/
Автор: Евграшин Ю.Б. Махнев Д.Б.
Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника воздушный транспорт авиация и воздушные соединения воздушные линии и аэропорты механика двигатели газотурбинные двигатели газовая динамика
ISBN: 978-5-907285-81-1
Год: 2022
Похожие
Текст
Ю.Б. Евграшин, Д.Б. Махнев
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
ПРИ РАЗРАБОТКЕ ГТД
Пермь – Ижевск, 2022
УДК 629.7.03
ББК 39.55
Е14
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор Р.В. Бульбович
(Пермский государственный научно-исследовательский университет);
канд. техн. наук С.Х. Полатиди (ОАО «Авиадвигатель»)
Е14
Евграшин Ю.Б., Махнев Д.Б.
Принятие решений в условиях неопределенности при
разработке ГТД / Ю. Б. Евграшин, Д. Б. Махнев. – Пермь ; Ижевск,
2022. – 300 с.: ил.
ISBN 978-5-907285-81-1
Приведена процедура принятия оптимальных технических решений при
разработке газотурбинных двигателей с помощью совместного использования
детерминированных и вероятностных моделей его работы. Представлены
результаты разработки вероятностных моделей работы входных и выходных
устройств, а также компрессора, камеры сгорания и турбины ГТД. Разработаны
методики определения потерь полного давления от величин неоднородности
хорды и угла установки лопаток в компрессоре и турбине двигателя, а также даны
рекомендации по снижению данных потерь. Применение разработанной
методологии позволяет снизить избыточность конструкций до рационально
обоснованных пределов, и за счет этого повысить эффективность как отдельных
агрегатов, так и всей двигательной установки. Минимизация разбросов
газодинамических характеристик конструкции дает возможность повысить
стабильность работы ГТД и его надежность. Предназначена для специалистов,
работающих в сфере разработки ГТД и газоперекачивающих устройств, а также
для студентов и аспирантов соответствующих специальностей.
УДК 629.7.03
ББК 39.55
ISBN 978-5-907285-81-1
© Евграшин Ю.Б., 2022
© Махнев Д.Б., 2022
© Издательство «Шелест», 2022
ОГЛАВЛЕНИЕ
Перечень основных обозначений
7
Введение
11
Глава 1. Основы теории вероятностей, математической статистики и
теории принятия решений
16
1.1. Основы теории вероятностей
16
1.2. Одномерные распределения случайных величин
22
1.3. Многомерные распределения случайных величин
27
1.4. Основы математической статистики
33
1.5. Основы исследования операций
40
1.6. Основы теории принятия решений
49
Глава 2. Вариации газодинамических параметров
58
2.1. Вариации газодинамических параметров для
изоэнтропических потоков газа
58
2.2. Энтропия распределений газодинамических параметров
68
2.3. Вариации газодинамических параметров для
неизоэнтропных потоков с подводом массы или энергии газа
73
2.4. Вариации газодинамических параметров для
неизоэнтропных потоков с отводом массы или энергии газа
80
ГЛАВА 3. Вероятностные модели работы входных и выходных
устройств газотурбинных двигателей
85
3.1. Входные устройства
85
3.1.1. Распределения параметров работы воздухозаборника
при полете на дозвуковом режиме
86
3.1.2. Исследование распределений параметров работы
воздухозаборника при полете на дозвуковом режиме
87
3.1.3. Распределения параметров работы воздухозаборника
при полете на малых сверхзвуковых скоростях
3.1.4. Распределения параметров работы воздухозаборника с
3
90
учетом стохастических связей
92
3.1.5. Распределения параметров работы воздухозаборника с
учетом нелинейности протекающих газодинамических
процессов
99
3.2. Выходные устройства
107
Глава 4. Случайные отклонения параметров работы осевого
компрессора ГТД и их теоретическое исследование
4.1. Разработка вероятностной модели работы компрессора
114
114
4.2. Исследование распределений параметров работы
компрессора
119
4.3. Распределения кинематических параметров работы
ступени компрессора
137
4.4. Исследование распределений кинематических параметров
работы ступени компрессора
141
Глава 5. Экспериментальное исследование распределений
параметров работы осевого компрессора ГТД
150
5.1. Применение одномерных распределений
150
5.1.1. Методика исследования
150
5.1.2. Результаты исследования
155
5.2. Применение многомерных распределений
160
5.2.1. Методика исследования
160
5.2.2. Результаты исследования
163
Глава 6. Оптимизация конструкции осевого компрессора ГТД
167
6.1. Потери в компрессоре ГТД от неоднородности размеров
решетки
167
6.2. Разработка модели определения потерь в ступени
компрессора от величины неоднородности хорды лопаток
6.2.1. Модель определения потерь полного давления в ступени
компрессора при смешении струй, выходящих из
4
168
межлопаточных каналов
173
6.2.2. Модель определения потерь полного давления в ступени
компрессора от неоднородности угла установки лопаток
176
6.3. Исследование потерь в ступени компрессора от величины
неоднородности хорды и угла установки лопаток
180
6.3.1. Исследование потерь полного давления в ступени
компрессора при смешении струй, выходящих из
межлопаточных каналов РК и НА
186
6.3.2. Исследование потерь в ступени компрессора от
величины неоднородности угла установки лопаток в решетках
РК и НА
191
6.4. Исследование потерь в ступени компрессора от величины
неоднородности хорды лопаток рабочего колеса с помощью
двумерных моделей течения газа
195
6.5. Экспериментальное подтверждение разработанных
методик
198
6.5.1. Исследование зависимости КПД компрессора от
газодинамических параметров
204
6.5.2. Исследование влияния радиальных зазоров
206
6.5.3. Исследование влияния неоднородности размера хорды
лопаток
207
6.5.4. Исследование влияния неоднородности размера хорды
при помощи теории подобия
208
6.5.5. Исследование влияния количества новых лопаток,
устанавливаемых при ремонте
210
6.5.6. Удержание потерь в компрессоре ГТД на заданном
уровне в зависимости от неоднородности величины хорды
лопаток
211
Глава 7. Вероятностные модели работы камеры сгорания
5
215
7.1. Постановка задачи и принятые допущения
215
7.2. Вариации расхода топлива при подаче его в камеру
216
сгорания
7.3. Вариации поля температур в камере сгорания
221
7.4. Вариации потерь энергии в системе подачи топлива
230
7.5. Вариации газодинамических параметров течения газов в
235
камере сгорания
Глава 8. Вероятностная модель работы осевой турбины
245
8.1. Вариации и коэффициенты вариации газодинамических
параметров
245
8.2. Распределения кинематических параметров
252
8.3. Потери в турбине от неоднородности величины хорды
лопаток
258
Заключение
271
Список литературы
274
Приложение
285
1. Производные газодинамических функций
285
2. Вариации газодинамических функций
287
3. Соотношения между параметрами, выраженными через
288
вариации
4. Непрерывные законы распределения
289
5. Нормальное распределение
291
6. Коэффициенты корреляции
293
7. Функции случайных величин
293
8. Двумерное моделирование течения газа в решетке
профилей с неоднородностью размера хорды лопаток
6
295
ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Обозначения:
P давление;
R газовая постоянная;
T температура;
плотность, сводный коэффициент корреляции;
CV – изохорная температура продуктов сгорания;
F – характерная площадь проходного сечения тракта двигателя;
V – скорость набегающего потока;
М – математическое ожидание, число Маха;
G – расход газа;
- коэффициент избытка воздуха;
- влажность воздуха;
Gв - расход воздуха;
Tг - температура на выходе из камеры сгорания;
с р - удельная теплоемкость воздуха;
Т * - температура торможения газа
α – угол в абсолютном движении потока воздуха;
β – угол в относительном движении потока воздуха;
c1 – абсолютная скорость воздуха на входе в рабочее колесо;
c2 – абсолютная скорость воздуха на выходе из рабочего колеса;
c1u, c2u – окружные составляющие абсолютных скоростей;
ω1u, ω2u – окружные составляющие относительных скоростей;
c1а, c2а – осевые составляющие абсолютных скоростей, cа=c1а= c2а;
ω1а, ω2а – осевые составляющие относительных скоростей;
cu (c2u c1u ) – проекция закрути воздуха в абсолютном движении на
окружную составляющую;
7
u (1u 2u ) – проекция закрутки воздуха на окружную составляющую в
относительном его движении;
показатель адиабаты продуктов сгорания, число выборочных
k
распределений, количество интервалов разбиения, порядок уравнения
регрессии;
n – показатель политропы, количество наблюдений, количество ступеней
компрессора;
– газодинамическая функция определяет отношение статической
температуры Т движущегося газа в рассматриваемом сечении потока к
температуре T изоэнтропического заторможенного газа в том же сечении;
– газодинамическая функция определяет отношение статистического
давления P движущегося газа в рассматриваемом сечении потока к давлению
P изоэнтропически заторможенного газа в том же сечении;
– газодинамическая функция определяет отношение плотности
движущегося газа в рассматриваемом сечении потока к плотности
изоэнтропически заторможенного газа в том же сечении;
q ( ) – газодинамическая функция приведенная плотность потока массы –
определяет отношение плотности потока массы PV в рассматриваемом
сечении потока к плотности потока массы PкрVкр в критическом сечении
потока;
ς
случайная величина;
σ 2 генеральная дисперсия случайной величины;
x, y выборочное среднее значение случайных величин x, y;
S2 смещенная оценка дисперсии случайной величины;
Sн2
несмещенная оценка дисперсии случайной величины;
A асимметрия распределения;
E эксцесс распределения;
f число степеней свободы выборочного распределения;
8
p уровень значимости;
u1 p
квантиль нормального распределения при уровне доверительной
вероятности (1 р);
F(x) интегральная функция нормального распределения;
rij коэффициент корреляции между случайными величинами i и j;
ξ1 , ξ 2
нормированные значения переменных;
P , P , P
точечная, верхняя и нижняя оценки вероятности;
δy
, υ y вариация параметра y, коэффициент вариации y;
y
x, y выборочное среднее значение случайных величин x, y;
F1–p квантиль
распределения
Фишера
при
уровне доверительной
вероятности (1 – р);
t1–p квантиль
распределения
Стьюдента при уровне доверительной
вероятности (1 – р);
χ 12 p
квантиль
распределения
Пирсона при
уровне доверительной
вероятности (1 – р);
q1 p
квантиль распределения Кохрана
при
уровне доверительной
вероятности (1 – р);
1–p квантиль -распределения при уровне доверительной вероятности
(1 – р);
D(А), D(Е) дисперсии асимметрии и эксцесса выборочного распределения;
pi относительная частота;
x интервал разбиения;
ni число наблюдений на i-м интервале разбиения;
xi
среднее значение случайной величины на i-м интервале разбиения;
μ ij
ковариация случайных величин i и j;
D дисперсия, матрица ковариаций;
Dij алгебраическое дополнение элементов матрицы D;
9
0, 1 коэффициенты уравнения регрессии;
S 02 остаточная дисперсия уравнения регрессии;
S βo , S β2 оценки дисперсий коэффициентов уравнения регрессии;
к
количество
переменных
при
использовании
многомерных
распределений;
b
M - математическое ожидание относительного отклонения хорды;
b
b
D - дисперсия отклонения хорда лопаток от номинала в ступени;
b
M h - математическое ожидание радиального зазора;
Dh - дисперсия радиального зазора.
Аббревиатуры:
ГТД – газотурбинный двигатель;
РК – рабочее колесо;
НА – направляющий аппарат;
КС – камера сгорания;
ГПА – газоперекачивающий агрегат;
РДТТ – ракетный двигатель на твердом топливе;
ПСИ – приемо-сдаточные испытания.
Символы:
0 – параметры на входе в воздухозаборник, компрессор ГТД;
1 – входное сечение РК, выходные параметры компрессора ГТД;
2 – выходное сечение РК;
ст – параметры на стационарном режиме работы;
ср – относиться к условиям окружающей среды;
см – параметры смешения;
н – начальные параметры;
к – конечные параметры.
10
ВВЕДЕНИЕ
При разработке тепловых двигателей летательных аппаратов в
настоящее время используются главным образом детерминированные
математические модели. С их помощью были достигнуты все успехи в
российском двигателестроении, однако, эти модели обладают достаточно
существенными недостатками.
При решении технических вопросов мы
постоянно сталкиваемся с явлениями, которые по своей природе имеют
неопределенность. Никогда нельзя дать абсолютно полную характеристику
какого-либо явления и предмета – всегда останется что-то невыясненное до
конца, что-то, что невозможно замерить или определить. Эта особенность
имеет объективный характер и является свойством окружающего нас мира.
Все знания, используемые в настоящее время в технике, базируются, в
основном, на представлениях о явлениях окружающего мира как строго
определенных
соответствующими
законами,
т.е.
даются
в
виде
детерминированных моделей. Все эти закономерности достаточно точно
отражают явления окружающего мира, однако они не могут описать все
многообразие существующих ситуаций. Например, мы не сможем с полной
определенностью сказать о попадании ракеты в цель, о безотказной работе
производственного оборудования и т.д. Здесь невозможен однозначный
ответ, поскольку процессы функционирования этих объектов по своей
природе лишены полной определенности. Для объективного описания таких
явлений необходим аппарат теории вероятностей.
Все характеристики двигателя являются случайными величинами, что
объясняется наличием допусков при изготовлении элементов двигателя,
разбросами свойств применяемого сырья, непостоянством режимов работы
оборудования. С другой стороны, условия эксплуатации также будут иметь
случайный характер: это температура и давление окружающей среды,
ветровая нагрузка и т.д. Значит, при разработке двигателя необходимо
учесть эту неопределенность, и, несмотря на ее влияние, обеспечить
11
требуемые характеристики двигателя с необходимой надежностью. Это
можно сделать только с помощью вероятностных моделей работы двигателя.
При
разработке
РДТТ
сейчас
используются
главным
образом
детерминированные модели [1-9]. Вероятностные модели применяются
редко: в частности, достаточно давно существуют методики определения
случайных отклонений внутрибаллистических характеристик [1-3], однако
отсутствуют методики расчета разбросов параметров напряженно –
деформированного состояния заряда твердого топлива, нет методов учета
неопределенности
при
проведении
технологического
процесса.
Ограниченное применение имеют методы теории случайных функций,
например, для анализа акустической неустойчивости двигателя, но,
применяются они, в основном, для исследовательских целей [10]. Наиболее
широко освещены вопросы применения вероятностных моделей в теории
надежности РДТТ [11-14], но, во многих случаях здесь требуется разработка
конкретных
методик
расчета
с
соответствующим
программным
обеспечением.
При
разработке
ГТД
вероятностные
методы
практически
не
применяются [15-21]. Существует методика использования метода вариаций,
но она не позволяет определить дисперсии параметров двигателя и
ориентирована только для проведения диагностики состояния двигателя
[22]. В последнее время начинают появляться методы определения
вероятностных характеристик двигателя [23-25], но они пока не получили
должного распространения.
Применение вероятностных моделей дает возможность повысить
эффективность разработки двигателей. Вероятностная модель несет больше
информации, поэтому конструктор может принимать более обоснованные
решения. Детерминированная модель дает какой – либо параметр, близкий к
математическому ожиданию. Вероятностная - определяет математическое
ожидание и дисперсию. Поэтому, когда конструктор принимает решение, он
ориентируется не только на среднее значение, но и учитывает разбросы этих
12
параметров. Это и дает более обоснованное решение. Кроме этого, знание
изменения разбросов параметров двигателя по его тракту и факторов,
влияющих
на величину отклонений, позволит минимизировать эти
отклонения, т.е. сделать работу двигателя более стабильной. При
экспериментальных работах в этом случае можно использовать методы
математической статистики, которые позволяют эффективно обобщить
информацию и упростить принятие технического решения.
При принятии технического решения целесообразно применение
методов
исследования
операций.
В
современном
представлении
большинство объектов исследования, связанных с целенаправленной
человеческой деятельностью, рассматриваются как системы. Под системой
понимается единство упорядоченной совокупности составляющих ее
элементов, связей между ними и окружающей средой, которое образует
присущую данной системе качественную определенность [26 - 28]. Как
системы могут рассматриваться любые естественные или искусственные
объекты, совокупности процессов или научная теория, если в них
установлены элементы, которые образуют единство связями между собой,
что в итоге создает появление новых свойств (называемых системными),
которыми не обладают составляющие систему элементы. Поэтому,
исследование систем необходимо осуществлять путем оценки влияния
элементов, составляющих систему, друг на друга и на систему в целом, что
влечет за собой необходимость применения специальных методов. Термин
"исследование операций" понимается как применение математических,
количественных методов для обоснования решений во всех областях
целенаправленной человеческой деятельности. Объектом исследования
данной
науки
объединенных
является
единым
операция
-
замыслом
и
любая
совокупность действий,
направленная
к
достижению
определенной цели. Предметом исследования этой науки выступают общие
закономерности поиска решений.
13
Применение методов исследования операций, кроме повышения
эффективности принимаемых решений, дает возможность более широко
проводить оптимизацию разрабатываемых конструкций. В настоящее время
применение методов оптимизации при разработке двигателей ограниченно
несовершенством детерминированных моделей. При этой оптимизации
определяется решение, которое будет являться оптимальным только в какой
– то одной точке пространства независимых переменных. Этого при
эксплуатации двигателей добиться нельзя, т.к. характеристики двигателя и
условия его эксплуатации являются случайными величинами и учесть их
можно только с помощью вероятностных моделей.
Стремление улучшить энергомассовые характеристики газотурбинного
двигателя вынуждает инженера к более детальному и разностороннему
анализу работы двигателя и его узлов. В связи с этим при проектировании
ГТД возрастает роль теоретических и экспериментальных исследований. Всё
более важным и практически необходимым становиться углубленное знание
рабочих процессов ГТД.
Более
чем
за
пятидесятилетний
период
исследований
в
этом
направлении актуальность вопроса только увеличилась. Это объясняется
повышением конкуренции на мировом рынке производства ГТД (снижению
себестоимости, затрат на эксплуатационное обслуживание) и введению
жестких экологических стандартов, стремлением к получению высоких
энергомассовых, эксплуатационных и других характеристик ГТД. Сегодня
«битва» идет за десятые доли процента улучшения характеристик работы
двигателя и его узлов.
Решение
проблемы
совершенствования
и
научно-обоснованного
инновационного проектирования в авиадвигателестроении, создания новых
поколений авиационных двигателей сводится к разработке и применению
новых
методов
расчета
и
технологическому
обеспечению
исследовательских и опытно-конструкторских разработок.
14
научно-
Целью
настоящей
вероятностных
оценок
работы
является
параметров
комплексное
газового
изложение
потока,
применение
разработанных методов к анализу работы газотурбинных двигателей и
получение на их основе оптимальных технических решений с применением
методов исследования операций. Данные технические решения позволят
обоснованно убрать излишнюю избыточность, закладываемую сейчас в
конструкцию двигателя, что даст возможность повысить эффективность и
надежность
ГТД,
уменьшить
потери
технологичность производства двигателя.
15
в
конструкции
и
улучшить
Глава 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,
МАТЕМАТИЧЕСОЙ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ
1.1.
Основы теории вероятностей
Теория вероятностей изучает закономерности массовых явлений.
Объектом исследования в теории вероятностей выступают случайные
явления, а предметом является изучение объективных закономерностей
появления случайных событий [29 - 33].
Систематическим исследованием задач, связанных с массовыми
случайными явлениями, начали заниматься с середины XVII века.
Возникновение теории вероятностей связано с работами Х. Гюйгенса, Б.
Паскаля, П. Ферма, Я. Бернулли. Эти выдающиеся ученые, занимаясь
задачами азартных игр, были убеждены в том, что на базе массовых
случайных явлений могут возникать четкие закономерности. Практическими
приложениями теории вероятностей в то время были вопросы страхования и
демографических исследований. В XVIII–XIX веках возникла необходимость
анализа ошибок наблюдений, точности стрельбы, статистики. Большой вклад
в развитие теории вероятностей в это время внесли А. Муавр, К. Гаусс, П.
Лаплас, С. Пуассон, Н.И. Лобачевский. В конце XIX и начале XX века
развитие теории вероятностей связано в значительной мере с именами
русских ученых: П.Л. Чебышева, А.А. Маркова, А.М. Ляпунова, В.Я.
Буняковского. В прошлом веке выдающиеся ученые С.Н. Бернштейн, А.Н.
Колмогоров, А.Я. Хинчин, А. Вальд заложили основы современных
направлений исследований в теории вероятностей. В настоящее время бурно
развиваются теории массового обслуживания, принятия решений, управления
запасами, базой которых является теория вероятностей.
Любая деятельность в области науки и производства связана с опытами,
наблюдениями, измерениями, которые осуществляются в определенных
условиях. В теории вероятностей все это обозначается общим термином
испытание. Испытание – это реализация определенного комплекса условий,
16
который может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз. В
каждом испытании получается какой-то результат. Возможные исходы
испытания в теории вероятностей называют событиями. Событие – это
всякий исход испытания, который может произойти или не произойти в
результате его проведения
Степень возможности появления событий при проведении испытаний
может быть совершенно различной: одни события могут появляться
сравнительно часто, другие – очень редко, некоторые практически никогда не
появятся, некоторые, наоборот, практически всегда наблюдаются при
соблюдении соответствующих условий. В теории вероятностей все события по
степени возможности их появления в определенных условиях принято
подразделять на три группы:
достоверные, которые обязательно происходят всякий раз при
проведении испытания;
случайные, которые могут произойти или не произойти при
испытаниях;
невозможные, которые не могут произойти при испытаниях.
Случайные события могут быть несовместными. Это такие события,
которые не могут одновременно происходить в одном и том же испытании.
Совместными называются события, которые могут одновременно
происходить в одном и том же испытании.
Полная группа несовместных событий – это несколько несовместных
событий, одно из которых обязательно произойдет при каждом испытании.
Если полная группа состоит только из двух несовместных событий, то
такие события называются противоположными. Противоположные события
принято обозначать одинаковыми буквами, причем одно из них обозначается
просто буквой ( À ), а другое – той же буквой, но с чертой сверху А .
Простые события могут образовывать сложные события, состоящие из
нескольких простых. Произведением (или пересечением) нескольких
событий называется сложное событие, состоящее из совместного наступления
17
всех событий в результате испытания. Например, при одновременном броске
двух игральных кубиков сложное событие состоит из выпадения двух кубиков
с единицами. Это есть совмещение событий, заключающихся в выпадении
единицы на первом кубике и единицы на втором кубике. Совмещение
событий называют также логическим умножением [29, 32].
Суммой (или объединением) нескольких событий называется сложное
событие, состоящее в том, что при проведении испытания происходит хотя бы
одно (не менее одного) из этих событий. Например, выпадение при одном
броске игрального кубика или с единицей, или с двойкой есть сложное
событие, состоящее из двух простых событий – выпадения кубика или с
единицей, или с двойкой. Объединение событий еще называют логическим
сложением.
Любое случайное событие обладает какой-то степенью возможности
своего появления, которую можно измерить численно. Для оценки этого
служит вероятность случайного события – численная мера степени
объективной возможности этого события. Вероятность – это числовая
характеристика степени возможности появления определенного события в
определенных
условиях,
которые
могут
быть
воспроизведены
неограниченное число раз.
Вероятность достоверного события равна единице, а невозможного –
нулю. Все другие события будут характеризоваться вероятностями,
лежащими между нулем и единицей. Вероятность принято обозначать Р А .
Существует группа испытаний, для которых вероятности событий
можно вычислить исходя непосредственно из самих условий опыта. Для этого
необходимо, чтобы все исходы испытания были равновозможны, т.е. ни один
из них не был бы более возможен, чем другие. Кроме того, эти события
должны быть несовместны, образовывать полную группу несовместных
событий, а число исходов испытаний должно быть конечным. Вероятность в
этом
случае
определяется
как
отношение
числа
исходов,
благоприятствующих появлению события, к общему числу исходов. Данный
18
способ называется классическим способом определения вероятностей. С
помощью этого способа вероятность события определяется до проведения
испытания. К сожалению, равновозможные события в практике встречаются
очень редко, поэтому в общем случае вероятность можно определить по
экспериментальным данным через относительную частоту случайного
события. Относительной частотой случайного события (частостью)
называется отношение количества испытаний m, в которых появилось это
событие, к общему количеству испытаний n, проведенных в заданных
условиях
P A
m
n
(1.1).
Между относительной частотой события и его вероятностью существует
взаимосвязь: более вероятные события происходят чаще, чем события менее
вероятные. При малом количестве испытаний частота появления события
может существенно отличаться от вероятности. Но случайные обстоятельства,
сопровождающие каждый опыт, в большой массе опытов взаимно
компенсируются, и частота стремится к численному значению вероятности
искомого события, т.е. относительная частота сходится к вероятности.
Относительная частота обладает свойством устойчивости – при
проведении
нескольких
достаточно
больших
серий
испытаний
все
замеренные частоты стремятся к одной и той же величине вероятности. Это
объясняется тем, что вероятность является объективной характеристикой
явлений, не зависящей от количества проведенных испытаний. Относительная
же частота есть экспериментальная оценка вероятности, поэтому все
замеренные частоты стремятся именно к этой величине вероятности в
соответствии с действующими объективными законами. Взаимосвязь частоты с
вероятностью заключается в том, что, с одной стороны, частота, найденная в
результате испытаний, может рассматриваться как приближенное значение
вероятности, а с другой – знание вероятности некоторого события позволяет
предсказать частоту этого события в предстоящей серии испытаний.
В практике довольно часто встречаются такие задачи, в которых
19
приходится находить вероятности событий при дополнительном условии, что
уже произошли другие события. При этом факт наступления предыдущего
события влияет на вероятность наступления последующего события (или
последующих). Значит, случайные события могут быть зависимыми и
независимыми. Случайное событие В называется зависимым от события A,
если вероятность события B зависит от того, произошло или нет событие A .
Если такой зависимости нет, то события называются независимыми. Для
зависимых событий используется понятие условной вероятности. Условной
вероятностью события B по отношению к событию A называется
вероятность
события
B,
вычисленная
при
условии,
что
событие A произошло – PB | A [29, 32].
Вероятность произведения двух зависимых случайных событий равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого,
вычисленную при условии, что первое событие произошло:
P А и В P A B Р( АВ) Р( А) Р( В А) .
Вероятность произведения нескольких зависимых случайных событий
равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность
каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что
предыдущие события произошли:
Р( АВС ) Р( АВ) Р(С АВ) Р( А) Р( В А) Р(С АВ) .
Вероятность произведения независимых случайных событий равна
произведению вероятностей этих событий:
P ABC P A PB PC .
Вероятность суммы двух совместных случайных событий равна сумме
вероятностей этих событий минус вероятность их совмещения.
Р А или В P A B P A PB P AB .
Вероятность
суммы
трех
совместных
событий
равна
сумме
вероятностей этих событий за исключением вероятностей их попарного
20
появления и с добавлением вероятности совместного появления всех трех
событий [29]:
P A B C P A PB PC P AB PBC P AC P ABC .
С
увеличением
числа
слагаемых
формулы
становятся
очень
громоздкими, такие формулы мало применимы для практики. Возможно
применение
более
простой
формулы,
основанной
на
вероятностях
противоположных событий:
P A1 A2 ... An 1 PA1 A2 ...An .
Вероятность суммы любого числа несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий. Если суммируемые несовместные события
образуют полную группу, то их сумма представляет собой достоверное
событие, вероятность которого равна единице. В частности, если полная
группа состоит из двух противоположных событий, то сумма вероятностей
этих событий равна единице. Это равенство широко используется в теории
надежности, где иногда проще определить вероятность отказа изделия и
потом перейти к величине надежности.
При решении различных практических задач вычисление вероятности
некоторого события можно облегчить, если связать наступление этого
события
с
наступлением
некоторых
вспомогательных
событий,
составляющих полную группу несовместных событий. Эти вспомогательные
события обычно называются гипотезами. Полная вероятность события А
равна сумме произведений вероятностей гипотез Нi, образующих полную
группу несовместных событий, и условных вероятностей событий при этих
гипотезах [29]:
n
P A P H i P A | H i ,
1
где PH i 1.
n
1
Формула полной вероятности широко используется при решении многих
вероятностных задач, в том числе и задач, связанных с определением
показателей надежности сложных систем, задач боевой эффективности
вооружения, задач контроля качества выпускаемой продукции и т.п.
21
Часто бывает так, что результат испытания, в котором может произойти
или не произойти некоторое событие, известен, и возникает необходимость
уточнить вероятности гипотез с учетом этого известного результата. Для
этого используется теорема гипотез. Вероятность гипотезы после
испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания и
соответствующей ей условной вероятности произошедшего при испытании
события, деленному на полную вероятность этого события. Эта формула
известна как формула Байеса [29] PH i | A
P H i P A | H i
P A
(1.2).
Данная теорема имеет большое значение для обобщения априорной и
апостериорной
информации
при
экспериментальном
исследовании
работоспособности двигателя.
1.2. Одномерные распределения случайных величин
Практический интерес представляет некоторая функция множества
возможных исходов результатов испытаний. Эта функция должна ставить в
соответствие исходам испытания некоторый диапазон возможных значений
физических параметров, определяя их численно. Данная функция называется
случайной величиной. Случайное событие является частным по отношению к
случайной величине. Тот факт, что в результате конкретного испытания
случайная величина приняла одно из своих возможных значений, есть
случайное событие. Случайной величиной называется такая переменная
величина, которая в зависимости от случайного исхода каждого испытания
может принимать одно из своих возможных значений с определенной
вероятностью.
Случайные
величины
могут
быть
дискретными
и
непрерывными.
Дискретной случайной величиной называют случайную величину,
возможные значения которой располагаются в определенных изолированных
точках числовой оси. Например, дискретными случайными величинами
22
являются: число попаданий в цель, число годных изделий в партии и т.д. [29,
33].
Непрерывной случайной величиной называют такую случайную
величину, возможные значения которой непрерывно располагаются на
числовой оси. Например, к непрерывным случайным величинам относят:
время работы изделия до отказа, отклонение точки попадания ракеты от цели,
действительные геометрический размеры детали и т.д. [29, 33].
В практике могут встречаться такие случайные величины, которые в
некоторых интервалах являются непрерывными, а в некоторых дискретными.
Такие случайные величины называют смешанными.
Случайная величина определяется законом распределения. Законом
распределения
(интегральной
функцией
распределения)
случайной
величины x называют любое соотношение (аналитическое, графическое или
табличное), устанавливающее связь между возможными
значениями
случайной величины и соответствующими им вероятностями. Случайные
величины наиболее удобно описывать с помощью специальной функции,
называемой плотностью распределения.
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины x называют функцию [29]
Px ς x x dF x
.
x 0
x
dx
x lim
Интегрируя плотность распределения, получаем закон распределения
x
F x x dx
(1.3).
Плотность распределения непрерывной случайной величины есть
неотрицательная функция, т.к. закон распределения является неубывающей
функцией. В противном случае возможно было бы появление отрицательных
вероятностей. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения
равен единице, т.к. это соответствует вероятности попадания на всю
числовую ось, что является достоверным событием.
23
Более подробное описание закона распределения осуществляется с
помощью числовых характеристик случайных величин некоторых чисел,
характеризующих те или иные свойства случайных величин.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины
называется
сумма
произведений
всех
возможных
ее
значений
и
соответствующих им вероятностей M ς xi pi .
i
Математическое ожидание непрерывной случайной величины
1 n
M
ς
a
определяется следующим выражением
x xdx xi .
n i 1
–
Математическое ожидание является как бы «центром тяжести» всех
вероятностей и характеризует точку на числовой оси, вокруг которой
группируются возможные значения случайной величины, уравновешивая по
вероятности друг друга.
Рассмотрим общие свойства математического ожидания [29].
M ς C M ς C ,
M ς C M ς C
(С = const).
Следующие два свойства справедливы только для независимых
случайных величин:
M ς1 ς 2 M ς1 M ς 2 , M ς1 ς 2 M ς1 M ς 2 .
Наблюдаемые в практике значения случайной величины всегда
отклоняются от ее математического ожидания. Это явление называется
рассеиванием возможных значений случайной величины. В теории
вероятностей
наиболее
употребительной
числовой
характеристикой
рассеивания является дисперсия.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание
квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания
[29]:
ς M ς
Dς σ M ς M ς
2
2
24
2
1 n
x dx x M x 2 (1.4).
n i 1
Некоторые общие свойства дисперсии [29]:
Dς C Dς , Dς C C 2 Dς .
Следующее свойство дисперсии справедливо только для независимых
случайных величин Dς1 ς 2 Dς1 Dς 2 .
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому
для большего удобства желательно пользоваться такой характеристикой
рассеивания, размерность которой совпадала бы с размерностью самой
случайной величины. В качестве такой характеристики применяется среднее
квадратическое отклонение, представляющее собой положительное значение
квадратного корня из дисперсии.
Кроме перечисленных выше характеристик, используют моду, квантиль
и медиану распределения. Модой распределения называют точку максимума
плотности распределения вероятностей. Квантиль порядка р есть такое
значение xp, для которого выполняется Px x p Фx p . Квантиль отсекает
под кривой плотности распределения, равные порядку квантиля; 50 %-й
квантиль называют медианой распределения, т.к. он делит площадь под
функцией плотности пополам. В общем случае математическое ожидание,
мода и медиана распределения не равны друг другу.
Дискретные
распределения
в
ракетной
технике
используются
достаточно редко, т.к. они требуют довольно большого количества
дорогостоящих испытаний двигателя. Поэтому здесь мы их рассматривать не
будем. При использовании непрерывных распределений с каждого испытания
снимается гораздо большее количество информации об изделии, что ведет к
уменьшению числа испытаний и себестоимости отработки РДТТ. Наиболее
часто используется нормальное распределение, плотность которого [29]
2
1
1 x M x
x
exp
2
σ
2πσ
25
(1.5).
Для удобства пользования таблицами (интеграл плотности нормального
распределения не выражается через элементарные функции) обычно проводят
операцию нормирования случайной величины, т.е. переходят к другой
переменной: ς
x M x
, которая имеет нулевое математическое ожидание
σ
и единичную дисперсию. Тогда плотность нормального распределения можно
ς2
1
записать как функцию ς
exp , которая носит название функции
2π
2
Гаусса. Эта функция симметрична относительно ординаты (рис. 1.1).
ς2
1 ς 2
Интегральный закон распределения имеет следующий вид F ( x)
e dς
2π
(рис. 1.2).
В практике для вычисления вероятностей обычно применяют функцию
Лапласа Ф x
ς2
1 ς 2
e dς , которая является нечетной функцией.
2π 0
Определим вероятность нахождения случайной величины на интервале
C1 ;C2 :
C x
C x
C x
C x
PC1 x C2 F 2
F 1
Ф 2
Ф 1
.
σ
σ
σ
σ
Величины
математического
ожидания,
моды
и
медианы
для
нормального распределения равны друг другу.
Кроме нормального распределения используют логарифмически
нормальное и экспоненциальное распределения, а также распределения
Вейбулла и Грама Шарлье.
При разработке тепловых двигателей
летательных аппаратов они применяются редко, поэтому здесь мы их
рассматривать не будем
26
1.3. Многомерные распределения случайных величин
При изучении различных случайных явлений часто встречаются такие
задачи, в которых результат испытания выражается с использованием не
одной, а двух или более случайных величин, образующих систему этих
случайных величин.
В зависимости от типа случайных величин могут быть системы
дискретных, или непрерывных, или смешанных случайных величин.
Рассмотрим более подробно системы непрерывных случайных величин. Как
и для одной случайной величины, для системы нескольких случайных
величин, характеристикой с вероятностной точки зрения является закон
распределения ее вероятностей, который может быть выражен в различных
формах. Кроме этого, вводится понятие условного закона распределения
случайной величины, входящей в систему. Это закон распределения данной
случайной величины, вычисленный при условии, что все другие случайные
величины приняли определенное фиксированное значение. Остановимся
F()
()
Рис. 1.1 Плотность нормального распределения:
1, 2, 3 –
1; 3; 7 соответственно
сначала
на
рассмотрении
Рис. 1.2. Интегральный закон нормального
распределения: 1, 2, 3 –
соответственно
числовых
характеристик
системы
двух
непрерывных случайных величин.
Плотность двумерного нормального распределения определяется
функцией [29]
( x, y )
1
2π σ x σ y
1
2
2
exp
ς
2
r
ς
ς
ς
x
x
y
y
2
1 r2
2 1 r
27
(1.6),
где ς x
yy
xx
, ςy
нормированные значения случайных величин.
σy
σx
Двумерное распределение будет характеризоваться математическими
ожиданиями случайных величин и их дисперсиями, однако необходимо
обязательно учесть взаимосвязь между отдельными случайными величинами.
Эта связь учитывается посредством ковариации, называемой также
корреляционным моментом [29, 31]. Ковариация определяется как
математическое ожидание произведения отклонений случайных величин от
своих
математических
ожиданий
μ xy
x x y y x, y dxdy .
В
практике чаще всего используется коэффициент корреляции, который
представляет собой безразмерную ковариацию случайных величин rxy
В
математике
широко
используется
понятие
μ xy
σ xσ y
функциональной
зависимости, где одному или нескольким значениям аргумента соответствует
одно или несколько значений функции. В теории вероятности применяется
понятие стохастической [29] зависимости между случайными величинами,
при которой изменение одной случайной величины ведет к изменению
параметров
распределения
другой
величины.
При
наличии
таких
зависимостей одному значению случайной величины может соответствовать
множество
значений
другой
случайной
величины
и наоборот. Различают регрессионную зависимость, которая описывает
изменение математического ожидания одной случайной величины от
изменения
другой,
и
скедастическую,
определяющую
зависимость
дисперсии одной случайной величины от другой случайной величины.
Корреляционная зависимость определяет степень близости зависимости
между случайными величинами к линейной зависимости. Коэффициент
корреляции может изменяться в пределах от –1 до +1. При отсутствии
зависимости между случайными величинами коэффициент корреляции равен
нулю, но обратное заключение несправедливо, т.е. равенство коэффициента
28
корреляции нулю может означать или отсутствие связи, или наличие сильно
нелинейных зависимостей. Этот вопрос требует обычно специального
исследования.
Чем
больше
величина
коэффициента
корреляции
приближается к единице, тем сильнее связь между случайными величинами.
При равенстве его единице корреляционная зависимость вырождается в
функциональную. Знак при коэффициенте корреляции показывает тип
зависимости: при положительном значении зависимость прямая, при
отрицательном – обратная.
Кстати, в случае зависимых случайных величин закон сложения
вероятностей событий выглядит несколько иначе, при суммировании
дисперсий он будет выглядеть Dς1 ς 2 Dς1 Dς 2 2r Dς1 Dς 2 .
Рассмотрим
горизонтальные
сечения
двумерной
плотности
нормального распределения. Если случайные величины независимы (r = 0),
2
xx y y
R 2 . Вероятность
σx σy
2
то сечение будет окружностью
R2
попадания случайной величины внутрь этой области P 1 exp . Если
2
коэффициент корреляции не равен нулю, то сечение будет иметь форму
x x y y 2r x x y y
k 2 . Вероятность попадания
эллипса
σ xσ y
σx σy
2
2
k2
случайных величин в эллипс P 1 exp . С увеличением коэффициента
2
корреляции эллипс вытягивается и сжимается, а при r=1 вырождается в
прямую линию.
При вертикальном сечении двумерной
плотности нормального
распределения получаем условное распределение случайной величины x при
фиксированном значении другой величины: y = С. Данное условное
распределение
будет
одномерным
с
математическим
ожиданием,
определяемым соответствующим уравнением регресссии, и с дисперсией,
29
равной остаточной дисперсии случайной величины x (это дисперсия,
учитывающая только действие случайных факторов)
x | y C
x, y
,
y ( y)
где y y ( x, y )dx , или
x | y C
2
σx
x x r C y
σy
1
exp
,
2
2
2
(
1
)
σ
r
2π 1 r 2
x
σx
σ
где x x r x C y есть уравнение регрессии (зависимость х от у) с
σy
остаточной дисперсией σ 2x. σ 2x (1 r 2 ) .
Аналогичный подход используется для определения параметров
распределения
в
другом
вертикальном
сечении,
перпендикулярном
рассматриваемому. При фиксированном значении величины x условная
плотность распределения
y | x C
Следует
σy
2
σx
y y r C x
σy
1
(1.7).
exp
2(1 r 2 ) σ 2y
2π 1 r 2
отметить,
что
уравнение
регрессии,
определяющее
зависимость y от x, и рассчитанное независимо по тем же исходным данным
уравнение регрессии, определяющее зависимость x от y, будут несколько
отличаться друг от друга. Оба они будут проходить через центр
распределения, но под различными углами. Это объясняется тем, что
величины случайных отклонений относят в первом случае к одной
переменной,
а
во
втором
–
к другой. При обработке экспериментальных данных необходимо это
30
учитывать и определять именно ту зависимость, которая необходима. Это
позволит улучшить точность расчета.
Интегральная функция нормального многомерного распределения для
значений случайной величины имеет следующий вид [29]
F ( x1 ...x N )
где
μ ij
μ 11 μ 12
μ
μ 22
12
...
...
μ 1N μ 2 N
μ ij
xN
1
N
ij
...
exp
μ
(
x
x
)(
x
x
)
i
i
i
i dxi
2 i j
1
x1
2π N 2
... μ 1N
... μ 2 N
... ...
... μ NN
;
μ ij
Dij
D
(1.8),
1 n
μ ij ( xik x k ) ( x jk x j ) .
n k 1
;
Многомерные распределения удобны тем, что вся информация,
полученная в эксперименте, может быть представлена в очень компактном
виде – в виде двух матриц: математических ожиданий и ковариаций.
Обработкой этих матриц можно получить коэффициенты уравнений
регрессии β ij
Dij
Dii
и остаточные дисперсии S i.
D
, которые являются
Dii
оценкой случайных отклонений внутрибаллистических характеристик.
Возможно
ρ ij.
получение
Dij
Dii D jj
оценок
частного
коэффициента
корреляции
, который является оценкой стохастической связи между двумя
параметрами распределения при фиксированных значениях всех остальных
факторов. Оценка сводного коэффициента корреляции ρ i. 1
D
μ ii Dii
позволяет определить силу связи между рассматриваемым и всеми
остальными факторами. Вся эта информация необходима для принятия
правильных технических решений при проектировании и отработке
двигателя.
Переходя к нормированным переменным ς i
функцию распределения можно записать [11] в виде
31
xi xi
, интегральную
S i.
F x1 ...x N
Условные
характеристик
ρ ij
ςN
1
N
...
exp
ρ
ς
ς
dς i .
ij
.
i
j
2π N 2 2 i j
1
функции
ς1
распределения
определяются
на
основе
для
внутрибаллистических
работы
[11,
29],
где
UT U , T y,U , T dy .
Многомерные нормальные распределения являются основным методом
определения надежности, а также для анализа работоспособности любых
узлов РДТТ, ГТД и ЖРД.
Все перечисленные выше параметры распределения и регрессионные
зависимости можно получить на основе чисто теоретических зависимостей.
Если исходная функция представлена в виде детерминированной зависимости
y f x1, x2 ...xn , то уравнение в виде вариаций будет иметь вид
f
f
x1
x2 ...
x
x
1 x x
2 x x
y
i
iсс
где y y yст ,
i
iсс
xn xn xn ст ,
-
вариации переменных, т.е.
отклонения параметров от некоторого стационарного значения параметра
процесса.
f
Дисперсия D y
x1 x x
i
iсс
2
f
D x1
x2 x x
i
iсс
2
D x2 ...
Выражения и соотношения, необходимые для определения величин
вариаций газодинамических параметров, приведены в приложении 1 – 3,
необходимые данные из теории вероятностей – в приложении 4 – 7.
32
1.4. Основы математической статистики
Потребности
практики
постоянно
связаны
с
необходимостью
систематизации, обработки и анализа результатов наблюдений за случайными
явлениями.
Теория
вероятностей
изучает
закономерности
массовых
случайных явлений. Прикладные вопросы, возникающие в процессе их
исследований,
очень
часто
связаны
с
необходимостью
обработки
ограниченного количества опытных данных при наличии той или иной
неопределенности в задании закона распределения, а методами обработки
таких данных теория вероятностей не располагает. Эти методы рассматривает
особый раздел математики – математическая статистика. Математическая
статистика – это наука о математических методах систематизации,
обработки и анализа результатов наблюдений для получения научных и
практических выводов [30, 31, 33].
Используемые в математической статистике основные понятия по своей
сути аналогичны понятиям теории вероятностей, но вместе с тем их отличает
то, что они отражают результаты экспериментов, так называемые
эмпирические
данные,
на
основе
которых
теоретико-вероятностные
представления необходимо уточнить или сформулировать. Как и теория
вероятностей,
математическая
статистика
связана
с
исследованием
случайных явлений, но ее методы используются гораздо шире. Они
применяются
для
анализа
явлений
самой
различной
природы
–
детерминированных, стохастических и неопределенных. Наблюдая такие
явления, исследователь производит количественные измерения их свойств.
При этом он получает информацию о какой-то группе случайных событий,
которые, в свою очередь, являются частью всех возможных значений
случайной
величины.
Абстрактная
совокупность
всех
объектов
с
исследуемым свойством называется генеральной совокупностью.
При изучении случайной величины под генеральной совокупностью
следует понимать множество всех возможных значений случайной величины и
закон ее распределения. Данные о генеральной совокупности не всегда
33
известны в полном объеме, поэтому и возникает необходимость ее
исследования. Из-за ограничения материальных и других затрат на проведение
экспериментов возможно исследование только некоторой части этой
совокупности.
Часть
генеральной
совокупности,
которая
получена
в результате проведения опыта, называется выборочной совокупностью или
выборкой.
Выборка
должна
хорошо
представлять
свойства
генеральной
совокупности, т.е. быть репрезентативной. Репрезентативность выборки
обеспечивается случайностью ее отбора, при котором предполагается равная
возможность попадания любого элемента генеральной совокупности в
выборку. Случайность отбора составляет основу выборочного метода,
который в математической статистике играет главную роль. Сущность
выборочного
метода
заключается
в
следующем.
Имеется
большая
совокупность объектов, называемая генеральной. Она может быть конечной
или бесконечной. Из этой совокупности извлекаются n-объектов (объем
выборки), которые образуют выборочную совокупность. По результатам
анализа выборочной совокупности делается заключение о параметрах
генеральной совокупности. Это заключение является случайным, т.е.
вероятным. Заключения будут тем точнее, чем больше объем выборки.
Введение понятий «выборка» и «генеральная совокупность» позволяет
различить особенности задач математической статистики по отношению к
задачам теории вероятностей. В теории вероятностей по известным
характеристикам генеральной совокупности решаются задачи определения
характеристик предполагаемой выборки, а в математической статистике по
характеристикам выборки формируется представление о генеральной
совокупности.
Выборочные распределения получаются в процессе эксперимента.
Различаются активный эксперимент, в котором все сочетания факторов
создаются искусственно, и пассивный эксперимент, в котором используется
естественное изменение факторов. При проведении опытов все побочные
34
факторы желательно устранить. Если влияние их устранить невозможно,
то побочные факторы относятся к основным и влияние их учитывается
отдельно. Все остальные факторы, не поддающиеся учету, относят к
случайным. Регистрация параметров испытания называется наблюдением.
Наблюдения
могут
интересующий
его
быть
прямыми,
параметр,
и
когда
исследователь
косвенными,
когда
замеряет
замеряются
вспомогательные параметры, а интересующая исследователя величина
получается путем пересчета. Различаются истинный результат опыта,
который появился бы при воздействии только основных факторов, и реальный
результат,
который
включает
в
себя
влияние
основных
и случайных факторов, а также погрешности наблюдения и обработки.
Ошибка наблюдения – это отличие реального результата от истинного.
Основной задачей математической статистики является нахождение
функции распределения наблюдаемой случайной величины и оценка
параметров генеральной совокупности. Оценки параметров могут быть [30,
31, 33]:
1. Состоятельными, т.е. значения выборочных параметров стремятся к
значениям соответствующих генеральных параметров при увеличении
объема выборки. В математической статистике используются только
состоятельные
оценки.
Например,
выборочное
среднее
является
состоятельной оценкой генерального значения математического ожидания.
2. Смещенными и несмещенными. Несмещенная оценка при увеличении
количества опытов стремится точно к значению соответствующего
генерального параметра. Смещенная оценка имеет некоторое отличие от
генерального
S2
1 n
2
(xi x ) ,
n 1
f nk
параметра.
Например,
несмещенная оценка
S2
смещенная
1 n
2
(xi x )
f 1
оценка
дисперсии
, где f определяется как
. Величина k называется числом связей. Связью называется каждая
величина, зависящая от числа степеней свободы элементов выборки и
участвующая в определении выборочного параметра. В данном случае при
35
определении дисперсии используется выборочное математическое ожидание,
которое является связью. Значит, число степеней свободы будет равно числу
опытов без единицы.
3. Оценки параметров могут обладать разной эффективностью. Одна
оценка может гораздо быстрее приближаться к величине генерального
параметра, другая – медленнее. Поэтому первую оценку называют более
эффективной, чем вторую. Например, выборочная дисперсия является оценкой
генеральной дисперсии, но кроме нее для оценки генеральной дисперсии
можно
использовать
величину
размаха
выборки
(разность
между
максимальным и минимальным значением случайной величины в выборке).
Эта оценка является состоятельной и несмещенной, но менее эффективной, чем
выборочная дисперсия. Точно так же для оценки генерального среднего можно
использовать медиану распределения, но эта оценка будет менее эффективной,
чем выборочное среднее. Лучше всего пользоваться наиболее эффективными
оценками, т.к. они дают лучшую точность, поскольку обладают минимальной
дисперсией. Менее эффективные оценки можно использовать для грубых,
приближенных расчетов, т.к. определяются они очень просто.
Кроме этого, существует два варианта оценок параметров:
точечная оценка – численное значение выборочного параметра
приравнивается к значению генерального. Данная оценка достаточно проста,
однако в технике практически не применяется, т.к. здесь неизвестна
погрешность, которую мы допускаем при ее использовании;
интервальная оценка. Используется доверительный интервал – это
интервал, в котором с заданной вероятностью находится неизвестный
параметр генеральной совокупности. Доверительная вероятность – это
вероятность того, что генеральный параметр находится в доверительном
интервале. Величина, дополняющая доверительную вероятность до единицы,
называется уровнем значимости. Данные оценки могут быть двусторонними,
т.е. доверительный интервал имеет две фиксированные границы, и
36
односторонними, когда доверительный интервал имеет ограничение либо
снизу, либо сверху.
В процессе проведения статистического анализа проводятся оценки
параметров
распределений:
распределения
математического
Стьюдента),
дисперсии
ожидания
(с
(распределение
помощью
Пирсона).
Предварительно определяется тип распределения (критерий Колмогорова) и
отсутствие в выборке грубых ошибок. В случае двух и более выборок
производится сравнение их математических ожиданий и дисперсий и
решается вопрос о возможности их объединения в одну выборку. Подробное
изложение выполнения этих операций приведено в работах [14,30,33].
Оценка вероятности производится двумя способами:
1. С использованием толерантных множителей k [34]: для этого
решается следующее уравнение:
x kS a
x kS a
P
P1 Рдов .
σ
σ
Решение этого уравнения позволяет сделать следующее заключение:
внутри интервала
x kS
находится доля генеральной совокупности Р1 с
доверительной вероятностью Рдов. Данный способ применяется редко, т.к.
нужны специальные таблицы, а при их использовании необходимо
осуществлять нелинейную интерполяцию данных.
2. С использованием нормированных значений случайной величины [11].
Известно,
что
величина
h
xx
S
имеет
распределение с математическим ожиданием
1 1
σ
n M
2
h
h
h
1 1
2
2
где М – объем генеральной совокупности.
37
1
n
приближенно
и дисперсией
,
M
1
нормальное
Тогда можно определить доверительные интервалы для случайной
величины h : h u
1 р 2
σh h h u
1 р 2
σ h , или h h u1 р σ h , или h h u1 p σ h .
По этим оценкам, используя интеграл Лапласа, можно найти верхнюю
и нижнюю доверительные оценки вероятности.
При задании выборочного распределения в виде гистограммы
параметры распределения определяют с учетом поправки Шеппарда 33,
величина которой зависит от величины интервала разбиения интервала
изменения переменной:
n
x
pi xi ,
1
1
E 4
s
p i xi x
n
s
1
1 n
x
3
, A 3 p i xi x ,
s 1
12
2
4
n
x n
7x
4
2
p i xi x
p i xi x
3.
1
1
2
240
Проинтегрировав
распределения.
2
Далее
гистограмму,
используют
получают
эмпирический
распределение
Колмогорова
закон
для
определения типа распределения.
Для зависимостей нескольких переменных используют многомерные
распределения. Как мы уже отмечали, интегральная функция нормального
многомерного распределения для значений случайной величины имеет
следующий вид [11, 29]:
F
x1...x N
μ 11 μ 12
μ
μ 22
где μ ij 12
... ...
μ 1N μ 2 N
μ ij
xN
1
N
ij
...
exp
μ
x
x
x
x
i
i
j
j dxi ,
2π N 2 2 i j
1
x1
... μ 1N
D
... μ 2 N
1 n
ij
; μ ij ; μ ij xik x k x jk x j .
D
... ...
n k 1
... μ NN
Коэффициенты
множественного
уравнения
регрессии
x1 x1 β12 x2 x2 ... β1N x N x N и его остаточная дисперсия будут
определяться как отношения алгебраических дополнений
38
матрицы
ковариаций β1i
r1 1
D
μ11 D11
D1i
D
, S 02
. Сводный коэффициент корреляции
D11
D11
Dij
, частный – rij
Dii D jj
, парный – rij
μ ij
μ iiμ jj
.
Доверительные интервалы для средних значений и коэффициентов
уравнения регрессии [11]:
xi t1 p n N
β1i t1 p n N
Переходя
к
интегральный
в виде
nN
xi xi t1 p n N
nN
нормированным
значениям
распределения
x1 ,..., xN
S 0i
,
nN
Lii
S 0i
β i β1i t1 p n N
D
nN
S 0i
закон
F
S 0i
ρ ij
Lii
.
D
случайной
можно
величины,
представить
ζN
1
N
...
exp
ρ
ζ
ζ
dζ .
2π N 2 2 i j ij. i j 1 i
ζ1
Вероятность попадания в прямоугольную область
x1 C1 , х2 С2 ,..., x N
P
C1
CN
N
1
C N ... f x1 ,..., x N d xi .
Задача существенно облегчается, если коэффициенты корреляции
равны нулю. Тогда переменные будут независимы, и искомая вероятность
будет равна произведению вероятностей выполнения каждого параметра.
Если коэффициенты корреляции не равны нулю, т.е. между
переменными есть стохастическая связь, то применяют формулу Судакова и
производят точечную оценку параметрической надежности [11]:
N
P Pi
i 1
где K N
N
Pmin Pi K N
i 1
(1.9),
N N 1
2
.
arcsin rij , C
πC i j
2
Нижняя доверительная граница величины параметрической надежности
[11]
P P 1 W
,
39
W
2
2
Pi
Pmin Pmin
2 N
1 K N 1
1
i 2
Pmin P
Pi
2
В
данной
2
(1.10).
2 1
2
Pmin Pi 1 rij .
i 1
i j
πCn P
формуле
N
использовано
допущение
о
нормальном
распределении нормированного значения случайной величины, но она может
применяться и для других типов непрерывных распределений [11].
Вышеприведенные формулы предназначены только для линейных
зависимостей. Если необходимо определить нелинейную зависимость, то ее
следует преобразовать к линейному виду или провести линеаризацию
требуемой зависимости. Кроме того, есть специальные методики построения
множественных нелинейных уравнений регрессии [30].
1.5. Основы исследования операций
Теория принятия решений является разделом научной дисциплины,
называемой исследованием операций [26-28]. В современном представлении
большинство объектов исследования рассматриваются как системы. Под
системой понимается единство упорядоченной совокупности составляющих
ее элементов, связей между ними и окружающей средой, которое образует
присущую данной системе качественную определенность. Как системы могут
рассматриваться
любые
естественные
или
искусственные
объекты,
совокупности процессов или научная теория, если в них установлены
элементы, которые образуют единство связями между собой, что в итоге
создает появление новых свойств (называемых системными), которыми не
обладают составляющие систему элементы. Поэтому, исследование систем
необходимо осуществлять путем оценки влияния элементов, составляющих
систему, друг на друга и на систему в целом, что влечет за собой
необходимость применения специальных методов.
Объектом исследования здесь является операция - любая совокупность
действий, объединенных единым замыслом и направленная к достижению
40
определенной цели. Предметом исследования этой науки выступают общие
закономерности поиска решений. Исследование операций появилось
накануне второй мировой войны и обязано этим военной науке. Это были
исследования, выполненные английскими учеными по организации системы
обнаружения и слежения за атакующими самолетами противника и наведения
на эти цели истребителей. В процессе исследований была определена
наилучшая схема расположения радиолокационных устройств и тактика
ведения боевых действий в воздухе, что принесло, как известно,
значительный успех. В период второй мировой войны эти исследования
активно продолжались и к ним присоединились США и Канада, направив
свои усилия на исследование способов организации боевых действий на море.
Они принесли им большие успехи при организации проводки конвоев судов в
зоне действия японских ВМС.
Решения, отыскание которых не представляет большой сложности, в
любой области практики принимаются без специального математического
обоснования, просто на основе опыта и здравого смысла. Но, достигнув
определенного уровня сложности, эти "ответственные" решения начинают
требовать подкрепления математическими расчетами. Чем сложнее, дороже,
масштабнее планируемое мероприятие, тем менее допустимы в нем "волевые"
решения.
При исследовании операций предполагается, что имеются достаточно
полные сведения об объекте исследования, позволяющие определить
количественные значения исходных данных. Предполагается, что цель,
которая преследуется, задана и исследования по формированию цели не
проводятся. В процессе исследования операций создается математическая
модель
объекта
и
определяется
оценка
возможности
достижения
поставленной цели.
В каждой задаче возможен определенный выбор значений параметров,
которыми по условиям операции можно управлять. Всякий определенный
выбор управляемых параметров называется "решением". "Оптимальными"
41
называются решения, которые по тем или иным признакам лучше, чем другие.
Таким образом, цель исследования операций - отыскание количественно
обоснованных оптимальных решений.
Схема исследования любой операции:
1) словесное (вербальное) описание операции с уяснением цели ее
исследования и выбором на этой основе тех параметров, которыми
исследователь предполагает управлять и тех характеристик, с помощью
которых он предполагает оценивать степень достижения цели операции
(вербальная постановка задачи исследования);
2) создание формального образа операции, учитывающего взаимосвязь
управляемых исследователем параметров, различного рода ограничений, то
есть тех параметров, на которые исследователь влиять не может, а также
количественных характеристик, позволяющих оценить степень достижения
цели операции;
3) математическая постановка задачи - формальное выражение условий
отыскания результата данного исследования;
4) анализ класса сформулированной математической задачи и выбор
метода ее решения;
5) уточнение, упрощение или видоизменение постановки задачи, при
которых
обеспечивается
ее
решение
известным
или
специально
разработанным методом;
6) разработка или использование известных алгоритмов и программ
решения задачи на ЭВМ (при необходимости);
7) решение задачи при выбранных исходных данных;
8) анализ полученных результатов.
Само принятие решения обычно выходит за рамки исследования
операций и относится к компетенции ответственного лица или групп лиц,
которым представлено право окончательного выбора и на которых возложена
ответственность за этот выбор. Делая выбор, они могут учитывать, наряду с
рекомендациями, вытекающими из математических расчетов еще ряд
42
соображений, которые этими расчетами не были учтены. Те параметры,
совокупность которых образует решение, называются элементами решения
или параметрами выбора.
В качестве элементов решения могут фигурировать различные числа,
векторы, функции, физические признаки и т.д. Кроме элементов решения,
которыми мы можем распоряжаться, в любой задаче исследования операций
имеются еще и заданные условия, которые называются ограничения. Эти
условия фиксированы с самого начала и нарушены быть не могут. В своей
совокупности они ограничивают так называемое множество возможных решений.
Поиск решений производится с помощью моделей - специально
создаваемых условных образов объекта исследования. Чем лучше модель
отражает условия реальной операции, тем успешнее будет ее использование
и полезнее получаемые рекомендации. Основные качественные принципы,
которыми необходимо руководствоваться при разработке математических
моделей операций.
Важным этапом создания математической модели является определение
ее
необходимой
полноты.
Каждая
реальная
операция
связана
с
многочисленными факторами, причем, некоторые являются важными,
существенными, а другие - побочными, второстепенными. Очевидно, полный
количественных учет всех факторов невозможен, да и не требуется. Поэтому
количественный анализ любой операции начинается с построения такой
модели, в которой учтены основные факторы в исследуемой операции и
отброшены второстепенные.
В процессе разработки математическая модель реального объекта,
представляющего собой систему, также рассматривается как система. Это
достигается использованием при ее создании принципов системного подхода,
которые позволяют учесть специфические признаки реального объекта и
перенести их на его модель. К числу таких признаков, которые должны найти
отражение в модели объекта, относят:
43
1. Наличие цели функционирования реального объекта, которое
определяет целенаправленность модели. По этому признаку модели могут
быть разделены на одноцелевые, предназначенные для решения одной задачи
и
многоцелевые,
позволяющие
рассмотреть
все
основные
стороны
функционирования реального объекта.
2. Сложность реального объекта, которую, учитывая, что модель системы
также является системой, то есть совокупностью отдельных элементов и
связей между ними, можно оценить по общему числу элементов в модели и
связей между ними. По разнообразию элементов можно выделить ряд уровней
иерархии, отдельные функциональные подсистемы в модели, ряд входов и
выходов, то есть признак сложности может быть реализован в модели
разными способами.
3. Целостность реального объекта, приводящая к тому, что и
создаваемая модель является единой системой, включающей в себя большое
количество составных частей (элементов), находящихся в сложной
взаимосвязи друг с другом.
4. Неопределенность, которая проявляется в реальном объекте, неизбежно отражается на его модели.
5. Наличие особенностей поведения реальной системы. В зависимости от
наличия случайных факторов системы могут быть детерминированными или
стохастическими. В зависимости от протекающих в них процессов системы
могут быть непрерывными или дискретными и так далее. Поведение реальной
системы отражается в ее модели. Очевидно, что поведение модели не
обязательно совпадает с поведением реального объекта, так как модель
реализуется на иной материальной основе.
6. Адаптивность, что является признаком высокоорганизованной
системы. Благодаря адаптивности системе удается приспособиться к
различным внешним возмущающим факторам в широком диапазоне изменения воздействий внешней среды. Применительно к модели, адаптация - это
44
возможность
ее
использования
в
широком
спектре
возмущающих
воздействий, близких к реальным.
Кроме того, можно выделить признаки, присущие собственно моделям,
как системам специфического вида. Это возможность управлять моделью,
которая
обеспечивает
экспериментаторам
возможность
рассмотрения
процессов, протекающих в модели, в различных условиях, имитирующих
реальные. В этом смысле наличие многих управляемых параметров модели
дает возможность получить обширный спектр результатов. Кроме этого,
возможность
совершенствования
модели,
которая
предусматривает
возможность расширения спектра изучаемых функций и числа подсистем в
модели, исходя из развития самой системы и наличия знаний о ней.
Рассмотренные системные признаки реального объекта, используемые
при построении моделей, позволяют классифицировать математические
модели.
В зависимости от поведения реальной системы, отраженного в ее
математической модели, выделяют ряд признаков, которые можно положить
в
основу
классификации
моделей.
По
признаку
динамичности
математические модели разделяют на статические и динамические.
По признаку стохастичности, то есть по наличию элементов
случайности математические модели разделяют на детерминированные и
стохастические.
По признаку дискретности, то есть по виду описываемых процессов,
математические модели разделяют на дискретные, непрерывные и дискретнонепрерывные.
Математическую
модель
системы
называют
моделью
с
последействием, если при описании системы необходимо учитывать
предысторию ее функционирования. Это означает, что модель обладает
памятью или инерциальностью. В противном случае модель называется
моделью без последействия. Кроме того, по способу осуществления
моделирования, математические модели можно разделить на аналитические
45
и имитационные. Для аналитических моделей характерно то, что процессы
функционирования элементов системы записываются в виде некоторых
функциональных
соотношений
(алгебраических,
интегро-
дифференциальных, конечно-разностных и так далее) или логических
условий. Аналитическая модель может быть исследована аналитическим
методом, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для
искомых характеристик, или численным, когда стремятся получить числовые
результаты при конкретных исходных данных.
Для построения имитационной модели разрабатывается соответствующий алгоритм, в котором ряд этапов функционирования системы,
которые невозможно описать аналитически, реализуются в виде специальных
процедур диалога с исследователем. В ходе итеративного диалога
исследователь "заполняет пробелы" в модели, добиваясь такого выполнения
моделирующего алгоритма, который соответствовал бы поведению системы.
Реализующий имитационную модель алгоритм воспроизводит процесс
функционирования системы во времени, причем имитируются элементарные
явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и
последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным
данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты
времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Основным
преимуществом имитационных моделей по сравнению с аналитическими
является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели
позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие
дискретных
и
непрерывных
элементов,
нелинейные
характеристики
элементов системы, многочисленные случайные воздействия, которые часто
создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время
имитационные модели наиболее эффективны для исследования больших
систем и часто только они позволяют получить информацию о поведении
системы особенно на этапе ее проектирования.
46
Когда результаты, полученные при воспроизведении на имитационной
модели процесса функционирования системы, являются реализациями
случайных величин и функций, тогда для нахождения характеристик процесса
требуется его многократное воспроизведение с последующей статистической
обработкой информации и целесообразно при машинной реализации
имитационной модели использовать метод статистических испытаний.
Практически все перечисленные модели используются в практике разработки
тепловых двигателей летательных аппаратов.
В процессе исследования операций приходится сталкиваться с
необходимостью
количественного
сравнения
возможных
вариантов.
Возникает вопрос, как из множества возможных решений выделить одно
решение (некоторое подмножество решений), которое предпочтительнее
других. Для оценки результатов операций будем использовать понятие
"эффективность". Под эффективностью операции понимается свойство,
определяющее степень ее пригодности к выполнению стоящей перед ней
задачи. Чем лучше организована операция, тем она эффективнее, тем лучше
принятое решение, направленное на достижение цели операции.
Для количественной оценки эффективности операции необходимо
рассматривать ее конечный результат на предмет его соответствия
поставленной цели в зависимости от выбранного решения. Для этого
используется понятие показатель эффективности, называемый иначе
целевой функцией. Это количественная характеристика степени достижения
цели операции. Неправильный выбор показателя эффективности очень
опасен. Операции, организованные на основе неудачно выбранного
показателя эффективности, могут либо совершенно не соответствовать
назначению, либо привести к неоправданным потерям. По количеству
показателей
эффективности
различают
однокритериальные
и
многокритериальные задачи. В однокритериальных задачах решение
находится с использованием одного показателя и критерия, а в
47
многокритериальных задачах для оценки эффективности используются
несколько показателей и критериев.
По
природе
определенности,
условий
задачи
в
задачи
различают:
условиях
риска,
задачи
задачи
в
условиях
в
условиях
неопределенности. Задачи в условиях определенности, иначе называемые
задачами в детерминированной постановке, характеризуются тем, что для
них полностью определены все условия выбора и отсутствуют какие-либо
элементы случайности в их проявлении. Такие задачи формулируются
следующим образом. При заданных значениях условий выбора и
соответствующих ограничениях на параметры выбора найти такое решение,
которое обращало бы в максимум (минимум) показатель эффективности.
Задачи в условиях риска, иначе называемые стохастическими
задачами,
характеризуются
наличием
неопределенных
факторов,
представляющих собой обычные объекты теории вероятностей - случайные
величины или случайные функции, статистические характеристики которых
нам известны.
Постановка и решение таких задач может осуществляться различными
путями: случайные факторы заменяются их математическими ожиданиями.
Тогда задача становится детерминированной и может быть решена
обычными методами. Такой способ целесообразен, если случайностями
можно пренебречь, т.е. рассеивание случайных факторов очень мало.
Однако, если случайности существенно влияют на результат, использовать
этот способ нельзя. Задача данного вида формулируется следующим
образом: при случайных значениях условий выбора, заданных условиях, известных распределениях вероятностей и возможных ограничениях на
параметры выбора найти такое решение, которое бы обращало в максимум
(минимум) среднее значение показателя эффективности.
Отдельную группу задач в условиях риска составляют задачи со
стохастическими ограничениями. Постановка такой задачи осуществляется в
том случае, если с помощью выбранного показателя эффективности
48
невозможно в полной мере отразить цель и особенности условий операции.
Например, ремонтный цех
принимает
заявки на устранение отказов
оборудования, время на ремонт которого должно быть минимально. Выбор
в качестве показателя эффективности среднего времени ремонта может
привести к тому, что длительное ожидание устранения отказа одного образца
может компенсироваться почти мгновенным обслуживанием другого
образца оборудования. В этом случае можно поступить следующим образом:
ограничить время обслуживания вероятностью (например 0,99) не превышая
предельного значения времени, выбранного из практических соображений.
Это обозначает, что в постановку задачи дополнительно вводится стохастическое ограничение. Именно такие задачи чаще всего встречаются при
разработке двигателей летательных аппаратов. Чаще всего это ограничение
выглядит следующим образом: двигатель или его узел должен обеспечивать
выполнение определенных характеристик с требуемым уровнем надежности.
Наличие таких ограничений существенно усложняет задачу оптимизации.
Однокритериальные
задачи
в
условиях
неопределенности
характеризуются тем, что у неопределенных факторов не существует
вероятностных характеристик. Данные задачи при разработке двигателей
практически не встречаются, поэтому рассматривать их здесь не будем.
1.6. Основы теории принятия решений
Таким образом, когда определена цель операции, сформулированы
ограничения и показатель эффективности, разработана математическая
модель - далее необходимо найти решение задачи [41, 50, 51]. Для этого чаще
всего применяется линейное программирование, где используется либо
традиционный способ решения системы линейных неравенств, либо
симплексный метод. В случае, когда целевая функция нелинейная, или
множество допустимых решений описывается системой нелинейных
неравенств, применяется нелинейное программирование. В рамках этой
постановки наиболее часто применяются градиентные методы, например,
49
монотонного или скорейшего спуска, метод оврагов и т.д. Практически все
эти методы являются итерационными. Наиболее перспективным является
метод динамического программирования, в котором поиск решения
разбивается на ряд этапов, и на каждом этапе производится процедура поиска
оптимума. На каждом этапе решение должно выбираться таким образом,
чтобы оно было оптимальным для данного этапа и всех последующих.
Данный подход позволяет резко ускорить поиск решения. Все рассмотренные
способы дают область возможных решений, из которых в дальнейшем
выбирается только одно.
При решении задач исследования операций обычно понимают, что их
результатом является некоторая совокупность возможных вариантов
организации операции. Эти варианты могут представлять собой несколько
альтернативных способов достижения цели операции, иногда даже не
отличающихся величиной их количественных характеристик - показателей
эффективности.
До недавнего времени считалось, что выработка решений в сложных
ситуациях с высокой неопределенностью является искусством, основанным
на опыте и интуиции, и не поддается формализации. Однако практика
показывает, что один только опыт и знания руководителя не всегда могут
обеспечить оптимальность решения без дополнительных количественных
методов оценки эффективности возможных вариантов действий.
Существует немало примеров крупномасштабных ошибок в области
оборонного строительства в нашей стране (отказ от строительства авианосцев
и снижение темпов развития авиации в 60-ые годы, принятие на вооружение
большого количества различных типов летательных комплексов в 60-80-ые
годы и так далее), которые явились следствием «победы» необоснованных
субъективных мнений.
Объектом исследования этой теории является ситуация принятия
решения или, так называемая, проблемная ситуация. В проблемной
ситуации отсутствует четкое представление о том, какие из возможных
50
решений в большей степени соответствуют желаемым результатам.
Предметом исследования выступают общие закономерности выработки
решений в проблемных ситуациях.
Постановка задачи принятия решений в общем случае заключается в
следующем: выбрать допустимое решение из множества возможных, которое
обеспечивает достижение цели операции наилучшим, по мнению лица,
принимающего решение, образом. Сформулированная постановка задачи
напоминает собой постановку задачи оптимизации и это не случайно. Дело в
том, что методы оптимизации, как, впрочем, и все методы исследования
операций, могут быть отнесены к методам принятия решений при
соответствующих исходных данных.
Однако
решение
задач
принятия
решения
занимает
вполне
определенное место в процессе исследования и, как правило, представляет
собой заключительный этап исследования. Оно имеет место тогда, когда уже
сформировались определенные количественные основы для исследования,
проведен анализ, построена и исследована модель операции, определено
множество
возможных
вариантов
решения,
но
анализ
полученных
результатов не может быть проведен из-за отсутствия четкого представления
о том, какие из возможных результатов в большей степени соответствуют
желаемым.
От лица, принимающего решение, требуется в этом случае установить
представление об эффективности решений, исходя из его собственных
позиций, и осуществить окончательный выбор. Выработка решения
осуществляется в соответствии с определенной целью, которую преследует
лицо принимающее решение и которая в его представлении соответствует
цели операции. Цели принятия решения могут быть самыми различными даже
в одной и той же операции. Особо отметим то, что лицо принимающее
решение вносит определенный субъективизм в их выбор.
Для принятия решения необходимо иметь различные варианты
допустимых способов действий (стратегий), ведущих к поставленной цели.
51
Осуществляя выбор стратегии, лицо принимающее решение руководствуется
своими личными представлениями о "наилучшем". Совокупность этих
представлений образует систему предпочтений лица, принимающего
решение, т.е. применяется модель предпочтений.
Если представление о «наилучшем» формируется на основе анализа
исходов, то имеет место модель предпочтений исходов. В этом случае
предпочтение одного исхода над другим - это выражение субъективного
мнения лица, принимающего решение. Основу такой модели составляет
ранжирование или попарное сравнение исходов, а степень достижения цели
при этом не имеет количественного выражения.
Если для получения количественной оценки степени достижения цели
используются показатели эффективности, то это будет модель предпочтения
показателей.
Рассмотрим
пример
многокритериальной
задачи.
Планируется
отработка изделия. У нас существует два ограничения – срок и объем
финансирования. Работоспособность изделия и его надежность должна быть
как можно выше, т.к. это создает те запасы, которые нужны всегда.
Технологичность изделия также должна быть максимальной, а трудоемкость
– минимальна, т.к.
это повышает конкурентоспособность изделия.
Количество испытаний следует минимизировать, а количество информации с
каждого испытания должно быть максимально – все сэкономленные деньги
можно направить на развитие производства и дополнительную зарплату.
Перечень критериев можно продолжить. Такая множественность показателей
эффективности, из которых один желательно обратить в максимум, другие - в
минимум, характерна для сложных задач исследования операций. Решение,
обращающее в максимум один какой-то показатель, как правило, не обращает
ни в максимум, ни в минимум другие. Поэтому найти решение, полностью
отвечающее всем этим требованиям невозможно.
Наиболее часто для решения многокритериальных задач применяются
решения, оптимальные по Парето. Оптимальным по Парето решением
52
является решение, не поддающееся улучшению по какой-либо компоненте
вектора-функции, иначе как за счет ухудшения по другим компонентам
вектора-функции [27].
Решение многокритериальных задач есть достаточно сложный и
трудоемкий процесс. Упростить его можно только за счет уменьшения
количества критериев. Один из возможных подходов к решению таких задач
заключается в том, что образуется некоторый составной показатель путем
формального объединения частных. Применяют аддитивный способ (способ
суммирования показателей), который используется в том случае, когда
частные показатели равны по значимости и совпадают по размерности.
Возможно применение мультипликативный способ (способ перемножения
показателей) или его сочетание с аддитивным способом. Иногда применяют
выбор главного показателя. При использовании этого способа показатели
анализируются по важности, и из них выбирается один наиболее отвечающий
цели операции. Остальные показатели используются при формировании
ограничений. Главный показатель, кроме того, может быть сформирован из
ряда показателей с использованием способов рассмотренных выше способов
свертывания. Кроме этого, возможно применение метода последовательных
уступок. Для этого показатели располагают в порядке убывающей важности.
Сначала путем решения соответствующей оптимизационной задачи ищется
решение, обращающее в максимум первый (важнейший) показатель. Затем
назначается, исходя из практических соображений, некоторая уступка в
величине этого показателя, которую мы согласны сделать для того, чтобы
максимизировать
второй
показатель.
Далее
рассматривается
третий
показатель и т.д. Для уменьшения количества показателей можно
использовать теорию подобия, которая позволяет применить безразмерные
симплексы, количество которых будет меньше, чем количество самих
показателей.
При решении однокритериальных задач в условиях неопределенности
применяют специальные критерии выбора [27]. Это максиминный критерий
53
Вальда, при котором оптимальными считаются параметры выбора, которые
обеспечивают максимум прибыли (выигрыша) при наихудших условиях
выбора. Этот критерий определяет позицию «крайнего пессимизма», т.е. надо
всегда ориентироваться на худшие условия, зная наверняка, что «хуже этого
не будет». Очевидно, такой подход «перестраховочный», естественный для
того руководителя, который очень боится «проиграть». Полученное при этом
гарантированное (с запасом) решение может оказаться очень дорогостоящим.
Также применяется принцип минимаксного риска Сэвиджа [27], при
котором считается, что оптимальными являются параметры выбора, которые
при неблагоприятных условиях обеспечивают минимальный риск принятия
неоптимального решения. Иными словами, такая функция характеризует
риск, на который идет лицо принимающее решение, если вместо наилучшего,
в конкретных обстоятельствах, решения принимает произвольное. Критерий
Сэвиджа тоже пессимистический, но при выборе оптимального решения
«советует» ориентироваться не на выигрыш, а на риск. Сущность такого
подхода заключается в том, чтобы всячески избегать большого риска при
принятии решения.
Принцип пессимизма-оптимизма Гурвица, рекомендует при выборе
решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним
легкомысленным оптимизмом. Считается целесообразным использовать
средний результат, ориентированный на промежуточные значения условий
выбора.
Принцип
Гурвица
формулируется
следующим
образом:
оптимальными считаются параметры выбора, которые обеспечивают
максимальное значение эффекта, полученного от взятых с соответствующими
«весами» лучшего и худшего результатов.
Выбор того или иного принципа всегда субъективен, так как в любых
задачах выбора решения некоторый произвол неизбежен, но применение
математических методов позволяют осознать влияние такого произвола.
При разработке тепловых двигателей летательных аппаратов, в
частности ГТД, целесообразно применять вероятностные модели описания
54
протекающих в двигателе процессов, т.к. они дают больше информации для
принятия решения по сравнению с детерминированными моделями. Для
вероятностного описания следует применять многомерные распределения
(при
экспериментальном
теоретического).
При
исследовании)
принятии
решений
и
метод
вариаций
рационально
(для
использовать
однокритериальные многофакторные модели или многокритериальные,
приведенные к однокритериальным. Оптимизацию характеристик двигателя
наиболее эффективно проводить методами, позволяющими определить
область допустимых решений, которые позволяют обеспечить требуемые
характеристики двигателя с заданной вероятностью.
Ниже приведена типичная процедура принятия решения.
1. Вербальное описание операции.
Здесь необходимо уяснить цель планируемой операции. В отдельный пункт
это вынесено с целью исключения неоднозначного толкования проводимых
работ. Достаточно часто бывает, что провозглашается одна цель работ, а
проводятся другие. Кроме этого, надо полностью исключить двойственные
толкования проводимых работ среди исполнителей данной работы. Нужна
ясность.
2. Перечень управляемых параметров.
От выполнения данного пункта зависит с одной стороны полнота
разрабатываемой модели, а с другой – ее сложность. Должны быть выбраны
параметры, действительно определяющие поведение модели. Если часть
этих параметров будут потеряны, то модель не будет адекватна реальности.
Если будут выбраны лишние управляемые параметры, то это будет только
путать исследователя. Малозначимые параметры лучше всего вводить в
ограничения.
3. Вербальная постановка задачи.
Создание формального образа операции, учитывающего взаимосвязь
управляемых параметров, ограничений и количественных характеристик,
позволяющих оценить степень достижения цели операции.
55
4. Разработка детерминированной модели.
Не всегда есть необходимость в выполнении этого пункта, весьма
рационально попытаться использовать существующие методики расчета,
например, систему САПР и т.д. В этом случае работа упрощается и не надо
выполнять последующие четыре пункта.
5. Выбор метода решения.
Здесь необходимо поискать стандартные методы решения систем уравнений,
отдельных дифференциальных уравнений и т.д. Это сильно экономит время
разработки модели.
6. Разработка алгоритма решения.
В данном пункте необходимо разработать всю последовательность
математических операций с необходимыми упрощениями. Необходимо
посмотреть возможность исключения незначимых переменных, замену
сложных функций рядами и т.д.
7. Рассмотреть возможность применения теории подобия.
Если удастся привести данную модель к критериальному виду, то это
уменьшает количество переменных, что упрощает задачу. Кроме этого,
разработанные критерии, как правило, обладают физическим смыслом, что
улучшает понимание сути решаемой задачи. В случае, когда применение
теории
подобия
невозможно,
рационально
перейти
к
переменным,
выраженным в безразмерном виде. Это просто уменьшает количество
независимых переменных.
8. Проверка адекватности модели.
Для проверки адекватности модели чаще всего используют результаты
испытаний изделий – аналогов, специальные испытания проводят очень
редко.
9. Разработка вероятностной модели.
Для этой цели используется метод вариаций, который позволяет определить
математические ожидания и дисперсии параметров детерминированной
модели, а также стохастические связи между переменными.
56
10. Обобщение моделей.
Обобщение детерминированной и вероятностной моделей в единую
программу расчета.
11. Моделирование проблемной ситуации.
Проведение конкретных расчетов по достижению поставленной цели
операции
при
влиянии
определяющих
факторов
и
существующих
ограничений.
12. Оптимизация решения.
Для оптимизации решения чаще всего используют построение области
возможных решений, внутри которой оптимизируемая характеристика
выполняется с требуемым уровнем вероятности.
13. Принятие решения.
Решение выбирается из области возможных решений, причем лицо
принимающее решение учитывает еще дополнительные факторы, не
предусмотренные исходной моделью, т.е. проводится дополнительная
оптимизация.
57
ГЛАВА 2. ВАРИАЦИИ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
2.1. Вариации газодинамических параметров для изоэнтропических
потоков газа
При решении задач газовой динамики в настоящее время используются,
в подавляющем большинстве, детерминированные модели. Они дают
результат, близкий к математическим ожиданиям параметров. Однако для
решения инженерных задач необходимо также знать, по крайней мере,
разбросы параметров. Предлагаемая методика позволяет решить данную
задачу. При разработке методики использовался метод вариаций, т.е. малых
отклонений от какого-либо стационарного значения функции [29, 32].
В
качестве
детерминированной
модели
приняты
зависимости,
приведенные в работах [12, 13, 16, 17, 18, 19, 22, 23]. Принятая модель течения
в цилиндрическом канале постоянного сечения предполагает, что на вход
канала подаётся газ, имеющий отклонения от номинальных значений расхода
и параметров торможения величин давления, температуры и плотности. В
канале происходит изоэнтропическое течение газа в стационарном режиме.
Изменения заторможенных параметров на входе в канал происходят
медленно,
то
есть
время
изменения
газодинамических
параметров
значительно больше времени релаксации газового объёма канала. Это
означает, что, несмотря на изменение заторможенных параметров на входе в
канал, течение в канале можно считать в каждый момент времени
изоэнтропным. Величины газовой постоянной и показателя адиабаты
приняты постоянными. При движении газа по каналу все его параметры
должны подчиняться уравнениям сохранения и уравнению состояния. Кроме
того, необходимо выполнение условия изоэнтропности течения. Все эти
закономерности должны также соблюдаться и для вариаций параметров.
Определяем уравнения сохранения и вспомогательные соотношения в виде
вариаций.
58
1. Уравнение неразрывности: V F G ,
виде
F const . Выражение в
V G
. Правую часть можно выразить через
V
G
вариаций:
заторможенные параметры потока:
Gm
P * q ( ) F
T
*
G
, тогда:
G
P *
P
*
q( ) 1 T *
q ( ) 2 T *
q ( ) 1 2
;
Используя соотношения
q ( ) ( )
(2.1).
V 1 T *
,
V 2 T*
получим
(kp ) V P *
1
k 2 T *
*
1
. Расход можно выразить через
( ) V
( ) k 1 T *
P
статическое давление. Тогда в вариациях
Учитывая, что
y( ) 2 ( )
y ( )
( )
G P y ( ) 1 T *
.
G
P
y ( ) 2 T *
и соотношения для
, получим
P
V T *
( ) ( ) 2 1 ( ) * .
P
V
T
V2
k P
H * , где H * C p T * . Находим
2 k 1
2. Уравнение энергии
вариации данного уравнения
Применяя преобразования
P
1
H*
RT
C pT
*
C p CV
Cp
V 2 V
k P 1 P
k P 1 H *
* .
H * V k 1 H * P k 1 H *
H
V2
H*
V2
2
k 1 akp
k 1 2
2
k 1 2
2 1 ( )
k 1
H * T *
k 1
* , получим уравнение
( ) ,
k
H*
T
P
V T *
( )
2 1 ( )
*
энергии в виде ( )
P
V
T
3. Уравнение количества движения
59
(2.2).
G V P F K . В вариациях
V 2 F
V 2 F P F P K
2
. Применяя преобразования
K
K
K
P
K
PF
r ( ) ,
K
V 2 F
K
1 r ( )
и
выражая
через
параметры
2
2k
торможения K P F f ( ) с учётом 1 r ( )
, имеем
k 1 1 2
*
1
1 2 V
P* 1 1 2 T *
r ( ) P
2
( ) V 1 r ( ) P 1 r ( ) P* 2 ( ) T *
4. Уравнение состояния
5. Уравнение адиабаты
P
RT . В вариациях:
P
k
(2.3).
P T
0.
P T
const . В вариациях
P
k 0.
P
Составим систему уравнений. Уравнение неразрывности, выраженное
через статическое давление, полностью совпадает с уравнением энергии,
поэтому берём его совместно с уравнением сохранения количества движения,
уравнением адиабаты и уравнением состояния. Для упрощения выражений в
правую часть уравнений сохранения подставляем параметры в критическом
сечении канала. Далее рассмотрим несколько возможных моделей описания
процесса. Основное требование к ним – внутренняя непротиворечивость.
V P * 1 T *
* *
V
2 T
P
*
T
V
T
( )
2 1 ( )
*
T
V
T .
P
P k 0
P T 0
P T
Решением данной системы будет
60
2k
P
k
2 *
k 1 1 P
k 1
1
2
1
P
2 *
k 1 1 P
k 1
1
P
P
2
*
2
T
T
2
*
k 1
P
2
*
k 1 1 P
2
*
1
k 1 2
T *
k 1
*
T
2 1
k 1 2
T *
k 1
*
2 1
T
k 1 2
T *
k 1
*
2 1
T
( ) P* 1 (kp ) ( ) T *
2
*
V
1 P* 2
2 1
T
V
(2.4),
(2.5),
(2.6),
(2.7).
Определитель данной системы (k 1)(2 1) , 0 (k 1), 1 0 .
Таким образом, система не имеет решения при 1, то есть при критическом
режиме течения.
При определении отклонений в критическом сечении сопла происходит
разрыв, и отклонения стремятся к бесконечности, что видно из графиков
зависимостей коэффициентов вариации давления и температуры газового
потока, приведённых на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1. Зависимость коэффициента вариации давления и температуры от
приведённой скорости потока (1 – давление, 2 – температура)
61
Наличие разрыва на приведенных зависимостях объясняется тем, что
при 1 некоторые газодинамические функции ( q( ); y( ); f ( ) ) имеют
производные, равные нулю, что приводит к росту отклонений всех
параметров до таких величин, которые совершенно не соответствуют
реальным параметрам. Это означает, что данная модель имеет применение
при малых скоростях потока
( 00.6 ), а также при сверхзвуковых
течениях ( 1.2max ). Данный подход при определении вариаций был
использован в работе [22].
Для получения зависимостей отклонений, пригодных для всего
интервала изменения , можно использовать следующий подход (модель
аппроксимации
вариаций
приведенной
скорости
газового
потока):
непосредственно определить вариации скорости потока в некоторых
характерных точках. При 0 , то есть при отсутствии течения, отклонения
скорости будут равны нулю. В критическом сечении сопла, при 1 ,
вариации скорости будут равны akp
k 1
1
T *
*
2
C p T , akp akp * .
2
k 1
T
При max отклонения скорости будут также равны нулю, так как у
газа уже нет энергии для дальнейшего расширения. Далее проведём
аппроксимацию зависимости и отклонений скорости по этим точкам, в
зависимости от параметра 2 . Аппроксимация должна отвечать следующим
условиям:
V
V 0
V
V
0,
1
aкр
,
aкр
V
V max
0.
Экстремум функции должен быть в точке с координатами 1 ;
V akp . Лучше всего подходит следующая функция (данное решение
принято исключительно из математических соображений и никак не
привязано к физическому процессу течения газа, т.е. просто удобная
аппроксимация):
V
V
akp
akp
1 T *
q( ) * q( ) . Подставляем в исходную
2 T
систему уравнений и получаем следующие зависимости:
62
*
( ) P*
1 ( )
2 (kp ) P
*
* k
* 1
1 q( )
P
( )
( )
( )
P
P
P
P
P*
* 1 ( )
1
1 q( )
( )
V 1 T * 1
T * 1 T * 1 T *
q( ) * * * q( ) 1
V 2 T* 2
2 T
2 T
T
T
T
2
T * ( ) T *
1 ( ) T *
1 ( ) V
2
2
*
*
*
(
)
(
)
(
)
V
T
T
T
1 ( ) 1 T * T *
1 ( ) 1 T *
1 ( ) T *
* * 2
* q ( )
* .
( ) 2 T
(
)
2
(
)
T
T
T
T *
1 ( )
1 ( ) T * 1 ( )
* 1
q ( )
1
1
q
(
)
( )
( ) T *
( )
T
На рисунке 2.2 приведены графики полученных зависимостей.
Рис.2.2. Зависимость коэффициента вариации давления, температуры и плотности газа от
приведённой скорости потока при аппроксимации коэффициента вариации скорости
газового потока
63
Исследуя полученные результаты, приходим к выводу, что данная
модель также является противоречивой. При увеличении скорости до max
коэффициенты вариации параметров газа стремятся к бесконечности, что не
отвечает реальности. Кроме этого, на участке 1.2...2.2 происходит
одновременный рост коэффициентов вариации всех параметров потока,
следовательно, одновременно растёт кинетическая и потенциальная энергия
газа, что невозможно в изоэнтропном процессе.
Анализ полученных зависимостей заставляет принять допущение о том,
что вариация безразмерной скорости газа во всех сечениях потока равна нулю
(модель нулевой вариации приведенной скорости потока рисунок 2.3).
Действительно,
V акр
. Нулевая скорости газового потока на входе
V
акр
приводит к нулевой безразмерной скорости и ее вариации. При достижении
максимальной скорости газового потока у газа уже нет энергии для
последующего расширения, поэтому никаких отклонений от максимальной
скорости быть не может. К тому же максимальная скорость зависит только от
величины показателя адиабаты, что означает, что ее производная по величине
безразмерной скорости равна нулю, и ее вариация — тоже. При достижении
газовым потоком критической скорости в вышеприведенной формуле
вариация безразмерной скорости обращается в ноль. При промежуточных
значениях скорости потока случайное изменение температуры торможения
газового потока ведет к такому же изменению как скорости газового потока,
так и критической, что на величину безразмерной скорости и ее вариации не
должно влиять. Случайные отклонения давления и плотности потока ведут к
изменению
температуры
торможения,
механизм
действия
которого
рассмотрен выше. Значит, принимаем допущение о равенстве нулю вариации
безразмерной скорости газового потока на всем интервале изменения этой
скорости. Однако равенство нулю вариации безразмерной скорости газового
потока не означает, что и величины отклонений скорости потока и
статических параметров газа будут равны нулю. Если использовать
64
газодинамические функции T T * ( ) ; P P* ( ) ; * ( ) , то
вариации статических параметров будут иметь следующий вид:
P
P
V
V
P*
P
*
;
T
T
T *
T*
;
*
* ;
1 T * 1 T *
.
2 T* 2 T*
Переходя к разбросам, получим
T ( )
T*
; P ( )
P*
; ( )
*
;
*
1
V V T*
2
T
(2.8).
Рисунок 2.3. Зависимости коэффициента вариации давления, температуры и плотности
газа от приведённой скорости потока при равенстве нулю коэффициента вариации
скорости газового потока
65
Статические параметры (так же, как и заторможенные) должны
подчиняться уравнению состояния, то есть все разбросы можно выразить
через разбросы только одного заторможенного параметра:
T T * ( )
P P * ( )
P*
*
P
1 *
k 1 P*
* , * ( ) P* ,
k P
k
P
, V
*
k 1 V
P*
k 2
P
(2.10).
Видно, что полученные зависимости не имеют противоречий. Разбросы
расхода при течении по каналу в различных его сечениях будут теми же
самыми, что и на входе в канал. В случае если расход на входе в канал не
замеряется, то разбросы можно получить из уравнения неразрывности:
1 T *
G k 1 P* 1 k 1 T *
.
* * , или
G
2 T
G
2k P* 2 k 1 T *
P
G
P*
Коэффициент вариации расхода G
Аналогично
для
k 1
1 k 1
*
* .
P
2k
2 k 1 T
количества
движения
и
энергии
газа
(теплосодержания). Данные соотношения будут справедливы только для
стационарных течений.
Среднеквадратические отклонения параметров в критическом сечении
будут равны
T T * (kp )
V
V
akp
akp
*
k 1 P*
1 *
* , P P* (kp ) P* , * (kp ) P*
k
k P
P
P
1 T *
* ,
2 T
1
(akp ) * .
2 T
то есть
Если разбросы количества движения на входе в канал не определяются,
то их можно оценить
K P F f ( ) ;
*
K
K
P*
P*
,
K
66
P*
k
* .
k 1 T
Аналогично для теплосодержания: H CP T ;
*
H
T*
Видно,
что
полученные
*
k 1
*
P
k
зависимости
H *
H*
T *
T*
,
(2.11).
не
имеют
разрывов
и
противоречий. Все коэффициенты вариации (давления, температуры,
плотности и приведенной скорости газового потока) при достижении
максимальной скорости обращаются в нуль, что полностью соответствует
современным представлениям течения газа – параметры газа достигают
предельных значений, и никаких случайных отклонений здесь быть просто не
может. При незначительном случайном отклонении теплосодержания или
расхода газа на входе картина течения на выходе не изменится – все вариации
останутся равными нулю, но изменится абсолютная скорость потока. Сами же
разбросы теплосодержании и расхода, а также разбросы количества движения
не изменяются при изменении безразмерной скорости потока.
Допущение о равенстве нулю вариации безразмерной скорости
оставляет необходимость использовать понятие об этой вариации и
применять ее для промежуточных выкладок – это достаточно удобно, т.к.
через этот параметр связаны все характеристики потока газа. Причем
принимать значение этой вариации, равной нулю, при расчете статических
параметров однозначно необходимо. При вычислении вариаций остальных
параметров следует определять вариацию безразмерной скорости как
независимую переменную, т.к. она состоит из вариаций скорости потока и
температуры торможения. Если в этом случае вариацию безразмерной
скорости принять равной нулю, то возникнет ошибка (например при
определении разбросов параметров торможения газа). Значения производных
газодинамических функций и их коэффициентов вариации приведены в
приложении.
Таким образом, сравнивая три представленных выше модели, можно
утверждать, что только третья модель не содержит в себе противоречий. Это
67
позволяет использовать её как основную модель при определении разбросов
газодинамических параметров изоэнтропного потока. Данная методика
применима для определения дисперсий газодинамических параметров
различных
узлов
газотурбинных
двигателей:
диффузоров,
сопел,
межлопаточных каналов и т.д. [22, 23, 24, 29, 30]. Также данная методика
применима в ракетных двигателях, как твердотопливных, так и жидкостных
[37, 45, 63, 65]. Кроме этого, ее можно применять для различных
компрессоров и газоперекачивающих устройств.
2.2. Энтропия распределений газодинамических параметров
Рассматриваем дозвуковое течение газа по каналу постоянного сечения
в стационарном режиме. В каком-то сечении канала происходит изменение
энтропии потока за счет подвода или отвода массы, энергии или количества
движения газа. Данное изменение происходит за время, меньшее времени
релаксации свободного объема в окрестностях места изменения его энтропии.
Другими словами, до и после рассматриваемого места подвода (или отвода)
течение газа будет изоэнтропным. Состав газа при этом остается постоянным,
т.е. газовая постоянная и теплоемкости газа будут неизменными. Изменение
энтропии потока при этом будет определяться [1] S S 0 cv ln
P 0k
. Выразим
P0 k
S P
P
k 0 k 0 .
данное уравнение в форме вариаций:
P0
0
cv P
Условие изоэнтропности потока имеет вид
P
P
k
. Вариация изменения
энтропии будет равна нулю или близка к этому значению. Значит, можно
сделать вывод о том, что при изменении энтропии потока коэффициенты
вариации параметров потока остаются неизменными. Кстати, данное
заключение подтверждает вывод предыдущего раздела о том, что
изоэнтропный поток при течении по каналу сохраняет коэффициенты
вариации своих параметров постоянными.
68
С другой стороны, характеристики газового потока обладают
неопределенностью, которая определяется энтропией распределения [2,4,33]:
H x x log 2 x dx log 2 x 2e , где x - плотность нормального
распределения. Из этой формулы видно, что на энтропию распределения
влияют только дисперсии характеристики газа и не влияют изменения
энтропии газового потока. Отсюда можно сделать вывод о том, что энтропия
газового потока определяет математические ожидания параметров газового
потока, которые влекут изменение энтропии распределения таким образом,
что коэффициент вариации данного параметра газового потока остается
постоянным. Это означает, что неопределенность характеристики газа
остается постоянной после изменения энтропии газового потока.
Рассмотрим влияние стохастических связей между характеристиками
газового потока на его разбросы. В качестве показателя связи выбираем
коэффициент корреляции. При смешении потоков с расходами на входе ( G0
), дополнительного потока ( G1 ) и на выходе ( G2 ) уравнение неразрывности
будет
G2
G2
иметь
1 q
G0
G0
получаем 2
вид
q
G1
G1
G0 G1 G2 .
, где q
Данное
уравнение
в
вариациях
G1
. Переходя к коэффициентам вариации,
G2
1 q 202 q 212 21 q qr01 .
При величине коэффициента
корреляции, близком к единице, коэффициент вариации выходящего потока
будет линейно зависеть от коэффициентов вариации смешивающихся потоков
и их долей в суммарном потоке. Данные зависимости приведены на
рисунке 2.4. Промежуточные значения коэффициентов вариации выходного
потока можно получить посредством интерполяции представленных данных:
2
1 1 1 .
0
0
При n смешивающихся потоков коэффициент вариации выходного
потока будет определяться:
69
q q q q
2 2
1 1
q1
2 2
2 2
2 2
3 3
G1
G2
G3
, q2
, q3
G
G
G
2 2
n n
,…
qn
n
q
2 2
i i
i 1
Gn
G
.
Рисунке 2.4. Зависимость коэффициента вариации расхода на выходе от соотношения
расходов при смешении потоков на входе
Зависимости коэффициентов вариации выходного потока от величины
коэффициента корреляции между параметрами смешивающихся потоков
приведена на рисунке 2.5.
Из анализа графиков следует, что при наличии корреляции между
смешивающимися потоками коэффициент вариации параметров выходного
потока будет иметь максимальное значение. При уменьшении коэффициента
корреляции уменьшаются и разбросы параметров выходного потока и
достигают минимума при отсутствии корреляции. При увеличении доли
основного потока в потоке выходном (т.е. при q 0 ) коэффициент вариации
70
приближается к параметрам основного потока, при q 1 - к параметрам
дополнительного потока. Необходимо отметить, что обеспечить корреляцию
между основным и дополнительным потоками технически практически
невозможно, поэтому оценку коэффициента вариации при r 1 следует
рассматривать как предельно возможную. В практике могут существовать
потоки только с корреляцией, близкой к нулю. Они представлены на
рисунке 2.6.
Рисунок 2.5. Зависимости коэффициентов вариации выходного потока от величины
коэффициента корреляции между параметрами смешивающихся потоков
При
смешении
потоков
наблюдается
уменьшение
энтропии
распределений параметров выходного потока, что объясняется компенсацией
разбросов основного потока разбросами дополнительного. Например,
происходит случайное уменьшение уровня расхода основного потока при
случайном увеличении расхода потока дополнительного, что приводит к
уменьшению разбросов выходного потока.
71
Рисунок 2.6. Зависимости коэффициентов вариации выходного потока при коэффициенте
корреляции, равном 0, от соотношения величин коэффициентов вариации
смешивающихся потоков
Определяем величину доли дополнительного потока, при котором
происходит максимальное уменьшение разбросов выходного потока:
2
0.
q
1
2
Решение данного уравнения q 1 1 . Величина коэффициента
0
1
2
1 1
вариации дополнительного потока будет определяться 2 .
0 1
При разделении потоков уравнение неразрывности имеет вид
G2 G0 G1 или в вариациях
G2
G2
1 q
G0
G0
q
G1
G1
. Коэффициент вариации
будет определяться 22 1 q 02 q 212 2q1 q r01 . Принимаем 1 0 и
2
r 1, т.к. происходит разделение потоков, и при этом сохраняется тот же
уровень неопределенности, которым обладает основной поток. Это ведет к
72
равенству коэффициентов вариации потоков. Кроме этого, случайное
отклонение какого-либо параметра основного потока приводит к точно
такому же отклонению потока дополнительного, что означает наличие
высокой степени корреляции между параметрами потоков. Поэтому можно
определить связь между параметрами как 2 1 0 . Вариант течения с
отсутствием корреляции между параметрами потоков не рассматриваем как
практически невозможный случай. В отличие от этого, при смешении потоков
наблюдается практически полное отсутствие корреляции между параметрами
потока и существенная разница между коэффициентами вариации основного
и дополнительного потоков. Необходимо отметить, что при доле подводимого
или отводимого потоков массы, энергии или количества движения, не
превышающей 15% от объема основного потока, в качестве оценки
коэффициентов вариации параметров выходного потока можно использовать
равенство 2 0 для любой характеристики потока газа. Однако равенство
коэффициентов вариации не означает равенства разбросов параметров, т.к.
при протекании неизоэнтропного потока будет происходить изменение
математических ожиданий параметров, что приведет к изменению разбросов
при сохранении постоянства коэффициентов вариации.
2.3. Вариации газодинамических параметров для неизоэнтропных
потоков с подводом массы или энергии газа
В
качестве
детерминированной
модели
приняты
зависимости,
приведенные в работах [12, 15, 22, 28]. Использовалась следующая модель: в
канале переменного сечения проходит изоэнтропический поток газа, в какомто сечении происходит изменение энтропии (подвод массы, количества
движения или энергии). Энтропия изменяется мгновенно, так как
большинство этих процессов идет за время, меньшее времени релаксации
свободного объёма. Процесс происходит на достаточно малой длине канала.
Это тоже совпадает с реальными условиями подвода массы, количества
73
движения и энергии. На входе в канал происходят малые отклонения
параметров торможения газа – давления, плотности и температуры. В
сечении, где изменяется энтропия, может меняться газовая постоянная
вследствие разницы химического состава потоков газа. Площадь поперечного
сечения канала в этом месте считается постоянной. Значения безразмерной
скорости газового потока в каналах меняются незначительно, поэтому
0 1 2
. Индексы: 0 - вход в сечение, 1 – параметры газа в канале,
0
1
2
через который происходит дополнительный подвод массы, количества
движения или энергии газа, 2 – выход из сечения, где произошло изменение
энтропии потока. Все потоки имеют дозвуковой режим течения. Вариации
параметров
G
G1
H
K
qG , 0 1 qG , 1 qH , 1 qK .
G2
G2
H2
K2
Запишем уравнения сохранения:
1.
Уравнение
G0 G1 G2 или
неразрывности:
G2
G2
qG
G1
G1
G0 G1 G2 ,
(1 qG )
G0
G0
запись
в
вариациях
LG , или
P
T
P2 1 T2
P 1
1 T1
1 qG 0 qG 1 1 qG 0 qG
LG
P2 2 T2
P0
2 T1
P1 2
T0
(2.12).
2. Уравнение энергии: H 0 H1 H 2 , запись в вариациях
H 2
H2
qH
H1
H1
(1 qH )
H 0
LH или
H0
T
T2
T
1 qH 0 qH 1 LH
T2
T0
T1
(2.13).
3. Количество движения. Вывод аналогичен выводу уравнения энергии:
K 2
K2
qK
K1
K1
(1 qK )
K 0
K0
LK или
P
P2 2 T2
P
1 qK 0 qK 1 LK
P2
2 T2
P0
P1
Запишем уравнения в виде системы в матричном виде:
74
(2.14).
P2
1
1
0 P2
LG
2
T2
LH .
0 1 1
T2
0 1 0
LK
2
2
Определитель данной системы равен единице. Это означает, что
система имеет решение
1
T2
2
LG LH ,
LH ,
LK LH . В данной
P2
2
T2
2
P2
схеме рассматривается подача в основной поток только дополнительной
массы газа. Вследствие этого будут изменяться не только расход газа, но и его
энергия и количество движения. Считаем, что изменение этих параметров
будет пропорционально массе поступившего газа, т.е. qH qK qG . После
подстановки получены следующие результаты:
P2
P2
1 qG
P0
P0
qG
P1 T2
P1
,
T2
1 qG
T0
T0
qG
T1
T1
,
2
V 1
T
T R
1 qG 0 qG 1 , 2
1 qG 0 qG 1
2
0
1 V2
T0
T1
R
2
G2
G2
1 qG
P0
P0
qG
P1
P1
1
1 qG T0 1 qG T1 q F 1 R
T0 2
T1
F 2 R
2
P
K 2
P
F 1 R
1 qG 0 qG 1 f
K2
P0
P1
F 2 R
H 2
H2
1 qG
T0
T0
qG
T1 R
T1
R
.
При экспериментальных работах проще всего замерять вариации
давления, поэтому определяем все коэффициенты вариации через этот
параметр, используя соотношение
P
P
k
k T
, полученное из
k 1 T
уравнения адиабаты. При определении коэффициентов вариации параметров
газового потока были приняты некоторые упрощения. Величины показателей
адиабаты примерно одинаковы, поэтому принято k2 k1 k0 k , то же самое
75
принято для допусков на площади проходных сечений каналов, т.е.
F2
F2
F1
F1
F0
F0
F
F
. Значения постоянных q
и f приведены в
приложении. Исходные данные для расчета: P0 0.01, P1 0.012 , 0.002 ,
R 0.001, F 0.005 , 0.3 , k 1.4 . Результаты расчета приведены на
рисунке 2.7.
Рисунке 2.7. Зависимости коэффициентов вариации от доли подведенной к потоку
дополнительной массы
P2
1
2
k
G2
1 qG 2 P2
qG2 P21 , T2
0
k 1
1 qG 2 P20 qG2 P21 ,
k
1 qG q , V2 k 1 1 qG 2 P20 qG2 P21 2 1 R2
4
2k
2
2
2
P0
2
G
2
P1
k 1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2
1
1 qG P0 qG P1 q F R
4
2k
K2
1 q
G
2 P2
0
1
2
qG2 P21 f 2 F2 R2
4
76
2
H2
k 1
2 2
2 2
2
1 qG P0 qG P1 R .
k
Графики
полученных
зависимостей
для
различных
значений
коэффициентов вариации приведены на рисунках 2.8, 2.9.
Из анализа графиков можно сделать заключение о том, что при
смешении потоков газа можно получить уменьшение коэффициентов
вариации выходного потока на 15…25 %. Скорость потока газов практически
не влияет на величину коэффициентов вариации всех параметров газового
потока. Изменение безразмерной скорости потока от 0,2 до 0,8 уменьшает
коэффициент вариации на величину не более 1 %. Уменьшение показателя
адиабаты от 1,4 до 1,2 уменьшает коэффициент вариации на доли процента.
Данные результаты подтверждают вывод раздела 2,1 данной работы о
возможности допущения о равенстве вариации безразмерной скорости,
равной нулю.
Рисунок 2.8. Зависимости коэффициентов вариации от доли подведенной к потоку
дополнительной массы
77
Рассмотрим подвод к газовому потоку только энергии. Уравнения
сохранения в этом случае будут иметь вид:
K 2
K2
Величина
(1 qH )
K 0
K0
qH
определяет
K1
K1
,
T2
T2
1 qH
величину
T0
T0
qH
коэффициента
.
вариации
подводимой к потоку газа энергии, которая обладает неопределенностью,
создаваемой установкой для подвода энергии. В приведенных в этом разделе
расчетах эта величина принята равной 0,006. Решение данной системы
уравнений аналогично изложенному выше в данном разделе. Коэффициенты
вариации параметров газа с учетом замены
P2
P2
1 qH
P0
P0
qH
T
T
k 1 P
:
k P
k 1 P0
k T2
1 qH
qH
,
,
T2
k P0
k 1
2
1 0
1 V2 k 1
1 qH
qH
,
1 qH P0 1 1 R
2
k 0
k 1 V2
P0 2 2 R
2k
G2
G2
F 1 R
k 1
k 1 P0
1
qH
q
2
2
1
2 R
k
P
k
F
0
2
1 qH
P
K
k
F 1 R
1 qH 0 qH
f
K
P0
k 1
F 2 R
H 2
k 1 T0
R
1 qH
qH
.
H2
k T0
R
Коэффициенты вариации параметров потока газов будут определяться:
2
k 2
P2 1 qH q
,
k 1
2
2
P0
2
H
78
T2
1 qH
2
k 1 2
2 2
P0 qH ,
k
2
1
1
k 1
2 2
2 2
2
2 2 1 qH 2 P20 qH2
2 , H 2
1 qH P0 qH R
2
k
k 1
k
2
1 2 2
1 2
k 1
2 2
2
V2
1 qH P0 qH R
4
4
2k
2
G2
2
k 1 2
1 k 1 2
1 2
2 2
2 2
2
1
1 qH P0 qH
q F R
4 k 1
4
2k
K2
1 q
2
H
2
P0
2
1 2
2 2
k 2
2
q
f F R .
4
k 1
2
H
Рисунок 2.9. Зависимости коэффициентов вариации расхода от безразмерной скорости
основного потока газов
Графики
полученных
зависимостей
для
различных
значений
коэффициентов вариации приведены на рисунке 2.10.
Необходимо отметить, что при подводе к газу только энергии расход
79
газа в канале неизменен, однако коэффициент вариации расхода изменяется
за счет изменения дисперсии этого параметра.
Рисунок 2.10. Зависимости коэффициентов вариации от доли подведенной к потоку
дополнительной энергии
2.4. Вариации газодинамических параметров для неизоэнтропных
потоков с отводом массы или энергии газа
Основной целью данного раздела является учет корреляционных связей
между параметрами течения газа. При отводе массы или энергии от потока
газа все параметры газа очень сильно связаны между собой. В разделе 2.1
настоящей работы определены коэффициенты вариации параметров при
уровне коэффициента корреляции, равном единице, что, конечно, является
предельным случаем. В практике данный коэффициент корреляции будет
близок к единице, но равным ей никогда не будет. Поэтому представляет
интерес определение зависимостей разбросов параметров газа от величины
коэффициента корреляции между параметрами течения и доли отобранной
массы газа или энергии от основного потока.
80
Разработка данной модели производилась на основе допущений,
изложенных в предыдущем разделе. Индексы: 0 - вход в сечение,
1 –
параметры газа в канале, через который происходит отвод массы или энергии
газа, 2 – выход из сечения, где произошло изменение энтропии потока.
Рассмотрим отбор массы газа. Уравнение неразрывности для этого случая
будет выглядеть G0 G2 G1 или в вариациях G0 G2 G1 . Приводим их к
безразмерному виду
G0
G0
1 qG
G2
G2
qG
G1
G1
, где
G1
G
qG , 2 1 qG .
G0
G0
Учитываем корреляцию между расходами, отведенными от основного потока
[11]: G20 1 qG G22 qG2G21 2rqG 1 qG G1G2 .
2
Рассматривая схему течения, можно увидеть, что оба потока очень
сильно связаны между собой. Оба потока являются частями основного потока,
поэтому можно ожидать, что коэффициенты вариации отведенных потоков
будут равны между собой, т.е. G1 G2 или
G2
G0
1 qG 2 qG2 2rqG 1 qG
GG0
(2.15).
Аналогично K2 K K0 , H 2 H H0 . При отборе части расхода
основного потока можно ожидать, что вследствие этого количество движения
и энергия потока изменятся на ту же долю, т.е. qH qK qG и H K G .
Это означает, что величины разбросов можно определить P2 G P0 ,
T2 GT0 , 2 G 0 . Применяем соотношение P k
k
, т. к. в
k 1
сечении 2 поток является изоэнтропным: P2 G P0 , T2
81
k 1
G P0 ,
k
1
2 G P0 ,
k
G2
H2
k 1
G P0 ,
k
k 1 2 2
V2
G P0 ,
2k
2
2
k 1 2 2 2
2
2 2
2 2
2
2
1
G P0 q F , K2 G P0 f F .
2k
Графики
полученных
зависимостей
для
различных
значений
коэффициентов корреляции приведены на рисунке 2.11. для следующих
исходных данных: P0 0.01, 0.002 , F 0.005 , k 1.4 .
Анализ полученных графиков показал, что чем ближе коэффициент
корреляции к нулю, тем больше увеличение коэффициента вариации
параметров течения газа. Это увеличение может составить величину до
10…15 % при примерно одинаковых расходах основного и отобранного газов
Объяснить увеличение разбросов можно тем, что при разделении потока
происходит
уменьшение
математического
ожидания
параметра
при
сохранении исходной неопределенности входящего потока, т.е. сохраняется
энтропия распределений, а значит, увеличивается коэффициент вариации.
Рассмотрим отбор энергии газа. Уравнение сохранения энергии для
этого случая будет выглядеть H 0 H 2 H1 или в вариациях H 0 H 2 H1 .
Приводим их к безразмерному виду
,
H 0
H0
1 qH
H 2
H2
qH
H1
H1
, где
H1
qH
H0
H2
1 qH . Учитываем корреляцию между расходами, отведенными от
H0
основного потока, в соответствии с работой [2,4,34]:
H2 0 1 qH 2 H2 2 qH2 H2 1 2rqH 1 qH H1 H2
Принимаем
допущение
о
равенстве
(2.16).
коэффициентов
вариации
отведенных потоков, т.е. H1 H 2 . Определяем коэффициент вариации
одного из потоков: H 2
1 qH
2
H0
q 2rqH 1 qH
2
H
82
H H 0 .
Рисунок 2.11. Зависимости коэффициентов вариации давления торможения от доли
отведенной от потока дополнительной массы при различных значениях коэффициента
корреляции между параметрами потоков
Аналогично K2 K K0 , H 2 H H0 . Принимаем допущение о том,
что qH qK qG и H K G . Это означает, что величины разбросов
можно определить P2 H P0 ,
соотношение P k
1
2 H P0 ,
k
G2
H2
T2 HT0 , 2 H 0 . Применяем
k
k 1
H P0 ,
и получаем: P2 H P0 , T2
k 1
k
k 1
H P0 ,
k
k 1 2 2
V2
H P0 ,
2k
2
2
k 1 2 2 2
2
2 2
2 2
2
2
1
H P0 q F , K2 H P0 f F .
2k
83
В заключение главы отметим, что разработанные методики позволяют
определить коэффициенты вариации всех параметров изоэнтропного и
неизоэнтропного потоков газа с учетом корреляционных связей между
параметрами
течения.
При
использовании
существующих
детерминированных моделей данные методики дают возможность рассчитать
разбросы параметров газовых потоков во всех основных узлах и агрегатах
газотурбинного двигателя. Анализ показал справедливость допущения о том,
что коэффициент вариации безразмерной скорости потока близок к нулю и им
можно пренебречь. Также показано незначительное влияние показателя
адиабаты на величину коэффициентов вариации параметров газового потока.
Определено, что изменение энтропии потока газов не оказывает влияние на
энтропию распределения этих параметров. При анализе обнаружено, что
смешение газовых потоков ведет к уменьшению коэффициентов вариации
параметров газа на 15…25 %, а разделение потоков увеличивает коэффициент
вариации на 12…18 %. Для любых видов потока газов при доле отведенного
или подведенного расхода или энергии газа не более 15 %, можно говорить о
сохранении неизменными коэффициентов вариации всех параметров
входящего и выходящего потоков газа.
84
ГЛАВА 3. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ РАБОТЫ ВХОДНЫХ И
ВЫХОДНЫХ УСТРОЙСТВ ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
3.1. Входные устройства.
При реальной эксплуатации двигатель самолета находится в условиях
постоянно меняющихся параметров окружающей среды. Изменяется
давление, температура, плотность воздуха, а также скорость его движения,
причем все эти изменения являются случайными. Характеристики двигателя
при случайных воздействиях окружающей среды также становятся
случайными величинами. Кроме случайных колебаний параметров воздуха в
атмосфере наблюдаются струйные течения [61, 101 - 104], скорость которых
может достигать 100-200 км/час с порывами до 300 км/час. Изменения
параметров воздуха в этих потоках нельзя считать случайными, их влияние
компенсируется системой управления двигателя и самолета, поэтому в
данной работе эти зависимости мы не рассматриваем. Воздухозаборник
является началом тракта газотурбинного двигателя и оказывает влияние на
работу узлов стоящих ниже по тракту, поэтому необходимо иметь
представление о распределении параметров его работы. При определении
параметров распределения характеристик диффузора предполагалось, что
при движении самолета двигатель постоянно находится в областях с
различными значениями давления, плотности и температуры. Потери
давления в воздухозаборнике не учитывались, так как они очень малы по
сравнению с общими потерями в двигателе, что согласуется с выводами
работы
[105].
Опираясь
на
вышесказанное,
принимаем
следующие
допущения:
- распределения параметров имеют нормальное распределение;
- стохастические связи между параметрами отсутствуют.
Определение математических ожиданий производим методом малых
отклонений [29, 32, 105, 107].
85
3.1.1 Распределения параметров работы воздухозаборника при полете на
дозвуковом режиме
Основным параметром, характеризующими работу диффузора, при
полете на различных высотах будет степень повышения давления при
определенном уровне расхода воздуха [18, 19, 58, 103, 106]:
k
k 1
k 1
1
M 2 ,
2
G
m P0 F q( )
T0
(3.1),
1
1
V
к 1 2 к 1
к 1 к 1
где M
, q
.
1
k R T
2
к 1
Считаем, что в каждой области окружающей среды выполняется
уравнение состояния, а изменения параметров газа происходит по закону
P
адиабаты
P
P
k
k
const . Вариации уравнения адиабаты будут иметь вид
D( P)
D( )
, а связь между дисперсиями параметров 2 k 2 2 . Последнее
P
уравнение
можно
выразить
через
коэффициенты
вариации
данных
параметров p k . Вариации уравнения состояния будут иметь вид
R
R
P T
P
T
. Считаем, что газовая постоянная неизменна, и ее вариация
равна нулю. Тогда уравнение принимает вид
P
P
T
T
. Решая совместно с
D(T ) k 1 D( P)
2
T2
P
k
2
уравнением
адиабаты,
получим
Аналогично выразим вариации температуры
T
T
или
(k 1)
T
k 1
P .
k
, дисперсии
D(T )
D( )
(k 1) 2 2 и коэффициенты вариации T (k 1) . Окончательно
2
T
зависимости, связывающие коэффициенты вариации давления, температуры
и плотности, будут иметь вид P
86
k
T k .
k 1
Это означает, что
минимальные разбросы будет иметь температура воздуха, а максимальные –
давление. Промежуточное положение будут занимать разбросы плотности.
Запишем вариации параметров воздуха и характеристик диффузора
1
2
M V T числа Маха, k V
k
T степени повышения давления
2
G F F 1 V (1 ) T расхода воздуха, где
M2
.
k 1
2
1
M
2
Коэффициенты вариации степени повышения давления и расхода
воздуха
в
k
2
диффузоре
запишем
в
следующем
виде,
k
2
2
2
2
2
2
2
T , G P F 1 V (1 ) T (3.2).
4
2
V
2
3.1.2 Исследование распределений параметров работы воздухозаборника
при полете на дозвуковом режиме
Проведен расчет величин среднеквадратичных отклонений степени
повышения давления в зависимости от высоты полета при различной
скорости
движения
температуры
воздуха
летательного
аппарата.
определялись
в
Изменения
соответствии
с
давления
и
параметрами
стандартной атмосферы [104]. Отклонения давления окружающей среды
приняты равными – 2,2% [34,59], а температуры – 0,63% и плотности –
1,57%. Значение дисперсии скорости порывов ветра варьируются в пределах
от 0,305 (с вероятностью 0,8) до 3,66 (м/с)2 (с вероятностью 0,006) [102].
Анализ зависимостей, приведенных на рисунке 3.1, показывает, что
среднеквадратические отклонения степени сжатия возрастают с повышением
высоты полета до высоты равной 11 км, потом разбросы стабилизируются.
Это объясняется постоянством температуры окружающей среды на высотах
с 11 до 15 км.
87
S
5
0.0025
4
0.002
3
0.0015
0.001
5 10
2
4
1
0
2
4
6
8
10
12
14
H , км
Рисунок 3.1 Среднеквадратическое отклонение степени повышения давления в
зависимости от высоты полета: 1, 2, 3, 4, 5 – скорость полета 200, 300, 400, 500, 600
км/час соответственно.
S
4
0.008
5
0.006
3
0.004
2
0.002
0
1
0
50
100
150
200
250
300
350
V, м/с
Рисунок 3.2 Среднеквадратичное отклонение степени повешения давления
от скорости полета на различной высоте: 1, 2, 3, 4, 5 – 0, 4, 8, 10,12 км соответственно.
Среднеквадратическое отклонение степени повышения давления,
приведенное на рисунке 3.2, монотонно возрастает до 0,67% на нулевой
88
высоте и до 1% на высоте 12 км.
Также наблюдается значительное увеличение среднеквадратического
отклонения S (примерно в 6-8 раз) при повышении скорости полета самолета
с 200 до 600 км/ч. Следовательно, при этих условиях существенно возрастает
нагрузка на работу системы автоматического управления двигателя
самолета.
Рассматривая зависимости коэффициентов вариации расхода от
скорости потока, приведенные на рисунке 1.3, видим, что графики имеют
минимум, равный 0,0233, при величине скорости от 600 до 800 км/ч,
максимальное значение коэффициента вариации составляет 0,0254, разница
между максимальным минимальным значением коэффициента вариации
составляет 8,3%. Основной вклад в разбросы расхода воздуха вносят
разбросы давления окружающей среды.
G
0.0255
5
0.025
4
0.0245
3
2
0.024
0.0235
1
0.023
50
100
150
200
250
300
350
V, м/с
Рисунок 3.3 Коэффициент вариации расхода воздуха от скорости полета:
1, 2, 3, 4, 5 – 200, 300, 400, 500, 600 км/час соответственно.
Расчет показал, что при дисперсии скорости порывов потока равной
3,66
(м/с)2,
зависимости
среднеквадратического
отклонения
и
коэффициентов вариации степени повышения давления смещаются вверх,
89
максимальные значения этих параметров увеличиваются примерно в два
раза по сравнению со значениями, полученными при дисперсии скорости
порывов
потока
равной
0,305
(м/с)2.
Максимальное
изменение
среднеквадратичного отклонения при различных вариантах сочетания
температуры, скорости и высоты полета и т.д. может изменяться примерно
на полтора порядка. Например: при дисперсии скорости порывов потока
равной 0,305 (м/с)2 и скорости полета 200 км/ч разброс расхода воздуха
составляет 0,039%, а при условиях полета – 3,66 (м/с)2 и 600 км/ч,
соответственно, составляет 0,67%.
3.1.3 Распределения параметров работы воздухозаборника при полете на
малых сверхзвуковых скоростях
Дозвуковой диффузор может использоваться и при небольших
сверхзвуковых скоростях полета. В случае сверхзвуковой скорости потока
перед входом в диффузор обычно образовывается прямой отсоединенный
скачок уплотнения. В скачке уплотнения происходит торможение потока, и
после него скорость потока будет дозвуковой. Рассмотрим работу
дозвукового диффузора на малых сверхзвуковых скоростях полета при числе
Маха равном 1…1.2. Степень повышения давления в скачке уплотнения
определим из следующих соотношений [18, 20, 55, 56, 69, 102,106, 108, 109]:
k 1
M 2
1
2
,
M2
0.5
k 1
2
k M
2
0.5
ck
2k
k 1
M 2
,
k 1
k 1
k
k 1
2 k 1
1
M2
2
(3.3).
Суммарная степень повышения давления будет равна ck , где M2 число Маха на входе в воздухозаборник после прямого скачка уплотнения.
Аналогично определим дисперсии случайных величин степени
повышения давления в скачке уплотнения и после скачка:
90
D ck DV
2
2
4
DT ,
4k M 2
,
где
2 k M 2 k 1
D DV
2
2
2 2
4
k M2
,
k 1
2
M2
1
2
DT ,
2
D D ck D ,
(k 1)
k M 2
.
k 1
2
2
k M
2
Зависимости коэффициентов вариаций степени повышения давления в
зависимости от скорости набегающего потока воздуха приведены на рисунке
3.4, при прохождении через скачок уплотнения на различных высотах
полета. Анализ показал, что при увеличении скорости потока происходит
снижение величин коэффициентов вариации почти в два раза: на нулевой
высоте эта величина снижается от 0,0017 до 0,0032, на высоте 12 км - от
0,0023 до 0,0045.
ск
0.0045
1
K_var (pi_ck)
0.004
2
0.0035
3
0.003
0.0025
5
4
0.002
0.0015
320
340
360
380
400
420
440
460
V, м / с
V, m/c
Рисунок 3.4 Коэффициент вариации степени повышения давления при прохождении
через скачок уплотнения на различной высоте: 1, 2, 3, 4, 5 – 0, 2, 4, 8, 10, 12 км
соответственно.
91
Суммарные зависимости коэффициентов вариации степени повышения
давления, учитывающие изменение давления в скачке уплотнения и
дальнейшее сжатие в диффузоре, имеют аналогичный вид. С увеличением
дисперсии скорости прорывов ветра до 3,66 (м/с)2, значения величин
вариации при скачке уплотнения повышаются примерно в два раза. Так же
ведут себя и максимальные изменения вариаций суммарной степени
повышения давления в скачке и в диффузоре.
3.1.4. Распределения параметров работы воздухозаборника с учетом
стохастических связей
Параметры
воздуха
связаны
между
собой
не
только
детерминированными, но и стохастическими связями. Случайный порыв
воздуха увлекает за собой объем газа и приносит в этот объем какое-то
количество энергии, что ведет к случайным отклонениям параметров
газового объема. В связи с этим происходит изменение температуры,
давления и скорости газового потока в воздухозаборнике.
Исследуем влияние корреляционных связей между степенью сжатия в
диффузоре и числом Маха, который зависит от скорости газового потока и
его
температуры.
Показатель
адиабаты
считаем
постоянным,
и
стохастические связи влиять на него не будут. Корреляционные связи будут
влиять на величину математического ожидания и дисперсию числа Маха.
Оценка влияния на математическое ожидание проводилась в соответствии с
работами [29, 32, 52].
При задании функции в виде y ( x1 , x2 ,...., xn ) и наличии между
переменными х1,…, хn корреляционных связей, математическое ожидание
n
будет M ( y ) ( x1 , x2 ,...., xn )
i j
2
k ij , где
xi x j
x 1 ; x 2 ;....; x n - математические
ожидания переменных, μij - ковариация между величинами х1…хn, равная
ij ( xi xi ) ( x j x j ) f ( xi , x j ) dxi dx j .
Коэффициент
92
корреляции
можно
выразить [29, 31, 32, 70, 110] как
x y
1
( x x) ( y y ) f ( x; y)dx dy
y x x y
rxy
(3.4).
Запишем уравнение коэффициента вариации степени повышения
давления
2
2
где
2
V
в
2
4
2
T
с
2rVT
учетом
2
2
коэффициента
корреляции,
V T ,
M2
. Для нахождения rVT воспользуемся уравнением,
1 1 2 k 1 M 2
связывающим параметры статической температуры и скорости потока
воздуха
T T*
(k 1) V 2
2k R
, тогда коэффициент корреляции между статической
температурой и скоростью потока воздуха будет определяться как
rTV (k 1) M 2
2 2 V2
2
v
4
V
.
T
После
преобразований
T2 2(k 1) M 2 V2
2
2
получим
выражение:
.
Уравнение коэффициента вариации расхода воздуха в диффузоре с
учетом корреляции между параметрами будет иметь следующий вид:
G2 P2 F2 (1 2 ) 2 V2 (1 ) 2 T2 2rVT V T (1 2 ) (1 )
2rPT P T (1 ) 2rPV P V (1 2 )
Для учета стохастических связей влияющих на величину расхода,
необходимо найти три коэффициента корреляции:
rPT
k T
,
2 P
rPV k M 2
V .
P
Окончательно
rTV (k 1) M 2
запишем
V
,
T
выражение
коэффициента вариации расхода с учетом корреляционных связей:
G2 P2 F2 (1 )k 1 1T2
(1 2 ) 2 2M 2 (k 1)(1 2 )(1 ) 2kM 2 (1 2 ) V2
93
(3.5).
Уравнение коэффициента вариации степени повышения давления в
скачке уплотнения с учетом корреляции между статической температурой и
давлением будет иметь следующий вид: 2 2 V2
2
ck
2
2
2 2 1 k 1M 2 V2
После преобразований получим выражение
где
4
T2 2rVT
ск
V T .
2
4
T2 ,
4k M 2
.
2 k M 2 k 1
Полученные
коэффициентов
формулы
корреляции
использовались
при
для
максимальном
расчета
значении
величин
дисперсии
скорости порывов ветра. Результаты расчетов приведены на рисунках 3.5 –
3.11.
rVT
5
0.4
4
3
0.3
2
1
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
V, м/с
Рисунок 3.5 Зависимость коэффициента корреляции между статической
температурой и скоростью набегающего потока rVT от скорости полета на различной
высоте: 1, 2, 3, 4, 5 – 0, 2 4, 8, 10, 12 км соответственно.
Зависимости,
приведенные
на
рисунке
3.5,
показывают,
что
коэффициент корреляции rVT находится в диапазоне значений от 0 до 0,44 в
зависимости от различных соотношений скоростей и высот полета лайнера.
Это показывает достаточно существенное влияние газодинамических
параметров на параметры распределения степени сжатия и расхода воздуха,
94
проходящего через диффузор. Аналогичные значения получились у
коэффициента корреляции между давлением и скоростью набегающего
потока, приведенные на рисунке 3.6.
Значение коэффициента корреляции rРT находится в диапазоне от 0,15
до 0,189, что говорит о незначительном взаимном влиянии этих параметров
(см. рисунок 3.7).
rPV
5
0.4
4
3
2
0.3
1
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
V, м/с
Рисунок 3.6 Коэффициент корреляции между статическим давлением и скоростью
набегающего потока rРV от скорости полета на различной высоте: 1, 2, 3, 4, 5 – 0, 2 4, 8,
10, 12 км соответственно.
Расчет показал, что при дисперсии скорости порывов потока равной
3,66 (м/с)2 с учетом корреляции rVT, величины коэффициентов вариаций
степени повышения давления увеличиваются с ростом скорости полета и
высоты полета (см. рисунок 1.8). Учет коэффициентов корреляции позволил
уточнить величину вариации степени повышения давления на 20%.
Рассматривая зависимости, приведенные на рисунке 3.9, видим, что
значения коэффициентов вариации расхода уменьшаются с увеличением
скорости набегающего потока и принимая, минимальное значение, равное
примерно
0,023. Соответственно,
уточнение
95
значения
коэффициента
вариации расхода составило 25,8% при максимальном значении дисперсии
3,66 (м/с)2 и 3,7% при минимальном 0,305 (м/с)2.
rPT
5
4
0.15
3
2
0.1
1
0.05
0
0
50
100
150
200
250
300
350
V, м/с
Рисунок 3.7 Коэффициент корреляции между статическим давлением и статической
температурой rРT от скорости полета на различной высоте: 1, 2, 3, 4, 5 – 0, 2 4, 8, 10, 12
км соответственно.
0.008
4
5
3
0.006
2
1
0.004
0.002
0
0
50
100
150
200
250
300
350
V, м/с
Рисунок 3.8 Коэффициент вариации степени повышения давления с учетом
коэффициента корреляции между статической температурой и скоростью набегающего
потока rVT на различной высоте: 1, 2, 3, 4, 5 – 0, 2 4, 8, 10, 12 км соответственно.
96
G
0.045
0.04
0.035
0.03
1
2
3
4
0.025
5
0.02
50
100
150
200
250
300
V, м/с
350
Рисунок 3.9 Коэффициент вариации расхода воздуха от скорости полета с учетом
коэффициентов корреляции между статической температурой и скоростью набегающего
потока rVT, между статическим давлением и статической температурой rРT, между
статическим давлением и скоростью набегающего потока rРV.:
1, 2, 3, 4, 5 – 0, 2 4, 8, 10, 12 км соответственно.
rVT
5
0.006
4
0.6
3
0.004
0.5
2
1
0.002
0.4
0.3
320
340
360
380
400
420
440
460
V, м/с
0
320
Рисунок 3.10 Коэффициент корреляции между статической температурой и скоростью
набегающего потока rVT при малых сверхзвуковых скоростях:
1, 2, 3, 4, 5 – 0, 2 4, 8, 10, 12 км соответственно.
97
340
При малых сверхзвуковых скоростях коэффициент корреляции между
скоростью набегающего потока и его статической температурой находится в
диапазоне значений от 0,345 до 0,607 (см. рисунок 3.10). Это говорит о
достаточно существенном влиянии этой связи на величины разбросов
параметров воздухозаборника.
ск
0.008
2
0.0075
1
3
4
0.007
5
0.0065
320
340
360
380
400
420
440
460
V, м/с
Рисунок 3.11 Коэффициент вариации степени повышения давления в скачке
уплотнения от скорости полета с учетом коэффициента корреляции между статической
температурой и скоростью набегающего потока rVT: 1, 2, 3, 4, 5 – 0, 2 4, 8, 10, 12 км
соответственно.
Учет коэффициента корреляции между скоростью набегающего потока
и его температурой, рисунок 3.11 уменьшает максимальное значение
коэффициента вариации степени повышения давления в скачке уплотнения с
0,015 до 0,013 при дисперсии порывов ветра 3.66 (м/с)2 и с 0,008 до 0,00755
при дисперсии порывов ветра 0,305 (м/с)2. Соответственно минимальное
значение меняется с 0,011 до 0,00741 и с 0,00723 до 0,00673. При этом
уточнение значения коэффициента вариации степени повышения давления в
скачке уплотнения составило от 6 до 32%.
98
Применение
разработанных
корреляционных
связей
методик
позволил
уточнить
показало,
величину
что
учет
коэффициента
вариации и среднеквадратических отклонений степени сжатия от 3 до 20%,
а расхода воздуха – от 3 до 26%.
3.1.5. Распределения параметров работы воздухозаборника с учетом
нелинейности протекающих газодинамических процессов
Большинство зависимостей параметров, определяющих работу ГТД,
имеет нелинейный характер, который может влиять на характеристики
распределений. Это приводит к тому, что при математических ожиданиях
входных факторов (скорость полета, температура, давление и плотность
набегающего потока, число Маха и их дисперсии), выходной параметр не
будет являться математическим ожиданием. Нелинейная зависимость
искажает само распределение выходного параметра, а именно: при
нормальном распределении всех входных факторов выходной параметр не
будет иметь нормального распределения, и закон его распределения будет
описываться
распределением
x
[29,30.32] Fg x x dx x
Данный
асимметрии
A
закон
A
6
наиболее
общего
вида
Грама-Шарлье
E
x .
24
дополнительно
3
, и эксцесса
3
E
4
3
4
характеризуется
величинами
распределения. Асимметрия
характеризует деформацию распределения вдоль горизонтальной оси. Её
величина будет влиять, в основном на смещение величины математического
ожидания и достаточно незначительно на величину дисперсии. Эксцесс
распределения определяет деформацию распределения вдоль вертикальной
оси. Он будет влиять, в основном, на величину дисперсии. Если зависимость
дана в виде y ( x1 , x2 ,...., xn ) , то дисперсия с учетом нелинейности будет
определяться в соответствии с формулой [29,30,31, 32,37,70, 110]:
99
n
2
1 n 2
D( xi ) 2 D 2 ( xi )
D( y )
2 i xi
i xi
i j xi x j
2
2
n
2
D( xi ) D( x j )
(3.6).
Данное выражение можно представить в безразмерном виде в форме
квадрата коэффициента вариации:
n
D( xi ) 1 n 2 D 2 ( xi ) n 2
D( y )
2
2
2 i xi
y
xi2
xi4
i xi
i j xi x j
2
2
2
y
2
D( x i ) D( x j )
.
2
2
x
x
i
j
Выражение для степени повышения давления имеет вид
k
V
k 1
k 1
1
M 2 , где M
. Тогда квадрат коэффициента вариации
2
k R T
степени повышения давления в диффузоре с учетом нелинейности будет
иметь вид:
2
2
D(V )
D(T ) 1 2 D 2 (V ) 1 2 D 2 (T ) 2
C1 2 C2 2 2
2
2 V
2 T
V
T
V4
T4
T V
2
Используем газодинамическую функцию
2
D(T ) D(V )
2 2
V
T
k 1
( M ) 1
M 2 . Тогда
2
выражения для частных производных второго порядка функции степени
повышения давления по скорости и температуре будут записаны в виде:
2 M 2 k
V 2 ( M ) V 2
2
2
M2
M k
1 ;
2
(M ) T 2
( M ) T
M2
2
M 2 k
1 ;
(M ) V T
4 (M ) T V
M2
1 .
2
Преобразуем уравнение квадрата коэффициента вариации степени
повышения давления с учетом нелинейности и запишем его в виде:
M4
M4
1 M 2 k
2
2
V
T
2 ( M ) V 2
(M ) 2
4 ( M ) 2
2
1 M 2 k
2 (M ) T 2
2
M2
M 2 k
1 T4
(M ) V T
4 ( M )
Найдем коэффициент уточнения
100
2
M2
1 V4
(M )
M2 2 2
1 V T
2
(3.7).
L
, где L - линейное
приближение коэффициента вариации степени повышения давления,
которое определяется из соотношения: L
M4
M4
2
2 T .
V
2
2
(M )
4 ( M )
Результаты расчета коэффициента вариаций π и коэффициента
уточнения ε были сведены в таблицу 3.1.
Таблица 3.1 – Влияние нелинейности газодинамических зависимостей на величину
коэффициента вариации степени повышения давления в диффузоре
V ,
высота Н=0 км высота Н=4 км высота Н=8 км высота Н=12 км
км/ч
104
10 12 ,%
104
10 12 ,%
104
10 12 ,%
104
10 12 ,%
100
1,861
16590
2,046
16630
2,270
16690
2,475
16740
200
3,841
265,2
4,220
269,1
4,680
274,1
5,100
278,9
300
6,040
25,97
6,631
27,19
7,349
28,81
8,003
30,45
400
8,532
6,049
9,358
6,697
10,36
7,619
11,27
8,600
500
11,36
2,501
12,44
3,015
13,76
3,736
14,95
4,555
600
14,53
1,582
15,90
2,032
17,55
2,755
19,04
3,610
700
18,05
1,322
19,72
1,803
21,73
2,615
23,53
3,630
800
21,89
1,288
23,88
1,889
26,25
2,874
28,38
4,141
900
26,02
1,433
28,33
2,143
31,08
3,418
33,54
5,107
1000 30,41
1,654
33,04
2,586
36,17
4,269
38,95
6,581
1100 35,01
2,019
37,97
3,233
41,46
5,503
44,54
8,665
Анализ данных приведенных в таблице 3.1 показывает, что в
интервале скоростей от 100 до 1100 км/ч и высот полета от 0 до 12 км учет
нелинейности позволяет уточнить величину ≈ на 10-12 %, что в
практических расчетах можно не учитывать.
Учет и оценка влияния высших моментов распределения вследствие
нелинейности зависимостей температуры воздуха от скорости и высоты
полета летательного аппарата на параметры распределения числа Маха
производилась в следующей последовательности: приближенная оценка
101
дисперсии степени повышения давления в диффузоре ГТД определялась по
D( )
D( M ) ,
M
2
формуле:
k M
M
(M )
где
. Математическое ожидание
числа Маха с учетом нелинейности зависимости данного параметра от
температуры
воздуха
определялось
M
1 2M
(T T )
(T T ) 2 ,
2
T
2 T
M (M ) M
по
формуле:
где M - математическое ожидание числа
Маха в линейной постановке задачи, T
- математическое ожидание
температуры. Последний член уравнения показывает вклад нелинейности в
значение математического ожидания [29, 31,32, 70, 110 ].
Второй момент распределения числа Маха будет записан в виде:
2
M
1 2M
2 D( M ) M
(T T )
(T T ) M f (T ) dT
2
T
2 T
2
2
2
3
4
1 M 2 M
1 2M
M
f (T ) dT
T
T
T
T
T T 2
T
2 T T 2
4 T 2
(3.8).
Данный интеграл можно представить в виде суммы интегралов,
2
3
M 2 M
M
T
T
f
(
T
)
dT
T T f (T ) dT
2
T T
T
2
1 M
4 T 2
2
2
4
T T f (T ) dT
.
Первый интеграл есть дисперсия температуры D(Т), второй интеграл
есть третий момент распределения Т. Для нормального распределения все
нечётные моменты равны нулю. Третий интеграл есть четвертый момент,
который для нормального распределения будет равен 3 D 2 (T ) . Тогда
2M
M
D( M )
D(T )
2
T
T
2
2
3 2
D (T ) .
4
Третий момент распределения запишем в виде:
102
3
1 2M
M
(T T )
(T T ) 2 M f (T ) dT
3 M
2
2 T
T
3 M 2 M
M
3
(T T ) 4 f (T ) dT ,
(T T ) f (T ) dT
2
2 T T
T
3
3 M
4 T
2
2
1 2M
5
(T T ) f (T ) dT
8 T 2
2M
2
T
3
(T T ) 6 f (T ) dT
Моментами выше пятого порядка пренебрегаем, тогда
3 M
2 M 9 M 2 M
2
3
D 2 (T )
3 D (T )
2
2
2 T
2 T T
T
2
2
(3.9).
Асимметрию распределения числа Маха запишем в виде: A
Четвертый
M
2
3 D (T ) ,
T
момент
4
4
4
E
и
D 2 (M )
эксцесс
распределения
M
V
1 M
1
T
2 T
k R T T
3,
3
D(M )2
будут
;
3
.
равны:
2M 1 M
T 2 2 T 2
,
2
9 1 M 1 M
9
3
D 2 (T ) M 3 T4 .
2
2 2 T 2 T
16
Расчет значений асимметрии и эксцесса распределения числа Маха
производились при величине коэффициента вариации температуры воздуха,
равной 0,0063.
A
9
M 3 T4
16
1 M
D(T ) 1 M 3 D 2 (T )
2
2 T
2 T 4
2
2
3
2
9 T
3
2 1 T2
4
3
0.028
1
3 3
1 0.00018
E
2
2
2
1 M 2
1 3 T2
D(T ) 1 M 3 D 2 (T )
2
2 T
4
2
4
T
3
M 4 T4
16
Значения
асимметрии
(А=0,028)
(3.10),
2
и
эксцесса
(3.11).
(Е=-0,00018)
распределения числа Маха показывают незначительное влияние на величину
103
случайных отклонений параметров рабочего тела. Обычно асимметрию и
эксцесс учитывают при их величине большей ± 0,5.
Учет нелинейности газодинамических зависимостей для выражения
расхода
проведен
аналогично.
В
общем
виде
уравнение
квадрата
коэффициента вариации расхода будет складываться из линейной и
нелинейной части. Выражение для расхода имеет вид: G
m P0 F q( )
, где
T0
использованы общепринятые обозначения параметров.
Линейная часть квадрата коэффициента вариации расхода:
2
G L
P2 F2 1 V2 (1 ) 2 T2 , где
2
M2
(M )
(3.12).
Нелинейная часть:
2
2
2
2
2
1 2G 4 1 2G 4 1 2G 4 1 2G 4 2G 2 2
P 2 F 2 V 2 T
P F
2 P 2
2 F
2 V
2 T
PF
2
2G 2 2
PV
PV
2
2
2G 2 2 2G 2 2
PT
FV
PT
FV
2
2
2G 2 2 2G 2 2
FT
V T
FT
VT
(3.13).
Выражение квадрата коэффициента вариации расхода в общем виде с
учетом нелинейности:
2
2
2
1 2G
1 2G
1 2G
1 (1 ) 2 P4 2 F4 2 V4
2 P
2 F
2 V
2
G
2
P
2
F
2
2
2
V
2
2
2G 2 2
1 2G
P F
2 T4
2 T
PF
2
2
T
2G
PV
2
2
2 2 2G 2 2 2G
PV
PT
PT
FV
2
2G 2 2 2G 2 2
VT
FT
VT
FT
2
Производные
2
2G
2G
2 0 и 2 0 .
P
F
104
2
2 2
FV
Сделаем следующее приближение
1 22 1
2 G 2 G G G G G q( ) G PF q( )
,
m
G
1
q( )
k 1 ( )2
V 2 2
T
2G
2G
G 1 2 2G
2G G
2G
G
G
;
;
;
,
2
2
PF PF PV P P ( ) PT
PT
T
T
k 1 2
2G
G 1 2 2G
2G
G 1 2
G
.
;
;
, где ( ) 1
k 1
FV F ( ) FT
T ( )
FT VT
После подстановки производных, сделав преобразования, окончательно
получим выражение расхода с учетом нелинейности:
G2 P F 1 V (1 ) 2 T
2
2
2
2
2
2
2
1 22
2
4
4
1
V
T
2 k 1 [ ( )]4
1 2
P2 F2 P2T2 F2T2
P2V2 F2V2 V2T2
( )
Найдем коэффициент уточнения
G G L
.
G
(3.14).
Результаты расчета
степени влияния нелинейности газодинамических зависимостей на величину
коэффициента вариации расхода воздуха через воздухозаборник ГТД
представлены в таблице 3.2.
Анализ данных, приведенных в таблице 3.2 показывает, что в
интервале скоростей от 100 до 1100 км/ч и высот полета от 0 до 12 км учет
нелинейности позволяет уточнить величину коэффициента вариации расхода
воздуха на тысячные доли процента, что в практических расчетах можно не
учитывать.
Таким образом, разработана вероятностная модель и методика расчета
случайных отклонений параметров дозвукового диффузора при его работе на
дозвуковых и малых сверхзвуковых скоростях полета, а также случайных
105
отклонений параметров дозвукового диффузора с учетом нелинейности
протекающих газодинамических процессов.
Таблица 3.2 – Влияние нелинейности газодинамических зависимостей на величину
коэффициента вариации расхода воздуха через диффузор
V ,
высота Н=0 км высота Н=4 км высота Н=8 км высота Н=12 км
км/ч
G
10 5
G
10 5
G
10 5
G
10 5
100
0,030
12,30
0,030
12,29
0,030
12,28
0,030
12,27
200
0,025
5,721
0,025
5,713
0,025
5,704
0,025
5,694
300
0,024
3,740
0,024
3,730
0,024
3,718
0,024
3,706
400
0,024
2,935
0,024
2,921
0,024
2,904
0,024
2,888
500
0,024
2,522
0,024
2,504
0,024
2,482
0,024
2,461
600
0,024
2,272
0,024
2,249
0,024
2,220
0,024
2,193
700
0,024
2,099
0,024
2,071
0,024
2,036
0,024
2,004
800
0,024
1,967
0,024
1,935
0,024
1,896
0,024
1,860
900
0,024
1,861
0,024
1,826
0,024
1,784
0,025
1,747
1000 0,024
1,773
0,025
1,736
0,025
1,695
0,025
1,662
1100 0,025
1,700
0,025
1,666
0,025
1,631
0,025
1,609
Исследования с помощью разработанных методик показали, что
случайные отклонения степени сжатия могут изменяться примерно в 6-8 раз
в зависимости от высоты полета, достигая максимума при числе Маха
равном
единице.
Коэффициент
вариации
расхода
воздуха
через
воздухозаборник практически не зависит ни от скорости, ни от высоты
полета и определяется, в основном, величиной разбросов давления
окружающей среды. Случайные отклонения давления при торможении
потока в прямом скачке уменьшаются примерно в 2 раза, что ведет к
уменьшению разбросов суммарной степени повышения давления на
сверхзвуковом режиме работы на 10-20 % по сравнению с дозвуковым
106
режимом. Нелинейность газодинамических зависимостей при определении
разбросов
течения
газа
можно
не
учитывать.
Для
практического
использования вполне допустима линейная модель протекающих процессов.
3.2. Выходные устройства
В данном разделе приведены результаты разработки методики расчета
вероятностных характеристик работы выходного устройства ГТД. Течение
газа
принято
изоэнтропическим
и
адиабатным.
Режим
течения
–
стационарный. При определении величин дисперсии использовался метод
вариаций. Распределение параметров принято в соответствии с нормальным
законом, стохастическими связями пренебрегаем. Определены зависимости
разбросов силы тяги и расхода продуктов сгорания от величин разбросов
газодинамических параметров на входе в сопло и геометрических размеров
тракта. Определяющими факторами являются изменение относительного
разброса полного давления на входе в сопло.
Газовый поток на входе в сопло считаем изоэнтропическим, все виды
потерь не учитываем, так как их разбросы достаточно незначительны и
очень мало влияют на величину дисперсии параметров. Газ считаем
идеальным,
подчиняющимся
уравнению
адиабаты.
Поток
является
стационарным. [10,15,39,44]. При определении вариаций параметров сопла
использовались следующие формулы [1,29,32]:
*
G A P * F , P F f ( ) F P , a
0
H
0
кр
2k
R T * ,
0
k 1
Данные уравнения были преобразованы, исходя из условия, что на
срезе сопла ГТД, как правило, величина безразмерной скорости равна
единице при любых режимах истечения.
Считаем, что все параметры газа имеют нормальное распределение.
Корреляционные связи между ними не учитывались. Сначала определялись
107
вариации
этих
параметров,
которые
в
дальнейшем
считались
пропорциональными дисперсиям параметров.
Выражения для вариаций параметров выходного устройства:
*
*
*
1 R T0 G P0 F 1 R 1 T0
,
*
*
G
F
2
R
2 T*
a
2 R
P
T
кр
0
0
0
a
кр
*
1 P0
PH
1
,
* 1 P
F
1
P
1
H
0
F
где
F P
1 H
F P*
1 0 кр
Вариация критической скорости, очевидно, будет равняться вариации
безразмерной скорости и скорости истечения газа из сопла.
Выражения для коэффициентов вариации параметров выходного
устройства:
1
4
1
4
1
4
1
4
2 (a кр ) 2 ( R) 2 (T0* ) , 2 (G) 2 ( P0* ) 2 ( F ) 2 ( R) 2 (T0* ) ,
2
2
1
2
*
2 ( PH )
( P) ( F1 )
( P0 )
1
1
2
2
(3.15).
Расчёты относительного разброса параметров работы выходного
устройства проводились при следующих исходных данных: коэффициенты
вариации полного давления, полной температуры, газовой постоянной на
входе в сопло изменялись в пределах 0.5 – 2.5 %. Коэффициент адиабаты
был принят постоянным k = 1,33. Относительный разброс геометрических
размеров сопла принят равным 0.02%, что соответствует допуску на его
изготовление. Значения математических ожиданий давления и температуры
окружающей среды соответствовали стандартной атмосфере [15].
Зависимости
коэффициента
вариации
108
скорости
(a
кр
)
от
коэффициента вариации полной температуры (T0* ) на входе в сопло
приведены на рисунке 3.12.
Рисунке 3.12. Зависимости коэффициента вариации скорости на выходе из сопла
от коэффициента вариации полной температуры на входе в сопло.
1, 2, 3, 4, 5 - ( R) 0.005, 0.01, 0.015, 0.02, 0.025 соответственно.
Из анализа графиков, приведенных на рисунке 3.12 следует, что с
увеличением относительных разбросов полной температуры коэффициенты
вариации скорости истечения увеличиваются. Однако интенсивность этого
роста
меньше,
чем
интенсивность
увеличения
разбросов
полной
температуры. Так, при увеличении (T0* ) с величины 0.005 до 0.03, значение
(a
кр
)
увеличивается с 0.004 до 0.015 при ( R) 0.005 . Значит, что
шестикратное увеличение относительного разброса полной температуры на
входе в сопло ведёт к росту разброса скорости на срезе сопла только
примерно в 3 раза.
Приведённые на рисунке 3.13 зависимости коэффициента вариации
расхода (G) от коэффициента вариации полного давления (P0* ) на входе в
сопло позволяют сделать вывод о том, что наиболее интенсивное влияние на
относительные разбросы расхода оказывают разбросы полного давления.
109
При росте разбросов полного давления с 0.005 до 0.03 (т.е. в 6 раз) разбросы
расхода увеличиваются с 0.011 до 0.032 (т.е. примерно в 3 раза).
Относительные разбросы полной температуры на входе в сопло практически
не влияют на разбросы расхода. Например, при изменении разброса полной
температуры в 6 раз (т.е. от 0.005 до 0.03), разброс расхода меняется всего на
20% (0.02 до 0.024), при величине разброса полного давления, равного 0.02.
Вариации
определяются
F
площади
проходного
F
сечения
2 D 2 D
2d 2 d
F D2 d 2 D D2 d 2 d
кольцевого
канала
с коэффициентом вариации
2D 2
2d 2
2
2
2 . В случае отсутствия реальных замеров
2
2 D
2 d
D d
D d
площадей проходных сечений среднеквадратическое отклонение диаметра
канала можно оценить как 1/6 величины допуска на размер этого диаметра.
Это приведет к незначительному снижению точности расчета.
Рисунок 3.13. Зависимости коэффициента вариации расхода на выходе из сопла от
коэффициента вариации полного давления на входе в сопло.
1, 2, 3, 4, 5 - ( P* ) 0.005, 0.01, 0.015, 0.02, 0.025 соответственно.
0
Зависимость коэффициента вариации тяги () от коэффициента
вариации атмосферного давления ( PH ) приведена на рисунке 3.14.
110
Рисунок 3. 14. Зависимости коэффициента вариации тяги от коэффициента
вариации атмосферного давления. 1, 2, 3 – режимы работы: взлётный режим,
максимальный крейсерский режим (Н = 0 км), крейсерский режим (Н = 11 км).
Анализ графика, приведённого на рисунок 3.14 показал, что изменение
относительного разброса внешнего давления незначительно сказывается на
изменении коэффициента вариации тяги. На крейсерском режиме полёта
изменение разброса внешнего давления в 5 раз (т.е. от 0.005 до 0.025)
приводит к увеличению разбросов тяги на 20% (т.е. от 0.15 до 0.18). На
взлётном режиме: на 30%. На максимальном крейсерском режиме (Н = 0) 60%. Кроме этого, можно сделать вывод о том, что разбросы тяги на
максимальном крейсерском режиме (Н = 0) больше разбросов на
крейсерском режиме примерно в 1.5…2 раза. Это значит, что наземные
испытания на крейсерском режиме проводятся в более жёстких условиях,
чем те, в которых двигатель находится в полёте.
Зависимость коэффициента вариации тяги () от коэффициента
вариации полного давления на входе в сопло (P0* )
рисунке 3.15.
111
приведена на
Рисунке 3.15. Зависимости коэффициента вариации тяги от коэффициента
вариации полного давления на входе в сопло. 1, 2, 3 – режимы работы: взлётный режим,
максимальный крейсерский режим (Н = 0 км), крейсерский режим (Н = 11 км).
Из графика, приведённого на рисунке 3.15, следует, что на всех
режимах работы двигателя влияние относительных разбросов полного
давления на входе в сопло значительно больше влияния разбросов внешнего
давления. Пятикратное изменение относительных разбросов полного
давления на входе в сопло (т.е. от 0.005 до 0.025) приводит к изменению
разбросов тяги также примерно в 5 раз. Аналогичное пятикратное изменение
разбросов внешнего давления приводит к изменению разбросов тяги всего на
20…60%.
Влияние относительных разбросов геометрических размеров сопла
крайне незначительно. Например, величина этих разбросов на уровне 0.02%
вносит свою долю в общий разброс тяги всего на 0.14-0.18%. Так, при
увеличении разбросов геометрических размеров сопла на порядок (в 10 раз)
разбросы тяги увеличиваются всего на 3…8%. Кроме этого, следует иметь
ввиду, что разбросы геометрических размеров сопла будут влиять только на
112
осреднённые характеристики всей совокупности изготовленных двигателей,
и на работу конкретного двигателя они влиять не будут.
Таким образом, разработана методика определения коэффициентов
вариации параметров нерегулируемого сопла газотурбинного двигателя.
Исследования
показали,
что
наибольшее
влияние
на
разбросы
газодинамических параметров сопла оказывает изменение относительного
разброса полного давления на входе в сопло, приводящее практически к
такому же изменению разбросов силы тяги двигателя. Относительные
разбросы силы тяги на максимальном крейсерском режиме (Н = 0) больше
разбросов на крейсерском режиме (Н = 11 км) примерно в 1.5…2 раза. Это
значит, что наземные испытания на крейсерском режиме проводятся в более
жёстких условиях, чем те, в которых двигатель находится в полёте.
Относительный разброс площади критического сечения сопла, который
определяется существующими допусками на геометрические размеры, не
оказывает никакого влияния на разбросы тяги двигателя.
113
ГЛАВА 4. СЛУЧАЙНЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАБОТЫ
ОСЕВОГО КОМПРЕССОРА ГТД И ИХ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ
Основными уравнениями, определяющими связь между параметрами
воздуха при его течении по компрессору, являются уравнение сохранения
энергии
и
уравнение
неразрывности.
При
определении
параметров
распределения разбросы потери давления в компрессоре не учитывались, так
как они мало влияют на разбросы параметров работы двигателя.
Исходными данными для расчета основных параметров распределения
компрессора
ГТД
являются
величины
распределения:
давления,
температуры, степени повышения давления, расхода и т.д., полученные на
выходе из дозвукового диффузора ГТД, исследование которых описано в
предыдущей главе.
4.1 Разработка вероятностной модели работы компрессора
Используя основные уравнения детерминированной математической
модели
расчета
осевого
компрессора,
сначала
преобразуем
их
в
вариационную форму, а затем определим разбросы параметров компрессора
[21,55,56,58,70,83,89,91,102,106,109].
Энергия газа после выхода из компрессора равна, Н1 Н 0 Lад , где
Н
- энтальпия торможения, Lад - адиабатическая работа компрессора,
индексы 0 и 1 - входное и выходное сечение компрессора. Безразмерная
величина адиабатической работы
Lад
. Энтальпия торможения Н с рТ * .
H0
Обозначения остальных параметров газа и газодинамических функций –
общепринятые. Используя соотношение
H1
1 , получим выражение,
H0
связывающее вариации энтальпии торможения на входе и на выходе
114
компрессора
H 1
H1
1 H 0
. Второй член правой части уравнения
1 H0 1
примерно на порядок меньше первого члена, поэтому в дальнейшем
применяем следующее выражение
температуры
Т1*
Т1*
H 1
H1
1 H 0
. Уравнение для вариаций
1 H0
1 Т 0*
. Формулу для нахождения коэффициента
(1 ) Т 0*
вариации температуры в компрессоре ГТД запишем в виде: T
*
1
1 2
.
1 T0
На основании уравнения состояния получим связь между давлениями и
1 k
1 k
температурами P1* k T1* P0* k T0* . Линеаризовав это уравнение и, сделав
преобразования, выведем выражение для соотношений вариаций давлений
на входе и выходе компрессора:
P1*
P1*
P0*
P0*
k T0*
k T1* P0*
k
1 T0*
*
* *
1
k 1 T0
k 1 T1
P0
k 1 1 T0*
P1*
P1*
P0*
P0*
k T0*
,
k 1 1 T0*
(4.1)
Коэффициент вариации полного давления найдем из следующего уравнения:
k
2
Т 0* ,
k 1 1
2
P P 2
*
1
*
0
2
(4.2)
Современные осевые компрессоры обеспечивают большие расходы
воздуха и высокие степени сжатия, что в свою очередь позволяет создавать
высокие КПД при достаточно малых лобовых габаритах. Одним из основных
параметров, характеризующих работу компрессора есть, расход воздуха. Для
расчета вариаций расхода воздуха на выходе из компрессора воспользуемся
115
уравнением неразрывности:
F0 const ,
m
F1 P1* q(1 )
T1*
m
F0 P0* q(0 )
T0*
, при
F1 const
q(1 ) 1 T1* P0* q(0 ) 1 T0*
*
, или
q(1 ) 2 T1*
q(0 ) 2 T0*
P1*
P0
P1*
P0*
k T0* q(1 ) 1
1 Т 0* P0* q(0 ) 1 T0*
*
,
q(1 ) 2 (1 ) Т 0*
q(0 ) 2 T0*
P0* k 1 1 T0*
P0
Рассмотрим газодинамическую функцию приведенной плотности потока
1
к 1 к 1
q
,
2
массы
производная
которой
будет
иметь
вид
к 1 2
q 1 2 q
. Тогда вариация будет данной функции
, где 1
к 1
q(1 ) q(0 ) 1
1 Т 0* 1 T0*
k T0*
.
q(1 )
q(0 ) 2 (1 ) Т 0* 2 T0* k 1 1 T0*
безразмерной скорости газа
используя соотношение
Определим
вариацию
1 q(0 ) 0 1
1
k T0*
. Далее,
*
1 q(1 ) 0 2 k 1 1 T0 q(1 )
V 1 T
,
V 2 T
получим формулу для вариаций
скорости потока воздуха на выходе из компрессора:
q(0 ) V0 q(0 ) 1 T0 1
1 T1
1
k T0*
,
*
V1 2 T1
q(1 ) V0 q(1 ) 2 T0
2 k 1 1 T0 q(1 )
V1
V1
V1
V1
V1
q(0 ) V0 q(0 ) 1 T0 1
1
1 T0
1
k T0*
,
*
q(1 ) V0
q(1 ) 2 T0
2 k 1 1 T0 q(1 ) 2 T0 1
q (0 ) V0 1
q (0 ) T0*
k 1
1 1
,
q (1 ) V0 2 k 1 1 q (1 ) 2 1 q (1 ) T0*
(4.3).
Выражение расхода воздуха в форме вариаций, запишем в виде:
G1
G1
P1
P1
q1 F1 1 T1
.
q1 F
2 T1
На
основании
уравнений,
связывающих
входные и выходные газодинамические параметры компрессора, получим:
G1
G1
P0*
P0*
q ( 0 )
V0
V0
F 1 q(0 ) T0*
F
2
T * . Уравнение коэффициента вариации
0
116
расхода
воздуха
через
компрессор
1
4
низкого
давления:
2
G P 2 q(0 ) 2 V 2 F 2 1 q(0 ) T 2 .
*
0
0
*
0
Ещё один из основных параметров, характеризующих работу
компрессора, – это степень повышения полного давления *
P1*
, равное
P0*
отношению давления заторможенного потока воздуха на выходе из
компрессора к заторможенному давлению на входе в компрессор. В форме
вариаций формула для определения степени повышения давления будет
выглядеть
* P1* P0*
* * .
*
P1
P0
так:
*
k T0*
.
* k 1 1 T0*
Сделав
преобразование,
получим:
Уравнение для коэффициента вариации степени
k
T * .
повышения давления запишем в виде: *
k 1 1 0
В случае «идеального» компрессора техническая работа может быть
определена по изменению полных давлений [35,54,57,90] без учета
конкретных значений скорости газа «до» и «после» машины. Правомерность
этого допущения основана на том факте, что потери уменьшают значение
параметра, но, вследствие малой величины их разбросов, практически не
влияют на величину дисперсии параметра. Основываясь на уравнении
состояния
и
законе
Майера,
получим
формулу
для
определения
изоэнтропической или адиабатической работы компрессора:
* kk1
k
*
L Lад с р (T T )
RT0
1 .
k 1
*
ks
Наиболее
является
то,
*
1
существенной
что
её
*
0
особенностью
величина,
как
видно
адиабатической
из
выражения,
работы
прямо
пропорциональна начальной температуре газа (при одном и том же
отношении
значений
полного
давления
адиабатическая
работа,
приходящаяся на 1 кг газа, будет изменяться в зависимости от температуры
117
газа перед машиной). Запишем в форме вариаций уравнение адиабатической
работы компрессора:
следующее
Lад
T0*
Lад
T0*
* k 1
k 1 k *
. Преобразовав, получим
k * kk1 *
1
Lад
выражение:
Lад
k 1
*
T
k
1 k 1
.
*
1
T
k
1
*
0
*
0
Уравнение
для
коэффициента вариации адиабатической работы будет записано в виде:
L
ад
k 1
*
k
T * 1 k 1
. Работа компрессора с учетом гидравлических
0
*
1
k 1
потерь: Lk
учетом
* n1
k
RT0* n 1 , формула вариаций для работы компрессора с
k 1
гидравлических
потерь
выглядит
n 1
*
Lk T n 1 k
n
1
.
1
Lk
n k 1 * nn1
T
1
*
0
*
0
А
следующим
уравнение
для
образом:
коэффициента
вариации работы компрессора низкого давления с учетом гидравлических
n 1
*
n 1 k
n
n1
потерь: Lk T0* 1
.
*
n
k
1
1
n 1
сжатия: Lпол
* n 1
n
RT0* n 1 .
n 1
в форме вариаций:
Lпол
Lпол
T0*
Полная работа политропного
Выражение работы политропного сжатия
*
n 1
n
1 n1
*
T0*
n
1
. Уравнение для коэффициента
1
вариации полной работы политропного сжатия: L
полн
n 1
*
n
T * 1 n1
.
0
*
1
n 1
Отклонение от идеального изоэнтропического процесса в машине
обычно
учитывается
с
помощью
дополнительного
представляющего
собой
коэффициент
полезного
Адиабатический
КПД
компрессора
определяется
118
множителя,
действия
из
машины.
отношения
адиабатической работы компрессора к работе компрессора с учетом
гидравлических потерь k
подобных,
получим
Lад
[15 - 18]. Сделав подстановки и приведение
Lk
уравнение
для
адиабатического
коэффициента
полезного действия компрессора в форме вариаций:
k 1
k 1
*
*
*
k
k Lад Lk T
T0 n 1 k
k
1 k 1
1
,
*
k
Lад
Lk
1 T0*
n k 1 * kk1
1
T
k
1
1
*
0
*
0
k Lад Lk T0*
*
k
Lад
Lk
T0 1
n 1
*
* kk1
n
n 1 k
k 1
n1 .
*
*
n
k
1
k 1
n
1
Коэффициент вариации адиабатического КПД компрессора низкого
n 1
*
* k 1
n
n 1 k
k
давления: k T0*
k 1
.
n k 1 * nn1
1 * k
1
1
Статические
параметры
потока
газов
определяем
исходя
из
рекомендаций раздела 2.1 настоящей работы:
T
T
T *
T*
;
P
P
P*
P*
;
*
*
T T
*
P P
*
*
4.2 Исследование распределений параметров работы компрессора
При
разработке
нового
двигателя
величины
вариаций
можно
использовать для определения степени влияния различных параметров
двигателя и условий эксплуатации на выходные характеристики ГТД. Чем
больше величина коэффициента при вариации параметра, тем сильнее он
влияет на выходную характеристику двигателя. Их еще называют
коэффициентами влияния [13,16,18,19,29,32,52]. Это позволяет достаточно
просто выявить определяющие факторы, провести их ранжирование и т.д.
Кроме этого, с помощью вариаций можно найти степень взаимного влияния
узлов двигателя друг на друга, например, компрессора на работу выходного
устройства и т.д. Ниже будет приведен анализ влияния отклонения
параметров воздуха перед воздухозаборником на отклонения характеристик
119
работы компрессора. В дальнейшем с использованием вариаций будут
определяться разбросы характеристик двигателя.
Используя значения вариаций, математических ожиданий, дисперсий и
коэффициентов вариаций, полученных при расчете газодинамических
параметров диффузора ГТД, произведем расчет случайных отклонений
параметров работы компрессора.
T
5
*
1
4
0.006
3
2
0.0055
1
0.005
0.0045
0.0057
0.0058
0.0059
0.006
0.0061
0.0062
0.0063
0.0064
T
*
0
Рисунок 4.1. Зависимость вариации температуры торможения на выходе из КНД от
вариации температуры торможения на выходе из диффузора:
1,2,3,4,5 при ε=0.21; 0.16; 0.11; 0.06; 0.01, соответственно.
Анализ зависимости на рисунке 4.1 показал, что вариации полной
температуры на выходе из компрессора низкого давления (КНД) монотонно
возрастают с увеличением вариаций на выходе из воздухозаборника.
Т 0*
Значения вариаций находятся в пределах от 0,0045 до 0,0065. Рост * на
Т0
Т 1*
входе в компрессор на 10% ведет к увеличению * на выходе на 11,7%.
Т1
Влияние ε на вариацию температуры газа вызывает обратный эффект,
увеличение ε на 10% приводит к уменьшению значений вариаций полной
температуры на 2.5%.
120
T
*
1
0.006
3
2
1
0.0055
4
5
0.005
0.0045
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Рисунок 4.2. Зависимость вариации температуры торможения на выходе из КНД от
безразмерного коэффициента адиабатической работы:
1,2,3,4,5 при V=80; 250; 500; 750; 1150 км/ч, соответственно.
Рассматривая зависимости на рисунке 4.2, видим, что увеличение
скорости полета летательного аппарата, как и безразмерная величина
адиабатической работы ε, снижает значения вариаций полной температуры.
Наибольшие значения вариаций 0,0065 получаются при ε=0,01-0,06 на
режимах «снижение, руление на земле» и минимальные 0,0045 при ε=0,160,21 полет на «крейсерских режимах», средние значения вариаций
приходятся на режимы работы ГТД на «среднем и малом газе» при ε=0,060,16. Значения, представленные на рисунке 4.3, вариации полного давления
на выходе из КНД, возрастают при увеличении вариаций полного давления
на выходе из диффузора и находятся в интервале от 0,02 до 0,027.
Зависимость отклонений давления газа на входе и выходе в компрессор
практически линейная: 10% увеличение
P0*
P0*
ведет к повышению
P1*
P1*
на
9,8%. Вариации давления торможения имеют максимальные значения 0,0250,27 при ε=0,16-0,21 на «крейсерском режиме» и скоростях полета от 80 до
121
Pполн кнд
Pполн кнд
Pполн кнд
0i
0.025
5i
0.024
P1*
i
750 км/ч. При10 скорости
около 1150 км/ч уровень значений вариаций
Pполн кнд
P1*
0.023
15 i
падает примерно
на 10% (см. рисунок 4.4). На режимах «малого и среднего
Pполн кнд
0.022
20 i
газа» значения вариации находятся в диапазоне от 0,024 до 0,022. С
0.021
уменьшением ε происходит монотонное уменьшение вариаций полного
0.02
0 0,02.50
давления до значения
100
150
200
250
300
350
Vi
P
*
1
1
0.026
2
0.025
3
0.024
4
0.023
5
0.022
0.021
0.02
0.02
0.0205
0.021
0.0215
0.022
0.0225
P
*
0
Рисунок 4.3. Зависимость вариации давления торможения на выходе из КНД от
вариации давления торможения на выходе из диффузора:
1,2,3,4,5 при ε=0.21; 0.16; 0.11; 0.06; 0.01, соответственно.
Расчет вариаций расхода проводился в интервале величин чисел Маха
от 0,4 до 0,8. Исключение области малых значений чисел Маха объясняется
отсутствием достоверных данных о случайных отклонениях и возмущениях
воздушного потока на взлетных режимах работы двигателя.
При
определении разбросов по полученным зависимостям на критических
скоростях течения газа получается разрыв функции. Попытка решения
данной задачи была предпринята в работах [22,111,112], однако метод
«малых отклонений работы ГТД» в области течения газа при числах Маха
близких к единице полного решения не дает. Определение разбросов
122
15 i
Pполн кнд
0.022
20 i
0.021
параметров двигателя в области критических течений газа требует
0.02
0.02
0.0205
0.021
0.0215
разработки специальных методик расчета. Pполн
0.022
0.0225
сн2 i
P
*
1
1
2
0.026
3
0.025
4
0.024
0.023
5
0.022
0.021
0.02
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Рисунок 4.4. Зависимость вариации давления торможения на выходе из КНД от
безразмерного коэффициента адиабатической работы:
1,2,3,4,5 при V=80; 250; 500; 750; 1150 км/ч, соответственно.
При уровне вариаций полных температур на входе около 0,006-0,0065
происходит увеличение вариаций расхода воздуха от 0,17 до 0,2 (см. рисунок
4.5). Как показал расчет, изменение высоты полета летательного аппарата не
дает значительного влияния на значения отклонений расхода КНД. При
увеличении отклонений температуры торможения на входе в компрессор на
10%, значения вариации расхода увеличиваются на 14%. Зависимость носит
нелинейный характер. Необходимо уметь определять предельные значения
вариации расхода, чтобы не попасть в область нерасчетных режимов
(помпаж, «зуд» и т.д.) работы компрессора.
Прирост вариации полной температуры оказывает слабое влияние на
вариацию степени повышения давления за компрессором (см. рисунок 4.6).
Значительное
влияние
на
оказывает
безразмерная
величина
адиабатической работы ε. Наибольшие значения вариаций 0,0025-0,004
123
получаются при ε=0,16-0,21 «крейсерских режимах» и минимальные 0,0010,0002 при ε=0,01-0,05 на режимах «снижение, руление на земле», средние
значения вариаций приходятся на режимы работы ГТД на «среднем и малом
газе» при ε=0,06 – 0,14.
G
1
2
0.021
3
4
5
0.02
0.019
0.018
0.017
0.0057
0.0058
0.0059
0.006
0.0061
0.0062
0.0063
T
0.0064
*
0
Рисунок 4.5. Зависимость вариации расхода воздуха через КНД от вариации полной
температуры: 1,2,3,4,5 при высоте полета Н=0; 4; 8; 10; 12 км, соответственно.
*
1
2
0.003
3
0.002
4
0.001
5
0
0.0057
0.0058
0.0059
0.006
0.0061
0.0062
0.0063
T
*
0
Рисунок 4.6. Вариации степени повышения давления воздуха на выходе КНД от вариации
полной температуры: 1,2,3,4,5 при ε=0.21; 0.16; 0.11; 0.06; 0.01, соответственно.
124
Более наглядны зависимости вариаций степени повышения давления
воздуха на выходе из КНД от безразмерного коэффициента адиабатической
работы изображены на рисунке 4.7.
*
1
2
0.004
3
4
5
0.003
0.002
0.001
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Рисунок 4.7. Вариации степени повышения давления воздуха на выходе из КНД от
безразмерного коэффициента адиабатической работы:
1,2,3,4,5 при V=80; 250; 500; 750; 1150 км/ч, соответственно.
Анализ данных, полученных после расчета вариаций адиабатической
работы компрессора низкого давления от вариации полной температуры,
(см.
рисунок
4.8)
показал
наличие
линейной
зависимости
при
фиксированном значении безразмерной адиабатической работы.
С увеличением значений ε в интервале от 0,01 до 0,21 вариации
адиабатической работы возрастают от 0,006 до 0,012. При снижении
безразмерного коэффициента адиабатической работы на 15%, происходит
снижение вариаций адиабатической работы на 9% (см. рисунок 4.9).
Зависимости вариации работы КНД с учетом гидравлических потерь
ведут себя аналогично вариациям адиабатической работы. Рассматривая
зависимости, приведенные на рисунке 4.11, можно сделать заключение, что
значительное влияние на вариацию работы политропного сжатия КНД
125
оказывает величина безразмерной адиабатической работы. Изменение
скорости набегающего потока напротив не приводит к существенному
изменению величины вариации работы политропного сжатия.
L
ад
1
0.012
2
0.01
3
4
0.008
5
0.006
0.0057
0.0058
0.0059
0.006
0.0061
0.0062
0.0063
0.0064
T
*
0
Рисунок 4.8. Вариации адиабатической работы компрессора низкого давления от
вариации полной температуры: 1,2,3,4,5 при ε=0.21; 0.16; 0.11; 0.06; 0.01, соответственно.
L
1
ад
2
3
0.01
4
5
0.008
0.006
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Рисунок 4.9. Вариации адиабатической работы компрессора низкого давления от
безразмерного коэффициента адиабатической работы:
1,2,3,4,5 при V=80; 250; 500; 750; 1150 км/ч, соответственно.
126
L
1
k
2
0.01
3
4
0.008
5
0.006
0.0057
0.0058
0.0059
0.006
0.0061
0.0062
0.0063
0.0064
T
*
0
Рисунок 4.10. Вариации работы компрессора низкого давления с учетом
гидравлических потерь от вариации полной температуры: 1,2,3,4,5 при ε=0.21; 0.16; 0.11;
0.06; 0.01, соответственно.
Lпол
0.014
1
2
0.012
3
4
0.01
5
0.008
0.006
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Рисунок 4.11. Вариации полной работы политропного сжатия компрессора низкого
давления от безразмерного коэффициента адиабатической работы: 1,2,3,4,5 при V=80;
250; 500; 750; 1150 км/ч, соответственно.
Анализ зависимостей, представленных на рисунке 4.12, показал, что
изменение вариаций полной температуры на 10% вызывает изменение
вариаций адиабатической работы на 9 %. При фиксированном значении
127
безразмерной адиабатической работы. Согласно расчету величина вариации
адиабатического КНД находится в пределах от 9∙10-6 до 1,74∙10-4.Результаты
расчета
зависимостей
коэффициента
вариации
температуры торможения на выходе из КНД от разбросов температуры на
входе представлены на рисунке 4.13. При значениях коэффициентов
вариаций температуры на входе в диапазоне от 0,006 до 0,0065
коэффициенты вариации температуры на выходе из КНД уменьшаются и
находятся в интервале от 0,0045 до 0,0065. Увеличение T
0
на 2% дает
уменьшение величины на выходе 10%. Рост величины безразмерной
адиабатической работы ε в четыре раза ведет к снижению коэффициента
вариации полной температуры на выходе из КНД примерно на 4%.
1.5 10
4
1 10
4
1
k
2
3
4
5 10
5
5
0
0.0057
0.0058
0.0059
0.006
0.0061
0.0062
0.0063
0.0064
T
*
0
Рисунок 4.12. Вариации адиабатического КПД компрессора низкого давления от
вариации полной температуры: 1,2,3,4,5 при ε=0.21; 0.16; 0.11; 0.06; 0.01, соответственно.
Анализ зависимости коэффициента вариации давления торможения на
выходе из КНД показал, что величина P находится в диапазоне от 0,02 до
1
0,023. Уменьшение величины коэффициента вариации полного давления на
выходе примерно на 12% происходит за счет роста коэффициента вариации
128
давления на выходе из диффузора на 2% (см. рисунок 4.14). Экстремум
P f ( P , k , , T ) наблюдается при скоростях, соответствующих режиму
*
1
*
01
*
01
взлета на начальном этапе набора высоты самолетом.
T
*
1
0.006
5
4
0.0055
3
2
0.005
1
0.0045
0.00628
0.0063
0.00632
0.00634
0.00636
0.00638
0.0064
0.00642
T
*
0
Рисунок 4.13. Зависимость коэффициента вариации температуры торможения на выходе
из КНД от коэффициента вариации температуры торможения на выходе из диффузора:
1,2,3,4,5 при ε=0.21; 0.16; 0.11; 0.06; 0.01, соответственно.
На высоких скоростях полета происходит «дополнительное» сжатие
воздуха набегающим потоком, следствием этого является снижение
флуктуаций давления на выходе из компрессора. Зависимость коэффициента
вариации полного давления при значениях скорости полета близкой к
скорости звука имеет падение с уровня 0,022 до 0,02, изменение составляет
около 9-11% (см. рисунок 4.15).
Величины
значений
коэффициентов
вариаций
расхода,
представленные на рисунке 4.16, находятся в диапазоне от 0,02 до 0,0235.
Наблюдается снижение коэффициентов вариаций расхода (около 15% от
максимальных
температуры
значений)
торможения.
с
повышением
Изменение
коэффициентов
высоты
полета
не
значительного влияния на коэффициент вариации расхода воздуха.
129
вариации
оказывает
45
P
*
1
0.0225
0.022
0.0215
3
5
0.021
1
4
2
0.0205
0.02
0.0219
0.022
0.0221
0.0222
0.0223
P
0.0224
*
0
Рисунок 4.14. Зависимость коэффициента вариации полного давления на выходе из
КНД от коэффициента вариации полного давления на выходе из диффузора:
1,2,3,4,5 при ε=0.21; 0.16; 0.11; 0.06; 0.01, соответственно.
P
*
1
2
3
0.0225
1
4
0.022
0.0215
0.021
5
0.0205
0.02
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Рисунок 4.15. Зависимость коэффициента вариации давления торможения на выходе из
КНД от безразмерного коэффициента адиабатической работы:
1,2,3,4,5 при V=80; 250; 500; 750; 1150 км/ч, соответственно.
130
G
1
0.023
2
0.022
3
4
0.021
5
0.02
0.00625
0.0063
0.00635
0.0064
T
0.00645
*
0
Рисунок 4.16. Зависимость коэффициента вариации расхода воздуха через КНД от
коэффициента вариации полной температуры: 1,2,3,4,5 при Н=0; 4; 8; 10; 12 км.
*
1
2
0.003
3
0.002
4
0.001
5
0
0.00628
0.0063
0.00632
0.00634
0.00636
0.00638
0.0064
T
*
0
Рисунок 4.17. Коэффициент вариации степени повышения давления на выходе из КНД от
коэффициента вариации полной температуры на выходе из диффузора:
1,2,3,4,5 при ε=0.21; 0.16; 0.11; 0.06; 0.01, соответственно.
131
На рисунке 4.17 представлены зависимости коэффициентов вариаций
степени повышения давления, диапазон значений которых находится в
пределах от 0,0002 до 0,004. Основной вклад в величину коэффициентов
вариации степени повышения давления вносит безразмерная величина
адиабатической работы ε. Зависимость носит линейный характер, т.к
увеличение ε на 5% влечет за собой повышение значения коэффициента
вариации степени повышения давления на ту же величину в процентном
отношении.
Анализ
зависимостей
коэффициентов
вариаций
адиабатической
работы, представленных на рисунке 4.18, показал, что при значениях
коэффициентов
экстремум,
где
вариаций
полной
максимальное
температуры
значение
0,006-0,0065
коэффициента
имеется
вариации
адиабатической работы КНД равно 0,023, далее идет монотонное
уменьшение
значений
коэффициентов
вариаций.
При
увеличении
безразмерной адиабатической работы наблюдается снижение величины L
ад
в пропорции 2:1.
Коэффициент вариации работы компрессора низкого давления с
учетом гидравлических потерь, приведенный на рисунке 4.19, возрастает от
0,006 до 0,0113 при повышении коэффициента безразмерной адиабатической
работы. В общей сложности величина L увеличивается в два раза.
k
Изменение скорости полета самолета существенно не влияет на величину
коэффициента вариации работы компрессора с учетом гидравлических
потерь.
132
L
ад
5
0.02
4
3
2
0.015
1
0.01
0.00628
0.0063
0.00632
0.00634
0.00636
0.00638
T
0.0064
*
0
Рисунок 4.18. Коэффициент вариации адиабатической работы компрессора низкого
давления от коэффициента вариации полной температуры на выходе из диффузора:
1,2,3,4,5 при ε=0.21; 0.16; 0.11; 0.06; 0.01, соответственно.
L
k
2
1
3
0.01
5
4
0.008
0.006
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Рисунок 4.19. Коэффициент вариации работы компрессора низкого давления с учетом
гидравлических потерь от безразмерного коэффициента адиабатической работы:
1,2,3,4,5 при V=80; 250; 500; 750; 1150 км/ч, соответственно.
133
L
k
5
4
0.01
3
0.008
2
1
0.006
0.00628
0.0063
0.00632
0.00634
0.00636
0.00638
0.0064
0.00642
T
*
0
Рисунок 4.20. Коэффициент вариации работы компрессора низкого давления с учетом
гидравлических потерь от коэффициента вариации полной температуры:
1,2,3,4,5 при ε=0.21; 0.16; 0.11; 0.06; 0.01, соответственно.
Коэффициенты вариации работы компрессора низкого давления с
учетом
гидравлических
потерь
от
коэффициента
вариации
полной
температуры, представленные на рисунке 4.20, находятся в пределах:
наибольшие
значения
коэффициента вариаций от 0,009 до
0,0113
получаются при ε=0,01-0,05 полет на «крейсерских режимах»; минимальные
от 0,006 до 0,008 при ε=0,15-0,21 на режимах «снижение, руление на земле»;
средние значения вариаций от 0,008 до 0,009 приходятся на режимы работы
ГДТ на «среднем и малом газе» при ε=0,06-0,14.
Значения коэффициентов вариаций полной работы политропного
сжатия КНД уменьшаются с увеличением ε, имея минимальное значение
равное 0,018 и максимальное равное 0,034. С приближением скорости полета
к скорости звука, общий уровень величин коэффициентов вариации
уменьшается на 10-11%.
134
L
полн
3
0.03
2
1
0.025
4
0.02
5
0.015
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Рисунок 4.21. Коэффициент вариации полной работы политропного сжатия
компрессора низкого давления от безразмерного коэффициента адиабатической работы:
1,2,3,4,5 при V=80; 250; 500; 750; 1150 км/ч, соответственно.
L
полн
5
0.03
4
3
0.025
2
0.02
0.015
0.00628
1
0.0063
0.00632
0.00634
0.00636
0.00638
0.0064
0.00642
T
*
0
Рисунок 4.22. Коэффициент вариации полной работы политропного сжатия
компрессора низкого давления от коэффициента вариации полной температуры при
различных ε (полет на крейсерских режимах, полет малый газ, снижение, руление на
земле).
135
На рисунке 4.22 представлены зависимости коэффициентов вариации
полной
работы
политропного
сжатия
от
коэффициента
вариации
температуры торможения. Сильное влияние на Lполн оказывает коэффициент
вариации температуры торможения. При его увеличении на 2% коэффициент
вариации полной работы политропного сжатия уменьшается на 10% (при
фиксированном значении ε).
Рассматривая зависимости коэффициентов вариации адиабатического
КПД компрессора низкого давления от безразмерного коэффициента
адиабатической
работы,
приведенных
монотонное повышение значений
Изменение
самолета
скорости
полета
k
на
рисунке
4.23,
наблюдаем
от 9∙10-6 до 1,8∙10-4 в зависимости от ε.
существенно
не
влияет
на
коэффициент вариации адиабатического КПД.
1
k
2
3
4
1.5 10
4
1 10
4
5 10
5
5
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Рисунок 4.23. Коэффициент вариации адиабатического КПД компрессора низкого
давления от безразмерного коэффициента адиабатической работы:
1,2,3,4,5 при V=80; 250; 500; 750; 1150 км/ч, соответственно.
Исследования показали, что коэффициенты вариации основных
параметров на выходе компрессора низкого давления: полная температура,
136
степень повышения давления, адиабатическая работа компрессора и т.д.
уменьшаются примерно на 9…12 % в зависимости от различных сочетаний
параметров на входе в КНД.
Коэффициент вариации расхода воздуха через компрессор низкого
давления не зависит от высоты полета и определяется, в основном,
величиной скорости полета набегающего потока, а так же разбросами
давления и температуры окружающей среды.
4.3 Распределения кинематических параметров работы ступени
компрессора
Потребности
практики
заставляют
заняться
разработкой
вероятностной модели работы решеток, в частности определить, как влияют
допуски на размеры хорды, высоты, толщины лопатки и угла ее установки на
кинематические параметры в устройстве.
Рассмотрим изменение распределения кинематических параметров от
величины изменения угла установки лопаток ступени компрессора.
u
ω1
ω2
β1
c1
ca
β2
α1
ω2u
Δωu
c2
α2
Δcu
c1u
ω1u
c2u
u1
u2
Рисунок 4.24. Треугольники скоростей ступени с предварительной закруткой
воздуха в сторону вращения колеса.
Рассмотрим течение воздуха через рабочее колесо (РК) компрессора
[20,55,68,102,106].
На
рисунке
4.24
137
приведена
схема
ступени
с
предварительной закруткой воздуха в сторону вращения колеса. Применение
предварительной закрутки воздуха перед РК позволяет увеличить окружную
скорость, сохранив прежнее значение закрутки ωu.
Абсолютная
скорость
воздуха
при
такой
схеме
имеет
две
составляющие на входе в РК: осевую c1а и окружную c1u. Из треугольников
скоростей (см. рисунок 4.24) выразим следующие соотношения для потока
воздуха в абсолютном и относительном движении [20,55,68,102,106]:
ca c1 sin 1 ; c1u
2u
ca
ca
ca
c
c
; c2 u
; 1u a a ;
tg1
tg 2 c1u cu
tg1
u c1u
1
1
1
1
ca
ca
.
; u ca
; cu ca
tg
tg
tg
tg
tg 2
u c1u cu
2
1
2
1
Далее перейдем к вариациям выше перечисленных параметров, сделав
допущение о том, что при изменении угла установки лопаток, прямопропорционально меняются и углы входа и выхода потока. Тогда δα1 ≈δα2
≈δβ1 ≈δβ2 ≈δν, а квадрат вариации угла установки (δν)2≈D(ν) равен дисперсии
угла установки лопаток. Данное допущение возможно только в том случае,
когда отклонения угла установки от номинального значения мало, и не
меняет характера течения газа:
ca
ca
c1u
c1u
c2u
c2u
ca
ca
ca
ca
c1
c1
ctg1 1
c1
c1
ctg1 ;
c
1
1
1 a
;
ca sin 1 cos 1
sin 1 cos 1
c
1
1
2 a
;
ca sin 2 cos 2
sin 2 cos 2
138
2
1
cu ca sin 2 2 sin 2 1 ca
cosec1 cosec 2 .
ca
ca
cu
1
1
tg
tg
2
1
На
основе
полученных
соотношений,
выведем
уравнения
коэффициентов вариации кинематических параметров рабочего колеса и
рассчитаем влияние угла установки лопаток на них. Расчет зависимостей
проводился при следующих исходных данных: абсолютная скорость на
входе в ступень варьировалась от 140 до 200 м/с; окружная скорость
варьировалась от 340 до 400 м/с; углы входа и выхода в абсолютном
движении приняты 70º и 47º соответственно; углы входа и выхода в
относительном движении приняты 38º и 53º соответственно; дисперсия
абсолютной скорости принята 0,305 (м/с)2; дисперсия относительной
скорости принята 0,015 (м/с)2; дисперсия угла установки варьировалась от
до
2,5∙10-7
составляющей
1,225∙10-5.
Выражение
абсолютной
коэффициента
скорости
воздуха
на
вариации
входе
осевой
в
РК:
c c2 ctg 2 (1 ) D( ) .
a
1
Коэффициент вариации окружной составляющей абсолютной скорости
2
воздуха на входе в РК: c1u ca
1
D( ) .
tg 21 cos4 1
Коэффициент вариации окружной составляющей абсолютной скорости
2
воздуха на выходе из РК: c2 u ca
1
D( ) . Коэффициента
tg 2 cos4 2
2
вариации закрутки воздуха в относительном направлении запишем в виде:
c c2 2 D( ) , где cosec1 cosec 2 .
u
a
Очевидно, что и относительные скорости так же будут зависеть от
изменения угла установки лопаток. Рассмотрев треугольники скоростей и
сделав некоторые преобразования, получим зависимость коэффициента
139
вариации относительной скорости на входе РК от дисперсии угла установки
2
ca4 1
1
D
(
)
1
лопаток: 1
.
14 tg 4 1 ca tg 4 1 sin 4 1
Из треугольников скоростей получим значение абсолютной скорости
на выходе из РК: c2 ca2 (cu c1u ) 2 .
Вариация
этого
выражения
будет
иметь
вид:
c
c 1
ca2 a c22u 2u 2 . Коэффициент вариации абсолютной скорости:
c2
ca
c2u c2
c2
ca4
1
1
c2 4 1 4 c2a 2
D
(
)
.
c2 tg 2
tg 2 sin 4 2
Уравнение относительной скорости на выходе из РК: 2 ca2 22u .
Формулу
вариаций
запишем
Коэффициент
2
в
виде:
вариации
1
2 2 ca
ca
22u 2u 2 .
2
2 u 2
ca
относительной
скорости:
ca4
ctg 4 2
4
2
1
ctg
D
(
)
2
ca
.
24
sin 4 2
Важнейшим
параметром,
определяющим
кинематические
характеристики ступени и, следовательно, непосредственно влияющим на
рабочий процесс, является степень реактивности. Рассмотрим, как влияет
угол установки лопаток на степень реактивности ступени. Для этого
запишем уравнение в форме вариаций степени реактивности ступени:
k
c
c1u
c
c2u
1
u
1u
2u
c2u c1u
k
c1u 2 u k c2u 2 u k 2 u k
u
140
(4.7).
Коэффициент вариации степени реактивности ступени:
k
ca
2 u k
2
2
ctg1 ctg 2 2 c2a u2 cosec12 cosec 22 D( ) , (4.8).
Уравнение энергии для элементарной ступени в целом имеет ту же
форму, что и для полной ступени, если вместо величины работы
компрессора подставить величину теоретического напора. Поэтому для
рабочего колеса элементарной ступени можно записать упрощенную
зависимость
для
коэффициента
теоретического
напора
HТ u c2u c1u u cu . Тогда выражение коэффициента вариации HT
запишем в виде: HТ u2 2cu .
Рассмотрим работу направляющего аппарата
элементарной ступени
компрессора ГТД. Из уравнения энергии в тепловой форме следует, что в
направляющем
аппарате
полная
энтальпия
остается
неизменной,
следовательно, постоянной остается и полная температура (потерями
пренебрегаем).
Тогда
изменение
кинетической
энергии
(энергии
торможения потока) расходуется на адиабатическую работу сжатия (на
повышение давления). Вследствие того, что потери в направляющем
аппарате не учитываем, то разбросы полного давления, температуры,
плотности,
расхода,
энтальпии
являются
постоянными,
поэтому
коэффициенты вариации этих параметров на входе и выходе будут
одинаковы. Разбросы статических параметров можно определить по
формулам, аналогичным приведенным в работах [14,24].
4.4 Исследование распределений кинематических параметров работы
ступени компрессора
Результаты расчетов кинематических параметров ступени приведены в
таблицах 4.1, 4.2 и изображены на графиках 4.25 – 4.31 данного раздела.
141
Таблица 4.1 – Зависимость коэффициента вариации проекции абсолютной скорости на
осевую составляющую от коэффициента вариации абсолютной скорости
при различных дисперсиях угла установки лопаток.
D( )
2,5∙10-7
4∙10-6
1,225∙10-5
3,945∙10-3
3,949∙10-3
4,019∙10-3
4,167∙10-3
3,682∙10-3
3,687∙10-3
3,761∙10-3
3,919∙10-3
3,452∙10-3
3,457∙10-3
3,536∙10-3
3,704∙10-3
3,249∙10-3
3,254∙10-3
3,338∙10-3
3,515∙10-3
3,068∙10-3
3,074∙10-3
3,163∙10-3
3,349∙10-3
2,907∙10-3
2,913∙10-3
3,006∙10-3
3,202∙10-3
2,761∙10-3
2,768∙10-3
2,866∙10-3
3,071∙10-3
2,64∙10-3
2,637∙10-3
2,740∙10-3
2,953∙10-3
2,51∙10-3
2,518∙10-3
2,625∙10-3
2,847∙10-3
2,401∙10-3
2,409∙10-3
2,521∙10-3
2,751∙10-3
c
1
Анализ расчетных данных показал, что величина коэффициента
вариации cа увеличивается пропорционально росту c на входе в рабочее
1
колесо от 2,409∙10-3 до 4,167∙10-3 и так же зависит от дисперсии угла
установки, вклад которой в значение ca составляет 0,3-12%.
Рассматривая
зависимости
коэффициента
вариации
окружной
составляющей абсолютной скорости на входе в РК в зависимости от
дисперсии угла установки лопаток, приведенные на рисунке 4.25, видим, что
величина коэффициента вариации cu растет от 0,28 до 0,98% при изменении
среднеквадратического отклонения угла установки в пределах 0,05-0,35%,
причем до 1/3 изменения в значении c
1u
составляющую абсолютной скорости.
142
приходится на осевую
c
1u 0.012
0.01
0.008
1
2
0.006
7
3
4
0.004
5
6
0.002
0
2 10
6
4 10
6
6 10
6
8 10
6
1 10
5
1.2 10
D( )
5
Рисунок 4.25. Коэффициент вариации окружной составляющей абсолютной
скорости на входе в РК в зависимости от дисперсии угла установки лопаток:
1,2,3,4,5,6,7 при ca =140; 150; 160; 170; 180; 190; 200 м/с соответственно.
Зависимости
коэффициента
вариации
окружной
составляющей
абсолютной скорости на выходе из РК от дисперсии угла установки лопаток
приведены на рисунке 4.26. Из рассмотрения зависимостей на рисунках 4.25
и 4.26, можно сделать вывод о том, что они аналогичны. Величина
c находится в пределах от 2,9∙10-3 до 8,16∙10-3.
2u
Зависимости коэффициента вариации закрутки воздуха в окружном
направлении от дисперсии угла установки лопаток приведены на рисунке
4.27. Рассматривая эти функции, можно сделать вывод, что увеличение
дисперсии
угла
установки
лопаток
коэффициента вариации закрутки Δcu
РК
вызывает
рост
значений
до 0,6%. Повышение скорости
входного потока в РК приводит к снижению c до 0.15% от его
u
максимального значения.
143
При использовании вероятностного метода оценки кинематических
параметров РК были получены следующие результаты: отклонения
относительной скорости ω1 составили 0,18 – 0,54% в зависимости от
различных сочетаний c1 и D( ) . Анализ расчетных данных позволяет
сделать вывод о том, что увеличение коэффициента вариации абсолютной
скорости и дисперсии установки лопаток в РК вызывают повышение
отклонений относительной скорости. Все эти флуктуации скорости
негативно влияют на систему регулирования компрессора ГТД.
c
0.009
2u
0.008
0.007
1
0.006
2
3
0.005
4
0.004
5
6
7
0.003
0
2 10
6
4 10
6
6 10
6
8 10
6
1 10
5
1.2 10
5
D( )
Рисунок 4.26. Коэффициент вариации окружной составляющей абсолютной
скорости на выходе из РК в зависимости от дисперсии угла установки лопаток:
1,2,3,4,5,6,7 при ca =140; 150; 160; 170; 180; 190; 200 м/с соответственно.
Зависимости коэффициента вариации абсолютной скорости на выходе
из РК от дисперсии угла установки лопаток приведены на рисунке 4.28.
Характер
полученных
зависимостей
144
аналогичен
зависимостям
коэффициента вариации закрутки воздуха в окружном направлении от
действия того же фактора.
Зависимости коэффициента вариации относительной скорости на
выходе из РК от дисперсии угла установки лопаток представленных на
рисунке 4.29. Значения находятся в пределах от 0,2 до 0,41%, причем с
2
увеличением скорости потока газа на входе в РК происходит уменьшение
коэффициента вариации относительной скорости 2 на 14-17% от его
максимального значения. Приведены зависимости коэффициента вариации
степени реактивности ступени от дисперсии угла установки лопаток рисунке
4.30. Повышение коэффициента вариации степени реактивности вызвано, в
основном, увеличением дисперсии угла установки лопаток. Значения
k
находятся в пределах от 1,31∙10-3 до 3,8∙10-3.
c 0.0065
u
0.006
1
2
0.0055
3
0.005
0.0045
0.004
4
5
0.0035
6
7
0.003
0.0025
0
2 10
6
4 10
6
6 10
6
8 10
6
1 10
5
1.2 10
5
D( )
Рисунок 4.27. Коэффициент вариации закрутки воздуха в окружном направлении в
зависимости от дисперсии угла установки лопаток: 1,2,3,4,5,6,7
при ca =140; 150; 160; 170; 180; 190; 200 м/с соответственно.
Следует обратить внимание, что при малых дисперсиях угла установки
145
скорость входного потока практически не влияет на коэффициент вариации
степени реактивности. При максимальном значении дисперсии имеем
возрастание коэффициента вариации степени реактивности на 25%, которое
обусловлено ростом скорости потока от 140 до 200 м/с.
Таблица 4.2 – Зависимость коэффициента вариации относительной скорости ω1 от
коэффициента вариации абсолютной скорости, при различных дисперсиях угла
установки лопаток.
D( )
2,5∙10-7
4∙10-6
1,225∙10-5
3,945∙10-3
2,944∙10-3
3,886∙10-3
5,409∙10-3
3,682∙10-3
2,757∙10-3
3,747∙10-3
5,310∙10-3
3,452∙10-3
2,595∙10-3
3,629∙10-3
5,228∙10-3
3,249∙10-3
2,452∙10-3
3,529∙10-3
5,158∙10-3
3,068∙10-3
2,326∙10-3
3,442∙10-3
5,100∙10-3
2,907∙10-3
2,214∙10-3
3,367∙10-3
5,049∙10-3
2,761∙10-3
2,113∙10-3
3,302∙10-3
5,006∙10-3
2,64∙10-3
2,022∙10-3
3,244∙10-3
4,968∙10-3
2,51∙10-3
1,940∙10-3
3,194∙10-3
4,935∙10-3
2,401∙10-3
1,866∙10-3
3,149∙10-3
4,907∙10-3
c
1
Зависимости коэффициента вариации теоретического напора от
дисперсии угла установки лопаток приведены на рисунке 4.31. Увеличение
дисперсии
угла
установки
лопаток
РК
вызывает
рост
коэффициента вариации теоретического напора от 0,28
значений
до 0,63%.
Повышение скорости входного потока в РК приводит к снижению H T на
12,5 - 30% от его максимальных значений.
146
c
0.0045
2
1
0.004
2
3
4
5
6
0.0035
7
0.003
0.0025
0.002
0
2 10
6
4 10
6
6 10
6
8 10
6
1 10
5
1.2 10
5
D( )
Рисунок 4.28. Коэффициент вариации абсолютной скорости на выходе из РК
в зависимости от дисперсии угла установки лопаток: 1,2,3,4,5,6,7
при ca =140; 150; 160; 170; 180; 190; 200 м/с соответственно.
0,0045
2
1
0,004
2
3
4
0,0035
7
6
5
0,003
0,0025
0,002
0,
2, 10
6
4, 10
6
6, 10
6
8, 10
6
1, 10
5
1,2 10
5
D( )
Рисунок 4.29. Коэффициент вариации относительной скорости на выходе из РК
в зависимости от дисперсии угла установки лопаток: 1,2,3,4,5,6,7
при ca =140; 150; 160; 170; 180; 190; 200 м/с соответственно.
147
0.004
k
0.0035
4
5
6
0.003
7
1
2
3
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0
2 10
6
4 10
6
6 10
6
8 10
6
1 10
5
1.2 10
5
D( )
Рисунок 4.30. Коэффициент вариации степени реактивности ступени в зависимости
от дисперсии угла установки лопаток: 1,2,3,4,5,6,7
при ca =140; 150; 160; 170; 180; 190; 200 м/с соответственно.
H
T
0,0065
1
0,006
2
0,0055
3
4
0,005
5
6
0,0045
7
0,004
0,0035
0,003
0,0025
0,
2, 10
6
4, 10
6
6, 10
6
8, 10
6
1, 10
5
1,2 10
5
D( )
Рисунок 4.31. Коэффициент вариации теоретического напора ступени в зависимости от
дисперсии угла установки лопаток: 1,2,3,4,5,6,7
при ca =140; 150; 160; 170; 180; 190; 200 м/с соответственно.
148
Исследования с помощью разработанных методик показали, что
коэффициент вариации расхода воздуха через компрессор не зависит от
высоты
полета
и
определяется,
в
основном,
величиной
скорости
набегающего потока, а также разбросами давления и температуры
окружающей среды. Обоснована рекомендация о необходимости учитывать
влияние
величины
случайных
отклонений
угла
установки
лопаток
компрессора на величины коэффициентов вариации кинематических
параметров ступени (абсолютных и относительных скоростей, степени
реактивности и т.д.). Применение разработанных методик позволит
обоснованно определять величину допуска на углы установки лопаток, а
также позволит конструктору прогнозировать возможные отклонения
значений кинематических параметров ступени при разработке новых
изделий.
149
ГЛАВА 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ РАБОТЫ ОСЕВОГО
КОМПРЕССОРА ГТД
5.1 Применение одномерных распределений
5.1.1 Методика исследования
При проведении исследования применялись методы, описанные в
работах [11,14,29,33,34,53,84,92].
Практический интерес представляет некоторая функция множества
возможных исходов результатов испытаний. Эта функция должна ставить в
соответствие исходам испытания некоторый диапазон возможных значений
физических параметров, определяя их численно. Данная функция называется
законом распределения случайной величины, которая определяется как
любое
соотношение
устанавливающее
(аналитическое,
связь
между
графическое
возможными
или
табличное),
значениями
случайной
величины и соответствующими им вероятностями. Случайные величины
наиболее удобно описывать с помощью специальной функции, называемой
плотностью
распределения.
Используя
первые
четыре
производные
плотности нормального распределения: x x x , x x 2 1 x ,
x 3x x 3 x ,
получим
x
x 3 6 x 2 x 4 x ,
плотность
распределения Грама-Шарлье [30]:
g ( x) 1
A
E
3x x 3
3 6x 2 x 4
6
24
x
Интегральный закон запишем в виде: Fg x x dx
(5.1).
Математическое ожидание определяется следующим выражением:
150
A 2
E
x 1
3x x 3 .
6
24
M ς a
xx dx
–
1 n
xi ,
n i 1
(5.2).
Дисперсия случайной величины:
ς M ς
Dς σ M ς M ς
2
2
2
x dx
1 n
x M x 2 ,
n i 1
(5.3).
Центральные моменты третьего и четвертого порядков [29,32]:
3
ς M ς
3
1
x dx
n
n
x
i 1
M x , 4
3
i
ς M
4
1
x dx
n
4
n
x
i 1
i
M x .
При задании выборочного распределения в виде гистограммы,
параметры распределения определяют с учетом поправки Шепарда 30,33,
величина которой зависит от величины интервала разбиения Δх:
x
n
1 p x
i
i
,
2
4
1 n
x n
7x
1 n
4
2
3
,
A 3 p i xi x E 4 p i xi x
pi xi x 240 3 ,
2 1
s 1
s 1
s
n
1 p x
i
x
2
i
x
.
12
При статистической обработке результатов испытаний проводится
проверка однородности наблюдений. Ее еще называют проверкой на
наличие грубых ошибок или проверкой на принадлежность всех элементов
выборки одной генеральной совокупности. Элемент выборки считается не
принадлежащим этой выборке, если
1
S
x x max τ1 p 30,33. При выполнении
этого условия данное наблюдение исключается из выборки, ее параметры
пересчитываются, опять проводится проверка и т.д. То есть все действия
повторяются до получения однородной выборки. Следует заметить, что
151
чисто автоматически отбрасывать крайний элемент нельзя. Если это
наблюдение считается ошибкой, то надо найти источник этой ошибки. Если
источник не найден, то необходимо считать это отклонение действием
неучтенного фактора и проводить соответствующий статистический анализ
для поиска стохастических зависимостей.
Проверка основной гипотезы проводится с целью определения типа
распределения, наилучшим образом отражающего экспериментальные
данные. Производится она с помощью критерия согласия. Существует
достаточно много способов решения данной задачи. Остановимся на двух из
них [14,30,33]:
1. С помощью моментов распределения определяют величины
асимметрии
A
m3
σ3
и эксцесса
E
m4
3,
σ4
которые для нормального
распределения равны нулю. Данные оценки получены по выборке, поэтому
они являются случайными величинами, дисперсии которых описываются
следующим
формулами:
D( A)
6(n 1)
,
(n 1)(n 3)
D( E )
24n(n 2)(n 3)
.
(n 1) 2 (n 5)(n 3)
Распределение можно считать нормальным, если соблюдаются условия
| A | 3 D( A) , | E | 5 D( E ) 33. Способ достаточно прост, но он позволяет
выявить
только
факт
соответствия
выборочного
распределения
нормальному. С его помощью нельзя определить тип выборочного
распределения.
2. Критерий Колмогорова позволяет определить тип распределения.
Строится гистограмма распределения, которая является эмпирической
функцией
плотности.
Проинтегрировав
гистограмму,
получают
эмпирический закон распределения. Далее определяют максимальное
значение разности Dmax между теоретическим и эмпирическим законами
распределения. Выборочное распределение считается соответствующим
заданному
теоретическому,
если
Dmax n λ1 p ,
где
λ1 p
–
квантиль
распределения Колмогорова при уровне значимости р 33. Сравнение двух
152
дисперсий производится с помощью критерия Фишера. Рассматривается в
качестве
случайной
величины
отношение
дисперсий
выборочных
совокупностей. Каждая из выборок имеет свое число наблюдений и степеней
свободы. Доверительный интервал для отношения дисперсий определяется с
помощью квантилей распределения Фишера
f1 n1 1 ,
S2
1
12 F1 р 2 f1 , f 2 ,
F1 р 2 f 2 , f1 S 2
f 2 n2 1 33. Здесь проверяется гипотеза о принадлежности
выборочных дисперсий S1, S2 одной генеральной совокупности. В практике
обычно используют односторонний критерий. Если выполняется условие
S12
S 22
F1 р f1 , f 2 , то дисперсии принадлежат одной совокупности; если это
условие не выполняется, то между дисперсиями существует статистически
значимая разница. Для правильного использования этого критерия в
числитель надо всегда ставить ту дисперсию, которая имеет максимальное
численное значение. С помощью этого критерия можно сравнить
теоретическое и опытное значения дисперсий. Для этого используются те же
формулы, но для расчетного значения дисперсии берется число степеней
свободы, равное бесконечности. Вследствие того, что критерий Колмогорова
носит
наиболее
общий
характер,
применим
его
для
анализа
экспериментальных данных натурных испытаний ГТД.
Сравнение
коэффициентов
вариации
производим
по
обычным
процедурам [30], используя свойство величины, обратной коэффициенту
вариации, которое имеет нормальное распределение с параметрами [11,14] математическим ожиданием
1 1
h
n M
h2 1 1
1 1
2 n M
h
и среднеквадратическим отклонением
1
2
, где n – объем выборочной совокупности, M
1
h
– объем генеральной совокупности. Имеем зависимость , производим
153
преобразование случайной величины [14] и получаем соотношения M ,
1 1 1
1 1
D 2 1 2 1 .
n M 2 n M
При обработке результатов экспериментальных данных объемом
генеральной совокупности обычно принимается (М → ∞), тогда величина
1
1
дисперсии будет иметь значение D 0 о2 1 2 . Далее идет обработка
n
2
о
данных по схеме нормального распределения для двух выборок, т.е.
сравнение дисперсий с помощью критерия Фишера. Далее сравнение
средних по результатам сравнения дисперсий. При использовании в расчетах
теоретических
данных
параметры
генеральными, поэтому D т т2
совокупности
в
изготовленных
данном
случае
двигателей
( M 5 10 2...2 10 3 ).
1
M
Считаем,
за
что
распределения
обычно
считают
1
1 2 . Величина объема генеральной
2 т
будет
период
равна
его
дисперсии
общему
серийного
количеству
изготовления
коэффициентов
вариации
теоретического и экспериментального распределения принадлежат одной
генеральной совокупности. Тогда величина средневзвешенной дисперсии
будет иметь величину
D
nD o MD m
nM
o2 1
1
1
т2 1
2
2
2
2
2 o
2 т 1 o m 1 .
nM
nM
nM
Величины коэффициентов вариации следует считать принадлежащими
одной генеральной совокупности [14,30,33], если
o m t1 p D
2
1 o2 m2
1 1
t p
1
n M
nM
2
154
t p
1
1 1
2
.
n M
nn M
5.1.2 Результаты исследования
Используя результаты натурных испытаний ГТД проведем анализ типа
распределения
параметров
компрессора
при
помощи
программного
комплекса «Statistic Analyzer» version 1.1. Исходными данными являются
результаты
проведения
более 75 замеров основных параметров компрессора после
ремонта
восстановительного)
двигателя
взятые
за
2005
(капитального,
и
2009
г.г.
локального,
Проведя
анализ
рассматриваемых данных, приведенных в таблицах 5.1 = 5.6 можно сделать
вывод о том, что распределения основных параметров Р*к, Т*к, π*, η*, G
имеют нормальный закон распределения.
Таблица 5.1 – Расчетные величины параметров ГТД после капитального ремонта 2005г.
на максимальном режиме (R=1568,6 МПа =const).
Среднее
значение
Несмещенная
оценка
дисперсии
Оценка
асимметрии
Оценка эксцесса
Дисперсия
асимметрии
Дисперсия
эксцесса
Критерий
Колмогорова:
Распределение
нормальное
0.83072
14.306
43.945
0.01157
0.295
1.113
-0.798
0.503
0.55
-0.122
1.7
0.434
0.394
0.212
0.212
0.219
0.212
0.212
0.553
0.553
0.553
0.562
0.553
0.553
0.963
0.483
0.602
0.76
0.798
0.595
0.65
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
32.27
845.99
2.2153
0.90295
86.24
0.5958
7.47
0.0142
0.01235
1.966
0.334
0.538
-0.374
0.00491
0.365
-0.0832
-0.599
-1.11
-1.18
0.212
0.212
0.212
0.553
0.553
0.65
ДА
Таблица 5.2 – Расчетные величины параметров ГТД с модифицированными вентилятором
и КНД после ремонта 2005г. на максимальном режиме (R=1568,6 Мпа =const).
Среднее
значение
Несмещенная
оценка
дисперсии
Оценка
асимметрии
Оценка эксцесса
Дисперсия
асимметрии
Дисперсия
эксцесса
Критерий
Колмогорова:
Распределение
нормальное
32.236
838.66
2.2689
0.89185
86.369
0.84868
13.985
43.3
0.4956
7.406
0.09026
0.05255
1.517
0.02396
0.781
2.551
1.72
0.523
-3.34
-2.9
1.12
2.78
2.88
2.85
3.31
-0.337
10.1
8.16
1.24
7.58
7.83
7.74
0.279
0.267
0.279
0.279
0.279
0.279
0.279
0.279
0.606
0.601
0.606
0.606
0.606
0.606
0.606
0.606
0.907
0.759
1.46
1.38
0.622
1.28
1.22
1.24
ДА
ДА
НЕТ
НЕТ
ДА
ДА
ДА
ДА
155
Таблица 5.3 – Расчетные величины параметров ГТД после локального ремонта 2005г. на
максимальном режиме (R=1568,6 МПа =const).
Среднее значение
Несмещенная
оценка дисперсии
Оценка
асимметрии
Оценка эксцесса
Дисперсия
асимметрии
Дисперсия
эксцесса
Критерий
Колмогорова:
Распределение
нормальное
32.178
841.33
2.2183
0.90597
86.059
0.83805
14.238
43.785
0.5455
14.3
0.01905
0.01747
1.86
0.0291
0.2748
1.036
0.56
-1.61
0.69
1.08
0.751
2.25
0.43
0.446
-0.451
3.14
0.524
1.04
-0.383
4.74
-0.453
-0.35
0.321
0.338
0.338
0.338
0.321
0.338
0.321
0.321
0.608
0.601
0.601
0.601
0.608
0.601
0.608
0.608
0.492
0.773
0.743
0.936
0.596
1.29
0.452
0.476
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
Таблица 5.4 – Расчетные величины параметров ГТД с модифицированными вентилятором
и КНД после капитального ремонта в 2009 г. на максимальном режиме (R=1568,6 МПа
=const).
Среднее значение
Несмещенная оценка
дисперсии
Оценка асимметрии
Оценка эксцесса
Дисперсия
асимметрии
Дисперсия эксцесса
Критерий
Колмогорова:
Распределение
нормальное
32.147
833.61
2.3258
0.9152
86.501
0.84801
13.569
42.292
0.1972
5.387
0.0158
0.007323
0.7577
0.01098
0.1026
0.3383
-0.798
0.677
-0.47
0.81
-0.735
-0.0225
-0.805
0.4
-0.206
-0.593
0.163
0.388
-0.164
1.68
-0.357
0.484
0.17
0.165
0.165
0.165
0.165
0.165
0.17
0.165
0.49
0.482
0.482
0.482
0.482
0.482
0.49
0.482
0.983
0.835
0.586
0.661
0.536
0.631
0.97
0.814
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
Таблица 5.5 – Расчетные величины параметров ГТД с модифицированными вентилятором
и КНД после локального ремонта в 2009 г. на максимальном режиме (R=1568,6 МПа =
const).
Среднее значение
Несмещенная
оценка дисперсии
Оценка
асимметрии
Оценка эксцесса
Дисперсия
асимметрии
Дисперсия
эксцесса
Критерий
Колмогорова:
Распределение
нормальное
32.29
836.75
2.323
0.91637
87.085
0.8439
13.641
42.62
0.1518
5.627
0.01844
0.005413
0.7126
0.01079
0.1184
0.5068
-0.441
1.06
1.01
-0.376
0.539
-0.86
-0.268
-0.591
-0.74
-0.065
0.995
-1.02
-0.505
-0.000609
-0.00907
0.633
0.321
0.321
0.338
0.321
0.321
0.321
0.321
0.321
0.608
0.608
0.601
0.608
0.608
0.608
0.608
0.608
0.594
0.708
0.863
0.421
0.521
0.402
0.368
0.415
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
156
Таблица 5.6 – Расчетные величины параметров ГТД после восстановительного ремонта в
2009 г. на максимальном режиме (R=1568,6 МПа = const).
Среднее значение
Несмещенная
оценка дисперсии
Оценка
асимметрии
Оценка эксцесса
Дисперсия
асимметрии
Дисперсия
эксцесса
Критерий
Колмогорова:
Распределение
нормальное
31.89
842.49
2.2356
0.90011
85.213
0.83431
14.007
43.166
0.349
6.15
0.01166
0.008978
1.031
0.008861
0.1525
0.5789
-0.106
0.467
0.286
-0.175
0.222
-0.0737
-0.197
0.169
-1.35
-1.27
-0.622
-1.03
-1.02
-1.21
-0.826
-1.16
0.45
0.45
0.45
0.45
0.45
0.45
0.45
0.45
0.438
0.438
0.438
0.438
0.438
0.438
0.438
0.438
0.478
0.532
0.439
0.455
0.498
0.443
0.317
0.417
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
Оценка сходимости разработанной теоретически вероятностной модели
с экспериментальными данными работы компрессора ГТД приведена в
таблицах 5.7 – 5.12. Получена удовлетворительная сходимость результатов
расчета по разработанным методикам с экспериментальными данными
испытаний натурных двигателей.
Таблица 5.7 – Распределения параметров ГТД после капитального ремонта 2005г. на
максимальном режиме (R=1568,6 МПа =const).
Коэффициенты
вариации
D0
M 0
0
т
o m
t
1 p
Р*к,
·105 Па
Т*к,
Gвкнд,
π*кнд
η*кнд
К
кг/с
расчетные величины параметров
η*квд
π*квд
Gв0квд,
кг/с
0,3395
53,3840
0,0002
0,0001
3,6958
0,0001
0,0840
1,1837
32,269
845,992
2,215
0,903
86,240
0,831
14,306
43,946
0,018
0,009
0,006
0,013
0,022
0,014
0,020
0,025
2,03E-02
4,70E-03
4,00E-03
1,76E-04
2,10E-02
1,65E-04
1,10E-02
2,10E-02
0,0022
0,0039
0,0023
0,0132
0,0013
0,0135
0,0093
0,0038
0,0183
0,0183
0,0183
0,0183
0,0183
0,0183
0,0183
0,0183
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
2
nn M
Принадлежность
одной
генеральной
совокупности
157
Таблица 5.8 – Распределения параметров ГТД с модифицированными вентилятором и
КНД после ремонта 2005г. на максимальном режиме (R=1568,6 МПа =const).
Коэффициенты
вариации
D0
Р*к,
·105 Па
Т*к,
Gвкнд,
π*кнд
η*кнд
К
кг/с
расчетные величины параметров
η*квд
π*квд
Gв0квд,
кг/с
M 0
0,231
51,657
0,008
0,003
2,165
0,001
0,574
6,126
32,236
838,662
2,269
0,892
86,369
0,849
13,985
43,300
0
0,015
0,009
0,039
0,057
0,017
0,027
0,054
0,057
т
2,03E02
4,20E-03
3,80E-03
1,76E-04
2,10E-02
1,65E-04
1,10E-02
2,00E02
o m
0,0053
0,0044
0,0348
0,0570
0,0040
0,0272
0,0432
0,0372
0,0463
0,0463
0,0463
0,0463
0,0463
0,0463
0,0463
0,0463
ДА
ДА
ДА
НЕТ
ДА
ДА
ДА
ДА
t
1 p
2
nn M
Принадлежность
одной
генеральной
совокупности
Таблица 5.9 – Распределения параметров ГТД после локального ремонта 2005г. на
максимальном режиме (R=1568,6 МПа =const).
Коэффициенты
вариации
D0
M 0
0
т
o m
t
1 p
Р*к,
·105 Па
Т*к,
Gвкнд,
π*кнд
η*кнд
К
кг/с
расчетные величины параметров
η*квд
π*квд
Gв0квд,
кг/с
0,273
189,365
0,000
0,000
3,189
0,001
0,070
0,989
32,178
841,326
2,218
0,906
86,058
0,838
14,238
43,785
0,016
0,016
0,008
0,019
0,021
0,033
0,019
0,023
2,03E-02
3,50E-03
4,00E-03
1,76E-04
2,10E-02
1,65E-04
1,10E-02
2,00E-02
0,0040
0,0129
0,0043
0,0183
0,0002
0,0332
0,0076
0,0027
0,0245
0,0245
0,0245
0,0245
0,0245
0,0245
0,0245
0,0245
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
НЕТ
ДА
ДА
2
nn M
Принадлежность
одной
генеральной
совокупности
158
Таблица 5.10 – Распределения параметров ГТД с модифицированными вентилятором и
КНД после капитального ремонта в 2009 г. на максимальном режиме (R=1568,6 МПа
=const).
Коэффициенты
вариации
D0
M 0
0
т
o m
t
1 p
Р*к,
·105 Па
Т*к,
Gвкнд,
π*кнд
η*кнд
К
кг/с
расчетные величины параметров
η*квд
π*квд
Gв0квд,
кг/с
0,037
28,073
0,000
0,000
0,554
0,000
0,010
0,111
32,147
833,612
2,326
0,915
86,500
0,848
13,569
42,292
0,006
0,006
0,007
0,008
0,009
0,013
0,007
0,008
2,03E-02
3,50E-03
3,80E-03
1,76E-04
2,03E-02
1,65E-04
6,68E-03
3,38E-02
0,0142
0,0029
0,0028
0,0077
0,0116
0,0126
0,0008
0,0259
0,0157
0,0157
0,0157
0,0157
0,0157
0,0157
0,0157
0,0157
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
НЕТ
2
nn M
Принадлежность
одной
генеральной
совокупности
Таблица 5.11 – Распределения параметров ГТД с модифицированными вентилятором и
КНД после локального ремонта в 2009 г. на максимальном режиме (R=1568,6 МПа =
const).
Коэффициенты
вариации
D0
M 0
0
т
o m
t
1 p
Р*к,
·105 Па
Т*к,
Gвкнд,
π*кнд
η*кнд
К
кг/с
расчетные величины параметров
η*квд
π*квд
Gв0квд,
кг/с
0,021
29,135
0,000
0,000
0,467
0,000
0,013
0,235
32,289
836,736
2,323
0,916
87,085
0,844
13,643
42,620
0,0045
0,0065
0,0076
0,0057
0,0078
0,0123
0,0084
0,0114
2,03E-02
3,50E-03
3,80E-03
1,76E-04
2,03E-02
1,65E-04
6,68E-03
2,00E-02
0,0157
0,0030
0,0038
0,0055
0,0124
0,0121
0,0017
0,0086
0,0245
0,0245
0,0245
0,0245
0,0245
0,0245
0,0245
0,0245
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
2
nn M
Принадлежность
одной
генеральной
совокупности
159
Таблица 5.12 – Распределения параметров ГТД после восстановительного ремонта в 2009
г. на максимальном режиме (R=1568,6 МПа = const).
Коэффициенты
вариации
Р*к,
·105 Па
D0
M 0
0
т
o m
t
1 p
Т*к,
Gвкнд,
π*кнд
η*кнд
К
кг/с
расчетные величины параметров
η*квд
π*квд
Gв0квд,
кг/с
0,105
32,286
0,000
0,000
0,911
0,000
0,020
0,286
31,891
842,488
2,235
0,900
85,214
0,834
14,007
43,165
0,0102
0,0067
0,0049
0,0093
0,0112
0,0099
0,0101
0,0124
2,03E-02
3,50E-03
4,00E-03
1,76E-04
2,10E-02
1,65E-04
6,68E-03
2,00E-02
0,0101
0,0032
0,0009
0,0091
0,0098
0,0097
0,0034
0,0076
2
0,0237
nn M
Принадлежность
одной
генеральной
совокупности
0,0237
0,0237
0,0237
0,0237
0,0237
0,0237
0,0237
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
ДА
5.2 Применение многомерных распределений
5.2.1 Методика исследования
Интегральная функция нормального многомерного распределения для
значений случайной величины имеет следующий вид [11,13,14,29,30]:
F ( x1...x N )
μ ij
μ ij
2π N 2
μ11 μ12
μ12 μ 22
...
...
μ 1N μ 2 N
1
N
ij
μ ( xi xi )( xi xi ) dxi , где
...exp 2
i
j
1
x1
xN
... μ1N
... μ 2 N
... ... ;
... μ NN
Dij
1 n
μ
; μ ij ( xik xk ) ( x jk x j ) .
n k 1
D
ij
Многомерные распределения удобны тем, что вся информация,
полученная в эксперименте, может быть представлена в очень компактном
виде – в виде двух матриц: математических ожиданий и ковариаций.
Проведя обработку этих матриц можно получить коэффициенты уравнений
160
регрессии β ij
оценкой
Dij
Dii
и остаточные дисперсии S i.
случайных
отклонений
коэффициентов корреляции rij
D
Dii
исследуемых
μ ij
μ ii μ jj
, которые являются
параметров,
парных
. Оценка стохастической связи
между двумя параметрами распределения при фиксированных значениях
всех остальных факторов проводится с помощью частного коэффициента
Dij
корреляции ρ ij .
Dii D jj
, а между рассматриваемым фактором и всеми
остальными при помощи сводного коэффициента корреляции ρ ii 1
D
.
μ ii Dii
Вся эта информация необходима для принятия правильных технических
решений при проектировании и испытаниях двигателя.
Переходя к нормированным переменным ς i
xi xi
, интегральную
S i.
функцию распределения можно записать [11,14] в виде:
F x1 ...x N
ρ ij
1
N
ρ
ς
ς
...
exp
dς i .
ij
.
i
j
2 i j
1
ς1
2π N 2
ςN
Доверительные интервалы для средних значений и коэффициентов
уравнения регрессии [3]: xi t1 p n N
β1i t1 p n N
S 0i
nN
S 0i
nN
xi xi t1 p n N
Lii
S 0i
β i β1i t1 p n N
D
nN
S 0i
nN
,
Lii
.
D
В соответствии с приведенным алгоритмом разработана методика
статистической
обработки
экспериментальных
данных
в
форме
многомерных распределений на ЭВМ – расчетная программа «Эмиссия»,
блок-схема которой приведена на рисунке 5.1.
161
Начало
Ввод параметров эмиссионных
характеристик ГТД на основе
экспериментальных данных,
полученных при испытаниях
двигателя
Определение элементов матрицы ковариации
Определение дисперсий факторов
Определение парных, частных и сводных
коэффициентов корреляции
Ранжирование факторов и стохастических связей по
убыванию коэффициентов парной корреляции
Влияние
факторов xj на
выходной
параметр y
нет
Незначимые
факторы xj
отбрасываются
да
Составляется уравнения регрессии на
основе результатов статистической
обработки
Расчет остаточной дисперсии уравнения
регрессии
Вывод результатов расчета,
формирование матриц
ковариации, корреляции
Печать результатов расчета
Конец
Рисунок 5.1 Блок-схема программы «Эмиссия».
162
Сохранение
результатов
расчета в
банке
данных
Программа написана на алгоритмическом языке программирования
С/С++ с использованием программного продукта Borland C++ Builder
Enterprise Suite Version 5.0 для Pentium PC ЭВМ с операционной системой
Microsoft Windows XP Professional Workstation Version 5.0 [85,96].
Программа «Эмиссия» позволяет проводить анализ влияния на выходной
параметр до 100 действующих факторов при объеме выборки до 500 опытов.
Программа
дает
возможность
произвести
ранжирование
влияния
действующих факторов, отбросить незначимые, и получить регрессионные
уравнения влияния значимых факторов на выходной параметр с оценкой его
точности. Кроме этого, можно определить эффекты взаимодействия
факторов между собой, а так же совместное влияние факторов на выходной
параметр.
Ранжирование факторов осуществляется в порядке убывания величины
коэффициента
корреляции.
Также
осуществляется
ранжирование
стохастических связей по убыванию коэффициентов парной корреляции.
После проведения расчета результаты сохраняются в банке данных,
который рассчитан на сохранение результатов испытаний до десяти видов
двигателей на различных режимах его работы. Кроме этого, для каждого
двигателя предусмотрен файл, где хранятся результаты испытаний этого
двигателя со всеми замеренными параметрами и уравнением регрессии с
остаточной дисперсией.
5.2.2 Результаты исследования
Все эмпирические зависимости, приведенные в настоящей работе,
получены с помощью разработанной методики обеспечения рабочих
характеристик осевого компрессора ГТД на основе вероятностных моделей
его работы. Ее применение возможно не только для описания работы
компрессора, но и для любого узла и конструкции ГТД в целом. Особенно
эффективно применение разработанной методики в том случае, когда на
выходной параметр действует большое количество факторов, совместное
163
влияние которых недостаточно описаны с помощью физических моделей
протекания процессов.
В качестве примера приводится анализ эмиссионных характеристик
камеры сгорания газотурбинного двигателя с целью выявления факторов,
имеющих определяющее влияние на величину эмиссионных характеристик
двигателя. Проведен анализ различных видов линейных и нелинейных
зависимостей для определения зависимостей концентраций оксида азота в
продуктах сгорания (PPMS). Проведено ранжирование действующих
факторов (приведено в порядке убывания силы связи): коэффициент избытка
воздуха, температура на выходе из камеры сгорания, расход воздуха, число
оборотов ротора, давление перед камерой сгорания, наружное давление,
температура на выходе из турбины, влажность воздуха, расход топлива,
температура
окружающего
воздуха,
поправочный
коэффициент
по
влажности. Всего в анализе исследовано влияние 25 действующих факторов,
причем анализ позволил выявить и взаимное влияние факторов друг на
друга. Результаты расчета по программе «ЭМИССИЯ» приведены ниже.
«Бедная граница»
розжига 3,665 0,2164N КВД
розж
0,2659Р 1 розж , S0 0,339 , 0,923 .
Ранжирование факторов Р 1 розж ( ij 0.846 ), N КВД розж ( ij 0.490 ).
N КВД розж 16,52 0,5341N КВД появл 0,2585 розж 26,85 Авнутр 3 ,
S0 0.53 , 0.92 .
Ранжирование факторов N КВД появл ( ij 0.785 ), розж ( ij 0.728 ),
Авнутр 3 ( ij 0.166 ).
Р 1 розж 8,146 2,726 розж 0,076tвх 0,0709 N КВД розж 0,1476 розж
S0 0,919 , 0,965 .
Ранжирование факторов розж
розж ( ij 0.573 ),
( ij 0.846 ),
tвх ( ij 0.440 ).
164
N КВД розж
( ij 0.785 ),
Обработка результатов испытаний двигателей с малоэмиссионной камерой
сгорания (МЭКС)
«Бедная граница»
розжига 7,716 0,172 Р 1 розж , S0 0,332 , 0,929 .
Окончательная регулировка
розжига 8,678 0,4677 Р 1 розж , S0 0,549 , 0,902 .
«Бедная граница»
0,0707 D Р
S розжига 0.115 0,0468 D N КВД
1 розж ,
розж
На дисперсию параметра розжига определяющее влияние оказывает
дисперсия Р 1 розж , вклад которой составляет 82%, вклад дисперсии
N КВД
незначителен – 7%. Коэффициент вариации (отношение
розж
среднеквадратического отклонения к математическому
параметра розжига составляет величину 0,17.
ожиданию)
S N КВД розж 0.281 0.2853D N КВД появл 0,0668D розж 721D Авнутр ,
Вклады дисперсий параметров в дисперсию выходного параметра:
D N КВД появл - 20%, DАвнутр 3 - 18%.
D розж - 42%,
Коэффициент вариации – 0,118.
S Р 1 розж 0.844 7.43D розж 0,058Dtвх 0,005D N КВД розж 0,022 D розж
Вклады дисперсий параметров в дисперсию выходного параметра:
D розж - 79%, Dtвх - 7%, D розж - 2,5%, D N КВД розж - 0,6%.
Коэффициент вариации – 0,32.
Следует отметить, что приведенные факторы имеют связи между
собой, например, температуры по тракту, число оборотов ротора связано с
давлением перед камерой и т.д. Поэтому для дальнейшего анализа
выбирались, по возможности, независимые факторы. Незначимые факторы
были отброшены.
В результате анализа получена модель, обладающая наилучшей
точностью
PPMS 1118 1,705 0,119e 0, 407t .
165
Среднеквадратическое
отклонение расчетных значений от опытных (т.е. точность расчета)
S 0,78% и сводный коэффициент корреляции r 0,9942 , показывает
сильную связь этих факторов: коэффициента избытка воздуха, влажности
воздуха и t с выходным параметром. Симплекс t
формуле: t
Gв
Tг
определяется по
, где Gв – расход воздуха, Tг – температура на выходе из
камеры сгорания.
Таким образом, в данной главе проведено обоснование применения
нормального закона распределения для описания распределения параметров
работы осевого компрессора ГТД для различных условий его работы.
Исследования показали удовлетворительную сходимость разработанных
методик
расчета
теоретических
параметров
распределения
с
экспериментальными данными. Разработана методика описания результатов
испытаний ГТД в виде многомерных распределений, которая позволяет
повысить эффективность принимаемых технических решений.
166
ГЛАВА 6. ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИИ ОСЕВОГО
КОМПРЕССОРА ГТД
При расчетах параметров решетки ее геометрические размеры
считаются неизменными [18,20,68,71,113]. Однако, при изготовлении
лопаточных
машин
невозможно
сделать
все
лопатки
совершенно
одинаковыми – существуют допуски, которые влияют на характер обтекания
газа и на эффективность работы устройства. Как правило, неоднородность
геометрических
размеров
решетки
ведет
к
увеличению
потерь
и
уменьшению КПД агрегата. Стремление конструктора уменьшить величину
допуска наталкивается на стремление технолога увеличить допуск. И оба
они по-своему правы, но принять компромиссное решение невозможно, т.к.
в настоящее время отсутствуют методики, позволяющие определить влияние
неоднородностей решетки на величину потерь любой лопаточной машины.
Значит,
надо
признать,
что
существует
противоречие
между
конструктивными требованиями к величине допусков на геометрические
размеры
решетки,
от
которых
зависит
эффективность
агрегата,
и
производственными требованиями, которые дадут возможность улучшить
технологичность конструкции и снизить ее себестоимость. Потребности
практики заставляют поставить задачу разработки вероятностной модели
работы решеток, в частности определить, как влияют допуски на размеры
хорды, высоты, толщины лопатки и угла ее установки на потери в
устройстве. В данной главе излагаются результаты разработки методики
определения потерь в ГТД от параметров распределения случайной
величины хорды лопатки компрессора.
6.1 Потери в компрессоре ГТД от неоднородности размеров решетки
Результаты теоретических и экспериментальных исследований потока
газа в решетках позволяют классифицировать потери энергии по следующей
схеме [16,93]:
167
Профильные потери – потери на трение в пограничном слое, вихревые
потери при отрывах потока на профиле, кромочные потери (в общем
виде это потери на трение и потери давления).
Веерные
потери
–
потери,
обусловленные
отклонениями
геометрических параметров решетки от оптимальных значений и
радиальными перетеканиями газа.
Волновые потери – потери в скачках уплотнения при работе решетки
на околозвуковых и сверхзвуковых скоростях.
Потери, вызванные нестационарностью и высокой турбулентностью
потока.
Концевые потери – в результате образования парных вихрей на концах
лопатки
(на
пограничного
концах
слоя
происходит
и
появляются
интенсивное
составляющие
«набухание»
скорости,
направленные в ядро потока).
В рамках данной работы рассматриваются потери от неоднородности
размера хорды лопаток и потери от смешения потоков газа, выходящих из
межлопаточных каналов. Этот вид потерь ранее не был описан в литературе.
6.2 Разработка модели определения потерь в ступени компрессора от
величины неоднородности хорды лопаток
Потери от неоднородности размера хорды объясняются тем, что из-за
разницы геометрических размеров решетки к потоку газа в каждом
межлопаточном канале подводится различное количество механической
работы. Вследствие этого параметры газа на выходе из каждого канала
отличаются друг от друга.
Принимаем следующие допущения: течение в начале и в конце канала
считается изоэнтропическим, вязкость газа и потери на трение не учитываем.
Схема течения газа в решетке, имеющей неоднородность по величине хорды
профиля, приведена на рисунке 6.1. Основные формулы при расчетах взяты
из работы [18,20,68,71,113].
168
U
W
1
S
Ph
Δb
S
2
в
п
b
Рисунок 6.1. Схема течения газа в решетке, имеющей неоднородность по величине
хорды профиля.
Определим параметры торможения потока в канале 1: T1 1 T0 ,
k
k 1
P 1 P ,
1
1
k 1
1 0 . Параметры торможения потока в канале 2
0
1
будут меньше, т.к. подведенная работа уменьшается пропорционально длине
хорды на величину Δb. Отклонения величины хорды от номинала считаются
достаточно малыми, т.е. они изменяют параметры потока газа, но не меняют
характера его течения. Индекс «0» относится к параметрам газа на входе в
решетку. Вводим обозначение z 1
b
, тогда относительная подведенная
b
работа будет z , а параметры торможения в канале 2 будут определяться:
T 1 z T ,
2
0
k
k 1
P 1 z P ,
2
0
1
k 1
1 z 0 .
2
Уравнения сохранения при течении воздуха между сечениями «п» и «в»
-
уравнение
неразрывности:
P1 Sq1
T1
P2 Sq2
T2
2
Ph Sqh
Th
.
1 k 1
После
qh T1
1 z 2 k 1 q2
преобразований уравнения получим 1
, где σ –
2
q1
q1 Th
1
коэффициент восстановления полного давления в ступени,
169
Ph
.
P1
Запишем уравнение сохранения количества движения:
P1 Sf 1 P2 Sf 2 2 Ph Sf h . После преобразований уравнение будет иметь
k
f h
1 z k 1 f 2
2
вид: 1
.
f 1
f 1
1
Уравнение сохранения энергии C pT1G1 C pT2G2 C pTh G1 G2 . Считаем,
что G1 G2 , тогда после преобразований можно будет написать 1
или
T2 Th
T1 T1
Th 1 1 z
1
. Решая совместно эти уравнения, получаем
T1 2 1
1
1 k 1
1 1 z 2 q1 1 z 2 k 1 q2
1
1
. После преобразования получаем
q1
2 2 1 qh 1
выражение для коэффициента восстановления полного давления:
k 1
k 1
1 1 z k 1 1 z
1 z k 1
1
2 1 1
1
(6.1).
Используя теорию функций случайных величин [21,29,32], получаем
параметры распределения величины коэффициента восстановления полного
давления и переходим к величине коэффициента потерь ξ. Отклонения от
номинальной длины хорды в любую сторону (плюс или минус) дает
увеличение потерь, поэтому z z z z , где z – среднее значение длины
хорды, выраженное в относительных единицах (для номинала z=1). В данной
работе считается, что распределения всех параметров имеют нормальный
закон.
Анализ показал, что с достаточной для практики точностью, можно
ограничиться линейной моделью, поскольку учет асимметрии и эксцесса
ведет к уточнению расчетных величин на достаточно незначительную
величину M b 0.01% , D b 0.02% .
Запишем выражения для математического ожидания и дисперсии потерь
170
M b z 1
2 3 k
2 k 1
Dz , Db 2 Dz , где
1 k 1
.
2 k 1 1
Переходим к параметрам распределения отклонений хорды лопатки от
b 2 3 k b
b
D , Db 2 D .
b 2 k 1 b
b
номинала: M b M
Коэффициент вариации величины потерь от неоднородности размера
b
D
D
b
хорды: b
.
M
b 3 k b
D
M
b 2 k 1 b
Определим
коэффициент
влияния
изменения
математического
b
на величину коэффициента вариации
b
ожидания отклонений хорды M
потерь
b
b
b
b
M
M
b
b
(6.2).
Величина коэффициента влияния изменения дисперсии отклонений
хорды на величину коэффициента вариации потерь
b 1 b
b 2 b
D
D
b
b
(6.3).
Сравниваем полученные коэффициенты по абсолютной величине,
поскольку нас интересует только выявление силы влияния. Из сравнения
можно сделать вывод о том, что на коэффициент вариации потерь гораздо
сильнее влияет изменение дисперсии отклонений, чем изменение среднего
значения отклонений хорды. Коэффициент вариации, в свою очередь,
определяет величину вероятности удержания потерь в заданных пределах.
Следовательно, для того, чтобы эффективно управлять величиной потерь в
171
компрессоре, связанных с неоднородностью решетки, необходимо в первую
очередь нормировать разброс величины хорды, а затем учитывать среднее
значение отклонений хорды от номинала. Тот же вывод можно сделать и для
угла установки лопаток, высоты лопатки и т.д.
Приближенные соотношения между разбросами параметров во
входном и выходном сечениях определим из исходных уравнений:
T1
T1
T0
P1
P0
P0
,
1 0
. Соответствующие коэффициенты вариации запишем в
1
0
,
T0
P1
виде: P1 P0 , T1 T0 , 1 0 .
Величина потерь будет по определению равна 1
Вариации
этого
выражения
будут
Ph P1
.
P1
иметь
вид:
1 Ph P1 1 Ph P0
.
Ph P1 Ph P0
После подстановки вариаций для величин потерь от неоднородности
хорды и преобразования в дисперсии параметров получаем коэффициент
вариации
давления
торможения
после
выхода
из
ступени
1 k 1 b
P P
D .
4 k 1 1 b
2
h
2
2
0
Коэффициент вариации температуры торможения и плотности газа
определяем из условия связи между параметрами по адиабатическому
закону,
т.е
P
P
k T
,
k
k 1 T
1 k 1 b
2 Th 2 T0
D ,
4 k 1 b
2
1 1 k 1 b
D .
4 k k 1 1 b
2
h
2
2
0
Из последних формул можно сделать вывод о том, что разброс
величины хорды ведет не только к увеличению математического ожидания и
разброса потерь, но и к увеличению разброса газодинамических параметров
на входе в следующую ступень, что увеличивает потери в следующей
ступени и компрессоре в целом.
172
Коэффициент восстановления полного давления для компрессора
n
n
i 1
i 1
n
k
i . Учитывая,
k
i 1 i
будет равен: k i 1 i . В форме вариаций –
i
1
i ,
i
1 i
что
получим
величины
дисперсии,
математического
ожидания и коэффициента вариации:
Dbk 1 k
2
2
i b
Di ,
b
i 1 1 i
k
(6.4),
2
b i 3 k b
M bk M i i M i
Di ,
b 2 k 1 b
i 1
i 1
k
k
bk
Dbk
M bk
(6.5),
(6.6).
6.2.1. Модель определения потерь полного давления в ступени
компрессора при смешении струй, выходящих из межлопаточных
каналов
В решетке с неоднородностью хорды лопаток параметры газа на
выходе из каждого канала отличаются друг от друга. Это ведет к
уменьшению осредненного значения полного давления за ступенью
компрессора, т.е. к потерям. Кроме этого, в решетке с неоднородностью
хорды
будут
потери
от
смешения
потоков
газа,
выходящих
из
межлопаточных каналов. Оценим величину этих потерь. Исходя из
примерного равенства расходов газа, проходящих по межлопаточным
каналам, можно определить соотношения между скоростями потока в виде
следующей цепочки соотношений (обозначения приведены в соответствии с
рисунком 6.1)
1
2 V2 1 1 1 1 1 k 1
.
1 V1 2 2 2 2 1 z
Далее используем уравнение сохранения количества движения в форме,
приведенной в работах [10,20]. Вследствие малых отклонений скоростей
173
потока
в
межлопаточных
каналах
1
и
2,
можно
принять
1
f 2 q2 2 1 k 1
.
f 1 q1 1 1 z
Кроме этого, принимаем для этого уравнения
допущение о том, что 1. Тогда приходим к соотношению между
скоростями потоков газа
h 1 1 z Vh
1
.
1 2 1 V1
Используем теорему Борда-Карно [10,43,70,97], в соответствии с
которой потери полного давления будут равны квадрату потери скорости
потока. Тогда степень восстановления полного давления будет равна
k 2 V1 Vh 2
k 2 1 1 z
1
1
1
1 1 1
.
k 1
k 1 2 1
V12
2
см
потерь
полного
давления
от
Переходим к величинам
смешения
потоков
2
см
k 2 1 1 z
1 1 1
.
k 1 2 1
Производим
преобразование
случайной
функции по формулам приведенным в работах [29,32]:
M см см
z M z
D см см
z
1 2 см
2 z 2
D z ,
z М z
1 2
Dz 2
2 z
z М z
2
2
2
D z .
z M z
Значения производных будут
см
k
2 1 1 М z
2 см 1 k 2
1 1 1
1
,
.
2 k 1 1
z
k 11 2
1 1
z 2
2
Величины математического ожидания и дисперсии потерь от
2
2
k 2 1 1 M z
1
D
z
1 1 1
смешения потоков газа M см
,
k 1 2
1
4 1
2
1 1 M z 2 1 2
k 2
D см
D
z
1
1
D
z
1
.
1
8 1
k 1 1
2
Переходим к безразмерным отклонениям величины хорды от
номинального значения
b
b
b
, т.е. M z 1 M , Dz D и производим
b
b
b
174
преобразования:
1 k 2
M см
1
4 k 1 1
1 k 2
D см
1
4 k 1
2
2
b 2
b
M D
b
b
(6.7),
2
2
1 b
b b
D M D
2 b
1 b b
(6.8).
Степень реактивности определяет кинематические параметры ступени и
влияет на рабочий процесс. Ее величина показывает распределение
изоэнтропических работ сжатия между РК и НА. Запишем выражение
k
H 2 H1
.
H 3 H1
Безразмерная величина адиабатической работы будет равна
H 3 H1
.
H1
степени
реактивности,
через
отношение
энтальпий
Определим величины безразмерной адиабатической работы для рабочего
колеса:
H 3 H1
H H1
, H1 H 3 H1 2
, РК к , и направляющего
H1
к
аппарата НА 1 к .
До введения разделения изоэнтропических работ сжатия между РК и
НА в исследовании рассматривался случай максимальной оценки потерь,
приходящихся на рабочее колесо, т.е. предполагалось, что вся энергия
подводится только к РК, к 1 .
Определим математическое ожидание и дисперсию потерь от смешения
потоков газа для РК и НА.
M см РК
D см РК
M см НА
1 k 2 к
1
4 k 1 1 к
1 k 2
1
4 k 1
2
к
1 к
1 k 2 1 к
2
4 k 1 1 1 к
2
b 2
b
M D
b
b
(6.9),
4
2
b b
1 b
D M D
2 b
b b
2
b 2
b
M D
b
b
175
(6.11),
(6.10),
D см НА
1 k 2
2
4 k 1
2
4
2
1 к b b
1 b
D M D (6.12).
2 b
1 1 к b b
Суммарные потери от неоднородности размера хорды лопаток ступени
компрессора
будут
равны:
M M M см ,
D D D см
[46,65,82,114].
6.2.2 Модель определения потерь полного давления в ступени
компрессора от неоднородности угла установки лопаток
Рассмотрим течение газа в межлопаточных каналах рабочего колеса
осевого компрессора в соответствии со схемой, представленной на рис. 6.2.
b
1
2
t
t
t
В
0
h
Рисунок 6.2. Схема течения газа в рабочем колесе с неоднородностью решетки по углу
установки.
Отклонение угла установки от номинального значения ( ) считаем
достаточно малым и не влияющим на изменение характера течения газа, т.е.
изменение этого угла не приводит к образованию отрыва потока,
возникновению или исчезновению вихрей и т.д. В каналах 1 и 2 будут
примерно одинаковые скорости газового потока, что приведет к примерно
176
одним и тем же потерям на трение и расходам газа. В канале 1 происходит
медленное увеличение площади проходного сечения, а в канале 2 –
уменьшение. Это приводит к возникновению потерь от деформации потока,
однако вследствие малости угла ( ) эти потери малы и их влияние будет
примерно одинаковыми в каждом канале. Величиной
этих потерь
пренебрегаем. В каждом канале происходит подвод работы к газу, величина
которой примерно одна и та же, поэтому считаем, что параметры
торможения газа в сечении «В» одинаковы. Течение газа в выходном
сечении рабочего колеса будет отличаться только скоростями потока,
которые
определяются
различными
площадями
выходных
сечений
межлопаточных каналов. Между сечениями «В» и «h» будет происходить
смешение потоков с выравниванием скоростей потоков. Это будет
происходить с потерями. Вследствие малого расстояния между этими
сечениями считаем течение газа между ними как внезапное расширение или
сужение канала. На выходе канала 1 степень восстановления полного
давления будет равна [10,20,70]:
1
Ph Ph
k 2
1
b ,
k 1
PB1 P0
F
B1
2
1 h1
F
t
t
t
1
t
t
, 1 1 k b2 t
t
k 1
1
t
2
2
,
где индексы обозначают сечения и номера каналов. Вводим обозначение
b
b
t b
r
z
tg
,
t
t
t 180
t
тогда
величина
коэффициента
2
1 k 2 z
1 1
b
.
2 k 1 1 z
восстановления полного давления будет равна
Определяем значение этой функции и ее производных при условии
отсутствия потерь (z=0) т.е в номинальных условиях.
1
z 0
1,
1
k 2
z
b
2
k 1 1 z 2
z
177
0,
z 0
2 1
k 2 1 2
b 2
2
k 1
z
1 z 4
3 1
k 2 1 z
12
b
3
k 1 1 z 5
z
4 1
k 2 6 4z
12
b
4
k 1 1 z 6
z
Определяем
параметры
2
k 2
b ,
k 1
12
k 2
b ,
k 1
z 0
z 0
12
z 0
распределения
k 2
b .
k 1
степени
восстановления
полного давления в зависимости от параметров распределения угла
установки лопаток с помощью функций случайных величин [29,32].
Математическое ожидание отклонений угла установки от номинала
необходимо
брать
по
абсолютной
величине,
т.к.
отклонение
в
положительную или отрицательную сторону приведет к симметричной
форме обтекания лопатки и вызовет потери полного давления. По этой же
причине дисперсия отклонений угла установки может привести только к
возрастанию потерь.
Преобразование для функций случайных величин производим с
использованием разложения в ряд Тейлора в области номинального значения
параметра «z»:
M
z 0
D
z
z
z z 12 z
2
z 0
2
1 2
Dz 2
4 z
z 0
2
Подставляем
D z
z 0
1 3
6 z 3
Az Dz 2
3
z 0
1 4
24 z 4
E z 3Dz 2
z 0
2
2
E z 3Dz .
z 0
величины
производных.
Кроме
этого,
учитываем
допущение о нормальном распределении отклонений от номинального угла
установки
т.е
k 2
b Dz .
k 1
b
M z M ,
t
Az E z 0 .
Тогда
Производим
3
M 1 1 Dz ,
2
переход
к
переменной
D 3 2 ,
,
где
b
z ,
t
2
b
D z D .Выражения
t
178
после
подстановки:
3 b 2
M 1 1 1 D , D 1 3 2 , 1
2 t
3
3b
1 1 D
2 t
2
3
.
1
Необходимо отметить, что из-за равенства нулю первой производной
исчезает зависимость математического ожидания потерь от среднего
значения отклонения угла установки лопаток. Действительно, при сборке
компрессора отклонения угла установки от номинала могут быть как в
«плюс», так и в «минус», причем эти отклонения будут равновероятными.
Это означает, что среднее значение угла установки будет практически равно
номинальному значению и на величину потерь влиять не будет. Несколько
по-другому будет проявляться зависимость для отклонений хорды от
номинала, когда все отклонения идут в «минус». Для этого случая среднее
значение хорды будет влиять на потери, хотя и в меньшей степени, чем
разброс
1
этого
параметра.
Коэффициент
вариации
будет
равен
k 2b
3
b D .
, где
2
k 1 t
3b
1
1 1 D
2 t
3
2
Течение на выходе из межлопаточного канала 2 будет соответствовать
схеме внезапного расширения потока. Степень восстановления полного
давления
в
этом
случае
будет
равна
[16,70,97]:
k 2 t
k 2 2
b 1
b z .
k 1 t
k 1
2
2 1
Величины
производных
и
2 2
1
2k 2
2k 2
b
b z 0 ,
2
k 1
z
k 1
z
z 0
параметры
z 0
распределений:
2
z 0
1,
2k 2 3 2 4 2
b ,
0.
k 1
z 3
z 4
Параметры распределения степени восстановления полного давления
для канала 2 будут равны: M 2 1 ,
D 2 3 2 , 2
3
. Видно, что
1
степень восстановления давления при движении по каждому из каналов
179
примерно равны друг другу, поэтому суммарные потери от неоднородности
угла установки лопаток будут равны: M , D 3 2 ,
3
.
1
Потери от неоднородности угла установки лопаток в направляющем
аппарате будут определяться по тем же расчетным формулам. Физическая
модель, описанная для рабочего колеса, будет тождественна и для НА за
исключением подвода работы к решетке. Учет степени реактивности
ступени производится косвенно за счет изменения приведенной скорости.
6.3 Исследование потерь в ступени компрессора от величины
неоднородности хорды и угла установки лопаток
Для расчета величин математического ожидания и дисперсии потерь
ступени
компрессора
использовались
следующие
исходные
данные:
изменения безразмерного коэффициента адиабатической работы ступени
варьировались от 0,01 до 0,07, величины математического ожидания
отклонений хорды лопатки от среднего значения 0…0,017, а дисперсии
отклонений хорды 0,0022 …0,0152.
Результаты расчета приведены в таблице 6.1. Величины потерь от
неоднородности хорды могут колебаться от тысячных долей процента до
0,2% в зависимости от соотношения математического ожидания и дисперсии
величины хорды. Максимальное значение математического ожидания
коэффициента потерь может достигать 0,4% при различных сочетаниях
b
b
переменных: ε, D , M .
b
b
Зависимости математического ожидания коэффициента потерь от
безразмерного коэффициента адиабатической работы приведены на рисунке
6.3. С ростом безразмерного напора, значения M b возрастают в пределах
от 2∙10-8 до 0,0035. Зависимость практически линейная.
коэффициента
потерь
от
величины
безразмерного
адиабатической работы представлена на рисунке 6.4.
180
Дисперсия
коэффициента
Таблица 6.1 – Математическое ожидание коэффициента потерь от математического
ожидания и дисперсии отклонения хорды лопатки от номинала.
b
D
b
0,0022
0,0082
0,0152
0
1,77∙10-8
2,84∙10-7
9,98∙10-7
0,003
0,00034
0,000345
0,000347
0,006
0,00069
0,000693
0.000695
0,009
0,00103
0,001035
0,00104
0,011
0,00126
0,001265
0,00127
0,014
0,00161
0,001615
0,00162
0,017
0,00196
0,001965
0,00197
b
M
b
M (b )
7
0.003
6
0.0025
5
4
0.002
0.0015
3
0.001
2
5 10
4
1
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Рисунок 6.3. Математическое ожидание коэффициента потерь в зависимости от
безразмерного коэффициента адиабатической работы: 1,2,3,4,5,6,7 при M b b =0;
0.003; 0.006; 0.009; 0.011; 0.014; 0.017 соответственно (k=1.4, Db b =0.0082).
181
Согласно анализу данных, полученных в результате расчета, можно
сделать следующее заключение, что потери полного давления в ступени
компрессора от отклонений величины хорды от номинала пропорциональны
среднему значению этих отклонений, определенных по всем лопаткам
ступени, а разброс потерь пропорционален разбросу отклонений величины
хорды от номинала.
В таблице 6.2 приведены расчетные значения дисперсии коэффициента
потерь Db , которые находятся в пределах от 3,5∙10-9 до 8,7∙10-6. Из анализа
расчетных данных можно сделать заключение, что среднеквадратическое
отклонение потерь в ступени может находиться в пределах от 0,006% до
0,3%.
D( b )
8 10
6
6 10
6
4 10
6
7
6
5
4
2 10
3
6
2
1
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
Рисунок 6.4. Дисперсия коэффициента потерь в зависимости от безразмерного
коэффициента адиабатической работы: 1,2,3,4,5,6,7 при Db b =0.0022; 0.0042; 0.0062;
0.0082; 0.012; 0.0122; 0.0142, соответственно.
182
Таблица 6.2 – Дисперсия коэффициента потерь от дисперсии отклонения хорды лопатки
от номинала, при различном коэффициенте адиабатической работы.
ε
0,01
0,04
0,07
0,0022
3,53∙10-9
5,32∙10-8
1,54∙10-7
0,0042
1,41∙10-8
2,13∙10-7
8,16∙10-7
0,0062
3,17∙10-8
4,79∙10-7
1,38∙10-6
0.0082
5,64∙10-8
8,52∙10-7
2,46∙10-6
0,012
8,82∙10-8
1,33∙10-6
3,85∙10-6
0.0122
1,27∙10-7
1,92∙10-6
5,54∙10-6
0,0142
1,98∙10-7
2,99∙10-6
8,67∙10-6
b
D
b
В качестве примера приведем определение вероятности выполнения
требований по КПД с учетом неоднородности величины хорды для
различных вариантов ремонта двигателей. В данном случае рассматриваются
варианты полной и частичной замены лопаток компрессора, что определено
действующими стандартами при производстве капитального, локального или
восстановительного ремонта ГТД. Параметры распределения величины
хорды для одной ступени при наличии новых лопаток с математическим
ожиданием zn и среднеквадратическим отклонением S n и ремонтных с
математическим ожиданием z r и среднеквадратическим отклонением S r
при доле новых лопаток pn , среднее значение z pn zn 1 pn zr , разброс
S z S n2 zn z 2 pn S r2 zr z 2 1 pn .
Результаты
расчета
оценки
влияния доли новых лопаток на вероятность выполнения требований по
КПД компрессора приведены в таблице 6.3.
183
Таблица 6.3 – Влияние доли новых лопаток на вероятность выполнения требований по
КПД компрессора при его восстановлении
Доля
новых
лопаток,
%
100
80
60
40
20
0
b
M
b
b
S
b
M b
S b
1,0
0,996
0,992
0,988
0,984
0,980
0,01
0,0128
0,014
0,014
0,0128
0,01
0,00001
0,00057
0,00114
0,00178
0,00229
0,00286
0,00143
0,00183
0,00200
0,00200
0,00183
0,00143
Вероятность
выполнения
требований по
КПД
0,999995
0,99984
0,99865
0,9966
0,9961
0,99997
Предельное
значение
потерь, %
0,43
0,606
0,714
0,778
0,778
0,715
Анализ показал, что среднее отклонение величины хорды от номинала
меньше влияет на величину потерь, чем разброс отклонений хорды от
номинала. В случае доли новых лопаток 0 и 60% предельное значение потерь
одинаковое. Это означает, что потерями в компрессоре гораздо проще
управлять изменением разброса (т.е. убирать лопатки с максимальными
отклонениями от среднего значения хорды, но не от номинала), чем за счет
изменения среднего значения отклонения хорды (т.е. заменять максимальное
количество ремонтных лопаток новыми). Такой подход позволяет резко
уменьшить трудоемкость восстановления компрессоров ГТД.
Коэффициент вариации температуры торможения на выходе из
ступени компрессора в зависимости от дисперсии отклонения хорды
рисунок 6.5 возрастает от 0,0063 до 0,0065. Расчеты показали, что
отклонение хорды от номинала в ступени компрессора дает прибавку к
значению коэффициента вариации температуры торможения до 1%.
Величина коэффициента вариации давления торможения на выходе из
ступени компрессора в зависимости от дисперсии отклонения хорды,
приведенного на рисунке 6.6, находится в диапазоне значений от 0,022 до
0,0227. Учет разбросов величин потерь от неоднородности хорды дает
прибавку до
0,5%
к
значениям коэффициента
торможения.
184
вариации
давления
T
h
7
0.00645
6
5
0.0064
4
3
2
0.00635
1
0.0063
0
7
2 10
7
4 10
7
6 10
7
8 10
6
1 10
b
D
b
Рисунок 6.5. Коэффициент вариации температуры торможения на выходе из ступени
компрессора в зависимости от дисперсии отклонения хорды: 1,2,3,4,5,6,7 при Т0 =0.0063;
0.00632; 0.00634; 0.00636; 0.00638; 0.0064; 0.00642 соответственно (ε=0.04, k=1.04).
P
h
7
0.0226
6
5
4
0.0224
3
2
0.0222
1
0.022
0
2 10
7
4 10
7
6 10
7
8 10
7
1 10
6
b
D
b
Рисунок 6.6. Коэффициент вариации давления торможения на выходе из ступени
компрессора в зависимости от дисперсии отклонения хорды: 1,2,3,4,5,6,7 при Р0 =0.022;
0.0221; 0.0222; 0.0223; 0.0224; 0.0225; 0.0226 соответственно (ε=0.04, k=1.4).
185
6.3.1 Исследование потерь полного давления в ступени компрессора при
смешении струй, выходящих из межлопаточных каналов РК и НА
Для расчета величин математического ожидания и дисперсии потерь
полного давления в ступени компрессора использовались следующие
исходные данные: изменения безразмерного коэффициента адиабатической
работы ступени варьировались от 0,01 до 0,07, изменение математического
ожидания отклонений хорды лопатки от среднего значения 0…0,017, а
дисперсии отклонений хорды – 0,0022 …0,0152. В исследовании принято
значение приведенной скорости равное 0,65.
Зависимости
потерь
полного
давления
при
смешении
струй,
выходящих из межлопаточных каналов в решетках РК и НА, приведены на
рисунках 6.7 – 6.12.
Зависимости математического ожидания коэффициента потерь полного
давления при смешении струй в РК от степени реактивности приведены на
рисунке 6.7. С ростом степени реактивности и дисперсии неоднородности
хорды, значения M ( см ) РК возрастают в пределах от 0 до 1,4∙10-7.
Рассматривая зависимости математического ожидания коэффициента
потерь полного давления при смешении струй в НА от степени реактивности
(см. рисунок 6.8), видим те же значения потерь полного давления, как и в
решетке
РК
(зеркальное
отражение
относительно
оси
ординат).
Исследование потерь полного давления при смешении струй в РК и НА
проводилось при одинаковых значениях дисперсий. Неоднородность размера
хорды и приведенной скорости приняты в целях упрощения расчета.
Увеличение дисперсии неоднородности размера хорды лопаток от
0,0022 до 0,0142, дает увеличение математического ожидания коэффициента
потерь полного давления при смешении струй в 2,26 раза.
Анализ зависимостей суммарных значений, математического ожидания
коэффициента потерь полного давления при смешении струй в РК и НА в
186
зависимости от степени реактивности, приведенных на рисунке 6.9, показал,
что минимальные математические ожидания потерь полного давления при
смешении струй в ступени компрессора обеспечиваются при значениях
степени реактивности, находящихся в диапазоне 0,4 до 0,6. Площади под
кривыми – это области допустимых значений потерь полного давления при
смешении струй при заданных отклонениях размера хорды, безразмерного
коэффициента адиабатической работы и приведенной скорости.
M ( см ) РК
1.2 10
7
1 10
7
8 10
8
7
6
5
4
6 10
8
4 10
8
2 10
8
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Рисунок 6.7. Математическое ожидание коэффициента потерь полного давления при
смешении струй в РК от степени реактивности: 1,2,3,4,5,6,7 при Db b =0.0022; 0.0042;
0.0062; 0.0082; 0.012; 0.0122; 0.0142, соответственно.
На рисунке 6.10 представлены среднеквадратические отклонения
коэффициента потерь полного давления при смешении струй в РК от
степени реактивности. Значения S ( см ) РК возрастают с ростом степени
реактивности до 1,6∙10-7. Аналогичные зависимости получаются для
направляющего аппарата (см. рисунок 6.11). Увеличение математического
187
ожидания неоднородности размера хорды лопаток в 6 раз дает увеличение
дисперсии отклонения потерь смешения примерно в 8 раз.
M (см ) НА
1.2 10
7
1 10
7
7
6
8 10
8
6 10
8
5
4
3
2
8
4 10
1
2 10
8
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Рисунок 6.8. Математическое ожидание коэффициента потерь полного давления при
смешении струй в НА от степени реактивности: 1,2,3,4,5,6,7 при Db b =0.0022; 0.0042;
0.0062; 0.0082; 0.012; 0.0122; 0.0142, соответственно.
Минимальные среднеквадратические отклонения потерь полного
давления при смешении струй в ступени компрессора, так же как и в случае
с M (см ) , будут проявляться при степени реактивности от 0,4 до 0,6 (см.
рисунок 6.12).
В
итоге,
основываясь
на
результатах
расчетов
проведенного
исследования можно сделать следующий вывод: вклад потерь от смешения
струй, выходящих из межлопаточных каналов, составляет до 0,004% от
суммарной величины M от неоднородности размера хорды. Вклад
потерь от смешения в среднеквадратическое отклонение суммарных потерь
составляет до 0,005%.
188
M (см )
1.2 10
7
7
1 10
6
7
5
8 10
8
6 10
8
4 10
8
2 10
8
4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
2
3
0.5
1
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Рисунок 6.9. Суммарные значения, математического ожидания коэффициента потерь
полного давления при смешении струй в РК и НА от степени реактивности: 1,2,3,4,5,6,7
при Db b =0.0022; 0.0042; 0.0062; 0.0082; 0.012; 0.0122; 0.0142, соответственно.
S (см ) РК
1.6 10
7
7
7
1.4 10
1.2 10
6
7
5
1 10
7
4
8 10
8
3
6 10
8
4 10
8
2 10
8
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Рисунок 6.10. Среднеквадратическое отклонение коэффициента потерь полного давления
при смешении струй в РК от степени реактивности: 1,2,3,4,5,6,7 при М b b =0; 0.003;
0.006; 0.009; 0.011; 0.014; 0.017, соответственно.
189
S (см ) НА
1.6 10
7
1.4 10
7
1.2 10
7
1 10
7
8 10
8
6 10
8
4 10
8
2 10
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Рисунок 6.11. Среднеквадратическое отклонение коэффициента потерь полного
давления при смешении струй в НА от степени реактивности: 1,2,3,4,5,6,7 при
М b b =0; 0.003; 0.006; 0.009; 0.011; 0.014; 0.017, соответственно.
S (см )
1.6 10
7
1.4 10
7
1.2 10
7
1 10
7
8 10
8
6 10
8
4 10
8
2 10
8
7
6
1
5
2
4
3
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Рисунок 6.12. Суммарные значения, среднеквадратического отклонения коэффициента
потерь полного давления при смешении струй в РК и НА от степени реактивности:
1,2,3,4,5,6,7 при М b b =0; 0.003; 0.006; 0.009; 0.011; 0.014; 0.017, соответственно.
190
6.3.2 Исследование потерь в ступени компрессора от величины
неоднородности угла установки лопаток в решетках РК и НА
Для расчета величин математического ожидания и дисперсии потерь
от неоднородности угла установки лопаток в ступени компрессора
использовались следующие исходные данные: изменение математического
ожидания отклонений угла установки лопатки от среднего значения 0…0,21
рад., дисперсии отклонений угла установки лопаток 0,0022 …0,0152, густоты
решетки от 1,05 до 1,35, приведенной скорости от 0,35 до 0,65.
Значения
математического
ожидания
коэффициента
потерь
от
неоднородности угла установки лопаток в зависимости от приведенной
скорости, изображенные на рисунке 6.13, находятся в пределах от 3,15∙10-7
до 1,01∙10-4. Увеличение приведенной скорости в 2 раза ведет к увеличению
математического ожидания потерь от неоднородности угла установки
лопаток в 6 раз. На рисунке 6.14 представлены кривые математического
ожидания коэффициента потерь от неоднородности угла установки лопаток
в зависимости от дисперсии отклонения угла установки лопаток
M ( ) 1.2 10
4
1 10
4
7
8 10
6
5
5
6 10
5
4
3
4 10
5
2 10
5
2
1
0
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
Рисунок 6.13. Математическое ожидание коэффициента потерь от неоднородности
угла установки лопаток в зависимости от приведенной скорости: 1,2,3,4,5,6,7 при
D( ) =0.0022; 0.0042; 0.0062; 0.0082; 0.012; 0.0122; 0.0152 рад., соответственно.
191
1.2 10
4
M ( )
1 10
7
4
6
8 10
5
5
4
6 10
5
3
2
4 10
5
2 10
5
1
0
0
5 10
5
1 10
4
1.5 10
4
2 10
4
D
Рисунок 6.14. Математическое ожидание коэффициента потерь от неоднородности
угла установки лопаток в зависимости от дисперсии отклонения угла установки лопаток:
1,2,3,4,5,6,7 при b t =1.05; 1.1; 1.15; 1.2; 1.25; 1.3; 1.35, соответственно.
D( )
3 10
8
2.5 10
8
2 10
8
7
6
5
4
3
2
.
1.5 10
8
1 10
8
5 10
9
1
0
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
Рисунок 6.15. Дисперсия коэффициента потерь от неоднородности угла установки
лопаток в зависимости от приведенной скорости: 1,2,3,4,5,6,7 при b t =1.05; 1.1; 1.15; 1.2;
1.25; 1.3; 1.35, соответственно.
192
Анализ
зависимостей
дисперсии
коэффициента
потерь
от
неоднородности угла установки лопаток в зависимости от приведенной
скорости, приведенных на рисунке 6.15, показал, что значения D( )
находятся в диапазоне от 2,98∙10-13 до 3,06∙10-8. Увеличение дисперсии
отклонения угла установки лопаток в 5 раз, приводит к увеличению
дисперсии потерь в 32 раза.
На рисунке 6.16 приведены кривые дисперсии коэффициента потерь от
неоднородности угла установки лопаток в зависимости от дисперсии
отклонения угла установки лопаток. Увеличение приведенной скорости на
47% ведет к увеличению D( ) на 92%.
D( )
3 10
8
7
2.5 10
8
2 10
8
6
5
4
1.5 10
3
8
2
1
1 10
8
5 10
9
0
0
5 10
5
1 10
4
1.5 10
4
2 10
4
D
Рисунок 6.16. Дисперсия коэффициента потерь от неоднородности угла установки
лопаток в зависимости от дисперсии отклонения угла установки лопаток: 1,2,3,4,5,6,7 при
=0.35; 0.4; 0.45; 0.5; 0.55; 0.6; 0.65, соответственно.
Коэффициенты вариации потерь от неоднородности угла установки
лопаток в зависимости от густоты решетки и приведенной скорости
изображены на рисунках 6.17 – 6.18. Представленные на рисунках
193
зависимости не линейные, значения ( ) находятся в диапазоне от
5,45·10-7до 1,75·10-4.
2 10
4
( )
1.5 10
7
4
6
5
4
4
1 10
3
2
1
5 10
5
0
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
b t
Рисунок 6.17. Коэффициента вариации потерь от неоднородности угла установки
лопаток в зависимости от густоты решетки: 1,2,3,4,5,6,7 при D( ) =0.0022; 0.0042;
0.0062; 0.0082; 0.012; 0.0122; 0.0152 рад., соответственно.
2 10
4
( )
1.5 10
7
6
4
5
4
1 10
3
4
1
5 10
2
5
0
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
Рисунок 6.18. Коэффициента вариации потерь от неоднородности угла установки
лопаток в зависимости от приведенной скорости: 1,2,3,4,5,6,7 при b t =1.05; 1.1; 1.15; 1.2;
1.25; 1.3; 1.35, соответственно.
194
Аналогичные зависимости потерь от неоднородности угла установки
лопаток будут проявляться и для направляющего аппарата.
Расчеты показали, что отклонение угла установки лопаток от номинала
в ступени компрессора дает прибавку к значению коэффициента вариации
потерь до 0,03%. Основным фактором, влияющим на величину потерь,
является дисперсия отклонения угла установки лопаток в решетке РК и НА.
6.4.Исследование потерь в ступени компрессора от величины
неоднородности хорды лопаток рабочего колеса с помощью двумерных
моделей течения газа
Расчет величин потерь в межлопаточных каналах рабочего колеса
проводился путем моделирования процесса течения газа с помощью
программного продукта FINE/TurboTM. Данный программный продукт
применяется для решения практических задач гидрогазодинамики при
проектировании
и
оптимизации
всех
типов
лопаточных
машин
(турбомашин): многоступенчатых осевых, радиальных и смешанных
компрессоров, турбин, насосов, вентиляторов и пропеллеров, а также
улиток, диффузоров, теплообменников и выхлопных систем.
Моделирование процесса течения газа через решетку профилей
рабочего
колеса
ступени
компрессора
проводилось
по
модели
турбулентности k-epsilon (extended wall function), рабочее тело – воздух.
Граничные условия:
Давление на входе в канал – 368817 Па;
Температура на входе в канал – 400 ºК;
Статическое давление на выходе из канала от 310000 до 350000 Па;
Расчётная схема: Central;
Расчётная модель: одна статорная лопатка компрессора.
Расчёт проводился по нескольким схемам решеток профилей, каждая
из которых состоит из 4-х лопаток. Рассматривались следующие варианты:
195
1) все лопатки одинаковые, с номинальным размером хорды;
2) все лопатки с уменьшенным размером величины хорды (подрезка);
3) половина лопаток с уменьшенным размером величины хорды
(подрезка), схема расположения лопаток: номинал-номинал-подрезкаподрезка;
4) половина лопаток с уменьшенным размером величины хорды
(подрезка), схема расположения лопаток: номинал-подрезка-номиналподрезка.
Подрезка лопаток осуществлялась на величину допуска – 1,3 мм. При
расчете потерь использовалась граница периодичности. Расчёт проводился
для среднего по высоте сечения. Сетка имеет в высоту одну ячейку и
является поверхностью тела вращения по средней линии канала.
Рассматривая поля распределений параметров, представленные на
рисунках приложения 8, наблюдаем незначительное изменение структуры
течения газа по решетке рабочего колеса ступени компрессора. Данная
постановка расчета не позволяет оценить влияние пространственных
вихревых
течений,
трехмерное
для
этого
моделирование
необходимо
процесса
проводить
течения
газа.
полноценное
Численное
моделирование проводилось с целью выявления зависимости КПД, расхода
и степени повышения давления в зависимости от отклонений хорды лопаток
РК в решетке.
Зависимости КПД и степени повышения давления рабочего колеса от
расхода газа представлены на рисунках 6.19, 6.20.
Анализ зависимостей, представленных на рисунках 6.19, 6.20 показал,
что минимальное значение КПД наблюдается при схеме 3 – номиналноминал-подрезка-подрезка и составляет 0,957. Наименьшее значение
расхода газа через решетку получено при схеме 2 – подрезка-подрезкаподрезка-подрезка – и составляет 0,2586.
196
рк 0,965
2
1
0,964
4
0,963
0,962
3
0,961
0,96
0,959
0,958
0,957
0,956
0,255
0,26
0,265
0,27
0,275
0,28
0,285
G рк
Рисунок 6.19. Зависимость КПД рабочего колеса от расхода газа.
Схема решетки: 1 – номинал-номинал-номинал-номинал, 2 – подрезка-подрезка-подрезкаподрезка, 3 – номинал-номинал-подрезка-подрезка ,4 – номинал-подрезка-номиналподрезка при Рст=3.1·105; 3.2·105; 3.3·105; 3.4·105 соответственно.
рк
1,43
1
4
1,41
3
2
1,39
1,37
1,35
1,33
0,255
0,26
0,265
0,27
0,275
0,28
0,285
G рк
Рисунок 6.20. Зависимость степени повышения давления рабочего колеса от расхода.
Схема решетки: 1 – номинал-номинал-номинал-номинал, 2 – подрезка-подрезка-подрезкаподрезка, 3 – номинал-номинал-подрезка-подрезка ,4 – номинал-подрезка-номиналподрезка при Рст=3,1·105; 3,2·105; 3,3·105; 3,4·105 соответственно.
197
В результате численного моделирования процесса течения газа через
решетку профилей рабочего колеса ступени компрессора имеем следующие
диапазоны отклонений параметров:
отклонения КПД составляют от 0,01 до 0,166%;
отклонения расхода составляют от 0,03 до 0,27%;
отклонения степени повышения давления составляют от 0,07 до
0,147%.
Значения параметров, полученные при численном моделировании,
показывают удовлетворительную сходимость с результатами разработанных
методик
расчета
параметров
распределения
и
экспериментальными
данными.
6.5 Экспериментальное подтверждение разработанных методик
Исходные данные формировались на основе сборочной документации и
результатов ПСИ ГТД, предоставленных серийным конструкторским
отделом ОАО «Пермский Моторный Завод» и отделом термодинамики КО289 ОАО «Авиадвигатель».
Данные о геометрических размерах по компрессору высокого давления:
лопатки с отклонением хорды от номинала; радиальные зазоры между
лопатками ротора и кольцом рабочего корпуса компрессора; радиальные
зазоры
между
промежуточного
направляющими
ротора;
доля
лопатками
новых
корпусов
лопаток
в
и
кольцом
компрессоре.
Газодинамические параметры работы компрессора высокого давления:
температура на входе в двигатель; давление на входе в двигатель;
температура на входе в КВД; давление на входе в КВД; обороты ротора
КВД; степень повышения давления КВД; расход КВД; температура на
выходе из компрессора; давление на выходе из компрессора; коэффициент
полезного действия КВД; температура газа за турбиной и т.д.
198
Все лопатки ступеней КВД разделены по интервалам в зависимости от
величины
хорды.
Интервалы
хорд
лопаток
ступени
компрессора
представлены в таблице 4.4.
Начало
Ввод исходных данных,
характеристик компрессора ГТД.
Настройка расчета
Выбор варианта расчета:
- произвольная выборка
- интервальная выборка
- теоретическая выборка
Определение математических отклонений и
среднеквадратических отклонений
размера хорды лопаток в ступени
Определение математических ожиданий и дисперсий
отклонения хорды лопаток от номинала в ступени
Определение математических ожиданий и дисперсий
коэффициента потерь в ступени и компрессоре ГТД
Оптимизационный блок. Удержание вероятности
потерь в ступени в заданных пределах
Вывод результатов расчета
Печать результатов расчета
Конец
Рисунок 6.21. Блок-схема программы «ХОРДА».
199
Сохранение
результатов
расчета
Таблица 4.4 – Интервалы хорд лопаток ступени компрессора
Интервал 1
Интервал 2
Интервал 3
допустимая величина
отклонение хорды, мм
значение хорды с
провалом сверх нормы
от 0,2 до 0,3, мм
значение хорды с
провалом сверх нормы
от 0,31 до 0,5, мм
1–6
b0.8
b1.01.1
b1.11.3
7-9
b0.55
b0.750.85
b0.851.05
10 – 13
b0.4
b0.60.7
b0.70.9
№
ступени
Расчет математических ожиданий, среднеквадратических отклонений
и дисперсий отклонений хорды лопаток от номинала проводился при
помощи специально разработанного программного обеспечения «ХОРДА».
Блок-схема программы приведена на рисунке 6.21. На рисунках 6.22-6.25
показаны «скриншоты» из программы «ХОРДА».
Рисунок 6.22. Математическое ожидание отклонений хорды лопаток от номинала.
200
Рисунок 6.23. Среднеквадратическое отклонение хорды лопаток от номинала.
Рисунок 6.24. Потери от неоднородности размеров хорды лопаток.
201
область недопустимых
значений
область допустимых
значений
Рисунок 6.25. Допустимые значения математического ожидания и дисперсии хорды
лопаток
при заданном уровне потерь.
Проводя анализ диаграмм математических ожиданий отклонений
величины хорды лопаток от номинала, представленных на рисунке 6.22,
видим, что наибольшие отклонения хорды имеют ступени 6, 3 и 5, величина
b
M которых соответственно равна 3,48∙10-3, 2,28∙10-3, 1,53∙10-3.
b
Рассматривая диаграммы среднеквадратических отклонений хорды
лопаток от номинала, показанных на рисунке 6.23, наблюдаем аналогичную
b
картину. Максимальные разбросы имеют 6, 3, и 5 ступени, величина S
b
соответственно равна 5,9∙10-3, 3,53∙10-3, 4,21∙10-3. Анализ диаграмм показал,
что третья ступень имеет большее среднее отклонение величины хорд
лопаток примерно на 33%, чем пятая ступень, однако разбросы в пятой
ступени выше на 16%, чем в третьей ступени. Очевидно пятая ступень имеет
много лопаток с крайними значениями по допустимой величине отклонений
202
хорды, что и объясняет большую величину среднеквадратического
отклонения.
На диаграммах потерь от неоднородности размеров хорды лопаток,
представленных на рисунке 6.24, ступени 6, 3 и 5 характеризуются
наибольшими потерями относительно остальных ступеней. Величина потерь
равна 2,38∙10-3 у шестой ступени, 1,82∙10-3 у третьей ступени, 1,98∙10-3 у
пятой ступени. Потери в пятой ступени на 8% выше, чем в третьей. Это
говорит о том, что на величину потерь наибольшее влияние оказывает не
среднее значение отклонений хорд от номинального значения, а величина их
разброса в ступени. Большой разброс величин хорд в решетке РК и НА
приводит к неоднородности потока и, как следствие, к повышенным потерям
в ступени.
Полученные в ходе исследования результаты еще раз подтверждают,
что при производстве и на операции сборки осевого компрессора ГТД
необходимо вести контроль не только за отклонением среднего значения
величины хорды лопаток, но и за разбросом величин хорд лопаток.
Параметры распределений величин радиальных зазоров РК и НА
определялись методом теории одномерных распределений.
Результаты
расчетов
математических
ожиданий,
дисперсий
отклонений величин хорд и радиальных зазоров КВД двигателей ПС-90А
представлены в таблице 6.5.
Анализ распределений геометрических размеров показал, что интервал
изменений значений математических ожиданий радиальных зазоров не
превышает 6-8%, в то время как интервал изменений математических
ожиданий неоднородности размера хорды, составляет 17%. Еще больше
разница между величинами дисперсий, которая исчисляется не в процентах,
а разах. От 1,5 до 3 раз отличаются максимальные и минимальные величины
дисперсий радиальных зазоров и в 6 раз друг от друга отличаются величины
дисперсий неоднородности размеров хорды. Это говорит об отсутствии
контроля за разбросами размера хорды лопаток.
203
Таблица 6.5 – Характеристики параметров компрессоров
b
№
M
b
двигателя
-2
3190008
3191007
3191009
3191013
3192001
3192004
3193002
3290017
3291023
3291030
3292014
3293015
3293016
3293017
3293018
3389009
3391039
3391044
3403017
3403019
3407088
3407099
3490028
3490032
3492037
3492043
3492045
b
D
b
·10
·10-5
0,9601
1,018
1,098
1,098
1,092
1,051
1,094
1,154
1,057
1,095
1,126
1,112
1,153
1,116
1,085
1,120
1,175
1,101
1,067
1,134
1,102
1,104
1,065
1,066
1,097
1,096
1,103
0,421
1,180
0,861
0,75
0,683
0,245
0,777
1,466
0,274
0,958
1,241
1,047
1,560
1,114
0,74
1,140
1,712
0,932
0,381
1,149
0,749
0,977
0,493
0,348
0,818
0,808
1,025
Основные
параметры
Доля
M h РК M h НА Dh РК DhНА
новых
мм
мм
мм2
мм2
лопаток
0,998
1,823
0,020
0,133
0,56
0,999
0,990
1,006
0,985
0,986
0,981
0,991
1,002
0,993
0,990
0,997
1,837
1,868
1,852
1,825
1,832
1,820
1,868
1,883
1,787
1,847
1,815
0,018
0,019
0,039
0,025
0,016
0,019
0,027
0,023
0,025
0,032
0,019
0,126
0,141
0,127
0,159
0,123
0,158
0,116
0,117
0,118
0,164
0,116
0,954
0,992
0,986
1,008
0,985
0,996
0,991
1,767
1,867
1,800
1,878
1,803
1,815
1,784
0,049
0,023
0,018
0,038
0,018
0,040
0,017
0,178
0,131
0,138
0,164
0,123
0,124
0,097
0,493
0,436
0,499
0,393
0,965
0,368
0,989
1,818
0,017
0,141
0,364
1,022
0,993
1,014
1,820
1,800
1,871
0,039
0,017
0,037
0,139
0,129
0,134
0,423
0,337
0,545
и
характеристики
натурных
0,383
0,676
0,482
0,76
0,243
0,392
0,664
0,796
0,254
0,147
двигателей,
замеренные во время ПСИ, представлены в таблице 6.6.
Обработка результатов испытаний проводилась методами теории
многомерных распределений случайных величин с помощью программы
«Эмиссия». Результаты исследований приведены в разделах 6.5.1-6.5.6.
6.5.1 Исследование зависимости КПД компрессора от газодинамических
параметров
Зависимость КПД компрессора от газодинамических и геометрических
параметров определялась по исходным данным, представленным в таблицах
6.5 и 6.6.
204
Общий вид анализируемой зависимости имеет следующий вид
квд f (M b b, Db b, nквд , квд , Gквд , Pвх , tвх , Pк , Tк ) .
Таблица 6.6 – Основные параметры и характеристики натурных двигателей
№
двигателя
3190008
3191007
3191009
3191013
3192001
3192004
3193002
3290017
3291023
3291030
3292014
3293015
3293016
3293017
3293018
3389009
3391039
3391044
3403017
3403019
3407088
3407099
3490028
3490032
3492037
3492043
3492045
Р*вх,
кгс/см2
0,9992
0,9959
1,0077
0,9998
1,0018
1,0000
1,0034
1,0045
1,0072
1,0053
0,9978
1,0095
1,0049
1,0045
1,0364
1,0179
0,9983
0,9993
0,9982
1,0008
1,0087
1,0260
1,0015
1,0088
0,9807
1,0042
1,0047
Ниже
t*вх,
о
С
17,53
-3,36
-9,04
10,58
14,66
-6,59
14,00
17,21
3,36
-1,58
-0,31
2,34
15,40
17,21
-15,57
-4,00
14,31
15,35
6,42
-0,17
14,11
0,72
8,54
-15,65
-2,00
16,33
6,32
приведена
последовательность
nквд,
об/мин
11737
11756
11771
11766
11776
11784
11773
11781
11764
11724
11798
11803
11783
11781
11749
11768
11772
11781
11766
11789
11790
11831
11820
11789
11758
11787
11782
η*квд
π*квд
0,8388
0,8502
0,8337
0,8502
0,8546
0,8613
0,8413
0,8469
0,8246
0,8322
0,8429
0,8269
0,8475
0,8469
0,8219
0,8404
0,8440
0,8672
0,8360
0,8410
0,8457
0,8416
0,8384
0,8524
0,8754
0,8402
0,8479
13,557
13,643
13,948
13,594
13,578
13,558
13,636
13,582
14,214
13,987
13,443
13,523
13,604
13,582
13,960
13,761
13,357
13,627
13,496
13,523
13,665
13,565
13,753
13,737
13,444
14,062
13,615
корреляционная
переменных
Gв0квд,
кг/с
42,37
42,18
42,97
42,41
42,39
42,47
42,32
42,22
43,91
43,05
41,71
41,93
42,46
42,22
42,52
42,36
41,75
42,39
42,36
42,32
42,84
42,45
42,61
42,39
42,04
43,26
42,50
Р*к,
кг/см2
32,28
31,90
31,67
32,05
32,15
32,28
32,26
32,08
32,29
31,60
32,03
32,09
32,22
32,25
31,42
31,39
32,01
31,94
32,25
32,13
32,36
32,07
32,35
32,30
32,06
31,99
32,23
матрица,
соответствует
Т*к,
К
838,37
832,57
837,86
831,18
830,29
828,13
837,33
834,61
851,46
838,55
834,12
843,50
834,24
839,67
842,66
835,43
836,02
822,74
839,67
835,15
836,11
834,76
841,25
832,34
819,09
843,69
834,17
в
Т*т,
К
861,94
857,16
859,61
841,72
840,84
842,64
845,94
837,85
850,65
856,78
832,42
844,77
835,16
823,98
838,22
857,38
850,82
859,04
823,98
825,56
822,80
820,90
858,39
835,84
839,91
856,09
835,87
которой
последовательности
приведенной выше формулы. Анализ результатов показал отсутствие
влияния на КПД всех факторов, кроме степени повышения давления за КВД,
давления и температуры за компрессором. Учитывая эмпирические данные
замеров параметров 27 двигателей, была установлена зависимость, которая
описывается следующей формулой:
квд 1,812 0,01061 квд 0,01422 Pк 0,001877 Tк ,
205
с
величиной
остаточной дисперсии S 0 0,0032 и сводным коэффициентом корреляции
. 0,96 .
Матрица коэффициентов корреляции
1.0000
0.0492
0.0497
0.1054
-0.5110
-0.3689
-0.6004
0.1625
0.2614
-0.9173
0.0492
1.0000
0.7349
0.3004
-0.2272
-0.2669
0.0995
0.1684
-0.1805
-0.1031
0.0497
0.7349
1.0000
0.0786
-0.3606
-0.4756
-0.0083
0.2538
-0.3017
-0.1428
0.1054 -0.5110 -0.3689
0.3004 -0.2272 -0.2669
0.0786 -0.3606 -0.4756
1.0000 -0.2878 -0.2023
-0.2878 1.0000 0.8836
-0.2023 0.8836 1.0000
0.1505 0.4159 0.2364
0.0923 -0.2598 -0.0380
0.3989 -0.3455 -0.0167
-0.0238 0.5724 0.5030
-0.6004
0.0995
-0.0083
0.1505
0.4159
0.2364
1.0000
-0.3344
-0.4249
0.4639
0.1625
0.1684
0.2538
0.0923
-0.2598
-0.0380
-0.3344
1.0000
0.4576
0.0320
0.2614 -0.9173
-0.1805 -0.1031
-0.3017 -0.1428
0.3989 -0.0238
-0.3455 0.5724
-0.0167 0.5030
-0.4249 0.4639
0.4576 0.0320
1.0000 -0.0076
-0.0076 1.0000
Анализ показал зависимость КПД от степени повышения давления,
давлением и температурой на выходе из компрессора. Отсутствие
зависимости от всех остальных факторов можно объяснить следующим.
КПД является расчетной величиной (результатом косвенного замера),
которая определяется по замерам величин исследуемых факторов. В
дальнейшем при анализе потерь использовались результаты прямого замера.
6.5.2 Исследование влияния радиальных зазоров
Влияние параметров распределения зазоров РК и НА определялось по
результатам 23 испытаний. Получена зависимость давления за компрессором
от следующих факторов:
Pк 12,52 2,844 104 Db b 0,0046 nквд 9,399 Pвх 0,01316 t вх , (6.13)
с величиной остаточной дисперсии S 0 0,151 и сводным коэффициентом
корреляции . 0,832 . Выявлено отсутствие связи между Рк и параметрами
распределения радиальных зазоров при существенном влиянии дисперсий
размеров хорды. Это можно объяснить тем, что на производстве ведется
достаточно жесткий контроль за величинами зазоров. При статистическом
206
анализе можно выявить влияние только тех факторов, которые имеют
достаточно большой интервал изменения. Это означает, что уровень
требований к величинам зазоров в настоящее время обеспечивает
необходимое качество работы компрессора. Противоположный вывод надо
сделать относительно распределения величины хорды лопаток. Этот
параметр в настоящее время достаточно сильно влияет на величину давления
за компрессором, но контролю и учету не подвергается. Из этого следует,
что требования к распределениям величины хорды не определены и не
используются при проектировании ГТД. Введение рекомендаций на
величину математического ожидания и дисперсии размера хорды позволят
повысить эффективность работы двигателя.
6.5.3 Исследование влияния неоднородности размера хорды лопаток
Дальнейший анализ проводился без учета параметров распределения
зазоров.
Зависимость
давления
Pк f ( M b b, Db b, nквд , Gквд , Pвх , tвх ) ,
за
определялась
компрессором
по
результатам
замеров параметров 27 двигателей. Получена зависимость давления за
компрессором от следующих факторов:
Pк 21,2 3,1104 Db b 0,00535 nквд 9,529 Pвх 0,01065 t вх ,
(6.14)
с величиной остаточной дисперсии S 0 0,153 и сводным коэффициентом
корреляции . 0,81 . Корреляционная матрица приведена ниже. Анализ
показал наличие влияния дисперсии неоднородности размеров хорды,
оборотов ротора КВД, давления и температуры окружающей среды на
давление за компрессором.
207
Матрица коэффициентов корреляции
1.0000 -0.1805 -0.3017
-0.1805 1.0000 0.7349
-0.3017 0.7349 1.0000
0.3989 0.3004 0.0786
-0.0167 -0.2669 -0.4756
-0.4249 0.0995 -0.0083
0.4576 0.1684 0.2538
0.3989 -0.0167 -0.4249
0.3004 -0.2669 0.0995
0.0786 -0.4756 -0.0083
1.0000 -0.2023 0.1505
-0.2023 1.0000 0.2364
0.1505 0.2364 1.0000
0.0923 -0.0380 -0.3344
0.4576
0.1684
0.2538
0.0923
-0.0380
-0.3344
1.0000
Характерно отсутствие влияния математического ожидания отклонений
хорды от номинала на величину потерь в компрессоре. Данная величина
может уменьшить количество механической работы подведенной к газу,
однако она не вызывает изменения характера течения газа за ступенью
компрессора. Определяющее значение имеет дисперсия отклонений хорды,
т.к она приводит к изменениям параметров газа, выходящих их каждого
межлопаточного
канала.
Здесь
начинаются
процессы
смешения
с
турбулизацией пограничного слоя, которые и ведут к возникновению
значительных потерь.
6.5.4 Исследование влияния неоднородности размера хорды при помощи
теории подобия
В данном исследовании использовалось достаточно большое количество
опытов, но из-за необходимости выявить влияние значительного числа
факторов число степеней свободы выборки незначительно. Для улучшения
точности анализа необходимо было уменьшить число независимых
переменных. Для этого применялась теория подобия. В результате чего
выборка имеет 9 переменных, число независимых размерностей – 4. Это:
сила, линейный размер, градус Кельвина и время. Исходные данные для
расчета приведены в таблице 6.7. В соответствии с π-теоремой [47,91] все
переменные можно заменить 5 критериями подобия:
1
Рк
- безразмерное давление за компрессором,
Рср
208
2
Рт
- безразмерное давление за турбиной,
Рср
3
Тк
- безразмерная температура за компрессором,
Т ср
4
Тт
- безразмерная температура за турбиной,
Т ср
5
GF
60 - безразмерный расход воздуха.
nРср
Вследствие того, что анализу подвергаются результаты испытания
одной конструкции двигателя, значение площади проходного сечения может
быть любым положительным числом.
Для обеспечения подобия распределений в качестве критериев
приняты коэффициенты вариации: 6 b - неоднородности хорды, 7 РК радиальных зазоров рабочего колеса,
8 НА - радиальных зазоров
направляющего аппарата.
Анализ
зависимость
проводился
по
безразмерного
результатам
давления
21
испытания.
за
Получена
компрессором:
1 38,41 3,218 6 1,866 3 с величиной остаточной дисперсии S 0 0,30 и
сводным
коэффициентом
корреляции
. 0,58 .
Данное
уравнение
практически совпадает с зависимостью:
Pк 21,2 3,1104 Db b 0,00535 nквд 9,529 Pвх 0,01065 t вх ,
(6.15).
Данный факт подтверждает достоверность проведенного анализа –
разные модели дают одинаковые результаты. Давление за компрессором
зависит от дисперсии неоднородности хорды. Увеличение температуры за
компрессором ведет к уменьшению степени повышения давления. В
дальнейшем при проведении расчетов можно использовать любое из
полученных уравнений.
209
Таблица 6.7. Исходные данные, приведенные в форме критериев подобия
№
6 b
двигателя
3190008
3191007
3191009
3191013
3192001
3192004
3193002
3290017
3291023
3291030
3292014
3293015
3293016
3293017
3293018
3389009
3391039
3391044
3403017
3403019
3407088
3407099
3490028
3490032
3492037
3492043
3492045
0,2138
0,3374
0,2672
0,2494
0,2393
0,1489
0,2548
0,3318
0,1566
0,2827
0,3129
0,2910
0,3426
0,2991
0,2507
0,3015
0,3521
0,2773
0,1829
0,2989
0,2483
0,2831
0,2085
0,1751
0,2607
0,2594
0,2903
7 РК 8 НА 1
0,1429
0,2003
0,1346
0,1402
0,1966
0,1593
0,1270
0,1398
0,1671
0,1526
0,1579
0,1801
0,1373
0,1929
0,2007
0,1922
0,2188
0,1914
0,2183
0,1826
0,1815
0,1919
0,2190
0,1876
0,2313
0,1515
0,1347
0,1922
0,1351
0,2009
0,1335
0,2390
0,1940
0,2063
0,2158
0,1942
0,1936
0,1749
0,1326
0,2065
0,1922
0,1306
0,1901
0,2049
0,1996
0,1956
Рк
Рср
32,300
32,029
31,427
32,061
32,095
32,277
32,150
31,939
32,062
31,429
32,098
31,789
32,060
32,109
30,320
30,843
32,065
31,967
32,312
32,103
32,084
31,254
32,300
32,021
32,691
31,853
32,078
3
Тк
Т ср
2,886
3,088
3,174
2,931
2,886
3,108
2,918
2,876
3,081
3,089
3,059
3,063
2,893
2,893
3,273
3,106
2,910
2,853
3,005
3,061
2,912
3,050
2,988
3,234
3,022
2,916
2,986
4
Тт
GF
5
60
Т ср
nРср
2,967
3,179
3,257
2,968
2,923
3,163
2,948
2,887
3,078
3,157
3,053
3,068
2,896
2,839
3,256
3,187
2,961
2,979
2,949
3,026
2,866
2,999
3,049
3,248
3,099
2,959
2,992
0,2168
0,2161
0,2173
0,2163
0,2156
0,2162
0,2150
0,2140
0,2223
0,2192
0,2126
0,2111
0,2152
0,2140
0,2095
0,2122
0,2132
0,2161
0,2164
0,2152
0,2161
0,2099
0,2159
0,2139
0,2187
0,2193
0,2154
6.5.5 Исследование влияния количества новых лопаток,
устанавливаемых при ремонте
Проведена обработка данных аналогично приведенным в п. 6.5.3 с
добавлением одного параметра – доли новых лопаток, основанной на 21
замере
параметров
двигателей
Pк f ( Db b, долянов. лоп , nквд , Gквд , Pвх , tвх ) .
Получена зависимость давления за компрессором от следующих факторов:
Pк 12,9 3,363 104 Db b 0,00456 nквд 10,82 Pвх 0,0123 t вх ,
(6.16)
с величиной остаточной дисперсии S 0 0,148 и сводным коэффициентом
210
корреляции . 0,799 . Корреляционная матрица приведена ниже:
Матрица коэффициентов корреляции
1.0000 -0.4498
-0.4498 1.0000
-0.1402 -0.3760
0.3477 0.1072
-0.3285 0.0938
0.4259 0.0864
-0.1402
-0.3760
1.0000
-0.6140
-0.0153
-0.0996
0.3477 -0.3285
0.1072 0.0938
-0.6140 -0.0153
1.0000 0.1099
0.1099 1.0000
0.0882 -0.0609
0.4259
0.0864
-0.0996
0.0882
-0.0609
1.0000
Анализ показал наличие существенной зависимости давления за
компрессором от дисперсии отклонений хорды ( 0,625 ) и отсутствия
зависимости от доли новых лопаток в собранном компрессоре ( 0,11 ).
Доля новых лопаток, конечно, должна влиять на величину потерь в
компрессоре, но влияние этого фактора опосредованное. Вводя новые
лопатки, мы изменяем среднее значение и дисперсию отклонений хорды,
которые и будут определять потери. Исходя из опыта проведения ремонта
компрессоров,
чтобы
обеспечить
существенное
увеличение
КПД,
необходимо вводить достаточно большое количество новых лопаток (до 60 –
80%). Это объясняется тем, что вводя небольшое количество новых лопаток,
мы увеличиваем разбросы хорды, что ведет к увеличению потерь.
Следовательно, рационально регулировать величину потерь в компрессоре
за счет контроля дисперсии хорды лопаток, что дает достаточно большой
экономический эффект, а не за счет повышения количества новых лопаток.
6.5.6 Удержание потерь в компрессоре ГТД на заданном уровне в
зависимости от неоднородности величины хорды лопаток
Используя уравнение регрессии
Pк 21,2 3,1104 Db b 0,00535 nквд 9,529 Pвх 0,01065 t вх ,
полученное при исследовании влияния неоднородности размера хорды
лопаток, построим зависимости давления торможения и проведем их анализ.
При расчете Рк использовались следующие исходные данные:
изменения дисперсии неоднородности размера хорды варьировалось от 1·10 211
6
до 5·10-5; давление на входе в двигатель от 0,98·105 до 1,08·105 Па;
температура на входе в двигатель от -17 до 17 ºС.
Pк*
32.5
31.9
31.3
1
2
3
30.7
4
5
30.1
29.5
0
1.2 10
5
2.4 10
5
3.6 10
5
4.8 10
5
6 10
5
Db b
Рисунок 6.26. Давление торможения за компрессором ГТД в зависимости от дисперсии
неоднородности размера хорды лопаток: 1,2,3,4,5 при Pвх =0,98; 1,005; 1,03; 1,055; 1,08
·105 Па, соответственно при фиксированных значениях nквд=11777 об/мин, tвх=5 оС.
Рассматривая зависимости давления торможения за компрессором ГТД
от неоднородности размера хорды лопаток (см. рисунок 6.26), видим, что с
ростом дисперсии неоднородности размера хорды от 1·10-6 до 5·10-5
уменьшается давление торможения на выходе из компрессора ГТД от
32,5·105 до 30,9·105 Па (при Рвх=0,98·105 Па), снижение Рк составляет 5% от
начального уровня, что эквивалентно изменению давления воздуха на входе
в ГТД на 15%.
Аналогичный вывод можно сделать из зависимостей давления
торможения за компрессором ГТД от температуры воздуха на входе в ГТД
(см. рисунок 6.27). Анализ данных показал, что влияние дисперсии
неоднородности размера хорды влияет на давление торможения за
212
компрессором гораздо сильнее, чем температура и давление окружающей
среды.
Pк*
33
1
32.5
2
32
3
4
31.5
5
31
30.5
20
15
10
5
0
5
10
15
20
tвх
Рисунок 6.27. Давление торможения за компрессором ГТД в зависимости от температуры
воздуха на входе в ГТД: 1,2,3,4,5 при Db b =1·10-6; 1,35·10-5; 2,6·10-5; 3,85·10-5; 5,1·105
, соответственно при фиксированных значениях nквд=11777 об/мин, Рвх=0,99 ·105 Па.
В соответствии с техническими условиями на натурный двигатель,
учетом средних суммарных отклонений параметров в процессе производства
и эксплуатации, максимально допустимое отклонение давления торможения
за компрессором составляет ± от 1 до 2.4%. Это подтверждают
статистические данные, полученные при проведении ПСИ, в которых
указаны
среднеквадратические
характеристик
узлов
натурных
отклонения
двигателей
основных
(см.
параметров
таблицы
Д.2,
и
Д.3,
Приложения Д). Среднеквадратическое отклонение давления торможения
находится в пределах от 0,11·105 до 0,18 ·105 Па для новых двигателей, от
0,15·105 до 0,35 ·105 Па для двигателей после ремонта.
В связи с выше сказанным, принимаем среднее значения давления
торможения за компрессором ГТД
равным 32,15·105 Па с предельным
213
отклонением ±1%. Из зависимости, полученной в ходе исследования
Pк 21,2 3,1 104 Db b 0,00535 nквд 9,529 Pвх 0,01065 t вх ,
значений дисперсии неоднородности размера хорды лопаток
диапазон
должен
находится в пределах от 1,5·10-6 до 2,25·10-5 для удержания Рк на уровне,
обозначенном требованиями ТУ.
Средняя величина хорды лопаток для 1-6 ступени, составляет b=42 мм,
7-9 ступени b=25 мм, 10-13 ступени b=22 мм. Основываясь на данных о
дисперсии неоднородности размеров хорды лопаток и средней величине
хорды, рассчитаем значение среднеквадратического отклонения абсолютной
величины хорды. Для 1-6 ступени S b находится в диапазоне значений от
0,05 до 0,2 мм, 7-9 ступени от 0,03 до 0,12 мм, 10-13 ступени от 0,03 до 0,1
мм.
Для приближенных оценок можно использовать следующие величины:
среднее значение хорды лопаток рабочего колеса и направляющего аппарата
должно составлять от 0.985 до 1,00 от величины номинального значения со
среднеквадратичным отклонением не более 0,005 от величины среднего
значения хорды.
В результате теоретического и экспериментального исследования
выявлено, что наибольшее влияние на потери от неоднородности оказывает
дисперсия неоднородности размера хорды лопаток. Исследования показали,
что потери от неоднородности размера хорды в компрессоре могут
составлять 0.8…1.2%. Применение методики и программного обеспечения
«ХОРДА» позволит производить подбор лопаток с помощью компьютера и
повысить эффективность работы ГТД, а также снизить себестоимость
восстановительного
ремонта,
исключив
компрессора.
214
последующие
переборки
ГЛАВА 7. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ РАБОТЫ КАМЕРЫ
СГОРАНИЯ
7.1. Постановка задачи и принятые допущения
Распределительные устройства, предназначенные для разделения
основного потока жидкости по большой совокупности каналов, достаточно
часто встречаются в технике, например, в газотурбинных и жидкостных
ракетных двигателях. Основное требование при их проектировании
заключается в обеспечении минимального разброса между параметрами
течения на выходе из каждого канала. Величина этого разброса будет зависеть
от величины потерь давления в каждом канале, допусков на геометрические
размеры канала и форсунки, точности поддержания заданного давления и
расхода в коллекторе, отклонений характеристик жидкости от номинальных
значений, разбросов параметров течения газа в камере сгорания. Однако,
методик определения связи между этими разбросами в литературе не описано.
Рассмотрим систему подачи топлива в камеру сгорания газотурбинного
двигателя. Расчетная схема устройства представлена на рисунке 7.1.
Рисунок 7.1. Расчетная схема
Горение
жидкого
топлива
-
процесс
физико-химического
взаимодействия топлива с окислителем, причем процесс, протекающий
между компонентами, находящимися в одном агрегатном состоянии. Значит,
215
для сжигания жидкого топлива его предварительно нужно распылить, с
помощью форсунок, и испарить. Чем меньше капли жидкого топлива
образуются после распыла из форсунки, тем большая достигается
поверхность для испарения. Таким образом, качество сгорания топлива в
камере сгорания обусловлено временами полного испарения топлива,
перемешивания с воздухом и протекания химической реакции. На параметры
протекания этих процессов конструктор может влиять только улучшением
характеристик распыления топлива. В данной работе рассматривается
влияние факторов, определяющих равномерность распределения топлива по
поперечному сечению камеры сгорания, что обеспечит повышение КПД и
стабильности работы двигателя.
Рассматривается стационарный режим работы всей системы. В качестве
детерминированных зависимостей применяются традиционные методики
описания течения жидкостей и газов в нуль – мерной или одномерной
постановке [15,35,62]. Рассматриваются «короткие» магистрали, в которых не
учитываются волновые процессы в потоке [115]. Обозначения параметров
течения общепринятые. Распределения всех параметров приняты имеющими
нормальный закон. Методика основывается на применении метода вариаций
[22,29,32]. В качестве определяющих факторов выбраны газодинамические
параметры потока продуктов сгорания, поэтому результаты данной работы
применимы для любых типов конструкции камер сгорания – трубчатых,
кольцевых и трубчато – кольцевых.
7.2. Вариации расхода топлива при подаче его в камеру сгорания
Рассмотрим течение жидкости в одной трубке, расход через которую
будет иметь величину G1 . При течении жидкости через трубку будут
возникать потери, которые будем характеризовать коэффициентом потерь p
. Тогда перепад давления на форсунке будет p Pb Pk , где Pb - давление в
коллекторе, Pk - давление в камере сгорания. Тогда расход топлива через один
216
канал будет определяться Gt Fф 2 p Pb Pk , где - коэффициент
расхода, Fф - площадь проходного сечения форсунки, - плотность топлива.
Считая перечисленные параметры постоянными ( , Fф , ) определяем
вариации переменных в безразмерном виде:
Gt
Gt
где
Fф
Fф
1 1 p 1 1 Pb
,
2 p 2 Pb
p Pb Pk
- безразмерный перепад давлений на форсунке.
p Pk
Определим вариации расхода по сечению камеры сгорания, считая, что
количество форсунок равно m . При работе устройства возможны отклонения
расхода
топлива
на
входе
коэффициентом вариации
в
коллектор,
что
будет
определяться
G
. В соответствие с выводами, полученными в
G
главе 2 настоящей работы, считаем, что при разделении потока между «m»
каналами в каждом канале будет проходить доля расхода, равная
коэффициентом
вариации
Gi
Gi
G
G
.
После
прохождения
1
с
m
форсунок
происходит объединение потоков в единый поток, математической ожидание
m
расхода которого равно Gt
1
Gt
1
Gi , а коэффициент вариации
m
1 2
1
1
1
2 G22 ... 2 G2m G
G m ,
2 G1
m
m
m
m
где - коэффициент вариации параметра, представляющий отношение
среднеквадратичного
отклонения
параметра
к
его
математическому
ожиданию.
Это означает, что при прохождении системы форсунок коэффициент
вариации расхода остается постоянным (разделение потока), после этого
происходит объединение потоков с сохранением математического ожидания
217
расхода, но уменьшением его среднеквадратического отклонения на величину
m . На эту же величину уменьшается и коэффициент вариации расхода. Такое
же уменьшение разбросов будет и для других параметров потока (давление,
температура и т.д.). Точно также будут суммироваться разбросы потерь и
влияние разбросов площадей проходных сечений форсунок. Коэффициент
вариации расхода будет иметь вид
t
1 2
1 2
P .
42 P 4 2 b
m F2Ф
G
Зависимость коэффициента уменьшения разбросов от количества форсунок в
камере сгорания приведена в табл. 7.1.
Таблица 7.1. Зависимость коэффициента уменьшения разбросов от количества
форсунок
m
4
6
8
10
12
14
16
18
20
m
0,5
0,408
0,354
0,316
0,289
0,267
0,250
0,236
0,224
Необходимо отметить, что данное преобразование для дисперсии
справедливо для случая, когда отсутствуют стохастические связи между
отклонениями
площади
проходного сечения
форсунки, потерями
в
трубопроводе и давлением в коллекторе. В практике величина уменьшения
разбросов будет меньше и будет определяться конкретной конструкцией
форсуночного блока и камеры сгорания.
С учетом выводов в разделе 2.2 производим замену
PK
PK
P0
P0
F 1 1 1 p 1 1 Pb 1 1 P0
m ф
Gt
F
2
2
2
P
2
1
P
ф
p
b
0
Gt
Определим разбросы расхода топлива по поперечному сечению камеры
сгорания:
218
1
1 1
1 1
1
1
Gt m2 2 F2Ф 2
2
2
2 , где 2 P0
2 P
2 Pb
4
4
4
4 1
характеризует разброс плотности топлива, Pb - точность поддержания
давления топлива в коллекторе.
Определяющее значение для уменьшения разбросов расхода топлива
имеют разбросы давления в камере сгорания, которые трудно поддаются
регулировке и определяются конструкцией двигателя, а не только камеры
сгорания. Например, имеет большое значение стабильность работы
компрессора и воздухозаборника. Расчеты показали, что изменение
коэффициента вариации площади форсунки от 0,004 до 0,024, т.е. в рамках
обычных допусков,
влияет на коэффициент вариации расхода топлива
незначительно и составляет 0,0025 (при коэффициенте вариации расхода
топлива рамном 0,1) и 0,0083 (при коэффициенте вариации расхода топлива
рамном 0,0001). Это говорит о том, что существующие допуска на площадь
проходного сечения форсунки практически не влияют на неоднородность
температуры в камере сгорания, т.е. допуска назначены правильно.
Определяющим фактором с точки зрения уменьшения разбросов расхода
топлива будет перепад давления на форсунках. В таблице 7.2 приведена
зависимость коэффициента вариации расхода топлива от величины
безразмерного перепада давления .
Таблица 7.2. Зависимость коэффициента вариации расхода топлива от величины
безразмерного перепада давления
1,1
G
0,050
t
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
0,026 0,0213 0,0165 0,0119 0,0105 0,0096 0,0089 0,0056 0,0050
Из анализа таблицы можно сделать вывод о существенном влиянии
безразмерного перепада давления на форсунках на величину разбросов
расхода топлива. Например, увеличение безразмерного перепада с величины
1,2 до 1,5 уменьшает разбросы расхода топлива более чем в два раза. Это
219
позволяет улучшить стабильность работы, как камеры сгорания, так и всего
двигателя.
Произведены расчеты зависимостей коэффициентов вариации расхода
топлива от коэффициентов вариации давления в коллекторе рисунок 7.1 и в
камере сгорания рисунок 7.2. при различных значениях безразмерного
перепада давления на форсунках при следующих исходных данных:
0.004 , Ф 0.005 , 0.002 , P 0.003, Pb 0.01, P0 0.01.
G
0.03
t
0.025
1
0.02
2
0.015
3
4
0.01
5
3
510
4
510
110
3
1.510
3
P
3
210
b
Рисунок 7.1. Зависимость коэффициента вариации расхода топлива от коэффициента
вариации давления в коллекторе при различных значениях безразмерного перепада
давления на форсунках при ω=1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, соответственно.
Анализ графиков показал, что определяющее влияние на разбросы
расхода топлива оказывает перепад давления на форсунках. При малых
перепадах давления существенное влияние оказывает разброс давления в
камере сгорания, при больших перепадах это влияние пропадает. Разбросы
давления в коллекторе практически не влияют на стабильность подачи
220
топлива
в
камеру
сгорания.
Основными
мерами
для
обеспечения
стабильности подачи топлива в камеру сгорания являются увеличение
перепада давления на форсунках, некоторое влияние может оказать
уменьшение разбросов давления на входе в камеру сгорания, т.е. улучшение
стабильности работы компрессора, но это сделать достаточно сложно.
G
3
810
t
3
7.810
1
3
7.610
2
3
7.410
3
3
4
7.210
3
710
5
3
6.810
4
510
3
110
3
3
1.510
210
P
k
Рисунок 7.2. Зависимость коэффициента вариации расхода топлива от
коэффициента вариации давления в камере сгорания при различных значениях
безразмерного перепада давления на форсунках при ω=1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0,
соответственно.
7.3. Вариации поля температур в камере сгорания
Неоднородность поля расходов во многом определяет эффективность
работы
камеры
сгорания,
однако
этот
показатель
не
учитывает
неоднородность потока воздуха на входе в камеру, а, значит, и соотношение
расходов компонентов. Кроме этого, не учитываются разбросы характеристик
топлива. Надо учитывать также и то, что разбросы расходов по сечению
камеры очень трудно определяются при экспериментальных работах. Лучшей
221
характеристикой
эффективности
работы
камеры
сгорания
будет
неоднородность поля температур по поперечному сечению камеры сгорания.
Для определения этой характеристики необходимо знать зависимость
энтальпии продуктов сгорания от соотношения расходов компонентов.
Уравнение
неразрывности
Gk G0 Gt G0ст
будет
выглядеть
следующим
образом
1 L0
, где - коэффициент избытка воздуха, L0 - расход
L0
воздуха, обеспечивающий стехиометрическое соотношение компонентов.
Индексы – «k» - камера сгорания, «0» - вход в камеру сгорания, «t» - топливо,
«ст» - параметры при стехиометрическом соотношении компонентов.
Энтальпия продуктов сгорания будет определяться из уравнения энергии
J k Gk J 0G 0 HGt , где H - теплотворная способность топлива при его полном
сгорании. Однако, выражения для энтальпии будут различными для разных
величин соотношения компонентов. При 1 не хватает окислителя,
поэтому подавая полный расход топлива не получается полностью
использовать его теплотворную способность, поэтому энтальпия будет
пропорциональна величине соотношения расходов компонентов и будет
возрастать при увеличении соотношения расходов. J k
L0
J0
H
1 L0
1 L0
. При 1 реализуется вся теплотворная способность топлива, но избыток
поступающего воздуха с достаточно низкой энергией уменьшает энтальпию с
увеличением соотношения расходов. J k
L0
1
J0
H . В общем
1 L0
1 L0
виде энтальпия продуктов сгорания будет иметь вид
L0
1 L J 0 1 L H при 1
0
0
Jk
L0
1
J0
H при 1
1 L0
1 L0
Переходим к вариациям температуры при 1 :
222
(7.1).
J k
Jk
где qH
1 qH
J 0
J0
qH
H
H
,
1 L0
1
(7.2)
H
H
- доля энергии топлива в общей энергии
ст
Jk
L0 J 0 H
продуктов сгорания при стехиометрическом соотношении компонентов.
Вариация соотношения расходов компонентов
вид
G0
будет иметь
L0Gt
G0 Gt
. Расход воздуха, поступающего в камеру сгорания,
G0
Gt
G0
P0 Fk q
G0 P0 1 T0
имеет вариации
q . Разбросами
G0
P0 2 T0
T0
площади проходного сечения камеры сгорания пренебрегаем из-за их
малости. Тогда вариация температуры продуктов сгорания в камере при 1
будет определяться с учетом соотношения
J T R
:
J
T
R
1 1 T0
H 1 1 R
1 qH
qH
2 1 L0 T0
Tk
H 2 1 L0 R
1 Pk
G
q t
1 L0 Pk
Gt
Tk
Аналогично определяется величина неоднородности температуры при
1.
J k
Jk
1 qH
J 0
J0
qH
H
H
L0
,
1 L0
R
1 L0 T0
H 1 L0
1
qH
qH
q
H
2
1
2
1
Tk
L
T
H
L
R
0
0
0
L0 P0
Gt
q
1 L0 P0
Gt
Tk
Коэффициент
вариации
неоднородности
стехиометрическом соотношении компонентов
223
температуры
при
R
1 L0 T0
H 1 L0
1
q
q
q
H
H
H
2 1 L0 T0
Tk
H 2 1 L0
R
L0 P0
G
q t
1 L0 P0
Gt
Tk
Полученные формулы имеют неудобство, заключающееся в том, что
имеют разный вид для различных соотношений расходов компонентов.
Поэтому применяем аппроксимацию энтальпии продуктов сгорания в виде
экспоненты. Для этого преобразуем формулу (7.1) к безразмерному виду в
форме отношения энтальпий при конкретном соотношении расходов и при
стехиометрическом соотношении компонентов.
J k Gk J 0G0 HGt J 0G0 J 0G0c J 0G0c HGt HGtc HGtc ,
где индексы обозначают: «k» и «c» - параметры при произвольном и
стехиометрическом соотношении компонентов, «t» и «0» - параметры топлива
и подаваемого в камеру сгорания воздуха.
После преобразований получаем (для случая 1 )
G0c J 0
Gtc H
G0c J 0 Gtc H
1 L0
.
1
1
J kc
Jk
Gk
Gk
Gk
1 L0
При выводе приведенной формулы использовано следующее равенство
Gk Gt 1 L0 . Для случая 1 аналогично. Приводим формулу (7.1) к
следующему виду
Рассмотрим
1 L0
J k 1 L0
Jk c
J k 1 L0
1 L0
функцию
при 1
(7.3).
при 1
при 1
.
y
1 при 1
Ее
аппроксимацию
лучшевсего сделать в виде экспоненциальной зависимости y 1 e .
2
Все перечисленные функции приведены на рисунке 7.3.
224
Аппроксимация, обладает достаточно
хорошей
сходимостью
–
среднеквадратичная погрешность имеет величину S0 1,8% . На рисунке 7.4
приведены зависимости в соответствии с формулой (7.3) и ее аппроксимация
2
1 L0
1 L0
Jk
1 e и ее уточнение в виде J k
1 L0
1 L0
5
2
1 e 6 .
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
Рисунок 7.3. Зависимость y f и ее аппроксимация
Рис.7.4. Зависимость энтальпии продуктов сгорания от коэффициента избытка
воздуха
225
Уточнение аппроксимации сделано с целью обеспечения равенства
значений энтальпии при стехиометрическом соотношении для теоретической
зависимости
и
ее
аппроксимирующей
аппроксимации.
функции
Среднеквадратическое
в
отклонение
Окончательно
1 L0
Jk
1 L0
виде
при
принимаем
применении
вид
5
2
1 e 6 .
этого
вида
аппроксимации на интервале соотношения расходов компонентов от 0,6 до 7,
отнесенное к величине энтальпии продуктов сгорания не превышает 1%.
Определяем вариацию энтальпии в зависимости от соотношения расходов
5
2
J k 5 2 e 6
L0
.
е
5
2
1
Jk 3
L
0
1 e 6
При значениях 1,7 величину константы можно принимать равной
е
L0
с погрешностью не превышающей 1%.
1 L0
Вариация энтальпии в общем виде будет иметь вид
J k
Jk
1 q H
J 0
J0
qH
H
H
(7.4).
Подставляем вариацию соотношения расходов, выраженную через
вариации расходов воздуха и топлива, и переходим от энтальпий продуктов
сгорания к температурам.
Tk
Tk
1 T
1 R
H
1 qH е 0 qH
qH е
H
2 T0
2 R
P
G
е 0 q t
Gt
P0
226
Расчеты в этом и следующих разделах данной главы производились при
T 0.002 , P 0.004 , P2 0.003,
следующих исходных данных:
0
0.002 ,
R 287
H 0.005,
Дж
,
кг К
R 0.003,
С p 1,005
Pb 7,0МПа , k 1,33 ,
0
кДж
,
кг K
L0 15 ,
Fb 0.003 ,
k 0,2 ,
Tk 700К ,
b
H 40000
кДж
,
кг
P0 3,0МПа ,
qH 0.8 .
Результаты расчетов представлены на рисунках 7.5, 7.6, 7.7.
T
0.01
k
3
910
1
2
3
3
810
4
3
710
3
610
5
3
510
0.1 10 2 0.2 10 2 0.3 10 2 0.4 10 2 0.5 10 2
G
t
Рисунок 7.5. Зависимость коэффициента вариации температуры в камере сгорания
от коэффициента вариации расхода топлива при различных коэффициентах избытка
воздуха при ά=1, 3, 5, 7, 15, соответственно.
Увеличение коэффициента вариации расхода топлива от 0,01 до 0,06
ведет к изменению коэффициента вариации температуры в камере сгорания
от 0,07 до 0,09 (почти на 30%), т.е. влияние данного фактора на
неоднородность температуры в камере сгорания является существенным.
Расчеты показали, что изменение коэффициента вариации плотности топлива
от 0,01 до 0,06, влияет на коэффициент вариации температуры в камере
сгорания незначительно и составляет 0,0034 (при коэффициенте вариации
227
теплотворной способности топлива 0,0001) и 0,0016 (при коэффициенте
вариации теплотворной способности топлива 0,1). Это говорит о том, что все
из назначенных для двигателя виды топлива практически не влияют на
неоднородность температуры в камере сгорания. Вместе с тем, увеличение
коэффициента вариации теплотворной способности топлива от 0,001 до 0,1
ведет к изменению коэффициента вариации температуры в камере сгорания
от 0,028 до 0,060 (почти в два раза), т.е. влияние данного фактора на
неоднородность температуры в камере сгорания является существенным.
T
k
0.012
0.01
1
3
2
3
4
810
3
610
5
3
410
0.2 10 2 0.4 10 2 0.6 10 2 0.8 10 2
P
k
Рисунок 7.6. Зависимость коэффициента вариации температуры в камере сгорания
от коэффициента вариации давления в камере сгорания при различных коэффициентах
избытка воздуха при ά=1, 3, 5, 7, 15, соответственно.
Анализ показал, что изменение коэффициента вариации давления в
камере сгорания от 0,001 до 0,01 увеличивает коэффициент вариации
температуры в камере сгорания примерно в два раза. Это говорит о том, что
стоит принять меры для получения меньших изменений давления на входе в
камеру сгорания, так как эти отклонения значений давления в камере сгорания
в значительной степени влияют на неоднородность температуры в камере
сгорания.
228
Анализ показал, что изменение коэффициента вариации давления в
топливном коллекторе от 0,01 до 0,6 влияет на коэффициент вариации
температуры в камере сгорания значительно и составляет 0,071 (при
коэффициенте вариации давления в топливном коллекторе 0,0001) и 0,037
(при коэффициенте вариации давления в топливном коллекторе 0,1). Это
говорит о том, что стоит принять меры для получения меньших разбросов
давлений внутри топливного коллектора, так как отклонения значений
давления в топливном коллекторе от расчетной величины в значительной
степени влияют на неоднородность температуры в камере сгорания. Вместе с
тем, увеличение коэффициента вариации расхода топлива от 0,001 до 0,1
ведет к изменению коэффициента вариации температуры в камере сгорания
от 0,051 до 0,107 (почти в два раза), т.е. влияние данного фактора на
неоднородность температуры в камере сгорания является существенным.
T
3
610
k
1
2
3
3
510
4
3
410
3
310
5
3
210
0.02 10 2 0.04 10 2 0.06 10 2 0.08 10 2 0.1 10 2
G
t
Рисунок 7.7. Зависимость коэффициента вариации температуры в камере сгорания
от коэффициента вариации теплотворной способности топлива при различных
коэффициентах избытка воздуха при ά=1, 3, 5, 7, 15, соответственно.
Из анализа графиков можно сделать вывод, что увеличение
коэффициента вариации доли энергии топлива в общей энергии продуктов
229
сгорания при стехиометрии от 0,73 (график имеет выраженный минимум в
этой точке) до 2,7 ведет к изменению коэффициента вариации температуры в
камере сгорания от 0,082 до 0,117 (почти в полтора раза), т.е. влияние данного
фактора на неоднородность температуры в камере сгорания является
существенным.
7.4. Вариации потерь энергии в системе подачи топлива
Все параметры в приведенных выше формулах известны, кроме
коэффициента вариации потерь. Их надо определять с учетом всех видов
потерь в трубопроводах, т.е. учитывать трение, деформацию потока и т.д.
Если учитывать только трение в трубопроводе, то коэффициент потерь можно
приближенно определить в соответствии с традиционными методами
[70,117].
l V 2
с вариацией
Потери давления будут иметь величину P
D 2
P l D
V
, где - коэффициент гидравлического
2
P
l
D
V
сопротивления, l, D - длина и диаметр трубопровода, V - скорость потока.
Величину
коэффициента
68
0,11
Re
гидравлических
0 , 25
с вариацией
потерь
можно
1 Re
VD
, где Re
, - коэффициент
4 Re
кинематической вязкости. Вариация числа Рейнольдса
Re V D
Re
V
D
. Коэффициент потерь будет определяться как p 1
вариации
определить
P
, или через
P
p
P
. После подстановки всех зависимостей в вариацию
P
p
потерь получим:
230
p
1 V D l D
V
2
p
D l
D
V
4 V
,
V
D l 1
2,25
0,75
V
D l
4
Из уравнения неразрывности получаем
Ft Fф 1 1 1 p 1 1 Pb 1 1 P0 Fт
,
Ft
Fф 2 2 p 2 Pb 2 1 P0 Fт
V
Gt
V
Gt
Решая совместно два последних уравнения, получаем выражение
вариации
потерь,
с
учетом
соотношения
Ft
Ft
2
D
D
:
p
Fф
1,125 Pb 1,125 P0
D l 1
0,125
5
,
25
2,25 2,25
p 1,125
Fф
Pb 1 P0
D l 4
Коэффициент вариации потерь
2
2
2
1,125 2 1,125 2
2
2
2
p
5,06 5,06 FФ 0,016
P
P
b 1 k
1,125
2
2
27,5 D2 l2 0,06252
1
,
125
(7.5).
При проведении расчетов коэффициентов вариации расхода топлива
необходим достаточно большой объем исходных данных. В настоящее время
существует достаточно большое количество данных по величинам потерь при
течении жидкостей в самых различных трактах различных конструкций,
однако практически отсутствуют данные по величинам разбросов этих
потерь. Для решения этого вопроса можно использовать аппроксимацию
зависимостей потерь с помощью полиномов Чебышева, которые позволяют
получить зависимость в следующем виде [29,33,118]:
y 0 P0 ( x) 1 P1 ( x) ... k P( x) ,
где
231
m
β0
yi
1
m
m
m
; β0
yi P1(xi )
1
m
P12 (xi )
y i Pk (xi )
i 1
m
βk
;
Pk 2 (xi )
i 1
1
P0 ( x) 1 ; P1 ( x) x
;
m1
;…
2
k 2 (m 2 k 2 )
Pk 1 (x) P1 (x)Pk (x)
Pk -1 (x) .
4(k 2 - 1)
Данный подход используется для уравнений, опытные точки которых
отстоят на одинаковом интервале друг от друга и с одинаковым количеством
опытов на каждом уровне. Для общего случая проведения эксперимента
применялась следующая система уравнений [29,33,118]:
m
P0
2
m
m
1
1
m
m
β0 P0 P1 β1 P0 P2 β 2 P0 P3 β 2 y i P0
1
2
1
m
m
1
1
m
m
m
1
1
1
m
m
m
m
1
1
1
1
P1 P0 β0 P1
2
2
1
m
m
m
1
1
1
m
m
1
1
β1 P1 P2 β 2 P1 P3 β 3 y i P1
P2 P0 β0 P2 P1 β1 P2 β 2 P2 P3 β3 yi P2
2
P3 P0 β0 P3 P1 β1 P3 P2 β 2 P3
2
m
β 3 y i P3 .
1
Остаточная дисперсия уравнения
S 02
1
y i 0 P0 ( xi ) 1 P1 ( xi ) ... k Pk ( xi )2 .
mk 1
Расчет производится при различных степенях уравнения и определяется
то уравнение, которое имеет минимальную остаточную дисперсию. Данный
способ обладает тем достоинством, что при недостаточной точности
232
полученного
уравнения
не
надо
пересчитывать
все
предыдущие
коэффициенты уравнения, а просто добавить новый член более высокого
порядка. Как правило, при аппроксимации достаточно ограничиться
полиномом четвертой степени. Это резко упрощает расчеты. Для того, чтобы
по полученному уравнению определить дисперсию выходного параметра
необходимо применить теорию функций случайных величин [29]. Допустим,
что при обработке опытных данных мы получили зависимость коэффициента
потерь
от
какого
–
то
фактора
x x x x 1 x x 2 x x 2 3 x x 3 4 x x 4
дисперсией
S02 .
Кроме
этого,
известны
с
величины
остаточной
выборочного
математического ожидания и дисперсии определяющего фактора x и S x2 .
Величины математического ожидания и дисперсии коэффициента потерь
будут иметь вид [29]:
S
x f x dx , S2 x 2 f x dx 2 ,
,
где f x - плотность нормального распределения.
Разберем на конкретном примере, в котором использованы данные,
приведенные в работе [62] и таблице 7.3. Здесь рассматривается зависимость
коэффициента потерь от условий входа в трубопровод (рассматривается
отношение радиуса входа в трубопровод к диаметру самого трубопровода).
Таблица 7.3. Зависимость коэффициента потерь от условий входа в трубопровод
0,5
0,44 0,37 0,31 0,26 0,22
0,20 0,175 0,15 0,135 0,12
x
0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
0,06
0,07
При обработке получены следующие зависимости:
0.506 8.08x 57.63x 2 , S0 0.0346
0.506 8.08x 57.63x 2 153x 3 , S0 0.0071
233
0,08
0,09
0,10
0.506 8.08x 57.63x 2 153x 3 2.52 x 4 , S0 0.006 .
Минимальной остаточной дисперсией обладает полином 4 порядка
(хотя можно было бы взять и 3 порядка, отличие в дисперсиях
незначительное). Приводим полученное уравнение к стандартному виду, т.е.
к переменной x x .
x 8.08 x x 57.63 x x 2 153 x x 3 2.52 x x 4 .
Определяем математическое ожидание
x f x dx 8.08 x x f x dx 57.63 x x 2 f x dx
153 x x f x dx 2.52 x x f x dx x 57.63 3 2.52
3
4
2
x
.
4
x
В данном уравнении первый интеграл равен единице, а остальные
являются центральными моментами нормального распределения, значения
которых для четных степеней переменной равны
2 g ! 2 g , а нечетные равны
2 g g!
нулю. Величина дисперсии коэффициента потерь
S2 x f x dx 2 x 1 x 2 x 2 3 x 3 4 x 4 f x dx
2
2
x2 12 x 2 22 x 4 32 x 6 42 x 8 2 x 1 x ... 21 2 x 3 ... f x dx
2
Учитывая, что x2 f x dx 2 , а все нечетные моменты равны нулю, а
также равенство нулю и всех смешанных центральных моментов, т.к. они
являются оценками стохастической связи между коэффициентами уравнения
регрессии при их независимости между собой при данной схеме обработки,
получаем:
S2 12 x2 22 x4 3 32 x6 15 42 x8
С учетом величины остаточной дисперсии начального уравнения
коэффициент вариации в общем виде будет равен
12 x2 22 x4 3 32 x6 15 42 x8 S02
12 x2 22 x4 S02
x 2 x2 3 4 x4
x 2 x2 3 4 x4
234
(7.6).
После
подстановки
численных
значений
( x 0.05 ,
S x 0.003 ,
S0 0.006 ) получаем 0.225 , 0.248 , 0.115 .
Рекомендации по получению многомерных линейных и нелинейных
зависимостей изложены в работах [11,30]. В дальнейшем для получения
оценок коэффициентов вариации можно применить изложенную здесь
методику.
7.5. Вариации газодинамических параметров течения газов в
камере сгорания
Предполагается, что на вход камеры сгорания ГТД подается
адиабатический поток воздуха, к которому добавляется горючее и происходит
их мгновенное химическое взаимодействие. Изменяется расход, количество
движения и удельная энергия продуктов сгорания, которые истекают из
камеры сгорания в дозвуковом адиабатическом процессе [15]. Изменение
термодинамических характеристик газа производится учетом изменения
газовой постоянной, при этом показатель адиабаты считается неизменным. В
соответствии с выводами раздела 2.2 настоящей работы считаем, что вариация
скорости продуктов сгорания равна вариации скорости потока воздуха на
входе в камеру сгорания.
Продукты сгорания образуют равновесную и
однородную смесь. Поток продуктов сгорания в камере считается
стационарным. Известны все параметры потока и их среднеквадратические
отклонения. Для определения дисперсий характеристик камеры сгорания
применялся
метод
вариаций.
Распределение
параметров
считалось
нормальным [29,32]. Целью методики является возможность определения
значений дисперсий статических и заторможенных величин давления и
температуры, расхода, степени восстановления полного давления и скорости
продуктов сгорания в зависимости от случайных отклонений расхода топлива
и газодинамических параметров потока воздуха. Методика разрабатывалась в
соответствии с положениями, полученными в разделе 2.3 настоящей работы.
235
Знание случайных отклонений характеристик камеры сгорания
газотурбинного
двигателя
необходимо
для
повышения
качества
проектирования ГТД. В настоящее время конструктор ориентируется при
проектировании на детерминированные модели работы двигателя, которые
позволяют определить параметры камеры сгорания, близкие к средним
значениям. Знание случайных отклонений дает возможность учитывать
конструктору дополнительно еще и разбросы характеристик, учет которых
позволяет
повысить
качество
принимаемых
технических
решений.
Составляем уравнения сохранения: уравнение неразрывности будет иметь
вид G0 Gt G1 , где G – расход, индексы 0, t, k означают то, что параметр
относиться
к
входному
сечению,
топливу
и
выходному
сечению
соответственно. Сначала рассматривался только подвод массы топлива на
основе уравнения неразрывности:
Gk
Gk
L0 G0
1 Gt
. Потом
1 L0 G0 1 L0 Gt
рассматриваем подвод тепла к газу на основе уравнения энергии
J k
Jk
1 q H
J 0
J0
qH
H
H
Получены следующие выражения для коэффициентов вариации
основных газодинамических параметров:
L0
G
k P0
H
1 R
q
2 q
3 t ,
1
H
Pk
1 L0 k 1 P0
H
2 R
Gt
Pk
1
1
k 1
2
где 1
1 qH e e , 2
2
1 L0
k
2
2
k
1
k 1
, 1 1
2
L
.
0 e
1 L0 k 1
1
2k
2
1
Tk
Tk
k 1 Pk k 1 Pk
,
,
k Pk
k k Pk
236
k
1
k 1 L0 e
1
1 L0
V
2 1 L0
V
где 4 1
P0
H
1 R k 1 Gt
,
q
4 q
H
1 P
H
2 R 2k 3 Gt
0
k 1
2
2k
L0
k P0
H
Gt
1
R
1
q
1 12 q 1 12
1
H
3
Gk
H
Gt
2
R
1 L0 k 1 P0
Gk
L0
Gt
k P0
H 1 R
q
q
f
1
H
2
2
3
K 1 L0 k 1 P0
H 2
R
Gt
K
,
J k
Jk
L0
1 L0
P0
Gt
H k 1
R
1 P qH H k 2 q 3 G 4 R .
0
t
Коэффициенты вариации основных газодинамических параметров на
выходе из камеры сгорания:
2
L0 k 2 2
1
2
P
1 P qH2 H2 22 q 2 R2 32G2t ,
k
0
4
1 L0 k 1
T
k
2
1
k 1
P , P ,
k
k
k k
k
2
1 L0 2 2
1
k 1 2 2
1 P qH2 H2 24 q 22 R2
V
3Gt ,
0
4 1 L0
4 2k
Gk
2
L 2 k 2
1
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
0
1 P0 q H H 3Gt 1 1 2 q 1 1 2 R
4
1 L0 k 1
2
1
L 2 k 2
2 2
2 2
0
K
1 P0 q H H
1 L0 k 1
2
14
2
2
2
R
2
32G2t 2 q f 2 ,
L0 2 2
k 1 2
2
1 P qH2 H2
J k
2 q 2 32G2t 24 R2 .
0
k
1 L0
2
237
Из опытных данных известна связь между газовыми постоянными
1 0.086q
потока на входе и выходе из камеры сгорания R1 R0
[116]. Тогда
1 q
вариация газовой постоянной будет равна:
Gt P0
0.914q
1 T0
q
(
)
0
1 q 1 1.086q Gt P0
R
2 T0 .
Коэффициент вариации:
0.914q
1
R
G2t P2 q 22 T2
0
1 q 1 0.086q
4 0
R
0.914q
k 1 2
G2t
P q 22
1 q 1 0.086q
2k 0
2
Статические
параметры
газового
потока
определяются
в
соответствии с выводами, полученными в разделе 2.1 настоящей работы.
Tk
Tk
Tk
Tk
Расчеты
соответствующих
,
k k
,
,
k
k
Pk
Pk
Pk
Pk
коэффициентов
выходному
вариаций
сечению
проводим
компрессора.
при
условиях,
Коэффициенты
вариаций: температуры торможения – 0.3-1.8%, приведенной скорости – 0.51.5%, теплотворной способности – 0.3-1.5%, давления торможения – 0.5-2%.
Результаты расчета представлены на рисунках 7.8, 7.9.
238
0.05
Pt
0.04
0.03
0.02
T
0.01
V
0
0
2
4
6
Рисунок 7.8. Зависимости коэффициентов вариации давления продуктов сгорания,
температуры, плотности и скорости газового потока на выходе из камеры сгорания от
коэффициента избытка воздуха.
0.05
Gk
0.04
K
0.03
0.02
Jk
0.01
0
0
2
4
6
Рисунок 7.9. Зависимости коэффициентов вариации расхода, количества движения
и энтальпии продуктов сгорания на выходе из камеры сгорания от коэффициента избытка
воздуха.
239
Полученные графики имеют ярко выраженный максимум при малых
значениях коэффициента избытка воздуха, что объясняется резким
возрастанием энтальпии продуктов сгорания на интервале 0...1, и
минимумом при 1.0 , что объясняется эффектом смешения потоков
воздуха и топлива. При 2.0 коэффициенты вариации стабилизируются и
остаются практически постоянными до 7.0 . Коэффициенты вариации
расхода и количества движения продуктов сгорания практически совпадают
друг с другом.
Зависимость коэффициента вариации давления торможения ( Pk ) от
коэффициента вариации давления торможения на входе в камеру сгорания
( P0 ) приведена на рисунке 7.10.
Из анализа данных, приведенных на рисунке 7.10. видно, что
коэффициент вариации давления торможения на выходе из камеры сгорания
достаточно сильно зависит от коэффициента вариации давления торможения
потока на входе в камеру. Коэффициент вариации давления торможения
находится в прямой зависимости от изменения коэффициента вариации
безразмерной скорости потока газов и не зависит доли энергии топлива в
общей энергии продуктов сгорания при стехиометрическом соотношении
компонентов. При изменении коэффициента вариации безразмерной скорости
на 1% коэффициент вариации давления торможения изменяется на 0.5%.
Зависимости коэффициента вариации давления торможения на выходе из
камеры сгорания от коэффициента вариации расхода топлива приведены на
рисунке 7.11.
240
P
*
k
0.05
4
3
2
0.04
1
0.03
0.02
3
510
0.01
P
*
0
Рисунок 7.10. Зависимости коэффициента вариации давления торможения на
выходе из камеры сгорания
P от коэффициента вариации давления торможения P на
k
0
входе в камеру для различных значений доли энергии топлива в общей энергии
продуктов сгорания при стехиометрическом соотношении компонентов при qu = 0.6, 0.7,
0.8, 0.9, соответственно.
Анализ показал, что коэффициент вариации давления торможения
меняется примерно на 5…8% при изменении коэффициента вариации расхода
топлива примерно на одну треть. Влияние доли энергии топлива в общей
энергии продуктов сгорания на коэффициент вариации давления торможения
также незначительно. Увеличение этой характеристики на 15…20% влечет
увеличение коэффициента вариации давления торможения на 1,3…1,8 %.
Зависимости коэффициента вариации давления торможения на выходе из
камеры сгорания от коэффициента вариации теплотворной способности
топлива приведены на рисунке 7.12.
241
P
*
k
0.048
0.046
4
3
0.044
2
1
0.042
0.04
3
110
3
210
310
3
3
410
510
3
G
t
Рисунок 7.11. Зависимости коэффициента вариации давления торможения на
выходе из камеры сгорания
P от коэффициента вариации расхода топлива Gt для
k
различных значений доли энергии топлива в общей энергии продуктов сгорания при
стехиометрическом соотношении компонентов при qu = 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, соответственно.
Анализ зависимостей показал, что доля энергии топлива в общей
энергии продуктов сгорания практически не влияет на величину разбросов
давления торможения продуктов сгорания, так же как и величина
коэффициента вариации теплотворной способности топлива. Изменение
коэффициента вариации этой характеристики на треть приводит к изменению
коэффициента вариации давления торможения на 3…5 %. Проведенные
расчеты также показали, что разбросы давления на выходе из камеры
сгорания растут с увеличением относительного расхода топлива. Это
приводит к тому, что разбросы тяги двигателя на взлетных режимах будут
значительно больше, чем на крейсерских.
242
P
*
k
0.046
4
3
0.044
2
1
0.042
3
110
3
3
210
310
3
410
510
3
3
610
H
Рисунок 7.12. Зависимости коэффициента вариации давления торможения на
выходе из камеры сгорания
P от коэффициента вариации теплотворной способности
k
топлива H для различных значений доли энергии топлива в общей энергии продуктов
сгорания при стехиометрическом соотношении компонентов при qu = 0.6, 0.7, 0.8, 0.9,
соответственно.
Увеличение разбросов давления на выходе ведет к снижению
стабильности работы камеры сгорания. Основным фактором, влияющим на
уменьшение этих разбросов, является уменьшение разбросов на выходе
компрессора. Уменьшению разбросов давления также будет хорошо
способствовать и уменьшение разбросов теплотворной способности топлива.
При больших перепадах давления на форсунках (2,0…8,0МПа) его величина,
а также величина разбросов расхода топлива, практически не влияет на
величину разброса давления на выходе из камеры сгорания. Конкретные
рекомендации можно получить при использовании разработанной методики
расчета при проектировании конструкции ГТД. Методика позволяет
определять разбросы как для отдельной жаровой трубы, так и для их
совокупности (в этом случае учитываются допуска на геометрические
243
размеры жаровых труб и форсунок). Расчет для кольцевых камер сгорания
производится по схеме расчета для одной жаровой трубы.
Анализ представленных в настоящей главе данных позволяет
сделать следующие выводы:
1. Основной вклад в коэффициент вариации давления торможения на
выходе из камеры сгорания оказывают разбросы давления на входе в камеру
сгорания, т.е. разбросы давления на выходе из компрессора.
2. Относительные разбросы давления торможения увеличиваются при
увеличении доли энергии топлива в общей энергии продуктов сгорания при
стехиометрическом соотношении компонентов. Это означает, что разбросы
газодинамических параметров двигателя на взлетных режимах будут больше,
чем на крейсерских.
3. Случайные отклонения газовой постоянной продуктов сгорания
практически не влияет на разбросы параметров двигателя.
4. Исследования показали, что учет нелинейности газодинамических
зависимостей практически не влияет на величину разбросов параметров
камеры сгорания. Учет стохастических связей между параметрами в
дальнейшем рекомендуется производить, т.к. это повысит точность расчетов
разбросов.
244
ГЛАВА 8. ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ РАБОТЫ ОСЕВОЙ
ТУРБИНЫ.
8.1. Вариации и коэффициенты вариации газодинамических параметров
При построении модели процесс течения газа считался стационарным,
на входе и выходе из турбины течение было принято изоэнтропным. Работа
газа происходила между этими сечениями. Состояние газа было принято
идеальным и совершенным. Величина показателя адиабаты не зависит от
температуры. Входными данными для расчета являются параметры газа на
выходе из камеры сгорания, а также разбросы геометрических размеров
турбины. Для облегчения анализа течения и упрощения газодинамического
расчета турбины принимают, что в осевой ступени турбины газ движется
соосными цилиндрическими слоями (действующие на газ центробежные
силы уравновешиваются силами гидродинамических давлений). Это течение
установившееся, осесимметричное, без теплообмена с внешней средой
Распределение
[10,15,16,18].
всех
параметров
принято
нормальным,
стохастические связи между параметрами и нелинейность газодинамических
параметров не учитывалось. Индекс «0» обозначает параметры газа на входе
в турбину, индекс «2» - на выходе.
Уравнение энергии принимаем в следующем виде: H 2 H 0 LTS ,
где H - энтальпия торможения газа, LTS - изоэнтропическая работа газа по
заторможенным параметрам.
Вводим безразмерное соотношение изоэнтропической работы газа к
L
его энтальпии на входе в турбину TS , тогда получим
H0
Вариации уравнения энергии будут
H 2
H2
H 2 T2
1 .
H 0 T0
LTS
1 H 0
. Последний
1 H 0 1 LTS
член в этом уравнении примерно на порядок меньше остальных, поэтому
принимаем
H 2
H 2
1 H 0
1 H 0
и
T2
T2
1 T0
. Используя уравнение адиабаты,
1 T0
245
получаем
P2
P2
P0
P0
вариации
полного
давления
на
выходе
из
турбины
к T0 p
, где p - коэффициент восстановления полного
к 1 T0
p
давления (учет потерь полного давления).
Из уравнения неразрывности определяем вариация расхода газа
G
G
P0
P0
q0
0 1 T0 F0 F2
0 2 T0
F0
F2
1
4
Коэффициент вариации расхода G P 2 q 2 (0 ) 2 T F 2 F 2
*
0
Исходные данные, принятые для расчета:
*
0
0
0,05
...
0,15,
2
(8.1).
3 -
газодинамическая функция безразмерного давления, 3 - функция
безразмерной температуры, показатель адиабаты равен k 1,33 . На выходе
из турбины значение функций 3 0,81019 , 3 0,94892 . Интервалы
изменения параметров приняты следующие: безразмерная скорость потока
продуктов сгорания 0,3...0,6 , q( ) 0,45859...0,81352 .
Рисунок 8.1. Зависимость коэффициента вариации расхода продуктов сгорания через
турбину в зависимости от коэффициента вариации полного давления на входе: 1, 2, 3, 4 -
0.3, 0.4, 0.5, 0.6 соответственно
246
Значения коэффициентов вариации: температуры торможения на входе
в
турбину
безразмерной
T 0,005...0,015 ,
*
0
давления
торможения
P 0,01...0,025 ,
*
0
скорости на входе 0,01...0,02 , площадей входного и
выходного сечений F F 0,005 .
0
2
Зависимость коэффициента вариации расхода продуктов сгорания
через турбину в зависимости от коэффициента вариации полного давления
на входе приведена на рисунке 8.1, а от коэффициента вариации
температуры торможения – на рисунке 8.2.
Рисунок 8.2. Зависимость коэффициента вариации расхода продуктов сгорания
через турбину в зависимости от коэффициента вариации температуры торможения на
входе: 1, 2, 3, 4 - 0.3, 0.4, 0.5, 0.6 соответственно
Из анализа графиков можно сделать вывод о том, что с ростом
разбросов полного давления на входе разброс расхода увеличивается. Кроме
этого, с увеличением безразмерной скорости с 0,3 до 0,6 происходит
увеличение коэффициента вариации расхода на 7,5 …20%.
Увеличение
разброса температуры торможения (см. рис.8.2) также ведет к росту разброса
расхода, но этот рост происходит менее интенсивно, чем от изменения
247
давления торможения. С увеличением безразмерной скорости с 0,3 до 0,6
происходит увеличение коэффициента вариации расхода на 10…11%.
Из
уравнения
неразрывности
получены
вариации
давления
торможения на выходе из турбины
P2
P2
q2 1 T2 F2 p P0 q0 1 T0 F0
.
q2 2 T2
F2
p
P0
q0 2 T0
F0
Подставляем
значения
параметров
из
уравнений
энергии
и
адиабатного процесса получаем вариации и коэффициент вариации
безразмерной скорости
2 q 0 0 1 к 1 1
T0
1 F0
1 F2
1 p
2 q 2 0 2 к 1 q 2 1 T0
q 2 F0 q 2 F2 q 2 p
q 0 2 1 к 1 1 2 1 2 1 2 1 2
0
2
T0
F0
F2
pp .
2 к 1 q 2 1
q 2
q 2
q 2
q 2
2
2
2
2
2
2
Выражаем вариацию скорости газового потока в виде
V2
V2
2 1 T2 q 0 0 1 к 1 1 T0 1 F0
1 F2
1 p
1
.
q 2 0 2 к 1 q 2 1 T0 q 2 F0 q 2 F2 q 2 p
2 2 T2
Коэффициент вариации
q
1 к 1 1 2 1 2 1 2 1 2
V2 0 20 1
T
F
F
.
4 к 1 q 2 1 0 q 2 0 q 2 2 q 2 p
q 2
2
2
2
2
2
2
Для определения вариаций других параметров используем следующие
формулы: степень понижения давления
Тогда
P0*
T T
, мощностной КПД 0 T .
T0 T2
P2
q0 F2
P0 P2
к 1 к 1 3 T0
.
3
1
P2
q3
F2
к 1 2 к q3 T0
P0
Степень понижения давления:
P0
,
P2
248
q 0 0 p F2
P0 P2
к 1 к 1 2 T0
.
2
1
p
P2
q 2 0
F2 1 к 1 2 к q 2 T0
P0
Коэффициент вариации степени понижения давления
2
F
2
2
2
к2
1
2
1 (к 1)
q0
1 к 1 2
2
.
1
Т * , где 2
0
2 к q2
q2
2
Степень понижения полного давления:
P0
,
P2
p F2
P0 P2
k T0
k
2
2
,
T F (8.2).
p
F2 1 k 1 T0
P0 P2
1 k 1
2
2
0
2
p
Изоэнтропическая работа турбины:
T
LTS c p T0 T2 c pT0 1 2 2 c pT0 1 1 2 .
T
0
LTS T0
1 2 .
2 2 , где
LTS
2
1 1 2
T0
Коэффициент вариации изоэнтропической работы L T2 2 2 2 2 .
TS
0
2
Зависимости коэффициента вариации степени понижения давления от
величины разбросов скорости газового потока на входе в турбину приведены
на рисунке 8.3.
Из анализа зависимостей, приведенных на рисунке 8.3 можно сделать
вывод о том, что с увеличением безразмерной скорости с 0,3 до 0,6
происходит увеличение коэффициента вариации степени понижения
давления примерно в 1,5 раза. Примерно такое же увеличение (в 1.6 раза)
дает изменение коэффициента вариации безразмерной скорости. Кроме
этого, расчеты показали, что возрастание разброса температуры торможения
на входе в турбину практически не влияет на коэффициент вариации степени
понижения давления.
249
Вариация мощностного КПД газотурбинного двигателя.
T
LT
,
LTS
T LT LTS LTS LTS
, но LTS c pT0 , тогда
T
LT
LTS
LTS
LTS
LTS
LTS
LT
LT
T0
T0
LTS
LTS
.
.
После подстановки получаем
q 0 0
T
2 T0
1 к 1
.
1
2
2 к 1
T
q 2 1 T0
q 2 0
Коэффициент вариации мощностного КПД
T
2
1
*
0
q0 q0
1 к 1
2
.
3
2
, где 1 1
2 к 1
q 2 1
q3 q3
2
2
Зависимости коэффициента вариации мощностного КПД приведены на
рисунке 8.4. Анализ графиков показал, что с увеличением безразмерной
скорости с 0,3 до 0,6 происходит увеличение коэффициента вариаций
мощностного КПД
примерно в 1,8 раз. Примерно такая же зависимость
наблюдается при увеличении разброса безразмерной скорости. От разброса
температуры торможения коэффициент вариаций мощностного КПД
практически не зависит.
Рисунок 8.3. Зависимость коэффициента вариации степени понижения давления от
величины разбросов скорости газового потока на входе в турбину: 1, 2, 3, 4 - 0.3, 0.4,
0.5, 0.6 соответственно
250
Рисунок 8.4. Зависимость коэффициента вариации мощностного КПД от величины
разбросов скорости газового потока на входе в турбину: 1, 2, 3, 4 - 0.3, 0.4, 0.5, 0.6
соответственно
Коэффициенты
вариации
параметров
торможения
давления
и
1 2
2
2
2
T0 p F0 F2 ,
4 1
2
температуры
T
2
потока
за
P P2
турбиной:
2
0
1
.
1 T0
Статические
параметры
потока
газов
определяем
исходя
из
рекомендаций раздела 2.1 настоящей работы:
T
T
T *
T*
;
P
P
P*
P*
;
*
*
T T
P P
*
*
*
Вариации площадей проходных сечений каналов:
- круглый канал F
D2
4
- кольцевой канал F
-
F
F
2
D
D
,
F 2 D
D2 d 2
F
D 2 D
d 2 d
,
2 2
2
4
F
D d2 D
D2 d 2 d
4
F 2
D2
d
D2 d2
2
2
D d
D
(8.3).
251
Дадим оценку коэффициента вариации степени реактивности ступени
через отношение адиабатной работы расширения газа в сопловом аппарате и
ступени турбины. Величины этих работ выразим через температуры газа:
1
c p T0 T1
LCA
T T
1
3 2 .
LCT
c p T0 T3
T0 T2
Определяем
вариации
степени
реактивности
T3 T3
T2 T2 T3 T2 T0 T0 T3 T2 T2 T2
T0 T2 T3 T0 T2 T2 T0 T2 T0 T2 T0 T0 T2 T0 T2 T2
(8.4).
В соответствии с выводами раздела 2.1 настоящей работы принимаем
T3
следующие соотношения
T3
реактивности будет иметь вид
T2 T2 .
3
T2
T2
T0
,
0
T
T2
T2
. Вариация степени
T0 T3
, а коэффициент вариации
T0
T3
Руководствуясь теми же рекомендациями раздела 2.1
0
принимаем T T . Оценка коэффициента вариации степени реактивности
3
0
будет T 2 , т.е. разбросы
0
турбины
будут
примерно
величины степени реактивности ступени
на 40% больше разбросов
температуры
торможения газа на входе в ступень турбины.
8.2. Распределения кинематических параметров
Рассмотрим изменение распределения кинематических параметров от
величины изменения угла установки лопаток ступени турбины.
Рассмотрим
течение
воздуха
[15,16,20,29,32,54,55,64,71,92].
через
На
рабочее
рисунке
колесо
8.5
турбины
(РК)
приведена
схема
элементарной ступени осевой турбины. Абсолютная скорость газа при такой
схеме имеет две составляющие на входе в РК: осевую а и окружную u.
Введены следующие обозначения: α – угол в абсолютном движении потока
газа; β – угол в относительном движении потока газа; cu (c2u c1u ) –
проекция
закрутки
газа
в
абсолютном
252
движении
на
окружную
составляющую; u (1u 2u ) – проекция закрутки газа на окружную
составляющую в относительном его движении.
Рисунок 8.5. Треугольники скоростей ступени элементарной ступени турбины.
Из треугольников скоростей (см. рис 8.5) выразим следующие
соотношения для потока газа в абсолютном и относительном движении:
c1a c1 sin 1 ; c1u c1 cos1 c1а ctg1 ; c2a c2 sin 2
c2u c2 cos 2
c2 a
c2 а ctg 2 1a 1 sin 1 c1a
tg 2
1u 1 cos 1
c1a
c1a ctg1 ,
tg1
где 1
2a 2 sin 2 c2a ; 2u 2 cos 2
c1a
;
sin 1
c
c2 a
c2 a ctg 2 где 2 2 a ;
tg 2
sin 2
cu c1u c2u c1a ctg1 c2a ctg 2 ;
u 1u 2u c1a ctg1 c2a ctg 2 ; HТ u c2u c1u u cu ;
Далее перейдем к вариациям выше перечисленных параметров, сделав
допущение о том, что при изменении угла установки лопаток, прямо
пропорционально меняются и углы входа и выхода потока. Тогда δα1 ≈δα2
≈δβ1 ≈δβ2 ≈δν, а квадрат вариации угла установки (δν)2≈D(ν) равен дисперсии
угла установки лопаток. Данное допущение возможно только в том случае,
253
когда отклонения угла установки от номинального значения мало, и не
меняет характера течения газа:
c1a
c1a
c1
ctg1 1
c1
c1
ctg1 ;
c1
c1u
c1u
c1
c1
tg1 1
1u c1a
c
1
1
1 1a
1u
c1a cos 1 sin 1
c1a cos 1 sin 1
c2 a
c2 a
c2u
c2 u
c2
c2 a
c2
ctg 2 2
c2 a
c2
2
sin 2 cos 2
c2
c1
c1
tg1 ;
;
ctg 2
2
c2 a
c2 a
2
sin 2 cos 2
c
2u c2 a
2
2
2 2 a
;
2u
c2 a cos 2 sin 2
c2 a cos 2 sin 2
cu
cu
c1u
c1u
1 u
c2u
c2u
u ; где u 1
c2u
;
c1u c2u
1u
2u
1u
2u
u
1u
2u
.
u
1u 2u 1u 2u
На
основе
полученных
соотношений,
выведем
уравнения
коэффициентов вариации кинематических параметров рабочего колеса и
рассчитаем влияние угла установки лопаток на них. Расчет зависимостей
проводился при следующих исходных данных: абсолютная скорость на
входе в ступень варьировалась от 300 до 500 м/с; окружная скорость
варьировалась от 300 до 400 м/с; углы входа и выхода в абсолютном
движении приняты 15º и 90º соответственно; углы входа и выхода в
относительном движении приняты 54º и 18º соответственно; дисперсия
абсолютной скорости принята 0,305 (м/с)2; дисперсия относительной
скорости принята 0,015 (м/с)2; дисперсия угла установки варьировалась от
2,5∙10-7
до
составляющей
1,225∙10-5.
Выражение
абсолютной
коэффициента
скорости
254
газа
на
вариации
входе
осевой
в
РК:
1c c2 ctg 2 (1 ) D( ) . Коэффициент вариации окружной составляющей
a
1
2
2
абсолютной скорости газа на входе в РК: c1u c1a tg 1 D( ) .
Коэффициент вариации окружной составляющей абсолютной скорости газа
2
на выходе из РК: c2 u c2 tg 2 D( ) . Очевидно, что и относительные
скорости так же будут зависеть от изменения угла установки лопаток.
Рассмотрев треугольники скоростей и сделав некоторые преобразования,
получим зависимость коэффициента вариации относительной скорости на
входе РК от дисперсии угла установки лопаток:
1u
2
c1a
1 2
D( )
cos 2 1 sin 2 1
Коэффициент
вариации
составляющую: 2 u
2
c2 a
(8.5).
относительной
скорости
на
окружную
22
D( )
cos 2 2 sin 2 2
(8.6).
Коэффициента вариации закрутки газа в абсолютном движении на
окружную составляющую запишем в виде: cu
1 u 2 c
1u
2
u c2 u .
2
2
Коэффициента вариации закрутки газа в относительном направлении
на окружную составляющую запишем в виде:
u
2 1u 2
2u 2
1u 2u 2 1u 2u 2
1u
2u
(8.7).
Рабочий процесс, расширения газа в элементарной ступени турбины
характеризуется, тем что одна часть понижения давления происходит в СА
ступени, а оставшаяся в РК. Понижение давления и соответствующее ему
увеличение скорости потока происходят таким образом и в СА и в РК (в
относительном движении). Уравнение энергии для элементарной ступени в
целом имеет ту же форму, что и для полной ступени, если вместо величины
работы турбины подставить величину теоретического напора. Поэтому для
рабочего колеса элементарной ступени можно записать упрощенную
255
зависимость
для
коэффициента
теоретического
напора
HТ u c2u c1u u cu . Тогда выражение коэффициента вариации H T
запишем в виде: HТ u2 2cu .
На входе в сопловой аппарат (СА) газ имеет начальные параметры и
скорость направленную под углом к фронту решетки. Для исключения
потерь связанных с отрывом потока лопатки проектируются таким образом,
что входной конструктивный угол лопаток близок к углу натекания потока.
Лопаточные венцы СА выполняют таким образом, что конструктивный угол
решетки на выходе из СА гораздо меньше лопаточного угла на входе в
решетку. При таком соотношении углов площадь межлопаточного канала на
выходе из СА существенно меньше, чем на входе, т.е. межлопаточный канал
СА является сужающимся (конфузорным), что приводит к увеличению
абсолютной скорости.
Следует отметить, что полные параметры газа остаются практически
постоянными, поскольку они характеризуют его внутреннюю энергию, а в
СА энергия (в виде механической работы или тепла) не подводится и не
отводится. Строго говоря, газ при прохождении канала СА все-таки
совершает небольшую механическую работу против сил трения (в
пограничном слое и между слоями при турбулентности). Поэтому полное
давление немного уменьшается. Полная температура же не изменяется,
поскольку тепло, выделившееся из-за такого трения, целиком остается
внутри газа. Таким образом, в СА потенциальная энергия рабочего тела
преобразуется в кинетическую энергию потока. Вследствие того, что потери
в НА не учитываем, то разбросы полного давления, температуры, плотности,
расхода,
энтальпии
являются
постоянными,
поэтому
коэффициенты
вариации этих параметров на входе и выходе НА будут одинаковы. Разбросы
статических параметров можно определить по формулам, приведенным в
разделе 2.1 настоящей работы. Результаты расчетов кинематических
параметров ступени приведены в таблицах 8.1, 8.2 и изображены см. рис. 8.6.
256
Таблица 8.1 – Зависимость коэффициента вариации проекции абсолютной скорости на
осевую составляющую от коэффициента вариации абсолютной скорости
при различных дисперсиях угла установки лопаток.
D( )
2,5∙10-7
4∙10-6
1,225∙10-5
1.726∙10-3
1.794∙10-3
2.607∙10-3
3.83∙10-3
1.624∙10-3
1.696∙10-3
2.541∙10-3
3.786∙10-3
1.534∙10-3
1.61∙10-3
2.484∙10-3
3.748∙10-3
1.453∙10-3
1.533∙10-3
2.435∙10-3
3.716∙10-3
1.381∙10-3
1.465∙10-3
2.393∙10-3
3.688∙10-3
1.315∙10-3
1.403∙10-3
2.355∙10-3
3.664∙10-3
1.255∙10-3
1.347∙10-3
2.322∙10-3
3.643∙10-3
1.201∙10-3
1.296∙10-3
2.293∙10-3
3.624∙10-3
1.151∙10-3
1.25∙10-3
2.268∙10-3
3.608∙10-3
1.105∙10-3
1.208∙10-3
2.245∙10-3
3.594∙10-3
c
1
Анализ расчетных данных показал, что при изменении коэффициента
вариации c на 30%, коэффициент вариации c увеличивается практически
1a
1
линейно при малых значениях
коэффициент вариации c
D ,
при
D =
1,225∙10-3 , значения
изменяются в пределах 10%, дисперсии угла
1a
установки лопаток изменяет значение c в пределах от 1,208∙10-3 до 3,83∙10-3.
1a
Рассматривая
зависимости
коэффициента
вариации
окружной
составляющей абсолютной скорости на входе в РК в зависимости от
абсолютной скорости, приведенные на рисунке 8.2, видим, что величина
коэффициента вариации c
1u
уменьшается на величину до 31% при
повышении абсолютной скорости, среднеквадратическое отклонение угла
установки лопаток влияет на рост c пределах 75%.
1u
Зависимости коэффициента вариации относительной скорости на
входе в РК практически прямо пропорционально зависит от коэффициента
вариации абсолютной скорости, величина
1
257
увеличивается с ростом
дисперсии угла установки лопаток на 50%, но сростом абсолютной скорости
эта зависимость уменьшается и на больших скоростях D практически не
оказывает никакого влияния на коэффициент вариации относительной
скорости.
c
610
3
1u
7
510
410
3
6
5
3
4
310
210
3
3
2
3
1
110
3
350
400
450
500
с1
Рисунок 8.2. Коэффициент вариации окружной составляющей абсолютной скорости на
входе в РК в зависимости от абсолютной скорости: 1,2,3,4,5,6,7 при D =2,5∙10-7; 1∙10-6;
2,25∙10-6; 4∙10-6; 6,55∙10-6; 9∙10-6; 1,225∙10-5 м/с соответственно.
Зависимости
коэффициента
вариации
окружной
составляющей
относительной скорости на выходе из РК от дисперсии угла установки
лопаток приведены на рисунке 8.3. Из рассмотрения зависимостей на
рисунке 8.4, можно сделать вывод о том, что увеличение абсолютной
скорости ведет к увеличению коэффициента вариации
2u
от 12 до 33%..
Изменение увеличение коэффициента вариации окружной скорости на 25%,
вызывает повышение в 2 раза. Коэффициент вариации окружной
2u
составляющей относительной скорости изменяется от 3,292∙10-3 до 7,852∙10-3.
258
0.03
1
7
6
5
0.02
4
3
2
0.01
1
0
510
0
6
110
5
D
Âàðèàíò 2
Рисунок 8.3 – Зависимость коэффициента вариации относительной скорости ω1 от
коэффициента вариации абсолютной скорости, при различных дисперсиях угла
установки лопаток.
2u
710
610
3
3
7
6
5
1
510
3
2
4
410
3
3
3
310
4
310
3.210
4
3.410
4
3.610
4
3.810
4
410
4
u
Рисунок 8.4. Коэффициент вариации окружной составляющей относительной скорости на
выходе из РК в зависимости от коэффициента вариации окружной скорости: 1,2,3,4,5,6,7
при c2 =80; 90; 100; 110; 120; 130; 140 м/с соответственно.
259
8.3. Потери в турбине от неоднородности величины хорды лопаток
При проектировании лопаток турбин их геометрические размеры
считаются постоянными. Хотя на практике это невозможно сделать, так как
существуют допуска, которые влияют на характер обтекания газа и на
эффективность работы установки. Неоднородность геометрических размеров
решетки ведет к увеличению потерь и уменьшению КПД установки. В
настоящий момент отсутствуют методики, позволяющие определить
влияние неоднородностей решетки на величину потерь любой лопаточной
машины. Поэтому задача сводится к разработке вероятностной модели
работы решеток, в частности к определению влияния допуска на размеры
хорды.
Определим потери от смешения струй с различными параметрами
торможения, идущими по межлопаточным каналам турбины. Течение в
начале и в конце канала считается изоэнтропическим, вязкость газа и потери
на трение не учитываем. Схема течения приведена на рис. 8.7. Основные
формулы при расчетах взяты из работы [10,15,16,18]. Обозначения
параметров общепринятые. Параметры торможения у потока в канале 2:
T 1 T ,
2
P 1
0
2
k
k 1
0
P ,
1
k 1
1 0 , где ε - отношение
2
располагаемого теплоперепада ступени к энергии продуктов сгорания,
поступающих в ступень (безразмерный теплоперепад).
торможения у потока в канале 1 будут меньше, т.к.
Параметры
работа продуктов
сгорания уменьшается пропорционально длине хорды на величину Δb.
Отклонения величины хорды от номинала считаются достаточно малыми,
т.е. они изменяют параметры потока газа, но не меняют характера его
течения. Индекс «0» относится к параметрам газа на входе в решетку.
Вводим обозначение z 1
b
, тогда относительная работа газа будет
b
z , а
параметры торможения в канале 1 будут определяться: T1 1 z T0 ,
P 1 z
1
k
k 1
0
P ,
1
k 1
1 z 0 . Уравнения сохранения при течении воздуха
1
260
между
P1 Sq1
T1
сечениями
P2 Sq2
T2
2
«п»
Ph Sqh
Th
и
«в»:
.
-уравнение
неразрывности:
После
преобразований
1 k 1
Ph
qh T2
1 z 2 k 1 q1
,
где
1
2
q2
q2 Th
P2
1
- коэффициент восстановления
полного давления в ступени.
U
1
S
Ph
2
Δh
S
п
b
в
Рисунок 8.7. Схема течения газа в решетке, имеющей неоднородность по величине хорды
профиля лопаток.
- уравнение сохранения количества движения: P1Sf 1 P2Sf 2 2PhSf h .
k
f h
1 z k 1 f 2
2
После преобразований будет иметь вид 1
,
f 1
f 2
1
- уравнение сохранения энергии C pT1G1 C pT2G2 C pTh G1 G2 . Считаем,
что G1 G2 , тогда после преобразований можно будет написать 1
или
Th 1 1 z
1
. Решая совместно эти уравнения, получаем
T2 2 1
261
Th
T1
2
T2
T2
1
1 k 1
1 1 z 2 q2 1 z 2 k 1 q1
.
1
1
q2
2 2 1 qh 1
Соотношения между газодинамическими функциями
q1 1 z
q 2 1
1 k 1
2 k 1
q h q 1 1 z
q 2 q 2 1
для
,
f 1 1 12 2 q1 1 12 2 1 z
f 2 1 22 1 q 2 1 22 1 1
1 k 1
2 k 1
восстановления
k 1
. Принимаем
полного
давления
k 1
1 1 z k 1 1 z
1 z k 1
1
.
2 1 1
1
[29,32],
коэффициента
1 k 1
2 k 1
. Подставляя полученные соотношения в выражение
коэффициента
величин
получаем
восстановления
Используя
параметры
полного
функции
распределения
давления.
От
случайных
величины
коэффициента
восстановления полного давления переходим к величине коэффициента
потерь b M 1 .
1 k 1
z 1 1 k 13 2 k Dz
M b
2 k 1 1
8 k 1
1
2
1 k 13 k 5 3k
32
Az D z
3
48
k 1
1
3
1 k 13 k 5 3k 7 5k
2
E z 3Dz
4
384
k 1
1
4
2
2
1 1 k 13 k
1 k 1
2
D b
D z
E z 3Dz ,
2
4 4 k 1
2 k 1 1
1
2
где z – среднее значение длины хорды, выраженное в относительных
единицах (для номинала z=1). В данной работе считается, что распределения
всех параметров имеют нормальный закон.
С достаточной для практики точностью, можно ограничиться
следующим приближением с использованием параметров распределения
отклонений хорды лопатки от номинала
2
1 k 1
b 3 k b
b
M b M
D , D b 2 D , где
2 k 1 1
b 2 k 1 b
b
262
(8.8).
Анализ показал, что математическое ожидание потерь практически
линейно возрастает с увеличение математического ожидания отклонений
хорды от номинального значения, зависимости приведены на рисунке 8.8.
b
Например, увеличение M в интервале от 0,004 до 0,012 приводит к
b
увеличению потерь от величины 0,004 до 0,010. Изменение значений
дисперсии отклонений хорды от номинала практически не влияет на
математическое ожидание потерь.
Рисунок 8.8. Зависимость математического ожидания потерь от математического
ожидания отклонений хорды при различных значениях теплоперепада: 1, 2, 3, 4 -
0,2; 0,15; 0,10; 0,05 соответственно.
Влияние теплоперепада на величину потерь достаточно существенно,
причем с возрастанием теплоперепада величина потерь растет. Например,
при оном и том же значении величины отклонений хорды от номинала
b
M =0,012, увеличение теплоперепада со значения 0,05 до 0,2 приводит
b
к росту потерь с величины 0,0025 до 0,012, т.е. почти в 5 раз.
263
Зависимости дисперсий потерь от дисперсий отклонений хорды при
различных значениях теплоперепада, приведенные на рис.8.9, показывают
достаточно существенное влияние и дисперсии неоднородности хорды и
величины теплоперепада. Например, при значении теплоперепада 0,05
изменение дисперсии неоднородности хорды со значения 1·10 -4 до 3,5·10-4
увеличивает потери примерно в 2,5 раза, а при величине теплоперепада 0,2 –
примерно в 4 раза.
Необходимо отметить, что вероятность удержания потерь в ГТД в
заданных пределах зависит как от математического ожидания отклонений
хорды, так и от величины дисперсии этого параметра. Следует ожидать, что
определяющее влияние на величину потерь будет оказывать дисперсия
отклонений хорды от номинала. Совместное влияние этих параметров будет
характеризовать коэффициент вариации, который представляет отношение
среднеквадратического
отклонения
к
математическому
ожиданию
случайной величины. Переходим к коэффициенту вариации степени
восстановления давления, т.к. аналогичная характеристика потерь не
показательна вследствие близкого значения математического ожидания
потерь к нулю.
b
b
2
b 3 k b
1 M
D
b 2 k 1 b
D
Зависимости
коэффициента
вариации
(8.9).
степени
восстановления
полного давления от математического ожидания отклонений хорды
приведены на рисунке 8.10, и от дисперсии отклонений хорды – на рисунке
8.11.
264
Рисунок 8.9. Зависимость дисперсий потерь от дисперсий отклонений хорды при
различных значениях теплоперепада: 1, 2, 3, 4 - 0,05; 0,10; 0,15; 0,20 соответственно.
Рисунке 8.10 Зависимости коэффициента вариации степени восстановления полного
давления от математического ожидания отклонений хорды при различных значениях
теплоперепада: 1, 2, 3, 4 - 0,05; 0,10; 0,15; 0,20 соответственно.
265
Рисунке 8.11. Зависимости коэффициента вариации степени восстановления полного
давления от дисперсии отклонений хорды при различных значениях теплоперепада: 1, 2,
3, 4 - 0,05; 0,10; 0,15; 0,20 соответственно.
Рассмотренные выше потери от неоднородности размера хорды
объясняются тем, что из-за разницы геометрических размеров решетки к
потоку газа в каждом межлопаточном канале подводится различное
количество механической работы. Вследствие этого параметры газа на
выходе из каждого канала отличаются друг от друга. Это ведет к
уменьшению осредненного значения полного давления за ступенью
компрессора, т.е. к потерям. Кроме этого в решетке с неоднородностью
хорды
будут
потери
от
смешения
потоков
газа,
выходящих
из
межлопаточных каналов. Оценим величину этих потерь. Исходя из
примерного равенства расходов газа, проходящих по межлопаточным
каналам можно определить соотношения между скоростями потока в виде
следующей цепочки соотношений (обозначения приведены в соответствии с
рисунком 8.7)
1
1 V1 2 2 2 2 1 k 1
.
2 V2 1 1 1 1 1 z
266
Далее используем уравнение сохранения количества движения.
Вследствие малых отклонений скоростей потока в межлопаточных каналах 1
1
и 2, можно принять
f 1 q1 1 1 k 1
. Кроме этого, принимаем для
f 2 q2 2 1 z
этого уравнения допущение о том, что 1. Тогда приходим к соотношению
между скоростями потоков газа
h 1 1 z V1
1
. Используем теорему
1 2 1 V2
Борда – Карно [39], в соответствии с которой потери полного давления будут
равны квадрату потери скорости потока. Тогда степень восстановления
k 2 V2 Vh 2
k 2 1 1 z
1
1
2
2 1 1
.
k 1
k 1 2 1
V22
2
полного давления будет см
Переходим к величинам потерь полного давления от смешения
потоков
2
см
2
k 2 1 1 z
1 k 2
2
2 1 1
2
z 1 , где
k 1 2 1
4 k 1 1
Производим
распределения
преобразование
потерь
от
случайной
смешения
функции,
потоков
газа,
параметры
выходящих
1 2 см
межлопаточных каналов, имеют вид: M см см z M см
2 z 2
D см см
z
будут
2
1 2
D z 2
2 z
z М см
см
2z ,
z
из
Dz ,
z М см
2
D см 2 .
z M см
Величины
производных
2см
2 . Параметры распределения потерь будут иметь
z 2
вид [11] M см M z 12 Dz , Dсм 22 Dz 2M z 2 Dz . Переходим
к безразмерным отклонениям величины хорды от номинального значения
b
b
b
, т.е. M z 1 M , Dz D или
b
b
b
267
b 2
b
M см M D ,
b
b
2
b
b
b
Dсм 2 D 21 M D .
b
b
b
2
Суммарные потери от неоднородности размера хорды лопаток ступени
b
2 3 k b
b
M M b M см M M
D ,
2 k 1 b
b
b
2
турбины
2
b
b b
2
2
D D b D см 2 21 M D D
b
b b
(8.10).
Анализ показал, что вклад потерь от смешения составляет 20…25% от
общих потерь от неоднородности размера хорды. Вклад потерь от смешения
в среднеквадратическое отклонение суммарных потерь составляет от 4 до
6%. Определяющее значение для этого вида потерь будет значение скорости
потока газа на выходе из решетки профилей, а также величины
математического ожидания и дисперсии отклонений хорды лопаток от
номинала.
На основе разработанной методики были получены соотношения,
позволяющие определить область допустимых значений отклонений хорды
лопатки при заданной вероятности выполнения требования по КПД
турбины. Расчет производился в соответствии с работой [29,32]. Задаемся
уровнем требований к нахождению потерь в ступени турбины в интервале от
0 до 0,005 с вероятностью 0,99. Вероятность этого события будет
определяться
M
0,99 ,
P d 0,5
D
0
или
M
0,49 . После дифференцирования данное уравнение будет иметь
D
вид
M u , где
0,99
D
u0,99 u1 p
- квантиль нормального распределения,
x - интеграл Лапласа. Определяем связь между допустимыми значениями
математического ожидания и дисперсией потерь от неоднородности размера
хорды при заданной вероятности удержания потерь в требуемых пределах
268
M u1 p D .
Анализ зависимостей, приведенных на рисунке 8.12, показали, что,
зная математическое ожидание и дисперсию отклонений хорды для
конкретной ступени турбины, можно выявить области изменения этих
параметров, в которых обеспечивается удержание данного вида потерь в
заданных пределах с требуемой вероятностью.
Можно определить значения математического ожидания, которые
являются совершенно недопустимыми для обеспечения заданного уровня
потерь, как точку пересечения графика зависимости с осью ординат.
Аналогичное требование к значениям дисперсии отклонений хорды путем
сравнения ее с точкой пересечения графика функции с осью абсцисс.
Приближенные значения недопустимых величин математического ожидания
и дисперсии отклонений хорды можно определить
b
,
M
b
1
b
.
D
2
2
b u1 p 4
2
Рисунок 8.12. Зависимость математического ожидания отклонений хорды от дисперсий
отклонений хорды при различных значениях теплоперепада: 1, 2, 3, 4 -
0,2; 0,15; 0,10; 0,05 соответственно;
А – область недопустимых значений; Б – область допустимых значений.
269
Применение
разработанной
методики
позволяет
принимать
обоснованные технические решения при назначении допусков на размер
хорды лопаток турбины ГТД и минимизировать величины потерь полного
давления
Сравнение величин потерь от неоднородности хорды в ступенях
турбины
и
компрессора
показало,
что
вследствие
разницы
термодинамических характеристик воздуха и продуктов сгорания одни и те
же неоднородности хорды приводят к большим потерям в турбине ГТД
примерно на 20%. Кроме этого, в ступени турбины величина относительного
теплоперепада больше, чем относительного напора в ступени компрессора,
что делает потери в ступени турбины больше в 2,5…4 раза, чем в ступени
компрессора, а суммарное влияние неоднородности приведет к увеличению
потерь в 3…5 раз. Однако, следует учитывать, что количество ступеней
турбины значительно меньше, чем число ступеней компрессора. Поэтому
соотношения суммарных потерь как в турбине, так и в компрессоре ГТД
следует определять для конкретной конструкции двигателя.
270
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основной целью настоящей работы является стремление повысить
эффективность
принятия
технических
решений
при
разработке
и
производстве газотурбинных двигателей. В настоящее время решения
принимаются, в большинстве случаев, на основе детерминированных
моделей. В результате расчетов определяются выходные параметры, но для
принятия решения необходимо знать те запасы, которые надо заложить для
обеспечения работоспособности изделия. Недостаточные запасы ведут к
риску отказа изделия, завышенные запасы – к потере эффективности
конструкции.
Методик
определения
рациональной
избыточности
конструкции двигателя в настоящее время нет. Используются либо чисто
интуитивные предпосылки, либо устоявшаяся практика. И то, и другое
является произволом, и не дает возможности принять оптимальное решение.
В настоящей работе обосновано получение оптимального решения.
Номинальное значение выходного параметра определяется с помощью
детерминированной
модели,
с
помощью
вероятностной
модели
определяются разбросы выходного параметра с учетом случайного характера
условий эксплуатации и разбросов характеристик самого двигателя. На
основе полученной информации определяется область допустимых решений,
где
обеспечивается
выполнение
выходного
параметра
с
заданной
вероятностью с учетом случайного характера условий эксплуатации и
характеристик самого двигателя. Таким образом, при данной процедуре
используются как детерминированные, так и вероятностные модели, что
повышает
эффективность
принятого
решения.
Конкретные
примеры
использования изложенной процедуры приведены в разделах 6.2, 6.3, 8.3.
Дальнейшие
работы
целесообразно
проводить
в
части
разработки
конкретных методик оптимизации принятия решения для других узлов
двигателя.
Применение представленных вероятностных моделей возможно с целью
уменьшения шума газотурбинного двигателя. При разработке моделей
271
применялся метод вариаций, которые определяют возможные отклонения
параметров
от
стационарного
процесса.
Разработка
этих
методик
производилась на основе законов сохранения массы, энергии, количества
движения, уравнения состояния и т.д. С помощью коэффициентов вариации
можно определить те границы отклонений от номинала, внутри которых с
вероятностью близкой к единице, будут находиться газодинамические
параметры, в том числе и отклонения давления. Другими словами,
коэффициенты вариации определяют ограничения отклонений параметров
газа от номинала. Акустические колебания подчиняются тем же законам, что
и вариации. Это означает, что минимизация разбросов газодинамических
характеристик будет вести к уменьшению амплитуды колебаний газа, т.е. к
уменьшению шума. Кроме этого, проектирование двигателя с минимизацией
разбросов
приведет
к
повышению
стабильности
работы
двигателя.
Уменьшение разбросов характеристик двигателя может дать применение
способа смешения независимых потоков газа, изложенного в разделах 2.3,
2.4. Однако, этот способ требует дальнейшей разработки, в том числе и
конструкторской.
Теоретически разработан и экспериментально проверен метод учета
потерь от неоднородности размеров хорды лопаток РК и НА и угла их
установки с целью последующей оптимизации конструкции двигателя.
Внедрение разработанных методик позволило повысить эффективность ГТД
при одновременном улучшении технологичности его изготовления, а также
снизить себестоимость восстановительного ремонта.
В практическом плане большой эффект может дать разработка
вероятностной модели работы камеры сгорания, турбины и сопла с в форме
единой методики, позволяющую описать работу всего тракта ГТД. В
настоящей работе разработаны модели работы всех узлов ГТД по
отдельности. Вероятностная модель позволит предусмотреть все возможные
режимы работы двигателя при случайных отклонениях всех определяющих
факторов, что не возможно при использовании детерминированных моделей.
272
С
помощью
вероятностной
модели
можно
определить
вероятность
безотказной работы двигателя для различных условий эксплуатации, что
повысит эффективность принимаемых при разработке ГТД технических
решений.
Кроме того, теоретический и практический интерес может представляет
разработка вероятностных моделей переходных режимов работы ГТД. Для
этого
потребуется
моделей,
теории
применение
стационарных
нестационарных
случайных
статистического моделирования.
273
детерминированных
функций
и
метода
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Соркин Р.Е. Газотермодинамика ракетных двигателей на твердом
топливе. - М.: Наука,1967, 368 с..
2 Соркин Р.Е. Теория внутрикамерных процессов в ракетных системах
на твердом топливе. М.: Наука,1983. 288 с.
3. Райзберг Б.А. Основы теории рабочих процессов в ракетных системах на твердом топливе / Б.А. Райзберг, Б.Т. Ерохин, К.П. Самсонов. М.:
Машиностроение, 1972, 384 с.
4.Фахрутдинов
И.Х.
Конструкция
и
проектирование
РДТТ./
Фахрутдинов И.Х., Котельников А.В. - М.: Машиностроение, 1987, 328с.
5. Липанов А.М. Проектирование ракетных двигателей твердого
топлива / Липанов А.М., Алиев А.В. - М.: Машиностроение, 1995, 400с.
6 Абугов Д.И. Теория и расчет ракетных двигателей твердого топлива /
Абугов Д.И., Бобылев В.М. М.: Машиностроение,1987, 272 с.
7. Новиков В.Н. Основы устройства и конструирования летательных
аппаратов
/
Новиков
В.Н,.
Авхимович
Б.М,
Вейтин
В.Е..
М.
Машиностроение, 1991, 368 с
8. Разумеев В.Ф.Основы проектирования баллистических ракет на
твердом топливе / Разумеев В.Ф., Б.К. Ковалев - М. Машиностроение, 1978,
356с.
9.Ерохин Б.Т. Теория внутрикамерных процессов и проектирования
РДТТ. М.: Машиностроение, 1991, 559с.
10. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. В 2 ч. Ч. 1: Учеб.
руководство: Для втузов. – 5-е изд., перераб и доп. М.: Наука. Гл. ред. физмат. лит, 1991. 600 с.
11 Волков Е.И. Основы теории надежности ракетных двигателей / Е.И.
Волков, Р.С. Судаков, Т.А. Сырицын. М.: Машиностроение, 1974. 400 с.
274
12. Кесаев Х.В. Надежность двигателей летательных аппаратов / Х.В.
Кесаев. М.: Машиностроение,1982. 136 с.
13.
Аполлонов
И.В.
Надежность
невосстанавливаемых
систем
однократного применения / И.В. Аполлонов, Н.А. Северцев. М.:
Машиностроение, 1977. 211 с.
14. Евграшин Ю.Б. Основы теории надежности. Параметрическая
надежность РДТТ - Учеб. пособие / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2007,
197 с.
15.Кулагин В.В. Теория, расчет и проектирование авиационных
двигателей и энергетических установок. М.: Машиностроение , 2002 – 616с.
16.Холщевников К.В., Теория и расчет авиационных лопаточных
машин./ О.Н.Емин, В.Т. Митрохин -. М. : Машиностроение, 1986 – 432с.
17.
Ахметзянов
А.М.
и
др.
Диагностика
состояния
ВРД
по
термогазодинамическим параметрам / А.Н.Ахметзянов, Н.Г.Дубравский,
А.П.Тунаков. М.:Машиностроение, 1983. 206 с.
18.Ахметзянов А.М. Проектирование авиационных газотурбинных
двигателей: Учебник / Под общей ред. проф. А.М. Ахмедзянова. М.:
Машиностроение, 2000. – 454 с.
19.Бедржицкий
Е.
Л.
Исследование
дозвуковых
диффузоров
/
Промышленная аэродинамика. М.. 1986. Вып. 1 (33). С. 123-158.
20.Викторов Г.В. Гидродинамическая теория решеток.// Пособие для
вузов по специальности «Гидравлические машины и средства автоматики».
М.: Высш.шк., 1969.
21.Диксон
С.Л.
Механика
жидкости
и
газов.
Термодинамика
турбомашин: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1981. 213 с.
22. Черкез А.Я. Инженерные расчеты газотурбинных двигателей
методом малых отклонений. М.: Машиностроение, 1975 – 380с.
23. Евграшин Ю.Б. Разработка методики случайных отклонений
параметров работы КС ГТД / Евграшин Ю.Б., Овчинников А.И., Махнев
275
Д.Б., Шмаков А.Ф., Рыбкин А.П. // Отчет о научно-исследовательской работе
по договору №2008/428 с ООО «Авиадвигатель». Пермь: ПГТУ, 2008. C. 49.
24.
Махнев
Д.Б.
Распределения
газодинамических
параметров
дозвукового воздухозаборника ГТД / Махнев Д.Б. // Естественные и
технические науки. 2007. №6(32). ISSN 1684-2626. С. 193-197.
25 . Евграшин Ю.Б. Вероятностная модель работы осевого компрессора
ГТД. / Евграшин Ю.Б., Махнев Д.Б. // Вестник ПНИПУ. Аэрокосмическая
техника. 2011, №31. Пермь: Издательство ПНИПУ, ISBN 978-5-398-00694-0.
С. 49-61.
26. Вентцель Е.С. Исследоваание операций: задачи, принципы,
методология. М.: Высшая школа, 2001, 208с.
27.
Васильев
Л.М.
Высшая
математика.
Специальные
главы.
Исследование операций / Васильев Л.М, Нелюбин Э.Г., Суслонов В.М. ПВКИУ. Пермь. 1995, 125с.
28. Васильев Л.М. Ресурсосберегающее планирование и оперативное
управление эксплуатацией сложных технических комплексов / Васильев
Л.М., Нелюбин Э.Г., Трефилов В.А. - Пермь: ПВМ РВ, 2001, 348с.
29. Вентцель Е.С. Теория вероятности / Е.С. Вентцель. M.: Высш. шк.,
1999. 576 с.
30. Митропольский А. К. Техника статистических вычислений / А.К.
Митропольский. М.: Наука, 1971. 576 с.
31. Коваленко И.Н. Теория вероятностей и математическая статистика /
И.Н. Коваленко, А.А. Филиппова. М.: Высш. шк., 1973. 368 с.
32. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения /
Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. М.: Высш. шк., 2000. 480 с.
33. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки
наблюдений / Е.И. Пустыльник. М.: Наука, 1968. 288 с.
34. Шор Я.Б. Таблицы для анализа и контроля надежности / Я.Б. Шор,
Ф.И. Кузьмин. М.: Советское радио, 1968. 288 с.
276
35.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978 – 736с.
36. Иров Ю.Д.. Газодинамические функции / Иров Ю.Д., Кейль Э.В.
Маслов Б.Н. и др. - М.: Машиностроение, 1965, 399с.
37. Орлов П.И. Основы конструирования. В 2-х книгах. Книга 1. М.
Машиностроение. 1988, 560с.
38 Орлов П.И. Основы конструирования. В 2-х книгах. Книга 2. М.
Машиностроение. 1988, 544с.
39. Шишков А.А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. М.
Машиностроение, 1968, 148 с.
40. Чуян Р.К. Методы математического моделирования двигателей
летательных аппаратов. М. Машиностроение, 1988, 288с.
41.
Литвинов
Б.В.
Основы
инженерной
деятельности.
М.
Машиностроение,2005, 282 с
42 Конструкция ракетных двигателей на твердом топливе. Под ред
Лаврова Л.Н. - М.: Машиностроение, 1993, 215с.
43. Шишков А.А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей. М. :
Машиностроение, 1968, - 147с.
44. Балуева М.А. Вероятностная модель работы выходного устройства
ГТД / А.И. Овчинников – Пермь. :
Аэрокосмическая техника. Вестник
ПГТУ № 28, 2008,- 10 – 16с.
45. Нешев С.С. Использование многомерных распределений при
проектировании РДТТ/ Пермь. Аэрокосмическая техника. Вестник ПГТУ №
31, 2011,- 4 – 13с.
46. Евграшин Ю.Б. Потери в ГТУ от неоднородности величины хорды
лопаток
турбины/
Н.В.
Шишкина,
А.И.
Овчинников.
–
Рыбинск.
Газотурбинные технологии № 9, 2009, 40-42с
47. Нешев С.С. Подобие внутрибаллистических характеристик РДТТ
/А.Ф. Сальников, Ю.Б. Евграшин- М. Полет №7, 2011, 31 – 35с.
48. Нешев С.С. Оптимизация проектирования РДТТ с использованием
многомерных распределений ВБХ /А.Ф. Сальников, Ю.Б. Евграшин 277
Вестник
Рыбинской
государственной
авиационной
технологической
академии им. П.А. Соловьева №1, 2012, 27 – 33с.
49. Евграшин Ю.Б. Вероятностная модель изоэнтропного потока газа в
узлах авиационного газотурбинного двигателя./А.А. Иноземцев, А.И.
Овчинников, - М. Вестник Московского авиационного института, выпуск 6,
2010, т. 17.
50. Директор С., Ровер Р. Введение в теорию систем. М.: Мир, 1974.464с.
51. Чернов Г., Мозес Л. Элементарная теория статистических решений.
М.: Советское радио, 1962.-406с.
52. Беллман Р. Об основах теории стохастических вариационных
процессов. – В сб.: Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964. С.
323-337.
53.Бочкарёв С.К., Дмитриев А.Я. Идентификация математической
модели
ГТД
по
результатам
испытаний.
Вестник
Самарского
государственного аэрокосмического университета. 2008. №1. С. 37-39.
54. Викторов Г.В. Гидродинамическая теория решеток.// Пособие для
вузов по специальности «Гидравлические машины и средства автоматики».
М.: Высш.шк., 1969.
55. Гофлни А.Л, Аэродинамический расчет проточной части осевых
компрессоров. М.: Машгиз, 1959. 303 с.
56.Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений. Пер. с нем. Г.А.
Вольперта. Под ред. Л.В. Овсянникова. М.: ИЛ, 1960.
57.Диксон
С.Л.
Механика
жидкости
и
газов.
Термодинамика
турбомашин: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1981. 213 с.
58.Довжик С.А., Морозов В.И. Экспериментальное исследование
кольцевых
диффузоров
осевых
турбомашин.
//
Промышленная
аэродинамика, М.: Машиностроение, 1961. Вып. 20. С. 168-201
59.Довжик С. А. Профилирование лопаток осевого дозвукового
компрессора. «Промышленная аэродинамика», вып 11. М.: Оборонгиз, 1958.
278
60.Довжик С.А. Экспериментальное исследование двух одноступенчатых
компрессоров в широком диапазоне чисел Рейнольдса «Промышленная
аэродинамика». М.: Оборонгиз, 1961.
61.Дубравский Н.Г., Мокроус М.Ф. Параметрические методы контроля
состояния авиадвигателей труды ЦИАМ №964. М.: Машиностроение, 1981.
27с.
62. Братухин А.Г., Решетников Ю.Е., Иноземцев А.А. и др. Основы
технологии
создания
газотурбинных
двигателей
для
магистральных
самолетов. М.: Авиатехинформ, 1999 – 553 с.
63.Евграшин Ю.Б. Случайные отклонения газодинамических параметров
дозвукового воздухозаборника ГТД с учетом нелинейности / Евграшин Ю.Б.,
Махнев Д.Б. // Вестник КГТУ им. Туполева, №4(56). Казань: Издательство
КТГУ. 2009. С. 26-31.
64.Евграшин Ю.Б. Зависимость потерь в ГТД от величины случайных
отклонений размера хорды лопаток осевого компрессора / Евграшин Ю.Б.,
Махнев Д.Б. // Вестник КГТУ им. Туполева, №1(57). Казань: Издательство
КТГУ. 2010. ISSN 2078-6255. С. 21-26.
65.Евграшин Ю.Б. Влияние случайных отклонений размера хорды
лопаток компрессора, на величину потерь в ГТД / Евграшин Ю.Б, Махнев
Д.Б., Умрилов А.В.
// Научные исследования и инновации № 4. Пермь:
Издательство ПГТУ. 2009. С. 72-79.
66.Евграшин Ю.Б. Случайные отклонения кинематических параметров
ступени осевого компрессора газотурбинных установок / Евграшин Ю.Б.,
Махнев Д.Б. // Газотурбинные технологии №2(83). Рыбинск: Издательский
дом Газотурбинные технологии. 2010. с. 24-27.
67.Емин О.Н., Новиков А.С. Выбор параметров компрессоров ГТД. М.:
МАИ, 1983. 33 с.
68.Жуковский М.И. Аэродинамический расчет потока в осевых
турбомашинах. М.: Машиностроение. 1967. 286 с.
69.Кириллов И. И. Теория турбомашин. М.:Машиностроение, 1972. 536 с.
279
70. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям / Под
ред. М.О. Штейнберга. 3 – е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1992.
672 с.
71.Колычев В.А. Кинематические характеристики потока в лопастных
гидромашинах// Учебное пособие. Киев: ИСС. 1995. 272с.
72.Кроснов С.Е. О вероятности потери газодинамической устойчивости
компрессорных систем при случайных возмущениях полного давления на
входе Ольштейн Л.Е. Труды ЦИАМ №1131. М.: Машиностроение, 1985. 9 с.
73.Махнев
Д.Б.
Вероятностные
характеристики
дозвукового
воздухозаборника ГТД / Махнев Д.Б. // Аэрокосмическая техника и высокие
технологии:
Тезисы
докладов
Всероссийской
научно-технической
конференции. Пермь: Издательство ПГТУ, 2007. C. 90-91.
74.Махнев Д.Б. Случайные отклонения газодинамических параметров
дозвукового воздухозаборника ГТД / Махнев Д.Б., Пайторов А.Ю.
//
Научные исследования и инновации: № 3, Пермь, ПГТУ, 2008. С. 9-14.
75.Махнев Д.Б. Случайные отклонения газодинамических параметров
дозвукового воздухозаборника с учетом корреляционных связей / Махнев
Д.Б., Балуева М.А. // Аэрокосмическая техника и высокие технологии:
Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции. Пермь:
Издательство ПГТУ, 2008. C. 231-232.
76.Махнев Д.Б. Случайные отклонения кинематических параметров
ступени осевого компрессора ГТД / Махнев Д.Б., Евграшин Ю.Б. // Полет.
2012. №12. ISSN 1684-1301. C. 22-28.
77.Махнев Д.Б. Случайные отклонения газодинамических параметров
дозвукового воздухозаборника с учетом корреляционных связей / Махнев
Д.Б. // Научные исследования и инновации: № 4. Пермь, 2008. C. 6-12.
78.Tanaka Z., Jinoya К. New aproximate equation of drag coefficient for
spherical particles// J. Сhеm. Engng. Japan. 1970. V. 3. N 2. Р. 261 – 262.
280
79.Wentz Сh.А., Thodos G. Total and form drag friction factors for the
turbulent flow of air through packed and distended beds of spheres // A.I.Ch.E.
Journal. 1963. У. 9. N 3. Р. 358 – 361.
80.Махнев Д.Б. Вероятностная модель работы авиационного двигателя /
Махнев Д.Б., Шмаков А.Ф., Овчинников А.И., Войтенко Р.В., Рыбкин А.П. //
Научно – технический отчет ПГТУ. Пермь: ПГТУ, 2008. C. 68.
Д.Б.
81.Махнев
Вероятностные
характеристики
дозвукового
воздухозаборника ГТД / Махнев Д.Б., Рыбкин А.П. // Вестник ПНИПУ
Аэрокосмическая техника. 2008, №29. Пермь: Издательство ПГТУ, ISBN
978-5-398-00080-1. C. 125-128.
82.Махнев Д.Б. Влияние неоднородности размера хорды лопаток
компрессора на величину потерь ГТД / Махнев Д.Б., Котельников А.Н. //
Аэрокосмическая
техника
и
высокие
технологии: Тезисы
докладов
Всероссийской научно-технической конференции. Пермь: Издательство
ПГТУ, 2009. C. 38-39.
83.Мисарек Д. Турбокомпрессоры. М., Машиностроение, 1968.
84.Налимов В.В. Теория эксперимента / Налимов В.В. М.: Наука, 1981.
207с.
85. Оллсоп Д., Аллен Р., Алманай Х. Borland C++ Builder 5. Руководство
разработчика Том 2. М.: Издательство «Вильямс», 2001. 817 с.
86.Паппас К., Мюррей У. Visual C++. Руководство для профессионалов.
Санкт-Петербург: BHV, 1996. 912 с.
87.Kuzmenko M.L., Egorov I.N., Shmotin Yu. N., Chupin P.V., Fedechkin
K.S. “Multistage axial flow compressor optimization using 3D CFD code”, 11th
AIAA/ISSMO
Multidisciplinary
Analysis
and
Optimization
Conference,
Portsmouth, Virginia, USA, 6-8 September, 2006.
88.Ramgopal Mushini. Stochastic optimization of parameters and control laws
of the aircraft gas-turbine engines – a step to a robust design. ISIP 2001, Nagana,
Japan, 2001.
89.Петельчиц В.В., Шаровский М.А., Ершов С.В., Русанов А.В.
281
Расчетно-эксперементальное исследование ступени осевого компрессора
ГПА-25000, спроектированной по закону переменного напора по высоте //
Совершенствование
турбоустановок
методами
математического
и
физического моделирования: Тр. междунар. уч.-техн. конф., Змиев, 29сент. –
2 окт. 1997. Харьков: Ин-т пробл. Машиностроения им. А.Н. Подгорного
НАН Украины, 1997. С. 175-182.
90.Пфлейдерер К. Лопаточные машины для жидкостей и газов. Машгиз,
1960.
91.Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука,
1987.
92.Спиридонов А.А. Планирование эксперимента при исследовании
технологических процессов / Спиридонов А.А. М.: Машиностроение, 1981.
183 с.
93.Терещенко Ю.М. Аэродинамика компрессорных решеток. М.:
Машиностроение, 1979. 118 с.
94.Титов А.В., Осипов Б.М., Осипов А.Б., Сафонов И.В. Математическая
модель ГТУ для исследования процессов запуска. Вестник КГТУ им.
А.Н.Туполева, №3. Казань: Издательство КТГУ. 2005. С. 8-11.
95. Тунаков А.П. Методы оптимизации при доводке и проектировании
газотурбинных двигателей. М.: Машиностроение, 1979. 184 с.
96.Холингворт Д., Сворт Б., Баттерфилд Д. Borland C++ Builder 5.
Руководство разработчика Том 1. М.: Издательство «Вильямс», 2001. 865 с.
97.Черный Г.Г. Газовая динамика: Учебник для университетов и втузов.
М.: Наука. 1988. 424 с.
98.Шаровский М.А., Токарева Е.А., Шелковский М.Ю. Характеристики
компрессора со специальным профилированием лопаточных венцов //
Вестник двигателестроения. 2007, №3. Запорожье: ОАО «Мотор Сич». С. 5661.
99.Manuj Dhingra, Yedidia Neumeier, and J. V. R. Prasad A. Stochastic
Model for a Compressor Stability Measure. Journal of Engineering for Gas
282
Turbines and Power – July 2007, Volume 129, Issue 3, pp. 730-737.
100.Kang S., Hirsch C. Influences of tip leakage flow in centrifugal
compressors. // 3rd International Symposium on Aerothermodynamics of Internal
Flows, Sept. 1996, Beijing, China. – 1996. – P. 186 – 194.
101.Тунаков А.П. Методы оптимизации при доводке и проектировании
газотурбинных двигателей. М.: Машиностроение, 1979. 184 с.
102.Горбатенко С.А. Механика полета. М.: Машиностроение, 1969. 420 с.
103.Горелов
Г.М.,
Фрейдин
А.С.
Некоторые
результаты
экспериментального исследования диффузора с подпором потока на выходе.
//Труды Куйбышевского авиационного института. 1963. Вып. 15. Ч 2. С. 3542.
104.ГОСТ 16350–80. Климат СССР. Районирование и статистические
параметры климатических факторов для технических целей. М.: Изд-во
стандартов, 1980. 232 с.
105.Лабендик В. П., Кузнецов Н. С. Особенности формирования
диагностических
матриц
для
контроля
состояния
проточной
части
авиационных ГТД / Изв. ВУЗ «Авиационная техника». Казань: КАИ. 1993, №
3. С. 21-27.
106.Боржсенко А.И. Газовая динамика двигателей. М.: Оборонгизг, 1962.
107.Локай В.И., Маскутова М.К., Стрункин В.А Газовые турбины
двигателей
летательных
аппаратов:
Учебник
для
втузов.
М.:
Машиностроение, 1979. 447 с.
108.Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. В 2 ч. Ч. 1: Учеб.
руководство: Для втузов. – 5-е изд., перераб и доп. М.: Наука. Гл. ред. физмат. лит, 1991. 600 с.
109.Дейч М.Е., Зарянкин А.Б. Гидрогазодинамика: Учеб. пособие для
вузов. М.: Энергоатомиздат, 1984. 384с.
110. Евграшин Ю.Б. [и др.]. Нестационарные внутрикамерные процессы в
ракетных двигателях твердого топлива с комбинированным зарядом //
283
Аэрокосмическая техника и высокие технологии – 2001: Тез докл. научнотехн. конф. Пермь, 2001. С. 92.
111.Гринберг С.М. Вариационный метод расчета частот и форм
колебаний шарнирных лопаток. /Сб. «Прочность и динамика авиационных
двигателей». М., Машиностроение, вып. 2, 1965, с. 254-291.
112.Копытов Е., Лабендик В. Кабелев Н. Особенности диагностических
систем с элементами искусственного интеллекта / Computer Modeling & New
Technologies, 2001, Volume 5, №1, – Riga: Transport and Telecommunication
Institute, pp. 119-123.
113.Колычев В.А., Дранковский В.Э., Цехмистро Л.Н., Миронов К.А.,
Тыньянова И.И., Сергеев А.В. Зависимости потерь энергии в элементах
проточной части радиально-осевой гидротурбины от ее геометрических и
режимных параметров Вестник Национального технического университета
«ХПИ» 2005, №6. С. 161-168.
114. Евграшин Ю.Б. Влияние случайных отклонений размера хорды
лопаток компрессора, на величину потерь в ГТД / Евграшин Ю.Б, Махнев
Д.Б., Умрилов А.В.
// Научные исследования и инновации № 4. Пермь:
Издательство ПГТУ. 2009. С. 72-79.
115.Беляев Н.М. Пневмо-гидравлические системы. / Беляев Н.М.,
Уваров Е.И., Степанчук Ю.М. М. ; Высшая школа, 1988 – 271с.
116. Копелев С.З. Основы проектирования турбин авиадвигателей.
М.,Машиностроение, 1988. – 328 с.
117. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям.
Госэнергоиздат. 1960
118. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, 720с.
119.
Евграшин
Ю.Б.,
Лузянин
С.С.
Случайные
отклонения
характеристик камеры сгорания ГТД / Пермь. Аэрокосмическая техника.
Вестник ПГТУ № 29, 2008,- 12 – 118с.
284
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Производные газодинамических функций
1. Функция определяет отношение статической температуры Т
движущегося газа в рассматриваемом сечении потока к температуре T
изоэнтропического заторможенного газа в том же сечении
к 1 2
2
2
2 к 1
1
,
1 ,
к 1 кр .
2
к 1
к 1
2. Функция определяет отношение статистического давления P
движущегося газа в рассматриваемом сечении потока к давлению P
изоэнтропически заторможенного газа в том же сечении:
к
2 к 1
к 1
1
к 1
2
2
кр
2к
к
,
к 1
,
кр 1 2 1
к 1
.
2
3. Функция определяет отношение плотности движущегося газа
в рассматриваемом сечении потока к плотности изоэнтропически
заторможенного газа в том же сечении
1
к 1 2 к 1
1
,
к 1
2
2
кр
2
,
к 1
3 к 2 кр
3 к 2 1
.
1
1
к 1
к 1
4. Функция q( ) - приведенная плотность потока массы – определяет
отношение плотности потока массы PV в рассматриваемом сечении потока к
плотности потока массы PкрVкр в критическом сечении потока.
285
1
к 1 к 1
q
2
q 1 2 q 2 q
2 q
2
3
,
,
.
2
5. приведенный расход y(), выраженный через статическое давление в
1
к 1 к 1
y
2
сечении потока
,
кр
y 2 y
,
2 y
2 к 2 1 4 y .
6. Функция f ( ) - приведенная плотность потока импульса – определяет
отношение плотности потока импульса
P V 2
к ее значению в
изэнтропически заторможенном потоке
кр
f
1 2
к
f
,
1 2
f 1 ,
2
2 f
2
к
1 2
2
1
2 22 кр f кр
f
1
22
2
1
кр
1 2
7. Функция r определяет отношение статического импульса потока
PF в некотором сечении к полному импульсу потока в том же сечении
mV PF
r
r
кр
2кr
,
1 2
,
1 2
2 r
2
кр
1 32 r
2к
r
1 2
1 32
8. Функция z - приведенный импульс потока – определяет отношение
полного импульса потока
mV PF
критическом сечении maкр Pкр Fкр
286
к полному импульсу потока в
1
1
z ,
2
z
z 1 2
,
1 2
2 z
2
1
3
.
9. Функция - относительный диаметр потока
1
1 1 2
,
,
2
q
2
2
3 2 3
.
4
2
10. Функция определяет отношение скоростного напора в
некотором сечении потока к давлению изоэнтропически заторможенного газа
в этом сечении:
2
к 2
1
,
к 1
к 2
,
к 1
2
2
кр
к 1 2
2 1 32 кр .
2
2
,
к 1
кр
1
2 к 1
.
к 1
2. Вариации газодинамических функций
При исходной функции y f x1 , x2 ...xn ее уравнение в виде вариаций
f
x
1 x
y
i x iст
f
x
2 x
x1
i x iст
x2 ...
где y y yст , xn xn xn ст , - вариации переменных, индекс ст
означает некоторое стационарное значение параметра процесса.
2
2
f
f
D x
D x ...
Дисперсия D y
1
2
x1
x2
x
x
x
x
i
i
iст
iст
287
1.
1 , 2. к2 кр ,
2
3.
5.
y 2
f
1 2 кр
y , 6.
к2
f
,
f
y
1 2
7.
9.
кр
q 1 2
2
, 4.
q ,
q
z
1 2
r
2 кр
2к
z
r
,
8.
,
r
z
1 2
1 2
к 2 2
1 1 2
1
.
, 10.
2
к 1
к 1 2
2
2
к 1
кр ,
q
к 1 1 2
1 2
к
2
2
2
к
кр ,
q
к 1 1 2
1 2
2
2
2
кр ,
q
к 1 1 2
1 2
2к 2
f
2
к
кр .
q
к 1 1 2
1 2
3. Соотношения между параметрами, выраженными через вариации
Масса G m
P Fq
T
G VF ,
G P q F 1 T
,
G
q
F 2 T
P
,
G
G
V F
V
F
288
P f F
Количество движения P f F
,
f F
P
V 2 F PF ,
1 r
V
P F
21 r
r
.
P F
V
H
Энергия H c pT , E cvT ,
V2
к V2
H c pT
,
2 к 1 2
H
H
H
H
H
T
T
E
E
T
T
21
,
V
V
,
P
V
21
P
V
Уравнение состояния
P T R
P T
R
Уравнение адиабаты
P
к ,
P
Скорость потока
V 1 T
,
V
2 T
P P T T
Статические параметры
,
,
P
T
T
P
.
4. Непрерывные законы распределения
1. Экспоненциальный закон
t e t ,
F t 1 e t ,
Const .
2. Закон распределения Вейбулла
289
t 0 kt k 1e t ,
F t 1 e t ,
k
k
0kt k 1 .
3.Гамма – распределение
0е k 1 0t
t 0
e
,
k 1!
F t 1 e
0t
0t i ,
k 1
t!
0
0t k 1
k 1 t i
k 1! 0
0
4. Распределение Грама – Шарлье
A 3 x E 4 x
6 x 3
24 x 4
g x x
x
A
E
x x ,
6
24
Fg x x dx
E
A
g x 1 3x x3
3 6x2 x4
24
6
x
Fg x x dx
A
3
E
,
3
4
4
3
x ,
A 2
E
x 1
3x x 3 .
6
24
f U , T dU dT 1,
2
2
U U f U , T dUd t σU ,
μ 3 U
3
σU
3
U U f U , T dU dT μ 3 U , AU
μ 4 U
σU4
4
U U f U , T dU d t μ 4 U , EU
zi
1
ni
zij ; σ zi
ni j 1
290
1 ni 2
2
zij zi ;
ni j 1
,
3.
t!
.
Az
i
Ez
i
1 1 ni 3
1 ni 2
3
z
z
zi 2 zi 3 ;
i
i
ni j 1
σ zi 3 ni j 1
1 1 ni 4
1 ni 3
1 ni 2
zi 4 zi
zi 6 zi 2
zi 3z i 4 3
ni j 1
ni j 1
σ z 4 ni j 1
i
Формула Байеса
P H i | A
n
n
PH i P A | H i
. P A PH i P A | H i , где PH i 1 .
P A
1
1
5. Нормальное распределение
1 x M x 2
1
1
ς2
x
exp
exp ,
. ς
σ
2πσ
2π
2
2
2
F ( x)
ς ς
e 2
1
2π
dς
1. xf x dx 0 . 2. x 2 f x dx 1, где f x
1
e
2π
x2
2
.
3. x 3 f x dx 0 . 4. x 4 f x dx 3 . 5. e iux f x dx e
6. xe iux f x dx iue
u2
2
. 7. x 2 e iux f x dx 1 u 2 e
8. x 3 e iux f x dx iu 3 u 2 e
u2
2
.
u2
2
u2
2
.
9. x 4 e iux f x dx 3 6u 2 u 4 e
A
E
E
A
10. e iux f x f x
f x dx 1 iu 3 u 4 e
6
24
24
6
291
u2
2
.
u2
2
.
Многомерное нормальное распределение
F ( x1...xN )
μ ij
1
N
ij
...
exp
μ
(
x
x
)(
x
x
)
dxi ,
i
i
i
i
2 i j
1
xN
x1
2π N 2
где
μ ij
Dij
D
μ ij
μ 11 μ 12
μ 12 μ 22
...
...
μ 1N μ 2 N
... μ 1N
... μ 2 N
... ...
... μ NN
n
; μ ij 1 ( xik xk ) ( x jk x j ) .
;
ij
n k 1
Dij
, Si .
Dii
D
.
Dii
Центральные моменты двумерного нормального распределения
rs|t
1
s t
σU σ T
U U T T f U , T dUdT .
s
t
r2t 1|1 r1| 2t 1 2t 1 !!r , r2t | 2 r2| 2t 2t 1 !! 1 2tr 2 .
r 3r , r 24r 4 72r 2 9, r 31 4r 2 , r 5r ,
r 15 , r 105 , r 9r 6r 2 , r 151 6r 2 .
r2t | 2t 1 r2t 1| 2t 0 , r2t | 0 r0| 2t 2t 1, r2 | 2 1 2r 2 ,
1| 3
6| 0
4| 4
2| 4
5 |1
3| 3
8| 0
6| 2
Формулы Судакова
P
N
N N 1
2
Pi Pmin Pi K N , где K N
;
arcsin rij ; C
2
πC i j
i 1
i 1
N
P P 1 W
Pmin
W 1
Pmin
2
2
Pmin
1 K N 2
P
2 1
πCn P
2
2
Pi
1
Pi
i 2
.
N
N
Pmin Pi 1 rij2 .
i 1
i j
292
6. Коэффициенты корреляции
x
1
U σ y ,
rxy
x
x
y
y
f
x
,
y
d
x
d
y
y σ x
σ x σ y
U
i j 2 i j 2 i j i j
U T
T r
U
U U
T T
U T T U
rij
,
Dyi Dyj
Dyi i U2 i T2 2r i i U T Di . rij
U T
U
T
2
μ ij
2
μ ij
D( yi ) D( y j )
,
i j 2
j 2 i j 2
σ U1 i
σU
σT
U 1 U 1
U 2 U 2 2 T T
j i j
j i j
j i j
rU1U 2 i
rU1T i
rU 2T .
i
U 1 U 2 U 2 U 1
U 1 T T U 1
U 2 T T U 2
7. Функции случайных величин
M y y
2
2
U U T T 1 2 σU2 2 σT2
U
T
T
2 U
1 4
1 3
3
4
3 AU σU3 3 AT σT3 4 EU 3σU4 4 ET 3 σT4
6 U
T
T
24 U
2 1 4 1 2r 2
rσU σT
σU σT .
2
2
r
UT 4 U T
Второй момент распределения
2
2
2
2
2
1 2
2 2
4
4
μ 2 y
σU σ T
E
3
σ
E
3
σ
σ U σ T 2r
U
U
T
T 2 T
U T
4 U 2
U
T
2 2
1 2 2 2 2
σU4
1 2r
σU σT .
2 U 2 T 2
UT
2
293
Третий момент распределения
μ3 y
U ,T y f U ,T dUdT ,
3
3
3
2
2
3 2 2
μ3 y
1 2r 2 σU2 σ T2
μ 3 U
μ 3 T
2
2
2 U T
U
T
T U
9r
9
1 4r 2
2
2
UT
2 2 2 2
σ T σU σ T
σU
T
U
2
UT
2
2 2 2 2 2 2
σU
σ T σU σ T .
U
T
Четвертый момент распределения
μ4 y
4
U , T y f U , T dUdT ,
4
4
μ4 y
EU 3 σU
ET 3 σT
U
T
3
3
2
2
2 2
3
12r σU σT
σU
σT 6
T U
U T
U T
4
45
1 2r σ σ
2 U
2
2 2
U T
4
2
2
2 6
2 σU
T
U
2
2
2 6
2 σT .
T
n
2
1 n 2
D( xi ) 2 D( xi )
D( y)
2 i xi
i xi
i j xi x j
2
n
2
2
D( xi ) D( x j )
i j 2 i j 2 i j i j
U T
U
T r
U U
T T
U T T U
rij
,
Dyi Dyj
Dyi i U2 i T2 2r i i U T Di . rij
U T
U
T
2
μ ij
μ ij
2
D( yi ) D( y j )
i j 2
j 2 i j 2
σU1 i
σU
σT
U1 U1
U 2 U 2 2 T T
j i j
j i j
rU1U 2 i
rU1T
i
U1 U 2 U 2 U1
U1 T T U1
j i j
rU 2T .
i
U 2 T T U 2
294
,
8. Двумерное моделирование течения газа в решетке профилей с
неоднородностью размера хорды лопаток
Рисунок 8.1 Поле распределения полного давления для лопаток с номинальным размером
хорды.
Рисунок 8.2 Поле распределения числа Маха для лопаток с номинальным размером
хорды.
295
Рисунок 8.3 Поле распределения статической температуры для лопаток с номинальным
размером хорды.
Рисунок 8.4 Поле распределения полного давления для лопаток с уменьшенным размером
величины хорды.
296
Рисунок 8.5 Поле распределения числа Маха для лопаток с уменьшенным размером
величины хорды.
Рисунок 8.6 Поле распределения статической температуры для лопаток с уменьшенным
размером величины хорды.
297
Рисунок 8.7 Поле распределения полного давления для лопаток с уменьшенным размером
величины хорды (номинал-номинал-подрезка-подрезка).
Рисунок 8.8 Поле распределения числа Маха для лопаток с уменьшенным размером
величины хорды (номинал-номинал-подрезка-подрезка).
298
Рисунок 8.9 Поле распределения статической температуры для лопаток с уменьшенным
размером величины хорды (номинал-номинал-подрезка-подрезка).
Рисунок 8.10 Поле распределения полного давления для лопаток с уменьшенным
размером величины хорды (номинал-подрезка-номинал-подрезка).
299
Рисунок 8.11 Поле распределения числа Маха для лопаток с уменьшенным размером
величины хорды (номинал-подрезка-номинал-подрезка).
Рисунок 8.12 Поле распределения статической температуры для лопаток с уменьшенным
размером величины хорды (номинал-подрезка-номинал-подрезка).