/
Текст
В. А. ЕГОРОВ
Л. И. ГУСЕВ
ДИНАМИКА
ПЕРЕЛЕТОВ
МЕЖДУ ЗЕМЛЕЙ
И ЛУНОЙ
МЕХАНИКА
КОСМИЧЕСКОГО
ПОЛЕТА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1980
В. А. ЕГОРОВ, Л. И. ГУСЕВ
ДИНАМИКА
ПЕРЕЛЕТОВ
МЕЖДУ ЗЕМЛЕЙ
И ЛУНОЙ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1980
39.61
Е 30
УДК 629.78
Динамика перелетов между Землей и Луной. Егоров В. А.,
Гусев Л. И.— М.: Наука. Главная редакция физико-математи-
ческой литературы, 1980.— 544 с.
В книге систематизированно излагается динамика полета меж-
ду Землей и Лупой космических аппаратов с двигателями «боль-
шой» тяги (например, химическими). Сначала для ограниченной
круговой проблемы трех точек, в которой одна притягивающая
масса существенно меньше другой, развивается приближенный
метод точечной сферы действия. Далее этим и более точными ме-
тодами рассматриваются три траекторных задачи: достижения Лу-
ны, возвращения от Лупы к Земле и облета Луны. Вычисляются
(на ЭВМ) затраты характеристической скорости, необходимые для
перелетов между круговыми орбитами ИСЗ и ИСЛ по траекториям
с двумя активными участками. Решения задач и результаты мас-
совых траекторных расчетов представлены в обозримом виде, npji-
годном для практического использования.
Табл. 10, иля. 171. библ.
31902— 143 j (>8-80. 3607000000
053(02)-80
(^Издательство «Наука».
'-^Главная редакция
физико-математической
литературы, 1980.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие И
Введение...............................................................................................15
§ В.1. Об эпергетическол! подходе и методе игнорирова-
ния возмущений.....................................15
§ В.2. Метод точечной сферы действия...................................18
§ В.З. О литературе по методу точечной сферы действия 20
§ В.4. О методе скоростных многообразий .... 21
§ В.5. Замечание о методе долготной привязки ... 23
§ В.6. О некоторых методах теории возмущений . 23
§ В.7. О задачах минимизации характеристической ско-
рости перелетов....................................25
§ В.8. Краткий хронологический обзор литературы по
динамике полета между Землей и Луной . . 26
РАЗДЕЛ I
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ И НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
АНАЛИЗА ТРАЕКТОРИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ
КРУГОВОЙ ПРОБЛЕМЕ ТРЕХ ТОЧЕК
Глава 1. Основные траекторные задачи и уравнения дви-
жения .............................................35
§ 1.1. Краткая характеристика основных траекторных
задач.....................................35
§ 1.2. Требования к траекториям в связи с задачами по-
лета .............................................40
§ 1.3. Основные силы, действующие на КА .... 42
§ 1.4. Уравнения движения.......................45
Глава 2. Методы точного расчета траекторий .... 49
§ 2.1. О решении задачи Коши для уравнений движения 49
§ 2.2. Мет.од многих конических сечений .... 53
§ 2.3. Численное решение краевых задач ... 57
I л а в а 3. Необходимые минимальные скорости и невозмож-
ность захвата в ограниченной круговой задаче трех то-
чек ...............................................61
§ 3.1. Теоретическое решение вопроса о минимальных
начальных скоростях...............................61
G
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.2. Траектории с минимальной геоцентрической началь-
ной скоростью......................................68
§ 3.3. Невозможность захвата КА меньшей из притягива-
ющих масс прп достаточно малом отношении этих
масс........................................ .... 73
§ 3.4. Замечания ...... .... 82
Глава 4. Приближенное исследование траекторий сближе-
ния в ограниченной круговой задаче трех точек . . 86
§ 4.1. Применение метода игнорирования, возмущений к
траекториям сближения . ..........................86
§ 4.2. Анализ скоростных многообразий и переход к ме-
тоду точечной сферы действия......................93
§ 4.3. Анализ множества траекторий сближения методом
точечной сферы действия.........................106
§ 4.4. Метод скоростных многообразий ....'. 111
§ 4.5. Анализ линий постоянства наклонения, энергии,
кинетического момента и радиуса перицентрия
траекторий возвращения . ...............121
Г л а в а 5. Условие сопряжпмости движений к сфере дейст-
вия п от сферы действия в ограниченной круговой зада-
че трех точек.....................................129
§ 5.1. Критерий сопряжпмости и динамический смысл
условия сопряжпмости Тиссерапа...................129
§ 5.2. Расчет сопряжения движений методом точечной
сферы действия...................................133
§ 5.3 Сопряжение движений методом игнорирования воз-
мущений и точное сопряжение......................137
§ 5.4. Примеры приближенного и точного анализа неко-
торых характеристик траекторий перелета между
Землей и Лупой...............................142
Глава 6. Плоские задачи лунных перелетов . 154
§ 6.1. Попадание в Лупу...................154
§ 6.2. Облет Лупы с возвращением к Земле .... 162
§ 6.3. Облет Лупы с последующим пологим входом в.ат-
мосферу Земли • 169
§ 6.4. Задача о разгоне или торможении КА с помощью
Луны .... .....................171
РАЗДЕЛ II -
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ
Глава 7. Достижение Луны при старте с больших широт 175
§ 7.1. Особенности попадания в Луну с больших широт 176
§ 7.2. Характеристики траекторий попадания в Лупу с
заданной широты •......................................187
§ 7.3. Учет протяженности активного участка . . 195
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Глава 8. Энергетически оптимальные траектории достиже-
ния Луны с земной поверхности.................... 204
§ 8.1. Определение энергетических затрат, необходимых
для реализации заданных начальных данных . 204
§ 8.2. Характеристики попадающих в Луну траекторий с
фиксированным наклонением плоскости траекто-
рии к экватору.....................................207
§ 8.3. Определение оптимальных начальных данных при
фиксированном наклонении плоскости траектории
к экватору.........................................211
§ 8.4. Выбор энергетически оптимального наклонения
для траекторий северного типа..................215
§ 8.5. Выбор энергетически оптимального наклонения
для траекторий южного типа.........................221
Глава 9. Номинальные траектории достижения Луны с по-
верхности Земли и анализ влияния разброса начальных
данных..............................................227
§ 9.1. Приближенный расчет номинальной траектории
на основе долготной привязки ее концов . . . 227
§ 9.2. Решение задачи о точке встречи КА с Лупой при
фиксированном угле начальной скорости с транс-
версалью ..........................................230
§ 9.3. Выбор номинальной траектории с учетом прямой
видимости встречи с Луной из заданного пункта 234
§ 9.4. Расчет номинальной траектории попадания в Лу-
ну методом игнорирования возмущений . . . 240
§ 9.5. Расчет варьированных траекторий методом игно-
рирования возмущений . ...................248
§ 9.6. Влияние разброса начальных данных на точки
входа в сферу действия Луны....................253
§ 9.7. Влияние разброса начальных данных па точки
падения............................................259
Глава 10. Учет влияния второстепенных факторов . 269
§ 10.1. Анализ влияния Луны как материального тола 269
§ 10.2. Влияние эллиптичности орбиты Луны . . . 273
§ 10.3. Влияние сжатия Землп.............. . 275
§ 10.4. Влияние Солнца.................... . 280
Глава И. Траектории полета к Луне с орбиты спутника
Земли . . . . ............................286
§ 11.1. Особенности расчета запуска КА к Луне с орби-
ты ИСЗ..............................................286
§ 11.2. Расчет начального приближения методом дол-
готной привязки и пример расчета попадания
в заданную точку картинной плоскости у
Луны..........................................293
§ 11.3. Расчет траектории попадания в заданную точку
лунной поверхности ... ... 297
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
5 11.4. Расчет траекторий перелета с орбиты ИСЗ на ор-
биту ИСЛ.....................................301
§ 11.5. Приближенное вычисление характеристических
скоростей перелета между орбитами ИСЗ и ИСЛ
с учетом эллиптичности лунной орбиты . . 308
Глава 12. Посадка на поверхность Луны.................... 320
§ 12.1. Вертикальная посадка непосредственно с траек-
тории Земля — Луна............................... 321
§ 12.2. Выбор номинального направления тяги с учетом
невертикальности приближения к поверхности
Луны...............................................326
§ 12.3. Посадка на лунную поверхность с орбиты ИСЛ 329
РАЗДЕЛ III
ТРАЕКТОРИИ ВОЗВРАЩЕНИЯ ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
Глава 13. Номинальные траектории возвращения от Луны
к Земле............................................334
§ 13.1. Общая характеристика множества траекторий
возвращения........................................336
§ 13.2. Номинальные траектории возвращения различных
видов..............................................341
Г лава 14. Оптимизация одноимпульсного перехода с орби-
ты спутника на гиперболу с заданной скоростью «на бес-
конечности» .......................................350
§ 14.1. Постановка задачи оптимизации одноимпульсно-
го перехода с эллиптической орбиты на гипербо-
лическую ..........................................350
§ 14.2. Построение результирующего скоростного много-
образия ...........................................354
§ 14.3. Зависимость переходного импульса от положения
спутника на орбите и поворота орбиты в ее пло-
скости ............................................357
§ 14.4. Оптимизация поворота спутниковой орбиты в ее
плоскости при переходе на гиперболу . . 360
§ 14.5. Оптимизация положения спутника на орбите . 362
Г л а в а 15. Алгоритмы расчета, общие для задач возвраще-
ния с поверхности Луны и с орбиты ИСЛ .... 368
§ 15.1. Характеристика заданных в конце движения ус-
ловий и постановка краевой задачи .... 368
§ 15.2. Связь геоцентрической энергии со временем по-
лета ..............................................372
§ 15.3. Вычисление вектора скорости но заданным зна-
чениям энергии, высоты перигея, наклонения и
радиуса-вектора....................................374
§ 15.4. Начальное приближение для скорости «на бес-
конечности» 375
§ 15.5. Расчет перигейных параметров.378
ОГЛАВЛЕНИЕ
9
Глава 16. Частные алгоритмы в различных задачах возвра-
щения от Луны к Земле..................................379
§ 16.1. Решение внутренней задачи в импульсной поста-
новке .............................................379
§ 16.2. Решение внутренней задачи в точной постановке 381
§ 16.3. Стыковка внешней и внутренней задач путем ите-
раций .............................................383
§ 16.4. Два возможных метода вычисления начального
приближения для траектории возвращения . . 385
Глава 17. Стандартные краевые задачи расчета траекто-
рий возвращения.................................. • 388
§ 17.1. Две методические краевые задачи .... 389
5 17.2 . Проектная задача расчета возвращения при сво-
бодной’ долготе восходящего узла орбиты ИСЛ 392
§ 17.3. Краевая задача возвращения с заданной орбиты
ИСЛ.............................................. 394
§ 17.4. Краевая задача возвращения с поверхности Луны 397
Глава 18. Влияние разброса начальных данных на траек-
тории возвращения......................................401
§ 18.1. Предварительная оценка точности начальных
данных, необходимой для возвращения . . . 402
§ 18.2. Анализ отклоненных траекторий возвращения с
поверхности Луны...................................404
§ 18.3. Расчет и анализ отклоненных траекторий возвра-
щения с орбиты ИСЛ к Земле.........................414
РАЗДЕЛ IV
ТРАЕКТОРИИ ОБЛЕТА ЛУНЫ
Глава 19. Общий количественный анализ траекторий обле-
та Луны................................................421
§ 19.1. Постановка задачи облета Луны с различными
целями.............................................422
§ 19.2. Эволюция пучка начинающихся у Земли облет-
ных траекторий с изменением энергии . . . 425
§ 19.3. Анализ влияния невыполнения предположений
метода ТСД........................................ 433
§ 19.4. Сравнение результатов анализа траекторий сбли-
жения с Луной методами ТСД и ИВ .... 437
§ 19.0. Анализ некоторых общих свойств пучка облетпых
траекторий методом ТСД ....... 452
§ 19.6. Энергетические особенности облетпых траекторий 455
Глава 20. Приближенный анализ траекторий облета Лу-
ны с возвращением к Земле..........................’ . 461
§ 20.1. Траектории облета с возвращением к Земле в
целом........................................ ... 461
10
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 20.2. Траектории облета Лупы с заданными наклоне-
нием и радиусом перигея возвращения . . . 468
§ 20.3. Приближенный расчет параметров траектории об-
лета Лупы (с возвращением) за заданное время 472
Глава 21. Точных! расчет траекторий облета Луны с воз-
вращением к Земле.....................................476
§ 21.1. Применение критерия сопряжпмостп к точному
расчету облетных траекторий.......................47ц
§ 21.2. Постановки краевых задач точного расчета тра-
екторий облета....................................480
§ 21.3. Определение начальных приближении при реше-
нии задач облета Лупы в точной постановке 483
Г л а в а 22. Использование сближения с Луной для облег-
чения маневров различного назначения..................486
§ 22.1. Использование сближения с Лупой с целью раз-
гона КА без затрат топлива..................486
§ 22.2. Использование сближения с Лупой для запуска
стационарного ИСЗ............................... 494
§ 22.3. Приближенный анализ геоцентрических орбит,
получающихся после облета Лупы .... 499
Приложения ... ................ ...
Приложение 1. Об определении наклонения в диапазо-
не (--180°, +18(1°) и осп пучка (перигейного радиуса) 507
Приложение 2. Пересчет угловых элементов от плоско-
сти лунной орбиты к плоскости экватора и обратный пе-
ресчет ...............................................509
П р и л о ж сипе 3. Зависимость угловых элементов траек-
тории от долготы ее узла в плоскости лунной орбиты
при постоянном наклонении к экватору Земли . . . 511
Приложение 4. Пересчет географических параметров
движения КА в параметры, отнесенные к плоскости лун-
ной орбиты............................................515
При л о ж е и и е 5. Теорема..........................517
При л о ж е и и е 6. Точный расчет пассивных траекторий
перелета между Землей и Луной (задача Коши) . . 518
Приложение 7. Переход от кеплеровых элементов орби-
ты к декартовым координатам (ЭДК).....................519
Приложение 8. Переход от декартовых координат к кеп-
леровым элементам орбиты (ДКЭ)........................520
Приложение 9. Расчет параметров движения относи-
тельно поверхности Земли (Луны).......................521
Приложение 10. Погрешность расчета скорости методом
игнорирования возмущений.......................... . 522
Основные сокращения и обозначения .... . 526
Литература................................ . 530
Указатель имен и библиографических ссылок . . 539
Предметный указатель ... .... . 541
ПРЕДИСЛОВИЕ
За двадцать лет космической эры человечество до-
стигло больших успехов в реализации космических по-
летов. Автоматические космические аппараты (КА) были
посажены на Луну. Они под управлением с Земли иско-
лесили различные районы лунной поверхности, передавая
па Землю разнообразную информацию и, в частности,
снимки лунных пейзажей. Другие автоматические КА до-
ставили на Землю образцы грунта из разных точек лун-
ной поверхности. С помощью автоматических межпланет-
ных КА, посланных на Венеру и Марс, получена научная-
информация об атмосферах этих планет, а также об их
поверхности, в том числе — снимки пейзажей около то-
чек посадки. На пилотируемых КА не только освоены ор-
биты искусственных спутников Земли (ИСЗ) и Лупы
(ИСЛ), но и совершены экспедиции с высадкой па Лупо.
Интерес к Луне возрастает, в литературе все чаще появ-
ляются разнообразные проекты освоения и использования
Луны.
Практическому осуществлению полетов КА между
Землей и Луной предшествовала разработка разнообраз-
ных методов исследования траекторий полета. Применя-
емые КА снабжены обычно двигателями «большой» тя-
ги (использующими, например, химические топлива).
Действие этих двигателей относительно кратковременно,
и его обычно можно считать импульсным. Уже накоплен
большой методический материал и опыт расчета траек-
торий полета между Землей и Луной с двигателями боль-
12
ПРЕДИСЛОВИЕ
шой тяги. Он нашел отражение в многочисленных жур-
нальных статьях и в нескольких книгах.
Первая из этих книг [3—1964] является справочным
руководством, причем руководством по всем научно-тех-
ническим вопросам, связанным с реализацией полетов к
Луне, а не специально по динамике полета. Это руковод-
ство не издавалось в русском переводе. Вторая книга
[2—1965] была посвящена лишь одной задаче достижения
Луны и уже стала библиографической редкостью. Осталь-
ные книги [5-1966, 1 — 1970, 5-1971, 2—1972, 1-1976,
1 — 1980] посвящены общим вопросам теории полета и
проектирования КА, а не специально траекториям пере-
летов между Землей и Луной. Поэтому возникла необходи-
мость систематического изложения динамики таких пе-
релетов.
Настоящая книга посвящена анализу совокупностей
траекторий полета от Земли к Луне и от Луны к Земле,
анализу условий сопряжимостп двух траекторий пассивно-
го полета — к Лупе и от Луны — в одну траекторию и
анализу совокупности сопряженных траекторий. Пред-
лагаются машинные алгоритмы отыскания внутри каждой
из совокупностей единственной траектории с нужными
свойствами. Эти свойства чаще всего заданы в виде гео-
метрических, динамических и других условий, которые
удовлетворяются путем решения соответствующей крае-
вой задачи. В книге даются приближенные и точные ме-
тоды решения основных краевых задач. Рассматривается
вопрос о необходимых для перелетов затратах характе-
ристической скорости, указываются в основных случаях
параметры траекторий, для которых затраты минимальны.
Систематическое исследование траекторий полета к Лу-
не и влияния на них разброса начальных данных впервые
было проведено в Математическом институте АН СССР
в 1953—1955 гг. [1—1957]. Тогда же был разработан весь-
ма простой метод анализа траекторий сближения с Луной.
ПРЕДИСЛОВИЕ
13
В нем пренебрегается не только возмущениями от Лупы
вне ее сферы действия (СД) по отношению к Земле и от
Земли внутри этой сферы, но и размерами СД (для участ-
ков движения вне СД), так что его можно назвать мето-
дом точечной сферы действия (ТСД). Этот общий метод и
другие результаты по ограниченной круговой проблеме
трех точек рассматриваются в разделе I данной книги.
В нем же рассматриваются некоторые вопросы, носящие
вводный характер.
В раздел II книги вошли результаты систематического
исследования задачи достижения Луны, которое было про-
ведено в 1956—1958 гг. Частично они были доложены на
ежегодном собрании Американского ракетного общества
[2—1960] и на Всесоюзной конференции по общим и при-
кладным вопросам теоретической астрономии в 1961 г.,
позже они были опубликованы в виде книги [2—1965]
п представлены в докладе конгрессу МАФ в 1966 г.
В разделе III собраны результаты применения мето-
да ТСД и более точных методов к анализу совокупности
траекторий возвращения к Земле с поверхности Луны или
с орбиты ИСЛ. Эти результаты ранее публиковались в
статьях [1-1967, 1-1969, 1 — 1972, 2—1973, 1,2—1974,
1, 2—1975] и докладывались конгрессу МАФ в 1973 г.
Наконец, в разделе IV рассматривается траекторная
задача облета Луны. Излагаются методы и некоторые ре-
зультаты отыскания траекторий облета Луны с возвраще-
нием в атмосферу Земли или на орбиту стационарного
ИСЗ, облета с целью разгона (или торможения) КА воз-
мущениями от Луны (без помощи двигателя) и др.
Расчетные методы в данной книге излагаются с уче-
том требований автоматизации вычислений, а в приложе-
ниях к книге приведены примеры некоторых частных ал-
горитмов, многократно использовавшихся в машинных
программах отыскания и расчета траекторий в различных
задачах полета между Землей и Луной.
14
ПРЕДИСЛОВИЕ
Материал книги излагается достаточно подробно, так
что может быть использован как специалистами в области
механики космического полета, так и студентами-старше-
курсниками соответствующих специальностей. От читате-
ля требуется знание основ высшей математики и теорети-
ческой механики, а также знакомство с общим курсом
астрономии.
Главы 1, 2, И, 12, 17 и приложения 6—9 написаны
Л. И. Гусевым, главы 5, 16, 21 написаны совместно
Л. И. Гусевым и В. А. Егоровым, остальные главы, вве-
дение и приложения 1—5, 10 написаны В. А. Егоровым.
Авторы всегда будут глубоко благодарны М. В. Келды-
шу, по инициативе и при поддержке которого было начато
систематическое исследование траекторий полета к Луне,
а также С. П. Королеву и его сотрудникам, способствовав-
шим развитию этих исследований в практическом направ-
лении и опубликованию первой в СССР книги [2—1965]
по теории полета к Луне.
Авторы выражают признательность Д. Е. Охоцпмско-
му и Т. М. Энееву за обсуждение ряда результатов и
полезные замечания.
ВВЕДЕНИЕ
§ В.1. Об энергетическом подходе
и методе игнорирования возмущений
Систематическое исследование траекторий полета от
Земли к Луне КА с двигателями «большой» тяги было
начато в 1953 г. в Математическом институте АН СССР.
Рассматривались траектории достижения Луны или обле-
та ее с целью возвращения КА в атмосферу Земли или
разгона КА возмущениями от Луны [1, 2—1957]. Траек-
тории полета от Земли к Луне начинаются активным
участком у поверхности Земли или на орбите ИСЗ.
Позже стали рассматриваться и траектории возвраще-
ния (ТВ) от Луны к Земле. Начинаются они, аналогично
предыдущим, активным участком у поверхности Луны
или на орбите искусственного спутника Луны (ИСЛ).
Траектории достижения Луны кончаются активным
участком торможения у поверхности Луны или на орбите
ИСЛ. Траектории облета Луны кончаются пассивным тор-
можением в атмосфере Земли или активным участком
торможения на орбите ИСЗ. Таким образом, предполага-
ется, что перелет между Землей и Лупой происходит по
траектории с одним пли двумя короткими активными
участками большой тяги, расположенными, соответствен-
но, на одном или обоих концах траектории. Траектория
состоит в основном из одного пассивного участка (траек-
тории полета КА с двигателями «малой» тяги и вопросы
коррекции пассивного полета в книге не рассматри-
ваются).
Задача о траекториях пассивного полета между Землей
и Луной даже в простейшей постановке сводится [2—
1957] к классической ограниченной круговой проблеме
трех точек (т0 — Земля-, mL— Луна, то — КА), до сих
пор не имеющей эффективного общего решения. Поэтому
ВВЕДЕНИЕ
16
актуально качественное исследование тех свойств движе-
ния, которые можно установить, не имея общего решения
уравнений движения. Следуя Хиллу [1 —1877], можно
осуществить «энергетический» подход к задаче, используя
интеграл Якоби, который имеет место в системе коорди-
нат, вращающейся вместе с прямой Земля—Луна. Этот
подход позволил получить точное теоретическое решение
вопроса о минимальных начальных скоростях, необходи-
мых для достижения Луны [2—1957].
Однако фактическое определение траекторий с мини-
мальной начальной скоростью методом численного интег-
рирования (ЧИ) показало, что прежде чем достигнуть Лу-
ны, КА должен сделать вокруг Земли порядка 100 (и
более) оборотов. Поэтому теоретические минимальные на-
чальные скорости ие представляют практического
интереса.
Методом ЧИ было показано, что минимальные скорос-
ти, необходимые для достижения Луны на первом оборо-
те траектории вокруг Луны, можно вычислять в невраща-
ющейся геоцентрической системе координат (с точностью
порядка 1 м/с) из условия попадания в Луну, полностью
пренебрегая ее влиянием [2—1957].
Интеграл Якоби использовался также В. Г. Фесенко-
вым при выяснении вопроса о возможности захвата в
ограниченной круговой проблеме трех точек [1—1946].
С помощью результатов Хопфа [1—1930] можно прийти
к заключению, чт<1 множество траекторий в фазовом про-
странстве, про которые нельзя сказать, что они не отве-
чают захвату Луной КА, запущенного с Земли, имеет
лебегову меру нуль. Но важно знать, существует ли хоть
одна траектория, отвечающая захвату, или нет. Если она
существует, то, хотя ее исключительные начальные данные
невозможно реализовать в точности, все же, реализуя дос-
таточно близкие к ним данные, можно было бы получать
траектории, делающие сколь угодно большое количество
витков вокруг Луны, прежде чем удалиться от нее. Это
представляет интерес, например, для создания ИСЛ без
помощи двигателя.
Если, следуя В. Г. Фесенкову, сделать преобразование
интеграла Якоби из вращающейся системы координат
к невращающейся эгоцентрической системе (аналогично
тому, как Тиссеран [1—1896] делал такое преобразование
§ В-Ч
ОБ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ И МЕТОДЕ ИВ
17
к щс-центричеекой системе), то можно получить условие
невозможности захвата для достаточно малых ц = ць/цо,
где Ць и Pg — гравитационные параметры масс mL и цс
соответственно. Это условие пригодно лишь для значений
ц < 104 (а для системы Земля — Луна ц = ць/цс — 1/81
оно неприменимо [1 —1959]).
Однако невозможность захвата в системе Земля—Луна
удается доказать приближенным методом для траекто-
рий, начинающихся или кончающихся вблизи массы mG
(Земли) и па этом же обороте вокруг та сближающих-
ся с массой пгь (Луной). При этом считается, что сбли-
жение точки т0 с массой ть .имеет место, если траекто-
рия точки т0 пересекает сферу действия массы mL отно-
сительно массы та.
Сферу действия (СД) меньшей массы mL относитель-
но большей та в ограниченной круговой задаче трех
точек та, mL, т0 ввел в рассмотрение Лаплас [1—1805]
при анализе сближения кометы т0 с Юпитером mL, как
ть-центрическую сферу радиуса р = р*, внутри которой
целесообразно принять Юпитер mL за центральное
тело, а Солнце та — за возмущающее. Лаплас показал,
что если взять р*= rLp2/5, то на границе СД отношение
возмущающей силы к силе притяжения центрального
тела не зависит от того, какая из притягивающих масс
принята за центральную. Оно пропорционально ц1/5
[2—1937], т. е. убывает до нуля вместе с тъ/т0. С убы-
ванием р от р* до нуля это отношение также убывает
до нуля, причем весьма быстро — как (р/р*)3-
Поэтому единичное прохождение точки та через СД
массы mL можно анализировать приближенно: пренебре-
гая возмущениями от массы mL вне ее СД и возмуще-
ниями от массы та — внутри СД. Такой подход можно
назвать методом игнорирования возмущений (ИВ). Уточ-
ним теперь понятие траектории сближения точки с
массой mL. Далее этим термином будем называть такую
иг0-центрическую траекторию, по которой частица
то.на первом ее обороте вокруг массы mG проходит через
СД массы mL относительно массы mG с существенно ги-
перболической w-центрической скоростью. В рассматри-
ваемом приближении траектория <У^нженма__точки то
с массой mL состоит из трех коничевюЙ/'о&чеэий^ щдцргц
и^ь-центрического и двух т0-центрич|скцхл;',>?гз
2 В. Д. Егоров. Л. И, Гусев L.. И) *•’,••-••..ЛТДК7Д
18
ВВЕДЕНИЕ
Траекторию сближения ши с массой mL, начинающую-
ся (или кончающуюся) вблиз массы пгс, назовем тра-
екторией облета массы mL или облетной траекторией.
Здесь близость означает малость начального (или ко-
нечного) расстояния mcm0 по сравнению с расстоянием
mGmL.
Оказывается, что при mLhnG с 1 ^^центрическое дви-
жение по облетной траектории внутри СД является силь-
но гиперболичным [1—1959], так что облетная траектория
является частным случаем траектории сближения. Окрест-
ность границы СД проходится по облетной траектории
столь быстро, что влияние возмущения не успевает нако-
питься (несмотря на то, что в случае Луны и Земли отно-
шение возмущения к притяжению центрального тела на
СД достигает ~0,55). Поэтому захват КА Луной на об-
летной траектории оказывается невозможным.
§ В.2. Метод точечной сферы действия
Облетные траектории задачи Земля — Луна — КА бы-
ли систематически исследованы в 1953—1955 гг. методом,
в котором кроме возмущений пренебрегалось и некоторы-
ми другими второстепенными факторами [2—1957,
стр. 49] .Такими факторами в плоской задаче при фик-
сированных геоцентрических начальных данных (радиу-
се-векторе Г1, угле at вектора V! скорости с радиусом-век-
тором и величине V\ скорости, нс близкой к минималь-
ной) были следующие:
1) отличие геоцентрических радиусов гг точки входа в
СД и гД^г) Луны в момент t2 входа в СД [2—1957,
стр. 91, 97];
2) отличие векторов VL(^) и УД£з) скорости Луны в
моменты t2 входа в СД и t2 выхода из нее [2—1957,
стр. 96];
3) отличие геоцентрических радиусов гз точки выхода
из СД и Гь(^з) Луны в момент t2 выхода из СД [2—1957,
стр. 105].
То, что эти факторы действительно второстепенные,
т. е. не имеют принципиального значения в задачах
о траекториях сближения с Луной, проверялось и было
подтверждено более точными методами ИВ и численного
§ В.2]
МЕТОД ТОЧЕЧНОЙ СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ
19
интегрирования (ЧИ), причем как в плоском [1,2—19571
случае, так и в пространственном [2—1965], когда кроме
начальных данных ri, V\, ai фиксировано еще и наклоне-
ние й плоскости траектории КА к плоскости лунной
орбиты.
Предположение о возможности пренебрежения факто-
рами 1—3 эквивалентно предположению о пренебрежимой
малости радиуса р* СД по сравнению с расстоянием rL
между притягивающими телами ть, та. Поэтому метод
анализа траекторий сближения, основанный на пренебре-
жении не только возмущениями, но и вышеперечисленны-
ми тремя факторами, можно назвать методом точечной
сферы действия — ТСД.
Метод ТСД принципиально проще метода ИВ, посколь-
ку позволяет представлять тпс-цептрпческую траекторию
сближения с меньшей массой тпь лишь двумя дугами та-
центрических конических сечений. Эти дуги, соединяясь
концами в точке встречи с ть, образуют излом. Причем,
как и в методе ИВ, вектор тпс-центрической скорости V2
в конце первой дуги определяет вектор ть-центрической
скорости U2 = V2 — VL входа в СД, а вектор U3 шь-цент-
рической скорости выхода из СД в начале второй дуги
определяет вектор Шс-центрической выходной скорости
V3—U3 + V2. Здесь VL — скорость массы ть в момент
сближения. Величина и направление вектора V3 зависят
при фиксированных начальных энергии hi, величине Ci
вектора кинетического момента и наклонения й только
от выбора положения точки входа па СД. Это положение
определяется одной координатой (долготой) в плоском
случае и двумя (широтой п долготой) — в пространствен-
ном случае. Изменяя положение точки входа па СД, мож-
но получить в пространстве компонент вектора V3 соот-
ветственно одномерное или двумерное многообразие Sv то-
чек V3. Как показывается в разделе I, оно является (в
предположениях метода ТСД) частью окружности для
плоской задачи и частью сферы — для пространственной
(при начальных энергиях hi, не близких к минимальным,
ем. гл. 4). Поскольку при тс-центрическом рассмотрении
входная точка в методе ТСД считается совпадающей с
выходной, то вся совокупность движений от СД определя-
ется только многообразием выходных скоростей. При
этом каждому вектору V3 s соответствует единствен-
2*
20
ВВЕДЕНИЕ
ная траектория сближения. Анализ скоростных многооб-
разий Sy существенно упрощает решение задач о траекто-
риях возвращения от Луны к Земле (раздел III) и облета
Луны (раздел IV).
§ В.З. О литературе по методу точечной сферы
действия
Идея метода ТСД, т. е. пренебрежения размерами СД
с сохранением пересчета входных скоростей в выходные
на ее границе, впервые была применена в космической
баллистике, йо-видимому, Лоуденом [1, 2—1954], чтобы
оценить максимальное увеличение скорости гелиоцентри-
ческого движения возмущениями от планеты («пертурба-
ционный эффект»). Метод ТСД применялся для анализа
траекторий сближения с планетами и в последующих
работах [2—1956, 6—1959]. Особенно подробно рассмот-
рен методом ТСД выбор траекторий для облета планет в
работе Беттина [3—1959].
Для анализа траекторий полета к Луне метод ТСД
не применялся до работ [1,2—1957], в которых исследова-
ны погрешности этого метода на разных участках движе-
ния и тем самым обоснована применимость его к траекто-
риям сближения с Луной. Более того, эта применимость
подвергалась Беттином сомнению [5—1966, стр. 186] да-
же после того, как методом ТСД в сочетании с другими ме-
тодами был выполнен подробный анализ [2 —1965] зада-
чи достижения Луны (см. раздел II данной книги). Позже
в работах [3—1967, 5—1970] метод ТСД был предложен
как совершенно новый метод и успешно применен'для ре-
шения задачи облета Луны с возвращением в атмосферу
Земли (хотя и без геометрического анализа многообразия
выходных скоростей).
Затем методом ТСД была решена задача о траекториях
возвращения к Земле с поверхности Лупы и с орбиты
ИСЛ [1 —1967, 1 —1969] (см. раздел III данной книги).
Позже в работе [2—1970] было вновь предложено решать
задачу возвращения к Земле с поверхности Луны фак-
тически тем же методом ТСД (и опять он применялся
без геометрического анализа скоростных многообразий).
Еще позже авторами книги [1 —1976] метод ТСД был
назван ММСВ — «модифицированный метод сфер влия-
§ B.4J
О МЕТОДЕ СКОРОСТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
21
ния», а метод ИВ (игнорирования возмущений) был наз-
ван МСВ — «метод сфер влияния». Однако название «ме-
тод ИВ» представляется более отвечающим сути дела,
чем название МСВ, так как именно игнорированием воз-
мущений этот метод характерен и отличается от обычно-
го последовательного вычисления участков траектории по
сферам действия, которое со времен Лапласа астрономы
выполняли с учетом возмущений и которое с учетом воз-
мущений выполняется в методе асимптотических разложе-
ний [4, 5, 6—1963]. Аналогично название «метод ТСД»
больше раскрывает суть дела, чем название ММСВ.
Метод ТСД применим для получения приближенных
условий сопряжимости пары траекторий полета к массе
mL и от нее в одну траекторию сближения (начинающую-
ся не обязательно вблизи массы тс). Метод ТСД дает для
расчета таких траекторий исходное приближение, после-
довательно уточняемое методами ИВ и ЧИ так же, как
это делается для облетных траекторий в работах [1,2—
1957, 2—1965]. В частности, таким путем в разделе IV
находятся с заданной точностью траектории облета Луны
с возвращением к Земле.
§ В.4. О методе скоростных многообразий
Метод ТСД облегчает исследование совокупности тра-
екторий потому, что позволяет свести дело к анализу толь-
ко многообразий скоростей в характерных точках траек-
торий рассматриваемой совокупности, игнорируя разли-
чие радиусов-векторов в этих точках. Характерными точ-
ками для траекторий сближения с Луной считаются точки
входа и выхода траектории на СД. Рассмотрение такого
рода скоростных многообразий существенно облегчает ре-
шение не только задач перелета между Землей и Лупой,
но и. ряда* других задач космической баллистики.
Например, в задаче перелета между двумя фиксиро-
ванными точками — начальной А и конечной В — в поле
тяготения одного центра М многообразие S всех допусти-
мых начальных скоростей принадлежит гиперболе в евкли-
довом пространстве компонент начальной скорости (см.
§ 4.4). Одной асимптотой гиперболы является направле-
ние МА, а другой — А В, а величина и направление дей-
22
ВВЕДЕНИЕ
ствительной полуоси гиперболы — это просто величина
п направление минимальной скорости перелета.
В задаче достижения из заданной начальной точки А
заданного расстояния R от массы М можно также постро-
ить в евклидовом пространстве компонент начальной ско-
рости многообразие S, каждая точка которого является
концом вектора начальной скорости, дающего решение за-
-------------------------------------->•
дачи. Если заданное расстояние R> |Л/Л|, то оно дости-
--------------------------------------------------->•
гаетсяв апоцентрии траектории (га = 7?), а если R < IMAI,
то — в перицентрии = R. Соответствующее скоростное
-------------------------->•
многообразие S при R > |Ю1| есть эллипс, малая ось ко-
>
торого имеет направление радиуса МА. При R< |Ю1|
скоростное многообразие S является гиперболой, при-
>
чем по вектору МА направлена ее мнимая полуось (см.
§ 4.4).
Знание таких скоростных многообразий позволяет сво-
дить задачу минимизации затрат характеристической ско-
рости к задаче минимизации некоторого расстояния в про-
странстве скростей. Например, если в каждом из рассмот-
ренных выше трех случаев уже имеется в точке А неко-
торый вектор скорости VA, то минимальный импульс АГ
в точке А, необходимый для достижения радиуса гв в
первом случае, пли расстояния R> IMAI во втором слу-
чае, или расстояния R< |АМ| в третьем случае, будет
в евклидовом пространстве скоростей просто вектором
VAV2 минимальной длины, т. е. вектором, идущим от
заданной точки VA до ближайшей точки V2 одного
из трех рассмотренных выше скоростных многообра-
зий S.
Рассмотрение более сложных скоростных многообразий
позволяет решить и задачу об оптимизации перехода с
заданной эллиптической орбиты па гиперболическую с
заданным вектором скорости «па бесконечности» (см.
гл. 14). Таким образом, использование метода ТСД в за-
даче сближения с массой mL позволяет затем эффектив-
но применить и метод скоростных многообразий (прило-
жимый к гораздо более широкому кругу задач космичес-
кой баллистики).
§ В-61
О НЕКОТОРЫХ МЕТОДАХ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
23
§ В.5. Замечание о методе долготной привязки
Заметим, что при практическом вычислении траекторий
полета Земля—Луна (плп Луна —Земля) обычно заданы
число полных суток полета, высота перигея и трасса за-
пуска па земной поверхности (или трасса перпгейного
участка траектории возвращения). Это вычисление может
быть существенно облегчено, если в качестве одного из
условий, определяющих искомое решение, задано допол-
нительно время встречи КА с Лупой или полное время
облета Луны с возвращением к Земле, пли географиче-
кая долгота точки встречи с Луной (или начала траекто-
рии возвращения). Задание географических долгот на кон-
цах траектории эквивалентно заданию концевых момен-
тов времени, поскольку траектория перелета располага-
ется в одной плоскости, а зависимость геоцентрических
углов суточного вращения поверхности Земли и месячно-
го вращения центра Луны от времени заранее известна
(например, из Астрономического ежегодника СССР).
Такое задание времени полета почти точно фиксирует
полную геоцентрическую энергию перелета, что сущест-
венно сужает диапазон поиска всех параметров искомой
траектории. При этом энергия фиксируется тем точнее,
чем точнее реализуется заданная высота перигея. Исполь-
зование фиксированности концевой географической долго-
ты (или времени прохождения характерной точки иско-
мой траектории) для сокращения области поиска решения
можно назвать методом долготной привязки. Он был сна-
чала применен в пространственной задаче о точке встре-
чи с Луной для обеспечения возможности наблюдения
встречи из заданного пункта на земной поверхности [2—
19651, затем — в задачах о других перелетах между Зем-
лей и Луной [1—1974, 2—1975, 1—1979]. Примеры его
применения можно найти во всех разделах данной книги,
он используется вместе с методами ТСД и ИВ для вычис-
ления начального приближения в краевых задачах.
§ В.6. О некоторых методах теории возмущений
Уточнение результатов метода ТСД методами ИВ и ЧИ
оказывается практически более удобным, чем применение
Других методов теории возмущений, таких, например, как
Метод асимптотических разложений (АР) [4, 5, 6—1963]
24
ВВЕДЕНИЕ
и метод полпномной аппроксимации [4 —1967]. Для при-
менения методов теории возмущений необходимо [1 —
1956, 3—1972] наличие малого параметра в задаче. Таким
параметром для внешней задачи (о движении вне СД)
является отношение массы Луны к массе Земли, а для
внутренней задачи (о движении внутри СД) — отношение
радиуса этой сферы к расстоянию Луна — Земля.
В работах [4,5—1963] предлагается использовать для
представления решений асимптотические разложения, раз-
личные во внешней и внутренней задачах. Эти разложе-
ния «сращиваются» на СД с помощью обычных условий
пересчета для радиусов-векторов и векторов скорости на
границе СД. При этом краевые задачи сводятся к сис-
темам уравнений, более сложным, чем в методе ИВ. Они
недостаточно «прозрачны» (для анализа всей совокупнос-
ти траекторий), и для их применения необходимо исполь-
зовать ЭВМ [5—1963, 11—1970]. Несмотря на эти труд-
ности, в работах [4, 5, 6—1963] получены для траекторий
полета к Луне как качественные, так и количественные
результаты в ограниченной проблеме трех точек, причем
не только плоской, по и пространственной [6—1966].
С применением тех же идей рассмотрены также траекто-
рии возвращения от Луны к Земле со входом в атмосфе-
ру [6-1968, 7-1969].
К работам по методу АР примыкает работа-[4—1967],
где с помощью полиномных аппроксимаций всех функций
времени построена аналитическая теория движения КА к
Луне (и теория движения Луны) на коротких временных
интервалах. В качестве исходного приближения к траек-
ториям берутся невозмущенные кеплеровы орбиты. В ос-
нову теории положена регуляризация соударения в зада-
че двух тел, т. е. представление координат, компонент
скорости и времени в виде целых функций некоторой ре-
гуляризирующей независимой переменной. При построе-
нии теории возмущенного движения варьируемыми функ-
циями являются не кеплеровы элементы, а начальные
значения координат, компонент скорости и времени. Да-
ются формулы для вычисления возмущений почти пара-
болического и почти прямолинейного движений. Форму-
лы для возмущений от Луны вне ее СД составляют ана-
литическую теорию движения КА вне СД Луны. При
этом используется представление координат Луны
§ В.7]
МИНИМИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ 25
полиномами сначала от времени, а затем — от регуляри-
зирующей переменной. Формулы для возмущений от Зем-
ли внутри СД Луны составляют аналитическую теорию
движения КА внутри СД Луны (и позволяют также вы-
числять возмущения от любого удаленного тела).
Хотя работа ;[4—1967] представляет несомненный тео-
ретический интерес, а ее метод расчета движения дает
выигрыш во времени по сравнению с методом ЧИ, одна-
ко ее формулы еще более громоздки и трудны для про-
граммирования и отладки, чем формулы метода АР. По-
этому методы работы [4—1967] не нашли столь широкого
практического применения, как методы ТСД, ИВ и ЧИ.
§ В.7. О задачах минимизации
характеристической скорости перелетов
Задача отыскания таких траекторий перелета Зем-
ля — Луна, для которых затраты характеристической
скорости минимальны, до сих пор в общем виде не ре-
шена. Не решена в общем виде и более простая задача
минимизации характеристической скорости перехода меж-
ду орбитами в поле тяготения одного тела. Общая по-
становка этих задач, как вариационных [3—1969], [4—
1971], имеется в книгах [4—1975, 1 —1976] и статье [1—
1979], посвященных оптимизации маневра КА, там же
приводятся основные результаты, полученные в этой об-
ласти. Поскольку вариационные задачи минимизации за-
трат характеристической скорости на перелеты между
Землей и Луной не решены, то представляют интерес
оценки (вроде [1 —1975]) превышения затрат над мини-
мальными при использовании двухимпульсного перелета
между орбитами ИСЗ и ИСЛ, а также решение отдель-
ных задач параметрической минимизации затрат. Это,
например, задачи оптимизации:
1) непрерывного активного участка выведения КА
с заданной широты земной поверхности на траекторию
достижения Луны [2—1965];
2) одноимпульсного возвращения к Земле с орбиты
ИСЛ [1-1972];
3) трехимпульсного перелета орбита ИСЗ — орбита
ИСЛ — атмосфера Земли [1 —1976];
4) двухимпульсного перелета между орбитами ИСЗ
и ИСЛ [1-1974, 2-1975];
26
ВВЕДЕНИЕ
5) двухимпульсного перехода с низкой орбиты ИСЗ
на геостационарную орбиту с использованием облета Лу-
ны [3—1971].
Решение первой задачи приводится в главе 8 данной
книги. В основе второй и третьей задач лежит оптими-
зация перехода с орбиты ИСЛ на гиперболу (для возвра-
щения к Земле). Для случая круговой орбиты ИСЛ эта
оптимизация проведена в работе [2—1971], для случая
эллиптической — в работе [1—1972]. Последние резуль-
таты приведены в главе 14 данной книги. Некоторые ре-
зультаты по четвертой задаче приведены в главе 11,
а по пятой — в главе 22 данной книги. Параметрическая
оптимизация окололунных маневров рассматривается
также в работах [3—1961, 21,22—1963, 6—1964, 8,9—
1966, 7-1968, 5,6-1969, 12-1970].
§ В.8. Краткий хронологический обзор литературы
по динамике полета между Землей и Луной
Перечислим или упомянем кратко (не претендуя на
полноту) сначала работы о перелетах между Землей и
Луной более общего характера, а затем — по основным
частным задачам перелета между Землей и Луной: до-
стижения Луны, возвращения от Луны к Земле и облета
Луны.
Общие соображения и результаты, относящиеся к око-
лолунным траекториям различного назначения, приводят-
ся в работах [8—1957] и [7—1959], причем в работе
[8—1957] наряду с другими вопросами исследуется влия-
ние изменения начальных данных на траекторию, в част-
ности, находятся производные от параметров селеноцент-
рического движения по начальным данным. Эти произ-
водные рассматриваются также в работах [1,2—1957],
как в задаче достижения Луны, так и в задачах облета
Луны с различными целями. В книге [3—1960] рассмат-
риваются траекторные вопросы и другие аспекты задач
полета к Луне. В частности, там излагаются основные
результаты работ [1,2—1957]. О трудностях орбиталь-
ной сборки и запуска КА при полетах к Луне с различ-
ными целями трактуется в работе [3—1962].
В работах [3—1961, 8,9—1963] рассматривается со-
вокупность задач, связанных с полетом экспедиции на
s B.8] ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ 27
поверхность Луны или на орбиту ИСЛ (и обратно), про-
изводятся, в частности, выбор номинальных траекторий
и анализ влияния разброса начальных данных на раз-
личных участках полета. К этим работам примыкают
работы [15,16—1963], рассматривающие траекторные и
другие вопросы аварийного возвращения экспедиции на
Землю с различных участков траектории полета к Луне,
а также работа [2—1963], в которой на основе метода
ИВ разрабатывается система диаграмм, позволяющих до-
вольно просто рассчитывать различные маневры, такие
как полет к Луне с возвращением, переход с гиперболи-
ческой селеноцентрической орбиты на орбиту ИСЛ и т. д.
В работах [4,5—1962] рассматриваются общие свой-
ства различных траекторий полета к Луне, главным об-
разом в плоскости ее орбиты. Общие вопросы динамики
полета КА между Землей и Лупой, траекторные харак-
теристики и ограничения рассматриваются в «Руковод-
стве по полетам к Луне» [3—1964]. Оценки необходимых
затрат характеристической скорости па различных эта-
пах реализации экспедиции па Лупу и соответствующие
требования к двигательным установкам анализируются
в работе [6—1965]. В книгах [5—1966, 7—1970, 5—1971,
2—1972, 5 —1974, 1,2—1976], где рассматриваются основ-
ные задачи и общие методы механики космического по-
лета, излагаются, в частности, приложения этих методов
к задачам расчета траекторий и характеристических ско-
ростей перелета между Землей и Луной, посадки на Лу-
ну, выхода па орбиту ИСЛ и др.
Работ по проблеме достижения Луны больше, чем по
проблемам возвращения отЛупы к Земле и облета Лупы.
Первой, по-видимому, является работа [2—1956], где бы-
ли рассмотрены некоторые траекторные вопросы, связан-
ные с созданием ИСЛ. Задача перелета Земля—-Луна
рассматривается теоретически в работе [9—1957] в пред-
положениях ограниченной круговой проблемы трех точек.
Задаче достижения Луны посвящены также работы
[1,2,3—1958], причем в работе [2—1958] проведено
сравнение плоской и пространственной задач, а в работе
[3-1958] рассмотрен вопрос о влиянии разброса началь-
ных данных для некоторых видов пространственных
траекторий. Более подробно пространственная задача по-
лета к Луне рассмотрена в работах [4—1958, 2,5—1959],
28
ВВЕДЕНИЕ
причем в работе [4—1958] показано, что для анализа ор-
бит весьма существенны ограничения, определяемые на-
значением орбиты.
В работе [2—1959] предлагается приближенное ана-
литическое рассмотрение трехмерных траекторий, кото-
рое позволяет графически построить семейства траектор-
ных характеристик, выяснить взаимосвязь определяющих
параметров и ограничений, оценить влияние разброса на-
чальных данных. Рассматриваются также вопросы созда-
ния ИСЛ и мягкой посадки на лунную поверхность.
В работе [5—1959] результаты приближенного аналити-
ческого изучения пространственных траекторий полета
к Лупе сравниваются с численными, причем выясняется
удовлетворительная точность приближенного анализа.
В работе [8—1959] успешно применен метод ИВ. Он по-
зволил вычислить номограммы для быстрого определения
мгновенного положения летящего к Лупе КА. Этот ме-
тод позволил также указать последовательность прибли-
женных операций (с графиками и формулами) для вы-
бора траекторий полета к Луне (или обратно) с учетом
ограничений геометрических (например, фиксированность
азимута запуска), динамических (например, фиксирован-
ность времени полета) и других.
В работе [6 —1960] методом ИВ получены прибли-
женные формулы для решения задачи об определении
точки встречи с Луной и момента запуска при различ-
ных условиях. Траектории полета к Лупе с различными
целями исследовались в работах [1,4 — 1960] и [3,4 —
1961], причем в работе [1 —1960] рассматриваются тра-
екторные вопросы, связанные с созданием ИСЛ с целью
охвата фотографированием всей лунной поверхности,
а в работе [4—1961] дается способ поиска траекторий
заданного назначения. В работе [4—1960] численно оп-
ределяются траектории полета с эллиптическими и ги-
перболическими начальными скоростями, причем рас-
сматривается применение тормозных ракет для перехода
на орбиту ИСЛ и для возвращения к Земле.
Задача точного расчета пассивного участка траекто-
рии полета к Луне, т. е. с учетом не только притяжения
Земли и Луны, но и влияния возмущений от Солнца,
атмосферы Земли, сжатия Земли и т. д., рассматривается
в работе [2—1962]. Предлагается экономный метод чис-
§ В.8]
ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
29
ленного интегрирования уравнений движения с учетом
всех возмущений, которые исследователь сочтет сущест-
венными.
Из работ 1963 г., кроме уже упоминавшихся [4,6 —
£963], отметим работу [3—1963], в которой с помощью
расчета па ЭВМ траекторий полета к Луне исследуется
влияние ошибок начальных данных и эффективность
различных видов коррекции траекторий. В работе [10—
1963] рассматривается задача запуска КА па вытяну-
тую эллиптическую орбиту. Эта задача является энерге-
тически более легкой, чем запуск ИСЛ на низкие круго-
вые орбиты. В работе [11 —1963] делается обзор траек-
торий полета к Лупе, дается одна из возможных их
классификаций. В работе [4—1964] предлагается способ
графического отображения траекторий полета к Луне.
В работах [5—1964, 7—1965] рассматривается в рамках
ограниченной круговой проблемы трех тел семейство
траекторий соударения точки нулевой массы с притяги-
вающими массами. Применяется регуляризация уравне-
ний движения, позволяющая повысить точность расчета
параметров движения вблизи соударения и рассмотреть
последовательность соударений па одной траектории.
Различные методы учета возмущений при расчете траек-
торий полета к Лупе сравниваются в работе [7—1965].
В 1965 г. вышла книга [2 —1965], в которой метода-
ми ИВ и ТСД рассмотрены траектории достижения Лу-
ны с высоких географических широт, влияние разброса
начальных данных па эти траектории и влияние второ-
степенных факторов — эллиптичности орбиты Луны, воз-
мущений от Солнца и др. (см. раздел II данной книги).
К уже упоминавшейся работе [6 — 1966] по примене-
нию метода АР в пространственной задаче полета к Лу-
не примыкает численный анализ [8—1969] задачи тем
же методом. В работе [6 —1967] предлагается регуляри-
зация задачи в случае тесного сближения КА с Луной.
Отметим еще работы [7—1966, 7—1968, 6—1970, 1 —
1974, 1,2—1975, 1 —1979], посвященные анализу траек-
торий и энергетических затрат, необходимых для полета от
Земли к Луне или от Луны к Земле при различных огра-
ничениях. В них рассматривается задача минимизации
характеристических скоростей, находятся соответствую-
щие условия оптимальности траекторий, а в некоторых
30
ВВЕДЕНИЕ
случаях и сами оптимальные траектории. Схема полета
обычно задается. Исключением являются работы
[1—1975, 1—1979], где ставится задача минимизации ха-
рактеристической скорости перелета выбором величины
и направления тяги вдоль всей траектории. Эта вариа-
ционная задача решается методом достаточных условий
В. Ф. Кротова [5—1975].
Задача, возвращения от Лупы к Земле стала рассмат-
риваться в литературе, естественно, позже, чем задача
достижения Луны. В первых работах [6—1962, 12—1963]
находятся поминальные (расчетные) траектории возвра-
щения (ТВ), рассматривается влияние выбора парамет-
ров движения около Лупы па эти траектории и, в част-
ности, па характеристики входа этих траекторий в. зем-
ную атмосферу.
Работы [13,14.—1963] посвящены различным аспек-
там проблемы возвращения лунной экспедиции на Зем-
лю. В них не только анализируются характеристики ТВ,
ио и рассматриваются вопросы управления и' контроля
движения наземными станциями командно-измерительно-
го комплекса.
В работе [1 —1967] рассматривается множество ТВ
к Земле с поверхности Луны или с низкой орбиты ИСЛ
методом ТСД (с анализом скоростных многообразий).
Тем же методом оценивается влияние разброса началь-
ных данных. На основании этих результатов в работе
[1 —1969] находятся с помощью ЭВМ производные пара-
метров ТВ по начальным данным, как для крутого, так
п для пологого возвращения в земную атмосферу (см.
раздел III данной книги).
В работе [6—1968] пространственная задача о ТВ
рассматривается методом ЛР. Результаты этой работы
используются в [7—1969] для создания быстродействую-
щей методики массового расчета ТВ, а также в работе
[11—1970]—для разработки численного метода решения
двухточечной краевой задачи отыскания ТВ (кроме того,
в работе [11—1970] сравниваются точности различных
методов расчета перелетов Земля — Луна).
В работах [2,6—1970] ТВ от Луны в атмосферу Зем-
ли рассматриваются методом ТСД. В первой работе рас-
сматривается возвращение с поверхности Луны, находят-
ся области, из которых возвращение возможно, и необхо-
§ B.8J
ХРОНОЛОГИЧЕСКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
31
дцмые энергетические затраты. При однократном погру-
жении в атмосферу Земли оценивается достижимая об-
ласть географических широт точек посадки. Во второй
работе задача о ТВ с орбиты ИСЛ в атмосферу Земли
решается наряду с задачей иолета к Лупе (точнее, с за-
дачей перелета с круговой орбиты ИСЗ на круговую ор-
биту ИСЛ). В задаче возвращения к Земле с круговой
или околокруговой орбиты ИСЛ проведена оптимизация
одноимпульсного перехода на ТВ.
Задача возвращения с произвольной орбиты ИСЛ
к Земле рассмотрена в работах [1—1972 и 2—1973],
причем в первой из них методами ТСД и скоростных
многообразий решена задача оптимизации одноимпульс-
ного перехода с эллиптической орбиты на гиперболиче-
скую с заданным вектором скорости «на бесконечности».
Во второй работе это решение использовано в итераци-
онном алгоритме выбора энергетически оптимальной ТВ
с заданной орбиты ИСЛ на заданную трассу спуска
в земной атмосфере (см. раздел III данной книги).
Проблеме возвращения КА с поверхности Луны на
Землю посвящены работы [1,5—1973]. В них развива-
ются результаты работы [1 —1967], причем применя-
ются для анализа траекторий, начальные участки ко-
торых близки к лунной' вертикали в точке старта. Для
этих траекторий приближенно определяются как пара-
метры прицеливания, так и геометрические характери-
стики движения относительно Лупы и относительно
Земли.
Наконец, в работе [1—1974] рассматриваются пере-
леты между орбитами ИСЛ и ИСЗ (и обратно) с исполь-
зованием методов ТСД -и ЧИ. Массовыми численными
расчетами на ЭВМ находятся некоторые геометрические
характеристики многообразия скоростей на СД Луны и
характеристические скорости одноимпульсного маневра
перехода с орбиты ИСЛ на траекторию Луна — Земля,
а также с орбиты ИСЗ па траекторию Земля —- Луна и
с траектории Земля — Луна — па орбиту ИСЛ (см. раз-
делы II и III данной книги).
По задаче облета Луны литература богаче, чем по
задаче возвращения от Луны к Земле. Объясняется это
двумя обстоятельствами. С одной стороны, энергетиче-
ские затраты, необходимые для облета Луны, близки
32
ВВЕДЕНИЕ
к затратам, необходимым для достижения Луны. С дру-
гой стороны, облетные траектории весьма разнообразны.
К ним, в частности, относятся траектории, на которых
с КА видна сторона Луны, невидимая с Земли, траек-
тории, по которым КА после сближения с Луной воз-
вращается к Земле в ее атмосферу или на орбиту ИСЗ
(например, стационарного ИСЗ). К ним относятся и тра-
ектории разгона КА Луной для полета за пределы СД
Земли относительно Солнца, и траектории возвращения
КА к Земле после межпланетного полета с торможением
Луной в ее СД скорости относительно Земли и др.
Принципиальное значение имели работы [5,6—1957],
в которых впервые была показана возможность облета
Луны с возвращением к Земле. Соответствующие одиноч-
ные траектории были получены численным интегрирова-
нием уравнений плоской ограниченной круговой задачи
трех тел и были симметричными. Однако интересно было
выяснить, какие вообще траектории облета Луны возмож-
ны, и дать их классификацию. Это было сделано для
плоской задачи в работах [1, 2—1957], где из общей за-
дачи облета методом ТСД и массовыми расчетами на
ЭВМ были выделены задачи облета с пологим входом
в атмосферу Земли, периодического облета Земли и Лу-
ны, ,а также разгона (или торможения) КА Луной без
использования двигателя.
В работах [5—1958] и [9—1959] было продолжено
изучение одиночных траекторий облета Луны с возвра-
щением к Земле. В работе [5—1960] в рамках ограни-
ченной круговой пространственной задачи трех тел рас-
смотрены траектории облета с помощью соображений
симметрии и обратимости движения в небесной механи-
ке. В системе координат, вращающейся вместе с прямой
Земля — Луна, проведен анализ различных траекторий
сближения с Луной, симметричных относительно этой
прямой или относительно плоскости, проходящей через
эту прямую перпендикулярно к плоскости лунной
орбиты.
В работах [3—1961, 7—1962] рассмотрены траекто-
рии КА, облетающего Луну с экипажем на борту, и ма-
невры перехода на ТВ к Земле из различных точек об-
летных траекторий. Максимальное количество работ по
траекториям перелетов между Землей и Луной, в том
33
хронологический обзор литературы
§ в.8]
числе облетным, приходится на 1963 г. В них развива-
ются общие численные методы поиска и расчета облет-
ных траекторий на ЭВМ [17,18—1963], практические
методы определения наиболее удобных дат запуска
с учетом фиксированности трассы (т. е. точки и азиму-
та) запуска па Земле и других существенных для прак-
тики ограничений, например энергетических, геометриче-
ских и т. д. [19,20—1963]. Эти ограничения, с одной сто-
роны, сужают область поиска, а с другой — усложняют
вычислительные алгоритмы.
В работе [2—1964] исследована на ЭВМ методом ИВ
в рамках ограниченной круговой проблемы трех тел со-
вокупность траекторий сближения с Луной для двух зна-
чений начальной энергии и трех значений начального
наклонения. Результаты представлены графически в обо-
зримом виде на картинной плоскости (плоскости двух
компонент вектора прицельной дальности). В разделе IV
данной книги показано, как эти результаты можно по-
лучить путем геометрического анализа скоростных мно-
гообразий, получаемых с помощью метода ТСД.
Работа [4—1965] также посвящена численному иссле-
дованию траекторий облета Луны путем решения соот-
ветствующих краевых задач на ЭВМ. В ней выясняется
что обычные методы решения краевых задач для задачи
облета малопригодны, так как классы близких к Луне
облетных траекторий отвечают очень узким диапазонам
начальных данных, причем при изменении начальных
данных в этих диапазонах характеристики прохождения
траекторий около Луны изменяются очень нелинейно.
В работе [5—1967] тоже приводятся результаты мас-
совых расчетов облетных траекторий на ЭВМ с учетом
дополнительных ограничений практического характера.
Разработаны способы для обозримого представления этих
результатов на графиках. Наиболее полно задача облета
Луны с возвращением в атмосферу Земли рассмотрена
в цикле работ [3—1967, 3—1968, 4—1973, 1—1976] ме-
тодом ТСД. Об этом в книге [1—1976, стр. 497] авторы
пишут: «В работах В. А. Ильина [4—1973, 3—1968, 3—
1967] рассматривается приближенный метод синтеза тра-
екторий близкого облета Луны с возвращением в атмо-
сферу Земли. На основе разработанного метода в работе
В- А. Ильина, В. В. Демешкиной, Н. А. Истомина [5—
О
° в. А. Егоров, Л. И, Гусев
34
ВВЕДЕНИЕ
1970] проведено систематическое параметрическое иссле-
дование пространственных траекторий близкого облета
Луны с возвращением в атмосферу Земли»1).
В работах [3—1971, 4—1975] предлагается применить
облет Луны с возвращением па орбиту стационарного
ИСЗ для одноимпульсного перевода КА на эту орбиту.
Показывается, что если запуск КА производится с низ-
кой орбиты ИСЗ достаточно большого наклонения (более
30°), то предлагаемая траектория перехода на геоста-
ционарную орбиту ИСЗ энергетически выгоднее, чем
обычные [4—1969] двух- и трехимпульсные траектории.
Начальное приближение находится методом ТСД, произ-
водится сравнение результатов приближенного и точного
решений для конкретной даты облета.
Наконец, в работе [3—1975] метод ТСД применяется
для поиска начального приближения в точной краевой
задаче вычисления траектории облета, удовлетворяющей
ряду условий, обеспечивающих единственность решения.
Заканчивая этот не претендующий на полноту обзор
литературы, заметим, что в конце книги [1—1976] при-
ведена богатая библиография (около 400 наименований)
по механике космического полета вообще и по теории
полета к Луне — в частности.
См. по поводу этого метода п. В.З.
РАЗДЕЛ I
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ И НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
АНАЛИЗА ТРАЕКТОРИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ
КРУГОВОЙ ПРОБЛЕМЕ ТРЕХ ТОЧЕК
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ТРАЕКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ
И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Астрономическая справка (2—1961,
стр. 211). Естественный спутник Земли Луна имеет ор-
биту, близкую к круговой,— эксцентриситет ее не пре-
восходит 0,0715. Плоскость этой орбиты наклонена к
эклиптике на угол, колеблющийся между пределами,
близкими к 5° и 5°,3 с периодом около 173 сут., а ее
линия узлов (линия пересечения с плоскостью эклипти-
ки) вращается навстречу движению Луны с периодом
18,6 года. В результате наклонение iL плоскости лунной
орбиты к экватору Земли колеблется между пределами,
близкими к 18 и 29°. Максимальная скорость изменения'
угла iL есть величина порядка 0,5 угл. мин./сут. Геоцент-
рическое расстояние rL Луны колеблется между преде-
лами, близкими к 356 и 400 тыс. км. Среднее расстояние
a-ь — 384 400 км « 60 гс, где га — радиус Земли. Период
обращения Луны — сидерический месяц — составляет око-
ло 27,3 сут.
§ 1.1. Краткая характеристика
основных траекторных задач
Выбор траектории планируемого перелета между Зем-
лей и Луной существенно' влияет как на последователь-
ность проектирования, так и на компоновку КА. Поэто-
му в каждой задаче такого перелета сначала оцениваются
необходимые энергетические затраты, выбирается номи-
нальная траектория, т. е. траектория, решающая задачу
при отсутствии ошибок в работе системы управления по-
летом. Затем исследуется влияние разброса начальных
данных в окрестности поминальных, оцениваются точнос-
ти управления полетом, необходимые для реализации
траектории.
3*
36
ОСНОВНЫЕ ТРАЕКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ И УРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
Первой из задач о траекториях перелета между Зем-
лей и Луной была решена задача достижения лунной
поверхности. Вследствие большой удаленности Лупы от
Земли минимальная геоцентрическая начальная скорость
Vim) у Земли, необходимая для достижения Луны, близ-
ка к местной параболической зависящей от началь-
ной высоты IIк Например, для высоты Ц\ = 200 км име-
ем 7П = И км/с, Кп—У”<0,1км/с. Соответствующее ско-
рости время полета составляет ~5 сут. При эллип-
тических начальных скоростях V} (Vi < Уд) сближение
КА с Луной возможно как на восходящей по отношению
к Земле, так и на нисходящей ветвях траектории КА,
а при гиперболических начальных скоростях Vi > Vn - -
лишь на восходящей ветви. Ограничимся рассмотрением
траекторий с высотой перигея Нп 200 км, причем лишь
на высотах вне атмосферы (Я > 200 км), и будем пре-
небрегать влиянием атмосферы. Для таких траекторий
начальные углы 9 возвышения вектора Vj над местным
горизонтом неотрицательны, а сами траектории сильно
вытянуты вдоль геоцентрического радиуса точки встре-
чи с Луной: при эллиптических начальных скоростях
угол между большой осью эллипса и радиусом, равным
расстоянию rL до Луны, не превосходит 15°. Соответст-
венно истинная аномалия. О точки с г = rL заключена
между 165 и 195°, а геоцентрическая угловая дальность
перелета Ф], т. е. угол между радиусами начальной точ-
ки и конечной, на пассивном участке не может превы-
шать 195°. Если считать, что угловая дальность Фа ак-
тивного полета при непрерывном активном участке не-
велика, например не превосходит нескольких градусов,
то полная угловая дальность полета Ф = Ф1 + Фа не бу-
дет превышать величины около 200°.
Пусть на поверхности Земли задана точка старта ее
широтой фо и долготой Хо, а также задано направление
запуска его азимутом Ао (отсчитывается от направления
на север по часовой стрелке). Пусть фо>гь>О. Тогда
независимо от наклонение i3 к экватору плоскости П
движения КА превосходит наклонение iL лунной орби-
ты. Углы фо, Хо, До полностью определяют положение
плоскости П движения КА относительно земной поверх-
ности.
g 1.1 J ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ ТРАЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ 37
В невращающейся системе координат плоскость П
равномерно поворачивается в суточном вращении вместе
с земной поверхностью. Упрежденная точка Ly, т. е.
точка будущей встречи КА с Луной, опережающая в
начальный момент Луну на угол, проходимый Луной за
выбранное время полета, вращается вместе с Луной по
ее орбите примерно в 30 раз медленнее, чем плоскость
П, и два раза в течение суток попадает в плоскость П.
В эти два момента в принципе возможен запуск КА к
Луне. Если КА стартует из средних широт примерно
в северном направлении, то полная угловая дальность
полета для одного момента t' будет порядка Ф' = 180° —
— фо — бу, для другого t" — порядка Ф" = 360° — фо + бу,
где бу — склонение точки Ly. Поскольку |бу1 *5 то име-
ем 90° - < Ф' < 180°; о360° > Ф" > 270° - т. е. Ф"
намного превышает 200°, так что из двух моментов t’
и t" запуск возможен лишь в момент t'. При этом пас-
сивный участок траектории перелета Земля — Луна в
основном проходит над северным полушарием. Энергетиче-
ские затраты на запуск (т. е. затраты характеристической
скорости) возрастают вместе с величинами скорости Vi
в конце активного участка и угла 01 ее возвышения над
местным горизонтом (из-за роста гравитационных по-
терь). Минимальные затраты соответствуют минимальпой
скорости V\ = и. углу В; — 0, т. е. перелету по по-
луэллипсу Гомапа. Соответствующая пассивная угловая
дальность Ф1°р1) = 180°.
Чтобы энергетические затраты были близки к мини-
мальным независимо от величины угла Ф] между точ-
кой старта и точкой встречи с . Луной, применяется за-
пуск к Луне с предварительным выведением КА на низ-
кую спутниковую орбиту и таким временем пассивного
движения по ней, чтобы после разгона с нее до скоро-
сти, близкой к до Луны оставалась как раз угловая
дальность полета, близкая к 180°. При этом разгоп про-
изводится в плоскости орбиты ИСЗ с целью минимиза-
ции энергетических затрат.
Поскольку время полета до Луны по полуэллипсу
Гомана является вполне определенным, то определенны-
ми будут и положение упрежденной точки Ly перед Лу-
ной на ее орбите и два момента^, в которые пло-
38
ОСНОВНЫЕ ТРАЕКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ II УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. I
скость П, вращаясь, в течение суток проходит через точ-
ку Ly, и возможен старт для запуска КА к Луне с ор-
биты ИСЗ. Для такого запуска, в отличие от предыду-
щего, пригодны и вполне равноправны оба момента
старта, причем интервал между ними составляет
~0,5 сут. После старта в первый момент траектория про-
ходит в основном над северным полушарием Земли,
а после старта во второй момент — над южным. Для
различения этих случаев будем говорить соответственно
о северной N и южной S траекториях.
При запуске КА к Луне с предварительным его вы-
ходом на орбиту ИСЗ будем предполагать, что долгота
восходящего узла этой орбиты (отсчитывается в пло-
скости экватора Земли от точки Т весеннего равноденст-
вия) заранее не задана, но заданы остальные элементы
рт, ет, iT, ит, орбиты. Величина определяется мо-
ментом in старта внутри даты старта.
В задаче достижения Луны выбор номинальных тра-
екторий связан не только с точным решением задачи о
точке встречи с Луной с расчетом и минимизацией за-
трат характеристической скорости на разгон у Земли и
на «мягкую» посадку на лунную поверхность, но также
и с определением достижимых районов посадки на по-
верхности Луны.
Траекторная задача создания ИСЛ является более
трудной, чем задача достижения Луны. В ней при выбо-
ре номинальных траекторий необходимо дополнительно
рассмотреть зависимость параметров орбиты ИСЛ от па-
раметров пучка геоцентрических траекторий, затраты
характеристической скорости при переходе с траектории
полета к Луне на юрбиту ИСЛ, минимизацию суммар-
ных затрат на переход орбита ИСЗ — орбита ИСЛ.
В краевой задаче точного расчета перелета орбита ИСЗ —
орбита ИСЛ необходимо ввести новые алгоритмы: а) рас-
чета начального приближения и б) активного участка
перехода на орбиту ИСЛ.
Траекторная задача возвращения от Луны к Земле,
как и задача достижения Луны, может рассматривать-
ся в четырех вариантах, в которых поминальные траек-
тории начинаются и кончаются по-разпому. Начинаться
они могут на поверхности Луны или на орбите ИСЛ,
§ 1.1] ХАРАКТЕРИСТИКА ОСНОВНЫХ ТРАЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ 39
а кончаться — на орбите ИСЗ или в атмосфере Земли.
При этом особенно интересны траектории, полого вхо-
дящие в атмосферу (в заданном «коридоре» высот над
заданной на поверхности Земли трассой). Однако прак-
тически интересный диапазон высот Ня условного пе-
ригея (т. е. вычисляемого при условии отсутствия ат-
мосферы) ничтожен по сравнению с геоцентрическим
радиусом гл перигея. Поэтому особенно важным являет-
ся анализ производных от гл, от времени достижения
перигея и от других конечных параметров — по началь-
ным данным (или параметрам конца активного участка
у Луны).
Выбор номинальных траекторий перелета орбиты
ИСЛ — орбита ИСЗ в принципе аналогичен выбору тра-
екторий перелета орбита ИСЗ — орбита ИСЛ.
При выборе номинальной траектории возвращения
(ТВ) стараются минимизировать затраты топлива, в том
числе на разгон у Луны. Если старт производится с по-
верхности Луны, то алгоритм расчета ТВ должен учиты-
вать специфические условия прицеливания (мало похо-
жие на земные).
Для расчета поминальной ТВ в заданный район зем-
ной поверхности необходимо уметь решать новую крае-
вую задачу о точке встречи (учитывающую суточное
вращение этого района вместе с Землей). Здесь при вы-
боре начального приближения существенно получить
правильное время Т полета (уже при ошибке 6Т =
= 0,5 сут приземление произойдет на противоположной
стороне Земли).
Траекторная задача облета Луны является самой
сложной. В ней наиболее интересны траектории, которые
близко (ближе 10 тыс. км) подходят к поверхности Лу-
ны и возвращаются к Земле — либо в атмосферу, либо
на орбиту ИСЗ. Характер селеноцентрического движения
по облетной траектории зависит от заданных условий
прохождения вблизи Луны, от времени полета КА, от
заданных характеристик геоцентрического движения в
начале и в конце полета, от положения Луны на ее ор-
бите. Все это необходимо учитывать при выборе класса
номинальной траектории и при ее поиске в пределах
этого класса. Для решения краевой задачи облета Луны
необходимо гораздо более аккуратное начальное при-
40
ОСНОВНЫЕ ТРАЕКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ И УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1
ближение, чем для предыдущих краевых задач, потому
что облетная траектория проходит вблизи особых точек
[притягивающих масс) не в двух, а в трех местах.
Двухимпульсное выведение КА на стационарную ор-
биту ИСЗ с низкой орбиты ИСЗ при ее наклонении 45—
65“ требует значительных затрат характеристической
скорости (около 5 км/с). Оказывается L3—1971J, исполь-
зование траекторий облета Луны для перевода КА с
низкой орбиты ИСЗ на геостационарную орбиту может
быть выгоднее, чем обычный двухимпульсный маневр.
Можно использовать аналогичный пертурбационный
эффект при близком пролете около Луны с целью раз-
гона КА к планетам. Исследование качественных и ко-
личественных характеристик подобных траекторий сбли-
жения с Луной позволяет выбирать номинальные траек-
тории как для запуска КА на различные высокоэнерге-
тические орбиты ИСЗ, так и для полета в межпланетное
пространство.
Перечисленные траекторные задачи полета КА в гра-
витационном поле Земли и Луны исследуются в последу-
ющих разделах с помощью приближенных и точных ме-
тодов расчета. Кроме этих задач в литературе рассмат-
риваются и другие задачи. Это, например, задача о
траекториях выхода КА в либрационные точки системы
Земля — Луна 13—1974J, о траекториях, близких к пе-
риодическим орбитам в системе Земля — Луна (причем
отличным от орбит ИСЛ и ИСЗ). Однако в настоящее
время эти задачи недостаточно изучены и в данной мо-
нографии не рассматриваются.
§ 1.2. Требования к траекториям
в связи с задачами полета
Пусть заданы уравнения (У) движения КА и рас-
сматриваются их решения — траектории, проходящие из
области r«rLs область р < rL (или обратно), где г и
р — геоцентрическое и селеноцентрическое расстояния
КА, — расстояние Земля — Луна. Пусть в этих обла-
стях заданы граничные условия (Ут) и (Ул) соответст-
венно на «земном» и «лунном» концах траектории, оп-
ределяющие допустимые множества У7 и Y>. краевых
данных (например, элементы рт, е7, iT, соь щ орбиты ИСЗ
и точка Ух на поверхности Луны).
5 i-гт
ТРЕБОВАНИЯ К ТРАЕКТОРИЯМ
41
Многообразие траекторий, удовлетворяющих услови-
ям (У), (Ух), (Ут), не всегда приемлемо - для практиче-
ской реализации, так как, кроме граничных условий,
существуют требования, определяемые техническими ог-
раничениями. При выборе траекторий достижения поверх-
ности Луны основным требованием является условие
прилета КА в заданный район посадки. Для фиксирован-
ного наклонения к экватору геоцентрической орбиты
Земля — Луна достижение поверхности Луны (без выхо-
да на орбиты ИСЗ и ИСЛ) возможно лишь в опре-
деленные календарные даты, диапазон которых не-
обходимо определять. Для управления КА сразу после
посадки требуется выполнить определенные условия ра-
диовидимости по крайней мере из двух наблюдательных
пунктов на поверхности Земли. Это требование может
сузить диапазон допустимых дат до D? < D\. Часто для
нормальной работы отдельных систем КА требуется вы-
полнить в момент посадки определенные условия осве-
щенности, например, па угол склонения Солнца над
горизонтом точки посадки; это может сузить диапазон
допустимых календарных дат до D> < D?. Кроме огра-
ничений, соответствующих моменту посадки, могут быть
различного вида ограничения на пассивном участке тра-
ектории КА. В результате допустимыми с учетом всех
ограничений могут оказаться лишь несколько дат года,
соответствующих вполне определенным положениям Лу-
пы на орбите.
В задачах создания ИСЛ, кроме перечисленных огра-
ничений, могут быть необходимы еще определенные ус-
ловия освещенности КА на орбите ИСЛ и радиовидимо-
сти КА с поверхности Земли и Луны.
В задачах возвращения КА к Земле с орбиты ИСЛ
или с поверхности Луны основные ограничения на тра-
екторию вытекают из условий входа КА в земную атмо-
сферу и посадки в заданную точку поверхности Земли.
Здесь важно обеспечить заданные радиус условного по-
ригея, наклонение геоцентрической орбиты возвращения
к экватору и географические широту и долготу точки
условного перигея. Заданная широта точки условного
перигея обеспечивается, в основном, выбором склонения
Луны в момент старта КА с орбиты ИСЛ, а заданная
долгота может быть получена варьированием времени
42
ОСНОВНЫЕ ТРАЕКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ И УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1
перелета. Довольно часто в рассматриваемых задачах
требуется выполнить еще определенные условия осве-
щенности и радиовидимости КА с Земли в момент его
старта с поверхности Луны или с орбиты ИСЛ, а также
условия освещенности КА в момент его посадки на по-
верхность Земли. Все эти ограничения существенно су-
жают допустимое множество траекторий возвращения.
Обычными требованиями к траекториям облета Луны
с пологим входом в атмосферу Земли являются фиксиро-
ванность полного времени полета и минимального расстоя-
ния траектории от поверхности Луны, а также ограниче-
ние времени пребывания КА в тени Луны или Земли.
Перечисленные примеры требований и ограничений
не исчерпывают всего их разнообразия. Обстоятельства
конкретных запусков могут налагать и другие условия,
ограничивающие множество допустимых траекторий.
§ 1.3. Основные силы, действующие на КА
При расчете траектории пассивного перелета между
Землей и Луной будем предполагать, что эта траектория
делает не более одного оборота вокруг Земли (или Лу-
ны) в невращающейся геоцентрической (или селеноцент-
рической) системе координат. Вдоль такой траектории
основными силами, действующими на КА, являются при-
тяжения Земли и Луны как материальных точек. Влия-
ние отличия распределения масс этих тел от сферически
симметричного является второстепенным фактором для
рассматриваемых траекторий. Кроме него, действуют
другие второстепенные факторы — возмущения от Солн-
ца, планет и т. д.
В книге [2—1965] рассмотрено влияние сжатия Зем-
ли и возмущений от Солнца на геоцентрические траек-
тории полета к Луне. Аналитически и с помощью чис-
ленного интегрирования показано, что учет влияния
сжатия вдоль певозмущепной траектории может дать на
расстоянии Луны изменения времени полета и коорди-
нат порядка 103 с и 103 км соответственно. Учет возму-
щений от Солнца дает изменения порядка 200 с и 200 км.
Для большинства «точных» практических расчетов, в том
числе проектных, можно ограничиться временами поле-
та порядка 10 сут и точностями порядка 1 с и 1 км.
§ 1-3I
ОСНОВНЫЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА КА
43
Примем такие ограничения. Тогда возмущениями от
планет можно пренебречь, поскольку массы планет со-
ставляют 10-3 и меньше от массы Солнца, а расстояние
КА до них — порядка расстояния до Солнца и более.
Силовую функцию, т. е. потенциал гравитационного
поля планеты, можно представить в виде [1 —1971]
U =
со
п=2 т— о
Рпт
(sill ф) (Cum cos гпк +
г /
+ Snmsin тк) , (3.1)
где у, = fM — гравитационный • параметр планеты (/ —
гравитационная постоянная, М — масса планеты); 7?э—
средний радиус ее экватора; г — планетоцентрический
радиус КА; ф — планетоцентрическая широта (склоне-
ние КА над экватором планеты); X — долгота КА; рпт —
присоединенные функции Лежандра; Спт, 8пт — посто-
янные коэффициенты, определяемые экспериментально.
Первое слагаемое в (3.1) соответствует сферически
симметричному распределению масс планеты. Член
Cn=i, т=о во втором слагаемом представляет влияние сжа-
тия (рассмотренное для Земли в книге [3—1965]), члены
с другими значениями п, т — влияние других отличий
распределения масс от сферически симметричного. Так
как коэффициент С20 для Земли па три порядка превос-
ходит другие коэффициенты [1 —1971, стр. 4331, то для
принятых ограничений члены с п > 2, т > 0 можно не
учитывать. Пренебрегая этими членами, получим сило-
вую функцию гравитационного поля Земли в виде
IV г А 1
Ug = ^1 + -^(1-3suKT) , (3.2)
' L or J *
(так называемый гравитационный потенциал нормально-
го земного эллипсоида [1 —1933]).
Для Луны коэффициент оказывается почти на по-
рядок меньше, чем для Земли [1—1971, стр. 154]. Если
учесть, что масса Луны на два порядка меньше массы
Земли, то можно пренебречь и несферичностью распре-
деления масс Луны для рассматриваемых времен полета
и точностей расчета. Тогда получим силовую функцию
44
ОСНОВНЫЕ ТРАЕКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ И УРАВНЕНИЯ [ГЛ, t
гравитационного поля Луны в виде
Нг
Заметим, что в grad {70 компонента, обусловленная
сжатием, убывает с ростом г как 1/г4, а ее отношение к
Таблица 1.1
Наименование возмущений Вековой уход элементов лунной орбиты (угл. сек)
перигея узла
Влияние Солнца +14 642 692 —5 967 204
Влияние несферичности Земли +641 -600
Прямое действие планет +269 —142
Косвенное действие планет *) -16 +5
1-----.—
*) Через изменение движения Земли относительно Солнца.
ускорению, вызываемому сферически симметричным те-
лом с массой Земли, убывает как 1/г2. Это отношение
у поверхности Земли составляет около 1/600, а на рас-
стоянии Луны — менее 1/2 • 10б. Поэтому для рассмат-
риваемых времен движения (до 10 сут) и точностей рас-
чета влиянием сжатия Земли на движение Луны можно
пренебречь.
Возмущение геоцентрического движения Луны Солн-
,цем, конечно, необходимо учитывать, однако возмуще-
ниями от планет можно пренебречь, поскольку они на
движение Луны влияют меньше, чем несферичность
Земли, как показывает табл. 1.1 [2—1968].
Кроме гравитационных сил, на движение КА по тра-
екториям перелета между Землей и Луной влияют силы
светового давления, электромагнитные силы, аэродина-
мические силы (в земной атмосфере). Действием первых
двух сил для рассматриваемых времен полета (до 10 сут)
можно пренебречь. Однако при значительном увеличе-
нии времени перелета КА между Землей и Луной ре-
зультат действия этих сил может накапливаться, и тог-
да их необходимо учитывать в расчетах. Более подроб-
ные сведения о влиянии сил светового давления и элект-
§ 1.4]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
45
ромагиитных сил приведены в [3—1965J. Влиянием аэро-
динамических сил тоже можно пренебречь, рассматривая
траектории лишь вне земной атмосферы па высоте
200 км и выше. Таким образом, при «точном» расчете
пассивного участка траектории движения КА следует
учитывать, кроме притяжения Земли и Луны, лишь
влияние сжатия Земли и возмущения от Солнца.
На активном участке траектории необходимо, конеч-
но, учитывать реактивное ускорение
• __ Р ri _ din г.
]р ~ р (3-4)
где m(z)— масса. КА, иР— скорость истечения реактив-
ной струи, Р — тяга двигателя (принимаемая в расчетах
величиной порядка веса КА). Точный расчет выполня-
ется обычно на ЭВМ одним из методов численного ин-
тегрирования.
Для рассматриваемых двигателей время активного
полета мало по сравнению со временем пассивного пере-
лета между Землей и Луной. Это позволяет применять
аналитические приближенные методы в задачах анализа
движения на активном и пассивном участках, сущест-
венно сокращая машинное время расчета траекторий.
§ 1.4. Уравнения движения
Дифференциальные уравнения движения запишем в
прямоугольной невращающейся геоцентрической эквато-
риальной системе координат max3yaz3. Ось твх3 этой си-
стемы направим в точку Т весеннего равноденствия (на-
пример, эпохи 1970.0), ось mGz3 направим вдоль вектора
угловой скорости вращения Земли (ос, а осью mGya до-
полним систему осей координат до правой тройки.
• Векторное уравнение движения КА на пассивном
участке траектории в данной системе координат имеет
вид
46
ОСНОВНЫЕ ТРАЕКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ II УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1
где UG — силовая функция гравитационного поля Земли,
определяемая формулой (3.1); г, rL, rs — радиусы-векто-
ры КА, Лупы п Солнца; ць и ps — гравитационные па-
раметры Лупы п Солнца. В (4.2) первый член представ-
ляет влияние Земли, второй — Луны, третий — Солнца.
Аналогично, записывается векторное уравнение дви-
жения в селеноцентрической системе координат
оси которой параллельны осям системы mGx3y3z3:
р = <р(р, г, гг„ rs), г = г/. + р, (4.3)
При переходе в эту систему из системы mGx3y3z.3 кине-
матические параметры и, в частности, начальные дан-
ные получаются по формулам р = г — гь, р = г — гь. Ра-
диусы-векторы rL, rs могут быть взяты из таблиц Астро-
номического ежегодника или найдены с помощью ЧИ
уравнений задачи трех тел Земля — Луна — Солнце в гео-
центрической системе координат:
Йй -г 4.
4.
P'S Н р-G , / г/, rS
^7^- rs + иг -—77
's VI1/. — rs I
(4.5)
На активном участке траектории в правую часть
уравнений движения КА (4.1) — (4.3) будет входить еще
реактивное ускорение (3.4). К уравнениям (4.1) — (4.3)
в связи с этим добавляются уравнения изменения мас-
сы т КА и затрат W характеристической скорости. Пол-
ная система уравнений в геоцентрической системе коор-
динат примет вид
" » / , , Р dm , . cZW Р ,, р,
r = f(r,rL,rs)+-, -^- = /m(t), (4.6)
где Р — тяга двигателя КА, fm(t) — секундный расход
массы КА (заданная функция).
Заметим, что при использовании двигателей, работа-
ющих на химических топливах, активный участок имеет
§ 1.4]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
47
продолжительность порядка 10 мни п менее (при близ-
ком к оптимальному соотношению между тягой п на-
чальным весом КА). Поскольку активные участки рас-
положены на концах траектории перелета, то вдоль них
расстояние до ближайшего притягивающего тела (mG
или mL~) гораздо меньше rL. Поэтому в уравнениях дви-
жения КА на активном участке (4.6) можно пренебречь
влиянием возмущений (от Луны и Солнца в случае ма-
невра у Земли и от Земли и Солнца в случае маневра
вблизи Луны).
Если па пассивном участке пренебречь влиянием
Солнца и несферичностп Земли, то из уравнений (4.1) —
(4.3) получатся уравнения ограниченной задачи трех
материальных точек. Если дополнительно предположить,
что орбита Луны — круговая, то. получим уравнение ог-
раниченной круговой задачи трех точек
r'=_^r + flJ_ Р М. (4.7)
' \ Р аь /
Здесь вектор г7, равномерно обходит окружность радиуса
rL = aL = 384 тыс. км за сидерический месяц, aL — боль-
шая полуось лунной орбиты. В селеноцентрической си-
стеме координат уравнения этой задачи получим в виде
Р = — Ць-у-Н-Щ f ~ 4 + пг\ r = rL + p. (4.8)
Р \ г а1 /
В правых частях (4.7), (4.8) вторые члены (назовем их
Fl, Fg) представляют возмущения, а притяжения цент-
рального тела выражаются первыми членами (назовем
их gG и gL). Если пренебрегать возмущениями, то при
FJgG<Fa/gL точнее будет счет по уравнениям (4.7);
при обратном неравенстве точнее будет счет по уравне-
ниям (4.8).
Определение. Область пространства около массы
ть, в которой Fa/gi. < FJga, называется сферой дейст-
вия (СД) массы mL относительно массы та.
Эту сферу (sphere d’activite) ввел в небесную меха-
нику Лаплас [1—1805]. Она близка к w-цеитрической
сфере радиуса р* = • ц2/5, где ц = pL/|.is. На ее поверх-
ности [2—1937, стр. 194]
Fa/gL = FL/ga^ С4ц)1/5.
48
ОСНОВНЫЕ ТРАЕКТОРНЫЕ ЗАДАЧИ И УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1
Эти отношения убывают вместе с ц, так что в случае пол-
ного пренебрежения возмущениями при переходе значе-
ния 1р1 через р* смена центрального тела тем выгоднее
для точности счета, чем меньше отношение p-t/p-a притя-
гивающих масс.
Рис. 1.1. Основные системы координат. О — центр масс системы Земля
(?nG)—Луна (wi£ ).
Иногда удобно исследовать траектории в барицентри-
ческой вращающейся вместе с прямой mGmL системе ко-
ординат OxByBze. Начало О этой системы (рис. 1.1) рас-
положено в барицентре (центре масс) пары точек mGmL.
Ось Охв направлена из начала координат в центр mG
Земли, ось Оув противоположна скорости Луны VL.
В этой системе координат уравнения круговой ограни-
ченной задачи трех точек (КА — Земля — Луна) имеют
наиболее простой вид:
9 ' . й/ " 9‘ , dj " dj .. Q.
•zB = 2yB4-—, = — 2,rB 4-—, zD = —, (4.9)
ил в - в
J = A(^4-y2B)+^ + y. (4.10)
Здесь r up — расстояния KA от mG и mb. За единицу
длины выбрано постоянное расстояние между центра-
ми Земли и Луны, за единицу времени — величина
7\/2л, где TL — сидерический месяц. Заметим, что по
третьему закону Кеплера в принятых единицах измере-
ния получается
/ у’ ' _. 2
+ =1-
Глава 2
МЕТОДЫ ТОЧНОГО РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИЙ
§ 2.1. О решении задачи Коши
для уравнений движения
Системы дифференциальных уравнений движения
(1.4.1) — (1.4.6) приходится решать на ЭВМ одним из ме-
тодов численного интегрирования (ЧИ). На ЭВМ наибо-
лее часто применяется (поскольку относительно легко
реализуется) метод Рунге — Кутта, хотя некоторые дру-
гие методы требуют меньше машинного времени (на-
пример, методы Адамса, Штермера, Коуэлла [2—1937,
стр. 146]). Для использования метода Рунге — Кутта
система дифференциальных уравнений второго порядка
преобразуется путем введения новой переменной в си-
стему уравнений первого порядка. Минимального поряд-
ка (шестого) система
= V — = f (1.1)
dt dt 1 v ' 1
получается из (1.4.1), если движение Луны и Солнца
задается таблицами Астрономического ежегодника.
С точки зрения техники программирования целесооб-
разно в программе ЧИ системы (1.1) выделить следую-
щие блоки, вычисляющие правые чисти дифференциаль-
ных уравнений: терминальные условия; оскулирующие
элементы орбит КА, Луны, Солнца; кинематические па-
раметры КА; параметры движения КА относительно по-
верхности Земли и Луны; управляющую часть про-
граммы.
При программировании основное внимание обычно
уделяется повышению точности расчета траектории и
4 В. А. Егоров, Л. И. Гусев
50
МЕТОДЫ ТОЧНОГО РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ. 2
уменьшению времени решения задачи Коши для иссле-
дуемой системы дифференциальных уравнений. Требо-
вания, определяющие точность и скорость вычисления,
обычно являются противоречивыми, поэтому приходится
принимать компромиссные решения. Особое внимание
следует обращать на быстроту работы блока вычисления
правых частей, так как при использовании метода Рун-
ге — Кутта вычисление правых частей уравнений движе-
ния на каждом шаге интегрирования производится не-
сколько раз (обычно четыре).
Рассмотрим основные пути повышения точности и
скорости численного расчета траектории КА в гравита-
ционном поле Земли, Луны и Солнца. Точность и ско-
рость здесь определяются главным образом величиной
шага интегрирования и качеством составления программы
вычисления правых частей. Излишнее уменьшение шага
интегрирования может снизить точность вычисления из-
за увеличения числа п шагов, так как ошибки в коор-
динатах для систем уравнений типа (1.4.1) — (1.4.8) пос-
ле п шагов численного интегрирования пропорциональны
«3/2 [1—1971]. Однако чрезмерное увеличение шага ин-
тегрирования также снижает точность из-за роста мето-
дической ошибки.
Опыт вычисления пассивного участка спутниковой
траектории вблизи поверхности Земли и Луны методолг
ЧИ в декартовых координатах показывает, что при точ-
ности счета координат порядка 10-4 км увеличение Шага
интегрирования сверх 60 с недопустимо. Этот шаг и оп-
ределяет скорость вычисления на ЭВМ спутниковых тра-
екторий методом ЧИ (в прямоугольных координатах).
Шаг интегрирования активного участка траектории
зависит от тяговооруженности vq (отношение тяги двига-
теля к начальному весу КА) и составляет примерно 1 —
2 с для 0,3" vo - ’ 1.
По мере удаления КА от притягивающего центра вы-
годно увеличивать шаг интегрирования для увеличения
скорости расчета (при заданной его точности). Поэтому
траектории перелета КА между Землей и Луной рассчи-
тываются с переменным шагом интегрирования, причем
на отдельных участках пассивного полета выбор шага
интегрирования целесообразно осуществлять автоматиче-
ски, используя различные алгоритмы выбора шага [3—
g 2.1]
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ
51
1970] . Такая автоматизация выбора шага может сущест-
венно увеличить скорость расчета.
Целесообразно, например, траекторию полета КА с
орбиты ИСЗ иа орбиту ИСЛ разбить на пять участков,
па каждом из которых шаг интегрирования выбирается
по-своему. На участке I разгона с орбиты ИСЗ шаг ин-
тегрирования постоянен и лежит в пределах от 1 до 2 с
при точности счета 10-4 км. На пассивном участке II по-
лета до III < 100 тыс. км шаг интегрирования переменен
и выбирается автоматически, исходя из обеспечения точ-
ности счета координат, равной 10-4 км. На участке II],
удаленном от Земли и Луны от ]rI > 100 тыс. км до
Ipl = 100 тыс. км, шаг интегрирования переменен и вы-
бирается также 'автоматически, только с другими кон-
стантами выбора шага. На участке IV |р| <100 тыс. км,
шаг интегрирования выбирается автоматически с теми
же константами выбора шага, что и на участке II. На
активном участке V у Луны шаг интегрирования постоя-
нен и равен 1—2 с. При интегрировании уравнений дви-
жения в другой системе координат участки и константы
для изменения шага итерирования могут быть другими.
Для сохранения точности вычисления необходимо
соблюдение известных [2—1969, стр. 75—90] правше
программирования (особенно при составлении программы
вычисления правых частей):
1) при сложении и вычитании последовательности чи-
сел необходимо начинать с наименьших чисел;
2) необходимо избегать вычитания двух почти рав-
ных чисел. Формулы, содержащие такое вычитание, нуж-
но преобразовать так, чтобы избежать подобной опера-
ции. Если числа в разности, которая умножается или
делится, почти равны друг другу, то вычитание произ-
водится ранее умножения или деления;
3) в любом случае необходимо свести к минимуму
число арифметических операций и в полной мере ис-
пользовать циклические возможности’ программирования.
В частности, целесообразно в блоке правых частей выя-
вить наибольшее число групповых операций и запро-
граммировать их в виде циклической программы. Ис-
пользование стандартных программ и обращений к внеш-
ней памяти ЭВМ в блоке правых частей нецелесообраз-
но, так как может резко увеличить машинное время ЧИ.
4*
52
МЕТОДЫ ТОЧНОГО РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ, 2
Желательно использование только оперативной памяти
ЭВМ при предельном сокращении выдачи промежуточ-
ных результатов.
Выполнение указанных правил программирования по-
могает сохранить скорость ЧИ при заданной точности.
Например, при точности координат порядка 10~4 км уда-
ется решить задачу Коши на ЭВМ с быстродействием
около 20 тыс. оп./с за 30 с (для траекторий с временем
перелета между Землей и Луной от 3 до 4 суток). Вре-
мя решения подобной задачи Коши на ЭВМ БЭСМ-6 со-
ставляет 10 с при использовании программы на языке
Фортран.
При расчете траекторий КА методом ЧИ следует пре-
дусмотреть возможность выхода из программы интегри-
рования при выполнении заданного терминального усло-
вия, например условия достижения заданного расстояния
от Земли (или от Луны) или другого условия. Блок тер-
минальных условий должен быть обособленным и дол-
жен обеспечивать возможность включения в него любого
нового терминального условия.
Блок расчета оскулирующих элементов орбит КА,
Луны, Солнца по декартовым компонентам векторов ра-
диуса и скорости использует известные формулы (см.
[1—1968] и Приложение 8).
Блок расчета кинематических параметров движения
КА по заданным кеплеровым элементам орбиты также
использует соотношения из [1—1968] (см. Приложение 7).
Блок вычисления азимута, склонения и вектора уг-
ловой скорости КА относительно заданного наблюдатель-
ного пункта на поверхности Земли и Луны работает по
формулам, приведенным в Приложении 9.
В задаче Коши для системы дифференциальных урав-
нений (1.4.1) — (1.4.5) пассивного движения необходимо
задать начальные данные — время t, координаты и ком-
поненты скорости КА г(х, у, z), V(x, у, z), Луны rL(.xL,
Ум zL), NiS.xl, Ум Zt) и Солнца r8(xs, ys, zg), Vs(x, y8, za).
Начальные значения векторов VL и Va задаются табли-
цами Астрономического ежегодника на ноль часов эфе-
меридного времени. Поэтому интегрирование системы
уравнений (1.4.1) — (1.4.5) ведется по эфемеридному
времени от начала даты старта. Интегрируются сначала
9 2.2]
МЕТОД МНОГИХ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
53
уравнения движения Луны и Солнца до заданного мо-
мента начала движения КА. С этого момента уравнения
движения КА (активного или пассивного) добавляются
к прежним уравнениям. Соответственно уменьшается шаг
ЧИ. Полученная полная система интегрируется до кон-
ца, т. е. до момента выполнения одного из заданных
Т а б л и ц а 2.1
№ п/п Наименование задачи Время и секундах
М-222 БЭСМ-6
1 Перелет с орбиты ИСЗ 'на поверхность Луны (активный участок — толь- ко у Земли) 45 20
2 Перелет с орбиты ИСЗ на орбиту ИСЛ или мягкая посадка на поверхность Луны (два активных участка) 55 25
3 Возвращение от Луны к Земле (один активный участок) 45 20
4 Семисуточный облет Луны с возвраще-
нием в земную атмосферу 95 50
терминальных условий. Более подробное описание про-
цесса решения задачи Коши для системы (1.4.1) дано в
Приложении 6. Продолжительность решения задачи Ко-
ши на ЭВМ М-222 и БЭСМ-6 для траекторий с време-
нем перелета 3—4 сут приведена в табл. 2.1.
§ 2.2. Метод многих конических сечений
Существенного уменьшения времени расчета траек-
тории перелета между Землей и Луной вряд ли удастся
достичь только путем совершенствования методов числен-
ного интегрирования и повышения качества программи-
рования. Результаты табл. 2.1, по-видимому, следует счи-
тать близкими к предельным для рассматриваемых за-
дач, решаемых на указанных классах ЭВМ. Ускорения
точного расчета траекторий можно ожидать, по-видимо-
му, от новых методических подходов.
Интересным в этом отношении представляется метод
многих конических сечений (МКС) (L9—19701). Идея его
состоит в том, что искомая траектория в нем рассмат-
54
МЕТОДЫ ТОЧНОГО РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ, 2
ривается как результат сложения движений по геоцент-
рическому и селеноцентрическому коническим сечениям
с учетом возмущений.
Векторное уравнение геоцентрического движения КА
под действием притяжения сферических Земли, Луны и
Солнца имеет вид (ср. (1.4.2))
г =
О ГГ / ГЧ“~Г гч\
----^ + 4 • (2.1)
!’ rL \|ГН —ГГ rs )
Первый член уравнения (2.1) определяет движение КА
ио коническому сечению, если
другие члены не учиты-
*
Рис. 2.1. Построение траектории по методу МКС.
ваются. Метод состоит в том, что весь временной интер-
вал (Zo, tk> движения разбивается на ряд элементарных
промежутков Д£ и на каждом промежутке применяется
указанная выше идея.
Рассмотрим последовательность работы метода на
каждом интервале Д£ при расчете траектории достиже-
ния Луны.
По эфемеридам Солнца и Луны вычисляются и запо-
минаются векторы их состояний rs, Vs, rL, VL в началь-
ный момент /о- По начальным данным io, Vo КА опреде-
ляется его геоцентрическая орбита М^М (коническое се-
чение), оскулирующая на начальный момент io (рис. 2.1),
и считается, что движение КА происходит по этой орби-
§ 2.2]
МЕТОД МНОГИХ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
55
те на промежутке времени [£0, tj, где ti^to + At. Вы-
числяются по эфемеридам и запоминаются векторы
состояния Солнца и Луны в момент t\ (они затем рас-
сматриваются как начальные для следующего промежут-
ка).
Находятся средние ускорения, соответствующие
третьему (лунному) и четвертому (солнечному) членам
уравнения (2.1):
Состояние г, V КА в момент i\ на дуге М^М корректи-
руется поправками
AV = (Д + js) At, Ar = 1- (jL + js) At2,
rr = ?! + Ar, = vr + AV (2.4)
(на рис. 2.1 скорректированное положение отмечено точ-
кой N).
В момент t[ скорректированное состояние r,, Vj пре-
образуется к соответствующему состоянию р, U в селе-
ноцентрической системе координат, где из него в обра-
щенном времени строится прямолинейная траектория
NN0 (без учета гравитации) до начального момента tc.
Из полученного состояния ро, Uq строится селеноцент-
рическое коническое сечение АоЛП до момента tj. Полу-
ченное в этот момент состояние преобразуется к гео-
центрической системе для использования затем в качест-
ве начального состояния на следующем промежутке At.
Описанная последовательность расчетов повторяется на
каждом элементарном промежутке времени. Таким обра-
зом, в методе МКС пренебрегается несферичностью
Земли; кроме того, для получения селеноцентрического
состояния в момент t0 используется состояние геоцент-
рического движения в момент ti, а не в промежуточный
момент, как следовало бы (по теореме о среднем в силу
непрерывности движения). Погрешностью, происходящей
56
МЕТОДЫ ТОЧНОГО РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИЙ
(ГЛ. 2
от этого, пренебрегается. Пренебрегается также взаимо-
действием возмущений с невозмущенным движением
внутри интервала (осредненное их влияние учитыва-
ется лишь в конце интервала АО.
При расчете облетных траекторий или траекторий
возвращения от Луны к Земле алгоритм модифицируется
Таблица 2.2
X п/п Наименование метода | Время расче- та в секундах
1 Численное интегрирование ' 45
2 Метод МКС г 10
3 Метод ИВ 2
на участках движения КА от Луны так, что геоцентри-
ческая и селеноцентрическая системы координат меня-
ются ролями. Эти вопросы подробно рассматриваются в
[9-1970].
Достоинством метода является его простота и едино-
образие для всех участков траектории независимо от то-
го, далеко или близко они проходят от Луны или Земли.
Дополнительные предположения, основанные на близо-
сти к тому или иному притягивающему центру, лишь
незначительно повышают его эффективность, нарушая
в то же время его единообразие.
Было обнаружено [8—1970], что погрешность от пре-
небрежения несферичностью Земли гораздо больше, чем
все остальные погрешности, вместе взятые. Для умень-
шения этой ошибки можно при вычислении влияния воз-
мущений учесть второй член разложения геопотенциала
в виде (1.3.2). При этом следует иметь в виду, что эф-
фект несферичности существен лишь до расстояний по-
рядка нескольких радиусов от центра Земли.
Результаты расчетов траекторий КА в гравитацион-
ном поле Земли и Луны, приводимые в работах [8,
9—1970], показывают, что скорость вычисления траек-
тории данным методом больше скорости численного
.интегрирования на порядок. Она всего лишь в пять-
шесть раз меньше, чем при вычислении методом ИВ
(§ 4.1),
S 2.3]
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
57
Данные о сравнении метода МКС с численным ин-
тегрированием и методом ИВ приведены в табл. 2.2 для
условий расчета на ЭВМ М-222 траектории перелета с
орбиты ИСЗ к Луне (время перелета ~4 суток).
Поскольку метод МКС аппроксимирует малые пере-
менные гравитационные возмущения постоянными на
элементарном промежутке At, то он может учитывать и
другие возмущения (малая реактивная тяга, давление
солнечных лучей, магнитные силы и пр.). Время вычис-
лений траектории при этом соответственно возрастает.
§ 2.3. Численное решение краевых задач
Задача Коши, которая рассматривалась в § 2.1, обыч-
но входит составной частью в краевую задачу, т. е. за-
дачу с заданными: граничными условиями, дифференци-
альными уравнениями типа (1.4.1)—(1.4.8) и, возможно,
некоторыми дополнительными требованиями (связанны-
ми, например, с научным назначением и технической
реализацией полета). Поэтому можно считать, что в диф-
ференциальных уравнениях (1.4.6) движения на актив-
ном участке г, V — фазовые координаты из заданного
множества £„ а Р — трехмерный вектор управления из
заданного множества С7Т. Множество Вт определяется на-
учно-техническими ограничениями на траекторию и раз-
лично для разных конкретных задач.
Пусть заданы множества Ут и Ух концевых данных
и г/х соответственно на околоземном и окололунном
концах траектории:
У1 е Ух е Ух. (3.1)
Элемент г/: может быть парой географических координат
на поверхности Земли, может дополнительно содержать
азимут направления запуска, может быть набором части
(или всех шести) кеплеровых элементов орбиты ИСЗ и
т. д. В случае, когда задано число элементов п < 6, име-
ем в качестве (6 — п)-параметрическое семейство орбит
ИСЗ. Аналогично элемент гд может быть парой селено-
центрических (или селенографических) координат точки
на поверхности Луны, либо набором части (или всех)
элементов орбиты ИСЛ ц т. д.
58
МЕТОДЫ ТОЧНОГО РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ. 2
Пусть для каждой пары ут, ук граничных данных
ут е Ут и имеется непустое множество Do допу-
стимых траекторий, т. е. таких, которые удовлетворяют
дифференциальным уравнениям (1.4.6), граничным ус-
ловиям Yr и (3.1) и вдоль которых фазовые координа-
ты и управления принадлежат множествам Вт и UT со-
ответственно.
Каждая траектория из множества Do ее точкой на
СД делится на два участка — геоцентрический и селено-
центрический. Считается, что активные участки на тра-
екториях из Do располагаются вблизи Земли и Лупы
(на максимальных расстояниях и, pi порядка тысячи
километров, т. е. и « rL, pi < п.). Рассмотрим краевую
задачу интегрирования системы дифференциальных
уравнений (1.4.6) при краевых условиях утеУт и у-,.^
е Ух [1—1963, 4—1966]. При перелете КА между орби-
тами ИСЗ и ИСЛ и обратно в роли множеств Ут и Ух
в краевых условиях выступают элементы спутниковых
орбит у Земли и Луны. В задаче достижения поверхно-
сти Луны множествами Ут и Ух являются элементы ор-
биты ИСЗ и координаты точки посадки на Луне. В за-
даче возвращения с орбиты ИСЛ к Земле этими множе-
ствами будут: Ут — элементы геоцентрических орбит КА
с заданными параметрами в условном перигее и Ух —
заданные элементы орбиты ИСЛ. В задаче возвращения
к Земле с поверхности Луны Ух — координаты точки на
поверхности Луны, Ут — элементы геоцентрической ор-
биты с заданными параметрами в условном перигее.
В задачах облета Луны, кроме обычных условий на
концах, требуется еще, чтобы расстояние пролета КА
от поверхности Луны было не меньше заданного. Поэто-
му задача облета Луны более трудоемка, чем предыду-
щие задачи.
Пусть в краевой задаче, кроме начальных условий Ут
и конечных Ух соответственно, заданы еще фиксирован-
ные моменты времени £т и А- Пусть при t = имеется к
параметров задачи — аргументов щ (/ = 1, ..., к), кото-
рые можно выбирать свободно, не нарушая граничных
условий из множества Ут. Пусть при t = tK выполнение
условия еУх эквивалентно заданию связей между
Гх, Ух вида Fi(aj) = Ff, или F(a) = F, где /с-мерные век-
торы F = {Fj), а = {щ), i, / = 1, . . ., к, а чертой сверху
§ 2.3]
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
59
отмечено заданное значение вектора F. Тогда путем ре-
шения задачи Коши для системы (1.4.6) каждому набо-
ру аргументов а ставится в соответствие в момент t =
= tK какое-то значение функции F(a) = F. Для удовлет-
ворения граничных условий из У?. необходимо при окон-
чании интегрирования системы (1.4.6) в момент време-
ни t>. получить равенства
F{-Fi = 0, i = 1, 2, ...,к. (3.2)
Таким образом, решение краевой задачи эквивалент-
но решению системы нелинейных уравнений (3.2), за-
данной через решения задачи Коши для системы (1.4.6).
Число к уравнений в системе (3.2) в разных задачах
перелета между Землей и Луной может быть различно:
1 к С 4.
Заметим, что для рассматриваемых краевых задач
установить заранее существование решения не всегда
возможно. Решение краевой задачи является нередко
сложной проблемой, и, по-видимому, не существует в
настоящее время универсальных регулярных алгоритмов,
гарантирующих решение подобных задач.
Численные методы решения нелинейных краевых за-
дач являются обычно итерационными [3—1970]. Наибо-
лее распространены итерационные методы Ньютона,
Эйткена — Стеффенсена и различные методы градиент-
ного спуска [1—1962], [3—1970]. Для их сходимости тре-
буется задание начальных значений аргументов а,-, доста-
точно близких к искомому решению.
В каждой конкретной краевой задаче выбор аргумен-
тов а, и функций Fi делается так, чтобы улучшить схо-
димость краевой задачи. Основные трудности решения
краевых задач для перелетов КА между Землей и Луной
обычно вызываются нелинейностью функций F(a). В за-
даче облета Луны при неудачном выборе функций F,
незначительное отклонение вектора а от искомого может
нарушить сходимость краевой задачи.
Поэтому для рассматриваемых краевых задач акту-
альным является вопрос о разработке способов расчета
начальных значений аргументов краевой задачи. Суще-
ствующие приближенные методы расчета траекторий по-
зволяют построить различные алгоритмы вычисления на-
60
МЕТОДЫ ТОЧНОГО РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ. 2
чальных значений аргументов для задач перелета между
Землей и Луной. В некоторых наиболее трудных краевых
задачах приходится получать начальные приближения
для аргументов путем решения предварительной краевой
задачи (построенной для упрощенной модели движения),
Таблица 2.3
№ п/п Наименование задачи Время в минутах
М-222 БЭСМ-6
1 Перелет с орбиты ИСЗ на орбиту ИСЛ или достижение поверхности Луны (активный участок только у Земли) 10 5
2 Перелет с орбиты ИСЗ на орбиту ИСЛ или мягкая посадка на поверхности Луны (два активных участка) 15 7
3 Возвращение от Луны к Земле (один активный участок) 10 5
4 Семисуточный облет Луны с возвра- щением в земную атмосферу 25 15
что приводит к дополнительным затратам машинного
времени.
Таким образом, численное решение краевой задачи
перелета между Землей и Луной в точной постановке
сводится к проведению следующих расчетов: определе-
ние начальных приближений аргументов; решение зада-
чи Коши для системы (1.4.6) (по крайней мере одно
решение на каждой итерации); решение системы нели-
нейных уравнений (3.2), осуществляемое в лучшем слу-
чае за 2к итераций.
При использовании методов ТСД и ИВ для расчета
начальных значений аргументов время численного реше-
ния краевой задачи методом Ньютона в описанной по-
становке для траекторий со временем перелета в одип
конец от 3 до 4 суток приведено в табл. 2.3.
Глава 3
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
И НЕВОЗМОЖНОСТЬ ЗАХВАТА В ОГРАНИЧЕННОЙ
КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК
Определение минимальных начальных скоростей,
обеспечивающих достижение Луны, стало практически
актуальным в конце 50-х годов. В это же время возник
интерес и к вопросу о возможности захвата КА Луной,
т. е. о возможности создания ИСЛ без помощи двига-
теля. Эти вопросы были рассмотрены в работах [1, 2—
1957; 1-1959].
Для теоретического решения вопросов о минимальных
скоростях, необходимых для достижения Луны, и о воз-
можности захвата КА Луной используются уравнения
ограниченной круговой задачи трех точек и энергетиче-
ский подход (аналогичный примененному Хиллом [1 —
1877D.
§ 3.1. Теоретическое решение вопроса
о минимальных начальных скоростях
Рассмотрим круговую ограниченную задачу трех ма-
териальных точек: то — КА, mG — Земля, mL — Луна.
Уравнения этой задачи (1.4.9), записанные в барицент-
рической вращающейся системе координат OxByBzB, име-
ют известный [2—1937] интеграл Якоби.
±V^ = J + h, (14)
где V — скорость КА в системе координат OxByBzB,
h = const.
Движение при фиксированном значении h ограни-
чено поверхностями нулевой скорости, введенными
62
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
[ГЛ. 3
Хиллом:
J = - h. (1.2)
С помощью исследования уравнения (1.2) можно пока-
зать [2—1937], что при больших отрицательных значе-
ниях h движение возможно только внутри несоприкаса-
ющихся поверхностей SG и SL, близких к сферам с цент-
рами mG и mL, да еще вне охватывающей SG и SL оваль-
ной поверхности S. Сечение каждой из поверхностей S,
SG, Sl плоскостью хвув близко к кругу. При начальной
скорости Vq = 0 поверхность проходит через начальную
точку пассивного участка траектории, а с ростом Vo эта
поверхность увеличивается в размерах, удаляясь от тела
mG. Поскольку пассивный участок траектории начина-
ется на расстояниях, много меньших расстояния до Лу-
ны, то при малых значениях начальной скорости Vo
движение может происходить тблько внутри поверхно-
сти SG и сближение с Луной невозможно.
С увеличением начальной скорости Vo величина h
растет, поверхности SG п SL расширяются, сближаясь,
а поверхность S сужается. При некотором Vo = V^
функция Л(Уо) достигнет такого значения h = hi, что
поверхности SG (/i1) = и Sl (/ij = *S'l) будут иметь
одну общую точку L\. При малом значении раз-
ности h — hi они образуют одну поверхность SLG с гор-
ловиной около точки L\. Становится возможным про-
никновение траектории, начавшейся вблизи тела mG,
в область вокруг тела /пг„ что необходимо для сближе-
ния КА с Луной.
Половина сечения плоскостью х.„у„ поверхностей
5g\ Sl\ соответствующих значению "h-hi (кривые
5(1), S%\ 5(2>), представлена па рис. 3.1. Другая поло-
вина симметрична представленной относительно оси х„.
При дальнейшем росте начальной скорости Vo до
значения V(02) функция h(V0) достигает критического
значения h2 > hi, отвечающего соприкосновению поверх-
ностей S(h2) = 5(2) и Slg (jh) = Slg в точке Ь2 (кривые
S{2) и Sl'g на рис. 3.1), так что становится возможным
уход КА от Земли в бесконечность через горловину вбли-
в 3.1]
О МИНИМАЛЬНЫХ НАЧАЛЬНЫХ СКОРОСТЯХ
63
зи точки Т2. Следовательно, минимальная скорость, не-
обходимая для достижения Луны, равна а минималь-
ная скорость, при которой КА может уйти в бесконеч-
ность, равна У(02)-
Кроме критических значений
критические значения й3 > й2 и
hi и Тг2,
£4 > h3.
существуют
Значение h3
соответствует возможности ухода
КА в бесконечность
Рис. 3.1. Сечение критических поверхностен нулевой скорости для си-
стемы Земля — Луна плоскостью лунной орбиты.
через горловину вблизи точки L3 (см. кривую S<3) на
рис. 3.1).
Значение Д4 отрицательно и отвечает исчезновению
кривых пулевой скорости па плоскости .т„у„ в симмет-
ричных относительно оси хв точках Т4 и L3 (точка Z)4
отмечена на рис. 3.1 крестиком), т. е. соответствует воз-
можности ухода КА в бесконечность по любому направ-
лению в плоскости хву„. Исчезновение поверхностей, ог-
раничивающих пространственное движение, происходит
при h = 0.
Точки Li (г = 1, 2, 3, 4, 5) — так называемые точки,'
либрации — расположены в плоскости орбиты Луны и
могут быть найдены как особые точки поверхностей
(1.2). Значение h находится из интеграла Якоби (1.1) при
У = 0 по координатам точек а соответствующие кри-
тические начальные скорости У„г) находятся из того же
64
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ- СКОРОСТИ
[ГЛ. 3
интеграла при h = hi по координатам заданной начальной
точки.
Заметим, что величина критической начальной скоро-
сти получается одной и той же независимо от ее
направления, хотя она изменяется от точки к точке. Од-
нако из выражений (1.4.9) и (1.1) следует, что на сфере
малого радиуса г скорости V(ol) от точки к точке меня-
ются мало.
Таблица 3.1
Точка либра- ции Г 1 р. г 1 vo • Д 2ла /Т L v(i) о 1 км/с
Li 0,8491539 0,1508461 —1,594067 10,60335 10,84890
1,1677237 0,1677237 —1,585991 10,60411 10,84968
L3 0,9929263 1,9929263 —1,506062 10,61165 10,85738
^4’5 1 1 —1,494001 10,61278 10,85854
Оказывается, на сфере, соответствующей высоте
200 км над земной поверхностью, изменение скоростей
Vq1) будет порядка 5-10“7-2nai./7’i., где aL = 384 400 км,
так что практически скорости У(ог) не зависят от положе-
ния начальной точки на сфере. (Здесь, как и при расчете
кривых на рис. 3.1, принималось та: ть = 81,45.)
Результаты расчета расстояний г, и р,- точек либрации
соответственно от Земли и Луны, критических энергий
hi и критических скоростей Vol) приведены в табл. 3.1
(i = l, 2, 3, 4).
Высота начальной точки траектории принята равной
200 км. Такая начальная высота выбрана потому, что
рассчитанные для нее траектории действительны и для
больших начальных высот. Из табл. 3.1 видно, что отли-
чие первой критической скорости от четвертой составляет
величину менее 10 м/с, причем отличие первой скорости
от второй и третьей от четвертой — всего лишь порядка
1 м/с. Расстояние точек либрации L\ и Li от Луны равны
соответственно 58 тыс. км и 65 тыс. км, т. е. обе эти точ-
ки находятся внутри СД Луны, довольно близко от ее
границы.
§ 3.1]
О МИНИМАЛЬНЫХ НАЧАЛЬНЫХ СКОРОСТЯХ
65
Интересно выяснить, что представляют собой траек-
тории минимальной скорости и можно ли вблизи Земли
сообщить КА такую начальную скорость, чуть большую
минимальной, чтобы он по восходящей траектории под-
нялся к точке либрации L\, прошел с малой скоростью
горловину и затем достиг Лупы. Это можно узнать, на-
ходя траектории методом ЧИ па ЭВМ, причем проще это
сделать для случая движения КА в плоскости орбиты
Луны.
В связи с неограниченным возрастанием правых ча-
стей уравнений (1.4.9) при сближении КА с Луной в
плоской задаче было использовано известное преобразо-
вание Тиле [1 —19361. Для его применения начало систе-
мы координат помещается в середину О отрезка mamL,
а за единицу измерения длины вместо aL берется вели-
чина aL/2 (рис. 1.1). Тогда можно написать:
/ / ТП /~ч “ 771 т
яв = с + 2zB, г/в = 2г/в, с = - = 0,9757478. (1.3)
mG "Г mL
Получаются уравнения движения из (1.4.9))
(1.4)
а интеграл Якоби принимает вид
У2 = 2J' + Н, (1.5)
где
J! = 4 И4)2 + (*/в)2] — сх'а> -И > 77 = const.
Lt г р
Преобразование Тиле состоит в переходе к новым
переменным т, и(т) и у(т) по формулам
+ Wb = cos (w + iv), dt = rp dx.
Это преобразование действительно приводит к уравне-
ниям с правыми частями, регулярными по всей конечной
плоскости и, V.
Численные результаты, приводимые ниже, были по-
лучены с помощью решения системы уравнений движе-
ния в переменных т, и, v. Удобным средством контроля
точности оказался интеграл Якоби (1.5).
5 В. А. Егоров, Л. И. Гусев
66
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
[ГЛ. 3
Была вычислена траектория полета с первой крити-
ческой скоростью Vo — V™, направленной перпендику-
лярно начальному геоцентрическому радиусу г в сторону
вращения Луны. Для этого направления геоцентриче-
ская начальная скорость КА, как видно из рис. 1.1, была
максимальной. Траектория начиналась на высоте 200 км
Рис. 3.2. Траектория полета КА с минимальной критической начальной
скоростью, вычисленная во вращающихся координатах. Критическая
кривая пе достигается в течение месяца.
при р = aL. Оказалось, что эта траектория возвращается
к Земле, пе доходя до критической точки L\ примерно
па 30 тыс. км. Были прослежены еще пять оборотов
указанной траектории на интервале, превышающем
месяц, но апогейное расстояние практически не изме-
нилось.
Вычисленная во вращающейся системе координат
Охвув траектория приведена на рис. 3.2 (траектория
§ 3.1]
О МИНИМАЛЬНЫХ НАЧАЛЬНЫХ СКОРОСТЯХ
67
шестого оборота не показана, так как она пересекается
с траекторией первого, время полета здесь и далее отме-
чено вдоль кривых в сутках). В певращающейся гео-
центрической системе тоху (ось х параллельна оси х*
в момент t = 0, рис. 1.1) виткам типа восьмерки на
рис. 3.2 отвечают кривые, обходящие т0 в том же на-
правлении и ложащиеся почти на один и тот же эллипс
с фокусом та, рост апогейного
радиуса хотя и заметен, ио
мал (рис. 3.3).
Если для какой-либо траек-
тории полета КА с начальной
скоростью Уо == поверх-
ность Sg'1 рано или поздно до-
стигается, то из приведенного
расчета следует, что это щрои-
зойдет лишь через достаточно
большое количество оборотов
вокруг центра Земли та.
Были вычислены также
траектории, отличающиеся от
рассмотренной направлением
начальной скорости. Оказалось,
что для апогейного расстояния
первого витка выбор направле-
ния начальной скорости не
безразличен, а именно, апогей-
иое расстояние оказывается тем
больше, чем больше величина
геоцентрической начальной
скорости.
Заметим, что первые витки
Рис. 3.3. Представление в гео-
центрических координатах
траектории на-рис. 3.2. Замет-
но увеличение орбиты под
действием лунных возмуще-
ний.
всех вычисленных траекторий
с Уо = в невращающейся
геоцентрической системе коор-
динат оказываются очень близ-
ки (как и кривые на рис. 3.3)
к эллипсам с фокусом в центре Земли. То же относится
п к траекториям с Ео = У(ог), 1 = 2, 3, 4. Па первом обо-
роте эти траектории не только по достигают поверхностей
S^G, 6'(з),но даже не доходят до поверхности 5^ (рис. 3.1).
5*
68
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
[ГЛ. 3
Для траекторий с минимальной начальной скоростью,
пе лежащих в плоскости лунной орбиты, влияние возму-
щений от Луны не больше, чем для рассмотренных тра-
екторий в плоскости лунной орбиты. Поэтому получен-
ные для плоской задачи результаты справедливы и для
пространственной задачи.
Таким образом, минимальные скорости, полученные
теоретическим путем с помощью интеграла Якоби, для
достижения Луны на первом обороте вокруг Земли (что
как раз наиболее интересно) оказываются недоста-
точными.
§ 3.2. Траектории с минимальной геоцентрической
начальной скоростью
Из факта, что траектории полета с минимальными
скоростями в геоцентрических координатах оказались на
первом обороте очень близкими к соответствующим
эллипсам с фокусом в центре Земли, следует, что для та-
ких траекторий влияние Луны на первом обороте прак-
тически несущественно. Это наводит на мысль попытаться
найти приближенные значения минимальных скоростей
для достижения Луны на первом обороте, полностью пре-
небрегая влиянием Луны. В этом случае движение будет
определяться начальной скоростью V\ в невращающейся
геоцентрической системе координат mGxy (рис. 1.1).
Пусть ось х направлена от mLii=o к rnG|(=0, ось у —
против Vb!(=0. Минимальная геоцентрическая начальная
скорость V], как нетрудно понять, должна находиться из
условия достижения апогейпого радиуса та, равного рас-
стоянию до Лупы, если задан угол щ между направле-
нием Vi и начальным геоцентрическим радиусом Гь Вы-
ражение для большой полуоси а эллипса, достигающего
орбиты Луны с минимальной .начальной скоростью,
имеет вид
9 9 • 2
sin ах
2 (а п — гх sin2 а )
(2.1)
Его можно получить, используя условие, что радиус точ-
ки 2 встречи с Луной r2 — aL = га, где га = а(1 + е) есть
§ 3.2J
ТРАЕКТОРИИ С МИНИМАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ
69
апогейный радиус. По теореме косинусов
(2ае)2 — ri + (2а — гД2 — 2т\ (2а — rj cos (л — 2ах)
для треугольника maA]F (рис. 3.4), где F— «пустой» фо-
кус искомого эллипса, а угол 2ai между фокальными ра-
диусами по свойству эллипса делится пополам направ-
лением скорости Vi в начальной точке исключая
Рис. 3.4. Расчет попадания в Луну без учета ее возмущающего дей-
ствия.
эксцентриситет е эллипса из полученных двух уравнений,
с помощью геоцентрического интеграла энергии найдем
а и минимальную начальную скорость Vi(ri, aj:
' у2 —
1 — г, а
(2.2)
Для высоты 200 км и вертикального направления (а = 0)
величина минимальной начальной скорости И; =
= 10,90525 км/с. Эта величина примерно на 60—50 м/с
превышает геоцентрические скорости, отвечающие соот-
ветственно первой — четвертой критическим скоростям
при <zi 0.
Из выражений (2.1) и (2.2) следует, что с изменением
направления начальной скорости от вертикального до
70
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
[ГЛ. 3
горизонтального, т. е. при изменении значения угла ai
от 0 до л/2, величина начальной скорости V\ монотонно
растет. Следовательно, приведенное значение начальной
скорости, соответствующее вертикальному ее направле-
нию,— наименьшее из минимальных для разных значе^
ний ai. Однако его отличие от значения, отвечающего
горизонтальному направлению, невелико. Например, при
начальной высоте 200 км это отличие составляет всего
лишь 1,6 м/с.
Положение начальной точки пассивного участка попа-
дающей траектории рассчитывается достаточно просто.
По величине УД и направлению <%] начальной скорости
находятся параметры эллипса с помощью формул [1 —
1968, стр. 46, 47]
р = 2rxp sin2 an е = j/1 4- 4Р (Р — 1) sin2 ax,
cos О’(г) — — (— — 1\ р = Г„ 1 -1,
е \r J г Ип (ri) J
где параболическая скорость Vn(^i) = V2pG/ri « 11 км/с
для высоты 200 км, угловое расстояние Ф1 = О(гь)—O(ri)
и время полета между начальной А] и конечной mL
точками пассивного участка траектории. Начальное по-
ложение, соответствующее достижению Лупы, находится
из условия встречи КА с Лупой в упрежденной точке.
В случае полета в плоскости орбиты Луны начальное
положение определяется только углом X начального ра-
диуса с осью х. При условии, что в начальный момент
времени вращающаяся ось хъ совпадает с певращающей-
ся осью х, имеем (рис. 3.4)
ерь = Фо = Фх sign — cpL; X = л sign ax — Фп,
(2.3).
где Шь — угловая скорость обращения Луны. Для отсчета
всех углов здесь и в дальнейшем положительным счита-
ется направление против часовой стрелки.
Траектории, определяемые уравнениями (1.4) и на-
чальными данными, получаемыми из формул (2.1) — (2.3),
были найдены численным интегрированием регулярпзо-
ванных уравнений для значений ах = — у, 0, ф- — и
§ 3.2]
ТРАЕКТОРИИ С МИНИМАЛЬНО!! СКОРОСТЬЮ
71
ряда близких значений. Одна из траекторий представле-
на па рис. 3.5. Оказалось, что условие ra = aL дает мини-
мальную скорость, необходимую для достижения центра
/Гуны, достаточно точно (с точностью порядка 0,02 м/с),
Рис. 3.5. Отличие попадающей траектории II от соответствующего эллип-
са I при минимальной начальной скорости.
так что соответствующие начальные данные действитель-
но можно рассчитывать, полностью пренебрегая влияни-
ем Луны.
Полученный результат означает, в частности, что для
попадания в Лупу недостаточно достигнуть удаления, на
котором притяжения Земли и Луны равны (соответству-
ющее отличие начальной скорости V} от местной пара-
болической AVi = —107 м/с). Это подтвердили расчеты
соответствующих траекторий с учетом притяжения Луны
72
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
[ГЛ. 3
для ai = —л/2, 0, +л/2 (см., например, на рис. 3.6 тра-
екторию для а; = +л/2).
Заметим, что даже в случаях, изображенных на
рис. 3.5 и 3.6, когда КА и Луна до сближения обходит
Землю в одном направлении и влияние Луны особенно
сильно, траектории с учетом влияния Луны (жирные
Рис. 3.G. Возмущение Луной эллипса, достигающего в момент t = 4,03 сут
точки равенства притяжений Земли и Луны.
кривые) и без учета (тонкие кривые) до входа в СД Лу-
ны (круг радиуса р = р*) практически совпадают. При
скоростях, больших минимальных, влияние возмущений
сказывается еще меньше.
Теперь можно получить простое объяснение, почему
в системе Охвуъ при начальной скорости, несколько боль-
§ 3.31
НЕВОЗМОЖНОСТЬ ЗАХВАТА КА
73
шей первой критической скорости Vq1 (§ 3.1), КА не
может на первом обороте траектории подняться к точке
Li либрации, пройти горловину с очень малой скоростью
и достигнуть Луны. Действительно, геоцентрическая кон-
станта площадей C(Li), соответствующая относительному
покою в точке L\, превосходит начальную константу пло-
щадей С(Л1) по меньшей мере в 3,9 раза, и возмущения
от Луны не могут свести эту разницу к нулю в течение
одного оборота.
Оценим количество оборотов, необходимое для дости-
жения критической кривой (рис. 3.1) при первой
критической начальной скорости.
Поскольку для траектории, представленной на
рис. 3.2, при начальной величине константы площадей
С(.Л{) = 71 300 км2/с за шесть оборотов накопилась ве-
личина - изменения векториальной скорости АС ==
= 6810 км2/с, то можно ожидать, что для достижения
кривой Sg^ потребуется количество оборотов
ДС1
282 000 - 71 300
6810
6 « 186,
т. о. порядка 200 оборотов.
Заметим, что отличие геоцентрической энергии КА,
находящегося в относительном покое в точке L\, от гео-
центрической энергии КА, имеющего критическую на-
чальную скорость У^, ничтожно по сравнению с его
начальной кинетической энергией. Поэтому возмущаю-
щее действие Луны при начальных скоростях КА, близ-
ких к У^, в основном сводится к изменению геоцент-
рической векториальной скорости Сь
§ 3.3. Невозможность захвата КА меньшей
из притягивающих масс
при достаточно малом отношении этих масс
Определения.
1. Захватом в общей проблеме трех материальных то-
чек называется явление, при котором три точки, находясь
первоначально на бесконечно больших взаимных рассто-
яниях, сближаются таким образом, что после сближения
74
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
[ГЛ. 3
одно из взаимных расстояний навсегда остается ограни-
ченным (ср. [1 —1961]).
2. Захватом в ограниченной круговой задаче трех
точек можно назвать явление, при котором точка пуле-
вой массы, приблизившись из бесконечности к системе
конечных масс, не удаляется от нее снова в бесконеч-
ность, а навсегда остается на ограниченном расстоянии.
3. Захватом точки т0 нулевой массы меньшей притя-
гивающей массой mL можно назвать явление, при кото-
ром точка т0 приходит в ть-центрическую сферу радиу-
са- р„ = fli.(p/3)n, п > 1/3, с расстояния р° > pi и навсегда
в ней остается. Здесь аь и pi суть ть-центрические рас
стояния массы та и первой точки либрации 41, ц =
= mL-/(mff + mr). Заметим, что па критической поверхно-
сти Sl> нулевой скорости (рис. 3.1) max р реализуется
ч(1)
sl
в точке Li, так что при изменении р вдоль траектории
от р° > pi до рп имеем для этой траектории h > h\.
Невозможность захвата Лупой КА, запущенного с
Земли, па первом витке его траектории была доказана
в [1—1959J. Там же для произвольных траекторий в ог-
раниченной круговой задаче трех тел была доказана
теорема о невозможности захвата точки т0 меньшей мас-
сой mL для случая достаточно малых отношений притя-
гивающих масс (меньших 10-4). Однако решение задачи
о захвате для отношения массы Луны к массе Земли и
для произвольного отношения притягивающих масс до
nix пор не получено.
Рассматривая траектории движения точки то в фа-
зовом пространстве, т. е. в пространстве координат и ско-
ростей, Хопф показал [1—1930], что при ограниченных
значениях начальных данных точка т0 с беспредельным
возрастанием времени, вообще говоря, либо стремится
сколь угодно близко подойти к границе области возмож-
ного движения, либо многократно проходит сколь угодно
малую окрестность начальных данных. Пришедшая же
из бесконечности точка пулевой массы, вообще говоря,
со временем снова удаляется в бесконечность. Слова «во-
обще говоря» понимаются здесь в том смысле, что мно-
жество начальных данных, для которых характер дви-
жения является иным, имеет лебегову меру нуль.
§ 3.3]
НЕВОЗМОЖНОСТЬ ЗАХВАТА КА
75
Интересен вопрос, существуют ли вообще подобные
исключительные начальные данные. Ведь среди траек-
торий именно с такими начальными данными должны,
очевидно, находиться траектории захвата, а также траек-
тории превращения КА из спутника одной притягиваю-
щей массы в спутник другой массы (если, конечно, и те
и другие траектории существуют).
Последние траектории, очевидно, представляют инте-
рес для создания искусственных спутников Луны и пла-
нет без помощи двигателя. Действительно, хотя исклю-
чительные начальные данные таких траекторий невоз-
можно реализовать в точности, все же, реализуя доста-
точно близкие к пим данные, можно было бы получать
траектории, делающие достаточно большое количество об-
ращений вокруг Лупы (или планеты), прежде чем уда-
литься от нее.
Докажем теорему, согласно которой в ограниченной
круговой задаче трех точек в случае, когда одна притя-
гивающая масса достаточно мала по сравнению с дру-
гой, захват точки пулевой массы невозможен. Доказа-
тельство проведем, заменив сначала в определении 3 за-
хвата сферу р = р„ сферой притяжения р = рт.
Сферой притяжения меньшей массы по отношению к
большей называется область пространства, в которой
притяжение меньшей массы сильнее притяжения боль-
шей. Приравнивания притяжение меньшей массы mL
притяжению большей mG, можно получить уравнение
границы сферы притяжения с радиусом
«ь /й ™ Н=
и с центром, смещенным из точки mL по прямой mGmL
в сторону, противоположную mG, на расстояние ц/(1—
—2ц). Здесь и далее в гл. 3 используются единицы из
§ 3. J, в которых aL =1, pG + Цд = 1, ц = ць. Так как для
малых ц радиус сферы притяжения с точностью до ц3/2
равен Уц, а смещение ее центра из точки mL мало по
сравнению с радиусом, то для малых ц отличием радиу-
са от Уц и смещением центра можно пренебречь по срав-
нению с Уц, считая сферой притяжения точки mL сферу
радиуса рт = Уц с центром в точке mL.
76
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
[ГЛ. 3
Для доказательства того, что пришедшая издалека
точка не может навсегда остаться в сфере притяжения
меныпеп массы, рассматривается оскулирующес Ш/.-цепт-
рическое коническое сечение. Доказательство состоит из
двух частей. Сначала докажем для малых р, вспомога-
тельную лемму, а затем при ее помощи для случая, ког-
да оскулирующее коническое сечение есть эллипс, и не
прибегая к пей — для других случаев докажем, что при
достаточно малых р точка нулевой массы должна неиз-
бежно выйти из сферы притяжения меньшей массы отно-
сительно большей.
Лемма. Если при достаточно малом р точка пуле-
вой массы пришла с расстояния р° > pi в сферу притя-
жения р = рт массы mL, то, пока опа находится в этой
сфере, большая полуось оскулирующего Щь-центрическо-
го эллипса а' > 2рт.
При рассмотрении поверхностей Хилла (см. § 3.1)
указывалось па существование точек либрации Li (i = 1,
2, 3) как особых точек этих поверхностей. Соответству-
ющие значения А,- постоянной интеграла Якоби находят-
ся из (3.1.2) по координатам г{, р,- точек L,-. В частности,
для 4 = 1,2 находим, что
г = т ,[(1-Ю + (-1)^]2 , 1-р , р
г 1 * + 1 + (- 1рР{ + Pi’
При малых ц для 4 = 1, 2, используя результаты (1 —
19371, можно получить
__ / р \1/3 (-l)i I р \2/3 1 / Р ХЗ/'З
"’9’М ’ (31)
- 2А{ = 3 + 9 J273 - [3 + (- I)12] (-р3/3
с точпостью до (ц/3)4/3. Так как величины р,- — порядка
ц1/3, а величина рт = р1/2, то для достаточно малых ц
имеем pT<Z р, (4' = 1, 2). Из анализа эволюции поверх-
ностей нулевой скорости с изменением постоянной h сле-
дует, что если точка т0 приходит в сферу притяжения
по траектории, начинающейся на расстоянии р° > pi, т. е.
вне области Sl^ (рис. 3.1), то h>h\ (а если, в част-
ности, т0 приходит из бесконечности, то h > /42).
§ 3.3]
НЕВОЗМОЖНОСТЬ ЗАХВАТА КА
77
Сделаем теперь преобразование интеграла Якоби к
ть центрическим кеплеровым оскулпрующим элементам
а, р', i (подобное преобразование используется при вы-
воде известного условия Тиссерана [2—1937J). Для этого
перейдем сперва от вращающейся системы координат
•СРЛ к перемещающейся поступательно /п^-цептриче-
скоп системе координат плоскость которой сов-
падает с плоскостью .7'вУв, а ось | в момент t = 0 совпа-
дает с осью х„ (рис. 1.1). Интеграл Якоби в переменных
примет вид
-u,2 + ^ + 2^-n§U(l-p)2-
— 2(1 — р) (£ cos t + г] sin Z)-= — 2h,
где w — скорость в системе £т]£. Используя теперь фор-
мулы теории конических сечений 12—1937, стр. 140]
2 2р it «. dn di , г—,
w1 = —----г, S -sr — Л тл- = У ЦР cos I
р а ' dt 1 at г
(.р', Z'— параметр. п наклонение конического сечения) и
очевидную из рис. 1.1 формулу g cos t + ц sin t = р cos 0Р,
где 0р — угол между вектором р и осью хв, получим
-^7-+ 2 У р.р' cos i' = — 2h — (1 — р) (1—р)—2pcos0p4~J.
(3.2)
Предполагая, что стало р < рт, и используя разложе-
ние по степеням р согласно выражению
г2 = 1 — 2р cos 0р + Р2,
с учетом неравенства —2h < — 2hi получим неравенство
-^ + 2/^cosi'<9 0^2/3+ рУ, (3.3)
где
2
F = -Т + у- - 3 cos2 0р) (! - н) + И1/3^1> (3.3')
а функция Fi конечна. В силу условия р< 7р функция
F тоже конечна.
78
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
[ГЛ. 3
Будем теперь вести доказательство от противного.
Если предположить, что а < 2рт, ио неравенство (3.3)
можно усилить, положив cos i' = — 1, р' = а! = 2рт; тогда
получим
Р1/2 - 2/2 ц3/4 < 9 (д-)2/3 +nFi. (3.4)
Так как младшая степень ц слева меньше, чем справа,
то при достаточно малых р. последнее неравенство про-
тиворечиво. Это означает, что при р < рт имеем а' > 2рт.
Тем самым лемма доказана.
Докажем теперь, что если отношение притягивающих
масс достаточно мало, то пришедшая с расстояния p°>pi
(или из бесконечности) точка пулевой массы, войдя в
сферу притяжения р = рт меньшей массы относительно
большей, неизбежно выйдет из этой сферы. Иначе гово-
ря, докажем, что есди начальное расстояние р° точки та
от меньшей массы удовлетворяет неравенству р° < рт, то
со временем неизбежно достигается расстояние р > рт.
Это утверждение может показаться очевидным при
а' < рт, но на самом деле оно нуждается в доказатель-
стве. Действительно, при отсутствии возмущений точка
т0 после входа в сферу притяжения и сближения с цент-
ром притяжения mL удалилась бы от пего благодаря ус-
ловию а' > рт па максимальное расстояние р.« > рт. Од-
нако при наличии возмущений максимальное и мини-
мальное расстояния на оскулирующем эллипсе иногда во-
обще могут не достигаться. Например, при движении
спутника по круговой орбите в экваториальной плоскости
сжатого земпогс эллипсоида апогейный радиус оскули-
рующего эллипса никогда пе достигается (см. (3—1957]).
Точно так же при движении кругового спутника в эква-
ториальной плоскости вытянутого эллипсоида вращения
никогда пе достигается перигейный радиус. Хотя в рас-
сматриваемой задаче возмущения кеплеровского движе-
ния массой та отличны от возмущений, производимых
несферичностыо в приведенных примерах, все же заранее
не очевидно, что после входа точки т0 в сферу притя-
жения массы mL расстояние р(7) не будет со временем
асимптотически монотонно приближаться к некоторому
предельному расстоянию р < рт или не будет осциллиро-
вать, пе достигая значения рт. Если же будет доказано,
§ 3.3]
НЕВОЗМОЖНОСТЬ ЗАХВАТА КА
79
что ни тот, ни другой характер изменения не возможен,
то точка т0, действительно, со временем удалится от
массы mL на расстояние, превышающее радиус сферы
притяжения.
Чтобы получить уравнение, определяющее изменение
р со временем, воспользуемся уравнениями т^-центриче-
ского движения [2—1937], линеаризованными для малых
р и записанными в векторной форме:
р = — Р —(1 — р) Р + [3 (1 — ц) р cos 0Р1 (— гь).
Первый член правой части здесь выражает тяготение
массы mL, а остальные члены — возмущающее влияние
массы mG. Точки над буквами здесь и далее обозначают
дифференцирование по времени. Уравнение, определяю-
щее p(i), получим из последнего векторного уравнения
при помощи скалярного умножения на вектор р и при-
менения известного тождества
РР = РР + Й2 —Р2),
где w = IpI.
Уравнение для определения р примет вид
рр = — -^---(1 — р) р2 + 3 (1 — ц) р2 cos2 0Р + w2 — р2.
Поскольку в каждый момент по определению оскулиру-
ющей большой полуоси a'U) имеем
,,,2 _ 2Р___р_
Р W’
то после приведения подобных членов получим
РР + Р2 = - (1 - И) (1 - 3 cos2 0Р) р2 (3.5)
или, после умножения на 2рр и интегрирования,
(РР)2 - (РоРо)2 =
р2 р4
= 2ц (р - р0) - f С (1 — 3 cos2 0Р) dp*, (3.6)
и а \р ) & J
Л 4
ро ₽0
где Ро < рт (нулем отмечены начальные значения).
80
НЕОБХОДИМЫЙ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ [ГЛ. 3
При помощи уравнения (3.5), пользуясь малостью
возмущений для малых ц, можно доказать (от противно-
го), что а > 2рт и величина р(£) при t -> °° не может
неограниченно и монотонно приближаться к константе
рс < рт. Действительно, если уравнение (3.5) умножить
па р, заменить в правой части р на Арт = кУ щ где к < 1,
и перейти к пределу при t -* °°, то, поскольку предел
левой части равен нулю, получим после сокращения на ц
0 = lim 1---------(1 —
а
н) (1 — 3 cos2 0Р) к3 ]/ р
Разность двух первых членов в квадратных скобках в си-
лу условия р < рт и доказанного выше утверждения а >
> 2рт всегда превосходит 1/2, а третий член сколь угод-
но мал для достаточно малых р. Следовательно, рассмат-
риваемое равенство противоречиво, и расстояние р(£) пе
может с ростом времени t неограниченно приближаться
к константе рс < рт. Из доказанного факта следует, что
точка т0, приблизившись к массе тъ на некоторое мини-
мальное расстояние, начнет от нее удаляться (как и при
отсутствии возмущений). Если допустить, что точка т0
пе выходит со временем из сферы притяжения р = рт,
то должно достигаться в некоторый момент макси-
мальное расстояние.?^ < рт. Покажем, что при а' > 2рт
это невозможно.
Положив в уравнении (3.6) р = pjV, используя условие
р(£м) = 0 и применяя теорему о среднем, получим урав-
нение для определения рм:
(РоРо)2 = (Рм Ро)
— -7- (рм — Ро) — (1 — 3 cos2 9ср) (рм — Ро), (3-7)
а _ "
г -, ° ср
где аср и 0ср — некоторые средние па интервалах [ро,
Рм] и [ро, Рм] значения функций гг'(р2) и 0Р(р4). По-
скольку согласно доказанному a'(i) > 2рт, то и аср > 2рт.
Корень рм этого уравнения четвертой степени можно
найти точно, но для наших целей достаточно доказать,
ЧТО рлг рт-
Допустим противное, т. о. предположим, что p.v < рт.
Заменяя в (3.7) левую часть нулем, получим неравенство,
§ 3.3]
НЕВОЗМОЖНОСТЬ ЗАХВАТА КА
81
которое делением на р(р«—ро) > 0 приводится к виду
2 <; —о _|_ ——~ (1 — 3 cos2 9Ср) (рм 4- р0) (рм + ро) •
аср
(3-8)
При помощи соотношений р.ч < рт, ро < Рт и аСр> 2рт
каждый член правой части неравенства (3.8) можно уве-
личить и получить
2< 14- ^-1-2рт.2р?. (3.9)
Поскольку р? = п, то для достаточно малых р последнее
неравенство противоречиво. Значит, рм > рт, и теорема
для случая, когда оскулирующее коническое сечение яв-
ляется эллипсом, доказана.
В случае, когда оскулирующее коническое сечение яв-
ляется параболой или гиперболой, доказательство неиз-
бежности выхода точки т0 из сферы притяжения почти
тривиально. Действительно, в случае параболы а = °°,
в случае гиперболы а < 0, и доказательство того, что
расстояние точки от массы ть после входа в сферу
притяжения не может асимптотически приближаться к
константе рс < рт, остается в силе. В отличие от случая
эллипса в данном случае после прохождения минималь-
ного расстояния радиальная скорость р не может обра-
титься в нуль на конечном расстоянии р от центра при-
тяжения, и поэтому точка т0 со временем выйдет из
сферы притяжения. Следовательно, теорема доказана и
для случаев, когда оскулирующее коническое сечение
является параболой или гиперболой.
Возможен еще случай, когда при удалении точки то
от массы mL тип оскулпрующего конического сечения
меняется один раз пли более. Доказательство в этом слу-
чае, очевидно, является простой комбинацией предыду-
щих доказательств.
Таким образом, полностью доказана следующая
Теорема. Если в круговой ограниченной проблеме
трех точек отношение притягивающих масс достаточно
мало, то точка нулевой массы, пришедшая с расстояния.
p°>pi [или из бесконечности') в сферу притяжения
меньшей массы, обязательно выйдет из этой сферы.
6 В. А. Егоров, Л. И. Гусев
82
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
[ГЛ. 3
§ 3.4. Замечания
1. Если вместо сферы притяжения пользоваться
сферой действия массы mL, то доказательство проводится
аналогично.. Для малых р. сфера действия по форме
близка к Шь-центрической сфере, радиус которой в на-
ших единицах выражается формулой р = ц2/5 [2—19371.
Доказательство теоремы при замене рт на р проходит
потому, что младшие степени ц в левых частях (3.4) и
(3.9) по-прежнему оказываются меньше, чем в правых.
Степени выравниваются и противоречие исчезает тогда и
только тогда, когда вместо рт используется величина по-
рядка ц!/3, т. е. порядка расстояния pi точки либрации Lj
от mL. Если вообще размеры окрестности точки mL опре-
деляются величиной порядка ц", то доказательство оста-
ется справедливым при п > 1/3. Если п 1/3, то вопрос
остается открытым.
2. Если, обобщая [1 —19461, принять определение 3
захвата, то доказанная выше теорема утверждает, что
захват точки нулевой массы m-о меньшей массой mL не-
возможен. Однако эта теорема не означает, что захват
точки т0 системой масс mGmL вообще невозможен. Дей-
ствительно, из нее не следует, что пришедшая из беско-
нечности точка не может навсегда стать спутником си-
стемы масс mGmL, иногда удаляющимся от массы mL на
расстояние, превышающее, например, расстояние pi от
mL до точки либрации Lx.
3. Так как доказательство теоремы проводилось одно-
временно для значений h — hz и h = h[, то пз пего сле-
дует, что при достаточно малых m'L невозможен п захват
массой mL точки, пришедшей в сферу тяготения массы
mL (или в се сферу действия) не из бесконечности, а пз
области с границей 8с,\ окружающей массу т,;. В част-
ности, если у массы niG имеется спутник с орбитой, ох-
ватывающей mL в системе координат zuj/„, то он не мо-
жет быть захвачен массой ть при достаточно малом ц.
4. Наибольшие значения ц, при которых неравенства
типа (3.4), (3.9) противоречивы, имеют порядок 10-4,
как можно непосредственно проверить, считая, что функ-
ция F[ в уравнении (3.4) есть величина порядка едини-
цы. Поэтому для большинства планет Солнечной системы
§ 3.4]
ЗАМЕЧАНИЯ
83
захват планетой частиц малой массы представляется не-
возможным. Для Юпитера, масса которого составляет
около 0,001 массы Солнца, вопрос о возможности захвата
частиц малой массы остается открытым.
5. Доказанная выше теорема неприменима к системе
Земля — Луна (|ii. > 0,01), однако важный вопрос о воз-
можности захвата Лупой КА, запущенного с Земли по
облетной траектории, может быть приближенно решен
весьма просто. Для такой траектории можно, пренебре-
гая возмущениями от Лупы вне ее СД и от Земли —
внутри СД, получить приближенные оценки селеноцент-
рической скорости входа в СД U = V2—Vb, где V2 и
Vb — геоцентрические скорости КА и Лупы в момент
входа. Захват КА Луной для таких траекторий представ-
ляется невозможным, потому что их участки, располо-
женные внутри СД Лупы, в перемещающейся поступа-
тельно селеноцентрической системе координат всегда
близки к гиперболам. При этом па СД селеноцентриче-
ская скорость U превосходит местную параболическую
скорость U*t = 2ць/р* = 0,383м/с весьма существен-
но — более чем вдвое, так что облетная траектория явля-
ется (согласно определению § В.1) траекторией сближе-
ния п должна выйти из СД па первом же обороте во-
круг Лупы. Проверку неравенства U^>2Un проведем в
три этапа.
Первый этап. Покажем, что при начальных ско-
ростях, меньших параболической для Земли, т. е. при
геоцентрических энергиях hi < 0, трансверсальная ком-
понента И2т входной геоцентрической скорости V2 не
превосходит 0,22 км/с. Из геоцентрических интегралов
энергии и площадей
г V
V — я я
У ОТ --- -----,
Г2
_ а г
где перигейный радиус гл гу « и входной геоцент-
рический радиус r2 > aL — р* (аь — расстояние mcmL, гт —
радиус верхнего слоя атмосферы Земли), получим
т/ 1^2РсгЛ 1^2l-lGrT
г 9Т 5
ЯЬ~Р* «Ь-Р*
6*
84
НЕОБХОДИМЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ СКОРОСТИ
[ГЛ. 3
или Г’2, Ss l'2pG/(aL —р^)1 Ум, где лщ = г^аь — р») мало.
Имеем T'2pG/(<7r,—р#) 1 ,-г>3 км/с, r,v ~ 1/50, Yvm ~ 1/7,
Угг < 0,22 км/с.
Второй этап. Покажем что для hi < 0 одна
лишь проекция U, = V2;—VL; вектора U па направление
1, перпендикулярное вектору г2 и параллельное плоскости
луппой орбиты, превосходит более чем вдвое. Для это-
го в певращающейся правой системе координат mGxyz.
направления осей ху которой получаются фиксацией вра-
щающихся направлений х„уа (§ 1.4) в момент t2 входа
в СД, оценим компоненты вектора г2:
I r2xl aL р*, I Г2у I ' Р*.
Скорость Лупы VL = (0, —VL, 0), а направление 1 имеет
косинусы (r2s//x„, — r2x/rxy, 0), где
Имеем VLl = VL < V J1 + (Г Г'2 « 0,987L «
rx,j L \aL - P*J J
«1км/с, V2[^V2X (так как 1-L г2), так что
> 0,78 км/с > 2J7n.
Третий этап. Покажем, что при hi > 0 величина
( Ur|>2J7n, где Ur — радиальная компонента вектора
U. Для этого покажем, что угол а2 между векторами V2
и г2 невелик: sin а2 < 1/7. Действительно, из интегралов
энергии и площадей
Vy = 2pG/r1 + V2 — 2pG/r2, sinа2 = r1V1 sin
где Vi и од — величина геоцентрической скорости и угол
ее с начальным радиусом Г1, ц = гт, имеем
2pG/'’v ^11н/г2
V2
k о
Правая часть с ростом V2 убывает, поэтому при И2^
имеем sin a2 < Vvm ~ 1/7; cos a2 0,98. Проекти-
г2
руя вектор U на направление г2, получим Ur = И2г — И£г,
§ 3.4]
ЗАМЕЧАНИЯ
85
где = 'z2 cus a2 O.'JBVj 0,98 ]/ 2ри-’(аь + P*) ~
^1,3 км/с,
I Vf TI < Vl I r,2v 1 < Vr p* = 4- VT « 0,2 км/с,
1 ,,r| " r, - 111. ~ P* •’
t. e. Ur (1 ,3—0,2) км/с — 1 ,|km/c> 211*, что и тре-
бовалось доказать.
Из § 3.2 следует, что влияние возмущения геоцентри-
ческого движения Луной вне ее СД на первом обороте
траектории вокруг Земли несущественно даже при эл-
липтической начальной скорости Ир При гиперболической
скорости Vi это влияние еще меньше. По определению
СД (§ В.1) столь же несущественно влияние возмущений
от Земли внутри СД. Другими словами, возмущения от
Земли, хотя и достигают па СД величины порядка 0,5 от
притяжения Луны, все же не смогут заметно изменить
гиперболический характер движения внутри СД. Поэто-
му КА, войдя в СД, выйдет из нее па первом же обороте
вокруг Луны (если только не разрушится от удара о лун-
ную поверхность).
6. Аналогичным образом для системы планета —
Солнце, пренебрегая возмущениями, можно показать, что
захват планетой КА, запущенного с Земли, на первом
его обороте вокруг Солнца не может иметь места. При
этом погрешности от пеучета возмущений, т. е. влияния
планеты вне ее СД и влияния Солнца в СД планеты,
будут гораздо меньше, чем в задаче о полете к Луне.
Гиперболичность скоростей КА, запущенного с Земли,
в СД планеты оказывается гораздо большей, чем в СД
Лупы. Скорости входа КА, запущенного с Земли, в СД
планеты назначения будут наименьшими для Марса и
Венеры. По и они приблизительно втрое превосходят
местные планетоцёптрические параболические скорости
па СД планеты. Таким образом, захват планетой КА, за-
пущенного с Земли, па первом его обороте вокруг Солн-
ца также представляется невозможным.
7. Если в методе ИВ минимизировать относительную
погрешность расчета w-центрической скорости U на ма-
лой w-центрической сфере р = рв < rL. выбором радиуса
рв, то получается оптимальное значение рв = г^р,173 (см.
Приложение 10).
Г л а в a 4
ПРИБЛИЖЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ
СБЛИЖЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННОЙ
КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК
§ 4.1. Применение метода игнорирования
возмущений к траекториям сближения
В § В.2 было дано следующее
Определение. Траекторией сближения (ТС)
в ограниченной круговой задаче трех точек mG, mL, mo
называется траектория, входящая в сферу действия мас-
сы- mL с существенно гиперболической w-центрической
скоростью.
Слово «существенно» здесь означает, что возмущение
/Пь-центрического движения внутри СД массой та не
может нарушить гиперболичности этого движения, так
что ТС, войдя в СД, должна выйти из нее. Оно означает
также, что окрестности границы СД проходятся доста-
точно быстро, так что возмущения движения вне СД
(массой mL) тоже не успевают накопиться.
Начинаться ТС может в бесконечности или на конеч-
ном расстоянии ро от mL, причем далее предполагается,
что ро > pi, где pi — расстояние от mL до первой точки
либрации Lj.
Поскольку ТС, войдя в СД, обязательно выходит из
нее, то ТС можно разбить на три участка 1\2, 72,3 и
Г3.к, по которым соответственно движение происходит к
СД, внутри СД и от СД.
Возмущение г«с;-центрического движения массой mL
вне СД невелико, и столь же мало сказывается и возму^
щепие ть-центрического движения массой та внутри
СД (как следует из определения СД); поэтому всюду воз-
мущениями но сравнению с притяжением центрального
§ 4.1]
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИВ К ТС
87
тела в приближенных расчетах можно пренебрегать.
Тогда получается простой метод анализа движения по
ТС, который назовем методом игнорирования возмуще-
ний (ИВ).
Пренебрегая возмущениями, получаем, что участки
Г1.2И Г3, „вне СД, отнесенные к те-центрической системе
maxyz, суть конические сечения с фокусом mG, а участок
У2, з внутри СД, отнесенный к w-центрической системе
есть гипербола с фокусом mL (см. рис. 4.1, отве-
чающий случаю движения в плоскости Пь тп0-центриче-
скоп орбиты массы mL).
Участок Г1,2 от начальной точки 1 до точки 2 входа
в СД (входной точки) в зависимости от тс-центрической
начальной скорости может быть эллипсом, гиперболой
или параболой.
Расчет параметров движения к СД в любой точке
r(i)ePi>2 производится по те-центрическим начальным
данным TiVi в точке 1 с помощью т5-центрических ин-
тегралов энергии и площадей.
По отношению к массе та направление радиальной
скорости V2r движения КА во -входной точке 2 может
быть либо восходящим (?2г>0, перелет происходит по
дуге конического сечения, не содержащей апогея), либо
нисходящим (У2г < О— пройден апогей эллипса), либо
трансверсальным (Т2г = О— точка входа является апоге-
ем эллипса, рис. 4.2).
В точке 2 тс-цеитрические радиус-вектор г2 и ско-
рость У2 (тио-центрическпе входные данные) пересчиты-
ваются в тп-ь-центрическую невращающуюся систему ко-
ординат путем вычитания соответственно радиуса
rb(i2) и скорости Уь(<2) массы mL, где i2 — момент входа
в СД. В результате получаются ^-центрические вход-
ные данные (рис. 4.1)
р2 = г2 — гь(<2), (1.1)
U2 = V2-VL(f2). (1.2)
Движение внутри СД в любой точке p(i) е у2> з опре-
деляется с помощью тпь-цеитрических интегралов энер-
гии и площадей. В точке 3 выхода из СД (в выходной
точке) тпь-центрпческне радиус-вектор р3 и выходная
скорость U3 (тпь-центрическис выходные данные) пере-
считываются (рис. 4.1) в тс-цептрпческие выходные
Рис. 4.1. Приближенный расчет движения: вне сферы действия Луны пренебрегается возмущениями от • Луны,
а внутри — возмущениями от Земли.
ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ.
§ 4.1]
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИВ К ТС
89
данные:
1’з = Рз + rbU3),
(1.3)
v3 = и3 + VJt3),
(1.4)
определяющие участок Г3, „ движения от выходной точ-
ки 3 до конечной рассматриваемой точки к. Здесь t2 —
момент выхода ид СД.
После выхода из СД движение рассчитывается в лю-
бой точке г(£) е Г3 к с помощью тк0-центрических инте-
гралов энергии п площадей при
новых значениях постоянных,
вычисленных по компонентам
векторов r3, V3. Движение КА
после его выхода из СД может
быть, вообще говоря, эллипти-
ческим, параболическим или
гиперболическим. По отноше-
нию к mG опо может быть либо
восходящим, либо нисходящим
соответственно положительному
или отрицательному знаку ра-
диальной скорости.
Если одно из конических
сечений Г^г, 72.3, Гз, к лежит
в плоскости Щ, то и остальные
два конических сечения лежат
в плоскости Щ, поскольку
Рис. 4.2. Два класса траекто-
рий полета с Земли, дости-
гающих Луну: I — на восхо-
дящей ветви, т. е. до про-
хождения апогея (настиль-
ные) ; II — на нисходящей
ветви, т. е. после прохожде-
ния апогея (навесные).
в ней лежат векторы радиуса
гь и скорости массы mL,
участвующие в пересчетах
(1.1) — (1.4). Множество плос-
ких облетпых ТС было проана-
лизировано в [2—1957] путем
рассмотрения пересчетов (t.2),
(1.4) в плане скоростей, т. е. в
двумерном пространстве
компонент скорости. В трехмерной задаче представ-
ляющие одну ТС три конических сечения лежат
в трех разных плоскостях, не совпадающих с плос-
костью Щ.
Рассмотрим в трехмерном пространстве компонент
скоростей uvw пересчет скоростей во входной 2 и выход-
ной 3 точках для одной ТС, заданной начальными гео-
90
ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
центрическими энергией hi, кинетическим моментом Ci и
наклонением i к плоскости Щ. Примем направление
— | = —г£за первую ось и (рис. 4.3), перпендикулярное
вектору CL кинетического момента массы mL направле-
ние т] в той полуплоскости плоскости Щ, которая не со-
держит скорости VL(i2) массы mL, примем за вторую ось
Рис. 4.3. Входные и выходные скорости в пространстве uvw компонент
скоростей.
v, и направление £ = u X v — за третью ось w системы
координат (рис. 4.3). Тогда скорость VL(t) в лю-
бой момент t будет лежать в плоскости Пь = {uv} — об-
разе плоскости Пь. _ _
Зададимся долготой асц и широтой 6СЦ точки рг, зна-
ком S2 = signV2r и моментом t2 входа в_СД. Так как ра-
диус 1рг!=р* известен, то долготу а1Ц, широту 6СЦ и
момент t2 входа можно реализовать соответствующим вы-
§ 4.1 J
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПВ К ТС
91
бором элементов &>1> Ti траектории Г1.г. Пусть такой
выбор сделан. Тогда находится аргумент и2 широты т0-
центрического входного радиуса гг = гь(^) + Рг,
-I / р \
cos'&2 = — — — 1 , sign sin 1% = s2,
е2 \Г2 )
и2 = ££>! 4- Фа (гг)-
Входная тп0-центрическая скорость Уг находится ио
Гг из интеграла энергии, а ее угол аг с радиусом Гг нахо-
дится из интеграла площадей:
у2 = ^£_|_^ sina2 = sign cos a2 = s2. (1.5)
Г2 Г2 2
По аналогу w2 = u2 + a2 аргумента широты для вектора
скорости Уг, углам i, и и модулю V2 находятся компо-
ненты вектора Уг вдоль осей так же, как находятся
gr)£ по и, ft, i, г (см. Приложение 7).
Построим в пространстве uvw (рис. 4.3) образ П2
плоскости Пг пгс-центрического движения по дуге Ti,2,
учитывая, что плоскость П2 пересекается плоскостью
П^ по образу оси Я; под углом й и содержит образ
г2 направления Гг, радиуса Гг. В Плоскости П2 под уг-
лом аг к направлению г2 проведем вектор У2 (рис. 4.3).
Проведем из конца его вектор —УД^г). Суммарный век-
тор U2 будет входной тпь-центрической скоростью (соглас-
но (1.2)). Движение в невращающейся системе
происходит в плоскости Псц векторов р2, 11г по гиперболе
7г, з. Так как величина выходного игь-центрического ра-
диуса |р3| = р*, то вектор U3 выходной игь-центрическон
скорости имеет величину |U2I. Эту общую величину бу-
дем обозначать через U.
Векторами р2, U2 определяются элементы р', е' гипер-
болы уг, з (Приложение 8), а из ее уравнения по радиусу
Рз — р*- находится истинная аномалия i)3 = ФЛ/2 точки 3,
где Ф' — угловая дальность полета внутри СД (см.
рис. 4.4).
92
ТРАЕКТОРИИ СВДШКЕППЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. \
Угол ос изменения направления Щь-центрического дви-
жения притяжением массы mL за время пребывания точ-
ки т<у в СД находится в плоскости Псц по угловой даль-
ности Ф , углу сс2 между векторами U2 и р2 и углу
Гис. 4.1. Характеристики селеноцентрического движения в его плоско-
сти Пс1(.
а3 = л — а2 между векторами U3 п р3 (рис. 4.4):
а = Ф' — а2 -|- а3
(1-6)
Проведем в пространстве uvw в плоскости Псц — об-
разе плоскости Псц — вектор U3, образующий с направ-
лением вектора U2 угол а, и из конца его проведем век-
тор VL(£3), где tz = t2 + Т2,3, а время 3 полета внутри
СД находится, по углу Ф' и параметрам гиперболы уг, з из
уравнения Кеплера. Вектор VL(£3) образует известный
С
угол<р2 3 = [ coj.dt с вектором V;.(/2) в плоскости, парал-
г2
лелыгой плоскости Пь (см. рис. 4.3), где образ Пь плос-
кости Пь содержит часть окружности, пересекающей на-
§ 4.2]
СКОРОСТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И МЕТОД ТСД
93
правления и, &?, v, —VL(i2). Вектор V3 = U3 + VL(£3)
согласно (4.4) есть вектор выходной геоцентрической
скорости.
Вектор р3 в плоскости Псц находится поворотом векто-
ра рг на угол Ф', и пз (1.3) находится выходной тс-цент-
рический радиус г3, который вместе с вектором V3 опре-
деляет плоскость П3 (на рис. 4.3 представлен ее образ
П3 в пространстве uvw углом я—а3 между векторами
г3 и V3) и все параметры движения от СД по тпс-цент-
рпческому коническому сечению Г3,
Заметим, что в пространственной задаче расчета про-
хождения КА через СД методом ИВ приходится рассмат-
ривать 8 плоскостей: три плоскости Щ, Псц, П3 кониче-
ских сечений, две плоскости треугольников скоростей
(1.2) и (1.4), две плоскости треугольников положений
(1.1) и (1.3) и основную плоскость Пь (вместо одной
последней плоскости в плоской задаче).
§ 4.2. Анализ скоростных многообразий
и переход к методу точечной сферы действия
С помощью методики, описанной в § 4.1, можно рас-
считать и построить любую ТС в ограниченной круговой
задаче трех точек. 'Представляет интерес проанализиро-
вать хотя бы приближенно совокупность движений по
всем возможным ТС. Рассмотрим для этого характери-
стики совокупности ТС в начале и в конце каждого из
последовательных участков движения Ti, 2, "(2,3, Г3, к. Од-
новременно будем производить соответствующие построе-
ния в пространстве скоростей. При этом для определенно-
сти будем считать, что начальный радиус г\ < rL и что
сближение происходит на восходящей ветви ТС (У2г > 0).
(Чертеж будем строить для облетных ТС в системе та —
Земля, mL — Луна, т0 — КА.)
Участок Г], 2 движения к СД определяется выбором
точки 2 входа па СД и начальными данными hi, Ci, й-
Заданием начальных т0-цептрических энергии hi и ки-
нетического момента Ci задаются форма и размеры участ-
ка Г|,2 и,в частности, перпцеитрпческпй радиус гп. Пусть
где СГ— заданная константа. Соответ-
ствующую величинам hi и максимальную высоту
94
ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
перицентрия участка Г^г будем считать фиксиро-
ванной и в расчетах примем ее равной 200 км (результа-
ты расчетов будут пригодны и для высот Н , превы-
шающих рассматриваемую вдвое или даже в несколько
раз, так как изменения этой высоты невелики по сравне-
нию с начальным геоцентрическим радиусом). При умень-
шении пли С\ от их максимумов = rG -f- Н^\
Ci до нуля угол «1 начальной скорости с радиусом па
фиксированном расстоянии гх ~ г(^г> уменьшается в
диапазоне 90° > он > 0°. Энергия (или скорость V\ на фик-
сированном расстоянии Г1) будет основным параметром.
Будем считать, что начальное 77го-центрическое накло-
нение 0 изменяется в диапазоне (—180°, 180°); для этого
условимся долготу 57 1 узла брать более чем на л/2 отлич-
ной от долготы точки встречи с ть (см. Приложение 1).
Рассмотрим совокупность возможных величин т0-
центрических входных данных при фиксированных зна-
чениях hi, Ci, ii и переменной точке 2 входа. В частно-
сти, рассмотрим входную т0-центрическую скорость У2
и ее угол аг со входным тпс-центрическим радиусом г2
для среднего значения величины этого радиуса г2 = rL.
Тогда, согласно интегралу энергии, входная скорость бу-
дет зависеть только от начальной энергии hi или, что то
же, от избытка AVi скорости над местной параболической
УП(Г1) (па фиксированном расстоянии от центра mG).
Функция Уг(^1) является монотонно возрастающей
(рис. 4.5). Угол аг зависит не только от hi, т. е. от на-
чальной скорости, но и от Ci, т. е. от угла aj скорости
Vi с радиусом Г[. Функция а2(/и) является монотонно
убывающей и представлена для т. е. для на-
чального угла ai = 90° (па высоте Нл = 200 км), на
рис. 4.5. При уменьшении начального угла ai соответ-
ствующая кривая а2(Л2), начинаясь по-прежнему с орди-
наты 90°, будет всюду.проходить под представленной.
Для определения возможных диапазонов изменения
входных данных (в системе Земля — Луна — КА) при
изменении входного радиуса г2 вычислены аналогичные
рассмотренным пары кривых У2(Л1), a2(^i) и V2(^i\ a2(^i)
(рис. 4.5), соответственно для — г/. -I- р* и г.,”1 =
=* rL — р*, где р* — радиус СД.
§ 4.2]
СКОРОСТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И МЕТОД ТСД
95
Видно, что для начальных энергий, не близких к ми-
нимальным, изменения вектора V2 входной ш0-цептриче-
ской скорости внутри интервала |г — гь1<р* малы по
сравнению с |VL|. Для таких начальных энергий можно
Рис. 4.5. Изменение характеристик в точке входа в сферу действия в
зависимости от избытка ДУ: начальной скорости У: над параболической
Уп, У21 У2 и 'аа, а2 — крайние значения входной геоцентрической скоро-
сти У2 и ее угла аг со входным геоцентрическим радиусом. U и U
значение входной селеноцентрической скорости для наклонений
= 0°j = 180 °. Т\,2 — время полета до орбиты Луны.
приближенно считать [2—1957, стр. 91, 97]—предполо-
жение 1,—что при фиксированных параметрах h\, Ci, й
величина и направление входной шс-цептрической скоро-
сти не зависят от точки входа и имеют средние значения
V2(r2) = V2(tl) и а2(г2) = a2(rL).
При фиксированных элементах hi, Ci, й положение
точки 2 входа полностью определяется переменными дол-
готой узла 521 и аргументом широты перигея <oi кониче-
ского сечения Г1.2 (и обратно). Поэтому будем задавать
вместо 521 и ©i, как п в § 4.1, долготу асц п широту 6СЦ
96
ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ 1! ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
ть-цептрпческого радиуса р2. Тогда, фиксируя как-либо
момент входа t%, найдем, как и в § 4.1, Г2 = Гь(^) +
+ р2- Меняя точку входа, будем выбирать элемент Ti
траектории 1\2 так, чтобы сохранить (при ранее
заданных элементах hi, Ci, ii), независимо от выбора точ-
ки 2 входа.
Времена ТцгШ полета от Земли до орбиты Лупы
представлены на рис. 4.5. Они для вертикального п гори-
зонтального направлений начальной скорости оказались
весьма близкими. Этот факт, а также резкость измене-
ний функций на рис. 4.5 при энергиях, близких к мини-
мальным, объясняется вытянутостью облетных кониче-
ских сечений 1\ 2 (их эксцентриситеты близки к еди-
нице).
При достаточном возрастании начальной скорости кри-
вые "РД/и), a2(/ii) и Ti^hi) приближаются соответствен-
но к асимптотам
г, sin а,
У2 — 7!, а2 = arcsin —--\ Tlt2 = 0, (2.1)
г2
где 7'1 и гг — начальный и входной радиусы. Асимптоти-
ческий характер этих кривых для системы Земля —
Лупа — КА заметен уже при начальных скоро-
стях, лишь на 0,5 км/с • превышающих параболическую
(рис. 4.5).
Перейдем к анализу движения внутри СД. Определим
тнь-центрическую начальную (входную) скорость U2 из
(1.2), допустив [2—1957, стр. 92]—предположение 2,—
что малым углом <р2 (рис. 4.1 и 4.3) между тпс-центриче-
скими радиусами точки mL и точки входа в СД можно
пренебречь (этот угол для системы Земля — Луна — КА
не может превосходить 10°).
Тогда в (1.2) скорость Vb(i2) точки mL будет ортого-
нальна входному радиусу (рис. 4.3), линия узлов &>i
совпадет с направлением (—гД^)), а величина и направ-
ление входной тпь-центрической скорости U2 в простран-
стве скоростей будут одними и теми же для всех рас-
сматриваемых ТС (рис. 4.3—4,6, а). Это значит, что на-
чальные участки ть-центрических ТС 72, з внутри СД все
параллельны при фиксированных значениях hi, Ci, it,
а точки входа покрывают половину СД (рис. 4.6, б и 4.7).
§ 4.2]
СКОРОСТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И МЕТОД ТСД
97
Найдем выражение величины U2 через начальные
данные rIt i[, ai и hi, Ci, ii. Компоненты скорости V2
по осям и, v, w, определенным в § 4.1 (рис. 4.6, а),
Рис. 4.6. Картины входа траекторий в сферу действия (а) в пространст-
ве uvw компонент входных скоростей и (б) в пространстве fc'nk селено-
центрических координат при фиксированных геоцентрических энергии,
кинетическом моменте и наклонении й.
Рис. 4.7. Селеноцентрические траектории в сфере действия Луны в одной
плоскости ПСц, проходящей через ось пучка Оп. Точки входа занимают
примерно половину сечения сферы действия плоскостью ПСц
с учетом предположений 1 и 2 имеют вид
—72cosa2, —У2 sin а2 cos й, — У2 sin а2 sin аь (2.2)
Из (4.1.2), учтя, что VL=(0, — VL, 0), получим компо-
ненты вектора U2:
— V2cosa2, VL— 72sina2 cost], —72 sina2 sin й. (2.3)
7 В, А, Егоров, Л, И, Гусев
98
ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
С помощью ттгс-центрических интегралов энергии п пло-
.. т/2 т/2 2flG , т/ . тг .
щадеи Vx------—= v2--------= ht, r2V2 sin a2 = r1V1 sinax =
'1 r2
= C1, причем r2 « rL, вычислим из (2.3) U2 и преобразу-
ем его к различным видам:
U2 = Vl + V\ - 2УЬУ2 sin a2 cos i± =
= V2l + V* 4-2(iG — 2-iyj^cos =
\ 2 1 / 2
= n+ -?- + Л1 -2Vl -iCOS i,. (2.4)
\ 2 / 2
Видим, что при i\ = const и Ci = const величина U2 есть
монотонно возрастающая функция от hi (рис. 4.5). При
фиксированных hi, Ci и переменном й векторы и2(й)
образуют конус с вершиной Л2 (рис. 4.6, а). Из выраже-
ний (2.4) следует, что значения U+ и U~, отвечающие
оба углу щ — 90° и соответственно наклонениям it = 0°
и й = 180°, ограничивают снизу и сверху диапазон воз-
можных значений U(.ii, он). Функции П+(/й) и U~(ht)
приведены для облетных ТС на рис. 4.5, из которого
видно, что разность |(7~ —С7+| невелика по сравнению с
U и быстро стремится к нулю с ростом начальной скоро-
сти. Так, уже при hi > 10 км2/с2, т. е. при АУ1 > 0,5 км/с
разность составляет менее 3% от полусуммы этих скоро-
стей. При произвольных начальных энергиях селеноцен-
трическая скорость иа границе СД превосходит входную
геоцентрическую скорость, т. е. U2(hi) > У2(/й) (рис. 4.5).
Рассмотрим при фиксированных элементах hi, Ci, ii
пучок Шг-центрических траекторий у2, з (рис. 4.6, б и 4.7)
в невращающейся системе т-Д?]» (где оси параллель-
ны осям zByBze в момент t = t2). Пусть Оа— точка входа
полупрямой — оси пучка,— т. е. траектории 70П, проходя-
щей через центр mL. Сферические координаты аоп, боп
точки Оп в системе координат (рис. 4.6, б) будут
такими же, что и координаты направления вектора (—U2)
в пространстве скоростей uvw на рис. 4.6, а, поскольку
оси этих систем параллельны. Выразим через углы аоп,
бОп направляющие косинусы Поп, £ап вектора mLOa:
?оп = cos6oncosaOn, Поп = cos6onsinaOn, ?on = sin6on-
§ 4.2]
СКОРОСТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ II МЕТОД ТСД
99
С другой стороны, их можно выразить через компо-
ненты (2.3) и модуль U (2.4) вектора U2. Приравнивая
эти выражения, получим
Sin брц
sin <%оп
cos аоп
V sin а sin 1
=---------&-----cos 0ОП > О,
V2 sin а2 cos i — V L
= U '
y2 cos %
U cos 6on ‘
(2.5)
Условимся задавать азимутом о в точке Ои плоскость
Псц каждой пгь-центрической ТС пучка. Угол о будем
отсчитывать в точке О„ от плоскости по часовой
стрелке, если смотреть против направления mLOa-(рис.
4.6, б) в диапазоне — л < о < л.
Будем точку 2 входа характеризовать еще прицель-
ным расстоянием, т. е. расстоянием d вектора скорости
U2 в ней от оси пучка. Тогда для точек входа траекто-
рий, лежащих в каждой полуплоскости Псц, имеем диа-
пазон расстояний 0<d<p*. При изменении азимута в
диапазоне — л < о < 0 траектории обходят центр mL по
часовой стрелке, а при изменении о в диапазоне 0 < о <
<л — против (рис. 4.6, б и 4.7), если смотреть против
направления оси £.
Рассмотрим угол а (рис. 4.4) между входной и выход-
ной ть-цептрнческимп скоростями. Поскольку для всех
траекторий рассматриваемого пучка направление и ве-
личина входной скорости U2 одни и те же, то угол а в
плоскости Псц каждой траектории определяется только
расстоянием d линии действия вектора U2 от центра mL.
Притяжение массы mL тем сильнее изменяет направле-
ние движения, т. е. угол ‘а тем больше, чем меньше ве
личина U и чем ближе к mL начальное направление двп
жеиия, т. е. чем меньше d (см. рис. 4.8, полученный по
формуле (1.6) с'учетом того, что в ней sina2 --sin a3 =
= rf/p*).
Рассмотрим подробнее изменение скорости U(o, d~)
для траекторий 72, з в СД с фиксированными т0-цептри-
ческими элементами Л], Ci, при смещении точки входа
в двух противоположных направлениях. При этом уча-
7*
100 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
сток движения Г1.2 к СД как целое поворачивается во-
круг центра т0 (за счет изменения только элементов <Qi,
(01). При переходе точки 2 через точку Оп азимут скач-
ком меняется от значения о = о > 0 к значению о = о — л.
Пусть восходящая относительно т0 траектория Г1,2 спер-
ва лишь касается СД в точке Во, обходя ее в полупло-
скости Псц(о) против часовой стрелки, если смотреть
Рис. 4.8. Угол а между касательными к гиперболе во входной и выход-
ной точках сферы действия, как функция расстояния d касательной к
траектории по входной точке от центра Луны. U — величина входной
(выходной) селеноцентрической скорости.
против направления р(Оп)Хр(50) (рис. 4.6, б, 4.7, а).
Имеем d = p*, а = 0 и {7з1а=о = {72. Если за счет соответ-
ствующего' изменения углов оц, fti траектория 72,3, оста-
ваясь в плоскости Псц(о), будет- приближаться к центру
mL, а момент t2 входа не будет изменяться (за счет со-
ответствующего изменения элемента ti),‘ то будет про-
исходить уменьшение d и рост а, т. е. поворот вектора
Пз против часовой стрелки. Когда станет d = 0, то а до-
стигнет 180°, и будет иметь место попадание точки т0
в точку mL по оси пучка Оп (рис. 4.7, а, б). При переходе
точки 2 входа через точку Оа в плоскости Псц (о — л)
§ 4.2]
СКОРОСТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И МЕТОД ТСД
101
изменяется на обратное направление обхода центра mL
(рис. 4.7, б). Однако точка 3 выхода из СД и конец век-
тора выходной скорости U3 обходят соответствующие
окружности в пространствах и A^uvw непрерыв-
но, причем всюду против часовой стрелки. Когда вектор
U3 обойдет полный круг, то становится снова а = 0,
11з1а=о — U2 (в точке Вк па рис. 4.7, б), а при больших
чем р* значениях d сближение перестает иметь место.
Решения с U3 = U2 можно назвать тривиальными.
Покажем, что для малых d и любых т^-центрических
скоростей на СД расстояние р„ траектории от центра mL
является малой порядка d2 (для попадания в Лупу это
важно). Действительно, из ть-центрических интегралов
площадей и энергии
pnun = du, u2n^^ + ul,
"л
где UL, = U- — 2pL/p+, получим
(U2 _ р2 + 2pLpn - d4J* = 0,
\ р* /
откуда
_ (d-U)2 л о
т. е. ря ~-------- для малых d. Заметим, что при ма-
2Н L
лых d траектория в СД изгибается так круто, что по
внешнему виду приближается к углу, образуемому соот-
ветствующими ей скоростями U2 и U3 на тпь-центриче-
ском плане скоростей — плоскости Псц в пространстве
uvw (рис. 4.3), соответствующей плоскости Псц в про-
странстве %Т]£.
Выше для траекторий в любой полуплоскости Псц(о),
проходящей через ось пучка, показано, что соответ-
ствующие векторы U3 своими концами заполняют полу-
круг радиуса U (в пространстве скоростей). Если при
этом брать все азимуты — л < о < л, то векторы U3 вы-
ходных селеноцентрических скоростей -в пространстве
скоростей и, v, w сплошь заполнят сферу радиуса U с
102 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
центром Аг '(верхняя сфера на рис. 4.9). Таким образом,
при фиксированных hi, Ci, ц многообразие выходных
w-центрических скоростей U3 является сферой; будем ее
кратко называть £73-сферой.
Интересны зависимости от U функций d, а, Ф' для
траекторий с фиксированным расстоянием р„ от центра
Рис. 4.9. Сферы выходных скоростей. Верхняя сфера — селеноцентриче-
ские скорости и2-, нижняя — геоцентрические V3. Скорости Пз1а=0>^гз1а=0
отвечают тривиальному решению.
mL. Здесь Ф' есть угловая дальность полета в СД, т. е.
угол, проходимый тпь-цеитрическим радиусом-вектором
р(£) между положениями рг и р3. Эти функции являются
убывающими и для траекторий, близких к поверхности
Луны, представлены на рис. 4.10. Видим, что значения
d, отвечающие траекториям касания с Луной, малы по
сравнению ср* (менее 5,4 тыс. км).
§ 4-2]
СКОРОСТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И МЕТОД ТСД
103
Рис. 4.10. Характеристики селе-
ноцентрических траекторий, про-
ходящих у поверхности Луны:
Ф' — селеноцентрический угол
проходимый КА внутри сферы
действия; а — угол между каса-
тельными к траектории во вход-
ной и выходной точках; d — рас-
стояние входной (выходной) ка-
сательной от центра Луны; U
пходная селеноцентрическая ско-
рость.
Угол а поворота направления движения Луной для
этих траекторий превышает 90° (рис. 4.10) лишь для
скоростей С7, близких к минимальным, и с ростом U при-
ближается к нулю. На рис. 4.9 векторы Из, отвечающие
траекториям касания и па-
раллельные плоскости лун-
ной орбиты, проведены пунк-
тиром. Траекториям сближе-
ния, не соударяющимся с Лу-
ной, могут отвечать лишь
векторы, заключенные в ко-
нусе с осью АхА2 и углом
раствора, равным а|Ря=Рь/
Времена полета внутри
СД Т2, з = h — t2 как функ-
ции расстояния 1<Д для фик-
сированных значений селено-
центрической скорости U
входа в СД представлены на
рис. 4.11. Покажем, что для
фиксированного значения U
максимум функции Т2 3(d)
достигается при таком зна-
чении d, для которого Ф' =
=180°. Соответствующее зна-
чение d = p*Un/U\/ 2 , где
Ua = У^р^/р* есть mL-
центрическая параболическая
скорость па границе СД.
Действительно, приравнивая
пулю производную по d от времени полета в СД
T2t3 = (е' sh F' - F),
V Hl
получим уравнение
Wshi7' + («'cbf'-l)S = 0, (2.7)
где F' — гиперболический аналог эксцентрической анома-
лии: р* = a'(e' chF — 1). Величина а' не дифференциру-
ется, так как рассматриваемый пучок траектории явля-
104 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
ется Биоэнергетическим:
а'= p.L [U2-
2pG\ 1
р* /
= const.
Приравнивая пулю производную от р*, получим
chF' 4- e'shF'^' = 0.
(2.8)
Рис. 4.11. Зависимость времени Т213 полета в сфере действия от прицель-
ного расстояния d. Заметна стабильность Г213 при d<40 тыс. км.
= ch.F'. Тогда р*=а' (е'2—1)=р'. Соответствующая
истинная аномалия i9’*=9O° и Ф' = 2й*'= 180°. Замена
, ,, U2 , P*U*
р = а - — дает а = —- —
Pl U V2
Существование максимума следует из того, что ТУ з
убывает при d -> 0 за счет усиления ускоряющего дей-
ствия массы mL и при d->p* за счет сокращения длины
дуги гиперболы внутри СД. Найденные максимумы слабо
выражены, и для расстояний Idl, не близких к р*, мож-
но считать Ту з постоянным и зависящим только от V
(с учетом принятых допущений). Рассмотрим теперь
тс-центрические выходные данные и построим выходные
§ 4.2]
СКОРОСТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И МЕТОД ТСД
105
тс-центрические скорости V3(o, d) в пространстве ско-
ростей uvw. Эти скорости получаются из соответствую-
щих w-центрических скоростей U3(o, d) прибавлением
вектора Уь(/3) скорости массы mL. Он повернут относи-
тельно вектора Уь(^) на небольшой угол cpL = wL(f3 — t2)
между направлениями mGmb соответственно в моменты
t2 входа и £3 выхода (рис. 4.1 и 4.3). Для системы Зем-
ля— Луна угловая скорость coL = 13,5 град/сут, так что
Фь<соь7’(2Мз)«24°.
Будем считать [2—1957, стр. 96] — предположение
3,— что углом можно пренебречь в приближенном рас-
смотрении, т. е. что VL(£3) =Vz,(f2). Тогда геометрическое
место концов векторов тс-центрических выходных скоро-
стей V3(d), идущих из точки А2, будет сферой радиуса
U с центром в точке А2 (нижняя сфера па рис. 4.9). За-
метим, что в рассматриваемом приближении многообразие
выходных скоростей У3 заполняет целиком эту сферу.
Будем ее кратко называть У3-сферой.
Рассмотрим далее участки Г3, „ движения от массы
mL по me-центрическим коническим сечениям вне ее СД.
Каждая такая траектория начинается в точке 3 на СД
и продолжается под действием лишь притяжения мас-
сы та. При этом выходной тс-центрический радиус г3
любой из этих траекторий образует с направлением rL(f3)
малый угол ф3 (рис. 4.1) (не превышающий для системы
Земля — Луна 10°, как и угол ф2). Будем считать [2 —
1957, стр. 104] — предположение 4,— что углом ф3 в при-
ближенном рассмотрении можно пренебречь (так же, как
пренебрегли углом ф2). Тогда тс-центрические движения
от СД по траекториям Г3>к будут начинаться на прямой
татъ со скоростями У3, концы которых принадлежат
рассмотренной выше У3-сфере (рис. 4.9).
Допустим еще — предположение 5,— что выходной
me-центрический радиус, как и входной, имеет среднее
значение: r3 = rL (в [2—1957, стр. 104] роль rL играет а).
Применение предположений 1—5 при использовании ме-
тода ИВ дает упрощенный вариант этого метода. Этот
вариант был обоснован и применен к перелетам Земля —
Луна в работах [1,2—1957]. Его можно назвать также
методом точечной сферы действия — ТСД, или методом
«стягивания сферы действия в точку» [1—1976), посколь-
106 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
ку предположения 1, 2 и 4, 5 говорят о несущественно-
сти отличия входного гг и выходного гз радиусов-векто-
ров частицы то от соответствующих радиусов-векторов
rL(/2) и гг(/з) массы mL-, предположение 3 говорит о не-
существенности времени пребывания частицы то в СД
и связанного с ним различия векторов скорости УД/г)
и Vt(i2).
' Заметим, что все предположения метода ТСД в точно-
сти реализуются в том случае ограниченной задачи трех
тел, когда отношение ц = mL/mG притягивающих масс
бесконечно мало. В этом случае отношение радиуса р*
СД массы mL к расстоянию rL тоже бесконечно мало,,
и СД может при анализе движений вне ее считаться
точкой.
Заметим, кроме того, что в случае очень малых у, не
только метод ТСД эквивалентен методу ИВ, но и послед-
ний эквивалентен точному методу ЧИ на участках Гц 2,
72, з, Г3, к, так как отношение неучитываемых в методе
ИВ возмущений к притяжению центрального тела стре-
мится к пулю вместе с ц. [2—1937, стр. 194].
Представляет интерес проанализировать методом ТСД
скоростные Uо- и Уз-многообразия 1г совокупность соот-
ветствующих ТС в рамках ограниченной круговой задачи
трех точек m0, mL, т0.
§ 4.3. Анализ множества траекторий сближения
методом точечной сферы действия
В § 4.2 лишь для определенности считалось, что
Г1 < rL и что у тс-центрической скорости V2 входа в СД
радиальная компонента Vzr > 0. С теми же предположе-
ниями 1—5 приходим к методу ТСД и при и > rL. В слу-
чае Угг < 0, т. е. при сближении па нисходящей по отно-
шению к т0 ветви дуги Гц 2 при тех же начальных дан-
ных hi, Ci, ii и при тех же пяти допущениях метода ТСД,
что и для сближения на восходящей ветви, получим век-
торы
ОАг = V(H) и CCA., = U(2H) (3.1)
(рис. 4.6, а), симметричные прежним V2 = V2B) и П2 =
=UgB) относительно плоскости vw. Рассматривая в слу-
§ 4.3J
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТС МЕТОДОМ ТСД
107
чае сближения на нисходящей ветви точку входа па СД,
симметричную точке входа восходящей ветви, получим
внутри СД траекторию 7V3, симметричную траектории
У2?з’ получающейся при сближении па восходящей ветви.
Следовательно, любому вектору U3H) для нисходящей вет-
ви соответствует симметричный относительно плоскости
vw вектор U3!) для восходящей ветви. Значит, многообра-
зен)
зпе скоростей и 3 для нисходящих ветвей симметрич-
но С73п)-многообразию для восходящих ветвей; поскольку
в (1.4) вектор VL принадлежит оси и в плоскости vw, то
V3ir) -многообразие тоже будет симметрично прежнему.
Благодаря этому можно одновременно исследовать оба
Уз-мпогообразия, что и делается ниже, причем для лю-
бых ТС (а не только облетпых, для которых были по-
строены рис. 4.1—4.11). Специфика облетпых ТС не ис-
пользовалась в рассуждениях и предположениях 1—5
в § 4.2.
При начальных скоростях, для которых U > VL, из
рис. 4.9 получаем максимальное п минимальное значения
выходной нгп-цептрической скорости:
V{3m) = U -VL, (3.2)
= U + VL. (3.3)
При U > VL существуют выходные игс-центрические
скорости V3 любого направления, каковы бы ни были
величина и направление начальной скорости (если мас-
су mL считать точкой, а не телом). Так как величина U
согласно (2.4) монотонно растет по мере роста угла й
(причем этот рост тем больше, чем больше угол oci на-
чальной скорости с радиусом), то при Г\ < г2 многообра-
зия скоростей, построенные для угла й = 0, будут иметь
меньшие размеры, чем для угла й = 180°, а для проме-
жуточных углов й все характеристики многообразий
промежуточны. Поэтому интересно рассмотреть характе-
ристики при а; = 90° в крайних случаях it — 0° и =
= 180°, отмечая их соответственно значками «+» и «—»
(соответственно знаку cos й в (2.4)).
Проследим кратко эволюцию скоростных многообра-
зий с изменением начальной энергии hi, начиная с боль-
108 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
шпх энергий h\. Так как согласно формуле (2.4) величи-
на U растет вместе с hi неограниченно, то при достаточ-
но больших значениях hi будет
U — УьЖпМ, Уп (i-l) = /2ц/га, (3.4)
так что все ть-центрические скорости выхода из СД бу-
дут гиперболическими.
При уменьшении энергии hi до такого значения hn,
при котором неравенство (3.4) обратится в равенство, на
Уз-сфере появляется вектор (О, Узт),0) с модулем
U+-VL = Va(rL), (3.5)
и при меньших значениях hi Уз-сфера содержит область
эллиптических скоростей, которая является прямым кру-
говым конусом с осью v и углом раствора х0, находи-
мым по теореме косинусов для треугольника скоростей
со сторонами Уп, U, VL (рис. 4.9):
И? = VI + Vi + 2VLVa cos хэ. (3.6)
Значение ha находится из (2.4) и (3.6) при хэ = 0, гг = Гь.
ha = 2УЬ(УП + C1cos i^rV). (3.7)
Оно зависит от cos й и заключено между
hu ==^n|cosi1=—1 И }созй=1>
так что с уменьшением hi эллиптические скорости появ-
ляются сначала для й = 0, а затем и для больших зна-
чений й.
При дальнейшем уменьшении hi размеры Из- и Уз-
сфер уменьшаются, а сектор эллиптических скоростей
Уз занимает все большую часть поверхности Уз-сферы.
Этот сектор располагается на рис. 4.9 выше горизонталь-
ного малого круга, лежащего в плоскости и = нп. Значе-
ние vn можно найти из треугольника, у которого сторона-
ми являются векторы —VL и V3, где Уз = Уп(гь). Третьей
стороной является их сумма длиной U (рис. 4.9). Усло-
вие, что плоскость v = va ортогональна вектору Уь, дает
соотношение
Уп - (П - Уп)? = И? - V2n, (3.8)
§ 4.3]
АНАЛИЗ МНОЖЕСТВА ТС МЕТОДОМ ТСД
109
которое вместе с (2.4) дает
+ —
Vn=VL
С с os i
rL
(3.9)
С уменьшением U до значения V„{rL) рассматриваемый
треугольник скоростей становится равнобедренным, так
что становится izn = Кд/2.
При переходе hi от положительных значений к отри-
цательным в случае r\ < rL появляется возможность сбли-
Рис. 4.12. Сферы выходных скоро-
стей U, и Уз в случае, когда вели-
чины входной селеноцентрической
скорости U2 и скорости Луны V l
равны. Движение вне сферы дейст-
вия возможно лишь в направлениях,
отклоняющихся от VL менее чем
на 90°.
Рис. 4.13. Сферы выходных
скоростей U3 и Уз в случае,
когда и<У£. Конус скоро-
стей V3 тем уже, чем меньше
(VL-V)IVL.
жепия па нисходящей по отношению к та ветви траек-
тории Г] 2- Когда с уменьшением энергии hi входная
Шд-цептрическая скорость уменьшается до U = VL, то
появляется равная нулю выходная тт1с-центрическая ско-
рость: V™ (рис. 4.12). Соответствующее значение hi =
= h* находится из (2.4) при U = VL, rz = rL:
h* = — Кд (rL) + 2VlC1 cos iJrL. (3.10)
110 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
Это значение является критическим в том смысле, что
при выходные тс-цептрические скорости V3 име-
ют любые направления, а при hi<h* (рис. 4.13) они все
направлены по одну (отрицательную) сторону от плоско-
сти v=VL в прямом круговом конусе с осью v и углом
раствора
. U
arcsm —
(3.11)
Однако выходные ть-цептрические скорости U3 для С72 <
< UL при выполнении предположений 1—5 метода ТСД
по-прежнему могут иметь любые направления. Плоскость
v = VL удобно принять за основную н3п3 и рассматривать
выходные скорости U3 и V3 в скоростном пространстве
A2u3p3u>3 (рис. 4.9, 4,13) (смысл А2 и А3 одинаков).
При hi < h * как видно из рис. 4.13, модуль минималь-
ной тпе-цептрической скорости Узт) следует считать по
повой формуле (вместо (3.2)):
V(3m) = VL-U, (3.2')
а формула (3.3) для У(3М) остается справедливой. Когда
h уменьшится настолько, что станет U + VL< V„(rL), тог-
да сектор эллиптических скоростей займет всю У3-сферу.
Соответствующее значение hi = ha получается из (2.4) и
(3.6) при х;) = л: <
7i3 = 2yb(-yn + C1cosi1/rL). (3.12)
При этом радиус С70 рассматриваемых сфер невелик:
U<VM-VL = (H2-i)Vl,
т. е. составляет менее половины Уь. Поскольку по опре-
делению U = |С7г1 = 1П3|, a U2 = V2 — VL, то Шс-цептрп-
ческие скорости точек т0 и mL не сильно отличаются
одна от другой.
С дальнейшим уменьшением hi это отличие уменьша-
ется, причем до пуля при U = 0 (получить U = 0 из (2.4)
можно лишь при i = 0, Ci — CL = rLVL, т. е. Vz=Vl)- Со-
ответствующее значение h = h,n = hL = — |tg/?'l. Однако
близкие к пулю значения U рассматривать не следует,
так как не будет выполняться основное предположение
§ 4.4]
МЕТОД СКОРОСТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
111
метода ИВ о достаточно сильной гиперболичности П1ь-цен-
трического движения. При этом окрестности границы СД
будут проходиться долго, и возмущения накопятся на-
столько, что ими нельзя будет пренебречь. По-видимому,
крайние значения hi, при которых еще имеет смысл при-
менять методы ИВ и ТСД, могут быть порядка h„
§ 4.4. Метод скоростных многообразий
С помощью предположений 1—5 метода ТСД удается
свести решение задачи о ТС к анализу только много-
образий скоростей в характерных точках 2 и 3 каждой
ТС на СД. Совокупность тп0-цептрических скоростей в
этих точках образует довольно простое (сферическое)
«скоростное многообразие». Его анализ в конкретных
задачах перелета между Землей и Луной позволяет су-
дить о числе и свойствах решений, а также позволяет
приближенно вычислить эти решения. Сведение анализа
траекторий к анализу скоростей можно назвать методом
скоростных многообразий, поскольку его реализация со-
стоит в построении и изучении скоростных многообразий
в характерных точках траектории. Этот метод может
быть йрименен к различным задачам баллистики, напри-
мер, к следующим.
1. Рассмотрим перелет КА между двумя заданными
точками 1 и 2 в центральном гравитационном поле.
Пусть точки 1 и 2 заданы их радиусами-векторами
Г; и Г2, а притягивающий центр М имеет гравитационный
параметр ц. Угол Ф между векторами ri и г2 задан. Как
и в § 4.1, он является угловой дальностью перелета КА
(рис. 4.14). Требуется найти геометрическое место S кон-
цов векторов скорости Vi в точке 1, обеспечивающих
перелет КА в точку 2, и указать минимальный по вели-
хт(т) 5
чипе вектор Vj .
Траектории перелета между точками 1 и 2 являются
коническими сечениями в плоскости векторов tj, г2 с фо-
кусом М. Искомое геометрическое место будем строить
в пространстве. Vr, VT компонент скорости Vi по радиусу
г и трансверсали т (рис. 4.14).
Обозначим через 01 угол вектора Vi с трансверсалью,
тогда tg 91—Vr/Vx, Vf — V? Д- V%. Угловая дальность Ф,
112 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
угол 01 и скорость Vj связаны между собой формулой
[1—1968, стр. 491:
О ___ _1________1 — COS Ф
1 2 v cos2 0± — cos 0г-cos (Ф + 0±) ’
где v = rx/r2, Pi = V’l/Kn (ri), Vn (гг) = 2p,/rx. Переходя в
Рис. 4.14. Скоростные многообразия S' и X" (части гиперболы Г) на-
чальных скоростей Vi множества траекторий перелета из точки 1 в точ-
ку 2 в центральном гравитационном поле.
формуле (4.1) от cos 01 и *sin0i к tg 0t и вводя обозна-
чения 0 = tg0j,
у — cos Ф r sin Ф ,,.
1 1 — cos Ф ’ 2 1 — cos Ф ’ ' ’ '
получим выражение
2₽i = (1 + ©2)/(С1 + С2 • ©) (4.3)
и уравнение гиперболы Г
СгУ? + C2VrVx = У2/2, (4.4)
которую можно назвать гиперболой начальных скоростей.
Одна ее асимптота Vx = 0 имеет направление радиуса-
вектора и. Другая асимптота С1Ут + С2Уг = 0 отклонена
§ 4.4]
МЕТОД СКОРОСТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
113
от осп Vx на угол 0ас такой, что
С,
tg 9ас — ~
С2
— Г + г2 cos Ф
r2 sin Ф
(4-5)
т. о. вторая асимптота, как видно из треугольника 1М2,
имеет направление 1, 2. Мнимая ось v гиперболы делит
пополам угол яр (рис. 4.14) между направлениями асимп-
тот (7, 2) и (—11). Как видно из треугольника 1М2, имеем
„ г. sin Ф
tg1p = tg20opt = 7-^-^. (4.6)
Для одной части S' гиперболы имеем угловые дальности
Ф'<л, для другой 2" имеем Ф" = 2л — Ф' > л, и на-
правления отсчета углов Ф' и Ф" противоположны.
Теперь очевидно, что необходимая для перелета в точ-
ку 2 минимальная скорость в точке 1 направлена под
углом 0opt к оси Vx и совпадает с направлением действи-
тельной оси гиперболы Г. При 0i > 0opt траектории явля-
ются навесными, а при 0i < 0opt — настильными.
Заметим, что множеством S начальных скоростей Vi
перелета КА из точки 7 в точку 2 с заданной угловой
дальностью является не вся гипербола Г. (4.4), а лишь
ее часть, пе содержащая векторы Vi с проекцией Ув<0
и модулем Vi > Уп(г1) (пунктир на рис. 4.14), так как
КА по соответствующим этим векторам траекториям пе
приходит в точку 2, а уходит в бесконечность.
Время полета T\z вдоль каждой из частей 2' и S"
гиперболы меняется монотонно от нуля до бесконечности.
При этом T\t2 О, когда начальная скорость неограни-
ченно возрастает, приближаясь по направлению к асимп-
тоте— полупрямой (7, 2) или (7, ЛО; когда на-
чальная скорость У приближается к двум векторам
уп, Уп параболической скорости с проекцией Уп„ < 0.
Из рис. 4.14 видно, что вдоль каждой из ветвей гипербо-
лы Г параметр 0^tg0! (как и угол- 0J меняется моно-
тонно. Пределы 0* для 0 со стороны больших Т найдем,
приравняв [51 = 1 в (4.3). Получим квадратное уравнение
с корнями
0* = С2 ±VС$ + 2СХ - 1. (4.7)
8 в. А. Егоров, Л. И. Гусев
114 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
Из рис. 4.14 видно, что tg0ac<0<0+, I0J <90° па
части 2' и + оо > 0 > 0~, 1011 >90° на части S".
Из этого анализа следует, что любому заданному вре-
мени Т — Т перелета 1, 2 соответствует два вектора Vj —
по одному на каждой из частей S' и S". Если же задать
направление обхода центра притяжения (I0J <90° или
1011 >90°), то задача Ламберта — задача о перелете 1, 2
за заданное время при заданных Гц Гг, Ф — имеет един-
ственное решение. Найти соответствующие 0Ь 0Ь Vi про-
ще всего численно — итерациями по аргументу 01 (или
0), уничтожающими невязку z = 7’(0) —71. Задав какое-
либо значение 01, из (4.1) находим и Vi, затем нахо-
дим параметр р, полуось а и эксцентриситет е кониче-
ского сечения:
P = 2r1p1cos201, а.= 2(^llj’ е=)/1-£.
Находим истинную аномалию й точки 1 по
1 / г> \ 7, sin 0, /"Т
cosD1 = — I-----11, sini), = —1------у (4.9)
1 e ( rx J 1 e ' |X ’ ' '
истинную аномалию точки 2
i&2 = Ф1 + Ф. (4.10)
Эксцентрические аномалии Е, и точек 1 и 2 при е < 1
или их аналоги Е-, и Е 2 при е > 1 находим по
7?.. । &.
t? ; -у '1. далее находим [1 — 1968] Mi = Ei — е sin Ei, Мг = etg Ег — In ^tg [^— + -4-Д n a3'2 T = ^= (M2 Vp. Меняя 0i так, чтобы стало [zl - ность, получим Т = Т. ^tg-^; (4.11) е<1, (4.12) , е>1, (4.13) - Mx). (4.14) < е, где е — заданная точ-
S 4.4]
МЕТОД СКОРОСТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
115
13 качестве начального приближения для 9? при Ф <
< 180° можно взять е0рt для эллиптических траекторий
и arctg©-— для гиперболических; при Ф > 180° будет
соответственно 0? = — 0opt и 0? = — arctg 0+.
2. Теперь построим в пространстве скоростей много-
образие S, точки которого являются концами векторов
начальной скорости, позволяющих достигнуть из данной
начальной точки Во заданного расстояния R (пусть в точ-
ке Вк) от притягивающей массы М. Траекториями будут
конические сечения с фокусом в точке М, плоскости ко-
торых проходят через прямую MBq. Построим в точке
Bq систему координат uvw. в которой ось и направлена
по начальному радиусу-вектору г0, ось v — по трансвер-
сали в плоскости траектории, а ось w образует с осями
u, v правую тройку направлений.
Условие, что КА достигает в точке Вк заданного ра-
диуса R, может быть получено из интегралов энергии и
площадей в точках _В0 и В,;
2.2 о / 1 1 \ 2.2 л
ио 4* vo — 2 —--5— , ик -ф vк — 2
\ о z /
/_1_____1_\
I R 2а ’
rovo = RvK, как условие ик Э5 0. Примем г0 за единицу
длины. Тогда исключением большой полуоси а и компо-
ненты рк получим
~ ( Я-------(1 "я5”) + u° О'
Уравнение = 0, т. е. уравнение
----- 4----------= 1
27? (14-Я)-1---------------2(Я —1)Я~1
(4.15)
выражает в пространстве и, v радиальной и трансвер-
сальной скоростей искомое геометрическое место S — эл-
липс (при Л>1), пли гиперболу (при й<1) с полу-
осями
(4.16)
На рис. 4.15 с учетом симметрии представлены их чет-
вертушки.
8*
116 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
Условие означает, что точка (и0, у0) не долж-
на находиться (в плоскости скоростей) внутри эллипса
(4.15) при R > 1 и вне гиперболы (4.15) при R < 1.
В пространстве скоростей соответственно имеем эллипсоид
или гиперболоид вращения вокруг оси и (в силу симмет-
рии и условий относительно радиального направления):
или
и2
(4.17)
2 , 2
Г W । и л
2/г/(/г + 1) + 2 (я — 1)/я = 1
3. Если в точке Б уже есть какая-то скорость VG, то
задача определения минимального импульса, необходи-
мого для достижения траекторией расстояния R, сводит-
Рис. 4.15. Скоростные многообра-
зия (эллипс или гипербола) на-
чальный скоростей перелета из
заданной точки г0 (г<>=1) на
заданное расстояние (Д>1 или
В<1) от центра тяготения.
ся к минимизации расстоя-
ния от точки VG до многооб-
разия 2 в пространстве ско-
ростей. Таким способом мож-
но решить задачу [4—1970]
о нахождении траектории,
начинающейся на орбите Зем-
ли вне ее СД и достигающей
заданного расстояния от
Солнца при наименьших за-
тратах топлива для ее реа-
лизации.
Зададимся каким-либо на-
клонением i траектории к
плоскости эклиптики и будем
начальные данные к центру
относить гелиоцентрические
Земли, пренебрегая размерами ее СД.
Выразим в системе координат uvw геоцентрическую
выходную скорость V КА через гелиоцентрические ско-
рости КА Vc(wo, Vo, и>о) и Земли VG(0, cost, —sin i) (здесь
скорость Земли принята за единицу скорости):
V = VC-VG, V2 = u2 + (г — cos i)2 + sin2 i. (4.18)
Задача состоит в нахождении такой точки Vc(u, v, 0) е
(4.17), для которой расстояние V (в пространстве
§ 4.41
МЕТОД СКОРОСТНЫХ МНОГООБРАЗИИ
117
скоростей) до заданной точки VG (0, cos i, —sini) мини-
мально.
При В. > 1 оптимальную точку Ус, как видно из ха-
рактера расположения эллипса (4.15) (рис. 4.15), следует
искать на границе области ее возможных положений,
т. е. па эллипсе (4.15).
Положив в случае эллипса v = A cos ф, и = В sin ф,
получим из (4.16)
У2 = A2 cos2 ф + В2 sin2 ф — 2А cos ip cos i + 1. (4.19)
Значение ф = 180° отвечает максимуму У, значение ф =
= 0 — минимуму при dcosi>l, где d = А /(А2— В2) =
=г© / А, го — расстояние В. от КА до Солнца.
При d cos i < 1 минимуму отвечают два значения
ф* = zh arccos(d cos i), а значение ф = 0 отвечает локаль-
ному максимуму. Действительно, из (4.19) имеем
У2(0) = А2 — 2А cos I + 1, У2(ф±) = В2 —г© cos2 i + 1,
откуда
У- (0) — У? (ф±) = А2 — В2 — 2А cos i -f- г© cos2 i =
= (1 — d cos i)2 > 0.
r®
При d cos i = 1 оптимально одно направление ф* = 0.
При R > 1 вследствие мнотонности возрастания функ-
ции У(7?) имеем d cos i < 1 лишь для значений i, достаточ-
но близких к 90°, что практически малоинтересно. Та-
ким образом, при R > 1 для практически интересных
наклонений оптимальным направлением гелиоцентриче-
ской начальной скорости является трансверсальное.
При В. < 1 оптимальная точка в плоскости Пг гипер-
болы (4.15) не всегда принадлежит этой гиперболе. Это
связано с тем, что при росте наклонений i от нуля про-
екция Р точки Уо па плоскости Пг перемещается к цент-
ру гиперболы по действительной оси и, входит из запрет-
ной зоны (заштрихованной на рис. 4.15) в разрешенную
область при cos i = А < 1 и находится внутри нее
при |i| > i* = arccos А. Поэтому при |il оптималь-
ный вектор V = (0, 0, ±sini), а оптимальный вектор Vc
трансверсалеп. При |i| < i * оптимальную точку следует
118 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
искать на гиперболе (4.15). Положив вдоль гиперболы
v — A ch ф, и = В sh ф, получим из условия = 0 един-
ственное решение ф = 0. Ойо, как непосредственно прове-
ряется, соответствует минимуму.
Значит, при R <1 оптимальное направление гелио-
центрической начальной скорости, независимо от накло-
нения, трансверсально.
Оптимизируем теперь выбор наклонения. Поскольку
уравнение (4.15) не зависит от наклонения i плоскости
траектории, то при изменении наклонения кривая (4.15)
опишет в пространстве поверхность вращения: эллипсоид
при R > 1 н гиперболоид вращения — при R < 1. Оче-
видно, что минимум расстояния от этой поверхности до
конца вектора скорости Земли реализуется при i = 0,
ф = 0. Таким образом, для достижения КА максималь-
ного удаления от Солнца ему следует сообщить при за-
пуске от Земли геоцентрическую скорость в направлении
движения Земли, а для достижения наибольшего при-
ближения КА к Солнцу геоцентрическую скорость сле-
дует сообщать в обратном направлении.
4. Исследование скоростных многообразий оказалось
результативным и в задаче оптимизации одпоимпульспо-
го перехода с эллиптической орбиты па гиперболическую
с заданным вектором скорости U«, «па бесконечности»
[1 —1972]. В этой задаче па заданной эллиптической ор-
бите спутника ищется такая точка, импульс перехода из
которой па гиперболическую орбиту будет минимальным.
В этой задаче в отличие от предыдущих построение ско-
ростных многообразий производится во вращающемся
евклидовом пространстве радиальной Ur, трансверсаль-
ной Ux и бинормальной Ub компонент скоростей. Метод
скоростных многообразий сводит задачу минимизации
переходного импульса к задаче минимизации некоторого
расстояния в пространстве компонент скоростей Ur, Ux,
Ub. Решение этой задачи дано в гл. 14.
Для получения точек основного скоростного много-
образия в этой задаче была выведена [1 —1972] формула
зависимости угла между начальными скоростью U и ра-
диусом р от угловой дальности Ф полета (угол между р
п U«,). Дадим здесь вывод этой формулы, поскольку она
пригодна во всех задачах, где необходимо связать пара-
§ 4.4]
МЕТОД СКОРОСТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
119
метры в фиксированной точке гиперболы с параметрами
в бесконечно удаленной точке.
Эта формула получается из (4.1) в предельном слу-
р1 о
чае, когда отношение v = — -> U вследствие иеограни-
Р2
чеппого возрастания радиуса р2 при удалении точки 2
по асимптоте в бесконечность (рис. 4.14). Обозначив
pi = p, 0Х =-^—• а, предельным переходом получим из
(4.1)
U2 = - — . 1 ~ ' • (4-2°)
р sin а sm (Ф — а) ' '
Отсюда, полагая 0 = tgO/2, (7п = 2ць/р, (31 = (72/(7п,
получим:
(1 — pi sin2a)02 — 2(31 sin a • cos a • 0 + Pi sin2 a = 0.
Решая это уравнение относительно 0, находим
4___________________________
₽! cos a + У , cos a +1/1 _ 1/р
0 = sin a-----------------= sin a
1 — Рх sin2 a cos a — (1 — 1/pj
Знак плюс перед радикалом следует отбросить, так как
он не имеет физического смысла. Предполагая cos a —
— Vl — 1/pi =И= 0 и сокращая, получим (используя инте-
грал энергии U2 = Un + (71):
tgO/2 = --ff K к = V1-1/^ = UOJU^1. (4.21)
Из (4.21) находим
sin(a — Ф/2) = к sin Ф/2.
Для получения выражения а через Ф рассмотрим
возможные траектории при фиксированной плоскости П
движения. В этой плоскости 0<Ф<360°; соответствен-
но 0 < Ф/2 <180°. Пусть q = к sin Ф/2. При фиксирован-
ной величине Ф имеем два решения:
I. а = Ф/2 + у, II. a = Ф/2 + (л — у),
где у = arcsin q < л/2. Более того, при 0 < Ф < л имеем
у < Ф/2; при л < Ф < 2л будет у<(2л —Ф)/2, так как
величина к < 1 (рис. 4.16).
120
ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
Заметим, что для решений типа I направление век-
тора U=Ui заключено между направлениями вектора
U„ и биссектрисы угла между радиусом-вектором р
и вектором скорости «на бесконечности» U„. Аналогич-
но для решений типа II направление вектора U = Un
Рис. 4.1С. Траекторные параметры и форма двух гиперболических траек-
торий (Гт и Г тт) с заданным вектором 17 скорости «на бесконечности»,
1 11 00
решающих задачу перелета 1—2, когда точка 2 находится в бесконеч-
ности.
заключено между направлением (—р) из начальной точ-
ки перехода на притягивающий центр и биссектрисой
угла (—р, U„) (рис. 4.16). Таким образом, по направле-
нию вектор Ui относительно близок к U„, а вектор Un —
к (—р).
Рассмотрим теперь для определенности случай Ф =
= Ф1, где 0<Ф1<л. Соответствующие решениям I и II
гиперболы Гг и Гп представлены на рис. 4.16. Нетрудно
видеть, что в рассматриваемом случае решение I годится,
а решение II должно быть отброшено, так как оно соот-
ветствует прохождению угловой дальности 2л —Ф1>л.
Аналогично при Ф = Фа, где л < Фг < 2л, пригодно
только решение II. Если при этом Ф1 + Фг = 2л, то
sin Фа/2 = sin(n — Фi/2) = sin Фi/2,
и Y2 = Yi = Y- Поэтому на рис. 4.16 решение I отвечает
Ф = Ф1<л и обходу притягивающего центра mL по ча-
совой стрелке, а решение II отвечает Ф — Фг = 2л —
— Ф1 > л и обходу притягивающего центра mL против
часовой стрелки при одном и том же векторе U„.
§ 4.5]
АНАЛИЗ ЛИНИЙ ПОСТОЯНСТВА
121
Оба случая Ф = Ф1<л и Ф = Ф2 > л охватываются
одной формулой
сс = ф/2 + ч, 7 = arcsin (/с sin<I>/2) < л/2. (4.22)
Поскольку к С 1, то имеем 7 Ф/2, так что в (4.22) вто-
рое слагаемое всегда меньше первого, причем намного
меньше для л < Ф < 2л. Особенно мало значение 7 для
значений Ф, близких к 0 и 2л.
Построение результирующих скоростных многообра-
зий в каждой из рассмотренных задач составляет основу
решения. Впервые анализ многообразий скоростей в ха-
рактерных точках траекторий космического полета при-
менил, по-видимому, Лоуден [1—1954, 1—1955]. '
Результаты Лоудепа, приведенные примеры, а также
результаты гл. 14 говорят о том, что рассмотрение ско-
ростных многообразий позволяет в очень разных задачах
получить простые геометрические формулы и конечные
аналитические соотношения между параметрами движе-
ния и тем самым свести решение задачи к исследованию
этих формул и соотношений.
§ 4.5. Анализ линий постоянства наклонения,
энергии, кинетического момента и радиуса
перицентрия траекторий возвращения
Как показали проведенные расчеты [1 —1957], метод
ТСД пригоден для общего качественного исследования
траекторий в ограниченной круговой задаче трех тел i7i0,
W, т0 при малых mjmo и, в частности, траекторий в
задаче облета Луны. Поскольку траектория — решение
этой задачи — должна иметь на участке Гз, к возвращения
заданное наклонение iK к плоскости Щ лунной орбиты
и заданное перигейное расстояние глк, то интересно в
ограниченной круговой задаче трех точек i7i0, mL, mG рас-
смотреть с помощью метода ТСД все возможные линии
iI( = const, глк = const па Уз-сфере выходных т0-центри-
ческих скоростей. Так_ как вне СД возмущения не учи-
тываются, то = гз, глк = гл3. Интересно выяснить, всег-
да ли можно обеспечить заданные значения 43 и гл3 на
участке Г3,к.
122 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
Построим в скоростной системе координат U3V3W3 (оси
из, и3 которой соответственно направлены против радиуса
и скорости массы mL в момент t — t^. прохождения пери-
селения— рис. 4.17) U3- и Уз-сферы выходных mL- и та-
цеитрических скоростей (обе радиуса U = С72 = (73). По-
строим векторы VgH) и VgB), направленные соответственно
к центру та и обратно, т. е. вдоль осп и (здесь, согласно
Рис, 4.17. Линии постоянства наклонения i3 на сфере выходных скоро-
стей в пространстве A3t63u3w3 компонент выходных скоростей.
предположению 3 метода ТСД, пренебрегается поворотом
направления mamL за время Т^.з = t3 — i2 полета в СД).
Пренебрегая, как обычно в методе ТСД, размерами
СД, заметим, что векторы Уз-сферы, отвечающие фикси-
рованному наклонению i3, располагаются в полуплоско-
сти этого наклонения, проходящей через ось и3 (рис.
4.17). Ко>нцы их образуют дуги малых кругов на Уз-сфе-
ре, соединяющие две фиксированные точки — точки кон-
цов векторов VgB) и V(3H). Для этих точек наклонение
является неопределенным, так как им соответствует ки-
нетический момент, равный нулю. Линии постоянной
энергии h3 (благодаря предположению 5 r3 = ту в мето-
де ТСД, см. § 4.2) оказываются в силу селеноцентриче-
§ 4.5J
АНАЛИЗ ЛИНИЙ ПОСТОЯНСТВА
.123
ского интеграла энергии линиями постоянной величины
Уз, а последние на Уз-сфере являются малыми кругами в
плоскостях
v3 = const = vз (h3), y(3m) = v3 (h^) < y(3M) = vs (h™),
(5-1)
y<3m> = । u -11, y(3M) = U + 1
(за единицу взята скорость VL), т. е. являются паралле-
лями вокруг оси и. Из них на рис. 4.18 представлены
Рис. 4.18. Линии постоянства геоцентрического кинетического момента
траектории возвращения на Уз-сфере в пространстве компонент
выходных геоцентрических скоростей.
две характерные линии: Уз = 1 круговых и Уз = У2 па-
раболических скоростей (в пространстве U3V3IV3).
Линии постоянного кинетического момента Сз = г3Узх
иа Уз-сфере (в силу того же предположения 5) суть ли-
пни Узг = const, т. е.. линии пересечения с Уз-сферой
цилиндра
= У2зг,
(5.2)
имеющего ось из и переменный радиус У3г. Это пересе-
чение симметрично относительно плоскости и>з = 0 и при
0<Узт<У(3т)
состоит из двух овалов, а при
<У3т<У(зМ) является одной замкнутой линией (рис.
4.18).
Построим теперь геометрическое место выходных
геоцентрических скоростей V3, обеспечивающих достиже-
124 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
ние заданного минимального расстояния гп от та после
сближения с Шъ. В каждой плоскости с наклонением гз,
проходящей через выходной радиус г3 = гг, геометриче-
ское место векторов V3, для которых минимальные или
максимальные расстояния от та равны заданному R,
есть согласно (4.4.7) гипербола при R < rL и эллипс при
R > rL. При изменении г3 из (4.15) получается в прост-
ранстве нзРзгРз уравнение поверхности (4.17) соответст-
венно гиперболоида или эллипсоида вращения вокруг
оси и (в (4.15), (4.17). радиус rL принят за единицу рас-
стояния).
Искомое геометрическое место есть пересечение S
этой поверхности с многообразием выходных геоцентри-
ческих скоростей V3 на И3-сфере. В рассматриваемых ко-
ординатах эта сфера имеет уравнение
из + (уз + I)2 + — U2. (5-3)
Исключая w3 из (4.17) и (5.3), получим уравнение про-
екции Suv пересечения S на плоскость U3P3:
« 1 1
U2 — 1 — Л2
— 2
(5-4)
Это есть парабола с вершиной v3 = v3 и осью, направлен-
ной по оси п3 при R > 1 и против оси п3 при R < 1.
В пространстве нзРзга3 эта парабола является направляю-
щей цилиндра с образующими, параллельными оси щ3.
При R — 0 имеем А = О, В = 0, соответствующее и0 =
= v„ = (.U2 — 1)/2. В плоскости им при U > 1 и малом
R = ео имеем v„ > 0, и парабола (5.4) четыре раза пере-
секает окружность (рис. 4.19) (п3 + I)2 + = U\ т. е.
в пространстве гг3р3гр3 параболоид (5.4) пересекает сферу
(5.3) по двум овалам (рис. 4.19).
При А = V(m) имеем U — 1 = A, U + 1 = А + 2, т. е.
из (5.4) По = А = U — 1, и парабола касается той же
окружности (на рис. ’4.19) изнутри в точке (О, Узт)).
Найдем проекцию Suw пересечения гиперболоида (4.17)
2(Л-1) ^+<4 , „2 2(7? —1)
Л Л2 "*Us И
(5-5)
со сферой (5.3). Исключим и3; вычитая из уравнения
§ 4.5]
АНАЛИЗ ЛИНИЙ ПОСТОЯНСТВА
125
(5.5) и подставляя А2 —
тождественных' преобразо-
сферы почленно уравнение
= 27?/(Я + 1), получим после
ваний
9 2
^ + 2V3 + ^ = U>-^1. (5.6)
Это есть уравнение окружности
(у3 + Д2)2 + w2 = D2 = U2R2 + Д4 _ д (зд _ г) (5.7)
с центром (— R2, 0) в плоскости V3W3. При малых R/D
« V27?— мало, а смещение гц = — R2 центра окружности
Рис. 4.19. Параболы Su0—проекции пересечения У3-сферы с гиперболои-
дами при различных величинах действительной полуоси А гиперболоида,
из начала координат будет малой более высокого порядка.
При R = 1 — е (е — малая величина) будет D = С7(1—
— е), а смещение r„ = —(1 —2е), т. е. 8ию есть окруж-
ность с центром почти в центре сферы (5.3) и с радиу-
сом, чуть меньшим U.
При R = 1 +,в будет D = С7(1 + е), кц = —(1 + 2е).
При R -+ оо будет уц -+ °°, D ->• °°, причем монотонно (так
как dD/dR > 0 при R > 1). В пределе при R -+ °° окруж-
ность Suw превратится в прямую к2 = (С72 — 3)/2, что, как
непосредственно проверяется, соответствует Пз = У2.
Рассмотрим эволюцию пересечения S при изменении
R от 0 до °°. При малых R « е будет А ~ V2e, т. е. мало,
а 5» V2/e, т. е. велико. Поверхность (4.15) есть сильно
126 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
вытянутый ВДОЛЬ ОСП U3 гиперболоид, близкий при и < U
к круговому цилиндру с осью и и радиусом А. Посколь-
ку центр У3-сферы (5.3) от оси и3 смещен по оси v3 на
— VL = —1, то этот цилиндр пересекается со сферой по
двум овалам Оп и Ов (рис. 4.19 и 4.20). Последние суть
основания конусов КИ и Кв скоростей ¥3, для которых
Рис. 4.20. Эволюция пересечения К3-сферы с г^Угиперболоидом с изме;
П (Ю „
нением 0 < гл < г^.
гя < R. Овалы Oit и О„ тем более вытянуты, чем ближе
величина А ц'разности У!3т) = U— Vl. С ростом R ве-
личина А монотонно растет, а с ростом А до Уз”' овалы,
увеличиваясь, соединятся при А = У3т) на осп и3 сво-
ими точками наибольшей кривизны, образуя восьмерку
иа Уз-сфере.
На рис. 4.19 пунктиром показаны три положения
пересечения гиперболоида (4.15) с плоскостью w3 = 0
(при А— У<т>). С дальнейшим ростом R до 1 растет А
до 1, убывает и0 в (5.4) до (U — 2)/2, убывает В
до нуля, так что два раструба гиперболоида складыва-
ются в плоскость и3 = 0, из которой вырезан круг с гра-
S 4.5]
АНАЛИЗ ЛИНИЙ ПОСТОЯНСТВА
127
ницей из4-Рд = 1. Картина рис. 4.19 в аксонометрии
дана на рис. 4.20.
При R = 1 + 8 > 1 будет А « 1 Ц- ,В ~ т. е. В
мало. Поверхность (4.15) есть сильно сжатый к плоско-
сти из = 0 эллипсоид вращения (круглый «блин» па рис,
4.21, а и б). С ростом R растут монотонно А и В, так
что lim А = lim 5 = ^2, т. е. эллипсоид превращается в
Н-»оо Н-»оо _
шар. Это естественно, так как VL = 1 и Кз = V2 — Va(rL),
(к)
Рис. 4.21. Эволюция пересечения К3-сферы с— эллипсоидом при не-
(к) (и)
ограниченном росте радиуса га апогея от та = т^.
т. е. скорость в каждой точке этого шара позволяет уйти
в «бесконечность». Точки с V3 > V2 лежат ниже (по оси
к) точек с 73=Vn и дают уход в «бесконечность» с ги-
перболическими скоростями.
При U < 1 эволюция (с изменением 7?) пересечения S
гиперболоида (4.15) и сферы (5.3) прослеживается проще,
чем в случае U > 1. Поскольку сфера (5.3) расположена
вся под осью из гиперболоида, то при малых R пересе-
чения нет. При таком R, что А = = 1 — Uj~ имеет
место наружное касание (а не внутреннее, как было при
U > i) гиперболоида со сферой в точке 0, —А, 0; при
128 ТРАЕКТОРИИ СБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК [ГЛ. 4
больших значениях R получается пересечение — одно-
связная кривая S, как при А > 7(3т) в случае U > 1, и
дальнейшая эволюция S с ростом R аналогична рассмот-
ренной при U > 1.
Заметим, что проведенный анализ изолиний 13 = const,
Д3 = const, С3 = const, Глз = const применим не только к
ТС, но и к траекториям возвращения (ТВ) от mL к та,
если Шь-центрические скорости выхода из СД могут
иметь любое направление и равны по величине. Именно
такая ситуация имеет место для ТВ к Земле с поверх-
ности Лупы или с орбиты ИСЛ (см. раздел III).
Г л а в a 5
УСЛОВИЕ СОПРЯЖПМОСТИ ДВИЖЕНИЙ
К СФЕРЕ ДЕЙСТВИЯ И ОТ СФЕРЫ ДЕЙСТВИЯ
В ОГРАНИЧЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТОЧЕК
§ 5.1. Критерий сопряжимостп
и динамический смысл условия
сопряжимости Тиссерана
Приближенное необходимое п достаточное условие со-
пряжимости дает следующий
Критерий I. В предположениях метода ТСД тра-
ектории полета к mL и от mL с заданными элементами
hi2, С2, гг; ^з, Сз, 1з и знаками «2, 5'з радиальных тс-цен-
трических скоростей па сфере действия сопряжимы в
одну траекторию сближения с mL в заданный момент Д
сближения тогда и только тогда, когда 7Пь-центрические
скорости Uz входа п !7з выхода па сфере действия равны
по величине
lt/2l = lt/3|. (1.1)
Заметим, что знаки sz и «з радиальных т0-цептрических
скоростей в точках М2 входа и М3 выхода па СД необ-
ходимо задать потому, что задание только двух троек кеп-
леровых элементов h, С, i не определяет того, на восходя-
щей или па нисходящей (по отношению к тп0) ветвях
дуг Г1.2 и Гз,к происходит вход в СД и выход из нее.
Доказательство проведем путем выбора положений
точки Mz входа и Мз выхода па СД. Согласно предполо-
жениям метода ТСД, изменение этих положений не ме-
няет век!оров U2 и U3, соответствующих траекториям
Г1,2 и Гз, к движения к тг, и от mL. Поэтому можно счи-
тать, что точки Mz и М3 подобраны так, что пара фикси-
рованных и равных по модулю векторов входной U2 и
9 В. А. Егоров, Л. И. Гусев
‘30
УСЛОВИЕ СОПРЯЖИМОСТИ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. 5
выходной U3 скорости определяют w-цептрическое дви-
жение в одной плоскости по одной и той же гиперболе
в СД. Поскольку такое движение всегда существует и
только одно, а при U2 =И= U3 такой гиперболы не сущест-
вует (как следует при р2 = р3 из тп^-центрического инте-
грала энергии), то критерий 1 доказан*).
Поскольку условия облета Луны согласно §§ 1.1, 1.2
задаются в основном в терминах, относящихся к геоцен-
трическому движению, то целесообразно условие (1.1)
выразить через параметры тп0-центрического движения.
Это можно сделать с помощью тп0-центрических интегра-
лов энергии и площадей. Используя соотношения h\ =
— — ц/а и С = Уцр, введем в эти интегралы на участках
Г1.2 и Гз,„ соответствующие большие полуоси и а3, па-
раметры и рз и, полагая, как обычно в методе ТСД,
г2 ~ rL, Гз~Гь, (1.2)
получим из (4.2.4)
П2,з = f/pGp2,E cos г2,3- (1.3)
rL а2,3/ rL
При такой записи здесь и далее индекс 2 относится к
дуге Г12, а индекс 3 —к дуге Г3,к. Подставляя U2 и Z73
в условие (1.1) и полагая в нем Иь = 1, 77. = 1, получим
искомое выражение
+ 2 VЦвРг cos z2 = + 2 /pGp3 cos i3. (1.4)
2 3
Заметим, что это условие похоже на условие Тис-
серана [2—1937, стр. 130]
~~ + 2 Pg/’i cos Ч = — 2Л. -J- б15
/ ____ ~ (1-5)
~~ + 2 PgT’k cos гк = — 2h бК)
необходимое (но не достаточное) для сопряжимости
участков Г1,2 и Г3,к движения кометы т0 к Юпитеру mL
*) Формульная реализация этого сопряжения движений да-
стся в § 5.2.
§5.11 КРИТЕРИИ СОПГЯЖИМОСТИ II УСЛОВИЕ ТИССЕРЛПЛ 131
и от пего. В (1.5) h — постоянная (Якоби), <51 п бк - ве-
личины порядка , причем предполагается, что
!1g
элементы а\, pi, ii, а*, рк, г„ вычислены в точках и Мк
по наблюдениям точки то (кометы) соответственно в
моменты ii и iK, настолько удаленные от момента наи-
большего сближения с ть (Юпитером), что влияние ть
на элементы орбиты является несущественным при изме-
нении эпохи оскуляции в окрестности моментов it и tK.
Пренебрегая для малых ц членами 61 и бк и возмуще-
ниями от массы mL вне ее СД, получим а\ — сц, р\ = р2,
ii = i2', аз = ак, рз = рк, h = т. е. (1.5) совпадает с (1.4).
Используя (1.4), (1.3), (1.2), можно из (1.5) получить
(1.1) и обратно. Таким образом, показано, что смысл ус-
ловия Тиссерана состоит в равенстве w-цептрических
скоростей па границе СД для малых ц и что это необхо-
димое- условие становится достаточным в предположе-
ниях метода ТСД, если заданы момент сближения и
знаки S2 и s3 радиальных иг0-цептрических скоростей на
СД массы mL.
Попытаемся сформулировать точный критерий сопря-
жимости движений к mL и от ть в предположении, что
mL < mG. Заметим, что условие (1.5) Тиссерана согласно
его выводу [2—1937] есть приближенная запись выпол-
нения интеграла Якоби в точках М\ и Мк, отстоящих от
mL на расстояниях порядка rL = 1. Следуя Тиссерану,
воспользуемся тем, что точный интеграл Якоби должен
выполняться на всех частях траектории. В оскулирую-
щих me-центрических элементах ai, pi, it он имеет вид
[1— 1959, стр. 7]
Ц_Д + 2/(Т^7р cos i + р, — 2r cos 0г + =—2h,
(1-6)
который получается и из (3.3.2) заменой: ц — 1 — ц,
г^р, а а, р -+ р', Здесь 0Г—угол между на-
правлениями mGmL и mGm0 (рис. 1.1). Перейдя от а, р к
/?., С, запишем (1.6) для любых точек и М„ траекто-
рии. Получим формулы (1.5) с
б1.к = И ([I — 2n.KCOs0i,K 4 (1.7)
9*
132
УСЛОВИЕ СОПРЯЖПМОСТИ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ. г>
Исключая из них константу h Якоби, получим:
(Ах — 2СУ cos г\) = (/г.к — 2СК cos гк) + Д,
(1.8)
Д = 6Х
— 6К = 2ц
4-+44+(— ri c°s 01+гк c°s 0к)
ГК Г1 J
Заметим, что при малых ц, конечных Г\, гк и любых
pi = рк, как видно из (1.8), член Д будет порядка ц. Од-
нако при уменьшении pi и рк до р* — ц2/5 будет pi = р2,
О =г2, 61 = 02, Рк=Рз, Гк = Гз, 0„=03, |rKCOS0„-
— ncos 0J 2р*, т. е. будет Д < 4ц7/5 (ц7’5 « 1/500 для
системы Земля — Луна). Если пренебречь в (1.8) такой
величиной Д, то из (1.8) получится (1.4). Таким образом,
приближенное условие (1.4) необходимо для сопряжимо-
сти движений к СД и от СД с погрешностью Д « ц7/5,
меньшей, чем условие Тиссерана (1.3) (где 61, 6К — вели-
чины порядка ц).
Перейдем к формулировке точного критерйя сопря-
жимости двух траекторий Г' и Г" полета — к mL и от
niL — в одну ТС ограниченной круговой задачи трех то-
чек тге0, mL, та, где in,, С та. Будем считать, что Шо-цеп-
трическое движение массы т,, полностью задано и что
модули г,, и VL радиуса-вектора и вектора скорости мас-
сы mL приняты за единицы длины и скорости. При этом
согласно определению ТС (§ В.2) будем предполагать,
что вне СД массы mL каждая из траекторий Г' и Г" де-
лает не более одного оборота вокруг массы та и что со-
прягаются они в момент наибольшего сближения т0 с mL.
Критерий II. Пусть заданы:
1) знаки s2 и радиальных иге-цептрпческих скоро-
стей частицы т0 в точках 2еГ' и Зе Г" на СД;
2) момент С наибольшего сближения т0 с т,ь,
3) Шс-центрические элементы hi, С\, й и h,-, Ск, гк
частицы ш0, оскулирующпе в заданные моменты й н t„
прохождения начала 1 дуги Г' и конца К дуги Г".
Тогда необходимым и достаточным условием сопряжи-
мости дуг Г' и Г" в одну траекторию сближения явля-
ется (1.8), где
pj — 1 Г; — 2Г; COS 0j, / = 1,2, (1 .9)
0, — угол то-цептрцческого радиуса-вектора ?; частицы с
8 5.2]
РАСЧЕТ СОПРЯЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ МЕТОДОМ ТСД 133
направлением mamL в момент tj, причем параметры Tj
свободны.
Из условия критерия II имеем
Н ^2 < ^к,
где tj — момент прохождения точки 7, j = 1, 2, 3, к.
Для доказательства критерия II удобно ТС Г = Г' U
и'Г" представлять в виде Г = Гц2 U уг.з U Гз.к, где Г^с:
с: Г', Г3,,.еГ'', а уг.з есть ть-центрическая траектория
полета в СД. Доказывается критерий II в §§ 5.2 и 5.3
путем фактического построения той единственной траек-
тории Г = Г 1,2 U У2,з U Гз.к, вдоль которой реализуются за-
данные значения hi, Ci, й при t = ti; «2, Аъ «з; Ск, iK при
t = Значение hK = h(tJ при этом определяется из усло-
вия сопряжимости (1.8).
§ 5.2. Расчет сопряжения движений
методом точечной сферы действия
Точное построение полной траектории Г производится
в три этапа. Первый этап выполняется методом ТСД,
второй — методом ИВ и третий — одним из точных -мето-
дов ЧИ. На первых двух этапах влиянием массы mL впе
ее СД пренебрегается, поэтому элементы h, С, I постоян-
ны на дугах Г[, 2 и Г3,к, так что условие (1.8) можно при-
менять в точках М2 и М3 входа и выхода на СД (где
р2 = Рз = Р *) вместо точек М\ и Мк (где заданы значе-
ния h, С, i).
Первый этап. Примем предположения метода ТСД.
Вычислим h3 = hK из (1.8), полагая, что М\=М2, М3 =
= Мк и что равны геоцентрические радиусы: Гг = г3. Тог-
да вследствие того, что на СД Р2 = Рз = Р*> будет и
cos 02 = cos 0з, и А в (1.8) обратится в нуль. Получим
из (1.8)
h3 = 2С3 cos i3 + h2 — 2Сг cos й, (2.1)
учтя, что h\= h2, Ci = C2, ii=i2; CK = C3, iK = i3. Теперь,
зная h2 11 h3, полагая r2 = r3 = rL, найдем mG-центриче-
ские скорости N2 и V3, а затем и ть-центрические ско-
рости U2 и U3; по ним найдем приближенно для т,,-цен-
трического движения положения р2, рз точек М2 и М3 па
СД и времена t2 и t3 их прохождения. По р2 и рз па I
этапе можно будет уточнить г2 и г3, а затем и h3 (из 1.8),
134
УСЛОВИЕ СОПРЯЖИМОСТИ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. 5
чтобы потом с помощью метода ИВ можно было уточ-
нить всю траекторию Г. Выпишем соответствующие фор-
мулы первого этапа.
Модули V2, V3 Шо-центрической скорости на СД най-
дем из шо-центрического интеграла энергии по г2, т3 и
h2, h3:
Vl3 = -r-^+h2t3. (2.2)
Г2,3
Угол «2,3 вектора V2,3 с радиусом-вектором г2,3 найдем
из тс-центрического интеграла площадей по г2,3, С.2,з
sin «2,3 = (2.3)
2,3й 2,3
в первой четверти при $2,3 > 0 и во второй четверти при
£2,3 < 0. На первом этапе считаем г2 = r3 = 1 в (2.2) и
(2.3), так что соотношения (1.9) приближенно (0^,3 ~ 0)
выполняются.
В невращающейся ть-центрической системе коорди-
нат (с осями, направленными соответственно к
массе mG(ig), против скорости Vb(ig) массы mL -и по ее ки-
нетическому моменту) известен вектор Уь(£ц) = (0, — Уг.,
0). Используя его в предположениях метода ТСД вместо
векторов VL(Z2) и Уь((3), найдем аналогично (4.2.3) век-
торы U2 и U3 ть-центрических скоростей входа и вы-
хода на границе СД
и2,3 = (— У2,3 cos <Z2,3j Уь — V2,3 sin о.2,з cos i2,3;
— У2,з sin а2,з sin 12,з). (2.4)
Заметим, что из (2.4) в силу (2:2) и (2.3)
Uо,з = V2,3 И- Уl 2У2,зУl sin «2,з cos С,3 —
= 2 (1 — р)Ir2tз -|- Лг,з -|- Ть — 2 Уь cos i2,3C2,3/r2,3. (2.5)
Вследствие того, что здесь r2 = r3 = rL = 1, в силу (2.1)
имеем U2 = U3 = U.
Считая приближенно в предположениях метода ТСД
известными /Пь-центрические скорости па бесконечности
U“ = U2, иг = U3, найдем угол а между этими ско-
ростями, равный в этом приближении углу между
§ 5.2] РАСЧЕТ СОПРЯЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ МЕТОДОМ ТСД 135
асимптотами ть-цептрической гиперболы
cos а — sina = > о. (2.6)
U2 U2
В этом же приближении большая полуось гиперболы уг.з
а' = (2.7)
Прицельное расстояние (малая полуось) гиперболы
&' = a'/tg-^-. (2.8)
Секторнальпая скорость С' вдоль гиперболы и параметр
р' гиперболы найдутся из ть-цептрического интеграла
площадей:
C' = b'U„, p' = {CY/pL. (2.9)
Эксцентриситет е' и радиус рл перицентрия гипербо-
лы найдем ио а' и р'
o' = V 1+Г. Р-= ГТ7- (230)
Истинные аномалии й'Г, f)” асимптот гиперболы отли-
чаются лишь знаком и находятся по формуле
cos = —1/е' в ± II четвертях). (2.11)
Для проверки этого результата может служить чисто гео-
метрическая формула (рис. 4.4)
О'Г + л ± ато = (2.12)
Истинные аномалии и2 и и3 точек М2 входа и Мз вы-
хода (точек гиперболы уг.з на СД) различаются лишь
знаком и найдутся по формуле
, -f-i
cos 02>3 = — (2.13)
соответствен^ тЭ’г.з в —I или ±11 четвертях. Гиперболи-
ческие аналоги F2 п Гз эксцентрической аномалии в точ-
ках М2 и Мз тоже различаются лишь знаком и находят-
ся по формуле
chF2,3=l^< (2.14)
136
УСЛОВИЕ СОПРЯЖИМОСТИ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. о
Время входа (выхода) находится с помощью уравнения
Кеплера:
*2,з = ^ + {a^e'shF?.L~F^. (2.15)
Для определения элементов i' и гиперболы 7 найдем
широту 60П и долготу аоп точки входа Оа оси пучка ги-
пербол в СД, считая приближенно, что вектор скорости
«на бесконечности» U2 = U2:
sin аоп
sin 60П =-------
uu rroo *
U 2
(2.1G)
------'— , cos аоп =-----------------—.
t/2°°cos6On ^°°cos6on
Здесь компоненты и модуль вектора U2 находятся по
формулам (2.4), (2.5). Найдем направление (С')° Шь-цеп-
трического кинетического момента
с°'=(2Л7)
Теперь согласно Приложению 1 найдем Шь-цептрические
наклонение 0<i'<180° плоскости гиперболы 42,3 долго-
ту —90° <4)' ^90° (того узла £V в этой плоскости, ко-
торый ближе к направлению вектора — U“) и аргумент
широты иоп оси Оа в этой плоскости.
Найдем аргументы широты и2 и точек М2 и М2
(см. рис. 4.4, где Ф'/2 = й3):
u2 = иоп ДЙ2, U3 — won 2й3 Дй3,
ДЙ2,3 = Кз - Кз. (2.18)
После этого координаты точек М2 и М2 — компоненты
векторов р2 и рз — найдутся по и2 и и3 соответственно
с помощью формул
£2 3 = р* (cos u2>3 cos Sl' — sin u2i3 sin Ti/ cos i'),
тц з = p* (cos u2 з sin JV + sin u2,3 cos Sl' cos i'),
£2,3 = P* sin u2i3sin i'
Приложения 7, в которых взято г = р2 = рз•= р*.
§ 5.3] СОПРЯЖЕНИЕ МЕТОДОМ ИВ И ТОЧНОЕ СОПРЯЖЕНИЕ 137
Для полноты расчета найдем еще аргумент широты
о' перицентрия гиперболы у2, з’-®'= и2— й2 (или со'=
= Мон —
Векторы р2 и рз вместе с i2 и £з являются результатом
первого этапа расчета движения методом ТСД.
§ 5.3. Сопряжение движений методом
игнорирования возмущений и точное сопряжение
Второй этап — сопряжение методом ИВ. Примем
предположения метода ИВ. Тогда на данном этапе мож-
но уточнить результаты первого этапа, потому что, во-
первых, можно уточнить величину h3, используя найден-
ные координаты точек входа М2 и выхода Мз на СД
(вместо координат центра этой сферы, использованных
для счета Аз на первом этапе); во-вторых, можно при
расчете векторов скоростей V2 и V3, U2 и U3 в точках М2
и М3 использовать шс-центрические радиусы-векторы г2
и г3 (вместо rL) и два разных вектора скорости VL(i2)
и VJ^) массы mL (вместо одного VL(fw)).
Теперь вместо (2.1), согласно (1.8), учтя, что h\ = А2,
Ci=C2, г'1 = г2, hK = А3, Сх = С3, iK — h, получим:
Аз = 2С3 cos 13 +[А2 — 2С2 cos i2] — (r3 cos 03 — r2 cos 02).
(3.1)
Появление справа круглых скобок связано с тем, что
с гало
г2,з = Il + Р2.3, r2,3COS02,3^r2,3-rL. (3.2)
При этом выполнены соотношения (1.9). В системе
координат при rL = 1, VL = 1 будет coL=l,
Гь(^.з) = (— COS Оь(^2,3 — tv), —sin ©1,(^2,з — U, 0), (3.3)
так что z
гг.зсоэ 02>з = 1 — ^2,з cos (f2>3 — /ц) — т|2,з sin (i2i3 — tp) (3.4)
(в силу того, что Гь = 1) и в круглых скобках (3.1) по-
лучим
Гз COS 03 — г2 cos 02 =
= [|2 cos aL(Z2 — i,t) + т]2 sin coL(i2 — i(1)] —
—[|3 cos ®L(^3 — ty) + Цз sin <щ,(£з — £Д]. (3.5)
138
УСЛОВИЕ СОПРЯЖИМОСТИ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. 5
Величины У2.3, сс2,з уточним, используя в (2.2) и (2.3)
новые значения h2 и
Г2.3 = [— cos (0L(.t2,3 — <ц) + %2,з;
— sin С0ь(<2,3 - £.«) + П2,з; ?2,з]. (3.6)
«Проведем» через найденный радиус г2,з плоскость
заданного геоцентрического наклонения i2>3 и в ней под
известным углом а2,з к вектору г2,з «построим» вектор
известной длины Уг.з- Для этого сначала найдем долготу
(Х-Дг.з и широту (ф-Дг.з вектора (—г)2,3:
• / \ ( ?)2,3 • /л \ ^1)2.3
sin(Cp_r)2i3=-7-^, SHI (Хг)2,3 = - ,
Г2,3 Г2,3 Ub (т-г)2,3
п X -(-^>2.3 (3.7)
cos (Л-Г)г з = -----7--<—•
k ’ Г2,3СО5(<М2,3
Г2,3
2.3
Затем найдем аргумент широты (zz.. г )2,з в ±1 четверти по
sin (u_r)2,3 = sin (cp-r)2,3/sin 1'2,3.
Тогда аргументами широты векторов r2,3, V2,3 будут со-
ответственно
U2,3 = (u_r)2,3 + Л, 1^2,3 = И2,3 + «2,3- (3.8)
Долготу ^2,з узла в предположении, что
— л <Z i2,3 л, ] (ДсГЬ)21з | < —2", где (ДЛ)2,з =
= ‘•'7'2,3 .(^—г)2,3 (3.9)
найдем по формулам:
cos i „
sin (ДЛ)2.3 = - sin M2,3cos((p ’• ~
)2;з
(3.10)
‘П’г.з — (^-г)2,з + (ДЛ)2,3.
Используя го2,зп И2.3, 1^2,з вместо г, и в Приложении 7,
получим компоненты (У«, И;)2,з вектора V2,3. Исполь-
зуя вектор
(VJ2,3-VL(i2,3) =
= (sin (i2,3 — ig), — cos (f2,3 — 0), (3.11)
§ 5.3] СОПРЯЖЕНИЕ МЕТОДОМ ИВ И ТОЧНОЕ СОПРЯЖЕНИЕ 139
получим
и2,з = V2,3 - (Vb)2,3. (3.12)
Заметим, что вследствие отличия f2, г2 от t2, гз полу-
чится, вообще говоря, неравенство модулей: |U21 |U3I.
Теперь по двум парам векторов р2, U2 и рз, U3 п момен-
там i2, С найдем по формулам Приложения 8 элементы
h2,3; С2>3; 4з’, ®2,3; 432.3;(т')2,3 двух гипербол ^г, 73 в СД,
вообще говоря, различных.
Построим итерационный процесс, приводящий их к
совпадению за счет подбора положений на СД точек р2
входа и рз выхода и соответствующих моментов t2 и £3
времени. Для этого воспользуемся условием, что найденные
моменты т2 и т3 должны оба совпадать с заданным момен-
том С- Тогда получим новые моменты входа i2H)n выхода
i3H) по .прежним t2 и t2 и дополнительным (соответст-
ствующим вторым точкам тех же гипербол на СД)
= t3 2 (i3 т3), /Зд) = i2 4~ 2 (т2 i2),
4H) = 4-(^ + *™) + (^-А
Гр,+,«) + «к -и. <ЗЛЗ)
т' = 04 + т3)/2.
Моменты Z2n) и f3I!) будем в дальнейшем использо-
вать для определения векторов гь(^2,з) и VlU2j3). Для
уточнения р2 и р3 найдем дополнительные точки р3д) вы-
хода гиперболы ^2 и р2д) входа гиперболы '/3 на СД (по
(д)
радиусу р = р* и истинным аномалиям и3 ==— и2
и г2д) = — v3 соответственно). За новые точки входа р2н)
и выхода р3н) можно взять середины дуг больших кругов
на СД, соединяющих пару точек (р2, Р(2Я)) и (р3, р3д)).
Если ни одна из точек пары не близка к оси то
тл-центрические сферические координаты новых точек
р2 и рз могут считаться просто полусуммами сферических
координат точек соответствующей пары
(®2,з)и (б2,3 + ^2?3)> (а2,з)н = “ (а2.3 а2,з)- (3.14)
140
УСЛОВИЕ СОПРЯЖПМОСТИ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ. 5
Имея новые Z2, р2 и /3, р3, можем повторить опреде-
ление U2 и U3 по формулам (3.1) — (3.12) второго этана.
Если этот процесс сходится, то одним из его результатов
должно быть равенство U2 = U^ = U(^ = U3 на ги-
перболах. Сходиться этот процесс должен быстро, потому
что элемент Лз изменяется мало от изменения точки па
СД; он мало изменяет ¥2,3 и а2,з, а значит, и 112>з, пос-
кольку изменения величин t2 и is тоже малы. Малость
изменений U2,3 делает малыми изменения положения до-
полнительных точек входа и выхода па СД, а малость
самой СД должна существенно ускорить сходимость
итераций.
Когда итерации сойдутся, то вычисление системы
т0-цеитрических элементов дуг Г1,2 и Гз,и можно до-
вести до конца, так как по h2, С2, т2, s2 и Л3, С3, г3, s3
будут найдены а2,3 = — ц/Л2, 3; из формул типа (2.9) и
(2.10) — р п е, из формул (3.8) — аргументы шпроты и2
и из, а из формул типа (2.13) — истинные аномалии v2
и п3 векторов г2 и г3 и элементы
а>2 = и2 — v2 и со3 = и3 — v3; (3.15)
недостающие элементы т2 и т3 найдутся в результате
подстановки величин v2 и и3 в правые части соответст-
вующих уравнений Кеплера. Однако со2,з и т2,з далее
не потребуются.
Третий этап — полный учет возмущений. От ите-
раций второго этапа можно не требовать большей точно-
сти в координатах, чем отклонения в них, обусловлен-
ные влиянием возмущений от массы ть вне ее СД и от
массы та — внутри СД. Интегрируя точные т0-центри-
ческие уравнения движения численно от точек на СД
М2 и М3 соответственно назад и вперед, можно найти
отклонения компонент радиуса г и скорости V от соот-
ветствующих компонент вдоль конических сечений. Идея
третьего этапа состоит в определении соответствующих
отклонений в элементах hi, Cj, й; hK, Cw iK на отдален-
ных от СД концах Mi и Мк и внесении таких поправок
в элементы h2, С2, i2; h3, С3, i3 на СД, чтобы реализовать
заданные в точках Mi и Мк элементы Э1 = (/щ Ci, й);
Эк (h„, Ск, iK) •
Численное интегрирование назад с начальными дан-
ными t2, г2, V2, полученными на втором этапе, даст в за-
§ 5.3] СОПРЯЖЕНИЕ МЕТОДОМ ИВ II ТОЧНОЕ СОПРЯЖЕНИЕ 141
данный момент t\ точку Mi (т. е. вектор 1\) и какие-то
компоненты скорости Vb Пересчитав их по формулам
Приложения 8 в элементы 3i(hi, С\, й), найдем откло-
нения АЭ[
А/г-1 — hi — hi, ACi — Ci — Ci, Ali — li — ii. (3.10)
Аналогичное интегрирование вперед с начальными дан-
ными i3, Гз, V3 даст в момент tK точку Мк, т. е. вектор гк,
и компоненты вектора VK. Аналогичный их пересчет даст
элементы Эк и отклонения АЭК:
АСК = Ск — Ск, AiK = iK —i« (3.17)
(заметим, что на втором этапе брались Э2 = Э1, Эз = Эн).
По найденным (И, rj, (tK, г1;) получим векторы pi, рк,
используя формулу
Pi,K = ri,K-rL(ii<K), (3.18).
где rL(ii.K) находится из (3.3) аналогично rL(i2, з). При
этом будут выполнены соотношения (1.9).
Подставим в (1.8) заданные элементы и значе-
ния pi, рк,
ri cos 91 =Ti rL(.ti'), rKcos9K = rK TL(iH). (3.19)
Тогда из (1.8) найдем новое значение hK (его назовем
hK) и найдем отклонение
А/гк = hK-h„. (3.17')
Предполагая, что возмущения движения вне СД малы
настолько, что можно считать
—1- ~ 1 —А ~ 1
’ 5Э(Д
1 к
Э(П = h, с, I,
(3.20)
заменим Э2 и Эз соответственно па новые:
Э" - Э2 — АЭХ, Эз — Э3 — АЭ,;, Э -(А, С, i). (3.21)
По новым значениям Э2, Э3 и прежним р2, р3 с помощью
тех же формул (3.1) — (3.12) получим векторы V2, U2,
V3, U3.
Интегрируя численно внутрь СД, т. е. от i2, р2, U2
вперед и от f3, р3, U3 назад, получим внутри СД, как и
142
УСЛОВИЕ СОПРЯЖИМОСТИ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. 5
на втором этапе, траектории у2 и у3. Получаем соответ-
ственно «дополнительные» точки p3K) и р2д) траектории
на СД и соответствующие моменты времени t3K) и
Выделим еще моменты т2 и т3 обращения в нуль
радиальной /Пь-центрической скорости на траекториях
у2 и Уз- Используя, как и на втором этапе, формулы
(3.13), (3.14), уточним положения рг и рз точек М2 и М3
на СД и моменты t2 и С входа и выхода. От новых t2,
т2, V2 и t3, гз, V3 можем вновь интегрировать численно
назад и вперед соответственно.
Таким образом, последовательно интегрированием вне
СД уточняем элементы Э2, Э3, Э=(Л, С, I), а интегриро-
ванием внутри СД уточняем t2, р2 и t3, р3. Эти итерации
должны столь же быстро сходиться, как и на втором
этапе. Численной проверкой сходимости итераций вто-
рого и третьего этапов сопряжения движений заканчива-
ется доказательство точного критерия сопряженности
(1.8). (Об этой проверке см. примечание на стр. 153).
Заметим, что приведенная формулировка критерия Г
и его доказательство используют малость ц, так как
опираются на понятия СД и ТС. По-видимому, эти фор-
мулировку и доказательство можно обобщить на произ-
вольные ц <1/2 и ограниченные числа витков до и после
сближения, если потребовать, чтобы концы М\ и Мк кри-
вых Гдг и Гз,к задавались настолько далеко от массы
mL, чтобы влияние массы ть на изменение пгс-центриче-
ских элементов h, С, i при изменении точек Mi, Мк было
несущественным. Именно таковы траектории облета Луны.
§ 5.4.Примеры приближенного и точного анализа
некоторых характеристик траекторий перелета
между Землей и Луной
1. Приближенное постоянство трансверсальной ком-
поненты геоцентрической скорости на СД при фиксиро-
ванном радиусе перигея. Рассмотрим вектор V2 (или V3)
/Пс-центрической скорости на СД в предположениях ме-
тода ТСД. Если элементы h, С, i кеплеровой дуги пере-
лета пга — тпъ (или mL — та) фиксированы, а элементы
SI, со, i подбираются из условия сближения точки т0 с
массой ть, то вектор V2 (или V3) фиксирован и согласно
§ 4.2 может считаться не зависящим от точки 2 (или 5)
§ 5.4]
ПРИМЕРЫ ПРИБЛИЖЕННОГО И ТОЧНОГО АНАЛИЗА
143
на СД. Если же элементы h, С не фиксировать, а фик-
сировать лишь зависящий от них радиус гя < rL пери-
центрия: гя = р/(1 + е), р = С2/цо, e = Vl —p/а, а —
= — ц0/Л, то появляется один свободный параметр Э.
можно принять Э = h, либо Э = Уя, где Уя — та-центри-
ческая скорость в перицентрии, либо Э == Vr, где Vr —
радиальная компонента вектора V2.
При фиксированном значении гя фиксированы мини-
мальные полуось ат = (гп + гу,)/2 и энергия hm —
= — ц.0/ат < 0. Примем, что
hm < h < hM, (4.1)
где hM > 0 есть величина порядка — hm, так что в равной
мере рассматриваются эллиптические и гиперболические
траектории. Покажем, что при этих условиях на рас-
стоянии rL от Земли трансверсальная компонента V-
геоцентрической скорости V2 приближенно может счи-
таться постоянной: Vx = V х.
Действительно, обратив движение КА, вспомним
(§ 4.4), что конец любого вектора скорости V2, позволя-
ющего приблизиться к Земле на заданное расстояние гя
из фиксированной точки rL, при rL > гя принадлежит
однополостному гиперболоиду, образуемому путем вра-
щения вокруг направления rL гиперболы (4.4.15) с полу-
осями ~~
(рис. 4.15). В рассматриваемом случае вследствие того,
что rL > гя, гиперболоид сильно вытянут вдоль оси вра-
щения, так что при энергиях h, не намного превышаю-
щих минимальную hm, он хорошо аппроксимируется ци-
линдром радиуса А с той же осью rL. Чтобы оценить
отклонение цилиндра от гиперболоида, вычислим вели-
чину Vx па гиперболоиде:
/ V2 /' V2
Vx — А\/ 1 + 4 « А 1 + -4
у В2 \ 2В2
Vr-A V2
Д = ~ =
(4-2)
144
УСЛОВИЕ СОПРЯЖИМОСТИ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. 5
Для полета по гиперболе с V? = 2\kG/rL имеем
Д = r„/2(rjc — г„), т. е. Д < 1 % для тп/гь = 1/60..
Зависимость V. от h получим с помощью интегралов
энергии и площадей
У г. = Vv2M + h, Vx = ^0, (4.3)
rL
используя разложение в ряд:
т. е. Vx можно считать не зависящим от h для
Л<С27п(гл). Здесь
v; = (г,) - А |/4 +
(4.4')
Из (4.4') для системы Земля — Луна (гл/гь х /60 и
1/Щ;/гь~ 1 км/с) V* а; А = 190 м/с (с погрешностью
порядка 1,5 м/с).
Найдем диапазон изменения компоненты Vr вектора
V2(V3) для диапазона (4.1). Из (4.2) ттИ213=й. Из
интеграла энергии
, V22,3 (h) = 2-~+h (4.5)
получим Им = max И2, зШ = И2,При h,4 = -hm
получим
V2 — 2,4-4'гл 2^g v „ /"Pg // c\
F"-Tr+V7r- (4.6)
Для малых r„/rL в системе Земля — Лупа Им « 2 км/с.
В диапазоне (4.1) max Vr = |/"Им — Vx. Для малых
§ 5.4]
ПРИМЕРЫ ПРИБЛИЖЕННОГО И ТОЧНОГО АНАЛИЗА 145
rn/rL, подставив VX~A, получим
тахУг«2|/^«Ум.
(4-7)
2. Координаты оси пучка траекторий на СД. Рассмот-
рим теперь вектор U2 ть-цептрической скорости входа
в СД в предположениях метода ТСЛ. Обратное ему на-
правление (—U2) есть направление на точку входа в
СД оси пучка ть-центрических траекторий с фиксиро-
ванными элементами h, С, I. Это' направление будем
определять широтой 60П, т. е. углом возвышения вектора
(—и2°) над плоскостью IL, движения масс mGmL и дол-
готой аоп проекции векто«ра (—U°) иа плоскость Щ,
отсчитываемой от направления mLmG в момент t2 входа
в СД в сторону вращения луча mLmG.
Приближенный расчет координат (а„п, 60П) выполняет-
ся по формулам (2.16), в которых компоненты и модуль
вектора U2 находятся по формулам (2.4), (2.5). В послед-
них формулах величина V2 геоцентрической скорости V2
входа и ее угол а2 с радиусом г2 = rL находятся из гео-
центрических интегралов энергии (2.2) и площадей (2.3).
Рассмотрим методом ТСД изменение углов аоп, 60П
при изменении элементов hm < Л < hM, —л < i < л и
фиксированном радиусе перигея гя < rL. Из (2.4), (2.5),
(2.16) и У2з1па2 = Ут получим
К.-sin i
sin 601I = —г—, (4.8)
и <х>
Ul = Vl + Vl - 2VlVx cos i,
(4-9)
где согласно (4.5), V2 = У2(Л) и согласно предыдущему
и. 1 можно считать Vx пе зависящим от h, i.
Найдем экстремумы функции l6on(i)b,=™nSt или, что
то же, функции /(i) = VL sin2 6on(i)/VT. Из (4.8), (4.9)
. 2 т
е / 1 - COS * /ТА Г\\
f (l) = 777-т(4.10)
' ' 276 — 2 cos i '
V? J- V* W
(4Л1)
10 в. Л. Егоров, Л. И. Гусев
146
УСЛОВИЕ СОПРЯЖИМОСТИ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. 5
Из условия /'(i) = 0 получим уравнение
sin i cos i(2V6 — 2 cos i) = (1 — cos2 i) sin i.
Его решение sin i = 0, t. e. |i[ = 0, л, отвечает миниму-
мам 1боп1. При sini¥=0 получим уравнение
cos2 i — 2V6 cos i + 1 = 0.
Из двух его решений имеет смысл лишь одно
cos im (h) = Уб — /У§-1 = [уб + yvl-1]-1. (4.12)
Оно отвечает максимумам i при фиксированном значе-
нии h.
Выберем h так, чтобы стало
Уб = VJV,. Для малых и
Кеплера У^ ~ Ущ/гл, а из (4.4),
так что Уа « 7гь/2гп — довольно
= 5 для rjru = 50. Имеем cos im -
sin2 6м = (1 - 0,01)7(10 - 0,2)175
Уг = VL. Из (4.11) тогда
rjrb из третьего закона
(4.4') Ут = V2rn/rbVgG/rb,
большая величина: Vs =
« 0,1, im « 84°,
« 0,02;
sin 6м ~ 0,14; 6м « 8°,5.
Что касается аоп, то из (2.4) и (2.16) sinaon<0,
a sign cos aon = sign cos аг, т. e. cos аоп > 0 и аоп>270°
при сближении на восходящей ветви траектории 1\2 и
cosaOn<0 и аоп < 270° при сближении на нисходящей
ветви траектории Гцг- Разделив в (2.16) sin6on на
cos 60П, получим
.о Т7 sin i
tg6°n = ^-cos^
(4-13)
Заменяя Ucos 60П через sin aou из (2.16) с учетом (2.4),
получим
1g §оп
sin aon sin i
cos i — Va ’
(4.14)
Для hm<h<hM при постоянном гя <rL можно считать
Ут = const и Уа = const (Уо = 1rJ2rn для малых щ,7|10),
так что (4.14) есть чисто геометрическая зависимость.
Найдем экстремумы функций tg 60П (i) ]aon=const из ус-
ловия 60п (i) = 0, получим cos г (cos i — Уа) + sin2 i = 0 и
§ 5.4] ПРИМЕРЫ ПРИБЛИЖЕННОГО И ТОЧНОГО АНАЛИЗА 147
решение
•1
cos 1а — у
v а
sin %п
(4.15)
Из (4.14)
tg 6м («он) ~
~sinaon
V 1/ 1 — v~2
а у а
(4.16)
Для Гь/гп = 50 имеем Va = 5, cos ia = 0,2,
I tg бы (аOU ) I ~ Isin CConl/5, и
6м ( СХоп ) « 11°,3 sin аоп-
й = 78°,5,
(4.17)
3. Результаты точного расчета осевых траекторий.
Вследствие приближенности метода ТСД формулы (2.4),
(2.5), (2.16) определяют углы аоп, 60П с погрешностью в
несколько градусов, что уменьшает количественное (но
не качественное) значение последующих результатов
(4.8) — (4.17). Поэтому интересно получить зависимости
координат аоп, 60П от i путем точных расчетов. Такие
расчеты были проведены для перелетов Земля — Луна и
Луна — Земля при четырех положениях Луны с аргу-
ментами широты uL = 0, 90°, 180°, 270° (сентябрь 1971г).
При этом времена Т полета между перигеем и центром
Луны, и оскулирующие в перигее элементы гл, i подбира-
лись такими же, как и при расчете методом ТСД. Здесь
аргумент Т использовался вместо аргумента h, посколь-
ку функция hkT') при фиксированном гп однозначна
(рис. 4.5), а обратная функция — нет. (Здесь индексы
«1» или «к» у элементов, оскулирующих в перигее, бу-
дем опускать, имея в виду перелеты и Земля — Луна и
Лупа — Земля.)
Оказалось, что функции 6„„(i)Lon=COnst выражаются с
точностью до десятых долей градуса одними и теми же
кривыми (рис. 5.1) для любого положения Луны и лю-
бого времени Т.
Время Т = Т1.2 + Тс, где Ti,2 и Тс — времена полета
вие п внутри СД. Оказалось, что функции аоп (TIi2)| f=const
хотя и являются монотонными при всех положениях
Луны, все же могут отличаться на несколько градусов
Для различных положений Луны. На рис. 5.2 даны точ-
10*
148
УСЛОВИЕ СОПРЯЖПМОСТИ ДВИЖЕНИИ
[ГЛ. 5
ныс функции «4о = a0II(Z'i.2) 1.-40° для четырех положе-
ний Луны (близких к концам двух перпендикулярных
диаметров ее орбиты); для этих положений указаны с
методической целью соответствующие им произведения
FtsinO'j, (где — оскулирующая истинная аномалия
Рис. 5.1. Зависимость сферических координат аоп, боп оси пучка на сфе-
ре действия от наклонения г. В скобках указана долгота аоп для траек-
торий возвращения от Луны к Земле.
Луны), определяющие положение Луны. Для других на-
клонений функции aon(7’i,2) l ;=const оказались настолько
близкими к представленным, что с точностью до десятых
долей градуса их можно вычислить по формуле
= + (4.18)
При этом точные зависимости 5«on/5|i| 1|<|=4о° от Т\2
несколько различаются для разных положений Луны
(рис. 5.2).
Рассчитывались отдельно (с методической целью) точ-
ные времена ГДГ)l|>|=COnst полета между точкой 2 на СД
и центром Лупы (рис. 5.3). Имея кривые 7’с(Г)|i|=const,
можно применить следующую методику вычисления
углов «оп, бип(Г, i) с точностью до десятых долей граду-
§ 5.4] ПРИМЕРЫ ПРИБЛИЖЕННОГО II ТОЧНОГО АНАЛИЗА 149
га. Найдя 7’с(7’) (рис. 5.3), вычислим 7’1.-2 Т • Тк.
Найдя по заданному положению Луны на ее орбите про-
изведение V’z.sin'O’z,, определим по нему и Т^г значения
«до п da/d\i\l|i|=40’, по ним находим аоп из (4.18), а по
нему и углу i —угол 60П из рис. 5.1. Из рис. 5.1, 5.2 сле-
дует, что точки входа в СД начинающихся у Земли
Рис. 5.2. Изменение селеноцентрической долготы оси пучка а40 для
впрмКТ0Ри^ с наклонением г = 40° и производной Ba/Bi в зависимости от
времени Т,12 полета до сферы действия и от параметра поло-
женин Луны на орбите.
150
УСЛОВИЕ СОПРЯЖИМОСТИ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. 5
осевых траекторий пучков — траекторий прямого попада-
ния в Луну — располагаются в узкой полосе селеноцент-
рических широт 16Сц 1 < 11 °,5, длина которой растет
вместе с диапазоном располагаемых времен полета, а ши-
рина убывает вместе с |i — ia|.
Кривые на рис. 5.1—5.3 оказались пригодными с
той же точностью не только для перелета Земля — Луна,
Рис. 5.3. Зависимость времени Тс движения между границей сферы
действия и периселением на поверхности Луны от времени Ti>2 перелета
Земля — Луна и от геоцентрического наклонения i траектории полета к
Луне.
по и для перелета Луна — Земля (для последнего пере-
лета даны значения аоп в скобках на рис. 5.1 и допол-
нительная шкала углов аад на рис. 5.2). Это объясняет-
ся сохранением краевых условий и времени перелета,
симметрией и обратимостью движения в ограниченной
круговой задаче трех точек [5 — 19601, симметрией влия-
ния сжатия Земли и малостью влияния остальных вто-
ростепенных факторов (это влияние оценивается далее в
гл. 10). Учитывая симметрию движений, имеем схему
(рис. 5.4) разделения СД на секторы направлений, по
которым возможен вход в СД или выход из нее селено-
центрических траекторий, проходящих через центр Луны
и переходящих в точках на СД в геоцентрические траек-
§ 5.41 ПРИМЕРЫ ПРИБЛИЖЕННОГО И ТОЧНОГО АНАЛИЗА 151
тории с < rL. С приближением направления к концам
(с £ < 0) заштрихованных секторов геоцентрическая ско-
рость входа (выхода) стремится к параболической, а вре-
мя перелета — к бесконечности.
Рассмотрим теперь характеристики 7пь-центрических
траекторий пучка, окружающих осевую траекторию 70П
Рис. 5.4. Схема расположения на сфере действия осей пучков селено-
центрических траекторий при всевозможных геоцентрических наклоне-
ниях i и временах Т полета между Землей и Луной.
с заданными координатами аоп, боп ее точки Оп на СД,
Если применим метод ТСД, то получим, что все траек-
тории 7 пучка имеют одинаковый заданный вектор U„
скорости «на бесконечности» (т. е. одинаковую действи-
тельную полуось а) и что их Шь-центрические плоско-
сти проходят через осевую траекторию пучка. Последнее
обстоятельство налагает связь на Шь-центрические эле-
менты I', SV:
sin (аоп <Я/) = £, , | аОп А [ < 90 ,
|6оп|<В/|<(180°-|6оп I).
Эта формула получается по теореме синусов для смеж-
152
УСЛОВИЕ СОПРЯЖИМОСТИ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. 5
пых сферических треугольников с общей стороной п0П
(рис. П.1,а) и вершинами Onz<Q>' и Oax*Q,'.
Пусть задана на СД углами а, 6 точка 2 входа в СД
какой-либо траектории пучка. Тогда однозначно опреде-
ляются плоскость П' ть-центрического движения, на-
правление обхода центра ть в плоскости П' и все эле-
менты /Пь-центрического движения. Соответствующий
Рис. 5.5. Линии постоянного минимального расстояния траекторий сбли-
жения от Луны на плоскости селеноцентрических сферических коорди-
нат «СЦ, 6Сц.
расчет выполняется по формулам § 5.2. При этом вместо
~~ >
использования формулы (2.17) вычисляется р2 = mL2
и находится (С')° = роп X р2/|роп X р2], где POIl = mLOn, а
вместо формулы (2.8) используется той же степени при-
ближенности равенство полуоси Ъ' расстоянию точки 2 от
оси пучка.
Результатами точного расчета (рис. 5.5) подтвержда-
ются результаты метода ТСД. В соответствии с рис. 4.8
существенные повороты (па 20° и более) вектора скоро-
сти вдоль гипербол происходят лишь при тесном сближе-
нии КА с mL, например, при сближении па расстояние
Ря < Ю4 км для времен перелета 7\2 = 2,5 сут (соответ-
§ 5.4] ПРИМЕРЫ ПРИБЛИЖЕННОГО И ТОЧНОГО АНАЛИЗА 153
ствующее значение входной скорости £7 ~ 1,7 км/с). При
этом точки входа на СД, отвечающие одному значению
ря, образуют замкнутые кривые. Они отстоят от оси Оп
пучка на ~ 5° при ря = 5000 км и на — 3° при
ря = 2000 км. С ростом времени перелета, т. е. с убыва-
нием энергии h (и скорости £7), размеры зоны тесного
сближения увеличиваются. При изменении лишь знака
наклонения i получаются кривые, симметричные относи-
тельно оси абсцисс кривым на рис. 5.5.
Примечание к стр. 142. Численная проверка
сходимости итераций второго и третьего этапов сопряже-
ния движений (§ 5.3) была реализована на примере тра-
ектории облета Луны с возвращением к Земле. Расчеты
сопряжения показали, что начальные условия, получен-
ные па первом этапе, позволяют завершить второй этап
за 5 итераций с погрешностями по наклонению 1°, по
кинетическому моменту 10~2 км2/с и по полной энергии
10-2 км2/с2. Использование начальных условий, получен-
ных па втором этапе, позволило завершить третий этап
сопряжения за 8 итераций с заданными точностями: по
наклонению 0,1°, по кинетическому моменту 10-3 км2/с
и по полной энергии 10-3шм2/с2.
Г л а в a 6
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ЛУННЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
Первое исследование траекторий в гравитационном поле
Земли и Луны было проведено в систематическом плане
для так называемых «плоских задач». Траектории таких
задач целиком находятся в плоскости орбиты Луны.
Плоская задача, конечно, принципиально проще про-
странственной, но ее исследование имеет смысл, во-пер-
вых, потому, что полет в плоскости лунной орбиты фи-
зически реализуем; во-вторых, потому, что некоторые
качественные особенности плоских траекторий в системе
Земля — Луна имеют свои аналоги и в случае простран-
ственных траекторий.
§ 6.1. Попадание в Луну
В задаче о попадании в Луиу не требуется знать по-
ведения решений после сближения с Луной, и классифи-
кация их очень проста. Пусть заданы начальные геоцент-
рические радиус ri, скорость V; и угол ai скорости с ра-
диусом, а угол X радиуса с осью х (рис. 3.4) подбирается
из условия попадания в Луну.
Очевидно, при эллиптических начальных скоростях сбли-
жение КА с Луной возможно как на восходящей («в»),
так и на нисходящей («н») ветви его траектории. Соот-
ветственно имеем два класса попадания П° и Пв. Крайние
траектории каждого из классов, т. е. траектории с углами
ai = +л/2 и ai = —л/2, т. е. с наклонениями i = 0 и
lil = л, схематически представлены на рис. 6.1. По знаку
направления обхода Земли, т. е. по знаку ai, каждый
класс можно разделить на два подкласса: Пв — на Пв+ и
Пв_; Пв — на Пв+ и Пв~. При этом траектория, разделяю-
щая классы, является чисто радиальной по отношению к
§ 6.1]
ПОПАДАНИЕ В ЛУНУ
155
Земле. При монотонном изменении угла oci в интервале
—л/2 < «1 < +л/2 траектория монотонно изменяется внут-
ри одного и того же класса между крайними его траек-
ториями.
Проследим эволюцию решений с уменьшением началь-
ной скорости. При гиперболических начальных скоростях,
Рис. 6.1. Классы Пв и Пн попадающих траекторий: I — попадание на
восходящей ветви траектории, II — на нисходящей ветви.
очевидно, существуют только решения класса Пв. При пе-
реходе скорости через параболическую появляются нис-
ходящие ветви, и сразу для всех оц появляются решения
класса Пн. С убыванием начальной скорости решения
обоих классов, отвечающие одному и тому же углу он,
сближаются. Наконец, при переходе начальной скорости
через минимальное значение Vimrntlail) соответствующие
решения каждого из классов сливаются и исчезают. Сна-
чала исчезают решения с lo.il = л/2, так что при laj =
= л/2 попадание в центр Луны становится невозможным,
хотя существуют углы lojl < л/2, для которых оно еще
возможно.
156
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ЛУННЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
[ГЛ. 6
Значение X, отвечающее попаданию, как следует из
§ 3.2, можно приближенно находить совершенно без уче-
та влияния Луны, по формулам (3.2.3). Для этого пред-
варительно по формулам теории конических сечений на-
ходится угол Ф между геоцентрическими радиусами на-
чальной точки и точки встречи, а также время полета
4 ~ /п, н м/с
Рис. 6.2. Угол X начального радиуса с направлением Луна — Земля,
обеспечивающий попадание в Луну, как функция начальной скорости,
в случае вертикального (а, = 0) и горизонтального (| а, | = 90°) направления
старта. Ф — геоцентрическая угловая дальность полета.
Т1.2 между этими точками. Функции Ф(У1), V(Vi), X°(Vi)
и A_(Vi) (рис. 6.2) и функции T’i,2(^i) (па рис. 4.5) вы-
числены для класса П“ при начальной высоте 200 км.
Функции Ф(УД отвечают соответственно значению угла
ai = + n/2, а функции V(7i), X°(Vi) и V(Vi) отвечают
соответственно значениям ai = + л/2, 0, — л/2. При из-
бытках начальной скорости над параболической 0,5 км/с
уже заметно стремление кривых к асимптотам.
Траектории класса П°, отвечающие начальной высоте
200 км, углу ai = л/2 и рассчитанным выше приближен-
ным значениям X+(Vi), были найдены с учетом притяже-
ния Луны с помощью численного интегрирования уравне-
ний (3.1.4) на цифровой машине. Оказалось, что отклоне-
ние р„, траектории от центра Луны, возникающее вслед-
§ 6.1]
ПОПАДАНИЕ В ЛУПУ
157
ствие неучета притяжения Луны при определении X,
очень быстро убывает с ростом начальной скорости от ми-
нимальной. Если при минимальных начальных скоростях
получается промах рт порядка десятков километров, то
с приближением скорости к параболической становится
рт < 1 км.
Для получения представления о самих попадающих
траекториях точности в десятки километров было бы до-
статочно; однако для выяснения влияния разброса на-
чальных данных нужна будет точность попадания в центр
Луны порядка километра.
Траектории, попадающие в центр Луны сколь угодно
точно, можно получить методом итераций на значение
рт = 0 по аргументу X. При этом в § 4.2 показано, что
сходимость будет болес-высокого порядка, если в качестве
функции брать не рт со знаком направления обхода Лу-
ны, а ]/рт с тем же знаком. Этот итерационный процесс
был запрограммирован для цифровой машины, и был
проведен расчет попадающих траекторий. Результаты
расчета траекторий класса Пв для ai = +л/2 представле-
ны на рис. 6.3 в системе ОхБув, вращающейся вместе с
направлением на Луну. Зависимости Т\, 2, Ф и X от на-
чальной скорости, отвечающие этим траекториям, практи-
чески совпадают с приведенными на рис. 4.5 и 6.2.
Рассмотрим вопрос о необходимых точностях началь-
ных данных. Заметим, что если при определении влия-
ния малых ошибок в начальных данных пренебрегать
действием Луны, то промах р,„ будет линейной функцией
ошибок. Если же учитывать влияние Лупы в ее сфере
действия, то линейной функцией ошибок будет d (рас-
стояние от центра Лупы липни действия вектора входной
селеноцентрической скорости). А так как, согласно § 4.2,
при малых d величина рт пропорциональна d2, то при
учете влияния Луны промах оказывается квадратичной
функцией ошибок. Это значит, что гораздо легче реали-
зовать достаточно точное попадание в Луну, чем в непри-
тягивающую точку, движущуюся так же, как Луна.
Определение промахов pm = pr, ра, ..., отвечающих
соответственно ошибкам 6Vi, 6оц, ..., с помощью прибли-
женной методики (т. е. с учетом влияния Луны только в
ее сфере действия) является довольно громоздким. Более
точным и более легким оказывается определение отклопе-
Рис. 6.3. Восходящие попадающие траектории во вращающихся координатах; цифры вдоль траекторий указы-
вают время полета в сутках.
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ЛУННЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
§ 6.1]
ПОПАДАНИЕ В ЛУНУ
159
ний рт путем непосредственного вычисления на машине
траекторий, близких к траектории достаточно точного по-
падания в центр Луны (номинальной).
Варьируя одно из номинальных начальных данных Xt
на малую величину 8xt и вычисляя соответствующую
траекторию, находим ее расстояние от центра Луны
Рис. 6.4. Коэффициенты, определяющие отклонение траекторий от цент-
ра Луны,
р, « Л’Дбя;)2. Кривые и КV1 (V!) представлены на
рис. 6.4. Функция -Kai (Их) монотонно возрастает,
a Z<y1(V1) монотонно убывает, проходя через нуль. Соот-
ветственно максимально допустимая ошибка в направле-
нии | бах |pL (т. е. ошибка, отвечающая промаху, равному
радиусу Луны pm = pL при точной реализации остальных
начальных данных) есть монотонно убывающая функция
начальной скорости Vi, а максимально допустимая ошиб-
ка в начальной скорости | 6КХ |pL имеет по V\ максимум
(рис. 6.5). Прохождение функции КУ(У1) через нуль
объясняется тем, что при соответствующей начальной
скорости для углов а = + л/2 смещение точки встречи за
счет изменения кривизны траектории компенсируется сме-
щением Луны за счет изменения времени полета КА до
точки встречи,
160
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ЛУННЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
[ГЛ. С
Величина максимума функции | АУ1 |Pl на рис. 6.5
приближенно может быть найдена с помощью формулы
IA^iIpjc,—‘V Рь/А4, вытекающей при Kv = 0 из соотно-
шения рт = Лу(Д V\)2 + КДА Vi)4 + ... (па рис. 6.5 вели-
чина этого максимума нанесена приближенно).
Рис. G.5. Величина ошибки, отвечающей отклонению траектории от края
Луны.
Из рис. 6.5 видим, что, например, при скоростях, близ-
ких к параболическим, |6 ах |pL 0°,5, а | 6УТ )pL~ 50 м/с.
Оптимальная начальная скорость, очевидно, зависит от
соотношения располагаемых точностей. Видно также, что
влияние разброса 6 У] особенно велико при скоростях,
близких к минимальным. Насколько сильно может изме-
нить траекторию КА ошибка 6У1 = ±2 м/с при началь-
ных скоростях, близких к минимальным, показывает
рис. 6.6.
Заметим, что при угле ai = — л/2 начальной скорости
с радиусом вместо компенсации смещений траектории и
Луны при ошибках в начальной скорости происходит сло-
жение смещений. Вследствие этого максимально допу-
стимые ошибки | 6УХ |Pl при al = — л/2 оказываются зна-
чительно меньше, чем для cci = + л/2.
§ 0,1]
ПОПАДАНИЕ В ЛУНУ
161
Влияние ошибок 6ri при сохранении избытка AVi на-
чальной скорости над местной параболической оказалось
практически несущественным. Например, при ошибке
бг 1 — 50 км для начальных скоростей Vi — Va =
= — 0,092928; 0 и +0,106094 км/с получились, соответ-
ственно, промахи рг = 56, 43 и 140 км.
Рис. 6.6. Изменение характера попадающей траектории во вращающейся
хв!/ви иевращающейся ху системах координат при ошибках в началь-
ной скорости, близкой к минимальной. При Н=200 км, а!=75°. AVi-
=—0,0919 км/с имеет место попадание. При ошибках ±2 м/с нет попада-
ния; знаку «+» отвечает траектория 1, знаку «—» — траектория II.
Ошибки б% связаны главным образом с ошибками
в моменте старта. Максимально допустимые ошибки по
углу % — порядка одного градуса, поэтому время старта
должно быть выдержано с точностью порядка минут.
Ошибки б£ и б£ по нормали £ к плоскости орбиты Лу-
ны, как можно показать, приведут соответственно к при-
цельным расстояниям |dl « al£l/ri и |d| < rL^/4Vi. При
Vi « Va имеем U+ — 1,65 км/с, и из рис. 4.10 получим,
И В, А, Егоров, Л. И, Гусев
162
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ЛУННЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
1ГЛ. С
что допустимые значения |d| < 3000 км. Отсюда следует,
что, во всяком случае, при 50 км или «С 50 м/с
попадание еще будет иметь место.
Итак, допустимые ошибки при возмущении только од-
ного из начальных данных будут по скорости около
50 м/с, по ее направлению — около 0,5°, по положению
начальной точки — около 50 км (при сохранении значения
ДИ1 = И— Уп) и по времени старта — порядка минуты.
Порядок одновременно допустимых ошибок будет при-
мерно такой же. Не изменится этот порядок и с учетом
возмущений от Солнца и других факторов, не учитывае-
мых уравнениями (3.1.4). Действительно, возмущения ма-
лы и войдут в точные уравнения движения с малыми па-
раметрами (в уравнениях (3.1.4) считавшимися нулями).
Производные решений по начальным данным, которыми
определяются необходимые точности в рассматриваемом
случае, как нетрудно видеть, от малых параметров будут
зависеть непрерывно. Значит, эти производные и необ-
ходимые точности будут того же порядка, что и при ну-
левых значениях малых параметров.
Заметим, что влияние разброса при попадании в Луну
на нисходящих ветвях оказывается в 2—5 раз больше,
чем при попадании на восходящих ветвях траектории.
Из полученных результатов следует, что влияние раз-
броса начальных данных на реальные траектории попа-
дания в Луну сравнительно невелико, так что осуществ-
ление попадания в Луну возможно без коррекции траек-
тории на пассивном участке.
§ 6.2. Облет Луны с возвращением к Земле
Еще Циолковский [1—1913] и Гоман [1—1925] ука-
зывали на возможность облета Луны с возвращением к Зем-
ле. В работах [5, 6 — 1957] показывается возможность та-
кого облета Луны по симметричным траекториям. Однако
представляет интерес исследовать все возможные плоские
траектории близкого облета с возвращением, а также вы-
яснить необходимые для их реализации точности началь-
ных данных. Итак, попытаемся найти те начинающиеся
у Земли траектории сближения с Луной, которые возвра-
щаются в заданную окрестность Земли, именно в сферу за-
данного радиуса г„ < rL, где rL — расстояние до Луны.
§ 6.21
ОБЛЕТ ЛУНЫ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ К ЗЕМЛЕ
163
Множество плоских решений рассматриваемой задачи
является четырехпараметрическим. Множество траекто-
рий облета с возвращением, касающихся геоцентрической
окружности заданного радиуса r„ rL, является трехпа-
раметрическим. Множество симметричных траекторий об-
лета с возвращением является двухпараметрическим. Ис-
пользуя обратимость движения, нетрудно показать, что
симметричные траектории должны пересекать прямую
Земля — Луна (ось симметрии) под прямым углом. По-
этому они полностью характеризуются удалением точки
пересечения от центра Луны и скоростью в этой точке.
Это обстоятельство использовалось в работах [5, 6 — 1957]
для численного отыскания симметричных траекторий.
Перейдем к анализу названной выше задачи. Как в за-
даче о попадании номинальными были траектории, прохо-
дящие через центр Луны, так в рассматриваемой задаче
номинальными являются траектории, проходящие через
центр Земли. Очевидно, номинальные траектории харак-
терны тем, что после выхода из СД они имеют геоцентри-
ческую константу площадей, равную нулю. В предполо-
жениях метода ТСД (§ 4.2) получим в двумерном про-
странстве компонент и, v скорости многообразия вы-
ходных скоростей: селеноцентрических — (73-круг и гео-
центрических — Пз-круг. Поскольку само пространство
скоростей двумерно, то его можно назвать планом ско-
ростей. Очевидно, что искомым номинальным траектори-
ям могут отвечать на плане скоростей лишь те два век-
тора выходной геоцентрической скорости И3, которые па-
раллельны прямой 2та (рис. 6.7 и 6.9). Один из них
Т(зв) отвечает восходящему движению после сближения,
а другой И3Н)— нисходящему, каково бы ни было дви-
жение до сближения. Восходящее движение, в отличие от
нисходящего, лишь тогда может быть решением задачи,
когда V3 < Пп(гь), где Уп(гь) = 1,44 км/с — геоцентриче-
ская параболическая скорость на удалении орбиты Луны.
Принимая последнее условие, рассмотрим сначала
сближение на восходящей ветви, отвечающей положитель-
ному углу ai начальной скорости с радиусом, т. е. накло-
нению й = 0.
Из рис. 6.7 видим, что векторы выходной селеноцент-
рической скорости П3В) и f73H) образуют с вектором ce-
ll*
164
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ЛУННЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
[ГЛ. в
пеноцентрической скорости U2 утлы ссв < О и ссн < 0. Сле -
довательно, центр Луны обходится соответствующими
траекториями по часовой стрелке, так что имеют место
облеты Луны со стороны, невидимой с Земли. Будем обо-
значать такие траектории буквой С с соответствующими
Рис. 6.7. Векторы плана скоростей для случая облета с возвращением
траектории к центру Земли при положительной начальной векториаль-
ной скорости.
индексами: и Сн+- Здесь знак есть signal (знак на-
чальной секториальнрй скорости Oj), верхняя буква ха-
рактеризует тип ветви до сближения, а нижняя — после
сближения. Решение Си+ подходит гораздо ближе к цент-
ру Луны, чем так как laHl >1ав[. Времена полета
до сближения для обоих решений, очевидно, должны быть
примерно такие же, как и для попаданий, отвечающих
тем же начальным скоростям. Во время сближения гео-
центрическая секториальпая скорость должна изменяться
от значения Ci до нуля. Геоцентрическое движение после
§ 6.2]
ОБЛЕТ ЛУНЫ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ К ЗЕМЛВ
165
сближения является чисто радиальным. Рассматриваемые
решения представлены схематически на рис. 6.8.
В случае ai < 0 (рис. 6.9) по-прежнему угол ан < 0 и
отвечает облету типа Сн~ (рис. 6.8). Однако угол 0Сз > О,
так что центр Луны обходится против часовой стрелки.
Рис. 6.8. Классы облетных номинальных траекторий типа С. Видно
уменьшение ' геоцентрической секториальной скорости под действием
Луны до нуля.
Будем обозначать такие решения задачи облета буквой D:
тогда последнее решение обозначится D^~ (рис. 6.10).
Рассмотрим, наконец, сближение на нисходящей вет-
ви. Соответствующие планы скоростей согласно § 4.3 сим-
метричны относительно прямой 22' планам, изображен-
ным на рис. 6.7 и 6.9. Аналогично предыдущему можно
получить четыре решения: для ai > 0 — решения Лв+
и £>н+ (рис. 6.10); для ai < 0 — решения D* (рис. 6.10)
и Сн~ (рис. 6.8). Из анализа рис. 6.7—6.9 видно, что
по последствиям сближения полученные решения типа С
(рис. 6.8) делятся на два класса:
166
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ЛУННЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
[ГЛ. 6
I. Сближение тесное, тип ветви после него изменяет-
ся на противоположный (класс Си);
II. Сближение слабое, тип ветви после него не меня-
ется. Этот класс, в отличие от класса I, делится на два
подкласса и Си"", не переходящие один в другой при
Рис. 6.9. Векторы плана скоростей для случая облета с возвращением
траектории к центру Земли при отрицательной начальной векториаль-
ной скорости.
непрерывном изменении cti и при фиксированной началь-
ной скорости. Аналогично делятся на два класса и облет-
ные решения типа D: IZ>b~, H-Db , Dh+ (рис. 6.10).
При ai -> 0 облетные и долетные номинальные решения
вторых классов вырождаются в тривиальные (т. е. не от-
вечающие сближению).
Заметим, что полученная система номинальных облет-
ных траекторий сближения является полной.
Номинальные траектории, как и в задаче попадания,
находятся методом итераций по какому-либо начальному
данному, как аргументу, на значение функции у = 0. При
этом у = Trm sign Ск, где гт — расстояние ветви возвраще-
S 6,2]
облет луны с возвращением к земле
167
ния от центра Земли. Этим методом с помощью числен-
ного интегрирования и были вычислены на ЭВМ облет-
ные траектории всех подклассов типа С и некоторые ти-
па D, что подтвердило правильность результатов, полу-
ченных методом ТСД. Итерации велись по аргументу X
при фиксированных начальных данных Г\ = 6571 км,
Рис. 6.10. Классы облетных поминальных траекторий типа D. Видна
аналогия с облетными классами типа С.
АУ1 = —0,07228 км/с и «1 — ±л/2, где АУ1 есть избыток
начальной скорости над местной параболической. Оказа-
лось, что классу С к отвечают времена полета Ti,K = 5 4-
4-10 суток, классу Df— 15 4-20 суток; а остальным —
промежуточные.
Рассмотрим эволюцию номинальных решений с убы-
ванием начальной скорости Ур При достаточно больших
скоростях существуют только решения класса С^. При
АУ1 = 0,017 км/с появляется реЩение Q+; при АУ] <
<0 — решенияП2+1 D”+ и 0^“. Наконец, при АУ1-«
168
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ЛУННЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
[ГЛ, 8
= —0,017 км/с появляются решения!>в_и£)|_.С дальней-
шим убыванием начальной скорости происходит попарное
сближение, а затем слияние и исчезновение решений: сна-
чала исчезают решения Сн+ и Cl+, затем -D“+ и -Он+, за-
темСн-и Сн .Последними исчезают решениями и 7)в •
При меньших начальных скоростях уже невозможно
получить Ск = 0, хотя траектории еще могут дости-
гать СД.
Заметим, что решения вторых классов при всех на-
чальных скоростях проходят вне диска Луны, а решения
первых классов — лишь при начальных скоростях, близ-
ких к минимальным.
Рассмотрим вопрос о влиянии разброса начальных
данных. Поскольку для номинальных траекторий, в от-
личие от других, величина расстояния от центра Земли
гт является квадратичной, а не линейной функцией ма-
лых ошибок, они выгоднее близких к ним траекторий по
необходимой точности реализации начальных данных.
Как и в задаче попадания, в задаче облета определяю-
щим является влияние разброса по начальной скорости
Vi и по ее углу ai с радиусом гр Влияние разброса в рас-
сматриваемой задаче зависит не только от характера про-
хождения траектории относительно Земли, но и от рас-
стояния рт траектории от центра Луны. С убыванием
рт влияние ошибок быстро растет. Поэтому для первых
классов оно сильнее, чем для вторых, причем ошибки
в сторону уменьшения расстояния рт влияют сильнее, чем
в сторону его увеличения. Например, для облета типа Св+
при ai = л/2 и ДУ1 = —0,07228 км/с имеем рт = 12 900 км.
При ошибках 6У1 = —1 м/с и 6ai = —0,01 рад, а также
6У1 = +10 м/с и 6ai = +0,1 рад, траектории еще возвра-
щаются на Землю. Однако при ошибках 6У1 = —10 м/с
и 6cci = —0,1 рад либо траектории соударяются с Луной,
либо меняется направление обхода Луны. G увеличени-
ем минимального расстояния траектории от Луны требо-
вания по точности быстро снижаются.
Для тривиальных решений (проходящих от Луны па
расстояниях рт р*) влияние разброса сравнительно не-
велико, и необходимые для возвращения на Землю точ-
ности начальных данных оказываются не выше, чем для
попадания в Луну при тех же начальных скоростях.
§ 6.3] ОБЛЕТ ЛУНЫ С ПОЛОГИМ ВХОДОМ В АТМОСФЕРУ 189
§ 6.3. Облет Луны с последующим пологим входом
в атмосферу Земли
Здесь ставится задача облета Лупы, при котором КА
возвращается в атмосферу Земли полого. Для таких тра-
екторий условия входа в атмосферу являются наиболее
легкими. Очевидно, для этих траекторий минимальный
геоцентрический радиус г,„ па участке возвращения дол-
жен быть равен радиусу гт верхних слоев атмосферы.
Как показано в § 5.4, при энергиях <С 27? (г?),
в частности, при начальных скоростях V\ < Vn + 0,5 км/с
облетные траектории с гт — гт в точке выхода из СД об-
, г„ *
ладают свойством | 7ЗТ1 « — 7П (гЛ = Vx, где V st— транс-
rL
нереальная компонента выходной геоцентрической скоро-
сти V3 (рис. 4.1), а Уп — параболическая скорость па ра-
диусе гт. Это позволяет, как и в предыдущей задаче, с по-
мощью плана скоростей найти все классы решений.
Оказывается, каждой паре подклассов решений преды-
дущей задачи в рассматриваемой задаче соответствуют
два класса решений, обходящие Луну в том же направ-
лении, что и решения предыдущей задачи, а Землю — в
разных. Но здесь классы не обязательно делить на под-
классы, так как их решения изменяются непрерывно при
переходе через нуль угла tzi начальной скорости с радиу-
сом. Поэтому их можно обозначать без указания знака
вверху: Сн+ и Сн- для облетного класса I, и Св- и Сн+—
для облетного класса II. Аналогично имеем облетные ре-
шения типа/): Dg+, D™-, Рв+, //“--Знак внизу указывает
направление обхода Земли. Когда угол ccj прямой, то вто-
рые пары решений могут вырождаться в тривиальные (не
отвечающие сближению с Луной). Эти решения суть эл-
липсы с фокусом в центре Земли, в перигее касающиеся
верхних слоев атмосферы. Для среднего значения ai = 0
облетные классы типа С представлены на рис. 6.11. Гео-
центрическая секториальная скорость в начале равна
нулю, и решения начинаются радиально. Затем возмуще-
ния Луны увеличивают величину векториальной скорости
настолько, что ветвь возвращения касается верхних сло-
ев атмосферы Земли. Эволюция решений рассматриваемой
задачи с изменением начальной скорости прослеживается
170
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ЛУННЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
[ГЛ. G
аналогично эволюции решений соответствующих классов
предыдущей задачи.
Заметим, что по форме все облетные траектории сбли-
жения, возвращающиеся к Земле, промежуточны между
соответствующими решениями рассматриваемой задачи
Рис. 6.11. Классы облетных траекторий типа С, возвращающихся в ат-
мосферу Земли полого.
с СС1 = + л/2 и ой = — л/2 и с теми же начальными радиу-
сом и скоростью. Симметричные решения задачи о поло-
гом возвращении, как видно из рис. 6.11, могут содер-
жаться лишь в классах Сн-ь ^в+Сдля at = +л/2) иСн —
£>В- (для at = — л/2). Меняя независимо величину на-
чального радиуса и начальной скорости, получим мно-
жество всех симметричных траекторий сближения.
Метод получения решений предыдущей задачи приме-
ним и к этой задаче, только итерации ведутся не на зна-
чение у = гт = 0, а на значения t/ = ±VrT. Относитель-
ная малость толщины атмосферы приводит к гораз-
до более жестким требованиям по точности начальных
§ 6.4] РАЗГОН ИЛИ ТОРМОЖЕНИЕ КА С ПОМОЩЬЮ ЛУНЫ 171
данных, чем в предыдущей задаче. Например, для сим-
метричного облета с избытком начальной скорости над
параболической AVi = — 0,083773 км/с, начальным углом
скорости с радиусом ai = л/2 и временем полета 823 600 с
(около 9,5 сут) расстояние, от Луны рт = 27 000 км. Даже
такие малые ошибки в начальных данных, как AVi =
= 0,2 м/с и 6ai =5 • 10~3 рад, вызывают при возвраще-
нии изменения высот соответственно 160 и 190 км, т. е.
являются недопустимыми (так как нарушается условие
попадания в коридор [4 — 1959] входа в атмосферу).
В этом примере величина рт сравнительно велика. Умень-
шение рт так же быстро увеличивает влияние начальных
ошибок, как и в предыдущей задаче.
§ 6.4. Задача о разгоне или торможении КА
с помощью Луны
Рассмотрим задачу о максимальном разгоне КА с по-
мощью Луны без использования силы тяги двигателя. Из
плана скоростей (плоскость и, v на рис. 4.9) видно, что
максимальная выходная геоцентрическая скорость после
сближения 7^ = U + Vl, где U — величина входной се-
леноцентрической скорости, a VL — скорость Луны; одна-
ко можно показать, что траектория с У3 = У3М) при лю-
бых начальных данных проходит внутри Луны *).
Оказывается, практически осуществимая траектория,
отвечающая наибольшему разгону AV2 3 = V3 — V2 (где
V2, V3 — входная и выходная геоцентрические скорости),
должна проходить у поверхности Луны, обходя ее по ча-
совой стрелке при сближении на нисходящей ветви
(класс С) и против часовой стрелки — при сближении на
восходящей ветви (класс D). Классу D3 отвечают большие
из пунктирных векторов V3 на рис. 6.12. При отыскании
разгонных решений итерации велись для функции у =
= Урт со знаком направления обхода Луны на значение
+ Урь для решений D и на — Урь для решений С. Здесь
рт — расстояние траектории от центра Луны, pL =
= 1738,0 км — радиус Луны. Были найдены крайние
*) В § 22.1 это сделано для более общего случая — простран-
ственного.
172
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ЛУННЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
(ГЛ. 6
решения каждого из классов, т. е. решения с ai = +л/2
и решения с ai = - л/2. Они схематически представлены
на рис. 6.13 в геоцентрических х, у и вращающихся хъуа
координатах. По знаку угла аг, т. е. по направлению об-
хода Земли, каждый класс можно разделить на два под-
класса: DB — на DB+ и DB~; Са — на Св+ и Са~. Разгонные
решения огибают Луну таким образом, чтобы выходить
из СД по направлению, возможно более близкому к на-
правлению скорости Луны.
Рис. 6.12. План скоростей для облетных траекторий. Пунктирные тре-
угольники соответствуют траекториям наибольшего реализуемого изме-
нения модуля геоцентрической скорости в результате сближения с Луной.
Получающаяся после разгона величина выходной гео-
центрической скорости У3 всегда является гиперболиче-
ской, независимо от начальной скорости Vi, так что КА
после сближения с Луной уходит в бесконечность. Одна-
ко величина разгона АУя.з зависит от Vr, она максималь-
ная (порядка 1,5 км/с) при скоростях Уг, близких к ми-
§ 6,4] РАЗГОН ИЛИ ТОРМОЖЕНИЕ КА С ПОМОЩЬЮ ЛУНЫ’ 173
нимальным, и с ростом V\ монотонно убывает (до нуля
при Vi -* °°). Максимальную скорость благодаря месячно-
му вращению Лупы можно получить любого направления
в плоскости орбиты Лупы. Так как эта плоскость состав-
ляет небольшие углы с плоскостями орбит планет, раз-
гон без затраты топлива в принципе можно использовать
для межпланетного полета.
Рис. 6.13. Классы траекторий максимального разгона с помощью Луны.
Видна аналогии с классами попадающих траекторий (рис. 6.1).
Переходя к рассмотрению влияния разброса началь-
ных данных на разгонные решения, заметим, что оно вы-
ше, чем для попадающих решений, так как промах брт
является не квадратичной, а линейной функцией ошибок.
Например, для разгона Da+ с начальной скоростью, мень-
шей параболической на 0,0723 км/с, и углом щ = 90°
ошибки 6Vi = 1 км/с и 6ai = 1° вызывают соответствен-
но изменения (6pm)v = 120 км и Сбрт)а = 100 км.
Из-за опасности соударения с Луной вследствие нали-
чия ошибок в начальных данных расчетная траектория
должна быть поднята над поверхностью Луны. Это под-
174
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ЛУННЫХ ПЕРЕЛЕТОВ
[ГЛ. <!
нятие уменьшает выигрыш в скорости. Решения с si =
= +л/2 выгоднее других разгонных решений в том от-
ношении, что позволяют использовать при взлете компо-
ненту суточного вращения Земли, лежащую в плоскости
орбиты Лупы (как, впрочем, и решения рассмотренных
ранее задач, отвечающие углу ai = n/2).
Легко видеть, что решение задачи о любом разгоне
вследствие обратимости движения после замены t на —t
всегда дает решение задачи о таком же торможении с по-
мощью Луны при движении по траектории, зеркально
симметричной разгонной относительно оси ха- При этом на-
иболее выгодной в смысле торможения оказывается тра-
ектория, получающаяся из наиболее выгодной разгонной.
Она обходит Землю в направлении ее суточного враще-
ния, отчего уменьшается скорость КА относительно по-
верхности Земли. Траектории максимального торможения
в принципе могут быть использованы, например, при воз-
вращении КА из межпланетного полета.
Как видно из рис. 6.12, кроме облетных попадающих
и возвращающихся к Земле траекторий сближения с Лу-
ной, а также траекторий, отвечающих тому или иному
разгону ракеты в результате сближения, могут существо-
вать еще траектории, отвечающие большему или меньшему
ее замедлению (относительно Земли), и других плоских
облетных траекторий сближения не существует. Таким об-
разом, план скоростей позволяет дать полную классифи-
кацию плоских облетных траекторий сближения с Луной.
Траекториям замедления на рис. 6.12 соответствуют
выходные геоцентрические скорости, образующие со ско-
ростью— VL угол, мепыпий чем выходные скорости, отвеча-
ющие траекториям подклассов Сн+ и причем мак-
симальному замедлению отвечает траектория, выходящая
из СД в направлении, обратном скорости Луны, незави-
симо от условий входа.
Заметим, что, как видно из рис. 6.12, траектории мак-
симального замедления отвечает максимальная геоцент-
рическая константа площадей, и потому эта траектория
проходит на наибольшем удалении от центра Земли по
сравнению с близкими траекториями.
С помощью плана скоростей можно, очевидно, просле-
дить эволюцию решений с изменением угла % или другого
начального данного в диапазоне, отвечающем сближению.
РАЗДЕЛ II
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА
ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ
Траектории достижения Лупы при запуске КА с боль-
ших широт поверхности Земли являются существенно
пространственными.
В настоящем разделе проводится анализ таких траек-
торий с целью попадания в Луну или мягкой посадки на
ее поверхность, или создания ИСЛ. При этом рассматрива-
ется запуск как с поверхности Земли, так и с орбиты
ИСЗ. Излагаются методы приближенного и точного расче-
та траекторий достижения Луны. Приближенный анализ
траекторий, начинающихся с поверхности Земли, излага-
ется в основном по книге [2—1965].
Г л а в а 7
ДОСТИЖЕНИЕ ЛУНЫ ПРИ СТАРТЕ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
Вследствие относительной малости изменения вне СД
траекторий достижения Луны под действием лунных
возмущений при определении начальных данных пас-
сивного участка оказывается возможным вообще пренебре-
гать притяжением Лупы. В данной главе выясняется
специфика траекторий попадания в Лупу из точки земной
поверхности с заданной широтой при условии непрерыв-
ности активного участка. Если при этом пассивный уча-
сток траектории перелета проходит в основном над се-
верным полушарием Земли, то перелет назовем происхо-
дящим по северной схеме N; если же — над южным полу-
шарием, то эту схему перелета назовем южной S. Обе
схемы рассматриваются аналогично; при этом для опреде-
ленности здесь рассматривается в основном случай се-
верной начальной широты.
176
СТАРТ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
[ГЛ. 7
§ 7.1. Особенности попадания в Луну
с больших широт
В задаче попадания в Луну, в отличие от задачи на-
земной стрельбы, цель не участвует в суточном вращении
Земли вместе с точкой старта, и относительное располо-
жение цели и точки старта непрерывно меняется с тече-
нием времени. Чтобы узнать, как происходит это измене-
ние, найдем угол iL между плоскостями экватора Пэ и ор-
биты Луны Пв.
Рис. 7.1. Положение плоскости П/, лунной орбиты относительно плоско-
стей экватора Пэ и эклиптики П.
Поскольку известно, что ПЛОСКОСТЬ Пв лунной орбиты
образует с плоскостью П эклиптики (рис. 7.1) слабопере-
менный угол II, будем считать его постоянным и в расче-
тах примем il= 5°9. Напомним, что линия пересечения
этих плоскостей (линия узлов) вращается в плоскости эк-
липтики по часовой стрелке (если смотреть с северного
полюса эклиптики), совершая полный оборот за 18,6 года
12-1961].
Пусть sil — долгота восходящего угла лунной орби-
ты, отсчитываемая в плоскости эклиптики от направле-
§ 7.i] ПОПАДАНИЕ В ЛУНУ С БОЛЬШИХ ШИРОТ 177
ния на точку весеннего равноденствия Т (рис. 7.1). Тогда
из сферического треугольника zY со стороной и
углами ео и где угол во ~ 23°27'— наклонение эклип-
тики к экватору, получим по теореме косинусов для уг-
лов е [0, л]:
cos iL = cos s0 cos iL — sin 80 sin zYcos <^L. (1.1)
Из нее следует, что величина угла колеблется
между минимумом II (180°) = е0 — iL = 18°18' и макси-
мумом iL (0) — е0 + i'L = 28°3б'. Приняв [2 — 1961],
что на 1 января 1950 года долгота Ль = 12°1/, по форму-
ле (1.1) определим, что угол iL прошел минимум (18°18') в
середине 1979 года, а затем стал медленно возрастать
и достигнет максимума через 9,3 года. На эти колебания
гь накладываются изменения II от 5° до 5°,3 с перио-
дом 173 сут [2—1961, стр. 211]. Учитывая медленность
суммарного изменения угла iL, будем пренебрегать его пе-
ременностью за время полета по рассматриваемым траек-
ториям (составляющее несколько суток). Для расчетов
в данном разделе примем iL = 18°20' (если не будет огово-
рено другое значение)."Таким образом, будем считать, что
Луна движется в плоскости, наклоненной к экватору на
постоянный угол г’ь, а начальная точка пассивного участ-
ка движется параллельно экватору на широте <ро- Угол
между геоцентрическим радиусом точки старта и плос-
костью орбиты Луны при этом изменяется в пределах от
«0 = <ро — Il до ро = фо + II.
В дальнейшем для определенности будем предполагать,
что траектория полета не может лежать в плоскости
лунной орбиты, т. е. что «о > 0- Для расчетов будем
пользоваться гипотетическими широтой и долготой какой-
либо точки старта в северном полушарии, например:
Фо = 47°, Хо = 65°.
Рассмотрим теперь пассивный участок траектории по-
лета, начинающегося под углом 01 к горизонту с началь-
ной скоростью Vi на высоте (01 = 90° — аг). Длину
активного участка будем считать равной нулю (в даль-
нейшем можно будет от этого предположения освободить-
12 В, А, Егоров, Л, И, Гусев
178
СТАРТ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
1ГЛ. 7
ся). Рассмотрим траектории с эллиптическими начальны-
ми скоростями, направленными параллельно горизонту
в точке старта (рис. 7.2). В случае, когда Vi -> Vu,
траектории будут сильно вытянуты вдоль геоцентриче-
ского радиуса точки встречи. Для этих траекторий угол
Рис. 7.2. Положение совокупности эллиптических траекторий всевоз-
можных азимутов относительно лунной орбиты. Начальная геоцентри-
ческая скорость У, — одна и та же по величине и горизонтальна,
ср между большой осью и радиусом г, равным расстоянию
rL до Луны, как нетрудно проверить, составляет не бо-
лее 15°.
Поскольку минимальный угол между направлением
начального геоцентрического радиуса и плоскостью орби-
ты Луны не может быть меньше ссо (рис. 7.2) и поскольку
по этому радиусу направлена большая ось конического
сечения, то ясно, что при эллиптических начальных ско-
ростях горизонтального направления КА пересечет плос-
кость орбиты Луны раньше, чем удалится на расстояние
Земля — Луна, так что попадание в Луну оказывается
невозможным. Причина этого обстоятельства заключает-
ся в том, что при малых значениях AVi и малых углах 0i
наклона вектора начальной скорости к местному горизон-
ту траектория КА слишком сильно искривляется притя-
жением Земли.
§7.11
ПОПАДАНИЕ В ЛУНУ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
179
Уменьшить искривление траектории, т. е. уменьшить
угол Ф1 между начальным радиусом Г] и радиусом |г2| =
= tl (где rL — среднее расстояние от Земли до Луны),
можно либо увеличением начальной скорости, либо уве-
личением угла 01 наклона вектора начальной скорости
к местному горизонту. Очевидно, оба эти пути связаны
с дополнительными по сравнению с плоской задачей
энергетическими потерями соответственно на доразгон КА
или на создание импульса проекции силы тяжести на ка-
сательную к траектории. При фиксированных значениях
высоты Яц скорости Vt и угла 01 для начального радиуса
|Г11 = твА\^ (рис. 7.2), образующего с плоскостью орбиты
Луны минимальный угол ао, можно построить поверх-
ность, которая будет содержать траектории, получающие-
ся при рассматриваемых значениях Кц 0г и различных
азимутах. Эта поверхность симметрична относительно
прямой т0А 1!(:.
Рассмотрим линию пересечения Г этой поверхности
с плоскостью орбиты Луны. При достаточно малых зна-
чениях Vi и 01 линия Г расположена внутри орбиты
Луны. При значениях Vi и 0ц соответствующих углу
Ф1 = Ф* =л — ао, она касается орбиты Луны в точке
А2#, в которой орбита пересекает плоскость меридиана
начальной точки Ai* , и в принципе оказывается возмож-
ным попадание в Луну. Но эта возможность практически
может быть нереализуема, ибо в момент, когда упрежден-
ная точка проходит через точку Аг* , точка старта, вооб-
ще говоря, не будет находиться в точке Ai*.
С увеличением значений Vi и 0ц т. е. с убыванием уг-
ла от значения Ф*, на орбите Луны появляется все воз-
растающий интервал с серединой в точке А2*-, на кото-
ром Луна может быть достигнута. Назовем этот интервал
поражаемым интервалом. Когда угловая величина этого
интервала достигает значения геоцентрического угла, про-
ходимого Луной за одни сутки (около 13°2), то в каждом
сидерическом месяце появятся по крайней мере одни
сутки, в которые станет возможным запуск ракеты по
траектории попадания в Луну. Достижение Луны стано-
вится реальным. •
С дальнейшим увеличением значений Hi и 0ц т. е.
с убыванием угла Ф1 до значения Ф* = л —^о, по-
ражаемый интервал возрастает до полного круга, и
2*
180
СТАРТ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
[ГЛ. 7
старт к Луне становится возможным в любые сутки
месяца.
Заметим, что в случае наземной стрельбы большие уг-
ловые дальности достигаются труднее, чем меньшие, а при
стрельбе по Луне дело обстоит как раз наоборот: труднее
достижимы меньшие угловые дальности, чем большие.
Пассивная угловая дальность Ф1 полета зависит не
только от скорости Vi и угла 01, но и от высоты Hi конца
активного участка. Однако это влияние невелико, и рас-
четы будут проводиться лишь для значений высоты Hi =
= 300 км и Hi = 1000 км в предположении, что
—0,1 км/с ДУ1 0,5 км/с, как это принято в работе
[1 — 1957]. Здесь ДУ1 — избыток начальной скорости над
местной параболической скоростью Уп.
Так как расчеты будут проводиться только для восхо-
дящих ветвей, то не только при гиперболических, но и при
эллиптических начальных скоростях угол Ф1 по извест-
ным величинам ДУ^ 0j, rj и г2 находится однозначно. По-
ложим
ду i ду \
2+—И, рх = i-р дрг (1.1')
У П ' П '
Из теории конических сечений имеем:
Р1 = (Vi/Vn)2, др^Рх-1,-
р = 2rxpx cos2 0Х, а — — г1/2Др1,
е2 = 1 — —, cos-0’1= — (—— 1Y cos'02 = — (-—1Y
а е V’i / е Ya /
Фх = й2 — йх.*) □ (1.2)
Здесь У1 = Уп + ДУ1 — начальная скорость, р, а, е —
соответственно параметр, большая полуось и эксцентри-
ситет конического сечения, йч и й2 — истинные аномалии
начала и конца траектории.
Результаты расчета зависимости Ф^ДУО представле-
ны на рис. 7.3 в виде сплошных кривых для Hi = 300 км
и пунктирных — для Hi = 1000 км при фиксированных
углах 0j = 0°, 5°, ..., 40°. Легко видеть, что изменение
*) Значок □ перед номером формулы означает, что данный
номер относится к группе формул, перед первой из которых
стоит значок . {Прим, ред.)
$ 7.1]
ПОПАДАНИЕ В ЛУНУ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
181
начальной высоты Н\ действительно сказывается несуще-
ственно и что изменение угла 61 на каждые 5° вызывает
почти эквидистантное смещение кривой ФДДРЧ) на 10°.
С другой стороны, для фиксированного значения угла 6г
изменение пассивной угловой дальности полета Ф1 на 10°
Ф^град
'Q 47 4г 4J Ufi
Рис. 7.3. Зависимость угловой дальности Ф1 пассивного полета к Луне
от избытка ДУ, начальной скорости над местной параболической при
различных значениях угла возвышения 01 для начальной высоты 200 км
(сплошная линия) и 1000 км (пунктир).
при скоростях, не близких к минимальным, соответствует
изменению AFi на 200—300 м/с.
Для дальнейшего рассмотрения задачи потребуется
знать зависимость величины Pi от угла 61 при постоянных
значениях угловой дальности Фг: их можно найти пере-
счетом с помощью рис. 7.3, но для их получения удобнее
воспользоваться аналитической формулой, полученной из
182
(1.3)
на-
у
S 7.1]
ПОПАДАНИЕ В ЛУПУ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
183
ла Ф1 отмечены у кривых цифрами. Для высоты =
= 300 км кривые получаются из представленных неболь-
шим сдвигом их по оси ординат.
С приближением начальной скорости к минимальной
касательные к кривым на рис. 7.4 становятся параллель-
ными оси абсцисс, а на
рис. 7.3 — оси ординат. Это
мешает определению на кри-
вых точек, отвечающих на-
именьшим скоростям.
Выведем формулу, позво-
ляющую для разных углов 01
определить величины мини-
Рис. 7.5. Траектория минималь-
ной энергии, необходимой для
достижения заданного радиуса
т2 при заданных начальных дан-
ных И (Х1.
мальных начальных скорос-
тей, необходимых для полу-
чения апогейных радиусов
7'2=1^0^21, равных расстоя-
нию от Земли до Луны
(рис. 7.5). По свойству касательной к эллипсу угол
FqAiF (F— второй фокус эллипса) в треугольнике A^F®
(рис. 7.5) равен л — 2ai, если аг = (л/2) — 0ь Кроме того,
легко видеть, что FA\ = 2а — ri, FFq = 2ае, где а — боль-
шая полуось, а е — эксцентриситет эллипса. Из треуголь-
ника A\FFq выражаем сторону FFq:
4a2e2 = (2a — гД2 + г? + 2 (2а — гД rx cos 2ax.
Так как е = (r2 — a)/a (рис. 7.5), то, подставив это значе-
ние в предыдущую формулу, получим:
1 г2 — г2 sin2a1
® = "о : г
2 Г2 - ?’1 8Ш “1
(1.4)
Теперь с помощью формул (1.3) — (1.4) найдем:
1 _ v 2 (1 — v)2 sin2 а
Plmin = "----2 • 2 ’ C0S Фтах = 1 - ~ 2 „ >
1 — v sin a 1—v (2 — v) sin
(1.4')
где v = n/z'2, или в более удобном для вычислений виде:
1 — v sin a
A₽imln - — V ------2—2—
1 — v sin a
(1.5)
• _2
184
СТАРТ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
[ГЛ. 7
(1.6)
ГДе Ар] mln mln 1,
• „ фтах (l-v)sina
SHI —— — х —
z У 1 — v (2 — v) sin2 cq
Последние формулы позволяют по углу 01 = (л/2) — cq
рассчитать минимальную начальную скорость Fimin и мак-
симальный угол Фтах, достижимый при заданном 01.
Из формул (1.1') и (1.5) следует, что AVimmOi) есть
малая величина того же порядка, что п величина vVn/2,
и что ее относительное изменение есть также величина
малая, одного порядка с величиной v cos20i. Этого следо-
вало ожидать из рис. 7.5, потому что изменения большой
оси минимального эллипса при изменениях угла 01 не
превосходят величины и, т. е. относительно малы.
Кроме того, из формулы (1.6), положив в знаменателе
sin2 а = 1, можно заключить, что sin Фтах/2 =5 sin ai при
О а л/2, т. е. при л/2 01 0.
Если рассматривать неминимальные скорости, то лег-
ко убедиться, что заданный радиус г2 конического сече-
ния будет достигаться при угле Ф1 < Фтаг (угол Фта1 со-
ответствует минимальной скорости).
Значит, всегда справедливо простое неравенство
sin Ф1/2 sin ai. (1.7)
Знак равенства для минимальных скоростей имеет место
при Я|=0и СС[ = л/2, а для больших скоростей — толь-
ко при ai = 0 (01 = л/2). Неравенство (1.7) можно при-
менять для оценки максимально достижимых углов Фц
Рассмотрим теперь, какова должна быть дуга кониче-
ского сечения с фиксированными значениями ту, г2, А У,
01, т. е. с фиксированной угловой дальностью Ф1 для слу-
чая, когда имеет место попадание в Луну. Ясно, что встре-
ча КА с Луной происходит не в точке А^, где Луна на-
ходилась в момент старта (рис. 7.6), а в упрежденной
точке Аг, в которую Луна переместится за время полета
КА по траектории А1А2. Время полета указанны-
ми выше данными Ti, ?'2, AVi, 0f определяется однознач-
но. Поэтому при фиксированных значениях этих величин
упрежденная точка движется с постоянной скоростью впе-
реди Луны на постоянном угловом расстоянии cox.Z'i.a от
§ 7,1]
ПОПАДАНИЕ В ЛУНУ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
185
нее, где соь — угловая скорость обращения Луны вокруг
Земли.
Вследствие того, что радиус и и угол Ф1 заданы, гео-
метрическое место точек, из которых возможно попадание
в Луну с фиксированными данными и, r2, ДУ1, 61, долж-
но быть окружностью радиуса ri sin Фг, являющейся ли-
нией пересечения геоцентрической сферы радиуса ri
Рис. 7.G. Геоцентрические траектории движения точки старта, КА
и Луны. .
с прямым круговым конусом, ось которого постоянно сое-
диняет центр Земли та с упрежденной точкой А2, а об-
разующие составляют с этой осью угол Ф[.
Поскольку плоскости всех траекторий с заданными
значениями величии и, г2, Д V], ссг проходят через началь-
ную точку упрежденную точку А2 и центр Земли
mG, то все эти плоскости пересекаются с плоскостью ор-
биты Луны по прямой т0А2. Примем плоскость орбиты
Лупы за основную при определении кеплеровых элемен-
тов траекторий полета к Лупе. Тогда прямая таА2 будет
являться линией узлов для всех попадающих траекторий,
а положение ее можно определять долготой Л узла, про-
тивоположного упрежденной точке. При этом долготу Л
будем отсчитывать от восходящего узла £lL = х лунной
орбиты на экваторе. Наклонение i плоскости траектории
к основной плоскости будем считать изменяющимся в ди-
апазоне от —180° до +180° (Приложение 1).
186
СТАРТ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
[ГЛ, 7
Долготу со перигея геоцентрического участка траек-
тории и истинную аномалию Ф начальной точки А, пас-
сивного участка относительно перигея будем определять
обычным образом. Обозначим О + со = и, где и — аргу-
мент широты начальной точки. Тогда из рис. 7.6 следует,
что и = 180° — Фр Окружность начальных точек траек-
торий с угловой дальностью Ф1 будем кратко называть
и-кругом.
Учтем теперь условие, что точка старта должна нахо-
диться на заданной широте ср и что эта точка движется
со скоростью суточного вращения Земли по фиксирован-
ной параллели. Ясно, что начальные точки попадающих
траекторий, определяемых параметрами п, АУ1, 01, сро,
должны быть общими точками для u-круга и сро-паралле-
ли. Таких точек может быть две (пересечение кругов),
одна (касание кругов) и ни одной (круги не имеют об-
щих точек).
G течением времени благодаря месячному движению
Луны центр u-круга равномерно движется на сфере по
большому кругу основной плоскости, а параллель точки
старта не меняет своего положения в абсолютном прост-
ранстве (рис. 7.6). Поэтому при и < ао, где ао = <ро —
т. е. при достаточно больших углах Фг, сро-параллель и и-
круг не имеют общих точек, а когда аргумент широты и
заключен в интервале ао < и < Ро, где $о = сро + jL, то
на сро-параллели появляется целый интервал, внутри кото-
рого при различных углах ГД достаточно близких к 90°,
всюду могут находиться точки пересечения сро-параллели
с u-кругом. Назовем этот интервал стартовым интервалом.
При и ао этот интервал стягивается к точке А* (что
соответствует касанию кривой Г с орбитой Луны на
рис. 7.2), а при и >fjo он увеличивается до полной сро-па-
раллели, так что концы его сходятся к точке А*, противо-
положной точке Л* (рис. 7.6).
Когда аргумент широты и заключен в интервале ро <
< и <л — i^o, то u-круг дважды пересекает сро-параллель,
каково бы ни было положение £1 линии узлов, т. е. како-
во бы ни было положение упрежденной точки. Стартовый
интервал занимает всю параллель.
Когда становится справедливым неравенство л — [Jo <
< и < л — ао, то на сро-параллели по обе стороны от точ-
ки А* появляется запретный интервал, на котором не мо-
£ 7.2] ТРАЕКТОРИИ ПОПАДАНИЯ С ЗАДАННОЙ ШИРОТЫ 187
гут находиться начальные точки при углах П, достаточ-
но близких к 90°. При и -> л — ро этот интервал стягива-
ется к точке Л*, при п ->- л — ао он увеличивается до пол-
ной параллели, так что концы его сходятся в точке А*.
Соответственно стартовый интервал уменьшается от пол-
ной параллели до нуля.
Наконец, при и > л — ао на параллели уже пе сущест-
вует точек пересечения с u-кругом, и нет никакого стар-
тового интервала.
§ 7.2. Характеристики траекторий попадания
в Луну с заданной широты
Как отмечалось в § 7.1, попадание в Луну при и > ао
практически возможно лишь тогда, когда поражаемый ин-
тервал на орбите Луны настолько велик, Что упрежденная
точка проходит его по крайней мере за одни звездные
сутки. Очевидно, в этом случае в сидерическом месяце
всегда найдутся такие сутки, в течение которых точка
старта в суточном движении пройдет через одну или две
общие точки фо-параллели и п-круга, и будет возможно
попадание с заданными начальными данными гц У], 0ь
Если же упрежденная точка проходит поражаемы!! интер-
вал на орбите Луны за двое суток, то в каждые из этих
суток найдется момент, в который точка старта проходит
через общую точку фо-параллели и п-круга, и возможно
попадание, и т. д. Наконец, при Ф] Л1 — ро поражаемый
и стартовый интервалы достигают 360° каждый, и попа-
дание возможно каждые сутки.
Из схемы на рис. 7.7 видно, как при значениях ао <
< и < ро на неподвижном в пространстве xyz стартовом
интервале, принадлежащем фо-параллели, возникают и
движутся точки, общие с ц-кругом.' Для угла = —90°
при ао < и < Ро таких точек, очевидно, нет. Но с увели-
чением угла ££ до некоторого значения Л = Л, рассмат-
риваемый u-круг коснется фо-параллели в некоторой точ-
ке А* (рис. 7.7). Для значений находящихся внутри
диапазона Л¥ <Л<Л„ будут уже две точки А и А±
пересечения рассматриваемого u-круга с фо-параллелью.
При этом для малых значений (Л — Л¥) > 0 точки пере-
сечения Аг и Аг будут находиться на и-круге по разные
188
СТАРТ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
[ГЛ. 7
стороны от точки А*, а затем с дальнейшим увеличени-
ем угла £1 подвижная точка Ai в положении Ак изме-
нит направление своего движения на обратное, т. е. нач-
нет перемещаться в ту же сторону, что и точка Л1, так
что при £1= 90° они будут находиться по одну сторону
от точки А„ (рис. 7.7).
Рис. 7.7. Схема крайних и промежуточных положений u-круга равных
угловых дальностей полета относительно фо-параллели.
С возрастанием угла £1 от расстояние между точ-
ками Аг и Аг монотонно увеличивается, достигая макси-
мума при £1 = 90°, а затем монотонно убывает, пока при
Л — Л, не сократится до нуля в точке А*, симметрич-
ной точке At относительно меридиана, для которого угол
£1 = 90°. При этом точка At перед слиянием с точкой
меняет в точке Лк направление своего движения на об-
ратное, аналогично движению точки Ах вблизи точки Ак.
Крайние точки стартового интервала ЛКЛК являются
точками пересечения <ро-параллели с малым кругом, па-
раллельным основной плоскости и постоянно касающимся
и-круга (горизонтальная прямая на схеме рис. 7.7).
. г . п
Расчет движения точек и при увеличении угла
несложен. Из прямоугольного сферического треуголь-
ника PQy, в котором вершина Р есть полюс, а стороны
Ру = 90° — iL и £1у = 90° — £1 (рис. 7.8), находим:
. . cos оО. . sin л- sin iL cos т
SlIUn =-----.---, COS Л. о = ------:--:------, (2.1)
'об sin т 9 ob cos sin m ’ 4 '
где — угловое расстояние между меридианами оси у
§ 7.2] ТРАЕКТОРИИ ПОПАДАНИЯ С ЗАДАННОЙ ШИРОТЫ 189
и линии узла ; направления РАг и РА± симметричны
относительно дуги большого круга Ру и образуют с ней
углы о и — о. Чтобы определить аналогичные Х^ долготы
X' и %" точек А-! и а также угол о, выразим сторону
т = PQ треугольника Р£кУ‘.
cos т = sin iL sin <Q. (2.2)
Теперь из треугольника АгРЛ по теореме косинусов
Рис. 7.8. Геоцентрические сферические углы для расчета параметров
траектории полета к Лупе.
находим угол о (в I или II четверти) и угла 7/ и X":
cos и — cos т sin <р.
cos О' =----:---------X = X о — О', X" = X о 4- О'.
sin т cos Фо о о о 6 1
(2.Э)
Величина ДХИС .= X" — X'= 2о есть межстартовая долго-
та (угловое расстояние между меридианами точек Ах
и X).
Зависимости X' п X" от £1, вычисленные для случая,
когда Фр = 150°, т. е. и = 30°, представлены на рис. 7.9
двумя кривыми MiNi. По величине ДХМС(Г?>) можно полу-
190
СТАРТ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
[ГЛ. 7
чить представление о межстартовом времени, т. е. о вре-
мени, в течение которого точка старта проходит в суточ-
ном движении интервал А^.
Для получения межстартового времени в часах доста-
точно разделить ДЛме на 15° (без учета изменения £1
Рис. 7.9. Изменение границ V и
А." стартового интервала и угло-
вой величины ДХмсмежстартово-
го интервала с изменением дол-
готы узла Q траектории при фик-
сированной угловой дальности
полета 0^150°.
во времени). Учет зависимо-
сти £1 (£) изменит межстар-
товое время на величину по-
рядка отношения суток к ме-
сяцу, т. е. на 4% для значе-
ний не близких к 11
(вблизи этих значений
изменения могут быть боль-
ше, как видно из рис. 7.7).
Диапазон (Л, между
абсциссами точек Mi и Ni
есть величина поражаемого
интервала, а диапазон (^к>
/к) между ординатами то-
чек М2 и Уг, т. е. между экст-
ремальными значениями
функций УШ ) и А"Щ),—
величина стартового интер-
вала. Интервал между орди-
натами точек Mi и состав-
ляет основную часть старто-
вого интервала. Внутри этого
интервала точки Аг и Аг с
изменением £1 движутся в
одном направлении, а вне
его — в разных направлениях.
Для расчета поражаемого интервала при различных
угловых дальностях полета Фг из условия касания (в точ-
ке A , на рис. 7.7) имеем:
о = 0, т = 90° + и — сро;
тогда из (2.2) получаем:
> sin (ср — и\ / тг ,\
sin Л, = —ДЛ = 2 —ЛJ, (2.4)
* sin iL ’ \ 2 */’ ' у
где ДЛ —величина поражаемого интервала.
§ 7.2] ТРАЕКТОРИИ ПОПАДАНИЯ С ЗАДАННОЙ ШИРОТЫ 191
Для расчета величины стартового интервала ДХС как
функции Ф[ найдем угол — X (Лк). Когда точка
совпадает с точкой Ак, то стороны сферического тре-
угольника AKzP (рис. 7.8)
zA'( = 90° - и, zP = iL, РА'К = 90° - ср0.
Поэтому
X'=480°- ZA>z,
и по теореме косинусов имеем:
i cos iT sin <р„ — sin и ,
С os Хк =----, Д Хс = 2%« •
к sm iL cos Фо
(2-5)
Приведем формулу для расчета максимальной величи-
ны (ДХмс)таг межстартового интервала. Она достигается
при £1 =90°. Тогда Х^=0, т = 90° — iL, и из (2.3)
COS Яшах —
cos и — sin iL sin <pQ
cos iL cos <po
(2-6)
(Д^мс)тах
-r- 2<Tniax.
(2-7)
Этот угол, как и угол ДХе, можно измерять не только в
градусах, но и в часах. Аналогично поражаемый интервал
можно измерять не только в градусах, но и в сутках.
В таких мерах и приведены дополнительные шкалы на
рис. 7.10, где представлены функции Д^>, ДХе, (ДХме)шах
для значений Ф[ угловой дальности пассивного участка из
диапазона Ф* = л — Ро < Ф1 < л — &о = Ф* (Ф] = л —и),
соответствующего изменению углов Д<0> и ДХС от нуля до
360°. Значения функций для диапазона ао < Ф1 < Ро по-
лучаются из функций, представленных на рис. 7.10, зер-
кальным отображением их относительно прямой Ф1 = 90°.
Для диапазона ро < Ф] < л — р0 имеем ДД = ДХС = 360°.
С уменьшением угла Ф1 оба интервала (межстартовый и
поражаемый) суживаются, при Ф1 ==а0 они вырождаются
в точки и при Ф[ < cto отсутствуют.
Заметим, что все рассматриваемые кривые при Ф1 =
= 180° — «о имеют вертикальные касательные. Это озна-
чает, что возможности достижения Луны, появляющиеся
при Ф1 — Фт„ = 180° — ао, быстро возрастают с убывани-
ем Ф1 = л — и. Например, для средних широт имеем
Фшах 150°; при уменьшении значения Ф[ от Фта1 всего
192
старт? с больших Широт
[ГЛ. 1
лишь на 2° появляется уже несколько суток в месяце для
попадания в Луну при фиксированных значениях ri, Vi,
01. Такое уменьшение величины Ф1 может быть достигну-
то, как следует из рис. 7.4, увеличением скорости Vj при-
мерно на 100 м/с или увеличением угла 01 наклона век-
тора начальной скорости к местному горизонту примерно
Рис. 7.10. Изменение величины стартового интервала ДА.С, максимального
межстартового интервала (А^мс)тах и поражаемого интервала
с изменением угловой дальности полета Ф1 (или ее дополнения л — и
до 360°).
на 1°,5. Эти изменения невелики по сравнению с номи-
нальными значениями Vi и 01, которые необходимо иметь
для того, чтобы достижение Луны со средних широт во-
обще стало возможным.
Определим, наконец, азимуты и наклонения для точек
и Пусть азимут aN (рис. 7.8) отсчитывается от'на-
правления на север по часовой стрелке, тогда азимут =
— а^, aN = — aw<0. Из сферического треугольника
AiPSl получаем соответственно по теоремам косинусов
и синусов:
cos т — sin <p„ cos и „ „
cos I aN =---------—--------, 2.8)
1 1 COS сро Sin и ’ '
• j t sin ль sm q /Q п\
sinlM= sinu • (2-9)
§ 7.2] ТРАЕКТОРИИ ПОПАДАНИЯ
с заданной ШИРОТЫ
193
Найдем максимальное значение угла |аЛ(^)|. Диф-
ференцируя равенство (2.8) и используя соотношение
(2.2), получаем:
d | aN | sini^cosjl,
d, sin | иN | cos cp0 sin и'
откуда следует, что max|ajYl достигается при ft = 90°.
Иго вычисление производится ио формуле
. COS (fljv)max
— sin iL cos и sin <р0
sin и cos <ро
(2.10)
Функции ".V ( ) и aN(S")
представлены на рис. 7.11.
азимута в зависимости от уг-
ла Oj = л — и представлено
на рис. 7.12. Для средних
широт азимут (а.ЛтаДФ*)
близок к 90° (Ф* = з- Ро).
Для определения накло-
нения i плоскости траекто-
рии полета к плоскости орби-
ты Луны сначала найдем из
прямоугольного сферического
треугольника уР ft величину
т угла у SIP (рис. 7.8) по тео-
ремам синусов и косинусов
при Ф1 = 150° графически
Изменение максимального
sin т =
cos iL
sin т'
Рис. 7.11. Пример зависимости
азимута старта от долготы уз-
ла ft при фиксированной угло-
вой дальности полета Сч—150°.
COST =
sin iL — cosyn'sin’JT,
sin m cos Sb
(2.11)
Далее, из сферического треугольника ЛхРЛ опреде-
лим величину з угла
sin aN cos qp sin qp — cos ucos ni
sin S = ----:------s, COS S = ------“-----:-------.
sin m ’ sin и sin m
(2.12)
Теперь для точек Ai и Ax имеем соответственно:
iN — т -| s, i/v = т — s. (2.13)
13 в. А. Егоров, Л. И. Гусев
194
СТАРТ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
[ГЛ. 7
Рис. 7.12. Зависимость максимального азимута старта от угловой даль-
ности полета Ф; (или от ее дополнения л — и до 360°).
Рис. 7.13. Пример зависимости
наклонения i плоскости траекто-
рии полета к плоскости лунной
орбиты от долготы узла ££ при
фиксированной угловой дально-
сти полета Ф1 = 150°.
Рис. 7.14. Зависимость минимальных значений наклонения плоскости
траектории полета к плоскости лунной орбиты _от угловой дальности
полета Ф| (или от ее дополнения л — и до 360°).
§ 7.3J
УЧЕТ ПРОТЯЖЕННОСТИ АКТИВНОГО УЧАСТИЛ
195
Экстремум величины наклонения достигается, очевид-
но, при тех значениях £1, при которых точки Аг и /К
проходят через точку Л* (рис 7.8). Тогда имеем:
S1H (^у)цПП — j • (-Ли)
На рис. 7.13 показано изменение наклонений In и In
в зависимости от долготы узла ft. На рис. 7.11 н 7.13
точки Mi, IVj, М2, N2 имеют тот же смысл, что и па
рис. 7.9.
Кривая зависимости минимальных наклонений (гу)ш1п
от угловой дальности пассивного участка Ф1 — л — и
представлена на рис. 7.14.
§ 7.3. Учет протяженности активного участка
Назовем активной угловой дальностью Фа геоцентри-
ческий угол между радиусами начальной и конечной то-
чек активного участка. Очевидно, при фиксированных
значениях азимута стрельбы и вектора начальной ско-
рости пассивного участка, заданного модулем и углом 01
возвышения над местным горизонтом, программа по углу
тангажа и вид активного участка однозначно определяют-
ся условием оптимальности выведения, т. е. максималь-
ности выводимого па орбиту полезного веса. Соответст-
венно однозначно определяются высота конца активного
участка и активная угловая дальность полета как функ-
ции величины начальной скорости и угла ее возвышения.
На абсолютную геоцентрическую скорость в конце ак-
тивного участка несколько влияет начальная скорость,
т. е. скорость, которую ракета имела в точке старта, вра-
щаясь в суточном движении вместе с земной поверх-
ностью. При азимуте стрельбы, отличающемся от точно
восточного или точно западного, КА вследствие наличия
этой скорости будет выходить из плоскости, проходящей
через начальный и конечный геоцентрические радиусы ак-
тивного участка. При неизменных программах по тяге и
по углу тангажа длина и высота активного участка выве-
дения КА на заданные значения V\ и 01 будут, очевидно,
зависеть от величины и направления проекции вектора
начальной скорости на плоскость, проходящую через па-
13*
196
СТАРТ С БОЛЬШИХ ШПРОТ
|ГЛ. 7
чальпый и конечный радиусы, т. е. от широты точки стар-
та п азимута стрельбы.
Однако в настоящем рассмотрении, учитывая малость
начальной скорости но сравнению с полной характеристи-
ческой скоростью, сообщаемой двигателями КА, примем,
что при заданных модуле IVJ начальной скорости и ве-
личине ее угла 01 с горизонтом активный участок имеет
Рис. 7.15. Схема внутреннего касания Фа-круга и округа при —
—Фа > а0 для различных последовательных положений упрежденной
точки.
в абсолютном пространстве одну и ту же протяженность
Фа (независимо от азимута) и что проекция вектора ко-
нечной скорости на горизонтальную плоскость направлена
по дуге большого круга, соединяющего точку старта с про-
екцией конца активного участка на сферическую поверх-
ность Земли. Тогда можно считать, что вращающаяся
вместе с Землей по сро-параллели точка старта является
центром Фа-круга на Земле, т. е. центром окружности за-
данного углового радиуса Фа, над любой точкой которой
на заданной высоте Hi и под заданным углом 01 к мест-
ному горизонту в любой момент времени может быть по-
лучена заданная величина скорости V\.
Пассивная угловая дальность, т. е. геоцентрический
угол между начальной и конечной точками пассивного
участка траектории, величинами Hi, V\, 0i по-прежнему
определяется однозначно. Следовательно, пассивные участ-
ки попадающих траекторий с параметрами Hi, Vi, 0i по-
прежнему начинаются на круге радиуса Ui = л — Фг
с центром в точке Л. Для осуществления попадания, оче-
видно, необходимо, чтобы конец активного участка
(рис. 7.15) находился на щ-круге и чтобы радиус Фа-кру-
га принадлежал плоскости, проходящей через линию уз-
§ 7.3]
УЧЕТ ПРОТЯЖЕННОСТИ АКТИВНОГО УЧАСТКА
197
лов и точку Л], т. е. продолжал бы радиус u-круга. Пос-
леднее условие означает,, что щ-круг и Фа-круг должны
внутренним образом касаться друг друга в точке Д1, и
что полная угловая дальность Ф,'отсчитываемая от точки
старта, выражается суммой Ф = Ф1 + Фа. Соответственно
имеем
«1 = и + Фа, где и — 180° — Ф.
Рассмотрим условия, при которых возможно касание
круга радиуса щ с центром, движущимся равномерно по
Рис. 7.1G. Схема внутреннего касания Фа-круга и г/ц-круга при Фа —
— Ui>(Xo для различных последовательных положений £1 упрежденной
точки.
большому кругу в основной плоскости ху, и круга радиу-
са Фа с центром, движущимся равномерно по заданной
Фо-параллели. Нетрудно видеть, что поскольку минималь-
ное расстояние между центрами кругов ао = фо — С 0,
то возможны лишь два различных случая внутреннего ка-
сания: случай I, когда щ — Фа > ао, и случай II, когда
Фа — Н] > а0 (рис. 7.15 и 7.16).
Для реализации случая I разность — Фа должна
быть достаточно велика (так как щ — Фа > ао). Если для
достижения Луны при отсутствии активного участка не-
обходимо было условие Ф1 л — ао, то с учетом длины
Фа активного участка аналогичным условием должно быть
Ф1 < л — ао — Фа. Это значит, что наличие длинного ак-
тивного участка усложняет достижение Луны, приводя к
замене прежнего крайнего значения Ф1 меньшим значе-
198
СТАРТ С БОЛЬШИХ . ШИРОТ
[ГЛ. 7
нием Ф1 — Фа, и что в случае I для увеличения возмож-
ностей попадания в Луну желательно уменьшать не толь-
ко пассивную, но и активную угловую дальность.
Ограничения по времени старта определяются, как и
ранее, величиной аргумента и широты начальной точки Ло
(рис. 7.15) и поэтому характеризуются прежними зависи-
мостями величин А^с, Aft, (ДА.мс)шах от параметра и, или
от полной угловой дальности Ф = л — и (рис. 7.10) (хо-
тя соответствующие зависимости этих же величин от па-
раметров Г], V], Oi будут иными). Аналогично сохраняют-
ся зависимости максимальных значений азимута и накло-
нения от величины л — и (рис. 7.12 и 7.14).
Для реализации случая II, очевидно, необходимо, что-
бы стало Фа — ui > ао, т. е. активная угловая дальность
должна быть достаточно велика и, по крайней мере, долж-
на превосходить значение ао = <ро — г’ь (рис. 7.16). Это зна-
чит, что для увеличения возможностей попадания в Луну
в случае II желательно увеличивать активную и пассив-
ную угловые дальности. Следовательно, желательно не
увеличивать, а уменьшать начальную скорость до мини-
мальной, а угол 01 ее наклона к горизонту желательно
уменьшать до нуля (при этом угол Ф1 растет до 180°.
а угол iij убывает до нуля). Совокупность направлений
запуска является северной в случае II и в целом проти-
воположна совокупности направлений в случае I: послед-
няя является южной. Поэтому случаи I и II можно обоз-
начать буквами S и N.
Что касается ограничений по времени старта, то ана-
логично тому, как в случае I они определялись п-кругом,
так и в случае II они определяются кругом радиуса и =
= Фа — и\ (кратко iz-кругом). Согласно рис. 7.16 полная
угловая дальность складывается из угла л (под плос-
костью лунной орбиты) и угла и (над плоскостью лунной
орбиты): Ф = л + и = л — щ + Фа = Ф1 + Фа, т. е. выражает-
ся прежней формулой через Фа и Фь При этом по-преж-
нему зависимость пассивной угловой дальности Фг = л —
— щ от 0] и pi характеризуется рис. 7.4.
Заметим, что в случае II границы стартового интерва-
ла (но не поражаемого) определяются условием касания
u-круга (рис. 7.16) с основной плоскостью. Границы же
поражаемого интервала определяются здесь крайними точ-
§ 7.3]
УЧЕТ ПРОТЯЖЕННОСТИ АКТИВНОГО УЧАСТКА
199
/ п .
ками Лк и оЬк, являющимися точками пересечения (фо~
— н)-параллели с основной плоскостью. Таким образом,
если в случае I {рис. 7.15) точки касания А* и А* опре-
деляли границы и поражаемого интервала, а край-
ние точки Ак и Ак — границы стартового интервала, то в
случае II (рис. 7.16) имеет место следующая зависимость:
точки касания и Л* определяют границы А* и А*
стартового интервала, а крайние точки и являются
границами поражаемого интервала.
Аналогично случаю I в случае II выход КА на пассив-
ный участок должен производиться в тот момент, когда
Фа-круг в своем суточном движении по (ро-параллели кос-
нется «[-круга с центром в точке £1, который движется
примерно в 27 раз медленнее (рис. 7.16). При этом анало-
гично случаю I, если точка Ао не совпадает с точками А,
или А„ то существует два момента времени, в которые
возможно касание: первый отвечает юго-восточному нап-
равлению запуска (точка Ао на рис. 7.16), а второй —
юго-западному (точка Ао). Назовем временной интервал
Длмс между этими моментами межстартовым, по аналогии
со случаем I, и максимум его, достигающийся при = О,
Обозначим (ААмс)тах- _
Рассмотрим при и = const характеристики случая II,
аналогичные характеристикам случая I при и = constj
обозначив символами и упрежденные положения
линии узлов, при которых возможно попадание в Луну из
точки старта Ао (рис. 7.17), определяемой полярным уг-
лом Л, отсчитываемым от меридиана точки А*.
Для определения углов ,0/ и £1" найдем из сферическо-
го треугольника zPAa сторону zAo ~ т и угол AazP = т
(по теоремам косинусов и синусов):
cos т — cos iL sin <р0 — sin iL cos cp0 cos X,
. - sin X - sincp —cos iL соей
sin t = cos q)n —=, cos r = -----.
sinm sinitsinm
Затем из треугольника zA0 f^,"co стороной z = 90
находим угол Q" zA0 = s
- COS V
cos s -----------------=,
sin m
(ЗА)
(3.2)
по теореме косинусов:
я — в 1,11 четверти
200
СТАРТ С БОЛЬШИХ ШИРОТ
[ГЛ. 7
и, пользуясь симметрией точек и относительно
дуги zA0B, а также учитывая, что долготы узлов отсчиты-
ваются от оси х против часовой стрелки (если смотреть
со стороны z>0), получаем:
U"=90°- (7+i), <Q'=90o-(т-7). (3.4)
Найдем теперь соответствующие азимуты и наклоне-
Рис. 7.17. Геоцентрические сферические углы для расчета траектории
полета к Луне в случае и = Фа — и1>а0>
пия. Обозначим угол zA0P в треугольнике A(1zP через а*
(рис. 7.17). Имеем
sin iL sin %
sina4. =-----=—, a*— в ±1 четверти. (3.5)
sin m
Из прямоугольного треугольника А0Л" В определим
угол Л"АйВ = ст ,
§ 7.3]
УЧЕТ ПРОТЯЖЕННОСТИ АКТИВНОГО УЧАСТКА
201
Тогда азимуты а6, отсчитываемые от направления па
юг против часовой стрелки, выразятся разностями
a's = а* + or, a"s = а* — а, (3.7)
а обычные азимуты (отсчитываемые от направления па
север по часовой стрелке) —
&N = Л — 6ls, (Iff = Л — tig. (3*8)
Для наклонения из прямоугольного треугольника
Л,"А0В находим (рис. 7.17) is во II четверти, is в I чет-
верти по
• чг • COS III п f /О
sin is = sin is = ~, i' = — is, i" — is. (3.9)
sin и ’ ’
Результаты расчета при и = 30° функций A' (TL)
А"(<ГЬ), обратных функций eV (А) и, Л/(А),а также меж-
стартового интервала ААМС представлены на рис. 7.9. Ока-
зывается, эти зависимости в I и II случаях совпадают
(отличие случая II от случая I состоит лишь в том, что
кривые А'(Д), А" (<ГЬ) начинаются не в точках Mi и Ni,
где касательные вертикальны, а в точках М2 и N2, где ка-
сательные горизонтальны). Этого следовало ожидать, так
как при и — и окружность, по которой двигался опреде-
ляющий и-круг, и окружность, на .которой рассматрива-
лись точки пересечения, поменялись ролями. Ясно, что
при и = и соответствующие значения А и <0, из диапазона
между точками касания в I и II случаях должны совпа-
дать.
Перемещение концов изображающих кривых из Mi и
Ni в М2 и N2 (рис. 7.9, 7.11 и 7.13) объясняется тем, что в
случае II попадание в Луну из точек типа Ло, лежащих
внутри стартового интервала (рис. 7.16), становится воз-
можным ранее, чем узел £1 войдет в определяемый усло-
вием касания интервал (л,, и попадание останется
возможным из точек типа Ао еще в течение некоторого
времени после того, как узел выйдет из этого интервала.
В случае II межстартовый интервал определен только
внутри интервала (<1\, т. е. только между абсциссами
точек М2 и N2-. он начинается и кончается уже не нулем,
а положительной константой &Ъ«>(М2) = AAMCW2) (рис. 7.9).
202
СТАРТ С БОЛЬШИХ ШПРОТ
(ГЛ. 7
Аналогично функциям V (Л) и Х"(Л) азимуты as ( )
и наклонения is (^) изображаются теми же кривыми, что
и в случае I, только теперь кривые ограничиваются точка-
ми М2 и N2, а не точками Mi и Aj.
.Рассчитаем, наконец, диапазоны основных характерис-
тик случая II в зависимости от величины аргумента ши-
роты и начальной точки. На основании предыдущего сле-
дует ожидать, что характеристики случая II должны изо-
бражаться теми же кривыми, что и в случае I, только
с аргументом и вместо и. Действительно, для величины
стартового интервала из условия касания и-круга с основ-
ной плоскостью имеем: т = 90° — и, так что (рис. 7.17)
cos А,*
cos iL sin ф0 — sin и
sin iL cos (p0
AA,C = 2A,*, (3.10)
что совпадает с (2.5) при и = и.
Наибольший межстартовый интервал по-прежнему со-
ответствует значению <0, = 90° и может быть найден из
сферического треугольника А0КРу со сторонами Ру=90°—А,
РА0М = 90° — фо, Аому = и (рис. 7.17) по теореме коси-
нусов:
cos и — sin sin ir , .
cos А, |л=90о = ^os cog , (AXMC)max = 21'1^=90=,
(3.11)
что совпадает с (2.6) и (2.7) при и = и.
Определим теперь границы поражаемого интервала по
точкам Л„ и Лк пересечения (фо — и)-параллели с основ-
ной плоскостью. Из сферического треугольника SbKzP
(рис. 7.17) со сторонами гЛк = 90°, zP = iL, Р^ьк =
— 90 (ф0 — и) по теореме косинусов для стороны
РЛК имеем:
sin Лк = -ins^°.~ Ц) , А Л = 2 (у - Лк), (3>12)
что совпадает с (2.4) при и = и.
Функции АЛ (й), ДМ») и (ДХис)т„Ы представлены
на рис. 7.10.
§ 7.3] УЧЕТ ПРОТЯЖЕННОСТИ АКТИВНОГО УЧАСТКА 203
Так как азимут по-прежнему достигает экстремума
при = 90°, то из треугольника А0КРу находим:
— sin iT + sin <р. cos и
cos (as)max = , (3.13)
cos Фо sin w
и в силу (2.10) получим |as max I I max I (рис. 7.12), что
следует и из равенства модулей вертикальных углов aN
(рис. 7.8) и ав (рис. 7.17) при и = и.
Наконец, для определения экстремумов наклонения
имеем, как и в случае I:
sin (<р„ — ir)
Sin (is)min = sin (is) max = -Л=----, (о.14)
sin и
что совпадает с (2.14) при и = и (рис. 7.14).
Таким образом, зависимости рассмотренных характе-
ристик от аргумента широты и (или н) являются более
универсальными, чем зависимости от полной угловой даль-
ности Ф. Универсальны они в том смысле, что пригодны
при любых значениях активной угловой дальности Фа,
причем как в случае I, так и в случае II. Траектории слу-
чаев I и II соответственно можно называть северными
(/V) и южными (S) (согласно определению в начале гл. 7).
Г л а в а <8
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ С ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
§ 8.1. Определение энергетических затрат,
необходимых для реализации заданных
начальных данных
Под заданными начальными данными будем понимать
определенные комбинации направления начальной ско-
рости и отношения ее величины к величине местной па-
раболической скорости при заданйом азимуте траектории.
Энергетические затраты будем измерять величиной W
характеристической скорости КА, т. е. скорости, которую
приобрел бы он с теми же затратами топлива при от-
сутствии внешних сил в прямолинейном движении. Вме-
сто отношения начальной скорости к местной параболи-
ческой будем задавать квадрат этого отношения, обозна-
чив его через Направление начальной скорости на
пассивном участке траектории по-прежнему будем зада-
вать углом 0[ возвышения вектора скорости над местным
горизонтом. Азимут направления начальной скорости бу-
дем считать фиксированным. Программа выведения КА
на траекторию с заданными значениями величин 01 и
будет фиксированной, если она имеет всего два свобод-
ных параметра, и может быть различной, если она явля-
ется многопараметрической. Свободными параметрами
(1 = 0, 1, 2, ...) могут быть, например, точки разбиения
активного участка на части, на которых постоянны ве-
личина тяги или скорость изменения угла тангажа. По-
следние две величины также могут быть свободными па-
раметрами программы выведения.
В случае многопараметрической программы можно
ограничиться рассмотрением лишь оптимальных комби-
§ 8.1]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ
205
наций параметров, т. е. комбинаций таких активных
участков, для которых конечная характеристическая
скорость IV минимальна при заданных значениях вели-
чин 01 и [Ji. Выделить оптимальные комбинации можно,
например, методом огибающих. Действительно, зафикси-
ровав какое-либо значение pt и все свободные парамет-
ры, кроме qn, построим на плоскости 9J7 кривую
(®1) l&,=const-
Меняя значение еще одного из параметров, например,
qi, получим семейство таких кривых W |р =Const, q ^const,
имеющее огибающую W (01)p1=const (существование оги-
бающей следует из энергетических соображений).
Меняя теперь другой свободный параметр q2 и строя
указанным выше способом огибающие W (0t) ]р ,=const ИЗ
одном и том же чертеже, можно затем построить огибаю-
щую этих огибающих. Тем самым параметр q%, так же
как ранее параметр qi, исключается. Аналогично можно
избавиться и от большего числа параметров (проделав
достаточно большую графическую работу).
Из энергетических соображений следует, что величи-
на W минимальных затрат будет возрастать с ростом [Ji
при 01 = const и с ростом 91 (0^91^ л/2) при [Ji = const.
Соединим на плоскости 0i, Pi точки с одинаковыми ми-
нимальными энергетическими затратами W (рис. 8.1).
Получим кривые оптимальных комбинаций 0i, Pi. Точки
каждой кривой при любом значении абсциссы отвечают
минимальным затратам W, необходимым для достижения
ординаты рь
Строя кривые Р1С61) I w=const для серии различных зна-
чений W, получим семейство оптимальных кривых W =
= W(0i, Pi), представляющее собой функцию двух пере-
менных и изображенное па рис. 8.1 для 1 — е < <
<1 + Зе (величина е « 0,02 является малой порядка
1 — Pimm, Pimm соответствует случаю достижения лунной
орбиты с минимальной скоростью). Функция W =
= Bz(9i, Pi) получается путем обработки результатов рас-
четов активного участка.
Заметим, что радиус rj — rG + Hi (где rc, — радиус
Земли) и угловая дальность Фп активного участка, отве-
чающие оптимальным комбинациям 9i и Pi, не являются
произвольными, а образуют однопараметрические семей-
206
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 8
ства функций от 01. На рис. 8.2 даны границы однопара-
метрического пучка оптимальных кривых (0J |p1=Const’>
там же нанесены границы другого однопараметрическо-
го пучка — пучка оптимальных кривых Фа (9J F^const •
Второй пучок получается (аналогично первому) по тем
Рис. 8.2. Примерный вид зависимо-
стей геоцентрического радиуса п и
угловой дальности Фа активного
участка от параметра Pi (квадрата
отношения начальной скорости к
местной параболической) и от угла
0! возвышения вектора начальной
скорости над местным горизонтом.
Рис. 8.1. Зависимость между па-
раметрами Pi и St при различ-
ных постоянных значениях ха-
рактеристической скорости TV.
траекториям, которые оказались наивыгоднейшими в
смысле величины характеристической скорости W. Ха-
рактер изменения п и Фа с ростом 01 естественны: чем
по более крутой траектории происходит разгон, тем на
меньших дальностях п больших высотах должен кончить-
ся активный участок.
Пучок кривых (0Х) |p1=Const имеет максимальную
ширину при 01 = л/2 и пулевую — при 01 = 0; пучок кри-
§ 8.2J ТРАЕКТОРИИ С ФИКСИРОВАННЫМ НАКЛОНЕНИЕМ 207
вых Фа (91) |₽1=eonst наоборот, сужается до нуля при
01 = л/2 и максимально расширяется при 91 = 0. Кри-
вые обоих пучков в точке наибольшей ширины пучка
имеют горизонтальные касательные.
Заметим, что зависимость Фа и и от fi] менее су-
щественна, чем от 91 (в рассматриваемом малом диапа-
зоне 1 — e<[Ji<l + Зе). В приближённых расчетах мож-
но пренебрегать зависимостью Г\ и Фа от fii, а иногда и
зависимостью их от 91 — при достаточном сужении диа-
пазона по 01.
§ 8.2. Характеристики попадающих в Луну
траекторий с фиксированным наклонением
плоскости траекторий к экватору
В § 8.1 для заданного азимута траектории были оп-
ределены энергетические затраты, необходимые для реа-
лизации заданных комбинаций модуля и угла возвыше-
ния вектора скорости над местным горизонтом в начале
пассивного участка. Рассмотрим теперь полную угловую
дальность и другие характеристики попадающей в Луну
траектории, начинающейся в фиксированной точке Во
(рис. 8.3). Положение плоскости траектории будем ха-
рактеризовать ее наклонением i к плоскости лунной ор-
биты. При фиксированном наклонении гэ плоскости тра-
ектории к экватору траектория, начинающаяся в точке
Во, будет иметь фиксированный азимут а0. Например,
при наклонении плоскости траектории к экватору, близ-
ком к 65° (такое наклонение имели первые советские
ИСЗ и космические ракеты), и при том выборе коорди-
нат начальной точки, который был сделан в гл. 7, полу-
чается величина азимута а^, близкая к 35° (отсчитыва-
ется от направления па север по часовой стрелке).
Долготу узла будем определять углом J у, отсчитыва-
мым от середины поражаемого интервала (т. е. от оси у
на рис. 7.8) против часовой стрелки (угол у будет не-
сколько удобнее, чем прежний угол о,). Соответственно
вместо прежних осей .г и у будут использоваться гео-
центрическая ось X, направленная в точку, противопо-
ложную середине поражаемого интервала, и ось У, на-
правленная в нисходящий относительно экватора узел
208
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 8
лунной орбиты (ср. рис. 7.6 и 8.3), так что
X = у, У = — х, Z = z, (2.1)
sin = — cos Л, cos <ГЬу = sin Л.
Формула (7.2.2) и вторая из формул (7.2.11) примут вид
cos т = sin iL cos Лу, (2.2)
cos, = -’in‘L-c°smc°sS\ (2.3)
sin m sin Cfcy ' '
Используя их и формулы (7.2.11) и (7.2.12), получим
Рис. 8.3. Трасса КА (радиальная проекция траектории полета) на певра-
щающейся геоцентрической сфере при северо-восточном направлении
запуска.
вторую из формул (7.2.13)
ijv / у г — s.
Исключая угол s из равенств, выражающих теоремы ко-
синусов для стороны »,) н угла о (рис. 8.3), получим
cos m sill , cos s cos n„ sin in cos <p
COS ll0 — -----:----®:----------5-----------. (2.4)
0 1 — -sin S sin aQ SIU III COS <p() '• ’
§ 8.2]
ТРАЕКТОРИИ С ФИКСИРОВАННЫМ НАКЛОНЕНИЕМ 209
Примеры расчета величин w.o ( Л.у) и (4ЪУ) для двух ази-
мутов ао — ак (aN = 35° и aN — 60°) представлены на
рис. 8.4. Имеем и0 ( ,ал=80'>> и0 (<ГЬУ> |ajv=35?,поскольку
с ростом азимута полные угловые дальности все сильнее
отличаются от максимальных. Минимум аргумента ши-
роты По в соответствии с результатами, полученными
Рис. 8.4. Зависимость аргументов широты щ. и и наклонений ijy.is
от долготы С^у упрежденной точки при фиксированных азимутах
=aS=35’; 60°.
в гл. 7, достигается при =0, экстремумы наклонения
In достигаются при Лу --90°; причем с увеличением ази-
мута на 25° кривые ijv(^y) и и0 (Лу) смещаются эквидис-
тантно по оси ординат соответственно на 10—15° вверх
и на 44—16° вниз. Вследствие наличия минимума аргу-
мента Пр при --ГЦ = 0 довольно заметные изменения у
не намного увеличивают ио. Например, при изменении
Л у от нуля на 17,5° аргумент и0 увеличивается всего
лишь на 1°. Значению Лу = 17°,5 соответствует поражае-
мый интервал АЛ = 35°, т. е. двое-трое суток.
Из рис. 8.3 нетрудно заключить, что при фиксирован-
ном азимуте а0 траектории для каждого положения <ПУ
14 В. Л. Егоров, JI. И. Гусев
210 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ |ГЛ, X
упрежденной точки величина угла Л между меридиана-
ми оси X и точки старта не может быть произвольной.
Зависимость % (Л>у) легко находится из рис. 8.3 (или
рис. 7.8) по формулам (2.1) — (2.2). Результаты вычисле-
ния • этой зависимости представлены* на рис. 8.5. Видим,
что функция X (Л>у) всюду монотонно возрастает, причем
Л, град б, град
-50 5
Рис. 8.5. Зависимость угла X (между меридианами оси X и- точки старта)
и угла а (между меридианами узла и точки старта) от долготы ^ууп-
режденной точки при фиксированном азимуте запуска а0 = ау — 35°.
почти равномерно. Наличие зависимости X (Л>у) означает,
что при фиксированном азимуте для соударения с Лу-
ной в заданный момент времени, т. е. при заданном по-
ложении Луны на ее орбите, необходимо вполне опреде-
ленное положение начальной точки в абсолютном прост-
ранстве в момент старта. Очевидно, благодаря суточному
вращению Земли такие положения возникают один раз
в сутки, когда плоскость стрельбы проходит через задан-
ную упрежденную точку Йу. Соответствующий момент
старта определяется однозначно на -каждые звездные
сутки, в связи с чем возможные времена полета должны
§ 8.3] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ 211
отличаться точно на звездные сутки. Например, при
старте в следующие сутки время полета должно быть
уменьшено на одни звездные сутки.
§ 8.3. Определение оптимальных начальных данных
при фиксированном наклонении
плоскости траекторий к экватору
Определим начальные данные, отвечающие минимуму
характеристической скорости W при запуске КА с фик-
сированной широты <ро и при фиксированном наклоне-
нии гэ плоскости траектории к экватору. Наклонение i3
связано с азимутом а0 теоремой синусов (рис. 8.3)
cos L
sin ап — ----, (3.1)
w cos tp0 ’ ' '
причем одному значению |1Э1 соответствуют два равных
по величине азимута ао = а-и и ао = ая: первый отсчи-
тывается от северного направления по часовой стрелке,
второй — от южного против часовой стрелки, но каждый
из них — в диапазоне от —90° до +90° (рис. 7.17). Для
определенности примем ао = aN.
Определять оптимальные начальные данные будем
в предположении, что-запуск КА может быть произве-
ден в любые сутки заданного интервала дат. Пусть
Aft — угловая величина поражаемого интервала, соответ-
ствующего заданному интервалу дат. По величине Т1.у =
= AJT/2 находим u0 = u0 (JL) из рис. 8.4. Значение ио на-
ходится по краю, а не по середине ТЬу = 0 поражаемого
интервала. Очевидно, найденный для него запас топлива
благодаря убыванию и0 с уменьшением Пу будет доста-
точен н для попадания в Луну, когда она находится
внутри поражаемого интервала (в то время как запас
топлива, определенный по внутренней точке поражаемо-
го интервала, для достижения Луны на его краю будет
недостаточен).
Задавшись средним значением Фа активной угловой
дальности, определяем среднее значение пассивной угло-
вой дальности Ф? = 180° — (и0 + Фа). Теперь для любой
точки (0j, Pi) на кривой Фх = Ф? (рис. 7.4) по семейст-
14*
212
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 8
ву кривых lV(0i, pi) (рис. 8.1) находим соответствующее
значение W.
Очевидно, непрерывная функция J¥(0i, Pi) вдоль кри-
вой Фх (017 PJ — Ф? в ограниченной области практиче-
ски интересных значений 0j, pi достигает минимума
IVnnn. Точка (0*, Р*), в которой этот минимум достига-
ется, и дает оптимальную комбинацию начальных дан-
ных. Эта точка может быть найдена по обычным прави-
лам отыскания условного экстремума, но ее проще полу-
чить графически, нанеся на один чертеж кривые
Ф1С01, pi) = const (рис. 7.4) и РИ1С01, pi) = const (рис. 8.1).
Действительно, на этом чертеже точки (0i, Pi), где до-
стигаются ЭКСТремумЫ ВеЛИЧИН W , Pl)|<D1=COnst или
Фх (0ц Pi) |w=const, будут, очевидно, точками касания
кривых разных семейств.
Так как знаки кривизны для этих семейств различ-
ны, то на каждой кривой будет только одна точка каса-
ния (01, Р*). Следовательно, для найденного значения
Ф1 = Ф? минимальное значение ИЛпш достигается в той
точке (01, Pi), в которой кривая W = Wmln семейства
W = const касается кривой Ф1 = Ф? = const.
Предыдущее рассмотрение проводилось при каком-то
среднем значении Ф° активной угловой дальности и при
том значении высоты для которого представлены кри-
вые на рис. 7.4. Теперь же, когда известны приближен-
ные значения ©i, Pi, это рассмотрение легко уточнить.
Действительно, по 0i, Р* из рис. 8.2 находим уточнен-
ные значения HY (0i, Pl) и Фа(01, Pi). Определяя точ-
ку касания при новом значении Фа и учитывая измене-
ние Н\ сдвигом кривых на рис. 7.4 по оси ординат, по-
лучим после нескольких итераций оптимальные значе-
ния 01, Pi и IVmln с необходимой точностью.
Заметим, что необходимость нахождения оптимальных
траекторных характеристик именно на плоскости пере-
менных 0i, Pi определяется существом задачи, посколь-
ку именно параметры 0j, p.j являются общими и опреде-
ляющими как для пассивного, так и для активного участ-
ка. Рассмотрение кривых Ф[= const и W — const на
плоскости 0[, Pi с учетом зависимостей Фа(01, Pi) и
§ 8.3] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ 213
п(0х, рр позволяет получать начальные данные при са-
мых различных ограничениях и при этом позволяет су-
дить, каково увеличение энергетических затрат по срав-
нению с затратами, определяемыми оптимальными на-
чальными данными.
Определим, например, значение W для начальных
данных, позволяющих достигнуть Луны в заданном по-
ражаемом интервале 2fty за заданное время полета Т
при фиксированном азимуте траектории. Время полета
для рассматриваемых оптимальных комбинаций 0i, 0i
(рис. 8.1) определяется в основном избытком A7t на-
чальной скорости над местной параболической, причем
начальная высота и направление полета в рассматривае-
мых диапазонах их изменения несущественно влияют на
время полета. Начальные данные определяются следую-
щим образом.
Задавшись временем полета. Г, находим из рис. 4.5
величину A Hi, а затем, задавшись средними значениями
г? и Фа, находим параболическую скорость 7П
величину Pi = и2 = ((7П + A7j/7n)2, аргумент широ-
ты поЩу) (из рис. 8.4) и пассивную угловую дальность
= 180° — (п0-|-Ф2). Абсцисса точки пересечения кри-
вой Фх (0П Рх) = Ф? с прямой ₽х = Р? (рис. 7.4) и есть,
очевидно, искомая величина 0°. Зная 0?, из рис. 8.2
находим уточненные значения ri (.0?, Р?9 и Фа(01,Р1)
и повторяем расчет АТ7! по T(A7i, п, 0i), 7B(ri), Pi, Ф1,
01 (учитывая сдвиг кривых на рис. 7.4 с изменением НО.
Итерации продолжаем до получения необходимой точ-
ности. По окончательным значениям 0i, 0i находим
lV(0i, Pi).
Интересно также определить энергетические затраты
для осуществления таких траекторий попадания в Луну,
на которых вектор скорости в начале пассивного участка
образует фиксированный угол 01 с местным горизонтом.
Решение в этом случае получается примерно так же, как
и в предыдущем. Задавшись углом 01 и произвольным
значением <ЛУ, находим аргумент широты и0 (Лу)(рис. 8.4).
Далее определяется соответствующее значение скорости
71, для чего сначала находим итерациями величину
01 = (7i/7n)2 = y2.
214
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 8
Задавшись сначала каким-либо нулевым приближе-
нием 0! = 01, определяем по известным зависимостям
Фа(01, 01) и ИЙ], 01) (рис. 8.2) величины активной уг-
ловой дальности Фа и геоцентрического радиуса гь За-
тем находим аргумент щ широты конца активного участ-
ка и угловую дальность Ф! пассивного участка траек-
тории:
и1 = и0 + Фа, Ф1 = 180° —- щ. (3.2)
Наконец, уточняем значения А0 и и по формуле
1 — 2v cos2 0. + cos (Фх + 20j)
А01 = -----5------1-----—-------—, 0! = 1 + А01.
2v cos2 0X — cos Фг — cos (Фх + 201)
(3.3)
полученной, как и (7.1.3), из формулы (8.1) книги [1 —
19681; х — г\/г2 — малая величина, причем слабо меняю-
щаяся, так как г\ и радиус точки встречи Гг меняются
слабо. По новым значениям 01 и 01 вновь находим зна-
чения 1'1 и Фа как функции величин ui, Фь A0i и т. д.
Итерации повторяем до получения необходимой точно-
сти. Благодаря слабой зависимости Фа и особенно п от
01 итерации быстро сходятся: расчеты показывают, что
для получения трех верных десятичных знаков достаточ-
но двух итераций. Вследствие слабой зависимости от 0(
величии Фа и и последние слабо зависят и от Пу. Поэ-
тому результаты их расчета удобно представлять в виде
кривых Фа(01), Г1(01) с параметром |Гсу|. Кривые эти,
очевидно, должны быть монотонны по 01 и должны сов-
падать для значений ГЦ-, отличающихся только знаком.
Определив значения Фа, п, 0i, A0i, находим величи
ны местной параболической Vu и начальной геоцентриче-
ской Vi скоростей:
vn = /2^7, - Уп /Р? (3.3)
Избыток ДУ1 = У1 — У„ начальной скорости над парабо-
лической более точно можно получить по формуле
ГПДВ
АУ1 -------7==, (3-3)
1-1/1; АР’
не содержащей потери точности.
§ 8.6]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ НАКЛОНЕНИЕ
215
Значения параметров W, ri, Фа, AEj, 61 и других
как функций от О у могут быть определены изложенным
выше способом для всего диапазона — 180° < -Лу< 180°.
Но оказывается достаточным найти их лишь в диапазо-
не 0<ЛУ<180°. Действительно, поскольку функция
и0 (‘С’у) является четной, то кривые, построенные для
значений —180° < ££у < 0, будут симметричны относи-
тельно оси ординат соответствующим кривым, построен-
ным для значений 0 < < 180°. Заметим, что при уве-
личении | <ПУ | от 0 до 90° величина и0 возрастает, дости-
гая максимума, причем изменяется нечетным образом от-
носительно точки (<ПУ =90°, но = и0 (90°)). Если при этом
функция W(0i, Pi) = const близка к линейной, а влия-
ние изменения высоты Hi и дальности Фа активного
участка малосущественно, то можно приближенно счи-
тать, что функция W (<ГЬУ), определяющая минимальные
энергетические затраты, тоже является нечетной в ин-
тервалах от 0 до 180° и от —180° до 0 (относительно
точек с абсциссой | <ГЬУ | = 90°).
Заметим, что при смещении из оптимальной точки
вдоль кривой Ф1 = const по плоскости (01, Pi) (рис. 7.4
и 8.1) можно существенно (например, на 1—1,5 суток)
изменить время полета без больших энергетических по-
терь, так как в оптимальной точке кривые Ф1 = const
и W = const касаются друг друга.
Следует заметить также, что широта начальной точ-
ки весьма существенно влияет па энергетические затра-
ты, необходимые для достижения Луны. При увеличе-
нии широты эти затраты растут, а при уменьшении ши-
роты до фо = ii, они уменьшаются, приближаясь к за-
тратам, имеющим место в плоской задаче. С убыванием
широты производная функции Но(^у) всюду уменьшает-
ся по модулю. Соответственно энергетические затраты и
другие параметры меняются слабее с отклонением даты
старта от оптимальной.
§ 8.4. Выбор энергетически оптимального
наклонения для траекторий северного типа
Выше была изложена методика определения энерге-
тически оптимальных начальных данных пассивного
участка траекторий попадания в Луну для фиксирован-
216
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 8
ного наклонения 13 или, что то же, для фиксированного
азимута я0 = а0 таектории.
Очевидно, если провести расчеты для достаточного
количества азимутов, то можно было бы с помощью
многократного применения той же методики определить
зависимость энергетических затрат от азимута а0 и най-
ти оптимальный азимут, т. е. азимут, соответствующий
наименьшей характеристической скорости. Однако этого
трудоемкого пути определения оптимального азимута
можно избежать, если учесть характер зависимости на-
чальной скорости от азимута и использовать результаты
*
расчета для азимута «0 с помощью соответствующего
пересчета.
Действительно, для различных азимутов будут раз-
личны кориолисова и центробежная силы, да еще при-
бавки к относительной скорости, обусловленные враще-
нием Земли. При этом для высот Н\ < rG центробежная
сила будет столь мала по сравнению с тягой, что ее
можно вообще пе учитывать на активном участке. Ко-
риолисова сила тоже невелика по сравнению с тягой,
причем, как показывает анализ, она изменяет лишь на-
правление вектора скорости, не меняя заметно его вели-
чины. Вследствие этого она несущественно сказывается
на энергетических возможностях ракет, и в настоящем
рассмотрении ею тоже можно пренебречь.
Следовательно, при переходе от одного азимута к дру-
гому будет изменяться только разность векторов абсо-
лютной V] и относительной Vn скоростей, обусловленная
вращением Земли.
Рассмотрим зависимость разностей А V« = Vi — Ко и
Д0 = 0о —01 (где 0о — угол возвышения вектора относи-
тельной скорости Vo над горизонтом точки начала пас-
сивного участка) от азимута а0 вектора абсолютной ско-
рости V[ с учетом зависимостей между начальными дан-
ными, установленных в § 8.1.
Поскольку величины разностей V\ — Vo и 0О — 01
весьма невелики, приближенный расчет их очень прост.
Из треугольника скоростей со сторонами Vo, Vlt V„„ где
V и — переносная скорость, обусловленная вращением
Земли, имеем: Vo = Vi — Ущ; проекции на радиус, парал-
g 8.4]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ НАКЛОНЕНИЕ
217
лель и меридиан: VI = (71sin0i, 7i cos 0i sin ai, 7iX
X cos 0i cos ai), Уш = (0, 7Ш, 0), так что
7£=М~271Д7“ +Г-„ (4.1)
где Д7щ = 7W cos 0X sin «i7 ai — азимут вектора абсолют-
ной скорости в точке В\ выхода па траекторию пассивно-
го полета.
В точке Ву величина переносной скорости
7to = (OgPiCOSCP!, (4.2)
где coG — угловая скорость вращения Земли, ri и cpi—
радиус и широта точки начала пассивного участка. Из
(4.1) получаем
2У,ДУ" - к?, ДУ° - У2/2У,
д v _ у _ у _ 1 <> __L
1 ° —ДМ/2И1 ’
Отношения VJV{ и Д7и/71 малы. Если ими пренебречь,
то получим Д7М == Д7® в первом приближении, а во
втором с точностью до членов второго порядка малости
/ V2 ДУ02 \
ДТ7 _ дуо _ ____“
А|/м — 2V^ 2Vv )•
Учитывая, что по теореме синусов из &B0PBi (рис. 8.3)
получаем с помощью (4.2):
Д7Ш = Д7„ = cos ср0 sin а0 cos 0V (4.4)
Из формулы 7i sin 01 = 70 sin 0О проекций Vj и Vo на г\
следует, что разность Д0 составляет всего лишь доли
градуса, и с точностью до малых второго порядка можно
считать 0 = Д7° sin 0Х — 7ХД0 cos 01; откуда
др0
0О - 0, = Д0 = —— tg 0V (4.5)
Формула (4.4) показывает, что обусловленная вращени-
ем Земли скоростная прибавка Д7Ш не зависит от длины
Фа активного участка, а зависит лишь от азимута векто-
218
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 8
ра абсолютной скорости в начальной точке и угла воз-
вышения вектора абсолютной скорости в конечной точке
активного участка.
Расчет по формулам (4.4) и (4.5) можно упростить,
если пренебречь слабой зависимостью величины радиуса
Г1 от [Ji и в (4.5) положить Vp=Vn. Примерный вид за-
висимости А7Ш от азимута а0 представлен на рис. 8.6.
При этом для различных уг-
Рио. 8.6. Обусловленная враще-
нием Земли скоростная прибав-
ка ДУШ как функция азимута
(северного ао = или южного
a0 = aS).
Рис. 8.7. Разность Д0 в углах
возвышения над горизонтом для
векторов относительной и абсо-
лютной скорости КА в начале
пассивного участка при фикси-
рованном азимуте запуска а0 =
= с^ = 35°.
П растет (см. § 8.1), более или менее компенсируя убы-
вание cos 01.
Зависимость А0 от 6j, как видно из формул (4.4) и
(4.5), почти синусоидальна (причем отклонения от сину-
соидальности возникают за счет увеличения п с 01).
Примерный вид ее представлен на рис. 8.7.
Теперь, имея расчеты активного участка для одного
какого-либо азимута а0, нетрудно перейти к любому дру-
гому азимуту ао, прибавив к скорости V\ разность
(а0) — AVoUo)-
Покажем, что внутри диапазона 0° С «о < 90° суще-
ствует азимут, при котором функция ИНао) проходит
§ 8.4]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ НАКЛОНЕНИЕ
219
через минимум Т¥П1ц,. Действительно, если не учитывать
вращения Земли, то согласно гл. 7 оптимальным
азимутом является тот, который обеспечивает макси-
мум Фтах полной угловой дальности полета, т. е. азимут
ао = 0.
С учетом же вращения Земли этот азимут уже не
является оптимальным, так
нуля энергетические затраты,
возрастая на малые второго
порядка вследствие убыва-
ния Ф, в то же время убыва-
ют на малые первого поряд-
ка вследствие возрастания
величины ДУш(ао). Однако
функция Д7ш(а0) при увели-
чении а0 до 90°, наоборот,
достигает максимума, возра-
стая уже на малые второго
порядка, а функция „ ф(ао)
убывает на малые первого
порядка, и, соответственно,
необходимые энергетические
затраты возрастают на ма-
лые первого порядка. Значит,
при 0° < а0 90° энергети-
ческие затраты достигают
минимума. Этот минимум
оказывается лишь один (так
как в рассматриваемом диа-
пазоне изменения азимута
функции Ф(а0) и Д7т(ао)
меняются монотонно).
как при увеличении а0 от
Рис. 8.8. Зависимость азиму-
тов и aj от аргумента
Uo или и широты точки
старта для траекторий, встре-
чающих Луну на трех раз-
личных расстояниях от
энергетически £1 оптимальной
точки =0.
Заметим, что согласно гл. 7 при £1? = 0 достигается
максимум величины азимута для каждой фиксированной
угловой дальности п соответственно максимум угловой
дальности для любого фиксированного азимута. Следова-
тельно, положение упрежденной точки, энергетически
оптимальное без учета скоростной прибавки от враще-
ния Земли, остается энергетически оптимальным и с уче-
том вращения Земли. Функция ао = aN(.uo), полученная
с помощью формул (2.2), (2.8), представлена на рис. 8.8
для значений-Я>у = 0°, 26°30' и 40°.
220
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
ГГЛ. 8
Интересно сравнить при различных азимутах а0 энер-
гетические затраты W, соответствующие наивыгодней-
шей упрежденной точке, т. е. точке <О,у = 0.
Значение W (а0) может быть найдено без использова-
ния рис. 8.6, если кривые на рис. 8.1, 8.2 даны для
ао ~ ао- По азимуту а0 с помощью кривой <0>у = 0 на
рис. 8.8 находим соответствующее значение и0 и полной
угловой дальности Фо = л — п0. Затем, задавшись в ка-
честве нулевого приближения средними значениями ак-
тивной угловой дальности Ф” и высоты Н[ конца ак-
тивного участка, определяем пассивную угловую даль-
ность Ф10) — Фо — Ф(а0) и точку (9i0), ₽10>) касания кри-
вой Фх (015 |31, Я10)) = Ф? = const с одной из кривых
ТУ(01, Pi) = const (рис. 8.1).
По значениям 0i°\ Pi0> находим из рис. 8.2 новые,
более точные значения Фа1' и Н^\ а по ним — новую
точку Pi1’)- Такие итерации повторяем до получе-
ния необходимой точности. По окончательным значени-
ям 01 и> [Ji находим W (015 PJ = W(a0).
Значения W(ao), гдеа0=#а0, получаем с помощью
рис. 8.6. Задавшись, как и прежде, средними значениями
Ф(а0) и Н'1\ определяем из рис. 8.8 Фо (а0) — л — и() (<z0) и
Ф10) = Фо (а0) — ф^\ а затем вычисляем поправки
67Х = ДУ° (а0) - ДП0) М и б₽х =
П (п1)
После этого сдвигаем кривые W(0i, Pi) на величину 6Pi
в отрицательном направлении по оси ординат (рис. 8.1)
и находим точку Pi0)), в которой одна из этих кри-
вых касается кривой Фх (0lt [Зг, Я10)) = Ф10> = const.
Уточнение точки касания (9i0>, Pi0)) итерациями
с учетом сдвига кривых ИТ01, Pi) = const по оси орди-
нат производится так же, как и в случае, когда а0 = а0,
причем значения Фа и Hi, соответствовавшие при а0 = а0
значению Pi, теперь, при а0^а0, соответствуют значе-
нию Pi + SPi. Впрочем, вследствие слабости зависимости
величин Фа и Hi от Pi поправкой 6Р1 при их определе-
нии иногда можно пренебрегать.
§ 8.5]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ НАКЛОНЕНИЕ
221
По окончательным величинам 0 и находим значе-
ние VK('0i, Pi) = W(ao).
В предыдущем рассмотрении предполагалось, что КА
встречается с Луной в точке, для которой <ПУ = 0, т. е.
в наивыгоднейшей точке ее орбиты. При реальных по-
летах это условие точно выполняться пе будет, в связи
с чем интересно знать, каково будет увеличение W при
увеличении угла Л?, т. е. при увеличении поражаемого
интервала на орбите Луны. Для ответа на этот вопрос
достаточно, очевидно, с помощью изложенной выше ме-
тодики определить значения^ функции Ж(ао), соответст-
вующие величинам Лу =/= 0. Необходимые для этого зна-
чения и0 (а0) _const рассчитываются, как и значения
а0, для 41>у = 0°, 26°30, 40° (рис. 8.8). Найдя оптималь-
ные азимуты для каждого из рассматриваемых значенйй
определим и оптимальные наклонения 1Э плоскости
траектории к экватору по формуле (3.1).
§ 8.5. Выбор энергетически оптимального
наклонения для траекторий южного типа
Для реализации попадающих в Луну траекторий II
типа необходимо, чтобы соответствующий активный учас-
ток полета достигал плоскости орбиты Луны. Это зна-
чит, что широта <pi точки, соответствующей концу В\
активного участка, не должна превосходить наклонения
iL плоскости лунной орбиты к экватору, т. е. угловая
активная дальность Фа не должна быть меньше величи-
ны «о — <Ро — II, где <ро — широта точки старта. Следова-
тельно, имеет смысл рассматривать только такие траек-
тории типа II, для которых аргумент широты точки В,
щ = Фа —п>0, (5.1)
где модуль аргумента широты точки старта 1п| > ао.
Из рис. 7.4 и 8.1 следует, что для траекторий типа II
энергетически оптимальными начальными данными яв-
ляются: 01 =0 и У1 = У1тш- Им соответствует значение
Ф1 = 180°; тогда щ = 180° — Ф1 = 0, и из (5.1) получаем
и = Фа.
222
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 8
Из рис. 8.2 видим, что при 01 = О величина Фа актив-
ной угловой дальности близка к своему максимальному
Значению (Фа)тах- _
Поэтому наибольшие значения ишах параметра и =
= Фа — Ui достигаются при и\ «0 и близки к (Фа)т«.
Соответствующее величине umai значение азимута as (от-
считываемого от направления на юг против часовой
стрелки), как показано в гл. 7, является наибольшим при
Пу = О И блИЗКИхМ к значению Uslmax = Яв(Щпах)> где
Щхах = (Фа)гпах*
Максимальному азимуту, очевидно, соответствует мак-
симальная прибавка ДУШ к скорости, обусловленная вра-
щением Земли. Ее величину можно получить из формул
(4.2) — (4.4), которые пригодны для расчетов не только
траекторий типа I, но и траекторий типа II.
Результаты расчета Д7ш(а8) по формулам (4.2) — (4.4)
для значений п = riml„ в силу малости изменения радиуса
ri изображаются кривой, близкой к представленной на
рис. 8.6. Для as = (ав)шш находим:
Д7М = (AKohnax, 67О = (Д7а)тах - Д1Д> (4), б^
- и
Теперь нетрудно найти наименьшие значения необхо-
димых энергетических затрат W. Для этого сдвигаем
кривые (рис. 8.1) на величину <5(31 вниз и находим зна-
чение W = Жпах по точке с координатами 01=0 и
Р1 Plmln-
Для траекторий с фиксированной длиной Фа актив-
ного участка и заданным азимутом as, меньшим макси-
мального значения (а8)Шах, на орбите Луны уже будет
иметься поражаемый интервал, величина которого убы-
вает до нуля при ав (as)max- Определим величину этого
интервала как функцию Фа, используя связь долготы
узла упрежденной точки на орбите Луны с величи-
нами и = Фа — щ, где щ — аргумент широты точки конца
активного участка.
Из (7.2.2) при = 90° + <ГЬ-у находим
COS 7?? /г о,
COS <R.V = —г—. (0.2)
у Sin '
§ 8.5]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ НАКЛОНЕНИЕ
223
Из сферического треугольника Лйо^у рис. 8.9 полу-
чаем ио теореме косинусов для стороны т:
cos т. — cos и sin фо — sin и cos фо cos as. (5.3)
Поскольку формула (5.3) применима для расчета тра-
екторий типа I при а8 = — aN и и = ио, где ио — аргу-
мент широты точки старта, то зависимость и (Лу) совпа-
дает с зависимостью и0 (Лу) для траекторий типа I
Рис. 8.9. Трасса активного участка траектории южного типа на невра-
щающейся геоцентрической сфере. Направление запуска — юго-восточное.
(рис’. 8.4). Нетрудно также убедиться, что при вычисле-
нии наклонения i = з — т (рис. 8.9) величины т и з опре-
деляются по тем же формулам (2.11), (2.12), что и при
расчете траекторий типа I, если и = иа и as — —aN + л:
sin т =
cos iL
sin m '
sin s =
sin as cos <po
sin m
(5.4)
Очевидно, для получения значения 41>у, отвечающего
краю поражаемого интервала, следует положить Ui = 0;
тогда и = Фа.
224
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ *[ГЛ. S
Заметим, что при полете по траектории типа II с
фиксированным наклонением ее плоскости к плоскости
лунной орбиты попадание в крайние точки поражаемого
интервала требует (в отличие от полета по траектории
типа I) наименьших энергетических затрат, а при попа-
дании в середину этого интервала — наибольших. Дейст-
вительно, вследствие постоянства азимута и слабой пере-
менности длины активного участка Фа(01, ^i) при дви-
жении упрежденной точки от края поражаемого интерва-
ла к его середине аргумент ui широты монотонно возра-
стает и, следовательно, пассивная дальность монотонно
уменьшается (рис. 7.17), а это согласно рис. 7.4 и 8.1
требует увеличения энергетических затрат. Необходимые
энергетические возможности при различных значениях
4Ъу для траекторий типа 11 рассчитываются точно так
же, как это делалось для траекторий типа 1, причем
роль величины u.q играет величина и. В качестве нулево-
го приближения для траекторий типа II удобно брать
значения 01 = 0 и = ^imin.
Интересно выяснить, как увеличиваются возможности
достижения Луны с увеличением активной дальности Фа.
Поскольку максимум скоростной прибавки, обусловлен-
ной вращением Земли, достигается при азимуте 90°
(рис. 8.6), то с увеличением Фа при <О,у=0 и Ф1 = 180°
выигрыш в скорости, возрастая, достигает максимума
для значения Фа, при котором максимальный азимут
(as)max — 90°. Направление полета при этом является чис-
то восточным.
С дальнейшим увеличением Фа значение азимута ста-
новится меньше 90°, и выигрыш в скорости убывает.
Таким образом, энергетически оптимальным для траек-
торий типа II является такое наклонение I, для которого
азимут траекторий является чисто восточным. Соответст-
вующее наклонение гэ = ср0.
Расчет наибольшей прибавки скорости Д7Ш при раз-
личных углах Фа по формулам § 8.4 в рассматриваемом
случае весьма прост: надо принять Лу = 0 и широту
конца активного участка постоянной epi = гь. Функции
Д7и(фа) и ДЛ(Фа), где ДХ есть угол между меридианами
начала и конца активного участка, для начальной высо-
ты Т/i = 300 км и угла возвышения вектора начальной
§ 8.5]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОЕ НАКЛОНЕНИЕ
225
скорости над местным горизонтом 01 = 0° представлены
на рис. 8.10.
Расчет А 7. проводится по теореме синусов для сфери-
ческого треугольника PBaBi (рис. 8.9)
Найдем теперь величину Фа, соответствующую мак-
симально возможной добавке к скорости и определяемую
Рис. 8.10. Скоростная прибавка АУШ, обусловленная вращением Земли,
и протяженность ДХ (по долготе) активного участка траектории южного
типа как функции угловой дальности Фа активного участка.
условием, что дуга и = Фа касается параллели <р0 точки
старта, оканчиваясь в точке с РЬУ = 0. Из прямоугольно-
го треугольника с гипотенузой т — 90° — iL и катетами
Фа и 90° — <ро имеем
Для рассматриваемого примера iL —18°20', <ро = 47°,
Фа = 65°. Тогда из формулы (5.5) при as = 90° и <pi = iL
получаем
,, sin Ф„
sinAXs=s-----Д-, (5 7\
cosiL ’ v '
откуда ДА, « 70°.
15 в. А. Егоров, Л. И. Гусев
226
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. 8
Следует заметить, что, хотя энергетические затраты,
необходимые для реализации оптимальных траекторий
типа II, гораздо меньше затрат, необходимых для реали-
зации траекторий типа I, реализация траекторий типа II
требует в несколько раз более высоких точностей обеспе-
чения величин начальной скорости и начальной высоты,
чем реализация траекторий типа I. Объясняется это тем,
что для достижения траекторий типа II необходимы ми-
нимальные или 'близкие к ним скорости полета. С ростом
превышения начальной скорости над минимальной' необ-
ходимые' точности быстро снижаются. Отсюда следует,
между прочим, что при постоянном азимуте траектории
типа II для попадания в Лупу в середине поражаемого
интервала требуется обеспечение меньших точностей на-
чальных данных, чем для попадания в Луну на краю
поражаемого интервала.
Еще необходимо отметить, что на практике выбор
азимута запуска КЛ с Земли в первую очередь опреде-
ляется расположением районов, которые могут быть от-
ведены под трассу запуска и тем самым изъяты из дру-
гих видов использования. Поэтому на поверхности Земли
имеется лишь небольшое число (единицы) трасс (и ази-
мутов) запуска КА. В дальнейшем рассмотрении расчет
примеров относится лишь к траекториям с северо-восточ-
ным направлением запуска. При этом КА выходит либо
непосредственно па траекторию полета к Луне, либо на
промежуточную орбиту ИСЗ, с которой через подходя-
щее время выводится на траекторию перелета к Луне
(см. гл. 11). Будем по-прежнему отличать такую траек-
торию буквой N, если опа в основном проходит над се-
верным полушарием Земли, и буквой S — если над
южным.
Г л а в a 9
НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ
С ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ И АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ РАЗБРОСА
НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
§ 9.1. Приближенный расчет номинальной траектории
на основе долготной привязки ее концов
Пусть выполнены условия метода ТСД и пусть зада-
ны наклонение г, плоскости геоцентрической траектории
к экватору и момент tL встречи КА с Луной. Задание Ъ,
фиксирует сферические координаты ccL, фь, rL окололун-
ного конца L траектории, которые считаются совпадаю-
щими с координатами aL(tL), <pr(^r), rL(fL) центра Луны
mL; последние находятся по моменту tL из Астрономиче-
ского ежегодника. Тем самым задается и географическая
долгота Аг конца L, причем считаем lAj <л.
Пусть рассматривается столь узкий пучок траекторий,
что допустимо пренебрегать различием угловой дально-
сти Фа и высоты Н[ конца В\ активного участка для
различных траекторий пучка. Тогда вследствие фиксиро-
ванности точки Во старта и наклонения i3 будет фикси-
рована и точка В[. Будем задавать ее положение геогра-
фической долготой Ав, геоцентрической широтой срв и
радиусом гв = г0 + Я1, причем считаем |АВ1 < л. Благода-
ря фиксированности долгот Аг, Ав концов пассивного
участка время Т>. полета КА между ними можно выра-
зить «с точностью» до целого числа п звездных суток
через разность долгот концов и проекцию Фэ угловой
дальности Ф] пассивного участка на плоскость экватора.
Это выражение оказывается общим для задачи полета
к Луне и задачи возвращения от Луны к Земле. Поэто-
му его будем выводить сразу для обеих задач,
15*
228 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
Пусть в начальный момент tB = tB (ts — tL) KA нахо-
дится на географической долготе AH = /.B (AH = AL). Тогда
в любой момент t С 7\ он находится на географической
долготе
X(i) = А„ + Фо(£) — о0(£ — tu), |Ап1<л, (1.1)
где Фэ(£) есть проекция на плоскость экватора текущей
угловой дальности Ф(£). Функция Ф(<)>0 по определе-
нию, причем является монотонно возрастающей. Функ-
ция Фэ(£) тоже является монотонно возрастающей, при-
чем Ф:,(£) > 0 при lij <90° (когда КА обходит поляр-
ную ось в направлении вращения Земли) и ФЭП) < 0 при
Ii3I >90° (т. е. при обратном направлении обхода).
В конечный момент tK — tR + T>. имеем tK = tL =
Ф(£„) = Ф1, Х(£к) + 2лге = Ак = ?.L (АК = АВ), |АК1 < л.
Здесь п есть целое число периодов, которое необходимо при-
бавить к углу Х(£„), чтобы привести его к диапазону (—л, л).
Из (1.1) при t = tK, учтя, что Т>. = tK — tB, получим
— 2л/1 — Х„ + Ф., — со,;7\, где Фа Фэ(£к).
Отсюда
Т> — п + (Ая — Ак + Ф:,)/2л суток, (1.2)
поскольку 2л/со0=1 суг (звездные).
Рассмотрим проекцию р па плоскость экватора угла и,
(аргумента широты ср КА, рис. 9.1).
По теоремам синусов и косинусов для сферических
треугольников со сторонами р, ср, и и и, 90°, 90° — ср по-
лучим
sin р = tg cp/tg i3, sin и — sin ср/sin i3, cos и = cos cp cos p.
Углы W и lp| принадлежат одинаковым четвертям, при
этом sign р — sign и при I ij <90’ и sign р = —sign и при
1гэ1 >90°. По смыслу углов гг, Р, 'Ф1, Фэ имеем
Ф1 = п-к — и», Фо = Рк — рн, (н, к) = (5, L), (L, В). (1.3)
Углы ul, ив определяем по
sin и, = sin ср/sin i3 = (1.4)
При этом в случае н = В, V. — L будет ггв в —I, +1 чет-
верти, а в случае н = L, к = В — в IV, V четвертях.
Угол ггв во всех случаях берем во II, III четвертях.
§ 9.1 J
ДОЛГОТНАЯ ПРИВЯЗКА КОНЦОВ ТРАЕКТОРИИ
229
Рис. 9.1. Расположение трассы
BmL северной (N) и южной
(S) траекторий полета к Лупе
на невращающейся геоцентриче-
ской сфере. Пэ и Пр, — плоско-
сти экватора и лунной орбиты.
В основе этого определения лежит предположение, что
наклонение i3 определяется в узле Лэ, ближайшем к пе-
ригею (и к точке В), а не к Луне (точке mJ—в соот-
ветствии с Приложением 1.
Углы Р; (/ = L, В) находим по
sin р; = tg cp/tg i3 (j = L, B), (1.5)
беря Ipjl в той четверти, которой принадлежит |и,|.
Таким образом, задача приближенного расчета поми-
налыюй траектории сведена к задаче Ламберта с задан-
ными радиусами
гн = гв, rK = rJtJ,
(rn = rL, rK = rB),
угловой дальностью Ф] и
временем перелета Т>. (1.2)
между ними. При этом входя-
щие в (1.3) величины и} из-
вестны из (1.4), а входящие
в (1.2) через Ф:, величины р,-
известны из (1.5). Решив эту
задачу (§ 4.4, п. 1), найдем
начальные данные — величи-
ну V] начальной скорости,
угол 9Н с трансверсалью. Мо-
мент времени tJtJ=tL + T>.
известен до решения за-
дачи Ламберта. В процес-
се решения задачи Ламбер-
та находятся элементы р,
а, е и аномалии: истинная Фя и средняя М* Находим
элементы
М а3'2
Т = у-— , (Од — Пн ~~ 'б'н* (1-®)
V^G
По определению pL находим
Т.’а = а-ь—Pl, (1,7)
где угол ab(fi.) известен из Астрономического ежегодни-
ка, так что вместе с заданным углом i3 имеем полную
систему элементов (р, е, т, <оэ, ^э, О номинальной тра-
ектории.
230 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
Описанный выше приближенный способ расчета но-
минальной траектории (по формулам (1.2) — (1.7), (4.4.1),
(4.4.8)—(4.4.11)) можтщ назвать методом долготной при-
вязки траектории.
§ 9.2. Решение задачи о точке встречи КА
с Луной при фиксированном угле
начальной скорости с трансверсалью
Эта задача возникает при использовании фиксирован-
ной программы по углу тангажа для запуска КА с по-
верхности Земли непосредственно на траекторию полета
к Луне. Если по каким-либо причинам старт не состо-
ялся в расчетную дату, то естественно, не меняя про-
грамму по углу тангажа, стартовать в одну из следую-
щих дат, варьируя только момент t\ «отсечки» двигателя
в этой дате и величину Vj скорости в этот момент. По-
скольку в данной задаче фиксированы пе только геогра-
фические координаты <ро, Хо точки старта и наклонение гэ
плоскости траектории к экватору, но и угол 0, началь-
ной скорости с трансверсалью, то уже нельзя задавать
положение Лу Луны mL в момент tL встречи: его прихо-
дится вычислять путем решения задачи о точке встре-
чи — упрежденной точке. При этом старт возможен в та-
кой момент ii, когда проходящая через начальную точку
плоскость траектории, поворачиваясь-в суточном движе-
нии вместе с Землей, пройдет через упрежденную точку
Лу(<) = SlL(t) + <oLT(ri, V., 0n r2), (2.1)
где T — время перелета. Схему перелета будем считать
заданной и в расчетах — северной (А). Задачу будем ре-
шать точнее, чем в § 9.1,— с учетом зависимостей Фа п
Г; от 01 (рис. 8.2).
Заметим, что в рассматриваемой задаче существует
вполне определенное максимально возможное значение
0imax угла 0]. Оно соответствует максимальному значе-
нию Ф1тах пассивной угловой дальности и минимальному
значению AVimm избытка начальной скорости над мест-
ной параболической, т. е. минимальному значению ABimln
л„ А К / Д7,\
величины Api = —- 2 + .
9 9.2]
ЗАДАЧА О ТОЧКЕ ВСТРЕЧИ КА С ЛУНОЙ
231
Максимальное значение 0imax определяется последова-
тельными приближениями. Задавшись какими-либо зна-
чениями 0Г < 01max, Д^1>. Д^1т1п, ИЗ рИС. 8.2 НЯХОДИМ
7’1(01, ДР1) п Фа(©1, Д[И). Затем находим величины
V = Г\/т%, Ф = 180° — [(uo)mln + Ф&],
где Г2 = 384 400 км — расстояние между центрами Земли
и Луны, а (и0)min — 1^ =0 берется из рис. 8.4. Нако-
нец, находим новые значения Afh и 0imax по формулам
(7.1.5) и
COS2 0jmax
________sin2 (Ф/2)_____
(1-v2) +v(2-v) sin2 (Ф/2)’
(2.2)
получающейся с помощью выражения (7.1.6), повторяем
итерации до установления величин 01 и Д[Ь с нужной
точностью.
В задаче с фиксированным углом 0i = const величина
Д71 избытка начальной скорости над параболической
для различных значений <ГЬУ, т. е. для различных суток
месяца, будет, очевидно, существенно разной, так что
время полета Т и величина упреждения будут заметно
меняться с изменением положения точки встречи.
Задаваясь различными значениями 0i • = const < 0imai
и сГЬу и проводя аналогичные предыдущим итерации для
определения величин ^i, г\, Фа, Т, находим последние
как функции , находим из (2.1) (Лу). Примерные
кривые зависимостей SbL(Sby) при постоянных значениях
01 приведены на рис. 9.2. Кроме того, независимо от зна-
чения 01 имеем из гл. 8 (рис. 8.5) зависимость Х(Л>У)
(долготу точки Во, отсчитываемую от оси X на рис. 8.3)
и положение Луны г, (t), известное из Астрономическо-
го ежегодника.
Остается, задаваясь различными значениями t и ин-
терполируя, определить на каждые сутки моменты вре-
мени ti выхода КА на траекторию пассивного участка.
Для определения этих моментов времени с целью
достижения Луны в окрестности наивыгоднейшей точки
(^1у=0 — см. § 8.3) на ее орбите в заданном месяце за-
данного года следует воспользоваться Астрономическим
ежегодником на этот год. Учитывая, что наивыгоднейшая
точка Лу = 0 соответствует наименьшему склонению Лу-
232 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. fl
ны (относительно плоскости экватора), из ежегодника
находим момент So звездного времени, когда Луна про-
ходит эту точку. Пусть а0 — прямое восхождение Луны
в момент So, a to — момент среднего солнечного време-
Рис. 9.2. Связь упрежденного (Лу) и текущего (Ль) положений Луны
при нескольких фиксированных углах 61 вектора начальной скорости с
(/ и л/н \
91 < 91 < 1 < Simaxj-
Поскольку звездное время в угловой мере есть угол
поворота гринвичского меридиана от точки Т весеннего
равноденствия, а прямое восхождение а0 — угол поворо-
та Луны от точки Y, то согласно определению оси X
(см. § 8.2 и рис. 8.3) имеем
ах = а° —180°, Xr = S-c&, (2.3)
£ 9.2]
ЗАДАЧА О ТОЧКЕ ВСТРЕЧИ КА С ЛУНОЙ
233
О I» v
где «х— угол поворота меридиана этой оси от точки Т,
а Хг — угол поворота гринвичского меридиана от мери-
диана оси X. Следовательно, угол поворота меридиана
точки старта от меридиана оси X в момент времени S
Хз ~ Хг-Р Хо, (2.4)
где Хо — географическая долгота точки старта Во-
Формула (2.4) и вторая из формул (2.3) справедливы
для любых значений S, а первая из формул (2.3)—только
для значения S = 50, т. е. для случая, когда Луна на-
ходится в паивыгоднейшей точке 4ХУ = 0. Обозначим
соответствующее этому положению Луны значение X —
= Х(5о) на рис. 8.3 через Х°. Теперь, задавшись значе-
нием угла 61 наклона вектора начальной гоцентрической
скорости к местному горизонту и моментом времени t,
находим из рис. 9.2 для момента t по значению =
— — to) соответствующее значение <ГЬу(ТЬь), а по
нему с помощью рис. 8.5 — необходимое значение
X (Лу) = Ху. С другой стороны, располагаемое значение X
поворота меридиана точки старта от меридиана оси X
в момент времени t
Xs = Х° + <n0(.t —10), (2.5)
где а0 — угловая скорость суточного вращения Земли.
Найдя для двух значений t значения разности Л =
= Хз — Ху и интерполируя по S на значение Л = 0, в пре-
деле получим (па каждые сутки) момент времени t\ вы-
хода на пассивный участок траектории и соответствую-
щие значения параметров 4Ъь (4ЪУ), X (Лу), Т (Л>у), При-
мерный характер изменения времени полета Т (4ХУ) от
изменения положения Лу точки встречи КА с Луной
при постоянных углах 01 дан на рис. 9.3.
Рассмотрим на кривых Т = Т (4ХУ) |e1=COnst размеще-
ние точек, соответствующих попаданию в Луну в фик-
сированные даты пуска М, М ± 1, М ± 2. Эти точки обра-
зуют слабо искривленные наклонные линии (рис. 9.3).
Характер наклона -линий объясняется тем, что при фик-
сированном дне запуска для больших значений угла 01
требуются меньшие величины AVi и, соответственно,
большие времена полета, большие упреждения и боль-
шие значения <ГЬУ.
234 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
Величина поражаемого интервала 2 | | на орбите
Луны, как указывалось в гл. 8, определяется распола-
гаемыми энергетическими возможностями. Крайние зна-
чения | -Л у | полностью определяют диапазоны реализуе-
мых значений угла 0|, избытка Д1Л начальной скорости
Рис. 9.3. Примерная зависимое! ь времени полета Т на пассивном участ-
ке траектории от положения <Qy Луны в момент встречи с КА при
нескольких фиксированных углах 9t вектора начальной скорости с
трасверсалью (ег < 0Х < 0р )м, М±1,...—даты старта.
над местной параболической и конкретных дат запуска.
Уточнение развитой здесь приближенной методики
дается в гл. 10.
§ 9.3. Выбор номинальной траектории
с учетом прямой видимости
встречи с Луной из заданного пункта
Встречающиеся с Луной траектории изображаются точ-
ками на кривых рис. 9.2, и задачей настоящего парагра-
фа является выбор номинальной точки с учетом условия
оптимальной видимости из заданного пункта КА перед его
встречей с Луной.
5 9.3] УЧЕТ ПРЯМОЙ ВИДИМОСТИ ВСТРЕЧИ С ЛУНОЙ
235
Пусть, например, этот пункт, имеющий географическую
долготу X, расположен в северном полушарии (в частности
им может быть начальная точка траектории полета). Под
условием оптимальной видимости будем понимать требо-
вание, согласно которому угол возвышения направления
пункт — КА над горизонтом пункта в определенный пе-
шим в том случае, если для этого момента времени дол-
жен быть наибольшим.
В момент соударения с Луной этот угол будет наиболь-
шим в этом случае, если для этого момента времени дол-
гота КА равна долготе пункта. Это условие можно запи-
сать в виде (см. рис. 8.3)
180° -|- [(А.д0 — X) — ст (а0, АЪу)1 = cog (ta Тй) — 2лп, (ЗД)
где —Х)= const— разность географических долгот
точки старта Во и пункта, ст — разность долгот точки
старта и узла<П>у в момент старта, определяемая форму-
лами (7.2.1—7.2.3) (рис. 8.5), wG — угловая скорость су-
точного вращения Земли, tu — время полета на активном
участке траектории, То — оптимальное время полета на
пассивном участке, ап — целое число звездных суток, со-
держащихся во времени То.
Действительно, разность отсчитываемых от меридиана
оси X долгот точки встречи и узла в рассматриваемом
приближении равна 180°. Эта величина в сумме с раз-
ностью — X)— _|_ (oGfa) составляет с точностью до це-
лого кратного 2л угол поворота, который должна пройти
точка наблюдения за время полета То, чтобы точка встре-
чи оказалась на меридиане точки наблюдения (рис. 8.3).
Нетрудно видеть, что соотношение (3.1) есть просто
условие (1.2) привязки долгот концов траектории к за-
данным географическим долготам — начальной и ко-
нечной X.
Чтобы угол возвышения объекта был наибольшим не
в момент встречи, а на время т/2 раньше, следует увели-
чить время полета То, определяемое из выражения (3.1),
на величину т/2. Тогда для определения времени То по-
лучим формулу
То = -±- [л (2n + 1) + (Хв - X) _ ст(а0, Лу)]+ [Д- - Д.
(3.2)
236 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
Входящая в соотношение (3.2) величина о довольно
существенно зависит от азимута ао: например, при уве-
личении ао от 35 до 60° она увеличивается примерно на
20° для выбранной в гл. 7 точки старта. При этом время
Tq уменьшается на величину порядка часа, т. е. отно-
сительно мало.
Если азимут постоянен (что в дальнейшем и будем
предполагать), то величина о при изменении Лу в диа-
пазоне | -Лу | < 30° изменяется весьма слабо (рис. 8.5),
так что для расчета примера с точностью порядка 1°
(около 4 мин) можно считать величину о постоянной п
равной 20°. Тогда левая часть выражения (3.1) будет
равна 190°, так что, приняв, например, за пункт наблю-
дения Москву (Z = 37°,6), получим время полета в
часах:
То = 23,93п 4-12,45 + — i0 j. (3.3)
Остается определить число п, которое может прини-
мать значения 0, 1,.2, 3 и 4, так как время полета до
лунной орбиты не может достигать 5 суток. Определим
его для простоты расчета в предположении, что т/2 = /а
и что величины энергетически оптимальных начальных
скоростей близки к величине местной параболической ско-
рости. Таким скоростям соответствует время полета около
двух суток. Следовательно, энергетически наиболее вы-
годными будут значения п = 1 и п = 2. Для выбора од-
ного из них заметим, что значение п — 2 соответствует
значительно меньшим величинам избытка ДУ] начальной
скорости над местной параболической, чем значение
п = 1, и требует начальных данных с более высокими
точностями, как можно ожидать, исходя из анализа
плоской задачи (гл. 6). Поэтому примем п = 1. Тогда по-
лучим Т — 36,68 час. Заметил! теперь, что время полета
на пассивном участке траектории, согласно гл. 4 и
рис. 4.5, слабо зависит от начальной высоты Hi, угла 01
наклона вектора начальной скорости над местным гори-
зонтом и определяется в основном величиной избытка
ДУ1 начальной скорости над параболической. Поэтому
при определении Т (Ду) и ДУ2 (Лу) получим для различ-
ных значений у и 01 точки (7\, ДУ1), которые будут ло-
§ 9.3]
УЧЕТ ПРЯМОЙ ВИДИМОСТИ ВСТРЕЧИ С ЛУНОЙ
237
житься практически на одну кривую T(AVi) на рис. 4.5
(сплошная кривая rL = 384 400 км на рис. 9.4).
По сплошной кривой па рис. 9.4 находим, что опти-
мальному в смысле видимости из заданного пункта вре-
мени полета Го = 36,4 часа соответствует величина избыт-
ка AVi = 0,158 км/с.
Определим теперь диапазон допустимых значений вре-
мени полета Т. Для этого построим угол возвышения е
z/р/, tfM/с
Рис. 9.4. Зависимость времени полета Т на пассивном участке траекто-
рии от избытка AV] (начальной скорости над местной1 параболической)
при различных расстояниях от центра Земли до точки встречи КА с
Лупой.
направления пункт — КА над горизонтом пункта наблю-
дения как функцию времени Ai, протекшего от момен-
та £м кульминации КА (при расчетах будем предпола-
гать, что имеет место наименьшее склонение КА 6(6 >
> — it), где iL — по-прежнему угол между плоскостями
земного экватора и орбиты Луны). Перемещением сна-
238 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
ряда относительно звезд в эхом расчете можно пренеб-
речь, поскольку оно мало (угловая скорость КА на рас-
стоянии Луны почти в 5 раз меньше угловой скорости
обращения Лупы вокруг Земли).
Пусть р. — угол, на который перемещается наблюда-
емый объект от его кульминационной точки за время
(рис. 9.5); тогда имеем
sin е = cos р. cos б cos ср + sin б sin ср, (3.4)
d<0
Рис. 9.5. Небесная сфера над гори-
зонтом пункта наблюдения.
где ср — широта пункта наблюдения.
В области е>0 для значений широты ср > |б| (б<0)
функция рАМ) монотонно возрастает от нуля, достигая
максимума gmax, и затем
монотонно убывает до
нуля симметричным об-
разом.
Измерив угол р в ча-
сах и построив семейство
кривых e(p)ls=COnst, по
кривой б = бтш и крити-
ческому значению е =
— emin = 0 найдем диапа-
зон номинальных значе-
ний времени полета (Ti,
Tz}, симметричный отно-
сительно абсциссы точки
кульминации. Однако до-
пустимый диапазон значе-
ний Т будет еще уже за
счет существования об-
скорости от номинальной,
обусловленных ошибками выведения. Например, для
ошибок 6Vi = ±8 м/с и с учетом того, что максимальная
производная dTldV\~—300 с2/м (при наименьших рас-
сматриваемых в данном примере значениях ДУ1), нахо-
дим, что диапазон номинальных значений времени поле-
та уменьшится с каждого края на величину St « 0,7 час.
Таким образом, находим границы интервала гарантиро-
ванной видимости
ласти возможных отклонений
§ 9.3]
УЧЕТ ПРЯМОЙ ВИДИМОСТИ ВСТРЕЧИ С ЛУНОЙ
239
При Т~^Т" — Т\ 4- 6i встреча будет невидимой, так
как произойдет слишком поздно, а при Т Тг —
она будет невидима,- так как произойдет слишком рано.
Вне диапазона (Т", Т') имеем область гарантированной
невидимости встречи, а при Т’ < Т < и —б£<
<Т <Т" — область возможной невидимости.
Нанеся полученный диапазон времени на рнс. 9.3 и
рассматривая соответствующие ему кривые 7’(^y)|e1=const,
можно определить максимальное 0* и минимальное 0#
значения угла 0 ц при которых в окрестности точки
£&у=0 еще возможна встреча с Лупой, видимая из пунк-
та наблюдения.
Таким образом, для кривых 0i = const имеем диапа-
зон (0*, 0*). При значении 0х = 01 будем иметь некоторое
максимальное количество дней месяца, в которое возмо-
жен запуск КА к Лупе. Следовательно, даже при отсут-
ствии ограничений энергетического характера весьма ог-
раничено количество дней в месяце для запуска КА по
траекториям с фиксированным значением угла возвыше-
ния вектора начальной скорости над местным горизонтом.
Энергетические ограничения могут лишь уменьшить это
количество дней.
При наличии узких энергетических границ, т. е. при
условии | ЗЪу | < | Л>у [шах, вообще говоря, имеется целый
диапазон значений 01, для которых кривые |e1=conse
всюду проходят в области видимости из пункта наблюде-
ния. Поэтому оптимальное значение 01 следует искать с
учетом расположения на кривых Т (<Q>y) |e1=const точек,
соответствующих встрече в конкретном месяце, в то вре-
мя как предыдущее рассмотрение имело место для любого
месяца. Например, имея расчеты кривых Т (£&у) (рис. 9.3)
для конкретного месяца, интерполяцией можно найти
параметры 6° или 0Х кривых, проходящих через точку
пересечения прямой Т — То соответственно с линией М
энергетически оптимальной даты или с линией М — 1
предыдущей даты. Характеристики траекторий с 0Х = 0?
для других дат без труда находятся интерполяцией всех
параметров, по линиям этих дат на значение
240 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
§ 9.4. Расчет номинальной траектории попадания
в Луну методом игнорирования возмущений
При анализе влияния разброса начальных данных, да-
же приближенном, недостаточно учитывать только влия-
ние Земли, необходимо также учитывать и влияние Луны,
по крайней мере в ее СД. Для расчета номинальных тра-
екторий ниже развита приближенная методика, в которой
притяжение Земли учитывается вне СД Луны и притя-
жение Луны — внутри СД.
Множество всех пространственных траекторий сближе-
ния является шестппараметрическим. Поскольку множест-
во номинальных траекторий, попадающих в центр Луны,
в пространственной задаче является четырехпараметри-
ческим, то всегда можно задать произвольно какие-либо
четыре величины, определяющие начальные данные, а ос-
тальные две величины найти из условия попадания в
центр Луны. Затем, давая начальным параметрам те или
иные отклонения и вычисляя соответствующие траекто-
рии, нетрудно определить влияние разброса начальных
данных.
Задачу определения номинальной траектории можно
решить с помощью итерационного процесса по двум пе-
ременным.’Однако четыре произвольных параметра оказы-
вается возможным выбрать таким образом, чтобы обой-
тись итерационным процессом по одной соответственно
выбранной переменной.
Действительно, примем за произвольные параметры
следующие величины: высоту Hi начала Bi пассивного
участка траектории; избыток AVj начальной геоцентриче-
ской скорости над местной параболической; угол cxi между
вектором начальной скорости и начальным радиусом и
угол i наклонения плоскости траектории к основной плос-
кости (плоскости орбиты Луны). Эти четыре величины
определяют плоскость и форму траектории и позволяют
полностью определить траекторию сближения с Лупой,
если дана точка входа ее в СД Луны. При этом, если со-
ответствующая траектория не попадает в центр mL Лу-
ны, то входная селеноцентрическая скорость U2 для этой
траектории, очевидно, направлена мимо точки mL. По-
скольку направление скорости ГД слабо зависит от поло-
жения точки В2 входа на СД (см. § 4.2), то можно ожи-
§ 9.'«I
МЕТОД ИГНОРИРОВАНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
241
дать, что, выбирая новую точку В2 так, чтобы направление
Z?2W было параллельно вектору U2, соответствующему
прежней точке В2, всякий раз будем получать траекто-
рии, все более близкие к центру Луны.
Изложенная идея реализуется следующим образом
(рис. 9.6а). Пусть £вт]в£„ — координаты точки входа В2
во вращающейся селеноцентрической системе координат,
ось которой постоянно направлена в центр та Земли,
ось т)в лежит в плоскости лунной орбиты, а ось £в допол-
няет систему осей до правой системы координат. Тогда
геоцентрические радиус г2, скорость V2 и угол а2 между
векторами входной геоцентрической скорости и входного
геоцентрического радиуса находятся по следующим фор-
мулам:
rt = ]/" (rL — ?в)2 + ni + &
Г1 = гс-|-Я1, v = r1/r2,
+ ул = /щ^771,
ДУ, / ДУ, \
ДРг = V 2 + т^ ’
у п у п /
p3 = Ap1 + v, V2 = VuVp2,
sin а2 = vK1 cos 01/У2, 01 == 90° — а1. □ (4.1)
Здесь rL = 384 400 км — расстояние между центрами Зем-
ли и Лупы, /'с, = 6371 км — радиус Земли, Уп — парабо-
лическая скорость для высоты Я1, = 398 600 км3/с2 —
гравитационный параметр Земли, Д£ = 0i — 1, где
Р1=У2/Уп . Формулы для Рг и а2 представляют собой за-
пись геоцентрических интегралов энергии и площадей со-
ответственно для точек В{ и В2.
Компоненты х2, у2, z2 скорости У2 в невращающейся
геоцентрической системе координат xyz, оси которой па-
раллельны соответственно осям ^вЦв?в в момент t2 входа
КА в СД Лупы, определяются следующим образом:
sin и2 = £D/r2 sin 6,
Х2 = r2 cos у2 = r2 SIH u2 COS I,
х2 = rL, У2 ~ Пв, Z2 = ?В,
16 в. А. Егоров, Л. И. Гусев
242 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
9.6а. Траектория сближения с Луной вне ее сферы действия.
g 9.4] МЕТОД ИГНОРИРОВАНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 243
— х х + у у' . ух' — х у'
COS Л = gm Л = -----£-2.
*2 + У 2 х22 + У*
SDL — и.г а2,
.г2 — V2 (cos 9Л2 cos — sin 9Л2 sin Jb cos г),
у2 — V2 (cos ЭЛ2 sin Л> -(- sin ЭЛ2 cos Л cos i),
z4 = V2 sin 9Л2 sin i.
□ (4.2)
Здесь и2 — аргумент шпроты точки В %: x^y-izz — коорди-
ната точки В2, Л — долгота узла траектории движения к
Рис. 9.Об. Траектория сближения с Луной внутри ее сферы действия.
СД, отсчитываемая в основной плоскости; ЭД2 — аналог
аргумента широты для определения компонент входной
геоцентрической скорости V2 по формулам, аналогичным
формулам определения координат по кеплеровым эле-
ментам.
Компоненты входной селеноцентрической скорости U2,
ее модуль U и угол а2 между ее направлением и входным
селеноцентрическим радиусом р2 в точке В2 входа в СД
определяются формулами (рис. 4.4 и 9.66)
= хг, Пв = у2 + VL, £в = z21
16*
244 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
и = /|в2 + Пв + tl,
sin а2 = -^ [(т]в^в — ?вПв)? +
+ № - Ш2 + (Ввъ - пХо2]1'"2, ° (4.3)
где р * = 66 000 км — радиус СД Луны, a VL = 1,023 км/с —
скорость Луны. Отклонение траектории от центра Луны
характеризуется величиной sin а2. Чем ближе траектория
к попадающей в центр Лупы, тем меньше sin а2. Есдп ока-
жется, что |.sin а2 |<е, где е — заданная точность, то номи-
нальные значения SbT]bSb найдены. Если же | sin а21 >е, то
более точные значения SbT]bSb найдутся по формулам
Sil = РнЛв/£/, Нв — Р*1]в/U, Sb “ Р*£в/£/1 (4.4)
после чего расчет повторяется сначала.
В качестве нулевого приближения для величии gB,
Цв, Sb можно взять пх значения Sbo, Цво, Sbo в той точке
СД, в которой направление селеноцентрического радиуса
обратно направлению селеноцентрической скорости па
расстоянии орбиты Луны без учета притяжения послед-
ней. Эти значения могут быть вычислены по формулам
(4.4) при значениях Sb, Цв, Sb, определяемых формулами:
с„ = — У2 cos а2, т|в = V/ — У2 sin а2 cos i,
(4.5)
Sb = — V2 sin a2 sin i,
где V2 и a2 находятся по формулам (4.1) при Sb= Цв =
= Sb — 0. В проводившихся по формулам (4.1) — (4.4)
расчетах траекторий, проходящих от центра Лупы на рас-
стоянии порядка 1 км, обычно требовалось не более 6
итераций, так что сходимость описанного процесса явля-
ется достаточно быстрой.
Когда итерации по формулам (4.1) — (4.4) сойдутся с
требуемой точностью, то легко рассчитываются все харак-
рактеристики номинальной траектории. С помощью из-
вестных формул небесной механики (Приложение .8) по
координатам х2, Ун, z2 и скоростям х2, у2, z2 определяются
недостающие геоцентрические кеплеровы элементы р. е,
§ 9.4] МЕТОД ИГНОРИРОВАНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ 245
о, х траектории движения к СД Луны, а также по коорди-
натам £в, Яв> £в и скоростям £в, т]В1 £в находятся селено-
центрические кеплеровы элементы <ГЬ', Г, р', е , а' траек-
тории движения в СД в момент t2.
По элементам р, е и радиусам и, гг определяются ис-
тинные аномалии i9i, -й2 и время полета Т\2 вне сферы
действия. Аналогично по элементам р', е' и селеноцент-
рическим радиусам р* и рь « 1738 км (pL — радиус по-
верхности Луны) находится время полета Т2ь от границы
сферы действия до соударения с Лупой и полное время
полета Т — Tii2 + T2,L.
Заметим, что направление осей системы координат xyz
(рис. 9.6а) зависит от выбранных значений Я\, ДУц 0i, i,
а интересно знать движение в какой-либо невращающейся
системе координат с заранее фиксированным направлени-
ем осей, например, в системе XYZ, ось Y которой направ-
лена в нисходящий относительно экватора узел лунной
орбиты Луны, дополняя оси У и Z до правой системы
сторону северного полюса Р Земли, а ось X — в плоскости
орбиты Лупы, дополняя оси У и Z до правой системы
координат (рис. 9.6а). Характеристики траекторий в этой
системе определяются только по ранее найденным ее па-
раметрам, если заданы широта <р0 точки старта и актив-
ная угловая дальность Фа. Так, долгота узла <Q,y опреде-
ляется следующими формулами:
их = Ох + и0 = их — Фа,
cos z0 == sin uQ sin i, cos h — cos u0/sin z0,
sin cp„ — cos ir cos zn
cos v0 = —--------------°,
u Sin lT Sin Z„ ’
0
УЬу = v0 — h или УЬу = — v0 — h □ (4.6)
(в зависимости от того, правее или левее меридиана осиХ
хотим получить точку Во)- Очевидно, при фиксированных
значениях i и uq существует два положения точки Во с
одной и той же величиной угла Vo (рис. 9.6а). В формулах
(4.6) н0 есть аргумент широты точки старта Во; zq — угло-
вое расстояние точки Во от оси z; h — угол между дугами
больших кругов, проведенных от оси z к точкам Во и <ГЬУ
(рис. 9.6а); iL — угол между плоскостями экватора и лун-
ной орбиты.
246 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
Зная величины тщ i, и\ и сЛ>у, можно по известным
формулам небесной механики (Приложение 6) найти
начальные координаты и скорости в системе XYZ:
Хх — т\ (cos uL cos — sin sin y cos i),
= i\ (cos uL sin £1? + sin uL cos cos i), (4.7)
= fj (sin ux sin jj),
Xr = (cos cos — sin SJlj sin cos ix),
Y\ = Vx (cos 2)?! sin + sin sin cos i), (4.8)
— V\ sin sin i, Ц- (90° — 0X).
Азимуты do и ai в точках старта Во и начала В> пас-
сивного участка, широта q>i точки Bi и углы Ко и А 2. (со-
ответственно угол между меридианами оси X и точки
старта и угол между меридианами точек Во и Bi на
рис. 9.6а) находятся по следующим формулам сферичес-
кой тригонометрии:
cos и cos ф — cos т
cos пг == sin iL cos 0,v, cosan=---“----,
° sin и cos to ’
cos ax =
sin <px = sin <p0 cos Фа + cos <p0 sin Фа cos a0,
sin фх cos Фа — sin ф0
cos фх sin Фа ’
ЫПФа5Ш% _ sin Ну
cos qh ’ sin m ’
sin Aa =
cos и — cos m sin q>
cos a =--------”---------:-------
sm m cos q>0
X0 = Xx + a, □ (4.9)
где m — угловое расстояние узла Лу от полюса Р, Кх —
угол между меридианами узла и оси X, а о — угол между
меридианами узла и точки старта Bq.
Зная разность долгот узла в системах координат XYZ
и xyz
АЛ = ЛУ —Л, (4.10)
найдем значение угла "fi между направлением геоцентри-
ческого радиуса Луны в момент ti отсечки двигателя и
отрицательным направлением оси X, а также начальные
§ 9AJ
МЕТОД ИГНОРИРОВАНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
247
координаты и скорости Лупы по формулам (рис. 9.5):
Ti = — А4"Ь, (4.11)
XL = — rL cos ур Yl = Cl sin Yi, ZL — 0,
XL = — VLsin Yi, Yl = — 7lcosYi. Zl = 0,
где (ik — угловая скорость обращения Лупы.
Наконец, найдем координаты £л, Tin, ?л точки падения
на поверхности Луны, скорость С7Л соударения и угол 0Л
между ее направлением и поверхностью Луны в точке
соударения:
cos 'Э'л — -4- (---1\ мл='&лЧ-м\ Sb' — Sb'—
е \Pl )
1л = Pl (cos ил cos Sb' — sin ил sin Л/ cos i'),
г]Л = pL (cos ил sin SI' 4- sin ил cos Sb' cos i'),
£л — Pl sin ил sin i',
cos 0л = y5- sin a'2. □ (4.12)
HL l/д
Здесь Ол, Иц — истинная аномалия п аргумент широты
точки соударения,Sb', Sb' — соответственно долготы узла
в системе гщЛвЦв^в в момент t2 входа в СД и в момент
tji соударения, — гравитационный параметр Луны, U2 —
модуль входной селеноцентрической скорости, аг — ее
угол с селеноцентрическим радиусом р2 па границе СД.
Заметим, что для траектории, достаточно точно по-
падающей в центр Луны, величина 'б’л близка к 180°,
координаты точки попадания пропорциональны скорос-
ти соударения и угол 0Л близок к 90°.
По формулам настоящего параграфа были проведены
расчеты номинальных попадающих траекторий, резуль-
таты которых были сравнены с результатами точного
расчета (с учетом возмущений от Земли и Луны). Раз-
личия в значениях координат на границе СД и на по-
верхности Луны составили всего лишь несколько десят-
ков километров, что свидетельствует о достаточной точ-
ности приближенной методики.
248 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
§ 9.5. Расчет варьированных траекторий
методом игнорирования возмущений
Когда номинальная траектория найдена, то для опре-
деления соответствующего влияния разброса начальных
данных достаточно определить отклонения точек падения
на поверхности Луны, отвечающих траекториям с различ-
ными известными отклонениями начальных данных от по-
минальных. Таким образом, в отличие от краевой задачи
предыдущего параграфа, для определения отклоненных
траекторий получается более простая задача — задача
Коши. Однако, несмотря на то, что начальные данные
КА н СД известны, задача все же является задачей о
точке встречи,. Проще всего ее решение получить после-
довательными приближениями — одномерными итераци-
ями по времени на заданное расстояние р = р* КА от
центра ть Луны. Ниже дается способ определения на-
чальных данных для отклоненных траекторий и итераци-
онный метод расчета.
Отклонения начальных данных от номинальных це-
лесообразно задавать не в системе координат XYZ, а в
системе his, связанной с началом пассивного участка тра-
ектории и имеющей плоскость траектории lh своей основ-
ной плоскостью: ось h направлена по радиусу Г], а ось
I — по трансверсали в направлении полета. Отклонения
начальных данных рассмотрим такие:
I. Отклонение начального радиуса-вектора КА от но-
минального.
II. Отклонение вектора начальной скорости КА от
номинального.
III. Отклонение времени начала движения от номи-
нального.
В настоящем параграфе будут рассмотрены лишь
простейшие отклонения, т. е. отклонение только одной
из компонент г\_ или V] в системе координат his или от-
клонение только времени.
I. Варьируются начальные координаты.
1) 67/1 0 (дается отклонение по высоте). Тогда г\,
Ул и AV1 заменяются соответственно величинами
гГ = + 6Н\ Кп = У2ИсК -
Д7* = Д+’2pG/(Vn + (бЯАгО.
§ 9.5]
РАСЧЕТ ВАРЬИРОВАННЫХ ТРАЕКТОРИЙ
249
Поскольку при этом аргумент щ широты, узел -Лу и
наклонение i траектории не меняются, то по формулам
(4.7) находятся варьированные значения Xf, Уь Z®.
2) 61 ¥= 0 (дается смещение в направлении полета по
трансверсали). Вектор с компонентами — C3Yit
Ь% — С3Х\— C\Z\, L$ — CiYy—С%Х\, где Ci, С 2, C3— ком-
поненты секториальной скорости, направлен по осп I.
Найдя его модуль L = V1% 4- L% + L%, получим
варьированные координаты
XI = Хг + L^HL, У? = У, + L26HL, Z?=Zx + L36Z/L,
(5.2)
начальный радиус г“, параболическую скорость и
избыток ДУ1 начальной скорости над местной параболи-
ческой: ______ ______________
r? = /r!+6Z2, 7^ = /2pGK
ДУ? — ДУ 4______2^G 61 __Ы___ (5-3)
При этом изменяется на малые первого порядка еще и
sin е? = (ад + ад ч-ад)/^. (5.3')
3) 6s 0 (дается боковое отклонение),. Тогда
XI = X, + CJs/C, У? = У, + C26s/C,
Z? = Z± + C36s/C, 4 = /г* + 6s2, ув = ’ (5.4)
. Хотя угол 0i изменяется тоже на малые второго по-
рядка, влияние этих изменений не так существенно, как
влияние AV”.
II. Варьируется вектор начальной скорости. Его вари-
ациями будем считать вариации модуля 6 У; и направле-
ния 60; скорости в плоскости траектории и вариации бо-
ковой компоненты 6s = s скорости (поскольку для номи-
нальной траектории s = 0).
250 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
1) 671 0. Тогда AVx У 6Vlt Ух" = Vu у AV®,'
и по формулам (4.8) находятся компоненты Х°, yf, Z®
начальной скорости.
2)661 0. Тогда 6? = 6, + 66, ЭД® = - 66г Ком-
поненты скорости находятся по тем же формулам (4.8).
3) 6s ¥= 0. Тогда
XI = Хх + C^s/C, У® = Y + C26s/C,
л/------------------------------г (5.5)
Za1 = Z1 + c36s/c, 7! = |/ Vl у 6s2,
a AFf находится как меньший корень квадратного
уравнения (27п У AVj) А7° = (27п + AVJ AV, У 6$2.
III. Варьируется только момент ti начала движения
па пассивном участке, т. е. Sii ¥= 0.
Тогда координаты п компоненты скорости находятся
по сходным формулам:
Ха = Xtcos iL — ZY sin iL,
Уэ = Уь
Z3 = X± sin iL у Zj cos iL,
6k =
Xg = X3 cos 6k У У3 sin 6k,
У® = Xg sin 6k у Уэ cos 6k,
Zl = Z3;
X° =. X3 cos II У Z3 sin iL,
У® = У”,
Z" — — X® sin у Zg cos i
X3 = X2 cos i[, — Z2 sin iL,
Уэ = У1, (5.6)
Zg = Xr sin iL у Zx cos У;
(5.7)
X3 = Xg cos 6k — Y3 sin 6k,
У □ = Хэ sin 6k у Ya cos 6k,
Z“ = Zg- (5.8)
Xj =X“ cos iL У Zf sin iL,
У? = Уо, (5.9)
j Zi == ‘— XaSinibyZaCosi/..
Кроме того, угловое изменение положения Луны за
время 6ii определяется по формуле =
Таким образом, для всех отклоненных траекторий
имеем начальные координаты и скорости. По ним с по-
мощью известных формул небесной механики (Приложе-
S 9-5]
РАСЧЕТ ВАРЬИРОВАННЫХ ТРАЕКТОРИЙ
251
ние 8) находятся кеплеровы элементы Лв, iB, рв, ев, <вв
участка движения к СД и аргумент широты для точки В\.
Переходим теперь к итерационному процессу опреде-
ления точки входа отклоненной траектории в СД.
Поскольку, по точке (й2, гг). (где й2 — истинная ано-
малия, соответствующая радиусу г2) время полета У,2
численно определяется проще, чем точка (Ф2, г2) по за-
данному времени полета Tip, то итерации на получение
р2 Р * выгодно вести не по времени, а по радиусу гг-
Задавшись какой-либо величиной г2п) (равной, напри-
мер, значению г2 для номинальной траектории), находим
пв „в _(п) л(п)
по величинам г , е , г2 истинную аномалию о2 из
уравнения конических сечений и определяем время по-
лета Ti?2. Затем находим координаты Луны в момент
*(п) — | Т’С71).
*2 — I 1 1,2*
X^^-aL cos <p(n), = - aL sin <p(n), Z(Ln) = 0, (5.10)
где <p = — Yi + lt2 — угол между направлением
геоцентрического радиуса Луны в момент i2”5 и отрица-
тельным направлением оси X. Теперь находим расстоя-
ние р2п) в момент ^2П) по формуле
Р(2П) = V [х(2п) - Х(Л2 + [у(2п) - у(Л2 + [z2n) - Z(Ln)]2,
(5.И)
В которой л2 , Х2 , ^2 находятся с помощью фор-
мул (4.7) по величинам r2n), Т'/‘, iB и u2n) = й2п) + шв.
Если оказывается, что | р2п)— р* | > е, где е — требуе-
мая точность, то применяем метод хорд, даем величине
Г2П) малое приращение Дг2 (в расчетах было принято
Дг2 = 5000 км) и производим расчет для г2п+1) = г2п) Д-
+ Дг2. Получив для значения г2”+1) величину р2”+1\
находим следующее приближение:
г<"+2) (п) 1 ^Р* ~ Р( )ИГ2 + )—Г2)] п(’г + 2) „ Г (п + 2)]
Г2 ~Г2 Н-----------(р(п+1) _р(п))--» Р2 = Рг [Ъ ]•
(5.12)
Повторяем итерации до тех пор, пока они с нужной
точностью не сойдутся к предельным значениям. Обозна-
252 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
чим эти предельные величины через
В фВ хВ _____________________ xb | фВ
' 2> •* 1,2? ь2 — Ь1 “Г J- 1,2?
Р2 = Р*, X®, Yl z®, XI, Y'l, zl, гУ2, uf, ф",
где фп — к>ьТ’Г,2— Vi-
Когда итерации сошлись, то из интеграла энергий
находим входную геоцентрическую скорость К2 = К2(г2),
- „в
а из интеграла площадей — угол «2 между вектором
этой скорости и входным геоцентрическим радиусом; это
возможно благодаря тому, что перед итерациями были
найдены начальные данные уг, щ и элементы от-
клоненного конического сечения.
Далее находим величину аналога аргумента широты
2ЛВ = w,2 — а2 и по формулам (4.8) находим компонен-
ты Х2, У®, Z® скорости в точке входа в СД, а затем
определяем «ординаты и скорости в системе координат
ЬПвВз при t = it®:
Вв = (Х2 - ХЁ) cos Фв + (У2 - УЁ) sin ф®,
Лв = - (X® - ХЁ) Sin ф® + (У2 - УЁ) cos ф®, (5.13)
«.В _ фВ
Ьв — ^2?
В® = (Х2В - ХЁ) cos фв + (У® - УЁ) sin фв,
Лв = - (X® - ХЁ) sin фв + (У2 - УЁ) cos фв, (5.14)
£® =
По этим величинам в момент времени находим в
системе координат £вЛв?в значения кеплеровых элемен-
тов Sb', i', р', е', а' селеноцентрического конического
сечения, а по ним — время полета от границы СД
до поверхности Луны.
Чтобы вычислить по формулам (4.12) координаты В®,
Лл, Вл точки падения на поверхности Луны, находим
долготу узла в системе координат §вЛвВп в момент соуда-
рения и аргумент широты. Затем из (4.12) находим вели-
чину скорости соударения и угол между ее направлением
и поверхностью Луны в точке соударения.
§ а.б]
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
253
§ 9.6. Влияние разброса начальных данных
на точки входа в сферу действия Луны
Чтобы получить представление о влиянии разброса
начальных данных, рассмотрим сначала картину распо-
ложения точек входа отклоненных траекторий в СД, а
затем — картину расположения соответствующих точек
падения. В системе координат ^вг|в5в точки входа на СД
и поверхности Луны наиболее наглядным образом проеци-
руются на плоскость т)в^в, поскольку для начальных ско-
ростей, не близких к минимальным, траектории попада-
ния вблизи Луны не очень сильно отклоняются от на-
правления Земля — Луна.
Рассмотрим в качестве примера номинальную попа-
дающую траекторию с избытком начальной скорости над
местной параболической A Vi = 0,170 м/с, радиусом на-
чала пассивного участка ri=7000 км и наклонением
плоскости траектории к плоскости орбиты Луны
i = 70°.
Для рассматриваемой траектории координаты номи-
нальной точки входа в СД, вычисленные по формулам
§ 9.5, оказались 'следующими: ^„ = 62 663 км, г|в =
= —20 218 км, £„ = 4539 км (рис. 9.7). Малость величи-
ны £в по сравнению с величинами с„ и г|в объясняется
тем, что цель находится в плоскости £в = 0, а компонен-
та £в мала по сравнению с величиной входной селено-
центрической скорости (согласно геоцентрическому инте-
гралу площадей, значение |£„| не может превышать
0,2 км/с).
Лучи, выходящие из точки входа номинальной траек-
тории в СД, представляют собой геометрические места
точек входа отклоненных траекторий, получающихся при
отклонении одного из начальных параметров от номи-
нального. Величины отклонений указаны вдоль лучей
цифрами: 6Z, 6s — в км, 6Vi, 6s — в м/с, 6-0i — в
угловых минутах, 6ii — в секундах. Стрелки указывают
направления смещений точки входа, вызываемых поло-
жительными ошибками.
Видим, что направление смещений, обусловленных
ошибками 6Z, близко к направлению смещений от оши-
бок 60ь »
264 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
Угол наклона обоих направлений смещений к оси т]
близок к 70°, т. е. к углу I. Объясняется это тем, что
ошибки 6Z и 601 не вызывают изменения плоскости тра-
ектории движения к СД и практически не сказываются
на времени полета (зависящего в основном от начальной
скорости).
Обратим внимание на то, что положительное значение
ошибки 6Z вызывает смещение вверх, т. е. в ту же сторо-
Рис. 9-7. Смещение точки входа траектории на сфере действия Лупы
при отклонении одного из шести начальных данных или начального мо-
мента времени от номинальных значений. Номинальное значение AVi=
=+0,170 км/сек. Точки пунктирной кривой соответствуют траекториям,
касающимся поверхности Луны; точки штрихпунктирной кривой соот-
ветствуют траекториям, достигшим лунной поверхности в точках, отде-
ляющих невидимую с Земли часть поверхности от видимой.
§ 9.61 ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ 255
ну, что и ошибка 601 > 0, хотя, казалось бы, ошибка 51
должна вызывать в основном увеличение начального ар-
гумента широты, т. е. поворот орбиты и смещение точки
входа вниз, в противоположную сторону. Смещение точ-
ки входа вверх при 51 > 0 объясняется тем, что ошибка
51 > 0 приводит к связанному с ней линейному измене-
нию наклона вектора начальной скорости к местному
горизонту &0i = 6Z/ri>O (см. формулу (5.3')), оказыва-
ющему на смещение точки входа преобладающее влияние.
Действительно, из рис. 9.7 видно, что ошибки 51 — 50 м
и 601 « 0,0035 рад вызывают примерно одинаковые сме-
щения точки входа, а сопряженные с 51 величины 6щ
и 601 равны каждая значению 6Z/ri « 0,007 рад (с точно-
стью до малых второго порядка). Поскольку известно,
что при начальных скоростях, близких к параболиче-
ским, ^изменение 601 угла 01 вызывает поворот траекто-
рии на угол, примерно вдвое больший, т. е. на угол 2601, то
влияние 6ui компенсирует лишь половину влияния 60i:
оставшаяся половина 601/2 = 0,0035 рад как раз и вызы-
вает такое смещение, как и ошибка 601 = 12'.
Смещения точки входа, вызываемые боковыми ошиб-
ками 6s и 6s в положении и в скорости (рис. 9.7), ока-
зываются перпендикулярными плоскости траектории, по-
скольку эти ошибки практически не меняют времени
полета.
Однако при положительных ошибках знаки смещений
противоположны, потому что при 6s > 0 плоскость траек-
тории поворачивается налево относительно начального ра-
диуса-вектора, если смотреть с его конца, а при 6s > 0
она поворачивается направо, причем относительно гео-
центрической прямой, параллельной вектору начальной
скорости (если смотреть с его конца). Ошибка 6Vi не
вызывает поворота плоскости траектории, но существен-
но меняет время полета до СД. При 6Fi > 0 траектория
проходит выше поминальной и достигает сферы действия
Луны в точке левее поминальной, поскольку вследствие
уменьшения времени полета номинальная точка не ус-
певает достигнуть плоскости отклоненной траектории.
Ошибки в начальном радиусе би = 5Н[ тоже не вы-
зывают поворота плоскости траектории. Направление со-
ответствующих смещений точки входа из-за этих ошибок
256 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
близко к направлению смещений, вызываемых ошибка-
ми потому что ошибки б/li влияют главным образом
через изменение избытка ДУ1 начальной скорости над
местной параболической. Изменение избытка ДУ1 при
фиксированном значении V1 обратно (по знаку) измене-
нию местной параболической скорости в зависимости от
радиуса. Действительно, изменение параболической ско-
рости выражается формулой 6УП = —Уп по кото-
рой, например, при 6ri = 12 км и и = 7000 км получаем
6(ДУГ) = — 6УП = • 10,4~ 0,009 км/с. С другой сто-
роны, из рис. 9.7 видно, что ошибка 6У[ =9 м/с приводит
примерно к тому же смещению, что и ошибка 8Н1=8г1 —
= 12 км. Отсюда следует, что изменение начальной вы-
соты при сохранении избытка начальной скорости над
параболической сказывается весьма слабо. Этот вывод
согласуется с результатами, известными для случая плос-
ких траекторий полета [2—1957].
Наконец, ошибка не влияет па изменение формы
траектории, а вызывает поворот ее как жесткого целого
вокруг земной оси с запада па восток. Вследствие того,
что угловая скорость суточного вращения Земли поч-
ти в 30 раз превосходит угловую скорость coL обращения
Луны по орбите, при анализе влияния ошибки 8ti =& 0
можно СД Луны считать неподвижной. Тогда ясно, что на
сфере радиуса орбиты Луны при 8t\ > 0 конец траекто-
рии будет смещаться влево п вниз для долготы узла
6Ту > 0; влево и вверх — для < 0 (при (<Я>У |< 90°.), а
на СД эти смещения будут еще несколько повернуты
против часовой стрелки вследствие неортогоналыюстп
касательной плоскости к СД в поминальной точке входа
В2 к геоцентрическому радиусу этой точки (рис. 9.7 соот-
ветствует случаю 6СУ > 0).
Исследуем теперь изменение расположения лучей иа
СД (рис. 9.7) с изменением долготы узла траектории <ЛУ
при фиксированном азимуте прицеливания ао. Из рис. 8.4
следует, что при ао = const и при | <ЛУ ] < 90°наклонение
траектории i (Лу) является монотонно возрастающей
функцией. Поэтому при возрастании пары лучей 81,
601 и 8s, 8s, оставаясь ортогональными, будут повора-
§ 9.6]
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
257
чпваться против часовой стрелки. Пара лучей 6V1, 6Н1
также поворачивается против часовой стрелки, оставаясь
на примерно прежних расстояниях по оси щ от нового
положения пары лучей 61, 60ь Наконец, луч 6fi повер-
нется в том же направлении, согласно соображениям
предыдущего абзаца. При уменьшении 4ЬУ все вращения
будут происходить в обратном направлении, т. е. по ча-
совой стрелке.
При изменении азимута ао, например, при его умень-
шении, как следует из рис. 8.4, значения i при всех зна-
чениях <ГЬу увеличиваются, причем примерно на одну и
ту же величину. Соответственно будут поворачиваться
против часовой стрелки все лучи, кроме луча 6ii, направ-
ление которого зависит главным образом от 4ЪУ (при фик-
сированном значении избытка AFi начальной скорости
над местной параболической) и потому существенно не
изменится.
Рассмотрим, наконец, изменение смещений точек вхо-
да на СД в зависимости от изменения избытка AVi на-
чальной скорости над параболической.
Если рассмотренные выше изменения «о и Пу вызы-
вали в основном повороты лучей вокруг номинальной
точки входа, а на длине их сказывались незначительно,
то изменение номинального значения AFi очень сущест-
венно отражается и на длине лучей, соответствующих
фиксированным отклонениям начальных данных от но-
минальных значений. Так, длина лучей 6F1 и 67/1 быст-
ро возрастает с приближением величины AVi к мини-
мальному значению. Например, для траектории с пара-
метрами AVi=—0,084 км/с, ri = 7000 км при i«70°
(рис. 9.8) длина лучей увеличивается примерно в четыре
раза по сравнению с длиной при AFi = +0,170 км/с
(ср. рис. 9.7 и 9.8). Объясняется это существенным воз-
растанием кривизны траектории и времени полета.
Длина луча 6s с уменьшением величины AFi изменя-
ется мепее заметно, но сам луч искривляется. Объясня-
ется это тем, что при малых значениях AFi боковая при-
бавка 6s к скорости уже заметно изменяет время полета.
Длина и характер лучей 6s, 61, 60i, 6ti меняются не
так существенно из-за геометричности влияния отклоне-
ний 6s, 61, 60i и 6ii на смещение точки входа на СД.
17 в. А. Егоров, Л. И. Гусев
258 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ ГГЛ. 9
ув, тыс. км
Рис. 9.8. Смещение точки входа траектории на сфере действия Луны
при отклонении одного из шести начальных данных, или начального мо-
мента времени от номинальных значений. Номинальное значение AVi-
— —0,084 км/с.
§ 9-7]
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
259
Направление пар лучей 6s, 6s и 81, 601 не зависит от
ДУь Отклонение направления лучей 6У1, 6Я1 от направ-
ления лучей 81, 60[ возрастает соответственно увеличе-
нию влияния изменений времени полета из-за ошибок
671, 6А1.
Направление лучей 8t{ несколько поворачивается про-
тив часовой стрелки вследствие перемещения номиналь-
ной точки входа в сторону меньших значений цв и
уменьшения угла между касательной к геоцентрической
траектории и поверхностью СД в точке входа.
Заметим, что при начальных скоростях, не близких к
минимальным, линейность зависимости смещения d точки
входа от отклонений начальных данных проявляется не
только в более четкой прямолинейности лучей, но и в
пропорциональности смещений отклонениям. Например,
на рис. 9.7 нарушения прямолинейности и пропорцио-
нальности гораздо меньше тех, которые можно было бы
заметить при таком графическом исполнении чертежа.
Отметим, что при учете второстепенных факторов (гл.
10) картина лучей на СД будет лишь несущественно от-
личаться от рассмотренной: появится сдвиг номинальной
точки входа на несколько десятков километров, который
вызовет поворот картины как целого на угол порядка
тысячной доли радиана. Такого же порядка будут и уг-
ловые искажения самих лучей. Например, при учете воз-
мущений в варианте расчета, представленного на рис. 9.3,
точка входа в СД вместо координат, приведенных: в на-
чале § 9.3, будет иметь координаты £в = 62 675 км, цв =
= —20183 км и £в = 4533 км, так что ее смещение со-
ставит лишь около 40 км.
§ 9.7. Влияние разброса начальных данных
на точки падения
Рассмотрим картину точек падения на поверхности
Луны (рис. 9.9), соответствующую описанной выше (рис.
9.7) картине точек входа на СД. Проходящие через но-
минальную точку падения лучи, отвечающие отклонени-
ям х только одного из начальных данных от номиналь-
ного, проходят довольно точно по меридианам лунной
сферы, если за ее полюс принять номинальную точку па-
дения Вк. Это говорит о том, что селеноцентрическая
17*
260
НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
скорость входа в СД Луны весьма мало отклоняется от
селеноцентрической плоскости соответствующего луча
на СД.
Смещение у точки падения от номинальной вдоль луча
не всюду пропорционально отклонению соответствующего
начального параметра, а только в некотором круге (с ра-
диусом порядка 500 км). За этим кругом смещение
Рис. 9.9. Смещение точки падения на лунной поверхности при отклоне-
нии одного из шести начальных данных или начального момента времени
от номинальных значений.
растет, причем чем дальше от круга, тем быстрее, так
что у крайних точек, в которых траектории только ка-
саются поверхности Луны, производная dy/dx делается
неограниченной. Однако симметрия точек падения, отве-
чающих значениям х п — х, сохраняется вплоть до край-
них точек луча. Это значит, что отклонения входной се-
леноцентрической скорости от номинальной, если они
есть, тоже симметричны.
§ 9.П
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
261
Покажем, что эти отклонения действительно имеются
и направлены от центра Луны. Для этого заметим, что
при скоростях, не близких к минимальным, отклонения
величины У2 входной геоцентрической скорости и угла
а2 между ее направлением и геоцентрическим ради-
усом от номинальных значений с изменением геоцентри-
ческого радиуса точки входа в широком диапазоне
rL — p* <г<гь + р* сравнительно невелики. Например,
для рассматривавшейся на рис. 9.7 траектории эти от-
клонения составляют: 1бУг1<0,09 км/с и |6ссг1 < 0°,9
(рис. 4.5). Размеры пятна на СД, соответствующего край-
ним траекториям (траекториям касания), невелики по
сравнению с указанным выше диапазоном 2р*. Их при-
ближенно можно определить согласно гл. 7, считая век-
тор U2 входной селеноцентрической скорости не завися-
щим от положения точки входа на пятне. Тогда это пят-
но оказывается кругом радиуса d(?7), где (7=]U2I (рис.
4.10). Например, для рассматривавшейся на рис. 9.7
номинальной траектории U«2,6 км/с (рис. 4.5) и
d(.U) = 2340 км.
Так как d(U')/2p^ составляет менее 0,02, а изменения
величин У2- и «г внутри пятна должпы составлять долю
того же порядка от полученных выше величин 6У2, 6а2,
то при рассмотрении траекторий попадания в Луну эти-
ми изменениями можно пренебречь. Следовательно, изме-
нения направления вектора U2 должны быть связаны
главным образом с отклонением направлений геоцентри-
ческих радиусов г2 (различных точек входа па пятне) от
номинального. Нетрудно видеть, что это отклонение вы-
зывает отклонение направления вектора U2 от центра
Луны на наибольшую величину при расположении тра-
ектории в плоскости орбиты Лупы. Для этого случая
(рис. 9.10) приближенный расчет отклонения Д02 векто-
ра и2 от номинального ппоизводится по формулам
«2, U находятся из рис. 4.5):
. V„eosа
sin ф2 « у 2,
sin ср2 = р;!. cos ф2/г2, г2 — г/. -|- р; — 2r;,p;!: sin ф2,
Дф2 = d (U) sin ip2/r2, 77 cos 02 = VT, — V2 sin(<p2±a2),
VL 1
77- sin (cp2 4- а2) Дф2,
(У2,
(7-1)
- U [ и
(7-2)
262
НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
причем (7.2) получается варьированием U cos 02, U sin 02
и исключением Д(7.
Смысл обозначений виден из рис. 9.10. Результаты
расчета отклонений Д0^ и Д02 как функций избытка
ДУ1 начальной скорости над местной параболической для
Рис. 9.10. Пересчет геоцентрических параметров движения (в плоскости
лунной орбиты) в селеноцентрические параметры на сфере действии
Луны.
нулевого угла 01 возвышения вектора начальной скоро-
сти над местным горизонтом и, соответственно, для на-
клонений i = 0 и i = n представлены на рис. 9.11. Там
же показана зависимость уменьшения Д^ = р*Д0^ ра-
диуса пятна на СД от изменения направления 02. ско-
рости U2. Видим, что уменьшение радиуса пятпа на СД
может достигать сотен километров. Фактически опреде-
ленные контуры пятна на СД (на рис. 9.7 нанесены
пунктирными линиями) согласуются с графиками па
рис. 9.11. Заметим, что величина р,фф = й —Дй по суще -
ству является эффективным радиусом Луны при попа-
дании с Земли.
Определим теперь длину луча па поверхности Луны
(рис. 9.9), т. е. угловое расстояние по лучу от номиналь-
ной точки падения до точки касаппя отклоненной траек-
тории с поверхностью Луны. Если бы не было отклоне-
§ 9.7]
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
263
пия Д02 селеноцентрической входной скорости, соответ-
ствующей точке касания, от номинальной, то, как нетруд-
но убедиться, для определения искомого углового рассто-
яния имели бы формулу Фк — 90° + у, где а — угол меж-
ду выходной и входной селеноцентрическими скоростями
Рис. 9.11. Пределы изменений направления Д02 селеноцентрической ско-
рости входа и размеров Ad пятна на сфере действия вследствие откло-
нения точки входа от номинальной как функции избытка начальной ско-
рости над местной параболической.
для траектории касания (рис. 4.10). С учетом отклонения
Д02 минимальная длина луча приближенно будет выра-
жаться формулой
Фк = 90° + у - Д02. (7.3)
Для варианта, представленного на рис. 9.7, получаем
из рис. 4.10 и 9.11 для U » 2,6 км/с величины а и Д02, и
формула (7.3) дает значение Фк несколько большее 100°.
264 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
Заметим, что смещения точки встречи по лучам па
поверхности не могут охватывать Луну полностью пи
при какой начальной скорости: даже при минимальных
скоростях угол а < 120° (рис. 4.10) и, следовательно,
Фк < 150°. Значит, при любой фиксированной начальной
скорости существует на Лупе недосягаемая область,
близкая к кругу с центром в • точке, противоположной
поминальной. Для варианта, представленного на рис. 9.7,
радиус этого круга оказывается порядка 900 км.
С помощью картины на СД (рис. 9.7) можно опреде-
лить начальные данпые, номинальные для попадания в
видимую с Земли часть Луны (номинальные в том смыс-
ле, что величины предельных отклонений в начальных
данных в противоположные стороны равны). Очевидно,
для этого достаточно интерполяциями определить па лу-
чах (на сфере действия) точки, соответствующие значе-
нию £л = 0,- если вдоль соответствующих лучей на по-
верхности координата 1Л переходит через нуль. Соединив
эти точки кривой (штрихпунктирная липия на рис. 9.7),
отсечем от всего пятна область, соответствующую точкам
падения на обратную сторону Луны. Тогда середина ос-
тавшейся области, очевидно, и будет отвечать номиналь-
ной траектории для попадания в видимую часть Луны.
Эта средняя точка всегда смещена вправо и вниз от
точки В2.
Из рис. 9.7 видно, что предельно допустимые ошибки
при попадании в видимую часть Луны имеют примерно
тот же порядок, что и предельно допустимые ошибки
при попадании во всю Луну. Величины последних по
любому из начальных параметров при нулевых значе-
ниях ошибок по остальным параметрам, очевидно, можно
определить из рис. 9.7 интерполяциями по соответствую-
щему лучу на точку его пересечения с пунктирным кру-
гом. Результаты этого определения представлены в
табл. 9.1.
Изучим теперь характер зависимости отклонения
точки падения от номинальной в результате ошибки в
начальных данных. Для этого рассмотрим произвольный
луч на поверхности Луны. Пусть у — угловое смещение
точки падения по этому лучу, а х — соответствующее
отклонение (линейная комбинация ошибок), в начальных
данных. Покажем с помощью приближенной методики,
§ 9.7]
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
265
что функция у(х) в некоторой окрестности значения
х = 0 имеет точку перегиба. Для этого сравним зависи-
мости у{х) и у(х} для притягивающей и непритяги-
вающей Луны, пренебрегая отклонением направления
Т гГб л и ц а 9.1
Ошибки Предельная величина Единица измерения
6Я, 11,6 КМ
5Z 90,6 км
6s 96,4 км
9,4 м/с
бЙ! 51,4 у ГЛ. МИИ.
6s 58,4 м/с
8tT 13,9 с
Д02 входной селеноцентрической скорости от номи-
нального.
На границе СД Лупы вектор U2 входной селеноцен-
трической скорости для траектории, отклоненной от но-
минальной на расстояние d, образует со входным селено-
центрическим радиусом такой угол а(х), что
sin а (х) = (7.4)
Р*
В случае непритягивающей Луны расстояние d между
траекториями остается неизменным вплоть до поверхности
Лупы, так что получаем:
sin у = т. е. sin у — sin а (х). (7.5)
Для малых расстояний d, т. е. при малых значениях
х, имеем:
'/ = ^«(а:). (7.6)
В случае притягивающей Луны величина у будет
меньше у. Для определения этой разности найдем угол
Ф2, к между селеноцентрическими радиусами точек входа
и падения. Для движения по гиперболе в СД Луны с по-
мощью формул теории конических сечений можно полу-
266 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
чить для малых значений х:
Ф
2, К
2а (х).
Здесь £' = (JWn)2^4 (§3.4), где U = IU2\, a Щ =
= 0,383 км/с— селеноцентрическая параболическая ско-
рость на расстоянии р*. Далее имеем:
Величина в фигурных скобках для минимальных энергий
траекторий попадания в Луну составляет около полови-
ны от p*/pi.. Следовательно, вблизи номинальной траек-
тории, т. е. при малых х, притяжение Луны уменьшает
величину у примерно вдвое (для минимальных энергий).
Вдали же от номинальной траектории, т. е. при больших
х, это уменьшение исчезает.
В общем случае функция y(z) имеет конечную про-
изводную в некоторой окрестности точки z = 0 (рис. 9.12).
Функция же y(z) в окрестности точки х = 0 имеет про-
изводную, в 2 раза меньшую, чем функция y(z). Однако
имеет место равенство у(0) = у(0) = 0, и с увеличением
х кривая у(.х) асимптотически приближается к кривой
у(х). Следовательно, кривая y(z) в окрестности точки
х = 0 должна иметь точку перегиба. Вторые производные
у" (х) в этой окрестности должны быть в'есьма близки к
нулю, так как согласно § 9.3 функция d(x~) в этой ок-
рестности практически линейна.
Поскольку направление луча было выбрано произволь-
ным, то из линейности функции ytx) и одинаковости ее пре-
образования в функцию у(х) для разных лучей 1\ и 12
следует, что если величину х измерять в долях допусти-
мого (предельного), отклонения хл, то для произвольных
направлений и 12 отношение смещений у^х^/х^:
' У2^х2/х2л} при всех х\/х\а=.х2/х2л одинаково и весьма
близко к единице. При этом имеет место как раз такой
случай, когда при известных комбинациях ошибок на-
§ 9.71
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
267
данных для определения того, имеет место по-
или нет, не требуется знать старшие производ-
постоян-
получен
Рис. 9.12. Зависимость углового от-
клонения т/(х) точки падения от но-
минальной (х — отклонения одного
из начальных данных от номиналь-
ного значения).
на
постро-
прибли-
прогно-
падения
Луны
на-
чальных
падание
ные от смещения y(z), а достаточно знать лишь первую
производную у'(О').
Действительно, смещение dix) линейно и имеет про-
изводную, отличающуюся от производной у'(0)
иым множителем. Этот множитель может быть
из выражений (7.4) и
(7.7). Зная линейную ком-
бинацию ошибок х и вели-
чину уДО), можно найти
d{x). Очевидно, при d(x)<
< рэфф имеет место попада-
ние, а при d(a)> рЭфф —
промах.
Заметим, что относи-
тельная узость пучка по-
падающих траекторий и
линейность смещения точ-
ки входа в СД вдоль со-
ответствующего луча
пятне позволяют
ить следующую
женную методику
зирования точки
на поверхности
(если отклонения
чальных данных от номи-
нальных известны доста-
точно точно). Зная на СД
смещения d{, вызываемые
отклонениями параметров,
щения d(x}, найдем суммарное смещение точки входа на
7
СД в виде векторной суммы d = У, didxi. А так как
i=i
точки входа на СД практически однозначно соответствуют
точкам на поверхности Луны, то на соответствующем
криволинейном луче поверхности находим точку падения.
При этом точность вычисления точки падения определя-
ется главным образом точностью знания отклонений
начальных данных от номинальных.
вдоль i-го луча единичными
и пользуясь линейностью сме-
268 НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДОСТИЖЕНИЯ ЛУНЫ [ГЛ. 9
Заметим еще, что декартовы переменные, удобные в ка-
честве зависимых переменных в задачах наземной
стрельбы, в задаче стрельбы по Луно неудобны. Дейст-
вительно, например, графики функций' ц(х) и t,(x>) при
х хл имеют вертикальную касательную (что обусловле-
но касанием крайних траекторий к поверхности Луны),
и по близости их к предельным значениям трудно судить
о близости х к хл.
Более удобными зависимыми переменными являются,
например, функции у = Vpmm cos I' и z = 7pminSini', где
pmin — минимальное расстояние траектории от центра
Луны, a i' — наклон плоскости селеноцентрической тра-
ектории к какому-либо фиксированному лучу на поверх-
ности Лупы. В частности, при отыскании величин пре-
дельных ошибок в начальных данных, отвечающих тра-
екториям касания с поверхностью Луны, интерполяции
ио величине ошибок целесообразно делать не с функцией
У — Vpmin(z)_Ha значение рь, а с функцией у = 7ртт на
значение VpL, где рь = 1738 км — радиус Луны (это сле-
дует из особенности Луны как притягивающего центра,
см. § 4.2).
Наконец, отметим, что пучок геоцентрических траек-
торий, соответствующих малым отклонениям начальных
данных от поминальных, является монотонно (по геоцен-
трическому радиусу г) расширяющимся примерно до
границы СД, а затем, с приближением КА к Луне,— мо-
нотонно сужающимся (имеется в виду сближение с Лу-
пой на ветви, восходящей по отношению к Земле)-
Г л а и а 10
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ВТОРОСТЕПЕННЫХ ФАКТОРОВ
В гл; 9 была дана методика определения номиналь-
ных начальных данных и момента начала пассивного
участка траектории достижения Луны (без учета влияния
второстепенных факторов). Однако практически наиболее
полезна такая методика, которая позволяет хотя бы при-
ближенно учесть, все факторы, заметно сказывающиеся
па пассивном участке траектории полета к Луне. В на-
стоящей главе излагается методика приближенного учета
влияния притяжения Луны, эллиптичности ее орбиты,
сжатия Земли, а также производится оценка влияния Солн-
ца при выборе поминальной траектории попадания в Лу-
пу и поминального момента выхода на траекторию. Так"
как второстепенные факторы слабо влияют па изменение
энергии движения и формы траектории, то в настоящей
главе естественно принять за основу определения номи-
нальных начальных данных методику гл. 9 и учесть вли-
яние возмущающих факторов методом поправок. Это по-
зволит одновременно выяснить, какие из возмущающих
факторов наиболее заметно изменяют поминальные на-
чальные параметры.
§ 10.1. Анализ влияния Луны
как материального тела
Приближенность изложенной в гл. 9 методики опре-
деления оптимальных начальных данных п момента на-
чала пассивного участка поминальной (попадающей в
центр Луны) траектории обусловлена прежде всего пре-
небрежением возмущениями от Луны. Рассмотрим, как
изменит номинальные начальные данные учет влияния
Луны.
270
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ВТОРОСТЕПЕННЫХ. ФАКТОРОВ
[ГЛ. 10
Изменение энергетических затрат от учета влияния Лу-
ны несущественно, так как даже при полете в плоскости
орбиты Луны, когда влияние Луны является наиболь-
шим, минимальные скорости полета, необходимые для
достижения Луны, вследствие учета ее влияния изменя-
ются менее чем па 0,2 м/с (гл. 6).
Что касается других начальных параметров, то от
учета влияния Лупы они тоже меняются несущественно.
Если определить все начальные параметры минимальном
траектории без учета влияния Лупы, а затем вычислить
по этим начальным параметрам траекторию с учетом
влияния Луны, то эта траектория все же пройдет через
Луну, сместившись по ее поверхности на расстояние по-
рядка сотен километров при скоростях полета, близких
к минимальной скорости, и на расстояние порядка не-
скольких километров при скоростях, близких к парабо-
лической.
Отсюда следует, что кеплеровы элементы начального
участка номинальной попадающей траектории, вычислен-
ные без учета влияния Луны, несущественно отличаются
от кеплеровых элементов траектории, попадающей в
центр Луны и вычисленной с учетом ее влияния.
Необходимо, однако, заметить, что влияние Луны,
весьма слабо изменяя форму траектории (вычисленной
без учета этого влияния), заметно уменьшает время по-
лета, и встреча КА с Луной происходит в некоторой бо-
лее ранней точке ее орбиты, т. е. при меньших значе-
ниях угла Лзу.
Уменьшение времени полета обусловлено двумя при-
чинами: во-первых, ускоряющим действием Луны, кото-
рое сказывается в основном в СД, и, во-вторых, тем, что
соударение происходит не с центром Луны, а с ее по-
верхностью, т. е. в более ранний момент времени.
Уменьшение ДГуск времени полета от первой причи-
ны, определенное с помощью численного интегрирования
уравнений возмущенного движения, монотонно убывает
(рис. 10.1) с увеличением избытка ДУ1 начальной ско-
рости над местной параболической, что связано с уве-
личением селеноцентрической скорости входа в СД
Луны.
Уменьшение &ТВВ от второй причины тоже монотон-
но убывает с ростом ДУ1 (рис. 10.1), так как с увеличе-
ВЛИЯНИЕ ЛУПЫ КАК МАТЕРИАЛЬНОГО ТЕЛА
271
ниеэд входной селеноцентрической скорости увеличива-
ется и скорость встречи КА с Луной.
Суммарное уменьшение
АГ = АТуск + ATBH (1.1)
при значениях 0,1 < AVi <0,2 км/с составляет 1800—
2000 с, т. е. около 30 мин. С учетом этой поправки по-
строена штрпхпупктирная кривая 74AVi) (рис. 9.4).
Рис. 10.1. Уменьшение ДТ| времени полета на пассивном участке от
влияния различных факторов и суммарное уменьшение ДТ^ (ДУ1 —из-
быток начальной геоцентрической скорости над местной параболической).
Рассмотрим, как изменяется время выключения дви-
гателя и соответствующие начальные данные с учетом
уменьшения АГ времени полета и уменьшения долготы
<Лу центра Луны в момент встречи, вызываемых возму-
щающим действием Лупы.
Теперь угол Л>у уже пе будет совпадать с начальной
долготой узла, которую условимся обозначать Тщ. Оче-
видно, <П>у < ТЬХ, и
— ТЬ-у Д <ГЬу = (о^ДГ. (1.2)
Если учесть, что угловая скорость обращения Луны
сщ = 13,2°/сутки, то при АТ порядка 30 мин получим ве-
личину <АУ порядка 0° < 0°3, которой можно пренебречь
при точности методики порядка геоцентрического градуса.
272 УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ВТОРОСТЕПЕННЫХ ФАКТОРОВ ТРИ. 10
Очевидно, оптимальное время То полета на пассивном
участке траектории будет определяться вместо уравнения
(9.3.1) уравнением
180° -|- Хв — 2. — <т — ДсГЬу = — 2лп соц^а* (1-3)
Оно уменьшится несущественно на величину AAy/ag,
т. е. на время порядка минуты (здесь со0 — угловая ско-
рость вращения Земли).
Вследствие того, что оптимальное время полета То
практически не изменилось, а все значения функции
74AV1) уменьшились на заметную величину AT’(AVi),
оптимальное значение избытка AVi начальной скорости
над местной параболической уменьшится: из рис. 9.1
находим по штрихпунктирной кривой AVi = 0,152 км/с.
Рассмотрим, далее, графики на рис. 8.5 и 9.2. Оче-
видно, если учесть влияние Луны, то зависимость угла 2,
между меридианами оси X и точки старта от долготы
узла Л у, являющаяся чисто геометрической, не изменит-
ся, а в силу малости величины А<ГЬУ зависимость Ц<Я>У)
(рис. 8.5) тоже можно считать прежней.
В зависимости (9.2.1) Т изменится, па величину АТ1.
Но поскольку произведение сщАТ1 мало, то изменением
величины Jbr, можно пренебречь. Наконец, зависимость
(9.2.5) остается прежней.
Таким образом, зависимости, по которым находились
моменты выхода па пассивный участок траектории и со-
ответствующие начальные данные, практически не изме-
нятся. Объясняется это тем, что имеющиеся изменения
АТ1 времени полета приводят к малым изменениям угла
Л>у (АсГЬу = С0/.А71), которые могут быть компенсированы
весьма малыми изменениями момента выхода на пассив-
ный участок траектории, так как га<; > coL. Поскольку
итерационная методика определения номинальных на-
чальных данных сохраняется, то кривые на рис. 9.3 от
учета влияния Лупы качественно не изменятся. Значит,
номинальные начальные данные изменятся только за
счет опускания кривых Т (Лу) относительно неподвижной
прямой Т = Та (рис. 9.3) па сравнительно малую цели-
чину АТ1.
Заметим, что при этом изменятся и границы диапа-
зона значений AVi, соответствующего условию видимости
§ f0.2]
ВЛИЯНИЕ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ОРБИТЫ ЛУПЫ
273
КА из заданного пункта, хотя соответствующий диапазон
Tmia <Т < Гшаг не изменится. По величине То легко на-
ходятся значения 0^, <ЛУ, времена начала пассивного
участка и соответствующие величины i, Фа, и, Н\ для
различных дат старта, при которых обеспечивается гаран-
тированная видимость встречи из заданного пункта.
§ 10.2. Влияние эллиптичнадти орбиты Луны
Эксцентриситет орбиты Лупы eL ~ 0,0549 и большая
полуось aL ~ 384 400 км определяют параметр pL«
« 383 240 км, минимальное расстояние от Земли до Лу-
ны Гьт) =363 300 км и максимальное расстояние
» 405 500 км. Минимальная и максимальная угловые ско-
рости и обращения Луны приближенно на-
ходятся из интеграла площадей
г2мь (гг) = У (Hg + Hl) Pl- (2.1)
coLm) = 2,27 -IO6 рад/с, й£М) = 2,96-1(Гв рад/с.
Фактически за счет возмущающего действия Солнца
п других возмущений экстремальные значения геоцентри-
ческого расстояния гг от центра Земли до точки встречи
с Лупой и экстремальные значения угловой скорости
обращения Луны несколько иные. Например, минималь-
ное расстояние может быть меньше 360 000 км,
а максимальная угловая скорость может превышать
3 • 10~6 рад/с.
Отличия расстояния от Земли до Луны и смещения
Лупы из точки с наименьшим склонением от их средних
значений, соответствующих круговому движению, вычис-
ляются по формулам:
A/-s = 384 400 — r„, Адб = aL(t- z0), (2.2)
где I — рассматриваемый момент всемирного времени,
a io - момент прохождения Луной точки с минимальным
склонением.
При определении поминальных начальных данных
уменьшение расстояния до Лупы (при отсутствии изме-
нения направления вектора приведет к уменьшению
как времени полета, так и необходимой начальной скоро-
18 в. д, Егоров, Л. И. Гусев
274
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ВТОРОСТЕПЕННЫХ ФАКТОРОВ
тгл. io
сти, а увеличение угловой скорости обращения Луны
увеличит угловые расстояния между упрежденными точ-
ками, соответствующими попаданию в Луну в различные
сутки месяца. Уменьшение АТа времени полета за счет
эллиптичности лунной орбиты при величине геоцентри-
ческой скорости полета вблизи орбиты Луны порядка
2 км/с даст поправку порядка нескольких часов, доволь-
но стабильную по избытку AVi начальной скорости над
местной параболической. Очевидно, эта поправка АД,
наиболее заметно скажется па изменении номинального
значения избытка AVi начальной скорости над парабо-
лической. Поскольку для разных месяцев и разных диен
величины г2 отличаются на тысячи километров, то для
каждого дня будет своя поправка и соответственно
для каждого дня месяца будут свои номинальные зиаче-.
ния скорости и интервалы видимости соударения из за-
данного пункта.
Об уменьшении времени полета в зависимости от рас-
стояния до Луны дают представление средняя и нижняя
сплошные кривые на рис. 9.4, отвечающие, еоответствен-
но, расстояниям гг = 370 000 км и г2 = 360 000 км.
Заметим, что уменьшение избытка АУ] начальной
скорости над местной параболической Уп, обусловленное
только уменьшением расстояния, весьма невелико. Дей-
ствительно, отношение [У = (У[/Уп)2 зависит только от
малого отношения v начального геоцентрического ради-
уса и траектории к конечному г2 (см. формулы (7.1.3)).
Нетрудно проверить, что при уменьшении г2 па величину
порядка 20 000 км поминальное значение избытка AVi
начальной скорости над параболической уменьшается
примерно на 5 м/с. Заметим также, что эллиптичность
орбиты Луны должна приводить еще к смещению у
энергетически оптимальной точки встречи иа этой орбите
из положения <Пу = 0, соответствующего минимальному
склонению Луны, в сторону меньших радиусов г2, т. е.
для 1959—1960 гг. в сторону углов <Пь < 0. Однако из-за
отмеченной выше малости влияния малых изменении v
на необходимые энергетические затраты указанное сме-
щение пе превосходит 1,°5 [2—1965]. Поскольку эта ве-
личина мала по сравнению с суточным смещением Луны
(составляющим более 13°), то ею при анализе энергети-
ческих затрат в разные даты пуска можно пренебречь.
§ 10.3]
СЛИЯНИЕ СЖАТИЯ ЗЕМЛИ
275
§ 10.3. Влияние сжатия Земли
Сжатие Земли увеличивает силу земного притяжения
у экватора и уменьшает ее у полюсов, причем влияние
сжатия убывает с увеличением геоцентрического расстоя-
ния г пропорционально его четвертой степени.
Возмущающее ускорение, обусловленное сжатием,
в проекциях иа радиус г, трансверсаль т и нормаль w
к ним имеет соответственно компоненты [7—1957]:
(3 sin2 ср — 1),
Г
Тсж =----j-2 sin ср sin i3 sin и3, (3.1)
Жсж = — т- 2 cos 1Э sin ср,
Г
где е1 = р.й7?э(а — yj, 7?э— экваториальный радиус
Земли; а — коэффициент сжЬтия Земли; m — сод/g9, <оа —
угловая скорость суточного вращения Земли; g3 — уско-
рение силы тяжести па экваторе; — наклонение плоско-
сти траектории к плоскости экватора; иэ — аргумент ши-
роты КА относительно плоскости экватора; ср — геоцен-
трическая широта КА.
Ниже в качестве примера рассматриваются траекто-
рии, плоскости которых наклонены к экватору па угол
около 65°. При полете по таким траекториям сначала
достигаются северные широты порядка 65°, а затем —
южные до —18°, и влияние сжатия в начале траектории
частично компенсируется влиянием сжатия на осталь-
ной части траектории.
Вдоль рассматриваемых траекторий значение каждой
из компонент (3.1) переходит через нуль. Поскольку
влияние сжатия весьма быстро убывает с увеличением
расстояния от центра Земли, то наибольшая компенсация
должна иметь место для перемещений по радиусу и
трансверсали, которым соответствуют компоненты 7?сж и
?’сж, переходящие через пуль при относительно малых
значениях г. Меньшая компенсация будет иметь место
18*
276
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ’ВТОРОСТЕПЕННЫХ ФАКТОРОВ
[ГЛ. 10
для компоненты 1-Ус;к, так как опа переходит через пуль
последней, лишь при <р = 0.
Для получения представления о влиянии сжатия в
целом целесообразно оценить величину
т / t
г- (=-=>
о чо
При этом можно считать, что движение КЛ с учетом
сжатия Земли мало отличается от невозмущенного дви-
жения, т. е. от движения без учета сжатия, так что до-
пустимо пользоваться той зависимостью г(£), которая
имеет место для невозмущепного движения:
Р dt - -
1+есозй’ -j/pGp’
(3.3)
Перейдя в (3.2) с помощью (3.3) от t к аргументу
— истинной аномалии текущей точки невозмущенной
траектории, получим
^2/^2 \
J = ех j М dblr2 j г2 (3.4)
ei \&i /
Произведя интегрирование выражения, стоящего в скоб-
ках, получим
J = ТГЪ" ~ 4 + v) + 2е (sin 19 — sin ^1) +
fgP 1 L \ i
e2 1 dO-
+ — (sin 20 — sin 203 ~----------туг". (3.5)
4 v 17J (1 e cos O') v '
Для упрощения дальнейших преобразований положим
е = 1, т. е. будем считать певозмущенпую траекторию
параболой. Это несколько завысит величину J, так как с
уменьшением избытка AVj начальной скорости над мест-
ной параболической влияние сжатия должно сказывать-
ся сильнее. Получим при е=>1:
/ = A f (4^ + 2sin^ + lsin26-c)-^-, (З.В)
4 14cos^-
§ 10.3]
ВЛИЯНИЕ СЖАТИЯ ЗЕМЛИ
277
где
С = у'0’1 2 sin Oi b 4- sin З-Ор
Переходя к аргументу a = tg—и интегрируя первое
слагаемое в скобках по частям, после простых преобразо-
вании будем иметь:
8х
2ЦдР
+4tg4)+
А \ " /\ /
(3.7)
Для параболической траектории с начальной высотой
77 г ~ 1000 км формула (3.7) дает величину 1« 500 км.
8 8i 3 ei
Так как WC)JiC~, T^kC-j, а 7?сж< — — то изме-
г г ь г
пение формы траектории, обусловленное сжатием Земли,
относительно мало. Соответствующее смещение точки па
СД составляет доли градуса, а с учетом компенсации оно
может стать на порядок меньше.
Выше полагалось е — 1 только для упрощения преоб-
разований, а квадратуры берутся и вывод сохраняется
при е¥=1. Более того, и величина ИДк выражается в
квадратурах, которые берутся в элементарных функциях.
Рассмотрим теперь изменение времени полета, обус-
ловленное сжатием Земли. Очевидно, время • полета
S(r2)
Т = j* ds/V, где г2 — геоцентрический радиус точки
о
встречи, s — проходимый КА путь, а скорость полета V
определяется интегралом энергии
f , 2 1
. /sin
- + 261 ------------—2-
1/ \
♦ 2 1
sinz ф - 2.
Зз
(3.8)
в котором Гц cpi, «1 — начальные радиус, широта и оску-
лирующая большая полуось траектории.
Изменение времени полета до Луны будет в основном
происходить за счет изменения скорости движения на
больших расстояниях от Земли, где КА находится боль-
шую часть времени полета, двигаясь с асимптотически
убывающей скоростью. Учитывая малость изменения
278
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ВТОРОСТЕПЕННЫХ ФАКТОРОВ
[ГЛ. 10
формы траектории, оценим изменение ДУ времени поле-
та в предположении, что КА, достигнув расстояния т2
в возмущенном движении, проходит тот же путь $(г2),
что и в невозмущенном движении, т. е. предположим, что
Г(Г2)
6s (r2) = f 8Vdt V (r2) 67 (r2) = 0,
.0
откуда
Г(г2)
ЬТ(г2) = - J 8Vdt/V (г2).
о
Отличие скорости 67 возмущенного движения от ско-
рости невозмущенного движения, обусловленное влияни-
ем сжатия Земли, связано лишь с изменением 6/1 кон-
станты в интеграле энергии (3.8) на фиксированном рас-
стоянии г от Земли:
(.2 1 • 2 1 \
sin <Pi-4 su/ф- — \
-----5— •
г® rs J
Отсюда следует, что с течением времени величина 16 VI
монотонно растет от пуля до максимального значения
|sin2(Pi-y|
I 67 (r2) |тах « - ,
так что имеем оценку
| бу | "Софтах, где ттах = Г. (3.9)
Подставив, например, Т « 1,5 суток, п = rG + 1000 км,
г2 = 384 400 км, i3 = 65°, получим тта1« 1000 с.
Вычислим теперь изменение времени полета, исполь-
зуя снова предположение о том, что в возмущенном и
певозмущенпом движении по траектории при достижении
некоторого фиксированного расстояния г проходится один
и тот же путь $.
Получим формулу [2—1965]:
.. 2 У2ч(Л + Ч) (ЗЮ)
§ 10.3]
ВЛИЯНИЕ СЖАТИЯ ЗЕМЛИ
279
где
'Н
j ___ Г A d&
1 ~ J (1 + 2ecos f} + е2Н1 + ecos О)2’
С [(а2 C0s2 + Р2 s^n2 ®+2ар sinf} cos f>) — 3-] (1+ecos flJdO
J 0 1 9
J 1 + 2e cos О + e2
а = sin i3 sin co3, [J = sin i0 cos соэ,
2 1 \( P \3
sin2 <p1---
za — наклонение плоскости траектории к плоскости эква-
тора, соэ — долгота перигея траектории относительно эк-
ваториальной плоскости.
в
Интегралы и /2 подстановкой х == tg— приводятся
к интегралам от рациональных функций, которые легко
берутся, причем значения их убывают по модулю с ро-
стом е от единицы.
В случае е = 1, т. е. в случае параболической началь-
ной скорости, интегрированием (3.10) получается формула
[2& (а2 + ₽2 - 4) + - ₽2)sin -
- 2сф cos 20 - A tg | (1 + A tg2 4 + j tgs ±)]^, (З.И)
которая для использовавшейся выше параболической тра-
ектории дает величину Д71с;к = — 1630 с. При этом инте-
грал /2 порождает в выражении (3.11) сумму первых
трех слагаемых, которые составляют менее 0,001 от Ji,
т. е. от члена с А, и величиной /2 в поправке АТСМ мож-
но пренебречь.
При гиперболической скорости величина АТСЖ мень-
ше, чем при параболической скорости. Например, для
траектории с ДУ] = 0,130 км/с и начальной высотой
1000 км поправка АТС)К составляет приблизительно 750 с
(рис. 10.1). Характер накопления поправки вдоль пара-
280
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ВТОРОСТЕПЕННЫХ ФАКТОРОВ
[ГЛ. 10
болической траектории представлен па рис. 10.2, где абс-
циссой является аргумент и3 широты.
Отрицательность поправки &ТСЖ означает, что обус-
ловленное сжатием Земли ослабление падения скорости
в начале полета (по сравнению со случаем невозмущеп-
ного движения) не полностью компенсируется усилением
из, грид
Рис. 10.2. Обусловленное сжатием Земли уменьшение времени полета
как функция аргумента широты и (относительно плоскости лунной орби-
ты) вдоль траектории КА.
падения скорости в конце полета, когда КА попадает в
малые широты. При этом траектория под действием сжа-
тия несколько распрямляется.
§ 10.4. Влияние Солнца
Солнце возмущает движение КА относительно Земли,
так как сообщает различные ускорения КА и Земле.
Компоненты этого возмущающего ускорения можно пред-
ставить в виде (см. замечание 2 в Приложении 10)
2(1 —ц)^, — (1 — ц)ц, — (1 — |л)£ (4.1)
§ 10.4]
ВЛИЯНИЕ СОЛНЦА
281
(где (л — масса Земли), если принять за единицу массы
сумму масс Земли и Солнца, за единицу длины — рас-
стояние между центрами Земли и Солнца, а за единицу
времени — величину Р/2п, где Р — сидерический год.
Здесь предполагается, что ось § постоянно направлена
па Солнце, оси ц и £ проходят через центр Земли орто-
гонально оси | и членами порядка g2, ц2, £2 и выше мож-
но пренебречь.
Из (4.1) можно получить радиальную и трансверсаль-
ную компоненты возмущающего ускорения, например,
в плоскости |т):
р _ 2(1 — М-) — (1 М-) Л р ___— 2^
где г = +ц2. С -их помощью можно оценить влияние
Солнца па траекторию попадания в Лупу.
Из формул (4.2) следует, что радиальная компонента
максимальна при движении по прямой Земля — Солнце,
а трансверсальная — при движении по прямым, образую-
щим угол 45° или 135° с прямой Земля — Солнце.
Влияние Солнца на боковое смещение х КА будет
наибольшим в случае, когда максимальное возмущающее
ускорение действует во время всего полета ортогонально
траектории. Поэтому боковое смещение х, соответствую-
щее чисто радиальному движению под углом 45° к на-
правлению Земля— Солнце, может служить оценкой для
бокового смещения в других случаях. Для определения
модуля наибольшего смещения имеем £ = т] = гТ2/2,
так что с помощью второй из формул (4.2) получаем
уравнение
i = 3r(t)/2. (4.3)
При его интегрировании можно использовать закон
r(t), имеющий место для невозмущенного движения.
Предполагая для оценки, что невозмущеппое движение
происходит с параболической скоростью
dr/dt = V2p/7',
с учетом пулевых начальных данных получим:
х = 3r5/2/5V2p., z = Зг4/40(л. (4.4)
282
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ВТОРОСТЕПЕННЫХ ФАКТОРОВ
[ГЛ. 10
Если подставить сюда г = * цу» ~ ‘ 3’ И-1 =
= 332 000 (учитывая, что расстояние Земля — Солнце
принято за единицу), то получим х ~ 160 км. Это зна-
чит, что боковым смещением, вызываемым возмущающим
влиянием Солнца, в рассматриваемой задаче можно пре-
небречь.
Что касается радиального смещения, то, во-первых,
величина его должна быть того же порядка, что и боко-
вого смещения, а, во-вторых, в задаче о попадании в
Луну существенно главным образом изменение АГ' вре-
мени полета, обусловленное этим смещением. Оценку
величины АГ' можно получить, интегрируя уравнение
движения по радиальной траектории при максимальном
чисто радиальном возмущении от Солнца
г = - 4 + 2 (1 - И) г. (4.5)
Г
Получим интеграл энергии
;2 = (v-v) + 2(1-H)(^-O2), (4.6)
где а — большая полуось орбиты, Г[ — начальный радиус.
г2
тт ' 'г f dr
Подставив г в выражение 1 = 1 —, аналогично слу-
ri Г
чаю учета сжатия Земли получим
откуда определяем изменение АГ' времени полета, вы-
зываемое действием Солнца:
Считая для оценки начальную скорость параболической,
§ 10.41
ВЛИЯНИЕ СОЛНЦА
283
получим
г2
. Р r3/2
- АТ' = £ (г2 - Г?) Г /7dr W
(2|i)3/2 J ' 9 Д/2Ц3/2
Г1
Имея в виду, что единица времени е( = 365 • 86400 с/2л,
получаем АТ' « 170 с.
Таким образом, Солнце изменяет время полета менее
чем на 3 минуты. Если это изменение не учитывать, то
рассматриваемая приближенная методика оказывается
довольно простой и дает точность порядка градуса. Если
же попытаться учесть это изменение, то точность при-
ближенной методики заметно не возрастет, так как будет
определяться другими неучтенными факторами.
Таким образом, при точности приближенной методи-
ки порядка градуса необходимо учитывать только влия-
ние эллиптичности орбиты Луны и сжатия Земли. В силу
слабости влияния этих факторов на форму траектории
и на энергетические возможности, учет этих факторов
сводится, как и в § 10.1, к учету изменения (уменьше-
ния) времени полета на пассивном участке траектории.
Суммарное уменьшение времени полета AT’x(AVi) от уче-
та влияния притяжения Луны, конечности ее размеров
и сжатия Земли представлено *113 рис. 10.1, времена по-
лета с учетом этого уменьшения представлены на рис.
9.4 пунктирными кривыми.
Расчет номинальных начальных данных с учетом всех
второстепенных факторов проводится аналогично тому,
как он описывается в гл. 9, только теперь вводятся по-
правки на эллиптичность лунной орбиты к расстояниям
п угловым положениям Луны. Учитывается и суммарное
изменение времени полета за счет эллиптичности лунной
орбиты и других второстепенных факторов. Последнее
делается точно так же, как в § 10.1.
На рис. 10.3 приведены примеры расчета номиналь-
ного времени полета 71((Q,T) с учетом второстепенных фак-
торов для тех же дат (Л/ — 2) 4- (М + 3), что и па рис. 9.3.
Видим, что условия видимости встречи можно сделать
оптимальными, если на каждый день задавать угол воз-
вышения 01, обеспечивающий оптимальное время полета
То. Видим ташке, что с помощью приближенной методи-
284
УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ВТОРОСТЕПЕННЫХ ФАКТОРОВ
[ГЛ. 10
ки путем непосредственной проверки всегда можно вы-
яснить, обеспечивается или нет на каждую дату задан-
ного интервала дат удовлетворительная видимость встре-
чи при заданной совокупности кривых Т — Т(0У) I 0, =const.
Заметим, что для кеплерова движения Луны относи-
тельно Земли, зная соотношение масс Земли и Луны как
материальных точек, с помощью третьего закона Кеплера
по большой полуоси орбиты aL = 384 400 км и сидериче-
скому месяцу можно получить гравитационный параметр
Земли = 397 529 км3/с2. Он отличается от истинного
на величину, пропорциональную влиянию возмущений па
Рис. 10.3. Примерный вид зависимости вермени полета Т па пассивном
участке траектории от упрежденного положения Луны в окрестности
энергетически оптимальной даты М старта, в одном месяце с учетом
влияния второстепенных факторов (сравнить с рис. 9.3).
геоцентрическое движение Луны. При переходе от кен-
лерова движения к реальному следует учитывать влия-
ние изменения y,G на время полета. Однако при точности
расчета порядка 1° этим изменением (составляющим в
величине Цс около 1/400, а в величине Vy,G, входящей
в выражение для определения параболической скорости,
около 1/800) можно пренебречь.
Заметим также, что при временах полета порядка
1,5 суток расчет эфемерид с точностью порядка 1° можно
S ЮЛ]
ВЛИЯНИЕ СОЛНЦА
285
проводить без учета второстепенных факторов, если при-
нять условие, что полное время полета выбрано таким
же, как и для точного расчета. При этом разность при-
ближенного и точного аргументов широты, в начале и в
конце полета равная нулю, достигает максимума в райо-
не 15 000 25 000 с полёта, не превышая 0°,5. Возможное
отличие попадающих в Луну приближенных траекторий
в направлении, ортогональном их плоскости, оказывается
еще меньше.
Заметим, наконец, что точность изложенной прибли-
женной методики была неоднократно проверена числен-
ным интегрированием с полным учетом всех возмущений
по начальным данным, полученным с помощью прибли-
женной методики для различных дней и месяцев. Эти
проверки подтверждают, что приближенная методика
действительно обеспечивает точность углового сближения
траектории с Луной порядка 1°. При этом ее точность
по величине начальной скорости составляет около 1 м/с
и по углу возвышения вектора начальной скорости над
местным горизонтом — около 0°,1.
Глава 11
ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА К ЛУНЕ С ОРБИТЫ
СПУТНИКА ЗЕМЛИ
В данной главе рассматриваются краевые задачи точ-
ного расчета траекторий полета с орбиты ИСЗ к Луне,
т. е. в заданную точку на ее поверхности либо на пол-
ностью или частично заданную орбиту ИСЛ.
При этом сначала анализируется расчет запуска у
Земли и рассматривается решение стандартной краевой
задачи. Затем к этой задаче сводится расчет траекторий
в различных задачах полета к Луне.
§ 11.1. Особенности расчета запуска КА
к Луне с орбиты ИСЗ
Как было показано в гл. 7, затраты топлива при за-
пуске КА к Луне из заданной точки Бо земной поверх-
ности и с заданным наклонением гэ к экватору могут на-
много превосходить минимальные затраты, необходимые
для удаления от Земли на расстояние rL Лупы. Дело в
том, что при полете с минимальными затратами в момент
достижения расстояния Лупы геоцентрическая угловая
дальность полета близка к 180° и не равна необходимой,
т. е. геоцентрическому углу между направлениями па
точку старта и на Луну. Чтобы обеспечить любые необ-
ходимые дальности полета при минимальных затратах
топлива, выгодно запуск с одним активным участком за-
менить таким, запуском с двумя активными участками,
что в конце первого активного участка КА выводится на
низкую орбиту уу ИСЗ, плоскость которой содержит
упрежденную точку, а в конце второго — на принадлежа-
щую той же геоцентрической плоскости траекторию Г1,2
перелета к Луне.
§ и.и
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ЗАПУСКА
287
При этом первый активный участок (выведения иа
орбиту у7) имеет известные продолжительность £а п уг-
ловую дальность Фа, так как выполняется по жесткой
программе [4—1957]. Он вычисляется раз навсегда в си-
стеме координат, связанной с поверхностью Земли, неза-
висимо от даты старта и момента старта (внутри этой
даты). В частности, однажды вычисляется и далее явля-
ется известной географическая долгота узла орби-
ты ИСЗ па экваторе.
Любую паперед заданную долготу <Я>7 узла орбиты
ИСЗ в иевращающейся геоцентрической экваториальной
системе координат mGz3y3z3 можно реализовать выбором
момента запуска ИСЗ внутри любой даты всемирного
времени. Связь с t определяется геометрическими
соотношениями (рис. 9.1) и значением звездного времени
50 в ноль часов всемирного времени
(О(Л^ = Л7 — (£>qSq — Л7 \
Л7Г) = — Рв, sin = tg срв ctg г7, (1.1)
где 2vb — заданные географические широта и долгота
точки старта Во на поверхности Земли; aG — угловая
скорость вращения Земли; i7— наклонение к экватору
орбиты у7.
Долгота Л7 восходящего узла орбиты ИСЗ задается
такой, какой она получается из заранее решаемой точной
краевой задачи перелета к Лупе. Эта задача решается
методом последовательных приближений, в котором на-
чальное значение Лэ долготы узла траектории перелета
находится из приближенного условия прохождения пло-
скости орбиты ИСЗ через упрежденную точку встречи с
Луной методом долготной привязки (§ 9.1).'
Пусть КА пребывает па орбите у7 время tKC3, а вто-
рой активный участок начинается в некоторый момент
ta в той точке Ва орбиты ИСЗ, угловое расстояние кото-
рой от расчетного начала Bi пассивного участка равно
активной угловой дальности Фа, необходимой для разго-
на от имеющейся на орбите ИСЗ геоцентрической энер-
гии Л7 до энергии hi, близкой к минимальной, необходи-
мой для преодоления расстояния Земли — Луна. Посколь-
288
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ. 11
ку разность Ai — приближенно известна, то второй
активный участок имеет известные продолжительность
ZZ ZZ ZZ
га, длину Фа, высоту и угол 01 вектора скорости с
трансверсалью.
Моменты ta и продолжительность ta участка вы-
ведения КА на орбиту ИСЗ определяют продолжитель-
ность
^исз = ta tfb t& (1.2)
пребывания КА на орбите ИСЗ (/исз может превышать
период обращения ИСЗ).
Поскольку упрежденная точка (сближения с Лупой)
движется впереди Луны по ее орбите с угловой ско-
ростью coL, равной одному обороту в месяц, а плоскость
запуска ИСЗ поворачивается вместе с Землей с угловой
скоростью сое, равной одному обороту в сутки, то запуск
к Луне через северное полушарие возможен лишь один
раз в сутки (как и запуск с поверхности Земли при том
же азимуте). При этом разгон со спутниковой орбиты в
случае небольшой его продолжительности начинается па
восходящем*) полувитке орбиты, потому что модуль скло-
нения Луны не превышает 30°, а угловая дальность пас-
сивного полета к Луне близка к 180° (при энергетиче-
ских затратах, близких к минимальным).
Однако.в тех же сутках при том же азимуте возмо-
жен еще запуск к Луне через южное полушарие. При
этом старт должен быть примерно через полсуток после
возможного старта для запуска через северное полуша-
рие, когда вращающаяся с Землей плоскость запуска
ИСЗ снова пройдет через упрежденную точку. В этом
случае разгон к Луне с орбиты ИСЗ должен начинаться
на ее нисходящем полувитке. Таким образом, _ меняя
стартовый полувиток орбиты ИСЗ с восходящего на ни-
сходящий, можно делать два запуска к Луне каждые
сутки соответственно по северной N и южной 5 траек-
ториям.
В рассматриваемых задачах перелета к Луне в конце
его заданы либо два условия (например, две селеноцен-
*) Восходящем в том смысле, что на нем в системе тах3у323
компонента скорости z3 > 0.
§ 11.11
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ЗАПУСКА
289
трпческие координаты аСц, бсц конца траектории на лун-
ной поверхности), либо три (например, координаты асц,
бсц и время Т полета). Соответственно краевая задача
расчета начальных данных будет двух- или трехпарамет-
рической.
Для удовлетворения двух заданных условий в конце
полета необходимо подбирать два из значений начальных
данных. Эти данные в § 2.3 были названы аргументами
краевой задачи. За аргументы здесь удобно принять па-
раметры t у^и Zm, потому что смещения траектории при
изменении t происходят под достаточно большим углом
(~60°) к смещениям при изменении ta (см. рис. 9.7, 9.8,
где изменению параметров и ta соответствуют измене-
ния 6Z и 6Z).
Если требуется удовлетворить трем граничным усло-
виям у Лупы, то необходимы три аргумента для решения
краевой задачи. За них удобно принять ta и геоцент-
рическую энергию hr в конце разгона с орбиты ИСЗ.
Из решения краевой задачи находятся начальный мо-
мент Zin и вектор Vj начальной скорости пассивного
участка Г1/2 траектории перелета в предположении, что
она начинается в точке Bi на орбите ИСЗ, т. е. разгон
является импульсным. Разность W = Vi — Vy, где —
скорость ИСЗ в точке Bi, представляет собой затраты
характеристической скорости при импульсном переходе
с орбиты ИСЗ на траекторию Г11К.
Если же разгон совершается не импульспо, а за неко-
торое время Za = ti ~ t®, то затраты топлива определяются
характеристической скоростью
«г
clt, (1.3)
'о
где Р— постоянная тяга: Р = PSilG \-0G0, вес КА G
mg = Go —G(t — ta), так что [1 —1960]
h
Wa = f {gv0/[l - (v0/Py„) (Z - Zw))} dt (1.4)
ta
зависит лишь от Zu>, тяговооружеипостп у0 и удельной тя-
ги РУд. Вектор тяги Р при этом может поворачиваться в
19 В. А. Егоров, Л. II. Гусев
290
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ. 11
д,рад
Рис, 11.1. Зависимость энергетически оптимального начального угла тан-
гажа О от начальной тяговооруженности v0 КА для различных значений
удельной тяги Руд при разгоне КА с круговой орбиты ИСЗ (радиуса
~6575 км) до трех значении геоцентрической энергии /ц,
$ 11-1]
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ЗАПУСКА
291
плоскости векторов VT, V! (совпадающей с плоскостью
орбиты ИСЗ благодаря выбору момента запуска ИСЗ),
т. е. угол тангажа й (угол вектора тяги с начальной
трансверсалью) может изменяться по некоторому закону
Рис. 11.2. Зависимость энергетически оптимальной постоянной скорости
ij изменения угла тангажа КА от начальной тяговооруженности v0 при
разгоне КА (с круговой орбиты ИСЗ радиуса ~6575 км) с различными
значениями удельной тяги Руд до трех значений геоцентрической энер-
гии hi.
й(£). Если исследовать управление й = й(<) на активном
участке разгона с орбиты ИСЗ, следуя [4—1957], то ока-
зывается, что программы типа
й (i) = й0 + й (i - tj, (1.5)
где йо = й(£в), й = const, близки к оптимальным.
19*
292
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ. И
Параметры #0 и программы (1.5) управления углом
тангажа обычно определяются с помощью численной ми-
нимизации характеристической скорости. При заданной
спутниковой орбите их оптимальные значения ,&oPt и
0 opt зависят лишь от характеристик гравитационного
поля, параметров vo, Рун и от энергии hi в конце разгона.
0,2 04 0,6 0,8 7,0 7,2 7,4 v0
Рис. 11.3. Зависимость потерь AW^ характеристической скорости от на-
чальной тяговооруженности при разгоне КА (с круговой орбиты ИСЗ
радиуса ~ 6575 км) до трех значений геоцентрической энергии Л, для раз-
личных значений удельной тяги Руд-
$ 11.2]
МЕТОД ДОЛГОТНОЙ ПРИВЯЗКИ
293
Для случая разгона с круговой орбиты ИСЗ (высо-
той ~ 200 км) с целью полета к Луне на рис. 11.1 и 11.2
представлены полученные численным путем оптималь-
ные зависимости 'fl’o(vo) и 'fl’(vo) при постоянных значени-
ях параметров Р-.ц, hi. На рис. 11.3 изображена зависи-
мость потерь ДИ\ характеристической скорости у Земли
ДИ\ = Wa - W (1.6)
(при постоянных параметрах Рт /гД, т. с. превышение
затрат характеристической скорости Wa при линейной
программе по углу тангажа (1.5) над затратами W им-
пульсного разгона.
Видно, что потери скорости ДИ/Т не превышают 50 м/с
для рассматриваемого диапазона параметров.
§ 11.2. Расчет начального приближения методом
долготной привязки и пример расчета попадания
в заданную точку картинной плоскости у Луны
1. Рассматриваемые задачп расчета траекторий сбли-
жения с Луной являются существенно нелинейными.
Действительно, расстояние ря селеноцентрической траек-
тории от центра Луны, как показано в § 4.2, есть квад-
ратичная функция модуля вектора Ь прицельной даль-
ности (при Ъ <С Гь), а сам вектор Ь является линейной
вектор-функцией отклонения любого начального данного
от соответствующего начального данного осевой траек-
тории пучка (проходящей через центр Луны). Селено-
центрическую плоскость KL, ортогональную вектору оску-
лирующей в периселении скорости «на бесконечности»
[2—1964], иногда называют картинной плоскостью. Век-
тор ЬеА2 (согласно определению его и KJ.
Вместо координат Н, R картинной плоскости можно
использовать и другие, в которых траектория Г = Г11г +
+ у сближения с Луной характеризуется точкой KL, ко-
ординаты Н, R которой линейно зависят от вариаций на-
чальных данных. Пусть выбран способ счета координат
Н, R по траектории Г. Тогда каждую из двухпарамет-
рических краевых задач полета к Луне можно сводить
к линеаризованной стандартной краевой задаче реализа-
ции пары (Я, 7?) значений координат Н, 7? — пары, соот-
ветствующей выполнению двух условий, заданных у Лу-
294
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ. и
ны. Обычно сначала удается вычислить Н, R прибли-
женно, пренебрегая возмущениями от Земли и пр., а
затем на каждой итерации их приходится перевычис-
лять, уточняя.
Для рассмотрения задач дайной главы оказывается
удобным принять за Н, R селеноцентрические координа-
ты вектора с направлением радиуса-вектора ря периселе-
ния траектории и с модулем Уря в плоскости KL, прохо-
дящей через вектор ря перпендикулярно вектору ия се-
леноцентрической скорости в периселении. Орты Н°, R0
определим формулами
U° х
Н° = , jA? R° = H°XU°, (2.1)
I х 5 I
где ^°(£я) — орт направления mLmG в момент £л прохож-
дения периселения. Обозначив ря = ря/рь, положим по
определению
Н = /^(Н°.р’), R = /^(R°.p°), (2.2)
где Рл — орт направления ря.
Момент tn прохождения периселения при численном
интегрировании уравнений определяется условием
+ (2.3)
где т]3, — координаты КА в невращающейся селе-
ноцентрической герэкваториальной системе координат.
В момент t = £я в ней находятся элементы <0/, i', р', е',
и', х' и орты вектора ря при и' — и':
(рО)^ = cos со' cos Л' — sin со' sin Sb' cos г',
(рл)п = cos co' sin Sb' + sin ой cos Sb' cos г', (2.4)
(рл)‘ = sin co' sin i'.
2. Начальные значения аргументов t 1Ш, /г находятся
по элементам траектории Г1,г перелета.Эти элементы
Sl„ iQ, соа, р, е, х можно найти в предположении, что у
орбиты. г/т ИСЗ заранее известны элементы рт, ет, iT, сот,,
нт, что заданы точка Ro старта ИСЗ, номер полувитка
спутниковой орбиты, с которого производится разгон к
§ 11.2]
МЕТОД ДОЛГОТНОЙ ПРИВЯЗКИ
295
Луне, высота Hbi = Hi конца В\ активного участка раз-
гона и угол 0В1 = 61 вектора скорости в точке Вх с транс-
версалью, а также число п целых звездных суток полета
к Луне и момент tL встречи с Луной (точнее, прилета
в картинную плоскость).
Заданием точки 5q, элементов орбиты ИСЗ и номера
разгонного полувитка задаются наклонение i3 траекто-
рии _Г1,2 перелета (гэ = iT для восходящего полувитка,
i.j = — I-, для нисходящего), полушарие (северное N при
О < ia < л или южное S при — л < i3 < 0), над которым
происходит перелет, и географическая долгота <Сог узла,
ближайшего к перигею траектории Гц 2 (па экваторе
Л>г = при i3 > 0 и 1Ъг=180“+ Л(7Г) при гэ < 0). Зада-
нием С и задается связь широты <рв точки В с ее ге-
ографической долготой Хв. Действительно, по определе-
нию углов Хв, Л> г и угла [}в, введенного в § 9.1,
Хв = <Л>Г + Рв, (2.5)
так как направление Лг является направлением оЪэ, от-
несенным к географической системе координат, а угол
рв связан с срв формулой (9.1.5). Поэтому для нахожде-
ния траектории Г1,2 применимы формулы метода долгот-
ной привязки (§ 9.1).
3. Как и к рассмотренной в § 9.1 задаче, к задаче
вычисления элементов траектории Гвь перелета орбита
ИСЗ — Луна имеется парная задача: найти элементы тра-
ектории rLB возвращения от Луны к Земле на трассу с
заданным наклонением гэ и географической долготой Лг
узла. Положение L Луны при этом задается моментом
tL начала движения, заданы также высота Нв конца В
траектории возвращения и угол 0В вектора скорости с
трансверсалью *). В обеих задачах шпрота <рв конца В
траектории неизвестна, поэтому неизвестны углы ив, рв,
Ф=, введенные в § 9.1, и поэтому задачу вычисления
элементов траектории Гвв (или Гвв) приходится решать
по формулам § 9.1 итерациями по одному параметру.
При этом выгодно не повторять многократно решение со-
ответствующей задачи Ламберта из § 9.1, а включить ее
решение, т. е. счет времени перелета, в итерационный
*) Например, это угол входа в атмосферу на высоте Нв ее
верхней границы.
296
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ. 11
цикл. Этот счет выполняется по обычным формулам
(4.4.9) — (4.4.14) и его результат ТФ не обязан сразу
совпадать с результатом расчета времени перелета по
формуле (9.1.2). Поэтому целью итераций должно быть
сближение Т>, с ТФ до совпадения. За аргумент при ите-
рациях можно взять какой-либо из углов, например, Ф
или срв. В последнем случае почти сохраняется тот же
порядок счета, который использовался в задаче § 9.1.
А именно, находятся углы и, из (9.1.4), р,- из (9.1.5),
j = L, В\ Ф и Фэ из (9.1.3), из (2.5), время 7\ из (9.1.2),
гв = га + Нв, скорость VB из (4.4.1), элементы р, а, е из
(4.4.8), истинные Ив, Иг. и средние Мв, ML аномалии из
(4.4.9) — (4.4.11), время ТФ из (4.4.14). Меняя фв, добьем-
ся, чтобы стало Т, = ТФ с заданной точностью, и найдем
элементы оо3, т из (9.1.7), (9.1.6).
Заметим, что угол 6В используется здесь в формулах
(4.4.1), (4.4.8), (4.4.9) при вычислении ТФ. В частном слу-
чае 6в = 0 точка В является перигеем траектории пере-
лета, и можно использовать более простые формулы е =
= (гя — гг)/(г1 cos Ф — гп), _р = Гп(1 + е), а = р/(1 —е2)
вместо (4.4.1), (4.4.8) (где — заданный радиус перигея
5) и не использовать половину формул (4.4.9)— (4.4.11),
ПОСКОЛЬКУ б'в = Ев = Мв — 0.
Для определения находим долготу узла орбиты
ИСЗ Т.> ? = при i;) > 0 или = сЪэ — 180° при С < 0.
Тогда^уь получаем по формулам (1.1). При этом дата
старта Dtte ) = D(tL) — п. Момент начала разгона с орби-
ты ИСЗ = tL—Tq> — ta; £исз находится по формуле
(1.2); энергия траектории перелета h\ = — р.0(1 — е2)/р.
Сравнение результатов расчета траектории перелета
описанным приближенным методом с результатами точ-
ного решения уравнений движения показывает [1—
1974], что приближенный метод дает географическое по-
ложение точки В с точностью порядка 100 км и погреш-
ности: скорости 6Ив = 1,5 м/с, времени перелета 8Т
sg 5 мин, элементов 6ps£4 км, бе sg 4 -10 ‘4, бсо С 2°,2,
64Ьг2°.
Начальные значения, получаемые методом долготной
привязки, обеспечивают значение ря < 10 тыс. км для
времен перелета порядка 4,5 сут. Эта оценка уменьша-
ется пропорционально уменьшению времени полета. Та-
§ 11.3] ПОПАДАНИЕ В ЗАДАННУЮ ТОЧКУ ПОВЕРХНОСТИ
297
кой точности начальных значений аргументов оказыва-
ется вполне достаточно для устойчивой сходимости рас-
сматриваемых краевых задач.
Время счета начальных значений аргументов на
ЭВМ-222 не превышает 5 с. Время решения стандарт-
ной краевой задачи не,превышает 12 мин. В дальнейшем
стандартная краевая задача называется иногда задачей
попадания в заданную точку (Я, Я) <= KL (картинной
плоскости KL).
Замечание. Вместо удовлетворения условий стан-
дартной краевой задачи можно пытаться удовлетворить
просто заданные условия у Луны, считая две (или три)
невязки в этих условиях функциями и используя те же
аргументы t^, (или ta, hi). При этом отпадает не-
обходимость в перевычислении функций (обязательном в
стандартной краевой задаче), однако для функций-невя-
зок область сходимости может быть настолько узкой, что
начальное приближение, получаемое методом долготной
привязки, может оказаться непригодным.
§ 11.3. Расчет траектории попадания
в заданную точку лунной поверхности
Пусть точка у>. на лунной поверхности, в которую
надо попасть, задана селеноцентрическими сферическими
долготой и широтой сссц = асц, 6СЦ = 6СЦ и пусть заданы
момент tL встречи с Луной и целое число п суток, содер-
жащееся во времени полета до Луны. Здесь 6СЦ отсчиты-
вается от плоскости лунной орбиты, а оссц — °т орта
= (tL).
Укажем способ вычисления координат Я, Я в кар-
тинной плоскости по заданным координатам асц, 6СЦ че-
рез вычисление селеноцентрических элементов траекто-
рии. Сначала с помощью метода долготной привязки
(§§ 9.1 и 11.2) находим параметры hi и время
перелета Т. Для пучка траекторий с геоцентрической энер-
гией hi найдем селеноцентрические скорость U„ «на бес-
конечности», долготу аоп и широту 60П оси пучка (нап-
равления— И») по формулам § 5.2 (или § 5.4 н по гра-
фикам рис. 5.1). Проведем плоскость Пгц селеноцентри-
ческой траектории у через ось О„ пучка и точку гд(асц,
298
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ. И
бСц\ (рис. 11.4). По заданным асц, 6СЦ найдем (рис. 11.4)
Дос = иСц аоп, (3.1)
cos Ф' = sin 60п sin 6СЦ + cos 60ъ cos 6СЦ cos Да, (3.2)
0<Ф' <180°,
где Ф' — угловая дальность между направлениями — U„
Рис. 11.4. Геометрические
вия Луны в проекции
параметры движения НА внутри сферы дейст-
па единичную селеноцентрическую сферу.
(осью пучка) и радиусом-вектором pL, направленным из
центра Луны в заданную точку уЛаса, бсц).
Теперь находятся наклонение — л < i' < л, долгота
узла SI' и аргумент широты п0П оси пучка на селеноцент-
рической траектории 7 согласно Приложению 1 (пред-
варительно находится орт кинетического момента С° —
= рь X Uoo/Ipl X U00I). Получаем углы — 90° sS Л/90°,
— 180° < i' < 180° и угол — 90° < п0П < 90° по
sin поп = sin i7sin 60П.
(3.3)
Далее находятся элементы р', е' траектории 7 с по-
мощью селеноцентрических интегралов энергии и пло-
§ 11.3] ПОПАДАНИЕ В ЗАДАННУЮ ТОЧКУ ПОВЕРХНОСТИ
299
щадей с учетом зависимости (4.4.22) от угловой даль-
ности Ф' угла о/ между скоростью U и радиусом рь в
точке ус
+ 67«, sin у -----------------
, ф' , (prf/sina')2 , иг
a' = + у, р' = а’ =
(3.4)
е =
Рл -
Находим истинную аномалию в точке у-,.
cos fl' = P-/PeL~ \ 0<й'<л, (3.5)
и аргумент широты со' периселения
со' — иоп Ф' + fl'. (3.6)
Теперь находим при п = со' орт р„ по формулам (2.4).
(Заметим, что для углов Ф\<20° расчет по формулам
(3.4) —(3.6) можно исключить, положив в (3.6) Ф' + А' =
= 180°.)
Заменив в (2.4) со' на со = со'+ 90°, получим орт
скорости в периселении. По моменту tL встречи находим
орт |°(£я) = -гЖ).Тогда из (2.1), (2.2) по р°, U° ,1° (*я)
находим точку (Я, R) KL (KL— картинная плоскость).
Решение стандартной краевой задачи обеспечит по-
падание в заданную точку на лунной поверхности, если
после каждой итерации перевычислять значения Я и Я со
все более точным учетом влияния возмущений от Луны.
Такой учет можно реализовать, вычисляя Я, R по той
гиперболе у нового (на каждой итерации) пучка гипер-
бол, которая проходит через заданную точку у^.. Для
этого сначала найдем элементы Л,', i', ©', р', в', т' ги-
перболы у, оскулирующей в ближайшей к Луне точке
рп(ал, бл) траектории, вычисленной с полным учетом
возмущений. В плоскости гиперболы 7 построим ось пуч-
ка Оп, а по направлению ря оси пучка (асимптоты) и точке
300
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ, и
ук в той же плоскости построим гиперболу у пучка. По
ее элементам Л>', i', р', е\ о/, х' найдем векторы ря, U„
и орт |°(т'), а по ним — Н, R.
Вычислим сначала модуль вектора U„ и угол й»
между оскулпрующей осью Оа пучка и направлением
Рп- Так как для периселения а'= 90°, то из (4.4.21) по-
лучим
2 гт2 2^L х-'0'*’ иа
(3.7)
Далее определим (рис. 11.4) угол п0П между ря и
линией узлов St' траектории -у по формулам
а^-) = ая — <Л', cos = cos cos бя,
sin = sin cos 6n/cos in, (3.8)
Поп — Ид Й'оо.
Затем по п0П, 3V, I’ вычислим, используя формулы
(2.4), направляющие, косинусы оси пучка (орт р?п)> по
ним найдем аоп, боп, по ним — угол Ф' между осью пуч-
ка и радиусом-вектором pL по формулам (3.1), (3.2).
Далее из соотношений (3.4) — (3.6) находим элементы
р', е', а', ря, аргумент а' широты перицентрия гиперболы 7. •
Затем, предполагая, что при движении по у граница
р = р * СД пересекается в тот же момент I*, что и по у,
найдем по формулам (4.4.13), (4.4.14)
//,
мг = 0, М* = М2, т = + М* (3.9)
V
Наконец, пересчитав вектор ря в геоэкваториальную
систему координат (Приложение 2) и взяв из Астро-
номического ежегодника £°(т) = —г®(т), по формулам
(2.1), (2.2) находим новые значения Я, R. _
Замечания. 1. Если задано время t встречи с по-
верхностью Луны, то решается трехпараметрическая
краевая задача с аргументами hr и функциями
Н, R, t. Если поверхность Луны не пересекается, то наз-
начается т = £ вместо счета (3.9), а если пересекается,
§ 11.4]
ПЕРЕЛЕТ С ОРБИТЫ ИСЗ НА ОРБИТУ ИСЛ
301
то в (3.9) при счете т берется р = pL вместо р = р# и
момент t вместо i*.
2. Если орбита ут — круговая с высотой Н sg 200 км
и если 2Исз превосходит период обращения ИСЗ, то ин-
тегрировать систему (1.4.1) на участке полета по орбите
ИСЗ необходимо с учетом влияния атмосферы.
Заметим, что аргумент ta удобно отсчитывать от вре-
мени прохождения спутником либо восходящего узла
(при полете к Луие по схеме ДО, либо нисходящего узла
(при полете по схеме 5) того витка орбиты ИСЗ, с кото-
рого КА разгоняется к Луне.
§ 11.4. Расчет траекторий перелета с орбиты ИСЗ
на орбиту ИСЛ
Здесь рассматриваются два случая (в порядке воз-
растания сложности расчета):
1) случай незаданного наклонения iK орбиты ук ИСЛ
(или незадапной долготы узла);
2) случай полностью заданной орбиты ИСЛ.
В каждом из этих случаев может быть еще подслучай,
когда момент iBbIX выхода на орбиту ИСЛ не задан. Нач-
нем с этого подслучая, как с более простого.
1. Пусть в этом подслучае первого случая в невра-
щающейся системе координат совпадающей в
момент £вы1 с вращающейся заданы элементы
ех, (£>к орбиты ИСЛ и пусть геоцентрические энер-
гия hi и наклонение ц на траектории перелета Земля —
Луна как-то зафиксированы. По ней находим приближен-
но (см. § 5.2) селеноцентрические долготу и широту
(аоп, 60П) оси Оп пучка селеноцентрических гипербол
(рис. 11.4). Если угол между осями Оп и пре-
восходит 90°, то заменим па (Лх ±180°) с таким
знаком, чтобы <ГЬд, стал узлом, ближайшим к осп ОГ1.
Чтобы затраты топлива были поменьше, выгодно
плоскость селеноцентрического участка траектории пе-
релета выбрать совпадающей с плоскостью орбиты ИСЛ.
Поэтому в первом случае строим гиперболу с узлом Л/ =
= Лд,, ближайшим к оси Оа пучка. Тогда по узлу Лх
и точке О» находится однозначно аргумент широты
302
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ, И
(4.1)
оси Оа, 1иоп1 < 90° (см. рис. 11.4) с помощью формул
cos uon = cos 60п cos ДоЧ, АЛ = аоп— Л>х,
sign sin uotI = sign [(— Д- 90°) sin 60п].
Соответствующее наклонение i' плоскости гиперболы,
равное наклонению i>. орбиты ИСЛ, находим, как в
§ 5.2, по
cos боп sin ДЛ,
cos i = cos i» =----:-------,
sm “on (4.2)
sign sin V = sign sin iK = sign [(90° — IflJ ^nJ-
Исходя из соображений экономии топлива, здесь рас-
сматривается селеноцентрическая гипербола, обходящая
центр Луны в том же направлении, что и ИСЛ, и пере-
секающая заданную орбиту ИСЛ в двух точках с задан-
ным расстоянием р?. от Луны. Из этих Двух точек выде-
лим одну точку, задавши знак ее истинной аномалии
th., где
„ /Д/Рх — 1 // о\
cos Фх = -----. (4.3)
ei.
Получим щ. = {Д + СЩ. Далее находятся Н и R так, как
это делалось в § 11.3 по . точке на поверхности Луны, и
решается точная краевая задача. Так как в этой задаче
на каждой итерации находится новая оскулирующая ги-
пербола, проходящая через тот же радиус р>„ то по ней,
как и в § 11.3, строится новая ось пучка (вообще говоря,
с повой величиной U„ при той же величине fti).
Интересно найти гиперболу, касающуюся орбиты
ИСЛ, поскольку известно [4—1975], что при малых е>.
такой переход по затратам характеристической скорости
близок к оптимальному. Проще всего это сделать путем
численного решения уравнения а' = аА, выражающего
совпадение углов направлений скорости с радиусом на
эллипсе и на гиперболе в общей их точке М. Пусть —
истинная аномалия в М. Для вычисления углов и.-,. и а
по {Д находим радиальную компоненту скорости на эл-
липсе и гиперболическую скорость U в точке М:
Гц г / й 2ц г
К = V r^sin^i, E7=l/^ + —. (4.4)
т pt, V Рх
§ ИЛ]
ПЕРЕЛЕТ С ОРБИТЫ ИСЗ НА ОРБИТУ ИСЛ
303
Здесь константа U„ находится, как в § 5.2. Далее на-
ходим угловую дальность полета Ф„ по гиперболе и уг-
лы а' и а* скорости с общим радиусом р?. на гиперболе
и на эллипсе с помощью (4.4.22) и интеграла энергии:
Фоо
= + О'?,, Фоо = — Поп, а' == и-------Y — у, (4.5)
ф Vr
sin у = sin cosax — у, — в 1,11 четверти,
1/2 2^l Hl
“l = Г5-»’
Численное решение уравнения a?. = а' можно ускорить,
если найти dai/dft и da'/db дифференцированием соот-
ношений (4.4), (4.5), определяющих ai и а', и применить
метод Ньютона.
Замечание. В случае, когда долгота Л % не задана,
а задано наклонение, необходимо согласно § 5.2 задать
еще sign cos АЩ .
2. Рассмотрим теперь аналогичный подслучай (с не-
заданным моментом выхода на орбиту ИСЛ) для второго
случая, когда задана орбита ИСЛ элементами ц, Рк,
е>., а>к. В этом подслучае опять величины hi, й геоцент-
рических энергии и наклонения считаются заданными;
значит, известны будут и координаты аоп, 60П оси Ол
пучка селеноцентрических гипербол. Опять сделаем
[ ДЛх | 90°, заменив, если надо, й на — ц. Отличие от
предыдущего подслучая будет в том, что, вообще говоря,
ось Оп не лежит в заданной углами -Гб?., й. плоскости ор-
биты ИСЛ и задача перехода с гиперболы на эллипс яв-
ляется существенно пространственной. Касание гипер-
болы с эллипсом здесь невозможно, однако задача реша-
ется, как в предыдущем случае: задается точка встречи
на эллипсе, например ее истинной аномалией нахо-
дятся по_ней начальные значения прицельных парамет-
ров Н и R, как в задаче попадания в Луну, и так же ре-
шается краевая с перевычислением Н, R па каждой ите-
рации.
Заметим, что можно обеспечить счет начального и по-
следующих значений прицельных параметров, если орты
304
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С, ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ. 11
картинной плоскости KL определить иначе:
Ho = UoxC^/[U°xC^ R° = H°xU0, (4.6)
где С° = р° X U£/jpx х U£|, a U — скорость па гиперболе
в точке р = р>. встречи. -Здесь орт Н° всегда находится в
плоскости орбиты ИСЛ, а плоскость KL проходит через
Луну перпендикулярно вектору скорости па гипер-
боле в точке pi. Поэтому следует па всех итерациях
задавать Н = ]Лрх, R = 0, и с изменением номера итера-
ции перевычисляются лишь орты Н°, R0.
В рассмотренных подслучаях можно было обойтись
двухпараметричестшй краевой задачей, потому что не был
задан момент t = t встречи КА с орбитой ИСЛ. Если этот
момент задан, то начальная энергия геоцентрической тра-
ектории перелета пе может быть произвольной, а должна
вместе с £ш подбираться путем решения трехпара-
метрической краевой задачи с аргументами
и функциями Н, R, t. Вычисление величин Н, R, t произ-
водится по вектору pi так же, как и в § 11.3 по вектору
pL точки, заданной па поверхности Лупы.
После решения рассмотренных краевых задач оста-
ется свободной истинная аномалия "Ох точки пересечения
гиперболы п орбиты ИСЛ (кроме случая их касания
•а = ах). Если не задано время этого пересечения, то бу-
дет свободна также энергия 7ii(i/,) геоцентрической тра-
ектории перелета. Этой свободой можно воспользовать-
ся для минимизации модуля разности Wx = U — Ux ско-
ростей в точке пересечения. В случае круговой орбиты
ИСЛ с пезаданным наклонением ix оптимальна гипербола
в плоскости орбиты ИСЛ, имеющая минимальное значе-
ние энергии h'. В некомпланарном случае оптимизация
гораздо сложнее и рассмотрена в гл. 14—17. Их резуль-
таты применимы здесь в ’силу симметрии прямого и об-
ратного движений [5—1960].
Если ИСЛ уже существовал до встречи с КА, приле-
тающим от Земли, то необходимо при точном расчете
встречи учитывать прецессию орбиты ИСЛ под влияни-
ем возмущений от Земли, Солнца и пр., особенно при
больших эксцентриситетах (ех>0,3), временах сущест-
вования и размерах орбиты ИСЛ. Сделать это можно,
§ И.4]
ПЕРЕЛЕТ С ОРБИТЫ ИСЗ ИЛ ОРБИТУ ИСЛ
305
например, путем вычисления положений ИСЛ численным
интегрированием.
Расчет торможения КА при его переходе на орби-
ту ИСЛ целесообразно (в целях экономии времени вычи-
сления) делать отдельно от расчета траектории перелета
к Луне. При этом исходными данными являются резуль-
Рис. 11.5. Зависимость оптимального угла тангажа от начальной тяго-
вооруженности v„ при переходе КА с круговой орбиты ИСЛ (радиуса
~1800 км) на селеноцентрические гиперболы четырех энергий h' (Руд —
удельная тяга).
таты решения краевой задачи перелета к Луне и по-
стоянные тяга Р и удельная тяга Руд двигателя.
Угол fl' тангажа КА на участках торможения у Луны
допустимо принимать постоянным, так как потери харак-
теристической скорости в случае ограниченности рассмат-
риваемых тяговооруженностей диапазоном 0,1 vo 1,5
пе превышают 5 м/с (см. рис. 11.5, 11.6).
В плоской задаче перехода КА с траектории Земля —
Луна на орбиту ИСЛ краевая задача является двухпа-
раметрической. За ее аргументы можно принять время
включения двигателя £д>х (его удобно отсчитывать в об-
20 в. а. Егоров, л. и. Гусев
306
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ. И
ратную сторону от момента t = £к) и угол тангажа йд. За
функции в этой краевой задаче удобно принять модуль
радиуса-вектора р>. и угол а-,. между векторами р>. и 1\.
Заканчивать активный участок удобно в момент дости-
жения заданной селеноцентрической энергии h-f. =
= — ць(1 - ек)2/рк.
При пространственном маневре у Лупы необходимо
еще отклонять вектор Р тяги КА от плоскости селеноцент-
рической гиперболы на необходимый угол ф0 рыскания.
Рис. 11.6. Зависимость потерь AW;v характеристической скорости от на.-
чальной тяговооруженности vD при переходе КА с круговой орбиты ИСЛ
(радиуса ~ 1800 км) на селеноцентрические гиперболы четырех энергий
h' (Руд —удельная тяга).
В результате краевая задача становится трехпараметри-
ческой, с аргументами тЭд, фо 11 функциями р^, оц, I
(угол между векторами С», и С'(Л,) кинетических момепт-
тов орбиты ИСЛ и получившегося в конце торможения
селеноцентрического эллипса). Здесь предполагается, что
активный участок заканчивается при достижении селе-
ноцентрической энергии h,..
Начальные значения аргументов йд, фо можно оп-
ределить приближенно, полагая маневр импульсным.
В плоском случае найдем импульсное приращение скорости
§ И.41
ПЕРЕЛЕТ С ОРБИТЫ ИСЗ НА ОРБИТУ ИСЛ
307
Wx по известным направлениям а' и ах, модулям U tiUx
скорости на гиперболе и эллипсе соответственно в точке
рх их пересечения (или касания) по теореме косинусов
Wl = U2 + Ul - 2Ulh cos (а' - ах). (4.7)
Далее найдем по формуле Циолковского затраты Go — GK
топлива на приращение скорости Wx
In (G0/GK) = WK/Pyvg0, (4.8)
где Go, G,: — земной вес KA до и после приращения ско-
рости соответственно, go = 9,81 м/с2. Считая заданным
вес Go КА на момент начала торможения, определим
продолжительность ta активного участка
«а = (<?о - <?к) Руд/Р- (4.9)
Момент taK включения двигателя зададим соотношением
Ч = - ^/2, (4.10)
где К — время пересечения (касания) гиперболы и задан-
ной орбиты ИСЛ в точке рх.
Начальный угол тангажа Но в плоском случае опре-
деляется из рассмотрения плана скоростей U, IR, Wx в
точке пересечения гиперболы с эллипсом по формуле
Н0 = ₽ + л/2 —ах,
cos р = UKI2WK + WK/2UK - U*/2UKWK,
где 0 есть угол вектора Wx с вектором Ux, отсчитывае-
мый от Ux в сторону радиуса рх.
В пространственном случае импульсное приращение
Wx скорости вычисляется по формуле .
W2 = U2 + U% —- 2UUk (cos ах cos а' + sin sin a' cos I),
(4.12)
где а', «х — углы между радиусом-вектором рх и векто-
рами скорости в движениях по гиперболе и по эллипсу
(соответственно) в их точке пересечения рх; I — угол
между их плоскостями (рис. 11.7). Далее время t„ актив-
ного участка и момент /мхзапУска двигателя определяют-
ся прежними формулами (4.8—4.10).
Считая торможение импульсным, найдем начальные
приближения для углов тангажа Но и рыскания тр0 из
20*
308
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ, 11
соотношений
W?. = U?.-U, 0 = 90° - а,', 0х = 9О°-ах,
проецируя векторы U, U*, W, на рх, т, b (рис. 11.7):
(7 = (Z7 sin 0,(7 cos 0, ОД
Uy. = (Uy. SH10X, Uy. COS 0X COS 1, Uy. COS 0Д, sin I),
Wy. = (Wy. sin й0, Wy. cos тЭ*0 cos тр0, W, cos O0 sin ^o);
Рис. 11.7. Расположение векторов
скорости и U в плоскостях
Пд, орбиты ИСЛ и Пг селено-,
центрической гиперболы.
Uy cos 9, sin I
sin^0 = —,
10 Wy cos fl ’
A U
Uy cos 0. cos I — U cos 0
COS % = —-----™-----r-----— .
T0 Wy. cos О
□ (4.13)
Здесь угол тангажа — 90° <
< О’о < 90° отсчитывается от
трансверсальной плоскости в
точке рх, а угол рыскания
0° < "фо < 360° отсчитывает-
ся от трансверсали т гипер-
болы против часовой стрелки
в сторону кинетического мо-
мента (бинормали Ь) гипер-
болы.
§ 11.5. Приближенное вычисление
характеристических скоростей перелета
между орбитами ИСЗ и ИСЛ
с учетом эллиптичности лунной орбиты
При проектировании КА желательно уже при началь-
ной стадии работы знать величину характеристической
скорости, необходимой для выполнения задачи полета.
Простые формулы для затрат характеристической ско-
рости на полет к Луне можно получить лишь приближен-
ным методом ТСД. Однако погрешность этого метода —
§ 11.5]
УЧЕТ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЛУННОЙ ОРБИТЫ
309
порядка 100 м/с, что бывает недопустимо при проекти-
ровании. Переход к более точным методам расчета дви-
жения (ИВ, МКС, ЧИ) приводит к краевой задаче, что
значительно усложняет анализ траекторий и минимиза-
цию характеристической скорости. Поэтому имеет смысл
рассмотреть излагаемый ниже приближенный графо-
аналитический метод расчета характеристической скоро-
сти с погрешностью менее 20 м/с. Используемые в этом
методе графики получены в результате точного расчета
(методом ЧИ) опорной сетки траекторий перелета за
время 2 сут Т 10 сут между орбитами ИСЗ и ИСЛ
(и обратно). При этом учитывалось влияние сжатия Зем-
ли, притяжения Солнца и бралось реальное движение
rL(i) Луны.
Пусть орбита ИСЗ y-t^Y-t, где Ут есть множество
круговых (ет = 0) орбит ИСЗ с заданным радиусом гкр
(6371 км -С гкр sS 6700 км) и наклонением (40° «S iT
=^160°), с незаданными остальными элементами Л>т, ыт,
тт. Пусть круговая орбита ИСЛ ух е Yx имеет заданные
радиус ркр (1738 км ряр 2500 км) и наклонение ц
(10° sS ц. 170°). Пусть орбиты Yx имеют пезаданные
остальные элементы йх, он, тд.
Рассмотрим перелет с орбиты у;еУ: на орбиту ук^
е Yx (и обратно), предполагая, что маневр разгона (или
торможения) как вблизи Луны, так и вблизи Земли яв-
ляется плоским (в силу незаданности долгот узла ор-
бит ИСЗ ут и долгот узла орбит ИСЛ ух).
Суммарная характеристическая скорость, необходимая
для перелета с орбиты ИСЗ на орбиту ИСЛ (или обратно)
W Wv + W,., (5.1)
где Wf, Wx — затраты характеристической скорости на
маневр у Земли и у Луны соответственно.
При расчете опорной сетки траекторий был взят ряд
положений Луны на интервале времени, покрывающем
месяц (сентябрь 1971 г.). Для каждой траектории пере-
лета граничные условия ух е Ут и ух е Yx при заданном
полном времени перелета удовлетворялись путем реше-
ния соответствующей точной краевой задачи. В результа-
те находились затраты Wr и Wx характеристической ско-
рости на активных участках разгона и торможения.
310
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
ГГЛ. 11
Величина затрат у Земли при заданном радиусе
7*ир орбиты ИСЗ зависит не только от времени перелета
Т, но еще и от расстояния rL Луна — Земля. Каждой ве-
личине rL Астрономический ежегодник относит единст-
венную величину скорости Луны (и обратно). Поэто-
му будем рассматривать (рис. 11.8) вместо W^T, rL) за-
км, 'с
Рис. 11.8. Зависимость затрат характеристической скорости от вре-
мени Т полета и от модуля скорости Луны.
висимость W/.T, VL) (она оказалась удобнее для графо-
аналитического метода). Эта зависимость в силу обрати-
мости движения определяет необходимые характеристи-
ческие скорости не только при разгоне КА с орбиты ИСЗ
для полета к Лупе, но и при переходе на орбиту ИСЗ с
пассивного участка возвращения от Луны к Земле.
Заметим, что возвращение от Луны на орбиту ИСЗ
требует гораздо больших затрат топлива, чем возвраще-
ние на поверхность Земли с торможением в земной ат-
мосфере (при спуске вдоль заданной па Земле трассы).
А для аэродинамического торможения и спуска необхо-
димо, чтобы перигейный участок траектории возвраще-
ния располагался в достаточно плотных слоях атмосферы.
§ 11.5]
УЧЕТ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЛУННОЙ ОРБИТЫ
311
В опорных точных расчетах траекторий перелета между
Землей п Луной влияние атмосферы не учитывалось, од-
нако бралась высота перигея Нп « 50 км, потому что
при полете к Луне по этим траекториям начальные вы-
соты могут быть и большими 50 км, в то же время такие
траектории пригодны и для возвращения как на орбиту
5 4 5 о 7 Т,сдт
8WV
Рис. 11,9. Зависимость производной -т— от времени Т полета КА и
дгп
наклонения <э плоскости траектории КА к экватору.
ИСЗ, так и в атмосферу Земли. Были рассчитаны затра-
ты характеристической скорости на разгон от местной
круговой скорости до скорости в перигейной точке траек-
тории полета к Луне. Эти затраты Wv (Т) |vL=const
представлены на рис. 11.8.
Для пересчета маневра от высоты Якр = 50 км к ре-
ально осуществимым высотам были численно найдены
при различных наклонениях i3 плоскости траектории к
экватору производные (рис. 11.9) dWJdrr. функции зат-
рат по радиусу гя круговой орбиты (связь наклонений i
и 13 при различных долготах узла траектории дана в
Приложении 3, рис. П.5).
Опорные расчеты показали, что с погрешностью менее
5 м/с можно считать функцию W-ЛТ, VL) не завися-
щей от наклонения i8 к экватору и что соответствующие
функции Wv (Т) |yL=const имеют минимумы при временах
312
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ. 11
перелета 4,4 сут < Т < 4,9 сут (рис. 11.8). При этих
временах реализуются траектории с апогеями, лежащи-
ми на орбите Луны. Такие траектории можно назвать
обобщенными романовскими.
Затраты Wx характеристической скорости па маневр
КА у Луны завпсят от ряда параметров. Одпако расчеты
показали, что имеет место почти полпая симметрия тра-
екторий относительно плоскости орбиты Лупы и перпен-
дикулярной к пей плоскости, проходящей через ось mLmG.
Этого следовало ожидать [5—I960], поскольку задача
близка к ограниченной круговой задаче трех точек.
Такая симметрия позволяет при фиксированных высотах
круговых орбит Якр ИСЗ и 77'кр ИСЛ представить вели-
чину Wx как функцию лишь трех параметров: времени
перелета Т, угла i наклонения плоскости траектории
перелета к плоскости лунной орбиты и параметра % —
= Иг sin Од, где VL = KL(i) — скорость Луны, а Од. — ее
оккупирующая истинная аномалия в момент tL маневра у
Луны. Использование аргумента % дает возможность
представить зависимость W^ (%) Jr=Const в виде замкнутой
j=const
кривой. Для точек одной половины этой кривой ]OL! <90°,
для .точек другой 90° < < 270°. Замкнутость кривых
упрощает использование рассматриваемого графоаналити-
ческого метода (в частности, позволяет избежать экстра-
поляций).
Как показало сопоставление результатов точного
расчета траекторий перелета с орбиты ИСЗ к Луне и с
орбиты ИСЛ к Земле, благодаря отмеченной выше симмет-
рии движений кривые И\(%) в задаче перехода с траек-
торий Земля — Лупа па орбиту ИСЛ симметричны отно-
сительно оси ординат Wx кривым И\(%) в задаче возвра-
щения с орбиты ИСЛ к Земле (несмотря па несиммет-
ричный характер возмущений). Поэтому кривые И\(%),
вычисленные для высоты Нкр « 50 км и изображенные
на рис. 11.10, а—г, пригодны как для задачи полета с
орбиты ИСЗ к Луне, так и для задачи возвращепия с ор-
биты ИСЛ к Земле, если ввести по оси абсцисс две шка-
лы: прямую (для перелетов Земля — Луна) и обращен-
ную (для перелетов Луна — Земля). Параметром кривой
семейства с Т = const является 40° < lil < 140°. Значе-
ниям i > 0 отвечают северные траектории перелета Зем-
§ 11.5]
УЧЕТ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЛУННОЙ ОРБИТЫ
313
ля — Луна и южные — обратного перелета. Для осталь-
ных траекторий обоих перелетов i< 0.
Заметим, что величина W>. при фиксированном радиу-
се ркр орбиты ИСЛ слабо зависит от высоты 7/кр (при
Якр < rG) и совсем не зависит от наклонения i\ этой ор-
биты, если плоскость селеноцентрического движения в
течение маневра не изменяется. Это объясняется относи-
тельной узостью рассматриваемого пучка селеноцентри-
ческих траекторий: действительно, все диапазоны накло-
нений й. реализуются незначительным (по сравнению с
радиусом р* СД) смещением точки входа КА на СД.
Характер зависимости i, х) от i следует из
формулы (4.2.4), полученной методом ТСД. Действитель-
но, при фиксированных высоте Нп перигея (на
рис. 11.10, а—г Нп « 50 км) и времени перелета в (4.2.4)
будут фиксированы геоцентрическая энергия h = hi
и кинетический момент С — С\.
С другой стороны, при фиксированном радиусе орби-
биты ИСЛ (ркр='1800 км на рис. 11.10, а—г) и опти-
мальном маневре (близком к импульсному касательному)
имеем скорости Un — U>. + W>. в периселении гиперболы
и U = (2ць/р*+ U л’ — 2ць/рл)1/2 на СД, где и>, = Ури/рх,
рп = рх. Подставляя Un, получим (ИД + 6Д)2 = 2|11,(1/ря —
— 1/р*) + U2 {U2 согласно (4.2.4) зависит только от i = Д).
(При фиксированном положении Луны радиус гъ точки
входа на СД согласно предыдущему замечанию меняется
несущественно.) При этом W>. должно монотонно расти с
ростом lil от 0° до 180°, т. к. убывает U. Это и подтверж-
дают расчеты (рис. 11.10, а—г).
Рассмотрим еще приращение 6 ИД функции W,, от при-
ращения I. Варьируя последнее равенство, получим
(ИД + Ш6ИД = 6272/2. Из (4.2.4) bU2 = 2VLC sin i 6i/r2,
т. e. функция dU2/dt максимальна по модулю при i = 90°.
To же относится и к функции dWJdi: dWJdi =
= Vl,C sin i/r2(W\y Uk). Полагая согласно предположению
метода ТСД r2 — rL, Уь — У^а/гь и подставляя прибли-
женные значения гт = 6500 км, С = г1Ип(г1), И7Х = 1 км/с,
(7х = 1,7 км/с, при i = 90° и 62 = 20° получим 6ИД =
= (dWi/dilSi « 20 м/с. Точная зависимость от Т прира-
щения 6 ИД, вызванного приращением ц от 80° до 100°,
близка к найденной приближенной константе и пред-
314
ПОЛЕТ. К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ. 11
ставлена на рис. 11.11 (она мало изменяется с Т, так
как малы относительные изменения 6С/С и 6РИх/(ИД+£Д)
на рассматриваемом диапазоне изменения Г). Точные
расчеты обнаруживают и другие эффекты, которые ме-
тодом ТСД так просто не объясняются. В частности,
апсидальные значения при Т < 3,5 сут и
И^а)<: при Т > 3,5 сут (рис. 11.10, а—г). Здесь
М.я) — затраты при положениях Луны соответственно в
апогее а и перигее л ее орбиты (затраты И7?"5 отмечены
точками s (0, Wx(0)) па рис. 11.10, а—г).
Влияние эллиптичности лунной орбиты проявляется
еще в наклоне хорды петли ИЛ.(/) к оси абсцисс на
рис. 11.10, а—г. Хордой здесь удобно считать прямую р,
в,
Рис. 11.10. Зависимость затрат Wх характеристической скорости от
траектории к плоско
§ И.5]
УЧЕТ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЛУННОЙ ОРБИТЫ
315
соединяющую две точки петли с вертикальными каса-
тельными. Эти точки соответствуют положениям Луны
От, = 90°, 270°, т. е. расстоянию rL = pL от Земли. Рас-
смотрим разности
AWa = w[a) - W(^
и
ДРРр W}_ |ol--=9o° Wi. |ol_270".
Их зависимость от Т (полученная путем точных расче-
тов) является монотонно убывающей (рис. 11.11). При
этом ДИ/Р = О (т. е. хордар горизонтальна) при?1 = 5 сут,
т. е. для обобщенных романовских перелетов. При Т >
>7 сут функции ДИла(71) п ДИЛР(71) приближаются свер-
ху соответственно к константам ДТУ(™’ = -12 м/с и ДИ^т)=
параметра % ” V sin йд при различных углах наклонения плоскости
сти лунной орбиты.
316
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С ОРБИТЫ СПУТНИКА' ЗЕМЛИ
[ГЛ. 11
Рис. И-!!* Зависимость от времени Т полета характерных изменений
затрат при изменениях истинной аномалии от 0 до 180°_________кривая
от •’90’ до +90° — кривая ДТУр(Т) и наклонения 1 геоцент-
рической траектории перелета с 40° до 60° — кривая ДП^'Т).
§ f1.5]
УЧЕТ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЛУННОЙ ОРБИТЫ
317
= —7,5 м/с (рис. 11.11). Таким образом, с ростом Т нак-
лон хорды р к абсциссе асимптотически убывает.
Опорные расчеты функции затрат были проведены
для круговой орбиты ИСЛ с радиусом ркр- = 1800 км. Для
пересчета затрат на другие радиусы ркр селеноцентриче-
ских круговых орбит были найдены численно производ-
ные (рис. 11.12) дИД/дркр при различных наклонениях
°^кр
маневра у Луны от времени Т перелета и наклонения i8 траектории
перелета к экватору,
гэ плоскости траектории к экватору (переход от гэ к i при
любой долготе £1 узла дан в Приложении 3, рис. П.5).
Функции затрат WT(T, Уь), i, %) (рис. 11.8,
11.10, а—г) оказались пригодными для любых дат пере-
лета. Это проверялось точными численными расчетами
траекторий и неизменно подтверждалось (с точностью
порядка 10 м/с) как в задаче перелета с орбиты ИСЗ на
орбиту ИСЛ, так и в задачах возвращения с орбиты ИСЛ
на орбиту ИСЗ или в земную атмосферу. Поэтому гра-
фики на рис. 11.8, 11.10, а—г можно использовать в сле-
дующем графоаналитическом методе.
Пусть заданы момент 1Ъ маневра у Луны числом п
целых суток перелета Земля — Луна, радиус ркр круговой
318
ПОЛЕТ К ЛУНЕ С, ОРБИТЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
[ГЛ. И
орбиты ИСЛ, наклонение —180° < гэ < 180° к экватору и
радиус гя в перигее пассивного участка траектории пере-
лета, Тогда найдем из Ежегодника по моменту tL аргу-
мент широты щ, истинную аномалию йг., скорость VL
Луны и аргумент % = VL sin lb,. Полагая, что линия узлов
траектории относительно плоскости лунной орбиты про-
ходит через центр Луны в момент tL, находим долготу
= —180°, отсчитываемую от восходящего узла
лунной орбиты, узла, ближайшего к перигею, а ио углам
<0> и i, находим наклонение —180° < i < 180° (по простым
формулам Приложения 3).
Независимо от этого без решения краевой задачи по
простым формулам (§§ 9.1 и 11.2) методом долготной
привязки траектории находим время Т перелета. По
(71, i, %) находим затраты И\ из соответствующего гра-
фика рис. 11.10, а—г, а по (Г, VL) находим затраты W-,
пз рис. 11.8. Суммарные затраты Wz — Wx+Wr. (В слу-
чае возвращения в атмосферу берется VKT(7\ Еь)=0.)
Сравнение такого приближенного вычисления суммарных
затрат с точными показало, что погрешность J5TVS| <
15 м/с.
В качестве примера применения графоаналитического
метода приведем результаты расчета функций И7^ и Мя)
от Т в случаях положения Луны в апогее а и перигее л
ее орбиты при различных наклонениях ii (рис. 11.13).
Эти функции достигают минимальных значений 4—
4,2 км/с при временах полета Т = 4 ч- 5 сут, причем
7> для времен полета Т < 3,4 сут и Wsa) < Wlsn)
для 71>3,7 сут. Объясняется это тем, что производная функ-
ции (рис. 4.5) имеет разные знаки для дуг переле-
тов, содержащих и не содержащих апогей.
Из рис. 11.13 следует диапазон изменения характери-
стической скорости Wx, необходимой для перелета между
круговыми орбитами ИСЗ (гир = 6575 км) и ИСЛ (ркр =
= 1800 км) при изменении от 40° до 160°, времени
перелета от 2,3 до 8 сут для любых положений Луны на
ее орбите. При этом рассматриваются лишь такие орбиты
ИСЗ и ИСЛ, линии узлов которых свободны.
Вводя в Ws поправки, учитывающие гравитацион-
ные потери и потери, вызванные неоптимальностью уп-
равления вектором тяги на активном участке (рис. 11.3,
S 11.51
УЧЕТ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЛУННОЙ ОРБИТЫ
319
11.6), можно весьма экономно вычислять энергетические
затраты, необходимые для перелетов между орбитами
ИСЗ и ИСЛ.
Если маневр торможения (разгона) у Луны простран-
ственный, то ж величинам W\, определяемым с помощью
Рис. 11.13. Изменение диапазона затрат характеристической скоростж,
необходимой для перелета между Луной и Землей, с изменением време-
ни Т перелета.
рис. 11.10, а—г, необходимо добавить дополнительные
затраты Wi характеристической скорости. Вычисление
Wi можно произвести, например, опираясь на результа-
ты работы [1 —1974], а если угол 0°<Z<30°, то — с по-
мощью методов работы [2—1975].
Глава 12
ПОСАДКА НА ПОВЕРХНОСТЬ ЛУНЫ
Посадка на поверхность Луны возможная 1) непо-
средственно с траектории Земля — Луна и 2) с предва-
рительным выходом па орбиту ИСЛ.
Непосредственная посадка на поверхность Луны была
опробована при полетах советских автоматических стан-
ций «Луна-2, 5, 7, 8, 9, 13».
.Посадка с предварительным выходом па орбиту ИСЛ
была применена при полете советских автоматических
станций «Луна-16, 17, 20, 21» и др., американских аппа-
ратов типа «Сервейер» и пилотируемых кораблей, запу-
щенных по программе «Аполлон».
Траектории непосредственной посадки в зависимости
от угла наклона их к поверхности Луны подразделяются
па вертикальные (угол между касательной к селеноцент-
рической траектории и поверхностью Луны в точке при-
лунения близок к 90°) и наклонные (траектория пересе-
кает поверхность Луны под острым углом).
Траектория посадки на поверхность Луны после
предварительного выхода на орбиту ИСЛ может иметь
один активный участок или два и более активных участ-
ков, разделенных пассивным полетом в течение некото-
рого времени. При этом приближение к поверхности
Луны -также может быть вертикальным или наклонным.
В данной главе рассматривается непосредственная
вертикальная посадка в импульсной постановке, с конеч-
ной продолжительностью активного участка, а также
посадка с предварительным выходом на орбиту ИСЛ.
При последующем переходе с орбиты ИСЛ па поверх-
ность Луны рассмотрены случаи непрерывно работающе-
го двигателя и случай двух его включений, разделенных
участком пассивного полета.
§ 12.1]
ВЕРТИКАЛЬНАЯ ПОСАДКА С ТРАЕКТОРИИ
321
§ 12.1. Вертикальная посадка
непосредственно с траектории Земля — Луна
В случае непосредственной посадки абсолютно опти-
мальным по затратам характеристической скорости явля-
ется одноимпульспый маневр с направлением импульса
противоположно вектору скорости на минимальном рас-
стоянии рь от центра Луны (маневры типа IV6 — II по
классификации [4—1975]). Скорость, необходимая для
абсолютно оптимального торможения КА, зависит лишь
от начальной селеноцентрической энергии траектории,
поскольку конечная энергия h' = — 2p,L/pi. фиксирована.
Траектории посадки, близкой к вертикальной, обеспе-
чивают достижение поверхности Луны вблизи той точки
z/o, через которую проходит попадающая в центр Луны
траектория. Точки z/o вертикальной посадки на поверх-
ность Луны при фиксированных наклонении i, вектори-
альной скорости С начального участка геоцентрической
траектории движения образуют на поверхности Луны
кривую Ув, параметром вдоль которой является энергия
движения. Координаты точек кривой Ув на лунной по-
верхности полностью определяются графиком на рис. 5.1,
поскольку при вертикальном движении координаты асц,
бсц КА на СД те же что и на Луне. Область близких к
вертикальной посадке на поверхность Луны расположена
вокруг кривой Ув. При любых наклонениях i близкая
к вертикальной посадка на поверхность Луны непосред-
ственно с траектории Земля — Луна осуществима лишь
в область с селеноцентрическими координатами — 11°
С бсц =5 11°, 230° =С- асц 350° при 10 > 2 > 1 сут.
Рассмотрим вначале задачу о вертикальной непосред-
ственной посадке КА па поверхность Луны в упрощен-
ной постановке, полагая ускорение gL лунной силы тя-
жести и тягу Р постоянными.
Пусть Но — высота КА над поверхностью Луны, с мо-
мента io достижения которой начинается отсчет времени
t. Пусть торможение, начавшееся в момент io, кончается
в точности на поверхностп Луны. Пусть Uo < 0 — ско-
рость КА па высоте 7/q>0, a 7ДВ— время активного
полета КА. Определим время 7ДВ из условия, что КА,
достигнув поверхности Луны (/7 = 0), имеет скорость
21 В. А. Егоров, Л. И. Гусев
322
ПОСАДКА НА ПОВЕРХНОСТЬ ЛУНЫ
[ГЛ. 12
U = 0. Уравнения радиального движения КА возьмем
в виде:
aT = --gL, al = U, m (t) = m0 - | m | (t - t0), (1.1)
G
mn — —, m = const,
° ё0'
где m — масса KA, H — высота над лунной поверхностью,
Рис. 12.1. Зависимость селеноцентрической энергии h' от времени Т пе-
релета при различных наклонениях 1 для двух положений Луны: на ми-
нимальном (<>£ = 0°) и максимальном (вр, = 180°) расстояниях от Земли
(при фиксированном радиусе Ряпериселения траектории).
Soi ёь — ускорения силы тяжести на поверхностях Земли
и Луны соответственно, Go — вес КА на Земле. Введем,
как и в § 11.1, начальную тяговооруженность — отноше-
§ 12.1] ВЕРТИКАЛЬНАЯ ПОСАДКА С ТРАЕКТОРИИ 323
ние тяги КА к его начальному весу:
v0 = P/Go, Р = g0Pya | т | = const, (1.2)
|7П I — V0G0/g0Pyn, и
dU________^о^УД „ dH _ Tr ,. q.
dt py«/vo-(f-fo) gL’ dt ( }
Интегрирование уравнений (1.3) с начальными данными
Рис. 12.2. Зависимость высоты Ндв включения двигателя от начальной
тяговооруженности v0 (для различных значений удельной тяги Руд) при
мягкой посадке на поверхность Луны.
Ж(0)=Я0>О, ?7(t0)= Uo<0 на интервале времени от
начала t0 до конца (to + tRB) торможения позволяет полу-
чить систему двух трансцендентных уравнений относи-
тельно to и t3B:
(t + t
Ho + Uo (t0 + tnB)- gL +
“Ь ^о-^уд [(РудЛ'о ^дв) (1 ^дв^о/^уд) “Ь ^дп] — 0, (1-1)
Uо gL («о “Ь ^дв) So^Ya (1 уд) ~ О-
21*
324
ПОСАДКА НА ПОВЕРХНОСТЬ ЛУНЫ
[ГЛ. 12
Эти уравнения определяют зависимость времени /дв
работы двигателя от Но-, Uo, Vo, Рт to- По определению
высота начала торможения
t2
ЯДВ = ЯО + UotQ-gL-°. (1.5)
При фиксированной селеноцентрической энергии h' пуч-
ка гипербол скорость Uo па высоте Но (над поверхностью
Рис. 12.3. Зависимость времени <дп работы двигателя от начальной тяго-
вооружеппости v0 при посадке с различными значениями удельной
ТЯГИ Руд.
р = pL Луны) не зависит от ее направления и находится
из интеграла энергии
М₽Эг.+'‘У- (W)
§ 12.1]
ВЕРТИКАЛЬНАЯ ПОСАДКА С ТРАЕКТОРИИ
325
Поскольку К для попадающих в центр Луны траекто-
рий зависит лишь от времени полета Т, скорости Лу-
ны и геоцентрического наклонения i в перигее, то здесь
можно определять h' из двухпараметрического семейства
зависимостей (рис. 12.1), полученных в результате реше-
ния краевой задачи попадания в центр Луны по методу
§ 11.3. Параметрами являются положение L Луны на ее
Рис. 12.4. Зависимость затрат характеристической скорости на тор-
можение (Ттри посадке на Луну) . от начальной тяговооруженности v0
для двигателей различной удельной тяги Руд»
орбите и наклонение г. На рис. 12.1 даны лишь крайние
кривые h'{T) для положений Луны в перигее (/,„), в апо-
гее (La) н для наклонений i = 40°, 140°.
Исследование соотношений (1.4) позволяет получить
все характеристики траекторий вертикальной посадки на
поверхность Луны, в частности, зависимости 7/л„ и
затрат характеристической скорости W от v0 (0,1 v0
1,5) для постоянных значений Руд. На рис. 12.2—12.4
326
ПОСАДКА НА ПОВЕРХНОСТЬ ЛУНЫ
[ГЛ. 12
РУд = 300, 350, 400, 500 с, J7o = 255O м/с, что соответст-
вует траектории перелета от Земли к Луне за время
Т ~ 3,3 сут. Энергетические затраты W, естественно,
убывают с ростом vq. Они превышают затраты импульс-
ного торможения при v0 > 2 на 250—350 м/с (рис. 12.4).
Высота Hq включения двигателя и время £дв его работы
увеличиваются с убыванием vq и могут достигать 500 <-
<-600 км и 400 <-500 с соответственно при vo = 0,5
(рис. 12.2, 12.3).
§ 12.2. Выбор номинального направления тяги
с учетом невертикальности приближения
к поверхности Луны
Известно [2—1967], что при реализации вертикальной
посадки ориентация тормозного импульса против расчет-
ного вектора скорости приводит к значительной оста-
Рис. 12.5. Параметры
траектории посадки с
траектории Земля— Лу-
на непосредственно на
лунную поверхность.
точной боковой скорости даже при
относительно малых отклонениях
прицельной дальности от нуля. При
этом величина боковой скорости,
естественно, пропорциональна вели-
чине d прицельной дальности. На-
пример, при d — 100 км получим
из интеграла площадей угол ско-
рости С7Л с радиусом pL в точке Л
(рис. 12.5) на Луне:
ал » sin ал =
Ul = 2pL/pL + Ul. (2.1)
Погрешность направления импульса
6ал = Фл — ал, где угловая даль-
ность Фл находится по формуле
(4.4.21):
tg Фл/2 = sin ал/(А: cos ал),
к = их/ил.
1 — к , d
1 + * PL
Так как tg Фл/2 ® Фл/2, то 6ал =
70' при d = 200 км и IL = 1,3 км/с. Соот-
ветствующая боковая скорость Us = (7лбал « 54 м/с.
§ 12-2]
ВЫБОР НОМИНАЛЬНОГО НАПРАВЛЕНИЯ ТЯГИ
327
Направить тормозной импульс против- вектора ско-
рости в момент прилунения с учетом членов первого и
второго порядка малости по прицельной дальности d
позволяет недавно открытое [1—1965] свойство пучка
гиперболических траекторий с одинаковым вектором U„
скорости «на бесконечности». Это свойство заключается
в том, что направление —рвна центр Луны, определя-
емое на некотором подходящим образом выбранном рас-
стоянии рв, общем для всех траекторий пучка, совпадает
с направлением вектора скорости в точке торможения с
точностью порядка d2. Направляя тягу по направлению
рв, можно уменьшить остаточную боковую скорость во
много раз.
Приведем вывод указанного выше свойства. Пусть
рв — расстояние до точки В, в которой направление —рв
на центр Луны совпадает с направлением вектора ско-
рости ил в точке Л прилунения КА, ал — угол между
Uл и рл, 0Л = 90° — ал, Ф — угловая дальность между рв
и рл (рис. 12.5). Тогда условие рв = U° дает ал = Ф,
и формула (4.4.1) дает после тождественных преобразо-
ваний
Рв = 2рлрв (1 + cos ал), (2.2)
где 2рл = С^рь/Цв.
Разложением cos ал в ряд получим
/ ' а2 \
Рв = р ^1 £- + .. . ^ = р' + Ар (алц (2.3)
Р' = 4рлрь = 2{7лрв/fxL. (2.4)
Основной член р' пе зависит от ал(й). Член
Ар = Рв — р'<0, | Др | < р7ал/4 = Дрм. (2.5)
Прзи малых d получим с помощью интеграла площадей
, I U \ 2
(2-6'
Видим, что с точностью до величин порядка d2 расстоя-
ние рв постоянно для всего пучка траекторий и равно р'.
328
ПОСАДКА НА ПОВЕРХНОСТЬ ЛУНЫ
[ГЛ. 12
Пусть направление вектора рв с модулем р' использу-
ется как направление вектора импульса торможения на
фактической траектории. Оценим ошибки итого метода
торможения. Расстояние р' отличается от нужного pi па
величину бр, и от этого появляется ошибка в угле ориен-
тации
fg авбр Uxd бр U^d
оу ж------« ту----- ж------8p = k,dop. (2.7)
г Рв ^вРвРв U' (р')л н 1 1 к '
где
f/в = + 2^/рв « U' =' + 2цв/р',
k^UJU'p'2.
При р' = 8350 км, и„ = 1,3 км/с получим .
к ~ 0,33 • 10-4 угл. мин/км2.
Методическую ошибку в определении ориентации импуль-
са оценим, положив бр = — Дрм:
р2 U3 ц
6V<6VM«*12if’d3 = W3, км^~^-, (2.8)
8 у является величиной третьего порядка относительно d.
Для Дум = 5' получим d = 1100 км (при прежних кон-
стантах). При d — 200 км методическая ошибка 6"[м<2";
8U5 = Un8y<3 см/с, т. е. пренебрежимо мала, и боко-
вая скорость определяется другими ошибками. Например,
если расстояние р' определяется бортовым прибором с
ошибкой бр, постоянной для всего пучка, то возникаю-
щая от этого ошибка в направлении тяги
8y — k[d8p (2.9)
линейна по отклонению d. Если d = 200 км, бр = 100 км,
то 8у = 0,66 угл. мин.
Если величина U„ изменилась по сравнению с рас-
четной на 8Um, то согласно (2.4) ошибка в определе-
нии р'
бр' = 2p'Uco8U^/Ul (2.10)
Соответствующая ошибка бу по формуле (2.9) определи-
§ 12.3]
ПОСАДКА С ОРБИТЫ ИСЛ
329
ется при бр = бр'. Если б£7«, = 10 м/с, то бр' = 27 км,
при этом бу = 0,2 угл. мин для с? = 200 км.
Проведенный анализ ошибок показывает, что данный
метод ориентации дает возможность при довольно грубых
траекторных измерениях существенно уменьшить оста-
точную боковую скорость перед прилунением.
§ 12.3. Посадка на лунную поверхность
с орбиты ИСЛ
Доставка КА на поверхность Луны с предваритель-
ным выходом на орбиту ИСЛ технически сложнее, чем
непосредственная, так как'связана с неоднократным за-
пуском двигателя и требует измерения и коррекции ор-
биты ИСЛ. Однако преимуществом такого вида посадки
является возможность достижения любой точки лунной
поверхности.
Задача расчета выведения КА на орбиту ИСЛ рас-
смотрена в гл. 11, поэтому здесь рассматривается задача
расчета спуска КА с орбиты ИСЛ, заданной параметра-
ми ц, р>., е>_, со>„ щ, и мягкой посадки КА в заданную
точку на поверхности Луны, т. е. посадки с нулевой
скоростью 17 л. — 0.
Поскольку траектория спуска существенно зависит от
параметров орбиты ИСЛ и характеристик КА — началь-
ной тяговооруженности vq и удельной тяги Руд, то воз-
никает задача такого выбора элементов орбиты ИСЛ и
параметров v0 и Руя, при которых посадка на поверхность
Лупы требует минимальных затрат топлива. Далее, поэ-
тому, предполагаем, что орбита ИСЛ является круго-
вой и что спуск происходит в плоскости орбиты ИСЛ.
Тогда из шести элементов орбиты ИСЛ существенным
является лишь рк, т. е. высота Н>. орбиты КА над по-
верхностью Луны. Решение задачи оптимизации перелета
с круговой орбиты спутника планеты на. поверхность
планеты (без атмосферы) известно [4—1975]: наимень-
шие характеристические скорости требуются при двух-
пмпульсном переходе (тпца II — II по классификации
[4 1975]) по эллипсу, апоцеитрий которого касается ор-
биты ИСЛ, а перицентрий касается планеты. Оба им-
пульса — тормозные н апсидальные.
330
ПОСАДКА НА ПОВЕРХНОСТЬ ЛУПЫ
[ГЛ. 12
В случае активных участков конечной тяги с неза-
данными параметрами ее программы желательно так
выбрать эти параметры, чтобы необходимые характери-
стические скорости минимизировать. Если тяговооружен-
ность vo невелика, то два активных участка могут слить-
ся в один. Поэтому ниже рассмотрим две схемы спуска.
Первая схема спуска в принципе обратна схеме выведе-
ния КА ‘на круговую орбиту: в ней предполагается, что
активный участок один и тяга на нем постоянна. Поэтому
по первой схеме двигатель КА работает непрерывно от
момента включения на орбите ИСЛ до момента посадки
КА на поверхность Луны. По аналогии с расчетом выве-
дения предполагается, что, начиная с заданной высоты
Нв, происходит чисто вертикальный полет КА к поверх-
ности Луны с таким расчетом, чтобы к моменту прилу-
нения скорость КА была равна нулю (С7л = 0).
На участке движения КА от высоты Н>. до высоты Нв
пусть задана линейная программа угла тангажа (как и в
§ 11.1)
Ф = •О’о + fKi — i0), (3.1)
где t0 — момент включения двигателя. Время и угловая
дальность спуска не фиксированы. На участке спуска с
высоты НБ до поверхности Луны угол тяги Р с местным
горизонтом равен 90°. Для численного анализа задачи
используем упрощенную систему уравнений движения
в невращающейся селеноцентрической системе коорди-
нат
= —dT~U’ т - тео — — fo)- (3-2)
Сведем расчет траектории посадки КА с круговой
орбиты-ИСЛ на поверхность Луны к решению двухпара-
метрической краевой задачи. Ее аргументами будем счи-
тать высоту Ну. круговой орбиты ИСЛ и начальный угол
тангажа Фо, а функциями — угол ав (на высоте Нв) меж-
ду радиусом-вектором рв и вектором скорости UB и мо-
дуль скорости ил на поверхности Луны.
Необходимые .значения функций известны: ав = 180°,
Сл = 0. Параметр Ф в краевой задаче сначала будем
фиксировать. Затем, меняя Ф в диапазоне 0,01 град/с^
§ 12.3]
ПОСАДКА С ОРБИТЫ ИСЛ
331
О 0,1 град/с, будем определять оптимальные его
значения минимизацией затрат W характеристической
скорости. Результаты расчета угловой дальности Ф(уо),
высоты #(v0) и затрат IKCvg) для траекторий спуска КА
по рассматриваемой схеме представлены на рис. 12.6
Рис. 12.6. Угловая дальность Ф, высота круговой орбиты ИСЛ и за-
траты W характеристической скорости при посадке на Луну с орбиты
ИСЛ при непрерывном активном участке, как функции начальной тяго-
вооруженности у0 (Руд—удельная тяга),
при различных величинах v0 и постоянных значениях
Руд. Оказалось, что оптимальное значение параметра
программы угла тангажа й несущественно зависит от из-
менений vo и Руд в рассмотренных (рис. 12.6) диапазонах
исследуемых параметров. Он может быть принят постоян-
ным, равным —0,026 град/с.
Из рис. 12.6 видно, что при спуске и посадке на по-
верхность Луны КА с непрерывно работающим двига-
телем энергетические затраты минимальны для орбит
332
ПОСАДКА НА ПОВЕРХНОСТЬ ЛУНЫ
[ГЛ. 12
с высотой 7Д ~ 5060 км. Оптимальная начальная тяго-
вооружепность меняется слабо: 0,25 < т0 С 0,35 для всех
рассмотренных значений Ру11, а минимальная характери-
стическая скорость 2140 м/с W «S 2150 м/с. При умень-
шении тяговооруженпости v0 от 1 до ~0,35 величина
Рис. 12.7. Зависимость затрат W характеристической скорости при по-
садке на Луну с двумя активными участками от угловой дальности
между ними Ф.
W(vo) уменьшается за счет снижения потерь на некол-
линеарность тяги и скорости. Дальнейшее уменьшение
тяговооруженпости КА (vo < 0,25) ведет к росту W из-за
увеличения времени работы двигателя и соответствую-
щего возрастания потерь на гравитацию. Оптимальные
значения высоты круговой орбиты Н>. и начальной тяго-
вооруженности Vq слабо зависят от выбора параметров
§ 12.3]
ПОСАДКА С ОРБИТЫ ИСЛ
333
программы угла тангажа вблизи оптимальных их зна-
чений.
Вторая схема спуска КА па поверхность Луны значи-
тельно ближе к абсолютно оптимальной и состоит из
двух активных участков. Считается, чтя в результате
первого запуска двигателя КА переходит с круговой ор-
биты па эллиптическую, пересекающую поверхность
Лупы в точке посадки. При втором запуске двигателя
к моменту достижения поверхности Луны происходит
полное гашение скорости КА (СА, = О). Для этой схемы
посадки в предположении импульсного характера изме-
нения скорости на обоих активных участках имеем им-
пульсы:
ту(1) _ -I f йк___-ж /_______Р-ьРь (1 — cos Ф)_
Х ~ И Рь + /Уь V (Рь + Ях) (Рь-Рьсозф + Ях)’
w(2) = 1 Л,.[ ^(^-РьСозФГ
х V И L Рь(Рь + ях) (Рь-РьС08ф + Ях) ИМ’
где Ф — угловая дальность пассивного полета.
Результаты расчета функций (Ф) и Wy2) (Ф) пред-
ставлены па рис. 12.7’ для круговых орбит с высотой
200 км и 50 км. - Видно, что с ростом угловой дальности
спуска сумма Д- W^2) приближается к пределу,
который является абсолютным минимумом характеристи-
ческой скорости и реализуется гомановским перелетом
с круговой орбиты высотой Ну, на поверхность Луны (с
угловой дальностью Ф = 180°).
При спуске с угловыми дальностями от 30° до 180°
величина необходимой характеристической скорости для
Ну. = 50 км составляет ~ 1750 м/с, что. примерно на
400 м/с меньше min W при посадке с непрерывно рабо-
vo
тающим двигателем.
При угловых дальностях Ф < 30° необходимые затра-
ты характеристической скорости начинают существенно
расти, и преимущества второй схемы перед первой шс-
чезают.
РАЗДЕЛ III
ТРАЕКТОРИИ ВОЗВРАЩЕНИЯ
ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
Определение. Траекторией возвращения (ТБ) от
Луны к Земле называется траектория сближения, начи-
нающаяся в СД Луны и кончающаяся на геоцентриче-
ском расстоянии тк < < rL, где — заданная константа.
(Таким образом, ТВ может быть частью облетной траек-
тории, кончающейся у Земли.)
В этом разделе рассматриваются ТВ, реализуемые с
помощью одного активного участка (или одного импульса
скорости у Луны). ТВ могут начинаться на поверхности
Луны или на орбите ИСЛ. При этом активный участок
перехода на ТВ может быть плоской или пространствен-
ной кривой. Соответственно маневр перехода называют
плоским или пространственным. Кончаться ТВ могут
переходом на траекторию торможения и спуска в земной
атмосфере (с посадкой на поверхность Земли) или актив-
ным участком перехода на орбиту ИСЗ. Время полета
по ТВ, как и время полета по траектории полета к Луне,
может быть весьма велико. Однако здесь будем считать,
что оно не превосходит 10 суток.
Литература, посвященная ТВ от Луны к Земле, рас-
смотрена во введении. В данном разделе рассматриваются
не все вопросы, затронутые в этой литературе, а лишь
основные.
Г л а в а 13
НОМИНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ВОЗВРАЩЕНИЯ
ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
Рассмотрим траекторную задачу возвращения КА к
Земле с поверхности Луны или орбиты ИСЛ на земную
поверхность или на некоторую орбиту ИСЗ. Условия по-
садки на поверхность Земли определяются параметрами
ГЛ. 131
ВОЗВРАЩЕНИЕ ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
335
траектории входа КА в атмосферу Земли. Поскольку
скорость КА на ТВ у Земли приближается к параболи-
ческой, то на параметры входа в атмосферу Земли накла-
дываются жесткие ограничения, обусловленные, с одной
стороны, допустимыми максимальными перегрузками при
аэродинамическом торможении, а с другой стороны —
условием захвата КА атмосферой Земли. Если, например,
перегрузки на траектории спуска должны лежать в пре-
делах, допустимых для человека, и условие захвата КА
атмосферой Земли должно гарантироваться, то высота
условного перигея траектории возвращения должна на-
ходиться в коридоре шириной около 50 км [1—1970].
Здесь условным (фиктивным) перигеем назван согласно
Чепмену [4—1959] перигей траектории, вычисленной без
учета влияния атмосферы [1 —1970].
Возвращение на Землю автоматических КА допустимо
с большими максимальными перегрузками, чем пилоти-
руемых КА. Для них коридор входа шире на несколько
десятков километров. Но эта ширина коридора мала по
сравнению с радиусом Земли; поэтому требования к
точности реализации таких траекторий высоки.
Задаче возвращения КА от Луны на орбиту ИСЗ
здесь уделяется меньшее внимание, чем задаче возвра-
щения в атмосферу Земли, так как для перехода с ТВ
на орбиту ИСЗ требуются значительные дополнительные
энергетические затраты.
В задаче возвращения с поверхности Луны несомнен-
ный интерес представляют траектории, начинающиеся из
области возможных точек вертикальной посадки. Интерес-
ны также траектории, начинающиеся вертикально, или
почти вертикально по отношению к лунной поверхности,
так как для них наиболее проста система управления
взлетом.
В задаче возвращения с орбиты ИСЛ интересны тра-
ектории, для которых минимальны затраты характеристи-
ческой скорости па маневр перехода (с орбиты ИСЛ
на ТВ).
Анализ ТВ проводится здесь с помощью методов
ТСД и скоростных многообразий, позволяющих получить
хорошее качественное и приближенное количественное
представление о влиянии различных факторов и об основ-
ных характеристиках ТВ,
336
ВОЗВРАЩЕНИЕ ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
[ГЛ. 13
§ 13.1. Общая характеристика множества
траекторий возрращения
Определению ТВ, данному в начале раздела III, удов-
летворяют все траектории Луна — Земля, для которых
постоянная h интеграла Якоби в ограниченной круговой
задаче трех тел Земля — Лупа — КА достаточно превы-
шает ее первое критическое значение h-, (§ 3.1). Траек-
тории Луна — Земля со значениями h, лишь незначи-
тельно превышающими hi, совершают много оборотов
вокруг Луны, а затеАг вокруг Земли. Они чрезвычайно
чувствительны к разбросу начальных данных, соответ-
ствующие времена полета весьма велики (§§ 3.1, 3.2),
и в дальнейшем эти траектории рассматриваться не бу-
дут. Ограничимся изучением ТВ с временами полета от
1 до 10 суток.
В рамках метода игнорирования возмущений (ИВ)
заменим ТВ двумя дугами конических сечений: се-
леноцентрической с фокусом в центре Луны и геоцент-
рической с фокусом в центре Земли. Геоцентрическая
скорость V3 (назовем се выходной) на СД Луны
равна сумме селеноцентрической выходной скорости
U3 и геоцентрической скорости VL движения Лупы.
Орбиту Лупы приближенно будем считать круговой, по-
этому скорость VL Луны будет постоянной (около 1 км/с).
Пусть множество ТВ ограничено совокупностью тра-
екторий, имеющих заданный предельный радиус гт ус-
ловного перигея. Для случая возвращения на поверх-
ность Земли гт. равен радиусу верхней границы земной
атмосферы, для случая возвращения па орбиту ИСЗ
равен апогейному расстоянию спутника. Очевидно, гт <
< аь, где aL = 384 400 км — большая,полуось лунной ор-
биты. Например, в первом случае имеем гу1аь ~ 1/60.
Для граничных. траекторий из интеграла площадей
имеем
ПЛг = Г7И?, (1.1)
где V-, — скорость в перигее гл = граничной траекто-
рии; г3 и V3r — соответственно геоцентрические радиус и
трансверсальная скорость в момент /3 выхода КА из СД
Луны.
§ 13.1]
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МНОЖЕСТВА ТВ -
337
Из интеграла энергии имеем
хт2 2^G _ у2 2^G
v3 —— V,,
r3 V
откуда
V7 = Vn-/l + ₽3-v,, р3 = УЖ, vr = rv/r3. (1.2)
Здесь Уп = Уп(гД = 72p.c/rT — геоцентрическая параболи-
ческая скорость на расстоянии г,.
Из (1.1) и (1.2) имеем
y3T = v3yn/l + p3-vr.- (1.3)
Поскольку Гз ~ Д/., то для случая возвращения на по-
верхность Земли vr'« rT/«L « 1/60. Величина [З3 не может
заметно превышать Иь/Уп, так как из-за роста энерге-
тических затрат не выгодно выходить из СД с селено-
центрической скоростью U2, компенсирующей с большим
избытком скорость VL движения Лупы. Для задачи воз-
вращения на Землю [Зз ~ 10-2.
Следовательно, в силу (1.3) для граничных ТВ,
трансверсальная выходная скорость Узт ~ Ут, где Ут =
= угУп(г7), т. е. составляет около 0,2 км/с. Для осталь-
ных ТВ
Узт < V*
(1.4)
независимо от начальных данных, причем равенство (1.4),
очевидно, может иметь место для всех ТВ с ^3 = vr, как
следует пз (1.3). Для ТВ, проходящей чербз центр Зем-
ли, У3т = 0. Нетрудно установить, что селеноцентриче-
ская выходная скорость U3^U3^Vl— Ух~ 0,8 км/с
ибо иначе'будем иметь проекцию (U3 Vl)t > Ут вопреки
(1.4). Величина U* более чем вдвое превосходит селе-
ноцентрическую параболическую скорость на границе
р = р* СД Луны (составляющую менее 0,4 км/с). Поэто-
му дуга ТВ в СД Луны неизбежно является гиперболой.
Будем предполагать, что р.т^р* на ТВ. В этом слу-
чае направления селеноцентрических выходных скоро-
стей U3 и радиуса р3 на СД весьма близки. Оценим угол
а3 между этими направлениями. Из селеноцентрических
интегралов энергии и площадей в точках л периселения
22 в. А. Егоров, Л. И. Гусев
38
ВОЗВРАЩЕНИЕ ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
[ГЛ. 13
и 3 выхода из СД
„ 2[Хг , 2[хг
U*n--^ = Ul------± ря£7л sin ая = р3[73 sin а3, (1.5)
гЛ гз
где sinctn = 1, рз = р*, имеем
(1.6)
где ур = р„/рз, ря = (Z7„/Z7n)2, Z7n = Z7B(p«) = У2р.1,/ря.
Здесь Ua — селеноцентрическая параболическая скорость
на расстоянии ря. Так как а3 (1.6) монотонно убывает с
ростом ря, то наибольшим аз будет при наименьшем [}я,
т. е. при наименьшем U3 = U3. Если взять при этом-ря
порядка радиуса Луны, то получим ур <1/30, т. е. а3 <6°.
Рассмотрим теперь геометрически выходные селено-
центрические скорости U3 постоянного модуля и всевоз-
можных направлений в момент t3 выхода КА из СД в
невращающейся системе координат uvw, ось и которой
в момент i3 направлена от Луны к Земле, ось и — против
скорости Луны Vb(f3), а ось w дополняет оси и, v до
правой тройки. Совокупность концов рассматриваемых
селеноцентрических скоростей U3 образует сферу радиу-
са Ui,— £73-сферу (штриховая линия на рис. 13.1). Соот-
ветствующая совокупность выходных геоцентрических
скоростей V3 своими концами образует сферу радиуса
V3— У3-сферу (сплошная линия на рис. 13.1).
Выделим на У3-сфере области направлений U3, удов-
летворяющие условию (1.4). Очевидно, эти области вы-
резаются из У3-сферы прямым круговым цилиндром ра-
диуса Vx, ось которого совпадает с осью и. Точнее, они
вырезаются однополостным гиперболоидом вращения с
осью к (§ 4.4). Но при малых г, этот гиперболоид близок
к нашему цилиндру. Заметим, что точки области (1.4) па
У3-сфере, для которых У3м < 0, соответствуют удалению
КА от Земли. Действительно, соответствующие точки на
?73-сфере расположены в ее левой верхней части
(рис. 13.1, 13.2). Так как селеноцентрический радиус р3
составляет малый угол а3 со скоростью U3 (а3<6°), то
точки выхода расположены тоже в верхней части левой
половины СД (рис. 13.3). Если в точку р3 на СД про-
§ 13.1]
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МНОЖЕСТВА ТВ
339
вести геоцентрический радиус г3, то его угол с соответ-
ствующим вектором V3, удовлетворяющим условию (1.4),
будет острым, так как угол радиуса г3 с направлением
(—и0) мал (рис. 13.1, 13.2).
Итак, при У3и < 0 имеем У3г > 0, аналогично при
V3u > 0 имеем У3г < 0. Поэтому движения с V3u < 0
Рис. 13.1. Многообразия селеноцент-
рических (U,) и геоцентрических
(V,) скоростей на выходе из сферы
действия Луны. Случай - двусвязной
области возвращения (узт < Ут ) на
z Уа-сфере.
Рис. 13.2. Многообразия селе-
ноцентрических иа и геоцент-
рических V, скоростей на вы-
ходе из сферы действия Лу-
ны. Случай односвязной обла-
сти возвращения (v3x < V*)
на Vs-сфере.
можно назвать восходящими, а движения с У3и >0 —
нисходящими (по отношению к Земле).
Если скорость У3 < Уп(г3), то КА через некоторое
время после выхода из СД Луны достигает апогея гео-
центрической орбиты и начинает двигаться к Земле.
В противном случае КА удаляется в бесконечность, и
траектория не является ТВ. При этом
1,56 км/с = Уп(гд — р* ) > Уп(гь + р#) = 1,32 км/с. (1.7)
Если U3>U3 ^Уг.~Ут, то две области У3-сферы,
определяемые условием (1.4), не соединяются и имеют
22*
340
ВОЗВРАЩЕНИЕ ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
[ГЛ. 13
слегка овальную форму (рис. 13.1). При U3-+U** Ш3>
> Uз ) они вытягиваются п сближаются. При U3 — U3'
они соприкасаются в точке (0, V*, 0) (рис. 13.4). Если
/Л*<?7з<^Г, - (1.8)
то область (1.4) па сфере является ужо одпосвязпоп
(рис. 13.2). Опа весьма вытянута при значениях U3,
Рис. 13.3. Геометрические характеристики условий возвращения от Луны,
к Земле в пространстве селеноцентрических координат gTiS в окрестности
сферы действия Луны.
приближающихся к правой границе интервала (1.8), и
стягивается в точку с приближением С73 к левой его гра-
нице. При U3 = U3 ТВ отсутствуют (в действительно-
сти они существуют для больших значений гт).
Очевидно, в случае U3^>U3 "Граничные ТВ охваты-
вают геоцентрическую сферу г = г7 со всех сторон. При
уменьшении U3 от значения U3 па сфере г = г7 появ-
ляется запретная зона (со стороны, примерно противопо-
ложной направлению скорости Луны), симметричная
относительно плоскости лунной орбиты. Ее уже не охва-
тывают ТВ. С убыванием U3 до U3 эта зона распрост-
раняется на всю сферу г = гт.
Так как для односвязноп области (1.4) U3<ZU3 л;
а; 1,2 км/с< Уп(г3Рз), то все точки этой области
действительно соответствуют ТВ.
Восходящим ТВ соответствуют большие времена по-
лета и больший разброс географических координат точки
§ 13.2]
НОМИНАЛЬНЫЕ ТВ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ
341
приземлении, чем нисходящим ТВ (при одинаковых ва-
риациях начальных данных). Поэтому нисходящие ТВ
представляют больший интерес.
§ 13.2. Номинальные траектории возвращения
различных видов
1. Будем классифицировать поминальные ТВ КА от
Лупы к Земле по виду начальных условий (старт с по-
верхности Луны или с орбиты ЫСЛ), по схеме возвра-
щения (северной N или южной S), по наклонению i плос-
кости ТВ к плоскости лунной орбиты и по времени по-
лета Т: при Т < Г— нисходящая траектория, при Т >
> Т' — восходящая траектория, где Т' — время полета
по траектории, иа которой максимальное удаление КА от
Земли достигается в момент пересечения СД и равно
расстоянию до Луны.
При анализе скоростных многообразий (С3- и У3-сфе-
ры на рис. 13.1, 13.2) орбита Лупы считалась круговой
(Уь = const), и исследовалась эволюция ТВ в зависимо-
сти от модуля и направления вектора селеноцентрической
скорости U3 КА па СД. В действительности картина мно-
гообразий скоростей на СД выглядит сложней ввиду
эллиптичности лунной орбиты. Чтобы выяснить влияние
эллиптичности лунной орбиты на характеристики ТВ,
было проведено изучение скоростных многообразий с. по-
мощью расчетов на ЭВМ этих траекторий методом, изло-
женным в § 5.4, и. 3.
Расчеты проводились при различных положениях
Луны для одного базового месяца (сентябрь 1971 г.).
Они подтвердили свойства симметрии [5—1960] траекто-
рий ограниченной задачи трех тел: каждая простран-
ственная ТВ почти симметрична относительно плос-
кости орбиты Лупы другой ТВ во вращающихся коор-
динатах 7nbgDT]u^„. А относительно плоскости, перпенди-
кулярной плоскости орбиты Луны п проходящей через
прямую Земля — Лупа, траектория полета от Луны к
Земле почти симметрична траектории полета от Земли
к Луне (несимметрия невелика вследствие малости экс-
центриситета лунной орбиты).
Множество ТВ с вертикальным началом (осей пучков)
пересекает границу СД Луны в точках, селеноцентриче-
342
ВОЗВРАЩЕНИЕ ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
[ГЛ. 13
ские координаты аоп, боп, которых определяются рис. 5.1.
Эти зависимости остаются в силе как средние и для
случаев невертикального старта с поверхности Луны и
старта с орбиты ИСЛ, большая полуось которой не пре-
вышает 2500 км. Отличие истинного направления оси
пучка от направления оси пучка, определяемого
координатами аОп, бои, не превышает 5°.
Северной схеме (А) возвращения соответствуют на
рис. 5.1 положительные селеноцентрические широты боп,
а южной (5) — отрицательные.
Селеноцентрическая долгота аоп точки выхода оси
пучка ТВ наиболее существенно зависит от времени по-
лета Т. На рис. 5.1 линия аоп = const отвечает почти
постоянному времени"^, т. е. координаты точек на по-
верхности Луны, из которых возможен вертикальный
старт КА с целью выхода на ТВ к Земле, в основном
зависят от схемы возвращения (A, S) и от времени по-
лета Т до Земли (иначе говоря, от энергии селеноцентри-
ческого движения). Эллиптичность лунной орбиты влия-
ет только на селеноцентрическую долготу точки выхода,
отклоняя ее не более чем на 10° от средней. Максималь-
ная селеноцентрическая широта на поверхности Луны,
откуда возможен вертикальный старт КА при возвраще-
нии к Земле, не превышает 11° и реализуется, когда гео-
центрическая энергия полета близка к минимальной hm
(см. рис. 15.2), соответствующее время полета по ТВ
близко к гомановскому Т', а угол |i| ~ 90° (полет к Зем-
ле из точек поверхности Луны, селеноцентрические ши-
роты которых больше 11°, возможен с применением или
наклонного старта, или выхода на промежуточную ор-
биту ИСЛ).
Учет эллиптичности орбиты Лупы показал, что каче-
ственное исследование скоростных многообразий на СД
Луны вполне оправданно проводить в предположении,
что скорость Луны круговая. Результаты «машинного»
изучения скоростных многообразий (рис. 5.1, 5.2) можно
использовать для уточнения приближенных расчетов.
2. Рассмотрим теперь подробнее ТВ с лунной по-
верхности. Их целесообразно разделить на два вида:
траектории с вертикальным стартом, прицельным по ко-
ординатам точки старта, и траектории с наклонным стар-
том, прицельным по углу места и азимуту.
§ 13.2]
НОМИНАЛЬНЫЕ ТВ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ
343
Заметим, что реализация в практическом полете стро-
го вертикального к поверхности Луны старта с возвра-
щением к Земле па заданную географическую долготу X
невозможна при заданных координатах асц = аоп, 6СЦ =
= 60П точки старта, так как для этого, согласно рис. 5.1,
требуется строго определенное время Т возвращения
к Земле. В свою очередь значение Т зависит от момента
<о старта с поверхности Луны и от заданной долготы X
точки возвращения иа поверхности Земли (согласно ус-
ловиям долготной привязки геоцентрической траектории
Теоретически строго вертикального старта можно
достичь лишь подходящим выбором координат асц, бсц
точки старта и энергии селеноцентрического движения.
При заданной же на поверхности Луны точке старта с
координатами из диапазона, определяемого_рис. 5.1, воз-
вращение к Земле на заданную долготу X может быть
обеспечено лишь надлежащим выбором азимута А за-
пуска КА, начального угла тангажа й и энергии h' селе-
ноцентрического движения.
Несколько проще обеспечить возвращение к Земле по
номинальной траектории (т. е. проходящей через центр
Земли), так как не требуется реализация заданной дол-
готы. Для определения начальной точки номинальной
траектории с вертикальным стартом воспользуемся опять
рис. 13.1 и рассмотрим сферы выходных скоростей —
селеноцентрических U3 и геоцентрических Vs при фикси-
рованной начальной скорости VL, для которой выходная
скорость С73>С73 . Тогда на У3-сфере существуют два
вектора У3о и У3н соответственно для восходящего и ни-
сходящего движения по траекториям попадания в центр
Земли. Удаляясь от Луны, КА при восходящем движе-
нии удаляется от Земли, а при нисходящем — прибли-
жается к Земле.
Обозначим соответствующие векторы выходной селе-
ноцентрической скорости символами U3s и С73к. Углы
проекций этих векторов (рис. 13.3) на плоскость орбиты
Луны с направлением £(i3) от Луны к Земле обозначим
фа и три соответственно. При попадании в центр Земли
векторы V3 и U3 лежат в плоскости лунной орбиты; при
попадании в точку земной поверхности, расположенную
344
ВОЗВРАЩЕНИЕ ОТ ЛУПЫ К ЗЕМЛЕ
[ГЛ. 13
над плоскостью лунной орбиты, векторы V3 и U3 тоже
возвышаются над этой плоскостью.
Угол <р возвышения вектора U3 над плоскостью лун-
ной орбиты при вертикальном старте, очевидно, является
селеноцентрической широтой бсц точки старта. Селено-
центрическая долгота асц точки старта превосходит угол
ф на угол <рь = (OlZc (рис. 13.3),
acn = ^ + ®iJc, (2.1)
где соь — угловая скорость орбитального движения Луны;
Та — время полета в СД Луны (от точки AL на поверх-
ности Луны до точки Л3). Для рассматриваемой задачи
Т~ < 17 час, так что (aLTc < 9°.
Рассмотрим нисходящую траекторию. Точка старта
для этой траектории видима с Земли и будет расположе-
на тем ближе к центру видимого диска Луны, чем боль-
ше начальная скорость.
Согласно рис. 5.4, точка старта, совпадающая с цент-
ром бсц = 0, «с,, = 0 видимого диска Лупы, соответствует
вертикальной ТВ с бесконечно малым временем полета.
При этом начальная скорость UL является бесконечно
большой. С уменьшением начальной скорости- до вели-
чипы Ul , соответствующей селеноцентрической скоро-
сти на сфере действия ,(73 = VL (для попадания в центр
Земли), точка старта приходит па край видимого диска
Луны ас„ ~ 90°. Этот случай соответствует Т ~ Т', бсц «
~ ±11°. При выходных селеноцентрических скоростях по-
рядка 1 км/с получаются углы агц ~ 55°—65°. Это сле-
дует также из свойств обратимости движения [5—1960]
по симметричным относительно плоскости орбиты Луны
траекториям, если учесть, что для точки вертикального
падения КА на Луну при селеноцентрической скорости
входа в СД порядка 1 км/с имеем аС11 = — 55° ч—65° (см.
рис. 4.12). Заметим, что точки вертикального старта для
восходящих движений примерно симметричны относи-
тельно плоскости точкам для нисходящих движений
даже при учете эллиптичности орбиты Луны.
3. Рассмотрим далее возвращение к Земле из задан-
ной точки лунной поверхности, причем ограничимся
только нисходящими движениями. Заметим, что если за-
данная точка не совпадает с точкой вертикального старта,
§ 13.2]
НОМИНАЛЬНЫЕ ТВ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ
345
до минимальная начальная скорость превышает
Так, например, при старте со скоростью Ul^ из района
ирилупеппя станции «Лупа-9» бсц « 10°, асц « —60° —
угловая дальность Ф' полета в СД согласно рис. 4.10 не
превосходит 135° (даже при горизонтальном старте), в то
Рис. 13.4. Сферы селеноцентрических (<73), геоцентрических (К3) скоро-
стей и геометрические характеристики траекторий возвращения к Земле
с орбиты ИСЛ в пространстве компонент скорости и, v, w.
время как для попадания в центр Земли необходима уг-
ловая дальность Фн = 90° + 60° = 150° > Ф'. Для на-
чальной скорости, отвечающей величине t/3 = l,4 км/с,
получим (при горизонтальном старте) Ф' « 120°, а из
рис. 13.4 находим Фн « 50° + 60° = 110°. Видим, что
теперь Ф' > Фп. Следовательно, существует такая на-
чальная скорость, при которой для горизонтального
старта имеем
Ф' = Фн. (2.2)
Эта скорость для асц — —60°, 6СЦ < 10° составляет около
2,65 км/с, соответствуя (73 ~ 1,2 км/с. (Для нее (рис. 4.10)
Ф'~ 120°, а из рис. 13.4 получаем Фн~65° + 55° =
= 125°.) При меньших начальных скоростях решений
нет, а при больших — решение существует лишь для не-
346
ВОЗВРАЩЕНИЕ ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
[ГЛ. 13
которого наклонного старта 0° < 0о < 90° (где 0о — угол
возвышения вектора начальной скорости над лунным
горизонтом). Чем больше начальный угол возвышения 0о,
тем большая начальная скорость необходима при фикси-
рованной начальной точке. Таким образом, горизонталь-
ный старт является энергетически наиболее выгодным.
Заметим, что при наклонном старте с приближением
начальной точки к точке бсц = 0°, асц = 90° минималь-
ная необходимая начальная скорость монотонно умень-
шается до величины VL, а цаклонный старт переходит в
вертикальный. На рис. 13.3 старт с поверхности Луны
в точках бсц = 0°, асц = 90° соответствует ТВ, лежащим
в плоскости орбиты Луны.
При заданной начальной точке условие равенства рас-
полагаемой угловой дальности Ф'полета и геометрически
необходимой Фн (формула (2.2)) имеет то же теоретиче-
ское значение, что и аналогичное условие в задаче по-
падания в Луну из заданной точки земной поверхности
(см. раздел II, § 7.1). При начальных скоростях, недо-
статочных для выполнения этого равенства, решения
задачи не существует. Однако практическое значение
этого эффекта в задаче полета с лунной поверхности
к Земле гораздо меньше, чем в задаче попадания в Луну
с Земли, так как при превышении начальной скорости
над минимальной лишь на несколько десятков м/с ука-
занному условию можно удовлетворить.
4. Рассмотрим возвращение КА с орбиты ИСЛ с за-
данными элементами Л>х, 1к, рк, ек, а>к, ик.
В данном случае можно говорить о двух вариантах
решения задачи возвращения к Земле. Первый вариант —
более частный и состоит в выборе такого времени ожи-
дания на орбите ИСЛ, при котором за счет перемещения
оси (нг-ь, mG) и эволюции орбиты ИСЛ со временем ока-
зывается возможным разгон КА к Земле в плоскости
этой орбиты. Такой способ — наиболее экономный по
затратам характеристической скорости. Для фик-
сированных <ГЬх и ik (не близко к 0, л) всегда
можно получить выбором времени ожидания на орбите
ИСЛ такое расположение ее восходящего узла (долготы
Л>х) относительно линии mLma, что будет возможен раз-
гон КА к Земле (с временем перелета, лежащим в пре-
делах от 1 до 15 суток). Если же время полета задано,
§ 13.2] НОМИНАЛЬНЫЕ ТВ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ 347
то такой подход к решению задачи возвращения на за-
данную географическую долготу к Земле непригоден.
Второй вариант — пространственный старт с орбиты
ИСЛ, когда разгон к Земле возможен из любой точки
орбиты ИСЛ. При этом в случае круговой орбиты ИСЛ
затраты характеристической скорости будут близки к ми-
нимальным при старте из такой точки и,. =u(m), гДе ми-
нимален угол I между плоскостью отлетной гиперболы
и плоскостью орбиты ИСЛ. Вычислим аргумент широты
Uxm\ полагая, что плоскость отлетной гиперболы проходит
через ось пучка, соответствующую заданной энергии
траектории возвращения.
Угол I будет минимален, когда ось пучка перпенди-
кулярна линии пересечения плоскости орбиты ИСЛ
с плоскостью отлетной гиперболы. Пусть орт С£ кине-
тического момента заданной орбиты ИСЛ и орт р°п оси
пучка отлетных селеноцентрических гипербол определя-
ются в системе координат тпьВт]? компонентами
(С£\ = sin iK sin (р°п)6 = cos боп cos аоп,
(С£)п = — sin iK cos (pon)ri = cos60n sinaon, (2.3)
(<a)s = cos iK, (p°n)s = sin6on.
Тогда орт Pm, направленный из центра Луны по линии
пересечения .плоскости орбиты ИСЛ с плоскостью отлет-
ной гиперболы, определится формулой
по _ Р°опХС£
Pm~ 1о° уСп I ‘
I РопХЧ I
Искомый аргумент широты есть угол между ортами
Рт и р^ (направление из центра Луны в восходящий
узел орбиты ИСЛ) и определяется формулой
cos 4т) = pm'p/- z- (2.4)
Угол I определится соотношением
sinZ = Сх-роц.
(2.5)
348
ВОЗВРАЩЕНИЕ ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
[ГЛ. 13
Заметим, что селеноцентрические координаты боп, аоп,
используемые в формуле (2.4), могут быть вычислены или
по формулам § 5.2, или с помощью рис. 5.1, 5.2 (полу-
ченных в результате вычисления па ЭВМ многообразий
скоростей выхода из СД Луны с учетом эллиптичности
лунной орбиты и поэтому позволяющих определить аоп
точнее, чем формулы § 5.2).
2.5. Для примера интересно рассмотреть ст.арт с ор-
биты ИСЛ типа «Луна-10», «Луна-11». Пусть проходя-
щая через центр Луны номинальная селеноцентрическая
траектория Земля — Луна со временем полета около
3,5 суток является осью пучка селеноцентрических тра-
екторий, которые можно использовать для создания ИСЛ.
Эта ось в точке встречи КА с Луной составляет с на-
правлением Луна — Земля угол около 60°. Энергетиче-
ски наивыгоднейшим (среди одноимпульсных переходов)
является переход на орбиту спутника с линии апсид
селеноцентрической траектории, лежащей в плоскости П
орбиты ИСЛ. Ниже рассмотрим лишь переходы, близкие
к наивыгоднейшим.
Пусть наклонение ц орбиты спутника к плоскости
орбиты Луны не близко к 0° или 180° (например, г\«90°).
Это значит, что след на плоскости |,г| плоскости Пх ор-
биты ИСЛ в момент t„. его вывода будет составлять с
направлением £(£и) Луна — Земля угол около 60°
(рис. 13.4). Следовательно, долгота восходящего узла ор-
биты спутника для гиперболы, проходящей севернее
Лупы, составит около 300°, а для гиперболы, проходящей
южнее Луны — около 120°. Пусть для определенности
угол между асимптотами гиперболы, с которой осуще-
ствляется переход на орбиту спутника, составляет
около 90°.
Для выхода из СД со скоростью = 1,2 км/с по ТВ
необходимо (рис. 13.4), чтобы асимптота этой траектории
в момент выхода составляла, как ось пучка возможных
траекторий выхода, угол около 60° с направлением Лу-
на — Земля. Для выхода с энергетикой, близкой к мини-
мальной, асимптота должпа составлять малый угол
с плоскостью орбиты ИСЛ. Эао происходит’ лишь два
раза в месяц.
Если учесть поворот направления Луна — Земля за
время полета от орбиты ИСЛ до границы сферы действия
§ 13.2]
НОМИНАЛЬНЫЕ ТВ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ
349
(около полусуток) и если пренебречь прецессией орбиты
ИСЛ под действием возмущающих сил, то направления
Луна — Земля в момент iu перехода па орбиту ИСЛ и
в момент ti схода с этой же орбиты будут различаться
примерно па 50°. Следовательно, минимальное время
ожидания иа орбите составляет около 4 суток.
При энергетических затратах, близких к минималь-
ным, возвращаться к Земле с орбиты ИСЛ возможно
лишь через интервалы времени, кратные полумесяцу. При
этом для ТВ — гиперболы, проходящей севернее или юж-
нее Луны, получим соответственно долготу восходящего
узла Д' =70°, или Л'= 250° (здесь угол отсчитыва-
ется от направления Земля — Лупа). Соответственно полу-
чим долготу линии апсид траектории возвращения (i/~45°
или со' ~ 225°, если учесть, что ведущая к Земле ветвь
гиперболы почти параллельна плоскости лунной орбиты
и составляет с другой ветвью угол около 90° (здесь о/
отсчитывается от плоскости орбиты Луны, рис. 13.4).
Заметим, что при возвращении с орбиты ЙСЛ не тре-
буется выходной скорости С73 = 1,2 км/с, как при-возвра-
щении пз района посадки станции «Лупа-9», и можно
было бы уменьшить выходную селеноцентрическую ско-
рость до геоцентрической скорости Луны (~1 км/с). Од-
нако при этом, как показывают расчеты (см. гл. 17),
заметно возрастает влияние разброса начальных данных.
Поэтому более подходящими представляются скорости
около 1,1 км/с.
Г л а в a 14
ОПТИМИЗАЦИЯ ОДНОИМПУЛЬСНОГО ПЕРЕХОДА
С ОРБИТЫ СПУТНИКА НА ГИПЕРБОЛУ
С ЗАДАННОЙ СКОРОСТЬЮ «НА БЕСКОНЕЧНОСТИ»
Поиск траекторий, реализуемых с наименьшими за-
тратами характеристической скорости, важен для прак-
тических приложений. Ввиду сложности проблемы в ли-
тературе в первую очередь рассматриваются одноим-
пульсные переходы со спутниковой орбиты внутри СД
(Луны или планеты) на траекторию вне СД (геоцентри-
ческую или гелиоцентрическую). В такой упрощенной
постановке задача оптимизации исследована для случая
старта с круговой орбиты спутника в работах 16—19701,
[2—1971] и для случая старта с эллиптической орбиты —
в работе (1—19721. Результаты последней работы изла-
гаются в данной главе. Предполагается, что энергия и
наклонение геоцентрической ТВ вне СД Луны заданы.
Тем самым заданы (при использовании метода ТСД, (см.
§§ 4.2, 5.4)) энергия гиперболического движения и на-
правление асимптоты гиперболы внутри СД. Таким об-
разом, задан по модулю и направлению вектор скорости
«на бесконечности» для гиперболического движения
внутри ОД.
§ 14.1. Постановка задачи оптимизации
одноимпульсного перехода с эллиптической орбиты
на гиперболическую
Пусть задана эллиптическая орбита Го спутника при-
тягивающей массы mL кеплеровыми элементами ро, во *).
*) Поскольку рассматриваемая задача имеет смысл для дви-
жения в любой СД (а не только СД Луны), то у символов рю,
«ю и других индекс «X» принадлежности СД Луны в данной
главе будет опускаться.
§ 14.1]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
351
Необходимо найти на этой орбите такую точку, чтобы
импульс перехода из нее на гиперболическую орбиту Г
с заданным вектором скорости «на бесконечности» был
минимальным.
Вектор скорости «на бесконечности» задается его
модулем U„ и углом га возвышения над плоскостью По
Рис. 14.1 Траекторные параметры в задаче перехода с эллиптической
орбиты ИСЛ на гиперболическую с заданным вектором скорости на
бесконечности.
заданной орбиты Го спутника. Кроме того, может быть
задан угол йа между проекцией вектора U„ иа плоскость
По и перицентрическим радиусом-вектором рп орбиты
спутника (рис. 14.1).
Исследование задачи начнем с построения ее скорост-
ных многообразий до и после перехода в пространстве
радиальной Up, трансверсальной Ux и бинормальной UB
компонент скорости (рис. 14.2). Бинормаль Ь — неизмен-
ное направление момента количества движения спутника
на эллиптической орбите Го радиус-вектор р спутника
в момент перехода на гиперболу Г имеет модуль
р = Ро/(1 + 6о COS'O'q), (1.1)
352
ПЕРЕХОД С ОРБИТЫ СПУТНИКА ИЛ ГИПЕРБОЛУ [ГЛ. 14
где ро, е0 — заданные фокальный параметр и эксцентри-
ситет орбиты Го, •в’о — истинная аномалия в момент to.
Годограф So вектора U па исходной эллиптической
орбите есть совокупность скоростей до приложения пе-
реходного импульса AU, т. е. исходное скоростное мно-
гообразие. Оно целиком расположено в плоскости UPUX
Рис. 14.2. Определение точки U основного скоростного многообразия в
задаче перехода с эллиптической орбиты па гиперболическую с задан-
ным вектором Ugo скорости «на бесконечности».
(штриховая линия па рис. 14.2) и является кругом ра-
диуса воУнь/ро с центром ii точке (0, Уць/ро), так как
=/rb/Poeosini}o, Uot = Vv-dPo (1 + е0созФ0),
/7оь = О. (1.2)
С ростом Фо от 0 до 2л при .прямом движении спут-
ника круг So проходится по часовой стрелке, начиная
с точки (0, Vpr/pod + е0)). Вектор Uo образует с осью
Uf, угол а0 в момент перехода с эллипса на гиперболу
и выражается через элементы эллиптической орбиты
§ 14.1]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
353
соотношениями
cosa0 = е0 sin Ho/Uo, sin a0 = (1 + e0 cos &a)/Ua, (1.3)
Uo = 1 + 2e0 cos fig 4- e0.
Направление асимптоты при росте Па описывает пря-
мой круговой конус с осью Ub. Угол его образующей
с осью Ub равен 90° — га. Угол Ф наклона вектора U«,
к осп Up (рис. 14.2) есть полная угловая дальность полета
по результирующей гиперболе Г (рис. 14.1). Угол а0
между вектором Uo начальной гиперболической скорости
и направлением начального радиуса-вектора (т. е. оси
Up) составляет часть угла Ф (рис. 14.1 и 14.2) и отсчи-
тывается в ту же сторону. Угол р между векторами Uo
и U выражается через углы а0, а и угол I (угол между
плоскостью П гиперболы и плоскостью эллипса По) по
теореме косинусов (рис. 14.2):
cos р = cos a» cos a + sin ao sin a cos I. (1.4)
При фиксированном значении й0 будут фиксированы
р, Uо, «о п
U = / (2И^/р) + Ul. (1.5)
Если задано значение На (рис. 14.1), то будут фик-
сированы также значения
У = На — Но, tg / = tg ia/sin^a, 0 < 1 < 180°, (1.6)
cos Ф = q cos Ла, sin Ф cos/ = q sinXa, q cos ia. (1.7)
Соответствующий угол a определится соотношением
(4.4.20)
^•2 _ _ ''H 1 -COS Ф
р sin a sin (Ф—a)‘
Выражения (1.1), (1.5) — (1.8) определяют многообра-
зие S векторов скорости после переходного маневра. Из
треугольника скоростей Uo, U, AU находится модуль Д(7
переходного импульса:
AU = /(7? + У2 — 2U0U cos р. (1.9)
Таким образом, задача минимизации приращения ско-
рости Д(7, необходимого для перехода с эллипса Го на
23 в. А. Егоров, Л. И. Гусев
354
ПЕРЕХОД С ОРБИТЫ СПУТНИКА НА ГИПЕРБОЛУ [ГЛ. 14
гиперболу Г, может рассматриваться как задача о мини-
муме расстояния (1.9) в пространстве U9, Ux, Ub
(рис. 14.1, 14.2) между элементами многообразий So и
S. Основную роль в данной задаче играет многообразие
S, имеющее более сложную форму, чем So.
При заданных элементах эллипса Го минимизация
должна производиться (при заданном модуле вектора ско-
рости «на бесконечности» и») по углам йо, йа. При этом,
если оптимизируются две величины й0 и йа, то миними-
зируется расстояние между многообразиями S и So. Если
фиксировано значение йо, то минимизируется расстояние
между заданной точкой (1.2) и многообразием S. А если
фиксировано значение йа, то минимизируется по йо рас-
стояние движущейся точки (1.2) многообразия So от пе-
ременной точки многообразия S, соответствующей тому
же значению йо, причем 0° «С йо 360°.
§ 14.2. Построение результирующего
скоростного многообразия
Заменим связь (1.8) между направлением вектора U,
задаваемым углом а и угловой дальностью Ф, формула-
Рис. 14.3. Поточечное построение ре-
зультирующих скоростных многооб-
разий Xj и в пространстве ско-
ростей UpU^Up.
ров и,», получающихся при
прорезает на (/-сфере малый
ми (4.4.22); с их помощью
будет легче строить гео-
метрическое многообра-
зие S.
Из соотношения (1.6)
и рис. 14.2 видно, что пло-
скость П гиперболы не
может быть отклонена от
бинормали Ub исходной
эллиптической орбиты бо-
лее чем на угол л/2 — га.
При фиксированном зна-
чении йо значения р (1.1)
и U (1.5) будут фиксиро-
ваны, так что многооб-
разие S будет принадле-
жать сфере радиуса U
(рис. 14.3). Конус векто-
изменении йо от 0 до 2л,
ia-круг с центром на осп Ub
§ 14.2] РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕЕ СКОРОСТНОЕ МНОГООБРАЗИЕ
355
и угловым радиусом л/2 — ia (рис. 14.3). Через каждую
образующую этого конуса и направление Up начального
радиуса р проходит возможная плоскость П полета спут-
ника. Будем характеризовать образующую, как и на
рис. 14.2, долготой вектора U„, считая 0 < Ха < 2л.
Без ограничения общности можно считать, что угол
л/2 — ia вектора U„ с направлением b момента количе-
ства движения острый, т. е. ia > 0, так как при га < О
построение делается симметрично данному (относительно
плоскости По исходной эллиптической орбиты).
Очевидно, наименьшая дальность полета Ф, < л
имеет место при Ха = 0 и равна ia. Величина Фл > л
(Фи = 2л —Фь см. рис. 4.16) является при этом наиболь-
шей и достигает 2л — za. Соответствующая этим дально-
стям величина у = у„, согласно (4.4.22) является наи-
меньшей:
sin ут = (UeJU) sin ia/2.
Соответствующие наименьшей и наибольшей дальностям
наклонения
Л = In = л/2,
т. е. плоскость П обеих гипербол ортогональна плоскости
орбиты спутника.
Построения на (7-сфере (рис. 14.3) выполнены для
следующих числовых значений: (7 = 2 км/с, (7„ = 1 км/с,
za = л/3. На круге (а = const рассматриваемые точки от-
мечены кружками, на решении I — квадратиками, на
решении II — треугольниками. Точки, соответствующие
одному значению Ха, отмечены одинаковыми цифрами.
Цифра 1 отвечает Ха15 = 0.
С возрастанием угла Ха от нуля до значения Ха2) < л/2
очевидно, Фл убывает, Ф.г растет, h становится меньшим
л/2 (см. точки с цифрой 2). При Ха3) = л/2 наклонение Л
/(m) ♦
/ = га, наклонение
IS! — максимальное 1^ = л — (а, а многообразия Sj п
Srj в соответствующих точках (отмеченных цифрой 5)
касаются плоскости П, в то время как для соседних то-
чек с 1а л/2 плоскость П пересекает многообразия Sj
и S/j.
С ростом Ха от значения л/2 наклонение Ii увеличи-
вается, а наклонение In убывает. В частности, для Ха4) < л
23*
356
ПЕРЕХОД С. ОРБИТЫ СПУТНИКА ИЛ ГИПЕРБОЛУ [ГЛ. 14
опп принимают такие же значения, как при /4'2)- При
?Vy5) = л имеем Фг = шахф, фл = т1пФ, 7jjlx = л/2. При
возрастании Аа от л до 2л получаются точки, симмет-
ричные описанным относительно плоскости Ut„ Ub, в част-
ности, точка 6“ симметрична точке 3, соответственно
7i6) = шах I = л — ia, 7XV = min 7 = ia.
xa xa
С ростом угла /а до л/2 каждая из кривых и
стягивается в точку, так как для всех имеем 7, п =
Рис. 14.4. Соединение скоростных
многообразий 2j и Ец, когда
вектор иж становится параллель-
ным плоскости эллипса (ia -> 0).
приближается при этом к
= л/2 (согласно (1.6)), Ф( -7-
— л/2, Фп = Зл/2 (согласно
(1.7)), а,, и = Фл ,,/2 + у, где
sin у = UoJU р42. Эти точ-
ки на рис. 14.3 расположены
внутри кривых и Sjf на
77-сфере и отмечены крести-
ками.
С убыванием га многооб-
разие Sj своей нижней ча-
стью приближается к плос-
кости Ub = 0 сверху (посколь-
ку квадратик 1 всегда остает-
ся между плоскостью Ub = 0
и кругом ia = const), а верх-
ней частью — к малому кру-
гу 77р = — 77 „ на 77-сфере
(рис. 14.4). Многообразие S;;
тому же кругу своей нижней
частью, а верхней частью — к плоскости 77* — 0 снизу.
Действительно, при малых га > 0 довольно большим
отклонениям наклонения 7 от л/2 отвечают относительно
малые отклонения Фр' от га,
Фх5) от (л — 7а), так что
• (, \ ^оо . !а
sin у'1) = — sin - «
и 2’
• ^оо . л-га . .
sin yW =sin——~sinYo, гДе 31л7о = ~,
„(И ~ 'а /i д г/?) _ ii! 4- v •
ах + а1 — 2 2 1 Vo>
§ 14.3]
ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПОЛОЖЕНИЯ НА ОРБИТЕ
357
Ф?? — от (2л — ia), ФтГ — от (л + ia), так что
М
а??«л-^1-
а?? «у + (-f + Т0)> иб°
77
sin -/б) ~ sin
° о
»siny0.
При ia = О у кривых Si и Sn имеются общие точки
(—U„, Un, 0) и (— U„, —U„, 0). При малых ia 0 эти
точки исчезают, и в их окрестности располагаются йаи-
более изогнутые участки кривых Si и Sn, переходные
от верхних частей кривых к нижним (рис. 14.4). Суще-
ствование векторов U, возвышающихся над плоскостью
Ub = 0 при сколь угодно малых углах ia ¥= 0, обусловлено
тем, что плоскость П гиперболы обязана проходить через
вектор U„, а потому необходимо наклонена под почти
прямыми углами I (рис. 14.3) к плоскости орбиты спут-
ника Луны, когда значения %а близки к 0 или к л.
Совокупность многообразий Si и Su дает при ia -> 0
не только большой круг радиуса U в плоскости Ub = 0
(соответствующий плоской задаче), но еще малый круг
в ортогональной плоскости Uo = ~ U„\ не имеющий от-
ношения к плоской задаче. Впервые этот круг указан,
по-видимому, в работе [2—1971]. Это указывает на то,
что при ia -> 0 пространственная задача не полностью
переходит в плоскую.
§ 14.3. Зависимость переходного импульса
от положения спутника на орбите
и поворота орбиты в ее плоскости
Преобразуем формулу (1.9), определяющую величину
приращения характеристической скорости, с помощью
соотношений (1.1) — (1.7) и интеграла живых сил
ТТ2 _ 2Рь Рь °- р а0’ Получим сначала «о-/°е2- (3.D 1 — ео
(ДС7)г = _ М + рь + td _ л ГНь cos р
’ \ Р “о/ \ р > к V Р0
(3.2)
358
ПЕРЕХОД С ОРБИТЫ СПУТНИКА НА ГИПЕРБОЛУ [ГЛ. 14
где согласно (1.2), (1.3) Uo = и0У po/pL. В выражение
(1.4) для cos р входят cos а и sin а. С помощью (4.4.22),
получим
Ф 1 Г. ,, . , Ф , . , Ф
cos а = cos— |/ 1 — /c-sm- —— /с sin- —,
• 7 > • 2Ф г; Ф . Ф
sin а = sin — у 1 — к- sin2 — />• cos - sin -.
Так как
я / Л 7 2 2 Ф 7 т / 1 , । , Ф ,1 Ф I ,
у 1 — k2 sin2 - = />• у ут — 1 -Т cos- - = —/,• COS у /«.
то cos а =[(cos Ф — 1) ± (1 i cos<l>) ./?[, где знак ми-
нус возникает при замене Icos Ф/2| на соз(Ф/2), когда
л. < Ф < 2л. Аналогичным образом получается:
sin а — (sin Ф ± 77 sin Ф).
Окончательно получаем
у cos а = — 2 -и (1 J- cos Ф) (1 + Н),
у sin а = sin Ф (1 ± 77). (3.4)
Согласно (1.4)
у cos р = cos а0 [— 2 -|- (1 + cos Ф) (1. ± /?)] +
-Н sin а0 (1 ± 11) sin Ф cos 1.
Согласно (1.7)
2
— cos р = — 2cos а0 4- (1 + R) [cos а0 (1 + q cos Xa) -[-
+ sin а0 (^ sin Xa)]. (3.5)
Оптимизация поворота орбиты Го в ее плоскости (отно-
сительно оси Ь) при фиксированном положении Фо на
орбите в момент маневра эквивалентна максимизации
Sj 14.3'1
ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПОЛОЖЕНИЯ НА ОРБИТЕ
359
cos {3, как видно из (3.2), т. е. максимизации функции
74 = (1 ± 7?)Lcos ao/q + cos(Xa — ao)J (3.6)
по Xa, так как согласно (3.5)
F± — у cos р + 2cos aoj.
Задача оптимизации положения Фо, когда полностью
фиксированы эллиптическая орбита и вектор U», оказы-
вается более сложной. Для нее из (3.2) в силу (1.3), (1.4)
и (3.4) имеем
4 Uo cos р = <?0 sinflo [— 2 + (1 + cosO) (1 ± R>] +
ft
+ (1 + е0 cos &0) (1 ± R) sin Ф cos I.
С помощью (1.7) получим
2 —
— Uo cos р = — 2<?0 sin Фо +
п>
+ (1 ± R) [е0 sin Фо (1 4- ?cos Ха) -J- (1 + е0 cos Фо; q sir Ха].
Здесь члены с qe$ дают в силу (1.6) sin (Фо + Ха)s
= sin Фа = const. Из (3.2) получим
i Н+ч - J / й=(1+е»см *»' V й+
4- 2<?0 sin Оо — (1 ± R) (е0 sin Фо 4- q sin Ха 4- 7<?о sin Фа).
Минимизация А 7/ эквивалентна минимизации функции
= 2е0 (х cos ф0 4- sin ф0) —
— (1 ± R)'e0 sin &0 4- q sin Ха 4- qeQ sin Фа),
Ха — Фа Фо>
Х = А1/Д + □ (3,7)
Uoa У Ро У 1 4- ? COS Ла LJ '
Разделив F2 на во и вводя обозначения
G = qlбо, F — F2I£q;
получим из (3.7)
F = 2(х cos Фо + sin Фо) +
+ (1 ±R)[G эш(Фо — Фа) — sin Фо — q зшФа]. (3.8)
360
ПЕРЕХОД С ОРБИТЫ СПУТНИКА НА ГИПЕРБОЛУ [ГЛ, 14
§ 14.4. Оптимизация поворота спутниковой орбиты
в ее плоскости при переходе на гиперболу
Вследствие фиксированности положения спутника
кг = к2(1 + е0 cos Фо) = const > 0 имеем в (3.7)
R = |/^1 + 1 + g cos ла >
поэтому первый сомножитель в (3.6) для случаев Oi < л
и Фл > л имеет противоположные знаки.
Знак второго сомножителя совпадает со знаком cos ао
при g < Icosaol. Согласно (1.2) cos ао > 0, если 0<Фо<
< л, и cos ао < 0, если л < Фо < 2л. При этом
max I cos а01 = е0 достигается при ± Фо = л/2 + arcSin ео.
Если Icosaol^g, то при всех значениях Ха зна-
чения на одном многообразии положительны и превос-
ходят значения Fi на другом многообразии (которые от-
рицательны). В этом случае углы ia вектора U» с плос-
костью орбиты спутника достаточно близки к л/2, экс-
центриситеты относительно велики и значения Фо не
слишком близки к 0 или л.
При g^lcosaol, т. е. при (—ta + л/2) < lao — л/21,
экстремум 7?! реализуется для Фо < л на многообразии 2Г,
а для Фо > л — на многобразии 2И.
Рассмотрим подробнее сначала подслучай оптималь-
ности 2Т (0 < Фо < л, т. е. ао < л/2).
В (3.6) второму множителю
/2s cos ao/g + cos (%а — «о)
соответствует косинусоида с фазой ао, смещенная по оси
ординат на величину /0 = cosao/g (рис. 14.5 а). График
первого сомножителя
Л = (1 ±2?)
тоже подобен косинусоиде. Для многообразия 2Т функ-
ция /J = (1 + R) > 2, причем имеет максимум (при
Ха = л), более слабо выраженный, чем на косинусоиде. Из
рис. 14,5, а видно, что функция Fl = flfj имеет один
максимум и один минимум, являясь 2л-периодической.
Максимум fl достигается на 2, при некотором значении
§ 14.4] ОПТИМИЗАЦИЯ ПОВОРОТА СПУТНИКОВОЙ ОРБИТЫ 361
Ха = (л > Хм оСд) ( а минимум при значении
>а04-л). Это следует из того, что Л достигает максиму-
ма при Ха = ао, a при этом еще растет. В подслучае
оптимальности Sn (л < Фо < 2л, т. е. ао > л/2) при том
же значении созФ0 получаем график функции из гра-
фика функции /I зеркальным отражением в прямой
Рис. 14.5. Зависимость функций при ао<90° (а) и функций
/J1, /j1» ПРИ ао>90° (б) от угла Ха проекции асимптоты с началь-
ным радиусом.
/=1. Функция /г1 < 0 (так как cosao<0), и график ее
сдвинут больше вправо (рис. 14.5, б), чем график /а, так
как aj/^a^. Максимум F}1 достигается на 5ц при
Ха = Хм (л < Хм < л + а0)-
В случае lcosaol<^ второй сомножитель в F\ обраща-
ется в нуль по крайней мере два раза, так как его гра-
фик по-прежнему есть косинусоида с единичной ампли-
тудой и начальной фазой ао, смещенная по оси ординат
па величину cosa0/?. На рис. 14.6 представлен случай
/о = 0, т. е. а0 = л/2 (чтобы не рассматривать подслуча-
ев), так что кривая /г есть точная синусоида. Кривые
/г и /j1 остаются примерно теми же. По ним получают-
ся кривые F* и F*1, похожие на соответствующие кри-
вые Fi и F|THa рис. 14.5, а и б. При монотонном убыва-
нии /о от нуля maxF} убывает, a maxF}1 растет; при
362
ПЕРЕХОД С ОРБИТЫ СПУТНИКА ИЛ ГИПЕРБОЛУ |ГЛ. 1 \
некотором значении /о = /*, — 1 < /*< 0 они равны. При
fo<f* экстремум Fi реализуется на Sn, при обратном
неравенстве — на Si (так как max > max У*’” согласно
xa xa
рис. 14.6). При непрерывном изменении переход с St
иа Zu происходит скачком, хотя затраты импульса по
йо непрерывны. Заметим, что для круговой орбиты спут-
ника экстремум Fi не может реализоваться на многооб-
разии Sn, так как cosa0 = 0 (аэ = л/2) и max F\ на Si
превосходит max Fi на Sn.
§ 14.5. Оптимизация положения спутника на орбите
В выражении (3.8) коэффициент х есть удвоенное
отношение круговой скорости (на расстоянии ро от цент-
ра mF к скорости £/«, так что первое слагаемое не за-
висит от эксцентриситета во орбиты спутника. График
§ 14.5] ОПТИМИЗАЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ СПУТНИКА НА ОРБИТЕ 363
его представляет собой синусоиду
2(% cos Фо + sinft0) = Лхзт(Фо — Фх),
______ (5.1)
зшФх = — х/7х2 + 1, cos Фх = (х2 + 1)_'\
например, при U„ — 1 км/с,
основных случаях b > 1 (а) и b < 1 (б).
Ро = 1800 км имеем х > 3. Поэтому фазовый сдвиг
—90° < Фх < 0° ие мал.
Во втором слагаемом в (3.8) знак первого множителя
всегда совпадает с sign Я, поскольку Я>1 (3.7). Второй
сомножитель никогда не является зпакоопределеппым.
Действительно, в нем (рис. 14.7, а, б)
G sin (Фо — фа) — sin Фо = В sin (Фо — |У),
В = /G2 —2G совФа + 1, (5.2)
sin |У ~ -|-sin cos [У = (G созФа — 1)/Я,
так что
F = ЛХ8Н1(ФО — Фх) + (1 ± Я)\В sin(0'o — £') — q 8П1Фа.1.
(5.3)
Из (5.2) В > 1G sinФаI, поэтому подавно В > \q зи1Фа|
при всех фа, и квадратная скобка в (3.8) дважды обраща-
ется в пуль при 0 < Ф’ < 2л и В 0 (что соответствует
364
ПЕРЕХОД С ОРБИТЫ СПУТНИКА ИЛ ГИПЕРБОЛУ [ГЛ. 14
общему случаю). Согласно (5.2) случай В = 0 может
иметь место лишь при G = 1, йа = 0. При этом квадрат-
ная скобка тождественно равна нулю, и энергетические
затраты не зависят от того, какому из многообразий (Si
или 2ц) принадлежит вектор начальной скорости U. Они
Рис. 14.8. Зависимость характе-
ристики Fa энергетических затрат
от положения Фо точки перехода
па эллиптической орбите ИСЛ
при е0= cos г а-
определяются функцией F()=
= Лх sin(i% —1%.) и минпмаль-
3
ПЫ При = Л.
Этот угол принадлежит
третьей четверти (рис. 14.8),
т. е. оптимальный переход
на гиперболу происходит бо-
жит второй четверти (так
лее чем на полпериода поз-
же прохождения спутником
перицентрической точки.
Угловая дальность Ф по-
лета по гиперболе принадле-
как йа = 0). Условие G = i
означает cos ia = ео, т. е. относительно малые наклонения
ia асимптоты при больших эксцентриситетах е0 эллипса
(и, наоборот, большие значения га при малых е0).
Рассмотренный случай является критическим в том
смысле, что разделяет случаи, когда оптимально много-
образие Si, от случаев оптимальности многобразия Sn-
Действительно, при йа = 0 и малых G — 1 ¥= 0 имеем из
(5.2) р' = 0, и из (3.8)
F = Лк sin(i7 — йх) + (1 ± 7?)(G — Dsin йо,
откуда видно, что-минимальное значение F достигается в
малой окрестности точки йо = йт и отрицательно. По-
скольку зшйт<0, a R > 1, то при (?>1и малых (й0 —
— й,„) будет
(Я -I- 1) sin й0 < (1 — Я).5ш йо,
и минимум на многообразии Si будет глубже, чем на Sn.
При G < 1, наоборот, оптимальным будет решение из Sn.
При G = 1 и малых йа ¥= 0 имеем из (3.8) с точ-
ностью до малых второго порядка
F »= ylxsin (йо — й„) + (1 ± Я)[(созйа — 1) sinйо —
— (<7 + cos йо)йа1.
§ 14.51 ОПТИМИЗАЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ СПУТНИКА ПА ОРБИТЕ 365
Первое слагаемое и квадратных скобках представляет
собой малую второго порядка и не влияет на знак сум-
мы, который положителен при q< lcosOml, Оа > О, а так-
же при q > I cos О'™ I, Oa<0, и отрицателен при q<
< |cosO,„l, Оя < О и при q> I cos О™ I, Oa > 0. В случае его
положительности минимум глубже па многообразии Su,
а при отрицательности — па многообразии Si.
В общем случае заметим, что знак производной
совпадает со знаком выражения Q, содержащегося в
квадратных скобках (3.8) (как можно убедиться непо-
средственной проверкой).
Следовательно, экстремумы R находятся в нулях Q,
а экстремумы произведения <2(1 ±7?) находятся между
этими нулями на интервале 0 < О0 < 2л.
Все рассматриваемые функции являются 2л-периодиче-
скими. Это позволяет в зависимости от Оа выяснить ха-
рактер расположения экстремумов, как показывает сле-
дующий пример.
Пусть Оа принадлежит первой четверти (рис. 14.7),
тогда [}' принадлежит, согласно (5.1), первой четверти,
если GcosOa>l, и второй четверти, если GcosOa<l.
Примем р' = л/2 и будем оба случая рассматривать
вместе. Поскольку 1 > q sinOa > 0, то оба нуля Oo=Oi и
Оо = О2 функции Q (рис. 14.9, а) находятся внутри ин-
тервала ([}', р' + л) и оказываются тем ближе друг к дру-
гу, чем больше q. В точках Oo = Oi, 0о = 02 будут дости-
гаться экстремумы функции R, которая непрерывна на
отрезке [0, 2л]. Поэтому она имеет один максимум и
один минимум. Поскольку < 0 при О0 — 0, то функ-
ция (1+7?) (рис. 14.9, а) приО0 = 0 убывает, достигая ми-
нимума при Oo = Oj, затем возрастает до максимума при
О0 = О2, а при О2 < Оо < 2л снова убывает до ее значе-
ния при Оо = 0. Следовательно, произведение <2(1 +7?)
на рис. 14.9, а между нулями О] и О2 имеет максимум,
а вне интервала О], О2 — минимум.
Аналогично произведение <201—7?) на отрезке [Од, О2]
имеет минимум (рис. 14.9, б). Функция Fo = Axsin(O0 —
— Ох) (рис. 14.9, б) имеет всегда минимум в третьей
четверти. К этому минимуму ближе максимум функции
<2(1 +7?) и минимум функции (?(1 -7?). Какая из функ-
366
ПЕРЕХОД С ОРБИТЫ СПУТНИКА ИЛ ГИПЕРБОЛУ (ГЛ. 14
цпй F, = Fo + Q{ 1 + R) пли F-=Fo + Q<A — R) имеет
глубже минимум — зависит от конкретных значений па-
раметров q, е0, х. Аналогичная минимизация, как пока-
зывает подобное приведенному рассмотрение, имеет мес-
то, когда значение йа принадлежит II, III или IV чет-
верти.
Так, при значениях йц в четвертой четверти значения
Р' принадлежат также четвертой четверти при Gcos'fta>
Рис. 14.9. Зависимость характеристик энергетических затрат Q(H-B) (а)
и Q(1—В) (б) вдоль многообразий Xj и Xjj соответственно от положе-
ния точки перехода на эллиптической траектории.
>1 и третьей четверти — при Gcos,&a<l. При значе-
ниях йа во второй и третьей четвертях значения при-
надлежат, соответственно, только второй и третьей
четвертям.
При G<1 не может быть Ссозйа^1 (рис. 14.8, б),
так что для 0 < йа < л будет л/2 < £/ < л; для л < йа < 2л
будет л < < Зл/2.
Построение входящих в F функций выполняется ана-
логично рассмотренному.
В случае йа = О кривая /?(й0) выпукла кверху при
ео < q и книзу при ео = q; при во — q она — прямая. При
йа — л кривая Жйо) в обоих случаях выпукла книзу.
§ 14.5] ОПТИМИЗАЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ СПУТНИКА НА ОРБИТЕ 387
Построение функции F выполняется так же, как было
показано выше.
Заметим, что аналитические выражения для направ-
ления скорости после маневра и величины переходного
импульса были получены без предположений о малости
эксцентриситета орбиты ИСЛ и угла между плоскостями
орбиты ИСЛ и отлетной гиперболы.
Проведенное исследование оптимального одноимпульс-
ного старта показывает, что из шести параметров задачи
(цг, До, Со, U„, ia, йа) существенны только четыре: е0, ia,
йа, X = 2 1/\ilIp0IUx.
Рассмотренным способом можно найти оптимальную
одноимпульсную траекторию возвращения КА с конкрет-
ной проектируемой или заданной орбиты ИСЛ к Земле.
Решение этой задачи вследствие обратимости движения
дает также и оптимизацию перехода с гиперболической
орбиты на орбиту спутника Луны.
Глава 15
АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА,
ОБЩИЕ ДЛЯ ЗАДАЧ ВОЗВРАЩЕНИЯ
С ПОВЕРХНОСТИ ЛУНЫ И С ОРБИТЫ ИСЛ
Вычисление траекторий КА, удовлетворяющих в кон-
це заданным условиям, как уже отмечалось в гл. 2,
связано с решением краевой задачи. Независимо от при-
нятой модели движения (приближенная или точная),
краевая задача имеет место и при вычислении ТВ от
Луны к Земле. В отличие от рассмотренного в гл. 9 раз-
гона КА с орбиты ИСЗ к Луне, в задачах возвращения
с орбит ИСЛ к Земле производится пространственный
маневр, что существенно усложняет решение краевой
задачи и выбор оптимальных (в смысле необходимой ха-
рактеристической скорости) ТВ.
Разработка алгоритмов определения начальных дан-
ных, обеспечивающих быструю сходимость краевых за-
дач, важна как для проектного исследования траекторий,
так и для экономного решения навигационных задач па
борту КА.
§ 15.1. Характеристика заданных в конце
движения условий и постановка краевой задачи
Расчет траектории возвращения КА будем считать
оконченным, если с необходимой точностью выполнены
заданные условия у Земли. Эти условия несколько раз-
личаются для траекторий пологого и крутого входа
в земную атмосферу. Вход считается пологим, если угол
0„х геоцентрической скорости с местным горизонтом на
границе земной атмосферы принадлежит диапазону (—3°,
— 1°), и крутым — если 0DX<—3°. В случае поло-
рого входа задаются высота Н~. = Нл точки л услов-
5 15.1]
ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
369
ного перигея (вычисленной_при условии отсутствия атмо-
сферы), наклонение in = in геоцентрической орбиты _к
экватору в точке л и географическая долгота Хл — ^л
точки л. В случае крутого входа вместо условия Нп = Нп
задается географическая широта срл = <рл точки л. (Чер-
той отмечены заданные значения параметров Нп, /л,
%л, <р«.)
Искомые параметры (например, начальные данные)
относятся к заданному моменту старта с орбиты ИСЛ
или с поверхности Луны.
При импульсном переходе на ТВ с поверхности Луны
искомыми параметрами являются для случая вертикаль-
ного старта селеноцентрические долгота ао и широта бо
точки старта и еще энергия h0 селеноцентрической ги-
перболы (или соответствующая ей скорость СД»). Для
случая наклонного старта искомыми являются Ло, бо —
азимут и угол возвышения вектора Uo начальной ско-
рости над местным горизонтом и еще h0 (или U^.
При импульсном переходе на ТВ с заданной орбиты
ИСЛ в заданный момент io, т. е. при заданном аргументе
широты ио точки включения двигателя, искомыми пара-
метрами будут те же Ло, 60, h,0.
В случае ограниченной тяги в двух последних пере-
ходах искомыми параметрами будут значения постоян-
ных углов тангажа й0 и рыскания -фо (во время работы
двигателя) и h0 (или U„) на момент выключения двига-
теля. Если же при старте с орбиты момент io не задан,
то и аргумент ио не задан; тогда момент io включения
двигателя выбирается пз условий минимума затрат ха-
рактеристической скорости (или минимума угла между
орбитой ИСЛ и плоскостью отлетной гиперболы).
Каждая тройка искомых параметров может быть за-
менена тремя компонентами характеристической скоро-
сти маневра. Требуется найти приближенные значения
искомых параметров, от которых будет устойчиво схо-
диться точная краевая задача к траектории возвращения,
удовлетворяющей трем условиям, заданным в точке л
условного перигея.
Движение в сфере действия Луны будем ‘рассматри-
вать в невращающейся селеноцентрической системе ко-
24 В. А. Егоров, Л. П. Гусев
370
ОБЩИЕ АЛГОРИТМЫ ЗАДАЧИ ВОЗВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. 15
ординат а вне этой сферы — в геоцентрической
системе координат maxyz с параллельными осями.
Пусть орбита ИСЛ целиком расположена в СД Луны
и задана кеплеровыми элементами дю = Ш%, ix, рх,
ех, ах, тД в селеноцентрической системе координат
Обозначим через ро, По и pi, Uj селеноцентрические
радиусы-векторы и скорости соответственно в моменты
t0 начала и конца активного участка. В момент t3 пе-
ресечения СД кинематические параметры r3, V3 геоцен-
трического движения будут получаться из селеноцентри-
ческих данных р3, П3 по формулам
Гз = Рз + Гь(*з), v3 = U3 + VL(i3), (1.1)
где rL(i3), VL(i3)— известные (например, из Астрономи-
ческого ежегодника) геоцентрические радиус-вектор и
скорость Луны.
Так как радиус р3 = р* невелик по сравнению с гео-
центрическим радиусом rL Луны, то вектор выходной се-
леноцентрической скорости U3 в основном определяет че-
рез V3 параметры геоцентрического движения, и, в част-
ности, элементы H„, i„, Вектор U3 зависит от парамет-
ров движения в конце активного участка, т. е. от компо-
нент вектора Д1Д приращения селеноцентрической ско-
рости после маневра. Таким образом, задача разбива-
ется на две: внешнюю задачу выбора вектора V3, обеспе-
чивающего выполнение трех заданных условий в перигее,
и внутреннюю задачу выбора вектора Д1Д, обеспечиваю-
щего скорость U3, задаваемую согласно (1.1) решением
внешней задачи.
Внешнюю задачу можно решать, пренебрегая измене-
ниями векторов Гз, rL, VL, происходящими при изменении
вектора V3 вследствие изменения решения внутренней
задачи. Действительно, изменение вектора г3 будет мало
по сравнению с rL вследствие малости СД. Изменения
векторов rL и Vi, по модулю будут малы по сравнению,
соответственно, с модулями векторов г3 и V3 вследствие
малости изменений времени Т. = t3 — tQ полета в СД по
сравнению с t3n = t.-, — t3, ибо 71,, t3 В этих условиях
изменения скоростей выхода U3 и У3 будут практиче--
скц одинаковыми.
§ 15.11
ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
371
При фиксированном векторе г3 вектор V3 можно най-
ти по заданным величинам Яя, гя, Хя. Действительно,
если бы вместо Хя была задана энергия h геоцентриче-
ского движения, то при отсутствии возмущений вектор
V3 находился бы без итераций (§ 15.3), так как гя опреде-
ляет плоскость движения, h — величину скорости У3, а
Ял — направление этой скорости в выбранной плоскости
(в силу геоцентрических интегралов энергии и площадей
для точек 3 и л). Величина %я в основном определяется
Рис. 15.1. Геометрические параметры селеноцентрического и геоцентри-
ческого участков траектории возвращения КА от Луны к Земле.
полным временем полета Т = £я — to (вследствие суточно-
го вращения Земли), а время Г.в основном зависит от
энергии h (рис. 15.2). Найдя У3, определим из (1.1) ком-
поненты вектора U3 = V3 — VL(i3), являющиеся исходны-
ми для решения внутренней задачи (рис.15.1').
Во внутренней задаче допустимо приближенно счи-
тать одинаковыми изменения направления векторов U3 и
U„ при изменении начальных данных селеноцентриче-
ского пассивного участка pi, Uj, ибо pi < р3. Внутреннюю
задачу можно решать не только в точной (§ 16.2), но и
в импульсной постановке (§ 16.1).
Внутреннюю и внешнюю задачи можно стыковать по
вектору ито, выбирая методические и счетные невязки
24*
372
ОБЩИЕ АЛГОРИТМЫ ЗАДАЙТЕ ВОЗВРАЩЕНИЯ
Г ГЛ. 15
Рис. 15.2. Зависимость энер-
гии h геоцентрической траек-
тории возвращения от време-
ни полета Т между Землей
путем итераций. Действительно, вычислив начальное
приближение для вектора U„ (§ 16.1), путем решения
внутренней задачи найдем соответствующие начальные
данные пассивного участка и вектор AU. Находя с нуж-
ной точностью для этих данных
траекторию до условного пери-
гея (в предположении отсут-
ствия атмосферы), определим
параметры Ня, 1Я, (§ 15.4).
Если они будут отличаться от
заданных //л, j„, А,я, то найдем
поправки к скорости Уз и к
скорости U3, которые пересчи-
таем в поправки к скорости U3
(§ 16.3). Теперь можем повто-
рить итерацию сначала. Когда
эти итерации сойдутся, то по-
лучим вектор AU характерис-
тической скорости маневра и
энергетические затраты в виде
модуля AU.
§ 15.2. Связь геоцентрической энергии
со временем полета
Время перелета между Землей и Луной можно опре-
делить численно методом долготной привязки (§ 9.1)_ с
точностью ± 5 мин. Для этого достаточно задать to, Нл,
in, и целое число п звездных суток полета. При этом
точность определения энергии геоцентрической орбиты
довольно высока ^порядка 10 ~3 —Однако метод дол-
готной привязки связан с итерациями, и его использова-
ние не всегда оправдано. Здесь оказалось приемлемым,
исходя из более упрощенной модели, представить энер-
гию зависимостью h = h(T) (рис. 15.2), рассчитанной для
фиксированного значения Нл и круговой' орбиты Луны
с радиусом aL = 384 000 км. В рассматриваемом прибли-
жении правая ветвь сплошной кривой на рис. 15.2 соот-
ветствует движению КА сначала к апогею и лишь за-
тем — к перигею.
§ 15.2] СВЯЗЬ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СО ВРЕМЕНЕМ 373
Левая ветвь, отвечающая движению сразу к перигею,
будет рассматриваться в основном в области h < 0.
В этой области зависимость аппроксимируем степен-
ной зависимостью
3/2 Г г
h (У) = hm + KNI T - Г |w, Tm = , am =
к P-G
где T — значение 7, соответствующее минимуму h,„ =
= — pG/«,n функции h(.T). При h = hm апогейпый радиус
геоцентрической ТВ равен расстоянию от Земли до Лу-
пы. Значение Т' максимально для ТВ, отвечающих левой
ветви сплошной кривой на рис. 15.2. Коэффициент KN
подберем из условия h = 0 при Т = Тя, где
Тп = (2гя + rL) /2(гт-гя)/Ио/3 (2.1)
— время полета между радиусами-векторами гя и ту
по параболе. Получим KN = — hm/\T„ — Т'\я, так что
h = hm\l- Ч (2.2)
Показатель N подберем из условия минимума погреш-
ности аппроксимации, например, в середине участка
(Тп, Т'). Из целых значений N наиболее подходящим
оказалось А = 4 (пунктир на рис. 15.2). При этом по-
грешность аппроксимации составляет около 1%.
Следует заметить, что при возвращении по траекто-
риям с Т Ф Т' будет гз^ГьПз). Поэтому для увеличения
точности расчетов модуль радиуса-вектора Гз можно уточ-
нить, используя информацию о направлении оси пучка
траекторий в СД Луны (рис. 5.1). Тогда
Л = rl + Рз — 2гьрз cos бОп cos аоп, (2.3)
где аоп, боп — долгота и широта направления оси пучка
траектории с теми же времене^м перелета Т и углом
наклонения i плоскости геоцентрической орбиты КА.
Тогда формула (2.1) переписывается в виде
Тп = (2гя + г3) /2(г3-гя)/ц0/3. (2.4)
Использование формул (2.3), (2.4) позволяет приблизить
точность формулы (2.2) к точности метода долготной при-
вязки траекторий, если еще учесть влияние возмущений
374
ОБЩИЕ АЛГОРИТМЫ ЗАДАЧИ ВОЗВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. 15
от Луны, которые наиболее заметны при Т — Т'. Если
ограничиваться одной поправкой Д71 на это влияние, то
ее следует вводить в величину Т'. Для ТВ с поверхности
Луны или с низкой орбиты ИСЛ следует использовать
Т' + \Т вместо Т’, где ДГ « —5500 с.
§ 15.3. Вычисление вектора скорости
по заданным значениям энергии, высоты перигея,
наклонения и радиуса-вектора
Заметим, что задание высоты Нп перигея при фикси-
рованном h равносильно заданию секториальной скоро-
сти Сп: __________
rn = rG + Hn, Vn = /2pG/rn + h, Сл = глРл,
где V„ — скорость в перигее, га — радиус точки пересече-
ния гп с земной поверхностью.
Пусть радиус-вектор г задан его сферическими коор-
динатами г, ср, X в любой певращающейся системе коорди-
нат maxyz. С помощью
интегралов энергии и пло-
щадей получим
Рис. 15.3. След (ло£1) геоцентриче-
свой траектории возвращения на
единичной сфере.
VTP = cos i/cos ср, Vxm
V--= /2Ис/г + h, Vz=C:i!r,
s' VV- - V*,
где и К — трансвер-
сальная и радиальная ком-
поненты искомой скорости
V, a s' — знак Vr, кото-
рый необходимо заранее
задать. В задаче возвра-
щения к Земле будем счи-
тать s' = — 1. Разложим Vt
на составляющие по па-
раллели и по меридиану:
= syVT ]/1 — (cos i/cos ip)2.
Здесь sv—знак V™, который тоже надо заранее задать.
В окрестности 90° окололунного узла при прохождении
траектории возвращения через северное полушарие имеем
Я 15.41 СКОРОСТЬ <.пл БЕСКОНЕЧНОСТИ» 375
•’v — +1, а при прохождении через южное полушарие
Sv — —1- Смысл задания Sy могут пояснить следующие
соображения. Поскольку Vrm = Vt cos Ап, где AD есть
угол вектора VT с меридианом (рис. 15.3), то «у=
= sign cos А п. Из теоремы косинусов для углов сфериче-
ского треугольника <!AND, где сторона V-й = 90°, имеем
cos Лп = sin i cos(X — ST). Величина (X—П) в свою оче-
редь находится из сферического треугольника SIDE (рис.
15.3), где угол Е' = 90°, по sin (X—-Я) — tg cp/tg i в I, II
четвертях, если sin (X — -Я)>0, и в III—IV четвертях,
если sin (% — Л) < 0. Таким образом, выбор «у эквива-
лентен выбору четверти, которой принадлежит угол
(X — Л).
Проектируя V на координатные оси х, у, z, получим
х — Vr cos Л. cos ср — Vxp sin Л. — Vxm sin ср cos X,
У = Vr sin X cos cp 4- Vxp cos X — Vxm sin cp sin X, (3.1)
z = Vr sin cp 4- Vxm cos cp.
§ 15.4. Начальное приближение для скорости
«на бесконечности»
Скорость U„ «на бесконечности», соответствующая
заданным величинам Нл, гл, %я, зависит еще от выбора
момента t0 начала маневра и числа п целых звездных
суток, содержащихся во времени полета. Величины to, п
здесь тоже будем считать заданными.
Найдем приближенно полное время полета от Луны,
пренебрегая ее притяжением. Считая радиус р* СД ма-
лым по сравнению с rL; принимаем известный вектор
Гь(£о) за начало ТВ. Его компоненты xL, yL, zL и момент
to определяют его географические координаты cpL, XL.
Углы
%D = %r,4-n, <рл=. —cpL (4.1)
определяют направление D, противоположное rL. Найдем
через угловую дальность полета Ф = Ф(го. гя) (рис. 15.3.)
угол
ф (гя, D) = 180° - Ф.
(4-2)
376 ОБЩИЕ АЛГОРИТМЫ ЗАДАЧИ ВОЗВРАЩЕНИЯ [ГЛ. 15
При этом угол Ф находится в I—II четвертях:
rn = rG + Hn, созФ = [(rL/p)-1 —1]/е,
е = 1 — rn/a, р = rn (1 + е), а = pG/h0, ' '
где hQ — определяется по формуле (2.2) параметрами гя,
rL(i0) и Т = In + 0,5) сут. Далее из рис. 15.3 находим по
формулам сферической тригонометрии
sin Ф (D, -И) = — sin q>c/sin гя,
Ф(£), Л>) — в I, —I четвертях,
Ф (гя, Л>) = Ф (гя, D) + Ф (£>, Л>),
sin фя ==—sin Ф Д'я, Л>) sin in,
sin Ad = cos гя/соз ф£>,
sin X„jL> = sin Ф (гя, D) sin A0/cos (ря,
X.-r.o — в I, —I четвертях. -- (4.4)
Величина Хя = в, приведенная к интервалу
(0, 2л), приближенно равна географической долготе пери-
гея и определяет время перелета в сутках (§ 9.1):
т = п+4 + —• <4-5)
Уточненное с учетом невязки X — X 0 время
1 - П + т п 2л------------•
Далее уточним h = h(T) с помощью формулы (2.2) (для
Гв = Гь(^о), гя = rG + Яя.) и геоцентрическую скорость КА
на выходе из СД Уз по формулам (3.1) (для r = rL(t0),
Нп = Ня, i = in, h = h(T\ s' = 1 и принятого знака Sy.
Искомый вектор скорости «па бесконечности» определя-
ется из векторного уравнения
П^Уз-УвИо). (4.6)
S 15.4]
СКОРОСТЬ «НА БЕСКОНЕЧНОСТИ»
377
Этот расчет можно уточнить, если не пренебрегать раз-
мерами СД и найти момент
i3 выхода из нее, принимая
приближенно, что отношение
(i3 — t$}JT задано. Уточнить
время £3 — to полета КА в
СД Луны можно с помощью
графиков (рис. 5.3). Тогда
точку выхода из СД можно
приближенно найти, полагая,
что она находится в плоско-
сти лунной орбиты, а на-
правление геоцентрической
скорости V3 выхода из СД
обратно rL(i3). Соответствую-
щие формулы в этом случае
имеют вид (см. рис. 15.4)
Рис. 15.4. План скоростей на вы-
ходе из сферы действия Луны
при возвращении к Земле (про-
екция на плоскость лунной ор-
биты).
Уз — V2\уа1гь (^з) + h.
Гз ?= гь (*3) — Р* cos 93,
tge3 = vL(i3)/v3,
из = uL (t3) — р* sine3/r3.
(4.7)
Величины Гз и и3 суть геоцентрические радиус-вектор и
аргумент широты проекции точки выхода из сферы дей-
ствия на плоскость лунной орбиты.
Используя известные наклонение iL и долготу
восходящего узла лунной орбиты, получим по обычным
формулам геоцентрические точки выхода:
х3 = r3 (cos и'з cos — sin и3 sin cos II),
у3 — r3 (cos и3 sin -|- sin ия cos Л с cos iL), (4.8)
z3 = r3 sin u3 sin iL.
Теперь по формулам § 15.2 уточним энергию полета
h, найдем новый вектор V3, использовав в формулах
§ 15.3 уточненные значения радиуса г = г3 и энергии
h. Далее получим селеноцентрическую скорость U3
выхода и искомый вектор U., принимая, что U„ и U3
коллинеарны: ___________
из = v3 - V;. (/3), Ux = I fU23 - 2^/р*,
(4.9)
UTO =t/oo.U3/| U3|.
378
ОБЩИЕ АЛГОРИТМЫ ЗАДАЧИ ВОЗВРАЩЕНИЯ
[ГЛ. 15
§ 15.5, Расчет перигейных параметров
Расчет параметров Ня, in, ля в перигее л по началь-
ным данным ii, pi, Ui пассивного участка может произ-
водиться путем численного интегрирования дифференци-
альных уравнений движения. Назовем такой вариант
расчета ЧИ. Более быстрым является приближенный рас-
чет методом ИВ, когда траектория заменяется дугами
конических сечений, стыкуемыми на границе СД. Такой
вариант расчета назовём КС. В обоих вариантах расчет
начинается с определения времени t3 пересечения СД.
Вариант ЧИ.
1) Компоненты векторов рз = рКз), U3 = U(i3) нахо-
дятся численным интегрированием по начальному мо-
менту t] и элементам селеноцентрической гиперболы;
2) геоцентрические векторы г3, V3 находятся по i3,
р3, U3 из формул (1.1);
3) параметры tn, гя, V„ в перигее находятся числен-
ным интегрированием по начальным данным i3, г3, V3.
Интегрирование кончается, когда радиальная скорость
впервые перейдет через нуль, возрастая;
4) высота Нп и географические координаты Хя, <ря
перигея, а также его геоцентрические долгота X и широ-
та <р находятся по t„, гя;
5) геоцентрические элементы {<7>,я), в том числе и по-
следний искомый параметр in, находятся по tn, гя, V„.
Вариант КС.
1) Компоненты векторов рз = р(£з), U3 = U(£3) опре-
деляются формулами кеплерова движения по элементам
и рз = р*;
2) компоненты векторов г3, V3 находятся из формул
(1.1) по t3, рз, U3;
3) геоцентрические элементы {д,я} s {313} вычисляют-
ся по t3, Г3, V3;
4) параметры t„, rn находятся по элементам {д1Я}, при
этом tn = Т3;
5) географические координаты <ря, Хя и высота Н„ оп-
ределяются по tn, г„. Искомые отклонения перигейных
параметров от заданных определяется в обоих вариантах
одинаково:
У1 — Ня Нл, Уч = (д (л> Уз = ^л ^л-
Глава 16
ЧАСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ В РАЗЛИЧНЫХ ЗАДАЧАХ
ВОЗВРАЩЕНИЯ ОТ ЛУНЫ К ЗЕМЛЕ
§ 16.1. Решение внутренней задачи
в импульсной постановке
Пусть даны в момент радиус-вектор pi и скорость
«па бесконечности» U». Необходимо найти начальную
скорость U[ соответствующего гиперболического движе-
ния в певращающейся селеноцентрической геоэкватори-
а.тьпой системе координат «НдрС. Находим
tfi2 = + (14)
Согласно § 14.2 для угла ои между начальной'скоростью
и радиусом имеем два значения
Ф. U Ф,
ai = ~v-H-Yb sin у; = sin —- (t = l, 2);
(1.2)
фт -|- ф2 = 2л.
Соответствующие этим решениям гиперболы обходят
центр притяжения с разных сторон в плоскости векторов
Pi, U„ (рис. 14.3). Поэтому задаемся еще знаком з =
= sign(sinO), что позволяет из двух решений выбрать
одно. Заметим, что при угловых дальностях Ф > л ради-
альная компонента начальной скорости может быть Up <
< 0, и траектория может опуститься к центру притяже-
ния mL ниже минимально допустимого уровня pm = pL
(или другого заданного). Найдем угол ат, соответствую-
щий касанию траектории со сферой р = рт. Для него
ря = рт, так что из интегралов энергии и площадей
= + 1 = 1,л, Unpm = ulplsinam (1.3)
380 ЧАСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ЗАДАЧИ ВОЗВРАЩЕНИЯ [ГЛ. 1G
имеем
откуда
sin2 ат
н-
(1.4)
cos ат = - /(1 - v) (1 v (t/oo/t/J2],
(1.5)
где v = p,„/pi<l. При cos а cos am траектория должна
быть отброшена.
Найдем компоненты переходного импульса в прост-
ранстве полагая время активного участка h —
— to = 0, т. с. ii = t0, pi = ро, где р0 определяется по эле-
ментам {(/.о) орбиты ИСЛ и заданному моменту t0. Для
этого найдем направление С'° кинетического момента для
гиперболического движения
s(PlxU~)
I PxXU^I ’
(1.6)
как в Приложении 1 (рис. П 16). По значению
cos i' *= Cz° и sign i’ — sign (— С,0)
находим — л < i' < л; находим Ль' (I Я' | sS 90°) и 0 Я
Я и' < 2л по формулам
sin Я' = Cx°/sin ir, cos Я' = — Cy°/sin i', ?
sin и' — sin cp0/sin i', cos u' =cos ф0 cos (Я' — %0),
где %o, фо — сферические координаты направления Ро
вектора ро; Л' — долгота ближайшего к Хо узла гипер-
болы; и' — аргумент широты вектора Ро на этой гипербо-
ле. Теперь находим компоненты вектора начальной ско-
рости
£э= U1 (cos JV1 cos Я' — sin sin Я' cos i'),
T]3 — t/j (cos W\ sin Я' 4- sin WT cos Я' cos i'), (1.8)
£э = U1 sin W1 sin i', + u'.
Искомый вектор переходного импульса ’
AU = Ui-Ux, (1.9)
где Ux определяется по заданным элементам {д,о) орбиты
ИСЛ в заданный момент ta.
§ Hi.И
ВНУТРЕННЯЯ ЗАДАЧА В ТОЧНОЙ ПОСТАНОВКЕ
381
§ 16.2. Решение внутренней задачи
в точной постановке
Идея точного расчета маневра перехода состоит в
аналитическом интегрировании уравнений движения в
транспортирующей системе координат и в учете влияния
возмущений путем численного интегрирования (плюются
в виду только возмущения от
смещения КА из начала коорди-
нат).
Транспортирующая система
координат считается движущейся
поступательно по орбите р = рх(/)
с началом в ИСЛ (рис. 16.1). На-
правление реактивной тяги счита-
ется постоянным на активном
участке, и длина его предполага-
ется настолько малой, что имеет
место сходимость следующего ите-
рационного процесса.
1) Векторы ро, Uo, AU нахо-
дятся, как в § 16.1, по вектору
U„, моменту t0 и элементам {g,ol
исходной орбиты ИСЛ в предпо-
ложении, что импульс A U сооб-
щается в начальный момент t0.
Здесь ро — наиальный радиус-век-
тор, Uo — начальная скорость.
Компоненты единичного вектора
AU0 используются в качестве на-
тора pUi) начального по-
ложения на гиперболе в
начальный момент — ра-
циусы-векторы: — нача-
ла транспортирующей си-
стемы координат, qr —сме-
щения КА в этой системе
и qb— возмущения, воз-
никающего за счет нали-
чия смещения од.
чального приближения для направления V° характери-
стической скорости Vx.
2) Приближенные значения pi, U! находятся чис-
ленным интегрированием уравнений возмущенного
движения
Рв = Ць
Рх
Рх
-Р-')
р3 /
(2.1)
при начальных данных (р„)0 = (рв)о = 0. Здесь — грави-
тационный параметр Луны; р = Рх + Рв + Рв, U=UX +
+ Рв + Рв, Рв = — V£Vrln(l — ат), т=£—t0, рд (i0) =0,
382
ЧАСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ЗАДАЧИ ВОЗВРАЩЕНИЯ [ГЛ. 1G
Vr — скорость истечения; а — относительный секундный
расход массы. Соответствующая формула для
рл =[ат + (1—ат) In (1 — ат)| V" (2.2)
предполагает, что ря(£о) = 0. Кинетические параметры
Px(f) и Ux(f) движения начала транспортирующей систе-
мы координат находятся по элементам {д,о) исходной
орбиты ИСЛ.
Интегрирование продолжается до момента ii, когда
впервые станет Ux— (2pib/pi) = U™. Полагается тог-
да pi = p(tj), U[ = U(i[).
3) Элементы {r/ij} вычисляются ио параметрам £j, pi,
К|.
4) Новые значения векторов U", ЛИ” находятся,
как в § 16.1, по И», .значению U (вместо <о) и элементам
(вместо {д^}). (Заметим, что получаемое при этом
новое значение Ро = pj.
Полагаем
V!v = Ря (^) ч- Л^ди". (2.3)
Здесь вместо V» первым слагаемым стоит фактический
импульс тяги (того же направления), величина которого
уже учитывает гравитационные потери и потому превос-
ходит Vx. Вторым слагаемым является поправка к харак-
теристической скорости, вызванная малым отличием на-
правления вектора Uj от нужного и потому гораздо мень-
шая по модулю, чем pK(ii). Коэффициент Kv введен для
улучшения сходимости итераций. Подбирая Kv, можно
учесть, что вектор тяги будет сразу направлен по векто-
ру Vx, а не по вектору Vx. в начале и по вектору AUH
в конце активного участка. Для того чтобы в конце ак-
тивного участка получить не только заданный модуль
вектора U„, но и его заданное направление, можно еще
раз повторить решение внутренней задачи в импульсной
постановке (см. § 16.1) и еще уменьшить поправку 1AUH|.
5) При IA Ua I > 8г, где ги — заданная точность, по-
вторяются пп. 2)—4). При IA U" | < еи задача решена, и
полагаем Uj = U", AU — V",
§ 16.3]
СТЫКОВКА внешней и внутренней задан
383
§ 16.3. Стыковка внешней и внутренней задач
путем итераций
В соответствии со сказанным выше, итерации выпол
пяются по схеме на рис. 16.2.
1) ti, {<Л1) находятся, как
вестным параметрам i0, {?io}
одно из направлений обхода
Луны искомой траекторией.
2) t3, {g<3}, rL(i3), рз, U3,
Гз, V3, in, {t/in), фя, )^я, Гл, Нпч
у, определяются, как в § 15.5,
по ti, и необходимым
константам.
3) Сравнивается у, с е;,
где е4 — заданные точности.
При lyj < е,- (/ = 1, 2, 3) за-
дача решена. В противном
в §§ 16.1 или 16.2, по из-
, U°TO) s, ци, где s = ± 1—
Рис. 16.2. Блок-схема итерацион-
ного алгоритма расчета траекто-
рии возвращения к Земле с ор-
биты ИСЛ.
случае определяются следую-
щие величины.
4) АТ7 = (— уз + W/ciia,
А" = + ААЯ, где б/, — по-
поправка, о которой сказано ниже; <в0 — угловая скорость
вращения Земли; ААЯ = h(T + АТ7, гя) — h(T, гл~) находит-
ся с помощью формул § 15.2. Здесь • гп = Н„ + 7?э(1 —
— aCH<sin2(pn), где Н3 — экваториальный радиус Земли,
ссСж — коэффициент сжатия Земли.
5) i3 = i3 -J- А3 = А3 -|- С3 = С3 кс^С.
(Коэффициенты A,-, kh, кс ~ 1 вводятся для улучшения
сходимости). Вектор V“ определяется формулами § 15.3
по г”, Ад, ^“(вместо г, А, СЯ = С3). Находятся АУ3=Уз—
—V3,U“ =U3-|-AU3, новые нормирующие величины Uх =
= V(^з)2 — 2ць/р*, и^о (U“)2 — (2ць/р*) И соответ-
ствующие векторы Uoo = UooUg/UsiV™ = U00 Us/tZs, поправ-
ка AUM = U^, — Uoo и новый вектор U“ = Uoo + AUoo.
Далее повторяются пп. 1), 3) настоящего параграфа.
Коэффициенты A,-, kh, кс, отличные от единицы, могут
ускорить сходимость итераций, если их подобрать с уче-
том различия параметров i, А, С в точках Зил (обуслов-
ленного возмущениями).
384
частные алгоритмы задачи возвращения [гл. ig
ются гораздо менее сущест
Рис. 16.3. Геометрические парамет-
ры геоцентрической траектории воз-
вращения на единичной сфере.
Величина Ал в и. 4) введена в связи с тем, что ма-
лый поворот геоцентрической плоскости траектории Ai =
= к,уг вызывает смещение перигея по геоцентрической
долготе (и широте) того же порядка малости. (Смещения
перигея по геоцентрической долготе за счет изменения
энергии h полета и секториалыгой скорости С оказыва-
вши.) Рассмотрим поворот
плоскости движения во-
круг радиуса г3 па угол
6ЛD, соответствующий из-
менению Ai наклонения,
где Ad — азимут траекто-
рии в точке D, противо-
положной точке £)* (рис.
16.3, maD* — направление
на точку 3 на СД). Тра-
ектория всегда обходит
Землю от точки Z)* через
перигей л к точке D.
Имеем геоцентрические
широту и долготы
фв = — фз,
Ав == л Т А3, Апв == Ав Ая,
где А'п — геоцентрическая
долгота перигея. Для сфе-
cos Фяд=зш фя sin фо -J- cos фл;соз фл cos AnD, sin Фяд>0,
л s!n “ cos sin фо
CUo — — 1 —. •.
СО8СРд8шФя£|
А sin tp n — cos Ф n sin ср
cos АЛ =----ч—т------—------.
sm ФяВ cos фл
Из сферического треугольника NSID по теореме си-
нусов sin Лв = cos in/cos фв, откуда варьированием на-
ходим
6ЛВ = — sin iny2/(cos фд cos Лв).
Дуга лл' малого круга имеет длину |6Лв1зш Флв. Заме-
ним ее дугой большого круга той же длины, используя
малость угла 6Лв. Тогда из сферического треугольника
ля/N, в котором угол л/ близок к (90° — Лл), найдем по
рического треугольника NnD
§ 16.4]
ДВА ВОЗМОЖНЫХ МЕТОДА ВЫЧИСЛЕНИЯ
385
теореме синусов
6?v « — cos Ал sin ФллбЛд/cos срл.
Замечания. 1. Если использовать вместо числен-
ного интегрирования уравнений пассивного полета рас-
чет этого полета по коническим сечениям (т. е. без уче-
та возмущений), то оказывается, что после расчета на-
чального приближения скорости «па бесконечности»
(§ 15,4) с уточнением U„ по формулам (4.5), (4.6) тре-
буется 5—7 итераций для обеспечения следующих точ-
ностей параметров в перигее:
8НЛ — 0,1км, = 0,003рад, 6£Л = 0,001 рад.
Времена полета до перигея брались порядка 3—4,5 су-
ток, причем возвращение происходит с орбит ИСЛ с вы-
сотой 1—2 тыс. км.
2. Использование численного интегрирования вместо
расчетов по конечным формулам несущественно сказыва-
ется на числе итераций, так как вновь учитываемые при
этом возмущения вносят лишь члены с малыми парамет-
рами в правых частях уравнений движения, а решения
и их производные по начальным данным в силу непре-
рывной зависимости от малых параметров изменяются
мало.
3. Если процесс итераций сошелся, то можно путем
изменения момента to схода минимизировать переходный
импульс. Это легко сделать, например, путем перебора
в два этапа. На первом этапе определяются допустимые
диапазоны значении to (внутри заданного витка орбиты
ИСЛ), для которых траектории пе подходят к Лупе бли-
же заданного расстояния (рл > р,„) отдельно для решений
с зтФ1>оо>0 и с зтФ11ОЭ<0. На втором этапе внутри
найденных диапазонов производится перебор значений to,
минимизирующий переходный импульс.
§ 16.4 Два возможных метода вычисления
начального приближения
для траектории возвращения
Рассматриваемые методы основаны на долготной при-
вязке геоцентрической траектории в перигее и в точке
либо старта с круговой орбиты ИСЛ (первый метод), ли-
бо выхода из СД (второй метод).
25 в. А. Егоров, Л. И. Гусов
386
ЧАСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ЗАДАЧИ ВОЗВРАЩЕНИЯ [ГЛ. 16
1. Напомним, что для привязки ТВ по долготе необ-
ходимо задать значения начального момента to, числа п
целых суток полета, перигейных наклонения iK, высоты
7/л и географической долготы Хя.
В результате привязки ТВ по долготе (согласно
§§ 9.1 и 11.2) можно получить элементы {<рп} геоцентри-
ческой орбиты па момент tn прохождения КА точки л
условного перигея. Идея первого метода состоит в ис-
пользовании элементов {<?,•.Л (полученных из долготной
привязки траектории) в качестве исходного приближения
для решения путем численного интегрирования предва-
рительной краевой задачи в обратном времени (интегри-
рование идет от точки л до сближения с Луной па ми-
нимальное расстояние). За аргументы в предварительной
краевой задаче удобно взять элементы
hn = h (tn), ЗЪц — Л> (tn), (in)*
Их начальные значения при фиксированных io, п, 1Я, Нк,
и схеме перелета (N или S) дает привязка ТВ по
долготе.
В качестве функций этой краевой задачи можно
взять: угол £ между векторами px(io-)’ (радиус-вектор точ-
ки старта с орбиты ИСЛ) и p(io) (радиус-вектор точки
селеноцентрической гиперболы, оскулирующей на момент
io); модуль p(i0) вектора p(io) и угол a'(io) между век-
торами p(io) и U(io) (скорость в точке селеноцентриче-
ской гиперболы на момент io). Отметим заданные значе-
ния функций чертой сверху: (5 = 0, р = px(to), а' — 90°.
Предварительная краевая задача в рассмотренной
постановке сходится надежно.
В отдельных случаях селеноцентрическая гипербола,
оскулирующая на момент io и полученная по первому
решению задачи Коши (в обратном времени), дает хоро-
шую сходимость точной краевой задачи типа рассмот-
ренной в § 16.3.
Предварительная краевая задача дает точное решение
в импульсной постановке. Время решения предвари-
тельной краевой задачи в этом случае на ЭВМ-222 со-
ставляет около 10 мин. Если же пассивные участки по-
лета определяются по коническим сечениям, то время
решения предварительной краевой задачи не превышает
2 мин (на ЭВМ-222).
§ 16.4]
ДВА ВОЗМОЖНЫХ МЕТОДА ВЫЧИСЛЕНИЯ
387
2. Другой прием решения предварительной краевой
задачи основан на привязке ТВ по долготе в перигее и
в точке, лежащей на границе СД. При известных to, Г, i
сферические координаты аоп, боп оси пучка селеноцентри-
ческих гиперболических ТВ определяются, например, с
помощью зависимостей рис. 5.1, 5.2. Пусть искомая тра-
ектория пересекает СД в момент is в точке, отклоненной
от оси пучка по селеноцентрической долготе и широте на
углы Да л Дб соответственно. Тогда можно подобрать
такие значения Да и Дб и момент времени h, чтобы
введенные выше функции fJ, р, а' приняли заданные зна-
чения [J = 0, р = px(to), а' = 90°. При этом в координатах
точки выхода КА из СД (б0П + Дб; а0П + Да.) величины
а„п и б,1П па каждой итерации должны определяться по
зависимостям рис. 5.1, 5.2, где время полета Т и угол i
получаются в результате привязки траектории по долготе
в точке выхода из СД. Таким образом, аргументами в
такой краевой задаче являются Дб, Да, t?,.
Удобство аргументов Да и Дб состоит в том, что их
значения па СД всегда можно задавать в заранее извест-
ной области, через которую выходят ТВ с нужными на-
клонениями и энергиями. В такой постановке предвари-
тельную краевую задачу целесообразно решать без чис-
ленного интегрирования, пренебрегая возмущениями, т. е.
заменяя ТВ селеноцентрическими коническими сечения-
ми, стыкуя их па СД и привязывая геоцентрический учас-
ток движения ио долготе.
Глава 17
СТАНДАРТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА
ТРАЕКТОРИЙ ВОЗВРАЩЕНИЯ
В гл. 16 было дано решение приближенной и точной
краевой задачи вычисления начальных данных ТВ с ор-
биты ИСЛ, нестандартное в следующем смысле. Во-пер-
вых, за аргументы краевой задачи брались условные
величины — три компоненты вектора U„ скорости «на
бесконечности», которая физически пе реализуется. Во-
вторых, и это главное, нестандартно — без вычисления ма-
трицы производных от заданных функций Нл. i„, по
аргументам задачи — находились поправки к аргументам,
ведущие к сходимости процесса итераций. Это сокраща-
ет время решения краевой задачи на ЭВМ, но требует
дополнительных программ (и их отладки), в то время как
существуют отлаженные стандартные программы реше-
ния краевых задач заданной размерности. Доступность
их использования делает оправданной постановку для
ТВ некоторых стандартных краевых задач, рассчитанных
на применение готового математического обеспечения
ЭВМ.
Краевые задачи вычисления ТВ, удовлетворяющей
заданным условиям в перигее, обладают лучшей сходи-
мостью по радиусу перигея, чем краевая задача попада-
ния в Лупу — по радиусу периселения траектории. Так,
например, отклонение начального приближения от реше-
ния до 200 тыс. км (но прицельной дальности) обычно
не приводит к расходимости. Это объясняется тем, что
гравитационное поле Земли в 80 раз мощнее, чем у Лу-
ны, однако наличие в краевой задаче вычисления ТВ
специфического условия по географической долготе пе-
ригея серьезно ухудшает сходимость, потому что угловая
скорость суточного вращения Земли велика по сравнению
§ 17.1]
ДВЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
389
с угловой скоростью обращения Луны вокруг Земли, а
геоцентрическая скорость в перигее гораздо больше ско-
рости на расстоянии Лупы. Эти обстоятельства вместе с
пространственностью маневра у Лупы (обеспечивающего
возвращение) приводят к большей трудности вычислений,
чем в краевой задаче попадания в Луну, и заставляют
иногда прибегать к решению предварительных краевых
задач (вроде задач § 16.3).
Если при расчете ТВ уменьшить число заданных ус-
ловий, то в краевой задаче число свободных аргументов
станет больше числа заданных функций. Избыточные ар-
гументы обычно выбираются из условия минимизации
затрат характеристической скорости, что еще больше уве-
личивает объем вычислений.
§ 17.1. Две методические краевые задачи
Учет лишь основных действующих сил достаточен по
только при расчете начальных приближений к искомым
ТВ, но и при анализе влияния разброса (малых измене-
ний) начальных данных на ТВ. Этот анализ можно де-
лать методом ИВ, т. е. учитывая лишь притяжение Зем-
ли вне СД Лупы и притяжение Луны в ее СД. В этом
анализе методически более важно в рамках метода ИВ
поточнее определить начальные данные осевой ТВ (тра-
ектории, проходящей через центр Земли), поскольку
влияние разброса начальных данных должно быть при-
мерно симметрично для траекторий, симметричных отно-
сительно осевой ТВ.
1. Идея краевой .задачи быстрого определения осевой
траектории пучка с заданной точностью состоит в ис-
пользовании компонент вектора С геоцентрического кине-
тического момента в качестве функций краевой задачи.
Для нахождения осевой траектории значения этих функ-
ций задаются равными нулю. Удобство этих функции
в том, что вектор С линейно зависит от начальных дан-
ных (в то время как отклонение гя траектории от центра
Земли зависит от них существенно нелинейно). При этом
краевая задача является двухпараметрпческой.
Проще всего ее решать в плоскости И1:, проходящей
через вектор С ортогонально, геоцентрическому радиусу
г3 точки выхода КА из СД. Вектор С имеет лишь две
390
СТАНДАРТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТВ [ГЛ. 17
компоненты (Ci, С2) в плоскости Пс, так что ее можно
считать аналогом картинной плоскости, имеющим смысл
не только для гиперболического, но и для эллиптического
движения.
Целью краевой задачи является получение Ci = С2 =0
с заданной точностью ес. Задавать величину ес следует
в зависимости от желаемой точности ег попадания в
центр Земли. Из условия гл < ег и интегралов площадей
и энергии (С = г„У„ й — V (2ц0/гл) + h) при малых гл
получаем С & 'У2цсгя, т. е. ec = V2pGer.
Пусть движение рассматривается в поступательно
движущихся геоэкваториальных системах координат.
Одна ось такой системы -координат направлена в точку
весеннего равноденствия, вторая параллельпа плоскости
земного экватора, а третья направлена параллельно уг-
ловой скорости вращения Земли. Внутри СД движение
рассчитывается в селеноцентрической системе координат
а вне этой сферы — в геоцентрической системе
координат mGxyz.
Траектория определяется селеноцентрическими геоэк-
ваториальными начальными данными х\, ух, Z\; х\,- у\, z\
и моментом начала движения па пассивном участке.
По этим величинам находятся селеноцентрические элемен-
ты, время Ц.з полета до границы СД, селеноцентрический
радиус-вектор рз и вектор скорости U3 па этой грани-
це. Находятся также в момент t3 по известным элемен-
там лунной орбиты геоцентрические координаты rL и ком-
поненты скорости ¥ь Луны.
Затем находятся геоцентрические координаты и ком-
поненты скорости аппарата
гз = гД^з) 4- Рз, V3 = УД?3) + П3. (1.1)
По этим величинам определяются элементы гео-
центрического движения, а также две компоненты Ct и
Сг кинетического момента С (проекции С на ортогональ-
ные оси
П1 X гз /' I сгХгз I и п2-= г, Ilj,
где с; — орт оси зД,
С1 = (СпД, С2 = (Сп2).
§ 17.1J
ДВЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
391
Здесь компонента Ci ортогональна геоцентрическому
радиусу г3 точки выхода- из СД и оси z3, а компонента С2
ортогональна радиусу гз и компоненте Сь Таким образом,
плоскость, проходящая через направления Сг и Ci, всегда
содержит вектор С геоцентрического кинетического
момента.
Для определения номинальных ТВ решается двухпа-
раметрическая краевая задача, например, методом Нью-
тона с использованием конечно-разностных производных.
Варьируются £i, — два из шести исходных параметров,
определяющих начальные данные, причем так, чтобы
параметры Сд и С2 принимали заданные значения. На-
чальное приближение задается-с помощью метода ТСД.
Расчеты показывают, что таким образом краевая задача
решается за несколько итераций. При этом величина С
уменьшается на четыре порядка (от значения ~ 105 км2/с
до 10 км2/сД Назовем для краткости такую краевую за-
дачу центральной. Обозначим через £?, £2 те значения
исходных параметров £1, £2, которые являются решением
центральной краевой задачи.
2. Для попадания в заданную точку G земной поверх-
ности с геоцентрическими координатами Хг, срг решается
вторая краевая задача — нецентральная.
Находятся географические координаты Х^, точки
пересечения траектории с земной поверхностью. Затем
строятся на плоскости Хер два противоположных криво-
линейных луча, по которым при изменении параметра gt
to
от значения Si соответственно в положительную и от-
рицательную стороны смещается точка пересечения тра-
ектории с земной поверхностью. Строятся также два
аналогичных луча, получающихся при изменении пара-
метра £2 от значения Очевидно, полученные четыре
луча задают криволинейную систему координат на пло-
скости Хер, определяющую нелинейное отображение пло-
скости £1^2 на плоскость Хер, взаимно однозначное в
рассматриваемой области изменения параметров .По
полученной криволинейной системе координат с помощью
линейного отображения могут быть найдены значения
параметров £i£2, отвечающие заданной точке сргХг. Они
могут использоваться в качестве начального приближе-
ния для решения новой двухпараметрической краевой
392
СТАНДАРТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТВ [ГЛ. 17
задачи — нецентральной. В результате могут быть найде-
ны значения £2, отвечающие попаданию в точку G
с нужной точностью.
§ 17.2. Проектная задача расчета возвращения
при свободной долготе восходящего узла
орбиты ИСЛ
Пусть орбита ИСЛ pji) задана по полностью, а имен-
но в заданный момент времени iy^x (соответствующий
нахождению КА в восходящем узле) заданы элементы
г\, Рм ек, сщ, а долгота восходящего узла -ГЦ не задана
п может быть любой.
Требуется возвратить КА к Земле так, чтобы в точ-
ке я условного перигея реализовались данные параметры
ы, Пусть решение задачи находится с помощью
численного интегрирования системы дифференциальных
уравнений (1.4.6). Траектории возвращения будем разли-
чать ио схеме возвращения (А, S) и по числу п целых
звездных суток, содержащихся во времени полета Т.
Пусть заданы еще схема возвращения и п. Пусть за-
дан, наконец, стартовый виток орбиты ИСЛ, соответству-
ющий временному промежутку от tдо 4- Ту..
Здесь Т\ — период, оскулирующий в момент iпро-
хождения узла Тогда существует единственная ТВ,
соответствующая минимальным затратам характеристиче-
ской скорости и удовлетворяющая заданным условиям в
перигее. Она находится путем решения краевой задачи.
Аргументами в данной краевой задаче будем считать
время io включения двигателя для разгона с орбиты ИСЛ
(отсчитываемое от момента прохождения КА восходящего
узла стартового витка), энергию h' селеноцентрической
гиперболы в момент выключения двигателя п долготу Ях
восходящего узла орбиты ИСЛ. Функциями в краевой
задаче будем считать, как обычно, HAto, h',Ях,), £я(£о,
h', Я-x) и X.i(io, Л',Ях). Они вычисляются в точке л пос-
ле численного интегрирования системы уравнений
(1.4.6) от i = t0 до t = и в результате решения_крае-
вой задачи делаются близкими соответственно к Нп, 1Л,
Лл. Заметим, что поскольку величина ’Я л не фиксирова-
§ 17.2] ВОЗВРАЩЕНИЕ ПРИ СВОБОДНОЙ ДОЛГОТЕ УЗЛА
393
на, то ее можно подобрать так, чтобы орбита ИСЛ на-
ходилась в плоскости П' гиперболы отлета. Тогда ори-
ентация тяги двигателя на активном участке будет оп-
ределяться лишь программой угла тангажа 'O(f) в плос-
кости Пк = П'. Ввиду слабости гравитационного поля
Лупы и кратковременности активного участка (менее
3 мин при начальной тяговооруженностп у0 > 0,15, удель-
ной тяге > 300 кгс/кг) с достаточной для практики
точностью можно принять 'O’(f) = const = '&. В рассмот-
ренной постановке задачи постоянный угол ft является
избыточным аргументом, и его надлежит оптимизировать
в смысле минимума затрат характеристической ско-
рости.
Особенностью данной краевой задачи является то, что
оптимизация угла Ф отделима от собственно краевой за-
дачи (подобно отделимости оптимизации Ф и Ф от краевой
задачи плоского разгона с орбиты ИСЗ к Лупе, см. § 11.1).
Отделимость здесь означает возможность решить задачу
оптимизации в достаточно общем виде до решения кра-
евой задачи. Л именно, ее удается решить, задаваясь
лишь значением h' энергии селеноцентрического движе-
ния в конце активного участка перехода с орбиты ИСЛ
па ТВ. Решая эту задачу для серии значений h', можно
получить угол тангажа как оптимальную функцию 'й(Л').
После этого, переходя к решению краевой задачи и за-
даваясь ее аргументами io, , следует взять -& =
= 'й(Д/) па активном участке.
Ясно, что оптимальность разгона пе нарушится,
если выбором поворота плоскости гиперболы и выбо-
ром поворота гиперболы- в этой плоскости (за счет изме-
нения to, т. е. точки_старта па орбите ИСЛ) реализовать
заданные значения гя, Вл. Получающуюся при этом не-
вязку А — 0 можно свести к нулю, меняя h' и, со-
ответственно, ftth').
Для определения оптимальной функции 'й(Д') необ-
ходимо исследовать на минимум функцию Vx(vo, Руд, Д',
&) затрат характеристической скорости. Такое исследо-
вание было проведено для ряда значений каждого из
аргументов путем массовых расчетов на ЭВМ. Резуль-
таты представлялись в виде серий кривых. Одна из та-
ких серий приведена па рис. 11.5 и представляет завп-
394
СТАНДАРТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТВ [ГЛ. 17
гимость й от h', О’о, -Руд в случае перехода па ТВ с кру-
пной орбиты ИСЛ радиусом 1800 км.
Могут возникнуть ситуации, требующие старта с ор-
биты ИСЛ в заданное время to, т. е. старта с заданного
аргумента широты. В этом случае за аргументы краевой
задачи можно взять 7г', О’, Six (при тех же функциях).
Если возникнет задача, в которой задано полное время
полета Т по траектории и его необходимо выдержать с
точностью до секунд, то краевая задача возвращения к
Земле становится четырехпараметрической: с аргумента-
ми to, О’о, h', Six и функциями Нп, 1Я, Т. Некоторые
способы вычисления начальных приближений для таких
задач были даны в гл. 16.
§ 17.3. Краевая задача возвращения
с заданной орбиты ИСЛ
Пусть движение ИСЛ задано всеми шестью кеплеро-
выми элементами Н-х, г\, рх, ех, <щ, (па момент
прохождения КА восходящего узла).
Требуется возвратить КА к Земле по траектории с за-
данными параметрами Нп, (в точке л условного пе-
ригея). В данном случае возвращение к Земле возможно
лишь при изменении плоскости исходного селеноцентри-
ческого движения по орбите ИСЛ с помощью пространст-
венного разгона. Старт к Земле в принципе возможен из
любой точки орбиты ИСЛ. При заданном времени старта
t0 можно в качестве аргументов краевой задачи принять
постоянные углы тангажа А и рыскания ip на активном
участке и еще энергию h' селеноцентрической гипер-
болы в момент выключения двигателя, так как численные
расчеты показали, что пространственный разгон КА с
орбиты ИСЛ к Земле с постоянными углами й и ip на ак-
тивном участке при практически интересных тяговоору-
женностях незначительно отличается по затратам харак-
теристической скорости от разгона с оптимальной про-
граммой йор1(7), ipOpt(i).
Если задан лишь стартовый виток орбиты ИСЛ, а вре-
мя to включения двигателя не задано и может быть вы-
брано произвольно, то в качестве аргументов краевой за-
дачи можно взять параметры to, ip, h', а угол тангажа й
§ 17.3] ВОЗВРАЩЕНИЕ С ЗАДАННОЙ ОРБИТЫ ИСЛ 395
оптимизировать Св смысле минимума характеристической
скорости). Для получения траектории со строго заданным
временем перелета Т аргументами краевой задачи могут
быть fo, Ф, h', ft. При этом функциями в краевой задаче
будем по-прежнему считать 2/л, 1-, Хл, Т. Задача является
четырехпараметрической.
Для определения начальных значений аргументов мо-
жет потребоваться решение предварительной краевой за-
дачи одним из указанных в гл. 16 методов.
Отличительной особенностью краевой задачи с прост-
ранственным маневром является присутствие в числе ар-
гументов задачи угла, ф, определяющего отклонение век-
тора тяги Р от плоскости исходной орбиты. Это обстоя-
тельство ие позволяет отделить от краевой задачи воз-
вращения задачу оптимизации угла тангажа й (в смысле
минимума затрат характеристической скорости) во вто-
рой из названных трех постановок. При пространствен-
ном маневре, особенно в случае существенного изменения
плоскости исходного движения, краевая задача возвраще-
ния должна содержаться внутри задачи оптимиза-
ции программы угла тангажа. Получение оптимальной
программы й0Р1, фоР1 в такой постановке задачи сравнимо
по трудоемкости с задачей оптимизации t0 путем решения
серии краевых задач с аргументами й, ф, h' (и теми
же функциями). (Таким образом, можно взять за аргу-
менты й, ф, Ф' и отделить оптимизацию £о от краевой
задачи.)
В предположении малости угла поворота плоскости се-
леноцентрического движения при разгоне (/ < 30°) и
постоянства угла рыскания ф на активном участке оп-
тимизацию угла тангажа й все же можно (в приближен-
ной постановке) отделить от краевой задачи возвращения,
исследуя на экстремум функцию 7х(х0, Рул, h', й, ф). Не-
которые результаты таком оптимизации, проведенной чис-
ленным путем для круговой орбиты ИСЛ радиусом
1800 км при х-о = 0,5 и Л-д = 345 кгс/кг, представлены иа
рис. 17.1 в виде двухпараметрического семейства кривых
й0Р[ — й<ф, h') [4—1974].
Анализ зависимостей (рис. 17.1) показывает, что при
умеренных значениях селеноцентрической энергии h' от-
летной гиперболы (времена полета-по ТВ 3 сут Т 5 сут)
оптимальные углы тангажа й0Р( невелики (не превышают
396
СТАНДАРТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТВ [ГЛ. 17
ло модулю 5°), как и при плоском разгоне с орбиты ИСЛ
к Земле.
С ростом угла I и энергии h' возрастают и значения
углов тангажа и рыскания, что влечет за собой увеличе-
ние затрат топлива па разгон. При углах I > 30° реше-
ние задачи оптимизации управления вектором тяги па
Рис. 17.1. Зависимость угла тЭ* тангажа от угла ф рыскания для различ-
ных селеноцентрических энергий при фиксированных тяговооруженности
Vo, удельной тяге Руд и радиусе орбиты ИСЛ.
активном участке независимо от решения краевой задачи
возвращения недопустимо.
В краевой задаче возвращения к Земле при входе в
атмосферу с большими углами наклона вектора скорости
к местному горизонту в качестве заданных функций ис-
пользуются угол входа 0ВХ и географические координаты
точки входа срвх, Хвх на заданной высоте Явх (от поверхно-
сти Земли) точки входа в атмосферу. Здесь па этапе ре-
шения специальной предварительной краевой задачи мож-
но получить траекторию с таким радиусом условного пе-
ригея, при котором па высоте Нт реализуется заданный
угол входа 0ВХ. Далее решается основная краевая задача
с начальными аргументами, полученными из предвари-
тельной краевой задачи. При этом интегрирование пре-
g 17.41 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ВОЗВРАЩЕНИЯ С ПОВЕРХНОСТИ 397
кращается в момент достижения у Земли высоты И == Нвх.
Функциями этой краевой задачи являются <рвх, 0ВХ
(при трехпараметрической краевой задаче) и срвх, %вх, 0вх,
Т, если требуется реализовать заданное время возвраще-
ния Т.
§ 17.4. Краевая задача возвращения
с поверхности Луны
Пусть па поверхности Лупы задана точка старта ее
селеноцентрическими координатами ао, бо. Требуется воз-
вратить КА из этой точки па Землю с заданными значе-
ниями параметров Яя, 1Я, Лп (или Нк, 1п, %л, Т) в точке
условного перигея либо параметров 0ВХ, срвх, Хвх (или 0ВХ,
Фвх, ^Вх, Т) па заданной высоте' входа 7/вх от поверхности
Земли. Для решения краевой задачи возвращения КА с
поверхности Луны в точной постановке необходимо вы-
брать закон управления вектором тяги па активном участ-
ке, аргументы задачи, дать способы определения их на-
чальных значений.
Рассмотрим старт КА с поверхности Лупы по двум
различным схемам: а) непосредственное выведение КА
с поверхности Луны на траекторию Луна — Земля; б) вы-
ведение КА на орбиту спутника Лупы и последующее
возвращение к Земле. При непосредственном выведении
КА на траекторию Лупа — Земля возможен или верти-
кальный, или наклонный разгон. В случае вертикального
разгона угол тангажа па активном участке постоянен и
равен 90° (в стартовой системе координат). Вертикальный
разгон к Земле происходит по осп пучка и возможен из
точек небольшой части поверхности Луны (их координа-
ты (а„п, боп) представлены па рис. 5.1). При этом полет
из каждой точки поверхности, пригодной для вертикаль-
ного разгона, требует определенных комбинаций вре-
мени Т полета и геоцентрического наклонения i тра-
ектории вне СД к плоскости лунной орбиты. Учитывая
эти обстоятельства, за аргументы краевой задачи при
почти вертикальном выведении КА па траекторию Лу-
на— Земля можно принять время to старта с поверхности
Луны н малые отклонения (Да, Дб) вектора тяги от на-
правления (ао, бо) местной вертикали. При этом разгон
происходит до заданной энергии hK селеноцентрической
398
СТАНДАРТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТВ [ГЛ. 17
гиперболы в конце активного участка, а энергия hi; зада-
ется таким образом, чтобы при Да = Дб = О имело место
возвращение к центру Земли. Функциями краевой зада-
чи являются, как и ранее, 7/я, гя, %я.
Заметим, что для каждой точки из области верти пыль-
ных разгонов па поверхности Лупы существуем' в любой
календарной дате единственное время старта, при кото-
ром достижимы заданные значения параметров в услов-
ном перигее. Действительно, траектория возвращения к
Земле при почти вертикальном разгоне для фиксирован-
ных Да, Дб, h' единственна, и время полета по ней до
заданной высоты 1Г„ известно в любую календарную дату.
Поэтому можно однозначно подобрать время старта так,
чтобы в момент прилета КА в перигей л под пего «под-
вернулся» меридиан с заданным значением %я.
Возвращение к Земле при наклонном разгоне в прин-
ципе возможно из любой точки поверхности Лупы. Чтобы
затраты характеристической скорости уменьшить, надо
оптимизировать направление вектора тяги Р по тан-
гажу 'б.
Поскольку КА покоится па лунной поверхности, то сю
выведение можно производить в плоскости, проходящей
через точку старта и направление скорости «на бесконеч-
ности» (которое известно нз внешней задачи — § 16.3).
Поэтому можно считать поминальный угол рыскания
-ф(£) = 0.
Расчеты показывают, что линейная программа угла
тангажа
б = бд + б(£ — t0) .(4.1)
позволяет реализовать наклонный разгон с практически
несущественными энергетическими потерями по сравне-
нию с оптимальным разгоном [4—1957].
Краевая задача возвращения к Земле с наклонным
стартом может быть поставлена различным образом. При
линейной программе угла тангажа (4,1) иа участие раз-
гона в качестве аргументов краевой задачи выступают на-
чальный угол тангажа б’о, скорость б1 изменения угла тан-
гажа, энергия hx селеноцентрической гиперболы в момент
ti выключения двигателя и азимут А прицеливания.
Плоскость ГГ гиперболы отлета содержит векторы:
начальный ро и конечный pi (если -ф(^) 0). При решении
§ 17.4] КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ВОЗВРАЩЕНИЯ С ПОВЕРХНОСТИ 399
краевой задачи выбором аргументов й0, й, А можно
реализовать четыре _ заданные условия в точке л,
например, Нп, 7„, й, Т. Если же на ТВ у Земли в точке
л заданы только Нп, in, ta, то число аргументов в крае-
вой задаче на единицу больше числа функций. Избыточ-
ный аргумент обычно выбирается из условия минимума
затрат характеристической скорости. В этом случае ре-
шение краевой задачи возвращения к Земле с наклонным
стартом целесообразно разделить на два этапа (особенно
при массовых расчетах), выбирая модуль радиуса pi кон-
ца разгона из условия реализации минимума энергетичес-
ких затрат.
На первом этапе решается краевая задача (для каж-
дого пз заданных радиусов pi = рД возвращения в точку
я с заданными /7Я, Хя. Аргументами в этой краевой
задаче являются энергия h', наклонение I' селеноцентри-
ческой гиперболы и угол ах между радиусом-вектором
Pi и-вектором скорости Uj в момент tj конца разгона.
Долгота восходящего узла гиперболы в этом случае оп-
ределяется условием прохождения плоскости гиперболы
через точку старта на поверхности Луны (ао, бо). Резуль-
татом решения краевых задач на первом этапе является
двухпараметрическое семейство кривых Pi=Pi(^i, при-
чем вектор скорости Uj получается из решения внешней
задачи_возвращения к Земле. При этом_для каждой трой-
ки/»1, «1, рх вычисляются углы 71' = = опреде-
ляющие ориентацию в пространстве плоскости гиперболы
возвращения.
На втором этапе решается ряд краевых задач выведе-
ния КА с поверхности Луны в точку на селеноцентриче-
ской гиперболе (с заданными энергией h' = h', долготой
узла_р'= 71' наклонением Д = i'\ радиус-вектор которой
Pi Pi ооразует угол aj = а; с вектором Uj селеноцен-
трической скорости. Эти краевые задачи являются двух-
параметрическимп. За аргументы в них принимаются й0
(начальный угол тангажа) и й (постоянная скорость из-
менения угла тангажа) на активном участке. Функциями
являются расстояние pi от центра Лупы до КА в момент
окончания активного участка и угол ai между радиусом-
400
СТАНДАРТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ РАСЧЕТА ТВ [ГЛ. 17
вектором pi и вектором Ui скорости в момент выключения
двигателя, определяемый условием достижения h' = h'.
Задаваемые значения функций ai=ai, pi=pi и селено-
центрической энергии h' берутся из результатов решения
краевых задач на первом этапе, т. е. определяются двух-
иараметрическим семейством кривых pi = pi(A', аД.
В задаче возвращения с поверхности Лупы к Земле
с предварительным выведением КА па заданную орбиту
ИСЛ предполагается, что старт происходит в тот момент,
когда точка старта оказывается в плоскости орбиты ИСЛ
(из этого условия определяется азимут стрельбы А). Для
вычисления траектории выведения КА с поверхности Лу-
ны па заданную орбиту ИСЛ решается двухпараметрпче-
ская краевая задача, аргументами которой являются йо
н й, а функциями — рх (радиус заданной орбиты ИСЛ в
точке выведения) и «1 (угол вектора скорости Ux с ра-
диусом-вектором рх). Выключение двигателя производится
при достижении заданной энергии орбиты ИСЛ.
Расчет ТВ к Земле с орбит ИСЛ производится мето-
дами, изложенными в §§ 17.1 — 17.3.
Глава 18
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
НА ТРАЕКТОРИИ ВОЗВРАЩЕНИЯ
При практической реализации поминальной расчетной
ТВ из-за инструментальных (приборных) п методических
ошибок всегда реализуются траектории, отклоненные от
расчетной.. Наиболее существенными являются ошибки
приборов системы управления КА: ошибки системы ори-
ентации, интеграторов ускорения, временных счетчиков
и т. д. Методические ошибки при правильно выбранных
методе, точности счета н достаточно .хорошем знании си-
ловых полей в современных условиях могут оказаться це-
существенными.
Поскольку в точности невозможно реализовать поми-
нальные значения начальных параметров движения КА
па пассивном участке, то важно знать, каким образом
повлияют па траекторию отклонения фактических началь-
ных данных от поминальных. В связи с этим расчету по-
минальных траекторий обычно сопутствует исследование
отклоненных траекторий. Производные отклонений в кон-
це движения по начальным данным позволяют оценивать
энергетические затраты, необходимые для такой коррек-
ции пассивного участка, которая обеспечивает выполне-
ние основной задачи.
При определении влияния малых изменений началь-
ных данных па ТВ пет нужды учитывать все действу-
ющие силы, а достаточно учесть лишь притяжение Луны
внутри ее СД и притяжение Земли — вне этой СД. Ниже
рассмотрено влияние малых изменений кинематических
параметров в начале движения па ТВ с поверхности Лу-
пы II с орбиты ИСЛ к Земле. За поминальные ТВ приня-
ты траектории, проходящие через центр Земли. Они явля-
ются осевыми в пучках ТВ. Вначале дается в рамках ме-
26 в. Д. Егоров, Л. II. Гусев
402
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ТВ [ГЛ. 18
тода ТСД оценка влияния малых отклонений начальных
данных от поминальных на ТВ к Земле в целом от Лу-
ны, движущейся по круговой орбите.
Далее находятся номинальные п отклоненные траекто-
рии более точным методом ИВ для случая эллиптической
орбиты Луны. Находится отклонение в начальных данных,
при котором перигейпое расстояние ТВ равно предельно-
му (например, радиусу гт верхних слоев атмосферы). Для
таких траекторий находятся производные от гл по соот-
ветствующему исходному данному. Эти производные мо-
гут быть полезны при оценке точности исполнения кор-
рекции, необходимой для обеспечения пологого входа в
атмосферу.
Расчеты методом ИВ проводятся для ТВ с поверхности
Лупы и орбиты ИСЛ. Точки старта па поверхности Лу-
ны выбираются либо в районе вертикальных посадок
(аппаратов типа «Луны-9»), либо в районе стартов, близ-
ких к вертикальному. Плоскости орбит ИСЛ выбираются
либо близкими к плоскости лунной орбиты, либо близ-
кими к ортогональным этой плоскости.
§ 18.1. Предварительная оценка точности
начальных данных, необходимой для возвращения
Очевидно, что для возвращения к Земле от Луны по
любой траектории трансверсальная компонента Из г выход-
ной геоцентрической скорости должна удовлетворять. ус-
ловию (13.1.4), которое определяет области возвращения
на Из-сфере, и, следовательно, па t/3-сфере. Размеры
последних областей позволяют приближенно судить о не-
обходимых точностях начальных данных. Действительно,
вследствие ошибок начальных данных фактический вектор
U3, отклоняясь от номинального по направлению, нс дол-
жен выйти из допустимой области.
Случай вертикального старта существенно отличает-
ся по влиянию разброса начальных данных от случая
горизонтального старта. Рассмотрев эти крайние случаи,
можно получить представление и о промежуточных слу-
чаях. В случае почти вертикального старта малая ошиб-
ка в направлении «1 вектора скорости приводит к появ-
лению малой угловой дальности Ф' при полете от
поверхности Лупы по гиперболе.
§ 18.1]
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
403
Из (4.4.22) для малых ах, Ф имеем у = Ф'(7«>/2(71,
«1 = (Ф'/2) (1 + (7oo/(7i), так что
ДФ' _ _ 2
ц- и„/U^
Вводя вместо а' угол 01 = 90° — а', получим 5Ф7501 =
= — 2/.. Кроме того, для вертикального старта имеем
^ = о, ^ = 0.
аР1 дс71
При величине С7„ = 1 км/с имеем 5Ф750' « —1,4.
Область (13.1.4) па Пз-сфере имеет близкие к относи-
тельно наибольшим размеры при значениях U3, мало
отличающихся от VL. При этом рассматриваемая область
оказывается односвязной. Угловые размеры ее по длине
составляют несколько десятков градусов, по ширине —
около 20°. Так как 5Ф7301 < 1,5, то предельными будут
ошибки по углу порядка ± 10° в направлении ширины
области (13.1.4), т. е. по пормалп к плоскости орбиты
Луны.
Для номинального значения U3 — VL ошибки по ско-
рости U3 (при отсутствии ошибки по ее направлению 0])
не должны превышать ± 0,2 км/с, чтобы область (13.1.4)
еще содержала рассматриваемую траекторию (при dU3 <
< — 0,2 км/с область (13.1.4) пустая, при 6(73 < + 0,2 км/с
область (13.1.4) двусвязиа, и фактический вектор U3
будет находиться между частями области (13.1.4) вне ее).
Соответствующие ошибки 8U начальной скорости соглас-
но селеноцентрическому интегралу энергии удовлетворя-
ют условию
U^Ui = ПзбНз,
т. е. составляют около 0,06 км/с. Очевидно, наиболее
вредны здесь смешанные ошибки, так что реальные ошиб-
ки не должны превышать величин порядка 2—3° по 01
и 15—20 м/с по U\.
В случае наклонного старта варьированием уравнения
(4.4.21) с учетом того, что UL = U± — ЗрСь/Рл., получим
й(Ф72) 1 + к cos а' , sin a' (dp „dU,\
~ 9 — "~г ClCCi — -' I ------------ 4- 2 “77— .
cos Ф'/2 /,-[- cos (&-}-cos ctjJ2 А-Р1Е72 \ Рх /
к = UJU{.
26*
404
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ТВ [ГЛ. 18
Вводя О' = 90° — «1И обозначение — 2р,ь-cos2 -cos О'/
/[к(к + sin О') Р1.Е72], получим
ОФ' к. дф' с)ф' 1 -L k sin 0' 0Ф'
___ 1 __ £ — 9 1 С Г)Ч~
rtP) ((]l’ - U{ ' ОФ “ /, + sin 0'_' 2 ’
Для горизонтального старта (01 = 0) имеем при =
= 1,2 км/с
6р, 6U,
6Р1Ф' = -1,8 4-1, 6^0' = -3,6—601Ф' =
Pi
= - 1,6860'. (1.1)
Видим, что модуль производной по 0' несколько больше,
чем для вертикального варианта.
При горизонтальном старте с поверхности Луны из
района вертикальных посадок имеем U„ » 1,2 км/с,
U\ » 2,65 км/с. Предельные ошибки определяются том
частью области (13.1.4), для которой V3r < 0. Ее разме-
ры — порядка 50° по длине и 20° по ширине (рис. 13.4).
Предельные (одиночные) ошибки получаются: по 01 —
около ±5°, по скорости — около ±180 м/с (с учетом
(1.1)). Ошибка по азимуту должна быть вдвое меньше,
чем по 0[.
При старте с орбиты ИСЛ предельные ошибки могут
быть несколько больше, так как можно перейти к мень-
шей поминальной скорости £73 = 1,1 км/с.'Тогда увели-
чится область (13.1.4) па Уз-сфере. Это выгоднее и энер-
гетически. При скорости около 1,1 км/с область (13.1.4)
па сфере выходных скоростей (рис. 13.2) уже является
односвязпой, но еще сохраняет большие угловые размеры.
§ 18.2. Анализ отклоненных траекторий возвращения
с поверхности Луны
За исходные параметры, определяющие начальные
данные, принимаются сферические селеноцентрические
геоэкваториальные координаты рь cci, 61 — радиус, долго-
та и широта точки старта, а также Ui, Oi, At — модуль,
угол возвышения над местным горизонтом и азимут век-
тора скорости (соответственно) в той же селеноцентри-
ческой невращающейся системе координат. Соответствен-
§ 18.2]
ОТКЛОНЕННЫЕ ТВ С ПОВЕРХНОСТИ ЛУНЫ
405
по имеем простые формулы для определения начальных
данных по исходным:
|1 ~ pi COS 61 COS 0С1, Т]| = pi COS 6| Sih CC|,
I, — pi sin 6i,
• •
|i = Ui cos ф1 cos vi, i]i = U\ cos ф1 sin vi,
Si = Ui sinipi,
sin ф1 = sin 6i sin 0i — cos 6i cos 0i cos Ai,
vi = ai + Av,
cos 0 sin A sin 0 — sin 6, sin ip.
sin Av = -------, cos Av =-----------------------5-------:---
cos ip ’ cos cos ipj^
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Здесь используется то обстоятельство, что па единичной
сфере направление вектора Ui отстоит от направления
вектора pi па угол 90° — 01 под азимутом А\. Азимут
здесь отсчитывается от направления па юг против часовой
стрелки.
Для определения влияния разброса начальных данных
на некоторую поминальную ТВ находятся отклоненные
ТВ, т. е. траектории, начальные данные которых отли-
чаются от поминальных отклонением одного из исходных
данных в ту или иную сторону па все более возрастающую
величину. Сказанное относится к исходным данным Uy,
0i, A], pi. Изменения же положения точки старта па по-
верхности Лупы задавались селеноцентрическим углом Ф1
смещения начальной точки из поминальной и азимутом
В[ этого смещения. Аналогично предыдущим формулам
получаются формулы для определения отклоненных зна-
чений 6], ai
sin 6Х = sin 6Х cos Фх — cos 6Х sin Фх cos а± — а.,± -ф Ааг;
(2.5)
sin В, sin Ф, , cos Ф, — sin 6, sin 6,
sin Аа =------—1, cos Аа =------------------ф----1. (2.6)
cos ф cos cos ф
Как уже отмечалось, определяющим параметром вхо-
да КА в атмосферу Земли является радиус гя условного
406
ВЛИЯНИЕ ВЛЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ТВ [ГЛ. 18
перигея. Поэтому важно установить зависимость ?'Л от
изменения исходных параметров Ui, 0j, Ai. Необходимо
также знать предельные отклонения 5Ut, 60l5 6АЬ при
которых еще возможно возвращение к Земле.
Основным параметром, определяющим энергетику и
время полета, является начальная скорость U\. Для су-
ществования решения задачи о ТВ начальная скорость
U\ не должна быть меньше минимальной Uo « 2,58 км/с,
соответствующей селеноцентрической скорости выхода из
СД К3 « 0,8 км/с. В то же время Ux не может быть на-
много больше Uо, так как пропорционально разности
Ui — Uo возрастут энергетические затраты на возвраще-
ние к Земле. Поэтому для расчета примеров выбира-
ются значения U\ = 2,6 км/с, U\ = 2,65 км/с и 6Д =
= 2,7 км/с.
Исходные параметры 01 и Ai, определяющие направле-
ние вектора Ui, принимаются за аргументы £i, £2 краевой
задачи (§ 17.1). Они удобны, так как при изменении од-
ного из них изображающая точка иа плоскости
(§ 17.1) смещается в направлении, примерно ортогональ-
ном направлению смещения, вызываемого изменением дру-
гого параметра. Оба рассматриваемых параметра практи-
чески не влияют на энергетику, па количество и виды
возможных решений и почти пе влияют на время полета.
Лишь для отыскания на Луне начальной точки, из кото-
рой возможен чисто вертикальный старт для возвращения
к Земле, в качестве подбираемых исходных‘параметров
берутся сферические координаты б], cq точки на лунной
поверхности. Соответствующие начальные данные гц,
Ji, £1, Ль £1 находятся по формулам (2.1), (2.2).
Координаты б], ai точки старта задаются или в ок-
рестности точки вертикальной посадки ' (варианты
1 — 3 табл. 18,1), или в окрестности точки вертикального
старта (варианты 4—6).
Кроме упомянутых выше траекторных параметров,
в результате расчетов определялись сферические селено-
центрические координаты Фл, Ал начальной точки во
вращающейся системе координат mL£Br]D£B.
Сферические координаты трз, v3 вектора U3 определе-
ны в невращающейся системе осей координат mL£T]£, па-
раллельных осям на момент i3 выхода КА из СД.
§ 18.2]
ОТКЛОНЕННЫЕ ТВ С ПОВЕРХНОСТИ ЛУНЫ
407
Вычисляется также угловая дальность Ф' и азимут
At селеноцентрической траектории КА внутри СД.
В табл. 18.1 приведены некоторые характеристики
шести вариантов номинальных ТВ с поверхности Луны
Таблица 18.1
Характеристики траекторий возвращения к Земле
с лунной поверхности
Параметры Варианты
2 3 4 5 6
Фл, гРаД Ал ,град Ut, км/с 01т град Ф', град Aj, град Ua, км/с •Фз> гРаД Ti,3, ч Т, сут : ч б/Д, м/с 60lt град 64 j, град 3 /лГГ КМ a'Jav" X drJdO^ я 1 град drJdAlt Я . град 7,1 —66,6 2,7 12,28 106,5 92,4 1,286 43,1 12,6 2 : 20,7 ( 275 1-150 / 7,2 1=9,2 / 8,5 1—8,5 / 34.4 1—12,7 [ 1974 1—1172 / 1570 1—1540 7,1 —67,0 2,65 9,81 112,7 93,4 1,177 49,2 13,6 3:4,0 195 —115 9,0 —10,0 9,8 —9,6 51,7 —126 1688 —600 1254 —1319 7,1 —67,6 2,6 5,14 123.2 95,3 1,060 59,5 14,7 3:17,0 125 -85 11,0 —5,0 12,0 —12,0 84,5 —119 1508 —915 1034 —1125 -6,1 54,2 2,6 55,68 47,3 95,2 1,060 103,1 14,4 7:20,3 75 —65 50 —12,0 12,5 —12,5 148 —222 -1000 -1524 995 —1083 -6,1 54,2 2,6 84,46 7,5 140,4 1,060 59,2 14,3 3:17,2 85 —70 9 -8,5 -100 —75 141 —171 -3000 —3005 -150 -163 -0,3 58,1 2,60 -90 0,2 168,8 1,060 58,1 14,2 3:16,5
к центру Земли. Для вариантов 1—5 приведены также
отклонения параметров /71, 0j, Ai от их номинальных
значений в положительную и отрицательную стороны,
которые вызывают отклонения ТВ от центра Земли при-
мерно на величину земного радиуса гя = га.
Как п следовало ожидать [2—1965, § 1.2], с уменьше-
нием начальной скорости U\ угол 01 вектора скорости с
местным горизонтом монотонно уменьшается от 01 = 12°,3
при /7( = 2,7 км/с до 91 = 5°,! при /71 = 2,6 км/с. При
408
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ТВ [ГЛ. 18
Z7i = 2,55 км/с итерации краевой задачи уже не сходи-
лись (из-за отсутствия соответствующих решений зада-
чи). Таким образом, минимальная скорость, необходимая
для возвращения к Земле из окрестности точки верти-
кальной посадки, весьма близка к 2,6 км/с.
Что касается полного времени полета Т, то оно, как
следовало ожидать, монотонно увеличивается от 70 до
90 час. с уменьшением начальной скорости от 2,7 до
2,6 км/с и почти не зависит от координат точки старта
Фл, Лл и угла 0ь Так, для всех рассматриваемых точек
старта при одинаковой начальной скорости U\ =2,6 км/с
в вариантах 3, 5, 6 времена полета по поминальным тра-
екториям различаются всего лишь на 0,7 часа, т. е менее
чем па 0,8%. Время полета T\i3 в сфере действия тоже,
естественно, монотонно увеличивается с уменьшением
начальной скорости (табл. 18.1). Соответственно убывает
величина U3 селеноцентрической скорости выхода из СД.
Углы гр, в основном определяющие направление ско-
рости выхода U3, получились меньше, чем по методу
ТСД, причем отличие тем больше, чем больше сам угол
ip. Объясняется это тем, что СД имеет размер, не малый
по сравнению с расстоянием Земля — Луна. Точки 3 вы-
хода из СД имеют тем большую величину ц3, чем мень-
ше скорость U3 (величина. £3 и угол v3 малы). Соответ-
ственно, тем больше должен быть повернут к осп |з
вектор U3, чтобы результат V3 его сложения со скоростью
Луны — выходная геоцентрическая скорость — был на-
правлен к центру Земли (а не параллельно оси как
предполагается в методе ТСД).
Отметим, что отличие поминальных характеристик
для вариантов 4 и 5, имеющих одну и ту же точку стар-
та и величину начальной скорости, обусловлено тем, что
после выхода из СД КА в варианте 5 сразу приближа-
ется к Земле по нисходящей траектории, а в варианте 4
сначала удаляется от Земли по восходящей ветви траек-
тории и лишь затем приближается к Земле по нисходя-
щей ветви той же траектории. Соответственно различа-
ются углы 1р, времена полета и другие параметры.
Результаты расчета отклоненных траекторий в раз-
личных видах представлены на рис. 18.1 — 18.3. На
рис. 18.1 представлены соответственно для вариантов
1 — 5 на плоскости компонент Cj, С2 геоцентрического
§ 18.2]
ОТКЛОНЕННЫЕ ТВ С ПОВЕРХНОСТИ ЛУНЫ
409
д)
Рис. 18.1. Влияние отклонений величины U, или угла возвышения 01 или
азимута А] вектора начальной селеноцентрической скорости на компо-
ненты С], С2 геоцентрического кинетического момента траектории возвра-
щения (а, б. в, г, д соответствуют вариантам 1—5 таблицы 18.1).
410
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ТВ [ГЛ. 18
кинетического момента точки, получающиеся при откло-
нении одного из начальных параметров Uit 0j, А[ от но-
минального значения (отвечающего Ci = C2 = 0). Такие
точки располагаются по двум лучам, отвечающим соот-
ветственно положительному и отрицательному отклоне-
ниям. Таким образом, влияние изменений трех началь-
ных параметров (величины скорости U\, угла возвыше-
ния 91 и азимута вектора скорости) изображается
шестью лучами.
Рис. 18.2. Влияние отклонений модуля pt и направления Ф1 начального
селеноцентрического радиуса (при различных азимутах смещения на-
чальной точки из номинальной) на компоненты С, и С2 геоцентрического
кинетического момента траектории возвращения.
Кроме влияния изменения величины и направления
начальной скорости, рассматривается еще влияние изме-
нения положения начальной точки на траектории возвра-
щения (рис. 18.2). Варьируется величина начального се-
леноцентрического радиуса-вектора Pi, а также при
постоянном модуле pi даются отклонения направления
вектора pi на различные углы 6Ф в двух взаимно пер-
пендикулярных плоскостях, определяемых азимутами
51 = 0°, 90°, 180°, 270°. Таким образом, шестью лучами
на рис. 18.2 представлено влияние изменения трех пара-
метров pi, Фь В\.
На рис. 18.1, 18.2 отклонения 6Л1, 601, 6Ф1, 62?i даны
в градусах, 677j— в км/с, 6pi— в км. Точки штрихового
круга С = 70 тыс. км/с примерно соответствуют траекто-
§ 18.2]
ОТКЛОНЕННЫЕ ТВ С ПОВЕРХНОСТИ ЛУНЫ
411
риям, касающимся атмосферы Земли. Постоянство вели-
чины С для таких траекторий вызвано тем, что для рас-
сматриваемых траекторий скорость у поверхности Земли
близка к параболической = 11 км/с и соответственно
С = + Cl близко к rGVa = 70 000 км2/с.
Перигейные расстояния г„ траекторий монотонно уве-
личиваются от пуля до гс при движении соответствую-
щих им на плоскости С[С2 точек по лучам от середины
к концу луча. Хордовые производные перигейных рас-
стояний по исходным данным в конечных точках лучей
(т. е. при гл = Гс) могут характеризовать влияние разбро-
са начальных данных для траекторий пологого возвра-
щения в земную атмосферу. Такие производные от щ
(по параметрам U\, 0j, ЛД приведены в шести последних
строках табл. 18.1, раздельно для положительных и отри-
цательных лучей (отклонений исходных данных).
Как и следовало. ожидать, с уменьшением начальной
скорости U\ влияние разброса по скорости возрастает
(табл. 18.1), а влияние разброса по направлению вектора
скорости убывает, хотя и в меньшей степени. Это отно-
сится как к задаче возвращения от Луны па Землю в
целом, так и к задаче попадания в заданный коридор по
высоте условного перигея. Положительные ошибки в ско-
рости сказываются меньше, чем отрицательные, так как
номинальная величина скорости близка к минимально
допустимой. Для начальной скорости (71=2,6 км/с при
старте из окрестности точки вертикальной посадки (ва-
риант 3) предельно допустимы одиночные ошибки: по
скорости +125 и —85 м/с, по направлению вектора ско-
рости— порядка +10° и —5°.
Для варианта 4 оказываются допустимыми весьма
большие положительные ошибки 60j (порядка 50°). Дело
в том, что этот вариант соответствует полету по восходя-
щим отпосительно Земли траекториям, которые с ростом
91 непрерывно, переходят в нисходящие траектории.
Для траектории варианта 5, начинающейся почти вер-
тикально (01 — 84°,5), влияние ошибок по азимуту, есте-
ственно, оказывается несущественным. Диапазон пре-
дельных отклонений в боковом направлении, исчисляе-
мый по дуге большого круга, составляет около 16° (от
-9° до +7°).
§ 18.2]
ОТКЛОНЕННЫЕ ТВ С ПОВЕРХНОСТИ ЛУНЫ
413
Рис. 18.3. Смещения конца траектории возвращения из номинальной точ-
ки на поверхности Земли, соответствующие отклонениям иа рис. 18.1.
Оказалось, что для варианта 1 предельное отрицатель-
ное 6pi = — 220 км, а положительное предельное отклоне-
ние примерно на порядок больше. Предельные углы 6Ф1
оказались порядка 8°, что соответствует отклонениям
точки старта от номинальной па лунной поверхности
порядка 250 км. Таким образом, относительно большие
изменения положения начальной точки несущественно
сказываются па траекториях возвращения.
Заметим, что если на рис. 18.1 для варианта 1 в пло-
скости C[Ci все лучи почти прямые, то для варианта 2
414 ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ТВ
[ГЛ. 18
уже видно искривление отрицательного 01-луча, а для
варианта 3 это искривление очень сильное и предельное
значение 60] « —30°. Объясняется это так же, как объ-
яснялись большие положительные пределы 691 в вариан-
те 4: при старте из окрестности точки вертикальной по-
садки рост по модулю отрицательных углов 9[ отвечает
постепенному переходу траекторий в область второго
типа (см. вариант 4). Реально же такие полеты не осу-
ществимы, так как при 601 <— 5°,14 соответствующая
траектория пересекает поверхность Лупы.
Аналогично при £71=2,65 км/с имеем 66i<—10°
(см. табл. 18.1).
На рис. 18.3 представлены в геоцентрических осях
координат тауз^г параллельных осям mLz/3z3, лучи на
земной сфере, соответствующие лучам па рис. 18.1. Ви-
дим, что почти прямолинейным лучам на плоскости С1С2
отвечают лучи на земной сфере, близкие к дугам боль-
шого круга. Отклонения от дуг большого круга вызваны
искривлением соответствующего луча на плоскости С\Съ.
Видно, что рассматриваемые лучи охватывают Землю
почти со всех сторон.
§ 18.3. Расчет и анализ отклоненных траекторий
возвращения с орбиты ИСЛ к Земле
Расчет проводился методом ИВ иа ЭВМ. Предполага-
лось, что селеноцентрическая орбита ИСЛ задастся ее
элементами Я 3, io, wo, ро, ео, в селеноцентрической си-
стеме координат mLr° m° Ъ°, где г° — направление гео-
центрического радиуса центра Луны, ось т° направлена
из центра Луны в плоскости лунной орбиты примерно по
скорости Луны, а ось Ь° составляет с ортогональными
направлениями г°, ш° правую тройку (рис. 18.4); что
ТВ получается в результате мгновенного сообщения спут-
нику дополнительного скоростного импульса; что при со-
общении импульса угол 0j возвышения вектора скорости
над местным, горизонтом не изменяется, а азимут резуль-
тирующего вектора скорости может отличаться от азиму-
та исходного вектора скорости на угол I.
Перед расчетом отклоненных траекторий находилась
траектория попадания в центр Земли (или в заданную
точку земной поверхности) путем решения краевой за-
§ 18.3]
ОТКЛОНЕННЫЕ ТВ С ОРБИТЫ ИСЛ К ЗЕМЛЕ
415
дачи, как в § 17.1, в результате соответствующего измене-
ния величины Л и момента И сообщения импульса. Оче-
видно, изменение момента ti сообщения импульса вызо-
вет изменение п поворот селеноцентрического участка
Гис. 18.4. Пересчет угловых элементов селеноцентрического движения
при переходе с орбиты ИСЛ иа траекторию возвращения, к Земле.
вокруг нормали к плоскости орбиты спутника, так что
изменение Ц при решении краевой задачи может исполь-
зоваться вместо изменения угла возвышения 6j, исполь-
зованного в § 18.2.
Расчет начальных данных проводится в два этапа.
Сначала по заданным величинам I, io, £1 о и дополнитель-
но заданной величине u0(ti) = coo + KqHi) в системе г°, т°,
Ь° находятся (рис. 18.4) элементы iK, сщ, определяю-
щие новую плоскость орбиты ИСЛ и новый аргумент
широты начальной точки па орбите (принимается
только для расчета, что спутник сначала меняет (на ве-
личину 7) азимут своего вектора скорости, а затем его
величину) с помощью формул п. 2 Приложения 2, в ко-
торых полагаем (рис. 18.4)
ib = io, <0, = w0, i = I,' (3.1)
и получаем i3 = (к>э)1 = ик, — иГЦ, т- е*
УЪх = УЪа. При этом он = ик — i?0(ti). Затем найденные
416
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ТВ [ГЛ. 18
элементы используются для вычисления угловых элемен-
тов орбиты ИСЛ i', о>х, <Л' в селеноцентрической геоэк-
ваториалыюй системе координат тьхауяг^. Используются
формулы того же и. 2 Приложения 2, в которых полагаем
й — II, = uL ГЬд, i = ix, — <^l- (3.2)
Получаем i' = га, Л/ = Лэ, + (cof)2 (рис. 18.4).
Добавляя к найденным элементам р>. = р0, е-,. = во, тх = То,
получим полную систему элементов для повернутой ор-
биты спутника Лупы.
По этим элементам и моменту находим декартовы
координаты селеноцентрического радиуса-вектора спут-
ника р(£ц) и компоненты его скорости p(ii). В качестве
начальных данных ТВ, но которым находятся элементы
р', е', G)', т' гиперболы возвращения, берутся векторы
Р1 = Р(^1-О), р1 = р(^1-0) + ди p(il~0) (3.3)
|р(г1-°)|
(Для этой гиперболы элементы I', ' будут те же, что
и для ИСЛ.) Здесь Д7/— импульс, затраченный па уве-
личение модуля скорости. Энергетические затраты па
поворот плоскости орбиты исходного спутника не рас-
сматривались, так как они зависят от выбора исходной
орбиты и при оптимальном выборе обращаются в пуль.
В расчетах принималось Д77 = 1 км/с.
Варьирование величины начальной скорости произ-
водится путем замены в последней формуле величины
Д77 па ДЙ = Д77 + 67/. Аналогично варьируется азимут
I вектора скорости: вместо 1 берется 7 + 67 в формулах
п. 2 Приложения 2. При варьировании модуля началь-
ного радиуса используется
I я
Р = P1 + Spi —
вместо pi в
первой из формул (3.3).
Варьирование начального положения в направлении
касательной к орбите спутника производится непосред-
ственно путем варьирования момента t\ около значения
, отвечающего номинальной траектории. Это варьиро-
вание позволяет судить о- точности, с которой следует
выдерживать момент старта с орбиты спутника. Сложнее
§ 18.3]
ОТКЛОНЕННЫЕ ТВ С ОРБИТЫ ИСЛ К ЗЕМЛЕ
417
обстоит дело с отклонениями угла 01 вектора скорости с
трансверсалью и положения спутника в боковом направ-
лении.
Сначала для номинальной траектории определяются
единичные векторы бокового направления b = piXUi/
/IpiXUil (C7i = lpil) и трансверсального m = bXp1/p1.
Затем находятся радиальная и трансверсальная ком-
поненты вектора начальной скорости Up = (pi • Pi)/pi,
(7T=(m-pi). Тогда угол возвышения определится в
± I четверти формулой tg 0i = U9/Ux. При замене угла 0i
на 01 + 601 получим Ui = m(7! cos 01 + Pif7i sin 01/рь При
варьировании начального положения в боковом направле-
нии па расстояние 6si получим pi=pi + b6si.
Вычисление номинальной и отклоненных ТВ произво-
дилось с помощью соотношений метода ИВ. Расчет про-
изводился для эллиптической орбиты Луны при возвра-
щении к Земле с четырех круговых орбит ИСЛ. Соответ-
ственно полагалось е = 0 и то = ti. В силу того, что во =
= 0, имеем после разгона аргумент широты и' = со'.
Результаты расчетов номинальных и отклоненных тра-
екторий представлены в табл. 18.2, аналогичной
табл. 18.1 (за номинальные, как и в § 18.2, приняты ТВ,
приходящие через центр Земли).
Величины 6Z71, 601, 67, 6ti, 6pI( 6si в этой таблице
являются предельными в том смысле, что отклоненная
траектория касается поверхности Земли, т. е. гя = гс.
Влияние изменения азимута вектора скорости на из-
менение времени полета заметно меньше, чем-влияние
угла возвышения вектора скорости, поскольку соответ-
ствующее отклонение происходит почти по нормали к
плоскости лунной орбиты.
Варианты расчета выбирались из соображений, изло-
женных в гл. 13. При этом плоскости орбит ИСЛ в ва-
риантах 1 и 2 близки к плоскости орбиты Луны, а в ва-
риантах 3 и 4 почти ортогональны этой плоскости. На-
правления движения КА по орбите ИСЛ в вариантах
1 и 2, а также в 3 и 4 противоположны.
В варианте 1 орбита ИСЛ получается после торможе-
ния из траектории Земля — Луна, проходящей перед
Луной, в то время как в варианте 2 соответствующая
27 в. А. Егоров, Л. И. Гусев
418
ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ТВ [ГЛ. 18
траектория перехода па орбиту ИСЛ проходит позади
Луны. При несрабатывании тормозной установки в ва-
рианте 1 КА несколько тормозится возмущениями от Лу-
ны и снова сближается с Землей, а в варианте 2 уходит
в бесконечность, разгоняясь возмущениями от Луны.
Таблица 18.2
Характеристики траекторий возвращения с орбит ИСЛ
Параметр Варианты
1 2 3 4
С, град /'о, км ]>', км е' Л,з. ч 8Ult м/с 60j, град б/, град б/i, с брр км бх15 км дгл км ди±ы/с дгл км 591’ град км д!’ град дгЛ ! —км/с dt± д’л с>Р1 дгл osy 170 1836 4772 1,599 12,89 / 78 1—73 / 9,2 1-6,8 ±10,5 1 225 1—295 / 140 1—115 / 400 1—410 / 140,4 1-167,2 / 1120 1—2025 / 1271 1—1270 f 63,3 1-35,3 / 80,4 1—129,1 ( 35,6 1-32,5 10 1836 4768 1,597 12,91 325 —155 7,2 —9,6 ±10,5 300 —230 1000 —250 ±410 20 —93 1870 —1115 1263 —1200 34,15 —65 —93,2 29,5 —25,9 90 1836 4772 1,599 .12,89 105 -95 ±5,0 1 13,5 1 —19,1 ±165 185 —145 460 -1000 100 -133,2 2420 —2470 894 —505 ±70,7 60,5 -100 36 —12 80 1800 4662 1,580 12,95 110 —95 ±5,2 17 -13 ±160 190 —140 1000 -500 103 —127,4 2360 -2300 500 -970 72,5 —74,1 55,6 -88,5 16,3 -34,8
Из табл. 18.2 видно, что по влиянию ошибок в угле
возвышения и азимуте, а также ошибок в боковом на-
правлении и во времени старта варианты 1 и 2 близки.
Однако ошибки в начальной скорости в варианте 2 ска-
§ 18.3]
ОТКЛОНЕННЫЕ ТВ С ОРБИТЫ ИСЛ К ЗЕМЛЕ
419
зываются значительно слабее, чем в варианте 1. Объясня-
ется это следующим образом. В обоих вариантах при
положительной ошибке 8Ui селеноцентрическая траекто-
рия «распрямляется», а скорость движения по ней и,
в-частности, величина скорости Из выхода из СД увеличи-
вается, поворачиваясь против направления обхода Лупы.
При этом в варианте 2 уменьшение трансверсальной ком-
поненты геоцентрической выходной скорости вследствие
поворота направления вектора U3 частично компенсиру-
ется ее увеличением вследствие увеличения модуля век-
тора U3. В варианте 1 вместо этой компенсации происхо-
дит декомпенсация, т. е. сложение, уменьшений трансвер-
сальной компоненты от изменения направления и
величины вектора U3, так что суммарное уменьшение
трансверсальной компоненты Узт геоцентрической скоро-
сти при гораздо меньших 8U1 < 0 приводит к пролету
мимо Земли. При уменьшении U\ компенсация в вари-
анте 2 и декомпенсация в варианте 1 сохраняются.
Той же причиной объясняется отличие во влиянии
разброса начального селеноцентрического радиуса, кото-
рое сказывается главным образом через изменение из-
бытка начальной скорости над местной параболической
скоростью.
Варианты 3 и 4 по влиянию разброса 6t7i, 6ii, 6pi
занимают промежуточное положение между вариантами
1 и 2; диапазоны допустимых отклонений по 60] в пол-
тора раза уже, а по 6/ — в полтора раза шире, чем в ва-
риантах 1 и 2. Влияние боковых отклонений оказывается
менее существенным, чем радиальных. В последних ше-
сти строках табл. 18.2 приведены производные перигей-
пых расстояний по исходным данным. Эти производные
позволяют оцепить требования к точности реализации
траектории пологого возвращения КА в атмосферу Зем-
ли с орбиты ИСЛ.
Заметим, что влияние . малых изменений начальных
данных на ТВ с поверхности Луны и с орбиты ИСЛ
имеет некоторые общие черты. В частности, изменения
полного времени полета при одинаковом модуле прира-
щения вектора выходной селеноцентрической скорости
больше для случаев изменения направления этой скоро-
сти, чем для случая изменения модуля этой скорости.
Объясняется это тем, что направление этой скорости
27*
420 ВЛИЯНИЕ РАЗБРОСА НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ - ТВ [ГЛ. 18
ближе к геоцентрической трансверсали, чем к радиусу-
вектору для рассматриваемых величин этой скорости
(рис. 13.2). Соответственно, направление вектора прира-
щения этой скорости при изменении угла возвышения
ближе к радиусу, чем к трансверсали, а именно радиаль-
ная компонента в основном влияет на время полета до
Земли.
Влияние изменения угла А; на изменение времени
полета заметно меньше, чем влияние изменений угла 01,
поскольку соответствующее отклонение происходит почти
по нормали к плоскости лунной орбиты.
РАЗДЕЛ IV
ТРАЕКТОРИИ ОБЛЕТА ЛУНЫ
Глава 19 -
ОБЩИЙ КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ
ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА ЛУНЫ
Определение 1. Траекторией облета Луны или
облетной называется траектория, начинающаяся (или
кончающаяся) на геоцентрическом расстоянии Г|,гкЕй?ч<
< rL и на том же обороте вокруг Земли проходящая че-
рез сферу действия Луны.
Определение ^.Траекторией облета Луны с воз-
вращением к Земле называется облетная траектория,
концы которой отстоят от Земли на расстояния
ri < гт, гк «£ гт, гт < rL.
(1.1)
Здесь г. — заданный предел, например, геоцентрический
радиус верхних слоев атмосферы или низкой круговой
орбиты ИСЗ, a rL — геоцентрический радиус Луны. В рас-
четах фиксируем г7 высотой 200 км над земной поверх-
ностью: гт = га + 200 км. При этом может рассматривать-
ся возвращение, как и в разделе III, не только к Земле
в целом, по и в заданный район, т. е. по заданной трассе
на земной поверхности.
Напомним, что согласно § 3.4 облетная траектория
является траекторией сближения, а потому разбивается
границей сферы действия Луны на три участка: участок
Г1р 2 полета к сфере действия, участок 72,3 полета внутри
сферы действия и участок Гз,к полета от сферы действия.
Для построения одной траектории облета Луны надо
построить две подходящие более частные геоцентриче-
ские ТС: Г1г 2 достижения с Земли СД Луны и траекто-
рию Г31, полета от СД. Эти траектории должны быть
сопряжены участком 72,3 У Луны в одну траекторию об-
лета, чтобы траектория 72,3 была продолжением траекто-
рии Г12, а траектория Гз.к продолжала траекторию 72, з-
422 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
Если при этом траектория Гз,к есть ТВ, то суммарная
траектория Гг = Ц, 2 U 72,3U Г3> к будет траекторией обле-
та Луны с возвращением к Земле. Такой путь получения
облетных траекторий представляется теперь естествен-
ным, так как условия сопряжпмости даны в разделе I
(гл. 5), траектории достижения Луны уже рассмотрены
в разделе II, а траектории возвращения от Луны к Зем-
ле— в разделе III. В данном разделе приближенные и
точные расчетные методы применяются к решению таких
траекторных задач, как облет Луны с возвращением к
Земле в целом, облет с пологим возвращением в земную
атмосферу, облет с целью облегчения маневров перехода
на высокоэиергетические орбиты ИСЗ или па траектории
полета к планетам.
§ 19.1. Постановка задачи облета Луны
с различными целями
На возможность облета Луны с последующим возвра-
щением к Земле указывал еще К. Э. Циолковский [1 —
1913]. С пятидесятых годов изучению траекторий облета
уделяется много внимания как советскими, так и зару-
бежными учеными. Первая траектория облета была реа-
лизована в 1959 г., когда советская автоматическая стан-
ция «Луна-3», сфотографировав обратную сторону Лупы,
возвратилась к Земле (па расстояние ~40 тыс.' км), пере-
давая информацию. В настоящее время пространственные
траектории облета с возвращением к Земле исследованы
полностью в интересных диапазонах всех определяющих
параметров. Воздействие Лупы па КА, проходящий че-
рез ее СД, изменяет все элементы геоцентрического дви-
жения, т. е. энергию и вектор кинетического момента,
аргумент шпроты и момент прохождения перигея.
Вычисление облетных траекторий труднее, чем более
простых траекторий достижения Луны (раздел II) и тра-
екторий возвращения от Лупы к Земле (раздел III). Для
облетных траекторий имеет место большая чувствитель-
ность к изменению начальных данных. Как показали рас-
четы (см. § 6.2), незначительные изменения геоцентри-
ческих координат точки входа в сферу действия Лупы
(при фиксированной геоцентрической энергии) могут
вызвать поворот плоскости геоцентрической траектории
§ 19.1] ЗАДАЧА ОБЛЕТА ЛУНЫ С РАЗЛИЧНЫМИ ЦЕЛЯМИ 423...
возвращения на 180° или настолько изменить условия
облета, что КА после выхода из СД улетит в «бесконеч-
ность». Поэтому особенно затруднено определение на-
чальных приближений значений аргументов в краевой
задаче поиска облетных траекторий заданного назначения.
Перейдем к постановке траекторной задачи облета с
возвращением к Земле. Чтобы любую ТС определить од-
нозначно, необходимо, как показывалось в гл. 5, задать
начальные геоцентрические энергию hi, кинетический
момент С\, наклонение ц (к плоскости лунной орбиты),
кинетический момент Ск и наклонение гк в конце траек-
тории облета, момент С прохождения периселения и зна-
ки S2 и S3 радиальной входной и выходной (на СД) гео-
центрических скоростей. При этом задание s3 определяет
ветвь геоцентрического конического сечения, иа которой
происходит сближение с Лупой: при S2 > 0 — восходящую
ветвь, при S2 < 0 — нисходящую. Сближение на нисходя-
щей ветви возможно лишь послъ. прохождения апогея,
т. е. лишь при h\ <-0.
Задание $3 определяет ветвь конического сечения, по
которому происходит движение после сближения: при
s3 > 0 — восходящую ветвь, при s3 < 0 — нисходящую.
При выходе из СД на восходящую ветвь возвращение к
Земле возможно, очевидно, лишь после прохождения апо-
гея, т. е. лишь при hK < 0. Задание пары (s2, s3) вместе
с hi, Ci, ii, t^, C,,, iK определяет число (0, 1 или 2) апогеев
облетной траектории вне СД. Поэтому при заданном пол-
ном времени облета задание ($2, «з) приближенно опре-
деляет и отношение Т^/Т^ к времен полета “к Луне и от
Луны.
Вместо перечисленного набора данных можно зада-
вать эквивалентные наборы. Например, если переход на
облетную траекторию Должен происходить с орбиты ИСЗ,
заданной элементами г\, рт, e^, со7, нт, а возвращение дол-
жно происходить в атмосферу над заданной па Земле
трассой, причем полого, то после выбора пары (s3, s3)
можно задать: вместо hi — целое число п суток облета,
вместо Ci и Ск — радиусы и перигеев в начале
и конце облета, вместо ц и iK — наклонения = iy и
^эК) к экватору орбиты старта и трассы возвращения,
а вместо С — стартовый полувиток орбиты ИСЗ и уело-
424 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
вие равенства географических долгот перигея Тл и той
точки на заданной трассе, которая имеет географическую
широту перигея ГпК). При этом момент £„ может быть
однозначно найден с нужной точностью из решения крае-
вой задачи.
Подробнее анализ различных задач облета Луны с воз-
вращением к Земле проводится ниже: приближенный —
в гл. 20, точный — в гл. 21.
При полете к планетам Солнечной системы можно
использовать приращение V3 — V2 геоцентрической ско-
рости па облетной траектории. При этом важно получить
такие величину и направление вектора V3 скорости вы-
хода из СД Луны, чтобы, при прочих равных условиях,
для достижения планеты требовались бы меньшие затра-
ты характеристической скорости, чем без использования
облета Луны. При этом предполагается, что необходимая
эклиптическая долгота вектора геоцентрической скорости
па «бесконечности» обеспечивается выбором времени
сближения с Луной внутри сидерического месяца. Эта
задача до сих пор в общем виде не решена. Поэтому
представляет определенный интерес более простая задача
(которая является обобщением плоской задачи гл. 6 па
пространственный случай): выявить такие условия обле-
та Луны, при которых увеличение геоцентрической энер-
гии КА будет наибольшим при заданных начальных гео-
центрических радиусе и наклонении z‘i к плоскости
лунной орбиты. Эта задача подробно рассматривается
в гл. 22.
Можно использовать облет Луиы также для облегче-
ния выведения КА на высокоэнергетические орбиты ИСЗ.
Например, можно поставить такую задачу:
Пусть заданы начальная орбита ИСЗ набором эле-
ментов z/v) = (г\, ру, еу, &у, Uy) п конечная орбита
ИСЗ — другим набором Уу^ = (iK, Рк, вк, ®к,-мк)- Требу-
ется перевести КА с орбиты у(у> на орбиту у^у\ комби-
нируя импульсные переходы с облетом Луны. Если не
использовать облет Лупы, то маневр перехода между ор-
битами ИСЗ может требовать иногда относительно боль-
ших энергетических затрат. Например, обычный двух-
импульсный переход с круговой орбиты z/T с элементами
§ 19.2]
ЭВОЛЮЦИЯ ПУЧКА ОБЛЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
425
Pi = 6570 км, = 50° на геостационарную орбиту
z/^k) (с рк = 42 164 км, ек = iK = 0) требует затрат характери-
стической скорости, примерно на 1600 м/с больших, чем
затраты, необходимые для достижения Лунц с орбиты у-,.
При таких больших наклонениях С оказывается вы-
годным для перехода на геостационарную орбиту исполь-
зовать близкий облет Луны [3—1971] (между двумя им-
пульсами).
Поскольку в результате облета Луны могут суще-
ственно изменяться все элементы геоцентрического дви-
жения, то может оказаться выгодным использование об-
лета для облегчения перехода уу гДк) в самых разно-
образных случаях (в том числе и в случае, когда
У у = УтК)).
Интересно сравнить энергетические затраты импульс-
ных переходов без использования и с использованием
облета Луны, предполагая, что допускается не более двух
импульсов. Еще интереснее оптимизация перелета КА
между заданными орбитами ИСЗ по суммарным затратам
характеристической скорости без ограничения числа
включений двигателя, как с использованием, так и без
использования облета Луны. Несмотря на достигнутые
за последние годы успехи в оптимизации переходов меж-
ду орбитами, эти задачи еще не решены. Поэтому пред-
ставляет интерес приближенный (в рамках метода ТСД)
анализ геоцентрических орбит, которые можно получить,
используя лишь облет Луны (т. е. без импульсов па
участках движения в СД и от СД). Этот анализ прово-
дится в гл. 22.
§ 19.2. Эволюция пучка начинающихся у Земли
облетных траекторий с иаменением энергии
Основной особенностью облетных траекторий явля-
ется выявленная в гл. 3 сильная гиперболичность селе-
ноцентрического движения. Каковы бы пи были около
Земли величина и направление начальной геоцентриче-
ской скорости Vi КА, его вход в СД Луны происходит
с селеноцентрической скоростью U, вдвое пли более пре-
восходящей селеноцентрическую параболическую ско-
рость Uа {U„ ~ 0,38 км/с) па границе р = р* СД. Как по-
42G КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
:азано в § 3.4, причиной этого факта является малость
начального геоцентрического радиуса ц по сравнению с
расстоянием rL Земля — Лупа: r\ < rL. Как и в общем
случае (см. § 4.3), если фиксированы наклонение й к
плоскости лунной орбиты и величина перпгейного ра-
диуса Гя5 ri и если элементы coi, <Q, i, Ti меняются
так, чтобы вход КА в СД имел место в один и тот же
момент А (в любой точке входной области па СД), то за-
висимость скорости Кг от начальной полной энергии hi
является монотонно возрастающей (рис. 4.5). Однако с
убыванием энергии hi траектория КА перестает дости-
гать СД Луны раньше, чем величина Кг уменьшится до
2КП. На этом эволюция с изменением hi пучка обйетных
траектории с фиксированными ц, rn <grL заканчива-
ется. Проследим эту эволюцию подробнее, чтобы указать
значения параметров, при которых происходят качествен-
ные изменения рассматриваемого пучка траекторий. Это
проще всего сделать методом ТСД, рассматривая, как ив
§ 4.3, эволюцию с изменением hi соответствующих «ско-
ростных» многообразий — многообразий выходных скоро-
стей: селеноцентрических U3 и геоцентрических V3.
Фиксируем величину начального радиуса и = гт. Тог-
да величина местной параболической скорости Уп(гД=
= V2pG/ri будет фиксирована, и начальная полная энер-
гия hi будет однозначно связана с избытком АУ1 = У1 —
— V„ начальной скорости над У„(г1). По определению
h, = V? - Vl = АУХ (У, + Уп) = АУХ (2У„ + АУД (2.1)
получим ЛДАУД. Обратно, подставляя У1=и ^n + ^i
в определение ДУц получим
Разложением в ряд получим
(2.3)
§ 19.2]
ЭВОЛЮЦИЯ ПУЧКА ОБЛЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
427
что для Ai/4Vn 1 дает
При гиперболических начальных скоростях облет Лу-
ны возможен лишь па восходящей ветви траектории.
При гя = Г1 и ДУ1 = 0,5 км/с имеем (рис. 4.5): угол ско-
рости У2 со входным геоцентрическим радиусом аг = 3°,
Уг = 3,64 км/с; для наклонений ц = 0 и k = л имеем со-
ответственно значения
= 3,73 км/с и Ui = 3,83 км/с. (2.5)
Если. Лупу считать материальной точкой, то много-
образия скоростей U2 и V3 для всех углов й практически
совпадают соответственно с 7/3-сфероп и У3-сферой (как
на рис. 4.9). Все выходные геоцентрические скорости V3
сильно гиперболические.
С уменьшением начальной скорости минимальные гео-
центрические выходные скорости У3 становятся эллипти-
ческими, хотя входные скорости еще гиперболические.
Впервые это случится при ДУ[ = 0,15 км/с для = г?
и наклонения й = 0. С дальнейшим убыванием на-
чальной скорости эллиптические выходные скорости V3
появляются и для | i± | > 0. Для угла 1й1 ==
= 180°, при Гл) — г?, они появляются только при ДУ1 =
= 0,144 км/с.
При переходе начальной скорости У; через параболи-
ческую Уп(?’1) становится возможным сближение на ни-
сходящей ветви сразу для всех значений й и . — гу.
При У1 = Уп и гп = Г) имеем (рис. 4.9)
ДУ1 = 0, У2 = 1,44 км/с, а2 = 7°,5,
П2=М,65 км/с, U3 = 1,87 км/с. (2.6)
Область эллиптических геоцентрических выходных
скоростей (лежит выше горизонтального малого круга,
проходящего через точки О1; Oi) занимает па У3-сфере
больше половины направлений (рис. 4.9). Имеем макси-
мальные скорости У^М)+ = 2,67 км/с, У3М^ = 2,9 км/с
и минимальные У(3т)+ = 0,63 км/с; У(3т)_ = 0,83 км/с.
(Знаки «+» и «—» соответствуют й = 0 и й = л.)
428 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
Когда с уменьшением начальной скорости при гп —
— Гу и г\ = 0 селеноцентрическая входная скорость
уменьшится до скорости Луны U2 = Уь, то появится пу-
левая выходная геоцентрическая скорость (рис. 4.12).
Соответствующие значения АУХ — АУХ — 0,080 км/с,
У(3т) = 0, У(3М) = 2У£ да 2,05 км/с, V2 да 0,0 км/с,
г а2 да 18°,4. (2.7)
Вспомним, что не всякому вектору на Уз-сфере мо-
жет отвечать действительная траектория КА, поскольку
Луна — не точка, а сфера радиуса рь, и траектории, для
которых радиус периселения р« < pL, не могут быть реа-
лизованы. Для этих траекторий угол а вектора выходной
селеноцентрической скорости U3 с вектором U2. входной
селеноцентрической скорости больше критического, отве-
чающего траектории, касающейся сферы р = pL.
Угол сбкас и другие параметры траекторий, касающихся
сферы р = pL, были представлены на рис. 4.10. Векторы
U3 и Уз практически реализуемых траекторий соответ-
ственно образуют в пространстве скоростей конусы:
Кц — прямой круговой (с осью U3la=o = U2 п раствором
а — «вас) и Ку — косой, получающийся из Кц смещением
концов его векторов U3 на вектор VL(i3). Поэтому на /Уз-
сфере и У3-сфере получаются равные круги (вырезаемые
этими конусами) практически реализуемых селеноцент-
рических и геоцентрических выходных скоростей. Эти
круги расположены между пунктирными векторами U
на рис. 4.9 и 4.12. Угол раствора конуса Кц составляет
около 45° на рис. 4.9 и превышает 90° на рис. 4.12.
При АУ1<АУ1 векторы входной геоцентрической
скорости У2, как видно из рис. 4.5, уже не могут счи-
таться постоянными при изменении точки входа; соот-
ветственно нельзя считать постоянным вектор U2 вход-
ной селеноцентрической скорости. Более того, при АУХ<;
<АУХ, как показывает непосредственная проверка, тра-
ектории с гя = гт уже не могут достигать геоцентриче-
ских апогейных расстояний га, близких к (гь + р*). По-
этому па сфере выходных селеноцентрических скоростей
U3 появляется запретная область. Соответствующая об-
ласть появляется и на У3-сфере, так что /73- и У3-много-
§ 19.2]
ЭВОЛЮЦИЯ ПУЧКА ОБЛЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
429
образин покрывают соответствующие U$- и Vj-сферы не
полностью.
Прежде чем рассматривать эволюцию запретной об-
ласти с изменением AVi, заметим, что, поскольку для
Рис. 19.1. Противоположность характера отклонения от параллельности
векторов скорости входа в сферу действия Луны в случаях: а— восхо-
дящего и б — нисходящего по отношению к Земле пучков облетных
траекторий.
= AVi (h — h* = — 1,7 км2/с2) апогейный радиус
?"а = аь + р*, то для наиболее удаленной от Земли точки
G' входа на СД входные геоцентрические скорости V2 и
селеноцентрические U2 ортогональны направлению на
Землю и являются общими (направление G на рис. 19.1,
«, б) для случаев сближения на восходящих (рис. 19.1, а)
430 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА (ГЛ. 19
и нисходящих (рис. 19.1, б) ветвях. Однако при входе
около ближайших к Земле точек касания траектории п
сферы действия для этих случаев векторы U2 (направле-
ния В и И на рис. 19.1, а и б) —разные (вследствие раз-
личия векторов V2 для восходящих и нисходящих по от-
ношению к Земле дуг Гц2); различно и расположение
соответствующих точек касания (5' и II' и промежуточ-
ных Е', F' па рис. 19.1, а и б) селеноцентрических тра-
екторий с границей СД.
Рассмотрим диапазон минимальных начальных ско-
ростей
дги< дут< дрГ,
соответствующих диапазону апогейных расстояний ду-
ги Г1,2
rL — р* < Га < rL + р*.
При росте от пуля значений разности (гь + р*) —Га
(вследствие убывания ДР] от ДР1) часть сферы действия
отсекается геоцентрической сферой радиуса г = га (ее
пересечение с плоскостью ££ показано па рис. 19.2 пунк-
тиром Glz1G1). В отсеченную (заштрихованную) часть
вход КА уже невозможен (хотя по-прежнему возможен
выходКА из пее). От этого на С7з-сфере (в пространстве
компонент uvw выходных скоростей) и возникает в точке
G указанная выше запретная область Z. Она имеет фор-
му каплеобразного профиля, показанную штриховкой па
рис. 19.2, а для случая 90° < lij < 180° в проекции иа
плоскость uw (начало координат и направления осей ££
и uw совпадают на рис. 19.2). Там же показаны пункти-
ром окружности р = рк — линия пересечения сфер р = р*
и г = га в проекции на плоскость Точки z границы Z
области Z получаются по точкам входа z' на пересечении
сфер р = р* и г = га поворотом вектора U2(z') в плоскости S,
проходящей через центр Луны и направление G = U2(z'),
на угол a(d(z'))*). Заметим, что при ij 0, 180° вектор G
(рис. 19.1) не будет направлен по оси V, и область Z не
*) Здесь d — прицельная дальность, т. е. расстояние от центра
Лупы асимптоты селеноцентрической траектории — гиперболы, для
которой z' является точкой входа в СД.
§ 19.2]
ЭВОЛЮЦИЯ ПУЧКА ОБЛЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
431
будет симметрична относительно- плоскости ии (на
рис. 19.2 индекс 1 означает проектирование иа плоскость
параллельно осп ц).
Рис. 19.2. Увеличение запретной зоны Z на У3-сфере выходных селено-
центрических скоростей с уменьшением апоцентрического радиуСа га
Г Д Ч
облетной траектории: а — от значений <Г£ + Р»,но близких к г^+ р.,;
б до значений г^>Г£ —р«, но близких к — р». Индекс 1 озна-
чает проецирование на плоскость ££ параллельно оси г|.
С убыванием AVi (и r,t) область Z расширяется, охва-
тывая при ra — rL полусферу и > 0 на (7з-сфере (рис. 19.3),
а при rL — р*< Га < гь — большую часть (7з-сферы
(рис. 19.2, б). При Д Vj -> ДKj* + 0 будет га -> rL — р* + О,
и область Z займет всю (7з-сферу, кроме точки G. Мно-
гообразие скоростей U3 сведется к этой точке. При этом
432 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
на СД точки входа G', В', Н' (рис. 19.1) сойдутся в од-
ной точке (р*, 0, 0), и соответствующие векторы G, В, Н
на рис. 19.1, 19.3 тоже придут к совпадению. На рис. 19.3
занимаемая многообразием скоростей U3 полусфера на-
ходится слева, причем выделена верхняя ее часть, точки
Рис. 19.3. Характер скоростных многообразий выходных скоростей: селе-
ноцентрических (U3) на l/з-сфере и геоцентрических (V3) на У3-сфере
при наклонениях, близких по модулю: а — к нулю, б — к 180° — при
сближении на восходящей ветви геоцентрической траектории.
которой соответствуют траекториям, не соударяющимся
с Луной.
Многообразия выходных геоцентрических скоростей
V3 строятся по рассмотренным многообразиям скоростей
U3 обычным образом, т. е. прибавлением соответствую-
щих векторов VL(i3).
Размеры скоростных многообразий убывают вместе с
AV1 и с |i]|. При этом для ц = 0 будем иметь U < VL,
начиная с ДР1 = ДР1; тогда проекция п3 = (У3)„ < 0, и
движение от СД оказывается возможным лишь в полу-
пространство ц3 < 0 (рис. 4.13, 19.3, а). Для ц = 180°
(рис. 19.3,6) при всех ДР^ДР* имеем U > 1Д,
§ 19.3] НЕВЫПОЛНЕНИЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ МЕТОДА ТСД
433
и движение от СД возможно и в полупространство
из > 0. При промежуточных значениях q размеры ско-
ростных многообразий промежуточны. Во всех случаях
для определения реальных границ этих многообразий на
Us- и У3-сферах необходимо учитывать ограничение на
радиус периселения ря > pL (непрохождение траектории
через Луну) и ограничение иа геоцентрический выходной
радиус r2 «£ га. Для ra = rL U3- и У3-многообразия даны
на рис. 19.3 для случаев сближения па восходящих по
отношению к Земле ветвях траекторий. (В случае сбли-
жения на нисходящих ветвях край £73-многообразия про-
ходил бы не через точку G, а через точку Н па
рис. 19.3, а, б).
Заметим, что при начальных скоростях, близких к
минимальным, входные геоцентрические скорости У?, ма-
лы, и движение происходит примерно так же, как если
бы сфера действия налетала на покоящийся в простран-
стве КЛ.
§ 19.3. Анализ влияния невыполнения
предположений метода ТСД
Несовпадение направлений G и В (или 1Г) с направ-
лением оси Оп пучка на рис. 19.1 означает, что направ-
ление входной селеноцентрической скорости U2 при ми-
нимальных начальных скоростях заметно меняется вместе
с изменением точек входа.
Вследствие переменности вектора U2 при сближении
в плоскости лунной орбиты на восходящей ветви не ре-
ализуется окрестность дуги GB (рис. 19.3), а в случае
сближения па нисходящей ветви окрестность дуги GH
реализуется дважды. Действительно, если, начиная с ма-
лых прицельных расстояний |d|, брать d-’-p* в случае
рис. 19.1, а, то на рис. 19.3 будет U3 -> В, поворачиваясь
по часовой стрелке (если смотреть с оси w), а если брать
d^- — р* то U3 G, поворачиваясь против часовой стрел-
ки, так что дуга BG не реализуется.
В случае же рис. 19.1, б при d^p* — 0 дуга GH про-
ходится вектором U3 первый раз, а при cZ— р*+0 она
проходится второй раз (в обратном направлении). Рас-
смотренные особые окрестности дуг BG и GH на рис. 19.3
существуют при любых начальных скоростях вследствие
28 В. Л. Егоров, Л. И. Гусев
434 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
наличия разницы в направлениях скорости V2 в плоско-
стях G'B'On и G'H'On (рис. 19.1) на разных геоцентри-
ческих расстояниях г, rL — р * < г < гь + р* (нарушение
предположения 1 о постоянстве вектора U2 метода ТСД).
При этом и величина скорости V2 (и Иг) в окрестности
точки входа G' (на рис. 19.1) будет меньше, чем в окрест-
ности точек входа В', В' (вследствие большей величины
г2 в геоцентрическом интеграле энергии).
Заметим, что векторы скорости U2 в симметричных
относительно плоскости точках касания (типа Е, F
на рис. 19.1) траектории с границей СД не одинаковы
даже при значениях Ц = 0,180°. Это — следствие различия
в этих точках направлений геоцентрического входного
радиуса г2 (нарушение предположения 2 метода ТСД
о том, что г2 = rL) при одинаковости радиальной и транс-
версальной компонент векторов V2. При вычитании оди-
накового вектора Vb получается два разных вектора се-
леноцентрической скорости Е и F (рис. 19.1): их проек-
ции па плоскость, содержащую прямую E'F' и ось СЕ
пучка траекторий, отклоняются от этой оси (примерно
по оси £) в противоположные стороны. Если в плоскости
Е’Р’Оъ пучок селеноцентрических входных скоростей
всегда является расходящимся, то в перпендикулярной
плоскости оп является сходящимся для случая сближе-
ния с Лупой на восходящих ветвях геоцентрических тра-
екторий (плоскость G'B'Ov на рис. 19.1, а) и расходя-
щимся — для случая нисходящих ветвей (плоскость
G'H’Ov на рис. 19.1, б).’ С убыванием начальных энергий
до минимальных убывает скорость V2, а вместе с пей и
расходимость в плоскости E'F'On. Эта расходимость
всегда невелика — порядка 10°.
В § 4.2 в целях упрощения метода ИВ до метода ТСД
пренебрегалось не только переменностью вектора вход-
ной геоцентрической скорости па СД и отличием входно-
го и выходного геоцентрических радиусов от радиуса
Луны, но также пренебрегалось изменением на угол cpL
направления вектора скорости V L(i) Лупы за время
Тг,з = ti — t2 полета КА внутри СД между моментами t2
входа и i3. выхода. Это изменение равно пулю для траек-
торий, касающихся СД. Поэтому точки U3- и Уз-сфер,
соответствующие тривиальным решениям: Usla=o и V3|a„o
(рис. 4.15)— при учете угла дц, т, е. при невыполнении
§ 19.3] НЕВЫПОЛНЕНИЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ МЕТОД/V ТСД
435
предположения 3 в § 4.2, не изменятся. Остальные точки
при учете того, что cpL ¥= 0, сдвинутся со своих мест на
Ui- и Уз-сферах по-разному вследствие отворота вектора
УД£з) <>т вектора VL(i2) па переменный угол cpL. Как
видно пз рис. 4.11, угол фь = соьТУ з для всех величин £72
изменяется качественно почти одинаково с убыванием
прицельной дальности d от граничного значения |d| =
= р*: сначала быстро (как Vp* — Idl) возрастает, а затем
делается практически постоянным вплоть до значения
\d\ = 0. При |d| <40 тыс. км переменность 6фь = фд —
— ф^ угла фь не превосходит 0,5° для £7 = 3,75 км/с
(фьР^4,7°) и 1,5° для £7 = 0,8 км/с (фьР ~ 22°,3). Если
поправкой бфь к поправке фь пренебречь, то окажется, что
для всех векторов U3 и V3, отвечающих значениям 0 <
< d < 40 тыс. км, вектор Уд(7з₽) будет одним и тем же,
а потому одинаковым будет и сдвиг — вектор поправки
AV3 = [VL(£gP) — Vl(£2)] для большинства точек V3-
сферы. В результате скоростное Уз-многообразие будет
почти целиком сферой (рис. 19.4) с центром А2 (смещен-
ным из точки Л2 иа тот же вектор AV), за исключением
небольшой окрестности вокруг точки V3|a=0 (рис. 19.4).
Угловой размер этой окрестности пе превосходит угла
а между векторами U3 и U2 при d = 40 тыс. км, который
согласно рис. 4.8 составляет менее 5° для £7 = 1,7 км/с.
Для этого случая имеем таблицу:
(1, тыс. км 0 23 4 0 54 GG
а, град гРаД 180 11,5 8 И 4 9,5 2 7,5 0 0
Из нее следует, что скоростное Уз-многообразие име-
ет малый бугорок, основанием которого является малый
круг с радиусом ~5° и с центром в точке (V3la=0 + АУ3).
Гладкая вершина бугорка смещена относительно центра
основания на вектор — АУз, а его склоны гладко сопря-
гаются у краев основания с основной, сферической частью
^-многообразия (рис. 19.4).
28*
436 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
Такого рода отличия U3- и Уз-многообразий соответ-
ственно от U3- и Уз-сфер метода ТСД мало существенны
и в случае нужды легко могут быть учтены.
Невыполнение предположения 4 метода ТСД (о со-
впадении направлений геоцентрических радиусов гД/3)
Лупы и Гз КА в момент i3 выхода из СД) приводит к раз-
личию направлений выходной геоцентрической скорости
Рис. 19.4. Скоростные многообразия на Из и У3-сферах, построенные с
учетом изменения направления скорости Луны за время полета КА внут-
ри ее сферы действия.
V3 при одинаковой выходной селеноцентрической скоро-
сти U3 и разных точках выхода г3. Влияние несовпадения
направлений гь(£з,) и Гз является чисто геометрическим
и может быть учтено так же, как и рассмотренное выше
влияние песовпадения направлений rL(i2) и г2.
Невыполнение предположения 5 метода ТСД (о не-
совпадении величин гД£3) и г3) приводит к различию гео-
центрических энергий при одинаковых геоцентрических
выходных скоростях Уз и разных удалениях КА от 'Зем-
ли в момент выхода. Это различие легко может быть уч-
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ТСД II ИВ
437
тено путем использования фактического выходного ра-
диуса (вместо /у) в расчете движения от СД.
Учет невыполнения предположений 4 и 5 менее су-
ществен, чем предположений 1—3, потому что последние
относятся к дугам 1\2- и 7г,з и непосредственно влияют
на условия прохождения КА около Лупы, определяю-
щие дугу 1\ „.
Проведенный анализ влияния нарушения предположе-
ний метода ТСД позволяет уверенно применять этот ме-
тод к расчету траекторий облета Луны, вводя в случае
нужды поправки к нему или уточняя его результаты
методом ИВ и другими более точными методами.
§ 19.4. Сравнение результатов анализа траекторий
сближения с Луной методами ТСД и ИВ
Правильность результатов, получаемых в пространст-
венной задаче методом ТСД, подтверждают результаты
работы [2—1964], полученные как при помощи интегри-
рования точной системы уравнений небесной механики,
так и методом ИВ (игнорирования возмущений от Лупы
вне ее СД п от Земли — внутри СД). В этой работе при
фиксированных начальных энергии h\ = ho, наклонении
й = io, кинетическом моменте С[ = Со и долготе hL
Луны в момент сближения пучок «облетных траекторий
получается (стр. 845) изоэнергетическими вариациями
бац и 6^!» (положений перигея coj и узлаИл). Эти ва-
риации пересчитываются в декартовы координаты
dL = dcoso, dz = d sin о, (4.1)
где d—прицельная дальность селеноцентрической гипер-
болы (оскулирующая в окрестности периселения), а о —
азимут поворота плоскости этой гиперболы вокруг оси Оа
пучка гипербол. Азимут о отсчитывается от меридиана
оси Оп пучка (рис. 4.6, б), если за полюс принята нор-
маль £ к плоскости лунной орбиты. Результаты расчета
облетных траекторий представляются в плоскости dL, dz
в виде изолиний
9
гк s rm = const, iK = i = const, = T = const, (4.2)
где rm — минимум геоцентрического радиуса г, первый пос-
438 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИИ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
ле выхода КА из сферы действия Луны, Т — полное время
полета от Земли до перигея rm по трем дугам Г1.2, 12,з,
Гз.к, i — наклонение плоскости дуги Гз,к к плоскости ор-
биты Луны.
Отмечаются следующие качественные закономерности
[2—1964, стр. 848]:
«В плоскости dLdz существуют две точки, соответст-
вующие rm = 0 (см. рис. 19.5—19.8, взятые из [2—1964]).
Tei=Scym
нм2/с2
ii=b5'‘
8=77800км2/с
--------/V=const,
-------/-const, • • • • r>=0.
Рис. 19.5. Ливии постоянства радиуса тп и наклонения i в перигее уча-
стка возвращения облетной траектории на плоскости компонент
прицельной дальности на участке сближения КА с Луной при начальных
энергии Л, = — 1,6 км2/с2 и наклонении г, - 45°.
§ 19.4]
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ТСД И- ИВ
439
Для качественной картины расположения изолиний эти
точки являются особыми. Для линий i(dL, dz) — const эти
точки являются узлами, что естественно, так как значение
i при гт = 0 не определено. Для линий rm(dL, dz) = const
эти точки являются центрами.
Все изолинии i(dL, dz) = const соединяют обе особые
точки. Исключением является изолиния i(dL, dz) = io, где
io — наклонение орбиты в начале геоцентрического участ-
ка полета. Для поверхности i = i(dL, dz) значение i = io~
асимптотическое для больших <7».
Эти качественные особенности, как и другие, можно
получить из вида рассмотренных в гл. 4 скоростных мно-
гообразий. Действительно, в работе [2—1964] рас-
сматриваются только случаи, когда селеноцентрическая
выходная скорость U3 превосходит скорость VL Луны,
причем для начального участка геоцентрической траек-
тории рассматриваются лишь значения перигейного ра-
диуса — гт — 6600 км, энергии hL = h0= —1,6 км^/с2
и hL = h0 = 0,28 км2/с2 (и, соответственно, значения кине-
тического момента = Со = 71800 км2/с и CL = Со =
= 72 400 км2/с).
Табл и ц а 19.1
Ло= —1,6 км2/с2 h„-(J,28 ьм2/с2
i, град 45 90 135 90
U, км/с 1,119 1,235 1,341 1,855
В табл. 19.1 из [2—1964, стр. 851] приводятся значе-
ния скорости U (соответствующие- различным значениям
ho, i0) КА относительно Луны на сфере действия.
Видим, что все значения U > VL, т. е. больше, чем
иа рис. 4.12. Значение U = 1,855 км/с больше, чем на
рис. 4.9 (построенном для До —0).
Поскольку U > VL, то на Уз-сфере существует, со-
гласно § 4.3, два, направления, соответствующие чисто
радиальному (по отношению к Земле) выходу из СД,—
нисходящее V(3H) и восходящее V3B). Поскольку векторы
V3H) и V3B) являются внутренними точками многообра-
зия скоростей V3 на Уз-сфере, то имеются вокруг нисхо-
440 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
дящей и восходящей радиальных траекторий траектории
всех наклонений. Поэтому пары WL, cZz), при которых
реализуются векторы V3H) и V3B), являются особыми
точками, причем центрами — для линий rm(dL, dz') = const
и узлами — для линий i(dL, dz) = const. Последние линии
соединяют оба узла, так как соответствуют сечениям
У3-мпогообразия плоскостями, проходящими через ось и3,
т. е. через прямую п3 = ш3 = 0 в, системе координат
Л2н3р3ш3 (рис. 4.9, 4.19). Линия i(dL, dz) = io не замы-
кается для конечных dL, dz, поскольку па ней должна
находиться точка тривиального решения задачи — воз-
вращения к Земле по невозмущенной Луной исходной
траектории (для последней dL = dz — °°).
Объясним с помощью скоростных многообразий, поче-
му в [2—1964, стр. 849] «для качественной картины рас-
положения изолиний rm(dL, dz) = С = const характерны
два случая. В первом случае (рис. 19.5) в плоскости db, dz
существует изолиния гт = С' < гт0 = 6 600 км типа лем-
нискаты. В каждой ее петле лежит особая точка вместе
с охватывающими ее замкнутыми изолиниями при значе-
ниях С из интервала 0 С < С. Замкнутые изолинии
гт = С, где С' < С < гт0, окружают кривую гт = С и обе
особые точки. Линией гт = г„10 это свойство отделено от
остальной части плоскости, где гт > гт0. Здесь изолинии
также замкнуты, но они не охватывают ни одну из осо-
бых точек».
Нетрудно попять (см. § 4,5), что «кривая типа лем-
нискаты» в случае, представленном на рис. 19.5, соот-
ветствует на Уз-многообразии в системе координат
Л2п3н3ш3 правильной «восьмерке» из точек, для кото-
рых гт имеет то же значение, что и для точки (0, У3т)>
0) на оси р3 верхушки У3-многообразия (рис. 4.19). Эта
точка является точкой самопересечения для «восьмерки»
(кривой С = С па. рис. 19.5), так как для больших гт
кривые rm = const на У3-мпогообразии (типа кривых
г,„ = ОС") должны иметь большую трансверсальную
компоненту и потому должны дальше отстоять от оси п3,
чем точки кривой — Линии г„. = С < С' должны
быть ближе к осп н3. Поэтому каждая из них охватыва-
ет лишь одну особую точку и лежит внутри соответст-
вующей петлп линии гт = С'. Образ семейства г„> = С < С
§ 19.4]
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ТСД И ПВ
441
на плоскости dLdz разбит линией гт = гт0 па два подсе-
мейства гт = С <гт0 и гт = С > Гто, потому что на этой
плоскости линия гт — const = Гто не может быть замкну-
та (ибо содержит тривиальное решение — как и линия
i = const = i0).
Рис. 19.6. Линии постоянства радиуса гл и наклонения i в перигее уча-
стка возвращения облетной траектории на плоскости компонент di&Z
прицельной дальности на участке сближения НА с Луной при начальных
энергии hi =—1,6 км2/с2 и наклонении й = £0°.
Подсемейство гт — С< гто охватывает обе особые точ-
ки, так как линии его прообраза на рис. 4.20 располага-
ются между линиями гт = С и гт = г„о. Линии подсемей-
442 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
ства гт = С > rmo по той же причине не охватывают ни
одной особой точки, но замкнуты, так как замкнуты ли-
нии прообраза.
Аналогично объясняется, почему «во втором случае
[2—1964] рис. 19.6—19.8 в плоскости (dL, dz) существует
изолиния гт = С > rm0 типа улитки Паскаля с внутрен-
ней петлей. Эта кривая (опа показана на рис. 19.8) вы-
деляет в плоскости две ограниченные области. В одной
=J суш
Лг~7,6тг/сг
1,=735°
С = 7780 ш-г2/с
--------fy=const,---------/=const, е =%
Рис. 19.7. Линии постоянства радиуса тл и наклонения г в перигее
участка возвращения облетной траектории на плоскости компонент djylz
прицельной дальности на участке сближения КА с Луной по той же
траектории при начальных энергии Л1 = —1,6 км2/с2 и наклонении 1,-130.
§ 19.4]
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ТСД И ИВ
443
из них (внутри петли) лежит верхняя особая точка вме-
сте с охватывающими ее замкнутыми изолиниями при
значениях С из интервала О С < С'. В другой области
(вне петли) расположено семейство замкнутых изолиний
гт = С>С. Эти области окружены замкнутыми изоли-
ниями гт = С, где rm0 <ZC <ZC . Линией rm = гт0 это се-
мейство отделяется от остальной части плоскости содер-
жащей нижнюю особую точку и охватывающие ее замк-
нутые изолинии при значениях С из интервала О С
гт».
Рис. 19.8. Линии постоянства радиуса гл и наклонения i в перигее
Участка возвращения облетной траектории на плоскости компонент
прицельной дальности на участке сближения КА с Луной при на-
чальных энергии Zii = 0,28 км2/с2 и наклонении г, = 90°.
444 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
Нетрудно видеть, что кривая типа улитки Паскаля
соответствует на Уз-многообразии той же правильной
«восьмерке» гт = С', что и в первом случае, и отличие
второго случая от первого состоит лишь в том, что стало
С > гт0 (вместо С < г„о). Поэтому неограниченная кри-
вая rm — гто разорвала на плоскости dLdz не то семейст-
во линий rm = const, прообраз которого на рис. 4.20 рас-
полагался вне «восьмерки», а семейство вокруг особой
точки V3 ~ V3B), прообраз которого на рис. 4.20 нахо-
дится внутри левой петли восьмерки (левой, поскольку
именно ею окружено тривиальное решение при рассмат-
риваемом в [2—1964] сближении с Луной па восходя-
щей ветви траектории).
Поэтому качественно не изменилась па плоскости dLdz
картина окрестности образа правой петли восьмерки.
Благодаря замкнутости всех линий прообраза семейства
гт — С>С' вне «восьмерки» вокруг точки (0, — Ум, 0)
с максимальным значением гт образ левой петли лем-
нискаты превратился в наружную петлю улитки Паска-
ля, охватывающую вместе с внутренней петлей это се-
мейство. Образ семейства линий гт = С < С', располо-
женного на рис. 4.20 внутри левой петли «восьмерки»,
должен содержать неограниченную линию гт — гт0
(рис. 19.6, 19.8), и потому занимает всю плоскость вне
наружной петли, причем разделяется линией гт = гт0 на
две подсемейства замкнутых линий, одно пз которых
обязано примыкать к наружной петле, а другое — содер-
жать центр гт = 0.
Рост значений U п С с ростом значения i, получен-
ный точным расчетом на стр. 851 работы [2—1964], мож-
но легко получить пз приближенных формул метода
ТСД:
V™ = U-VL, Cs---.rLV^n), Лу-(У3Л))2-—, (4.3)
1L
Уя^Ся!гп, Уд — 2|1с/гя -[- 1ь-л. (4.4)
Из последних двух формул имеем квадратное урав-
нение относительно г-.
к;;гл 4" -[lGrл — С3 = 0, (4.5)
§ 19.41
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ТСД II ИВ
445
положительный корень которого и есть С •.
С = ( Ис + + ^з) т- = Сз------ г .. ^=. (4.6)
3 P-g + У Iх g +
если Сз п h3 выражаются через U формулами (4.3).
Имеем
С2 h,C*
С'^ ПР1Г Т-«!’ (4-7)
7гС2
т.е. II — е I -С 1, так как 1 — е? =-.
P-G
Нетрудно проверить, что значения U2 для вариантов
1 и 3 таблицы на стр. 851 в [2—1964] отличаются от U2
варианта 2 на 0,275 км2/с2 в противоположные стороны,
что связано, согласно формуле (4.2.4), с тем, что
cos 45° =-cos 135°.
Расчет С с помощью формулы (4.6) по значениям
табл. 19.1 для U дает С = 1,7; 8; 20; 230 тыс. км., что
близко к значениям ~ 1, ~ 7, ~ 18, ~ 200 таблицы на
стр. 851 в [2—1964]. Видно, что относительная точность
расчета С методом ТСД слабо убывает с приближением
На стр. 851 работы [2—1964] говорится: «Если за-
данные гт > С', то для участка траекторий после сбли-
жения с Луной существуют наклонения г, которые нель-
зя получить за счет специального прохождения вблизи
Луны. Увеличение С может быть получено за счет уве-
личения энергии селеноцентрического движения. Однако
одновременно с этим происходит приближение верхней
особой точки гт = 0 к центру Луны (рис. 19.5—19.8). При
больших значениях U верхняя особая точка вместе с се-
мейством замкнутых изолиний оказывается внутри ли-
нии р = 1736 км, ограничивающей поверхность Луны
(рис. 19.8)». Первые два утверждения очевидны из
рис. 4,20, причем ясно, что при увеличении заданного гт
от С сначала исчезают наклонения, отвечающие окрест-
V(m) _
з , т. е. движениям, близким к плоскос-
ти лунной орбиты и обходящим Землю против направле-
ния обхода ее Лупой. Приближение селеноцентрической
446 количественный анализ траекторий ОБЛЕТА 1ГЛ. 1»
траектории к центру Луны с ростом U связано с очевид-
ным из рис. 4.9 увеличением угла а между и U3
с ростом U (т. е. радиуса (7з-сферы, так как естественно,
что для поворота притяжением большего вектора U па
7^ = 3
7r~7,ff н-мг/с
г
Рис. 19.9. Линии постоянства времени Т -- Т\ коблета Луны на плоско-
сти компонент d^dg прицельной дальности на участке сближения КА с
Луной при начальной энергии hi = —1,6 км2/с2.
больший угол а требуются меньшие расстояния траекто-
рии от центра тяготения (см. рис. 4.8).
Аналогично можно объяснить с помощью сферических
многообразий скоростей U3 и V3 и остальные качествен-
ные свойства семейств изолиний па плоскости dLdz, отме-
ченные в работе [2—1964]. Можно даже уточнить харак-
§ 19.4]
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ТСД И ИВ
447
тер поведения изолиний T(.dL, d2) = const. Они представ-
лены на рис. 19.9, 19.10, взятых из [2—1964] и там на
стр. 851 о них говорится следующее: «Здесь также для
качественной картины существенно наличие двух особых
точек, в которые, как в узел, сходятся изолинии
T(dL, dz')=C, где С < 30 суток. Обе особые точки соот-
ветствуют траекториям, для которых после выхода из
ТвГ2сут
ht= 0,28 нм г/с г
Рис. 19.10. Линии постоянства времениТ = к облета Луны на плоско-
сти компонентЩД/прицельной дальности па участке сближения КА с
Луной при начальной энергии hI = 0,28 км2/с2.
СД Луны геоцентрическая орбита имеет эксцентриси-
тет е, равный нулю, т. е. после сближения с Луной ор-
бита является круговой с радиусом порядка радиуса
лунной орбиты. Неопределенность времени полета Т
в этих точках связана с неопределенностью в положении
перигея для круговых орбит. Сколь угодно малые возму-
448 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ. ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
щения в зависимости от их направления существенно
меняют положение перигея и время его достижения
после выхода из СД Луны.
В связи со сказанным выше особые точки должны
лежать на линии г = 0. При этом замкнутую линию
г = 0 указанные особые точки делят на две дуги. Для
Л7 = -1,ff имг/сг
Рис. 19.11. Линии постоянства времени Т = Т± „полета (от Земли до пе-
ригея после сближения с Луной) на У3-многообразии в пространстве ком-
понент u3v3w3 геоцентрической скорости V3 выхода из сферы действия
Луны при начальной энергии /г,= —1,6 км2/с2,
траекторий с параметрами dL, dz, которые принадлежат
дуге линии г = 0, обращенной в сторону больших Т, пе-
ригей участка траектории после сближения с Луной рас-
положен непосредственно при выходе из СД р = р*«.Дру-
гая дуга линии г = 0 соответствует траекториям, у кото-
рых непосредственно при выходе из СД реализуется
апогей орбиты».
Далее будет показано, что последние два утвержде-
ния несправедливы для случая h\ >0 (рис. 19.10). А сей-
час построим схематически изолинии Т = const на V3-
§ 19.4]
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ТСД И ИВ
449
сферах в случаях h\ = —1,6 км2/с2 и 0,28 км2/с2 на
рис. 19.11 и 19.12, где эти линии не покрывают лишь
область, ограниченную сверху малым кругом V3 = Vn(rL)
(е = 1) — двойной линией и справа большим кругом и3 = 0
(г = 0)—линией с точками, как па рис. 19.5—19.10. Век-
торы скорости Уз из этой области соответствуют траек-
ториям ухода КА из СД в бесконечность без прохожде-
ния перигея.
Семейство линий Т = const на Уз-сфере устроено со-
вершенно одинаково как в случае h\ = — 1,6 км2/с2, так
Рис. 19.12. Линии постоянства времениГ Гх ,. полета (от Земли до пери-
гея после сближения с Луной) на П3-многоббразии в пространстве ком-
понент w3r3w3 геоцентрической скорости V3 выхода из сферы действия
Луны при начальной энергии /г, = 0,28 км2/с!.
и в случае, hi > 0. И орты dL, dz направлены примерно
одинаково в плоскости, перпендикулярной вектору U2:
dv — примерно в сторону w3, dz — почти параллельно
плоскости V3U3, потому что вследствие малости компонен-
ты w2 вектора U2 пучок селеноцентрических траекторий
входит в СД почти параллельно плоскости лунной
орбиты.
90
в. А. Егоров, Л. И. Гусев
450 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
Отличие на рис. 19.9, 19.10 (или на рис. 19.11, 19.12)
происходит от того, что при h\ > 0 (рис. 19.10, 19.12)
круг У3 = Уп весь находится в полупространстве dz > 0
пространства скоростей U3 (а потому соответствующие
точки входа принадлежат полупространству dL < 0 се
леноцентрического пространства координат И®, dL, dz,
в то время как при h\ = —1,6 км2/с2<0 (рис. 19:9,
19.10) круг V = Va частично заходит и в полупростран-
ство dz < 0 пространства скоростей U3 (а потому соот-
ветствующие точки входа заходят и в полупространство
dz > 0 в пространстве координат U2, dL, dz). В обоих
случаях время Т вдоль изолиний Т = const на У3-сфере
возрастает от минимального Т = Тт до Т = °°. Линия
Т = Тт близка к той части круга г = 0, на которой ско-
рость У3 превосходит местную круговую скорость
Икр(п.) ~ Vl- Поэтому точки этой линии соответствуют
перигеям г3 = соответственно время полета 713>1( = О,
и Tm^Ti:2 (с погрешностью порядка Т2,з/^)-
С ростом С от Тт изолиния Т = С на У3-сфере все бо-
лее отклоняется своей серединой от середины линии
Т — Тт, сохраняя те же концы (г = 0, У3 = Укр). При С
порядка ~ 10 суток отклонение направления V3C₽) в се-
редине изолиний Т = С от среднего направления V£ изо-
линии Т — Тт будет порядка 180°, а при С около 25 су-
ток— порядка 270° (какого порядка С — указано циф-
рами на рис. 19.11, 19.12). Начиная с О 30 сут, изоли-
нии Т = С становятся похожими на половинки и3 < 0
параллелей v3 = const (т. е. V3 = const), так как начина-
ют опускаться вместе с концами. Это опускание закан-
чивается на точной полупараллели {V3 — Vn(.rL), и3<0),
на которой С = оо, так как на всякой близкой параллели
У3 < Уп возвращение КА к Земле происходит после про-
хождения очень удаленного апогея, т. е. за очень боль-
шое время С.
В работе [2—1964] не были отмечены образы облас-
тей, заштрихованных на рис. 19.11, 19.12, а также оста-
лась незаполненной изолиниями Т — С окрестность на-
чала координат (см. рис. 19.9, 19.10). Как она должна
быть заполнена, схематически показано (в увеличенном
масштабе) на рис. 19.13, 19.14 (соответствующих
§ f9.il
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ТСД И ИВ
451
Рис. 19.13. Линии постоянства времени ^1,к облета Луны на плоскости
компонент dLdz прицельной дальности для случая сближения КА с
Луной при начальной энергии, hi——1,6 км2/с2 (для малых dp,,dz).
Рис. 19.14. Линии постоянства времени к облета Луны на плоскости
компонент dp,dz прицельной дальности для случая сближения КА с
Луной при начальной энергии Л1=0,28 км2/с2 (для малых d^d^).
29*
452 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. Ill
рис. 19.11, 19.12), а именно, заштрихованы области, где
не могут располагаться изолинии T(dL, dz} = const. Оди-
наково заполнена область около точки dL = dz = 0, огра-
ниченная кривыми г = 0 и V3 = У„ на рис. 19.13, 19.14,
где dz меняет знак. Она на Уз-сфере соответствует об-
ласти г < О, У,- > У„. Таким образом, пустот на плоскости
dL, dz нет.
Из характера картины изолиний Т = С на рис. 19.14
следует неправильность отмеченных выше утверждений
для случая h\ > 0. Действительно, на рис. 19.14 в сторо-
ну больших Т обращена левая часть линии г = 0, на ко-
торой согласно рис. 19.12 Уз < Укр, так что этой части
соответствуют не перигеи, а апогеи. Перигеи же соот-
ветствуют ее другой части (на которой Уз > Укр соглас-
но рис. 19.12).
§ 19.5. Анализ некоторых общих свойств пучка
облетных траекторий методом ТСД
1. Предельность плоской задачи для пространствен-
ной. Выше приводились значения U2 селеноцентрической
скорости входа в СД лишь для двух значений 1й1=0
и I й I = л модуля I й I начального геоцентрического на-
клонения, потому что при других значениях I й I вели-
чина П2(1й1) промежуточна (см. рис. 4.6, а и формулу
(4.2.4)):
П(0)^П(1й1)'^П(л). (5.1)
Соответственно промежуточны и параметры облетных
траекторий (V(31 * * * M), У^ и др.).
Выше было показано, что с уменьшением начальной
скорости характер траекторий изменяется сперва для
lil =0, затем для 1й1 >0 и, наконец, для й = л. При
этом оказывается, что различные виды решений прост-
ранственной задачи возникают и исчезают в плоскости
лунной орбиты, как решения плоской задачи. Сходство
плоской и пространственной задач в том, что в них при
фиксированных z\, ^1 многообразия входных гео-
центрических и селеноцентрических скоростей являются
точками (в пространстве U2V2W2 имеется лишь по одному
вектору V2 и U2, независимо от точки входа), а также
§ 19.51
АНАЛИЗ ПУЧКА ТРАЕКТОРИИ МЕТОДОМ ТСД
453
в том, что многообразия выходных скоростей (селено-
центрических U3 и геоцентрических V3) являются сфе-
рами в соответствующем пространстве.
2. Изменение многообразий входных скоростей с из-
менением начальных данных. При изменении 1й1 и фик-
сированных векторы входных скоростей геоцент-
рических V2 и селеноцентриче-
ских U2 образуют соответствую-
щие конусы (см. рис. 4.6, а). Если
при фиксированном г„) умень-
шать энергию hi до минимальной
(5'2>
ГЛ + rL
(в предположениях метода ТСД),
то становится
Рис. 19.15. Построение
входных селеноцентриче-
ских скоростей максималь-
ного наклона к плоскости
лунной орбиты при мини-
мальной начальной энер-
гии методом точечной сфе-
ры действия в трансвер-
сальной плоскости.
v3r = о, V2X = v2 =
(5.3)
и происходит вырождение У2-ко-
нуса в круг радиуса V* в плоско-
сти vw (рис. 19.15) и вырожде-
ние £72-конуса в соответствующий плоский угол (в той же
плоскости ии), охватывающий снаружи V2 круг так, что
круг вписан в угол и касается его в точках D и D'
(рис. 19.15).
Если при фиксированной энергии h\ > hm и любых
наклонениях — л < i < л уменьшать радиус до нуля,
то У2-конус вырождается в единственный вектор V2г,
а (72-конус — в соответствующий вектор
U2 I (1)_ = V2г + vL СУ •
Г л —°
(5.4)
3. Область на сфере действия, запретная для точек
входа облетных траекторий. Покажем, что эти траекто-
рии не могут входить в СД в окрестности точки, проти-
4 54 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 19
воположной направлению Vr скорости Луны (т. е. дого-
няя ее), каковы бы ни были начальные данные. Для
плоских траекторий это почти очевидно. Действительно,
со стороны меньших значений селеноцентрической дол-
готы К' предельной является точка А (рис. 19.16, а) на
траектории, являющейся общей наружной касательной
Рис. 19.16. Построение границ зоны на сфере действия, запретной дли
точек входа.
к окружностям Земли г = гт и сферы действия и соот-
ветствующей начальным данным У\ = °°, rn = rT, it = 0.
Со стороны больших значений А/ предельной будет точ-
ка В, которая соответствует входу КА на нисходящей
ветви траектории с начальными данными V± = Уп, Гл)==
= гу, ij^ — 0.
В пространственной задаче при изменении ii от нуля
в обе стороны получим вместо точки А граничный ма-
лый круг на СД — 4-круг (рис. 19.16, б). Он является
малым, а не большим за счет того, что радиус СД боль-
ше радиуса Земли на 60 тыс. км, что с расстояния
400 тыс. км дает параллакс около 9°, так, что проекция
4-круга на плоскость £г] (рис. 19.16, б) отстоит от
оси т] на 9’.
Вместо точки В в пространственной задаче из край-
них точек входа на нисходящей ветви при тех же
= Vn, Гл11 = Гу и ij = 0 получится большой круг, про-
ходящий через точку В и ось £ (так что в проекции на
плоскость |т] получим диаметр, проходящий через точ-
ку В). При liil =90° точки входа могут оказаться в сек-
§ 19.6]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
455
торе АСВ, где С — точка пересечения Л-круга с В-кру-
гом, так что запретная зона не занимает углы сектора
АСВ. Очевидно (рис. 19.15 и 19.16, б), что запретная
зона располагается выше (по оси ц) своих граничных
точек D и D', отвечающих входу с минимальной ско-
ростью V2 — ^2x при наклонениях ir = (90° — s) и iG1 =
= (—90°+е) соответственно, где sin s = у, т. е.
s « 12° (см. рис. 19.1, а, где точкам типа D и D' в про-
странстве иии> отвечают точки Е', FA.
При возрастании начальных скоростей от минималь-
ных получится недостающая нижняя часть EDF грани-
цы запретной зоны, симметричная для восходящих и
нисходящих ветвей относительно плоскости Наклоне-
ния вдоль нее близки к 90°. Таким образом, граница за-
претной зоны вокруг точек § = 0, т] = р*, 5 = 0 состоит
из четырех кривых (рис. 19.16, б): EDF и симметричной
E’D'F’, малого Л-круга и большого В-круга.
§ 19.6. Энергетические особенности
облетных траекторий
1. Оценка энергетического диапазона облетных траек-
торий методом ТСД. Из формулы (5.2) видно, что энер-
гия hm минимальна при гп = 0:
min hm = — 2p.q/tl « — 2 км2/с2. (6.1)
r(1)
гл
Если принять rL за единицу длины, a VL — за единицу
скорости, то будет = 1 — Ць/Ца. Так что в этих едини-
цах имеем оценку h снизу
/i>-2(l-pL/pG)>-2. (6.2)
Оценим h сверху. Сближение с Луной возможно при
любых начальных скоростях УЛЛ) > У[(Лт). Однако за-
висимости Уг(АУ1) и СЛАУЛ приобретают асимптотиче-
ский (в смысле А71 = —оо) характер уже при АУ1 =
0,5 км/с, как можно видеть на рис. 4.5, вычисленном
Для траекторий облета Луны, причем для начального ра-
диуса rt = га + 200 км. Поэтому для облетных траекторий
Достаточно рассмотреть ДУ1 < 0,5 км/с, т. е. согласно
456 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 15
(2.1) /и < 11,25 км2/с2. Округлим это ограничение и бу-
дем считать
h\ < 10 км2/с2. (6.3)
При rn = rG + 200 км величина 7п(г„) = 11 км/с, так
что для Til = Ю км2/с2 линейный по h\ член ряда (2.3)
составляет менее 1/40, а квадратичный — менее 10-4 и
т. д. Из интегралов площадей и энергии
г2Ут = гяУя, (гя) + (6.4)
Разложением радикала в ряд получим Ут = У* при
hi < 10 км2/с2 с погрешностью менее 5%. Здесь Ут есть
константа: У* = — Уп (гя) да 190 м/с.
rL
2. Связь вариаций модулей скоростей КА вблизи Зем-
ли и вблизи Луны. Из (6.4) варьированием интеграла
площадей получим при постоянных радиусах г2 № П. и г„:
6УТ = 1£6УЯ, (6.5)
L
где Уя — начальная скорость (в перигее). Поскольку
rn/rL = Ут/Уп (гя) из (6.4), то (6.5) представимо в виде
Поскольку в (6.5) отношение rJrL мало, то столь же
мало и отношение вариаций 6УТ/6УП. Поэтому ошибки
в перигейной скорости практически не сказываются на
компоненте Ут (если они не связаны с изменением г„ и г2).
Например, ошибка 6У] = 5 м/с вызовет ошибку 6УТ<
<0,1 м/с. Такими ошибками в приближенных оценках
влияния разброса начальной скорости можно пренебречь.
Тогда, считая r2 = rL и используя обозначения
yT = y2sina2, y^sy^cosij, t/* VL — У*, (6.6)
получим из формулы (4.2.4)
Ul = V22 + Ul-Vl. (6.7)
Вследствие постоянства VL, й и Ут при варьировании
У1 величины. У*, (7* будут постоянны, так что имеем
С/2бС72 = У26У2. (6.8)
§ 19.6]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
457
Варьированием геоцентрического и селеноцентриче-
ского интегралов энергии
= и и2 — =
Ду Z2 Р (2
при Г2 = rL, Р2 — р * и фиксированных расстояниях гя и р
получим
V26V2 = УЯ6УЯ, UbU = U^U2. (6.10)
Тогда из (6.8) —(6.10) при постоянных гп, г2, р2, р бу-
дем иметь
= УЯ-6УЯ. (6.11)
Таким образом, получена теорема:
Для облетных траекторий с фиксированными радиу-
сами геоцентрическим г- и селеноцентрическим р отно-
шение вариаций относительных скоростей на этих радиу-
сах (соответственно относительно Земли и Луны) обрат-
но пропорционально отношению этих скоростей.
3. Уменьшение энергетического диапазона для двух
классов траекторий облета с возвращением к Земле. При
фиксированной величине селеноцентрической скорости U
входа в СД (выхода из СД) и всевозможных наклонени-
ях — начальном й и конечном iK рассмотрим в первую
очередь такие возвращающиеся к Земле облетные траек-
тории, по которым движение к СД является восходящим
по отношению к Земле, а движение от СД — нисходя-
щим. Облет по таким траекториям требует наименьшего
времени. Соответствующие конусы скоростей V2, U2, U3,
V3 для симметрии чертежа представлены на одной и той
же сфере радиуса V (рис. 19.17) сплошными линиями
(для случая, когда = г^). При этом начало коор-
динат для отсчета скоростей V3 смещено из цент-
ра Z/з-сферы по оси и на вектор — VL (вместо того, что-
бы Уз-сферу получить смещением С7з-сферы на вектор VL).
Благодаря этому видно, что пара векторов (U(2M),
U<3M)), угол между которыми ам = таха, принадлежит
ip
плоскости u, v лунной орбиты. Проекции векторов U2, U3
па ось и имеют обратные знаки. Поэтому соответствую-
щие им векторы V2 и V3 имеют радиальные компоненты
разных знаков.
458 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 13
Соответствующие наклонения — геоцентрические й =
— iK = 0, селеноцентрическое 1' = л (отсчитываются они
в соответствующих перицентриях в диапазоне (—л, л)).
Соответствующие траектории лежат в плоскости Пь лун-
ной орбиты, и влияние Луны для них максимально по
сравнению с ее влиянием для других траекторий облета
Рис. 19.17. Конусы геоцентрических
V2, Uz и выходных Уз, U3 скоростей в
нент U2V2W2 и UsVsW3
и селеноцентрических входных
пространствах скоростных компо-
соответственно.
с возвращением к Земле на расстояние гп — г(л \ (Заме-
тим, что при г(л > = 5 соответствующая траектория сим-
метрична относительно прямой Земля — Луна.)
Из рис. 19.17 видно также, что пара векторов U2, Из,
между которыми угол ат = min а, тоже принадлежит плос-
’к
кости uv лунной орбиты, им соответствуют геоцентриче-
ские наклонения й = iR = л и селеноцентрическое г = л.
Соответственно с ростом значений U от минимальных
(вместе с ростом начальной геоцентрической энергии)
траектория облета (с возвращением к Земле) раньше
станет пересекать поверхность р = рь Луны при й = й =
— О, чем при й — й = л. Из рис. 19.17 находим
COS а2>3 =----у aM,m = a? +.a8, -(6.12)
§ 19.6]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
459
Р'Ь
(6.13)
где тп, Гл\ Гл\ верхний знак отвечает й = h. = 0 (т. е. ам),
а нижний й = й — л (т. е. ат). Из условия sin (а/2) = 1/е',
е' — эксцентриситет селеноцентрической гиперболы
^2,з, можно получить [1—1968, стр. 34] формулу
а
1 — sin ~2~
U sin
По формулам (6.12), (6.13) находим, увеличивая по-
степенно значения U (от Um — VL—У-гО’яО)» что для
й = Й = О становится рп = рь при U = U', где 1,1 < U' <
< 1,2 км/с, и для й = й = л — при U = U", где 1,3 < U"
< УЗУг = 1,43 км/с. Здесь бралось 7я° —
V* (гд 0 = 0,2 км/с. Таким образом, самые кратковре-
менные траектории облета с возвращением на радиус
Гл = 77./50 « 7700 км имеет смысл рассматривать лишь
при значениях U < 1,43 км/с.
Таким значениям, как видно из рис. 4.5, отвечают
эллиптические начальные скорости. Следовательно, суще-
ствуют при тех же hi, iit /д' облетные траектории, по
которым движение к Луне является нисходящим, а от
Луны — восходящим по отношению к Земле с теми же
по величине скоростями V2, U2, U3, V3, симметричными
рассмотренным в скоростном пространстве uvw. Значит,
реализуемый энергетический диапазон для них тот же,
только безапогейные дуги Г[>2 и Г3к заменяются на ду-
ги, содержащие каждая апогей.
Для облета с возвращением на исходное перигейное
расстояние = Гд5 без изменения знака радиальной
геоцентрической скорости в результате сближения с Лу-
ной наибольшие начальные скорости потребуются, как
видно из рис. 19.17, в том случае, когда движение про-
исходит в плоскости лунной орбиты с заменой гипербо-
лической скорости V2 и наклонения й = 0 на (почти) па-
раболическую скорость V3 = Уп (rL) и наклонение й — л
(верхний пунктир на рис. 19.17). Параметры такого пе-
рехода найдем из рис. 4.5, используя У3 = УДи.) вместо
]Z2; соответствующие значения U? = U3 « 1,9 км/с нахо-
460 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. (9
дим по более высокой кривой U (AVj) при AKj =0 (так
как V21{1=0 > V2 для U = const, V = const). Соот-
ветственно по значению 1,9 км/с на более низкой кривой
t/+(AVi) найдем AVj — 0,035 км/с, получим, согласно
(2.1), соответствующую энергию ~ 0,77 км2/с2.
Можно убедиться непосредственной проверкой (пре-
доставляем ее читателю), что между вектором U2 о и
вектором U3Jij=л (пунктирными на рис. 19.17) угол а го-
раздо меньше предельного угла акас > 50° (отвечающего
величине U = 1,9 км/с на рис. 4.10), так что рассмот-
ренный облет с возвращением физически реализуем.
Кроме рассмотренных, возможны еще облеты с воз-
вращением после сближения .с Луной на нисходящей
ветви Гг.з траектории. Для них, очевидно, начальная гео-
центрическая энергия h\ должно быть отрицательной.
Таким образом, для траекторий облета с возвращени-
ем к Земле должно быть h\ < 0,77 км2/с2.
• Г л а в а 20
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ
ОБЛЕТА ЛУНЫ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ К ЗЕМЛЕ
§ 20.1. Траектории облета с возвращением к Земле
в целом
Как п в задаче возвращения с Луны пли с орбиты
ИСЛ (раздел III), рассмотрим с помощью метода ТСД
сначала задачу облета Луны с возвращением в сферу
заданного радиуса rT < rL. За осевую траекторию Гл- рас-
сматриваемого в этой задаче пучка траекторий естествен-
но принять такую, у которой участок Г3.к движения
к Земле является радиальным. При фиксированных на-
чальных энергии радиусе перигея г„, наклонений iIt
знаках s2 и s3 геоцентрических радиальных скоростей
в точках входа и выхода на СД и времени С прохожде-
ния периселения такая траектория, если она существует,
единственна. Ее действительно можно назвать осью пуч-
ка траекторий Г3>к возвращения к Земле, так как при
достаточно малой величине гт будет мала и трансверсаль-
ная компонента Vx (рис. 19.17) геоцентрической скорости
выхода из СД Луны. Конус направлений V3>K будет узок
и осесимметричен, причем соответствующий траектории
Г к вектор V3 будет направлен по оси V3- конуса.
Рассмотрим многообразие векторов входной скорости
V2(ij), соответствующих фиксированным значениям
и U =|U21 при различных значениях.. — л < 1\ < л. На
рис. 20.1 это многообразие представлено У2-копусом, со-
ответствующим «2>0 (т. е. сближению па восходящей
ветви). Строится этот конус по так же, как строил-
ся в § 19.4. По-прежнему осью - гиперболоида будет
в плоскости uv прямая Л2Ло, т. е. ось и2. Назовем эту
ось осью У2-конуса, по У2-копусу построим £/2-конус
462
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 20
(смещением вершины на вектор —VL); продолжая вс?
его векторы па их же длину за вершину 0, получим UJ-
конус тривиальных решений (отвечающих траекторией,
не пересекающим СД). Его осью и осью {72-конуса на-
зовем прямую ЛоО. Его векторы принадлежат (7з-сфере
радиуса U2 с центром в начале 0.координат (на рис. 20.1
/ g \
Рис. 20.1. Два типа Ugjy и и3дг осевых решений задачи облета Луны с
возвращением к центру Земли.
(/2-конус показан сплошными линиями). Смещением U$-
сферы на вектор VL получим У3-сферу (согласно связи
U3 + VL = V3).
Построим (рис. 20.1) осевые векторы V3”v и V£n
(т. е. лежащие на оси и3, соответственно с абсциссами
> 0 и по ним найдем соответствующие но-
минальные векторы Ug'jy и U(3“y на (7з-сфере.
Не будем теперь задавать знака s3. Тогда получим
одно решение V3Hy с $з < 0, если в пространстве uvw
скоростей идущий вдоль оси »з (рис. 20.1) вектор VsjJ
a 20.1] ТРАЕКТОРИИ ОБЛЕТА В ЦЕЛОМ 463
имеет модуль | Vn (rL) =]/2VL, и два решения —
при обратном неравенстве, которое в силу того, что
UIn ~ + Vl, дает Un < V^SVl. Здесь индексом N от-
мечаются параметры осевой траектории.
Если не задавать и знак «2, то получится еще одно
удвоение; числа решений при hi < 0. При hi > 0 это
число но удваивается (поскольку сближение со знаком
s2 < 0 невозможно ввиду отсутствия нисходящих ветвей).
Заметим, что в случае hi < 0, т. е. V2N <Z]V2VL, не
обязательно существует решение с $3 > 0, так как со-
гласно (4.24) в этом случае при достаточно малых l/ij
может стать U* > 3 при 1й! > л/2.
Аналогично при hi > 0 (т. е. V2 > VLV2) не обяза-
тельно отсутствует решение с s3 > 0, так как согласно
(4.24) при достаточно малых l/tj может стать U2 < 3
при l^il < л/2.
Заметим еще, что осевые траектории, отличающиеся
лишь знаком /i = sign й, симметричны относительно плос-
кости лунной орбиты. Возможна ситуация (например,
при запуске КА из высоких широт), когда реализуемые
сплошные интервалы значений й > 0 и й < 0 разделены
нереализуемым интервалом, содержащим значение й = 0.
Соответствующие реализуемые симметричные классы тра-
екторий удобно различать знаком ji. Таким образом,
наибольшее возможное число различных классов реше-
ний при фиксированных значениях hL,
равно 8. Если же задать й полностью, т. е. со знаком,
то это число равно четырем. Их будем обозначать
(s2 > 0, S3>0), («2 < о, S3<0), ($2 < 0, 5з>0), («2 > 0,
S3 < 0).
Для решений всех классов, учитывая, что кинетиче-
ский момент Сз = 0, получим из (5.2.1) простую форму-
лу (учитывая, что в методе ТСД h2 = hi, C2 = Ci, hK = h'3)
/tK =— 26?! cos iL, где C± » ]/2p.Gr(jt1).
Заметим, что при s2 = — s3 наклонения i' селеноцентри-
ческого участка y2,3 траектории к плоскости Пь лунной
орбиты невелики, каковы бы ни были наклонения i2, по-
скольку вектор Из = V3 — VL параллелен Пь (в силу то-
го, что V3 и VL параллельны Щ), а вектор U2, как сей-
464
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 20
час будет показано, образует небольЬгой угол с плоско-
стью Пь и не близок к коллинеарности с вектором
U3(uw, VL, 0), где uN = ± V3.v (рис. 20.1).
Действительно, как было показано в гл. 19, для рас-
сматриваемых траекторий сближения трансверсальная
компонента Vx « 0,19 км/с невелика, причем у век-
тора U2 проекция и>2 V2t, а нормаль к плоскости ГГ се-
леноцентрического движения имеет направление
К = U3 X U2 = (— W2Vl, UnW2, VlU2 — им),
(согласно (4(2.3)), откуда
к2и + к*
*1
vlu2 ~ unv2
Vl + =
/1 + “ЫП
U2~UN (Vi/VL)
Имеем VL —V2x< V2< VL +V2x, где V2T<V*. Поэтому
величина v2 — порядка VL, и при s2 = — s3 будет u2 не
близко к kv/VL)uN (т. к. их знаки различны), т. е. будет
Itg i\ того же порядка, что и w2/Vi., т. е. невелик. В слу-
чае s2 = s3 знаки и2 и w.v одинаковы, и tg i' может быть
малым. Это можно видеть из анализа входных и выход-
ных скоростей в пространстве uvw их компонент.
Поскольку векторы U3^ и U3^v параллельны плос-
кости И,. лунной орбиты, то они в плоскости И' идут по
направлению линии узлов селеноцентрического движе-
ния. Из рис. 20.1 видно, что вектор Ug1^ далек от кол-
линеарности с каждым вектором И2-конуса. Поскольку
этот конус узок и симметричен относительно плоскости
u2v2, то каждая плоскость Пи пары векторов (U2 (4), U3“))
близка к плоскости u2v2 (лунной орбиты).
Иначе ведет себя плоскость Пв пары векторов
W.C которые почти коллинеарны, так как ли-
ния действия вектора U3^ проходит внутри узкого U2-
конуса (см. штриховое продолжение ОА0 в на-
правлении вектора — U(3^). Рассмотрим соответствую-
щий класс s2 > 0, «з > 0 подробнее. Когда геоцентри-
§ 20.1 J
ТРАЕКТОРИИ ОБЛЕТА В ЦЕЛОМ
465
ческое наклонение й растет от 0 до л, то селеноцентри-
ческое i растет от — л до 0, потому что в плоскости Пв
Луна обходится со стороны, противоположной отклоне-
нию вектора (оси -конуса) от вектора U2.(ij)
(т. е. от переменной образующей С72-конуса). Иначе го-
воря й и Й изменяются в одну сторону в противофазе.
Это еще нагляднее можно увидеть на картине
(рис. 20.2) прохождения в СД участков у2,з селеноцент-
рических траекторий, на которых рассматриваемые пары
V <-ГМТ)еь1..
Рис. 20.2. Тип облета Луны с возвращением к центру Земли, при кото-
ром Луна обходится траекториями пучка со всех сторон.
Сфера действия
‘С*
I =0
иг~ конус осей
пучков (i'r)
при 0<.it<rr
скоростей (и2(й), и(3^) реализуются. Здесь £72-конусу
соответствует конус Оп осей траекторных пучков. Ось
пучка для каждого значения й параллельна вектору
Ьт2(й). Соответствующая осевая траектория находится в
плоскости, определяемой направлением и2(й) оси пучка
и не зависящим от ii направлением C(3Bv оси Оп-конуса,
причем проходит в той полуплоскости, которая не содер-
жит точки входа оси пучка в СД. Точки входа и точки
выхода номинальных траекторий образуют входной и вы-
ходной замкнутые круги (рис. 20.2), близкие (при ма-
лых r(n7rL) к малым кругам в плоскостях, ортогональ-
ных направлению U^. По размеру геометрическое
В. А. Егоров, Л. И. Гусев
466
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 20
место точек входа (ГМТ)ВХ меньше геометрического места
точек выхода (ГМТ)ЭЫ1. Круг точек входа тем меньше
круга точек выхода, чем шире t/г-конус.
Благодаря узости t/г-конуса угол a(d) вектора U3^
с каждым вектором U2(i) невелик, поэтому точка входа
траектории отстоит от соответствующей оси пучка дале-
ко— на расстоянии d, сравнимое ср* (согласно рис. 4.8).
Рис. 20.3. Тип облета Луны с возвращением к центру Земли, при котором
все траектории пучка обходят Луну с одной стороны.
Номинальные траектории внутри СД образуют трубку,
содержащую внутри Луну, так что с изменением 1й!
от 0 до л траектории обходят Луну вначале с невиди-
мой с Земли стороны, а вблизи III =я — с видимой. Вре-
мена полета по этим осевым траекториям гораздо больше
удвоенного времени полета па участке Г1.2 (Земля — СД),
так как КА после выхода из СД направляется не к Зел-
ле, а к апогею га е Гз,1(. Время пребывания КА на гео-
центрических расстояниях г > rL тем больше, чем боль-
ше га, и вместе с га стремится к бесконечности.
Качественно иной является картина осевых траекто-
рий облета класса s2 >0, $3 < 0, т. е. с векторами выход-
ной скорости U3 = UVJv (рис. 20.3). Когда с изменением
ii вектор и2(й) обходит (Уг-конус, то плоскость Пн век-
торов отклоняется от плоскости лунной
ТРАЕКТОРИИ ОБЛЕТА Б ЦЕЛОМ
467
§ 20.11
орбиты на небольшой угол, так что ее наклонение i' ко-
леблется около л (поскольку весь пучок 1® -траекторий
обходит Луну по часовой стрелке — рис. 20.3). При этом
с ростом ii от нуля I' растет от л менее чем на 15°,
а затем убывает до л (при й=л). При убывании й от 0
до — л i' изменяется симметричным образом. Точки вхо-
да и точки выхода проходят при этом на СД овалы
(ГМТ)и и (ГМТ)ВЫ1, симметричные относительно плос-
кости Пь лунной орбиты. Овал (ГМТ)ВХ гораздо больше
овала (ГМТ)Вых (рис. 20.3) потому, что изменение угла
а(й) между векторами U2(i[) и U® (с изменением й)
реализуется при рассматриваемом расположении вектора
Ugjf относительно £72-конуса главным образом за счет
изменения точки входа.
Поскольку при всех й углы между и2(й) и Т© —
порядка л/2, то все траектории тесным пучком проходят
близко от центра Луны со стороны, невидимой с Земли,
причем наиболее близкая траектория реализуется при
й = 0, а наименее близкая — при 1й1 = л. Времена поле-
та для траекторий этого класса близки минимальным —
порядка удвоенного времени полета Земля — СД.
В случае з2 < 0 (сближение с Луной на нисходящей
по отношению к Земле ветви) направления векторов ско-
ростей V2, U2 и траектории будут симметричны представ-
ленным на рис. 20.1—20.3. Опять имеем два принципи-
ально разных класса: с сохранением и с изменением зна-
ка радиальной скорости после сближения с Луной (з2 <
< 0, зз < 0) и (з2 < 0, з3 > 0).
Класс (з2 <0, зз < 0) аналогичен классу (з2 >0, з3 >
> 0) предыдущего случая, времена полета для него —
того же порядка, его номинальные траектории тоже об-
разуют трубку, содержащую внутри Луну, так что Лу-
на при всевозможных наклонениях — л < й < л обхо-
дится траекториями со всех сторон.
Класс (з2 <0, зз > 0) по характеру движения внутри
СД аналогичен классу (з2 >0, Зз < 0): его номинальные
траектории образуют тесный пучок вблизи плоскости
лунной орбиты и обходят Луну с одной стороны. Однако
это — сторона, видимая с Земли. Времена полета по тра-
екториям класса (з2 <0, зз > 0) могут сколь угодно пре-
восходить время полета по траектории класса (з2 > 0,
30»
468
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 20
s3 <.(')), так как на траектории последнего класса не про
ходится апогеи, а на траектории первого — проходятся,
причем дважды.
Плоские траектории, возвращающиеся к Земле и пе
охватывающие Луну в системе координат, вращающейся
вместе с прямой Земля — Лупа, в [2—1957] были назва-
ны долетными — в отличие от плоских облетных, охва-
тывающих Луну. Осевые плоские облетные траектории
пе могли переходить в долетные при непрерывном изме-
нении определяющих параметров, однако пространствен-
ные — могут, как, например, переходят траектории внут-
ри классов (s2 < 0, s3 < 0) и (s2. > 0, з3 > 0) при непре-
рывном изменении наклонения it. Это — принципиальное
отличие плоских траекторий от пространственных.
Рассмотренная картина имеет место, если энергия
или начальная скорость Vi таковы, что U > VL. Когда У|
уменьшается, то радиус У3-сферы U уменьшается, соот-
У(н) т/(в)
3N И r3N, COOT-
ветственно сближаются направления и U^, пока
они не сольются при U = VL. При этом будет Уза =
= Kgjv = 0, и при меньших энергиях (начальных ско-
ростях) рассмотренных осевых траекторий не существует.
§ 20.2. Траектории облета Луны
с заданным наклонением и радиусом
перигея возвращения
Как показано в гл. 5, траектория сближения опреде-
ляется однозначно, если кроме наклонения 1к и радиуса
( к) V <Д
перигея задан знак S3 радиальной геоцентрической
скорости на участке Г3>к возвращения, время t» прохож-
дения периселения на участке уг, 3 в СД, знак $2 и пара-
метры (полная энергия) на участке Г1,2 полета
к СД. Примем предположения метода ТСД. Поскольку
задан радиус перигея то задан гл-гиперболоид выход-
ных скоростей V3, и кривая S его пересечения с У3-сфе-
рой содержит вектор V3 искомой траектории. Для его
получения надо найти пересечение кривой S с заданной
полуплоскостью i — iK. Такое пересечение будет только
одно, поскольку параметры \ определяют С\, а вмес-
$ 20.2]
ТРАЕКТОРИИ С ЗАДАННЫМ НАКЛОНЕНИЕМ
469
те с й, s2 определяют векторы входных скоростей V2 и
U2, С73-сферу и Уз-сферу. Знак S3 определяет нужную
половину Гд -гиперболоида, параметр i3 = гк, выделяет на
пей один нужный меридиан, а точка его пересечения с
Уз-сферой даст искомый вектор V3, определяющий вместе
с ~ гг, искомую траекторию облета с возвращением.
Если не задавать Д = sign i3 = sign iK, то число реше-
ний удваивается по сравнению с числом решений преды-
дущей задачи (где этот знак не задавался, поскольку
само наклонение 1к = ^з не имеет смысла пригя —О, т. е.
для чисто радиального движения). Ойо может еще раз
удвоиться, если не задавать х2, и еще раз удвоится, если
не задавать ji = sign i2 = sign ц. Значит наиболь-
шее число решений при фиксированных hx, гя\ 1й1,
7ц, глК\ I г’к | равно шестнадцати. При изменении этих па-
раметров получаем соответственно 16 классов траекторий.
Эти классы с помощью другой методики, может быть,
не столь геометричной, получены в [3—1967] и [5—1970].
Каждый класс удобно задавать набором (х2, х3. 71, /Д
знаков s2, S3 геоцентрических входных и выходных ра-
диальных скоростей и знаков Д, jK наклонений.
Как и в предыдущей задаче, резко различаются в СД
траектории с хз = х2 и S3 = —х2. При фиксированном /к <
<0 изменением й: — л<й<л— получается пучок тра-
екторий, похожий в случае хз = — х2 на пучок приг(як)=0
и х3 — — х2. В случае S3 = х2 пучок траекторий похож на
соответствующий пучок предыдущей задачи лишь при
гяк)< гя\ Если же Гд т(я , то картина в пространстве и,
v, w получается качественно симметричной картине слу-
чая Гд > > г(дК).Она получается и количественно симмет-
ричной, если положить > = 0.
Симметрия здесь в том, что вместо £Д-конуса имеется
единственный вектор U2, а вместо единственного вектора
U3 имеется £73-конус осевых векторов. Действительно,
рассмотрим различные значения —л. < iK < л. Получим
соответствующие конусы векторов Уз(Д) и Пз(й) в прост-
ранстве скоростей (рис. 20.4) и соответственно трубку
траекторий, пересекающих СД (рис. 20.5). Эта трубка,
как и в случае ГдК) = 0, содержит Луну, но, в отличие от
этого случая, знаки наклонений селеноцентрического дви-
470 ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 20
г л > U она не будет лежать в
Рис. 20.4. Решение задачи облета Луны
с возвращением на заданный перигей-
ный радиус (на примере чисто радиаль-
ных по отношению к Земле траекторий
сближения с Луной).
жения уз, з и геоцентрического движения совпадают (т. е.
sign i' = sign а было sign i' = —sign й (рис. 20.1) при
г(я) = 0 и—л<й<л).
Линией узлов для всех участков уа, з, очевидно, бу-
дет прямая с направлением U2, причем в случае r«)=0
она лежит в плоскости Пь лунной орбиты. В случае
юскости Пх и потому не
будет линией узлов, но
останется в СД линией
пересечения плоскостей
всех селеноцентриче-
ских траекторий с раз-
ными —л < iK л.
В случае г„1 < г„к)
и й 0, л конус векто-
ров U3W не будет сим-
метричен относительно
плоскости uv, а трубка
траекторий в СД не бу-
дет симметричной от-
носительно плоскости
Пь.
В случае, когда г„) —
= направление U2
будет принадлежать ко-
нусу направлений век-
торов Ua.v, и траекто-
рия с й = й в трубке селеноцентрических траекторий
будет лишь касаться в одной точке сферы действия,
поскольку влияние Луны учитывается лишь внутри
СД. При более точном учете влияния Луны эта траек-
тория, отвечающая, очевидно, тривиальному решению,
должна проходить на бесконечно большом расстоянии
от Луны.
На рис. 20.4 представлен случай, когда s2 >0, $з > 0.
В случае s2 > 0, $з < 0 вектор U2. будет тот же, а конусы
номинальных векторов U^, будут симметричны пред-
ставленным на рис. 20.4 конусам векторов
Соответствующий пучок траекторий внутри СД будет
выглядеть, как на рис. 20.3, с той лишь разницей, что
§ 20.2]
ТРАЕКТОРИИ С ЗАДАННЫМ НАКЛОНЕНИЕМ
471
он будет расходящимся (в той же мере, в какой пучок
на рис. 20.3 является сходящимся).
В случае входа в СД на нисходящей по отношению
к Земле ветви участка ГД.г, т. е. когда $2 < 0 и $з < 0 на-
правления движений (векторов и стрелок) на рис. 20.4 и
Рис. 20.5. Облетные траектории с участками возвращения всевозможных
наклонений обходят Луну со всех сторон (в случае чисто радиальных
по отношению к Земле траекторий сближения с Луной).
20.5 заменяются на симметричные (относительно плоскос-
тей vw и nt соответственно).
Время полета по облетным траекториям с rL » гя >
> являются примерно такими же, как и при соответ-
ствующих комбинациях знаков s2 и «3 в случае гя' = 0.
Эти знаки определяют, сколько (0, 1 или 2) апогеев содер-
жит облетная траектория (и если задано полное время
полета по ней, то они приближенно определяют отношение
Т1,е/Тз,к времен полета к Луне и от Луны).
Рассмотренная качественная картина в пространстве
uvw и в СД имеет место, если начальная энергия h\ та-
кова, что скорость U > VL 4- V* (гя). Когда уменьша-
ется, то вследствие уменьшения скорости U укорачива-
ются векторы Vgx и К(3ву; соответственно сближаются
направления тех из них, которые ближе к оси v. При
U = VL +.К* (гяк)) =U* эти векторы совпадают, совпадут
472 ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 20
и соответствующие им векторы U$r и U^. При мень-
ших величинах h\ будет U < U*, и облетные траектории
будут охватывать сферу г = /„’не со всех сторон, а при
U=VL они будут охватывать лишь полусферу, имеющую
полюсом направление VL(Z3). При энергии А*, для кото-
рой U — VL — V* (г„к)), они перестают касаться сферы
г = гп' так что при h < h* осевых траекторий с ’ =
=Гу не существует.
§ 20.3. Приближенный расчет параметров траектории
облета Луны (с возвращением) за заданное время
Предполагается, что задано суммарное время TY по-
лета (к Луне и обратно). Пусть время Та, з пребывания в
СД Луны пока не выделяется: одна его половина вклю-
чается во время Т\,2 полета к Луне, а другая — во время
Гз, к возвращения (время Т2,з можно выделить позднее,
когда определятся Т12 и Т3к, h\, hK и селеноцентри-
ческая скорость входа U, в основном определяющая Т2, 3).
Приближенный расчет параметров облетной траекто-
рии при заданных значениях J'n\i1,s2,s3,iii,rn'\ Те делается
в рамках ТСД с помощью приближенного критерия Тис-
серана в форме (5.1.4)
h1 2 Сcos 2СН cos
2ИЛ\ с,; « ]/2iirZK) (ЗЛ)
и с помощью аппроксимации зависимостей WTi.a)
Лк(Т3,к), как в разделе III (рис. 15.2), но полиномами вто-
рого порядка:
h = h0 + k(.T-T0)2. (3.2)
Отношение Ti,2/T3rl( зависит в основном от выбора зна-
ков s2 и s3.
Рассмотрим сначала случай, когда знаки s2 и s3 про-
тивоположны и еще энергии hi и hK различаются не
сильно, так что формула (3.2) с одними и теми же коэф-
фициентами ho, То, к даст Tij и hK с достаточной точ-
ностью. Этот случай имеет место, например, когда s2 > 0,
s3 < 0, причем траектория полета к Луне начинается с
§ 20.3] ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИИ 473
низкой орбиты ИСЗ, а кончается пологим входом в ат-
мосферу. Здесь г„ ’ и различаются на величину поряд-
ка 100 км, что мало по сравнению с (гл ,+r«K,)/2»6500 км.
Считая 7\г и Т3к неизвестными, кроме условия 7’1,2 +
+ 7’3, к = 7\, имеем из (3.1) и (3.2) соотношение для их
определения:
2 (Ск cos iK — С± cos Q = к [(Т3>к — То)2 — (Tlt2 — Т0)2].
(3.3)
Учитывая, что 7’23,к-7’!,2 = 7’2Д7’,где Д71 = Т3 к—Tii2,
получим
ДГ = 2 (Ск cos iK — С± cos i^llk (Ts — 27’0)]. (3.4)
Видим, что ДГ пропорционально разности ДС'2 =
= CZK — C2l проекций кинетических моментов на ось z.
Решение
2Т1>2 = Т’х-ДТ’; 27’3,к= Т’2+Д71 (3.5)
позволяет найти МТ’дг) и Лк(7’3,к) из (3.2); оно не за-
висит от h3, а зависит только от к и То. Это решение го-
дится и в случае s2 = S3, но только при условии, что одно
из слагаемых в Т2 не намного меньше, а другое — не на-
много больше времени Т' полета по полуэллипсу Гомана,
хотя в этом случае точность аппроксимации (3.2) пони-
зится (по сравнению со случаем близких Т3, к и Т\,2} из-
за увеличения интервала аппроксимации.
Если же заданное время относительно велико, и
времена Т\,2 и Т3 к находятся по разные стороны от
абсциссы точки перегиба на кривой h{T) (рис. 15.2), то
для аппроксимации этой кривой в окрестностях значений
Г1,2 и Т3, к потребуются две разные формулы вида (3.2),
т. е. с разными тройками коэффициентов
(Чк), т’Л, МЛ #= (МЛ, т{о\ О- (3.6)
В этом случае вместо (3.3) получим
2(сЛ-Л1))-(М0н)-О +
+ [М,;) (Гз.к - Л1'’)2 - М1’ (л,2 - ГЛ)2], (3.7)
474 ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА [ГЛ. 20
откуда, подставляя Уз, к = — Т\ 2, получаем уравнение
О(к) - /с(1)) У2,2 4- 2РУ1>2 + Q - 0, (3.8)
Р = к^Т^ + kwT^ - к{':)Тх,
Q = (Л.(к) — Л(1)) - 2 (dK) — С?*)
+ рс(к)(У(0к))2 - kw ОН2 + k^T'l - 2//K)y(0h)7’v].
Отсюда получаем решение
У1.2 = Т С/[ /р2 - Q ± Р],
У3.к — Ух — У1>2, (3.9)
причем надо брать верхние знаки при Р > 0 и нижние
при Р < 0, чтобы это решение переходило в (3.5) при
Р -> 0.
Подставляя найденные значения Уд 2, Уз, к в соответ-
ствующие формулы вида (3.2), получим Лс1), hw. Расчет
величин и Лк можно уточнить, если вместо С =
= 72р,сгя в (3.7) брать С = г„У(2ц0/гя) + Л, повторив пред-
варительно расчет коэффициентов (3.6).
В данном методе начальная энергия h\ и время УдгОи)
определяются фиксированными значениями si, «2,7'(я\
У2 и заданными наклонениями й, й к плоскости лунной
орбиты, а момент остается произвольным. Но на прак-
тике заданы обычно наклонения и № к экватору для
трассы запуска и трассы возвращения КА. Из желания
наибольшей надежности работы аппаратуры КА время Ух
обычно задается близким к минимальному для опреде-
ляемого класса облетных траекторий.
Дело в том, что реализовать заданное время Ух мож-
но лишь с дискретностью 0,5 сут, так как плоскость
траектории возвращающегося от Луны КА может лишь
два раза в звездные сутки совмещаться с плоскостью
наземной трассы возвращения, совершающей суточное
движение вместе с Землей. Таким образом, время У2
заранее известно с погрешностью 6Ух<0,5 сут. С соот-
ветственно меньшей погрешностью находятся данным ме-
тодом время Уд 2 и Уз, к для выбранных знаков «2 и S3 и
средних значений наклонений й, й к плоскости лунной
орбиты.
§ 20.31 ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИИ 475
Для выбранной даты d\ старта приближенно находит-
ся дата <А = d-. + Т\. 2 сближения, а по ней — приближен-
ное положение иь(<7ц) Луны во время сближения с КА.
Затем находятся отличные от средних значения накло-
нения — 1г (ig15, Ul) и iK = iK(iaK), Ul) к плоскости лунной
орбиты (как в § 9.1). Теперь методом настоящего пара-
графа находится более точное значение а по нему
уточняются дата dft сближения с Луной и соответствую-
щие значения uL, ii и iK.
Хотя эти итерации можно повторять, но дальнейшие
уточнения целесообразно делать иначе, используя долгот-
ную привязку участков полета к Луне и от Луны в
рамках метода ТСД, т. е. находя моменты tj запуска,
сближения и 7К возвращения внутри соответствующих
дат <71, <4 и dK из условий старта и возвращения КА по
соответствующим географически заданным наземным трас-
сам. После этого расчет облетных траекторий (участков
Г1.2, 72, з, Гз,к) можно вести так, как это делается на
первом этапе в гл. 5. Так же находится и время ТУ з по-
лета внутри СД, находятся геоцентрические радиусы тъ
и г3 точек входа и выхода на СД. Дальнейшие уточне-
ния можно делать методом ИВ, а затем и точным ме-
тодом (см. гл. 21).
Если предположить, что| | > <ь и | igK) | > iL, то сог-
ласно рис. П.5 (Приложение 3), будет 7'1 = sign i2 =
• •(!) • • • • «к
= sign 1э и /к =sign iK — sign гэ независимо от значения
uL (здесь считается, что lij < л, |iKl л). В этом случае
при ii > 0 участок Г1,2 траектории Г будет проходить
над северным полушарием Земли, а при ii < 0 — над
южным. Поэтому вместо ряда символов Fi,2 и ji = signii
можно употреблять один: N при ji > 0 и S при /1 < 0.
Аналогично участок Г3,к возвращения при гк>0 будет
проходить над южным полушарием, а при iK < 0 — над
северным, так что его можно обозначать символом S при
7и > 0 и символом N при /и < 0. Приняв эти обозначения,
можно определять различные облетные траектории пятью
символами: N (или S), s3, N (или S), T?, если считать
Для этих траекторий значения \ одинаковыми, а зна-
чения величин ib несущественными.
Глава 21
ТОЧНЫЙ РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА ЛУНЫ
С ВОЗВРАЩЕНИЕМ К ЗЕМЛЕ
§ 21.1. Применение критерия сопряжимости
к точному расчету облетных траекторий
Полученные в гл. 5 результаты могут быть использо-
ваны для точного решения задачи облета Луны при
старте с орбиты ИСЗ и возвращении в атмосферу Земли,
когда точки М\ старта и Мк конца облета можно считать
перигейными. Пусть в Этих точках заданы радиусы и
глК) и наклонения к экватору и i(3K) соответственно.
Пусть заданы также дата d\ старта и знаки 8% и $з гео-
центрических радиальных скоростей входа и выхода на
СД Луны. Пусть, наконец, задано полное время об-
лета или заданы географическая долгота в точке Мк
и число п целых суток во времени облета.
Покажем, что по этим данным находятся однозначно
начальная энергия кинетические моменты С\ и С.л, на-
клонения i\ и iK и момент С сближения, т. е., согласно
гл. 5, облетная траектория определяется однозначно.
Делается это методом гл. 5 в три этапа с помощью до-
полнительных (к анализу гл. 5) итераций по одному
параметру h\. Задавшись начальным приближением h\,
на первом этапе, т. е. в рамках метода ТСД, получим
Дугу Г1,2 и найдем Сх:
{y^ = ^G/r^ + h^ (1.1)
G = г<Мх). (1.2)
Аналогично на участке Г3, „ получим соотношения
(V^)2 = 2pGMK) + hK, (1.3)
ск = #Чк). (1.4)
§ 21.1]
ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ СОПРЯЖИМОСТИ
477
Но значению h\ и знаку хг приближенно находится
время TGl полета до Луны (§ 15.2). Значит, приближен-
но известно в любое время положение упрежденной
точки, движущейся впереди Луны, и, решая задачу о
точке встречи, получим, как и в задаче достижения Луны,
момент сближения, соответствующее положение
Луны и наклонения 4 и ik (г’эК), иь}‘ Теперь, ис-
пользуя из гл. 5 связь (5.1.4), найдем
hu = 2СК cos iK + Т\, (1.5)
где Т{ = — 2C| cos и + h\. С другой стороны, исключая Т/
из (1.3), (1.4), получим
Подставляя сюда hK из предыдущего уравнения, получим
квадратное уравнение для определения Ск:
С2 - 2СК cos iK (/к))2 - [2|xg^k) + (/к))2] = 0. (1.6)
Его решение
Си = cos iK И>)2 +/2[xg^k) + (г/)2 + cos2 iK (#>)*.
(1.6')
Знак минус перед радикалом отброшен, так как дает
Ск < 0, что бессмысленно. В наших единицах er = rL и
ev = VL имеем щ = 1 — щ ~ 1 и rGx 1/60, а (г/)2«
~ 1/3600 мало. Поэтому под радикалом главным является
член (Сп’)2 = 2це-г(я), так что Ск « С„ ’ = Vn (г^к)) • \
где Ул (г/) = "V2[TG/rnK) — параболическая скорость.
Поэтому
Си = С(пк) [ /ГТ/ + cos iK (г/)3/2/ /ад, (1.7)
где
БС = [ Т + cos2 h (г/)2] /к)/2|1g-
Для малых ГлК)
С = CkK) [1 + T1/K)/(4pG) + cos гк (/к))3/2//ад] (1.8)
с относительной погрешностью порядка (г/)3 ~ 1/2-10-5,
Зная Ск, найдем hK из (1.5).
478
ТОЧНЫЙ РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА ЛУНЫ (ГЛ. 21
Ио значению hK и знаку s3 приближенно находи геи
согласно зависимости МТ) (рис. 15.2) время Т,.а возвра
щения от Луны до перигея г(лк). Теперь имеем полное
время облета = TLG + TaL. Если оно отличается от за
данного Ух, то изменением начальной энергии h\, т. е.
решением однопараметрической краевой задачи, можно
добиться совпадения Т? с Тъ, поскольку на рассматривае-
мых участках постоянства знаков s2 и s3 зависимость
h(У) монотонна и поскольку при начальных энергиях,
пе близких к минимальным, производная dT/di\ для со
держащей апогей дуги перелета существенно больше,
чем для_дуги, не содержащей апогея. В случае, когда
вместо 7'б в точке задана географическая долгота Ая,
условие ^(лк)=^л тоже можно реализовать изменением
энергии Ai, поскольку долгота монотонно убывает с
ростом времени полета Ух вследствие суточного враще-
ния Земли. При этом задание числа п целых суток, со-
держащихся во времени полета, однозначно определит
траекторию полета.
Заметим, что при каждом изменении энергии hi необ-
ходимо путем повторного решения задачи о точке встречи
уточнять момент сближения (положение Иь(^) Луны),
поскольку изменяется время TGL полета до Луны и поло-
жение упрежденной точки впереди Луны.
Если итерации по h 1 на I этапе (в рамках метода
ТСД) сошлись, то дальнейшее уточнение расчета облет-
ной траектории может быть получено переходом ко II
этапу (т. е. к методу ИВ) по формулам (5.2.2)—(5.2.24).
На втором этапе уточняется в первую очередь положение
Луны в момент t2 входа в СД путем решения новой за-
дачи о точке встречи по ставшим известными точке р2
входа и времени У^г полета до нее (при этом векторы
Ра и р3 считаются постоянными в системе координат
МЛМ, вращающейся вместе с радиусом rL).
В результате становятся известными векторы г2 и г3
в невращающейся геоцентрической системе координат
mGx3y3z3, по ним и заданным наклонениям и ^на-
ходятся с помощью формул вида (5.3.7) —(5.3.10) аргу-
менты широты н(2э) и НзЭ) и долготы узлов и сЛ/3э).
Затем по величинам 41,K\ i4®3, находятся наклоне-
§ 21Л] ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ СОПРЯЖИМОСТИ * 479
ния й> й к плоскости лунной орбиты (Приложение 2).
Далее уточняется определение Х3 путем использования
координат точек М2 и М$ на СД и моментов входного t2
и выходного h. Это делается путем применения уравне-
ния (5.3.1) вместо уравнения (1.5) при получении урав-
нения. (1.6) и значения hK по найденному из (1.6) значе-
нию Ск.
Кроме того, находятся наклонение из условия
встречи КА с М2 (вместо mJ, а наклонение iK (^к)) —
из условия возвращения из точки М3 (вместо mJ. Даль-
нейший расчет делается по прежним формулам (5.3.2) —
(5.3.15) второго этапа путем рассмотренных в гл. 5 ите-
раций. И так же, как после I этапа, делается уточнение
подбора hi с помощью решения внешней (по отношению
к рассматриваемым в гл. 5 итерациям) однопараметри-
ческой краевой задачи с целью выполнения условия
Хд > = Х„ или Т? = Тх на конце.
Расчет на третьем этапе делается в принципе ана-
логично расчету третьего этапа гл. 5 по задаваемому со
II этапа значению hi. Он начинается с уточнения реше-
ния задачи о встрече КА с точкой р2 путем учета возму-
щений. Далее вместо уравнения (5.3.1) для вычис-
ления /г,( используется уравнение (5.1.8), куда под-
ставляются найденные на II этап£ значения hi,
(5.3.19) и элементы С1 = С ОлО и й, г'к, найденные но
.(Э) .(э)
заданным к , 1к ь путем решения задачи о точке встречи.
Опять решается система (1.3), (1.4), (5.1.8), из кото-
рой находятся Ск, hK. Эти величины реализуются, как и в
§ 5.3, с помощью исправления элементов на СД, а имен-
но, находятся с помощью численного интегрирования вне
СД возмущения в элементах (5.3.16), (5.3.17), с помощью
предположений (5.3.20) вносятся поправки в элементы
на СД и находятся согласно (5.3.21) новые элементы;
по ним и прежним векторам рг, Рз с помощью преж-
них формул (5.3.3) — (5.3.12) находятся векторы V2, U2,
V3, U3.
После этого, как и в § 5.3, производится два интегри-
рования внутрь СД до ее границы, находятся граничные
точки и моменты времени, моменты т2 и т3 прохождения
точек периселения, и по формулам (5.3.13), (5.3.14)
Уточняются точки М2, Мз, моменты t2, £з, и процесс уточ-
480
ТОЧНЫЙ РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА ЛУНЫ [ГЛ. 21
нения точек и элементов на СД повторяется, начиная с
интегрирования вне СД.
Когда итерации сойдутся, необходимо при том же зна-
чении h\ получить точное решение задачи о встрече КА
с точкой рг на СД — точное в том смысле, что оно учи-
тывает разности геоцентрических элементов в перигее
Гд^и в точке Mi входа в СД, а также точное время по-
лета до этой точки (полученное численным интегрирова-
нием от СД до перигея).
При решении задачи о встрече векторы рг и рз счита-
ются, как и на II этапе, постоянными во вращающейся
вместе с Луной системе координат, так что это решение
уточняет значения наклонений й и i„, учитывая дополни-
тельно влияние возмущений- (полученное численным ин-
тегрированием от СД до перигея). Наконец, как и на
II этапе, решается внешняя_краевая задача выбора зна-
чения из условия
§ 21.2. Постановки краевых задач точного расчета
траекторий облета
Рассмотренные в § 21.1 расчетные методы, основан-
ные на условиях сопряжения движений к СД и от СД,
позволяют получить решение трехпараметрической зада-
чи облета Луны как в приближенной, так и в точной
постановках путем последовательного решения ряда одно-
параметрических задач. При этом в рамках метода ТСД
расчет облетных траекторий сводится к наиболее простым
конечным аналитическим выражениям. Как только вво-
дится в рассмотрение конечный размер СД Луны Ср*»
« 66 тыс. км), так задача расчета облетной траектории
существенно усложняется, особенно при точном расче-
те — поиске облетной траектории с помощью численного
интегрирования уравнений движения. Если же заданная
область изменения свободных параметров является доста-
точно узкой, то схему поиска облетной траектории можно
упростить, перейдя к двух-, трех- или четырехпарамет-
рической краевой задаче — в зависимости от того, сколь-
ко условий задано в конце: 2, 3 или 4.
Приведем примеры постановок соответствующих за-
дач. Во всех задачах в качестве краевых условий на
§ 21.2]
ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
481
левом конце промежутка интегрирования [?i, U будем
считать заданными элементы ц, /к, ет, сот, щ орбиты ИСЗ
г/т. Вначале рассмотрим решение задачи облета Луны с
пологим возвращением КА в атмосферу Земли. Пусть
требуется вывести КА с орбиты в ее плоскости на
траекторию полета к Луне так, чтобы при заданных зна-
ках S2, S3 радиальных геоцентрических скоростей КА
приблизился к Луне, а затем возвратился к Земле с за-
данными наклонением£(як) = in и радиусом = Ав точ-
ке условного перигея.
Поскольку задано лишь два условия в конце, то рас-
чет траектории сводится к численному решению двух-
параметрической краевой задачи, в которой аргументами
являются время старта с Земли и время А стар-
та с орбиты ИСЗ, а функциями — 4К) и гл°- В резуль-
тате решения такой краевой задачи реализуется един-
ственная траектория, если прекращение разгона с
орбиты ИСЗ производится при выходе па заранее фикси-
рованную величину геоцентрической энергии h = h.
Аргументы tft, и ta (для фиксированной схемы полета
к Луне, т. е. знаков ]\ и /к наклонений Ц и iK) незначи-
тельно отличаются от значений, получаемых в результате
решения задачи цопадания в Луну. Малыми вариациями
и достигается смещение точки входа КА на СД
Луны в одну из «облетных» областей (примыкающих на
плоскости селеноцентрических сферических координат
«сц, бсц к области разгонных траекторий). Переход на
несколько градусов в область разгонных траекторий мо-
жет привести к резкому изменению параметров геоцент-
рического движения на выходе из СД Луны: радиус пе-
ригея может измениться от нуля до 400 тыс. км и нап-
равления геоцентрической скорости выхода из СД могут
быть весьма различными. Зависимость функций
в краевой задаче от аргументов существенно нели-
нейна, что существенно усложняет решение задачи и тре-
бует специальных алгоритмов для расчета начальных при-
ближений.
Несмотря на это, наряду с рассмотренными выше
Нестандартными способами решения облетной задачи
иногда удается получить траекторию с географической
Долготой условного перигея, необходимой для посадки КА
В, А, Егоров, Л. И, Гусев
482
ТОЧНЫЙ РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА ЛУНЫ [ГЛ, 21
в заданную точку земной поверхности, путем решения
стандартной трехпараметрической краевой задачи с ар-
гументами t£i, to, h и функциями ГлК), глК)ДлК)-
Краевая задача становится четырехпараметрической,
если по каким-либо причинам требуется обеспечить за-
данное время полета Ti.k. Тогда за аргументы целесооб-
разно принять t^, to, h и й'о (угол тангажа в начале ак-
тивного участка разгона с орбиты ИСЗ), а за функции
взять гяк), ^цк-
Измененпе угла бо изменяет радиус перигея участка
полета к Луне. Однако здесь следует иметь в виду, что
использование угла йо в качестве аргумента может при-
водить к большим отличиям управления вектором тяги па
активном участке от энергетически оптимального. Поэто-
му траекторию с полным временем полета, близким к
заданному J\K, выгодно предварительно получить путем
решения серии трехпараметрическпх краевых задач, со-
ответствующих различным моментам облета Луны внут-
ри данной календарной даты.
Кроме рассмотренных постановок задач, имеет смысл
постановка задачи облета Луны на заданном расстоянии
рл = р„ с возвращением к Земле на заданное расстояние
с заданным наклонением. Такая задача является трех-
параметрической, если за аргументы взять t£i, to, fb,
а за-функции ГлК) Л(л \ рл-При заданной дополнительно
географической долготе Хяк) необходимы или решение се-
мейства трехпараметрических задач с аргументами t£l,
ta, h и функциями Гл, in, Хп, или решение четырехпарамет-
рической краевой задачи с аргументами t£l, to, h, Фо и
• функциями ГлК\ , рл-
Управление вектором тяги па участке перехода с ор-
биты ИСЗ на облетные траектории производится, как и
при выведении КА на другие траектории полета к Лупе
(см. гл. 11).
При заданной долготе узла орбиты ИСЗ реализа-
ция облетной траектории возможна в любой момент to,
если допустим пространственный разгон с орбиты ИСЗ.
При этом условии за аргумент вместо tQ можно принять
угол ф вектора тяги Р с плоскостью орбиты ИСЗ в мо-
мент начала активного участка.
5 21.3J
НАЧАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
483
Заметим, однако, что, несмотря на упрощение схемы,
решение многопараметрической краевой задачи требует
обычно большего количества вычислений, чем решение
серии однопараметрических задач, решающей ту же
краевую задачу. Поэтому, если возможно, надо стремить-
ся уменьшить размерность краевой задачи, как, напри-
мер, было сделано в § 21.1.
§ 21.3. Определение начальных приближений
при решении задачи облета Луны
в точной постановке
Вычисление начального приближения производится
аналитически или с помощью решения предварительной
краевой задачи. Аналитические зависимости параметров
орбиты перелета Земля — Луна от параметров орбиты воз-
вращения КА от Луны к Земле можно получать с по-
мощью метода ТСД. Как показано в § 5.2, задаваясь на-
клонениями й, й, знаками s2 и геоцентрической ради-
альной скорости на СД, кинетическими моментами Cj, Ск
и датой прохождения периселения, можно получить все
шесть элементов селеноцентрического движения и значе-
ния геоцентрических энергий h2, h3 на СД Лупы в момен-
ты входа й и выхода Д соответственно. По известным h2,
t2. и Д3, h можно «привязать» к географической долготе
геоцентрические участки траекторий Г[,2 и Гз|К с по-
мощью соотношений (§ 9.1, 11.2) метода долготной при-
вязки траекторий. В результате получим географическую
долготу МТ5- Если не равна заданной А.(як), то
можно выбрать в заданной календарной дате сближения
такой момент прохождения периселения, для которого
реализуется
В результате этих расчетов будем иметь все шесть
элементов Э] геоцентрической траектории обеспечи-
вающей сближение с Луной и последующее возвращение
КА к Земле. Использование элементов Э1 в качестве
начальных позволяет приступить к численному решению
краевой задачи в точной постановке (см. § 21.2).
Элементы Э] можно уточнить путем сопряжения дви-
жений методом ИВ. Это и есть решение предварительной
краевой задачи. В результате этого решения (см. § 21.1)'
31»
484
ТОЧНЫЙ РАСЧЕТ ТРАЕКТОРИЙ ОБЛЕТА ЛУНЫ
[ГЛ. 21
вычисляются начальные приближения, обеспечивающие
устойчивую сходимость численного решения краевой за-
дачи в точной постановке. Дадим еще одно из возможных
решений предварительной краевой задачи определения
начального приближения.
Оно основано на привязке траектории по долготе в
точках входа и выхода на СД. Направление оси пучка
на входе в СД определяется по графикам рис. 5.1, 5.2,
а облетные траектории пересекают СД в точках, откло-
ненных от оси пучка на углы Да и Дб, лежащие в пре-
делах от 1° до 5°, причем Дос не может быть равно нулю,
если возвращение КА происходит в атмосферу Земли.
Если взять в качестве аргументов углы Дос, Дб и
время tz входа КА в СД, а функциями считать наклоне-
ние г3, радиус перигея т43)аа выходе из СД и время Тз, к
полета от СД до точки условного перигея, то данная
краевая задача разрешима путем итерационной долготной
привязки траекторий к точкам на СД и Земле, определяе-
мым краевыми условиями.
Рассмотрим последовательность расчетов па одной
итерации. При заданных числе п целых суток полета,
наклонении 4Л радиусе Гя, географической долготе узла
X Л и дате сД сближения с Луной определяется время
полета TGL до центра Луны с помощью привязки траек-
тории по долгбте (§ 9.1). По дате находится наклоне-
ние iiCig15, dg). По времени Таъ и наклонению Д определя-
ется направление а„п, боп оси пучка на СД (рис. 5.1).
Последовательность вычислений на первой итерации
начинается после определения начальных значений Да,
Дб и <2. Величина I Да| и I Дб1 назначаются в диапазоне
1°—5°, с учетом того, какую область облетных траекто-
рий (см. рис. 19.5—19.12) желательно использовать. На-
чальное время <2 определяется вычитанием из времени
TGL полета до Луны времени 7’с = 7’2,з/2 полета от грани-
цы СД до Лупы, определяемого по графикам рис. 5.3.
Тогда иа момент <2 определяются селеноцентрические
координаты КА на СД Луны
(Вс)г = Р* cos(6on + Дб)соэ(аоп + Да),
(цс)2 = р* cos(6on + A6)sin(aOn + Да), (3.1)
(?с)г = p*sin(6on + Дб).
s' 21.3]
НАЧАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
485
Далее координаты (3.1) пересчитываем в геоцентриче-
скую систему координат тахяу^э. Затем производится
привязка траектории (методом § 9.1) к точкам 1 (на ор-
бите ИСЗ) и 2 на СД, в результате чего определяются ки-
нематические параметры движения КА на входе в СД и
далее, па выходе из СД. Затем по точке на выходе из
СД и известной точке условного перигея /ч1 уточняет-
ся долготная привязка траектории возвращения по фор-
мулам § 9.1, в результате чего определяется необходимое
время перелета, которое используется далее как заданное
Тз,к. Текущие значения функций гя, г‘я, Тз:1, определяют-
ся _по параметрам выхода КА из СД. По невязкам
гя —гя, 1я —гя, Тз.п —Тз.к на каждой предыдущей итера-
ции определяются приращения аргументов Аа, Аб, h для
последующей итерации. Аргументы Аа и Аб удобны
потому, что не допускают приближения траектории-реше-
ния к области разгонных траекторий.
Рассмотренная предварительная краевая задача ре-
шается за 2—3 мин на машине М-222 и дает результаты,
обеспечивающие сходимость точной краевой задачи. Вре-
мя решения краевой задачи облета Луны в точной поста-
новке с учетом определения начальных аргументов со-
ставляет 25—30 мин на машине М-222.
Сравнение различных приближенных методов расчета
облетных траекторий показывает, что наилучшее приб-
лижение к точным результатам дает метод ИВ. Он га-
рантирует благодаря учету эллиптичности орбиты Луны
высокую точность в сочетании с малыми затратами вре-
мени на вычисления. Однако с ростом времени перелета
на геоцентрическом участке сверх 10 сут точность метода
ИВ падает вследствие длительности действия возмуще-
ний от Луны, Солнца и несферичности Земли.
Г л а в a 22
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СБЛИЖЕНИЯ С ЛУНОЙ
ДЛЯ ОБЛЕГЧЕНИЯ МАНЕВРОВ
РАЗЛИЧНОГО НАЗНАЧЕНИЯ
§ 22.1. Использование сближения с Луной
с целью разгона КА без затрат топлива
1. Постановка задачи. Если бы Лула нс имела отно-
сительно Земли скорости Уь, то скорость КА отно-
сительно Земли и Луны была бы одна и та же. При этом
прохождение КА на малом расстоянии от Лупы изменяло
бы лишь направление вектора скорости КА, по не его
величину. Однако сближение КА с движущейся Луной,
как было показано в гл, 4, изменяет не только направле-
ние, но и величину скорости относительно Земли.
Как показано в гл. 4, в предположениях метода ТСД
и при условии, что начальные скорости не близки к ми-
нимальным, а Лупа является материальной точкой (а не
телом), многообразия .выходных селеноцентрических ско-
ростей U3 и геоцентрических скоростей V3 являются сфе-
рами одного радиуса U, где U — величина входной селе-
ноцентрической скорости U3. При этом в случае U > VL
на У3-сфере существуют векторы скорости V3 любого на-
правления, и при этом каждому вектору V3 соответствует
единственная траектория сближения.
Величина модуля У3 при изменении точки входа в СД
изменяется в диапазоне Ум), где Ут =|U — Vj,
V3r = U + VL, причем траектория, для которой величина
У3 = Ум, тоже единственна (рис. 22.1). Если бы она нс
пересекала поверхность реальной Луны, то на этой тра-
ектории реализовался бы абсолютный максимум прираще-
ния геоцентрической энергии КА пли, что то же, прира-
щения А У = У3 — У2 — модуля скорости в результате
сближения с. Луной. Покажем, что траектория с У3 = Ум
§ 22,1]
РАЗГОН КА БЕЗ ЗАТРАТ ТОПЛИВА
487
пересекает лунную поверхность, и найдем непересекаю-
щую траекторию, на которой реализуется максимум при-
ращения геоцентрической энергии КА в результате сбли-
жения его с Луной.
2. Выгодность уменьшения расстояния траектории от
лунной поверхности. Покажем непосредственной провер-
кой, что та облетная траектория Гм, для которой
Г3 = V м, неизбежно пере-
текает поверхность Луны,
л. е. практически нереали-
зуема.
Действительно, для
траектории Гдг выходные
скорости Ц3 и Ум должны _
быть направлены по ско-
рости Луны. Рассмотрим
угол а между векторами
U2 и U3. Этот угол при-
ближенно равен углу а„
между направлениями U"
и U” скоростей «па бес-
конечности» для рассмат-
риваемой селеноцентриче-
ской траектории — гипер-
болы. При этом всегда
Рис. 22.1. Конусы Ки И Ку выход-
ных селеноцентрических и геоцент-
рических скоростей для траекторий,
касающихся лунной поверхности.
а < а„ по определению
этих углов, так что доста-
точно провести рассмотре-
ние для угла вместо
угла а. Заметим, что а«, =
= 2у, где у есть угол асимптоты с мнимой полуосью b
гиперболы (см. рис. 4.4), так что
tg у = а/Ъ = pL/dU2x, (1.1)
где а — p,L/U2x—действительная полуось гиперболы. Мож-
но выразить угол у и через радиус рл периселения. Из
Рис. 4.4 sin у = а/ае = 1/е = 1/(1 + рл/я), т. е.
siny = 1/(1 + p„E7t/|TL), Ul, = Ul — (2ць/р*). (1.2)
Угол монотонно растет с уменьшением радиуса рл пе-
риселения и достигает максимума при крайнем еле-
488
СБЛИЖЕНИЕ С ЛУНОЙ ДЛЯ МАНЕВРОВ
[ГЛ. 22
ва значении ря = pz,(pL — радиус Луны). Величина этого
максимума тем больше, чем меньше величина U селено-
центрической скорости на СД. Поэтому при максимиза-
ции угла 2ука? по величине наклонения й, как видно из
формулы (4.2.4), абсолютный шах 2укас достигается при
ц
й = 0 (так как min t/2=C/2 |ц=о).
’1
Обозначим через р угол вектора U2 с осью v. С при-
ближением й к нулю угол (л — р) между вектором U2
и направлением VL в пространстве uvw скоростей входа
и выхода на СД уменьшается, как видно из рис. 22.1, так
что при й = 0 реализуется min (л — Р). Покажем непос- *
’1
редственной проверкой, что даже при минимальной вели-
чине (73, т. е. при й = 0, и при минимальном рл = Pl не
только угол а, но и угол оказывается меньше угла, не-
обходимого для получения = т. е. покажем, что
2у„ас < л — р. Имеем из рис. 22.1 соотношение
sin р = V(У2 cos а2)2 + (^2 sin а2 sin й)2/U, (1.3)
cos р = (Vl — У2 sin а2 cos i^!U. (1.4)
При й = 0 имеем sin р = У2 cos a2/t/, cosp = (yL —
— У2 sin а2)/СД
Заметим, что согласно геоцентрическим интегралам
энергии и площадей:
У 1,2 =-— 2цг;/Г112 ^1! Г2У2Т = с 11 Cl == ГЛУЛ (гл)
не может быть У2 </ У * = глУл (гл)/гь (У* = 0,192 км/с
для hi = — ц0/(г2 + гя), r2 = rL = 384 тыс. км и г„ =
= 6630 км). С помощью этих интегралов-и формул (1.2) —
(1.4) для различных значений У2 > Ут получим табл. 22.1:
Таблица 22.1
V2, км/с 0,192 0,3 0,5 0,7 1,0 1,44 2,0 3,0
а2, град 90 40 23 16 И 7 6 4
U, км/с 0,833 0,9 0,95 1,07 1,3 1,67 2,16 3,13
Р, град 0 15 29 39 49 , 59 68 74
2ТкаС’ гРа« ИЗ 107 103 95 80 62 47 26
(Р+27кас), град 113 122 132 134 129 121 115 110
§ 22.1]
РАЗГОН НА БЕЗ ЗАТРАТ ТОПЛИВА
489
Из табл. 22.1 следует, что шах (|3 2укас)135° <180°,
^2
так что подавно max + акас) < 180°, что п требовалось
Ъ
проверить. Для других наклонений и величин рл > рь уг-
лы (р + а„ас) будут еще меньше.
3. Максимизация приращения энергии. Найдем плос-
кость селеноцентрической траектории, для которой век-
тор V3 — наибольший при условии рл pL. Траекториям,
не пересекающим поверхность Луны, соответствуют на
173-сфере векторы U3, образующие с вектором U2 угол
а < «нас (рис. 22.1), т. е. лежащие в конусе Kv с осью
U2 и углом раствора акас. Соответствующие векторам U3 е
е Ки векторы V3 = U3 + VL образуют конус Kv с той же
вершиной и основанием на У3-сфере. Как видно из
рис. 22.1, модули векторов на У3-сфере растут с уменьше-
нием компоненты v, поэтому наибольшим будет вектор
V3 е Kv с наименьшей компонентой V. Этот вектор Vp ле-
жит в плоскости селеноцентрического движения n'(U2, v),
проходящей через ось v и ось 172-коиуса Кц, так как
в этой плоскости лежит вектор Up = V3 — VL с наимень-
шей компонентой V. Отсюда следует, что ось v является
линией узлов в плоскости uv.
Найдем проекции (иР, vP, wp} вектора Vp. Для этого
найдем сначала наклонение I' плоскости соответствующе-
го селеноцентрического движения к плоскости uv. Из
рис. 22.1 находим i' как угол между плоскостями uv и
U2v:
♦ V Sin!'l = SiDK2sini,l м щ
g V2r cosa2
Проектируя вектор Up на ось v и плоскость uw, получим,
учитывая, что U2 = Up = U:
Uv= U cos (f) + a), Uuv> = U sin (f) + a),
а проектируя на оси и, v, w вектор VP = UP + VL, где
VL = (0, — VL, 0), получим
Vp = (17 sin (fj + a) cos i', U cos (fi + a) — VL,
— U sin (fj + a) sin f). (1.6)
Отсюда
Vl = U2 + Vl-2UVLcosW + a). (1.7)
490
СБЛИЖЕНИЕ С ЛУНОЙ ДЛЯ МАНЕВРОВ
[ГЛ. 22
Этот жо результат можно получить из треугольника ско-
ростей Up, VL, Vp (рис. 22.1), так как его угол против
стороны Vp равен р + а.
Выясним в предположениях метода ТСД, для какого
значения начальной энергии h-, приращение энергии
^h = hK-h,, ЛК = У*-^, h^V2-^ (1.8)
rL rL
после сближения с Луной максимально при фиксирован-
ных начальных перигейном радиусе гя и наклонении й
плоскости геоцентрического движения к плоскости лун-
ной орбиты. Для этого подставим в (1.7) из (4.2.4) зна-
чение
U2 = V2 + Vl - 2V2Vl sin аа cos ir V2 + U2* - У£,
(1-9)
Ут = У2 sin а2, У* = Ут cos i15 U*^VL — У*.
При фиксированном rn величина Ут согласно § 19.4 яв-
ляется константой, а так как наклонение й тоже фикси-
ровано, то V* и U* — тоже константы. Перенося все кон-
станты влево, получим
Ур — С0 — У2 — ЗУДИ (cos р cos а — sin р sin а),
с0 = у1+п:-у:. (1.Ю)
Из рис. 22.1 находим
UcosP = yL-y*, U sin р = ]/у*~ У*. (1.11)
Перенося У2 влево, получим согласно (1.8)
Д7г — Сп
F (У2) ° = - (Уь - У*) cos а (У2) +
Ку*-У*зша(У2). (1.12)
Из вида функции У(У2) следует, что она должна иметь
максимум по У2. Действительно, во-первых, при значении
V? = У* производная ее по У2 бесконечно велика за счет
члена с радикалом, а при У2 °° эта производная стре-
мится к нулю, так как член с радикалом согласно (1.2)
стремится к нулю.
§ 22.1]
РАЗГОН КА БЕЗ ЗАТРАТ ТОПЛИВА
491
При этом F(V2) стремится к константе — (Уь—У*),,
монотонно убывая, так как вследствие монотонного стрем-
ления а к нулю с ростом
У2 монотонно растет до
1 cos а. Так как эта кон-
станта меньше, чем Т'Ч'Р**)
(поскольку cosa<l), то
функция F(y2) проходит
при некоторой абсциссе
У2 = У г еще раз ’значение
.У(У* ), а между У* и У2
достигает максимума (в
точке У2, где dF/dV2 обра-
щается в нуль). Искомый
тахТ'ЧУг) оказывается
только один за счет того,
что с ростом У2 убывание
sin а пересиливает рост
Г(У2)2-У^.
Этот максимум можно
приближенно (полагая
a = 2f) найти аналитиче-
энергии в результате обЛета Луны.
V2 — геоцентрическая скорость входа
в сферу действия, it — наклонение
плоскости траектории к плоскости
лунной орбиты.
ски, перейдя от аргумен-
та У2 к аргументу
с помощью соотношений (1.1), (1.2), (1.12) и
bU^ = рх,(7л
Ul = + Vl-V2^U2-Ul, (1.13)
Pl
9/ и /2
sin 2у =----s, cos2y = ——г’
1 1 -J-1 1 + i
Однако его проще найти численно, беря С7(У2) из
рис. 4.5, а a = 2^ — из рис. 4.10. Таким путем получают-
ся две кривые /ЧУ2) соответственно для двух крайних
значений й = 0 и й = 180°," т. е. для значений У* = ±Уг.
Оказалось (рис. 22.2), что max Д/г- достигается при прак-
v2
тически одном и том же слабо гиперболическом значении
492
СБЛИЖЕНИЕ С ЛУНОЙ ДЛЯ МАНЕВРОВ
[ГЛ. 22
V2 ~ 1,6 км/с:
max Д/г (г± = 0) « 3,6 км2/с2, max Д/г (гг = я) та 2,4 км2/с2.
v2
Уменьшения Д/г с ростом г1 следовало ожидать вследствие
роста U с 4 согласно (4.2.4).
•4. Замечания. 1) Заметим, чтошахДУ2з, где ДУгз3
У2
ss У3 — У2 = Vp — V2, достигается в обоих случаях на ле-
вом краю V2 = V* области изменения У2.
2) Заметим также, что задача па max [| ДУ2 з|> где
va
ДV2,3 = V3 — V2, имеет в предположениях метода ТСД
простое аналитическое решение*) [1 —1980]. Действи-
тельно, поскольку V3 — U'^ Vl,V2 = L? 4-VL, to
| ДУ2,31 = ) U^° — U“ | =K2/7)1 — 2Ua, cos =2/7ooSin у
(1.14)
при любой плоскости ГГ векторов U£°, U“ селеноцентри-
ческого движения (рис. 4.4). Подставляя sin у пз (1.2),
получим (обозначив U2 = U3 = /7оо):
|ДУ2,з| = 2^/(1 + рЖо/1О- (1Л5)
Отсюда видно, что для увеличения IД V2,3I выгодно умень-
шать рл (до нуля) при любом U„.
При условии рл > рь существует оптимальное значе-
ние 77<ю = Т^Ць/рь, как показывает дифференцирование
(1.15) по /7». Соответствующее наибольшее значение
| ДУг.з |м = t/oo = У^Ць/рь, (1.16)
так что треугольник скоростей U2U3AU2>3 является равно-
сторонним. Таким образом, при условии рл > pL оптималь-
ным значением V2 в задаче на тах|ДУ2з1 является та-
V,
кое значение У2, при котором
ul = vl + V2 - 2VlV* cos h = ul
(У * = У2 sin a2 = const).
Отсюда У 2 = V Ць/Рь — У1 4- 2VlV* cos 1Л.
*) Сообщено авторам В. И. Левантовским в 1979 г. (см. [1—
1980]).
§ 22.1]
РАЗГОН КА БЕЗ ЗАТРАТ ТОПЛИВА
493
Для случая Луны получим U2 = 1,7 км/с, V*~
= 1,45 км/с ~ УдСгь). При этом направление вектора при-
ращения AV2, з принадлежит конусу с осью U2 и уг-
лом раствора 60°.
3) Заметим еще, что при эллиптических скоростях раз-
гон с нисходящей по отношению к Земле ветви выгоднее,
чем с восходящей, так как скорости V2 и U2 входа оказы-
ваются меньше за счет большего удаления от Земли точ-
ки входа па СД. Это подтверждают и точные расчеты (см.
рис. 22.3).
Рис. 22.3. Зависимость геоцентрической энергии, получающейся после
облета Лупы на расстоянии рл = р£ от времени ТЬ2 полета до Луны для
пяти фиксированных плоскостей (I—У) селеноцентрического движения;
Л2(Т1}о>— начальная энергия.
Задача разгона КА с помощью притягивающего дей-
ствия Луны в точной постановке была рассмотрена в ра-
боте [2—1974]. При этом определялась разница между
геоцентрической энергией h3 на выходе из СД и геоцент-
рической энергией h2 на входе в СД. Оказалось, что мак-
симальное приращение геоцентрической энергии КА иа
выходе из СД зависит от расположения точки входа (па
СД) относительно оси пучка и от времени перелета Ti2.
Для рл = 2000 км исследовалось влияние различия в по-
ложении точки входа КА в СД. Результаты исследовании
для характерных точек входа I—V представлены на
рис. 22.3 в виде зависимости геоцентрических энергий
494
СБЛИЖЕНИЕ С ЛУНОЙ ДЛЯ МАНЕВРОВ
[ГЛ. 22
h\, h^1, Tig11, &3V, hv3 на выходе KA из СД от времени
перелета Tli2. Для времен перелета Ti,2 < Tlt2, где Л,2—
время перелета по траектории, соответствующей мини-
мальной геоцентрической энергии hi, наибольший при-
рост геоцентрической энергии КА достигается при входе
в СД с селеноцентрическими координатами 6 сц -'> боп, ОСсц
> аоп, что соответствует селеноцентрическим наклонени-
ям i' < 90°.
Траектории с Т1>2 =? Tlt2, селеноцентрическими широ-
тами 6СЦ > боп становятся эквивалентными по разгонному
эффекту при долготах асц > аоп и асц < аОп- Значит, для
гомановских траекторий перелета КА от Земли к Луне
можно получить наибольший прирост геоцентрической
энергии за счет действия гравитационного поля Луны на
селеноцентрических орбитах как с i > 90°, так и с i' <
< 90°. Вход в СД в точке III (см. рис. 22.3) сохраняет
геоцентрическую энергию КА па выходе из СД (для вре-
мен перелета Tii2 > 250 тыс. с и наклонения селеноцент-
рической орбиты ~ 90°). При Т1>2 2> Tlt2 углы 6СЦ > 6оП
обеспечивают наибольший прирост геоцентрической энер-
гии, который достигает максимума при 7’1,2 ~ 900 тыс. с.
Результаты рис. 22.3 получены для ii = i2 = 51°,
склонения Луны 6L = — 5°,2, ее прямого восхождения
аг.= 341°,6 при наклонении 1Ъ = 27°,8 плоскости ее ор-
биты к плоскости экватора Земли.
§ 22.2. Использование сближения с Луной
для запуска стационарного ИСЗ
Стационарность ИСЗ означает, что его орбита — кру-
говая с наклонением к экватору С = 0, а период обраще-
ния равен звездным суткам. Из последнего условия полу-
чается радиус орбиты гст « 42 164 км, что более чем в
шесть раз. превосходит радиус г0 Земли. Хотя гст пример-
но на порядок меньше радиуса rL лунной орбиты, тем не
менее для запуска стационарного ИСЗ с орбиты низкого
ИСЗ в плоскости экватора требуются затраты характери-
стической скорости, большие затрат для достижения Лу-
ны и ближайших планет. При запуске не из плоскости
экватора (например, с территории СССР) требуются еще
большие энергетические затраты. Поэтому представляет
интерес, следуя [3—1971], проанализировать затраты в
§ 22.2]
ЗАПУСК СТАЦИОНАРНОГО ИСЗ
495
случае облета Луны с возвращением па перигейпоо рас-
стояние гя = гст в плоскости экватора, т. е. при условии
= 0.
Рассматривая эту задачу методом ТСД, из последнего
условия получим, что Лупа в момент сближения долж-
на находиться в плоскости экватора, т. е. в одном из уз-
лов лунной орбиты на экваторе. Соответственно к плоскос-
ти лунной орбиты плоскость дуги Г3,к возвращения будет
Рис. 22.4. Пересчет угловых параметров, определяющих траекторию r
системах координат, связанных с экватором и с плоскостью лунной
- орбиты.
иметь (рис. 22.4) наклонения ik = Д (после сближения
в восходящем узле) и С- = — г’ь (после сближения в нисхо-
дящем узле), где iL — фиксированное в диапазоне (18° 18',
28°36') наклонение лунной орбиты к экватору.
В пространстве uvw скоростей V3 выхода из СД Лупы
фиксированное наклонение С = const выделяет по одну
сторону от оси и полуплоскость, которая вырезает на У3-
сфере часть Д малого круга L (рис. 22.5). Эта часть пере-
секается с гиперболоидом гл = гСт в двух точках V3h и V3b,
отличающихся знаком их координаты и: ин >0, ив < 0,
т. е. знаком s3 радиальной скорости У3г. Вектор V3s соот-
ветствует нисходящему к Земле движению от СД, а век-
496
СБЛИЖЕНИЕ С ЛУНОЙ ДЛЯ МАНЕВРОВ
[ГЛ. 22
Рис. 22.5. Решения Vj"\ Vg11^
задачи облета с возвращением на
заданные радиус и наклонение
в перигее.
тор V3B — восходящему. Наибольший практический инте-
рес представляет нисходящее движение, как соответству-
ющее меньшим временам возвращения и меньшему влия-
нию разброса начальных данных (чем восходящее дви-
жение). Оно одно далее и рассматривается. Движение КА
к СД тоже рассматривается только восходящее — по тем
же причинам.
Для реализуемости этого решения еще необходимо,
чтобы траектория не пересекала Луну, т. е. чтобы было
ря > рь, где р„ — минималь-
ное расстояние траектории
от Луны (в периселении).
Здесь следует на основании
результатов гл. 20 ожидать
относительно узкого диапа-
зона по начальной энергии,
так как тип ветви при сбли-
жении с Луной меняется
(имеем s2‘- s3 < 0).
И действительно, если на-
чальную энергию hi харак-
теризовать апогейным радиу-
сом Га1 дуги Г1.2 движения к
СД, то имеем 4 • 105 < rai <
<5 • 105 км. При меньших
значениях rai Луна не всегда
достигается (вследствие на-
личия эксцентриситета у ее орбиты), а при больших значе-
ниях га1 получается рл < 2000 км для ОС^СЭО0, как
видно из рис. 22.6 (взятого из [3—1971]). На том же
рис. 22.6 приведены результаты расчета затрат характе-
ристической скорости на разгон к Луне и торможение
в точке г = гп = гст, времен полета Ti_L— к Луне, TL,K —
от Луны (до гп = гст) и суммарного времени Tip = Т\ ь +
+ Т7!..,;, а также суммы W затрат характеристической ско-
рости на разгон (с орбиты низкого ИСЗ с наклонением
0 < i, < 90° и торможением на стационарной орбите). За-
висимости TlL, TLK, Tip, р„ от^ар естественно, монотон-
но убывающие, а функция W (га1)—монотонно возраста-
ющая. Оказывается [3—1971], при начальной энергии,
близкой к минимальной и наклонениях 90° >((a1)>30oco3-
§ 22.2]
ЗАПУСК СТАЦИОНАРНОГО ИСЗ
497
даиие стационарного ИСЗ с помощью облета Луны энер-
гетически выгоднее, чем без него. При 38°,6 гэ 90°
минимальные затраты на переход с облетом W (г^) мень-
ше, чем затраты без облета, на 200—280 м/с.
При заданном траектория перехода с минималь-
ными энергетическими затратами определяется одно-
значно. С превышением энергетических затрат W над ми-
нимальными ТУпип появляется возможность уменьшить
V A II
Рис. 22.6. Зависимость характеристик решения задач облета (с возвра-
щением на заданные наклонение гэ и радиус в перигее) от оскулирую-
щего начального апогейного радиуса.
время 7\,к. Например, при ig1’ — 50° для W — Wmln
= 40 м/с имеем допустимые значения ' 3,9 • 103 < rai
< 4,6 • 103 км п соответствующий диапазон 4,4сут
> 7’11К< 3,3 сут.
Заметим, что если этот диапазон превышает сутки, то
где бы на поверхности Земли ни была расположена трас-
са запуска, ее можно использовать для реализации рас-
сматриваемого облета Луны.
. 32 в. А. Егоров, Л. И. Гусев
498
СБЛИЖЕНИЕ с: лупой для маневров
(ГЛ. 22
Отметим также, что при запуске с наклонением л —
— iL > > II, соответствующим положительному накло-
нению 0 < i < л к плоскости лунной орбиты, сближение
с Луной в нисходящем узле должно быть энергетически
выгоднее, чем в восходящем (при прочих равных услови-
ях). Действительно, за счет меньшей величины угла меж-
ду скоростью Луны VL и скоростью Уг величина U вход-
ной (и выходпой) селеноцентрических скоростей в первом
случае будет меньше, чем во втором, т. е. будут меньше
W,m/c
* 90 180 270 Ж
, гр а О
Рис. 22.7. Зависимость затрат W характеристическом скорости от аргу-
мента <i>L широты перигея Луны при фиксированных значениях накло-
нения плоскости лунной орбиты к экватору (в. у.— восходящий узел,
и. у.— нисходящий узел орбиты Луны на экваторе).
радиус Уз-сферы, энергия hi; траектории возвращения и
тормозной импульс в перигее.
Однако- эффект этот оказывается невелик. Причина
этого в том, что изменения скорости в перигее на-порядок
меньше, чем соответствующие изменения скорости на рас-
стоянии Луны (в силу интеграла энергии). Однако он про-
является, как видно из рис. 22.7, взятом из [3—1971], при
всех наклонениях i п почти при всех аргументах широты
Шь перигея Луны, лишь па небольшом участке орбиты, пе-
рекрываясь другим слабым эффектом — отклонением ско-
-рости Луны от нормали к радиусу (из-за наличия экс-
центриситета у ее орбиты). Оценка в работе [3—1971]
влияния эксцентриситета лунной орбиты показывает, что
$ 22.3]
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ ПОСЛЕ ОБЛЕТА
499
метод ТСД может применяться и без использования пред-
положения о том, что орбита массы mL — круговая, и мо-
жет давать пе только качественные, по и количественные
результаты.
§ 22.3. Приближенный анализ геоцентрических орбит,
получающихся после облета Луны
В предыдущем параграфе рассмотрен методом ТСД
тот частный случай облета Луны, когда: а) сближение
с Лупой происходит около одного из узлов лунной орби-
ты, б) после сближения КА выходит на геоцентрическую
орбиту Гзк, лежащую в фиксированной плоскости (эква-
тора) и имеющую фиксированный перигейный радиус
(глК)= 42 164 км). Интересно с помощью метода ТСД рас-
смотреть сближение КА с Луной во всех точках ее орби-
ты (а пе только в узлах) и выяснить, какие диапазоны
изменения геоцентрических элементов дуги Г3к можно ре-
ально получить за счет изменения точки входа в СД при
трех фиксированных начальных данных: наклонении
к плоскости лунной орбиты, радиусе перигея и гео-
центрической энергии hi.
Реально — значит без пересечения траектории с лун-
ной поверхностью р = pt, т. е. при условии, что радиус
периселения ря > рь на участке 72,3 селеноцентрического
движения в СД. Назовем траектории и их элементы, удов-
летворяющие этому условию, допустимыми. При трех фик-
сированных начальных элементах hy, Гл\ Н остальные эле-
менты ai, Sli, Ti считаются выбираемыми так, чтобы реа-
лизовался нужный вектор d прицельной дальности при
встрече с реально движущейся СД Луны в заданный (про-
извольно) момент t^.
Достижимые значения геоцентрических элементов hK,
Н л, “к, ТЬК, дуги Гз.к полета КА от СД Луны сог-
ласно методу ТСД определяются допустимой совокуп-
ностью векторов Уз геоцентрических выходных скоростей
на Уз-сфере. Поскольку размерами СД пренебрегается по
сравнению с расстоянием Земля — Луна, то наименьшая
МГ) и наибольшая h^ энергии получаются, соответ-
ственно, для наименьшего и наибольшею (по модулю)
векторов Уз. Согласно § 4.3, на Уз-сфере наименьший мо-
32*
500
СБЛИЖЕНИЕ С ЛУНОЙ ДЛЯ МАНЕВРОВ
[ГЛ. 22
дуль вектора V3 равен IU — VL\. При достаточно больших
начальных энергиях hi направление V3m), как следует из
рис. 4.9, не принадлежит конусу Kv скоростей V3 выхода
допустимых траекторий. Поэтому граница Л(кт) искомого
диапазона изменения энергии h,. определяется вектором
V(m) ^Kv, направление которого образует наименьший
угол с направлением (— VL).
С уменьшением начальной энергии h< до некоторого
небольшого по модулю и (рис. 4.9) отрицательного значе-
ния hr направление (— VL) оказывается на границе ко-
нуса К у и при /гх < hi находится внутри К v. По соответ-
ствующему вектору U3IIVL для случая встречи с СД на
нисходящей ветви дуги ГУг находится соответствующее
hi значение энергии после сближения (левый край h^
диапазона hK при
h™ Vl)2 - (3.1)
rL
В случае встречи па восходящей ветви формула (3.1)
годится, лишь когда вектор V3, имеющий направление
(— VL), не принадлежит запретной зоне Z (как, например,
на рис. 19,2, а в § 19.2). Если же он принадлежит области
Z (как на рис. 19.2, б), то минимальной длины вектор V3m)
находится на границе Z этой области из условия мини-
мальности его угла с вектором VL.
Направление VL при всех значениях hi находится вне
конуса KY (как показано в § 22.1), поэтому вектор VP,
определяющий правый край ^кМ) диапазона hK по фор-
муле
h™ = Vzp-2^, (3.2)
rL
так направлен на конусе Kv, что образует минимальный
угол с направлением VL. При различных значениях hi эти
векторы Vp были проанализированы в § 22.1 (как
реализующие наибольший разгон).
Что касается диапазона изменения то его ми-
нимальное значение равно нулю при U > VL, поскольку
в этом случае на У3-многообразии существует чисто ра-
диальное (по отношению к Земле) направление вектора
§ 22.3]
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ ПОСЛЕ ОБЛЕТА
501
Уз. При U < VL такого направления нет, и левый край
г(^п) диапазона глк) определяется по-разному в случаях
встречи КА с СД на восходящей и нисходящей ветвях ду-
ги Г1.2, как было и при определении величины h^.
В случае нисходящей ветви величина находит-
ся по вектору V 3 с минимальном трансверсальной компо-
нентой У37’ (причем согласно рис. 19.3, a У3 совпа-
дает с вектором V(3m\ по которому согласно (3.1) нахо-
дится край /г-кт)) из интегралов площадей и энергии, на-
писанных для точек 3 выхода из СД и л перигея:
гЩ? = + (3.3)
гл
Беря hR из (3.1) и исключая V„, получим для квадрат-
ное уравнение, у которого берется решение, близкое
к приближенному г(к°\ которое получается при йк = 0:
В случае встречи на восходящей ветви вектор У* с ми-
нимальнои компонентой V зт ) может не совпадать с век-
тором Узт) минимальной длины, если последний при-
надлежит запретной области Z. Однако можно пользо-
ваться по-прежнему приближенной формулой (3.4), пото-
му что для облетных траекторий г„т) < rL, и при U <
< VL будет в (3.3) Ак'С 2[лс/глт).
Максимальное значение глМ) элемента как
показано в Приложении 5, определяется вектором V3
с максимальной реализуемой компонентой У3т, хотя соот-
ветствующая энергия hK не мала. При этом гль) может
достигать предельно большого значения rL, например, ес-
ли: а) встреча КА с СД происходит на нисходящей вет-
ви, б) конус Kv содержит часть меридиана Уз-сферы
в плоскости vw и в) на этой части имеются векторы V3
с модулем V^>VL (картина, близкая к представленной
на рис. 19.3, б для случая встречи на восходящей ветви).
Соответствующие этим векторам У3 дуги Г3, к имеют ГдК) =
= rL потому что V3 -L г3 = rL, и величина скорости
502
СБЛИЖЕНИЕ С ЛУНОЙ ДЛЯ МАНЕВРОВ
[ГЛ, 22
V3 больше местной круговой 7кр « VL. Значит, векторы
У3-сферы с концами на меридиане п3 = 0 соответствуют
выходу из СД в перигей дуги Г3, ,< при V3 > VL и в апо-
гей — при V3 < VL. Таким образом, имеем 0,
ИЯМ) rL- Когда Ai < h*, то, как выяснено в гл. 19, можно
применять метод ТСД к тем точкам £73-сферы,' которые
Рис. 22.8. Геометрические условия
решения задачи облета Луны в
пространстве компонент v3w3 вы-
ходной геоцентрической скорости
при скоростиН < Vl', Zy — запрет-
ная область.
не принадлежат запретной
области Z см. § 19.2,
рис. 19.2, 19.3).
Приближенный расчет
методом ТСД параметров об-
летных траекторий, не пере-
секающих Луну*), для
fer= — 1,84 км2/с2,
= 6630 км, г, = 50° (3.5)
и знака S2 > 0 радиальной
компоненты входной гео-
центрической скорости V2
при различных заданных
значениях наклонения 1^, ра-
диуса г1 л и знака s3 радиаль-
ной компоненты геоцентри-
ческой скорости V3 выхода
из СД показал следующее.
Соответствующая Z об-
ласть Zv на У3-сфере схема-
тически показана (штриховкой) на рис. 22.8. Для данных
(3.5) апогейный радиус превосходит rL более чем на
40 тыс. км, так что размер области Zv —• порядка 10° по
Т3-сфере от точки В на осп и3 в сторону и3 > 0 (на
рис. 22.8 Уз-сфера показана в проекции па плоскость v3w3).
Соответствующая данным (3.5) величина входной се-
леноцентрическая скорости U2 = 0,995 VL < VL, поэтому
У3-многообразие (близкое' к части У3-сферы) располага-
ется по одну сторону от плоскости u3w3 (рис. 4.13) в об-
ласти отрицательных значений и3, так что величина на-
Выполнен Б. Л. Ворониным в 1975 г.
§ 22.3]
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ ПОСЛЕ ОБЛЕТА
503
клоиепия г’з (плоскости дуги Гз,к к плоскости лунной ор-
биты) не может быть больше предельного значения
ia = arcsin WVj « 84°20'.
(3.6)
Чтобы рассматриваемые векторы V3 не попадали в зап-
ретную область Zv, будем искать траектории с гяк) =
= 7000 км >гят). Задание в рамках метода ТСД
определяет линию пересечения г„к) - гиперболоида (см.
§§ 4.4, 4.5) с У3-сферой, а задание iK и знака s3 определя-
ет единственный вектор V3 па ^-многообразии. По V3
находятся вектор U3 = V3 — Vb, угол а между векторами
U2 и U3 и радиус периселения (по формуле (1.3)). Ре-
зультаты расчетов представлены кривыми рл (гл')) |j=const
на рис. 22.9, а, б соответственно для > 0 и гк < 0.
Предельным наклонениям in = ± г’п соответствуют
две точки — два вектора V3:
V* = (О, — VL cos2 i±, — Уь cos г’п sin i„). (3.7)
Общая их величина У± = Ух,созгп =0,101 км/с при ма-
лых разностях VT, — U > 0, т. о. малых cos гп (рис. 22.8),
может оказаться меньше величины Утг, реализующей
min У3 на линии S пересечения глт) - гиперболоида с У3-
S
сферой. Эта скорость V,„r находится в плоскости щш3
(рис. 22.8), является (согласно §§ 4.4, 4.5, рис. 4.15, 4.19,
20.4) действительной полуосью А - гиперболоида и оп-
ределяется по модулю формулой (44.8). Соответствующие
векторам У3 = значения 1а наклонения iK определя-
ется из треугольника , со сторонами UVLVmT формулой
(рис. 22.8):
cos i± = (У^г + Vl - С72)/2УтгУк. (3.8)
Для исходных = 7000 км и величины U, определяе-
мой данными (3.5), получаютсяУтг=0,192—, гд=±83°10'.
Сечения У3-сферы плоскостями i = — окружности
L (^к) и сечения Г гяк) - гиперболоида этими плоскос-
тями — гиперболы Г (г„к)) представлены на рис. 22.10
для 0',Jk = для гя )= 7 тыс. км и 350 тыс. км.
504
СБЛИЖЕНИЕ С ЛУНОЙ ДЛЯ МАНЕВРОВ
[ГЛ. 22
Рис. 22.9. Зависимость радиуса ря периселения облетной траектории от
радиуса тл ' участка полета от Луны при фиксированных наклонениях
iK этого участка: a) iK > 0; 6) iK < 0.
§ 22.3]
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ ПОСЛЕ ОБЛЕТА
505
Векторы V3 для значений £к'_) = ± ±80°, ±60 при
7000 км не будут принадлежать запретной зо-
не Z, так как при небольших превышениях над <
< =7 тыс. км окружности L не касаются боков
зоны Z, а при больших г„к)- гиперболоид проходит ниже
зоны Z (рис. 22.8). На рис. 22.9 сплошные кривые полу-
чены для 5з < 0, а пунктирные — для s3 > 0 (при s3 > 0
Г'!^ - / ;о 'нн)
Рис. 22.10. Сечения У;;-сфорьг плоскостями i 1’к —окружности
г ( .(К) _ _ _/ (К)\
L ia )— и гл -гиперболоидами —гипероолыГд j в" пространстве ком-
понент выходной геоцентрической скорости: радиальной Vr и трансвер-
сальной VT.
выход из СД происходит па восходящую по отношению
к Земле ветвь дуги Г3,,.). Сплошная и пунктирные кривые
соединяются справа в точке, соответствующей меридиану
из = 0 па Уз-сфере, т. е. чисто трансверсальному по от-
ношению к Земле выходу КА из СД.
Заметим, что наклонение С к экватору плоскости дуги
Г3,„ зависит от гк и от долготы узла дуги Г31К, отсчиты-
ваемой от восходящего узла Луны на экваторе. В предпо-
ложениях метода ТСД величина согласно этому опре-
делению совпадает с аргументом широты Луны uL, а по-
506
СБЛИЖЕНИЕ С ЛУНОЙ ДЛЯ МАНЕВРОВ
[ГЛ. 22
тому известна (она зависит только от момента сближе-
ния, который считается заданным). Задаваясь значением
i = iK, можно получить из рис. 22.4 по формулам Прило-
жения 3 значения ia(iK, <Л ) (рис. П.5).
Что касается долготы узла <R>l относительно экватора,
то она определяется величиной о ь э углового расстояния
узла <ЛЭ траектории на экваторе от восходящего узла Лт,
лунной орбиты, а величина зависит только от ia иЛ
(рпс. П.4), так как определяется чисто геометрически (см.
рис. 22.4 и Приложение 3).
Величина cof = ®э — отличия аргументов широты
перигея, отсчитываемых в плоскости траектории соответ-
ственно от экватора и от плоскости лунной орбиты, также
определяется чисто геометрически по (эи Л (см. рис. 22.4
и П.З). Заметим, что если г(я) = 0 пли величина V3 > VL,
а направление V3 трансверсально, то в предположениях
метода ТСД будет ык = 0. При неточном выполнении этих
условий, например при радиусе <; rv -с rL, величина
сок будет мала (порядка нескольких градусов). Пренебре-
гая этой величиной, приближенно можно считать соэ =
L
— (оэ , т. е. определять аргумент широты перигея соэ отно-
сительно экватора формулами (2.2') и (2.5') Приложе-
ния 2 (рис. П.З).
Переходя к последнему элементу, тк — моменту про-
хождения КА .через перигей г(„ 1 (первый после выхо-
да КА из СД), заметим, что интереснее не этот лЖмент,
а полное время Т = тк —t\ полета от Земли до перигея
Гл!), поскольку начальный момент t\ задается произволь-
но. В § 19.4 было показано, что время Т изменяется в
диапазоне (Тт, °°), где Тт = ^ —1\ — определяемое на-
чальными энергией h\ и расстоянием r2 = rL время полета
от Земли до периселения. Изолппии T(dL, dz) = const бы-
ли представлены па ортогональной к направлению USJ
скорости входа в СД плоскости компонент dL, dz прицель-
ной дальности (рис. 19.9,19.10) и на 7з-сфере (рис. 19.11—
19.14). Учет ограничения рп > рь реализуемости траекто-
рии (т. е. непересечения лунной поверхности p = pL), как
видно из рис. 19.13, 19.14, существенно урезает область
относительно малых Т, особенно в случае энергий, не
близких к минимальным.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Об определении наклонения в диапазоне
(— 180°, 180°) и оси пучка (перигейного радиуса)
1. Такой диапазон определения наклонения удобен для рас-
смотрения осесимметричных пучков траекторий. Осью Оп селено-
центрического пучка будем считать направление оскулирующего
в перицентрии (или где-либо вблизи него) вектора скорости «на
бесконечности» подлетпой ветви гиперболы.
При рассмотрении перелетов Земля — Луна и Лупа — Земля
вне СД Луны без учета возмущений от Лупы направлением оси
геоцентрического пучка можно считать направление
С учетом возмущений оскулпрующес наклонение геоцентрическо-
го участка траектории будем относить к тому оскулирующему уз-
лу в плоскости ху (например, лунной орбиты), который ближе
к оскулирующему перигею. Это удобно, во-первых, потому, что
для практически интересных энергий (порядка нескольких км2/с2)
и перигейпых радиусов (до 50 тыс. км) направление на перигей л
близко к направлению (— и, во-вторых, потому, что такое
определение узла по зависит от того, к Земле пли от Земли про-
исходит перелет.
Аналогичным образам определять узел траектории селеноцент-
рического пучка нецелесообразно, так как для практически инте-
ресных малых углов 60п осп пучка с плоскостью луппой орбиты
(|боп| <15°) направление па ближайший к периселению узел мо-
жет скачком изменяться па противоположное при малом измене-
нии величины прицельной дальности. Поэтому удобнее определять
наклонение i' в узле £1', ближайшем по его угловому расстоянию
к направлению полупрямой mLOn — оси пучка.. Это угловое рас-
стояние иоп (как и аргумент широты перигея ь) — ил в геоцентри-
ческом случае) не может превосходить 90°. Поэтому п отклонение
Л,' = Л'—а0П(-Л* = *л) Долготы £!'(£!) узла от долготы
Яоп(Хя) оси пучка (перигея) тоже не превосходит 90° (на рис. П.1, а
и в тексте после селеноцентрических параметров даются в скобках
геоцентрические параметры).
2. Итак, пусть заданы долгота аОп(?.л), шпрота 60п(фя) осп
пучка (перигея) и направляющие косинусы Сх, Су, Cz (Сх, Су,
вектора С'(С) кинетического момента. Повернем вокруг оси z'(z)
508
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
оси х', у' (х. у) в такое положение х*, у*, чтобы стало а*п=0
(а*=0). Соответственно получим направляющие косинусы векто-
ра С'(С) кинетического момента (рис. П.1, б):
Сх* =с'х cos аоп + Си sin %п> СУ* = ~сх sin аоп -I- С’у cos аоп.
Из формул
Сх* = sin i' sin , Су* = — sin i! cos Л , Cz* = cos i'
получим
— 90° < Л¥ < 90° — no tg Л¥ = — cx*/cy* и
— л < i' < л — no cos i' = Cz* и sign sin i' = — sign C *,
sin i' = — Cy*/cos Sb* = Cx/sin л/,
причем Л' = ®оп + Л¥ (Л> =А.Я -|- Л¥)-
Эту процедуру можно упростить, находя угол ££'(££) сразу,
т. е. без вычисления Сх*, Су*, С2*, Л¥ А именно, по tg Л' =
6)
Рис. П.1. Определение наклонения V в диапазоне (—180”, 180”) и долго-
ты узла Л в диапазоне (—90°, 90”): а —единичная сфера, б — основная
плоскость.
= — Сх/Су находятся два значения долготы узла £¥(£1). Из
них оставляется значение, ближайшее к заданной долготе аОп(^я),
при этом по cos i' =CZ и sin i' = Cx/sin Л' = — Су/cos Л' нахо-
дится наклонение i'(г) в диапазоне (—л, л). Заметим, что
данное определение углов £1', (^), как и обычное, не за-
висит от выбора системы координат х'у'(ху).
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
509
Для заданного значения 60п(сря) широты направления Оп(л)
найдем аргумент широты —90° < иоп(со) <90° этого направления
по sin u = sin боп/sin i'(sin co = sin <pn/sin i). Заметим, что cosuon =
= cos боп-cos Л' > 0, так как ft' (Л*) sg90°(pnc. П.1).
3. Если оказывается 0° «Ь i 180° при данном определении уг-
лов SI, I, со, то опо совпадает с обычным. Если оказывается
—180° < i < 0°, то переход к обычному определению делается из-
менением ff па 180° в такую сторону, чтобы иметь 0 < fi < 2л
(или | fi | < л), увеличением со па 180° и заменой i на (—i)
(рис. П.1, а).
Если при обычном определении углов Q, i, со оказывается
| со | > 90°, то переход к данному в пункте 2 определению дела-
ется изменением £1 на 180° в такую сторону, чтобы иметь 0 <
< fi < 2л (или | fi | < л), уменьшением со па 180° и замепой i
па (— i).
Приложение 2
Пересчет угловых элементов от плоскости
лунной орбиты к плоскости экватора
и обратный пересчет
1. Ограниченную круговую задачу трех точек пг0, mt, т2 удоб-
но рассматривать в системе координат .т, у, z, координатной плос-
костью ху которой является плоскость движения притягивающих
масс. mh т2, а ось z направлена по кинетическому моменту масс
с|?1, т2. Тогда из пространственной задачи легко выделяется плос-
кая — о движении непритягивающей частицы та в плоскости ху,
если брать начальные значения z0 = 0 и dz!dt = 0.
Однако в задаче Земля (oig) —Луна (mL) —КА (т0) условия,
определяющие траектории перелетов между Землей и Луной, обыч-
но задаются в геоэкваториальной системе координат тсхэуэгэ,
у которой осп Хэуэ находятся в плоскости экватора, а ось гэ на-
правлена к северному полюсу N Земли. Поэтому нужны формулы
пересчета элементов орбиты КА из системы mGxyz в систему
mGx3y3z3 (и обратно). При этом будут пересчитываться лишь уг-
ловые элементы fi, г, со, поскольку остальные элементы р, е, т не
зависят от выбора системы координат. Если принять, что ось х на-
правлена в восходящий узел SIl лунной орбиты на экваторе, то
ось z получается из оси z3 поворотом вокруг оси х на угол iz,
(наклонения плоскости лунной орбиты к экватору).
2. Дадим формулы расчета элементов fi 3, i3, «а по fi, i, со,
£Il, ii.. Обозначив fia = fi0— £lL, cOg==co3 — co, получим из тео-
ремы косинусов для угла (180°—г3) сферического треугольника
fii-fiafi (рис. П.2, а):
cos i3 = cos iL cos i — sin iL sin i cos Sb,
is — в I, II четверти, (2.1)
по теореме синусов
sin <0g = sin iL sin Л/sin i3, (2-2)
sin Лэ = sin i sin Л/sin ia, (2.3)
510
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
из теоремы косинусов для сторон wf имеем
cos J“b , = cos cos (i>g + sin sin cof cos i, (2.4)
cos Wg = cos J“b cos 4- sin sin cQ>g cos iL.
Подставляя в последнюю формулу выражения cos J%g, sinи
Н
Рис. П.2. Пересчет угловых элементов от одной основной плоскости (П^
к другой (Пэ): а — основной сферический треугольник, б — дуги боль-
ших кругов на единичной сфере.
sin o>g пз трех предыдущих формул, после тождественных преоб-
разований получим
cos Qg = (cos sin iL cos i + cos iL sin Q/sin ig. (2.5)
По формулам (2.2), (2.5) найдем | а>д | < л, по формулам (2.3) и
(2.4) найдем | | < л и получим
+ ®э=ш + “э- (2-6)
3. Обратный пересчет (от угловых элементов 1э, соэ, отне-
сенных к плоскости экватора, к элементам £1, i, со, отнесенным к
плоскости лунной орбиты) выполняется по тем же формулам
(2.1)—(2.6) после замены в них i на л — i3 (а г0 на л — г) и £1
на J7,*, поскольку сторона £1 и угол i в сферическом .треуголь-
нике SIlSIbSI (рис. П.2, а) играют такую же роль, как
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
511
сторона и угол л — i0:
cos i = cos cos ia + sin iL sin i3 cos Нэ>
i — в I, II четверти (2-Г)
sin <Og = sin iL sin £l3/sin ia, (2.2')
sin i3 sin ft э (2.3')
Blil П — sin i
cos & = cos cos co,’ - sin sin co 3C0S ;8> (2.4')
— cos ft3 sin iL cos i3 + sin i0 c°s iL (2.5')
ьиьша- sin i
CD 3 1 CD 3 II 3 eg 1 CD eg II CD eg (2.6')
Приложение 3
Зависимость угловых элементов траектории,
от долготы ее узла в плоскости лунной орбиты
при постоянном наклоцении к экватору Земли
В тех случаях, когда задано наклонение i3 наземной трассы
запуска КА к Луне или перигейного участка траектории возвра-
щения от Луны к Земле, представляют интерес зависимости ос-
кулирующих в перигее (или в близкой к Земле точке) элементов
ЯЭ(П), соэ(Н), ЦП) от долготы р0 узла траектории в плоскости
лунной орбиты (причем £1, как и в Приложении 2, отсчитывает-
ся от восходящего узла £1ь лунной орбиты на экваторе). ‘Здесь
угол Дэ есть долгота ближайшего к перигею узла траектории в
плоскости экватора (отсчитываемая, например, от направления на
точку Т весеннего равноденствия), соэ — аргумент широты пе-
ригея траектории (отсчитываемый от плоскости экватора), —л <
< i < л — наклонение плоскости траектории к плоскости лунной
орбиты. Эти углы зависят от наклонения iL плоскости лунной ор-
биты к экватору.
Поскольку величина зависит пе только от $1, по еще от
выбора направления оси х в плоскости экватора и долготы Q,L уз-
ла лунной орбиты на экваторе, то вместо интереснее вычис-
лять угловое расстояние’ L узла траектории от уз-
ла SlL лунной орбиты, которое зависит только от Н (при извест-
ном наклонении Ц). Аналогично вместо соа интереснее вычислять
аргумент широты сов = со, — со у3ла Q относительно экватора,
поскольку функция (Л) не зависит от величины со.
512
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Зависимость tog (<ГЪ) определяется формулой (2.2) Приложе-
ния^ в предположении, что | (Og | С 90°. Для определения функции
(Н) сначала находим из прямоугольного сферического тре-
угольника SIlSIA (рис. 22.4 и П.2, б) по теореме синусов
sin ср^= sini^sin Л, | <РЛ| < Ж (3.1)
и по теореме косинусов для сторон
cos = cos ^1/cos ф^_ (3.2)
Затем находится из прямоугольных сферических треугольников
Рис. П.З. Зависимость изменения со3 аргумента широты перигея (при
переходе к экваториальной основной плоскости) от долготы <Q узла пло-
скости траектории на плоскости лунной орбиты при фиксированных на-
клонениях i3 плоскости траектории к плоскости экватора.
п по теореме синусов соответственно
sin = sin Q cos iL[tos , (3.3)
sinAX^ = sin a>gJ cos ig/cos . (3.4)
Далее находится 0 < < 2л из (3.2), (3.3), ДХ^ в ±1 четвер-
ти — из (3.4) и
= (3-5)
Из треугольника паходпм по теореме синусов и тео-
реме косинусов для углов
sin i = sin sin (,/sin , (3.6)
cos i = cos iL cos ia sin iL sin i0 cos .
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
513
Вычисленное по формуле (2.2) семейство кривых wf (f&)|ie=Const
представлено на рис. П.З. Это семейство для > 0 ограничено из-
нутри кривыми ь =±90°, похожими на синусоиду, а снаружи —
двумя ломаными гэ = it (она же i3 = л— iL) и ia = —U (она же
1э = —л + it). Все кривые, естественно, проходят через точки (0, 0),
(л, 0), (2л, 0). Вершины ломаных находятся в точках (л/2, ±л/2)
30° '780° Z7O° i60°3.=uL
Рис. П4. Зависимость долготы узла плоскости траектории на эква-
торе от долготы ft ее узла на плоскости лунной орбиты при фиксиро-
ванных наклонениях 1э плоскости траектории к плоскости экватора.
и (3/2л, ±л/2). Это естественно, так как при i = iL движение КА
происходит в плоскости лунной орбиты, так что Wg растет в точ-
ности как ft при изменении —л/2 < & <л/2. При изменении
л/2 < < 3/2л движение происходит не в плоскости лунной ор-
биты, а в симметричной относительно меридиана узла ft плос-
кости, так что Wg убывает в точности как (180°— Q). При изме-
нении знака i3 функция oft (J~B)|ia=const тоже меняет знак. При
33 в. Л. Егоров, Л. И. Гусев
514
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
изменении i3 в диапазоне (iL, 90°) кривая непрерывно изменяется
между граничными кривыми. Согласно (П2.2) величина не
меняется при замене £э па л— 1Я, так что кривая ы1' (J~L)[ia==i0^Consf
совпадает с кривой Wg (Л) |1э=я_{ .
Чтобы построить семейство кривых fjg, (J~b)|ia=const, рассмот-
рим сначала семейство кривых ДХ^о (fj) |j =conSt — искаженных
согласно (П.3.4) синусоид — при изменении t0 в диапазоне (/£, 90°)
Рис. П5. Зависимость наклонения i плоскости траектории к плоскости
лунной орбиты от долготы £1 ее узла при фиксированных наклонениях
гэ плоскости траектории к плоскости экватора.
(рис. П.2, б). При Щ = 90°, естественно, ДХ^ =0 (для всех fj)-
При равных отклонениях i3 от 90° в разные стороны знаки ДХ^
будут различны, а модули равны. При изменении знака ia меняется
знак ДА,^. Колеблющиеся (в пределах от —90° до 90°) функции
ДА,^ вычитаются, согласно (3.5), из одной монотонно возрастаю-
щей от 0 до 360° функции^ (Л)- Эта функция играет роль осе-
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
515
вой и представлена слабо извилистой кривой (кривая t3-—+90°
на рис. П.4).
При гэ — II, i3 = —л + Il с изменением —90 < fl < 90 узел
Ц9, как видпо из рис. 22.4, совпадает с flL, т. е. fl9 = 0.
На участке 90° < fl < 270° функция fl9 (fl) монотонно растет от 0
до 360°. При i3 = — iL, i3= л — Il узел fl9 траектории совпадает
с нисходящим узлом лунной орбиты для 90°< 11 <270° (а вне
этого интервала — монотонно растет от 0 до 360°).
Эти «стояния» узла связаны с постоянством значений
((^1^ = 0 при 1111 <90°, i (Jb) 1г9=л-гь = 180° при|Ц-
-180°| <90°, £(Л) =0 при Ш—180°] <90°, i(Jb)h9=_„+1L=
= —180° при | fl 1 < 90°, (см. формулы (3.6) и рис. П.2 и П.5)*).
При i3 = iL функция i(fl) с ростом Ц от 90° сначала монотонно
растет до 2+ (в точке Ц = 180°), а затем симметрично убывает до
нуля. Аналогичны рост и убывание при i3 — —л++. При t3 =—it,
убывание от 0 до —2+ происходит с отклонением Ц наружу от
краев диапазона (90°, 270°) симметрично относительно абсциссы
fl = 180°. Так же убывает от 180° функция i (Jb) Ii9=i8o°-i£-
В результате получаем две пепересекающиеся области изме-
нения функций г(Ц): одну с 180° > i > 0° для 180’—iL>j3>ii.,
другую с i < 0 для —180°+ iL > U > + (рис. П.5). Заметим, что
полученные результаты не зависят от того, к Луне или от Луны
происходит движение, если Ц есть узел траектории, ближайший
к перигею. При этом в предположении, что |s3| > iL или |i3| <
< л — +, над северным полушарием будут проходить траектории
с i>0 (г3 > 0) прп перелете Земля — Луна и i<0 (г3 < 0)—
при перелете Луна — Земля, а над южным — траектории с обрат-
ными злаками наклонений i, i3.
Приложение 4
Пересчет географических параметров движения КА
в параметры, отнесенные к плоскости лунной орбиты
1. Движение КА по траектории между Землей п Луной, дви-
жение Лупы ть по ее орбите. вокруг Земли та и вращение зем-
ной поверхности вокруг полярпой оси mGN происходят независи-
мо. Параметры последних двух движений будем считать известны-
ми (например, из Астрономического ежегодника) для заданного
момента t времени. В частности, пусть известны в любой момент
t в геоцентрической певращающейся системе mGx3y3z3 наклоне-
ние + лунпой орбиты, аргумент uL широты Лупы, долгота flL ее
восходящего узла.
Пусть КА имеет в заданный момент t заданную географиче-
скую долготу Хг, шпроту tp3 относительно плоскости П3 экватора,
а его геоцентрическая орбита имеет заданное наклонение i3 к эк-
*) Кривые па рис, П.З—П.5 вычислены Б. Л. Ворониным
в 1975 г.
33*
516
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ватору, причем |i3| > 11, и известен знак Си косинуса аргумента
иэ широты КА.
Найти в невращающейся системе координат mGxyz долготу X,
широту ф и углы i, SI, и (где и — аргумент широты КА).
2. Заметим, что эта задача содержит как часть вычисление уг-
лов гэ, Sla, и их пересчет в углы г, SI, и, причем иэ(и) играет
ту же роль, что и угол (ш) в Приложении 2. Находим по поряд-
ку следующие величины:
1) отсчитываемое в плоскости 77э экватора от точки Y весен-
него равноденствия прямое восхождение КА
аэ = Хг + 5’(0. 5(0 = 50 + wG (z - t°), (4.1)
где S, So - выраженное в угловой мере звездное время (прямое
восхождение гринвичского меридиана) на моменты t и начало 1а
даты, которой принадлежит момент t (So берется из Астрономиче-
ского ежегодника); —угловая скорость вращения Земли;
2) отсчитываемую в плоскости П;) от узла долготу КА
Ч = аэ — SIl' (4-2)
3) аргумент иэ широты КА относительно экватора по знаку
Си и по
(4.4)
sin (РЧ ,, „
sin и = ——2 (4.3)
sin 1Э
— теорема синусов для прямоугольного треугольника т0^эМэ
(рис. 22.4);
4) угол А в плоскости экватора под дугой и:, (рис. 22.4) по:
sin u, cos cos и.
sin ДДЭ = -----2----2, cos ДДЭ =-------?
3 COS фэ 3 COS <Pg
(теоремы: синусов — для прямостороннего треугольника т0 SI
и косинусов — для прямоугольного треугольника т0Д3Мэ).
5) отсчитываемую в плоскости П:, от направления долго-
ту узла траектории КА
Ч А^э; (4-5)
6) углы I, £1, и —по углам ь, Sla, th —с помощью формул
(2.1) — (2.6) п. 3 Приложения 2 (при этом и., используется вместо
соэ и получается и вместо ш);
7) широту ср относительно П/. и долготу X в плоскости Пь, от-
считываемую от узла SI —110 теореме синусов для пря-
моугольного треугольника £1т0М п и прямостороннего треуголь-
ника S\zm и теореме косинусов для треугольника
(рис. 22.4):
sin ф = sin i sin и. ф — в ± I четверти
sin и cos i
sin ДХ = ——— -—,
cos <p
cos и
COsAZ = ^’
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
517
Приложение 5
Теорема
В предположениях метода ТСД при фиксированных геоцентри-
ческих начальных энергии, радиусе перигея и наклонении (к плос-
кости лунной орбиты) облетные траектории, выходящие из СД
трансверсально по отношению к Земле, имеют больший радиус- пе-
ригея, чем другие облетные траектории того же выходного на-
клонения.
Доказательство. Фиксируем выходное наклонение и вы-
разим из критерия 1, гл. 5 выходную энергию
h 2С cos i -|- 7*i, Т; = hi — 2Сi cos i\,
С^г^У2^/т^ + \ (5.1)
через начальные энергию h\, радиус перигея, паклоненис ii.
Выходной кинетический момент С =Ур.ор, где р —параметр выход-
ного конического сечения. Используем вместе с (5.1) известные
соотношения теории конических сечений
гя = р/(1+е), с2 1 + Л6'2/р2 ,
и, обозначая
TJ^G = t, 2 cos i/yVG = S,
получим
e =Уi + p (t -|- S Vp), pt + 5рУp > — 1, (5.2)
= [(1 + e) - p 5 V^L±-g.V/,/2] /(1 + e)2.
dp L 2® J/
Очевидно, sign dr J dp = sign D, где D = 4e + 4e2 — 2tp — oSp)-p =
= 4e + d, d = 4 + (2tp + 5рУр) >2 — ЗрДр '5 0 при S <" 0 с уче-
том (5.2).
А при S > 0 выражение d больше, чем при S < 0 (благодаря
члену Sp\p), та>; что d > 0 ir 7) > 0 при всех 5, поэтому растет
с р. т. е. с С. Поскольку значения С в предположениях метода TCI)
пропорциональны трансверсальной компоненте Г;(г выходной гео-
центрической скорости, а эта компонента при фиксированном вы-
ходном наклонении ;. т. е. в любом сечении Йз-сферы полуплос-
костью i —const, максимальна у векторов V3 чисто трансверсаль-
ного направления, то теорема доказана.
518
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
Приложение 6
Точный расчет пассивных траекторий перелета
между Землей и Луной (задача Коши)
Для решения задачи Коши исходной информацией являются
начальные данные t0, т0, у0, z0, ,гп, z/0, z0 и параметры цс, Цг..
Выходная информация — кинематические параметры в счетный мо-
мент времени tK, .rK, yr,, z,-;, х,;. ук, zi:. Обозначим компоненты ско-
рости КЛ и их производные по времени через Г>. Г,,. Vz, Vx, Vy,
Vz соответственно. Тогда согласно (1.4.1), (1.4.2) имеем систему
дифференциальных уравнений
i = Vx> y = Vv, z = Vz, г =/я2 + у2 + z2,
rL = У xl + Vl + ZL rs =У 4 + Vs + 4>
p = V(x - xLf + (y - yL)2 + (z - zL)2.
Векторы rL = (xL, - yL, zL) и rs = (xs, ys, zs) определяются
согласно Астрономическому ежегоднику на каждый момент вре-
мени t, начиная с Jo-
Система дифференциальных уравнений движения КА решает-
ся одним из методов ЧИ. Дадим для примера ее решение методом
Рунге — Кутта. Для применения этого метода необходимо исход-
ную систему дифференциальных уравнений привести к системе
первого порядка
yi — Уг), где i = 1, 2, ..6.
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
519
Согласно методу Рунге — Кутта функция на (к + 1)-м
шаге интегрирования определится по формуле
ч^=^+4(^+2^+27сз+^)-
где г
( h hK.\
•^1 = /i (гк’ Vi, к)’ fi + ~2~’ Vi, k + ~2~ J’
(i hK \
+4-*+-f)’ K*=fi {th+h’yi’k+/гА'з)’
h — шаг интегрирования. Следовательно, при использовании мето-
да Рунге — Кутта каждая функция на каждом шаге вычисляется
четыре раза (для метода Рунге — Кутта четвертого порядка).
Для убыстрения интегрирования (при сохранении точности
вычисления) часто в методе Рунге — Кутта вводят алгоритм изме-
нения первоначального шага h интегрирования.
Для этого схема Рунге — Кутта дополняется вычислением чле-
на К, указанного в работе [5—19G5]:
Величина К с точностью до малых высших порядков равна
третьему члену разложения Ду по степеням h и используется для
контроля точности интегрирования на каждом шаге с целью по-
лучения заданной точности результата.
Контроль точности интегрирования на каждом шаге и измене-
ние величины шага, к-интегрирования можно производить, напри-
мер, как в п. 8 работы [4—1972].
Приложение 7
Переход от кеплеровых элементов орбиты
к декартовым координатам (ЭДК)
Исходная информация — элементы St , I, Р, е, со, и в заданный
момент t, параметр ц.
Выходная информация — декартовы компоненты х, у, z, х, у, z
векторов г, V в тот же момент t.
Находим направляющие косинусы а, р, у вектора г и направ-
ляющие косинусы а', Р', у' нормами к вектору г, направленной
в полуплоскость, содержащую вектор V:
а = cos и cos £1 — sin и sin Q cos i,
P = cos и sin £1 + sin и cos £1 cos i,
у = sin и sin i,
a' = — (sin и cos + cos и sin cos i),
520
ПРИЛОЖЕНИЕ 8
Р' — cos и cos Д cos i — sin и sin Д,
у' = cos и sin i.
Находим модули радиуса-вектора г и вектора С кинетического
момента: __
г = p/(i + е cos Ф), fb = и — со, С = ]/рц
и декартовы компоненты векторов г, V:
С
х = га, х = — [ае sin 0 -|- а' (1 е cos t})],
С
У = 7Р> у = — [ре sin -0 р' (1 -|- е cos &)],
С
z = ту, г = ~ [ye sin 0 + у' (1 + е cos О )].
Приложение 8
Переход от декартовых координат
к кеплеровым элемента^ орбиты (ДКЭ)
Входная информация — компоненты х, у, z, х, у, z векторов
г, V в заданный момент £, параметр ц.
Выходная информация — элементы Д, I, р, е, со, и в тот же
момент t.
Находим модули радиуса-вектора г, вектора скорости V и угол
а между г и V: . .,
г = уг+у* + л г=/;2+?+?,
cos а = ** +ig+-¥,
rV
а в I, II четвертях. Находим компоненты и модули вектора С ки-
нетического момента и вектора f Лапласа
• • fix
= yz — zy, • = — — + С3у — C2z,
• • !ХУ
C2=zx — xz, f2 = — — c^z — С3х,
сз = ху — ух, 1 /3 = — у + С2х — С^у,
с = уЪ2 + с2 + с2, / = //2 + /2 + /23.
Находим параметр, эксцентриситет орбиты р = С2/ц, е-=//р
и наклонение i плоскости орбиты в I, II четв. по cos i = С3/С.
ПРИЛОЖЕНИЕ 9
521
Находим в диапазоне (0, 2л) углы £1, со, и по
sin = CjC sin i, cos = — C„/Csin i,
sin co = (— /x sin £1 + /2 cos £l)/f cos i,
cos и = (/х cos + /2 sin //,
sin и = (— x sin -I- у cos,Q )/r cos i,
cos и = (.r cos Q -г У sin £l)/r.
Пересчитываем в соответствии с Приложением 1^наклонение I и
долготу £1 узла к диапазонам |i| < Jt, | St I < 90°.
По истинной аномалии О = и — со в случае пеооходпмостп
можно найти момент т прохождения перпцептрпчесього рас-
стояния.
Приложение 9
Расчет параметров движения относительно
поверхности Земли (Луны)
Входная информация — компоненты .г, у, z, .г, у. z векторов
г, V, (р, U) (или элементы ft,, К Р-, е, со, “) в заданный момент
времени t в геоцентрической (селеноцентрической) геоэкватори-
алыюй системе координат.
Выходная информация — высота II над поверхностью Земли
(Луны), сферические широта и долгота ср и %; склонение б КА
над горизонтом заданной па поверхности Земли (Лупы) точ-
ки т; азимут ср направления па КА из точки т; расстояние А от
точки т до КА; угловая скорость со КА относительно системы ко-
ординат. связанной с Землей (Луной) с началом в точке т.
Высота над поверхностью Земли (Луны) И = г — R, где г —
расстояние от центра Земли (Лупы) до КА, R— радиус гс(рс.)
Земли (Лупы).
Сферические координаты КА находятся по формулам
sin ср = z/r, 0 ср jt/2,
sin X = у/г cos ср, cos X •= x/r cos ср, О <'Х < 2л.
Для вычисления углов б и ср находим единичные векторы
вертикали Ь°, параллели р° и направления п° (на север) меридиа-
на в точке т
= cos ср cos X, = — sin X, = — sin rp cos к,
i® = cos ср sin X, p®=cosX, n®= — sin tpsiirX,
b® = sin ср, p®=0, n® = cos cp.
522
ПРИЛОЖЕНИЕ 10
Находим координаты точки т:
X = R cos <р cos Л, Y — R cos ср sin X,
Z = R sin ср.
Находим вектор Д = г — R, идущий от точки т до КА, и име-
ющий компоненты
Дх = х — X, Ду — у — Y, \г = z — Z.
Углы 6, гр получаем по
sin 6 = (ДХ- - г ДУЬ" -г АгЬ®)/[ Д'|,
— л/2 < 6 < л/2,
cos гр = (Дхл" + -J- Д/г°)/(| Д | cos б),
sin гр = (ДжрО + Дур° + Дгр°)/( | Д | cos 6),
0 < гр < 2л,
где Д— "Идх + Ду + Д|.
Для вычисления угловой скорости и вычислим вначале ком-
поненты скорости х, у, z точки т по формулам
X = —П R cos ф sin Л, Y = Q R cos <р cos Л, Z — 0,
где Q — угловая скорость притягивающего тела. Тогда скорость Д
КА относительно точки т
I Д I = /(i - X)2 + (у - У)2 + (z - Z)2.
Радиальная скорость
Д = [Сх-Х)(х^-Х) + (y — Y)(y — Y) + (z-Z)(z-Z)]M,
а угловая скорость
<0 = ^1 др
Приложение 10
Погрешность расчета скорости
методом игнорирования возмущений
Оценить погрешность рассмотрения движения по ТС методом
ИВ можно с помощью модели ограниченной круговой задачи трех
точек mo, mL, mG. Векторное уравнение этой задачи имеет вид
(1.4.8). Приняв за единицу длины расстояние rL = aL, за единицу
массы — сумму масс mL + mG, за единицу времени— величину
ПРИЛОЖЕНИЕ 10
523
со^-1, обратную угловой скорости обращения масс mL, та, и счи-
тая отношение p/rL малым, можем уравнение (1.4.8) частично ли-
неаризовать:
р=--^Г-(1-Н)[(Зрсоз0р)гь + р]. (10.1)
Г
Здесь ц = тл///гс, 0Р — угол радиуса р с (—rL) (рис. 1.1).
Для оценки точности расчета движения методом ИВ оценим
влияние массы т0 внутри малой сферы р = рк <С гь и влияние
массы mL вне этой сферы па скорость движения, принимая, что
изменение характера движения в результате прохождения точки
т0 через сферу р = рк в основном определяется изменением ско-
рости (в силу того, что рк <С гь). Влияние mL сказывается до тех
нор, пока расстояние р не превзойдет несколько радиусов рк.
На таких расстояниях mj.-центрическое движение по ТС гипер-
болично (§ 3.4) и близко к радиальному. Поэтому достаточно оце-
нить ошибки в радиальной ть-центрпческой скорости.
Оценим сначала влияние массы та внутри сферы р = рк при
прохождении точки т0 на расстоянии ро <S рк от После ска-
лярного умножения (10.1) на р, применения тождества рр = рр+
+ U2 — р2 (где U = |р|), умножения результата па 2рр и интегри-
рования вдоль невозмущенной гиперболы с полуосью а' (в интег-
рале энергии) найдем при помощи теоремы о среднем
Р 2 = ^[(РоРо)2 + W ~ Ро) - (Р2 - Ро)] -
где (cos2 бр)'— некоторое среднее зпачепие cos2 0Р на рассматри-
ваемой части траектории, а р0, ро Рк — начальные данные. Пер-
вый член в правой части отвечает певозмущенному движению, а
второй — возмущению движения внутри сферы р = рк массой та.
Подставляя р = рк, пренебрегая во втором члене величиной ц
и отношением (р0/рк)4<31, обозначая первый член через ^Р°)а и
извлекая приближенно квадратный корень, получим
Поскольку j 1 — 3 (cos2 Op)' | 2, то модуль относительной ошиб-
ки в ть-центрической скорости от неучета действия массы та
при р < рк
524
ПРИЛОЖЕНИЕ iO
Оценим теперь возмущение 6tp массой тг, радиальной mL-
центрической скорости движения вне сферы р = рк, считая при-
ближенно, что невозмущеппое движение радиально и происходит
с постоянной скоростью dpidt = р». Для возмущенного движения
имеем уравнение d(6i.p) =— (|x/p2)dt (где dt = dp/p°). Интегри-
руя его от р = рк, получим
lP р.Д р Vp»’
Пренебрегая при удалениях р рк отношением рк/р <С 1, получим
оценку относительной ошибки в mL-центрической скорости от не-
учета влияния массы mL при р > рк:
(10.3)
Радиус рк = рв, для которого минимальна сумма оценок мо-
дулей относительных ошибок (10.2) и (10.3)
выражается следующей из условия
формулой
рп = p.I/3rL.
(10.4)
Соответствующий минимум оценки
Зц2/3
—— со
2(Р°В)2 '
(10.5)
убывает обратно пропорционально (р »)2в то время как значение р0
(10.4) не зависит от р». Оно па 15% меньше радиуса сферы влия-
ния [7—1964]. Если пренебречь таким отличием (как при опреде-
лении СД [2—1937]), то сферу р = рп тоже можно считать сфе-
рой влияния.
Для системы Земля — Луна р,-1 » 81,-|1-1/3 » 4,3, так что рв«
«89 000 км; ц-2/3 « 18,7, и при р»=1 км/с имеем бр/р» < 0,08,
т. е. ошибка метода ИВ в худшем случае составляет менее 8%.
ПРИЛОЖЕНИЕ 10
525
Обычно же ошибки будут меньше, и возможна даже компенсация
ошибок (особенно при подборе p,t). Например, когда т;,-центриче-
ская траектория близка к прямой mLniG, то торможение движения
массой ini, при р > рЕ компенсируется ускоряющим влиянием
массы та при р < рк. Соответствующие относительные ошибки
выбором рк могут быть уменьшены иа порядок.
Замена и и я.
1. Формула (10.3) дает величину торможения т,.-центрическо-
го движения массой ть при р > рк. Соответствующее компенси-
рующее увеличение 6С7, скорости в начале пассивного полета
с поверхности Луны пли с низкой орбиты ИСЛ слабо (только че-
рез U,} зависит от скорости р£ на сфере р= рк. Действительно,
из следствия — Рцбр® ть-цептрического интеграла энергии
и (10.3) при заданных величинах рь р,< получим
PL
^1=Ж-- (Ю.6)
Прп Ui = 2,5 км/с (Рк = 1 км/с) получим 6571=22 м/с для
Рк = рп. Такой дополнительный разгон может потребоваться (при
неблагоприятных направлениях полета) сверх того, который по-
лучается методом ИВ при пересчете параметров движения на гра-
нице сферы влияния. Аналогичные оценки для системы Солнце —
Земля даны в [4—1970].
2. Если ось £ декартовой т^-цептрической системы координат
тнаправить от mL и та, то в (10.1) будет р cos 0р = £, и ком-
поненты возмущающего ускорения (второго члена в правой части
(10.1)) будут иметь вид (10.4.1).
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
ИВ — игнорирование возмущений.
ИСЗ — искусственный спутник Земли.
ИСЛ — искусственный спутник Луны.
КА — космический аппарат.
СД — сфера действия.
ТВ — траектория возвращения.
ТС — траектория сближения.
ТСД — точечная сфера действия.
ЧИ — численное интегрирование.
а — заданное значение переменной а.
С (Сь С2, Сз) — вектор геоцентрического кинетического момен-
та (секториальная скорость).
е — эксцентриситет.
h — геоцентрическая энергия.
i — наклонение.
та — масса Земли или материальная точка, совпадающая с
центром Земли.
ть— масса Луны или материальная точка, совпадающая с
центром Луны.
та — масса КА; центр тяжести КА.
Оп — ось пучка гиперболических траекторий в СД Лупы.
р — параметр орбиты.
г, v — геоцентрические радиус-вектор и вектор скорости КА.
Г[, Vi — геоцентрические радиус-вектор и вектор скорости КА
в точке 1 начала космического полета.
г2, v2 — геоцентрические радиус-вектор и вектор скорости КА
в точке 2 входа в СД (встречи с Луной).
г3, v3 — геоцентрические радиус-вектор и вектор скорости КА
в точке 3 выхода из СД.
гс, Рь — радиусы Земли и Луны.
<?о — звездное время в О'1 всемирного времени.
Т — время полета.
Т 1,2 —время полета КА от СД до первого перигея.
Г 2 з , Тс — время полета КА в СД.
Z3 к —время полета КА до СД до первого перигея.
Uо, U„ — модуль вектора скорости КА на поверхности Луны.
' U2, U3 — входная и выходная селеноцентрические скорости КА
па СД Луны.
Un (р)—селеноцентрическая параболическая скорость на рас-
стоянии р от Луны.
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
527
и — аргумент широты.
Гп(г) — геоцентрическая параболическая скорость на рассто-
янии г от Земли.
Vr, Vx — радиальная и трансверсальная компоненты геоцент-
рической скорости.
«1, а2, а3 — углы между геоцентрическими радиус-вектором и
вектором скорости в точках 1, 2, 3 траектории полета.
а2, а3 —углы между селеноцентрическими радиус-вектором и
вектором скорости в точках 2, 3 входа и выхода на СД.
Г J 2 '— участок геоцентрической траектории полета от началь-
ной точки 1 до точки 2 входа в сферу действия Лупы.
Г3 к—участок геоцентрической траектории полета от точки 3
выхода из СД до конечной точки К.
V2.3—участок селеноцентрической траектории (гиперболы)
в СД Лупы между входной точкой 2 и выходной точкой 3
на СД.
О — угол возвышения вектора скорости.
Л — истинная аномалия.
бСц, <Хсд — селеноцентрические широта и долгота.
Цо — гравитационная характеристика Земли, равная произве-
дению гравитационной постоянной на массу Земли.
pi г.— гравитационная характеристика Лупы, равная произве-
дению гравитационной постоянной на массу Луны.
П — плоскость эклиптики.
1Г — плоскость гиперболической траектории в СД Лупы:
1Т:> — плоскость экватора Земли.
IIг. — плоскость орбиты Луны.
Пу — плоскость орбиты ИСЗ.
Пх — плоскость орбиты ИСЛ.
р. — радиус СД Луны.
Р, U — селеноцентрические радиус-вектор и вектор скорос-
ти КА.
Ф — полная угловая дальность траектории, т. е. угол между
геоцентрическими радиусами начальной и конечной точек траек-
тории.
Ф| — угловая дальность пассивного участка траектории.
Фа — угловая дальность активного участка траектории.
ср, X — широта и долгота КА.
фо, Ао — географические широта и долгота точки старта па по-
верхности Земли.
Y — точка весеннего равноденствия.
£1 — долгота восходящего узла орбиты.
£7 , i, со, и — элементы относительно плоскости лунной орбиты.
io, соэ, — геоцентрические элементы в экваториальной
системе координат.
SlLi II, col, ul, pL, eL, VL, rL — элементы орбиты Луны, ее
скорость п радиус-вектор.
iy, »т, Pv, еу, VY, rv —элементы орбиты ИСЗ,.скорость и
радиус-вектор КА па этой орбите.
528
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ II ОБОЗНАЧЕНИЯ
£1^, h, ах, их, рх, ex, Vi, тх — элементы орбиты ИСЛ, скорость
и радиус-вектор на этой орбите.
i', <£>', и', р', е’, U, р — элементы гиперболы в СД, ско-
рость и радиус-вектор КА на гиперболе.
—угловая скорость суточного вращения Земли.
со г — угловая скорость движения Луны по орбите.
Системы координат
A2u2v2W2 и А2 u3v3w3— невращающиеся системы координат в
пространстве скоростей; оси и2и2и>2, и3и3и>3 параллельны осям хв,
Ув, £в, соответственно, в моменты t2 входа КА в СД и t3 выхода
КА из СД.
mGzyz— невращающаяся геоцентрическая система координат
с началом mG в центре Земли; оси zyz параллельны осям iBynzB
соответственно, в фиксированный момент времени.
mf;z:.y:.z:i — геоцентрическая невращающаяся экваториальная
система координат; ось maza направлена из центра Земли в точ-
ку X весеннего равноденствия (например, эпохи 1970.0); ось mGz:>
направлена по вектору угловой скорости вращения Земли.
mbgr]t; — невращающаяся селеноцентрическая система коорди-
нат с началом mL в центре Луны; оси £т]£; параллельны осям zyz
соответственно в момент t2 входа КА в СД.
ть£вцв£в—вращающаяся селеноцентрическая система коор-
динат; начало mL расположено в центре Луны; ось mL£B направ-
лена по оси mLm0; ось тг_£в перпендикулярна плоскости орбиты
Луны; ось mf.r]n дополняет систему до правой.
'«bBafloSn — селеноцентрическая невращающаяся система коор-
динат с началом mL в центре Луны и с осями бэЛзЕэ, параллель-
ными осям x3y3za соответственно.
<ZrByBzB—барицентрическая вращающаяся система координат
с началом 0 в центре масс системы ma, mL; ось Oz„ направлена
по линии mGmL; ось Оув направлена в плоскости П,. движения
масс тать против скорости VG точки mL.
<\zByBzB — вращающаяся система координат с началом О, в се-
редине отрезка mamL. Осп zDyDzB параллельны осям zByBzB со-
ответственно.
Верхние индексы
в— восходящий.
к — конечный.
н — нисходящий; новый.
ср — среднее.
М — максимальное.
т — минимальное.
opt — оптимальное.
1, 2, 3 — признак элементов в точках 1, 2, 3 траектории соот-
ветственно.
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
529
Нижние индексы
а — активный участок.
ас — асимптота.
в — вращающиеся оси координат.
вх — вход.
г — географические.
дв — двигатель.
к — конечный.
кас — касательная.
кр — круговая.
л — лунная поверхность.
М — максимальный.
он — ось пучка.
п — параболическая.
отн— относительный.
сж — сжатие.
ср — среднее.
ст — старт.
сц — селеноцентрические.
у — упрежденная.
УД — удельная.
уск — ускорение.
х — характеристическая.
э — экватор Земли.
эфф — эффективный.
Зв - в точке 3 восходящий.
Зн — в точке 3 нисходящий.
G — Земля.
L — Луна.
LG — Луна — Земля.
г° —направление вектора г.
S — признак элементов орбиты Солнца.
Р — тяга двигателя.
а — точка апоцентрия.
7 — признак элементов орбиты ИСЗ.
А — признак элементов орбиты ИСЛ.
ц — Признак элементов в момент наибольшего сближения с
меньшим гравитирующим центром.
л — точка перицентрия.
S — принадлежит многообразию S; суммарный.
т — трансверсаль.
Ф — угловая дальность.
— узел орбиты; признак элементов, относящихся к узлу
орбиты.
2г, Зг — радиальные компоненты в точках 2 и 3 траектории
соответственно.
2т, Зт — трансверсальные компоненты в точках 2 п 3 траекто-
рии соответственно.
1, 2, 3 — признак элементов в точках 1, 2, 3 траектории соот-
ветственно.
34 в. А. Егоров, Л. II. Гусев
ЛИТЕРАТУРА
сокращения:
— журнал «Доклады АН СССР»;
— журнал «Космические исследования»;
— сборник «Искусственные спутники Земли»;
— журнал «Успехи физических паук»;
А и Т
ТК
УЗЦ
AIAA I.
Принятые
ДАН
КИ
ИСЗ
УФН
ЖВМ п МФ — «Журнал вычислительной математики и математиче-
> окой физики»;
— журнал «Автоматика и телемеханика»;
— журнал «Известия АН СССР», серия «Техническая
кибернетика»;
— журнал «Ученые записки ЦАГИ»;
— American Institute of Aeronautics and Astronautics
Journal;
AIAA Paper — American Institute of Aeronautics and Astronautics
Paper;
— American Rocket Society Journal;
— Astronautical Acta;
— Institute of Aeronautical Sciences Paper;
— Journal of the Astronautical Sciences;
— Journal of Spacecraft and Rockets;
— Journal of British Interplanetary Society;
— Advances of Astronautical Sciences;
— Astronautics and Aeronautics.
ARS J.
Astr. Acta
IAS Paper
JAS
JSR
JBIS
AAS
A&A
В библиографических ссылках второе число указывает год
издания, а первое — порядковый помер в списке цитируемых ра-
бот указанного года.
1805 г.
1. L а р 1 а с е Р. S. Mecanique Celeste, t. 4, livre IX, Chap. II.— Pa-
ris, 1805.
1877 r.
1. H i 11 G. W.— The Amer. Journal of Math., 1877, v. 1, № 23.
1896 r.
1. Tisserand F. Traite de Mecanique Celeste, t. 4 (Theories les
Satellites des Jupiter et de Saturne. Perturbations des petites pla-
netes), chap XII.—Paris, 1896.
1913 r.
1. Циолковский К. Э. Исследование мировых пространств
реактивными приборами.— Калуга, 1913.
ЛИТЕРАТУРА
531
1925 г.
1. Hohmann W. Die Erreichbarkeit des Himmelskorper.— Mun-
chen; Berlin, 1925.
1930 r.
1. Hopf E.— Mathematische Annalen, 1930, 103.
1933 r.
1. Михайлов А. А. Курс гравиметрии и теории фигуры Земли.—
М.: Гостехиздат, 1933.
2. Субботин М. Ф. Курс небесной механики. Т. 1.— М.: Гостех-
издат, 1933.
1936 г.
1. Strom gren Е. Publikationern fra Kobenhavns obs., 1936,
№ 100.
1937 г.
1. M у л ь т о и Ф. Р. Введение в небесную механику.— ОНТИ, 1937.
2. С у б б о т п и М. Ф. Курс небесной механики. Т. 2.— ОНТИ, 1937.
1946 г.
1. Ф е с е и к о в В. Г.— Астрономический журнал, 1946, т. 23, в. 1.
1954 г.
1. Lawden D. F. Perturbation Maneuvres.—JBIS, 1954, v. 13, № 6.
2. L a w d e n D. F. Entry into circular orbits.— JBIS, 1954, v. 13, № 7.
1955 r.
1. Lawden D. F.— JBIS, 1955, v. 14, № 4.
1956 r.
1. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колеба-
ний.— М.: Гостехиздат, 1956.
2. BuchheimR. W.— Proc. VII JAF Congress, Rome, 1956.
1957 г.
1. Егоров В. А. Некоторые вопросы динамики полета к Луне.—
•ДАН, 1957, т. ИЗ, № 1.
2. Егоров В. А. О некоторых задачах динамики полета к Лу-
не— УФН, 1957, т. 63, в. 1а.
3. Охоцимский Д. Е., Э п е е в Т. М., Таратынова Г. П.—
УФН, 1957, т. 63, в. 1а.
4. Охоцимский Д. Е., Энеев Т. М. Некоторые вариационные
задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли.—
УФН, 1957, т. 63, в. 1а.
5. Чеботарев Г. А. Симметричная траектория ракеты для по-
лета вокруг Луны,—Бюллетень ИТА АН СССР, 1957, № 7 (80).
6. Лисовская М. С. О траекториях полета ракеты вокруг Лу-
ны,—Бюллетень ИТА АН СССР, 1957, № 8 (81).
7. Таратынова Г. П.— УФН, 1957, т. 63, в. 1а.
8. Ehricke К. A. Cislunar operations.— ARS Preprint, 1957, June.
34*
532
ЛИТЕРАТУРА
9. Grob пег W., Cap F. The tbrec-boby problem Earth — Moon
Spaceship.— Astr. Acta, 1957, v. 5, № 5.
1958 r.
1. Gold L.—ARS Preprint, 1958, June.
2. G о 1 d b a u m G. C., G u n к e 1 R. J.— Proc. Amer. Astronaut. Soc.
Western Regional Meeting, Pallo Alto, 1958, August.
3. L i e s к e H. A.— RAND Paper, 1958, June.
4. Walters L. G. Lunar trojectory mechanics.—Navigation, 1958,
v. 6, p. 51.
5. С о 1 a D. U., M u i r D. E. Around the Moon in 80 Hours.— AAS,
1958, v. 3.
1959 r.
1. Егоров В. А. К вопросу о захвате в ограниченной круговой
проблеме трех точек.— ИСЗ, 1959, в. 3.
2. Mickelwait А. В. Lunar trajectories.— ARS J., 1959, v. 29,
№ 12.
3. В a 11 i n R. II. The determination of round-trip planetary recon-
naissance trajectories.— JAS, 1959, v. 26, № 9.
4. Chapman D. R. An analysis of the corridor and guidance re-
quirements for supercircular entry into planetary atmospheres.—
NASA TR, № R-55, 1959.
5. Mickelwait A. B., Button R. C. Analytical and numerical
studies of three-dimensional trajectories to the Moon.— IAS Paper,
№ 59-90, 1959.
6. Moe eke 1 .W. F. Interplanetary trajectories with excess ener-
gy.— Proc, of the IX-th Intern. Astronaut. Congr., 1958, part I, 1959.
7. E h r i с k e K. Orbit theory: cislunar orbits.— Proceed, of Sympo-
sium in Appl. Math., 1959, v. 10.
8. A 1 m а г I., В a 1 a z s B. Approximate method of plotting the or-
bit of a space rocket, passing near the Moon.— Magyar tud. acad.
Mat. kutato int. kozl., 1959, v. 4, № 2.
9. T h ii r i n g B. Zwei specialle Mond Einfang-Bahnen in der Raum-
fahrt um Erde und Mond.— Astr. Acta, 1959, v. 5, F. 3/4.
1960 r.
1. Поспергелис M. M.— Астрономический журнал, 1960, т. 37,
в. 2.
2. С е д о в Л. И. Орбиты космических ракет в сторону Лупы.—
ИСЗ, 1960, в. 5.
3. Л е в а п т о в с к и й В. И. Ракетой к Луне.— М.: Физматгиз, 1960.
4. Ко о j I. М., Berghuis J. On the numerical computation of free
trajectories of a lunar space vehicle.— Astr. Acta, 1960, v. 6,
№ 2-3.
5. M i e 1 e A. Theorem of image trajectories in the Earth — Moon
space.— Astr. Acta, 1960, v. 6, № 5.
6. Riddell J. Initial azimuth and times for ballistic lunar impact
trajectories.— ARS J., 1960, v. 30, № 5.
1961 r.
1. Турский В. С. К вопросу о траекториях столкновения и за-
хвата» в задаче трех точек.— Сообщение ГАИШ, № 114, 1961.
ЛИТЕРАТУРА
533
2. Куликовский П. Г. Справочник любителя астрономии.— М.:
Физматгиз, 1961.
3. М i с h а <• 1 W. Л.. С г е uh a in .1. W. Tralcctory considerations
for с i re и n i i 11 n a r missions. IAS Paper, Ai 61 35, 1961.
4. Nelson W. C. An integrated approach to the determination and
selection of lunar trajectories.— AAS, 1961, v. 9.
5. Huss C. R., H a m m e r H. A., Mayer I. P. Parameter study of
insertion conditions for lunar missions, including varying trajectory
considerations.— NASA TR, № R-122, 1961.
1962 r.
1. Березин II. С., Жидков II. П. Методы вычислении. T. 1,
2.— M.: Физматгп.з, 1962.
2. Tro ss С. Lunar vehicle orbit determination.— ARS J., 1962, v. 32,
А» 4.
3. Petersen X. V. Orbital assembly and launch for lunar operati-
ons. Aerospace engineering, 1962, v. 21, № 8, p. 41.
4. Hiller II. A generalized study of two-dimensional trajectories
in Earth — Moon space.— Astr. Acta, 1962, v. 8, F2—3.
5. E h r i c k e K. A.— Space flight, v. 2, 1962.
6. Snider, Taylor. An analysis of lunar injection parameters
and their effects upon the characteristics of entry into the Earth’s
atmosphere.— ARS Preprint, 62-26. 1962.
7. Kelley T h. J., A d о r n a t о R. .1. Determination abort way stati-
ons on a nominal circumlunar trajectories.—ARS J., 1962, v. 32, № 6.
1963 r.
1. Шаманский В. E. Методы численного решения краевых за-
дач иа ЭЦВМ. Ч. 1.— Киев: Изд. АП УССР, 1963.
2. N i m a n A. JJB1S, 1963, V. 19, № 1.
3. Skid m ore L. L, Р е n z о P. A. AIAA J., 1963, № 4.
4. L a g e r s t г о m P. A.. Kevorkian J. Earth-to-Moon trajecto-
ries in the restricted three-body problem.— J. de Mecanique, 1963,
v. 11, № 2.
5. La gers from P. A.. Kevorkian .1. Earth-to-Moon trajecto-
ries with minimum energy.— J. de Mecanique, 1963, v. 11, № 4.
6. L a g e r s t г о m P. A., Kevorkian J. Some numerical aspects
of Earth-to-Moon trajectories in the restricted three-body prob-
lem.— AIAA Paper, № 63-389, 1963.
7. M i c k с 1 w a i t A. B. Lunar and interplanetary trajectories.—
Guidance and control of aerospace vehicles, 1963.
8. M i eke 1 wait A. B. Lunar missions: launch to rendezvous.—
Technology of lunar exploration. Progress in Astronautics and
Aeronautics. 1963, v. 10.
9. G i I r u t h R.. R., F e g e t M. A. The Manned lunar mission.—
Technology of Lunar Exploration. Progress in Astronautics and
Aeronautics, 1963, v. 10.
10. Hiller II. Entry into elliptic orbits round the Moon.—Planeta-
ry and Space Sci., 1963, v. 11, Febr.
11. Hoelker R. F., Brand N. J. Survey and classification of
Earth — Moon trajectories based' on newly discovered properti-
es.— AIAA Paper, № 63-150, 1963.
534
ЛИТЕРАТУРА
12. D а 11 a s S. Moon-to-Earth trajectories.— AIAA Preprint, № 402,
1963.
13. G a p с у n s к у J. P., Tolson R. II. Trajectory considerations
for the return to Earth phase of lunar exploration.— Technology
of Lunar Exploration. Progress in Astronautics and Aeronautics,
1963, v. 10.
14. M a g n e s s T. A., Pace W. IL, P e n z о P. A., S t e i n e r P.,
Tompkins E. H. Trajectory and guidance considerations for
lunar return missions.— Technology of Lunar Exploration. Pro-
gress in Astronautics and Aeronautics, 1963, v. 10.
15. Bartos G., Greenberg A. B. Abort problems of the lunar
landing mission technology of lunar exploration.— Technology
of Lunar Exploration. Progress in Astron, and Aeron., 1963, v. 10.
16. Kelley Th. J., A d о r n a t о R. J., S p e i s e г К. H. Abort
considerations for manned lunar missions.— Technology of lunar
Exploration. Progress in Astron, and Aeron., 1963, v. 10.
17. G r e e n B. S., L e v i n N. A gradient method for obtaining cir-
cumlunar trajectories.— AIAA Paper, № 63-401, 1963.
18. P e n z о P. A. An Analysis of free-flight circumlunar trajecto-
ries.— AIAA Paper, № 63’404, 1963.
19. J о h n s о n F. Free return circumlunar trajectories from launch
windoms with fixed launch azimuths.— AIAA Paper, № 63-406,
1963.
20. С a 1 d w e 11 D. M. Geometric constraints on trajectories.— AAS,
1963, v. 16 part 1.
21. H a 11 B. A., Dietrich R. G., Tiernan К. E. Landing gui-
dance techniques.— AIAA Paper, № 63-345, 1963.
22. Pfeffer J. Terminal guidance for soft lunar landing.— Guidan-
ce and control of Aerospace Vehicles, 1963.
1964 r.
1. Ильин В. А. К расчету траекторий перелета космических ап-
паратов между компланарными круговыми орбитами в ньюто-
новском гравитационном поле.— КИ, 1964, т. 2, в. 5.
2. Лидов М. Л., О х о ц п м с к и й Д. Е., Тесле и к о И. А.
Исследование одного класса траекторий ограниченной задачи
трех тел.— КП, 1964, т. 2, в. 6.
3. Lunar Flight Handbook.— Space Flight Handbooks, 1964, v. 2,
NASA, sp-35.
4. H о e 1 k e r R. F., Brand N. J. Mapping the course for the Moon
trip.— ASA, 1964, v. 2, № 2.
5. Szebehely V. G. A group of Earth-to-Moon trajectories with
consecutive collision.— Celestial Mechanics and Astrodynamics,
Academic Press, 1964.
6. G w i n n J. M. Lunar ascent with plane change.— AIAA Paper,
№ 64-400, 1964.
7. К и с л и к M. Д. Сферы влияния больших планет и Луны.— КИ,
1964, т. 2, № 6.
1965 г.
1. Дашков А. А., И в а ш к и п В. В.— КИ, 1965, т. 3, в. 5.
ЛИТЕРАТУРА
535
2. Егоров В. А. Пространственная задача достижения Лупы.—
М.: Наука, 1965.
3. Э л ь я с б е р г П. Е. Основы теории полета искусственных спут-
ников Земли.— М.: Наука, 1965.
4. Ш в а и и г е р А. Исследование траекторий свободного облета
Лупы.— Сборник обзоров и переводов иностранной периодиче-
ской литературы «Механика», 1965, № 5 (93).
5. Власова 3. II., Егоров В. А., Казакова Р. К., Плато-
нов А. К. Некоторые алгоритмы численного решения обыкно-
венных дифференциальных уравнений.— Доклад па Всесоюзной
конференции по вычислительной математике, МГУ, 1965.
6. В г е s h е а г s В. R. Spacecraft propulsion requirements for lunar
missions.—JSR, 1965, v. 2, № 1.
7. X a у t h A. H. A comparison of three perturbation methods for
Earth — Moon space ship problem.— AIAA J., 1965, v. 3, № 9.
8. Pierce D. A., Standish E. Numerical aspects of the family
of Earth-to-Moon trajectories with consecutive collisions.— AIAA
Paper, N 65-86, 1965.
’ 1966 r.
1. Ann азов P. Ф., Лавров С. С., Мишин В. П. Балласти-
ка управляемых ракет дальнего действия.— М.: Наука, 1966;
2. Ивашкин В. В.— КИ, 1966, т. 4, в. 6.
3. Шамански й В. Е. Методы численного решения краевых за-
дач па ЭЦВМ. Ч. 2,— Киев: Изд. АН УССР, 1966.
4. Э п е е в Т. М. О применении градиентного метода в задачах тео-
рии оптимального управления.— КИ, 1966, т. 4, в. 5.
5. Б э т т и н Р. (Battin R. Н) Наведение в космосе,— М.: Маши-
ностроение, 1966.
6. L a g е г s t г б m Р. A., Kevorkian .1. Nonplanar Earth-to-Moon
trajectories in the restricted three-body problem.— AIAA J., v. 4,
№ 1.
7. Rosenbaum R., Willwerth R. E., Wang Cheng. Powe-
red flight trajectory optimization for lunar and interplanetary
transfer.— Astr. Acta, 1966, v. 12, № 12.
8. Gunter P. Asymptotically optimum two-impulse transfer from
lunar orbit.— AIAA J., 1966, v. 4, № 2.
9. W e b b E. D. Three-impulse transfer from lunar orbits.— AAS
Paper, № 66-134, 1966.
1967 r.
1. E г о p о в В. А. О траекториях возвращения от Луны к Земле.—
КИ, 1967, т. 5, в. 4.
2. И в а ш к и п В. В. Кандидатская диссертация.— М., 1967.
3. И л ь и п В. А. Синтез траекторий близкого облета Луны с воз-
вращением в атмосферу Земли.— ЖВМ и МФ, 1967, т. 7, в. 2.
4. Яров-Яровой М. С.— М.: Изд-во МГУ, Труды ГАИШ, 1967.
5. Алешин В. И., Бажин о в И. К., Мельбард В. А. Иссле-
дование траекторий полета к Луне и возвращения па Землю.—
КИ, 1967, т. 5, в. 6.
6. S z е b е h е 1 у V. G., Pierce D. A. Advantage of regularization
in space dynamics. - AIAA J., 1967, v. 5, № 8.
536
ЛИТЕРАТУРА
1968 г.
1. Охоцимский Д. Е. Динамика космических полетов.— М.:
Изд-во МГУ, 1968.
2. Субботин М. Ф. Введение в теоретическую астрономию.— М.:
Наука, 1968.
3. И л ь и п В. Л. Некоторые вопросы, исследования траекторий об-
лета Лупы с возвращением космического аппарата в атмосфе-
ру Земли.— Труды II чтений им. К. Э. Циолковского. М., 1968.
4. В о ж да ев В. С. Приближенное решение задачи об оптималь-
ных перелетах Луна — Земля при старте с орбиты искусствен-
ного спутника Лупы.— Труды II чтений им. К. Э. Циолковского,
М„ 1968.
5. Muller Н., Tolle И.— Luftfahrttechnik, 1968, Bd. 14. №5.
6. L а n с a s t е г J. Е., Kevorkian J. Nonplanar Moon — Earth
trajectories — AIAA J., 1968, v. 6, № 10.
7. Miner W. E., Andrews J. F. Necessary conditions for opti-
mal lunar trajectories with discontinuous state variables and inter-
mediate point conditions.— AIAA .1., 1968, v. 6, № 11.
1969 r.
1. Егоров В. А. О влиянии разброса начальных данных па тра-
ектории возвращения от Лупы к Земле.— КП, 1969, т. 7, в. 1.
2. М а к - К р а к е и Д., Дори У. Численные методы и програм-
мирование па фортране.— М.: Мир, 1969.
3. Понтрягин Л. С.. Болтянский В. Г.. Гамкрелпд-
зе В. Г., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптималь-
ных процессов.— М.: Наука, 1969.
4. Гобец Ф. У.. Долл Дж. Ф. Исследование импульсных траек-
тории.— Ракетная техника и космонавтика, 1969, т. 7, № 5.
5. Исаев В. К., Давидсон Б. К. Оптимальная посадка косми-
ческого аппарата на поверхность Луны.— КН, 1969, т. 7, в. 3.
6. Исаев В. К., Д а в и д с о п Б. К. Оптимальное выведение кос-
мического аппарата с поверхности Луны.— КИ, 1969, т. 7, в. 3.
7. L a n с a s t е г J. Е., Walker J. С., М a n n F. J. Rapid analy-
sis of Moon-to-Earth trajectories.— AIAA J., 1969, v. 7, № 6.
8. Kevorkian J., Brachet G. Numerical Analysis of the asym-
ptotic solution for Earth-to-Moon trajectories.— AIAA J., 1969, v. 7.
№ 5.
1970 r.
1. Алексеев К. Б., Б сбоипи Г. Г., Ярошевский В. А.
Маневрирование космических аппаратов.— М.: Машипострое-
• иие, 1970.
2. Демешкпиа В. В., Пльип В. А. Исследование траекторий
космического аппарата, стартующего с поверхности Луны и
возвращающегося в атмосферу Земли.— УЗЦ, 1970, т. 1, .V 3.
3. Демидович Б. II., Марон И. А. Основы вычислительной
математики.— М.: Наука. I97O.
4. Егоров В. А. Некоторые вопросы оптимизации траекторий
зондирования межпланетного пространства,—А и Т, 1970, т. 5.
ЛИТЕРАТУРА
537
5. II л ь п п В. Л., Д ем еш к и п а В. В., Истоми и Н. А. Иссле-
дование траекторий близкого облета Луны с возвращением в
атмосферу Земли.— КИ, 1970, т. 8, в. 1.
6. Иль и п В. А., И с т о м и и II. А. Приближенный синтез оп-
тимальных траекторий Земля — Лупа с выходом на орбиту ис-
кусственного спутника Лупы.— УЗЦ, 1970, т. 1, № 1.
7. Р у п п е Г. (Ruppe G. О.) Введение в астронавтику. Т. 1.—
М.: Наука, 1970.
8. Byrnes D. V., И о о р о г И. L. AIAA Paper, № 70-1062, 1970.
9. С о о k Т. Е., Н о о р е г И. L. TRW Letter, № 70-5521, 1970.
10. Р е n z о Р. A. AIAA Paper, № 70-70, 1970.
11. L а n с a s t о г J. Е. Numerical analysis of the asymptotic two-point
boundary value solution for Moon-to-Earth trajectories.— AIAA
Paper, № 70-1060, 1970.
12. Johns R. A., Alexander J. I). Apollo lunar rendezvous.—
JSR, 1970, v. 7, № 9.
1971 r.
1. Аба л а к n it В. К., Аксенов E. П., Г p e б о и и к о в Е. А.,
Рябо в 10. А. Справочное руководство по пебеспой механике и
астродинамике.— М.: Наука, 1971.
2. И в а ш к и и В. В., Скороходов А. П. Оптимальный прост-
ранственный одпоимпульспый переход с гиперболической орби-
ты па круговую.— КИ, 1971, т. 9, в. 4.
3. И в а ш к п п В. В, Тупицып И. И. Об использовании грави-
тационного поля Лупы для выведения космического аппарата
па стационарную орбиту спутника Земли.—КИ, 1971, т. 9, в. 2.
4. М о и с о е в Н. II. Численные методы в теории оптимальных си-
стем.— М.: Наука, 1971.
5. Э с к о б а л П. (Escobal Р. R.) Методы астродинамики,— М.: Мир,
1971.
1972 г.
1. Егоров В. А. Оптимизация одноимпульсного перехода с эл-
липтической орбиты па гиперболическую с заданной скоростью
«па бесконечности».— КИ, 1972, т. 10, в. 5.
2. Основы теории полета космических аппаратов/Под ред. Г. С. На-
риманова и М. К. Тихонравова.— М.: Машиностроение, 1972. ’
3. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике,—
М.: Мир, 1972.
4. Карпов И. И., Платонов А. К. Ускорение числеппого ин-
тегрирования уравнений движения в пебеспой механике.— КИ,
1972, т. 10, в. 6.
1973 г.
1. Авербух A. II., Волохов Ю. Д., Королева Л. С. Мето-
дика прицеливания с Лупы па Землю.— КИ. 1973, т. 11, в. 3.
2. Егоров В. А., Золотухина II. II., Тесленко И. А. Вы-
бор траекторий возвращения к Земле с орбиты искусственного
спутника Лупы.— КИ, 1973, т. 11, в. 3.
3. Кротов В. Ф., Г у р м а п В. И. Методы и задачи оптимально-
го управления,— М.: Наука, 1973.
538
ЛИТЕРАТУРА
4. И л ь и п В. А. Приближенное решение задачи синтеза траекто-
рий близкого облета Лупы с возвращением в атмосферу Зем-
ли.— Труды конференции по общим вопросам небесной механи-
ки и астродинамики.— М.: Наука, 1973.
5. А в е р б у х А. И., Г и р ш о в и ч Б. В. Приближенное определе-
ние геометрических характеристик траекторий Лупа — Земля.—
КИ, 1973, т. 11, в. 5.
1974 г.
1. Г у с е в Л. И. Метод определения характеристических ско-
ростей при перелетах космического аппарата с орбиты ИСЗ на
орбиту ИСЛ и обратно.— КИ, 1974, т. 12, в. 5.
2. Гусев Л. И. Исследование формирования траекторий па сфе-
ре действия Луны,— Доклад па IX чтениях им. К. Э. Циолков-
ского, 1974.
3. Лидов М. Л., Л у к ь я н о в С. С., Тесленко Н. А. Препринт
№ 116, изд. ИПМ АН СССР, 1974.
4. Н и к у л и и А. М., К у л а к о в а Р. Д., Д а и и л о в А. Т. Док-
лад на IX чтениях им. К. Э. Циолковского, 1974.
1975 г.
1. Г у р м а п В. И., Г у с е в Л. И. Оценка оптимальности одного
класса траекторий перелета между орбитами ИСЗ и ИСЛ.— КИ,
1975, т. 13, в. 6.
2. Гусев Л. И. Оптимизация перелета с орбит ИСЗ па орбиты
ИСЛ и обратно в случае фиксированной плоскости орбит
ИСЛ,— УЗЦ, 1975, т. 6, № 6.
3. Гусев Л. И., Никулин А. М. Об одном методе расчета тра-
екторий облета Луны.— Доклад иа X чтениях им, К. Э. Циол-
ковского, 1975.
4. Ивашкин В. В. Оптимизация космических маневров при ог-
раничениях па расстояния до планет.— М.: Наука, 1975.
5. К р о т о в В. Ф. Вычислительные алгоритмы решения и опти-
мизации управляемых систем,— ТК, 1975, №№ 5, 6.
1976 г.
1. И л ь и н В. А., К у з м а к Г. Е. Оптимальные перелеты косми-
ческих аппаратов с двигателями большой тяги.— М.: Наука, 1976.
2. Б е л е ц к и й В. В. Очерки о движении космических тел.— М.:
Наука, 1976.
1979 г.
1. Гусев Л. И. Решение одной вариационной задачи перелета
КА между спутниковыми орбитами Земли и Лупы.— КИ, 1979,
т. 17, в, 2.
1980 г.
1. Левантовский В. И. Механика космического полета в эле-
ментарном изложении,— 3-е изд,— М.: Наука, 1980.
УКАЗАТЕЛЬ ИМЁН
И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ ССЫЛОК
Абалакин В. К. [1—1971] 43, 50,
537
Авербух А. И. [1, 5—1973] 31, 537
Аксенов Е. П. [1—1971] 43, 50, 537
Александер (Alexander J. D.) [12—
1970] 26, 537
Алексеев К. Б. [1—1970] 13, 335,
536
Алешин В. И. [5—1967] 33, 535
Алмар (Almar I.) [8—1959] 28, 532
Аппазов Р. Ф. [1 — 1966] 289, 535
Бажинов И. К. [5—1967] 33, 535
Балаш (Balazs В.) [8—1959] 28, 532
Бартос (Bartos G.) [15—1963] 27,
534
Батон (Button R. С.) [5—1959] 27,
28 532
Бебенин Г. Г. [1—1970] 13, 335,
536
Белецкий В. В. [2—1976] 27, 538
Бергюис (Berghuis J.) [4—1960] 28,
532
Березин И, С. [1—1962] 59, 533
Бирнс (Byrnes D. V.) [8—1970]
56, 537
Болтянский В. Г. [3—1969] 25, 536
Брейчет (Bracket G.) [8—1969] 29,
536
Брешсрс (Bresbears R. R.) [6—1965]
27 29 535
Брэнд (Brand N. I.)' [11—1963,
4 — 1964] 29, 533, 534
Буххейм (Buchheim R. AV.) [2—1956]
20, 27, 531
Бэттин Р. (Battin R. Н.) [3—1959,
5 — 1966 ] 13, 20, 27, 532, 535
Власова 3. П. [5—1965] 519, 535
Вождаев В. С. [4—1968] 350, 536
Волохов Ю. Д. [1 — 1973] 31, 535
Гамкрелидзе В. Г. [3—1969 ] 25, 536
Ганкел (Gunkel R. J.) [2—1958] 27,
532
Гантер (Gunter Г.) [8—1966] 26,
532
Гапсински (Gapcynsky J. Р.) [13—
1963] 30, 531
Гвин (Gwinn J. М.) [6- 1964] 26,
534
Гиршович Б. В. [5 — 1973] 31, 538
Гобец Ф. у. [4—1969] 34, 536
Голд (Gold L.) [1—1958] 27, 532
Голдбаум (Goldbaum G. С.) [2—1958]
27, 532
Гоман (Hohmann AV.) [1—1925] 162,
531
Гребеников Е. А. [1—1971] 43, 50,
537
Грёбнер (Grobncr AV.) [9—1957] 27,
532
Гренам (Grenliam J. AV.) [3—1961]
26, 28, 32, 533
Грин (Green В. S.) [17—1963] 33,
534
Гринберг (Greenberg A. В.)
[15—1963] 27, 534
Гурман В. И. [3—1973, 1—1975] 14,
25, 29, 30, 537
Гусев Л.И. [1, 2—1974, 1. 2, 3—1975,
1—1979] 14, 23, 25, 29—31, 34,
319, 493, 538
Давидсон Б. К. [5,6 — 1969] 26, 535
Даллас (Dallas S.) [12—1963] 30,
534
Данилов А. Т. [4—1974] 395, 538
Дашков А. А. [1—1965] 327, 534
Демешкина В. В. [2, 5—1970] 20,
30, 33, 469, 536
Демидович Б. П. [3—1970] 59, 536
Джилрут (Gilruth R. В.) [9—1963]
26, 533
Джонс (Johns R. А.) [12—1970] 26,
Джонсон (Johnson F.) [19—1963]
33, 534
Дитрих (Dietrich В. G.) [21—1963]
26, 534
Долл Дж. Ф. [4—1969] 34,
Дорн У. [2—1969] 51, 536
536
Егоров В. А. [1 , 2—1957, 1—1959,
2, 5—1965, 1—1967, 1—1969, 4 —
1970, 1 — 1972, 2—1973] 13 — 21
25, 26, 29—32, 42, 61, 74, 89
95, 96, 105, 116, 118, 121, 175,
274, 278, 350, 407, 468, 519, 531,
532, 535 — 537
Жидков И. П. [1—1962] 59, 533
Золотухина II. II. [2—1973] 31, 537
Ивашкин В. В. [1—1965, 2—1966
2—1967, 2, 3—1970, 2, 3—1971,
4 — 1975] 25, 26, 34, 302, 321
540
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ ССЫЛОК
329, 326, 327, 350, 494, 496, 498,
533—535, 537, 538
Ильин В. А. [1—1964, 3 — 1967,
3—1968, 2, 5, 6 — 1970, 4—1973,
1—1976] 13, 20,25,27,29,30,33,
34, 105, 350, 469, 534, 535, 536,
538
Исаев В. К. [5, 6—1969] 26, 536
Истомин Н. А. [5, 6—1970] 20, 29,
30, 33, 350, 469, 537
Казакова Р. К. [5—1965] 519, 535
Карпов И. И. [4—1972] 519, 537
Кеворкян (Kevorkian J.) [4, 5, 6 —
1963, 6—1966, ' 6—1968, 8—1969]
21, 23, 24, 29, 30, 533, 535, 536
Келли (Kelley Th. J.) [7—1962,
16 — 1963] 27, 32, 533, 534
Кислик М. Д. [7 — 1964] 524
Кола (Cola D. 11.) [5 — 1958] 32. 531
Колдуэлл (Caldwell D. М.) [20 —
1963] 33, 534
Коой (Kooj I. М.) [4 — 1960 ] 28, 532
Королева Л. С. [1—1973] 31, 537
Коул Дж. [3 — 1972] 24, 537
Кротов В. Ф. [3—1973, 5—1 975 ]
30, 537
Кузмак Г. Е. [1—1976 ] 13, 20, 25,
27, 33, 34, 105, 538
Кук (Cook Т. Е.) [9 — 1970] 53, 56,
537
Кулакова Р. Д. [4 — 1974] 39, 538,
Куликовский П. Г. [2—1961] 35,
176, 177, 533
Кэп (Cap F.) [9 — 1957] 27, 532
Лавров С. С. [1—1966] 289, 535
Лагерстрём (Lagerstrom Р. А.)
[4, 5, 6—1963, 6 — 1966] 21, 23,
24, 29, 30, 533, 535
Ланкастер (Lancaster J. Е.) [6 —1968,
7 — 1 969, 11 —1970] 24, 30, 536,
537
Лаплас П. (Laplace Р. S.) [I —1805]
17, 48, 530
Лсвантовский В. И. [3 —1960,
1—1980] 13, 26, 27, 492, 532, 538
Левин (Levin К.) [17—1963] 33, 534
Лидов М. Л. [2—1964, 3 — 1974] 33,
40, 293, 437—440, 442, 444—447,
450, 534, 538
Лиске (Lieske Н. А.) [3—1958] 27,
532
Лисовская М. С. [1—1957] 32, 162,
163, 531
Лоуден (Lawdcn D. Г.) [1,2—1954,
1 — 1955] 20, 121, 531
Лукьянов С. С. [3 —1974] 40, 538
Магнсс (Magness Т. А.) [14 — 1963]
30, 534
Майкл (Michael W. Н.) [3 — 1961]
26, 28, 32, 5.33
Майклвейт (Mickelwait А. В.) [2, 5 —
1 959,7, 8 — 1963] 26, 27, 28, 532,
534
Майнер (Miner W. Е.) [7 — 1968 ] 26,
29, 536
Мак-Кракен Д. [2—1969] 51, 536
Малкин И. Г. [1—1956] 24, 531
Манн (Mann F. J.) [7—1969] 24,
30, 536
Марон И. А. [3 — 1970] 59, 536
Мейер (Mayer I. Р.) [5—1961] 26,
533 - •-»'
Мёкель (Moeckel W. F.) [6—1959] 20,
532
Мельбард В. А. [5—1967] 33, 535
Миелс (Miele А.) [5—1960] 150,
304, 312, 341, 344, 532
Михайлов А. А. [1—1933] 43, 531
Мишин В. П. [1 —1966] 289, 535
Мищенко Е. Ф. [3—1969] 25, 536
Моисеев И. II. [4—1971] 25, 537
Мультон Ф. Р. [1—1937] 76, 531
Мюир (Muir II.) [5 — 1958 ] 32, 5.32
Мюллер (Muller И.) [5 — 1968 ] 536
Найман (Kinian А.) [2—1962] .27,
«.33
Нейс (Nayth А. Н.) [7 — 1965 ] 29,
535
Нелсон (Kelson W. С.) [4—1961] 28,
533
Никулин А. М. [4 —1974, 3 —1 975 ]
34, 395, 538
Охоцимский Д. Е. [3, 4 — 1957,
2 — 1964, 1 —1968 ] 33, 52, 70, 78,
287, 293, 398, 437—440, 442,
444—449, 450, 459, 532, 534, 536
Пейс (Расс W. Н.) [14—1 963] 30,
534
Пснзо (Penzo Р. А.) [3, 14, 18—1963,
10 — 1970 ] 29, 30, 33, 533, 534,
537
Петерсен (Petersen N. V.) [3 —
1962] 26, 534
Пирс (Pierce D. А.) [8—1965, 6 —
1967] 29, 535, 536
Платонов А. К. [5 — 1965, 4—1972]
519, 535, 537
Понтрягин Л. С. [3 — 1969] 25, 536
Поспергслис М. М. [1—1960] 28,
532
Пфеффер (РГеГГсг .1.) [22—1963] 26,
534
1’идсл (Riddell J.) [6—1960] 28,
532
Розенбаум (Rosenbaum R.) [7—1966]
29, 535
Руппе Г. (Ruppe Cl. О.) [7 —1970]
27, 537
Рябов 10. А. [1 — 1971] 43, 50, 537
Себехей В. (Szebehely V. Or.) [5—
1964, 6 — 1 967] 29, 534, 535
Седов Л. И. [2—1960] 14, 532
Скидмор (Skidmore L. I.) [3 —1 963]
29, 533
Скороходов А. Г1. [2 —1971] 26, 350,
537
Снайдер (Snider) [6—1962] 30, 533
Спейсер (Spelscr К. Н.) [16—1963]
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
541
Стейнер (Steiner Р.) [14—1963] 30,
534
Стендиш (Standish Е.) [8—1965]
29 535
Стрёмгрен (Stromgren Е.) [1—1936]
65, 531
Субботин М. Ф. [2—1933, 2—1937,
2—1968] 17, 44, 49, 61, 77, 79,
82, 106, 130, 531, 536
Таратынова Г. П. [3, 7 — 1957] 78,
275, 531
Тейлор (Taylor) [6—1962] 30, 533
Тесленко Н. А. [2—1964, 2—1973,
3—1974] 31, 33, 40, 293, 437—440,
442, 444—447, 450, 534, 537
Тирнен (Tiernan К. Е.) [21—1963]
26, 534
Тиссеран (Tisserand F.) [1—1896]
16, 530
Толле (Tolle Н.) [5—1968] 536
Толсон (Tolson R. Н.) [13—1963]
30, 534
Томпкинс (Tompkins Е. Н.) [14 —
1963] 30, 534
Тросе (Tross С.) [2—1962] 28, 533
Тупицын Н. Н. [3 — 1971] 26, 34,
425, 494, 496, 498, 537
Турский В. С. [1 — 1961] 74, 532
Тьюринг (Thiiring В.) [9—1959] 32,
532
Уилверс (Willwert'i R. Е.) [7 — 1966]
29 535
Уолкер (Walker J. С.) [7—1969]
24, 30, 536
Уолтерс (Walters L. G.) [4—1958]
27, 28, 532
Уэб (Webb Е. D.) [9 — 1 966 ] 26, 535
Феджет (Feget М. А.) [9 — 1963] 26,
533
Фесенков В. Г. [1—1946] 16, 82,
532
Хаммер (Hammer Н. А.) [5 — 1961]
26, 533
Хёлкер (Hoelker R. F.) [11—1963
4—1964] 29, 533, 534 '
Хилл (Hill G. W.) [1-1877] 16,
61, 530
Хиллер (Hiller И. А.) [4—1962
10 — 1963] 27, 29, 533
Холл (Hall В. А.) [21—1963] 26,
534
Хопф (Hopf Е.) [1 — 1930 ] 16, 74 531
Хупер (Hooper Н. L.) [8, 9—1970]
53, 56, '537
Хыоз (Huss С. R.) [5 — 1961] 26, 533
Циолковский К. Э. [1—1913] 162
P.9'7 *
Чеботарев Г. А. [5—1957] 32, 162,
163, 529
Чень (Cheng Wang) [7—1966] 29,
531
Чепмен (Chapman D. R.) [4—1959]
171, 335, 532
Шаманский В. Е. [1—1963, 3—19661
58, 533, 335
Шванигер А. [4—1965] 33, 535
Эйдорнато (Adornato R. J.) [7—
1962, 16—1963] 27, 32, 533, 534
Эльясберг П. Е. [3—1965] 43, 45,
535
Эндрюс (Andrews J. F.) [7—1968]
26, 29, 536
Энеев Т. М. [3, 4 — 1957, 4 — 1966 ]
58, 78, 287, 398, 531, 535
Эрике К. (Ehricke К. А.) [8—1957,
7 — 1959, 5—1962] 26, 27, 531,
533
Эскобал П. (Escobal Р. R.) [5—1971]
13, 27, 537
Яров-Яровой М. С. [4 — 1 967] 24,
25, 535
Ярошсвский В. А. [1 — 1970 ] 13,
335, 536
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоматизация выбора шага интег-
рирования 50, 519
Видимость точки встречи с Луной
41, 234
Влияние Луны на траекторию попа-
дания 71, 269
— разброса начальных данных на
Луне 259
— — — — на СД 253
Возвращение от Луны к Земле
см. Траектория возвращения
Возмущения от сжатия Земли 52, 43
— от Солнца 42
— — — движения Луны 43
Вращение Земли, учет его 219,
225, 227, 230, 234, 293, 483
Время ожидания на орбите ИСЛ
д.пя возвращения 349
— полета в СД Луны 104
— — до Луны 95, 234 и д.
— — — — —, влияние Луны на
него 270
Гомана траектория 37, 89
Дальность прицельная 430
• угловая 70
Данные начальные номинальные 35
--- — отклоненные 248
Движение относительно поверхности
Земли (Луны) 521
Достижение Луны 15, 36, 68 и д.,
154 ид.
542
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Достижения Луны в заданной точке
поверхности 297 и д.
— — с больших широт 176
Задача Коши 49, 518
— краевая 57 и д., 480 и д.
— — возвращения 368, 388 и д.
— — — нецентральная 391
— — — предварительная 386
— — — центральная 391
— — облета Луны с возвращением
к Земле 480
— — попадания в Луну 57
— плоская 154 и д.
— пространственная 175 и д.
— трех точек ограниченная 47
— — — — круговая 47
Запуск с орбиты ИСЗ 38
-------ИСЛ 381
Захват 16—17, 73 и д.
Изолинии 121 ид., 437
Интеграл Якоби 16, 61
Интегрирование численное см. Ме-
тод численного интегрирования
---по методу многих конических
сечений 53 и д.
Интервал временной межстартовый
199
— поражаемый 179
— стартовый 186
Коррекция 401
Критерий сопряжимости см. Сопря-
жение движений
Ламберта задача 114
Линии постоянства 121 и д., 437
Метод асимптотических разложений
23
— долготной привязки 23, 230, 293,
372, 385, 484
— игнорирования возмущений 17,
87, 240 и д„ 336, 437 и д., 485
— многих конических сечений 53
и д.
— Ньютона итерационный решения
краевой задачи 59, 391
— полиномной аппроксимации 24
— скоростных многообразий 22,
111 и д„ 335, 354, 425 и д„ 461
и д., 487 и д., 517
— сфер влияния 20, 21
— — — модифицированный 20, 21
— точечной сферы действия 19, 20,
4 9, 106 и ц., 335, 426, 437 и д.,
452,490, 517
— численного интегрирования 23,
25, 518
— — — Адамса 49
— — — Коуэлла 4 9
---— Рунге — Кутта 49, 518
-------Щтйрмера 49
Методы итерационные решения
краевых задач 59
— теории возмущений 23—25
Минимизация характеристической
скорости 25, 211, 360, 362
Многообразие скоростное 22, 93,.
102, 106, 338 и д., 354, 448 и д.,
496
Несферичность Земли см. Сжатие
Земли
Ньютона метод 391
Облет Луны 15, 39 (см. также Траек-
тория облета Луны)
— — с возвращением 162
___ — — — за заданное время 472
и д.
___ — — — пологим 169, 481
Ограничения технические 41
Орбита Луны 35
— стационарная ИСЗ, _ получение
путем облета Луны 425
Орбиты после облета Луны допусти-
- мыс 499
Освещенность места посадки на
Луне 41
Отклонения начальных данных
см. Разброс начальных данных
Ошибки начальные см. Разброс на-
чальных данных
— — инструментальные (прибор-
ные) 401
— .— методические 401
Перегрузки при спуске в атмосфере
Земли 335
Перелет между двумя точками
в центральном поле 111 и д.
— между орбитами ИСЗ и ИСЛ 301
Переход от декартовых координат
к кеплеровым элементам орбиты
520
— от кеплеровых элементов орбиты
' к декартовым координатам 519
— с эллиптической орбиты на ги-
перболу 350—367
Перигей условный (фиктивный) 41,
335, 392
Плоскость картинная 293
• — селеноцентрического движения 97
Подход энергетический 61 и д.
Полуэллипс Гомана 37, 89
Попадание в заданную точку лунной
поверхности 297 и д.
— в Луну см. Достижение Луны
Посадка па Луну 320 и д.
— — — вертикальная 321
— — — невертикальная .326
— — — с орбиты ИСЛ 329
Потенциал гравитационного ногтя
43, 46
Преобразование Тиле 65
Привязка долготная см. Метод дол-
готной привязки
Программирование численного ин-
тегрирования 49
Продолжительность полета см. Вре-
мя полета
Радиовидимость места посадки ла
Лупе 41, 234
Радиус эффективный Луны 262
Разброс начальных данных 248 и д.,
401
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
543
Разгон с Луны вертикальный 398
—---------наклонный 398
— с помощью Луны 40, 171 и д.,
486—494
расстояние прицельное 99
Сжатие Земли, влияние на траек-
торию 42—44, 275 и д.
Система координат барицентриче-
ская вращающаяся 48, 61
— — геоцентрическая экваториаль-
ная невращающаяся 45
— — селеноцентрическая 4G
— —транспортирующая 381
Скорости начальные критические 63
Скорость начальная минимальная
61 и д.
— параболическая местная 70
— характеристическая 204 и д.
— — перелета с орбиты ИСЗ па
орбиту ИСЛ 308 и д.
Солнце, влияние на номинальную
траекторию попадания 280 и д.
Сопряжение движении 129 п д.
— — методом ТСЦ 133
—----------ИВ 137
— — точное 140
Спутник Земли стационарный, за-
пуск путем облета Луны 494 и д.
— Луны искусственный 38 (см. так-
же Захват)
Старт с больших широт 175 и д.
— с Луны см. Траектория возвра-
щения с поверхности Луны
— — — вертикальный 341, .397
—---------горизонтальный 345
— — — наклонный 34G, 398
— с орбиты ИСЗ 38, 286 и д.
----------ИСЛ 346, 369
— — —• — пространственный 347
Сфера влияния 524
— — выходных скоростей геоцент-
рических 105
—-------------- селеноцентрических 102
— — действия 17, 47
— Луны 64
• — — точечная 106 (см. также Метод
точечной сферы действия)
— притяжения 75
Схема полета северная GV) 175
------южная (8) 175
Тиле преобразование 65
Тиссерана необходимое условие
сопряжимости движений 130
Торможение с помощью Луны 174
Точка встречи с Луной при фикси-
рованном угле начальной скорости
с трансверсалью 230
— падения на Луну, видимость 41,
234
— —---, влияние разброса на-
чальных данных 259 и д.
— упрежденная 230
Точки либрации 63, 64
Точность начальных данных см. Раз-
брос начальных данных
Траектория возвращения 15, 38, 334
— — восходящая 340
— —• нисходящая 341
— — номинальная 335, 341
— — осевая 389
— — с орбиты ИСЛ 346, 3G8 и д.
— — — — — заданной 394
---— — — отклоненная 414 ид.
— — с поверхности Луны 341 , 343,
368 и д., 397
— — — отклоненная 404 и д.
— гомановская 37, 89
— достижения Луны 15, 36
— — — навесная 89
,--— пастильная 89
--- — с минимальной начальной
скоростью 16
— — — анергетичсски оптималь-
ная 204 и д.
— номинальная 35
— облета Луны 15, 18, 421 и д.
---—, плоская задача 452
—-------- разгонная 424
—------с возвращением 421, 423,
460, 461 и д.
— — — — — за заданное время
472 и д.
•--— — —, точный расчет
476 и д.
— полета к Луне с орбиты ИСЗ
286 и д.
— — с орбиты ИСЗ на орбиту ИСЛ
301 и д.
— посадки на Лупу 320
— сближения 17, 18
•--в ограниченной круговой зада-
че трех точек 86
— северная 38, 203, 215 и д.
>- спуска на Луну см. Посадка на
Луну
— южная 38, 203, 221
Трасса на земной поверхности 421
Тяговооруженность 50, 322
Ускорение реактивное 45
Условие сопряжимости точное 132
— Тиссерана сопряжимости дви-
жений 130
Участок активный, учет протяжен-
ности 195
— пассивный 70
Функция силовая гравитационного
поля планеты 43, 46
Хилла поверхность 62
Шаг интегрирования 50, 519
Эллиптичность орбиты Луны, вли-
яние на номинальную траекторию
попадания 273
Якоби интеграл 16, 61
Всеволод Александрович Егоров, Леонид Иванович Гусев
Динамика перелетов между Землей и Луной
(Серия: «Механика космического полета»)
М., 1980 г., 544 стр. с илл.
Редактор Э. П. Иванов
Техн, редактор Л. В. Лихачева
Корректор Е. Я. Строева
ИБ № 11031
Сдано в набор 24.03.80. Подписано к печати 17.11.80. Т-17850. Бумага
84 X 108’/з2, тип. № 3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн.
иеч. л. 28,56. Уч.-изд. л. 27,92. Тираж 1800 экз. Заказ № 120. Цена
книги 4 р. 50 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25