И. В. ВИШНЕВСКИЙ, А. П. ШИРОКОВ, В. В. ШУРЫГИН
пространства
над
алгебрами
Учебное пособие
Ю»888Ц^И1ЯИ1<ШШШ
lllllll
ИЗДАТЕЛЬСТВО
КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1985

Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Казанского университета
Научный редактор проф. А. П. Η орден
Учебное пособие вводит читателя в круг простейших
понятий, связанных с дифференциальной геометрией пространств над
алгебрами (в основном коммутативными). В нем даются сведения
об алгебрах и функциях над алгебрами, о геометрии биаксиальных
и бипланарных пространств. Излагаются основные положения
теории дифференцируемых, многообразий над алгебрами; в виде
иллюстрации рассмотрены обобщенные унитарные пространства,
указаны приложения геометрии пространств над алгебрами к
линейчатой геометрии. Рассмотрены также приложения локальных
алгебр4 к геометрии касательных расслоений.
Рекомендовано Министерством высшего и среднего
специального образования СССР для использования в учебном процессе
студентами высших учебных заведений, обучающимися по
специальности „Математика".
1702040000-089 ,
12—85
075(02)-85
© Издательство Казанского университета, 1985 г.

ВВЕДЕНИЕ
Не будет преувеличением сказать, что
значительным вкладом для исследований по геометрии
пространств над алгебрами в Казанском университете
послужили труды Н. И. Лобачевского. Уже в первой
своей работе [111] он показал, что многие формулы
его геометрии могут быть получены из формул
сферической тригонометрии, если приписать радиусу
сферы чисто мнимое значение. Позднее, в 1895—
1899 гг., изучая геометрию и механику евклидова
пространства и трехмерных неевклидовых пространств,
А. П. Котельников раскрыл роль алгебр дуальных,
комплексных и двойных чисел (а также, кватернионов
и бикватернионов) для теории винтов и линейчатой
геометрии этих пространств (см. [94], [95], [195]).
Выяснилось, что изучение трехмерного евклидова
векторного пространства над одной из* трех указанных
алгебр эквивалентно изучению теории винтов, т. е.
фактически алгебры Ли группы движений евклидова или
неевклидова пространства (см. [195], [288]). Эти
взаимосвязи детально изучал также немецкий геометр Э. Шту-
ди [340]. Профессор Казанского университета Д. Н. Зей-
лигер, выступавший оппонентом на защитах обеих
диссертаций А. П. Котельникова, систематически
использовал геометрию дуальной сферы для изучения
линейчатой геометрии и кинематики евклидова
пространства [67].
Значительный вклад в геометрию пространств над
алгебрами был внесен работами профессора П. А.
Широкова. В 1925 году в работе [285] им был введен
класс так называемых Α-пространств, в дальнейшем
переоткрытых на другом пути Э. Келером [322] и
получивших название келеровых пространств. В работе
[286] П. А. Широков исследовал симметрические
пространства этого класса, уделив особое внимание три-
&

тонометрии геодезических треугольников. Им же
осуществлено дальнейшее развитие теории винтов
неевклидовых пространств, вплоть до формул
преобразования винтовых интегралов [288]. Заметим, что
простейшие* классы комплексных пространств с
эрмитовой метрикой исследовались задолго до появления
общей теории келеровых пространств (А-пространств)
Фубини [314] и Штуди [341] (см. также [307]). П. К. Ра-
шевский в 1948 году ввел гиперболический аналог
А-пространств ([196}, [199]).
Ученик П. А. Широкова В. Г. Копп построил
теорию винтов в 3-мерном ~ пространстве Лоренца ([91],
[92], [93]).
В послевоенные годы исследования по геометрии
пространств над алгебрами в Казанском университете
продолжены А. П. Норденом ([134]—[167]). Вначале
его интересы были сосредоточены на геометрии биак-
сиальных и биаффинньпс пространств; полученные здесь
результаты нашли применения к вопросу о
комплексном представлении инвариантов 4-мерных римановых
пространств, найденных учеником П. А. Широкова
П. И. Петровым [28], и позволили дать естественное
геометрическое обоснование той классификации полей
тяготения, которую предложил также ученик П. А.
Широкова, впоследствии академик АН УССР А. 3.
Петров ([150], [181], [182]). В дальнейшем А. П. Норден
обратился к более общим многообразиям со
структурами, связанными с алгебрами, и, в частности,
обнаружил важные приложения теории А-пространств к
линейчатой геометрии ([151], [158]). Казанские
ученики А. П. Нордена (Г. С. Бархин, Р. Г.- Бухараев,
В., В. Вишневский, И. В. Зуев, Э. Г. Нейфельд,
А. С. Подковырин, Н. В. Талантова, В. Д. Третьяков,
М. Е. Цыпкин, А. П. Широков, В. В. Шурыгин и др.)
тоже разрабатывали различные "вопросы геометрии
пространств над алгебрами (см. [1]—[3], [8] —[11], [14],
[20], [21], [22], [28]-[51], [58], [62], [63], [68], [69], [90],
[116], [132], [133], [183], [184] —[191], [208], [215] - [220].
[230], [231], [244], [246], [251] ^ [284], [291] - [299]).
Теории пространств над алгебрами посвящены и
работы московского геометра Г. И. Кручковича ([98]—
[106]) и С. Л. Певзнера ([178]—[180]).
Во многом лод влияцием А. П. Нордена к
геометрии пространств над алгебрами обратился известный
4

советский геометр Б. А. Розенфельд [207]. Им была
развита теория образов симметрии, находящаяся в
непосредственной связи с теорией симметрических
пространств и приводящая к большому числу конкретных
типов пространств над алгебрами (см. [203]). В
настоящее время ученики Б. А. Розенфельда
продолжают под его руководством дальнейшее развитие
этих идей/**
Изч иностранных монографий, излагающих основы
геометрии комплексных многообразий, отметим книги
Кулиджа [308],. Э. Картана [306] и Яно [349.].
Глобальные проблемы келеровых многообразий изложены в
переводной монографии А. Вейля [26] (см. также [304]).
Геометрическим аспектам теории алгебр
посвящена книга В. Бенца [305].
Перспективной областью приложений геометрии
пространств над алгебрами является интенсивно
развивающаяся в последние десятилетия теория
дифференциально-геометрических структур на многообразиях
([15], [82]-[86], [168] —[171], [193], [266], [271], [349]).
Многие'из этих структур либо непосредственно
связаны с алгебрами, либо возникают на
подмногообразиях пространств над алгебрами.
Особенно тесные связи с алгебрами (а именно
с локальными алгебрами) возникают в
дифференциальной геометрии высшего порядка, что было показано
В. В. Вагнером [23] (см. также статьи А. Вейля [348]
и А. Моримото [330]). В последние годы В. В. Вагнер
занимался перенесением этих идей на теорию
банаховых многообразий (см. [24]), имея в виду новые
геометрические приложения.
Настоящее учебное пособие имеет своей целью
ввести читателя в круг простейших понятий,
связанных с дифференциальной геометрией пространств над
алгебрами. Оно состоит из девяти глав. В первой
главе даются основные сведения об алгебрах. Вторая
глава посвящена биаксиальным и бипланарным
пространствам. Хотя здесь используются понятия, ς
большей общностью излагаемые в третьей главе, она
помещена перед третьей главой, так как геометрия би-
(*) Под влиянием Б. А. Розенфельда была написана
докторская диссертация М. А. Джавадова о неевклидовых геометриях
над алгебрами (1957 г.).
5

аксиальных и бипланарных пространств наиболее
проста и позволяет лучше осознать смысл последующих
обобщений. В третьей главе даются основные понятия
теории модулей над алгебрами. В четвертой главе
сообщаются сведения о голоморфных функциях над
алгебрами, поскольку понятие голоморфности
существенно используется в теории дифференцируемых
многообразий над алгебрами. Эта теория излагается в
пятой главе; особое внимание уделено .многообразиям
с аффинной связностью. В шестой главе говорится
об унитарных пространствах, нашедших наиболее
существенные применения в геометрии. Седьмая глава
посвящена структурам в касательных расслоениях,
связанным с локальными алгебрами. В восьмой главе
показывается, как понятия геометрии пространств над
алгебрами могут быть использованы в теории
многообразий с аффинорными структурами. Наконец, в
-девятой главе рассмотрены двумерные пространства над
алгебрами и указаны их приложения к линейчатой
геометрии.

ГЛАВА 1
АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Настоящая глава содержит необходимые для
последующего материала сведения из теории
ассоциативных коммутативных конечномерных алгебр с
единицей и имеет отчасти реферативный характер. Более
подробное и общее изложение затрагиваемых вопросов
можно найти в учебниках и монографиях, указанных
в списке литературы [17] — [19], [25], [59], [79], [80],
[109], [210], [247]. Факты, приводимые без подробных
доказательств, могут рассматриваться в качестве
упражнений·
§ 1. Определение алгебры. Примеры
Определение 1.1. Линейное пространство- 91 над
полем действительных чисел R называется
алгеброй, если на 91 задана операция умножения —
билинейное отображение о : ?1 χ Ш —*91.
Если α, β £ 91, то произведение а и β будем обо*
значать α ο β или просто αβ. Билинейность
отображения о можно тогда записать следующим
соотношением:
{аа. + Ь$) о (<?γ + da) = ас (α ο γ) + be (β ο γ) +
+ ad (α ο σ) + bd (β ο σ)
для ау b, £, d£R; α, β, γ, σ£9ί.
Алгебра 91 называется конечномерной, если
конечномерно исходное линейное пространство 91,
равномерность этого пространства будем называть и
размерностью алгебры.
Алгебра 91 называется ассоциативной, если
операция умножения ассоциативна, то есть, при
любых α, β, τ£9ί
(αβ)γ = α(βτ), (1.1)
7

Алгебра 31 называется коммутативной, если
операция умножения коммутативна, то есть при
любых α, β £31
αβ^βα. (1.2)
^Рассмотрим конечномерную алгебру 31. Пусть
dim 31 -/?г, иногда будем обозначать это так: 3lm .
В тя^т можно выбрать базис {/Y, /2, ..., /J = {/„}
(а, Ь, с, ... = 1, яг) и задавать любой элемент αζ3ί
координатами z = aafa (по одинаковым индексам,
стоящим на различных уровнях, всегда предполагается
суммирование). Произведение любых элементов в 3im
сводится к произведениям элементов базиса
Набор разложений произведений fafb по базису
fafb-fabfc (1-3)
будем называть таблицей умножения в 3lm.
Коэффициенты этих разложений fab£R называются
структурными константами алгебры, они являются
координатами тензора, соответствующего билинейному
отображению о. Зная таблицу умножения (1.3), можно
вычислять произведение σ = αβ в координатах
Тензор чсаь будем называть структурным тензором
алгебры.
Предложение 1.1. Алгебра %т ассоциативна тогда
и только тогда, когда ее структурный тензор
удовлетворяет условиям "
называемым условиями ассоциативности.
Доказательство этого предложения немедленно
следует из соотношений (1.1), записанных в
координатах.
Аналогично, записывая в координатах соотношение
(1.2), получим
Предложение 1.2. Коммутативность алгебры- 3lm
эквивалентна симметричности структурного тензора по
нижним индексам
8

Условия (1.5), наложенные на структурные
константы алгебры, называют условиями
коммутативности.
Алгебра *31 называется унитальной, если в %
существует нейтральный относительно операции
умножения элемент δ, то есть такой, что δα =· αδ = α при
любом α ζ 9ί. Этот элемент δ называют главной
единицей алгебры или просто единицей. Иногда
будем отождествлять δ с 1ζ/?.
Примеры алгебр.
1. R (k) — алгебра квадратных матриц размера k X к
с действительными элементами с обычными
операциями' сложения и умножения матриц и умножения
матрицы на число.
2. R[k] = R\xl9 x2j ..., xk\ ~ алгебра многочленов
от k переменных с действительными коэффициентами
с обычной операцией умножения многочленов.
3. /?[[£]] =R [[х{, х2, ···, Хд,]] — алгебра
формальных степенных рядов от k переменных с
действительными коэффициентами. Обозначим ρ = (рг \ р2, ...,
pk), где р1, р2, ..., pk — целые неотрицательные
числа, \р\ = р[ + р2 + ··· +Pk> хр = χΡχχζ2 ...xpkk.
Элементами алгебры /?[[&]] являются формальные степенные
сю
ряды ^архр, где a £R. Операции сложения, умноже-
ния и умножения на число определяются
соотношениями
со со со
Σ арх? + Σ*/=Σ iap + b.)x»;
Ιρ\·=0 Ρ |ρί=0 Ρ /ρ|=0 Ρ Ρ
CO CO CO
(Σ αρχή (Σ V?) = Σ сгхГ,
где
lpl=0 P |g|=0 9 - ' И=0
cr= Σ apb
P+q=r
a
(Pi. />2. ···, Λ) + (4ι, Яг qk) =
— (Pi + ii> Р2 + Я2', -, Pk + ?*);"
00 00
ЬЪ αρχΡ= Σ(&αρ)χΡ.'
\Pl=0 Ρ |ρ|=0 Ρ

4. R(i) = С — алгебра комплексных чисел а + Ы.
Размерность этой алгебры раана 2. В базисе fl = lt
/2 = i таблица, умножения имеет вид
1
i
1
1
i
i
i
— 1
Структурный тензор имеет следующие координаты:
Ϊ11 ~ Tl2 == Ϊ21 ~ * > Ϊ22 == *' Τϊΐ = Τΐ2 == Ϊ21 ~ Ϊ22 == ^'
5. R (е) — алгебра двойных чисел а + be. dim R (e) =
= 2. В базисе fx = 1, /2==е таблица умножения имеет
1
е
1
1
е
е
е
1
Структурный тензор имеет следующие координаты:
Ύ*· — «у^ — */2 —. м1 1 · <γ2 — ν* — ν*· — ν* — О
ill Ϊ12 121 »22 — А» 111 112 121 »22 w#
6. R (ε) — алгебра дуальных чисел а + be. dim R (ε)=
— 2. В базисе /i = l, ft=^s таблица умножения имеет
1
.ε
1
1
ε
ε Ι
ε Ι
0 j
Структурный тензор имеет следующие координаты:
Til ~ Ϊ12 == Ϊ21 == ^' ?22 = Тп === Ϊ12 ~ ?21 == Т22 ~ ^#
7. /? (/, у, k) = H — алгебра кватернионов а + Ы +
+ cj + dk. dim #=4. В базисе 1, i, у, Л таблица
умножения имеет вид
\.'1 = 1.\=ц 1 -у =у · 1]=у; 1·£ = £·1=£;
i*='j2 = k2s= — 1; ij = —ji = k; jk= —kj=i;
ki = —ik = j.
8. Ж*"1""1) — алгебра антициклических чисел.
dim/? (i™-1)-/я.
Базис этой алгебры составляют степени i° = 1, il = i,
j2, ..., im~l ее элемента i, который удовлетворяет
соотношению im= —1.
10

9. R (em ) — алгебра циклических чисел.
dlmR{em~1) = m.
Базис алгебры составляют степени е°= 1, е1 = е, е2, ...,
ет~1 ее элемента е, который удовлетворяет соотно*
шению ет = 1.
10. /?(sw_1) — алгебра плюральных чисел.
dim Л (ε™-1) = т.
Базис алгебры составляют степени ε°= 1, ε1 =ε, ε2, ...,
гт~~1 ее элемента ε, который удовлетворяет
соотношению ε™= 0.
Упражнение 1. Составить таблицу умножения и
выписать структурные константы алгебры R (е) в
базисе fx = -L(l +е), /2=±-(1-е).
Упражнение 2. Составить таблицы умножения и
выписать структурные константы для алгебр,
рассмотренных в примерах 8—10 при т = 3.
Упражнение 3. Пусть ЭД — унитальная
ассоциативная алгебра размерности т. Рассмотрим множество
9ί(β) квадратных матриц размера kxk с элементами
из алгебры 91. Введем операции сложения, умножения
и умножения на действительное число для матриц
из Щ&) так же, как для обычных матриц. Показать,
что ζ& (k) — унитальная .ассоциативная алгебра, и
вычислить ее размерность.
§ 2. Ассоциативные коммутативные алгебры
В этом параграфе ограничимся рассмотрением
алгебр, являющихся ассоциативными и коммутативными.
Отличный от нуля элемент α ^лгебры %т
называется делителем нуля, если существует р(~ЭДш, βτ^Ο,
такой, что αβ = 0. Элемент а£ЭДт, не делящий нуль
и не являющийся нулем, называется регулярным.
Если α £ %т — регулярный элемент, то уравнение ах = ф
при любом P^3lm однозначно разрешимо.
Действительно, при любом е φ 0 и αε φ 0, что в координатах
можно записать так ьачсаЬгЬ/сф0> отсюда следует, что
матрица ||ααΤ^ΙΙ имеет ранг равный т, поэтому систе·*
ма линейных уравнений
«Vе*-^
и

имеет единственное решение хь==кьш Полагая π = π6/^,
получим απ = β.
Наличие в алгебре %п хотя бы одного регулярного .
элемента α влечет наличие единицы. Единицей будет
решение х=Ь уравнения αχ = α. Для произвольного
элемента β = απ £ 9im имеем δβ = δ (απ) = (δα) π '= απ = β.
Каждый регулярный элемент α алгебры 91 m обладает
обратным а"1. Этот обратный элемент является
решением уравнения ах = Ъ. Поскольку произведение
регулярных элементов не может делить нуль, то имеет.
место
Предложение 2.Ϊ. Регулярные элементы алгебры
%т образуют группу G (%т) относительно операции
умножения.
Легко доказывается следующее
Предложение 2.2. Алгебра %т унитальна тогда и
только тогда, когда существует набор чисел Ьа (а=1 ,т)
такой, что
^ = »Но,с^· (2Л)
Условия (2.1) называют условиями униталь-
ности алгебры 9lm.
Упражнение 4. Указать вид элементов,
принадлежащих группам О (R (ε)) и G (R (е)).
Определение 2.1. Линейное подпространство 93cz9i
называется подалгеброй, если при любых α, β£93
выполняется αβ£93. При этом 93 является алгеброй
относительно операции умножения, определенной в 91.
Подалгебра 93cz9l называется идеалом, если для
любого α £91 и любого β ζ 93 выполняется αβ(-93.
Определение 2.2. Пусть 91 и 93 — алгебры.
Линейное отображение φ: 91 —+ 93 называется г о мо м о р-
физмом алгебр, если для любых α, β£9ί
выполняется φ(αβ)=^ φ (α) φ (β). Образ φ (91) при гомоморфизме
является подалгеброй в 93. Если φ (91) = 93, то φ
называется эпиморфизмом. Если при α Φ β также
φ(α)=^=φ(β), то гомоморфизм φ называется
мономорфизмом. Гомоморфизм, являющийся - эпиморфизмом
и мономорфизмом, называется изоморфизмом.
Если φ : 91—> 93 — изоморфизм, то алгебры 91 и 93
называются изоморфными. Это обозначается так:
91 = 93. Изоморфизм φ:91—»91 называется
автоморфизмом. Если квадрат φ2 = φ ο φ автоморфизма φ
12

является тождественным изоморфизмом, то
автоморфизм φ называется инволютивным. В случае уни-
тальных алгебр 31 и · 33 гомоморфизм φ называется
унитальным, если он переводит единицу алгебры 31
в единицу алгебры 33.
Любая алгебра 31 обладает двумя
тривиальными идеалами: идеалом, совпадающим со всей алгеброй,
называемым ед и н и чным, и идеалом, состоящим из
.одного нуля, называемым нулевым. Если 95! и 932—
идеалы в 31, то сумма 931 + 332 линейных
подпространств и пересечение З^П^ также будут являться
идеалами в 31. Произведением идеалов З^ЗЗг
называют линейную оболочку множества, составлен*·
ного из произведений р^2, где Р^З^, а β2£332. Легко
проверяется, что $VB2 ~~ иДеал в % причем
ад, с », η »2-
Сумма идеалов SBj ф 932 называется прямой, если·
95ιΠ*2 = 0. При этом и 951»2 = 0.
Пусть 9ft cz 31 — некоторое подмножество.
Наименьший идеал 33 с: 31, содержащий это подмножество,
называемся идеалом, порождаемым по дм но-,
жеством ЗЛ. Этот идеал является линейной
оболочкой множества, состоящего из элементов множества
Ш и всевозможных произведений элементов
множества 3ft на элементы алгебры 31. Идеал, порождаемый
одним элементом, называется- главным.
Аннулятором подмножества 9Jicz31 называется
следующее подмножество в 31:
%Апп(Щ = {αζ^ΙΙαα — Ο для любого ос£ЗЯ}.
Легко показать, что Ann (9Jt) — идеал в 31.
Пусть 93 с 31 — идеал, подмножество
α+ 93- {σ£31/σ = α + β, где β £ 93}
называется классом вычетов по идеалу 93,
порожденным элементом -а. Класс вычетов порождается
любым своим элементом, поэтому два класса вычетов
α + 95 и γ + 93 либо имеют пустое пересечение, либо
совпадают. Если ο^ζα + 93, а ϊι€ϊ + 3$> то «! + γι ζ
6 (α + τ) + 35 и α1γ1 ζ'αγ + 33. Кроме того, при любом
a£R aa^aa + Ъ. Это позволяет на множестве
классов вычетов, обозначаемом 31/93, ввести операции сло-
13

начти, умножения и умножения на действительное
число. Положим
(а | 4J) + (γ + ©) = (а + Т) +_93, (а + ») (Т + 5В) = ат + 93,
а (а + 93) = аа + 33.
Не трудно проверить, что 91/93 с введенными
операциями является алгеброй над полем /?. Эта алгебра
называется факторалгеброй алгебры 91 по
идеалу 93. 91/93 ассоциативна и коммутативна. Если 91—
унитальная алгебра с единицей δ, то 91/33 — униталь-
ная алгебра с единицей Δ = δ + 93. Отображение φ : 91—*
—> 91/93, определяемое формулой φ (α) ^ α+ 93, является
эпиморфизмом.
Предложение 2.3. Пусть φ :91 —>93 — эпиморфизм
алгебр, тогда ядро этого эпиморфизма Кегср = {а£
£ 9ί/φ (<*)== 0 £ 93} — идеал в 91 и 9i/Ker<p^93.
Доказательство, Кег φ — линейное подпространство,
как ядро линейного гомоморфизма φ. Если α ζ 91,
β £ КеГ φ, ΤΟ φ (αβ) = φ (α) φ (β) = О, ПОЭТОМУ αβ£ΚβΓφ.
Λ
Отображение φ : 9l/Ker φ —>93, определенное формулой
φ (α + Кег φ) = φ (α), будет являться изоморфизмом.
Рассмотрим алгебру 91 размерности т и идеал
93cz9l размерности k<m. В этом случае базис \/а]
(а=1, т) в алгебре 9ί можно выбрать так
[fa) - 1/л 9 /J {a =TTk; ~Ъ = Λ+1, т),
а а
л
чтобы элементы {/л} (a=l, k) составляли базис
а
идеала 93. Классы вычетов £_=/_+93 будут состав-
а а
лять базис факторалгебры 9ί/93, причем е-.е-= γ£.-£-, где
х г г ι а Ь аЬ с
㣫 —часть структурных констант алгебры 91 в бази-
се {/л» /-}· Отсюда, в частности, следует, что
а а
dim 91/93 = яг — k.
Пример. Рассмотрим алгебру многочленов R[x]
от одной переменной. Всякий многочлен g ζ/?[·*]
порождает главный идеал, который обозначим gR[x].
Этот идеал состоит из всех многочленов, кратных g.
Пусть степень degg многочлена g равна т. Фактор-
14

алгебра R[x]/gR [х] называется полиномиальной
..алгеброй. Поскольку каждый класс вычетов h + gR [x]
может быть задан многочленом h степени меньшей т,
и такое задание однозначно, то полиномиальную
алгебру, определяемую многочленом g, можно
рассматривать как линейное пространство многочленов
степени меньшей т со следующей операцией умножения:
h{ о h2 = hs, где А3 — остаток от деления
произведения многочленов hlh2 на g.
dimR [x]/gR [x] = degg = m
Упражнение 5. Показать, что алгебры Z?(im_1),
R(em~~l), R(sm~~l) являются полиномиальными.
Определение 2.3. Унитальная конечномерная
алгебра %т называется фробениусовой, если существует
невырожденная билинейная функция q :5l χ 51—► /?,
удовлетворяющая следующему условию
ассоциативности:
Я («Р. °) = Я (а> И (2.2)
при любых α, β, σ£1.
Записывая условие (2.2) в координатах, получим
Свертывая последнее соотношение с Ьь (ЪЬ/Ь = Ь=1)
и используя условия унитальности, получаем
Яса = РаГса> Ра = *ьЯаъ- (2.3)
Таким образом, имеет место
Предложение 2.4. Для того, чтобы конечномерная
унитальная алгебра 51 являлась фробениусовой,
необходимо и достаточно, чтобы существовал ковектор ра
(линейная функция на линейном пространстве ЗД),
который при свертывании со структурным тензором -\аы
дает невырожденный тензор
Яса = РаГса* (2.4)
При этом ковектор ра называют фробениусовым
ковектором, а тензор qab — фробениусовым тензором.
Фробениусова алгебра может иметь различные фро-
бениусовы ковекторы и, соответственно, фробениусо-
вы тензоры.
Будем считать, что определенный тензор (2.4)
зафиксирован, тогда он определяет на линейном про-
15

странстве 91 псевдоевклидову метрику, позволяющую
отождествить линейное пространство 91 с дуальным
9Г. Тензор qcd и взаимный к нему qab, то есть такой,
что Я^Чьс^^Ч* можно использовать для
перебрасывания индексов у тензоров, определенных на 91,
в частности у структурного тензора.
Набор элементов
fa = qubh (2.5)
образует дуальный базис в 91. Из соотношений (2.3)
и (2.4) тогда вытекает соотношение δ = pafa> то есть
фробениусов ковектор при отождествлении линейных
пространств 91 и 91* совпадает "с единицей алгебры 91.
Поднимая и опуская индексы структурного тензора
7β& = ϊ£&> можно получ-ить следующие таблицы
умножения в 91:
/а/ь==^аЬ^с==^аЬс/ > Λ/ Jb == ϊ.£ J с == T. be J '
fafb = tbCfc = tbcfC'
Упражнение 6. Показать, что алгебры R{im~l)y
R (em~l), R (ε"2-1) — фробениусовы и найти матрицы
фробениусовых тензоров этих алгебр.
Упражнение 7. Пусть 91 — фробениусова алгебра
и 93 cz 91 идеал. Показать, что имеют место
соотношения Ann (Ann 93) = 93, dim 93 + d im Ann (93) = dim 91.
Указание. Показать, что Ann (93) совпадает с
ортогональным дополнением к 93 относительно фробениусовой
метрики.
§ 3. Структура унитальных алгебр
В рассмотрениях этого параграфа всегда. будет
предполагаться, что 91 — конечномерная ассоциативная
коммутативная унитальная алгебра.
Элемент ε£9ί называется нилГьпотентным
(нильпотентом), если существует натуральное
число /?, такое, что ер === 0. Совокупность нильпотентных
элементов алгебры 91 образует идеал в 91, называемый
радикалом и обозначаемый Rd = Rd (91).
Действительно, если вр = 0, то и (<хг)р = 0 при любом α ζ 91,
а если σ* = 0, то (e-+.o)p+flr = 0.
Предложение 3.1. Пусть dim 91 =/и, тогда
Rd (91Г = 0,
16

то естbN произведение любых т нильпотентных
элементов равно нулю.
Доказательство. Выберем произвольный базис \ех,
е2, ..., ekY в Ш(Щ. Любой элемент a£Rd(21) можно
представить в виде а = а1ег + <з2е2 + ··· + σ^> гДе σΙ>
σ2, ..., ak£R. Если ep/ = Q (s=l, 2, ..., Λ), то
произведение любых Pi + Р2+ ··· + Pk = Ρ нильпотентов
равно нулю, поэтому Rd (Щр = 0. Пусть теперь q
такое натуральное число, что произведение любых q + 1
нильпотентов равно нулю, и существуют нильпотенты
ει» ε2 > ···» £<?> произведение которых отлично от нуля.
Предположим, что q > т· Поскольку dimRd<m, то
произведения νι = ε1^, ν2 = ε1ε2, ν3 = ε1ε2ε3... , vm =
^ ειε2··· sm линейно зависимы, поэтому найдется номер
1 < 5 < т такой, что v, = α5+\+1 + ... + aOTvm , где
as+l, ..., am£R. Умножая последнее соотношение на
ε,+ ιε,+2···ε^ получим *le2...Bq = vses+l...bq = 0* Проти-.
воречие доказывает предложение.
Определение ЗЛ. Алгебра % для которой Rd (3l)= 0,
называется полупростой.
Предложение 3.2. Факторалгебра 9i/Rd (Щ
полупроста.
Доказательство. Предположим, что существует
элемент А = а + Rd£$l/Rd та^ой, что АР = Ш, тогда
a^^Rd и, по предложению 3.1, арт = 0, следовательно
a£Rd и Л — Rd. *
Элемент е^^ называется идемпотентным
(цдемпотентом), если е2 = е. Всякая унитальная
алгебра обладает двумя идемпотентами δ и 0,
называемыми тривиальными. Если в алгебре имеется
нетривиальный идемпотент е, то элемент Ъ -— е также
будет нетривиальным идемпотентом, при этом е (δ —
'~е) = 0. Каждый элемент a £91 тогда можно
представить в виде α = α£ + α (δ — е), поэтому % = £3ΙΦ(δ — е) 51,
где е % и (δ — е) $1 — главные идеалы, порождаемые
элементами е и (δ — ё) соответственно. Идеалы еЪ. и
(δ — е)% являются унитальными алгебрами с единицами
β и δ — е соответственно.
Идемпотенты, произведение которых равно нулю,
называются ортогональными. Любой набор ех,
е2,..., ek взаимно ортогональных нетривиальных
идемпотентов линейно независим. Действительно,
предположим, что для некоторых а1, а2, ..., ak^R имеет
место ахех + а2е2 + ... + akek = 0. Умножая последнее
17

соотношение на es (s = 1, &), получим as=Q. Сумма
взаимно ортогональных идемпотентов снова будет
идемпотентом. Если главную единицу δζ^ можно
представить в виде суммы взаимно ортогональных
идемпотентов δ = ех + е2 + ... + ek9 то алгебра "31
будет являться прямой суммой главных идеалов,
порождаемых этими идемпотентами "31 = е1У1®е2<&®... φ ek%.
При .этом каждый идеал ββί (5 = 1, k) — унитальная
алгебра с главной единицей es.
Предложение 3.3· Если в алгебре 91 имеется
делитель нуля, не' принадлежащий радикалу, то в ней
имеется нетривиальный идемпотент.
Доказательство. Пусть o<£Rd(9i)-—делитель нуля.
Рассмотрим последовательность главных идеалов,
порожденных степенями элемента σ:σ$1:ζ)σ291:ζ>... zd
ZDon<UZD.... Поскольку dimo%>dimσ29ί>...>dimσ"9ί>...
и при любом η dima"9l>l (о^^о^О), то найдется
натуральное число ρ такое, что dimop9l = dimop+1il =
= ... = dlmop+n<$i = ... и, следовательно, <?%. = аР+Щ =
=... = ор+п$1 = ..., в частности, ор$1 = о2Р*&. Так как
при этом ар£а2Р<&, то найдется κ£9ί, что ар=о2Рх9
ТОГДа (σ^κ)2 = ар%.
Таким образом, если в унитальной алгебре имеется
ненильпотентный делитель нуля, то алгебра может
бцть разложена в прямую сумму двух идеалов,
являющихся унитальными алгебрами.'
Определение 3.2. Унитальная алгебра 91, все
делители нуля которой принадлежат радикалу, называется
локальной.
Как следствие предложения 3.3 получаем
Предложение 3.4. Всякая унитальная алгебра 9t
может быть разложена в прямую сумму идеалов,
являющихся локальными алгебрами.
Определение 3.3. Унитальная алгебра 91
называется простой, если она не содержит нетривиальных
идеалов.
Для простой алгебры 0(30 = 91X0, поэтому
простая алгебра является полем. Легко доказываются
следующие предложения 3.5 и 3.6:
Предложение 3.5. Если 91 — локальная алгебра, то
факторалгебра 9l/Rd(9i) является простой алгеброй.
Предложение 3.6. Всякая полупростая алгебра
может быть представлена в виде прямой суммы идеалов,
являющихся простыми алгебрами.
18

Предложение 3.7» Простая алгебра изоморфна либо
алгебре \/? действительных чисел, либо алгебре С
комплексных чисел.
Доказательство. Если dim 31 =1, то в силу уни-
тальности, 31 = /?. Пусть dim31 = т > 2 и ^£ 31 —
элемент, не принадлежащий одномерному
подпространству, натянутому на главную единицу δ. Набор
степеней σ, £2, ..., om+l линейно зависим. Нетривиальная
линейная комбинация элементов этого набора, равная
нулю, является многочленом относительно σ с
действительными коэффициентами. Этот многочлен можно
разложить на линейные и неприводимые квадратичные
множители. Поскольку 31 не имеет делителей нуля,
то один из этих неприводимых квадратичных
множителей должен обращаться в нуль: (σ + #δ)2 + b2 = О
(α, &£/?), тогда элемент γ =— (а + 'аЪ) удовлетворяет
ь
соотношению γ2 = — δ. Если при этом dim 31 = 2, то
31 = С. Если же dim 31 > 2, то аналогично найдется
τ £31, не принадлежащий линейному подпространству,
натянутому на δ и γ, удовлетворяющий
соотношению τ2 = —δ, но тогда γ2 — τ2 = О и, следовательно,
(т — τ) (τ+τ) = 0, что противоречит простоте алгебры 31.
Из предложений 3.5 и 3.7 получаем, что локальная
алгебра характеризуется тем, что либо 3i/Rd (31) = /?,
либо »/Rd(«)^C
Рассмотрим более подробно локальные алгебры,
удовлетворяющие первому соотношению. (Локальные
алгебры, удовлетворяющие второму соотношению,
удобнее рассматривать, как алгебры над полем
комплексных чисел.) Итак, пусть теперь 31 —локальная
алгебра, такая, что 3i/Rd (31) = /?. Такую алгебру, как
линейное пространство,· можно представить в виде
прямой суммы подпространства, натянутого на
главную единицу/ и радикала. Отождествляя главную
единицу δ с 1£/?, а подалгебру, порождаемую
главной единицей, с /?, будем говорить, что алгебра 31
представляется в виде полупрямой суммы
31 = R + Rd (31). (3.1)
Изучение такой алгебры сводится к изучению ее
радикала. Выберем в радикале Rd (31) минимальный
набор элементов \ех , е2, ..., ek}. порождающий Rd (31),
как идеал. Такой набор будем называть псевдоба-
Ш

знсом в RdO&). При этом ([23]) набор классов
вычетов es + Rd2 (s=l, k) будет являться базисом фак-
торалгебры Rd/Rd2, поэтому число k = dim Rd/Rd2
не зависит от выбора конкретного псевдобазиса. Оно
называется шириной локальной алгебры 91. Всякий
элемент радикала a£Rd можно представить в виде
σ — cle{ + о2е2 + ... + okek, где osξ<3ί. Раскладывая cs
в сумму <^ = #а + <^, где as^R; <^£Rd согласно
разложению (3.1), получим
σ = Σ%+ Σ°Χ· (3.2)
5=1 «y=l
Элементы o's £ Rd также можно представить в виде
<3.2)
к к
<= Σ^α + Σ<Λ', где ^€#; <V€Rd,
/•==1
тогда
σ= Σ«α+ Σ я,а*,+ Σ <>α· (3·3)
Представляя элементы o^£Rd в аиде (3.3]^ подставим
полученные выражения в (3.3). Продолжая этот
процесс, получим разложение элемента σ в линейную
комбинацию произведений элементов псевдобазиса
к к к
ο=Σ а е + Σ а в е + ... + 2 a s es;— es ,
(3.4)
где <? такое натуральное число, что Rd^+1 = 0 ц
Rd^O. Отсюда следует, что базис в 9i можно
выбрать состоящим из δ и линейно независимых
произведений элементов псевдобазиса. Число q называют
высотой локальной алгебры 3ί.
Рассмотрим алгебру многочленов R[x{i х2, ...» ^]
и в ней идеал ЗЛ, состоящий из многочленов без
свободного члена. Этот идеал 2J1 порождается
многочленами х19 х2, ..., xk. Идеал УЛд+1 порождается
многочленами хР{хР2г... л£*, где р{ + р2 + ... + pk = q + 1*
Факторалгебра Λ [*ι > х2, ..., xk]/^+l= R\x{, x2 > ···»
·**; 9Ί = Λ[Λ, #] является локальной алгеброй ширины
k и высоты #· Эту алгебру называют алгеброй много-
20

членов степени < q от k переменных. При умножении
таких многочленов получающиеся члены степени
выше q отбрасываются. Базис/такой алгебры составляют
многочлены хРххРг... хрь при 0 < рх + р2 + ... + pk < q
(считаем, что нулевая степень дает 1ζ/?). Линейное
отображение Ф: R\k, <?]->91, где 91 — локальная
^алгебра ширины k и высоты q, определенное
соотношениями
Φ (х*хР2... xpkk) = ePleP2... ерь, (3.5)
является эпиморфизмом алгебр, поэтому
91^/? [&, #]/КегФ.
Таким образом, всякая локальная алгебра ширины k
и высоты q изоморфна факторалгебре алгебры R [k, q].
-Соотношения (3.5) определяют также эпиморфизмы
R[k\ ->91 и /?[{А]]—>% поэтому алгебра 91 может
рассматриваться и как факторалгебра алгебры
многочленов или алгебры формальных степенных рядов.
Упражнение 8. Показать, что dim/?[£, q] = Ckk+q
(число сочетаний из k + q элементов по k).
§ 4. Прямые суммы и тензорные произведения
алгебр
В настоящем параграфе рассматриваются
ассоциативные унитальные конечномерные алгебры.,
Если '"имеются две алгебры <3ί1 и 912, то на
множестве 9ίΧ?1={(α1, Ο/α, £91, α2€^} паР элементов
12 12
из 91 и 91 можно ввести операции сложения, умноже-
1 2
ния и умножения на число, полагая (aj, a2) + (фх, β2) ==
= (αι + Ρι » α2 + β2); (αι> α2)(βι > Ра) = (αιΡι э α^), а(а1э α2) =
= (αα{, #α2). Непосредственная проверка показывает,
что при этом получается унитальная алгебра,
единицей которой является пара (Ьг, 82) единиц алгебр 91
и 91. Полученная алгебра называется прямой сум-
2
мой алгебр 91 и 91 и обозначается 91 φ 91. Под-
12 -12
* множества 93 — [(аг, 0)/^ ζ91} и 93 = {(0, <χ2)/α2£ 91}
1 12 2
являются идеалами в 91 φ 91, причем 33 =91, 93 = 91,
12 112 2
и 91Θ 91 является прямой суммой идеалов 3} и 95.
12 12
21

При записи (а1э 0) ζ91 φ 51 отождествляется са^й,
1 2 1
a (0, а2) ζ 91 φ 91 с а2£91. При этом всякий элемент
12 2
прямой суммы представляется в виде (αι, α2) = а1 + а2>
Если {faj (а{ = 1, т^ — базис в 91, a {*flJ (α2= 1, /гс2)—
базис в 91, то набор \/щ, £flJ (at = 1, /wx, α2=1, /тг2)
является базисом в 91 φ 91, и размерность алгебры
1 2
91 φ 91 равна сумме размерностей алгебр 91 и 91.
12 12
Структурные константы алгебры 91 φ 91 в базисе {/щ >
е ) имеют следующий , вид: γ^ совпадают со
структурными константами алгебры 91 в базисе {/β}, γ£2Α
совпадают со структурными константами алгебры 91
2
в базисе {еа}, остальные константы равны нулю.
Понятие прямой суммы легко распространяется
на любое число алгебр.
Упражнение 9. Показать, что прямая сумма фро-
бениусовых алгебр является фробениусовой алгеброй.
Упражнение 10. ([53]) Показать, что алгебра
циклических чисел R (ет~1) изоморфна прямой сумме
Л Φ R Φ Сф Сф ... φ С при m=$k .и изоморфна пря~
мой сумме φ С Φ С Φ ...ФС при m = 2k + 1.
Упражнение 11. ([53]) Показать, что алгебра
антициклических чисел R(im~l) изоморфна прямой сумме
СфСф...фС при m^=2k и изоморфна прямой
сумме /?фСфСф...фС при m = 2k+l.
Алгебра, не представимая в виде прямой суммы
других алгебр, называется неприводимой.
Неприводимые унитальные алгебры размерности т = 2
исчерпываются алгебрами комплексных и дуальных чисел.
Приведем классификацию неприводимых
ассоциативных унитальных алгебр размерности т = 3 и т = 4
из обзорной статьи [342]. Эти алгебры определяются
следующими таблицами умножения своих базисных
элементов (есюду предполагается, что^о = δ — главная
единица):
22

Неприводимые алгебры размерности 3
Ч_
«1
е2
е0
is.
ех
~Ч
е2
0
е2
0
0
II
«0
ех
е2
is.
е0
*1
е2
βι
«1
^0
-ч
е2
Ч
Ч
0
III
_0_
2
«0
Ч_
Ч
ч
β, ι
0
0
Неприводимые алгебры размерности'4
I
ч
ел.
Ч
ч
is
ч
ii
е3
Ч
ii
ч
es
0
е2:
ч
Ч
и
о
ч
£з
0_.
0_
О
II
е0
ех
е2
ег
е0
ч
ех
е2
е3
ех
ех
е0
-е2
е3
е2
е2
е2
0
0
е3
е3
е3
0
0
III
—е3
е
IV в
Хе*
IVа
О (λ = const),
О
е0
ех
е2
е3
е0
е0
ех
е2
е3
ех
ех
е3
0
0
е2
е2\
0
е\
о|
_
ч
о_.
0;
О
е0
ех
е2
е3
е.о
е0
il
ч
е3
■ех
il
е3
0
0
е2
е2
0
—е3
0
е3
е3
0
0
0
V
е0
ех
е2
е3
е0
е0
ех
е2
е3
ех
ех
е2
0
0
е2
е2
0
0
0
е3
е3
0
0
0
Via
е0
ек
е2
е3
е0
е0
ех
е2
е3
ех
ех
-в0
-е3
е2
е2
е2
е3
-е0
-ех
е3
е3
^2 »
ех
-е0
Vie
е0
ех
е2
е3
е0
ч
ех
е2
е3
ех
ех
е0
-е3
-е2
е2
е2
е3
е0
ех
е3
е3
&2 >
-ех
-е0
Vila
е0
ех
е2
е3
Ч
е0
ех
е2
е3
ех
ех
-«о
-е3
е2
е2
е2
е3
0
0
е3
е3
^2 >
0
0
Vile ·
е0
ех
е2
е3
е0
е0
ех
е3
el
ех
е0
-е3
-е2
е2
е2
ег
0
0
ег
е3
е2,
0
0
23

VIII
*o
«ι
^2
*3
«ο Ι
«ι
^3
«ι
«ι
0
—«в
0
Ч
e<i
е3
0
0
*з
<?з
0
0
0
<?0
ех
е*
ег
«0
«0
«1
^2
^3
«I
«1
*0
-«г
—в8
£ι
<?2
0
0
е3
е*
е* ,
0
0
X
£2
е3
£^
is.
i_£l
|β8
«1
«ι
0
0
0
^2
*2
0
0
0
£з_
0_
0_
0
XI
*0
«1
ё2
*3
*0
*0
«ι
*2
*3
«1
«1
-βο
<?3
-еа
^2
е2
0
0
е3
es
^2 ·
0
0
Упражнение 12. Показать, что алгебра Wa
изоморфна факторалгебре алгебры многочленов R[x, у]
по идеалу, порождаемому многочленами х3, у3, х2 —
— у2, лгу."
Рассмотрим две алгебры 91 и 31. На тензорном про-
1 2
изведении лицейных пространств 91091 .(см. [64])
1 2
можно ввести операцию умножения следующим
образом: пусть Α=Σαρ(αρ®$ρ) и В= 2*'«0р;)-
р—1 г=1
два элемента из 91(х)91, где ар, &г£/?, ал
Р^. £91, положим
«;€*, р,.
- α°β = ς Σ^Γ(αχ0βρρ;).
р=1 г—1
При этом получается алгебра, называемая
тензорным произведением алгебр 91 и 91. Если δ£91
12 11
и δ£91 — главные единицы, то элемент δ6?)δ является
2 2 12
главной единицей алгебры 91091. Если \fa) (ах =
ι 2 '
= 1, тх) — базис алгебры 91, а {я } (а2==1, /п2)
—базис алгебры 91, то набор тензорных произведений
2 :
{/β,®^β21 (^ι = 1э Щ> ^2=1» Щ) образует базис
алгебры 9ί(5ζ)9ί. Таблица умножения в этом базисе
1 2
имеет вид -
</βι (К> ^2) (Д Θ еь) = γ?,», т&, (Д Θ **Х
24'

где Чахьх и Чсагьг~~ стРУктУРные константы алгебр 51 и 91
в базисах {/flJ и (я } соответственно.
Упражнение 13. Показать, что С®С = СфС.
Упражнение 14. Показать, что алгебра XI
изоморфна тензорному произведению С0Л(е).
Упражнение 15. Показать, что алгебра IV6
изоморфна тензорному произведению /?(ε)®/?(ε).
Упражнение 16. ([47]) Рассмотрим алгебры
многочленов R [х, у], R[x], /?[у] и многочлены g(x)£R[x]
и А [у] ζR [у]. Многочлен g (χ) порождает идеал gR [χ] α
czR [χ], многочлен h (у) порождает идеал hR [у] с/? [у],
а взятые вместе многочлены g(x) и А (у) порождают
некоторый идеал /с/?[л:, у]. Показать, что
/?[*, yl//^/?M/g/?W(g)/?[y]//i/?[y].

Глава II
БИАКСИАЛЬНЫЕ И БИПЛАН АРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
К понятию биаксиального и бипланарного
пространства 'проще всего прийти, исходя из понятия
векторного пространства (модуля) Ln (%) над алгеброй %
2-го порядка (т. е. над алгеброй размерности 2).
Вещественная модель такого пространства является
2/г-мерным векторным пространством L2n со структурой,
задаваемой единственным линейным оператором
(аффинором) /. Матрица этого структурного аффинора
имеет в адаптированном репере {е19.
трех канонических видов
один из
O-tl
1 О
10-1
10
Д ι ιιιιι ι τ*
,£f-
ο Λ
3.f-
0 0 1
1 Of
Ίο ο
\\ о
Адаптированный репер характерен тем, что для него
e2k = fe2k-\ (*=1. ···» #)· Соответственно этим трем
случаям аффинор / задает в пространстве L2n инволю-
26

ционный эндоморфизм эллиптического,
гиперболического и параболического типа.. Точнее говоря, в двух
первых случаях мы получаем инволюционный
автоморфизм, а в третьем случае — вырожденный
эндоморфизм, который по существу нельзя назвать
инволюционным, и только промежуточное положение этого
эндоморфизма между инволюционными автоморфизмами
1° и 2° может оправдать такое название.
Ниже мы покажем, что для векторов пространства
L2n можно определить операцию их умножения на
элементы алгебры соответственно R(i), R(e), /?(ε), после
чего эти векторы можно назвать ^-векторами, а
пространство L2n действительно становится вещественной
моделью соответствующего модуля Ln (31) над
алгеброй ЭД. Общее понятие модуля над произвольной
ассоциативной алгеброй ЭД будет дано в главе III.
В случае 1° собственным значениям +i и —i
отвечают /z-мерные комплексно сопряженные собственные
подпространства, натянутые на векторы e2k__l—ie2k
и на векторы e2k^ + ie2k (k=l, 2,..., я). В случае 2°
собственным значениям +1 и —1 отвечают /г-мерные
вещественные собственные подпространства,
натянутые на векторы e2k_x + e2k и на векторы e2k_x — e2k
(£= 1,..., η). В случае 3° у аффинрра / имеется
единственное нулевое собственное значение, которому
отвечает /г-мерное собственное подпространство,
натянутое на векторы e2k_x (£=1,...,. η). Все эти
собственные подпространства инвариантны при
воздействии на них структурного аффинора / (в последнем
случае собственное подпространство Служит ядром
оператора /). Кроме того, для любого вектора обще-
го положения ^ζΙ2« можно построить вектор v=fv9
и двумерное (в общем случае) подпространство, на-
тянутое на векторы юу ό, будет также переходить в
себя под воздействием аффинора /, поскольку/2=<з. 1
(σ = — Ι, +1, 0). Таким образом, наряду с /г-мерными
собственными подпространствами (двумя или одним)
в пространстве L2n возникает (2п — 2)-параметрияе-
ское семейство (конгруэнция) двумерных подпро-
27

странств, инвариантных по отношению к действию
двупараметрического семейства эндоморфизмов λ·/ +
+ [χ·1, где 1—-символ единичного аффинора» Прямые
суммы этих подпространств образуют инвариантны^
подпространства больших размерностей.
Построив с помощью векторного пространства L2n
проективное пространство Я2л-1> мы получим в нем
дополнительную структуру, позволяющую говорить
о бипланарном пространстве Б2п_х эллиптического.,
гиперболического или параболического типа
соответственно. Рассмотрим эти пространства подробнее,
останавливаясь особо на каждом из трех случаев.
§ 1. Бипланарное пространство
эллиптического типа
Изменим выбор адаптированного репера в _пр0£т-
ранстве L2n, приведя матрицу структурного аффинора
/ к ниду.
МГо):
Этот аффинор / задает в пространстве Б2п_1
инволюционную коллинеацию эллиптического типа,
действующую в однородных координатах по правилу
?=^jc"+/, >+'= V (i, у, £,... = !,..., η). (1.2)
Эта коллинеация называется короче абсолютной
инволюцией пространства Б2п_х. Прямые, соединяющие
сопряженные в абсолютной инволюции точки х, х,
образуют линейную конгруэнцию эллиптического
типа, соответствующую конгруэнции инвариантных
двумерных подпространств пространства L2n.^ Она
называется абсолютной линейной конгруэнцией.
Комплексно сопряженным /г-мерным собственным
подпространствам пространства L2n отвечают в Б2п_х две
комплексно сопряженные (п— 1)-мерные абсолютные
плоскости, пересекаемые, каждой из инвариантных
прямых абсолютной линейной конгруэнции в паре
комплексно сопряженных точек.
Автоморфизмы пространства Б2п__и сохраняющие
абсолютную инволюцию, называются движениями про-
* Здесь и ниже буква О означает нулевой блок.
28

странства Б2п__х. Если [ с D) ~ блочная запись
матрицы аффинора, определяющего движение, то мы
должны иметь условие
АВ\(0-Е\=Ю-Е\(АВ\
С D)\E О) \Е О) \С D)
Отсюда ε2=1, и возникают два типа движений с
матрицами соответствующих аффиноров
•>(-2')-*W
где А и В — произвольные /г-мерные блоки,
подчиненные лишь условию невырожденности матрицы
аффинора. Движения первого типа (к которым
принадлежат абсолютная инволюция и тождественное
преобразование) переводят каждую из абсолютных (п~\)-
мерных плоскостей в себя, а движения второго типа
меняют их местами, причем это свойство вполне
характеризует каждый из двух типов движений.
Поэтому движения первого типа, называемые
собственными движениями пространства B2n_v образуют
подгруппу в группе всех движений, а движения второго
типа группы не образуют и называются
несобственными движениями пространства Б2п-\.
В том адаптированном репере пространства L2nJ
в котором структурный аффинор / имеет матрицу
(1.1), вещественным координатам ха вектора x£L2n
можно поставить в соответствие комплексные
координаты
Xk = xk + ixn+k (k = 1,..., я). (1.4).
При этом вектор х можно рассматривать как
31-вектор или как элемент модуля Ln (i)^ над алгеброй
*Э1 = /? (/). Действительно, сейчас мы покажем, что для
χ можно ввести операцию- умножения на комплексные
числа.
(*) Мы используем сокращенное обозначение Ln(i) вместо
Ln(C) или Ln(R(i)); аналогичное сокращение записи будет
использоваться ниже для модулей над алгебрами R(e) и R{s).
29·

Линейным преобразованиям пространства L2n с
матрицами (1.3) отвечают преобразования 1-го и 2-го рода
[267] модуля Ln{i), выражающиеся формулами
1) Xk = AksXs и 2) Xk = A*Xst (1.5)
где A) = a*+iVp А = (а))> В==(Ь)). Из (1.1), (1.3) и
(1.5) следует, что действие структурного аффинора /
на вектор χ сводится к умножению комплексных
координат Xk на мнимую единицу i\ поэтому
воздействие на χ аффинора а Л +Ь·/, где a, b ζ/?, a 1 —
единичный оператор, можно истолковать как умноже-
-*■
ние χ на комплексное число а + Ы. Таково
вещественное истолкование одной из основных операций в
модуле Ln (/).
Рассмотрим -некоторые образы пространства Б2п_{,
связанные с так называемыми чистыми и гибридными
тензорами пространства L2n по отношению к
структурному аффинору / (общее определение чистых и
гибридных тензоров модуля над алгеброй будет дано
в главе III).
Ковариантный тензор второй валентности аа3 чист
{т. е. удовлетворяет условию /°ααΡ = /β^ασ) тогда и
только тогда, когда в адаптированном репере
ап+р, n + q == apq> ap, n + q = ап+р, q>
причем присоединенный тензор b^^=fyi^ имеет
компоненты
Opq~ap,n + q> ^p,n + q:== apq-> ^n+p,q:==z apq'
®n+p, n + q == &p, n + q'
Для чистого тензора ααβ имеем:
(apq - iap> n+q) (xP + ixn+p) (y« + iy"*4) =
= α*χ У - 1Ь*ъх У ·
Симметрия или антисимметрия чистого 'тензора а^
влечет свойство симметрии или антисимметрии при-
30

<««>=« "Л. <*-> = Г." (1-7)
соединенного тензора Ьа? и приводит к следующим
простейшим чистым тензорам аа^ типа (0,2):
1. β-тензор: #αρ = αβα, b^ = b^a. В адаптированном
репере матрицы этих тензоров имеют вид
<«■»>=(£_?)· <^-(-*-£)· (1·6»
где Ρ и Q — произвольные симметричные я-мерные
блоки.
2. Л-тензор: ααβ - - αβα, £αβ = - £βα. Β
адаптированном репере матрицы этих тензоров таковы:
KQ-p)' - (*«)=(_p_Q-
где теперь Ρ и Q ~ произвольные антисимметрические
/г-мерные блоки.
Гибридность тензора а- (т. е. справедливость
равенства faaas =- — αασ/ρ приводит к следующим
характерным условиям в адаптированном репере:
При этом присоединенный тензор обладает
компонентами
Opq === ap, n + q> "ρ, n + q == apq-> ®п+р, q~ &pq>
®η+ρ, n + q == ap, n + q-
Для гибридного тензора справедлива формула
2РЯ
(ард + iap> n+q) (χ? + ίχη+η (y< - iyn+<) =
Здесь симметрия тензора ααβ приводит к
антисимметрии присоединенного тензора Ь^ = /°ασβ, и наоборот.
Поэтому возникают следующие простейшие
гибридные тензоры ααβ типа (0,2):
3. 5-тензор: α^ = α0α, *αΒ= —*ββ· В
адаптированном репере матрицы этих тензоров имеют вид
W = (-g')' <'"Н-Р-£)· (1·8)
31

где , Ρ—симметрический, Q — антисимметрический
блоки.
4. С-тензор: ααβ = — αρα, b^ = &βα. Здесь в
адаптированном репере
<*·>-(_££)■ (**>-СШ)· (1-9)
где Р— антисимметрический, Q — симметрический
блоки. Ясно, что случай (1.9) отличается от (1.8) лишь
переменой местами тензоров аф и ЬаГ
Припоминая способ получения матриц движений
-(1.3), мы видим, что чистота (соотв. гибридность)
невырожденного аффинора <pg эквивалентна тому, что
этот аффинор определяет собственное (соотв.
несобственное) движение пространства B2n_v
Возвращаясь к симметрическим тензорам типа (0,2),
рассмотрим гиперквадрики а^х?*? = 0, связанные с
θ-тензорами и 5-тензорами.
Если потребовать, чтобы любые две базисные
точки
двух комплексно сопряженных абсолютных (п— 1)-мер-
ных плоскостей были полярно сопряжены
относительно рассматриваемой гиперквадрики, то мы получим
условия
&pq ~Г &п+р, n + q ~ ^, &р, n+q &q> η+ρ ~ ^·
Сравнивая с (1.6), делаем вывод: гиперквадрика,
определяемая β-тензором, характеризуется тем, что по
отношению к ней полярно сопряжены абсолютные
плоскости пространства Б2п_1.
Требуя, чтобы абсолютная плоскость принадлежала
гиперквадрике, получим условия
ttpq &n+p, n + q ~ О, dp> n + q + &q> п+р == V,
и при сравнении с (1.8) можем сделать вывод:
гиперквадрика, определяемая 5-тензором, характеризуется
тем, что ей принадлежат абсолютные плоскости
пространства Б2п_{.
32

§ 2. Бипланарное пространство
гиперболического типа
Здесь удобно пользоваться адаптированным
репером, в котором матрица структурного аффинора
принимает вид
НГо)
Абсолютная инволюция пространства Б2п_х описывается
тогда формулами
При этой инволюции остаются точечно
неподвижными две (п—1)-мерные вещественные абсолютные
плоскости, задаваемые уравнениями
xk _ xn+k _ о и Jcfe + xn+k = 0·
Как и в случае пространства эллиптического типа,
матрица движения пространства Б2п_х либо коммути-
л
рует, либо антикоммутирует с матрицей /, и мы
получаем собственные движения с матрицами
А В) (2.2)
В А) '
и несобственные движения с матрицами
Собственные движения определяются чистыми, а
несобственные—гибридными аффинорами пространства
L2n со структурным аффинором /. С помощью
алгебры двойных чисел ЗД = R (е) можно ввести двойные
координаты
Xk = xk + exn+k,
после чего пространство L2n становится вещественной
моделью модуля Ln(e). Собственные движения
пространства Б2п_{ будут отвечать линейным
преобразованиям 1-го рода модуля Ln(e):
33

Xk = AksX\
Поэтому воздействие на вектор x^L2n оператора
αΊ + b-f эквивалентно умножению
соответствующего элемента модуля Ln(e) на двойное число a + eb.
Несобственные движения отвечают линейным
преобразованиям 2-го рода:
Xk^=AksX\
где ~Xk = xk - exn+k.
Для тензора ααβ типа (0, 2) пространства L2n и его .
присоединенного Ьф = /ааа^ чистота (гибридность)
одного влечет чистоту (соотв. гибридность) другого.
Чистые тензоры ααβ в адаптированном репере
обладают свойством
an+p,n + q~ apq"> ap,n+qz=z(ln-\-p,q^
для них- справедлива формула
(ард + еар> п+д) (хр + ех*+') (у* + еуп+«) =
Гибридные тензоры ααβ в адаптированном репере
обладают свойством
ап+р, n + q— apq-> ap, n + q'^ an+pf q>
для них справедлива формула
(ард - еар> n+q) (л* + ехп+*>) (у* - еуп+") =
Накладывая на αα3 и £αβ дополнительные условия
симметрии или антисимметрии, получим по аналогии
с эллиптическим случаем следующие простейшие виды
тензоров.
Среди чистых тензоров ααβ таковыми являются:
1. Л-тензоры: ααβ = — αβα, &αβ = — 6βα. Β
адаптированном репере
34

<<*.»>= г. η ■ <**)=[ ~ ~Ь <2·5>
(^)-(^). <»;>-(££)· сад
где Р= (/7г/) и Q = (<?ί;) — антисимметраческие блоки.
2. 5-тензоры: ααβ = αρα, &αβ = #βα. Β
адаптированном репере
где P=(/ty) и Q = (<fy) — симметрические блоки.
Среди гибридных тензоров ααβ выделяются:
- 3. 5-тензоры: а^ = αβα, 6αβ = — 6βα. В
адаптированном репере
PQ) (b)=(-Q~p
Q_p)> W*) [ p Q
где Я—симметрический, · Q — антисимметрический
блоки.
4. С-тензоры: аа} = - αβα, ^αβ = ί>βα.
Это — рассмотренный только что случай 3 с
переменой ролями тензоров ααβ и ЬаГ '
Как и в бипланарном пространстве эллиптического
типа, гиперквадрика α^χαχβ = 0 характеризуется "в
случае β-тензора ααβ тем свойством, что абсолютные
(#—1)-мерные плоскости полярно сопряжены
относительно нее; в случае же 5-тензора ααβ характерным
свойством этой гиперквадрики я-вляется то, что она
содержит абсолютные плоскости.
§ 3. Бипланарное пространство
параболического типа
Изменим снова выбор адаптированного репера,
приведя матрицу структурного аффинора 3° (стр. 26)
к виду
М£°о)·
35

В пространстве Б2п_ j этот структурный аффинор
задает абсолютную инволюцию параболического типа,
записывающуюся формулами
xk = 0, xn+k=-xk.
Если здесь искать проективные преобразования,
перестановочные со всевозможными сдвигами вдоль
прямых абсолютной конгруэнции, определяемые
аффинорами 1 + σ/, где σζ/?, а 1 — тождественный
оператор, то простые выкладки показывают, что эти
преобразования ха = F*xa определяются аффинором F,
имеющим матрицу вида
где А и В — произвольные /г-мерные блоки, из которых
блок А невырожден. Это — самый общий аффинор F,
чистый по отношению к структурному аффинору /.
Такие проективные преобразования называются
движениями бипланарного пространства параболического
типа Б2п__х. Используем в модуле Z,„(e), отвечающем
векторному пространству L2n со структурным
аффинором (1), координаты из алгебры дуальных чисел
Я (в):
Χ* = χ*+ εχη+\ ε2 = 0.
Тогда линейное преобразование, определяемое
аффинором (2), запишется в виде]
> = (а* + гЬ% Xs,
где А = (af), B = (b*j). Аналогично двум [предыдущим
случаям, воздействие на вектор х£12п оператора
&· 1 + 6·/ эквивалентно умножению соответствующего
элемента модуля Ln (ε) на дуальное число а + eb.
Гибридность аффинора F по отношению к
аффинору / эквивалентна следующему строению матрицы
л
F в адаптированном репере:
-η·
36

Соответствующее линейное преобразование в /;2„пред-
ставимо в виде
где Хк = xk — exn+fe. Ему отвечает проективное
преобразование в Б2п_1, которое аналогично
несобственному движению, вводившемуся выше для бипланарных
пространств эллиптического и гиперболического типа.
Однако в бипланарном пространстве парайолического
типа существуют и другие преобразования,
аналогичные движениям. Самое общее преобразование этого
простран тва, сохраняющее абсолютную инволюцию
параболического типа / и являющееся проективным,
определяется аффинором F, обладающим свойством
fa fa _ \Πσ fa
где λ — произвольный множитель (в рассматриваемом
общем случае уже не сводящийся к + 1). В
адаптированном репере матрица такого аффинора F имеет
вид
л (А 0\
f = [bxa)'
(λ)
и после введения дуальных величин Хк = xk + elxn+k
соответствующее линейное преобразование в L2n
записывается формулой
Рассмотрим чистые и гибридные тензоры типа (0,2)
по отношению к структурному аффинору,/.
Чистый тензор #а0 и его присоединенный &а0 =
= fl<0L^ обладают в адаптированном репере матрицами
<"*>-(ίο)· <*->-(оо> <3·3'
где А и В — произвольные /г-мерные блоки.
Гибридный тензор #αβ и его присоединенный Ьа^
характеризуются в адаптированном репере матрицами
37

*Н-во} 1»*>-("оо)· (3·4)
Дополнительные условия симметрии и
антисимметрии приводят к простейшим типам чистых и
гибридных тензоров ααβ:
1. Α-тензоры: ααβ = — #βα, *αβ = — *βα. Здесь мы
имеем матрицы (3) с антисимметрическими блоками А
и β.
2. 5-тензоры: ααβ = α ,. £αβ = bu. Эти тензоры
характеризуются матрицами (3), где А и В —
симметрические блоки.
3/ 5-тензоры: а^ = α3α, Ьш = — 6рв. Имеем
матрицы (4) с симметрическим блоком А и антисимм^три-
ческим блоком 5. Очевидно, 5-тензор может быть
невырожденным лишь при η = 2/7.
4. С-тензоры: ααβ = — αβα, 6αβ = 6βα. Здесь
получаем матрицы (4) с антисимметрическим блоком А и
симметрическим блоком В. Заметим, что в случае
пространства параболического типа множество С-тен-
зоров шире множества тензоров, присоединенных к
5-тензорам, и наоборот, не всякий 5-тензор является
присоединенным к некоторому С-тензору.
Заметим, что для чистых тензоров типа (0,2) имеем
{%. п, я + шрч) (х" + гхп+') (у« + еу"+") =
а для гибридных тензоров
К п+д 7 eflW> <■*"' + &Х"+Р) (У9 - *Уа+9) =
г α 3 α 8
= - b^x у - εα#χ у ·
Гиперквадрики, определяемые β-тензорами и 5-тен-
зорами, называются соответственно бицилиндрическими
и сфероидальными гиперквадриками и содержат
абсолютную (п— 1)-мерную плоскость. Но если
сфероидальная гиперквадрика наряду с каждой своей точкой
содержит прямую абсолютной конгруэнции,
проходящую через эту точку, но на,бицилиндрической
гиперквадрике - #αβ*α^β = 0 точки, обладающие этим свой-
38

ством, должны принадлежать также присоединенной
гиперквадрике Ьфхах^ = 0.
§ 4. Биаксиальные пространства
Особенно простыми (и в то же время весьма
своеобразными) свойствами обладают бипланарные
пространства размерности 3 (п = 2), называемые в этом
случае биаксиальными пространствами
соответствующих типов. Перейдем к их рассмотрению.
а) Биаксиальное пространство
эллиптического типа
Это пространство весьма детально было изучено
А. П. Норденом [136]. Впрочем, геометрия такого
пространства использовалась еще' в 1922 г. Э. Штуди
[343], исследовавшим множество ориентированных
линейных, элементов двумерной сферы (и даже общей
поверхности 2-го порядка) и его отображение на
точки трехмерного проективного пространства. При этом
особое значение здесь приобретает линейчатая
геометрия, и с ее помощью возникают многочисленные
связи с конформной геометрией, геометрией
Лобачевского и группой Лоренца.
Если вспомнить вид матрицы Л-тензора (1.7), то
станет ясно, что в пространстве Б3 эллиптического
типа Л-тензоры определяют пучок линейных
комплексов, построенный- на двух комплексах с уравнениями
/?12 — /734 = 0, ри — р2г = 0{*\ Прямые . абсолютной ли-'
нейной конгруэнции принадлежат всем этим
комплексам. Указанный пучок линейных комплексов является
пучком эллиптического типа: принадлежащие ему
два специальных линейных комплекса мнимо
сопряжены и определяют пару абсолютных мнимо
сопряженных прямых пространства Z>3, пересекаемых всеми
прямыми абсолютной линейной конгруэнции. Он
называется абсолютным пучком линейных -комплексов·
(*) Основные понятия линейчатой геометрии изложены ниже
в главе IX. См. также [88], [203]. Здесь pij — плюккеровы
координаты прямой.
39

Линейный комплекс пространства Бг, определяемый
С-тензором, называется циклическим линейным
комплексом. Пусть аа% — бивектор, определяющий С-тен·
зор; в соответствии с (1.9) его компоненты в
адаптированном репере характеризуются условиями а12 =
= #34> ан = а23 или, равносильно, а12 = а34> а14==а23.
Отсюда следует, что циклический линейный комплекс
в пространстве />3, определяемый С-тензором,
находится в инволюции с любым комплексом абсолютного
пучка, и что это свойство характерно для С-тензора.
Обратимся к интерпретации Плюккера — Клейна, в
которой линейные комплексы изображаются точками
5-мерного проективного пространства Р5, причем
специальные линейные комплексы образуют в
пространстве Ръ гиперквадрику Q4. Если учесть, что
находящиеся в ^инволюции комплексы изображаются точками
пространства Р5, полярно сопряженными относительно
гиперквадрики Q4, то мы, получаем следующую
конструкцию. В проективном пространстве Ръ линейные
комплексы, определяемые Α-тензорами, изображаются
точками прямой ~PV пересекающей гиперквадрику Q4
в двух мнимо сопряженных точках. Полярно
сопряженная Рх относительно Q4 плоскость Ръ изображает
множество циклических комплексов. Эта плоскость Я3
пересекает Q4 по овальной квадрике Q2, служащей в
Р3 абсолютом гиперболического мероопределения.
Точки квадрики Q2 изображают прямые абсолютной
линейной конгруэнции. Таким образом, множество
линейных комплексов, определяемых С-тензорами,
служит моделью гиперболического пространства с
^абсолютом Q2.
Пусть собственное движение пространства />3
задано уравнениями Xх = ΑααχΊ, где матрица (А*) имеет
вид
«*-(Гй HI!)· -CS3)·
Тогда под воздействием этого движения комплекс
абсолютного пучка, определяемый Α-тензором с
матрицей
40

(IF, y.F\ J OH
[pF, -IF )' \-l 0)'
получается из комплекса этого же пучка,
определяемого Α-тензором с матрицей
Ατ ΒΎ\ f IF, vF ) (A-B\ = (X'F, μ'/Λ
~Βτ ΑΎ) \ VJ7, -^ I \B A) [p'F, -λψ)9
где
λ' = λ (Det A— Det Β) + μ (a\b\ + a\b\ - a\b\ - a\b\),
(4.1)
p/ = - λ (а}й| + a|ft} - аЭД - а^) + μ (Det Л - Det β).
Так как (λ, μ) можно истолковать как однородные
координаты в абсолютном пучке комплексов, то
формулы (4.1) выражают проективное преобразование в
этом пучке, индуцируемое движением пространства
Бъ. Имеем:
λ7 — ip/ = (λ — i)i) Det (A + IB).
Отсюда видно, что комплексы абсолютного пучка
остаются неизменными при тех и только тех движениях
пространства Б3) для которых определитель
комплексной матрицы A + iB является вещественным числом.
Такие движения образуют щестичленную подгруппу
06 в семичленной группе 07 всех собственных
движений пространства Бг. Преобразования указанной
шестичленной подгруппы 06 А. П. Норден [136]
называет параллельными переносами пространства Б3.
Такое название объясняется тем, что в абсолютном
пучке комплексов Рх возникает эллиптическое
мероопределение кривизны 1, и расстояние между двумя
комплексами пучка б этом мероопределении
(измеряющееся с точностью до кратности π) можно назвать
биаксиальным углом мея£ду любыми двумя прямыми,
из которых одна принадлежит первому комплексу, а
другая — второму.' Заметим, что согласно (1.7) два
взаимно присоединенных друг к другу Л-тензора ал%
и Ь^ определяют два комплекса абсолютного пучка,
находящиеся в инволюции, так что соответствующие
41

им точки на Рх отстоят друг от друга на расстоянии
~. Каждая прямая пространства £3, отличная от
прямой абсолютной линейной конгруэнции, принадлежит
вполне определенному комплексу абсолютного пучка;
поэтому преобразование из подгруппы Об переводит
любую прямую пространства Б3 в прямую,
„параллельную" исходной.
Среди движений из группы G7 особо выделяются
сдвиги вдоль прямых абсолютных линейной
конгруэнции. Такой сдвиг на расстояние φ получается при
А = Ecosy, В = Ε sin ψ; он переводит каждую прямую,
отличную от-прямой абсолютной ^конгруэнции, в
прямую, образующую с исходной биаксиальный угол — 2φ.
При φ = — получается преобразование абсолютной
инволюции пространства Бв, которое, следовательно,
принадлежит к числу параллельных переносов.
Согласно (1.9), каждому С-тензору а^ отвечает
присоединенный к нему 5-тензбр #αβ. Соответствующая
квадрика ЬаЪхах^ = 0 называется сфероидом и в случае
своей вещественности характерна тем, что одна из
двух систем ее прямолинейных образующих состоит
из прямых абсолютной конгруэнции. Если учесть, что
в силу (1.9)
Ь^х«х3 = - а{гХ1Х> ~ аиХ^Х2 + (~ а{4 +
(4.2)
+ ш12) Xх X2 + (- аи - ш12) Х2Х\
где X1 ==xl + ix3, X2 = χ2 + ίχΑ, то сфероид Ьа^хах^=0
будет вещественным, мнимым или распадающимся на
пару млимо сопряженных плоскостей в зависимости
от того, будет ли вещественное число
Д __ а13> а\4 + Ш12 I
= —- α13α42 — (α14)2 — (α12)2
отрицательным, положительным или равным нулю. Это
эквивалентно тому, будет'ли точка А плоскости Я3>
изображающая рассматриваемый линейный комплекс
42

#αβ, лежать соответственно вне, внутри или на
квадрике Q2. При этом соотношение а^х? = b^xaxQ
означает, что прямолинейные образующие сфероида
Ь^х? = 0> принадлежащие абсолютной линейной
конгруэнции, изображаются точками коники Q2,
лежащими в поляре точки А относиаельно Q2.
Название „сфероид" имеет простое объяснение.
В произвольной вещественной плоскости пространства
Б3 имеется единственная прямая абсолютной конгру-
эяццд — пересечение этой плоскости с ей сопряженной
в абсолютной инволюции. На этой прямой имеется
пара мнимо-сопряженных точек-, принадлежащих
абсолютным прямым. Можно рассматривать указанную
прямую как несобственную прямую выбранной
плоскости, а отмеченную пару точек — как пару
"циклических точек евклидова мероопределения на этой
плоскости. В таком случае любой сфероид будет
пересекать нашу плоскость по кривой 2-го порядка,
проходящей через циклические точки, т. е. по
окружности. В этом смысле сфероиды пространства Б3
обладают тем же свойством, что и сферы евклидова
пространства Ег: любая плоскость пересекает сфероид
по окружности. Прямые же абсолютной линейной
конгруэнции А. П. Норден в соответствии со
сказанным выше назвал несобственными прямыми или
особыми прямыми пространства £3. На каждой из
несобственных прямых возникает эллиптическое
мероопределение кривизны 1,д котором полная длина этой
прямой равна π; абсолютные точки этого
мероопределения принадлежат абсолютным прямым пространства
Бг. Смещение- вдоль всех несобственных прямых на
одно и то же расстояние осуществляется с помощью
сдвига.
Отметим следующий факт: если две прямые,
проходящие через точку х9 пересекают какую-либо
несобственную прямую в паре точек у, ζ, отстоящих
друг от друга на расстоянии φ (т. е. образуют угол
φ в плоскости, проходящей через точку χ и данную
несобственную прямую), то биаксиальный угол между
прямыми ху и xzf определенный в смысле А. П. Нор-
дена, тоже равен ср. Действительно; если αα9 — А-тен-
зор, для которого аарХах^ = 0 и если ζ = ycoscp+y sincp,
43

то мы получим:
^αβ·*^ = Κβ C0S ? - /α^αβ Sin ?) *" (У C0S <Ρ +
+ /тУ^ Sin φ) = — *таУ V Sin φ COS φ —
— 6α0χα/ Sin φ COS φ = 0.
Таким образом, евклидов угол между двумя
собственными прямыми, расположенными в одной плоскости
пространства £3, равен биаксиальному углу между
ними.
β-тензору αα3 пространства LA с матрицей (1.6).
отвечает в Бъ квадрика aaQxaxB = 0, называемая
бицилиндром. Используя (1.6), находим:
К + ibj х«х* = (ард - iap> n+q) Χ?Χ*.
Это означает, что линия пересечения двух
присоединенных друг к другу бицилиндров аарХах$ = 0 и
ЬаСхах^ = 0 в общем случае (если они не вырождаются)
содержит две действительные несобственные прямые,
принадлежащие одной из двух систем их
прямолинейных образующих. Если на первом бицилиндре выбрать
третью образующую той же системы, принадлежащую
некоторому комплексу абсолютного пучка, то этому
комплексу будут принадлежать три рассматриваемые
прямолинейные образующие, а значит и все остальные
прямолинейные образующие данной системы.
Следовательно, все эти прямолинейные образующие
параллельны друг другу в смысле А. П. Нордена. Так как
абсолютные прямые пространства Бъ полярно
сопряжены относительно бицилиндра, то абсолютная
инволюция переводит бицилиндр в себя; поэтому всякая
несобственная прямая, не являющаяся прямолинейной
образующей, пересекает бицилиндр в паре точек,
сопряженных в абсолютной инволюции. Отсюда следует,
что прямолинейные образующие второй системы
бицилиндра ортогональны всем образующим первой
системы, а значит параллельны друг другу. Это делает
понятным название „бицилиндр".
Выше уже отмечалось, что мужество линейных
комплексов пространства Бг, определяемых (?тензора-
44

ми, является моделью гиперболического пространства.
Такой же моделью может служить и множество
сфероидов, причем роль абсолюта будет выполнять
множество вырожденных сфероидов. Движения
пространства />3, в частности параллельные переносы из
подгруппы 06, индуцируют во множестве .сфероидов
группу преобразований, изоморфную группе движений
пространства Лобачевского или группе вращений
четырехмерного пространства Лоренца.
Существенным обстоятельством является также то,
что конгруэнция несобственных прямых пространства
/>3 служит моделью комплексной проективной прямой
или плоскости Мебиуса. Действительно, комплексные
координаты (1.4) точки пространства Бг с
вещественными однородными координатами ха при сдвиге вдоль
конгруэнции несобственных прямых умножаются на
общий комплексный множитель, так что эти
координаты Xk(k = 1, 2) играют роль однородных координат,
задающих несобственную прямую. При собственных
движениях (1.5) возникает общее проективное
преобразование комплексной проективной прямой. Уравне-·
ние же сфероида в силу (2) является уравнением
общей цепи комплексной проективной прямой (см. [203]).
Таким образом, сфероиды играют роль цепей
комплексной проективной прямой или окружностей
плоскости Мебиуса. Общий результат о моделировании
проективных пространств Ρη{ϊ), Рп(е), Рп(е)
линейными конгруэнциями прямых вещественного
проективного пространства получен Б. А. Розенфельдом [203].
Рассмотрим адаптированный , проективный репер
\ev e2) еъ, е4}> у которого вершины еъ, еА сопряжены
соответственно вершинам elf e2 в абсолютной
инволюции. Любую собственную точку координатной
плоскости х4 = 0 этого репера можно задать комплексным
числом ζ = - = χ + i у, где х = — и у =
X2 X2 ' X2
декартовы прямоугольные координаты точки в этой
плоскости. Комплексное число ζ фиксирует также
несобственную прямую пространства />3, проходящую
через рассматриваемую точку, и служит
неоднородной координатой соответствующей точки комплексной
проективной прямой. Для любой другой плоскости
45

пространства Бг можно также построить
адаптированной репер {gu g2, g3 ,g4}, у которого вершины gl9 g2,
gs принадлежат этой плоскости. Несобственная прямая
пространства Ζ>3, .определявшаяся выше
комплексным числом ζ, будет (если она отлична от несоб-
стЕенной прямой gxg^ новой плоскости) пересекать
новую плоскость в некоторой точке, определяемой
комплексным числом w = и + iv, где и и ν —
декартовы прямоугольные координаты в этой плоскости.
Но переход от одного адаптированного репера к
другому вызывает линейную однородную подстановку
комплексных координат (1.4), служащих однородными
координатами той точки комплексной проективной
прямой, которая моделируется рассматриваемой
несобственной прямой пространства Б3. Поэтому
комплексная неоднородная координата w окажется дробно-
линейной функцией от ζ. Значит, несобственные
прямые пространства Б3 устанавливают конформное
круговое соответствие между рассматриваемыми
плоскостями \ехе2еъ\ и {gxg2gz). Поскольку эти плоскости
были произвольны, то конгруэнция несобственных
прямых пространства Бг устанавливает конформное
круговое соответствие между любыми двумя
плоскостями пространства Б3.
Вообще, после фиксации плоскости π0 в
пространстве £>3 конгруэнция несобственных прямых
устанавливает соответствие между точками любой поверхности
и плоскости π0. При этом поверхность можно задать
с помощью так называемой производящей функции
φ (а:, у), выражающей величину сдвига вдоль
конгруэнции несобственных прямых, переводящего точку
плоскости π0 с прямоугольными координатами х, у в
точку поверхности. А. П. Норден показал [136], что
после нормализации поверхности с помощью
несобственных прямых на этой поверхности в общем случае
возникает квазиевклидова связность. Если же функция
φ (χ, у) будет гармонической, то внутренняя геометрия
нормализованной поверхности оказывается евклидовой.
Эти положения были обобщены на гиперповерхности
бипланарного пространства Б2п_х (А. П. Широков,
[251J).
Упражнение. Показать, что если поверхность,
заданную производящей функцией φ (χ, у), нормализовать
46

по Нордену с помощью несобственных прямых
пространства Z>3, то ее внутренняя связность определится
законом перенесения комплексной величины ν (см. [251])
по правилу dv + Pvdz = 0, где ζ = х + iy, ν = vx+ivy,
Р=2\~ + i—\. Доказать, что эта связность квазнев-
\ду ' дх)
клидова.
б) Биаксиальное пространство
гиперболического типа
Геометрия этого пространства впервые изучалась
румынским геометром О. Майером [325], и в
дальнейшем внимание геометров неоднократно привлекали
вопросы линейчатой геометрии .такого пространства.
Согласно (2.3) здесь возникает абсолютный пучок
комплексов, определяемых Л-тензорами, и два
базисных комплекса' этого пучка задаются уравнениями
/>124V4 = 0, /714 — /?23 = 0.
Присоединенный к 5-тензору бивектор (С-тензор)
определяет циклический комплекс; его координаты Ь^
согласно (2.5) удовлетворяют условиям bl2 = — Ь34,
bl4 = b23. А так как координаты ααβ комплекса
абсолютного пучка удовлетворяют условиям α12 = α34, а1А =
= — а23, то любой циклический- комплекс находится
в инволюции с любым комплексом абсолютного
пучка. По сравнению с биаксиальным пространством
эллиптического типа различие заключается в том, что
абсолютный пучок комплексов изображается теперь
в пространстве Р5 прямой, пересекающей
гиперквадрику Q4 в паре действительных точек (образов
абсолютных прямых— фокальных прямых абсолютной
линейной конгруэнции), а циклические 'комплексы
изображаются точками трехмерной плоскости,
пересекающей Q4 по линейчатой квадрике Q2. Точки квадрики
Q2 изображают прямые абсолютной линейной
конгруэнции, а прямолинейные образующие этой квадрики
отвечают пучкам прямых абсолютной конгруэнции с
центрами на одной из двух абсолютных прямых.
Всякому Л-тензору аа3 согласно (2.3) отвечает
бивектор Ац с существенной компонентой Л12 = а12 +
47

+ eal4 = λ + ер в модуле М2 (SI), и этому же Л-тензору
соответствует комплекс абсолютного пучка. При
собственном движении пространства Б3 с матрицей
этот комплекс переходит в новый ααβ, причем
Л12 = Л12 Det (Л + еВ),
т. е.
λ + еу. = (λ + βμ) Det (Л + аВ).
Так как λ и μ можно рассматривать как однородные
координаты комплекса в абсолютном пучкег то те и
только те собственные движения пространства Ζ>3, для
которых Det (Л + еВ) — вещественное число, переводят
в себя каждый из комплексов абсолютного пучка. Как
и в эллиптическом случае, эти движения образуют
группу G6 параллельных переносов пространства />3.
Как и в случае биаксиального пространства
эллиптического типа, 5-тензоры определяют в пространстве
^з гиперболического типа бицилиндры,
характеризующиеся тем, что абсолютные прямые полярно
сопряжены относительно них. Но теперь среди бицилиндров
могут встретиться не только линейчатые, то также
овальные и мнимые квадрики.
Что касается сфероидов, то они теперь всегда
вещественны и служат вещественными моделями цепей
проективной прямой над алгеброй двойных чисел,
причем вещественной моделью самой этой
проективной прямой является конгруэнция несобственных
(особых) прямых биаксиального пространства.
Действительно, если мы выберем произвольную плоскость,
не проходящую через одну из абсолютных прямых
(например, плоскость л:4 = 0 адаптированного репера),
то можем рассматривать рсобую прямую х2 = 0 этой
плоскости как несобственную в смысле аффинной
структуры в этой плоскости, а величины χ = — и
41

у = как декартовы координаты. Если ввести на
выбранной плоскости псевдоевклидову структуру, для
которой абсолютные точки нэ несобственной прямой
х2 = 0 играют роль циклических точек, то декартовы
координаты х, у можно считать ортогональными в
псевдоевклидовой метрике с линейным элементом
ds2 = dx2 — dy2. При этом каждую собственную точку
этой плоскости, равно как и проходящую через нее
особую прямую, можно задать двойным числом ζ =
= х + еу (е2 = 1). Тогда сфероид, отвечающий 5-тен-
зору (2.5), пересечет нашу плоскость по кривой
ρηζζ + (р12 - eql2) ζ + (ρι2 + eql2) ζ + p22 = О,
т. е. по псевдоевклидовой окружности или по прямой.
Собственное движение пространства Бг вызывает
дробно-линейную подстановку двойной координаты г.
Итак, ставя в соответствие каждой несобственной'
прямой пространства Б3 точку пересечения ее с
выбранной плоскостью, мы приходим к изображению
плоскости Мебиуса гиперболического типа
(проективной прямой над алгеброй двойных чисел) на
псевдоевклидовой плоскости, где роль цепей играют
псевдоевклидовы окружности или прямые.
Упражнение. Развить 1еорию поверхностей биак-
сиального пространства гиперболического типа по
аналогии с теорией поверхностей биаксиального
пространства эллиптического типа.
в) Биаксиальное пространство
параболического типа
Геометрия этого пространства Бг исследовалась
Н. В. Талантовой ([215J — [218]). Здесь мы имеем
промежуточный случай между биаксиальными
пространствами эллиптического и гиперболического типов,
обладающий своими особыми чертами.
Абсолютная линейная конгруэнция (прямые которой
снова называются несобственными или особыми) яв*
ляется теперь линейной конгруэнцией параболического
типа. Такая линейная конгруэнция образована
прямыми, принадлежащими всем комплексам пучка, построй
енного на некотором специальном линейном комплексе
49

и на таком неспециальном линейном комплексе, кото·
рый содержит прямую, определяемую указанным
специальным комплексом. Эта прямая, определяемая
специальным линейным комплексом, является абсолютной
лрямой биаксиального пространства параболического
типа, * а рассмотренный пучок линейных комплексов
является абсолютным пучком комплексе^. Итак,
абсолютный пучок комплексов, определяемых Л-тензо-
рами, изображается теперь в Р5 прямой Ри
касающейся гиперквадрики Q4 в точке Λί0, соответствующей
абсолютной прямой пространства Б3. В
адаптированном репере [еи e2i e3i eA) абсолютная прямая
определяется , уравнением р]2 =0 (она совпадает с прямой
еъе^\ абсолютный же пучок комплексов можно
построить на специальном линейном комплексе,
отвечающем абсолютной прямой, и на содержащем
абсолютную прямую комплексе, заданном уравнением ры —
- р23 = 0.
Линейные^ комплексы, определяемые С-тензорами
{циклические линейные комплексы) находятся здесь
снова в инволюции со всеми комплексами
абсолютного пучка и вполне характеризуются этим свойством.
Таким образом, в пространстве Р5 циклические
комплексы изображаются точками трехмерной плоскости
-Р3> полярно сопряженной прямой Р{ относительно
гиперквадрики Q4. Эта плоскость Р3 также*' касается Q4
в точке М0 и пересекает гиперквадрику Q4 по
двумерному конусу К2 с вершиной М0. Точки конуса К2
изображают прямые абсолютной линейной конгруэнции,
а его прямолинейные образующие соответствуют
пучкам прямых, на которые расслаивается эта
конгруэнция.
Мы видим, что в отличие от пространств
эллиптического и гиперболического типов в биаксиальном
пространстве параболического типа любой линейный
комплекс нельзя получить линейной комбинацией
циклического комплекса и комплекса абсолютного пучка;
в этом — одна из особенностей параболического
случая.
Квадрики, определяемые в пространстве Б3
параболического типа 5-тензорами, снова характеризуются
тем свойством, что одна из систем их прямолинейных
образующих состоит из особых прямых.
50

Что касается бицилиндров, определяемых β-тензо-
рами, то они являются квадриками, содержащими
абсолютную прямую, и обладают следующим
дополнительным характерным свойством. Пусть М—
произвольная точка абсолютной прямой; касательная
плоскость к бицилиндру в точке Μ содержит . пучок
особых прямых с центром М\ тогда соответствие
М—+М' инволютивно и отлично от тождественного
(тождественность этого соответствия характерна для
сфероида).
Произвольная плоскость пространства Б3, не
проходящая через абсолютную прямую (например,
плоскость х4 = 0), содержит единственную особую прямую
(в данном случае х2 = 0). Взяв эту прямую за
несобственную, -введем в рассматриваемой плоскости
аффинную структуру. Единственная абсолютная точка
на этой несобственной прямой позволяет ввести в
нашей аффинной плоскости дополнительную структуру
галилеевой плоскости (см. [206]). Используя в этой
плоскости декартовы координаты х==~ ν = ~>· полу-
x2i у х2
чим уравнение инвариантного пучка параллельных
прямых χ = const, связанного с рассматриваемой
галилеевой структурой. Сфероид афхах® = 0 пересекает
нашу" плоскость по кривой, определяемой уравнением
шпгг + (а14 — еа12) ζ — (α14 + εα12) ζ — εα22 =Ό,
где z-=x + zy. Мы видим, чт.о эта кривая в общем
случае является окружностью галилеевой плоскости
(см: [206]) и, в частности, может оказаться прямой.
Другими словами, это — изображение в галилеевой
плоскости цепи проективной прямой над алгеброй
дуальных чисел /?(ε). [203]. Следовательно, по
аналогии с эллиптическим и гиперболическим случаями, мы
можем рассматривать конгруэнцию несобственных
прямых биаксиального пространства параболического
типа как вещественную модель проективной прямой
над алгеброй дуальных чисел, а сфероиды — как
вещественные модели цепей этой проективной прямой.
В биаксиальном пространстве параболического
типа также существует понятие группы параллельных
переносов, состоящей из тех движений (3.2), которые
51

переводят в себя каждый из комплексов абсолютного
пучка. Те же подсчеты, что и для пространств
эллиптического и гиперболического типа, показывают,
что движение
Xk=(a* + eb*)Xs,
где Хк = хч + ех2+к, будет сохранять каждый из
комплексов абсолютного пучка тогда и только тогда,
когда Det(a^-f ebfi является вещественным числом. Эти
движения и составляют группу параллельных
переносов G6.
Если произвести сравнительный анализ групп
параллельных переносов биаксиальных пространств
эллиптического, гиперболического и параболического
типов, то можно отметить следующее. Во всех
случаях эта группа G6 индуцирует группу преобразований
трехмерной проективной плоскости Я3 в пространстве
Р5, служащей полярой той прямой Р{, которая
соответствует абсолютному пучку комплексов. Так как в
Р3 имеется абсолют, определяемый пересечением Р3
с гиперквадрикой Q4, то в эллиптическом случае Об
локально. изоморфна, группе движений пространства
Лобачевского, в гиперболическом случае — группе
движений пространства с линейчатым абсолютов, а в
параболическом случае — группе движений копсевдо-
евклидова пространства (пространства, двойственного
псевдоевклидову). Во всех трех случаях
преобразование Хк = LXb\ где L — соответственно комплексное,
двойное и дуальное число, не являющееся делителем
нуля, определяет сдвиг вдоль конгруэнции
несобственных прямых. В общем случае этот сдвиг не
является параллельным переносом. Однако при L = U в
эллиптическом случае и при L = ^e в гиперболическом,
где λ — вещественное число, этот сдвиг становится
абсолютной инволюцией и является параллельным
переносом. Поэтому каждому движению пространства
Лобачевского или пространства с линейчатым
абсолютом можно поставить в соответствие два
параллельных переноса соответствующего биаксиального
пространства.
Упражнения: 1. Произвести классификацию
бицилиндров, сфероидов и циклических комплексов биак-
52

сиального пространства параболического типа (см.
[217]).
2. Составив операторы инфинитезимальных
преобразований групп параллельных переносов биаксиаль-
ных пространств эллиптического, гиперболического и
параболического типов, убедиться в локальной изо-
морфности этих групп группам движений
соответственно пространства Лобачевского, пространства с
линейчатым абсолютом и псевдоевклидова
пространства (см. [218], [244], {257]).

ГЛАВА III
МОДУЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Регулярные представления алгебры
Представлением ассоциативной алгебры 9Г над
полем К называется гомоморфизм 91 в алгебру линейных
операторов Нот (/,„, Ln) векторного пространства Ln
над К. По определению при а—*ФОУ Ь—>ФЬ оно
обладает свойствами
1. а + Ь-+Фа + Ф»
2. αα-*αΦβ, <*£#, (1.1)
3. ab->ФаФь.
Представление называется точным (или
мономорфизмом), если оно обладает инъективным свойством.
Всякая ассоциативная·алгебра обладает двумя ре~
гулярными представлениями, определяемыми
гомоморфизмами во множество линейных операторов
пространства самой алгебры (см. [109]).
Отнесем α £ 9t линейный оператор Sa (χ) = αχ.
Условия (1.1) выполнены:
1 · SJb(x) = (a + b)x = ax+bx^Sa(x) + Sb(χ),
2. Saa (x) = (aa) χ = α (ax) = aSa (x),
3. Sab (x) = (ab) x = a (bx) = aSb (x) = Sa(Sb (x)).
Мы будем называть это представление первьщ
регулярным.
Отнесём теперь α £ 31 линейный оператор Ra(x) =
= χα, для которого первые два свойства (1-)
выполнены, а третье заменяется следующим: Rab{x) = Rb(Ra(x))-
Поэтому переходя к сопряженным линейным операто-
54

рам ([287], стр. 109, [204], стр. 58), находим Rab =
= R'aR'b- Имеем таким образом второе регулярное
представление. Для краткости будем называть впредь
линейные операторы аффинорами.
Чтобы использовать богатый аппарат линейной
алгебры, введем базис {/i,...,/m} алгебры % тогда
для первого регулярного представления будем иметь
(satx* = taa°x*> откуда
В частности, базисным единицам /σ здесь -отвечают
матрицы
s. = (tU. (ΐ·3)
где верхний индекс — номер строки, а нижний —
столбца. Аналогично, для второго регулярного
представления получаем
Ю1 = ·^' (1-4)
поэтому базисным единицам /а будут соответствовать
матрицы
/?. = (·&)', (1.5)
где штрих означает транспонирование.
Отметим свойства регулярных представлений:
1. В случае унитальной алгебры они являются
точными. Действительно, если Sa (χ) =.Sb (x) для а =£ b,
то Sa {χ) — Sb (χ) = (a — b) χ = 0, и полагая χ = δ,
имеем а = b. Аналогично, проводится доказательство
для второго представления.
2. Главнрй единице оба представления относят
тождественный оператор.
3; Матрицы двух регулярных представлений одного
типа подобны, т. е. S = P SP. Это легко следует из
того факта, что .структурные константы алгебры
являются координатами тензора (см. [247]).
4. Для того, чтобы аффинор принадлежал
регулярному представлению коммутативной унитальной й,
необходимо и достаточно, чтобы он коммутировал
со всеми операторами представления.
55

Необходимость последнего очевидна, а
достаточность доказывается следующим путем. Пусть Φχ(5σ)£=
== (5σ)£Φ£ (ибо достаточно предположить
перестановочность лишь с базисными аффинорами
представления), тогда по (2) φ^Τσα ^ Τσλφα· Суммируя обе части
с δα и применяя (1.2.1), получаем Ф£ = γβχΦλ = (Sx)PO\
где обозначено Φλ = Φ*δα. Доказательство для второго
представления предлагается провести читателю.
Рассмотрим примеры:
1. Алгебра /?(*), κ2 = ω = + 1,0 имеет следующее
первсе и второе представления:
а + Ь*я*\ , a + *b9*t . (1.6)
\b a J \ω& α)
2. Для алгебры R(em~l) имеем первое
представление
ах 0 ... 0
я1 + еа2 + ... + в"-ЧгН а^ а\' ? |> (1.7)
α, У
а второе получается из него транспонированием.
3. Тело кватернионов R(i, j) имеет представления
a + bl+cj + dk^l ad-\_Cb\
abed
,, - -b α —Φ- с
a + bi + cj + dk^\ _c d a _b
—d —c b a
4. Алгебра m-дуальных чисел в базисе {1,
em-ib Kbb = Q> имеет первое представление
56

al+ela2+ ... + sm^am^} a* Ul
а второе находится транспонированием.
Регулярные представления позволяют сгроить
представления более общего вида. Например,
представление алгебры ЭД матрицами вида
(1.8)
г бло<ов
где 5—матрица регулярного представления, является
очевидно точным; оно называется r-кратным
регулярному. Другим путем для получения представлений
является использование идеалов 9ί. Именно, пусть \fp)—
базис левого идеала /, тогда для αζ-Ji будем иметь:
а--/р= %apQfq, и, как нетрудно убедиться, отображе-
Q
ние а—*(ард) является гомоморфизмом (но вообще
говоря, не мономорфизмом), ядро которого
составляет Ann/; эти представления мы будем называть
полурегулярными. По аналогии с (8) из регулярных и
полурегулярных представлений можно построить новые
представления в виде квазидиагональных матриц,
причем они будут точными, если среди диагональных
блоков присутствует хотя бы один блок регулярного
представления. Для некоторых алгебр (например,
полиномиальных) такие представления наиболее общи,
однако следует иметь в виду, что теория
представлений ассоциативных алгебр еще далека от
завершения, и до конца исследована структура представлений
только простых и полупростых алгебр.
Упражнения: 1. Доказать, что перестановочность
матрицы с матрицами второго регулярного
представления алгебры достаточна для того, чтобы она
принадлежала этому представлению.
2. Построить полурегулярные представления
алгебры ^(ε™""1), определяемые ее нильпотентными
идеалами.
57

§ 2. Модуль представления алгебры
Левым 91-модулем Z, (91) называется векторное про-
странство над /С, для всех элементов и которого
определено умножение на α £ 9i: ##£Ζ,(9ί),
удовлетворяющее условиям
1. а (их + и2) = сшх + аи2,
2. (^! + а2) и = а{и + а2и, . (2.1)
3. (аха2)и^ ах (а2и),
4. δ# = и, 5. α (аи) = (ося) а = а (аи)
при любых я, а19 α2€&? и, их, и2£И$)\ oc£Af ([109],
стр. 56). Аналогично, если задано произведение иа>
удовлетворяющее аналогичным аксиомам, то говорят
о правом 91-модуле.
Известно, что со всяким представлением 91 связан
некоторый модуль, который в случае регулярного
представления определяется следующим образом. Пусть
L (91) совпадает со множеством операторов первого
регулярного представления, для элементов которого
определим умножение на а £91 условием
aSb = Sab. (2.2)
Нетрудно проверить, что эта операция удовлетворяет
аксиомам (1) и определяет 91-модуль, называемый
левым регулярным. Подобно этому равенством
Ra-b^Rab (2.3)
определяется правый регулярный 91-модуль. Если
заменить в нем все аффиноры сопряженными, а закон
умножения (3) на
то мы получим сопряженный, правому регулярному
91-модуль, который будет уже левым. С точки зрения
этих двух левых 91-модулей алгебра " Фробениуса (см·
§ L2) вполне" характеризуется следующей теоремой:
для того, чтобы 91 была алгеброй Фробениуса,
необходимо и достаточно, чтобы левый регулярный 91-мо-
дуль был изоморфен модулю, сопряженному правому
регулярному.
58

За доказательством этой теоремы отсылаем к [109],
стр. 379-381.
Переходя к произвольным точным представлениям
% укажем одну модель 91-модуля представления ЭД,
удобную для дальнейшего использования.
Пусть {Ф} — множество аффиноров точного
представления φ: ?ί—*{Φ} алгебры <к в линейном
пространстве Ln над АГ, под которым будем для простоты
понимать поле действительных или комплексных чисел.
Множество векторов
*в={Ф«|Ф€{ф}} (2.5)
назовем орбитой вектора и. Ясно, что
1. Орбита гомоморфна "31.
2. Она есть линейное, подпространство.
3. Если $1 унитальна, то и£Хи.
В нашем смысле термин „орбита" вйервые предложен
в [1781.
Введем в пространстве Ln внешний закон
композиции: иод произведением а£ЭД на вектор а будем
понимать вектор Фаи, где Φβ —аффинор,
представляющий а, т. е.·
аи = Фаи. (2.6)
Ясно, что вектор аи принадлежит орбите вектора и.
Нетрудно убедиться, что тем самым пространство Ln
обращается в левый ЭД-модуль. Поскольку его свойства"
существенным образом зависят от представления φ, то
будем называть его модулем представления φ и
обозначать L (21, φ). Элементы этого модуля будем
называть ^-векторами. Двойственным образом,
рассматривая действие сопряженных линейных операторов Ф'
в пространстве Ζ* 1-форм (ковекторов), определим
операцию умножения ковектора ξ на элемент α £ 91:
{аи, £) = (Фаи, £) = (и, Ф'£) = {и, \α)ν
* (2.7)
{рай, ξ) = {аи, %Ь) = {и, \Ьа).
Тогда пространство Ζ,* становится правым 91-модулем
L* (% φ). Множество элементов \а, α £31 определяет
(*) Символ {·,·) означает внутреннее произведение вектора
и ковектора.
59

коорбиту ковектора ξ. Элементы 91-модуля L* (9ί, φ)
назовем 31-ковекторами.
Модули L (9ί, φ) и Ζ* (% φ) в общем случае никак
не связаны между собой, однако в важном случае
алгебры Фробениуса можно естественным образом
определить операцию спаривания их элементов, так
что в этом случае модули 1(% φ) и L*(% φ)
являются сопряженными. Чтобы построить эту операцию,
введем матричную модель обоих модулей, удобную
для приложений. Пусть для простоты алгебра
коммутативна и {/1э..., /т}— ее базис, а {Ф,..., Ф} — изо-
1 т
морфный ему базис аффиноров представления.*
Назовем матричной координатой 91-вектора матрицу U =
= (#а0» составленную из величин
αΙα = φια\' *' Р>- = 1....,^, (28)
ι, j\ ... = 1,... ,Λ.
Ясно, что линейной комбинации ЗС-некторов отвечает
такая же линейная комбинация их матричных
координат. Рассмотрим произведение аи, где α = ασ/σ£91»
г произведение истолковывается в смысле указанного
выше закона композиции; тогда ЭД-вектору аи отвечает
матрица
{{аи)[) = (Ф^Ф^и1») = (αχβ^Ί -
α σ τ
(2.9)
Таким образом, матричная координата 91-вектбра аи
равна произведению матричной координаты $1-вектора
и на матрицу регулярного представления элемента а
справа.
Матричные координаты элементов правого 51-мо-
дуля L* (% φ) введем следующим образом. С помощью
фробениусовой метрики q03 построим в 91 взаимный
базис {У1,..., fm), где fa = qaafau Базису {/"} отвечает
α
базис аффиноров представления Φ = #ασΦ. Условимся
понимать под- матричной координатой ЭД-ковектора ξ
матрицу Ξ = (ς«), где
Й = Ф&. (2Л0)
60

При этом ЭД-ковектору ξα, где а = ασ/σ = aja, будет
отвечать матрица
((*ζ)«) = (Φ>βΦ?ξΛ) = (кГа.ФГи =
(2.11)
= (тГ«о)(©==(тгГ^)Е,
равная произведению матрицы Ξ с;.ева на матрицу
регулярного представления элемента а.
Взяв элементы u£Ln и ξζ£*, построим их матрич-
а
ные координаты £/ = (Φώ#5) и Ξ == (Φ£ξ5). Образуем
α
произведение
Ξί/ = (Ф^Ф^') = (Τ^Φ^"Ρ). (2.12)
Оно дает матрицу регулярного представления
элемента из 91
ОХ *)/.= <«. */">/„. (2.13)
Этот элемент естественно назвать внутренним
произведением <#, ё> или взаимным следом ЭД-вектора
#£Ζ,(9ί, φ) и Si-ковектора ξ ζ Ζ* (31, φ). Этот след
обладает обычным свойством:
<аи, 0> = «и, ξα» = α « и, ξ», (2.14)
поскольку
Легко устанавливаются распределительные свойства
построенной операции спаривания по отношению к
сумме 31-Еекторов и ЭД-ковекторов:
61

<u+v, £»=«Ж £» + «>, ξ»,
«и, ξ + η» - <«, Ε» + <«ι η>.
а также следующее предложение: для того, чтобы
имело место условие <&, ξ> = 0, необходимо и
достаточно, чтобы каждый вектор орбиты и имел
нулевой след на каждом ковекторе коорбиты ξ. Таким
образом, имеет место
Теорема 1. В случае фробениусовой алгебры %
модули L(% φ) и Ζ* (ΦΙ, φ) являются сопряженными.
Пример 1. Пусть L2n — векторное пространство со
структурой, определяемой алгеброй 2-го порядка, с
помощью которого в главе II строились бипланарные
пространства эллиптического, гиперболического и
параболического типов. Абсолютный аффинор задает в
L2n структуру представления алгебры /?(*), κ2 = ω=:
— ± 1А /г-кратного регулярному. Базису {δ, κ} алгебры
отвечает базис {Ε, γ} аффиноров представления, где
JS= id, γ2 = ωί(}, поэтому 31-вектор и определится
матричной координатой
£/ =
а2п-1 <*и2п·
и2п иГп-1
(2.15)
а 31-ковектор ξ —матрицей
^1 ^2
1^2/1-1 ^2/1
(2.16)
если выбрать фробениусову метрику в алгебре /?(*)
в наипростейшем виде (qa&) = J J. МатрицаΞ£/,
определяющая их след, имегт вид
(2.17)
Разобьем матрицы (15) и (16) на двумерные блоки -и,
пользуясь регулярным представлением (1.6) , алгебры
62

/?(*), сопоставим им величины из R(*). Мы приходим
к следующему отображению L2n на центроаффинное
пространство Ln (χ) над алшброй /?(х),· которое только
нумерацией координат отличается от (2.1.4) и
аналогичных формул гиперболического и параболического
случаев:
£,·« = й20-1 + ад* ^ = ^ + ^^ (2Л8)
Точно так же взаимвый след в силу (17) определится
в Ln (χ) формулой
5^" = ^' + *^. (2.19)
Пример 2. Пусть φ — представление 91, г-кратное
регулярному, и стало быть Ф^ = γ^δ*, где приняты
обозначения: т (Ь — 1) + σ (&=1,..., г; σ=1,..., /тг)
записывается как be. Построим матрицу (12), элементы
которой будут иметь-вид
χα& =. ф^цЬо = γβ laubo = γβ ^ασ
α α
Видно, что матричная координата ^-вектора и по
вертикали состоит из квадратных подматриц
регулярного представления %
ϋα = it*a% (2-20)
которым сопоставляются г величин из 51
jja=ua*fQ: (2.21)
Двойственным образом матрица 91-ковектора ξ будет
по горизонтали состоять из квадратных блоков (т?^),
которым соотносятся г Ееличин из %
*a = \Ja- (2-22)
Взаимный след Ееличин (21) и (22) в силу (13)
определяется формулой
^а-(ФЮ/*· ' (2.23)
Рассмотрим фундаментальную группу модуля И%, φ).
В Ln, реализующем модуль L (%, φ), она опре^е-
63

лится как подгруппа Офсг01(^, К), сохраняющая
аффиноры представления, т. е. для УЯ£(3Ф и νΦζφ(^)
должно иметь место следующее характерное уел овие
Я^ФЯ=Ф, (2.24)
равносильное
ФЯ-ЯФ, (2.25)
которое и определяет подгруппу Оф. Таким образом,
для того, чтобы \Р£ Оф, необходимо и достаточно,
чтобы Я принадлежало коммутаторной алгебре ([27],
стр. 115) алгебры аффиноров представления φ.
Умножая матрицу P=(Pj) аффинора Ρζϋφ на матричную
координату 91-вектора (8), будем иметь с учетом (25)
Р\Х{ - Я/Ф/и* = Ф) (Р{и% (2.26)
α α
и следовательно, если и = Ри, то для Ρζ:Οφ имеем
ΛΓ* = РХ , т. е. преобразования группы Оф переводят
орбиту в орбиту. Аналогичное заключение может быть
получено и для коорбит по отношению к группе
аффиноров, сопряженных аффинорам из Оф.
Найдем общий вид аффиноров группы Оф в
условиях примера 2, т. е. для представления, г-кратного
л
регулярному. Для этого разобьем матрицу Ρ аффино-
л
ра из коммутаторной алгебры на /га-мерные блоки Я£,
которые в силу (25) и (1,8) будут удовлетворять ус-
Λ Λ
ловию P£S= SP*. Ввиду свойства 4 регулярных
представлений коммутативных алгебр (§ 1) получаем
Относя каждому такому блоку элемент из 91
pba=Vbu <2·28)
64

мы приходим к невырожденной матрице * порядка г
над % которая действует следующим образом.
Запишем преобразование (26) лрименительно к
представлению (1.8), тогда
и с учетом (20) и (27) в матричных обозначениях бу-
л
* А А и
дем иметь Lr = P*U. Если каждой из матриц в этом
соотношении соотнести величину из % то по (21) и
(27) оно примет вид
Ua = PabUb. (2.29)
Таким образом, установлена следующая
Теорема 2. В случае представления (1.8) группа Оф
реализует общую линейную группу r-мерного модуля
L(% φ), a Lmr со структурой представления (1.8)
является вещественной реализацией этого модуля.
Мы будем обозначать такой модуль символом
£r(9i); его можно рассматривать как векторное
пространство г измерений над алгеброй %.
Ниже при рассмотрении аффинорных структур бу-^
дет изучено строение группы Оф для случая более
общего, чем регулярное или кратное ему,
представления алгебры R(em~~l) (см.^ главу VIII).
Упражнения: 1. Показать, что орбита и коорбита
обладают перечисленными выше свойствами 1,2, 3.
2. Построить матричные координаты ^-вектора и
91-ковектора для /"-регулярного представления алгебры
/?(em_1) и.найти^их взаимный след.
3. Найти отображение ковектора из Lmr на ковек-
тор из 1г(1).
* Двойства квадратных матриц над 2С изучаются ниже,- в § 5.
65

§ 3. Тензоры в модулях над алгебрами
и их вещественная реализация
Считая алгебру 9ί коммутативной и фробениусовой,
введем в L (3ί, φ) понятие тензорной алгебры. Вначале
построим декартово произведение
L = L{% φ)χ... XL(% φ) χ
ρ раз
(3.1)
Χ L* (% φ) Χ ... Χ L* (% ψ)
q раз
и определим тензор δί-модуля как оператор,
осуществляющий линейное отображение Θ:Ζ,—»31. Числа ρ и q
мы назовем, как обычно, ко- и контравариантной
валентностями тензора. Простейшими примерами служат
%-ковектор и 31-вектор — одновалентные ко- и контра-
вариантный тензоры.
Вопрос о вещественной реализации тензора θ
решает следующая
Теорема 1. Для того, чтобы тензор вещественного
пространства Ln реализовал тензор модуля L (91, φ),
необходимо и достаточно, чтобы его полилинейная функция
θ (χ,..., у; ξ,... , η) относительно любого аффинора
представления φ удовлетворяла условиям
θ (Φ*,..., у; l..., η) = ... = θ (χ,..., Фу; ξ,..., η) =
(3.2)
= θ (χ, ... , у; Φ% ... , η) = ... = θ (Χ, ... , у; ξ, ... , Φ'η).
Необходимость. Из определения тензора θ следует,
что умножение полилинейной функции, задающей
отображение Ζ,-~>9ί, на величину α £91 равносильно
умножению на а произвольного аргумента. Но это
означает воздействие аффинора Фа на
соответствующий аргумент вещественного тензора θ, откуда и
следует (2).
Достаточность. Пусть тензор θ удовлетворяет (2),
тогда
9(Фх, ...,Фу; Φ'ι...,Φ'τι) = β{Φ^Φχ,..., у; ξ,.;.,η).
1 ρ p+l p+q 1 p+q
66

Обозначая Φ ... Φ = Φα, получим β{Φαχ,..., у; ξ,..., η)=<ν
1 p+q
Далее, как и в § 2, по #«--*Φβ и аа с помощью фро-
бениусовой. формы #. отыскиваем *6ЭД> такое, что
q(a, Ь) = аа. Легко видеть, что Ь удовлетворяет всем
свойствам следа тензора на системе ЗД-векторов и
%-ковекторов, поэтому тензор Θ, удовлетворяющий
условиям (2), действительно определяет тензор модуля
L (% φ). Теорема доказана.
Условия (2) принято называть условиями чистоты,
а тензор, удовлетворяющий им,— чистым тензором
(термин был впервые применен в [338] для
комплексных структур). В координатах эти условия с учетом
произвольности аргументов у θ запишутся в таком
виде:
Φ*Θ{γ·/<7 = ... = Φ? b\x'"U =
U k...lp ip ix...k
(3.3)
Следовательно, чистый тензор "характеризуется тем,
что при свертывании его с аффинором представления
результат не зависит от того, по какому индексу
производится свертывание.
Из приведенных рассуждений ясно, что если
чистый тензор θ порождает в L (% φ) тензор Θ, то его
след на системе 91-векторов х,..., χ и ЭД-ковекторов
ι ρ
1 q
ξ,..., ξ определится как следующая величина из %\
Приведем примеры чистых тензоров применительно
к случаю валентности два:
1. Для тензора валентности (1, 1) условия (3)
сводятся к перестановочности его матрицы с матрицами
аффиноров представления, и следовательно, для того,
чтобы такой тензор был чистым, необходимо и
достаточно, чтобы он принадлежал коммутаторной
алгебре алгебры аффиноров представления (см. [112],
[113], [226]).
7

2. Для того, чтобы симметричный тензор типа (2,0)
был чистым, необходимо и достаточно, чтобы он был
β-тензором. Действительно, условия (3) для такого
тензора примут вид Ф*9^ == ф;9^, который означает,
что присоединенный тензор 9у = Φ^ΘΛ/ тоже
симметричен (т. е. Вц есть \б-тензор в случае бипланарного
пространства). Распространяя эту терминологию на
общий случай, заключаем, что 5-тензор служит
вещественной реализацией симметричного
двухвалентного тензора модуля L(% φ).
3. Для того, чтобы кососимметричный тензор типа
(2, 0) был чистым, необходимо и достаточно, чтобы
он был Л-тензором. В этом^случае, как легко видеть,
получаем те- же соотношения, что и для Я-тензора,
но здесь они означают, что присоединенный тензор
также косой. Значит Л-тензор вещественно реализует
бивектор модуля L (% φ).
Рассмотрим далее, как операции тензорной алгебры
в L (%, φ) реализуются в пространстве Ln.
а) Нулевой тензор L (% φ) реализуется также
нулевым тензором.
б) Сумма тензоров реализуется суммой их
реализаций.
в) Произведение тензора из L(% φ) на α^
реализуется в виде тензора 9(Фах9..., у; ξ,..., η), где
Ь(х,..., >>;(·,..., η) — реализация исходного тензора.
Таким образом, эта операция равносильна
свертыванию вещественного образа по какому-либо индексу,
с аффинором, представляющим а.
г) Симметрирование и альтернирование тензоров
jb L (% φ) реализуется теми же операциями над их
вещественными образами.
д) Тождественный оператор в Ln реализует
единичный тензор из L (% φ). .
Заметим, однако, что далеко не все операции
тензорной алгебры в L(% φ) реализуются столь
тривиально, а именно:
е) Произведение чистых тензоров в Ln уже не
является чистым и поэтому не может быть
вещественным образом произведения тензоров из L(% φ).
Мы построим эту реализацию, рассматривая для
простоты произведение двух одновалентных тензоров,
68

т. е. Si-векторов а и v: Q = u*v. Ясно, что след θ
,на произвольных 91-ковекторах ξ и η должен быть
равен произведению <#, ξ>. <ό, η>. Поскольку по
(2.13) «и, ξ»^Φ/^;/σΓ«^, η> = Φ^ν,. то
где Ζ*'—вещественная реализация тензора θ = #·τ\
С учетом произвольности ^ и ηζ имеем:
at х
Ф&'Ф'чЛ* = ΦΗι/.
I ft I στ Ι
χ
Свертывая обе части с 'рх и учитывая, что Φ{/?χ = δ|,
ΧίτΡχ = Яп> имеем tli = <7στΦ^Φ^/. Нетрудно убедить-
σ τ
ся, что этот тензор чист и таким образом реализует
в вещественном Ln произведение 9(-векторов а и v.
Аналогичным путем получается и следующий более
общий результат. Пусть иу- и ^;; — два чистых
тензора в Lni которым в L (ЭД, <p) отвечают тензоры U и
1/, тогда вещественной моделью произведения UV
будет служить чистый тензор
wif:: = qax&®ksu^yf;·. (3.4)
στ
Этот результат легко распространяется на
произведение любого конечного числа тензоров. Выражение (4)
мы будем называть очищенным произведением
тензоров U}j" И ζή'~.
ж) Еще сложнее обстоит дело с вещественной
реализацией операции свертывания тензоров модуля
Ζ,(3ί, φ). Прежде всего, определение этой операции для
произвольного точного представления φ является
непростой задачей. Но даже и для представления,
кратного регулярному, вещественная реализация этой
операции еще не построена. Некоторые результаты в этом
направлении получены Ф. Г. Минибаевой [117],
которая показала, что след смешанного двухвалентного
тензора из L (9J, φ) однозначно выражается через
следы его вещественной реализации и
присоединенных к ней тензоров тогда, когда % полупроста. Для
69'

остальных алгебр либо такое выражение не
единственно, либо для нахождения следа необходимо привлекать
и другие инварианты реализующих вещественных
тензоров по отношению к группе, сохраняющей
аффиноры представления. Во всяком случае, свертывание
тензора из L (%, φ) и его вещественной реализации
не могут рассматриваться как соответствующие друг
другу операции.
Укажем теперь строение чистых тензоров в случае
представления регулярного или кратного ему. В
первом случае условия чистоты двухвалентных тензоров
запишутся в виде:
<Я* = 'эЧ&. ^ = ад™> Р*Х* = РЦЧ?- (3.5)
Свертывая первые два с δ8, а последнее — с /?р и
учитывая (1.2.1) и (1.2.4), получаем
Ч = *%> g* = g.1*> P^^P^f, (3.6)
где обозначено
Непосредственной проверкой убеждаемся, что
строение двухвалентных тензоров (6) и достаточно для их
чистоты.
Для дальнейшего введем систему величин, которые
были определены Г. И. Кручковичем ([102], .стр. 190):
(3.7)
Da _. γα Da == Sa
DUi * Р.Ра» ^β V
Очевидно, что все они являются тензорами в
пространстве самой алгебры. Предполагая % фробениусовой,
определим в % тензоры:
*?Д = Яs"V.-..V-iф1Щ "· <?V'<V~'(S > 0)' (3'8)
70

Величины (7) и (8) обладают следующими легко
проверяемыми свойствами:
а) Симметрия по всем верхним и нижним
индексам4 в силу формул (1.4) и (1.5) главы I.
б)
■гЖС·=в2::$ -аДО- =я&-· (3·9>
в)
Имеет место следующая
Теорема 2. Для того, чтобы тензор относительно
регулярного представления 91 был чистым,
необходимо и достаточно, чтобы он имел строение
Доказательство проведем индукцией по
валентности тензора. Для двухвалентных тензоров теорема
справедлива в силу найденного их строения (6); пусть
теперь она справедлива для (<?, $)-тензоров.
Рассмотрим тензор валентности (<?, s + 1). Фиксируя у него
индекс р0, мы можем написать
ϊρΑ=15Ώ· (ЗЛ2)
Наложим теперь на правую часть условие чистоты по
индексам β0, βρ· будем иметь
Свертывая обе части с Ь\ V1,... ,ϊ9* и рп,..., рл , πο-
а2 * q
α, χ χ
лучаем с помощью (9) и (10), что ^ν = ^τ?!,> гДе ^
■χ χ
= t^K Подставляя полученное значение tQ в (12) и
учитывая (9), получаем
^>,-4fr,· (зл3)
71

*ϊτο и требовалось. Обратно, величины (13) очевидно .
чисты при произвольных t в силу (9), означающих
Чистоту величин (7).
Аналогично доказывается теорема и индукцией по
числу контравариантных индексов, если, например,
тензор имеет нулевую ковариантную валентность.
Эквивалентность двух выражений (11) легко следует
из (8).
Перейдем теперь к представлению алгебры-$1,
кратному регулярному, и докажем следующее строение
чистого тензора в условиях примера 2 в § 2:
Действительно, фиксируя индексы alf..., aq, &р ..., 6
и применяя (11), немедленно получаем (14), а значит
имеет место
Теорема 3. Для того, чтобы тензор был чистым
относительно представления SI, кратного регулярному,
необходимо и достаточно, чтобы он имел строение (14).
Заметим, что, как показано в [102], при q = 1 и -
q = 0 формула (14) справедлива и для случая нефро-
бениусовой алгебры.
Как уже было доказано, чистый тензор реализует
вещественно тензор из /,(ЭД, φ), координаты которого
определяет следующая
Теорема 4. Для представления, кратного
регулярному, образом тензора (14) будет тензор с
координатами:
Действительно, координаты тензора (14)
преобразуются по обычному закону
Учитывая строение этого тензора (14) и (2.27),
находим
72

где через*/? обозначены элементы матрицы, обратной
р. Свернем обе части последнего равенства с δτι,..., о\
Лг'···' Ρσ и используем (1.2) и (1.2.4), а также (8)—
2 <7
(10), тогда будем иметь:
* а, ап ?> !*.. *,
Обе части этого равенства просуммируем с / и учи-
тывая, что в силу (1.2) и (7)
с помощью (2.28) и (15). приходим к соотношению:
Tai-aqpci рсярьх pbs = /сг··^
Оно и равнозначно заключению теоремы. Легко
показать, что и обратно, если величины (15) из %
преобразуются по тензорному закону, то координаты
соответствующего чистого тензора (Ϊ4) преобразуются
с помощью матрицы из труппы Оф, реализующей по
(2.27) вещественно матрицу Ρ преобразования модуля .
L,№).
Ясно, что формула (15) обобщает формулы (2.21),
(2.22) и (2.28) на случай тензора произвольной
валентности (см. также [118J, [225]).
Упражнения: 1. Найти матрицу β-тензора по
отношению к регулярному и r-регулярному представлению
алгебры R^'1).
2. Решить ту же задачу применительно к Л-тен-
зору.
3. Доказать свойства а, б, в величин (8).
4. Доказать, что тензор (4) вещественно реализует
произведение тензоров модуля L (5ί, · φ), убедившись
прежде в его чистоте.
73

§ 4. Эрмитовы тензоры в модулях над алгебрдми,
и их вещественные реализации
Пусть в 31 задана инволюция ψ: α—>а, т. е. такой
автоморфизм, что ψ2 = id, или, что то же, Έ=α.
В силу того, что φ - точное представление, тем самым
во множестве аффиноров представления Φ также
задана инволюция. Имеет место, 'таким образом,
коммутативная диаграмма:
ψ1 φ 1ψ· (4.1)
Называя ψ сопряжением,, подвергнем каждый ЭД-вектор
и этой операции, тогда получим новый %-вектор
«=ψ«, (4.2)
который будем называть сопряженным ^-вектору и.
Аналогично определяется сопряженность и во
множестве 91-ковекторов, и следовательно, ψ определяет
операцию сопряжения в модулях L(% φ) и Ζ,* (31, φ):
L(% φ)-^Γ(«, φ), L*(% φ)^Γ*(«, φ).
Пусть, теперь задано отображение декартова
-произведения
L = L(% φ)Χ... XL(% φ) Χ
(4.3)
XL(%
XL*W
χΤ*ι
а раз
φ) Χ ... Χ L(%
ν раз
, φ) Χ ····
w раз
{% φ) Χ ·
?)Χ
Χ L* (% φ) Χ
...χ7>
"
4*. τ)
s раз
в 9t, линейное по отношению к ненадчеркнутым
множителям в (3) и полулинейное (т. е. линейное с
переходом к сопряженному множителю) по отношению
74

к надчеркнутым. По аналогии с ]§ 3 будем говорить,
что оно определяет эрмитов тензор в L (91, φ). Выяс:
ним вопрос о его вещественной реализации.
В пространстве представлений Ln назовем тензор
хибридным, если он удовлетворяет следующим
условиям:
а) и + ν контравариантных и w + s ковариантных
аргументов его полилинейной функции делятся на два
класса;
б) по аргументам одного класса имеет место
чистота в смысле § 3;
в) по аргументам разных классов имеет место гиб-
ридность, т. е. перестановочность с любым
аффинором представления при одновременном переходе к
сопряженному аффинору.
Понятие гибридного тензора впервые было введено
Схоутеном [338] для комплексных структур, а в
случае пространств над алгебрами более общего вида
применялось в работах [344], [262], [42]. Роль гибрид-*
ных тензоров раскрывает следующая
Теорема 1. Для того, чтЪбы тензор из Ln
вещественно реализовал эрмитов, тензор из Ζ,(3ί, φ),
необходимо и достаточно, чтобы он был гибридным.
Чтобы убедиться в ее справедливости, отметим,
что
ТаХ) = аХ, (αΞ) =~βΞ, (4.4)
а далее почти дословно повторим доказательство
теоремы §3 о вещественной реализации тензора из L (ЗД, φ),
что мы предоставляем сделать читателю.
Условия гибридности тензора, вещественно
реализующего тензор (3), очевидно, запишутся в следующем
виде:
= Φϊ θ Ί" Vi-'v = = φί θ1!" Vr-Λ =
= φ* 0*Г'Уг"Л/ = =ф«гв'г"|аЛ-Л
(4.5)
75'

В качестве примера рассмотрим двухвалентный
гибридный тензор, для которого условия (5) примут вид
Ф*«*/ = Фуа/. (4·6)
Если алгебра — второго порядка, а инволюция ψ
определяется условием Φ = — Φ, обобщающим
комплексную сопряженность, то вместо (6) будем иметь
*кы = -*)&и. (4·7>
Вводя присоединенный тензор gtJ = ®%gkp мы
получаем, что для симметричного тензора условия- гибрйд-
ности (7) равносильны тому, что он есть 5-тензор,
а для кососимметричного — что он С-тензор (см. гл. II).
В модуле над этой алгеброй такой тензор порождает
эрмитово-симметричную (соответственно, кососиммет-
ричную) билинейную форму, что также отмечалось
в гл. II. Другим примером служит смешанный
гибридный тензор порядка (1, 1), который в случае
невырожденности задает, как показано в гл. II,
несобственное движение бипланарного пространства Б2п_х.
Как ή в случае чистых тензоров (§ 3), укажем
строение гибридных тензоров для- представления φ,
r-кратного регулярному. Пусть в некотором базисе
/β = Ψ5[/β> тогда ψρψ| = δ2· Введем величины
где, следовательно, черта над индексом означает, что
по нему произведено свертывание с ψ£. Эти символы
обладают следующими легко проверяемыми
свойствами (Г. И. Кручкович [104]): .
а) Симметрия по индексам одного уровня
независимо от их надчеркнутости.
б) Свертывание со структурными константами, как
й в (3.9), увеличивает число индексов.
в) Свертывание с δα и ра уничтожает, как и в (3.10),
соответствующий индекс.
г) Величины (8) не меняются при замене всех над-
черкнутых индексов ненадчеркнутыми и наоборот.

Доказательство этих свойств ведется с
использованием лё^ко проверяемых соотношений
ψ£δ« = δ8 (4.9)
и
ΤσαβΨ№ = Τΐ,· (4-Ю)
Имеет место следующая
Теорема 2. Для того, чтобы тензор из Lmr был
гибридным относительно структуры r-регулярного
представления алгебры % необходимо и достаточно, чтобы
он имел следующее строение:
(4.11)
Доказательство вполне аналогично случаю чистого
тензора, и мы его опускаем. Также совсем аналогично
проверяется, что величины
Tbi'"buqx"-qv = ^i-Vr··^ f (4 12>
*i~awPv-Ps ' *v"awpv»PsJx - V ' ;
являются компонентами порождаемого гибридным
тензором (11) в ЬГ(Щ эрмитова тензора, которые при
преобразовании из группы <3Ф изменяются по закону:
f V·buqi'"qv = Tci-Cuki'~kv p*i - р*« ρ*
(4.13)
яМ;...р^Яа...я>.
Упражнения: 1. Доказать свойства а) — г) величин
(8).
2. Доказать соотношения (9) и (10).
3. Доказать строение (11) гибридного тензора в
условиях теоремы 2.
4. По аналогии с доказательством формулы (3.15)
доказать (12).
77

§ 5· Конечномерные модули над алгеброй 31
Пусть L — модуль над алгеброй 31 и ν{, ..<., vs —
некоторый набор элементов модуля I, а λ1,..., Xs-^
набор элементов из 31. Введем следующие
определения.
1. Элемент модуля Lv = \ιν{+ ... + 1>svs называется
^-линейной комбинацией элементов ч^,..., vs или
линейной комбинацией с коэффициентами из 31.
2. 91-линейная комбинация называется тривиальной,
если все ее коэффициенты равны 0£3ί.
3. Набор элементов νΧ)..., vs называется 31-линейно
зависимым, если существует нетривиальная* 31-линейная
комбинация этих элементов, равная 0£L.
4. Набор элементов vu ..., vs называется 31-линейно
независимым, если из равенства нулю 31-линейной
комбинации вытекает равенство нулю всех ее
коэффициентов, т. е. из λ1^! + ... + \svs = 0£L следует λ1 =
=...=XJ=0£9l. В частности, один элемент v£L
31-линейно зависим (независим), если найдется λ ζ 31, λ^Ο,
что λ<ϋ = 0£Ζ, (если из \ν = 0 следует λ = 0).
Поскольку 31-модуль L является одновременно и
линейным пространством над /?,- то вводится опредег
ление:
5. Подмодулем L{ модуля L называется такое
линейное подпространство линейного пространства L,
которое относительно операции умножения 31 X L—*L
само является модулем.
6. 31-линейной оболочкой элементов ч^,..., vs из
L называется множество элементов из Z,, представи-
мых в виде 31-линейных комбинаций элементов vu ..., vs:
1% {*,,..., vs] = \v£L\v = \\ + ... + \'vs; λ1,..., XJe*}.
Нетрудно видеть, что 31-линейная оболочка —
подмодуль в Z,, поэтому будем говорить, что конечный
набор элементов vu ..., ^порождает подмодуль LxaL,
если Lx = L<% \vu ..., vs). В частности, набор vl9...,vs
порождает I, если L = L<% {vu ..., vs}> и в этом случае
L называе^я конечно-порожденным модулем. Набор
£Ί,..., Εη называется 31-базисом модуля I, если он
31-линейно независим и порождает L. Заметим, что не
всякий 31-модуль обладает базисом; если это имеет
м^сто, то он называется свободным.
78

Дойшкем следующее
ПредХожение 1. Если {£У,,..., Еп\ = {Еа}, (а =
= 1, п) — *31-базис модуля I, a {/J, а=1, т — базис
% то наборч]/^} является базисом I как линейного
пространства:
Во-первых, Докажем, что /^ — линейно
независимы. Если λαα/β£αν=0, где λα«£/?, причем λ^^θ, τ0
полагая \aafa = λα ζ 91, получим λα£α == 0, где λα<> ψ 0.
Найденное противоречие доказывает, что /^ —
линейно независимы.
Во-вторых, для любого v£L будем иметь: v =
= vaEa = (vaafa) Еа = vaa (faEa), и следовательно, ν
представим как линейная комбинация элементов fjza с
действительными коэффициентами, что и доказывает
утверждение.
Предложение 2. Всякие два 91-базиса модуля L
состоят из одинакового числа элементов.
Доказательство легко следует и'з предложения 1:
если допустить, что один 91-базис состоит из п1
элементов, а другой — из п2 φ пи то модуль L как
линейное пространство будет иметь, с одной стороны,
размерность тпх, а с другой — тп2 =£ тп1у что и дает
требуемое противоречие.
Модуль Z,, обладающий 91-базисом, состоящим из
η элементов, называется модулем 91-размерности η
над 91: dirndl = п. Коэффициенты разложения
элемента v(^L по St-базису будем,называть 91-координатами
(или просто координатами, если нет опасности спутать
их с координатами в линейном пространстве Z,).
Рассмотрим некоторые примеры:
1. Множество 91 является модулем над 91, в кото:
ром операция 5ίΧ9ί*->9ί совпадает с операцией
умножения в 91 (регулярный модуль). Нетрудно видеть,
что 91-размерность этого модуля равна 1.
2. Пусть /с:91 —собственный идеал, тогда он
является 91-модулем, в котором операция 91X/—*/ совпадает
с ограничением операции -умножения в 91. Легко
показать, что этот модуль не имеет базиса.
3. Введем модуль %п строк длины п, который
строится аналогично арифметическому линейному
пространству Rn строк длины п:
73

Операции сложения, умножения на элемент из R и
элемент алгебры 91 вводятся следующим -образом:
(ν\ ..., ν") + (и1,"..., О = (ν1 + и1, .μ , ν" + и"),
α (υ1,..., ν") = (αν1,..., av")t a£R,
α (V1 νη) = (αν\..., αν"), а£Ш.
Элементарным образом проверяется выполнение аксиом
91-модуля. ЭД-базис этого модуля %п составляют строки
£. = (0,..., δ,..., 0), а = Т7~я. При этом (ν1,..., νη) =
Ι α η
= ν<*Εα, поэтому dim^ST = п.
4. Пусть (τ;1,..., νη) — строка длины #, такая, что
<αα£/α, (α=1, я), где /а —главные идеалы %. Очевидно,
что множество таких строк образует ЭД-модуль. Набор
строк Еа = {0,..., £,..., 0}, где е — образующий эле-
1 α η α
мент главного идеала /а, является системой
образующих этого модуля, т. к. произвольная строка (ό1, ... , νη)
может быть представлена .как линейная комбинация
Еа с коэффициентами из 31, определяющимися с
точностью до произвольного слагаемого из Ann /α, α=1,/&.
Легко видеть, что и сами Еа характеризуются тем,
что ааЕа = 0, где αα£Αηη/α. Таким образом, этот
модуль — конечно-порожденный, но не свободный.
Гомоморфизмом 91-модулей (ЭД-линейным
отображением) называется отображение (γ:Ιι—>12, которое
обладает свойствами:
1. φ —линейное отображение линейных пространств.
2. φ (ατ;) = αφ (ν) ДЛЯ любых αζ% ϋ6Α·
Взаимно однозначный гомоморфизм L{ на L2
называется изоморфизмом: Имеет место
Предложение 3. 31-модули, имеющие одинаковые
ЭД-размерности,' изоморфны.
Доказательство следует из легко проверяемого
изоморфизма модуля 51-размерности η и модуля У.
Пусть далее имеются два базиса {EJ и {'£"„}, a—1,#,
модуля Ζ. Тогда элементы каждого из них можно
представить в виде 31-линейных комбинаций другого:
80

Έα = ^ E^ql'Ea. (5.1)
Коэффициенты разложений образуют матрицы с
элементами и&/91 размера ηχη. Отметим некоторые
свойства квадратных матриц с элементами из 91.
Прежде в^его, естественным образом определяются
операции сложения, умножения на элемент из 31 и
перемножения: , пусть А = (Д^), В = {ВаВ), тогда
1.А + В = (Ααβ + 5αβ), 2. аЛ = (σΑαβ),. 3. Л£ = (СаВ), где
Са3 = ΣΑατβτ0. Совокупность таких матриц является,
очевидно, ^-модулем и некоммутативной алгеброй.
Так же, как и для вещественных матриц, вводится
понятие определителя:
det (А*) = Σ sign w· Awid - Α.™·
Сформулируем несколько предложений.
Предложение^ detAS = detА·det 5.
Предложение 5. <tef A = 2 Α^,Λ^, гДе Аа =
τ==1
= (—1)τ+σ5τσ, a Βτα — определитель матрицы,
получаемой из А вычеркиванием строки и столбца с номера,
ми τ и σ соответственно (другими словами, 5τσ
—дополнительный к элементу Аха минор матрицы А).
Предложение 6. det A = 2 АИ**·
Для доказательства этих предложений достаточно .
заметить, что выписанные равенстЕа выполняются
тождественно^ т. е. во всех формулах в левой и правой
частях стоят многочлены от элементов матриц с
целочисленными коэффициентами. Поэтому из того
факта, что предложения 4—6 справедливы д,ля матриц
с элементами из /?, непосредственно вытекает, что
они выполняются для случая любого ассоциативного
коммутативного кольца 31.
Матрицу £=(8-), где ^ = | ' *~1' будем назы-
10, а=^=р,
вать единичной. Для любой матрицы А имеем АЕ =
= ЕА = А. Матрица В будет называться обратной к
А, если ВА=АВ-=Е] об9значение — В = А""1.
81

Предложение 7. Матрица А обладает обратной
тогда и только тогда, когда det Л не является нулем
«ли делителем нуля.
Для доказательства предположим, что А- имеет
обратную, тогда по предложению 4 def A · det A~l =
= det£ = 8, откуда ясно, что det Л не, делит нуль и
det A~l = (det А)"1. Обратно, если det Л' не делит нуль
и не является нулем, то из предложения 5 вытекает,
что матрица 5 = (5а(3), где 5а0 = ^*a(det Л)"1 является
обратной к А.
Вернемся теперь к рассмотрению формул (1).
Подставляя первую из них во вторую, получим E^=(f^pf[E.
В силу однозначности разложения элемента 91-модуля
по 91-базису получаем q^p\ = δ? = J ' ΐ~~"' . Отсюда
вытекает, что матрица (<?£) является обратной к
матрице (pi).
Введем теперь понятие дуального модуля к 91-мо-
дулю L (dim^ Z, = #). Для этого рассмотрим
множество Hom^ (/,, 91) гомоморфизмов модуля L в алгебру
91 (или регулярный модуль 91). На этом множестве
определяются естественным образом операции
сложения и умножения на элемент из 21:
1. (ξ + η)Η = 6(*0 + η(*0, V£, η£Ηοηι^(£, 91),
2. (αξ)(Ό) = αξ(<ϋ), V,a£91.
Легко проверить, что Ε + ηζΗοηι^ (Ζ,, 91), αξ£
£Hom^(Z,, 91), и что множество Hom^(L, 91) —
модуль над ЭД. Мы будем называть его 91-дуальным
модулем по отношению к L и обозначать L*.
Предложение 8. dlm^L* = dim^L.
Для доказательства введем 91-базис. {Еа} в Z,, тогда
для y-v^L имеем ъ = ъаЕа. Рассмотрим,набор
элементов E$£L*, таких, что £р (т>) = г>Р. Покажем, что {£"s} —
базис в /,*; действительно, с одной стороны, величины
EQ Э1-линейно независимы, т. к.
82

λ6£β = О =* Vv £ L (λρ£Ρ) (ν) = О =Ф
^ (λρ£Ρ) (£α) = Ο -» λρ» = Ο =Φ λα = Ο,
а с другой стороны, набор [Щ порождает /,*, потому
что для VE t ^* имеем ς (^) = ς (ναΕα) = ναζ (Еа) =
= ξ(£α)£«('ϋ) = (ξᣫ)('ϋ), где ξα = ξ(^α), и
следовательно, ξ = Ηᣫ. Построенный базис {£«} модуля L* мы
будем называть дуальным к базису {EJ модуля L; его
•существование и доказывает предложение 8.
Напомним, что с понятием дуального модуля мы
уже встречались в § 2, где было показано, что в
случае фробениусовой алгебры модуль представления 91
в дуальном (ковекторном) пространстве дуален
(сопряжен) модулю представления 91 в исходном
векторном пространстве.
Далее юбычным путем введем понятие тензорной
алгебры в Ζ,, и с этой целью рассмотрим множество
Тр "й-линейных отображений
Γ:ΙΧ...ΧΙΧΙ*Χ...ΧΙ*-?}.
V ' '■'■■■ V ■
Ρ Q
На этом множестве естественным образом вводятся
операции сложения и умножения на элемент из 91,
обращающие его в 91-модуль, называемый тензорным
модулем. О вещестЕенной реализации этого модуля
в случае алгебры фробениуса было сказано в § 3.
Упражнения: 1. Показать, что из 91-линейной
независимости вытекает линейная независимость, но не
наоборот.
2. Показать, что линейное подпространство LxczL
тогда и только тогда.является подмодулем, когда для
Va£91, Vv£Lx имеем a<u(-Lv
3. Показать, что Ь% {νΐ9..., ^ — подмодуль в L·
4. Пусть dim^L = n9 а {£1э„., Еп) —91-линейно
независимая система элементов в L, тогда она является
91-базисом в L.
5. Показать, что 91-координаты в свободном
модуле L определены однозначно.
6. Показать, что если {Еа} — базис модуля L и
(р>0 — обратимая матрица, то элементы 'Е& = ррЕа
образуют базис модуля L.
83

7. Доказать, чт„о если det-A делит 0 вй или равен
О, то строки матрицы А ^1-линейно зависимы.
8. Показать, что если преобразование базиса в L
.задается условиями ГЕ^ = р*Еа, то
а) координаты элемента из L преобразуются по
правилу
'<va = q*vs.
б)^дуальный базис преобразуется по правилу
'£«'= q«E*.
в) координаты элемента из L* преобразуются по
лравилу
% = /?ρςα.
9. Показать, что Т% — модуль над· 31.
10. Проверить, что совокупность ^-полилинейных
отображений £a'(g)...(g)£rt/>(g)£Bi(S)··· <S)E €^
определяемых условиями
образует 91-базис в Т*у и имеют место обычные для
вещественной тензорной алгебры соотношения для
лреобразования координат тензора.

ГЛАВА IV
ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НАД АЛГЕБРАМИ
Попытки построения теории аналитических
функций для алгебр, обобщающих алгебру комплексных
чисел,- производились неоднократно. Впервые этот
вопрос был изучен Шефферсом в 1893 году [337].
Приведем основные этапы рассуждений Шефферса.
Пусть {е{, ..., еп] — базис дистрибутивной
алгебры % с законом умножения elei = -fi^s. Шефферс
рассматривает алгебру %, над полем комплексных чисел.
Если л:1, ..., ^—комплексные переменные, a f (х\
..., хп) — обычные аналитические функции в
комплексной области, то положим
х = Xs es, / = fes.
Ставится вопрос: когда дифференциал функции df =
= dtfsdxfes можно представить как в виде df = f -dx,
так и в виде df = dx*'f} Входящие сюда величины /'
и rf называются правой и левой производными от
фу-нкции /, a dx = dxses. Такие функции будут
называться аналитическими или голоморфными над
алгеброй 91. Учтем произвольность dx и то, что при
наличии „достаточно обширного" класса голоморфных
функций производные rf, f могут принимать
произвольные значения в алгебре 91. Тогда мы видим, что
при существовании голоморфных функций алгебра 91
должна обладать следующим свойствомГдля каждого
элемента ιιζ% найдется такой элемент ^£91, что
uy = yv (1)
При любом у £91. Если алгебра унитальна, т. е.
обладает главной единицей b = bses, то, полагая в (1) у = δ,
58

получим и = ν, т. е. алгебра будет коммутативной,
и различие между правой и левой производными исчез-
нет. В таком случае, записывая равенство df=dsfdxsei
и полагая f=fses, получим
д f= Г"У
usJ J Ams '
откуда /'= bsdsf\ так что
<?/=7^Ч/* = 7%. (2)
Это — необходимое и достаточное условие для
существования производной у функции / над
коммутативной унитальной алгеброй. Его можно записать
в виде
<?/=ϊ^, (3)
не уточняя значения величин gl, так как из (3) с
необходимостью следует, что gl= Ъ*д3/*. Заметим, что
условие (3) вытекает из того факта, что матрица (д^/1)
коммутирует со всеми матрицами γΛ = (γ^Λ).
Если коммутативная унитальная алгебра 3ί
ассоциативна, т. е.
т№ = «*. (4)
то у всякой голоморфной функции / = fses найдется
первообразная F = Fses, т. е. такая голоморфная
функция над 91, что
У=4/· (5)
Действительно, используя (2) и (4), имеем из (5)
Аи pi— Ύ1 ys %Prf fm __ i s §Prf fm
°kf — T/j Λ km ° upJ — Amslki °PJ '
т. e. d[knFl=0, и условия интегрируемости системы
(5) выполнены. Необходимость условия
ассоциативности коммутативной алгебры ЭД для -Существования
первообразной тоже легко установить, если положить
в (2) ff = f = x2 = γ^xlxJes. Действительно, тогда
и условие d{kflfl=Q приводит к условию
ассоциативности (4).
86

Заметим, что для ассоциативной алгебры 21
условие (3) не только следует из условия коммутирования
л
матрицы (djf) со всеми матрицами γΛ, но и
эквивалентно ему. Действительно, для коммутативной
алгебры 91 условие ассоциативности (4) эквивалентно усло-
Λ Λ - ,
вию коммутирования матриц γ^ и ^; поэтому при
наличии условия (3), имеющего вид (djf1) = g\s* матрица
л
(djf) коммутирует со всеми матрицами γζ. Таким
образом, для ассоциативной коммутативной униталь-
ной алгебры 91 условие голоморфности функции /
имеет вид
d,fstk = f]kdsfl. (6)
Отсюда djf' = bsdsfp'itpJ, и производная от функции /
равна
*£= f, _ 7зе
где f = bsdjl.
Заметим, что условие (6) эквивалентно такому:
№*/'=■№}/· (7)
Ясно, что производная от суммы голоморфных
функций равна сумме производных:
(/+g),=/,+g/.
Докажем формулу
(fgY = f'g + fg'.
Действительно, если fg = h = htei, то
(fg)' - Vdjile;= b%q (dj'g + f* dsf) =
- Vdsfpepg«eq + fepbsdsg«eq = fg + fg'.
Аналогично доказывается и формула для производной
от сложной функции: если F = Flet — голоморфная
функция от переменной / = fex, а / — голоморфная
функция OTX = xtei, то F является голоморфной
функцией от х, и при этом
dF_dF df
dx df dx *
87

Действительно, если — = Fleiy — = //£/, то
df dx
*L = V?det = Vd-£d-Z.et = bV FV,/4 =
dx dxs ' a//» dx* l ipm lstJ '
Все сказанное выше справедливо также для алгебр
над полем вещественных" чисел и для таких функций
/, .компоненты которых f являются вещественными
функциями класса С°°.
Использование мультипликативной нормы в
алгебре % (см. [194], § 2) позволяет рассматривать
абсолютно сходящиеся степенные ряды от переменных
из алгебры. Например, абсолютно сходящийся
степенной ряд
Ь + х + ±-х2+ ... + -L *»+...
2! п\
определяет функцию е* от переменной χζ^Ά. Вообще,
каждая вещественная аналитическая функция,
разлагающаяся в степенной ряд, допускает естественное
продолжение в алгебру 51, если после замены^ в этом
ряде вещественных переменных на переменные из, 51
он остается абсолютно сходящимся по
мультипликативной норме из алгебры 51. Так построенное
естественное продолжение будет голоморфной функцией
над 5ί.
Следует заметить, что понятие голоморфной
функции над алгеброй 51 не совпадает в общем случае
с понятием аналитической функции (т._е. функции,
представимой абсолютно сходящимся степенным
рядом). Только в случае алгебры (поля) комплексных
чисел и некоторых других алгебр голоморфность
эквивалентна аналитичности. Поэтому в случае
алгебры комплексных чисел ^условия Коши — Римана"
являются условиями аналитичности функции, а для
большинства алгебр аналогичные условия (6) являются
лишь условиями дифференцируемое™ (голоморфности).
В главе V нам понадобится результат о строении
функции, голоморфной над тензорным произведением
алгебр. Рассмотрим две ассоциативные
коммутативные унитальн&е алгебры: %1 размерности тх с бази-

сом {/ } (ax = 1, ..., m{) и 9ί2 размерности т2 с
базисом {е J (α2=1, ..., яг2). Тензорное произведение
^ι®^2 ί°Μ· гл· I) является алгеброй размерности
тхт2. Набор элементов {/а^еа) (а\ = 1> ···» mi»
α2=1, ..., /π2) будет составлять базис в З^Сх)?^, ПРИ"
чем если γ*» — структурные константы Slj в базисе
{/в}, а γ^ — структурные константы 9t2 в базисе {е },
то структурные константы алгебры 91103ί2 Β базисе
ί/nt®^,} бУДУт иметь ВИД
где
Λ <S> ** · Λ, ® eC2 - ■#§, ClCa Д <g> βΛ2.
Пусть л:^!®^; тогда
x==xaxa2(fai®ea)==xa>®eai = fai®xa\
где лгЙ2 = χ****f , χα> = χαια2βα^. Производя
отождествления /rt(X|5=/rt и δ(5?)<* =ξ<? , где δ и δ —единицы
Ul 2 ι 1 s a 1 2
алгебр 91, и 912» можно опускать знак тензорного
умножения, отождествляя его с умножением в
алгебре ^ (g) ЭД2 . Тогда последнее соотношение можно
переписать так:
х^х^/е =ха*е„ =xaifn ,
где jc* £ «l , χ* £ <tt2, jc**» £ /?/
- Если F (χ) — голоморфная функция над $1,0^2 >
то она удовлетворяет условиям Шефферса
*axa%>cxcxudxdtl »dxdit cxc%bax(h ' yu'
где ddd FCtC2 = d£^ > Свертывая (9) с δ"'δ*2, где 8 =
«ι«2 ΟΧ ι 2 2
= δα* еа^ £ ЭД2, учитывая (8) и условия унитальности
(гл. I, § 4), получим
г
\axcxudxd*1 υ 1ахс{иаха^ υ ·
Свернем это выражение с γ^:
^axcx\b%hUdxd2r \dxcx\bihu ахагГ υ *
89

откуда
Пользуясь условиями Шефферса (9), переставим в
левой части последнего равенства двойные индексы axf2
и d{d2,a в правой части соответственно dxf^ и ахаг\
тогда по условиям унитальности
«ьх д FCih2 = yb д FCxhi (Ш
а это соотношение можно рассматривать как условия
Шефферса голоморфности функции FC2 = FClC2fc^ над
алгеброй 9^ по переменной xCh = xai02fai. Так как 9^
и 9ί2 входят в тензорное произведение равноправно,
то" аналогично
4d2c2aAa2r Vi^/ > ^1Z'
поэтому при cx = l, ..., w, функция Ζ7Ci = Ζ7AC2/f2
является голоморфной над 912 функцией переменных
χαι = χαχαχί u
Выполнения условий (11) и (12) достаточно для
выполнения (9); действительно, свернув (11) с γ*2Λ ,
получим
* rf,c, Irfa/ia Г я, Λ * Тй^, iuf2/z2 ^ /2 ' >>
а меняя в правой части последнего выражения
индексы d2 и /2, из условий (12) получим (9).
Поскольку функция FCl голоморфна над 9^, то
можно'найти частные производные
д FC7 == — = δ^<λ /?**f .
Й2 ^аа vMa Jci*
Свертывая (12) с ^ftfk , получим условия
γ&2 <j Fc* = **bt d FCi (13)
^d2c2ua2l . Λα#%υά%1 '· V1°'
эквивалентные условиям (9). Итак, имеет место
следующая теорема:
Теорема. Функция Faxa2{xblh)fax(&ea^ над тензорным
произведением 9^ £><) 9ί2. голоморфна тогда и только
тогда, когда голоморфные над 91, функции Fai=FaiClifn
so

удовлетворяют условиям Шефферса (13) для
алгебры %.
Впоследствии понятие голоморфной функции
обобщалось и переносилось на некоммутативные алгебры.
Здесь можно отметить работы Хаусдорфа, Ринглеба,
Ворда, Вагнера, Рошкулеца, В.* С. Федорова и
других (см. [6], 171, [
108], [115
290], [312
323|, [326
[346], [347'
52], [65], [66]; [96
107
289
321
345
, [119]—[125], [126], [211], [233]-[243
, [3131, [315], [31,6], [318[, [319], [320
, [327], [328], [329], [335], [336], [339
)·
Изложим точку зрения Ворда. Пусть ЭД. — конечная
унитальная ассоциативная алгебра над полем К (как
Λ Λ
правило, всюду далее K=R). Введем матрицы R и 5
с элементами
Я? = т?,.
S*
: Т*г
Условия ассоциативности (4) принимают теперь вид
J s ] k τη
или в матричной записи
l ] J s i 1 J m
Таким образом, ставя в соответствие элементу α =
Λ Λ Λ Λ
= ase#£<& матрицы R(oi)==asR и 5(α) = a^S, мы при-
s m
ходим к двум регулярным матричным представлениям
-алгебры ЭД. Для взаимной к % алгебры 31 со
структурными константами γ^ = γ^ мы будем иметь,
очевидно,
а .л.
R^SJ
г t
l i
Рассмотрим первую производную алгебру ^ для
-алгебры % т. е. алгебру наименьшей размерности,
содержащую % и 21 среди своих подалгебр. В
качестве такой алгебры можно взять алгебру матриц, по-
рожденную матрицами RR. Такую алгебру, действи-
тельно, можно построить, так как совокупность мат-
91

риц RR замкнута относительно умножения; действи-
i J
тельно, если учесть, что соотношение (4) можно
записать в виде
RR-RR, (14)
ι / / t
то мы имеем
лллА лллл л л
RRRR = RRRR = MM·
Построенная алгебра содержит подалгебры, порож-
ЛЛ Л ^>Л -£
денные матрицами ER = R и RE = R> изоморфные ал-
гебрам'ЭД и ад. С другой стороны, если первую
производную алгебру ^ представить матрицами так,
чтобы ее подалгебры 3ί и ^[ представились матрицами»
Λ Λ
порожденными R и R, то она будет содержать и мат-
t ι
А а
рицы RR, так что построенная выше алгебра
совпадает с S)3.
Пусть f(x) =fs {х\ ..., хп) es— функция отх = xses.
В отличие от Шефферса, Ворд определяет
производную — для любой такой функции, понимая под этой
dx
производной якобиеву матрицу
df _ ζ>(/ι, ..., /")
dx D (х\ ..., χη)
Можно сказать также, что под производной — он
dx
понимает фактически дифференциал отображения
Rn-^Rn) определяемого уравнениями
yW'i*1;.... χη).
Функция f(x) называется голоморфной над алгеброй %
тогда и только тогда, когда якобиева матрица —
dx
принадлежит матричному представлению первой
производной алгебры ^ для алгебры ЭД. Это определение
голоморфности по существу совпадает с определением
92

Хаусдорфа, который называл функцию f(x) голоморфа
ной (аналитической) над 31 в том случае, если
df = dtfsdxfes = <flJetdx et,
т. е« если
Но при этом условии мы видим, что
А,
dx
^—Y"RR,
Я Ρ
т. е. — принадлежит алгебре S$.
dx
Ясно, что в случае коммутативности алгебры Ж
функция, голоморфная в смысле Ворда, будет
голоморфна в смысле Шефферса, и наоборот.
Действительно, если % коммутативна, то % = 91, и условие
аналитичности по Ворду означает, что
dx ι
т. е.. приходим к равенству (3).
Отметим свойства производных от голоморфных
в смысле Ворда функций.
1. Если Z7—голоморфная функция от /, а
/—голоморфная от х, то F голоморфна по х, причем
dF _dF df
dx df dx *
2. Производная от суммы двух голоморфных
функций равна сумме их производных.
3. Произведение двух голоморфных функций f(x)
и g(x) является голоморфной функцией от х, причем
dx dx dx
где g отвечает g при антиизоморфизме <&^% т. е.
представляет элемент g в алгебре %.
Докажем Tpeibe из этих свойств. Имеем:
д} (fg)1 = д} (γ^/V) = d}f%sgs + d}gysgf.
93

Так как /?(/)£% R(g)(:% то для голоморфных
функций fug произведение fg голоморфно, причем
d(fg)=gs^ df +fS£dg_t
dx s dx s dx
Может случиться, что производная —
голоморфной по Ворду функции принадлежит не просто алгебре ф,
но одной из ее подалгебр ЭД и 9ί. Согласно Спампи-
нато [339], в этом случае функция /называется
вполне дифференцируемой слева или справа. Если функция
вполне дифференцируемаΝслева, то это означает, что
dx J τη
τ. e. difi! = gm^)m > а значит
df=d}fidxfei = dxGy
где Q=gmem. Если же функция вполне
дифференцируема справа, то
ах т
т.е. d}f=gymj!
а значит
df = G dx,
где снова О = gmem = bsdsfmem = Vdsf.
Естественно вводится понятие голоморфной
функции над ЭД от нескольких переменных из алгебры ЗД:
Х* = х<*-1»+*е3(*,Ьъ - = 1, ···, т).
Функция f=fs(x\ ..., xmn)es будет называться
голоморфной по переменным Х\ ..., Хт, если она
голоморфна по каждой из этих переменных в отдельности,
т. е. если каждая из якобиевых матриц
Ж/1. ..·, fn)
принадлежиг матричному представлению первой
производной S)3 алгебры "31.
Голоморфные функции связаны с понятием
голоморфных (аналитических) преобразований. Рассмотрим
94

взаимно однозначное дифференцируемое отображение
некоторой области евклидова пространства с декар-
товыми координатами х{а"1) == x(a~l) /г+1:
y(aii) = faA)(х\ ..., хтп).
Положив Ya = y(a~l)n+ses, будем говорить, что
преобразование f:x—>y определяет голоморфное'
преобразование переменных Х\ ..., Хт, если каждая иа
функций Ya является голоморфной функцией от X1, ...,
Хт. Это означает, что якобиева матрица
Р(у\ ..., утп)
D(x\ ... , хтп)
состоит из блоков /г-го порядка, каждый из которых
принадлежит матричному представлению первой
производной ^ ал1ебры % В частности, если алгебра %
коммутативна, то подобнее строение якобиевой
матрицы будет иметь место тогда и только тогда, когда
она коммутирует с каждой из блочно-диагональных
матриц (т$;$), где
Ύ(α, i) __ £α Ύ1
Другими словами, в этом случае дифференциал
отображения / соотЕетствует автоморфизму ж-мерного
модуля над алгеброй 91, вещестЕенной мохелыо которого
служит пространство Rmn со структурой,
определяемой аффинорами γ.
k
Идея голоморфности функции над алгеброй
неоднократно подвергалась обобщениям. Одно из них
привело к понятию моногенности гиперкомплексных
функций, которое изучалось на протяжении ряда лет
В. С. Федоровым и его учениками. В 1946 году
В. С. Федоров [234] следующим образом определил
понятие моногенности. Пусть %п— ассоциативная
коммутативная унитальная алгебра. Рассмотрим в
пространстве Rm (или в области ^czRm) дье функции /
и ζ со значениями в %п. Пусть функция /
непрерывна, а ζ непрерывно дифференцируема. Функция /
называется моногенной по ζ, если для любой точки
Λί£Δ и для любого закона приближения точки Μ
к Μ выполняется равенство,
95

' p-0 p p-0 P
где p = \MMf |, a /(l)(M) — некоторый множитель из
ЭДП. При этом функция / оказывается
дифференцируемой, и возникают простые соотношения между
частными производными:
Д^/о* (15)
дх1 J дх1 }
В частности, если т = η и в качестве Rn берется
сама алгебра %п с базисом {еь\, то при Хл = х*е% = х
условия (15) примут вид " ф
и мы вернемся к понятию функции / от х,
голоморфной в смысле Шефферса.
Ограничиваясь рассмотрением дифференцируемых
функций (например, функций класса С00), можно
соотношения (15) рассматривать как условие моногенности
функции / по функции ζ. Тогда естественно
возникает понятие моногенности функции /по нескольким
функциям ζ1, ..., ζρ, заданным в той же области Лег/?'1
и принимающим значения в алгебре 31„; это более
общее условие моногенности записывается в виде
дх* J Sx^t"^J OX*
(см. [123]). Очевидно, здесь, как частный случай,
содержится понятие функции /, голоморфной в смысле
Шефферса по ρ независимым переменным из
алгебры %■·
Понятие моногенности видоизменялось как в
работах В. С. Федорова (см., например, [237]), так
и в работах других математиков. Например, Марсель
Рошкулец [336] предложил следующий подход к
этому кругу вопросов. Пусть /—дифференцируемая
функция в /?т со значениями в ассоциативной
коммутативной унитальной алгебре %п. Построим в Rm 1-форму
<*> со значениями в %п ; Функция / называется ω-квази-,
моногенной, если
£//Д(о = 0. (16)
Функция / называется ω-моногенной, если
d(f(o)=o. (17)

В частности, если п = т, Rn=%n и u = dxf то
каждое из условий (16), (17) эквивалентно условию
голоморфности функции по χ в смысле Шефферса.
С. Н. Воловельская [52] вводила понятие
аналитической функции над ассоциативной некоммутативной
алгеброй, налагая условия на дифференциалы высших
порядков этой функции.
Своеобразные подходы к проблеме голоморфности
применялись также в случае алгебры кватернионов
([12], [13], [96], [126], [315], [319]). Например, для
кватернионов z = х° + ixl + jx2+ кхъ целесообразно вво*
дить дифференциальный оператор
дх* дх1 дх* дх*
Кватернионная функция / называется леворегулярной,
если
Df=0;
она называется праворегулярной, если
/£> = 0.
Полагая z = zl + z2j и вводя операторы
dz dz1 dz\J' dz* d7l dz2 Ji
можно прийти к понятию гиперголоморфной кватер-
нионной функции удовлетворяющей уравнению
dz*
Эти функции подвергались внимательному изучению,
хотя их геометрическим приложениям достаточного
внимания уделено не было. Однако создается
впечатление, что проблема обобщенной голоморфности
функций над алгебрами еще не исчерпана и может
быть рассмотрена с геометрической точки зрения.
Упражнение 1. Пусть ассоциативная
коммутативная унитальная алгебра 91 является прямой суммой
двух своих подалгебр: 91 = 9Ci φ 512 · Доказать, что
голоморфная (в смысле Шефферса) функция / над %
является суммой двух функций, голоморфных над 9^
•и 912 соответственно: f = fx+f2 (см. [33]).
Упражнение 2. Пусть R (sn) — алгебра плюральных
чисел, так что ее произвольный элемент имеет вид
97

X= x° + ex{ + ... + enxn. Взяв гладкую функцию /
одного переменного, заменим ε вещественным
параметром t и построим сложную функцию от t\
F(t) =/(jc° + txl + t2x2 + ... + tnxn).
Обозначим
(p = 0, 1, ..., /г). (18)
Тогда функция f(X) со значениями в R(zn),
задаваемая формулой
f{X) = /(0) + ε/(1) + ... + вя/(я), /(0) =/(АГ°), (19)
называется естественным продолжением функции f(x°)
в алгебру /?(εΛ). Доказать, что естественное
продолжение порождает гомоморфизм алгебры гладких функций
от переменной х° в алгебру /?(ε").
Упражнение 3. Доказать, что естественное
продолжение функции f(x°) в алгебру R(en) (см.
упражнение 2) является частным случаем голоморфной
в смысле Шефферса функции от переменной из
алгебры /?(ε"). Общая голоморфная функция над R(zn)
имеет вид
f(X) + egHX) + ..±+*ngn(X),
где /(A), gl(X), ..., gn (X) — естественные
продолжения гладких функций /, g1, ..., gn в алгебру /?(εΛ/).
Упражнение 4. Доказать, что формулу (13) можно
записать в виде
/UO./w + jijELyf-jy. (20)
где в правой части функция / рассматривается как
функция от вещественного переменного х°.
Упражнение 5. Функция f от т Еещественных
переменных ха (а = 1, ..., т) может быть также
естественно продолжена в алгебру R(zn) по правилу (18),
если ввести плюральные переменные Χα=χα-\- εχα,ι+ ...
... + £пха,п и построить сложную функцию от вещест-
денного переменного t:
F{t)=f{xl + txl-l + ... + taxl'n, ..., хт +
+ txm>{ + ... +tnxm>n).
ί
(Ρ) —
1 dWF(t)
ρ*
dtP
98

Тогда формулы (18) и (19) определят голоморфную
функцию f{X\ ..., Кп) над алгеброй R (еп) —
естественное продолжение функции f(xl, ..., хт) в алгебру
/?(ε"). Для этой функции также справедлив аналог
формулы (20):
η
f{x\ ..., Xй) =/(*'. ...,*m) + Σ^^(*~*)Μ21)
где
Ρ = (Α. Λ. -> Дя)> /Я=А1Л1-^т1.
|/Μ = Α + Λ + - + A,,
(X - χ)ρ = {Xх - χ1)* ... (Xm - xm)pm,
£>*>/__ ч d1*1/
flfx^7 (dJc1)A(d^2)ft...(d^/ll)/,/ii '
Доказать, что рассматриваемое естественное
продолжение порождает гомоморфизм алгебры гладких
функций от т переменных в алгебру /?(ел).
Упражнение 6. Формула (21) может быть
обобщена на случай произвольной локальной алгебры 51
(В. В. Шурыгин [299]). Пусть 31—локальная алгебра
и q —· вес ее радикала Rd(31), т. е. наименьшее
натуральное число, для .которого Rd*+1=0 (см. гл. I, § 9).
Выберем в 1 базис {еа\ (а = 0, 1, ... т), такой, что
^o^l» еа€ Rd (9ί)~при α = 1, ..., т. Для вещественной
гладкой функции f(x\ ..., хп) введем η переменных
из 91: X1 = х1 + х1,аеа и определим ее естественное
продолжение в % как голоморфную над ЭД функцию,
совпадающую при х*"а = 0 с функцией/(л:1, ... , хп).
Показать, что такое естественное продолжение
функции / в % задается формулой
F(X\...,X")=f{x\ ...,x*)+ Σ-,^^-^)^
где правая часть истолковывается так же, как в
формуле (21).
Упражнение 7. Пусть γ^ — структурные
постоянные ассоциативной коммутативной унитальной
алгебры 31 с базисом {£г}. Тогда в пространстве алгебры 91
99

возникают поля структурных аффиноров γ = (γ^) с
постоянными координатами γ^,. Функция / = fe% от
переменной Х = х1е% позволяет построить векторное
поле / с координатами /г. Показать, что условия
Ζ-> γ = 0, где Ζ-> — символ производной Ли, эквива-
лентны голоморфности функции / в смысле Шефферса.
Если же выполняются условия Ζ->γ = λ™γ, то при
-. / к т
каждом фиксированном X эндоморфизм D: ЭД —>ЭД,
определяемый образами базисных элементов Del^=\sies
задает дифференцирование алгебры 51 (И. С.
Григорьева).
Упражнение 8. В условиях и обозначениях
упражнения 4 сопоставим с функцией /= fei поле
аффинора /*=γ^/5 в пространстве алгебры ЭД. Для всякого
аффинорного поля можно построить тензорное поле
Нейенхейса (см. [332]):
N*tJ = f\d*f) - ί^Α + fWi ~ Л <W
Показать, что если функция / голоморфна в смысле
Шефферса, то Щк = 0. Будет ли. верно обратное?
Упражнение 9. Пусть /=φ + εψ и ζ = α + εβ — две
функции в Rn со значениями в алгебре R(e).
Доказать, что условие моногенности / по ζ, τ. е. условие
fl?/ =/ζ.·ί/ζ, эквивалентно тому, что φ является
функцией от а, а ψ — функцией от α и β; при этом
*L=*Lt f-*L + z*L ( j
д$ да' ·/ζ da да V L U
Упражнение 10. Используя неприводимую
некоммутативную алгебру третьего порядка (см. § 14
главы I), выяснить строение функции над этой алгеброй,
голоморфной в смысле Ворда и Спампинато.
Произвести аналогичные исследования для неприводимых,
некоммутативных алгебр четвертого порядка.
Проверить, что для гладкой функции над алгеброй
кватернионов голоморфность в смысле Ворда не
накладывает на эту функцию никаких ограничений.
Упражнение 11. Доказать, что если регулярная
кватернионная функция w=f(z), где z = x? + ixl +
100

+ jx2 + kx3, конформно отображает область 4-мерного
евклидова пространства с прямоугольными
координатами х°, х\ х2, л:3, то она „антилинейна":
w = azb + с,
где один из постоянных множителей а или b
является векторным кватернионом (т. е. либо а0 = О, либо
6° = 0). При этом, если / леворегулярна, то а° = 0;
если / праворегулярна, то 6° = 0; если / двусторонне
регулярна, то а0 = Ь° = 0 (см. [319]).

ГЛАВА V
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
НАД АЛГЕБРАМИ
§ 1. Дифференцируемое многообразие над алгеброй
Все дифференцируемые объекты, рассматриваемые,
в этой главе, предполагаются имеющими класс диф-
ференцируемости по крайней мере С°°.
Гладкое многообразие над алгеброй определяется
аналогично гладкому вещественному или
комплексному аналитическому многообразию. Пусть % —
коммутативная ассоциативная унитальная алгебра
размерности т, а V — топологическое пространство.
Определения. 1-картой на· V будем называть пару
(U, h), состоящую из области Ucz V и
гомеоморфизма h:U—*Ur области U на некоторую область £/'
Si-модуля %п строк длины пХ). Гомеоморфизм h отно·
сит каждой точке χζϋ строку {х\ х2, ..., хп\ = {х*}
(α, β, ... = 1, п) элементов из алгебры % которые
будем называть 91-координатами точки jc. Гомеоморфизм
h при этом называется ЗД-координатным
гомеоморфизмом, а область U областью определения 91-карты или
ЭД-координатной областью.
^-гладким атласом на топологическом
пространстве V будем называть набор {{UA, hA)) 31-карт, где
hA : UA —> U'Acz91я, удовлетворяющий следующим
условиям: 1) -каждая^ точка x£V принадлежит области
^ Топология в алгебре 9J вводится естественным образом,
как в конечномерном векторном пространстве, после чего
возникает топология и в <Щ/г.
102

определения UA некоторой' Si-карты (UA, hA) или,
что то же самое, '|J UA = V\ 2) если UA {] ивф 0, то
л
гомеоморфизм Λβ о Д-1: hA {UA Π ί/β) —* hB {UA f] UB)
задается голоморфными функциями (см. главу V)
Ъ = Па (^А , ^ , ..., л- ) = F'ba Ю (1-1)
над алгеброй Si.
Пусть на топологическом пространстве V задан
некоторый Si-гладкий атлас {(UA, hA)\, Si-карту (£У, h)
на V будем называть согласованной с этим атласом,
если при UA[}u=f0 гомеоморфизмы Λ о h~l: hA (UA[\
Π £/)—* h(UA[\U) и обратный к нему hA° h~~x
задаются голоморфными над Si функциями.
Sl-гладкий атлас называется максимальным; если
он содержит все согласованные с ним Si-карты.
Гладким многообразием размерности η над
алгеброй 91 будем называть хаусдорфово топологическое
пространство V со счетной базой вместе с заданным
на нем максимальным Si-гладким атласом. Обозначать
гладкое многообразие над SI размерности η будем
так: Vf ·
Предложение 1. Si-гладкое многообразие V®
является гладким вещественным многообразием
размерности тп (m = dimSi).
Доказательство. Пусть {EJ (а=1, ^ —
естественный Si-базис в ST, т. е. Е= {0, ..., Ь, ..., 0}, где
1 .„ о ... η
Ь ζ Si — главная единица, a \fa\ {а = 1, /и) — базис
алгебры S1, тогда набор {fJEa} (α = 1, я; α = 1, //г) будет
являться базисом Si/Z как линейного пространства.
Выбор этого базиса определяет линейный изоморфизм
в:*л—Rmn, где θ ({χα\) = {хаа} при ха = хаа/а. Если
{ША, hA)} Si-гладкий атлас, определяющий на V„
структуру гладкого над Si многообразия, то набор
карт {(UA , gA)\; где gA = β о hA будет гладким атласом,
поскольку на UA[\UB гомеоморфизм gB о g-1 задается
гладкими функциями х% = F™A(j$Ji), где FaBaAfa = FaBA
(см. 1.1).
Карту (UA, gA) будем называть картой,
индуцированной 31-картой (UA, h ). Топологическое простран-
103

ство V с гладкой структурой, определяемой атласом
\Ша> &а)} будем обозначать V%n и называть
реализацией многообразия V^ над 9ί.
Упражнение. Показать, что на многообразиях S{XR
и Sx X Si можно ввести структуры гладких
многообразий над алгебрами /? (ε) и R (e). (R — вещественная
прямая, а ^—окружность).
Для 91-гладких многообразий аналогично
вещественным многообразиям естественно определяются
51-гладкие отображения и 91-гладкие подмногообразия,
в соответствующих определениях нужно только
всюду требование гладкости рассматриваемых функций
заменить на требование голоморфности над 9L
§ 2. Касательный'модуль к Vf и его 'реализация
ЭД-кривой на ЭД-гладком многообразии /^
называется ЭД-гладкое отображение φι W—>V®, где Waty —
некоторая область алгебры ЭД.
Пусть x£V®, a L (х) — множество ^-кривых,
удовлетворяющих условиям W~$0 и φ(0) = χ; введем на
L(x) отношение эквивалентности; ух~ φ2, если для
некоторой 91-карты (U, К) на V®, такой что U^x,
и некоторой области W'cz W{ {] W2, такой что ух (№') cz
a U, φ2 (W7') cz £Λ выполняется
dy* d$
dz J τ=-ο dz
где χα = φ* (τ) и /с" = φ£ (τ) — координатные выражения
отображений φ1 и φ2.
Упражнение. Показать, что введенное отношение
эквивалентности не зависит от выбора ЭД-карты (£/, /ζ).
Определение. Класс эквивалентных ЭД-кривых из
множества L(x) будем называть касательным
^-вектором в точке x£V®.
Рассмотрим множество TX(V®) касательных ЭД-век-
торов в точке χζ,ν^. Соотношение (2.1) взаимно
однозначно относит в карте (U, И) каждому
касательному ЭД-вектору ν элемент {<оа}"£91л (|ва = -^— ].
\ άτ Ь=о/
(2.1).
τ=0
104

Это позволяет ввести на множестве TX(V„)
структуру 91-модуля размерности п: для и, v, w£Tx(V®),
#€#> σζ31 положим
и = ν + w, если ua= va+ wa,
u=av, если щи* = аъ*,
и = cvy если иа = αν*.
Упражнение. Показать, что введенные операции
сложения и умножения на вещественные числа и
элементы из алгебры не зависят от выбора конкретной
ЭД-карты (£/, К).
Элементы Όα£9Ι будем называть координатами
ЗС-вектора ν в 31-карте (£У, h).
Упражнение. Показать, что если x£UA[\UB и на
ί/дП Uв преобразование 31-координат имеет вид х\ =
А К
ΌΒ
X
Определение. Множество TX(V„) с введенной на
нем структурой 51-модуля размерности п, будем
называть касательным 31-модулем к V^ в точке х.
Наличие касательного 51-модуля позволяет связать
с каждой точкой x^V^ и кокасательный ЭД-модуль
T*X(V®), как дуальный Οί-модуль, а также и
касательный ЭД-модуль Txp(V®) ^-тензоров валентности (/?, q)
(см. гл. III). Координаты касательных кояекторов и
тензоров к V® получаются так же как и для
вещественного гладкого многообразия и преобразуются по
аналогичным формулам.
Задавая в каждой точке x£V® некоторый 91-тен-
зор валентности (/?, q), получим поле ЭД-тензора. Это
поле будем называть ^-гладким, если в любой 91-кар-
те (U, К) оно задается- голоморфными функциями
Tl\Z\q^Tl\Zlq(xa)i и ПР0СТ0 гладким, если гладкими
являются функции b''-:<r=f'l"-^(^, где т;у'';«/л=
1Ф6

= Γρι;"β?. Между касательным Si-модулем TX(V®) и
касательным пространством Tx(V%n) можно
установить взаимно однозначное соответствие. Пусть
^:/?—> 91 — отображение, определеннее соотношением
κ (/) = δί, тогда всякой ^-кривой φ : W—+ V® из L (х)
можно отнести кривую ψ: (—1{, t^czR-^V^,
полагая ψ = φ ο κ I , где предполагается κ ((—tx, t\)) cz W.
Относя касательному 91-вектору в точке χ,
определенному ЭД-кризой φ, касательный вектор в точке jc,
определяемый кривой ψ, получим взаимно
однозначное отображение TX(V®) на Tx(V%n), которое в
координатах выглядит так: 51-вектору с координатами ν"
в Si-карте (£У, h) соответствует вектор с
координатами vaa, где ъа = ъаа/а, в индуцированной карте (U, g).
Упражнение. Показать, что установленное
соответствие не зависит от выбора конкретной кривой φ
и является линейным изоморфизмом.
Если на V%n рассматривается произвольная карта
(i/, g'), согласованная с индуцированным атласом
\(UA, gA)}, и преобразование координат на U'[\U=fc 0,
где (U, g) — карта, индуцированная некоторой 91-кар-
той (U, А), согласованной с 31-гладкой структурой на
V® , имеет вид хаа = хаа (х7) (i, j = 1, тп), то vaa =
дхаа
= ——-v\ откуда после СЕертывания с элементами
дх]
базиса fa алгебры % получается
дха
v« = ^-vJ. (2.2)
dxJ
Соотношение (2.2) однозначно относит 91-век;гору
с координатами va вектор ν3 как разложение 91-век-
тора να по линейно независимым (с действительными
а дха
коэффициентами) 91-векторам Л; = —. (у=1, тп). Раз-
, дхJ
ложение (2.2), примененное впервые А. П. Норденом
[ 158] при рассмотрении комплексных многообразий,
будем называть реальным разложением. Построенное
соответствие Tx(V®-)*--+Tx(V%n) будем называть
соответствием реализации, а пространство Tx(V%n) бу-
106

дем называть реализацией модуля TX(V„). Вопрос
реализации касательного Si-тензорного модуля Txp(V^)
касательным тензорным пространством Т/(У^ после
этого принимает алгебраический характер и может
быть полностью решен для фробениусовых алгебр
(см. гл. III). Поскольку тензоры валентности (/?, 1)
эквивалентны полилинейным операторам на исходном
линейном пространстве, то касательному Si-тензору
валентности (/?, 1) можно отнести реализующий его
касательный тензор валентности (/?, 1) для
многообразия V® над любой (не обязательно, фробениусо-
вой) алгеброй. В картах (£/, К) и (i/, g') это
соответствие может быть осуществлено при помощи
реальных разложений
Та ' ,д^__д^_ аЛ _дх* Ti ,9оч
ура-рЛ^/1 а*>« "' dxh " дх* luh'~h- {Z'0}
Операция умножения 31-вёкторов из TX(V®) на
элементы алгебры 91 порождает представление
алгебры $1 в Тх(У^п) для любого χζ V%n . Пусть σζ^Ι, реа-
• дха
лизуя 91-вектор στ>α, получим ονα =α*ν; —-, где
аффинор σ* получается из реальных разложений
·%τ-ι£· (2·4)
Из соотношений (2.4) видно, что таким образом
элементу- а£ЭД относится на V%n гладкое поле аффинора
σ*. При [рассмотрении индуцированной карты (£/, g)
получим следующие координаты этого аффинора
Аффинор ok называется структурным аффинором
многообразия V*,, соответствующим σζ^Ι. Элементам fa
базиса алгебры 51 соответствуют при этом аффиноры
fl], такие что
faa — ^a»fl · ft f] -— „с ft
J βΰ Ик' J J J k \abJ к'
с а о с
107

Соотношения (2.5) показывают, что в
индуцированных картах на V^n в каждом касательном
пространстве Tx(V^m) получается кратно регулярное
представление алгебры 91 (см. гл. III).
Поскольку на основе одного топологического
пространства V построены многообразие V^ ,над
алгеброй 91 и его реализация — вещественное гладкое
многообразие V%n, то на Vf- можно рассматривать
гладкие поля смешанных тензоров, то есть 91-знач-
ных полилинейных функций на Tx(Vf-)> T*X(V^)9
Tx(V%n) и T*x(V%n): Примером такого поля
смешанного тензора является поле связующего аффинора —
тензора контравариантной валентности 1 над V® и
ковариантной валентности 1 над V%n, . задающего
реализацию 91-модуля TX(V^) линейным
пространством Tx(V%n). В рассматриваемых, картах (£/, К) и
дха
(£/', gf) это поле имеет координаты Л? = —-, а в
картах (£/, h) и (ί/, g) координаты А«Ь = Ц/Ь.
§ 3. 91-линейная связность на V®
Относя каждой 91-карте (UA\ hA) на V® набор
гладких 91-значных функций.
-1^ = 1^ (*""), (3.1)
А А ' А
связанных на пересечении областей определения 91-карт
(UA, hA) и (UB, hB) соотношениями
όχτ дх° дха дха
•ра рр й В А , А
Α?Ί~Βτ°δχ?δχΤόχ^+ dx?
А А В В
д2Х?
В
дх? όχΐ
А А
получим 91-линейную связность на Ул ,
коэффициентами которой являются функции (3.1). Наличие 91-ли-
нейной связности позволяет определить на V®
абсолютный дифференциал и ковариантную производную
108

гладкого тензорного поля. Если в 91-карте (£/, К) это
поле ийеет координаты Т^'"^я, то абсолютный диф-
.ференщЦл имеет вид
ьп::> = dr;;;;;;« + {i- ту;;;; ξ +... + г£ 7£:£ -
- г;, τ>.::ζ« - - - г;Эр т£;:;<} dx\ · (3.2)
Для гладкого поля Г"1""'>, - не являющегося 91-глад-
h - рр
ким, можно определить только ковариантную
производную, являющуюся смешанным тензором. В картах
(£/, К) на V® и (U\ g') на У*л, которые
рассматривались в предыдущем § 2, ковариантная производная
имеет координаты
1 Ρ ι Ρ ι Ρ /ο α\
где
Γ/β = Γγαβ^} (3.4)
— смешанные коэффициенты 31-линейной связности
(см. [158]). Имезт место соотношение
Если поле Т?1'"?я 91-гладкое, то определится кова-
риантная производная νσ ^βι'"βς из соотношения
ρι "·· рр ρι рр
91-линейную связность на V® будем называть
голоморфной, если функции ΓβΤ = ΓβΤ (χσ) — голоморфные
А А А
над 31. Если связность голоморфна, то ковариантная
производная от 31-гладкого тензорного поля является
91-гладким тензорным полем, поэтому можно
рассматривать вторые ковариантные производные и обычным
образом ([161]) определить ЭД-тензор кривизны. 91-тен-
109

зор кручения 5ατβ = Γ|αβ] определяется для
любой/^-линейной связности.
Объект ^-линейной связности позволяет/ ввести
параллельное перенесение Тензорного полк вдоль
нити — кривой вещественного параметра ха =ха (t)
на V®, а именно, тензор T^'^q переносится вдоль
нити параллельно, если его абсолютный
дифференциал (3.2) равен нулю вдоль этой нити.
Следуя методу А. П. Нордена ([158]), линейную
связность на V%n будем называть реализацией
91-линейной связности на V®, если для любого гладкого
поля %-вектора абсолютный дифференциал
реализующего векторного поля является реализацией
абсолютного дифференциала исходного поля 91-нектора. В
рассматриваемых картах это требование принимает
следующий вид
b<v« = A)b<vJ. (3.5)
Реалиь}юш,ая связность существует .и определена
однозначно. Раскрывая соотношения (3.5), получим
коэффициенты T*k линейной связности на 1/*л:
dkA'J + T»JAlA} = TjtJAi. (3.6)
Используя смешанные коэффициенты %-линейной
связности и коэффициенты реализующей связности,
можно определить ковариантную производную для
гладкого поля смешанного тензора T^-j- :
VuT;;;;};;; = dkTfc}:::- + Γ«α 7);:: )ζ + ...
ι ΓΙ Τα.. Л... » Γσ fa ... Ι ... _ Γι Τ*α - * ···
^ Хш ι β...;... у ··· χ щ ι σ... у... ···* ± kjι β.../...
которая также будет гладким полем смешанного
тензора. Смешанное ковариантцое дифференцирование
подчиняется правилам обычного ковариантного
дифференцирования ([161]).
Применяя рассмотренный' аппарат, (3.6) можно
записать в виде
VH5 = 0, (3.7)
поэтому поле связующего аффинора кобариантно
постоянно. Из (2.4) тогда сразу вытекает ковариантное
11·

постоянство структурных тензоров на V%n в
реализующей связности
Из (3.6) к (2.3) следует, что тензор кручения
реализующей связности является реализацией тензора
кручения ЭД-лйнейной связности
^Л|Л} = 5^Л», (3.8)
откуда в частности вытекает, что 31-линейная
связность без кручения реализуется связлостью без
кручения.
Если 91-линейная связность * голоморфна, то, как
отмечалось, можно определить Si-тензор кривизны.
Для любого ЭД-гладкого векторного поля νσ имеем
([161]):
Сиертывая последнее выражение со связующими
аффинорами А*А\ и учитывая (2.2), (3.7), (3.8), получим
2*цЪ№ = /?<£ А) А\ Α) ν1 - 2Sjk (Vlvl) A],
откуда
то есть тензор кривизны реализующей связности
является реализацией ЭД-тензора кривизны исходной
ЭД-линейной связности.
Если ^-линейная связность не является голоморфной,'
то можно образовать только смеЩанный тензор
кривизны
Упражнения. Получить следующие соотношения
2) ^iktA] = RikiA\.
Если карта (£/, g) на V%n индуцируется ] 91-картой
(£/, А), то соотношения, (3.2) принимают вид
111

откуда, полагая Г« = Г« /Л, получим (см. [102]у
а
T*h Γα ΎΛ yb /Q q\
Формулы (3.9) позволяют по реализующей (связности
восстановить исходную 1-линейную связность на V®:
а-гй-ю'Л, (з-ю)
где Ъс— координаты главной единицы алгебры 2ί (см.
гл. 1).
При голоморфной -91-линейной связности можно
рассматривать параллельное перенесение тензоров
вдоль 31-гладких кривых на V® и определить 5i-reo-
дезические линии (см. [103]), которым на V%n будут
соответствовать автопараллельные4 подмногообразия.
§ 4. Линейная связность на одномерном
многообразии над алгеброй
Содержание этого параграфа составляют
результаты из статьи А. П. Широкова [260].
Пусть V® — одномерное ЭД-гладкое* многообразие
и χ — 31-координата точки в некоторой ЭД-карте на
V^. Раскладывая x = xafai получим координаты ха
этой точки в индуцированной карте на V^.m>
Связующий аффинор имеет координаты A\a = b\fa=fa.
%-линейная связность задается одним коэффициентом
а
Г}1 = Г = Г/в. Из -(3.9) получаем коэффициенты реа-
а -
лизующей линейной связности Tfd = T\fld = Γγ|^ γ^
и смешанные коэффициенты связности Г^ = Т/л.
а
Из условий коммутативности Г^ = Γγβ^γ^ = 0,
поэтому связность на V$m не имеет кручения. Вычислим
координаты смешанного тензора кривизны:
- (ад fa - ·Γ2ΛΛ=(ад л/» - (ад -fhfm,
142

поскольку алгебра 31 коммутативна. Отсюда
Пользуясь формулой упражнения 2, получаем следую
щие выражения для координат тензора кривизны
^=^bf^i-TL<W (4Л)
Если связность" на . V® — голоморфна, то из
условий Шефферса (см. гл. IV) голоморфности функции
Г (х) над алгеброй % вытекает обращение в нуль
выражения, стоящего в скобках в формуле (4.1),
поэтому Rabdc = 0. Верно и обратное, если RJC = 0, то
/?а^&с = 0, и следовательно, выполняются условия
Шефферса голоморфности функции Г(х). Итак,
доказана
Теорема. Si-линейная связность на одномерном
многообразии V® реализуется локально плоской
связностью тогда и только тогда, когда она голоморфна.
Упражнения. 1) Показать, что С-линейная
связность на одномерном многообразии Vf над. полем
комплексных чисел реализуется связностью Вейля
с метрическим тензором, имеющим в индуцированных
101
картах матрицу \\gab\\ =
01
(в алгебре С выбран
базис fx = 1; f2 = i ([251]).
2) Вычислить коэффициенты линейной связности,
реализующей 91-линейную связность на одномерном
многообразии V^ длч алгебр двойных и дуальных
чисел. Показать, что в случае алгебры двойных чисел
эта связность будет связностью Вейля с
неопределенной метрикой (см. [251])·
§ 5. Метрическая связность над алгеброй
%-линейную связность без кручения будем
называть метрической, если она допускает существование
91-гладкого поля симметричного ковариантного
тензора G^, удовлетворяющего уравнениям
^ = 22^. (5.1)
118

Тензор Οα? можно реализовать на многообразии V%n
а
яучком тензоров G1k, используя следующие
разложения
Αα]Α\0Λ = θμα. (5.2)
Дифференцируя (5.2) ковариантно, получим AajA\^iGc^=
a b
= vfijkfa · Полагая №А} = Qjfb, отсюда легко получаем
ViQJk = 2i*cQiafk. (5.3)
Умножая (5.2) на fb и учитывая (2.4), после
несложных преобразований получим формулу
/<4 = 4^>! (5-4)
b
а
показывающую, что свертки тензоров пучка λβΟ^
(λβ = const) со структурными аффинорами
принадлежат этому же пучку. Соотношения (5.4) позволяют
переписать (5.3) в виде
VlGJk = 2QlfJGlk.
J b J
Последние уравнения удобны тем, что им удовлетво-
а
ряет любой тензор пучка H]k = λβΟ^ :
ViHJk^2QifiJHik. (5.5)
Метрическую ^ί-линейную связность будем
называть связностью Вейля, если тензор G^ невырожден,
то есть, если detj[C7a3II не делит нуль в ЗД.
Естественно, возникает вопрос, найдется ли при этом невырож-
а
денный тензор Gjk = paGjk & реализующем пучке.
Если Gfk — невырожден, то тензоры G1k = /1М1к ли-
а а
с
нейно не зависимы; тогда Gk^\^cbGk1 при некоторых
с
РсЬ. Из (5.4), с другой стороны, следует Gkf=^abcpaGk1,
b
114

откуда ЧьсРаУ* ^ί- Таким образом, для
существования невырожденного тензора Gjk необходимо, чтобы
91 была фробениусовой. Оказывается это и
достаточное условие, так как предполагая, что Οαβ
невырожден и выбрав фробениусов ковектор ра (гл. I), полу-
а
чим невырожденный тензор Gjk = paGjk · Предполагая
противное, а именно существование vJ\ такого, что
а
Qjkvk = Q, получим β,Λ·τΓ = 0 и О/А^Л = 0, откуда после
а
свертывания с /а и использования * (5.2) получается
GapAajVQ = 0, что эквивалентно Ga^fi = О или
вырожденности Оа3.
Из (5.5) можно получить теперь уравнения,
полностью характеризующие связность, реализующую
связность.Вейля над фробениусовой алгеброй
V|G,* = 2^';Gtt. (5.6)
а с а
Полагая Ω^ = Ω^/?β-, получим /* Ω* = Ω/ί£β\ откуда после
свертывания с рс и qbd (матрица, обратная к фробе-
d
ниусовой, см. гл. I) Qj = qbdf^Qk. Подставляя это
ь
в (5.6), окончательно получаем
d с
Вводя тензор Qff=qcd/$/']> эти уравнения можно
переписать в виде
Ъ0}Н = Щ*Р0». (б.7>
В таком виде основные уравнения связности,
реализующей вейлеву, были получены В. В. Вишневским
([45]), а для комплексной связности Вейля — А. П. Нор-
деном ([158]). Тензоры Qff для комплексных
многообразий и многообразий над алгеброй двойных чисел
совпадают с известными тензорами Off ([349]).
Упражнения: Показать, что
11»

гДе {?/} ~ скобки Кристоффеля тензора G{}, a
TpJ-Q$ + Qf?-Qf]GqiGkl.
2) yfikl = — 2QfiQpGik для взаимного к Gti тензора.
3) vtT$ = 0-
Связность Вейля называется римановой, если Ωα=0.
При этом να<3βγ = 0. Если 31 — фробениусова, то из
(5.7) тогда получаем 4·ββ = 0. Таким образом, рима-
нова связность на гладком многообразии над фро-
бениусовой алгеброй реализуется псевдоримановой
связностью. Связности Вейля и Римана над алгебрами
изучались также Г. И. Кручковичем ([105]), В. В. Нав-
розовым ([127])-[129]).
§ 6. Многообразия над прямыми суммами
и тензорными произведениями алгебр
Пусть Ф1 — алгебра, являющаяся прямой суммой
двух идеалов (см. гл. I) <& = %(&% а V} 2 —гладкое
1 2
многообразие над этой алгеброй. Выберем в ЭД базис
{fa} = [fa > fa } таким образом, чтобы набор [fa }
"l w2 д
составлял базис идеала 91, а набор \/а} составлял
1 2
базис 91. Пусть {(UA, hA)} —%-гладкий атлас на V®-,
рассмотрим на реализующем многообразии V^n
индуцированный атлас [ША> gA)}, определяемый выбором
базиса {fa , fa\. На V%n определяются два
распределения ЭД-площадок и 91-площадок, состоящих соот-
1 2
ветственно из векторов, удовлетворяющих
соотношениям 1) ναα2 = 0; 2) Όααι = 0, поскольку по свойству
А А
голоморфных функций над прямой суммой алгебр
(см. гл. IV) на .пересечении UA[\UB у 31-координат
преобразуются независимо (и голоморфно над 91 и 91)
слагаемые, соответствующие идеалам 31 и 91:
fA = fA (fB); fA = ?a (#)· где xA = fA + fA . (6.1)
116

Эти распределения вполне интегрируемы, через
каждую точку χ £ V%n проходит два максимальных
интегральных подмногообразия V%n и V^n (fn{ = dim%
т2 = аШЩ этих распределений. Интегральные
подмногообразия У%п и Vm n называются соответственно
ЭД-подмногообразием и - ^-подмногообразием. Если
1 2 ' -
χ £ %А имеет в 91-карте (UA, hA) координаты хаА, то
ЭД-подмногообразие, проходящее через" х, задается
1 О
в пределах области UA уравнениями хаА2 = хад2 =const,
а 91-подмногообразие — уравнениями хал{ = х*а1 = const.
2 О
Поэтому ЗД-атлас {(UA, hA)\ индуцирует на
подмногообразии V%n 91-гладкий атлас {(UA, hA)}, где UA=UA[\
П^т«' ^л = 7С10^л'а πι: ЭД~~* ^"~ проекция прямой
суммы на первое слагаемое, превращающий V%n
в 31-гладкое многообразие V} , а на V$ „ Sl-гладкий
1 п т2п 2
атлас {ША, hA)}, превращающий V%n в 91-гладкое мно-
Ж
гообразие V%.
Если на Vf- задана 51-линейная связность,
имеющая коэффициенты Γ«γ в карте (UA, hA), то из (3.9)
находятся коэффициенты реализующей связности на
VL в каРте <*/*· 8лУ-
Α "f!«Ί i πσ Τ?Λ Vi ' Л "V'a Α πσ TVa Vi '
■pa/Zj ρα/Zj "Ρα^2 "Γα^2 Π
Л КСЛ ~ А *С2°а2 ~ A *Cfd2 ~ А ™Л ~ '
Отсюда вытекает, что рассмотренные распределения
%-площадок и 31-площадок абсолютно параллельны
1 2
в реализующей связности, а интегральные многообра-
117

зия — автопараллельны. Используя формулы (3.10),
легко показать, что на каждом ^-подмногообразии
ι
индуцируется при этом Si-линейная связность с
коэффициентами (в карте (i/,, hA)) ΓβΎ = ΓβΎδ, где δ — пря-
1 1 1Л А \ 1
мое слагаемое главной единицы δ, являющееся
главной единицей в 51 (см. гл. I), а на каждом 51-подмно-
1 2
гообразии-—51-линейная связность с коэффициентами
2
(в карте (UA ,+hA)) Γ3ατ = Γ^δ, где δ + δ = δ. Если 51-ли-
2Л2Л2Л А 2 л 1 2
нейная связность на V^ 51-голоморфна, то на 51- (51-)
1 2
подмногообразии индуцируется 51- (51-) голоморфная
~1 2
связность, причем Грт == Г£т (л*:) (соответственно Г?т =
Ы 1Л 1 2Л
= Γβτ (лгд)), поэтому имеет уесто следующая теорема
В. В. Вишневского ([33]):
Теорема.^ Лоьальное пространство V* 2
голоморфной 51ф51-линейной связности является
декартовой композицией пространств V* и V% голоморфной
5ί- и 51-линейной связности.
1 [2
Результаты этого параграфа допускают обобщение
(см. .[292]): вместо прямой суммы двух идеалов можно
рассмотреть один идеал 93cz5l, тогда на
многообразии Vf*n, реализующем V®, ,появится вполне
интегрируемое распределение 93-площадок. Интегральные
многообразия при этом будут нести на себе
структуру факторалгебры 5ί/Αηη (£>), где Ann (93) — аннулятор
идеала 33. Если 93'— главный идеал, то 93-подмного-
образие оказывается 51/Апп (93) — гладким
многообразием.
Как следствие рассуждений, доказанной в
главе IV теоремы, получаются следующие свойства
гладких многообразий над тензорными произведениями
алгебр.
118

Пусть V1 2 — гладкое многообразие над 510%.
1 2
Каждой 91091-карте (£/,, АЛ 91£>^)91-гладкого атласа
1(/7л, Лл)} на V* 2 можно отнести 91-карту ША, к\)
и 91-карту (£/л, h2A), где /^ = Οι ° АА , h\ =Ъ2 о hA, а вх
и θ2 — линейные гомоморфизмы модулей строк
в1:(*®«)л-*9Гал; θ2: (91(g)91)"—91V,
12 1 12 2
определенные соатношениями Βγ ({ха\) = {хаа2}, 02 ({■*"}) =
-ФП при а = Т7^ и ^-Л^-^Д-*"*/*®
0£л . По указанной теореме атлас {{UA, hlA)} опреде-
ляет на I/1 2 структуру 91-гладкого многообразия
V\m , а атлас {(L/A, h\\) определяет на V\ 2 струк-
туру 91-гйадкого многообразия V% .
9101-линейная связность на V^ 2 индуцирует
Ж
91-линейную связность на V* и 91-линейную
связке
ность на V* . При этом 91.091-линейная связность
пт\ 1 2
голоморфна тогда и только тогда, когда голоморфны
91-линейная и 91-линейная связности одновременно.
1 2

ГЛАВА VI
УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В теории многообразий с почти комплексной
структурой особо важную роль играют почти эрмитовы,
в частности, келеровы структуры. Многообразия с ке-
леровой структурой нередко называют также
унитарными пространствами ([199], [214]). Многие положения
теории таких пространств естественно обобщаются
и переносятся на пространства над произвольными
ассоциативными алгебрами. Идея таких обобщений
берет начало в том, что переход от комплексного
числа к сопряженному является инволютивным
автоморфизмом в алгебре комплексных чисел. Поэтому с
помощью инволютивных автоморфизмов (или
антиавтоморфизмов) алгебр можно строить аналоги почти
эрмитовых структур в многообразиях со структурами,
определяемыми этими алгебрами.
Напомним (см. гл. III) понятие гибридного тензора
по отношению к инволютивному автоморфизму
алгебры, ограничиваясь коммутативными ассоциативными
унитальными алгебрами. Пусть инволютивный
автоморфизм ψ: χ —> χ задается своим действием на
базисные элементы алгебры 91 по правилу
Φ (*|) = ♦?*,. W, = *r
Тогда имеют место соотношения
и с учетом невырожденности матрицы Щ) следует
соотношение
4^ = δ<.
120

Таким образом, инволютивный автоморфизм ψ
сохраняет все вещественные элементы λδ(λ£#) алгебры %
(dim %= η).
Пусть над алгеброй 31 построен конечнопорожден-
ный модуль Ьт(Щ, соответствующий
кратно-регулярному представлению алгебры 91, и Lmn— вещественная
модель этого ' модуля. /j*»jj ==Ъ*^к — структурные
аффиноры пространства Lmn9 отвечающие базисным
элементам ek алгебры 31. Тогда элементам ek = ^skes
отвечают в Lmn аффиноры / с координатами в адап-
k
тированном репере
Очевидно,
/(3,Я °рт*Т,/ °βΤ^Ψ/Ψρ·
?-«/
Для аффиноров / выполняются соотношения
k
fB fC = ~s fB Ύ5 fB
J С l A i 'ь J A i rT J A ,
{AJС \rkJ Л >
k r s
соответствующие равенствам
где γ^=τ^Ψ2.
Пусть дан тензор типа (р, <7) в Z,mn, и его
индексы (как верхние, так и нижние) разбиты на две серии,
причем индексы первой серии не начеркиваются, а
второй — начеркиваются:
(конечно, неначеркнугые индексы могут стоять и
вперемежку с начеркнутыми). Этот тензор называется
гибридным, если его свертка как с аффинором / по
к
121

любому^ из неначаркнутых индексов, так и с
аффинором / по любому из начеркнутых индексов дает
k
один и тот же результат. Например, в соответствии
со „сказанным в главе III для алгебры комплексных
чисел гибридность означает, что свертывание тензора
Т* с аффинором комплексной структуры по начеркну*
тому индексу отличается только знаком от его
свертывания с этим аффинором по любому неначеркну-
тому индексу.
Рассмотрим гибридные тензоры типа (0, 2) gA^;
они удовлетворяют условию
£(«. s) (P77) Ifci = £(а, г) (ЗГ^) Чт] % '
Отсюда следует, что.[[
где
£<χβ/ = £(а,«7)"(М) *
Обратно, из строения (1) тензора gA^ в
адаптированном репере вытекает ею гибридность.
Будем- далее предполагать алгебру 91 фробениу-
совой.
С помощью вещественных коэффициентов ga^s9
входящих в правую L.acib (1), составим величины
из алгебры
где es = qsmem— элементы взаимного базиса алгебры %
полученные с помошью фробениусоЕой метрики.
Так как компоненты гибридного тензора gAg-
преобразуются при переходе к ноЕому
адаптированному реперу по обычному закону (ведь черта
здесь лишь напоминает об особой роли отмеченного
составного индекса):
?(*'. t) (F77) ^ Ρα' ^ Ръ1 Т/я/ £(σ, S) (ТГО**'
то
122

Итак, величины Q^ преобразуются при переходе
к новому адаптированному реперу как координаты
тензора из модуля Ьт(Щ, причем такого тензора,
который определяется функцией, линейной по первому
аргументу и квазилинейной по второму. В случае
алгебры комплексных чисел и при условии симметрии
тензора gA^ возникает обычный эрмитов тензор.
Таким образом, дяя любых двух векторов vA, wA
возникает инвариант со значениями в %\
где Va = v{a's)esi Wa^w{a's)es.
В общем случае значения соответствующей
квадратичной формы Qa^VaV^ не будут вещественными
элементами алгебры даже при условии симметрии
тензора gA^.
Рассмотрим некоторые частные случаи, беря в
качестве % алгебры комплексных, двойных и дуальных
чисел. Здесь гибридные тензоры типа (0, 2) будут
совпадать с теми, которые рассматривались в
главе И, а в случае их симметрии они совпадут с
рассматривавшимися там 5-тензорами. Однако в
отношении способа отображения этих тензоров на
эрмитовы тензоры модуля Lm {Щ над соответствующей
алгеброй мы сейчас встанем на более общую точку
зрения.
1. Для алгебры комплексных чисел при
естественном выборе базиса е{ = 1, e2 = i отличными от нуля
структурными константами являются γ\χ = γ^2 = γ|χ ==
= —γ*2=1, а матрица* Щ), отвечающая операции
комплексного сопряжения, имеет вид
«MJ-?)·
Если искать симметрические гибридные тензоры
gA^, то из (1) следует, что величины ga3l должны
быть симметричны по греческим индексам, a ga32 —
антисимметричны. При самом общем выборе фробе-
ниусовой метрики Jjtj обратная· матрица (qlj) будет
123

иметь вид ( __Н, откуда el=l + ip, е2= — *(λ + ίμ),
а значит величины G^ будут таковы:
Только при μ = 0 мы будем иметь О^ = Οβ-, τ. е.
тензор GaQ будет обладать свойством эрмитовой
симметрии.
2. Для алгебры двойных чисел выберем базис \е,
е). Тогда матрица (ψ*), отвечающая операции
сопряжения в алгебре, имеет вид
«и? а)·
а матрица (qlj) взаимного фробениусова метрического
тензора будет
Для симметрического гибридного тензора gA^
согласно (1) получаем условия £αβ1 = £βα2, так что
О-в" = λ%ρι + Η·^«ρ2 · (3)
Имеем
°β« = λ*««β2 + ^«ρΐ
и только при λ= р. получим Gap-= Ое;.
3. Для алгебры дуальных чисел с базисом {^ = 1,
e2 = z] мы тоже можем взять в качестве инволютив-
ного автоморфизма операцию дуального сопряжения
с соответствующей матрицей (ψ*) = /* V )· Так как
теперь отличны от нуля лишь структурные константы
Тп ~ Τΐ2 = Ϊ2ΐ = 1» т9 матрица взаимного фробениусова
метрического тензора будет иметь вид (qij) = Ι ϋ^ ),
так что е1 = р.е, е2 = μ + λε. Симметричный гибридный
тензор £л# в силу (1) удовлетворяет условиям
&α61 = ^βαΐ » ^αβ2 === £βα2 *
124

Отсюда
Oep- = (^ + eX)(gep2 + egeB1),
так что ,„эрмитова форма" G^VaV^ теперь всегда
принимает не вещественные, а „чисто дуальные"
значения.
Упражнение. Развить аппарат
обобщенно-гибридных тензоров пространства L2n со структурой,
определяемой алгеброй 91 = /? (ε), учитывая наличие
в алгебре R (ε) однопараметрического семейства неин-
волютивных автоморфизмов х+гу—*х+вку9 λ== const.
Вопросы дифференциальной геометрии унитарных
пространств мы рассмотрим здесь лишь для алгебр
комплексных, двойных и дуальных чисел,
ограничившись в общем случае кратким обзором
имеющихся результатов.
§ Ъ Дифференциальная геометрия комплексных
унитарных пространств
Задание на многообразии М2п гладкого поля
структурного аффинора /* со свойством f^f%= —^
определяет на этом многообразии почти комплексную
структуру. Наличие на М2п римановой метрики,
определяемой 5-тензором g^g С/£ gCfl = — JbBAc)*>
эквивалентно существованию на М2п почти эрмитовой
структуры, подчиненной заданной почти^ комплексной
структуре. Геометрии почти комплексных и почти
эрмитовых многообразий посвящена огромная
литература (обзор работ в этой области до 1963 года
произведен в статье [15]).
Почти эрмитова структура называется келеровой,
если структурный аффинор /£ ковариантно постоянен
в римановой связности, определяемой метрическим
тензором gAB. В этом случае С-тензор /лв = /а8ов
является ковариантно постоянным бивектором, и
метрический тензор раиен квадрату этого бивектора:
8ав= Ja Jсв^ & JcaJdb*
* Так как гибридный тензор gAB симметричен, то
начеркивать один из его индексов мы не будем. Линейный элемент
римановой метрики не предполагается положительно определенным·
125

Такие римановы пространства впервые иссяедовая
в 1925 году П. А. Широков под названием Л-про-
странств [285].
Как 6hmo показано А. Ньюлендером и А. Нирен-
бергом [331], обращение в нуль тензора Нейенхейса
(13321)
аффинора почти комплексной структуры обеспечивает
интегрируемость этой структуры, т. е. существование
такой локальной карты для некоторой окрестности
произвольной точки многообразия, в которой'
структурный аффинор имеет постоянные координаты. Так
как для келеровой структуры ввиду ковариантного
постоянства структурного аффинора в римановой
связности тензор Нейенхейса этого аффинора
тождественно обращается в нуль, то любая точка
многообразия М2п обладает координатной окрестностью
с адаптированными локальными координатами хА,
в которых аффинор имеет постоянные компоненты
Приписывая составному индексу (a, i) номер (i—1) /г+я,
получим матрицу аффинора /£ в каноническом виде
w-{%.-$·)■
Из условия Ус/й = 0 следует, что в локальных
адаптированных координатах компоненты римановой
связности обладают свойством
-pa -рЯ+a -pa γ\Π-\-α -pa тлП+а
x 3γ = x β, л-И — —λ л+β, л-И > х л + β, л+ч — λ β, л + γ —■ —λ βγ ·
5-тензор gAB в соответствии со сказанным в
главе II имеет матрицу
Ра?
-<?αβ
и Ι
ρ* I
\8αΒ> ~ Ι > Ρ<$ ~Ρ$<χ ' #αβ #βα>
J ^αβ Ι "αβ Ι
так что согласно (1) имеем ga31 = Pa3, g^2 = ~9^·
Полагая в (2) Х=Д, μ, == 0, получим
°«ё = АсВ + ^αβ ·
126

Вводя комплексные локальные координаты Ха = ха +
+ ijc*+a, 5r = jca-u:"+a, обозначим через д°а, д{ сим·
волы частных производных по Ха, Л"*
соответственно, так что
~" Φ* τ К - <<W' <-= 1 ^+ w*h )■
Тогда после введения комплексных компонент
связности**
£βγ = 1 βγ -f" U βγ
из условия Vc^b^O получаются эквивалентные ему
соотношения
Та? — ^аТ σβ '
(5>
γ aSj Ρί ασ
Отсюда следует существование вещественной керн-
функции Ф, для которой
0-=д°д1Ф. (6>
αβ « · α β ' V ;
Из многочисленных специальных вопросов,
относящихся к геометрии почти комплексных и келеровых
пространств, отметим вопрос о
голоморфно-проективных соответствиях.
Кривая хА = хл (t) в почти комплексном
многообразии аффинной связности с ковариантно постоянным
структурным аффинором называется
голоморфно-геодезической (или голоморфно-плоской), если вдоль нее
переносится параллельно инвариантная (голоморфная)
площадка, натянутая на векторы хА и fj}XB:
ι-—=λΧΛι + μχ -j
at
Геодезическая кривая является частным случаем голо·
морфно-геодезической кривой.
Две аффинные связности без кручения в
многообразии с почти комплексной структурой находятся
в голоморфно-проективном соответствии, если они
127

обладают общими голомэрфто-плогкимй кривыми***
Тензор аффинной деформации Т\с двух голоморфно-
проективных связностей должен удовлетворять ус-,
ловию
ПсхвхС^оЬАвхВ + ^Авхв
при любых хА в любой точке многообразия. Отсюда
следует, чго -~
Кс = ЯвЪАс + ЧсК + Рв/с + Рс/Ав ■ (7)
При этом, если структурный аффинор /£ ковариант-
но постоянен в обеих связностях, то"
Яа-ПРс- (8)
В адаптированных локальных координатах отсюда
следует
1 βγ — ι β, /г+т ι Λ+β, «+τ ^л+0 γ ^ ^/ϊ+·γ β '
7 л+β, n+ 7В,л+Т βτ *Р 7 MP*
Поэтому
^в7 + ^вт+11 = ^^ + ^. (9)
где
^Α,-κ + 'Α-
Предположим, что · два келеровых пространства
с метрическими тензорами G -, G- и с одним и тем
же аффинором почти комплексной структуры /£
находятся в голоморфно-проективном соответствии.
Тогда согласно (5) и (9) имеем:
ий Ьич ^βσ ^ °γ ^βσ *β γ ^ 'γ β '
так что
τ л + 1 τ д
Ι*) Общие вопросы $С-планарных отображений изучали В. С.'Та-
лапин ([221], [224]), Е. Павлов [333j, В. В. Вишневский.
128

где
A = Det(Oef)> A = Det(Oa-).
Пусть одно из пространств является унитарным
векторным пространством, отнесенным к декартовым
координатам, так что тензор Q^ имеет постоянные
компоненты, а матрица структурного ' аффинора fAB
свой канонический вид. Тогда согласно (9)
комплексные коэффициенты связности Ζ\Λ будут иметь строение
и при этом согласно (5)
д° о - - Ра о. - я о _ = о.
γ ар н αγ
Ϊ
Составляя условие интегрируемости этих уравнений,
найдем решение
α α αβ α ρ
где
U= a - ΧσΧτ + а Χ* + ΈΧα + a,
στ ' σ ' σ *
α4 ^ α3α » ^ — произвольные комплексные
постоянные, a — произвольная вещественная постоянная. Мы
пришли к унитарному пространству достоянной
голоморфной кривизны (см. [304]).
Упражнение. Показать, что метрический тензор
унитарного пространства постоянной голоморфной
кривизны можно представить в виде
&АВ=-двЯА + <1АЧв-'РАРв>
где qA = —дА1п VU, рА=—/д<7с- Присоединенный
ковариантно постоянный бивектор будет тогда иметь
вид
/ав = fUcB = двРА ~Ра Я в "Рв^а >
а тензор кривизны приобретает строение
RdCB =Т ~~&DB ^С + 8 СВ ^D + f BD f С ~~ f ВС f D~~~^ ^ DC tВ *

Проверить, что кривизна этого пространства в
направлении любой двумерной голоморфной
площадки постоянна (отсюда и название „пространство
постоянной голоморфной кривизны").
При решении задачи об отыскании унитарных
пространств постоянной голоморфной кривизны мы по
существу решили более общую задачу.
Действительно, полученный ковариантно постоянный метрический
эрмитов тензор G^ = d^dtln U будет невырожденным
лишь при ^условии невырожденности эрмитовой
формы ασ-Χ°Χτ в выражении для функции
U = α- ΧαΧτ + ааХ° + aJX* + α.
Таким образом, фактически был найден специальный
класс аффинных связностей, находящихся в
голоморфно-проективном соответствии со связностью
унитарного пространства нулевой кривизны. Все эти
связности симметричны в смысле Картана.
Указанная ситуация напоминает ту, которая
возникает при отыскании симметрических проективно-
евклидовых пространств [288]. Самая общая такая
связность может быть получена в результате
нормализации проективного пространства (в смысле А. П. Нор-
дена), определяемой произвольным симметрическим
поляритетом. Если этот поляритет невырожден, то
возникает риманово пространство постоянной
кривизны.
Покажем, что и к найденным выше связностям
можно прийти, вводя понятие нормализованного би-
планарного пространства. Рассмотрим (2/г + 1)-мерное'
бипланарное пространство эллиптического типа Б2п+1
и в нем — сфероидальную гиперквадрику,
определяемую 5-тензором (см. гл. II). Пус1ь в комплексных
координатах Х° = х° + uf+0, Ха = χ + ixn+a эта
гиперквадрика задана уравнением
ασ-;Τ5Τ + α,Χ'χο + ασΧα XQ + aXQX« = 0.
Если авГ=*вр + /свй (ftee = ftpe, с^ = -съХ aa = ba+ica9
то вещественное уравнение этой гиперквадрики будет
(χ, χ) = £αβ (jcV + xn+axn^) + 2ca$ jcV4* +
130

+ 2ba {xx° + xn+°xn+0) + 2ca (xxn+° - χη+σχ°) +
+ a[(jc°)2 + (jc"+0)2]-0.
В пространстве Б2п+1 каждой особой прямой можно
поставить в соответствие особое подпространство
Б2п_х, полярно сопряженное этой прямой
относительно сфероидальной гиперквадрики .(х, х) = 0. При этом
через каждую точку общего положения χ будет
проходить особая прямая (нормаль 1-го рода) д трансвер-
сальная этой прямой гиперплоскость, содержащая
указанную особую плоскость Б2п_1, играющую роль
нормали 2-го рода в этой гиперплоскости.* Возникает
ситуация, характерная для нормализованного
проективного пространства с заданным расслоением (в
данном случае — с расслоением на особые прямые бипла-
нарного пространства B2tt±i) (см. '[268]). Взяв в
пространстве />2л+1 вспомогательную фиксированную
гиперплоскость хп+0 = 0, зададим точку χ этой гипер-
0
плоскости с помощью координат ха, У1*":
х(1:х°:0:хп+а).
о
Точку χ общего положения в пространстве Б2„+1
можно теперь задать в виде χ = jccosV+0 + χ sin χ"4"0,
о о
где хп+0— новая координата, фиксирующая положение
точки χ на особой прямой. С точкой χ можно
ассоциировать проективный репер
где
Уа = дх — 1х — 1п+°у л,
Уп+а = Vn+aX ~ ln+aX ~~ ^п+аУп+О »
Из условий
(y«> *) = (y«+e. *) = (уя. ^) = (ул+в. *) = о
131

найдем
(X, х)
ι ,п+0 ~~СааХ +ЬааХ
я+в" "" (χ,χ)
После этого из разложений
(£/, ν=1, ..., 2/г; Л = 1, ..., 2/г, /г + 0) определятся
величины 1УиА, а с их помощью — симметричные по-
нижним индексам величины
?и — ru —bui __ти /п+о
являющиеся компонентами объекта аффинной
связности (в общем случае зависящего от слоевых
координат) в многообразии слоев, т. е. на базе
расслоения. В результате вычислений найдем:
^αβ °α, /i-f-β °η + α, л+β La υβ ^β α '
°n+a£n+Q °α,η+Β ^αβ Ln+a β */ι+β α *
Поэтому
где
Итак, в рассматриваемом случае компоненты 2yW
не зависят от слоевых координат и определяют на
базисном многообразии расслоенного пространства
Б2п+1 отмечавшуюся выше связность, в частности
(при невырожденности заданной сфероидальной-
гиперквадрики) связность унитарного пространства
постоянной голоморфной кривизны.
132

§ 2. Дифференциальная геометрия
двойных унитарных пространств
Если в алгебре двойных чисел R(e) использовать
базис {ех = е, е2 = е},то соответствующие операторы
+ —
/г-кратного регулярного представления окажутся
парой дополнительных проекторов на /г-мерные
подпространства 2/г-мерного векторного пространства, и
в адаптированном базисе матрицы этих операторов
примут вид
0 \0Е,
teAe»i..V:J). (И)
Пусть на многообразии М2п задана структура,
определяемая алгеброй /?(е). Тогда на М2п возникает
поле пары дополнительных проекторов fx, /2, и в
каждой точке существуют адаптированные реперы, в
которых матрицы этих операторов принимают вид (10).
На М2п возникает специальная структура почти
произведения. Из (1) следует, что если ввести
обозначения (а, 1) = α, (β, 2) = η + β, то симметричее-кий
гибридный тензор, отвечающий операции сопряжения
в алгебре /?(£)> имеет в адаптированном репере
матрицу
0 АГ
где М= {т^) — любая матрица п-го порядка. При-
выборе λ = μ = 1 в фррмуле (3) гибридному тензору
gA-g можно поставить в соответствие эрмитов тензор
Оф^т^ + т^
так что G^ Va 1/β = ma^vavn+^. Именно этот
симметрический гибридный тензор был получен в другом
базисе в главе II (формула (2.5)) под названием 5-тен-
зора. Введение на М2п римановой метрики (нулевой
сигнатуры) с помощью симметрического гибридного
тензора gAB задает на М2п почти эрмитову структуру
гиперболического типа. Такие структуры в последнее
время изучались рядом авторов.
133

Особенно прост случай, когда структурные
аффиноры fx , /2 ковариантно постоянны в римановой
связности, определяемой тензором gAB. Тогда
структура интегрируема, и в окрестности каждой точки
многообразия М2п существуют адаптированные
локальные координаты, в которых матрицы структурных
аффиноров имеют вид (10). В т^ком случае любая
аффинная связность без кручения, оставляющая
ковариантно постоянными структурные аффиноры, может
иметь отличными от нуля только лишь компоненты
Γ3γ> Гл+в, я+т > котоРые теперь в силу (11)
удовлетворяют условиям
Ар ΓσΡ = О д 9 ΓΛ+σ ρ = О
Отсюда вытекает существование такой функции Φ
(керн-функции), что
Полученные псевдоримановы пространства можно
рассматривать как гиперболический аналог келеровых
пространств. Их исследовал П. К. Рашевский [196]
под названием расслоенных пространств, имея в виду
существование в таких пространствах двух расслояю-
щих семейств ^-мерных подпространств х? = const
и хп+а'= const, вполне изотропных в метрике (11).
Как и в эллиптическом случае, можно поставить
вопрос о голоморфно-проективном соответствии двух
келеровых пространств гиперболического типа. Этот
вопрос рассматривался в статье М. Прванович [334].
В многообразии М2п со структурой, определяемой
алгеброй R(e), задание такой структуры эквивалентно
заданию поля инволютивного структурного аффинора
/ = f х — /2. Предполагая для простоты, что этот
аффинор ковариантно постоянен в аффинной связности
без кручения, назовем кривую xA = xA{t) голоморфно-
геодезической, если вдоль нее переносится
параллельно голоморфная площадка, натянутая на векторы
хА и fABxB. Как и в эллиптическом случае, получим
условие для голоморфно-проективного соответствия
>двух аффинных связностей с общим структурным
аффинором /:
134

твс χΒ χ€ = σΚ χΒ + τ/ΑΒ χΒ'
где Твс — тензор аффинной деформации, а величины
хА произвольны. Это условие можно записать также
в виде
ТАсхвхс = \/Ахв + ^Ахв,
1 2
и в адаптированном репере мы получаем следующее
строение ненулевых компонент тензора Т£с:
Ч=р& + р-,Ч - Т"И «+т=р'п+?Ьа,+рп+1 ь;·
Пусть две келеровы метрики гиперболического
типа, определяемые вещественными" гибридными
тензорами gAB и gAB, находятся в гбломорфно-проективном
соответствии, причем gAB — метрика нулевой
кривизны, отнесенная к адаптированным декартовым
координатам. Тогда в этих координатах отличные от нуля
компоненты римановой связности метрики gAB имеют
вид .
Га = η δα 4- Ό δα Υη\ο. — η δ« 4- /7 fta
χρτ /ys t^V л+В. л + т "~ "л + Р τ ^ "л+т Ρ '
так что
^Τ £<χ, /г+β ~ /\ £α, /i-fP ~~ ^α &γ, л + р =" ^>
°л + Т e-a, л+β ^л + γ £α, л + β Αί+Ρ ^α, л + γ ~ ^*
Условия интегрируемости этих уравнений
показывают, что
Рл=-да1пи, Ря+а = -дп+а1пи,
где
и=афх«х»+* + аах« + ап+ах»+« + а.
После этого находим, что с точностью до
постоянного множителя
При условии Det (ααβ) =^ 0, полученный метрический
тензор будет невырожденным, и мы приходим к
135

гиперболическому аналогу унитарного пространства
постоянной голоморфной кривизны.
В частности, если
то линейный элемент изучаемого пространства примет
вид
,2_ Σάχ°άχη+α Σχη+ααχαΣχτάχη+τ
К этому виду приводится линейный элемент
многообразия нуль-пар ^-мерного проективного
пространства. Действительно, Б. А. Розенфельд показал [201],
что этот линейный элемент может быть выражен
через однородные координаты ς' точки и однородные
координаты т/г гиперплоскости (*, / = 1, ..., η + 1)
в виде
причем это выражение не зависит от нормировки
однородных 'координат i или y\t. Поэтому, полагая
У« = 6* /г+α ^α (α=1, ... , Λ),
ς Ч/г + 1
приходим к указанному выше линейному элементу
унитарного пространства гиперболического типа
постоянной голоморфной кривизны.
Упражнение. Проверить, что тензор кривизны
унитарного пространства гиперболического типа
постоянной голоморфной кривизны имеет строение
^CBAD == "у (SaB^CD ~~ &AC&BD + fcD/AB ~~
~~ J BDJ АС + ^f СВ J AD η
где J\в = /aScb (cm· f334]). Подсчитать постоянную
секционную кривизну в направлении голоморфной
двумерной площадки.
136

§ 3. Об аналогах унитарных пространств
над алгеброй дуальных чисел
Пусть на многообразии >М2п задана интегрируемая
структура, определяемая алгеброй дуальных чисел.
Тогда в окрестности любой точки этого многообразия
можно ввести адаптированные локальные координаты,
в которых матрица структурного аффинора / примет
вид
Аффинная связность без кручения, в которой этот
аффинор ковариантно постоянен, имеет в
адаптированных координатах отличные от нуля компоненты
"Га __ γη + α Vn + a
Χβγ Р.л + т» βΤ "
Полагая снова в (1) (а, 1) = а, (а, 2) = η + а, получим
ту матрицу симметрического гибридного тензора
(§лв) =
*ф
-ъ+
ЬЛ
0
(12)
^αβ^^βα' *αβ==="~*ρα' которая отмечалась, в формуле
(3.4) главы II, как матрица 5-тензора. Потребуем ко-
вариантного постоянства такого тензора gAB в
связности, сохраняющей структуру:
д,аФ
■Та α, —Γ? a + Tn+°b fl-
αγ σβ 3γ ασ ' αγ σβ
T"+°b =0,
βγ ασ ν»
-Tib = О,
βγ «σ ν»
г? ь -
= 0.
ο,
При преобразовании адаптированных локальных
координат
*α' = jf (Д ХП + а' = ХП+а daX*' + φ*' (jf)
величины 6αβ преобразуются как компоненты
бивектора в многообразии с локальными координатами У.
137

Так как d^ba?]-=-0, то 2-форма ω = b^dxa/\ dx®
замкнута, а значит и точна в достаточ.но малой окрестности
любой точки. Приводя к каноническому виду 1-фор-
му Θ, для которой ω = dQ, мы заключаем, что в
некоторой окрестности любой точки координаты
бивектора Ьф можно привести к постоянным. В таком случае
из уравнений следует, что найдется функция Ф,
обладающая свойством ααβ = (?л+а>л+рФ. Полученный
локальный вид метрического тензора (12) можно
рассматривать как параболический аналог келеровой
метрики.
Упражнение. Доказать, что при 6αβ = —&βα = const,
^αβ = АЬ«о/ Κ Χ* + К V * + h Ь«о X° + С4 '
где Л, ba, ^ — постоянные, пространство с
метрическим тензором (12) находится в
голоморфно-проективном соответствии относительно структуры,
определяемой алгеброй /?(ε), с плоским пространством
(см. [254]).
Параболические аналоги унитарных пространств
с метрическим тензором вида (12) не являются
единственно возможными. В главе II отмечалось, что
в случае структуры, определяемой алгеброй дуальных
чисел, теряется взаимная однозначность соответствия
между 5-тензорами и С-тензорами. Поэтому
появляется возможность введения других аналогов унитарных
пространств над алгеброй дуальных чисел, как
пространств аффинной связности без кручения, в которой
ковариантно постоянны структурный аффинор /£ и
поле некоторого С-тензора сАВ. В адаптированных
локальных координатах матрицы этих тензоров hmqjot
вид
где а = (αα(3) — симметрический, b = (&αβ) —
антисимметрический блоки. В общем случае задача отыскания
такой связности достаточно неопределенна, .однако
она сильно упрощается, если потребовать, чтобы
искомая связность находилась в
голоморфно-проективном соответствии с естественной связностью
138

плоского пространства, обладающего тем же
структурным аффинором /л. В декартовых
адаптированных координатах искомая связность будет иметь
компоненты
Гйс = 2^С) + 2Ля/с)' (13)
где qA = 1САРС- В таком случае уравнения lDcAB=-§
интегрируются и приводят к следующему решению
(см. [256]):
% = ~2 * +
+ 2 д« φ ЦзХ + ^ρ ) - <%φ (daaX° + rfa)
+ 4-Lrfe3,
гДе -А«р = Л«' Л«' Л' dA = —dfr* ^-постоянные.
Для /7a и <?a получаются значения
2φ
9а
Полученное пространство аффинной связности
симметрично в смысле Картана.
Аналоги унитарных пространств над алгеброй
дуальных чисел изучались также В. В. Вишневским
[34] под названием „параболические аналоги Л-про-
странств" и Л. М. Маркиной и И. Н. Семеновой
[114] под названием „квазиримановы А-пространства".
Упражнение 1. Показать, что тензор кривизны,
найденной выше связности (13), имеет вид
~гГ^ авс= Ρ \AB\fc + [в Уа]с + J [в Ра\с '
где
Рав -дАРв~ Ра Яв "РвЯа* Яав = Рас/в
с
139

Упражнение 2. В адаптированном проективном
репере бипланарного пространства параболического
типа Б,
2л+1 зададим косой поляритет, определяемый
С-тензором с матрицей
1 ° ββ 1
'-*· в* \
-Л -А9
-л -к,
А АЛ
к к\
о
5αβ = — 53α'
^αβ = ^βα>
(α, р = 1, ...., 2α).
Рассмотрим расслоение пространства Б2п+{,
определяемое абсолютной линейной конгруэнцией особых
прямых. Каждой особой прямой указанный косой
поляритет ставит в соответствие особое
подпространство БпП-\ ~
'2л+1
Поэтому через каждую точку
общего положения рассматриваемой особой прямой
можно провести трансверсальную ей гиперплоскость,
в которой особое Б2п_1 будет играть роль нормали
2-го рода. Произвести рассмотрения, аналогичные
тем, которые были осуществлены в конце первого
параграфа этой главы, и показать, что указанная
нормализация пространства Б2п+1 с заданным
расслоением приводит к связности (13).
Указание. Если, χ (1 : х°: 0 : хп+а) — точка пересече-
о
ния особой прямой с гиперплоскостью,
противолежащей вершине еп+0 проективного репера, то ха, хп+а
можно взять за локальные координаты. Тогда с
точкой х(\ :х° :хп+0 :χη+σ + xnJr0x°), рассматриваемой
особой прямой, можно связать проективный репер,
остальные 2п+\ точек которого имеют вид
У^длх-1лх-1»л+*уп+ъ,
Уп+а = "п+а * — ln+a х — 1ппХа Уп+0 ,
у„+0 = л:(0:0: 1 :.*").
о
§ 4. Общие замечания о дифференциальной геометрии
унитарных пространств над алгебрами
Ряд общих результатов, относящихся к
дифференциальной геометрии унитарных пространств, был
получен Г. И. Кручковичем ([99] —,[101], [106]).
140

Из (1) следует, что гибридный по отношению
к инволютивному автоморфизму ег—+Це3 тензор gAB
будет симметрическим. тогда и только тогда, когда
т. е. когда
При этом
где ^.у —тензор фробениусовой -метрики в алгебре 91г
так что
Если ф/ф^^т=У;, то получим
Г. И. Кручкович рассматривал на многообразии
с интегрируемой структурой, определяемой
алгеброй 9ί, римановы метрики, задаваемые
симметрическими гибридньши тензорами gAB. Такие римановы
пространства он назвал //-эрмитовыми. 'Аффинная
Связность, сохраняющая как структуру, определяемую
алгеброй 91, так и //-эрмитову метрику, называется
//-эрмитовой связностью. * Если риманова связность,
построенная с помощью //-эрмитовой метрики,
оказывается //-эрмитовой, то //-эрмитово пространство
называется //-келеровым. Г. И. Кручкович показал,
что в теории //-эрмитовых пространств над
алгебрами особое значение приобретают так называемые
гибридно-аналитические //-эрмитовы метрики, для
которых справедливы разложения
dGa^PahdX°+Qo$adX\
//-эрмитово пространство допускает чистую
//-эрмитову .связность тогда и только тогда, когда его
//-эрмитова метрика является гибридно-аналитической
([101], [106]).
141

В работах В. В. Вишневского [29], [31], [42], [44],
[46] обобщения унитарных пространств строились
в других направлениях: для алгебр плюральных
чисел, для общих - аффинорных структур и для
структур, определяемых произвольными точными
представлениями алгебр*
Наряду с общими закономерностями,
выявляющимися в исследованиях, подобных указанным выше,
представляют интерес конкретные вопросы геометрии
унитарных пространств, даже самых простейших.
Значение этих пространств для изучения многообразий
образов симметрии, геометрии групп Ли и
неевклидовых геометрий выявлено в работах Б. А.Фозен-
фельда и его учеников ([199] — [203], [207], [54]).
Широким фронтом ведутся исследования в области
дифференциальной геометрии келеровых и почти
эрмитовых многообразий ([15], [349]). Особенно
интенсивно за последние годы изучается теория
подмногообразий келеровых *и почти эрмитовых- пространств
([266], [271]). На этих подмногообразиях возникают
своеобразные структуры, многие из которых
становятся г дальнейшем предметом самостоятельных
исследований. Например, если в келеровом пространстве
задано четиомерное подмногообразие М, касательная
плоскость к которому в каждой" точке голоморфна
(инвариантна относительно действия аффинора почти
комплексной структуры), то на этом
подмногообразии также индуцируется келерова структура. Такие
подмногообразия часто называются инвариантными.
А. С. Подковырин изучал их в плоском унитарном
пространстве эллиптического типа под названием
особых или аналитических поверхностей ([184] — [191]).
На гиперповерхности келерова (и общего почти
эрмитова) пространства возникает метрическая почти
контактная структура. Этим структурам в настоящее
время посвящена обширная литература.
Упражнение 1. Используя формулу (1) и вводя
в алгебре плюральных чисел R(zn) инволютивиый
автоморфизм, определяемый * изменением знака у ε,
выяснить строение матрицы симметрического гибридного
тензора аАВ (5-тензора). См. [31].
Упражнение 2. Доказать, что если в алгебре /?(ε2)
ввести переменную Y = x + sy + s2z и построить
аналог эрмитовой метрики с линейным элементом
142

ρ2 dYdY
где
^=Ί 2—Ζ\Γ> /? ^ const, Υ= Χ~ zy + ε2ζ,
(1 + TrF)
το /?(ε2) становится римановым симметрическим
пространством, а движения этого пространства
изображаются дробно-ушнейными подстановками
переменной Υ:
См. [260].
Упражнение 3. Пусть %п £х)/? (i) = В2п — тензорное
произведение коммутативной ассоциативной униталь-
ной алгебры %, со структурными константами γ^
и алгебры комплексных чисел. В алгебре В2п
существует инволютцвный автоморфизм, отвечающий
комплексному сопряжению в /?(/). Рассматривая В2п как
вещественную модель одномерного пространства над
алгеброй В2п и пользуясь формулой (1), найти вид
гибридных тензоров пространства^. Показать, что
симметрические гибридные тензоры являются 5-тен-
зорами по отношению к аффинору комплексной
структуры в пространстве В2п. По отношению же к
структуре, определяемой алгеброй 3ίΛ, пространство В2п
является вещественной моделью двумерного
пространства над алгеброй %п, а указанные
симметрические гибридные тензоры — обобщенными 5-тензора-
ми. См. [49], [260].
Упражнение 4. Пусть в плоском унитарном
пространстве эллиптического типа (в биаффинном
пространстве В2п с метрическим 5-тензором) задана
инвариантная (2п — 2)-мерная поверхность Х2п_2\ Она
может быть оснащена .в каждой точке ортогональной,
ей двумерной голоморфной плоскостью, в которой
выбраны два взаимно перпендикулярных орта п, п.
Основные деривационные уравнения этой поверхности
можно записать в виде
143

V/ι = Ьф + ctJn,
ni = —t)sirs + ain,
ni = ~cfrs — ain.
Показать, что на поверхности Х2п-2 индуцируется-
келерова внутренняя геометрия. Тензоры Ьц и Сц
являются Двумя присоединенными друг к другу β-тен-
зорами, причем
^\k^nt= а№ст' V[acj\i = ~~a[k"fit»
Тензор Риччи внутренней геометрии поверхности
Х2п-2 имеет, вид
Rjk = 2^; bsk r= 2csj csk.
Он является S-тензором, и в случае невырожденности
определяет на поверхности Х2п~2 келерову геометрию
2-го рода с линейным элементом (Ш- = Rtfl^dxf. Эта
геометрия 2-го рода является геометрией унитарного
пространства постоянной голоморфной, кривизны и
определяется тем полярным соответствием
относительно сфероидальной „изотропной4* гиперквадрики
в несобственном бипланарном пространстве Б2п_х
пространства В2п, которое относит несобственной
особой прямой нормальной плоскости к Х2п_2
несобственную Б2п_3 касательной плоскости к Х2п-.2 в той
же точке. См. [185], [186].
Упражнение 5. Пусть в (2/г + 2)-мерном
многообразии Μ с почти комплексной структурой F* задана
гиперповерхность Х2п+Х уравнениями в локальных
координатах
£ = £&) (α, β-1, ..., 2п + 2; i,j=l, ..., 2/i).
Пусть эта гиперповерхность оснащена таким
вектором с*, что вектор Faac°= ca принадлежит касательной
гиперплоскости, натянутой на векторы В* = д£/дх?.
Тогда разложения
144

5i ~
FoBi=- (ft Bs + ^tC , £ = —ξ 5j
позволяют определить на гиперповерхности так
называемую (φ, ξ, ^-структуру, порожденную полем
аффинора φ^, векторным полем ξ* и ковекторным полем
т^, причем эти структурные тензоры связаны
соотношениями
Указанная (φ, ξ, ^-структура называется также почти
контактной структурой. Если многообразие Μ почти
эрмитово, то в качестве с* можно взять орт нормали
к гиперповерхности; показать, что в этом случае
где gtj — индуцированный метрический тензор
гиперповерхности. Возникающая (φ, ξ, η, £)-структура
называется почти контактной метрической (см. [266]),
Гиперболический аналог этих структур впервые
изучала А. Л. Крищюнайте ([97]).

ГЛАВА VII
КАСАТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ
И ИХ СВЯЗЬ С АЛГЕБРАМИ
Касательные расслоения дифференцируемых
многообразий весьма богаты различными структурами, и в
них наиболее естественно реализуются структуры,
определяемые локальными алгебрами. По-видимому,
впервые это было замечено А. Вейлем [348],
включившим касательные расслоения в общую теорию
расслоений „близких точек". В основу теории расслоений
«близких точек по Вейлю кладется локальная алгебра
% т. е. ассоциативная коммутативная унитальная
алгебра конечной размерности над полем вещественных
чисел R, обладающая таким нильпотентным идеалом
/, что фактор-алгебра ЭД// имеет размерность 1 над R,
а yw+i ^q дДЯ некоторого наименьшего целого т.
Число т называется высотой алгебры ЗД. При этом
алгебра $1 изоморфна(*) прямой сумме 51 = R Θ /, а
/является единственным максимальным идеалом алгебры ЭД.
Если элемент αζ^Ι представлен в виде а = а0 + аи
гдеа0£/?, ах£1, то скаляр а0 называется конечной
частью элемента а. Отображение а—>а0 определяет
гомоморфизм 91—►£?. Всякая локальная алгебра
изоморфна фактор-алгебре /?[/]//, где /?[/] — алгебра
формальных степенных рядов от / переменных, а
У—некоторый идеал из /?[/]. В частности, если Ог — идеал
в /?[/], образованный формальными степенными
рядами без свободных членов, то фактор-алгебра R[l\/Ojl+l
является локальной алгеброй высоты т\ число
переменных I называется тогда шириной достроенной
локальной алгебры. При 1 = 1 возникает алгебра
плюральных чисел R{e ); здесь идеал / порожден элемен-
(*) Как векторное пространство.
146

том ε, обладающим свойством em+1 = 0. Если т=1,
то получается алгебра дуальных чисел./?(ε).
Пусть Ж—дифференцируемое многообразие
размерности η и класса О. Обозначим через F (М)
алгебру гладких вещестЕенных функций на М. Пусть
91 —локальная алгебра и х — точка из М. ?С-точкой
х', близкой к х, называется гомоморфизм х' :F (M)—*%
обладающий тем свойством, что конечная часть
элемента x'(f)£% отвечающего функции /£F (Λί), равна
значению f(x). Этот гомоморфизм должен обладать
свойством локальной определенности: двум функциям,
совпадающим в сколь угодно малой окрестности
точки х, отвечает в гомоморфизме одно и то же
значение из 91;
Множество всех 91-точек, близких ко
всевозможным точкам χζΜ, образует расслоение М®- над
многообразием М. Для гладкой функции /ее образ χ'{ί) £9t
определяется строением / в сколь угодно малой
окрестности . точки х. Поэтому, в частности, можно
пользоваться локальными координатами в расслоении
М®, индуцированными локальными координатами χ
точки х' в некоторой карте U многообразия М. Пусть
{е0, еи ..., eN) — базис локальной алгебры % такой,
что е0=1, а ех..., eN образуют базис радикала /. Тогда
для гладкой функции х? в U справедливо равенство
где xt,0=^xly и величины (х1>х) служат локальными
координатами точки х\ близкой к х, в трубчатой
окрестности расслоения At® над областью U. Эти
вещественные координаты χ1 χ индуцированы
локальными координатами х1 базисного многообразия Μ и
позволяют рассматривать расслоение М® как n(N+l)~
мерную вещественную модель /г-мерного
многообразия над алгеброй 9ί. Величины
N
λ=0
147

служат локальными координатами в этом
многообразии. Переход к новым локальным координатам в -М
приводит к новым локальным координатам X1 в
многообразии над алгеброй % являющимся голоморфными
функциями от первоначальных координат X1 в смысле
алгебры 9ί.
В частности, ести R — вещественная числовая
прямая с координатой Υ;. то близкая к t точка tf (t) оп-
N
ределяется элементом t' (t) = J] txev где t° = t, такчто
λ=0
расслоение R® отождествляется с алгеброй 9ί.
Вообще, если Ln — вещественное векторное
пространство размерности /г, то L® естественно
отождествляется с тензорным произведением 310Z,,,,
рассматриваемым как 91-модуль. Если же пространство Ln
обладает дополнительной структурой коммутативной
алгебры над полем /?, то Lf = (3101/г тоже обладает
этой, структурой алгебры над %. Таким образом, если
$1 и 91 —две локальные алгебры, то с точностью до
изоморфизма
^ =9l^= 31(g) 91.·
Понятие близости естественно распространяется
на гладкие отображения дифференцируемых
многообразий. Если Φ :'Λί—>Λί — гладкое отображение, то лю-
, бая близкая к χ ζ Μ точка χ'ζ Μ® переходит во
вполне определенную точку [Φ(χ)]/ζ тИ^, близкую к точке
Φ (χ) £ Μ, по закону
[*(*)]'if) = *(/<>*>)>
где /—гладкая функция на М. Полученная точка
{Ф(х)]/ может рассматриваться как образ точки х'£М®
в отображении Ф^: Мж—>МЖУ а использование
локальных координат показывает, что полученное
отображение Ф™ является гладким.
Применение близких отображений позволяет
убедиться в естественной диффеоморфности расслоений
Λί^)^ и М^®^ · Действительно, если /—гладкая
148

функция на Μ, то для гладкого отображения /: М—>/?
можно построить близкое отображение /^: М^—*
—*R^^==% а затем — близкое к /^ отображение
(/*)*: (Л**)*->91* = Я®Я."
Поэтому всякая точка Λ^£(Λί^)^ определяет
отображение xf\ F (Μ) -^31 (g)9ΐ, являющееся гомоморфизмом
алгебр ^(Ж) и -9C(g)9l, т. е. задающее точку л:' ζ Μ®-®^.
Возникающее соответствие между (Л№)& и Л#®^
является диффеоморфизмом.
Касательное пространство к М® в каждой точке
х' обладает структурой свободного ЭД-модуля. Если
использовать локальные индуцированные координаты
хи хв М®> то в касательном расслоении Г(Ж^)они, в свою
очередь, индуцируют локальные координаты хих,0 =
= χι%λ и хиλ'\ где xitX'1 =v tl — координаты
касательного к М®- вектора ν в натуральном репере..Этот
вектор ό может быть задан также координатами из 9t:
N
и координаты V1 задают элемент указанного
свободного конечноцорожденного 91-модуля. Обозначая
через *[\ структурные постоянные алгебры % получим
в М^ структуру, определяемую локальной алгеброй
31; структурные аффиноры / этой структуры имеют
α
в локальных координатах χίΛ компоненты
Ясно, что f — единичный аффинор.
о
Локальную алгебру % можно использовать для по·,
строения лифтов тензорных полей ,из Μ в л№.
Например, если / — гладкая скалярная функция в/kf, то
для всякой точки χ'ζΜ®-, близкой к точке х£М,
мы находим значение
149

где /·(0) = / о π = / (χ) (через π обозначена
естественная проекция π: Л#—>Λί). Возникающую функцию F (xf)
на Μ ^ со значениями в % можно назвать
естественным продолжением функции / в алгебру $1; это
естественное продолжение является голоморфной
функцией относительно алгебры ?!. Вещественные гладкие
функции /(λ) на М®- можно считать лифтами функции
/ из Μ в М®. При этом /(Ό) играет роль
вертикального лифта.
Если ν — гладкое векторное поле на М, то его
координаты ν1 (х), как гладкие функции на М, могут быть
естественно продолжены в алгебру 9ί, порождая
функции
N
х=о
на М®. В таком случае вещественные функции νι,λ
определяют (по отношению к индуцированным
локальным координатам) векторное поле на /И51, называемое
естественным (или полным) лифтом поля ν из Μ в
М®. Так как όι,0» = ν1 (χ), то дифференциал проекции
π отображает естественный лифт в исходное
векторное поле ν на M.t Заметим, что умножение функций
V1 (xf) на базисные элементы еа алгебры 51 приводит
к новым векторным полям на М®, ! получаемым из
естественного лифта vltX—^γ воздействием на него
структурных аффиноров /. Конечно, можно строить
α
лифты векторных полей, заданных не на всем
многообразии М, я лишь в некоторой обл'асти UczM.
Например, если — поля векторов натуральных
реперов в области U локальной карты на М9 то
естественным лифтом поля —г- в π"1 (U)czM^ является
150

векторное поле —г—, а воздействие на это векторное
дх1, °
поле структурного аффинора / дает векторное поле
Понятно, что процесс естественного продолжения
координат гладких тензорных полей на Ж в алгебру
ЭД можно использовать для построения лифтов
произвольного тензорного поля из Ж в М®. Трудности здесь
заключаются в том, что для общей локальной алгебры
не существует естественного взаимнооднозначного
соответствия между элементами кокасательного
пространства Г*, (М®-) и элементами Si-модуля,
сопряженного по отношению к тому конечнопорожденному
свободному 31-модулю, который отвечает касательному
пространству Тх. (М®). Наиболее простая теория
лифтов получается в тех случаях, когда алгебра %
оказывается фробениусовой (см. гл. I, III). В отличие
от этого аффинная связность Г* на Μ всегда
допускает естественное поднятие в М^, независимо от
выбора локальной алгебры 91. Действительно,
естественное продолжение функций Г^(х) в алгебру ЭД
позволяет задать в М®- закон параллельного
перенесения вектора в виде
dVl +T)k(x')VldXh = 0,
откуда в локальных индуцированных координатах
расслоения возникает объект аффинной связности
^(/'μ)(£ ν)' определяемый формулами (см. [330]):
Приведем для иллюстрации два примера из области
геометрии кдсательных расслоений.
1. Сумма Уитни Т(М)®Т(М), где Τ (Μ) —
касательное расслоение гладкого ^-мерного многообразия
М. Здесь целесообразно использовать алгебру 9f ς
базисом {1, е{, е2\, где е[ = е\ = ехе2='0. Эта алгебра
не является фробениусовой. Если х1 —локальные ко-
151

ординаты на Μ, а χη+ί —г и χ2η+ί—- пара каса-
дх1 дх1
тельных векторов к Μ в точке х(х1), то
рассматриваемую сумму Уитни можно истолковать как рассл'ое-
ние близких точек NF- с локальными координатами
(х1; хП¥1\ χ2η+ί), позволяющими ввести локальные
координаты из алгебры
Х'-^х' + е^1 + е2х2п^\
Естественное продолжение вещественной функции
f£F(M) в алгебру 91 имеет вид
/ (■*') = /(*) + *i*"+4/ + ***2л+Ч/-
Функция / (х), рассматриваемая как / ° π, дает
вертикальный лифт скалярного поля / в М®, а функции
xn*sdsf и x2n+sdsf являются частичными лифтами поля
/ в М^\' однозначно определенного полного лифта
скалярного поля / в М^ здесь не существует. Для.
векторного поля ν1—- естественный (полный) лифт
дх1
в М® определен однозначно: это — векторное поле
ν1 -2- + xn*s др1-^ + x2n+sdsvl -iL.
дх1 ir s dxn+l s дх2П+*
Наряду с ним возникают вертикальные векторные
поля ν1 : и ν* ,·, которые получаются из полного
дхп+1 дх2п+1 ν j ,
лифта воздействием на него структурных аффиноров
/ и /, отвечающих* базисным единицам ех и е2. Ко-
векторное поле или 1-форма ω = щ (χ) dx* в Μ при
естественном продолжении в Л# дает 1-форму
(wt + e^+'djwt + е2х2п+*д^) X
X (dxf + exdxn^ + e2dx2n+i),
порождающую в М^ три вещественные 1-формы
щах\ xn+sdswtdxl + wtdxn+i,
152

x^'d^dx1 + wtdx2n+l.
Как и в случае скалярного поля, здесь не г.
естественной возможности составить' из трех этих 1-форм
какую-то одну, играющую роль полного лифта 1-фор-
мы ω. Поэтому для расслоения Т{М)®Т(М) вопрос
о лифтах тензорных полей требует особого подхода.
(См. [205], [232]).
2. Касательное расслоение r-го порядка V(М) п-
мерного многообразия М. Под этим расслоением
обычно понимают множество г-струй гладких отображений
φ: Τ?—»Μ. Здесь в качестве локальной алгебры ЭД
берется алгебра плюральных чисел /?(sr). Эта алгебра—,
фробениусова, и теория лифгов тензорных полей
строится здесь весьма просто. Пусть отображение φ : /?—>М,
г-струя которого служит элементом расслоения Т\М),
задано в локальных координатах формулами х} = x1'(t),
причем при t = 0 получается рассматриваемая точка
х£М. Тогда указанная r-струя отображения φ
определяется точкой χ и значениями первых г
производных от функций xl (t) по / при t = 0. Локальные
индуцированные координаты xi,a в ТГ(М) удобно
определить формулами
>« * ^!ί1| (α = 0, 1,..., г), (2)
α! dt* I/«о
считая, что χ1'0 = χ1 (0). При преобразовании
локальных координат на Μ:χν =.χν(χ) преобразуются и все
индуцированные координаты хь,л. Закон этого
преобразования таков: если обозначить (г, α)=α/ζ+г, то
тх(а)
даХ1'
X$\n+{S\
Π
L· дх^ ... dx(sk) L· т{ (а)!
ml(a) mk(a)
mk(a)
]η[ x**n+isk>
1
mk(a)\
(3)
153-,

где
т{ (а) + ... + mk (a) = α, ml (a) β1 + ... + mk (a) % = p,
Pi < ... < P*·
Здесь символ
daxv
dx(Sl) ..<dx{sk>
ν
означает частную производную α-го порядка от χ по
переменным Xs, собранным в группы по тл (а),...., mk{a)
штук. В качестве примера приведем подробную запись
для,случая β = 5:
5/г +i' __ OX Sn + Si ,
«Л, · Л> ~γ~
дх*
дЧУ I x2n+s> x3n+s> xn+* x*n+s> \
dxs*dxs* \ 1! 1! 1! 1! /
dxSldxS2dxs* \ 1! 2!
xn+sljcn + s2 x3n + s,\ dtxV
2! 1! / dxSldxs*dxs*dxs*
+
xn + Sixn + s2xn+sz x2n + s*
+
3! 1!
dbXt' ХП +Slxn + S*xn + S3Xn + S4Xn + S5
dxSidxs*dxs*dxs*dxS5 5!
Если в приведенной выше формуле для новой
координаты xBn+l при произвольной α-го порядка от xv
содержится т{а) координат вида aj7/,+(5) (γ < Р)> т0 мы
имеем
Щ (a) Pi + ·.· + гп (α) γ + ... + mk (а) р^ = р.
Но тогда
154

Щ (а) ^ + ... + \т (α) - 1] γ + 1 · (γ + 1) +
тх (а) + ... + [т (а) — 1] + 1 + ... + mk (a) = а.
Поэтому в формуле для χ®+ι)η+ν при соответствующей
частной производной α-го порядка от χν будет стоять
на единицу меньшее число сомножителей x*n+{s) и на
единицу большее число сомножителей χ^+1)η+{έ) .
Отсюда вытекает соотношение
д^«+/
dx(l + l)n + f
Другими словами, матрица
дхА
дхь
имеет строение
Га о о ·
Α,ΑΟ ·
Α,Α,Α·.
ι '
[Ατ·;· ;
...... ο Ι
о
О
*
• *
* » <
' -а^а'а
ι AMdx* λ
При этом (см. ниже) Аа = АМ) где Л(а> — лифт номера
α матричной функции А. Указанная матрица
характерна тем, что она коммутирует с матрицей
(4)
ι—ч
[00···
ЕО ...
0 Ε .-' <· '
! · ·■ * * .
00
• сиз]
■ 00
00
: ι
* · *
Έ0
155

Если рассмотреть касательное пространство к ТГ{М)
в произвольной точке, то векторы этого пространства
с координатами vA относительно натурального репера,
отвечающего индуцированным координатам,
преобразуются по закону
дхв
Аффинор / с матрицей (4) определяет в этом
пространстве структуру, характерную для ЕещестЕенной
модели я-мерного модуля над. алгеброй <й==/?(ег)·
Поэтому, как было показано в главе V, естественно
возникают формулы
V* == v\+ svn+i + ... + eV+l,
д
ставящие в .соответствие касательному вектору ν к
ТГ(М) элемент модуля 1п(Щ. Кроме того, если с
помощью локальных индуцированных координат xan+i
построить величины из алгебры ЭД^/?^)
X = х? + елгл+/ + .. + srXrn+\ (5)
то строение якобиевои матрицы [——) выражает тот
f \ дхв )■
факт, что новые переменные X1' окажутся
голоморфными функциями от Xk> а именно, естественными
продолжениями функций х1'(х) в алгебру R{zr).
В расслоении ТГ{М) сущесаЕенную роль играет
специальное векторнсе поле, получающееся
следующим образом. Если в отображении φ: R~*M, r-
струя которого определяет элемент расслоения,
заменить параметр t£R его кратностью λ-1^ (λ = const),
то в ТГ(М) возникает преобразование
3? = ^', 3?+' = λχη+ί,..., Рл+/1= \rxrn+i.
Рассматривая λ как параметр этого преобразования,
мы получим однопараметрическую группу
преобразований, порождаемую Еекторным полем
156

D = хп+1-°-: + 2x2n+i ——. + ... + rxm+i ——..
dxn+t dx2n+t dxrn^1
Это поле вертикально по отношению к естественной
проекции π: ТГ{М)—>Ж Действуя на плюральные
координаты X1, оператор D осуществляет их
дифференцирование в смысле алгебры R(zr) (см. [197]). При
—♦·
г = 1 векторное поле D называется полем слоевой
гомотетии или полем Лиувилля.
Рассмотрим вопрос о. лифтах в ТГ(М).
Скалярное поле f (х) на Μ допускает естественное
продолжение в алгебру R(zr) по правилу
/Ρ0 = Σ'/<α)ε". (6)
α=0
где
/(α):
1 ^(/οφ)
α!
dta
έ=0
называется а-лиф-ιом функции / в ТГ(М). При а = г
получаем полный лифт функции f (х) в ТГ(Л{1). Имеем:
/ВАдв/{Г) = dAf~P\
где /а — Р-ая cienenb структурного аффинора (*\
Векторное поле, ν = ν1—-, заданное в Λί, допу-
дх1
-екает естественное (полное) поднятие в ТГ{М),
имеющее в индуцированном натуральном репере
координаты ν*4 а = (^)(а). ВоздМствке на этот полный лифт
степеней структурного аффинора / дает другие типы
лифтов. Обозначая через {r)v полное поднятие поля
ν получим [Д(г)<о].= 0.
№ Согласно (2), индуцированные координаты xi,a являются
α-лифтами базисных координат хК
157

Если касательное пространство к Tr (M) в
некоторой точке хг служит вещественной моделью модуля Ln
над алгеброй R(sr) и координаты vUa касательного
вектора в точке xf позволяют строить координаты V1
элемента указанного модуля по правилу
yi = £ φ «ε« э
α=0
где (i, α) = an + Ί, то теперь и кокасательное
пространство в точке хг служит вещественной моделью
сопряженного модуля Z,*. Это согласуется с тем, что
алгебра R(sr) фробениусова. Действительно, полагая
в формулах (2.4) главы I р0 = рх = ... рг_х = О, рг = 1,
получим компоненты фробениусова метрического
тензора <?αβ ^ δ«, r-β' так чт9 е* = Яа°е0 = ε"_α· Поэтому ко-
вектору с координатами wt a = (wan+i в адаптированном
репере можно поставить в соответствие η плюральных
координат
задающих элемент сопряженного модуля Ζ,*.
Теперь можно просто строить лифты ковекторного
поля, отвечающего 1-форме ^ = widxt базисного
многообразия М\ естественные продолжения функций w^x)
в алгебру R(&r) рассматриваются как координаты
ковекторного поля Wf, и в результате полный лифт
1-формы φ определяется как 1-форма в ТГ(М), имеющая
в локальных индуцированных координатах запись
Y>(wlf-a)dxb\
(Ι,α)
Воздействие на полученное ковекторное поле в ТГ(М)
различных степеней структурного аффинора / дает
лифты других типов исходного ковекторного поля в М.
Аналогичным образом строятся λ-лифты
произвольных тензорных полей на М. Процесс естественного
продолжения координат этого поля в алгебру /?(εΓ)
158

приводит к полному лифту, для которого считается
λ■ = г. Этот полный лифт является чистым тензорным,
полем в Tr (M), и любой λ-лифт получается из этого
полного лифта свертыванием последнего по любому
из индексов с (г—Х)-ой степенью структурного
аффинора /. При λ = 0 получаются вертикальные лифты.
Практически λ-лифты тензорного поля ТгУ"1$ находят-
J\—Jq
ся следующим образом. Свертываем естественные
продолжения компонент Tl/"Lf в алгебру R(zr) с коорди-
J\-"Jq
натами q элементов из 1п(Щ и ρ элементов из Ь*п(Щ:
Σ (τι$ )(β)β«Σ ^/ιαιβαι... Σ^*ν'Σ ^Γ~τι -
... Σ щ τ v-xp = Σ f^rt У ν'αι - *g'q ™^ -
Коэффициент при ε в правой части этого выражения
дает свертку λ-лифта тензорного поля Т1у'лр с векто-
1 Ρ
рами г>А,..., νΑ и ковекторами wB,\.., Дод из ΓΓ(Λί),
Упражнение 1. Доказать, что полный лифт поля
единичного аффинора на Μ в ТГ(М) является
единичным аффинором' в Тг (М) ; λ-лифт единичного
аффинора совпадает с (г—Х)-ой степенью структурного
аффинора / (см. [60]). . .
Упражнение 2. Если обозначить через Γ(λ) λ-лифт
тензорного поля Г из Ж в ТГ{М), то
(/7(g) V){1) = ί/λ)® И0) + ϋ{λ-χ)®
Упражнение 3. Доказать, что для λ-лифтов
функции / в ТГ(М) справедлива формула
где при α > λ правая часть считается равной нулю.
159

Для компонент естественного лиф га объекта
аффинной связности Г*Л из Μ в ТГ(М) в соответствии
с общей формулой (1) получается выражение
Γ&Ζν)^11^-^' (7).
где при λ—jx—v<0 правая часть считается равной
нулю. В этой связности ковариантно постоянен
структурный аффинор /.
Естественный лифг аффинной связности в Tr (M)
обыкновенно называют полным лифтом. Оправдать
это название можно тем, что скобки Кристоффеля
полного лифта метрического тензора gtJ риманова мно-
зообразия Μ в ТГ(М) совпадают с компонентами
естественного лифта римановой связности многообразия
г
Μ в ТГ(М). Действительно, если £(*,эд/, μ.)!~~ полный
•вдфг в ТГ(М) метрического тензора gtj многообразия
Ж, то
gd> λ)(/. μ.) ^ (?i/)
Но тогда дтя есггсгвЕняэго лифга Γ^λ^ν)
римановой связности Г^ имеем, учитывая (5) и результат
приведенного выше упражнения 3,
г
V(fc, ν)§(ί.λ)(/,μ) = ^,.v)(g(i/))(r~ "^ -"
-2(Γ^(σ"λ"ν)(^)(Γ""σ"1λ)^
-20(β"μ"¥)(^)(Γ"Χ"σ) ^ (V*?!/)^"^ =0.
(σ)
Как отмечалось в глазе IV, естественное
продолжение (6) вещественной функции / в алгебру R (ε7)
является голоморфной функцией над алгеброй R(zr),
но все же не самого общего вица. Наиболее общая
голоморфная функция F над R(zr) получится, если
взять естественные продолжения bR(er) вещественных
функций /, gp..., gr и образовать сумму
160

F(X)=f(X) + sgl (X) + ... + e'gr (X). (8)
В случае алгебры /?(ε) Ε. Штуди ([340], [342]) называл
такие общие голоморфные функции синектическими.
Условимся поэтому функцию F (X), полученную по
правилу (6), называть синектическим расширением
естественного продолжения вещественной функции f(x)
в алгебру /?(ε0· Беря вещественный коэффициент при
sr в формуле (8), получим функцию
которую можно назвать синектическим расширением
полного лифта /(г) вещественной функции /.
Аналогично можно строить синектические расширения λ-лифтов
тензорных полей из Μ в ТГ{М). Действительно, если на
Μ задано тензорное поле Т1У"1?, то строим синекти-
J\—Jq
ческие расширения естественных продолжений
функций Т1}"ар в алгебру R(zr) и образуем свертки полу-
h'"*q
ченных компонент χ q элементами из Ьп(Щ и ρ
элементами из Ζ,* (%):
Коэффициент при ε в разложении этого выражения
дает свертку синектического расширения λ-лифта
тензорного поля ΤιΓ'ιξ с векторами νΑ,..., νΑ и ковекто-
Ji'"Jq 1 q
I . Ρ
рами ww ..., wB из 7"*(М).Это синектическое
расширение производится с помощью произвольных тензор-
1 г
ных полей типа (/;, q) //,..., Η на Ж
Подобным же образом строится синектическое
расширение полного лифта аффинной связности Г*й(л;)
1 ι г ι
из Ж в ТГ(М). Если.Я/й(х),... , H]k{x)—r
произвольных тензорных полей типа (1, 2) на Λί, то сумма
Ш

*M*) = τιΛχ) + ^/*W + .·· + Щк{Х),
составленная из естественных продолжений функций
1 г
Г/л> ^/*» —> ^/л в алгебру /?Ю» определяет величины
3^к(Х), преобразующиеся при замене локальных
координат х1 по закону компонент аффинной связности
над R{sr). После этого в соответствии с (1) в Tr (M)
возникает объект связности с компонентами
1 λ-μ-ν (Ο)
Г&. ν) = (Γ}*)(λ-^ν)"+ {Н^^-^) + ... + (Щк) . (9)
Это — синектическое-расширение полного лифта связ-
1 г
ности Г*л с помощью тензорных полей Щк...Щк.
Ряд вопросов, связанных с понятием синектических
расширений аффинных связностей и римановых
метрик, исследовали Е. В. Назарова [130], Т. В.
Капустина [81], X. Шадыев [248].
• В геометрии касательных расслоений представляют
интерес также многие другие метрики и связности^
отличные от· синектических расширений полных
лифтов. Здесь можно отметить метрику Сасаки (см; [192]),
горизонтальные лифты метрик и связноСтей ([271];
см. также [61]). Из других задач геометрии
касательных расслоений отметим обобщенные геодезические
отображения в смысле Н. С. Синюкова ([209]),
изучавшиеся С. Г. Лейко ([ПО]).
Геометрия более общих струй отображений
исследовалась в работах В. Л. Спесивых ([212], [213]) и
В. В. Шурыгина [299]. -
Структуры, определяемые алгебрами в ьекторных
расслоениях, рассматривались Б. Н. Шапуковым ([249],
[250]) и Н. Д. Александровым ([4], [5]).
Особенно много работ посвящено геометрии
касательных расслоений 1-го порядка (см. [266], [271])..
Значительный вклад в эту область внесен Ф. И.
Каганом ([70] - [78]).
Интересная связность, близкая к связности полного
лифта, возникает в касательном расслоении
гиперповерхности центроаффинного пространства Dn+l при
построении релятивной линейчатой геометрии
аффинного пространства Dn+X. Покажем это.
162

Пусть в (п+ 1)-мерном центроаффинном
пространстве Dn+l задана индикатриса,—гиперповерхность
а = а{х1,..., хп), допускающая оснащение своими
радиусами-векторами а. Деривационные уравнения этой
гиперповерхности
djai = Цаз + ьца
определяют эквипроективную связность Г*Л и
асимптотический тензор Ьц. Тензор кривизны эквипроек-
тивной связности Г^ имеет строение (см. [161])
Ориентированную прямую аффинного пространства
Dn+l, ассоциированного с центроаффинным
пространством Dn+l, можно теперь задать с помощью рад'иу-
0
са-вектора а индикатрисы, параллельного
направляющему вектору прямой, и касательного вектора xn+sas
к индикатрисе, такого, что вектор а + xn+sas,
отложенный из начала (центра пространства Dn+i) окан-^
о
чивается в точке прямой. Таким образом, элементу
касательного расслоения (χ1; χη+ί) многообразия Μ
реализованного с помощью индикатрисы и
снабженного эквипроективной связностью Г^, отвечает
ориентированная прямая пространства Dn+l. Будем
рассматривать ту область U многообразия УН и ту
область V в многообразии всех ориентированных
прямых пространства Dn+l, для которых соответствие
между π""1 (U) и V взаимно однозначно (здесь π —
естественная проекция π: Τ(Μ)—>Μ). В области V теперь
может быть естественным образом задана аффинная
связность, соответствующая полному лифту СГ«
аффинной связности" Г^ в расслоение Г (Ж). Эта
связность, однако, обладает тем недостатком, что она
не инвариантна по отношению к преобразованиям в
Т{М), индуцируемым параллельными переносами прчо-
163

странства Dn+1. Используя идею В. А. Юрьева [300],
изучавшего линейчатую геометрию многомерного
евклидова пространства, эту связность можно
подправить и получить инвариантную связность..
Рассмотрим поступательное равномерное движение
пространства Dn+l с вектором постоянной скорости ν как
однопараметрическую группу параллельных переносов,
для которой время является каноническим
параметром. В каждой точке индикатрисы Μ разложим
вектор ν по базису {аг, а}:
ν = [Агг + λα.
Тогда величины μ/ и λ удовлетворяют уравнениям
ν;.[**+λδ^0, Xf + *fy=0, (11)
а в касательном расслоении Τ (Μ) индуцируется ин-
финитезимальное преобразование, определяемое
векторным полем
^ дхп+* '
Построим полный лифт сЬаЬ асимптотического тензора
b^ в касательное расслоение Τ (Μ) и пусть D(wa) —
векторное поле слоевой гомотетии в Т{М)\ wl=0y
wn+i = χη+ί. Образуем в Τ (Μ) тензорное поле
где /^ — основной структурный" аффинор в Г (Ж).
Тогда из (8) и (11) "следует, что для объекта связности
<?« __ cVa ПГа
выполняется соотношение
Итак, аффинная связность 2? инвариантна по от^
ношению к параллельным переносам пространства
£)л+1, определяется заданием индикатрисы и может
быть названа внутренней связностью релятивной ли-
164

нейчатой геометрии пространства Ζ)α+1. Эта связность
обладает тем свойством, что в ней ковариантно
постоянен структурный аффинор /g*.
Полученную связность можно истолковать с точки
зрения метода нормализации А. П. Нордена ([161]).
Действительно, рассмотрим ту дуальную
(неголоморфную) связность, на которую отображается связность
- bks (X) εχη+^ + zxn+ibJk (Χ).
Отсюда видно, что если пару сопряженных связно-
стей индикатрисы естественным образом продолжить
в дуальную область и затем подвергнуть
симметрическому составному преобразованию, определяемому
вектором— D, то дуальная связность 1-го рода
перейдет в -дуальную связность, определяющую релятивную
линейчатую геометрию.
Другая интерпретация полученной связности
отмечается в предлагаемом ниже упражнении 8.
Упражнение 4. Доказать, что синектическое
расширение полного лифта cg^ метрического тензора gi}
риманова многообразия в его касательное расслоение
1-го порядка Т(М) есть тензор GaQ, компоненты
которого в индуцированных координатах образуют матрицу
(G*> =
\xn+sdsgtj+atj
gij
gij
о
(12)
где ац — произвольное симметрическое тензорное
поле на М. При а^ = 0 получается полный лифт cgab тен-.
зора gtJ.
Упражнение 5. Доказать, что синектическое
расширение полного лифта Т« аффинной связности Г^
многообразия Μ в Τ (Μ) есть связйость 2" с
отличными от нуля компонентами в индуцированных
координатах
* В настоящее время релятивная линейчатая геометрия
изучается аспирантом Ε. Η. Сосовым.
165

где Щк— тензорное поле типа (1,2) на М. При Щк=0
получается полный лифт Т" аффинной связности Г^.
Доказать, что риманова связность синектического
расширения Οαβ полного лифта метрического тензора
gt1 в Т(М) (см. упражнение 4) является синектическим
расширением полного лифта СТ« римановой связности
1
Т)и^—^(д£8к + дк^-~д£$1 отвечающим
тензорному полю H)k =:\gis (Vj-aks + ν*α;, - ysajk). (См. [219]).
Упражнение 6. Доказать, что тензоры кривизны
9ΐδϊβ и кручения Σ«γ „синектической связности" (13)
имеют в адаптированном натуральном репере
отличные от нуля компоненты:
ςα *-^<Ю η+ϊ^ςα η+ί — η ί
где Rr^ и Sljk — компоненты тензоров кривизны и
кручения связности Г^. Другими словами, тензоры
кривизны и круч&ния синектического расширения полного
лифта связности Г^ являются синектическими
расширениями полных лифтов соответственно тензора
кривизны и тензора кручения этой связности (Е.. В.
Назарова, [130]).
Упражнение 7. Доказать, что вектор общей инфи-
нитезимальной аффинной коллинеации синектического
расширения полного лифта аффинной связности без
кручения Г^, в касательное расслоение Τ (Μ) имеет вид
1 = Су + V^ + HXp + VXQ
Здесь VXG — вертикально-векторное поднятие аффино-
pa G):
кх(7(0; Glsxn+S),
166

mF — горизонтально-векторное поднятие аффинора Fjt
nxf (p^xn+s· Т^ Fr xn+sxn+m)
При этом входящие в выражение для ξ тензоры
связаны соотношениями
VkG) + H*kF\ + H}J4^0, + Psk) F*r + PrkfFl = 0,
w ν
где
(X. Шадыев, [248]).
Упражнение 8. Доказать, что связность
релятивной линейчатой геометрии совпадает со связностью
Э. Г. Нейфёльда ([132]) нормализованного
многообразия прямых пространства Dn+l. Эта нормализация
осуществляется следующим образом: ориентированной
прямой пространства Dn+l ставится в соответствие
несобственная (п— 1)-мерная плоскость в той
касательной гиперплоскости к индикатрисе, которая
отвечает данной прямой (см. [283]).
Упражнение 9. Доказать, что релятивная
линейчатая геометрия трехмерного аффинного пространства
является римановой, и линейный "элемент этой рима-
новой метрики имеет вид ds2 = 2siidxibxn+J', где bxn+J'—■
абсолютный дифференциал касательного - вектора, а
ег; — поле ковариантно постоянного бивектора на
индикатрисе*
Упражнение 10. Пусть индикатриса а = а (х1) в
аффинной плоскости отнесена к такому параметру х\
что ее радиус-вектор удовлетворяет
дифференциальному уравнению
167

a!' = β (χ1) α.
Задавая ориентированную прямую элементом (л:1, х2)
касательного расслоения индикатрисы, поставим в
соответствие этой прямой дуальное число Х = х1-\-гх2.
Проверить, что преобразование переменной X,
определяемое произвольной синектической функцией
X' = f(xl) + *W(xl) + g(x%
вызывает в многообразии ориентированных прямых
плоскости преобразование, сохраняющее „касательное
расстояние" между кривыми, причем это расстояние
измеряется на каждой о0щей касательной к двум
кривым с помощью своего масштабного вектора а (х1).
Возникающие обобщенные эквилонгальные преобразо^
вания содержат параллельные переносы плоскости.
Операторы инфинитезимальных параллельных
переносов имеют в переменных л:1, х2 вид и(х1)-^—, где
дх2
и (х1) — общее решение дифференциального уравнения
и" = ф(х1)и (см. [275]). Если β = const Φ 0, то среди
эквилонгальных преобразований' выделяется .шести-
членная группа преобразований Лагерра ьев^лидовой
(β < 0) или псевдоевклидовой (β > 0) плоскости,
порождаемая операторами
и(х1) μ хги' (х1) и (х1)
όχι > дх2 > . ; дх1 ; дх2 > ; дх2 '
Эта группа может быть представлена группой дробно-
линейных подстановок дуального переменного ([88]),
отличного от X (см. также [302], [303]).
Упражнение 11. Доказать формулу (3) методом
индукции, переходя» с помощью, дифференцирования
от значения β к значению β+ 1.
Упражнение 12. Проверить, что формула (3)
приводит к специальному случаю общей формулы для
голоморфной функции над локальной алгеброй,
указанной б упражнении 6 главы IV, а именно к формуле
(21) из упражнения 5 той же главы.

ГЛАВА VIII
АФФИНОРНЫЕ СТРУКТУРЫ КАК СТРУКТУРЫ,
ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ АЛГЕБРАМИ
§ 1. Интегрируемые аффинорные структуры
на многообразиях
Пусть Ж —дифференцируемое многообразие класса
С°° (dimM= /г). Если на Μ задано тензорное поле γ
типа (1,1) того же класса гладкости, то будем
говорить, что на Μ задана аффинорная структура. Она
называется жесткой [102] или 0-деформируемой [266],
если в некотором допустимом (вообще неголономном)
репере в окрестности Ux всякой точки χ £ Μ матрица
аффинора γ может, быть приведена к постоянному
виду. В этом случае только за счет, линейных
преобразований матрица аффинора жесткой структуры
может быть приведена к некоторому простейшему виду,
например, к канонической форме Жордана, вполне
определяющейся заданием вейерштрассовой
характеристики аффинора
[(/1Э /2, ..., /.)(/»!, яг2,... , п%)...(пи /г2,..., по)\ (1.1)
и соответствующего набора собственных значений его.
Числа в характеристике (1.1) означают размерности
жордановых клеток, а круглые скобки объединяют те
из них, которые отвечают одному собственному
значению.·
Структура γ называется интегрируемой, если Μ
допускает существование такого гладкого атласа
локальных карт, что матрица имеет в любой карте
этого атласа постоянные компоненты. Ясно, что
интегрируемая структура будет всегда жесткой; обратное
169

может иметь место лишь в том случае, если все соб*
ственные значения аффинора постоянны. Указанные
карты и образованный ими атлас называются
адаптированными к структуре γ. Если А — матрица перехода
от одного адаптированного репера к другому, то с
л
учетом того, что при этом матрица γ структуры γ
л ; л
должна сохраняться, имеем γ = Α ιγΑ9 что равносильно
Ат=^А. (1.2)
Алгебраические условия, налагаемые на матрицы
А^01(п, R), означают, что тем самым из Gl(/z, R)
выделяется подгруппа О (γ) всех матриц, коммутирую-
л
щих с γ, которая, следовательно, будет группой Ли.
Таким образом, расслоение адаптированных реперов
аффинорной структуры γ образует главное расслоенное
пространство.
Отыскание эффективных условий интегрируемости
является одной из важных задач теории аффинорных
структур, но учитывая, что это .выходит далеко за
рамки настоящей книги, мы ограничимся лишь
кратким перечислением достигнутых результатов. Так,
В. А. Гаухман [56] нашел условия интегрируемости
диагонализуемой аффинорной структуры, а М. М. Ца-
лвнко [245] получила признак интегрируемости
аффинорной структуры общего типа в виде обращения в
нуль некоторого тензора типа (1,2) (называемого
основным тензором этой структуры). В ряде случаев
полезным оказывается признак, установленный А. П.
Широковым [252] и Лехман — Лежен [324]: если на Μ
существует аффинная связность без кручения, в
которой γ ковариантно постоянен, то γ — интегрируемая
структура *. Для некоторых простейших аффинорных
структур (почти комплексных, почти произведения)
интегрируемость равносильна обращению в нуль
тензора Нейенхейса
* При этом Μ следует считать аналитическим.
170

где γ*.— локальные координаты аффинора γ. Тензор
(3) оказывается полезным и при рассмотрении аффи-
норной структуры (общего вида; именно, как показал
Т. Ханган [317], распределения корневых
подпространств поля γ при условии Л^ = 0 инволютивны.
Рассмотрим некоторые примеры.
1. Почти комплексная (в интегрируемом случае
комплексная) структура на Μ определяется аффинор-
ным пОлем, удовлетворяющим условию γ2= — id. Этим
структурам посвящено столь много работ, что они
не могут быть здесь проанализированы хоть сколько-
нибудь подробно, и мы отсылаем читателя к
имеющимся в нашей литературе обзорам [15], [271].
2. Структуры почти произведения удовлетворяют
уравнению -χ2 = id. В интегрируемом случае
многообразие с такой структурой является композицией двух
подмногообразий соответствующей размерности. При
условии tr γ = γ| = 0 они отвечают алгебре двойных
чисел.
3. Структуры почти касательные характеризуются
условиями γ2 = 0, rank γ = — dim M. В интегрируемом
случае приходим к рассмотренным в главе VII
касательным структурам, определяемым на ТМ и
отвечающим алгебре /?(ε).
4. Структуры r-касательные (γ' — Ο) возникают на
ТГМ и соответствуют алгебре ^(ε'""1), как это указано
в главе VII. Изучались и обобщения их на неинтегри-
руемый случай [310], [311].
Вернемся к общему случаю интегрируемой струк-
л
туры характеристики. (1). Считая, что матрица γ
приведена к каноническому виду Жордана, найдем вид
матрицы Α £ G (γ) преобразования адаптированного
репера. В силу (2) будем иметь квазидиагональную
матрицу
А^\ \ I, (1.4)
171

укоторой каждый блок At коммутирует с соответ-
л
ствующим блоком квазидиагональной матрицы γ,
имеющим единственное собственное значение, а остальные
места замещены нулями. Тот факт, что якобиева
матрица принимает вид (4), означает, что многообразие
со структурой γ распадается в топологическое
произведение или композицию [154] подмногообразий,
огибающих корневые подпространства аффинора γ, а
действие группы G (γ) сводится к действию ее сужений
на указанных инвариантных подмногообразиях. Таким
образом, изучение интегрируемой аффинорной
структуры γ на Μ сводится к изучению ее сужений на
подмногообразиях, огибающих корневые
подпространства, т. е. к следующим типам структур:
1. Аффинорная структура с одним вещественным
собственным значением λ и характеристикой [(т1у...,
тг)\, вместо которой можно рассматривать более
простую (нильпотентную) структуру γ—λ-id,
интегрируемую вместе со структурой γ, имеющую ту же
характеристику, но собственное значение которой равно
нулю. Мы будем называть ее структурой
параболического типа.
2. Структура с одним комплексным корнем α + ίβ
и характеристикой того же вида. Этот случай может
рассматриваться как комплексификация предыдущего,
поэтому он может изучаться тем же путем за счет
расширения поля R до R(i). Учитывая, что у
вещественного аффинора непременно имеется и комплексно
сопряженный корень с теми же числами
характеристики, мы за счет несложного линейного
преобразования переведем два комплексно сопряженных блока
в один вещественный. Можно показать, что такая
структура с парой комплексно сопряженных корней
порождает пару перестановочных между собой
структур — комплексной и плюральной, так что алгебра
будет в этом случае тензорным произведением R(i&)
def
(g) вг) = R (i)(^)R (sr) или комплексным расширением
алгебры R(sr). Эту структуру мы отнесем к
эллиптическому типу.
3. Если в характеристике (1) двум собственным
значениям λ φ μ отвечают одинаковые наборы кратно-
стей, то возникает гиперболический аналог структуры
172

типа, 2, где вместо R (i) выступает алгебра R (е)
(структура .гиперболического типа).
4. ^Сходная ситуация возникает и при наличии
одинаковые кратностей в характеристике (1) у двух пар
комплексно сопряженных корней, что приводит к
сочетанию типов 2 и 3 (структура смешанного типа).
Нетрудно видеть, что первый случай здесь
является основным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
минимальный многочлен аффинора
φ (λ) = (λ - λΟαι (λ - λ2)α>... (λ - \рр, (1.5)
где λ1? λ2,... λρ — собственные значения γ, а аи α2,...,
αρ — максимальные размерности жордановых клеток,
т. е. максимальные числа характеристики. (1) для
каждого собственного значения. Поскольку м&
рассматриваем структуру γ на вещественном М, то в
случае наличия у γ пары комплексно сопряженных
собственных значений в разложении (5) будут
присутствовать два* комплексно сопряженных множителя,
и в этом случае нам пришлось бы переходить к. ком-
плексифицированному многообразию.
Дробь 1/φ (λ) разложим в сумму дробей с взаимно
простыми знаменателями:
—-Υ] *'(λ) . (1:6)
φ (λ) · Ы (k — ~ks)as
Многочлены
ρ(λ)= φ (λ)?, (λ) (17)
(λ-λ,)α,
обладают следующими свойствами:
1. В силу (6) £ЯДХ) = 1, поэтому £ ЯДТ) = id.
8=1 ,5=1
2. Если Ех — корневые подпространства
собственных значений Хг-, то для V1»6^ имеем (γ—λ^\ά)α^ν=0,
поэтому Ps (γ) ν = 0 (s=fi i)K поскольку по (7) в Ps (γ)
присутствует множитель (γ — λ4· id)a/; таким образом,
многочлены (7) служат аннулирующими для корневых
подпространств с другим номером.
173

3. Каждый многочлен Ps (γ) тождественно действует
на корневом подпространстве Es. Действительно, для
\fv£Es имеем по свойству 2
ρ
Σ
(ΣΛ(τ))«=Σ(Λ(τ)«)·=^ω'«·
= ν, πο-
С другой стороны, по свойству 1 (Y^pt(^)\v==v.
этому Ps(i)v = v.
s s
Свойства 1—3 означают, что многочлены Ps(i)
служат проекторами на корневые подпространства Es.
Рассмотрим на Μ новую аффинорную структуру
τ = Ί-ίκΡΑι)- (ΐ·8)
Она обладает следующими свойствами:
1. Собственные векторы аффинора γ будут ими и
*
для γ, однако собственные значения их нулевые.
2. Если матрица γ приведена к жордановой форме,
то и матрица γ тоже имеет жорданов вид.
Таким образом, в каждом корневом
подпространстве структура (8) будет принадлежать к
параболическому типу, что и требовалось показать. Остальные
типы возникают при наличии отмеченных выше,
алгебраических особенностей аффинора γ. По этой
причине наше глазное внимание будет обращено в
дальнейшем на параболический случай.
Упражнения:
1. Показать, что структура γ с парой вещественных
собственных значений и одинаковыми наборами крат-
ностей элементарных делителей равносильна такой же
структуре с парой собственных значений ±λ.
2. Показать, что задание вещественной структуры
γ с парой комплексно сопряженных "корней
равносильно заданию двух перестановочных структур —
комплексной и плюральной.
174

§"2. Аффинорная структура параоолического типа
Шсть на Μ задана интегрируемая аффинорная
структура параболического типа (с нулевым
собственным значением), аффинор которой имеет
характеристику
[(тг, т2,...тг)\. (2.1)
Для удобства будем считать, что нумерация
адаптированных координат подчинена условиям:
1 < щ < т2 < *.. тг = т, (2.2)
й стало быть размерность последней (старшей) жор-
дановой клетки равна т. Это означает в смысле §3.1,
что структура γ определяет на Μ представление
алгебры /?(ет-1) плюральных чисел порядка т. Частный
случай такой структуры возникает на Тт~1М при
условии, что в (2) ть==т, / = 1,..., г (см. главу VII).
Рассмотрим алгебру /?(fem~1) с каноническим
базисом {1, ε,..., em~1}, em = 0. Нильпотентные идеалы
Rm-k ^ \am-k + \*m + ат-к+2гШ + ···
.••Η-^-'Κξ/?} (2.3)
мы будем называть подрадикалами R (sm~l) в силу
наличия следующей цепочки вложений:
^т-^^т-г^ ··· CZRxczR0 = R (sm ),
причем /?! совпадает с радикалом алгебры. Все эти
идеалы — главные; ибо
Поскольку γ задает на Μ структуру точного
представления алгебры /?(em_1), то в смысле главы III на
Μ определяется модуль представления, который мы
назовем аффинорным модулем и будем обозначать
символом, Ζ,(γ). Если ^ — адаптированные координаты
вектора в ТХМ, то в силу § 3.2 матричная координата
Ql-вектора ν в каноническом базисе {1, ε,..., sm~~1}
алгебры R(sm"1) будет иметь вид
175

V=(v, ΤΌ,..., γ^'Η (2/4>
где ^ — столбец координат v\ a -fv — его
произведение слева на s-ную степень матрицы γ, которую мы
считаем приведенной к нижней жордановой
треугольной форме, т. е. по главной диагонали матрица трас-
положены в порядке возрастания размерностей (2)
блоки вида
mai а= 1,..., г.
(2.5)
Матрица (4) будет иметь следующее строение
ί>= "ν2 .
(2.6)
где
ν'
С" = ( °"
Ό '
Λ-ι+2
(2.7)
*ϋ
Jfl-1 + 1.
а 5β = /^! + т2 + ... + яга. Блоки (7) устроены
следующим образом: на трансверсали, идущей из левого
верхнего угла вдоль воображаемой главной диагонали
и трансверсалях, параллельных ей и стоящих ниже,
расположены равные элементы, а- остальные места
замещены нулями. Блоки такого вида принято
называть //-блоками, а матрицы, составленные из них,—
//-матрицами [177]. Каждому блоку (7) однозначно
(а если его размер известен, то и взаимно однозначно)
сопоставляется величина из подрадикала Rm-m ,
размерность которого есть число ненулевых трансверса-
лей //-блока (7):
176

V\= em-mavsa-i + 1 + effl-mu+1^-i + 2 + ... + em-lv\ (2.8)
а на&рр величин Va, α=1,..., г определяет модуль
над Щь"1"1) в смысле примера 4 из § 3.5, который
таким хэбразом изоморфен модулю L (γ),
образованному матрицами (4) или (6).
Рассмотрим теперь группу автоморфизмов Q (γ).
В силу §\3.2 она «будет подгруппой из Q1 (я, /?),
коммутаторной по отношению к γ. По известному
свойству перестановочных матриц (см., например, [55],
с. 199—207—-нужно только иметь в виду, что мы
применяем нижнюю жорданову форму, поэтому и
//-блоки будут иметь теперь нижнюю треугольную форму)
получаем следующее строение матрицы /ΙζΟ(γ):
(2.9)
Л
где все блоки Ааъ являются //-блоками вида
s -р+1
*-| «£♦.
sa s„~l J/»—/7+1
p-ffllft)^ л**), (2.10)
вытянутыми по горизонтали, вертикали или (при та =
= яг^,) квадратными, //-блокам (10) по тому же
принципу сопоставим величины из R {ьт~1)
Аа=.-Pfl·^+г->+14(:$+...+«-ч^+г
(2.11)
Укажем закон преобразования плюральных
величин (8). Обычные формулы преобразования координат
вектора
177

выразятся через //-блоки (7) и (10) следующим юбра-
А Л Л
зом: Va' = A%Vb, откуда будет следовать прес/бразо-
вание
V* = А%ЬМ*Л (2.13)
где
Δ· = |°· b*cl (2.14)
а по индексам α, ft, с,... = 1,..., г, находящимся на
разных уровнях, предполагается суммирование.
Конечно, символы (14) имеют характер идеальных
элементов алгебры и могут рассматриваться лишь в
свертывании вида (13), где они действуют как операторы
понижения степени ε.
Л
Пусть теперь Л * —(Л£,)-—//-матрица, обратная к
А, тогда условие A^Af =^ Ц через //-блоки этих
матриц запишется следующим образом:
\%гАъ; = %, (2.15)
а (0 при а=£с, -,
где Е% = { · Переходя от со-
ldiag(l,..., 1) при а = с
отношения между //-блоками к соотношению между
соответствующими плюральными величинами (11),
получаем
Λ«,Δ»'Λ£ = Δ«, (2.16)
где Δ^ — плюральные величины, соответствующие по
Λ
(11) Я-блокам Е%, а именно:
|0. a*d,
а \ т—т „Л *
78

Символ (17) обобщает символ Кронекера, т. к. пере-
ходи^т в него при тх = ... = тг = т.
Таким образом, группа О (γ) реализуется как
группа преобразований координат в модуле Ζ (γ),
определяемых' соотношением (13).
Развивая далее исчисление //-матриц и
соответствующих им плюральных образов, зададим ковект'ор
(I-форму) ξ, которому согласно § 3.2 сопоставляется
матричная координата (3.2.13), где в качестве
взаимного базиса алгебры R (ε"2"1) удобнее всего взять
базис {ε™~\ гт~2,..., ε, .11}, что соответствует выбору
фробениусовой метрики в R (ε™~!), задаваемой
матрицей
(<Ь) Η . · ' 1 (2.18)
Тогда матричная координата коорбиты примет вид
^т-г
Ξ = / * *
(2.19)
и будет состоять из //-блоков
К=\ 1. (2-20)
Ч-1+2
Ч-»+х Ч-1+2*' *Ч
которым сопоставляются величины из R(sm )
Ξ0 = *т~таЬа + εη-Κα+% _, + ... + ι"-» ξ, _ +1. (2.21)
179

Умножая (19) справа на (4), получаем //-блок
регулярного представления R{sm~l). Условие (22) с
учетом (8) и (21) принимает вид .
*Муь = ετ"1"1^ + ε ter^M + ... + β*'1- (tv), (2.23)
откуда следует, что величины (21) являются
плюральными координатами линейной формы, действующей в
модуле L (γ). Их преобразование происходит по
формулам:
Продолжая следовать § 3.2, отнесем всякому
чистому тензору Ц1'['1«, пространственная матрица
которого будет состоять из пространственных //-блоков,
систему величин из R(em~~l)
Tbxbr..bq = у m-i^br'*1* *Ъ- - · *Ь =
а{а2...а Л sa 1 + U ^2_χ + 1 s _x + l
и ι=ι ρ
(2.25)
L
= V pm~li b*' ^ ba
L· ^_L+/l^2_v1+i s l+v
ί=1 p
где L = min{mn9 ... , mn , mh, ... , mh). При преобра-
зовании адаптированного репера они изменяются по
закону
b'-.J/q
т\ <
αχ..αρ
Т^Х 1- ... ЪК ... 1Щ... А/ А<... А£ (2-26)
180

характеризующему преобразование координат тензора,
отвечающего в Ζ,(γ) чистому тензору tl1'"^.
Г" ρ
Таким образом, мы построили плюральную
интерпретацию аффинорного модуля L (γ), что в частном
случае структуры правильного строения (с жордано-
выми клетками одинаковой размерности) предлагалось
выполнить в § 3.2, упражнение 2.
Выясним смысл этого модуля с точки зрения
многообразия Μ с интегрируемой структурой γ
характеристики (1). Пусть U и f/— пересекающиеся
окрестности точек χ и х', а х1 и χν — допустимые локальные
л
координаты, в которых матрица γ приведена к жор-
дановой форме. Преобразование х1' = f (х\ ..., хп)
локальных, координат в Uf] ϋ\ сохраняющее матрицу
γ, в силу § 1 будет удовлетворять условию (1.2), где
А = {dxv 1дх1) — якобиева матрица преобразования. Из
соотношения dxv = AVdx1 с учетом § 3.2 приходим к
условию
dX'=AdX, (2.27)
где dX — матрица, полученная из (4) при v=^dx, a
dXr — то же для v = dx'.
Формуле (27) можно указать интересную
интерпретацию с точки зрения алгебры /?(em_1), а именно,
поскольку все входящие в нее матрицы являются //-
матрицами, то для соответствующих //-блоков имеем
~cfc*' = A*dX*. (2.28)
Отнесем каждому //-блоку по (8) и (11) величину из
R(em~l):
ть
dX» = £ Bm~ldxsb-i+1, а, Ь,... = 1,..., г,
1=1
(2.29)
Αα· = ν гт~" dxs°-p+v t L = min {тф тьу
181

Тогда (28)" примет вид
dX« = Af&dXc. (2.30)
Поскольку из (29) очевидно, что величины Ааъ<
являются функциями.точки и не зависят он
направления дифференцирования, то их можно рассматривать
как частные производные переменных Ха' по Хь:
b дХЬ'
где
ть
Xb^^m-lxsb-l + ^ Й=1)^)Г> (2#31)
а Ха' определены так же из х1'. Мы будем называть
величины А* голоморфными производными, потому
что несложное сопоставление с результатами главы
IV показывает, что производная (в обычном смысле)
голоморфной функции Ха' по Хь определяется с
точностью до некоторого произвольного слагаемого
из подрадикала алгебры Н(ът"~х)^ аннулирующегося
свертыванием этой производной с величиной (17), при
котором и возникает голоморфная производная.
Итак, многообразие Μ с интегрируемой аффинор-
ной структурой характеристики (1) реализуется как
дифференцируемое многообразие над алгеброй R (ет~~1)
в смысле главы V. Специфика в настоящем случае
состоит в том, что по сравнению с обычным случаем
многообразия над алгеброй, разбиравшимся в главе V,
здесь гомеоморфизмы областей осуществляются в
модуль над /?(sm_1) в более общем смысле примера 4
на стр. 80. Возможность построения такого модуля
вытекает из наличия в R (sm_I) отмеченных выше под-
радикалов, являющихся главными идеалами. Мы будем
обозначать это многообразие символом М{гт~1), имея
в виду, что для его полного определения должна быть
указана характеристика (1) структурного аффинора γ.
Упражнения: 1. Показать, что из · соотношения
Λ Д Λ Λ Λ Λ
PQ = Rt где Я, Q, R — //-блоки подходящих размеров,
182

при сопоставлении им с помощью (7) и (8) величин
из R(zm~l) по закону: Р—+Р, Q—>Q, R->R следует
соотношение РЩ = R, где Δ —оператор
соответствующего понижения степени ε.
2. Используя результаты примера 1, показать, лто
-413 (15) следует (16).
3. Показать, что голоморфная производная (29)
дХа'
имеет вид: = Ра'ЬР ГДе Р?' — производная Xе* по
дХс
Хь в смысле главы IV.
4. Проверить, что Μ (г171"1) является плюральной
интерпретацией многообразия Тт~1М в случае
тг — ... = тг = т.
§ 3. Связность, сохраняющая аффинорную
структуру. Голоморфные объекты
Аффинная связность без кручения ν называется
сохраняющей структуру γ, если
δτ = 0. (3.1)
В. допустимых локальных координатах d^ = 0, и
коэффициенты этой связности будут удовлетворять
условиям
Г?/Г*,= г&т}. (3.2)
означающим с учетом Г^ = Г*£ чистоту . величин Г^
относительно γ^. По (2.25) чистой пространственной
матрице Г можно сопоставить систему величин
г% =Σ.-/ Kf[tl ., ι+1= Σ ·"-' Kab-L+, sc l+v (3-3)
\
где L =*= min \τηω mbi mc]. Нетрудно убедиться, что
величины (3) определяют на М(ет~1) симметричную
связность. Действительно, условие bv = 0 для всякого
векторного поля ν на Μ в локальных координатах
183

равносильно dvl + Vl1kvkdxJ = Q, а последнее в
плюральных координатах примет вид
dVa + гъЦ^УЧХ? = 0. (3.4)
Таким образом, задание связности на М,
сохраняющей структуру, равносильно заданию связности без
кручения на М(гт~х). Возможность повторного
дифференцирования на М(ет~1) упирается в тот факт, что
величины 2%с в общем случае не являются
голоморфными функциями переменных (2.31). .
Определение. Поле объекта Ω^;; называется
голоморфным, если объект чист вместе со своими
производными по координатам, адаптированным к
структуре γ.
Для тензорных полей может быть доказан
следующий критерий голоморфности доля с применением
связности, сохраняющей структуру.
Теорема 1. Для того, чтобы чистое тензорное поле
было голоморфным, необходимо и достаточно,
чтобы чистой была ковариантная производная этого
тензора в связности, сохраняющей структуру.
Действительно, условие голоморфности чистого
тензорного поля по "определению имеет вид
7?<УЙ::. = №ЛЬ (3-5)
а чистота ковариантной производной означает, что
tiVifc. = л^Л/:::· Μ
Раскрывая в (6) ковариантную производную, легко
убеждаемся, что в силу (2) и аналогичных условий
для чистого тензора t дополнительные слагаемые в
обеих частях (6) попарно равны, и после их удаления
приходим к (5). Обратно, из (5) получаем (6)
присоединением указанных слагаемых. Теорема, как нетрудно
видеть, остается справедливой и для более общих
структур, определяемых точными представлениями
алгебр.
Следствие. Если чистое тензорное поле ковариант-
но постоянно в связности, сохраняющей · структуру,
то оно голоморфно.
184

Важным примером голоморфного объекта служит
голоморфная связность, сохраняющая структуру γ.
Она характерна тем, что величины (3) являются
голоморфными функциями от координат (2.31). Имеет
место следующий критерий голоморфности связности.
Теорема 2. Для того, чтобы связность,
сохраняющая структуру, была-голоморфной, необходимо и
достаточно, чтобы ее тензор кривизны был чистым.
Достаточность. Из обычного соотношения
ввиду чистоты второго слагаемого правой части
следует, что чистота тензора крив'йзны равносильна
чистоте величин д[/Г£ По индексам i, j он чист, по--
зтому остается убедиться в чистоте по. паре
индексов, например, / и i:
Раскрывая это соотношение, получаем
тВД - т№ = тНг£/ - ЗДг
Так как вторые члены в обеих частях равны, то мы
приходим к голоморфности объекта связности Г^.
Необходимость условия сразу следует из строения
тензора кривизны.
Нетрудно видеть, что теорема остается
справедливой для любой интегрируемой структуры точного
представления коммутативной ассоциативной алгебры
на М\ для этого достаточно в доказательстве в
качестве γ взять произвольный аффинор представления.
Для представления, кратного регулярному, теорема
доказана Г. И. Кручковичем [102], для произвольных
точных представлений — В. В. Вишневским [41].
Дальнейшие свойства многообразия М(гт~1)
развертываются по аналогии с результатами главы V.
И здесь тензору кривизны голоморфной связности
отвечает по формуле (2.25) тензор кривизны связности
(3) на М(ет~1), а ковариантной производной — кова-
риантная производная плюрального многообразия.
185

В качестве примера рассмотрим на Μ метрическую
связность, определяемую полем симметричного
невырожденного тензора g, которое мы будем считать
голоморфным. По (2.25) в адаптированных
координатах получим тензор из M(sm~~l)v
L
°ab = 2 ε"~Χ-^' Ъ-i + l'- L = ШШ {Ша> ть]' (3J)
Предположение о том, что связность на М(ет~г),
определенная полем тензора (7), вейлева, равносильно
условию
DcGab = 2$cGab, (3.8)
где Dc — символ ковариантной производной в М(ет~1),
а 2С- некоторое ковекторное поле, которое мы
должны считать голоморфным, если мы хотим, чтобы
голоморфной была связность. По формуле (3.3.4.)
вещественной реализацией соотношения (8) будет следую·*
щее равенство
J α .β
или с учетом уже выбранного базиса алгебры R (ет~1)
и фробениусовой метрики (2.18) будем иметь Φ = γα_1,
α
поэтому последнее соотношение примет вид
О п-\ 1 п-2 п-\ О
VkSij = 2 К ft/ + ω* ft/ + ···> ω*&;)> (3.9)
где
α α α α ά
α раз
Таким образом, вещественной реализацией
пространства Вейля W(em_1) является многообразие Мс
метрикой, которая голоморфна по отношению к аффи-
норной структуре, а связность без кручения
сохраняет пучок тензоров, определяемый метрикой и
присоединенными к ней тензорами. Не представляет
186

особого труда найти связность ([161], с. 182) и ее ве«^
щественную реализацию, что мы предлагаем сделать
читателю. В частности, если связность, определяемая
тензором (7), риманова, то в.(8)2с = 0, поэтому из (9)
следует ykgtf = 09 и вещественная реализация тоже
риманова (см. [172] — [176]).
В заключение параграфа на примере векторного
поля рассмотрим условия голоморфности и
проинтегрируем полученные системы дифференциальных
уравнений в-частных производных. В адаптированных ко-
Л \
ординатах матрица др коммутирует с γ и стало быть
состоит из Я-блоков V*, которые квадратны при
та = ть, вытянуты по горизонтали, если та<^тъ, и
вытянуты по вертикали при та > ть. В каждом из
этих трех случаев приравниваем друг другу элементы,
стоящие на одной трансверсали, и к нулю стоящие
на нулевых местах; приходим к следующим
системам уравнений:
1. При та ^=ть:
д. +lva = d, ,2v
sb-i + l sb-i+z ■
•b-ιT' · °6
^-I+3 '
sb-l+ sb-\ + l Sb
ds +8^-1+1 = ... = dsv9*-1 =09
sb~\ + i sb
(3.10)
'\-Уа-*+1 = dsbvs"S2 = 0,
<V>e-1'+1 = o.
2. При та < mb:
187

ί„-1
V.+1 ν = 'W2*α = д,*-'+ад ч
,.·*Λ t+2
"w*"' = V^ " - " **-+-·β4 (ЗЛ1>
= д Vs" = Ο
*Λ-1
= <?,у«=ο,
д у«-.+1=.
<?,у»-»+2 = о,
3. При та > /и6:
,.s„-2
(3.12)
,.^-^λ+2
^ +Ув- =Λ +2^α-' =... = (?,у«-«+,"»=о,
ds +2^a-,+1 = ···'= ^у«-+т*_1 = о,
°Ь-Г

sb~l b
(3.12)
д VSa-l+1 = 0.
Уравнения (10) — (12) «для соответствующих //-блоков
есть условия голоморфности функций (2.8) по
переменным (2.31), и они могут быть достаточно легко
проинтегрированы. Однако, чтобы избежать
громоздких выражений, воспользуемся результатами главы IV,
упражнений 2 и 3. Системы (1Q) и (11) равнозначны
тому, что функции Va, голоморфные по переменным
(2.31), будут иметь вид, указанный ниже.
1. При та < ть\
1 2 та
, уа = вт-тауа ^ + вт-та+гуа ^ + _ + £m-l ya ^b^
(3.13)
ρ
где Va (X ) — естественные продолжения некоторых
2
функций. В частности, если в (13) положить Va =...
... = Vй = 0, то Va определится как естественное
продолжение одной вещественной функции ·ζΛ*-ι+ι, как
это хорошо видно из (10) и .(И).
2. При та > тъ\
уа _ Ет-таСа + ^-т^+l^ + _ + ε^-%-1^_^ +
+ гт-тьуа (X*) + ет~ть+1 у" (χ*) + ... (3.14)
mb '
...+ε^-νβ(^),
ρ
где Сар — произвольные постоянные, a Va {Хь) —
естественные продолжения некоторых функций в алгебру
/? (ε™-1). Полагая и в этом случае, что Va (Xb) —
естественное продолжение функции vsa~mt>+l, а остальные
σ
να = 0> мы получим, что Va определится одной лишь
этой величиной.
189

Заметим, что эти выводы можно получить и без
обращения к гл. IV, если проинтегрировать системы
(10) — (12) при том предположении, что
соответствующие голоморфные плюральные функции при
вещественном значении аргумента принимают также
вещественные значения. Возможность указанных продолжений
вещественных функций в плюральную область
позволит, как мы увидим в последней части настоящей главы,
определить операции поднятия некоторых объектов
в случае многообразия с нильпотентной аффинорной
структурой. Ввиду того, что условия голоморфности
объекта из М(ет~1) будут всегда.иметь вид,
аналогичный (10) — (12),, то без существенной разницы наши
выводы будут иметь место и для объектов более
общей природы.
Упражнения: 1. Пусть V и U7--векторное и ко-
векторноеполя многообразия M(sm~l), отвечающие
вещественным полям ν и w. Доказать, что для того,
чтобы sp (!/", W) была голоморфной функцией координат
на M(sm~l) при голоморфном поле ν, необходимо и
достаточно, чтобы w также было голоморфным полем.
2. Показать, что связность, определяемая условием
(9), где тензорные поля μ>3 и gtj — голоморфны, будет
также голоморфной.
3. Проинтегрировать системы (10) — (12) для случая
характеристики [(1, 3)].
4. Показать,, что величины (3) преобразуются на
М(ьт~1) 1сак объект связности.
§ 4. Полукасательные структуры первого порядка
Рассмотрим на дифференцируемом многообразии
9Jl(dim9#= п) дифференцируемое расслоение L {п—т)-
мерных подмногообразий. Введем на ЗЛ
адаптированные к расслоению L локальные координать^(л:л, ха),
где У— слоевые координаты (а, Ь,..,'= 1,..., п — т),
а ха — координаты на базе расслоения Ζ,(α, β,... =
= λ—-/гс + 1,...., η). Β этих координатах слои из L
определяются уравнениями ха = const.
Адаптированные координаты определяются с точностью до
преобразований, которые мы будем считать допустимыми:
190

X» = f(Xa, jca), ^=φ3(Λα), (4.1)'
V.
(дх1 \
г-1 имеет вид
/ЛЬ- Ab\
А={Л* Ла), (4.2)
[θ А\Г
и вследствие ее невырожденности
det (i4*) ^= 0, aet(Al)i=0. (4.3
Пуеть να= координаты струи 1-го* порядка
dt
(касательного вектора) базы расслоения L (см. гл. VII).
Введем в рассмотрение многообразие троек (ха, ха,
ха), где ха =va, а = а + т. При допустимом
преобразовании (1) эти величины изменяются
дифференцируемым образом:
> = f (^ χα\ £ = ·φΡ (χα4 ^ = *£ χ« ^ (4.4)
причем якобиева матрица будет, как нетрудно видеть,
следующей:
(4.5)
где обозначено
Лв .-■ *»
дхадх°
Так как
1*\ А^2/ ЛК
аеЬЛ = det {Ла) · det2 (ΛΒα) ^ О
191

в силу (3), то М — дифференцируемое многообразие
размерности η + т (см. также [50], [309]).
Допустимое преобразование (5) локальных
координат на М, которое взаимно однозначно определяется
преобразованием (2) локальных координат на ЯЛ,
сохраняющим расслоение Ζ,, имеет специфический вид,
а именно, оно коммутирует с постоянной матрицей
Λ [оп_т о о д
Т= 0 0,0 , (4.6)
где 0S — квадратная нулевая матрица порядка s, Е —
единичный блок порядка т, а остальные места
заполнены нулями. Называя структуру на Му определяемую
пополнением многообразия ЭЙ касательным
расслоением 1-го порядка к базе расслоения L,
полукасательной структурой 1-го порядка,
сформулируем.полученный результат:
Теорема. Полукасательная структура 1-го порядка
характеризуется наличием 'интегрируемой аффинорной
структуры параболического типа характеристики
[(^J, 2_^1. (4.7)
п—т т
Отметим некоторые особенности этой структуры:
1. Матрица (6) простой перенумерацией координат
превращается в жорданову, поэтому все
рассмотренные выше свойства параболических структур здесь
применимы.
2. Аффинор γ удовлетворяет условию
Т2 = 0, (4.8)
определяя на Μ структуру точного представления
алгебры R (ε).
3. Кегт=« 0, ν*}, ImT={0, 0, ντ\,
поэтому
ΙπιγοτΚ^Γγ,
причем включение заменяется совпадением тогда и
только тогда, когда т = п\ при этом Μ становится
ГЗК в смысле главы VII.
192

4. Преобразования группы О (γ) задаются
матрицами вида
(4.9)
при условиях det Ρ Φ О, det/?=^0. Матрицы вида (5)
образуют, как легко проверить, подгруппу (9) и
определяют на Μ О-структуру, которая изучалась в [309].
Группа (5) сохраняет расслоение на Λί, базой
которого служит касательное расслоение 1-го порядка к базе
I, а слои диффеоморфны слоям из L.
5. Преобразования (2) и (5) взаимно однозначно
соответствуют друг другу, определяя тем самым
диффеоморфизм их групп Ли. Пусть наряду с (2) на 9П
(Ва Ва\
действует преобразование В= * ~М , которому
Μ отвечает преобразование
на
К. К о
Я=-| 0 В; 0 |. (4.10)
0 β*/5;
Тогда произведению преобразований
AB = (APi APt + Aift\
[ 0 AJft ■ )
на 7W должно отвечать преобразование
'λφϊ 'А>Р1 + Ау% 0
АВ-\ 0 ^ - °
0 ■ "^W* ^
С другой стороны, перемножая матрицы (5) и (10),
получаем с учетом (4), что АВ = АВГ и поскольку
очевидно, что тождественному преобразованию на 901
193

отвечает тождественное преобразование на М, то
отсюда следует требуемый результат.
Последнее свойство позволит нам
интерпретировать различные факты геометрии ЗЛ, инвариантно
связанные с расслоением L, в геометрии на М. В
частности, наличие аффинорной структуры (6) дает
возможность отобразить многообразие Μ на
многообразие . Μ (г) над алгеброй /?(ε). Это отображение с
учетом (2.31) осуществляется с помощью
соотношений
Ха = е^, Χ1 = χ« + εχΤ, (4.11)
а преобразование (5) означает, что будут голоморфны
функции
Xb = Fb(Xa, Ха)> #Β = ΦβΡΟ, (4Л2)
определяющие преобразование локальных координат
на Λί(ε).
Подобно тому, как в касательном расслоении за
счет естественного продолжения функций в дуальную
область определяются поднятия объектов базового
многообразия (см. главу VII), так и в нашем случае
для объектов из ЗЛ, ассоциированных с расслоением
Ζ, можно определить аналогичные операции.
Пусть ό— векторное поле на 501 с
адаптированными координатами vb(xc, х°), tfi(x?), которое
ассоциировано с L, т. к.,его проекция на базу зависит лишь
от базовых координат, причем это свойство, очевидно,
инвариантно относительно (2). Определим полный
лифт поля ν в Μ как векторное поле
<ν=(να, ν\ д^-хЛ (4.13)
V дх° /
и покажем, что он определяется инвариантно.
Преобразуя с помощью (2) координаты поля ν, получим
νν = [Арь + Ajv\ Apfi), (4.14)
откуда с помощью (13) найдем
194

cv =p ίΑ%ν» + Aftfi, Aftfi, A^ jfrf + Α.*£χτ\
v-
И
V
-W
a
с cv
Но точно то же самое будем иметь, преобразуя ν
ν ν
с помощью (5), откуда следует, что (cv) = c(v), т.· е.
полный лифт определен инвариантно, и имеет место
коммутативная' диаграмма
(4.15)
Применяя отображение (2.8), отнесем полю cv в Μ {г)
поле CV с координатами
€V" = wa, cV«^v* + z — x7, (4.16)
которое будет очевидно голоморфным по координатам
(11). Отчетливо видно, что оно получено за счет
естественного продолжения функций να в область
алгебры /?(ε), о чем указывалось в конце
предшествующего параграфа.
Совсем аналогично устанавливается, что для, поля
ν может быть определено поле νν = (0, 0, ^а),
которое мы назовем вертикальным лифтом поля v. Он
порождает на Μ {в) поле 7 с голоморфными
координатами
vVa = 0, vV* = ev«. (4.17)
Из легко проверяемого соотношения
*ν = Ί*ν (4.18)
следует инвариантность вертикального лифта, а также
формула
Ψ = ε% (4.19)
195

обобщающая аналогичное соотношение в касательных
расслоениях.
Обратимся теперь к полю 1-формы (ковектора) w
на ЯП, лифт которого в Μ будем искать в виде
голоморфного относительно (6) поля
°W = (Wa (ХЬ, Л?), (dvWa) Χσ , Wa (Χ?)),
где
™ = {Ρα (хЬ> -^)» ДО. (*Β))
— исходное поле на 9tt. Рассматривая аналогично
предыдущему диаграмму типа (15), получаем, что она
коммутативна тогда и только тогда, когда wa = 0, и
следовательно, всякая 1-форма
да*='(0, wa(x?)) (4.20)
допускает полный лифт в Μ
см = (0, (d,wa)x7, wa). (4.21)
Этому полю в Μ (ε) отвечает поле с голоморфными
по переменным (11) координатами
с ψα = 0, С Wa = Wa + ε (daWa) Я (4. 22)
Вполне аналогично определяется вертикальный лифт
поля w в М:
vw = {0,wa,-0), (4.23)
образ которого в Μ (ε) определяется соотношениями
vWa*=0, vWa = ewa... (4.24)
Нетрудно убедиться в том, что взаимный след
полей (16) и (22) является голоморфной функцией
координат (11):
sp (c W, CV) = C WtlfVJ'^ c WacV« - ww*'+ .
+ εδσ (wava) χ = sp {cw, vv) + esp (cw, lv).
196

Существование лифтов накладывает довольно
сильные ограничения на поднимаемые поля, что особенно
отчетливо видно на примере тензора порядка (0, 2),
Пусть gij — его координаты; лифт будем искать в
виде голоморфного относительно (6) тензора с
матрицей, удовлетворяющей условию чистоты и поэтому
имеющей вид:
/а Ъх 0\
€g=\b2 d c\ (4.25)
\0 с О/
где Элементы матрицы d получены из
соответствующих элементов матрицы с = {сш) дуальным
продолжением:
cg<# =.(д9св&) ■*".
Считая, что
'-*»-№)· (4·26)
где
будем называть' тензор (25) полным лифтом тензора (26).
Проверяя инвариантность этого определения
относительно допустимых преобразований. (2) и (5) в 9JI и Μ
соответственно, получаем следукШщй вывод, проверка
которого предоставляется читателю: голоморфный
тензор (25) является полным лифтом тензора (26) в
следующих двух случаях:
1. а = bx = b2 = 0, и следовательно, оба тензора
(25) и (26) вырождены.
2. В (2) и (5) Л« —0, и мы получаем сужение
соответствующих групп. На 9Я суженная, группа
сохраняет комцозицию в смысле А. П. Нордена [165] базы
и типового слоя расслоения I, а/К превращается в
композицию касательного расслоения 1-го порядка к
базе и слоя из L.
197

Вертикальный лифт определяется из (25) обычным
образом: vg = cg**{, обычными будут и отображения
этих тензоров на тензоры из М(&). Вполне
аналогично решается вопрос о поднятиях тензоров типа (2, 0).
Значительно проще определяются поднятия
тензора типа (1, 1), для которых по существу уже имеется
модель: преобразование (5) можно рассматривать как
полный лифт преобразования (2). Поэтому полным
лцф^гом всякого тензора типа (1,1) с матрицей
/ t* (хс, χσ) Щ (хс, х°) \
'■-(о V) )■ (4'27)
ассоциированной с расслоением L, будет голоморфный
смешанный тензор с матрицей
{П ■ П °
</ = [ о _/« _ о
\0 (дД)х7 t%
а вертикальный лифт определится условием vt = ct·^
Инвариантность определения (28) проверяется
непосредственно. Тензор из Μ (ε), отвечающий (28), будет
иметь компоненты
голоморфные по координатам (11).
Определим лифт аффинной, связности из 9ft и М.
Пусть у — аффинная связность без кручения на 5ft,
сохраняющая расслоение L, т.· е. удовлетворяющая
п—m
условию ν^^ 2^*г> Для всякого Репера ν на слоях
0=1
из L. Оно равносильно тому, что среди
коэффициентов Gfj связности ν исчезают следующие Gaab= £/^α=0,
и существенными компонентами этой связности будут:
OS»=Og«. °U=Qba*> 0% = Gaw Oa = G;a· (4-29)
198
(4.28)

Наложим также естественное требование, чтобы
которое сохраняется при допустимом
преобразовании (2).
Будем искать лифт связности у в Μ в виде
голоморфной связности, сохраняющей структуру (6).
Условия чистоты искомой связности означают, что она
будет иметь следующие ненулевые компоненты:
Г*" = Г« Г°~ = Г° vc —Vе vb —vb (4.30)
ab ba> aa aa, *■ ab — -1 ba, *■ ал — J- aa' V*·^/
а условия голоморфности (т. е. чистоты частных
производных по допустимым координатам) сведутся к
тому, что будут голоморфными функции
γ^ + *γι=λ (* + **"),
-поэтому компоненты Γσαβ можно- получить
естественным продолжением Г^ в область алгебры /?(ε):
Сравнивая (29) с (30), замечаем, что набор
существенных компонент в (30) шире, чем в (29).. Однако,
рассматривая закон изменения компонент (30) при
преобразовании (5), получаем,-что .Г^ и
^преобразуются однородно, и следовательно, условиями
rL = τί = о -<4·3ΐ)
выделяется класс аффинных связностей на М.
Полагая теперь, что ненулевые компоненты искомой связ?.
ности определяются равенствами
аЬ ^аЬ> аа, - сся> α3 ^αβ'
(4.32)
Γσ =Оа Г°" = (д Па \ х*
Х*3 Ut$i αβ \UxU*$) Л >
199

мы определим связность на М, которую назовем
полным лифтом связности ν и обозначим V Нетрудно
проверить, что наше определение не зависит от
выбора допустимых локальных координат на 9JI и
соответствующих координат на М, т. е. инвариантно.
На М(е) связность полного лифта порождает
аффинную связность без кручения с коэффициентами
ос —pVc ob —oVb oa —oVa
(4.33)
а остальные равны нулю.
Связность вертикального лифта определяется
аналогично предыдущему, а именно ее компоненты
получаются из компонент связности cv
присоединением относительно структурного аффинора, (6), а
соответствующая связность на Μ (в) имеет компоненты,
получающиеся из (33) умножением всех компонент на ε.
Заметим, что полукасательные структуры 1-го и
высших порядков изучались В. В. Вишневским [50],
а лифт связности был определен Т. В. Кирсановой
[87]. С учетом рассмотренных поднятий
распространение этих результатов на случай объектов более
общей природы не представляет принципиальных
трудностей.
Упражнения: 1. Показать, что преобразования (2)
(соответственно, (5)) образуют группу*
2. Показать, что поднятия (21) и (23) 1-формы (20)
инвариантны.
3. Рассмотреть инвариантность поднятия тензора
типа (0, 2) и доказать, что она имеет место только. в'
указанных выше двух случаях.
4. Исследовать поднятия тензоров типа (2, 0). "
5. Доказать инвариантность поднятия (28) тензора
(27). ;
6. Показать, что для связности полного лифта (32)
справедлива коммутативная диаграмма вида (15).
7. Определить полный лифт тензора кривизны
связности ν» сохраняющей расслоение L, и показать, что
он совпадает с тензором кривизны связности cv
8. Если у —риманова связность на 9J1, сохраняющая
расслоение L, то ее полный лифт в Μ относительно
200

суженной группы (5) {Аьа = 0) совпадает с римановой
связностью метрики полного лифта на М. Доказать·
§ 5· Полукасательные структуры
высших порядков
Пусть 901: — многообразие с расслоением L>
изучавшееся в § 4. Предположим, что база расслоения L
в свою очередь расслаивается на подмногообразия,
тогда на 9Л получаем двухступенчатое расслоение L.
Адаптированные к L локальные координаты будут
испытывать допустимые преобразования вида
ХЬ = fb (^ χ^ У)э > = φβ (Xaf £)9 xJ = Qf (Д * (5.1)
где ха, d —- локальные координаты на базе I, и, в
частности, х1 — локальные координаты на базе второй
ступени расслоения L. Якобиева матрица преобразо*
вания (1) имеет вид:
/= О А{ А\ \, (5.2)
\0 О А{)
и ее невырожденность равносильна условиям:
det(4*)^0, det(^)^0, det(^)=£0. (5.3)
Здесь
α, b,... = 1,..., η; α, β,... = λ + 1,... ;η + m;
i, j,... = n + m + 1,..."', n + m + ρ,
причем
dim9Jl = At + m + p.
201

Рассмотрим многообразие Λί, элементом которого
служит совокупность точки многообразия 9ft, 1-струи
(т. е. касательного вектора) на базе расслоения L и
2-струи (см. главу VII) на базе L/ Локальные
координаты на Μ зададим в виде набора переменных
(γ0, ν*α να у1 W v*M
где л;а, л*, ^—адаптированные координаты на 931,
χ* = dx*fdt Ι ίβ0, хт = dxl/dt | ^=о,
xr = -d2xr/dt2\t=o.y
а ^ —параметр какой-нибудь кривой на 3ft,
осуществляющей отображение φ:/?—>9ft. Установим в
дальнейшем следующую нумерацию индексов: α = α + /w,
а· латинские индексы, начиная с этого моменаа,
„сдвигаются" на величину т, т. е.
i, у,... = η + 2т + 1,..., д + 2т + р\
i = i + ρ, Τ= ι + 2/7.
Стало быть, dim M= n + 2m + Зр.
Преобразование (1) адаптированных координат на
3ft порождает следующее дифференцируемое
преобразование локальных координат на М:
%> = f*(jf9 χ«, χ*'), Хр == φ0 (лс«, X1),
' дх<
ЛГ = ; —Х1Хк Η .Л1
с якобиевой матрицей
202

/=-
к
0
0
0
0
0
Μ
К
К
0
0
0
0 Л? 0 0
0 Л? 0 0
А%Щ А\ 0
0 Л>, 0 0
0 А~{ А{ 0
0 Л| Л] Л/
(5.5)
В силу (3)
det /= det (Л*)·· det2 (Л*) · det3 (Aft φ Ο,
поэтому М— дифференцируемое многообразие, на
котором локальные координаты
хА (А, В,... = 1,..., п + 2т + Зр)
индуцированы в смысле главы VII локальными
координатами на 9К.
Строение матрицы (5) показывает, что она
является //-матрицей и стало быть кфшутирует с
постоянной матрицей
(5.6)
Таким образом, доказана
Теорема. Многообразие Μ обладает интегрируемой
аффинорной структурой (6).
Учитывая принцип построения этой структуры,
назовем ее полукасательной 2-го порядка. Укажем
некоторые ее свойства, легко вытекающие из
предыдущего:
1. Характеристика аффинора γ, определяемого
матрицей (6), имеет вид [(1,..., 1, 2,..., 2, 3,..., 3)].
Λ
ϊ =
о„
0
0
0:
0
0
0
0т
Έ
0
0
0
0
0
от
0
0
0
0
0
0
°р
Ε
0
0
0
0
0
%
Ε
0
0
0
Ч)
0
о
203

2. Аффинор удовлетворяет условию γ3 = 0.
3. Преобразования (4) образуют группу, которая
является подгруппой группы О (γ), ςoxpaняющeй мат-
Л ' ч
рицу γ. Вид матрицы (5) показывает, чю* группа (4)
сохраняет двухступенчатое расслоение, у которого
базой первой ступени служит 1-касательное расслоение
к базе I, а базой второй ступени — 2-касательное
расслоение к базе L. Слои этого расслоения
определяются соответствующими слоями расслоений L и L.
4. Структура (6) * определяет отображение Μ на
многообразие М(в2) над алгеброй R (ε2), которое
задается формулами:
X* = eV, Χ* = εχα + ζ2Χ*> Χ1 = Χ1 + εΧΓ+ ε2Α (5.7)
Переменные (7) при преобразовании (4) изменяются
голоморфным образом, причем
Xb = Fb(Xa9 X*, Xl\
(5.8)
Эти преобразования имеют вид, аналогичный (1), что
является следствием возникающего на Μ нового двух-,
ступенчатого расслоения, указанного в свойстве 3.
5. Преобразование (4) может рассматриваться как
лифт из 2Λ в Μ преобразования (1), или обратно, (1)
как естественная проекция преобразования (4).
6. При п = т = 0 приходим к обычному 2-касатель-
ному расслоению Г29Л в смысле главы VII.
Подобно тому, как это сделано в предыдущем
параграфе, можно определить поднятия объектов,
ассоциированных с расслоениями L и /,, в многообразие М.
Учитывая возникающие в общем случае
вычислительные трудности, мы покажем это на примере, рассмот-.
ренном Т. Г. Гуреевой [51].
Пусть на двумерном многообразии ЗОН с
локальными координатами х1, х2 задано расслоение на
одномерные подмногообразия, тогда полагая в предыдущих
выкладках /г = /? = 1, т==0, придем к четырехмерному
многообразию Μ с локальными координатами хх9 х2,
204

Xs = я2", χ4 = χ2, обладающему полу касательной
структурой 2-го порядка характеристики [(1, 3)], которая
в общем случае изучалась Т. Г. Наковым [131]. УН
будет расслоенным пространством, база которого есть
2-касательное расслоение одномерной базы из L на 9ft,
а слои диффеоморфны слоям на 9ft. Тогда имеют
место следующие поднятия объектов, ассоциированных
с расслоением Z,, из 9ft в М.
1. Векторное поле ν = (ν1 (χ\ χ2), ν2(χ2)) порождает
полный, промежуточный и вертикальный лифты:
\ dx*X> 2 {dx*y V } ^ dx*X )'
(5.9>
^ = (0, Ο, ν*, g^ wx> = (0, 0, 0, v2).
2. 1-форма w = (0, зд2С*2)) порождает аналогичные
лифты:
\ 2 (dx*yy ' dx* · dx* ' 2;
(5.1Q)
w* = (θ, η^χ\ w2, OJ, ww - (0, *2f 0, 0).
3. Связность на 9ft, сохраняющая расслоение Lf
имеет ненулевые компоненты G\v*G\2y G\2, G%2(x2). Ее
поднятия на Μ определяется следующим образом...
а) Полный лифт:
pi ==(71 Г1 =Г1 = О1 Г1 = Gl
х11 УIV 12 Х21 ^12' х22 и2
22»
Г2
А22
рз _ г4 =
х 22 ~~ Х 23
— Г3
х 23
Г4 =
х32
— Г3 -
. 32 "
<*С22 t
djc2
- Г4 =
~ ±24
1 р4
б) Промежуточный лифт:
Г3 -
х22
- Г4 -
А23
= Г4 =
Х32
<?2
^22»
= Г4
-42
= Г4
Азз
_ 1 rf'QL
2.(cue2)2
Г4 =
dG22
4х2
= G2
*^22>
(·**)» +
л8.
(5.11)
—-я4. ·
(5.12>
2Q&

в) Вертикальный лифт:
1Ъ = <?1г. (5.13)
В соотношениях (11), (12), (13) все.невыписанные
компоненты поднятой связности — нулевые.
4. Тензор типа (0,2) с матрицей g = ( ) , где
\с р)
р = р(х), позволяет инвариантно определить лифты
'а Ь 0 0\ /0 0 0 0\ " /0 0 0 0>
*·Γ?/Μ ^0==( 0.^/7 0 1 w ( 0 /7 О О
О ? /? О Г * ДОрООГ g 1 о О О О
40 /? 0 0/ . \0 0 0 0/ \0 О О О,
(5.14)
где
dx2 2 (dx2)2 ' rfx2 ·
в следующих двух случаях: а) а = Ь = с = 0 и б) рас·
слоение на Μ является композицией в смысле
А. П. Нордена [165].
Все поднятия (9) — (14) определяют голоморфные
на Μ поля, причем в М{г2) соответствующие объекты
связаны условиями
ννΤ = &VCT> = ε2 CCT
В заключение укажем общий подход, с помощью
которого можно получить полукасательную
структуру любого порядка и любой характеристики
структурного аффинора. Зададимся характеристикой самого
общего вида
[(mx\...%mlK m2,...,m2<,..., ma,... ,/Иа)], (5.15)
Tx ' /2 ia
где для удобства полагаем
1 <mx <//г2 < ... <та = т,
и рассмотрим дифференцируемое многообразие 9К .
206

(dim3n = /i+/a+ ...+/.)
с многоступенчатым расслоением на подмногообразия
соответствующих размерностей, так что размерность
а
базы i-ой ступени равна ^тД- Тогда рассматривая к
каждой базе j-ой ступени касательное расслоение по*
рядка тг —-Л (i = 1,..., α), мы определим указанным
выше способом новое дифференцируемое многообразие
α
Μ (ШтМ=2*юА),
λ=1
обладающее аффинорной структурой характеристики
(15).· JEe струкаурный аффинор в локальных
координатах, индуцированных на Μ локальными координатами
в ЯК, адаптированными к многоступенчатому расслое-
цию, имеет постоянную матрицу, нильпотентен и
удовлетворяет уравнению Ym = 0. Эта структура * является;
частным случаем изучавшейся в §§ 2—3, но, что
особенно важно, она естественным образом возникает на
указанном многоступенчатом расслоении. Мы будем
называть ее полукасательной структурой (т—1)-го
порядка характеристики-(15). Задание характеристики (15)
определяет ее с точностью до диффеоморфизма. Как
и в рассмотренных выше случаях, здесь возможно
определение операций поднятия объектов,
ассоциированных с расслоением на ЯК, в Λί, в основе которых
лежит, как мы отмечали в § 3, естественное
продолжение соответствующих функций в алгебру. /?(ет-1),
однако в общем случае здесь возникают значительные
сложности вычислительного характера.
Упражнения: 1. Убедиться, что преобразования (4)
образуют группу.
2. Проверить инвариантность поднятий векторнога
поля (9).
3. Проверить то же для формул (10).
4. Убедиться в инвариантности поднятий связности
(И), (12), (13).
5. Рассмотреть условия инвариантности поднятий:
(14) тензора порядка (0, 2).
-б. Построить полукасательную структуру {т— 1)-го
порядка характеристики [(1, /я)].

ГЛАВА IX
ДВУМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД АЛГЕБРАМИ
§ 1. Вещественная реализация двумерных римановых
многообразий над алгебрами
Пусть 9im —ассоциативная коммутативная фробе-
ниусова алгебра с базисом {Д, /2·, ..ν, /т], R{e) —
алгебра комплексных или двойных чисел с'базисом {1, е),
е2 = т~ σ—±1· Если γ^ — структурные константы 9lm,
то алгебра ^im®R{e) имеет регулярное представление,
определяемое матрицами
где Ет — единичный блок порядка т. Выделяя в
векторном пространстве L2m подгруппу общей линейной
группы Gl(2/rc, R), которая переводит в себя матрицы
(1), мы получаем вещественную реализацию
одномерного регулярного, модуля над алгеброй tyLm(£)R(e)>
Преобразование е—*—е определяет инволюцию в
R(e), а следовательно, и в ^m0R(e)f поэтому
тензоры, гибридные относительно этой инволюции, задают
вещественную реализацию эрмитовых тензоров (см. §3.4).
Если gij — невырожденный симметричный гибридный
тензор, то по определению он является ^-тензором
относительно Φ и 5-тензором по отношению к /, т. е.
удовлетворяет условиям
^Ф* = Ф^ gij)=-f%r (1-2)
<r or
208

С помощью (1) и (2) теперь легко находится матрица
*-<*>-[Т 4J· <|Л)
где gx — произвольные величины, подчиненные
единственному условию, чтобы матрица (3) не вырождалась,
чего всегда можно достигнуть в силу фробениусово-
сти алгебры 9lm.
.Пу.£ть теперь на дифференцируемом многообразии
М2т задана интегрируемая структура представления
$im(S)R(e), а локальные координаты выберем так,
чтобы матрицы структурных аффиноров имели вид (1).
Переход от одной такой системы координат к другой,
определяемый соотношениями χν = φ'(χ{,..., х2т),
равносилен тому, что величины Х = Х{ + еХ2,
где
X1 = X?fay X2 = Хт+а Д (1-4)
испытывают голоморфное преобразование, поэтому
М2т является реализацией одномерного голоморфного
многообразия Мх {%т (g) R (е)) над алгеброй 91^®/? (в).
Зададим на М2т риманову метрику с помощью
тензора (3), чтобы величина Λ = gxfx (индекс у.
^поднят при помощи формы <?"*, взаимной фробениусовой
q^) являлась голоморфной функцией двух переменных
(4), тогда связность, сохраняющая эрмитову форму
(К, W) = AVW, (1.5)
отвечающую в Мх (3tm ® R (е)) гибридному тензору (3),
определится формулой .
дХК . дХ* v '
Если ограничиться пока лишь структурой алгебры
$т, то М2т служит реализацией риманова V2((&tn) с
линейным элементом
dS2 = Λ \(dX1)2 + a (dX2)2] (1.7)
209

в изотермическом, виде. Введем В- и Л-тензоры
&, = &**?. *,,= &*/* (1-8)*
τ τ τ τ
и назовем бивекторы £г/ -и определяемые ими аффи-
норы
е* =ё%=Ф</' = /'Ф$ (1.9)
τ 'J τ τ"'· τ
сопутствующими; в случае когда Шт является
алгеброй 2-го порядка, эти тензоры были обнаружены
А. П. Норденом [151], а затем неоднократно
обобщались ([260], [29], [43]). Чтобы охарактеризовать
геометрический смысл сопутствующих бивекторов, докаг
жем соотношение
q*zet1ekl = 2f^Tgi{kgi\l· (1Л°)
ρ τ ρ τ
В силу (1) и (З) обе части обращаются в нуль для
всех комбинаций индексов, кроме случая, когда косо-
симметричные пары ij\ kl принимают значения из
разных интервалов, например, ΐ = α, j = ^ + m9 k = %
1ъ=\ + т. Учитывая, что в силу (8) e^m = g^
получаем
Я PTga7gPX = q9"ga^l.
р. τ ρ τ
Но по (1) и (3) ga<y = ΤραΤφγ^χ» поэтому, последнее
равенство примет теперь вид
Величины в скобках различаются положением
индексов γ и β и имеют, вид (3.3.8), поэтому они равны
ввиду свойств симметрии этих <выражений, и равенство
удовлетворяется тождественно при любых gx, а
следовательно, выполнено и (10).
Пользуясь вещественной реализацией произведения
тензоров (3.3.4), соотношение (Ю) в обозначениях
пространства V2(<Hm) можно записать в виде
210

EabEcd=2aGa{cG^ (1.11)
в котором ЕаЬ— тензор, отвечающий бивектору: е1р
а Оас — метрический тензор, порожденный чистой
метрикой gt1. Мы пришли, таким образом, к следующему
результату: пучок сопутствующих бивекторов
реализует дискриминантный бивектор V2(tyLfn).
Нетрудно видеть, что мы получим те же формулы,
рассматривая риманово β-пространство,' реализующее
^2 (ЭДт) сигнатуры ( + , σ). В нем определится 2т ко-
вариантно достоянных аффиноров, определяющих
интегрируемую структуру алгебры ^im®R{e), поэтому
структурные аффиноры могут быть приведены в
некоторых локальных координатах к виду (1), и вся
описанная геометрия тем самым будет восстановлена.
Локальные координаты, в которых структуры обеих
алгебр принимают одновременно простейший вид,
с точки зрения V2(%n) играют роль изотермических.
Этот подход реализован Е. В. Павловым [174].
- Определим на М2т <новые локальные координаты
из R(e):
za = — (xa + exa+m),za = — {х*-еха+т). (1.12)
ντ ν*
С помощью обратных соотношений
Χα = ψ=.(ζ' + ¥), ха+т = -^=г{г-1л) (1.13)
определим компоненты эрмитова тензора
дх1 dxJ'' п ίΛ лл\
**-**"£ 4*=g*' (1Л4)
Легко видеть, что они удовлетворяют условиям Кэ-
лера ([304], с. 97-98):
dg - dg - dg~
δζτ dza ' dz* dz*
(1.15)
Действительно, в силу (13) и (14) равенства (15)
эквивалентны следующим
311

δχτ дха ' дхх+т дха+т*
а они в свою очередь равносильны голоморфности
тейзора (14), т. е. величины А, по координатам (4),
что уже предполагалось, ранее. В силу (8) условиям
(15) будут удовлетворять и эрмитианы g*, получаемые
из ga$ с помощью (14).
τ
Известно ([304], с. 97—98), что условия Кэлера
необходимы и достаточны (независимо от
невырожденности эрмитиана) для того, чтобы существовала
керн-функция GX=G%(za, za), такая, что G% = Q% и
ё«=-^1Т' (1Л6)
* dza dzp
Вместо величин (16) удобнее, однако, рассматривать
величины
для которых
где
Из легко
следует
откуда
2Ϊ2
μ·
λ d2Gx
о *_ —— ·
dfdz*
Gx = qXxQ%.
проверяемого условия
μ λ
Ττμ&άβ Ττα°μΰδ

и стало быть
Ϊ^Γ^ΤΤ^^), (1Л7)
поскольку £ и ζβ·—независимые переменные. Далее
мы покажем, что с помощью известного произвола
в выборе керн-функций
Ga-*Ga-Fa(z*)-Ta(zB), (1.18)
где Fa (z^) —- любые функции только от.^0, a Fa(zB) —
сопряженные им, новые керн-функции можно подобрать
так, чтобы они удовлетворяли уравнениям (17) с
нулевой правой частью. Действительно, поскольку (17)
имеют место при любых ζ0, то фиксируя £8 = £о и
принимая в (18)
Fa(z*)-G*(z\ 56),
мы легко заключаем, что после преобразования (18)
новые керн-функции будут удовлетворять условиям
*£-*& (и9)
dza dz*
откуда следует, что величина
0 = 0·/. (1.20)
является голоморфной функцией переменной Z = z?fa.
Вследствие G = G голоморфность имеет место и по
переменной Ζ = ζα/α. В силу (5) теперь получаем, что
д2в „** а
dZdZ
откуда при переходе к координатам (4) находим, что
213

Α-~Δσ, (1.21)
Α~ d2G , d2G * „
где ΔΟ = μ σ: обобщенный лапласиан.
Формула (21) показывает, что функция (20)
определяет метрику V2(%n)> поэтому мы будем называть ее
метакерн-функцией нашего пространства.
В качестве примера рассмотрим V2(^m) постоянной
-кривизны КфО, для которого в изотермических
координатах находим
К'= #1212 __ #1212
где Rabcd — ковариантный тензор кривизны V2(%n)· Но
/?12i2 = — ΑΔΙηΛ, поэтому Δ1ηΛ = 2Δ. Сравнивая
2 К
-с (21), заключаем, что для пространства постоянной
кривизны К=£0 метакерн-функция имеет следующий
вид
0 = - — In А. (1.22)
Очевидно также, чтд простейшей метакерн-функцией
для евклидова пространства /?2(ЭДШ) будет
G = (Xl)2 + o(X2)2. (L23)
Упражнения: 1. Выразить величину (6) через
величины gx, входящие в (3).
2. Построить вещественную реализацию V2(zm~l).
3. Проверить, что е—> — е есть инволюция в
4. Доказать соотношения (9).
5. Показать, что условия Кэлера (15) необходимы
и достаточны для существования керн-функции.
6. Убедиться, что при преобразовании
керн-функции по закону (18) определяемая ею кэлерова
метрика не изменяется.
214

§ 2. Векторные поля в двумерных
римановых пространствах над алгебрами
Наличие системы аффиноров (1.1) и (1.9), которые,
как нетрудно видеть, линейно независимы, позволяет
сопоставить с каждым векторным полем ν систему
векторных полей
^«Ф'М 5' = *|М (2.1)
в общем случае линейно независимых (в случае, когда
размерность определяемого им распределения меньше
2/п, поле ν будем считать -особым и исключать из.
рассмотрения). Разлагая абсолютный дифференциал
ον по базису (1), получаем
т т
8г>=2£г> + 2™» (2.2)
а=Ц α α=1 α
α α α α
где ρ = ргах\ г = rtdx — некоторые
дифференциальные 1-формы. Отсюда
т т
α=1 α ο=1 α
Следуя А. П. Нордену ([147], с. Щ5), будем называть
(3) основным дифференциальным уравнением
векторного поля. Оно вполне определяется заданием полей
·. α
pt и rt, первые из которых мы будем называть
модульными, а вторые — трансверсальными.
Свертывая обе части (3) с аффинорами Ф* и еК и
учитывая (1.9), получаем.
т т
(2.4)
/л т
215

— основные дифференциальные уравнения
присоединенных полей (1), которые изучались В. С. Талапиным
([222], [223]).
Пусть -ад—другое поле, определяемое уравнением
. α=1 α α=1 α
С помощью разложения
т т
w = 2 αα*> + 2 *α^ (2·6)
α=1 « α=1 α
дифференцированием его обеих частей и лрименением
(2), (4), (5), (6) и свойства линейной независимости
векторов (1) находим следующие соотношения:
σ Ι σ σ
ΡΊΐαα* - σΓϊταα6α = da% + ПЦ1* ~ σΓϊΞα*".
(2.7)
σ " σ· σ σ
£&** + ^αβα = d& + pfj* + r'fji*.
Система (7) примет более обозримый вид, если вели-
2 1 9 <т α α *
чинам р9 г, jj, г, а9 Ъ отнести соответствующие им
в алгебре %т величины, а именно P = pfa, R, Р, /?,
А, В. Тогда система (7) может быть записана
следующим образом
ЯА - cRB = dA + ΛΑ - σ/?5,
Р5 + #А = dB + Я А + Р5,
откуда находим
'P^P + dlnVAt + aB2, R = R + dArT-, (2.8)
А
где
216

ArT* = (arct^0==1'
[Arthz, σ== — 1.
Таким образом, величины из %т, порождаемые
модульными векторами, различаются на градиент модуля
А + еВ в естественной метрике алгебры R (е), а
величины, определяемые трансверсальными векторами, —
на градиент угла в той же метрике.
Отметим следстзия этого факта:
1. Если АгТ — = const, то векторные поля имеют
одинаковые наборы трансверсальных векторов.
2. В частности, если два поля имеют общие
голоморфные площадки, то В = 0, и их трансверсальные
векторы совпадают.
3. Если хотя бы одно поле имеет градиентные
модульные векторы, то это имеет * место* для всех
полей.
Пусть теперь поле ν — голоморфное, т. е.
удовлетворяет условиям (см. § 8.3).
Φ^,ν1 = Φ ν/. (2.9)
aJ α
Тогда с помощью (3) получаем
(WjPkW + (ф^) *' = (pfl'J vl + (г fa vl.
α σ α σ σ m cr
Ввиду линейной независимости векторов (1) это
условие равносильно следующим
«?А = Ρ fa Ф/Ч ^ Οϊτα^ (2Л0)
α ft
Каждое из них означает, что величины /?; и г^
обладают обобщенным свойством чистоты: при
свертывании с оператором Φ или соответствующим ему опе-
α
ратором регулярного представления 9lm мы получаем
одинаковый результат. Таким образом, для того,
чтобы поле было голоморфным, необходимо и достаточ-
σ σ
но, чтобы величины р} и Гу были обобщенно чистыми.
217

Заметим, что голоморфность градиентного поля ν
равносильна градиентности дополнительных полей v. Дей-
ствительно, в этом случае
σ σ σ σ ' σ
Пусть 'ϋ —голоморфное поле, тогда перебрасывая
в первом из уравнений (4) индекс σ с помощью фро-
бениусово'й метрики qa§, получаем уравнение
которое в силу (3.3.4) является реализацией
уравнения поля Vb в пространстве ]/2(У1т)ш·
VaVb = PaVb + RaVb. (2.11)
Таким образом, в случае голоморфного поля
уравнение (3) есть вещественная реализация уравнения
(11). В неголоморфном случае уравнение (11) теряет
смысл, т. к. не определяется ковариантная производная
Пронормируем теперь поле V так, чтобы
OabVaVb = const.
Тогда легко видеть, что модульные векторы будут
равны нулю, откуда и из следствия 3 получа.ем, что
модульные векторы градиентны.
Запишем условия интегрируемости уравнений (3),
которые должны удовлетворяться тождественно. Для
этого продифференцируем (3) с применением (4):
V*Vl^ = (VkPt) d + (Vλ) V* + PtPkVaa^ +
+ Pfkfy + riPkny - or^iy,
а затем проальтернируем результат по k, i\ тогда с
учетом градиентности модульных векторов получаем
218

α
или в силу (1) имеем
Аналогичному условию, как нетрудно проверить,
удовлетворяют и остальные векторы системы (1), поэтому
R*u! = 2wh (2·12)
1 α
Тот факт, что в правой части находятся трансвер-
сальные векторы произвольного голоморфного поля,
легко объясним: при переходе к другому полю они
приобретают градиентные слагаемые,, ковариантные
производные которых аннулируются при альтернации.
Легко видеть также, что формула (12) вещественно
реализует соотношение, имеющее место во всяком V2\
*«*1-iW£. (2·13)
где Edc — тензор, полученный из дискриминантного
бивектора поднятием одного индекса.
Три-ткани двумерных пространств над алгебрами
изучал В. В. Тимошенко ([227] — [229]).
Упражнения: 1. Показать, что векторы (1) в
общем случае образуют базис.
2. Найти признаки геодезического векторного поля.
3. Показать, что голоморфная площадка,
натянутая на векторы ν, ортогональна голоморфной площад-
α
*
ке, определяемой векторами v.
а
4. Убедиться, что трансверсальные векторы
всякого поля вполне определяются распределением
голоморфных площадок данного поля.
5. Выяснить, в каком пространстве
трансверсальные векторы потенциальны.
219

§ 3. Структуры в линейчатой геометрии,
определяемые алгебрами
Пусть Р3 ~~ трехмерное проективное пространство,
рассматриваемое как фактор-пространство
четырехмерного векторного вещественного пространства LA
по отношению эквивалентности, определяемому
умножением x(z.LA на ΝΛζ/?, λ=^0. Если χ'и у; —
координаты двух точек из Р3, то плюккеровы координаты
определяемой ими прямой определяются следующим
образом:
^ = *У>. (з.1>
Аналогично
Λι = ίΐΛΐ (3·2>
— плюккеровы координаты прямой пересечения двух
плоскостей, заданных тангенциальными координатами
%k и η/. Перебрасывание индексов, объединенных в ко-
сосимметричные пары, будем осуществлять с помощью
квадривектора Вцк1 и взаимного ему ttJk\ у которых
существенные компоненты подчинены условиям ε1234 =
Pli = \*imPn» Ры = \чЩР^ (3.3)
причем операции (3) взаимны в силу
}*'тЧ1« = *» = ЩгЧу
Условием, необходимым и достаточным для того,
чтобы бивектор piJ определял прямую в Ръ (т. е. был
простым)*является уравнение. Плюккера
WV' = 0, (3.4)
алгебраически эквивалентное тому, что rank (piJ) = 2.
Аналогично этому равенство
220

WV = 0 (3.5)
есть признак пересечения прямых piJ и qkl.
Пусть плюккеровы координаты прямой
удовлетворяют линейному соотношению
aif/fJ = 0, (3.6)
которым определяется трехмерное подмногобразие
прямых, называемое линейным комплексом. Его задание
равносильно заданию бивектора atp называемого
координатами линейного комплекса. Так как а^ имеет
6 существенных компонент, задаваемых с точностью
до произвольного ненулевого множителя, а при
преобразовании координат в Р3 эти компоненты
преобразуются линейно и однородно, то множество всех
линейных комплексов можно рассматривать как
проективное пространство /\. Чтобы определить в нем
координаты, индуцированные координатами в Р3,
введем отображение θ : {aij\ —> {αα}, определяемое
условиями
и аналогично для бивекторов с нижними индексами.
Отображение θ удобно реализовать в тензорной
форме с помощью связующих аффиноров, введенных
А. П. Норденом [150]:
(3.7)
^14 = ^24 = ^34 = ^23=У2 31 = ^12 ·= L
кососимадетричных по индексам из Я3 и
удовлетворяющих условиям
.1 Η = δ8α> η^, = δ£. (3.8)
Тогда
2
"α=Τα4~> *.e7*i/tf· (3.9)
2
221

и лаоборот, вследствие (8) будем иметь
alJ = a*rtf, а%! = аауЦг (ЗЛО)
Вообще, всякому тензору из Р3, индексы которого
разбиты на кососимметричные пары, сложно
сопоставить тензор вдвое меньшего порядка из Р5 с
помощью соотношения
тг: = ^-П:-:..%..<, <з.и>
где ρ — число кососимметричных пар индексов. При
каждом свёртывании кососимметричных пар
множитель 1/2 необходим потому, что от обычного
свертывания нужно переходить к свертыванию по
сочетаниям существенных компонент, которое' при
отображении Θ переходит в свертывание образов в Р5»
Обращением для (11) служит формула
В частности, квадривектор etjkl порождает
симметричный тензор в Р5:
а уравнение (4) дает
g^jfi = 0. (3.14)
Таким образом, · множество прямых в Р3
изображается с помощью Θ точками квадрики QAcP5,
называемой квадрикой Плюккера (иногда ее называют
также квадрикой Клейна, т. к. еще в „Эрлангенской
программе" высказана возможность изображения
прямых из Р3 точками в Р5; квадрика (14) служит также
простейшим примером грассманова многообразия).
В построенной модели удобным образом
интерпретируются важнейшие факты линейчатой геометрии, что*
видно из следующей таблицы:
222

JSfe
1
2
3
4
5
6
Линейчатый образ в Я3
Прямая
Пересекающиеся прямые
Линейный комплекс и
совокупность принадлежащих
ему прямых
Пучок прямых
Линейная конгруэнция
Пучок линейных комплексов
Его изображение в Р5
Точка на Q4.
Точки на одной
прямолинейной образующей Q4.
Точка в Ρ5 и совокупность
точек квадрики Q3,
служащей пересечением Q4 и
поляры этой точки.
Прямолинейная образующая
на Q4.
Квадрика Q2CIQ4.
Прямая в Р5.
Чтобы задать связность в линейчатом
пространстве, необходимо нормализовать в смысле А. П. Нор-
дена ([161], гл. V) квадрику (14). Такая нормализация
естественным образом возникает, как будет показано,
если Р3 снабжено евклидовой или неевклидовой
метрикой.
Пусть в Р3 заДан абсолкп, который в тангециаль-
ных координатах имеет уравнение
slJxtX] = х\ + х\ — рх23 — ри>х\ = 0, (3 Л 5)
где ρ=±1,ω=±1 или 0. При различных комбинациях
знаков ρ и ω получаем все неевклидовы пространства
с невырожденным абсолютом, а при ω = 0 — евклидово
и псевдоевклидово пространства. Поляра всякой
прямой ptf определится условием
? = ^А/. (3.16)
поэтому, вводя тензор
slJ>kt = skt>lJ = 2sk[isn', (3.17)
мы соотношение (16) запишем в виде
?" ««"·%· (3.18)
223

Тензору (17) в Р5 по (11) Отвечает симметричный
тензор
4 6 ^Л/'
(3.19)
определяющий в Р5 квадрику. С помощью (7) и' (15)
находим следующий вид уравнений квадрик (14,) и (19);
7 хах$
£ *ЧЛ — Х\ХА ~Г •^2*^5 "г «^3"^6 — ^»
(3.20)
Определяемые ими скалярные произведения обозначим
символами (.,.) и (.,.) соответственно. Из (20) видно,
что первая квадрика невырождена, и ее можно
принять за абсолют Р5, а при помощи §αβ и взаимного
ему тензора gap перебрасывать индексы. Аффинор
: £βσ7'
(3.21)
имеет матрицу
Ой)'
— Рос
— Ρω
(3.22)
причем
1tH=«*b Τί = 0.
(3.23)
Последние соотношения показывают, что Р5
является бипланарным пространством Б5 в смысле главы II,
а квадрики (20) — присоединенными друг другу
бицилиндрами. При отображении Б5 на пространство £3(х)
над алгеброй /?(*), *2 = ω, как указано в § 3.3, эти
квадрики порождают тензор в Lz (χ) с компонентами
Gab = Т^+з + *&*&+з> а> ь> — = 1. 2, 3,
(3.24)
224

причем в силу фоомул (20)
GabXaYb = {χ, у) + χ (Я у), (3.25)
где
Χα=χα + %χα, (3.26)
а
;?'= Тр^ (3.27)
или в прямых обозначениях х = ^х.
Таким образом, согласно (25) с учетом (14) и при
соответствующей нормировке плюккеровых координат
прямой определяемый ею вектор (26) из Ζ,3 (*)
удовлетворяет уравнению
ОаЬХаХъ = (х, х) + * (χ, χ) = τ = ± 1, (3.28)
которое в Ζ,3(*) можно рассматривать как уравнение
сферы Котельникова—Штуди [95], [340]. Установлен*
ный факт известен как принцип перенесения [16],
согласно которому множество прямых неевклидова
пространства изображается точками единичной сферы
в евклидовом пространстве над соответствующей
алгеброй. Знак τ зависит от расположения прямой
относительно абсолюта. Изотропным направлениям
метрики (25) соответствуют прямые, удовлетворяющие
условиям
(χ, .χ) = (χ, χ) = 0, (3.29)
касающиеся абсолюта. При х= ± хпрямая совпадает
с полярой, т. е. является образующей абсолюта.
Чтобы определить связность в линейчатом
пространстве, нормализуем в смысле А. П. Нордена ([161],
гл. V—VI) квадрику Плюккера (14) при помощи
особых прямых λχ + ju:, проходящих через точки квад-
225

рики. Тогда с каждой точкой x^Q4 можно связать
репер χ,.χ, xt, i = l, 2, 3, 4, получаемый следующим
образом. Пусть х = х(и\ и2, и\ и*) — некоторая
параметризация Q4. Тогда дифференцируя (28), находим
(х, xt) = (χ, Χι) = (χ, xt) = О, (3.30)
где xt = дх/ди1, xt = ^xt. Из (30) следует, что прямая
λχ + μχ определяет инвариантную нормализацию Q4,
м можно записа ь деривационные уравнения:
djxi = v)txk — τΊμχ — τ%*> (3·31)
которые с помощью символа ковариантного
дифференцирования
V/*i = dfr - Y)%xk
-запишутся следующим образом:
V/^г = — τΊμχ - τ£μχ. (3.32)
8 силу (28)
Ίμ = — (·*. V/*i). eji = — С*. V/^г).
откуда дифференцируя (30) находим
ϊ/ι = (■*/. *%)> gfl = (xj> χι)- (з.за)
Следовательно, тензоры ^ и g^ индуцированы на Q4
соответствующими тензорами из Б5. С помощью (32)
ά (33) получаем
V*7;i = Vkgn = °> (3-34)
526

причем тензор g^ не вырождается, так что на Q4
определена риманова связность, которая, как показал
А. П. Широков [253], будет конформно-евклидовой и
симметрической.
Из (30) следует, что (х, xt) = (x, Xi) = 0, поэтому
• нормаль II рода, определяемая точками хг и являю-
щаяся полярой нормали I рода λχ+μχ, служит особой
Р3> и стало быть хь = ч{х/· Умножая обе части ска-
лярно на xky получаем (хи Xk) = (xt> -*л) = т{(-*/» ■**)>
откуда с учетом (33) γ^ = τ/£>» поэтому)]
Т{ = Т^ (3.35)
где g*7 — тензор, взаимный giy Таким образом, кова-
риантно постоянный (в силу (34)) аффинор (35)
индуцирован на Q4 аффинором (22), причем, как легко
видеть,
τ«τ* = ω8ί, т{ = 0. (3.36)
Доказана принадлежащая А. П. Нордену [151]
Теорема. Внутренняя геометрия квадрики Клейна
'есть геометрия четырехмерного 5-пространства.
Теперь ясно, что на Q4 существует класс
параметризаций, при которых инволюция ^ имеет постоянные
компоненты
(3.37>
а отображение.
jjp = а*Р-\ + ш2р9 р = lf 2) (3.38)
переводит /^-пространство в двумерное риманово
пространство V2 (*) над /?(*). Линейный элемент последнего
22Т

за счет допустимых ^преобразований параметров Q4,
сохраняющих структуру (37), мо?кет быть приведен
к изотермическому виду
dS* = Op^WdU" = A [(dUlf + σ (dU2) %
(3.39)
где о = + 1 задает сигнатуру метрики V2 (κ), которая
при ω = 1 или ω = 0 имеет инвариантный смысл.
Определяя условием (1.11) дискриминантный
бивектор с существенной компонентой
£lt = lAidet(0M) = Л,
(3.40)
которая голоморфна по координатам (38), мы
сопоставим ему пару .А-тензоров на Q4 (см. § 1) вц и &ц,
причем
*ι*Τ$ = ·
Ч·
(3.41)
Поднимая один индекс у бивектора (40), мы получим
на Q4 пару аффиноров (см. (1.9)):
eft = «'*««.' е{г = Лг>
(3.42)
которые в выбранных координатах будут иметь
матрицы
О
(е{д =
-о О
О—о
О
(«Ί) =
О —σω|
,-σ Ο
(3.43)
Мы получили пару сопутствующих инволюций
А. П. Нордена, удовлетворяющих условиям
е*ге?, = <Я*, 6/^ =
σωδ*
(3.44)
первая из которых всегда невырожде»а и будет
считаться основной. Поскольку аффиноры (43)
порождены ковариантно постоянным бивектором (40), то они
ковариантно постоянны в римановой связности
тензора gtJ.
228

Упражнения: 1. Найти структуру линейчатого
пространства в Я3> абсолют которого имеет вид
2. Показать, что величины Г^ в (31) определяют
объект связности.
3. Провести доказательства изображений в Р5
линейчатых многообразий из Р3> помещенных в таблице.
4. Показать, что керн-функцией метрики (39) в
смысле § 1 будет функция вида In Л, где
К
К= const.
5. Проверить, что точка, изображающая поляру
прямой, задаваемой точкой /?£Q4, определяется
вектором ρ = γρ.
6. Показать, что аффиноры (35) и (42)
перестановочны и определяют на Q4 интегрируемую структуру
некоторой коммутативной алгебры 4-го порядка, с
точки зрения которой Q4 есть вещественная
интерпретация одномерного многообразия с эрмитовой
метрикой над этой алгеброй.
§ 4. Линейчатые многообразия и их свйзь
со структурами, определяемыми алгебрами
Рассмотрим линейный комплекс (3.6), координаты
которого atj определяют в Б5 при отображении θ
точку а, принадлежащую Q4 тогда и лишь тогда, когда
тпк(а1]) = 2 (специальный линейный комплекс,
состоящий из всех прямых, пересекающих данную прямую,
определяемую вектором а). Тогда точка а аналогично
задает полярный линейный комплекс (т. е. комплекс
поляр к данному комплексу). Пучок линейных
комплексов λα + ]χα определяет в Б5 прямую,
пересекающую Q4, вообще говоря, в двух точках, определяющих
пару специальных комплексов пучка [151]. В комп-
лексном 13 (κ) вектору а отвечает по (3.26) вектор Л,
229

а вектрру а — вектор *Л, поэтому рассматриваемый
пучок линейных комплексов определяется
псевдовектором (Х + х|х)Л из I3 W· Чтобы найти в нем
специальные комплексы, выберем λ и μ так, что будет
выполнено условие
λ + *μ = -—=L=r, (4.1)
VtGabA*Ab
при котором в силу (3.28) нормированный таким
образом вектор из 13 (κ) будет определять точку сферы
Котельникова—Штуди, т. е. пару взаимных поляр в
Р3. Они называются осями линейного комплекса а
(а также и полярного ему) и имеют простой
геометрический смысл: смещение вдоль одной из них
определяет поступательное движение, а вдоль ее поляры —
чистое вращение. Задание линейного комплекса в Р3,
таким образом, равносильно заданию винтового
движения, благодаря чему линейный комплекс часто
называют винтом. Если известны оси и аргумент
величины из алгебры /?(*), стоящей в знаменателе правой
части (1), который мы будем называть шагом винта,
то линейный, комплекс вполне определен. Шаг по
определению удовлетворяет условию
Τ (2Λ) = ^-^ = aijalJ , (4.2)
{a, a) aijali
где
Т(х)
(tg.*;, <!>='— 1,
thJC, ω=Ί, (4.3)
Χ, ω = 0.
Отметим следующие особые случаи:
1. Шаг специального комплекса равен нулю, за
исключением случая, когда его ось изотропна,, и стало
быть в силу (2) и (3) он вовсе не определяется.
230

2. У неспециального комплекса шаг не
определяется тогда и только тогда, если при ω = 1 выполня-'
е гея условие (а, а) = ± (а, а), при котором длина
соответствующего вектора из £3(κ) Β метрике (3.25)
становится делителем нуля. Из очевидных равенств
—* -* —* —► —+ —♦■
(α, α) = (α, α) = ± (α, а)
следует
О^М* = ± GabAa (*Ab) = Gab (*Λβ) (хЛ*),
откуда
Л* = ± *Ла. (4.4)
Это соотношение означает, что винт совпадает с
полярным ему винтом, т. е. является автополярным.
Такие винты существуют лишь в пространствах
эллиптическом и с линейчатым абсолютом. А. П.
Котельников ([95], §§ 88, 90) показал, что в числе своих
дрямых они содержат пару прямолинейных
образующих абсолюта одного семейсгва и все образующие
другого, а каждая из прямых, пересекающих две
указанные образующие, может рассматриваться как ось
такого комплекса, поэтому автополярный комплекс
содержит оо2 осей, параллельных между собой в смысле
Клиффорда. Последний показал [89], что при движении
твердого тела, определяемом таким комплексом, все
его точки смещаются по этим параллелям на равные
расстояния, а тело одновременно скользит по каждой
из осей и вращается вокруг нее. Это есть аналог
поступательного движения в евклидовом
пространстве.
Пусть λα + μ& — произвольный пучок линейных
комплексов, тогда специальные комплексы пучка
определяют линейную конгруэнцию, состоящую из
прямых, общих всем комплексам пучка и поэтому
удовлетворяющих уравнению (λα -Η pb, χ) = 0 при любых
λ, μ ζ/?, поэтому (α, χ) = (b, χ) = 0. В частности, если
α и b взаимно полярны: а = b, то (α, χ) = (ά, χ) = 0,
231

что равносильно по (3.25) уравнению OabAaXb = 0.
Следовательно, линейная конгруэнция прямых,
пересекающих пару взаимных поляр, изображается
большим кругом сферы Котельникова—Штуди, чго
впервые* было замечено А. П. Котельниковым ([95], § 94).
Рассмотрим линейчатую поверхность, задание
которой равносильно заданию кривой и1 = и1 (t) на
квадрике Q4. Ее касательный вектор vl = dul/dt и векторы
ν1 = γ*τ>/, ν1 = е[ jVl, vl = el jVl (4.5)
в общей случае-линейно независимы, поэтому для
поля ν1 можно записать деривационные уравнения
bvl = pvi + qvl + Ы + svl. (4.6)
Поскольку в связности на Q4 аффиноры (3.35) и (3.42)
ковариантно постоянны, то имеют место . еще три
разложения:
bv' = pvl + xaqv',+ го' + msv',
*
oV = pV + qvl + orv'' + asv1, (4.7)
* *
bv* =xpvl + щ<& + orv1 + omsv1.
В (6) и (7) коэффициенты ρ, q, r, s— некоторые
дифференциальные формы. Учитывая (3.25) и (3.33),
находим
dIn V(v, ν) + χ(ν, ν) = ρ + %q, (4.8)
где (.,.) означает скалярное умножение в метрике γ^,
а (.,.) —в метрике giJt Отделяя вещественную и
мнимую части, получаем
p = dln /"(τ;, ν)2-и (ν, <о)2,
(4.9)
q = rf 1 Ar Τ Λ,
* 2
232

где
Δ = ί*4, (4.10)
а функция АгТх обратна к функции (3). Из (9) видно,
что ρ зависит от нормировки ν1 и следовательно, от
параметризации линейчатой поверхности, которую
можно выбрать так, чтобы (ν, ν)2~ω(ν, ν2) = const,
и тогда ρ = 0, и уравнение (6) примет вид
8т/ = qZl + Ы + svl. (4.11)
Формы q> г, 5 определяют линейчатую поверхность
с точностью до движения, ибо задание этих величин
(при соответствующих начальных условиях)
-единственным образом определяет кривую на Q4,
изображающую эту поверхность. Их задание равносильно
заданию трех известных инвариантов линейчатой
поверхности (кривизна, кручение и изгиб, см., например,
[246]), с которыми эти величины связаны достаточно
сложными дифференциальными условиями.
Преимущество предлагаемой методики, использующей свойства
структур линейчатого цространства, состоит в том,
что сопровождающий репер линейчатойч поверхности
определяется производными первого порядка.
Пусть ν и ν + dv — две бесконечно близкие точки
квадрики Q4 (т. е. две смежные прямее). Условием
τ \(v, W) + κ {νу W)} = С (φ + κφ), (4.12)
где φ — кратчайшее расстояние, φ — угол между
прямыми, а
c(jc) fcos*. если τ = 1,
I chx, если τ = — 1,
определим угол между двумя прямыми ν и w со
значениями в /?(κ). Тогда для смежных прямых имеем
τ { ( ν, ν + dv) + κ (ν, ν + dv)} = С (d<? + %d<?).
233

Разлагая правую часть в ряд с удержанием членов
второго порядка, после упрощений получаем
(v, dv) + κ (ν, dv) = (dy + κί/φ)2. (4.14)
Записывая условие того, что вектор ν + dv определяет
точку на Q4, получаем, что
('ϋ, flfe) + κ (?J, d?j) =
= [{dv, dv) + %(dv, dv)},
поэтому из (14) находим
(dv, dv) + κ (dv, dv) = (dy + κ^φ)2 (4.15)
или с учетом (3.33)
ttjdv^v1 = d<?2 + -ωβίφ2, g^dvldv3 = 2dcpdcp. (4.16)
Последнее соотношение указывает на простой
геометрический смысл невырожденной метрики g^: она
выражает удвоенный взаимный момент двух смежных
прямых (А. П. Норден [151]); аналогичным образом
первое из соотношений (16) выражает метрику γ^
(вырождающуюся при ω = 0, т. е. в линейчатой геометрии
евклидова и псевдоевклидова пространства) через
квадраты углов и расстояний между смежными
прямыми.
Рассматривая обе смежные образующие линейчатой
поверхности, теперь легко определить предел
отношения их взаимного кратчайшего расстояния к углу-
между ними, который называется параметром
распределения линейчатой поверхности: ρ = -£-. Из (15) вы-
текает, что
Р=Г(Л), (4.17)
234

где h — аргумент величины У (ν, ν) + *(ν, ν) из /?(*).
Сравнивая это выражение с (1) и (2), получаем, что h
есть шаг винта, определяемого вектором v. Из (2)
и (10)
T(2h) -Л. (4.18
Назовем теперь соприкасающимся винтом винтовое
движение, определяющее переход от образующей
линейчатой поверхности к смежной образующей. Тогда
очевидно, что h является его шагом, а из (9) и (18)
следует, что q есть дифференциал шага
соприкасающегося винта, и обращение его в нуль характеризует
линейчатые поверхности постоянного шага, в
частности, и развертывающиеся. Из (17) и (18) получаем
следующие соотношения
—2Р___Л, р^гД-АгТЛ), (4.19)
хорошо согласующиеся с ранее полученными форму
лами ([246], форм (1.9); [198], форм. (17)) для
евклидова и эллиптического пространств соответственно.
Остается выяснить геометрический смысл величин
/и 5 в (6) или (11). Прежде всего отметим, что если
вместо ν мы возьмем вектор
w = λν + \ιν (λ2 — ωμ2 φ 0)
и запишем для w уравнение типа (6), то г и оста
ются неизменными, откуда следует, что две линейча
тых поверхности, у которых в соответствующих точ
ках одинаковы голоморфные площадки изображающих
их на Q4 кривых, обладают одинаковыми инварианта
ми г и s, которые, следовательно, зависят от
распределения голоморфных площадок касательного вектора
вдоль кривой на Q4. Поэтому для интерпретации этих
инвариантов выберем в голоморфной площадке λν + μι>
вектор w так, чтобы
(w, w)
что равносильно условию
235

λ2 (τ>, ν) + 2λμ (ν, ν) + ωμ2 (τ;, ν) = Ο,
которое показывает, что в зависимости от знака
величины (ό, ά)2 — ω (<у, ι;)2 в пучке линейчатых
поверхностей, определяемом заданным одномерным
распределением голоморфных площадок всегда существуют
два торса (действительных, комплексно-сопряженных
или в особом случае совпавших), таких, что при
соответствующей параметризации будем иметь
уравнение одного из них следующего вида
*.
bwl = rwl + sw. (4.20)
Нетрудно видеть, что эти торсы описаны осями
соприкасающегося винта, которые совпадают для всех
линейчатых поверхностей, имеющих общие
голоморфные площадки. Такие торсы мы будем называть осе-
вьши для данной линейчатой поверхности, и их
отыскание сводится к интегрированию системы уравнений
— = wl и „(20) при соответствующих начальных ус-
dt
ЛОВИЯХ.
Отнесем ортогональным голоморфным площадкам
aw + tw и clw + §w векторы Wn W, касательные к
сфере Котельникова—Штуди (3.28), тогда уравнение (20)
*
примет вид bW=(r + *s)W и будет означать, что
величина г + xs служит геодезической кривизной нити
на сфере Котельникова —Штуди, изображающей этот
торс.
Из этой интерпретации вытекает также
геометрический смысл сопутствующей инволюции е*[9 которую
мы назвали основной: она равносильна повороту
вокруг образующей линейчатой поверхности на прямой
угол. Тогда побочная инволюция Ц, по (3.41) и (3.42)
являющаяся произведением инволюций γ/ и e[v будет
сочетать поворот на прямой угол вокруг образующей
и полярный переход, т. е. означает поворот на прямой
угол вокруг поляры образующей. С этой точки зрения
уравнения (6) могут рассматриваться как разложение
абсолютного дифференциала соприкасающегося винта
по четырем независимым винтам: двум
соприкасающимся винтам данной и полярной ей линейчатых по-
236

верхностей и двум винтам, полученным вращением
первых двух вокруг соответствующих образующих
на прямой угол.
Перейдем к рассмотрению конгруэнции прямых,
которые мы будем задавать внутренними уравнениями
и1 = и1(х\ х% (4.21)
определяющими подмногообразие X2cQ4. Метрики
(3.33) порождают на Х2 пару квадратичных форм
ϊβ*=(«β> «*)> ёаь=(иа> ">ь)> (4.22)
называемых формами Санниа.
В некоторой точке л:£ЛГ2, изображающей луч
конгруэнции, рассмотрим винты — и —, содержащие
дх1 дх2
данный луч, который стало быть принадлежит и
линейной конгруэнции, по которой эти винты
пересекаются. При перепараметризации конгруэнции эта линейная
конгруэнция остается неизменной, поэтому она
называется касательной к исходной вдоль данного луча,
и в зависимости от типа касательной линейной
конгруэнции будем различать эллиптические,
гиперболические и параболические лучи. Точки пересечения
луча с осями касательной конгруэнции называются
его фокальными точками. Совокупность фокальных
точек всех лучей конгруэнции образует пару
фокальных поверхностей, причем каждый луч конгруэнции
касается этих поверхностей, а пара касательных к ним,
ортогонально пересекающих луч конгруэнции в
точках касания, определяет оси касательной
конгруэнции.
С точки зрения структур в линейчатой геометрии,
определяемых алгебрами, особый интерес представляют
те конгруэнции, которые отображаются на
голоморфную кривую сферы Котельникова—Штуди. В этом
случае функции (21) удовлетворяют условиям
голоморфности по переменным л:1, х2> и это же имеет
место и для метрик (22). На двумерной поверхности
X2aQ4 в этом случае индуцируется интегрируемая
структура алгебры R (κ), откуда следует, что в силу
голоморфности индуцированной на Х2 связности ее
внутренняя геометрия будет евклидовой (см. § 5.4).
237

Такую конгруэнцию мы будем называть голоморфной
(или аналитической). В частности, к этому типу
принадлежит упомянутая выше линейная конгруэнция с
двумя взаимно полярными осями, изображающаяся
окружностью большого круга сферы Котельникова—
Штуди; у этой конгруэнции фокальные поверхности
вырождаются в прямые.
Если Аа(х1 + ъх2) — радиус-вектор кривой на сфере ~
Котельникова—Штуди, изображающий луч
конгруэнции, то обычным образом вводится сопровождающий
ортонормированный репер Аа, А<*, Аа, векторы
которого имеют голоморфные по переменной X = х1 + %х2
координаты. Деривационные уравнения этой тройки
имеют вид
dAa _ LAa?
dX
dAax
— = + LAa + MAa, (4.22)
dX
*
— = + MA"
dX - l
причем все входящие в них функции голоморфны.
Векторы Аа(Х) и Аа(Х) определяют пару
голоморфных кривых сферы Котельникова—Штуди, т. е. пару
голоморфных конгруэнции, и из (22) очевидным
образом следует', эти уравнения равноправны по
отношению к этим конгруэнциям. У Аа (X) касательная
линейная конгруэнция имеет взаимно полярные оси,
и если АВ — луч исходной конгруэнции, причем А и
и В — фокальные точки, то оси касательной линейной
конгруэнции AD и ВС, очевидно, пересекут в точках
С и D и соответствующий луч CD конгруэнции,
полярной исходной. Две взаимные поляры АС и BD
пересекают под прямым углом луч конгруэнции и оси
касательной линейной конгруэнции, значит, они при-
надлежат конгруэнции Аа (X) (и полярной ей). Непо-
средственно очевидно, что Аа(Х) состоит из
нормалей к одной фокальной поверхности, а полярная ей
238

конгруэнция —из нормалей к другой фокальной
поверхности, откуда следует ([137], § 24), что каждая
из них является конгруэнцией нормалей к поверхности
нулевой гауссовой кривизны. Учитывая, что
конгруэнции Аа(Х) и Аа(Х) равноправны, и что из свойств
нормальности данной и полярной к ней конгруэнции
легко следует голоморфность, получаем, что имеет
место
Теорема 1. Для того, чтобы конгруэнция прямых
неевклидова пространства была голоморфной,
необходимо и достаточно, чтобы она состояла из
нормалей к поверхности нулевой гауссовой кривизны.
А. П. Котельников ([95], § 94) указал некоторые
свойства таких конгруэнции: прямые, проведенные
через некоторую точку и параллельные в смысле
Клиффорда лучам голоморфной конгруэнции, образуют
конус, и обратно, если заданы два конуса, то прямые
одновременно лево-параллельные образующим одного
конуса и право-параллельные образующим другого,
составляют голоморфную конгруэнцию. На это
свойство обращал внимание-также Б. А. Розенфельд ([198],
с. 121), который пришел к выводу, что такая
конгруэнции может быть расщеплена на два семейства
линейчатых поверхностей, составленных из левых,и
правых клиффордовых параллелей.
Рассмотрим теперь конгруэнцию прямых, которой
на Q4 отвечает Х2, голоморфная относительно
основной сопутствующей структуры, т. е. огибающая дву-
параметрическое семейство площадок λτ> + μν.
Выбирая в этой конгруэнции линейчатую поверхность, для
которой ν будет -соприкасающимся винтом, а значит
*
^ — нормальным винтом, мы получаем, что стрикцион-
ные касательные всех линейчатых поверхностей,
проходящих через данный луч конгруэнции,, образуют
пучок с центром на луче конгруэнции.
Следовательно, стрикционная точка у всех линейчатых
поверхностей конгруэнции, проходящих 'через данный.луч, одна
и та же, что характеризует изотропную конгруэнцию.
Обратное очевидно.
Аналогично этому, голоморфность конгруэнции
относительно побочной сопутствующей структуры
239

равносильна тому, что схрикционная точка поляры
одна и та же, и конгруэнция псевдоизотропна. Таким
образом, доказана
Теорема 2. Для того, чтобы конгруэдция была
голоморфной относительно основной (побочной)
сопутствующей структуры,' необходимо и достаточно,
чтобы она была изотропной (псевдоизотропной).
В заключение отметим, что линейчатая геометрия
в многомерных неевклидовых пространствах также
несет на себе структуры, определяемые алгебрами.
A. П. Норден [154] показал, что если в эллиптическом
пространстве рассматривать автокомпозицию
абсолюта, задаваемую прямыми, то на многообразии прямых
возникает геометрия кэлерова пространства. Для
пространства Лобачевского аналог этому факту получен
B. А. Юрьевым [301] с применением двойных чисел,
а геометрия в линейчатом многообразии оказалась
гиперболическим аналогом кэлеровой. В многомерном
евклидовом пространстве линейчатая геометрия
изучалась В. А. Юрьевым [300], предложившим для этой
цели специальную методику, которая была затем
усовершенствована А. П. Широковым [274]. Эти факты
вновь свидетельствуют о тесной связи линейчатой
геометрии с теорией структур, определяемых
алгебрами, и о богатых возможностях для получения новых
результатов в этом направлении, но, к сожалению,
изложение этих идей выходит за рамки настоящей
книги и может стать объектом специального
изучения.
Упражнения: 1. Показать, что
(ν, ν)2 — ω (ΐ)9 ν)2 = ^^owo',
где eiikl ~ дискриминантный квадривектор метрики (.,.).
2. Показать, что параметр распределения любой
линейчатой поверхности, проходящей через данный
луч изотропной конгруэнции, один и тот же.
3. Доказать, что линейчатую поверхность можно
параметризовать, что ρ = 0.

список
ПРИМЕРНЫХ ТЕМ КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ
РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИИ ПРОСТРАНСТВ
НАД АЛГЕБРАМИ
Пусть аффинор α с матрицей (1.1.3) (глава 1)
соответствует оператору Л, действующему по закону
(1.1.5) в пространстве Ln(i). Установить свойства
вещественного вектора ν пространства L2n,
отвечающего собственному вектору V комплексного
оператора А. Указать канонический вид матрицы оператора а,
соответствующий каноническому виду Жордана
матрицы комплексного оператора А. Отметить
особенности, возникающие при переходе к пространствам
со структурами, определяемыми алгебрами двойных
и дуальных чисел. Исследовать детально случай η = 2.
Произвести классификацию квадратичных и
эрмитовых форм пространства L2 (e\ и в связи с этим
осуществить классификацию бицилиндров и
сфероидов биаксиального пространства гиперболического
типа.
Если в аффинном вещественном 2#-мерном
пространстве задана комплексная, двойная или дуальная
структура с помощью постоянного аффинора /,
имеющего в адаптированной декартовой системе координат
матрицу (1.1.1), (L2.1) или (1.3.1) соответственно,
то такое аффинное пространство называется биаффин-
ным пространством В2П соответственно
эллиптического, гиперболического или параболического типа.
Это пространство В2п является вещественной моделью
соответственно комплексного An(i), двойного Ап (е)
или дуального Ап(г) аффинного пространства.
Проективным преобразованиям ч аффинного пространства
An (i) отвечают так называемые бипроективные
преобразования биаффинного пространства В2п
эллиптического типа (см. [139], [140]). Изучить бипроективные
преобразования биаффинных пространств
гиперболического и параболического типов.
Теории кривых 4-мерного биаффинного
пространства эллиптического типа и биаксиального пространства
эллиптического типа посвящены работы А. П. Норде-
на [136], [141] и В. Д. Третьякова [230]. Развить
241

теорию кривых для биаффинных и биаксиальных
пространств гиперболического и параболического типов.
Как отмечалось в упражнении 4 к пункту 4 главы VI,
геометрия инвариантных поверхностей биаффинного
пространства эллиптического типа исследовалась
А. С. Подковыриным ([184] — [191]). Распространить
полученные им результаты на инвариантные
поверхности биаффинных пространств гиперболического
и параболического типов.
Теория неинвариантных поверхностей биаффинного
пространства эллиптического типа В4 изучалась
А. П. Норденом ([143], [145]) и Р. Г. Бухараевым [22].
Развить теорию неинвариантных поверхностей
биаффинных пространств В4 гиперболического и
параболического типов.
В статье Э. Штуди [343] фактически построена
модель биаксиалъного пространства эллиптического
типа в многообразии линейных элементов плоскости
Мебиуса. Построить аналогичные модели
биаксиальных пространств гиперболического и параболического
типа в многообразиях линейных элементов плоскостей
Мебиуса гиперболического и параболического типа.*
Если Lmn — вещественная модель конечнопорож-
денного модуля Lm (91) над алгеброй 91 (dim 91 = /г),
то с помощью Lmn можно построить вещественную
модель проективного пространства Рт-\ (91) над
алгеброй 91. Для этой цели используется
вещественное (тп — 1)-мерное проективное пространство Ртп„и
порождаемое векторным пространством Lmn. В этом
пространстве Ртп-\ возникает структура,
определяемая алгеброй 91: она'задается структурными
аффинорами /£ (см. гл. III и VI). Линейные комбинации
k
структурных аффиноров, воздействуя на вектор
общего положения пространства LmnJ порождают
содержащую этот вектор особую /г-мерную плоскость
(орбиту) в -Lmn , и этой плоскости соответствует
Ртп-\ особая (п— 1)-мерная плоскость. Таким образом,
в пространстве Ртп-\ возникает расслоение в виде
конгруэнции особых (п — 1)-мерных плоскостей (это
расслоение в общем случае не является глобальным,
так как конгруэнция особых (п — 1)-мерных плоскостей
может обладатъ специального типа „фокальными
многообразиями"). Адаптированному реперу пространства
242

Lmn отвечает адаптированный проективный репер в
прострайстве Pmn-V Однородные координаты ха>
точки χ пространства Ртп-\ позволяют ввести
однородные координаты со значениями в алгебре 91:АГа =
= da%s)es. Умножение координат Ха на общий
множитель А = ases из алгебры 31 эквивалентно смещению
точки χ в определяемой ей особой плоскости, и это
смещение определяется воздействием на χ линейной
комбинации cff структурных аффиноров. Таким обра-
s
зом, конгруэнция особых (η ~ 1)-мерных плоскостей
пространства Ртп-Х служит вещественной моделью
(т— 1)-мерного проективного пространства Рт_х (91)
над алгеброй 91 (см. [203], [258], [272]). Исследовать
вопрос о принципе двойственности для пространства
Рщ-ι (91) и его истолковании в пространстве Ртп-\,
о моделировании коллинеаций и корреляций
пространства Яш_! (91) в пространстве Ртп_х. Распространить
на случай конгруэнции особых (п— 1)-мерных
плоскостей пространства Ртп_х способ нормализации
проективного пространства с заданным расслоением,
использованный в главе VI, при моделировании
унитарных пространств постоянной голоморфной кривизны
над алгебрами комплексных и дуальных чисел (пункт 1
и упражнение 2 к пункту 2).
В упражнении 9 к главе VII отмечалась метрика
с линейным элементом а82=2г^с1х1Ьхп+г в касательном
расслоении двумерного риманова многообразия (п = 2).
Естественным 'обобщением является метрика с
аналогичным линейным элементом в касательном
расслоении келерова многообразия, где в качестве в^ берется
фундаментальный ковариантно постоянный бивектор
келеровой структуры. Выяснить свойства этой
метрики, а также ее связи с полными лифтами
метрического тензора и аффинора почти комплексной структуры
келерова многообразия.
Дать определение плюрального дифференцируемого
многообразия, вещественная реализация которого
является дифференцируемым многообразием с нилыютент-
ной аффинорной структурой.
Литература: главы III, IV, V, VIII, статья [37].
В случае полукасательного расслоения 2-го порядка
построить лифт тензора геодезической кривизны и
показать, что он инвариантен при голоморфно-геодезических
342

преобразованиях этого расслоения, реализующих
вещественно геодезические преобразования связности
в многообразии над алгеброй.
Литература: глава VIII [51].
Определить голоморфно-конформное
преобразование как вещественную модель конформного
преобразования риманова пространства над алгеброй
(ассоциативной, коммутативной, фробениусовой).
Литература: (175], [176].
Показать, что тензор кривизны связности,
сохраняющей структуру ассоциативной, коммутативной,
фробениусовой алгебры вещественно реализует тензор
кривизны соответствующей связности в многообразии
над алгеброй.
Литература: гл. Ill, V.
Выяснить геометрический смысл аффинора
полукасательной структуры первого и второго порядка.
Литература: гл. VIII.
Показать, что касательное расслоение
многообразия аффинной связности со структурой алге'бры 91
обладает структурой алгебры 910 R (ε).
Литература: главы I, VII.
Одномерные пространства аффинной связности
над алгебрами R(j)(x)il и R (<?)® 91. (91 —любая
ассоциативная, коммутативная алгебра с единицей)
исследовать как двумерные пространства со связностью
Вейля над алгеброй 91. (Обобщение результатов
статьи [260]).
Используя продолжения функций в' алгебру
R(£i> ε2> 1) с базисом {1, г19 ε2} и таблицей умножения
А = ειε2 = ε2 == 0' построить теорию полного и
вертикального лифта для суммы Уитни TVn&) TVn двух
касательных расслоений (см. гл. VII).
Гибридные относительно-инволютивного
автоморфизма в алгебре тензоры рассматривались в
статье [104]. Используя это понятие, исследовать
гибридные метрики на 2-касательном расслоении T2Vn как
на многообразии над алгеброй /?(ε2).
По линейной связности на многообразии Vn можно
построить линейную связность полного лифта на
r-касательном расслоении TrVn. Показать, что слой
TrxVn является автолараллельным подмногообразием
и изучить индуцированную на слое связность..

БИБЛИОГРАФИЯ
1. Абдуллин В. Η. л-мерные римановы пространства,
допускающие поля ковариантно постоянных симметрических тензоров
общего типа. 1.—Изв. вузов. Математ., 1970, № 5, 3—13.
2. Абдуллин В. Н. л-мерные римановы пространства,
допускающие поля ковариантно постоянных симметрических тензоров
общего типа. И.— Изв. вузов. Математ., 1970, № 6, 3—15.
3. Абдуллин В. Н. Классификация ^-пространств базисного
типа.—Тр. семин. кафедры геометрии, вып. б. Изд-во Казан,
ун-та, -1971, 5—21.
4. Александров Н. Д. О G-структуре на векторном
расслоении, определяемой регулярным представлением алгебры. — Тр.
геометр, семинара, вып. 12. Изд-во Казан, ун-та, 1980, 5—18.
5. Александров Н. Д. Ν Почти кватерниальная структура
в векторном расслоении.— Сб.: Геометрия обобщенных
пространств. Уфа, 1982, 113—126.
6. А р ж а н ы χ И. С. Аналитические функции групповых
комплексов и их применения в механике.—Сб.: Исслед. по аналитич.
механике.—Ташкент: Наука, 4965, 30—39.
7. А р ж а н ы χ И. С. Аналитические функции комплекса
группы Клейна и некоторые их применения.— Сб.: Теория функций
и диф. уравнения.—Ташкент: Наука, 1965, 5—22.
8. Ахраров Ф. С. О нормализованных поверхностях
пространства нуль-пар.— Тр. геометр, семинара, вып. 10. Изд-во Казан,
ун-та, 1978, 18—36.
9. Ахраров Ф. С. Аналитические поверхности постоянной
кривизны пространства нуль-пар.— Изв. вузов. Математ., 1978,
№5, 127—130.
10. Ахраров Ф. С, Норден А. П. Внутренняя геометрия
аналитических поверхностей пространства невырожденных нуль-
пар.— ИзЪ. -вузов. Математ., 1978, № 8, 19—30.
11. Ахраров Ф. С. Частные случаи аналитических
поверхностей пространства невырожденных нуль-пар.— Тр. геометр,
семинара, вып. 13. Изд-во Казан, ун-та, 1981, 5—11.
12. Б а й к о в β. А. О дифференциале функций кватернионного
переменного.— Сб.: Спец. главы высш. мат. в теории и практике
инж. задач. Тула, 1978, 5—10.
13. Б а л а б а е в В. Е. Кватернионный аналог системы Коши —
Римана в четырэхмэрном комплексном пространстве и некоторые
его приложения.—ДАН СССР, 1974, 214, № 3, 489—491.
14. Б а ρ χ и н Г. С. О подгруппах движений биаксиального
пространства.— Уч. зап. Казан, ун-та, 1951, 111:8, 105—124.
15. Беклемишев Д. В. Дифференциальная геометрия
пространств с почти комплексной структурой.— Сб.: Геометрия. 1963.
М., 1965, 163-212.
245

16. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. М.—/Л., 1935*
17. Б у ρ б а к и Н. Алгебры. Алгебраические структуры, линей*
ная <и полилинейная алгебра.— М. : Наука, 1962. /
18. Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. М., 1966.
19. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра.— М. : Наука, 1971.
20. Б у ρ д а к о в В. М., Вишневский В. В. Структуры в
линейчатой геометрии пространств с вырождающимся абсолютом.—
Тр. геометр, семинара, вып. 10. Изд-ео Казан, ун-та, 1978, 37—45.
21. Б у χ а р а е в Р. Г. Теория конгруэнции биаксиального
пространства.— Изв. вузов. Математ., 1959, № 5, 67—69.
22. Б у χ а р а е в Р. Г. К теории поверхностей биаффинного
пространства. I.— Изв. вузов. Математ., 1960, № 3, 67у-69.
23. Вагнер^В. В. Алгебраическая теория касательных
пространств высших ""порядков.— Тр. семин. по вектори. и тензорн.
анализу, вып. 10. М., 1956, 31—88.
24. Вагнер В. В. Голоморфные частичные отображения
банаховых модулей в дифференциальной геометрии высшего порядка.—
VII Всес. конф. по совр. проблемам геометрии. Тез. докладов.
Минск, 1979, с. 36.
25. В а н-д е р-В а р д е н Б. Л. Алгебра.— М. : Наука, 1970.
- 26. В е й л ь А н д ρ е. Введение в теорию кэлеровых
многообразий. М., 1961.
27. В е й л ь Г. Классические группы, их инварианты и пред-
ставления. М., 1947.
28. В и ш н е в с к и й В. В., Η ο ρ д е н А. П. О комплексном
представлении инвариантов четырехмерного риманова
пространства.— Изс. вузов. Математ.Г 1959, № 2, 176—182.
2{\ Вишневский В. В. О комплексных структурах одного
класса пространств Кэлера — РашеЕского.— ДАН СССР, 1963,
149 : 2, 233—236.
30. ВишневскийеВ. В. Ό комплексных структурах В-про-
странств.— Уч. зап. Казан, ун-та, 1963, 123:1, 24—48.
31. Вишневский В. В. Об одном обобщении пространств
Широкова — Рашевского.— Уч. зад. Казан, ун-та, 1965, 125 : Ь
60—73.
32. Вишневский В. В. Еще раз к вопросу ό комплексных
структурах в линейчатой геометрии.— Тр. семин. по векторн.
и тензорн. анализу, вып. 13. М., 1966, 467—492.
33. Вишневский В. В. Об одном свойстве аналитических
функций над алгебрами и'его приложении к изучению комплексных
структур в римановых пространствах.— Уч. зап. Казан, ун-та,
1966, 126: 1, 5—12.
34. Вишневский В. В. О параболическом аналоге А-про-
странств.— Изв. вузов. Математ., 1968, № 1, 29—38.
35. В иш н е в с к и й В. В.,Те-рина Г. А. К теории
пространств над тензорными произведениями алгебр.— Тр. семин.
кафедры геометрии, гып. 3. Изд-во Казан, ун-та, 1968, 12—23.
36. Вишневский В. В. Теория аффинорных модудей.— Тр.
семин. кафедры геометрии, вып. 4—5. Изд-во Казан, ун-та, 1970,
33—53.
37. Вишневский В. В. Аффинорные структуры пространств
аффинной связности.— Изв. вузов. Математ., 1970, № 1, 12—23.
38. Вишневский В. В. Аффинорные структуры как
структуры, определяемые алгебрами.— Тр. семин. кафедры геометрии,
вып. 4—5. Изд-во Казан, ун-та, 1970, 54—68.
246

39V В ишневский В. В. Полиномиальные алгебры и аффи-
норные\труктуры.—Тр. семин. кафедры геометрии, вып. 6. Изд-во
Казан, унгта, 1971', 22—35.
40. В km невский В. В. Аффинорные структуры
многообразий как структуры, определяемые алгебрами.— „Tensor", 1972, 26,
363-372. ^
41. Вишневский В. В. Некоторые свойства
дифференциально-геометрических структур, определяемых алгебрами.— Науч.
тр. Пловдив, ун-та, 1972, 10, № 1, 23—30.
42. Вишневский В. В. О вещественных реализациях
одномерных эрмитовыхчпространств над алгебрами.— Науч. тр. Пловдив,
ун-та, 1974, 12, № 1, 43—48.
43. Вишневский В. В. Сопутствующие структуры Нордена
и их обобщения.—Тр. семин. кафедры геометрии, вып. 7. Изд-во
Казан, ун-та, 1974, 28—35.
44. В и ш н е в с к и й В. В. О структурах многообразий,
определяемых нерегулярными представлениями алгебр.— Сб.:
Дифференциальная геометрия, вып. 1. Саратов, 1974, 3—14.
45. В и ш н е в с к и й В. В. О вещественных реализациях
тензорных операций в пространствах над алгебрами.— Изв. вузов.
Математ., 1974, № 5, 62—65.
46. В и ш н е в с к и й В. В. Пространства над алгебрами.— Всес.
научн. конф. по неевклид. геометрии „150 лет геометрии
Лобачевского". М., 1977, 49—56.
47. Вишневский В. В. О полиаффинорных структурах,
определяемых тензорными произведениями полиномиальных
алгебр.— Тр. геометр, семинара, вып. 11. Изд-во Казан, ун-та, 1979,
17—20.
48. Вишневский В. В., Г а з и е в а Ф. А. Антикватернион-
ные структуры и связности.— Тр. геометр, семинара, вып. 12. Изд-во
Казан, ун-та, 1980, 19—26.
49. Вишневский В.^В. О происхождении сопутствующих
бивекторов.— Тр. геометр, семинара, вып. 14. Изд-во Казан, ун-та,
1982, 9—12.
50. Вишневский В. В. О геометрической модели
полукасательных структур.— Изв. вузов. Математ., № 3, "1983, 73—75.
51. Вишневский В. В., Гуреева Т. Г. Об одном классе
полукасательных структур второго порядка.— Тр. семин. кафедры
геометрии, вып. 16. Изд-во Казан, ун-та, 1984, 9—19.
52. Воловельская С. Н. Аналитические функции в неполу-
простых ассоциативных линейных алгебрах. Харьков, Зап. Математ.
о-ва, 1948, (4) 19, 153—159.
53. Выжги на Л. Б. Геометрия коммутативных алгебр.— Уч.
зап. МОПИ, 1961, 149 : 1, 67—78.
54. В ы π л а в и н а Р. П. Дифференциальная геометрия
эрмитовых пространств над тензорными произведениями тел.— Тр.
геометр, семинара, вып. 14. Изд-во Казан, ун-та, 1982, 13—22.
55. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1966.
56. Га у χ м а н В. А. О диагонализуемых тензорных структу-
оах.— Успехи математ. наук, 1964, 19, № 6, 226—228.
57. Гиберт К. Я. Геометрические вопросы теории
аналитических функций от элементов коммутативных алгебр. Моск. пед.
ин-т им. В. И. Ленина. М., 1978 (№ 342-79 Деп.).
247

58. Д е р я г и н а В. Г. К теории двумерных поверхностей в би
планарном пространстве Б5.— Изв. вузов. Математ., 1976, № L
116-119.
59. Диксон Л. Е. Линейные алгебры/ Харьков, ^935.
60. Ев ту шик Л. Е., Лум'исте Ю. Г., О с τиану Η. Μ.,
Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры
на многообразиях.—Сб.: Проблемы геометрии, т. 9j M., 1979.
61. ЕгиазарянК. Μ. О структуре аффинных связностей
и тензорных полей на касательном расслоении высшего
порядка.—ДАН СССР, 1979, 246, № 4, 797—801.
62. Егиазарян К. Μ., Широков А. Й. Проектирование
связностей в расслоениях и его приложение к геометрии
пространств над алгебрами.— Сб.: Дифференциальная геометрия, вып. 4;
Саратов, 1979, 132—139.
63. Егиазарян К. М. Аффинные связности на вещественной
модели грассманова многообразия над алгеброй.— Тр. геометр,
семинара, вып. 13. Изд-во Казан, ун-та, 1981, 12—19.
64. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра
и многомерная геометрия.— М.: Наука, 1970.
65. 3 а т у л о в с к а я К. Д. Полианалитические функции и
функции, моногенные в смысле В. С. Федорова.— Уч. зап.
Смоленск, пед. ин-та, вып. 20, 1968, 20—26.
66. 3 а ту л о в с к а я К. Д. Об аналитических моногенных
функциях (в смысле В. С. Федорова).—Сб.: Некотор. диф. ур-ния
мат.-физ. и теор. колеб. Иваново, 1970, '49—56.
67. 3 е й л и г е ρ Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия.
Л.—М., Ь34.
68. Зуев И. В. О прямых, принадлежащих алгебраической
поверхности с двойной сетью Кенигса.— Изв. вузов Математ., I960,
5, 52-6L
69. Зуев И. В. Об особых точках алгебраических
поверхностей, содержащих мнимую двойную сеть Кенигса.— Изв. вузов.
Математ., 1962, № 1, 41—49.
70. Каган Ф. И. К теории лифтов для тензорных полей из
многообразия в его касательный пучок.— Изв. вузов. Математ.>
1969, № 9, 37—46.
71. Каган Ф. И. О некоторых типах аффинорных структур
в касательном пучке дифференцируемого многообразия.— Укр.
геометр, сб., вып. 8, 1970, 49—68.
72. Каган Ф. И. Поднятия, как изоморфизмы градуированных
алгебр.— Математ. заметки, 1971, т. 9, вып. 3, 239—247.
73. Каган Ф. И. Римановы метрики в касательном расслоении
над римановым многообразием- I.— Изв. вузов. Математ., 1973,
№ 6, 42-51.
74. Каган Ф. И. О почти аналитических векторах для почти
кэлеросых метрик в касательном расслоении.— Сб.:
Дифференциальная геометрия, вып. 1. Саратов, 1974, 51—59.
75. Каган Ф. И. О структурах пространства декартовой
композиции и комплексного аналитического пространства в
касательном расслоении над эквипроективиым пространством.— Изв. вузов.
Математ., 1974, № 5, 109—116.
76. К а г а н Ф. И. О киллииговых векторах и автоморфизмах
почти кэлеровых структур в касательном расслоении над рима-
новым многообразием.— Сб.: Дифференциальная геометрия, вып. 1*
Саратов, 1974, 60—71.
248

77\К а га н Ф. И. Аффинные связности на касательном
расслоении.— Изв. вузов. Математ., 1975, № 2\ 31—42.
78. Ksa га н Ф. И. Инфинитезимальные связности в касательном
расслоенной геодезические пульверизации.— Сб.:
Дифференциальная геометрия, вып. 3. Саратов, 1977, 69—81.
79. К а л у ж н и н Л. А. Введение в общую алгебру.— М.: Наука,
1973.
80. К а н τ ο ρ И. Л., С о л о д о в н и к о в А. С.
Гиперкомплексные числа. М., 1973.
81. Капустина Т. В. Голоморфно-конформное соответствие
в касательных расслоениях римлнова пространства.— Тр. геометр,
семинара, вып. 13, Казань, 1981, 39—48.
82. Кириченко В. Ф. Почти эрмитоЕы многообразия
постоянного типа.—ДАН СССР, 1981, 259, № 6, 1293—1297.
83. Кириченко В. Ф. Аксиома голоморфных плоскостей в
обобщенной эрмитовой геометрии.— ДАН СССР, 1981, 260, № 4*
795—799.
84. К и ρ и ч е н к о. В. Ф. Обобщенные приближенно кэлеровы
многообразия постоянной голоморфной конформной
кривизны.—ДАН СССР, 1982, 265, № 2, 287—291.
85. К и ρ и ч е н к о В. Ф. О геометрии приближенно сасакиевых
многообразий.—ДАН СССР, 1983, 269, № 1, 24—29.
86. Кириченко В. Ф. Квазиоднородные многообразия и
обобщенные почти эрмитовы структуры.— Изв. АН СССР, сер,
математ., 1983, т. 47, № 6, 1208—1223.
87. Кирсанова Т. В. Полукасательные структуры 1-го
порядка.— Тр. геометр, семинара, вып. 16. Изд-во Казан, ун-та,
1984, 41—47.
88. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.— Л., 1939.
89. Клиффорд В. К. Предварительный очерк бикватернио-
нов. Приложение к его книге „Здравый смысл точных наук".
Изд. 2-е, 11, 1922, 203—221.
90. Коля н В. В. Геометрия кругов в трехмерном конформном
пространстве.— Тр. семин. кафедры геометрии, вып. 3. Изд-во
Казан, ун-та, 1968, 24—30.
91. Ко π π В. Г. Двучленная группа винтов в квазиевклидовом
пространстве.— Уч. зап. Казан, ун-та, 1938, т. 98, кн. 7, 27—36.
92. К о π π В. Г. Линейные комплексы и их пучки в трехмерном
псевдоевклидовом пространстве.— Уч. зап. Елабужск. пед. ин-та,
1958, т. 3, 35—71.
93. Ко π π В. Г. Двучленные пучки косых поляритетов в
трехмерном псевдоевклидовом пространстве.— В сб.: Геометрия
обобщенных пространств. Уч. зап. Казан, ун-та, 1963, т. 123, кн. 1,
49—58.
94. Котельников А. П. Виптогое счисление и некоторые
приложения его к геометрии и механике. Казань, 1895.
95. Котельников А. П. Проективная теория векторов*
Казань, 1899.
96. Кристали некий Р. X. Псевдорегулярпые кватернион-
ные функции.—Уч. зап. Смоленск, пед. ин-та, вып. 14, 1965, 91—95.
97. К ρ и щ ю н а й τ е А. Л. Об условиях нормальности и
интегрируемости почти контактных структур на гиперповерхностях
комплексного и двойного пространства.— Тр. семин. кафедры гео*
метрии, вып. 3. Изд-во Казан, ун-та, 196Ь, 55—75.
249

98. КручковичГ. И. Условия интегрируемости регулярной
гиперкомплексной структуры.—Укр. геометр, сб., вып./У, 1970,
67—75.
99. К ру ч к о в и ч Г. И. Η-эрмитовы пространства.^- Изв.
вузов. Математ., 1971, № 4, 42—49.
100. Кручкович Г. И. Η-эрмитовы пространства
гиперкомплексной размерности. I.— Тр. Моск. ин-та радиотехн., электрон.,
автом., вып. 52, 1971, 47—52.
101. Кручкович Г. И. Чистые Η-эрмитовы связности.— Тр.
Моск. ин-та радиотехн., электрон., автом., вып. 57, 1972, 5—8.
102. Кручкович Г. И. Гиперкомплексные структуры на
многообразиях. I.—Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу, вып. 16.
Изд-во МГУ, 1972, 174—201.
103. Кручкович Г. И. Гиперкомплексные геодезические и их
вещественные реализации.— Тр. Моск. ин-та радиотехн., электрон.,
автом., 1973, 3—11.
104. Кручкович Г. И. Гиперкомплексные структуры на мно-
гообразииях. II.—Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу, вып. 17.
Изд-во МГУ, 1974, 218—227.
105. Кручкович Г. И. Η-пространства Вейля.—Тр. XXV
«аучн.-техн. конф. Секц. математ. Моск. ин-т радиотехн., электрон.,
автом. М... 1976, 2—8.
106. КручковичГ. И. Гиперкомплексные структуры на
многообразиях. III.— Тр. семин. по векторн. и тензорн. анализу, вып. 18.
Изд-во МГУ, 1978, 293—299.
107. КрыловН. М. К теории комплексов Галуа.— ДАН СССР,
1947, 55, № 8, 687—688.
108. К у с к о в с к и й Л. Н. Об одном обобщении теории арео-
.лярных производных.—Изв. вузов. Математ., 1976, № 5, 112—115.
109. Кэртис Ч.,РайнерИ. Теория представлений конечных
групп и ассоциативных алгебр. М., 1969.
110. Л е й к о С. Г. Линейные р-геодезические диффеоморфизмы
касательных расслоений высших порядков и высших степеней.— Тр.
геометр, семинара, вып. 14. Изд-во Казан, ун-та, 1982, 34—45.
111. Лобачевский Н. И.Ό началах геометрии. Сочинения
по геометрии, т. 1. М.— Л., 1946.
112. Μ а з а н о в а Г. А. О модулях r-полурегулярных
представлений алгебр.— В сб.: Геометрия обобщенных пространств. Уфа,
1982, 58—66.
113. Μ а з а н о в а Г. А. Об одной структуре, определяемой
двумя коммутирующими аффинорами.— Изв. вузов. Математ., 1979,
№ 7, 87—90.
114. Μ а р к и н ак Л. М., Семенова И. Н. Римановы, псевдо-
римановы и квазиримановы А-пространства.— Изв. вузов.
Математ., 1968, № 8, 54—62.
115. Мейлихзо н.А. С. К вопросу о комплексах Галуа.— ДАН
СССР, 1947, 58, № 6, 981—984.
116. МелентьевА. И., Широков А. П. К геометрии
одномерных пространств над вполне приводимыми алгебрами.— Тр.
семин. кафедры геомэтрии, вып. 4—5. Изд-во Казан, ун-
99-110.
117. Минибаева Ф. Г. Свэртызание тензоров в пространстве
над коммутативной алгеброй.— Сб.: Дифференциальная геометрия,
вып. 2. Саратов, 1975, 99—106.
250

1Ш Μ и н и б а е в а Ф. Г. Геометрическая интерпретация
кривизны риманова пространства над алгеброй.—Тр. геометр,
семинара, вып. 9\ Изд-во Казан, ун-та, 197.6, 60—67.
119. Море в И. А. Моногенные гиперкомплексные функции.—
Укр. математ. жур., 1956, 8, № 4, 423—434.
120. Μ о ре в И. А. Мокогенные гиперкомплексные функции.—
Физ.-мат. сб. трудов энерг. ин-та, вып. 2. Иваново, 1955, 1—41.
121. Μ ο ρ е в И. А. Об одном обобщении понятия
моногенных функций. —Математ. сб., 1957, 42/84, 197—206.
122. Море в И. А. Об одном обобщении уравнений Коши —
Римана и гармоничности моногепиых гиперкомплексных
функций.— Изв. вузов. Математ., 1958, № 3, 176—182.
123. Море в И. А. Об одном классе моногенных функций.—
Математ. сб., 1960, 50/92:2, 233—240.
124. Μ ο ρ е в И. А. О функциях, моногенных в смысле В. С.
Федорова.— Уч. зап. Моск. обл. пед. ин-та, 1967, 188, 173—179.
125. Море в И. А. О моногенности комплекснозначных
функций.— В сб.: Вопр. мат. физ. и теория колебаний, вып. 2. Иваново,
1973, 10—18.
126. Мухаммед Насер. Гиперголоморфные функции,—
Сиб. математ. жур., № 6, 1971, 1327—1340.
127. Наврозов В. В. Основные понятия гиперкомплексной
римановой геометрии.— Тр. Моск. ии-та радиотехн., электрон.,
автом., вып. 67, 1973, 50—64.
128. Наврозов В. В. Преобразования в гиперкомплексных
римановых пространствах.— Математ. зам., 1974, 15, № 4, 603—612.
129. Наврозов В. В. Η-преобразования в римановых
пространствах.— Математ. зам., 1978, 23, № 4, 617—625.
130. Назарова Ε. В. К геометрии касательных расслоений
групп Ли.— Тр. геометр, семинара, вып. 11. Изд-во Казан, ун-та,
1979, 70—78.
131. Наков Т. Г. Върху някои метрични свързгности запгз-
ващи бинарна афинорна структура.—Научн. тр. Пловдив, ун-т,
1973, 11, № 2, 9-17.
132. Нейфел ьд Э. Г. Аффинные связности на
нормализованном многообразии плоскостей проективного пространства.— Изв.
вузов. Математ., 1976, № 11, 48—55.
133. Нёйфельд Э. Г. Геометрия поверхности в проективном
пространстве над алгеброй.— Сб.: Геометрия обобщенных
пространств. Уфа, 1982, 32—50.
134. Η ο ρ д е н А. П. Внутренняя геометрия поверхностей
пространства биаксиальиой группы.—ДАН СССР, 1947, 55, 199—202.
135. Η ο ρ д е н А. П. Поверхности нулевой кривизны биаксиаль-
ного пространства.—ДАН СССР, 1947," 58, 1597—1600.
136. Η орден А. П. Пространство линейной конгруэнции.—
Математ. сб., 1949, 24 (66), 429—455.
137. Η орден А. П. О внутренних геометриях поверхностей
проективного пространства.— Тр. семин. по векторн. и тензорн.
анализу, вып. VII. Изд-во МГУ, 1949, 31—64.
138. Η ο ρ д е н А. П. О параллельном перенесении дуальных
векторов.— Уч. зап. Казан, ун-та, вып. 3, 1950, ПО, 95—ЮЗ.
139. Норден А. П. О Геометрической характеристике
отображения с помощью аналитических функций двух комплексных
аргументов.—ДАН СССР, 1951, 81, 145—147.
251

140. Норде н А. П. Биаффинное пространство и его
отображение на себя.—Уч. зап. Казан, ун-та, 1952, 112: 10, 3—11.
141. Норден А, П. Теория кривых биаффинного
пространства.—Уч. зап. Казан, ун-та, 1952, 112:10, 13—26.
142. Норден А. П. О соответствии между линейчатыми
поверхностями и кривыми риманова пространства. (Совм. с Μ. Ε. Цып-
киным).-ДАН СССР, 1952, 86, 23—26.
143. Норден А. П. Об одной интерпретации комплексной
аффинной плоскости;—Сб.: 125 лет- неевклидовой геометрии
Лобачевского. М.—Л., 1952, 117—128.
144. Η ο ρ д е н А. П. О самосопряженных образах биаксиального
пространства.—Уч. зап. Казан, ун-та, 1954, 114:2, 3—12.
145. Норден А; П. Теория поверхностей биаффинного
пространства.—Уч. зап. Казан, ун-та, 1954, 114:2, 13—38.
146. Норден A. IU О комплексном представлении тензоров
бипланарного пространства.—Уч. зап. Казан, ун-та, 1954, 114:8,
45—53.
147. Норден А. П. Теория поверхностей. М., 1956.
148.· Норден А. П. О геометрическом истолковании некоторых
понятий спинорного анализа.— Тр. ill Bcec. математ, съезда, 1956,
1. Изд-во АН СССР, с. 160.
149. Η ο ρ д е н А. П. О паратактической конгруэнции риманова
пространства.—Уч. зап. Казан, ун-та, 1957, 117:9, 41—43.
150. Норден А. П. О комплексном представлении тензоров
пространства Лоренца.— Изв. вузов. Математ., 1959, 1, 156—163.
151. Норден А. П. Об одном классе четырехмерных А-про-
странств.— Изв. вузов. Математ., 1960, 4, 145—157.
152. Норден А. П. Об одном классе минимальных
поверхностей четырехмерного пространства.— Изв. вузов. Математ.,
1962, 3, 91—97.
153. Норден А. П. О некоторых возможных направлениях
развития линейчатой геометрии.— Уч. зап. Казан, ун-та, 1963,
123: 1, 145—151.
154. Норден А. П. Пространства декартовой композиции.—
Изв. вузов. Математ,, 1963, 117—128.
155. Η ο ρ д е н А. П. Биаксиальная геометрия и ее
обобщения.—Тр. fV Bcec. математ. съезда, 1964, 2, 236—243.
156. Норден А. П. Конгруэнции и дуальные числа.—Тр. се-
мин. кафедры геометрии, вып. 3. Изд-во Казан, ун-та, 1968, 82—98.
157. Норден А. П. Об одной интерпретации унитарного
пространства постоянной кривизны. (Совм. с Ю. Б. Симоновым).—
Изв. вузов. Математ., 1969, № 2, 63—71.
158. Норден А. П. О структуре связности на многообразии
прямых неевклидова пространства.—Изв. вузов. Математ., 1972,
№ 12, 84—94.
159. Норден А. П., Шурыгин В. В. О реализации
комплексного пространства Вейля.— Изв. вузов. Математ., 1975, № 2,
62—74.
160. Норден А. П., Μ а р к о в Г. Г. О
голоморфно-проективных преобразованиях.—Изв. вузов. Математ., 1975, № 6, 82—87.
161. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М.,
1976.
162. Норден А. П. Композиции векторного расслоения.—
Изв. вузов. Математ., 1978, № 5, 133—141.
163. Η ο ρ д е н А. П. Композиции проективного пространства.—·
Изв. вузов. Математ., 1978, № 6, 98—101.
2 52

164. Норден А. П. Многочленные композиции и теория
распределений,—Изв.-вузов. Математ., 1978, № 11, 89—97.
165. Η ο ρ д е н А. П. Теория композиций.— Сб.: Проблемы
геометрии. Т. 10. М., 1978, 117—146.
166. Η ο ρ д е н А. П. Проективные метрики на грассмановых
многообразиях.—Изв. вузов. Математ., 1981, № 11, 80—83.
167. Норден А. П. Проективные метрики на грассмановых
многообразиях.— Сб.: Геометрия обобщенных пространств. Уфа,
1982, 13—25.
168. ОстиануН.М. Дифференциально-геометрические
структуры на дифференцируемых многообразиях.— Сб.: Проблемы
геометрии. Т. 8. М., 1977, 89—111.
169. О с τ и а ну Η. Μ. Подмногообразия в дифференцируемых
многообразиях, наделенных дифференциально-геометрическими
структурами. I. (Совм. с Н. Д. Поляковым). — Сб.: Проблемы
геометрии. Т. П. М. 1980, 3—63.
170. О с τ и а н у Η. Μ. Подмногообразия в дифференцируемых
многообразиях, наделенных дифференциально-геометрическими
структурами. II. Подмногообразия коразмерности 2 в контактном
и почти контактном многообразиях (Совм. с Р. Ф. Домбровским
и Н. Д. Поляковым).—Сб.: Проблемы геометрии. Т. 13. М., 1982,
27—76.
171. "О с τ и а н у Η. Μ. Подмногообразия в дифференцируемых
многообразиях, наделенных дифференциально-геометрическими
структурами. IV. Подмногообразия коразмерности I в многообра- щ
зиях почти комплексной структуры. (Совм. с Т. Н. Балазюк).— Сб.:
Проблемы геометрии. Т. 15. М., 1983, 127—161
172. Павлов Е. В. .Инварианты тензоров в векторном
пространстве L3 (ε) над алгеброй R (ε) (ε2 = 0).— Изв. вузов. Математ.
1975, № 1, 54—58.
173. Павлов Е. В., Балабанова Р. Риманово В-прост-
ранство с характеристиками (2, 2).— Научн. тр. Пловдив, ун-та,
Математ., 1975 (1977), 13, № 1, 129-140.
174. Павлов Е. В. О римановых В-пространствах,
допускающих отображение па двумерные римановы пространства над ал-,
геброй.— Всес. научн. конф. по неевкл. геометрии „150 лет
геометрии Лобачевского". М., 1977, 163—166.
175 Павлов Е. В. Вещественная реализация конформного
соответствия римановых пространств над клиффордовой
алгеброй.—Изв. вузов. Математ., 1978, № 7, 64—67.
176. Павлов Е. В. Об одной характеристике
симметрического конформно-евклидова многообразия.— Тр. геометр,
семинара, вып. 14. Изд-во Казан, ун-та, 1982, 70—75.
177. Певзнер С. Л. Геометрия пары квадрик в проективном
пространстве.— Сиб. математ. жур., 1969, № 1, 116—137.
178. Певзнер б4. Л. О геометриях во множестве орбит
матричных алгебр (в порядке постановки вопроса).— Матер. VIII меж-
вуз. науч. конф. математиков Дальнего Востока. Хабаровск, 1970,
35—38. -
179. Певзнер £. Л. Пространства над унитальными
ассоциативными алгебрами и их интерпретации.— Изв. вузов. Математ.,
' 1973, № 2, 64—72.
180. Певзнер С. Л. О строении пространств над
алгебрами.—Изв. вузов. Математ., 1977, № 6, 107—111.
181. Петров А. 3. Пространства Эйнштейна. М., 1961.
253

182. Петров А. 3. Ноьые методы в ©бщей теории
относительности. М., 1966;
183. Петров Ю. Г. О реализации комплексных пространств
Вейля.— Изв. вузов. Математ., 1977, № 6, 112—118.
184. Подков ырин Λ. С. Минимальные Х-4 пространств Б6,
допускающие отображение на развертывающиеся Х2
комплексного А3.— Тр. семин. кафедры геометрии, вып. 1. Изд-во Казан,
ун-та, 1965, 121—129.
185. Подковыр и'н А. С. Гиперповерхности унитарного
пространства. I.— Изв. вузов. Математ., 1967, № 8, 41—52.
186. Подков ырин А. С. Гиперповерхности унитарного
пространства. II.—Изв. вузов. Математ., 1967, № 9, 75—85.
187. Подков ырин А. С. Об одном характеристическом
признаке особой поверхности Х4 бисффииного пространства
(МБ)б.— Тр. семин. кафедры геометрии, вып. 4—5, Изд-во Казан,
ун-та, 1970,- 111—121.
188. Подковырин А. С. Об одном обобщении связности
Вейля.— Тр. семин. кафедры геометрии, вып. 6. Изд-во Казан,
ун-та, 1971, 70—76.
189. Подковырин А. С. Об одном классе аналитических,
кривых трехмерного комплексного пространства.— Изв. вузов.
Математ., 1975, № 3, 107—110.
190. Подковырин А. С. Теория аналитических
поверхностей биаффинного пространства. I.— Тр. геометр, семинара,
вып. 9. Изд-со Казан, ун-та, 1976, 77—87.
191. Подковырин А. С. Теория аналитических
поверхностей биаффинного пространства. II.— Тр. геометр, семинара, вып.
10. Изд-во Казан, ун-та, 1978, 65—77.
192. Подольский В. Г. Инфинитезимальные
преобразования в касательном расслоении с метрикой полного лифта и
-метрикой Сасаки.—Изв. вузов. Математ., 1976, № 9, 128—132.
193. Поляков Н. Д. Подмногообразия в дифференцируемых
многообразиях, наделенных дифференциально-геометрическими
структурами. III. ^(σ) — антиинвариантные подмногообразия в
многообразии почти контактной структуры.— Сб.: Проблемы
геометрии. Т. 13. М., 1982, 77-117.
194. Постников М. М. Группы и алгебры Ли. М., 1982.
195. Π у τ я τ а Т. В., Л а π τ е в» Б. Л., Ρ о з е н φ е л ь д Б. Α.,
Φ pa длин Б. Η. Александр Петрович Котельников. М., 1968.
196. Рашевский П. К. Скалярное поле в расслоенном
пространстве.—Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу, вып. 6.
Изд-во МГУ, 1948, 225—248.
197. РозенфельдА.И. Дифференцирования алгебры
плюральных чисел.— Тр. семинара кафедры геометрии, вып. 7. Изд-во
Казан, ун-та, 1974, 93—97.
198. Розенфельд Б. А. Теория конгруэнции и комплексов
прямых в эллиптическом пространстве.—Изв. АН СССР, сер.
математ., 5, № 2, 1941, 105—123.
199. Розенфельд Б. А. Об унитарных и расслоенных
пространствах.— Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу, вып. 7.
Изд-во МГУ, 1949, 260—275.
200. Розенфельд Б. А. Проективно-дифференциальная
геометрия семейств пар Рт -f Ря_т_1 в%Рл.—Математ. сб., 1949,
24(66), 405—428.

201. РозенфельдБ. Л. Проективная геометрия как
метрическая геометрия.— Тр. семин. по векторн. и тензоры, анализу,
вып. 8. Изд-во МГУ, 1950, 328—354.
202. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии над
комплексными и гиперкомплексными числами и их применение к
вещественным геометриям.— В кн.: 125 лет неевклидовой
геометрии Лобачевского. М.—Л., 1952, 151—166.
-203. Розенфельд Б. \. Неевклидовы геометрии. М., 1955.
204. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства.— М.:
Наука, 1966,
205. РозенфельдБ. Α., Тюрина И. И. Максимально
подвижные пространства аффинной связи как пространства
постоянной кривизны и их представление с помощью алгебр.— Изв.
вузов. Математ., 1967, № 3, 74—87.
206. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.,
1969.
207. Розенфельд Б. А. А. П. Норден и геометрия
квазипростых и лжвазипростых групп Ли и алгебр.— Тр. семин.
кафедры геометрии, вып. 7. Изд-во Казан, ун-та, 1974, 98—106.
208. Саакян С. С. Эрмисферы комплексной плоскости и их
вещественная реализация.— Тр. геометр, семинара, вып. 12. Изд-во
Казан, ун-та, 1980, 67—84.
209. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых
пространств. М., 1979.
210. Скорняков Л. А. Элементы алгебры.— М.: Наука, 1980.
211. Сливинский В. Е. Об аналитических функциях
переменных Золотарева — Крылова.—ДАН СССР, 1950, 72, № 3, 465—468.
212. Спесивых В. Л. Полное поднятие тензорной алгебры
с многообразия на его пространство 2-струй.— Изв. вузов.
Математ., 1976, № 8, 104—106.
213. Спесивых В. Л. Поднятие тензорных полей и связно-
стей на пространство 2-струй.— Изв. вузов. Математ., 1979, № 2,
76—79.
214. Схоутен И. Α., С τ ρ о й к "Д. Дж'. Введение в новые
методы дифференциальной геометрии. Т. 2. М., 1948.
215. ТалантоваН. В. Биаксиальное пространство
параболического типа.— Уч. зап. Казан, ун-та, 1957, 117:9, 30—34.
216. ТалантоваН. В. Биаксиальное пространство
параболического типа.— Изв. вузов. Математ., 1959, № 3, 214—228.
217. ТалантоваН. В. О нульсопряженных образах биак-
сиального пространства параболического типа.— Уч. зап. Казан,
ун-та, 1963, 123: 1, 152—171.
218. ТалантоваН. В. Классификация подгрупп движений
биаксиального пространства параболического типа.— Тр. семин.
кафедры геометрии, вып. 3. Изд-во Казан, ун-та, 1968, 99—114.
219. Τ а л а н τ о в а Н. В., Широков А. П. Замечание об
одной метрике в касательном расслоении.— Изв. вузов. Математ.,
1975, № 6, 143—146.
220. Τ а * а н τ о в а, Н. В., Ш и ρ о к о в А. П. Трехчленные
группы дробно-линейных подстановок дуального переменного как,,
аффинные коллинеации.— Тр. геометр, семинара, вып. 9. Изд-во
Казан, ун-та, 1976, 105—113.
221. Тал а пин В. С. 21-планарное преобразование связности
в вещественных реализациях многообразий над алгебрами.— Изв/
вузов. Математ., 1979, № 2, 72—76.
255

222. Τ а л а п и н В. С. Некоторые типы векторных полей в
двумерных римаиовых многообразиях над алгебрами.— Сб.:
Дифференциальная геометрия, вып. 5. Саратов, 1980, 88—99.
223. Талапин В. С. Векторные поля в двумерных римано-
вых многообразиях над алгебрами.— Тр. геометр, семинара, вып.
12. Изд-во Казак, ун-та, 1980, 85—96.
224. Τ а л а п и н *В. С. 2[-субпланарные многообразия как.
вещественные реализации пространств над алгебрами.— Тр. геометр,
семинара, вып. 13. Изд-во Казан, ун-та, 1981, 73—80.
225. Τ а л а п и н В. С\ О присоединенных системах тензоров.—
Сб.: Геометрия обобщенных пространств. Уфа, 1982, 101—112.
226. Терина Г. А. Об одной паре коммутативных аффинор-
ных структур.—Тр. семин. кафедры геометрии, вып. 6. Изд-во
Казан, ун-та, 1971, 77—88.
227. Тимошенко В. В. О три-тканях над коммутативными
ассоциативными алгебрами.— Изв. вузов. Математ., Ϊ975, № 11,
109—112.
228. Τ и м о ш е н к о В. В. О три-тканях над алгеброй,
кривизна которых является делителем нуля.— Укр. геометр, сб.,
вып. 20; 1977, 102-114.
229. Тимошенко В. В. О три-тканях над алгеброй,
кривизна которых является делителем нуля.— Изв. вузов. Математ.,
1977, № 3, 116—118.
230. Третьяков В. Д. К теории кривых биаксиального
пространства.— Уч. зап.ж Казан, ун-та, 1955, 115:10, 15—16.
231. Третьяков В. Д. Нормализация поверхностей с
помощью инволюции.— Изв. вузов. Математ., 1971, № 1, 83—89.
232. Τ ю ρ и н а И. И. Об А-связностях, определяемых дуальт
ными алгебрами.— Изв. вузов. Математ., 1968, № 6, 104—115.
233. Федоров В. С. О моногенности в пространстве.— Изв.
АН СССР, сер. математ., 1945, № 4, 257—272.
234. Федоров В. С. Моногенность.— Математ. сб., 1946,
18 (60), 353—378.
235. Федоров В. С. Моногенные вектор-функции. I.—
Математ. сб., 1951, 29 (71), 177—184.
236. Федоров В. С. О моногенности гиперкомплексных
функций.—Математ.'сб., 1953, 32 (74), 249—254.
237. Федоров В. С. Коническая моногенность.— Математ.
сб., 1954, 34 (76), 417—428.
238. Федоров В. С. О моногенных функциях.—Тр.
Третьего всес. математ. съезда. М., Изд. АН СССР, 1956, т. 1, 108—109.
239. Федоров В. С. Основные свойства обобщенных моно-
гениых функций.— -Изв. вузов. Математ., 1958,. 6 (7), 257—265.
240. Федоров В. £. Уравнения с частными производными
и моногенные гиперкомплексные функции.— Укр. математ. жур.,
1959, 11, № 4, 450—455.
241. Федоров В. С. Об одном виде гиперкомплексных мо-
ногеппых функций.—Математ. сб., I960, т. 50/92:1, 102—108.
242. Федоров В. С, 3 а т у л о в с к а я К, Д. Моногенные
матрицы-функции.—Rev. romaine math, pures et appl.. 1968, 13,
№ 9, 1297—1305.
243. Федоров В. С, 3 а т у л о в с к а я К. Д. Об. одном
классе гиперкомплексных моногенных функций.— Уч. зап. Ивановск.
пед. ин-та, 1969, 44, 93—100.
256

244. X а б ибул л и на Р. Н., Широков А. П.
Классификаций групп движений биаксиального пространства
гиперболического типа.—Тр. семин. кафедры геометрии, вып. 3. Изд-во
Казан, ун-та, 1968, 99—114.
245. ЦаленкоМ. М. Интегрируемость тензорной структуры
на многообразии класса С00.—Тр. геометр, семинара, вып. 2. М.,
1969, 333-355.
246. Цыпкин Μ. Ε. Дифференциальная геометрия
линейчатого пространства и ее применение к теории Линейчатых
поверхностей.—Уч. зап. Казан, ун-та, 1952, 112:10,77—99.
247. Чеботарев Н. Г. Введение в теорию алгебр. М.—Л.,
1949.
248. Шадыев X. Аффинные коллинеации синектической
связности в касательном расслоении.— Тр. геометр, семинара,
вып. 16. Изд-во Казан, ун-та, 1984, 117—127.
249. Шапуков Б. Н. Структура тензорных расслоений. I.—
Изв. вузов. Математ., 1979, № 5, 63—73.
250. Шапуков Б. Н. Структура тензорных расслоений. II.—
Изв. вузов. Математ., 1981, № 9, 56—63.
251. Ш ироков А. П. Геометрия'обобщенных биаксиальных
пространств.—Уч. зап. Казан, ун-та, 1954, 114:2, 123—166.
252. Широков А. П. Об одном свойстве ковариантно-пос-
тоянных аффиноров.—ДАН СССР, 1955, 102, № 3, 461—464.
253. Широков А. П. Проективная интерпретация кон^
формно-евклидовых симметрических пространств.—Уч. зап.
Казан, ун-та, 19~>6, т. 11-6, кн. 1, 15—19.
254. Широков А. \П. Некоторые аналоги вещественных
реализаций униттрных пространств.— Уч. зап. Казан, ун-та, 1957,
117,, кн. 9, 25-2\
255. Ш и ρ ο \ о в А. П. О некоторых вещественных
реализациях пространстз над алгебрами.— Изв. вузов. Математ., 1961,
№5, 117—127.
256. Ш и ρ о к о ч А, П. Об одном классе, пространств над
алгебрами.— Изн. вузов. Математ., 1961, № 1, 163—170.
257. Широков А. П. Классификация групп движений
биаксиального ппо^тпанства эплиптического типа.— Уч. зап. Казан,
ун-та, 1963, 123: 1, 208—221.
258. Ш и ρ о к о в А. II. ϋ веществе'нных реализациях
проективных пространств над алгебрами.— Уч. зап. Казан, ун-та, 1963,
123 : 1, 248—254.
259. Шираков А. П. О симметрических пространствах,
определяемых алгебрами.— Изв. вузов. Математ., 1963, № 6,
159—171.
260. Широков А. П. Пространства над ассоциативными
унитальными алгебрами.— Уч. зап. Казан, ун-та, 1963, 123:1,
222—247.
261. Широков А. П. К теории пространств, определяемых
коммутативными алгебрами.— Уч. зап. Казан, ун-та, 1965, 125:1,
165—182.
262. Широков А. П. К вопросу о чистых тензорах и
инвариантных подпространствах в многообразиях с почти
алгебраической структурой.— Уч. зап. Казан, ун-та, 1966, 126·: 1, 81—89.
263. Широков А. П. О симметрических пространствах,
определяемых коммутативными алгебрами 4-го порядка.— Тр. семин.
кафедры геометрии, вып. 2. Изд-во Казан, ун-та, 1966, 60—80.
257

264. Ш и р о к о в А. П. Об одном типе G-структур,
определяемых алгебрами.— Тр. геометр, семинара, вып. 1. М., 1966,
425—456.
265. Широков А. П. Об одной биаксиальной модели
главного расслоенного пространства.— Тр. семин. кафедры геометрии,
вып. 3. Изд-во Казан, ун-та, 1968, 158—167.
266. Широков А. П. Структуры на дифференцируемых
многообразиях. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967. М., 1969,
127—188.
267. Широков А. П/ Замечание об одном касательном
расслоении.— Тр. семин. кафедры геометрии, вып. 4—5, Изд-во
Казан, ун-та, 1970, 122—127.
268. Широков А. П. О нормализациях в проективном
пространстве с заданным расслоением.— Изв. вузов. Математ., 1974,
№ 5, 216—221.
269. Широков А. П. К вопросу о спинорных
представлениях вращений евклидовых пространств над алгебрами.— Тр.
семин. кафедры геометрии, еып. 7. Изд-во Казан, ун-та, 1974,
165—175.
270. Широков А. П. Замечание о структурах в касательных
расслоениях.— Тр. геометр, семинара, £ып. 5. М., 1974, 311—318.
271. Широков А. П. Структуры на дифференфируемых
многообразиях.— Сб.: Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 11. М.,
1974, 153—208.
272. Широков А. П. Метод нормализации Нордена и
вещественные модели проективных пространств над алгебрами.—
Тр. геометр, семинара, вып. 8. Изд-ео Казан, ун-та, 1975, 145—152.
273. Широков А. П. Замечание об особых типах римано-
вых пространствунад алгебрами.— Сб.: Дифференциальная
геометрия, вып. 2. Саратов, 1975, 94—98.
274. Ш и ρ о к о в А. П. К' вопросу о релятивной линейчатой
геометрии.— Сб.: Дифференциальная геометрия, вып. 3. Саратов,
1977, 69—81.
275. Широков А. П. Замечание о релятивной линейчатой
геометрии аффинной плоскости.— Тр. геометр, семинара, вып. 10.
Изд-во Казан, ун-та, 1978, 107—112.
276. Широков А. П. О касательном расслоении
одномерного пространства над алгеброй.— Тр. геометр, семинара, вып. 10.
Изд-во Казан, ун-та, 1978, 113—120.
277. Широков А. П. Инвариантные связности без
кручения в касательных расслоениях конформных плоскостей
Мебиуса.— Тр. геометр, семинара, вып. 10. Изд-во Казан, ун-та, 1978,
121- 127.
278. Широков, А. П. О голоморфно-проективных
преобразованиях в касательном расслоении.— Тр. геометр, семинара, вып.
11. Изд-во Казан, ун-та, 1979, 111—114.
279. Широков А. П. Об одном типе пространств
постоянной кривизны над алгеброй дуальных чисел.— Сб.:
Дифференциальная геометрия, вып. 5. Саратов, 1980, 77—81. ,
280. Широков А. П. О касательных расслоениях и
линейчатой геометрии неевклидовых пространств.— Тр. геометр, семина-
а, еып. 13. Изд-во Казон. ун-та-, 1981, 101—108.
281. Широков А. П. О геометрии симметрического
поляритета в проективно.м пространстве над алгеброй дуальных
чисел.— Сб.: Дифференциальная геометрия. Саратов, 1981, 85—89.
258

282. Широков А. П. Геометрия касательных расслоений
и пространства над алгебрами.—Сб.: Проблемы геометрии. Т. 12.
М., 1981, 61—96.
283. Широков А. П. О специальных метриках и связнос-
тях в касательных расслоениях гиперповерхностей аффинных и
неевклидовых пространств.— Тр. геометр, семинара, вып. 14. Изд-во
Казан, ун-та, 1982, 108—114.
284. Широков А. П. Об одной связности в касательном
расслоении тангенциально невырожденной гиперповерхности
евклидова пространства.— Тр. геометр, семинара, вып. 15. Изд-во
Казан, ун-та, 1983, 93—98
285. Широков П. А. Постоянные поля векторов и
тензоров 2-го порядка _ в римановых пространствах.— Изв. Казан,
физ.-мат. об-ва, 192ΰ, сер. 2, т. 25, 48—55.
286. Широков П. А. Об одном типе симметрических
пространств.—Математ. сб., 1957, т. 41, № 3, 361—372.
287. Широков П. А. Тензорное исчисление. Изд. 2-е. Изд-во
Казан, ун-та, 1961.
288. Широков П. А. Избранные работы по геометрии.
Казань, 1966.
289. Шнеерсон М. С. О моногенных функциях Мойсила.—
Математ. сб., т. 44 (86), 1, 113—122.
290. Шнеерсон М. С. Обобщенные моногенные функции
Г. Мойсила и обобщенные сопряженные функции В. С.
Федорова.—Укр. математ. жур., 1962, т. 14, № 4, 446—452.
291. Шурыгин В. В. Индуцированные связности на
поверхностях пространства над алгеброй.—Изв. вузов. Математ., 1977,
№ 9, 127—130.
292. Шурыгин В. В. Вполне геодезические подпространства
в пространствах над алгебрами.— Тр. геометр, семинара, вып. 10.
Изд-во Казан, ун-та, 1978, 128—149.
293. Шурыгин В. В. Чистые тензоры на многообразиях с
коммутативной алгебраической структурой.— Изв. вузов. Математ.,
1978, № 3, 120—124.
294. Шурыгин В. В. Аналитические подпространства про-
стоапств над алгебрами.— Изв. вузов. Математ., 1978, № 4,
127—131.
295. Шурыгин В. В. Аналитические многообразия над
алгебрами и их подмногообразия.— Тр. геометр, семинара, вып. 11.
Изд-во Казан, ун-та, 1979, 115—119.
296. Шурыгин В. В. Обобщение одной теоремы.— Тр.
геометр, семинара, вып. ΙΥ. Изд-во Казан, ун-та, 1979, 120—124.
297. Шурыгин В. В. О некотором обобщении плоских связ-
ностей в пространствах над алгебрами.— Тр. геометр, семинара,
вып. 12. Изд-во Казан, ун-та, 1980, 118—127.
298. Шурыгин В. В. К теории кривых на многообразиях
над алгебрами.— Тр. геометр, семинара, вып. 13. Изд-во Казан,
ун-та, 1981, 109—119.
299. Шурыгин В. В. Расслоения струй, определяемые
локальными алгебрами.—Изв. вузов. Математ., 1983, №:12, 77—80.
300. Ю ρ ь е в В. А. Инвариантная связность многообразия
прямых я-мерного евклидова пространства.— Сб. аспирантск.-работ,
вып. 1. Изд-во Казан, ун-та, Точн. науки. Математ., 1970, 148—157.
259

301. Юрьев В. А. Некоторые вопросы линейчатой
геометрии многообразий гиперболических прямых.— Тр. семин. кафедры
геометрии, вып. 7. Изд-во Казан. ун-та,Л974, 176—184.
302* Яглом И. М. Проективные мероопределения на
плоскости и комплексные числа.— Тр. семин. по векторн. и тензорн.
анализу, вып. 7. Изд-во МГУ, 1949, 276—318.
303. Яглом И. М. Комплексные числа и их применения
к геометрии. М., 1963.
304. Я но К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. М., 1957.
305. Benz W. Vorlesungen uber Geometrie der Algebren.
Berlin-Heidelberg-New York, 1973.
306. Car tan E. Lecons sur la geometrie projective corrfplexe.
Paris, 1931.
307. Coolidge I. L. Hermitian metrics. Ann. of Math., 1921,
22, 11—28.
ЗГ8. Coolidge I. L. The geometry of the complex domain.
Oxford, 1924.
309. Due T. V. Structure presque-transverse. J. Different. Geom.,
1979, v. 14, η 2, 215—219.
310. Eliopoulos H. A. Some properties of diffeientiables
structures defined by nilpotent operators of degree „r". Bull. Soc
Math, de Grece, 1956, 7, 1, 81—94.
311. Eliopoulos H. A. Structures presque tangentes sur les
varietes differentiables. С r. Acad, sci., 1962, 255, 14, 1563—1565.
312. Frechet M. Les fonctions hypercomplexes a n dimensions
d'une variable hypercomplexe a p dimensions. С. г. Acad, sci., 1953,
237, 99, 1053—1055.
313- Frechet M. Sur les surfaces derivables relativement a une-
regie de multiplication hypercomplexe. С. г. Acad, sci., 1954, 238,
633—636.
314. Fubini G. Sulle metriche definite da una forma Hermi-
tiana. Atti dinstit. Venete, 1903, 63, 502—513.
315. F u e t e r R, Zur Theorie der regularen Funktionen einer
Quaternionenvariablen. Monatshefte fur Math, und Phys., 1936, Vol.
43, 69—74.
316. Gheorghiev Gh. Despre operatoras Pompeju-Moisil.
Memoriile sect. si. Academia R. S. R., ii, 1979, 7—35.
317. Η a n g a n T. On the canonical form of second order mixed
tensor. Rev. math, pures et appl. (RPR), 1962, 7, 4, 617—626.
318. Hausdorff F. Zur Theorie der Systeme complexer Zah-
len. Leipzig. Berichte, 1900, Vol. 52, 43-61.
319. Hafeli Hafis. Quaternionengeometrie und das Abbildun-
gungsproblem der regularen Quaternionenfunktionen. Comm. math.
Helv., 1944, Vol. 17, f. 2, 135—164.
320. Л f t i m i e V. Fonctions hypercomplexes. „Bull. math. Soc.
sci. math. RSR", 1965, 9, N 4, 279—332.
321. Johnson Η. Η. On the pseudo-group structure of
analytic functions on an algebra. Proceedings of the Amer. Math. Soc,
1961, N 2, 218—224.
322. Ka filer E. Uber eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik.
Abhandl. Math. Seminar Univ. Hamburg, Br. 9, 1933, 173—186.
323. Ketchum P. W, Analytic functions of hypercomplex
variables. Trans. Amer. Math. Soc, 1928, 30, 641—667.
260

324. Leh m a η η — L e j eu n e Ϊ. Integrabilite des G-structures
definies par tine 1-forme O-deformable a valours dans le fibie tangent.
Ann. Inst. Fourier, 1966 (1967), 16, N 2, 329—387.
325. Mayer O. Biaxiaie Differentialgeometrie der Kurven und
Regelflachen. Ann. sci. Univ. Jassy, 1941, 1 sec, 27, 327—410.
326. Μ о i s i 1 Gr. C, Τ h e о d о r e s с u N. Functions holomorphes
dans l'espace. Mathematica, 1931, 5, 142—159.
327. Μ ο i s i 1 Gr. Asupra unei generalisari a ideii de monogenei-
tate datorita liu V. S. Fedorov. Acad. rep. popul. Romane; Bui. stiin.,
1949, 1 N 10, 959—964.
328. Mo is il Gr. Despre functiile monogene in sensui lui
V. S. Fedorow. Acad. rep. popul. Romane, Bui. stiin., 1950, 11, N 7,
545—556.
329. Mop pert C. F. On the notion of analyticity. Proc. Amer.
Math. Soc, 1959, Vol. 10, 574—576.
330. Μ о r i m о t о A. Proloneation of connections to bundles of
infinitely near points. J. Different.^ Geom., 1976, 11, N 4, 479—498.
331. Newlender Α., Nirenberg L. Complex analytic coor-
dinats in almost complex manifolds. Ann. Math., 1957, 65, N 3,391—404.
332. N у j e η h u i s A. X/2_rforming sets of eigenvectors. In-
dagationes math.. 1951, 13, N 2, 200—212.
333. Pavlov E. V., Hopteriev Η. Τ. Manifolds with an
algebraic structure and CH-mappings. Доклады Болгарской Академии
наук, 1982, t. 35, Ν 2, 141—144.
334. Prvanovic'M. Holomorphically projective transformations
in a locally product space. Math, balkan., 1971, N 1, 195—213.
335. Ringleb F. Beitrace zur Functionentheorie ϊή hypercomp-
lexen Systemen. I. Rend. Circolo mat. Palermo, 1933, 57, 311—340.
336. Rosculet Marsel N. Functii monogene pe algebre co-
mutative. Bucuresti, Acad. RSR, 1975, 339 p.
337. Scheffers G. Verallgemeinerung der Grundlagen der
gewohnlichen komplexen Funktionen. Berichte Sachs, Acad. Wiss.r
1893, Bd. 45, 828-842.
338. S с h о u t e η J. A. J a n о К. On invariant subspaces in almost
complex Xn. Indagat. Math., 1955, 17,261—269.
339. Spampinato N. Sull^funzioni di una variabile in un
algebra complessa ad η unita dotata "di modulo. I, 11, 111. Rend.
Circolo mat. Palermo, 1933, 57, 235—272; 1935, 59, 185—227.
340. Study E. Geometrie der Dynamen. Leipzig, 1902.
341. Study E. Kurzeste Wege im komplexen Gebiete. Math.
Ann., 1905, 50, 321—377.
342. Study E., Car tan E. Nombres complexes. Encyclopedie
des sciences mathematiques pures et appliguees, v 1908, t. I, Vol. 1,
329-468.
343. Study E. Uber S. Lies Geometrie der Kreise und Kugeln.
Math. Ann., 1922, Bd. 86, 40—77.
344. Та с h i ban a S., Koto S. On almost-analitic functions,
tensors and invariant subspaces. Tohoku Math. J., 1962, 14, N 2,
177-186.
345. Wagner R. D. The generalized Laplace eguations in a
function theory for commutative algebras. Duke Math., J., 1948, 15,
455-461.
346. Ward J. A. A theory of analytic functions in linear asso·
ziative algebras. Duke Math. J., 1940, 7, 233—248.
261

347. Ward J. A. From generalized Cauchy-Riemann equations
to linear algebras. Proc. Amer. Math. Soc, 1953, 4, 456-461.
348. W e i 1 Andre. The'orie des points proches sur les varietes
differemfables. Coloq. internat. Centre nat. rech. sci. 52. Strasbourg,
1953, Paris, 111—117.
349. Υ a n о К. Differential geometry on complex and almost
complex spaces. N. J., 1965.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
Глава I. Алгебры над полем действительных чисел 7
Глава И. Биаксиальные и бипланарные пространства 26
Гкл а^в а III. Модули представлений алгебры 54
Глава IV. Голоморфные функции над алгебрами ... 85
Глава V. Дифференцируемые многообразия над
алгебрами 102
Глава VI. Унитарные пространства · . 120
Глава VII. Касательные структуры и их связь с алгеб- ,
рами 146
Гл'а^ва VIII. Аффинорные структуры как структуры,
определяемые алгебрами '. . . 169
Глава IX. Двумерные пространства над алгебрами . . . 208
Список примерных тем курсовых и дипломных работ по
геометрии пространств над алгебрами . . -. 241
Библиография 245

Владимир Владимирович Вишневский
Александр Петрович Широков
Вадим Васильевич Шурыгин
ПРОСТРАНСТВА НАД АЛГЕБРАМИ
Учебное пособие
Редактор Ю. И. Соловьев
Техн.^ редактор Ε. Φ, Гаврилова
Корректоры Л. С. Губанова, Р. М. Зарифуллина
•Обложка художника Ю. В. Пах ом о ва
ИБ №770
Сдано в набор 26.04.85. Подписано в печать 29.12.85. Формат 84 X 108V32·
Бумага типографская № 3. Гарнитура литературная. Печать высосая. Усл. печ.
л. 13,86. Усл. кр. отт. 14,1. Учетн.-изд. л. 13,8. Тираж 1650. Заказ A-3J2. Цена 45 к.
Издательство Казанского университета
420008. Казань, ул. Ленина, д.' 18
Полиграфический комбинат им. К. Якуба Государственного
комитета Татарской АССР по делам издательств, полиграфии
. и книжной торговли. 420084. Казань, ул. Баумана, д. 19.

В.В ВИШНЕВСКИЙ, А.П.ШИРОКОВ,
В В. ШУРЫГИН
НАД