С.-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
С.М.БАУЭР, Б.А.ЗИМИН, П.Е.ТОВСТИК
простейшие модели
теории оболочек и пластин
в офтальмологии
ИЗДАТЕЛЬСТВО С.-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2000

ПРЕДИСЛОВИЕ
В результате многолетнего сотрудничества петербургских ма-
математиков и врачей-офтальмологов достигнут серьезный прогресс
в решении ряда медицинских проблем. Итогом этой работы явился
труд С.М.Бауэр, Б.А.Зимина и П.Е.Товстика, в котором довольно
сложные математические выкладки необычно сочетаются с опи-
описанием также непростых структурно-функциональных характери-
характеристик человеческого глаза. Это касается, в частности, планирова-
планирования хирургических операций по поводу отслоения сетчатки, пони-
понимания биомеханики такого послеоперационного осложнения, каким
является отслойка сосудистой оболочки и, наконец, проникнове-
проникновения в тонкости патогенеза прогрессирования глаукомы. Авторы
представили, по их терминологии, "простейшие математические
модели" перечисленных состояний. Результаты работы доклады-
докладывались ими не только на местных семинарах, но частично были
представлены на Международном конгрессе исследователей глаза
(Париж, 1998).
Хотя математикам потребуется некоторая специальная подго-
подготовка для усвоения биологических подходов к проблемам функ-
функционирования глаза, а медикам будет сложно, а местами и невоз-
невозможно воспринимать в деталях математические разделы работы,
данная монография определенно разбудит интерес к продолжению
контактов между ними. Сожалеть приходится лишь о том, что еще
многие процессы функционирования нормального и патологически
измененного глаза остаются вне поля совместного внимания меди-
медиков и математиков. Но уже сделанное и представленное в данном
труде позволит возбудить у учащихся университета, Да и у вполне
сложившихся математиков определенный интерес к фундаменталь-
фундаментальным проблемам офтальмологии.
Хочется пожелать авторам дальнейшего плодотворного сотруд-
сотрудничества с медиками, расширения диапазона их научных поисков
в офтальмологии.
Засл. деят. науки, проф. Волков В.В.

ВВЕДЕНИЕ
Орган зрения в процессе эволюции оказался хорошо приспосо-
приспособленным к созданию зрительного образа. Глаз человка восприни-
воспринимает свет с длиной волны от 380 до 760 нм, а в специально со-
созданных условиях этот диапазон заметно расширяется в сторону
инфракрасной части спектра до 950 нм и в сторону ультрафиоле-
ультрафиолетовой части — до 290 нм [35].
Глазное яблоко (в первом приближении шаровидной формы)
имеет три основных оболочки: наружную фиброзную капсулу^
среднюю — сосудистую оболочку и внутреннюю оболочку — сет-
сетчатку (рис. 1).
Передняя камера
Задняя камера
Радужная
оболочка
Роговица
Сосудистая
оболочка
Склера
РёшетчагНая
пластинка
Зрительный
нерв
Рис. 1.
Форму глазного яблока определяет плотная наружная оболочка,
задний отдел которой (склера) непрозрачен и имеет белый цвет.
Она предохраняет более нежные внутренние структуры глаза и
служит основой для прикрепления сухожилий наружных прямых

мышц, обеспечивающих фиксацию глазного яблока в направлении
рассматриваемого предмета.
В передней части фиброзная капсула глазного яблока переходит
в более выпуклую, плотную, но прозрачную для световых лучей
роговую оболочку, которая как бы вставлена в склеру наподобие
часового стекла, так как на месте перехода склеры в роговицу в
первую очередь прозрачными становятся глубокие слои склеры, а
уже затем — поверхностные. Роговица чрезвычайно богата чув-
чувствительными нервными окончаниями. Она не только участвует в
защите содержимого глаза от внешних воздействий, но и является
главной линзой оптической системы глаза, преломляя проходящий
через нее свет с силой примерно в 60.0 дптр.
Средняя оболочка глаза (или сосудистый тракт), располагающа-
располагающаяся сразу под склерой, состоит из собственно сосудистой оболочки
(хориоидеи), ресничного (или цилиарного) тела и радужки.
Хориоидея выстилает изнутри весь задний отдел склеры, но
прочно связана с нею лишь в месте выхода зрительного (оптиче-
(оптического) нерва. Слабая механическая связь со склерой создает усло-
условия для возникновения отслоек сосудистой оболочки в тех ситуа-
ситуациях, когда часть содержимого глаза, создающего "подпор" изну-
изнутри, утрачивается, а жесткая, особенно "старческая", склера со-
сохраняет свою форму.
Ресничное тело представляет собой среднюю утолщенную часть
сосудистого тракта. Оно выступает в виде циркулярного валика
внутрь глаза вблизи перехода склеры в роговицу и в разрезе имеет
форму, близкую к треугольной. Задний, мало проминирующий, от-
отдел ресничного тела, называется ресничным кружком или плоской
частью. Передний, выступающий внутрь, отдел содержит множе-
множество тонких ресничных отростков, вырабатывающих водянистую
влагу, которая несет питательные вещества к бессосудистым тка-
тканям (роговице и хрусталику) и способствует поддержанию нор-
нормального внутриглазного давления (ВГД). От кольца, образуемого
ресничным венцом, начинается множество тончайших нитей, назы-
называемых цинновой (ресничной) связкой, удерживающей хрусталик.
Внешней частью сосудистого тракта является радужная обо-
оболочка, которая располагается не пристеночно, а во фронтальной
плоскости лимба (места перехода склеры в роговицу). В центре
радужки находится круглое отверстие — зрачок.

Внутренняя оболочка глаза -— сетчатка (ретина) — выстилает
сосудистую оболочку изнутри. Макроскопически световосприни-
мающая часть сетчатки имеет неравномерную толщину (от 0,08 в
центре до 0,4 мм на периферии). Сетчатка совершенно прозрачна,
имеет собственную сеть сосудов и лишь в двух местах плотно спа-
спаяна с сосудистой оболочкой — у диска зрительного нерва и у зубча-
зубчатой линии, рядом с которой заканчивается плоская часть реснич-
ресничного тела. Поэтому при разрывах сетчатка легко отслаивается, т.
е. через разрыв под нее может затекать внутриглазная жидкость.
Сетчатка играет роль периферического рецепторного (светочув-
(светочувствительного) отдела зрительного анализатора. Луч света, прежде
чем достичь светочувствительного слоя сетчатки, проходит через
прозрачные среды глаза и всю толщину сетчатки, отражается от
пигментного эпителия, тесно спаянного с хориоидеей, и попадает
на клетки нейрозпителия, в которых возникает биоэлектрический
импульс в ответ на световое раздражение.
Заключенное в оболочках содержимое глазного яблока состоит
из прозрачных светопреломляющих сред. Задний отдел и цен-
центральная часть глазного яблока заполнены стекловидным телом
(СТ), по консистенции напоминающим сырой белок куриного яйца.
В норме СТ своей пограничной мембраной прилежит к сетчатке и
местами связано с ней. Если СТ отслоилось, но сохранило в каких-
либо участках связь с сетчаткой, то возникают силы натяжения
(тракций) последней, и в этом месте может возникнуть клапан-
клапанный или дырчатый ее разрыв. Помимо фиксации необходимого
положения частей оптического аппарата СТ обеспечивает "демп-
"демпфирование" колебаний внутриглазных структур, а также тесное
прилегание друг к другу внутренних оболочек глаза.
Спереди в наиболее компактной части СТ имеется вдавление
(fossa hyaloidea), в котором расположен хрусталик. Хрусталик
имеет вид двояковыпуклой линзы, подвешенной позади зрачка на
цинновой связке. Прозрачное вещество хрусталика заключено в
эластичную тонкую сумку, которая едина, но в ней выделяют пе-
переднюю часть (переднюю капсулу) и заднюю часть (заднюю ка-
капсулу), которые не препятствуют изменению формы под действием
внутренних напряжений. Вещество хрусталика у детей мягкое, но
к 20 годам формируется более плотное хрусталиковое ядро, кото-
которое с возрастом увеличивается в размере, и хрусталик теряет свою
эластичность (обезвоживается или "склерозируется"). Преломляю-

щая сила хрусталика 20.0 дптр, и его основной функцией является
аккомодация, т. е. приспособление к четкому зрению на разных
расстояниях.
Роговица, водянистая влага, хрусталик, СТ и сетчатка соста-
составляют оптическую, или рефракционную, систему глаза.
Различные травматические повреждения или другие патологи-
патологические состояния органа зрения проявляются в виде одной из при-
причин слепоты и наступления инвалидности. Проблемы зтиопато-
генеза (причины и механизмы возникновения) и лечения отслойки
сетчатки, глаукомы, развития отслойки сосудистой оболочки не
теряют своей актуальности и остаются в настоящее время одними
из наиболее трудных в хирургии и тяжелых по исходам патологи-
патологических состояний глаза [24].
В главе 1 настоящей работы рассмотрены простейшие мате-
математические модели зписклеральных противоотслоечных операций
— циркляжа и пломбирования. В главе 2 построены простейшие
модели возможных механизмов образования отслойки сосудистой
оболочки глаза. Биомеханической концепции глаукомы посвящена
глава 3.

Г л а в а 1
ДЕФОРМИРОВАНИЕ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗА ПРИ
НЕКОТОРЫХ ОПЕРАЦИЯХ ПО ОТСЛОЙКЕ
СЕТЧАТКИ
Отслойка сетчатки — это такое патологическое состояние, при
котором сетчатка теряет контакт с сосудистой оболочкой и отхо-
отходит от нее внутрь полости глаза (рис. 2). Основными факторами,
вызывающими отслойку, являются травмы глаза, в том числе и хи-
хирургические, образование отслойки стекловидного тела (например,
при падении, ушибах головы, поднятии тяжести), воспаление сосу-
сосудистого тракта. Развитие отслойки приводит к разрыву сетчатки
с последующим проникновением под нее внутриглазной жидкости.
Рис. 2.
В большинстве случаев отслойка сетчатки подлежит хирургиче-
хирургическому лечению [3,27,33,60—63,72] с эвакуацией жидкости из обра-
образовавшейся полости [27,33,60—63] (или без пункции [3,72]) и вда-
влением наружных слоев оболочки глаза до совмещения их с отсло-
отслоившейся сетчаткой.
Для вдавливания склеральной оболочки применяют различные
приемы.
Особое место среди способов хирургического вмешательства за-
занимает круговое вдавление или так называемый циркляж — пере-
перетягивание глаза нитью или лентой по параллели, (см рис 3 4)
Классический вариант циркляжа - круговое вдавливание стро-
строго в экваториальном направлении. Осуществляется циркляж пере-
перетяжкой оболочки глаза шелковой нерастяжимой нитью, силиконо-
силиконовой упругой нитью или лентой [60—63].

В некоторых случаях применяется также локальное пломбиро-
пломбирование. При этом пломбу пришивают к склере либо с помощью так
называемой металлической клипсы прикрепляют ее к окружающим
глаз тканям. Кроме описанных выше приемов используют комби-
комбинирование циркляжа и пломбы без пришивания пломбы к склере.
Популярность таких операций вызвана способностью закрывать
множественные разрывы, относительной легкостью выполнения и
обоснованностью с точки зрения биомеханики глаза.
Круговое вдавление, или так называемый циркляж, который по-
появился исторически позже локального пломбирования и был введен
в практику двумя выдающимися офтальмологами (К. Скепенсом -
1954 г. и X. Арруга - 1958 г.), занимает особое место среди спосо-
способов пломбирования. Циркляж с применением силиконовых эластич-
эластичных имплантатов может быть выполнен в различных вариантах.
Иногда круговое вдавливание осуществляется силиконовой лен-
лентой (рис. 3).
Лента, концы, которой соединяются в отрезок капиллярной
трубки, проводится под прямыми мышцами. При этом лента долж-
должна без натяжения плотно облегать склеру в 10—12 мм от лимба.
Она укрепляется над зоной разрывов четырьмя швами (по одному
в каждом квадранте). Для создания вала вдавления каждый из кон-
концов ленты протягивается через отрезок силиконовой капиллярной
трубки примерно на 6 мм. Таким образом проводится укорочение
окружности силиконовой ленты обычно на 11—12 мм.
Иногда для циркулярного вдавления используется силиконовый
жгут (рис. 4).

Кроме того, выполняется циркулярное "аппланирующее" плом-
пломбирование склеры. Пористый силиконовый жгут рассекается вдоль
и образующийся при этом полуцилиндрический сегмент трубки
подшивается наружной поверхностью.
Разработаны также методики операции циркляжа на "сухом
глазу" [27], т.е. лечения посттравматических отслоек сетчатой
оболочки введением различных газов в полость глаза, частично
или полностью замещающих стекловидное тело в ходе операции.
Рис. 4.
В целях совершенствования техники проведения операций на
сетчатке постоянно ведется поиск новых приемов использования
известных веществ и инструментов..
Выбор оптимального способа оперативного вмешательства по-
прежнему остается одним из важных вопросов в хирургии отслоек
сетчатки. Иногда при осложненных формах отслоек хирурги при-
применяют более "жесткий " циркляж силиконовым жгутом. Чрез-
Чрезмерное затягивание циркляжной ленты или швов над пломбой явля-
является одним из важнейших факторов, вызывающих операционные и
послеоперационные осложнения в хирургии отслойки сетчатки [3,
60—63]:
повышение внутриглазного давления, вызывающее обтурацию
центральной артерии сетчатки;
синдром сдавления, возникающий при пережатии цилиарных ар-
артерий или вортикозных вен;
продавливание циркляжной ленты или пломбы сквозь склеру в
полость глаза — синдром "бельевой веревки";
отслойка сосудистой оболочки;
10

стойкое уменьшение размеров глаза, возникновение дополни-
дополнительных складок.
В связи с этим понятно, что математическое моделирование
играет важную роль при планировании и разработке операций по
лечению посттравматических отслоек сетчатки.
Далее качественная картина напряжнно-деформированного со-
состояния оболочки глаза при циркляже изучается с помощью про-
простейших моделей.
Очевидно, что более точное моделирование напряженно-дефор-
напряженно-деформированного состояния оболочки глаза следует проводить на осно-
основе рассмотрения нелинейной динамики многослойных анизотроп-
анизотропных оболочек и при этом учитывать такие факторы, как сопря-
сопряжение склеры с роговицей, взаимодействие оболочки не только с
нитью или пломбой, но и с внешними тканями и внутриглазной сре-
средой, приток и отток внутриглазной жидкости и др. Также важную
роль в этом вопросе играет точное определение геометрии оболо-
оболочек и величины физических констант, характеризующих их меха-
механические свойства.
До настоящего времени еще не разработаны методики экспе-
экспериментального определения механических характеристик живого
глаза, и, более того, даже их усредненные значения колеблются в
широких пределах. В связи с этим в книге рассматриваются про-
простейшие модели.
1.1. Напряженно-деформированное состояние
наружной оболочки глаза при циркляже
Простейшая модель наружной оболочки глаза представляет со-
собой упругую изотропную тонкостенную сферическую оболочку по-
постоянной толщины h радиусом R. Средний радиус глазного яблока
R = 12 мм, а средняя толщина h — 1 мм. На срединной поверхности
оболочки введем географическую систему координат $,<р (рис. 5).
Рассмотрим циркляж — перетягивание глаза нитью (или лен-
лентой) в плоскости экватора в = 0. При этом оболочка находится
под действием внутриглазного давления р и поверхностного давле-
давления q со стороны циркляжной нити (ленты). Действующие на глаз
нагрузки имеют осевую симметрию, и это обусловливает осесим-
метричный характер деформации его оболочки, т. е. все величины
можно считать функциями одного аргумента в.
11

Пусть циркляжная лента имеет ширину Я = 2i?sin во,и ее натя-
натяжение N порождает (в общем случае переменное, но симметричное
относительно середины ленты) давление q($) на оболочку глаза:
я@) > о
q{9) = О
при
при
||
\9\ > в0
A.1)
Рис.5.
В качестве начального состояния глаза возьмем сферически сим-
симметричное состояние до операции, при котором (положительное
при сжатии) внутриглазное давление ро вызывает усилия растяже-
растяжения Ti, Тг в оболочке глаза:
= Т2 = То = Дро/2.
A.2)
Перемещения точек оболочки будем отсчитывать относительно
этого состояния.
После циркляжа внутриглазное давление р может измениться по
сравнению с начальным значением р0 и может быть определено по
соотношению
A.3)
Здесь V — начальный объем стекловидного тела, Д V2 — уменьше-
уменьшение его за счет циркляжа, Д Vi — уменьшение вследствие удаления
субретинальной жидкости (объем отслойки), К — модуль объем-
объемного сжатия стекловидного тела.
12

Возможно также рассмотрение модели, согласно которой субре-
тинальная жидкость несжимаема. При этом в формуле A.3) сле-
следует считать К = со. В результате внутриглазное давление р не
может быть найдено из соотношения A.3), а определяется из ра-
равенства
AV2 = AVi A.3')
В окрестности ленты напряженное состояние оболочки глаза
является быстроменяющимся, и перемещение w (положительное
внутрь) может быть найдено из уравнения нелинейного, краевого
эффекта [22, 57,58], которое для сферической оболочки имеет вид
O, A.4)
где
*i-2r~n "-12A-1/2)-
Здесь Е, v — модуль Юнга и коэффициент Пуассона оболочки
глаза соответственно.
При удалении от ленты напряженное состояние становится без-
моментным и характеризуется усилиями Tf = Т% = Rpji и по-
постоянным нормальным прогибом w6, который связан с изменением
внутриглазного давления и на основании уравнения A.4) определя-
определяется как
В окрестности ленты положим в уравнении A.4) w = wg+wK, где
wK — дополнительное перемещение, имеющее характер краевого
эффекта и затухающее при удалении от ленты. Тогда уравнение
A.4) можно переписать в виде
где
4 _ h2 _ pR
11 7^
13

Здесь /л — малый параметр тонкостенности оболочки. При R та
12 мм для оболочки глаза ц та 0.164.
Ищем решение и>к(в) уравнения A.6), удовлетворяющее усло-
условиям симметрии
^1 = ^ = 0 пги . = 0 ,!,,
и затухающее при 9 —> ±оо.
При постоянном давлении ленты q(9) можно построить аналити-
аналитическое решение задачи A.6), A.7). Однако в данном случае давле-
давление q{9) заранее неизвестно и зависит в свою очередь от прогиба
оболочки w{9). Пусть известно, что длина ленты / короче длины
2itR экваториальной окружности глаза на заданную величину А1.
Запишем формулы, связывающие натяжение ленты N, ее удли-
удлинение 61, среднее по ширине ленты ее давление qcp на глаз и средний
прогиб wcp оболочки глаза под лентой:
N = cSl, N = RHqcp, 6l = Al-2irwcp, с = ^у^, A.8)
где
9ср = 5д-/ 9(в)с1в, «?=— / wK(9)d9, A.9)
a Ec и Sc = Hhc — модуль упругости ленты и площадь ее попереч-
поперечного сечения.
Предположим, что нам известен закон ?(9) распределения да-
давления по ширине ленты. Тогда из формул A.8) и A.9) находим
входящую в уравнение A.6) функцию давления
\2тт
где
Для завершения постановки задачи следует определить безмо-
ментную составляющую прогиба и>б. В силу соотношений A.5) и
A.3) имеем
«•=- »; т-AVi- <ui>
14

а изменение объема вследствие деформации выражается уравне-
уравнением
/•т/2
AV2 = 4nR2 W{0)cosed0, A.12)
Jo
где полный прогиб W{9) состоит из трех слагаемых:
W -w6 + wK -w°sind.
Последнее слагаемое вместе с равенством ы° = u;ocos0, где и0 —
проекция перемещения на касательную к меридиану, описывает пе-
перемещение верхней части оболочки как твердого тела. Для опре-
определения постоянной w° найдем функцию U(9) по соотношению
U(в) =и° + ик = w0cos9 + (l + v) / wK{9)d9. A.13)
Joo
Нижний предел в формуле A.13) получен из условия затухания
функции краевого эффекта ик —> 0 при в —У со. Удовлетворяя
условию симметрии U@) = 0, имеем
w°
= A+г/)/к, Г = Г и>К{в)<16. A.14)
Jo
Далее из соотношений A.11)—A.14) получаем
1 + aV, 2 Т
или, если принять стекловидное тело несжимаемым,
2
Тогда соотношение A.10) для функции нагрузки принимает вид
а для несжимаемого материала —
15

Упростим выражение A.16). При 9 > 0о давление д»@) = 0 и
уравнение A.6) имеет решение
A.17)
где
Тогда интеграл /к можно представить в виде суммы
Г = 00wK
11, 1?= Г wK(9) М = ц [2awK(e0)
Je0
A.18)
а функцию нагрузки A.10) или (Ыб) с учетом первого выражения
A.18) — в виде
A.19)
где
* ~ 2тг "
Таким образом, мы получили интегродифференциальное урав-
уравнение A.6) относительно функции ьик(в). В нем параметр а учиты-
учитывает жесткость стекловидного тела. Для несжимаетого стекловид-
стекловидного тела полагаем в A.19) а/A + а) = 1. Параметр 6 учитывает
жесткость ленты на растяжение. В случае нерастяжимой ленты
вместо соотношений A.8) следует рассматривать условие 81 = О,
или
После определения функции wK(9) предложенная приближенная
модель позволяет найти следующие величины, важные при плани-
планировании операции: повышение внутриглазного давления
Ehlk a
+ (L21)
16

или с учетом объема эвакуированной жидкости AVj.
* Eha
изменение ИЗО (передне-задней оси) — оптической длины глаза
L = 2R-2we + 2w°,
или, учитывая A.15),
а для несжимаемого стекловидного тела
??l A.22')
Возможно также оценить напряженное состояние оболочки гла-
глаза в окрестности циркляжной ленты. Значение давления со сто-
стороны ленты <г" = q можно получить по соотношениям A.6), A.19).
Максимальное значение напряжения растяжения, связанного с
безмоментным растяжением оболочки глаза и с ее изгибом в
окрестности ленты, может быть найдено по формуле
а —
Rp Eh d2wK
+
2h 2A-г/2)Д2 d92
A.23)
Максимальное значение напряжения сжатия в направлении
главной параллели
рЕ^ Ehv d2w«
2h R
Максимальное значение напряжения сдвига (в предположении о
равномерном распределении напряжений сдвига по толщине обо-
оболочки)
сд _ Eh2 d3wK
cr =
12A-v*)R3 d93
A.25)
Следует отметить, что по соотношениям A.6),A.19)—A-25) мы
можем определить соответствующие параметры при условии 61 >
17

2тги;Ср, т.е. удаляемый объем субретинальной жидкости AVi не
очень велик и лента оказывает давление на оболочку глаза.
Следует также отметить [3], что если к концу операции вну-
внутриглазное давление оказывается меньше нормы (из-за слишком
большой величины AVi), то в стекловидное тело вводят воздух или
специальные физиологические растворы (рис. 6).
Указанную процедуру выполняют после выпускания субрети-
субретинальной жидкости и затягивания циркляжной ленты. При этом
специальными средствами осуществляется контроль за внутри-
внутриглазным давлением [3], и мы можем рассматривать то же уравнение
A.6) для определения вала вдавления (и далее соотношения A.22)—
A.25) для определения изменения ПЗО и напряжений в оболочке
глаза), но считать, что давление - известная величина. Обычно в
этом случае введение газов заканчивается, когда офтальмотонус
поднимается до 35 мм рт. ст. [3,55], но если в зоне операции бы-
бывает повреждена вена, то, как отмечается в [3,63], во избежание
затекания крови внутрь глаза необходимо, чтобы внутриглазное
давление было еще выше —¦ до 50 мм. рт. ст.
Рис.6.
Таким образом, предложенная модель позволяет учесть влияние
параметров циркляжной ленты (ее ширины, жесткости, начального
укорочения), а также влияние сжимаемости стекловидного тела.
18

1.2. О механических характеристиках оболочки глаза
В литературе имеются некоторые данные о механических харак-
характеристиках оболочки глаза [1,30,50-52,56,67,70,79]. По этим дан-
данным склера является анизотропной оболочкой, значение модуля
упругости Е склеральной оболочки для взрослого человека коле-
колеблется в пределах 7-20 Мпа, коэффициент Пуассона v — 0.4-0.45.
В дальнейших расчетах используются данные, полученные экспе-
экспериментально в лаборатории прочности полимеров НИИ матема-
математики и механики СПбГУ. В экспериментах определялись предел
прочности (на растяжение ар и при сдвиге (гсд), максимальная про-
продольная деформация е (в %) и секущий модуль упругости образ-
образцов. Образцы готовились из склеры, вырезались в меридиональном
направлении. Длина образцов составляла около 15 мм, толщина
0.4-0.6 мм, ширина 6 мм. Максимальный срок хранения ткани с
момента энуклеации до проведения испытаний не превышал 3 ча-
часов. Эксперименты проводились в условиях одноосного растяже-
растяжения склеры на испытательной машине РМУ-0.05-1 со скоростью
активного захвата 10 мм/мин.
Деформативно-прочностные характеристики склеры вычисляли
каК' средние арифметические не менее чем по восьми образцам.
Были получены следующие значения:
<гр = 4.3 МПа — условный предел прочности на растяжение;
aci = 2.2 МПа — предел прочности при сдвиге;
е = 30% — максимальная продольная деформация;
Е = 14.3 МПа — модуль упругости.
В работах [30,50] приведены механические характеристики (мо-
(модули упругости, предельные напряжения прочности) для различ-
различных областей склеральной оболочки в разных возрастных группах.
Выявлена неоднородность прочностных и упругих свойств и в на-
направлении передне-задней оси, и в поперечном направлении. Зна-
Значения модуля упругости, полученные для экваториальной области
взрослого глаза близки к результатам, приведенным выше. В то
же время отмечается, что модуль упругости склеры взрослого че-
человека вдвое превышает модуль упругости детского глаза [30].
В экспериментах определялся также модуль упругости сили-
силикона. Его значение находили как напряжение, необходимое для
создания деформации е = 100%. Одноосное растяжение образца
проводилось на испытательной машине 12314—10 со скоростью по-
19

движного захвата 10 мм/мин. Измерение деформации осуществля-
осуществлялось катетометром В-630. Для силиконовой резины были получены
следующие значения:
апр = 6.5 МПа — условный предел прочности;
Ес = 1.93 МПа — модуль упругости.
Существенно меньше данных имеется в литературе о модуле
объемного сжатия стекловидного тела. Иногда просто отмечается,
что так как на 98 % стекловидное тело состоит из воды, то можно
считать его несжимаемым.
Как отмечается в публикациях [25,28,61,64,65], в последние годы
разработаны методики операции циркляжа с частичным или пол-
полным замещением стекловидного тела различными газообразными
и жидкими веществами. В клинической практике наиболее часто
используются воздух или фторированные газы с различными коэф-
коэффициентами расширения: перфлюорометан (химическая формула
CF4), перфлюорозтан (СгГб), перфлюоропропан (Сз^в).
1.3. Циркляж узкой лентой
Если полагать, что циркляж наложен узкой лентой или нитью и
что при этом распределение давления по ширине ленты оказыва-
оказывается несущественным, то удается получить приближенное анали-
аналитическое решение задачи.
Будем считать, что
в0 < 1 и ь)к'(в0) = 0 при \в\ < 0о-
Тогда можно записать wK(9o) = и>о, и выражение A16) принимает
вид
' Интегрирование уравнения A.6) от 0 до во дает
= bAJ в0 - hw0, h = во {bt} + 1). C.2)
Приравнивая левую часть соотношения C.2) выражению, полу-
полученному при дифференцировании A.17), учитывая C.1), получаем
VJ0 = 7i ГТ- C-3)
20

Эта формула учитывает растяжение ленты. В случае нерастяжи-
нерастяжимой ленты (Ъ —> со) имеем wq = A^I/tj.
Напомним, что (см. формулы A.17), A.6))
.._ PR .„
Здесь 7 — параметр, учитывающий влияние усилия Т\ и при до-
допустимых для глаза значениях внутриглазного давления р < 60 —
65 мм рт. ст. не превосходящий -у = 0.07. Следовательно, изме-
изменение внутриглазного давления незначительно влияет на величину
шо, так как второе слагаемое в выражении под корнем для а может
быть отброшено.
Через величину и>о выражаются остальные параметры, описы-
описывающие напряженно-деформированное состояние оболочки глаза.
Так,
1К = (во
Если Д Vi = 0, то
б _
2A +a)
3{l-v){00+2yia) Kwp . ,
—2(TT^j 5"' C ]
1 + a
Здесь 8 — изменение передне-задней оси (ПЗО) глаза.
При удалении субретинальной жидкости (Д14 > 0) имеем
б_ a(l-^)F>o + 2)uQ)wo a AVj
W 2A + a)
2A + a) 1 + a
C-Б)
~ TT^ W° ~ 1 +
Следует отметить, что эти соотношения справедливы, если да-
давление р > 0. Если величина р становится равной нулю, это озна-
означает, что стекловидное тело не оказывает давления на оболочку
21

глаза. В этом случае в соотношениях C.4) и C.5) следует поло-
положить а = 0, но, как отмечалось в п. 1.1, если р < ро, то специ-
специальными средствами поддерживается давление р' > р0- Обычно
р' = 35 мм. рт. ст. Соотношения C.5) позволяют по величине А/
получить ограничения на максимально возможное значение А\\,
при котором внутриглазное давление не упадет ниже нормы.
Итак, если циркляж осуществляется шелковой НЕРАСТЯЖИ-
НЕРАСТЯЖИМОЙ нитью (диаметр нити d — 0.45 мм), то давление не упадет
ниже ро при условии
< 2ДШ2A - v)iia и 20.04Д/ (мм3), C.6)
и в этом случае
w6 = —A — i/)fiawo -+-
C.7)
Eh (
р = Ро + -м I 2/тгоо -
Если условие C.6) не выполнено, то необходимо подкачивать
жидкость или воздух для поддержания давления р', и тогда
Ы
2тгA-
L = 2R - 2w6
При этом можем оценить следующие значения:
Rp
напряжения растяжения сг — —— + -
2h
напряжения сжатия в направлении главной параллели
.CMC
Rp Ew0
2ft ЛA - v)
22

напряжения сдвига ст =
R
давление со стороны ленты <гЛ = q =
dR
Некоторые результаты расчетов приведены в табл. 1—3.
Видно, что при AVi = 0 укорочение нити уже на А1 = 2мм
приводит к очень высокому внутриглазному давлению (табл.1).
Таблица!
Д',
мм
1
2
мм
0.17
0.34
мм
0.13
0.27
Р,
мм рт. ст.
44.41
73.82
МПа
0.4,2
0.82
ааж,
МПа
0.46
0.92
МПа
0.046
0.093
ч,
МПа
0.21
0.43
Величина Д Vi ф О существенно влияет на величину внутриглаз-
внутриглазного давления (табл.2).
Таблица2
ы,
мм
3
3
6
6
8
8
AVlt
мм3
50
60
100
120
150
180
wo,
мм
0.49
0.48
0.98
0.97
1.29
1.28
S,
мм
0.39
0.37
0.80
0.75
1.02
0.97-
Р,
ммрт. ст.
44.21
29.29
61.86
43.59
68.03
23.28
*р,
МПа
1.14
1.10
2.25
2.22
2.96
2.90
асж,
МПа
1.38
1.36
2.78
2.77
3.67
3.68
МПа
0.13
0.13
0.27
0.26
0.35
0.35
Я,
МПа
0.61
0.59
1.23
1.20
1.62
1.57
В табл. 3 представлены данные для случая, когда во время опе-
операции поддерживается давление р' — 35 мм рт. ст.
ТаблицаЗ
А*.
мм
3
6
8
мм
0.51
1.03
1.37
мм
0.34
0.67
0.89
МПа
1.18
2.35
3.11
асж,
МПа
1.44
2.94
3.92
МПа
0.14
0.28
0.37
9>
МПа
0.63
1.27
1.69
23

Если циркляж осуществляется СИЛИКОНОВОЙ ЛЕНТОЙ
(ширина которой Я = 2Д#о), то давление не падает ниже р0 при
условии
или если считать, что в этом случае Ьво « 1, F = Д,С)> то
fcjh
Д Vi < 0.5ДШЯ6A - и) ю 0.48ДШЛс (и«и«3). C.8)
Тогда для несжимаемого стекловидного тела (о —> оо) имеем г) =
1 -0.5A-1/)@о + 2/т) и
в (l-i/)(go + 2/ia)iflO
2
4тгД2' C.9)
Eh f.n . . ДТ/i
ДТ/i
= 2Д + C + и){2ца + 0o)u;o - ^
Если условие C.8) не выполнено, то при давлении р' получаем
в (
w =
L-2R-2w6 + 2A + и) (в0 + 2fj.a)w0.
В методических рекомендациях [46] имеются параметры сили-
силиконовых лент, используемых при операциях циркляжа: толщина
таких лент /ic=0.5—0.7 мм, ширина Я чаще всего 2.5 или 9 мм.
Результаты расчетов для силиконовых лент толщиной 0.6 мм при-
приведены в табл. 4,5 (табл. 4 построена для случая ДТ/i = 0 ). При
ширине ленты 9 мм укорочение ее больше, чем на 14 мм ведет к
недопустимо высоким значениям внутриглазного давления.
24

Таблица 4
Таблица 5
я,
мм
2.5
А'.
мм
12
14
16
24
30
12
14
16
24 .
ММ
0.06
0.07
0.08
0.14
0.19
0.11
0.13
0.15
0.26
мм
0.06
0.08
0.09
0.16
0.22
0.22
0.27
0.32
0.55
Р.
мм рт. ст.
28.89
31.72
34.74
49.07
63.00
63.95
73.91
84.48
134.53
я,
мм
2.5
9
мм
1-2
14
16
24
30
12
14
16
24
30
wo,
мм
0.08
0.09
0.10
0.15
0.19
0.15
0.17
0.20
0.30
0.37
S,
мм
0.09
0.10
0.11
0.16
0.20
0.27
0.31
0.35
0.52
0.65
В табл. 5 приведены значения вала вдавления и удлинения ПЗО
для случая, когда во время операции поддерживается давление р' =
35 мм рт. ст.
Можно отметить, что при одинаковом укорочении ленты вал
вдавления несколько больше в случае, если поддерживается посто-
постоянное давление.
Если циркляж производят СИЛИКОНОВЫМ ЖГУТОМ площа-
площадью поперечного сечения Sc, то давление не падает ниже ро при
условии
<
- v)EcScAl
Al
При этом вал вдавления, внутриглазное давление и изменение
ПЗО могут быть определены по соотношениям
2тг
Eh
S = 2fiawo(Z + и) -
AV1
2тг R2'
25

В табл. 6 приведены результаты некоторых расчетов для кру-
кругового жгута диаметром 4.5 мм EС = 15.8мм2).
Таблицаб
мм
12
14
16
24
ДУЬ
мм3
100
120
100
120
100
120
150
250
wo,
мм
0.60
0.59
0.72
0.71
0.84
0.84
0.83
1.37
мм
0.36
0.33
0.45
0.43
0.55
0.52
0.49
0.80
Р>
мм рт. ст.
35.32
18.45
55.89
38.80
77.20
60.10
34.44
44.53
Расчеты показывают, что если циркляж осуществляется силико-
силиконовым жгутом, то допустимый объем удаляемой субретинальной
жидкости (AVi) без дополнительного введения газов или жидкости
значительно больше, чем в случае циркляжа силиконовой лентой
или шелковой нитью.
Отметим, что напряжения в оболочке глаза в окрестности цир-
кляжной ленты при использовании силиконовых материалов для
циркляжа значительно меньше, чем в случае нерастяжимой нити.
1.4. Другие способы решения
В п. 1.3 описан способ решения задачи о напряженно-дефор-
напряженно-деформированном состоянии оболочки глаза в предположении, что цир-
циркляж наложен узкой лентой или нитью. При этом предполага-
предполагалось, что решение быстро затухает при удалении от циркляжной
ленты. Напряженно-деформированное состояние представлялось
в виде суммы напряженно-деформированного состояния в окрест-
окрестности ленты и вдали от нее. Рассмотрим другой способ решения
задачи о деформации оболочки глаза.
Система уравнений осесимметричной деформации сферической
оболочки, находящейся под действием внутреннего давления р и
давления со стороны ленты q(9), имеет вид
(Ti cos в)' + Т2 sin в - Qi cos в = О,
(Qi cos в)' + (Ti + Т2) cos в + R(p0 - р + qcptF)) cos 0 = 0,
(Mi cos в)' + M2 sin в + RQi cos в - О,
26

где
т _
-4 1 —
~ " * ~ " D.1)
.- Д(Х1 Ч РХ2) .-
1 = R ' 2 =
R' 2 =R'
?•!=«' — U), ?2 = —(titg0 + w),
xi = w" + и', х2 = -(го' + u) tg в.
Здесь и и го — безразмерные проекции перемещения на меридиан
и внутреннюю нормаль (размерные проекции перемещения Ru и
Дго). • • '
Исключение вспомогательных неизвестных приводит к системе
двух уравнений относительно функций U и го [12, 59]
2Aw) + A - v2)w - A + v)U - ?i = 0,
ДСГ + W + qi = 0, ( ' }
где
Az = z"-z'tge, U = u' -
В предположении, что циркляжная лента расположена симме-
симметрично, решение системы D.2) ищем в виде рядов по полиномам
Лежандра Рт (х) с четными индексами
оо оо
u>@) = J2 cnP2n(sm в), U (в) = J2 dnP2n(sm в), D.3)
п—0 п=0
где коэффициенты с„ и dn подлежат определению.
Найдем величину q\. На изменение объема стекловидного тела
влияет только первое слагаемое в разложении wF), поэтому в силу
соотношения A.3) р — ро = ЪКс$. Средний прогиб под лентой
~ 1 г«о ¦
wcp = Rw, w = V АпсП) Ап{в0)=— P3n(sine) d9. D.4)
^о hJo
Используя формулы A.8) и A.9), находим среднее давление ленты
и величину gi:
Echc(Al 2тгД_\ п\с(а\ (ль\
ЯсР = —=- -т j— w , qi= -Boco - {Biw - B2)t{9), D.5)
27

где
D _
Ж ' Bl ~ Ш
_ A - v2)EchcAl
2 ~
lEh
Учитывая, что АРт + т{т + 1)Рт = О,
оо
= У" DnP2B(einв), Dn = Dn +1) / Р2п(sinвЩв) cos в dO,
подставляем решения D.3) в уравнения D.2). Тогда
cn--Fn(Blw-B2), dn--
где
F n>0
В- = Л 4.
n V
l
2nBn + 1) - 2) 1 + цА Dn2B« + IJ - 4nB« + 1))'
Таким образом, неизвестные коэффициенты сп выражены через
w. Для определения п> подставим выражения D.6) в соотношения
D.4). Тогда
Результаты расчетов по формулам D.3)—D.6) приведены в
табл.7. Сравнение с расчетами по формулам C.7) для узкой ленты
(представлены в скобках ) показывает хорошее совпадение резуль-
результатов для ленты шириной 2.5 мм (разность составляет меньше 2%.)
Для ленты шириной 9 мм деформации (прогиб под лентой и
удлиннение ПЗО) более существенно (на 15—18 %) отличаются от
значений, полученных по соотношениям для узкой ленты. Изме-
Изменения внутриглазного давления отличаются от результатов, вычи-
вычисленных по соотношениям D.3)-D.6), на 1—2 %.
28

Таблица7
я,
мм
2.5
9
мм
12
14
16
24
30
12
14
16
24
мм
0.06@.06)
0.08 @.07)
0.09 @.08)
0.16@.14)
0.23@.19)
0.14@.11)
0.16@.13)
0.19@.15)
0.32 @.26)
S,
мм
0.06@.06)
0.08 @.08)
0.09 @.09)
0.15@.16)
0.21@.22)
0.21@.22)
0.25@.27)
0.29@.32)
0.51@.55)
Р.
мм рт. ст.
28.71 B8.89)
31.57j31.72)
34.47C4.74)
48.55 D9.07)
62.23 F3.00)
62.34F3.95)
71.93G3.91)
82.13(84.48)
130.31 A34.53)
Известно [21,22], что теория оболочек, построенная на гипотезах
Кирхгофа — Лява, может приводить к заметным погрешностям
при расчете не очень тонких оболочек, находящихся под дйствием
неплавных нагрузок, причем наибольшая погрешность при этом
возникает за счет того, что полагают равными нулю поперечные
сдвиги. В связи с этим интересно сравнить результаты, получен-
полученные выше, с расчетами по геометрически нелинейной теории типа
Тимошенко [21]. Полагая, что внутренняя геометрия срединной
поверхности остается в процессе деформации неизменной, дефор-
деформации растяжения — сжатия малы, а изгибы произвольны, урав-
уравнения равновесия в осесимметричном случае можно представить в
виде
(Ti cos 0)' + Т2 sin 0 - QiAr* cos 0 = 0,
(Qi cos 0)' + (Tiki + T2k*2) cos 0 + R(p0 - p + qCpU9)) cos 9 = °>
(Mx cos 0)' + M2 sin 0 + RQi cos 0 = 0,
D.7)
где
К = A + e22)(l + e'nUJi - A + en)wi),
k2 = l + en+witg0,
en = u' — w, егг = — (utg# + w), u>i = — (w' + u).
Тангенциальные усилия и моменты по-прежнему связаны с дефор-
деформациями соотношениями D.1), а перерезывающее усилие [2,21]
29

Компоненты тангенциальной деформации и сдвига имеют вид
+ (??)/2 е2 = е22 + е\2/2,
(l + eaa)wi), D.8)
компоненты изгибной деформации
xi=y(l + eii)-TWi, ^2 = -7tg<?(l+e22), D.9)
где 7 — угол сдвига волокна, ортогонального недеформированной
срединной поверхности.
С учетом соотношений D.8), D.9) уравнения D.7) представляют
систему нелинейных дифференциальных уравнений относительно
трех переменных u,w, у, которая после переноса нелинейных чле-
членов в правую часть решается методом итераций. Результаты рас-
расчетов в табл. 8 сравниваются со значениями, вычисленными по
уравнениям D.2). Для узкой ленты (шириной 2.5 мм) величины
максимального прогиба и изменения ПЗО почти не различаются,
однако несколько больше изменяется сама форма деформации и
объем деформированной оболочки. В итоге значение внутриглаз-
внутриглазного давления на 8—10 % больше, чем величина, полученная при
решении линейных уравнений. Т б и 8
я,
мм
2.5
9
Д/,
мм
12
14
16
24
30
12
14
16
24
мм
0.07 @.06)
0.09 @.08)
0.10@.09)
0.17@.16)
0.24@.23)
0.13@.14)
0.16@.16)
0.19@.19)
0.31 @.32)
мм
0.06 @.06)
0.08 @.08)
0.10@.09)
0.15@.15)
0.21@.21)
0.19@.21)
0.22@.25)
0.27@.29)
0.47@.51)
Р.
мм рт. ст.
29.57B8.71)
32.70C1.57)
36.10C4.47)
52.89D8.55)
70.29F2.23)
67.81 F2.34)
78.42G1.93)
88.13(82.13)
144.31 A30.31)
Для широкой ленты (шириной 9 мм) изменение ПЗО, вычислен-
вычисленное по уравнениям D.9), на 6 — 10 % меньше, чем значение, опре-
определяемое по линейным уравнениям, но так же, как и в случае узкой
ленты, изменения формы деформации и объема деформированной
оболочки приводят к более высокому (на 7 — 12 %) значению вну-
внутриглазного давления.
30

1.5. Расчет напряженно-деформированного состояния
глаза по трехмерной теории упругости
Принято считать, что теория тонких оболочек дает хорошие
результаты при отношении h/R < 0.05. Для оболочки глаза
h/R ~ 0.08 — 0.09. В связи с этим представляет интерес расчет
напряженно-деформированного состояния оболочки глаза по об-
общим уравнениям трехмерной теории упругости. Далее глаз моде-
моделируется сферическим слоем, ограниченным двумя концентричес-
концентрическими сферами радиусом Rq (внутренняя) и .Ri (внешняя). Действу-
Действующие на глаз нагрузки имеют осевую симметрию, и это обусловли-
обусловливает осесимметричный характер деформации его оболочки, т.е.
все величины можно рассматривать как функции аргументов в и
R.
Внешняя нагрузка на глаз, как и ранее A.1), определяется по-
поверхностным давлением со стороны циркляжнои ленты симметрич-
симметрично относительно середины ленты, расположенной по экватору.
В работе [34] рассматривается напряженно-деформированное со-
состояние симметрично нагруженного сферического слоя, при этом
решение общих трехмерных уравнений теории упругости ищется
в форме, предложенной П.Ф. Папковичем:
E.1)
где В — гармонический вектор Папковича , So ~~ гармонический
скаляр Папковича, АВХ = 0, АВу = 0, ABZ = 0, АВ0 — 0.
По соотношению E.1) после ряда преобразований безразмерные
проекции перемещения на сферическую систему координат пред-
представляются в виде рядов по полиномам Лежандра:
ОО г
w(r, в) = - Y, Апг2п+1{2п + 1)Bп - 2 + Аи) + 2Впг2"-1п+
п = 0 ••
+ ^ r2n+2
ОО р
«(г, 9) = ]Г Апг2п+1{2п + 5 - Аи) + Впг2п~1+
Сп(-2п + А - Аи) Dn ] dP2n
r2n + r2n + 2j ^ '
E.2)
31

где г = R/R\. Размерные проекции перемещения Riw,
Заданы внутренняя и внешняя нагрузки на сферическую обо-
оболочку:
<гя|яд = <г(<)@) = -(Р-Ро)
Здесь q(e), как и прежде в A.1), — поверхностное давление со
стороны циркляжной ленты. После разложения в ряд получаем
оо
= № = -(р - Ро),
E-4)
, ц = sin в,
где
So
аеп = Dn + 1) I <г{в)Р2п (sin в) cos в dd.
о
Таким образом, если нагрузка известна, то, определяя по соот-
соотношениям E.2) деформации, далее по ним напряжения и приравни-
приравнивая их на внутренней и внешней поверхностях соотношениям E.4),
можно определить константы Ап,В„,С„, Dn. Однако, как уже от-
отмечалось, давление q(8) и изменение внутреннего давления в свою
очередь зависят от прогиба оболочки R\w(r, в).
Остаются справедливы формулы A-8), связывающие натяжение
ленты N, ее удлинение 81, среднее по ширине ленты ее давление qcp
на глаз и средний безразмерный прогиб wcp{ri) оболочки глаза под
лентой:
N = c8l, N^RiHqcp, 6l = Al-2y:R1wcp{l,e), E.5)
где
с=^, wcp(l) = ws(l)+wlcp(l,0),
Здесь ws(r) — безразмерный безмоментный прогиб, связанный с
увеличением внутриглазного давления:
32

а составляющая u>icp(l,0) — прогиб, вызванный только внешней
нагрузкой q{9). Если, как и прежде, ?($) — закон распределения
давления по ширине ленты, то по соотношениям E.5) функция да-
давления выражается через прогиб на внешней поверхности."
ДЛ Al-2*R1wep(l10) -
q{9) - ЖЙ 2*Лх - Д/
Изменение внутриглазного давления р—ро, как и прежде, может
быть определено по соотношению A-3), т. е.
(§) V-AV,
Изменение объема за счет деформации в этом случае
•т/2
Д V2 -
/•т/2
/ w(r0, в) cos в dO. E.7)
Jo
По соотношениям E.6), E.7) имеем
где
Для изменения давления получаем
^° (l + ai)r0[2(l-2i/)rJ
или для несжимаемой внутриглазной жидкости
) /
l + i/]\
_р 21A-rg) / ДЦ ч
ro[2(l-2i/)r*+
Таким образом, нагрузка (правые части в соотношении E.3))
выражена через радиальную составляющую прогиба и, значит,
33
[НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ В \
\ ОДНИ РУКИ И2Х?ДВе\

также представляется через константы An,Bn,Cn,Dn, которые
могут быть теперь определены из разложения E.4).
Результаты расчетов по данным формулам при До = 11.5 мм,
Ri = 12.5 мм приведены в табл. 9. В скобках для сравнения пред-
представлены результаты расчета по теории оболочек (из табл. 7).
Сравнение результатов, получаемых по асимптотическим фор-
формулам, по численному решению уравнений теории оболочек и урав-
уравнений трехмерной теории упругости, показывает, что для узкой
ленты (ширина Н — 1,Ьмм) результаты очень близки (расхожде-
(расхождение не превосходит 4% )
ТаблицаЭ
я,
мм
2.5
9
Д',
мм
12
14
16
24
30
12
14
16
24
wo,
мм
0.06 @.06)
0.08@.08)
0.09@.09)
0.16@.16)
0.22 @.22)
0.13@.11)
0.16@.13)
0.19@.15)
0.31 @.25)
5,
мм
0.06 @.06)
0.07@.08)
0.08@.09)
0.14@.15)
0.20@.21)
0.20@.21)
0.24 @.25)
0.28 @.29)
0.48@.51)
Р.
мм рт. ст.
29.24 B8.71)
32.11C1.57)
35.16 C4.47)
49.49D8.55)
63.20F2.23)
61.51F2.34)
70.83G1.93)
80.69 (82.13)
126.80A30.31)
Для широкой ленты (Я = 9мм) разница в результатах доходит
до 18 %. Причем вал в давления, получаемый из общих уравнений
теории упругости, на 15—18 % больше значений, найденных по те-
теории оболочек, а изменение ПЗО и изменение внутриглазного да-
давления, вычисленные по уравнениям трехмерной теории, несколько
меньше, чем те же величины по уравнениям теории оболочек.
Зная прогибы оболочки как функции г я в, можно получить де-
деформации и далее по ним напряжения, возникающие в оболочке
[34]:
n=0
n» - п - 1 - „) +
пВ„Bп-1)г
2n-2
г2гг+1
E.8)
"Х+з jP2n (sin в)'
34

ОО г
= ]Г Л„г2"Dп2 + An - 1 + 2v) + ВпBп - 1)г2"~2+
^ = - E f 2^r2"Bn + l)Bn
Г2п+3
2 ¦ 1п
a
4n
2n_2
г
5 -
— I — V —
I •- \ * \
= 0
2п-2
2n+3j J0
E.8)
На рис.7 представлены напряжения, полученные по соотноше-
соотношениям E.8), на внутренней, срединной и внешней поверхностях сфе-
сферы для ленты Я = 9 мм при А1 — 12 мм.
Нормальные напряжения на внутренней поверхности сферы, как
следует из формулы E.4), постоянны и определяются внутриглаз-
внутриглазным давлением (см. табл.9). На внешней поверхности нормальные
напряжения равны давлению ленты. Напряжения сдвига равны
нулю на внутренней и внешней поверхностях. На срединной по-
поверхности напряжения сггв в силу симметрии равны нулю при в — О
35

и в = тг/2. Максимального значения напряжения сдвига, как и сле-
следовало ожидать, достигают на крае ленты (ширине Н — 9 мм соот-
соответствует значение в = 0.36 рад, Н = 2.5 мм — значение в = 0.10
рад)-
(Г.МПг
Рис.7.
В табл. 10 также приведены некоторые нормальные напряжения
оу и напряжения сдвига оу$, полученные по соотношениям E.8).
В скобках размещены результаты, определенные по соотношениям
A.19), A.25).
Видно, что соотношение A.25) достаточно хорошо описывает
максимальное напряжение сдвига для узкой ленты (Н — 2.5 мм).
Для широкой ленты соотношение A-25) дает существенно большее
значение, чем расчеты по трехмерной теории.
В табл. 11 представлены некоторые значения напряжений erg и
<т,р, рассчитанные по соотношениям E.8). В скобках стоят резуль-
результаты, полученные при & = 0 для внешней оболочки (R = Ri) по
соотношениям A.23), A-24), для внутренней оболочки и для сре-
срединной поверхности по аналогичным формулам теории оболочек.
Видно, что соотношение A-24) достаточно точно описывает мак-
максимальное значение напряжения <rv для узкой ленты (Н = 2.5 мм).
Для широкой ленты (Н = 9 мм) соотношение A.24) дает значение
на 25—30 % больше, чем по трехмерной теории.
36

Таблица 10
н,
мм
2.5
9
Д',
мм
12
14
16
20
24
12
16
24
е,
рад
0
0.10
0.36
ir/4
*/2
0
0.10
я/4
0.10
0.10
0.10
0
0.10
я/4
0
0.10
0.36
г/4
я/2
0.10
0.36
г/4
0
0.36
я/4
0
0.36
я/4
Д
До
Дер
Дер
Дер
«1
Яо
Дер
Дер
Hi
До
Дер
До
Дер
Д,
ЛСр
Яср
Дер
Дер
^ср
¦Rep
Дер
Д1
Дер
Дер
Д1
Дер
Дер
<тг, МПа
-0.003@.003)
-0.007
-0.002
-0.002
0
-0.004@.005)
-0.008
-0.003
-0.024@.025)
-0.005@.005)
-0.009
-0.009@.009)
-0.012
0
-0.015
-0.015
-0.003
-0.003
-0.003
-0.010
-0.009
-0.004
-0.023@.024)
-0.013
-0.005
-0.038@.41)
-0.023
-0.010
стд, МПа
0
0.017@.017)
0.001
-0.001
0
0
0.020@.020)
-0.001
0
0
0.024@.023)
0
0.032@.032)
0
0
0.041@.043)
0.002
-0.003
0
0.0004
0.016@.034)
-0.004
0
0.023@.046)
0.005
0
0.039@.070)
-0.009
По соотношению A23) значение напряжения а» для узкой ленты
на 30—40 % больше, чем значения, получающиеся по трехмерной
теории. Для широкой ленты применение формулы A.23) приво-
приводит к результатам, превосходящим получающиеся по трехмерной
теории в несколько раз.
37

Таблица 11
я,
мм
2.5
2.5
2.5
9
9
9
2.5
2.5
9
А',
мм
12
16
24
12
16
24
12
16
12
рад
0
0
0
0
0
0
тг/2
тг/2
тг/2
R
Ri
Rcp
Ro
Ri
Rep
Ro
Ri
Rcp
Ro
Ri
Rep
-Ro
Ri
Rep
Ro
«i
Rep
Ro
Ri
Rep
Ro
Ri
Rep
Ro
Ri
Rep
Ro
<7g, МПа
-0.083 (-0.121)
0.020 @.023)
0.134 @.167)
-0.121 (-0.165)
0.024 @.028)
0.185 @.221)
-0.215(-0.298)
0.033( 0.039)
0.309 @.377)
-0.041 (-0.234)
0.032 @.051)
0.113 @.336)
-0.062 (-0.323)
0.041 @.067)
0.155 @.459)
-0.113 (-0.569)
0.063 @.107)
0.256 @.784)
0.019
0.021
0.023
0.024
0.025
0.028
0.036
0.045
0.051
(Ту, МПа
-0.108 (-0.113)
-0.068 (-0.055)
-0.023 @.002)
-0.157 (-0.154)
-0.100 (-0.077)
-0.038 @.000)
-0.277 (-0.279)
-0.180 (-0.144)
-0.038 (-0.009)
-0.168 (-0.217)
-0.145 (-0.103)
-0.119 @.011)
-0.242 (-0.301)
-0.209 (-0.145)
-0.173 @.012)
-0.420 (-0.530)
-0.364 (-0.259)
-0.303 @.011)
0.019
0.021
0.023
0.024
0.025
0.028
0.036
0.045
0.051
По соотношению A.23) значение напряжения <т% для узкой ленты
на 30—40 % больше, чем значения, получающиеся по трехмерной
теории. Для широкой ленты применение формулы A23) приво-
приводит к результатам, превосходящим получающиеся по трехмерной
теории в несколько раз.
При в — 7г/2 значения напряжений <rv и erg совпадают и со-
соответствуют напряжениям сферической оболочки, равномерно на-
нагруженной внутренним давлением.
38

1.6. Об устойчивости оболочки глаза при циркляже
Как уже отмечалось, циркляж иногда может вызывать опера-
операционные или послеоперационные осложнения. При больших пере-
перетяжках возможно прорезывание оболочки глаза, но" даже при мень-
меньших размерах укорочения нити иногда наблюдается сморщивание
участков склеры, нарушающее кровообращение, приводящее к оте-
отекам, что может быть вызвано локальной потерей устойчивости
оболочкой глаза в окрестности циркляжного шва.
Далее рассматривается задача о локальной устойчивости глаза
при наложении циркляжного шва [66]. В окрестности линии, по
которой проходит циркляжная лента, будем, как и ранее, моде-
моделировать оболочку глаза тонкой упругой сферической оболочкой с
радиусом R и постоянной толщиной h, а циркляж — наложением на
безмоментное состояние оболочки краевой нагрузки по экватору.
Пусть лента, шириной которой в данном случае будем пренебре-
пренебрегать, оказывает на глаз давление дл, отнесенное к единице длины
ленты ( дл = дН).
Используем, как и ранее, географическую систему координат
9,<р (s = R9).
Осесимметричный прогиб гиос{в) оболочки глаза, вызванный да-
давлением дл, определяется, как уже отмечалось, из уравнения крае-
краевого эффекта A.6) при д*(в) = 0 и должен в данном случае удовле-
удовлетворять граничным условиям
= 0, Qo.= - = -D-^- при
= 0, Qo.=
ivос —>¦ 0 при s —>¦ оо.
Искомое решение имеет вид (см.формулу A.17))
woc{9) = e-a9li ^
г, а в
одесь 0i = —, wmax — максимальный прогиб оболочки (под лен-
лентой):
длЯ . pR ,

Будем искать смежную неосесимметричную форму равновесия
с т волнами в окружном направлении в виде
w(e,ip) = w (в) сов (mtp). F.1)
Для построения смежной формы равновесия используем систему
уравнений пологих оболочек Доннелла [68], которая после разделе-
разделения переменных F.1) и перехода к безразмерным величинам при-
принимает вид
= О,
F.2)
где дифференциальные операторы Д, Д/. и At таковы:
1 d fLdw 2
1 d (,dw
В уравнениях F.2) ги(в) и Ф@) — дополнительный прогиб и
функция усилий. Безразмерные величины в F.2), F.3) связаны
с соответствующими размерными величинами формулами
В операторах F.3) функции
или
(шос — безразмерный докритический прогиб) описывают главные
докритические усилия и деформации.
40

Можно показать [57], что влияние остальных докритических на-
напряжений и деформаций мало и имеет относительный порядок ц2.
Введем параметры нагружения А и волнообразования р по фор-
формулам
wmex = /i\R, Чл = 4/i*\aEh = 3з/4Дз/2A _ „а)з/4 > Р =
F.4)
Следует найти наименьшее по параметру р значение параме-
параметра нагружения А, при котором существует ненулевое решение си-
системы F.2), затухающее при удалении от параллели 9 = 0.
Система F.2) содержит малый параметр ц при производных, по-
поэтому для решения задачи естественно использовать метод асим-
асимптотического интегрирования. Проведем растяжение масштаба
независимой переменной
0 = 1*
и используем разложение
cos0=l- ~- + ...
Тогда решение системы F.2) представимо в виде формальных
асимптотических рядов
n=0 n=0
причем нулевое приближение шо@> $o@> построением которого
можно ограничиться, удовлетворяет системе уравнений
+ Д«т>о — АкоФо = 0,
+ Д/sowo = 0, F.5)
где операторы определяются формулами
—ггц р wo,
= \t°owo.
41

Система F.5) имеет переменные коэффициенты
*2о(?) = e~~a°(cosao + sina0), ?
xjo(?) = -e~O0(cosa0 -sina0), -v/2'
которые можно представить в виде
1 + г 1-t * о 1 -i а с 1 + »
1-М I-."
Линейно независимые решения системы F.5), удовлетворяющие
условиям затухания
ш(?), Ф(?) -»• 0 при ? -»• оо,
можно построить в виде асимптотических рядов
n=0 ni+n2=n
где pti) — корни характеристического уравнения системы F.5) при
° = t°20 = 0:
(Р2-Р2L + (Р2-Р2J=О, F.7)
причем Re(p(-?')) < 0.
Ряды F.6) являются сходящимися. Алгоритм вычисления коэф-
коэффициентов uini,n2 и Фп1,п2 приведен в работе П.Е.Товстика [57].
Для удовлетворения граничным условиям при ? = 0 необходимы
четыре линейно независимых решения. К сожалению, корень р — р
уравнения F.7) является кратным, и ему соответствует вид ре-
решения, отличный от F.6). Чтобы не менять алгоритм, изменим
незначительно систему F.5), положив в ней
d2wo о,, . ,
42

что соответствует близкому к сфере эллипсоиду вращения (и со-
соответствует оболочке глаза). В этом случае все корни характери-
характеристического уравнения
различны.
В общем случав на линии ? = 0 должны быть выполнены восемь
условий непрерывности обобщенных перемещений и усилий. Упро-
Упростим задачу, предположив, что мы рассматриваем форму потери
устойчивости, у которой прогиб и>(?) является четной функцией ?.
Проверка показала, что асимметричные формы потери устойчиво-
устойчивости дают более высокую критическую нагрузку. Рассматрим два
случая. В первом предположим, что в процессе потери устойчиво-
устойчивости давление qA на оболочку остается неизменным, а во втором —
что оно изменяется в связи с деформацией оболочки.
В случае неизменного давления qA для четной формы прогиба
имеем граничные условия
и = S - AQX - 71 = 0 при ? = 0, F.8)
где и — проекция смещения на направление меридиана, 5,
усилие сдвига и дополнительное перерезывающее усилие, 71 — угол
поворота касательной к меридиану. Через основные переменные w
и Ф условия F.8) представляются в виде
dw d3w d<3>
откуда следует четность формы потери устойчивости.
Если учитывается изменение давления ленты при потере устой-
устойчивости, то величина qA (ip) определяется по формуле
где То _ q0R — натяжение ленты, которое в процессе потери
устойчивости предполагается постоянным, я2 — изменение кри-
кривизны линии в = 0 при потере устойчивости. Перерезывающее
усилие <3i на линии в = 0 терпит разрыв, что дает
43

Граничные условия в этом случае принимают вид
dw d3w
=^ = ^з=0 при { =
В табл. 12 представлены критические значения Л для следящей
нагрузки и соответствующее им число волн при потере устойчиво-
устойчивости при некоторых значенях параметра внутриглазного давления
7- Напомним, что безразмерный парамтр внутриглазного давле-
давления 7 = pR/i^Ehfi2), и уже его значение 0.07 соответствует 60—65
мм рт. ст.
Таблица 12
7
А
Р
0
2.157
0.69
0.05
2.276
0.67
0.1
2.414
0.64
0.15
2.584
0.59
Принимая во внимание, что число волн при потере устойчиво-
устойчивости т может быть только целым, приведем более точные крити-
критические значения параметра нагрузки и соответствующий им вал
вдавления (максимальный прогиб под лентой) при f = 0.1 (85—
90 мм рт. ст.) для некоторых параметров ц в табл. 13. По величине
максимального прогиба можно получить критическое укорочение
нити или жгута. Следует отметить, что при меньших значениях
7 критическое значение А и соответствующие величины wq еще
уменьшаются.
Таблиц а 13
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
т
6
5
5
4
4
А
2.4193
2.4146
2.4234
2.4193
2.4144
wo, мм
0.42
0.49
0.57
0.65
0.74
Эти значения соответствуют симметричной форме потери
устойчивости.
Если циркляж осуществляется шелковой нитью, которая может
считаться нерастяжимой, то по соотношениям F.4), учитывая, что
44

Д/ = 2тгшо, можно получить критическое укорочение нити. Рас-
Расчеты показывают, что для шелковой нити, если операция произво-
производится без эвакуации субретинальной жидкости {AV\ = 0), крити-
критическое укорочение нити составляет 3.5—4 мм. Следует отметить,
что если AKi ф 0, то в этом случае с учетом соотношений F.4) и
A.19) имеем
и критическое укорочение нити будет естественно больше.
Рассмотрим теперь циркляж силиконовой лентой или жгутом.
Если Sc — площадь поперечного сечения силиконового жгута, то
при укорочении его на величину А1 относительное удлиннение
жгута определяется как
? =
qnR
2тгЯ - А1
где критическое значение величины qn по-прежнему определяется
по соотношению F.4). Таким образом,
ГГв
Eh5'2
^2K/4-
На рис. 8 представлен график критического значения Д^ в зави-
зависимости от площади поперечного сечения жгута при AV\ = 0.
45

Как уже отмечалось [46], часто при операциях циркляжа исполь-
используются силиконовые ленты толщиной 0.6 мм и шириной 2.5 или 9
мм, что соответствует 5С = 15 мм2, Sc = 5.4 мм2. В этом случае,
как видно из рис.8, критическое значение А1, способное привести
к сморщиванию участков склеры и отекам, больше 20 мм.
Если циркляж производят стандартным круговым силиконовым
жгутом, диаметром 4.5 мм и площадью поперечного сечения Sc =
15.8 мм2 [46], то критическое значение Д/ составляет 10 — 12 мм.
Таким образом, исследование на устойчивость показывает, что,
по-видимому, для циркляжа опасно использовать нерастяжимые
нити. Более целесообразно применять силиконовые ленты или
жгуты.
1.7. Напряженно-деформированное состояние
оболочки глаза с учетом ортотропии
Модели, представленные в предыдущих пунктах, описывают де-
деформацию и потерю устойчивости изотропной сферической обо-
оболочки. Однако имеются экспериментальные данные [30,50-52], по-
показывающие, что склеральную оболочку глаза можно рассматри-
рассматривать как ортотропную оболочку. Расчету напряженного состо-
состояния ортотропной обочки глаза при циркляжной нагрузке посвя-
посвящена работа Э.Н.Мишиной [37]. Приведем кратко содержание этой
работы. Равновесие оболочки в [37] описывается уравнениями [49],
основанными на сдвиговой модели Тимошенко. Статические гра-
граничные условия на поверхностях оболочки представлены в виде
°зз = Я, °ъъ = ЛР>
где q — нормальная проекция вектора поверхностной нагрузки,
а Ар — нормальная проекция изменения внутреннего давления,
Ар = р — ро- Разрешающие уравнения записаны относительно тан-
тангенциального и и нормального w перемещений срединной поверх-
поверхности и угла поворота нормали 7:
Ати + Bmw + Сту = Fm, m=1...3, G.1)
где Fm — функции, зависящие от внешнего и внутреннего давле-
давлений и их производных, Ат,Вт,Ст — линейные дифференциаль-
дифференциальные операторы порядка не выше второго с переменными коэффици-
46

ентами. На первом этапе решения задачи система G.1) интегриру-
интегрируется при внешнем и внутреннем давлениях, не зависимых от реше-
решения, и далее строится итерационный процесс, позволяющий учи-
учитывать влияние решения на нагружение. Система уравнений G.1)
интегрируется методом Галеркина. Внутреннее и внешнее давле-
давления считаются известными функциями координаты 9. Функции
и, w, 7 ищутся в виде ряда по тригонометрическим функциям
i = 2к,
k>0,
k> 0,
N-1
{u,w,y}=
»=о
Характеристики анизотропного материала приняты в следую-
следующем виде:
= кЕ, Е2 = B- к)Е, Е3 = Е,
+ -
4A
i/21 = kv, i/i2 = B - k)v, v13 = vZ\ - viz - vzi = v,
где E — среднее значение модуля упругости (как и ранее, принято
Е = 14.3 МПа), v — 0.4. Параметр к = 1.2, что отвечает разли-
различию жесткостей в ортогональных направлениях в 1.5 раза. Такое
соотношение модулей упругости соответсвует экспериментальным
данным [30,50-52].
ТаблицаН
я,
мм
2.5
9
мм
12
24
30
12
18
24
мм
0.076 @.070)
0.188 @.173)
0.267 @.246)
0.147 @.131)
0.251 @.222)
0.381 @.336)
мм
0.056 @.060)
0.139 @.148)
0.197 @.209)
0.170 @.179)
0.298 @.312)
0.456 @.474)
Р,
мм. рт. ст.
31.4 B7.1)
54.6 D4.2)
70.2 E5.6)
62.7 E1.0)
96.6 G6.5)
136.0A06.1)
47

В табл. 14 представлены прогиб на экваторе wmax, увеличение
продольной зрительной оси (ПЗО) S и давление р для ортотропной
оболочки. В скобках приведены результаты для изотропной обо-
оболочки. Из таблицы видно, что учет анизотропии мало влияет на
оценку приращения ПЗО (около 7% ). Волокна создают дополни-
дополнительную жесткость вдоль оси, поэтому оболочка более податлива
в ортогональном направлении. В результате при одинаковом из-
изменении ПЗО внутреннее давление оказывается большим.
Зависимости прогиба на экваторе и увеличения ПЗО от укороче-
укорочения ленты для изотропной и ортотропной оболочек представлены
на рис.9 (для ленты шириной #=2.5 мм) и рис.10 (для ленты шири-
шириной Н=9 мм). Кривые с индексом 1 соответствуют изотропной
оболочке, с индексом 2 — ортотропной.
Видно, что учет ортотропии приводит к небольшому увеличе-
увеличению вала вдавливания и уменьшению изменения ПЗО по сравнению
со значениями для изотропной оболочки.
0.19-
0.45 -
0.10 -
19.2
26.4 Дг.мм
0.24 -
19.2
26.4 Д2.ММ
Рис.9.
РисЛО.
В пп. 1—7 настоящей главы было рассмотрено напряжнно-
деформированное состояние оболочки глаза при некоторых вари-
вариантах операции циркляжа. Проведенный анализ показывает, что
более существенные деформации и дополнительные напряжения
вызывает циркляж нерастяжимыми нитями.
Вероятно, особенно с учетом исследования на устойчивость обо-.
лочки глаза, следует отказаться от циркляжа шелковыми нерастя-
нерастяжимыми нитями.
Представленные расчеты еще раз подтверждают, что необходим
строгий контроль за изменением внутриглазного давления, и пока-
показывают, что только в редких случаях (при очень малых областях
48

отслойки) можно обойтись без эвакуации субретинальной жидко-
жидкости.
1.8. О модели эписклерального пломбирования глаза
Как уже отмечалось, иногда для лечения отслойки сетчатки
глаза используется пришивание к склере пломбы. Самостоятель-
Самостоятельное локальное пломбирование проводят в основном при единичных
разрывах, в других случаях чаще рекомендуется накладывать до-
дополнительно циркляжную нить. Величина пломбы определяется
размерами разрыва или расстоянием между разрывами в случае их
множественности. Из биологических материалов в качестве пломб
чаще всего используется консервированная гомосклера или твердая
мозговая оболочка [24,33,55].
Материал пломбы обычно жестче материала оболочки глаза.
Поэтому в работе А.Н.Миронова и Б.Н.Семенова [36] опера-
операция пломбирования рассматривается как задача контактного вза-
взаимодействия однородной упругой оболочки с абсолютно жестким
осесимметричным штампом (рис.11).
Приведем кратко постановку задачи и результаты работы [36].
Предполагается отсутствие трения между оболочкой и штам-
штампом. Сила Р, приложенная к штампу, компенсируется усилием Y,
распределенным равномерно по параллели 9 = во-
Кроме того, предполагается, что расстояние от параллели кре-
крепления до оси симметрии и размер зоны контакта малы по сравне-
сравнению с радиусом оболочки, поэтому верхняя часть оболочки 1 (выше
49

параллели в = во) считалась пологой (рис.11) и для нее рассматри-
рассматриваются уравнения пологих оболочек при действии единичной силы,
приложенной по параллели ? = R9q :
O. (8.1)
Здесь F — функция напряжений, S — дельта-функция, г — рас-
расстояние до оси Z,
г d2 1 d
х — д = |
Я' dx2 х dx
Общее решение уравнений (8.1) представляется в виде суммы ре-
решений однородной системы и фундаментального решения системы
(8.1). В частности, прогиб w — w\ + G, a u»i имеет вид [4,36]
wi = Ci Ьег(еж) + Сг bei(ea;) + Сз кег(еж) +
R2 F h
где ber, bei, ker, kei — функции Кельвина (Томпсона). Функция
G удовлетворяет уравнению
АА^ R2Eh „ В? .. е.
ДДС+ G%?)
G=%?)
и также может быть выражена через функции Кельвина [36].
Для контактных напряжений <г(ж) в области контакта 0 < х < х
справедливо уравнение [4,5,36,48]
G{x, Q а(?) { de = -t»i (x) + f{x)+
Jo
где p—po — изменение внутреннего давления, х — граница области
контакта, f(x) — функция формы и жесткого смещения штампа.
Напряженно-деформированное состояние оболочки 2 построено
в монографии В.В.Новожилова [44].
50

Неизвестные коэффициенты определяются из условий сопряже-
сопряжения оболочек 1 я 2.
Система нелинейных алгебраических уравнений решается .чи-
.численно, зона контакта находится в процессе решения методом ите-
итераций.
На рис.12,13 представлены в виде графиков результаты счета
для штампа в форме эллипсоида вращения с полуосями а = Ь =
12мм, с = Змм, 7 = \ рад, х\ = 0.3.
На рис.12 показано распределение безразмерных контактных на-
напряжений а/Е под штампом при следующих безразмерных при-
прижимных усилиях УДЯ Я) : 1) 6.6 • 10, 2L.86 • 1(Г5, 3) 5.5 • Ю, а
на рис.13 изображена зависимость краевой нагрузки от интервала
контакта.
Анализ результатов расчетов показывает, что с увеличением
прижимных усилий наряду с ростом площадки контакта происхо-
происходит смещение максимума контактных напряжений под пломбой от
центра (рис.12, кривая 1) в сторону границы контакта (рис. 12,
кривая 2).
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
f • ю-3
0.5
Рис.12.
i.o х/х
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
Y
ER
• ю5
/
/
/
/
0.1 0.2 0.3
Рис.13.
При дальнейшем возрастании прижимных усилий контактные
напряжения в окрестности центра контакта убывают до нуля
(рис.12, кривая 3), и возможен переход от круговой зоны контакта
к кольцевой с потерей контакта в окрестности центра. Это явля-
является следствием большего радиуса кривизны пломбы по сравнению
с радиусом упругой оболочки глаза.
51

Г л а в а 2
О МЕХАНИЗМАХ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТСЛОЕНИЯ
СОСУДИСТОЙ ОБОЛОЧКИ ГЛАЗА
Как уже отмечалось, глазное яблоко имеет неравномерную тол-
толщину и состоит из трех основных оболочек: наружной фиброзной
капсулы толщиной ~ G.6 - 1 мм, средней сосудистой оболочки тол-
толщиной ~ 0.3-0.4 мм и внутренней оболочки — сетчатки, толщина
которой меняется от 0,08 до 0,4 мм. Форму глазного яблока опре-
определяет плотная фиброзная оболочка склера, предохраняющая более
нежные внутренние структуры глаза. Средняя оболочка глаза со-
состоит из сосудистой оболочки, располагающейся сразу под скле-
склерой, ресничного (цилиарного) тела и радужки (рис.1).
Анатомическое соотношение между ресничным телом и скле-
склерой таково, что они прочно соединены между собой только в пе-
переднем отделе — в области так называемой склеральной шпоры,
сосудистая оболочка связана со склерой в четырех точках по эква-
экватору глазного яблока (места выхода из глаза так называемых ва-
варикозных вен) и сзади — у зрительного нерва. На всей осталь-
остальной площади между средней и наружной оболочками глаза в норме
существует микроскопическая щель — супрахориоидальное про-
пространство, являющееся одним из путей оттока внутриглазной жид-
жидкости (увеосклеральный путь). Такое соединение ресничного тела
и сосудистой оболочки со склерой создает условие для свободного
отслоения средней оболочки.
Отслоение сосудистой оболочки можно представить как одну из
форм разрушения — в виде макротрещины, распространяющейся
по поверхности раздела, т. е. трещены расслоения.
Далее исследуется механизм образования отслоения сосудистой
оболочки. Рассмативаются основы метода отслоения по результа-
результатам, накопленным в механике разрушения твердых тел.
2.1. Скачкообразное отслоение
В механике разрушения композитных материалов известно вли-
влияние структуры материала на картину разрушения. В частности,
в зонах сжатия может произойти отслоение, причиной которого
52

является местная потеря устойчивости, обычно сопровождающа-
сопровождающаяся разрывом связующего [8,31,54]. Полный анализ этого дина-
динамического процесса труден, поэтому в работах Л.М.Качалова [31,
32] рассмотрен энергетический критерий Гриффитса, приводящий
к нижней оценке напряжений расслаивания. Предполагается, что
перед выщелкиванием в слое толщиной ho накоплена упругая энер-
энергия сжатия U\. После выщелкивания этот слой будет обладать
энергией U2, которую в этом случае полагают преимущественно
энергией изгиба [32]. Исходя из концепции Гриффитса работа раз-
разрушения представляется в виде
W = 2~(S, A.1)
где S — площадь поверхности отрыва, а 7 — удельная работа раз-
разрушения, т. е. работа разрушения, необходимая для образования
единицы площади свободной поверхности (при этом образуются
две свободные поверхности площадью S). Предполагается, что при
отслаивании происходит переход к более низкому энергетическому
уровню, т. е. нижняя граница опасного напряжения определяется
из соотношения
Ul=U2 + W. A.2)
В работе [32] отмечается, что необходимо различать случаи от-
отслаивания с плоской и кривой поверхности. В случае отслаивания
с кривой поверхности можно не учитывать сжатие отслаиваемого
участка и полагать, что амплитуда выпучивания не зависит от на-
напряжений сжатия. В этом случае потенциальная энергия изгиба
изотропного слоя имеет вид
U2 = D I I FdS,
-41
где F — однородная квадратичная форма изменений кривизн, D =
T2(i-V) — Цилиндрическая жесткость выщелкиваемого слоя. 1а-
ким образом, U2 ~ Eh% и при однородном сжатии слоя из соотно-
соотношения A.1) имеем
где А — множитель, зависящий от формы выщелкивания. Зависи-
Зависимость напряжения от толщины выщелкиваемого слоя имеет вид
53

где At, Л2 ^— положительные коэффициенты. При фиксированных
Ai,A2 по соотношению A.3) можно определить нижнюю границу
опасного напряжения и толщину слоя, наиболее склонного к вы-
щелкиванйю:
при
(
В работе [32] отмечается, что если до нагружения имеется на-
начальная трещина площадью So, то разрушающая нагрузка, есте-
естественно, снижается. Работа разрушения в этом случае W = 2f(S —
So), и все результаты сохраняются, если вместо j ввести 7A —f-)-
2.2. Удельная работа разрушения
Как уже отмечалось, расслоение является наиболее распростра-
распространенным видом разрушения композитных материалов и клеевых со-
соединений. Типичная форма разрушения — макротрещина, прохо-
проходящая по поверхности раздела, а одна иэ важнейших характери-
характеристик таких соединений — адгезионная прочность связи соприка-
соприкасающихся разнородных фаз. Поэтому методы искусственного от-
отслоения широко применяются для исследования прочности такого
рода материалов [10].
Для расчета прочности слоистых композитов Л.М.Качанов
предложил подход, обобщающий метод Гриффитса в теории тре-
трещин [31, 32]. Опыт показывает, что при экспериментальном опре-
определении адгезионной прочности основные характеристики процес-
процесса изменяются, как правило, случайным образом. Это связано со
ступенчатым характером продвижения трещин при расслоении.
В случае квазистатических задач механики разрушения прира-
приращение работы внешних сил 8А за малое время 8t равно сумме при-
приращений энергии деформации 8П и работы разрушения (см. A1))
8W =2j8S. При этом уравнение баланса энергии имеет вид
8 А = 8П + SW.
54

Для того чтобы по возможности точнее определить величину f,
целесообразно так поставить эксперимент, чтобы величина энер-
энергии деформации 8П была значительно меньше работы разрушения
SW, т. е. практически вся работа внешних сил 8А тратилась на
разрушение:
SA ~ SW.
B.1)
Это возможно тогда, когда в процессе разрушения энергия дефор-
деформирования тела изменяется мало (предполагается, что материал
оболочки идеально упругий).
Наиболее перспективны испытания образцов с начальной макро-
макротрещиной, проходящей по поверхности раздела, так как они наибо-
наиболее просты в исполнении и информативны. Рассмотрим двуслой-
двуслойный образец (рис. 14).
Рис.14.
a fp
Рис.15
Ьсли одии из слоев представляет материал с нулевой жесткостью
на изгиб (стеклоткань, эластопласты), то в значительной степени
соблюдается условие B.1). Приложим к свободной стороне этого
слоя, который будем называть покрытием, силу F. При достиже-
достижении некоторого значения F покрытие начнет отслаиваться от осно-
основания (подложки). К моменту t отслоенное покрытие состоит из
55

прямолинейного участка длиной d, примыкающего к свободному
концу, и криволинейного участка, примыкающего к основанию. К
моменту t + St длина трещины I увеличится на 81, длина прямо-
прямолинейного участка — на Sd. Полагаем, что подложка и прямо-
прямолинейный участок покрытия не деформируются. Следовательно,
за время St энергия деформации 8П подложки и покрытия не из-
изменится, а сила F переместится на расстояние Sd. Приращение
работы внешней силы и приращение поверхности разрушения за
время St можно записать соответственно в виде
SA = FSt, SS = bSl, B.2)
где b — ширина образца. Использовав соотношения A.1), B.2),
можно получить
- L&A
7 ~ 26 81'
Связь между приращениями Sd и SI определяется углом отслаи-
отслаивания у? (рис.14) и имеет вид
8d=&l{l-cas<p).
Особенно важны в экспериментах по отслоению частные случаи
<р = 7г/2 — отслоение по методу А (рис.15, а), у? = ж — отслоение
по методу В (рис.15, б). В результате при отслоении по методу А
при отслоении по методу В
7~26'
7 = у B.3)
Адгезионная прочность связи склеры и сосудистой оболочки оце-
оценивалась экспериментально на основе метода В (отслоение при <р =
180° ) [9]. Для определения характеристики отслоения между со-
сосудистой оболочкой и склерой по методу отслоения при <р = 180°
использовалось нагружающее устройство, смонтированное на ин-
инструментальном микроскопе МИ-2. Из энуклеированных глаз че-
человека вырезались в меридиональном направлении полоски ткани
56

1.0 X 0.5 см через всю толщину глазного яблока с сохранением сте-
стекловидного тела. Полученный образец укладывали в нагружающее
устройство и фиксировали прижимным устройством за склераль-
склеральный участок. Свободный конец сосудистой оболочки вместе с сет-
сетчаткой прошивали шовным материалом диаметром 0.015 или 0.045
мм и подсоединяли к нагружающему устройству.- К свободному
концу образца прикладывали силу F (рис. 14). При достижении не-
некоторого значения F* сосудистая оболочка начинает отслаиваться
от склеры, что фиксируется с помощью инструментального микро-
микроскопа. Величина f определялась по соотношению B.3): 7« = ^L-
За окончательный результат принималась среднеарифметиче-
среднеарифметическая величина значений 7», взятых по всем испытаниям:
4-i n
'7*
•=0
Среднеквадратическое отклонение
Было испытано десять образцов. Получено
7 = 3.815 Н/м, 7<г = 0.195 Н/м.
2.3. Простейшая модель отслоения сосудистой оболочки
Используя описанныйвыше энергетический критерий Гриффит-
са, рассмотрим одну из возможных биомеханических моделей раз-
развития отслойки сосудистой оболочки [6]. Выбранная модель глаза
представляет собой сферическую композитную оболочку [29, 53]
(рис.16). Предполагается, что оболочка находится под действием
внешнего давления р (например, удар в область глаза при сдавли-
сдавливании хирургическим инструментом в ходе операции на глазу).
В докритическом состоянии сферическая оболочка под действи-
действием внешнего давления р имеет во всех нормальных сечениях напря-
напряжение <т и докритический прогиб wq [19] :
PR PR
PR2
57

локальная потеря устойчивости сферической оболочки под дей-
действием равномерного внешнего давления рассматривалась во мно-
многих работах (например, монографии [19, 47]). Аналогично тому,
как это сделано в большинстве работ, будем полагать, что образу-
образуется одна вмятина, и на первой стадии развития вмятины, вплоть
до расслоения, поведение упругой сферы может быть описано те-
теорией пологих оболочек. Воспользуемся полярными координатами
г, (р, совместив начало радиус-вектора с центром вмятины, и бу-
будем рассмотривать осесимметричную задачу. Обозначим радиус
отслаиваемого участка с. Тогда при внешнем давлении р в докри-
тическом состоянии потенциальная энергия сжатия отслаиваемого
участка
C.1)
-4M2
Здесь ho, как и ранее,— толщина выщелкиваемого слоя.
Рис.16.
Трудность задачи состоит в том, что неизвестны граничные
условия на контуре отслаиваемого участка. Как один из простей-
простейших вариантов примем, что на контуре вмятины выполнены усло-
условия жесткого защемления:
dw
~dr
— О при г — с.
C.2)
Тогда для функции прогиба можно взять аппроксимирующее вы-
выражение
с2
58

удовлетворяющее условиям C.2). В этом случае энергия изгиба
внутреннего слоя после отщепления [19, 32]
Jo
г dr dr
Eh3
[D = x2(i-g i) > как и ранее, цилиндрическая жесткость выщелкива-
выщелкиваемого слоя).
Предположив, что длина волокон слоя при прощелкивании не
изменяется, можно получить
7с2 ,
=w и тогда
C.3)
Исходя из концепции Гриффитса, работа разрушения, как уже
отмечалось в A.1), представляется в виде W = 27»S, а площадь
поверхности отрыва в этом случае S ~ тге2.
Рис.17.
По энергетическому критерию A.2) оценим сжимающие напря-
напряжения в оболочке глаза, соответствующие отслоению. Используя
соотношения C.1), C.3), находим
8Eh2
7 +
144Л2A -
2h
59

Зависимость <ткр от h0 представлена на рис. 17.
Минимальное значение <ткр достигается при толщине
Или, учитывая, что для оболочки глаза Е = 14.3 МПа, R = 12 мм,
7 = 0.0038 Н/мм, имеем ЛОФ = 0.33 мм и при этом <ткр = 0.92 МПа.
Таким образом, слой толщиной Лоф является наиболее склонным
к отщеплению. Примерно такое значение имеет толщина сосу-
сосудистой оболочки глаза. Критическое значение напряжения, соот-
соответствующее hot, следует, по-видимому, рассматривать как ниж-
нижнюю границу опасного напряжения, вызывающего расслоение. Эта
величина значительно меньше предельных разрушающих напряже-
напряжений для склеры <т — 4.3 МПа [53].
Следовательно, при ударе в область глаза, по-видимому, более
вероятен не разрыв склеры, а отслойка сосудистой оболочки с по-
последующим разрывом сетчатки или сосудистой оболочки, что под-
подтверждается клиническими исследованиями [41].
Отметим, что в клинических исследованиях наблюдаются раз-
различные (не только симметричные) формы отслоения, что, по-ви-
по-видимому, обусловлено или несимметричной нагрузкой, или большой
симметричной. В работе [47] на основе экспериментальных дан-
данных замечено, что под действием равномерного внешнего давления
сферическая оболочка получает сначала осесимметричные дефор-
деформации, затем при увеличении давления область выпучивания при-
принимает форму треугольника со сглаженными вершинами, далее —
четырехугольника.
2.4. Послеоперационное отслоение сосудистой оболочки
Иногда после операций, сопровождающихся вскрытием глазного
яблока, особенно в пожилом возрасте, наблюдается отслоение со-
сосудистой оболочки [13,14]. Существуют различные предположения
о происхождении такой отслойки [33]. По мнению В.В.Волкова
[13,14], к развитию послеоперационной отслойки сосудистой обо-
оболочки приводит ряд следующих факторов.
1. Послеоперационная деформация роговично-склеральной ка-
капсулы глаза вследствие извлечения или потери части его содер-
60

жимого (рис. 18,а). Сумка хрусталика, остающаяся в глазу, сдер-
сдерживает стекловидное тело от движения вперед, и тогда после опо-
опорожнения камеры и извлечения хрусталика роговица неизбежно
прогибается назад, заполняя образовавшуюся пустоту, или в ка-
камеру заскакивает пузырек воздуха (рис.18,б). Если после интра-
капсулярного извлечения хрусталика не наблюдается деформация
роговицы, то это происходит потому, что деформировалась склера
(рис.18, в).
Воздух
Рис.18.
2. Герметизация рацы в капсуле глаза при дефиците его со-
содержимого, т. е. еще до того, как оболочка глаза расправилась до
обычного состояния. В послеоперационном периоде давление в опе-
оперированном глазу начинает постепенно возрастать, приближаясь к
нормальному. Наступает момент", когда с помощью восстанавли-
восстанавливающегося офтальмотонуса и под влиянием собственных упругих
сил (рис.18, г) деформированная склера расправляется (рис. 18,д),
как это бывает с вмятиной в стенке несильно надутого резиного
мяча.
3. Возрастное уплотнение (склерозирование) склеры, отмечен-
отмеченное В.П.Филатовым и С.Ф.Кальфа A953) и др., выступает как
важная сила, ведущая к восстановлению формы глаза. Этот фактор
является существенным в реализации описанного выше процесса.
61

4. Тенденция к образованию вакуума в супрахориоидалъном про-
пространстве. Анатомическое соотношение между ресничным
телом и склерой создает условие для быстрого восстановления ша-
шаровой формы склеры после окончания операции и восстановления
внутреннего объема глаза. Более "мягкая" сосудистая оболочка
"не успевает" за более жесткой склерой. Сосудистую оболочку
сдерживают соединенные с ней сетчатка и стекловидное тело. В
результате образуется полость с пониженным давлением. Данная
полость, как пишет В.В.Волков [13], "подобно кровососной банке
ex vaco, начинает насасывать в супрахориоидальное пространство
жидкие фракции лимфы, крови, стекловидного тела из всех сосед-
соседних областей."
5. Заполнение супрахориоидального пространства жидкостя-
жидкостями. Все несвязные жидкости внутри глаза устремятся сквозь ми-
микропоры в его структурных элементах в направлении намечающе-
намечающегося в супрахориоидальном пространстве вакуума.
2.5. Линейная модель вакуум-синдрома
Как уже отмечалось, при расправлении и отходе в нормальную
позицию деформированной склеры создается полость, нагружен-
нагруженная внутренним давлением. Рассмотрим модель роста имеющейся
трещины. Цспользуя "принцип замораживания", можно рассмо-
рассмотреть упрощенную модель — упругую статическую задачу отсло-
отслоения тонкой балки или пластинки под действием внутреннего да-
давления q от полупространства (толстой склеры) (рис.19.)
h
Рис.19.
Пусть балка имеет ширину Ь и толщину ho. Уравнение изгиба
балки можем записать следующим образом:
62

=* ¦ <•¦¦>
Здесь ги — прогиб балки в сечении с абсциссой х, J — момент
инерции балки в сечении х, q — нормальное давление, образовав-
образовавшееся в результате действия вакуум-эффекта В.ВГВолкова. Пусть
/— длина трещины. Краевые условия примем в виде
w@) = te@ = 0, to'@) = w'{l) = 0. E.2)
Прогиб балки w аппроксимируем выражением
W = ax\lx)\ °=
удовлетворяющим уравнению E.1) и условиям E.2). Тогда потен-
потенциальная энергия изгиба балки
2 _ 2
Пусть величина 81 > 0 характеризует изменение длины трещины
(ее рост). В этом случае
В соответствии с подходом Л.М.Качанова (п.2.1) предполагаем,
что при развитии трещины происходит переход к более низкому
энергетическому уровню.
Работа сил давления q на дополнительном прогибе, связанном с
ростом трещины, такова:
/о
а работа разрушения
SW = 27М/.
63

Так как выполняется соотношение SA > SU, то при определен-
определенных условиях возможен рост трещины. Критическое значение вну-
внутреннего давления (или начальной длины трещины при заданном
давлении) можно получить из соотношения
или
E.3)
Таким образом, рост трещины возможен при значениях q, l, удовле-
удовлетворяющих соотношению ql2 < qJl, т.е. лежащих выше кривой,
представленной на рис.20.
/,мм
20
10
10
20
Рис.20.
30«
Отметим, что график на рис. 20 представлен для значения
h0 = 0.3 мм — средняя толщина сосудистой оболочки. В таком слу-
случае, например при давлении 15 мм рт. ст., рост трещины начина-
начинается при I > 11 мм. Однако следует иметь в виду, что обычно "кпе-
"кпереди отслойка достигает места прикрепления цилиарного тела"
[14]. В этой части оболочки глаза толщина сосудистой оболочки
меньше, а согласно соотношению E.3) при ho — 0.1мм и давлении
15 мм рт. ст. может начать расти трещина с длины 4 мм. В работе
В.В.Волкова [14] отмечается, что "отслойка сосудистой оболочки
обычно не распространяется к области заднего полюса". Отме-
Отметим, что это согласуется с соотношением E.3): в данной области
64

толщина сосудистой оболочки больше среднего значения, и необ-
необходимо существенно большее внутреннее давление или начальный
размер трещины для ее развития.
В работе [45] обсуждаются способы предупреждения развития
цилиохориоидальной отслойки при антиглаукоматозных операци-
операциях. Отмечается, что "наиболее эффективным методом профилак-
профилактики и лечения ЦХО является задняя трепанация склеры", что
также подтверждается соотношением E.3).
Рассмотрим еше одну модельную задачу — задачу об отслоении
тонкой пластинки от полупространства (рис.21).
Рис.21.
Потенциальная энергия изогнутой пластинки [19, 20, 38, 44]
-R f flf^L]2 Lf^L]2 2v dw d2w
0 0
J
Г dr
rdrdd.
Здесь w — функция, описывающая прогиб пластинки, D — ци-
цилиндрическая жесткость.
С учетом уравнения для изгиба тонких пластинок [19, 45] и усло-
условия жесткой заделки на крае примем м> в виде
W-<*d\} Rl) ¦
<*d\} Rl)
Тогда
65

Работа сил давления д„ на дополнительном прогибе, связанном
с ростом трещины, в этом случае
Полагая для простоты, что трещина распространяется по кругу
Rn и SS = 2тгД„ДЙ„, получаем
Критическое соотношение внутреннего давления и радиуса началь-
начальной области отслойки может быть определено из выражения
Это соотношение аналогично соотношению E.3). Цилиндриче-
Цилиндрическая жесткость D = Щ/\2{\ — I/2). Таким образом, рост трещины
возможен при значениях qn,Rn, удовлетворяющих соотношению
qnR>n > С, где С — константа, зависящая от толщины отслаи-
отслаиваемой пластины. Например, при ho — 0.1мм близко к роговице
при достижении в полости давления 15 мм рт. ст. начнет расти
начальная трещина, имеющая радиус 4 мм.

Г л а в а 3
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ
ГЛАУКОМЫ
Склера, занимающая 5/6 фиброзной оболочки глаза, состоит из
плотной соединительной ткани. Недалеко от заднего полюса через
склеру из глаза выходит зрительный нерв (рис.1). Сплошного де-
дефекта склеры здесь нет, а имеются ее истончения и множество мел-
мелких отверстий, через которые проходят пучки зрительного нерва.
Участок склеры, через который проходит зрительный нерв, назы-
называют решетчатой пластинкой. Решетчатая пластинка играет важ-
важную роль в балансе внутриглазного и внутричерепного давлений
(ВГД и ВЧД). "Склеральная пластинка в зоне диска зрительного
нерва должна быть перфорированной и вместе с тем эластичной,
чтобы не ущемлять нервные волокна при колебаниях ВГД" [41]. По
одну сторону от решетчатой пластинки в межоболочечном про-
пространстве зрительного нерва находится цереброспинальная жид-
жидкость, по другую — стекловидное тело глаза. Таким образом, "в
норме уровни давления по одну и по другую сторону от решетча-
решетчатой пластинки диска зрительного нерва различны, и со стороны
глаза мембрана испытывает постоянно вдвое большее механиче-
механическое воздействие" [15].
Важным звеном в симптомокомплексе глаукомы является "спе-
"специфическое нарушение зрительных функций" [17]. При этом де-
дефекты поля зрения наступают из-за атрофии (разрушения) зрите-
зрительно-нервных волокон, имеющих при выходе из полости глаза в по-
полость зрительного нерва перегиб на диске [15]. Классическим сим-
симптомом глаукомы долгое время считалось повышение ВГД. Свою
концепцию происхождения глаукоматозной атрофии зрительного
нерва при ВГД, не выходящим за пределы статистической нормы,
предложил В.В. Волков [16—18]. Он рассматривает оба глазных
яблока, зрительные нервы и полость мозгового черепа как единую
систему. Если отношение внутриглазного давления к внутричереп-
внутричерепному давлению увеличивается по сравнению с нормальным для кон-
конкретного пациента значением [15, 11] (а это может происходить не
только вследствие увеличения ВГД, но и за счет уменьшения ВЧД),
то решетчатая пластинка прогибается. Вместе с нею начинает как
бы "выдавливаться" из глазного яблока диск зрительного нерва
67

(ДЗН). Появляется так называемая экскавация зрительного нерва.
При повышении ВЧД или при глазной гипотонии (например, по-
после травмы или операции [15]) образуется так называемый застой-
застойный ДЗН, решетчатая пластинка деформируется внутрь глазного
яблока
В медицинской литературе имеются данные [11,15—-18,26,41—
43], подтверждающие концепцию В.В.Волкова, о неблагоприятном
течении глаукоматозного процесса при системной артериальной,
а следовательно, и цереброликворной гипотонии и о более благо-
благоприятном течении этого процесса при повышенном артериальном
давлении.
3.1. Деформация решетчатой пластинки
В процессе формирования представлений о развитии глаукома-
тозной экскавации диска зрительного нерва значительное место
принадлежит механической концепции. Основная идея этой кон-
цепциии состоит в том, что повышение ВГД оказывает прямое
действие на ткань зрительного нерва.
Многочисленные экспериментальные данные [15,26,41,42] гово-
говорят о том, что при повышеннии ВГД такие явления, как отечность
зрительно-нервных аксонов, их дезорганизация, остановка аксо-
плазматического тока и др., ведущие за собой атрофию зритель-
зрительного нерва, происходят именно в области решетчатой пластинки.
В связи с этим интерес представляет изучение напряженно-де-
напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки глаза при изме-
изменении внутриглазного давления.
При расчетах напряженно-деформированного состояния пер-
перфорированных пластин обычно последние заменяют некоторыми
сплошными пластинами с приведенными параметрами [23], опре-
определяющимися из условия, что средние перемещения "приведенной"
пластины и перфорированной пластины при одинаковых нагрузках
являются одинаковыми.
Основной проблемой на пути аналитического исследования де-
деформирования решетчатой пластины является отсутствие точных
данных о ее механических характеристиках. Однако имеющиеся в
литературе данные о средней глубине экскавации диска зритель-
зрительного нерва при фиксированных значениях ВГД [15,26,39,41,42,74],
а также данные специальных экспериментальных исследований
68

[71,75—78,80] позволяют оценить приведенный модуль упругости
решетчатой пластины.
В работе канадских ученых [80] деформация решетчатой пла-
пластины изучалась на основе экспериментальных данных и на основе
клинических наблюдений. Отмечается, что увеличение внутри-
внутриглазного давления практически не меняет размеры склерального
канала, через который проходит оптический нерв (т. е. не увеличи-
увеличивается диаметр склерального кольца). В работе [80] обсуждаются
также индивидуальные особенности решетчатой пластинки, кото-
которые могут увеличивать чувствительность глаза к глаукоматозным
повреждениям.
Рассмотрим задачу о прогибе решетчатой пластинки под дей-
действием нормального давления в рамках линейной и геометрически
нелинейной общих уточненненных теорий С.А.Амбарцумяна [2].
Будем считать, что решетчатая пластинка является трансвер-
сально изотропной круглой пластинкой радиусом R с отверстием
в центре радиусом S. Нижняя и верхняя поверхности пластины
нагружены равномерно распределенными давлениями р~ ( внутри-
внутриглазным ) и р+ (давлением жидкости в межоболочечных простран-
пространствах зрительного нерва):
az = —р+ при z = /г/2,
az — —р~ при z = —/г/2,
rTZ = 0 при z =1 /г/2.
Материал пластины подчиняется обобщенному закону Гука:
<?V v v' тгг
ег = Ж~Жа$~Жаг' егг = ~&'
(Те V _ V _ Твг
3
A.1)
- v - - v л
69 ^-ЁГ7'-^' e"=G^'
Л/2 ?/i Л/1 C.J
= и'Еи
2A+1/)"
Здесь за координатную плоскость принята срединная поверхность
пластины: г, в — полярные координаты, z — расстояние по нор-
нормали до срединной поверхности, Ei,Ei — модули Юнга для напра-
69

влении в плоскости пластины и перпендикулярных к ней соответ-
соответственно, v — коэффициент Пуассона, характеризующий сокраще-
сокращение в плоскости изотропии при растяжении в той же плоскости,
v' — коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в плос-
плоскости изотропии при растяжении в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном этой плоскости, a v" — коэффициент Пуассона, характеризу-
характеризующий сокращение в направлении, перпендикулярном к плоскости
изотропии, при растяжении в плоскости изотропии, G, G''— мо-
модули сдвига для плоскости изотропии и плоскостей, нормальных к
плоскости изотропии соответственно.
В основу общей уточненной теории С.А. Амбарцумяна положены
следующие гипотезы:
нормальное к срединной поверхности перемещение не изменя-
изменяется по толщине;
касательные напряжения в плоскости, перпендикулярной по-
поверхности пластины, изменяются по квадратичному закону.
Первое предположение совпадает с соответствующим предполо-
предположением классической теории.
Считаем, что в силу симметрии распределение напряжений не
зависит от угла в. Составляющие деформации связаны с функци-
функциями перемещений соотношениями
диг ur duz duz dur
ег = -д—, ев = —, ez — ——, egz = er$ = 0, erz = ——I--о—.
or r dz or oz
Здесь ur(r,z), uz(r,z) — радиальное и нормальное перемещения
точки пластины, иг(г, 0) = u(r), uz(r, 0) = w(r).
Принятые гипотезы эквивалентны тому, что
г -
Trz —
( z ),
где <p(r) — произвольная функция г, и, следовательно,
, . dw z fh2
uz = u,(r), ur = u-z- + -^T-
Подставляя эти выражения в соотношения закона Гука A.1), полу-
получаем
70

du d2w. v. dw z h2 z2. 1 /dip <р
^~ Zl^>+ 7(u~ 7' + 2(T " T'& \d7 + V7
и z dw f du d2w\ z h2 z2 1 /ip dip
+ v z) + 2(T " T}g7 {7 + v~&
В V г dr' ' \dr dr2 ) ' 2M
^ — i 2^4 3 г cfr'1
~Р+ ~ Р~ + &1
1 ~ 2 ' 2 ~~ ' ~ \-v'
Таким образом, внутренние усилия и моменты могут быть пред-
представлены в виде
Tr _ du vu [\+v)v" ,
' — ~~~. -р -р it Zi\t\i.
Bh dr т Ел
г rfr
D dr2 rdr+10G'4r*r'+ bExh
2) [ '
Jf__(v dip 6A + i/)i/"
D ~ r d7 VJ7* + 10G7 V + v~d7' + 5Exh •
D =
12A -v2Y
Уравнения равновесия пластины в цилиндрической системе ко-
координат, записанные для внутренних усилий и моментов, имеют
вид
d% Тг-Тв _
-d7 + ——-0'
¦^T + -jr = -Z2' (L3)
Mr-Мв
1
1
ar r
71

Подставив выражения A.2) в уравнения A.3), получим основ-
основную систему трех дифференциальных уравнений относительно ис-
искомых функциий и, w, <р, распадающуюся на две подсистемы: пер-
первая описывает плоскую деформацию, а вторая представляет задачу
поперечного изгиба пластинки. Для исследования задачи изгиба
имеем систему уравнений относительно функций ю(г) и <р(г):
dip <p 12Р _ _ .
^ + 7 =-Туг- P = Z2=P -*+•
d3w ld2w 1 dw] dEi \d2w vdw
\ +[ +
,, ,, , , dEi h2 (dip v<p
-fl — v2)to(r) HI H
dr IOC \dr+ r
Полагаем, что край г = S - свободный:
r-S Tr = 0, Mr = 0, Nr = 0, A.5a)
а на внешнем крае выполнены следующие граничные условия:
г=Д, w = 0, «r = 0, -^+8G7V'' (L5b)
С учетом граничных условий A.5) из уравнений A.4) можно по-
получить уравнение
и уравнение относительно прогиба w(r):
\d3w I rf2w 1 duil d
[dr3 r dr2 r2 dr J dr [dr2
_ , . \d3w I rf2w 1 duil dEx \d2w v dw]
[dr3 r dr2 r2 dr J dr [dr2 r dr J
Граничные условия для уравнения A.7) с учетом соотношения A.6)
имеют вид
<PW- 6 Р
^~5С'Л' A.8)
72

В случае Е\ = const уравнение для w(r) принимает вид [2]
dzw ld?w I dw 6P / S2\ „ 2.
dr3 r dr2 r2 dr E\h3 \ r
и имеет аналитическое решение
r ~ — H1 - v
w{r)=ЩЬ^1 (т+г2<$2"гЧ2 Hr))+r2Ci+°2 Нг)+Сз>
где неизвестные постоянные С\, Сг, Сз определяются из граничных
условий A.8).
Как уже отмечалось, решетчатая пластинка - это склера, осла-
ослабленная большим числом отверстий. По имеющимся в литературе
данным [15,42,75] число таких отверстий около 700, и они занимают
2/3 площади всей пластины.
В монографии [23] приведен обзор исследований, посвященных
определению упругих параметров сплошной пластины, обладаю-
обладающей той же жесткостью, что и перфорированная пластина. На
основе сравнения собственных частот колебаний пластин, перфо-
перфорированных круговыми отверстиями разных диаметров, получено
соотношение
с \7/з
-^j , A.9)
где 5 — площадь пластины, 5о — часть площади, занимаемая от-
отверстиями, D* и D— цилиндрические жесткости сплошной и пер-
перфорированной пластин соответственно.
Согласно соотношению A.9)
где Е — модуль упругости склеры: Е = 14.3 МПа .
Если при движении от центра к краю пластина становится более
разреженной, то можно предположить, что модуль упругости в
плоскости изотропии убывает в этом направлении, например
73

Для исследования влияния скорости убывания Е\ (г) на форму про-
прогиба расчет производился при различных Ё\ и q, но при постоянном
значении Еср:
R
Ясно, что Ё\ и q должны удовлетворять условию
Модуль сдвига С, который, очевидно, также зависит от г, пред-
представим в виде
G'{r) = k*Ei{r).
Для Еср = Е/10 = 1.43 МПа максимально допустимое значение
д=10. В табл. 15 представлены некоторые допустимые значения
q и соответствующие им Е\ для Еср = 1-43 МПа.
Таблица 15
j&i, МПа
Я
2.31
1
3.46
2
4.85
3
8.23
5
12.2
7
16.8
9
19.3
10
По данным многочисленных исследований [15, 40—43, 76—78,
80] диаметр решетчатой пластинки равен 1.2 — 1.7 мм, толщина
пластинки 0.1 — 0.35 мм.
Для пластинки с R = 0.75 мм, h = 0.2 мм зависимость макси-
максимального прогиба (в центре) от ВГД при Е\ = 12.2 МПа, q = 7,
к = 1 представлена в табл. 16.
Таблица 16
р, ммрт. ст.
w(S),mm
15
0.164
30
0.328
40
0.438
50
0.547
60
0.656
80
0.875
74

Как видно из таблицы, прогибы имеют порядок толщины пла-
пластинки, поэтому интерес представляют результаты расчетов по
геометрически нелинейной теории.
При построении нелинейной теории в работе [2] учитывается
влияние углов поворота нормали на удлинение и сдвиги. Предпо-
Предполагается, однако, что углы поворота малы по сравнению с едини-
единицей. Сделанное допущение относительно малости углов поворота
позволяет сохранять в исходных соотношениях и уравнениях (в от-
отличие от нелинейной теории сильного изгиба) лишь те нелинейные
члены, которые связаны со значением нормального перемещения
w и значением производных от функции w. Таким образом, для
составляющих деформации имеем соотношения
_ диг 1 / duz \ _ur _ duz 1 (duz
dr 2 \ dr ) r ' dz 2
n „ ди2 диг диг duz
ere=0, eez=0, erz = — + — + — — . A.10)
А для внутренних усилий и моментов вместо системы A.3) мо-
можем записать
rf7; Тг - Тв
dr r
dNr Nr I d ( dw \
~j 1 1 T I r~T~-»r I = ~^>2i A. H )
dr r r dr \ dr J
dMr Mr-Me _N
dr r r'
Представим внутренние усилия через функцию F = F{r):
т =-— ъ = <pF
г dr' dr2
Тогда
du
dr ~ 2\dr) + Exhr \~dr~ ~ V~dr^J ~ El '
vdF\ v"Zl
dr2 r dr J
75

и с учетом соотношений A.10), A.11) можно получить систему
уравнений относительно трех функций <p{r), F(r), w{r):
d<p <p 12 d (dwdF\ _ 12p
dr r rh3 dr \ dr dr J
[dr3
h3
dr3
r dr2 Ei(r) dr dr2
lfw__ J^dw
r dr2 r2 dr
l_dF
r2 dr
2r\dr)
dr
d2w v dw~\ _
dr2 r dr I
A.12)
Решение уравнений A.12) с учетом граничных условий A.5)
определялось методом возмущений, подробно описанным в работе
[2]. Значения максимального прогиба пластинки, полученные по
нелинейной теории, при Ё\ = 12.2 МПа, q = 7, к = 1 представлены
в табл. 17.
Таблица 17
р, ммрт. ст.
w(S), мм
15
0.161
30
0.309
40
0.397
50
0.476
60
0.549
so
0.675
Видно, что уже при р = 40 мм рт.ст. значения прогиба, получа-
получаемые по линейной и нелинейной теориям, различаются на 9 %. С
ростом ВГД это различие увеличивается.
3.2. Расчет деформации решетчатой пластинки по
уточненной итерационной теории
Рассмотрим также расчет напряженно-деформированного со-
состояния решетчатой пластинки в рамках новой уточненной итер-
рационной теории деформаций анизотропных пластин, предложен-
предложенной в работе В.А.Родионовой, Б.Ф.Титаева, К.Ф.Черныха [49] и
основанной на следующих гипотезах:
76

поперечные касательные и нормальные напряжения распреде-
распределены по толщине оболочки по закону квадратной и кубической
параболы соответственно;
тангенциальные и нормальные составляющие вектора переме-
перемещения распределены по толщине оболочки по закону полинома со-
соответственно третьей и второй степени.
Новая итерационная теория позволяет построить модель дефор-
деформации решетчатой пластины, учитывающую повороты волокон, их
искривление, а также изменение их длины.
Следуя [49], введем для удобства обозначения
Пластина, как и прежде, находится под действием нормального
равномерно распределенного давления р. Следовательно,
Т™ =ге±2 = 0, <т; =-р", (т+ = -р+ при z = ±h/2.
В соответствии с принятыми гипотезами [49]
иг = и*Р0 + 7? Pi + в\Р2
где Р{ - полиномы Лежандра:
„ , , 1z „ . . Qz2 I ¦ . 20z3 Ъг
Граничные условия имеют вид
г = R w* = 0, к* = 0, 7* = 0,
г = 6 Тг = 0, Мг = 0, i\Tr = 0.
Представляя деформации и напряжения в виде линейных ком-
комбинаций полиномов Лежандра и используя выдвинутые гипотезы,
можно получить систему уравнений [49]
77

'dn'fl 1 dEA 1 ,_ 1 dv*
Г + ~d7 \r + Ег ~dV) " ^U ~ Ex dr °'
2 d ° 2 ) '
dr \r Ex dr ) r2 Exh2 \2r dr ° 2
+ N(r) +
dr ~ h +bG'hNr[r)+h dr'
где
h. , , hP h2P
Компоненты перемещений
v*h I du* и ,
1 6 dr ' ^ IOC 10 dr '
Определив из первых двух уравнений B.1) u*,7*i далее из тре-
третьего уравнения можно найти w*.
В табл. 18 представлены макимальные прогибы пластины при
Е\ — 12.2 МПа, q = 7, к = 1, полученные по линейной (столбец 1)
и нелинейной (столбец 2) теориям С.А.Амбарцумяна, а также по
новой итерационной теории (столбец 3) [49].
Интерес представляет сравнение результатов, полученных по
геометрически нелинейной теории С.А. Амбарцумяна и по уточ-
уточненной линейной теории, изложенной в [49].
78

Таблица 18
р,
мм рт. ст.
15
20
30
40
50
60
70
80
90
100
w(S), мм
1
0.164
0.219
0.328
0.438
0.547
0.656
0.766
0.875
0.985
1.094
2
0.161
0.213
0.309
0.397
0.476
0.548
0.614
0.675
0.730
0.782
3
0.137
0.183
0.274 -
0.366
0.457
0.548
0.640
0.731
0.823
0.914
При прогибах w, имеющих порядок 2h — 4ft, обе теории пока-
показывают близкие результаты — их разность не превосходит 8-9 %.
Наилучшее совпадение результатов наблюдается для значений про-
прогиба в центре пластинки w fa Zh. В этом случае результаты рас-
расходятся всего на 1—2 %.
Относительно модуля сдвига G'{r) для плоскостей, нормальных
к плоскости изотропии, было сделано предположение, что
С [г) = к * Е\{г). В монографии [2] отмечается, что отношение
Ei{r)/G'{r) значительно влияет на напряженно-деформированное
состоние анизотропной пластины, и с ростом Ei/G' это влияние
растет.
Таблица 19
V /w(S)
.. 10
20
30
40
Ei/G' = 1
0.091
0.183
0.274
0.366
Ei/G' = 2
0.116
0.232
0.348
0.464
Ei/G' = 3
0.141
0.281
0.422
0.563
Ex/G1 = 4
0.165
0.331
0.496
0.661
Имеющиеся в литературе данные позволяют предположить, что
модуль сдвига G для плоскости изотропии больше модуля сдвига
G' для плоскостей, нормальных к плоскости изотропии. (Случай
E\jG' P=s 2 соответствует равенству модулей сдвига для плоскости
изотропии и плоскостей, нормальных к плоскости изотропии.)
79

В табл. 19 приведены значения прогиба в центре пластики, по-
полученные по уточненной линейной теории [49] при Е\ = 12.2 МПа,
q = 7 и разных -^—у
Видно, что значение прогиба возрастает при увеличении сдви-
сдвиговой жесткости пластинки.
Все проведенные расчеты показывают, что наиболее существен-
существенными деформациями являются деформации сдвига вертикального
элемента.
На рис. 22 изображены вертикальные сечения каналов дефор-
деформированной пластины. Пять каналов выбраны через равные ин-
интервалы от центра пластины до ее края, центры каналов лежат на
одном из радиусов пластины.
Рис.22
Если "отверстия " расположены равномерно по всей пластине,
и модуль упругости можно считать постоянным, то в этом случае
прогиб деформированной пластины при давлении 50 мм рт. ст.
имеет форму, представленную на рис. 23.
Если число "отверстий " (или площадь, ими занимаемая) увели-
увеличивается при приближении к краю пластины, что характерно для
большинства людей [11,15—18,26,43], модуль упругости убывает
при приближении к краю и прогиб деформированной пластины
имеет форму, представленную на рис. 24.
Такое строение решетчатой пластины ведет к большим дефор-
деформациям сдвига и таким образом к большему нарушению зритель-
зрительных функций на периферии.
80

Проведенные расчеты показывают, что с возрастанием внутри-
внутриглазного давления нервные волокна подвергаются сдавливанию и
сдвигу. Причем деформации сдвига на два порядка больше, чем
деформации сдавливания.
В центре пластины деформации незначительны, они на два-три
порядка меньше, чем на краю. Наибольшие деформации каналов
наблюдаются на расстояниях от |Д до R от центра пластины. По-
Поэтому при возрастании внутриглазного давления атрофия нервно-
зрительных волокон, вызванная сдвигом волокон и их сдавлива-
сдавливанием, происходит в первую очередь вблизи края пластины.
3.3. Модель многослойной безмоментной
оболочки вращения
В работе [41] А.П. Нестеров и Е.А. Егоров описывают структуру
склеральной решетчатой пластинки следующим образом: "Решет-
"Решетчатая пластинка состоит из нескольких параллельно расположен-
расположенных листов плотной соединительной ткани, содержащей не только
коллагеновые, но и эластические волокна. Количество их инди-
индивидуально варьирует в широких пределах. Каждый лист имеет
отверстия круглой или овальной формы различных размеров, не-
некоторые из них имеют соединительные перемычки. Отверстия в
различных листах совпадают, образуя канальцы, по которым про-
проходят пучки нервных волокон... Самый задний лист плотнее и мас-
массивнее всех остальных."
В работах [69,73] было высказано предположение, что ущемление
нервных волокон в отверстиях решетчатой пластины происходит
из-за вызванного повышенным внутриглазным давлением смеще-
смещения составляющих ее пластин друг относительно друга.
Рассмотрим в связи с этим большие осесимметричные дефор-
деформации тонкой безмоментной многослойной оболочки вращения в
форме купола с упругими связями между слоями [7].
81

Расстоянием между слоями пренебрегаем, поэтому до деформа-
деформации положение оболочки выражается функциями
ro(so), z(sQ), <po(so), r'Q-cosip0, z'Q = sin<pa, ( )' = ^j-.
где .so, ro, Zo, <po — длина дуги, отсчитываемая от вершины ку-
купола, расстояние до оси вращения, вертикальная координата и угол
между нормалью к оболочке и осью вращения соответственно.
Рис.25.
Рис.26.
После деформации (рис. 25) форма оболочки описывается
функциями
d( )
r(s), z(s), <p(s), r-cos<p, z-=sin<p, ( )• = —.
cts
Предполагая, что слои могут проскальзывать друг по другу,
введем функции •Sg(s), к = 1,2, ...,п, указывающие дуговую ко-
координату точки s к-го слоя до деформации. Имеют место соотно-
соотношения
Г
- / as \k - r
4 =
к= 1,2, ...,п,
/О Л1 '0
где А* и Af — кратности удлинений срединной повехности &-го
слоя в меридиональном и окружном направлениях.
Уравнения равновесия А;-го слоя оболочки в проекциях на каса-
касательную и нормаль имеют вид
(гТ?)' - Т% costp+r (g^1 - gf) = О,
r7\V + Т% sintp-r (q*-1 - qk) = 0, C.1)
*= l,2,...,n,
82

где Tf и Т* — меридиональное и окружное усилия в к-м слое обо-
оболочки, отнесенные к единице длины после деформации, q\ и q's —
проекции интенсивности внешней нарузки на к-й слой, отнесенные
к единице площади после деформации и действующие с внутренней
(Яг~1 и 9з~1) и наружной {q\ и д?) стороны слоя (рис. 26).
Величины gj, q%, g™ и 9з определяются нарузками, действую-
действующими на оболочку в целом. Будем считать, что оболочка нахо-
находится под действием внутриглазного ( р\) и внутричерепного ( р?)
нормального давления. Тогда
9l = 0, ql=Pi, ff? = 0, q%=P2-
Величины q'l, q%, Jk=l,2,...,n — 1, — напряжения касательного
и нормального взаимодействия слоев оболочки. Будем считать,
что касательные напряжения являются заданными функциями от-
относительного смещения слоев:
Нормальные напряжения q? определяются из уравнений C.1):
Усилия Т* иТ*в C.1) являются заданными функциями кратно-
кратности удлинений слоев:
зависящими от упругих свойств слоев. Для оболочки глаза будем
считать, что выполняется закон Гука [30]:
е? = А?-1, t=l,2; *=l,2)...,n,
где hk — толщина к-ro слоя решетчатой пластины, Ер — при-
приведенный модуль упругости перфорированных слоев решетчатой
пластины.
Суммируя уравнения C.1), приходим к уравнениям равновесия
оболочки в целом
гТцр- + Т2 sin <р - г (pi - р2) = 0,
Г; = ?2=1 2?.J = 1.2,
83

где Tj обозначены суммарные (по слоям) усилия.
Таким образом, получена полная система 2п + 2 дифференциаль-
дифференциальных уравнений относительно неизвестных Ti(s), Sq(s), <p{s), r(s).
В безразмерных переменных
s=—, г* — раоиус крайней параллели]
г* )
эта система имеет вид
cos
^2« + 2 = cos 2/2П+1,
где
4:
п
i2 - fiTi + Ер > Лк I- 11, Ар=—
^ \Уп+к )
В вершине купола выполнены граничные условия
s* = г = у = z - О, Т* = T2fc
или в безразмерных величинах при s = 0
= г/гп+i = о,
Условие Тг = Tjf обеспечивает конечность решений в вершине ку-
купола.
84

Следует отметить, что асимптотический анализ In + 1-го урав-
уравнения системы C.2) показывает, что
У2п+1 -*• АР/2 при s -)¦ 0.
На краю пластины можно задать условия упругой заделки слоев
T? = ck(s-sk0) при r = rv C.4)
Параметры жесткости с^ могут быть различными для разных
слоев, и, судя по описанию структуры решетчатой пластинки
[15,41,42], последний "наружный" лист решетчатой пластинки име-
имеет наиболее жесткие граничные условия: cjy > Ск при к < N.
Напряжения касательного взаимодействия слоев оболочки при-
принимаем в виде
\ 4+1 - »S)(r - г.).
При численном интегрировании краевой задачи C.2)—C.4) ис-
используется метод пристрелки: задаются значения 7^@) = t^, и
получаемая задача Коши решается методом Рунге—Кутта до вы-
выполнения равентсва г = г», после чего величины tk определяются
из условий C.4).
Расчеты прводились для двух- и трехслойных пластин при раз-
различных параметрах Ск и о^- В широком диапазоне изменения
этих параметров при учете особенностей строения решетчатой
пластинки (последний "наружнии" слой является "более плотным и
массивным": ftjy > hk при к < N, а также более жестким [15,41,42])
получается, что наиболее сильные относительные смещения проис-
происходят на уровне последнего слоя, причем эти смещения увеличива-
увеличиваются к краю пластины. Это соответствует "специфическому на-
нарушению зрительных функций"— "нарушениям на периферии и в
парацентральной части поля зрения" [15,41,42] и тому факту, что,
как отмечается в монографии [42], " начальные дистрофические из-
изменения в нервных волокнах определяются на уровне заднего края
решетчатой пластинки склеры."

Указатель литературы
1. Аветисов С.Э., Мамиконян В.Р. Механические характеристики
корнеосклеральной оболочки глаза человека// Тезисы докл. 3-й Всесоюз. кон-
конференции по проблемам биомеханики. Рига, 1983. Т.1. С.83-85.
2. АмбарцумянС.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1987.
360 с.
3. Антелава Д.Н., Пивоваров Н.Н., Сафоян А.А. Первичная от-
отслойка сетчатки. Тбилиси: Сабчота Сакартвело, 1986. 160 с.
4. Артюхин Ю.П., К apace в С. Н. Действие кольцевых штампов на сфе-
сферическую оболочку// Тр. Всесоюз. конференции по теории оболочек и пла-
пластин. Казань, 1990. Т.1. С.3-8.
5. АртюхинЮ.П., КарасевС. Н. Применение уточненной теории обо-
оболочек при решении контактных задач// Теория оболочек с учетом поперечного
сдвига/ Под ред. К.З.Галимова. Изд-во Казанского ун-та, 1977. С.132-153.
6. Бауэр СМ., Волков В. В., КачановА.Б., Зимин Б. А. К постро-
построению биомеханической модели отслойки сосудистой оболочки глаза// Прикл.
мех. СПб., 1995. Вып. 9. С.149-155.
7. БауэрС.М., ТовстикП. Е., КачановА.Б. К вопросу о построении
математической модели развития глаукомы// Рос. журн. биомеханики. 1999,
№ 2 . С.27-28.
8. Болотин В.В. Деффекты типа расслоений в конструкциях из компо-
композитных материалов//Мех. композитных материалов. 1984, №2. С.239-255.
9. Б у гак о в И. И. Применение метода отслаивания в механике хрупкого
разрушения анизотропных композитов// Методы и приборы для механических
испытаний полимерных материалов. Изд-во Рост, ун-та, 1979. С.140-144.
10. ВасильченкоГ. С,Кошеле вП.Ф. Практическое применение меха-
механики разрушения для оценки прочности конструкции. М.: Наука, 1974.148 с.
11. Во до во зов A.M. Дискуссионные вопросы толерантного и интолерант-
ного внутриглазного давления при глаукоме// Матер, междунар. конферен-
конференции офтальмологов, посвященной 75 - летию профессора А.М.Водовозова. Вол-
Волгоград. 1995. С.108-113. (Труды Волгоград, мед. академии. Т. 50. Вып.1.)
12. Власов В.З. Обшал теория оболочек и ее приложения в технике.
Москва: Гостехиздат, 1949. 784 с.
13. Вол ков В.В. Глазной вакуум-синдром//Вестн. офтальмологии. 1978,
№5. С.45-48.
14. Волков В.В. К патогенезу и терапии послеоперационной отслойки
сосудистой оболочки//Вестн. офтальмологии. 1975, №5. С.31-36.
15. Вол ковВ. В., Су х ин ина Л. Б., У стиноваЕ.И. Глаукома, прегла-
укома и офтальмогипертензия. Л.: Медицина, 1985. 214 с.
16. Волков В.В., Журавлев А.И. Диск зрительного нерва при глау-
глаукоме// Офтальмолог, журн. 1982, №5. С. 272 -276.
17. Волков В.В. Существенный элемент глаукоматозного процесса, ие
учитываемый в клинической практике//Офтальмолог, журн. 1976, № 7. С.500-
504.
18. В о л к о в В. В. О разных подходах к диагностике начальной открыто-
угольной глаукомы//Офтальмолог, журн. 1989, №2. С.77-80.
86

19. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука,
1967. 984 с.
20. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.
С.419.
21. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Изд.-во
Казанского ун-та, 1975. 326 с.
22. Григолюк Э.И., КабановВ.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука,
1978. 360 с.
23. Григолюк Э.И., Фи л ынтинский Л. А. Перфорированные пла-
пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. 556 с.
24. ГундороваР.А., Малеев А. А., Южаков A.M. Травмы глаза. М.:
Медицина, 1986. 365 с.
25. БкимовА. С. Витрэктомия на "сухом глазу" в лечении посттравмати-
посттравматических отслоек сетчатки. Автореф. дис... канд. мед. наук. Красноярск, 1997.
19 с.
26. Журавлев А.И. Диск зрительного нерва и зрительные функции в
оценке глаукоматозного процесса. Автореф. дис... канд. мед. наук. Л. 1986.
15 с.
27. Запускало в И.В., Екимов А.С, Колесниченко В. А. Витреаль-
ная хирургия на "сухом глазу" : Метод, рекомендации. Томск, Изд-во Томск,
ун-та, 1996. 30 с.
28. Захаров В. Д.,ЛыскинП. В., Зайцев В.С. Новый метод хирурги-
хирургического лечения отслоек сетчатки D-стадии пролиферативной витреоретино-
патии, сочетанных с гигантскими разрывами и отрывами: комбинированная
аллоретинопексия//Офтальмохирургия. 1997, №4. С.3-11.
29. ЗиминБ.А., Бауэр СМ., Качанов А. Б. Деформации типа рассло-
расслоений в биокомпозитных конструкциях// Тезисы докл. научно-техн. семинара
"Механика и технология полимерных и композитных материалов и конструк-
конструкций". СПб., 1992. С. 55
30. Иомдина Е. Н. Биомеханические свойства склеры и возможноти ее
укрепления при миопии. Автореф. дис. канд. биол. наук. М., 1984. 24 с.
31. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М: Наука, 1974. 312 с.
32. Качанов Л.М. Разрушение композиционных материалов путем рас-
расслоения// Механика полимеров. 1976, №5. С. 918-922.
33. КрасновМ.Л., БеляевВ. С, АветисовЭ.С. и др. Руководство по
глазной хирургии. М.: Медицина, 1988. 624 с.
34. Лурье АИ. Пространственные задачи теории упругости. М: Госте-
Гостехиздат, 1955. 492 с.
35. Мешков В.В., Матвеев А.Б. Основы светотехники. В 2 ч. Ч.2.,
Физиологическая оптика и калометрия. М.: Энергоатомиздат, 1989. 431 с.
36. Миронов А. Н., СеменовБ.Н. Математическое моделирование эпис-
клерального пломбирования глаза //Прикл. мех. СПб., 1995. Вып. 9. С.
155-160.
37. МишинаЭ.Н. Расчет напряженно-деформированного состояния орто-
тропной сферической оболочки при опоясывающей нагрузке// Вестн. СПбГУ.
1999, №4. С. 109-113.
87

38. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.:
Изд-во ЛГУ, 1978. 181 с.
39. Мустафина Ж.Г., Герник В.В. К определению глаукоматозной
экскавации зрительного нерва//Офтальмолог, журн. 1982, №5. С.277-278.
40. Нестеров А.Г., Бунин А.Я., Кациельсон Л.А. Внутриглазное
давление. Физиология и патология. М.: Наука, 1974. 381 с.
41. Нестеров А.Г., ЕгоровЕ.А. Глаукоматозиая атрофия зрительного
нерва.// Актуальные проблемы офтальмологии/Под ред. Краснова М.М., Не-
Нестерова А.П., Дыбова С. М.: Медицина, 1981. С. 22-53.
42. Нестеров А.Г. Глаукома. М.: Медицина, 1995. 256 с.
43. Нестеров А. Г., Егоров Е. А. Клинические особенности глаукома-
глаукоматозной атрофии зрительного нерва// Вестн. офтальмологии. 1978, №1. С.
5-8.
44. Новож иловВ.В. Теория тонких оболочек. Л.: Су дпромгиз, 1962.431с.
45. Охрименко И.В. Способ предупреждения развития цилиохориои-
дальной отслойки при аитиглаукоматозных операциях// Офтальмолог, журн.
1999, N 1. С.59-61.
46. Пивоваров Н. Н., БагдасароваТ. А., ГлуходедС.В., Привив-
Прививков а Б. А. Хирургия отслоек сетчатки с применением силиконовых имплан-
имплантантов: Метод, рекомендации. М.: ВНИИ глазных болезней, 1983. 13 с.
47. Погорел о в А. В. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек.
М.: Наука, 1986. 93 с.
48. Попов Г.Я. О контактных задачах для оболочек и пластин// Труды
Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. Кутаиси, Тбилиси: Мецние-
реба. 1975. Т.1. С. 244-250.
49. Родионова В. А., ТитаевБ. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория
анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб.уи-та. 1996.280с.
50. Савицкая Н.Ф., Винецкая М.И., ИомдинаЕ.Н. Возрастные
изменения биохимических и биомеханических показателей склеры человека в
норме и при миопии//Вестн. офтальмологии. 1982, Jf*4. С. 26-29.
51. Савицкая Н.Ф., Вине цкая М.И., ИомдинаЕ.Н. Связь деформа-
тивно-прочностных свойств склеры с некоторыми показателями ее биомехани-
биомеханического состава// Тезисы докл. 3-й Всесоюз. конференции по проблемам
биомеханики. Рига. 1883. Т.1. С.113-114.
52. С аул гозис Ю. Ж. Особенности деформирования склеры. Механика
композитных материалов. 1981. №3. С. 505-514.
53. Саул гозис Ю. Ж., ВолколаковаР. Ю. Роль механоструктурных
особенностей фиброзной оболочки глаза и изменения ее формы// Современные
проблемы биомеханики. Рига.: Резекие, 1983. С. 180-202.
54. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судпромгиз, 1990. 295 с.
55. Сомов Е. Е. Введение в клиническую офтальмологию. СПб.: Изд-во
ППМИ, 1993. 198 с.
56. Старков Г. Л. Патология стекловидного тела. М.: Медицина, 1967.
200 с.
57. Товстик П. Е. Бифуркация осесимметричного равновесия оболочек
вращения при растяжении// Вестн. СПбГУ. 1995, N 1. С.106-111.
л 58. ТовстикП.Е. Устойчивость тонких оболочек. М.:Наука, 1995.318с.
88

59. ТовстикП.Е. Свободные колебания тонкого сферического купола//
Изв. АН СССР. Механика. 1965, №6. С.Ш-113.
60. Трояновский Р. Л., ШишкинМ. М., Михайлов К. Г. Способ дози-
роваииого хирургического лечения осложненных форм отслоек сетчатки глаза//
Повреждение органа зрения. Л.: 1989. С.160-165. (Труды воеи.-мед. акад.
Т.226.)
61. Трояновский Р.Л. Витреоретинальная микрохирургия при повре-
повреждениях и тяжелых заболеваниях глаз. Автореф. дис... докт. мед. наук.
СПб.: С.-Петерб. воен.-мед. академия. 1994. 51 с.
62. Филатов СВ. Отслойка сетчатки. М.: Медицина, 1978. 116 с.
63. Шевелев В. Б., Бабанина Ю. Д. Оперативное лечение сетчатой обо-
оболочки. М.: Медицина, 1965. 144 с.
64. ШишкинМ. М. Современная хирургия отслоек сетчатки: Метод, по-
пособие. М. Изд-во МВМУ, 1996. 38 с.
65. Ш и ш к н и М. М. Объемно-количественная хирургия осложненных форм
отслоек сетчатки. Автореф. дис... каид. мед. наук. СПб. 1992. 29 с.
66. Bauer S.M., TovstikP.E., К at chano v А. В., On the stability of the
eye shell under encircling band// Technische Mechanik. 1995, H.3,B.15. S.183-190.
67. Battaglioli J.L., Kamm R.D. Measurements of the compressive prop-
properties of scleral tissue// Investigative Ophthal. Vis. Sci. 1984. Vol.25. P.59-65.
68. D о n n e 11 L. H. Beams, Plates and Shells. N.-Y. McGraw-Hill, 1976. 774 p.
69. Emery J.D., Landis D., Paton D, Bohiuk M., Caaig J.M. The
lamina cribrosa in normal and glaucomatous human eyes// Trans. Ac. Amer.
Ophthalmol. Otol. 1974. Vol. 78, №2. P.290 - 297.
70. Friberg T.R., Fourman S.B. Scleral buckling and ocular rigidity//
Clinical ramifications. Arch. Ophth . 1990. Vol. 108, N 11. P. 1622-1627.
71. LevyN. S., CrappsE. E., BonneyR. С Displacement of the Optic Nerve
Head. Response to Acute Intraocular Pressure Elevation in Primate Eyes// Arch.
Ophthalmol. 1981. Vol. 99, Dec. P.2166 - 2174.
72. L i n с о f f H. А., К г е i s s i g I. The Treatment of Retinal Detachment Without
Drainage of Subretinal Fluid// Trans. Am. Acad. Ophthal. Otolaryng. 1972.
Vol.76. P.1221- 1223.
73. Lindsey A. Aetiology of field loss in chronic glaucoma// Canadian J.
Ophthalmology. 1971, N 6. P.212 -216.
74. MotolkoM., Drance S.M. Features of the Optic Disk in Preglaucoma-
tous Eyes// Arch. Ophthalmol. 1981. Vol. 99, Nov. P.1992 - 1994.
75. Quigley H.A., Addicks E.M. Regional Differences in the Structure of
the Lamina Cribrosa and Their Relation to Glaucomatous Optic Nerve Damage//
Arch. Ophthalmol. 1981. Vol. 99, Jan. P.137- 143.
76. Quigley H. A., Add icks E.M., Green W.R., Maumenee A.E. Op-
Optic Nerve Damage in Human Glaucoma. The Site of Injury and Susceptibility to
Damage// Arch. Ophthalmol. 1981. Vol. 99, Apr. P.635 - 649.
77. Quigley H. A., Addicks E.M. Quantitative Studies of Retinal Nerve
Fiber Layer Defects// Arch. Ophthalmol. 1982. Vol. 100, May. P.807 - 814.
78. Quigley H.A., HohmanR.M., Addicks E.M., Massof R.W., Green
W.R. Morphologic changes in the Lamina Cribrosa correlated with neural loss in
open-angle glaucoma//American J. Ophtalmology. 1983. Vol. 95, P.673-691.

79. Timothy W. Olsen, MD, Sarah Y. Aaberg, Dayle H. Geroski,
PhD, and Henry F. Edelhauser, PhD. Human Sclera: Thickness and surface
Area// American J. Ophtalmology. 1998. Vol.125. №2. P.237-241.
80. YanD.B., ColomaF. M., Me t h ее t rairut A., Trope G.E., He at hco te
J.G., Ethier C.R. Deformation of the lamina cribrosa by elevated intraocular
pressure// British Journal of Ophthalmology. 1994. Vol. 78. P.643 -648.

Оглавление
Предисловие 3
Введение 4
Глава 1. Математические модели определения напряженно-
деформированного состояния оболочки глаза в не-
некоторых операциях лечения отслойки сетчатки 8
1.1. Напряженно-деформированное состояние наружной
оболочки глаза при циркляже 11
1.2. О механических характеристиках оболочки глаза 19
1.3. Циркляж узкой лентой 20
1.4. Другие способы решения 26
1.5. Расчет напряженно-деформированного состояния глаза
по трехмерной теории упругости 31
1.6. Об устойчивости оболочки глаза при циркляже 39
1.7. Напряженно-деформированное состояние оболочки глаза
с учетом ортотропии 46
1.8. О модели эписклерального пломбирования глаза 49
Глава 2. О механизмах возникновения отслоения
сосудистой оболочи глаза 52
2.1. Скачкообразное отслоение 52
2.2. Удельная работа разрушения 54
2.3. Простейшая модель отслоения сосудистой оболочки 57
2.4. Послеоперационная отслоения сосудистой оболочки 60
2.5. Линейная модель вакуум-синдрома 62
Глава 3. О математической модели развития глаукомы 67
3.1. Деформация решетчатой пластинки .¦ 68
3.2. Расчет деформации решетчатой пластинки по уточненной
итерационной теории 77
3.3. Модель многослойной безмоментной оболочки вращения .... 81
Указатель литературы 86