/
Текст
Теория для решения тригонометрических уравнений
Перед чтением этой методички надо прочитать:
http://mathus.ru/math/index.php#base – все статьи с теорией из разделов "Алгебра",
"Тригонометрия", "Планиметрия", "Уравнения и неравенства".
Что же такое тригонометрический круг? Вертикальная ось, она же ось ординат,
она же ось синусов; горизонтальная ось, она же ось абсцисс, она же ось косинусов;
окружность с центром вначале координат, радиус которой принимаем равным
единичке.
Принято считать, что:
Тригонометрический круг имеет несколько линий, по которым ведется отсчет:
четыре оси и сам круг. На самом круге откладываются значения аргументов или углов
тригонометрических функций, а на осях – значения самих функций.
Радиус
окружности
принимается
равным
единице
из-за
основного
тригонометрическому тождеству:
которое напоминает как раз уравнение окружности с центром в начале координат
Отсюда длина окружности равна
задает промежуток от
. Нарисуем круг и пусть длина окружности
до . На листе с клеточками удобно (но не принципиально!)
принять радиус равным 4 клетки. Положительное направление отсчета по окружности
– против часовой стрелки!
Синим цветом отмечены длины дуг окружности. Черным цветом подписаны оси.
Число 0 в начале координат обозначает ноль осей синуса и косинуса. Число 0 сверху
обозначает ноль оси котангенса. Число 0 (выделенное синим цветом) также обозначает
и ноль оси тангенса. Число 1 отмечает отрезок длины 1 от начала оси тангенса и оси
котангенса.
Тригонометрический круг отражает все свойства. Оси тангенса и котангенса
продлеваются неограниченно, оси синусов и косинусов – для красоты продлеваются
чуть дальше –1 и чуть дальше 1.
Теперь, когда всё стало непонятно, попробуем решить простейшие уравнения с
помощью круга.
Осталось совсем немного.
Поскольку единичная окружность имеет длину
и точка A, будет расположена и точка
,
, то ровно на том же месте, что
и вообще все, задаваемые
условием
Вспомните стрелочные часы и всё.
То есть получается, что на том же месте, где мы на предыдущих рисунках
отмечали точку на окружности
точка 0, станет точка
будет и точка
. Но тогда там, где была
.
В задачах ЕГЭ, которые, я надеюсь, вы станете разбирать далее, в большинстве
случаев рассматривается промежуток, длина которого не превышает
. А это как раз
и означает, что такой промежуток очень и очень удобно изобразить на круге. И всю
задачу решать с помощью тригонометрического круга.
Что за промежуток изображен? Очень просто, изображен промежуток,
задаваемый следующим неравенством:
Как тригонометрический круг помогает при отборе корней? Итак, еще раз,
вспомните о том, что за неравенства написаны на первой странице. Если промежуток
другой, то к вашему арктангенсу/арккотангенсу/арксинусу/арккосинусу нужно просто
прибавить или отнять соответствующий множитель
,
. Но на самом деле всё
и так интуитивно понятно.
Еще раз прошу прочитать:
http://mathus.ru/math/index.php#base – все статьи с теорией из разделов "Алгебра",
"Тригонометрия", "Планиметрия", "Уравнения и неравенства".
Примеры того, что в 2018 году может быть под номером
13
http://mathus.ru/math/ege15.pdf http://mathus.ru/math/ege17p.pdf
Задачи 1 – 17 сложнее, чем то, что может быть в реальности
1. (МИОО, 2009) Решите систему уравнений
Решение.
Следствие:
Тогда
Ответ:
,
,
.
2. (МИОО, 2009) Решите систему уравнений:
Решение.
Выразим
из первого уравнения и подставим во второе:
Тогда
Буквы в данном случае обязательно пишем разные, поскольку нет прямой связи между
x и y и в противном случае мы потеряем множество решений.
Ответ:
,
.
3. (МИОО, 2009) Решите систему уравнений:
Решение.
Подставив
в первое уравнение, получим систему
Тогда
Ответ:
.
,
.
4. (МИОО, 2009) Решите систему уравнений:
Решение.
Решаем первое уравнение системы:
Пусть
, тогда
Возвращаясь к переменной x, получим:
Из второго уравнения системы:
Тогда
Ответ:
, откуда
,
.
,
.
5. (МИОО, 2009) Решите систему уравнений:
Решение.
1. Пусть
, тогда
.
Воспользуемся методом вспомогательного аргумента, заметив, что
,
.
Тогда
2. Пусть
,
.
, тогда
и мы получаем аналогичное уравнение (и
решение) для переменной y:
Ответ:
,
,
.
6. (МИОО, 2009) Решите систему уравнений:
Решение.
Первое уравнение системы позволяет записать следующее:
1. Пусть
,
; из второго уравнения имеем:
Воспользуемся формулой разности синусов
Тогда
,
.
,
2. Пусть
Ответ:
,
; из второго уравнения имеем:
,
.
7. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
Решение.
Применяя
формулу
в первом уравнении, получим:
1. Пусть
. Тогда
и второе уравнение не имеет
решений.
2. Пусть
,
. Тогда
второе уравнение не имеет решений.
3. Пусть
Ответ:
,
. Тогда
,
,
.
8. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
Решение.
ОДЗ системы запишется следующим образом:
С учётом того, что
, ОДЗ запишется так:
С учётом ОДЗ, имеем числа
,
,
,
, которые теперь нужно
разбить на пары.
При
первое равенство исходной системы выполняется при всех y из ОДЗ,
однако второе равенство выполняется только при
. Аналогично, только
входит в ОДЗ и при этом значении первое равенство выполняется для любого x из
ОДЗ, но второе равенство достигается только при
Ответ:
,
.
.
9. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
Решение.
ОДЗ переменной x:
Первое уравнение системы:
ОДЗ удовлетворяют только значения
имеем:
Ответ:
,
.
,
. Тогда для второго уравнения
10. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
Решение.
Из первого уравнения имеем
. Поскольку
получаем ограничение для x:
,
которому удовлетворяют только
Ответ:
,
.
. Тогда
для любого y,
11. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
Решение.
Подставляя
1. Пусть
2. Пусть
в первое уравнение, получим
, тогда
тогда
решений нет.
Ответ:
,
.
12. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
Решение.
Из второго уравнения
значит
,
. Этому неравенству удовлетворяют множества
и
.
1. Пусть
,
. Тогда
2. Пусть
Ответ:
,
,
. Тогда
,
,
,
.
13. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
Решение.
Подставляя первое выражение во второе, получим
Тогда
Ответ:
,
14. (МИОО, 2010) Решите систему уравнений:
Решение.
Поскольку
не удовлетворяет системе, разделим второе уравнение системы
на первое:
В первом случае
Ответ:
, а во втором –
,
,
.
.
15. (ЕГЭ, 2010) Решите систему уравнений:
Решение.
Первое уравнение системы:
Из второго уравнения:
откуда
необходимо
выполнение
неравенства
удовлетворяет только множество точек
Ответ:
,
.
.
,
Этому
. Тогда
неравенству
16. (ЕГЭ, 2010) Решите систему уравнений:
Решение.
Заметим, что
является решением второго уравнения при любом
допустимом значении x. Однако при
первое уравнение системы не имеет
решений. Поэтому
Тогда
Ответ:
.
,
.
17. (ЕГЭ, 2010) Решите систему уравнений:
Решение.
Из первого уравнения имеем:
Из второго уравнения системы получим:
значит должно выполняться неравенство
точек
Ответ:
,
. Тогда
,
.
. Ему удовлетворяет множество
18. (МИОО, 2010) Решите уравнение:
Решение.
ОДЗ:
.
С учётом ОДЗ, ответ запишется так:
Ответ:
,
.
,
.
19. (МИОО, 2010) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
.
20. (МИОО, 2010) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
,
.
21. (МИОО, 2010) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
,
.
22. (МИОО, 2011) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
,
.
23. (МИОО, 2011) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
.
24. (МИОО, 2011) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
.
25. (МИОО, 2011) Решите уравнение:
Решение.
ОДЗ:
Найдем значения x, при которых второй множитель обращается в ноль.
Поскольку требуется выполнение
условия
,
то
из
найденных решений подходят только
множества
и
,
. Первый множитель, очевидно,
дает совокупность:
которая полностью исключается ОДЗ.
Остается записать найденные решения
более компактным способом.
Ответ:
,
.
26. (МИОО, 2011) Решите уравнение:
Решение.
ОДЗ:
ОДЗ удовлетворяет только второе множество полученной совокупности.
Ответ:
,
.
27. (Репетиционный ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
Решение.
ОДЗ:
ОДЗ
удовлетворяют
только
следующие серии корней:
Ответ:
,
,
.
28. (Репетиционный ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
Решение.
ОДЗ:
Остается отобрать решения, удовлетворяющие ОДЗ.
Ответ:
,
.
29. (ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
,
.
30. (ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
,
.
31. (ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
,
.
32. (ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
,
.
33. (ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
,
.
34. (ЕГЭ, 2011) Решите уравнение:
Решение.
Ответ:
,
.
35. (МИОО, 2011) а) Решите уравнение:
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а)
б) Корни нетрудно отобрать, используя дважды тригонометрическую окружность.
Ответ: а)
,
; б)
,
,
.
36. (МИОО, 2011) Дано уравнение:
а) Решите уравнение. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрической окружности.
Ответ:
а)
,
.
,
;
б)
,
,
37. (МИОО, 2011) Дано уравнение:
а) Решите уравнение. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а)
б) Отбор корней произведем с помощью тригонометрической окружности.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
38. (МИОО, 2011) а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
39. (Юг, пробный ЕГЭ, 2012) Решите уравнение:
и укажите те из его корней, которые принадлежат отрезку
Решение.
Корни отберем с помощью единичной окружности.
Ответ:
,
;
,
.
.
40. (Федеральный центр тестирования, 2012) а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью числовой окружности.
Ответ: а)
,
,
; б)
, ,
,
.
.
41. (Репетиционный ЕГЭ, 2012) Дано уравнение
а)
Решите
данное
уравнение.
принадлежащие промежутку
б)
Укажите
корни
данного
уравнения,
.
Решение.
а)
Заметим, что все x, для которых
, не являются решениями уравнения.
Поэтому разделим обе части уравнения на
.
б) Корни отберем с помощью единичной окружности.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
.
42. (Репетиционный ЕГЭ, 2012) а) Решите уравнение:
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрической окружности.
Ответ: а)
,
,
,
; б)
,
,
,
.
.
43. (МИОО, 2012) а) Решите уравнение
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а)
Можно (но совершенно не обязательно) записать решение красивее:
б) Отбор корней нетрудно произвести с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
; б) ,
.
44. (МИОО, 2012) а) Решите уравнение
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а) Применяя формулу
и поделив на 2, получим:
б) Отберем корни с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
; б)
,
.
45. (ЕГЭ, 2012) а) Решите уравнение
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью единичной окружности.
Ответ: а)
;
.
46. (ЕГЭ, 2012) а) Решите уравнение
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
; б)
.
.
47. (ЕГЭ, 2012) а) Решите уравнение
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
.
.
48. (ЕГЭ, 2012) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
,
.
.
49. (ЕГЭ, 2012) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
.
.
50. (ЕГЭ, 2012) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а) Прежде всего стоит отметить, что ни о каком ОДЗ речи не идет, ведь если мы
просто перейдем к равенству
то получается, что при дальнейшем поиске решений исходного уравнения выражение
под знаком логарифма приравнивается к положительному числу.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
,
.
51. (ЕГЭ, 2012) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
52. (МИОО, 2012) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а) ОДЗ:
,
,
. Умножим обе части уравнения на
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
53. (МИОО, 2012) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
.
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
54. (МИОО, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
.
.
55. (МИОО, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
Решение.
а)
Заметим, что все x, при которых
, не являются решением исходного
уравнения. Поделим обе части на
.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
,
.
56. (МИОО, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
.
.
57. (ФЦТ, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
.
58. (МИОО, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
.
59. (ЕГЭ, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
Решение.
а) ОДЗ:
,
. Умножим обе части уравнения на
ОДЗ удовлетворяет только
.
,
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
60. (ЕГЭ, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
.
61. (ЕГЭ, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
Разделим на
.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
.
.
62. (ЕГЭ, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
.
63. (ЕГЭ, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
,
. Умножим обе части на
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
.
64. (МИОО, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
Разделим обе части на
.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
.
.
65. (МИОО, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
,
.
66. (МИОО, 2013) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
.
.
67. (МИОО, 2014) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
С учетом ОДЗ, окончательно:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
.
68. (МИОО, 2014) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
.
.
69. (Санкт-Петербург, пробный ЕГЭ, 2014) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
70. (МИОО, 2014) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
Решение.
а) ОДЗ:
С учётом ОДЗ остается только одна серия корней:
,
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
71. (МИОО, 2014) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Умножим обе части на
.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
,
.
.
72. (ЕГЭ, 2014) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
Решение.
а) ОДЗ:
Умножим обе части на
.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
,
; б)
,
,
.
73. (ЕГЭ, 2014) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
,
; б)
,
,
,
.
.
74. (ЕГЭ, 2014) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
.
75. (МИОО, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
.
76. (МИОО, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
.
77. (МИОО, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
С учетом ОДЗ, остаются только следующие серии корней:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
.
78. (МИОО, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
.
.
79. (ЕГЭ, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Тут только группировка, которая бросается в глаза.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
80. (ЕГЭ, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) Тут только группировка, которая бросается в глаза.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
.
.
81. (ЕГЭ, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
.
.
82. (ЕГЭ, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
83. (ЕГЭ, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
,
; б)
,
,
, 0.
.
84. (ЕГЭ, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
.
.
85. (ЕГЭ, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
.
.
86. (ЕГЭ, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
,
.
.
87. (МИОО, 2015) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б) ,
,
.
.
88. (МИОО, 2016) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
С учетом ОДЗ остается только
.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
89. (МИОО, 2016) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
90. (МИОО, 2016) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
Решение.
а) ОДЗ:
С учетом ОДЗ, остаются следующие серии корней:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
91. (МИОО, 2016) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
.
92. (МИОО, 2016) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
.
С учетом ОДЗ, остаются следующие серии корней:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
.
.
93. (ЕГЭ, 2016) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
,
,
.
94. (ЕГЭ, 2016) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
95. (ЕГЭ, 2016) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
.
.
96. (ЕГЭ, 2016) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
ОДЗ:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
97. (ЕГЭ, 2016) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
,
; б)
,
.
.
98. (МИОО, 2017) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
С учётом ОДЗ остаются следующие серии корней:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
.
.
99. (МИОО, 2017) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
С учетом ОДЗ остается только одна серия корней:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
100. (МИОО, 2017) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
Умножим обе части на
.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
,
.
.
101. (МИОО, 2017) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
С учетом ОДЗ, остается только одна серия корней:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
102. (МИОО, 2017) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
С учетом ОДЗ, остается только одна серия корней:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
.
.
103. (МИОО, 2017) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а) ОДЗ:
С учетом ОДЗ, остается одна серия корней:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
.
.
104. (МИОО, 2017) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
ОДЗ:
.
Умножим обе части на
.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
.
.
105. (МИОО, 2017) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
С учетом ОДЗ, получим:
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
; б)
,
.
.
106. (МИОО, 2017) а) Решите уравнение:
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
.
Решение.
а)
ОДЗ:
. Умножим на
.
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
,
,
; б)
,
.
107. (ЕГЭ, 2016) а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнение, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Заметим, что
Ответ: а) 3, 9; б) 9.
.
108. (ЕГЭ, 2013) а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнение, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Заметим, что
Ответ: а)
,
– возрастающая функция, поэтому
; б)
.
.
109. (ЕГЭ, 2013) а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнение, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Сравним
Ответ: а) 2,
; б)
.
.
110. (МИОО, 2013) а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнение, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
Разделим обе части уравнения на
б)
Ответ: а)
; б)
.
.
.
111. (ЕГЭ, 2014) а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнение, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
Разделим обе части уравнения на
.
б)
Ответ: а)
,
; б)
.
.
112. (ЕГЭ, 2016) а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнение, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
Заметим, что
.
б)
Ответ: а)
, 2; б)
.
.
113. (ЕГЭ, 2016) а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнение, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б) Корни отберем с помощью тригонометрического круга.
Ответ: а)
,
; б)
,
.
.
114. (Санкт-Петербург, пробный ЕГЭ, 2017) а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнение, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
б)
Ответ: а)
,
; б)
.
.
115. (ЕГЭ, 2017) а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнение, принадлежащие промежутку
Решение.
а)
Умножим обе части на
.
б)
Ответ: а)
, 2; б)
.
.