I. Она будет параллельна
оси Оу. Действительно, если уравнение прямой АВ
есть y=kx-{-b, то абсциссы х, и х2 точек се пересече-
ния с графиком являются корнями уравнеиня x2—kx-]-b.
Поэтому по теореме Виета Х[-|-х2=й; полусумма абс-
цисс точек пересечения (абсцисса середины отрезка АВ)
равна k/2. Аналогично абсцисса середины отрезка CD
равна й/2. Следовательно, I параллельна оси Оу.
Для того чтобы построить ось Оу, проведем пря-
мую m перпендикулярно I и через се(>едииу Е отрезка,
высеченного иа ней графиком, проведем прямую парал-
лельно прямой /. Эта прямая и будет осью Оу. Точка,
в которой она пересечет график, будет началом коор-
динат О. Перпендикуляр к прямой ОЕ, проведенный
в точке О, будет лежать на оси Ох. Чтобы найти еди-
ницу длины, построим биссектрису угла хОу — она пе-
ресечет график в точке с координагамн (1; 1).
47
Эта задача, сочетающая методы, характерные для ре-
шения алгебраических и геометрических задач, оказа-
лась трудной для учащихся. Многие восьмиклассники
считали известной вершину параболы, на чем и строи-
ли дальнейшие рассуждения.
IX.2; Х.2. В параллелограмме ABCD, в котором
IAB 1 =/= | ВС |, дано отношение длин диагоналей:
|АС[ / |ЙО| =/ Пусть луч AM симметричен лучу AD
относительно прямой АС, луч ВМ симметричен лучу
ВС относительно пряной BD, М — обша.ч точка лучей
AM и ВМ. Найдите отношение |А/И| j |В/И|. (В. Дуб-
ровский)
Ответ: k1.
Решение. Возможны два случая: |AB|>|AD| и
|АВ| < |АР|, в которых рисунки и сами решения будут
несколько отличаться. Мы рассмотрим здесь только пер-
вый случай (рис. 2), оставляя читателям возможность
провести рассуждения самостоятельно для второго слу-
чая.
Соедини,: М с центром параллелограмма О. Основ-
ная трудность в решении задачи — обнаружить и до-
казать подобие
Л ВОС сл Л ВОМ.
треугольников: Д AODcn Л АОМ и
Из условия задачи следуют равен
ства: MAO — DAO
и МВО—СВО. Обозначим a=DAO
ADO=$, AOB = a+f>, ЛЛ1В=2л—
и (3=СВО, тогда
—Х1АО—МВО—АОВ=2п—2а—2(5. Тогда О равноуда-
лена от прямых AD и AM, ВС и ВМ, ЛЬ и ВС. Значит,
эта точка равноудалена от прямых AM п ВМ, т. е. пря-
мая МО является биссектрисой угла АМВ и АМО—
= *24/ИВ=л—а—p=AOD. Аналогично ВМО—ВоЬ.
Таким образом, подобие указанных треугольников до-
казано. Из подобия следует:
| AM | | АО | | ВМ | | ВО |
| АО | ~ | AD | ’ | ВО | ~ | ВС | ’
откуда
| AM | | АО | 1
| ВМ | = | ВО | 2 =
Школьниками были иайдеиы и другие решения этой
задачи: с использованием теоремы синусов и тригоно-
метрических преобразований, векторное решение. Для
десятиклассников задача представила среднюю труд-
ность. Они показали в общем хороший уровень знаний
и умений В то же время многие девятиклассники с
этой задачей не справились.
IX.4. Внутри тетраэдра выбрана точка М. Докажите,
что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из точки М
под углом, косинус которого не больше чем —1/3.
(С. Гашков)
Решение. Предположим, что все ребра тетраэдра
ABCD видны из точки М под углами, косинус кото-
рых больше чем —1/3.
Если перемещать вершины А, В, С, D по лучам
МА, MB, МС, MD, то углы между лучами меняться не
будут. Поэтому можно считать, что все вершины тет-
раэдра удалены от точки М на расстояние 1; при этом
точка М лежит внутри тетраэдра ABCD.
Пусть АВС — ближайшая к точке М грань тетраэд-
ра и AD — самое длинное из ребер AD, BD, CD.
Проведем через точку М прямую перпендикулярно
плоскости АВС и на этой прямой возьмем точку В,
так, что | MDt |=1 и луч MD{ не пересекает плоскость
АВС (рис 3). Если |И£>,| > |AD|, то |AD,| > |В0|,
|AD,| > |СО|. Эти неравенства означают, что все че-
тыре вершины тетраэдра лежат по одну сторону от
плоскости л, проходящей через середину отрезка 00,
перпендикулярно этому отрезку. Получаем противоре-
чие, так как точка М лежит на плоскости л и внутри
тетраэдра. Следовательно, |АП,| |А£>|. Поскольку
|AD,| = |5О,| = |С0,|, все ребра тетраэдра ABCD,
видны из точки М под углами, косинус которых боль-
ше чем —1/3.
Ткак АВС—ближайшая из граней тетраэдра
ABCD к точке М, то перпендикуляр к грани АВС, про-
веденный из точки М, не пересечет никакую другую
грань, отличную от АВС. Поэтому проекция точки Л1
на плоскость АВС, являющаяся центром окружности,
описанной около треугольника АВС, лежит внутри это-
го треугольника. В силу чего треугольник АВС остро-
угольной.
Обозначим AMD~a, тогда —l/3<cosa<0, и сле-
довательно, sin a>8/9. Легко проверить, что радиус ок-
ружности, описанной около треугольника АВС, равен
sin а. Пусть АВ — самая длинная из сторон треуголь-
ника АВС. Имеем п13<.С<я/2, и следовательно, |АВ| =
=2sin a sin С> у 3 sin a> }/ 8/3.
С другой стороны, соз/(Л1В>-—1/3. Поэтому по тео-
реме косинусов |АВ[2=2—2cosA/WB<8/3. Приходим
к противоречию.
Известно и другое решение этой задачи с помошью
векторов, которое мы предлагаем провести самостоя-
тельно.
Х.8. Вершины тетраэдра KLMN лежат внутри, на
гранях или на ребрах другого тетраэдра ABCD. Дока-
жите, что сумма длин всех ребер тетраэдра hjMN
меньше, чем 4/3 суммы длин всех ребер тетраэд-
ра ABCD. (П. Гусятников)
Доказательство. Для любых четырех ,очек
пространства Е, F, G, Н обозначим через P(E,F,G,H}
сумму длин шести отрезков, соединяющих попарно эти
точки. Доказываемое неравенство имеет вид
4
P(K,L,M,N)< -5- Р (А,В,С,Г>). (1)
О
Докажем сначала вспомогательное утверждение: если
различные точки //,, Н, Н2 лежат на одной прямой так,
что Н лежит между Д, и Н2 (рис. 4), то либо
Р(Е, F, С, Н) =ss Р(Е, F, G, Ht), (2)
либо
Р(Е, F, G, И) Р(Е, F, G, Н2). (3)
Пусть Х= |//,Н| / |Н>Н2\, тогда
ЕД=ЕЛЛ+ЛЯ, Д2=ЛДЛЛ+ (1—Л) £7/7
и |Е/7|<Х|£Я2| + (1-X) |£Wi|-
Аналогично
|ВЯ|<Х|ВЯ2| + (1-Л) |/7Л[,
|GB|^X|GW2| + (1-/.) |G//,|.
Складывая последние три неравенства с равенствами
|ЕГ
IEG
1™
=Х
= ?.
££| + (1-Х) ££|,
£G| + (1—X) £GJ,
£G| + (1—X) |£G|,
получим
P(E, F, G, H)^.P(E, F, G, H2) + (l-}.)P(E, F, G, H,).
48
Поскольку 0<Л<1, то из последнего неравенства ме-
дует либо (2), либо (3).
Приступим теперь к доказательству неравенства (1).
Если через точку /V провести отрезок прямой, концы
которого JV, и Л4 лежат на гранях тетраэдра ABCD,
то либо Р(К. L. М, N,)^P(K, L, М, К), либо Р(К, В,
Л/, L, М, N). Следовательно, доказываемое
в задаче неравенство достаточно провесить только для
тех точек К, L, М, N, для которых точка W лежит на
одной из граней тетраэдра ABCD. Но тогда, проводя
через точку W отрезок с концами К- и W2, лежащими
на ребрах тетраэдра ABCD, мы точно так же прихо-
дим к выводу, что неравенство (1) достаточно прове-
рить лишь для точек />’, I М, N, для которых N ле-
жит на одном из ребер ABCD. Применяя к точке N и
концам того ребра, на котором лежит N, еще раз дока-
занное выше утверждение, получим окончательно: (1)
дсичаточно проверить лишь для тех четверок точек К,
Е, М, N, для которых N совпадает с одной из вершин
тетраэдра ABCD.
Рассуждая аналогично с вершинами К, В, М. прихо-
дим к выводу, что неравенство (1) достаточно доказать
лишь для точек К, L, М, N, расположенных в верши-
нах тетраэдров ABCD.
Таким образом, достаточно рассмотреть лишь следую-
Ш1 с случаи.
а) К, В, М, N — различные вершины тетраэдра ABCD.
Тогда
4
Р(К, L, М, N)=P(A, В, С, D)<-^P(A, В, С, D).
б) Три точки К, L, М совпадают, например, с Л и
отличны от точки N—B (рис 5) Тогда, пользуясь не-
равенствами |АВ| < |В£>|-|-|А£>|, |АВ|с |ВС| + |АС|,
находим
Р(К, В, М, А) —3|АВ| < |АВ|4 В£>| + |АВ| + |ВС| +
+ |АС|=.Р(А, В, С, D).
в) Две точки К и L совпадают, например, с А. точ-
ки М и /V тоже совпадают, например, с В (рис. 6).
В этом случае
4
P(.K,L,M,N)~4 | АВ| = у-3| АВ | <
4
< jP(A,B,C,D)
(см. случай б)).
г) Точки К и L совпадают, например, с А, точки М
и К различны, например Л1=В, А=С (рис. 7). Имеем
Р (K,L,M,N) <= 2 | АВ | 4- 2 | АС | +
4
+ | ВС | < -g- ( | АВ | + | АС | + | ВС | ) +
2 2 4
+ -у| ЛВ| + ~у | АС | <-д- (| ЛВ | + | AC I +
2
+ | ВС | ) + -у ( 1 BD | 4- | AD |) +
2 4
+ "3“( | AD | + ] CD | ) < -у Р(А, В, С. П.
Таким образом, требуемое в задаче неравенство пол-
ностью доказано
Замечание. Коэффициент 4/3 в условии задачи
уменьшен быть не может. Чтобы показать это, рассмот-
рим правильную пирамиду ABCD, такую, что |АВ| =
= |ВС| = |СА| = 1 и |Л£>| = |В£>| =|С7)| >2 (рис. 8).
Пусть К и В— середины ребер АВ и АС, а Л/ и (V ле-
жат на ребрах AD и BD, причем так, что |£>Л1| =
= |£W| = 1. Если высота пирамиды ABCD, проведен-
ная из вершины D, стремится к бесконечности, то отно-
шение Р(К, L, М, N) : Р(А, В, С, D) стремится к 4'3.
В течение нескольких последних лет достижения
участников олимпиады в решении геометрических задач
невысоки. Впоследствии имеющиеся у школьников про-
белы в геометрических умениях и навыках проявляют-
ся н на международных соревнованиях советской
команды. Видимо, необходимо на уроках, на кружко-
вых и факультативных занятиях больше внимания уде-
лять точным построениям, воспитанию пространственно-
го воображении, геометрическим методам решения за-
дач.
Задачи на делимс еть
IX.6. Какое наименьшее количество чисел необходимо
вычеркнуть из совокупности чисел 1, 2, .... 1982, чтобы
ни оЗчо из оставшихся чисел не равнялось, произведе-
нию двух дригих оставшихся чисел? Каким образом это
можно сделать? (Л. Курляндчик)
Ответ: 43 числа; можно вычеркнуть числа 2, 3,
.... 44.
Решение. Если вычеркнуть указанные 43 числа,
то условие задачи будет выполнено, ибо произведение
любых двух из оставшихся чисел (исключая 1) будет
бс шше 452=2025>1982.
Покажем теперь, что при вычеркивании любых 42 чи-
сел останутся три таких числа, что произведение двух
из них равно третьему. Рассмотрим тройк? чисел
(2, 87, 2-87), (3, 86, 3-86).(44, 45, 44-45).
Так как функция х(89— х) возрастает иа отрезке
2<сх<с44, то все выписанные числа различны и не
превосходят 44-45=1980<1982. Количество этих тро-
ек 43. Поэтому, если вычеркнуть менее 43 чисел, то хо-
тя бы одна из указанных троек останется и, значит,
условие задачи не будет выполнено.
Эта задача, как и предполагалось, оказалась средней
трудности. Ее решили более трети девятиклассников.
Значительная часть школьников, правильно указав те
числа, которые нужно вычеркнуть, не заметила что не-
обходимо доказать минимальность их количества.
Х.З. Существует ли натуральное число, делящееся на
111...1 и имеющее сумму цифр меньшую т? (А Грн-
т
горьяп) Ответ: не существует.
Решение. Предположим противное. Выберем наи-
меньшее среди всех натуральных чисел, делящихся на
А = 111...1 и имеющих сумму цифр меньшую т.
т
Обозначим его через В. Так как все числа А, 2А, ЗА,
..., 9А имеют сумму цифр не меньшую, чем т, то
19m — 1
В> 10А - 10--------g----> 10т.
(1)
Пусть
В=й2-1024-..4-й,- 104-ft0,
где kr, kT-t.. ft,, ft0 —цифры числа В, 0Cft)=g9,
/=0, 1.... г—1, lsjftr^9. Из (1) следует, что г^т.
Так как 10"*—1=9А делится иа А, то число
В) = В— (10г— 10r-“)=B— 10r m(10m—1)
делится на А. Кроме того, оно меньше В и отлично от
нуля. Сумма цифр натурального числа Bt меньше т.
Действительно, если ftr~m<9, то сумма цифр числа В\
равна сумме цифр В. Если же ftr_m=9, то сумма
цифр числа В, даже меньше, чем сумма цифр В. Сле-
довательно. исходное предположение неверно.
Э1а задача не предполагала больших фактических
49
спаний. Однако она оказалась одной из трудных для
школьников. Многие не смогли выполнить неооходимые
преобразования н логически строго провести рассужде-
ния. Характерны также ошибки, связанные со свойства-
ми позиционной системы в записи чисел. Некоторые
школьники, рассматривая частные случаи, делали необ-
основанные общие выводы.
Задачи комбинаторного характера
VIII.4. Каждой вершине, куба поставлено в соответст-
вие некоторое неотрицательное действительное число,
причем сумма всех этих чисел равна 1. Двое играют в
следующую игру. Первый выбирает любую грань куба,
второй выбирает другую грань, и, наконец, первый вы-
бирает третью грань куба. При этом выбирать грани,
параллельные уже выбранным, нельзя. Докажите, что
первый игрок может играть так, чтобы число, соответ-
ствующее общей вершине трех выбранных граней, не
превосходило 1/6. (А. Берзиньш)
Решение. Ради краткости назовем числа, не пре-
восходящие 1/6, хорошими. Среди восьми неотрицатель-
ных чисел с суммой 1 найдутся по крайней мере три
хороших — в противном случае сумма всех чисел будет
больше 1. Далее, среди хороших чисел найдутся два,
соответствующих вершинам куба — концам одной из
диагоналей граней куба. В самсм деле, диагонали гра-
ней куба вместе с вершинами куба разбиваются на два
тетраэдра — вершины этих тетраэдров выделены на
рис. 9. Из трех хороших вершин хотя бы две являются
вершинами одного тетраэдра.
Теперь ясна стратегия первого игрока: первым ходом
он выбирает грань, одна из диагоналей которой соеди-
няет хорошие вершины. Тогда при любом выборе вто-
рого игрока выбранные грани будут пересекаться по
ребру, которому принадлежит одна из хороших вер-
шин. Первому остается из двух возможных граней вы-
брать грань, содержащую хорошую точку. Требуемое
доказано.
С задачей справились более половины школьников.
Решения в основных чертах совпадали с приведенным,
причем наибольшие тру ,ности возникали при изложе-
нии решений
V1H.8. Квадратная таблица п\п клеток заполнена
целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую
сторону, записаны числа, отличающиеся одно от друго-
го не больше чем на 1. Докажите, что хотя бы одно
число встречается в таблице:
а) не менее [и/2] раз ([а] —целая часть числа а);
б) не менее п раз. (А. Берзиньш)
Решение. Докажем сначала одно вспомогательное
утверждение. Если клетки с записанными на иих чис-
лами а и b соединены таким путем, что каждая клетка
пути граничит с предыдущей по общей их стороне, то
каждое заключенное между а и Ь целое число х встре-
тится в одной из клеток этого пути. Действ ттельно, в
противном случае получается противоречие с тем, что
числа в соседних клетках отличаются ие меньше чем
на 1. Кроме того, если р — число клеток пути, включая
начальную и конечную, то выполнено неравенство
|a—b| СР—1.
а) Пусть М и тп—наибольшее и наименьшее числа
в таблице. Поскольку любые две клетки таблицы можно
соединить путем нс более чем из 2п—I клеток, то из
предыдущего неравенства следует, что |М—/п|с2и—2.
Это значит, что в таблице встречается не более 2п—1
различных чисел. Следовательно, хотя бы одно число
записано в таблице не менее [п2/(2и—1)| раз. Но
п?/[2п—1)>и/2, откуда и следует утверждение а).
б) Пусть Мь и — наибольшее и наименьшее числа
в А-м столбце. Если найдстся такое число х, что ЩцС
сразу при всех А от 1 до п, то по утвержде-
нию а) число х встретится в каждом столбце, т. е. за-
писанб не менее п раз. Если такого числа х нет, то
для некоторых номеров k и р мы имеем:
Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12
т. е. все числа А-ro столбца больше всех чисел р-то
столбца. Применяя то же утверждение к числу у, тако-
му, что ть^у^Мр, рассматривая горизонтальные nv-
тн между А-м и р-м столбцами, получаем, что у встре-
тится в каждой строке, т. е. записано не менее п раз.
Утверждение б) доказано.
Замечание. Существуют таблицы, удовлетворяю-
щие условию задачи, в которых только одно число за
писано п раз. Как их составить, видно из указанного
примера для п=4.
12 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
Задача VIII8 была самой трудной для восьми-
классников: ее с некоторым недочетом решил до конца
только один человек, хотя с пунктом а) справились
более половины школьников.
IX.I. Однажды трое мальчиков встретились в библио-
теке. Один из них сказал: ^Теперь я буду ходить в
библиотеку через день». Второй заявил, что он будет
ходить в библиотеку через два дня, а третий - - что он
будет ходить в библиотеку через три дня. Слышавший
их разговор библиотекарь заметил, что по средам в биб-
лиотеке выходной день. Мальчики ответили, что если
у кого-нибудь из них дата прихода попадет на выход-
ной день библиотеки, то он придет на следующий день
и дальнейший отсчет посещений будет вести уже с это-
го дня. Так мальчики и поступили. Однажды в поне-
дельник они вновь все вместе встретились в библиоте-
ке. В какой день недели происходил описанный выше
разговор? (А. Савин)
Ответ: в субботу.
Решение. Для краткости перенумеруем мальчиков
римскими числами—I, II, III. Заметим, что мальчик 11,
побывавший в библиотеке в понедельник, до этого мог
быть там лишь три раза — в пятницу, во вторник и в
субботу (см. табл.). Мальчик Ш, приходящий в биб-
лиотеку через три дня, перед понедельником мог по-
бывать в библиотеке в четверг, когда не было II, а до
четгерга III был в библиотеке либо в воскресенье, когда
опять пе было II, либо в субботу, когда был и II. Ос-
тается проверить, мог ли мальчик I быть в библиотеке
в субботу, когда были II и 111. Ке трудно видеть, что
Эта задача, как и предполагалось, оказалась самой
легкой для девятиклассников. Ее решили примерно 75%
участников. Все решения так или иначе сводились к пе-
ребору случаев. При этом важно было аккуратно про-
следить весь процесс, не потеряв возможные варианты.
IX. 3. На окружности отмечены 3k точек, разделяю-
щих ее на 3k дуг, из которых k дуг имеют длили 1,
еще k дуг — длину 2 и остальные k дуг — длину 3.
Докажите, что среди отмеченных точек найдутся две
диаметрально противоположные. (В Произволов)
Доказательство проведем рассуждением от
противного. Именно, допустим, что средн точек деления
нет диаметрально противоположных. Отметим эти точки
черным цветом, а диаметрально противоположные нм
точки будут светлыми. Из условия задачи следует, что
длина окружности равна 6k. Длина дуги между двумя
диаметрально противоположными точками равна 3k,
т е. измеряется целым числом. Отсюда следует, что
длина дуги между любой черной и любой светлой точ-
ками есть целое число Значит, длина дуги между лю-
быми двумя из 6k отмеченных иа окружности точек
равна целому числу, и следовательно, 6k светлых и чер-
ных точек разбивают окружность на 6k дут длины 1.
Рассмотрим какую-нибудь дугу АС длины 2 с чер-
ными концами ipp'’. 10). Посередине ее находится свет-
лая точка В', а диаметральная к ней точка В — чер-
ная. Обозначим через «ь л5, л3 количества дуг дли-
ны 1, 2 и 3 оответственно, на которые меньшая из дуг
АВ разбит^ ирными точками. Так как длина этой ду-
ги АВ равиа .%—1, то
П|-|-2л2-|-Злз—3k—1. (1)
Теперь заметим, что каждой дуге длины 1 с черны-
ми концами однозначно соответствует дуга длины 3 с
черными концами (рис. 11). Поэтому каждой из k—п,
дуг длины 1 с черными концами, расположенных на
меньшей из дуг ВС, отвечает дуга длины 3 на дуге АВ.
Значит, n3=k—nt, и равенство (1) записывается в ви-
де П14-2и24-36—ЗД( = ЗЛ—1, или 2(и2—«1) =—чег0
быть не может. Требуемое противоречие получено.
Эту задачу можно отнести к трудным. Решение ее
многоходовое: чтобы получить нужный результат, тре-
буется сформулировать и доказать несколько промежу-
точных утверждений. Задачу решили 20% девятикласс-
ников.
Х.5. В квадратной таблице пу.п клеток отмечено
и—1 клеток. Докажите, что перестановками строк меж-
ду собой и столбцов между собой можно добиться то-
го, чтобы все отмеченные клетки лежали ниже диагона-
ли, идущей от левого верхнего угл* таблицы в правый
нижний. (А. Григорьян)
Решение. Поскольку отмечено всего п—1 клеток,
то в каком-то из п столбцов нет отмеченных клеток,
переставляем его с крайним правым столбцом. Рассмот-
рим теперь строки таблнпы. Все их правые клетки не
будут отмеченными, но в некоторой строке будут от-
меченные клетки. Поменяем ее с иижней строкой. Тогда
в нижней строке будут лежать отмеченные клетки, и
все они будут лежать ниже диагонали (рис. 12). Про-
делаем ту же процедуру с квадратом, содержащим
(п— 1)Х(п—1) клеток и примыкающим к левому верх-
нему у1лу, затем с т°ч ж- расположенным квадратом,
содержащим (п—2) X (п—2) клеток и т. д., пока все
отмеченные клетки не окаж тся ниже рассматриваемой
диагонали.
Эта задача иказтлась самой простой в зздании для
X класса Учащиеся должны были предложить и обос-
новать некоторый алгооитм перестановки строк и столб-
ив. ведущий к целъ.
3»
Задачи на принадлежность
точек прямой и плоскости
П. А. Крупин
(г. Киров)
Покажем один из довольно эффективных приемов ре-
шения геометрических задач аффинного содержания с
помощью векторов. Сущность этого приема заключает-
ся в том, что при решении каждой из Тй'спх задач ис-
пользуется:
I. Необходимое и достаточное условие принадлежно-
сти трех точек прямой, а именно условие А б- (ВС)
может быть записано в виде одного из трех следующих
равенств:
а) ВС - ХВА;
б) ОС - ХОА 4- (I — X) ОВ;
в) ОС = ХОА 4- щОВ, где X 4- и - 1.
II. Необходимое и достаточное условие принадлежно-
сти четырех точек одной плоскости
Пусть точки А, В и С не лежат на одной прямой,
тогда условие DQ (АВС) можно записать в виде од-
ного из трех равенств:
a) CD - аСА 4- ₽СВ:
б) OD -= оОА 4- ₽ОВ 4- (1 — а — '1 ОС;
в) OD = аОА 4- ₽ОВ 4- 1ОС, где а 4- р 4-1 - 1.
Оба вывода являются следствиями теории, изложен-
ной в § 18—23 действующего учебного пособия «Гео-
метрия 9—10» и задачи АЬ 254 *.
Опыт решения подобного вида задач позволил нам
сделать одно очень важное обобщение. Оказывается, ре-
шение любой такой задачи можно осуществлять по од-
ному и тому же поисковому плану.
1. Исходя из содержания задачи, записываем равен-
ство, выражающее необходимое и достаточное условие
принадлежности интересующей иас точки прямой или
плоскости в виде одного из только что рассмотренных
равенств.
2. Вводим базис, состоящий из двух неколл! псарных
векторов на плоскости или трех некомпланарных векто-
ров в пространстве.
Выполняем разложение каждого вектора, входящего
в равенство, записанное в первом пункте, по введенно-
му базису.
3. Исходя из единственности разложения вектора по
данному базису, приравниваем коэффициенты разлог -
ния при одних и тех же базисных векторах, стоящи’ в
левой и правой частях равенства. В результате получа-
ем систему двух или тпех линейных уравнений с дву-
мя или тремя переменными, решая которую, находим
ответ на вопрос задачи.
Приведем решения нескольких задач по предложен-
ному плану.
Задача 1. Дан треугольник АВС. На сторонах АС
и ВС даны точки М я так, что |АМ| : |Л1С1 =3: 1
и |B/V| : |М7| = 1 :2. Пусть отрезки AN и ВМ пеое-
секаются в точке О. Найти площадь треугольника АВС,
если площадь треугольника OBN равна единице.
Решение. Эядага будг. решана, если мы найдем
величину отношения |Л/А 1 • INOj, ибо в таком же от-
ношении находится площади треугольников ANB ч
ONB (рис. 1)Л имеющие однт. и tv же высоту, прове-
денную из их обшей Ьетлтны В. Если величина отно-
шения |Л7А| : |AZO| найдена и равна т, то
a
1) Запишем равенства, выражающие необходимые и
51
м
Рис. 2
достаточные условия принадлежности точек А, О, N и
Л1, О, В прямой:
о £ (AN) => ВО - хВА + (1 — х) BN, (1)
ОС (ВМ) АО-у AM +(1 — у)АВ. (2)
Вычитая первое равенство из второго, получим
АВ => у АЛЛ 4- (х — у 1) АВ 4- (х — 1) BN,
или
(х— у)АВ-руАМ 4-(х — 1) BN =0. (3)
2) Пусть СВ — а, СА — Ь. Выполним разложение
каждого вектора, входящего в равенство (3), по бази-
су (a; by.
АВ-СВ — СА-а—Ь,
А.И - АС---------~Ь, (4)
BN = -|~ВС ------л-а.
О о
После подстановки в равенство (3) вместо АВ, AM
—tr
и BAI их выражений из равенств (4) получим:
(л — y)(<i — О — yb 4- (х — 1)(— 4" ‘2) = 0. или
д. _ | 3 -V
(х — у) а — (х — у) b = —g— а 4- — у*. (5)
3) Исходя из единственности разложения вектора по
данному базису, получим систему двух уравнений с дву-
мя неизвестными
1
г — У - -3- (х — 1),
3
у - х “ — у,
1 2
решая которую, найдем х = "Jq", у — -g-.
При х = ру из (1) следует, что
^-^ВА + (1—~)bN.
Отсюда
BO — BN --^-(ВА —BN)
или
NO • yjy NA, а тогда |VA| I WO| = 10.
Так как по условию S<„vb=11 го и сле-
довательно, 5двс=30,
Задача 2. Дан треугольник MNP. На прямых
MN, NP, РМ даны точки А, В и С так, что MA—aAN,
NB—fiBP, РС—уСМ. Доказать, что если ару=—1,
то точки А, В и С лежат на одной прямой.
Решение 1) Теорема будет доказана, если мы ус-
тановим истинность равенства
МВ — рМА 4- qMC (рис. 2), где р 4- q = 1. (1)
* —» -► “*
В качестве базиса примем векторы MN=a, МР=с.
2) Найдем разложения каждого вектора, входящею
в равенство (1), по базису (о; с):
—* а —* а “*•
МА^у^уМУ-тТ^’
МС-МР ~ 7СА[=> мс = -] 1 - 7,
MB — MN- $(МР — ЛТЛ) => Л1В -
1 -» р
“ 1-Ьрв + 14-р с-
Подставив в равенство (I) вместо МА, МВ, МС их
выражения из равенств (2), получим
1 -* Р "* ар -* q -*
1+Р в + ТТ7 с^т+т<2+ Г+Тс- •
3) Из последнего равенства запишем систему двух
уравнений первой степени относительно р и q:
__а__ _ I _ 1 4- а
1 + а Р ’ 1 + Р ’ Р = а (I Г [J)
о ж откуда
Р I „ Р(1 4- I)
1 + Р ’ 1 4- 7 Ч' q “ 14-р’
Покажем, что при ар7 — —1 будет иметь место
равенство р 4- q 1. В самом деле,
. 1 + ° , Р(1 4-7)
p + q “ а(1 4- ?) + 14-Р °”
1 4- а 4- °Р 4- «₽7 а (1 4- ₽)
° (I 4- р) “ а (1 + Р) -
и тем самым истинность утверждения задачи доказана
Задача 3. На одной из сторон угла с верши-
ной О даны три точки At, А?, А3, определяемые усло-
вием |ОА|| : lAjA^I : |АгА3] = 1:2:3; на другой сторо-
не — три точки А'1, А'г, А'з, определяемые условие*
|ОА',| : |А',А'2| ; |А'2А'з|=3 : 3 : 2. Доказать, что пря-
мая А3А'з проходит через точки пересечения прямых
AiAzi и AjA'z-
Решение. Так как | ОА, |: |А,А,| =£ |ОА,|: |Aj А^ |,
то прямые A,Aj и А,А2 пересекаются в некоторой
точке S. Докажем, что и третья прямая АаАл также
проходит через эту точку S (рис. 3).
Снова будем решать эту задачу по тому же самому
плану.
1) Из условия принадлежности трех точек прямой
запишем следующие два равенства:
OS = хОА, 4- (1 — х) OAi ,
OS ~ уОА, 4- (1 — У) О Аг
Из полученных равенств следует, что
xuAi 4- (1 — х) OAi = уОА3 4- (1 — У) ОАг . (У
Введем оазис:
ОА, = а, ОАл - ~Ь. (2)
2) Выполнив разложение каждого вектора, входя-
щею в равенство (1), по базису (а; Ь), получим
- 1 -* 3 -
ОА, — -р- a. OAi •= -g- Ь,
о о ’
(3)
— I - 3 -+
ОА, — — a, OAz — у Ь.
Равенство (1) при условии четырех последних ра-
венств будет представлено в виде
х -» 3 -* у -+ 3 -»
у а 4- у (1 — х) b = у а 4- — (1 — у) Ь.
Отсюда получаем систему двух уравнений с двумя
неизвестными
X V
“б““ 2 ’
3 3
— (1 —X) = —(I —у),
решая которую, находим х — —3, у — — 1.
Теперь можно записать, что
OS - — ЗОЛ, + 40л'т .
С учетом равенств (3) и обозначений (2) получим
OS- —^-ОА,+-^-ОА'а . (4)
1 3
Так как — у 4- — =1, то S £ (Л,Л3). что и тре-
бовалось доказать.
Окончательный вывод можно было бы получить и
несколько иначе. Для этого запишем равенство (4) в
таком виде:
OS — ОЛз - -у- (OAz — ОА,),
или
“ 2 А3А3 .
Из последнего равенства следует:
1) 2) |ЛзХ| = 4"И»Лз1-
При таком рассуждении получили еще и дополнитель-
ную информацию о расположении точек S, А3, А'3.
Задача 4. Дана треугольная пирамида SABC.
Через точки М и N, определяемые условием
SM = у- ВЛ и SN - -у SB ,
проведена плоскость, параллельная медиане основания
BD. Доказать, что эта плоскость проходит через вер-
шину С.
Решение. Искомая плоскость параллельна медиа-
не основания BD и поэтому должна пересечь тре-
угольник SDB по средней линии NL (рис. 4). Пусть
(АД.) П (SC) =Р, тогда плоскость MNP удовлетворяет
условию задачи.
1) Четыре точки М, N, L, Р по условию задачи ле-
жат в одной плоскости. Следовательно, будут ист тп-
ными следующие равенства:
SP - aSM 4- ₽SJV 4- ySL и а 4- ₽ 4- 7 - 1 (1
В качестве базиса примем векторы SX=u, SB— b,
SD=d,
2) Разложим каждый вектор, входящий в равенство
(1), по базису
—- 1 — I -
SM = у ВЛ = у а,
1 » 1-
SW-ySB-yi. (2)
—* 1 1 -*
SL — ~2~ SD = —а.
——>
Остается выполнить разложение вектора SP по ба-
—> —* —► ——► —
зису (a; b, d). Пусть SP=xSC, Для того чтобы вы-
—> —> -с*
полнить разложение вектора SC по базису (a; b; d),
используем равенство 2SD=S4-f-^> из которою еле-
-----------> —> —5>
дует, что SC = 2d — а. Теперь будем иметь
SP - х (2d — а). (3)
Подставив в равенстве (1) вместо SP, SM, SN, SL их
выражения из (2) и (3), получим
— -» а -* ₽ ? 7 •*
— ха 4- 2xd — у а 4- — Ъ 4- -у d.
а
3) Из последнего равенства следует, что —х — -у ,
р = 0, у = 2х. Так как а4-Р4-7 “ 1, то —Зх4-4х=1,
откуда х — 1.
——> -
Отсюда следует, что SP—SC, а значит, Р=С, т. е.
проведенная плоскость проходит через вершину С
Задача 5. Дана четырехугольная пирамида SABCD,
основанием которой является параллелограмм АВС1Х
На боковых ребрах SX, SB и SC этой пирамиды даны
точки М, N и Р, такие, что |SA1I ’ |МЛ|=2: 1, |SJV| .
: ]/VB[ =3 ; 1, |SP1 : |РС| = 1 : 1. В каком отношении
Рис 5
делится ребро SD точкой пересечения его с плоскостью
MNP/
Решение Пусть плоскость MNP пересекает реб-
ро SD в точке Q (рис. 5).
1) Запишем необходимое и достаточное условие при-
надлежности четырех точек М, N, Р и Q одной плос-
кости;
S<2 - aSAf + -f-(1 — a — ₽)SP. (1)
За базис в данной задаче примем тройку некомила'
нарных векторов:
» —> — > —> —*
SA — a, SB — Ь, SC — с.
2) Выполним разложение каждого вектора, входя-
щего а равенство (1), по введенному выше базису. По
условию задачи
__» 2 -> ___► 3 ► ► 1 ►
SAI - -g-SA, SN - -у SB, SP- — SC.
Допустим, что SQ—xSD, тогда равенство (1) мо-
жет быть переписано в виде
____ 2 -* 3 -» 1 -»
xSD — -g-aa + — Р + (1 — о— ₽) — с (2)
Если О — точка пересечения диагоналей параллело-
грамма, то
SA + SC = SB 4- s3*= 2SO, или SD - с + Г— К (3)
Из равенств (2) и (3) следует, что
х (а + с — Ь) — -у аа + -j- + (1 — а — В) -i- с.
Отсюда получаем систему трех уравнений первой сте-
пени с тремя неизвестными
2
1—а —Ч
г = ----.
Решив эту систему, найдем
У 8 6
° “1.5’ Р------13’ х'~ 13-
Итак, |SQ| : |QD| =6:7.
В заключение остановимся иа некоторых замеча-
ниях.
1) Термин «аффинная задача» для учащихся можно
не вводить. Но общие признаки, по которым эти задачи
отличаются от метрических, разъяснить учащимся необ-
ходимо. Следует подчеркнуть, что для всех выше рас-
смотренных нами задач существенную роль играют;
параллельность прямых и плоскостей, отношение длин
отрезков одной пря:.юй или различных параллельных
прямых, отношение площадей многоугольников, лежа-
щих в параллельных плоскостях, и объемов многогран-
ников.
2) Задачи, подобные тем, кото[ ые были рассмотре-
ны в дайной статье, могут быть рекомендованы для вне-
классных занятий по математике в старших классах, а
некоторые из этих задач могут быть рассмотрены и на
урок. х.
3) Каждая аффинная задача путем доопределения ее
метрическими данными (длинами отрезков, величинами
углов, перпендикулярностью прямых и плоскостей, зна-
чениями площадей и ооъемов ф.иур) может быть обра-
щена в метрическую задачу. 1ак, например, в задаче
№ 3 можно было бы потребовать найти |OS|, предва-
рительно доопределив ее так:
|ОЛ3|=а, |ОА'| = АаОл'=а.
Задачу № 5 доопределить следующим образом:
SABCD — правильная пирамида, и кроме того, |S/i| =
=e, XsB=a. В этом случае можно определить объем
пирамида SMNPQ.
Последнее замечание означает, что аффинная задача
может входить в состав метрической задачи как со-
ставная часть.
"адачи для самостоятельного решения
1. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD
даны точки Е и F так, что |АЕ| : |Аб|=2:3, |Л£| =
= |Е£>|. В каком отношении отрезок FE н диагональ
АС делятся их точкой пересечения Л1?
Ответ: |/W | : |М£| =3 . 4, |ЛЛ4| : |Л1С| =2 : 5.
2. Доказать, что в любой трапеции прямая, проведен-
ная через точку пересечения диагоналей и середи-
ну основания, проходит через точку пересечения пря-
мых, на которых лежат боковые стороны.
3. Дан треугольник АВС. Существует ли такая точ-
ка Q, что QA+2QB+3QC—0?
4. На прямой заданы три точки А, В, С. Существует
ли такая точка Q, что QA-|-QB-|-QC=0?
5. Пусть даны треугольник АВС и точка О. Обозна-
чим через Р, Q, R точки пересечения медиан треуголь-
ников АОВ, ВОС, СОА. Доказать, что точки пересече-
ния медиан треугольников ABC, PQR и точка О ле-
жат на одной прямой.
6. На ребрах SA, SB, SC пирамиды SABCD, основа-
нием которой является параллелограмм, даны точки М,
N, Р так, что |S.M| : |ЛМ|=3:1, |S.V| = |AB|, |SP|:
:|РС|=3:5. Доказать, что плоскость MNP парал-
лельна диагонали BD основания.
7. В треугольной пирамиде SABC с основанием АВС
проведено сечение плоскостью MNP так, что
М Р (5Л), где ISM| : ША|=2:3.
Л i(SB), где |S/vf : |АВ|=3: 1,
Р£ (SA)), где |SP| : |РА[| =1 :1 и At—середина
стороны ВС.
В каком отношении это сечение делит ребро SC и от-
резок SO, где О — точка пересечения медиан основа-
ния пирамиды?
Ответ: |S£| : |£С| =3 : 5, |SQ| : |QO| =6 : 7.
8. На стороне АС треугольника АВС взята точка Л1
так, что |AAf| =-2~|АС|, а на продолжении стороны СВ
такая точка N, что |ВА| = |ВС|. В каком отношении
точка Р пересечения отрезков АВ и MN делит каждый
из этих отрезков?
С 1 вет; |АР| : |РВ|=1 : 1, |МР| : |РМ| =3: I.
Задача о правильном
шестиугольнике и ег обобщение
Э. Г. Гетман
(г. Арзамгс)
В статье 3. А. Скопеца «О двух правильных шести-
угольниках, связанных с произвольным треугольником»
(Математика в школе, 1977, № 5) решена следующая
задача:
Если на сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС
построены в его плоскости равностп^о! нш одинаково
ориентированные треугольники ВСА.а, САВ0, АВСв, то
54
центры Л,, Bt, С| этих реугольников и центроиды А2,
В2, С2 треугольников В0СаА, СоАоВ, А0ВвС являются
вершинами правильного шестиугольника, центр которо-
го совпадает с центроидом G данного треугольника
(рис. 1).
С помощью векторов и преобразований в статье 3. Л.
Скопеца показано, что треугольники AiBfit и А2В2С2
являются равносторонними с общим центром О — цен-
троидом треугольника АВС; эти треугольники симмет-
ричны относительно G, откуда н вытекает требуемое
утверждение.
Эту интересную задачу можно рас'лштреть на заня-
тиях математического кружка в VIII—X классах. При
этом полезно показать учащимся различные подходы к
решению задачи, а также возможность ее обобщения.
1. Ниже мы приведем другое решение этой задачи,
сводящееся к установлению того факта, что треуголь-
ники с общей вершиной G (GBjQ, GC2A, н т. д.) явля-
ются равносторонними. Школьники смогут принять ак-
тивное участие в отыскании этого решения, если снача-
ла сформулировать следующие вспомогательные за-
дачи.
На сторонах ВС и СА треугольника АВС построены
равносторонние одинаково ориентированные треуголь-
ники ВСАс и САВо. Доказать, что
1) |АА0| = |ВВ0| и (АХ. ВоВ)=60°;
2) середины К, L, М, N отрезков АоД АВ, АВ0 и
ЛцВо являются вершинами ромба, острый угол которого
равен 60°;
3) центроиды G, Вь С2 треугольников ЛВС, АСВ0 и
4оВоС язляютгя вершинами равностороннего треуголь-
ника.
Приведем решения этих задач. Для определенности
будем считать, что треугольник АВС ориентирован по-
ложительно, а Tpevro.ii "ики ВСА0 и САВ0 ориентирова-
ны отрицательно (рис. 2).
I) Поворот /?^60° отображает точки А и Аэ со-
ответственно иа точки Во и В, а отрезок ААВ—на отре-
зок ВРВ. Следовательно, |АА01 = |ВВ01 и угол между
лучами АА0 н В0В равен углу поворота, т. е.
(АА0, BJ3)-60°.
2) Отрезки KL и MN являются средними линиями
треугольников AAqB и АА0В0. Поэтому |A£| = |A1V| =
=~2~ |АА0|. Аналогично, |СЛ1| = |K/V| =-g-|ВВ0|. Сле-
довательно, четырехугольник KLMN является паралле-
лограммом. А так как |АА0| = |ВВ0|, то |КВ| = |СЛ1|
и KLMN — ромб, причем
ЛЛ1Лг=(ААв, В./3)-6бв.
31 Гомотетия Hq3 отображает точки L, М, V соот-
ветственно на точки G, Bi и С2 (рис. 1). Поскольку
треугольник LMN — равносторонний, то треугольник
GB,C2 также равносторонний.
Совершенно таким же образом докажем, что тре-
угольники GC2Ab GA,B2 и др. являются равносторон-
ними, и, следовательно, получаем правильный шести-
угольник AtB2CiАгВ^ с центром G.
Примечание. Если АВС=60э, то Л^СВо=18Оэ.
В таком случае центроид вырожденного треугольника
А0В„С (так же, как и центроид обычного треугольни-
ка) есть точка С2, делящая отрезок CN в отношении
2:1, считая от точки С.
Приведенное решение задачи о правильном шести-
угольнике довольно просто, так как оно не требует
знаний, выходящих за пределы программы восьмилет-
ней школь:. Недостатком efo является наличие дополни-
тельных линий, усложняющих чертеж.
II. Анализируя io л ученное решение, замечаем, что
четырехугольтгик KL MN является параллелограммом и
в том случае, когда ВСА0, САВв - АВСв— произволь-
ные треугольники. Гомотетия Н^3 отображает точки
К, L, М, N на центроиды Ai, G, В}, С2. Поэтому
A{GBi'\ — параллелограмм. Аналогично докажем, что
AtGCtB2 и BiGCjAr — также параллелограммы. Поэто-
му, например, .'BiC’2| = |GA2| = |С|В2| н (BiC2)||(GA2)||
||(C|B2). Получаем следующий результат:
Если иа сюронах ВС, СА и АВ треугольника АВС
построены произвольные треугольники ВСАп. САВв,
АВСв, то центроиды этих треугольников (точки Аь В,,
С|) и центроид: • треугольников B0GoA, CqAoB. АсВоС
(точки А2, в2, С2) являются вершинами шестиугольни-
ка, противоположные стороны которого конгруэнтны и
параллельны (рис. 3).
Экономное решение этой задачи, без каких-либо вспо-
могательных построений, можно получить с помощью
аппарата векторной алгебры.
Векторы ОА, ОВ, ОС, ..., отложенные от некоторой
—► —*
точки О, для краткости будем обозначать через А, В,
С. ...
Известно, что если G — центроид треугольника АВС,
то
g - 4- М+Я+О-
Следовательно,
X - (А + В + С), А, - М + + Со).
Обозначим через Р середину отрезка А|А2. Тогда
Р = 4 (X + Л) = 4“ + + А + + Со).
1 -*
нли P=’2'(G4-GO), где Go — центроид треугольника
AqBqCq.
Отсюда видно, что ести точки G и Gt, совпадают, то
совпадают и все три точки Р, G и Go.
Для векторов, соответствующих сепедннам отрезков
BiB2 и С(С2, получим то же самое выражение, т. е. се-
редины этих отрезков совпадают с точкой Р.
Таким обоазом, tg-.хя Р есть центр симметрии шести-
угольника AiBsCjAgByCi, и поэтому противоположные
стороны шестиугольника конгруэнтны и параллельны.
III. Пусть А,Я2С,А2В.С2 по-прежнему центрально-
симметричный шестиугольник. Выясним, при каком ус-
ловии его диаг'ональ AtAs вдвое больше стороны Я,С2
и параллельна ей. Проведем исследование с помощью
векторов:
ЛА - А — Л, - 4“(Х. +В + С) —
— В» + С.) ~-±-(AAQ-BBe — СС$.
Точно гак же находим что
•BiC, — -7J- ААй
О
Отсюда
SBjCo — АЛ - 4~ИА + ВВ0 4- СС0).
Следовательно, АА — 2В,С2 то'да и только тО|Да,
когда
АА„ + ВВ„ + СС„ - О. (П
Анало1ично докажем, что если имеет место равенство
(1). то
В^В, -= 2С,А и С-А, == 2Л ,В„
Поэтому, если выполнено условие (1), то каждая диаго-
наль шестиугольника, проходящая через его центр сим-
метрии, параллельна двум его противоположным сто-
ронам (рис. 4).
Назовем такой шестиугольник аффинно-правильным.
Равенству (1) можно придать вид
А 4- В -f- С = А + Во 4- С„ или G = Са.
Следовательно, для того чтобы шестиугольник
А^В2СХА2В}С2 был аффинно-правильным, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось равенство (1) или что-
бы точки G и Go совпадали.
Примем еше но внимание геометрический смысл ра-
венства (1). Оно означает, что из отрезков ААо. ВВ, и
СС0, параллельно перемещая их, можно составить тре-
угольник.
IV. Найдем теперь условия, при которых рассматрива-
ем J.fi нами шестиугольник является правильным.
Диагонали АА. В, В2, С,С2 аффинно-правильного
шестиугольника А1В2С1А2В1С2 разбивают его на шесть
конгруэнтных треугольников. Поэтому следует потребо-
вать, чтобы |GA, | = |GB2| = |А,В2|. А так как
GAt = BtC, *” “j" AAt,
* -- 1 —» —> i
B,G - AtC, - -^~BBa, AtBt - -J- CC„,
то к равенству (1) нужно присоединить равенство
|АА| = |ВВ0| = |СС0|. (2)
Итак, шестиугольник AiB2ClA2BlC2 является правиль-
ным тогда и только тогда, когда выполняются равен-
ства (I) и (2), т. е. когда из отрезков АА0, ВВ0 и
СС0, параллельно перемещая их, можно составить рав-
носторонний треугольник.
Возвращаясь к первоначальной задаче о правильном
шестиугольнике, замечаем, что условия (1) и (2) выте-
56
кают из решенной выше первой вспомогательной задачи.
Заметим еще, что полученное выше векторные равен-
ства справедливы не только тогда, когда треугольники
АВС и АВ0С0 лежат в одной плоскости, по и в слу-
чае, когда они расположены произвольным образом в
пространстве.
Таким образом, мы получили решение следующей, бо-
лее общей задачи:
В пространстве даны треугольники АВС и Л0В0С0,
причем точки G и Go—их центроиды. Пусть А. Вь
С,—соответственно центе он ды треугольников ВСЛ0,
С А Во, АВСй и А2, В2, С2 — соответственно центроиды
треугольников В0С0А CoAqB, АоВоС. Тогда:
I) треугольники /1,6,67, и А2В2С} симметричны друг
другу относительно точки Р, удовлетворяющей усло-
вию
Р - ~ (G + G,);
2) вершины этих треугольников являются вершинами
аффинно-правильного шестиугольника и P=G = G0, ес-
ли выполнено условие (1);
3) шестиугольник А|В2С|А2В,С2 является правильным,
есчи выполняются равенства (1) и (2).
В заключение можно предложить учащимся рассмот-
реть частные случаи задачи и выполнить некоторые
построт ния, например построить точку Со так, чтобы
выполнялось равенство (1), если даны треугольник
АВС и точки Ао и Во-
Две практические задачи
на деление с остатком
С. С. Гамидов
(Баку)
Деление с остатком рассматривается еше в начальной
школе. В IV классе учащиеся повторяют эту гему и
очень бегло решают задачи на деление с остатком. По
связи этого действия с жизнью, его применения на
практике не раскрываются и даже не упоминаются ни
в начальной школе, ни в средней.
Мы остановимся здесь на двух задачах, связанных с
применением деления с остатком в IV классе. Они инте-
ресны тем, что показывают это действие в совсем новом
для учащихся качестве. Деление с остатком дае) нам
возможность определить точные сроки циклически по-
вторяющегося события в том случае, когда нас интере-
сует момент отдаленного прошлого илн будущего. Та-
кие задачи часто встречаются в астрономии и хроноло-
гии. Эти вопросы мы рассматривали на внеклассных )з-
нятнях с учащимися IV класса.
В начальных классах при знакомстве с месяцем и
годом используется табель-календарь. По календарю
учащиеся определяют порядковый номер месяца, уста-
навливают день недели, если известны число и месяц,
и, наоборот, указывают числа месяца, на которые при-
ходятся определенные дни недели. Учитывая достаточ-
ный уровень знаний о календаре у четвероклассников
можно поставить перед ними следующую задачу.
Задача 1. В месяце 31 день и его первое число —
понедельник. Установите, как распределяются по дням
недели все числа этого месяца. Выведите общую форму-
лу для установления дня недели по известной дате.
Сначала учителю следует повторить с учащимися са-
мо правило деления с остатком. С этой целью он зада-
ет классу следующие вопросы: «Приведите примеры де-
ления чисел нацело. Приведите примеры деления чисел
с остатком Что можно сказать об остатке? Какие ос-
татки могут получиться при делении на 2, 3, 4, 7? Мо-
жет ли остаток быть больше или равен делителю?» Учи-
тель подчеркивает один из главных выводов этой бе-
седы при делении на 7 все возможные остатки могут
611ть 0, 1 2, 3, 4, 5, 6
Теперь учащиеся могут перейти непосредственно к ре-
шению задачи 1. Для ответа на первый вопрос они в
большинстве случаев пишут в столбик друг за другом
названия дней недели, а рядом с ними — соответствую-
щие числа месяца Тогда учитель обращает внимание
класса на второй вопрос задачи 1, подчеркивая, что из
традиционного табель-календаря усмотреть нужную фор-
м\лу не так-то просто. Следует искать более наглядный
путь. После обсуждения возможных вариантов учащие-
ся с помощью учителя находят графический способ упо-
рядочивания дней недели
Возьмем окружность и разделим ее на 7 примерно
равных частей, а точки деления обозначим через дни
недели последовательно от воскресенья до субботы,
двигаясь на часовой стрелке (см. рис.). Дни недели по-
вторяются с периодом 7, поэтому вместо обычных на-
званий мы дадим каждому дню следующие номера:
воскресенье — 0; понедельник — 1; вторник — 2; среда —
3: четверг — 4; пятница — 5; суббота — 6. Эту нумера-
цию переносим на окружность. Если по указанному ри-
сунку будем продолжать нумерацию, то седьмой день
(или нулевой) снова окажется воскресеньем, восьмой —
понедельником и т. д. Замечаем, что числа 0, 1,2, 3, 4,
5, 6 есть остатки, полученные при делении числа на 7.
Таким образом можно вывести общий признак, с по-
мощью которого определяется, какие числа какому дню
недели соответствуют: воскресенье — 0, 7, 14, 21, ...,
числа вида 7-л; (п^О целое число);
понедельник — 1, 8, 15, ..., числа вида 7«+1;
вторник — 2, 9, 16... числа вида 7«+2;
среда — 3, 10, 17..числа вида 7«+3;
четверг — 4, II, 18, .... числа вида 7«+4;
пятница — 5, 12, 19, ..., числа вида 7n-f-5;
суббота — 6, 13, 20..числа вида 7п+6.
Обозначив число месяца через а, а остаток от деле-
ния на 7 — через k, запишем общую формулу для оп-
ределения дня недели по известному числу а:
a = ln-}-k, где 6=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Число k показывает, какой цифрой на рисунке зашиф-
рован день недели.
На основании указанного признака составляются ка-
лендари По в этом деле имеются и трудности. Так, ес-
ли бы количество дней в году делилось на 7, то все
даты ежегодно приходились бы иа одни и те же дни
недели и составление календаря было бы гораздо про-
ще. Однако количество дней в году равно 365 дням, или
52 неделям и 1 дню. так как 365-:7 = 52 (остаток 1).
Отсюда ясно, что для обычного года номер дня неде-
ли заданной даты в следующем году увеличится на 1
Например, если в 1981 г. 4 января — воскресенье, то в
1982 г. этот день — понедельник. Однако эта простая
схема каждый четвертый год нарушается високосным
годом. В високосном году 366 дней (52 недели и 2 дня).
Тогда номер дня недели увеличивается на 2. Итак, во
всех случаях нас интересует остаток от деления одного
числа на другое. Значение неполного частного не играет
роти
Проблемная ситуация, созданная задачей 1, привела
учащихся к общему математическому выводу. На сле-
дующей задаче можно проверить, как эти выводы ре-
бята реализуют иа практике.
За д а ч а 2. Определите, каким днем недели будет
9 мая 2000 г. (если сохранится нынешние календарь).
Учащиеся определяют по календарю, что 9 мая 1982 г,
было воскресеньем; 9 мая 1982 г. и 9 мая 2000 г. разде-
ляют 18 лет, которые составляют 6574 дня (365-18+
+4 = 6574, последнее слагаемое — число високосных лет
между 1982 г. и 2000 г.). Но 2000-й год тоже високос-
ный, поэтому следует прибавить еще 1 день Таким об-
разом, эти две даты разделяют 6575 дней, нлн 939 не-
дель и еще 2 дня. По прошествии 939 недель снова на-
ступит воскресенье, так что еще через 2 дня, т. е,
9 мая 2000г., будет вторник.
Для решения поставленной задачи совершенно неваж-
но знать, сколько именно целых недель прошло за 18 лет,
а интересно только число дней сверх этих недель. Но
достаточное время и работа потрачены на нахожде-
ние неполного частного, которое само по себе не нуж-
но. Покажем способ нахождения остатка, непосред-
ственно минуя вычисление неполного частного.
Можно рассуждать следующим образом: весь срок
от 9 мая 1982 г. до 9 мая 2000 г. состоит из п полных
недель и k дней. Нас интересует число k. Ойо равно
числу лет, прошедших между этими датами, сложенно-
му с количеством високосных годов, т. е. 6=2000—
—1982+5=23. Исключив из 23 дней полные недели
(23:7=3, остаток 2), получим 2 дня, которые и сле-
дует отсчитывать от нашего воскресенья.
С задачами такого рода приходится часто сталкиг чть-
ся историкам особенно востоковедам, при сопоставле-
нии дат, указанных по разным календарям.
Научные конференции
юных математиков — важный
стимул творческой работы
учащихся
Ф. М. Рафикова
(г. Стерлитамак)
Участие школьников в работе факультативов, кружков,
ученических научных обществ, в конкурсах творческих
работ, в олимпиадах способствует развитию их творче-
ских способностей и познавательных интересов.
Мы расскажем об опыте организации научных конфе-
ренции учащихся по математике. Их проведение пресле-
дует следующие цели: вызвать интерес школьников к
изучению математики, расширить и углубить знания,
подготовить их к выполнению доступной творческой ра-
боты, выявить талантливую молодежь, глубоко и серьез-
но интересующуюся предметом, помоиь учащимся про-
явить свои способности и правильно выбрать профес-
сию.
Внутришкольные конференции. Подготовка учащихся
к выступлению на них ведется учителем на кружковых
и факультативных занятиях, а также в индивидуальном
порядке. Тематика докладов чаще всего тесно связана
с основным курсом математики или с факультативными
курсами, с различными приложениями математики. В не-
которых случаях конференция посвящается жизни и
творчеству того или иного ученого-матемитка
Одним из главных этапов подютовки является выбор
тем сообщений и подбор материала Целесообразно вме-
сте с учащимися просмотреть рекомендуемую учителем
литературу и выбрать необходимый для сообщений ма-
териал, назначить консультации,
В процессе подготовки к конференции создаются бла-
юприятные условия для организации активной само-
стоятельной работы учащихся с математической научно-
популярной литературой, у школьников вырабатываются
умения и навыки осмысленного восприятия полученной
информации, развивается математическое творчество.
Городские (районные) конференции юных математи-
ков проводятся один раз в год, обычно в апреле.
Все вопросы конференции решаются оргкомитетом, в
состав киторо>о входят представители городского (рай-
онного) отдела народного образования, преподаватели
математических кафедр пединститута, учителя матема-
тики и студенты — преподаватели Общества юных ма-
тематиков при пединституте. О предстоящей городской
(районной) конференции учителя узнают во время ав-
густовских совещаний. В течение j “ебного года в шко-
лах идет п хцготовка докладов, и за две-три недели до
конференции на рассмотрение орт комитета представля-
ются рефераты докладов.
Как правило, на городскую (районную) конференцию
представляются лучшие доклады школьных конферен-
ций. С каждым рефератом тщательно знакомятся чле-
ны оргкомитета, и затем выносится решение о включе-
нии гого или иного доклада в программу конференция.
Основные требования, тредътвляемые к работе ученика,
сводятся к следующему: ос нысленное изложение мате-
матических фактов, точное и логически грамотное изло-
жение материала, проявление самостоятельности и твор-
ческого подхода к освещению рассматриваемою во-
проса.
В зависимости от тематики доклады распределяются
по секциям Из числа членов оргкомитета в каждой сек-
ции назначаются председатель секции и жюри.
Программа конференции заблаговременно рассылается
по всем школам города (района), и на конференцию
кроме докладчиков приглашаются все желающие.
На пленарном заседании конференции оглашаются
итоги городской (районной) и республиканской олимпи-
ад, вручаются награди победителям. В связи с этим
в день конференции важно создать деловую и торжест-
венную обстановку, красочно иформить зал, организо-
вать выставку творческих работ учащихся по матема-
тике (рефератов, математических газет, альбомов, само-
дельных наглядных пособий и т. п.). Кроме того, необ-
ходимо продумать и организацию досуга ребят. Целе-
сообразно, например, в перерывах между заседаниями
проводить занимательные математические игры и раз-
влечения, показывать математические фокусы и т. д.
Большое воспитательное значение имеет подведение
итогов конференции Следует поощрить наиболее успеш-
но выступивших докладчиков, а также школы, приняв-
ши?. активное участие в работе конференции.
Например городская конференция юных математиков
г. Стерлитамака и близлежащих районов проводилась
J2 апреля 1981 г. и была посвящена 20-летию первого
полета человека в космос. В конференции приняли уча-
стие более 200 учащихся школ г. Стерлитамака. Ишим-
бая, Салавата и близлежащих районов, а также более
30 учителей математики.
Программа конференции была следующей:
I Пленарное заседание.
1. Открытие конференции — вступительное слово пред-
ставителя института.
2 Оглашение итогов и вручение наград победителям
гогод-кой и республиканский математических олимпиад.
3. Доклад «Математика и космос».
II Работа секций.
Ill Подведение итогов.
Работали секции учашихся VI—VII. VIII, IX X клас-
сов. Доклады били разнообразными по тематике и со-
держанию и показали многообразие интересов школь-
ников, стремление глубоко и полно разобраться в за-
интересовавшей их проблеме. Учащиеся демонстрирова-
ли широкие возможности применения математики в жиз-
ни, в решении важнейших народнохозяйственных задач,
в технике, а также красоту, логическую стройность ма-
тематической науки.
Практика показывает, что систематическая, планомер-
ная работа учителя и учашихся по подготовке к таким
конференциям, участие с докладами и сообщениями на
них являются важным стимулом самостоятельной твор-
ческой работы учашихся, одним из путей формирования
устойчивого интереса к изучению математики.
Математическая игра
для IV—VI классов
В. М. Пташник
(с. Шабельское Щербиновгкого района
Краснодарского края)
У учащихся IV—VI классов пользуется успехом игра,
которую мы называем «Математический поезд». Подго-
товка к проведению игры обычно начинается в начале
учебного года на занятии математического кружка. В пе-
риод подготовки к игре выпускаются математические
бюллетени «Готовьтесь к путешествию на «Математиче-
ском поезде!», в которых кроме описания правил ш ры
предлагаются задачи для решения, а в следующих вы-
пусках помешается разбор их решений. Кроме тою.
проводятся занятия по решению задач повышенной
трудности логических задач, задач на смекалку.
Для проведения игры привлекаются учащиеся IX клас-
са. Одна грхппа девятиклассников консультирует уча-
щихся IV—VI классов по решению задач, выпуску бюл-
летеней, другая группа готовит оборудование, третья
группа проводит вечер.
«Математический поезд» состоит из трсх вагонов
(классных комнат): мягкого, купейного, плацкартного.
В коридоре размешается кассовый зал, пр« входе в
который вывешиваются условия участия в тире.
Ребята.1 Внимательно прочтите правила получения би-
летов для посадки в <Математический поезд».
1. При входе в кассовый зал получите посадочный та-
лон— конверт с тремя задачами и шестью -кетонами.
2 Садитесь за парту и, достав из конверта карточки
с заданиями, ответьте на имеющиеся в них вопросы, ре-
шите задачи.
3. Обратитесь в кассу за получение и билета
4. Если вы не можете решить какую-либо задачу или
ответить на вопрос, обратитесь зе помощью в «Спра-
вочное бюро». В зависимости от содержания справки
определяется сплита».
СПРАВОЧНОЕ БЮРО
Правила выдачи справок
1. Проверка правильности решения задачи и указа-
ние ошибки проводится бесплатно.
2. За наводящий вопрос, помогающий найти путь ре-
шения задачи следует уплатить 1 жетон.
3. Плата за подсказку пути решения засини — 2 же-
тона.
4. Плата за решение задачи— 3 жетона.
Условия получения билета
1. Билет в мягкий вагон выдается при правильном
решении трех задач и пре&оявл-мии в кассу не менее
трех жетонов.
2. Правиломе решение всех задач и наличие двух
n:ci с чиа uaei право на получение билета в купейный
ва 'он.
3. ЛлЛ г, мучения билета в плацкартный вагон до-
статочно одного жетона при правильном решении всех
задач.
4. Полученный билет предъявите проводнику вагона.
Каждый участник игры получает в конверте три зада-
ния: шуточный вопрос, задачу практического содержа-
ния, заьчмательную задачу, одно из заданий — повы-
шенной трудности.
Кассовый зал работает 45 мин. За 10 мин до отправ-
ления поезда дежурный по вокзалу дает три звонка и
объявляет посадку, затем через 5 мин даются два
звонка и еще через 5 мии — последний звонок. Поезд
отправляется в путь. Ученики, не получившие билетов,
выбывают из игры.
В вагонах проводятся игры, математические викто-
рины. дру-не развлечения. Через каждые 15 мин после
отправления поезда объявляются остановки (на 15 мин):
«Рыболовная», «Игровая», «Лотерейная», «Призовая».
На станции «Рыболовная» пассажиры участвуют в
игре «Математическая рыбалка».
Правила игры. Пассажиры каждого вагона де-
лятся на команды по два-три человека. Каждой коман-
де выдается удочка, с помощью которой члены коман-
ды должны поймать не менее 1,5 кг «рыбы» на «уху».
«Рыба» считается пойманной, если ее вытащили из «ре-
ки» удочкой и правильно решили прикрепленную к ней
задачу. В случае ошибочного решения «рыба» опуска-
ется в «реку». Проверка правильности решения осуще-
ствляется в «приемном пункте». Команда, наловившая
1,5 кг «рыбы», получает право возвратиться в свой ва-
гон. Команда, не успевшая выполнить э-ого задания,
переходит н вагой на разряд ниже. Команда, которая
..умеет «поймать» больше 1,5 кг «рыбы», получает пра-
во перехода в вагон на один разряд выше своего. Об-
мен билетов проводится в «приемном пункте» по предъ-
явлению «улова».
Для проведения этой игры нужно приготовить доста-
точное количество удочек и нужное число «рыб» раз-
личной величины.
На станнан «Игровая» проводятся развлечения со
спичками. Участники соревнования садятся вокруг сто-
ла. Ведущий кладет карточку-задание на середину сто-
ла. Пассажиры складывают из спичек указанную Лнгу-
ру и решают соответствующую задачу. Решивший за-
дачу первым поднимает руку. При правильном решении
ему выдается определенное количество жетонов (ука-
зано на карточке). Затем участники игры переходят ко
второму заданию и т. д. Выигрывает тот, кто после вы-
полнения всех заданий получит большее количество же-
тонов. Победнтли на станции «Игровая» могут перей-
ти в вагон разрядом выше.
На станции «Лотерейная» пассажиры могут принять
участие в «Математической лотерее». Для этого нужно:
1 Купить лотерейный билет, цена которого — ответ
па шуточный попрос или решение занимательной задачи.
2 . На лотерейном билете записано условие задачи.
Нужно решить ее, ответ сверить с таблицей выигрышей,
в которой указаны ответы к задачам «счастливых» би-
летов
3 Если ответ задачи имеется в таблице, то пассажир
получает приз
Для проведения лотереи необходимо заготовить кар-
точки (150—200 штук) и таблицу выигрышей, в кото-
рую включить ответы к некоторым задачам (около 50
счастливых» билетов)
На конечной станции «Призовая» победителям вруча-
ются призы
Интерес к игре должен поддерживаться всей органи-
зацией вечера Оформление его должно быть красоч-
ным Объявления о посадке в поезд, об отправлении
поезда объявления остановок и т д. должны делаться
четно и громко, в игровой Форме. Например: «Внима-
ние! Внимание! „Математический поезд” прибывает иа
станцию „Рыболовная”».
Для проведения игры «Математический поезд» необхо-
дим обслуживающий персонал:
1. Начальник вокзала (учитель) отвечает за органи-
зацию всей игры.
2. Дежурный по кассовому залу (1 ученик) следит
за порядком в зале, отвечаем на вопросы пассажиров.
3. Начальник поезда (учитель) организует работу в
вагонах, объявляет отправление поезда
4. Проводники (6 учеников) проверяют билеты, орга-
низуют игры в вагонах, объявляют остановки и расска-
зывают о правилах поведения иа остановках.
5. Кассиры (6 учеников) проверяют правильность ре-
шения задач, дают дополнительные задания, выдают би-
леты.
6. Работники справочного бюро (4 ученика) прове-
ряют ответы задач, дают консультацию.
7. Начальники станций (по количеству остановок).
8. Контролеры «приемного пункта» на станции «Ры-
боловная» (2 ученика) принимают «улов рыбы» (прове-
ряют решение задач) и обменивают билеты.
Литература
Абапяев Р. И. Сборник задач по арифметике с прак-
тическим сод, ржанием.—М.: Учпедгиз, 1960.
Поморяд А. П. Математические игры и развлече-
ния.— М.: Физматгиз, 1961.
Дыишнский Е. А. Игротека математического круж-
ка.— М.: Просвещение, 1972.
Кордемский Б. А. Математическая смекалка. — М.:
Гостехиздат, 1957.
Нагибин Ф. Ф. Математическая шкатулка. — М.: Про-
свещение, !964
Перельман Я. И. Занимательная арифметика — М.:
Д' тгнз, 1954.
Перельман Я. И. Живая математика. — М.: Гостехиз-
дат, 1955.
ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА
Числовые курьззы
Немало интересных числовых соотношений привечено в
популярной книге Д. С. Фаермарка «Задача пришла с
картины» (М.. Наука 1974), посвященной известному
русскому педагогу и просветителю С. А. Рачинскому.
Обратимся к некоторым из них.
Для уравнения abed = ab1 + cd? (с. 104) указаны
два решения: 1233 = 122+332 и 8833 = 882+332. Можно
доказать, что других решений нет. Схема доказатель-
ства очень проста. Из исходного уравнения следует,
что b?+d(d—1) делится на 10, откуда легко найти воз-
можные варианты для Ь и d, а следовательно, и для
а и с.
Любопытно, что уравнение ab «- а* + Ь‘ не имеет
решений (докажите!), а с уравнением
abedef = abc* + def1
дело обстоит гораздо сложнее.
На с. 104 приведены два решения уравнения следую-
щего вида:
abc (ab 4- с) — ab* + е*.
Вот оин: 111 • (11 + 1) = 113+13 и 147-(14+7) = 14’+7а
Однако есть еще одно решение: 148-(14+8) = 143+83
Друг1! решений, как можно показать (сделайте
пег.
Уравнение вида
abe — (а + 6 -|- с)-а-Ь-с
имеет два решения, они приведены в книге (с. 49):
135= (1+3+5)-1-3-5 и 144 = (1+4+4) • 1-4-4. Попро-
буйте доказать это.
Интересны равенства 37-(3+7)=33+73, (32+?2)—
—3-7=37 (с. 49). Однако легко доказать, что есть еще
и такое решение уравнения: а6(а+6) = a3+63 или, что
то же, (a2+62)—ab=ab: 48-(4 +8) =43+83, (42+82) —
—4 8 = 48.
Справедливо равенство: 6721= (6+72+4)2, но есть и
другие такого же вида, например___1296= (1+29+6)2
причем иных решений уравнения abcd= (a-f-bc-f-d)2 нет.
Нетрудно найти и другие аналогичные числовые ра-
венства: 2025 — (20 )-25)2, 3025 = (30+25)2 — решения
уравнения abed — (ab + cd)-; 9801 = (98+0+1)2 — ре-
шение уравнения abed = (ab + с + d)2; 828! = (8+2+
+81)2 = (82+8+1)2 — решение системы уравнений вида
abed =• (а 4- b + cd)2 — (ab + е + d)2.
Об одном уравнении
Немалый интерес вызывает уравнение
апа ,_!••• — а\ + . + а",
где 1 — натуральное (л^2), О^га^Э (1=1, 2, ..., п),
причем ап=^=0.
При п=2 получаем уравнение внда_ ху—х-)-у2, кото-
рое легко решается. В самом деле, ху= 10х+у=х+У2,
откуда 9x=i/(i/—1). Так как (у, у—1) = 1 и у^9, то
у=9, то!да х=8. Получаем единственное для л=2
решение: 89 = 8’+92.
Рассмотрим случай л=3. Тогда хуг=х’+у2+г3, от-
куда 99х+у(10—у) = (г—1)’(г+1), т. е. {/(10—у) Де-
лится иа 3. Это возможно при у=0, 1, 3, 4, 6, 7, 9.
Пусть у=0, тогда 99х=г3—г. Перебор по г подходя-
щих х не дает. Если {/=4 или, что то же, у=6, то
99*+24 = г3—г. Решений также не получаем. Для {/=
=3 (У—7) имеем {/(10—у) =21, тогда 3(33x+7) =
=2®—г. Перебор по г дает единственную возможность
х=1 при г=5. И, наконец, если у=1 (</=9), то
9(11х+1) = (г—1)г(г+1), откуда ясно, что г3—г де-
лится на 9. Это возможно при 2=9 или г=8. В пер-
вом случае соответствующих решений для х нет, во
втором х—5. Окончательно имеем четыре возможно-
сти 135= 1'+32 +53, 175= 1'+72 +53, 5 1 8 = 5'+12+83,
598= 5'+9г+83.
Erne сложнее решается вопрос при п=4. Можно, од-
нако. доказать, что возможны только три решения урав-
нения
хуг! = х' + у2 + г3 4- I4:
1676= 1 ’+62+73+6’, 1306= 1'+32+03+64 и" 2427=
=2'+4г+2:’+74.
Уравнение
xyztu — х1 + у2 + г3 + £* +- а®,
как можно показать, не имеет решений. Труден, по-ви-
днмому, вопрос о существовании решений уравнения
xyztnv = х1 4- у2 + д’ + + us + и’,
а также уравнения
xyztuvw =• х’ + у2 + д’ + + и3 + + И/7.
Последнее уравнение разрешимо. Известно такое равен-
ство 2 646 798 = 2'+62+43+6в+7Ч-96+8; Ясно, что с
возрастанием п возрастает и трудность задачи.
О
Об отношении обращенных чисел
Число, записываемое теми же цифрами, что и данное,
но в обратном порядке,- называется обращенным по от-
ношению к данному числу. Интересен такой вопрос: су-
ществуют ли такие обращенные числа, отношение ко-
торых равно целому числу?
Сразу отметим, что отношение k удовлетворяет усло-
вию 2^/г^9. Легко доказать, что двузначных чисел,
обладающих этим свойством, нет. В самом деле, пусть
ab — k-ba. Тогда имеем: 10(а—bk)—ak—b. Положим
ak—Ь=101, тогда а—bk=l, но в таком случае (а—
—Z>) (6+1) = 111. Так как число 1! простое, ясно, что,
поскольку a--6<ll, 6+1 <11, то возможен лишь слу-
чай 1=0, но то!Да а = Ь и k=l—решение тривиаль-
ное.
Аналогичный результат можно полтчитп и для грет-
значных чисел (докажите!). А вот средн четырехзнач-
ных чисел есть числа, обладающие этим свойством. Вот
они: 9801=9-1089 и 8712 = 4 2178, причем друтх пар
нет. Любопытно, что такого рода пары есть и среди
пятизначных, и среди шестизначных и т. д. чисел; ока-
зывается, таких чисел бесконечно много. Легко дока-
зать, что этим свойством обладают следующие числа
(п— натуральное):
879...912 «-4-219...978 и 989...901 - 9-109...989.
л—1 л —1 11— I II— I
Докажем первое соотношение (второе доказывается
аналогично):
879...912 = 87-10"+I + (10"~’— I)-102 + 12 =
- 88 (10"+1 — 1),
я с другой стороны,
4-219. ..978 = 4(21 - 10n + I + (Ю"-1—1)-102+78) -
-88(10п+1—1).
Открытым остался, однако, такой вопрос: а нет ли
других пар чисел с таким свойством?
Любопытные равенства
Равенства 153=3-51, 126=6-21, 688=8-86 описы-
вают, оказывается, все решения уравнения abc=c-ba.
Докажем это. Данное уравнение легко привести к ви-
ду 10(10а—bc+b) =с(а—1), откуда ясно, что возмож-
ны следующие случаи.
Пусть а=1, тот да t0=6(c—1), откуда имеем: Ь—2,
с=6 и 6 = 5, с=3. Если а=6, то 2(60—6с+6)=г
В таком случае с — четное число Пусть с = 2/г, причем
так как 1^с^9, то 1 <:6^4. Таким образом 60—2664-
+6 = 6, откуда
60 + 6-
А = 26-Г Г
Поскольку 6<:4, то 6^8, т. е. 6 = 8 или 6=9. Легко
проверить, что возможен только случай 6=8, тогда
6=4, т. е. с=8. При с=5 имеем: 4(5а—26) =а— 1.
Возможности для а таковы: а=1, а=5, а=9. При та-
ких а подходящих 6 не найдется.
Уравнение ab-c=a-bc также имеет решения. Вот они:
16-4 = 1-64, 19-5=1-95, 26-5=2-65, 49-8 = 4-98, при-
чем других, кгк можно доказать, нет. В самом деле, из
уравнения ab-c=a bc получаем, что 10а(с—6)=с(а—
—6), откуда ясно, что возможны такие случаи: а—Ь,
тогда а—Ь—с — решение тривиальное. Если с=5, то
9a
* “ 2a —Г
Так как а и 2a—1 —взаимно простые числа, то 2a—1 —
делитель числа 9. Имеем.
a) 2a—1=1 тогда a=l, b=9;
6) 2a—1=3, тогда a—2, b=6;
в) 2a—1=9, тогда a=t>=5— уже рассмотренный
случай.
Пусть а—Ь=5, тогда 2(5+5) (с—Ь) =с, что невоз-
можно, так как 2(5+5) (с—b) 10, но с^9. Если 5—>
—а-=5, то
2a (a + 5)
с “ 2a + 1 *
Так как 2a и 2а+1—взаимно простые, то 2а+1 — де-
литель числа 5-|-а; причем так как 5+a^2a+l, го
сС4- Возможны два случая: а) а=1, тогда с=4,
4=6,- б) а=4, тогда с=8, 5=9. Получаем, таким об-
разом, все четыре приведенных ранее решения.
—Доказывается, хотя и не просто, что уравнение
d=abcd имеет следующие решения: 13-25= 1-325,
19=0=1-950, 27-56=2-756, 49-80=4-980, 16-40 =
= 1 • 640, 26 50=2 650, 39 • 75=3 • 975, 83 • 32=8 - 332,
не считая, разумеется, тривиальных типов aa-a0=
=a aaO. Докажите!
Существуют и такие интересные равенства: 1 664==
= 166-4, 2-665=266-5, 4-998=499-8, 1-995=199-5,
4 847 = 484-7, 6-545 = 654-5, 7-424 = 742-4, которые
являются решениями уравнения a-bcd—abc-d. А есть
ли трутне?
Любопытно, что можно сделать и некоторые обобще-
ния например:
19...9-5 - 1-9...95, 16...6-4 = 1-6...64,
п п п п
49...9-8 - 4-9. ..98,
п п
26...6-5-2-6...65.
п п
Арифметический ребус
к —Л —И 4-М = 1
+ + - + Л 4- Е4- В —А 7
+ - + - И 4- В— А 4- Н = 6
— 4-4- — М— А 4- Н 4- Я = 7
19 8 3
Замените буквы цифрами так, чтобы результаты сло-
жений н вычитаний, произведенных в строчках и колон-
ках, оказались правильными. Одинаковые буквы следу-
ет заменять одинаковыми цифрами, а разные буквы —
неодинаковыми цифрами.
Ответ:
1 _ 2 — 3 4- 5 - 1
4- 4- - +
2 + 6 4- 8—9 = 7
4- — + -
3 + 8- 9 + 4 = 6
— + + —
5 - 9 + 4 + 7 = 7
19 8 3
Э."Э. Речгтин
(Рига)
ЗАДАЧИ
Докажем последнее из них. Левая часть преобразуется
так:
26.. .’6-5 = (20.. .0 -J- 6.. .6).5 =
п п
„ 10"— 1
МО”+ 2— -д—
о
п
4.10n+I—10
3
А правая часть:
2-6.. .65 = 2 (6.. .60-|-5) =
п п
Л 10"~1 'I 4-10"+’—10
^2(2——* 10 + 5)----------I------
что и требовалось доказать
Вывод очевиден: для любого натурального числа п
уравнение вида
Задачи для IV—VIII классов
2541. Найти натуральные числа к и у, если известно,
что ху. и xv являются двузначными числами, записанны-
ми одинаковыми цифрами, но в разном порядке.
Э. А. Мовлаиов (АзССР, г. Хачмас)
2542. На отрезке АВ симметрично относительно его
середины расположены 2п точек. Выберем произволь-
ным образом п точек и назовем их красными, а ос-
тавшиеся п точек — синими. Доказать, что сумма рас-
стояний от всех красных точек до точки А равна сум-
ме расстояний от всех синих точек до точки В.
(VI Всероссийская олимпиада школьников
по математике, 1980 г.)
2543. Треугольная сетка (см. рис.) сделана из шнура,
который может гореть. Огонь распространяется по шну-
a1a,...an+1-an+2 = a1-a,a,...an+2
имеет по крайней мере четыре решения (приведенных
ранее). Но вот что интересно: есть лн другие решения,
кроме найденных? И последнее: еше одно обобщение
(уж совсем очевидное) легко получить за счет нулей
на конце чисел.
И. И. Михайлов
(г. Иваново)
61
ру с одной и той же скоростью. Какие звенья сетки сго-
рят последними, если поджечь ее в точке Q?
Ф. А. Бартенев (г. Евпатория)
2544. Сколькими различными способами число ’/з мож-
но представить в виде сум.1ы трех различных дробей
с числителями, равными 1? (Порядок слагаемых счи-
тается несущественным.)
Ф. А. Бартенев
2545. Бесконечная десятичная дробь с целой частью,
равной 0, строится следующим образом: первые две
цифры — а и Ь, а каждая следующая цифра является
последней цифрой суммы двух преоыдущих. Для сколь-
ких пар (а; Ъ) в этой последовательности встретится
комбинация 57?
Ф. А. Бартенев
2546. Из записи бесконечной периодической дроби
О, (ащ2—азз) удалим все цифры, стоящие на нечетных
местах, считая от запятой; из новой записи также уда-
лим все цифры, стоящие на нечетных местах от запя-
той, и т. д. Получится ли после некоторого вычеркива-
ния исходная дробь?
Ф. А. Бартенев
2547. На стеронах СА и СВ треугольника АВС по-
строены точки М и N, такие, что |ZWj = |ВЛ41 = |ЛВ|.
Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке Р. Доказать,
что ^М=2АСВ.
Э. Г. Гетман (г. Арзамас)
2548. Точки М, D, И — основания соответственно ме-
дианы, биссектрисы и высоты треугольника АВС, про-
веденных из вершины С. Вырсзить отношение |Л17)| :
: | DH | через длины сторон треугольника. При каком
условии это отношение равно 1?
А. С. Владимиров
(Свердловская ибл., г. Асбест)
Задачи для IX—X классов
2549. Решить неравенство
4
XХ — 1 _
------->0 (х>0).
х~ — 2
2550. Доказать неравенство
logs 74-logr 8+logs 9<3,3.
2551. Вычислить предел
11m (—ly’sinny4ла -|- п.
Л > со
А. Н. Смоляков
(Ставропольский край, г. Нефтекумск)
2552. Вычислить предел
lim 2" iZ 2 _ У 2+ И 2 + ... +” > Т .
П -* ©о г
где выражение содержит п радикалов.
А. Н. Смоляков
2553. Построить четырехугольник с равными и пер-
пендикулярными диагоналями по заданным трем его
сторонам.
Л. И. Кузнецова (г. Горький)
2554. Существует ли такой неравнобедренный тре-
угольник, что
а+та=Ь-^тъ,
где та и mi, — длины медиан треугольника, проведен-
ных к сторонам длины а и Ь?
3. А. Скопец (г. Ярославль)
2555. Окружность с центром на стороне АВ четырех-
угольника ABCD касается трех его сторон. Доказать,
что если около четырехугольника можно описать ок-
ружность, го
|ADI Ч- |ВС| = |АВ|.
Я. Н. Суконник (Киев)
2556. Для треугольника АВС выполняется равенство
sin „4 + sin В sin 2.4 4- sin 2 В
sin C sin 2 С
Доказать, что эта пропорция равносильна равенству
cos Л + cos В — 1.
3, А. Скопец
Интеграл
2557. Доказать неравенство
sin xa dx > 0.
0
С. И. М а й з у с (г. Запорожье)
Многочлены
2558. Доказать, что если многочлен с целыми коэф-
фициентами при трех различных целых значениях пере-
менной равен 1, то он не имеет целых корней.
С. И. М а й з у с
Применение комплексных чисел
2559. Дан равносторонний треугольник АВС и точ-
ка М в его плоскости. Точки Ah, М2, М3— проекции
точки М соответственно на прямые ВС, С А й АВ. До-
казать, что точка пересечения медиан треугольника
MtM2M3 делит пополам отрезок ОМ, где О — центр
данного треугольника.
Э. А. Л а у д ы н я (г. Даугавпилс)
2560. Две скрещивающиеся прямые а и Ь пересечены
прямой m соответственно в точках А и В. Построить
прямую п, перпендикулярную прямой m и пересекаю-
щую прямые а и Ь в точках А\ и Вц для которых
|АА1| = |ВВ,|.
Э. Г. Г о т м а в
Решения задач,
помещенных в № 1 за 1982 г.
2441. Сумма двух чисел равна 1465. Если к первому из
них приписать справа 5, а у второго зачеркнуть послед-
нюю цифру, то получатся равные числа. Найти дан-
ные числа.
Решение. Ясно, что_одно из данных чисел — дву-
значное, т. е. имеет вид ху, а тогда, по условию, вто-
рое число равно ху5г.
Из записи «столбиком» сложения этих чисел
1165
видно, что х=1, поэтому переноса единицы из второго
в третий разряд не можег быть, так чго у=4, a z=l.
Таким образом, искомые числа—i4 и 1451.
2442. Найти трехзначное число, если известно, что его
произведение на 6 является трехзначным числом с той
же суммой цифр
Решение. Если хуг — данное число, то х=1,
y^G; кроме того, поскольку 6 1т/з делится на 3, то
62
сумма его цифр, т. е. 14-g+z, делится на 3. Но тогда
и \уг делится на 3, а 6-lgz делится на 9, так что
14-y-t-z делится на 9
Поскольку gs^6, то Ц г/4-2-=9. и остается рассмот-
реть числа 108, 117, 126, 135, 144, 153, 162; проверка
показывает, что условию задачи удовлетворяют два
числа — 117 и 135.
2443. Найти все натуральные числа, которые при де-
лении на ab(a=£b) дают частное cd, а при делении на
Ьа — частное de.
Решение. Всякое число k, удовлетворяюшее_реше-
нию задачи, представимо в двух видах, ab-cd и
ba dc, т. е. выполняет я равенство
ab-cd = ba-dc
или ac=bd, а тогда и
ad-cb = da-bc.
Заметим теперь, что равенство ac—bd выполняется
в частном случае a—d, Ь—с, при этом число k являет-
ся произведением чисел ab и Ьа. Считая для определен-
ности, что а<Ь, получим 36 таких произведений: 8 при
п=1, 7 при п—2 и т. д.
Будем считать, что a^d. По таблице умножения ви-
дим, что двумя способами в виде произведения одно-
значных чисел могут быть представлены числа
4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36.
Тогда из равенств
1 -4=2-2, 1 -9=3-3, 2-8=4-4, 4-9=6-6
получаем 4 произведения:
12-42=21-24, 13-93 =31-39. 24-84 = 42-48,
46-96 = 64-69
Остальные из выписанных выше чисел представляют-
ся в виде произведения разных множителей:
1-6=2-3, 1-8=2-4, 2-6=3-4, 2-9=3-6. 4-6=3-8.
и поэтому каждому из них соответствуют два искомых
произведения:
12-63=21 36, 13-62=31-26. 12 84 = 21-48,
14-82 = 41-28, 23-64 = 32-46, 24-63 = 42-36.
23-96= 32-69, 26-93 =62-39, 43 v8=34-86,
36-84=63-48.
Вычисление всех полученных произведений показыва-
ет, что число 1008 получается дважды: 1008=12-84=
=24-42, так что всего искомых чисел 49.
2444. Сколькими способами из цифр от 1 до 9 можно
составить три трехзначных числа таким образом, чтобы
их сумма была наибольшей из возможных? (Каждую
цифру можно использовать тол! ко один раз.)
Решение. Пусть abc, def, ghk — три числа, удо-
влетворяющие условию задачи; сумма этих чисел равна
100(a+d+g)+ Ю(Ь+е+й)
Заметим теперь, что каждое слагаемое в первой скобке
больше каждого слагаемого во второй скобке а каж-
дое слагаемое во второй скобке ‘больше каждого сла-
гаемого в третьей скобке — в противном случае, поме-
няв местами соответствующие цифры в рассматривае-
мом наборе трехзнчных чисел, мы могли бы увеличить
сумму этих чисел. Другими словами,
a, d, gf{7; 8; 9}; b, е, Л С {4; 5; 6J; с, /,£(={ 1; 2; 3}.
Поскольку порядок чисел несуществен, то можно счи-
тать, что а=9, d=8, g=7; кроме того, цифру b мож-
но выбрать тремя способами, после чего цифру е —
двумя способами так что вторые цифры данных чисел
могут быть выбраны шестью способами. Аналогично,
имеется 6 возможностей для выбора третьих цифр, л,
таким образом, выбор трех чисел, удовлетворяющих ус-
ловию задачи, может быть сделан 36 способами.
2445. Сколькими способами из цифр от 1 до 9 мож-
но ^оставить три трехзначных числа таким ооразом.
чтобы сумма наибольшего и паи чекьшеео из этих чисел
была наибольшей из возможных? (Каждую цифру мож-
но использовать только один раз.)
Решение. Пусть abc<def<ghk — три числа, удов-
летворяющие условию задачи, тогда рассматриваемая
сумма равна
100(a+g)+10(b+h) + (c+fe).
Поскольку эта сумма наибольшая из возможных, то
каждое слагаемое в первой скобке больше каждого сла-
гаемого во второй скобке, а каждое слагаемое во вто-
рой скобке больше каждого слагаемого в третьей
скобке.
Но a<d<g, и поэтому g=9, d—H, а—7; кроме то-
го, так как цифры е и f не входят в рассматриваемую
сумму, то их следует сделать по возможности наи-
меньшими, те. е, f £ {1; 2}, а тогда b, h f {5: 6}.
с, /г£ {3; 4}. Поэтому каждую из пар (е; /1 (Ь; й) и
(с; k) можно выбрать двумя способами, так что об-
щее число способов выбора требуемой тройки трех„нач-
ных чисел равно 8.
2446. Найти наименьшее натуральное число ш, для
которого
0,3 <{ /т} <0, (3).
Решение. Пусть /”m — k а, где k £ Z, 0
3 1
•<а < 1; тогда по условию -jq- < а < -g-, откуда
3 г — 1
k + -jQ- < V m < k + -3-,
3 9 .2.1
А’ + 5 k + 100 < m < k 4- 3 * + 9.
Легко проверить, что при й=1 и при fe=2 полученное
неравенство не выполняется ни для какого натураль-
ного числа ш, а при fe=3 имеет решение т=11. По-
этому искомое число равно 11.
2447. В треугольнике АВС В — А 4- ф, С = А-]-2ф,
где f > 0. Доказать, что с — а — 2 R sin <j>, где с —
— | АВ | , а «= | ВС | , R— радиус описанной ок-
ружности.
Решение 1. Так как А-ЬВ + С — 3А + Зф — 180°,
то А -}- <р — В — 60°. Отсюда А — 60° — ф, С — 60° + ф
и с — a — 2R (sin (60° + ф) — sin (60° — ф)), или
с— a — 2R-2 cos 60° sin ф — 2 7?sin ф.
Решение 2. Поскольку С>Л, то с>а. Построим
отрезок BD, D£ [АВ], длина которого равна а
(рис. 1), тогда треугольник BCD — равносторонний, так
как В=60°. Поэтому ADC= 120° и радиусы окружно-
стей, описанных около треугольников АВС и ACD,
равны.
Итак, | AD | = с — а = 2R sin ACD — 2R sin ф.
Рис 1
2448. В окружность радиуса R вписана трапеция с ост-
рым углом о такая, что она одновременно описана око-
ло окружности радиуса г. Доказать, что
R V 1 + sin2a
Г “ sin2 а
Решение.- Точки касания окружности а (7; г), впи-
санной в трапецию ABCD с основанием АВ, обозна-
чим через М, а с боковой стороной ВС — через W
(рис. 2). Если | АЛ4 | — v, | CN | — и, то uv = г2,
так как 7</С = 90°. С другой стороны, 1 . 1С | =2/? sin а,
а по теореме. Птолемея | АС | 2= | АВ | • | CD | 4-
4- | ВС | • | DA | , поэтому 4R2 sin2 а — 4 uv ф- (и -f-v)2.
Рис. 2
Но 4uv = 4г’, и { V— следовательно, 4R2 sin’а—
4г2
— 4г2 + s-t g , откуда находим, что
R 1 + sin2 а
г = sin2 а
2449. Пусть S(п) — сумма цифр натурального чис-
ла п и последовательность (ап) определяется равенст-
вами
ai = l, an+i=S(S(a„)-|-an).
Найти а1982.
Решение. Легко подсчитать непосредственно, что
07=0!, а тогда 08= 02, а9=а3, и вообще, ai1+e=O)i.
Следовательно, a1982=a2=2.
2450- Найти {х}, если
[х -Ь "I-] + W - [2х].
Решение. Пусть x=kA-a, где k £ Z, 0^а<1;
тогда заданное равенство принимает вид
Г 3 1
+ 8 J ” [2“1'
5
При а < -g- получаем равенство [2a] = 0. которое
1 5
выполняется при а < -g-; при а >• -g- имеем равен-
ство [2a] = 1, которое выполняется при а>-^~, или,
5
с учетом условия случая, при a >• -g-.
Таким образом, (х) = a £ £ 0; -у- и ; 1
2451. Сколько решений имеет уравнение
Г 3 1 , 7х—2
[х+~] + w—
Решение. Пусть х=й-]-а, где Z, 0^а<1;
то! да уравнение принимает вид
7 k 4-7 а — 2
3 •
[3 1
а + Т] “
или
3 I + -g-J = k 7a — 2.
n 5
При a < -g- получаем равенство fe = 2— 7a, откуда
Это неравенство отиссительно k имеет, как легко ви-
деть, 5 решений, каждому из которых соответствует
2 —А
единственное значение a = —?— а следовательно, и
значение х, являющееся корнем данного уравнения.
, 5
Аналогично, при a -g- получаем еще 2 решения.
Таким образом, исходное уравнение имеет 7 решений.
2452. Найти все значения а, при которых многочлен
12х’ + 12ах2 — 8ах — 3
и чеет хотя бы один корень в интервале ] 0; 1 [.
Решение. Обозначив данный в условии многочлен
через /(х), заметим, что f(0)<0, н если f(x) не имеет
корней на рассматригаемом интервале, то как непре-
рывная функция он сохраняет на этом интервале знак,
т. е. для любого х ~ ] 0; 1 [ выполняется неравенство
/(х)<0. Но тогда отрицателен интеграл
1 1
/ (х) dx, однако f (х) dx = Зх4 + 4ах’ —
о о
— i ах2 — Зх| g — 0.
Следовательно, многочлен f(x) при любом а£ R имеет
хотя бы один корень на интервале ] 0; 1 [.
2453. Доказать равенство
cos 12° cos 24° cos 48° cos 84° — -jg-.
Решение. Пусть cos 12° cos 24° cos 48° cos 84°=x,
тогда
x sin 12° = sin 24° cos 24° cos 48° cos 84° —
— -4- sin 48° cos 48° cos 84°= -x- sin 96° cos 84° =
Ч о
— -g- sin 84° cos 84° = -jg- sin 168°= -jg- sin 12°.
Отсюда x — -jg-.
2454. Высоты АА, и BBt треугольника ABC пересе-
каются в точке И, точка М — середина стороны АВ.
> — >
Выразить скалярное произведение МС-МН через дли-
ны сторон треугольника.
Решение 1. Опишем около данного треугольни-
--------------------------------------------------—►
ка АВС (рис. 3) окружность «(О; /?). Так как ОН =
- (СМ + ОВ), ОН - 571+ ОВ (-ОС. го МС-МН-
64
Рис 3
2456. Черов середины М и V ребер .4.4, и СС, еди-
ничного куба ABCDA\BlClDl проведена прямая I. При
повороте пространства вокруг оси I на 90° данный куб
переходит в другой куб. Вычислить площадь а сечения
объединения обоих кубов плоскостью а, перпендику-
лярной оси I, если расстояние от а до плоскости
BDD\Bi равно х.
Решение. Плоскость а, указанная в условии за-
дачи, пересекает данный куб по прямоугольнику
PQRS, в котором | PQ| = |/?S| — 1, |PS| = |Q/?| =
— 1'2—2х (рис. 5). Если прямоугольник P’Q'R'S'
есть образ прямоугольника PQRS при повороте вокруг
оси l=(MN) на 90°, а квадрат EFGH—пересечение
„ /2 — 1
этих прямоугольников, то при 0 < х <--g--- имеем
| EF | = 1, а прн 2-----< х < —— имеем
... (ОС — ОА?) (ОН — ОМ) =4“ (2 ОС — О А —
-OB) (ЮС + ОА + ОН) - Ц- (47?’ - (ОА + OBf) -
1 . с*
= /?’ — — (47?’ — с2)- -j-.
Решение 2. МС-МН-----------СМ(СН-СМ)-
= СДР — СМ-СН. Но СМ • СН - ± | СН | • Лг =
— с ctg С -hc =. 2Sj ctg С = ab cos С = (a* + b2—cp).
Следовательно,
—► —► 1 с’ 1 c’
MC-MH - -5- (a1 4- bp) — - — (o’ + i’-c’) - .
2455. Даны два конгруэнтных треугольника АВС и
ABD, лежащие в перпендикул оных плоскостях. Вычис-
лить расстояние |С£)|, если |ВС| =а, |СА | —Ь, |АВ| =
— с.
Решение. Возможны два случая (рис. 4):
1) |А£)|=Ь, |В£)|=а; 2) |А£)|=а. |В£)|=Ь.
1) Проведем в треугольниках АВС и ABD высоты
СМ и DM. Тогда |СМ| = |DA1| =ЛС . \CD\^hc-y2 ,
где hc - — /р'(р—a) (p—b) (р—с).
2) Проведем высоты СМ и DN. Тогда CD = СМ +
+ ~MN + ND, откуда | CD | | СМ | ’+ | MN | ’+
+ \ND |’-2Л®+(с — 2a cos В)’= 2a’sln’B —
— 4 ac cos В + 4а’ cos’ В= (— 2с* + 4Ьг сг 4- (с’ +
4-а® —&’)")
| EF | - /2 — 2х.
Отсюда получаем
2 у 2 — 1 — Ах при 0 < х <
° (х) =
—4х’+4(/2 — 1)х+2(/2 — 1) при
/2-1 _ /2
2 <х< 2 ’
о ^2
0 при х > —g—-
2457. Два отрезка длины а и Ъ лежат на скрещи-
вающихся прямых, удаленных друг от друга на рас-
стояние h и образующих между собой угол величи-
ны а. Найти объем пирамиды, вершинами которой слу-
жат концы этих отрезков.
Решение. Пусть АВ и CD — данные отрезки. Ясно,
что объе» пирамиды DABC не будет меняться, если
отрезок CD перемещать таким образом, чтобы его кон-
цы двигались по прямым, параллельным прямой АВ:
при таком перемещении не меняется ни площадь осно-
вания АВС, нн длина высоты, проведенной нз верши-
ны D. Этим изменением заданной пирамиды можно до-
биться того, что концы общего перпендикуляра прямых
АВ и CD будут лежать на заданных отрезках и рас-
сматриваемая пирамида будет иметь вид, как на
рис. 6.
Выберем систему координат с началом О и общим
перпендикуляром (O/Q в качестве оси абсцисс и про-
ведем плоскость, перпендикулярную оси абсцисс и от-
стоящую от точки О на расстоянии x<h. Эта плос-
кость параллельна данным скрещивающимся прямым,
65
и поэтому сечение представляет собой параллелограмм,
длины сторон которого легко определяются нз подобия
треуюльников— они равны соответственно
йх ( х \
~h « а
величина угла между сторонами параллелограмма
равна, очевидно, а, и, следовательно, его площадь
равна
X (й — х)
S (х) — ab -------- sin а.
Но тогда объем пирамиды можно вычислить по фор-
муле
л
ab sin a
h*
\ ab
b
/ ftx2
\ 2
X (h — x)
---------- Sin a dx
3
л 1
0 = “g- abh sin а,
2458. Доказать, что если
/(x) =yr(x+ 1) (x —2) (x + 3) ... (x + л),
где n — нечетное число, то | f (0) | >
Решение. Поскольку
, 1 ~
/ZW- — ((*+ 1) (х —2)...(х 4- л))" ((х + 1) X
X (х —2) (л t 3). . .(л + п)У
и п нечетко, то
, п! I fl 1 1 1\
/>Г л V~ 2 + 3 +г)-
Но как известно,
, 1 1 1
1— 2 "1п2,
причем поскольку ряд, стоящий в левой части, является
знакопеременным, то
. 1 1 1
!— 2 + 3 + V 1п2-
и поэтому достаточно доказать неравенства
п,— п in 2 12
Ул!>Т И —Г->-55.
Первое из них легко устанавливается по индукции,
а для доказательства второго воспользуемся геомет-
€б
рической интерпретацией определенного интеграла.
На рис. 7 видно, что
2
I
и поэтому
1п2 _ 3 12
е >5-2,75 = 55'
2459. Прямые, проходящие через вершины А В, С
треугольника АВС параллельно его сторонам ВС, СА,
АВ, пересекают описанную около него окружность ш
вторично в точках Дъ Вь С,. Пусть Н, Нх. Н2 Н3 —
ортоцентры треугольников АВС, AJ3C, В^АС, СрАВ.
Доказать:
1) треугольники АВС и Н}Н2Н-. подобны;
2) точки Н, Hit Нъ Н3 принадлежат окружности <оь
концентрической ш;
3) треугольники АВС и симметричны
относительно прямой, проходящей через центр О
окружности <о, где Нь Н2, Н3 — точки пересече-
ния лучей ОНХ, ОН3, ОН3 с <а.
Решение. Обозначим комплексные числа теми же
буквами, что и точки. Тогда имеем (рис. 8):
Н ~ А + В + С, //i = A + B+C, Н7- А + Bt+C,
Н, - А + В + Clt A-At~B-C, В В,-С-А,
С-С> ~ А-В.
1) Н,— Н^А — A. + fi.-B =
С-А В-С
+ =
(А —5)А-В + С-А2—С-В2
A-В
(А — В)-(А- В + В-С + С-А)
4-В
Отсюда |В2—В,| = |А—В| • |Д-В4-В-С+С-Л|,
|л.в + в.с + с-л|.
Итак, треугольник ЬЦН2Н-. подобен треугольнику АВС,
а коэффициент подобия равен |А-В+В-С-|-С-А|.
2) | ОН. | 2= Н.-Н, = (А. + В + С)(А. -1- В + С) =
/ В-С \ / А 1 1 \
“ V"a~ 'ь В + с) + В + С ) =
“ в'с ‘ ("А + 4" + 7г) ‘ “вТ" ’ (Л 'ЬВ + ° =
~(А+В + С)-(А + В + С) = | ОН\ 2.
Итак, точки Н„ Н,, Нг находятся от точки О на рас-
стоянии I ОН I .
, Н, , Н, , Н3
3) Очевидно Ну = । /у । • ^2 =“ | Н | ’ = | Н |"
Остается доказать параллельность хорд АН,, ВН2
СНЛ. Для этого надо проверить .истинность равенства
А-Ну — В-Н2=-0. Выполним проверку:
Л-Н'х — В-Н'2 = -^--(АН. — В-Н3) =
- -уу(А-(А. + В + С) — В-(А + В. + С)) - °.
2460. Через данную прямую а провести две перпен-
дикулярные плоскости, такие, чтобы они пересекали
цанную прямую Ь, скрещивающуюся с прямой а, в точ-
ках М и N, расстояние |7ИЛ'| между которыми равно
заданному расстоянию d.
Решение. Пары перпендикулярных плоскостей,
проходящих через прямую а, пересекают прямую Ь
в парах точек одной инволюции. Среди пар перпенди-
кулярных плоскостей имеется особая пара: одна из
плоскостей пары, например а, параллельна прямой Ь, а
вторая плоскость (Р) этой пары проходит через общий
перпендикуляр с прямых а ч Ь. Если b П с=М, то
среди пар инволюции на прямой b имеем точку М н не-
собственную точку. Следовательно, точка М — центр ин-
волюции, а поэтому- произведение расстояний от точ-
ки М. до точек каждой пары инволюции принимает одно
и то же значение k2.
На прямой Ь имеем точку М и пары точек X и Xi,
лежащие по разные стороны от М, такие, что |МХ| X
XlAlX.^fe2. Чтобы найти k, проще всего поступить
следующим образом: проведем через прямую а две
перпендикулярные плоскости, для которых Р — плос-
кость симметрии; эти плоскости пересекают прямую Ь
в точках N и N{, таких, что |AW| = |AWi|=fe.
Теперь остается найти такие две точки X и Я".,
чтобы | ХХ3 | «= d. Имеем. Л1А-Л1Л.— к\ XX х ^d\
Отсюда (.11А\ — MX)" = d2 и
Г | Л4Х.12 +1Л4Х | !=d2 —2А2,
1 | МХ3 | • | MX | - k\
тешив систему при условии, что [AfX.I 2г |Л4Х|, получим
I МХг | - — (rf + /d2-4A2).
Задача имеет единственное решение при d^Zk.
Замечания к решениям задач
Трудности вызвало решение задачи 2443: большинство
читателей не смогли провести полный перебор; часть
из ннх забыли о первом из рассмотренных в решении
случаев, другая часть — о втором. Во многих решениях
авторы ограничивались указанием лишь нескольких ис-
комых значений без всякой попытки доказать отсутствие
других решений. Отметим еще, что в условии задачи ог-
раничение а=А=Ь, к сожалению, появилось вместо огра-
ничения ab=^=dc, н поэтому фактически пришлось —во
избежание повторений — вычислять все 50 произведе-
ний; при ограничении ab=^dc нужно было бы рассмат-
ривать только второй из случаев, приведенных в реше-
нии, т е. вычислить всего 14 произведений. В то же вре-
мя достоинством приведенного варианта является «скры-
тая» идея — возможность неоднозначного представления
числа в виде произведений ab-cd и ba-dc.
В решениях задачи 2444 было много недостаточно
обоснованных утверждений. Это же замечание относит-
ся и к решениям задачи 2445.
Логическая неаккуратность подвела многих читате-
лей при решении задачи 2452; получив, что значение
9
/(1)=9ф-4а положительно при а>— —, они посчита-
ли, что эти значения и являются искомыми. Однако по-
лученное условие лишь достаточно (по теореме Больца-
но — Коши) для того, чтобы заданный многочлен имел
корень на интервале |0; Ц, и не является необходимым,
поскольку функция f може г принимать положительные
значения и между 0 и 1. И действительно, как угадали
/ 2 \ 5
некоторые читатели, /(“у) = ~у~ > ° при любом а,
2 Г
так что многочлен имеет корень на интервале ] 0; -у .
Отметим решение этой задачи читателем Н. Н. Вол-
ховским из г. Ферганы; он показал, что если /(1) <0,
/ откуда сразу же вытекает требуемое ут-
верждение. Укажем еще, что утверждение задачи может
быть получено с использованием теоремы Ролля —
частного случая теоремы Лагранжа: если
g(x) =3х4+4ах3 — 4ах2 — Зх,
то g(0) =g(l) =0; следовательно, /(х) =g'(x) обра-
щается в 0 на интервале 10; 1 |
Обратим внимание на задачу 2449: внешне она пред-
ставляется не слишком простой, ио решается «экспери-
ментально», поскольку рассматриваемая последователь-
ность, как оказывается, имеет маленький период. Обуче-
ние школьников такому «экспериментальному» подходу
к решению задач представляется нам весьма полезным.
В решении задачи 2447 допущенные ошибки — ре-
зультат невнимательности к вычислениям. К тому же
многие решения растянуты, в них не учитывается, что
эта задача предназначена для использования в работе
с учащимися, незнакомыми еще в достаточной степени
со многими свойствами тригонометрических функций.
Задача 2448 не вызвала затруднений, хотя в усло-
вие задачи и вкралась опечатка Но многие решения со-
держат выкладки, заслоняющие геометрическую картн
67
ну. Соотношение гг= и v — свойство прямоугольного
Tpi угольника, | АС| =2/?-sin а—теорема синусов,
|АС|2= (u-}-d)2+4u' v — теорема Птолемея, 2г=(и-(-
4-о) sin а - соотношение в прямоугольном треугольни-
ке. Из этих четырех уравнений, исключив |АС|, u-j-u,
uv, получим
Аг1 -\Г! + slna а
4Ra-sinaa - 4- 4га, или /?:г=-------------
В таком решении геометрические соотношения гармони-
руют с алгебраическими вычислениями; применение три-
гонометрии доведено до минимума
Определенные затруднения вызвало решение задачи
2454. Решение «в лоб» требует выполнения громоздких
вычислений, из которых порой трудно выпутаться; в
результате появляются многочисленные ошибки. Между
тем задача имеет четкий план решения, если вводимые
векторы откладывать от центра О окружности, описан-
ной около треугольника АВС, то ве1 торы МН и МС
легко выражаются через векторы ОА, ОВ, ОС, что
быстро приводит к получению ответа
При решении задачи 2455 большинство читателей до-
пустили ошибку, потеряв одно решение Ведь треуголь-
ники АВС и ABD, лежащие в перпендикулярных плос-
костях, могут быть расположены так, что либо IAD1 =
= |ВС1 и |BD| = |AC|, либо |АГ)| = |АС| и |В£>| =
= |ВС|. Такое невнимание говорит о недостаточной
опытности в решении задач, о слабо развитой матема-
тической «чувствительности»
С задачей 2456 успешно справились большинство чи-
тателей. Функция о(х), определенная для *5*0, имеет
различные аналитически е выражения на различных про-
межутках аргумента Подобные задачи очень полезны
для формирования v учащихся на уроках математики
понятия функции. Приведенное решение иллюстрирует
Функциональную зависимость в более широком плане,
чем в обычных примерах и ситуациях
Решение задачи 2457 дает вывод общеизвестной фор-
мулы объема тетраэдра: объем тетраэдра равен шестой
части произведения двух его противоположных ребер на
расстояние между ними и на сннус угла между ними.
Предполагается, что в задаче 2459 окружность <о за-
дана уравнением zz=l. Необходимые сведения о при-
менении комплексных чисел при решении геометрических
задач можно почерпнуть из статьи 3. А Скопеца «При-
ложения комплексных чисел к задачам элементарной
геометрии» в № 1 журнала «Математика в школе» за
1967 г
Хотя эта задача и решена при помощи комплексных
чисел, ее решение традиционными средствами также
представляет для учителя интерес. Ведь точки Hi, Нъ
Н, симметричны точке Н относительно серединных пер-
пендикуляров его етороп Отсюда уже следует, что
[ОН[ — [ОН, | — [ОН I = 10Н3[ Далее, подобие тре-
угольников АВС н Н,Н^НЭ следует пз равенства соот-
ветствующих углов этих треугольников. Такой подход
служит хорошим примером применения осевой симмет-
рии при решении задач
В задаче 2460 требовалось найти две точки путем по-
строения двух перпендику тярных плоскостей Между
тем большинство читателей при вычислении координат
искомых точек использовали кратчайшее расстояние
между данными прямыми и угод между ними, направ-
ляющие векторы прямых и другие параметры Геомет-
ричсскпс средства построения были отодвинуты на вто-
рой план Конечно, «построить» в задачах стереометрии
означает «доказать» существование искомой фигуры,
в этом смысле предложенные решения вполне приемлемы.
И все жг степень аналитичности во многих решениях
выше той, которая в данной ситуации наиболее целе-
сообразна
Г. В. Дорофеэи (Москва), 3. А. Скопец (Ярославль)
Сводка решений задач, •
помещенных в № 1 за 1982 г.1
В номерах задач опущены первые цифры (24).
Абашидзе А. А. (ГССР, г. Цулукидзе)—41, 43, 44,
46—53. Аветисян М. Г. (АрмССР) — 41, 42, 47, 53. Ак-
перов Э. К. (АзССР) — 41— 43, 47, 53. Алиев В.
(АзССР, г. Шамхор)—41, 42, 47. 49, 53. Алыев И. А.
(АзССР)— 41, 47, 49, 53, 55. Аляев А В. (Пензен-
ская обл.)—41—49, 53—55. Андриевский С. А.
(г. Омск)—41, 42, 16. 47, 49—51, 53, 58. Аруста-
мян Г. К. (АрмССР, г. Кафан) — 41, 42, 46, 47, 49, 53-
55. Ахматов М А (Краснодарский край, г. Ейск)—41,
44—47, 49, 51, 53—55. Ахмедов М Я- (г. Чимкент) —
41—44, 49, 53 Бортная М. И. (Киевская обл., г. Тети-
ев) — 41, 43, 44, 47, 49, 53, 55 Ботнару Д. Н. (МССР)-
41, 42, 47, 53, 55 Будагов Р. А. (АрмССР) —41, 42, 47,
53. Букобаев Н. (Восточно-Казахстанская обл.)—41,
42, 46—48, 53, 55. Байжанов А. (Хорезмская обл.) —
41—44, 47, 49, 50, 53. Войнов И. И. (Орловская обл.) —
41. 42, 44, 46—49, 51, 53—55, 57. Войтович Ф. С. (г. Мо-
гилев)— 41, 42, 44—57. Вольфбейн П. С. (Киев) — 4!,
42, 44, 45, 50. Гарбер М. С. (г. Днепропетровск)—41,
47, 53, 55. Гасанов П. И. (г. Кировабад) —41, 42, 44,
46, 47, 49—53, 55. Гасанов X. И. (г. Кировабад)—41,
42, 44, 46. Гейдаров 3. А (АзССР)—44, 47, 51, 53
Гемуев А. А. (г. Нальчик)—41, 42, 44, 46, 47, 49, 50,
53—60. Головачев Е. А. (Белгородская обл.)—41, 42.
44—55, 57—59. Горбатый Е. 3. (г. Одесса) — 41 42,
44—57, 60 Гулуа И. Л. (Тбилиси)—41, 44, 45—47, 50,
53. Гусейнов М Б. (АзССР)—41—44, 49, 53. Джаббз-
ров М. Б. (АзССР, г. Саатлы)—41, 43—47, 49, 51, 53.
Дидковский В. Л. (г. Новогрчд-Волынскин) — 49—55,
57. 58, 60. Досбулаев Я. Г. (Гурьевская обл.)—41, 44,
46, 47, 49, 51, 53—55. Евдокимов Г. Г. (Минская обл.) —
41, 46, 47, 51, 53, 55. Егоров П. В. (г. Рязань) —41, 42,
44, 46—50, 53—55 Емелюшнн И. С. (г. Барнаул) —
41, 42. 44, 47, 48, 50, 51, 53, 55. Закаряев Б. III.
(АзССР)—41, 42, 44—47, 50, 51, 53- 55 Зискинд Л. Е.
(г. Винница)—41, 42, 44—47, 50, 51, 53, 54. Зчбн-
лин Н И. (Орловская обл )—41, 46—48, 53, 55. Ири-
чаннн Б. (Югославия, Н. Белград)—41, 42, 46, 49. 50,
53, 55. Каденов С. Ж- (Восточно-Казахстанская обл.) —
41—44, 46, 47, 49—51, 53—57, 60. Кассиров В. А. (Пав-
лодарская обл.)—41, 42, 44, 46, 47, 49, 51—55. Кон-
стантинов А. Н. (Одесская обл.)—41. 44—47, 49, 50,
52, 55. Косой Р. А. (г Одесса) —41, 42, 44, 46 -54. 57.
60. Кривцов Н. И. (Воронежская обл.) —4!—45, 47, 49,
51, 53, 55. Кулиев Ф. С. (АзССР) —41, 42, 47, 49, 53-
55. Курганов Т. К. (Ташкентская обл., г. Чирчик) —
41- 43, 45—47, 49—51, 53—55, 57, 58. Лихота Е. А.
(г. Анапа)—41, 42, 46, 47, 49, 50, 53-55, 57. Любе-
нов Л. Т (Болгария, г. Павел-Баня) — 47—50, 53- 55,
57. Магеррамов С А (АзССР)—41, 47, 53, 55. Мака-
ров М. Ф (Орловская об..)—41, 42, 45—47, 49- 51,53.
Мамедова Р. И. (АзССР)—41, 46, 47, 51, 53. Мира-
кян А. О (АзССР) —41, 44, 47, 53, 55. Михайлов В. М.
(Чувашская АССР) —41, 42, 44, 53. Моснкян Г. М.
(г. Сухуми) — 42, 44, 47, 53, 55. Муратов А. А. (г. Крас-
нодар)— 41, 42. 47, 48, 50, 53, 54, 57 Невзоров А. Л.
(г. Кременчуг)—41—51, 53—56. Нечаева С. А., Некра-
сова Л. М (г. Петропавловск)—41, 42, 47, 53 Обло-
кулов X. (Ленинабадская обл., г. Пенджнкснт) —41. 47,
49, 51 Орынбасаров И. (Каракалпакская АССР, г. Ход-
жейли)—41, 42. 47. 51, 53 Острик Б. И. (г. Сумы) —
(Окончание см. на с. 80)
1 В сводке не учтены решения, оформленные с на-
рушением правил, указанных в№ 1 журнала за 1982 г.
68
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Вопросы математики в трудах
философских семинаров СО АН
СССР
В. Н. Молодший, Г. И. Рузавин '
(Москва)
С 1977 г. осуществляется систематический выпуск Тру-
дов философских семинаров, работающих при Сибир-
ском отделении АН СССР. Вышли в свет 13 сборников.
Ниже названы только те из них, в которых содержатся
статьи, относящиеся к математике:
1. Методологические проблемы научного познания.—
Новосибирск, 1977.
2. Фундаментальные и прикладные исследования в ус-
ловиях НТР — Новосибирск, 1978.
3. Проблемы развития современной вауки. — Новоси-
бирск, 1978.
4. Методе логические проблемы современной науки.—
М.: Политиздат, 1979.
5 Наука. Организация и управление. — Новосибирск,
1979.
6. Методологические проблемы математики. — Новоси-
бирск, 1979.
7. Методология науки и научный прогресс. — Новоси-
бирск, 1981.
Руководствуясь решениями XXV и XXVI съездов
КПСС, относящимися к развитию фундаментальных и
прикладных наук и философии в нашей стране, авторы
и редакторы сборников уделили основное внимание важ-
нейшим философско-методологическим проблемам науч-
ного поиска, возникающим преимущественно в прак-
тике их исследовательской работы. В сборниках анали-
зируются социально-психологические и организационные
аспекты научной деятельности в СССР при плановом
развитии науки и развертывании НТР. Исследуется
роль фундаментальных наук, в том числе и современной
математики, особенно вычислительной. В этой связи
изучаются формы взаимодействия в развитии техники,
естествознания, математики и философии.
Значительное внимание уделено идеологической борь-
бе в современной науке: отстаивается марксистско-ле-
нинский принцип партийности в научном познании, кри-
тикуются идеалистические и метафизические концепции
в философии науки. Авторы стремятся раскрыть роль
различных отраслей знания в формировании коммуни-
стического мировоззрения советской интеллигенции,
В сборнике |1| внимание читателя несомненно привле-
чет статья Н. Н. Яненко «Тенденции развития современ-
ной математики!. В наше время, пишет автор, в услови-
ях научно технической революции, математизации зна-
ния и возрастающего использования ЭВМ взаимосвя-
зи математики с естествознанием и техникой становятся,
в принципе, решающим фактором развития математики.
Остановившись на роли ЭВМ и абстрактных разделов
математики в математическом творчестве, И. Н. Яненко
заключает: задача состоит в том, чтобы наполнить тео-
ретическую математику новым содержанием, которое
можно и следует взять из практики вычислительной
математики.
Роль взаимосвязей теоретической и прикладной мате-
матики с другими науками и техникой иллюстрируется
яркими примерами в статьях многих авторов. Среди
них укажем следующие:
Марчук Г. И. Наука и технический прогресс [4];
Ржаное А. В О взаимосвязи фундаментальных и при-
кладных исследований в физике [4];
Преображенский Н. Г. Математическое моделирова-
ние [4]; Интерпретация результатов физического экспе-
римента как гносеологическая проблема [2|;
Эти статьи содержат материалы, полезные и с мето-
дической точки зрения.
В статье «О соотношении индуктивного и дедуктивно-
го методов в математике» [4] Н. Н. Яненко анализи-
рует творческую роль индукции и дедукции в разверты-
вании математических теорий. Различаются два вида
индукции: внешняя и внутренняя. Исследователь ис-
пользует первый вид индукции, когда переходит от
внешних по отношению к математике фактов к построе-
нию математической теории, объединяющей и объясня-
ющей эти факты. Внутренняя индукция используется
при построении математической теории, синтезирующей
ранее существовавшие математические теории, на осно-
ве выделения из их фактического материала общей для
них логической структуры. Автор подчеркивает, что
«развитие математики шло по принципу объединения,
по сходству логических структур, а не по близости са-
мих физических процессов... Установление общей логи-
ческой (операционной) основы для физически далеких
процессов является прекрасным примером индуктивного
метода в математике» ([4], с. 60).
Принятое Н. Н. Яненко истолкование двух видов ин-
дукции основывается на объективных предпосылках.
Внешняя индукция имеет своей основой реальные связи
математики с естествознанием и техникой, внутренняя
индукция — механизмы процессов обобщения в самой
математике в соответствии с особенностями предмета ее
исследований на каждом этапе ее развития. Целесооб-
разно было бы провести критический анализ творческих
возможностей этих видов индукции, опираясь на исто-
рико-математический материал. При этом надо учиты-
вать, что в XIX и XX вв направляющим началом и ка-
тализатором творческих возможностей индукции и де-
дукции как компонентов процесса познания в матема-
тике стала (сперва стихийно) материалистическая ди-
алектика. Результаты таких исследований были бы по-
лезны и для методики математики (роль индукции и
дедукции в курсе математики средней школы и др.)
Из статей сборника [6] многие интересны как с гно-
сеологически, так и с общеметодологической точек зре-
ния. Таковы, например, статьи:
Ершов Ю. Л. Некоторые вопросы применения форма-
лизованных языков для исследования философских
проблем.
Симанов А. Л., Тайманов А. Д. К проблеме логики
формирования научных теорий.
Самохвалов К. Ф. Программа Гильберта и теоремы
Гёделя.
Борисов Ю. Ф. Механический детерминизм и структу-
ра числовой прямой.
Кузьмин Е. Н. О причинах математических ошибок.
Ю. Ф. Борисов показывает, как требования геомет-
рии, потом математического анализа и механики пред-
определили необходимость только такого обобщения по-
нятия рационального числа, которое было реализовано
в классических теориях действительных чисел (Деде-
кинд, Каитор, Вейерштрасс). Автор доказывает:
1) классическое «понятие вещественного числа явля-
ется не просто одним из возможных средств наведения
надлежащей строгости в анализе, но единственной с
точностью до изоморфизма конструкцией, в рамках ко-
торой только и может действовать в полном объеме
формальный аппарат дифференциального и интеграль-
ного исчисления» ([6], с. 48);
2) только благодаря классическому понятию вещест-
венного числа «ньютоновская механика, математически
выраженная на языке таких чисел, становится дедуктив-
ной наукой» (там же, с. 42).
СЭ
Понятие действительного числа не является результа-
тов прямого, «зеркального» отображения соответствую-
щих количественных соотношении реального мира. Оно
возникло и оформилось в сложном познавательном про-
цессе, во взаимосвязи с развитием других понятий и
теорий как самой математики, так и других наук.
Е. Н. Кузьмин вскрывает причины математических
ошибок, которые порой встречаются и в серьезных науч-
ных исследованиях. Не всякая ошибка — результат не-
брежности или незнания. Автор обращает внимание на
то, что нередко причина ошибки коренится в использо-
вании некорректного рассуждения пли в наличии су-
щественных пробелов в доказательстве и даже искаже-
нии формулировки результата. Анализ ошибок интересен
не только с логико-методологической, но и чисто мето-
дической и педагогической точек зрения.
В рассмотренных и в других статьях сборников по
сути дела обосновываются и развиваются два тезиса;
современная математика с помощью теоретических и
технических (вычислительных) средств способна отра-
жать и отражает изучаемую ею сторону реального мира
шире, глубже, точнее, чем это могла делать и делала
математика первой половины XX в. В этом — объектив-
ная основа математизации современных наук от точ-
ных до гуманитарных и социальных;
философа. ^-методологической основой современной
математики является все расширяющийся и у1лубляю-
шийся процесс ее диалектизацни, т. е. стихийный или
сознательный диалектико-материалистический подход
к решению ее проблем и построению новых математи-
ческих теорий.
Как нам кажется, эти два тезиса должны быть исход-
ными и при разработке узловых вопросов методики пре-
подавания математики в средней школе, особенно в
IX—X классах.
В сборниках |1] —17] содержатся материалы, которые
можно не без успеха использовать при разработке ме-
тодики трудового и нравственного воспитания школь-
ников. Таковы, например, статьи
Яновский Р. Г Формирование коммунистического ми-
ровоззрения научной интеллигенции [3];
Окладников А. П. Проблема генезиса ' религиозной
формы сознания в свете открытий археологической на-
уки [3];
Москаленко А. Т., Чечулин А А., Яновский Р. Г. Не-
которые социально-психологические аспекты управления
научным коллектчпом |5]
Марчук Г. И Наука и формирование активной жиз-
ненной позиции ученого {7|
В конце сборника [6] приведена достаточно полная
библиография работ по философско-методологическим
проблемам математики Библиографический указатель
систематизирован по следующим разделам «Классики
марксизма ленинизма о философских проблемах мате-
матики'' «Общие вопросы, основания математики», «Ма-
тематическое познание» «Логнко-методологические проб-
лемы», «Интуиционизм» «Философские вопросы геомет-
рии» «Философе кие вопросы теории вероятностей»,
«Математизация знаний»,
На наш взгляд исследования по фнлософско-методо-
логичес ким проблемам математики опубликованные в
"борниках Сибирского отделения АП СССР интересны
прежде всего тем птг они даю? возможность широкой
наччиой обшественвпетв. в гом числе » учителям мате-
матики ознакомить' я s «емп изменениями которые про
исходя’ в современной математике и требуют более
глубокого философского переосмысления Учителя сред-
них школ и преподаватели вузог могут найти здесь
мвогс полезного материала для расширения । воего фи-
лософского и математического кругозора а г»кже для
совершенствования методики преподавания математики
и улучшения идейно-теоретического и нравственно'о вос-
питания учащихся и студентов
7J
О книге
Б. А. Кордемского
«Увлечь
школьников
математикой»1
С. Г. Губа
(г. Вологда)
Преподавателям математики хорошо известно имя
Б. А. Кордемского. Его книга «Математическая смекал-
ка» стала классическим произведением по заниматель-
ной математике. Широкую известность получили и дру-
гие труды этого автора.
В новой книге Б. А. Кордемского занимательная сто-
рона математики представлена только во второй поло-
вине. Первая же половина напоминает скорее альманах,
содержание которого — выдержки из произведений из-
вестных писателей и высказывания видных ученых,
имеющие некоторое отношение к математике (отдается
дань четкости и ясности ее языка, безупречности логики,
совершенству понятий и методов, эстетическому воздей-
ствию ьа человека и т. п.). Эти выдержки и высказы-
вания автор сопровождает комментариями дидактиче-
ского и методического характера, а иногда и стихам»
собственного сочинения.
Можно ли надеяться, что материал первой части вы-
полнит то назначение, которое выражено автором загла-
вием книги что он окажется тем средством, которое
позволит увлечь школьников математикой? Конечно,
нет. Увлечь математикой можно только посредством со-
держания самой математики. Размышления о матема-
тике. высказанные авторитетными людьми, могут лишь
привлечь внимание к математике, заинтересовать, за-
интриговать ею Однако успех такого воздействия на
учащихся носит эфемерный характер Увлечение мате-
матикой наступает в результате эстетического удовлет-
ворения. испытываемого учащимися от изящества мате-
матических фактов и методов, и становится все более
устойчивым по мере того, как математические знания
начинают служить для них средством для добывания
новый знаний, когда у школьников появляется умение
решать оригинальные задачи и, что особенно важно, де-
лать собственные маленькие «открытия»
И во, же из продуманного н ненавязчивого употреб-
ления материала, собранного в первой части книги,
опытный учитель может извлечь немалую пользу Боль-
шинство учащихся ограничивает свое математическое
образование курсом средней школы Их дальнейшие
жизненные цели не связаны с углубленным изучением
математики Значительная часть таких учащихся недо-
любливает математику, считает ее «сухой» наукой
И еези учителг в подходящей ситуации воспользуется
стихотворной или художественно-прозаической пита то ч
метафорой или изящной ноткой тс он ш толькс no-
выси- эмоциональный настрой учащихся к восприятию
абстрактных математических понятий, но и предстанет
перед учащимися как более близкий и понятный им че-
ловек, эрудированный и культурный, знающий не одну
лиш» свою «цифирь».
’ Кордемский Б А. Увлечь школьников математикой,—
М.; Просвещение, 1981.
К сказанному остается добавить, что значительная
часть поэтических и прозаических отрывков несет в се-
бе большой воспитательный заряд В этом отношении
показательны, иаяример, впечатляющие стихи о Лоба-
чевском и Галуа.
Вторая часть книги состоит из занимательных задач,
оформленных большей частью в виде небольших но-
велл. Автор совершенно прав, когда отмечает такие ка-
чества этих задач, как «легкий юмор фабулы, неожидан-
ность ситуации илн развязки, доставляемой решением
задачи, стройность геометрической формы, изящество
решения, под которым понимается сочетание простоты
и оригинальности методов его получения» (с. 5) Если
сюда еще присовокупить образный, непринужденный
язык книги, то станет ясным, что задачи с перечислен-
ными качествами несомненно будут способствовать ув-
лечению школьников математикой.
Каждая задача имеет свое за>лавие, которое заодно
выполняет и функции номера (за исключением главы
«Семнадцать мгновений наедине с математикой», где
задачи пронумерованы). К задачам приведены решения,
большая часть которых помешена в конце кинги, одна-
ко в некоторых случаях решения даны сразу после, тек-
ста задачи. Следует отметить, что отсутствие нумерации
затрудняет пользование решениями. Задача под загла-
вием «Четыре семьи за одним столом» (с. 56), которую
никак нельзя отнести к простым, по-видимому по недо-
смотру, осталась без решения.
Книга «Увлечь школьников математикой» не рассчи-
тана на то, чтобы ее «прорабатывать» с учащимися
страница за страницей, как это обычно принято делать
с учебными пособиями. Разумеется, автор по возможно-
сти стремился систематизировать имевшийся у него ма-
териал. Так, в первой части книги выдержки и выска-
зывания, относящиеся к математическим понятиям, рас-
пределены по трем главам со следующими названиями:
«Числовые множества», «К понятиям геометрии», «К по-
нятиям алгебры и анализа» Тем не менее стихотворе-
ние, относящееся к понятию квадрата, автору пришлось
поместить рядом со стихотворением, относящимся к по-
нятию циклоиды, т. е. простейшее понятие, изучаемое в
начальной школе, оказалось по соседству с понятием,
вообще не вошедшим в программу средней школы.
Право разобраться, что н когда следует употребить,
предоставлено учителю. В первой главе, названной
«Методическая интродукция», ав'.ор подчеркивает, что
материалом книги нужно пользоваться «к месту и в
меру». Таким местом может быть н урок, и кружок,
и массовые внеурочные мероприятия (математические
вечера, «огоньки», соревнования и т. п.). А меру учи-
телю должна подсказать его педагогическая интуиция.
Во второй части книги систематизация матср.чата
также носит довольно условный характер. Задачи, до-
ступные только учащимся IX—X классов, соседствуют
с задачами, посильными и для четвероклассников. Возь-
мем например, главу «Семнадцать мгновений наедине
с математикой» Название главы обязывает, чтобы все
семнадцать задач, помешенных в ней, можно было
предложить одному и тому же составу учашихся
(иначе не состоится «семнадцати мгновений»). К сожа-
лению. сделать этого нельзя. Достаточно сослаться на
следующие задачи из указанной главы.
Задача 4. Дано: f (л) = 1g ( /^9 tgf х + 1 —
— 3 tg х) => / (- х) = 1g (/9 tg« х + 1 + 3 tg x).
Из этого некто заключил что заданная функция f не
четная и не нечетная. Доказать, что он нс прав.
Задача 16. Теплоход отправился в дальний мор-
ской рейс. Когда он отошел от берега на расстояние
180 миль, за ним вылетел гидросамолет с экстренной
почтой Скорость гидросамолета е 10 раз больше ско-
рости теплохода. На каком расстоянии от береги гидро-
самолет нагонит теплоход/?
Очевидно, что задача 4 должна быть предложена уча-
щимся IX—X классов, тогда как задача 16 для этого
возраста просто уже «оскорбительна», поскольку она
является обычной школьной задачей, вполне доступной
учащимся IV—V классов. И это не единственный при-
мер такого «несовместимого» соседства. Это значит, что
содержащиеся в книге занимательные задачи, как и вы-
держки из произведений писателей, предлагать нужно
с постоянной оглядкой на адресата. Хотя это обстоя-
тел, ство и не является серьезной преградой к пользо-
ванию книгой, но считаться с ним неооходимо.
В заключение нужно сказать, что не все в книге в
одинаковой мере удалось автору. Не все приведенные
автором отрывки из литературных произведений обла-
дают достаточно высокими художественными достоин-
ствами, не все задачи отличаются оригинальностью со-
держания. Но все это частности. В целом же рецензи-
руемая книга заслуживает одобрения. Читатель встре-
тит здесь немало мастерски выполненных оригинальных
задач, от которых, как говорится, «дух захватывает».
Нет сомнения, что каждый учитель математики не за-
медлит взять на вооружение все то полезное, что он
заведомо найдет в данной книге
Обращаем внимание читателей на замеченные опе-
чатки:
На 12-й строке сверху с. 47 надо читать: гесли мо-
нета „не симметрична"».
На 7-й и 6-й строках снизу с. 67 числа 9 и 11 сле-
дует поменять местами.
Полезные
советы
по решению
задач
Д. В. Клименченко
(г. Бердянск)
Проблема обучения у-чащихся решению задач, да к то-
му же еше и нестандартных, так же многогранна и не-
исчерпаема, как и сами задачи. Ей посвящено немало
исследований отечественных и зарубежных авторов, и
каждая новая работа в этом плане вызывает интерес
н привлекает внимание обучающих и обучающихся
Не является исключением подготовленное на основе
ротапринтного издания 1972 г. и вышедшее в I960 г.
в издательстве «Просвещение» пособие для учащихся
«Учись решать задачи» (авторы Ю. М. Колягии и В. А.
Оганесян). Эта небольшая по объему, но весьма со-
держательная книга, адресованная учащимся VII—VIII
классов, будет- полезрс' и. учецнкдод IV-^VI классов, и
старшеклассникам, а также" станет хорошим помощни-
ком учителям в их работе с учащимися по решению
нестандартных и замысловатых задач.
71
Идеи, изложенные в рецензируемом пособии, как об
этом указывают сами авторы (см. с. 4), созвучны с те-
ми, которые имеются в известных книгах Д. Пойа «Как
решать задачу» (М.: Просвещение, 1961), «Математн-
чесхое открытие» (М. Просвещение, 1976)
Пособие состоит из 13 параграфов, «.Предисловия»,
«Ответов, указаний, решений».
Авторы не декларируют правила и законы, не читают
нравоучений, а ведут доверительную беседу с читате-
лем, учитывая его психологические особенности, не от-
казываясь. где надо, от здорового юмора и хорошей
шутки. У дач нс используются народные поговорки «Клин
клином вышибаю."», «Лиха беда — начало», «Доверяй,
но проверяй», «Мудрый меняет свои намерения, дурак
никогда» и другие, что значительно оживляет изложе-'
ние серьезного материала
При разборе конкретных задач авторы дают полезные
советы и рекомендации учащимся, направленные на вы-
работку у них определенного чутья, умений и навыков
по решению нестандартных задач. Разумеется, научить
решать такие задачи, равно как и научить творчеству
вообще, дело далеко не простое. Понимая это, авторы
пишут: «Н? следует ожидать, что после изучения этой
книги вы научитесь решать любую нестандартную за-
дачу» (с. 7).
Понятия стандартной и нестандартной задачи, как
это и подобает, в пособии трактуются не статично, а
динамично. Понятие это относительное: одна и та же
задача может быть для одного стандартной, а для Дру-
гого нестандартной. Или, в данный момент задача мо-
жет быть для решающего нестандартной, а через неко-
торое время она для него же становится уже стандарт-
ной.
Весьма кстати обращается внимание в пособии на
отличительные особенности целей при решении задач
ученым, инженером, вообще творческим работником, с
одной стороны, и школьником — с другой (§ 2). Для
последнего главная цель — учебная, и потому каждая
задача должна способствовать накоплению знаний и
развитию интеллекта. При этом не столь важен конеч-
ный результат, сколько процесс его достижения.
Для ответа на гипотетический вопрос читателя: «Че-
му учиться на задаче и как?» — авторы приводят ре-
шения задач о прямоугольнике минимального перимет-
ра с данной площадью (4 способа) н о делимости раз-
ности кубов двух чисел на 9 при условии делимости на
3 их разности (5 способов), подробно их разбирают, де-
лают интересные выводы и обобщения. Заслуживает
здесь одобрения то, что в уста учащихся вкладывается
заслуженная оценка учительского труда: «Не напрасно
учитель добивался все время от нас запоминания тож-
деств сокращенного умножения — спасибо ему!» (с. 14).
Для показа учащимся, с чего надо начинать решение
задачи, взята задача о поиске парашютиста (§ 3), ко-
торая уже своей практической проблематикой привле-
чет внимание учащихся. Эта практическая задача легко
переводится на математическую модель.
• Особого внимания заслуживают советы о выявлении
«детей» данной задачи и «родителей» ее. Такие вспомо-
гательные задачи учителя успешно используют в целях
актуализации и приближения нужных знаний для уча-
щихся в процессе поисков решений.
Выясняя роль догадки при решении задач, авторы
удачно включают элементы занимательности, разбирая
задачу, которую задал Кащей Ивану-царевичу (с. 29—
30).
Вполне оправдан подход авторов к составлению мате-
матических задач как к своеобразному математическо-
му сочинению.
Весьма убедительными приставляются доводы в
пользу хорошего грамотного оформления записей реше-
ний задач (§ 7). На конкретных примерах пяти задач
продемонстрированы различные способы записей их ре-
шений (при этом авторы не претендуют на полноту из-
ложения).
На примере интересной задачи о делении плоскости
прямыми (§ 9) хорошо проиллюстрирован ход мыслей
гипотетического ученика. «Пусть вы не открываете но-
вых законов природы, но вы учитесь их открывать»,—
обращаются авторы к ученикам (с. 53).
Рассмотрению проблемных задач посвящен § 10.
Уместно и кстати, на наш взгляд, авторы иллюстри-
руют применение ленинской теории познания при реше-
нии прикладных задач (§ 11).
В заключение предлагаются для самостоятельно! о ре-
шения 70 задач, различных по содержанию и степени
трудности (§ 13).
Оценивая в целом рецензируемое пособие положи-
тельно, отметим некоторые из замеченных нами неточ-
ностей и погрешностей.
Авторы неясно определяют термин «нестандартные
задачи». Нестандартными задачами они считают такие,
«на которые нет готового ответа» (с. 6). Но под это
понятие подходит любая задача, ведь на нее нет го-
тового ответа, так как таковой надо получить (па го
она и задача!).
На с. 25—26 (§ 4) авторы утверждают, что «Каждая
из этих подзадач ', как н вообще любая задача на на-
хождение множества точек, обладающих данным свой-
ством, состоит из двух частей. В первой определяют
фигуру, состоящую из множества точек, обладающих
данным свойством. Во второй доказывают, что каждая
точка построенного множества обладает данным свой-
ством». Но ведь если множество точек построено, то
это и значит, что каждая из них обладает указанным
свойством. Доказать же следует другое а именно, что
никакая точка, не принадлежащая этому множеству, не
обладает этим свойством.
Множество точек, равноудаленных от двух пересекаю-
щихся прямых, есть оси симметрии этой пары прямых,
а не оси симметрии этих прямых (с. 26). Это не одно и
то же: каждая прямая имеет бесконечное множество
осей симметрии.
Неправдоподобной выглядит задача № 8 13: слишком
уж большие паузы между ударами часов — 6 с.
Рассматривая задачу № 12.1: «В произвольном Д АВС
проведены высоты, основания которых соединены отрез-
ками прямых. Доказать, что высоты треугольника АВС
будут биссектрисами образовавшегося треугольника
AiBil?!» (с. 70), невольно возникает вопрос: «В произ-
вольном лн треугольнике? Ну а если он прямоугольный
или тупоугольный?»
Эту же ошибку авторы повторили в указаниях к ре-
шению задачи № 10.6 (с. 87).
В задаче № 12.5 (с. 70) дано уравнение с двумя пе-
ременными, а требуется найти условие, при котором это
уравнение «имеет единственное решение — натуральное
число». Но ведь решением такого уравнения может
быть лишь пара чисел, а не одно число.
Имеются неточности и погрешности также и в реше-
ниях задач. Например, в решении задачи № 1.4 (с. 77)
к цифрам отнесено двузначное число 10.
По меньшей мере, странное предложено решение за-
дачи № 1.8, в которой требуется рассказать, что изо-
бражено на рисунке, помещенном на с. 8 пособия (см.
рис.).
Авторы предлагают одно из решений: «Солдат с т-
бакой прошли мимо пролома в заборе» (с. 77). Не
слишком ли много фантазии?
Решение задачи № 4.2 рассматривается почему-то вне
связи с условием, в частности игнорируется рисунок к
условию (рис. 23, с. 28).
Решение задачи № 5.1 (с. 81) дано формально. Ведь,
если х удовлетворяет условию №+%+1 = 0, то он дол-
жен быть корнем этого уравнения, а учащимся извест-
но, что такое уравнение не имеет корней (действитель-
1 Подзадачами авторы пособия называют задачи, род-
ственные данной.
ных). В решении авторы пишут: «Из х2+х-|-1=0 сле-
дует, что (х!-|-х+1) (х—1) =0, т. е. №—1=0, или
х3=1» (с. 81) —и дальше получают *=1. Осуществлен
переход от одного уравнения к другому, не равносиль-
ному данному.
Имеются н другие погрешности, однако они частвого
характера, легко устранимы и не снижают общего до-
стоинства этого интересного пособия.
Новые книги
Ф. М. Шустеф (Минск)
История и методология математики
Бородин А. И. Советские математики.— 2-е изд., пере-
раб. и доп.— Киев; Донецк: Вища школа, 1982.— 133 с.,
25 000 экз., 20 к.
Юшкевич А. П. Леонард Эйлер.— М.: Знание, 1982.—
64 с., 30 030 экз., 11 к.
Научно-популярные книги
Гемичтерн В. И., Штильман И. С. Оптимизация
в задачах проектирования.— М.: Знание, 1982.— 64 с.,
29 980 экз . 11 к.
Минскин Е. М. От игры к знаниям: Развивающие
и познавательные игры младших школьников. Пособие
для учителей,- М.: Просвещение, 1982.— 191 с.,
300 000 экз, 50 к.
Соколов Э. Т. Кентавр, или Как математика помо-
гает физике.— Минск. Вышэйшая школа, 1982.— 223 с,
20 000 экз, 45 к.
Монографии. Учебники и учебные пособия
для вузов
Блох А. Ш. Числовые системы: Для вузов.— Минск:
Вышэйшая школа, 1982.— 158 с, 14 000 экз, 35 к.
Бугров Я С, Никольский С. М. Задачник: Высшая
математика для вузов.— М.: Наука, 1982.— 192 с,
200 000 экз, 35 к.
Каргаполов М. И, Мерзляков Ю. И. Основы теории
групп.— 3-е изд, перераб. и доп.— М.: Наука, 1982.—»
288 с, 11 800 экз, 1 р. 20 к.
Колмогоров А. Н, Журбенко И. Г, Прохоров А. В.
Введение в теорию вероятностей.— М.: Наука, 1982,-
160 с, 150 000 экз, 25 к.
Справочная книга по математической логике: В 4-х ч./
Под ред. Дж. Барвайса; Пер. с англ./Под ред.
Е. А. Палютина, А. Д. Тайманова.— М.: Наука, 1982.
Ч 1. Теория моделей.— 392 с, 20 000 экз, 2 у, 20 к.
Уиттл П. Вероятность: Пер. с апгл./Под ряц. В. В. Са-
зонова.— М. Наука, 1982.— 287 с, 17 000 эрг, I р. 30 к.
Четыркин Е. М, Калихман И. Л. Вероятность и ста-
тистика.— М.: Финансы и статистика, 1982.-—219 с,
10 000 экз, 1 р. 50 к.
Учебники и учебные пособия для средних }чебных
заведений. Методика преподавания математики
Ирошников Н. П. Организация обучения матема-
тике в 4—5 классах сельской школы: Для учителей,-
2-е изд, перераб.— М.: Просвещение, 1982.— 176 с.,
100 000 экз, 25 к.
Карнацевич Л. С, Щербинина В. П. Учить мыс-
лить.— Киев: Радянська школа, 1982.— 96 с, 42 000 экз,
15 к.
Мельникова Н. Б, Никольская. И. Л, Черныше-
ва Л. Ю. Геометрия в 6 классе: Пособие для учите-
лей.— М.: Просвещение, 1982.— 159 с, 282 000 экз,
25 к.
Пособие по математике для поступающих в ву-
зы/Под ред. Г. Н. Яковлева.— М,: Наука, 1982.—
607 с, 100 000 экз, 1 р. 50 к.
Вниманию читателей!
В издательстве «Педагогика» в августе — сентябре 1982 г. вышли следующие книги:
Адаптация организма учащихся к учебной и физической нагрузкам / Под ред.
А. Г. Хрипковой, М. В. Антроповой. — 240 с, ил, 15 000 экз, 1 р. 10 к.
Анастази А. Психологическое тестирование: В 2-х кн. Пер с англ. / Под ред.
К. М. Гуревича, В. И. Лубовского. — Кн. 1 — 320 с, ил, 15 000 экз, 2 р. 10 к.
Вендровская Р. Б. Очерки истории советской дидактики.— 128 с, 17 000 экз, 45 к.
В часы досуга / Ред.-сост. Е. Д. Гончарова — (Б-ка для родителей). — 208 с,
100 000 экз, 40 к.
XXVI съезд КПСС и развитие народного образования в СССР / Под ред.
М. Н. Колмаковой, Н. П. Кузина. — 256 с, 15 000 экз, 1 р. 20 к.
Дмитриев Ю. Д. О природе для больших и маленьких. —176 с, ил, 100 000 экз,
3 Р-
Коменский Я. А. Избранные педагогические сочинения: В 2-х т. — (Педагогиче-
ская б-ка). Т. 1. — 656 с, 30 000 экз, 2 р. 10 к.; Т. 2.—576 с, 30 000 экз, 1р. 90 к.
Познавательные процессы: Ощущения, восприятие / Под ред. А. В. Запорожиз,
Б. Ф. Ломова, В. П. Зинченко. — (Основы психологии). — 336 с, 10 000 экз, 2 р. 40 к.
Профессиональная деятельность молодого учителя. Социально-педагогический
аспект / Под ред. С. Г. Вершловского, Л. Н. Лесохиной. — 144 с, 30 000 экз, 55 к.
Филонов Г. Н, М-гченков С. В. XXVI съезд КПСС и воспитательная работа
в школе: Вопросы теории и методики. — 80 с, 20 000 экз, 20 к.
Шакуров Р. X. Социально-психологические проблемы руководства педагогиче-
ским коллективом___208 с, 20 000 экз, 75 к.
Шило ia М. И. Изучение воспитанности школьников. —104 с, 35 000 экз, 25 к.
Школа полного дня: Вопросы управления / Под ред. Э. Г. Костяшкина.—160 с,
20 000 экз, 65 к.
A ХРОНИКА
Всесоюзный семинар-совещание
преподавателей логики
Д- д. Гетманова (Москва)
Актуальные проблемы совершенствования логического
образования учителей, студентов и школьников были
затронуты на проходившем в Москве Всесоюзном се-
мпнаре-совешанни преподавателей логики высших учеб-
ных заведений В работе семинара приняли участие
представители всех союзных республик и регионов
страны.
Семинар-совешание открыл заместитель министра
высшего и среднего специального образования СССР
И. И. Мохов. Реализация р мнений XXVI съезда КПСС,
указаний товарища Л. И. Брежнева по повышению ка-
чества преподавания, сказал он, дело всех вузовских
кафедр, включая и кафедры логики. Как наука и учеб-
ная дисциплина логика способствует формированию
научного мышления будущего специалиста. На совре-
менном этапе развития высшей ini олы тр 'Сования
к преподаванию логики неизмеримо возросли. Повыси-
лась и потребность в специалистах, имеющих подго-
товку в области jo”hkh
С докладом «О состоянии и мерах по повышению
качества преподавания логики» выступил начальник
отдела преподавания философии Минвуза СССР
В. И. Кириллов. Он отметил, что логика представляет
собой интенсивно развнва ощуюся науку, которая вклю-
чает в себя два относительно самостоятельных на-
правления: логику формальную и логику диалектиче-
скую. Ня их базе формируется логика научного позна-
ния, использующая методы обеих наук для анализа
научного знания
Подчеркнув важное значение логики в повышении
общей культуры будущих специалистов, выступавший
указал на положительный опыт преподавания логики
в вузах, который необходимо обобщить, чтобы на этой
основе наметить конкретные меры по улучшению учеб-
но-методнческой и научно-исследовательской работы
в области логики.
В. И. Кириллов остановился в па недостатках в пре-
подавании логики обратив внимание на то, что эта
наука не изучается в настоящее время ни в средней
школе, ни в большинстве высших учебных заведений
страны. Что касается пединститутов, то лишь немно-
гие из них осуществляю подготовку студентов по ло-
гике. Например, в УССР яз 29 пединститутов логика
преподается лишь в семи в большинстве союзных рес-
публик логика в пединститутах не преподается. Такое
положение нельзя признать удовлетворительным, так
как отсутствие логических знаний является крупным
пробелом в подготовке современного специалиста.
Об опыте преподавания логики в МГПИ им. В. И. Ле-
нина рассказала профессор А Д. Гетманова. В этом
институте логика изучается на педагогическом и до-
школьном факультетах Преподаются основы традици-
онной логики с 'элементами соъре.лечной символической
логики, а также основы диалектической логики. В курс
включены примеры "использования логики в процессе
преподавания отдельных школьных дисциплин.
В МГПИ читается спецкурс по логике для’ аспиран-
тов кафедр философии и научного коммунизма и спец-
курс для студентов-физиков. Но из 14 факультетов
логика преподается лишь на трех. На математическом
факультете философская логика нс преподается.
Из 94 педагогических институтов РСФСР, сказал
в своем выступлении В. Е. Маркелов (Миипрос
РСФСР), логика преподается в шести Проводится оп-
ределенная работа, направленная на организацию пре-
подавания логики в педвузах. Этот курс на первых
порах следует вводить, по крайней мере, как факуль-
татив, спецсеминар или uicurypc. Следующий этап —
решение вопроса о введении обязательного курса.
По инициативе преподавателей логики Кишиневского
университета факультативный курс логики преподает-
ся в старших классах некоторых средних школ Молда-
вии. Разработана программа курса на 35 ч, издан
учебник по логике на молдавском языке для учащихся
средней школы. Об этом важном начинании рассказал
в своем выступлении доцент Кишиневского университе-
та К- А. Бырлиба.
Многие выступавшие говорили о неправильной тен-
денции сокращения курса логики, об исключении ее
из учебных планов некоторых факультетов, что, несом-
ненно, отрицательно влияет на формирование научного
мышления студентов.
Участники семинара-совещания приняли вскомеида-
цни; некоторые из них указаны ниже.
«Просить Министерство просвещения СССР:
рассмотреть вопрос о восстановлении обязательных
и факультативных курсов логики в педагогических ин-
ститутах;
расширить подготовку н издание методической ли-
тературы для учителей по вопросам логики и логиче-
ских основ преподавания отдельных школьных дис-
циплин;
изучить опыт пр°подававия логи.м в средних шко-
лах Молдавской ССР, рассмотреть вопрос о введении
в качестве эксперимента преподавания факультативно-
го курса логики в отдельных средних школах Москвы,
Ленинграда, Киева и других вузовских центрах, рас-
полагающих преподавателями логики».
В соответствии с указанными рекомендациями жела-
тельно было бы ускорить издание учебного пособия
по логике, предназначенного специально дли студентов
педагогических институтов, педучилищ и для учителей.
Было бы полезно ввести в учебные планы ФПК ра-
ботников педвузов, преподающих математические и ме-
тодические дисциплины, а также в планы курсовых
мероприятий для учителей математики средних школ
при ИУУ цикл лекций по основам логики.
Перечисленные выше и ряд других мероприятий по-
могут решению задачи усовершенствования логического
образования школьников, студентов преподавателей,
научных работников
Научно-методический семинар
«Передовые идеи в преподавании
математики в СССР и за рубежом»
В 1981/82 учебном году семинар «Передовые идеи в
преподавании математики в СССР и аа рубежом» ра-
ботал при Московском областном педагогическом ин-
ституте им. Н. К. Крупской и провел 8 заседаний.
В сентябре 1981 г. семинар понес тяжелую утрату:
скоропостиж.ю скончался руководитель семипара Иван
Семенович Бровиков, доктор физико-математических на-
ук, профессор, член-корреспондент АПН СССР
Первое заседание, состоявшееся 15 октября 1981г.,
было посвящено памяти И. С. Бровикова. О жизненном
и творческом пути ученого рассказал С. В. Кудрявцев.
Коллеги и ученики И. С. Бровикова говорили о зна-
чительности его как ученого, педагога и человека, со гра-
нившего до конца присущие ему доброжелательность,
чуткость и простоту.
74
12 ноября Н. Б. Шапошникова (г. Тула) сделала
сообщение на тему: «О конкурсных экзаменах в систе-
ме подготовки учителей математики в Италии на право
преподавания математики». Докладчик рассказала о со-
держании конкурсного экзамена, проходящего в три
этапа: 1) устный экзамен, 2) письменный и 3) проведе-
ние урока в классе. Были приведены программы устно-
го экзамена и примеры задач письменного экзамена по
различным специальностям: математика и природоведе-
ние (I цикл средней школы), математика и физика,
прикладная математика, физика (II цикл средней шко-
лы).
Заседание 10 декабря 1981 г. было посвящено
номографии. Т. Л. Чернышева (Москва) остановилась
на истории номографии начиная с древнейших времен.
Осветив этапы развития отечественной номографии, она
проиллюстрировала различные номограммы и подели-
лась опытом проведения студенческого кружка по при-
ложению номограмм к решению задач.
14 января 1982 г. С. А. Перегудов (Москва) в
своем сообщении «Элементы топологии в школьном кур-
се математики» рассмотрел возможности приобщения
учащихся к топологической культуре при изучении та-
ких понятий, как «предел» и «непрерывность». Доклад-
чик познакомил слушателей с составленной им програм-
мой факультативного курса топологии, включающего
тополлгччегкие и метрические пространства, элементар-
ную геометрию топологических пространств, предел и
непрерывность, компактность и связность и другие во-
просы.
17 февраля А. Я. Халамайзер (Москва) рассказал
слушателям о книге известного голландского матема-
тика и педагога Ганса Фрейденталя «Математика как
педагогическая задача». Перевод этой книги с немецко-
го языка на русский, выполненный А. Я. Хгламайзером,
вышел из печати в июне 1982 г., пополнив методическую
библиотеку учителя. Сообщение собрало многочислен-
ную аудиторию и вызвало большой интерес. На этом же
заседании Р. С. Черкасов поделился своими впечатле-
ниями от встречи на симпозиуме с Фрейденталем, много
лет возглавлявшим Международную комиссию по мате-
матическому образованию.
30 марта X. Ш. Шихалиев (г. Махачкала) доло-
жил о своем учебном пособии «Множество и число» для
учащихся IV—VI классов. Среди положительных сторон
пособия были отмечены доступность изложения, мето-
дические находки цри введении игровых моментов. Вы-
сказывались и пожелания: усилить внимание к воспита-
нию вычислительной культуры учащихся, добиться
большей четкости в вычленении формулировок, правил,
формул и др.
27 апреля Т. А. Корешкова (Москва) сделала
доклад на тему: «Многосторонний подход к понятию оп-
ределенного интеграла на внеклассных занятиях с уча-
щимися». Определенный ин-.еграл рассматривался как
приращение первообразной, как предел последователь-
ности интегральных сумм, как единственное разделяю-
щее число множеств нижних и верхних сумм Дарбу.
Сопоставив эти подходы, докладчик обратила внимание
на ту методическую продуктивность, которую дает та-
кое многостороннее рассмотрение, ставящее целью не со-
перничество приемов, а их взаимное дополнение.
Учебный год семинара завершился 18 мая докла-
дом Т. В. Аммосовой (г. Астрахань) о разработанном
ею факультативе «Элементы теории групп в школьном
курсе математики». Факультатив, рассчитанный на уча-
щихся VII—VIII классов, позволяет помимо определе-
ния группы и изоморфизма рассмотреть широкий круг
понятий, в том числе: абелевы группы, конечные и бес-
конечные группы; порядок группы, элемента; смежные
классы; нормальная подгруппа и др. Геометрическое
рассмотрение этих понятий на базе планиметрии с мно-
гократным использованием простейших фигур (отрезок,
правильный треугольник и квадрат) позволяет сделать
нх доступными для учащихся.
На последнем заседании было выбрано бюро семина-
ра, в которое вошл„ II. Я. Верченко, Ю. М. Колягии,
I В. Сабинин, М. М. Рассудовская, Н. Г. Федин, В. Н.
Шапкина.
В новом учебном году семинар продолжает свою ра-
боту при МОПИ им. Н. К. Крупской. Заседания прохо-
дят во второй четверг каждого месяца в 17 ч 30 мин
по адресу: Москва, ул. Радио, д. 10 а, аудитория II
(кабинет математики).
В. Н. Шапкина
(Москва)
О работе семинара
«Воспитание логической культуры
при обучении в школе»
при НИИ СиМО АПН СССР
В 1981/82 учебном году семинар под руководством кан-
дидата педагогических наук И. Л. Никольской работал
по единой теме: «Развитие мышления и речи учащихся
в процессе преподавания математики» Состоялось шесть
заседаний, на которых были заслушаны доклады по раз-
личным вопросам названной темы и проведено коллек-
тивное обсуждение возможностей развития мышления
и речи учащихся при обучении по учебнику А. В. По-
горелова «Геометрия 6—10».
Семинар возобновил работу 26 ноября 1981 г.
докладом преподавателя Криворожского пединститута
В. С. Нодельмана «Методика обучения словесным кон-
струкциям, специфичным для математического анализа,
с помощью ТСО». Изобретенный и сконструированный
В. С. Нодельманом прибор позволяет отрабатывать
весь комплекс понятий, вводимых на языке «е—б». Док-
лад привлек болпшую аудиторию и вызвал живой ин-
терес.
Следующее заседание семинара, состоявшегося
26 января 1982 г., было посвящено методологиче-
ским проблемам обучения математике в их языковом
аспекте. В частности, было показано, что значительное
место в обучении геометрии занимает перевод со сло-
весного языка на символический и графический языки и
обратно. По этой проблеме выступил аспирант лабора-
тории обучения математике НИИ СиМО АПН СССР
Ю. А. Бурлее,
На заседании 24 апреля с докладом «Задачи по-
вышенной трудности как средство развития мышления
учащихся» выступила Н. П. Кострикина (г. Караган-
да). Она поделилась опытом использования задач по-
вышенной трудности на уроках и во внеклассной ра-
боте, рассказала о выработанных при этом методах и
приемах развития мышления школьников.
В докладе преподавателя Омского пединститута
Л. И. Александровой «Геометрические задачи на дока-
зательство как средство развития логического мышле-
ния и речи учащихся», прочитанном 4 мая, были ос-
вещены вопросы, связанные с общими методами доказа-
тельстза, характерными признаками логических рассуж-
дений в геометрии, рациональным выбором основании
для доказываемых утверждений. Рассматривался также
вопрос о соотношении эвристики и логики в обучении
доказательствам.
25 мая преподаватель Криворожского пединститута
А. Л, Жохов сделал сообщение «О методике формиро-
вания научного мировоззрения иа уроках математики».
Опираясь на работы Б. В. Гнеденко, А. Д. Александро-
75
ва, И Ф. Тесленко и др., докладчик внес ряд интерес-
ных предложений по методике формирования отдельных
сторон научного мировоззрения
Заключительное заседание семинара, состоявшееся
22 июня, было проведено в виде дискуссии по раз-
личным вопросам обучения геометрии, связанным с раз-
витием мышления и речи учащихся. В дискуссии приня-
ли участие сотрудники и аспиранты лаборатории обуче-
ния математике НИИ СиМО АПН СССР, а также пре-
подаватель Славянского педагогического института
Е В. Величко, преподаватель из Душанбе М. Мирзоах-
медов учитель средней школы № 3 Хачмасского р-на
Азербайджанской ССР 3. Ю. Якубов.
С октября 1982 г. работа семинара продолжается.
Секретарь семинара М. И. Немытова
ПОЗДРАВЛЯЕМ ЮБИЛЯРА
Базар Содномович
Содномов
(К 60-летию
со дня рождения)
Б С. Содномов родился в 1922 г.
в улусе Ушхайта Бурятской АССР.
В 1947 г. закончил физико-матема-
тический факультет Бурятского госу-
дарственного педагогического инсти-
тута им. Доржи Банзарова. Затем
поступил в аспирантуру МГПИ
им. В. И. Ленина, где под руковод-
ством академика П. С. Новикова вы
полнил и в 1951 г. защитил канди-
датскую диссертацию.
С этого времени вся трудовая
жизнь Базара Содномовича неизмен-
но связана с работой в Бурятском
пединституте. Его более чем 30-лет-
няя научно-педагогическая деятель-
ность сыграла большую роль в раз-
витии науки и просвещения в Бурят-
ской АССР.
Научные интересы Б С Содномо-
ва относятся к дескриптивной теории
множеств и математической логике.
Им получены важные результаты о
непротиворечивости проективной оцен-
ки некоторых неэффективных мно-
жеств, об арифметических суммах
множеств, в частности им разрабо-
тан регулярный процесс построения
двух борелевых множеств, арифме-
тическая сумма которых есть А —
множество, неизмеримое В.
Эти и другие результаты хорошо
известны специалистам н опублико-
ваны в журналах «Доклады Акаде-
мии наук СССР» (1951, 1954), «Ус-
пехи математических наук» (1955),
в польском журнале «Основания ма-
тематики» (1967) и др.
Кроме этого. Базар Содномович
написал окопе 70 рефератов научных
работ для Всесоюзного реферативно-
го журнала «Математика».
С 1964 по 19/6 г. Б. С. Содномов
заведовал кафедрой математическо-
го анализа. Ныне он руководит рабо-
той методической комиссии и научно-
методического семинара на кафедре,
заседания которых служат подлин-
ной школой для преподавателей.
В связи с отсутствием учебников,
отвечающих новой программе. Базар
Содномович написал для студентов
и преподавателей учебные пособия
о метрических пространствах, функ-
циях многих переменных, рядах
Фурье — Лебега, работает над посо-
бием по курсу «Современные основы
школьной математики».
Научная Деятельность Б. С. Содно-
мова отмечена присуждением ему
звания заслуженного деятеля науки
и техники Бурятской АССР.
Авторитет Базара Содномовича как
преподавателя очень высок За вре-
мя своей работы в пединституте он
читал лекции почти по всем матема-
тическим дисциплинам. Много поко-
лений выпускников института про-
слушали эти лекции, во всех шко-
лах Бурятской АССР работают они
ныне_ и с большим уважением и теп-
лотой отзываются о Базаре Содно-
мовиче, талантливом математике,
прекрасном лекторе и педагоге, за-
мечательном человеке.
Педагогическая деятельность База-
ра Содномовича никогда не ограни-
чивалась только чтением лекций. Он
перевел на бурятский язык многие
учебники по математике для средней
школы, по существу впервые создав
бурятскую математическую термино-
логию. Эти учебники сыграли важ-
ную роль в повышении математиче-
ской культуры в автономной респуб-
лике. Б. С. Содномов является идей-
ным и научным руководителем еще
продолжающейся перестройки школь-
ного курса математики в школах
Бурятской АССР. Тесную связь под-
держивает он с учителями математи-
ки, постоянно читает лекции на кур-
сах усовершенствования, на различ-
ных семинарах и совещаниях учите-
лей, часто выезжает в школы для
оказания методической помощи. Его
лекции, методические указания и со-
веты служили и служат надежным
ориентиром для учителей математи-
ки в трудные моменты их работы по
новым программам и учебным посо-
биям.
За заслуги на ниве народного про-
свещения Б. С. Содномов удостоен
звания заслуженного учителя школы
Бурятской АССР, награжден ме-
далью «За трудовую доблесть», знач-
ками «Отличник народного просвеще-
ния РСФСР», ^Отличник народного
просвещения СССР», «За ударный
педагогический труд».
Активное участие принимает Ба-
зар С одномович в общественной жиз-
ни. Он неоднократно избирался в
местный комитет профсоюза, многие
годы руководил математическим фа-
культетом Народного университета
научно-педагогических знаний, мате-
матической олимпиадой школьников,
является председателем конкурсной
комиссии института.
Глубокие знания и широкая эру-
диция Базара Содномовича, доброта
н отзывчивость, простота и непод-
дельная скромность снискали ему
уважение и любовь в коллективе ин-
ститута.
Поздравляя Базара Содномовича
с 60-летием, от всей души желаем
ему крепкого здоровья и новых твор-
ческих успехов.
А. Д. Тайманов, М. Н. Очлров,
В. А. Костив
Тематический указатеш статей,
опубликованных в журнале в
1982 г.
ПЕРЕДОВЫЕ
Всесоюзные педагогические чтения — эффективная
форма творческого содружества учителей братских
республик — № 5, с. 4.
Гнеденко Б. В. Статья В. И. Ленина «О значении
воинствующего материализма» и математическое обра-
зование — № 4, с. 5.
Задачи учебных заведений профтехобразования по
дальнейшему совершенствованию преподавания мате-
матики — Ns 4, с. 3.
Навстречу 60-летию СССР — Ns 3, с. 3.
Политика партии — политика мира — № 1, с. 3.
Продовольственная программа и школа — Ns 5, с. 3.
Решающая роль учителя — Ns 2, с. 3.
Славный юбилей советской страны — Ns 6, с. 3.
Рекомендации Всесоюзной научно-практической кон-
ференции по марксистско-ленинскому образованию —
Ns 4, с. 13.
К 60-летию образования СССР
Абдукаримов Т. Математическое образование в Кир-
гизии — № 5, с. 32.
Алиев А. М. Развитие школьного математического
образования в Азербайджанской ССР — № 5, с. 28.
Азимов К. У. Развитие математического образования
в Советском Таджикистане — № 6, с. 12.
Баймуханов Б. О развитии школьного математиче-
ского образования в Казахстане — Ns 4, с. 9.
Гнеденко Б. В. Математическое образование и мате-
матика в СССР за 60 лет — Ns 6, с. 6.
Гисак А. А. Развитие математического образования
в БССР — Ns 5, с. 25.
Парджанадзе А. Г. Развитие школьного математиче-
ского образования в Советской Грузии — Ns 4, с. 11.
Петраков И. С. Математические олимпиады в СССР —
№ 3, с. 52.
Саркисян Р. В. Развитие математического образова-
ния в Армянской ССР — Ns 6, с. 10.
Тельгмаа А. Э. О развитии преподавания математи-
ки в школах Эстонской ССР — Ns 6, с. 15.
Тесленко И. Ф„ Юрченко И. Я. Математическое об-
разование в УССР — Ns 5, с. 21.
Решения XXVI съезда КПСС — в жизнь
Московские городские педагогические чтения
Адамская И. П., Тхамафокова С. Т. Организация
учебной деятельности учащихся при изучении геомет-
рического материала в IV классе — Ns 4, с. 45.
Галонен Э. А. Пути повышения качества обучения
и воспитания учащихся на основе комплексного исполь-
зования средств обучения — Ns 4, с. 49.
Овсянникова Л. А., Шибаева И. И. Выработка обще-
учебных и специальных умений и навыков учащихся
в процессе обучения математике — Ns 4, с. 48.
Рязанова Л. Н. Опыт использования элементов исто-
ризма в воспитании материалистического мировоззре-
ния учащихся в процессе обучения математике — № 4,
с. 50.
Саакян С. М. Проблема совершенствования методов
обучения и воспитания учащихся на Педагогических
чтениях учителей математики Москвы — Ns 4. с. 15.
Шишкина Л. Ф. Формирование прочных математи-
ческих знаний, умений и навыков учащихся на основе
взаимосвязей урочной и внеурочной работы — Ns 4,
с. 47.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
От Главного управления школ
Министерства просвещения СССР
О программе по математике для средней общеобра-
зовательной школы на 1982/83 учебный год —Ns 1, с. 6.
Об особенностях работы по программе курса мате-
матики, принятой на 1982/83 учебный год —№ 4, с. 33.
От программно-методического управления
Министерства просвещения РСФСР
Броневшук С. Г. О новой форме проведения пись-
менного экзамена по алг< бре в восьмых классах школ
РСФСР —Ns 1, с. 25.
Садовникова Н. Н„ Чудовский А. И. Рекомендации
по оформлению решения задач — Ns 1, с. 27.
Болтянский В. Г. Математическая культура и эсте-
тика — Ns 2, с. 40.
Васильева Г. И. Задачи как средство овладения гео-
метрическими понятиями—№ 6, с. 33.
Верченко С. Б. Задачи па наблюдение для развития
пространственных представлений учащихся IV—V клас-
сов — Ns 6, с. 34.
Гнеденко Б. В. О математических способностях и их
развитии — № 1, с. 31.
Горский В. Д.. Кравчук Т. Ц. Программирование —
профиль трудового обучения — Ns 6, с. 24.
Гусев В. А., Медяник А. И. Самостоятельные рабо-
ты по геометрии в VI классе — Ns 4, с. 26; № 5, с. 43;
№ 6, с. 39.
Демидова С. И., Минаева С. С. Обеспечить качест •
венное усвоение математических знаний — Ns 1, с. 34.
Зайцева Г. Д. О решении задач различными метода-
ми — Ns 5, с. 50.
Зайцева Г. Д. Развитие навыков решения стереомет-
рических задач — № 1, с. 40.
Закирова 3. 3. Повторение курса математики V клас-
са — Ns 2, с. 34.
Иванова Т. А. Сочетание алгебраических и конструк-
тивных методов решения геометрических задач — Ns 1,
с. 36.
К началу обучения геометрии в VI классе по ново-
му учебному пособию — № 2, с. 7; Ns 3, с. 8; Ns 4, с. 15;
Ns 5, с. 36.
Канин Е. С. О системе задач для изучения интегра-
ла — № 3, с. 22.
Кац Г. С., Саврасова С. М., Ястребинецкий Г. А. Из
опыта работы в шестых классах по учебному пособию
«Геометрия 6—10» А. В. Погорелова — № 4, с. 21.
Клопский В. М., Скопец 3. А., Ягодовский М. И.
О новом издании учебного пособия «Геометрия 9—10»—
Ns 4, с. 29.
Кожабаев К. Г.' Использование сведений из истории
математики в IV—VIII классах — Ns 2, с. 43.
Кожабаев К- Г. О производственных экскурсиях —
Ns 6, с. 27.
Кострикина Н. П. Трудные задачи в курсе алгебры
VI класса — № 5, с. 54.
Кузнецов Е. Ю., Минкин Л. К. Микрокалькулятор
в школе. Виды микрокалькуляторов — Ns 4, с. 35.
Магомеддибирова 3. А. Расширять формы профори-
ентационной работы — Ns 6, с. 28.
Марголите П. С. Некоторые приемы варьирования
задач для контрольных работ—Ns 3, с. 31.
Минаева С. С. Микрокалькулятор в школе О фор-
мировании первоначальных умений работы с «Электро-
никой МКШ-2» —Ns 4, с. 37.
Об использовании микрокалькуляторов в учебном
процессе — Ns 3, с. 6.
77
Примерные планирование и коигротные работы Ал-
гебра, VIII класс. Геометрия, VI, IX, X классы — № 3,
с. 14. №•• .б'г'с.ПЗ?. 1 еояетрия, VIII класс— 4, с. 34.
Розк* fck А Поиск ♦решения < задач на доказатель-
ство параллельности и перпендикулярности прямых
н плоскостей в пространстве — № 6, с 30
Сатьяное П. Г. Задачи, связанные с геометрическим
смыслом производной 3, е 2о
Сорокин Б. В., CopoKwa. Е М Упражнения для по-
вторения курса алгебры if .«жчаг анализа в X классе —
№ 2, с. 24.
Цукарь А. Я. Дополиительдаж работа над задачей —
№ 1, с. 42.
Щиряков А. Н. Эстетика арифметической задачи —
№ 2, с. 47.
Эргашев Б. О понятии вектор» a VII классе — № 5,
с. 52.
Якунина М. С. Зч’те'Н’песКое BB^WTsuwe иа уроках
математики — № 5 с 48.
Читатели вносят
Вишняцкая И. Г, Необходимо иль достаточно? —
№ 2, с. 48.
Галицкий М. Л. К доказательству теоремы о графи-
ках взаимно-обратных функций — № 2, с. 78.
Кириллов В. К. Элементы линейного программирова-
ния в школе — № 3, с. 36
Крючкова В. В. О работе над правописанием мате-
матических терминов — № 2, с. 49
Куваев М. Р., Поломошнова Р. С< Шамова Е. П. Об
оценке знаний учащихся — № 4, с. 52
Паравян Н. А. Выработка у школьников навыков ра-
боты с книгой — Na 2. с. 47.
Саранцев Г. И. К доказательству теоремы о свой-
стве биссектрисы угла — .Ne 2, с. 78.
Ясиновый Э. А. Об определениях, даваемых учени-
ками— № 3, с. 35.
В помощь преподавателям профтехучилищ
Пашкова Л. М. Об изучении математики па I—
П1 курсах средних профтехучилищ в 1982/83 учебном
году — № 4, с. 40.
Шамсутдинов М. М., Барболин М. Л. Межпредмет-
ные связи в средних ПТУ — № 4, с. 41.
О вступительных экзаменах в вузы в 1981 г.
Бокатуева С. А., Юдина В Б. Коломенский педаго-
гический институт — № 2, с. 63.
Вышенский В. А., Перестюк И. А., Самойленко А. М.
Киевский государственный университет им, Т Г Шев-
ченко— № 2, с. 59.
Галушкина Ю И., Тимохина А. О. Московский ор-
дена Трудового Красного Знамени технологический
институт пищевой промышленности — № 2, с. 64.
Гнеденко Б. В. Московский государственный универ-
ситет— № 2, с. 57.
Елизаветина Н В., Чернецов М, М, МГПИ
им. В. И. Ленина- № 1, с. 51
Канина Е. М„ Касимов Ш. К- Математический фа-
культет Кировского государственного педагогического
института ем В. И. Ленина — № 1. с, 53.
Майлиев Ш. М., Кыдырова Ы К Киргизский жен-
ский педагогический институт им. В. В. Маяковского —
№ 2. с. 64.
Одинцова Л. А. Математический факультет Барнауль-
ского государственного педагогического института —
№ 2, с. 62.
Ускова О. Ф., Семыкина Т Д Воронежский государ-
ственный университет им. Ленинского комсомола —
№ 1, с. 49.
Проблемы подготовки учителя мотематичи
Икрамов Д И Больше внимания спецкурсам по ме-
тодике преподавания математики—№ .4 о 56
Имоанов Б. Г. О подготовке будущего учителя к по-
литехническому обучению учащихся — № 3, с. 50.
Рыбников К. А. ОЗ историко-методологических осно-
вах математического образования учителей — №3, с 48.
По письмам читателей
Дорофеев Г. В. О правильности рассуждений и под-
робности изложения в решении задач — Ха 1, с. 44.
Сытина Т. Л. О требованиях к календарному плану.
О воспитательной работе нт. уроках математики —
№ 3, с. 38..
В помощь учителям №epwwx я заочных школ
Наспер Л. 3., Фомчеяке А. С. О преподавании ма-
тематики в IX—XI классах вечерней (сменной) школы
с заочной формой обучения — N° 6, с. 42.
VI Всесоюзные педагогические чтения
Айзенберг М. И.. Обучение учащихся методам само-
стоятельной работы с учебником и математической
книгой — № 6, с. 18.
Бабурова 3. Ф. Практические работы в IV—
VIII классах — № 5, с. 17.
Гайбулаев Н. Р. Повышение эффективности практи-
ческой деятельности учащихся при обучении матема-
тике — № 6, с. 22.
IIлларионова В. Р Активизация познавательной дея-
тельности учащихся в учебном процессе — № 6, с. 21.
Марон С. Е. Рациональное сочетание методов обуче-
ния математике — № 5, с. 10.
Окунев А. А. Развитие у учащихся способности
наблюдать и анализировать — № 5, с. 15.
Фирсов В. В. Пути повышения эффективности препо-
давания математики в современных условиях — № 5,
с. 8.
Учебное оборудование
Глазков Ю. А. Микрокалькулятор «Элек-роиика
МКШ-2»— № 1, обложка.
Камаев П. М., Левитас Г. Г. Учебное оборудование
для IX и X классов — № 3, с. 39.
Кузнецов Е. Ю. «Электроника МК-51»— № 5, об-
ложка.
Проводите:, конкурс—№ 6, обложка.
Сенников Г. П. Наглядные средства для изучения
геометрии в VI классе — № 5, с. 45.
Стадуб И. И. Трафарет- параболы и синусоиды —
№ 1, с. 71.
Цукарь А. Я. Электрифицированный полигон-трена-
жер «Прямоугольная система координат» — № 4, об-
ложка.
Шилов В. Ф.„ Исаев В. И. Демонстрация диапозити-
вов с помощью диапроектора ЛЭТИ — Ns 3, обложка.
Проблемы и суждения
Колмогоров А. Н. О понятии предела в общеобразо-
вательной школе — № 5, с 56.
Марнянский И А. К изучению определений — Я° 5,
с. 57
Мищенко А. С., Понтрягин Л. С О некоторых прин-
ципах преподавания математики в школе — № 2. с. 50.
Пешков К. И. и др О школьном учебнике матема-
тики — № 2, с. 52.
Эксперимент
Александров А. Д„ Вернер А. Л., Рыжик В. И.
О пробном учебнике «Начала етеоеометрии>—№ 4,
с. 53.
Виленкин Н Щ Моодкович А, Гч Суапшляев В. К.
78
О пробном учебник' для IX—X классов «Алгебра и
начала анализа» — № 3, с. 41.
Грузин А. И. Из опыта работы по пособию А. В. По-
горелова в VI—VII классах — № 1, с. 47.
Гуськов В А. О качестве усвоения и применения
определения функции — № 4, с. 58.
Ошмарина Т. К., Федорова Н. Е. Из опыта проведе-
ния итогового повторения курса алгебры VII класса —
№ 2, с. ?7.
Первин Ю. А. Некоторые дидактические механизмы
школьного курса программирования — № 3, с. 45.
Внеклассная работа
Абрамов А. М., Мишин В. И. XXII Международная
математическая олимпиада —№ 3, с. 63.
Гамидов С. С. Две практические задачи на деление
с остатком — Л i 6, с. 56.
Готман Э. Г. Задача о правильном шестиугольнике
и ее обобщение — № 6, <\ 54.
Кипнис И. М. Из опыта работы математического
кружка для старшеклассников — № 2, с. 68.
Кострикина Н. П. О задачах повышенной трудности
в учебнике для V класса — № 2, с. 66.
Крупин П. А. Задачи на принадлежность точек пря-
мой и плоскости — № 6, с. 51.
Купцов Л. П. и др. III тур Всероссийской олимпиа-
ды школьников по математике — № 5, с. 65.
Никулин Н. А., Колесников О. И., Банникова Л. П.
О графическом решении некоторых алгебраических
уравнений — Ab 1, с. 55.
Пономарев В. С. К решению задач иа построение
сечений — № 3, с. 67.
Пташник В. М. Математическая игра для IV=-
VI классов — Кв 6, с. 58.
Рафикова Ф. М. Научные конференции юных мате-
матиков— важный стимул творческой работы учяших-
ся — № 6, с. 57.
Сарычева Т. А., Нестеренко Ю. В. XVI Всесоюзная
математическая олимпиада — Кв 6, с. 46.
Савченко В. М. Обобщение одной задачи —Кв 1,
с. 56.
Сефибеков С. Р. Вычисление длины биодектрнсы
треугольника — Кв 5, с. 78.
Задачи
Кв 1 с. 57; Кв 2, с. 69; Кв 3, с. 56; Кв 4. г. 61; Кв 5.
с. 71; Кв 6, с. 61.
Дорофеев Г. В., Скопец 3. А. Замечанья к решениям
задач — Кв 1, с. 63; Кв 2, с. 74; № 3, с, 61_ № 5, с. 76;
Л" 6. с. 67.
В помощь решающим за>« ж
Губа С. Г. Разностный метод сумвгррования — Кв 2.
с. 76.
Кузнецова Л. И. Гомотетип и композиции гомотетий
плоскости и пространства — № 1, с 64.
Занимательная страница
Михайлов И. И. Числовые курьезы — Кв 6, с. 59.
Норов М. Интересные рек уррентные формулы —
Рекстш Э. Э Арифметический ребус — Кв 6, с. 61.
Рекстин Э. Э. Числовые ребусы — Кв 1, с. 65.
Семь жанровых задач — Кв 4, с. 72.
Тихомиров В. Т Треугольник нз последовательностей
натуральных чисел и нуля —№ 3, с. 69.
ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ
Андрей Андреевич Марков — Кв 1, обложка.
Дмитрий Александрович Граве — Кв 2, обложка.
Илья Несторович Векуа — Кв 2, обложка.
Кауфман А. М. Первая русская женщина-алгебрччст
Любовь Николаевна Запольская — Кв 1, с. 75.
Колмогоров А. Н. Ньютон и современное математи-
ческое мышление — Кв 5, с. 58.
Константин Эдуардович Циолковский — Кв 4, об-
ложка.
Николай Гурьевич Четаев — Кв 6 обложка.
Юрий Владимирович Лииник — № 5, обложка.
Математический календарь
На 1981/82 учебный год, март—апрель, Кв 1, облож-
ка; май — июнь — Кв 2, обложка; на 1982/83 учебный
год, июль — август — Кв 3, обложка; сентябрь — ок-
тябрь — Кв 4, обложка; ноябрь — декабрь — Кв 5, об-
ложка; январь — февраль — Кв 6, обложка.
Поздравляем юбиляров
Базылев В. Т„ Денисова Н. С. Левон Сергеевич Ата-
насян— № 1, с. 73.
ВолкоСавое В. Ф., Малыгин К- А. Николай Гаври-
лович Ованесов — Кв 1, с. 74.
Искандарян С. А., Мусаелян Р. А.. Абрамян А. В.
Асканаз Акопо1 ич Карташян — Кв 3, с. 77.
Колмогоров А. И- Залгаллер В. А. Леонид Виталье-
вич Канторович — Кв 2, с. 77.
Колмогоров А. Н„ Черкасов Р. С. Борис Владими-
рович Гнеденко — Кв 1, с. 72.
ч Кудрявцев С. В. и др. Юрий Николаевич Макары-
чев — Кв 5, с. 70.
Тайманов А. Д., Очиров М. Н., Костеев В. А. Базар
Содномович Содномов — Кв 6, с. 76.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Васильев Н. Б. Новая научпо-попглярпая серия —
Кв 3, с. 78.
Губа С. Г. О книге Б. А. Кордемского «Увлечь
школьников математикой» — Кв 6, с. 70.
Губа С. Г. О книге В. П. Труднева «Считай, сме-
кай, отгадывай» — № 1, с. 69.
Демидов С. С. О книге «Школьникам о математике
и математиках» — Кв 3, с. 80.
Клименченко Д. В. Полезные советы по решению
зада , — Кв 6, с. 71.
Марнянский И. А. Новое пособие для факультатив-
ных занятий в X классе — Кв 1, с. 67.
Молодший В. Н., Рузавин Г. И. Вопросы математи-
ки в трудах философских семинаров СО АН СССР —
Кв 6, с. 69.
Пичурин Л. Ф. О брошюрах серии «Математика, ки-
бернетика» издательства «Знание» — Кв 1, с. 68.
План изданий издательства «Педагогика» на 1983 г.—
Кв 4, с. 66.
Хабиб Р. А. План изданий издательства «Просве-
щение» на 1983 г.—Кв 4, с. 68.
Шустеф Ф. М. Новые книги — Кв 1, с. 70; Кв 3, с. 70;
Кв 4, с. 66; № 5, с. 35; № 6, с. 73.
Шу шанский Н. И. План изданий Главной редакции
физико-математической литературы издательства «Нау-
ка» на 1983 г.— Кв 4, с. 70.
ЗА РУБЕЖОМ
Бычков Б. П., Петрушин П. К. К 85-летню румын-
ского молодежного журнала «Gazeta matematica» —
Кв 4, с. 63.
Лахтинен В. Э. Система математического образова-
ния в Финляндии — Ns 3, с. 72.
Михайлов И. И. По страницам югославского физи-
ко-математического журнала для школьников — № 4,
с. 65.
70
Нгуен Ба Ким. Понятие функции в курсе математи-
ки вьетнамской школы — № 2, с. 79.
Халалайзер А. Я. Первый конгресс математиков
ГДР —№ 4, с. 62.
ХРОНИКА
Бирюков Б В., Гусев В. А., Столяр А. А. «Роль ло-
гики н кибернетики в профессиональной подготовке
учителях — № 1, с. 77.
Всесоюзная научно-практическая конференция по
марксистско-ленинскому образованию — № 3, с. 75.
VI Всесоюзные педагогические чтения — № 3, с. 76.
Гетманова А. Д. Всесоюзный семинар-совещание пре-
подавателей логики — № 6, с. 74.
Гуревич В. Ю., Живкова О. В. О работе научно-
практического семинара «Актуальные проблемы препо-
давания математики в средней школе» в 1980/31 учеб-
ном <юду — .Ns 1, с. 78
Ермольева Н. А. Англо-советский семинар по мате-
матическому образованию школьников — Кв 4, с. 73.
Лауреаты высоких премий 1981 г.— № 1, с. 5.
Макаров И. П.. Семенова И. И.. Замаховский М. П.
Совещание-семинар по вопросам преподавания мате-
матики в педагогических институтах — № 3, с. 74.
Меладзе В. Н. Республиканская конференция стар-
шеклассников — № 4, с. 78.
Немытова М. И. О работе семинара «Воспитание
логической культуры при обучении в школе» при НИИ
СиМО АПН СССР — № 6, с. 75.
Розов И. X В секции средней школы Московского
математического общества — № 4, 'с. 77.
Сорокин Б. В. Всесоюзное совещание-семинар — № 3,
с. 75.
Шапкина В. Н Научно-методический семинар «Пе-
редовые идеи в преподавании математики в СССР и за
рубежом» — № 6, с. 74.
Якунина М. С. XXII Республиканские педагогические
чтения в Казахстане — № 1, с. 78.
НЕКРОЛОГИ
Андрунакевич В. А., Белоусов В. Д., Барбул И. И.
Борис Павлович Бычков — № 4, с. 80.
Гнеденко Б. В. Александр Яковлевич Маргулис —
№ 1, с. 80.
Кухарь В. М. и др. Иван Евгеньевич Шиманский —
№ 4, с. 79.
Семей Алексеевич Пономарев — № 5, с. 79.
Скопец 3. А., Казанский В. П, Ягодовский М. И.
Владимир Михайлович Клопский — № 5, с. 80.
(Окончание. Начало см. на с. 68)
41, 42 4ч—ч7, 49 - 53, 55—58 60. Повелий В. И. (Ро-
вежкая обл.)—41, 42, 46, 47, 53, 54, 59. Полховский
И. Н. (г. Фергана)—46, 47, 49, 51—54, 57. Руч-
кяв Д. Д. (Марийская АССР)—41, 46, 47, 53, 55, 57.
Рытов Ч. Н. (Тамбовская обл.)—-41, 43, 46—48, 50, 52,
53. Сакас А. (г. Клайпеда) — 49—56. Симеонов А. А.
(Болгария, г. Свое)—53—55, 57—59. Станис Ю. В.
(Вилчпос)—41—44, 47, 51, 53, 55. Сысуев Г. Я- (Ха-
баровский край, с. Князе-Волконка)—41, 47, 53, 55.
Таймасханов У. Д. (Дагестанская АССР)—41, 42, 44,
46—55, 57. 58. Ткач К. Л. (Черкасская обл.)—41,44,47,
53. Трофимчук Ю. В. (Вннщщкая обл., г. Калиновка)—
41,42,47,49,51—53, 55. Фридлин Г. М. (г. Бердичев)—
41—44,46, 47,49—51, 53- -55 Хагабанов X. Т. (Кабардино-
Балкарская АССР) —41—44, 46, 49, 51, 53. Хизанишви-
ли Ц. И. (Тбилиси)—41, 44—47 50, 54. Цакоев Б. М.
(Рязанская обл.)—41, 42, 46—48, 51, 53, 55. Цветко-
ва П. П. (Болгария, г. Казанлык) —41, 42, 46, 47, 49,
51, 53, 55. Цхай Т. Т. (г. Андижан)—41—60. Шамсу-
динов X. X. (Дагестанская АССР)—41, 46, 47, 49, 51,
53—55. Шарипов А. Ш (Алма-Ата) — 41, 44, 53, 55.
Штогрин М. Ф. (Ивано-Франковская обл) —41,. 42, 46,
47. Юсупов С. (Хорезмская обл.)—41, 42, 44, 46—55.
Юшин Ю. Д. (Смоленская обл., г. Гагарин)—41, 42,
44—47, 49, 50, 53, 55. Яружин А. К. (Чувашская АССР,
г. Шумерля) — 41, 44—51, 53—56. 59.
Математические кружки: Бала-Кусарской ср. шк. Ку-
сарского р-на АзССР (рук. А. Б. Абдуррахманов) —
42, 49, 53, 55; Лежбадинской ср. шк. Марнеульского
р-на ГССР (рук. С. М. Айдамиров)—41, 46, 47, 53, 55;
Индустриально-технологического техникума г Иджева-
иа АрмССР (рук. 3. А. Алавердян) — 41 44, 47. 50, 51,
53; Пенсарской ср. шк. Астаринского р-на АзССР (рук.
А. Ю. Алиев) —41, 12. 47. 53- 55, 57, 58; Далляр-Джан-
гирской ср. шк. Шамхорского р-на АзССР (рук.
В. М. Алиев) — 41. 42, 47, 49, 53; 46-й шк. г. Мурман-
ска (рук. В. Е. Андреев)— 41—44 46—51. 53, 55;
Еленовский ср. шк. Кубинского р-на АзССР (рук А. М.
Асалиев)—41, 42, 44, 46— 48, 53; Серванской ср. шк.
Сальянского р-на АзССР (рук. А. М. Багиров) —41, 42,
47 50, 53, 55; ср. шк с. Верхне-Зейхур Кусарского р-на
АзССР (рук. Б. А. Бадамов)—41, 42, 47, 49—51, 53,
вечерней шк. сельской молодежи № 2t. Мархаматского
р-на Андижанской обл. (рук. О. X. Бакнров) — 41, 43,
53, 55; «Агат» г. Цхинвали ГССР (рук. Э. А. Бекоев) —
41, 42. 44, 45, 47, 49, 53—55; 94-й шк Киева (рук.
Е. Я. Грищенко)—41, 45—47, 53; Пиральской ср. шк.
Кусарского р-на АзССР (рук. X. Ш. Гусейнов)—41,
45—51, 53—56; 93-й шк. Киева (рук. М. Л. Кобозев) —
41, 42, 44—50, 53, 55; 206-й шк. Киева (рук. И. А. Куш-
ннр) —41, 47, 49—53, 55, 58: Калининской ср. шк. № 1
Гардабанского р-на ГССР (рук. И. М. Мамедов)—41,
47, 53, 55; 173-й шк. Киева (рук. М. А. Мартынец) —
41, 42, 44, 46—49, 51—55; Чучуленской ср. шк. Ниспо-
ренского р-на МССР (рук. В. Н. Мироника)—41, 42,
44, 49, 53 , 55; 7-х классов ср. шк. № 1 г. Купянска
Харьковской обл. (рук. Л. В. Мищук)—41, 42, 44, 45;
г. Рогачева Гомельской об., (рук. С. Л. Нахамчик) —
41, 42, 44—49, 51—53, 55, 57, 58; Новоивановской ср.
шк. Кедабекского р-на АзССР (рук. А. М. Оруджев) —
41, 47, 49, 53, 55; 25-й шк. Мархаматского р-на Анди-
жанской обл. (рук. X М. Салимов)—41, 47, 19, 51,
53—55; ср. шк. № 2 г. Мархамат Андижанской обч.
(рук. О. Сатторов) — 41, 47, 50, 53, 55; ср. шк. № 3
Элликкалинского р-на Каракалпакской АССР (рук.
Ж- Сейтов) — 41, 44, 47, 49, 53; Быстричской ср. шк.
Березновско-о р-на Ровенской обл. (рук. Ф. Г. Стах-
нюк) —41, 42, 46, 55; студентов I курса физмата Астра-
ханского пединститута (рук. С. С. Тасмуратов) — 41, 42,
44—58; Башской ср шк. Самтредского р-на ГССР
(рук. Л. Е Твалавадзе)—41. 42, 47, 48, 53. 55; 173-й
шк Киева (рук. Р. П. Ушаков)—41, 42. 44 — 58; Узде-
нобинской ср. шк. Кусарского р-на АзССР (рук. У. К.
Хнбабаев) —41. 44, 46, 49, 51, 53; ср. шк. с. Лядовены
Рышканскогд р-на МССР (рук. Г. М. Хзбэшеску) —
4i, $2, 44—49. 51, 53; 17-й шк. Киева (рук. А. П. Ша
пипе) — 41 42 44—47. 49—51. 53. 55. иефт^чалинской
ср шл 1 АзССР (рук. Б. X. Юсифов) — 41, 42, 44,
49, 53,
80
ПРОВОДИТСЯ КОНКУРС
Коммунистическая партия и Советское пра-
вительство уделяют большое внимание подго-
товке молодых квалифицированных рабочих
в профессионально-технических училищах,
где учащиеся наряду с овладением профес-
сией получают и общее среднее образование.
В обучении и воспитании учащихся особое
место занимают знания по естественно-мате-
матическим наукам, законы которых лежат в
основе всех производственно-технологических
процессов.
В совершенствовании преподавания пред-
метов естественно-математического цикла су-
щественное значение приобретают комплексы
средств обучения. Поэтому одной из основных
и долгосрочных проблем, которые решает
Всесоюзный научно-методический центр про-
фессионально-технического обучения молоде-
жи, является комплексное методическое обес-
печение учебно-воспитательного процесса.
Для привлечения широкого круга педаго-
гической общественности к решению этой
проблемы Государственный комитет СССР по
профессионально-техническому образованию,
Центральный совет Всесоюзного общества
изобретателей и рационализаторов и Всесо-
юзный совет научно-технических обществ в
соответствии с постановлением Президиума
ВЦСПС проводят Всесоюзный конкурс на
лучшие учебно-наглядные пособия и техниче-
ские средства обучения для учебных заведе-
ний профтехобразования.
Создание и внедрение новых средств обу-
чения позволит решить ряд вопросов, связан-
ных с активизацией работы учащихся в круж-
ках технического творчества и повышением
качества их знаний, умений и навыков.
На конкурс принимаются комплекты пла-
катов и транспарантов, кинофильмы, диа-
фильмы, серии диапозитивов, магнитные за-
писи, видеозаписи, разработки макетов, моде-
лей, муляжей, приспособлений к проекционной
и звуковоспроизводящей аппаратуре, пультов
дистанционного управления, рабочих мест
преподавателей, мнемосхем, динамических,
плакатов, устройств оперативного контроля1
знаний, а также методические разработки и.
другие дидактические материалы.
На каждую техническую разработку долж-
но быть представлено описание в двух эк-
земплярах, отпечатанное на машинке с при-
ложением иллюстраций, чертежей и схем.
Вместо образцов, которые не могут быть
представлены в натуральную величину, при-
сылаются их видовые фотографии размером1
13X18 см.
Для победителей конкурса установлены сле-
дующие премии: четыре первых по 500 р.; че-
тыре вторых по 300 р.; восемь третьих по-
200 р.; восемь поощрительных по 50 р.
Лучшие работы, отмеченные жюри конкур-
са, будут рекомендованы к опубликованию в
использованию в учебно-воспитательном про-
цессе.
За авторами премированных работ, вы-
полненных на уровне изобретений, сохраняет-
ся право на получение авторского свидетель-
ства и соответствующего вознаграждения со-
гласно действующему законодательству пси
изобретательству.
Разработки и материалы направляются по
адресу:
125319, Москва, ул. Черняховского, д. 9,.
Всесоюзный научно-методический центр про-
фессионально-технического обучения молоде-
жи.
Присылаемые материалы должны иметь
пометку «На конкурс ТСО» с указанием фа-
милии, имени, отчества и места работы ав-
тора.
Последний срок поступления работ—1 ян-
варя 1984 г.
Просим читателей журнала принять ак-
тивное участие в конкурсе. Желаем авторам
и авторским коллективам творческих успе-
хов.
Цена 45 коп.
Издательство
«Педагогика»
Москва
70557
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КАЛЕНДАРЬ НА 1982'83 УЧЕБНЫЙ ГОД
Январь
4 января — 340 лет со дня рождения
великого английского физика, мате-
матика и астронома Исаака Ньюто-
на (1643—1727). Родился в местечке
Вулсторп недалеко от Кембриджа,
обучался в Кембриджском универ-
ситете, где впоследствии работал
(1669—1695). В 1695 г. назначен
смотрителем, а в 1699 г. — директо-
ром Монетного двора в Лондоне.
С 1672 г. — член Лондонского коро-
левского общества, а с 1703 г.— его
президент. Вершина творчества
Ньютона — знаменитые «Математи-
ческие начала натуральной филосо-
фии» (1-е изд. 1687 г.), явившиеся
отправным пунктом всего математи-
ческого естествознания. В этой книге
он сформулировал основные поня-
тия и принципы классической меха-
ники, известные теперь каждому
школьнику как законы Ньютона, из-
ложил учение о всемирном тяготе-
нии. Среди наиболее известных ма-
тематических достижений Ньютона—
разработка (независимо от Г. Лейб-
ница) дифференциального и ин-
тегрального исчислений, важные ре-
зультаты в теории бесконечных ря-
дов в теории алгебраических урав-
нений, классификация кривых 3-го
порядка, интерполяционная «форму-
ла Ньютона» и др. (см.: БСЭ, 2-е и
3-е изд.; Вавилов С. И. Исаак Нью-
тон. М., 1961).
9 января — 60 лет со дня рождения
советского математика Василия Сер-
геевича Владимирова. Родился
в деревне Дяглево Ленинградской
области в семье крестьянина. Окон-
чил Ленинградский университет
(1948), доктор физико-математиче-
ских наук (1960), член-корреспон-
дент АН СССР (1968), академик
(1970). Участник Великой Отечест-
венной войны, член КПСС с 1944 г.
С 1948 г. работает в Математическом
институте им. В. А. Стеклова АН СССР,
Основные труды относятся к приб-
лиженным и численным методам,
математической физике и теории
функций. Создал метод численного
интегрирования уравнения переноса
по характеристикам, установил но-
вый вариационный принцип для од-
носкоростного уравнения переноса
(«вариационный принцип Владимиро-
ва»), ввел наилучшие граничные ус-
ловия в методе сферических гармо-
ник для выпуклых областей, иссле-
довал возможности применения
теории функций многих комплекс-
ных переменных к квантовой тео-
рии. Многие результаты его иссле-
дований изложены в книгах «Мето-
ды теории функций многих комп-
лексных переменных» (М., 1964),
«Уравнения математической физики»
(4-е изд. 1981 г.), «Обобщенные
функции в математической физике»
(М„ 1976). Научные достижения
В. С. Владимирова отмечены Госу-
дарственной премией СССР (1953),
именной Золотой медалью им.
А. М. Ляпунова; он награжден орде-
нами Ленина и Трудового Красного
Знамени, а также медалями (см.:
БСЭ, 3-е изд.; Дифференциальные
уравнения, 1973, 9, № 2).
19 января—150 лет со дня рожде-
ния немецкого математика Рудоль-
фа Фридриха Альфреда К л е б ш а
(1833—1872)—-одного из основателей
журнала «Математические анналы».
Основные его результаты относят-
ся к теории инвариантов алгебраи-
ческих форм, к проективной гео-
метрии, теории коннексов, вариа-
ционному исчислению и математи-
ческой физике.
25 января —140 лет со дня рожде-
ния немецкого математика члена
Берлинской АН и члена-корреспон-
дента Петербургской АН Карла
Германа Амандуса Шварца
(1843—1921)—одного из основате-
лей немецкого математического
союза и крупного специалиста в
теории функций и теории диффе-
ренциальных уравнений (см.: БСЭ,
2-е и 3-е изд.; Математика в школе,
1963, № 1).
26 января — 70 лет со дня рожде-
ния советского математика Якова
Васильевича Быкова. Родился в
деревне Торханы (ныне Чувашской
АССР), окончил Казанский универ-
ситет (1938), доктор физико-матема-
тических наук (1961), профессор
(1962), член-корреспондент АН Кир-
гизской ССР и заслуженный дея-
тель науки Киргизской ССР (1963).
Работал в Киргизии сначала в пед-
институте (1938—1951), затем в уни-
верситете (1951—1961), в АН
КиргССР (1961—1966). С 1966 г.—в
Краснодарском политехническом ин-
ституте. Основные результаты отно-
сятся к дифференциальным и инте-
гральным уравнениям и к функцио-
нальному анализу (см.: Математика
в школе, 1972, № 6).
Февраль
1 февраля—150 лет со дня рож-
дения Константина Дмитриевича
Краевича (1833—1892) — русского
физика и математика-педагога. Ро-
дился в селе Спасском (ныне Ор-
ловской области). Окончил Главный
педагогический институт в Петер-
бурге (1855). Преподавал в гимна-
зиях Москвы и Петербурга, в Глав-
ном инженерном училище. Горном
институте и в Морской академии.
Известен как выдающийся педагог,
автор многократно переиздававших-
ся учебников по алгебре, космо-
графии и физике. Издавал журнал
«Семья и школа» (см.: Матема-
тика в школе, 1966, № 6).
2 февраля — 80 лет со дня рожде-
ния голландского математика Барте-
ле Лендерта Ван-дер-Вардена.
Родился в Амстердаме. Работал в
различных университетах Германии,
в Голландии, а с 1951 г. — в Цюрих-
ском университете. Основные тру-
ды относятся к алгебраической гео-
метрии, алгебре и теории чисел, тео-
рии вероятностей и математической
статистике, геометрии и топологии,
а также к истории математики. Его
книга «Пробуждающаяся наука. Ма-
тематика древнего Египта, Вавилона
и Греции» издана в русском пере-
воде в 1959 г. (см.: БСЭ, 2-е и
3-е изд.; Математика в школе, 1972,
№ 6).
А. И. Бородин (г. Донецк)
Математика в школе, 1982, № 6, 1—80