Математические основы теории электромеханических преобразователей - Фильц Р.В.

Автор: Фильц Р.В.
Теги: общее машиностроение технология машиностроения электроника математика монография электромеханика
Год: 1979
Похожие
Экстремальное управление электрическими двигателями
Электропривод
Электрические машины Т.2
Теория электропривода
Текст
                    Р.В.ФИЛЬЦ
МАТЕМАТИ-
ЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ЭЛЕКТРО-
МЕХАНИЧЕСКИХ
ПРЕОБРАЗО-
ВАТЕЛЕЙ

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙССР
ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОБЛЕМ
МЕХАНИКИ И МАТЕМАТИКИ
Р. В. ФИЛЬЦ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
КИЕВ «НАУКОВА ДУМКА» 1979
У ЦК 621. 3
Математические основы теории электромеханически* преоПраюиателей. /
Фильц Р. В. — Киев : Наук, думка, 1979,— ЗОН <
В монографии изложена математическая теории  'Ощипнно электроме-
ханического преобразователя с* нелинейными ялскни'мщ iiiiiiimmii связями.
Для "всего комплекса задач режимных расчетов — оп ре к к инн усмповившихся
режимов, статических характеристик, стационарных и игр» чошых процессов —
разработан обобщенный математический подход, использующий предложенные
выражения для электромагнитных параметров преобразоп.пгля и обеспечи-
вающий однотипность алгоритмов решения перечисленных задач па ЦВМ. При-
ведены примеры алгоритмов режимных расчетов конкретных преобразова-
телей от простейших (тяговых электромагнитных механизмов) и до наиболее
сложных (электрических машин разных типов).
Рассчитана на научных и инженерно-технических работников, работающих
в области исследования и проектирования электромеханических устройств с фер-
ромагнитными средами.
Ил. 39. Список лит.: с. 199— 203 (ПО назв.).
О 1 вс гс гиен ны й редактор Я. С. ПОДСТРИГАЯ
Рецепзсигы: Г. Е. ПУХОВ, Я. И. БУРАК
Редакция физико-математической литературы
ф ,.?2f02~2?4 БЗ-1-17-79.	2302000000
М221(04)-79
иу Издательство «Наукова думка», 1979
ПРЕДИСЛОВИЕ
Общая теория электромеханических преобразователей (ЭМП) привлекает не-
ослабевающее внимание начиная с фундаментальных работ Г. Крона. Ее на-
значение состоит в формулировании методов решения типовых задач электро-
механики— расчетов установившихся режимов, статических характеристик,
переходных и стационарных процессов применительно к так называемому обоб-
щенному электромеханическому преобразователю. Несмотря на большие ус-
пехи в этой области, практическое использование полученных общих матема-
тических результатов применительно к различным конкретным видам ЭМП,
содержащих ферромагнитные среды, встречает серьезные затруднения ввиду
сложности электромагнитных связей и трудностей определения электромагнитных
парамегров.являющихся, в общем случае, функциями магнитного состоя н и я
преобразователя.
' 'В' предлагаемой монографии для решения упомянутых задач электромеха-
ники используется перспективный и хорошо развитый в настоящее время ма-
тематический аппарат численного анализа, ориентированный на его реализацию
на цифровых вычислительных машинах. В основе разработанной теории
обобщенного ЭМП заложен новый численный метод определения электромагнит-
ных параметров, характеризуемый общностью алгоритма независимо от кон-
структивной схемы магнитопровода и уровня его детализации. Работоспособ-
ность и эффективность этого метода подтверждена на ряде задач режимных рас-
четов ЭМП разных видов. Основные положения теории использовались автором
на протяжении ряда лет при чтении спецкурсов на электромеханическом факуль-
тете Львовского политехнического института.
Книга по своему содержанию разделяется на две части. В первой части
(глава I) изложен общий математический подход к решению задач режимных
расчетов объектов любой физической природы, а также общий метод опреде-
ления электромагнитных параметров ЭМП с нелинейными электромагнитными
связями. В последующих главах рассмотрены конкретные типы ЭМП и для них
изложены алгоритмы решения основных задач режимных расчетов. При от-
боре материала для этих глав автор руководствовался стремлением, с одной
стороны, наиболее полно проиллюстрировать возможности разработанной общей
теории и, с другой—изложить конкретные решения для наиболее распростра-
ненных типов преобразователей. Этим, в частности, обусловлено введение в
1*
3
книгу главы о трехфазных трансформаторах, рассматриваемых как частный
случай обобщенного ЭМП, хотя их иногда относят к особому виду электротехни-
ческих устройств — статическим электромагнитным аппаратом. Этим приме-
ром подчеркивается, что теория последних непосредственно вытекает из теории
ЭМП.
Ограниченный объем книги не позволил рассмотреть в ней такие распро-
страненные виды ЭМП, как явнополюсные синхронные машины, турбогенера-
торы и машины постоянного тока. Ряд вопросов режимных расчетов для этих
видов ЭМП изложен в работах [9, 20, 21, 32 — 34, 57, 58, 63, 64 , 76— 101].
Считаю своим приятным долгом выразить признательность канд. техн, на-
ук, доценту Е. А. Онышко, оказывавшему постоянную поддержку в организа-
ции данной научно-исследовательской работы и содействовавшему ее выполне-
нию на всех этапах.
Приношу благодарность научному редактору академику Я. С. Подстрига-
чу и рецензентам академику АН УССР Г. Е. Пухову и доктору физ.-мат. наук,
профессору Я. И. Бураку, сделавшим ряд полезных замечаний по отбору ма-
териала и характеру его изложения.
ВВЕДЕНИЕ
Электромеханические преобразователи (ЭМП) — это обширный
класс электротехнических устройств, охватывающий как силовые
преобразователи (все виды электрических машин энергетического
назначения, тяговые электромагнитные аппараты), так и устройства
автоматики и счетно-решающей техники (различного рода исполни-
тельные двигатели, сельсины, датчики положения, тахогенераторы,
датчики ускорения, поворотные трансформаторы и другие функцио-
нальные преобразователи).Как частные случаи ЭМП естественно
рассматривать и статические электромагнитные аппараты (трансфор-
маторы общепромышленного и специального назначения, магнитные
усилители, дроссели насыщения и др.).
Оптимальное проектирование и правильная эксплуатация ЭМП
немыслимы без инженерных методов их режимных расчетов, под ко-
торыми обычно понимают определение установившихся режимов,
статических характеристик, переходных и стационарных процессов.
Поэтому математическому описанию поведения ЭМП в различных
условиях их работы в литературе уделяется первостепенное внима-
ние.
Обычно ЭМП выполняются с ферромагнитными магнитопровода-
ми. Это значительно затрудняет решение задач режимных расчетов
ввиду нелинейности электромагнитных связей, вызванных насыще-
нием ферромагнитных сред. Поэтому часто довольствуются прибли-
женным рассмотрением свойств ЭМП, основанным на аналитических
решениях уравнений, составленных в предположении линейности
электромагнитных связей. Теория отдельных видов ЭМП без учета
насыщения их магнитопроводов разработана достаточно полно [2,
7, 8, И, 13—15, 19, 22, 23, 26—28, 35, 36, 38, 45, 51, 53,60, 61,66,
69, 73]. На протяжении двух последних десятилетий у нас и за рубе-
жом появились фундаментальные работы, обобщающие накопленный
опыт выполнения режимных расчетов ЭМП с линейными электро-
магнитными связями и систематизирующие решения родственных
5
по содержанию задач для ЭМП разных типов на единой математи-
ческой основе [1,25, 30, 31,37, 41, 43, 44, 48, 59, 68, 71, 72, 74, 1021.
Однако в большинстве случаев, особенно для ЭМП энергетиче-
ского назначения, электромагнитные связи в окрестности проектных
режимов их работы значительно отличаются от линейных. Это
вызвано многолетней и неослабевающей тенденцией к максимально
высокому использованию активных материалов, в том числе сталей
магнитопроводов, исходя из стремления снижения веса и уменьше-
ния габаритов ЭМП. В этих случаях представление электромагнит-
ных связей в виде линейных зависимостей, как правило, приводит
к недопустимым погрешностям. Для многих типов преобразователей
нелинейность электромагнитных связей заложена в основу их прин-
ципа действия (электрические машины и трансформаторы, регули-
руемые подмагничиванием магнитопровода [4, 24, 691, ферромагнит-
ные умножители частоты 149, 50, 751, магнитные усилители 1651).
Для них отсутствие учета насыщения магнитопровода приводит к
качественно неверным результатам.
Создание методов режимных расчетов ЭМП с насыщающимися
магнитопроводами является значительно более сложной задачей,
во-первых, из-за трудностей определения электромагнитных связей
(особенно для ЭМП со многими электрическими контурами) и, во-
вторых, из-за отсутствия общих аналитических методов решения
нелинейных систем конечных (т. е. недифференциальных) и диффе-
ренциальных уравнений. Поэтому для отдельных типов ЭМП раз-
рабатывались частные методики расчета тех или иных режимов,
характеристик или процессов, основанные на приближенном учете
нелинейности электромагнитных связей путем представления маг-
нитопровода простейшей или разветвленной нелинейной магнитной
цепью с последующим ее описанием уравнениями Кирхгофа для
магнитных цепей. Для решения уравнений применяются прибли-
женные аналитические или графические методы, а в последние два-
три десятилетия они повсеместно заменяются машинными методами
с использованием аналоговых и цифровых вычислительных машин
[39, 42, 50, 551.
Значительные успехи достигнуты в области создания алгорит-
мов расчета магнитных полей в ЭМП с ферромагнитными магнито-
проводами путем численного решения на ЦВМ дифференциальных
уравнений Максвелла [106, 1081. Можно полагать, однако, что ре-
шение задач нелинейной электродинамики в полевой постановке
найдет практическое применение только для наиболее ответствен-
ных проектных работ.
Большую роль в исследовании ЭМП с насыщающимися магнито-
проводами играет физическое моделирование [121. Физическая мо-
дель, являясь объектом одинаковой физической природы g ориги-
6
налом, наиболее полно учитывает всю совокупность явлений и опи-
сывающих их функциональных зависимостей. Для многих задач
физическое моделирование остается пока что единственным методом
научного познания. Недостатками физического моделирования яв-
ляются дороговизна моделей, практическое отсутствие возможностей
варьирования параметров и трудность обеспечения подобия процес-
сов. Последнее особенно ощутимо для мощных ЭМП энергетического
назначения ввиду невозможности технического воспроизведения на
модели малых активных сопротивлений обмоток. Существует обос-
нованная точка зрения, согласно которой роль физического модели-
рования в изучении ЭМП будет постепенно снижаться по мере
совершенствования существующих методов и разработки новых на-
дежных расчетных методов с использованием достижений вычисли-
тельной техники.
Успехи в области создания общей математической теории ЭМП
с насыщающимися магнитопроводами значительно уступают тако-
вым для ЭМП с линейными электромагнитными связями. Остано-
вимся на выяснении причин этого отставания.
Рассмотрим обобщенный ЭМП, содержащий п электрических
контуров, положение которых относительно элементов магнитопро-
вода определяется I геометрическими координатами. Обычно при
построении теории такого ЭМП принимается, что электромагнитные
связи в нем представлены совокупностью зависимостей потокосцеп-
лении всех его электрических контуров от токов контуров и перемен-
ных геометрических координат и эти связи известны, а основное
внимание сосредоточивается на общих методах изучения свойств пре-
образователя и методах его режимных расчетов на основе примене-
ния тех или иных физических принципов и законов. Сколь совер-
шенной бы ни была разработанная теория такого обобщенного ЭМП,
ее практическая реализация неизбежно потребует для преобразо-
вателя каждого конкретного вида составления уравнений его элект-
ромагнитных связей в указанном выше смысле и последующего их
использования в практических расчетах. Пусть, для определенности,
рассматриваемый конкретный ЭМП имеет четыре электрических кон-
тура и одну переменную геометрическую координату и для него не-
обходимо рассчитать некоторый переходный процесс. Потокосцеп-
ление каждого из его контуров является нелинейной функцией пяти
переменных—четырех токов и одной геометрической координаты.
Поскольку величины последних в искомом процессе a priori неизвест-
ны, то для расчета этого процесса необходимо было бы располагать
зависимостями четырех потокосцеплений от пяти переменных во
всем возможном (или ожидаемом) диапазоне изменения последних.
Для достаточно точного представления этих зависимостей необхо-
димо для каждой из независимых переменных в ожидаемом диапа-
7
зоне ее изменения задать хотя бы 10 значений. При этом общее ко-
личество подлежащих расчету магнитных состояний ЭМП будет
составлять 105, а для хранения в памяти ЦВМ этой информации в
табличном виде потребуется 9 • 105 ячеек (для каждого из 105 маг-
нитных состояний — четыре потокосцепления, четыре тока и одна
геометрическая координата). Совершенно очевидно, что как вычис-
ление пятимерных функциональных зависимостей потокосцеплений
от токов и геометрической координаты, так и хранение полученной
информации в памяти ЦВМ выходят за пределы реальных возмож-
ностей не только в настоящее время, но и в обозримом будущем.
Вторым, не менее существенным, препятствием на пути создания
общей теории ЭМП с насыщающимися магнитопроводами является
отсутствие единого математически обоснованного подхода к опреде-
лению электромагнитных параметров. Обычно под электромагнит-
ными параметрами ЭМП с линейными электромагнитными связями
понимают матрицу индуктивностей, элементами которой являются
коэффициенты само- и взаимоиндукции электрических контуров
ЭМП. Эта матрица для любого конкретного ЭМП при заданных зна-
чениях переменных геометрических координат постоянна (не за-
висит от токов контуров) и единственна, а ее определение расчетным
или экспериментальным путем не вызывает принципиальных затруд-
нений. Значительно сложнее обстоит дело для ЭМП с нелинейными
электромагнитными связями. Принято считать, что при наличии на-
сыщения магнитопровода зависимость потокосцеплений от токов
может быть представлена, как и при линейных электромагнитных
связях, в виде произведения матрицы статических индуктивностей
на вектор токов с тем только отличием, что при насыщении каждый
из элементов этой матрицы является, в общем случае, некоторой
функцией токов всех контуров. При этом предполагается, что рас-
сматриваемая таким способом матрица индуктивностей однозначна
(единственна) для любого вполне определенного магнитного состоя-
ния ЭМП, задаваемого вектором токов, или, во всяком случае, во-
прос о ее единственности не обсуждается. Тем не менее известен ряд
публикаций, в которых для одного и того же ЭМП предложены спо-
собы вычисления статических индуктивностей, приводящие для
вполне определенного магнитного состояния, задаваемого одним и
тем же вектором токов, к существенно различным численным резуль-
татам. Наиболее остро такое противоречие выступает в теории машин
переменного тока, и в частности синхронных машин [56, 109, 110] х.
Отсутствие достаточного числа разработок по расчету статических
индуктивностей для ряда конкретных ЭМП с нелинейными электро-
1 Неединственность матрицы статических индуктивностей для обобщенного
ЭМП с нелинейными электромагнитными связями показана в §11 гл. 1.
8
магнитными связями исключает возможность обобщений в этой
области, а возникающие при определении этих индуктивностей
неединственные решения заставляют относиться с большой осто-
рожностью к возможности рассматривать их как параметры ЭМП.
Во всяком случае, можно констатировать, что предпринимавшиеся
немногочисленные попытки построения теории ЭМП на основе при-
менения насыщенных значений статических индуктивностей [107]
не имели успеха.
Отмеченные два затруднения — отсутствие реальной возможнос-
ти определения электромагнитных связей для всего ожидаемого
диапазона изменения токов и переменных геометрических коорди-
нат и неединственность матрицы статических индуктивностей —
вынуждают искать другие пути представления электромагнитных
связей в ЭМП с насыщающимися магнитопроводами. При этом сле-
дует иметь в виду, что дальнейшее развитие теории конкретных ви-
дов ЭМП с нелинейными электромагнитными связями будет идти
главным образом в направлении совершенствования численных ме-
тодов решения задач режимных расчетов. В том же направлении сле-
дует искать пути возможных обобщений.
Остановимся кратко на тех общих идеях, которые заложены в
основу предлагаемой в данной книге математической теории ЭМП.
Назначение такой теории состоит в формулировании некоторой до-
статочно общей системы понятий и правил, обеспечивающих возмож-
ность решать весь комплекс задач режимных расчетов, т. е. задачи
определения установившихся режимов, статических характеристик,
переходных и стационарных процессов ЭМП.
Как известно, расчет переходных процессов равнозначен реше-
нию системы дифференциальных уравнений, число уравнений кото-
рой должно быть равным числу зависимых переменных. Результат
решения представляется в виде совокупности интегральных кривых,
отражающих зависимости этих переменных от времени. Для расчета
любой статической характеристики необходимо составить систему
конечных уравнений, число которых должно быть на единицу мень-
шим числа входящих в нее переменных, и решить ее для ряда за-
даваемых значений аргумента характеристики, т. е. переменной,
принимаемой в качестве независимой. Результат решения здесь
также может быть представлен в виде зависимостей всех зависимых
переменных от аргумента характеристики. (То обстоятельство, что
из полученных кривых практический интерес обычно составляет
одна или несколько кривых, очевидно, не имеет принципиального
значения). Любой установившийся режим можно рассматривать
как точку некоторой статической характеристики и, следовательно,
расчет режима можно свести к расчету этой характеристики. При та-
ком подходе к выполнению режимных расчетов результатом расчета
9
всегда является совокупность кривых, отражающих зависимости
всех входящих в решаемые уравнения зависимых переменных от
одной переменной, принимаемой в качестве аргумента. Это позво-
ляет выполнять все режимные расчеты на основе единого математи-
ческого метода — численного интегрирования системы дифферен-
циальных уравнений. Действительно, если система уравнений,
описывающих переходный процесс ЭМП, состоит из уравнений диф-
ференциальных и конечных, то для расчета процесса достаточно
продифференцировать по времени все конечные уравнения и получен-
ную систему, состоящую только уже из дифференциальных уравне-
ний, проинтегрировать по времени численным способом. Для расчета
любой статической характеристики достаточно продифференцировать
систему конечных уравнений этой характеристики по ее аргументу
и полученную систему дифференциальных уравнений проинтегри-
ровать в заданном диапазоне изменения аргумента. Таким же спо-
собом рассчитывается и любой установившийся режим ЭМП.
Существенным преимуществом такого метода режимных расчетов
по сравнению с методами, использующими итерационные процессы
для решения системы конечных уравнений, является отсутствие
проблемы устойчивости, которая, как известно, приносит много
неприятностей в итерационных процессах [52].
Перейдем к общей характеристике способа представления элект-
ромагнитных связей ЭМП. Как указывалось выше, в общем случае
не удается представить потокосцепления контуров ЭМП в виде яв-
ных зависимостей от токов и переменных геометрических координат.
Однако для любого ЭМП всегда можно составить систему конечных
уравнений, которые позволяют рассчитывать распределение магнит-
ного поля (магнитных индукций или магнитных потоков в сечениях
магнитопровода ЭМП) по известным токам и переменным гео-
метрическим координатам. Тогда для вычисления потокосцеплений
нетрудно составить выражения, определяющие их через распределе-
ние магнитного поля в магнитопроводе. Рассмотренный способ опи-
сания электромагнитных связей фактически отражает представление
их в неявной форме, т. е. в виде системы уравнений, не решенных
(для большинства ЭМП — неразрешимых) аналитически относи-
тельно переменных, характеризующих распределение магнитного
поля, и потокосцеплений.
При таком способе представления электромагнитных связей
расчет любой характеристики или процесса ЭМП может быть выпол-
нен путем совместного решения уравнений, описывающих эту ха-
рактеристику или процесс, и указанных выше уравнений, отражаю-
щих электромагнитные связи в неявной форме. Существенно, что
здесь, в отличие от представления электромагнитных связей явными
зависимостями, расчет магнитного состояния ЭМП выполняется не
10
для всего объема (п + /)~мерного пространства токов и переменных
Геометрических координат, который определяется ожидаемыми пре-
делами их изменения, а лишь для той единственной траектории в
этом пространстве, которая соответствует рассчитываемой характе-
ристике или процессу.
В практической реализации алгоритмов режимных расчетов ЭМП
оказывается целесообразным представлять уравнения электромагнит-
ных связей в несколько преобразованном виде. Как уже указыва-
лось, все подлежащие решению уравнения предварительно приводят-
ся к дифференциальным. В получаемые при этом дифференциальные
уравнения электрического равновесия потокосцепления контуров
всегда входят под знаком производной по независимой переменной
(для переходного процесса — по времени, а для статической
характеристики — по ее аргументу). Поскольку потокосцепления
зависят от токов и переменных геометрических координат, а они,
в свою очередь, для рассматриваемой характеристики или процесса
являются функциями независимой переменной, то производные
потокосцеплений могут быть представлены как суммы произведений
частных производных потокосцеплений по токам и геометрическим
координатам на полные производные последних по независимой пере-
менной. Такие частные производные представляют собой дифферен-
циальные индуктивности и коэффициенты э. д. с. движения контуров
ЭМП и рассматриваются как его основные электромагнитные пара-
метры. Для численного решения дифференциальных уравнений элект-
рического равновесия, представленных в таком виде, необходимо рас-
полагать методом вычисления электромагнитных параметров. Таким
образом, задачу расчета электромагнитных параметров следует рас-
сматривать как фундаментальный раздел математической теории
ЭМП с нелинейными электромагнитными связями.
Решение ряда задач режимных расчетов на основе предлагаемого
математического подхода, не рассматриваемых в книге, приведено
в работах [9, 20, 21, 32—34, 57, 58, 63, 64, 76—1011.
В процессе изложения автор стремился к тому, чтобы все теоре-
тические результаты, представляемые в виде аналитических методов,
аналитических выражений и алгоритмов, формулировать на дедук-
тивном уровне строгости. Так называемые рациональные рассужде-
ния в смысле этого термина, приведенном в работе [101, применя-
лись только на этапе составления исходных допущений, необходи-
мых для формирования уравнений электромагнитных связей.
ГЛАВА 1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ
§ 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ
В изложении теории электромеханических преобразователей исполь-
зуется большое количество величин разной физической природы
и различной степени математической сложности (скаляры, векторы,
матрицы, полные производные, частные производные и др.). Огра-
ниченное число букв латинского, русского и греческого алфавитов,
с одной стороны, и стремление к унификации обозначений родствен-
ных по содержанию величин, с другой — вынуждают прибегать к
применению индексов как нижних, так и верхних. Прежде чем при-
ступить к чтению книги, необходимо ознакомиться с излагаемой
ниже системой обозначений.
Используемые физические величины обозначаются буквами:
и — напряжения, В\
i — токи, А\
г — активные сопротивле-
ния, Ом;
L — индуктивности, Гн;
С — емкости, Ф;
Ф — магнитные потоки, Вб;
ф, ф — потокосцепления, Вб;
F — падения магнитных на-
пряжений, А;
В — магнитные индукции, 7;
А — магнитные проводимос-
ти, Гн;
К — удельные поверхностные
магнитные проводимос-
ти, Т!А\
R — магнитные сопротивле-
ния, 1/Гн;
р — удельные поверхност-
ные магнитные сопро-
тивления, А/Т;
t — время, с;
q — электрические заряды,
К;
М — вращающие моменты,
Нм;
Р — активные мощности, Вт;
Q — реактивные мощности,
ВА;
со — круговые частоты, 1/с.
Нижние индексы могут указывать на принадлежность к опре-
деленным электрическим контурам, участкам магнитной цепи и др.
Принадлежность к полям рассеяния обозначается нижним
индексом s или о, а к рабочему полю — нижним индексом р, стоя-
12
щими, в случае, если нижний индекс является составным, левее
всех остальных символов составного индекса.
Правый верхний буквенный индекс всегда указывает на диффе-
ренцирование величины, обозначаемой основной буквой, по величи-
не, указанной в индексе. При этом верхний индекс, не взятый в
скобки, обозначает полную производную, например Fe = dFIdz,
а взятый в квадратные скобки — частную производную, например
4V1 = diyjdy.
Изображающие векторы (фазоры) отмечаются черточкой, а много-
мерные векторы — стрелкой, проставляемыми над буквой.
Если рассматриваемый математический объект является матри-
цей, то это не отмечается никакими дополнительными индексами,
т. е. матрицы обозначаются так же, как и скаляры. При вниматель-
ном чтении текста это не должно вызывать затруднений. Единичная
матрица обозначается «Ь; размерность ее должна быть понятной
из текста.
Все величины, которые в рассматриваемой задаче являются
переменными, будем называть координатами.
С целью экономии букв функциональную зависимость некоторой
зависимой координат, например z, от независимых координат, на-
пример хи#, как правило, будем обозначать в виде z = z [х, у], где
для символа функциональной зависимости использована та же буква,
которой обозначена зависимая координата, а независимые координа-
ты указаны в прямых скобках. Таким образом, хотя буква, указы-
вающая зависимую координату, входит в написание выражения
г [х, у], но в его математическом содержании она отсутствует —
последнее содержит только независимые координаты, указанные в
скобках.
Для часто используемых названий и терминов введены следую-
щие сокращения:
AM	— асинхронная маши-		н. с. д. у.— нелинейная система дифференциальных	
АМПЯС — ДН	-	на;		
	асинхронная маши- на с подмагничивае- мым ярмом статора; дроссель насыще- ния;	н. с. к. у. п. п.	уравнении; —	нелинейная система конечных уравне- ний; —	переходный процесс;
ЭМП — в. к. м. с.—	электромеханиче- ский преобразо- ватель; внутренние коорди- наты магнитного со- стояния;	с. п. с. X.	—	стационарный про- цесс; —	статическая харак- теристика;
13
х. н.' ’—• характеристика на- э. м. п. — электромагнитные
магничивания;	параметры;
э. д. с. — электродвижущая	э. м. х. — электромагнитная
сила;	характеристика.
§ 2. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Пусть имеется нелинейная система конечных уравнений (н. с. к. у.)
/1 [у» • • •. г/,1 = 0;
:	<1.1а>
fp (Л, ... У,1 = 0,
или, в векторной записи,
fly]- 0,	(Ь1б>
где
у = colon (yit ... , ys); f = colon (Д, ... , fp), (1,2a,6>
Среди s координат уъ ys любые s — p координат, например
i/p+i, ...» ys, образующие вектор y2, могут быть приняты за незави-
симые. Тогда остальные р координат ylt ..., ур, образующие вектор
ylt окажутся зависимыми. Действительно, дадим независимым коор-
динатам определенные численные значения. При этом в системе
(1.1а) число неизвестных будет равным числу р уравнений. Решив
ее относительно р неизвестных, найдем их численные значения.
Повторив эту операцию для множества (теоретически — бесконеч-
ного, а фактически — конечного, но достаточно большого) совокуп-
ностей значений избранных независимых координат, получим пол-
ную информацию о поведении р зависимых координат уи ..., ур
при изменении s — р независимых уР+\, ..., ys, т. е. получим функ-
циональные зависимости
У1 — УЛУр+^ • ••, */s];
:	(1.3а>
Ур =Ур\Ур+ь ••• , У>],
или, в векторной записи,
У1-У1\У2\,	(13б>
где
= colony, ... , ур)\
у2 = colon (Z/P+1, ..., у J	(1.4а,6}
соответственно векторы зависимых и независимых координат.
14
Очевидно, что уравнения (1.1) несут полную информацию о за-
висимостях (1.3), но в (1.1) эта информация представлена в нераскры-
той, неявной форме.
Совокупность скалярных уравнений (1.1а) или равнозначное ей
одно векторное уравнение (1.16) описывает в неявной форме не-
которую (s — р)-мерную характеристику в s-мерном пространстве.
Совокупность скалярных уравнений (1.3а) или равнозначное ей
одно векторное уравнение (1.36) описывает в s-мерном пространстве
эту же характеристику в явной форме. Если для обозначения этой
характеристики в литературе нет (или в тексте не будет сформулиро-
вано) специального термина, то мы будем называть ее соответственно
неявной или явной ^-характеристикой, понимая под символом А
описывающую эту характеристику систему уравнений (в наше^м
случае для неявной Л-характеристики имеем А = (1.1а) или А =
— (1.16), а для явной Л-характеристики— А = (1.3а) или А =
= (1.36)). Желательно, конечно, для важнейших характеристик
ЭМП располагать специальными терминами, поэтому ниже такие
термины по мере надобности будут введены в рассмотрение.
Отдельные зависимости системы (1.3а), описывающей явную
^-характеристику, будем называть частичными Д-характеристика-
ми. Вектор у2 независимых координат назовем аргументом А-харак-
теристики, а преобразование характеристики из неявной формы в
явную — расчетом характеристики.
Рассмотрим частные случаи, соответствующие различным значе-
ниям р.
1. При р = s имеем пуль-мерную характеристику в s-мерном
пространстве. Здесь число уравнений равно числу неизвестных.
Н. с. к. у. (1.1) имеет одно, или ни одного, или ряд решений, которые
мы, в общем случае, будем называть решением н. с. к. у. (не конкре-
тизируя, сколько их в действительности). Такая Л-характеристика
изображается в s-мерном пространстве одной, или ни одной, или
несколькими точками, которые мы, в общем случае,будем называть
точкой в s-мерном пространстве (не конкретизируя, сколько их
в действительности).
Нуль-мерные характеристики ЭМП будем называть также ре-
жимами.
2. При р — s — 1 имеем одномерную характеристику в s-мерном
пространстве. При этом в н. с. к. у. (1.1) число уравнений на едини-
цу меньше числа неизвестных, поэтому она имеет бесчисленное мно-
жество решений. Выберем в качестве аргумента любую из координат.
Дадим этой координате ряд численных значений и решим для каж-
дого из них полученную систему s — 1 уравнений относительно ос-
тавшихся s — 1 неизвестных, т. е. найдем ряд режимов при фикси-
15
рованных значениях аргумента. Изобразив рассчитанные режимы
точками в s-мерном пространстве и соединив эти точки плавной ли-
нией, получим геометрическое изображение характеристики в s-мер-
ном пространстве.
Одномерные характеристики в технических задачах находят
очень широкое применение — все статические характеристики (с. х.)
и переходные процессы (п. п.) ЭМП представляют собой, по сущест-
ву, одномерные характеристики.
Для многих одномерных характеристик в литературе имеются
установившиеся специальные названия, например тяговая характе-
ристика электромагнита, механическая характеристика асинхрон-
ной машины (AM) и др. Следует особо подчеркнуть, что, пользуясь
•общепринятыми терминами, мы будем, в соответствии с изложенным
выше определением понятия (s — р)-мерной характеристики в s-
мерном пространстве, вкладывать в них значительно более широкое
содержание, чем это обычно принято. Так, под механической харак-
теристикой AM обычно понимают только зависимость частоты вра-
щения со ротора от электромагнитного момента Мэ при заданных
напряжении и и частоте Qi питания обмотки статора. В нашем же по-
нимании для определения механической характеристики AM необ-
ходимо, прежде всего, составить полную н. с. к. у., позволяющую
рассчитать эту характеристику. При отсутствии насыщения она име-
*ет вид
—	и —(Hi LO| + Lm) i\y — (diLmi2y + r^x = 0;
G>1 (^ol 4- ^rn) 1U C01LmZ2x 4” rthy ~ 0;
—	(CO! — co) (Lo2 + Lm) i2y — (cot — co) LmiXy + r2i2x = 0; (1.5a)
(cot — co) (La2 4“ Lm) Их 4- (COi — co) Lmiix -j- r2l2y == 0;
Al9 Р$Ьт (iiyhx iixhy) — 0»
•где Lai, Lq2, r2 — постоянные индуктивности и активные со-
противления AM; ро — число пар полюсов; hXt i2x, i2y — токи
контуров статора и ротора по осям х, у.
В этой н. с. к. у. величины Loi, La2, Lm, г1} г2, Ро, и, сот — числа.
Система состоит из пяти уравнений (р — 5) и содержит шесть коор-
динат — iix, i\g, i2x, i2y, Мэ, co (s = 6), т. e. она описывает одномер-
ную характеристику в шестимерном пространстве. В результате ре-
шения этой н. с. к. у. для фиксированных значений со будут полу-
чены зависимости
iix = hx [ Af J; iiy = iiy [Af9]; i2x = i2x ] Al J; i2y = i2y [Al J;
co = co [АЦ,	(1.56)
16
которые и ИНОЙ форме описывают механическую характеристику
AM в нашем Понимании этого термина и только одна из них (послед-
няя) опшывшч механическую характеристику данной AM в обще-
принятом понимании.
При учсче насыщения для описания механической характеристи-
ки Л М потребуется значительно больше уравнений и в них войдет
cooiHvrcTtwiiiio большее число координат (§ 11 гл. 4), т. е. механи-
ческая характеристика насыщенной AM в нашем понимании этого
термина будет содержать еще большее число зависимостей, одной
из кшорых, конечно, должна быть зависимость со = со [MJ, тогда
как и общепринятом понимании этого термина содержание его оста-
нец >i 1яким же, как и для ненасыщенной AM.
Отмеченное более широкое содержание понятия одномерной ха-
рактеристики является существенным для всего дальнейшего рас-
смотрения и его игнорирование может привести к серьезнььм затруд-
нениям в логическом построении нелинейной теории ЭМП.
3.	При р = s — 2 имеем двухмерную характеристику в s-мерном
пространстве, которая изображается в нем поверхностью.
4.	При р == s — 3 имеем трехмерную характеристику в s-мерном
пространстве, которая изображается в нем трехмерным объемом.
5.	При р = 0 имеем s-мерную характеристику в s-мерном прост-
ранстве, т. е. все s-мерное пространство, так как число координат
равно s, а число уравнений — нулю, следовательно, на эти координа-
ты не накладывается никаких связей.	z
Представим уравнение (1.16) в виде
Ш1, </2l = 0	(1-6)
и продифференцируем его по вектору у2 независимых координат.
Учитывая (1.3), получим уравнение
df . 4 j У
дУх dy2 ду2
(1.7а)
или, п развернутой форме,
...
<>Vl
dh> ,i( j’/p
_Я//(	<0/,
_^i_ ...
дур_р ’ ” dys
дУр ... дУр
дУР+\ дУ>
А
дуи+1 ’ dys
Ур ... dfp
dyp+i ‘ ' 0ys
(1.76)
17
2 8-
Матрица dfldyY квадратная. Будем полагать, что она неособая. Умно-
жив левую и правую части уравнения (1.7) на обратную ей матрицу,
имеем
4-=44-Г JL. (1.8)
\ дУ1 ) ду2
Численное значение матрицы dy1/dy2 при фиксированном векторе
у2 будем называть параметрами Л-характеристики. Понятие пара-
метров Л-характеристики имеет смысл, очевидно, только при р <Z s,
так как при р — s вектор независимых координат не существует.
Проиллюстрируем целесообразность введения принятого термина
на двух примерах.
Рассмотрим резистор с вольт-амперной характеристикой и =
~ и [/]. Продифференцировав эту характеристику по аргументу it
получим
= ±11 = г ГЛ
di di г
Производная dutdi при заданном токе i — это дифференциальное со-
противление резистора при этом токе, т. е. «параметр резистора»
в общепринятом понимании этого термина. Мы же будем называть
производную duldi параметром вольт-амперной характеристики ре-
зистора.
Обратимся к более сложному примеру — механической харак-
теристике AM. Поведение AM как электромеханического преобразо-
вателя при малых отклонениях момента М3 определяется его «пара-
метром» — жесткостью (наклоном) механической характеристики,
т. е. производной d(&ldM3. Остальные производные — di\x/dM3,
di{y!dM3> di2xldM3, di2yldM3 — это также наклоны соответствующих
кривых (1.56), т. е. их «параметры», отражающие зависимости ос-
тальных координат от момента А1э при малых его отклонениях от
исходного значения. Мы будем называть производные
dilx/dM3; diiy/dM3, di2x/dM3; di2y/dM3\ da/dM (1.9)
параметрами механической характеристики AM.
Пример (s — р)-мерной характеристики в s-мерном пространстве
и ее параметров для s — р > 2, имеющий фундаментальное значение
для построения нелинейной теории ЭМП, будет приведен в § 11
гл. 1.
18
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
НУЛЬМЕРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Как указывалось в предыдущем параграфе, нуль-мерная характе-
ристика в s-мерном пространстве описывается н. с. к. у.
/11«/1. • • • . </sl = 0;
ГЛУъ !/s] = 0,	(1.10а)
или, более кратко,
fly] — о,
(1.106)
где
У — colon (z/p ..., z/s); f = colon (Л...fs). (1.11а, б)
Решением этой н. с. к. у. является некоторый вектор у (в случае
многозначного решения таких векторов будет больше), изображае-
мый в s-мерном пространстве точкой (при многозначном решении
каждому из них соответствует в s-мерном пространстве своя точка).
Для определения этого вектора воспользуемся методом, известным
в литературе под названием метода продолжения решения по пара-
метру 11041. Однако в дальнейшем не будем пользоваться этим назва-
нием, так как понятие параметра в упомянутом методе не согласуется
с определением параметров, данных в §2, и, по существу, в данной
задаче является не чем иным, как дополнительной координатой.
Обозначим эту координату буквой X, а метод назовем дифференци-
альным.
Введем в рассмотрение произвольный известный вектор
У~ = colon (t/i. .. , r/s~)	(1.12)
и образуем н. с. к. у.
Л 1Уи • • • ,	— Vi • • • , У*~] = 0;
:	(1.13а)
/s 1Уи • • • ,	~ Vs	» У*~\ = о,
или, более кратко,
=	(1-136)
Здесь множители при координате X — это известные числа, получае-
мые путем подстановки вектора у~ в левые части уравнений (1.10а).
2*	19
При X = 1 решением н. с. к. у. (1.13) является вектор у~. Но
при X = О н. с. к. у. (1.13) превращается в исходную н. с. к. у.
(1.10), поэтому при X = 0 решение н. с. к. у. (1.13) совпадает с ре-
шением исходной системы (1.10). При изменении координаты X
в пределах отХ = 1 до X = 0 вектор решения н. с. к. у. (1.13) будет
изменяться, т. е. его можно рассматривать как функцию одной коор-
динаты X.
Продифференцировав н. с. к. у. (1.13) по координате X, получим
нелинейную систему дифференциальных уравнений (н. с. д. у.)
•••	—.............i/s~l = 0;
:	(1.14а)
+ ••• +	.... 4М=0.
В векторно-матричной записи н. с. д. у. (1.14а) имеет вид
Л-?-?[М=0.	(1.14в)
ду
Проинтегрировав н. с. д. у. (1.14) численным способом по коор-
динате X в пределах от X = 1 до X = 0, получим при X = 0 искомый
вектор у, являющийся решением н. с. к. у. (1.10).
§ 4.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ОДНОМЕРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Одномерная характеристика в s-мерном пространстве описывается
н. с. к. у.
Л [4/1...4/з1 = 0;
:	(1.15а)
fs_i [у, ... , z/s] = 0,
или, более кратко,
1Су} = 0,	(1.156)
20
где
у - colon (yif ... , r/s); f = colon (Д, ... , /s_i).	(1.16a, 6)
Выберем в качестве аргумента одну из координат, например yk>
и образуем вектор зависимых координат
y(k} = colony, ..., yk-\, уь+\, ..., ys).	(1.17)
Рпссматриваемая (1.15)-характеристика, как указывалось в § 2,
изображается в s-мерном пространстве некоторой кривой, и ее проек-
ции на плоскости, образуемые осями Оу^ Oyk\ ...; Oyk-\, Oyk;
Оу^\у Oyk\ ...,Oys, Oyk, представляют собой зависимости
yi •= Ут. I&l; • • •; Ук—t = уь-АуЖ уш =	[«/*]; • • •; у, = у, [ук],
(1.18а)
или, более кратко,
=	(1.186)
Зависимости (1.18) описывают (1.15)-характеристику в явном виде.
Продифференцировав н. с. к. у. (1.15а) по выбранному аргументу
у* и учитывая соотношения (1.18а), имеем
'JJLl и1'* -L ... -4- —Д_ ............ Л , 4- ... 4- uyk _1_
У* Н + Ук-' + <Ч+1 Ук+1 +	+ дуа У* +
дун


(1.19а)
••• +^rys +
1
+ 4± = о.
ду/г
В векторно-матричной записи эти уравнения
имеют вид
У1к
£1х
дуг
дК df, _
dys
g/s-1 dfs-T
dyk x dyk+l
dys
yyk
^4-1

И*
(1.196)
21
или, более кратко,
+DJ^ = O,	(1.19в)
где Dk It/1 — й-й столбец расширенной матрицы D [t/I; D<w [г/] —
квадратная матрица, получаемая из матрицы D [t/] и путем исклю-
чения ее &-го столбца.
Матрица D [t/1 является матрицей Якоби функции f [у] и имеет
вид
dy
dfi ...	dfj dft
дУ\	dyk_x dyk dyk+l ’ dys
^fs-i .	... dfs-i
дуг	dyk x dyk dyk+{ dys
Мы пришли к системе s — 1 обыкновенных дифференциальных
уравнений (1.19) с s — 1 неизвестными функциями (1.18). Эта система,
в общем случае, нелинейна. Пусть при некотором yk = у^у решение
н. с. д. у. (1.19) известно и определяется вектором
Ум = colon (г/1(0),..., z/S(0)).	(1.21)
Проинтегрировав н. с. д. у. (1.19) при начальных условиях (1.21)
в требуемом диапазоне изменения yk любым из известных численных
методов, мы приходим к s — 1 интегральным кривым — зависимос-
тям (1.18), которые, как указывалось выше, и отражают (1.15)-
характеристику с аргументом yk, причем сейчас уже эта характе-
ристика представлена в явном виде.
В математическом смысле указанный путь соответствует алго-
ритму численного преобразования неявной функции (1.15) в явную
(1.18) путем ее дифференцирования по принятому аргументу и после-
дующего интегрирования по этому же аргументу. Очевидно, что
в результате этих двух взаимно обратных математических операций
мы не изменяем содержания зависимости (1.15), а всего лишь преоб-
разуем ее к удобному для нас явному виду.
Итак, для расчета одномерной характеристики необходимо рас-
полагать:
1) алгоритмом вычисления элементов матрицы D [у] для любого
известного вектора у\
2) способом определения начальных условий (1.21).
22
Алгоритм вычисления матрицы D [t/1 формируется применитель-
но к конкретным ЭМП на основе теоретических положений, изложен-
ных в § 12 гл. 1 и в последующих главах.
Начальные условия определяются методом, изложенным в пре-
дыдущем параграфе, в такой последовательности. Пусть интегриро-
вание н. с. д. у. (1.19) предполагается начинать с точки, в которой
независимая координата равна yk = у^. Образуем вектор
У~ = colon ... , yk-\~, yk(O), yk+\^ ... , Уз~\ (1.22)
в котором все элементы, кроме yk, приняты произвольными. Очевид-
но, что этот вектор, в общем случае, не будет удовлетворять н. с. к. у.
(1.15). Образуем н. с. к. у.
/1 1*/1» • • • , /А-Ь ^+1, ...» ys] —
—	1У1~> • • > Ук-\~, Ум, Уь+\~......//s~] = 0;
(1.23а)
fs-i IУь .. • , yk—it Унъ, ...» £/sl —
— Xfs-i . . . ,	• • • ,	= 0,
ИЛИ
f[y(k\ f^] = o.	(1.236)
При X = 1 вектор (1.22) является решением н. с. к. у. (1.23). При
К = 0 н. с. к. у. (1.23) превращается в н. с. к. у. (1.15) для коор-
динаты Уь =* z//e(O) и, следовательно, решение н. с. к. у. (1.23) при
X = 0 должно быть таким же, как и решение н. с. к. у. (1.15) при
yk — W)* Для его определения продифференцируем и. с. к. у.
(1.23) по координате X, в результате чего получим н. с. д. у.
у}
dty
<)yi	I дУк-\-\ ду<,
2^2z± ... ^s-i
дщ ’ * ’ ^| ^'4-1 " dys
t?k+1
у}
11	••• v {//г—1~» Ук(О)>	• • •»	0
/\1 [£/|~, ....	V/?(0)’ ^?4-1~» •••» У^ I 0
(1.24а)
23
или
О'*’ [(/'*’, укт]  у'™ - f |р_] = 0.
(1.246)
Проинтегрировав н. с. д. у. (1.24) при начальных условиях X = 1
и (1.22) в пределах от к = 1 до К « 0, найдем искомый вектор г/(о),
являющийся решением н. с. к. у. (1.15) при yk —
Следует обратить внимание на то, что структура н. с. д. у.
(1.24) для расчета начальной точки искомой характеристики отли-
чается от структуры н. с. д. у. (1.19) для расчета самой характерис-
тики только вектором сво-
бодных членов.
При реализации метода
расчета исходной точки иско-
мой (1.15)-характеристики по
уравнениям (1.24) и очень
неудачном выборе вектора
у~ интегральная кривая у—
у [XI может иметь весьма слож-
ный вид (рис. 1). Тогда при
Рис. 1, Пример «длинного пути» от исход-	перемещении в s-мерном про-
ного режима к искомому.	странстве вдоль характери-
стики у = у [XI искомый ре-
жим (1.21) находится «на большом расстоянии» от исходного ре-
жима (1.22), что, очевидно, потребует большого числа шагов по X
и, следовательно, большого машинного времени. Поэтому важно
располагать практически безотказным и достаточно общим спо-
собом формулирования такой вспомогательной одномерной харак-
теристики, которая обеспечивала бы расчет исходной точки иско-
мой (1.15)-характеристики с заведомо приемлемым числом шагов
интегрирования.
Этому условию удовлетворяет вспомогательная характеристика,
описывающая поведение физического объекта при наращивании всех
действующих на него вынуждающих сил — напряжений и токов
источников пропорционально вспомогательной координате h. Ввиду
особого значения такого вида характеристик для режимных расчетов
введем для них специальный термин — будем называть их /г-харак-
теристиками.
Н. с. к. у. ^-характеристики для режима, соответствующего
исходной точке искомой (1.15)-характеристики, получается из урав-
нений последней путем подстановки yk = и умножения всех
вынуждающих сил на h. Тогда для расчета вектора у =» необхо-
24
димо продифференцировать н. с. к. у. ^-характеристики по h и
полученную н. с. д. у. проинтегрировать в пределах от h — 0 до
h = 1. При h = 0 действующие на объект вынуждающие силы рав-
ны нулю и, следовательно, все режимные величины (токи, напряже-
ния, заряды, моменты, мощности и т. д.) также равны нулю, т. е.
начальные условия для расчета /г-характеристики известны — они
всегда нулевые.
§ 5. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ РАСЧЕТНОГО ПРОЦЕССА.
ИНВЕРТИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Расчет характеристик дифференциальным методом, как показано
в § 4, сводится к решению задачи Коши для н. с. д. у. искомой ха-
рактеристики, т. е., в конечном итоге, к численному интегрированию
этой н. с. д. у. Здесь возможна неустойчивость расчетного процесса,
проявляющаяся в том, что найденное численным способом решение
может значительно отличаться от действительного, или даже в том,
что такое численное решение вообще не может быть найдено.
В простейшем случае, когда искомые интегральные кривые ре-
шаемой н. с. д. у. непрерывны и дифференцируемы v раз (v — поря-
док избранного численного метода интегрирования, равный числу
учитываемых членов разложения искомой интегральной кривой в
ряд Тейлора), проблема устойчивости всегда успешно преодолевает-
ся соответствующим уменьшением шага интегрирования, так как
известно, что при сформулированных условиях и безграничном
уменьшении шага (и отсутствии погрешностей за счет округлений)
численное решение всегда сходится к точному.
Но интегральные кривые в технических задачах удовлетворяют
условиям непрерывности и дифференцируемости v раз только в ред-
ких случаях, и поэтому проблема устойчивости является очень ост-
рой. Она решается излагаемым ниже методом, названным нами ин-
вертированием н. с. д. у.
Прежде чем перейти к изложению этого метода, рассмотрим одно
весьма важное свойство одномерных характеристик.
Система (1.15) не содержит информации о том, какая из входящих
в нее координат должна рассматриваться в качестве аргумента. Вы-
бор аргумента — это, в первую очередь, вопрос удобства графиче-
ского представления искомых зависимостей, а иногда и вопрос пре-
емственности, традиции. В общем случае, что для дальнейшего из-
ложения имеет исключительно важное значение, аргументом ха-
рактеристики может быть любая из координат. Так, одномерная
характеристика в s-мерном пространстве может рассматриваться
как совокупность зависимостей вида (1.18) любых s — 1 координат
ylt /д—1,	.... ys от оставшейся одной координаты yk. Таким
25
образом, можно говорить об (1.1 бихарактеристике с аргументом yk.
Выбирая в качестве аргумента поочередно каждую из координат,
можем построить s совокупностей вида (1.18), т. е. одна и та же
•одномерная характеристика в s-мерном пространстве представима
s совокупностями вида (1.18), причем каждая из этих совокупностей
содержит s — 1 графиков. Все эти совокупности совершенно рав-
ноценны, и каждая из них отражает одну и ту же одномерную ха-
Л77
Рис. 2. Интегральная кривая с
особыми точками.
рактеристику. Следует также под-
черкнуть, что переход от явной ха-
рактеристики с одним аргументом к
явной характеристике с иным аргу-
ментом совершается без вычисли-
тельной работы и сводится лишь к
перестройке графиков в других ко-
ординатах.
Пусть в процессе интегрирования
н. с. д. у. (1.19) определитель
| D{k} ly] | при некотором значении
yk{C) независимой координаты yk ра-
вен нулю (рис. 2).
Решив систему (1.19) относи-
тельно производных, имеем
=	(/=1...............Л-1,	Л+1,	s), (1.25)
ayk	D(k> [£/]
где Z>(/) [у] — определитель матрицы, получаемой из матрицы Якоби
(1.20) путем исключения из нее /-го столбца.
При yk-^yk{C) имеем у-+у(С) = colon (r/i(c), ... , r/S(c)).
(1.26)
По условию | D{k} [i/1 | -> 0, а определители | D(/) [у] |, в общем
случае, не стремятся к нулю. Следовательно, производные всех
координат по yk стремятся к бесконечности. При этом сколь угодно
малому, но конечному шагу интегрирования &yk соответствуют бес-
конечно большие приращения Дг// координат у, и, значит, дальней-
шее численное интегрирование системы (1.19) бессмысленно. Графи-
чески это выражается так: во всех интегральных кривых (1.18) есть
точки, в которых касательные к этим кривым вертикальны (точка
с на рис. 2).
Рассмотрим н. с. д. у.
D(O[^?')!'/ + D/^] = 0,	(1.27)
26
полученную путем дифференцирования уравнений (1.15) по любой
из координат у} Ф yk. В этой системе свободным членом является
/*-й столбец матрицы Якоби (1.20), a D(/) lz/1 — квадратная матрица,
получаемая из (1.20) путем исключения /-го ее столбца. По условию,
в точке, соответствующей вектору (1.26), | D(/) ly] | #= 0, поэтому
интегрирование н. с. д. у. (1.27) в окрестности этой точки не встре-
чает затруднений. Но н. с. д. у. (1.27) и (1.19) получены путем диф-
ференцирования одних и тех же уравнений (1.15), поэтому они, как
и (1.15), отражают одну и ту же характеристику; разница состоит
лишь в том, что при пользовании н. с. д. у. (1.19) аргументом яв-
ляется координата yk, а при пользовании н. с. д. у. (1.27) — коорди-
ната yj.
Как видно из рис. 2, этот общий математический результат
имеет простую геометрическую интерпретацию: в то время, когда
при yk = yk(o производная частичной характеристики у} = у, lyk]
и всех остальных частичных характеристик с аргументом yk равны
бесконечности, производная частичной характеристики yk = yk U/J
и всех остальных частичных характеристик с аргументом у[ конечны
по величине (для yk = yk ly,] она равна нулю).
Примечательно, что н. с. д. у. одной и той же характеристики
при любой независимой координате формируется из одной и той же
матрицы D [г/1 путем соответствующей перестановки (инверсии) ее
столбцов. Отсюда — название метода.
При практической реализации дифференциального метода необ-
ходимо предусмотреть в программе расчета характеристики форми-
рование н. с. д. у. (1.19) и (1.27). Как следует из предыдущего абза-
ца, это не связано ни с увеличением потребного объема памяти ЦВМ,
ни с возрастанием машинного времени.
§ 6. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ИНВЕРТИРОВАНИЯ
В МЕТОДАХ РУНГЕ-КУТТА И АДАМСА
Для оптимизации процесса интегрирования н. с. д. у., интеграль-
ные кривые которых имеют разрывы типа «бесконечность», с приме-
нением инвертирования первостепенное значение имеет выбор кри-
терия инвертирования, т. е. условия, по которому следует переходить
от исходной н. с. д. у. к инвертированной.
На первый взгляд может показаться, что в качестве критерия
инвертирования может быть принято любое из неравенств
(1.28а, б)
27
где yf — любая зависимая координата; Н — некоторое достаточно
большое положительное число; 8 — некоторое достаточно малое по-
У]
Ук
Рис. 3. Геометрическая интерпрета-
ция критерия (1.29) инвертирова-
ния н. с. д. у.
ложительное число.
Однако практическая проверка критериев вида (1.28) показала
их полную непригодность, так как в каждом конкретном случае ока-
зывается необходимым определять числа Н либо 8 заново путем проб-
ных интегрирований при различных задаваемых значениях этих
чисел, что, естественно, практически нивелирует основное достоинст-
во инвертирования — решение задачи с минимальной затратой ма-
шинного времени.
Подробное изучение вопроса по-
казало, что необходимо применять
такие критерии инвертирования,
которые используют более глубокие
свойства интегральных кривых, а
именно, их характер. Так, без-
отказный критерий инвертирова-
ния при пользовании методом Рун-
ге — Кутта формулируется следую-
щим образом: переходить к инвер-
тированной н. с. д. у. следует каж-
дый раз, как только по результа-
там расчета последних двух шагов интегрирования обнаруживается
тенденция к увеличению крутизны частичной характеристики
У) ~ У} при интегрировании н. с. д. у. (1.19) или частичной ха-
рактеристики yk = yk [у,\ при интегрировании н. с. д. у. (1.27),
т. е. переходить от исходной н. с. д. у. (1.19) к инвертированной
следует при
I [ dyi ) I > I ( dy' I
I \ dyk	I \ dyk )yk

(1.29а)
и от инвертированной (1.27) к исходной при
| > | Ш J	“ ”8” Ш, 
(1.296)
где Дг/, — последний шаг интегрирования.
Иными словами, инвертировать следует всегда, как только прой-
дена точка перегиба либо аналитический экстремум интегральной
кривой ф [yft yk] = 0 (рис. 3). Очевидно, при пользовании критерием
(1.29) ЦВМ будет выполнять инвертирование даже в тех случаях,
где нет опасности появления особой точки (например, в точках 5, 69
7, 8 на рис. 3), т. е. чаще, чем это необходимо для обеспечения устой-
28
чивости интегрирования. Однако, учитывая отмеченную в § 5 просто-
ту операции инвертирования, на это обстоятельство можно не обра-
щать внимания. Достоинством же критерия (1.29) является его аб-
солютная надежность.
Перейдем к рассмотрению критерия инвертирования для метода
Адамса, причем для краткости изложения ограничимся третьим
порядком точности.
ЛУк АУк АУк	2ЛУк 2йУк АУк
I' 'I' 'I' ~1	Г
Ук(а) Ук(Ь) У к (с) У к (Л) У к (а) Ук(Ь) Ук(с)Ук(Л)
а.	Б
^Ук/2^Ук/2^  АУк т ।
Ук(а) Ук(Ь) Ук(с) Ук(Л)
в
Рис. 4. Регулярные сетки:
а — с равномерным шагом; б — с шагом, уменьшающимся вдвое; в — с шагом, увеличи-
вающимся вдвое.
Как известно, в методе Адамса третьего порядка точности прогно-
зированное и корректированное значения зависимых координат вы-
числяются по формулам

(1.30а)
(1.305)
где k'a, k'by kc, kc, k,i, — коэффициенты, определяемые величина-
ми рассматриваемого и двух предыдущих шагов по координате yk.
Так, для регулярных сеток шагов, изображенных на рис. 4, а, б, в,
эти коэффициенты имеют вид
Рис.	ka	У/,		У'ь	k'c	
4, а	5 Л 12	16 л -~12	23 . Л			72^
4, б		5 л Л	12	‘	Gl- ? 1		12 ^Ук
4, 8	О	20 л --Avt	19 л о	4 . 	&Уь 18	18	TTAiz‘
Но после инвертирования на координату у, расстояния между по-
следними тремя точками а, Ь, с по этой координате образуют нерегу-
лярную сетку (рис. 5), поэтому коэффициенты k' и k" необходимо
29
вычислять применительно к полученным значениям шагов —
— yj(a) = &У]\ и У]{с} — yi{a) = Д<//2 И НОВОМУ ШЗГу Д(/у. В СООТ-
ветствии с методом неопределенных коэффициентов [5, 6] искомые
коэффициенты вычисляются из линейных систем уравнений
— ka — kb — kc 4- Д(/у = 0;
— QAy^kb — 2Дyj2kc — ку -2 4- (Дyj2 4- &у()2 = 0;	(1.31 а>
— ЗДг/д^, — 3kyj2kc — ку*2 4- (Д///2 4- А*//)3 == 0;
Рис. 5. К интегрирвоанию н. с. д. у. ме-
тодом Адамса после инвертирования.
— kb — kc — kd 4- &У/ = 0;
— <2\yl\kb — 2\yj2kc —
— 2 (Дг/,-2 4- ^yj) kd —
— \y2j> 4- (Дг/,2 4- Ai//)2= 0;
(1.316)
— 3\y2jikb — 3^y2j2kc —
—3 (Д///2-F Д///) kd — &yj2 4-
4- (Дf//2 4- Д///)2 = 0.
Однако наличие в програм-
ме численного интегриро-
вания одновременно шести
формул вида (1.30) и, кро-
ме того, блока вычисления коэффициентов k', k" для нерегулярной
сетки нецелесообразно. Учитывая, что машинное время на решение
системы (1.31) ничтожно мало по сравнению со временем, затрачи-
ваемым на остальные операции на шаге, целесообразно иметь в про-
грамме только общую формулу (1.30) и алгоритм вычисления /г"
по (1.31) — при этом программа получается весьма компактной.
Здесь критерий инвертирования формулируется следующим об-
разом: инвертировать следует каждый раз, как только для трех по-
следних значений независимой координаты обнаруживается устой-
чивая тенденция к увеличению крутизны частичной характеристики,
т. е. переходить от исходной н. с. д. у. (1.19) к инвертированной
(1.27) необходимо, если
sign	— sign	= sign	.
& \ dyk /У1г(с) ь \ dyk Jyk(b) ь \ dyk !Ук{а}
(1.32)
30
Условие перехода от н. с. д. у. (1.27) к (1.19) получим взаимной пе-
рестановкой в (1.32) индексов / и k.
Приведенные положения легко обобщаются на метод Адамса
более высоких порядков точности.
§ 7. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.
ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ
Расчеты переходных процессов с математической точки зрения сво-
дятся к решению типовой задачи — численного интегрирования сис-
темы дифференциальных уравнений при заданных начальных усло-
виях, или, как ее принято называть, задачи Коши.
В дальнейшем будем полагать, что решаемая система нелинейна.
Линейную систему, очевидно, всегда можно рассматривать как част-
ный случай нелинейной.
В технических задачах, как правило, подлежащая решению си-
стема состоит из дифференциальных и конечных уравнений и путем
определенных подстановок всегда может быть приведена к виду
All U/i, Уч, Л у'\ + в( 1У1, Уч, Л = 0;	(1.33а)
У". Л = 0>	(1.336)
где t — независимая координата — время; yi — /-мерный вектор,
включающий зависимые координаты, которые входят в решаемую
систему под знаком производной; у и — вектор, включающий осталь-
ные зависимые координаты; Дп — квадратная матрица размерности
Z; BY— /-мерная векторная функция; <р2 — (s' — /)-мерная векторная
функция; s' = s — 1 — общее число зависимых координат.
Для вектора у\ должно быть известно его начальное значение
г/ко) при t = /(0). Начальное же значение вектора r/ц, равное z/iko),
должно быть найдено из н. с. к. у. (1.336).
Для численного интегрирования системы (1.33) продифферен-
цируем уравнение (1.336) по /, в результате чего получим н. с д. у.
А«у\ +	^ = 0;	(1.34а)
+ ^22//Н 4~	— 0,	(1.346)
где
d л ^2^1,1/11,/]	-	<5ф2[^, 7ц, л
д21 - ----’	Л22 —	;	^2 -	#
дУп
(1.35)
31
— соответственно матрица размерности (s' — Г) X /, квадратная
матрица размерности (s' — /) и (s' — /)-мерный вектор, зависящие
ОТ £/1, рп, t.
Введя обозначения
у == colon (г/ь г/п); В ~ colon (Bit В2); А —
Лп О
^21	^22
(1.36а,б,в)
запишем н. с. д. у. (1.34) в виде
Ау* 4- В = 0,	(1.37а)
или, после приведения к нормальной форме Коши,
5/ — — А~"1Ъ ~ F [у, /].	(1.376)
Практически, однако, более удобно искать решение н. с. д. у. (1.34)
относительно производных в виде
У* ~ — Ли В4 yii = — Ai2 (В2 4"	(1.37в,г)
В н. с. д. у. (1.34), (1.37а) все координаты входят под знак произ-
водной и с этой точки зрения все они равноценны. Для ее решения
необходимо располагать начальным значением вектора у = #(о»
ПрИ t = /(0).
Решение н. с. д. у. (1.37а) может быть выполнено одним из из-
вестных общих математических методов — Эйлера, Рунге — Кутта
(различных порядков) или Адамса (различных порядков и модифи-
каций) 1171. Выбор численного метода интегрирования имеет сущест-
венное значение для успешного решения задачи. Оптимальным яв-
ляется метод, обеспечивающий при наименьшем объеме потребной
памяти ЦВМ минимум машинного времени на решение задачи с за-
данной точностью. Очевидно, что для различных н. с. д. у. и даже
для различных начальных условий этот оптимум достигается при
различных методах численного интегрирования. Чтобы убедиться
в этом, рассмотрим два, в некотором смысле, крайних примера.
Так, для линейной электрической цепи, постоянные времени ко-
торой близки по величине, оптимальным, по-видимому, будет метод
четвертого или даже пятого порядка, т. е. метод, учитывающий в раз-
ложениях искомых интегральных кривых в ряд Тейлора четыре или
соответственно пять первых членов (методы Рунге — Кутта или
Адамса четвертого или пятого порядков), а шаг интегрирования
32
при этом может достигать величины, близкой к минимальной по-
стоянной времени Т. Но если в эту же цепь внести п вентилей и
предположить, что на протяжении интервала t ~ Т все п вентилей
коммутируют приблизительно в равноотстоящие моменты времени,
то шаг интегрирования в принципе не может быть больше TIZn.
Если п велико, то погрешность метода на шаге ввиду малости послед-
него может оказаться допустимой уже при пользовании методом
Эйлера — Коши или даже методом Эйлера. Естественно, что тогда
нет смысла применять более точные методы интегрирования, так как
при этом точность будет без надобности завышенной, а машинное
время резко возрастет. Для всех остальных н. с. д. у., т. е. таких,
для которых интегральные кривые являются промежуточными меж-
ду гладкими кривыми, с достаточной точностью описуемыми на рав-
ных интервалах времени полиномами невысоких порядков, и
н. с. д. у., для которых интегральные кривые имеют участки с рез-
ким изменением крутизны или даже изломы, оптимальными будут
численные методы, порядок которых находится в пределах от еди-
ницы до пяти. Для большинства решаемых в настоящее время тех-
нических задач наиболее широкое распространение получили ме-
тоды третьего и четвертого порядков с автоматическим выбором
шага, так как вероятность их соответствия обычно встречающимся
н. с. д. у. наиболее высока.
Как известно, шаг интегрирования н. с. д. у. определяется наи-
большим из собственных чисел матрицы Якоби функции F [у, /].
При расчетах п. п. в цепях с вентилями и представлении вентилей
соответственно очень малым и очень большим активными сопротив-
лениями в проводящем и закрытом состояниях, собственные числа
матрицы Якоби функции F \y,t] в моменты перехода токов вентилей
через нулевые значения изменяются на 6—8 десятичных разрядов.
Кривые токов (точнее, все интегральные кривые) при этом в моменты
коммутации каждого из вентилей имеют разрывные вторые производ-
ные (рис. 6, а): это очевидно для активно-индуктивной ветви, вклю-
чающей вентиль, так как di/dt = (и — п)/Ц d2i/dF = (du/dt — idr/
dt — rdi/dl)/L и в момент коммутации i = 0; при этом производная
di/dt непрерывна, а г изменяется скачком, т. е. dr/dt и, следовательно,
d2i/dP разрывны. Сравнительно очень короткий промежуток време-
ни, следующий непосредственно за коммутацией вентиля, характе-
ризуется очень резким (в 106 — 108 раз) изменением крутизны всех
интегральных кривых. Оба отмеченных фактора являются источни-
ком неустойчивости расчетного процесса, которая при автоматиче-
ском выборе шага проявляется в чрезмерном его дроблении (иногда —
даже в «замерзании» процесса, если дробление шага настолько ве-
лико. что начинают проявлять себя ошибки округления), а при
з t—325b
33
фиксированном шаге — в резкой потере точности, часто искажаю-
щей даже качественную картину исследуемого процесса.
С целью улучшения устойчивости расчетного процесса в работе
[18] предложено аппроксимировать вентили ветвями, состоящими из
последовательно соединенных активного сопротивления и индуктив-
ности, малых и больших соответственно в проводящем и закрытом
состоянии вентиля, причем величины индуктивностей выбираются
Рис. 6. Зависимости токов электрической цепи от времени:
а — при аппроксимации вентилей активными сопротивлениями; б — при аппроксимации
вентилей активно-индуктивными ветвями.
такими, чтобы постоянные времени этих ветвей в проводящем и за-
крытом состояниях были близкими к постоянным времени остальных
ветвей схемы. Возможность применения такой аппроксимации вен-
тилей основана на том, что в проводящем состоянии дополнительная
индуктивность ничтожно мала и, следовательно, практически не ис-
кажает исследуемого процесса, а в закрытом состоянии она иска-
жает (и притом — существенно) только обратные токи вентилей,
которые, как правило, не представляют интереса. При указанных
соотношениях сопротивления и индуктивности вентиля интеграль-
ные кривые в моменты коммутаций имеют разрывную уже первую
производную, так как в н. с. д. у. скачком изменяются элементы
матрицы коэффициентов при производных, т. е. эти интегральные
кривые имеют изломы (рис. 6, б), в результате которых наклоны
кривых изменяются скачком, и тогда на интервале, следующем не-
посредственно за коммутацией, они являются достаточно гладкими.
Таким образом, предложенный в работе [18] прием устраняет вто-
рой из отмеченных факторов, обостряя одновременно до предела
первый — первая производная интегральных кривых в моменты
коммутации вместо резкого изменения здесь терпит разрыв.
34
Интегрирование н. с. д. у., интегральные кривые которых имеют
разрывы первых производных, строго говоря, невозможно никакими
численными методами (даже методом Эйлера), если разрыв происхо-
дит внутри шага интегрирования. При пользовании методом Эйлера
это затруднение, однако, легко снимается, если при подходе к мо-
менту коммутации уменьшить шаг до такой величины, при которой
обеспечивается точное попадание в момент коммутации вентиля —
в методе Эйлера это легко осуществимо, так как все координаты из-
меняются на шаге линейно. После попадания в момент коммутации
сопротивление скоммутировавшего вентиля изменяется скачком,
и дальнейшее интегрирование продолжается уже на интервале, в ко-
тором первая производная непрерывна.
Однако при пользовании методами интегрирования высших по-
рядков, т. е. когда интегральные кривые на шаге криволинейны, точ-
ное попадание в момент коммутации (с точностью, обеспечиваемой
применяемым численным методом) не является столь простым.
Поэтому обычно довольствуются приближенным попаданием в мо-
менты коммутации, пользуясь итерационными методами и задавшись
некоторой допустимой погрешностью. Такой выход из положения
имеет два недостатка. Во-первых, нет математически обоснованного
критерия для определения допустимой погрешности попадания
в момент коммутации и, во-вторых, даже для приближенного опре-
деления момента коммутации необходимо дробление шага. С точки
зрения затраты машинного времени, по-видимому, более удачным
по сравнению с итерационным способом отыскания моментов комму-
тации является способ, основанный на решении алгебраического
уравнения, составляемого по интерполяционной формуле Ньютона
для тока коммутирующего вентиля, с последующим вычислением
значений всех зависимых координат для найденного момента комму-
тации из интерполяционных формул, составляемых для каждой из
зависимых координат по данным нескольких последних шагов. •
Наиболее естественное решение проблемы отыскания моментов
коммутации достигается путем применения предложенного нами ин-
вертирования н. с. д. у.
Пусть в процессе интегрирования н. с. д. у. методом v-ro порядка
установлено, что на данном шаге, рассчитанном в предположении
неизменности состояния вентилей, закрывается /-й вентиль (рис. 7).
Очевидно, что результат расчета на этом шаге является неправомер-
ным, и его следует безвозвратно отбросить. После этого следует ре-
шаемую н. с. д. у. для состояния, соответствующего началу отбро-
шенного шага (t = Z(i) на рис. 7), инвертировать на ту координату,
прохождение которой через нулевое значение обусловливает скачко-
образное изменение параметров схемы, т. е. на ток yf коммутирующе-
го вентиля. В инвертированной н. с. д. у. независимой координатой
3'
35
является ток #/. Проинтегрировав ее с шагом =» у, [fK I —
— У] = —У! U(i)L где t(k) — момент коммутации, с точностью
до v-ro члена в разложении интегральных кривых в ряд Тейлора
попадем в точку t = yf ~ 0. Изменив сопротивление вентиля
согласно новому его состоянию, дальнейшее интегрирование следует
продолжать по исходной н. с. д. у., т. е. интегрировать|по времени
до следующей коммутации — на интервале, в котором интегральные
кривые остаются гладкими.
Таким образом, инвертирование пол-
ностью устраняет необходимость дробле-
ния шага в окрестности моментов закры-
вания вентилей. Потеря одного (неправо-
мерного) шага на каждой коммутации,
естественно, мало сказывается на ма-
шинном времени расчета процесса.
Остановимся на вопросе о способе
инвертирования н. с. д. у. В § 5 было
Рис. 7. К интегрированию
н. с. д. у., описывающей
электрическую цепь с венти-
лями, в окрестности момента показано, что если имеется н. с. к. у.
закрывания вентиля.	(1.15) и соответствующая ей н. с. д. у.
(1.19), то для получения инвертирован-
ной н. с. д. у. необходимо продифференцировать н. с. к. у. по новой
независимой координате. Там же было показано, что инвертирован-
ная н. с. д. у. отличается от исходной только вектором производных
и перестановкой двух столбцов матрицы Якоби. При расчете п. п.
мы располагаем лишь н. с. д. у., а порождающая ее н. с. к. у. нам
неизвестна, однако второй способ получения инвертированной
н. с. д. у. остается в силе. Докажем это в общем виде. Представим
н. с. д. у. (1.37а) в виде
а\1У\ + ••• + ai,i—1У1—1 -Т а\,!У1 + ai./-H#/+i4~ ••• 4-	— 0;
:	(1.37д)
4- • • • 4-	4-	4- • • • 4-
4-	4- bS' = 0.
Умножим все уравнения (1.37д) на ty' — dtldyj (у, — ток коммути-
рующего вентиля). Учитывая, что
ylk . tyi = dyk/dt • di/dyt dyk/dyf ^yj (k = 1,	— 1,
j 4~ L • • • , $)>
36
получим инвертированную н. с. д. у.
апУ^ + • • • 4-	+ bjyi 4-	+ • • • +	4-
+ ai./== 0;
:	(1.37е)
вз'лУх1 4- • • • 4-4- Ь.4У> 4-	4- ... 4-0^' 4-
4- Gs',/ = О,
которая в векторно-матричной записи имеет вид
ап • • • а1,/—1	а1./4-1 • • • als'
as'.l • ’ •	1 ^s'	• • • as's'
Она отличается от исходной н. с. д. у. только вектором производных
и перестановкой двух столбцов расширенной матрицы коэффициен-
тов, т. е. мы пришли к тому же результату, что и в § 5, но совершенно
иным путем, не требующим знания исходной н. с. к. у.
Указанный выше путь инвертирования позволяет осуществлять
инвертирование еще более простым способом по сравнению со слу-
чаем, рассмотренным в § 5. Действительно, в окрестности особой точ-
ки производные у\ (j = 1, ..., s') имеют конечные значения, поэтому
для получения численных значений производных^, УУ!^>—
..., yyJ достаточно умножить производные, вычисленные из исход-
ной н. с. д. у. (1.37а), на dtldy^ т. е. здесь вообще отпадает необхо-
димость в формировании и решении инвертированной н. с. д. у.
(1.37ж).
Преодоление особых точек при открывании вентилей требует от-
дельного рассмотрения.
Опыт расчета показал, что для открывания вентилей нельзя ис-
пользовать тот же критерий, что и для их закрывания — изменение
знака тока вентиля. Дело в том, что, аппроксимировав вентили в
закрытом состоянии ветвью с большими активным сопротивлением
37
и индуктивностью, мы тем самым существенно искажаем характер
изменения тока в вентиле, в результате чего момент прохождения
тока через нуль (от отрицательных значений к положительным) зна-
чительно отличается от действительного из-за большой постоянной
времени ветви, аппроксимирующей вентиль. Поэтому для открыва-
ния вентилей следует использовать иной критерий — открывать их в
моменты прохождения через нуль напряжений на вентилях и соот-
ветственно на аппроксимирующих их
активно-индуктивных ветвях.
Напряжение на вентиле вычисля-
ется по формуле
u = ri + Li‘, (1.38)
где I, г, L — соответственно ток, ак-
тивное сопротивление и индуктив-
ность вентиля. Для определения мо-
мента времени t — соответствую-
щего и = 0, представим зависимость
t — t[u\ полиномом, степень v кото-
рого примем равной порядку точности
применяемого численного метода ин-
Рис. 8. К интегрированию н. с.
д. у., описывающей электриче-
скую цепь с вентилями, в окрест-
ности момента открывания вен-
тиля.
тегрирования. Так, при пользовании
методом Рунге — Кутта четвертого порядка имеем
t == a4u4 4- а3ил 4- а2и2 4-	4- я0	(1.39)
и, следовательно, при и = 0 t = t<k} = clq. Для вычисления коэффи-
циента aQ полинома (1.39) необходимо подсчитать по (1.38) и запом-
нить значения и в четырех последних рассчитанных точках процесса
(рис. 8). Пусть после выполнения последующего шага интегрирова-
ния н. с. д. у. оказалось, что напряжение поменяло знак. Тогда,
подставив значения u(5), и(4), м(з),	соответствующие момен-
там /(5), /(4), Аз), ^(2), Ап, в уравнение (1.39), получим систему ли-
нейных алгебраических уравнений, решив которую, найдем А*) = а0.
После определения t{k) последний шаг интегрирования Д/ =
= t(5) — Ad отбрасываем и интегрируем с шагом Д/ = Afe> —
в результате чего попадаем в искомую особую точку. Изменив в этой
точке г и L, продолжаем интегрирование н. с. д. у. (1.37) до следую-
щей особой точки.
Необходимо при этом помнить, что на интервале времени, исполь-
зуемом для вычисления коэффициентов полинома, аппроксимирую-
щего зависимость t = t [и], последняя не должна иметь аналитиче-
ского экстремума. В обратном случае следует понизить степень по-
38
линома до величины, которая обеспечивала бы возможность вычис-
ления его коэффициентов по узловым точкам, принадлежащим участ-
ку монотонности кривой t = t [и].
§ 8.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ СЕТОЧНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
Расчет стационарных процессов (с. п.) охватывает большой и само-
стоятельный класс задач. С математической точки зрения решение
задач этого класса сводится к отысканию таких частных решений
н. с. д. у., описывающей динамику объекта, которые определяются
заданными условиями периодичности.
Наиболее надежным, простым по своей идее и одновременно наи-
более общим из численных методов решения таких задач является
метод установления, сводящийся к численному интегрированию
н. с. д. у. для п. п. с известными начальными условиями, который
заканчивается искомым стационарным процессом. Если время зату-
хания п. п. значительно меньше периода Т искомого с. п., то для по-
лучения последнего практически достаточно проинтегрировать
н. с. д. у. в пределах 0 < t < 27. Но если исследуемый объект
характеризуется сравнительно медленными затуханиями п. п., то
продолжительность п. п. может достигать нескольких десятков или
даже сотен периодов, и тогда применение указанного метода расчета
с. п. становится невыгодным из-за чрезмерно большого машинного
времени.
Не менее общим по сравнению с методом установления, но тре-
бующим составления специальных программ, является метод расчета
с. п., имеющий в своей основе решение краевой задачи для рассмат-
риваемой н. с. д. у. с учетом условий периодичности на концах
периода Т [40, 104].
Сущность этого метода применительно к системе уравнений об-
щего вида (1.33) состоит в следующем.
Входящие в систему (1.33) дифференциальные уравнения (1.33а)
решаются относительно вектора производных, в результате чего по-
лучается система уравнений
у{ +<Р1[уь Уи, I] = 0;	(1.40а)
<р2 [f/r. Уи, Л = о.	(1.406)
На периоде Т выбираются W равноотстоящих узлов, образующих
регулярную сетку. На сетке выбирается шаблон, т. е. совокупность
нескольких рядом расположенных узлов и для него записывается
разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное урав-
нение (1.40а). Это разностное уравнение составляется применительно
39
к дифференциальному уравнению (1.40а) для всех N узлов сетки.
Кроме того, для каждого узла составляется уравнение (1.406).
В результате получается н. с. к. у., состоящая из s'N уравнений
и содержащая столько же неизвестных — значения векторов у во
всех N узлах сетки. В терминах, принятых в § 2, эта н. с. к. у. опре-
деляет неявную нуль-мерную характеристику в s'/V-мерном прост-
ранстве. Решением этой н. с. к. у. является совокупность векторов
у во всех узлах сетки, отражающая явную нуль-мерную характерис-
тику в s'мер ном пространстве. Последнюю будем называть сеточ-
ным отображением искомого стационарного процесса.
Обычно разностное уравнение получают путем замены производ-
ной вектора зависимых координат по времени разностной формулой,
определяющей эту производную через значения вектора зависимых
координат в узлах шаблона [16]. Полученное таким способом раз-
ностное уравнение равносильно представлению зависимости у\ =
== yi [/] полиномом v-й степени, где (v 4 1) — число узлов шаблона.
Такие разностные уравнения для двух, трех, четырех и пяти узлов
соответственно применительно к уравнению (1.40а) имеют вид
i/iH-i — Ун> + Xcpi/ = 0;	(1.41а)
4- 2%Ф1/ - 0;	(1.416)
4- 3t/i/ —	1 4- yi,_2 4- 6%cpij = 0;	(1.41в)
— Уп+2 4- fy/iH-i — fy/if-i + Ун-2 4-	= 0,	(1.41г)
где Уи+2> Уи> Уи-н Ун-% — значения вектора yi соответствен-
но в (/ 4- 2)-м, (/ 4- 1)-м, /-м ,(/ — 1)-м и (/ — 2)-м узлах; <pIZ — зна-
чение вектора <px в /-м узле; % — шаг сетки (расстояние между со-
седними узлами). Разностные уравнения (1.41а, б, в, г) соответст-
вуют приближениям зависимости у} — у1 [/] полиномами первой,
второй, третьей и четвертой степени.
Более общим является способ получения разностных уравнений,
основанный на методе неопределенных коэффициентов [5, 6]. В этом
случае дифференциальное уравнение (1.40а) аппроксимируется раз-
ностным уравнением общего вида
р	р
S a/+*yi/+* + S = 0,	(1-42)
fe=0	k=Q
где (р 4- 1) — число узлов шаблона; Ун+k—значение вектора
yi в (/ 4- £)’м узле; ф]/+л — значение вектора фц в (/ 4~ &)-м узле;
40
Д/+л, fy+k (k = 0, p) — коэффициенты, зависящие от расстояний?
между узлами.
Разностное уравнение (1.42) содержит 2 (р 4- 1) коэффициентов,
из которых 2 (р + 1)— 1 взаимно независимы, поэтому в принципе*
оно может аппроксимировать зависимость z/i == у\ [Л полиномом
(2р)-й степени. Так, для трехточечного шаблона имеем разностное
уравнение
—	+ 3z/i/4-i + X (ф1/—1 ~г 4(pi/ 4- (pi,+i) = 0,	(1.43)-
аппроксимирующее зависимость у\ = у} Ifl на отрезке t, — X < t <
< t, 4- X полиномом четвертой степени.
Отметим, что разностные уравнения вида (1.42) используют-
информацию о векторе у\ и его производной по времени во всех,
узлах шаблона, поэтому они обладают максимально высокой точ-
ностью при заданном числе узлов в шаблоне.
Успех решения задачи в значительной степени зависит от вида
применяемого разностного уравнения и от способа решения полу-
ченной н. с. к. у.
Так, при пользовании уравнением (1.41а), соответствующим двух-
точечному шаблону, с целью обеспечения точности расчета в 1%
для наиболее благоприятного случая, когда с. п. является гармони-
ческим, требуется N > 200, что практически исключает возможность-
применения этого уравнения для объектов, уравнения динамики
которых содержат более трех-четырех неизвестных. Уравнение-
(1.416), соответствующее трехточечному шаблону, для этой же за-
дачи требует N > 50, т. е. оно также практически непригодно. Поэто-
му в случае применения уравнений вида (1.41) приемлемыми ока-
зываются только шаблоны, содержащие четыре и более узлов. Пред-
ставляет интерес сравнить разностные уравнения (1.41г) и (1.43),
обладающие одинаковым порядком точности (так как оба они ап-
проксимируют зависимость у\ ~ у\ [И полиномами четвертой сте-
пени). Уравнение (1.41г) содержит неизвестные векторы в пяти уз-
лах, а уравнение (1.43) — только в трех. Следовательно, потребный
объем памяти ЦВМ на хранение матрицы Якоби, подлежащей реше-
нию н. с. к. у., и машинное время в случае применения уравнения
(1.43) будут значительно меньшими. Накопленный опыт решений
краевых задач позволяет утверждать, что применение уравнения
(1.43) не вызывает затруднений с точки зрения неустойчивости рас-
четного процесса. Поэтому мы в дальнейшем будем ориентироваться
на разностное уравнение (1.43).
Полученную в результате разностной аппроксимации системы
(1.40) н. с. к. у. в принципе можно решить итерационными метода-
ми. Однако при этом возможны осложнения, отмеченные нами
41
во введении. Поэтому мы будем применять для ее решения дифферен-
циальный метод, описанный в § 3.
Метод расчета сеточных отображений с. п., основанный на ис-
пользовании разностных уравнений повышенной точности и решении
получаемой н. с. к. у. дифференциальным методом, будем называть
дифференциальным сеточным методом.
Составим н. с. к. у. сеточного отображения с. п., описываемого
уравнениями (1.40), и изложим особенности ее решения.
Эта н. с. к. у. в случае использования разностного уравнения
(1.43) имеет вид
— 3//ц + 3r/i3 + % (фх [г/ц, г/ш, /Д 4~ 4фх [г/12, //иг, /21 +
+ Ф1 [Ргз, #пз, /3]) = 0;
— Зг/i/ + 3f/i/+2 + X (Ф1 [Уч, Ущ, М + 4Фх [#i/-H> #п/4-ь ^/+1] +
+ Ф1 [#1/4-2, #11/4-2, ^/4-21) = 0;
--3#1ДЛ-2 + 3//IAZ -И % ((Pt [y\N-2, #ПЛ/-2, /#-2] 4"
+ 4ф1	y\\N-1, tN-11 + Cpj [y\N, yi\N, /дД) = 0;
— 3//1Д/—1 4- 3//Ц 4- X (Ф1 tyiN-1,	6/-1] 4-
+ 4ф1 [#i/v, //iiaz, /w] 4- Ф1 [#i 1, #111, /J) « 0;
— 3t/i7v 4~ 3//i2 4- X (Ф1 [#ia/, #ii^, Ы + 4фх [г/п, у\и, tr] 4-
4- Ф1 [#I2, #112, У) = 0;
Ф2 [#I2 , #112, У — 0;
;	(1.44а)
Ф2 [#in, #has fod — О’,
ф2[#и, #пь М = 0.
Для общего анализа н. с. к. у. (1.44а) целесообразно представить в
матричной записи
ДГ^ВФДГь Уц,Г] = 0;
Ф2[ГЬ Гц, /1=0,
(1.446)
42
где
у ->	-
I I = colon (#n, ... , yiN); Fii = colon (#ш, ... , yuN);	(1.45a,6)
7 = colon (/lt ... , /дг);	(1.45b)
<J>1 [?I, Kn, t] = colon (ф! [#ц, #111, /J, . . . , фх [yiN, yUN, M;
(1.45r)
Ф21уь У\ъ Л = colon (ф2[#п, #1П, G1,	, ф2 \Ум, ynN, tN]y, (1.45д)
	— 3	0	— 3	0	...											
																
					...	0	— 3	0	3	0						
А =	•															♦
											...	0	— 3	0	— 3	
	3	0											0	— 3	0	
	0	3	0								1			0	— 3	
(1.45е)
1	4	1	0	...										
														
				♦ • •	0	1	4	1	0	...				
Со и														
										...	0	1	4	1
1	0											0	1	4
4	1	0											0	1
(1.45ж)
43
Для решения н. с. к. у. (1.44) зададимся произвольно векторами
Yi = Y\~, Ун = Kiu и образуем н. с. к. у.
AY i + ВФ, [Уь Уи, t] - X (AY^ + ВФХ [Л-, Уц~, F]) = 0;(1 46)
Ф2[Уь Уп, ?] — ХФ2[У^, Уи~,7]= о.
При изменении X в пределах от 1 до 0 векторы Y\ и Уи изменяются
от своих начальных значений Уг~, Уц~ до искомых, являющихся
корнями н. с, к. у. (1.44). Продифференцировав н. с. к. у. (1.46)
по X, приходим к н. с. д. у.
AY\ + Ву\ + В	_


- (AY^ + ВФ, [Г^, Уи~, /]) = 0;	(1 47)
дУ,	дУ„
Согласно (1.45г) вектор Фх состоит из W векторов вида cpi ,• [y\h ущ, /J,
каждый из которых зависит от у\ и уп только в рассматриваемом
узле. Аналогично согласно (1.45д) вектор Ф2 состоит из 2V векторов
вида <р2 Ц/i/, yiif, fl, каждый из которых также зависит от r/i и уц
только в /-м узле. Поэтому частные производные
ЗФ1 [УР Уп, d
ар,
арн
( 0Ф1 Йц> ?ПР М
= a lag --------------------
\ дУ\\
( дфх УПр <11
= diag ---------------------
\
(Ур Уц» Л	/	дф2 [z/jp	t/цр
------------== diag -----------------
^У i	\
дФа^рУц»*]	/	дф2 [r/ц,	£/ц1,	Л]
---------------- diag ------—--------
дУп	\	^1И
y\\N> j ,
/
дф1 \yiN> Уц/V» *A/|\ .
дУщ< J
(1.48)
^Фг I^LV> y^N'
дУш /
дф2 ЁУгд^> У UN,
представляют собой блочно-диагональные матрицы, содержащие на
диагоналях по N блоков вида
44
дф1 [УУп/, 61 , дф1(У1/, Уц/> 61 . ^Фа [У1/> Уп/> 61
дуц	^У\\1	дУц
^{Ут/. УП/-> 61 ,	(1 49)
дУ\1,
размерностей I X Z, I X (s'— /), (s'— /) X Z, (s'— Z) X (s'— Z).
Вычислив из второго уравнения системы (1.47) производную
Уп и подставив ее в первое уравнение, приходим к следующей
н. с. д. у.:
С^ + 6=0,	(1.50)
где
г л , прфип» ?п» 6 АогЛп лрФиу, мЛ-'
С == А -р D I -----—---------------—------I ------—------ I X
\	ЗУ,,	дУп }
дФ2[Ут .
X	I >
fl г, /
Р = -4У1_-ВФ1[У1_, Уц~, Л +
<ЭФ, [Р,, Р,,, Л ( <?Ф2|Р|, Р... 7] \ 1
+ В- 11 ?	11 ФнУ^Уи-Л. (1.51)
<Ж|,	\	)
Из (1.48), (1.50) следует, что матрица С имеет такую же структуру,
как и матрица В, т. е.
Сц	С12		0	...				->
								
				...	0	cil+>	си	
•								
								
CN-1.1	0							
CNA	Cn.2							
45
->								(1.52)
								
	с/ж	0						
								
				0	CN—2.N—2	2Л-1	CN—2,N	
					0		CN—\,N	
						0	CN,N	
Учитывая высокую размерность и особую структуру матрицы С,
решение н. с. д. у. (1.50) относительно Y\ целесообразно выполнять
по специальной программе, которая исключает необходимость хра-
нения в памяти ЦВМ нулевых блоков матрицы С и выполнения
операций умножения, результатами которых заведомо являют-
ся нули.
Если в процессе интегрирования н. с. д. у. (1.50) встречаются
особые точки, то для их преодоления следует применить инвертиро-
вание.
В заключение отметим, что часто размер сетки (число N) может
быть значительно уменьшен по сравнению с периодом процесса,
если при составлении разностных уравнений полностью реализовать
имеющиеся в решаемой задаче условия симметрии. Практически
необходимо составлять разностные уравнения не для полного перио-
да, а только для определяющего интервала повторяемости, под ко-
торым следует понимать наименьший промежуток времени, позво-
ляющий восстановить зависимость у — у [Л для всего периода только
на основе условий симметрии.
В практике часто представляют интерес не отдельные с. п. рас-
сматриваемого объекта, а зависимости мгновенных значений, дейст-
вующих значений, амплитуд отдельных гармонических для ряда
характеризующих тот или иной стационарный процесс координат
как функции от некоторой одной координаты, принимаемой за неза-
висимую. Поскольку с. п. с достаточной степенью точности опи-
сывается его сеточным отображением, то практически задача сводится
к расчету зависимости сеточного отображения процесса от принятой
независимой координаты. Такую зависимость будем называть одно-
мерной сеточной характеристикой стационарного процесса. Для
46
расчета одномерных сеточных характеристик также целесообразно
применять дифференциальный метод. При этом н. с. к. у., описываю-
щая искомую сеточную характеристику, дифференцируется по ее ар-
гументу, а полученная н. с. д. у. интегрируется численным спосо-
бом в заданном диапазоне изменения этого аргумента. Начальные
условия определяются путем интегрирования н. с. д. у. вида (1.47)
либо н. с. д. у. соответствующей ^-характеристики.
§ 9.	АППРОКСИМАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ
При решении задач режимных расчетов ЭМП неизбежно возникает
вопрос о рациональном способе представления нелинейных зависи-
мостей — характеристик намагничивания сталей и участков магни-
топровода, механических характеристик нагрузочных механизмов,
зависимостей напряжений или токов источников от времени, зависи-
мостей магнитных проводимостей линейных участков магнитопровода
от перемещения подвижного элемента ЭМП и т. д. Несмотря на кажу-
щуюся простоту, этот вопрос требует весьма серьезного изучения,
так как неудачный выбор способа аппроксимации нелинейных за-
висимостей может привести к таким нежелательным последствиям,
как резкая потеря точности, значительное увеличение машинного*
времени или даже к полной неработоспособности алгоритма. Харак-
терным в этом смысле примером является рассмотренное в § 7 пред-
ставление вентилей чисто активными сопротивлениями.
Способ аппроксимации нелинейных зависимостей должен удов-
летворять определенной совокупности требований, обеспечивающих
не только возможность математического решения задачи, но и опти-
мальность такого решения с точки зрения затраты времени на его
выполнение и точности получаемых результатов. До появления ЦВМ
эти требования сводились к тому, чтобы избранная аппроксимация:
а)	имела достаточно простой вид, обеспечивающий возможность
хотя бы приближенного интегрирования решаемой н. с. д. у. в ана-
литической форме;
б)	допускала простой способ определения коэффициентов, не
требующий громоздких вычислений и применения специальных вы-
числительных средств;
в)	обеспечивала достаточно хорошее совпадение с исходной нели-
нейной зависимостью.
Эти требования, в общем случае, взаимно противоречивы, поэтому
получение удовлетворительных в указанном выше смысле аппрокси-
маций для всего многообразия нелинейных зависимостей в принципе-
не представляется возможным. Даже для зависимостей одного клас-
са, например для характеристик намагничивания (х. н.) сталей,
успехи в решении этой задачи, несмотря на многочисленные исследо-
47'
вания [3, 42, 46], остаются весьма скромными. И это вполне законо-
мерно. Действительно, при определении коэффициентов аппроксими-
рующей функции, например, по методу выбранных точек совпадение
последней с исходной нелинейной зависимостью обеспечивается
только в выбранных точках, количество которых должно быть рав-
ным количеству искомых коэффициентов. Но если необходимо, чтобы
аппроксимирующая функция была простой, т. е. содержала бы малое
количество коэффициентов, то и количество выбранных точек должно
быть малым, а промежутки между точками — большими, поэтому
погрешность аппроксимации внутри этих промежутков может ока-
заться значительной.
С переходом на численные методы решения н. с. д. у. на ЦВМ
требование а) полностью потеряло актуальность. Применение ЦВМ
позволило весьма полно удовлетворить и требование б) путем перехо-
да от аппроксимаций трансцендентными функциями к степенным по-
линомам. На первый взгляд может показаться, что путем повыше-
ния степени полинома можно достигнуть практически любой точности
аппроксимации, так как при этом возрастает число выбранных точек
и, соответственно, уменьшаются промежутки между ними. Однако
на практике это недостижимо, так как при повышении степени поли-
нома аппроксимирующая функция на участках монотонности исход-
ной нелинейной зависимости может оказаться немонотонной (появ-
ляется «волнистость»), что связано со значительной потерей точности
аппроксимации и, кроме того, создает дополнительные затруднения
при интегрировании н. с. д. у., содержащей такую аппроксимирую-
щую функцию. Поэтому обычно исходную нелинейную зависимость
разделяют на несколько участков, каждый из которых аппроксими-
руют полиномом невысокой степени [42]. Точность аппроксимации
при этом достаточно высока, а волнистости можно избежать соответ-
ствующим выбором степеней полиномов и распределением выбранных
точек по оси аргумента.
Однако такой традиционно сложившийся подход не отражает
специфики решения рассматриваемых задач с помощью ЦВМ. Дейст-
вительно, при пользовании ЦВМ только требование в) остается прак-
тически без изменения, а б) обычно сводится к требованию простоты
алгоритма вычисления коэффициентов аппроксимирующей функции
(а не малого числа арифметических операций!); к ним добавляется
еще одно весьма существенное требование — обеспечение миниму-
ма машинного времени на решение задачи в целом, т. е. на интегри-
рование н. с. д. у.
Специально поставленные математические эксперименты показа-
ли, что при численном интегрировании н. с. д. у. с автоматическим
выбором шага существенное влияние на величину шага (т. е., в конеч-
ном итоге,— на машинное время решения задачи) оказывает уро-
48
вень гладкости аппроксимирующих функций. Так, если нелинейные
зивисимости аппроксимировать отрезками полиномов, обеспечиваю-
щих в точках стыка совпадение только значений рассматриваемой
функции, функции и ее первой производной, функции и ее первых
двух производных и т. д., то допустимый по точности шаг при этом
соответственно увеличивается, приближаясь в пределе к величине,
которая получается при аппроксимации функцией, гладкой по всем
производным. Поэтому в настоящее время принято считать, что для
приближения нелинейных зависимостей наиболее целесообразной
является аппроксимация сплайнами [5, 46, 47].
§ 10.	СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ
Существует ряд важных для практики задач режимных расчетов фи-
зических объектов, которые могут быть успешно решены по линеа-
ризованным уравнениям. К ним относятся исследование статической
устойчивости установившихся режимов работы, определение изме-
нений установившихся режимов при малых постоянных во времени
возмущениях, расчет неглубоких переходных процессов, малых ко-
лебаний, частотных характеристик и др.
При рассмотрении задач этого вида неизбежно возникает необхо-
димость формирования линеаризованных уравнений. Эти уравнения
составляют на основе исходных нелинейных уравнений путем их
преобразований, состоящих из следующих этапов:
а)	в исходных уравнениях все координаты представляют в виде
сумм их постоянных составляющих, соответствующих установивше-
муся режиму, для которого следует выполнить линеаризацию, и ма-
лых приращений этих координат;
б)	нелинейные зависимости представляют в виде разложений
в ряды Тейлора;
в)	выполняют возможные алгебраические преобразования;
г)	из полученных уравнений вычитают уравнения установивше-
гося режима и пренебрегают членами, порядок малости которых
выше первого;
д)	полученную систему линеаризованных уравнений записывают
в матричной форме для удобства ее численного анализа на ЦВМ.
Для сложных объектов, уравнения которых содержат большое
число координат, выполнение перечисленных выше операций
требует большой затраты времени и является источником возможных
ошибок, причем оба эти недостатка прогрессивно усиливаются по
мере увеличения числа координат и усложнения внутренних связей
рассматриваемого объекта.
Ниже излагается методика составления линеаризованных урав-
нений, обеспечивающая их формирование в один прием сразу в мат-
4 8-3258
49
ричной форме, что значительно сокращает объем аналитической ра-
боты и практически исключает вероятность ошибок на этом этапе
решения задачи.
Пусть имеется нелинейная система уравнений вида
Ну, =о,	(1.53)
содержащая как дифференциальные, так и недифференциальные
уравнения, где у — s'-мерный вектор-столбец, охватывающий все
координаты, кроме времени /; / — р-мерная векторная функция.
В общем случае р < s'. При р < s' для определения поведения объек-
та s' — р = а координат рассматриваются как внешние воздейст-
вия и должны быть заданными.
Введем в рассмотрение вектор
г=?	(1-54)
и представим вектор у в виде суммы
у=уу+Ьу,	(1.55)
-» -* -►
где у у — значение векюра у в установившемся режиме; &у— его
малое приращение.
Уравнение установившегося режима / [yyi у*у\ = 0 запишем в виде
Пу, ^1 = 0,	(1.56)
где
*,= Й = 0.	(1.57)
Выполнив над уравнением (1.53) первые четыре из перечисленных
выше этапов преобразований, приходим к уравнению
7[^+Др, (£,+Ду)']-/[^ Й)=0.	(1.58)
Учитывая, что приращение вектора z в соответствии с (1.54), (1.55)
равно
= Az = (^ + Д*/) — у у = (Д#)',	(1.59)
запишем уравнение (1.58) в виде
Ну + *У> *4,+ Дз] — }[ур, ^1 = 0.	(1.60)
Рассматривая выражение / [yt у*\ = / [р, z] как функцию двух пе-
ременных у и г, замечаем, что левая часть уравнения (1.60) есть
50
приращение этой функции, или ее полный дифференциал. По форму-
ле полного дифференциала и с учетом (1.59) представим уравнение
(1.00) в окончательном виде
JlLA др + ^Гу/у1]	= 0	(161)
Оу	ду1
При р = s' на объект не действуют никакие возмущающие воз-
действия, т. е. процессы в нем определяются только внутренними свя-
вмми. В этом случае уравнение (1.61) отражает в векторной форме
Линеаризованные дифференциальные уравнения, используемые для
исследования статической устойчивости.
При р — s' — а представим вектор у в виде
У — colon (ylt уг),	~	(1.62)
где у! — р-мерный вектор зависимых координат; у2 — а-мерный
вектор независимых координат.
Тогда уравнение (1.61) принимает вид
+ Qu (Ay J = - Q2Ap2 - Qu (AyJ,	(1.63)
где \ylt by?, — искомое и заданное приращения векторов уъ у2;
п — d'f1У1> У2' у*1' у^ •
df \У. Уг> У&
\t=-----------;
ду\
_ _ _	(1-64)
п — df[yv у*' у*х' •
п dfiVv "у* У1» Й
Hit ~---------Z"------*
ду\
Из (1.63) непосредственно получаем общие выражения линеари-
зованных уравнений для следующих частных случаев:
а)	линеаризованные дифференциальные уравнения при скачко-
образном изменении вектора z/2 на величину Д//2
QjtAt/i + Qu (Ьу$ = — <?2Дрг,	(1.65)
позволяющие рассчитывать неглубокие переходные процессы, проте-
кающие в окрестности рассматриваемого установившегося режима;
4*	51
б)	линеаризованные алгебраические уравнения при изменении
вектора у2 на величину Дг/2
(1.66)
определяющие изменения установившегося режима;
в)	линеаризованные алгебраические уравнения с комплексными
коэффициентами при заданном гармоническом возмущении Д#2 =
= ДУ2е/“г
QiA^i + М1/Д5\ = - Q2bY2- /coQ2zД?2,	(1.67)
позволяющие рассчитать вектор комплексных амплитуд ДУ1 по за-
данному вектору комплексных амплитуд ДУ2;
г)	линеаризованные алгебраические уравнения с вещественными
коэффициентами при заданном гармоническом возмущении
|с   CoQl/ДУ 1s —  (?2ДГ2с + C0Q2zA?2si	gg)
coQi/ДХ и 4- Qj ДУ и = — (dQzt&Y2c — ФгДУ2s>
позволяющие рассчитать векторы ДУ|С, ДУ|$ амплитуд косинусных
и синусных составляющих приращения вектора зависимых коорди-
нат по заданным векторам ДУ2с, ДК2я.
§11. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ОБОБЩЕННОГО ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
Рассмотрим электромеханический преобразователь (ЭМП) произ-
вольной заданной конструкции с п электрическими контурами, в ко-
тором взаимное положение контуров, а также ферромагнитных масс
по отношению к этим контурам определяется I переменными геометри-
ческими координатами ..., yz. Ферромагнитные материалы эле-
ментов магнитопровода будем полагать безгистерезисными.
Если задать величины токов контуров и координаты уь ..., то
магнитное состояние ЭМП физически также будет заданным. Это
означает, что, зная геометрию электрических контуров и магнито-
провода и х. н. материалов магнитопровода, всегда можно при при-
нятых допущениях рассчитать распределение магнитного поля в
ЭМП — магнитные потоки и падения магнитных напряжений в от-
дельных элементах магнитопровода или величины индукций и напря-
женностей магнитного поля в элементарных объемах. Далее, зная
распределение магнитного поля, можно вычислить потокосцепления
всех электрических контуров.
52
Образуем векторы-столбцы
т « colon (fp ..., in, ур ...» у,); ф = colon (фх, ..., %).
(1.69a, 6)
Все величины, характеризующие магнитное состояние ЭМП и
необходимые для вычисления вектора ip при заданном векторе т,
будем называть внутренними координатами магнитного состояния
(в. к. м. с.) и объединим их одним вектором
р = colon (рр ..., рД	(1.69в)
Н. с. к. у., определяющую связь между потокосцеплениями
*Ф1» •••» Ч’п» в- к- м- с- Нь токами ip in и переменными гео-
метрическими координатами Yu •••, Уь будем называть электромаг-
нитной характеристикой (э. м. х.) преобразователя. Совокупность
токов и переменных геометрических координат, образующих вектор
т, назовем аргументом э. м. х.
Эта н. с. к. у. всегда может быть представлена в виде двух под-
систем, одна из которых состоит из и скалярных уравнений, опреде-
ляющих потокосцепления контуров через аргумент э. м. х. и в. к. м.
с., а другая — из q уравнений, связывающих в. к. м. с. с аргумен-
том э. м. х. В векторной записи н. с. к. у. э. м. х. имеет вид
ip = Ф [m, р]; /[т, р) = 0,	(1.70а, б)
где ср, f — соответственно п- и (/-мерная векторные функции, которые
в дальнейшем всегда будем полагать непрерывными и дифференци-
руемыми.
Н. с. к. у. э. м. х. состоит из п + q уравнений и в нее входит
п 4- (п 4- I) 4- q координат (элементы векторов ф, т, р), т. е. э. м. х.
представляет собой (п 4- /)-мерную характеристику в (2п 4- I + q)-
мерном пространстве.
Н. с. к. у. (1.706) состоит из q уравнений и в нее входит (п 4-1) 4-
4- q координат, т. е. уравнения (1.706) определяют (п 4- /)-мерную
характеристику в (л 4 / 4 ^-мерном пространстве. Назовем ее
неявной внутренней э. м. х. Явная внутренняя э. м. х. имеет вид
р=р[т].	(1.71)
Потокосцепления ЭМП однозначно определяются аргументом
э. м. х., хотя для расчета потокосцеплений необходимо предвари-
тельно решить н. с. к. у. (1.706), т. е. найти в. к. м. с. Зависимость
Ф = ф [т]	(1.72)
назовем явной внешней э. м. х.
53
Как известно, в предположении линейности электромагнитных
связей потокосцепления электрических контуров ЭМП при неиз-
менных геометрических координатах -ylf yt являются линейными
однородными функциями токов, т. е. явная э. м. х. имеет вид
Ф1 = ^11G + * ’ ’ +	1п*
:	(1.73а)
Фи —	+ • • • 4“ Lnnin,
где Ljk (j, k — 1, ..., n) — индуктивности, определяемые однознач-
но заданной совокупностью координат ..., yz и не зависящие от
токов.
В матричной записи зависимости (1.73а) имеют вид
ф=/7,	(1.736)
где
i = colon (4,
(1.74а, б)
— соответственно вектор токов и матрица индуктивностей. Таким
образом, для ЭМП с линейными электромагнитными связями потоко-
сцепления рассчитываются непосредственно через токи контуров,
поэтому здесь нет необходимости в предварительном вычислении
в. к. м. с.
В технической литературе весьма распространена точка зрения,
согласно которой потокосцепления ЭМП с насыщающимися магнито-
проводами также могут быть представлены в виде функций (1.73)
с той только разницей, что индуктивности при насыщении являются
функциями токов [56, 107, 109, 110], т. е. явная внешняя э. м. х.
имеет вид
Ь’1» • • •, U h + • • • + L\n [tj, •. •, in\ in\
:	(1.75a)
Фл =	[t*l, • • • , in\ 4 4~ • • • + ^nn Ul» • • » > ifl’
или, в матричной записи
ip==L[71«7,	(1.756)
где
54
матрица так называемых статических индуктивностей, зависящая
от вектора токов. Представление явной внешней э. м. х. ЭМП с не-
линейными электромагнитными связями без учета гистерезиса в виде
(1.75) предполагает, что для любого фиксированного магнитного
состояния преобразователя, задаваемого вектором Z, матрица Lli]
определяется однозначно. Такое предположение считается очевид-
ным и поэтому не заслуживающим подробного рассмотрения. Одна-
ко, несмотря на кажущуюся очевидность, оно является ошибочным.
Чтобы убедиться в этом, попытаемся определить эксперименталь-
но элементы матрицы L [£] для произвольного заданного магнитного
состояния ЭМП, определяемого вектором i ~ if = colon (i\, ..., in).
Для этого установим в контурах ЭМП требуемые токи fj, ..., i'n и
измерим потокосцепления ..., грп. Подставив их в выражения
(1.75а), получаем систему п уравнений с п2 неизвестными индуктив-
ностями Ljk == Lfk lii, ...» 4J. Для возможности их однозначного
вычисления требуется п2 уравнений. Но для составления недостаю-
щих п2 — п уравнений нет никаких оснований, так как при любом
ином векторе i = i," = colon (4 ,..., in), отличающемся от вектора
Г, получим иное магнитное состояние ЭМП, которому будут соот-
ветствовать свои значения индуктивностей Lik = Ljk 1й, ...» i'n\.
Суть дела не изменится, если для определения потокосцеплений вос-
пользоваться не экспериментальным, а расчетным путем. Итак, для
определения п2 индуктивностей располагаем системой из п уравне-
ний. Эта система имеет бесчисленное множество решений, т. е.
матрица L 1/1 не может быть определена однозначным способом.
С математической точки зрения этот результат можно интерпрети-
ровать следующим образом: существует бесчисленное множество
матриц вида (1.76), преобразующих заданный вектор i = i' в опре-
деленный вектор гр = гр .
Неопределенность матрицы L [/1 в записи э. м. х. ЭМП с нели-
нейными электромагнитными связями в виде (1.75) указывает на
практическую бессмысленность такой формы записи э. м. х. Полу-
ченный вывод имеет принципиальное значение, ибо из него следует,
что теория ЭМП с нелинейными электромагнитными связями в прин-
ципе не может быть построена на основе использования понятий
статических индуктивностей.
Следует отметить, что приведенные выше рассуждения нахо-
дятся в полном согласии с теорией ЭМП с линейными электромаг-
нитными связями, для которых справедливы соотношения (1.73).
55
Действительно, входящие в них индуктивности всегда могут быть
определены экспериментальным или расчетным способом вполне
однозначно. Для этого следует задаться п линейнонезависимыми
векторами i и, определив для каждого из них вектор ip, подставить
их в выражения (1.73), в результате чего получим линейную систему
и2 уравнений с п2 неизвестными индуктивностями L;fe, имеющую
единственное решение. Здесь, в отличие от ЭМП с нелинейными
электромагнитными связями, вектор i может принимать любые зна-
чения, так как индуктивности L,fc, по условию, не зависят от вектора
токов.
§ 12. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ОБОБЩЕННОГО
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ
В соответствии с общим определением параметров характеристики,
введенным в § 2, будем называть параметрами внутренней э. м. х.
преобразователя, или, короче, его внутренними электромагнитными
параметрами (э. м. п.), полную производную явной внутренней
э. м. х. (1.71)
о _	(т) _
Оц — ------— —
dm
<^4	дщ
di г	*’*	din	dy,	dyl
d[lg	d[lg	d[lq
di-i	*	’ ’	din	dy, * ’ * dyz
(1.77a)
Параметрами внешней э. м. х. преобразователя, или, короче,
его внешними э. м. п., будем называть полную производную явной
внешней э. м. х. (1.72)
,  	(т)
'Ф---------—
dm
_ «Ж
dit din
di, ’ ’ ’ din
’ dyL
‘ ” dyt
Ln ... L]rl Гп ... Гп ___________________________
:	= L | Г
• • • ^nn ГЯ1 . . . Гя/
(1.776)
56
Как видно из (1.776), внешние э. м. п. образуют прямоугольную*
матрицу, состоящую из квадратной матрицы L, элементами которой
являются дифференциальные индуктивности преобразователя, и
прямоугольной матрицы Г, элементами которой являются коэффи-
циенты э. д. с. движения

.и, 1, ..., /).	(1.78а, б)
Для вычисления э. м. п. при известном магнитном состоянии
преобразователя продифференцируем н. с. к. у. (1.70) по вектору
т. Учитывая, что при изменении т изменяется как вектор р, так и
вектор ф, имеем
dtp ___ dq> [т, р] ] dtp \т, р] dp
dm	dm	dp dm
df [m, p] д df[m, p] dp	q
dm	dp dm
или, более кратко,
= zn + z12S|i; z21 -f-	= 0»
где
(1.79a)
(1.796)
(1.79в, r)
- _ дф Pl . 9 — ^[m, pl . _ _ df [m, p] .
<11--------- » *ib — ------------» z2i —	7;	’
dm	dp	dm
*22 —	\---/
dp
матрицы, размерности которых соответственно равны п X (п + /);
и X q\ q X (п + I), q X q.
При корректной постановке задачи матрица z22 всегда неособая,
т. е.
detz22#=0,	(1.81)
поэтому решение системы (1.79в, г) относительно внутренних и
внешних э. м. п. всегда существует и имеет вид
Sp, =	Z22 ^21’	~ Z11 4“ Z12^U- ~ Z11	Z12Z22 z21. (1.82а, б)
Вычисление входящих в (1.82) частных производных функций
<р 1/п, р) и f [хи, р] по векторам т и р не представляет затруднений.
57
Дефиниция (1.77) и непосредственно на ней основанный алгоритм
вычисления э. м. п. по формулам (1.80), (1.82) являются совершенно
общими, т. е. определение э. м. п. изложенным методом возможно
в принципе всегда, независимо от вида исследуемого преобразова-
теля и степени сложности его э. м. х. Однако практический успех
при исследовании преобразователя каждого конкретного вида
(объем программы для расчета параметров и машинное время) в зна-
чительной степени определяется тем, насколько удачно сформулиро-
ваны исходные допущения и составлена н. с. к. у. его э. м. х.
Интересно отметить, что в предложенном алгоритме задача ре-
шается сразу для всей совокупности э. м. п., а не для каждого из
них в отдельности.
§ 13. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ПАРАМЕТРОВ
Остановимся кратко на важнейших свойствах э. м. п., вытекающих
из их математического определения.
Фундаментальное значение для построения теории ЭМП имеет
единственность внутренних и внешних э. м. п. Она следует непо-
средственно из дифференцируемости функций ср [т, р] и f [/и, р]
по векторам т и р и условия det z22 =# 0 и означает, что при любом
заданном значении аргумента э. м. х. матрицы и имеют вполне
определенные единственные значения.
Вторым основным свойством э. м. п., имеющим принципиальное
значение для приложений, является их полнота. Действительно,
выражения полных дифференциалов векторов р и ф в соответствии с
понятиями явной внутренней и явной внешней э. м. х., определяе-
мых зависимостями (1.71) и (1.72), имеют вид
dp —	^1. с;т = S^dm; dip =	 dm = S^dm, (1.83a, 6)
dm	dm
т. e. матрицы и образуют полную (необходимую и достаточную)
совокупность параметров, преобразующих произвольный вектор
dm в соответствующие ему векторы dp и dip. С физической точки
зрения это означает, что матрицы и вычисленные при некото-
ром значении вектора т, полностью характеризуют электромагнит-
ные связи в ЭМП при любых малых отклонениях магнитного состоя-
ния от исходного, задаваемого вектором т.
58
Разделив вектор tn на части
i = colon (i\,	1Я); у = colon (ур yz), (1.84а, б)
представим выражение (1.836) с учетом (1.776) в виде
dip = Ldi 4- Tdy.	(1.85)
При изменении магнитного состояния ЭМП только за счет варьирова-
ния токов, т. е. при у = const, имеем
6ф = Ldi.	(1.86)
Выражение (1.86) внешне аналогично выражению (1.736) для ЭМП
с линейными электромагнитными связями. Однако имеется и сущест-
венная разница: для ЭМП с линейными электромагнитными связями
существует линейная зависимость между полными векторами гр и г,
тогда как для ЭМП с нелинейными связями линейная зависимость
ограничивается только бесконечно малыми приращениями этих
векторов.
Вместе с тем, как следует из изложенного, введенные нами поня-
тия э. м. п. являются естественным обобщением общепринятых по-
нятий параметров преобразователей с линейными электромагнит-
ными связями на преобразователи с нелинейными связями. Так,
продифференцировав выражение (1.736) по вектору i при неизмен-
ном векторе у, имеем
=	(1.87)
di
т. е. обычно применяемые индуктивности ЭМП с линейными электро-
магнитными связями тождественны дифференциальным индуктив-
ностям.
Поскольку понятия так называемых статических индуктивностей
для ЭМП с нелинейными электромагнитными связями, как было по-
казано в § 11, лишены конкретного математического и физического
смысла, а индуктивности, используемые в теории ЭМП с линейными
связями, количественно совпадают с дифференциальными индуктив-
ностями, в дальнейшем изложении в термине «дифференциальная
индуктивность» будем опускать «дифференциальная», помня, одна-
ко, о действительном математическом содержании понятия «индук-
тивность».
Покажем, что матрица индуктивностей при преобразованиях
электрических контуров удовлетворяет правилу преобразования
тензоров.
59
Пусть в исходной системе контуров явная внешняя э. м. х. при
заданном векторе у представлена в виде
гр = гр [fl.	(1.88)
Выполним преобразование контуров в соответствии с формулами
гр' = Пгр; I' — Ш,	(1.89а, б)
где П — некоторая неособая матрица, не зависящая от векторов гр
и i. Обратные преобразования имеют вид
гр = П—’гр'; i — П~’ Г.	(1.90а, б)
Явная внешняя э. м. х. в преобразованной системе контуров имеет
вид
гр' = гр' [/'].	(1.91)
Матрицы индуктивностей в исходной и преобразованной системах
контуров представляют собою производные
/, = -4-;	(1.92а, б)
di	di*
Дифференциал вектора гр7 при неизменном векторе у, соответствую-
щий приращению вектора i', с учетом (1.89а), (1.86), (1.906) предста-
вим в виде
бгр' = L'di' = Пбгр = YILdi = ПЫ1—]dl',
откуда
и = П£П~',	(1.93)
что совпадает с общей формулой преобразования тензоров второго
ранга [40, 411.
Докажем, что индуктивности преобразователя с нелинейными
электромагнитными связями удовлетворяют теореме взаимности,
т. е.
Lfk = Lkf.	(1.94)
Для ЭМП с безгистерезисными нелинейными магнитными среда-
ми коэнергия магнитного поля выражается формулой
V =	(1.95)
о
60
где
- (фр • •, Фп)	(1.96)
— вектор-строка потокосцеплений.
Но коэнергия магнитного поля определяется только конечным
магнитным состоянием магнитопровода, характеризуемым вектором
I, и не зависит от пути, по которому токи отдельных контуров изме-
нялись от нуля до их конечных значений, т. е. коэнергия является
потенциальной функцией по отношению к функции
ф* == -ip* [f],	(1.97)
отражающей явную э. м. х. ЭМП при заданном векторе у. Следова-
тельно, зависимость (1.97) может быть представлена как градиент
функции V [/] в пространстве вектора i
r = gradTl/ui = (^-; •••;<-)•	(1.98)
По определению матрицы индуктивностей с учетом (1.98) имеем
1 И • • • L\n
d2V	o2V
dikdii	dixdin
d2V
<hndiy ’ ’ ’ ()indin
Смешанные производные, расположенные симметрично относительно
главной диагонали матрицы (1.99), равны, так как они не зависят от
порядка дифференцирования, и, следовательно,
diidik dikdii ~~ Lkh
что и требовалось доказать.
Теорема имеет важное прикладное значение, так как она уста-
навливает необходимый критерий проверки правильности алгорит-
ма вычисления э. м. п.: если для любых и окажется, что они
не равны, то в алгоритме вычисления э. м. п. допущена ошибка.
В заключение отметим, что новое определение э. м. п. шире по
математическому строению и богаче по физическому содержанию:
внешние э. м. п. охватывают не только индуктивности, но и коэффи-
циенты э. д. с. движения, а внутренние не имеют прототипа в теории
преобразователей с линейными электромагнитными связями.
61
§ 14. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
И ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ОБОБЩЕННОМ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОМ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕ
Представим магнитопровод обобщенного ЭМП схемой замещения,
содержащей а ветвей. Выберем в этой схеме b независимых контуров
и составим для них уравнения магнитного равновесия в соответствии
с законом полного тока
—r*F = 0,	(1.100)
где
i — colon (Zn ..., Z„); F = colon (Fp ..., Fa) (1.101a, б)
— соответственно вектор токов электрических контуров и вектор
падений магнитных напряжений в ветвях схемы; Г* — транспони-
рованная матрица контуров схемы, имеющая b строк и а столбцов;
v* — транспонированная матрица распределения проводников,
имеющая b строк и п столбцов и составленная таким образом, что ее
элемент, расположенный в /-й строке и &-м столбце, равен числу
проводников k-ro электрического контура, охватываемых /-м кон-
туром схемы замещения.
Образуем векторы потоков ветвей и контурных потоков
Ф = colon(Фх, Фа); Ф*= (Фь Фа); (1.102а, б)
Ф* = colon (Ф/н,	Ф/г&); &k = (Ф«ь ...» Ф^)- (1.103а, б)
Они связаны между собой соотношениями
Ф = ГФ/, Ф* = Ф;.Г*.	(1.104а, б)
Вектор-строка потокосцеплений электрических контуров ЭМП
может быть представлен как произведение
Ф* = (Фп • • •» Фи) = &kV*.	(1.105)
Энергия магнитного поля ЭМП определяется по формуле
W = f dq*-l	(1.106)
62
Применяя последовательно выражения (1.105), (1.100), (1.1046) к
формуле (1.106), находим, что
ф*	фк	ф1<	Ф*
W = f d&i = J d®'no*i = j d®„ • r*F = j d®*F. (1.107)
0	0	0	0
Область пространства, занятая магнитопроводом ЭМП, состоит, в
общем случае, из подобластей, заполненных линейными и нелиней-
ными магнитными средами. В результате замены магнитопровода
схемой замещения эти подобласти представлены соответственно со-
вокупностями сосредоточенных линейных и нелинейных магнитных
сопротивлений. Разделим векторы потоков и падений магнитных на-
пряжений ветвей на части
Ф = colon (Ф', Ф"); Ф* = (Ф'*, Ф"*);	(1.108а, б)
F = colon (#', F"); F* = (F'*, F"*),	(1.109а, б)
соответствующие линейным и нелинейным ветвям. Тогда для линей-
ных и нелинейных ветвей имеем
F' = /?'Ф'; F" = F" [Ф"],	(1.110а, б)
где R' — диагональная матрица магнитных сопротивлений линей-
ных ветвей схемы. С учетом (1.110) выражение (1.107) примет вид
Ф'*	ф
W « f d&*R'& -f-
4-ф'*я'ф' +
+ j d®"*F" |Ф’|.
о
(1.111)
Обобщенная электродинамическая сила, действующая в направ-
лении изменения координаты у/, как известно (30, 44, 74], выражает-
ся формулой
С учетом (1.105), (1.100), (1.1046)
ли,* -> дФ?	->	(?ф?	офГг*	ЛГГ)* -*
-7- i = -^-v*i=-^-r*F=—^—F = -^-F. (1.113)
dyt	dyf	ду.	dyf v
Будем полагать, что при изменении координаты у/ деформируются
только подобласти, заполненные линейными магнитными средами и,
следовательно, от координаты у, будут зависеть только линейные
63
магнитные сопротивления, входящие в выражения (1.110а), а зави-
симости (1.1106) останутся без изменения. Полагая, что, в общем слу-
чае, все элементы матрицы R' зависят от для частной производной
энергии магнитного поля по координате у. имеем
 41	+  ф" 4-ф' + 4ф"/?' #1+
ду{ 2 ду{	2 dyj * 2	dyf
+ ^-?"|Ф"].	(1.114)
Ввиду диагональной структуры матрицы R' третье слагаемое в пра-
вой части выражения (1.114) равно первому. Поэтому с учетом
(1.110а), (1.1086), (1.109а) представим выражение (1.114) в виде
+41г+ « ф'*41ф' =
dfi	Зу,-	2 dfj
=	I	ф,	1П5
ду- 1	2	dyj	v '
Подставив выражения (1.113), (1.115) в (1.112), получаем оконча-
тельное выражение для электродинамической силы
мэ/=- 4 ф'*-g-ф'.	(1.Н6)
Таким образом, в ЭМП с нелинейными электромагнитными свя-
зями электродинамическая сила, действующая на участок магнито-
провода в направлении изменения координаты yft определяется толь-
ко распределением магнитных потоков вдоль этого участка и произ-
водными от магнитных сопротивлений элементов этого участка по
координате у. и не зависит от степени насыщения всего магнитопро-
вода и распределения энергии магнитного поля по магнитопроводу.
Полученный результат совпадает с формулой Максвелла. Следует
отметить, что в литературе часто высказываются сомнения по поводу
применимости формулы Максвелла для ЭМП с насыщенными магни-
топроводами и даже предлагаются «уточнения» этой формулы. Как
показано выше, эти сомнения лишены основания.
§ 15. ОСОБЕННОСТИ АЛГОРИТМОВ РЕЖИМНЫХ РАСЧЕТОВ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
Общим свойством систем уравнений, описывающих любые п. п. и с. х.
всех ЭМП, является наличие в них уравнений, определяющих элект-
ромагнитные связи преобразователя. Это обстоятельство, а также
общность структуры уравнений электромагнитных связей в диффе-
ренциальной форме позволяют сформулировать общие правила фор-
64
миронпнпя этих уравнений в таком виде, который обеспечивает оп-
тимальность алгоритма решения задачи.
Внсдсм следующие понятия.
Все координаты, фигурирующие в решении рассматриваемой за-
дачи, кроме тех, которые входят в векторы ф, т и р, назовем специ-
фическими координатами для данного п. п. или с. х., или, более
кратко, специфическими координатами.
Введем новую координату 8, численно равную той координате,
которая в данной задаче рассматривается в качестве независимой,
и назовем ее фиктивным аргументом.
Так, для п. п. 8 — I, поэтому производная любой зависимой
координаты по t численно равна производной этой же координаты
по г, чго позволяет в уравнениях менять эти производные одну на
дру| vio.
Для расчета п. п. ЭМП подлежащая решению система уравнений
после преобразования всех уравнений, кроме тех, которые описы-
вают э. м. х., в дифференциальные приобретает вид
Ли |//, ф, т, 8} уг 4~ Л12 [г/, ф, т, е] фе + Л13 \у, ф, m, е] tri 4-
4- Л14 [у, ф, т, е] = 0;	(1.117а)
11	ф — ср [ш, р] = 0; / [т, р] = 0,	(1.1176, в)
где у — с-мерный вектор, охватывающий все специфические коорди-
наты (в том числе — время Z), называемый в дальнейшем специфиче-
ским вектором; Лп, Л12, Л13, Л14— матрицы, размерности которых
соответственно равны (с + п 4 /) X с, (с 4 п 4 0 X п, (с -\-п 4-
-I- Z) х (и 4- Z), (с 4- и 4- I) X 1.
Уравнения (1.117а) будем называть специфическими уравнениями
для рассматриваемого п. п. ЭМП.
Общее число зависимых координат в системе (1.117) равно
с I п |- (и 4- I) 4- q (элементы векторов г/,ф, т, р), и таким же должно
быть число входящих в нее уравнений. Поскольку в (1176, в) входит
п I q уравнений, то число специфических уравнений должно быть
ранным с 4- п 4- Z.
Заменим в системе (1.117) уравнения (1117.6, в) неявной э. м. х.
уриннгинями явной э. м. х. (1.72), (1.71) и продифференцируем их
по фиктивному аргументу 8. В результате получим н. с. д. у.
-'ll! 1/Л ’I’. т< е] У* + Ац 1У> ф. т’ 81	+ Лз [у, т> 8|	+
4- Л14 {у, ф, т, 8] = 0;	(1.118а)
ф8 == S^m8; р8 = Sum8.	(1.118б, в)
65
б 1-Ш1
Подставив выражение фе из уравнения (1.1186) в уравнение (1.118а),
приходим к н. с. д. у.
Ли [//, гр, m, s] уг + Л'12 [у. гр, т, 8] т 4- А14 [у, гр, т, е| = О;
(1.119а)
гр8 = S^rn\ р8 = 5цте,	(1.1196, в)
где
Л12 = Л123^ 4- Л13.	(1.120)
При расчете с. х. исходная н. с. к. у. имеет вид
Ш гр, т, 8] = 0;	(1.121а)
= <р [m, pj; /[m, р] = О,	(1.1216, в)
где £ [у, гр, т, е] — (с 4- п 4- /)-мерная векторная функция; у —
специфический вектор искомой с. х., содержащий, очевидно, ее дейст-
вительный аргумент.
Уравнения (1.121а) назовем специфическими уравнениями для
рассматриваемой с. х. ЭМП.
Заменив в (1.121) последние два уравнения уравнениями явной
э. м. х. и продифференцировав всю н. с. к. у. по 8, приходим к
н. с. д. у.
Сн {у, ф, т< У* + С12 [</. Ф. т< е] фе + С13 \У> Ф. т< е] +
4- С14 [у, гр, т, 8] — 0;	(1.122а)
гр8 = S^m8; ре == 5ит8,	(1.1226, в)
где
. * 7	'*	1 dt [у, гр, т, el	г-* 7	"* i
Си \у, Ф, т, г] = -	\------- ; С12 [у> ф, т> е]
ду
— ф, 81 .
г"* 7	д? [у, гр, т, 81	7 i
Cis 1У' Ф> т> в] = - I------------- ; Си 1у, ф, т, el =
дт
_ ^[У, Ф, т, 8]
де,
66
— матрицы, размерности которых соответственно равны (с 4- п 4-
4- /) X с, (с 4- п 4* Z) х ц, (с 4* ft 4- Z) х (л 4~ Z); (с 4~ ft 4~ Z) х 1.
Подставив выражение ф8 из второго уравнения системы (1.122)
в первое, имеем
Сц [у, ф, т, 8]/ 4- С12 [у, ф, т, е] т' 4-
4-Си(£/, Ф, tn, s| =s 0;	(1.124а)
= S^rrf-, ре = Suftze,	(1.1246, в)
где
с;2 = СХЛ 4- с13	(1.125)
Сравнивая н. с. д. у. (1.119) и (1.124), замечаем, что они отли-
чаются только специфическими дифференциальными уравнениями
(1.119а) и (1.124а), тогда как дифференциальные уравнения электро-
магнитных связей в них тождественно совпадают. Существенным яв-
ляется то обстоятельство, что последние представлены непосредст-
венно в нормальной форме Коши, а коэффициентами в них являются
внутренние и внешние э. м. п. преобразователя.
Аналогичность структуры н. с. д. у. (1.119) и (1.124) обуслов-
ливает и идентичность алгоритмов расчета п. п. и с. х. ЭМП. После-
Дова ।елi.iiocTi. операции па шаге As интегрирования этих н. с. д. у.
методом Эйлера является следующей (рис. 9):
а)	для известных из предыдущего шага (или из начальных усло-
вий) значений векторов т и р в соответствии с определением (1.80)
вычисляются матрицы zlh zl8, zel,
б)	по формулам (1.82а, б) вычисляются э. м. и. преобразователя;
в)	вычисляются матрицы коэффициентов и столбец свободных
членов н. с. д. у. (1.119а) или (1.124а);
г)	система (1.119а) или (1.124а) решается относительно производ-
ных ^8, т-\
д)	по формулам (1.1196, в) или (1.1246, в) вычисляются произ-
водные ф8, р8;
е)	вычисляются приращения векторов у, т, ф, р на шаге As
Аг/— z/eAs; Ат = /Ае; Аф = ф8Ае Ар = pfcAe; (1.126а, б, в, г);
ж)	вычисляются новые значения координаты в и векторов у, т,
ф, р путем суммирования исходных значений с найденными прира-
щениями.
5'
67
Если вектор ф как результат расчета не представляет интереса и
не используется при вычислении вектора у, то приведенный выше ал-
горитм упрощается за счет исключения необходимости вычисления
Рис. 9. Блок-схема, иллюстрирующая
последовательность операций на шаге
интегрирования н. с. д. у. (1.119) или
(1.124).
векторов и Дф.
Составление алгоритма чис-
ленного интегрирования н. с.
д. у. методом Рунге— Кутта или
любым иным численным методом
с учетом изложенного выше не
должно представлять затрудне-
ний.
Рассмотренный общий алго-
ритм решения задач расчета
п. п. и с. х. остается в силе,
если в специфические уравнения
входит одна или несколько
в. к. м. с. В этих случаях сле-
дует рассматривать каждую из
в. к. м. с., входящую в специ-
фические уравнения, как функ-
циональную зависимость от век-
тора т в соответствии с явной
внутренней э. м. х. Тогда в ре-
зультате преобразования специ-
фических уравнений в диффе-
ренциальные производная лю-
бой в. к. м. с. по фиктив-
ному аргументу е может быть представлена как произведе-
ние соответствующей строки матрицы внутренних э. м. п. на вектор
тъ. Составленные таким способом дифференциальные специфические
уравнения сохраняют структуру, аналогичную (1.119а) или (1.124а)
с той лишь разницей, что входящие в них матрицы An, A'i2, Au
или Сп, С]2, С14 будут дополнительно зависеть от вектора р.
ГЛАВА 2
ТЯГОВЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ АППАРАТЫ
§ 1.	ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
КЛАПАННОГО РЕЛЕ
Для клапанного реле, изображенного на рис. 10, примем следующие
допущения.
Магнитное поле реле разделим условно на две части — поля
рассеяния и рабочее поле. Поля рассеяния определим при тех же
предпосылках, которые принимаются в теории однофазного двухоб-
моточного ненасыщенного трансформатора [56]. К рабочему полю
отнесем силовые линии в магнитопроводе, полагая их параллельны-
ми осям стержней, а в междустержневом пространстве силовые
линии рабочего поля будем полагать проходящими по горизонталь-
ным путям. Поле внутри стержней примем распределенным равно-
мерно но их сечениям. Проводимости путей рабочего поля в между-
ггержиевом пространстве определим по методу вероятных путей
мигнитпых ('иловых линий 1131 либо методами расчета плоскопарал-
лельных нолей между двумя сечениями стержней одной горизонталь-
ной плоскостью 110Г)|.
Составим уравнения неявной э. м. х. клапанного реле при сфор-
мулированных допущениях.
В соответствии с принципом непрерывности силовых линий для
замкнутых поверхностей, следы которых показаны на рис. 10 пункти-
ром, имеем
Ф — (Ф + аф)-----Ь (фо + (ф0 4- йф0)) dx = 0;
<	(2-1)
Ф^+Ф' = О,
гдеФ, Ф', фо — магнитные потоки в левом и правом стержнях и
удельный магнитный поток (приходящийся на единицу высоты
стержня) в междустержневом пространстве на высоте х от основания
стержней; ^Ф,	— приращения величин Ф и ф0 на участке dx.
Из уравнений (2.1) следует, что
Ф' = -Ф- I (2.2а, б)
69
В соответствии с законом полного тока для замкнутого контура
интегрирования, показанного на рис. 10 штриховой линией, имеем
а
Рис. 10, Клапанное двухобмоточное реле:
а ** конструктивная схема; б — схема магннтопровода.
S
где Ra— линейное магнитное сопротивление между стержневого
пространства, приходящееся на единицу высоты стержня, рассчи-
тываемое одним из известных методов 114, 105]; Н, Н' — напряжен-
ности магнитного поля в левом и правом стержнях на высоте х.
Напряженность Н зависит от магнитного потока Ф согласно
х. н. стержня
Я==Я[Ф].	(2.4)
При одинаковых сечениях стержней из уравнения (2.26) следует,
что Н’ = — Н, поэтому уравнение (2.3) приобретает вид
г
— 2 j Hdx + Ra (фоа — <ра|з) + (tctii + ai'sis) = 0,
а
70
или, с учетом (2.2а), (2.4),
-4я|ф1"'+йШ~-^и+ 7
+ (W,!, + ау2) = 0.	(2.S)
Для замкнутого контура интегрирования, проходящего через
междустержневое пространство в точке х — 0 и ярмо, и для контура,
проходящего через междустержневое пространство в точке х = Ьс,
клапан и рабочий воздушный зазор, в соответствии с законом пол-
ного тока имеем
^офао + Fo = 0; Ratyck — FK — R®K ~ 0»	(2-6)
где фоо, фа* — значения удельного потока фа в рассматриваемых
сечениях; R — магнитное сопротивление рабочего зазора, завися-
щее от угла у поворота клапана согласно магнитной характеристике
рабочего зазора
R = R [?];	(2.7а)
Fo, FK — падения магнитных напряжений в ярме и клапане, завися-
щие от потоков Фо и Фк ярма и клапана согласно х. н. этих участков
магнитопровода
Fo = Fo [Фо]; FK = FK [Фк].	(2.76)
Зшшсимости (2.7) рассчитываются для заданной геометрии магнито-
провода по известной мс'тодпке 114].
Уравнения (2.6) с учетом (2.2а), (2.7) принимают вид
-	- L-o+F»|ф»| - °; R° -% Ц. -ь 1фк 1 +
4- R [у] Фк = 0.	(2.8)
В сечении стержня, проходящем через верхний край катушек,
т. е. при х = У, первая производная зависимости Ф = Ф 1x1 соглас-
но (2.2а) непрерывна, т. е.
t/Ф I	П\
dx	о ~~ dx х=Ь'-{-0 УоЬ',	( • )
где сро6' — значение потока фа при х = У.
Интегро-дифференциальное уравнение (2.5) совместно с гранич-
ными условиями (2.8), (2.9) описывает при принятых допущениях
распределение магнитного поля в реле при любой заданной совокуп-
ности величин ilt i2, у.
Разделив стержни по высоте пятью сечениями, как показано
на рис. 106, и заменив в уравнениях (2.5), (2.8), (2.9) производные
71
и интегралы конечно-разностными выражениями в соответствии у
формулами
- 4г (- »> +	- ф'+’>; т Ц+2 -
= “25Г (Ф'~ 4Ф'+' + ЗФ'+2):
।	W
/-Г*	Xj
= —3- (Ф/ 4- 4Ф/+1 4- Ф,-+2),
где Ф/, Ф/4-i, Ф/+2 — значения функции Ф = Ф [х] соответственно
в точках X/, Х/+1, х/+2, приходим к н. с. к. у.
— Rg (— ЗФ0 4" 4ФХ — Фг)/^ 4-^0 [Фо1 “ 0»
(Н [Фо] 4- 477 [Фх] 4- 77 [Ф2]) У/З - 4/?а (Фо - 2ФХ 4- 'Ф2)/Ь' -
—	4- w2i2) = 0;
(Фо - 4ФХ + ЗФ2)/Ь' - (- ЗФ2 4- 4Ф3 - Фк)/Ь" - 0; (2.10)
(77 [Ф2] 4- 477 [Ф3] 4- 77 (Фк|) Ь"/3 - 4ЯП (Ф2 - 2Ф3 4- Фк)/Ь" = 0;
Rg (Ф2 - 4Ф3 + ЗФК)/Ь" 4- Гк [Фк| 4- Я [?1 • Фк = 0.
Н. с. к. у. (2.10) отражает неявную внутреннюю э. м. х. клапан-
ного реле. Действительно, она позволяет рассчитать вектор в. к. м. с.
р = colon (Фо, Фр Ф2, Ф3, Фк)	(2.11)
при любом известном вектор-аргументе э. м. х.
т = colon (ip z2, у).	(2.12)
Полные потокосцепления катушек определяются выражениями
Ь'	Ь'
Фх =	4~ ^si24 4~ ~йг~ J Ф<7х; ф2 = LS2ii'i 4~ £$22*2 +	§ &dx,
о	о
(2.13)
где Lsn, Lsi2, LS2i, Ls22 — постоянные индуктивности рассеяния ка
тушек.
Заменив в (2.13) интегралы конечными суммами по формуле
Симпсона, имеем
Ф1 =	4~ 7Lsi2r2 + W! (Фо 4- 4ФХ 4- Фг)/6;
ф2 = Lsiiii 4" ^s22^2	^2 (Фо + 4ФХ 4" Фг)/6*
72
Образовав вектор потокосцеплений
ф = colon (фр ф2),	(2.15}
представим н. с. к. у. (2.10), (2.14), описывающую неявную э. м. х.
клапанного реле, двумя векторными уравнениями
ф =^[т, р]; /[m, Н] = 0*	(2.16а, б)
§ 2. ПАРАМЕТРЫ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
КЛАПАННОГО РЕЛЕ
Внутренние и внешние э. м. п. клапанного реле представляют собой,
матрицы
		<>Ф0/Эу
cXPi/aii	dQ^/dL	дФ1/ду
дФ2/дг‘1	дФ2/д12	дФ2/ду
ЭФз/dtj	йФ3/Э12	дФ3/ду
ЭФк/dh	дФк/дг2	ЗФк/ду
5ф = -4- = dm	д^/д^	dtyi/di2	д^/ду	—	^ii	^12	
	д^2/д^	dty2/di2	д^2/ду		^21	^22	Г2
(2.176}
и определяются по общим формулам (1.82а, б). Для их вычисления
необходимо составить выражения для матриц г1ъ z12, z21, z22.
В соответствии с общим определением (1.80) и с учетом н. с. к. у.
(2.14), (2.10) эти матрицы имеют вид
Lsll	^sl2	
^s21	^s22	
wr/Q	2te\/3	^/6		
w2/^>	2a>2/3	o>2/6		
73
		
	-0У2	
		
		
		ятФк
Z22 —
4* b'		w		
PoW	ARq/Ь'	4р,673 4- SRq/b'	— 4Яа/6'		
I/&'	— 4/b'	3 (!/&' + 1/6")	- 4/6"	1/6"
		р#'/3-4Яа/Ь"	4р,6"/3 + 8/?а/&*	Рк&73-4Яа/6"
		l<o/b"	- 4/?а/6"	RK + R + 3/?(j/&"
(2.18)
где — производная магнитного сопротивления рабочих зазоров
по углу у, определяемая по зависимости
Rv =	= Rv [?]>	(2 19)
иу
получаемой в результате дифференцирования зависимости (2.7а);
/?0»	— дифференциальные магнитные сопротивления ярма и кла-
пана, определяемые по зависимостям
я» = --Со1 = Ъ 1ф»1; ** =	|ф*|> (2-2°)
получаемым дифференцированием х. н. (2.76); р/ (/ = 0, 1, 2, 3, k) —
дифференциальные удельные магнитные сопротивления стержня
в соответствующих сечениях, определяемые по зависимости
р. = -^|Ф1-|	=р[Ф/],	(2.21)
Г /	(1Ф	|ф=Ф/-	г 1 /J>	\	/
получаемой дифференцированием х. н. (2.4).
74
Электромагнитный момент, действующий на клапан, определяет-
ся в виде
Мэ=------1 R^l.	(2.22)
§ 3. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
И СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КЛАПАННОГО РЕЛЕ
Пусть требуется рассчитать электромеханический переходный про-
цесс в рассмотренном выше реле при его питании от источников с за-
данными напряжениями
[/]; и2 = и2 [Ц.	(2.23)
Уравнения электрического равновесия для обмоток реле имеют
вид
u, — Ipi —	= 0; u2 —	— Г2(2 = 0,	(2.24)
где г2 — активные сопротивления обмоток, а уравнение механи-
ческого равновесия —
Мэ4-Мс—Jw'=0,	(2.25)
где Мэ — электромагнитный момент, действующий на клапан; Мс —
момент статического сопротивления, который может быть заданной
функцией угла у и скорости со вращения клапана
Ч, в Мо I?» <°1;	(2.26)
J — момент инерции подвижной части реле.
Скорость клапана снизана с углом его поворота равенством
со « у.	(2.27)
Введя фиктивный аргумент
8 = t	(2.28)
и учитывая, что
=	ТВ =	YL (2.29)
представим полную систему уравнений, описывающих электромеха-
нический процесс, в виде
4" ^12*2 +	— Щ. [/] 4- г= 0;
Л21Г( + ^22*2 + Г2уе — и2 [/] + г2i2 = 0;
Jco8 — Мэ — Мс [у, со| = 0; у8 — со = 0; 1 — f = 0; (2.30а)
(2.306)
Рис. 11. Блок-схема, иллюстрирую-
щая последовательность операций на
шаге интегрирования н. с. д, у, (2.30).
где содержание векторов р, т и
матрицы определяется выра-
жениями (2.11), (2.12), (2.17а)
соответственно.
Сравнивая уравнения (2.30)
с (1.119), находим, что специ-
фическим вектором в данной
задаче является
у = colon (со, t).	(2.31)
Пусть начальные условия
при t = /(о), т. е. величины
(° == (0(0);	=6(0),’ Z2 = *2(0h
у = Т(0>; Ф, = Фло»
(/ = 0,	3, k), (2.32а)
определяющие векторы
У = Ум'> w = т(о>; И = Р(0),
(2.326)
известны. Тогда последователь-
ность операций на шаге интегри-
рования системы (2.30) являет-
ся следующей (рис. 11):
а)	по формулам (2.7а), (2.20) вычисляются магнитные сопротив-
ления элементов магнитопровода и по формуле (2.19) — производ-
ная R\ после чего формируются матрицы ги, г12, г21, г22;
б)	по формулам (1.82а, б) вычисляются внутренние и внешние
э. м. п. реле;
в)	по формулам (2.23), (2.26), (2.22) вычисляются напряжения
и19 и2 и моменты Л4е, М3 и формируется н. с. д. у. (2.30, а, б);
г)	уравнения (2.30а) решаются относительно производных if,
Й, (ое, Л
д)	из уравнения (2.306) вычисляются производные Фо, Ф!, Ф2,
Фз, Ф*;
е)	по формулам вида (1.126а, б, г) вычисляются приращения всех
зависимых координат;
ж)	определяются новые значения всех координат путем суммиро-
вания их исходных значений с приращениями, найденными
по п. е.
76
Если зависимость Мс = Мс [7] не является гладкой, а имеет
изломы или разрывы (рис. 12), то при интегрировании системы
(2.30) с автоматическим выбором шага в окрестности особой точки
V = ур зависимости Л4С = Л1с [у 1 будет наблюдаться дробление шага
Д^, что приведет к непроизводительному увеличению машинного
времени. Этого легко избежать, если воспользоваться инвертиро-
ванием н. с. д. у. (2.30) на координату у. Как отмечалось в § 7
гл. 1, при наличии в интегральных кривых особых точек типа «ска-
чок» или «излом» инвертирование целесообразно выполнять только
после вычисления всех про-
изводных по основной незави-
симой координате, которой в
данном случае является время.
Так, если на шагеД/, соответ-
ствующем интервалу <
< t < t2 (рис. 12), оказалось,
что угол у переходит через
значение у = ур, то следует
этот шаг аннулировать как
неправомерный и продолжать
интегрирование от точки
t = tx по координате у с ша-
гом Ду' = ур — уР При этом
инвертированные производ-
ные вычисляются но форму-
лам
Рис. 12. Кусочно-разрывная зависимость
Me ~ Me [у] (кривая а) и соответству-
ющая ей зависимость у = у [/] (кривая б).
ev = 1/у’’; if' if • ev;
tif • ev; pv = p8 • ev. * (2.33)
После преодоления особой точки следует продолжать интегрирова-
ние по исходной н.с. д. у. (2.30).
Остался невыясненным вопрос определения начальных условий
(2.32). Они могут быть взяты, очевидно, из последней точки рассчи-
танного предыдущего процесса или установившегося режима, не-
посредственно предшествовавшего искомому переходному процессу.
Однако чаще известными являются только начальные значения ве-
личин гцо), *2(0), У(0), а вектор в. к. м. с. при t = ^о> подлежит опре-
делению. Его легко найти по /i-характеристике для магнитного со-
стояния реле при заданных ti(o>, У<0). Полная н. с. к. у. такой
A-характеристики состоит из уравнений
1’1 — 7ii1(0) = 0; /2 — Тн2(0) = 0; У~У(О)’, 8 —7i = 0 (2.34)
и уравнений явной внутренней э. м. х. р = р [ml. Продифференци-
77
ровав эту н. с. к. у. по е, приходим к н. с. д. у. ^-характеристики
*f— /iEiKo) = 0; *2— /iei2<0i = 0; yfc = 0; 1 — hk = 0;
j? = Sume.
Проинтегрировав ее при нулевых начальных условиях по координа-
те 8 в пределах отО до 1, получим при 8 = 1 искомый вектор ц = р(Ои
И, наконец, рассмотрим алгоритм расчета одной из важнейших
с. х. реле — тяговой характеристики, определяющей закон изме-
нения электромагнитного момента в функции угла у при неизмен-
ных токах li = ii(0); i2 = Za(O). Полная н. с. к. у. этой с. х. имеет вид
Ф2ь
*i й(0) = 0; Ч — *2(0) = 0; Мэ -[у] == 0; е — у = 0;
(2.36а)
ц = |л \т],	(2.366)
а специфический вектор здесь состоит из одного элемента: у = Л1Э.
Продифференцировав уравнения (2.36) по фиктивному аргументу 8
и учитывая, что, в общем случае, Фк = Ф/г [1\, i2, у], приходим к
н. с. д. у. тяговой характеристики
if=0; 12 = 0; 1—уе==0;
М8э-ф4^^+-^71’82+^/)«[’у1+	(2.37а)
ф2
+ -у- RVT IT1/ = 0;
1? = Sume,	(2.376)
где
RwlY] = ^RvlTl.	(2.38)
Численное интегрирование н. с. д. у. (2.37) выполняется в соответст-
вии с блок-схемой, аналогичной изображенной на рис. 11.
Изложенные выше примеры дают достаточно полное представле-
ние о способе составления алгоритмов расчета п. п. и с. х. в клапан-
ном реле рассмотренного вида.
78
§ 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ТРЕХФАЗНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТА
Решим аналогичную задачу для трехфазного электромагнита, изо-
браженного на рис. 13.
Для установления электромагнитных связей примем допущения,,
подобные сформулированным в § 1 гл. 2, полагая дополнительно,
что отдельные фазы трехфазной обмотки не имеют взаимоиндукции
по полям рассеяния, а для определения проводимостей на путях
полей в междустержневом пространстве проведем вертикальную
плоскость, проходящую через середину среднего стержня перпен-
дикулярно к плоскости рис. 13, и примем, что силовые линии этих
полей проходят от крайних стержней только на соответствующую
половину среднего стержня.
Как и в предыдущей задаче, в соответствии с принципом непре-
рывности силовых линий, для замкнутых поверхностей, следы ко-
торых показаны на рис. 13 пунктиром, имеем
Фд — (Фд 4- ^Фл)------2”	4" (фадв 4~ <^фодв)) dx = 0;
Фс— (Фс 4“ ^Фс)-------2" (Ф^св 4~ (фосв 4" ^фасв)) dx — 0; (2.39)
Фл 4- Фв 4- Фс = о,
01 куда
М'одл — *	; Фася «-------;	(2.40)
Фл — Фд —Фс.	(2.41)
В соответствии с законом полного тока для замкнутых контуров
интегрирования, показанных на рис. 13 штриховой линией, имеем
|з	к	з
'— J н/Дх 4- ^офоДВа 4“ J Нedx — RctyoABfi — j	Цв — X
а	а	а
— j Hcdx 4“ ^офоСВа 4“ J НsdX — RotyoCBfr — j — G*b — ic) X
а	а	а
X dx = 0,
где м, is, ic — токи фаз; w — число витков фаз; b — высота стержня;
Ro — линейное магнитное сопротивление междустержневого прост-
ранства, приходящееся на единицу высоты стержня; //д, //в, Нс —
79
Рис. 13. Конструктивная схема трехфазного электромагнита.
напряженности магнитного поля в стержнях, зависящие от потоков
стержней Фд, Фв, Фс согласно х. н.
НА = НА [Фд|; Нв = Нв |Ф5|; Нс = Нс [Фс].	(2.43)
С учетом соотношений (2.40), (2.43) уравнения (2.42) принимают
вид
с	ЛФА I	г	аФл ।
-I НЛ[фл]4х_К0—Л-	+ я s [фв] +	-л.
J	ах ]х=а	»	ах х=В
а	а
(₽-а)=0;
в	в	(2'44)
ё	I С
— \ Нс [Фс] dx — Ra —+ j Яв [Фв] dx 4-
а	а
+ 4г- L - иг (р -а)=°-
Для контуров интегрирования, проходящих от крайних стерж-
ней к среднему в междустержневом пространстве на высоте х = 0
и через ярмо, а также для аналогичных контуров, проходящих на
высоте х = b и через рабочие зазоры и якорь, по закону полного
тока составим уравнения
F ДО 4“ ^офоДВО =	Feo 4" RatyaCBO = О’,
— FДк — ^дфдк 4“ Rg^gABk 4~ ЯвФвк = 0*,
— F Ск — Rc®Ck 4“ Ra^aCBK 4* Rb®Bk = 0,
SO
где Ядо. Fro, Fak, FCk — падения магнитных напряжений в левой и
правой половинах ярма и якоря, определяемые через потоки Фдо,
Фео, Флк, Фск согласно х. н.
Fao = Fad [Фло]; Fco = Feo [Фео]; Fak = Fak [Фдк];
Fck = FCk [ФСк1;	(2.46)
Ra, Rb, Rc — линейные магнитные сопротивления зазоров между
стержнями и якорем, зависящие от длины 6 зазора согласно магнит-
ным характеристикам зазоров
Ra = Ra [6]; Rb = Rb [6|; Rc = Rc [5].	(2.47)
Характеристики (2.46), (2.47) определяются известными методами
113, 141.
С учетом соотношений (2.40), (2.41), (2.46), (2.47) уравнения
(2.45) принимают вид
ЛФл I	d<Dn I
Fao [Фло] — Ra |х=0 = 0; FCo [Фс01 — Ra |х=0 = 0;
ЛФ. I
F[Флк| + Ra [61 Фл« + Ra —£ |Х=(> + Rb (Фдк + Фск) = 0; (2.48)
dOz, I
Fck [Фск1 4- Rc [6] Фск + Ra -fa— + Rb (Фдк 4- Фск) = 0.
Система уравнений (2.44), (2.48) описывает распределение маг-
нитного ноля в электромагните при заданных токах iA, 1в, ic и за-
зоре 6.
Разделим стержни по высоте тремя сечениями, как показано на
рис. 13 штрих-пунктирными линиями, и составим конечные урав-
нения, аппроксимирующие уравнения (2.44), (2.48), т. е. запишем
н. с. к. у. неявной внутренней э. м. х. электромагнита. Она имеет
вид
Fдо [Ф до] — Ra(— ЭФ до 4- 4Фд( — Фдк)/Ь = 0;
Fco [Фео] — Ra (— ЗФсо 4- 4Фс[ — Фск)/^ = 0;
— (Яд [Фло] 4- 4Ra [Фд1| 4- Ra [Фдк1)&/6 4- 4Ra (ФА0 - 2ФЛ1 4-
4- Фдк)/^ 4~ (Нв 1— Фдо — Фео] 4” 4Нв [— Фд1 — Фс 11 4-
4- Rb [— Фдк ~ Фск!) Ь/6 — (iB — М) w = 0;
— (Rc [Фсо] 4“ 4Hc [Фс11 4~ Rс [Фс«]) Ь/6 4~ 4RO (Фео —
— 2Фо 4~ Фск)/Ь 4~ Rb I— Фдо — Фсо] 4“ 4Нр |— Ф41 — Фа] 4-
4- Нв [— Фдк — Фск!) Ь/6 — (iB — ic) w = 0;
6 8-3258
81
FАк [Фдк] + RA [б] Ф/4к 4- Ro (Ф/40 — 4Фд- + ЗФдк)/^ 4-
+ Rb [б] (Фдк + Фск) = О;
FcK [Фск] + Rc [б] Фск + Ro (Фео — 4ФС1 + ЗФСк)/Ь +
+ Rb [б] (ФЛк + Фск) = о.	(2.49)
Полные потокосцепления катушек, если пренебречь взаимными
индуктивностями по путям рассеяния, определяются выражениями
вида
ф, = Lsi/i, + -у- J Ф/dx а = А, В, Q, (2.50)
О
где Lsn — постоянные собственные индуктивности рассеяния фаз.
Заменив в (2.50) интегралы конечными суммами, имеем
фл =	+ ДО (Фдо + 4ФЛ1 + Фдк)/6;
фв = Lsbb*b -Ь w (— Фдо — Фео — 4 (Фл1 + ФеО —
-Флк-ФСк)/6;	(2.51)
фс — Lsccic + w (Фео + 4Фс1 4~ Фск)/6.
Образовав векторы
Ф = colon (фл, фв, фе);	(2.52)
tn = colon (iAt ie, ic, 6);	(2.53)
H = colon (Фдо, Фль Фдк» Фео, Феь Фе«),	(2.54)
представим н. с. к. у. (2.49), (2.51), описывающую неявную э. м. х.
трехфазного электромагнита, в виде двух векторных уравнений
ф = ф [tnt ц); 7\tnt ц] = 0.	(2.55)
Для того чтобы погрешность, вносимая аппроксимацией производ-
ных и интегралов разностными выражениями, была допустимо ма-
лой, необходимо число сечений принимать, очевидно, большим
трех. Составление н. с. к. у. неявной э. м. х. электромагнита при
большем числе сечений не должно вызывать затруднений.
82
§ 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ТЯГОВАЯ СИЛА
ТРЕХФАЗНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТА
Внутренние и внешние э. м. п. трехфазного электромагнита
=			до/d* в			^Ao/dic			5ФД0/йа		; (2.56а)
	d®A[/di А		d®Al/diB						дФЛ1/д6		
			^aJ^b			^aJ^c			<М>Дк/^		
			d® cd d* в			d^co/^c			<и.С0/аб		
	0ФС1/д1А		d®C\/diB			d^ci/d^c			с?ФС1/дб		
	<^cK/d‘A					^Ck/^C			<м>Ск/аб		
		^aI^a		d^A/diB			d^A/dic		дг|)л/<36		
=		dqB/diA		dtyB/diB			д^в/dic		d\|)B/d6		
		^c/diA		dyc/diB			d^c/dic		dtyc/db		
			i'AA		i-ALi		lac	>'a			
=			lba		LBB		lbc	rB		(2.566)	
			lca		LCB		Lcc	rc			
определяются по формулам (1.82а), (1.826), где матрицы гп, г12, г21,
г22, в соответствии с уравнениями (2.49), (2.51), имеют вид (2.57).
Входящие в них производные
об __ dRj [dj _ е>6 [X]. п __ dHj I®/] I
К/ ~ ds ~ Ki I®l* P/' —	|ф/_ф/;
U = A, В, C; I = 0, 1, fc);
,	(2.58)
Rn = ^ф']	(/ = A, C; I = 0, k)
' d®i |Ф,=Ф/7 v	'
вычисляются путем дифференцирования зависимостей (2.47), (2.43),
(2.46).
6*
83
^sAA
LsBB
LsCC
	-4/?о/д	
		
(Р^О + Рво) ^/6 + W*	— (рд! + Pbi) W3 — -8/?о/й	(pAk + PBk) № +
~ Рво^/6	— 2р^|Ь/3	—pst*/6
/?О/Ь	-4/?0/6	^Ak	-Ь Кд -Г %в
		
Тяговая сила, действующая на якорь, вычисляется формулой
/,--4- Е	(2.59)
1 !—Тв,С
§ 6. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ И СТАТИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ТРЕХФАЗНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТА
Составим систему уравнений, необходимых для расчета электромеха-
нического переходного процесса трехфазного электромагнита при
питании его обмотки от источника с заданными напряжениями
и А = и A kli ив « ив UC = ис [/].	(2.60)
84
			
			
W	— W		
	— W	W	
			К&АФА1г + (ФЛЛ + ФС/4
			Ксфск + %В (ф Ak + ФС^
(2.57)
		
Кео + ^KJb	-4Ra/b	Ra/b
— РвОЬ/6	— ^Pbi^/^	Pekbft
~ (Рсо 4* Рво) 4- 1	— 2 (Pgi 4" Pbi) ^/3 — -Ы^/Ь	i (Pca- 4" Рв^) ^/6 4- 4/?o/b
		Kb
Ra/b	-4Ra/b	RCk + 3Ra/b + Rc+RB
Уравнения электрического и механического равновесия имеют
вид*
Ид —фл — Пд =0; Ив —фв—п’в = 0; ис — ^'с — ric = 0;
(2.61)
f9 + fc — mvt =
где г — активное сопротивление фазы; fc — противодействующая
сила, которая, в общем случае, может быть функцией координаты
6 и скорости v движения якоря
/с = fc IS, ^1;	(2.62)
т — масса подвижной части.
85
Скорость якоря связана с его перемещением равенством
v = 6',	(2.63)
Введя фиктивный аргумент е = / и учитывая, что
Ф/ = Ф/ [М, 1в9 ic, 6] (/ = Д, В, Q,	(2.64)
запишем полную систему уравнений, описывающих электромехани-
ческий процесс, в виде
LaaIa + LabIb 4- Lac^c 4" Гд6е — и a [fl 4- На == 0;
Lba?a 4- LbbIb 4- Lecic + Гв6е — ив [fl 4- rie == О’,
Lca^a 4" Lcb^b + Lecic + Гс6е — uc [fl 4- ric e 0;
imf — f3 — fQ [6, yj = 0; 6е — v = 0; 1 — f = 0;
pe = SumE,	(2.656)
векторе
которой
(2.67)
где содержание векторов tn, p и матрицы определяется выраже-
ниями (2.53), (2.54), (2.56а) соответственно.
Сравнивая уравнения (2.65) с (1.119), находим, что здесь специ-
фический вектор имеет вид
у == colon (и, /).	(2.66)
Интегрирование системы (2.65) выполняется в соответствии g блок-
схемой рис. 9.
Начальный вектор р = р(0> при известном начальном
т — пупу рассчитывается по /i-характеристике, н. с. к. у.
имеет вид
1д — Мам = 0; 1в — htB(O) = 0; ic — hici® — 0;
6 — 6(0) = 0; 8 — h = 0;
p,« p (m],
а соответствующая ей н. с. д. у,— вид
й — /ieM(o> = 0; й — h^ieto) “ 0; /с — /A’qo) в 0;
ве-0; 1—й' = 0;	(2 68)
р « Same,
Проинтегрировав эту н. с, д. у. при нулевых начальных условиях
в пределах от 8 = 0 до е « 1, получим при 8 = 1 искомый вектор
р = Р(0).
ГЛАВА 3
ТРЕХФАЗНЫЕ ТРАНСФОРМАТОРЫ
§ 1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ТРАНСФОРМАТОРОВ
В настоящей главе изложены основы магнитнонелинейной теории
трехфазных двухобмоточных трансформаторов с представлением их
магнитопроводов в виде магнитных цепей с сосредоточенными маг-
нитными сопротивлениями. Задача решается для четырех типов маг-
нитопроводов — пятистержневого (называемого иногда бронестерж-
невым), стержневого с Ш-образным магнитопроводом, стержневого
с симметричным магнитопроводом и броневого.
В основу определения электромагнитных связей положим сле-
дующие допущения.
В соответствии с общепринятым методом расчета параметров рас-
сеяния трансформатора, из общего объема пространства, в котором
заключено его магнитное поле, выделим немагнитные области, за-
нимаемые полями рассеяния. Остальную часть объема поля предста-
вим сосредоточенными магнитными сопротивлениями, как показано
на рис. 14—17. При этом х. н. указанных на рисунках магнитных
сопротивлений будем полагать рассчитанными на основе метода
вероятных путей магнитного поля [131, т. е. путем разбиения заня-
того полем пространства на элементарные объемы простых конфигу-
раций. Так, х. н. Fa = FA [Фл1 для рис. 14 рассчитывается путем
суммирования по потокам криволинейной вебер-амперной характе-
ристики, определяемой сечением стержня, и прямолинейной харак-
теристики, соответствующей немагнитному пространству между
стержнем и внутренней поверхностью обмотки низшего напряжения;
х. н. = Fr [Фт] определяется с помощью суммирования характе-
ристик, описывающих левый стержень и объемы элементарных тел,
охватывающих этот стержень, и т. д. При не очень глубоких насы-
щениях для х. н. нелинейных магнитных сопротивлений допустимо
ограничиться учетом только объемов ферромагнитных частей магни-
топровода.
С целью сокращения числа в. к. м. с. воспользуемся для описа-
ния магнитной цепи методом контурных потоков, показанных на
рис. 14. По закону полного тока для контуров интегрирования,
87
Рис. 14. Магнитная схема замеще-
ния трехфазного пятистержневого
трансформатора.
	1 ФА+Фв + фС	
(•)	® ыв Lb (•)	
	0 U//, 1ь . (•)	®^с1с Г
i ФА	J	i Фв	> L
П ФА Л	и *с
К'
Рис. 15. Магнитная схема замеще-
ния трехфазного трехстержневого
трансформатора с Ш-образным ма-
гнитопроводом.
Рис. 16. Магнитная схема замещения трехфазного стержневого трансформатора с
симметричным магнитопроводом.
\(Фв-^с)2 (ФВ^2
Рис. 17. Магнитная
схема замещения трех-
фазного броневого * |	’ Т	Т
тр ансфор матор а.	I________________1-------------—----1
проходящих соответственно по путям 2—1—8, 8—7—3—2, 9—7—3,
6—7—3—4, 4—5—6, составим уравнения неявной внутренней.
э. м. х. пятистержневого трансформатора
F, [Ф4] —	[Ф2 — (DJ + waia 4- waia = 0;
Fa [Ф2 — Фх] 4- F2 [Ф2] — FB [— Ф2 — Ф3Ф<] — waia —
—	waia + wBiB + wbib = 0;
— Fв I— Ф2 — Ф3 — Ф4] 4- Я3Ф3 4- wBiB 4- wbib = 0;	(3.1>
Fc [Ф4 - Ф6| + F< |Ф41 - FB [- Ф2 - Ф3 - Ф4] ~ wcic -
—	wcic 4- wBiB 4- wbib =
Fb [Фб] — Fc 1Ф4 — Ф61 4- wcic 4- wcic = 0,
где Wj (J = А, В, C, a, b, c) — числа витков фаз; R3 — постоянное
магнитное сопротивление;
F, = ГДФ/] (/ = 1,	5);
Fa = Fa [Ф2 ~ Ф4]; FB = FB |- Ф2 - Ф3 - Ф4];
Fc = Fc [Ф4-Ф5]
— х. н. нелинейных ветвей магнитной цепи, изображенной на
рис. 14.
В соответствии с принятым делением магнитного поля представим
потокосцепления фаз в виде сумм потокосцеплений рассеяния и ра-
бочих потокосцеплений. При определении первых будем пренебре-
гать взаимоиндукцией между обмотками, расположенными на
89
«чужих» стержнях. Выражения для полных потокосцеплений фаз
имеют вид
фл == LsaaIa + ^sWa 4~ WA (Ф2 — ®1) ’
фв = LsbbI в 4- LsBbib + wb (— Ф2 — Ф3 — Ф4)1
фс = Lsccic + LsScic 4-	(Ф4 — Фб)’>
фа = ^аЛМ 4- ^saata 4-(ф2 — Ф1);
Ф& = ^ьв^в 4“ ^sbbib + ^ь (— Ф2 — Ф3 — Ф4)»
Фс == L3cCi0 + Lsccic + wc (Ф4 — Ф5),
где L3jn — постоянные индуктивности рассеяния фаз.
Образовав векторы
Ф = colon (фл, фв, фс, фа, ф6, фс);	(3.4)
т = colon (г’д, iBt iCi ia, ib*	(3.5)
H = colon (Фь Ф2, Ф3, Ф4, Ф5),	(3.6)
представим н. с. к. у. неявной э. м. х. пятистержневого трансформа-
тора двумя векторными уравнениями
ф = ф (/и, р); f (т, р) = 0.	(3.7)
Н. с. к. у. э. м. х. трехфазного стержневого трансформатора
с Ш-образным магнитопроводом (рис. 15) имеет вид
Ра [Фл] 4" (Фл 4“ Фв 4" Фе) — ДОлМ — waia = 0;
Р в [Фв] 4~ Ro (Фл 4“ Фв 4~ Фс) — Wei в — wbh == 0;	(3*8)
Рс [Фс] 4- Ro (Фл 4- Фв 4“ Фс) — Wcic — wcic = 0;
фл = LsAAlA 4“ LsAaia 4" ^лФл!
фв = LsbbIb 4- LsBbib 4- ^вФв;
фс s Lsccic 4- L^cic 4“ ДОсФс;
фа e L^aIa +• Lsaaia 4“ С1УаФл;	(3.9)
Фб e Lfbeie 4" Lsbbib 4- ^&Фв;
Фс = L3Ccic 4- L3CCic + 0УсФс,
где
Pf = Pi\®i\ (j^AtBtC)	(3.10)
— х. н. ветвей магнитной цепи рис. 15.
Здесь в. к. м. с. образуют вектор
р = colon (Фд, Фв, Фс).	(З.И)
90
Н. с. к. у. э. м. х. трехфазного двухобмоточного стержневого
трансформатора с симметричным магнитопроводом (рис. 16) имеет
вид
Fa [Фа - Ф3 + Ф41 + F, [Ф,1 - FB [Ф2 - Ф, + Ф6] -
—	wAiA — waia + wBiB 4- wbib = 0;
FB [Ф2 - Ф1 + Ф5] + F2 [Ф2] - Fc [Ф3 - Ф2 + Фв1 -
—	wBiB — wbib 4- wGic 4- wcic = 0;
Fc [Ф3 - Ф2 4- Ф6] 4- F3 [Ф3] - Fa [Ф, - Ф3 4- Ф4] -
—	wci0 — wcic 4- wAiA 4- waia = 0;
F4 [ф41 4- Pa 1Ф4 — Ф8 4- Ф4] — wAiA — waia = 0;
Рь [Ф5] 4- Рв [Ф2 — Ф1 4- Фб] — WbIb — wbib = 0;
Pq 1Ф61 4- Pg [Фз — Ф2 4- Фс] ~ ®с1с — wcic = 0;
фл = LsAAlA 4- PsAaia 4“ WA (Ф4 — Ф3 4* Ф4)5
фв = LsbbIb 4~ LsBbib 4- wB (Ф2 — Ф4 4* Ф5)»
фс = LsggIc 4- Lsccio + wq (Ф3 — Ф2 4- Фе)*»	„	~
Фа = РьаА^А 4“ Psaala 4“ Wa (Ф* — Ф3 4“ Ф4)>
Фб “ PsbBlB 4" Psbbib 4- Wb (Ф2 — Ф1 4" Фб)’»
Ф<? = PscClQ 4“ Рзсс^с 4“ wc (Ф3 — Ф2 4“ Фе)>
где
6);
Ра Fa [Ф! — Ф3 4- Ф4|; FB *= FB [Ф2 — Ф! 4- Ф5К
Fc = Ft 1Ф3~Ф2 4” Ф01
— х. н. ветвей схемы магнитопровода (рис. 16).
Для этого трансформатора
р = colon (Фь Ф2, Ф3, Ф4, Фб, Ф6).	(3.15)
Н. с. к. у. э. м. х. трехфазного двухобмоточного броневого
трансформатора (рис. 17) состоит из уравнений
[Ф — Фи ] ГФ.'
—d-2— + F. [-/] - waIa - waia = 0;
1ф —Ф 1	Г Ф —Ф 1	Г Ф 1
2 ° ] - F, [ \	+ Fz [-/1 -
— wBiB — wbib~Q\	(3.16)
[Ф„_. ф 1 Г Фг'
----2----J	Ч~2~J	Wcic ~~ Wcic = °’
91
где
(j — А, В,С)\
F, = F, [Фл/2]; F2 = F2 [Фв/2]; Fs = F3[Фс/2];
F4 = F41(ФA - Фв)/2]; F6 = F5 [(Фв - Фс)/2[	7)
— x. h. ветвей схемы магнитопровода (рис. 17), и уравнений (3.9).
Здесь вектор р имеет вид (3.11).
§ 2. ПАРАМЕТРЫ ТРАНСФОРМАТОРОВ
Внешние э. м. п. трехфазных двухобмоточных трансформаторов не-
зависимо от типа магнитопровода образуют матрицу индуктивностей

^АА	^AB	lac	Laq	LAb	Lac
lba	^BB	lbg	Lbo	Leb	LBc
Lqa	LCB	Lee	LCa	Leb	Lec
LaA	ljaB	LaG	Laa	Lab	Lac
LbA	4>B	LbC	Lba	Lbb	Lbc
^сА	LcB	Lcc	Lea	LCb	
(3.18а)
Размерность и содержание матриц внутренних э. м. п. опреде-
ляется вектором р, содержание которого для пятистержневого,
стержневого с Ш-образным магнитопроводом, стержневого с симмет-
ричным магнитопроводом и броневого трансформаторов задается
соответственно выражениями (3.6), (3.11), (3.15) и (3.11). Так, на-
пример, для броневого трансформатора матрица внутренних
э. м. п. имеет вид
=
дФ^л	дФл/Лй	дФА/<Нс	дФ^	дФА/д1ь	оф л/д1с
дФв1д1А		дФв/д1с	дФв/д1а	дФв/д1ь	дФв/д1с
дФс/д1А	дФс/д1в	дФс/д1с	дФс№а	дФс/д1ь	
. (3.186)
Внешние и внутренние э. м. п. для рассмотренных типов транс-
форматоров вычисляются по общим формулам (1.82а), (1.826). При-
92
ведем выражения матриц zu, г12, ?2i, «22» необходимых для вычисле-
ния этих параметров.
Для пятистержневого трансформатора с учетом уравнений
(3.3), (3.1) и выражений (3.4) — (3.6) имеем
^sAA			^sAa		
	Lsbb			LsBb	
		LsCC			LsCc
^saA			^saa		
	LsbB			^sbb	
		LscC			^scc
«и -
~WA	WA			
	~~~ WB	~WB	~WB	
			wc	
~W0				
	— ®b	— wh	I — Wb	
			Wc	— Wo
«21 —
			Wa		
	WB				1
	wB			Wb	
	wB	— wc			— WC
		wc			Wc
(3.19)
93
Ъ “К	~*А			
	Я2+Яд + ^	RB	Кв	
	RB	+ %в	кв	
	«в	Кв	R4 4- RB + Rc	-Ro
				R^Rc
где
Ъ =	= Rl[Ф/|	(/ = 1. •••.5);
^Л1Ф2-Ф1|
(1(Ф2 — Ф1) Яд[Ф2 Ф1Ь
----Лк-Ф.) - ° Rc |Ф«-Ф»1;	(3.20)
R°=-/(_ф;_ф/_ф;' = rs I- ф2 - Ф3 - ф,1
— дифференциальные магнитные сопротивления ветвей магнито-
провода (рис. 14), определяемые путем дифференцирования зависи-
мостей (3.2).
Для стержневого трансформатора с Ш-образным магнитопрово-
дом с учетом уравнений (3.9), (3.8) и выражений (3.4), (3.5), (3.11)
находим
	WA			^21 —	^12,				
		WB						
			WQ					
				» ^22 ~	Ra^-R.	Ro	Ro	(3.21) »
								
					Ro	Rb + Ro	Ro	
			WL		Ro	Ro	Rc 4" ^0	
94
где магнитные сопротивления
«,= -М4- = /?/[ф/1	(/= Д, В, С) (3.22>
определяются путем дифференцирования зависимостей (3.10).
Матрица гп здесь и для остальных рассмотренных типов транс-
форматоров имеет такой же вид, как и для пятистержневого транс-
форматора.
Для стержневого трансформатора с симметричным магнитопрово-
дом с учетом (3.13), (3.12) и выражений (3.4), (3.5), (3.15) имеем
WA		— WA			
~wB	WB			wp	
	~wc	WC			™c
wa		— Wa			
— wb	wb			Wb	
	—	Wc			
Ri 4- Ra 4* Rb	— Rb	-Ra	^a	-Rb	
— Rf	R, 4- Rb 4- Rc	-Rc		Rb	-Rc
~RA	— Rc	R. 4- Rc 4- Ra	-Ra		Rc
		-^a	r^ + Ra		
-Rb	Rb			R.+Rb	
	-Rc	rc			R*-\-Rc
(3.23b
где магнитные сопротивления
=	=	(7 = 1,	6);
^!Ф,-ф, + ф4|
°А~ а(Ф£ — Ф3 + Ф4)	фз + ф41»
95
dFn [Ф2 — Ф, 4- ФЙ1
R°=--ЛфЛф/Л/ = Rb [ф* - ф*+ф*’: <3-24>
„ dFr [Ф3 — Ф2 -f- Фб]
R< =...= Rc I®, - ф2 + ф.1
определяются путем дифференцирования зависимостей (3.14).
Для броневого трансформатора с учетом уравнений (3.9), (3.16)
и выражений (3.4), (3.5), (3.11) находим, что
г22 ~	Ra + (Rt + «4>/2	— Rt/2		, (3.25)
	-^/2	RB + (/?2 + й4)/2	-Rt/2	
		-R&/2	Rc + (R3 + R^!2	
где
=	(/ = AS.C);
dF1 1Фи/2|	dF2 [Ф«/21
«*= -ЛИгг = /?<[Фл1; ^ = ^даг = ^ф*’:
dF~ [Фг/2]
(3.26)
dF. ((Ф. — Ф=)/2]
^ = -^^Г^^[Фа~Фв]’
dF5[(®B-®c)/2|
R° ~ й((Фе-Фс)/2) ~ «»|Фв —Фс],
а матрицы z12 и г21 имеют такой же вид, как и для стержневого транс-
форматора с Ш-образным магнитопроводом.
Как видно из приведенных формул, матрицы вида г22 симметрич-
ны. Это обусловлено тем, что в основу составления уравнений внут-
ренней э. м. х. был принят метод контурных потоков.
Кроме того, во всех случаях матрицы г1а и г21 удовлетворяют
•условию
z21 = — г;2.	(3.27)
Так как
Sty Ч' 212222 221 “ 2ц ’ ^12^22 ^12	(3.28)
96
и матрицы Хц симметричны, находим в общем виде, что матрицы
внешних э. м. п. трансформаторов также симметричны, что согла-
суется с теоремой взаимности, доказанной в § 13 гл. 1.
И сложенный метод расчета э. м. п. легко распространить на мно-
гообмоточные трансформаторы и автотрансформаторы. Отличия при
этом будут только в уравнениях э. м. х. и матрицах гп, z12, z21. Матри-
ца г22 определяется только схемой магнитопровода и от числа
и способа соединения обмоток трансформатора не зависит.
§ 3. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Рассмотрим алгоритм расчета переходных процессов на примере
трехфазного трансформатора, работающего через лучевой тиристор-
ный выпрямитель на последовательную активно-индуктивную на-
грузку (рис. 18).
Заменим тиристоры актив-
но-индуктивными ветвями,
параметры которых скачко-
образно изменяются в момен-
ты коммутации.
Уравнения электрического
равновесия для этой схемы
имеют вид
Ива — фд — г AiA = 0;
Рис. 18. Электрическая схема однополу-
периодного выпрямителя с трехфазным
тр а нсфор матором.
Пев — фв — гв1 в *= 0;
и ас — фс — rdc = 0;
~ Фа — (Га + Гта) ia ~ Lrala ~ Г (la 4~ 1Ь 4~ /с) —	(3.29)
—	L (ia 4" ib 4* ic) — 0;
фй (гь 4“ гть) ib — LTbib — г (ia 4~ 4 4* ic) —
—	b (ia 4- ib 4- ic) — 0;
— фс — (rc 4- rTC) ic — LTcil — r (ia 4- ib 4- ic) —
— b (ia 4- ib 4" ic) — 0»
где rT/-, LTj (j = a, b, с) — активные сопротивления и индуктивности
ветвей, аппроксимирующих тиристоры; г, L — активное сопротивле-
ние и индуктивность нагрузки.
Потокосцепления всех фаз зависят от токов всех фаз в соответст-
вии с явной внешней э. м. х. трансформатора
Ф = ф [т],
(3.30)
7 8-3258
97
где содержание векторов гр, т определяется для каждого из рассмот-
ренных типов магнитопровода выражениями (3.4), (3.5). Поэтому
введя фиктивный аргумент е = Z и учитывая, что
г|/ == Sx[m! = S^n*,	(3.31)
где — матрица (3.18а), перепишем уравнения (3.29) в виде
Ьдд1 д + Ьдв^в 4“ LacIc 4~ ^Лай 4" ^Ahib 4" LaJc 4"
4~ га^а — ивд — О’,
LbA^A 4“ LbbIb 4“ LbcIc 4” Lbata 4~	4" LBch 4*
4~ гв^в — исв == 0;
LqA^A 4“ LcbIb 4- Lccic 4- Lcaia 4“ Lcbfib 4- Lech 4"
,+fClC“U4C = 0;.e	.в (3.32a)
LaA^A 4- LaBlB 4~ Lacic 4-	4“	4“ L) ia 4~ (Lab 4* L) ib 4"
4- (Lac 4~ L) i*c 4~ f (ia 4“ ib 4- ic) 4~ (ra 4* гт4 ia = 0‘,
LbA^A 4~ LbBiB 4* Lbcic + (Lb« 4- L) i% 4- (Lw, 4- LTb 4- L) it> 4*
4- (Lbc 4~ L) it 4“ r (ia 4- ib 4~ D 4- (rь 4~rгь) = 0;
LcaIa 4~ LcBii 4" Lcc& 4- (LCa 4- L) ia 4- (LCb 4~ L) м 4“
4“ (Lcc 4- LTC 4" L) i£c 4~ r (ia 4~ ib + ic) 4~ (rc 4“ гтс) ic = 0;
1 — /e = 0.
Дополнив уравнения (3.32a) векторным дифференциальным уравне-
нием явной внутренней э. м. х.
рЕ = 5цпге,	(3.326)
составленным с учетом конкретного содержания вектора р и матрицы
Зц для рассматриваемого типа трансформатора, получим полную
н. с. д. у., описывающую переходные процессы в нем.
Сравнивая уравнения (3.32) а уравнениями (1.119), замечаем, что
в данной задаче у ~ е.
Последовательность операций на шаге интегрирования н. с. д. у.
(3.32) показана на блок-схеме рис. 19.
Если на шаге Де = А/ ток одного из вентилей поменял знак с
положительного на отрицательный, то этот шаг следует отбросить
как неправомерный и при начальных условиях, соответствующих
последней рассчитанной точке процесса, проинтегрировать н. с. д. у.,
98
инвертировав ее на ток комму-
тирующего вентиля. Так, если
коммутирует тиристор в фазе а,
то следует выполнить операции,
соответствующие блокам 1,2,3,
4,5, после чего вычислить про-
изводные 1% == iA&a', = is£l °',
ilca = ic&la> fy =	ilca = ic&a',
— f^a; p/a =	Где Ъ° =
= Mia — производная фиктив-
ного аргумента по току комму-
тирующего тиристора, и вычис-
лить приращения токов iA, iB,
ic, ib, ic, времени t, фиктивного
аргумента 8 и вектора ц на шаге
Д/а == —ia, где ia —значение то-
ка ia в последней правильно рас-
считанной точке процесса, после
чего, изменив параметры гта,
LTa коммутирующего вентиля,
продолжать интегрирование по
щая последовательность операций на
шаге интегрирования ,н..с. Д. у. (3.32).
времени.
^слп же на шаге Ав = А/ напряжение на одном из вентилей
поменяло знак с отрицательного на положительный, то следует по
данным предыдущих и последнего шагов вычислить по формуле
(1.39) момент времени tk, при котором это напряжение равно нулю,
отбросить последний выполненный шаг и, при наличии на тиристоре
в момент tk положительного управляющего сигнала, проинтегриро-
вать н. с. д. у. (3.32) на шаге Ае = А/ =	— t', где t' — момент
времени в последней правильно рассчитанной точке процесса. Далее
необходимо изменить параметры скоммутировавшего тиристора и
продолжать интегрирование н. с. д. у. (3.32) по времени до следую-
щей коммутации.
Начальный вектор ц = р,(0) для расчета данного процесса при. из-
вестном векторе пг = т(о} рассчитывается по /^-характеристике.
Н. с. к. у. этой характеристики имеет вид
tn — htn{Q) = 0; 8 — h ~ 0; ц — н [т].	(3.33)
Продифференцировав эту н. с. к. у. по 8, приходим к; н. с. д.;у.
^-характеристики
mE —= 0; 1—^=0;	= Sum8. ,(3.34)
7*
99
Рис. 20. Зависимости токов от времени при включении ненагруженного трансфор-
матора ТС 75 со стороны обмотки низшего напряжения на номинальное напря-
жение:
I, 2, 3 — токи фаз обмотки низшего напряжения; 4 — ток в обмотке высшего напряжения.
Рис. 21. Зависимости индуктивных сопротивлений = сонЬ/7г обмотки низшего
напряжения от времени для трансформатора ТС 75, соответствующие процессу,
изображенному на рис. 20:
/, 2, 3 — сопротивления хаа, х^, хсс; 4, 6, Ь — сопротивления xa/j, х^с, хса.
Интегрируя по 8 эту н. с. д. у. при нулевых начальных условиях
в пределах от 8 = 0 до е == 1, получаем при 8 = 1 искомый вектор
И “ ИЮ).
Алгоритмы расчета переходных процессов для других схем вклю-
чения трансформаторов имеют аналогичную структуру.
В качестве примера на рис. 20, 21 приведены расчетные кривые,
иллюстрирующие переходный процесс при включении трехстержне-
вого трансформатора ТС 75 (75 кВА, 6000/220 В, Д/У) со стороны
обмотки низшего напряжения на номинальное напряжение при ра-
зомкнутой обмотке высшего напряжения. Длительность расчета
процесса на интервале сон/ = 2л на ЦВМ М-222 составляет в среднем
1 мин. Как видно из рис. 21, индуктивные сопротивления Xjk ~ aaLjk
изменяются на протяжении периода изменения напряжения питания
в очень широких пределах.
Изложенный метод применим и при учете гистерезиса. Внутрен-
ние и внешние э. м. п. трансформаторов при этом вычисляются по
тем же формулам, а отличие в алгоритме расчета переходных про-
цессов состоит только в том, что необходимо дополнительно фикси-
ровать направление изменения магнитных потоков во всех нелиней-
ных ветвях схемы магнитопровода и вычислять дифференциальные
магнитные сопротивления этих ветвей в соответствии с избранным
способом аппроксимации петель гистерезиса этих ветвей и направ-
лений изменения потоков в них.
§ 4. РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
Рассмотрим составление алгоритма расчета с. п. в трехфазном транс-
форматоре при питании его первичной и вторичной обмоток гармони-
чески изменяющимися во времени напряжениями
Uj = cos (со/ Н- az) (/ = A, Bt С, a, Ь, с),	(3.35)
где (7/(0), «/ — амплитуды и фазы приложенных напряжений, яв-
ляющиеся в общем случае произвольными заданными числами.
Уравнения электрического равновесия такого трансформатора
в матричной записи имеют вид
г|/ + — и = 0»	(3.36)
где
i = colon (м, /в, ic, /о, г’ь, Q;	(3.37)
и = colon (иА> ив, ис, иа, uhi ис)\	(3.38)
г = diag {rAt rB, rCt ra, rh, rc),	(3.39)
а содержание вектора ф определяется выражением (3.4).
101
Ввиду отсутствия дополнительных ограничений на рассматривае-
мый с. п. определяющий интервал повторяемости здесь равен пе-
риоду Т изменения питающего напряжения. Разделим его на N
равных интервалов
* =	(3.40)
Сеточное отображение искомого с. п. будем рассматривать как
точку /i-характеристики, т. е. такой одномерной характеристики,
для которой амплитуды напряжений питания всех электрических
контуров изменяются пропорционально вспомогательной координа-
те h
И} = hUj(O)	(j — Д, В, С, а, 6, с).
Система сеточных уравнений, отображающих дифференциальные
уравнения (3.36) и составленных в соответствии с разностным урав-
нением (1.43), имеет вид
— Зф [ZJ 4~ Зф [z3] 4- %	— hu\((Y, 4* 4 (r/2 — hut®)) +
4-	ri3 — huW}}) = 0;
— Зф [Z2] 4~ Зф [i4] 4~ X (rZ2 — /1^2(0) 4~ 4 (rZ3 — hu^)) 4"
4-	rZ4 — hu^) = 0;
— Зф [Zw_2] + Зф [Zw] 4- X (riN^2 — hu^2(0) 4-
4- 4 (ri/v—i — huw—кор 4- ri^ — huNioy) — 0;	(3.41)
— Зф U/v—J 4- Зф [ZJ 4* X (rZ/v—। — Iuin— ко) 4”
4- 4 (rZ/v — /шадц) 4- nt /шко)) = 0;
— Зф [Z/v I 4“ Зф [Z2| 4- X (rZjv — /шд/(0) 4- 4 (n\ — /г«цо)) 4*
4- ri2 — hu2(0)) — 0,
где
u«0) = colon (Uд(0) cos (coZz 4- ал), Uв(оу cos (coZz 4- afl),
L/C(0) cos (co/z 4- ac), Ua^ cos (tott 4- afl),
^6(0)cos(co/z 4- a6), LZc(o)cos (coZz 4- ac)) (/ = 1, ... Л). (3.42)
102
В уравнениях (3.41) запись
iplt/l подчеркивает то обстоя-
тельство, что вектор гр в l-м узле
сетки является функцией тока
// в этом же узле.
Дополнив уравнения (3.41)
уравнениями явной внутрен-
ней э. м. х., составленными для
каждого узла, т. е. уравнениями
(/= 1, П
(3.43)
получим полную н. с. к. у. иско-
мой /z-характеристики. Она со-
стоит из 67V + qN скалярных
функций и содержит 67V +
+ qN 4- 1 координат: 6-мерные
векторы i И (/-мерные векторы Рис. 22. Блок-схема, иллюстрирующая
последовательность операций на таге
р в N узлах и координату п. Сле- интегрирования н. с. д. у. (3.44).
довательно, она отражает одно-
мерную характеристику в (N (6 + q) + 1)-мерном пространстве.
Продифференцировав уравнения (3.41) по /i, приходим к
н. с. д. у. (3.44а). Продифференцировав уравнения (3.43) по h,
получим векторные дифференциальные уравнения
ц?=Зи;?	(/= 1.......N).	(3.446)
Уравнения (3.44) образуют полную н. с. д. у., описывающую иско-
мую /i-характеристику. Интегрируя ее при нулевых начальных
условиях в пределах от/г = 0 до/г = 1, получим при h = 1 сеточное
отображение искомого с. п. Последовательность операций на шаге
интегрирования этой н. с. д. у. показана на блок-схеме, изображен-
ной на рис. 22.
Аналогичным способом решаются задачи расчета для других
с. п. и одномерных сеточных характеристик с. п. В качестве примера
рассмотрим особенность построения алгоритма расчета одномерной
сеточной характеристики с. п. трансформатора, соответствующей
изменению активного сопротивления фазы А при заданных напря-
жениях питания. Н. с. к. у. такой сеточной характеристики отли-
чается от (3.41) тем, что для нее следует принять /г == 1, а в диаго-
нальной матрице (3.39) сопротивление гд принять переменным.
103
-35,,,!+ Хг	4Хл	35 + Хг		. . . 1		
		4Хг	35ф4 + Ъ			
						
				. . .		-ЗЗфЛ,_2 + Хг
35ф1+Хл						
4Хл	3S.i,o hr ч ~ '					
- 35<f,+ У.г	4Хг	35^., + X,				
	-ЗЗф.Н-Хг	4Хг	35м,4 4- Хл			
						
				. . .		— 33фдг_2 4- Хг
3Stl + X,			|			
4Хг	3S;J324-Xr					
Продифференцировав такую и. с. к. у. ио гА, приходим к н. с. д. у.
(3.45а), где rA = diag (1, 0, 0, 0, 0, 0). Продифференцировав урав-
нения (3.43) по г л, имеем
=	(/=1.......N).	(3.456)
104
	
	
	
4Хг	+ хг
—3S^_, 4- !.т	4Хг
	

4м
‘Н-> 7'А ‘N— 1
Уга lN
(3.45а)
Сравнивая н. с. д. у. (3.44) и (3.45), замечаем, что они отличаются
только независимой координатой и столбцом свободных членов,
поэтому программы их численного интегрирования практически
идентичны.
ГЛАВА 4
ТРЕХФАЗНЫЕ АСИНХРОННЫЕ МАШИНЫ
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Асинхронные машины (AM) — это наиболее распространенный вид
электромеханических преобразователей энергии. Они применяются,
главным образом, для преобразования электрической энергии в ме-
ханическую.
Электромагнитные процессы в AM весьма сложны, и их расчет
в полном объеме в настоящее время не представляется возможным
даже с применением наиболее совершенных вычислительных машин.
С другой стороны, в этом нет необходимости, так как для практики
достаточно выполнять режимные расчеты только с некоторой наперед
заданной и не очень высокой точностью. Эта точность, в зависимости
от целей исследования, может быть различной и она практически
предопределяет исходные допущения, которые должны быть приня-
ты в основу определения электромагнитных связей. Так, наиболее
простым является математическое описание AM как неявнополюсной
машины с синусными обмотками и линейными электромагнитными
связями. Оно, как правило, мало пригодно для инженерных расчетов
из-за низкой точности и в настоящее время применяется лишь для
аналитического получения основных соотношений, характеризую-
щих приближенно (качественно) поведение AM в различных усло-
виях ее работы [31, 37—39, 43]. Следующими по уровню сложности
являются математические модели AM о синусными обмотками, учи-
тывающие нелинейность электромагнитных связей [29, 77—79,
85, 87, 96, 1011. Они дают удовлетворительные результаты для по-
давляющего большинства режимных расчетов AM, выполняемых при
проектировании электроприводов, но они недостаточны для проекти-
рования AM. В последнем случае часто требуются расчеты с сов-
местным учетом насыщения магнитопровода, действительного (дис-
кретного) распределения намагничивающих сил обмоток статора и
ротора и зубчатого строения магнитопровода, так как только при
этом условии могут быть корректно рассчитаны так называемые,
синхронные электромагнитные моменты и асинхронные моменты от
высших гармонических намагничивающих сил обмоток. Впрочем,
при учете насыщения указанное деление электромагнитных момен-
106
тов на синхронные и асинхронные, очевидно, является весьма ус-
ловным.
В этой главе рассматриваются математические модели AM на
втором из указанных выше уровней сложности, т. е. с учетом насы-
щения и в предположении гармонического распределения намагни-
чивающих сил обмоток.
При решении задач режимных расчетов AM большое значение
имеет удачный выбор так называемой системы осей (системы коорди-
нат). Например, если AM с фазным ротором работает в условиях од-
новременной несимметрии в цепях статора и ротора (при наличии
вентильных преобразователей, дросселей насыщения или пофазно
несимметричных линейных сопротивлений, индуктивностей или ем-
костей), то целесообразно описывать AM непосредственно в фазных
осях. Для AM, работающих в условиях несимметрии схемы только
в цепи статора, предпочтительной является система так называемых
заторможенных осей, в которой оси фаз статора остаются непреобра-
зованными, а реальный вращающийся ротор (фазный или коротко-
замкнутый) заменен заторможенным трехфазным ротором [70].
И, наконец, если несимметрии нет ни в цепи статора, ни в цепи рото-
ра, то всю электрическую схему часто оказывается целесообразным
преобразовать к вращающимся прямоугольным осям х, у. Такое
преобразование особенно эффективно при питании обмоток статора
и ротора от источников с симметричными трехфазными системами
гармонических напряжений, так как в этом случае для установив-
шихся режимов AM дифференциальные уравнения электрического
равновесия вырождаются в конечные уравнения. Остальные извест-
ные в литературе системы осей — симметричные составляющие для
мгновенных значений, косоугольная система осей [103] и другие
преобразования, приводящие к использованию комплексных вели-
чин [31, 43, 102], не имеют преимуществ перед упомянутыми выше
тремя системами осей, а, наоборот, обладают по сравнению с ними
более или менее существенными недостатками, поэтому их примене-
ние нежелательно.
Ниже рассматриваются математические модели AM в фазных,
заторможенных трехфазных и вращающихся прямоугольных осях.
§ 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
В ФАЗНЫХ ОСЯХ
В качестве объекта исследования рассмотрим AM с трехфазными ста-
тором и ротором. Обмотку ротора будем полагать приведенной по
числу витков к обмотке статора. Принадлежность всех величин
к фазам статора и ротора будем обозначать индексами А, В, С и
at Ь, с, соответственно.
107
Для составления уравнений э. м. х. AM примем следующие до-
пущения.
Сложное магнитное поле AM условно представим состоящим из
трех частей — полей рассеяния статора и ротора и рабочего поля.
Предположим, что магнитные проводимости по путям потоков рас-
сеяния и по пути рабочего потока взаимно независимы. Для токов
статора и ротора примем ограничения
1а + is + ic = 0;	+ ib + ic = 0.	(4.1a, 6)
Потокосцепления рассеяния фаз статора представим как проекции
изображающего вектора фх потокосцепления рассеяния статора на
оси фаз статора, причем вектор будем полагать параллельным
изображающему вектору it тока статора, а модуль вектора примем
зависящим от модуля вектора i согласно х. н. путей рассеяния ста-
тора
= Ф1 [41-	(4.2а)
Аналогично, потокосцепления рассеяния фаз ротора представим
как проекции изображающего вектора ф2 потокосцепления рассея-
ния ротора на оси фаз ротора, полагая вектор ф2 параллельным изоб-
ражающему вектору i2 тока ротора, а модуль вектора ф2 — завися-
щим от модуля вектора i2 согласно х. н. путей рассеяния ротора
Фз = Фг 141-	(4-26)
Рабочие потокосцепления фаз статора и ротора представим как
проекции изображающего вектора рабочего потокосцепления на
оси фаз статора и ротора соответственно, полагая вектор фц парал-
лельным изображающему вектору намагничивающего тока AM,
а модуль вектора фи — зависящим от модуля вектора согласно
х. н. главной магнитной цепи AM
Фи = фцКц].	(4.2в)
Здесь под вектором намагничивающего тока будем понимать геомет-
рическую сумму векторов ц и t2
== ц i2.	(4.3)
Модули изображающих векторов токов ц, i2, определим как
Ч = ]/*(Ил +	+ /ic) = j/"-у 0’ia + i\b + Ис); (4.4а)
108
^2 ==	“ (Йа 4~ ^2Ь 4~ Йс) == ~у (Аа 4" $В 4“ *2c)i	(4.46)
ip, = р/*-у О’цл 4~ 1&в 4~ *ц,с) = "j/"~у (ip.a 4- i’nb 4" ^цс)» (4.4в)
где
2 .	1 .	1 .
Ьа — -у 1а---------%- 1в-------3- tc’>
1	.	,	2	.	1	.	/Л Е \
l\b =-5“ 1а 4- -г- 1в-у icl	(4.5а)
ООО
1 .	1 . . 2 .
1\с —-у La--у “г -у Lc>
9
i\a = -у (t A COS у 4- LB COS (у — р) 4- Lc cos (у 4- р));
Л/> =	(1д COS (у 4- Р) 4~ Lb cos у 4- ic cos (у — р));	(4.56)
2
ilc =	у (iA COS (у	— р)	+	iB cos (у	+ р)	+ ic COS у);
• —	2 •	1 •_	1 ,•.
12а	з La	з lb	з
1	.	, 2	.	1	.,
l2b —	з La	з If,	з lct
1	. I	.	, 2	. ,
l2c e	з la	з Lh 4~ з let
2
«24 = у (l'a COS у + ib cos (y + p) + ic cos (y — p));
2
 =y ((„cos(y — p) + ibcosy+ (ccos(y + p));
2
12C = -y (ia cos (y 4- p) 4- lb cos (y — p) 4- ic cos y);
i»A — i\A 4- L2A\ 1\jlB — i\B 4- l2B\ ifiC = lie 4" l2C,
i\i.a = i\a 4" L2a\ i\i,b = ilb 4- l2b’, 1цс = he 4" l2c
(4.5в)
(4.5г)
(4.6а)
(4.66)
— проекции векторов i\, i2, гц на оси фаз статора (отмечаемые ин-
дексами А, В, С) и ротора (отмечаемые индексами а, Ь, с). Здесь
обозначено: р = 2я/3; у — угол поворота ротора, измеряемый как
угол наклона оси фазы а к оси фазы Л (рис. 23).
Ввиду параллельности изображающих векторов фх и ii, ф2 и /2,
фр, и 1ц, их проекции на соответствующие оси пропорциональны, что
109
Рис. 23. Геометрическая интерпрета-
ция преобразования к трехфазным
заторможенным осям.
£г = ЛШ. = д2((2|.	=
позволяет записать полные по-
токосцепления фаз статора и ро-
тора в виде сумм
tyd = Ф1 • ilA^i “И фр, • *цл/£|Лл
Фа = Фг * Ьа^з 4“ Фа ’
фв = Ф1 • Йв/li 4- фц •
Ф& = Фз* 4“ фц, • ^цЬ^ц»
фс « Ф1 • iidh 4- фц • /цс//ц;
Фс ~ Фз *	4“ Фа • ^цс/^ц-
(4.7>
Введя в рассмотрение величины
L,=	=
~в £ц	(4.8а, б, в)
имеющие размерность индуктивности и определяемые по х. н.
(4.2а, б, в), перепишем выражения (4.7) с учетом (4.5), (4.6) в виде
(2	1 .	1 . \
~у М----у ie------у icу 4*
4“ -у {ia cos v + ib cos 4- P) 4- ic cos (y — p));
ips — (Lj 4- Лц) (---1д 4~ -y in--------у ic) 4-
4- Ln (ia cos (y — p) 4- i,t cos у 4- ic cos (y -f- p));
фс = (M 4" ^u) (-----у M------у in 4- ~y Zc) 4-
+ Lu	(ia cos (y + p) 4- i„ cos (y — p) + L cos y);
/ 2 .	!	.	!	. \	(4’9>
Фа	(^з 4~ Lu) 3 4i 3 ib 3 ic) 4~
2
4- Lа -у (G cos у 4- is cos (y — p) 4- is cos (y 4- p));
HO
= (L2 4- Lu) (-— ia 4- -y ---у ij 4-
4- Ьц -y (m cos (v 4- p) 4- is cos 7 4- ic cos (7 — p));
4c = (^2 ~H ^ц) (-у ia---3~ ib + “3“ icj +
2
4- U -y Ua cos (7 — p) 4- iB cos (7 4- P) 4- ic cos 7).
Дополнив уравнения (4.9) уравнениями неявной внутренней э. м.
AM
- / 4((4м-4<»-т4+(~^-+4--4ч+'
у и \ \ и	О	О /	\ О	О	О'
4~  у М--------у is 4—у	J = О’»	(4.10а)»
/2(12.	1	] . \2 /	1	2	1 . \2
"Т \\Т*в ”з~Zh з” Ч “Ц з~ia “з"з"ic)
+(- 41« - 4 +4 zT)=0;	(4-1 Об>
/2 // 2	1	1	9
т ЦтlA ~ Тin ~ Т + У cosv +lb cos(v + Р* +
* ’ * ** :	V /	1	2	1	*
4- L cos (у — р))I 4~ ( у г4 4—у ! в у ic 4-
+ 4 (ia cos (Y — p) + ib cos Y + ic cos (y + p))j +
+ (----3* iA-3- in + — ir + — (ia cos (у + P) +
+ ib cos (у — P) + ic cos y))a) = 0	(4.1 Ob)
111.
«ли
«м “ ]/ 1((1^COSV + *bcos(v — p) 4- i'ccos(y 4- p))4-
2	1	1 \2	/ 2
+ -3 ia----yi»---Г Ч + \T ('л cos (V + P) + ‘в cos у +
1	2	1	\2
4- tcCOS (Y —p))---- io + — ib — — ic) +
+	(<Л cos (y — p) + iB cos (v + P) + ic cos y) —
---г «□ - 4- ‘‘ + 4 ‘J) = 0;	(4-1 Or>
Lj L>y Uil ж 0; L2 ^21ч] =	Ьц [/ц] = 0, (4.1 Од)
приходим к полной н. с. к. у. неявной э. м. х. AM в фазных осях
при сформулированных допущениях.
В данной задаче векторами ф, т, р являются
Ф = colon (Фд, фв, фс, фа, ф6, фс);	(4.11а)
т = colon (/д, /в, ic, ia, ib, ic, ?);	(4.116)
p = colon (ц, i2, tu, Lp L2, Lu).	(4.11b)
С учетом обозначений (4.11) уравнения (4.9), (4.10) могут быть
представлены двумя векторными уравнениями
тр == <р \т, р]; /[т, р] = 0.	(4.12а, б)
Явные внутренняя и внешняя э. м. х. AM в фазных осях отра-
жают зависимости
р = р [/и]; ф = ф[т].	(4.13а, б)
При выполнении режимных расчетов AM желательно распола-
гать экспериментальными х. н. вида (4.2). X. н. (4.2в) получается
из характеристики холостого хода AM, снятой при ее питании со
112
стороны статора, путем векторного вычитания из напряжения пи-
тания падений напряжений на активном сопротивлении и индуктив-
ном сопротивлении рассеяния обмотки статора. Для получения х. н.
вида (4.2а, б) достаточно в зависимости от падения напряжения на
индуктивном сопротивлении AM в режиме короткого замыкания
отнести половину этого падения напряжения на обмотку статора, а
половину — на обмотку ротора, т. е. принять, что характеристики
(4.2а) и (4.26) идентичны. В действительности они несколько отли-
чаются, но это практически не оказывает влияния на результаты
режимных расчетов. Так, подробный анализ показал, что если для
определения х. н. (4.2а, б) падение напряжения на индуктивном
сопротивлении AM в режиме короткого замыкания разделить в соот-
ношениях 2 : 1 или 1 : 2, то результаты режимных расчетов AM
(как статических характеристик, так и переходных процессов) отли-
чаются всего лишь на 1—2%, т. е. поведение AM в статике и в дина-
мике определяется суммарным потокосцеплением рассеяния статора
и ротора и практически не зависит от величин этих потокосцеплений
в отдельности.
X. н. вида (4.2) могут быть получены и расчетным путем [67].
Обычно рассчитываются не зависимости (4.2а), (4.26) в отдельности,
а характеристика короткого замыкания. В этом случае следует
для получения зависимостей (4.2а, б) воспользоваться описанным
выше способом.
§ 3. ПАРАМЕТРЫ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
В ФАЗНЫХ ОСЯХ
Внутренними и внешними э. м. п. AM в фазных осях являются
матрицы
dir/diA		oix/dic	dix/dia	dijdib	dijdic	
di2/diA	diJdiB	di2/dic	di2ldia	diz/dib	di2/dic	di2ldy
д1^/д1А		di^dic	diyJdia	diu/dib		di^/dy
dLxjdiA	dLt/diB	dLJdic	dLjdia	dLx/dib	dLr/dic	dL-Jdy
dL2!diA	dL2/diB	dL2/dic	dL2!dia	dL2/dib	dL2/dic	dL2/dy
dL^ldiA	dLa!diB	dLjdic		dLyJdib	dLjdic	0Lu/dy
(4.14а)
113
8 8—325»
laa	Lab	Lac	Lau	L Ab	Lac	ГА
lba	lbb	Lbc	Lhu	Lri-	Lbc	1 в
lca	Lcb	Lcc	Leu	Lcb	Lcc	rc
	L,}b	Lac	Lau	Lab	LUc	'a
LbA	Lb В	Lh(	Lbu	Lbb	Lbc	
I'CA	Lcb	LcC	Co	LCb	c<	rc
(4.146)
Необходимые для их вычисления матрицы гп, г12, г21, г22 после не-
которых преобразований выражений их элементов имеют вид
	- Мц/2	- Чц/2
-		- C^
L\yfl	- c^	L\n
L^ cos у	L^ cos (y — P)	Lucos(y + p)
cos (y + p)	Lu cos y	Ly cos (y — P)
cos (y — p)	cos (y + P)	Lix cos V
cosy	cos (y + p)	cos (Y — p)	A. £ /(Vi 2 bUl2A
C.cos (v—p)	cos y	Л(1 cos (y + p)	to| co
cos (y + p)	cos (y — p)	/,ц cos v	“a. co |cm
^2ц	-	- L2(1/2	— L (Lvl 2 u lfl
~ ^2ц/2	^2ц	LzyJZ	to| w pT"
j - 4/2	^2ц/2	Lzn	— £ flvl 2 LLlllc
(4.15)
114
*12 —				Ча			>
				Чв		*цВ	
				Че			
					12о	*ца	
					12Ь		
					12с	1цс	
(4.156)
(М |со 1 и «5*	Ча/Ч		Чс/Ч								
									^2с^2		
	1цА^ц	‘ufi/'u	iucJlu		lixa^u		^ь/‘и			_ A t4v] 2 И	
											
											
											
	(4.15в)										
г22 ~	1										»
		1									
				1							
	— а.					1					
		-а2						1			
										1	
(4.15г)
8*
115
где i’SJ = — -f- (ia sin у 4- ib sin (y 4- p) 4- ic sin (y — p));
= — -y fe sin (V ~ P)+ sin у 4- ic sin (y 4- P))i
4c = — -у sin (V + P) + lb sin (y — p) 4- ic sin y);
(4.16a)
11? =----у (м sin у 4- iB sin (y — p) 4- * ? sin (y 4- p));
i{\b} =--у (M sin (y 4- p) 4- iB sin у 4- ic sin (y — p));
ii? -----(m sin (y — p) 4- iB sin (y 4- p) + ic sin y)
— производные по углу у при неизменных токах фаз от проекций
векторов i2 и на оси фаз статора и ротора, соответственно;
1 = (in а • 4л 4~ ifiB^B 4-	(4.166)
— производная по углу у при неизменных токах фаз от модуля век-
тора намагничивающего тока;
г-ъ dL2[i2]	...
й1~ dix МЧЬ а2— dii — M^b «ц— di* —
=	(4.16в)
— производные, вычисляемые путем дифференцирования зависи-
мостей (4.8)
= ^4-	^2ц e L2 4~	(4.16г)
Подставив выражения матриц гп, г12, г2х» г22 в общие формулы
(1.82а), (1.826). после алгебраических преобразований с учетом
равенств
iiA = 1а\ 1\в = in\ i\c = ic\ ita = ia> i%b = ib\ i?c — iCi (4.17)
вытекающих непосредственно из формул (4.5а, в) и условий (4.1)*
приходим к окончательному виду выражений для матриц внутрен-
них и внешних э. м. п. AM в фазных осях, определяемому формула-
ми (4.18),
116
где
h = ]/* -у- (й + 1в + ic)’, i2 = ")Л (ia 4- ib + к);
h —	“I" Ом 4* &в 4- ilc)’,	(4.19a)
inA — M 4- i2A', inB — ie 4* ize’, i^c = ic 4~ i2c‘,	(4.196)
ina — ia 4- i\a, i^b = ib 4- lv>’, i\xc — ic 4- i\o	(4. 19b)
Матрица (4.186) внешних э. м. п. AM состоит из квадратного
блока — матрицы индуктивностей и столбцовой матрицы коэффи-
циентов э. д. с. вращения. Ее элементы формируются из 48 отличаю-
щихся друг от друга слагаемых — величин Л1Ц, Л2ц, и 45 произ-
ведений вида
^yijikfii U, k = А, В, С)\ a2ijikH2 (j, k = a, b, с);
~2~	~2~	(/» k ~ А, В, С, tz, b, с).
Ввиду допущения о гармоническом распределении намагничи-
вающих сил фаз вдоль полюсного деления вычислим действующий
на ротор электромагнитный момент AM как модуль векторного про-
изведения тока статора на рабочее потокосцепление
М, = — -у- Ро I h X I = — 4 sin («Ц — “i) =
= — рочфц (sin ац cos 04 4- sin (ац — р) cos (04 — р) 4-
4- sin (ац + р) cos (04 4- р)),	(4.20)
где аь ац — углы наклона векторов и к оси фазы А (рис. 23);
ро — число пар полюсов машины. Знак «—» учитывает то обстоя-
тельство, что электромагнитные моменты, действующие на статор
и ротор, противоположны.
Учитывая, что
sin ам =	; sin — р) =	;
sin (ац + р) = -у^В 	(4.21)
cos cq s= IaHi, cos (ах —- p) = /в/ff, cos (cq + p) = fc/z’i, (4.22)
117
	W£1	£c/£i
		
£цл/£ц		1ц.С?/£и
ailд/Ч	ах1в11у	<МС/£1
		
а^цА^ц	VllB^ix	ац.£цс/£ц
			
^аЛг	ibth		
г*ца^ц		iudiu	1 to| 03 <**•
			
а21а/^2	a2^bl 12		
аи,1ц.а^1Ь	aH^llb^UL	aiillic^n	1 to| w » P’“T
(4.18а)
Чц 4“ а1£Л^1 + 4"	-МЛ + 4~ а^А^В^\ + 4“ ац£цЛ£цв/£ц	- Ь1и/2 4- 4-°1£л£с/£1 + 4-VmW£u
“ ^1ц/2 + + °11в*л/4 + 4” Яц/цВ^Л^Ц	^1ц + °1*в/£1 4" 4~ адх ^ив/^цх	~* ^1ц/2 4- 4	4” 4" ац£цВ£цс/£ц
W2 + 4- а^с^д11\ + 4~ ^ц^цб^цЛ^р	— £1ц/2 4- 4" а1^С^В^1 4- 4“ ац1|иС1цв/1ц,	Цц, 4~ а4с/й + 4" ац£ц,с/£ц
£цсоз у + + ^ц^ца^цЛ^ц	Lucos (V ~ Р) + 4“ Яц/цб/цВ^ц	£ц cos (у 4- р) 4- 4” ац.^р,а^ц.С^ц
£ц cos (у 4- р) 4- 4~ ац£цв£цл/£ц,	Ьц cos у + 4” ац4ц61|11в/1)ц	Ln cos (Y — Р) + 4“ ац^1лЬ^ц,С^ц
Ьц cos (у — р) 4. 4" ац1ц,с1М^|х 1	£ц cos (у 4~ Р) 4~ 4" ац£цс1|хв/£|х	LH cos Y + 4" а|х£цс£|хс/£ц
£ц cos у 4- + ац^цЛ1|ха^ц	£ц cos (у 4- р) 4- “Ь ац,£ц.л£ цл/^ц	£ц cos (у — р) 4- 4" ац.£цЛ£|хс/£ц	t 4W •р	1 -Г U—1 р^	4-
£ц cos (у — p) + "1“ бг|х1ц,В^ц.а^ц	£ц cos у + *+* а|Х£иВ£ и&/£ц,	£ц cos (у 4- Р) + 4" а|х1|хВ£цс/£|11	3 a 4vl _i_ 2 ^Llll2B ‘ 4- Vm^ub/'ii)
Lu cos (у 4- p) + а^[1С11ха^ц	£ц cos (у — р) 4- "1“ °|х^ц.С£ц.^/£ц	COS у + 4“ а11^11С^ЦС^ц,	-у <M£J + 4“ ац/|х ^цс/£ц)
£2ц 4-	+ “Ь ац(1ла^ц	~ ^2ц/2 + 4" а2^а1&/12 4- Н~ avJ'\id\x.bllVL	— ^2ц/2 4- 4- a2^dc/^2 4- 4~ ац1ца£цс/£ц	4- Э- л ”1'- +
“Н + + anliib( ца^ц	^2ц +	4- ~ь ац1цб/£ц	-4/2 + 4~ a2^dclh 4- 4"	lib1 liedIX	14“ •р^	_ тГ' +
- + + add-ali?. + a|xf |Lic£na/Zu	- i-2U/2 + 4~ addbl^2 4~ 4" а|Х1ЦС£|И&/1Ц.	^2|Х 4~ а2Г’с/*2 4- 4" ацгцс/£ ц	4~
(4.186)
119
118
а также равенство (4.8в), находим
М3 —------((1цв — inc) M + (iyc — 1цa) Ib +
4- (ip, a — 1цв) ic),	(4.23)
где токи /цл, 1цв, i^c вычисляются по (4.196), (4.5г).
§ 4. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ФАЗНЫХ ОСЯХ
Рассмотрим алгоритм расчета переходных процессов в AM на при-
мере ее включения через трехфазный групповой дроссель насыще-
ния (ДН) при обрыве одной
фазы в роторе (рис. 24).
Уравнения электрического
равновесия, составленные по
второму и первому законам
Кирхгофа для схемы рис. 24,
ДН сс
1	г-^-4
44^1
1
Рис. 24. Электрическая схема питания
AM через дроссель насыщения.
имеют вид
UAB — Г^в — TpgB —
— фв 4~ фл 4- ФйЛ + г — 0>
иве — г— фбд — ф# Фс 4~ ф§с 4-riic = 0;
М 4- 4~ ic — о,	(4.24)
— 'iih — Фь 4- фа 4- r2iQ = 0;
ic ~ 0; ia 4~ ib 4~ fc = 0,
где Г1 — суммарное активное сопротивление фазы ДН и статора AM;
г2 — активное сопротивление фазы ротора AM; иАв, иве — напря-
жения питания, являющиеся заданными функциями времени
Uab = Uab ИГ, ubc~Ubc\1\\	(4.25)
фё/ (/ = А, В, С) — потокосцепления фаз ДН.
Последние являются нелинейными функциями собственных токов
фаз, т. е. фй/ = ф4, If,I, поэтому
Фе/ ~ Lgjii U — А Q,	(4.26)
где
м </ = А в, Q (4.27)
— индуктивности фаз дросселя, зависящие от собственных токов фаз.
120
Потокосцепления фаз AM зависят от токов всех его фаз и угла у
поворота ротора согласно явной внешней э. м. х. (4.136), поэтому
= Stfn*,	(4.28)
где содержание векторов ф, т и матрицы определяется выраже-
ниями (4.11а, б) и (4.146).
Учитывая (4.26), (4.28) и введя фиктивный аргумент 8 = /, за-
пишем полную н. с. д. у., описывающую электромеханические про-
цессы в схеме рис. 24, в виде
(Ьвл 4~ Laa + Lbb — 2Ьдв) Ia + (Ags 4- LBb — Lbg — Lab 4~ Lac) ic 4-
4_ (— Lea 4- LBb 4" Lau — Lai>) ia 4- (Гл — Г5) у8 4- uab [/] 4~
4~ 2r^a 4~ r\ic ~ 0;
4~ L bb — LBa — Lcb 4~ Lca) ?a 4~ (LgB 4- Lcc 4- LBb — 2Lcb) ic 4*
4- (— LBa 4- LBb 4- Lca — Lcb) i\> 4- (Гс — Гв) у8 — uBc [/] 4-
4~ 2гxic 4" гхМ = 0;
(— Ььа 4- LhB 4- LaA — LaB) ia 4- {LbB — Lbc — LaB 4- Lac) ic +
4- (— Lba 4- Lьь — Laa — Lab) ia 4~ (Га — Г6) у8 4~ 2r2ia — 0;
Й + Й4-Й = О; Z? = 0; Й 4-й 4-Й = 0;	(4.29a)
Л4С 4- M3 — J/p^' =0; y8 — co = 0; 1 — f = 0;
pe —	(4.296)
где Л4С — момент сопротивления на валу, являющийся известной
функцией скорости со или угла у (или обеих этих координат вместе),
т. е.
Мс = Мс [со, у];	(4.30)
J — момент инерции вращающихся частей.
В данной задаче у = colon (со, /).
Последовательность операций на шаге интегрирования н. с. д. у.
(4.29) отображается блок-схемой, приведенной на рис. 25.
Ввиду того, что внутренняя э. м. х. AM при принятых исходных
допущениях представима в явном виде, алгоритм расчета переход-
ных процессов может быть модифицирован следующим образом.
Вместо того, чтобы вычислять в. к. м. с. путем интегрирования
дифференциальных уравнений (4.296), их можно вычислять непо-
средственно из уравнений (4.19), (4.10д) внутренней э. м. х., минуя
внутренние э. м. п. При этом блок-схема решения задачи на шаге
121
Рис. 25. Блок-схема, иллюстрирую-
щая последовательность операций на
шаге интегрирования н. с. д. у. (4.29).
Рис. 26. Блок-схема, иллюстрирую-
щая последовательность операций на
шаге интегрирования н. с. д. у. (4.29)
с вычислением в. к. м. с. непосред-
ственно по уравнениям явной внут-
ренней э. м. х.
интегрирования приобретает вид, изображенный на рис. 26. Алго-
ритмы, составленные в соответствии с блок-схемами рис. 25 и 26,
практически равноценны.
Для определения вектора в. к. м. с., соответствующего заданному
вектору т = /л(0) в начальной точке рассчитываемого процесса, мож-
но воспользоваться /^-характеристикой, как было показано в § 3
и 6 гл. 2 и § 3 гл. 3. Но если для интегрирования н. с. д. у. переход-
ного процесса предполагается использовать алгоритм, составленный
согласно блок-схеме рис. 26, то вектор в. к. м. с. проще рассчитать
непосредственно по уравнениям (4.56, г), (4.19), (4.8).
122
§ 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
В ЗАТОРМОЖЕННЫХ ТРЕХФАЗНЫХ ОСЯХ
При описании электромагнитных связей AM в заторможенных трех-
фазных осях используются векторы токов и потокосцеплений не-
подвижных электрических контуров
К = colon (м, iB, ic, i~, i~, i~);	(4.31a)
a b c
К = colon (фд, фв, фс, ф~, ф~, ф~),	(4.316)
определяемые через векторы токов и потокосцеплений в фазных осях
i = colon (м, iB, ic, ia, ib> ic)',	(4.32a)
Ф = colon (Фд, фв, Фс, Фа, Фь, фа)	(4.326)
в соответствии с преобразованием
К ~ П_£; Ф~ = П~ф,	(4.33а, 6)
в котором матрица преобразования имеет вид
П.=
-Ь 4- у cos (у 4- р)
у 4- - cos (у — р)
2
cos ср — р)
1 . 2
— 4- — cos у
1	2
— 4- -у COS (у 4- ,р)
cos (у 4- о)
~ 4- -у cos (у — р)
у 4- — cos V
(4.34а)
Матрица П ~ ортогональна, поэтому обратная ей матрица равна транс-
понированной
(4.346)
пг = гк.
Обратные преобразования имеют вид
i = П~'К; ф = ПТ’ф~.	(4.35а, 6)
Преобразование с помощью матрицы /7_, определяемой по
(4.34а), с физической точки зрения отражает замену трехфазной
обмотки вращающегося ротора AM трехфазной неподвижной обмот-
сой, оси а, Ь, с фаз которой совмещены с осями А, В, С фаз статора
123
[70]. Обмотка статора при этом подвергается тождественному преоб-
разованию, т. е. остается без изменения.
Если сумма токов фаз ротора равна нулю, то геометрическое со-
держание преобразования к заторможенным трехфазным осям может
быть интерпретировано следующим образом: известно, что проекции
изображающего вектора тока (потокосцепления, э. д. с., напряже-
ния) ротора на оси фаз вращающегося ротора равны мгновенным зна-
чениям токов (потокосцеплений, э. д. с., напряжений) фаз ротора;
на основе (4.34) легко показать, что проекции этого же вектора на
оси а, Ь, с фаз заторможенного ротора, совмещенные с одноименными
осями статора, равны мгновенным значениям токов (потокосцепле-
ний, э. д. с., напряжений) фаз а, Ь, с.
Представим выражения (4.9) одним матричным уравнением
ф = СФг,	(4.36)
где
р____2
Сф - -у
	- (L, 4- Ьц)/2	- (L, 4- ^ц)/2
— (^*1 Ч"		- (L, 4- £ц)/2
- (L, + Ьц)/2	- (L, 4- 1ц)/2	t.4-Lu
cos у	Lu cos (у — р)	cos (v 4- р)
cos (v 4- р)	cos у	cos (у — р)
cos (v — р)	cos (V 4- р)	cos у
Ьц, cos v	cos (v 4- Р>	cos (v — pi
cos (-у — р)	cos v	Lg cos (у 4- pi
Lg cos (у 4- р)	Ц cos (у — р)	cos v
4-	- (L, 4- Ьц)/2	— U-г 4“ ^-ц)/2
- (Ь2 4- L|x)/2	^-2 Ч*	—	4" ^-ц,)/2
	 (^-2 + ^Ц,)/2	- (Ь8 4- Ьц)/2	^2 Ч"
(4.37)
124
с учетом (4.336), (4.36), (4.35а) имеем
== П_С^1 =
(4.38)
Подставив в (4.38) содержание матриц П/771, С^> по (4.34), (4.37),
после умножения и алгебраических преобразований находим вы-
ражения потокосцеплении электрических контуров в заторможенных
осях через токи этих контуров
'фд — (L1 -|- Lu) (-у 1а-у tz?-3- i’cj 4-
+ (у i- 3-'j 3- <-):
ipe = (Z-i + Ьц) (-3- Ь + у 1в-ic) +
, , /	1 . , 2 .	1 . \
+ L" (“ ~1- + Т'^Т'-р
4>с = (Z-i + i-n) (---J" i<4-3" £'в + у fc) +
+ L|‘ (- у i. — -A- i - 4- -Li_) ;
i|>- = (L2 +	(— 1-	3-	3-«-) +
(“1л гts 3* k);
I’j = (Z-г +	3-r1;) +
+ (—-у<л + iB ~ T ‘°) ’
ip- = (L2 + LJ (— 4- i; — -y ij + у i;) +
. r I	1 •	1  , 2 . \
+ M----3-	------3- (S + у io] .
(4.39)
125
Подставив в уравнения (4.10) выражения токов фаз AM через ее
токи в заторможенных осях в соответствии с выражениями (4.35а),
(4.346), после алгебраических преобразований приходим к н. с. к. у.
неявной внутренней э. м. х. AM в заторможенных трехфазных
осях
----— iA-----—	_ ic^ j = 0;	(4.40а)
- 4-Г + (- 4-- 4- ‘> + 4' J'') = 0: <4-40б>
/ 9 /, О	1	I
1/ “з'((т(14+ Z7)------з'(<н + ‘ь> ~ ~ li + 17>) +
/1	.2	1	И
+ (- 4-	) + — (»в + ) - — <" +1 )) +
/I	1	2	i2
+ (~т+ z;^ ~т(,в + 1ь} + “(tc + J =
(4.40в)
Li — [ij] = 0; L2 — L2 2I = Ф	[Гц] = 0. (4.40г)
Уравнения (4.39) и (4.40) в векторной записи имеют вид
= Ф [т~, р~]; /[т~, ц~]=0,	(4.41а, 6)
где
= Г^;	« colon (i\, i2t Lv L2, L^) = p, (4.42a, 6)
а содержание вектора определяется выражением (4.316). Здесь
в отличие от неявной э. м. х. в фазных осях, в уравнениях отсутст-
вует угол у.
126
Я иные внутренняя и внешняя э. м. х. AM в заторможенных трех-
фазных осях представляют собой зависимости
[т~].	(4.43а, б)
| 6. ПАРАМЕТРЫ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
В ЗАТОРМОЖЕННЫХ ТРЕХФАЗНЫХ ОСЯХ
Внутренние и внешние э. м. п. AM в заторможенных осях образуют
матрицы
	dix/diR	di^/di c	di J di a	di-Jdi ~ b	di^di ~ c
di2/diА	di2/di R	di2/dic	di2/di~	di2/di ~ b	di2/di^ c
diu/diA	diu/diB	di^/di,.	di^/di. a	'V3i- b	
dLjdi ц	dLJdiB	dLx/dic	dL^/di^ a	dLjdi~ b	dL-Jdi~ c
^/д<А	dLz/diti	dL2/dir:	dL2/di ~ a	dL2/di ~	dL2/di ~ c
<^(НА		dL^dic	a	dLM Ц b	dL^/di.
^AA	^AB	^ac	L „ Aa	L ~ Ab	L _ Ac
	^BB	lbc	L Ba	L _ Bb	L ~ Be
lca	^CB	Lcc	L M Ca	L „ Cb	L ~ Cc
aA	aB	aC	L‘~~ a a	a b	a о
bA	bB	L_ bC	u ~ b a	b b	b c
u cA	cB	L~ cC	c a	c b	c c
127
Матрицы zu, z12, z21 здесь имеют, соответственно, вид
(4.45в)
12а
где
.	2 .	1 . i .	1 . , 2 .	1 .
ЙЛ у М---------з-гв-----з” *1/3=----------з~1а *" ~3~ 1в----з~tc'
йс =------о- М-----о- *в Ч—*с;	(4.46а)
О	о	о
.	2 .	1 .	1 .	.	1 .	, 2 .	1 .
-----1~--------— l~\ I ~ =-----— 1~ +	-----
На За о Ь о с 2Ь	о а 3 Ь о с
I -	----г‘г + 4*‘-;	(4.466)
2с	3 а 3 Ь 3 с
1цА = Иа +	*цв=*1в + *-; *цс = йс-Н’~	(4.46в)
Zv	Zv «
а величины LiM, £2ц определяются по формулам (4.16г).
Матрица z22 в заторможенных осях имеет такой же вид, как в
(разных осях.
Подставив выражения матриц гп, г12, г21, г22 в общие формулы
э. м. п., после преобразований g учетом равенств
йл = м; йв = *в; йс = йь *~ = *~; *~ =	*- = *- (4.47)
2а a 2b b 2с с
вытекающих непосредственно из (4.46а, б), (4.1), приходим к окон-
чательному виду выражений для матриц внутренних и внешних
э. м. п. AM в заторможенных осях, определяемому формулами
		1с/й			
			(~ / й а	ь	«~Л2 с
	^ивА'ц		^цА^ц,		^ULC^U
а1гл/Й		^с^й			
			6^2^ — ! ^2 а	a^li.z ь	/й С
ац1 ц,а!1 ц			Яц^А^ц,		а1^1Л.С^ц
(4.48а)
129
9 8-3258
Чп + а11д/й 4- 4* а^ц,А^и	- w2+ + а\1А1в1^ 4- 4" ац?цЛ*ц,в/*ц	“ L1U/2 4- ~^~аА1А1С^1 Н~ Н- ац1)хА1ц.С^ц
-ч/2+ + а1*в* лЧ 4- 4" ^цЧ^ПЛ^П	Чц + airB/fi 4- а^\хВ^\х	— £1ц/2 + 4- а^’вЧй 4- 4*
— Чц/2 + + а1ЧЧЧ 4- 4"	— Чц/2 4- + ^Ч^в/Н 4- 4* a^ixC^[iB^ix	Мп 4" а11сА1 4- +aAih
^П 4“ ац1ц,Л^Н	- ЧР + 4" а^\хА^\хВ^\х	-L^+ 4* аигц,лЧсА|ц
-Ч./2 + 4" aixl\xB^A^)х	^ix	-4/2 + + аи'цВ'цс/‘ц
-W + "Ь а L? uCf \хА^ ц	-Ьц/2 + + аи1цС'ив/‘ц	4 4" ^ц/цсАц
li = (Й + i’b + ic)', i2 =	G'~ + i2~ + i~)',
in = j/”-y (iy.A 4- ins 4* i|xc)J	(4.49)
— Ia 4~ i~; i|xB = Ib 4* i?» ino = ic 4“ i~*	(4.50)
a	b	c
Вычисление матрицы внешних э. м. п. AM в заторможенных осях
непосредственно по (4.48) требует выполнения значительно меньшего
числа арифметических операций по сравнению с вычислением мат-
130
*'11 "Ь	~ LvJ<2 4" 4" ац£ц,л£ и.в!1ц	- 4/2 + 4~ ац£цЛ£ цС/£ц
- ^/2 +	I'll 4" ац£ |д,в/£ ц	— ^ц/2 4- 4“
~Ьц/2 +	- V2 + 4“ VlAA	4“ ^ц^цС^ц.
.	2 4- /Ч 4- 4"	Цц/2 4" 4-	+ а b 4" ац/ц,Л£ц,в/£ц	“ Цц/2 4- + a$i4- а с 4” ац£ц.Л£цС^ц,
—	4- 4~ aj-/*2 4- 4"	Чц +	4- 4-ац1цв//ц	- '-2ц/2 + 4- a2i^i^/i2 + Ь с Ага^в^с^
~ L2U/2 4- 4- a2CJ~/i2 4“ 4“ ац£цС1|Д,Л^|и1	- 4/2 + + aai.l./i2 + с b 4“ VlAA	Ага2^/Ч 4- +
(4.486)
рицы (4.18) э. м. п. в фазных осях, так как здесь матрица э. м. п.
формируется всего лишь из 21 отличающихся друг от друга величин
Л1ц, Л2ц, и произведений	(jt k = А, Ву С}\
(/> k = а,Ь, с).
Электромагнитный момент AM в заторможенных осях рассчиты-
вается по формуле (4.23), причем токи £цл, следует вычислять
по формулам (4.46в).
Остановимся кратко на вопросе о математической обоснованности
преобразований осей для электрических машин с насыщающимися
магнитопроводами.
В литературе весьма распространена точка зрения о том, что для
насыщенной электрической машины преобразования осей являются
9!
131
якобы неправомерными или, во всяком случае, требуют доказатель
ства правомерности для каждого в отдельности вида преобразования
и способа учета нелинейности электромагнитных связей. Такая по-
становка вопроса, однако, не имеет теоретического обоснования.
Действительно, любые преобразования осей, применяемые в теории
электрических машин, представляют собой обычную замену пере-
менных. Но, как известно [401, единственным условием, предъявляе-
мым к любой замене переменных, является требование ее взаимной
обратимости, т. е. матрица Якоби для применяемого преобразования
должна быть неособой. Все применяемые в теории электрических
машин преобразования осей удовлетворяют этому требованию и, сле-
довательно, все они правомерны, независимо от того, является ли
исследуемая машина ненасыщенной или насыщенной, а в последнем
случае — независимо от способа учета насыщения ее магнитопрово-
да, т. е., в конечном итоге,— от вида уравнений ее э. м. х.
С другой стороны, целью всякого преобразования является уп-
рощение решаемых уравнений: если избранное преобразование не
приводит к желаемому их упрощению, то его следует признать
нецелесообразным. Вопрос целесообразности тех или иных преобразо-
ваний осей в магнитнолинейной теории электрических машин в ли-
тературе решается на уровне исследования их э. м. п. путем непо-
средственного вычисления матрицы внешних э. м. п. в преобразо-
ванных осях через известные матрицу преобразования и матрицу
э. м. п. в фазных осях. Для насыщенных машин такой путь в боль-
шинстве случаев практически нереализуем ввиду его чрезмерной
громоздкости. Здесь исследование целесообразности преобразова-
ния осей должно выполняться на уровне э. м. х., как это сделано,
например, в § 5 и 8 настоящей главы. Действительно, если окажется,
что в результате принятого преобразования из уравнений э. м. х.
выпадает угол у поворота ротора, то из этого неизбежно вытекает,
что угол у не должен входить в вектор-аргумент э. м. х., и, следова-
тельно, матрица внешних э. м. п. в преобразованных осях будет
состоять только из индуктивностей электрических контуров (коэф-
фициенты э. д. с. движения в ней будут отсутствовать).
§ 7. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
В ЗАТОРМОЖЕННЫХ ТРЕХФАЗНЫХ ОСЯХ
Матричное уравнение электрического равновесия AM с двухсторон-
ним питанием, составленное по второму закону Кирхгофа для фаз
статора и ротора, имеет вид
ф 4- ri—и = 0,	(4.51)
132
где содержание векторов i, ф определяется выражениями (4.32), а
и = colon (иА, ив, uCi иа> ubi ис); г = diag (гл, rBl rc, r2, r2, r2).
(4.52a, 6)
Отметим, что здесь сопротивления фаз ротора должны быть оди-
наковыми, тогда как для статора такое ограничение отсутствует.
Преобразуем уравнение (4.51) к заторможенным трехфазным
—*	—1"►
осям. Умножив его слева на матрицу /7_ и учитывая, что i — П~ i_t
а производная вектора ф по времени с учетом (4.356) равна
= 4 (ПЗ $_) = (П-'/ ф. + п~ '4~,
имеем
П~ (П71/+ П~гП~ Z. — П_и = О. (4.53)
Производная по времени от матрицы Пимеет вид
(П-’)'=-|<о
					
					
					
			sin у	sin (у — р)	sin (у 4- р)
			sin (у 4- р)	sin у	sin (у — р)
			sin (у — р)	sin (у 4- р)	sin у
(4.54)
где
(О = у
(4.55)
— угловая скорость ротора (в электрических радианах за секунду).
133
С учетом (4.34а) и (4.54) находим, что
Произведение П~гПJ представляет собой матрицу г~ активных
сопротивлений AM в заторможенных трехфазных осях. С учетом
содержания матриц П П~1 и г находим, что
г~ = ГкгПТ1 = г,	(4.57)
где г — матрица сопротивлений в фазных осях.
С учетом выражений (4.56), (4.57) уравнение (4.53) принимает
вид
4-	=0,	(4.58)
где
= \\~и — colon (ид, ив, ас, u~, и~, u~)	(4.59)
a b c
— вектор напряжений в заторможенных трехфазных осях, а содер-
жание векторов С, определяется выражениями (4.31).
Вектор согласно явной внешней э. м. х. (4.436) зависит от
вектора совпадающего с вектором токов С, поэтому
• mt = s4._  Z.	(4.60)
В качестве примера, иллюстрирующего применение уравнения
(4.58) электрического равновесия AM в заторможенных трехфазных
осях для расчета переходных процессов, рассмотрим динамическое
торможение AM при питании обмотки статора от источника перемен-
ного напряжения u[t] через вентильный однополупериодный вы-
прямитель, как показано на рис. 27.
Уравнения электрического равновесия в заторможенных осях,
составленные с учетом (4.58) применительно к схеме рис. 27, имеют
134
вид
и [/] — Г Al А *— фл + фв +
+ г в1в + LTie + гт1в в О’»	(4.61а)
и [/] — г etc — фс + фв +
4“ г si в 4* Ltib 4* ^4 в == 0;	(4.616)
Ф~ + ю — Ч’-У/З + r2i~ - О;
(4.61в)
Рис. 27. Электрическая схема ди-
намического торможения AM при
питании обмотки статора через
однополу пер иодный выпрямитель.
(4.61г)
(4.61Д)
(4.61е, ж)
фС + со (ф- — ф.)//3 + r2i~ = 0;
ф'- + со (ф--ф-О/Т/З + r2i~ =а 0;
iA 4- 1в 4- io == 0; i~ 4" 1г 4"	= 0.
а b с »
где Lt, г?— индуктивность и активное сопротивление ветви, заме-
няющей вентиль.
Подставим в уравнения (4.61) производные потокосцеплений че-
рез внешние э. м. п. и производные токов в соответствии с выраже-
нием (4.60), вычтем из уравнений (4.61 в, д) уравнение (4.61г), исклю-
чим токи /в, в соответствии с уравнениями (4.61 е, ж) и введем фик-
тивный аргумент в — t, В результате этих преобразований полная
н. с. д. у., описывающая электромеханические процессы в схеме
рис. 27, примет вид
(— Laa 4- Lab 4“ Lba — Lbb — LT) Са 4" (Lab — Lac — Lbb +
+ Lbc — LT) ic + (— L£ + L£	L^) is~ +
4- (La6 — Lac — Leb 4- Lbc) i~ 4~ u — (Л4 4- rT) Ia —
— <rB 4- rT) ic == 0;
(— Lca 4- Lcb 4“ Lba — Lbb — LT) i\ + (Lgb — Lee — Lbb 4~
4- LBc — Lr) ic 4- (— L ~ 4- L ~ — L~ — L iz~ 4-
La Lb Ba Bb a
4- (Lcb — Lee — Leb 4- Lbc) i*~ 4- u — (rc 4“ гв 4- fT) —
c
— (Гв + rT) iA = 0;
(L~ — L~ — L~ 4” L - ) ia 4” (— L~	L~ L~ — L~ ) i@ 4-
V aA aB bA 1 bBr 1 x aB ' aC 1 ЬВ Ы7 u *
4- (L--. — L~~ — L~~ 4" L^ ~) it -|- (— L~-	L^^ 4"	—
a a a b ba boa	a b a c bo
— L~~) i~ —co J/Зф- 4- r2 (2i~ -j- i~) = 0;
b с с	с	и c
135
(L~	— L~	+	+L. — Z,~ — L- +
CA cB ЬА ЬВ'	cB cC ЬВ bC 1
4~ zL~ ~ — Li — — L— -|~ L ~ ~) i ~ -J- (— L— -}~ L,— -j-
с a c b ba bb a	cb с c
4~	~ — £'~~)	ip- 4- r2 (2i~ -|- Z~) = O’,
b b b с с	a	c	a
lA + i*B + ic = 0; zl +	+ /t = 0;
Mc— Mb— J!p0 • co8 = 0; ys — co = 0; 1—f = 0; (4.62a)
фр~ = S^p^mL; pl = S^/n8,	(4.626, в)
где — нижняя половина матрицы (4.446) внешних э. м. п.;
фр_ = colon (ф~, ф~, ф~)	(4.63)
а b с
— вектор потокосцеплений заторможенных фаз ротора.
Как видно из н. с. д. у. (4.62), в специфические уравнения
(4.62а) входят в качестве зависимых координат потокосцепления ф~,
ф~. Поэтому здесь, в отличие от описания процессов в фазных осях,
возникает необходимость интегрирования дополнительных диффе-
ренциальных уравнений, охватываемых матричным уравнением
(4.626). В остальном интегрирование н. с. д. у. (4.62) не отличается
От рассмотренного в § 4 настоящей главы. Очевидно, что ввиду на-
личия в схеме вентиля для устранения дробления шага интегрирова-
ния в окрестности моментов коммутации следует применить инвер-
тирование н. с. д. у., аналогично тому, как это было изложено в
§ 3 гл. 3.
Здесь, как и при решении задач в фазных осях, имеется возмож-
ность исключить из общей н. с. д. у. уравнения (4.626, в) и вычис-
лять вектор фр~ по формулам
Ф~ = L^i^A +	== Ьр/цв + L2Z-; ф~ = Lutuc + ^2Z~,
a	a b	b с	с
вытекающим непосредственно из (4.39) и условия (4.16), а в. к. м. с.—
по уравнениям (4.49), (4.50), (4.10д), минуя внутренние э. м. п.
Этим же способом могут быть найдены также начальные векторы
Фр~(О), ц~(0) по известному вектору /п~(0), соответствующему началь-
ным условиям рассчитываемого переходного процесса.
§ 8. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА В ОСЯХ х, у
Векторы токов и потокосцеплений в осях х, у имеют вид
iD = colon (iu, i10, i2x, t2//, Z2o)‘,	(4.64a)
фп = colon (ф1х, Ф1^, ф10, ф2х, фг^, ф2о)*	(4.646)
136
Они определяются соответственно через вектор токов i (4.32а) и
вектор потокосцеплений ф (4.326) в фазных осях согласно преобра-
зованию
id = Ш; фр = Пф,
(4.65а,б)
в котором матрица преобразования имеет вид
п -	2 — cos Yi	2 — соз(71 — p)	2	Z	,	X — cos (Yi + p)	—>
	2 . — -3- sm Yi	2 — — sinfti —p)	— —sin (Yi + P)	
	1 3	1 3	1 3	
				
				
				
		
		
		
2 -3- cos y2	2 — cos (y2 — p)	2 -у cos (y2 + P)
2 — ~3* s'n	2 - — S|n (?2 —P)	2 — — sin (y2 + P)
1 3	1 3	1 1 3
(4.66а)
137
Обратная ей матрица принимает вид
cos Yi	— sin Yt	1			
cos (уг — p)	— sin (Yr~ P)	1			
cos (Yi 4- p)	— sin(Yi + p)	1			
			COS Y2	— Sin y2	1
			cos (y2 — p)	— sin(Y2—p)	1
			cos (y2 + p)	— sin(Y24- p)	1
(4.666)
Обратные преобразования выполняются по формулам
i ~ П ф = П
(4.67а,б)
Преобразование с помощью матрицы П, определяемой по (4.66а),
с физической точки зрения при
Рис. 28. Геометрическая интерпре-
тация преобразования к прямо-
угольным вращающимся осям.
выполнении условий (4.1) отражают
замену трехфазных обмоток ста-
тора и ротора двумя взаимно непо-
движными двухфазными обмот-
ками, оси которых расположены по
осям прямоугольной декартовой
системы координат, ориентирован-
ной таким образом, что ось х об-
разует с осью фазы А угол и с
осью фазы а — угол у2 = Yi — V,
где у — угол поворота ротора
(рис. 28). Это преобразование имеет
и простую геометрическую интер-
претацию: мгновенные значения
токов (потокосцеплений, э. д. с.,
напряжений) преобразованных
контуров 1х, 1у, 2х, 2у численно
равны проекциям изображающих
векторов токов (потокосцеплений,
э. д. с., напряжений) соответственно статора и ротора на оси ука-
занной прямоугольной системы координат.
Отметим, что на угол Yi, в общем случае, не накладывается ника-
ких ограничений — он может быть постоянным (в частности, рав-
138
ным нулю) или изменяться во времени по любому наперед заданному
закону (например, линейно во времени), либо по закону, вычисляе-
мому в процессе решения задачи. В зависимости от этого, различают
неподвижные прямоугольные оси к, у, называемые обычно осями
а, р, вращающиеся вместе с ротором, называемые обычно осями
d, g, и вращающиеся с произвольной скоростью оси х, у.
С учетом (4.36), (4.656), (4.67а) имеем
*фр = П •	• i = ПС^П~1 • io.	(4.68)
Подставив в (4.68) содержание матриц П, П-1, С^> по (4.66), (4.37),
после умножения и алгебраических преобразований находим выра-
жения потокосцеплений электрических контуров в осях х, у через
токи в этих осях
ipix = (Lj + Z/ц) i\x +	(4.69а)
== (Lj	4-	Lu) iiy +	(4.696)
Фю = 0;	(4.69в)
фгл ~ (^2 4- ^ц) hx 4* Lidix',	(4.69r)
^21/ = (T>2	4-	£ц)	4~	(4.69д)
ф2о = 0.	(4.69e)
Тождества (4.69 в, е) вытекают непосредственно из принятых
в § 2 настоящей главы исходных допущений и условий (4.1).
Подставив в уравнения (4.10) выражения токов фаз AM через
ее токи в осях х, у в соответствии с выражениями (4.67а), (4.666),
после алгебраических преобразований приходим к н. с. к. у. неяв-
ной внутренней э. м. х. AM в осях х, у
/1 — j/"it* 4~ i'ly в 0; Z2 —	4“ ily e 0;	(4.70a,6)
/ц — V^lhx 4- tex)2 H- (iiy 4“ t2y)2 == 0*,	(4.70b)
= O', L2 ^2 U2I “ 0, Ьц Lg [ipul == 0. (4.70r)
Так как потокосцепления фкьфго при принятых исходных пред-
посылках равны нулю, а токи il0, 1’20 в уравнениях (4.69), (4.70)
отсутствуют, то эти величины целесообразно исключить из рассмот-
рения. В результате полную н. с. к. у. неявной э. м. х. AM в осях
х, у можно предетавить состоящей из уравнений (4.69а, б, г, д),
(4.70). Здесь, как и в заторможенных трехфазных осях, в уравнениях
отсутствует угол у. Кроме того, число подлежащих рассмотрению
электрических контуров уменьшилось с шести до четырех. Таким
образом, преобразование к осям х, у привело к значительному упро-
щению уравнений э. м. х. Но одновременно сузился и круг задач,
которые целесообразно решать с применением такого преобразова-
ния (см. § 6 настоящей главы).
139
С учетом изложенного будем формулировать вектор потокосцеп-
лении и вектор-аргумент э. м. х. AM в осях х, у в виде
Фл == colon (фи, ф2х, фг^); md = colon (lu, i\yt i2y) = id'
(4.71a,6)
Вектор p в осях x, у имеет такое же содержание (4.11 в), как в фаз-
ных и заторможенных трехфазных осях, т. е.
?</ = colon (Zlt /2, /ц, Llt L2, LJ.	(4.71В)
С учетом обозначений (4.71) н. с. к. у. полной неявной э. м. х.
AM в осях х, у может быть представлена двумя векторными уравне-
ниями	_	_
Фл = <Р [md1 pj; f [mdi pj = 0.	(4.72a,6)
Явные внутренняя и внешняя э. м. х. AM в осях х, у отражают
зависимости	_
Pd = Pd l^dK Фл = 4»d f^db	(4.73a,б)
§ 9. ПАРАМЕТРЫ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МОМЕНТ В ОСЯХ х, у
Внутренние и внешние э. м. п. AM в осях х, у образуют матрицы
с 	 ^Pd 	 = —Z	 dmd	diJdiXx	diJdiiy		dijdi^	
	dia/aiu	diJdiXy	di2/di2x	dijdizy	
		^Xy		diu/di2y	
	dL\/di\x	dLJdiXy		dk/di2y	
	dLt!dl}x	dL2!dlXy		dLtldi2y	
		dL^Idl^		^iJ^2y	
	(4.74a)				
e	J$d o^d —	— dmd		^\xly	^Ix2x	4x2y	•
	L\y\X	Liyiy	L\y2x	i-\y2y	
	^2xlx	^2xiy	^2x2x	^2x2y	
	^2y\x	L2y\y	^2y2x	^2y2y	
(4.746)
140
Матрицы гп, г12, г21 здесь имеют вид
Чц.			
			
			
			
			Чх		i\x 4“ Чх
					Чу 4" *2у
				12х	Чх 4* Чх
				%	Чу 4* hy
(4.75а,б)
Чх^Ч	Чу/Ч		
		Чх/ч	Чу/ч
(Чх + Чх)/1ц	(Чу 4- Чу)^ц	(Чх 4- Чх)/1ц	(Чу 4- Чу)^ц
			
			
			
(4.75в)
а матрица г22 — такая же, как и в фазных и заторможенных осях.
Подставив выражения матриц гп, г12, г21, г22 в общие формулы
(1.82а), (1.826), находим выражения матриц внутренних и внешних
э. м. п. в осях х, у
Чх/Ч	Чу/Ч		
		Чх/ч	Чу/ч
1цх^ц	^У^И	1цх/^ц	*цу/*ц
а1Чх/Ч	a\^\ylh		
		агЧх^Ч	а<^2у^2
ац*ц.х/*ц	a\jv.y4u	ац^ц,х^ц	а^цу^ц
(4.76а)
141
4° ailix4'i + 4-^ц ^цх^ц	"41x4^1 4- 4" apip.xip,ylip,	L» + 4" ац1цхАц	ац^х^цу^ц
MiyGxAi4- 4" ац1цУ\кх/1ц.	Ч + ^ii2\y/h + 4- ар1р,у/1р		Lu + 4“
Lw + “b	аЦ^ЦХ^у^1Л	Цц, + а2^2х^2 4- 4-	a^2x^2yl^i 4- 4“ а\)}р.х^р.у1{р
ац^цу^цх/1|л	Ln + + 0АЛ	Яг^/гх/^ 4- 4“ apip,yip,xftp.	4- a^2y^i 4“ 4~ ар}ру^р.
(4.765)
где
in* = hx 4- t2x’> i’uy = i\y 4-	(4.77)
Матрица (4.766) формируется всего лишь из двенадцати отличающих-
ся друг от друга величин — Ьгп, и произведений а^^Нъ
#2^*2fakl, k — X, y).
Проанализируем особенности, которые вносит насыщение маг-
нитопровода в электромагнитные связи AM, при ее описании в осях
х, у. Для такого анализа целесообразно воспользоваться преобразо-
ванным выражением матрицы вытекающим непосредственно из
выражения (4.766) и имеющим вид
^olxlx “Ь ^цхх	^olxly 4* ^цху	Lpcxx	Lltxy
^alylx 4“	^olyly 4- L^yy	^\x.yx	L\wy
^|1ХА	Ly.xy	a2x2x 4- ^цхх	L(j2x2y 4“ ^p.xy
^цух	L^yy	^a2y2x 4- Lpyx	^O2y2y 4- ^pyy
(4-78)
где обозначены
Lajxjx = Ljp cos2 Т); 4- Lix sin2 чу- LQlyiy = Ljp sin2 t)z 4- Ljx cos2 t)z;
La/хд, Loiyfx = (LiP — Lix) sin T]/ cos ?]/ (/ = 1,2); (4.79a)
L« = 4~ V = 1.2);	(4.796)
142
cos «П/ = sin T], = iiy/i} (/ = 1, 2);	(4.79b>
^цхх ~ cos т)ц -^цт sin2 т]ц, L^yy = 7/цр sin2 Ацх cos2 т)ц;
(4.79г>
Ьцху — L^yx = (^цр — ^ц.т) sin 'Пц cos 'Пц,;
£ф.р = dty^/diy^ ==	(4.79д>
cos % = 1Цх/гц; sin т)ц = i^y/i^.	(4.79е)
Углы “Hi, г\2, Лц определяют наклоны изображающих векторов 7Ь
1*2, /ц к оси х (рис. 28). Величины £цр и Lpi назовем соответственно^
радиальной и тангенциальной дифференциальными рабочими ин-
дуктивностями. Аналогично, величины Ljp, LiT, Л2р, Л2т назовем
соответственно радиальными и тангенциальными дифференциальны-
ми индуктивностями рассеяния статора и ротора. Для объясне-
ния этих терминов приведем вывод формул (4.79а, г), имеющий в
своей основе тензорные представления [77].
В соответствии с принятыми допущениями, зависимость изобра-
жающего вектора рабочего потокосцепления от изображающего,
вектора намагничивающего тока имеет вид
%. =	Ч’ц =	[«!*].	(4.80а,б)
Ц-
Исследуем свойства этой функциональной зависимости при малых
изменениях ее аргумента — вектора /ц.
Пусть вектор щ занимает в плоскости хОу произвольное’
направление (рис. 29, б). Ему соответствует вектор фц(о), модуль ко-
торого определяется по модулю tK(0) в соответствии с х. н. (4.806)
(рис. 29, а). Введем в рассмотрение правую прямоугольную систему
координат рОт, ось Ор которой совпадает с направлением вектора
(що). Направления осей Ор и От будем называть соответственно ра-
диальным и тангенциальным направлениями. Дадим вектору на-
магничивающего тока малое радиальное приращение Дгцрр, где-
р — орт по оси Ор (на рис. 29, б оно для наглядности принято сравни-
тельно большим). При этом новый вектор убудет параллелен исход-
ному вектору 1Ц(0), а его_ модуль будет равен | 1и(0)р + ДZMPp |
== 11 + | А/цр|. Вектор фц в соответствии с (4.80а) должен быть,
параллелен вектору а его модуль с точностью до величин пер-
вого порядка малости записывается в виде
Ф|1 = Ф|Д.(0) 4- Афц ~ TpjL^cO; -|- 7'|д,рДь|Д,Р,
143
Рис. 29. К определению радиаль-
ной и тангенциальной рабочих ин-
дуктивностей насыщенной AM.
где — радиальная рабочая ин-
дуктивность. Приращение вектора
фц, очевидно, является радиальным
и определяется выражением
Дфцр ~	(4.81а)
Дадим теперь вектору ма-
лое тангенциальное приращение
Дгцтт, где т — орт по оси От
(рис. 29, в). При этом новый вектор
будет повернут по отношению к
исходному вектору /ц(о) на угол
Дт] — arctg (Д/цт/^ц(0)) » Д^цт/^що),
а его модуль с точностью до ве-
личин первого порядка малости
будет равен ,210)_+ д£, ~
= г*що). Новый вектор фц парал-
лелен вектору = гЦ(О)р + Д/цтТ,
а его модуль определяется в соот-
ветствии с модулем = /ц(0), т. е.
с точностью до величин первого
порядка малости имеем фц = фц(о).
Приращение вектора фи, равное
Дфц= Фц — фщо), при Д/цТ 0 имеет
тангенциальное направление, т. е.
Дфр = Дфцтт. Поэтому треуголь-
ники О АВ и ОаЬ подобны. Следо-
вательно,
Фц
Дфцт — Д^ЦТ == ^'ЦтД^ЦТ*
(4.816)
На криволинейной части х. н. (4.806) LM0 у= £цт, т. е. в насыщен-
ном состоянии главная магнитная цепь AM анизотропна по отноше-
нию к приращениям рабочего поля: в радиальных направлениях она
характеризуется меньшей дифференциальной индуктивностью, а в
тангенциальных — большей. Это позволяет характеризовать ее маг-
нитные свойства с помощью тензора дифференциальных рабочих
индуктивностей, определяемого как полная производная векторной
функции (4.80). Направления Ор и Ох являются главными осями
этого тензора, т. е. в этих осях он изображается матрицей


о L„
(4.82)
444
Преобразование этого тензора к произвольно ориентированной
системе координат хОу осуществляется по формуле
(g™ = С^'С"',	(4.83)
где
COST]U — sin
sin Т)и cos Т)и
С"1
cos Т]ц sin Т]ц
— sin Пр.
(4.84а,б)
С учетом (4.82), (4.83) имеем
Ly,xx
L^yx

Чр cos2 4- sin2 Пц (^р - ^т) МП Пц cos Т)ц
<LUP - М sin Пц cos Т]ц sin2 пц 4- cos2 т)ц
(4.85)
что полностью согласуется с формулами (4.79г).
Отметим основные свойства рабочих дифференциальных индук-
тивностей насыщенной AM.
1.	Собственные рабочие индуктивности Лцхх, всегда положи-
тельны и достигают экстремальных значений при т)ц = /?л/2, где
k — целое число.
2.	Рабочие индуктивности удовлетворяют соотношениям
L^XX 4~ ^\хуу - -^ц-р +	^[ixy — ^цр^цт,
определяющим инварианты тензора £ц.
3.	В насыщенной AM в общем случае существует индуктивная
связь между взаимно перпендикулярными контурами, определяемая
индуктивностями Ь^у = L^yx. При т]ц = kn/2 она равна нулю, а
при т]ц = (2k + 1) л/4 максимальна и по модулю равна (Лцт — Lup)/2.
При отсутствии насыщения Lw =	= Lm, и тогда индуктивная
связь между контурами по осям хну отсутствует, а тензор ста-
новится сферическим
Lm 0
О Lm
Математическую сущность возникновения индуктивных связей
Ьнхи и ЬцУХ проиллюстрируем построением, приведенным на рис. 30.
IQ • 180В
145
Дадим вектору малое приращение Дгц = где у — орт по
оси Оу, Вызванное им приращение вектора найдем как разность'
Д'Фц =	— 'фщо), причем векторы ф и фи(0) параллельны соответст-
венно векторам /ц и /м(0), а их модули определяются по модулям
«и и 1И(0) согласно х. н. (4.806) (рис. 29, а). Как видно из приведенного
построения, вектор Афц не параллелен вектору Дгц и содержит состав-
Рис. 30. К объяснению
наличия индуктивной свя-
зи между контурами х и у
при насыщении.
ляющие как по оси у, так и по оси х. Пре-
делы
Пт — L •
11111
дЧи/“*° д м
1- Дф|лл ____________ т
11111	“д7	— L,\x.xy
численно равны соответственно собственной
индуктивности контура у и взаимной индук-
тивности контуров хи у. Так как Дфр^=£0,
ТО L]x.xy =^= 9.
Аналогичными свойствами обладают и
векторные функции, характеризующие зависимости потокосцепле-
ний рассеяния статора и ротора от токов их обмоток.
Физическое объяснение возникновения индуктивных связей
между взаимно перпендикулярными контурами при насыщении
может быть дано на основе распределения локальной магнитной
проводимости зубцовых слоев статора и ротора вдоль полюсного
деления [88].
Для получения выражения электромагнитного момента AM
в осях х, у представим в формуле (4.23) токи	i^c через
токи фаз и угол у, после чего воспользуемся преобразованиями
(4.67а). В результате таких подстановок и алгебраических пре-
образований приходим к следующей формуле:
А1Э = -g- ДЛ|Л ((9* + *2х) i\y — (t\y + ^2у) i\x) = — P()LU (i\yizx — hyl\x\
(4.86)
Если в правой части этой формулы прибавить и вычесть произведение
L\xi\xi\yi то с учетом равенств (4.69а, б) получим
з
мз = -у р0 — 4v’u).	(4.87)
146
я 10. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ОСЯХ х, у
Для составления дифференциальных уравнений электрического рав-
новесия в осях х, у преобразуем уравнение (4.51), полагая, что
г = diag (гр гр гр г2, г2, г2).	(4.88)
Умножив уравнение (4.51) слева на матрицу П и учитывая, что
i — П~Чо, а производная вектора ф по времени с учетом (4.676)
имеет вид
Ф* = П-1грр) = (П^/фо 4-
имеем
П • (П ) фг> -j- П • П 'ф£ 4~ ПгП 1 io — Пи = 0.	(4.89)
Производная по времени от матрицы П-1 вычисляется по формуле
(П-7 =
— CDj sin Yi	— CDj COS Y1				
— o)t sin (Yj — p)	~ (.), COS (Yj — p)				
— <•>, sin (Yt 4- P)	(O| cos (Yl 4- p)				
			— (o2 sin Y2	— w2 cos y?	
			— co2 sin (y2 — p)	— cd2 cos (y2— p)	
			— cd2 sin (у24-P)	— cd2 cos (y2 4- p)	
(4.90)
где
со, = yj; g)2 —	(4.91а,б)
— угловые скорости системы х, у относительно статора и ротора,
соответственно (в электрических радианах за секунду), связанные
между собой соотношением
со2 = cdj — со,	(4.92)
10*	147
г о = ПгП-1 = г,	(4.94)
т. е. матрица активных сопротивлений для AM с симметричными об-
мотками в осях х, у такая же, как и в фазных осях. Подставив вы-
ражения (4.93), (4.94) в (4.89), получаем матричное уравнение элект-
рического равновесия AM в осях х, у в виде
фд 4-	+ rDiD — uD = 0,	(4.95)
где
uD = П« = colon («1х,	«ю> u2x, «2//, w20)	(4.96)
— вектор напряжений в осях х, у, а содержание векторов Zp, Фр
определяется выражениями (4.64).
Матричному уравнению (4.95) соответствует шесть скалярных
уравнений
4- i\i\x —	= 0;	(4.97а)
4-	4- гiiiy —	0;	(4.976)
Ф10 4- ПЧо — «ю = О’»	(4 97в)
ф2л — (02ф2У 4- r2i2x — и2х =	0;	(4.97г)
4-	4-	r2i?- — u2lJ =	0;	(4.97д)
фго 4* г2г2о — «го 0*	(4.97е)
14&
Так как суммы токов фаз статора и ротора были нами приняты рав-
ными нулю, то уравнения (4.97в, е) превращаются в тождества вида
0 = 0. Остальные четыре уравнения системы (4.97) с учетом обозна-
чений (4.71) запишем одним матричным уравнением
4- rdid — ud = 0,	(4.98)
где
ud = colon (wu, uiy, u2x, u2y)\ rd = diag (rv r2i r2y, (4.99)
mdi совпадающего с вектором id, поэтому
~	(4.101)
Проиллюстрируем применение уравнений электрического равно-
весия ЛМ в осях х, у на примере расчета переходных процессов при
двухстороннем питании машины заданными напряжениями uix [/],
Щу 1/1, и», 1/1, и2„ 1/1.
Подставим в уравнения (4.97а, б, г, д) выражения производных
от потокосцеплений согласно (4.746), (4.101), дополним их уравне-
ниями механического равновесия и дифференциальными уравнения-
ми, отражающими э. м. х. AM в осях х, у, и введем фиктивный аргу-
мент 8 == /. В результате получим следующую полную н. с. д. у.,
описывающую электромеханические переходные процессы в схеме:
Llxlxi\x + ^\x\yi\y 4~ Lix2xi2x 4~ L\x2yl2y —	4~ Г j/lx —	~ 0j
Liy\xie\x 4- L\yiyi]y 4- Цу2х12х 4- ^iy2yi2y 4- Mi* + rthy— uiy =
4“ L2xiyily 4* ^2x2xl2x 4~ L2x2yl2y — (tt>i — tt>) Xp2f/4“ ^2* — ^2x— O’,
^2yixi\x 4- L2yiyi\y 4- L2y2x^2x 4~ L2y2yi%y 4- (04 — w) фгх 4* r2^y— thy— 0;
Ale [co, y, /] 4- M3 — J/p№ = 0; y& — co = 0; yf — coj = 0;
yl —T?4-Te = 0; 1 —f=0;	(4.102a)
= StydtTld» ^\xd^-d*	(4.1026,B)
149
Рис. 31. Блок-схема, иллюстриру-
ющая последовательность опера-
ций на шаге интегрирования
н. с. д. у., описывающих п. п. AM в
осях х, у.
В уравнениях (4.102) скорость
предполагается известной (постоян-
ной или некоторой функцией ко-
ординат, входящих в н. с. д. у.
(4.102)). Необходимость вычисле-
ния координат ух, у2 здесь обуслов-
лена тем, что вектор и реально за-
дан в фазных осях и вектор ud
вычисляется на каждом шаге ин-
тегрирования согласно формулам
(4.96), (4.66а), в которые входят
углы Yi, у2.
Здесь, как и при решении за-
дач в заторможенных трехфазных
осях, в специфические уравнения
(4.102а) входит вектор ф^, для вы-
числения которого требуется урав-
нение (4.1026).
Последовательность операций
на шаге интегрирования н. с. д. у.
(4.102) показана на блок-схеме,
приведенной на рис. 31.
Как в фазных и заторможен-
ных трехфазных осях, здесь также
можно ограничиться интегрированием только специфических урав-
нений (4.102а), если вычислять векторы ф^ и непосредственно из
уравнений (4.69), (4.70).
§11. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПО УРАВНЕНИЯМ В ОСЯХ х, у
Прежде чем перейти к изложению алгоритмов расчета с. х. AM,
выведем уравнения ее электрического равновесия в установившихся
режимах для наиболее общего случая, когда питание подведено
одновременно к обмоткам статора и ротора. Все режимы односто-
роннего питания, очевидно, можно рассматривать как частные
случаи двухстороннего питания.
Под установившимся режимом работы AM с двухсторонним пи-
танием будем понимать любой ее режим, при котором изображающие
векторы токов статора и ротора имеют не зависящие от времени мо-
дули, взаимно неподвижны и вращаются с постоянной (не зависящей
от времени) угловой скоростью.
150
Пусть обмотки статора и ротора питаются симметричными трех-
фазными системами напряжений постоянных частот (гц и со2, т. е.
иА = «1 cos (со^ 4- аию); ив = «1 cos (со^ + ««ю — р);
ис = иг cos (со^ 4- аию + р);
tia = w2cos(w2Z H-a«2o); ub = u2 cos (<a2t + au2o — p);	‘	’
uc = u2 cos (cd2Z + aU2o + p),
где ub u2, attio, a«2o— амплитудные значения и начальные фазы на-
пряжений питания. Докажем, что если частоты ©j. и со2 удовлетво-
ряют уравнению
— со2 = со,	(4.104)
где со — угловая скорость ротора, то решение дифференциальных
уравнений электрического равновесия AM соответствует установив-
шемуся режиму в приведенном выше смысле.
Введем в рассмотрение оси х, у, вращающиеся относительно ста-
тора с постоянной угловой скоростью сох и относительно ротора
с постоянной угловой скоростью со2. Углы поворота оси х относитель-
но статора и ротора и угол поворота ротора при этом определяются
выражениями
т, = 4>it + Tio; Та = «V + ъ»; т =	+ т,- (4. Ю5а,б,в)
Поскольку эти углы связаны между собой соотношением (рис. 28)
7i~ 7г = 7,	(4.106)
то 720 = 7ю — 7о« Не теряя общности, можно принять, что у10 = 0,
тогда
720 = —7о-	(4.107)
Подставив (4.105а, б), (4.107) в выражения (4.103), имеем
иА = cos (yi 4- а«ю); ив = ur cos (ух 4- а«ю — р);
ис = «i cos (yt 4- a^io 4- p);
(4.108)
ua = u2 cos (y2 4- aw2o 4- 7o)i иъ = u2 cos (y2 4- 0^20 + 7o — P)>
uc = u2 cos (y2 4- att2o 4- 7o + P)-
Преобразованные к осям x, у напряжения получим по формуле
(4.96). С учетом (4.66а), (4.108) находим
Ujjt — Ui COS OCuioJ U\y = Ui SIH OCuioJ Ню = 0,
u2x = u2 cos (aU20 4- 7o)’>	= w2sin (au2o 4-7o)*> «20 = °>
151
т. е. вектор Ud при таком выборе скорости coj вращения осей х, у
относительно статора не зависит от времени. Этот результат геомет-
рически объясняется тем, что в данном случае изображающие векто-
ры иг и и2 вращаются с той же абсолютной скоростью , что и оси х,
у (вектор Ui вращается со скоростью иц, а вектор и2— со скоростью
со2 относительно ротора, но ротор вращается со скоростью со, так что
абсолютная скорость вращения вектора и2 равна со2 + со = coj.
Представим дифференциальное уравнение (4.98) в виде
S^d [t d] • io + ^вфв [in] +	— Ud= 0-	(4.110)
Оно нелинейно и, в общем случае, может иметь несколько решений.
Рассмотрим нелинейное конечное уравнение
Нофд [ i’d] + г dId — Ud = 0.	(4.111)
В нем координата t отсутствует и, следовательно, его решением яв-
ляется некоторый, не зависящий от времени вектор Id = iDy. Этот
вектор является и решением дифференциального уравнения (4.110).
Действительно, производная по времени от постоянного вектора
i*Dy равна нулю и, следовательно, вектор ipy превращает уравнение
(4.110) в тождество.
Таким образом, мы доказали, что:
1) при условиях (4.103), (4.104) одно из решений дифференциаль-
ного уравнения электрического равновесия в осях х, у, вращающих-
ся с частотой напряжения питания статора, соответствует установив-
шемуся режиму работы AM;
2) этот режим может быть рассчитан с использованием конечного
уравнения (4.111).
Отметим, что постоянство проекций изображающих векторов i19
i2 на оси х, у системы, вращающейся с частотой напряжения питания
статора, согласуется с известным экспериментальным результатом,
в соответствии с которым в установившихся режимах работы AM
токи статора и ротора образуют симметричные трехфазные системы,
т. е.
iA = Ч cos (со^ 4- аПо); *в = Ч cos 4- аПо — р);
iG = cos + ad0 4- p);	.	1
ia = iz cos (co2/ 4- at-2o); ib = i2 cos (co2/ 4- aZ20 — p);
ic = t2 cos (co2/ 4- a,-20 4- p).
Действительно, повторив с токами (4.112) преобразования, анало-
гичные приведенным выше преобразованиям напряжений, находим,
152
что в осях х, у токи равны
i*ix = if cos апо, i\y = *i sin atioJ *Ю = 0;
*2x = l2 COS a,20; hy = /2 sin a/20; *20 = °,
т. e. они не зависят от времени.
Матричное уравнение (4.111) электрического равновесия AM в
установившихся режимах работы равнозначно следующей системе
скалярных уравнений:
—	~~ uix = 0;
СО1Ф1Х + Wy — щу = 0;
— (cOj — со) + r2i2x — и2х = 0;	*
(cOi — со) *ф2г + r2i2y — и2у = 0.
Амплитудные значения напряжений и токов и активные и реак-
тивные мощности статора и ротора связаны с напряжениями и токами
контуров по осям х, у уравнениями
— и2х — uly = 0;	и2 — и22х — и2у = 0;	(4.115)
/?—iix — i2\y = 0; 1’2 — *2х — *2^ = 0;	(4.116)
Pi — u^icos Ф1 = °’ pi-------------г	= °’
3	з	(4Л17)
Р2-----2“ и^2 C0S ф2 = 0;	----Г ^U2xi2x +	= 0;
Qi	9“ **1*1 sin Ф1 = 0;	Qi — (uiyiix — **ix*ii/) = О’,
(4.118)
3	3
<?2----2" “2'2 sin 4,2 = 0;	^2-----Г ^2а‘2х ~ U2*(’2»> = °’
где «Pi, <₽2 — углы сдвига векторов и2 относительно векторов it,
i2 соответственно.
Перейдем к составлению алгоритмов расчета конкретных с. х. AM.
1. h-характеристика для режима, заданного величинами соцо),
(0(0), wix(d, u1{,(0>, «2х(0), **2^(0). Полная н. с. к. у. такой А-характе-
ристики имеет вид
— (01 (0УФ1 у 4~	— hu\X($) — 0;
(Oi(O)ipix 4~ r-fiiy — huiy(Q) = 0;
— ((Око) — (0(0)) ip2i/ 4- r2*2x — hu2x{0} = 0;
(соц 0) — (0(0)) tp2x + r2i2y — hu2y{0} = 0;
153
8 — h = 0;	(4.119a)
[mdV, Hd = Hd f^dl-	(4.1196, в)
Специфический вектор здесь равен у = h, а специфическими уравне-
ниями являются уравнения (4.119а).
Продифференцировав н. с. к. у. (4.119) по е и подставив выраже-
ния производных от потокосцеплений по е через внешние э. м. п.
и производные токов, приходим к н. с. д. у. искомой /г-характерис-
тики
(L\yixhx 4- L\y\yi\y 4~ Ь\у2х^2х 4- L\y2yi2y) 4~ rifix — h Uix(o> — 0»
<^1(0) (L\xixi\x 4- L\x\yi\y 4- L\x2xL2x 4“ L\x2yi2y) 4~ r= 0;
— (c01(0) — Q)(0)) (^2«/1х*1х 4~ L2y\yl\y 4“ ^2у2х^2х + ^2у2у^2у) 4~ Г 2^2* —
— hEU2x(Q) = 0»
(cOl(O) — Q)(0)) (^2xlxi'u 4- L2x{yily 4~ L2x2xl2x 4" ^2х2у^2у) 4~ r Ay —
— h&U2y(0) = 0;
1—^ = 0;	(4.120a)
$d = S^dtrid', =Sydmld-	(4.1206, в)
Последовательность операций на шаге Де интегрирования н. с. д. у.
(4.120) практически такая же, как и для н. с. д. у. (4.102), описываю-
щей п. п. AM в осях х, у (рис. 31). Отличие имеется лишь в блоке 1.
Начальные условия здесь, очевидно, нулевые.
2. Механическая характеристика со = со [Мэ| при односторон-
нем питании AM и заданных соц0), ицо). Для расчета этой характе-
ристики следует принять и\х — и\у = U2x = U2y = 0. Полная
н. с. к. у. имеет вид
— соко)ф11/ 4- Л1й% — Ицо) — 0;
<око)ф1х 4- rjiy = 0;
— (couch — о>) ip2y 4- r2i2x = 0;
((Око — со) i|)2x 4~ r2i2y — 0;
А1Э 2~ Ро у — ix) == 0;
г — Л4э = 0;	(4.121а)
if^d^dl; Hd=Hdl^dl-	(4.Г216)
Здесь специфический вектор равен у = colon (Мэ, со).
154
Продифференцировав н. с. к. у. (4.121) по г, приходим к н. с. д. у
механической характеристики
— <*>i(0) (Liyixie\x 4- Liyiyiiy + Liyzxizx + Р\у2у^2у) + г±iix ~ 0*,
C01(0) (Lixlxilx 4~ Lixlyfiy + L\x2xl2x + Lix2yl2y) + f\lly = 0*,
(co — COi(O))	+ Liylyily 4- L2y2xl2x + P2y2yhy) +	+ Г212х — 0;
(^1(0) — (О) (L2x1jJu + ^2x\yi&\y + LzxZxhx + L>2x2y^2.y) — '4)2a^£ 4~ r 2^у = 0’>
8	3	8	8	8	8	8
Л4э----2~ P° ((^ixlxhx + Lixlyily 4" L,\X2xhx 4" L\x2yl2y) ily 4- ^1 xily —
— (^lyixifx + Liyiyiiy 4-	4* Liy2yi2y) iix — 'ФьДи) = 0;
1—Л4* = 0;	(4.122a)
=	p? =	(4.1226, в)
Начальные условия для интегрирования н. с. д. у. (4.122) опреде-
ляются путем интегрирования н. с. д. у. (4.120) /^-характеристики.
Интегрирование н. с. д. у. (4.122) выполняется в соответствии с блок-
схемой, аналогичной изображенной на рис. 31. Следует отметить, что
здесь в процессе интегрирования неизбежно приходится применять
инвертирование н. с. д. у. В качестве координаты, на которую вы-
полняется инвертирование, можно принять любую из координат,
входящих в векторы у или md, например — координату со. Для
этого следует в исходной и. с. к. у. заменить уравнение Мэ — е = 0
уравнением (о — е 0. Тогда инвертированная н. с. д. у. будет
отличаться от исходной (4.122) только заменой уравнения Ml — 1 =
= 0 уравнением (ое — 1 = 0.
Зависимости величин ilt Р1} Q1} cos срг от момента Л4Э, соответст-
вующие условиям, накладываемым на механическую характеристи-
ку, могут быть рассчитаны непосредственно по уравнениям (4.116) —
(4.118). Но их можно найти и численным интегрированием расши-
ренной н. с. д. у., получаемой путем дополнения н. с. д. у. (4.120)
уравнениями (4.116) — (4.118), продифференцированными по 8.
3. Регулировочная характеристика щ — щ [cDi] при частотном
управлении, соответствующая заданным (Ох — со — <»2(0), *х = *цо).
Специфические уравнения этой характеристики имеют вид
—	+ ^liix — Щ = 0;
Мн + г^Ху = 0;
— (сох — (о)	4- r2i2x = 0;
(®1 W) ty2x 4" Г2^2у ~
155
;2	;2 i2 л.
*1(0) — Их— Их =® У»
со, — со = со2(о); е — со, = 0.	(4.123)
Здесь у — colon (ult со,, со). Соответствующие им специфические
дифференциальные уравнения имеют вид
---С01ф1«/ — СО, (Liyixilx 4~ ^lylyHy 4“ Liy2xl2x 4~ Liy2yi,2y) + / jllx-**l
-J- co, (L\x\xiix 4- L\x\yi\y 4- Lix2x*L 4~ ^\x2yi2y) 4* rd^y = 0*»
— (CO? — CO8) ф2.у — (CO, — co) (L2y\xi\x 4“ L2y\yi\y 4- L,2y2xl2x 4~ L2y2yi2y) 4-
Рис. 32. Электрическая схема асинхрон-
ного генератора с конденсаторным воз-
буждением.
+ Г 2*2х — 0*,
(cot---СО8) ф2х +
4- (со, — СО) (L2xlx*b 4-
4' ^2х1уИ у 4" ^2х2х*2л 4*
4* L^xZyliy) 4- г2*21/ = 0;
Hxi\x + И уИу = 0;
со® — со8 = 0; 1 — со® = 0.
Начальные условия в точке со, = coi(q> здесь вычисляются по при-
веденной выше /i-характеристике, рассчитываемой для значений
со ко, со(о) = coi(0) — со2(0), причем интегрирование н. с. д. у. (4.120)
выполняется до такого значения е, при котором ток iy достигает за-
данного значения Zi(o).
4. Внешняя характеристика ux == Uy hHl асинхронного генератора
с конденсаторным возбуждением (рис. 32) при неизменных частоте
со, = со|(о) и коэффициенте мощности нагрузки cos срн. Специфиче-
скими уравнениями этой характеристики являются
— соко)ф11/ 4- ryi{x — щх = 0; сО1(0)ф1х 4- Гу1\у — щу = 0;
— (соцо) — со) ф2^ 4- r2i2x = 0; (coi(0) — со) ф2х 4- г&у = 0;
— zH sin cpHiH// + zH cos cpHfHx — uXx = 0;
zH sin cpHtHX 4- zH cos — u\y = 0;
xdcx 4- */iy == 0; xciCy — u\x = 0;	(4.124)
Их 4- icx 4- *hx = 0; i\y 4- ioy 4- *ш/ = 0‘»
**1 **lx	Щу = 0, lH	iwc	*hi/ ==
**1 —2HIH = 0; 8 —(H = 0,
где fex, ley. tux, iay — токи конденсаторов и нагрузки в осях х, у.
156
Здесь
у = colon (lex, iCyt ^НХ» ^н» ^1х, U\y, ^1» гн, со).
Полная н. с. д. у. искомой характеристики имеет вид
— <л>ко) (L\y\xi\x. 4- L\y\yi\y 4- L^xiix 4- L^yily) 4- rJu — u\x = 0*»
C01(0) G^UU^U + bixiyi\y 4- Llx2x& 4- LiX2yl2y} 4- Гlily — Щу === 0;
— (C01(0) --co) (Lzylxllx 4- L2y\yl\y 4~ Lzy2xi2x 4- L2y2yi2y) 4- C08lp2i/ 4-
4-	r2j2x = 0;
(<01(0) — G>) (^2x1 Ju 4" Lzxlyily 4~ ^2x2x*2x 4~ ^2x2yl2y) —CO^x 4" r2^y =0i
— Zh Sin cpJh// — ZH sin cpHi^ 4- z8 cos q)HtHX 4- zH cos фн1*нх — «ix = 0;
Zh sin фн1НЛ 4- zH sin срн1нх 4- Й cos <pHiH{/ 4- zH cos cpHr^ — u\y = 0;
Хсйх — ufy — 0; Xcicy — «L — 0;
Ju + i’cx 4- йх = 0;	i\y 4- icy + iuy = 0;
ЩЩ — u\xU\x — U\yu\y = 0;	i JH — ZhJhx i^yiny	0»
u? - z*ia - z/h = 0; 1 -i8 = 0;	(4.125a)
—S^dfrid.	(4.1256, в)
5. Регулировочная характеристика xq = Xc [rHl асинхронного ге-
нератора с конденсаторным возбуждением (рис. 32) при неизменных
напряжении, частоте и коэффициенте мощности нагрузки. Спе-
цифические уравнения такой характеристики получим непосредст-
венно из уравнений (4.124), полагая в них щ = Wkoj, Хс~ var и за-
менив последнее уравнение уравнением е — хс — 0. Специфический
вектор здесь будет иметь вид
у = colon (icx, icy, i HX, i\\y, Wu, U\y, Xc, ZH, (0).
Соответственно, полная н. с. д. у. будет отличаться от н. с. д. у.
(4.125) только тем, что вместо седьмого, восьмого, одиннадцатого,
тринадцатого и четырнадцатого уравнений следует записать урав-
нения
Xq icx 4- Xciox — и\у = 0; xcicy 4~ х&ву — u\x = 0;
U\xU\x 4~	== 0'» ZhIh 4- zhi’h = 0;	1 — Xq = 0.
Аналогичным способом рассчитываются и любые иные е. х.
AM — при динамическом торможении, частотном регулировании,
157
Рис. 33. Зависимости Ur = Ur [/J для дви-
гателя АК 52-4 при (о2=0и питании от сети
через последовательно включенные емкостные
сопротивления хс:
I — 40 Ом; 2 — 24 Ом; 3—20 Ом; 4 — хс = 0.
Рис. 34. Скоростные характе-
ристики 1г — [cog] двигателя
АК 52-4 при его питании от сети
с напряжением U1= 127 В через
последовательно включенные
емкостные сопротивления:
2—40 Ом; 2 — 24 Ом; 3—20 Ом;
4 — без емкостного сопротивления
(Ю2 = Wjj/G)!).
двухстороннем питании (в синхронных режимах), при работе AM
с последовательными конденсаторами, асинхронным преобразова-
телем частоты и т. д.
Как и в § 10 настоящей главы, при расчете с. х. можно интегриро-
вать только специфические дифференциальные уравнения, если вы-
числять векторы и непосредственно из уравнений (4.69), (4.70).
В качестве примера на рис. 33 приведены расчетные зависимости
С72 = Ui fЛI Для двигателя АК 52-4, питаемого от сети через после-
довательно включенные конденсаторы, при идеальном холостом ходе
((£>2 = 0). Эти зависимости имеют вид типичных феррорезонансных
кривых последовательного R — L — С контура с нелинейной ин-
дуктивностью. При подходе к точкам alt а2, а3 путем изменения на-
158
пряжения в сторону его увеличения возникают феррорезонансные
скачки, приводящие к новым устойчивым состояниям, определяемым
точками а\, а2, Яз, а при подходе к точкам blt b2) Ь3 путем снижения
напряжения возникают скачки, приводящие к режимам, определяе-
мым точками Ь|, Ь2, Ьз. Условия возникновения феррорезонансных
скачков здесь совпадают с условиями нарушения устойчивости
расчетного процесса при интегрировании н. с. д. у,, описывающей
рассматриваемую характеристику, если аргументом этой характе-
ристики считать напряжение питания [87, 98]. На рис. 34 приведены
скоростные характеристики этого же двигателя при = 127 В.
Как видно из этих кривых, введение емкостного сопротивления и
связанные с этим феррорезонансные явления в схеме приводят к
существенным качественным изменениям: при Хс = 20 Ом скорост-
ная характеристика состоит из двух несвязанных между собой частей
3 и 3', которые при о)2 - 0 проходят через точки, соответствующие
точкам /3, е3, d3i показанные на рис. 33.
§ 12. РАСЧЕТ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПО УРАВНЕНИЯМ В ОСЯХ х, у
Из стационарных процессов, которые целесообразно рассматривать
по дифференциальным уравнениям электрического равновесия в осях
х, у, наибольший практический интерес представляет определение
больших колебаний AM при ее питании от трехфазной сети и воз-
действии на вал машины периодически изменяющейся нагрузки.
Поэтому проиллюстрируем применение дифференциального сеточ-
ного метода на решении этой задачи.
Полная система уравнений, описывающая поведение AM при
больших колебаниях, имеет вид
— uix 4- фи —	4- rti\x = 0;
— Щу -Ь ф'ц, 4-	+ г^\у = 0;
фк — (<»! — СО) ф2// 4- Г&х — 0;
ф2(/ 4- («1 — (О) ф2л 4- г21чу == 0;
W — q (фиИУ — wи) —	= °;	(4.126a)
Фа == Фа l^al; На = Hd	(4.1266. в)
159
«ли в векторной записи
у‘ + Ф [у, rnd, /] = 0;
= ’I’d lmd]-, Hi = Hd 1тл],
где UiXt u\y — заданные напряжения питания;
Зрр _	_ ро .
С1 ~ 2J '	с2 - J '
(4.127а)
(4.1276, в)
Мс [/]— момент сопротивления, который для определенности при-
мем равным
Л4С [/] = т0 + т1 cos сос/;
(4.128)
	у = colon (фи, -Ф10, ф2х, Afe, СО);	(4.129)
ф =	— uix —	[md] 4- t\iXx	. (4.130)
	— ull( +	[md] + r^y	
	— (cOi — co) ^2y [md] + r2i2x	
	(<0,— <o) фгх [/nJ 4-r2l2y	
	— Cl (Ф1Х [ntdl Ap — 4’11/ lmdl йх) — Cz («0 4- «1 COS Wc()	
Разделив период Тс изменения возмущающей силы на N равно-
великих интервалов X = Тс/М = 2л/((осМ), составим для диффе-
ренциального уравнения (1.127а) систему сеточных уравнений
— Зу + 3y[mdtl+2] 4- X (ср [у [md,i], md,h /J -f-
+ 4ф [у [m<u+i], tl+i] + ср [у {tnd,i+2}. md>i+2t h+2]) = 0
(/= 1, ... , У).	(4.131a)
Дополнив ее уравнениями явных внешней и внутренней э. м. х.
для каждого из узлов, т. е. уравнениями
^d,i = \A>d[md,i] (/=1, ..., W), (4.1316, в)
получим полную н. с. к. у., описывающую сеточное отображение
искомого с. п. при заданных значениях и\х, и\у, mOi тг.
При mj = 0 искомый с. п. вырождается в установившийся ре-
жим, который может быть рассчитан методом, изложенным в § 11
160
настоящей главы. Рассмотрим одномерную сеточную характеристи-
ку, соответствующую изменению величины пгг от нуля до некоторого
заданного значения. Для ее расчета продифференцируем уравне-
ния (4.131) по т}. В результате получим н. с. д. у. вида
Qi	£*12							
	£*21	£22	£23					
								I
						£"/V—2,/V—2	C/v_2,2V-1	CN—2,N
CN —1,1							C/v—i,a/_ I	( N—\,N
CN,>	C/V.2		-					£/V.A'
фй =	Л ~	(4.1326, в)
где
— colon (со/, iixj, i2x,i, i2y,i) = colon (co,	(4.133)
Df — colon (0, 0, 0, 0, — Xc2 cos coc/z),	(4.134)
a C/j, C/,z+i — матрицы, определяемые выражениями (4.135).
Интегрируя н. с. д. у. (4.132) в пределах от тг= 0 до заданного
значения mlt получим искомую одномерную сеточную характеристи-
ку, представленную в виде явных зависимостей узловых значений со,
11 8-3258	15J.
	— ^\x\xl + Х (— “l^lylx/ + rl)	““ 3^lxl^Z ^^\y\gl
	~ 3Lh/lxZ + Xcol^lxlxZ	•" ^L\y\yl + X ^hL\x\yl + rl)
^2yl	— 3^2xl х/	(Ш1 — Ю) L2y\xl	^J2x\yl	(®1 — ®) ^2ylyl
	~ 3^2z/lxZ ~h X (CO] — CO) t2xlx/	^2ylyl + * (®1	03) L2x\yl
— 3	— Xcj (blxU;ils/; — Lls(1J/ilx/ — —W	— Xq (Llxlylilyl — Liyiylilxl 4- + ^1X/)
С1Л+1 =
	X (— юЛ1у1х/4_| 4- г\)	— XcoiLi^i^i
	^wi^lxlxZ4-l	^(^l^lxl^l + ri)
	— X (co, — co) L2yixl_^}	— X (co, — co) L2yi v/+|
“”^2x/-H	X (CO, CO) ^2xlxZ4-l	X (co, — co) L2xXyl+}
	— Хст (^|х1Х/+1Ч^/+1 — “ ^lylx/4-lZlx4-l ““ v/4-1)	— XcT (blxi^4.j^+i — Чу\у1^\х1^-\ +• ^ix/4-1)
162
~ 3^lx2xZ ^L^\y2xi	3Чх2у/ ^^\у2у1
3L1z/2xZ + ХсоЛ1х2х/	““ ^\y2yl 4" Zcol^lx2yZ
~ ^2x2x1 4" X (— (®1 — ®) L2y2xl -|- Г2)	~ ^2x2yl X (С0; — м) ^2у2у1
~ ^L2y2xl 4" X (СО, — <°) ^2x2x1	~~ ^2у2у1 + X ((оц со) L2x2yl 4- г2)
— Хсг (LXx2xliXyl — Lly2xlilxl)	— Xct (^U2z/Zflz// ^\y2ylhxl^
(4.135а)
	— XcolZ,lt/2{//+r
X(o1L|x2jf/4.|	Х(,)Л|х2г//4-1
X (— (CDj — co) ^2r/2xZ4-) 4" r2)	— X (co, — (0) L2y2yl+1
X (co, — CO) ^2x2x24-1	x ((co, — co) ^2x2yl-j-l 4“ гг)
— XCi (^ix2xZ4-llUZ4-! —Чу2х1+^1х1^-1)	— Xc, (L|X2^Z4-^1z//4-I ^l^Z+lhxZ-l-l)
(4.1356)
11е
163
см 1 ± + a, S J4 7	CM +	4 +	2 "S-. “-J S 3 +	CM + • J* CM ± 34 1 a L Й £ 7	x 'Э + s' + J L + 04 3 'X'	04 -Г ^7 j? co	~-J 4- x	1 ^M + ± X э -r _<	04 CJ CM 4- 1 1 CM
1	£ CM	CM + n й 1	04 t 1 + s § 3 4-	x "Э + 3~ + CM I	1 + L + Я з t; *	04 04	i а 141 x X 4-	04 + s 4" ? CM ± 3“ C4 | =»> 44 co 3, +	1 +1 X <? -K ^7 4- 5 1 u X 1
04 ',	t +	* "~~it В з й 7	t + t ± -Г - CO .3	cm + *2> L / ± 3 s L co -3, 7	04 + + J 04 ± "Э < 1 CM	_ C?)	3, 4-	1 + + + X	._-	3 ’“I	CM	•^k. X	±	+	В |	—' J5	5	4- x 1
+ + t ±-f? 5 Э + ?T 1 X 4-	+ t ± J 4 "“i. *S> 3 +	CM + 1 J ± T - 1 з L CO 7	04 + H + J5 CM + 3 S 1 CM 3 CO X 4-	1 1 ± + X .Js + x" + + - 1 в в T 1 js 3 I * 7
		04 + *2> -£	CM ± '1	CO
(4.135b)
164
векторов md, р^от независимой
координаты т1. Последователь-
ность операций на шаге интегри-
рования этой н. с. д. у. показана
на рис. 35.
Аналогичным способом могут
быть рассчитаны одномерные се-
точные характеристики больших
колебаний AM, если в качестве
независимой координаты принять
величины Г1, г2у т0, иъ а также
при более сложных видах возму-
щающего воздействия Мс [/].
Асинхронную машину с двух-
сторонним питанием можно рас-
сматривать как обобщенную неяв-
нополюсную машину переменного
тока [29, 83], частными случаями
работы которой является работа в
режимах синхронного генератора
или двигателя, динамического тор-
Рис. 35. Блок-схема, иллюстри
рующая последовательность опера
ций на шаге интегрирования
н. с. д. у. (4.132).
ш для записи уравнений элект-
можения, преобразователя частоты
и др. Для всех этих случаев рас-
чет с. п. может быть выполнен диф-
ференциальным е<*к)чпым методом.
11рп 'ном и вопросе* выбора системы <
рнчес чин о равновесия следует пользоваться рекомендациями, при-
веденными в§ 1 нас тятей главы.
§ 13.	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РЕЖИМНЫХ РАСЧЕТОВ
ПО ЛИНЕАРИЗОВАННЫМ УРАВНЕНИЯМ
Ряд задач режимных расчетов AM может быть с достаточной точ-
ностью решен по линеаризованным уравнениям. Последние состав-
ляются на основе исходных нелинейных уравнений с использова-
нием общих выражений, приведенных в § 10 гл. 1. Проиллюстрируем
эту возможность на характерных примерах применительно к схеме
питания AM от мощной сети через последовательно включенные кон-
денсаторы.
1.	Исследование статической устойчивости установившегося ре-
жима AM при постоянной скорости ротора. Уравнения, описываю-
щие переходные процессы в схеме, составленные в осях х, г/, вращаю-
165
щихся синхронно с изображающим вектором напряжения питания
обмотки статора, имеют вид
Ь1х1х4х 4" ^Ixlyily + ^1х2хЙх 4- 1ах2У12ц —
— toppu I* i\y> izx, hy] + г 1йх + ucx — *4 = 0;
Llyixhx 4~ ^lylyih/ 4~ bly2x*2x 4~ Lly2yl2y 4-
+ Ml* [Йх> hy, hxf l2y] + Г1Й// "b Ucy = 0;
^2х1хЙх 4“ Lvxlyily 4" ^2х2хЙх 4“ ^‘2x2y^2y—
(®i — ®) [йх» йу, йх» l2y\ 4~ гайх = 0;
^Ixl’u 4~ ^2у1Хи/ + ^2y2xt2x 4- ^2у2у^2у 4"
4~ (Ю1 — Ю) lp2x [Йх, Йг/, Йх, Й^] 4- rihy = 0;
Сисх — U^CllCy — Йх = 0>
t	.	(4.136)
Сису 4~ WiCucx — й</ = 0,
где «сх> ису — напряжения на емкостях в осях х, у.
Следует отметить существенную разницу в подходе к математи-
ческому содержанию индуктивностей машины при решении задач
по линеаризованным дифференциальным уравнениям и по исходной
н. с. д. у. (§ 10 настоящей главы). При расчете п. п. по н. с. д. у.
индуктивности рассматриваются в пределах полного шага интегри-
рования методом Рунге — Кутта как величины, зависящие от маг-
нитного состояния AM, определяемого вектором md. При линеари-
зации уравнений мы заменяем нелинейные зависимости потоко-
сцеплений от токов степенными рядами
Тр/ = фдо» + 2	+ о [AiJ (/, k = lx, \у, 2х, 2z/),
*?
где фдо) — значение потокосцепления х|у при исходном векторе tnd =
= ^d(0)’, О [Ай 1 — отбрасываемый остаток ряда, охватывающий все
остальные его члены.
При таком представлении явной внешней э. м. х. индуктивности
Lik1 являющиеся коэффициентами степенного ряда, рассчитываются
для md — md(o} и постоянны. Это обстоятельство необходимо учиты-
вать при линеаризации уравнений в соответствии с выражениями»
приведенными в § 10 гл. 1.
Образовав вектор
У ~ СО1ОП (^Сх> Ucyy Йх> Й{/» Йх, ^2у)
166
		Llxlx	Llxlt/	L1x2x	Llx2y
				L1i/2x	Lly2y
		L2xlx	£2х1;/	^2x2x	^2x2y
		L2ylx	L*2^1y	L2y2x	L2y2y
в					
	с				

I		— w,L|0X + G	— CO, L 1 у \y	-wi^lz/2x	-"®il1(/2z>
	1	«Л1Х1Д	®tL\x\u + rl	(OiL1x2x	®'L\.x2y
		— (CO! — CO) X x £'24/1x	— (G>1 — CO) X xl2viv	— (COj — co) X X Ь2г/2х +	— (co, — CO L2y2y
		KO. —- (О) X X ^2xlx	«0! — (Л) X X ^2xljy	(co, — co) L2t2jt	(co, — Ci)) L2x2y + + Г2
	— <i>iC	— 1			
co, C			- 1		
X		—		(4.137)
	^uCy			
				
	^l\y			
	Xl2x			
	^2y			
167
и воспользовавшись общими выражениями (1.61), (1.64), приходим
непосредственно к линеаризованной системе дифференциальных
уравнений (4.137).
Исследование устойчивости по уравнениям (4.137) может быть
выполнено любым из известных в теории автоматического регулиро-
вания способом. Исходный установившийся режим может быть рас-
считан дифференциальным методом, как показано в § 11 настоящей
главы. Для исследования устойчивости AM при изменении одной или
двух величин, входящих в уравнения установившегося режима,
эффективным может оказаться метод прочесывания или дифферен-
циальный метод слежения за искомой границей, изложенные в ра-
ботах J21, 32—34, 82, 92, 93, 96].
2.	Расчет переходного процесса при скачкообразном изменении
одной из величин, характеризующих исходный установившийся режим
AM. Если известно, что ожидаемый п. п. сопровождается незначи-
тельными изменениями магнитного состояния, то он может быть рас-
считан путем численного интегрирования линеаризованных диффе-
ренциальных уравнений. Так, при скачкообразном изменении на-
пряжения питания обмотки статора на величину следует в правой
части системы (4.137) первый нулевой элемент заменить прираще-
нием ДаР Если причиной возникновения п. п. является скачкооб-
разное изменение активного сопротивления статора, частоты пита-
ния или скорости вращения ротора, то искомый п. п. рассчитывается
непосредственным интегрированием системы (4.137) при соответст-
вующих численных значениях гь сох и со0. -
3.	Расчет изменения установившегося режима при малых откло-
нениях величин, характеризующих этот режим. Специфические
уравнения, описывающие установившийся режим AM в рассматри-
ваемой схеме, имеют вид
— 1йх, i\y, i2x, hy\ -4- гу\х -Ь Xcily — щ = 0;
iiy, i2x, + ПИ, — xciix = 0;
— (со, - со) ф21, [йх, thy, i2x, i2y\ + r2i2x = 0;	'
— co) ф2х [йх, tly, i2x, hy] 4- r2i2t, = 0.
Будем полагать исходный режим, удовлетворяющий уравнениям
(4.138) и характеризуемый токами йх(0>, й^о), йх(о>, извест-
ным. Пусть необходимо найти приращения токов контуров AM,
соответствующие одновременному изменению величин ult со,, Хс, rY>
г2, со соответственно па Aub Acot, Дхс, Дгп Лг2, Дсо. Образовав век-
торы
Уг = colon (йх, й«, йх, йД’
у2 = colon (ult COj, XCt r2, co),
168
составим в соответствии с (1.66) линейную систему алгебраических
уравнений
из которой вычисляем искомые приращения токов. Очевидно, если
изменение режима вызвано приращениями не всех элементов вектора
у2, то оно может быть найдено из более простых уравнений, полу-
чаемых непосредственно из (4.139) путем укорочения вектора у2
в правой части системы (4.139) и исключения соответствующих строк
в матрице Q2.
4.	Расчет малых колебаний и частотных характеристик малых
колебаний в окрестности известного установившегося режима. Пусть
требуется рассчитать амплитуды колебаний токов контуров AM
при изменении скорости ротора по гармоническому закону
со == <0(0) 4- Асо cos pt
Исходные дифференциальные уравнения имеют вид (4.136). Обра-
зовав векторы
г/х = colon (ucx, uCyi i\x, iiy, i2Xt i'2y)\ y2=®
169
1		— cotLi0X 4- 4-G		— С0,£1у9Л	~~ ^^\у2у			-ЗЬ1Ид
	1	lOiLlxb	®’Llxi г/ + fi	wiL1x2x	®ihlx2z/			— liLlt/lx
		— (со, — СО) X * ^2у1х	— (СО, — СО) х X ^2У\у	— (СО, — СО) х х L2y2x + г«	— (COt — СО) X X L2y2y			— 3L2xlx
		(СО, — (0) X X L2xlx	‘СО, — (О) X х ^-2xlz/	(со, — со) х X ^2х2х	(COt — СО) X х ^2х2у + r-<			— ^L2y\x
	—со, С	— 1				-pc		
со,С			— 1				-pc	
			ГМхЬ	3£1х2л	^l\x2i,	I		— co, X Х^1//1х+Л 1
				$L\y2x	$Ь\У21<		1	®1£1х1л
		iv-2xb	f^2xlp	^l2x2>	J,L2x2i,			— (CO.—CO X X
		$L<2y 1Л	$L2y\u	$L2y2x	^L2y2y			(CO, — CO) X x L2xlx
рс							—cotC	_ 1
	|.С					co,C		
и воспользовавшись обобщенным уравнением (1.68), приходим к
системе алгебраических уравнений (4.140), в которой неизвестными
являются величины амплитуд косинусных Диохс» &UcyCt &iixc, &i\yCt
Дбхс, Д1> и синусных Дмсхя, Дг/cvs, Д/ixs, Дй^, Д1*2л«, Дх*2Уч со-
ставляющих приращений элементов вектора ylt Решая систему
(4.140) для ряда значений частоты р колебаний скорости ротора в
заданном диапазоне изменения этой частоты, получаем частотные
характеристики, т. е. зависимости искомых приращений амплитуд
от частоты р.
170
	—3£1х2л	~Р^-1х2(/		bUCxc			
—	— 3£1(/2л	~ 3Llz/2.t/		^uCyc			
— PL2xlz,'	— 3^2х2л	— 3L2x2z/		^l\xc			
~$L2y\y	— $L2y2x	— P^2z/2t/		bi\yc		^2x	
				^2xc			
				^2yc			
— <diL\y\y	~ ®'Lly2t	— ^iL\y2y	X	&“CXS			Aco.
	о1Мх2л	®tL\x2y		^uCys			
— (cot — co) ^2y\y	— (co, — co) l^2y2x 4" + g	— (co, — CO) L2y2y		A^lxs			
:®i — CO) L2X\y	co, - co) £2х2л	(co, — co) L2x2y + ri		Azlys			
				^2xs			
— I				&l2ys			
(4.140)
ГЛАВА 5
АСИНХРОННАЯ МАШИНА С ПОДМАГНИЧИВАЕМЫМ
ЯРМОМ СТАТОРА
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Асинхронная машина с подмагничиваемым ярмом статора (АМПЯС)
отличается по конструкции активной части от AM нормального ис-
полнения наличием кольцевой обмотки, уложенной в пазах статора
и охватывающей ярмо статора по всей его окружности. Такие маши-
ны обладают дополнительными регулировочными возможностями.
Например, при работе АМПЯС двигателем имеется возможность
обеспечить требуемые механические характеристики [69] путем
питания обмотки подмагничивания от соответствующей системы авто-
матического регулирования. При работе АМПЯС автономным гене-
ратором с конденсаторным возбуждением автоматическое регулиро-
вание тока подмагничивания позволяет обеспечить требуемые внеш-
ние характеристики генератора. Широкое применение получают
в настоящее время управляемые реакторы и умножители частоты с
вращающимся магнитным полем, представляющие собой,.по сущест-
ву, АМПЯС с неподвижным ротором без обмотки на нем [24, 49, 50].
Существенным отличием АМПЯС от AM общепромышленного
назначения является то, что нелинейность электромагнитных связей
здесь заложена в основу принципа действия машины — без этой
нелинейности управление с помощью подмагничивания ярма статора
было бы невозможным. Поэтому разработка теории АМПЯС как
нелинейного ЭМП необходима в первую очередь для проектирования
этого вида машин.
При выполнении режимных расчетов для АМПЯС так же, как и
для AM нормального исполнения магнитопровода, успех решения
во многом зависит от удачного выбора системы осей. Здесь следует
руководствоваться теми же соображениями, которые были изложены
в § 1 гл. 4,
§ 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА В ФАЗНЫХ ОСЯХ
С целью обеспечения максимальной общности при определении
электромагнитных связей АМПЯС для заданного уровня детализа-
ции ее магнитопровода примем в качестве объекта исследования ма-
172
шину с произвольным числом s электрических контуров на статоре
(включая обмотку подмагничивания) и г контуров на роторе, не на-
кладывая никаких ограничений в отношении симметрии многофаз-
ных обмоток. Намагничивающие силы фаз статора и ротора будем
считать распределенными вдоль расточки статора по непрерывным
законам, т. е. реальные фазы с целыми числами пазов на полюс и
фазу заменим фазами с бес-
конечными числами пазов
на полюс и фазу. Реальную
обмотку подмагничивания
с дискретным распределе-
нием проводников по пазам
статора представим обмот-
кой с непрерывным (не обя-
зательно — равномерным!)
распределением проводни-
ков. Подобно тому, как
это было сделано для ДМ
общепромышленного при-
менения, разделим услов-
но общее магнитное поле
машины на две части: ра-
бочее поле и поля рассея-
ния. Потокосцепления рас-
сеяния обмотки подмагни-
Рис. 36. К выводу интегро-дифференциальных
уравнений неявной э. м. х. АМПЯС в фазных
осях.
нивация и многофазных
обмоток будем полагать линейными однородными функциями то-
ков контуров, расположенных по ту же сторону от воздушного
зазора, что и рассматриваемый электрический контур. Рабочее
поле примем плоскопараллельным. Реальные зубцовые слои ста-
тора и ротора вместе с воздушным зазором заменим эквивалентным
распределенным нелинейным магнитным слоем, называемым в
дальнейшем активным слоем машины и имеющим в радиальных
направлениях такую же х. н., как и реальные зубцовые слои
И зазор, взятые вместе. Магнитную проводимость активного
слоя в тангенциальных направлениях примем равной нулю. Фазы
статора и ротора и обращенную к зазору часть кольцевой обмотки
подмагничивания вынесем на поверхность расточки статора. Маг-
нитные поля в ярмах статора и ротора будем полагать распреде-
ленными по радиальным сечениям ярм равномерно, а векторы
магнитной индукции и напряженности магнитного поля в ярмах
примем имеющими тангенциальные направления.
Выберем на статоре некоторую неподвижную точку А (рис. 36)
и будем определять положение любой иной точки Р по отношению
173
к точке А угловой координатой а. На роторе выберем неподвижную
точку а и будем определять положение точки Р по отношению к
точке а координатой 0. Угол у поворота ротора определим как
угловое расстояние точки а отточки А. Все углы будем измерять в
электрических радианах.
Введем в рассмотрение понятие угловой плотности п/ распреде-
ления проводников /-го электрического контура машины как числа
проводников этого контура, приходящихся на единицу углового
расстояния по расточке статора. Зависимость угловой плотности
распределения проводников /-го электрического контура от коорди-
наты а будем называть функцией распределения /-го контура. Учи-
тывая, что
р = а — у,	(5.1 >
представим функции распределения контуров АМПЯС в виде
nc/ = nc/[a] (/=1,	пр/= пр/[ау] (/=1,
(5.2а, 6)
Здесь и далее индексы «с» и «р» обозначают принадлежность к элект-
рическим контурам статора и ротора соответственно.
В соответствии с законом полного тока для замкнутого контура
интегрирования, показанного на рис. 36 штриховой линией, имеем
а,	а2	а2
F1 + -у- J Hcda — f 2 — -у- j HPda —	1а1	—
а,	™ а,	/= 1 at
г а2
— 2 S пР' Vl = °»	(5-з>
r=l at
где гс, гр — радиусы средних линий ярм статора и ротора; Яс, Нр—
напряженности магнитного поля в любом радиальном сечении, опре-
деляемые через магнитные индукции Вс, Вр в ярмах статора и ротора
в этом сечении согласно х. н. сталей статора и ротора
ЯС = ЙС[ВС]; //р = Яр[бр];	(5.4а, б)
Flt F2 — падения магнитных напряжений в активном слое в сече-
ниях аь а2, определяемые через индукции Въ В2 в этих сечениях
согласно х. н. активного слоя
F = F [В],	(5.5}
которая рассчитывается путем суммирования по падениям магнит-
ных напряжений частичных х. н. расчетного воздушного зазора
и зубцовых зон статора и ротора, определяемых по общепринятой
методике [671.
174
В соответствии с принципом непрерывности силовых линий для
замкнутых поверхностей, следы которых показаны на рис. 36 пунк-
тиром, имеем
- (Во + dSc) •	+ ВС1 Дйс + Bl da = 0;	(5.6>
-(В„+ вр)./РМр + бЛМр-в/-^-йа = 0’	(5.7)
где /с, /р, /гс, /гр, /гс, fcp— соответственно длины, высоты и коэффи-
циенты заполнения ярм статора и ротора; I — расчетная длина
якоря; Ге — радиус расточки статора. Из этих равенств находим
= с0В; = - срВ,	(5.8а, б).
da 0 * da	р ’	\	» л
где
1гб •	— 1Гб	(Ъ
С° - /сЛсАср0 : СР - /рЛрАрРо •	'	>
Из (5.8) следует, что
где Всо, Яро — значения индукции Ве и Вр в сечении a = 0.
Сложив почленно последние два равенства, находим, что индук-
ции Вв и Вр удовлетворяют соотношению
Вр - Во сВс = 0,	(5.10>
где
с = -пг¥’ В^В^ + сВ^	(5.11а, f )
»РПРЛР
Токи контуров, находящихся под знаками интегралов в уравне-
нии (5.3), не зависят от координаты а, поэтому их можно вынести
из-под знаков интегралов. С учетом вышеизложенного перепишем
уравнение (5.3) в виде
о.
----7“ У Wp I6» ~ cScl da — 2 (’с, У «о, [a] da —
а,	/=1 а,
— 2 j nPi la —	= 0,	(5.12)
/—I at
17&
где под выражениями
(dBc \
' /а=а
следует понимать
о
0'1
Рис. 37. К выводу разностных урав-
нений неявной э. м. х. АМПЯС в
фазных осях.
численные значения производной dBJda в точках а = аг и а =
соответственно.
По закону полного тока для контура интегрирования, совме-
щенного с окружностью радиуса гр, имеем
2л	г	2л
У Нр[£0 — cBz}da — У пр/[а — у] da = 0. (5.13)
°	i=l	о
Интегро-дифференциальные урав-
нения (5.12), (5.13) описывают
распределение магнитного поля
АМПЯС при принятых допуще-
ниях для любых заданных значе-
ний токов контуров и угла у.
Разделим магнитопровод
АМПЯС в пределах двойного по-
люсного деления на четное число g
равновеликих секторов Aa = 2л/^,
как показано на рис. 37, и составим
для каждого из этих сечений одно
разностное уравнение для интег-
ро-дифференциального уравнения
(5.12), а также разностное урав-
нение для интегрального уравне-
ния (5.13), воспользовавшись ап-
проксимациями вида
J yda = (z/[aj + 4y|a»+I| 4- у [<х*+2])	(5.14а, б)
ak
В результате получим н. с. к. у., состоящую из g уравнений вида
F [(Вс.н-1 - Bc.ft-i) е] + (Нс [Вел! + 4ЯС [Bc,fe+1] + Нс [Bc,k+2\) ес -
F 1(^с,Н-3 — Bc,fc4-1)	— (^р 1^0 — C&c,k] 4~ 4Яр [BQ — c£?c,fe+l] +
4- Wp [Во — сВс,л+2]) ер — 2 еа1’с/ («с/ laj + 4пс/ [«л-t-d + «с/ [а*+21) —
176
— S ejpl (n^i [a* — y] + 4np, [at+1 — y] + np/ [a„+2 — у]) = 0
(k = g, 1.....g — 1)	(5.15а)
и одного уравнения
(Яр [Во - cBci] -Ь 2Яр [Во - сВс2] + Яр [Во - сВсз] + ...
но
• • • + 2ЯР [Во — сВСЙ|) — V i (П [а( — у] + 2np/ [a, — yl +
Н
+ пр/[а3 —у1+ ... + 2лр/(ag — у]) = О, (5.156)
где
р __ S^chckcpQ #	_ 2лгс t
4л/гб ’	3gp. ’
2лГр	2л
еп — —— *, <?и ~ — •
Н. с. к. у. (5.15а, б) состоит из g + 1 уравнений и в нее входит
столько же в. к. м. с. (индукций Вс в g сечениях и индукции 50),
а также токи контуров и угол у. Следовательно, она описывает неяв-
ную внутреннюю э. м. х. АМПЯС.
Перейдем к составлению выражений для потокосцеплений кон-
туров.
Приращение рабочего потокосцепления /-гоэлектрического кон-
тура на его участке, соответствующем проводникам, расположенным
на длине da полюсного деления, равно
ch|\(/ lAn/da,	(5.16)
где Л — векторный магнитный потенциал, связанный с индукцией
в зазоре уравнением
в = 4^-------•	(5.17)
da	т	4
Сопоставив (5.17) с (5.8а), находим, что
йА __ т dBc
da лс0 da *
и, следовательно,
cc	a
12 8-3258
177
откуда
4-Ло = ^__(Вс-ВсО).	(5.18)
Учитывая, что векторный магнитный потенциал вычисляется с точ-
ностью до постоянной величины, примем Ао = —— • Всо. Тогда
выражение для рабочего потокосцепления /-го контура с учетом
(5.16), (5.18) и равенства pQ% = яге примет вид
2лр0	2л
v	V	у
с	О	о
где q = lchckcp0.
С учетом принятых допущений и формулы (5.19) выражения пол-
ных потокосцеплений контуров АМПЯС имеют вид
S	2л
•фс;' = S	ki + q\ Bcnci[a]da (J = 1, ... , s); (5.20a)
/=1	0
r	2л
-фр/ = S Lspiplipi + q f BcnP; [a — -y] da (j = 1....r), (5.206)
2=1	0
где Lsc/с/, ^sp/pz—индуктивности рассеяния контуров статора и ро-
тора.
Заменив в (5.20) интегралы суммами по формуле Симпсона
(5.146), приходим к н. с. к. у.
фс/ =» U Lst;dici + 2<?еи (Bcinc/ К1 + 2Вс2пс/ [а21 + #сзпс/ [а3] + ...
... + 2Bcgnci [ag]) (/ == 1, ... , s);	(5.21а)
Фр/ == Sj bsp/pzip/ 4- 2z?eH (Вс1Пр/ [«i — у] + 2Вс2Лр/ [a2 — у] +
4-ВсзПр/[a3 — 71 + ••• 4-2BCgnP/lag —71) (/ = 1, ...» г). (5.216)
Образовав векторы
ф = colon (фсь ...» фС5, фРь ...» фрг);	(5.22а)
т = colon (fci, ... , ics, *рь ...» tpr, 7);	(5.226)
р = colon (Bci.....BCg, Bo),	(5.22b)
представим н. с. к. у. неявной э. м. х. АМПЯС в фазных осях, со-
стоящую из уравнений (5.21), (5.15), двумя векторными уравнениями
ф = ф [/л, р];	/ [tn, р] = 0.	(5.23а, 6)
178
Явные внешняя и внутренняя э. м. х. АМПЯС в фазных осях
представляют собой зависимости
гр = гр [т]; р == р [т].
(5.24а, б)
§ 3. ПАРАМЕТРЫ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
В ФАЗНЫХ ОСЯХ
Внутренние и внешние э. м. п. АМПЯС в фазных осях изображаются
матрицами
ЙВС1/ЛС|			^cl/^pl	. . .	•41%,	dBci/dy
•						
<^<с1			V'pl		dBcg/dipr	
		dB<Jd‘cs	6Bo/d<p|		dB0/dipr	dB^/dy
(5.25а)
	1 1 1	^dw	^Clpl		^clpr	I'd
•						
^cecl	• • »	^сяс»	^cipl		^cspr	Tcs
^plcl		^plcs	^plpl		^plpr	ГР1
						
^prcl		^prcs	Srpl		^prpr	rpr
(5.256)
Здесь матрицы zu, z12, z2i, г22 имеют вид (5.26), где
_ / dHc [Вс] \
dBQ
/ dflp[Bp] \
р \ dBP /Вр=.В.-сВ^
(5.27а, б)
12*
179
^sclc)	...	sclcs				
•						
^scscl		scsc-				
			^splpl		^splpz	
			•			•
			^sprpl		^sprpr	4?’
(5.26а)
г12 = 2деи х
«cl (“11	2nci |a2|	nd [a3	. ..	«Cl l««-|l	2«cl (“gl	
•						
«cs I«>l	2ncs |a2|	nc<; la3i		«c<l“«-|l	2ncs [ae)	
*pi — Vi	2npi (a2 - y]	nP [«3—Y1	...	«pl l«s_|—T1	2«pi	— 71	
•						
Vla’~ v!	2«p, la2 —у]	"prl“3— Vl	...		2«prl^— V)	
(5.266)
— дифференциальные удельные магнитные сопротивления сталей
статора и ротора, вычисляемые путем дифференцирования зависи-
мостей (5.4а, б) в точках BQ == Вс1г и Вр = Во — cBckt соответствен-
но;
(5.27в)
18Q
— дифференциальное удельное поверхностное магнитное сопротив-
ление активного слоя, вычисляемое путем дифференцирования за-
висимости (5.5) в точке
Я =	= (ВсЛ+, - Bc,k_x) е\	(5.28а)
'РрУ1 = 2?ев (Вс|Пр/ [а, — У1 + 2Всгп,?, |а2 — у] + ВсзПр/ [а, — у] +
+ ... + 2бсйПр, [аг — у]) (/=1, ...,г)	(5.286)
— частные производные потокосцеплении фаз ротора по углу
«pH«t — Yl =	-“у~"-)	</= 1.......И- (5.28в)
Электромагнитный момент Л1э, действующий на ротор АМПЯС,
вычислим как сумму моментов от электродинамических сил, дейст-
вующих на проводники ротора и определяемых в соответствии с фор-
мулой Ампера.
То
г 2л	г	2л
Мэ = Гб/Ре 2 j BnPiIa Vl = сэ 2 § BnP' Ia^a*
/«1 о	r=1	о
(5.29а)
ГДГ Г, —
' <илпсно третьему закону Ньютона, такой же по величине, но
пр<>|шюноложный по знаку момент действует на статор. Поэтому
вращающий электромагнитный момент АМПЯС может быть вычис-
лен и по формуле
ч 2Л •
мз = — г6/р„ £ С Bncl [a] iclda =
(-1о
2л
= — сэ 2J BrLci da‘	(5.296)
о
Если воспользоваться для вычисления интеграла формулой Симпсо-
на, то выражения (5.29) приобретают вид
Л» = Д 1р,.(В1Пр;[а, — У1+ 2S2np/[а2 — у] + В3пр1 [а3— у] +
+ ... +2Bsnp/[ag —у]);	(5.30а)
181
zai	еи	"cl Iagl + + 4"ci [«J -h + "ci la2]		"cs I«gl + + 4«cs l«il + + "cs [“2!	"pl l«g — Yl + 4"pl [al — ?1 + + "pl 1«2 — Yl
	•			
	"cl I«g-11 + + 4nci [®gl + + "cl [“11		"cs [“g-ll + + 4"cs l“gi + + "cs [«11	"pl l“g-l — Yl + 4«P1l«g - Yi + + "pl 1«1 — Y)
				("pi l«i — Yl 4- 2npl [a2 — V14- + "pl 1«3 — Y1+ • • • + + 2"pi [«g —Yl)
4 (ecvcl + + «pCVpi)+ + e (Pg + Pa)	«cVc2 + W	— ep2		
ecvcl + epcvp,	4 (ecvc2 4- 4- epevp2) 4- 4- s (pi 4- Рз)	«cVej + epcvp3	— ep3	
•				
-epg				...
«oVct + epcvpl	— epi			
fp Po CT₽I		2cvo2 Po p2	fp ~^cv^	i 	2cvd4 Po p4	...
182
	«рг l“g — vl + 4npr [04 — Yl + + «рг [«2 — ?]	S 'pi (лр/ [a« — vl + 4«P/ [«1 — /=1 — Y1 + »p/ [“2 — YD
		
	«рг fag_i — Yl + 4npr [ag — у] + + "pr l“i — Yl	5 ‘p/ (nP/	~ vl + 4”p/ t“g ~ — Yl + «р/ l«i — Yl
...	-7- («рг (“i — Yl + 2npr [Oj — — Yl + лрг [a3 — y] + ••• 4- + 2V la4 — Yl)	S ‘р/ ("p/ I“i — Vl + 2rff Ic^ - — Yl +^/[“3 —Yl + ••• + + 2«p/ (“g — Yl)
(5.26в)
		— epg	ecVCI, + + ep'?vpg	-eP<vpe + + 4vpl + vp2)
			— ePi	- eP <vpl + + 4vP2 + Vp3>
				
-^g-2	«cVCg_2 + + ерстрк—2	4(ecvcg_ ,+ + epcvpg_1) + + e (Pg—2 + Pg)	гс*сг + + ePCTPg	- ep (Vpg_2 + + 4vPg-l + + vpg)
	-ePg-l	ecVcg_i + + ePcvpg-)	4 («cVcg + + epcVp6) + + e (Pg—1 + Pi)	-e₽(vW!_l + + 4g + + vpl>
-^cvP«-3			~^2%g	|2^'++ + vp3 + * • • + 4-Vpg— i4-2vpg)
(5.26г)
183
Л4Э —-----iCj [04] 4~ 2В2пс/ [0&2] + ^з^с/ 1аз1 4” • • • 4-
+ 2Bgnc/Jag]),	(5.306)
где индукции в зазоре вычисляются путем численного дифферен-
цирования распределения индукции Вс вдоль координаты а согласно
выражению (5.8а), например, по формуле (5.28а).
Приведенные в § 2 и 3 настоящей главы уравнения э. м. х. и фор-
мулы, необходимые для вычисления э. м. п., соответствуют обобщен-
ной АМПЯС с произвольным числом электрических контуров на ста-
торе и роторе. Накладывая соответствующие ограничения на число
контуров и вид функций распределения (5.2), легко получить как
частные случаи уравнения э. м. х. и матрицы ги, г12, г21, г22 для трех-
фазных AM общепромышленного применения, управляемых двух-
фазных асинхронных двигателей с подмагничиваемым ярмом ста-
тора, управляемых реакторов с вращающимся магнитным полем,
преобразователей частоты с вращающимся магнитным полем и ряда
других ЭМП, содержащих неявнополюсный магнитопровод и рас-
пределенные по пазам электрические контуры.
§ 4. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ФАЗНЫХ ОСЯХ
Рассмотрим последовательность расчета п. п. обобщенной АМПЯС,
электрические контуры которой включены на заданные напряжения
=	(/= cl, ..., cs, pl, ...» рг) (5.31)
и которая нагружена моментом, зависящим, в общем случае, от угла
у поворота ротора и скорости со вращения ротора
MC=MC(V, <о].	(5.32)
Уравнения электрического равновесия имеют вид
и,- — r,ij — ф/ = 0 (/= cl, ... , cs, pl, ..., рг). (5.33)
Учитывая соотношение
фу = Stfn
и введя фиктивный аргумент е = /, представим полную н. с. д. у.,
описывающую п. п. в рассматриваемой АМПЯС, в виде
£с1с1*с1 4~ • • • 4" ^clcs^cs 4“ ^clpl^pl 4~ • • • 4~
4” ^cipr^'pr 4~ ГС1у wci [^] 4~rciici = 0;
184
bcsclfcl 4“ • • • 4" Lcscsics 4-
4-	^cspiipi + • • • 4-
4~ Lcspripr 4~ Гcs?
—	«cs [t I + rcsics = 0;
Lpk-ltd 4" • • • 4* ^picsics +
+ £pipi*pi 4* • • • 4-
4" ^piprip/ 4~ r*piY
—	upi [/] 4- rPi*Pi = 0;
bprclf'd 4“ • • • 4“ presses +
4~ ^prpiipi 4- • • • 4~
4~ ^prpr^pr 4~ Г*prY
—	«рг И 4*fpripr — 0;
Mc It, co] + Мэ — J/pQ(j) == 0;
YF —o) = 0; 1—f = 0;	(5.34a)
I*,' «	(5.346)
Рис. 38. Блок-схема, иллюстри-
рующая последовательность опе-
раций на шаге интегрирования
н. с. д. у. (5.34).
Специфический вектор
в данной задаче имеет вид
У = СО1ОП (О), /).
Интегрирование н. с. д. у. (5.34) выполняется в соответствии с
блок-схемой, представленной на рис. 38.
§ 5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
В ОСЯХ z, //
Для того чтобы преобразования дифференциальных уравнений
электрического равновесия АМПЯС к осям х, у были целесообраз-
ными (см. § 6 гл. 4), примем в дополнение к допущениям, сформули-
рованным в § 2 настоящей главы, следующие ограничения: будем
полагать, что обмотка подмагничивания распределена вдоль расточ-
ки статора равномерно, а обмотки статора и ротора являются трех-
фазными симметричными и создают гармонически распределенные
185
вдоль расточки статора намагничивающие силы. Кроме того, не теряя
общности, примем, что обмотка ротора приведена по числу вит-
ков к обмотке статора. При этом функции распределения фаз статора
ротора могут быть представлены в виде
пп ;а] = ап; пА [а] ~ a sin а;
пв [а] == a sin (а — р); tic [а] = a sin (а 4- р);
па [а — у] ~ a sin (а — у); пь [а — у] = a sin (а — у — р);
пс [а у] = a sin (а у 4- р),	(5.35)
тде а ~; ап =	; w — число эффективных последова-
Л/?0	^Ро
тельно соединенных витков фаз, равное произведению обмоточного
коэффициента для первой гармонической на действительное число
последовательно соединенных витков; шп—число последовательно
соединенных витков обмотки подмагничивания; у — угол наклона
оси фазы а к оси фазы А.
Интегро-дифференциальные уравнения (5.12) и (5.13), описываю-
щие распределение магнитного поля в АМПЯС при заданных токах
контуров и угле у, и выражения (5.20) потокосцеплений контуров
при этом имеют вид
г[—	]+—?яс[вс1^«—4—14г4 1—
L Сс \ /a=aj Ро J	L Сс \ /a=aj
a,
a2	a2	a,
---i cBJda — («п'п j + a $(Msin a + I'ssin (a — p) +
4- ic sin (a + p) + i„ sin (a — y) + ih sin (a — у — p) +
+ ic sin (a — y + p))da)=0;	(5.36а)
2л
j Яр [Bo — cBJ da = 0;	(5.366)
0
2л
Ч’п = Lsni„ + ?! У Bcda;
О
2Л
фл = L$i,ziA 4“ LSMciв + LsmJg + fo J sin a^a;
о
186
2л
фв = Ь$мс1а ~h 4~ Ь,чм< i 4~ 7г j* &c sin (a —- p) da*,
.-.Л
фс = LsMci, 4" LsMcIb + LSLZtc + ^2 f sin (a 4" P) ^a»
0
2л
фа = ^sLpi’a 4“ LSMpib 4” L$Mpic 4~ ^2 j* sin (a y) da\
Q
2л
Фб = LsMpia 4- LsLpib 4- LsMpic 4- q2 § Bc sin (a — у — p) da;
0
2Л
фс = LsMpia 4- LsMpib 4- ^Lpic 4- q2 $ Bcsin (a ~ Y 4- p) da, (5.37)
о
где Lsn, £sLc, Lslp— постоянные собственные индуктивности рассея-
ния обмотки подмагничивания и фаз статора и ротора; Ls'Mc, LSMp—
постоянные взаимные индуктивности рассеяния фаз статора и ро-
тора;
Векторы ф, т, i для такой АМПЯС имеют вид
ф =» colon (фп, фл, фв, фс, Фа, Фб» Фс)1	(5.39)
т = colon (zn, /д, /в, k, ifl, Ц, Y);	(5.40)
i = colon (Zn, iA, is, ic, iQ, Q-	(5-41)
Преобразования от фазных осей к осям х, у для токов и потоко-
сцеплений АМПЯС и наоборот выполняются согласно формулам
Га = Ш; фд == Пф;	(5.42а, 6)
i = П”1/d\ ф = 11-1фд,	(5.43а, б)
где
/д = colon (in, i*ix, i\y, i^x, t2y, J*2o)»	(5.44а)
фд = colon (фп, Ф1х, фц/, Фю, ф2х, Ф2у, ф20)»	(5.446)
187
1			
	2 -у cos Y1	2 — cos (y, — p)	2 — cos (Yi + P)
	2 . — — sin Vl	2 — — sin (Yi — p)	2 — — sin (Yl + p)
	i 3	1 3	1 3
			
			
			
			
	cos Yi	— sin Yi	1
	cos (Yi — p)	~ sin (Yi — p)	1
	cos (Yi + p)	— sin (Yi + p)	1
			
			
			
188
		
		
		
		
2 — cos у2	2 -у cos (y2 — p)	2 — cos (V, + p)
2 . — — siny2	2 — -j- sin (y2 — p)	2 	у sin (y2 + p)
1 3	1 3	1 3
(5.45а)
		
		
		
		
cos y.	- Sin y2	1
cos(y2 —p)	— sin (y2 — p)	1
cos (y2 + p)	— sin (y2 + p)	1
(5.456)
189
Подставив в уравнения (5.36) выражения токов фаз через токи
в осях х, у согласно (5.43а), получим интегро-дифференциальные
уравнения, описывающие распределение магнитного поля в АМПЯС
в осях х, у. Эти уравнения имеют вид
&2
- 44 Яр [В„- cBj -а„&- h) + ао(«1х + ^(cos^-cos^) +
Ро ь
+ (А* + <2у) (sin ?2 — sin Е,)) = 0;	(5.46а)
2л
У /7р|Во-сВс]^ = О,	(5.466)
о
3
где aD = -у а;
£ = а — ?1 = 0 — ?2	(5.47)
— угол, определяющий положение текущей точки на полюсном де-
лении по отношению к оси х (рис. 36).
Подставив в вектор фазных потокосцеплений (5.39) значения его
элементов по (5.37) и заменив токи фаз преобразованными токами
согласно (5.43а) и, далее, умножив полученный таким способом век-
тор ф слева на матрицу П, после выполнения алгебраических преоб-
разований получим вектор фэ, элементами которого являются
2л
% = Lsnin 4- qiD У BodE;	(5.48а)
о
2л
ф1х == IWb + q2D BGsin gdg;
о
2л
tpij, = Loit'ij, — qw У Be cos №	= Llniu; (5.485, в, г)
О
2Л
Я>2х =	+ qiD У ве sin
о
2Л
= ВО2«2У— <?2D У ва cos Ed£; 410 =	(5.48д, е, ж)
о
190
где
^10 — ^>sLs “I" 2LsaicJ
Bgo = BsLp 4~ 2LsAfpJ
q2D = q2.
L>c\ — Lslc — LsMci
Bq2 — LsLp L>sMp\
qiD == qi,
Разделив магнитопровод машины в пределах двойного полюсного
деления на четное число g равных секторов, как и в § 2 настоящей
главы, представим н. с. к. у. неявной э. м. х. АМПЯС в осях х,
у в виде двух систем уравнений
F [(Bc,*+i — -#с,&-1) е] + (Н9 [ВС(4 4- 4НС [Bc,fe-4-i] +	[Вс.^+г]) ес —
- F [(Вс.н-3 - Вс.н-1) е] - (/7Р [Во - cBc,k] + 4/7р [Во - cBCtk^] -Ь
+ Вр [Во — сВсл+21) ер — anin (£а — у 4-
4- ClD ((Их 4- 1<2х) (cos Jfe+2 — cos у 4*
4- G’iv + ^)(sin^+2 — siny) = 0 (/e = g, 1, ...» g—1);
Hp IB0 — C^c, i] 4~ 2/7p [Bo — eBc,2] 4- #p [Bo — еВс.з] 4"
4- ... 4- 2//p [Bo — cBCtg] = 0;	(5.49a}
фп == Bsnin 4* 2eH^io (BcJ 4- 2BCt2 4* Вс,з + • • * 4" 2BCtg);
Ф1х = Mix 4- 2eKq2D (Bcj sin ?x 4- 2BC,2 sin E2 4- Bc,3 sin g3 4-
4“ ... 4" 2BCig sin у;
= Loih// — 2си^2о (Bc,। cos 4” 2BCr2cos 4“ Вс>з cos 4“
4- ... 4-2BCtgcosy;
Фю 53 ^loGo*
ф2х = W2x 4- 2eHq2D (Bc,। sin 4- 2BC(2 sin £a 4- BC13 sin gs +
4-	... 4- 2Be,g sin у;
fe= BQ2i2y — 2^h<72d (Bc,i cos gx 4- 2Bc,2 cos H2 + Bc,3 cos & 4-
4~ ... 4~ 2Bc,a cos у;
Ф20 ~ B2o^2o	(5.496}
Здесь, в отличие от н. с. к. у. (5.15), (5.21) неявной э. м. х. в фазных
осях, в уравнениях отсутствует угол у поворота ротора.
В векторной записи н. с. к. у. (5.49) неявной э. м. х. АМПЯС
может быть представлена двумя уравнениями
= ф£> [то, pd; Jd lfnot Pd] = 0,	(5.50a, 6)
191
где
/ПЭ — Colon (t*n, tlx, Му, ^*10» Mx, ^2у> 1*2(0 — Id\ (5.51a)
fiD = colon (BC,1........£c,g, BQ) == Ц.	(5.515)
Явные внешняя и внутренняя э. м. к. АМПЯС в осях %, у отра-
жают зависимости
фо = фо [/Пэ]; ро = Цо [tnD]-	(5.52а, б)
§ 6. ПАРАМЕТРЫ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ МОМЕНТ
В ОСЯХ х, у
Внутренние и внешние э. м. п. АМПЯС в осях х, у представляют со-
бой матрицы
<?Всд/Лп	dBc,l>ditx	дВсл1д'\у
		
dBCf,/din	dBc,s/dilx	дВ..^у
dBJdi^	дв„/д11х	dBQfdiXy
^пп	^nlx	
	L\x\x	^Ulz/
^lyn	Llylx	
^10п	^IQlx	L101y
^2хп	^2xlx	L2xly
L2yn	^2ylx	^2y\y
^20п	^201x	^20ly
192
Матрицы ги, z12, г21 здесь имеют вид (5.54), а матрица г22 опреде-
ляется по (5.26 г).
Выполнив умножения в формулах (1.82) с учетом содержания
матриц zu, z12, z21, г22> легко убедиться, что
=	= °	•••>£); -^- = 4»г-=0: <5-55»
Ut20	О'Но О'Но
£1x10 = £1^/10 = ^2x10 ~ ^2у\0 = £1x20 = ^1^20 = ^2x20 = 1^2у20 ~
£101х = £101^ = £102х == Li02y = L201x = ^20\у — Ь%ях = £>202// == 0. (5.56)
Для электромагнитного момента АМПЯС в осях х, у ввиду гар-
монического распределения намагничивающей силы обмотки ста-
тора вдоль полюсного деления остаются справедливыми формулы
(4.86), (4.87).
дВС |/5'1О	дВ<Лд‘2х		
			
дВс.ц/д‘и	дВс.ц/д‘^	dBe.g/di2y	
i)Baldlia	dBJdl2K		dB^/di^Q
(5.53а)
Lnl0	^n2x	Ln2y	^n20
^1x10	L\x2x	4x2y	^1жяо
	Lly2x	^\у2у	^1у20
^1010	L102x	^lG2y	^1020
^2x10	L2x2x	^2x2y	^2x20
Ц//10	^2y2x	^2y2y	^2y20
^2010	^202x	^2Q2y	^2020
(б.536)
13 8-3258
193
zn — diag (Lsn, Lal, LCTp Llo, Lct2, La^ ^20)’»
(5.54a)
Q1D	27|O	7io		27io	
, 72о s’n £1	272o sin £2	72o sin t,3		2q2D sin	
— 72о cos £1	— 272d cos £2	72o cos £3		‘ZQzd cos»g	
					
72О sin	272o sin ^2	72o sin £,3		2qw sin	
— 720 C0S £1	— 2q2D cos £2	72o cos £з		— 2q2D cos	
					
(5.545)
— anin X X fe-u	aD (cos £2 — — cos £g)	aD (sin £2 — — sin ^g)		aD (cos £2 — — cos Ig)	aD (sin — — sin £g)	
						
anin X X (fei— £g—1)	aD (cos — — COS	“D (sin — - sin Sg-x)		aD (cos — — cos	aD (sin Si — — sin ^g-j)	
						
(5.54в’
§ 7. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ОСЯХ х, у
Уравнения электрического равновесия АМПЯС в фазных осях при
ее питании напряжениями, образующими вектор
и = colon («п, иА, ив, ис, uai ub1 ис),	(5.57)
в матричной записи имеют вид
и — ri — 4? = 0,	(5.58)
194
где
г = diag(rn, rb rp r2, r2, r2).
(5.59)
Преобразовав уравнение (5.58) к осям х, у аналогично тому, как это
было сделано в § 10 гл. 4 для AM нормального исполнения, имеем
“фо -|- йяф/; + Г did — Ud = о,	(5.60)
где
Ud —	Пи = colon («,„ Uu, Uiy, u10, u2x, u2y, ut„); rD = diag (r,„ rlt rlt rt, r2, rt, r2) = r;							(5.61a) (5.616)
								
			-О)!					
		О),						
Qd =								(5.61b)
						- ° 2		
					«2			
								
Полная н. с. д. у., описывающая электромеханические п. п.
АМПЯС, с учетом (5.61), (5.56) имеет вид
^пп*п + Lnlx*lx + l^n\yi\y + ЬП2х& + LnZyity 4~ Г4П — Un ~
L\xnin + Ь1х1х*1х4" Lixlyily-}- L1x2x^2x+ L Шу tty—	+ rihx— «ix = 0;
^11/nCi 4" L\ylxi\x 4“ L\y\yiP\y 4“ L\y2xl2x 4“ ^\y2ytty 4“ Ю1Ф1Х 4" Гyi\y — U\y — 0,
£1010*10 4- r?10 — wio —
^2хп^и 4- ^2x1 x^x 4“ ^2xl^il!/ 4“ ^2x2xl2x 4*
4" L'2x2yity— (wi— w) lp2z/ 4~ r2l2x — ^2x ~ 0;
^2j/iJn 4" Liyixfix 4- I^ylyfii, 4- ^2y2xl2x 4~
4~ Liiflyiiy"}" (wi— w) фгх 4~ rihy — u2y 1=3 0»
13*
195
Рис. 39. Блок-схема, иллюстрирую-
щая последовательность операций на
шаге интегрирования н. с, д. у, (5.62).
L2020I20 + г2Чо — w2o =
Л4С Л4Э — J/PqU? = 0;
уе — со = 0;
1— f==0;	(5.62а)
“фэ =
Но ==	(5.626)
Здесь yD = colon (со, t). По-
следовательность операций на
шаге Де интегрирования н. с. д. у.
(5.62) показана на блок-схеме
рис. 39.
§ 8. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК
В этом параграфе рассмотрим
АМПЯС, удовлетворяющую
ограничениям, изложенным в
§ 5 настоящей главы, при пи-
тании обмоток статора и ро-
тора симметричными трехфазными системами напряжений,
частоты которых удовлетворяют условию (4.104), а обмотка под-
магничивания питается постоянным током. При этих условиях, как
было показано в § 11 гл. 4, напряжения питания в осях %, у постоян-
ны, а решение дифференциального уравнения электрического рав-
новесия (5.60) при t -> 00 может быть найдено из конечного уравне-
ния электрического равновесия
Ндфд -{- Гд1 д — ud = 0,
(5.63)
полученного из дифференциального уравнения (5.60) путем подста-
новки фд = 0. При симметрии систем питающих напряжений напря-
жения «10, «го равны нулю, а уравнения для нулевых контуров ста-
тора и ротора превращаются в тождества вида 0 = 0. Уравнение
для обмотки подмагничивания сводится к виду «п = гп1п, которое
отражает закон Ома для этой обмотки и практически не вносит по-
лезной информации о свойствах АМПЯС. Поэтому имеет смысл при
рассмотрении установившихся режимов и статических характерис-
тик исключить из рассмотрения уравнения для нулевых контуров
и обмотки подмагничивания. В результате такого исключения урав-
196
нения электрического равновесия АМПЯС в осях х, у для устано-
вившихся режимов работы имеют вид
— (Oj-ф^ 4- i\iXx — и[х = 0;
— (toj — со) 4- r2i2x — Utx = 0;	(5.64)
((Dj — <О) ф2х 4" rzhy — Щу = 0,
где потокосцепления контуров зависят от токов zn, i\x, i\yi i2x, i2y.
Образуем вектор потокосцеплений
— colon (-фи, ф|^, ф2л, Ш	(5.65)
и вектор-аргумент э. м. х.
tnd « colon (/,„ Zu, 6//, ivy) = id‘	(5.66)
Тогда явные внешняя и внутренняя э. м. х. будут представлены за-
висимостями
= % W: = Уч	(5.67а, б)
Внешние э. м. п. при этом изображаются матрицей S^, получае-
мой из матрицы (5.536) путем исключения первой, четвертой и седь-
мой строк и четвертого и седьмого столбцов. Внутренние э. м. п.
изображаются матрицей SUrf, получаемой из (5.53а) путем исключе-
ния четвертого и седьмого столбцов.
Перейдем к расчету конкретных с. х.
1. h-характеристика для режима, соответствующего заданным
величинам coi(0), cd(0>, «ix«)), «мо>, «2х<оь ^2//<о>, 6ко>. Специфические
уравнения такой ^-характеристики имеют вид
— Юцо/Ф^ 4-	— hu\X(p) = 0; (О1(0)фи 4~ i\i\y— huiy(Q) = 0;
— (<О 1(0) — О>(0))	4- Г2^*2х — hU2x(0) = 0;
(соцо) — (0(0)) фгх 4- rzhy — hu2y(0) = 0;
zn — hfn(o) = 0; е — h = 0.
Полная н. с. д. у. этой характеристики состоит из уравнений
— <О|(0) (£|/У|^п 4“ ^\y\xi\x 4“ L\y\yi\u 4- Ь\у2х$2х 4- Lly2yt2y) 4*
4~ f'liix — ^ix(O) = O’,
<Ol(0) (bixn^’n 4- ^lxlx^u+ b 1x11/^4“ 1x2x12x4'	4"	—Wl.z/(O) = 0;
— (<oi(0) — соц))) (L21/1J11 L2yixifx 4“ L2yiyify 4* L2y2xi2x 4" ^>2y2yi2y) 4~
4" r2*2x — W2x(0) = 0;
197
(®t(0) — (0(0)) (^2xnj’n 4~ ^2xlxi'lx 4" Lzxlyfiy 4~ L^x^x + ^2x2y^2y) +
+ r2^2y — u2y(0) ~ 0;
1—Л8 = 0;	(5.68a)
id = Swtnd', = S^md-	(5.686, в)
2. Зависимость ur — ur [tj при закороченном роторе и заданных
значениях соцо;, (О(0), гП(0)« Специфическими уравнениями здесь
являются
— С01(0)Ф1 у + ihx — П1Х = 0; (Oi(O)ipix 4~ г ^ly — U{y = 0;
— ((01(0) — (0(0)) ф2// 4~ C2t2x = 0;	((01(0) — (0(0)) 4;2x + C2l2y "	(5.69)
Ui U\x U\y = 0, 1*1 i\x iiy “ 0, in ^n(o) “ 0,	8	“ 0»
Специфические дифференциальные уравнения имеют вид
— (01(0) (^Iz/Ii^n 4" L>ly\x^x + Liyiyi^y 4~ Liy2xl2x + L[y2yi2y) +
4~ ri/ix — n,\x = 0;
(Oi(0) (biWn + Lixixfix + L,\xiyi&iy + Lix2xt2x 4- Lix2yi2y) 4“ r4h/ — U\y = 0;
— ((01(0) — (0(0)) (/>2(/i^’n 4- ^2i/lxllx 4" ^2ylyi\y 4~ ^2y2xl2x 4~ ^2y2yl2y) 4“
4- ^2l2x = 0;	(5.70)
((01(0) — (0(0)) (-^2xn^n 4" ^2xlxt’lx 4- ^2xlyi[y 4“ ^2x2x^2x + ^2х2у^2у) 4~
4" c2i2y = 0;
UjUj UixUix n,\yU\y = 0, tji'i - iixilx ^lyily ~ 0» i*n ~ Oj
1 — ii = 0.
Здесь, как частный случай, могут быть получены непосредствен-
но зависимости иг иг [ц] для реактора с вращающимся магнитным
полем. Для этого достаточно в уравнениях (5.70) подставить со(0)=
= «ЦО). Если дополнительно принять /П(о> = 0, то получим харак-
теристику холостого хода AM общепромышленного применения.
Аналогичным способом могут быть рассчитаны и зависимости
«1 = «1 [гп] при заданных соцо), Ш(0), г’цо), а также механические, ре-
гулировочные и другие характеристики АМПЯС.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Адкинс Б. Общая теория электрических машин.— М.; Л. : Госэнерго-
издат, 1960.
2.	Д.квдяи М. М. Машинные генераторы повышенной частоты.—Л. : Энергия,
1967.
3.	Архангельский В. //. Аналитическое выражение кривой намагничивания ма-
шин.— Электричество, 1950, № 3.
4.	Бамдас А. М.„ Сомов В. А., Шмидт А. О.— Трансформаторы и стабилизато-
ры, регулируемые подмагничиванием шунтов.— М.; Л. : Госэнергоиздат,
1959.
5.	Бахвалов Н. С. Численные методы.— М. : Наука, 1975.
6.	Березин Н. С., Жидков Н. П. Методы вычислений : В 2-х т.— М. : Физматгиз,
I960—1962,—Т. 1—2.
7.	Бертинов А. И., Алиевский Б. Л., Троицкий С. Р. Униполярные электриче-
ские машины.— М.; Л. : Энергия, 1966.
8.	Бертинов А. И., Барлей В. В. Электрические машины с катящимся ротором.—
М. : Энергия, 1969.
9.	Билый Л. А., Фальц Р. В. Применение сеточного метода для расчета ферро-
резонанспых характеристик.— Теорет. электротехника, 1977, вып. 22.
10.	Блехман И. И., Мыткис А. Д., Пановко Я. Г. Прикладная математика:
предмет, логика, особенности подходов.— Киев : Наук, думка, 1976.
11.	Важное А. И. Основы теории переходных процессов синхронной машины.—
М.; Л. : Госэнергоиздат, I960.
12.	Веников В. А. Теория подобия и моделирования применительно к задачам
электроэнергетики.— М. : Высш, школа, 1966.
13.	Гордон А. В., Сливинская А. Г. Электромагниты постоянного тока.— М.;
Л. : Госэнергоиздат, 1960.
14.	Гордон А. В., Сливинская А. Г. Электромагниты переменного тока.—М. : Энер-
гия, 1968.
15.	Горев А. А. Переходные процессы синхронной машины.— М.; Л. : Госэнергс-
издат, 1950.
16.	Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики.— М. :
Наука, 1967.
17.	Демидович Б. П,, Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы анализа.—
М. : Наука, 1967.
18.	Дижур Д. П. Метод моделирования на ЦВМ вентильных преобразовательных
схем.— Сб. НИИ постояв, тока, 1970, вып. 16.
19.	Дискретный электропривод с шаговыми двигателями /Под ред. М. Г. Чили-
кина.— М. : Энергия, 1971.
20.	Дячишин Б. В., Фальц Р. В. Малые колебания и частотные характеристики
насыщенной явнонолюсной синхронной машины при параллельной работе с
мощной сетью.— Изв. вузов. Энергетика, 1977, № 6.
199
21.	Дячишин Б. В., Фильц Р. B.t Глухивский Л. И. Влияние насыщения на апе-
риодическую неустойчивость явнополюсной синхронной машины при ее рабо-
те на мощную сеть.— Изв. вузов. Энергетика, 1975, № 6.
22.	Жежерин Р. П. Индукторные генераторы.— М.; Л. : Госэнергоиздат, 1961.
23.	Загрядцкий В. И. Совмещенные электрические машины.— Кишинев : Картя
Молдовеняскэ, 1971.
24.	Загрядцкий В. И., Кобыляцкий Н. И., Недзельский А. П. Ферромагнитные
умножители частоты с вращающимся магнитным полем.— Кишинев : Картя
Молдовеняскэ, 1973.
25.	Зарипов М. Ф., Ураксеев М. А. Расчет электромеханических счетно-решаю-
щих преобразователей.— М. : Наука, 1976.
26.	Каасик П. Ю. Тихоходные безредукторные микроэлектродвигатели.— Л. :
Энергия, 1974.
27.	вазовский Е. Д. Переходные процессы в электрических машинах переменного
тока.— М.; Л. : Изд-во АН СССР, 1962.
28.	Карпенко Б. К., Ларченко В. И., Прокофьев Ю. А. Шаговые электродвига-
тели.— Киев : Техн1ка, 1972.
29.	Касьянов В. Т. Электрическая машина двойного питания как общий случай
машины переменного тока.— Электричество, 1931, № 21/22.
30.	Кениг Г., Блекуэлл В. Теория электромеханических систем.— М.; Л. : Энер-
гия, 1965.
31.	Ковач К. П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменного тока.—
М.; Л. : Госэнергоиздат, 1963.
32.	Козий Б. И., Фильц Р. В. Влияние насыщения на самовозбуждение неявно-
полюсного синхронного генератора, работающего на активно-емкостную на-
грузку.— Изв. вузов. Электромеханика, 1971, № 11.
33.	Козий Б. И., Фильц Р. В. Самовозбуждение насыщенного асинхронного дви-
гателя с последовательными конденсаторами.— Электричество, 1972, № 5.
34.	Козий Б. И., Фильц Р. В. Условия самораскачивания насыщенной неявно-
полюсной синхронной машины.— Изв. вузов. Энергетика, 1971, № 6.
35.	Конкордии Ч. Синхронные машины. Переходные и установившиеся процес-
сы.— М.; Л. : Госэнергоиздат, 1959.
36.	Кононенко Е. В. Синхронные реактивные машины.— М. : Энергия, 1970.
37.	Копылов И. П. Электромеханические преобразователи энергии.— М. : Энер-
гия, 1973.
38.	Копылов И. П., Мамедов Ф. А., Беспалов В. Д. Математическое моделирование
асинхронных машин.— М. : Энергия, 1969.
39.	Копылов И. П., Щедрин О. П. Расчет на ЦВМ характеристик асинхронных
машин.— М. : Энергия, 1973.
40.	Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.— М. : Наука, 1970.
41.	Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике.— М.; Л. : Гос-
энергоиздат, 1951.
42.	Кузовлева Ф. Д., Пеккер И. И. Аппроксимация кривых намагничивания при
расчетах на ЭЦВМ.— Изв. вузов. Электромеханика, 1965, № 6.
43.	Лайон В. Анализ переходных процессов в электрических машинах переменно-
го тока.— М.; Л. : Госэнергоиздат, 1958.
44.	Леви Э., Панцер М. Электромеханическое преобразование энергии.— М.:
Мир, 1969.
45.	Лопухина Е. М., Сомихина Г. С. Асинхронные микромашины с полым рото-
ром.— М. : Энергия, 1967.
46.	Лоран П. Ж. Аппроксимация и оптимизация.— М. : Мир, 1975.
47.	Маляр В. С., Фильц Р. В. Аппроксимация характеристик намагничивания
сплайнами.—Изв. вузов. Энергетика, 1977, № 11.
48.	Милях А. Н. Основы теории электродинамических систем с тремя степенями
свободы движения.— Киев : Изд-во АН УССР, 1956.
200
49.	Мишин В. И. Статические нелинейные цепи с вращающимся магнитным по-
лем.— Кишинев : Штиинца, 1973.
50.	Мишин В. И., Забудский Е. И., Собор И. В. Трехфазные управляемые реак-
торы.— Кишинев : Штиинца, 1977.
51.	Мкртчян Д. П., Хрущев В. В. Однофазные селсины.— Л. : Судпромгиз,
1957.
52.	Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных
систем уравнений со многими неизвестными.— М. : Мир, 1975.
53.	Паластин Л. М. Электрические машины автономных источников витания.—
М. : Энергия, 1972.
54.	Панасенков М. А. Электромагнитные расчеты устройств с нелинейными рас-
пределенными параметрами,—М. : Энергия, 1971.
55.	Пеккер И. И., Никитенко А. Г. Расчет электромагнитных механизмов на вы-
числительных машинах.—М. : Энергия, 1967.
56.	Петров Г. Н. Электрические машины : В 3-х т.— М. : Энергия, 1963—1974.—
Т. 1—3.
57.	Попичко В. В., Чернык М. А., Фильц Р. В. Дифференциальные индуктивности
некомпенсированных машин постоянного тока.— Электричество, 1974, № 6.
58.	Попичко В. В., Чернык М. А., Фильц Р. В. Расчет характеристик насыщенных
некомпенсированных двигателей постоянною тока,— Изв. вузов. Электро-
механика, 1973, № 9.
59.	Постников И. М. Обобщенная теория и переходные процессы электрических
машин.— М. : Высш, школа, 1975.
60.	Постников И. М., Ралле В. В. Синхронные реактивные двигатели.— Киев :
Техн1ка, 1970.
61.	Пульер Ю. М., Колесов Ю. А., Асиновский Э. Н. Индукционные электромеха-
нические функциональные преобразователи.— М. : Энергия, 1969.
62.	Пухов Г. Е. Метощя анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей.—
Киев : Наук, думка, 1967.
63.	Расчет на ЦВМ установившихся режимов работы насыщенных неявнополюс-
ных машин переменного тока итерационным методом Ньютона/ Л. И. Глухив-
ский, Р. В. Фильц, О. Д. Ратич, Б. И. Козий.— Изв. вузов. Электромеханика,
1974, № 1.
64.	Расчет параметров и статических характеристик высокоиспользованных
турбогенераторов /10. В. Кириленко, Р. В. Фильц, Б. И. Козий, В. В. По-
пичко.— Электричество, 1974, № 12.
65.	Розенблат М. А. Магнитные усилители : В 2-х т.— М. : Сов. радио, 1960.—
Т. 1—2.
66.	Ряшенцев Н. П., Тимошенко Е. М., Фролов А. В. Теория, расчет и конструи-
рование электромагнитных машин ударного действия.— Новосибирск : Нау-
ка, 1970.
67.	Сергеев П. С., Виноградов Н. В., Горяйнов Ф. А. Проектирование электриче-
ских машин.— М. : Энергия, 1969.
68.	Сили С. Электромеханическое преобразование энергии.— М. : Энергия, 1968.
69.	Совмещенные электрические машины для автоматики / Ю. М. Келим, И. П. Ко-
пылов, Д. В. Свечарник, Л. X. Шидлович.— М.; Л. : Энергия, 1969.
70.	Сторожко С. П. Исследование асинхронных двигателей с переменным соста-
вом рабочих гармоник магнитного поля : Автореф. дис. ... канд. техн, наук.—
Киев, 1974.
71.	Страхов С. В. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих
машины переменного тока.— М.; Л. : Госэнергоиздат, 1960.
72.	Тафт В. А. Электрические цепи с переменными параметрами.— М. : Энер-
гия, 1968.
73.	Тер-Акопов А. К. Динамика быстродействующих электромагнитов. — М.;
Л. : Энергия, 1965.
201
74.	Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии.— М.;
Л. : Энергия, 1964.
75.	Ферромагнитные умножители частоты / А. М. Бамдас, И. В. Блинов, Н. В. За-
харов, С. В. Шипилло.— М. : Энергия, 1968.
76.	Фальц Р. В. Безытерационный численный метод расчета статических харак-
теристик нелинейных безреактивных электрических цепей.— Теорет. электро-
техника, 1975, вып. 18.
77.	Фальц Р. В. Дифференциальные уравнения напряжений насыщенных неявно-
полюсных машин переменного тока.— Изв. вузов. Электромеханика, 1966,
№ 11.
78.	Фальц Р. В. Линеаризация характеристик динамического торможения асин-
хронных двигателей.— Изв. вузов. Электромеханика, 1970, № 6.
79.	Фальц Р. В. Линеаризация характеристик насыщенных неявнополюсных
машин.— Электричество, 1968, № 11.
80.	Фальц Р. В. Общий метод определения параметров электромеханических
устройств с насыщающимися магнитопроводами.— Электротехника, 1977,
№ 3.
81.	Фальц Р. В. Общий метод режимных расчетов нелинейных электромеханиче-
ских устройств.— В кн. : Преобразовательные устройства в тиристорном
электроприводе. Кишинев : Штиинца, 1977.
82.	Фальц Р. В. Расчет статических характеристик и апериодической неустой-
чивости нелинейных систем.— Изв. вузов. Энергетика, 1976, № 4.
83.	Фальц Р. В. Расчет характеристик симметричных режимов насыщенных
неявнополюсных машин.— Изв. вузов. Электромеханика, 1969, № 3.
84.	Фальц Р. В. Теорема взаимности для нелинейных контуров.— Изв. вузов.
Электромеханика, 1968, № 2.
85.	Фальц Р. В., Билый Л. А. Метод расчета статических характеристик несим-
метричных режимов насыщенных неявнополюсных машин.— Электричество,-
1976, № 10.
86.	Фальц Р. В., Билый Л. А. Расчет характеристик периодических режимов
нелинейных электромагнитных устройств.— Теорет. электротехника, 1972,
вып. 14.
87.	Фальц Р. В., Буратгынский М. В., Козий Б. И. Характеристики асинхрон-
ного двигателя с последовательно включенными конденсаторами.— Изв.
вузов. Электромеханика, 1976, № 1.
88.	Фальц Р. В., Глухивский Л. И. Основные положения магнитно-нелинейной
теории явнополюсной синхронной машины.— Электричество, 1970, №6.
89.	Фальц Р. В., Глухивский Л. И. Основы магнитно-нелинейной теории обоб-
щенной явнополюсной синхронной машины в фазных координатах.— Изв.
вузов. Электромеханика, 1973, № 1.
90.	Фальц Р. В., Глухивский Л. И. Расчет статических характеристик насыщен-
ных явнополюсных синхронных машин на ЦВМ.— Электричество, 1971,
№ 3.
91.	Фальц Р. В., Глухивский Л. И., Лябук Н. Н. Расчет на ЦВМ характеристик
и процессов насыщенных явнополюсных синхронных машин.— Электричест-
во, 1977, № 2.
92.	Фильц Р. В., Дячиишн Б. В. Самовозбуждение насыщенного явнополюсного
синхронного генератора при работе на активно-емкостную нагрузку.— Изв.
вузов. Электромеханика, 1077, № 5.
93.	Фальц Р. В., Дячиишн Б. В., Глухивский Л. И. Влияние насыщения на ус-
ловия самораскачивания явнополюсной синхронной машины при работе на
мощную сеть.— Изв. вузов. Электромеханика, 1975, № 9.
94.	Фильц Р. В., Кекот О. В. Основы магнитно-нелинейной теории явнополюсной
машины с управляемым полупроводниковым коммутатором. — Изв. вузов.
Электромеханика, 1975, № 1,
202
95.	Фильц Р. В., Козий Б. И. О линеаризации нелинейных дифференциальных
уравнений.— Автоматика, 1974, № 2.
96.	Фильц Р. В., Козий Б. И. Реактивно-синхронное самовозбуждение насы-
щенного неявнополюспого генератора.— Изв. вузов. Электромеханика,
1970, № 4.
97.	Фильц Р. В.г Маляр В. C.t Глухивский Л. И. Разностный метод расчета не-
симметричных установившихся режимов насыщенных явнополюсных син-
хронных машин.— Изв. вузов. Электромеханика, 1977, № 1.
98.	Фильц Р. В., Ратич О. Д. О гармонической линеаризации нелинейных эле-
ментов.— Изв. вузов. Электромеханика, 1972, № 1.
99.	Фильц Р. В.» Чабан В. И. Анализ симметричных переходных процессов в
насыщенных пеявнополюсных синхронных машинах.— Электротехника,
1971, № 2.
100.	Фильц Р. В., Чабан В. Я. Электромагнитные свойства нелинейной системы с
синусными обмо|ками.— Теорет. электротехника, 1970, вып. 9.
101.	Фильц Р. В.» Чабан В. И., Билый Л, А. Параметры многофазной насыщенной
неявнополюсной машины в фазных координатах.— Изв. вузов. Электроме-
ханика, 1974, К» 7.
102.	Хэнкок Н. Матричный анализ электрических машин.— М. .-Энергия, 1967.'
103.	Чабан В. И’. Новая система координатных осей для анализа неявнополюсных
машин как многополюсников сложной цепи.— Теорет. электротехника, 1972,
вып. 13.
104.	Шаманский В. Е. Методы численного решения краевых задач на ЭЦВМ.—
Киев : Наук, думка, 1966.
105.	Шимони К. Теоретическая электротехника.— М. : Мир, 1964.
106.	Ahamed S. V., Erdelyi Е. A. Nonlinear theory of salient pole machines.— IEEE
Trans. Power Appar. and Syst. 1966, 85, N 1.
107.	Embse U. A. von der. Modern electric machine theory.— J. Franklin Inst.,
1968, 286, N 6.
108.	Erdelui E. A., Ahamed S. V., Hopkins R. E. Nonlinear theory of synchronous
machine on load.— IEEE Trans. Power Appar. and Syst. 1966, 85, N 7.
109.	Hamdl-Sepen D. Saturation effects in synchronous machines.— AIEE Trans,
1954, 73, pt. 3 B.
110.	Kiliiore L. A. Effects of saturation on machines reactances.—Electr. Eng.,
1935, N 5.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................................................... 3
Введение .............................................................................................................. 5
Г л а в а 1	w
Математические основы теории ........................................ 12
§ 1.	Обозначения ................................................... 12
§ 2.	Исходные понятия	и	определения .............................. 14
§ 3.	Дифференциальный метод расчета н^ль-мерных характеристик ...	19
§ 4.	Дифференциальный метод расчета одномерных характеристик ...	20
§ 5.	Проблема устойчивости расчетного процесса. Инвертирование диф-
ференциальных уравнений ............................................ 25
§ 6.	Практическая реализация инвертирования в методах Рунге — Кутта и
Адамса ............................................................. 27
§	7.	Расчет переходных процессов. Проблема устойчивости	и	ее	решение	31
§	8.	Дифференциальный сеточный метод расчета	стационарных	процессов	39
§	9.	Аппроксимация нелинейных зависимостей	............................ 47
§	10.	Составление линеаризованных уравнений	............................ 49
§11.	Электромагнитная характеристика обобщенного электромеханического
преобразователя .................................................... 52
§ 12.	Электромагнитные параметры обобщенного электромеханического
преобразователя .............................................. .....	56
§ 13.	Основные свойства электромагнитных параметров................................................................... 58
§ 14.	Энергия магнитного поля и электродинамические силы в обобщенном
электромеханическом преобразователе ................................ 62
§ 15.	Особенности алгоритмов режимных расчетов электромеханических
преобразователей ................................................... 64
Глава 2
Тяговые электромагнитные аппараты	................................................................................. 69
§ 1.	Электромагнитная характеристика	клапанного реле ................................................................. 69
§ 2.	Параметры и электромагнитный момент клапанного реле.............................................................. 73
§ 3.	Расчет переходных процессов и статических характеристик клапанного
реле ............................................................... 75
§ 4.	Электромагнитная характеристика трехфазного электромагнита ...	79
§ 5.	Электромагнитные параметры и тяговая сила трехфазного электромаг-
! нита .............................................................. 83
§ 6.	Расчет переходных процессов и статических характеристик трехфаз-
ного электромагнита.................................................. 84
Глава 3
Трехфазные трансформаторы  .................................................................... 87
§ 1. Электромагнитные характеристики трансформаторов .......................................... 87
$ 2. Параметры трансформатором ................................................................ 92
$ 3. Расчет переходных процессов .............................................................. 97
§ 4. Расчет стационарных процессов ............................................................101
Глава 4
Трехфазные асинхронные машины .................................................................106
§ 1. Постановка задачи ........................................  .	106
§ 2. Электромагнитная характеристика в фазных осях ............................................107
$ 3. Парамо|ры и электромагнитный момент в фазных осях.........................................113
$ 4. Расчет переходных процессов но дифференциальным уравнениям в фаз-
ных осях......................................................120
§ 5.	Электромагнитная характеристика в заторможенных трехфазных
осях...............................................................123
§ 6.	Параметры и электромагнитный момент и заторможенных трехфазных
осях ..............................................................127
§ 7.	Расчет переходных процессов по дифференциальным уравнениям в
заторможенных трехфазных осях	...........................132
§	8.	Электромагнитная характеристика	в	осях	х,	у................136
§	9.	Параметры и электромагнитный момент в осях	х, у.140
§ 10.	Расчет переходных процессов по дифференциальным уравнениям в
осях х, у .........................................................147
§ 11.	Расчет статических характеристик по уравнениям в осях х, у .... 150
§ 12.	Расчет стационарных процессов по уравнениям в осях х, у.....159
§ 13. Решение задач режимных расчетов по линеаризованным уравнениям 165
Глава 5
Асинхронная машина с подмагничиваемым ярмом статора............................................172
§ 1.	Постановка задачи ........................................................................172
$ 2. Электромагнитная характеристика в фазных осях ............................................172
§ 3.	Параметры и электромагнитный момент в фазных осях........................................179
§ 4.	Расчет переходных процессов по дифференциальным уравнениям в
фазных осях ......................................................184
§ 5.	Электромагнитная характеристика в	осях	х,	у ...............185
§ 6.	Параметры и электромагнитный момент в	осях	х, у...........................................192
§ 7.	Расчет переходных процессов по дифференциальным уравнениям в осях
х, у .............................................................194
§ 8.	Расчет статических характеристик	.......................196
Список литературы .............................................................................199
РОМАН ВЛАДИМИРОВИЧ ФИЛЬЦ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
Печатается по постановлению ученого совета
Института прикладных проблем механики
и математики АН УССР
Редактор Т. С. Мельник
Редактор-библиограф Л. П. Шевченко
Оформление художника В. Д. Морозова
Художественный редактор И. П. Антонюк
Технический редактор И. А. Ратнер
Корректоры Л. Н, Дцута, Р. С. Коган
Информ, бланк № 3041.
Сдано в набор 26.12.78. Подп. в печ. 27.04.79. БФ 00138.
Формат 60х84/1в. Бумага типогр № 1 Лит. гарн.
Выс, печ. Усл. печ. л. 11,85. Уч.-изд. л. 10,0. Тираж 1000
экз. Заказ 8—3258. Цена 1 руб. 50 коп.
Издательство «Наукова думка».
252601, Киев, ГСП, Репина, 3.
Изготовлено Нестеровской городской типографией Львов-
ского облполиграфиздата (г. Нестеров, ул. Горького, 8)
с матриц Головного предприятия республиканского про-
изводственного объединения «Лолиграфкнига.» Госком-
издата УССР (г. Киев, Довженко. 3). зак. 9504
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «НАУКОВА ДУМКА»
В 1979 г. ВЫЙДЕТ В СВЕТ КНИГА:
СкороходА. В.
Случайные линейные операторы.
— 10 л.— Яз. рус.— 1 р. 70 к. 5000 экз.
В книге изложена теория случайных операторов в гильбертовом
пространстве. Введены понятия сильных и слабых случайных опе-
раторов, рассмотрены способы их задания, определены условия
сходимости случайных операторов друг с другом. Построена спект-
ральная теория случайных операторов, которая затем применена в
исследовании уравнений со случайными операторами (дифферен-
циальными и фредгольмовского типа). Изучены операторнозначные
мартингалы, с помощью которых построены стохастические интег-
ралы и стохастические уравнения для операторнозилчных функций.
Выведенл общая теория линейных уравнений, на основании которой
описываются непрерывные стохастические полугруппы,
Рассчитана нм специалистов, bbiiiimbioiiiiixcm вопроси мп теории
вероятностей, математического ииилити, теоретической физики, а
также преподавателей, аспиранток и студентом соответствующих
факультетов.
Предварительные заказы на эту книгу принимают все магазины
книготоргов, магазины «Книга — почтой» и «Академкниеа». а также
книжный магазин издательства «Наукова думка» (252001, Киев-1,
ул. Кирова, 4), который высылает книги иногородним заказчикам
наложенным платежом.
Просим широко пользоваться услугами магазинов ~ опорных
пунктов издательства: Дома книги — магазина № 200 (340048,
Донецк-48, ул. Артема, 147а), магазина «Мир книги» (310003, Харь-
ков-3, пл. Советской Украины, 2/2) и магазина научно-технической
книги № 19 (290006, Львов-6, пл. Рынок, 10). Магазин во Львове так-
же высылает книги иногородним заказчикам наложенным платежом.