УЧЕБНИК
С.Н.Волков
ЭКОНОМИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
Том 4

УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
С.Н.Волков
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО
ЭКОНОМИКО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
Том 4
Рекомендовано Министерством сельского хозяйства
Российской Федерации в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений по специальностям: 310900
«Землеустройство», 311000 «Земельный кадастр», 311100
«Городской кадастр»
Ф
МОСКВА «КОЛОС» 2001

УДК 332.3:330.46(075.8)
ББК 65.32-5я73
В67
Редакторы О. Н. Кагановская, В. И. Письменный
Рецензент ы: Л. Ф. Никулин, доктор экономических наук, профессор
(Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова); М. И. Корооочкин, доктор
технических наук, профессор
Волков С. Н.
В67 Землеустройство. Экономико-математические методы и
модели. Т. 4. — М.: Колос, 2001. — 696 с. (Учебники и
учебные пособия для студентов высш. учеб. заведений).
ISBN 5-10-003691-1 (т. 4).
5-10-003689-3.
Данный том подготовлен в соответствии с программой курса «Экономико-математические
методы и моделирование в землеустройстве». В полном объеме изложен теоретический материал по
аналитическому моделированию, производственным функциям, линейному программированию
(с конкретными примерами). Около половины объема книги посвящено математическим моделям,
реально используемым в практике землеустроительного проектирования.
Для студентов вузов землеустроительных специальностей.
УДК 332.3:330.46(075.8)
ББК 65.32-5я73
Учебное издание
Волков Сергей Николаевич
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВО
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ
Том 4
Учебник для вузов
Художественный редактор Т. И. Мельникова, Технические редакторы Н. А. Зубкова,
В. А. Маланичева, Т. Я. Белобородова. Компьютерная графика М. М. Иванов, С. В. Иванов.
Корректоры М. Ф. Казакова, Л. А. Котова, В. И. Маркина
Лицензия № 010159 от 06.03.97 г.
Сдано в набор 04.10.2000. Подписано* Л$Мат& 21.03.2001. Фермат 60x88'/i6- Бумага офсетная № 1.
Гарнитура Ньютон. Печать офсетная. Усл. печ. л. 42,63. Уч.-изд. л. 48,17. Изд. № 065. Тираж 3000 экз.
\ Заказ*№2624 «С» № Oil.
Федеральное государственное ордена Трудового Красного Знамени унитарное предприятие «Издательство
«Колос», 1079р6, qjCn-б» ЭДвсква, Б-78, ул.'Садовая-Спасская, 18
'Типография!)АО «Внешторгиздат»,
л12757б, Москва, Илимская,7.
ISBN 5-10-003691-1
ISBN 5-10-003691-1 (т. 4)
5—10—003689—3 © Волков с. н., 2001

ВВЕДЕНИЕ
В условиях крупномасштабных земельных преобразований
существенно возрастают объемы землеустроительных работ в
Российской Федерации, повышаются требования к обоснованию
проектных землеустроительных решений. Это требует как
большей производительности труда инженеров-землеустроителей,
так и улучшения качества землеустроительных работ.
Научные исследования и практика землеустройства показали,
что для принятия управленческих и
организационно-хозяйственных решений в области землепользования в настоящее время
целесообразно шире использовать математический аппарат, в том
числе экономико-математические методы, моделирование с
решением задач на компьютере.
Это требует глубокого изучения студентами, обучающимися
по специальности 310900 «Землеустройство», учебной
дисциплины «Экономико-математические методы и моделирование в
землеустройстве», получения теоретических знаний и
практических навыков решения конкретных задач (по образованию новых
и упорядочению существующих землевладений и
землепользовании, организации территории сельскохозяйственных
предприятий, осуществлению природоохранных мероприятий, внедрению
экономического механизма регулирования земельных
отношений).
Необходимость изучения данной дисциплины диктуется
также и тем, что в настоящее время все землеустроительные
проектные организации, стационарная служба и частные землемеры
оснащены современной компьютерной техникой, позволяющей
решать весьма сложные задачи. Землеустроительное
производство нуждается в инженерных кадрах, хорошо владеющих
методами экономико-математического моделирования.
Возможность применения методов математического
моделирования в землеустройстве обусловлена тем, что основные
решения проектов землеустройства имеют многовариантный
характер, а искомые величины проектных задач, как правило,
выражаются численно (площади, длины линий, координаты местополо-
3

жения, объемы смываемой почвы и др.); их можно связать
системой уравнений и неравенств и объединить определенной
целевой установкой.
Первое применение математики и техники вычислений
относится еще ко времени возникновения землеустройства
(землемерия, межевания), так как имелась необходимость измерять и
вычислять площади земельных участков, а в ряде случаев и
находить оптимальные размеры перераспределения земель. Уже тогда
появились математические формулы для расчета площадей
правильных фигур (квадратов, треугольников, трапеций), участков с
изломанными границами и землевладений неправильной формы.
А для получения максимальных или минимальных площадей
участков при заданных периметрах стали использовать с середины
XVIII в. классические методы дифференциального исчисления.
Поэтому математические исследования связывались тогда с
определением формул для расчета площадей, точностью
вычислений (ибо дело приходилось иметь с приближенными числами),
математической обработкой результатов геодезических
измерений, а также созданием различных технических средств,
способных ускорить и упростить не только процесс измерения, но и
вычисления площадей.
Экономико-математические методы и моделирование в
современном понимании этих понятий стали применяться в
землеустройстве с начала 60-х годов XX в. Их развитие шло
параллельно с совершенствованием теории и методов
инженерно-экономических расчетов и экономико-математических исследований в
аграрной экономике.
Развитие экономико-математических исследований в
землеустройстве можно разделить на три этапа.
На первом этапе, который длился с начала 60-х до конца 70-х
годов, были обоснованы необходимость и возможность
применения экономико-математических методов и моделей в
землеустройстве. В это время были сформулированы основные
экономико-математические задачи. В качестве базовых использовали
методы линейного программирования (транспортная задача,
решаемая с использованием метода потенциалов, а также
симплекс-метод). Начали применяться также приемы
динамического, параметрического, целочисленного и стохастического
программирования.
Для обоснования проектных землеустроительных решений,
а также для расчета технико-экономических коэффициентов
экономико-математических задач, планирования и
прогнозирования использования и охраны земель строились линейные,
параболические, гиперболические, степенные и другие виды
4

производственных функций. В это же время в практику
организации и планирования землеустроительных работ вошли методы
сетевого планирования и управления землеустроительным
процессом.
Кроме того, было обосновано применение классических
методов дифференциального исчисления при нахождении оптимальных
землеустроительных решений, а также итерационных способов
расчета местоположения объектов производственной и социальной
инфраструктуры села (метод последовательных приближений).
На первом этапе моделировались и решались в основном
задачи проектов внутрихозяйственного землеустройства.
Прогресс в применении экономико-математических
методов и моделей в землеустройстве в это время был связан с
развитием средств вычислительной техники. Первоначально
землеустроительные организации, обеспеченные арифмометрами,
решали экспериментальные единичные задачи
симплекс-методом с размером матрицы не более 10 х 10 и доводили
решение до реального плана путем различных корректировок. С
появлением разнообразных механических,
электромеханических, релейных и других настольных вычислительных машин
полуавтоматического или автоматического типа, а затем и
электронных цифровых вычислительных машин («Урал»,
«Минск», «Наири», «ЕС-ЭВМ») размеры матриц задач стали
увеличиваться — от 20 х 20 до 100 х 100 и более. Это уже
позволяло решать вполне реальные землеустроительные задачи на
уровне сельскохозяйственных предприятий и перейти к
освоению задач по организации рационального использования и
охране земель на уровне административных районов и областей
(краев, республик).
Создавались также экономике-математические задачи
блочного типа, решения которых включались в схемы
землеустройства районов, генеральные схемы использования и охраны
земель областей и республик, другие предпроектные и
предплановые землеустроительные документы, а также в проекты
межхозяйственного землеустройства.
Второй этап внедрения экономико-математических методов и
моделирования в землеустройстве относится к 80-м годам; он
связан с обоснованием и созданием автоматизированных систем
плановых расчетов (АСПР), систем автоматизированного
проектирования (САПР), разного рода автоматизированных рабочих
мест (АРМ) в землеустройстве.
В это время рутинные операции по заполнению огромных
матриц экономико-математических задач стали заменять
специально разработанными программными процедурами, позволяю-
5

щими с использованием персональных
электронно-вычислительных машин (ПЭВМ) находить необходимые коэффициенты,
в автоматизированном режиме строить матрицы и решать
оптимизационные задачи. Стали создавать информационные базы
данных, позволяющие расширить круг решаемых задач. Впервые
появилась возможность напрямую работать с ПЭВМ в
интерактивном, диалоговом режиме и за небольшие промежутки
времени просматривать огромный объем информации, принимая
наилучшие проектные решения.
На третьем этапе, который начался в 90-е годы, произошло
почти полное техническое перевооружение землеустроительной
службы страны, ее оснащение современной отечественной и
зарубежной вычислительной техникой, что позволило поставить
экономико-математические исследования в землеустройстве на
качественно новый уровень. Это было связано сразу с
несколькими причинами.
Во-первых, появилась возможность получать цифровые
модели рельефа местности на основании обработки космических и
аэрофотоснимков, а также топографо-геодезических данных,
полученных наземным путем с использованием электронных
измерительных приборов. Кроме того, стали широко использоваться
разнообразные средства преобразования графической
информации в цифровую (дигитайзеры, сканеры и др.).
Во-вторых, в это время получили быстрое развитие
географические информационные системы (ГИС), а в землеустройстве —
геоинформационные или земельно-информационные системы
(ЗИС).
В-третьих, произошло существенное обновление
электронно-вычислительной техники с внедрением в
землеустроительное производство специальных графических станций,
компьютерных сетей с серверами большой мощности, средств
цифровой картографии и фотограмметрии, систем
автоматизированного земельного кадастра и т.д. На этой базе возникли новые
ЗИС-технологии, которые начали применять для решения
конкретных землеустроительных задач и к которым стали
привязывать системы автоматизированного землеустроительного
проектирования.
На базе земельно-информационных систем и технологий
стали разрабатывать:
планы, карты, картограммы по агроэкологической
классификации земель, землеустроительному обследованию территории,
оценке потенциальной опасности эрозии и другие материалы,
используемые в качестве предпроектных проработок;
графические решения проектов землеустройства, учитываю-
6

щие оптимальное размещение линейных объектов организации
территории (дорог, лесополос, границ и т.д.);
технические проекты землеустройства с вычислением
площадей участков и составлением проектной экспликации;
оптимальные планы размещения посевов
сельскохозяйственных культур по участкам различного плодородия,
трансформации земельных угодий, схемы севооборотов, размещения на
территории хозяйств населенных пунктов, животноводческих ферм
и других производственных центров и т. д.
Уже первые результаты проведенных исследований показали
высокую эффективность ЗИС-технологий и однозначно указали
на то, что в будущем они станут основными при решении
землеустроительных задач с использованием
экономико-математических методов и моделирования. Это потребовало усилить
математическую подготовку студентов, внести существенные
изменения в курс «Экономико-математические методы и
моделирование в землеустройстве».
Преподавание экономико-математических методов
инженерам-землеустроителям началось в 1964 г., когда в Московском
институте инженеров землеустройства (ныне Государственном
университете по землеустройству) в курсе «Счетно-решающие
устройства и их применение» стали изучать вопросы, связанные
с решением инженерно-экономических задач методами
линейного программирования.
В начале 70-х годов на землеустроительных факультетах
сельскохозяйственных вузов был введен учебный курс
«Вычислительная техника и экономико-математические методы в
землеустройстве», а с 1974 г.— самостоятельная учебная дисциплина
«Экономико-математические методы в землеустройстве». В
1988 г. данный курс трансформировался в учебную дисциплину
«Экономико-математические методы и моделирование в
землеустройстве», которая в настоящее время преподается в 38 вузах
России, готовящих инженеров в области землеустройства и
кадастра.
Написанный под редакцией профессора С. Н. Волкова и
доцента Л. С. Твердовской в 1991 г. «Практикум по
экономико-математическим методам и моделированию в землеустройстве» (М.:
Колос, 1991) до настоящего времени фактически оставался
единственным базовым учебным пособием по данной дисциплине,
опубликованным в центральном издательстве. Кардинальные
изменения, происшедшие в землеустроительной науке и
производстве за последние годы, потребовали подготовки нового
учебника, который соответствовал бы современному уровню
требований.
7

Учебник написан в соответствии с программой курса
«Экономико-математические методы и моделирование в
землеустройстве», рекомендованной Учебно-методическим объединением
вузов России по образованию в области землеустройства и
кадастра и утвержденной в 1999 г.
Предметом изучения данной дисциплины согласно
классификации отраслей научных землеустроительных знаний являются
способы и приемы экономико-математического моделирования
в землеустройстве и соответствующие ему новые методы
(технологии) производства землеустроительных работ с
использованием ЭВМ.
Учебник подготовлен заслуженным деятелем науки РФ,
профессором, доктором экономических наук С. Н. Волковым.
Разделы III и V написаны совместно с профессором, доктором
технических наук А. Н. Безгиновым. Авторы выражают большую
благодарность заведующей лабораторией автоматизированного
землеустроительного проектирования доценту В. В. Бугаевской за
помощь в подготовке рукописи к изданию.

Раздел I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ
И МОДЕЛИРОВАНИИ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ
Глава 1
МОДЕЛИРОВАНИЕ И СОВРЕМЕННЫЕ
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
1.1. ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ
Термин «модель» происходит от латинского modulus —
образец, норма, мера. Модель является частным случаем аналогии —
важного метода научного познания. В любых отраслях знания
при объяснении сложных явлений или процессов исследователь
чаще всего ищет сходства с тем, что уже известно науке. Таким
образом, люди стремятся к объяснению неизвестного,
непонятного через известное и уже понятое.
Сходство или аналогию в жизни можно встретить
повсеместно. Например, макет (модель) здания воспроизводит его
архитектуру, топографо-геодезическая карта местности говорит о
характере ландшафта, модель корабля или самолета
свидетельствует об их внешнем виде, возможностях, пропорциях. Наиболее
известны три типа моделей: геометрические, физические,
математические.
Геометрические модели представляют некоторый объект,
геометрически подобный своему прототипу (оригиналу). Они дают
внешнее представление об оригинале и большей частью служат
для демонстрационных целей. К этому виду моделей можно
отнести репродукции или копии картин, написанных одинаковыми
красками по определенной технологии, других живописных
изделий (икон, фресок); слепки, выполненные в натуральную
величину из того же материала, что и оригинал, или из другого
материала (копии скульптуры); демонстрационные модели деталей
машины, муляжи плодов и др. Чаще, однако, модели
выполняются в другом масштабе (макет здания, модель корабля, топогра-
фо-геодезический макет местности, модель почвенного разреза).
При построении данного типа моделей основную роль играет
их геометрическое подобие объектам, а не процессам,
протекающим в них. Например, модель тела человека в гипсе или бронзе
ничего не говорит о физиологических процессах, протекающих в
его организме, топографо-геодезический макет местности — о
Q

кругообороте воды в природе, а модель почвенного разреза —о
физико-химических процессах, протекающих в данном типе
почв.
Физические модели отражают подобие между оригиналом и
моделью не только с точки зрения их формы и геометрических
пропорций, но и с точки зрения происходящих в них основных
физических процессов. По своей природе они могут быть
механическими, гидравлическими, электрическими.
При физическом моделировании модель и ее прототип всегда
являются объектами, имеющими одинаковую физическую
природу. Типичные примеры — определение аэродинамических
свойств летательных аппаратов путем «продувки» их моделей в
аэродинамической трубе, исследование предполагаемого
«поведения» гидротехнических сооружений (плотин, дамб, шлюзов и
т. д.) путем проведения испытаний аналогичных объектов
значительно меньших размеров, сконструированных специально для
этих целей, и т. д. В данном случае изменяются не только
геометрические размеры модели, но соответственно им и другие
физические свойства объекта. Например, при построении модели
плотины в 1/10 натуральной величины в 10 раз уменьшается и
давление на нее воды, что должно учитываться в дальнейшем
при строительстве.
Геометрические и физические модели относятся.кjoiaccyjge-
щественных (материальных) моделей. Они являются или
материальными копиями, или физически действующими устройствами
(например, модель трактора или ирригационной системы), точно
копируя объект или заметно отличаясь от него, сохраняя
общность лишь в принципах строения или функционирования.
Математические модели представляют собой абстрактные
описания объектов, явлений или процессов с помощью знаков
(символов), поэтому их называют также абстрактными или
знаковыми. Обычно они имеют вид некой совокупности уравнений
или неравенств, таблиц, графиков, формул и других средств
математического описания моделируемых объектов, явлений,
процессов.
Математические модели применяются, как правило, в тех
случаях, когда геометрическое или физическое моделирование
объекта затруднено или невозможно вообще. Они имеют особую
структуру, отражающую свойства объекта, проявляемые им в
конкретных условиях его функционирования. Такие модели
широко используются в астрономии, физике, механике,
структурной лингвистике.
В экономике и землеустройстве геометрические и физические
модели применяются крайне редко. Примером могут служить
экспериментальные системы ведения сельского хозяйства,
экспериментальные севообороты, системы расселения и организации
территории, освоение которых происходит в течение многих лет
10

и эффективность которых проявляется также через многие годы.
Как правило, в этих науках пользуются математическими
моделями.
Все модели обладают рядом общих свойств:
они подобны изучаемому объекту и отражают его наиболее
существенные стороны;
при исследовании модели способны замещать изучаемый
объект, явление или процесс;
они дают информацию не только о самом моделируемом
объекте, но и о его предполагаемом поведении при
изменяющихся условиях.
Таким образом, основное назначение модели — служить
средством познания оригинала. При этом нет необходимости, чтобы
модель отражала абсолютно все свойства изучаемого объекта
(которых может быть бесчисленное множество). Создавая модель,
исследователь должен заранее поставить конкретную цель,
определяющую ее характер. Для решения практических задач крайне
важно обеспечить такое подобие модели оригиналу, при котором
в наиболее существенных аспектах достигается цель
моделирования.
Под моделированием в узком смысле слова мы понимаем
построение'модели изучаемого объекта, явления или процесса.
Объект — это физическое (материальное) тело, вещь. Для его
изучения используются, как правило, геометрические модели
(хотя современные компьютерные технологии позволяют
создавать и цифровые математические модели материальных
объектов).
Явление — это внешние свойства и признаки предмета,
постигаемые через ощущение, восприятие, представление. Например,
цветок — это объект (предмет), а его свойства проявляются через
форму, цвет, запах. В парфюмерной промышленности
моделируются запахи, в текстильной — цветовая гамма и формы.
В явлениях обнаруживаются законы: так, упавшее яблоко
натолкнуло И. Ньютона на мысль о законе всемирного тяготения.
Особенно важно изучение с помощью моделей
экономических явлений. Например, цена (явление) отражает объективно
действующий экономический закон стоимости. Поэтому
моделирование цен может помочь сознательно использовать закон
стоимости в экономической политике государства.
Процесс — это ход, развитие явления, последовательная смена
состояний объекта. Если явление представляет статическое,
постоянное качество, то процесс всегда обладает динамическими
характеристиками. Например, цепная реакция — это процесс,
используемый в атомной энергетике. Моделирование роста и
развития растений в биологии — это моделирование процессов.
Термины «модель» и «моделирование» относятся к понятиям
кибернетики — науки, изучающей общие закономерности строе-
11

ния и функционирования сложных систем управления. Так как
любые процессы управления связаны с принятием решений на
основе получаемой информации, то кибернетику часто
определяют как науку об общих законах получения, хранения, передачи и
преобразования информации в сложных управляющих системах.
Само слово «кибернетика» происходит от греческого cybernetes,
что означает «рулевой», «кормчий»; в Древней Греции
кибернетикой называли науку о кораблевождении, навигацию. В 1834 г.,
составляя классификацию наук, известный французский ученый
A.M.Ампер назвал кибернетикой науку об управлении
общественными системами, но вскоре этот термин был забыт.
Появление кибернетики как самостоятельного научного
направления относят к 1948 г., когда американский ученый,
профессор математики Массачусетского технологического института
Норберт Винер (1894—1964) опубликовал книгу «Кибернетика,
или управление и связь в животном и машине». В этом труде
Винер обобщил закономерности, относящиеся к системам
управления различной природы — биологическим, техническим и
социальным. Вопросы управления в социальных системах были им
более подробно рассмотрены в книге «Кибернетика и общество»,
опубликованной в 1954 г.
В конце 60-х — начале 70-х годов Министерством высшего и
среднего специального образования СССР и Министерством
сельского хозяйства СССР была начата подготовка студентов по
специальности «Экономическая кибернетика», а в
сельскохозяйственных вузах — по специальности «Экономическая
кибернетика в сельском хозяйстве». В ряде сельскохозяйственных вузов
(ТСХА, Воронежский СХИ, Ленинградский СХИ,
Новосибирский СХИ, Одесский СХИ и др.) были открыты кафедры
экономической кибернетики.
Экономическая кибернетика использует наряду с понятиями
«модель» и «моделирование», ряд других: «система»,
«информация», «управление».
Системой называется относительно обособленная и
упорядоченная совокупность обладающих особой связностью и
целесообразно взаимодействующих элементов, способных реализовать
определенные функции. Более кратко система определяется как
упорядоченная совокупность элементов, рассматриваемых во
взаимодействии.
Информация — это совокупность сведений о состоянии
системы, ее подсистем и элементов, а также о происходящих в них
процессах.
Управление — это процесс целенаправленного воздействия на
управляемую систему на основе имеющейся информации с
целью обеспечить ее контролируемое поведение при
изменяющихся внешних условиях.
С точки зрения кибернетики объектами моделирования явля-
12

ются системы, а само моделирование предполагает, что имеются
две системы:
система-оригинал, которой мы управляем или должны
управлять;
модель системы, ее аналог, который позволяет раскрыть
свойства системы-оригинала, изучить закономерности ее поведения
и получить информацию для воздействия на систему-оригинал в
желаемом направлении.
Метод моделирования, сочетающий приемы эмпирического и
теоретического познания, эффективно используется в самых
различных областях науки. Благодаря ему удается зафиксировать и
упорядочить имеющуюся информацию об объектах, объяснить
некоторые их свойства и сложные зависимости, получить новую
информацию о еще неизвестных свойствах, о возможных
изменениях состояния объектов, проверить возникающие при этом
гипотезы и теоретические предположения. Еще древние
атомисты (Демокрит, Эпикур, Лукреций Кар) строили мысленные
модели атома, их движения и соединения между собой, стремясь
объяснить при помощи этих моделей физические свойства
вещей.
На протяжении столетий шла борьба между сторонниками
геоцентрической и гелиоцентрической моделей Вселенной.
Бурное развитие механики в XVII—XIX вв. породило представление
о том, что все явления действительности можно свести к
механическому движению и объяснить механическими моделями. В
конце XIX — начале XX в. в связи с возникновением теории
относительности и квантовой механики пришло понимание
ограниченности классической физики. На первый план выдвинулись
знаковые модели, представляющие собой описание явлений с
помощью математических символов. Уже в это время метод
моделирования широко входит в практику научного эксперимента.
В математике моделями пользовались с самого ее зарождения.
По мере развития математики, совершенствования ее методов и
средств круг объектов математического моделирования
постоянно расширялся. Термин «модель» вошел в математику в прошлом
столетии в связи с возникновением неевклидовых геометрий
Лобачевского, Бойяи, Римана.
Теория моделирования дает ответ и на вопрос о роли
проектирования (архитектурного, строительного, планировочного и
застроечного, землеустроительного" и др.). При проектировании
также используется принцип аналогии, но
специалиста-проектировщика интересует не форма, а функциональное назначение и
структура объекта. Так, например, само здание и его
архитектурный проект (чертеж) аналогичны по функциональному
назначению и структуре, хотя внешнего сходства форм здесь не
прослеживается.
Особенно отчетливо принцип аналогии проявляется при раз-
13

работке проекта землеустройства. Если здания можно
«построить» на дисплее компьютера, то это практически невозможно для
проекта землеустройства. Реальная организация территории на
местности может получить завершенную форму только через
много лет, когда будут проложены дороги, заложены сады и
лесополосы, построены здания и сооружения, мелиоративные
сети, введены и освоены севообороты и т.д. Поэтому проект
землеустройства представляет собой своеобразную модель
организации территории землевладения и землепользования на
перспективу; основным методом его разработки является метод
математического моделирования.
Резюмируя сказанное, мы можем определить математическое
моделирование как формализованное представление поведения
реальных систем в виде абстрактных аналогов, описанных
системами уравнений, неравенств и другими способами,
применяемыми в математике.
1.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ
В ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ
Любая математическая модель, описывающая тот или иной
объект, явление или процесс, подразумевает наличие
определенных числовых показателей, которые их характеризуют.
Например, основной характеристикой проекта землеустройства
является площадь участка (контура, угодья, строения, севооборота и
т. д.) или его длина (при оговоренной ширине). При
моделировании эти показатели или величины заранее заданы и являются
переменными (неизвестными), так как цель моделирования — это
поиск их наилучших значений.
Все переменные в модели обязательно связаны между собой
определенными ограничениями (уравнениями или
неравенствами). Задача состоит в том, чтобы найти наилучшие значения
параметров модели, а для этого нужно решить поставленную
задачу. Математические методы как раз и дают эту возможность: с их
помощью можно вычислить оптимальные значения переменных.
Тем самым решение математической задачи с применением
соответствующих методов становится одним из основных этапов
моделирования.
Как правило, все землеустроительные
экономико-математические задачи имеют многовариантный, альтернативный
характер, и основной вопрос заключается в том, как из множества
допустимых вариантов выбрать оптимальный по заданному
критерию. Математически это означает поиск максимума или
минимума той или иной функции, то есть решение задачи на экстремум.
При решении таких задач возникает два основных случая,
когда:
14

задача может быть решена классическими методами
дифференциального исчисления;
классические методы трудно применимы или вообще не могут
быть использованы.
Во втором случае применяют так называемые методы
математического программирования, которые находят широкое
применение при решении различных инженерно-экономических задач.
Термин «программирование» указывает на использование
алгоритма последовательных приближений — программа начинает с
произвольного допустимого плана и улучшает его, пока не будет
получено наилучшее решение.
Задача математического программирования формулируется
следующим образом.
Устанавливается перечень переменных хь х2, ..., хп, которые
могут принимать различные числовые значения. На эти
неизвестные налагаются определенные условия, образующие так
называемую систему ограничений. Ограничениями служат уравнения
или неравенства, построенные в соответствии с логическим
содержанием задачи. Как правило, они имеют линейный вид (то
есть переменные входят в них в первой степени):
апх{+а{2х2 + ...+ а{пхп=Ь[, }
arlx{+ar2x2+... + amxn=br,
ar+Ux\ + ar+\2x2+ - + ar+\.nxn ^br+h
ат\х\ + ат2х2 + ••• + атпхп ^bm> \
но в принципе могут содержать и нелинейные выражения,
которые в общем виде записываются так:
qfaX9 хъ ...,*„) <=>0; (1.2)
ху>0; /= 1,2, ....,т;у = 1,2,..., п. (1.3)
Таким образом, система ограничений может быть и
смешанной (включать линейные и нелинейные выражения).
Затем составляется некоторая функция из тех же искомых
величин (переменных), которая выражает принятый критерий
(доход, издержки, себестоимость и т. д.). Ее называют целевой
функцией или функционалом задачи. Чаще всего она бывает линейной:
Z =суХ\ + с2х2 + ... = c„x„->max(min), (1.4)
но может быть и нелинейной:
Z =Ахъхъ -, хн) -> max(min). (1.5)
15

Таким образом, требуется найти такой набор значений
переменных, который удовлетворяет системе ограничений и при
котором целевая функция принимает наибольшее или наименьшее
значение.
Если система ограничений и целевая функция линейны
относительно искомых величин xh х2, ...,хп, возникает задача
линейного программирования; если же имеется хотя бы одно
нелинейное выражение, мы имеем дело с нелинейным
программированием. Существуют методы для решения задач обоих типов.
Любая совокупность численных значений переменных
именуется планом задачи; план, удовлетворяющий системе
ограничений, называется допустимым. Допустимый план,
максимизирующий (или минимизирующий) целевую функцию, называется
оптимальным. Допустимых планов в задаче, как правило,
бесчисленное множество, и алгоритм решения сводится к выбору из
этого множества оптимального плана.
Система линейных или нелинейных ограничений, которой не
отвечает ни одна совокупность неотрицательных значений
переменных, называется несовместной; такая задача не имеет
решения. Несовместность системы можно обнаружить или путем
простого логического анализа, или с помощью специальных
математических приемов (например, теории определителей).
Совместной называется система, имеющая хотя бы одно допустимое
решение.
Из нелинейных условных экстремальных задач
математического программирования выделяются задачи выпуклого
программирования, где требуется определить максимум вогнутой
функции на выпуклом множестве. Доказано, что любой локальный
максимум вогнутой функции, заданной на выпуклом множестве,
является ее глобальным максимумом на том же множестве.
(Не всегда исходные параметры задачи выражаются
определенными числами, иногда это могут быть случайные величины; в
этом случае используют методы стохастического программирова-
ния. Задачи, в которых нет необходимости вычислять экстремум
lia нескольких этапах^ называются одноэт^ньшй^т^ищ^ки-
ми); многоэтапные Тадачи требуют дршленения-Жетодов,
динамического программирования.
В ряде случае^сходные параметры экстремальных задач мо-
гут ^^^ИШъсяГЖЗлрт^мвВЫХ пределах; тогда^ говорятъ~?шра-
~метрическом программированщиЛсли же параметры задач по
своему реальному смыслу могут принимать лишь ограниченное
число значений (например, только целочисленные значения), при-
\^^ют1методы дискретного программирования.
Помимо математического программирования в
экономических исследованиях широкое применение получили и другие
количественные методы — регрессионного, "дисперсионного анализа,
межотраслевого баланса и т. д. К комплексным инженерно-эко-
16

номическим задачам применимы методы сетевого планирования,
определяющие пути наилучшего перехода производственной
системы из одного состояния в другое. Теория стратегических
решений рассматривает методы выбора оптимальной стратегии в
условиях, когда неизвестные обстоятельства субъективного и
объективного характера могут противодействовать поставленной цели
и снижать эффективность проводимых мероприятий.
Систематическое использование различных разделов
математики (линейной алгебры, теории вероятностей, математической
статистики, математического программирования, балансовых
моделей, теории массового обслуживания, теории графов,
теории игр и т. п.) при решении сложных вопросов планирования,
проектирования, хозяйственной деятельности по сути привело к
разработке самостоятельной ветви прикладной математики
(получившей название операционных исследований). Это. стало
возможным в первую очередь благодаря широкому использованию
новых средств вычислительной техники и соответствующего
программного обеспечения.
1.3. ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РАЗВИТИЕ СРЕДСТВ
И МЕТОДОВ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Первая счетная машина, предназначенная для сложения и
вычитания, была сконструирована известным французским
физиком, математиком и философом Блезом Паскалем в 1642 г.
Позднее были изобретены вычислительные машины, способные
производить все четыре арифметических действия (сложение,
вычитание, умножение, деление). Особо следует отметить
изобретение в 1874 г.' инженером Петербургского монетного двора
В. Т. Однером специальной настольной (клавишной)
вычислительной машины, получившей название арифмометра. Он
работал на принципе особого колеса (колеса Однера) с переменным
числом зубцов.
Арифмометр был портативной вычислительной машиной и
отличался от других простотой изготовления и удобством в
работе. По сравнению с обычными карандашными' расчетами он
давал преимущество в скорости вычислений примерно в 8 раз и
более при большом количестве значащих цифр. Кроме того,
вероятность появления ошибок в процессе вычислений была
значительно меньшей, чем при ручном счете. Целых 100 лет,
практически до начала 70-х годов XX в., арифмометры, бухгалтерские
счеты и логарифмические линейки еще можно было встретить в
землеустроительных организациях России. Они вышли из
употребления только после появления в массовом масштабе
электронных калькуляторов
Оригинальную суммирующую вычислительную машину, на
17

которой можно было производить также умножение и деление,
изобрел в 1878 г. наш соотечественник, известный русский
математик П. Л. Чебышев. Модель этой машины демонстрировалась
в 1913 г. на Всемирной выставке в Париже.
Впоследствии, в первой половине XX в., принцип
конструкции арифмометра использовался при изготовлении другого вида
настольных клавишных вычислительных машин (КВМ), к
которым относились аппараты с ручным приводом (аналогичные
арифмометру), а также электромеханические, релейные и
электронные вычислительные машины полуавтоматического и
автоматического типов.
В нашей стране в 60-е годы отечественная промышленность
выпускала следующие клавишные вычислительные машины:
ВК-1 — клавишный арифмометр с ручным приводом; ВК-2М,
ВМП-2 — электромеханические полуавтоматические машины,
на которых деление выполнялось автоматически; ВК-3, ВМА-
2 — автоматические электромеханические машины; «Вятка» и
«Вильнюс» — релейные клавишные машины; «Лада», «Вега»,
«Искра» — электронные клавишные вычислительные машины,
бесшумно выполняющие все арифметические операции. Наряду
с ними в землеустроительных организациях использовались
производимые в ГДР машины «Зоемтрон», «Мерседес-Эвклид»,
«Целлатрон», а также «Элка» из Болгарии.
По сравнению с арифмометром полуавтоматические и
автоматические КВМ имели гораздо большую производительность,
были удобнее в работе, а электронные машины — бесшумны и
достаточно портативны. Так, электронная машина «Вега» в
автоматическом режиме выполняла все четыре арифметических
действия, извлечение квадратного корня, умножение на
постоянный множитель, нахождение сумм произведений с получением
каждого отдельного произведения.
В полуавтоматическом режиме можно было возводить числа в
любую степень и извлекать корни, производить деление на
постоянный делитель, получать алгебраические суммы частных,
переводить целые и дробные числа из десятичной системы в любую
другую, производить различные комбинированные вычисления.
Каждая арифметическая операция выполнялась не более 1 с,
извлечение квадратного корня с 17 верными знаками — примерно
7 с.
Для проведения большого объема однотипных вычислений
(например, при механизации учетных и статистических работ) с
начала 60-х годов в СССР стали широко использоваться счетно-
перфорационные машины. Они поставлялись в комплекте,
включающем 2—3 перфоратора, 2—3 контрольника, сортировщик,
табулятор и итоговый (позиционный) перфоратор.
Перфораторы использовались для набивки на перфокарты
информации об объектах, контрольники — для проверки пра-
18

вильности кодирования исходных данных. Сортировщик был
нужен для группировки перфокарт по тому или иному признаку.
Эта операция могла повторяться многократно, что позволяло с
одного массива перфокарт составлять сводки по разным
показателям.
Табулятор (основная машина комплекта) представлял собой
счетно-записывающий автомат, выполняющий арифметические
действия, распечатку исходных и суммовых показателей.
Наиболее эффективно табулятор выполнял сложение и
вычитание. На нем можно было сделать до 72 тыс. сложений в час (20
сложений в 1 с) при одновременной работе всех 8 его счетчиков,
что давало большой прирост производительности труда, но лишь
при значительных массивах информации. Поэтому
счетно-перфорационные вычислительные машины использовались в
землеустройстве в основном при механизации учета земель на уровне
районов (на районных машиносчетных станциях), областей и
страны в целом (в вычислительных центрах ЦСУ СССР и МСХ
СССР).
Таким образом, сущность перфорационного метода
заключалась в том, что исходная информация переносилась с первичных
учетных документов (например, бухгалтерских) на машинный
носитель. Исходные данные шифровались по определенным
правилам кодирования в десятичной системе и фиксировались
на перфокартах путем пробивки отверстий в нужной позиции.
Каждая цифра затем представлялась в виде механического или
электрического импульса, которые регистрировались и
подсчитывал ись табуляторами, что давало возможность подсчитывать
требуемые суммы.
Для размещения комплекта счетно-перфорационных машин
требовался специальный машинный зал, так как, например,
табулятор Т-5М имел размеры 2300 х 800 х 1300 мм и массу 900 кг, а
перфоратор П80-6 — 1160 х 685 х 840 мм и массу 77 кг.
При использовании комплекта счетно-перфорационных
машин производительность труда повышалась по сравнению с
настольными клавишными машинами в 3—6 раз, в зависимости от
сложности решаемой задачи и наличия всех специальных
машин, входящих в комплект.
Все вычислительные машины по принципу их действия
можно разделить на три класса: аналоговые, цифровые и смешанного
типа.
Аналоговые машины, которые называют также
моделирующими, оперируют с данными, выраженными физическими
величинами: напряжением тока, температурой, длиной отрезков и др.
Главный их недостаток — ограниченная точность расчета (от 2 до
4 значащих цифр). Цифровые вычислительные машины в
принципе имеют неограниченную точность, зависящую от их
конструктивных особенностей или заданных пользователем парамет-
19

ров. Машины смешанного типа сочетают преимущества обоих
классов вычислительной техники, оперируя физическими
величинами, приведенными к цифровому виду.
Однако главным событием в технике вычислений стало
появление электронных цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ); оно
привело к настоящей революции в информационных технологиях.
Первая ЭЦВМ, действующая на вакуумных лампах, была
создана в 1946 г. в США. Она была предназначена для расчета
траектории полета снарядов. Машина имела около 18 тыс. ламп и
массу примерно 30 т; для ее размещения потребовалось
помещение очень больших размеров. Вскоре, однако, появились
полупроводниковые машины, более надежные и потребляющие
меньше электроэнергии. Вычислительная техника, собранная на
полупроводниках (диодах, триодах), могла пропускать импульсы
с частотой до 100 млн в 1 с, чем и объяснялось ее
исключительное быстродействие.
В 60—70-е годы в СССР выпускалось большое количество
ЭЦВМ — «Стрела», «Эра», «Урал», «Минск», «БЭСМ», «Раздан»,
«Наири». Они занимали машинный зал площадью от 10 до
200 м2, имели массу от 2 до 6 т и разное быстродействие.
Например, машина «Минск-22» имела быстродействие
5 тыс. операций в 1с, БЭСМ-2 — 10 тыс., а БЭСМ-6 —уже в
100 раз быстрее, то есть около 1 млн операций в 1 с.
Появившиеся несколько позже ЭЦВМ типа «Мир», «Проминь-2», «Наири-
3», ЕС-1020, ЕС-1030 вписывались уже в размер небольшой
комнаты и имели достаточно хорошие технические характеристики.
Появление быстродействующих машин привело к
значительному повышению производительности труда при решении
землеустроительных задач. Например, если при решении системы из
100 уравнений на клавишной настольной вычислительной
машине требовалось около 5 техникомесяцев вычислений, то на
ЭЦВМ «Минск-22» данная задача с полным контролем решалась
всего за 5 мин (без учета времени на подготовку и ввод
информации). Кроме того, появилась возможность моделировать на
ЭЦВМ различные сложные экономические процессы и довольно
быстро получать наилучшие решения, внедряемые в практику
использования и охраны земель.
Следующий виток в развитии вычислительной техники был
связан с достижениями научно-технического прогресса и
новыми технологиями, обеспечившими появление персональных
компьютеров (персональных электронных вычислительных машин,
ПЭВМ), сконструированных с использованием
микроэлектроники на интегральных схемах.
Появление в 1981 г. компьютера IBM PC привело к
необычайно быстрому росту рынка 16-разрядных компьютеров,
использующих операционную систему MS DOS фирмы Microsoft
различных версий.
20

С августа 1983 г. ведущими моделями стали компьютеры IBM
PC XT, а уже через год — IBM PC AT. Первая была реализована
на микропроцессоре Intel 8086 с оперативной памятью до 640 Кб,
имела 2 гибких диска по 360 Кб и винчестер емкостью 10 Мб.
Данная машина помещалась уже на обычном письменном столе.
IBM PC AT имела микропроцессор Intel 80286 с объемом
оперативной памяти до 3 Мб, гибкий диск емкостью 1,2 Мб и
винчестер емкостью 20 Мб.
Внешние накопители для дискет у всех моделей вскоре
перешли на стандарт 3,5 дюйма, а с освоением 32-разрядного
микропроцессора Intel 80386 с тактовой частотой 16 МГц начался
переход к новому поколению персональных компьютеров.
Технические возможности 32-разрядных микропроцессоров были во
много раз выше, чем у 8086 и 80286 моделей. Быстродействие
увеличилось в несколько раз. Максимальная емкость системной
памяти для Intel 80286 составляла 16 Мб, а у Intel 80386 — 4 Гб.
Предусматривалась возможность дополнительного
использования виртуальной памяти емкостью 64 Гб.
Лидерами компьютерного рынка в 80-е годы стали фирмы
IBM, Compaq, Zenith, Himbus, Unisys, Datapoint и др.
Отечественная промышленность с середины 80-х годов также перешла
на выпуск 16-разрядных ПЭВМ, совместимых с моделями IBM
PC (EC-1840, ЕС-1841, «Искра-1030», «Электроника МС 0585»).
Сравнение всех типов отечественных ПЭВМ с зарубежными
моделями было явно в пользу последних. Например, модель ЕС-1841
характеризовалась оперативной памятью 512—1536 Кб, наличием
двух гибких дисков по 320 Кб и винчестером 10—20 Мб, что было
значительно ниже, чем у машин с процессором Intel 80386.
Поэтому начиная с 1991 г. землеустроительная служба России начала
оснащаться зарубежной компьютерной техникой, которая неуклонно
совершенствовалась. За период с 1990 по 1999 г. сменилось уже
несколько типов процессоров (386, 486, Pentium, Pentium II, III),
которые становились все более мощными, надежными и дешевыми.
Персональные компьютеры имели ряд принципиальных
преимуществ, обеспечивающих им успех на рынке вычислительной
техники. Это в первую очередь открытая архитектура и высокая
модульность узлов. На основной плате ПЭВМ располагаются
разъемы, позволяющие подсоединять к центральной шине
дополнительные платы, на которых могут располагаться
дополнительная память, контроллеры дисководов, интерфейсы, адаптеры
монитора, модемы, винчестеры, дополнительные процессоры,
аудио- и видеокарты и др. Благодаря этому у пользователей
появилась возможность в течение длительного времени
поддерживать компьютеры на уровне современных требований, заменяя
имеющиеся платы на более эффективные.
В комплект периферийных устройств ПЭВМ, которыми стали
оснащаться землеустроительные организации, входят дисплеи с
21

размером экрана от 15 до 21 дюйма, принтеры, плоттеры,
дигитайзеры, сканеры и другие устройства, позволяющие
обрабатывать графическую и цифровую информацию. Использование
персональных компьютеров в сетях различного назначения с
локальными или базовыми серверами, сетях Internet и др., по сути
дела, сделало их не только мощнейшими вычислительными
устройствами, но и крайне удобными средствами коммуникации.
Развитие средств вычислительной техники было неразрывно
связано со стремительным прогрессом в области программного
обеспечения. Программы для ПК делятся на несколько классов:
системное программное обеспечение, включая операционную
систему (ОС), а также различного рода утилиты, расширяющие
возможности ОС;
стандартные программные средства общего назначения —
системы управления базами данных (СУБД), текстовые и
графические редакторы, коммуникационные программы, электронные
таблицы и др.;
прикладные программы для науки и бизнеса, используемые
в различных отраслях, реализующие алгоритмы
математических и статистических методов, дающие возможность работать
с геоинформационными и земельно-информационными
системами;
специальное прикладное программное обеспечение в виде
пакетов прикладных программ, используемых в конкретных
отраслях (например, при производстве землеустроительных работ и
решении конкретных землеустроительных задач);
системы программирования, предоставляющие пользователям
удобные средства для разработки программ.
Остановимся несколько подробнее на конкретных
программных средствах указанных видов, которые, по нашему
мнению, целесообразно включить в арсенал современного землеус^
троителя.
Минимальный необходимый набор средств системного
программного обеспечения должен включать операционную систему
MS Windows 98 и одну из оболочек, например последние версии
Norton Commander или FAR. В рамках этих систем желательно
как можно полнее овладеть средствами управления файловой
системой компьютера, навигации в рамках операционной среды,
управления параметрами рабочей среды и средствами работы в
Интернете.
Минимальный набор стандартных программных средств обще-
го назначения может быть представлен средствами MS Office в
версии, совместимой с операционной системой Windows 98.
Здесь прежде всего следует отметить текстовый редактор MS
Word. Необходимо овладеть основными средствами
форматирования текста, очень развитыми в последних версиях редактора
возможностями создания сложных таблиц, встроенным редакто-
22

ром математических формул. Желательно свободное владение
технологией внедрения и связывания объектов, поддерживаемой
во всех компонентах MS Office. Это позволит разрабатывать
сложные документы, включающие тексты, графику,
электронные таблицы и др.
Другим очень полезным средством является табличный
процессор MS Excel. Большие возможности этого редактора по
проведению расчетов и созданию диаграмм помогут резко сократить
затраты времени на выполнение рутинных этапов
землеустроительного проектирования и при этом повысят надежность
проведения вычислений.
Желательно овладеть также средствами работы с графикой. За
основу может быть принят, например, графический редактор
Micrografx Windows Draw, входящий в последние версии MS
Office. При желании овладеть более сложными приемами можно
воспользоваться компактной, но весьма мощной программой для
работы с векторной графикой Corel XARA 2.0.
Системы управления базами данных в MS Office
представлены СУБД Access. Этой системы достаточно для построения и
поддержания настольных и локальных реляционных баз данных
с файл-серверной архитектурой. В качестве альтернативы может
рассматриваться давно разработанная и хорошо себя
зарекомендовавшая СУБД Paradox. Эффективное освоение более мощных
СУБД, например на основе серверов InterBase или Oracle, уже
предполагает наличие профессиональных знаний в области
программирования (в частности, в области современных технологий
обмена данными).
Среди прикладных программных средств общего назначения
выделим две бурно развивающиеся в последние годы системы —
Mathcad и MatLab, а также ряд специализированных пакетов,
предназначенных для статистической обработки данных на
компьютере.
Одна из последних, существенно расширенных версий 8PRO
универсального математического пакета Mathcad обеспечивает
очень большие возможности по проведению вычислений в
научно-технической сфере. Система обладает удобным интерфейсом,
оснащенным легко усваиваемым языком программирования,
который фактически строится на привычной математической
символике. Предусмотрены практически все виды математических
расчетов, необходимые в землеустроительном проектировании, в
том числе решение систем уравнений (линейных и нелинейных),
статистическая обработка данных (включая регрессионный
анализ), поиск экстремумов функций и т. д. Важное достоинство
пакета — развитые средства графической визуализации данных.
Многофункциональная интегрированная система
автоматизации математических расчетов MatLab (версии от 5.0 и выше
ориентированы на работу под Windows) является, по-видимому, од-
23

ной из самых мощных и быстродействующих программ такого
рода. Ее отличительная особенность — повышенные
возможности для работы с многомерными массивами данных. Освоение
этой системы требует более высокой профессиональной
подготовки пользователя, чем, например, Mathcad, в том числе и в
части программирования, однако и ее возможности очень
велики.
Среди многочисленных статистических пакетов отметим
программы общего назначения STATGRAPHICS, STADIA,
STATISTICA, обеспечивающие выполнение большинства видов
статистических расчетов: проверку статистических гипотез,
линейный регрессионный анализ, корреляционный анализ, анализ
многомерных данных и др. Для проведения некоторых
специфических расчетов (например, анализа временных рядов) лучше
использовать специализированные пакеты (SPSS, ЭВРИСТА). Все
современные статистические программы обладают
дружественным интерфейсом, как правило, совместимым с интерфейсом
Windows, и поэтому могут быть достаточно быстро освоены
пользователем со средним уровнем подготовки при наличии у
него необходимых знаний в области математической статистики.
Реальные возможности средств специального прикладного
программного обеспечения в основном определяются конкретными
прикладными задачами, для решения которых они
предназначены. Разработка таких программ ведется практически в каждой
научно-исследовательской организации, связанной с
землеустройством, но в силу отсутствия адекватных возможностей, да и
традиций обмена программными продуктами (отчасти это
обусловлено чрезмерно узкой специализацией) достаточно полный
обзор указанных средств практически невозможен. Отметим
лишь некоторые программные пакеты, разработанные в
лаборатории автоматизированного проектирования Государственного
университета по землеустройству. Среди них имеются средства
для:
решения общих задач линейного программирования
симплекс-методом;
решения задач транспортного типа;
проведения корреляционно-регрессионного анализа и
построения производственных функций;
определения оптимальных размеров землевладений и
землепользовании сельскохозяйственных предприятий различных
производственных типов;
агроэкономического обоснования проектов
внутрихозяйственного землеустройства;
землеустроительного обслуживания сельскохозяйственных
предприятий и др.
Первые три пакета из числа названных позволяют решать
задачи, рассматриваемые и в математических пакетах общего на-
24

значения. Их спецификой является ориентация, во-первых, на
учебный процесс (поэтому был разработан специальный
интерфейс, облегчающий освоение программы студентами), а
во-вторых, на обеспечение пользователей (не только преподавателей и
студентов) полной информацией о результатах решения
соответствующей задачи, необходимых для ее всестороннего, в том
числе экономического, анализа. Это весьма удобно не только в
рамках учебного процесса, но и при решении практических задач
землеустроительного проектирования. В основе
алгоритмических модулей названных пакетов лежат современные методы
решения математических задач; более подробно их возможности
иллюстрируются ниже в соответствующих главах.
Землеустроитель, занимающийся в настоящее время
применением методов математического моделирования в своей области,
должен быть хорошо знаком с системным программным
обеспечением и стандартными программными средствами общего
назначения, а также уметь пользоваться прикладными
программами общего и специального назначения. Только владея всеми
этими средствами, используя возможности современной
компьютерной техники, можно быстро получать наилучшие решения по
организации рационального использования и охране земель.
1.4. НЕОБХОДИМОСТЬ И ВОЗМОЖНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ
Проект землеустройства для любого предприятия,
организации или учреждения, использующего землю, имеет очень
большое значение.
Так, например, в проектах межхозяйственного
землеустройства определяются площади земель, выделяемых предприятиям
и гражданам, устанавливаются границы их землевладений и
землепользовании, состав земельных угодий, целевое назначение,
обременения и ограничения в использовании земель. На
основании этих проектов осуществляются отводы земель
землевладельцам и землепользователям на местности (в натуре), выдаются
документы, устанавливающие права земельной собственности,
аренды, долгосрочного или краткосрочного землепользования,
без которых нельзя начинать вести хозяйство или проводить
операции с землей (куплю, продажу, дарение, наследование и др.).
В проектах внутрихозяйственного землеустройства
организуется территория сельскохозяйственных предприятий в увязке с
требованиями экономики, организацией производства, труда и
управления. В них устанавливаются порядок использования
земли, состав земельных угодий (площади пашни, многолетних
насаждений, кормовых угодий, лесных полос и др.), типы, виды,
размеры, количество и размещение севооборотов, сенокосо- и
25

пастбищеоборотов, определяются перечень и размеры отдельных
хозяйственных отраслей, намечаются объемы производства
продукции и перспективы развития хозяйства.
Рабочие проекты на осуществление землеустроительных
мероприятий (улучшение кормовых угодий, освоение и
рекультивацию земель, закладку садов и виноградников, строительство
дорог, прудов и т.д.) определяют хозяйственное использование
каждого конкретного участка земли, направления эффективного
инвестирования средств в данные мероприятия.
Таким образом, проекты землеустройства определяют
использование земли и хозяйственную деятельность любого
предприятия на годы вперед. От того, насколько правильно и качественно
они составлены, зависит экономическая, экологическая и
социальная эффективность хозяйствования на земле.
С формальной точки зрения землеустроительный проект
представляет собой совокупность документов (расчетов,
чертежей и др.) по созданию новых форм организации территории
(устройства земли), их экологическому, экономическому,
техническому и юридическому обоснованию, обеспечивающих
рациональное использование и охрану земель.
В состав землеустроительного проекта входит графическая и
текстовая документация.
Графическая документация включает проектный план, рабочие
чертежи по перенесению проекта в натуру, карты (почвенные,
геоботанические, земельно-оценочные, агроэкологические и
др.), схемы, графики, рисунки, диаграммы, учитывающие
фактическое состояние территории объекта и используемые при
проектировании.
Текстовая документация состоит из задания на
проектирование, расчетно-пояснительной записки, материалов
технико-экономического (агроэкономического) обоснования проекта,
ведомости площадей угодий (проектной экспликации), сметно-фи-
нансовых расчетов и т. д.
Графическая и текстовая документация проекта опирается на
числовые данные. Например, границы хозяйства — это линии,
связывающие точки с определенными координатами.
Подготовка проектной экспликации предполагает вычисление площадей
различных угодий, расчет структуры посевных площадей и
севооборотов, определение количества и численности населения
населенных пунктов, размещение производственных центров,
животноводческих ферм и т. д. Все эти данные носят числовой
характер, и ими можно оперировать, используя законы, правила и
методы математики.
Чтобы землеустроительный проект лучше отвечал своему
назначению и определял наиболее эффективные пути
использования земли, при его составлении должен быть учтен целый ряд
факторов, действующих иногда в противоположных направлени-
26

ях. Например, с точки зрения эффективного использования
сельскохозяйственной техники поля севооборотов должны иметь
как можно больший размер и длину гона. Напротив, с точки
зрения пригодности почв для возделывания конкретных
сельскохозяйственных культур эти поля должны быть небольшими из-за
обычно наблюдаемого мозаичного размещения почв.
При малом числе такого рода ограничений рациональное
проектное решение найти довольно легко, так как проектировщику
приходится рассматривать немного вариантов. Но с введением в
задачу каждого нового условия поиск наиболее эффективного
решения все более осложняется, а учет всех необходимых
взаимосвязей становится весьма затруднительным.
Кроме того, главная трудность заключается не в том, чтобы
найти какое-то допустимое проектное решение. Несмотря на то
что каждое дополнительное условие или ограничение почти
всегда сужает область определения задачи, количество допустимых
решений или вариантов проекта по-прежнему остается
бесконечно большим. Задача проектировщика заключается в том,
чтобы выбрать из всех возможных самое рациональное (самое
выгодное по тому или иному критерию) решение, что и позволяют
сделать математические методы.
При традиционных методах проектирования землеустроители в
основном опираются на накопленный опыт и знания; в лучшем
случае составляются два-три варианта проекта, из которых по
системе показателей выбирают лучший. Но этот вариант является
наиболее предпочтительным только из двух-трех составленных, а не из
всего множества возможных решений. Нет никакой гарантии, что
полученный таким путем проект действительно оптимален.
Для решения этой проблемы предлагались (и практически
использовались) различные методы.
Во-первых, делались попытки увеличить количество
анализируемых (перебираемых) вариантов с тем, чтобы свести к
минимуму возможную потерю лучшего из них. Появился так
называемый диалоговый (интерактивный) режим работы с ЭВМ, когда
землеустроитель-проектировщик, варьируя различными
параметрами задачи, мог ставить перед машиной вопрос «что будет,
если..?». На этой основе по определенной системе показателей
или по одному интегрированному показателю выбирался лучший
вариант. Таким образом осуществлялась компьютерная
имитация реальной проектной ситуации и осуществлялся выбор
наиболее подходящего решения.
Во-вторых, для решения проектных задач стали использовать
математические методы, которые позволяли из бесчисленного
множества допустимых решений безошибочно выбрать
наилучшее (методы математического программирования, или
экономико-математические методы; задача решалась на получение
максимума или минимума какого-то экономического результата).
27

Оба подхода, как правило, использовались при агроэкономи-
ческом обосновании проектов землеустройства. Однако с
развитием средств вычислительной техники, созданием мощных
микрокомпьютеров, графических станций, средств преобразования
графической информации в цифровую и цифровой в
графическую (дигитайзеров, плоттеров, лазерных принтеров, сканеров и
др.) появилась возможность применять математические методы и
при решении графических землеустроительных задач, таких,
например, как:
составление технического проекта землеустройства
(вычисление площадей хозяйственных участков и получение проектной
экспликации земель сельскохозяйственного предприятия);
проектирование хозяйственных участков (полей
севооборотов, гуртовых и отарных участков, загонов очередного
стравливания, кварталов и клеток на многолетних насаждениях, сенокосо-
оборотных участков и др.) заданных размеров;
оптимальное размещение линейных элементов организации
территории (границ, дорог, скотопрогонов, лесополос и т.д.);
составление чертежей землеустроительного обследования
территории, картограмм агроэкологической классификации земель,
оценки потенциальной опасности проявления водной эрозии и
дефляции, загрязненности территории тяжелыми металлами и
радионуклидами и других графических документов, необходимых
в проектах землеустройства.
Применению математических методов для решения
указанных задач способствовало также появление новых технических
средств цифровой картографии и фотограмметрии, специальных
программных продуктов и геоинформационных систем типа
Mapinfo, Arcinfo, Kredo, Microstation и др., автоматизированных
земельно-кадастровых систем.
Возможность применения экономико-математических
методов обусловлена прежде всего экономическим характером
землеустроительных задач, а также следующими обстоятельствами:
альтернативным характером землеустроительных решений, то
есть наличием множества вариантов развития землевладений и
землепользовании и привязанного к ним сельскохозяйственного
производства;
возможностью выразить искомые величины (переменные
задачи — площади участков, длину линий, поголовье скота и т. д.) в
числовой форме;
наличием системы определенных условий и ограничений.
Так, например, сумма площадей земельных угодий должна
равняться общей площади землевладения (землепользования);
размеры отдельных отраслей, особенно трудоемких, должны быть
такими, чтобы в любой период времени было достаточно
трудовых ресурсов и техники; производство кормов должно быть
сбалансировано и т. д. Эти условия легко формулируются математи-
28

чески и связаны с переменными задачи. Каждое условие будет
тогда представлено некоторым уравнением или неравенством, а
их совокупность образует систему ограничений задачи.
Поскольку при землеустройстве сельскохозяйственных
предприятий вопросы организации территории рассматриваются во
взаимосвязи с организацией производства и его размещением,
землеустроительные проектные задачи всегда имеют
экстремальный характер, то есть должны решаться на максимум или
минимум какого-то показателя (например, получение максимальной
прибыли от ведения хозяйства при ограниченных земельных,
трудовых и денежно-материальных ресурсах или на минимум
площади землевладения при заданных объемах производства
сельскохозяйственной продукции).
Необходимость применения математических методов в
землеустройстве связана также с тем, что в 90-е годы объемы проектно-
изыскательских работ существенно возросли, а численность
работников землеустроительных проектных организаций
уменьшилась. Так, если в 1988 г. общая стоимость проектно-изыскательс-
ких работ по землеустройству в России составляла 84 млн руб.
(56 млн долл.), то в 1993—1996 гг. она достигла 140 629 млн руб.
(70,3 млн долл.). Вместе с тем если в 1988 г. среднесписочная
численность работников объединения РосНИИЗемпроект
составляла 11,6тыс. человек, в 1991 г. — 9,5тыс., то в 1998г. —уже
около 9 тыс. человек. Остро встал вопрос повышения
производительности труда землеустроителей-проектировщиков, что
возможно лишь на основе применения новейших ЭВМ,
математических методов и современных программных средств. Опыт
проведения землеустроительных расчетов в автоматизированном
режиме в Государственном университете по землеустройству
показывает, что производительность труда при этом повышается
в 2—10 раз и более.
Кроме того, применение строгих математических расчетов (и
прежде всего экономико-математических методов) позволяет
получать действительно оптимальные, то есть наилучшие с точки
зрения выбранной целевой установки, проектные решения.
Появляется возможность, с одной стороны, избежать ошибок при
проектировании, с другой — поднять землеустроительные
решения на качественно более высокую ступень, то есть существенно
повысить экономическую, экологическую и социальную
эффективность проектов землеустройства.
Отечественный и зарубежный опыт подтверждает высокую
экономическую эффективность применения математических
методов в организации и планировании сельскохозяйственного
производства и в землеустройстве. Так, например,
основоположник линейного программирования Л. В. Канторович писал, что
при комплексной оптимизации сельскохозяйственного
производства, когда будут решаться одновременно и совместно вопро-
29

сы рационального сочетания отраслей, использования
сельскохозяйственных площадей, кормов, организации
сельскохозяйственных работ и т.д., вполне реально ожидать увеличения
конечной продукции на 30% при тех же средствах и затратах1.
Такого же мнения придерживались и другие математики-
экономисты — М. Е. Браславец, Р. Г. Кравченко, А. М. Гатаулин,
Б. И. Искаков2.
Профессор МИИЗ Е. Г. Ларченко, фактически положивший
начало применению математических методов в
землеустройстве, считал, что математические методы дают возможность
практически без каких-либо затрат находить резервы экономии
ресурсов, а обеспечение рационального использования земель
позволяет увеличить производство различных видов продукции
при минимальных затратах. Еще в 1973 г. он писал: «Есть
основания утверждать, что дальнейшее развитие
землеустроительной науки неразрывно связано с применением
экономико-математических методов, позволяющих отыскивать оптимальные
решения»3.
По данным И. Ф. Полунина, в результате применения
математических методов при внутрихозяйственном землеустройстве
улучшается организация территории и производства, за счет чего
эффективность использования ресурсов повышается в среднем
на 10 %4.
Исследования ученых-землеустроителей В. Р. Аасмяэ,
М.В. Андриишина, Ф. И. Вирма, В. Д. Кирюхина, М.Д. Спекто-
ра, Л. С. Твердовской, Г. И. Харламова и др. по применению
математических методов в землеустройстве дают основание
утверждать, что оптимальные решения способствуют
рациональному и эффективному использованию земель, созданию условий
для высокопроизводительного применения техники, повышению
плодородия почв, прекращению эрозии. По нашим данным,
применение экономико-математических методов в
землеустройстве в зависимости от вида решаемых задач обеспечивает
повышение эффективности использования земельных ресурсов, что
способствует увеличению выхода продукции с единицы площади
•Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использования
ресурсов. - М.: Изд-во АН СССР, 1960.
2Браславец М. Е., Кравченко Р. Г. Математическое моделирование
экономических процессов в сельском хозяйстве. — М: Колос, 1972.
Гатаулин А. М., Харитонова Л. А., Нефедова Э. С.
Математика для сельского экономиста. —М.: Россельхозиздат, 1975.
Искаков Б. И. Проблемы оптимального функционирования сельского
хозяйства. - М.: МИНХ, 1979.
3Ларченко Е. Г. Вычислительная техника и экономико-математические
методы в землеустройстве. — М.: Недра, 1973. — с. 191.
4Полунин И. Ф. Математическое программирование в землеустройстве. —
Минск: Вышэйшая школа, 1972.
30

в среднем на 15—30% при полном соблюдении экологических
требований1.
Обобщая результаты проведенных исследований по данной
теме, можно сделать следующие выводы.
1. Математические методы позволяют находить наиболее
целесообразные решения по перераспределению, использованию и
охране земельных ресурсов на любом уровне — от отдельных
сельскохозяйственных предприятий до народного хозяйства в
целом.
2. Оптимальные планы использования производственных
ресурсов, связанных с землей, способствуют достижению заданных
объемов производства при минимальных затратах труда и
средств. В результате этого повышается производительность
труда, ускоряются темпы воспроизводства в хозяйствах.
3. Результаты, полученные математическими методами,
позволяют создать наилучшие организационно-территориальные
условия, способствующие повышению урожайности
сельскохозяйственных культур, улучшению плодородия почв,
прекращению и предотвращению процессов эрозии,
высокопроизводительному использованию техники.
4. Благодаря математическим методам и ЭВМ улучшаются
качество подготовки исходной информации и ее использование.
Землеустроительная наука получает возможность стать точной не
только качественно (как это было ранее), но и количественно,
поднимаясь тем самым на более высокую ступень.
5. Применение математических методов способствует не только
улучшению экономических показателей, но и экологических,
социальных и технических характеристик проекта землеустройства.
6. Математические методы позволяют с большой точностью
проверять и оценивать реальную значимость разных
теоретических моделей и концепций развития землевладения и
землепользования на перспективу, сопоставляя их практическую ценность.
Здесь количественный анализ выступает как орудие оценки тех
или иных методов экономических расчетов в научных
исследованиях, а математическое моделирование заменяет этап
длительной экспериментальной проверки.
7. Математические методы, по сути, являются связующим
звеном между землеустройством и другими науками, изучающими
сельское хозяйство как с природоохранной и технологической,
так и с экономической и социальной точек зрения.
8. Внедрение математических методов и вычислительной
техники позволяет перестроить всю систему землеустроительного
'Практикум по экономико-математическим методам и моделированию в
землеустройстве. Под ред. С. Н. Волкова, Л. С. Твердовской. — М.: Агропромиздат,
1991.
31

проектирования, организации и планирования
землеустроительных работ, освободить значительное количество
квалифицированных работников от малопродуктивного труда и с большей пользой
использовать их для решения практических задач организации
рационального использования и охраны земель в России.
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое модель?
2. Какие типы моделей существуют?
3. Перечислите основные свойства моделей.
4. Дайте определения понятий «система», управление», «информация».
5. Что такое моделирование в широком и узком смысле слова?
6. Что является объектом и предметом моделирования?
7. Перечислите основные виды математических методов, применяемых в
математических расчетах. В чем их основное отличие?
8. Как возникли и развивались основные средства и методы вычислений?
9. В чем заключаются преимущества современной вычислительной техники?
10. Какие виды программного обеспечения существуют? Чем они отличаются?
11. Почему возможно широкое применение математических методов и
моделирования в землеустройстве?
12. Что делает необходимым внедрение математических методов и
моделирования в землеустроительное производство?
Глава 2
ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ В АГРАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ
И ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНОЙ НАУКЕ
2.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ
Применение экономико-математических методов и
моделирования в землеустройстве всегда было связано с развитием
экономической науки в целом, ее математизацией и появлением
экономико-математического направления в аграрно-экономи-
ческих исследованиях.
Идея использования математики в планово-экономических
расчетах впервые возникла в СССР. В 1939 г. Л. В. Канторович
(впоследствии академик, лауреат Нобелевской премии) по
просьбе Всесоюзного фанерного треста занялся решением задачи
по распределению 5 видов продукции между 8 станками. В
процессе выполнения этой работы Л. В. Канторович разработал
математический метод нахождения оптимальных решений,
пригодный для целого класса экстремальных
планово-экономико-математических задач; он вошел в литературу под названием метода
разрешающих множителей. В том же 1939 г. в издательстве ЛГУ
были издана книга Канторовича «Математические методы
организации и планирования производства», в которой с помощью
32

этого метода были даны математические обоснования и примеры
расчетов оптимальных вариантов развития производства. В
1951 г. метод разрешающих множителей был использован для
решения общей задачи линейного программирования.
Одновременно с Канторовичем в 1939 г. советский ученый
Толстой впервые сформулировал транспортную задачу.
За рубежом, в основном в США, классом экстремальных задач
заинтересовались в начале 40-х годов; исследования проводились
независимо от аналогичных работ в СССР. В 1941 г. Е. Хичкок
поставил, но не полностью решил задачу линейного
программирования применительно к транспортировке грузов. В 1945 г. Г. Стигле-
ром была сформулирована и решена задача о диете.
Исторический интерес представляют задачи планирования,
решавшиеся М. Вудом, Дж. Данцигом и их сотрудниками в
Департаменте военно-воздушных сил США. Основоположником
линейного программирования в США стал Дж. Данциг, который
впервые поставил и решил (по идее Дж. фон Неймана) общую задачу
линейного программирования симплекс-методом. Несколько
позднее важные результаты как в теории линейного
программирования, так и в области ее практического применения были получены
А. Чарнсом, В. Купером, А. Хендерсоном и другими учеными.
Значительный импульс отечественным разработкам по
математическому моделированию дали переведенные на рубеже 60-х
годов работы В. В. Леонтьева по межотраслевому балансу; С. Гас-
са, Д. Гейла, Дж. Данцига, Э. Хеди, У. Канцлера, Р. Фергюсона,
Н. Рейнфельда, У. Фогеля — по математическому
программированию; У. Эшби и Н.Винера —по кибернетике. Прежде всего
это книги Д. Гейла «Теория линейных экономических моделей»
(М.: Изд-во иностранной литературы, 1963); Дж. Данцига
«Линейное программирование, его обобщение и применение» (М.:
Прогресс, 1966); Э. Хеди, У. Кандлера «Методы линейного
программирования» (М.: Колос, 1965); Э. Хеди, Д. Диллона
«Производственные функции в сельском хозяйстве» (М.: Прогресс,
1965); Н. Винера «Кибернетика» (М.: Советское радио, 1958);
У. Эшби «Введение в кибернетику» (М.: Изд-во иностранной
литературы, 1959). Быстрое развитие советской
экономико-математической науки в 50—60-е годы позволило не только успешно
конкурировать с зарубежными исследователями, но и по ряду
важных направлений опередить их. Можно назвать, в частности,
работы А. Г. Аганбегяна и др. «Применение математики и
электронной техники в планировании» (М.: Экономика, 1961);
«Основы разработки межотраслевого баланса» (М., 1962); Л. В.
Канторовича «Экономический расчет наилучшего использования
ресурсов» (М.: Изд-во АН СССР, 1960); О. Ланге «Оптимальные
решения» (М., 1967); Б. Минца «Политическая экономия
социализма» (М.: Прогресс, 1965); Д. Б. Юдина и Е. Г. Гольштейна
«Линейное программирование» (М.: Физматгиз, 1963).
33

Основоположниками советской экономико-математической
школы по праву считаются академики Л. В. Канторович, В. С.
Немчинов, В. В. Новожилов, С. Г. Струмилин, Н. П. Федоренко. В
нашей стране и за рубежом широко известны такие работы
В. С. Немчинова, как «Применение математики в экономических
исследованиях» (1959), «Экономико-математические методы и
модели» (М.: Соцэкгиз, 1962), «Экономика и математические
методы» (М.: Наука, 1967). В них впервые в отечественной науке
были изложены основы теории и методики
экономико-математического моделирования, сформулировано понятие экономико-
математической модели, обоснованы принципы построения
моделей и их использования в планово-экономических расчетах.
Наиболее известной публикацией В. В. Новожилова стала
книга «Проблемы измерения затрат и результатов при
оптимальном планировании» (М.: Наука, 1972), заложившая основы
оценки экономической эффективности производства с
использованием экономико-математических методов.
Вопросам применения математики в макроэкономических
исследованиях была посвящена монография Н. П. Федоренко
«О разработке системы оптимального функционирования
экономики» (М.: Наука, 1968).
Широкую известность также получили работы советских
математиков-экономистов, вошедшие в сборник «Применение
математических методов в экономических исследованиях»
(Соцэкгиз, т. 1, 1959; т. 2, 1961; Наука, т. 3, 1965).
Первым научным центром в СССР в данной области стала
организованная в 1958 г. В. С. Немчиновым при Отделении
экономики АН СССР лаборатория экономико-математических
методов. На ее базе в 1963 г. был создан Центральный
экономико-математический институт (ЦЭМИ), в составе которого появилась
лаборатория по моделированию сельскохозяйственных процессов.
В 1960 г. по инициативе Л. В. Канторовича в Институте
экономики АН СССР была проведена первая Всесоюзная научная
конференция по проблемам применения математики и ЭВМ в
экономических исследованиях и планировании, а в 1962 г. на
базе Сибирского отделения АН СССР (образованного в
1958 г.) —Всесоюзная научная конференция по математическим
методам планирования. С 1960 г. в ЛГУ стала работать
специальная Школа подготовки математиков-экономистов, первыми
выпускниками которой стали будущие академики А. И. Анчишкин
и С. С. Шаталин.
Применение математических методов в аграрно-экономичес-
ких исследованиях стало развиваться довольно быстрыми
темпами с начала 60-х годов. Первый международный симпозиум по
применению математических методов и
электронно-вычислительной техники в экономике и организации сельского хозяйства
социалистических стран, состоявшийся в Праге в октябре 1963 г.,
34

принял решение усилить математическую подготовку
экономистов и ввести в вузах новый специальный курс
«Экономико-математические методы в организации и планировании
сельскохозяйственного производства». В декабре 1965 г. Главным
управлением высшего и среднего сельскохозяйственного образования
МСХ СССР была утверждена учебная программа этого курса,
одобренная Вторым международным симпозиумом и
Учебно-методическим управлением Министерства высшего и среднего
специального образования СССР.
Уже в 1964 г. объем математических дисциплин для
экономических специальностей сельскохозяйственных вузов был увеличен
со 190 до 350 ч, что позволило читать курс математического
программирования. Для специальности «Экономика и организация
сельского хозяйства», кроме того, был введен большой по объему
курс «Экономико-математические методы в организации и
планировании производства». Для системы повышения квалификации
экономистов была предложена программа курса «Математические
методы в экономических расчетах по сельскому хозяйству». В
1964—1966 гг. кафедры кибернетики, экономико-математических
методов и вычислительной техники были созданы уже в 19 вузах.
Потребность сельского хозяйства в специалистах нового
профиля на 1971 —1975 гг. составляла, по оценкам ВНИЭСХ, не
менее 1800 человек. Это стало ориентиром для набора студентов на
новую специальность 2035 «Экономическая кибернетика» в
ТСХА, Украинской сельскохозяйственной академии, в
Ленинградском, Новосибирском и Одесском СХИ. В 1967 г. прием на
эту специальность составил 125, в 1968 г.— 250 человек. В этом
же году начат был прием в аспирантуру по специальности
08.00.13. «Экономико-математические методы».
На базе Одесского СХИ под руководством профессора М. Е. Бра-
славца с 1963 г. началась интенсивная переподготовка
преподавателей для ведения основных курсов по новому направлению;
действовал двухлетний семинар для преподавателей.
Исследования в данной области аграрно-экономической
науки возглавил в начале 60-х годов Всесоюзный
научно-исследовательский институт экономики сельского хозяйства (ВНИЭСХ)
и созданный при нем в 1962 г. отдел применения статистико-ма-
тематических методов, которым руководил Т. Л. Басюк; одним из
секторов отдела руководил Р. Г. Кравченко.
В 1964 г. на базе этого сектора был создан отдел планирования
производства с применением математических методов и ЭВМ. В
1967 г. отдел трансформировался во Всесоюзный
научно-исследовательский центр по экономической кибернетике в составе
ВНИЭСХ.
В мае 1969 г. Совет Министров СССР принял постановление
«О мерах по внедрению в планирование, учет и управление
сельским хозяйством экономико-математических методов и средств
35

вычислительной техники». Согласно этому документу были
созданы Всесоюзный научно-исследовательский институт
кибернетики (ВНИИК) и Главный вычислительный центр МСХ СССР
(ГВЦ) как головные организации по разработке и внедрению
математических методов и ЭВМ в сельском хозяйстве и созданию
автоматизированных систем управления (АСУ) в отрасли.
Первым директором ВНИИК был назначен Р. Г. Кравченко,
бывший до этого заместителем директора ВНИЭСХ. Институт
был создан на базе четырех отделов ВНИЭСХ: экономической
кибернетики (более 70 человек), учета и отчетности (около 30
человек), технических средств и АСУ (около 30 человек), а также
ленинградского отдела (более 50 человек). Позже были созданы
отделения института в Одессе и Вологде.
Для научно-исследовательских работ по повышению
эффективности использования минеральных удобрений и других
химических средств в сельском хозяйстве был организован
Центральный институт агрохимического обслуживания (ЦИНАО); его
специалисты широко использовали методы математического
моделирования.
Благодаря энергии и энтузиазму Р. Г. Кравченко ВНИИК стал
головной организацией по проблеме применения математических
методов в сельском хозяйстве и координатором деятельности около
40 институтов в стране и за рубежом (в рамках СЭВ). После ухода
Р. Г. Кравченко в 1973 г. директором института стал В. В. Милосер-
дов, который весьма успешно руководил им до 1977 г., содействуя
укреплению института и расширению его научных контактов.
Затем институт последовательно возглавляли Б. И. Бугера (директор с
1977 по 1979 г.), Г. И. Бельчанский (с 1979 по 1984 г.), Ф. И. Ерешко
(с 1984 по 1987 г.), В. П. Елизаров (с 1987 до конца 1996 г.).
Подчиненность института (а следовательно, целевые
ориентиры его работы) менялись несколько раз. В 1979 г., находясь в
подчинении МСХ СССР, он был переименован во Всесоюзный
научно-исследовательский и проектно-технологический
институт кибернетики (ВНИИПТИК). С 1983 г. институт находился в
составе ВАСХНИЛ, а после ее реорганизации вновь
переименованный ВНИИК перешел под эгиду РАСХН. Наконец, в декабре
1996 г. состоялось объединение ВНИИК и Аграрного института;
это позволило объединить два важнейших направления аграрно-
экономических исследований.
В 60—70-е годы вышли и первые наиболее известные учебные
пособия и монографии по применению
экономико-математических методов и моделирования в сельском хозяйстве. Среди них
можно отметить книги В. В. Милосердова «Математические
методы в экономике и организации сельского хозяйства» (Минск:
Высшая школа, 1964); Р. Г. Кравченко
«Экономико-математические модели задач по сельскому хозяйству» (М.: Экономика,
1965); В. В. Милосердова «Оптимальное размещение государ-
36

ственных заготовок» (М.: Колос, 1971); Р. Г. Кравченко, И. Г.
Попова, С. 3. Толпекина «Экономико-математические методы в
организации и планировании сельскохозяйственного
производства» (1-е изд. — М.: Колос, 1967; 2-е изд. — М.: Колос, 1973).
Специальным редактором последней книги был доцент, ныне
профессор, заведующий кафедрой Московского института
инженеров землеустройства М. И. Коробочкин. В это время в МИИЗ
вопросам применения математических методов в
землеустройстве стали придавать все большее значение.
Большая работа в это время велась и в Одесском
сельскохозяйственном институте на кафедре экономической кибернетики,
которую возглавлял заслуженный деятель науки УССР,
профессор, доктор экономических наук М. Е. Браславец. В 1968 г. им
была выпущена книга «Экономико-математические методы в
организации и планировании сельского хозяйства» (Киев:
Урожай, 1968); в 1971г. М. Е. Браславец при участии Э. Н.
Крылатых, В. В. Милосердова, К. Г. Трегубова опубликовал учебник
для экономических факультетов сельскохозяйственных вузов
«Экономико-математические методы в организации и
планировании сельскохозяйственного производства» (М.: Экономика,
1971), а в 1972 г. совместно с Р. Г. Кравченко — учебник для
факультетов и отделений экономической кибернетики
сельскохозяйственных вузов «Математическое моделирование
экономических процессов в сельском хозяйстве» (М.: Колос, 1972).
Последний учебник и в настоящее время остается настольной
книгой специалистов, занимающихся вопросами экономико-
математического моделирования в отрасли. В его подготовке
принимали участие также Т. Ф. Гуревич, В. А. Едемский,
В. Ф. Краснопивцева, Э. Н. Крылатых, В. В. Милосердое, В. А.
Мухина, И. В. Семенова, А. Г. Скрипка, К. Г. Трегубов.
В 1975 г. М. Е. Браславец подготовил второе издание
«Практикума по экономико-математическим методам в организации и
планировании сельскохозяйственного производства» (М.:
Экономика, 1975), использовавшегося в качестве учебного пособия
для сельскохозяйственных вузов по специальностям «Экономика
и организация сельского хозяйства» и «Бухгалтерский учет».
Большой авторитет Одесского СХИ позволил ему в 60—70-е
годы принимать на стажировку и повышение квалификации
преподавателей многих сельскохозяйственных вузов, занимающихся
применением экономико-математических методов и
моделирования. В конце 70-х годов аналогичная работа велась также в
Ленинградском СХИ.
С середины 60-х годов приобрели известность труды кафедры
экономической кибернетики Московского института народного
хозяйства им. Г. В. Плеханова, возглавлявшейся профессором
И. Г. Поповым. В 1964 г. им была подготовлена книга
«Математические методы в экономических расчетах по сельскому хозяй-
37

ству» (М.: Колос, 1964); в 1973 г. под его редакцией вышло
учебное пособие для студентов экономических вузов и факультетов
«Математические методы в планировании отраслей и
предприятий» (М.: Экономика, 1973) при участии М. Ш. Барбакадзе, Г. И.
Виноградова, Л. И. Евенко, А. В. Орлова. В 1975 г. вышла в свет
книга И. Г. Попова «Математические методы планирования
сельского хозяйства» (М.: Колос, 1975).
В это время в Москве также успешно работал ЦЭМИ АН
СССР, директором которого был Н. П. Федоренко. Аграрной
проблематикой здесь занималась лаборатория В. В. Коссова. В
ней проводились расчеты ставок земельной ренты на основе
двойственных оценок, разрабатывалась модель оптимизации
структуры и интенсивности производства с целью стабилизации
доходов предприятий. В другой лаборатории, руководимой
Б. И. Искаковым-Плюхиным, проводились интересные работы
по использованию производственных функций, а несколько
позднее — новаторские разработки по моделированию факторов
природопользования в сельском хозяйстве (И. М. Хабаров,
В. И. Денисов). Стоит упомянуть также о разработке и успешной
экспериментальной проверке линейно-динамической модели
регионального АПК. Весьма перспективными были поиски
сочетания оптимизационных и имитационных моделей с диалоговыми
вычислительными комплексами. В ЦЭМИ начинали свою
деятельность молодые ученые Н. Айдин, В. А. Едемский, Л. Е. Олив-
сон и др.; некоторые из них впоследствии перешли во ВНИИК.
В Прибалтике крупным исследовательским центром стал в
60-е годы Литовский институт экономики сельского хозяйства,
которым в течение 16 лет, начиная с 1966 г., успешно руководил
Б. И. Пошкус. При институте был создан вычислительный
центр — один из самых крупных в стране. На его основе в
республике была создана и безотказно действовала
информационно-вычислительная система отрасли, которая обеспечивала сбор,
обработку информации, проведение плановых и прогнозных
расчетов для органов управления, сельскохозяйственных
предприятий и научных учреждений. К 1990 г. в ней было занято 1200
человек, и она включала хорошо отлаженные комплексы
племенного учета, земельного кадастра, материально-технического
снабжения, учета квалифицированных кадров и многие другие.
В Сибири крупным научным центром по моделированию в АПК
стал Институт экономики и организации промышленного
производства, возглавлявшийся академиком АН СССР А. Г. Аганбегяном.
Непосредственным руководителем работ по АПК был В. П. Можин
(впоследствии академик ВАСХНИЛ); его сотрудники
разрабатывали оптимизационные модели с учетом взаимосвязей сельского
хозяйства с другими отраслями экономики. В институте также
развивалось экономико-статистическое направление исследований
(А. И. Тянутов, С. Е. Ильюшенок, И. В. Семенова и др.).
38

Методология моделирования в 60—70-е годы не
ограничивалась применением детерминированных моделей. Зависимость
сельского хозяйства от погодных условий и наличие других
случайных факторов требовали их учета для повышения
реалистичности моделей. Эту задачу ставил перед своими молодыми
коллегами еще Л. В. Канторович. Так возникло новое направление
исследований — стохастическое программирование
сельскохозяйственного производства в районах орошаемого земледелия,
разрабатываемое в Научном центре Сибирского отделения АН
СССР. Работы В. А. Кардаша, В. Г. Пряжинской, Э. О.
Рапопорта, Т. С. Зайнчковской и других специалистов центра хорошо
известны в агроэкономической науке. Они заложили основы учета
не только погодных условий, но и других видов экономического
риска (ценового, кредитного, инвестиционного и т.д.).
На Украине экономико-математические исследования
развивались в Институте экономики АН УССР и Институте
экономики и организации сельскохозяйственного производства. В
коллективе, который возглавлял А. М. Онищенко, были разработаны
первые на Украине модели размещения производства по
территории республики, модели оптимизации отраслевой структуры
республиканского АПК. Много интересных разработок по
моделированию сельскохозяйственных предприятий было выполнено
под руководством Н. Я. Кушвида.
Таким образом, к середине 70-х годов в СССР фактически были
сформулированы основы теории и методики применения
экономико-математических методов и моделирования в
сельскохозяйственном производстве. Были даны общие понятия
экономико-математической модели, предложена их классификация, определены
приемы моделирования экономических процессов в сельском
хозяйстве, установлены методы решения экономико-математических
задач, разработаны прикладные модели различных типов.
Одной из первых и наиболее отработанных была модель
оптимального сочетания отраслей в сельскохозяйственных
предприятиях; постановка этой задачи принадлежала Р. Г. Кравченко и
И. Г. Попову, и она была детально описана уже в их первых
публикациях. Это модель линейного программирования средней
размерности, включавшая до 100 переменных, представлявших
отрасли и виды продукции растениеводства и животноводства.
Ограничениями служили площади пашни, сенокосов и пастбищ,
трудовые ресурсы и возможности их использования в
напряженные периоды работ, ограничения по наличным ресурсам
технических средств, минеральных удобрений, задания по объему
государственных закупок. В качестве критерия оптимальности чаще
всего использовался максимум валовой продукции или прибыли.
На основе данной модели позднее создавались ее различные
модификации. В их числе линейно-динамическая модель
пятилетнего планирования с включением инвестиционных блоков
39

(Г. В. Гаврилов и Э. Н. Крылатых), модель оптимальных типов
сельскохозяйственных предприятий и модель для разработки
оргхозплана предприятия (Г. В. Беспахотный). Оригинальным
подходом отличались балансовые (матричные) модели
производственно-финансового плана предприятия (И. В. Семенова).
К числу основных относились также задачи по:
размещению и специализации сельскохозяйственного
производства; организации межхозяйственных и агропромышленных
предприятий и объединений; оптимизации заготовок
сельскохозяйственной продукции, становлению цен на нее; определению
внутрихозяйственной специализации подразделений и сочетания
отраслей; распределению ресурсов предприятия
(денежно-материальных средств, минеральных удобрений), оптимизации состава
машинно-тракторного и автомобильного парка; организации
производства и планирования на сельскохозяйственных
предприятиях; обоснованию и оптимизации экономических процессов в
земледелии и животноводстве, использованию кормов, оптимизации
структуры стада; планированию грузоперевозок и товарооборота.
С середины 60-х годов ряд моделей стали интегрировать в
специальные системы (комплексы). Такую идею Р. Г. Кравченко
впервые высказал в 1966 г., и один из ее вариантов был
подготовлен группой специалистов Института кибернетики под
руководством Э. Н. Крылатых. Эта разработка была обсуждена на
научных конференциях в стране и в 1967 г. представлена советской
делегацией на IV Международном симпозиуме социалистических
стран на тему «Применение математических методов и
вычислительной техники в сельском хозяйстве».
Концепция систем моделей для АПК была плодотворной, и ее
принципы были использованы многими авторами.
Методологической основой создания комплексов моделей стала разработка
логической, информационной и алгоритмической связи между
ними. Значения переменных, полученные в результате решения
одних задач, служили ограничениями в сопряженных моделях.
Кроме прямой связи существовала и обратная, корректирующая.
Комплекс включал как оптимизационные задачи, так и
различные типы корреляционно-регрессионных моделей и
производственных функций, необходимых для прогнозирования уровней
урожайности и продуктивности, расчета коэффициентов затрат
по основным видам ресурсов.
Большую работу по развитию экономико-математических
методов и моделирования проводили также кафедры статистики,
экономической кибернетики и вычислительные центры
Московской ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени
сельскохозяйственной академии имени К. А. Тимирязева (ТСХА),
Ленинградского ордена Трудового Красного Знамени
сельскохозяйственного института (ЛСХИ), Новосибирского СХИ,
Воронежского сельскохозяйственного института им. К. Д. Глинки.
40

Так, например, ученые ТСХА под руководством А. М. Гатау-
лина (впоследствии члена-корреспондента РАСХН) в 1975 г.
подготовили книгу «Математика для сельского экономиста»
(A.M. Гатаулин, Л. А. Харитонова, Э. С. Нефедова. — М.: Рос-
сельхозиздат, 1975), а в 1976 г. выпустили учебное пособие для
средних сельскохозяйственных учебных заведений по
специальности «Планирование сельскохозяйственного производства» под
названием «Экономико-математические методы в планировании
сельскохозяйственного производства» (А. М. Гатаулин, Л. А.
Харитонова, Г. В. Гаврилов. — М.: Колос, 1976). В 1986 г. вышел
учебник А. М. Гатаулина, Г. В. Гаврилова, Л. А. Харитоновой
«Экономико-математические методы в планировании
сельскохозяйственного производства» (М.: Агропромиздат, 1986). В 1990 г.
по результатам законченных исследований увидела свет книга
под редакцией А. М. Гатаулина «Математическое моделирование
экономических процессов в сельском хозяйстве» (с участием
А. М. Гатаулина, Г. В. Гаврилова, Т. М. Сорокиной и др.; М.:
Агропромиздат, 1990).
В Ленинградском СХИ активные исследования в области
применения экономико-математических методов в сельском
хозяйстве со второй половины 70-х годов вели Л. П. Крайзмер, М. М. Ту-
неев, П. П. Пастернак, В. Г. Еникееев, М. М. Юзбашев и другие
ученые. Здесь впервые были разработаны
экономико-математические модели многоуровневой оптимизации для решения задач
по организации и планированию сельскохозяйственного
производства, опубликованные в трудах ЛСХИ (г. Пушкино).
В 1977 г. вышло учебное пособие М. М. Тунеева и В. Ф. Сухо-
рукова «Экономико-математические методы в организации и
планировании сельскохозяйственного производства» (М.: Колос,
1977), в 1986 г.— следующее издание этой книги. П. П. Пастернак
подготовил в 1985 г. книгу «Системное моделирование
экономических процессов в АПК (М.: Агропромиздат, 1985).
В начале 70-х годов сельскохозяйственные вузы страны стали
готовить студентов по специальности «Экономическая
кибернетика» (специализация «Экономическая кибернетика в сельском
хозяйстве»). В этой работе приняли активное участие ученые
Новосибирского СХИ, Сибирского института экономики сельского
хозяйства (Сибирского отделения ВАСХНИЛ), секторы
оптимального планирования сельского хозяйства Института
экономики и организации промышленного производства Сибирского
отделения АН СССР. В Новосибирском СХИ при участии
ученых этих коллективов стали выпускаться труды под редакцией
профессора А. Ф. Карпенко «Экономико-математические
методы и вычислительная техника в сельском хозяйстве»
(Новосибирск, 1972).
Под редакцией профессора А. Ф. Карпенко для студентов
сельскохозяйственных вузов по специальности «Экономическая кибер-
41

нетика» был издан «Практикум по математическому
моделированию экономических процессов в сельском хозяйстве» (М.: Колос,
1975). В его подготовке приняли участие А.Ф.Карпенко,
М. И. Вирченко, В. А. Кардаш, Г. Н. Меламуд, Н. С. Низова,
Л. Г. Сизикова, П. С. Щеглов; в 1985 г. вышло его второе издание.
В 1982 г. ученые Сибири подготовили книгу
«Экономико-математические методы и модели в перспективном отраслевом
планировании (вопросы методологии и методики)», вышедшую в
Новосибирске в издательстве «Наука»; она содержала
теоретические и практические обобщения в данной отрасли знания.
Воронежскую школу экономической кибернетики в это
время возглавлял профессор А. П. Курносов. В 1971 г. в соавторстве
с М. М. Синельниковой им была подготовлена книга
«Вычислительная техника и экономико-математические методы в
сельском хозяйстве» (М.: Статистика, 1971), а в 1982 г. А. П. Курносов
и И. А. Сысоев в издательстве «Финансы и статистика»
выпустили книгу с аналогичным названием.
Продолжали успешно работать и другие ученые и коллективы.
Так, например, у экономистов-аграрников широкую известность
получила книга профессора В. П. Можина «Оптимизация
плановых решений в сельском хозяйстве» (М.: Экономика, 1974).
В 1977 г. на основе опыта проведения практических и
лабораторных занятий по математическому программированию в
Одесском СХИ вышел «Сборник задач по математическому
программированию» (Т. Ф. Гуревич, В. О. Лущук. — М.: Колос, 1977). В
1978 г. под редакцией Р. Г. Кравченко для студентов
сельскохозяйственных вузов по специальности «Экономическая
кибернетика» было издано учебное пособие по курсу «Математическое
моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве»
(М.: Колос, 1978), подготовленное Р. Г. Кравченко, А. М. Гатау-
линым, Г. В. Гавриловым, Э. Н. Крылатых, Ю. И. Копенкиным.
В 1979 г. Э. Н. Крылатых опубликовала книгу «Система
моделей в планировании сельского хозяйства» (М.: Экономика, 1979),
где с точки зрения системного подхода рассматривались вопросы
математического моделирования экономических процессов в
сельском хозяйстве на перспективу. Несколько позднее, в 1982 г.,
В. В. Милосердов и Г. В. Беспахотный опубликовали результаты
своих исследований в области экономико-математического
моделирования размещения и развития сельскохозяйственного
производства в книге «Региональное планирование развития
сельского хозяйства» (М.: Экономика, 1982).
В связи с бурным развитием средств вычислительной техники,
быстрой сменой различных поколений ЭВМ, появлением
персональных электронно-вычислительных машин в 80-е годы
развитие экономико-математических методов и моделирования в
сельском хозяйстве шло по пути разработки и внедрения
различных программных средств и новых технологий, связанных с при-
42

нятием управленческих решений в АПК на основе оптимизации
и автоматизации расчетов. Серьезную работу в этом направлении
вели научно-педагогические работники ТСХА, УСХА,
Воронежского, Кубанского, Ленинградского, Новосибирского, Одесского
СХИ, сельскохозяйственных академий Белоруссии, республик
Прибалтики, ряд вычислительных центров в России (особенно в
Сибири), на Украине, в Узбекистане и Казахстане.
В 1989 г. «Агропромиздатом» была выпущена в свет серия
рекомендаций, касавшихся внедрения вычислительной техники,
математических методов и автоматизированных технологий в
сельскохозяйственное производство. Среди них следует отметить
следующие:
«Организация разработки задач единой системы
информационно-вычислительного обеспечения АПК в условиях полного
хозрасчета и самофинансирования» (С. П. Гржибовский, А. М. Вайн-
штейн, И. А. Воробьев, Н.Д. Елькина, В. А. Любарский);
«Использование средств вычислительной техники в
агропромышленном производстве» (О. Г. Мартынова, В. Е. Скрипников);
«Автоматизированные рабочие места специалистов
агропромышленного комплекса» (подготовлена сотрудниками НПО «Со-
юзагропромсистема» и ВНПО «Зернопродукт» В. Е. Скрипнико-
вым, В. А. Любарским, М. М. Краснопольским, Е. С.
Кузнецовым, Т. И. Ушаковым, В. М. Шалимовым и др.).
Эти рекомендации показали, что начался новый этап в
экономико-математических исследованиях, связанный прежде всего с
автоматизацией планово-экономических расчетов в сельском
хозяйстве и АПК.
Выходившие с середины 90-х годов учебники и монографии
по экономико-математической тематике, по сути дела, обобщали
уже имеющиеся методы или развивали их в чисто прикладном
плане, применительно к особенностям различных отраслей
экономики. К числу наиболее известных работ, результаты которых
могут быть применимы в сельском хозяйстве, можно отнести:
Исследование операций в экономике/Под ред. проф. Н. Ш. Кре-
мера. - М.: Банки и биржи (ЮНИТИ), 1997;
Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н..
Математические методы в экономике. — М.: ДИС, 1997 (основная
направленность книги — применение математического анализа к
проблематике производственных функций; второе издание
вышло в 1999 г.);
Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. Высшая
математика. Математическое программирование. — Минск: Вышейшая
школа, 1994;
Мороз А. Математические основы менеджмента. — М.:
Academia, 1997.
До 1996 г. координация исследований по
экономико-математической тематике в России возлагалась на Всероссийский науч-
43

но-исследовательский институт кибернетики АПК, являвшийся
правопреемником бывшего института союзного уровня и
находившийся в системе РАСХН. В 1990 г. на базе совета по
приоритетным проблемам АПК при Президиуме ВАСХНИЛ был создан
Аграрный институт, первым директором которого стал академик
РАСХН, бывший президент ВАСХНИЛ А. А. Никонов. В 1996 г.
ВНИИ кибернетики прекратил свое существование и
фактически влился в Аграрный институт, который и стал координировать
экономико-математические исследования. Впоследствии на базе
Аграрного института был создан Всероссийский институт
аграрных проблем и информатики (директор — член-корреспондент
РАСХН А. В. Петриков).
В 1997г. сотрудниками данного института (ВИАПИ) СБ.
Огнивцевым, И. А. Романенко, С. О. Сиптицем была разработана
эконометрическая модель АПК РФ на национальном уровне,
представляющая собой систему зависимостей, полученных при
статистической обработке информации о функционировании
аграрно-промышленного комплекса страны за период с 1990 по
1996 г., дополненную субмоделью конечного потребления. Она
содержала более 150 эконометрических зависимостей, и ее
использование оказалось довольно сложным и трудоемким. В
связи с этим возникла необходимость в разработке средств
методической поддержки, с помощью которых работа с моделью стала
бы доступной пользователям, что и было начато в 1998—1999 гг.
Эти же ученые с 1998 г. разрабатывали методические
рекомендации и экономико-математические модели для
организационного проектирования агропромышленно-финансовых групп.
Сотрудниками ВИАПИ Э. Н. Крылатых, Л. Ф. Арсенькиной,
Ф.А. Гальминас, Р. А. Рыбаковой в 1998 г. в сборнике
материалов конференции была опубликована содержательная статья
«Экономико-математическое моделирование и его новое
приложение в исследовании процессов формирования общего
аграрного рынка СНГ».
В 1998 г. ВИАПИ как головной институт по применению
экономико-математических методов и моделирования в АПК вместе
с одноименным научно-методическим советом Отделения
экономики и земельных отношений РАСХН провел симпозиум по
проблемам применения математических методов в управлении
АПК. В симпозиуме приняли участие ученые ЦЭМИ, ВЦ РАН,
ИПУ РАН, МСХА им. К. А. Тимирязева, Государственного
университета по землеустройству (ГУЗ), ВНИЭСХ, ВНИЭТУСХ,
Президиума РАН и других научных организаций. Было
представлено более 20 докладов по обсуждаемой тематике. Выступавшие
единодушно сошлись во мнении о необходимости и
эффективности дальнейшего развития научных исследований в области
экономико-математического моделирования.
С 13 по 15 апреля 1999 г. был проведен Международный науч-
44

ный симпозиум «Экономико-математические методы в АПК:
история и перспективы», где были подведены итоги работы в этой
области и обозначены направления дальнейших исследований.
Развитие экономико-математического моделирования в АПК
имело важное значение для землеустройства, поскольку, как
доказано землеустроительной наукой, вопросы организации
территории и организации производства неразрывно связаны.
Поэтому модели, касающиеся использования земель в сельском
хозяйстве, являются, как правило, экономико-математическими.
2.2. ПРИМЕНЕНИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
И МОДЕЛЕЙ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ
Экономико-математические исследования в землеустройстве
развивались практически параллельно с аналогичными
разработками в сельском хозяйстве как по времени, так и по глубине
рассматриваемых проблем. Отличие состояло лишь в том, что здесь
в основе моделирования лежала организация рационального
использования земли и оптимизировались различные составные
части и элементы проектов землеустройства.
Первые публикации инженеров-землеустроителей по данной
тематике относятся к началу 60-х годов. Уже в сборнике
ВНИЭСХ «Применение математических методов в
экономических исследованиях по сельскому хозяйству» под редакцией Т. Л. Ба-
сюка и К. П. Оболенского (М.: Экономика, 1964) были
опубликованы работы М. В. Андриишина «Применение метода
оптимального программирования для экономического обоснования
проектов землеустройства» и М.Д. Спектора «Применение
линейного программирования при определении специализации
животноводческих отраслей в Целинном крае».
С 1964 г. в научных трудах Московского института инженеров
землеустройства (МИИЗ) стали постоянно публиковаться
материалы по моделированию. Так, В. Р. Аасмяэ написал статью
«Применение методов линейного программирования при установлении
состава и соотношения сельскохозяйственных угодий и структуры
посевных площадей» (М.: Россельхозиздат, 1964, т. 23); М. В. Анд-
риишин представил работу «Экономико-математическая модель
установления оптимального состава и соотношений угодий и
сельскохозяйственных культур» (М.: Россельхозиздат, 1964, т. 25);
В. Д. Кирюхин и Г. П. Данилова опубликовали статью
«Применение методов линейного программирования в землеустройстве»
(М.: Россельхозиздат, 1965, т. 29); М. В. Андриишин и Г. Я. Куды-
мов подготовили работу «Методы оптимального планирования
размещения и специализации сельскохозяйственного
производства в районе» (М.: Россельхозиздат, 1965, т. 30).
Все указанные публикации базировались на классических за-
45

дачах линейного программирования, решаемых симплексным
или распределительным методом, в том числе задачах
оптимального сочетания отраслей и размещения культур, отработанных
математиками-экономистами.
В это же время изучение методов математического
программирования начинает прочно входить в учебный процесс. В
МИИЗ в 1964 г. при изучении курса «Счетно-решающие
устройства и их применение» стали изучаться вопросы, связанные с
решением инженерно-экономических задач методами линейного
программирования на землеустроительном, геодезическом и
архитектурном факультетах. С этого же года на
землеустроительном факультете Львовского СХИ вводится спецкурс «Линейное
программирование».
Главенствующую роль в применении математических методов
в землеустройстве на территории СССР с середины 60-х годов
взяла на себя кафедра вычислительной техники и высшей
геодезии МИИЗ и ее заведующий, заслуженный деятель науки
РСФСР, профессор, доктор технических наук Е. Г. Ларченко. В
1967 г. под его руководством и при его участии было
подготовлено учебное пособие «Задания и методические указания по
применению вычислительной техники для решения
инженерно-экономических задач» (Е. Г. Ларченко, М. И. Коробочкин, В. С.
Бережное. — М.: Недра, 1967).
Данное пособие включало в себя следующие разделы:
1) действия с приближенными числами и рациональные
приемы применения простейших вычислительных средств;
2) решение геодезических задач при помощи номограмм;
3) настольные клавишные полуавтоматические и
автоматические вычислительные машины и их применение;
4) решение инженерно-экономических задач методами
линейного программирования;
5) счетно-перфорационные машины и их применение при
учете и планировании в сельском хозяйстве;
6) электронные цифровые вычислительные машины и
программирование для них.
С 1965 г. на кафедре высшей геодезии и вычислительной
техники МИИЗ под руководством М. И. Коробочкина проводятся
комплексные работы по созданию математических моделей,
разработке методов и автоматизированных систем оптимального
проектирования вертикальной планировки орошаемых земель.
Были разработаны линейные модели минимизации объемов
земляных работ и минимизации затрат на перемещение грунта;
модель минимизации затрат на планировку, объединяющие две
предыдущие задачи; модель квадратичного программирования
для приближенной минимизации затрат при планировке
орошаемых земель под топографические поверхности; модель
динамического программирования для оптимального деления рисовых
46

карт на чеки и оптимального деления рисовых севооборотов на
карты и чеки.
Задачи имели большую (тысячи условий и переменных) или
очень большую (десятки тысяч условий и миллионы
переменных) размерность. Чтобы обеспечить их практическое решение,
были существенно модифицированы известные методы
линейного программирования, разработаны специальные методы
квадратичного программирования. По заказам Министерства
мелиорации и водного хозяйства были созданы и широко
внедрялись в производство автоматизированные системы оптимального
проектирования орошаемых земель ОПОЗ, ОПОЗ-1, ОПОЗ-М,
ОПОЗ-h2, ОПОЗ-СТ и автоматизированная система
оптимального деления рисовых карт на чеки ОПОЗ-Рис.
По этой тематике с 1965 по 1989 г. было опубликовано более
30 работ, в том числе книги «Алгоритмы и программы
оптимального проектирования вертикальной планировки на ЭВМ» (М.,
1973) и «Проектирование планировки рисовых карт» (М., 1974),
депонировано более 20 научных отчетов. Эти разработки широко
используются в ГУЗ при чтении курса «Математическое
моделирование на ЭВМ».
В 1969 г. вышло первое в стране учебное пособие Е. Г. Ларчен-
ко для инженеров-землеустроителей — слушателей факультетов
повышения квалификации «Применение математических
методов в землеустройстве» (М.: Колос, 1969) с участием сотрудницы
ЦЭМИ АН СССР Н. Е. Ларченко. В начале 70-х годов на
землеустроительных факультетах сельскохозяйственных вузов был
введен учебный курс «Вычислительная техника и
экономико-математические методы в землеустройстве», а в 1973 г. Е. Г. Ларченко
была выпущена в свет одноименная книга (М.: Недра, 1973),
долгие годы служившая инженерам-землеустроителям учебным
пособием по применению экономико-математических методов в
проектных землеустроительных расчетах.
С 1970 по 1978 г. сотрудники МИИЗ регулярно выступали с
докладами и публиковались в трудах ЦЭМИ АН СССР по теме
Всесоюзного симпозиума «Системы программного обеспечения
задач оптимального планирования». Основные результаты этих
исследований изложены в докторской диссертации М. И. Коро-
бочкина «Модели и методы оптимального геодезического
проектирования вертикальной планировки» (1974 г.).
Одновременно исследования по применению математических
методов в землеустройстве в это время активно проводились в
Львовском СХИ под руководством заведующего кафедрой М. В. Андрии-
шина и Белорусской СХА под руководством И. Ф. Полунина. Так,
М. В. Андриишин в 1969 г. подготовил первую часть учебного
пособия «Линейное программирование в землеустройстве» (Львов,
1969), а в 1971 г. увидела свет вторая часть этого пособия.
В 1968 г. в трудах Белорусской СХА была опубликована статья
47

И. Ф. Полунина «О необходимости и возможности применения
математического программирования в землеустроительном
проектировании» (Горки, 1968, т. 55), а в 1972 г. вышло
подготовленное им учебное пособие для студентов землеустроительных
факультетов сельскохозяйственных вузов «Математическое
программирование в землеустройстве» (Минск: Вышэйшая школа,
1972), где впервые была дана модель оптимизации всего проекта
внутрихозяйственного землеустройства. В 1974 г. И. Ф. Полунин
опубликовал также статью «Субоптимальные решения при
обосновании землеустроительных проектов (Труды
Государственного научно-исследовательского института земельных ресурсов. —
М., 1974, вып. 10), которая практически позволяла решать
многокритериальные землеустроительные задачи.
В 1974 г. для подготовки инженеров-землеустроителей в
сельскохозяйственных вузах был введен новый учебный план; теперь
студенты начали изучать две дисциплины: «Вычислительная
техника» и «Экономико-математические методы в землеустройстве».
В соответствии с «Основными положениями землеустройства»,
утвержденными МСХ СССР 27 мая 1968 г. (М.: Колос, 1968),
методическое руководство всеми видами землеустроительных работ
было возложено на Главное управление землепользования и
землеустройства через одноименные главные управления
республиканских министерств сельского хозяйства и Государственный научно-
исследовательский институт земельных ресурсов (ГИЗР),
созданный в мае 1967 г. (его первым директором был В. П. Сотников).
Основное назначение ГИЗР заключалось в координации научных
исследований в области землепользования и землеустройства. С
1972 по 1974 г. институт возглавлял М. В. Андриишин; при его
участии был образован отдел по применению
экономико-математических методов и ЭВМ, которым руководил приглашенный из
Белоруссии И. Ф. Полунин. Этот отдел взял на себя функцию
координации экономико-математических исследований в землеустройстве.
Однако ввиду малочисленности состава (в нем работали И. Ф.
Полунин, Н. Е. Ларченко, А. В. Купчиненко, Т. Я. Перингер, Н. И.
Фролова) данный отдел с уходом И. Ф. Полунина и приглашением на
работу Б. И. Бугеры так и не смог реализовать возложенные на него
функции. Новый директор ГИЗР С. И. Носов с конца 1974 и до
1992 г. поддерживал научные коллективы землеустроительных
факультетов сельскохозяйственных вузов в их усилиях по развитию
экономико-математических исследований.
В связи с появлением самостоятельной научной дисциплины
«Экономико-математические методы в землеустройстве» она
стала читаться во многих сельскохозяйственных вузах на
профилирующих землеустроительных кафедрах, что способствовало
расширению научных исследований в данной области. Наиболее
быстрыми темпами они продвигались на кафедре земпроектиро-
вания МИИЗ, кафедрах землеустроительных факультетов Цели-
48

ноградского, Воронежского, Ленинградского, Харьковского
СХИ, в Эстонской СХА.
В МИИЗ дисциплину «Экономико-математические методы в
землеустройстве» начала вести доцент Л. С. Твердовская. Ею было
подготовлено первое учебно-методическое обеспечение данного
курса: учебная программа, календарный план, рабочая тетрадь,
лекции. С 1974 по 1978 г. к работе подключились преподаватели
кафедры землеустроительного проектирования, впоследствии профессора и
доценты А. А. Варламов, В. В. Вершинин, С. Н. Волков, Н. Г. Коноко-
тин, В. А. Кудрявцев, А. В. Купчиненко, В. К. Мизюрин, Е. М. Че-
пурин и др. Наряду с сугубо практическими стали изучаться и
теоретические вопросы применения экономико-математических
методов и моделирования в землеустройстве.
Так, например, в период с 1974 по 1977 г. на кафедре впервые
была дана классификация математических методов и моделей,
применяемых в землеустройстве, сформулированы основные
требования, предъявляемые к использованию математического
аппарата в землеустроительных расчетах; впервые в
землеустройстве предложены экономико-математические модели
проектирования комплекса противоэрозионных мероприятий и
использования производственных функций для обоснования проектов
землеустройства, которые нашли отражение в работах С. Н.
Волкова «Применение экономико-математических методов при
перспективном использовании земельных ресурсов в условиях
водной эрозии почв» (Научные труды МИИЗ. — М., 1976, вып. 81);
«Некоторые теоретические вопросы математического
моделирования в землеустройстве» (Научные труды МИИЗ. — М., 1977,
вып. 82), а также в его диссертации «Оптимальное планирование
и проектирование использования земельных угодий в условиях
водной эрозии почв (на примере хозяйств
Центрально-Черноземной зоны)» (М.: МИИЗ, 1977).
Вопросам экономико-математического моделирования в
землеустройстве были посвящены также работы С. Н. Волкова,
написанные им в соавторстве с В. Д. Кирюхиным, А. А.
Варламовым, К. М. Кирюхиной, А. В. Купчиненко, Л. С. Твердовской
(Научные труды МИИЗ, вып. 71, 1974; вып. 73, 1975; вып. 81,
1976; вып. 82, 1977; вып. 93, 1978 и др.).
На землеустроительном факультете Целиноградского СХИ
профессор М.Д. Спектор активно вел научные исследования в
этом же направлении. В 1979 г. им было подготовлено учебное
пособие для студентов Целиноградского СХИ
«Экономико-математические методы в землеустройстве» (Целиноград, 1979), а в
1983 г. при участии доцента М. К. Кромера и ассистента В. Т. Мок-
рушина — методические указания по курсу
«Экономико-математические методы в землеустройстве» (Целиноград, 1983).
В Воронежском СХИ экономико-математические
исследования в области землепользования и землеустройства в начале 80-х
49

годов вели профессора В. Я. Заплетин и А. П. Курносов, а также
доценты, впоследствии профессора Н. А. Кузнецов и В. П. Под-
тележников, доцент А. Г. Лунев.
Работы профессора В. Я. Заплетина были посвящены
определению оптимальных размеров сельскохозяйственных предприятий
и оценке экономической эффективности проектов
землеустройства с применением экономико-математических методов и ЭВМ.
К числу наиболее известных его работ этого периода относятся
«Организация территории колхоза» (Воронеж,
Центрально-Черноземное книжное издательство, 1973) и «Вопросы
совершенствования землепользования колхозов» (М.: Экономика, 1975).
В 1980 г. под редакцией В. Я. Заплетина в Ленинградском
СХИ вышли «Методические указания по размещению
производственных подразделений, хозяйственных центров, угодий и
севооборотов в колхозе (совхозе)», написанные В. Я. Заплетиным,
Н. А. Кузнецовым и М. А. Сулиным.
В 1983 г. доцентом кафедры землеустройства Л СХИ Т. В.
Михайловой была издана лекция «Применение методов
математической статистики при прогнозировании использования
земельных ресурсов» (Л.: ЛСХИ, 1983). В этом же году А. П. Курносов и
В. П. Подтележников в Воронежском СХИ подготовили учебное
пособие «Оптимальное планирование внутриобластного
развития, размещения, специализации и концентрации
сельскохозяйственного производства» (Воронеж, 1983), использовавшееся
также для решения землеустроительных
экономико-математических задач.
Таким образом, к началу 80-х годов в основном были
поставлены и решены основные задачи схем и проектов
землеустройства. К их числу можно отнести:
обоснование размещения, специализации и концентрации
сельскохозяйственного производства в схемах землеустройства районов
(М. В. Андриишин, Б. Л. Бейненсон, С. Н. Волков, А. П. Курносов,
В. К. Мизюрин, В. П. Подтележников и др.);
оптимизация размеров и размещения землепользовании
сельскохозяйственных предприятий в административных районах при
межхозяйственном землеустройстве (М. В. Андриишин, В. Я.
Заплетин, А. Г. Лунев, М. Д. Спектор и др.);
внутрихозяйственная специализация и сочетание отраслей,
состав и соотношение земельных угодий в проектах
внутрихозяйственного землеустройства (В. Р. Аасмяэ, М. В. Андриишин,
А. А. Варламов, С. Н. Волков, Е. Г. Ларченко, И. Ф. Полунин,
М. Д. Спектор, Л. С. Твердовская, И. М. Стативка и др.);
оптимизация трансформации, мелиорации и размещения
угодий (Р. П. Возняк, С. Н. Волков, В. А. Кудрявцев, А. В. Купчи-
ненко, И. Ф. Полунин, В. Д. Спектор и др.);
установление оптимальных типов севооборотов, их видов,
количества, размеров и размещения, оптимизация структуры по-
50

севных площадей в проектах землеустройства (М. В. Андриишин,
A. Е. Ашенбреннер, Ф. И. Вирма, С. Н. Волков, М. В. Дроздяк,
Н. Г. Конокотин, Е. Г. Ларченко, И. Ф. Полунин, Д. А. Шубич,
X. Эльмет и др.);
моделирование системы сельского расселения, оптимизация
размещения населенных пунктов и производственных центров в
схемах и проектах землеустройства (В. В. Артеменко, Н. А.
Кузнецов, М. Д. Лесечко, М. О. Лоцмер, М. К. Недайводов, И. Ф.
Полунин, И. И. Пономаренко, М.Д. Спектор, А. А. Старков и др.);
определение оптимального состава и структуры комплекса
противоэрозионных мероприятий (С. Н. Волков, И. П. Здоров-
цов, П. И. Казьмир, Н. Г. Конокотин, Л. М. Оливсон и др.);
другие экономико-математические задачи проектов
землеустройства, связанные со сметно-финансовыми расчетами, агро-
экономическим обоснованием проектных решений, а также
порайонными особенностями землеустройства (Б. Л. Бейенсон,
B. П. Загородников, В. А. Махт, С. Г. Мирошниченко и др.).
В это время встал вопрос о широком внедрении уже
разработанных экономико-математических задач в землеустроительное
производство. В связи с этим Всероссийское производственное
проектное объединение по использованию земельных ресурсов
«Росземпроект» (директор А. 3. Родин) стало проводить
постоянные семинары-встречи по теме «Внедрение
экономико-математических методов и ЭВМ в землеустройстве и земельном
кадастре» на ВДНХ СССР, а также в помещениях объединения.
Пропагандировался опыт наиболее успешно работающих институтов и
филиалов Росземпроекта по экономико-математическому
моделированию землеустроительных процессов: Волговятгипрозема
(руководитель работ Б. Л. Бейенсон), Башкирского филиала Вол-
гогипрозема (И. Д. Стафийчук, Г. Д. Ивонина), Дальгипрозема
(Б. П. Чуриков, В. Г. Лыгин), Мосгипрозема (М. И. Химиченко),
«ЦЧО Гипрозема» (Н. П. Покидько) и др. Результаты встреч
публиковались в экспресс-информации МСХ РСФСР (М.:
Росземпроект, 1980. — № 12), Госагропрома РСФСР (М.: Росземпроект,
июнь 1987) и в других сборниках.
В 1981—1983гг. ГИЗР (директор СИ. Носов) взял на себя
инициативу подготовить Рекомендации по применению
экономико-математических методов и моделей в землеустройстве в 6
частях (руководитель работ М. В. Андриишин). Данные
рекомендации предназначались для научно-методического и
практического руководства при составлении и технико-экономическом
обосновании проектных решений по землеустройству в гипрозе-
мах, а также для использования в научно-исследовательских
организациях и учебных заведениях.
В свет вышли три выпуска этих рекомендаций: выпуск 1
«Введение в моделирование (общие положения)», написанный
М. В. Андриишиным (М.: Колос, 1983); выпуск 3 «Методика
51

экономико-математического обоснования решений в схемах
землеустройства и проектах межхозяйственного землеустройства»,
подготовленный М. В. Андриишиным, И. М. Стативкой, М.Д. Спек-
тором и др. (М., 1982); выпуск 4 «Методика по
экономико-математическому моделированию внутрихозяйственного
землеустройства», составленный М. В. Андриишиным, С. Н. Волковым,
Л. С. Твердовской и др. (М.: ГИЗР, 1981).
В начале 80-х годов стали проводиться также тематические
семинары по применению экономико-математических методов в
землеустройстве. Так, например, в июне 1982 г. кафедра
землеустройства Эстонской СХА и сектор экономики использования
земли Института экономики АН ЭССР провели в Тарту на базе
сельскохозяйственной академии научный семинар
«Оптимизация структуры и размещения севооборотов при помощи ЭВМ» и
опубликовали тезисы его докладов (Тарту: ЭСХА, 1982).
С середины 70-х годов большая работа по применению
экономико-математических методов стала проводиться на
землеустроительном факультете Харьковского ордена Трудового Красного
Знамени сельскохозяйственного института имени В. В.
Докучаева под руководством доцента, декана, заведующего кафедрой
земпроектирования И. М. Стативки. В 1970 г. он написал статью
«Применение экономико-математических методов при
проектировании кормовых севооборотов» (Научные труды ХСХИ. —
Харьков, 1970.-Т. 140).
В 1976 г. им совместно с А. Л. Симоняном была опубликована
статья «Установление оптимального чередования культур в
севообороте с помощью экономико-математических методов»
(Научные труды ХСХИ. - Харьков, 1976. - Т. 218. - С. 67-74). В
1977 г. он выпустил работу «Применение
экономико-математических методов при составлении и обосновании проектов
внутрихозяйственного землеустройства» (В кн.: Землеустройство колхозов
и совхозов. — Киев: Урожай, 1977. — С. 191—221), а еще через два
года —статью «Экономико-математическая модель оптимизации
использования сельхозугодий в схеме землеустройства
административного района в условиях специализации
сельскохозяйственного производства на базе межхозяйственной кооперации»
(Научные труды ХСХИ. - Харьков, 1979. - Т. 265. - С. 28-34).
В 1985 г. вышло его учебное пособие
«Экономико-математические методы и моделирование в землеустройстве» (Харьков:
Изд. Харьковского СХИ, 1985), в котором нашел отражение опыт
применения экономико-математических методов в учебном
процессе Харьковского СХИ.
В начале 80-х годов экономико-математические исследования
начали развиваться и на землеустроительном факультете
Омского ордена Ленина сельскохозяйственного института имени
С. М. Кирова в основном благодаря усилиям Г. П. Березенко,
Е. Б. Допиро, Н. Н. Михайлова, Ю. М. Рогатнева и др. (Научные
52

труды ОСХИ, т. 147, 1975; т. 155, 1976 и др.). В это время
представителями Омской землеустроительной школы В. А. Махтом,
B. А. Руди была разработана автоматизированная
информационная система оценки земель, которая активно апробировалась при
экономическом обосновании проектов землеустройства.
Так, в 1987г. С. Н. Дудницким, В. А. Махтом, B.C. Миселе-
вым была опубликована статья «Анализ и совершенствование
организации использования и устройства территории пашни с
применением земельнооценочных данных и ЭВМ» в сборнике
«Актуальные вопросы земельного кадастра и
землеустроительного проектирования в условиях Сибири на современном этапе»
(Изд. Омского СХИ, 1987. — С. 40—43). В этом же сборнике были
помещены статьи В. С. Миселева «Структура
автоматизированной системы организации использования пашни и ее
информационное обеспечение» (с. 36—40) и В. Н. Щербы, В. П. Лузина
«К вопросу о применении ЭВМ в практике составления проектов
землеустройства в условиях Западной Сибири» (с. 44—47). Эти
работы отражали растущий интерес к развитию
автоматизированных технологий в землеустройстве.
Тем не менее главным центром научных исследований в
области применения математических методов и моделирования в
землеустройстве по-прежнему оставался МИИЗ (с 1992 г.—
Государственный университет по землеустройству), точнее,
кафедра землеустроительного проектирования этого вуза (с 1992 г. —
кафедра землеустройства).
В 1984 г. доц. Л. С. Твердовская и доц. С. Н. Волков подготовили
новые методические указания и рабочие тетради по курсу
«Применение экономико-математических методов в землеустройстве» (М.:
МИИЗ, 1984), которые использовались большинством
землеустроительных факультетов сельскохозяйственных вузов страны. В
1986 г. доц. В. А. Кудрявцев выпустил для слушателей факультета
повышения квалификации по землеустроительной специальности
методические указания, задания и упражнения по курсу
«Применение вычислительной техники и экономико-математических
методов в землеустройстве» в двух частях (М.: МИИЗ, 1986).
В 1987 г. под редакцией проф. С. Н. Волкова вышли в свет
новые методические указания и задания для выполнения расчетно-
графических работ по курсу «Экономико-математические
методы и моделирование в землеустройстве» (М.: МИИЗ, 1987),
составленные С. Н. Волковым, Н. Г. Конокотиным, А. В. Купче-
ненко, А. Л. Ликефетом, Е. М. Чепуриным.
В период с 1985 по 1987 г. в МИИЗ благодаря усилиям
C. Н. Волкова, В. А. Кудрявцева и В. К. Мизюрина были
заложены теоретические и практические основы нового научного
направления, касающегося разработки и применения программ
автоматизированного землеустроительного проектирования.
Данные программы позволяли в автоматизированном режиме на
53

ЭВМ разрабатывать матрицы экономико-математических задач и
решать их, экономически обосновывать и получать различные
землеустроительные решения в диалоговом режиме на ЭВМ,
исследовать различные процессы и операции. В эти годы к
практической работе по составлению различных пакетов прикладных
программ привлекались сотрудники кафедры вычислительной
техники МИИЗ и программисты вычислительного центра
института: проф. М. И. Коробочкин, доц. В. С. Бережное, К. Е.
Боровой, В. С. Красницкий, математики-программисты А. Абовян,
Г. И. Розенбладт и др.
Основные проектные задачи, отработанные в этот период и
включенные в автоматизированную систему:
установление размеров землевладений и землепользовании
сельскохозяйственных предприятий и крестьянских хозяйств с
оптимизацией структуры производства в ходе перераспределения
земель (программа «Фермер»);
оптимизация агроэкономического обоснования проектов
внутрихозяйственного землеустройства с применением
автоматизированных технологий (программы «Нива», «Колос»);
проектирование оптимального комплекса мелиоративных,
природоохранных и противоэрозионных мероприятий
(программы «Эрозия», «Мелиорация», «Трансформация»);
выбор рациональных систем земледелия и землеустройства на
основе агроэкологической оценки территории (программа «Се-
ворборот») и др.
В 1988 г. в связи с созданием Учебно-методического
объединения вузов страны по специальности «Землеустройство» (в
дальнейшем преобразовано в УМО вузов России по образованию
в области землеустройства и кадастров) были переработаны
учебные планы подготовки инженеров-землеустроителей. С 1988 г.
вместо дисциплины «Экономико-математические методы в
землеустройстве» в учебный план был введен новый предмет
«Экономико-математические методы и моделирование в
землеустройстве». На кафедре землеустроительного проектирования
МИИЗ, где читался этот курс, проф. С. Н. Волков, доц. Л. С. Твер-
довская и А. В. Купчиненко разработали новую учебную
программу, принятую УМО для всех землеустроительных
факультетов сельскохозяйственных вузов страны. А в 1991 г. под
редакцией С. Н. Волкова и Л. С. Твердовской вышел первый «Практикум
по экономико-математическим методам и моделированию в
землеустройстве» (М.: Агропромиздат, 1991), используемый в
качестве учебного пособия и в настоящее время. Авторами данного
практикума стали С. Н. Волков, Н. Г. Конокотин, В. С.
Красницкий, В. К. Мизюрин, И. М. Стативка, Л. С. Твердовская,
Е. М. Чепурин.
Развитие цифровой фотограмметрии и картографии,
появление новых средств получения и обработки топографо-геодези-
54

ческой информации (электронных тахеометров, спутниковых
систем—JPS), создание геоинформационных и
земельно-информационных систем (JIS, LIS), автоматизация земельного
кадастра поставили перед землеустроительным проектированием
новые задачи. Математические методы в землеустройстве
необходимо было связать с цифровыми моделями местности, а
автоматизированные методы землеустроительного
проектирования—с новыми информационными системами. Для этого в
1990 г. в МИИЗ при кафедре землеустроительного
проектирования была создана госбюджетная лаборатория
автоматизированного землеустроительного проектирования под научным и
методическим руководством проф. С. Н. Волкова (зав. лабораторией
В. В. Бугаевская), оснащенная самыми современными
средствами вычислительной техники (компьютерами, дигитайзерами,
плоттерами, сканерами и др.), которые постоянно обновлялись и
пополнялись. В штате лаборатории числились 12 программистов
и операторов, с которыми постоянно работали 10
преподавателей кафедры землеустроительного проектирования.
В начале 90-х годов ГИЗР был передан в ведение
республиканских органов управления, а затем в 1992 г. фактически вошел
в систему Московского областного управления сельского
хозяйства, работая параллельно с МосНИИПИ землеустройства, а
затем в его составе. В связи с этим, а также с недостаточностью
финансирования ГИЗР потерял функцию координации научных
исследований по применению экономико-математических
методов и моделирования в землеустройстве.
Государственный земельный комитет (Госкомзем)
фактически не финансировал эти исследования в 90-е годы, а
образованный при ГУЗ НИИ земельных отношений и землеустройства
также не имел экономико-математической тематики, хотя и
занимался автоматизацией расчетов по составлению
бизнес-планов развития сельскохозяйственных предприятий.
В этих условиях основную функцию координации экономико-
математических научных исследований и учебно-методического
обеспечения взяло на себя УМО вузов России по
образованию в области землеустройства и кадастров. Его председателем с
1997 г. стал заслуженный деятель науки Российской Федерации,
чл.-корр. РАСХН, д-р экон. наук, проф. С. Н. Волков,
возглавивший также кафедру землеустройства ГУЗ с лабораторией
автоматизированного землеустроительного проектирования (зав.
лабораторией доц. В. В. Бугаевская). В 1994—1998 гг. на кафедре была
выпущена следующая учебно-методическая литература по
рассматриваемым вопросам:
Безгинов А. Н. Экономико-математические модели в
землеустройстве (линейные модели)/Под ред. С. Н. Волкова. — Ч. 1 и
2.-М.: ГУЗ, 1994;
Волков С. Н., Бугаевская В. В., Пименов В. В., Красницкий В. С.
55

Автоматизация землеустроительного проектирования. — Лекция/
Под ред. С. Н. Волкова. — М.: ГУЗ, 1994;
Волков С. Н., Безгинов А. Н. Экономико-математические
модели в землеустройстве (методические основы применения
производственных функций при решении землеустроительных
задач). -Ч. 3. - М.: ГУЗ, 1997;
Волков С. Н., Твердовская Л. С, Бугаевская В. В. Экономико-
математические модели в землеустройстве. Задания для
выполнения расчетно-графических, лабораторных, контрольных и
самостоятельных работ. — М.: ГУЗ, 1998.
Кроме того, по курсу «Экономико-математические методы и
моделирование в землеустройстве» были изданы:
Методические указания для выполнения курсовых работ
(С. Н. Волков, В. В. Бугаевская — М.: ГУЗ, 1994);
Методические указания для разработки курсового проекта
(С. Н. Волков, В. В. Бугаевская, А. В. Купчиненко, Л. С.
Твердовская-М.: ГУЗ, 1995).
В дополнение к этим указаниям вышло в свет 10 следующих
выпусков примеров решения землеустроительных экономико-
математических задач:
Волков С. Н., Бугаевская В. В. Оптимизация структуры
посевных площадей в хозяйстве. — Вып. 1. — М.: ГУЗ, 1994;
Твердовская Л. С, Бугаевская В. В. Организация
кормопроизводства и животноводства в условиях арендного подряда и
использование пашни в системе севооборотов. — Вып. 2. — М.: ГУЗ, 1994;
Купчиненко А. В., Бугаевская В. В. Оптимизация размещения
сельскохозяйственных культур и севооборотов с учетом степени
радиоактивного загрязнения почв. — Вып. 3 — М: ГУЗ, 1994;
Волков С. Н., Бугаевская В. В. Установление размера и
структуры землевладения крестьянского хозяйства с использованием
экономико-математических методов. — Вып. 4. — М.: ГУЗ, 1994;
Твердовская Л. С, Бугаевская В. В. Планирование
оптимального сочетания и использования орошаемых и неорошаемых
земель в сельскохозяйственном производстве. — Вып. 5. — М.: ГУЗ,
1994;
Крестникова Н. И., Бугаевская В. В. Оптимизация
производственной структуры сельскохозяйственного предприятия в
условиях техногенного загрязнения его территории. — Вып. 6. — М.:
ГУЗ, 1994;
Твердовская Л. С, Бугаевская В. В. Определение оптимальной
производственной программы сельскохозяйственного
предприятия. - Вып. 7. - М.: ГУЗ, 1994;
Твердовская Л. С, Бугаевская В. В. Определение оптимальной
специализации производства и сочетания отраслей в
сельскохозяйственном предприятии. — Вып. 8. — М.: ГУЗ, 1994;
Твердовская Л. С. Бугаевская В. В. Схема зеленого
конвейера. - Вып. 9. - М.: ГУЗ, 1994;
56

Пименов В. В. Оптимизация трансформации угодий. —
Вып. 10. - М.: ГУЗ, 1994.
Под руководством кафедры землеустройства и лаборатории
автоматизированного землеустроительного проектирования ГУЗ
проходят ежегодные научные семинары по применению
экономико-математических методов и моделирования в землеустройстве; в
университете специальные тематические доклады заслушиваются
на конференциях. Тем самым университет через
Учебно-методическое объединение вузов России (которое к началу 1999 г.
включало 36 вузов РФ и 10 вузов стран СНГ) координирует научную и
учебно-методическую работу в данном направлении.
Контрольные вопросы и задания
1. Когда и в каких странах возникла идея применения математики в плановых и
экономических расчетах?
2. Назовите отечественных и зарубежных ученых, впервые разработавших и
применивших на практике экономико-математические методы.
3. Какие учреждения и организации занимались применением
экономико-математических методов и моделирования в аграрно-экономической науке?
4. Какие основные типы экономико-математических задач решались при
организации и планировании сельскохозяйственного производства в 60-, 70-, 80- и
90-е годы XX в.?
5. Какие научные школы существовали и вели экономико-математические
исследования в аграрной сфере?
6. Когда начали применяться экономико-математические методы в
землеустройстве?
7. Какова роль Московского института инженеров землеустройства (ныне
Государственного университета по землеустройству) в развитии
экономико-математического направления в землеустроительной науке?
8. Какие учреждения в разное время координировали это направление
исследований в нашей стране?
9. Назовите ведущих российских ученых, внесших вклад в развитие
экономико-математических исследований в землеустройстве.
10. Как можно оценить нынешнее положение дел в области применения
экономико-математических методов и моделирования в землеустройстве?
Глава 3
КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ,
ПРИМЕНЯЕМЫХ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ
3.1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
И МОДЕЛИРОВАНИЕ
Математические модели, применяемые в экономических
исследованиях, получили название экономико-математических.
Однако часть этих моделей, разработанных для исследования
экономических процессов, впоследствии стала эффективно
применяться и в других областях, например в геодезии,
землеустройстве и т. д.
57

Экономико-математические исследования как своеобразный
метод научного познания в экономике зародились практически
одновременно с возникновением экономической науки. В
XVIII в., на заре развития классической экономической теории,
французский экономист Франсуа Кенэ (1694—1774) создал
«экономическую таблицу», рассматривающую все многообразие
индивидуальных актов создания и обмена материальных ценностей
как единый народнохозяйственный процесс производства и
распределения. Ее можно считать первым опытом
макроэкономического анализа.
Первая работа, в которой применялись математические
модели для исследования экономических процессов, вышла в
1838г. —это «Математические основы теории богатства» Огюс-
та Курно. Правда, нельзя сказать, что с этого момента
математические методы стали быстро развиваться; в то время еще не
было соответствующих объективных предпосылок. Хозяйство
даже развитых стран было относительно несложным,
характеризовалось небольшим количеством связей и простой
структурой. Экономические отношения между отдельными
экономическими субъектами можно было увидеть невооруженным
глазом.
Одним из первых исследователей, который понял значение
математики для экономики, был К.Маркс (1818—1883),
использовавший ее в своем фундаментальном труде «Капитал» при
обосновании теории прибавочной стоимости и при анализе
процесса воспроизводства общественного капитала. Им были
построены двухсекторные модели простого и расширенного
воспроизводства, которые стали теоретической и методологической базой
важного раздела современной экономической науки —
межотраслевого баланса.
Маркс применял также факториальный анализ, линейные и
степенные функции многих переменных. «Норма прибыли
является функцией нескольких переменных, и если мы желаем
узнать, как влияют эти переменные на норму прибыли, мы должны
по порядку исследовать обособленное влияние каждой из них...»
(К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., 2-е изд. — Т. 23. — М., 1960). С
помощью числовых табличных моделей К. Маркс анализировал
формирование дифференциальной земельной ренты. В письме к
Ф. Энгельсу он указывал, что из таблиц можно «математически
вывести главные законы кризисов» (К. Маркс и Ф. Энгельс.
Соч., 2-е изд. —Т. 33. — М., 1960).
Известны также «Математические рукописи» К. Маркса.
В России на рубеже XX в. количественные методы
исследований в экономике применял В. И. Ленин (1870—1924). Уже в
своей ранней работе «По поводу так называемого вопроса о рынках»
он усовершенствовал модель расширенного воспроизводства
К. Маркса, модель рыночной реализации общественного продук-
58

та, а также числовые таблицы использовались для критики
взглядов народников о развитии капитализма в России.
Широкое использование экономико-математического
моделирования было характерно для советской экономической науки;
достаточно назвать имена Л. В. Канторовича, В. С. Немчинова,
В. В. Новожилова, Н. П. Федоренко и др. Ими были
сформулированы понятия экономико-математической модели и
моделирования, причем модель понималась как «упрощенное
выражение хозяйственных процессов, которое должно возможно более
правильно отразить существенные черты реальности» (Б. Минц).
А. Ф. Карпенко указывал, что экономико-математическая модель
представляет собой «формализованную экономическую теорию,
промежуточное звено между абстрактным мышлением и
объективной действительностью».
По определению В. С. Немчинова, экономико-математическая
модель есть «концентрированное выражение существенных
взаимосвязей и закономерностей экономического явления в
математической форме». Примерно такого же мнения придерживались
М. Е. Браславец, Р. Г. Кравченко, И. Г. Попов, С. 3. Толпекин,
И. А. Столяров и др., хотя и выделяли при этом в качестве объекта
моделирования различные аспекты экономической системы.
Обобщая имеющиеся определения, а также исходя из анализа,
проведенного в предыдущем разделе, мы можем сделать
следующие выводы.
1. Экономико-математическая модель относится к разряду
математических и соответственно представляет собой некоторое
абстрактное описание объектов, явлений или процессов с
помощью знаков и символов. Другими словами, она имеет вид
определенной совокупности математических уравнений или
неравенств, матриц, формул, таблиц или других средств
математического описания изучаемых объектов.
2. Экономико-математические модели обладают всеми
общими свойствами, присущими и другим типам моделей (она
подобна изучаемому объекту и отражает его наиболее существенные
качества, при исследовании способна замещать данный объект, а
также давать информацию не только о самом объекте, но и о его
предполагаемом или возможном поведении).
3. Экономико-математическая модель — это модель, которая
изучает именно экономический объект, явление или процесс. На
основе этого она выявляет определенные закономерности и дает
возможность сознательно использовать объективные
экономические законы при планировании и организации производства, то есть
позволяет находить и устанавливать определенный экономический
порядок. По мнению известного американского ученого Норберта
Винера, высшее назначение математики как раз и состоит в том,
чтобы «...находить скрытый порядок в хаосе, который нас
окружает» (Н.Винер. Кибернетика. — М.: Советское радио, 1958).
59

Математические модели, применяемые в землеустройстве,
имеют свои особенности. Это связано с тем, что земля, являясь
главным средством производства в сельском хозяйстве, имеет
ряд специфических свойств, которые сильно отличают ее от
других. Кроме того, использование земли как природного фактора
зависит от привлечения других ресурсов (трудовых, денежных,
материальных). Местоположение хозяйства, его обеспеченность
трудовыми ресурсами, основными средствами, наличие
инвестиций, направляемых на его развитие, его специализация
оказывают серьезное влияние на использование и охрану земель.
Таким образом, размеры и организация производства и
территории взаимосвязаны и взаимообусловлены, причем в каждом
конкретном случае возможны различные варианты их
соотношения. Поэтому землеустроительные экономико-математические
модели должны давать сведения не только об экономических
характеристиках производства, но и об использовании земли, быть
привязаны к конкретным участкам со всеми их особенностями.
3.2. ТИПЫ, ВИДЫ И КЛАССЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ,
ПРИМЕНЯЕМЫХ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ
В настоящее время для решения землеустроительных задач
различных классов используются разнообразные виды
экономико-математических моделей, позволяющих давать анализ
использования земельных ресурсов, выявлять определенные
тенденции и находить оптимальные варианты устройства
территории. Классификация моделей, применяемых в землеустройстве,
всегда базировалась на аналогичных классификациях,
используемых в аграрной экономике.
Так, например, Р. Г. Кравченко разделял
экономико-математические модели на три группы (Кравченко Р. Г., Попов И. Г.,
Толпекин С. 3. Экономико-математические методы в
организации и планировании сельскохозяйственного производства. —
Изд. 2-е.-М.: Колос, 1973):
— корреляционные модели и производственные функции,
позволяющие отразить степень влияния различных факторов на
результаты производства, обосновать нормативы, сделать прогнозы
состояния и динамики процессов воспроизводства;
балансовые модели, обеспечивающие обоснование пропорций
воспроизводства, его факторов и результатов;
----- модели оптимизации, дающие возможность выбора
наилучших вариантов развития экономических систем на основе
использования аппарата математического программирования.
Более детальную классификацию моделей дает М. Е. Брасла-
вец (Браславец М. Е. Экономико-математические методы в
организации и планировании сельскохозяйственного производ-
60

ства. — М.: Экономика, 1971; Браславец М. Е., Кравченко Р. Г.
Математическое моделирование экономических процессов в
сельском хозяйстве. — М.: Колос, 1972). Он выделял две большие
группы экономических моделей: экономико-статистические
(корреляционное уравнение, отражающее связь зависимого и
нескольких независимых факторов) и экономико-математические
(таблица чисел, связанных в единую систему функциональных
уравнений различного типа). Последние М. Е. Браславец делил
на детерминистические и стохастические.
к К детерминистическим относились модели, в которых
результат полностью и однозначно определялся набором независимых
переменных. Эти модели строились на основе правил линейной
алгебры и представляли собой системы уравнений, совместно
решаемых для получения искомых результатов. В свою очередь,
они подразделялись на балансовые (обычно имеющие форму
шахматного баланса и записываемые в виде квадратных матриц)
и оптимизационные, предназначенные для отыскания
оптимальных решений методами математического программирования.
К стохастическим относились модели, описывающие
случайные процессы, подчиняющиеся законам теории вероятностей.
Это были модели, основанные на выравнивании статистических
рядов, а также позволяющие анализировать эмпирические
закономерности, не выражающиеся строго функциональными
зависимостями.
Приведенная группировка в основном отражает состав
моделей, применяемых и в землеустройстве. Главный ее недостаток —
отсутствие единого классификационного признака, который
позволил бы произвести четкое деление. Например,
оптимизационные модели могут быть не только детерминистическими, но и
стохастическими (в этом случае оптимальное решение находится
методами стохастического программирования). Большинство
экономико-статистических моделей также может иметь
стохастический характер, то есть описывать влияние случайных факторов.
Для классификации математических моделей, применяемых в
землеустройстве, целесообразно использовать пять основных
классификационных признаков (табл. 1).
1. Классификация математических моделей, применяемых в землеустройстве
Классификационный признак
Виды моделей
Вид проектной документа- Графические
ции Экономические
Степень определенности ин- Детерминистические
формации Стохастические
Вид (форма) землеустрой- Межотраслевые
ства или землеустроительно- Межхозяйственного землеустройства
го действия Внутрихозяйственного землеустройства
Рабочего проектирования
61

Продолжение
Классификационный признак
Виды моделей
Математические методы, ле- Аналитические (дифференциального исчисления)
жащие в основе модели Экономико-статистические (математической
статистики)
Оптимизационные (математического
программирования)
Балансовые (межотраслевого баланса)
Сетевого планирования и управления
Прочие
Класс проекта землеустрой- Распределяются по классам проектов
землеустройства ства*
* Землеустроительное проектирование. — М.: Колос, 1997. — С. 47—48. Здесь
выделено 37 классов таких проектов.
По первому признаку модели делятся на два типа:
графические и экономические, что обусловлено рядом причин. Прежде
всего землеустроительные решения всегда выражаются в виде
определенной пространственной организации территории
(система севооборотов, полей, рабочих участков, дорог, лесополос,
границ и т.д.). Далее, с ней тесно связаны система расселения и
организация производства. Таким образом, любое
землеустроительное решение можно, с одной стороны, «посмотреть» (на
плане, на местности, в проекте), с другой — просчитать через
показатели эффективности производства и оценить, насколько оно
выгодно.
Землеустроительная документация всегда делилась на две
части — графическую и текстовую, причем основу последней
составляли расчеты. С развитием информатики и средств
вычислительной техники появилась возможность иметь самостоятельные
математические модели для графической и расчетной частей, что
и определяет необходимость соответствующего деления.
Графические модели могут считаться экономико-математическими
лишь условно, так как они лишь характеризуют в цифровом виде
условия производства (например, дают цифровую модель
местности). Тем не менее они тесно связаны с моделями организации
производства и территории, которые и являются собственно
экономическими.
Графические математические модели характеризуют различные
элементы проекта землеустройства или их совокупности,
которые показываются на проектном плане; к ним относятся
площадные, линейные и точечные объекты.
Площадные объекты — это отдельные землевладения и
землепользования, севообороты, их поля и рабочие участки, загоны
очередного стравливания, гуртовые (отарные) участки,
пастбище- и сенокосообороты, бригадные участки и т. д. Они характе-
62

ризуются площадью, координатами поворотных точек и центра
тяжести, что позволяет определять местоположение этих
участков, их форму и другие параметры.
Линейные объекты представляют собой линейные элементы
организации территории. К ним относятся полевые и
магистральные дороги, лесополосы, инженерные коммуникации
(газопроводы, ЛЭП и др.), отдельные границы участков, зон и т.д.
Эти объекты могут размещаться на местности в виде прямых и
ломаных линий, а также в виде кривых. Они характеризуются
протяженностью, шириной, координатами начальных, конечных
и промежуточных точек.
Точенные объекты позволяют определять на местности
местоположение отдельных инженерных сооружений (таких,
например, как колодцы, родники, буровые вышки и т.д.). Их
размещение характеризуется местоположением.
Графические модели следует отличать от геометрических, так
как первые имеют только математический характер и
обязательно цифровой или числовой вид. Вторые могут давать
характеристику графической части проекта и в традиционной форме
(например, в виде чертежа, оформленного вручную).
Экономические модели, применяемые в землеустройстве,
представляют собой выраженные в математической форме различные
расчеты по проектам землеустройства. К ним относятся модели
агроэкономического обоснования проектов
внутрихозяйственного землеустройства, технико-экономических обоснований (ТЭО)
проектов межхозяйственного землеустройства, сметно-финансо-
вые расчеты рабочих проектов и др.
В зависимости от степени определенности информации,
используемой в математических моделях, они делятся на два вида:
детерминированные и стохастические.
Детерминированные модели основаны либо на абсолютно
точной информации, либо на сведениях, которые условно
считаются точными. Полученные с использованием этих моделей
данные находятся в функциональной связи с набором независимых
переменных, то есть решения задач полностью и однозначно
определяются этим набором переменных.
Стохастические модели основаны на информации, имеющей
стохастический (вероятностный) характер. Например, при
планировании урожайности сельскохозяйственных культур
(результат) невозможно знать заранее будущие погодные условия
(факторы). Эти условия задаются в моделях с определенной степенью
вероятности. Соответственно полученные результаты также
будут устанавливаться с определенной степенью вероятности.
Исходя из вида (формы) землеустройства или
осуществляемого землеустроительного действия, народнохозяйственного
значения землеустроительных проблем и охвата объектов
землеустроительного проектирования, математические модели подразделя-
63

ются на четыре основных класса: межотраслевые,
межхозяйственного землеустройства, внутрихозяйственного
землеустройства и рабочего проектирования.
Межотраслевые модели обеспечивают решение задач по
прогнозированию и оптимальному планированию использования
земельных ресурсов и их охране по стране в целом, на уровне
субъекта Федерации, местной администрации и т. п.
Модели данного класса позволяют оптимизировать
распределение земель по категориям земельного фонда страны (земли
сельскохозяйственного назначения; промышленности,
транспорта, связи, обороны и иного специального назначения;
лесного фонда; запаса и др.), решать задачи по развитию
агропромышленного производства в регионах, по планированию и
осуществлению природоохранных мероприятий и т. д.
Основным видом землеустроительных работ, включающим
модели этого класса, является разработка генеральных схем
использования и охраны земель страны (субъекта Федерации) и
схем и землеустройства административных районов и других
территорий, находящихся в ведении местных администраций.
Модели межхозяйственного землеустройства позволяют решать
задачи по перераспределению земель между хозяйствами; по
образованию или упорядочению землевладений и
землепользовании сельскохозяйственного и несельскохозяйственного
назначения; по установлению границ
административно-территориальных образований, черты населенных пунктов и т. п. К данному
классу относятся задачи по определению оптимальных размеров
землепользовании и рациональному размещению производства
на территории, по наиболее целесообразной ликвидации
недостатков в использовании земельных ресурсов и др.
Модели внутрихозяйственного землеустройства предназначены
для решения вопросов наиболее полного, рационального и
эффективного использования земель и организации производства в
конкретных сельскохозяйственных предприятиях. Основные
задачи данного класса — установление оптимального сочетания
отраслей, состава и площадей угодий; определение видов,
количества и площадей севооборотов и их размещение; рациональная
организация кормопроизводства; планирование грузоперевозок;
планирование комплекса мелиоративных работ; оптимальная
трансформация угодий; оптимизация размеров
производственных подразделений и др.
Модели рабочего проектирования обеспечивают решение
различных задач, связанных с землеустройством конкретных
земельных участков и инвестициями в эти земли (создание
орошаемых культурных пастбищ, выполаживание оврагов,
трансформация и мелиорация земельных участков, строительство прудов,
дорог и дорожных сооружений, закладка многолетних
насаждений и т. п.).
64

Сложность математических моделей каждого класса зависит
от числа учитываемых факторов и характера взаимосвязи между
ними, от наличия, точности и достоверности исходной
информации и от особенностей изучаемого процесса или явления. Кроме
того, она определяется и конструктивными особенностями
модели (количеством переменных, их степенью, количеством
условий, видом целевой функции и др.).
В практической работе большое значение имеет
классификация экономико-математических моделей в зависимости от
лежащих в их основе математических методов. По этому признаку все
модели можно разделить на аналитические,
экономико-статистические, оптимизационные (нередко именно их называют
экономико-математическими, так как в общей системе моделей они
занимают главное место), балансовые, сетевого планирования и др.
Для использования моделей указанных типов необходимо
хорошо знать соответствующие методы (математической
статистики, математического программирования и т.д.). Вместе с тем ряд
землеустроительных задач требует разработки нестандартного
математического аппарата, особых методов моделирования.
Аналитические модели в землеустройстве основаны на
применении кЗТаееичеокоре- математического аппарата (алгебра,
дифференциальное и интегральное исчисление, геометрия,
тригонометрия, математический анализ); при этом требуются
доказательство различных теорем и вывод необходимых формул.
Как правило, аналитические модели имеют вид формул и
отражают функциональные зависимости. Каждому определенному
значению фактора (независимой переменной) или множества
факторов соответствует строго определенное значение
результата. Типичным примером аналитической модели является
формула для расчета условной длины поля (рабочего участка) L:
L 5Р
ЪН + c + d'
где Р— площадь поля, м2; Н— высота (геометрическая) на фигуре поля, mj с +d—
сумма длин линий, не параллельных основному направлению обработки поля
(рабочего участка), м.
С помощью аналитических моделей в землеустройстве
рассчитывают, как правило, технические показатели проектов:
средние расстояния, рабочие уклоны, коэффициенты компактности
землепользовании и др.
Экон(тико-стапшстические л*оде/?ц_базируются на
использовании теории вёроятносте?1Г методов математической статистики
(корреляционного, регрессионного, дисперсионного анализа,
теории выборок и т.д.). Главное место среди них занимают
производственные функции, представляющие собой уравнения
статистической (усредненной) связи зависимой переменной (результа-
65

та) и факторов-аргументов. С помощью этих моделей при
землеустройстве рассчитывают прогнозируемую урожайность культур,
продуктивность животных, а также некоторые параметры
организации территории (распаханность, облесенность,
освоенность). Они полезны также при анализе уровня использования
земли; с их помощью подготавливается необходимая
информация для применения оптимизационных методов, производится
обоснование землеустроительных проектных решений.
Экономико-статистические модели могут быть
функциональными и корреляционными. Первые, по сути, идентичны
аналитическим моделям, но основаны на статистической информации. А
поскольку строго функциональные связи (когда значению
факторов в уравнении соответствует точно определенное значение
результата) в экономике встречаются очень редко, эти модели
практически не используются в землеустройстве. Вторые
(корреляционные) модели базируются на статистических (верных лишь
в среднем) связях между факторами. Они могут обладать разной
степенью достоверности, так как описывают случайные
процессы. Уровень достоверности модели оценивается специальным
показателем (так называемым коэффициентом корреляции).
Оптимизационные модели основаны главным образом на
методах математического программирования, позволяющих находить
экстремальные (минимальные или максимальные) значения
целевой функции по искомому перечню переменных при заданных
условиях.
Например, в процессе решения задачи необходимо найти
такие размеры сельскохозяйственного предприятия (общая
земельная площадь, состав земельных угодий и отраслей — искомые
переменные), которые, исходя из его специализации, фондоосна-
щенности и трудообеспеченности (задаваемые условия), давали
бы максимальную прибыль (максимальное значение целевой
функции).
Оптимизационные модели в землеустройстве делятся на две
разновидности: комбинированные и дифференцированные. При
комбинированном моделировании все вопросы
землеустроительного проекта решаются комплексно в их взаимообусловленности
и взаимозависимости. Такой подход в принципе правильнее,
однако он приводит к громоздким задачам, решение которых
затруднительно. Суть дифференцированного моделирования
заключается в последовательном решении нескольких задач по проекту
(например, по его составным частям). Модели получаются
значительно меньшего объема, и их решение существенно
облегчается. Применение именно дифференцированного
моделирования в землеустройстве объясняется сложностью объектов и
многообразием решаемых вопросов.
Дифференцированное моделирование в известном смысле
представляет собой аппроксимацию комбинированной модели.
66

Говоря об информационных системах, У. Эшби писал: «Когда
системы становятся сложными, то их теория практически
заключается в том, чтобы найти пути их упрощения» (Эшби У.
Системы информации. — Вопросы философии. — 1964. — № 3).
Аппроксимация осуществляется различными способами: либо
модель рассматривает часть сложной системы, абстрагируясь от
всех других ее сторон (частная аппроксимация), либо она
упрощается, чтобы быть в дальнейшем запрограммированной с
последующим наращиванием информации (полная аппроксимация).
Этот способ предполагает последовательное накопление в серии
аппроксимирующих (частных) моделей информации обо всей
моделируемой системе с неуклонным продвижением от бедных
информацией моделей малого числа измерений ко все более
информационно емким моделям. Так поступают и при
последовательной проверке алгоритма модели.
Например, при организации угодий и севооборотов (одна из
составных частей проекта внутрихозяйственного
землеустройства) моделируются и решаются следующие задачи: установление
состава угодий и их площади; планирование трансформации,
улучшения и размещения угодий; установление типов, видов,
числа севооборотов и внесевооборотных участков, их
размещение.
При решении отдельных вопросов организации угодий и
севооборотов с использованием моделей будет иметь место
дифференцированное моделирование, при совместном —
комплексное. Однако следует иметь в виду, что при
дифференцированном моделировании каждой составной части проекта
необходимо учитывать взаимосвязь всех проектировочных
решений по организации угодий и севооборотов, что предполагает
совместное применение как моделирования, так и
традиционных методов.
Аппроксимация моделей связана с таким их важным
свойством, как унификация. На базе унифицированных моделей
(упрощенных и пригодных для решения широкого круга
землеустроительных задач) возможно широкое применение
автоматизированных компьютерных технологий.
Оптимизационные модели применяются, как правило, для
разработки наилучших (с точки зрения выбранного критерия)
проектных землеустроительных решений. Основу их составляют
оптимальные варианты организации производства и территории
сельскохозяйственных предприятий, а также наиболее
эффективные варианты развития землевладения и землепользования
(оптимальная специализация хозяйств, необходимые размеры
перераспределения земель, оптимальные размеры и т. д.).
Балансовые модели обеспечивают обоснование и определение
наилучших пропорций территориальной организации
производства с учетом его факторов и результатов. Они имеют форму мат-
67

риц, систем таблиц и т. п. В землеустроительных расчетах могут
использоваться при обосновании проектных решений (балансы
кормов, труда, расчеты населения на перспективу, баланс
трансформации и перераспределения земель и т.д.).
Модели сетевого планирования и управления, базирующиеся на
одноименных математических методах, применяются при
планировании и организации землеустроительных работ, при
разработке планов перехода к новому составу угодий и новым
севооборотам, при составлении планов реализации проекта
землеустройства и авторского надзора.
В настоящее время модели данного класса находятся в стадии
практической разработки; часть из них будет рассмотрена ниже.
3.3. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ
Практика показывает, что экономико-математические методы
в землеустройстве оказываются полезными лишь в том случае,
когда выдержаны определенные требования к их применению.
1. Прежде всего не следует забывать, что в основе экономико-
математического моделирования лежат количественные методы
анализа. Это предполагает детальное изучение объекта
проектирования, выявление различных зависимостей и взаимосвязей, их
математическое описание в виде набора переменных величин,
уравнений, неравенств и т. д. Вместе с тем никакие
математические методы не позволят принять приемлемое решение, если не
будут в должной мере учтены выводы, полученные в ходе
качественного анализа.
В основе такого анализа лежит здравый смысл, а также знание
экономических законов, понятий и категорий, благодаря чему
исключаются логические ошибки и заведомо неприемлемые
решения. В конце концов математический аппарат — это лишь
вспомогательное средство, орудие количественного анализа, а также
техника, позволяющая более обоснованно, быстро и точно находить
нужные решения, в основе которых всегда лежат качественные
закономерности, изучаемые землеустроительной наукой.
2. Разрабатываемые модели должны учитывать
экономические, технологические, землеустроительные, технические и
другие условия, в которых находится землеустраиваемый объект.
К экономическим УСДЙШДМ относятся: размеры и сочетание
отраслей, виды ресурсов, гарантированные объемы
производства, условия реализации и распределения продукции. К
технологическим—агротехнические особенности возделывания
сельскохозяйственных культур, ветеринарные и зоотехнические
требования к выращиванию животных и т. д.
68

Землеустроительные условия характеризуют особенности
организации территории и производства (размещение
населенных пунктов, земельных массивов производственных
подразделений, производственных центров, организация угодий и
устройство территории севооборотов, качество земель и т. д.); они
составляют основу любой модели, которую предполагается
использовать при землеустроительном проектировании.
Технические условия — это наличие у разработчика средств
вычислительной техники и программного обеспечения, что
диктует требования по выбору типа моделей, размерности задач,
степени детализации решений. Другими словами,
экономико-математические модели должны быть приведены к виду,
позволяющему их решать на имеющейся вычислительной технике.
Учет всех перечисленных условий позволит построить
экономико-математическую модель, наилучшим образом
соответствующую изучаемому объекту, и избежать в последующем ее
трудоемкой доработки и многочисленных корректировок полученных
решений.
3. Возможности моделирования прямо связаны с качеством
исходной информации. Никакое решение не будет приемлемым,
даже если оно и получено с использованием самых современных
методов, если в его основе лежат недостоверные, неполные или
несвоевременно полученные данные. Поэтому необходимо
учитывать, какие показатели реально могут быть получены на
основе имеющихся статистических, экспериментальных и
нормативных материалов. Кроме того, должно быть обеспечено
соответствие между этой информацией и точностью применяемых
математических методов в процессе реализации модели.
4. Использование экономико-математических методов и
моделей не является самоцелью. Поэтому не нужно вводить ничего
лишнего в условия задачи, заранее навязывать то или иное
решение, пытаться «помочь» машине в выборе оптимума. Нельзя
также абсолютизировать полученные на компьютере результаты; их
следует тщательно проанализировать, проверить и только потом
использовать для дальнейших действий.
Необходимо иметь в виду, что полученное математическими
методами оптимальное решение (математический оптимум)
необязательно согласуется с экономической целесообразностью
(экономическим оптимумом). Это часто бывает в тех случаях,
когда модель не вполне адекватна изучаемому объекту. Тогда,
оценивая решение логическим, экспертным или специальным
математическим путем, а также осуществляя определенные
корректировки, математический и экономический оптимумы
приводят в соответствие.
Это достигается двумя основными способами —
корректировкой самой модели с последующим решением новой задачи или
же путем непосредственной корректировки решения без измене-
69

ния модели. В первом случае изучают составленную модель,
выявляют неучтенные факторы и вводят в модель соответствующие
ограничения. Во втором случае результаты подправляют вручную
и проводится их повторный анализ. Применение того или иного
способа зависит от степени соответствия разработанной модели
условиям рационального использования земель.
5. Экономико-математические модели не должны быть очень
громоздкими, так как любое усложнение модели может
привести к обратному эффекту — не к повышению точности решения,
а к ее снижению из-за случайных или систематических ошибок,
неизбежных при работе с приближенными числами. Кроме
того, громоздкую модель очень трудно исправлять и
модифицировать.
Поэтому по возможности модели должны быть максимально
упрощены, укрупнены и унифицированы. Необходимо, однако,
иметь достаточное количество переменных и ограничений,
которое позволяет получить приемлемое решение.
6. Одно из главных требований к моделированию —
применение комплекса моделей, охватывающих все стороны проекта
землеустройства, их логическая, информационная,
технологическая и экономико-математическая увязка. Как правило,
аналитические и экономико-статистические методы используются
совместно или предшествуют оптимизационному моделированию,
что объясняется рядом причин.
Во-первых, необходимы обработка имеющейся информации,
ее анализ и оценка (для этого используют методы аналитических
группировок, дисперсионный и факторный анализ, составляют
ряды динамики, рассчитывают различные статистические
величины—дисперсии, коэффициенты вариации и т.д., вычисляют
технические показатели, используемые при составлении
проекта, — рабочие уклоны, уклоны местности, определяют
допустимые размеры межполосных участков и т.д.).
Во-вторых, необходима подготовка исходной информации
непосредственно для целей проектирования и прогнозирования
коэффициентов использования различных ресурсов, составления
основной матрицы экономико-математической модели. Здесь
также используют различные виды статистического анализа,
строят производственные функции.
В-третьих, наличие в сельском хозяйстве непредсказуемых
факторов, его зависимость от природно-климатических условий
требуют оценки вероятности получения различных результатов.
Знание выявленных таким путем закономерностей позволяет
предвидеть, как различные случайные факторы будут
сказываться при использовании модели.
На основании вышеизложенного можно кратко
сформулировать основные требования, предъявляемые к использованию
математических методов и моделей в землеустройстве:
70

4 сочетание при моделировании количественного и
качественного анализа с приоритетом последнего;
^ учет экономических, технологических, землеустроительных,
технических и других условий;
г, использование надежной информационной базы,
соответствующей целям решаемых задач и задаваемой точности
вычислений;
Ц приведение в соответствие математического и
экономического оптимумов путем анализа и корректировки моделей и
результатов решений, полученных математическими методами;
^ максимально возможное упрощение моделей, их унификация
для более быстрого и экономичного решения
землеустроительных задач при необходимой точности;
G комплексное применение математических методов и моделей
различных типов в проектах землеустройства.
В любом случае при использовании в проектах
экономико-математических методов и моделей следует руководствоваться
общими принципами землеустройства и создавать
организационно-территориальные условия, способствующие рациональному и
эффективному использованию земель, повышению плодородия
почвы и высокопроизводительному использованию техники с
целью получения максимального количества продукции с
каждого гектара земельных угодий при оптимальных затратах труда и
средств.
Контрольные вопросы и задания
1. Приведите известные вам определения экономико-математической модели и
объясните их смысл.
2. Что представляет собой экономико-математическое моделирование?
3. Каковы особенности землеустроительных экономико-математических
моделей?
4. По каким признакам можно классифицировать математические модели,
применяемые в землеустройстве?
5. Какие классы экономико-математических моделей могут применяться при
землеустроительном проектировании?
6. Для каких целей в землеустройстве могут применяться аналитические,
экономико-статистические и оптимизационные модели?
7. Чем отличается дифференцированное моделирование от комбинированного?
8. В чем сходство и различие аналитических и функциональных экономико-
статистических моделей? Почему их нельзя объединять в один класс?
9. Перечислите требования, предъявляемые к использованию математических
методов в землеустройстве.
10. Какие требования, на ваш взгляд, можно было бы добавить к
перечисленным?

Раздел II
АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ
Глава 4
ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ
АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
4.1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА
Широкое применение в землеустройстве находят
аналитические модели, представляющие собой определенную функцию,
выражающую взаимосвязь между несколькими признаками
(показателями). В основу их построения заложено два исходных
принципа:
предполагается, что аналитическая модель имеет
функциональный характер, то есть задается формулой, графиком,
таблицей или другим способом, в котором каждому значению фактора
(независимой переменной) или совокупности значений
факторов в множественных зависимостях соответствует строго
определенное значение результативного показателя;
имеется в виду, что аналитические модели являются
детерминированными, то есть они основаны не только на
математической связи между переменными, но также предполагается, что
отсутствуют случайные (вероятностные) воздействия на эти
переменные.
В землеустройство первые аналитические модели (функции)
пришли из геодезии; при проектировании они использовались
для расчета различных технических показателей:
площадей земельных участков различной конфигурации
(севооборотов, полей, загонов очередного стравливания, рабочих
участков, землевладений и землепользовании и т.д.);
средних расстояний от хозяйственных центров до угодий;
уклонов местности (эти показатели позволяют оценить проект
землеустройства с точки зрения учета рельефа);
коэффициентов компактности землепользовании,
дальноземелья, вытянутое™, защищенности полей лесополосами и др.,
дающих возможность оценить конфигурацию земельных
участков, их форму, местоположение населенных пунктов и
производственных центров на территории и т. д.
72

На основании аналитических моделей производился расчет
различных экономических характеристик проекта
землеустройства. Так, например, средние расстояния использовались для
оценки транспортных расходов на перевозку грузов и рабочих;
уклоны по рабочим направлениям — для анализа затрат по
обработке полей и рабочих участков; коэффициенты защищенности
полей лесополосами — для расчета стоимости дополнительной
продукции полеводства, получаемой за счет агроклиматического
воздействия лесных насаждений и т. д.
Аналитические модели в землеустройстве основаны на
применении классических математических методов: геометрии,
тригонометрии, алгебры, дифференциального и интегрального
исчислений и т. д. Для их построения могут применяться как уже
известные, так и новые теоремы и формулы. В моделях используются
различные математические величины: средние взвешенные,
средние геометрические, средние арифметические и т. д.
Так, аналитическая модель рабочего уклона в полях с
прямыми склонами, полученная с использованием классической
геометрии, выглядит следующим образом:
/"=^¦100,
р D
где /р — рабочий уклон, %; р — превышение, м; D — горизонтальное положение, м.
Общий средний уклон местности в процентах (/м) на
территории севооборота или поля может вычисляться по формуле
. СИЛОО
1м ~ р >
где С —длина всех горизонталей на территории севооборота (или поля), м; h —
сечение рельефа, м; Р— площадь севооборота (поля), м2.
Пусть, например, на площади севооборота 1500 га
(15 000 000 Nj2) все имеющиеся горизонтали дают длину 75 км
(75 000 м), сечение рельефа 5 м. Тогда
_ 75000.5.100
/м" 15000000 '
При аналитическом способе вычисления площадей и
проектировании различных земельных участков помимо,
общеизвестных формул геометрии в землеустройстве наиболее
применимыми являются следующие аналитические модели площадей
треугольников и четырехугольников (рис. 1), которые легко
доказываются.
73

Рис. 1. Обозначения, используемые при
вычислении площадей треугольников и
четырехугольников
Для треугольников
Р = —-— или 2Р = (х{ - х2)(у2 ~ Уз) - (*2 - *з)(Л - у2).
Для четырехугольников
2Р = absin а + cdsin у, или 2Р = (х{ — х3)(у2 — Уа) — CVi — Уз)(х2~~ х*)>
где Р— площадь участка; х и у — координаты вершин участка.
Пользуясь этими формулами, можно вычислить площадь
любого пятиугольника или шестиугольника.
При проектировании участков, имеющих форму трапеции
(рис. 2), в землеустройстве широко используется следующая
аналитическая модель:
2 2
at - at
2Р = ! 2_
ctg a + ctg p
При вычислении средней длины поля (рабочего участка),
имеющего форму трапеции, применяются следующие формулы:
т Р D ЗЯ + c + rf г 5Р
L = —; Б- ; ь-
В* 5 3H + c + d'
где L — средняя условная длина поля; В — средняя условная ширина поля; end —
длины скошенных сторон трапеции; Н— высота трапеции.
Например, если с = 400м, </=600м, #=300м, Р= 100га
(1000 000 м2), то
51000000 6
3-300+ 400+ 600 М*
Аналитические модели в землеустройстве, как и любые
функции, обладают определенными свойствами, учет которых
позволяет принимать различные экономические решения. Важнейшие
Рис. 2. Обозначения, используемые
при вычислении площадей трапеций
/
/V*
а2
ч
¦и\
i »Л
74

из них, которые обычно выделяют математики-экономисты
(Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н.
Математические методы в экономике/Под ред. А. В. Сидорова. — М: Дело
и сервис. Изд. 2-е, 1999. — С. 24—26):
четность и нечетность;
наличие нулей функции;
периодичность;
монотонность;
наличие асимптот;
наличие ограничений и обратной функции;
степень сложности и явность-неявность функции;
наличие экстремума.
Функция у =АХ) называется четной, если для любого
значения аргумента из области ее определения выполняется равенство
А—х) =АХ)- Сумма, разность, произведение и частное четных
функций также являются четными.
Нечетной называется функция, в которой для любого
значения аргумента из области ее определения выполняется равенство
А~-х)= ~АХ)- Сумма и разность нечетных функций являются
также нечетными, а их произведение или частное — четными
функциями.
График четной функции симметричен относительно
вертикальной оси, а нечетной — относительно центра координат.
Например, функции у = |х|, у = х2п (где п — любое натуральное
х
число) являются четными; у = х2п + \ У = ~^у —нечетными.
xz+4
Ряд функций нельзя отнести ни к четным, ни к нечетным.
Эти функции не являются симметричными относительно центра
или осей координат, поэтому их называют аморфными.
Примерами могут служить функции у = 0х, у = lg х, у = 4х.
Нулями функции называются те значения аргумента, при
которых она обращается в нуль, у =АХ) = О-
Периодическими называются функции, которые предполагают
существование такого числа Г, которое для каждого значения
аргумента из области определения функции обеспечивает
выполнение равенства Ах) =АХ + 7)> где Г—период функции.
Периодическими являются функции y=sin(x), y = cos(x), y = tg(x),
y=ctg(x).
Монотонными являются функции, возрастающие или
убывающие на некотором участке их определения. Функция у =АХ)
называется возрастающей на промежутке, если для любых
значений х из этого промежутка большему значению аргумента
соответствует большее значение функции, то есть если х{ < х2, то
Ах\) <.Л*2)- Напротив, она будет убывающей, если для любых
значений х из этого промежутка большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции.
75

Ряд функций характеризуется наличием асимптот — прямых
линий, к которым сколь угодно близко приближается данная
функция при стремлении аргумента к бесконечности или
некоторому числу. Асимптоты бывают горизонтальными,
вертикальными и наклонными.
Функция называется ограниченной сверху, если существует
такое число М, что для всех х из области ее определения
выполняется неравенство fix) < М, ограниченной снизу — если существует
число т такое, что для всех х справедливо fix) > т.
В том случае, если из функции у —fix) можно выразить х как
некоторую функцию у (то есть представить х как функцию, а у —
как аргумент), то соответствующая функция х = ф(у) называется
обратной по отношению к у =fix).
Сложной называется функция, представленная в виде
у =fiq(x)), или у =fiu), где и =q(x). При этом аргумент х
называют независимой переменной, а и — промежуточным аргументом.
Неявной называется функция, заданная в виде уравнения
F(x, у) = О, не разрешенного относительно у.
Изучая свойства функций, мы фактически исследуем свойства
соответствующей аналитической модели.
Одним из основных свойств аналитических моделей,
применяемых в землеустройстве, является наличие экстремума, то есть
минимального или максимального значения функции в границах
изменения ее аргумента. Экстремальное значение аналитической
модели, как правило, является оптимальным, то есть лучшим для
поставленной задачи. Именно такие значения используют в
проектах землеустройства.
4.2. ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
НА НАЛИЧИЕ ЭКСТРЕМУМА
Дифференциальное исчисление достаточно широко
применяется в землеустройстве для экономического анализа различных
процессов, связанных с использованием земли, а также для
поиска оптимальных землеустроительных решений на основе
различных функциональных зависимостей.
Применение дифференциального исчисления к решению
задач, в которых отыскивается максимум или минимум функции,
известно еще с середины XVIII в. Методы использования
дифференциального исчисления при решении задач на оптимум
относятся к классическим.
Как правило, задача ставится следующим образом: найти
наилучшее значение того или иного показателя (максимум прибыли,
минимум издержек и т. д.), представляющего собой функцию
одного или нескольких аргументов. Так, если имеется
функциональная зависимость между прибылью у и размером землевладе-
76

ния или землепользования сельскохозяйственного предприятия
х, то обязательно будет иметь место некий оптимальный размер
этого хозяйства по земельной площади, обеспечивающий
наилучшие условия производства и позволяющий за счет этого
получить данному предприятию максимальную прибыль. В терминах
дифференциального исчисления это означает, что необходимо
найти значение аргумента, при котором производная f'(x) равна
нулю. В математике доказывается, что:
f[x) имеет максимальное значение при данном значении х,
если f\x) = 0, а вторая производная f"(x) отрицательна;
J{x) имеет минимальное значение, если f'(x) = О, а/"(х)
положительна.
Если вторая производная /"(*) также равна нулю, правило
f'(x) = О является необходимым, но недостаточным; в этом
случае нужно пользоваться другим достаточным условием
экстремума. Следует определить первую производную сначала для
значения х немного меньше, а затем немного больше исследуемого
уровня. Если знак производной будет меняться с
положительного на отрицательный, функция имеет в данной точке максимум,
а если, напротив, с отрицательного на положительный —
минимум. Если же знак производной не меняется, то функция не
имеет ни максимума, ни минимума.
На методах дифференциального исчисления основаны также
многие задачи математического программирования, когда
приходится отыскивать экстремум функции при некоторых
ограничениях, накладываемых на аргументы (переменные).
При землеустройстве нередко приходится решать задачи на
экстремум функций нескольких переменных, поскольку
экономические показатели обычно зависят от многих факторов. Такие
задачи хорошо изучены в теории функций нескольких
переменных; здесь также используются методы дифференциального
исчисления.
Исследование большинства производственных функций
также базируется на методах дифференциального исчисления.
Широко используемые предельные (маржинальные) показатели
производственных функций с точки зрения математики — это
производные (в случае функции одной переменной) или частные
производные (для функции нескольких переменных).
В экономическом анализе часто требуется знать, на какую
величину вырастет результат, если будут увеличены затраты (или
наоборот, насколько он уменьшится, если затраты сократятся). С
помощью средних величин ответ на этот вопрос получить
невозможно. В подобных задачах требуется определить предел
отношения приростов результата и затрат —так называемый
маржинальный эффект.
Рассмотрим конкретный пример. Допустим, необходимо
найти наибольшую площадь земельного участка Р, выделяемого под
77

полевой стан при заданной длине изгороди L. Участок должен
иметь форму прямоугольника с длиной изгороди, равной его
периметру.
Обозначим длину и ширину прямоугольника соответственно
через а и Ь. Тогда, очевидно,
L = 2a + 2b; P=ab.
Первое выражение является условием, а второе — функцией,
которую надо привести к максимуму. Чтобы решить данную
задачу простейшим способом, необходимо перейти к функции с
одной переменной.
Для этого из первого уравнения выразим значение b\ 2b = L -
-2а или Ь=—а. Тогда функцию цели запишем так:
/{х)=Р=а\
(т \
L
j-°.
La 2
Т-а.
После этого находим первую производную и приравниваем ее к
нулю:
/'(х)=|-2я=0.
L . L L L L
Отсюда fl=T'^=—а=—т^Т' то есть полевой стан с
максимальной площадью должен иметь форму квадрата со стороной,
равной —.
Вторая производная /"(*)= -2 отрицательна, что
свидетельствует о максимуме функции.
Данную задачу можно решить также с использованием
основных положений теории неравенств. К ним, в частности,
относится теорема о среднем арифметическом и среднем
геометрическом неотрицательных чисел; согласно этой теореме среднее
арифметическое любых п неотрицательных чисел аи а2, ..., ап не
меньше их среднего геометрического, то есть
й1+02+-+а">^:
п
причем равенство достигается лишь в том случае, когда
а1 = а2=... = ап.
Важное значение в инженерных расчетах имеет неравенство
\a\ + \b\>\a + t\,
78

то есть сумма абсолютных величин двух чисел больше или равна
абсолютной величине их суммы. Неравенство обращается в
равенство только в том случае, когда числа aw b имеют одинаковые
знаки.
Используя теорему о среднем арифметическом и среднем
геометрическом, решим вышеприведенную задачу. Исходя из этой
теоремы, можно записать
2
Учитывая то, что а+Ь=—, неравенство примет следующий
вид:
— >4ab или — >ab=P.
4 16
Поскольку в левой части последнего неравенства стоит
константа (L — величина заданная), при изменении а и b меняется
только его правая часть. Следовательно, равенство достигается
при наибольшем значении произведения ab. Но, по теореме о
среднем арифметическом и среднем геометрическом, это
происходит, когда а = Ь, то есть когда стороны прямоугольника
одинаковы и равны —. Таким образом, прямоугольником наибольшей
площади с заданным периметром будет квадрат.
Используя неравенства, можно решить и обратную задачу:
определить прямоугольник с наименьшим периметром L,
ограничивающий заданную площадь Р. Эта задача формулируется так:
определить 2а + 2b = L -> min при заданной площади Р.
Возводя неравенство —r->Jab в квадрат, получим
v . ; >ab=P.
4
Отсюда а+Ь>2у[Р или L=2a+2b>4>I~P. Следовательно,
периметр искомого многоугольника должен быть не меньше 4у[Р.
Учитывая, что неравенство обращается в равенство только при
условии а = Ь, получим
4а=4у[Р, или ау[Р.
Таким образом, прямоугольником оптимальной формы будет
79

квадрат. Аналогично можно доказать, что из всех треугольников
заданного периметра максимальную площадь имеет
равносторонний.
Описанные методы достаточно просты, но далеко не всегда
применимы, особенно в тех случаях, когда условия задачи
сложные и невозможно прямо выразить одну переменную через
другую. Тогда задачу решают на условный экстремум по методу Лаг-
ранжа.
4.3. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ЛАГРАНЖА
Этот метод широко применяется при уравновешивании
результатов измерений в геодезии по способу наименьших
квадратов; его удобно использовать и при решении многих
землеустроительных задач на оптимум. Поясним сначала этот метод на
рассмотренном в предыдущем параграфе примере. Условие
2a + 2b = L запишем в виде
2a + 2b-L = 0.
Умножим это уравнение на неизвестный множитель к,
называемый множителем Лагранжа, или коррелатой, и полученное
произведение вычтем из функции. Тогда получим
P=ab-k(2a + 2b) + kL.
Поскольку данная функция содержит три неизвестных (а, Ъ и
к), задачу можно решить путем дифференцирования ее по
каждой неизвестной. В данном случае надо найти три частных
производных и приравнять их к нулю:
—=6-2?=0; —=а-2к=0; —=-2a-2b+L=0.
да до дк
Мы получим три уравнения с тремя неизвестными, из
которых, зная величину L, можно определить значения неизвестных.
Вычитая из первого уравнения второе, получим b — a = О, то есть
а = Ь; тогда из третьего уравнения следует, 4а = L; то есть
а=Ь=—. Полевой стан должен быть квадратной формы со
стороной а=-т> что соответствует прежним ответам.
Величина третьей переменной (коррелаты) равна к=-тг- Ее
80

экономический смысл заключается в том, что она указывает, на
сколько увеличивается площадь полевого стана, если периметр
увеличить на единицу (с L до L + 1).
Допустим, периметр полевого стана равен 1000 м; тогда его
площадь равна 250 • 250 = 62 500 м2. Если же периметр увеличить
до 1001 м, то его площадь увеличится на —=125 м .
о
Рассмотрим другой пример. Предположим, что в
сельскохозяйственном предприятии имеется 40 тыс. руб, которые можно
затратить на трансформацию кустарника в пашню и на
получение урожая зерновых на этих площадях. Денежные затраты на
освоение 1 га земли под пашню оценивают в 5 тыс. руб, а на
увеличение урожайности на 1 ц с 1 га — в 1 тыс.
Обозначим через х{ площадь трансформируемых земель, а
через х2 — искомую урожайность зерновых. Тогда уравнение для
затрат имеет вид
Sxi + х2 = 40.
Допустим, что количество дополнительно произведенной
продукции в стоимостном выражении связано с неизвестными х\
и х2 следующей функцией:
Z= 5х\ х2 + 10 х2-»тах.
Требуется определить такие значения х{ и х2, чтобы Z было
максимальным и выполнялось по денежным затратам.
Для решения задачи применим метод неопределенных
множителей (коррелат) Лагранжа. Согласно вышеприведенной
методике уравнение Лагранжа будет иметь вид
Z= 5хх х2 + 10х2 - к(5х{ + х2 - 40).
Взяв частные производные по каждой переменной и
приравнивая их к нулю, получим
|^=5х2-5?=0; |^-=5х1+10-А:=0; ^=-5х1-х2+40=0.
оХ\ оХ2 ок
Разделим первое уравнение на 5 и вычтем его из второго.
Получим
5x!-jc2+ 10 = 0; х2 = 5х! + 10.
Подставив значение х2 в третье уравнение, получим
-5хх-5хх- 10 + 40 = 0; 10^ = 30,
81

откуда
X! = 3; х2 = 25; к= 25.
Таким образом, чтобы получить максимальный выход
продукции в стоимостном выражении (в размере 415 тыс. руб.), надо
освоить под пашню 3 га кустарника и получить урожайность
зерновых на этом массиве в 25 ц с 1 га. Экономический смысл корре-
латы заключается в том, что при увеличении ассигнований на
единицу (с 40 до 41 тыс. руб.) стоимость продукции увеличится
на 25 тыс. руб.
Следует иметь в виду то, что последняя задача имеет
достаточно условный характер, так как в хозяйствах обычно есть много
участков для сельскохозяйственного освоения и мелиорации, для
трансформации которых нужно использовать различные
ресурсы—денежные, материальные (удобрения, технику, семена,
поливную воду). Поэтому в реальных расчетах количество
уравнений будет гораздо большим, но все равно задачу можно будет
решить, применяя метод Лагранжа.
4.4. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
При вычислениях, связанных с землеустроительным
проектированием, приходится встречаться с четырьмя видами
величин.
1. Полученные путем измерений или представляющие собой
функцию непосредственных измерений. Такие величины
заключают в себе ошибки, зависящие от точности инструментов или
приборов измерения, внешних условий, в которых измерения
производятся, способов измерения и личных качеств инженера-
землеустроителя. Истинные значения измеряемых величин
остаются неизвестными. С помощью уравнительных вычислений
получаются (или могут получаться) их наиболее вероятные
значения, имеющие определенные средние квадратические или
предельные ошибки. Таким образом, эти значения являются
приближенной оценкой измеренных величин.
2. Точные (или условно точные). К ним относятся различные
постоянные (рациональные константы), а также наперед
задаваемые значения какой-либо величины (например, отделяемая
часть площади, расстояние между данной прямой и
отыскиваемой прямой, параллельной первой, число разверсточных единиц
и т. п.).
3. Округленные величины. Прежде всего это
иррациональные константы (например, число п), при вычислениях
округляемые до определенного десятичного знака; ошибка округления
82

в данном случае может быть учтена с любой мерой точности.
Кроме того, при вычислениях приходится сталкиваться и с
другими типами округленных чисел. Таковы все данные,
получаемые из различных таблиц (приращений координат,
натуральных значений тригонометрических величин и т. п.). В
отношении этих последних истинная ошибка округления
неизвестна; известна лишь предельная или средняя квадратическая
ошибка.
4. Результаты непосредственных вычислений или постоянные
величины, принимаемые в расчет при проектировании как
условно точные, задаваемые с определенной степенью
вероятности. К ним относятся показатели урожайности
сельскохозяйственных культур и продуктивности животных на перспективу,
данные по планируемой структуре посевных площадей,
рационам кормления скота и т. п. Данные величины также являются,
по существу, приближенными.
Таким образом, при проведении различных расчетов в
землеустройстве, построении функциональных зависимостей и
моделей постоянно приходится сталкиваться с приближенными
значениями тех или иных величин. Приближенными называют
числа, которые отличаются от точного значения на некую
погрешность (ошибку), допустимую в соответствии с условиями данной
задачи, и заменяют точные числа в расчетных формулах. При
работе с ними пользуются определенными правилами, так как
иначе эти погрешности могут существенно повлиять на результат и
привести к неправильному решению.
Например, при выполнении арифметических операций
необходимо учитывать, что в сумме приближенных чисел верных
десятичных знаков будет не больше, чем их имеется в слагаемом с
наименьшим количеством десятичных знаков. В произведении и
частном значащих цифр будет не больше, чем их имеется в
компоненте с наименьшим количеством значащих цифр. Например,
в произведении двух округленных чисел
р = хх х2 = 424,98 • 0,52 = 220,9896
будет только две значащие цифры, так как величина х2 имеет две
значащие цифры. Убедиться в этом можно, изменив наименее
точный сомножитель (в нашем примере число 0,52) на величину
предельной погрешности округления и вновь вычислив искомое
произведение:
// = 424,98 -0,525 = 223,1145.
Погрешность произведения (в данном случае Ар = р' —р = 2,1)
можно определить и без повторного вычисления по формуле для
относительной погрешности произведения:
83

ДрА^ Ах2_ 0,5 0,5 _ 1
p ~ x, + x2 ~42500+ 52 ~104'
откуда находим
л /» 221 01
Ap=i04 = 104=2'1-
Окончательный ответ можно поэтому записать так: р = 221 ± 2,1,
оставляя в нем одну запасную (сомнительную) цифру. Реально
ответ задачи будет находиться в интервале 219</><223.
Таким образом, при землеустроительных расчетах всегда
возникает проблема оценки точности произведенных вычислений,
то есть степени достоверности полученного результата, доверия
к нему. Это трудная и малоразработанная проблема, особенно по
отношению к экономико-математическим моделям, которые как
по точности коэффициентов уравнений и неравенств, так и по
своему составу лишь приближенно отражают действительные
условия работы предприятий.
В землеустройстве этой проблемой занимались прежде всего
специалисты по точности геодезических измерений и
вычислительной технике. Они первыми применили технику оценки
точности в геодезии к землеустроительным расчетам (А. В. Гордеев,
Е. Г. Ларченко, Ю. В. Кемниц, М. И. Коробочкин, А. В. Маслов,
А. К. Успенский, М. В. Андриишин, В. С. Бережное, И. Ф.
Полунин и др.). Было установлено, что основными источниками
ошибок являются:
погрешности исходных данных (сведений, выбираемых из
технологических карт, результатов измерений с планов и карт,
различных нормативных коэффициентов, получаемых из
справочников, и т. п.). Это неустранимые погрешности, они не
зависят от метода решения задачи;
погрешности округления, возникающие (нарастающие) в
процессе счета. Чтобы уменьшить их накопление, промежуточные
результаты записывают с дополнительными (сомнительными) знаками;
погрешности, возникающие в результате неточности
применяемых формул, методов и моделей.
При переводе чисел из одной системы счисления в другую
также появляются дополнительные погрешности, которые
относятся к неустранимым. Они должны быть меньше, чем
погрешности исходных данных.
При землеустроительных расчетах, ввиду того что действия
осуществляются с приближенными числами, необходимо
учитывать два основных момента:
точность, с которой можно получить значения искомых
величин:
точность, с которой необходимо знать эти значения.
84

В настоящее время разработаны правила вычислений с
приближенными числами, применение которых существенно
облегчает решение землеустроительных задач. Например, пользуясь
правилами значащих цифр, можно легко показать, что при
вычислении площадей землевладений по координатам вершин
многоугольников отдельные произведения можно округлять до
целых чисел.
Для того чтобы оценить точность искомых величин,
необходимо хорошо разбираться в понятиях абсолютной и
относительной погрешности, их связи с количеством верных значащих
цифр.
Абсолютная погрешность (А) — это абсолютная величина
разности между точным числом (х) и его приближенным значением
(а). Она определяется по формуле
А = \х-а\.
В связи с тем что истинное значение величины х в
большинстве случаев неизвестно, неизвестна и истинная абсолютная
погрешность А. Поэтому обычно пользуются предельной
погрешностью Апр, которую при округлении принимают равной
половине единицы последнего десятичного знака: Аокр =
= Апр = а = 0,5 единицы последнего знака. Например,
округленные числа 41 и 2,5 имеют значение а, равное соответственно 0,5
и 0,05.
Относительная погрешность (г) — это величина,
характеризующая отношение абсолютной погрешности (А), к самому
значению числа (а):
А
?=—.
а
В геодезии и землеустройстве относительную погрешность
обычно выражают аликвотной дробью, то есть дробью, числитель
которой равен единице:
1
а/А
Знаменатель а/А выражают приближенно целым числом; чем
меньше е (или соответственно чем больше а/А), тем точнее
результаты вычислений. Определение относительных
погрешностей расчетов или измерений в землеустройстве диктуется тем,
что абсолютные погрешности не всегда дают представление об
искомой точности. Например, если А = 0,1 га, то еще нельзя
сказать, хорошо или плохо произведено вычисление площади, так
85

как если эта погрешность относится к площади 100 га, то
? = 0,1 %, а к площади 10 га — уже 1 %.
В ряде случаев, когда значение абсолютной погрешности
неизвестно (а следовательно, нельзя вычислить и относительную),
ее задают исходя из опыта, экспертных оценок или аналогичных
расчетов.
Величина относительной погрешности связана с количеством
значащих цифр, заслуживающих доверия. Это, по определению
Е. Г. Ларченко, все цифры приближенного числа, начиная слева
от первой, отличной от нуля, и направо до цифры, имеющей
погрешность не больше единицы.
Пример вычисления погрешности при разном количестве
значащих цифр приведен в таблице 2. Из нее видно, что чем меньше
значащих цифр, тем больше относительная погрешность.
2. Погрешность записи приближенных чисел в зависимости от числа значащих цифр
Значение
приближенного
числа
Количество
значащих цифр
Значение погрешности
абсолютной
относительной
в процентах
в долях единицы
0,00408
5,850
350,26
4,07602
3
4
5
6
0,000005
0,005
0,0005
0,000005
0,1225
0,0085
0,0014
0,0001
1:816
1:1176
1:71429
1:1000000
Числа всегда следует записывать, исходя из правил
определения значащих цифр. Например, площадь земельного участка,
вычисленная с точностью до 0,1га, должна записываться не
100,12 а 100,1 га. Если же угол в 60° измерен с точностью до
минуты, то он должен быть записан в виде 60°00'.
При оценке точности результатов вычислений с
приближенными числами, а также при определении точности любых
функций используют методы дифференциального исчисления.
Для функции общего вида y=J{x) имеем соотношение
Ду=Дх)Дх.
Разделив на у, получаем относительную погрешность
функции:
Данную формулу можно получить также, дифференцируя
натуральный логарифм исходной функции.
Рассмотрим конкретный пример. Среднее расстояние от
хозяйственного центра до севооборота (К) в зависимости от его
площади (Р) часто определяют по формуле
86

R=Ky[P,
где К— коэффициент, учитывающий положение хозяйственного центра на
территории (в центре, в углу, на середине диагонали и т. д.), а также искривление дорог и
т. п. Примем это значение в нашем примере равным 3,183 и будем считать этот
коэффициент точной величиной.
Тогда
Mi=f(P)AP, или ДЯ=-4=ДР.
2jP
Пусть Р = 25,0 ± 0,05 км2, тогда
ДЯ=^^.0,05=0,0159; д=3,183>/25=15,9км.
2725Д)
Относительная погрешность будет равна
0,0159 1
е=-
15,9 1000'
Эту погрешность можно определить также путем
дифференцирования выражения
Имеем
lnR=lnK+]-lnP.
2
AR ГДР = 0,05 _ 1
R 2 Р 50 1000
Если функция зависит от нескольких независимых аргументов
то абсолютную погрешность можно выразить формулой:
dy=dj{xux29 ..., *„),
или
87

Предельная абсолютная погрешность функции будет равна:
(Лу)пР^?
где Ах, — предельные погрешности аргументов.
Вычисленная по данной формуле погрешность при
значительном числе аргументов будет сильно завышена, поэтому при п > 3
за предельную погрешность функции общего вида Е. Г. Ларченко
рекомендовал взять утроенную среднюю квадратическую
погрешность (ошибку), которую вычисляют по формуле
На основе данных рекомендаций в МИИЗ Е. Г. Ларченко,
М.И. Коробочкиным, В. С. Бережновым и другими учеными были
даны предложения по проведению арифметических операций с
приближенными числами (Задания и методические указания по
применению вычислительной техники для решения инженерно-
экономических задач. — М.: Недра, 1967. — С.7 — 8; Ларченко Е. Г.
Вычислительная техника и экономико-математические методы в
землеустройстве. — М.: Недра, 1973. — С.29 — 34).
Суть их сводится к следующему.
При сложении и вычитании приближенных чисел:
выбирают компонент (слагаемое, вычитаемое или
уменьшаемое) с наименьшим количеством десятичных знаков;
остальные компоненты округляют, оставив в них на один-два
знака больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим
количеством десятичных знаков;
выполняют арифметические операции (сложение или
вычитание);
полученный результат округляют, оставив в нем столько
десятичных знаков, сколько имеется в компоненте с наименьшим их
количеством.
При умножении, делении, возведении в степень и извлечении
корня:
выбирают компонент с наименьшим количеством значащих
цифр;
все остальные округляют, оставив в них на одну-две значащие
цифры больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим
количеством значащих цифр;
производят соответствующие операции;
полученный результат округляют до стольких значащих цифр,
сколько их имеется в наименее точном компоненте.
ь
88

Рассмотрим, чем объясняются данные правила, на примере
оценки точности суммы приближенных чисел:
S= X\ +Х2 + ••• + *л>
с погрешностями Ахь Дх2, •••, Ахл.
Взяв полный дифференциал суммы S и приняв, что
дифференциалы слагаемых равны погрешностям, получим
п
Д?=Дх1+Дх2+...+ Ax„=?AX/.
Относительная погрешность суммы составит
п
as ,=1
/=l
Так как истинные значения погрешностей обычно
неизвестны, приходится иметь дело с предельными погрешностями Д^р:
Очевидно, предельная погрешность суммы не может быть
меньше предельной абсолютной погрешности числа, имеющего
наименьшее, количество десятичных знаков. Поэтому в сумме
нет смысла сохранять больше десятичных знаков, чем их имеется
в слагаемом с наименьшим их количеством.
Для приближенной оценки точности суммы может быть
использована следующая формула:
где п — количество слагаемых; а — предельная погрешность округления, равная для
всех слагаемых.
Например, если при составлении проектной экспликации
земель сельскохозяйственного предприятия, землепользование
которого состоит из 133 отдельных участков, площадь которых
определена с округлением до 0,1 га (а = 0,05), то предельная
погрешность ДРпр вычисления площади всего хозяйства будет равна:
дрпр =0,05^/3133 =1га.
89

Если же площади этих участков вычислены с округлением до
1 га (а = 0,5), то
АРпр=0,5.7ПЗЗ=10га.
Таким образом, чем с меньшей точностью вычислены
значения площадей отдельных участков, тем ниже точность
вычисления и общей площади землепользования хозяйства.
Во многих случаях перед землеустроителями стоит обратная
задача: как по заданной погрешности функции определить
абсолютные и относительные погрешности аргументов?
Применительно к приведенному выше примеру это означает: с какой
точностью должны быть вычислены значения площадей отдельных
участков, если общую площадь землепользования требуется
знать, например, с округлением до 0,1 га?
Исходя из вышеприведенной формулы, можно записать:
а=- -
V3^
Если п = 133, А^пр = 0,05, то
а= до5_= 25
V3-133
Однако в действительности данная задача (так называемая
обратная задача теории погрешностей) гораздо сложнее. Поскольку
здесь имеются всего одно уравнение и несколько неизвестных
погрешностей аргументов, она может быть решена только при
некоторых дополнительных допущениях или условиях. В
землеустроительных задачах за такое условие часто принимают
«принцип равных влияний», то есть считают, что все частные
приращения -—Ах, одинаково влияют на предельную абсолютную
oXj
или относительную погрешность функции.
Например, требуется определить, с какой точностью надо
измерить длину и ширину приусадебного участка для ведения
личного подсобного хозяйства, имеющего форму прямоугольника,
чтобы в свидетельство на право собственности на землю была
записана площадь, имеющая абсолютную погрешность не более
0,01га. Примерная длина участка равняется 100 м (я =100), а
ширина —50 м (6 = 50).
Напишем функцию определения площади:
P=ab.
90

Возьмем ее натуральный логарифм
lnP=lna + \nb.
Дифференцируя эту функцию по а и Ь, имеем
АРАа АЬ
Р~ а + Ь'
Согласно принципу равных влияний принимаем, что
Аа
а
=
АЬ
b
Тогда, учитывая, что АР= 0,01, можно записать:
ЛаЛР 0 АЬ АР
а" Р9 b~ Р
Отсюда
_ АР а АР а 0,01 0,01 л А. 0,01 50пс
2Аа=—-а; Дд=—-.-=-^—•-!—=1м; Ab=-J— —0,5м.
Р Р 2 0,50 2 0,50 2
Таким образом, чтобы знать площадь приусадебного участка с
точностью до 0,01 га, его длину и ширину достаточно измерить с
точностью соответственно 1,0 и 0,5 м. Такое измерение
индивидуальных участков можно произвести по крупномасштабным
фотопланам.
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение аналитической модели.
2. Чем отличаются аналитические модели от других математических моделей,
применяемых в землеустройстве?
3. Приведите примеры аналитических моделей в землеустройстве.
4. Перечислите основные свойства аналитических моделей.
5. Что является признаком наличия у аналитической модели (функции)
экстремума?
6. В чем сущность метода Лагранжа?
7. С какими видами величин приходится иметь дело в расчетах с
использованием аналитических моделей?
8. Что такое приближенное число?
9. Дайте определение абсолютной и относительной погрешности.
10. Как определить количество значащих цифр в приближенном числе? Что
они из себя представляют?
11. Назовите правила выполнения арифметических операций с
приближенными числами.
12. Как определить точность функции по заданным погрешностям аргументов?
Как установить абсолютные и относительные погрешности аргументов по заданной
погрешности функции?
91

Глава 5
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ
АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
5.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ РАССТОЯНИЙ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ПРИ ОБОСНОВАНИИ ПРОЕКТОВ ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА
Чтобы вывести формулу для среднего расстояния перевозок,
разделим землевладение сельскохозяйственного предприятия на
элементарные участки площадью ри р2, ..., рп. Обозначим объемы
(плотность) перевозимых грузов через 5Ь 52, ..., 5Л, а расстояния
от хозцентра до каждого участка — ги гъ ..., гп.
Тогда среднее расстояние (S) от хозяйственного центра до
землевладения будет равно:
/?181+/7252+...+/?л5А7
Если допустить, что объем (плотность) перевозимых грузов
является постоянной, то есть 8{ = 82 = ... = 5Л, это выражение
упрощается:
где Р— площадь землевладения хозяйства.
Эта формула при указанных допущениях в
землеустроительной науке стала классической для определения математического
среднего расстояния от хозяйственного центра, имеющего
разное местоположение на территории, до землевладения,
имеющего произвольную геометрическую форму и площадь.
Впервые наиболее полно формулы для расчета среднего
расстояния были обоснованы К. Н. Сазоновым (Сазонов К. Н.
Среднее расстояние земельной площади до хозяйственного
центра. — Воронеж, 1925. — С. 5 — 9). Математически они выводятся
следующим образом. Площадь фигуры, отнесенной к
определенной системе координат, разделяется тем или иным способом
(параллельными прямыми, концентрическими дугами или
радиусами) на элементарные участки, затем берется любой из этих
участков и определяется его площадь как некоторая функция малых
приращений координат; расстояние этой площади по прямой
линии до хозяйственного центра, в свою очередь, определяется
как функция координат хозяйственного центра и координат
элементарного участка.
92

Произведение площади участка на расстояние выражает
объем транспортных работ (при плотности 5=1); чтобы
определить общий объем, то есть вычислить числитель формулы (1),
необходимо найти сумму таких произведений для всей площади
участка, исходя из предположения, что число частиц
неограниченно увеличивается, а площади их неограниченно убывают и
становятся бесконечно малыми величинами. Такая задача, как
известно, сводится к двойному интегрированию в определенных
пределах выражения, представляющего произведение
элементарной площади на расстояние ее до хозяйственного центра;
необходимые при этом пределы интегрирования по обеим
переменным определяются в зависимости от фигуры участка. Разделив
результат интегрирования на общую площадь участка, получаем
формулу математического среднего расстояния для данной
фигуры и заданного внутри или вне ее положения хозяйственного
центра.
Рассмотрим вывод формулы математического среднего
расстояния для кругового кольца с местонахождением
хозяйственного центра в общем центре кругов в точке А (рис. 3).
Пусть радиус внешней окружности будет AC=R, а радиус
внутренней окружности AD = а. Тогда площадь кольца Р = nR2 —
-na* = n(R2-a*).
Расположим фигуру в полярной системе координат с полюсом
в точке А и осью AM; разделим площадь кольца
концентрическими кругами, проведенными из точки А, как из центра, и
радиусами на бесконечно большое число частиц вида bcde; тогда
площадь любого из таких криволинейных прямоугольных
четырехугольников будет равна произведению длин его сторон.
Обозначая полярный угол М4С=ф, его приращение
ВАС = Аф, радиус Ае = г и его приращение ес = Аг, можем
(приближенно, пренебрегая бесконечно малыми второго порядка)
написать, что
р = гЛфАг.
Бесконечно малая площадь
bcde отстоит от хозяйственного
центра А на расстоянии Ае = г,
вследствие чего для этой
площади работа по перевозке (W) будет
равна:
W= гр = ЯДфДг.
Рис. 3. Схема вывода формулы среднего
расстояния для землевладения, имеющего
форму кольца
93

Чтобы определить общий объем работ, надо суммировать
сначала все Wno радиусу для значений г, меняющихся в пределах от
г= а до r= R (полагая ср постоянным), а затем вычислить сумму
полученных сумм, полагая ср меняющимся в пределах от ф = 0 до
Ф = 2 я, то есть
2л R Л
S^= J dq\r2dr.
О а
Производя интегрирование, получаем
Z^=J^-^=|(^3-fl3)n.
о
3 т 3
Применяя формулу (5.1) и пользуясь выражением для
площади кольца, окончательно получаем
„ ZW 2 Л3-а3
s~=TFV- (52)
Если площадь, на которую распространяется работа по
перевозкам, будет представлять весь круг с радиусом R, а не только
кольцо между окружностями с радиусами а и R, то достаточно
положить в формуле (5.2) а = О, после чего получаем
**=!*, (5.3)
где S— математическое среднее расстояние, R — радиус круга.
Определим, чему равно математическое среднее расстояние S,
если площадь землевладения будет представлять собой круг с
радиусом R, а хозяйственный центр (усадьба) будет расположен в
его центре. В этом случае
Подставив значение R в формулу (5.3), получим
з\я з7^
Обозначим К\=-Г1=, тогда
2
3^'
94

s=k{Jp.
Здесь К\ — коэффициент, учитывающий форму землевладения и
местонахождение на нем хозяйственного центра. Для круга с
усадьбой в центре
К{ =
2 _ 0,667
=0,376.
Математическое среднее расстояние при площади
землевладения, например 100 га (1км2), для этих условий будет равно
0,37б7Т=0,38км. Если площадь землевладения увеличится до
200 га (Р=2км2), то
5=0,37бЛ=0,53км.
Используя данные закономерности, К. Н. Сазонов впервые в
землеустроительной науке построил таблицу для определения
значений коэффициента К{ (табл. 3).
3. Коэффициенты формул, связывающих математическое среднее расстояние
и площадь землевладения
№
п/п
Вид фигуры*
Положение

хозяйственного центра
Отношение
периметра
фигуры к
корню
квадратному
от площади
Гр
Коэффициенты связи
среднего
расстояния
и площади
=sJp
площади и
среднего
расстояния
P/S2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Круг
Круг
Круг
Правильный
шестиугольник
Правильный
шестиугольник
Правильный
шестиугольник
Квадрат
Квадрат
Квадрат
Прямоугольник п-
Прямоугольник п-
Центр круга
На середине
радиуса
На окружности
Центр тяжести
На середине
радиуса
Вершина
Центр тяжести
На середине
полудиагонали
Вершина
=2 Центр тяжести
=2 Вершина
3,545
3,545
3,545
3,722
3,722
3,722
4,0
4,0
4,0
4,243
4,243
0,376
0,445
0,667
0,377
0,461
0,687
0,383
0,489
0,765
0,419
0,839
7,07
5,05
2,25
7,04
4,71
2,12
6,82
4,18
1,71
5,67
1,42
95

Продолжение
№
п/п
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Вид фигуры*
Прямоугольник л=3
»
Положение

хозяйственного центра
Центр тяжести
Вершина
Прямоугольник л=4 Центр тяжести
»
Вершина
Прямоугольник л=5 Центр тяжести
»
Вершина
Прямоугольник л=6 Центр тяжести
»
Равносторонний
треугольник
»
Прямоугольный
треугольник: л=1
»
»
Прямоугольный
треугольник: л=2
»
»
Прямоугольный
треугольник: л=3
»
»
Прямоугольный
треугольник: л=4
»
»
Прямоугольный
треугольник: л=5
»
»
Вершина
Центр тяжести
Вершина
Центр тяжести
Вершина острого
угла (АО
Вершина острого
угла (А5)
Центр тяжести
Вершина острого
угла (А^
Вершина острого
угла (А5)
Центр тяжести
Вершина острого
угла (АО
Вершина острого
угла (А5)
Центр тяжести
Вершина острого
угла (АО
Вершина острого
угла (А5)
Центр тяжести
Вершина острого
угла (АО
Вершина острого
угла (А5)
Отношение
периметра
фигуры к
корню
квадратному
от площади
Гр
4,619
4,619
5,0
5,0
5,367
5,367
6,957
6,957
4,559
4,559
4,828
4,828
4,828
5,236
5,236
5,236
5,848
5,848
5,848
6,451
6,451
6,451
7,020
7,020
7,020
Коэффициенты связи
среднего
расстояния
и площади
Kx=sfp
0,475
0,950
0,53
1,061
0,585
1,169
0,801
1,601
0,404
0,924
0,426
1,082
1,082
0,467
0,986
1,387
0,530
1,026
1,662
0,591
1,095
1,905
0,649
1,172
2,122
площади и
среднего
расстояния
P/S2
4,43
1,11
3,56
0,89
2,92
0,73
1,56
0,39
6,13
1,17
5,51
0,82
0,82
4,59
1,03
0,52
3,56
0,95
0,36
2,86
0,83
0,27
2,37
0,73
0,22
* В описании фигур п — отношение большей стороны прямоугольника к
меньшей (для треугольников — соотношение катетов).
96

Для перехода от математических средних расстояний (по
прямой) к реальным расстояниям (с учетом кривизны дорог)
землеустроители стали применять следующую формулу:
Sp=K2S,vumSp=KxK2JP,
где К2 — коэффициент, учитывающий реальное размещение и кривизну дорог.
Значение К2 определяется путем деления реального среднего
расстояния, измеренного по дорогам, на математическое среднее
расстояние, то есть
*4
Для практических целей В. Я. Заплетин рекомендовал
использовать в условиях Центрально-Черноземной зоны значение
К2= 1,3 — 1,5; при этом он считал, что повышение дорожного
коэффициента до 1,5 характерно для предприятий, имеющих
изрезанное оврагами и балками землепользование (Заплетин В. Я.
Организация территории колхоза. 2-е изд. — Воронеж, 1973. —
С. 31; Заплетин В. Я. Вопросы совершенствования
землепользования колхозов. — М.: Экономика, 1975. — С. 8 — 11).
Самый простой способ определения оптимальных площадей
землевладений (землепользовании) сельскохозяйственных
предприятий с использованием вышеприведенных формул по расчету
средних расстояний, учитывающих форму (конфигурацию)
закрепленных площадей, местоположение хозяйственного центра и
дорожные условия, заключается в следующем.
По мере укрупнения площади хозяйства одна часть расходов
(амортизация построек и сооружений, общехозяйственные
расходы) в расчете на единицу площади уменьшается, тогда как
другая (затраты на перевозки, выполнение механизированных
работ), напротив, увеличивается.
Очевидно, должна существовать некая оптимальная площадь
землевладения, при которой удельные производственные
затраты (на 1 га) будут минимальными. Типичный пример (данные
В. Я. Заплетина) приведен в таблице 4.
4. Годовые затраты на 1 га пашни в зависимости от размера территории
(зерно-свекловичный тип хозяйства с развитым молочно-мясным скотоводством)
Территория, тыс. га
общая
площадь
пашня
Наиболее
благоприяные условия
руб.
в % к
минимуму затрат
Хорошие
территориальные условия
руб.
в % к
минимуму затрат
Неудобное
территориальное размещение
руб.
в % к
минимуму затрат
0,7 0,5 67,2 124,5 67,3 124,7 67,7 125,4
1,4 1 59,1 109,5 60,4 111,9 66,0 122,2
2,8 2 54,8 101,5 56,7 104,8 64,7 121,8
97

Продолжение
Территория, тыс. га
общая
площадь
пашня
Наиболее
благоприяные условия
руб.
в % к
минимуму затрат
Хорошие
территориальные условия
руб.
в % к
минимуму затрат
Неудобное
территориальное размещение
руб.
в % к
минимуму затрат
4,2
5,6
7,0
8,4
9,8
11,2
12,6
14,0
3
4
5
6
7
8
9
10
54,0
54,0
54,3
54,6
55,0
55,4
55,9
56,3
100,0
100,0
100,6
101,1
101,9
102,6
103,6
104,5
56,4
56,6
57,3
57,9
58,6
59,1
59,9
60,6
104,4
104,8
106,2
107,2
108,6
109,5
110,9
112,2
66,1
67,9
69,8
71,6
73,4
74,8
76,6
78,3
122,4
125,8
129,3
132,6
135,9
138,5
137,9
145,0
Из этих данных следует, что удельные годовые издержки
при наиболее благоприятных условиях (форма участка
квадратная, хозяйственный центр расположен в центре массива)
снижаются при увеличении площади пашни до 5 тыс. га; при
хороших территориальных условиях (прямоугольная форма
участка, п = 2, хозяйственный центр на середине
полудиагонали) — до 4 тыс. га; при неудобном размещении
(прямоугольная форма участка, п = 5, хозяйственный центр
расположен в углу участка) — до 3 тыс. га. При дальнейшем
увеличении размеров землепользования удельные издержки
начинают возрастать.
Кроме того, мы видим, что сопоставимые ежегодные
издержки в расчете на 1 га пашни значительно меняются в зависимости
от пространственных условий землепользования. Так, в наиболее
благоприятном случае их оптимальная величина составила
54 руб., а при неудобном территориальном размещении —
66,1руб. Отсюда вытекает важный вывод: определяя
оптимальные размеры производства, следует прежде всего создавать
наиболее благоприятные организационно-территориальные условия
землепользования, экономически обосновывать размещение
земельных массивов и хозяйственных центров.
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЛОЩАДИ ЗЕМЛЕВЛАДЕНИЯ
(ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЯ)
При расчете оптимальных значений площади
землепользования по аналитической модели обычно строят функцию
зависимости годовых удельных издержек производства Z от площади
земельного участка Р.
z=AP).
При этом суммарные годовые издержки производства
подразделяют на три вида:
98

где Z\ — издержки, не зависящие от площади землепользования, Zx - Qj; Z2 —
издержки, которые с увеличением площади землепользования уменьшаются (как
Со
правило, их описывают формулой гиперболы: Z2 = Ц)2 +~"JT> гДе 0)2 и С2 —
коэффициенты уравнения); Z3 —издержки, которые с увеличением площади
землепользования растут (например, транспортные затраты).
Учитывая, что эту часть издержек обычно связывают со
средним расстоянием до хозяйственных центров, их приводят к
следующему виду:
^3=Q)3+CW^>
где Соз и С3 — коэффициенты уравнения.
Приняв, что С\ = С01 + С02 + С03, получим следующую
формулу для удельных годовых издержек:
z=c1+^-+c3Vp.
Исходя из правил дифференциального исчисления,
оптимальное значение Рот, обеспечивающее минимум Zmin, будет получе-
dZ
но, если найти первую производную —, приравнять ее к нулю и
из нее выразить значение Р, то есть
dZ_ C2 C3 _ft
dP~~pi + 2jP '
откуда
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ ПОЛЕЙ
СЕВООБОРОТОВ
В этой задаче предполагается, что размер поля севооборота
влияет главным образом на эффективность использования
сельскохозяйственной техники и должен обеспечивать ее работу
крупногрупповым методом. Требуется установить его оптимальную
величину, которая создавала бы территориальные условия для
работы агрегатов с наименьшими простоями и другими неплано-
99

выми потерями времени и соответственно максимальной
производительностью.
Зависимость между дневной выработкой
сельскохозяйственной техники (Wm) и потерями рабочего времени смены
выражается формулой
^h=^Acm(1-t),
где WH — нормативная сменная выработка, га: АсМ — коэффициент сменности; т —
коэффициент, учитывающий потери рабочего времени смены.
Если считать величины WH и Кш заданными, то значение Wm
будет максимальным, когда x->min.
Коэффициент т слагается из потерь времени на внутрисмен-
ные холостые переезды сельскохозяйственной техники с поля на
поле и подготовку к переездам или последующей работе (тх),
простоев по организационным (тоог) и техническим причинам
(тт):
X — Тх "г Торг -г Тт.
Эти коэффициенты определяются путем деления
соответственно времени холостых переездов (Гх), организационных
(Горг) и технических (Гт) простоев на сменное время (Гсм):
т_ тх , Горг ( Тт
^см -*см *см
Значение тх можно выразить следующим образом:
_Tx_JVn 2Rn
х Т Т Р V '
1 см л см л r a
где W— сменная выработка; п — число основных агрегатов, участвующих в
технологической операции; Р— площадь поля; Rn — расстояние переездов; ^ —
транспортная скорость движения агрегатов.
Простои по организационным причинам, как правило,
определяются уровнем организации совместной работы основных
агрегатов комплекса и транспортных средств. На уборке зерновых,
например, они включают время ожидания комбайнами
транспортных средств для разгрузки, на севе —семян, удобрений,
воды для заправки агрегатов, на пахоте — топлива. Опыт
показывает, что наибольшие простои по организационным причинам
имеют место на уборочных работах.
Неплановые потери времени по организационным причинам
(Горг) в среднем за одну смену определяются технологическими
схемами организации перевозок (на уборке зерновых, например,
100

используется прямая перевозка зерна от комбайнов или
перевозка с применением промежуточных емкостей —
накопителей-перегружателей), применяемым видом транспорта, а также
емкостями бункеров комбайнов, семенных или туковых ящиков и т. д.
Для расчета Торг на уборке зерновых может использоваться
следующая зависимость:
* орг ~~ ' o-'V»
где Т0 — среднее время ожидания транспорта для разгрузки; К0 — количество
наполнений бункера комбайна за смену.
По данным ряда авторов, минимальные потери по
организационным причинам на уборке зерновых имеют место при
использовании для выгрузки зерна, наряду с автомобилями
промежуточных емкостей. Введение в технологический процесс
мобильного накопителя-перегружателя позволяет более гибко
координировать заполнение бункеров комбайнов и вывоз урожая с
поля.
Предполагая, что время ожидания транспорта равно времени
передвижения мобильного накопителя-перегружателя к
комбайну, получим
= торт = R0 Wy
Т0РГ J, у гр г. 9
1 см r al см и
где /?о — расстояние движения накопителя-перегружателя или автомобилей между
агрегатами с учетом их рассредоточенности на полях; у — урожайность основной
продукции культуры; 5 —емкость бункера комбайна.
Простои агрегатов по техническим причинам складываются
из времени выявления причины неисправности, - вызова звена
технического обслуживания и его перемещения,
непосредственного устранения возникших отказов в работе агрегатов или
замены основной машины резервной. В данной задаче достаточно
учитывать затраты времени на перемещение звена технического
обслуживания к агрегатам и обратно, так как другие элементы
потерь времени зависят от величины комплекса и площади поля.
В связи с этим время простоев техники по техническим
причинам может быть определено по формуле
= Тт Jt+tT)MJM tJM_=tM_ ИМ
Т~Т — rp "J, rp ~ rp rp у J
^*СМ iCM JCM *CM ^CM 1QMYT
где /— время подготовки звена технического обслуживания к переезду и его
развертывания; ?,. — время движения звена технического обслуживания к агрегатам;
М— количество отказов, приходящееся в среднем на один агрегат за смену; VT —
101

транспортная скорость движения передвижной ремонтной мастерской; / — среднее
расстояние передвижения звена технического обслуживания.
При проведении укрупненных расчетов можно принять, что
расстояние движения ремонтной мастерской равно расстоянию
переездов накопителя-перегружателя, то есть 2/=/?о.
Наши исследования показывают, что расстояние переездов с
учетом рассредоточенности агрегатов на полях можно рассчитать
следующим образом:
/г^од.вдл/р!
'19'45-0,78
V Лагр
где К\ — коэффициент, зависящий от места размещения обслуживающих
подразделений на поле; К2 — коэффициент, учитывающий размещение дорог и лесополос
на поле; Р— площадь поля в гектарах; лагр — количество агрегатов.
Таким образом, значение х можно определить по формуле
x=j+bJp+cJp+e,
причем для
А--
Т V '
4<Л<16
В=
WYKQ
с-
К0М.
~TCMVr'
Е--
ТМ
Т
••см
; #0=0,1^1^2
1^-0,78
Сменная выработка агрегатов в реальных условиях будет
максимальной в тех случаях, когда неплановые потери рабочего
времени стремятся к нулю (x->min). Взяв первую производную
суммарного коэффициента неплановых потерь времени по площади
поля и приравняв ее к нулю, находим такую площадь поля, при
которой неплановые потери времени равны минимальному
значению:
дР~ р2+ 2у[Р '
а следовательно, если Эт/о\Р=0, то
Окончательный расчет площади поля, при которой
достигается минимум неплановых потерь времени, а следовательно, и
максимальная производительность основных агрегатов комплек-
102

са, можно вести по формуле
Л.=з
0,ЩК2(^^-0,7*
МЬ
Wy
8
Проверка по значению второй производной показывает, что в
точке Р0 действительно имеет место минимум.
Оптимальный размер поля севооборота возрастает с
увеличением производительности сельскохозяйственной техники (W),
числа агрегатов, работающих совместно (л), улучшением
технологических характеристик используемых машин (VT, 8). Напротив,
плохие территориальные условия (Кь К2), а также недостаточная
надежность сельскохозяйственной техники (Л/) требуют полей
меньшей площади. Пример расчета приведен в таблице 5.
5. Расчет оптимального размера поля севооборота
Показатели
Обозначения
Единица
измерения
Величина
Нормативная сменная выработка агрегатов
на уборке
Количество агрегатов в комплексе
(основные агрегаты)
Среднее расстояние до пашни
Коэффициент, учитывающий
конфигурацию площади распределения агрегатов
комплекса и место размещения
обслуживающих подразделений на поле
Коэффициент, учитывающий
размещение дорог и лесополос на поле
Количество отказов, приходящееся в
среднем на один агрегат за смену
Транспортная скорость движения
основных агрегатов комплекса и мобильного
накопителя (в среднем)
Транспортная скорость движения
передвижной ремонтной мастерской
Урожайность культуры
Емкость бункера комбайна
Оптимальная площадь поля севооборота
Исследуем точность полученного результата. Исходя из
приведенных данных, максимальная ошибка площади поля lAPoLax
определялась по формуле
Wn
п
Кг
М
К
К
У
5
Ро
га
-
км
—
-
км/ч
км/ч
ц/га
Ц
га
12,5
12
5,0
0,376
1,1
1
16
30
30
24
314,3
|A^olmax = |gradP0|x|Ax|)
103

- le^ohj §;
ЪК-i
ду
\Ax\=^AK2+AK2+(Ay)2+(ARnf.
Мы полагаем, что погрешность в расчете величины Р0
возникает в результате ошибок в измерении величин К\, К2, у, R„.
Значения первых производных по факторам, имеющим
ошибки в измерении, определялись из следующих соотношений:
ЬРГ
дК\
о
-¦2
4RnWn
0,,^iM-0,78)(^+
Wy
3j3/=5"
дР
дК2
*-=3
-,2
4RnWn
T/19.45.
<№
V*Wy
-0,78||Л/^+
I V
дР
эл„
о _
Wn
0,\KiK2
т
м
Wy^
з W
ЬРо
Ъу
•=з
**nWn
0,1^1^21^^-0,78
3/1 М&-+
Wy)5
104

Величины коэффициентов, определяемые с погрешностями,
вычислялись по формулам
*2=#2+Д^2;Л*2=0,001;
у=у+Ау;Ау=0,1;
Tn=Rn + ARn;ARn=0,L
В результате получим
Р0 = 314,3; |grad Р| = 230,4; |д*| = 0,1418; |дР0|тах = 32,7, то есть
281,6 <Р0< 347,0.
Таким образом, оптимальная площадь поля с учетом
значащих цифр будет находиться в пределах от 280 до 350 га, что и
является при сделанных допущениях решением данной задачи.
5.4. РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОГО СООТНОШЕНИЯ СТОРОН ПОЛЕЙ
(РАБОЧИХ УЧАСТКОВ) В СЕВООБОРОТАХ
Соотношение сторон обрабатываемых участков оказывает
влияние на производительность машинно-тракторных агрегатов,
так как длина и ширина участка при прочих равных условиях
предопределяют общую сумму холостых проходов, а
следовательно, и сумму затрат на холостые повороты и заезды.
Нами была получена следующая зависимость потерь на
холостые повороты и заезды сельскохозяйственной техники в
процентах (Kgr) в зависимости от длины поля в продольном и
поперечном направлениях Lu L2 и коэффициентов, учитывающих
удельный вес полевых работ в продольном и поперечном
направлениях Апр, Кпо (ВолковС. Н. Экономика землеустройства. — М.:
Колос, 1996.-С. 144-145):
^r=^nP[4,42+^j+Anof4,42+^j.
Если принять АпР = 0,8, Кпо = 0,2, а значения Lx и L2 в первом
варианте взять равными соответственно 936 и 384 м, а во втором
соответственно ИЗО и 655 м, то в первом случае
Agr=0,8(/4,42+^^
а во втором
105

*r8r=0,8(/4,42+ll|ij+0,2(/
4,42,fi).8,6%.
В литературе по землеустройству вопрос о рациональном
соотношении сторон полей (рабочих участков) наиболее полно
освещен в работах Г. И. Горохова и В. Я. Заплетина. Так, Г. И.
Горохов отмечал, что размеры сторон полей, а следовательно, и их
соотношения устанавливаются в зависимости от площади поля,
состава культур севооборота и удельного веса поперечных работ,
а также с учетом условий размещения полей и отдельно
обрабатываемых в них бригадных и межполосных участков. На основе
этого рекомендуется иметь для поля в 400 га квадратную форму
(2x2 км) с соотношением сторон 1:1; для поля в 100 га
прямоугольник (0,6x1,6 км или даже 0,5x2 км) с соотношением
сторон 1:2,5 или 1:4, так как тогда обеспечивается (в целом по сумме
продольных и поперечных работ) более высокая
производительность агрегатов.
Эти рекомендации в основном правильны и дают основу для
проектирования полей с учетом создания пространственных
условий, способствующих уменьшению общей суммы холостых
проходов тракторных агрегатов.
Исследуя этот вопрос, В. Я. Заплетин предложил также
рассчитывать значение Kgr, используя уравнение гиперболы.
Для всех видов механизированных работ общие потери могут
быть выражены следующей функцией:
vgr
п
1=1
(
V
Д2/-1
+h-\
+ *2/
J
a2i-\
+hi-
В
где L\ —длина гона в продольном направлении; L2 — в поперечном направлении;
а2\ -1, Ъ2х _ 1 — коэффициенты уравнения для всех видов механизированных работ;
Кц-\ — удельный вес механизированных работ в продольном направлении; K2l
поперечном направлении.
Если поле имеет форму прямоугольника, то
*-?
Подставив значение L2 в формулу и произведя
соответствующие перестановки, найдем значение L, обращающее Kgr в
минимум. В результате расчетов получим
L = \ha+^a\+...+k2n+\an p
к2а+Ца\ +—+к,2пап
По этой формуле находят оптимальную длину поля в рабочем
106

направлении. Очевидно, его поперечная сторона должна
определяться по формуле
1 *2g+Ml+-+*2i|gfi p
\кха+кгах+...+к1п+хап
Отсюда находят рациональное соотношение сторон поля (п):
Ц_к\а+к3щ + ...+к2п+1ап
Li к^а+к^а\ +. •.+kinan
Таково решение задачи в общем виде. Для практических
целей расчеты можно вести не по отдельным механизированным
процессам, а в целом по всем видам работ. Для этого необходимо
определить общую плотность тракторных работ в гектарах
условной пахоты на 1 га севооборотной площади, распределить ее по
двум взаимно перпендикулярным направлениям и на основе
этого выявить удельный вес работ в продольном и поперечном
направлениях.
Тогда потери на холостые повороты в расчете на 1 га площади
поля будут равны:
1 )
^-Л11 U
+*2|-?+Н
где Кх — удельный вес всех механизированных работ в продольном направлении;
К2 — в поперечном направлении; L\ —длина гона в продольном направлении; L2 —
в поперечном направлении.
Если поле имеет форму прямоугольника, то
где Р— площадь поля; тогда
L\ Р
Оптимальную величину сторон поля можно определить с
помощью частной производной от общих годовых затрат Kgr по
длине гона (L), приравнивая ее к нулю:
ЭДГу= Kia К2а=0
дЦ~ If Р
107

Отсюда путем преобразований получаем
>W-
По этой формуле находят оптимальную длину поля в рабочем
направлении. Соответственно поперечная сторона может быть
определена по формуле
#
Пусть, например, ставится задача определить оптимальные
размеры сторон поля площадью 100 га. При условии, что в
продольном направлении выполняется 80 % всех работ, а в
поперечном 20 %, получим
- Ш
1 V20
1000000 =2000 м;
ь-1
^•1000000=500 м.
80
Таким образом, наилучшее соотношение сторон поля— 1:4.
Контрольные вопросы и задания
1. Как вычисляется математическое среднее расстояние?
2. Как вычисляется реальное среднее расстояние?
3. Каким образом можно учесть форму землепользования и размещение
хозяйственного центра при вычислении средних расстояний?
4. Как определить оптимальную площадь землепользования
сельскохозяйственного предприятия на основе средних расстояний?
5. Укажите последовательность построения и использования аналитических
моделей при определении оптимальных размеров землевладений и
землепользовании на основе величины учета производительных затрат.
6. Расскажите, как используются методы дифференциального исчисления при
установлении оптимальных размеров полей севооборотов с точки зрения
эффективности использования сельскохозяйственной техники.
7. Как устанавливается по аналитической модели оптимальное соотношение
сторон полей севооборотов?
8. Как оценить точность вычисления площадей землепользовании, полей и
других земельных участков?
9. Назовите землеустроительные задачи, для решения которых могут быть
применены аналитические модели.
108

Глава 6
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
6.1. ПОСТАНОВКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
ЗАДАЧ
При составлении проектов землеустройства часто приходится
решать задачи, связанные с размещением на территории
различных объектов производственной инфраструктуры, которые
связаны с определенной сырьевой базой. Например,
животноводческие комплексы и фермы располагают таким образом, чтобы
они были как можно ближе к участкам с грузоемкими,
малотранспортабельными культурами: орошаемыми культурными
пастбищами (ОКП), кормовыми прифермскими севооборотами и т.д.
Пункты переработки сельскохозяйственной продукции
(сахарные, спиртовые, эфиромасличные и другие заводы,
хлопкоочистительные пункты) размещают, как правило, в центре сырьевой
зоны или ближе к сельскохозяйственным предприятиям,
которые дают максимальное количество сырья.
Основное правило заключается в том, что пункты
потребления (переработки) продукции размещают в центре тяжести
обслуживаемого массива. Если грузоемкость всех участков
одинакова, то необходимо смещение этих пунктов в сторону тех
участков (пунктов отправления продукции), которые дают
наибольшее количество сырья, кормов и т. д.
Для решения такой задачи применяется итерационный метод,
или метод последовательных приближений; в ходе расчетов
постепенно приближают первоначально выбранное
местоположение к оптимальному.
Рассмотрим методику таких расчетов на примере
оптимального размещения животноводческой фермы на территории
производственного подразделения сельскохозяйственного
предприятия. Задача заключается в следующем: установить координаты
местоположения фермы, при которых затраты на
транспортировку кормов будут минимальными.
Объем работы Z по перемещению грузов Р, от заданных точек
M(xh yi)(i= 1,2,...,/и) до точки N(X, Y) можно выразить формулой
т
1=1
где Rt— расстояние перевозки; Р{ — масса перевозимых грузов.
Выразив значение R через координаты, получим
Z=%Piyl(X-xi)2HY-yi)2 -»min,
1=1
109

где Хи Y— координаты фермы; х,- и yt— координаты пунктов отправления
продукции.
Таким образом, требуется определить координаты точки N (X,
Y), при которых значение Z будет минимальным.
В данном случае за точки отправления Л/,- (xh у) можно при-
нять центры тяжести комовых угодий и севооборотов. Величины
грузов Р^ определяют с учетом площадей, отведенных в данном
севообороте под каждую кормовую культуру, с учетом
неоднородности грузов, намечаемых к перевозке.
Для простоты допустим, что т - 3. Тогда в развернутом виде
нужная нам формула примет вид
Z=P{yl(X-xl)2HY-yl)2+P2J(X-X2)2HY-y2)2 +
+ P3yl(X-x3)2+(Y-y3)2 ->min.
Задачу можно решить, пользуясь методом классического
экстремума; для этого необходимо взять частные производные от Z
по Хи Yn приравнять их к нулю:
—=Р Х~~Х{ +Р> Х-х2 +
дХ ^(Х-х{)2ЧГ-у{)2 yl(X-x2)2HY-y2)2
+р3 . Х~Хз =0;
J{X-x3)2+{Y-y3)2
dY 1^Х-х02НГ-У1)2 2yl(X-x2)2HY-y2)2
+р3 , Y~y' =о.
7<*-*з)2+СГ-»)2
Исследование этих уравнений показывает, что функция имеет
минимум. Учитывая, что Л/=^(Лг-х/2)+(У-у/)2 и что
расстояния Rg от данных точек до искомой неотрицательны, после
небольших преобразований получим
у- х1^1^2^3 +*2^2^1^3 +*3^3^1^2 .
P[R2R3 + P2R\R3 + P3R\R2
110

у y{P{R2R3+y2P2RlR3+y2P3R{R2
P\R2R?> +P2R\Ri +PiRiR2
Для простоты вычислений числитель и знаменатель
вышеприведенных уравнений разделим на произведение R{R2R3:
Р\ Рг Ръ
Х1Т+Х2Т+ХЗТ
х=-
Р\ Рг Ръ
Р\ Pi Рг
R\ R2 /?з
Р\ Рг Ръ
у_ к\ кг кз
Р\ Рг Ръ
R\ R2 R3
Поскольку расстояния R; нам неизвестны, задачу приходится
решать методом последовательных приближений (итераций). В
общем случае, когда число точек равно т, формулы для
вычисления координат оптимальной точки можно представить в
следующем виде:
т р.
м • лГ»
т р
1 -'
i-l Л^"1)
/
т р.
y(v)=.
f Pi
где v — номер итерации; R: — расстояния от данных точек до искомой с
координатами *<v>, ум
Чтобы сократить число итераций, А. А. Старковым и Е. Г. Лар-
ченко (Старков А. А. Применение математических методов при
размещении животноводческих ферм//Труды МИИЗ. — Вып.
31. — М., 1965; Ларченко Е. Г. Вычислительная техника и
экономико-математические методы в землеустройстве. — М.: Недра,
111

1973. — С. 267) были предложены следующие формулы для
приближенного определения центра тяжести массива с учетом массы
перевозимой продукции, в котором и следует размещать
животноводческую ферму:
^(0) =lzl ; у(0) =izl .
1=1 1=1
Эти формулы удобно использовать для начального (нулевого)
приближения.
6.2. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИТЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Рассмотрим порядок решения задачи на конкретном примере.
1. Определяют потребность в кормах для поголовья скота,
размещаемого на ферме.
2. Устанавливают источники покрытия этой потребности и
места производства кормов.
3. Вычисляют объемы перевозок кормов в переводе на 1-й
класс грузов. Коэффициенты перевода составляют для 2-го
класса 1,25, 3-го— 1,68, 4-го —2,0. Отнесение грузов к различным
классам проводится по известным методикам (Волков С. Н.
Экономика землеустройства. — М.: Колос, 1996. — С. 230).
4. Вычисляют координаты центров тяжести угодий и массивов
пашни, с которых поставляют корма (соответствующие данные
приведены в табл. 6).
6. Исходные данные для решения задачи по оптимальному размещению фермы
Игтпцыикп
поступления
кормов
Сенокосы
Пастбища
Пашня
(близлежащий
массив)
Итого
Пашня
(удаленные
земли)
Всего
Вид кормов
Сено
Зеленые корма
Корнеплоды
Силос
Зеленые корма
Сено
Концентраты
Солома
Класс
груза
4
3
2
3
3
4
1
4

Коэффициент
перевода
груза в
1-й класс
2,00
1,68
1,25
1,68
1,68
2,00
1,00
2,00
Объем
в
натуральных

единицах
1500
4000
1480
3000
3000
500
1500
1500
груза, т
в
переводе на
1-й класс
(П
3000
6720
1850
5040
5040
11930
1000
1500
3000
5500
Координаты
центра тяжести
угодий, км
X/
0,0
9,0
10,0
12,0
у,-
0,0
0,0
1,5
5,0
112

5. Рассчитывают приближенные координаты расположения
животноводческой фермы Х^°\ У(0) по формулам А. А. Старкова
(табл. 7).
7. Расчет приближенных координат оптимального размещения фермы
Источники
поступления
кормов
Сенокосы
Пастбища
Пашня
(близлежащий
массив)
Пашня
(удаленные земли)
Итого
Объем
перевозимого груза в
переводе на 1-й
класс, тыс. т(Р,)
3,00
6,72
11,93
5,5
t
9,00
45,16
142,32
30,25
226,73
Координаты центра
тяжести угодий, км
*/
0,0
9,0
10,0
12,0
—
у,-
0,0
0,0
1,5
5,0
—
W
0,0
406,44
1423,20
363,00
2192,64
уР2
У\Ч
0,0
0,0
213,48
151,25
364,73
ЛГ<°> = 9,7 У<°>=1,6
6. Методом последовательных приближений (итераций)
определяют координаты оптимального размещения
животноводческого комплекса (табл. 8).
7. С учетом уже существующих животноводческих построек и
возможностями их переоборудования, других экономических,
строительно-планировочных и санитарно-гигиенических
требований в пределах точности проведенных расчетов (до 0,5 км)
окончательно устанавливают место расположения
животноводческой фермы (в данном примере ^=9,9, Y= 1,5) и определяют
экономическую эффективность принятого решения по значению
целевой функции задачи (Z= 65,42).
В общий объем перевозок при наличии соответствующих
данных включают также перевозки навоза, минеральных удобрений,
нефтепродуктов, а также возможный объем
несельскохозяйственных перевозок. При необходимости в расчетах может
учитываться перевозка людей к месту работы и обратно.
При проведении практических вычислений с использованием
данной методики всегда следует сравнивать результаты,
полученные экономико-математическими и традиционными методами с
целью приблизить математический оптимум к реальному.
Рассмотрим еще один пример. В одном из производственных
объединений «Сяглицы» Ленинградской области решалась задача
о размещении трех крупных животноводческих комплексов.
Работа осуществлялась в такой последовательности.
1. Сначала проводился примерный расчет координат
местоположения комплексов по упрощенной методике (табл. 9).
2. Проводилось уточнение координат итерационным методом
(в табл. 10 даны расчеты по комплексу на 3200 коров при селении
Большая Вруда). В данном случае координаты, полученные
упрощенным способом и итерационным методом, совпали.
113

8. Расчет координат оптимального размещения ферм методом последовательных приближений
Источники
поступления
кормов
Объем
груза
т
Координаты, км
X/
Г/
*<0)
1-е приближение
Jf<°>=9,7; Г©-1,6
г,
л"»
2-е приближение
*<'>=9,9; Г<»=1,5
Сенокосы
Пастбища
Пашня
(ближние
массивы)
Пашня
(удаленные
массивы)
Сумма
Значение
целевой
функции
3,00
6,72
11,93
5,5
0,0
9,0
10,0
12,0
0,0
0,0
1,5
5,0
9,83
1,75
0,32
4,10
0,31
3,84
37,28
1,34
42,77
0,0
34,56
372,80
16,08
423,44
хП>-9,9
0,0
0,0
55,92
6,70
62,62
У0 =1,5
Z, = 67,62
10,01
1,75
0,10
4,08
0,30 0,0 0,0
3,84 34,56 0,0
119,30 1193,00 178,95
1,35
16,20
6,75
124,79 1243,76 185,70
х<2> = 9,9 У2)=1,5
Z> = 65,42

9. Расчет координат животноводческих комплексов
Источники поступления
кормов
Севооборот №2
Севооборот №3
Севооборот №4
Сенокос улучшенный
дкп
Всего
Координаты комплекса
Севооборот № 1
Севооборот №2
Севооборот №3
Севооборот №4
Севооборот №5
Сенокос улучшенный
дкп
Всего
Координаты комплекса
Севооборот № 1
Севооборот №2
Севооборот №3
Сенокос улучшенный
дкп
Всего
Координаты комплекса
Масса грузов,
тыс.т (Р,)
Р2
i
Комплекс при селении
0,74
59,84
5,12
2,56
15,60
0,55
3580,83
26,21
6,55
243,36
3857,50
X/
У/
Большая Вруда (на 3200 коров)
1,3
7,0
6,4
1,5
8,1
5,1
7,4
2,6
10,0
5,1
—
Комплекс при селении Яблоницы (на 3200 коров)
3,18
17,33
16,42
9,60
22,93
2,28
12,01
10,11
300,33
269,62
92,16
525,78
144,24
5,20
1347,44
10,2
5,1
9,9
9,2
3,5
7,2
11,5
Комплекс при селении Курковицы (на
17,86
2,31
12,45
0,96
5,86
318,97
5,33
155,00
0,92
34,33
514,55
6,3
12,1
1,5
3,5
6,7
4,0
6,1
11,3
8,5
14,2
9,0
3,0
1200 коров)
3,2
0,5
5,1
5,4
5,1
*./>.2
1 /
0,72
25065,81
167,74
9,83
1971,22
27215,32
*=7,1
103,12
1531,68
2669,24
847,87
1840,23
1038,53
59,80
8090,47
*=6,0
2009,51
64,49
232,50
3,22
230,01
2539,73
ЛГ=4,9
УР2
*i i
2,81
2649,14
68,15
65,50
1241,14
27218,25
Г=7,1
40,44
1832,01
3046,71
783,36
7466,08
1298,16
15,16
14482,36
Y= 10,8
1020,70
2,66
790,50
4,26
175,08
1993,90
У=3,9

10. Расчет оптимальных координат молочного комплекса при селении Большая Вруда (итерационный метод)
Источники
поступления кормов
Масса
грузов, тыс. т
(в переводе
на 1-й класс)
(Л)
Координаты, км
Xj
У,
1-е приближение
ЛГ<°>-8,1 У<°> = 6,0
*,°
'/
*<°>
2-е приближение
*">=7,3 Г<4 = 6,5
Л<'>
3-е приближение
Л-(2) = 7,1 К(2) = 7,1
*<»
/
л(2>
Севооборот №2 0,74
Севооборот №3 59,84
Севооборот №4 5,12
Сенокос улучшенный 2,56
ДКП 15,60
1,3
7,0
6,4
1,5
8,1
5,1
7,4
2,6
10,0
5,1
6,86 0,11
1,78 33,62
3,80 1,35
7,65 0,33
0,90 17,33
1-4г =52,74
*,(0)
Z, = 164,45
х<'> = 7,3
У») = 6,5
6,16
0,95
4,00
6,77
1,62
^ =
уЫ
у(2)
0,12
69,99
1,28
0,38
9,63
= 74,40
124,49
= 7,1
= 7,1
6,10 0,12
0,41 145,95
4,46 1,15
6,35 0,40
2,16 7,22
Z—^-=154,84
Z3= 118,10
jc<3> = 7,1
У3* = 7,1

3. Производилось размещение комплексов с учетом
зооветеринарных, строительно-планировочных и
санитарно-гигиенических требований в пределах 0,5 — 0,7 км (точность счета на
ЭВМ) от оптимальной точки с учетом возможности организации
ОКП, земледельческих полей орошения, введения кормовых
севооборотов с направленным подбором культур.
4. Варианты, полученные традиционными и математическими
методами, сравнивались по приведенным затратам С+КЕ, где
С—ежегодные издержки производства; К— капитальные
затраты на строительство комплекса; ?—нормативный коэффициент
эффективности капитальных вложений. Результаты анализа
сводились воедино (табл. 11), и на их основании принималось
окончательное решение.
11. Анализ эффективности размещения животноводческих комплексов
(тыс. руб., в ценах 1990 г.)
Показатели
Комплекс «Большая
Вруда»

традиционными
методами
с
применением
ЭММ
Комплекс «Яблоницы»

традиционными
методами
с
применением
эмм
Комплекс
«Курковицы»

традиционными
методами
с
применением
эмм
Текущие годовые
издержки:
транспортные 37,09
затраты на
перевозку грузов
транспортные 3,20
затраты на
перевозку рабочих
потери продук- 3,43
ции за счет
изъятия угодий
под
животноводческие
комплексы
дополнитель- —
ные
амортизационные и

эксплуатационные расходы
Итого текущих 43,72
издержек
Рост капиталовло- —
жений на
строительство комплексов по
отношению к
лучшему варианту
Приведенные 43,72
затраты
36,39
2,40
3,43
44,37
3,20
38,84
0,48
3,43
18,28
1,92
2,22
15,95
0,48
2,22
42,22
42,22
2,98
50,55
38,00
55,35
42,75
42,75
22,42
6,50
25,35
98,00
22,42 36,85
Таким образом, транспортные затраты на перевозку грузов во
всех случаях по оптимальному плану ниже, чем по плану,
составленному традиционными методами. В первых двух случаях ниже
117

также ежегодные издержки и приведенные затраты, что
позволило рекомендовать варианты, полученные с использованием
математических методов, к внедрению в производство.
По третьему варианту ввиду увеличения капиталовложений
(стоимость строительных работ), а следовательно,
амортизационных и эксплуатационных расходов, так же как из-за
невозможности приостановить уже начавшееся строительство комплекса
(было освоено более 25 % капиталовложений), к внедрению
рекомендовался вариант, составленный традиционными методами.
В этом случае, а также во всех других, когда прекращение
строительства экономически нецелесообразно, в процессе составления
проекта внутрихозяйственного землеустройства необходимо
принять меры к тому, чтобы снизить текущие издержки
производства. Эта задача может быть решена путем:
организации кормовых прифермских севооборотов и их
приближения к животноводческим комплексам и фермам;
насыщения полевых севооборотов, расположенных в
непосредственной близости от ферм и комплексов, кормовыми
культурами;
организации орошаемых культурных пастбищ (ОКП) вблизи
комплекса, что способствует гарантированному поступлению и
удешевлению зеленых кормов;
совершенствования сети внутрихозяйственных дорог по
наиболее грузоемким направлениям;
увеличения продуктивности расположенных рядом с
комплексом кормовых площадей;
первоочередного сельскохозяйственного освоения земель,
расположенных в зоне обслуживания комплекса.
Указанные мероприятия и были осуществлены в процессе
организации территории совхоза «Кикерино» с комплексом на
200 коров при селении Курковицы.
При вычислении координат местоположения
производственных центров, животноводческих комплексов и ферм точность
вычислений может быть задана следующими выражениями:
PT(v) _ jflv - 1)| ? |е|; | УМ _ y(v - D| < |?|.
В рассмотренных выше случаях было принято е = 0,1 км.
Область решения задачи можно установить, предварительно
выделив предельную ошибку Д2^реД в значении целевой
функции:
т
z=ZP>Rf
Дифференцируя это выражение по Р{ и R{ и заменяя
дифференциалы предельными ошибками, получим
118

Л^пред=1(|7>ДЯ,|+|Л,Д^|).
1=1
Областью решения является геометрическое место точек, в
которых значение функции цели Z отличается от значения ZonT
на величину, не превышающую 2^, то есть для точки /,
лежащей в области решения, должно выполняться неравенство:
I^W Лтт\ - А^мпред-
Она ограничена некоторой замкнутой кривой, в каждой точке
которой значение функции цели постоянно, но положение этой
кривой можно и не рассчитывать. Руководствуясь имеющимся
планом землепользовании, с учетом ситуации, изломанности
дорог и других факторов, вблизи оптимальной точки с найденными
координатами (Х&\ УМ) следует выбрать наиболее подходящую
точку для строительства фермы и вычислить для нее значение Z'
функции цели. Если \Z' — Zom\ < |AZnpeJ, то выбранная точка
находится в области решения.
Для примера, приведенного в таблице 8, координаты искомой
точки Х= 9,9; Y— 1,5. При значениях АР{= 1 т и АЛ/= 0,1 км
предельная ошибка целевой функции составит Д2^реД = ± 18,6 ткм
(табл. 12).
12. Расчет значения предельной ошибки целевой функции
Номера
участков (/)
1
2
3
4
Всего
Объем
груза (Л)
3,00
6,72
11,93
5,50
AR,
0,1
0,1
0,1
0,1
—
РАЯ,
0,30
0,67
1,19
0,55
2,71
*/
10,01
1,75
0,10
4,08
—
АЛ
1,0
1,0
1,0
1,0
—
RAP,
10,01
1,75
0,10
4,08
15,94
Z{PibRJ+ RibPi)
10,31
2,42
1,29
4,63
18,65
При использовании вышеприведенных формул не
учитывалась изломанность дорог. Однако если коэффициенты
изломанности kh вычисляемые по формуле Rj/R'=k;>\ (Rj —
расстояния по дорогам), окажутся примерно (с точностью до 2—3
значащих цифр) одинаковыми, то значения координат A*v) и
}*v) не изменятся для расстояний, взятых по дорогам. Даже при
значительном расхождении коэффициентов положение
искомой точки обычно не выходит за пределы найденной области
решения.
119

Контрольные вопросы и задания
1. В чем заключается сущность итерационных методов?
2. Для решения каких землеустроительных задач применяются итерационные
методы?
3. Как используются методы дифференциального исчисления для определения
координат местоположения различных объектов (ферм, пунктов переработки
продукции, бригадных центров и др.)?
4. Приведите формулы для определения приближенного значения центра
тяжести объекта.
5. Перечислите основные положения методики расчета оптимального
положения животноводческой фермы с использованием итерационных методов.
6. Как оценить точность решений, получаемых с использованием
итерационных методов?

Раздел III
ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ.
ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Глава 7
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКОМ
МОДЕЛИРОВАНИИ
7.1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И СТАДИИ ЭКОНОМИКО-
СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Среди моделей, применяемых в землеустройстве, экономико-
статистические занимают одно из основных мест. На основе этих
моделей рассчитывают ключевые показатели проектов
землеустройства—урожайность сельскохозяйственных культур,
продуктивность животных, выход продукции с сельскохозяйственных
угодий, а также нормативы, закладываемые в проект (плотность
дорог, облесенность территории, сельскохозяйственная
освоенность земель, плотность застройки и др.). Ошибки при
определении этих показателей и нормативов влекут за собой
кардинальные изменения в организации территории и приводят к
несбалансированной организации производства.
Например, если в проектные землеустроительные расчеты
будет заложена хотя бы только неправильная урожайность
кормовых культур, возделываемых на пашне, нарушатся рационы
кормления животных, изменятся баланс кормов; органических
удобрений, питательных веществ в почве, соотношение между
пашней и кормовыми угодьями, размещение полевых и кормовых
севооборотов и*, как следствие, вся организация территории с
размещением полей, рабочих участков, дорог, лесополос и т. д.
Нужен математический аппарат, позволяющий разрабатывать
как можно точнее соответствующие показатели и нормативы; с
этой целью и используются экономико-статистические модели.
В землеустроительной науке экономико-статистической
моделью называется функция, связывающая результативный и
факторные показатели, выраженная в аналитическом, графическом,
табличном или ином виде, построенная на основе массовых
данных и обладающая статистической достоверностью.
В связи с тем что в экономике такие функции обычно
описывают зависимость результатов производства от имеющихся
факторов, они получили название производственных. И так как в
121

землеустройстве основные проектные решения носят
экономический, территориально-производственный характер, то
производственные функции составляют основу землеустроительных
экономико-статистических моделей.
Для решения прикладных землеустроительных задач
производственные функции стали широко использоваться начиная с
70—80-х годов. В МИИЗе такими работами занимались Е. Г. Лар-
ченко, И. В. Дегтярев, А. Б. Беликов, Р. А. Тихомиров, С. Н.
Волков, Л. С. Твердовская, В. А. Синдеев, В. С. Шаманаев и другие
ученые.
Так, в учебном пособии Е. Г. Ларченко «Вычислительная
техника и экономико-математические методы в землеустройстве»
(М.: Недра, 1973) имеется раздел «Производственные функции и их
применение в экономическом анализе»; производственные
функции здесь использованы для установления оптимальных размеров
сельскохозяйственных предприятий и определения оптимальной
интенсивности использования земель. В 1976г. И.В.Дегтяревым,
Р. А. Тихомировым, А. Б. Беликовым была опубликована статья
«О применении экономико-статистических методов и ЭВМ при
прогнозировании потребности в земле для
несельскохозяйственных нужд» (Труды Омского СХИ. - 1976. - Т. 155. - С. 48 - 53).
В 1980г. вышла в свет работа Р.А.Тихомирова
«Прогнозирование использования земельных ресурсов» (М.: МИИЗ, 1980), в
которой экономико-статистические методы применялись для
обоснования состава земель по категориям земельного фонда на
перспективу.
В 1977 г. нами были использованы производственные функции
и их экономические характеристики для анализа состояния и
использования земель в районах водной эрозии почв при
составлении проектов землеустройства (С. Н. Волков «Оптимальное
планирование и проектирование использования земель в условиях
водной эрозии почв. На примере хозяйств
Центрально-Черноземной зоны». — М.: МИИЗ, 1977). В 1984 г. раздел по применению
производственных функций в землеустройстве появился в
методических указаниях по дисциплине «Применение
экономико-математических методов в землеустройстве» (С. Н. Волков, Л. С.
Твердовская. -М.: МИИЗ, 1984).
В 1987 г. аналогичный раздел был включен в работу
«Экономико-математические методы и моделирование в
землеустройстве» (Под ред. С. Н. Волкова, части 1, 2. — М.: МИИЗ, 1987), а в
1991г.— в «Практикум по экономико-математическим методам
и моделированию в землеустройстве» (Под ред. С. Н. Волкова и
Л. С. Твердовской. — М.: Агропромиздат, 1991).
В 1990 г. в Издательстве стандартов вышла работа В. А. Синде -
ева «Методы и модели прогнозирования земельных ресурсов»
(М., 1990), в которой были описаны экономико-математические
модели, применяемые в генеральных схемах использования и ох-
122

раны земельных ресурсов страны (республики) и схемах
землеустройства районов.
Активно шли исследования по указанным направлениям и на
землеустроительных факультетах других сельскохозяйственных
вузов. Так, например, в 1981 г. В. Я. Заплетен и В. П. Подтележ-
ников (Воронежский СХИ) издали учебное пособие для
студентов «Производственные функции и их применение в
землеустройстве» (Воронеж, 1981), в котором производственные функции
применялись для экономического обоснования проектов
внутрихозяйственного землеустройства. В 1985 г. в этом же институте
была опубликована лекция В. Я. Заплетина, В. П. Подтележнико-
ва, А. Г. Лунева, В. А. Загороднева «Математические методы
прогнозирования использования земельных ресурсов» (Воронеж,
1985), где был рассмотрен вопрос о соотношении размеров
производства и территории и с использованием производственных
функций определялись нормативы удельных капиталовложений
на строительство сельских населенных пунктов и
животноводческих ферм.
В 1972 г. И. М.Стативка (Харьковский СХИ) использовал
производственные функции при определении оптимальной
густоты полезащитных лесных полос в степи (Материалы
межреспубликанской конференции по землеустройству. — Елгава, 1972).
Впоследствии И. М. Стативкой были опубликованы и другие
работы в этом направлении.
На землеустроительном факультете Ленинградского СХИ в
1983г. студенты пользовались лекцией Т.В.Михайловой
«Применение методов математической статистики при
прогнозировании использования земельных ресурсов» (ЛСХИ, 1983).
Землеустроители также широко пользовались работами ученых
Ленинградского СХИ (В. Г. Еникеева, П. П. Пастернака, Р. П.
Рудаковой, М. М. Тунеева, М. М. Юзбашева и др.) при планировании
урожайности сельскохозяйственных культур и других
показателей.
При составлении проектов землеустройства и анализе уровня
интенсивности использования земель, оценке эффективности
производства инженеры-землеустроители пользовались
работами ученых Тимирязевской сельскохозяйственной академии, в
особенности методическими пособиями по математической
статистике А. М. Гатаулина (раздел I. — М.: МСХА, 1968; раздел
II. — М.: МСХА, 1970). В 1992 г. им было опубликовано учебное
пособие «Система прикладных статистико-математических
методов обработки экспериментальных данных в сельском хозяйстве»
(часть 1.-М.: МСХА, 1992; часть 2-М.: МСХА, 1992).
Применялись также учебные пособия и научные работы А. П. Зинчен-
ко, Е. А. Ермаковой, В. М. Кошелевой и других ученых.
Сохранили свое значение для научных исследований в
области землеустройства классические труды Э. Хеди, Д. Диллона
123

«Производственные функции в сельском хозяйстве» (М.:
Прогресс, 1965) и В. С. Немчинова «Сельскохозяйственная статистика
с основами общей теории» (М.: Сельхозиздат, 1945). Широко
известны также труды М. Е. Браславца, Р. Г. Кравченко, В. Ф. Сухо-
рукова, И. В. Поповича, К. Г. Трегубова, Т. Ф. Гуревич и других
ученых.
В конце 80-х —начале 90-х годов экономико-статистическими
исследованиями в землеустройстве занимались А. Ю. Ашенбрен-
нер, В. А. Кудрявцев, В. А. Махт, В. С. Миселев, В. К. Мизюрин,
М. А. Сулин, Е. М. Чепурин и др. Практически все диссертации,
защищаемые в это время, содержали в себе элементы
экономического анализа с использованием производственных функций.
Обобщение этих исследований и инструментарий по
применению производственных функций в землеустройстве имеются в
работе «Методические основы применения производственных
функций при решении землеустроительных задач» (Волков С. Н.,
Безгинов А. Н. — М.: ГУЗ, 1997). В целом можно считать, что к
настоящему времени теоретические и методические основы
экономико-статистического моделирования в землеустройстве уже
разработаны.
Процесс моделирования имеет несколько стадий:
экономический анализ производства, определение зависимой
переменной и выявление факторов, влияющих на нее;
сбор статистических данных и их обработка;
определение математической формы связи между
переменными (вида уравнения);
определение числовых параметров экономико-статистической
модели;
оценка степени соответствия экономико-статистической
модели изучаемому процессу;
экономическая интерпретация модели, анализ возможностей
ее использования для решения конкретных землеустроительных
задач.
Экономический анализ производства заключается прежде всего
в уяснении и определении цели решаемой задачи и выборе
такого результативного показателя, который наилучшим образом
аккумулирует в себе свойства изучаемого землеустроительного
процесса и отражает его эффективность. Например, если
проектировщик хочет изучить влияние организационно-хозяйственных,
агротехнических, лесомелиоративных и гидротехнических
мероприятий на динамику эрозионных процессов на каком-либо
склоне (земельном участке), он в качестве результативного
показателя может использовать расчетное значение смыва почвы (в
тоннах на 1 га) и его сокращение в результате закладки
лесополос, строительства водозадерживающих валов, применения про-
тивоэрозионной техники (щелевания, лункования, бороздования
и т. п.) на проектируемых полях и рабочих участках. Если же ана-
124

лизируется интенсивность использования земель в
сельскохозяйственном предприятии, в качестве результативного показателя
могут быть использованы стоимость валовой продукции в
расчете на 100 га площади хозяйства и изменение ее в зависимости от
качества почв, сельскохозяйственной освоенности и распаханно-
сти угодий, трудообеспеченности и фондооснащенности
сельскохозяйственного предприятия и т. д.
За зависимую переменную принимается такой показатель,
который, исходя из поставленной цели исследования, наиболее
полно характеризует изучаемый землеустроительный процесс.
Это может быть прямой показатель, характеризующий
результаты производства или размер территории (урожайность культур,
продуктивность угодий, площадь землепользования), или же
косвенный (себестоимость продукции, рентабельность, прибыль). В
любом случае производственная функция должна иметь
экономический смысл, взаимосвязь результативного и факторных
показателей должна быть логически обоснована.
Очень важно правильно отобрать независимые факторы,
влияющие на результат производства. При их выборе необходимо
учитывать следующие.
1. Точность производственных функций выше при большем
числе эмпирических данных, включаемых в расчет, то есть при
крупных выборках, когда один и тот же фактор будет встречаться
большое число раз.
2. Факторы-аргументы должны оказывать наиболее
существенное влияние на изучаемый производственный процесс,
должны быть количественно измеримы и представлены лишь
одним признаком (абсолютным или относительным, натуральным
или стоимостным). Например, такие факторы, как
квалификация землеустроительных кадров, опыт руководства и т. п., трудно
выразить математически, поэтому включать их в модель
нецелесообразно.
3. Число отобранных факторов не должно быть слишком
большим даже в том случае, когда они известны и могут быть
выражены количественно, поскольку это усложняет модель и
повышает трудоемкость ее использования в производственных
условиях (например, в поле, когда землеустроитель выполняет
обследование местности).
4. Включаемые в модель факторы не должны находиться
между собой в состоянии функциональной связи, так как они будут
характеризовать одну и ту же сторону изучаемого явления и
косвенно дублировать друг друга. Так, например, при определении
эффективности лесополос нельзя включать в модель
одновременно такие факторы, как площадь лесополос, протяженность
лесополос при оговоренной ширине и защищенную ими
площадь, так как все эти показатели или являются частью друг друга,
или находятся между собой в тесной связи. Если такие факторы
125

все же будут включены в экономико-статистическую модель,
изучаемые зависимости могут быть существенно искажены, а
результаты расчетов непредсказуемы.
Сбор статистических данных и их обработку производят после
определения зависимой переменной (результативного
показателя) и факторов-аргументов, влияющих на нее. При сборе
информации используют экспериментальный и статистичесхий^м^а-
ды. Первый предполагает изучение данных, получаемых в
результате проведения опытов, условия которых можно
контролировать. Но в землеустройстве процесс экспериментирования
затруднен, а при решении отдельных вопросов вообще
невозможен. Второй метод основан на использовании статистических
данных (сплошных или выборочных). Например, если при
анализе размеров землепользовании привлекают данные по всем
сельскохозяйственным предприятиям области, то статистическая
информация является сплошной, а изучаемая совокупность —
генеральной. Однако размер генеральных совокупностей бывает
слишком большим — несколько сотен единиц и более. Поэтому
для сокращения расчетов и экономии времени число
наблюдений обычно сокращают, получая выборочные данные (формируя
выборочную совокупность) различными методами,
позволяющими сохранить достоверность вычислений и распространить
результаты исследований на генеральную совокупность.
Во всех случаях выборка должна удовлетворять следующим
требованиям:
быть однородной;
исключать аномальные объекты и данные (сильно
отличающиеся от всех остальных);
включать только факторы, которые измеряются однозначно
некоторым числом или системой чисел.
Определение математической формы связи переменных
осуществляется путем логического анализа изучаемого процесса,
выбора наиболее подходящих уравнений с последующим их
построением и оценкой. Содержательный анализ позволяет выбрать
прямую или обратную связь, вид уравнения (линейное,
нелинейное), форму связи (парная или множественная) и т.д.
Определение параметров модели — это расчет числовых
характеристик выбранной ранее математической зависимости.
Например, если для оценки зависимости урожайности озимой
пшеницы (у) от балла экономической оценки земель по этой культуре
(х) выбрана линейная взаимосвязь вида
у = а0 + а{х,
то данная стадия моделирования заключается в получении
числовых значений коэффициентов а0 и ах.
Допустим, в результате вычислений получено, что а0 = 20,0,
126

ах = 0,15 при 40<х< 100. Это означает, что линейная зависимость
будет иметь вид у = 20,0 + 0,15х при условии, что
фактор-аргумент не выходит за указанные пределы. Например, при х = 60
моделируемая урожайность составляет у = 29 ц с 1 га.
Для определения параметров экономико-статистических
моделей могут применяться различные методы, но практика
показывает, что самые точные результаты дает метод наименьших
квадратов, подробно рассмотренный ниже.
Оценка степени соответствия экономико-статистической
модели изучаемому процессу осуществляется с использованием
специальных коэффициентов (корреляции, детерминации,
существенности и др.). Данные коэффициенты позволяют
определять, можно ли использовать полученную модель для проведения
последующих расчетов и принятия землеустроительных решений
или нет, насколько точно определяется результативный
показатель и с какой вероятностью можно доверять ему, соответствует
ли выбранное математическое выражение изучаемому процессу.
Подобная оценка опирается на методы
корреляционно-регрессионного анализа и теории ошибок.
Экономическая интерпретация модели лежит в основе
последующих землеустроительных решений, включая построение других
экономико-математических моделей, разработку нормативов,
экономическое обоснование проектов землеустройства.
Наиболее распространенным видом
экономико-статистических моделей являются производственные функции. Рассмотрим
более подробно методику их построения, оценки и
использования.
7.2. ВИДЫ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И СПОСОБЫ
ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Производственная функция — это математически выраженная
зависимость результатов производства от производственных
факторов. Формализованная символьная запись
производственной функции имеет вид
у=у(хь хъ...,хк),
где у — результативный показатель; х{, х2,...,хк — величины, выражающие
различные факторы производства.
Величины, у,.хи х2, ...,хк, как правило, скаляры.
Содержательно показатель у может быть, например, стоимостью валовой
продукции, чистым доходом хозяйства и т.п. Величины хь х2, ...,хк
могут выражать качественную оценку земель,
фондообеспеченность хозяйств, нормы внесения удобрений в почву и т. п.
Знание производственных функций позволяет проводить ана-
127

лиз роли различных производственных факторов,
прогнозировать уровень результатов производства, оптимизировать
производство тех или иных продуктов, оценивать допустимые пределы
взаимозаменяемости различных ресурсов и т. д.
С помощью производственных функций в землеустройстве
можно производить следующие действия:
анализировать состояние и использование земельных угодий;
готовить исходную информацию для
экономико-математических задач по оптимизации различных решений, входящих в
проекты землеустройства;
определять уровень результативного признака на перспективу
при планировании и прогнозировании использования земель в
схемах и проектах землеустройства;
устанавливать экономические оптимумы, коэффициенты
эластичности, эффективности и взаимозаменяемости факторов, то
есть рассчитывать экономические характеристики
производственных функций и использовать их при принятии решений.
Существует несколько способов представления
производственных функций: табличный, графический, аналитический,
номографический.
Табличный способ чаще всего применяется при изучении
зависимостей, полученных в результате непосредственных
наблюдений. Примером может служить зависимость производительности
тракторных агрегатов от длины гона и крутизны склонов, где
значения функции и аргументов представлены в таблице.
Графический способ более нагляден, однако точность
определения значений функции при заданных значениях фактора
ограничена. Такой способ используется, когда важно не столько
конкретное значение, сколько направление и характер изменения
показателей.
Как правило, графический способ представления
производственных функций применяется тогда, когда на результат влияет
только один фактор, благодаря чему получается наглядное
двухмерное изображение на плоскости. Гораздо реже этот способ
применяется в виде трехмерных изображений в пространстве,
чтобы выразить влияние двух факторов. При количестве
факторных показателей более двух график, учитывающий их все сразу,
построить невозможно.
Аналитический способ представления производственной
функции является основным: это — уравнение, показывающее
порядок вычисления результативного показателя при заданных
факторах производства.
Номографический способ применяется для быстрого
определения значений производственных функций и реализации
аналитических форм связи между переменными, когда не требуется
высокой точности результата. Он предполагает построение номограмм,
отражающих ту или иную математическую зависимость.
128

Наиболее удобным способом представления
производственных функций является аналитический; приведем примеры их
математического выражения. Помимо результативного показателя у
и производственных факторов х\, х2,...,хк в них входят различные
параметры (a, b, Jx и т. д.), подбирая численные значения
которых, можно варьировать конкретный тип зависимости.
1. Линейная зависимость, парная (при наличии одного
фактора):
у = а0 + ахх
и множественная (при наличии многих факторов, влияющих на
результат):
к
У=а0 + 2>/*/.
/=1
2. Степенная зависимость (парная):
у=а0ха{
и множественная (функция Кобба-Дугласа):
i=l
3. Гиперболическая зависимость (парная):
в том числе первого порядка (6 = 1):
а\
У=%+—•
х
4. Полиномиальная зависимость (парная):
у = яо + а\х + а2х2 + ••• + сцх1\
в частном случае L = 2 имеем уравнение обычной параболы:
у = а0 + ахх + я2*2.
5. Кинетическая зависимость (множественная):
/=iL J
129

6. Зависимость асимптотического роста (множественная):
к
у=а0-ауЮ 1={ .
Графическое изображение основных видов парных
математических зависимостей приведено на рисунке 4.
Линейная зависимость применяется в случае равномерного
нарастания (убывания) результативного признака с изменением
значения данного фактора производства. Линейные парные и
множественные зависимости используются в землеустройстве
для моделирования нормальной урожайности
сельскохозяйственных культур при проведении земельно-оценочных работ. В
модель включают различные факторы и условия производства
(климатические характеристики, качество почв, количество
вносимых удобрений и т.д.).
Часто линейные производственные функции применяются
также при анализе использования земель в конкретных
сельскохозяйственных предприятиях с целью выявления основных
факторов, влияющих на эффективность производства. Эти же
функции используются при планировании урожайности
сельскохозяйственных культур в схемах и проектах землеустройства.
Степенная зависимость может быть использована в случае
криволинейного возрастания (убывания) результативного
показателя при изменеНйи_фактора производства. Такие зависимости
^широко применяются для анализа уровня и интенсивности
использования земель в районах со сложными природными
условиями: в зонах орошаемого земледелия, в хозяйствах с развитой
водной эрозией почв и дефляцией, в районах широкого
проведения осушительных мелиорации и культуртехнических
мероприятий.
Гиперболическая зависимость необходима при изучении
обратно пропорциональных связей, когда увеличение факторного
показателя (в области неотрицательных значений) приводит к
уменьшению результата. В землеустройстве такие модели
находят широкое применение при определении различных
нормативов, прежде всего при расчете удельных затрат на строительство
населенных пунктов на 1 жителя в зависимости от крупности
поселений, затрат на строительство животноводческих комплексов
и ферм в расчете на 1 голову скота при различной концентрации
поголовья, удельных затрат на 1 га осваиваемой или
мелиорируемой площади земель в зависимости от размера объекта
мелиорации и т. д.
При экономическом обосновании проектных
землеустроительных решений гиперболические зависимости используются
для определения затрат на холостые повороты и заезды сельско-
130

aQ>0,ax>0
1. Линейная зависимость
а0>Ора{<0 |
«о
2. Парабола
I а{>0,а2<0
г
*
а{<0,а2>0 II
i
i
i
1
-Otfay/arf
%
4.Степенная, зависимость
а0>0, \а1\<1
*0
\ 3.Гипербола qq>0
а{>0
ах<0 1
5.Кинетическая зависимость
flQ>0,/=7
Рис. 4. Графическое представление производных функций различных типов
(парные зависимости)

хозяйственной техники в зависимости от длины полей, при
расчете простоев техники по организационным и техническим
причинам в зависимости от площади полей и рабочих участков, при
анализе влияния концентрации посевов на себестоимость
продукции растениеводства и т. д.
Полиномиальная зависимость (главным образом уравнение
параболы второго порядка) используется в случае ускоренного
возрастания (убывания) результативного показателя при
равномерном изменении фактора производства. Иногда такая
зависимость нужна ввиду наличия максимума (минимума) результата
производства (у) в границах изменения производственного
фактора (х). Так бывает, в частности, при поиске оптимальных
площадей различных земельных участков (землевладений и
землепользовании, полей, рабочих и бригадных участков,
севооборотов, сенокосо- и пастбищеоборотов).
Например, если найдена параболическая зависимость
стоимости валовой продукции от размера землевладения, из нее можно
определить площадь сельскохозяйственного предприятия, при
которой стоимость валов9й продукции (или прибыль) достигает
максимума.
Кинетическая зависимость и уравнение асимптотического
роста применяются при проведении землеустройства для анализа
уровня интенсивности использования земель и расчета
различных нормативных показателей. Так, кинетическая зависимость
может быть использована для оценки целесообразности
укрупнения или разукрупнения хозяйств, а уравнение асимптотического
роста — для установления зависимости чистого дохода,
получаемого от агроклиматического воздействия лесополос (у), от
высоты насаждений (х).
Приведенный список уравнений связи не является
исчерпывающим; при проведении землеустройства иногда применяются
и другие виды производственных функций.
Контрольные вопросы и задания
1. Что называют экономико-статистической моделью? Дайте общую
характеристику назначения экономико-статистических моделей в землеустройстве.
2. Что такое производственная функция?
3. Опишите кратко историю применения экономико-статистических методов в
землеустройстве.
4. Что представляет собой экономико-статистическое моделирование в
землеустройстве? Опишите основные стадии такого моделирования.
5. Какие задачи решаются на этапе экономического анализа производства?
6. Какие показатели могут быть выбраны в качестве зависимой переменной в
экономико-статистической модели?
7. Перечислите условия выбора независимых факторов
экономико-статистической модели.
8. Как осуществляются сбор статистических данных и их обработка? Какие
методы при этом используются?
9. В чем состоит смысл определения параметров экономико-статистической
модели?
132

10. Дайте формализованное определение производственной функции.
11. Какие типы задач можно решать, используя производственные функции?
12. Назовите основные способы представления производственных функций и
охарактеризуйте области их применения.
13. Какие виды аналитических зависимостей могут использоваться при
построении производственных функций?
14. Приведите алгебраические выражения для различных видов
производственных функций.
15. Дайте графическое изображение парных зависимостей различных видов.
Опишите поведение графиков при различных значениях параметров
производственных функций.
16. Укажите наиболее типичные области применения зависимостей различных
видов.
Глава 8
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
8.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим следующую простую задачу.
Задача 8.1. Для 12 участков хозяйства имеются оценка
качества земли и средняя урожайность озимой пшеницы (табл. 13).
По этим данным нужно установить функциональную
зависимость урожайности (у) озимой пшеницы от балла оценки
качества земли (х).
13. Исходные данные к задаче 8.1
Номера участков (/)
Балл оценки земли (xj)
Урожайность пшеницы, ц с 1 га (У)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
30
35
35
38
29
40
45
37
35
40
50
52
23,5
23,7
24,0
26,7
24,3
28,8
33,5
27,6
23,0
29,4
30,5
35,0
На рисунке 5 в двухмерной системе координат нанесены
точки, координатами которых являются пары (xJ\ yJ) из таблицы 13.
Очевидно, что по имеющимся оценкам по крайней мере
проблематично построить однозначную зависимость у = у(х). Так,
например, трем точкаму = 2, 3, 9, в которых оценки качества земли
совпадают (х= 35), соответствуют разные значения урожайности.
Сравнение 4-й и 8-й точек показывает, что участку с большей
оценкой качества земли необязательно соответствует большая
133

25 30 35 40 45 50 х
Рис. 5. Графическое представление оценок качества земли
(дг, баллы) и урожайности пшеницы (у, ц с 1 га),
полученные по результатам наблюдений на 12 участках
урожайность культуры и т. д. В то же время на рисунке явно
прослеживается тенденция роста урожайности с ростом качества
земли.
Причиной неоднозначности зависимости у = у(х),
«неправильного» изменения урожайности в ряде случаев является
влияние на результативный показатель помимо качества земли
множества других факторов. Это могут быть эродированность
участков, экспозиция, длина и форма склонов, качество обработки
почвы, микроклиматические условия и т. д. В принципе
невозможен столь полный учет всех факторов, при котором
зависимость от них результата станет однозначной. Биологические и
производственные процессы слишком сложны для достижения
такой однозначности.
В действительности мы всегда имеем дело с той или иной
степенью неопределенности при изучении зависимости результата
производства от производственных факторов. Однозначные
функциональные зависимости у = у(х) являются идеализацией,
математической абстракцией, а реальная связь прослеживается лишь
в среднем, то есть является корреляционной и стохастической.
Это значит, что изменения факторов и результативного
показателя коррелированы, но при этом можно указать только
тенденцию изменения у при изменении хь..., хк, а не однозначную
зависимость. Даже если такая тенденция четко прослеживается,
одному и тому же значению факторов могут соответствовать
различные значения результата.
Латинское слово correlatio означает соотношение, соответ-
134

ствие. Особенность изучения корреляционных взаимосвязей
заключается в том, что никогда нельзя изолировать влияние
посторонних факторов — либо потому, что эти факторы
неизвестны, либо потому, что их изоляция невозможна. Метод
корреляции нужен как раз для того, чтобы при сложном взаимодействии
посторонних влияний выяснить, какова была бы зависимость
между результатом и фактором, если бы эти посторонние
факторы не искажали основную зависимость, что вполне достижимо
при большом числе наблюдений.
Первая задача корреляционного анализа заключается в
выявлении того, как изменяется в среднем результативный признак
при изменении данного фактора, вторая — в определении
степени влияния искажающих факторов.
С этой целью сначала находится уравнение связи, а затем
определяется степень тесноты связи изучаемых переменных.
Рассмотрим еще раз приведенное на рисунке 5 представление
имеющихся данных (точки .на графике) и попытаемся построить
непрерывную линию у =flx)9 отражающую общую тенденцию
связи переменных. Для решения этой задачи необходимо на основе
изучения природы рассматриваемого явления задать характер
зависимости урожайности пшеницы от качества почвы. Она может
быть линейной, квадратичной или какой-то другой; это значит,
что нужно задать класс функций fix). При отсутствии
необходимых знаний о природе явления «подходящий» класс функций
можно попытаться установить на основе визуального анализа
графика или оценки выборочных коэффициентов корреляции,
однако такие приемы можно рассматривать только как
вспомогательные. Статистический анализ выборки, каким бы
обстоятельным он ни был, не может заменить изучения самой природы
явления.
Следующий шаг решения поставленной задачи (замены
реальной картины идеализированной функциональной
зависимостью) заключается в подборе конкретной функции из заданного
класса. Подобранную должным образом функциональную
зависимость естественно назвать сглаженным представлением
зависимости результирующего показателя от производственных
факторов:
у=А4
Как видно на рисунке 5, величина у (точка на прямой,
соответствующая данному значению х) может значительно
отличаться от фактически наблюдаемого значения у.
Для более строгого изложения последующего материала
необходимо ввести ряд понятий и обозначений.
135

Возможны различные способы статистического описания
рассматриваемого явления. Например, можно полагать, что
производственные факторы хи...,хк — не случайные величины;
случайной является только величина у, имеющая, вообще говоря,
различные распределения при различных фиксированных
наборах значений величин х{,...,хк Более адекватным реальности
является описание, согласно которому все рассматриваемые
величины у, х{,...,хк случайные и соответственно наборы, подобные
представленному в таблице 13, являются результатами
наблюдений случайных значений этих величин из генеральной
совокупности. Далее, если не оговорено противное, мы в основном
придерживаемся второго представления.
Примем следующие обозначения. Набор значений (уЛ*/>•••,*?)
будем называть у-наблюдением значений рассматриваемых
случайных величин из генеральной совокупности. При этом, как
правило, верхний индекс (номер наблюдения) будем обозначать
через у, общее число наблюдений — N; нижний индекс величин х
(номер производственного фактора) — через /; общее число
факторов — К. В случае парной зависимости (один
производственный фактор К= 1) нижний индекс не указывается. При таком
понимании каждая строка таблицы 13 представляет результаты
наблюдения за случайными величинами у (урожайность) и х
(балльная оценка качества почвы). В общем случае мы имеем
дело с К факторами и N-выборкой, то есть выборкой,
включающей N наблюдений:
(v{ xl х1 х! хМ
N - выборка
8.2. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Рассмотрим величины хь...,хк как независимые переменные.
При этом каждое значение у можно считать случайным
значением величины у, которое «выбирается» в соответствии с ее
условным распределением h(y\xu...,xK) при фиксированных значениях
хь...,хк независимых переменных. При такой интерпретации
переменных поставленную выше задачу замены реальной
статистической связи у с хи...,хк на функциональную (сглаженную)
зависимость y=f(xi,...,x%) можно свести к построению средней
136

квадратической регрессии у на хи...,хк при условии, что функция
У =Ах\>-~>хк) относится к определенному классу функций Cf.
Предположим, что все функции из класса (Дописываются
определенным набором параметров (далее эти параметры
обозначаются через аь а2,...,ам) и соответственно используем
следующее обозначение для таких функций (случай множественной
зависимости):
У=Л<*\, а2,...,ам;хи...,хк).
В рассмотренных выше представлениях зависимости у от
хь-.^х^роль указанных параметров играют: в случае
множественной линейной зависимости — а0, аь...,ак при М=К+ 1, в
кинетической зависимости — а0, аи...,ак, J\,...Jk при М = 2К+ 1 и т. д.
Средняя квадратическая регрессия определяется как
наилучшее функциональное представление зависимости случайной
величины у от х\,...9хк в смысле принципа наименьших
квадратов. Поскольку условные распределения Л(>>|хь...,х^)
неизвестны и на практике приходится иметь дело с выборочными их
представлениями, этот принцип формализуется следующим
образом:
определить функцию / из класса С/, то есть найти значения
параметров аь...,ам, при которых минимизируется сумма
квадратов отклонений случайных значений величины у, полученных в
выборках, от соответствующих значений функции /
l[yJ-f(a[,a2,...,aM]x{,x{,...,x^ ->min. (8Л)
Отметим, что в приведенной сумме величины
yJ, x{,...,xJK,j=l,...,N — суть константы, и, следовательно, эта
сумма может рассматриваться как функция только переменных
аи...,ам.
Принцип наименьших квадратов служит источником
получения так называемых нормальных уравнений дляопределения
искомых значений параметров аь...,ам. Далее предполагается, что
первые частные производные функции из заданного класса по
параметрам аи...,ам существуют. Для получения нормальных
уравнений в соответствии с необходимыми условиями
достижения экстремума приравняем к нулю эти производные. С
точностью до постоянных коэффициентов получим так называемую си-
стему нормальных уравнений, из которой и находят значение
параметров аи...,ам:
137

N
У = 1
N
1
У=1
N
f
{у;-/(ах,...,ам;х{,...АЩ
[у;-/(аь...,ам;х{,...А)Щ
(
{У;-/(аь...,ам;х{,...А))?^
[Х{,А)\
(ФА)]
Ц-А)
=0;
=0;
=0.
/ J
8.3. СИСТЕМЫ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ ОСНОВНЫХ ВИДОВ
ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим несколько примеров системы нормальных
уравнений для случая парной зависимости (М= 1); во всех них
нормальные уравнения линейны относительно параметров аи...,ам.
1. Пусть Су—класс линейных функций, то есть ищется
линейная средняя квадратическая регрессия у на х. В принятых
обозначениях это означает, что реальную статистическую
зависимость результативного показателя у от производственного
фактора х мы хотим заменить функциональной линейной
связью
У=Л<*\, сц\ х) = ах + а2х. (8.3)
Подставляя это выражение в общую систему нормальных
уравнений (8.2), после дифференцирования и элементарных
преобразований получим
N N . 1
axN^a2^xJ=^yJ\
J = l j=X I /о л\
N . N / .\2 N , . л\ (И.4)
где N— общее число наборов экспериментальных данных (число наблюдений).
При проведении вычислений обычно уравнения из этой
системы делят на число наблюдений, приводя ее к виду
138

N
N .
2*'
У=1
N .
N N
N
N
1*J 2M 2 (yjxj)
щЩ-.а^
N
N
(8.4a)
2. Пусть Су—класс полиномов второй степени (парабол), то
есть ищется параболическая регрессия у на х:
У =А<*и а2, аъ; х) = щ + а2х + аух2.
(8.5)
В этом случае система нормальных уравнений для
определения параметров аи а2, а3 будет иметь вид
N . N , Л2 N , Лз N , . л
<Ч 2 х' +а2 2 (xJ) +a3 2 (*у) = 2 [у'х>)
У=1
N
N
N
.\4 ЛГ
(8.6)
ay 2 И +«2 I И +fl3 2 И = 2 (jM
y=lV ' y=lV ' y=lV ' y=lV '
3. Если С/— класс гипербол, ищется гиперболическая
регрессия у на х.
y=f(al,a2;x)=al+^-.
Тогда система нормальных уравнений имеет вид
(8.7)
N 1 ЛГ .
j=lXJ j = \
N ] N ]
<*2А+«2 2
N(VJ\
1 = \X'
y=i
и
= 2
(8.8)
Аналогично составляются системы нормальных уравнений в
случае большего числа производственных факторов. Например,
для случая трех факторов при необходимости построения
линейных регрессий вида
139

У =Л^о, а\, 02, ау, х) =а0 + аххх + а2х2 +а3х3
система нормальных уравнений имеет вид
(8.9)
N
Ы
а0+щ
N
7 = 1
7V
"о
1х{
7 = 1
N
N
- + 02
N
N .
7 = 1
N
N
-+а3
1х{
7 = 1
N
N .
lyJ
.7 = 1
N
-+Д,
N , л2 N , . ., N i . л N i . л
Хх/ 1^ Ъ(х{х{) Х^х/
7 = 1V ' ,- 7 = 1V ' .„ 7 = 1V 0=1V '
N / . .v N , .k2 N / / .v N , . .,
y=i y=iv ' j=r ' j=r ' j=v '
TV
N
N
N
N
(8.10)
N . N , . л N , . л N , .,2 N , . л
После решения системы нормальных уравнений и
подстановки полученных значений параметров в общее выражение,
связывающее результативный показатель с факторами, получают
конкретное уравнение, которое и принимается в качестве искомого
представления производственной функции.
Для иллюстрации определим в соответствии с рассмотренным
методом линейное представление зависимости урожайности
озимой пшеницы от балльной оценки качества земли по данным
таблицы 13. Расчет сумм, входящих в систему нормальных
уравнений (8.4), показан в таблицей.
14. Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений (линейная регрессия,
задача 8.1)
Номера
участков j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
I
X
30
35
35
38
29
40
45
37
35
40
50
52
466
У
23,5
23,7
24,0
26,7
24,3
28,8
33,5
27,6
23,0
29,4
30,5
35,0
330,0
JC2
900
1225
1225
1444
841
1600
2025
1369
1225
1600
2500
2704
18658
ху
705,0
829,5
840,0
1014,6
704,7
1152,0
1507,5
1021,2
805,0
1176,0
1525,0
1820,0
13100,5
У = /(х)
23,01
25,55
25,55
27,08
22,50
28,09
30,63
26,57
25,55
28,09
33,18
34,19
330,0
140

Таким образом, система нормальных уравнений (8.4) для
рассматриваемой задачи будет иметь вид
12а{ + 466д2 = 330,0;
466fl, + 18658fl2= 13100,5.
Для решения разделим каждое уравнение на коэффициент
при а{. Получим
а{ + 38,833^ = 27,500;
^ + 40,039^ = 28,113.
Вычтем из второго уравнения первое:
1,206я2 = 0,613, откуда д2 = 0,508.
Подставив значение а2 в любое из уравнений, найдем
Я! = 27,5-38,833-0,508 = 7,77.
Таким образом, линейное представление зависимости
урожайности пшеницы от оценки качества земли имеет вид
у=/(х)=7,77+0,508х.
Графическое представление этой зависимости и было дано на
рисунке 5. Численные значения урожайности у, рассчитанные по
полученной формуле, представлены в последнем столбце таблицы 14.
Аналогичные расчеты можно провести, если представление
рассматриваемой зависимости искать не в классе линейных
функций, а, например, в классе полиномов второй степени (парабол). В
этом случае необходимо исходить из регрессии вида (8.5) и
соответственно системы нормальных уравнений вида (8.6).
Необходимые промежуточные вычисления представлены в таблице 15.
15. Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений (параболическая
регрессия, задача 8.1)
У
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
I
X
30
35
35
38
29
40
45
37
35
40
50
52
466
У
23,5
23,7
24,0
26,7
24,3
28,8
33,5
27,6
23,0
29,4
30,5
35,0
330,0
ху
705,0
829,5
840,0
1014,6
704,7
1152,0
1507,5
1021,2
805,0
1176,0
1525,0
1820,0
13100,5
X2
900
1225
1225
1444
841
1600
2025
1369
1225
1600
2500
2704
18658
х2у
21150,0
29032,4
29400,0
38554,8
20436,3
46080,0
67837,5
37784,4
28175,0
47040,0
76250,0
94640,0
536380,5
X*
27000
42875
42875
54872
24389
64000
91125
50653
42875
64000
125000
140608
770272
X4
810000
1500625
1500625
2085136
707281
2560000
4100625
1874161
1500626
2560000
6250000
7311616
32760694
У
23,11
25,52
25,52
27,01
22,64
28,02
30,58
26,51
25,52
28,02
33,23
34,32
330,01
141

С учетом результатов, рассчитанных в последней строке
таблицы^, система нормальных уравнений (8.6) приобретает вид
12*! + 466а2 + 18658я3 = 330,0;
466^ + 18658я2 + 707272я3 = 13100,5;
18658^ + 770272д2 + 32760694в3 + 536380,5.
Решая эту систему по аналогичной схеме1, получим значения
коэффициентов аь аъ аъ и соответствующую сглаженную
зависимость урожайности пшеницы от качества земли:
y=/(x)=10,3+0,38x+0,0016x2.
Сравнение двух представлений (последние столбцы табл. 14 и
15) наглядно демонстрирует тот факт, что в условиях
рассматриваемой выборки линейное и параболическое представления
практически неразличимы, и если выбор осуществлять лишь между
этими двумя, достаточно ограничиться линейным.
Задача 8.2. Найти зависимость потерь времени смены на
холостые повороты и заезды комбайна СК-6 «Колос» при прямом
комбайнировании на уборке зерновых колосовых (у, %) от длины
гона (х, км) по исходным данным, представленным в таблице 16.
При построении регрессии полагать, что искомая зависимость
а2
является гиперболической: у=ах+—.
16. Исходные данные к задаче 8.2
Номер наблюдения (/)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
- 10
11
12
Длина гона, км (х)
0,15
0,25
0,35
0,40
0,50
0,60
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
Потери времени
39,2
23,0
20,0
17,0
13,8
12,5
10,0
8,0
7,0
6,0
5,2
4,9
В соответствии с заданным в условии задачи видом уравнения
регрессии коэффициенты ах и а2 могут быть найдены при реше-
1 Разделить каждое из уравнений на коэффициент при вь вычесть из первого
уравнения второе, а из второго — третье. В результате будет получена система из
двух уравнений с неизвестными а2 и д3, которую можно решить так же, как и
предыдущую систему двух уравнений для ах и а2.
142

нии системы нормальных уравнений вида (8.8). Промежуточные
вычисления представлены в таблице 17.
17. Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений (гиперболическая
регрессия, задача 8.2)
J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
I
У
39,2
23,0
20,0
17,0
13,8
12,5
10,0
8,0
7,0
6,0
5,2
4,9
166,6
X
0,15
0,25
0,35
0,40
0,50
0,60
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
10,50
\/х
6,67
4,00
2,86
2,50
2,00
1,67
1,33
1,00
0,80
0,67
0,57
0,50
24,56
1Д2
44,44
16,00
8,16
6,25
4,00
2,78
1,78
1,00
0,64
0,44
0,33
0,25
537,76
у/х
261,33
92,00
57,14
42,50
27,60
20,83
13,33
8,00
5,60
4,00
2,97
2,45
86,07
У
39,27
24,62
18,34
16,37
13,63
11,79
9,96
8,13
7,03
6,3
5,77
5,38
166,60
Исходя из результатов, представленных в последней строке
таблицы 17, система нормальных уравнений (8.8) приобретает
вид
\2ах +24,56^=166,6;
24,56^ + 537,76я2 = 86,07.
. Схема решения этой системы та же, что и для предыдущих.
Искомое уравнение регрессии имеет вид
у=2,64+^.
х
Графическое представление дано на рисунке 6.
Задача 8.3. В одном из почвенно-эрозионных районов
Белгородской области выделено 20 хозяйств, находящихся в
одинаковых природно-экономических условиях. По данным хозяйствам
определены следующие показатели: плотность поголовья коров
У
40
Рис.6. Результаты решения jq
задачи 8.2. Сглаженная
зависимость потерь времени смены 20
на холостые повороты и
заезды комбайна jq
0
О 0,5 1,0 7,5 2,0 х
143
щ 1 *

на 100га сельскохозяйственных угодий — у; площадь кормовых
угодий — хх (в % к общей площади сельскохозяйственных
угодий); стоимость животноводческих построек — х2 (тыс. руб. на
100 га сельскохозяйственных угодий); площадь смытых земель —
х3 (в % к общей площади сельскохозяйственных угодий)
(табл. 18). Определить линейную регрессионную зависимость у от
факторов х\, х2, х3.
18. Исходные данные к задаче 8.3
J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*i
21,5
10,3
12,6
8,9
20,3
29,0
19,7
29,5
34,3
23,0
*2
4,9
16,4
14,8
12,3
4,9
5,8
4,0
11,3
6,4
7,0
*з
31,3
25,6
21,0
14,8
17,0
44,4
47,0
37,5
27,7
35,6
У
15,7
23,5
13,5
15,0
10,2
14,1
12,9
16,8
17,1
10,0
J
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
*i
11,3
14,1
15,6
20,4
27,5
15,0
17,1
22,7
36,7
31,6
*2
4,0
15,0
6,0
8,0
9,0
10,0
5,3
17,1
4,0
15,6
*з
42,1
8,5
11,0
9,5
11,5
28,5
20,5
35,0
9,0
40,5
У
15,0
16,3
11,3
15,9
18,7
17,5
12,6
22,3
9,6
29,0
В соответствии с условием задачи решение будем искать в
виде линейного уравнения вида (8.9), коэффициенты а0, дь а2, аъ
которого определяются из системы нормальных уравнений вида
(8.10). Промежуточные вычисления представлены в таблице 19, в
которой дополнительно даны результаты расчета следующих
контрольных сумм:
S=x{ +х2 +*з + У'у
S^xf+x^+x^Xi+Xiy;
$2 =х\х2 +х2 +Х2Х3 +х2^
^3 =х\х3 +JC2X3 +хз +Х1У-
Должны выполняться условия (см. соответствующие
столбцы):
и\ = Х\о', а->2= ^2*^5 *->з == Х30.
В каждом равенстве указанного вида числа слева и справа
должны совпадать с точностью до единицы последнего разряда
при условии, что расчеты ведутся при фиксированном числе
знаков после запятой.
С учетом результатов, представленных в последней строке
таблицы 19, систему нормальных уравнений (8.10) можно
144

5s
00—, P
Ill
2
= ,
S
J
00(NOTf^0N^V0t^OOOvOTtTtnin\OfSvoS
OVOOOO^SO™
тем—«^гч0^ — гч—< ^г^ — т*
О о
(NVOONnsf4—OOOi°ONOOONnvoVO«n(N«n^O\Tf
r zi-!^
Tt OO t— ^ <N <N On Tj- —i u-i <N ON - _. _.
ПЮОооО^О«Л^Ю-н,
. U-> Ю «О О r-s «О v
—• »0 —• ^ГГ- ТГ Г^ Г- Г^ «О <N 00"—" яС—• 000>Л,
^ооЧоооЧп-.оЧ^ g
as Ч^^оч oo оr
—i(Nrn^m\OMMO\
О —<ЧП^1ЛУ0Г^00 0\О
WHfe;
145

— cn m тг «очо г- оо <*2 — 2 2 2; ?? S^ 2 ?8 w

записать так:
а0 +21,06^ +9,09д2 +25,4я3 = 15,85; 1
21,06^0+507,18^ +183,01д2 +556,88я3 =336,63;
9,09с70+183,0Ц+102,82д2+226,17аз =159,05; (8Л1)
25,4я0+556,88я, +226,17д2 +818,18я3 =418,64. J
Решение ее проведем по простейшей схеме метода
исключений Гаусса. Вся последовательность вычислений дана в
стандартной таблице; она разбивается на несколько прямых и обратных
ходов метода Гаусса, а прямой ход, в свою очередь, разбивается
на несколько разделов —по количеству неизвестных. В каждом
разделе прямого хода, начиная со второго, происходит
исключение одной переменной и соответственно одного уравнения.
Кроме того, по ходу вычислений определяют несколько
вспомогательных величин, позволяющих контролировать правильность
расчетов (Сборник задач по методам вычислений/Под ред.
П. И. Монастырского. — М.: Физматлит, 1994. — С. 27—31).
20. Ведомость вычисления параметров уравнения регрессии для задачи 8.3
Раздел
1
/
2
«|
3
Ад
4
Кз
5
Км
6
к*
7
J*
8
2/
9
Прямой ход метода Гаусса
1,00
21,06
9,09
25,40
1,00
во
21,06
507,18
183,01
556,88
21,06
63,66
-8,43
21,96
1,00
Обратный
0\
9,09
183,01
102,82
226,17
9,09
-8,43
20,19
-4,72
-0,13
19,08
-1,81
1,00
25,40
556,88
226,17
818,81
25,40
21,96
-4,72
173,65
0,34
-1,81
166,08
-0,09
165,91
ход метода Гаусса
*2
«3
15,85
336,63
159,05
418,64
15,85
2,83
14,97
16,05
0,04
15,35
15,07
0,80
16,53
0,10
0,81
0,12
3,44
72,40
1604,76
680,14
2045,90
72,40
80,02
22,02
206,94
1,26
32,61
179,34
1,71
182,44
72,40
80,02
22,02
206,94
1,26
32,61
179,34
1,71
182,44
Рассмотрим структуру таблицы (см. табл. 20).
Структура первых 4 строк I раздела: 1-й столбец — номер
раздела; 2-й — номер уравнения; 3—6-й столбцы — коэффициенты
при неизвестных системы (8.11), обозначаемые символами К^ /,
У= 1,..., 4; 7-й —правые части уравнений (обозначим их Ki5); о-й
Ш
IV
v
147

5
столбец — сумма К^= ХА^-; 9-й столбец в первом разделе не за-
У=1
полняется.
5-я строка I раздела (заполняется начиная с 3-го столбца): 3—
( 5 Л
8-й столбцы — числа BXj= KXj/Ku, j = 1,...,6; 9-й— В{1=\ 1+ ?Я1у-
I У=1
Проверка: числа В^ и В{7 должны совпадать с точностью до
единицы последнего разряда при условии, что расчеты ведутся при
фиксированном числе знаков после запятой.
Первые 3 строки II раздела содержат коэффициенты
преобразованной системы уравнений: из первого уравнения неизвестная
а0 выражается через другие неизвестные и подставляется в другие
уравнения. Соответственно новые значения коэффициентов
определяются по формулам (верхний индекс — номер раздела)
К®=К0-КпВи, / = 2, 3, 4,у = 2,...,6;
42)=?42)' /=2>з>4-
У = 2
Проверка: с указанной выше точностью должно выполняться
равенство К%'=Ку-
Элементы последней строки раздела II:
Р).
*g>-*M../-J,-.AJg
1 5 ^
1+ 1Ви
v J=2 J
Проверка осуществляется так же, как в разделе I. Следующие
(III и IV) разделы таблицы заполняются по аналогичной схеме.
Обратный ход метода Гаусса осуществляется следующим
образом.
Вносим в раздел V обозначения переменных (см. табл. 20);
значения переменных заносим в 7-й столбец, рассчитывая их по
следующим формулам:
а,-К^/К^-а,-В®-В®а,'
"3~л45 /л44'"2-^35 л34"3>
а\ ~л25 л24 а3 л23 "2> "О""л15 л14"3 D\3 а2 D\2a\-
Согласно полученным результатам уравнение регрессии для
рассматриваемой задачи будет иметь вид
у=3,44+0,126*! +0,81*2 +0,1*3 •
148

Рис. 7. Результаты решения задачи 8.3.
Сглаженная зависимость у от хи хъ хъ
На рисунке 7 полученная
аналитическая зависимость
иллюстрируется графически.
Относительно
рассмотренной схемы решения
задачи необходимо сделать
ряд оговорок. Дело в том,
что для эффективной
работы использованной здесь
простейшей разновидности
метода Гаусса необходимо
выполнение двух условий:
на каждом этапе
(разделе) прямого хода метода
первый коэффициент
первой строки не должен быть
нулевым;
все коэффициенты не должны сильно различаться по
абсолютной величине.
При нарушении первого условия схема вообще неприменима,
а при нарушении второго ошибки округления могут стать
неприемлемо большими. Обойти указанные трудности можно,
применив метод Гаусса с выбором главного элемента. Суть его
заключается в том, что на каждом этапе расчета (в каждом разделе
таблицы) отыскивают наибольший по модулю коэффициент
(называемый главным или ведущим), а переменные и уравнения
переставляют так, чтобы указанный коэффициент был первым в
первой строке данного раздела. В остальном все операции
подобны рассмотренным выше. При решении задачи 8.3 применение
такого метода не оправдано, так как ошибки округления и без
того малы, а выделение главного элемента требует выполнения
большого числа трудоемких комбинаторных операций. Однако в
общем случае при разработке программного обеспечения
экономико-статистических моделей требуется применение сложных
модификаций метода Гаусса. Именно с использованием таких
модификаций реализован разработанный в ГУЗ программный
комплекс, предназначенный для расчета параметров
производственных функций.
В заключение отметим, что при решении практических задач
расчеты следует проводить на компьютере с использованием
современного программного обеспечения (в частности,
упомянутого программного комплекса, разработанного в ГУЗ). Вместе с
тем при освоении материала данной главы полезно несколько
задач просчитать вручную. При этом, естественно, можно
воспользоваться вспомогательными программными средствами,
например редактором электронных таблиц Microsoft Excel Именно с
помощью такого редактора были подготовлены таблицы 19 и 20.
149

8.4. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ
Приведенные выше примеры определения средней квадратичес-
кой регрессии у на (х{,...,хк), иначе говоря сглаженного
представления зависимости результата производства у от производственных
факторов хи...,хк, достаточно наглядно иллюстрируют тот факт, что
процесс расчета неизвестных параметров аь...,ам сглаживающей
функции из заданного класса существенно упрощается, если
система нормальных уравнений в дифференциальной форме (8.2)
сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Те же примеры
показывают, что в некоторых случаях параметры аи...,ам входят в
искомую функцию линейно. Зачастую путем соответствующей
замены переменной у и параметров а{,...,ам эта функция может быть
преобразована к форме, в которую неизвестные параметры либо их
функции вида Ь{(а{),...,'&м{ам) входят линейно. Очевидно, что в
таких случаях дифференциальные уравнения автоматически
преобразуются в линейные алгебраические уравнения.
Как только указанное преобразование проведено, дальнейшая
процедура определения параметров а{,...,ам, а точнее Oi,...,$m
может быть жестко алгоритмизирована на основе стандартных
методов решения систем линейных алгебраических уравнений,
что существенно упрощает разработку программного
обеспечения для решения задач, связанных с использованием
производственных функций. Таким образом, целесообразно исходить из
общего представления линейной модели регрессии в виде
g= 01ф1(А) + 02<Р2(Л) + ... + «л/МД), (8.12)
где g =g(y) — взаимно однозначное преобразование результативного показателя
(замена переменной у на g); X= (х\,...ухк) — вектор факторов производственной
функции; (pi(A),...,(pA/(A) — известные функции вектора Х\ ft/(fl,), / = 1,...,Л/—
взаимно однозначное преобразование параметра щ (замена параметра а{ на ft,).
Подчеркнем, что на вид функций <pi(A),...,<pju(A) не
накладывается никаких ограничений, кроме независимости от параметров
аи...ами однозначности в рассматриваемой области значений X.
Важна только линейность зависимости g от -&и...,Ъм.
Рассмотрим интерпретацию функций у \(Х) ,...,<$ ЖХ) и
параметров -&i,...,-&m из уравнения (8.12) для некоторых конкретных
примеров.
1. Пусть задана функция Кобба-Дугласа:
y=f(aQ, аиа2, аъ\ хьх2, хъ)=аъх°хх°2х°г.
Тогда после логарифмирования и соответствующей замены
переменной у и параметров a0i аь а2, а3, получим следующую
линейную модель регрессии:
g= т31ф1(А) + т32ф2(А) + т>зФз(А) + т34ф4(А),
nieg=lg>>; ft, = /ga0; ft2 = fl1; ft3 = ^ъ #4 = <*i\ <Pi = 1; <p2 = lg*i; <P3 = lg*>; <P4 = lg*3-
150

2. Пусть задана кинетическая зависимость:
к
y=f(a0,ab...,aKJu...JK;xb...fxK)=a0Ylxfiexp(-Jixi).
/=i
Логарифмируя эту зависимость, получим следующую
линейную модель регрессии:
Я=«1Ф1(А) + тЭ2ф2(Л)+...+ тЗМФм(А) при М=2К+\,
где g=\ny; Oi = lnfl0; $2 = ^; -J&i+ *=<**; ^i_+a:+i=-^i; ••• ^1+ 2a:= — Лг; <Pi = 1;
ф2 - In*,;... (pj + дг- In**; cpj + K+ x - x{;... ф, + 1K - xK.
3. Пусть для представления производственной функции
используется полином 2-й степени К переменных
(производственных факторов):
У=А<*о> а\,-,<*к, b\,...,bK, с1)2,...,с/г-ь к, *ь-,**) =
у=1 у=1 /<У
где 6у, 8у, 5/fy —заданные параметры, причем каждый данный параметр равен О,
если по физическим, биологическим, экономическим и т.д. соображениям
соответствующий компонент не может входить в приведенное выражение (пусть,
например, «по физике» результативный показатель у не должен зависеть от
произведения xxxAi тогда 5f4=0, в противном случае 5f>4=l).
Для этого примера линейная модель регрессии будет иметь
вид
/71=1 1 1
где Л/5=0 — общее число символов типа 8*,8у, Ъ\ у-, равных нулю.
В случае, когда все величины 5у,5у,Sfy равны 1, получим
g = y; Ъ\ = а0; Ь2 = а{; ... t31 + *= д*; ^l+tf+i = *b - &\ + 2К=Ьк;
^i + 2a:+i = с\,ь ••• ®m=ck-\,Kj 9i= 1; Ф2 = л:ь ••• Ф1 + лг = **;
2 2 _ —
Ф1 + #+1=Х1 5—;Ф1 + 2ДГ=х^; Ф1 +2#Г+ 1 ~~Х\ХЪ ••• Фл/"""-**-1**-
Если некоторые из величин Sy,8y,8/j равны нулю, то
соответствующие коэффициенты Ът и функции срт должны быть
исключены из приведенного списка.
Рассмотрим теперь принцип наименьших квадратов для
случая линейной модели регрессии.
151

Пусть имеется N наблюдений за результатом производства у и
производственными факторами х{,...,хк. Тогда выражение (8.1),
формализующее принцип наименьших квадратов, примет
следующий вид:
N( . М , Л2
где gj=g(yJ)i j = \,...,N— преобразованный результат наблюдений; XJ =
Соответственно система нормальных уравнений в матричной
форме будет иметь вид
фГ*Ф*е = Ф'* о, (8.13)
где G= (g\...,gN)T— вектор-столбец преобразованных результатов наблюдений;
0 = (Фи...,$м)Т — вектор-столбец оцениваемых параметров модели; Ф = ||ф/т||,
Ф//я =Фт(^у), j = l,...,N, т = 1,...,Л/; Фг —транспонированная по отношению к Ф
матрица.
Решение уравнения (8.13) в матричной форме имеет вид
0 = (фГ* ф)- 1 * фГ* Q
После решения уравнения (8.13) значения первоначальных
параметров ah...,aM производственной функции из выбранного
класса восстанавливаются из соотношений fy(fl/), /,...,Л/(см.
приведенные выше примеры).
8.5. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ
МОДЕЛЕЙ РЕГРЕССИИ
Разумеется, решение уравнения (8.13) в реальных задачах
должно проводиться на ЭВМ, желательно с использованием
мощных профессиональных пакетов программ. В то же время
последовательное применение моделей регрессии вида (8.12)
позволяет сделать более наглядным алгоритм получения системы
нормальных уравнений и в простых случаях (как правило,
рассматриваемых в учебном процессе). В частности, удается
обойти этап непосредственного вычисления производных
производственных функций (см. систему 8.2).
Проиллюстрируем это на примере однофакторной зависимос-
152

ти параболического вида
у =А<*о, аи а2, х) = а0 + ахх + а2х2.
Очевидно, что в этом случае
g(y)=y; «1 = а0; Ь2 = а{; Ъ3 = а2\
Ф!(х) = 1; ф2(х) = х\ ф3(х) = х2.
Пусть имеется N наблюдений за результатом производства и
единственным производственным фактором: у1,...,)^, xl,...,xN;
тогда введенные выше объекты будут иметь следующий вид.
Векторы-столбцы результатов производства и оцениваемых
параметров:
g= &,..,^)т= (Л-,УУ; в = <*„ ь2, о3)г= to, вь а2)г;
матрица Ф:
Ф=
ffjm
н-и-
lx1 (х1)
х2 (х2):
1х"(х")
Подставляя полученные выражения в матричное уравнение
(8.13), получим
1 1
1 2
X X •
и2и2-
1
N
•• X
V)
(4
и2
1 1 1
t1 х2 ... х"
И2И2-И
1х
( \\
a2j
153

Далее, перемножая матрицы и векторы, получим
lxJ 2(xJf2(xJ)
Mxjf*(xjfl(xJ)
\а2;
X(*V')
Z(*>)Vj
или в привычной элементарной алгебраической форме (сравните
с системой уравнений 8.6):
N . N , л2 N , лз N , . л
*о 5>y+*i S (*') +*2 х И = s (у'хЛ
"°У?,И +ЧД,И +*,?,М =Д'И
Приведем еще два примера.
Если в качестве уравнения регрессионной зависимости
выбрана функция Кобба-Дугласа, соответствующие векторы и
матрицы будут иметь вид
G=(gl, ?,...,Е*)т=(1пу\ ^„.„тУУ; е = («ь Ь2, *3, Ъ»)7;
фНК«|=|ф.(^|=
1 lllXj1 lnx^ lnx]
1 lnxj2 lnx2 lnx2
llnx/^lnxf ln^
Уравнение (8.13) примет вид
154

N
I Inx/
?lnx' ?lnx/
felnx/ S(lnx/)' ?(lnjc/)(lnx^2(lnx/)(lnx/'
Elnx/ ?(lnx/)(lnx/)?(lnx/)2 ?(lnx/)(lnx/'
Elnx/x(lnx/)(lnx^2(lnx^)(lnx/)2(lnx/)
ll 1 "l
lnxj lnx^-'-lnjcj^
|1ПХ2 lllXj •••lnx^
Inx] In*! -lnx^
Iny2
lnj>
N
или
JV TV N . N
bN+$21 lnx( +*3 2 in*/ +«4 x inx/ = Ein^;
7=1 y=l 7=1 y=l
JV N , . x2 ЛГ ЛГ
«2
«3
*4;
Ъ\ t Inx/ +Ъ2 ? (inx/ ) +«3 ? lnx/Inx/ +d4 X Inx/ Inx/ = ?lnx/ lnyy';
7=1 y=lV 7 7=1 7=1 7=1
N . N N , л2 N . . N . .
6i X Inx/ +fl2 X Inx/ Inx/ +d3 X Inx/ +d4 ? Inx/ Inx/ = ?lnx/ lny;
7=1 7=1 y=lV ' У'=1 7=1
TV ЛГ N N , л2 N . .
«1 j Inx/ +«2 2 Inx/ Inx/ +«3 X Inx/ Inx/ +d4 X Inx/ = ?lnx/ lny/.
;_1 ;_ i ;_ 1 ;_ Л / ._ 1
После решения этой системы уравнений относительно
$i,...,ft4 значения искомых параметров а0,...,а3 определятся
соотношениями:
а0 = ехр(«!); а{ = Ф2, а2 = д3, *з = «4-
В случае выбора в качестве однофакторной регрессионной
зависимости логарифмически квадратичной связи вида
lg У = ^1 + 02lg * + *з(18 *)2
получим линейную модель регрессии
g = «i<Pi(x) + «2Ф2(Л) + «ЗФЗ W,
где g = Igy; О, = в,; fl2 = л2; ^з = «з; Ф1М = 1; Фг(*) = Ig^ ФзМ = Og*)2-
155

Соответствующие векторы и матрицы будут иметь вид
G=(gl, 1?,..,8ы)т = (1ёу1, lgy2,..,igyN)T;
© = (Ъ1,Ъ2,Ъ3)т=(аьа2,а))т;
Ф=М=М*У)|=
lgx1 (lgx1)
lg*2 (lg^1)2
1 ]gxN(]gxN)
Уравнение типа (8.13) выглядит следующим образом:
2 Г
;\2 I ;\3_/ ..\4|
fa{\
\n Xig*y' ?(ig*y)
p(lg^)2I(lgx^)3s(lgx^),
или в привычной элементарной алгебраической форме
а2
S(ig^'igy)
[s(ig^)2igyj
N . N ( Л2 N
a{N+a2 2\gxJ+a3 ? lgxy = llgyJ;
j=\ y = lV > 7=1
N . // / л2 TV / Л3 N i . л
*i 2 ig*y+*2 I te*y +*з X ig*y = X igyy ig*y;
y = l y = lV ' y = P ' y = P '
«1 1 (lgx') +a2 S (lg*y) +я3 S (igx'J = I lgy(lgx') I.
Линейная модель регрессии вида (8.12) была положена в
основу разработанной в лаборатории автоматизированного
проектирования кафедры землеустройства ГУЗ программы расчета
параметров производственных функций на основе выборочной
информации. Программа предназначена главным образом для
использования в учебном процессе в ходе изучения студентами
производственных функций в курсе
«Экономико-математические методы и моделирование в землеустройстве». Ниже
представлены результаты решения двух демонстрационных задач,
полученные с помощью указанной программы.
156

Задача 8.4. По исходным данным, представленным в таблице
21, рассчитать сглаженную зависимость урожайности у кукурузы
на зерно (ц с 1 га) от затрат на удобрения jci (руб. на 1 га) и на
семена х2 (руб. на 1 га) в предположении, что зависимость имеет
форму функции Кобба-Дугласа у=а<)Х^х%2.
21. Исходные данные к задаче 8.4
J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
У
34,1
40,0
38,2
42,1
30,0
37,2
34,0
43,0
22,3
42,4
28,1
46,7
Х\
4,1
6,2
5,6
6,1
4,3
5,3
4,5
7,0
1,4
7,0
3,1
2,3
*2
2,7
5,4
5,8
5,9
2,4
5,6
4,0
5,2
4,0
7,1
2,7
5,9
Задача 8.5. Для лесной полосы высотой 18 м и шириной 13 м
по результатам наблюдений установлено соответствие между
прибавкой у урожая зерновых культур (ц с 1 га) и расстоянием х
до лесной полосы (м); соответствующие данные приведены в
таблице 22. Построить регрессионную зависимость в
предположении, что уравнение связи имеет вид
lg У = 01 + а$% х + tf3(lg *)2-
22. Исходные данные к задаче 8.5
J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
X
50
70
102
140
180
257
385
450
530
630
720
800
У
1,5
3,3
4,5
4,7
5,0
5,0
4,1
3,7
з,з
2,9
2,5
1,8
157

Система нормальных уравнений и уравнение регрессии для
задачи 8.4 следующие:
12Ъ!+7,64^2+ 7,8в3=18,65;1
7,6461+5,35*2+5,Ш3=12,01;[
7,8«1+Я1в2+^35в3 = 12,23; J
Для задачи 8.5:
\2ах +28,86я2+71,24д3 =6,23; 1
28,86^ +71,24д2 + 179,93д3 =14,93;
71,24в! +179,93д2 +463,28^ =36,49;J
lgy=-6,03+5,831gx1-l,26(lgx2)2.
Расчеты, на основании которых получены коэффициенты
систем нормальных уравнений, представлены в таблицах 23 и
24, графические изображения уравнений регрессии — на
рисунках 8 и 9.
Рис. 8. Результаты решения задачи 8.4.
Сглаженная зависимость урожайности
кукурузы на зерно у от затрат на
удобрения jc, и на семена х2
У
5
4
3
2
VI I I ! I I
О 200 400 600 800 х
Рис.9. Результаты решения задачи 8.5.
Сглаженная зависимость прибавки
урожайности зерновых культур у от
расстояния до лесной полосы jc
158

к
to
=4
чтоооог^г^о-чочсо^о^-оого
о —— — о—-о —о—«о— ^
тГ Г^ ОО 00 ТГ TJ" О ОО О ОО-^ О ^
©"—Г—Г—Го"—«*—Г—Г©~—Го'сГ ?!
оооооооооооо
VOOOr-—<TfTfO\-HONC4-^00
CN in^Vfi^CN 1П ГО ^ОО t^ ^«N
о*©"©'©'©'©"' о"©"©"©'©"©"'
оооооооооооо
^r^r^r^cn^r^V?)^r^V?^00^ ^t^
©'©'©'©'©'©'©'©'©'©'©'©'*
оооооооооооо
г^тг oo a^rr ^ж о^г^о ^г-^а^
ciu'f ioVf rsfirT т^1гГ^г^г^Г»лГ
^Г^чо^^с^го^и-^О^^О^-^г^
—жОжг^^ожгчжОжг^со^^г^
^¦©~оо~гч~ ©"W ^coW <>f ооЧеГ
—««NcoTi-mvor^ooosSZ^S^
r^r^o^oor^^^oo^vocso^
ma\oo—«r^roTt^oo—.voco
°°—• —|ГЧСЧсОчТтГ*ПЧ©Ч©Г^
S CN 2 00 ^О^Л^ЛЧ
О—«(NcOCOTfTtTfroromCN
CNCOTl-TfiOinVOr^r^r^OOOO
OVO—«TfOOOOVO—«^СТЧТГТГ
-© z
-^—<CNPN<NCNCNfNCN<N<NCN
00C4«Or-OO-Hr^<N40_-.V0
©"о"©*©"©'©'©"©"©"©"'0 о"
^(NnTfinvor-ooo\2^-I W
159

Контрольные вопросы и задания
1. С чем связана неоднозначность зависимости результативного показателя
(например, урожайности пшеницы) от какого-либо фактора (например, качества
земли)?
2. Приведите пример и дайте общую характеристику функциональной
зависимости результативного показателя от факторного показателя.
3. Объясните смысл понятия «корреляционная связь признаков».
4. Назовите две основные задачи корреляционного анализа и пути их решения.
5. Каким образом следует выбирать класс функций при определении
сглаживающей зависимости результативного показателя от производственных факторов?
6. Дайте общую характеристику понятия «средняя квадратическая регрессия».
7. Сформулируйте принцип наименьших квадратов для общего случая
зависимости результативного показателя у от А'производственных факторов хи...,хк.
8. Каким образом на основании принципа наименьших квадратов получают
систему нормальных уравнений в дифференциальной форме? Запишите эту
систему в общем виде.
9. Что такое линейная регрессия? Выведите систему нормальных
алгебраических уравнений из системы нормальных уравнений в дифференциальной форме
при определении линейной регрессии для случая зависимости результативного
показателя у от одного производственного фактора х.
10. Что такое параболическая регрессия? Выведите систему нормальных
алгебраических уравнений из системы нормальных уравнений в дифференциальной
форме при определении параболической регрессии для случая зависимости
результативного показателя у от одного производственного фактора х.
11. Что такое гиперболическая регрессия? Выведите систему нормальных
алгебраических уравнений из системы нормальных уравнений в дифференциальной
форме при определении гиперболической регрессии для случая зависимости
результативного показателя у от одного производственного фактора х.
12. Приведите вручную расчет коэффициентов системы нормальных уравнений
для определения линейной регрессии по данным из следующей таблицы (х —
производственный фактор; у — результативный показатель):
№
наблюдения
1
2
3
4
JC
32
39
29
28
У
24
27
23
24
1 JSfeHa-
| блюдения
5
6
7
8
X
40
27
49
50
у
29
25
32
34
1 №на-
| блюдения
9
10
И
12
X
29
36
32
55
У
25
30
28
37
1 №на-
1 блюдения
13
14
15
16
X
34
27
36
44
У
27
24
26
32
Нарисуйте график полученной линейной регрессии, а также изобразите
точками результаты наблюдений, приведенные в таблице.
13. Проведите вручную расчет коэффициентов системы нормальных уравнений
для определения гиперболической регрессии по данным из следующей таблицы
(х — производственный фактор; у — результативный показатель):
№
наблюдения
X
у
1 0,15 35
2 0,25 28
3 0,35 22
4
0,45
15
1 №
наблюдения
JC
5 0,55
6 0,7
7 0,9
8
1,1
У
12
12
10
8
1 JVfeHa-
| блюдения
9
10
11
12
X
У
1,2 7
1,4 7,5
1,6 7
1,8
6,5
1 № на-
| блюдения
13
14
15
16
X
2,0
2,2
2,4
2,6
У
6
5
6
4,5
Нарисуйте график полученной гиперболической регрессии, а также изобразите
точками результаты наблюдений, приведенные в таблице.
14. Каким образом осуществляют контроль вычисления коэффициентов
нормальных уравнений? Реализуйте процедуру такой проверки для задач из
предыдущих вопросов.
160

15. Дайте характеристику простейшей модификации метода исключений
Гаусса. Какова последовательность вычислений, проводимых при прямом и обратном
ходах метода Гаусса? Как при этом осуществляется контроль правильности
вычислений?
16. В чем суть модификации метода Гаусса с выбором главного элемента?
17. Дайте формализованную запись общего представления линейной модели
регрессии.
18. Запишите линейную модель регрессии для случая трехфакторной
производственной функции Кобба-Дугласа.
19. Запишите линейную модель регрессии для случая двухфакторной
производственной функции из класса кинетических зависимостей.
20. Запишите выражение для принципа наименьших квадратов в случае
использования линейной модели регрессии.
21. Дайте матричное представление системы нормальных уравнений в случае
использования линейной модели регрессии.
22. Запишите линейную модель регрессии для случая однофакторной
зависимости параболического вида. Выведите, используя матричные преобразования,
систему нормальных уравнений для данного случая.
23. Выведите, используя матричные преобразования, систему нормальных
уравнений для случая трехфакторной зависимости вида Кобба-Дугласа.
24. Запишите линейную модель регрессии для случая однофакторной
логарифмически квадратичной зависимости. Выведите, используя матричные
преобразования, систему нормальных уравнений для данного случая.
Глава 9
ОЦЕНКА ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ КОРРЕЛЯЦИОННО-
РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА
9.1. ПОНЯТИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ
И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ
О практической ценности построенных производственных
функций можно судить только после оценки ее статистической
достоверности. Такая оценка производится путем вычисления
коэффициентов корреляции, корреляционных отношений и
различных статистических величин, характеризующих тесноту связи
результативного и факторного показателей.
Регрессионную зависимость, используемую в качестве
функционального представления производственной функции,
можно построить практически по любой выборке. В то же время,
как уже отмечалось, функциональное (однозначное)
представление — это идеализация. В действительности зависимости
неоднозначны и имеют статистическую природу, то есть связь
результатов с производственными факторами не абсолютная.
Поэтому наряду с функциональным представлением
производственной функции полезно ввести ряд показателей,
характеризующих реальную тесноту связи результата у с факторами
161

В качестве одной из указанных характеристик может
использоваться коэффициент корреляции, показывающий, насколько
зависимость, выраженная выборкой, близка к линейной.
Как было принято ранее, результативный показатель и
производственные факторы рассматриваются в качестве случайных
величин. В то же время законы распределения этих величин
неизвестны. Следовательно, при определении всех характеристик, в
том числе и коэффициентов корреляции, мы будем оперировать
соответствующими выборками.
Для парной (однофакторной) зависимости (^=1) выборочное
значение коэффициента парной корреляции по определению
задается соотношением
где х = лИ Y,xJ\ y = N~l ?У-
Для расчетов более удобна следующая формула, полученная
преобразованием предыдущей:
В геометрической интерпретации коэффициент г показывает,
насколько геометрическое место точек, определяемое выборкой,
близко к прямой линии. Подчеркнем это обстоятельство еще раз:
величина коэффициента корреляции отражает не тесноту связи у
и х вообще, а только близость этой связи с линейной. Далее будут
приведены примеры, когда коэффициент корреляции по
абсолютной величине мал (линейная связь слабая), а реальная связь
результата производства с производственными факторами
достаточно тесна.
В соответствии с определением коэффициента парной
корреляции его значения находятся в интервале [-1,1]. На
практике принято считать, что если модуль коэффициента г нахо-
162

дится в пределах 0...0,15, то линейная связь отсутствует. При
И = 0,16...0,2 связь плохая, при \г\ = 0,21...0,3 — слабая, при \г\ =
= 0,31...0,4 —умеренная, при |г| = 0,41...0,6 —средняя, при |г| =
= 0,61...0,8 —высокая, при \г\ = 0,81...0,9 — очень высокая, при
|г| = о,91...1 —полная. При положительных значениях
коэффициента парной корреляции говорят о прямой связи, при
отрицательных—об обратной.
В случае, когда мы имеем дело с множественной
зависимостью (К> 1), используют коэффициенты парной корреляции для пар
отдельных факторов— гХ\х2,гхю и т-д*' которые отражают
коррелированное^ соответствующих факторов (но только в смысле
линейной связи!). Формула для выборочных оценок таких
коэффициентов подобна (9.1).
Введем матрицу коэффициентов парной корреляции:
Р=
ГУУ ГУХ\ ГУХ2
гх\у гх\х\ гх\х2
Г*КУ Г*КХ\ ГхКх2 '
"ГУХК
"Гх\хк
"Гхкхк\
Тогда коэффициент множественной корреляции (иногда
используют термин «свободный коэффициент корреляции») между
у и совокупностью факторов х{,...,хк определяется следующим
образом:
'У',х\,...,хк
-fT-
V гуу
где Р— определитель матрицы Р; Руу-
мента матрицы Р.
¦ алгебраическое дополнение первого эле-
Область значений коэффициента множественной
корреляции— [0,1]. Этот коэффициент показывает, насколько в (К+ /)-
мерном пространстве переменных (у, хи...,хк) геометрическое
место точек, определяемое выборкой, близко к гиперплоскости.
В случае парной зависимости формула для коэффициента
множественной корреляции сводится к (9.1), а в случае
зависимости результата производства от двух факторов может быть
преобразована к виду
' УХ\ УХ2 *1*2 ГУХ\ ГУХ2
'У',х\,х2
\-rl
х\Х2
163

Как уже отмечалось, коэффициенты корреляции отражают не
тесноту связи у с х\,...,хк вообще, а близость этой связи к
линейной. Тесноту нелинейных связей можно характеризовать
выборочным корреляционным отношением:
R=
N I • \2
I-'-1
N , . x2 '
1 <r-')
где Уу" =/(*/,...,xjH —значение результативного показателя, определяемое в
соответствии с построенной регрессионной (сглаженной) зависимостью в точках,
задаваемых анализируемой выборкой.
Область значений корреляционного отношения —[0,1].
Корреляционное отношение показывает, насколько принятая
регрессионная зависимость y=f[x^,...,xK\ где функция /
относится к определенному классу (необязательно линейных
функций), соответствует реальной статистической картине.
Для случая линейной регрессии (когда функция / линейна)
выполняются соотношения:
К=Гу;х{,...,хк (случай множественной связи);
R =\гуД (случай парной связи).
Очевидно, что если связь у с хь...,утесная и близкая к
линейной, то как R, так и Гу,Х\,...,хк будут близки к 1.
Подчеркнем, что хотя в случае линейной регрессии значения
коэффициентов R и >>;*ь .,** совпадают, в общем случае они
характеризуют различные аспекты исходной статистической
информации (выборки), в связи с чем на практике целесообразно
совместное их использование.
9.2. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ
Коэффициенты корреляции рассчитываются по выборкам и
соответственно имеют статистический характер. Фактически они
являются функциями случайных величин у, хи...,хк. В связи с
этим правомерен вопрос о достоверности расчета
коэффициентов по приведенным соотношениям. Ниже приводится ряд
формул, позволяющих оценить указанную достоверность. Формулы
164

получены методами математической статистики на основе ряда
весьма существенных допущений, основным из которых
является предположение о нормальности частных распределений
величин у, х{,...,хк в генеральной совокупности. Несмотря на грубость
такого допущения в большинстве реальных ситуаций,
получаемые на его основе выводы относительно достоверности
выборочных оценок коэффициентов корреляции приемлемы с
практической точки зрения.
Стандартная (среднеквадратическая) ошибка определения
выборочного значения коэффициента парной корреляции при
достаточно большой выборке (TV> 50) может быть оценена по
формуле
1-/-2
При малых выборках (N< 30)
Стандартные ошибки определения коэффициента
множественной корреляции гу\ хи ..., хки корреляционного отношения
R могут быть оценены по формулам
в случае N> 50
в случае N<30
где N— объем выборки; К— число факторов.
Значение стандартной ошибки позволяет^ оценить
достоверность расчета коэффициентов корреляции. Грубая оценка может
быть получена в соответствии с «правилом трех сигм»: если
И >> Заг, то выборочная оценка коэффициента корреляции
приемлема. Для более полных оценок погрешностей необходим учет
закона распределения коэффициентов корреляции.
При больших выборках (N> 50) можно приближенно
полагать, что выборочный коэффициент парной корреляции г
распределен по нормальному закону. При таком предположении до-
ад =
l-R2
165

верительный интервал для оценки коэффициента корреляции г0
в генеральной совокупности определяется из соотношения
r-tpGr<r0<r + tpon
где р — уровень доверительной вероятности.
Величина tp определяется из уравнения:
Ф(0 =Р, (9.2)
где Ф(/) — функция Лапласа (интеграл вероятностей):
Ф(')=-!=Ь"2 dx.
>/2яо
Решение уравнения (9.2) находится с помощью таблиц
значений функции Лапласа (см. Приложение к данной главе).
Приведенные соотношения могут быть использованы для
ориентировочной оценки доверительных интервалов для г0 в
случае N< 50, а также для грубых оценок доверительных интервалов
для сводного коэффициента корреляции и корреляционного
отношения из генеральной совокупности.
Для некоторых частных случаев могут быть получены более
точные соотношения.
При малом объеме выборки (N< 30) и достаточно сильной
корреляции (\г\ > 0,7) закон распределения выборочного
коэффициента парной корреляции существенно отличается от
нормального. В этом случае может быть использована статистика вида
2 [l-r]
Р. Фишером установлено, что статистика Z подчиняется
закону, близкому к нормальному, со следующими параметрами:
математическое ожидание:
дисперсия:
где го — коэффициент корреляции в генеральной совокупности.
166

С учетом сказанного доверительный интервал для
коэффициента го определяется из соотношения (при N < 30, \г\ > 0,7)
l+??m +(l-eniV~°"l+eT12 +(\-еГ]2У
г , 1 г 1
где Л1 - yy_j + 'р дг_з» ^2 ~ yy_j "'/> дг_з» г — выборочный коэффициент
корреляции; tp — величина, определяемая по уравнению (9.2).
Помимо приведенных выше соотношений для определения
доверительного интервала, с вероятностью р содержащего
значение коэффициента корреляции из генеральной совокупности, в
математической статистике выведены формулы для проверки
значимости тех или иных гипотез.
Например, для проверки гипотезы о коэффициенте парной
корреляции г0 = 0 (то есть предположения о том, что
коэффициент корреляции из генеральной совокупности с
доверительной вероятностью р не отличается значимо от нуля) в случае
большого объема выборки (#>50) используется критерий
вида
\г\«р
1-г2
где tp имеет тот же смысл, что и в соотношении (9.2).
При выполнении неравенства сформулированная гипотеза
считается верной. В противном случае она отвергается, то есть
считается, что коэффициент корреляции значимо отличается от
нуля.
При объеме выборки N< 30 для проверки той же гипотезы
строится статистика
VI-/-2
распределенная по закону Стьюдента с числом степеней свободы
v = iV-2.
Критерий подтверждения гипотезы г0 = 0 имеет вид
где tpv — Р-процентное (Р= 100/?) значение статистики /, определяемое по
соответствующим таблицам для распределения Стьюдента с заданной доверительной
вероятностью р и числу степеней свободы v (см. Приложение к данной главе).
167

9.3. ОЦЕНКА ЗНАЧИМОСТИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ, ПОЛУЧЕННОГО
ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ВЫБОРОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
Обобщенно задачу, указанную в заголовке данного
подраздела, можно понимать как оценку соответствия сглаженной
зависимости у=/(х\,...,хк), используемой в качестве производственной
функции, реальной стохастической зависимости результата
производства у от производственных факторов хи...,хк. Частично
этот' вопрос мы уже затронули выше, дав содержательную
интерпретацию коэффициентов корреляции и корреляционного
отношения. Рассмотрим теперь его более подробно.
•Анализ выборочных коэффициентов корреляции позволяет
сделать некоторые выводы относительно целесообразности
использования сглаженных регрессионных зависимостей
результата производства у от производственных факторов хи...,хк.
Сначала целесообразно совместно оценить корреляционное
отношение R и сводный коэффициент корреляции гу\хи,хк' Если
R < 0,3 и гУ;х\,...,хк <0,3 (см. приведенную выше градацию
тесноты связи по значению коэффициента корреляции),
констатируется либо отсутствие значимой связи у с х\,...,хк, либо неполнота
исходной информации (малость выборки). В противном случае
далее отдельно оценивается коэффициент множественной
корреляции гу\х\^хк' При достаточной его величине (например,
гу\х\,...,хк ^0,8) можно предположить, что зависимость у от
хь...,хк близка к линейной и, следовательно, производственную
функцию можно представить в форме линейной регрессии; при
этом, однако, уровень «достаточности» величины гу\х\,.-,хк
определяется чисто произвольно. При промежуточных значениях
коэффициента корреляции 0,3<гу.Хь Хк<0,8 признаком линейного
характера регрессии может служить близость значений R и
гу>х[,~чхк'
При использовании приведенных рекомендаций следует
учесть, что в случае сравнительно большого числа
производственных факторов (К> 3) реальный нелинейный характер
влияния одного из них на у при расчете коэффициента
множественной корреляции может быть замаскирован линейным характером
влияния других. В этом случае дополнительную информацию
может дать анализ всей матрицы коэффициентов парной
корреляции.
Последнее замечание подчеркивает вспомогательный
характер рассмотренной процедуры определения допустимого класса
функций при построении регрессии у на х{,...,хк.
Рассмотрим теперь вопрос о степени влияния производствен-
168

ных факторов хи...,хк на результат производства у. При этом
случайной будем считать только величину у, а величины хи...,хк—
неслучайными независимыми переменными.
В математической статистике указанный вопрос решается на
основе анализа дисперсий отклонений сглаженных значений
уу'=/(*𕦕>*?] от среднего наблюдаемого y\^D^Tj, а также от-
клоненийПнабшодаемБГх: величин yj от сглаженных значений, то
есть от линии регрессии (D0CT):
Помимо указанных дисперсий вводится их сумма:
Мэбщ ~" ^рег "*~ М)ст-
В случае линейной регрессии указанная сумма равна
выборочной дисперсии величины у:
По смыслу введенных дисперсий чем больше отношение
А*г/А>б1ш тем большую роль в изменении наблюдаемых значений
у играет зависимость результатов производства от факторов
х\,...,хк. В пределе при #рег/А>бщ= 1> то есть при DOCT = 0, все
наблюдаемые точки лежат на линии (поверхность) регрессии —
отклонения \yJ-yJ) равны нулю и, значит, линия (поверхность)
регрессии полностью описывает зависимость у от хь...,хк. В
противном случае величина
Ахг
7)—'
vd6ux
называемая коэффициентом детерминации, характеризует, какая
доля изменений величины у обусловлена изменением факторов
х\,...,хк. Соответственно отношение DOCT/Do6m= 1 -В
характеризует долю изменений величины у, обусловленных действием
неучтенных факторов. Если, например, 5=0,9, то говорят, что
порядка 90 % изменений величины у вызвано изменением
производственных факторов хи...,хк, а около 10% —влиянием
неучтенных факторов.
Из определения суммы дисперсий Д^щ следует, что в случае
линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату
169

корреляционного отношения, то есть B=R2. Более того, можно
показать, что в этом случае
где величина гу\Х\^хк формально рассчитывается по
соотношению для выборочного коэффициента множественной
корреляции, хотя при принятом выше предположении {хи...,хк—
неслучайные независимые переменные) таковым не является.
Сохраняя указанное предположение, рассмотрим вопрос о
доверительных границах, в которых расположены истинные (из
генеральной совокупности) значения у с учетом разброса
наблюдаемых значений у относительно линии регрессии и ошибок
определения положения самой линии. Ограничимся случаем
линейной регрессии для однофакторной зависимости у=а{ + а2х. В
этом случае доверительные границы для у при заданном уровне
доверительной вероятности р определяются соотношением
где L, v — значение случайной величины /, имеющей распределение Стьюдента с
v = N- 2 степенями свободы, соответствующее заданному уровню р доверительной
вероятности; Dy(x) —дисперсия у при заданном значении х.
Дисперсия Dy является функцией независимой переменной х
и определяется соотношением
Mxhs.
\+4т+-
(*-*)2
N N. . ,2
l(xJ-x)
где выборочная оценка Sy дисперсии отклонения случайной
независимой величины у от линии регрессии по определению
равна:
:\2
sl-D^-^Zy-y')
при yj=al+a2xj.
Соотношение для дисперсии получено с учетом погрешностей
определения коэффициента регрессии ах и свободного члена а2 в
уравнении регрессии (у = а\ + а2х).
170

20 I 1 ^—I 1 1 1
25 30 35 40 45 50
Рис. 10. Доверительные границы для функции регрессии у
(задача 8.1)
Для иллюстрации на рисунке 10 показаны доверительные
границы для у при уровне доверительной вероятности р = 0,9,
построенные по данным задачи 8.1.
Остановимся кратко на проблеме достаточности числа
наблюдений N
С формальной точки зрения при построении регрессионной
зависимости >'=/(^j,...,^;x1,...,x^) с М параметрами число
наблюдений N должно быть не менее М. В противном случае
система нормальных уравнений (при сведении их к линейным
алгебраическим) будет вырожденной. Таким образом, минимальное
ограничение на N таково: N> М. Однако с учетом требования
статистической достоверности получаемых результатов
ограничения на N существенно жестче. Действительно, несмещенная
выборочная оценка для дисперсии отклонений случайной
величины у от поверхности регрессии определяется соотношением
Следовательно, при 7V-> M дисперсия стремится к
бесконечности, что говорит о статистической недостоверности
регрессионной зависимости. Для получения достаточно надежных оценок
параметров уравнения регрессии желательно выполнение
неравенства N>M+ 50. На практике (в случае малых выборок)
стремятся хотя бы обеспечить выполнение условия N>M+ 10.
171

Более строго вопрос о достаточном числе наблюдений N
должен решаться с учетом содержания конкретной статистической
задачи, так как оно зависит от вида выборки и от того, для
оценки какой характеристики случайной величины она используется.
Приведем формулы для расчета N, если оценивается среднее
значение у наблюдаемой случайной величины у. При этом
предполагается, что уже проведена серия Ntest пробных наблюдений
над величиной у, которые позволяют оценить ее среднеквадрати-
ческий разброс:
В этом случае требуемое число наблюдений TV задается
следующими соотношениями:
для бесповторной выборки
АЛ
N=
Ф№
2^,2„2
N^+tfa
для повторной выборки
/2^2
А2
где tp — величина, определяемая из уравнения (9.2) по заданной доверительной
вероятности /?; А — допустимая ошибка определения у с доверительной
вероятностью, р\ Nz — число возможных значений величины у в генеральной совокупности.
Последняя из приведенных формул может использоваться, в
частности, если случайная величина у может принимать любое
значение в заданном интервале (то есть Л^ = «>).
Рассмотрим следующий пример: используя данные,
приведенные в последнем столбце таблицы 13 в качестве результатов
пробных наблюдений (TV^, = 12), оценить число наблюдений,
при котором ошибка определения средней урожайности
пшеницы в хозяйстве с доверительной вероятностью р = 0,95 не
превысит А = 1 ц с 1 га. В данном случае среднеквадратический разброс
урожайности в пробных наблюдениях о\,= 3,65 ц с 1 га; величина
tp, соответствующая вероятности /7 = 0,95, равна 1,96 (см.
приложение). По формуле для бесповторной выборки имеем
^_(1,96)2-(3,65)2 5Q
О)2
172

Таким образом, для достижения заданной точности оценки
средней урожайности пшеницы число наблюдений должно быть
не менее 50.
9.4. ПРИМЕРЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
Основываясь на приведенной выше методике, проведем
корреляционный анализ исходных данных и результатов решения
рассмотренных выше задач, а также оценим ряд дисперсионных
характеристик. Основные результаты расчетов представлены в
таблице 25; их анализ показывает следующее.
25. Корреляционные
Задача
и дисперсионные характеристики демонстрационных задач
Коэффициент корреляции
г
<*г

Доверительный
интервал
Корреляционное
отношение
R
°л

Доверительный
интервал

Коэффициент


минации
(В)

Стандартное

отклонение у
от

поверхности
регрессии
<*)
№8.1 (линейная 0,90
регрессия)
№ 8.2 (гипербо- 0,79
лическая
регрессия)
№ 8.3 (линейная 0,80
регрессия)
№ 8.4 (функция 0,79
Кобба—Дугласа)
№ 8.5 (логариф- 0,45
мическая
квадратичная
регрессия)
0,14 0,87...0,91 0,90 0,14 0,87...0,91 0,81 1,88
0,19 0,74...0,81 0,996 0,025 0,95...1,0 0,994 0,84
0,15 0,77...0,81 0,80 0,15 0,77...0,81 0,63 3,16
0,21 0,73...0,81 0,77 0,21 0,42...1,0 0,64 5,0
0,28 0...0,91 0,97 0,078 0,84...1,0 0,95 0,33
Задача 9.1. Значение коэффициента корреляции
свидетельствует о высокой степени линейной корреляции величин у и х.
Достоверность расчета коэффициента корреляции высока. В
силу линейности регрессии корреляционное отношение не дает
дополнительной информации. Коэффициент детерминации
показывает, что примерно 80 % изменений величины у вызвано
соответствующими изменениями величины х. Остальные
изменения, отражаемые выборкой, обусловлены действием неучтенных
факторов. Несмещенная выборочная оценка sy стандартного
отклонения величины у от линии регрессии составляет 1,88, то есть
находится в пределах 5—10% от значений величины у,
получаемых из уравнения регрессии (сравните указанное значение sy со
сглаженными значениями у, приведенными в последнем столбце
табл. 14).
173

Задача 9.2. Здесь наглядно иллюстрируется ситуация, когда
«большое» (по введенной выше градации) значение
коэффициента корреляции не означает, что класс линейных функций
адекватен сущности явления, рассматриваемого в задаче (см. рис. 6).
Очень большое значение выборочного корреляционного отношения
и малая погрешность его определения говорят о соответствии
принятого класса уравнений регрессии (гиперболическая
зависимость) выборочной информации. Это, однако, не должно
создавать иллюзию, что возможно однозначное решение проблемы
подбора сглаживающей зависимости только на основе
корреляционного анализа. Суть остающейся неопределенности можно
выразить, например, следующим образом: если потребителя
результатов устраивает степень корреляции у и х порядка 0,8 («в
среднем» — в рассматриваемых диапазонах их значений), то он «имеет
право» воспользоваться не гиперболической, а более простой с
вычислительной точки зрения линейной регрессией, пренебрегая
тем, что она неадекватна сущности анализируемого явления.
Задача 9.3. Выборочная оценка коэффициента корреляции
свидетельствует о приемлемости линейной регрессии. Оценка
коэффициента детерминации В показывает, что изменения
рассматриваемых производственных факторов — площадей
кормовых угодий, стоимости животноводческих построек, площади
смытых земель — определяют 63 % изменений плотности
поголовья коров на 100 га сельскохозяйственных угодий. Остальные
37 % вариации у обусловлены действием неучтенных факторов.
Задача 9.4. Значение коэффициента множественной
корреляции велико. Поэтому в принципе можно было бы
воспользоваться линейной регрессией. Кроме того, тот факт, что значение
корреляционного отношения (Л = 0,77) меньше значения
коэффициента множественной корреляции (0,79), а также невысокая
достоверность расчета корреляционного отношения
свидетельствуют о том, что в данной задаче функция Кобба—Дугласа
менее приемлема, чем линейная зависимость.
Задача 9.5. Невысокое выборочное значение коэффициента
корреляции и слабая достоверность его расчета говорят о том,
что линейная регрессия в данной задаче была бы неприемлема.
Исходная гипотеза о приемлемости логарифмической
квадратичной регрессии подтверждается оценкой корреляционного
отношения и погрешности его определения. Большое значение
коэффициента детерминации свидетельствует о превалирующей роли
изменения расстояния х от лесополосы в изменении прибавки
урожая у (в рассматриваемых границах значений х). В то же
время следует учесть, что на границах рассматриваемого диапазона
значений стандартное отклонение у от линии регрессии у(х)
может достигать почти 20 % (ср. последний столбец табл. 24 со
значением sy для задачи 8.5 в табл. 25).
174

Контрольные вопросы и задания
1. Что характеризует коэффициент корреляции?
2. Запишите выражение для расчета выборочного значения коэффициента
парной коррелйции.
3. Каков диапазон возможных значений коэффициента парной корреляции?
Что характеризуют различные уровни значений модуля коэффициента парной
корреляции? Чему соответствуют положительные и отрицательные значения
коэффициента парной корреляции?
4. Что такое коэффициент множественной корреляции? Приведите общее
выражение для расчета этого коэффициента. Каков диапазон его возможных
значений?
5. К чему сводится выражение для расчета коэффициента множественной
корреляции, если число производственных факторов равно одному? двум?
6. Дайте определение корреляционного отношения. Что оно характеризует? В
чем заключается его отличие от коэффициента корреляции?
7. Приведите формулу связи между корреляционным соотношением и
коэффициентами корреляции для случая линейной регрессии.
8. Как вы объясните утверждение: «Выборочные значения коэффициентов
корреляции имеют статистический характер»?
9. Приведите формулы для расчета среднеквадратической ошибки определения
выборочного значения парной и множественной корреляций при различных
объемах выборки.
10. Что такое «правило трех сигм»?
11. Приведите формулу расчета параметров доверительного интервала для
коэффициента корреляции /о из генеральной совокупности при больших объемах
выборки. Какое допущение лежит в основе этой формулы?
12. Приведите формулу расчета параметров доверительного интервала для
коэффициента корреляции г0 из генеральной совокупности при больших объемах
выборки. Какую роль играет при получении этой формулы статистика ZP. Фишера?
13. Как можно проверить достоверность гипотезы: «Коэффициент корреляции
из генеральной совокупности с доверительной вероятностью р не отличается
значимо от нуля»?
. 14. В чем состоит смысл задачи оценки значимости представления
производственной функции, полученной по результатам выборочных наблюдений?
15. Опишите качественно процедуру совместного анализа корреляционного
отношения и коэффициента множественной корреляции при оценке допустимости
использования линейной регрессии или регрессии другого вида.
16. Какими показателями характеризуется степень влияния производственных
факторов на результативный показатель?
17. Как определяются дисперсии:
отклонений сглаженных значений результативного показателя от среднего
наблюдаемого значения;
отклонений наблюдаемых значений результативного показателя от линии
регрессии?
18. Дайте определение коэффициента детерминации. Что он характеризует?
19. Как коэффициент детерминации связан с корреляционным отношением и
коэффициентом множественной корреляции в случае линейной регрессии?
20. Приведите формулу для расчета доверительных границ зависимости у(х) для
случая однофакторной линейной регрессии.
21. Как вы понимаете задачу оценки достаточности числа наблюдений?
22. Каким должен быть минимальный объем выборки Nb зависимости от
количества производственных факторов \Р. Можно ли определить достаточный объем
выборки независимо от оцениваемой характеристики случайной величины?
23. Приведите формулы для расчета необходимого объема выборки, если
оценивается среднее значение наблюдаемой случайной величины.
24. Проведите качественный анализ результатов из таблицы 25. Попытайтесь на
основании представленных в этой таблице данных применительно к задачам 8.1,
8.2, 8.4, 8.5 ответить на следующие вопросы:
175

допустимо ли использование линейной регрессии для описания
статистической информации, приведенной в задаче в качестве исходных данных?
Является ли правильным выбор класса функций при построении регрессии для
данной задачи?
Насколько (количественно!) существенно влияние неучтенных факторов на
результативный показатель в данной задаче?
Какова (в %) несмещенная оценка стандартного отклонения результативного
показателя от линии регрессии (при ответе на этот вопрос следует воспользоваться
помимо таблицы 25 данными, представленными в последних столбцах табл. 14, 17
23, 24)?
Приложение к главе 9
Р-процентное значение tp нормально распределенной величины t
(Р= 100р, где /? — доверительная вероятность).
Для нормально распределенной со стандартным отклонением
1 случайной величины / значение tp удовлетворяет условию «|/| не
превосходит L с вероятностью р» и является решением уравнения
Ф(0 = р, где Ф(/) — интеграл вероятности.
0,80
0,85
0,90
0,95
1,28
1,44
1,65
1,96
0,98
0,99
0,999
0,9999
2,33
2,58
2,39
3,89
Р-процентное значение fAV величины г, распределенной по закону
Стьюдента с v степенями свободы.
Для случайной величины /, распределенной по закону
Стьюдента с v степенями свободы, значение tp9 v удовлетворяет
условию <Ц не превосходит tPyV с вероятностью р» и является решени-
*/>»v
ем уравнения 2 \sv(x)dx=p, где sv(x) — плотность вероятности
для распределения Стьюдента.
у
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
/j=0,80
1,53
1,48
1,44
1,42
1,40
1,38
1,37
1,37
1,35
1,34
1,33
/7 = 0,90
2,13
2,01
1,94
1,90
1,86
1,83
1,81
1,78
1,76
1,75
1,73
tp при различных значениях р
Р = 0,95
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,18
2,15
2,12
2,10
/> = 0,98
3,75
3,37
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,68
2,62
2,58
2,55
/) = 0,99
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,06
2,98
2,92
2,88
/7 = 0,999
8,61
6,86
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,32
4,14
4,02
3,92
176

Прдолжение
tp при различных значениях р
/>=0,80
/> = 0,90
Р = 0,95
/> = 0,98
/> = 0,99
р = 0,999
20
25
30
40
60
120
оо
1,33
1,32
1,31
1,30
1,30
1,29
1,28
1,73
1,71
1,70
1,68
1,67
1,66
1,65
Г
2,09
2,06
2,04
2,02
2,00
1,98
1,96
лава
2,53
2,49
2,46
2,42
2,39
2,36
2,33
10
2,85
2,79
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
3,85
3,72
3,65
3,55
3,46
3,37
3,29
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ
10.1. ОСНОВНЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Производственные функции как результат обобщения опыта,
прямых наблюдений и экспериментов в землеустроительной
практике служат концентрированным источником исходной
информации; можно выделить три основных класса задач, в
которых целесообразно их использовать:
задачи прогнозирования1, в которых граничные условия либо
вообще не задаются в явном виде, либо играют чисто номинальную
роль (определяют область допустимых значений аргументов
функции регрессии);
оптимизационные задачи, в которых эти условия играют
активную роль факторов, формирующих облик оптимального решения;
задачи экономического анализа состояния и использования
земель, изучения других процессов, существенных для
землеустройства.
На первый взгляд к самостоятельному классу относятся
оптимизационные задачи, в которых оптимальное решение находится
в виде экстремума производственной функции внутри области
допустимых значений аргументов хи...,хк, однако в
действительности в сложных задачах факт нахождения экстремума внутри
области допустимых значений устанавливается после его
отыскания, и, следовательно, такие задачи — частный случай задач
второго из названных классов.
1 Независимо от того, где они возникают: при разработке проектных решений,
при средне- и долгосрочном планировании или собственно прогнозировании на
Длительную перспективу.
177

В приводимых ниже определениях предполагается заданной
функциональная зависимость результатов производства от ряда
факторов у = у(х{,...,хк), причем эта функция имеет первые
производные по всем аргументам. Рассматриваемые характеристики
имеют по преимуществу экономический смысл, и
соответственно основная область их применения — анализ влияния
различных факторов на эффективность производства. На
микроэкономическом уровне в качестве анализируемого результата
производства могут выступать как обобщенные экономические
показатели (валовой продукт, чистый доход и т. п.), так и частные
(урожайность конкретной культуры, стоимость продукции
растениеводства и т.д.). Далее в данном разделе величина у, как
правило, называется показателем эффективности производства или
просто показателем эффективности.
Дополнительный продукт фактора х (или иначе предельная
производительность) определяется частной производной:
Эх,'
4=^-, (юл)
причем все остальные факторы считаются постоянными.
По самому смыслу производной Д она характеризует скорость
(темп) изменения показателя эффективности «в данной точке»
при изменении /-го фактора и заданных значениях других
производственных факторов1. Приближенно Д равна приросту Ау
продукции за счет увеличения /-го фактора на единицу (Ах/= 1).
Если известен дополнительный продукт /-го фактора, то при
малых приращениях Ах/ новое значение показателя
эффективности может быть оценено по формуле
у(х{ + Ах,) = y(Xi) + ДАх,. (10.2)
Эта формула «предсказывает» линейное изменение
показателя эффективности при изменении данного фактора, что в общем
случае верно лишь при небольших значениях Axy. Исключение
составляет случай линейной зависимости показателя
эффективности от фактора ху. Например, если, однофакторная
производственная функция линейна: у = а0 + ахх, то формула (10.2), с
учетом того что
справедлива при любых значениях Ах,-. В других случаях оценка
1 По этой причине дополнительный продукт фактора относят к так
называемым точечным оценкам.
178

изменения у по формуле (10.2) при больших значениях Ах, может
приводить к неприемлемо большим погрешностям.
Если известно, что рассматриваемый показатель
эффективности у достигает максимума внутри области допустимых значений
производственных факторов хь...,хк, то максимальное значение
у и соответствующие ему оптимальные значения фактора могут
быть определены путем решения системы уравнений:
А(*ь-..,*л:)=0 ]
где зависимости предельных продуктов от производственных
факторов определяются по формуле (10.1) при заданной
зависимости у(хи...,хк).
Средняя производительность
Д~ (10.3)
отражает средний темп изменения показателя эффективности
при увеличении /-го фактора в диапазоне от нуля до заданного
значения *,-.
Если под у понимать не показатель эффективности
производства, а производственные затраты на выпуск продукции, то
рассматриваемое отношение IIi следует интерпретировать как
себестоимость единицы продукции.
Если у(х) — линейная функция, у = а0 + а{х, в которой
величина а0 интерпретируется как постоянная составляющая затрат, а
коэффициент регрессии а{ — как текущий расход на единицу
продукции, то себестоимость единицы продукции, рассчитанная
по формуле (10.3), будет убывать с ростом производства за счет
уменьшения доли постоянных расходов а0 по сравнению с
переменной составляющей ахх.
Коэффициент эластичности
характеризует относительное изменение результата производства
на единицу относительного изменения /-го производственного
фактора. Численно он равен отношению дополнительного
продукта данного фактора (предельной производительности) к
средней производительности:
179

*"*т>
Эх,- I I х/j Я,
Приближенно коэффициент эластичности показывает, на
сколько процентов изменяется результат производства при
изменении /-го фактора на 1 % при неизменной величине других
факторов.
Предельная норма заменяемости может рассчитываться, когда
число факторов более единицы. Здесь необходимо ввести новое
понятие — изокванты производственной функции. В общем
случае она определяется как поверхность в /Г-мерном пространстве
производственных факторов хи...,хк, на которой показатель
эффективности производства постоянен; таким образом, уравнение
изокванты имеет вид
д;(хь...,х^) = const.
(10.5)
Если число факторов равно двум (или когда при К> 2
анализируются только два фактора /, j), то геометрически изокванта
может быть изображена как линия на плоскости (х„ ху). Задавая
различные значения константы в уравнении (10.5), можно
получить набор изоквант.
Рассмотрим ситуацию, когда все факторы, за исключением
двух указанных, фиксированы. В этом случае дифференциал
(приращение) у определяется соотношением
dy=-?-dXi+—?-dXj.
Эх, ' Эху- J
На изокванте (у = const) приращение dy, по определению,
должно быть равно нулю; следовательно,
Эх, Эху J
Преобразовывая это равенство, получим
dXi=HXhXj(x{,...,xK)dXj, (Ю.6)
где
[ 2 i (
dXjj
/If)
D,
Щ
(10.7)
180

Величина Нх.х.(х\,...,х^) называется предельной нормой
заменяемости фактора Xj фактором х,-. Смысл этого названия
раскрывается следующей приближенной экономической
интерпретацией соотношения (10.6):
для сохранения заданного уровня производства у = const в
случае изменения фактора х,- на единицу (dxj = 1) изменение
фактора X/ должно быть равно предельной норме заменяемости
HxhXj(xU->XK\
Из (10.6) следует, что для любой пары факторов норма
заменяемости фактора xj фактором х,- связана с нормой заменяемости
фактора X/ фактором ху соотношением
HXhXj{xh...,xKy\/HXjiXi{xh...,xK). (Ю.8)
Если связь обоих факторов с результатом такова, что их
изменение действует на у в одном направлении (например, рост
как X/, так и ху либо увеличивает, либо уменьшает у), иначе
говоря, дополнительные продукты по обоим факторам имеют
одинаковый знак, норма заменяемости будет отрицательной. Это
значит, что для сохранения постоянного уровня у уменьшение
одного фактора должно компенсироваться ростом другого
фактора и обратно — при увеличении одного фактора допустимо
уменьшение другого. Это «естественное» поведение
зависимостей при правильной организации производства, если оба
факторе. 11. Изокванты:
а — убывающие: б— возрастающие
181

26. Формулы для расчета экономических характеристик некоторых однофакгорных производственных функций
Тип производственной
функции
Вид уравнения
Дополнительный продукт
(предельная
производительность)
[см. формулу (10.1)J
Средняя
производительность
1см. формулу (10.3)J
Коэффициент эластичности
[см. формулу (10.4)J
Линейная
Степенная
Гиперболическая
Параболическая
Кинетическая
Асимптотического роста
У
У =
У
у = а0 + а\х
У=а0ха\
y=a°+i
= а0 + а\Х+ а2?
-а$хах ехр(-/х)
= а0-а] • 10-**
а\
а0а^-]
0\
~х2
ах + 2а2х
*0*в|ехр(-Л)[^-/]
y=aQb- 10" *
"о
а, +—
X
о,ха^х
а0 . а\
х+х*
X
a0xa{-lexp(-Jx)
а0-д, • 10
uQ + aiX
а\
Щ
аох+ц
х[а\ + 2а2х)
aQ + a\x+a2x
Q\ —Jx
Qxbx
27. Формулы для расчета предельных норм заменяемости для некоторых двухфакгорных производственных функций
Тип производственной функции
Вид уравнения
Предельная норма заменяемости фактора х2 на
фактор дс, НХ1 Х2 (хьх2) [см. формулу (10.7)]
Линейная
Кобба-Дугласа
Кинетическая
Асимптотического роста
у = а0+а1х1 + а2х2
у=а0х?х271
y=a0x°lx22 ехр (-/,*, -J2x2)
у=а0-аг\0-Ьх1-Ъ*2
<*\
_a2xL
щх2
xx{a2-J2x2)
*2{<*\-Ax\)

pa имеют характер ресурсов1. В этой ситуации характер изоквант
будет таким, как у изоквант, показанных на рисунке 11, а
(«убывающие» линии в плоскости xh xj).
В противном случае (дополнительные продукты Д и Dj имеют
разные знаки) предельная норма заменяемости положительна, и,
следовательно, для сохранения заданного уровня у рост одного
фактора должен сопровождаться ростом другого. Если оба
фактора являются ресурсами, то положительная норма заменяемости
может свидетельствовать либо о грубых нарушениях в
организации производства, либо об ошибках в построении
производственной функции, например вследствие неверной
статистической обработки выборки при построении уравнения регрессии (на
это утверждение также распространяется отмеченное выше
исключение). Если же один из факторов — ресурс, а другой
количественно характеризует некоторый негативный эффект, например
эродированность пашни, то положительная норма заменяемости
свидетельствует о «правильном характере» производственной
функции. В этом случае увеличение негативного эффекта и
должно компенсироваться ростом затрачиваемых ресурсов.
Характер изоквант при этом будет таким, как у показанных на рисунке
11,5 («возрастающие» линии в плоскости xh xj).
Помимо изоквант в практике экономического анализа
используют другие линии — изоклинали. Последние имеет
определенный смысл только в том случае, если предельная норма
заменяемости является переменной величиной. В плоскости (xh xj)
изоклиналь определяется уравнением
HXhXj{x{,...,xK)=const (Ю.9)
при фиксированных хт, т ф /, у.
Таким образом, изоклиналь — это геометрическое место точек
в плоскости (х/, xj), в пределах которого норма заменяемости
факторов X/ и Xj постоянна. Меняя константу в уравнении (10.9),
можно получить набор изоклиналей.
В заключение (табл. 26—27) приведем расчетные формулы для
экономических характеристик производственных функций
основных типов. Примеры построения изоквант и изоклиналей
приведены в следующем подразделе.
1 Исключение могут составлять случаи, когда определенный ресурс связан с
капитальными вложениями, а результирующий показатель оценивается в пределах
относительно короткого временного интервала (особенно на начальном отрезке
периода окупаемости вложений).
183

10.2. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Пример 1. Рассчитаем некоторые экономические
характеристики производственной функции, полученной в задаче 8.3:
у = 3,19 + 0,126;q + 0,8Ъс2 + 0,102*3,
где у — плотность поголовья коров на 100 га сельхозугодий; х, — площадь
кормовых угодий (в % от общей площади сельхозугодий); х2 — стоимость
животноводческих построек (тыс. руб. на 100 га сельхозугодий); jc3 — площадь смытых земель (в %
от общей площади сельхозугодий).
Для данного примера можно получить следующие
характеристики (см. формулы из табл. 26).
Дополнительный продукт по отдельным факторам:
по площади кормовых угодий (*i):
/)1=|^-=0,126гол/%;
оХ\
по стоимости животноводческих построек (*2):
Эу
D2 =—^-=0,81 гол/тыс. руб.;
оХ2
по площади смытых земель (*3):
D3 =^=0,102 гол/%.
Э*3
Таким образом, увеличение, например, площади кормовых
угодий на 1 % должно приводить к увеличению поголовья коров
на 0,126 головы в расчете на 100 га сельхозугодий.
Коэффициент эластичности:
по площади кормовых угодий (х\):
7 = А_= 0,126*! .
4 Щ 3,19+0,126*!+0,8Ъс2+0,106*3'
по стоимости животноводческих построек (*2):
Е
_Р2 0,81*2 .
2 " Я2 ~ 3,19+0,126*1 +0,81*2 +0,106*з'
по площади смытых земель (*3):
Е,=
В3 _ 0,166*!
Щ 3,19+0,126*,+0,81*2+0,106*з
184

С использованием приведенных формул получим зависимость
Е2 от х2 при хх = 20 %, х3 = 20 %, приведенную в таблице 28.
28. Зависимость коэффициента эластичности Ег от стоимости животноводческих
построек (jc2)
хъ тыс.
руб/ЮОга
Ег
4
0,295
6
0,385
8
0,455
10
0,511
12
0,556
14
0,594
17
0,640
Согласно полученным данным, если достигнут уровень
развития животноводческого комплекса, соответствующий стоимости
построек, например х2= 10 тыс. руб. на 100 га сельхозугодий при
доле площади кормовых угодий 20 % и доле площади смытых
земель 20 %, дальнейшее расширение комплекса при увеличении
стоимости построек на 1 % должно увеличивать поголовье коров
примерно на 0,51 %.
Предельная норма заменяемости животноводческих построек
(х2) кормовыми угодьями (*!):
^ь^2 =-^-=-6,43%/тыа руб.
Отсюда следует, что для сохранения заданного уровня
поголовья коров, например при сокращении животноводческого
комплекса в денежном выражении на 1 тыс. руб. на 100 га,
необходимо увеличить долю кормовых угодий в общем объеме
сельхозугодий примерно на 6,43 %.
Указанная норма заменяемости постоянна во всей
рассматриваемой области значений переменных х\, х2, х3. В связи с этим
понятие изоклинали для данного примера, как и вообще для
случаев линейных производственных функций, не имеет смысла.
Изокванты в плоскости (хь х2) изображены на рисунке 12.
10 14 18 22 26 30 34 х,
Рис. 12. Изокванты линейной производственной функции
185

В заключение подчеркнем, что все выводы, сделанные
относительно экономических характеристик рассматриваемой
производственной функции:
во-первых, справедливы в сравнительно узкой области
значений производственных факторов:
х{ = 8...38 %; х2 = 4...20 тыс. руб/100 га; х3 = 8...50 %;
во-вторых, имеют смысл только как усредненные
статистические выводы, полученные на основе анализа рассчитанной в
задаче сглаженной зависимости у (хи х2, х3).
В реальных условиях любая характеристика может отличаться
от приведенных выше оценок, что, однако, не исключает
возможности использования статистических выводов при
прогнозировании.
Пример 2. Для хозяйств одного из районов Брянской области
получена (в ценах 1988 г.) следующая зависимость стоимости
валовой продукции растениеводства (у, руб/га) от среднего размера
контура пашни (хь га), фондообеспеченности хозяйства (х2, руб/га)
и количества трудоспособных (x3, чел/га):
у=70)8х10-36х20'19х30-53.
Область допустимых значений факторов:
Х! = 7...18га; х2 = 600... 1000 руб/га; х3 = 0,15...0,40 чел/га.
Необходимо рассчитать экономические характеристики для
данной производственной функции.
Дополнительный продукт фактора трудовых ресурсов (л:3) будет
равен:
^з=37,5х10'36х20^19хз-0'47,руб/чел.
Для иллюстрации в таблице 29 приведены расчетные значения
дополнительного продукта D3 при различных значениях
производственных факторов.
29. Дополнительный продукт /)3 (руб/чел.) фактора трудовых ресурсов
Средний размер
контура пашни, га
<*i)

Фондообеспеченность, руб/га
<*2)
D3 при различных уровнях трудовых ресурсов (х3),
чел/га
0,15
0,20
0,25
0,30
0,40
7 600 621 542 489 449 392
7 800 656 573 516 473 413
7 1000 684 598 539 494 431
10 600 707 617 556 510 446
10 800 746 651 587 539 470
186

Продолжение
Средний размер
контура пашни, га|

Фондообеспеченность, руб/га
<*2)
Z)3 при различных уровнях трудовых ресурсов (х3),
чел/га
0,15
0,20
0,25
0,30
0,40
10
14
14
14
18
18
18
1000
600
800
1000
600
800
1000
779
797
842
879
873
922
961
680
697
736
768
763
805
840
612
627
663
691
687
725
757
562
576
608
634
630
666
694
491
503
531
554
551
581
607
Приведенные данные показывают, в частности, что
увеличение среднего размера контура пашни и фондообеспеченности
хозяйства приводит к увеличению дополнительного продукта
фактора трудовых ресурсов (предельной производительности
труда). В то же время увеличение трудоресурсов (в
рассматриваемых пределах) при фиксированных остальных факторах
приводит к снижению производительности, что можно рассматривать
как проявление «эффекта насыщения системы ресурсом» в
условиях неизменного способа производства.
Отметим, что анализ средней производительности в данной
задаче является малоинформативным, поскольку для
рассматриваемой степенной функции средняя производительность во всей
области значений факторов отличается от предельной
производительности только постоянным множителем, обратным
показателю степени при соответствующей переменной (см. формулы в
табл. 26). В данном случае имеем
Я3=(0,53)"1./)з=1,887./>з.
Эластичность рассматриваемой производственной функции
проиллюстрируем на примере фактора х2
(фондообеспеченность). Согласно таблице 26 коэффициент эластичности для
степенной функции равен показателю степени при
соответствующей переменной:
?2 = 0,19.
Следовательно, при любых исходных значениях факторов хи
х2, х3 относительный прирост валовой продукции
растениеводства при увеличении фондообеспеченности на 1 % будет
составлять около 0,19%.
Предельные нормы заменяемости любых двух факторов для
заданной производственной функции являются отрицательными,
что естественно, поскольку увеличение любого из факторов
приводит к увеличению продукции у. Аналитические
представления для предельных норм заменяемости различных пар фак-
187

торов имеют вид
Я
*1*2
Ъу
Эх
г)
ду
Эх
\)
_-0Д9 х?
0,36
- -°'53;г;
н
хххъ
J*l),(}lV^.5L.-uA
dx-i
дХ\
0,36
н
х2хъ
ъ<
ЭП -0,53*3"
Эх-
0,19
*1.
*3
*2
^-=-2,79^
х3
Заметим, что в рассматриваемом случае норма заменяемости
для любой пары факторов зависит только от этих факторов. Это
характерно для многих «классических» представлений
многофакторных производственных функций (помимо функций Кобба-
Дугласа, например, для линейной, кинетической и функции
асимптотического роста).
Для иллюстрации в табл. 30 представлены результаты расчета
нормы заменяемости фактора х3 (трудоресурсы) фактором хх
(средний размер контура пашни).
30. Предельные нормы заменяемости Нх х (чел/га) трудоресурсов (jc3) на средний
размер контура пашни (дсм) при фондообеспеченности х2 = 800 руб/га
Средний размер контура
пашни, га
^*1,*3 при Различных уровнях трудовых ресурсов (х3), чел/га
0,15
0,20
0,25
0,30
0,40
7
10
14
18
-68,6
-98,0
- 137,2
- 176,4
-51,5
-73,5
- 102,9
- 132,3
-41,2
-58,8
-82,3
- 105,8
-34,3
-49,0
-68,6
-88,2
-25,7
-36,8
-51,5
-66,2
Изокванты рассматриваемой производственной функции в
плоскости (хь х3) при фиксированной фондообеспеченности
хозяйства х2 = 800 руб/га приведены на рисунке 13. Их уравнения
получены из общего уравнения изокванты:
>>(хь...,х*) = const;
подставив в него выражение для данной производственной
функции, полагая х2 = 800 и проводя соответствующие
преобразования, получим следующую зависимость х3 от хь в которой
величина у предполагается фиксированной:
x3=2,9.10-5./89 -0,68.
188

Рис. 13. Изокванты и изоклинали степенной
производственной функции
Меняя у в пределах 200...500, получим набор кривых,
изображенных на рисунке 13.
Уравнение изоклинали в плоскости (хь х3) имеет вид
х\ Нх\,хз
хг 1,47 '
где норма заменяемости НХ\,хз рассматривается как варьируемая
константа. Для рассматриваемой производственной функции
графически изоклинали изображаются прямыми линиями,
проходящими через начало координат (см. рис. 13).
Пример 3. Для сельскохозяйственных предприятий
Московской области, территория которых подвержена водной эрозии,
была получена следующая зависимость стоимости валовой
продукции растениеводства (у, руб/га) от различных факторов
(стоимостные показатели даны в ценах 1990 г.):
у=1,624.х^'211х^63хз0'773^
где х{ — эродированность пашни, % сильносмытых земель (5 < хх < 40); Хо —
фондообеспеченность хозяйства (стоимость основных фондов растениеводства), руб/га
(500 <х2< 1500); хъ — затраты труда, чел.-дн/га (5 < хъ < 25).
В соответствии с формулой для расчета дополнительных
продуктов получим
д^-О^З-х-1'21^563*0'773;
189

ду
0,211 -0,437 0,773.
Z)2=^2-=0,914xr"'zllx
0X2
Рз=^=1,255.хГ0-211^563^0-227
ЭХ3
vi
~x?~ x
2 3
Численные оценки дополнительного продукта фактора х2
(фондообеспеченность хозяйства) при различных уровнях
эродированное™ пашни и затратах труда приведены в таблице 31.
31. Дополнительный продукт фактора х2 (фондообеспеченность)
Стоимость фондов,
руб/га
*2
D2 при различных уровнях затрат труда х3, чел.-дн/га
10
15
20
25
500
1000
1500
500
1000
1500
500
1000
1500
0,149
о,по
0,092
0,112
0,083
0,069
0,096
0,071
0,060
х{ = 5%
0,225
0,189
0,158
*i = 20 %
0,191
0,142
0,118
xi = 40 %
0,165
0,120
0,102
0,349
0,258
0,216
0,261
0,194
0,161
0,225
0,166
0,139
0,437
0,322
0,269
0,326
0,242
0,201
0,281
0,208
0,174
0,519
0,383
0,321
0,388
0,288
0,239
0,334
0,247
0,207
Представленные в таблице данные показывают, что
прирост валовой продукции за счет увеличения основных фондов
на 1 руб/га при исходном уровне фондообеспеченности
500 руб/га и уровне эрозии 5 % возрастает с 0,149 до 0,519 при
увеличении обеспеченности хозяйств трудовыми ресурсами в
заданных пределах. С увеличением фондообеспеченности
хозяйств и эродированности пахотных земель указанный
прирост уменьшается.
Поскольку в данном случае выбрана функция Кобба-Дугла-
са, то коэффициент эластичности по любому
производственному фактору численно равен соответствующему показателю
степени. Так, например, по фактору фондообеспеченности
коэффициент эластичности ?^= 0,563. Следовательно, при любом
заданном уровне фондообеспеченности ее приращение на 1 %
приведет к повышению выхода продукции примерно на
0,563 %.
Предельные нормы заменяемости производственных факторов
определяются по формулам (10.7). В рассматриваемом примере
они задаются соотношениями
190

#XlJC =2,67^; НХ]Х,=3,66^-; Нх,х =-0,73^.
'*1*2
'*1*3
¦х3*2
х2 — хъ — х2
Для иллюстрации в таблице 32 приведены значения Нхххъ •
32. Предельные нормы ^хх%хъ заменяемости трудозатрат (дг3) эродированностью
пашни (jct)
Затраты труда,
чел.-дн/га
(*з)
Нхх, х3 при различных уровнях эродированности
' пашни (х\), %
10
20
30
40
5
10
15
20
25
3,66
1,83
1,22
0,92
0,73
7,32
3,66
2,44
1,83
1,46
14,64
7,32
4,88
3,66
2,94
21,96
10,98
7,32
5,49
4,39
29,28
14,64
9,76
7,32
5,86
Положительные значения нормы заменяемости показывают,
что один и тот же выход продукции может быть получен в
условиях более сильной эрозии за счет увеличения затрат труда. Так,
например, при хх = 20% и х2= 15 чел.-дн/га предельная норма
заменяемости составляет 4,88.
Напомним, что величина, обратная 4,88, является нормой
НХзхх заменяемости эродированности пашни трудозатратами
(см. формулу 10.8 и предшествующее ей пояснение). Таким
образом, в соответствии с полученными соотношениями можно
утверждать, что при увеличении эродированности пашни на 1 %
для сохранения выхода продукции на прежнем уровне
потребуется увеличение трудозатрат на 0,205 чел.-дн/га.
Подчеркнем, что если норма заменяемости непостоянна (как,
например, в данном случае), то рассуждения, аналогичные
проведенному выше, справедливы только при малых приращениях
факторов.
Для получения аналогичных результатов при изменении
производственных факторов во всей области их допустимых
значений необходимо использование йзоквант, определяемых из
уравнений типа (10.5). Для заданной производственной функции при
фиксированной фондообеспеченности хозяйства х2 = 950руб/га
уравнение изокванты примет вид
(
*У-
у/0,773
77,0978-Xj"
0,211
=0,0037-/2М>27,
где у предполагается фиксированной величиной.
191

При у = 200 руб/га получаем для плоскости (хь х3):
х3=3,44х10'27.
Аналогично могут быть получены уравнения изоквант для
других пар факторов (рис. 14). Их анализ позволяет сделать
следующие выводы:
при фиксированной фондообеспеченности х2 = 950 руб/га
один и тот же выход продукции в денежном выражении у =
= 250 руб/га может быть получен при следующих сочетаниях
эродированное™ пашни (х{) и трудозатрат (х3):
х{ = 10 %, х3 = 8,5 чел.-дн/га;
X! = 20 %, х3 = 10,6 чел.-дн/га;
х\ = 30 %, х3 = 11,8 чел.-дн/га;
0 5 10 15 20 25 х3
а) Эродированность (xj) и трудозатраты (xj);
*2=950 руб. на 1 га
50
40
30
20
10
J
: /
v=200jj
//
, У
l/l
'250/
^W
f LlVl
300^
, ^ - !
и
350
йоЩ
JpXlX3=o,oi\
0 250 500 750 1000 1250 x2
б) Эродированность (xj) и
фондообеспеченность (*2); *?=15 чел.-дн. на 1 га
X2
2000\
15001
wool
500\
o\
0 5 10 15 20 25 x3
в) Фондообеспеченность(X2> и трудозатраты (xj);
*/=25%
Рис. 14. Изокванты и изоклинали для различных пар переменных
\у=2№
у25$Х
><
-Г \flfM .
*\-ЩЩ \J
\HXlX3=-0,03[
192

при фиксированной эродированности пашни х{ = 25 % один и
Тот же выход продукции в денежном выражении у = 300 руб/га
может быть получен при следующих сочетаниях
фондообеспеченности (х2) и трудозатрат (х3):
х2 = 500 руб/га, х3 = 20,6 чел.-дн/га;
х2 = 1000 руб/га, х3 = 13,5 чел.-дн/га;
х2= 1500 руб/га, х3= 10 чел.-дн/га.
На рисунке 14 показаны также изоклинали. Для
рассматриваемой производственной функции графически они изображаются
прямыми, выходящими из начала координат. Каждая изоклиналь
определяет множество точек, в которых норма заменяемости
соответствующих производственных факторов постоянна.
Пример 4. Для условий Латвии была построена следующая
производственная функция:
у = 3,0 + 0,26х! + 0,036*2 + 0,01*3,
где у — урожайность ячменя, ц/га; х{ — качество земли, баллы; х2 — количество
внесенных минеральных удобрений, кг д. в. на 1 га пашни; х3 — обеспеченность
основными производственными фондами, руб. на 1 га пашни (в ценах 1988 г.)
Покажем, как можно использовать данную производственную
функцию для целей прогнозирования. В частности, оценим
ожидаемый прирост урожайности ячменя в случае повышения
качества земли (ху) с 90 до 100 баллов при условии, что
фондообеспеченность сохраняется на уровне х3 = 400 руб/га, а количество
вносимых минеральных удобрений уменьшается с 200 кг д. в/га
до 150 кг д.в/ га. Используя приведенную зависимость, получим:
существующая урожайность:
ух = 3,0 + 0,26 • 90 + 0,036 • 200 + 0,01 • 400 = 37,6 ц/га;
прогнозируемая урожайность:
у2 = 3,0 + 0,26 • 100 + 0,036 • 150 + 0,01 • 400 = 38,4 ц/га;
прирост урожайности:
Ьу = У2-У\ = 0,8 ц/га.
Очевидно, что в силу линейности производственной функции
то же значение Ау можно получить прямым расчетом:
Д>> =0,26 • А*! + 0,036 • Ах2 = 0,26 • 10 + 0,036 • 50 = 0,8 ц/га.
Пример 5. Для зерновых хозяйств Кокчетавской области
Казахстана найдена зависимость выхода валовой продукции от
площади сельскохозяйственных угодий:
193

>>=0,34 + 0,31x-0,0045x2,
где у — стоимость валовой продукции, тыс. руб. на 100 га (в ценах 1988 г.); х —
площадь сельскохозяйственных угодий, тыс. га.
Приведенную зависимость можно использовать для оценки
максимально возможного объема валовой продукции у при
изменении х в пределах 20...50 га. График функции у(х) является
выпуклой вверх параболой, так как коэффициент при х2
отрицателен. Следовательно, если максимум у реализуется в пределах
области допустимых значений х, то он может быть определен из
уравнения
где D — предельный продукт рассматриваемого производственного фактора. Для
параболической зависимости у = а0 + ахх+ а^х2 предельный продукт равен ах + 2а^с
(см. табл. 26). Подставляя это выражение в указанное выше уравнение и решая его,
получим, что значение х, при котором у достигает максимума, равно
*0
2а-)
Используя заданную числовую информацию, получим
0,31
*о=-
-20,0045
=34,4 тыс. га.
Поскольку найденное значение xq находится в области
допустимых значений х, то рассмотренная процедура определения утах
правомерна. Подставляя полученное значение xq в выражение
для производственной функции, получим
Утах = 5,68 тыс. руб. на 100 га.
Графическая интерпретация проведенного расчета дана на
рисунке 15.
Рис. 15. Зависимость валовой
продукции у от площади
сельскохозяйственных угодий*

Контрольные вопросы и задания
1. Назовите основные классы задач, при решении которых используют
производственные функции.
2. Что такое дополнительный продукт фактора? Приведите общую формулу для
расчета дополнительного продукта.
3. Каков экономический смысл дополнительного продукта фактора? Как с
помощью этого показателя могут быть определены изменения эффективности при
малых изменениях фактора?
4. Каким образом дополнительные продукты могут быть использованы для
определения экстремального значения показателя эффективности? Какие условия
при этом должны соблюдаться?
5. Что такое средняя производительность по данному фактору? Приведите
общую формулу для расчета средней производительности. Каков ее экономический
смысл?
6. Что такое коэффициент эластичности? Приведите общую формулу для его
расчета. Каков его экономический смысл? Как он связан с дополнительным
продуктом фактора и средней производительностью?
7. Что такое изокванта? Запишите уравнение изокванты в общем виде.
8. Дайте определение предельной нормы заменяемости фактора Xj фактором *,.
Каков экономический смысл этой характеристики? Какой знак имеет предельная
норма заменяемости для двух факторов, если увеличение обоих факторов приводит
к росту результативного показателя?
9. Дайте качественное изображение изоквант в плоскости (xh xj), если факторы
X/, Xj имеют ресурсный характер, если фактор jc, имеет ресурсный характер, а фактор
Xj характеризует негативные воздействия на результативный показатель?
10. Дайте определение изоклинали и запишите общее уравнение для этой
линии.
11. Попытайтесь вывести (или запишите готовые выражения) для
экономических характеристик основных однофакторных и двухфакторных производственных
функций, в представлениях которых коэффициенты заданы в общем виде.
12. Выведите формулы экономических характеристик для следующих
производственных функций:
у= 3,19 + 0,126х! + 0,81х2 + 0,102jc3;
^TO^xf'36^0'19*?'53; >;=l,624xf0'211xJ563X30'773;
у = 3,0 + 0,26*! + 0,036*2 + 0,01х3;
>> = 0,34 +0,31х-0,0045х2.

Раздел IV
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Производственные функции в землеустройстве применяются
для решения широкого круга задач, в том числе:
анализа состояния использования земли;
установления оптимальной интенсивности использования
земли на перспективу или поиск других оптимальных значений
землеустроительных показателей (площадей землевладений и
землепользовании, земельных массивов производственных
подразделений, участков, севооборотов и т. п.);
экономического обоснования применяемых
землеустроительных решений по укрупнению и разукрупнению хозяйств,
перераспределению земель, организации территории;
прогнозирования значений результативных показателей,
используемых при составлении проектов землеустройства
(урожайности сельскохозяйственных культур, себестоимости
производимой продукции, затрат труда, удельных капиталовложений в
расчете на единицу площади и т. п.);
разработки экономических и технических нормативов,
используемых при проектировании (плотности дорог, расстояний
между лесополосами, рекомендуемой длины и ширины полей и
рабочих участков и др.);
решения землеустроительных задач исследовательского
характера (выбор типичного хозяйства для экспериментального
землеустроительного проектирования, установление компетенции
инженеров-землеустроителей в ходе социального опроса,
экономическое обоснование нестандартных землеустроительных задач).
Далее приводятся практические примеры использования
производственных функций для решения некоторых
землеустроительных задач.
196

Глава 11
ОПТИМИЗАЦИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗЕМЛИ
ПРИ ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ
11.1. АНАЛИЗ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗЕМЛИ
В ходе подготовительных работ к составлению схем и
проектов землеустройства весьма желательно выявить факторы,
влияющие в наибольшей степени на состояние и использование
земли объекта проектирования (сельскохозяйственного
предприятия, территории муниципального образования в границах
сельского населенного пункта, административного района и т.д.), а
также узкие места и эффективные направления реорганизации
территории и производства. Для этого можно использовать
аппарат производственных функций.
В качестве результативного показателя (у), характеризующего
уровень интенсивности использования земель, многие
землеустроители рекомендуют брать выход валовой продукции на 100 га
сельскохозяйственных угодий в стоимостном выражении. В этом
показателе аккумулируются результаты работы
растениеводческой и животноводческой отраслей. Некоторые исследователи
применяют в качестве (у) относительные показатели чистого
дохода (прибыли), стоимости товарной продукции или валового
дохода в расчете на 100 га сельскохозяйственных угодий или на
100 га общей площади хозяйства.
При оценке эффективности земледельческих отраслей в
качестве результативного показателя почти всегда принимают
урожайность сельскохозяйственных культур или продуктивность
кормовых угодий, а также многолетних насаждений (садов,
виноградников и т. п.).
Отбор факторов-аргументов производится в две стадии. На
первой путем логического анализа отбираются факторы,
оказывающие влияние на уровень использования земель, на второй
методом корреляционного анализа выделяются те из них,
которые имеют особенно тесную связь с результативным показателем
использования земли. При этом из факторов-аргументов,
которые тесно взаимодействуют друг с другом или находятся между
собой в функциональной зависимости, в модель включают не
более одного. Такое взаимодействие (коллинеарность) выявляется
по величине парных и частных коэффициентов корреляции.
Отбор признаков для включения их в корреляционную модель
Должен базироваться на знании теоретических основ
землеустройства и практическом опыте. Для этого используют
статистические ряды, графики, применяют статистические группировки
по факторным или результативным признакам.
Практика показала, что при выборе формы связи между ре-
197

зультативным показателем, характеризующим использование
земель, и факторами-аргументами чаще всего применяются
линейные уравнения множественной регрессии и многофакторные
степенные функции.
Так, например, доцентом Т. В. Михайловой было получено
следующее уравнение связи, характеризующее использование
земель в совхозах молочного направления Ленинградской
области1:
у = 20,31 + 0,007х, + 0,022*2 + 0,219х3 - 0,060х4 + 0,009х5,
где у — стоимость сельскохозяйственной продукции на 100 га сельхозугодий,
тыс. руб.; х2 — внесение минеральных удобрений на 1 га пашни, ц; х3 —удельный
вес сельскохозяйственных угодий в общей площади земель, %; х4 —удельный вес
пашни в площади сельскохозяйственных угодий, %; х5 — выработка за год на 1
условный эталонный трактор, га.
Анализ данного уравнения показывает, что наибольшее
влияние в рассматриваемой совокупности хозяйств на стоимость
валовой продукции оказывает фактор сельскохозяйственной
освоенности территории (х3). С увеличением удельного веса
сельскохозяйственных угодий в общей площади земель на 1 % стоимость
валовой продукции в расчете на 100 га сельскохозяйственных
угодий повышается на 0,219 руб. (а3 = 0,219). Следовательно,
повышение сельскохозяйственной освоенности территории за счет
освоения новых земель, проведения мелиоративных и культур-
технических работ является главным направлением
совершенствования землепользования в рассматриваемых условиях.
Вторым по значению фактором является х4 — увеличение рас-
паханности сельскохозяйственных угодий на 1 % приводит к
снижению стоимости валовой продукции на 0,06 руб. на 100 га
сельхозугодий. Это говорит о том, что в совхозах молочного
направления, рассматриваемых здесь, целесообразно расширять
землепользование в сенокосы и пастбища, а не в пашню, что и
должно учитываться в проектах землеустройства.
Кроме того, данное уравнение показывает, что такие
экономические факторы интенсификации, как стоимость основных
производственных фондов (х{), дозы вносимых минеральных
удобрений (х2), внедрение более производительной
сельскохозяйственной техники (jc5), также способствуют росту
результативного показателя.
Коэффициент множественной корреляции в данном случае
R= 0,758, что говорит о достаточно тесной взаимосвязи
результата (у) и факторов (х/).
'Михайлова Т. В. Применение методов математической статистики при
прогнозировании использования земельных ресурсов /Лекция.—Л.: ЛСХИ,
1983.-С. 5-8.
198

Коэффициенты регрессии в уравнениях множественной связи
(а,) являются поименованными величинами, то есть они имеют
единицы измерения, соответствующие переменным, связь между
которыми они характеризуют. Поэтому невозможно
непосредственно сравнивать их, чтобы решить вопрос, какой из них
сильнее влияет на результат.
Чтобы сделать коэффициенты сравнимыми, все переменные
множественного уравнения регрессии выражают в долях средне-
квадратического отклонения. Эти величины получили название
стандартизированных коэффициентов регрессии, или
бета-коэффициентов, и рассчитываются по формуле
где д/ — коэффициент чистой регрессии; а, и со — среднекбадратические отклоне-
hxf 2. __ Ш .2
ния: Gt=^ X , a0=W у .
Расчет бета-коэффициентов для рассматриваемого примера
приведен в таблице 33.
33. Расчет бета-коэффициентов уравнения репрессии

Переменные
о,-
V 2
_2
X
1/
<*1
<*0
Р
0,0071 712189 46825,865 63,59856 0,007584
0,0221 2205,5 147,10223 3,230089 0,001199
0,2194 20836,8 1199,1379 23169,5 17,006025 59,5324 0,0626737
-0,0603 27236,5 1097,1936 6,186323 -0,006266
0,0091 28458088 1998689 184,47628 0,0281986
Из нее видно, что рост стоимости основных
производственных фондов на величину одного среднеквадратическое
отклонения этого фактора приводит к росту выхода валовой продукции
на 0,007584 ее среднеквадратического отклонения (при
фиксированном уровне остальных факторов). Аналогично
интерпретируются и остальные бета-коэффициенты.
Уравнение регрессии в стандартизированном виде выглядит
так:
^=0,007584^^+0,001199 ^^+0^
а0 о{ с2 су3
- 0,006266^^+0,0281986^^-.
а4 а5
199

Данное уравнение показывает, что сельскохозяйственная
освоенность территории (х3) в наибольшей степени влияет на у, так
как Рз — максимальный из всех (3-коэффициентов.
Другими учеными1 при анализе состояния и использования
земель в ряде хозяйств Центрально-Черноземного региона была
получена следующая производственная функция:
у = - 29,374 + 0,317*! + 0,222х2 + 6,353х3 + 0,740х4 + 2,155х5 +
+ 0,073х6,
где у — выход валовой продукции на 100 га сельхозугодий, тыс. руб.; х{ — стоимость
основных производственных фондов в расчете на 100 га сельхозугодий, тыс. руб.;
х2 — поголовье животных на 100 га сельхозугодий, усл. голов; хг — затраты труда на
100 га сельхозугодий тыс. чел.-ч; хА — площадь сельхозугодий на 1 работника, га;
х5 — количество минеральных удобрений, внесенных на 1 га пашни, ц; х& —
площадь, на которой внесены минеральные удобрения, %.
Статистические характеристики уравнения: значение
^-критерия 48,3, значение коэффициента множественной корреляции
0,98. Оценка по /-критерию показала существенность как
коэффициента множественной корреляции, так и всех параметров
уравнения. Коэффициент общей детерминации равен 0,96, то
есть изменение включенных в уравнение факторов на 96 %
объясняет вариацию результативного показателя, и только 4 %
приходится на неучтенные факторы. Анализ частных
коэффициентов детерминации показал, что все включенные в модель
факторы оказывают довольно сильное влияние на результативный
показатель.
Как видно по коэффициентам регрессии, увеличение
основных производственных фондов в расчете на 100 га сельхозугодий
на 1 тыс. руб. приводит к увеличению валовой продукции на
0,317 тыс. руб.; увеличение поголовья животных на 1 усл.
голову—на 0,222 тыс. руб.; рост затрат труда на 1 тыс. чел.-ч — на
6,353 тыс. руб.; увеличение площади сельхозугодий на одного
работника на 1 га — на 0,740 тыс. руб.; внесение минеральных
удобрений на 1 га пашни на 1 ц д. в. — на 2,155 тыс. руб.; увеличение
площади, на которую внесены минеральные удобрения, на 1 % —
на 0,073 тыс. руб.
Профессором В. А. Синдеевым при анализе интенсивности
использования земли в ряде хозяйств Центрального
экономического района была принята степенная функция вида
'Курносое А. П., Подтележников В. П. Оптимальное
планирование внутриобластного развития, размещения, специализации и концентрации
сельскохозяйственного производства: Учебное пособие. — Воронежский СХИ,
1983.-С. 36-37.
200

y=a0x°lx%2x°3,
где во, Дь °2у аъ — параметры уравнения; у — значение результативного показателя;
хь Х2, *з — факторы производства1.
В качестве результативного показателя была принята
стоимость валовой продукции сельского хозяйства на 100 усл. га
сельхозугодий. Факторными показателями выбраны: стоимость
основных производственных фондов сельскохозяйственного
назначения на 100 га усл. га (xj); затраты труда на 100 усл. га (х2);
площадь сельхозугодий, 100 усл. га (х3). Решение задачи дало
следующее уравнение:
>>=0,08х|-065;с20>205;сз0-637.
Для вычисления р-коэффициентов нужно решить следующую
систему:
rxm Pi + rx\x2 P2 + Гад ^3 = гух\;
1 гх2хх Pi + гх2х2 Р2 + гх2х3 Рз = гух2;
[гхзх{ Pi + гх3х2 Р2 + гх3хъ Рз = гухъ у
где гхх. — парные коэффициенты корреляции между независимыми
переменными; гух. — парные коэффициенты корреляции между результатом и отдельными
факторами (табл. 34).
34. Матрица парных коэффициентов корреляции
Независимая
переменная
между
аргументами и
функцией
Коэффициент корреляции
между независимыми переменными
*i
*2
*3
0,86 1 0,21 0,54
0,69 0,21 1 0,45
0,75 0,54 0,45 1
С учетом приведенных данных система уравнений для расчета
Р-коэффициентов имеет следующий вид:
Гр1+0,21р2+0,54р3=0,86;
0,21р1+р2+0,45р3=0,69;
0,54р1+0,45р2+р3=0,75.
'Синдеев В. А. Методы и модели прогнозов использования земельных
ресурсов. — М.: Изд-во стандартов, 1990. — С. 17—22.
201

Ее решение показывает, что Pi = 0,560; р2 = 0,175; Рз= 0,488.
Таким образом, переменные х{ и х3 оказывают практически оди-
наковое воздействие на стоимость валовой продукции на 100 га
условных сельхозугодий, а воздействие х2 почти в 3 раза слабее.
При изменении аргументов хь х2, х3 на одно среднеквадратичес-
кое отклонение величина функции увеличивается
соответственно на 0,560; 0,175 и 0,488 среднеквадратического отклонения.
По величине Р-коэффициентов парной корреляции можно
также оценить индивидуальный вклад каждого аргумента в
вариацию зависимой переменной. Для этой цели используются
частные коэффициенты детерминации (dj), расчет которых
выполняется по формуле ^j=^jryxj-
В данном случае частные коэффициенты детерминации
составили 4 = 0,482 (^ = 0,560 • 0,860), d2 = 0,121, </3 = 0,366.
Сравнение полученных величин подтверждает сделанный ранее вывод о
том, что наиболее сильное воздействие на стоимость валовой
продукции на 100 га условных сельхозугодий оказывают
аргументы хх и х3. На их долю приходится соответственно 48,2 и 36,6 %
общей колеблемости зависимой переменной. Влияние
факторного признака х2 менее заметно (12,1 %). Сумма частных
коэффициентов детерминации всегда равна коэффициенту
множественной детерминации: dx + d2 + d3 = D = 0,969.
При построении производственных функций,
характеризующих состояние и использование земли, рекомендуется проверка
на автокорреляцию, если в расчетах использовались данные за
несколько лет.
Автокорреляцией называется зависимость последующих
значений результативного или факториальных показателей от их
предыдущих значений, Появление автокорреляции связано со
следующими причинами:
в уравнении не был учтен существенный фактор;
не учтены несколько несущественных факторов, суммарное
влияние которых существенно;
неправильно выбран вид уравнения;
специфична структура случайной компоненты.
Если не проверено наличие автокорреляции, результаты
анализа рядов динамики будут сомнительными. С этой целью
используют критерий Дарбина — Уотсона:
и - м
м
где у, — предыдущий, yt-\ — последующий член ряда.
202

Расчетные значения dp сравнивают с табличными d^^.
Коэффициент dp находится в интервале от 0 до 4; при отсутствии
автокорреляции он колеблется около 2. Затем сравнивают dp с
табличными значениями ^бл и ^табл (верхняя и нижняя границы
критерия). Если dp<d^a6j[, автокорреляция существует; при
dp>d^6jl она отсутствует; если же ^бл^^табл' Д™ проверки
необходимо увеличить длину ряда.
В рассмотренном В. А. Синдеевым случае критерий Дарби-
на — Уотсона d^ = 2,93, ^4бл=^ для УР0ВНЯ значимости 1 %.
Таким образом, в ряду зависимой переменной у автокорреляция
отсутствует.
11.2. УСТАНОВЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УРОВНЯ
ИНТЕНСИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗЕМЛИ
При установлении оптимального уровня интенсивности
использования земли следует руководствоваться двумя основными
положениями. С одной стороны, должна быть обеспечена
экономическая эффективность сельскохозяйственного производства,
что предполагает рациональное соотношение факторов
интенсификации (земли, труда, фондов) и получение максимального
экономического результата (например, валовой или товарной
продукции, валового или чистого дохода, прибыли) на единицу
площади. С другой стороны, должны обязательно выдерживаться
природоохранные требования, то есть недопустимо пересекать
порог, за пределами которого начинаются разрушение
почвенного покрова, деградация или эрозия почв, снижение почвенного
плодородия.
Таким образом, оптимальный уровень интенсивности
использования земли требует такого размера затрат производственных
факторов, при котором достигает своего экстремума некоторая
Целевая функция, обеспечивающая получение максимума
производства сельскохозяйственной продукции при заданных
(рациональных) затратах труда и средств на единицу площади. При
этом обязательно должны создаваться условия для
воспроизводства плодородия почв.
Постановка такой экономической задачи с использованием
аппарата производственных функций известна в
землеустроительной литературе (Ларченко Е. Г. Вычислительная техника и
экономико-математические методы в землеустройстве. — М.:
Недра, 1973.— С. 388—389) и заключается в следующем.
Допустим, в качестве критерия оптимальности взят максимум чистого
203

дохода S по данному продукту:
/=1
где у — выход некоторого вида сельскохозяйственной продукции с единицы
земельной площади (это может быть, скажем, урожайность озимой пшеницы,
выраженная посредством производственной функции); х, — объем затрат /-го
производственного фактора; с0 — цена реализации 1 ц культуры; с, — производственные
затраты по /-фактору.
Оптимальный уровень интенсификации математически
означает достижение максимума функционала S. При
неограниченных ресурсах этот максимум определяется, как было показано
ранее, дифференцированием функции цели S по переменным
факторам и решением полученной системы уравнений:
dS ду п
Будем считать, что в качестве производственной функции у
используется мультипликативная функция Кобба-Дугласа
Р/
у=а\[х)
/=1
Тогда данное уравнение принимает вид
dXj
--со
( т Л
*П*/Р,Р/
»=1
-с,=0.
Таким образом, оптимальное значение /-фактора может быть
найдено из следующего соотношения:
С; v ' к = \
В этом выражении компоненты с0, с,-, (3, — известные
постоянные величины. Подставляя некоторый уровень урожайности
OWt) в эту формулу, будем иметь соответствующие
оптимальные затраты под данный урожай.
204

В данном примере предполагается, что цена реализации
сельскохозяйственного продукта, издержки производства, а также
производственная функция урожайности известны. Для
проверки достижения функцией цели S максимума (а не минимума)
следует выявить знак определителя системы (2-е достаточное
условие оптимальности):
А=
d2S
(/,*=!,/и).
ЦЭх/х*
щреде
функция цели S в точке с искомыми координатами */ =
Если величина этого определителя положительная (Л>0), то
gpP/У
имеет максимум, а значит, найдем оптимальный уровень
интенсификации с точки зрения получения чистого дохода. Если же
А < 0, речь идет о минимуме чистого дохода, что с
экономической точки зрения не представляет интереса.
М. Е. Браславцем и К. Г. Трегубовым1 была получена
следующая зависимость урожайности кукурузы на зерно (у) от
величины затрат на удобрения (хь руб. на 1 га) и на семена (х2, руб. на
1га):
у=15,63х°>тх°2>15*5.
Если принять, что цена реализации 1 ц кукурузы составляет
4,5руб., стоимость минеральных удобрений—12руб. за 1ц, то
для получения урожайности кукурузы в 40 ц с 1 га необходимо
внести:
_ 4,5-0,37240
ЛОПТ ~ 1-л -J,0 Ц,
а для получения урожайности в 30 ц с 1 га
4,50,372-30 ^
^опт ~ л у -4,z Ц.
Необходимо иметь в виду, что данные расчеты в некоторой
'Браславец М. Е., Трегубое К. Г. Новое направление в изучении
многофакторных экономических процессов с.-х. производства. В сб.
Вычислительная техника в сельском хозяйстве. — М.: Статистика, 1968. — С. 88—89.
205

степени условны, но при отсутствии конкретных
экспериментальных данных в ряде случаев могут быть приняты за основу
экономического анализа.
11.3. ОБОСНОВАНИЕ УКРУПНЕНИЯ (РАЗУКРУПНЕНИЯ)
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КИНЕТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
Впервые в землеустроительной литературе проблема
целесообразности укрупнения (разукрупнения) сельскохозяйственных
предприятий с использованием производственных функций
изучалась проф. Е. Г. Ларченко. Опираясь на исследования ученых
Центрального экономико-математического института (ЦЭМИ
АН СССР), он предложил следующую математическую
постановку данной задачи1.
Допустим, изучается целесообразность объединения двух
одинаковых сельскохозяйственных предприятий с аналогичными
векторами ресурсов: х={*/}5 где х=|х/;/=1,/я| —вектор ресурсов
(рабочая сила, техника, удобрения и т. д.).
Два одинаковых хозяйства дают суммарную прибыль
2s(x)=2\
а одно объединенное хозяйство
*(2х) =
т
/=1
т
с0Д2х)- 2Ц*1 [
/=1
где с0, с, — цена реализации продукта и издержки /-фактора; у =/(*) — некоторая
производственная функция.
Прирост прибыли при объединении хозяйств составит
величину:
As=s(2Z)-2s(x)=c0[f(2x)-2f(x)\
Если f(2x)>2f(x), то объединение хозяйств экономически
'Ларченко Е. Г. Вычислительная техника и экономико-математические
методы в землеустройстве. — М: Недра, 1973. — С. 390—391.
206

выгодно и наоборот; при равенстве оба варианта равноправны. В
более общем случае целесообразность расширения размеров
хозяйств в X раз определяется поведением функции
bs()dc)=s()dc)-Xs(x)=cQ[f()dc)-\f(x)]
при увеличении параметра А, начиная с Х= 1.
Оптимальный размер хозяйства математически соответствует
величине дифференциала этой функции по искомой степени
концентрации производства Л. Иными словами, имеем
следующее условие эффективности объединения (разукрупнения)
хозяйства:
=0 (11.1)
<0
В первом случае (если вышеприведенное выражение
положительно) целесообразно укрупнение хозяйства, во втором
—размеры хозяйства оптимальны, в третьем случае рекомендуется
разукрупнение.
Рассмотрим, как можно реализовать данную концепцию на
примере кинетической производственной функции. Как
отмечалось ранее, эта функция имеет вид
y=aY[xfie"UXi.
/=1
Здесь приняты обозначения: у — уровень выхода продукции,
*,¦ — объем затрат /-фактора, а, Р,, у/ — параметры функции, е —
основание натуральных логарифмов.
Параметр р,— эта безразмерная величина, представляющая
собой коэффициент начальной эластичности /-фактора. В
принципе для кинетической функции он равен
Параметр yt есть скорость роста эластичности /-фактора
относительно изменения величины переменного фактора:
_Щ_
Y,'~ Эх,-'
Л=
dAs(kx)
г\Л
dk
=со
Х=1
dfkx
dk
-№
X = l
EtA
ду_
дх,-
207

Рис. 16. График кинетической
функции при Р, > 0 и у, > О
Размерность у-, обратна
размерности переменной *,.
График кинетической
функции приведен на рисунке 16.
Исследованиями
установлено, что кинетическая
функция достаточно хорошо
отражает специфику
сельскохозяйственного
производства1.
Так, например, для
северной зоны Краснодарского
края по отчетным данным 80
хозяйств была получена следующая кинетическая функция
урожайности озимой пшеницы (>>):
j^OSx1'50*0'00^
хх40,1е0,59лБх-5,18в-1,5Ьс7;с1,43е0,06л8>
6 7 о
где е — основание натурального логарифма; х\ — затраты живого труда, чел.-дн. на
1 га озимой пшеницы; х2 — количество комбайнов на 1 тыс. га озимых; х3 —
количество тракторов в переводе на 15-сильные на 1 тыс. га; х4 — внесение удобрений, ц
на 1 га; jc5 — атмосферные осадки за август—сентябрь, мм; х6 — глубина промачива-
ния почвы на начало марта, мм; х7 — количество дней от возобновления вегетации
до выхода растения в трубку; дс8 — атмосферные осадки за апрель—июнь, мм.
Использовав эту функцию, а также критерий эффективности
производства (11.1), Е. Г. Ларченко вывел следующую формулу
целесообразности укрупнения (разукрупнения) хозяйств с
использованием кинетической функции:
т
л=?(Р/-у/*/)<=>1.
/=1
Подставив в это выражение конкретные числовые параметры
Р,- и у-, кинетической производственной функции и взяв в
качестве величин х- их средние арифметические значения по север-
1 Искаков-Плюхин Б. Применение математических методов при анализе
экономической эффективности капитальных вложений и основных фондов в
сельскохозяйственном предприятии. Сб. науч. инф. «Методы и практика определения
эффективности капитальных вложений и новой техники» Изд. АН СССР. М, № 4,
1963. Впервые подобная функция рассматривалась в работе A. Halter, H. Gartner,
I. Hocking. A note above truncendenation function, Journal of Farm Economics, v. 39
(3), 1957. Б. Искаковым доказано, что кинетическая функция наиболее адекватна
природе сельскохозяйственных процессов.
208

ной зоне Краснодарского края (jq = 3,3 чел.-дн. на 1 га; х2 = 4,5
на 1га; хз=10,5; х4 = 5,1ц на 1га; х5 = 47,1мм; Зс6=64,4см;
ху = 32,5 дня; х§= 120 мм), автор установил, что для
определения целесообразности объединения (разукрупнения) хозяйств
правильнее всего брать лишь первые четыре фактора
(экономические), а метеорологические считать неизменными. Тогда
оказывается, что
Л = 1,5 + 0,009 • 3,3 + 1,46 + 0,38 • 4,5 + 0,25 + 0,1 • 10,5 +
+ 0,66 — 0,05 • 5,1 = 6,60 > 1.
Следовательно, на севере Краснодарского края, для которого
была определена кинетическая производственная функция
урожайности озимой пшеницы, с точки зрения эффективности
возделывания этой культуры экономически целесообразно
укрупнение хозяйств или увеличение концентрации производства в
самих хозяйствах.
Разумеется, окончательные выводы о целесообразности
укрупнения (разукрупнения) хозяйств могут быть сделаны только
при разработке конкретных проектов межхозяйственного
землеустройства.
Контрольные вопросы и задания
1. Производственные функции какого вида могут применяться при анализе
состояния и использования земли?
2. Что такое стандартизированные коэффициенты регрессии, для чего они
нужны и как вычисляются?
3. Как вычислить (3-коэффициенты с использованием частных коэффициентов
корреляции?
4. Как можно определить значения факторов интенсификации производства
для получения заданного урожая?
5. Опишите методы прогнозирования урожайности сельскохозяйственных культур.
6. Как можно обосновать эффективность укрупнения (разукрупнения)
сельскохозяйственных предприятий с помощью производственных функций?
Глава 12
ПЛАНИРОВАНИЕ УРОЖАЙНОСТИ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ КУЛЬТУР
12.1. ЗНАЧЕНИЕ И МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ УРОЖАЙНОСТИ
Одним из наиболее важных показателей, определяющих
содержание схем и проектов землеустройства, а также
экономическое обоснование и эффективность намечаемых
землеустроительных решений, является урожайность сельскохозяйствен-
209

ных культур. На основе планируемой урожайности
рассчитывается потребность в площадях посева кормовых и товарных
культур, исчисляются доходы, балансируются потребности и объемы
производства продукции. Урожайность прямо или косвенно
влияет на все производственные и экономические показатели
развития хозяйства, а следовательно, и на организацию его
территории.
Ошибки в установлении урожайности на год освоения схем
или проектов землеустройства являются причиной низкого
качества проектных решений, приводят к разработке нереальных
проектов и их плохому осуществлению. Поскольку
многочисленные природные, экономические,
организационно-хозяйственные, технологические и другие факторы и различия суммируются
в урожайности, этот показатель, заложенный в проект
землеустройства, определяет методы организации производства и
территории.
Особенно важно иметь точные показатели планируемой
урожайности при использовании экономико-математических
методов и ЭВМ, так как ошибки в ее определении могут повлечь за
собой нарушение оптимальности решений и нецелесообразность
использования в связи с этим вычислительных средств.
В современных условиях планирование осложняется еще и
тем, что факторы и темпы интенсификации
сельскохозяйственного производства, определяющие уровень урожайности, не
имеют четко выраженной динамики и являются
неравномерными. Поэтому правильный выбор методики расчета этих
показателей и ее совершенствование — необходимое условие повышения
качества землеустроительного проектирования на основе
применения экономико-математических методов.
Трудности с правильным выбором методов планирования
урожайности связаны с неоднозначностью требований,
предъявляемых к ним при разработке различных по своему содержанию
и срокам осуществления землеустроительных проектов.
Совокупность проектно-плановых разработок, связанных с
организацией использования и охраны земель, в этом смысле
целесообразно разделить на долгосрочные и краткосрочные проекты. В
свою очередь, проекты каждого из названных видов могут
потребовать как частных (для отдельных участков, категорий и классов
земель), так и общих (усредненных для целого хозяйства или
района) показателей плановой урожайности отдельных
сельскохозяйственных культур или угодий.
К числу долгосрочных схем и проектов относятся схемы
землеустройства административных районов, генеральные схемы
использования и охраны земель субъектов Федерации,
различные землеустроительные прогнозы, проекты межхозяйственного
землеустройства долгосрочного назначения, то есть разработки,
где наряду с плановыми показателями на ближайшую перспекти-
210

ву требуется обоснованный прогноз изменения урожайности на
длительный срок (15 лет), в течение которого нельзя достаточно
достоверно определить перечень и количественное значение
отдельных факторов, влияющих на урожайность.
К краткосрочным относятся проекты перераспределения
земель и внутрихозяйственного землеустройства, разрабатываемые
на один срок, одностадийные проекты по освоению или
улучшению отдельных участков, созданию орошаемых культурных
пастбищ и т. п., то есть проекты, срок осуществления которых не
превышает 5—7 лет; в течение этого срока обычно имеется
возможность установить полный перечень и количественное
выражение всех факторов, определяющих на перспективу
урожайность отдельных культур и угодий.
Исходя из этих положений, можно определить методику
планирования урожайности, в наибольшей степени отвечающую
задачам и конечным целям проектирования.
Всю совокупность методов планирования урожайности для
целей землеустройства можно объединить в следующие группы:
экономико-статистические методы, основанные на
выравнивании рядов динамики урожайности за ряд лет без учета
изменения отдельных факторов, определяющих эту урожайность (1-я
группа);
экономико-статистические методы, основанные на
использовании производственных функций, учитывающих влияние и
динамику изменения каждого фактора, определяющего уровень
урожайности (2-я группа);
расчетно-конструктивные (аналитические) методы,
позволяющие планировать урожайность сельскохозяйственный культур с
использованием научно обоснованных нормативов прибавок
урожая в зависимости от изменения факторов интенсификации,
таких, как дозы вносимых удобрений, внедрение новых сортов и
химических средств защиты растений, новых видов
сельскохозяйственной техники и т. п. (3-я группа);
аналоговые методы, где за основу берется урожайность
сортоучастков, опытных станций и передовых хозяйств, имеющих
сходные природные и экономические условия (4-я группа);
методы экспертных оценок, позволяющие установить
планируемую урожайность на основе мнений специалистов, хорошо
разбирающихся в данном вопросе и имеющих опыт
агрономической работы (5-я группа).
При разработке землеустроительной документации, имеющей
Долгосрочный характер, используют, как правило, методы
первых двух групп, а при составлении проектов землеустройства на
краткосрочную перспективу — третьей и четвертой групп. В
любом случае их желательно дополнять методами экспертных
оценок, так как это позволяет скорректировать расчетные
показатели с учетом мнения экспертов.
211

При разработке схем и проектов землеустройства инженеры-
землеустроители предпочитают использовать всю совокупность
методов планирования урожайности, поскольку каждая группа в
отдельности имеет как положительные стороны, так и
недостатки.
Первая группа методов базируется на анализе временных рядов
урожайности и построении так называемого уравнения
временного тренда. При использовании линейной зависимости это
уравнение имеет вид
Л = а + bt,
где у, — урожайность сельскохозяйственных культур в год; t, a, b — коэффициенты
уравнения.
При этом предполагается, что выявленная за прошедший
период тенденция изменения урожайности в основном сохранится
и в будущем. Такая экстраполяция возможна в том случае, когда
нет оснований предполагать, что произойдут серьезные
качественные изменения природных или социально-экономических
условий развития сельского хозяйства.
Применение временных трендов динамики урожайности, как
показывает практика, наиболее эффективно в тех случаях, когда:
в качестве исходных данных берутся уже сглаженные
показатели урожайности (например, средние данные по урожайности
за предшествующие пятилетия, а не по отдельным годам,
планирование также осуществляется на будущее пятилетие);
анализируемая база достаточно велика и есть возможность
выявить определенную тенденцию изменения урожайности;
планирование ведется на период, не превышающий по
длительности период, за который собиралась исходная информация;
динамика урожайности положительна, то есть в исходном
периоде урожайность в целом росла, а не снижалась;
отклонения фактических данных от сглаженного тренда не
очень велики (отсутствуют аномальные значения урожайности).
Для проверки надежности полученного результата
используются различные экономико-статистические критерии: критерии
Фишера, критерий Пирсона, критерий ошибок прогноза и т.д.
(см.: Езекиел М., Фокс К. Методы анализа корреляций и
регрессий. — М.: Прогресс, 1966).
Основной недостаток данной группы методов —то, что
урожайность прогнозируется вне связи с изменением факторов, ее
определяющих.
Вторая группа методов относится к более точным. Их
появление в землеустройстве стало возможным после проведения в
стране четырех туров земельно-оценочных работ, основанных на
данных бонитировки и экономической оценке земель. В
результате этих работ сельскохозяйственным органам были переданы:
212

показатели «нормальной» урожайности сельскохозяйственных
культур, характеризующие величину урожая, которую можно
получить с той или иной почвы на фоне среднего по области (краю)
уровня интенсивности земледелия;
производственные функции (уравнения) урожайности,
полученные с помощью корреляционно-регрессионного анализа и
оценивающие влияние факторов (удобрений, качества земли и
т. д.) на величину урожая.
На основе «нормальной» урожайности рассчитывалась цена
балла — отношение урожайности к баллу той или иной
почвенной разновидности.
В том случае, когда уровень материально-технической
оснащенности и трудообеспеченности хозяйств отличался от средних
данных по области несущественно, норматив плановой
урожайности определялся по формуле
Уп = ЦпБ„,
где Уп — планируемая урожайность на почвенной разновидности, ц с 1 га; Цп —
цена балла (урожайность в расчете на 1 балл); Бп — балл бонитировки почв (или
экономической оценки земель) по данной культуре.
Далее в зависимости от состава почв на том или ином участке
или в хозяйстве вычислялось окончательное значение
урожайности конкретной сельскохозяйственной культуры (У0) в виде
средневзвешенной величины:
где Пп — площадь почвенной разновидности того или иного типа в хозяйстве (на
конкретном земельном участке, поле).
Решалась и обратная задача. Если была известна плановая
урожайность какой-то культуры в целом по хозяйству У0
(например, из материалов схемы землеустройства административного
района), то урожайность по конкретным полям (Уп)
определялась на основании следующей формулы:
Уп=Уо^,
где Б0 — балл экономической оценки земель по данной культуре в целом по хозяй-
СТВУ; Бп — то же, по конкретному полю (или почвенной разновидности).
При существенных расхождениях в уровне
материально-технической оснащенности и трудообеспеченности хозяйств результаты
оценки земель использовались для определения нормативов
плановой урожайности с использованием производственных функций.
213

Подобная задача может быть решена следующим образом.
Пусть имеется информация, характеризующая эффективность
возделывания некоторой культуры (например, сахарной свеклы)
в хозяйствах некоторой почвенно-климатической зоны страны:
У= {v/y/}, /=(?/й; у=Гй; t=lf,
где / = 0 — индекс результативного показателя (урожайность сахарной свеклы);
/= 1, 2,...,/я — индекс факторов, влияющих на него (качество почвы, осадки,
техническая оснащенность, уровень заработной платы и т. д.);у = 1, 2,...,п — индекс
хозяйства (всего, таким образом, рассматривается п хозяйств); /= 1, 2,...,Г—индекс
года.
Предположим, что на основе этой информации найдены
параметры некоторой производственной функции, показывающей
зависимость уровня урожайности у от рассматриваемых
факторов xh i=l, т. Для определенности пусть это будет линейная
функция для множественной зависимости:
т
у =я0 + 5>/*/>
/=1
где а0 и at — параметры функции (найденные, например, методом наименьших
квадратов).
Чтобы прогнозировать урожайность во взаимосвязи с
изменением факторов, надо знать динамику развития последних. С этой
целью по исходной информации V= {viJt\ для каждого фактора
определяется его временной тренд, например, линейного вида:
Xi=boi + bjt9
где b0h ?/ — параметры тренда; /—индекс года.
Пользуясь этими трендами, по каждому /-фактору
вычисляется его прогнозируемая величина на некоторый год с индексом
Г + т, где т= 1, 2... —-индекс года, следующего за последним
годом (7), по которому имеется информация для прогноза:
*/, T+T = boi + bI{T + 'z).
Для получения прогноза урожайности спрогнозированные
величины факторов подставляют в производственную функцию:
п
УТ+т=а0 + 1,а1Х1> Г+х-
/=1
Такой подход (с учетом динамики изменения факторов) более
правильно отражает действительность и дает более точный про-
214

гноз по сравнению с расчетом по временному тренду
урожайности, хотя при этом также необходимо давать оценку вероятности
(точности) конечного результата.
Третья группа методов позволяет программировать уровень
урожайности, исходя из научно обоснованных норм прибавки
урожая в зависимости от различных факторов интенсификации.
При этом предполагаются выбор наиболее эффективных
мероприятий, реальных для конкретного хозяйства, определение
объемов и очередности их проведения, исходя из имеющихся
ресурсов.
Планируемая урожайность (у) при использовании методов
данной группы определяется по следующей формуле:
т
/=1
где у0 — базисная урожайность, ц с 1 га (может быть принята равной средней
многолетней фактической);Д^/ — прибавка урожайности при осуществлении в
хозяйстве мероприятия (с индексом /), повышающего уровень интенсификации
производства.
Так, например, профессором В. А. Кудрявцевым данная
методика была применена при планировании урожайности зерновых
культур в Перевозском районе Нижегородской (Горьковской)
области в схеме землеустройства этого района. При этом
использовались данные опытной станции «Ройка» и материалы по
планированию сельского хозяйства в условиях области (табл. 35).
35. Расчет урожайности зерновых культур на земляк различных категорий с учетом
изменения факторов интенсификации
Факторы интенсификации
Количественное
изменение фактора за
планируемый период
Прирост урожайности по отдельным
категориям земель
III
IV
1. Внесение минеральных
удобрений
2. Внесение органических
удобрений
3. Известкование кислых
почв
4. Освоение севооборотов
5. Проведение
полезащитных и противоэрозионных
мероприятий
6. Внедрение новых сортов
зерновых культур
7. Применение
химических средств ухода за
растениями и их защиты
С 3,8 до 6,5 ц/га
С 3,7 до 6,0 т/га
В среднем от 1 до
5 т/га на 35 %
площадей
С 30 % площадей до
100 % площадей
Согласно схеме про-
тивоэрозионной
организации территории
На 40 % площадей
На 60 % площадей
4,0
2,5
1,5
0,5
0,6
0,4
1,5
3,6
2,2
1,3
0,4
0,6
0,3
1,2
3,0
1,8
1,1
0,3
0,8
0,2
1,0
2,3
1,5
1,0
0,4
1,1
0,2
0,8
215

Продолжение
Факторы интенсификации
Количественное
изменение фактора за
планируемый период
Прирост урожайности по отдельным
категориям земель
I
II
III
IV
Общий прирост 11,0 10,6 8,2 8,3
Исходная урожайность 17,0 15,0 10,0 6,0
Планируемая урожай- 28,0 25,6 18,2 14,3
ность
Данный метод применим лишь при краткосрочном
планировании, поскольку базируется на учете факторов, перечень и
степень влияния которых на урожайность определяются текущим
уровнем научно-технического прогресса, доступностью ресурсов
и технологий. При прогнозах на длительную перспективу такой
подход неприемлем.
Четвертая группа методов основана на применении данных
по урожайности, имеющихся на сортоучастках, в передовых
хозяйствах, опытных станциях, учебно-опытных хозяйствах, и
использовании этой информации в качестве базовой при
планировании урожайности в землеустраиваемых предприятиях.
Предполагается, что в период освоения проекта они достигнут
такого же уровня ведения сельскохозяйственного производства,
как и передовые предприятия за счет повышения культуры
земледелия, улучшения использования земли, и приблизятся к их
показателям.
Основной недостаток данной группы методов —то, что их
применение не позволяет дать количественную оценку и
экономически обосновать влияние отдельных факторов, необходимых
для достижения принятой урожайности. Отсутствует также
возможность определить наиболее целесообразные и эффективные
мероприятия по повышению урожайности конкретных массивов
земель. Реальность прогноза зависит также от сходства всего
комплекса природно-экономических условий, в которых
находятся сортоучастки или опытные станции и хозяйства или
районы, на которые распространяются данные по урожайности.
Пятая группа методов дает возможность скорректировать
найденную с использованием перечисленных выше средств
урожайность или установить ее заново на основании экспертных
оценок, даваемых специалистами в этой области (агрономами,
руководителями хозяйств и их производственных подразделений,
землеустроителями, метеорологами, научными работниками).
Специальная обработка таких оценок позволяет довольно точно
определить планируемую урожайность. Однако следует
учитывать, что все это базируется на субъективных взглядах и мнениях,
порой далеких от реальности. Поэтому экспертные оценки, как
правило, используют лишь для корректировки уже имеющихся
прогнозов, полученных расчетным способом.
216

Таким образом, ни один из рассмотренных методов в «чистом
виде» не обеспечивает получение достаточно достоверных,
полных и детальных данных, необходимых для решения задач
землеустройства, как краткосрочных, так и долгосрочных. Для
успешной работы необходимо использовать их в комплексе,
обязательно учитывая сроки проектирования.
12.2. МЕТОДИКА ПЛАНИРОВАНИЯ УРОЖАЙНОСТИ
В ПРОЕКТАХ ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА
Рассмотрим использование перечисленных выше методов на
примере разработанного с нашим участием в 1991 г. проекта
внутрихозяйственного землеустройства совхоза «40 лет Октября»
Михайловского района Рязанской области. Основными
культурами здесь являются зерновые и зернобобовые, сахарная свекла,
кукуруза на силос и зеленый корм, многолетние и однолетние
травы, картофель.
Для расчета по первому методу использовалось линейное
уравнение вида
у=а0 + а{х,
где у — урожайность сельскохозяйственных культур, ц с 1 га; х — фактор времени
(порядковый номер года); а0 и ах — коэффициенты уравнения.
Найдем по методу наименьших квадратов эти
коэффициенты. Нужно определить такие значения а0 и аи чтобы сумма
квадратов отклонений фактических данных от выровненных была
минимальной, то есть
z=(a0+alxl-yl)2+(a0+alx2-y2)2+.-Mao+a\Xn-yn)2 =
=v^+V2+...+v^= Xvy-=rnin.
Для отыскания экстремума рассчитаем частные производные:
dz п
дао j=\
dz n
—=2Yxj(ao+a\Xj-yj)-
Приравняв их к нулю, после небольших преобразований
получим два нормальных уравнения:
217

п п
™0+'Zxjai=JZyj;
j=\ j=\ j=\ J
Функция z действительно имеет минимум, так как вторые
производные больше нуля:
где п — число лет наблюдения за урожайностью.
В качестве исходной информации использовались данные по
урожайности основных сельскохозяйственных культур за 1983—
1989 гг. (табл. 36). Из них видно, что за рассматриваемый период
урожайность имела очень сильные колебания, что объясняется
погодными условиями и неэффективной системой ведения
хозяйства.
36. Динамика урожайности сельскохозяйственных культур в совхозе «40 лет Октября»
Рязанской области
Годы
Зерновые и

зернобобовые
Сахарная
свекла
Кукуруза на
силос и
зеленый корм
Однолетние
травы на
сено

Многолетние травы
на сено
Картофель*
1983 15,0 142 202 20,2 21,4 -
1984 16,5 137 318 14,7 14,6 -
1985 17,0 156 163 12,6 31,5 -
1986 16,8 139 243 9,1 41,8 -
1987 21,7 144 226 36,6 20,8 -
1988 17,5 101 187 12,4 20,6 -
1989 21,0 146 241 23,8 34,9 -
В среднем 17,9 137,8 225,7 18,5 26,5 92,5
за период
Разброс 15,0-21,7 101-156 163-318 9,1-36,6 14,6-41,8 -

урожайности
* По картофелю в хозяйстве имелись только средние данные за период 1983—
1989 гг.
Для расчета параметров уравнения (на примере зерновых и
зернобобовых культур) воспользуемся данными вспомогательной
таблицы (табл. 37). Контроль вычисления коэффициентов
проводился по формулам:
Е*2Гу-?ху1л: riLxy-ЪхЬу
A2Ex2-(Zx)2 лЕх2-(Ех)2
218

37. Расчет параметров уравнения тренда по зерновым и зернобобовым культурам
Порядковый
номер года
X
1
1
3
4
5
6
7
Годы
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
Итого
Урожайность,
цс 1 га
У
15,0
16,5
17,0
16,8
21,7
17,5
21,0
125,5
ух
15,0
33,0
51,0
67,2
108,5
105,0
147,0
526,7
X2
1
4
9
16
25
36
49
140
У
15,3
16,2
17,0
17,9
18,8
19,7
20,6
125,5
i ~i
\у-у\
0,3
0,3
0,0
1,1
2,9
2,2
0,4
7,2
1 Ч2
\у-у\
0,09
0,09
0,00
1,21
8,41
4,84
0,16
14,80
В итоге по зерновым и зернобобовым получена следующая
система нормальных уравнений:
7а0 + 28^ = 125,5;
28д0 + HOflj = 526,7.
Используем контрольные формулы для вычисления значений
а0 и ах:
_ 140-125,5-526,7-28 _ 17570-14747,6 _ 2822,4 _ллл,
а0 ~~ п 1 лс\ ло "lo лол пол ТК2 №Л>
av
7-140-28-28 980-784 196
7526,7-28125,5 3686,9-3514,0
7140-2828
196
=0,88.
* Таким образом, по зерновым и зернобобовым получим
следующее уравнение:
у= 14,4+ 0,88*.
Учитывая, что расчеты велись на 1991 — 1995 гг., а средним
годом этого периода является 1993 г. с порядковым номером 11,
планируемая урожайность зерновых и зернобобовых составила
14,4 + 0,88 -И =24,1 ц с 1га.
Аналогичные линейные уравнения были получены и для
других культур:
по сахарной свекле у = 148,1 - 2,6л:;
по кукурузе на силос и зеленый корм у = 237,4 - 2,93х;
по однолетним травам на сено у= 14,2 + 1,1*;
по многолетним травам на сено у = 20,6 + 1,5х.
Из самих уравнений видно, что их использование для
планирования урожайности весьма проблематично. Так,
урожайность сахарной свеклы, кукурузы на силос и зеленый корм
имела тенденцию к снижению, что, конечно, нельзя было
экстраполировать на будущее. А данные по многолетним и одно-
219

летним травам из-за сильных колебаний урожайности в
отдельные годы приводили к статистически недостоверным
решениям.
Тем не менее уравнения с положительной динамикой
урожайности использовались для дальнейшего анализа урожайности.
На следующем этапе статистического анализа вычислялись
доверительные границы полученных результатов с учетом
следующих рекомендаций.
1. Вероятная ошибка прогноза урожайности вычисляется
путем умножения средней ошибки соответствующего
прогнозируемого показателя на величину /-критерия Стьюдента; это
предполагает, что доверительные границы прогнозируемой
урожайности вычисляются, исходя из предположения о нормальном или
близком к нормальному распределении отклонений урожайности
в отдельные годы от уровней тренда (Юзбашев М. М.
Экспериментальная проверка закономерности распределения
отклонений урожайности отдельных лет от тренда по их величине
(алгебраической). Труды ЛСХИ. - Т. 322. -Л., 1977. - С. 3-9).
2. Средняя ошибка прогноза урожайности отдельного года
рассчитывается по методу сложения дисперсий по формуле
где /я- —ошибка тренда; Sy(tt) —отклонение уровня урожайности отдельного
года от общей тенденции (К а я к и н а М. С. Авторегрессионное
прогнозирование урожайности основных сельскохозяйственных культур в Ленинградской
области. Там же. - С. 25—32).
Значение S^t) может быть определено по формуле
Ыу-у)2
где к — число параметров тренда, не считая среднего уровня (Каякина М. С.
Статистическое изучение колебаний урожайности основных сельскохозяйственных
культур в совхозах Ленинградской области. — Записки Ленинградского СХИ. —
Т. 273, 1975. — С. 25; Венецкий И. Г., Кильдишев Г. С. Основы теории
вероятностей и математической статистики. — М.: Статистика, 1968. — С. 328—331).
3. Наиболее вероятные границы сводных результатов
прогнозирования определяются утроенной средней квадратическои
ошибкой результатов вычислений (±Зор),
где а,=х, а^-^у-.
Произведем вычисление доверительных границ.
220

Средняя ошибка соответствующего урожайности культур
прогнозируемого показателя урожайности той или иной культуры
определяется по формуле
_ Цу-у\
г=— L.
п
Для зерновых и зернобобовых культур эта ошибка равна:
_ 0,3+0,3+0,0+1,1+2,9+2,2+0,4 лм
е=— - - - - - ^—=1,03 ц с 1 га.
7
За меру точности данной величины принимают значение гу:
ё 1,03 Л0П t
У 4^ 4l
Приняв число степеней свободы равным числу пар
определений без двух, то есть v = п - 2, для v = 5 при вероятности Р= 0,95,
находим (по таблицам /-критерия) /=2,57, а при Р= 0,99 /= 4,03.
Таким образом, если учесть рекомендации М. М. Юзбашева,
доверительные границы урожайности зерновых и зернобобовых на
1991—1995 гг. будут находиться в пределах:
при вероятности 95% 24,1 ± 1,03 • 2,57, то есть от 21,4 до
26,7 ц с 1 га;
при вероятности 99% 24Д ± 1,03-4,03, то есть от 19,9 до
28,3 ц с 1 га.
Вторая из приведенных рекомендаций не позволяет выявить
четкого уравнения связи между \у-у\ и /, что не дало
возможности получить динамику Sy(ti) и произвести вычисления ту..
Если воспользоваться третьей методикой, то
ау=^0"=Д467=1,57;
'у
1 57 157
а?=^= 2^6=0,57, Зор = ±1,71цс1га.
Рассмотрим различные случаи, возникающие при
планировании урожайности предложенным методом.
1. Если имеются резкие скачки урожайности в силу стечения
особо благоприятных или особо неблагоприятных обстоятельств,
следует исключать из анализа эти годы, как нехарактерные по
условиям, а базовый период удлинить, чтобы в расчет
включались данные не менее чем за 5 лет.
221

2. Если в хозяйстве достигнут высокий и устойчивый уровень
урожайности какой-то культуры и не планируются коренные
улучшения агротехники, то плановую урожайность можно
сохранить на уровне средней фактической за последние 3—5 лет.
3. Если обнаруживается тенденция к снижению урожайности
по отдельным культурам, надо выявить причины этого и принять
меры к их устранению. Для планирования следует взять данные
из хозяйства со сходными естественными условиями, изучить
имеющийся там опыт и сделать расчет по соответствующему
материалу.
При планировании урожайности вторым методом (с
использованием производственных функций) использовались данные
экономической оценки земель сельскохозяйственных
предприятий Рязанской области. По результатам оценки были получены
следующие уравнения:
по зерновым и зернобобовым культурам:
у = - 9,972 + 0,006*! + 3,509х2 + 0,455х3 + 0,097х4 + 3,71х5,
где *i — стоимость силовых и рабочих машин на 1 га культивируемой площади,
руб.; х2 —доза вносимых органических и минеральных удобрений в расчете на 1 га
пашни, ц д. в.; дс3 — количество работников растениеводства на 100 га
культивируемой площади, чел.; х4 — совокупный почвенный балл, характеризующий качество
почв; х5 — гидротермический коэффициент за апрель—июнь;
по сахарной свекле:
у = 24,617 + 0,01 13jci + 6,001х2 + 5,77х3 + 0,142х4 + 9,24х6,
где л$ — гидротермический коэффициент за апрель—август;
по картофелю:
у= 7,203 + 0,037*! + 13,622х2 + 1,598х3 + 0,21х4 + 2,1х7,
где х7 — гидротермический коэффициент за апрель—июль;
по кукурузе на силос и зеленый корм:
у = - 77,32 + 0,119xj + 31,456x2 + 5,427х3 + 0,874х4 + 27,11х6;
по однолетним травам на сено:
у = - 13,049 + 0,032х! + 4,403х2 + 0,334х3 + 0,124х4 + 4,33х5;
по многолетним травам на сено:
>>= 2,245 + 0,035х! + 3,51х2 + 1,23х3 + 0,106х4 + 0,05х8 + 0,002х9,
где х8 — суммарное количество осадков за апрель—июль, мм; х? — количество
осадков за август, мм.
222

Коэффициенты корреляции по всем приведенным
уравнениям превышают 0,95. Это означает, что удельный вес учтенных
факторов в общей вариации урожайности сельскохозяйственных
культур превышает 90 % (0,952 > 0,9).
Планирование урожайности на 1991 —1995 гг. осуществлялось
по двум уровням. Нижний предполагал рост стоимости силовых
и рабочих машин на 1 га культивируемой площади в среднем на
10 % по сравнению с показателями, используемыми при расчете
«нормальной» урожайности, а также увеличение доз
органических и минеральных удобрений примерно в 1,5 раза, что было
возможно в совхозе «40 лет Октября» прежде всего за счет
увеличения доз вносимой органики. Другие показатели,
характеризующие природные условия (плодородие почв, гидротермические
коэффициенты по периодам, количество выпадающих осадков),
а также трудообеспеченность, были взяты без изменений на
основании средних многолетних значений.
Верхний уровень предполагал рост фондообеспеченности
хозяйства в среднем на 20 % и приближение доз вносимых
органических и минеральных удобрений к научно обоснованным
нормам, что означало примерно двукратное их увеличение.
Другие природные и экономические факторы оставались
неизменными.
Так, при планировании урожайности картофеля (верхний
уровень) использовались следующие значения факторов: х{ = 170,29 руб.
на 1 га (фонды); х2 = 7,0ц д. в. на 1 га (удобрения), в том числе
2 ц минеральных удобрений и 5 т перегноя (перевод в
действующее вещество осуществлялся через изогумусовый
коэффициент, равный 0,1); хъ = 3,31 чел. на 100 га культивируемой
площади; х4 =77 баллов (плодородие земли); х7= 1,56 —
гидротермический коэффициент за апрель—июль. Урожайность картофеля
составила:
у= 7,203 + 0,037 • 170,29 + 13,662 • 7,0 + 1,598 • 3,31 +
+ 0,21 • 77,0 + 2,1 • 1,56 = 133,6 ц с 1 га.
Результаты расчетов по всем культурам сведены в таблицу 38.
При использовании расчетно-конструктивного метода
(третьего в нашей классификации) использовалась следующая
формула:
т
где >>б —базисная урожайность (в данном случае средняя за 1983—1989 гг.); Ду,—
прибавка урожайности сельскохозяйственных культур в зависимости от внедрения
в хозяйстве того или иного фактора интенсификации; т — число факторов,
влияющих на рост урожайности.
223

38. Планируемая урожайность, рассчитанная с использованием производственных функций, ц с 1 га
to
ю
п/п
Культуры
Факторы-аргументы
фонды,
руб/га
^1

удобрения,
ц д. в/га
х2
трудовые
ресурсы, чел.
на 100 га
хз
качество
земли,
баллов
х4
ГТК
IV-V1
Х5
ГТК
IV-VHI
х*
ГТК
IV—VII
*7
осадки
IV—VII,
мм
х*
осадки
VIII,
мм
Х9
Расчетное
значение

урожайности
(у)
1 Зерновые и зернобобо-173,12 6,12
вые
2 Сахарная свекла
3 Картофель
4 Кукуруза на силос и
зеленый корм
5 Однолетние травы на 173,04 2,60
сено
6 Многолетние травы
на сено
218,7 12,30
170,29 7,0
173,12 6,12
169,79 2,4
Нормальная урожайность
1,62
1,69
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Зерновые и
зернобобовые
Сахарная свекла
Картофель
Кукуруза на силос и
зеленый корм
Однолетние травы
на сено
Многолетние травы
на сено
Зерновые и
зернобобовые
Сахарная свекла
Картофель
Кукуруза на силос и
зеленый корм
Однолетние травы на
сено
Многолетние травы
на сено
144,27
182,25
141,91
144,27
144,20
141,49
158,70
200,48
156,10
158,69
158,62
155,63
3,06
4,10
3,50
1,30
1,20
4,59
6,15
5,25
4,59
1,95
1,80
2,54
2,97
3,31
2,54
2,47
2,47
1991-1995
2,54
2,97
3,31
2,54
2,47
2,47
77
77
77
77
77
79
гг. (н
11
11
11
11
11
79
1,52
1,50
1,62
1,69
1,52
1,50
1991—1995 гг. (верхний уровень)
2,54
2,97
3,31
2,54
2,47
2,47
77
77
77
77
77
79
1,62
1,69
1,52
1,50
1,56
1,56
1,56
213,64 68,07
213,64 68,07
213,64 68,07
16,3
93,4
84,9
157,8
15,0
33,4
21,7
105,9
109,2
188,8
18,3
36,1
- 27,2
- 143,0
- 133,6
- 257,5
21,6
38,6

При определении прибавок по различным факторам
интенсификации мы руководствовались следующими положениями.
1. Рекомендуемые дозы вносимых минеральных удобрений
были приняты по данным Технического отчета по корректировке
почвенного обследования совхоза «40 лет Октября»
Михайловского района Рязанской области (Рязанский филиал Центрозе-
ма. — Рязань, 1989.— С. 48—50). Расчеты показали, что средние
по хозяйству показатели содержания фосфора составили 51—
100 мг на 1000 г почвы, калия — 121—170 мг. Исходя из этого
определялись дозы вносимых минеральных удобрений (табл. 39).
39. Основные показатели эффективности внесения минеральных удобрений
на черноземных почвах
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Культуры
Зерновые и
зернобобовые
Сахарная свекла
Картофель
Кукуруза на силос
и зеленый корм
Однолетние травы
на сено
Многолетние
травы на сено в
среднем
Принятый
уровень

урожайности, ц с 1 га
40-45
250-300
200-250
300-350
30-35
40-50
Дозы внесения минеральных
удобрений под основные
культуры, кг д.в. на 1 га
азот
85
80
75
80
35
55
фосфор
калий
всего
85 65 235
80 70 230
65 65 205
80 70 230
75 55 165
75 70 200
Прибавка
урожайности
кг на
1 кг д.в.
цс 1 га
3,5 3,1
17,4 14,6
22,7 13,4
63,3 53,2
10,9 2,1
14,4 7,8
Прибавка урожайности рассчитывалась по справочнику
«Нормы и нормативы для планирования в сельском хозяйстве.
Растениеводство». Под ред. А. И. Цевлева. — М.: Агропромиздат,
1988.-С. 8-176.
Общая прибавка урожайности за счет внесения минеральных
удобрений составляет:
Ay = AyH(Nn-N$),
где Ьун — прибавка урожайности на 1 кг действующего вещества NPK, кг; Nn и
ЛГф — соответственно планируемые и фактические дозы внесения минеральных
удобрений.
За период с 1985 по 1989 г. было внесено в среднем 146 кг д.в.
минеральных удобрений (160 + 90 + 110 + 170 + 200)/5 = 146.
2. При расчете прибавок урожайности за счет внесения
органических удобрений было принято, что средняя оплата 1 т навоза
в год его внесения на фоне применения минеральных удобрений
составляет: по зерновым 0,15ц с 1 га, по сахарной свекле 1 ц, по
картофелю 1,2 ц, по кукурузе на силос 1 ц, по многолетним и од-
225

нолетним травам на сено 0,3 ц с 1 га (Справочник по
планированию сельского хозяйства/Сост. А. Ф. Серков, А. И. Мачехин.-.
М.: Колос, 1981.-С. 108).
За 1985—1989 гг. в хозяйстве вносили в среднем 1,6 т
органических удобрений на 1 га (1,3 + 0,9 + 2,5 + 2,0 + 1,5)/5 = 1,6.
Исходя из общего выхода навоза 35 тыс. т на 1 га пашни,
может быть внесено 5,6 т, то есть прибавка урожайности по
зерновым составит [0,15(5,6 — 1,6) = 0,6 ц с 1 га]. Аналогично по
сахарной свекле получим 4 ц с 1 га, по картофелю — 4,8 ц, по кукурузе
на силос — 44 ц, по многолетним и однолетним травам на сено —
1,2 ц с 1 га.
3. Согласно данным почвенного обследования 575,8 га пашни
(8,7 %) и 69 га пастбищ имеют слабокислую реакцию (рН = 5,1—
5,5) и нуждаются в известковании дозой СаС03 в размере 5т на
1 га. Периодичность известкования на средне- и
тяжелосуглинистых почвах 7 лет. Лучшим местом внесения извести будет
паровое поле.
На полях с низким и средним содержанием фосфора при
гидролитической кислотности более 2,5 мг • экв. на 100 г почвы
эффективно фосфоритование: внесение фосфоритной муки
большими дозами в количестве 1,5—2 т на 1 га. Действие ее
проявляется 5—7 лет. Так как фосфоритование эффективно только на
кислых почвах, оно должно предшествовать известкованию.
Прибавка урожайности сельскохозяйственных культур от
известкования на слабокислых почвах принята следующей: по
зерновым и зернобобовым 0,8 ц с 1 га, по сахарной свекле 25 ц, по
картофелю 5 ц, по кукурузе на силос и зеленую массу 20 ц, по
однолетним травам на сено 2,5 ц, по многолетним травам на сено
7 ц с 1 га (Справочник по планированию сельского хозяйства /
Сост. А. Ф. Серков, А. И. Мачехин. — М.: Колос, 1981. — С. 111).
Эти данные были скорректированы на наличие в хозяйстве
слабокислых почв.
Здесь, кроме того, имеется 1869 га пахотных земель (28,4%) и
664 га пастбищ с низким и очень низким содержанием
подвижных форм фосфора, поэтому результативность фосфоритования
также корректировалась.
4. Эффективность специальных агротехнических противоэро-
зионных приемов устанавливалась по «Нормативам для эколого-
экономической оценки противоэрозионных
мероприятий»/Методические рекомендации. — Ворошиловград, 1988. — С. 13—17,
а также с учетом данных «Временной методики определения
экономической эффективности проектов внутрихозяйственного
землеустройства» (ОТ-04-81. — Киев, 1981. — С. 25), согласно
которым ориентировочная доля мероприятий в общей прибавке
урожая составляет: для специальной агротехники 25 %, для
введения севооборотов и других организационно-хозяйственных
мероприятий 7,5 %.
226

40. Расчет планируемой урожайности основных сельскохозяйственных культур по факторам интенсификации расчетно-
конструктивным методом
№
п/п
Культуры
Урожайность
базовая, в
среднем за
1983-
1984 гг.,
цс 1 га
Прибавка урожайности по факторам, ц с 1 га
внесение

минеральных

удобрений
внесение

органических

удобрений
фосфо-
ритова-
нис и

известкование
проти-
воэро-
зионная

оргтехника
введение
севооборотов
и другие


онно-хозяйственные
мероприятия

введение
новых
сортов

организация

территории

применение
новых
средств
зашиты
растений

Прибавка -
всего

Планируемая

урожайность в
1995 г.,
цс 1 га
1
2
3
4
5
6
Зерновые и
зернобобовые
Сахарная свекла
Картофель
Кукуруза на
силос и зеленый
корм
Однолетние
травы на сено
Многолетние
травы на сено
17,9
137,8
92,5
225,7
18,5
26,5
3,1
14,6
13,4
53,2
2,1
7,8
0,6
4,0
4,8
4,0
1,2
1,2
0,3
9,3
1,8
7,4
0,9
2,6
2,8
20,8
14,4
40,4
2,9
6,1
0,8
6,2
4,3
12,1
0,9
1,8
1,8
13,8
9,2
22,6
1,8
2,6
2,7
20,7
13,9
33,9
2,8
4,0
0,8
6,2
4,3
12,1
0,9
1,8
12,9
95,6
66,1
135,7
13,5
27,9
30,8
233,4
158,6
361,4
32,0
54,4
-^

К)
to
00
41. Возможные урожаи полевых культур при 3 % использования ФАР
Культуры
Приход ФАР,
млн ккал на 1 га
(<2)
Аккумулировано
в урожае при
КПД ФАР 3 %,
млн ккал
Калорийность
урожая, ккал
на 1 кг
(?)
Возможный урожай,
цс 1 га
абсолютно
сухой
биомассы
при
влажности
14%
Соотношение
массы зерна и
соломы (клубней
и ботвы)
Урожай зерна,
сена,
корнеклубнеплодов,
цс 1 га
Озимая пшеница
Ячмень
Овес
Картофель
Свекла кормовая
Кукуруза (силос)
Однолетние травы
(зеленая масса)
Многолетние травы
(сено)
2393
2242
2341
2556
2918
1792
1773
71,8
67,3
70,2
76,7
87,5
53,8
53,2
4554
4520
4393
4382
3845
4200
4891
158
149
159
175
228
128
109
184
173
185
—
—
—
—
1
1
1
1
1
1,5
1,1
1,3
0,7
0,4
—
—
73,5
81,4
80,4
500
815
427
310
1594
47,8
4500
106
126
42. Сводные данные по планированию урожайности в совхозе «40 лет Октября»
п/п
Культуры
1 Зерновые и
зернобобовые
2 Сахарная свекла
3 Картофель
4 Кукуруза на
силос и зеленый
корм
5 Однолетние
травы на сено
6 Многолетние
травы на сено
Фактическая
урожайность
по отчету за
1983-
1989 гг.,
цс 1 га
17,9
137,8
92,5
225,7
18,5
26,5
Планируемая урожайность, ц с
с
использованием

уравнения тренда
по

производственным
функциям
19,9-28,3 21,7-27,2
- 106-143
- 109-134
- 189-258
26,3 18,3-21,6
37,1 36,1-38,6
расчетно-
конструк-
тивным
методом
30,8
233
159
361
32,0
54,4
по данным
передовых
хозяйств и
опытных
станций
40
250
200
300
35,0
50,0
1 га

экспертная
оценка
27,5
150
150
250
25,0
30,0

биологически
возможная
в условиях
хозяйства*
73,5
815
500
427
77
126
Окончательно

запланированная на 1991—
1995 гг. в
проекте
землеустройства,
цс 1 га
25,0
150
120
250
20,0
30,0
Фактическая
урожайность в
хозяйстве в
1991-1995 гг.,
цс 1 га
22,4
127
109
211
19,2
25,4

5. Согласно примерной схеме расчетов роста урожайности
сельскохозяйственных культур посев новыми сортами и
улучшение условий семеноводства дают прибавку в среднем на 10 % по
сравнению с базовой урожайностью, а другие мероприятия
(включая средства защиты растений) — примерно 8 % от общего
прироста урожайности (Справочник по планированию сельского
хозяйства / Сост. А. Ф. Серков, А. И. Мачехин. — М.: Колос,
1981.-С.21).
По нашим данным, за счет правильной организации
территории, дифференцированного размещения культур с учетом
плодородия отдельных частей территории можно также получить
дополнительно примерно 15 % от базовой урожайности.
Таким образом, если в совхозе будут выполнены все
намеченные мероприятия, то урожайность основных
сельскохозяйственных культур на планируемый период достигнет следующих
величин: зерновых и зернобобовых культур 30,8 ц с 1 га, сахарной
свеклы 233,4 ц, картофеля 158,6 ц, кукурузы на силос и зеленый
корм 361,4 ц, однолетних трав на сено 32,0 ц, многолетних трав
на сено 54,5 ц с 1 га (табл. 40).
В ряде случаев для контроля вычислений и предупреждения
ошибок, выходящих за рамки допустимых, при планировании
рассчитывают биологически возможную урожайность
сельскохозяйственных культур. Она может быть определена по следующей
формуле:
Убиол Шд,
где Q — величина фотосинтетически активной радиации (ФАР) за период
вегетации (ккал/га); А'—коэффициент усвоения ФАР посевами, %; ? —калорийность
единицы урожая биомассы (ккал/кг).
Нами для расчета >>биол использовались данные «Справочника
агронома Нечерноземной зоны», 2-е изд. — Под. ред. Г. В.
Гуляева. — М.: Колос, 1980.— С. 139. Результаты приведены в
таблице 41; из них видно, что в случае использования всех резервов
научно-технического прогресса можно приблизиться к
потенциальной биологически возможной урожайности, которая в данном
хозяйстве в 4—6 раз превышает фактически достигнутый уровень.
Сводные показатели по планированию урожайности в совхозе,
дополненные данными передовых хозяйств Михайловского
района Рязанской области, близлежащей опытной станции,
госсортоучастка, а также экспертными оценками специалистов', приведе-
1 Методика экономических исследований в агропромышленном производстве/
Под ред. В. Р. Боева. — М.: ВНИИЭСХ, 1995. — С. 64—65. При проведении
землеустроительных исследований целесообразно использовать также книгу: Синде-
евВ.А. Методы и модели прогнозов использования земельных ресурсов. — М.:
Изд-во стандартов, 1990. — С. 22—36.
229

ны в таблице 42. Нетрудно заметить, что разные методы
планирования дали различные результаты. Более или менее
сопоставимы показатели, полученные с использованием уравнений тренда,
производственных функций и метода экспертных оценок.
Следует также учитывать, что показатели, полученные расчет-
но-конструктивным методом, не могли быть достигнуты в
условиях крайне нестабильной экономической ситуации 1991—1995 гг.
Тем не менее сравнение данных окончательного прогноза
урожайности, заложенного в проект землеустройства, с фактически
полученными результатами показало, что ошибка находилась в
пределах от 4,2 % (однолетние травы) до 18,5 % (кукуруза на силос
и зеленый корм). Фактические показатели по всем культурам
попали в доверительные границы производственных функций
(кроме урожайности многолетних трав). Таким образом,
рассмотренные методы можно рекомендовать при планировании
урожайности сельскохозяйственных культур в проектах землеустройства.
12.3. ПЛАНИРОВАНИЕ УРОЖАЙНОСТИ С ПОМОЩЬЮ
ФАКТОРНО-ВРЕМЕННЫХ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
Практика планирования урожайности (у) с использованием
регрессионных моделей вида
у=ЛхьХЪ...,хп),
где дсь х2,...,хп — факторы производства,
показала, что данные модели не в полной мере учитывают
фактор времени. Это объясняется тем, что коэффициенты регрессии
в этих моделях являются величинами постоянными,
построенными на информации, содержащей сведения о связях между
урожайностью и факторами, влияющими на нее, сложившимися к
определенному времени, и не показывают эффективности
изменения ни прошлых взаимосвязей, ни тех, которые появятся в
будущем. Поэтому для прогнозирования урожайности лучше
использовать факторно-временные модели вида
y=(XuX2i...,Xn; иии2,...,ия)9
где у — результативный показатель; X— факторы, влияющие на результативный
показатель; ыь...,*/„ — некоторые функции времени.
Впервые при планировании урожайности
сельскохозяйственных культур для целей землеустройства данные модели были
применены при разработке генеральных схем использования и
охраны земель В. П. Подтележниковым из Воронежского СХИ
(Заплетин В. Я., Подтележников В. П. Производственные
функции и их применение в землеустройстве. Учебное пособие. — Во-
230

ронеж, 1981. — С. 26—31; Курносов А. П., Подтележников В. П.
Оптимальное планирование внутриобластного развития,
размещения, специализации и концентрации с.-х. производства.
Учебное пособие. — Воронеж, 1983.— С. 43—48; Заплетин В.Я.,
Подтележников В. П., Лунев А. Г., Загороднев В. А. Математические
методы прогнозирования использования земельных ресурсов.
Лекция. Воронеж, 1985. — С. 3—11).
Практические расчеты по таким моделям можно производить
следующим образом. Пусть имеются данные об урожайности и
факторах, на нее влияющих, за т лет. Для этих лет можно
подсчитать среднюю величину урожайности и факторов. Вычислив
значения средних для первых т лет, перейдем к расчету средних
для периода [2,..., т+ 1], затем для периода [3,..., /и+ 2] и т.д.
Таким образом, интервал, для которого подсчитываются
средние, как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным
единице.
Если взять нечетное число лет (В. П. Подтележников
рекомендует поступать именно так, поскольку в этом случае
расчетное значение урожайности и факторов окажется в центре
интервала сглаживания и его легко заменить фактическими
значениями), то для определения, например, скользящей средней
урожайности на момент времени / можно записать следующую формулу:
t+p t+p
у _i=t-p _i=t + p
' 2р+\ т '
где J/ —значение скользящей средней для момента времени / (/= 1,...,я); Yj —
фактическое значение урожайности в момент времени /; / — порядковый номер
года в интервале сглаживания.
Величина р легко определяется из продолжительности
интервала сглаживания. Поскольку т = 2р + 1 при нечетном т, то
Для расчета скользящей средней по большому отрезку
времени можно использовать рекурсивные соотношения
y_Y Yt+p-Yt-(P+l)
Y'-Y'-l+ JfTi •
Вычислив средние, можно рассчитать для каждого года
соответствующее уравнение регрессии, характеризующее
зависимость урожайности от факторов интенсификации. В результате
231

получим систему из к уравнений вида
Таким образом, для каждого фактора X будем иметь к
коэффициентов ah которые могут быть представлены в виде
некоторой функции времени а, = u(t); параметры последней можно
найти путем выравнивания по способу наименьших квадратов. В
результате производственная функция на момент времени / будет
иметь вид
Yt = (х\, х2,...,хл; щ, иь и2,...,ип).
Расчет уравнения регрессии для отдельных периодов, по
мнению В. П. Подтележникова, позволяет в какой-то степени
исключить влияние случайных и периодических колебаний (в
частности, колебаний погодных условий) и тем самым выделить
основную тенденцию изменения урожайности только под
действием факторов интенсификации, которые можно планировать на
перспективу с достаточной степенью точности. При этом
необходимо учитывать, что чем продолжительнее интервал
сглаживания, тем сильнее усреднение и тем в большей мере взаимно
погашаются случайные колебания. Соответственно тенденция
изменения урожайности получается значительно более плавной,
чем по обычному временному ряду. Если урожайность имеет
периодические колебания с жесткой продолжительностью цикла,
то они полностью устраняются с помощью скользящих средних
при интервале сглаживания, равном или кратном этому циклу.
При планировании урожайности необходимо также знать
значения факторов интенсификации, которые могут быть
достигнуты хозяйствами в перспективе. Часть показателей берется из
бизнес-планов сельскохозяйственных предприятий или планов их
социально-экономического развития. Значения же показателей,
которые нельзя непосредственно исчислять из задаваемых,
можно рассчитать по парным и множественным уравнениям связи
между отдельными факторами.
В качестве примера рассмотрим методику планирования
урожайности яровой пшеницы в Липецкой области (исходные
данные были собраны В. П. Подтел ежниковым за период в 11 лет). В
качестве факторов после предварительного качественного и
количественного анализа были отобраны:
хх — качественная оценка пашни в баллах;
х2 — затраты труда на 1 ц продукции, чел.-ч;
х3 —стоимость удобрений, внесенных на 1 га посевов, руб.;
х4 — стоимость основных средств растениеводства на 100 га
пашни, тыс. руб.;
х5 — выработка на 1 комбайн за сезон, га;
232

*6 — количество зерновых комбайнов на 100 га посевов
зерновых;
х7 — оплата 1 чел.-ч при возделывании данной культуры, руб.
В результате расчетов на ЭВМ по выделенным периодам
(т = 5) были получены следующие уравнения регрессии,
характеризующие связь урожайности яровой пшеницы с отобранными
факторами:
У, = 10,512 + 0,011х, + 3,645*2 + 0,381х3 + 0,012х4 + 0,009х5 +
+ 0,176х6 + 0,235х7;
У2 = 8,132 + 0,041х[ + 10,241х2 + 0,598х3 + 0,01бх4 + 0,010х5 +
+0,235х6 + 0,457х7;
У3 = 4,320 + 0,030xi + 12,703х2 + 0,561х3 + 0,011х4 + 0,017х5 +
+ 0,260х6 + 0,984х7;
У4 = 1,530 + 0,059х, + 12,703х2 + 0,782х3 + 0,017х4 + 0,021х5 +
+ 0,327х6+1,235х7;
У5 = -1,321 + 0,064х, + 11,954х2 + 0,796х3 + 0,032х4 +
+ 0,029х5 + 0,335х6 + 1,511х7;
У6 = -4,766 + 0,060х( + 11,183х2 + 0,762х3 + 0,03 Зх4 +
+ 0,038х5 + 0,587x6 + 1,732х7;
У7 = -6,460 + 0,063х! + 12,307х2 + 0,834х3 + 0,031х4 +
+ 0,040х5 + 0,678x6 + 1,817x7.
Из полученных уравнений видно, что коэффициенты
регрессии одного и того же фактора по периодам различны, то есть
степень их влияния на урожайность меняется. Для выявления
тенденции изменения эффективности влияния факторов на
урожайность коэффициенты по каждому фактору выравнивают методом
наименьших квадратов по уравнению прямой. В результате для
каждого факторного показателя были получены уравнения
регрессии:
У, = 13,490 - 2,946/; У2 = 0,002 - 0,010/;
У3 = 6,804 - 0,969/; У4 = 0,399 - 0,069/;
У5 = 0,006 - 0,004/; У6 = 0,008 - 0,004/;
У7 = 0,046 - 0,081/; У8 = 0,035 - 0,276/.
С учетом выравненных значений коэффициентов регрессии
получим производственную функцию для расчета плановой
урожайности на момент времени t
У= (13,490 - 2,946/) + (0,002 - 0,010/)х, + (6,804 + 0,969/)х2 +
+ (0,399 + 0,069/)х3 + (0,006 + 0,004/)х4 + (0,008 + 0,004/)х5 +
+ (0,046 + 0,081/)х6 + (0,035 + 0,276/)х7.
233

Примерно такие же результаты дает методика
авторегрессионного прогнозирования урожайности, разработанная в
Ленинградском СХИ (Рудакова Р. П. Методика авторегрессионного
прогнозирования (на примере урожайности зерновых культур в
Ленинградской области). Научные труды ЛСХИ. — Л.; Пушкин,
1976.-Т. 301.-С. 54-60).
Необходимо отметить, что расчет урожайности на
перспективу на основе факторно-временных корреляционных моделей
позволяет учесть не только плановое изменение величины
факторов интенсификации, но и изменение эффективности влияния
отдельных факторов и их совокупности. Тем самым появляется
возможность ежегодно достаточно быстро и точно
корректировать прогноз урожайности на расчетный срок, при этом по мере
приближения к нему прогноз будет все более точным.
Контрольные вопросы и задания
1. В чем состоит значение показателя плановой урожайности для разработки
схем и проектов землеустройства?
2. На какие группы можно разделить всю совокупность методов планирования
урожайности?
3. Назовите преимущества и недостатки каждой группы методов.
4. Что такое «нормальная» урожайность и как построить производственную
функцию для ее определения?
5. Как определить планируемую урожайность с помощью цены балла и
дифференцировать ее по участкам различного плодородия?
6. Что является ценой балла в приведенных выше производственных функциях
по совхозу «40 лет Октября»?
7. Как определить доверительные границы (интервалы) планируемой
урожайности?
8. Дайте определение понятий «тренд», «экстраполяция», «ошибка прогноза».
9. В чем состоит основная идея планирования урожайности расчетно-конструк-
тивным методом?
10. В каком случае можно применять для планирования урожайности
временный тренд? Как можно повысить точность прогноза?
11. Что представляет собой факторно-временная корреляционная модель?
Каковы ее преимущества по сравнению со статическими моделями?
12. Опишите методику планирования урожайности с использованием
факторно-временных производственных функций.
Глава 13
РАЗРАБОТКА ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫХ НОРМАТИВОВ И
РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
13.1. РАСЧЕТ УДЕЛЬНЫХ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ
РАЗМЕЩЕНИЯ ОБЪЕКТОВ СТРОИТЕЛЬСТВА
При составлении проектов землеустройства часто возникает
необходимость обосновать различные варианты
территориального размещения объектов строительства (населенных пунктов и
234

производственных центров — бригадных и общехозяйственных
дворов, токов, элеваторов, животноводческих ферм). Выбор
наилучшего варианта при этом возможен на стадии
предварительного (эскизного) проектного решения при проведении
укрупненных расчетов с использованием различных нормативов.
При осуществлении таких расчетов объем капитальных
вложений на строительство объектов, как правило, выражают
линейной функцией вида
у=а0+а{х,
где у — суммарные затраты капитального характера на строительство объектов,
руб.; х — размер объекта, единиц; а0у а\ — коэффициенты уравнения.
Размер объекта может выражаться в различных единицах
измерения: по населенным пунктам — численность жителей; по
животноводческим фермам — основное поголовье скота (птицы);
по гаражам — количество автомобилей; по хранилищам — объем
хранимой продукции; по объектам освоения земель и
мелиорации — площадь, на которой проводятся работы, и т. д.
Удельные капиталовложения (капитальные затраты в расчете
на указанную единицу измерения) выражаются
производственной функцией, имеющей вид гиперболы, что нетрудно понять,
разделив общие затраты (у) на величину объекта (х):
У_аъ+а\х а0
— -ах + —.
XX X
Таким образом, чем больше размер объекта, тем меньше
удельные капитальные затраты. Так, например,
Н.А.Кузнецовым суммарные затраты на строительство поселков (жилищное,
культурно-бытовое строительство, создание инженерных сетей и
благоустройство) предлагалось определять, исходя из
следующего линейного соотношения:
Л = 481,2 + 9,4ЛГ,
где А — затраты на строительство поселка в ценах 1981 г., тыс. руб.; N— число
жителей (500 < N< 5000).
В этом случае удельные капиталовложения на строительство
поселка равны:
Л _481,2 9,4ЛГ_481,2
N" N N " N *'
В практике землеустройства аналогичные данные получают
путем экономико-статистической обработки стоимости
строительства по типовым проектам или реальным (уже построенным)
объектам.
235

Методика расчетов с использованием уравнения гиперболы
показана на конкретном примере в таблице 43.
43. Зависимость между размерами молочной фермы и удельными капиталовложениями
Размер
фермы, голов
Удельные

капиталовложения, руб.
Су)
Размер фермы,
сотен голов
(х)
Расчетное
значение
У
200
400
600
800
1000
1200
1600
5800
2423
2123
1940
1820
1716
1673
1335
13030
2
4
6
8
10
12
16
58
0,5000
0,2500
0,1666
0,1250
0,1000
0,0833
0,0625
1,2874
0,2500
0,0325
0,0277
0,0156
0,0100
0,0069
0,0039
0,3766
1211,5
530,7
323,3
227,5
171,6
139,4
83,4
2687,4
2519,3
1999,0
1825,5
1738,8
1686,8
1652,1
1608,7
13030,2
Система нормальных уравнений имеет вид:
'7иь+1,2874^=13030;
1,2874^+0,3766^=2687,4.
Ее решение дает лх = 2081,3, а л0 = 1478,68. Таким образом,
уравнение регрессии выглядит так (перейти к исчислению в
головах, а не в сотнях голов):
у=1478,68+208130,8; 200<х<1600.
Тесноту криволинейной связи можно определить, вычислив
корреляционное отношение (индекс корреляции) по формуле
С? \2
где а
2_J_
Ш-yf Ш-yj)
«2_ J
i ир
п г п
Здесьyj; — фактическое значение зависимой переменной; У} —значение
зависимой переменной, рассчитанное по уравнению; у — среднее значение зависимой
переменной.
Расчеты показывают, что а2 =103 636, ор =17222,07, R = 0,91.
Таким образом, уравнение в высокой степени соответствует
изучаемому процессу.
236

Для малых выборок статистическая надежность
корреляционного отношения (индекса корреляции) определяется по формуле
Gp =
\-R2
где п — число наблюдений (измерений).
Если | R | > 3oR, то полученная связь и уравнение считаются
надежными («правило трех сигм»). В нашем случае:
а^ = 1-0^34 = 0^166 =0>074? ЗаЛ = 0,222, R = 0,91 > 0,222, что гово-
^5 2,236
рит о надежности выявленной связи.
При составлении проектов землеустройства указанные
зависимости могут быть использованы при оценке различных
вариантов размещения ферм по территории сельскохозяйственного
предприятия, когда концентрация поголовья скота, с одной
стороны, позволяет снизить капитальные затраты на строительство,
амортизационные и эксплуатационные расходы, с другой
стороны, приводит к увеличению транспортных затрат на перевозку
грузов. Сопоставление этих величин позволяет выбрать
наилучшее проектное землеустроительное решение.
13.2. ОЦЕНКА РАЗМЕЩЕНИЯ ПОЛЕЙ СЕВООБОРОТОВ
ПО УСЛОВИЯМ КОНФИГУРАЦИИ
Конфигурация полей севооборотов и рабочих участков
влияет на производительность сельскохозяйственной техники.
Практика показывает, что чем больше длина гона (основной
показатель, характеризующий конфигурацию полей) на полях
правильной формы, тем меньше затраты на холостые повороты
и заезды сельскохозяйственной техники, выше
производительность труда при проведении полевых работ. Исследования
показывают, что зависимость между затратами на холостые
повороты и заезды техники от длины гона (х) выражается
уравнением гиперболы.
Расчет параметров уравнения приведен в таблице 44.
Используя эти данные, построим следующую систему нормальных
уравнений:
12^+30,4574^=149,900;
30,457я0 +155,668^ =674,117.
237

44. Расчет параметров уравнения гиперболы
N9
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
I
Процент потерь на холостые повороты
и заезды у}
38,4
24,0
17,6
13,7
и,з
9,6
8,4
7,4
6,6
5,8
4,0
3,1
149,9
Длина
гона, км
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,5
2,0
9,0
1
XJ
10,000
5,000
3,333
2,500
2,000
1,667
1,429
1,250
1,111
1,000
0,667
0,500
30,457
1
IL
XJ
100,00 384,000
25,000 120,000
11,109 58,667
6,250 34,250
4,000 22,600
2,778 16,000
2,040 12,000
1,562 9,250
1,234 7,333
1,000 5,800
0,445 2,667
0,250 1,550
155,668 674,117
yj
40,6
21,7
15,5
12,4
10,5
9,2
8,3
7,6
7,1
6,7
5,5
4,8
149,9
Ее решение дает а{ = 3,747, а0 = 2,982.
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид
3 747
х
Для оценки степени соответствия полученного уравнения
фактическим данным вычислим значение корреляционного
отношения (К) по приведенной выше формуле; соответствующие
данные представлены в таблице 45.
45. Данные для расчета корреляционного отношения
№
п/п
yj
1 38,4
2 24,0
3 17,6
4 13,7
5 11,3
6 9,6
7 8,4
8 7,4
9 6,6
10 5,8
11 4,0
12 3,1
S 149,9
п
олучаем:
У]
40,452
21,717
15,472
12,350
10,476
9,227
8,335
7,666
7,145
6,729
5,480
4,856
149,905
у ГУ j
-2,052
2,283
2,128
1,350
0,824
0,373
0,065
-0,266
-0,545
-0,929
-1,480
-1,756
0,000
(yj-yj)2
4,211
5,512
4,528
1,822
0,679
0,139
0,004
0,071
0,297
0,863
2,190
3,084
23,400
У ГУ
25,908
11,508
5,108
1,208
-1,192
-2,892
-4,092
-5,092
-5,892
-6,692
-8,492
-9,392
0,000
{у ГУ)2
671,224
132,434
26,092
1,459
1,421
8,364
16,744
25,928
34,716
44,783
72,114
88,210
1123,489
п 12 и п 12
238

Таким образом, линия регрессии очень точно соответствует
фактическим показателям.
Определим статистическую надежность (oR) полученного
корреляционного отношения по формуле для малых выборок:
1-Я2 1-0,98 ПЛП.
cR = . =—р=-=0,006.
Критерий «трех сигм» | R | > 3gr в данном случае
выдерживается (0,99 > 0,018), что говорит о существенности связи между
показателями уих.
Рассмотрим практический пример использования
полученного уравнения связи. По первому варианту проекта
землеустройства на площади севооборота 1000 га (S= 1000 га) запроектировано
50 рабочих участков со средней длиной гона 500 м (хх = 0,5 км).
Тогда потери на холостые повороты и заезды тракторных
агрегатов на пахоте будут равны:
>>1=2,98+^у=10,5%.
По второму варианту на этой же площади запроектировано 25
рабочих участков со средней длиной гона 1000 м (х2= 1,0 км), а
потери составят:
Уг =2,98+^=6,7%.
Экономия затрат на холостые повороты и заезды
сельскохозяйственной техники в стоимостном выражении вычисляют по
формуле
Э = 0,01Ау5Сп,
где Сп — стоимость 1 га пахоты, руб.
Приняв Сп = 50 руб. на 1 га и 5= 1000, получим Э = 0,01(10,5 -
-6,7)1000-50= 1900 руб.
Если учесть, что при возделывании зерновых культур
выполняется 10 видов механизированных работ (пахота, сев, уборка и
т. п.), общая экономия по второму варианту за счет только
увеличения длины гона составит около 19 тыс. руб.
239

13.3. ОЦЕНКА РАЗМЕЩЕНИЯ ПОЛЕЙ И РАБОЧИХ УЧАСТКОВ
С УЧЕТОМ МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТАВА ПОЧВ
Механический состав почв существенно влияет на
сопротивление, которое она оказывает сельскохозяйственным орудиям
при различных видах обработки полей, а стало быть, и на
производительность тракторных агрегатов. Поэтому важное значение
приобретает показатель удельного сопротивления почв,
измеряемый в килограммах тягового усилия, приходящегося на 1 см2
пласта. В зависимости от него устанавливают нормы выработки
агрегатов и нормативы расхода топлива на обработку. Типичные
величины удельного сопротивления показаны в таблице 46.
46. Влияние механического состава почв на величину удельного сопротивления, кг/см2
Тип почв
Удельное сопротивление
плугов
Среднее удельное
сопротивление
Песчаные 0,25—0,30 0,28
Супесчаные 0,30—0,45 0,37
Легкосуглинистые 0,45—0,55 0,50
Суглинистые 0,55—0,65 0,60
Тяжелосуглинистые 0,65—0,80 0,72
Глинистые 0,80-0,95 0,88
Так, выработка тракторов К-700, К-701 на пахоте с плугом
ПН-8-35 со стандартными корпусами при длине гона свыше
1000 м составляет при глубине вспашки 20—22 см на
легкосуглинистых почвах 11,7 га в смену при рабочей скорости 6,73 км/ч и
коэффициенте загрузки трактора по тяговой мощности 0,74. На
тяжелосуглинистых почвах производительность падает до 8,9 га в
смену, рабочая скорость —до 5,82 км/ч, а коэффициент загрузки
трактора по тяговой мощности увеличивается до 0,93, что
приводит к повышению расхода топлива с 15,4 кг на 1 га в первом
случае до 21,6 кг на 1 га во втором. Кроме того, из-за роста тягового
усилия число стандартных корпусов плуга на тяжелых почвах
сокращается с 8 до 7.
По данным В. Я. Заплетина, включение в одно поле
(обрабатываемый участок) почв с различным механическим составом (а
следовательно, и с различным удельным сопротивлением)
создает неодинаковые условия для работы тракторных агрегатов на
отдельных его частях. Поскольку обычно обработка ведется по
всему полю в целом, комплектование агрегата производится с
учетом возможности его работы на почвах с более высоким
удельным сопротивлением, что, естественно, снижает
производительность на той части поля, где удельное сопротивление почв
меньше. Возможное маневрирование передачами трактора дает
некоторый эффект, однако не компенсирует общее снижение
производительности. Поэтому повышение коэффициента ис-
240

пользования тягового усилия трактора в агрегате (отношение
тягового сопротивления агрегата к тяговому усилию трактора)
может быть осуществлено путем правильного размещения полей и
отдельно обрабатываемых участков, а также путем наиболее
рационального расположения загонок.
С этой целью поля севооборота следует проектировать из
агротехнически однородных участков с мало отличающимися
динамическими свойствами почв. Если другие условия не
позволяют это сделать, необходимо в пределах полей выделять рабочие
участки с таким расчетом, чтобы тракторные агрегаты могли
обрабатывать эти земли с минимальными потерями отдельно от
остальной части поля. Такое решение, как правило, хорошо
увязывается с возможностью проведения дифференцированной
обработки в соответствии с механическим составом и другими
природными особенностями почв данного поля.
Исследовав данный вопрос, В. Я. Заплетин предложил
использовать для оценки влияния удельного сопротивления почв
на производительность тракторных агрегатов производственную
функцию степенного вида
У=%*ах,
где у — снижение производительности тракторных агрегатов на пахоте по
сравнению с эталонными условиями, %; jc —удельное сопротивление почв сверх
нормативного уровня (30 кг/см2).
Обработав имевшиеся данные, В. Я. Заплетин получил
следующую производственную функцию:
у = 0,027'х2 при 10<х<40.
Например, при х= 10 (удельное сопротивление почвы
0,40 кг/см2), расчетное значение снижения производительности
составит: у =2,7%. При плотности тракторных работ 0 = 4 га
условной пахоты и нормативной стоимости 1 усл. га S= 4,5 руб.
увеличение стоимости вспашки полей, состоящих из почв с разными
динамическими свойствами, в расчете на 1 га пашни составит:
у = 0,027[(100х1 - 30)2 - (100х2 - 30)2]QS,
а на всю площадь с наиболее низким удельным
сопротивлением (Р):
у = 0,0271(100*! - 30)2 - (100х2 - 30)2] QSP.
Скажем, если общая площадь поля составляет 100 га, земли
легкого механического состава занимают 80 га (х = 0,1), а земли
более тяжелого механического состава — 20 га (х = 0,2), то общий
241

рост затрат (связанный с тем, что агрегат будет комплектоваться
с учетом обработки более тяжелых по механическому составу
почв) на землях с легким механическим составом будет равен:
у = 0,027 • 4 • 4,5 • 80[(20)2 - (10)2] = 11 664» 12 тыс. руб.
13.4. ОЦЕНКА ВАРИАНТОВ РАЗМЕЩЕНИЯ
ПОЛЕЗАЩИТНЫХ ЛЕСНЫХ ПОЛОС
Создание системы защитных лесополос предусматривается во
многих проектах землеустройства с целью снижения ущерба от
засухи, водной и ветровой эрозии, повышения урожайности
сельскохозяйственных культур. Учитываются также прирост
древесины, возможность сбора плодов, ягод, грибов, заготовки
семян для новых лесопосадок.
Экономическая эффективность лесных полос зависит от
многих факторов, основные из которых — их высота, конструкция,
размер межполосного пространства, расположение относительно
вредоносных суховейных ветров, пыльных бурь и склонов.
Действие указанных факторов изменяется в зависимости от почвен-
но-климатических условий, а также уровня агротехники.
Возможны также отрицательные последствия — теневое угнетение
посевов на землях, непосредственно примыкающих к
лесополосам, недобор сельскохозяйственной продукции из-за отвода
площадей под них, большие затраты на их выращивание,
дополнительные потери на холостые повороты тракторных агрегатов,
производственные затраты на сбор, обработку и
транспортировку дополнительной продукции и некоторые другие.
Экономическая эффективность лесополос определяется
сроком окупаемости капиталовложений, затрачиваемых на их
создание. Проще всего рассчитать его путем деления капитальных
затрат на ежегодный прирост чистого дохода, определенный с
учетом положительного и отрицательного влияния лесополос.
При этом в первые годы обычно неизбежны убытки, а
положительное влияние лесополос ощутимо сказывается лишь
впоследствии. В конечном счете прибыль начинает расти,
приближаясь к некоторому постоянному значению, и затем фиксируется
на этом уровне.
Скорость роста прибыли пропорциональна разности между
текущим ее значением и асимптотой (предельным значением).
Сначала прибыль возрастает быстро, так как утраченный доход с
площади, занятой лесополосой, необходимой для защиты 1 га,
быстро уменьшается в связи с ее ростом в высоту, но, по мере
того как достигается расчетная высота лесополосы, уменьшается
и скорость роста чистого дохода.
Специальное исследование показало, что такая закономер-
242

ность может быть описана дифференциальным уравнением
где у — чистый доход от агроклиматического воздействия полезащитных
лесополос; х— высота или возраст лесополосы (что равнозначно, так как эти показатели
находятся между собой в функциональной связи); а0 — максимальное значение
чистого дохода, получаемого за счет агроклиматического воздействия лесополос в
расчете на 1 га защищаемой площади (данное значение выступает в виде
асимптоты—ограничивающей линии, к которой стремится величина х)\ а2 — расчетный
коэффициент уравнения, определяющий темп изменения чистого дохода.
Приведенное уравнение показывает, что скорость роста
чистого дохода пропорциональна разности между его максимальным
и текущим значением. Интегрируя его, получим:
J——=ja2dx; -1п(а0-у)=а2х+аь
а0-у
где а\ — постоянная величина, характеризующая сумму прироста чистого дохода в
зависимости от высоты и возраста лесополосы.
Переходя к десятичным логарифмам, получим окончательное
уравнение для чистого дохода:
у=а0-а{Л0-^х.
В землеустроительной литературе данное выражение
называется уравнением асимптотического роста (В. Я. Заплетин,
В. П. Подтележников. Производственные функции и их
применение в землеустройстве / Учебное пособие. — Воронежский СХИ,
1981.-С. 54).
Рассмотрим конкретный пример. Предел, к которому
стремится у, для условий центрально-черноземных областей может
быть принят равным (по данным В. Я. Заплетина) 30 усл. ед.
(а0 = 30). Значение ах представляет собой потерянный чистый
доход при х= 0 (то есть при отсутствии лесополосы). Очевидно, что
потерянный чистый доход стремится в этом случае к предельной
величине, то есть -30=30-^ 10~fl2°, откуда ах = 60.
Значение коэффициента а2 рассчитывается по формулам
а2=— -, d=a0-y,
п
где п — число рядов или количество значений х
243

Для вычисления значений коэффициента а2 строится
вспомогательная таблица (табл. 47).
47. Расчет значений коэффициента 02
Возраст
лесополос, лет
X
1
2
3
Чистый доход,
усл. ед.
У
-30
-14
+8
d=aQ-y
60
44
22
\gd
1,778
1,664
1,342
\ga0-\gd
0,000
0,134
0,436
X
0,134
0,218
Используя полученные данные, находим:
1,775 П1..
а2 =^-=0,145.
Окончательно уравнение асимптотического роста примет вид
у = 30 -60- 10-°>145*,
где у — чистый доход от агроклиматического воздействия лесополос; х— их возраст
при условленной ширине.
Производственные функции данного вида использовались
С. Н. Волковым и В. В. Никитиным для оценки вариантов
размещения лесных полезащитных полос в условиях центральных
районов европейской части страны. Величина чистого дохода,
полученного за счет агроклиматического влияния лесополос с учетом
угла подхода господствующих ветров и теневого угнетения
посевов, определялась по следующим формулам:
при ширине лесополосы 7,5 м:
у=4Щ50/-102-°'173Л)|ы;
при ширине лесополосы 12 м:
у=4ЛД50/-102-°'146Л)ц;
при ширине лесополосы 15 м:
у=3,5Щ50/-Ю2-°>128А)ц,
где И — высота лесополосы, м; L — длина лесополосы, км; / — коэффициент потерь
урожая в зоне теневого влияния лесополос; ц — коэффициент, учитывающий
изменение действия преобладающих ветров в зависимости от направления лесополосы
(табл. 48).
244

48. Значения коэффициентов t и ц при различном направлении лесополос
Направление лесополосы
/
И
ЮВ90° 0,883 1,0
ЮВ75° 0,836 0,91
ЮВ60° 0,785 0,85
ЮВ45° 0,691 0,66
ЮВ 30е 0,602 0,46
ЮВ15° 0,574 0,35
ЮВ0° 0,532 0,25
Например, если 7,5-метровая система лесополос
протяженностью 8 км ориентирована в направлении ЮВ 90°, то (при высоте
Юм) /= 0,883, ц = 1,0; тогда прирост чистого дохода за счет
агроклиматического воздействия лесополос составит:
у = 4 • 10 • 8(50 • 0,883 - Ю2"0*173'10) • 1,0 = 13 533 руб.
Таким образом, с использованием данных формул можно
выбрать наилучшее проектное решение при различных
вариантах ориентации лесополос и их размещения.
13.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ
ПОЛОСАМИ
Во многих случаях в ходе землеустройства ставится задача
установить оптимальную ширину межполосного пространства, от
которой зависит каркас организации территории в районах, где
защитные лесные полосы имеют значительную агрохозяйствен-
ную ценность. Эта ширина определяется расстоянием между
основными полосами; зная ее, инженер-землеустроитель строит
сетку полей, окаймленных лесополосами, которая затем
вписывается в рекомендуемые для зоны расположения
сельскохозяйственного предприятия севообороты.
Наиболее полно данный вопрос с использованием
производственных функций был исследован И. М. Стативкой; рассмотрим
основные положения его методики (Практикум по экономико-
математическим методам и моделированию в землеустройстве.
Под ред. С.Н.Волкова и Л. С. Твердовской. — М.: Колос,
1991.-С. 96-104).
Оптимальные расстояния между основными полезащитными
лесными полосами определялись с учетом прибавки урожая
сельскохозяйственных культур на защищенной площади, потерь от
недобора продукции с площади, занятой этими полосами, затрат
на холостые повороты и заезды агрегатов при поперечной
обработке полей, снижения урожайности в полосах поворотов
агрегатов на участках, прилегающих к лесным полосам. При этом были
приняты следующие допущения:
245

предполагалось, что чувствительность кукурузы к защите от
суховеев лесными полосами приблизительно такая же, как у
большинства высеваемых растений;
закупочная цена кукурузы на момент выполнения работ была
принята 7,5 руб. за 1 ц, что отображало средневзвешенную
закупочную цену 1 ц всех зерновых (вместе с кукурузой); в структуре
посевов они занимали до 70 %;
результаты расчета по кукурузе распространялись на всю
площадь пашни.
Для оценки зависимости прибавки урожая кукурузы (у) от
высоты лесной полосы (х) была использована производственная
функция, имеющая вид логарифмической параболы:
lg У = яо + я ilg х + a2(lg х)2.
Соответствующая система нормальных уравнений имеет вид
\aQ+a\Z\gx+a2Z(}ex)2 =l\gy;
\aQl,\gx+a\l(\gx)2 +а2%(1ёх)3 =Z\gx\gy;
\a0l(\gx)2 +ql(lgx)3 +02Z(lgx)4 =Z(lgx)2 lg>>-
Расчет промежуточных величин дан в таблице 49.
49. Вычисление коэффициентов системы нормальных уравнений

Высота
лесной

полосы, м
X

Прибавка
урожая

кукурузы,
цс 1 га
У
lg*
(lg*)2
(lg*)3
(lg*)4
Ыу
ig*igy
(lg*)2lg.K
2,8 1,5 0,447158 0,199950 0,089409 0,039980 0,176091 0,078740 0,035209
5,7 7,3 0,755875 0,571347 0,431867 0,326437 0,863323 0,652564 0,493257
10,0 5,7 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 0,755875 0,755875 0,755875
14.3 4,9 1,153360 1,334801 1,781774 1,690196 0,797408 0,797408 0,921274
21.4 2,4 1,330414 1,770001 2,354834 3,132904 0,380211 0,505838 0,672974
I - 4,688783 4,876099 5,418254 6,281095 2,865696 2,790425 2,878589
По результатам этого расчета получим:
[5^+4,688783^+4,876099^2=2,865696;
4,688783^+4,876099^+5,418254^=2,790425;
[4,876099^0+5,418254^+6,281095^2=2,878589.
246

Решив данную систему, определяем коэффициенты
уравнения регрессии:
а0 = -1,627442, ах = 5,404704, а2 = -2,940480.
Таким образом, уравнение будет иметь следующий вид:
lg У = -1,627442 + 5,4047041g x - 2,940480(lg x)2.
Использовав данную формулу и предложив определить длину
защищаемой зоны как 18-кратную высоту лесной полосы,
И. М. Стативка рассчитал прибавку урожая на 1 га пашни,
защищенной лесной полосой (табл. 50).
50. Изменение прибавки урожая зерновых культур (кукурузы) по мере удаления от
лесной полосы (ширина 13 м)
Высота лесной
полосы, м
Длина
защищаемой
зоны, м
Площадь поля,
защищаемая 1 км
лесной полосы, га
Расчетная прибавка урожая на 1 га
пашни, защищаемой лесной полосой
руб.
2,8
5,7
10,0
14,3
21,4
25,0
30,0
35,0
40,0
50,4
102,6
180,0
257,4
385,2
450,0
540,0
630,0
720,0
5,0
10,3
18,0
25,7
38,5
45,0
54,0
63,0
72,0
1,5
4,5
5,0
5,0
4,1
3,7
з,з
2,9
2,5
11,2
33,8
37,5
37,5
30,8
27,8
24,8
21,8
18,8
Эти расчетные данные легли в основу новой
логарифмической параболической зависимости, параметры нормального
уравнения которой рассчитаны в таблице 51.
51. Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений

Высота
лесной

полосы, м
X

Прибавка
урожая
на

щищенной

площади, руб.
с 1 га
У
lg*
(lg*)2
(lg*)3
(lg*)4
Igy
lg*lgy
(ig*)2igy
2,8 11,2 0,447158 0,199950 0,089409 0,399800 1,049218 0,469166 0,209791
5,7 33,8 0,755875 0,571347 0,431867 0,326437 1,528917 1,155670 0,873542
10,0 37,5 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,574031 1,574031 1,574031
14,3 37,5 1,155336 1,334801 1,542144 1,781774 1,574031 1,818535 2,101018
21,4 30,8 1,330414 1,770001 2,354834 3,132904 1,488551 1,980389 2,634737
25,0 27,8 1,397940 1,954236 2,731905 3,819039 1,444045 2,018688 2,822005
30,0 24,8 1,477121 2,181886 3,222910 4,760628 1,394452 2,059774 3,042555
35,0 21,8 1,544068 2,384145 3,681282 5,684150 1,338456 2,066667 3,191073
40,0 18,8 1,602060 2,566596 4,111840 6,587414 1,274158 2,041278 3,270249
I
—
0,70997
13,96296
19,16619
27,13232
12,66585
15,18419
19,71898
247

Система нормальных уравнений имеет вид
9а0 +10,709972^ +13,962962я2 =12,665859;
10,709972^0 + 13,962962^+19,166191^2=16,184198;
13,962962а0 + 19,16619Ц+27,132332^2 =19,718981.
Решив ее, получим а0 = 0,102637; ^ = 2,754289; а2= 1,271667,
что дает следующую зависимость:
\gy= 0,102637 + 2,7542891gx- 1,271667(lgx)2.
Данное уравнение показывает, как меняется прибавка урожая
(выраженная в рублях с 1 га) в зависимости от расстояния от
лесной полосы (выраженной в кратной величине к ее высоте).
Анализ результатов, полученных по этой формуле, показал,
что отклонения расчетных данных от фактических
характеризуются средней квадратической ошибкой 1,2 руб.
Затем И. М. Стативкой были определены ежегодные потери
урожая зерновых культур (на примере кукурузы) с площади пашни,
занятой лесными полосами, и закономерность их изменения в
расчете на 1 га защищаемой пашни при изменении густоты полос.
Приведем расчеты для лесной полосы шириной 13 м. В
данном случае 1 км полосы занимает площадь 1,3 га, с которой
ежегодно можно получать 39ц зерна (при урожайности 30ц с 1 га).
При закупочной цене 1 ц зерна 7,5 руб., а также затратах на
выращивание 1 га зерновых в размере 50 руб. ежегодный недобор с
1га, занятого лесной полосой, составит 175 руб., а с 1,3 га —
228 руб.
При различной густоте лесных полос удельный вес потерь из-за
недобора продукции с площади, занятой лесными полосами, в
расчете на 1 га занимаемой площади будет различным. В
таблице 52 приводятся даные удельного веса потерь (руб. на 1 га) в связи
с недобором зерна с площади, занятой 1 км 13-метровой лесной
полосы при различной ширине защищаемой площади посевов.
52. Зависимость удельного веса потерь за счет недобора зерна с площади, занятой 1 км
лесной полосы (ширина 13 м), от ширины защищаемой полосы посева
Ширина защищаемой полосы
поля, м (х)
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Площадь полосы,
прилегающей к
км лесной полосы, га
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
Потери на 1 га защищаемой
площади, руб. (у)
22,8
11,4
7,6
5,7
4,6
3,8
3,3
2,9
2,5
2,3
248

Анализ зависимости между шириной защищаемой лесной
полосой участка поля (х) и удельным весом потерь в расчете на 1 га
пашни (у) показывает, что ее можно выразить формулой
1
-=%^ахх.
Система нормальных уравнений имеет вид
nao+ailx=I,—;
Расчет необходимых величин приведен в таблице 53.
53. Расчет параметров системы нормальных уравнений
Ширина защищаемой
полосы поля, м (jc)
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
25500
В результате (
X2
10000
40000
90000
160000
250000
360000
490000
640000
810000
1000000
3850000
эыла получена с
-=0,000197
У
1
У
0,043859
0,087718
0,131380
0,175500
0,217400
0,263700
0,303000
0,344500
0,400000
0,435000
2,402257
X
У
4,385900
17,543600
39,474000
70,200000
108,700000
158,220000
212,100000
275,600000
360,000000
435,000000
1681,223500
яедующая зависимость:
+0,000436х,
или после небольшого преобразования
У=
1000
0,2+0,436х"
По этой формуле рассчитывается удельный вес потерь от
недобора сельскохозяйственной продукции с площади пашни,
занятой лесной полосой. Эти потери выражаются в рублях в
расчете на 1 га пашни, которая защищается от суховеев 13-метровой
полосой.
Для различной густоты лесных полос необходимо оценить по-
249

тери на холостые повороты машинно-тракторных агрегатов при
поперечных работах и от недобора продукции пропашных
культур в полосе поворотов культиваторных агрегатов, где сильно
изреживаются растения. Затем можно установить закономерность
изменения таких потерь в зависимости от расстояний между
лесными полосами.
Ежегодные потери тракторных агрегатов на холостые
повороты и заезды при поперечных работах при ширине поля (отдельно
обрабатываемого участка) 250 м составляют 0,28 руб. на 1 га,
ширине 300 м —0,24, 400 м —0,18, 500 м —0,15, 750 м —0,10,
1000 м — 0,08 руб. на 1 га. Эти данные позволяют установить
следующую закономерность:
10,0
У~ 63,9+1,2*'
где у — потери на холостые повороты, руб. на 1 га; х — расстояние между лесными
полосами, м.
Известно также, что возле лесной полосы на участке шириной
6—7 м при культивации агрегатами посевы изреживаются на
30 %. Это равноценно потере урожая в полосе шириной около
2 м по всей длине лесной полосы.
Приравняв доход с 1 га пропашных к доходу с 1 га зерновых
культур, а урожайность кукурузы 30 ц с 1 га, закупочную цену 1 га
зерна кукурузы 7,5 руб., длину лесной полосы 1000 м, ширину
безурожайной полосы 2 м, удельный вес пропашных культур в
полевом севообороте 0,3 и перемножив все эти показатели,
получим потери в рублях на прилегающей к километровому участку
лесной полосы поворотной полосе агрегатов; они равны 13,5 руб.
С изменением густоты лесных полос удельный вес потерь на
1 га посевов, защищаемых лесными полосами, изменяется, что
видно из таблицы 54.
54. Потери на холостые повороты агрегатов при поперечных работах
и от недобора продукции пропашных культур в полосе поворотов
при различной густоте лесных полос
Высота
лесной
полосы, м
Длина
защищенной
зоны, м

Защищаемая
площадь, га
(Р)
Удельный вес потерь от
снижения урожайности
растений возле лесной
полосы, руб. на 1 га
Потери на холостые
повороты и заезды
агрегатов при
поперечных работах, руб.
на 1 га
Суммарные
потери,
руб. на 1 га
Су)
2,8
5,7
10,0
14,3
21,4
25,0
30,0
35,0
40,0
50,4
102,6
180,0
257,4
385,2
450,0
540,0
630,0
720,0
5,0
10,3
18,0
25,7
38,5
45,0
54,0
63,0
72,0
2,70
1,35
0,75
0,53
0,35
0,30
0,25
0,21
0,19
0,72
0,53
0,36
0,27
0,19
0,16
0,14
0,12
0,10
3,42
1,88
1,11
0,80
0,54
0,46
0,39
0,33
0,29
250

Закономерность изменения суммарных потерь на холостые
повороты тракторных агрегатов при поперечных работах и от
недобора продукции пропашных культур из-за их изреживания в
полосе поворотов агрегатов при различных расстояниях между
лесными полосами может быть выражена формулой
1
У=-
где у — суммарные потери, руб. на 1 га; х— расстояние между лесными полосами, м.
Коэффициенты уравнения регрессии составили: д0 = 0,05973,
ах = 0,00472.
Преобразовав вышеприведенную формулу, получим
окончательную зависимость:
У=
100
5,97+0,47*
Полученные уравнения позволяют оценить как
положительное влияние лесных полос в виде прибавки урожая в рублях на
1 га защищаемой пашни, так и отрицательные последствия
(различного рода потери, связанные с их созданием). С их помощью
И. М. Стативка рассчитал ежегодный дополнительный чистый
доход с защищаемой лесными полосами площади и установил по
этому показателю оптимальные расстояния между ними
(табл. 55).
55. Экономическая эффективность продольных (основных) полезащитных лесных
полос при различной густоте посадок
Расстояние
между
лесными
полосами, м
Прибавка урожая

сельскохозяйственных культур от
защиты посевов лесными
полосами, руб.
на 1 га
Потери, руб. на 1 га
за счет недобора
продукции,
занятой лесными
полосами
на холостые
повороты агрегатов при
поперечных работах
и от изреживания
растений в полосе
Ежегодный
чистый
дополнительный доход,
руб. с 1 га
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
25,30
39,Ю
37,14
32,02
26,80
22,44
18,56
15,43
12,92
10,88
22,80
11,40
7,60
5,70
4,60
3,80
3,30
2,90
2,50
2,30
1,89
1,00
0,68
0,52
0,42
0,35
0,30
0,26
0,23
0,21
0,61
26,70
28,86
25,80
21,78
18,29
14,96
12,27
10,19
8,37
Из таблицы видно, что в заданных условиях максимальный
чистый доход от защитного действия основных полезащитных
лесных полос достигается при расстоянии между ними 300 м (17
высот лесной полосы).
251

13.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ ПРОДОЛЬНЫМИ
ПОЛЕВЫМИ ДОРОГАМИ В ПОЛЯХ СЕВООБОРОТОВ
Данная задача — классическая для проектов землеустройства.
Необходимо разрешить противоречие между снижением
транспортных затрат при вывозе продукции по продольным дорогам и
необходимостью занимать под них ценную площадь пашни, что
приводит к потерям продукции, тем большим, чем гуще дорожная сеть.
Другими словами, площадь под продольными полевыми дорогами
должна быть по возможности минимальной, но в то же время
достаточной для эффективного выполнения транспортных работ.
Решение данной задачи с использованием аппарата
производственных функций рассмотрим на примере, приведенном
И. М. Стативкой. В хозяйстве имеется полевой севооборот со
следующим чередованием культур: 1) клевер; 2) озимая пшеница;
3) картофель; 4) лен + горох; 5) озимая пшеница; 6) картофель +
+ гречиха; 7) люпин на зеленый корм и зерно; 8) озимая рожь; 9)
кукуруза на силос; 10) озимая рожь + ячмень. Исходные данные,
необходимые для расчета объема грузоперевозок в этом севообороте,
приведены в таблице 56. Из них видно, что грузоемкость 1 га данного
севооборота составляет 30,1 т (в пересчете на 1-й класс грузов).
56. Объем грузоперевозок в полевом севообороте (в расчете на 1 га пашни)
поля
Культуры
Урожайность,
цс 1 га

основная
продукция

побочная
продукция

Семена, ц


ральные

удобрения, ц

Органические

удобрения, ц
Всего
грузов, ц
Общий
объем грузов,

приведенный к 1-му
классу, т
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Клевер на
зеленый корм
Озимая
пшеница
Картофель
Лен (0,5 поля)
Горох (0,5 поля)
Озимая
пшеница
Картофель
(0,5 поля)
Гречиха
(0,5 поля)
Люпин на
зеленый корм
(0,5 поля)
Люпин на зерно
(0,5 поля)
Озимая рожь
Кукуруза на
силос
Озимая рожь
(0,5 поля)
Ячмень
(0,5 поля)
220,0
24,5
160,0
6,7
13,0
24,5
160,0
10,0
100,0
13,0
20,1
240,0
20,1
22,0
Всего по севообороту
В среднем на 1 га
—
29,4
—
4,4
13,0
29,4
—
10,0
13,0
30,2
—
30,2
24,2
0,1
2,0
50,0
1,4
з,з
2,0
50,0
1,0
3,5
3,5
2,0
0,4
2,6
2,0
4,0
8,0
10,0
8,0
5,0
8,0
10,0
8,0
5,0
5,0
8,0
13,0
2,0
7,0
—
—
700,0
—
—
—
700,0
—
—
—
300
—
—
224,1
63,9
920,0
20,5 1
34,3
63,9
920,0
29,0:
108,5
34,5
60,3 -
553,4
54,9
55,2
37,40
9,33
92,00
3,90
9,33
9,05
] 71,66
[
300,52
30,1
252

Для того чтобы определить потери чистого дохода с площади,
занимаемой полевыми дорогами в расчете на 1 га пашни,
используют данные таблицы 57; в данном случае это 201,8 руб.
57. Чистый доход в расчете на 1 га полевого севооборота
№
поля
Культуры
Урожайность,
цс 1 га

основной

продукт

побочный

продукт
Коэффициент
перевода
продукции в
зерновые единицы

основная

продукция

побочная

продукция
Всего,

зерновых
единиц

Стоимость

продукции,
руб.
Прямые
затраты,
руб.
на 1 га
Чистый
доход,
руб.
на 1 га
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Клевер на
зеленый корм
Озимая
пшеница
Картофель
Лен (0,5 поля)
Горох (0,5 поля)
Озимая
пшеница
Картофель
(0,5 поля)
Гречиха
(0,5 поля)
Люпин на
зеленый корм
(0,5 поля)
Люпин на зерно
(0,5 поля)
Озимая рожь
Кукуруза на
силос
Озимая рожь
(0,5 поля)
Ячмень
(0,5 поля)
Всего по
севообороту
В расчете на 1 га
пашни
220,0
24,5
160,0
6,7
13,0
24,5
160,0
10,0
100,0
13,0
20,1
240
20,1
22,0
—
29,0
—
4,4
13,0
29,0
—
10,0
13,0
30,2
—
30,2
24,2
0,15
1,0
0,3
10,0
1..4
1,0
0,3
1,4
0,15
1,4
0,9
0,2
0,9
0,8
—
0,1
—
4,0
0,15
0,1
0,15
0,15
0Л
—
0,1
0,15
33,0
27,4
48,0
52,4
—-
27,4
31,8
—
21,0
48,0
327,7
32,8
475,2
394,6
691,2
754,6
—
394,6
457,9
—
302,4
691,2
4718,9
471,9
109,2
116,3
892,3
477,8
—
116,3
489,4
—
109,9
161,4
2700,8
270,1
366,0
278,3
-201,1
276,8
—
278,3
-31,5
—
192,5
529,8
2018,1
201,8
Затем производится расчет суммарных потерь чистого дохода
и транспортных затрат в расчете на 1 га пашни при разном
расстоянии между продольными полевыми дорогами (табл. 58).
58. Влияние густоты сети полевых дорог на общую величину транспортных затрат
и потерь от недобора продукции
Расстояние
между
продольными
полевыми
дорогами, м
(х)
Площадь
поля,
обслуживаемая
1 км дороги,
га
Стоимость
перевозки грузов
по пашне*
руб. за
1т
руб. на
1га
Площадь
полевой дороги
(ширина 5 м),
га
Потери чистого
дохода с
площади, занятой
полевой дорогой,
руб. на 1 га
Суммарные
потери и
затраты на
1 га пашни,
РУб. (у)
100
200
300
10
20
30
0,312
0,319
0,327
9,39
9,62
9,85
0,05
.0,10
0,15
10,09
5,05
3,36
19,48
14,67
13,21
253

Продолжение
Расстояние
между
продольными
полевыми
дорогами, м
(*)
Площадь
поля,
обслуживаемая
1 км дороги,
га
Стоимость
перевозки грузов
по пашне*
руб. за
1т
руб. на
1га
Площадь
полевой дороги
(ширина 5 м),
га
Потери чистого
дохода с
площади, занятой
полевой дорогой,
руб. на I га
Суммарные
потери и
затраты на
1 га пашни,
РУб. (у)
400
500
600
700
800
900
1000
40
50
60
70
80
90
100
0,334
0,342
0,350
0,357
0,365
0,372
0,380
10,08
10,31 .
10,54
10,76
10,99
11,22
11,45
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
2,52
2,02
1,68
1,44
1,29
1,12
1,01
12,60
12,33
12,22
12,20
12,28
12,34
12,46
* Плата за перевозку 1т груза по дороге определялась по формуле
К= (0,2 + 0,05Л) • 1,52, где Y— стоимость перевозки 1 т груза в зависимости от
расстояния, руб.; Л'—расстояние перевозки, км; 1,52— коэффициент, учитывающий
увеличение стоимости перевозки при езде по пашне.
Например, если расстояние между продольными полевыми
дорогами будет равно 100 м, то площадь одной полевой дороги
при ширине 5 м будет равна 0,05 га. С этой площади будет
недополучено 10,09 руб. чистого дохода (0,05 • 201,8 = 10,09). При
расстоянии между дорогами в 100 м (0,1км) стоимость перевозок
грузов по пашне составит 9,39 руб. на 1 га (0,2+0,005 • 0,1) • 1,5 =
= 0,312; 0,312-30,1 = 9,39 руб. на 1га.
Для определения взаимосвязи суммарных потерь и затрат на
1 га пашни (у) от расстояний между продольными полевыми
дорогами (х) была принята производственная функция вида
у = д0 + а\х + а2х2-
Система нормальных уравнений имеет вид
па0 + X xja\ + X х]а2 = t^yjl
j=\ y=i j=\
n n « л .. n
X */ flo + X xj fli + X xj a2 = ItXjyj;
У=1 У=1 У=1 y=i
П 1 П 1 П 4 П 2
X xj<*0+ X x]a{+ X xja2= X*/^'
j=\ j=\ y=l y=l
Подставив конкретные значения входящих сюда сумм
(табл. 59), получим:
254

10д0 +5,500^ +3,850д2 =133,790;
5,500^0 +3,850^ +3,025д2 =69,312;
3,850fl0+3,025^ +2,533я2 =47,761.
59. Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений
Расстояние между
продольными
полевыми
дорогами, км
(х)
Суммарные
потери и затраты,
руб. на 1 га
оо
ху
X3
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
15,5
19,48
14,67
13,21
12,60
12,33
12,22
12,20
12,28
12,34
12,46
133,79
1,948
2,934
3,963
5,040
6,165
7,332
8,540
9,824
11,16
12,460
69,312
0,1948
0,5868
1,1889
2,0160
3,0825
4,3992
5,9780
7,8592
9,9954
12,460
47,7608
0,0100
0,0400
0,0900
0,1600
0,2500
0,3600
0,4900
0,6400
0,8100
1,0000
3,8500
0,0010
0,0080
0,0270
0,0640
0,1250
0,2160
0,3430
0,5120
0,7290
1,0000
3,0250
0,001
0,0016
0,0081
0,2560
0,6250
0,1296
0,2401
0,4096
0,6561
1,0000
2,5333
Решение этой системы дает а0 = 20,192; ах = -25,00; а2 =
= 18,020. Следовательно, уравнение связи, выражающее
зависимость между суммарными потерями и затратами и расстоянием
между продольными полевыми дорогами, имеет вид
у = 20,192 -25,000*+ 18,020х2.
Продифференцировав его по х и приравняв к нулю первую
производную, получим:
-25,000 + 36,040х = 0,
и соответственно оптимальная величина х будет равна 25,000/
36,040 = 0,694 км.
Таким образом, оптимальное расстояние между продольными
полевыми дорогами при заданных условиях должно составлять
примерно 700 м. В этом случае будет достигаться минимум
суммарных потерь продукции и транспортных затрат. \
13.7. выбор типичного хозяйства ;
ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО
ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
При принятии различных землеустроительных решений,
связанных с внедрением прогрессивных систем ведения хозяйства и
255

земледелия, оценкой земли, апробацией новых
землеустроительных технологий и методов организации территории (агроланд-
шафтных, контурно-мелиоративных, эколого-хозяйственных и
др.), появляется необходимость использовать данные
экспериментального землеустроительного проектирования в каких-либо
типичных хозяйствах. Подбор таких хозяйств зависит от
существа решаемой задачи.
Например, при экономической оценке земли в какой-нибудь
области в качестве типичных хозяйств принимались
сельскохозяйственные предприятия, имеющие удельный вес изучаемых
почвенных разностей не менее 70—80 % площади пашни и
сопоставимые условия производства (специализация, уровень
интенсивности, результаты хозяйственной деятельности).
Урожайность сельскохозяйственных культур и выход валовой продукции
на 1 га здесь определяли на основе многолетних данных (не
менее 5 лет), а прямые затраты —за последние 3 года. Затем после
построения производственных функций, шкал экономической
оценки земель и бонитировки почв полученные данные
распространяли на все хозяйства области.
В практике используются различные методы подбора
типичных хозяйств; рассмотрим один из них, основанный на
применении производственных функций. Данный метод был
разработан Т. В. Михайловым для решения землеустроительных задач
на основе методики, рекомендованной А. М. Онищенко
(Михайлов Т. В. Применение методов математической статистики
при прогнозировании использования земельных ресурсов.
Лекция.-Л.: ЛСХИ, 1983.-С. 13-18).
Выбор типичного хозяйства осуществляется с
использованием стандартизированных коэффициентов регрессии (р7) и
коэффициентов парной корреляции (гух). Их произведение дает
коэффициент частной детерминации (dj=^jryx.)9 который
указывает на долю влияния фактора-аргумента с индексом j на
результативный показатель. Соответственно о значимости
каждого фактора можно судить по величине \ij — отношению dj
и dmax. Можно использовать и другой коэффициент—^,
представляющий собой отношение dj к наименьшему по модулю
(^min)- Значимость факторов в баллах определяется так:
наименьшему dj присваивают 1 балл, а наибольшему — N баллов,
где N— общее число факторов.
Рассмотрим конкретный пример. В качестве исходных данных
используем производственную функцию, полученную Т. В.
Михайловым, и ее характеристики. Коэффициенты оценки
значимости факторов рассчитывают по форме, представленной в
таблице 60.
256

60. Определение коэффициентов значимости факторов производственной функции

Переменные
Ру
И/
N
X! 0,007584 0,602061 0,004566 0,1134836 6,594454 3
х2 0,001199 0,5775132 0,0006924 0,0172089 1 1
х3 0,0626737 0,6419743 0,0402349 1 58,109329 5
х4 -0,006266 0,3198471 -0,0020041 -0,0498099 -2,8944251 2
х5 0,02819860 -0,2400036 -0,0067677 -0,1682047 -9,7742634 4
После определения статистических характеристик по каждому
хозяйству определяются отклонения показателей
обеспеченности хозяйств факторами производства от средних величин. При
этом средние значения показателей принимаются за 1.
Отклонения определяются в долях единицы по формуле
Gij =
1-
xij
где ху — числовое значение у-фактора по /-хозяйству; xj — сред негрупповое
числовое значение у-фактора.
С учетом коэффициентов значимости и указанных
отклонений для определения типичного хозяйства используют
следующие критерии:
п п п п
Yj oydj-^mm; ? a/;/^y->min; ^y/y-^min; ?a/;/Vy->min;
y=i y=i y=i J=i
X(a^y)2->min; ? (a^y)2->min; X(<ty/})2->min;
У=1 У=1 У=1
n - n n . n i
X (^//vy) ->min; Yofjdj-^mm; X^yM-y->niin; ]>>?./}->min;
y=l y=l y=l y=l
л 9 л . n
YofjVj^mm; Ха^-яшп; ?a/;/-
y=i y=i y=i
> mm.
Значение каждого критерия (всего их 14) рассчитывают по
каждому хозяйству; фрагмент таких расчетов приведен в
таблице 61.
Таким образом, по каждому критерию устанавливается место
каждого хозяйства (его рейтинг) от минимального по абсолютной
величине (I место) и до максимального (XIV место). В данном
расчете участвовали 14 хозяйств, и по сумме мест устанавливался
их окончательный рейтинг (табл. 62). Из приведенных данных
ясно, что наиболее типичным хозяйством следует признать со-
257

2
X
х а
II
~~ vo vo м °° rS.
<^ ON <N ^ ? ^
2g83&i?>
§83|gS><
о ©о л" ю
I I I °° I
^ v*r oo oir^ о
f? >° WN CN VO <N —
•-го о о о
I I I I
oo©<n8©ooi~i
oo^oo^X
88-S8.8-S
•О -О О ~
о , о , i о
oo чо oo So oi т*-
J5% <N Г*» о -^ "^'"'
SggqqgX
°oo<fcfo
VO VO
ON —¦« ON i/-\ f<\ CN
VO Tf »П fJ [*J OO ^
•OOOoO40^
00(N55(N?N
о о о _-_-o
ooo
I I
ЧОГО^ГЧОЮ
О <N ©О ю о J> ^
—<©?o©?:>
8oNoo2^
о о «о о -
II ° I I °
ТТ —ч ^ щ r>j ОО
J^Tf VO^-ON^
^VO«OOs«oO
go^odoS
о^ооооо
-^ -н ^- CN VO qv
ч* Г* «/-> «л ^ ON
OO (N тГ ^ EJ «Л !^
???о-о7
. ГЧГ^—«VO
?:©оочо»поч
ГП ю —< »П ОО 5^ •—<
?| — <N »0 VO >Р м
0О о —ч О -ч Г** ?"*
go*-ooQ»>
-сГ©~сГ©~ -
° I I I I °
_*. ^t" ^, On .^
ГП r^ 0O — CN ^
|Д§§§-Х
S^^OOs§
r^ooSS~S =
ON^
Son
On\q
J^ CN
""¦ I
^ Г2 cn vo
fN^ONin
^ ZZ *o "~*
1 "*¦ ? — ^o t
1 oo -© *o
I ° I
Г-* ONiO^004©
vo oo oo 2J oo тг •>
—• t^. On <^ ^* u-> ?
Onc*"j VO IT* Z? —' s>
• -Ovooo©
(NOVO -C-o'VO
I I I огч I
f^ON
VO f<4
° I
CNCOCNCN
CN»OCNVO
•Л NOVO On
00 00»0—••—i
Tj-CNVO*nr-]
ONCNr-OO^
CNOQCN
I I I I
I I
j^ m ONi/^ rn On
о S3 °2 <^ <^ ^ мм
o^ovovooo-^5
Ч.О vo _-t:-v?>
°oo^o
и-^чо^ —^oo
^оО^гчБо^
CNiofNfNOvoC
TT°7T
сч — —'moo00
OU-iONroP:ON
I
ЧО r*"i
Tl-U-i fN ©о U О
fN«OVOj^r^ON
CN —•* t*1 QQ f«^ Г^» M
voonvo^^cnX
^^ooV--^
Tf On i i Tf
^?ONO^?
0О Г^ 0О fNJ Ю —ч
OOVOonON^S
vOvOVOfoo^^
fN О f*"> I I ГО
7 о oo o'd4^
I I - I I -

62. Определение суммарного рейтинга хозяйств
Наименование
хозяйства
1. «Лодейно-
польский»
2. «Алехов-
щина»
3. «Ояшский»
4. «Борец»
5. «Ильич»
6. «Волховский
7. «Ладога»
8. «Дальняя
поляна»
9. «Заречье»
10. «Светлана»
И.«Чаплен-
ский»
12. «Шумский
13. «Ленински!
Луч»
14. «Победа
Октября»
I
IV
XII
XIII
XI
VIII
» XIV
III
IX
I
VI
X
» II
* v
VII
11
IV
XII
XIII
XI
VIII
XIV
III
IX
I
VI
X
II
V
VII
111
IV
XII
XIII
XI
VIII
XIV
III
IX
I
VI
X
II
V
VII
IV
III
XII
XIII
XI
VI
XIV
I
VIII
II
VII
XI
V
IV
IX
V
V
XII
XIII
XI
VII
XIV
III
IX
I
VI
X
II
IV
VIII
VI
V
XII
XIII
XI
VIII
XIV
III
IX
I
VI
X
II
IV
VIII
Критерии
VII
V
XII
XIII
XI
VIII
XIV
III
IX
I
VI
X
II
IV
VIII
VIII
V
XII
XIII
XI
VIII
XIV
III
VIII
I
VI
X
II
IV
IX
IX
IV
XI
XII
X
VI
XIII
III
VIII
I
V
IX
II
XIV
III
X
V
XII
XIII
XI
VII
XIV
III
IX
I
VI
X
II
IV
VIII
XI
V
XII
XIII
XI
VII
XIV
III
IX
I
VI
X
II
IV
VIII
XII
VI
XII
XIII
XI
VII
XIV
III
VIII
1
V
X
II
IV
IX
XIII
VIII
XII
XIII
X
IV
XIV
III
V
I
VII
XIII
II
IV
IX
XIV
I
XI
XIII
X
IV
XIV
V
VIII
III
II
XII
VIII
IX
VI
Сумма
мест
64
166
181
150
93
195
42
117
17
80
145
33
74
106

Скончать Щ 1_1ЛМ>
тельное
место
IV
XII
XIII
XI
VII
XIV
III
IX
I
VI
X
II
V
VIII

вхоз «Заречье». Его показатели ближе всего к средним значениям
в данной совокупности хозяйств и могут служить основой для
разработки оптимальных планов использования и охраны
земельных ресурсов, составления схем землеустройства.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие виды производственных функций используются при планировании
капиталовложений при землеустройстве сельскохозяйственных предприятий?
Какая исходная информация нужна для их построения?
2. Какие показатели характеризуют тесноту и надежность связи переменных
при расчете удельных затрат на строительство объектов?
3. Докажите положение о том, что удельные капиталовложения с ростом
размера строительного объекта уменьшаются. По какому закону происходит это
уменьшение?
4. Покажите, как с использованием производственных функций оценить
размещение полей севооборотов и рабочих участков по условиям конфигурации и
механического состава почв.
5. Что называется уравнением асимптотического роста? Какие
землеустроительные задачи могут решаться с использованием этого уравнения?
6. Как определить параметры уравнения асимптотического роста? Покажите
это на примере оценки вариантов размещения лесополос.
7. Изложите основные моменты методики определения оптимального
расстояния между поперечными (основными) полезащитными лесополосами.
8. Как определить оптимальное расстояние между продольными полевыми
дорогами в полях севооборотов?
9. Как можно выбрать наиболее типичное для данной совокупности хозяйство с
использованием аппарата производственных функций?

Раздел V
МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ
Глава 14
ОБЩАЯ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
14.1. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Наиболее разработанными, хорошо апробированными и
распространенными в практике землеустройства являются
экономико-математические модели, реализуемые с использованием
методов линейного программирования. В моделях этого класса
целевая функция и условия (ограничения) задачи представлены в
виде системы линейных уравнений и неравенств (в которых все
неизвестные только в первой степени).
Землеустроительные задачи, решаемые методами линейного
программирования, должны обязательно удовлетворять
следующим требованиям:
быть многовариантными (их решение не должно быть
однозначным);
иметь точно определенную целевую функцию, для которой
ищется экстремальное (максимальное или минимальное)
значение;
иметь определенные ограничивающие условия,
формирующие область допустимых решений задачи.
Суммируя, можно сказать, что линейное программирование
представляет собой часть математического программирования,
связанную с решением экстремальных задач, в которых целевая
установка (критерий оптимальности) и условия (ограничения)
выражаются линейными функциями.
Для решения задач линейного программирования разработан
ряд алгоритмов, наиболее известные из которых — алгоритмы
симплексного метода и распределительного метода. Все они
базируются на последовательном улучшении некоторого
первоначального плана и за определенное число циклически
повторяющихся вычислений (итераций) позволяют получить оптимальное
решение. После каждой из итераций значение целевой функции
улучшается (или, как минимум, не становится хуже предыдуще-
261

го). Процесс повторяется до тех пор, пока не будет получен
оптимальный план. Существуют простые критерии, позволяющие на
каждой итерации проверить, является ли вновь полученный план
оптимальным. Если оптимум не достигнут, цикл вычислений
повторяют и т. д.
Симплекс-метод универсален в том смысле, что позволяет
решать задачи, условия которых выражены в различных единицах
измерения.
Распределительный метод, изначально предназначавшийся
для решения транспортной задачи, является специальной
разновидностью симплекс-метода, применимой к любому случаю, где
речь идет о распределении определенного количества
однородного ресурса между потребителями. Алгоритм
распределительного метода также позволяет, начиная с произвольного исходного
плана, за определенное число итераций получить оптимальное
решение задачи (оптимальный план). Он также предполагает
проверку оптимальности на каждой итерации, и если решение не
достигнуто, вычисления продолжаются.
Все переменные в задачах, решаемых распределительным
методом, должны иметь одну и ту же единицу измерения; в
землеустройстве они возникают достаточно часто, и поэтому данный
метод находит широкое применение.
14.2. СОСТАВНЫЕ ЧАСТИ ОБЩЕЙ МОДЕЛИ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Все модели линейного программирования имеют стандартные
составные части, к которым относятся:
совокупность основных переменных, характеризующих
моделируемый объект. В землеустройстве это чаще всего размеры
землевладений и землепользовании, площади посевов, объемы
производства продукции, затраты ресурсов (материальных,
трудовых, финансовых и т.д.);
система линейных ограничений (условий), определяющая
область допустимых значений основных переменных. Каждое
отдельное условие отражает какое-либо реальное ограничение,
например по наличию ресурсов (прежде всего земли), выполнению
контрольных цифр бизнес-плана или госзаказа по производству
растениеводческой или животноводческой продукции, нормам
внесения удобрений в почву, агротехническим требованиям по
размещению культур в севообороте и т. п.;
целевая функция, линейно зависящая от основных переменных
и определяющая критерий оптимальности задачи. В качестве
целевой функции, как правило, выбирают какой-либо показатель,
обобщенно характеризующий один из аспектов деятельности
хозяйства, рассматриваемой в данной землеустроительной зада-
262

че, — чистый доход, валовую продукцию в целом или по
отдельной отрасли, объем смываемой почвы (в задачах оптимизации
землеустроительных мероприятий на эрозионно опасных землях)
и т.д.
В качестве критерия оптимальности в задаче линейного
программирования выступает~требование максимизации или
минимизации целевой функции при заданных ограничениях. Иначе
говоря, необходимо найти такое решение задачи, при котором
целевая функция достигает максимума или минимума. Можно
сказать, что основные переменные и система ограничений
должны давать достаточно полную количественную характеристику
предметной области, в рамках которой ставится
землеустроительная задача, а целевая функция (критерий оптимальности) —
отражать конкретную направленность соответствующей
землеустроительной деятельности, выражающую эффективность
землеустройства.
В общем случае развернутая формализованная модель
линейного программирования, построенная для решения
землеустроительной задачи, в которой выделено N основных переменных
xu...,xNn M ограничений, будет иметь следующий вид:
целевая функция:
Z(x{,...,xN) = (с{х\ + с2х2 + ... + CfficN) -> max (min);
система ограничений:
anxx+anx2+...+a{NxN b{; 1
aM\x\+aM2x2+-+aMNxN "•¦ bM- J
где знак «v» означает или « <», или «>», или «=»; константы Ьи...,Ьм в правых
частях ограничений предполагаются неотрицательными.
Требование неотрицательности основных переменных:
хх>0, х2>0,...,*лг>0.
С математической точки зрения совокупность ограничений и
требований неотрицательности основных переменных
определяет область допустимых значений задачи (этот аспект ниже будет
рассмотрен подробнее).
Для краткости вместо развернутой может использоваться
обобщенная запись модели:
N N
Z= S CjXj ->max (min); Y,aijxj '-'tyl /=1,...,Л/;ху >0, j=l,...,N.
263

Содержание модели определяется числовыми значениями и
смысловой интерпретацией коэффициентов c{,...,cN, an,...yaMNi
b{,...,bM, а также конкретным типом («<», «>» или «=») каждого
ограничения. В свою очередь, указанные числовые значения и
смысл коэффициентов модели определяются решаемой
землеустроительной задачей. Рассмотрим несколько примеров,
иллюстрирующих возможность постановки таких задач.
Задача 14.1. В хозяйстве имеется 200 га неиспользуемых
земель, пригодных для освоения под пашню и сенокос. Затраты
труда на освоение 1 га земель под пашню составляют 200 чел.-ч, в
сенокос — 50 чел.-ч. Для вовлечения земель в
сельскохозяйственный оборот предприятие может затратить не более 15 тыс. чел.-ч
механизированного труда. Стоимость продукции, получаемой с
1 га пашни, составляет 600 руб., с 1 га сенокосов — 200 руб. В
задании на проектирование установлено, что площадь земель,
осваиваемых под пашню, не должна превышать 2/з площади
сенокосов. Требуется определить, какую площадь необходимо
освоить под пашню и сенокосы, чтобы получить максимальное
количество продукции в стоимостном выражении.
Введем следующие основные переменные:
X! — площадь, трансформируемая в пашню, га;
х2 — площадь, трансформируемая в сенокосы, га.
Исходя из условий задачи, запишем целевую функцию
(стоимость произведенной продукции):
Z= 600х! + 200*2 -> max. (14.1)
В данной задаче имеется три ограничения:
по общему количеству земли, выделяемой для освоения:
Х!+х2<200; (14.2)
по использованию трудовых ресурсов:
200х! + 50х2< 15 000; (14.3)
по соотношению площадей пашни и сенокосов:
^Х2>ХЬ
что равнозначно xj <0,667x2, или в окончательном виде
х{- 0,667x2 <0. (14.4)
Дополнительно к приведенным ограничениям зададим
условия неотрицательности основных переменных:
Х!>0, х2>0. (14.5)
264

Таким образом, проблема сводится к решению задачи
линейного программирования, задаваемой соотношениями (14.1)—
(14.5).
Следует иметь в виду, что ограничения всегда преобразуются
к стандартной форме: слева стоят переменные с
коэффициентами, справа — константы.
В приведенной задаче существенную роль играют оба
ресурсных ограничения — как по площади земель, пригодных для
освоения, так и по механизированному труду. Это приводит к тому,
что оптимальное решение задачи будет следующим:
площадь земель, осваиваемых под пашню (х{), — 33 га;
площадь земель, осваиваемых под сенокос (х2), — 167 га.
При этом максимальное значение целевой функции (стоимость
производимой продукции) составляет 2^ = 53,3 тыс. руб., что не
совпадает с тривиальным решением (х{ = 80 га; х2 = 120 га;
2тах = 72,0 тыс. руб.), которое получается без учета ограничений
на затраты механизированного труда и фактически определяется
рекомендуемым соотношением пашни и сенокосов.
Ввиду важности учета ресурсных ограничений приведем еще
один пример.
Задача 14.2. Для производства трех видов
сельскохозяйственной продукции, например, с пастбищ, сенокосов и пашни (Яь
П2, #з) требуется четыре вида ресурса (Ри Р2, Рз, Д), например,
Р{ — площадь сельскохозяйственных угодий, Р2 — трудовые
ресурсы, Р3 — минеральные удобрения, Р4 — оросительная вода.
Необходимо составить такой план производства указанных видов
продукции, который обеспечит получение ее максимального
количества в стоимостном выражении в условиях ограниченности
ресурсов. Конкретные числовые данные, необходимые для
решения задачи, приведены в таблице 63.
63. Исходные данные к задаче 14.2
Вид ресурсов
Единица
измерения на
1 ц продукции
Запасы
ресурсов
Коэффициенты затрат ресурсов на
производство единицы продукции
я,
я2
Щ
Л га 300 0,01 0,04 0,02
Р2 чел.-ч 40000 0,3 2 4
Рг кг 100000 1,5 2 5
Р4 м3 8000 0,2 0,25 0,3
Стоимость реализации единицы
продукции, руб. 15 50 100
В качестве основных переменных задачи хь х2, х3 примем
искомое количество продукции видов Пи Пъ П3, выраженное в
центнерах. Чтобы получить коэффициенты затрат, приведенные
в таблице, необходимо нормативы затрат каждого вида ресурса
на единицу площади угодий соответствующего вида разделить на
265

урожайность. Если, скажем, урожайность пастбищ равна 100 ц с
1 га, сенокосов — 25 ц с 1 га, пашни в пересчете на зерновые —
50 ц с 1 га, то коэффициенты затрат земельных ресурсов составят
соответственно 0,01, 0,04, 0,02 га на 1 ц продукции. Если
нормативы затрат труда на пастбищах, сенокосах и пашне равны
соответственно 30, 50 и 200 чел.-ч на 1 га, то коэффициенты затрат
трудовых ресурсов составят 0,3; 2; 4 чел.-ч на 1ц продукции и
т.д.
Целевая функция задачи имеет вид
Z= 15*! + 50х2 + 100*3 -> шах.
Все ограничения имеют ресурсный характер и сводятся к
тому, что суммарные затраты ресурсов каждого вида на
производство всех видов продукции не должны превышать имеющихся
запасов:
0,0 lxj + 0,04*2 + 0,02*3 - 300'
0,3*!+ 2х2 +4х3 < 40000;
1,5*! + 2х2 + 5*з < 100000;
0,2*! + 0,25*2 + 0,3*з ^ 8000.
Кроме того, задаются условия неотрицательности основных
переменных:
*! > 0, *2 > 0, *3 > 0.
Характерной особенностью всех ресурсных ограничений
является знак неравенства «<», что лимитирует объем производства
продукции (ограничивает его сверху).
Допустимым решением или планом задачи линейного
программирования называют любой набор неотрицательных
переменных, который удовлетворяет всем поставленным в ней
ограничениям, а оптимальным решением (планом) — допустимое решение,
приводящее к максимуму значение целевой функции (или
минимуму, если задача решается на минимум).
Если в задаче имеется т уравнений и п неизвестных, причем
п>т, базисным называется такое допустимое решение, в котором
число положительных (не равных нулю) переменных не превосходит
числа ограничений. Иначе говоря, базисным будет такое решение,
при котором не менее п — т неизвестных равны нулю. Ненулевые
переменные в этом решении называются базисными, а все
остальные—небазисными1. Оптимальное решение любой задачи
линейного программирования всегда является базисным, что очень важно,
1 Иногда в число базисных могут войти переменные, равные нулю; в таких
случаях задачу называют вырожденной.
266

так как позволяет при его нахождении ограничиться
рассмотрением лишь базисных решений, число которых всегда конечно.
Зная, что оптимальное решение надо искать среди базисных,
можно еще до решения задачи ориентировочно установить
оптимальное количество видов продукции (или отраслей). Если,
например, в задаче имеется три ресурсных ограничения (не считая
условий неотрицательности переменных), то при любом числе
переменных оптимальным окажется, как правило, лишь такое
решение, при котором выпускается не более трех видов
продукции (или развивается не более трех отраслей).
Помимо ресурсных в землеустроительные задачи включаются
и другие ограничения. К ним относятся, в частности, требования
по предшественникам в севооборотах, по обеспечению
животных определенными компонентами корма (протеины, витамины,
микроэлементы и т. п.), плановые задания на производство
определенного вида товарной продукции, нормы внесения тех или
иных видов удобрений в почву и т. д. Зачастую такие
ограничения приобретают форму неравенства типа «>». Требования
сбалансированности кормов могут порождать ограничения на
максимально необходимый уровень какого-либо определенного
компонента в корме, что приводит к неравенствам типа «<». Для
иллюстрации приведем следующий упрощенный пример.
Задача 14.3. При агроэкономическом обследовании проекта
внутрихозяйственного землеустройства возникла необходимость
оптимизировать рационы откормочного поголовья. Каждое
животное должно получать в сутки не менее определенного
количества питательных веществ, солей, витаминов, микроэлементов и
т. д. Суточное потребление некоторых из них ограничено сверху.
Хозяйство может заготовить 4 вида кормов (Кь К2, К3, КА).
Минимальная суточная потребность и максимальное допустимое
количество необходимых веществ на 1 голову скота, их
содержание в каждом виде корма, а также стоимость единицы каждого
вида корма приведены в таблице 64. Необходимо найти такое
сочетание кормов в дневном рационе 1 головы скота, которое
потребует минимума затрат на их производство.
64. Исходные данные к задаче 14.3
Виды питательных
веществ, единица
измерения
Викг
^2,МГ
В3,кг
В*, кг
В5, г
Яб>мг
Себестои
Суточная потребность
на 1 голову
минимальное
необходимое
количество
10
15
5
1,5
3
4
мость кормов,
максимальное
допустимое
количество
12
Любое
7
2
Любое
5
руб. за 1 кг
Содержание питательных веществ
в
К\
0,3
3
0,2
0,1
0,5
1
5
1 кг различных кормов
К2
0,4
0
0,1
0,2
1
2
4
*э
0,2
6
0,15
0,1
0
4
2
к.
0,2
2
0,3
0,05
1,5
0
3
267

Основные переменные задачи *ь *2, *з, jc4 —это требуемые
объемы производства кормов видов Ки К2, К3, К^,
соответственно. Целевая функция будет иметь вид
Z= 5х\ + 4*2 + 2*3 + 3*4 -> min.
Ограничения задачи могут быть разбиты на группы,
соответствующие различным питательным веществам. По первому из
них:
0,3*i + 0,4*2 + 0,2д:3 + 0,2*4 ^ Ю;
(№ + 0,4х2 + 0,2*3 + 0,2*4 ? 12.
По веществу В2:
3*i + 6*з + 2*4 > 15.
По веществу By.
0,2*j + 0,1*2 + 0,15*3 + 0,3*4 ^ 5;
0,2*! + 0,1*2 + 0,15*з + 0,3*4 ? 7.
По остальным (2?4, ^5, Дз)-
0,1*! + 0,2*2 + 0,1*3 + 0,05*4 ^ 1,5;
0, l*i + 0,2*2 + 0,1*з + 0,05*4 ^ 2;
0,5*i + 1*2+ 1,5*4 >3;
*i + 2*2 + 4*з > 4;
*i + 2*2 + 4*з < 5.
Условия неотрицательности основных переменных:
*у>0, у=1,...,4.
Другие типы ограничений и целевых функций задач
линейного программирования будут демонстрироваться по ходу
дальнейшего изложения.
Число видов землеустроительных задач, сводящихся к общей
задаче линейного программирования, очень велико. Основные
из них:
оптимизация перераспределения земель в схеме
землеустройства района;
обоснование размещения, специализации и концентрации
сельскохозяйственного производства в административном
районе на основе данных экономической оценки земель;
установление размеров и структуры землевладений и
землепользовании сельскохозяйственных и несельскохозяйственных
предприятий при межхозяйственном землеустройстве;
268

формирование сырьевых зон промышленных предприятий по
переработке сельскохозяйственной продукции;
противоэрозионная организация склоновых земель на основе
моделирования условий и факторов водной эрозии почв;
оптимизация размеров и размещения производственных
подразделений и хозяйственных центров в проектах
внутрихозяйственного землеустройства;
обоснование сельскохозяйственного освоения, мелиорации и
трансформации земельных угодий в рабочих проектах,
связанных с использованием и охраной земли;
организация системы севооборотов в сельскохозяйственных
предприятиях;
устройство территории многолетних насаждений (садов,
ягодников, виноградников), сенокосов и пастбищ;
оптимизация показателей агроэкономического обоснования
проектов землеустройства и др.
Как правило, модели линейного программирования,
соответствующие реальным землеустроительным задачам, весьма
объемны — они насчитывают до нескольких сотен основных
переменных и нескольких сотен ограничений. При этом число
существенно различающихся по содержанию видов ограничений,
отражающих различные аспекты землеустроительной
деятельности, может достигать нескольких десятков. Изучение
линейного программирования на примере таких задач реальной
сложности нецелесообразно. С другой стороны, принятые в
математической литературе методы изложения слишком абстрактны и
едва ли подходят для специалистов-землеустроителей. Поэтому
материал для данной и двух последующих глав будет излагаться
на примере упрощенных (иллюстративных) задач, что позволит
достаточно полно раскрыть суть методов линейного
программирования (включая транспортную задачу) и в то же время
продемонстрировать специфику постановки задач в сфере
землеустройства.
14.3. ЕСТЕСТВЕННАЯ (НЕКАНОНИЧЕСКАЯ) ЗАПИСЬ ЗАДАЧИ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Последовательность постановки задачи линейного
программирования рассмотрим на следующем примере.
Задача 14.4. В хозяйстве сложились следующие основные
отрасли: молочное скотоводство, свиноводство,
кормопроизводство, производство товарного зерна и сахарной свеклы. Общая
площадь пашни 500 га. Посевы зерновых должны занимать не
более 60 % пашни, культуры на зеленый корм — не более 4 %.
Запас кормов на пастбищах и сенокосах составляет 300 ц корм. ед.
В соответствии с планом поставок сельхозпродукции хозяйство
269

должно произвести не менее 3000 ц молока. Цены на
реализуемую продукцию: на зерно 90 руб., молоко 150 руб., свеклу 5 руб.
за 1 ц, на свиноматок 4500 руб. за 1 голову. Другие исходные
данные приведены в таблице 65. Необходимо определить сочетание
отраслей хозяйства, обеспечивающее максимум чистого дохода.
65. Исходные данные к задаче 14.4
Показатели
Единица

измерения
Нормативные показатели для различных отраслей
(на 1 га или на 1 голову)
зерно

товарное
зерно

фуражное
сочные
корма

зеленые
корма

свиноматки

молочное
стадо

сахарная
свекла
Ресурсы
Затраты труда
Материальные
затраты
Урожайность,
продуктивность
Нормы
кормления: общая/ корм. ед.
концентраты
чел.-ч
руб.
Ц
Ц
35
1200
25
30
1200
22
1500
20
450
80
1800
100
900
400
7000
36000
800000
26 250
100 -
30 240 -
- - - - 45/10 86/30 -
га;
га;
Сначала определяем основные переменные:
X! — площадь пашни под зерновыми товарными культурами,
х2 — площадь пашни под зерновыми фуражными культурами,
х3 — площадь пашни под культурами на сочные корма, га;
х4 — площадь пашни под культурами на зеленый корм, га;
х5 — поголовье свиноматок, голов;
Хб — поголовье коров, голов;
*7 — площадь пашни под сахарной свеклой, га;
х8 — общие производственные расходы хозяйства, руб.
На все переменные накладывается условие
неотрицательности:
ху>0, у=1,...,с
Целевая функция задачи — максимизируемый суммарный
чистый доход от всех товарных отраслей. Для определения
коэффициентов целевой функции учитывают урожайность культур и
продуктивность животных, цены на продукцию и реальные
денежные расходы хозяйства. В итоге получим
Z= 25 • 90*! + 4500х5 + 30 • 150х6 + 240 • 5х7 - х8 =
= 2750;q + 4500*5 + 4500х6 + 1200х7 - *8-
Далее строим систему ограничений.
По площади пашни (учитываются все культуры, под которые
отводится пашня):
270

Х\ + х2 + х3 + х4 + х7 < 500.
По площади пашни под зерновыми культурами:
х1+х2<0,6-500 = 300.
По площади пашни под культурами на зеленый корм:
х4< 0,04 -500 = 20.
По материальным затратам:
х8 < 800 000.
По трудовым ресурсам (в соответствии с нормами затрат труда
из табл. 65):
35х! + 30х2 + 22х3 + 20х4 + 80х5 + ЮОхб + 400х7 < 36 000.
Ограничения по кормам строятся исходя из принципа, что
потребность в них должна быть не больше объема их
производства. Необходимо учесть нормы кормления, поголовье
животных, урожайность и площади посева кормовых культур,
питательность различных видов корма. Переходим к конкретным
ограничениям.
По всем видам кормов для всех видов животных, ц корм, ед.:
45х5 + 86х6 < 26 • 1,2х2 + 250 • 0,22х3 + 100 • 0,18х4 + 300.
В правой части неравенства использованы коэффициенты
перевода массы кормов в центнеры кормовых единиц. Последнее
слагаемое в правой части учитывает тот факт, что на корм
коровам используется не только продукция, получаемая с пашни, но
и корма с пастбищ и сенокосов. Приводя последнее неравенство
к стандартной форме (переменные — слева, константы —
справа), получим
-31,2*2 - 55х3 - 18х4 + 45х5 + 86х6< 300.
По концентратам для всех видов животных, ц корм, ед.:
-31,2х2+ 10х5 + 30х6<0.
По всем видам кормов для свиней, ц корм, ед.:
- 31,2*2 - 55х3 - 18х4 + 45х5 < 0.
Формально из данных, приведенных в условии задачи, можно
составить и другие ограничения кормового баланса, например
ограничение «по всем видам кормов для коров»:
271

- 31,2х2 - 55х3 - 1&с4 + 86*6 < 300.
Сразу видно, однако, что это ограничение выполняется
всегда, когда выполняется ограничение «по всем видам кормов для
всех видов животных», а следовательно, оно является
избыточным — его включение в систему ограничений не меняет области
допустимых значений задачи.
Ограничение по гарантированному производству молока:
30х6 > 3000.
Уравнение для расчета материальных затрат:
х8 = 1200*! + 1200*2 + 1500х3 + 450х4 + 1800х5 + 900х6 + 7000х7.
Приводя его к стандартному виду, получим
1200Х! + 1200х2 + 1500х3 + 450х4 + 1800х5 + 900х* + 7000х7 - х8 = 0.
Сводя все воедино, получаем следующую
экономико-математическую модель.
Найти
Z= 2750х! + 4500х5 + 4500х6 + 1200х7 - х8 -> max. (14.6)
При ограничениях
1 X! +х2 +х3 +х4 +х7 < 500;]
Х!+х2< 300;
х4< 20;
х8< 800000;
r 35xj +30х2 +22х3 +20х4 +80х5 +100х6 + 400х7 < 36000;
Ь -31,2х2 -55х3 -18х4 +45х5 +86х6 < 0; I
-31,2х2+10х5+30х6< 0;
^31,2х2 -55х3 -18х4 +45х5 < 0;
^ 30х6> -3000;
1200х! +1200х2 +1500х3 +450х4 +1800х5+900х6+7000х7 -х8 = 0.J
(14.7)
И требовании неотрицательности основных переменных
ху>0,у=1,...,8. (14.8)
В совокупности соотношения (14.6)—(14.8) образуют разверну-
272

66. Табличная запись задачи 14.4
Ограничения
1. Общая площадь
пашни
2. Площадь пашни под
зерновыми
3. Площадь пашни под
травами
4. Материальные
затраты
5. Затраты труда
6/Все корма по всем
ЖИВОТНЫМ
Л. Концентраты по
всем
животным.
8. Все корма по
свиньям
9. План производства
молока
10. Расчет
материальных затрат
Целевая функция
273
Единица
измерения
га
га
га
руб.
чел.-ч
ц корм, ед
ц корм, ед
ц корм, ед
ц
руб.
руб.
Х\
1
1
0
0
35
0
0
0
0
1200
2250
*2
1
1
0
0
30
-31,2
-31,2
-31,2
0
1200
0
*з
1
0
0
0
22
-55
. 0
-55
0
1500
0
Переменные
*4
1
0
1
0
20
-18
0
-18
0
450
0
*5
0
0
0
0
80
45
10
45
0
1800
4500
ч
0
0
0
0
100
86
30
0
30
900
4500
*7
1
0
0
0
400
0
0
0
0
700
1200
*8
0
0
0
1
0
0
0
0
0
-1
-1
Тип

ограничения
<
<
<
<
<
<
<
<
>
=
-»
Объем

ограничения
500
300
20
800000
36000
300
0
0
3000
0
max

тую математическую формулировку общей задачи линейного
программирования в неканоническом представлении. Для нее
разработана специальная форма (табл. 66). В столбцах, помеченных
символами основных переменных, записывают коэффициенты
при них в соответствующих ограничениях и целевой функции.
Такая форма очень удобна при подготовке задачи к решению на
компьютере.
14.4. ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
К КАНОНИЧЕСКОМУ ПРЕДСТАВЛЕНИЮ
Неканоническое представление задачи нельзя использовать
для применения стандартных алгоритмов линейного
программирования. Каноническим называется представление, в котором:
все ограничения имеют форму уравнений (то есть относятся к
типу «=»);
система ограничений имеет структуру, позволяющую сразу
определить допустимое решение, которое используется в
итерационной процедуре симплекс-метода как первое (опорное)
базисное решение.
Реальные задачи линейного программирования в приемлемые
сроки могут быть решены только на ЭВМ. Однако сознательное
применение симплекс-метода, грамотная интерпретация
полученных на ЭВМ результатов возможны только в том случае, если
пользователь понимает основные особенности канонического
представления задачи и метод ее решения.
Приведение задачи к каноническому виду осуществляется за
счет использования новых неотрицательных переменных,
вводимых в ограничения и целевую функцию. Прежде всего для
каждого ограничения типа нестрогого неравенства «<» или «>»
вводят свою дополнительную переменную. Так, в рассмотренной выше
задаче есть неравенство ЗОхб ^ 3000.
Введем дополнительную переменную х9, означающую объем
производства молока сверх требуемого уровня; тогда получим
30*6-х9 = 3000.
Дополнительная переменная х9 в этом равенстве называется
также избыточной, так как она показывает, насколько левая часть
исходного неравенства превышает правую.
Напротив, для неравенств типа «<» (например, первого
неравенства из системы указанной задачи) вводят дополнительную
переменную с положительным знаком (в данном случае х10):
х\ + х2 + х3 + х4 + х1 + х\0 ^ 500.
274

Величина *10 в этом равенстве будет остаточной переменной,
ибо показывает недоиспользование какого-то ресурса (в данном
случае пашни).
Помимо избыточных и остаточных переменных в левую часть
каждого ограничения типа «>» или «=» вводят со знаком «+» еще
по одной неотрицательной переменной; их называют
искусственными (их смысл будет раскрыт позже).
Выполнив указанные типовые операции со всеми
ограничениями системы (14.7), получим следующую каноническую систему
ограничений:
х\ + х2 + хз + *4 + х7 + *ю = 500;
*i + *2 + *и = 300;
*4 + хп = 20;
*8 + *13 = 800 000;
35*! + 30*2 + 22*3 + 20*4 + 80*5 + Ю0*6 + 400*7 + *и = 36 000;
- 31,2*2 - 55*з - 18х4 + 45*5 + 86*6 + *15 = 300; \
- 31,2*2 + 10*5 + 30*6 + *16 = 0;
— 31,2*2 — 55х3 — 18*4 + 45х5 + х{7 = 0;
30*6 - Л9 + *18 = 3000;
1200*! + 1200*2 + 1500*3 + 450*4 + 1800*5 + 900*6 + 7000*7 -
- *8 + *19 = 0.
(14.9)
В этой системе: *ь...,*8— основные переменные; *9
—избыточная дополнительная переменная; *10,...,*i7 — остаточные
дополнительные переменные; *18, *19 — искусственные
переменные.
Введение дополнительных и искусственных переменных
важно с вычислительной точки зрения, так как позволяет сразу же
получить первое (опорное) базисное решение, удовлетворяющее
всем заданным ограничениям. Действительно, если в системе
(14.9) все основные и избыточные переменные положить
равными нулю, то достаточно приравнять остаточные и искусственные
переменные правым частям соответствующих ограничений,
чтобы получить допустимое решение. В рассматриваемой задаче
этот опорный план будет следующим:
*! = 0; *2 = 0;... *9 = 0; *10 = 500; *п = 300; *12 = 20; *13 = 800 000;
*14 = 36 000; *15 = 300; *16 = 0; *17 = 0; *18 = 3000; *19 = 0.
Уже здесь видна необходимость введения искусственной
переменной *18 для 9-го ограничения (где уже есть дополнительная
избыточная переменная *9). Если бы мы попытались обойтись
без нее и воспользовались избыточной переменной *^, то
получили бы ^ = -3000, что нарушает условие неотрицательности
275

переменных. Введение искусственной переменной х19 в 10-м
ограничении, которое изначально относилось к типу «=», также
существенно упрощает процесс получения опорного плана.
Рассмотрим теперь вопрос о преобразовании целевой
функции, соответствующем канонической системе ограничений.
Очевидно, что решение, в котором некоторые остаточные или
избыточные переменные не будут равны нулю, вполне допустимо.
Ненулевое значение остаточной переменной будет означать
неполное использование соответствующего ресурса (например,
пашни), а ненулевое значение избыточной переменной будет
означать превышение планового уровня производства некоторого
продукта (например, молока). Таким образом, остаточные и
избыточные переменные (помимо приведения задачи к
каноническому виду, необходимому для применения эффективных
алгоритмов решения задачи) несут важную информацию
экономического характера. В то же время ясно, что неиспользование
ресурсов и превышение плановых заданий непосредственно не влияют
на значение целевой функции. Поэтому остаточные и
избыточные переменные включают в целевую функцию с нулевыми
коэффициентами.
Что касается искусственных переменных, то очевидно, что в
правильном решении они должны быть равны нулю, так как не
отражают никаких реальных характеристик данной предметной
области и вводятся в задачу исключительно для автоматического
получения опорного решения. Следовательно, мы должны так
изменить вид целевой функции, чтобы сам алгоритм при поиске
оптимального решения автоматически приводил к нулевым
значениям искусственных переменных. В задачах на максимум
этого можно добиться, вводя в целевую функцию эти переменные с
очень большими отрицательными коэффициентами:
Z= 2750;q + 0х2 +0х3 + 0х4 + 4500х5 + 4500х6 + 1200jc7 - jc8 +
+ 0х9 + 0х10 + 0хп + 0х12 + 0х13 + 0х14 + 0х15 + 0х16 + 0хП -
- Mx\s - Mx19-> max, (14.10)
где М— большое положительное число (существенно превосходящее
коэффициенты целевой функции).
При таком переопределении целевой функции любое
отклонение искусственных переменных от нуля приведет к резкому
снижению значения целевой функции. Поэтому при решении
задачи на максимум будет автоматически обеспечено обнуление
искусственных переменных.
Если, напротив, задача решается на минимум, то перед
каждым коэффициентом М в выражении целевой функции
необходимо поставить знак «+». Алгоритм будет искать план с
наименьшим значением целевой функции, и все искусственные
переменные в оптимальном плане будут равны нулю.
276

Ограничения (14.9) совместно с представлением целевой
функции в виде (14.10) и условиями неотрицательности всех
переменных (основных и дополнительных) образуют каноническое
представление общей задачи линейного программирования в
развернутом виде.
14.5. СИМПЛЕКС-МЕТОД. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
Универсальным методом решения задач линейного
программирования является симплекс-метод. Основные его элементы, а
также интерпретацию получаемых решений проще всего
продемонстрировать на примере упрощенной демонстрационной
задачи. С содержательной точки зрения она имеет сугубо условный
характер. Основное ее назначение — на примере простейшего
двухмерного случая в наглядной геометрической форме
проиллюстрировать суть симплекс-метода.
Задача 14.5. В хозяйстве производится молоко, а также зерно
для продажи и на корм скоту. На продажу используется 60 %
зерна, на ферме может содержаться не более ПО коров. Общая
площадь пашни в севообороте, выделенная для посева зерновых,
1500 га. Запас кормов на пастбищах и сенокосах 2000 ц корм. ед.
Трудовые ресурсы хозяйства 12 000 чел.-ч. Норма трудозатрат
при производстве зерна 5 чел.-ч на 1 га, при производстве
молока — 50 чел.-ч на 1 голову. Урожайность пшеницы 25 ц корм. ед. с
1 га, норма кормления коров 80 ц корм. ед. на 1 голову, их
продуктивность 4000 кг. Плановое задание по молоку составляет
400 ц. Доход хозяйства определяется продажей молока и
товарного зерна. Чистый доход от продажи 1 ц зерна составляет 10 руб.,
1 кг молока — 0,2 руб. Необходимо определить сочетание двух
товарных отраслей, обеспечивающее максимум чистого дохода.
Проведя все необходимые преобразования по схеме,
изложенной выше, получим следующее неканоническое представление
задачи.
Основные переменные:
х{ — площадь пашни под зерновыми культурами, га;
х2 — поголовье коров.
Целевая функция:
Z=150x1 + 800x2->max. (14.11)
Система ограничений:
по площади пашни: х\ < 1500
по трудовым ресурсам: 5х{ + 50х2< 12 000
по кормам: -10х{ + 80х2<2000
по поголовью коров: х2 < 110
по плану производства молока: 40х2 > 400.
(14.12)
277

Требование неотрицательности основных переменных:
ху>0,у=1,2.
(14.13)
В данной задаче только две основные переменные, что
позволяет дать ее наглядное геометрическое представление (рис. 17); в
нем используется декартова система координат, осям которой
соответствуют переменные х{ и х2.
Область допустимых значений основных переменных
представляет собой многоугольник, показанный жирными линиями.
Каждая грань определяется одним из ограничений системы
(14.12) или условием неотрицательности одной из переменных.
Например, грань DE лежит на прямой линии, уравнение которой
получено из второго ограничения системы (14.12) заменой знака
«<» на знак «=», то есть
5х! + 50х2= 12 000.
Точки, удовлетворяющие второму ограничению, лежат в
полуплоскости «левее и ниже» этой прямой. Каждое ограничение и
каждое условие неотрицательности основных переменных делят
плоскость (хь х2) на две полуплоскости; все точки, лежащие на
одной из них, удовлетворяют соответствующему ограничению.
Многоугольник допустимых значений — это попросту
пересечение всех допустимых полуплоскостей.
Линии уровня целевой функции показаны на рисунке
пунктиром; каждая из них соответствует определенному значению
целевой функции (на рисунке показаны четыре линии, но в
принципе их бесконечное множество).
В данном случае область допустимых значений ограничена и
непуста, что характерно для любой корректно поставленной за-
r \ \ J5-е ограничение]
О \ 500 1000 \1500 \\ 2500 */
z=20000 z=190000 z=283066'z=297000
Рис. 17. Геометрическая интерпретация задачи
линейного программирования
278

О 500 WOO 1500 2000 2500 *i
Рис. 18. Открытая область допустимых решений
дачи. Но возможны и другие варианты; рассмотрим их более
подробно.
Случай открытой области допустимых решений возникает,
если, например, исключить из системы ограничений первое и
второе ограничения. Тогда из многогранника, изображенного на
рисунке 17, следует исключить грани DE и EF. В результате
область допустимых значений основных переменных станет
открытой—неограниченно расширяющейся вправо (рис.18). В этом
случае задача на максимум не имеет решения, ибо целевая
функция неограничена — ее значение может быть сделано сколь
угодно большим. Это естественно, ибо мы сняли ресурсные
ограничения по площади пашни и трудовым затратам. Напротив, задача
на минимум при таких ограничениях имеет решение, но оно не
несет никакого реального смысла.
Случай пустой области допустимых решений возникает, если
ограничения задачи несовместимы. Предположим, что плановое
задание по молоку увеличено с 400 до 5400 ц. В этом случае
последнее ограничение системы (14.12) примет вид 40х2>5400, а
прямая, на которой в исходном многоугольнике (рис. 17) лежала
грань AF, окажется выше грани CD того же многоугольника. Для
того чтобы изобразить сложившуюся ситуацию графически,
каждую недопустимую полуплоскость, соответствующую любому
ограничению, пометим штриховкой (рис. 19). Нетрудно видеть, что
вследствие указанной модификации системы ограничений
пересечение допустимых полуплоскостей, соответствующих
четвертому и пятому ограничениям, оказалось пустым. Очевидно, что и
в этом случае задача не имеет решения. На содержательном
уровне это означает, что плановое задание по производству
молока невыполнимо при заданном ограничении на поголовье
коров.
Переходя к канонической форме представления той же
задачи, получим
279

Z= 150*! + 800x2 - Mxs -> max:
x{+x4 = 1500
5*! + 50x2 + x5 = 12 000
-10x, + 80jc2+ X6 = 2000
x2 + x7= 110
40x2 - x3 + x8 = 400
xy>0,y=l,...,8
(14.14)
(14.15)
(14.16)
Здесь xu x2 — основные переменные; х3 — избыточная переменная; х4,...,х7 —
остаточные переменные; х8 — искусственная переменная.
Каждой дополнительной переменной также может быть дана
геометрическая интерпретация. Рассмотрим, например, второе
ограничение из (14.15). Это ограничение «ответственно» за
появление грани DE многоугольника допустимых значений, на
которой выполняется условие 5xi + 50jc2 = 12 000, или, что то же
самое, х5 = 0. Таким образом, на этой грани остаточная переменная
х5 равна нулю. Аналогичный вывод можно сделать и
относительно других граней, и соответствующих дополнительных
переменных. Сюда можно добавить очевидное утверждение: на оси х{
основная переменная х2 равна нулю, а на оси х2 равна 0
переменная х{.
Геометрическая интерпретация задачи позволяет наглядно
изобразить процесс получения оптимального решения (в данном
случае решения, максимизирующего значение целевой
функции). А именно, если последовательно увеличивать константу в
правой части уравнения
Z= 150*! + 800*2 = const,
которое является уравнением произвольной линии уровня
целевой функции Z(cm. рис. 17, пунктирные линии), то геометричес-
*2
140
\3-е ограничение\
^/ J 5-е ограничение I
0 500 1000 1500 2000 2500 */
Рис. 19. Пустая область допустимых решений
280

ки это будет соответствовать смещению линии уровня целевой
функции вправо и вверх. При определенном значении константы
получим линию уровня, касающуюся области допустимых
значений или в одной точке (как в рассматриваемом примере в точке
Е) — это случай единственности решения, или на целой грани
области допустимых значений — это случай бесконечного числа
оптимальных решений. Поскольку дальнейшее увеличение
константы приведет к выходу линии уровня за пределы области
допустимых значений, то значение целевой функции,
соответствующее указанному крайнему положению, следует рассматривать
как максимально возможное в области допустимых значений
основных переменных. Координаты хи х2 точек такого крайнего
положения линии уровня — это и есть оптимальное значение
основных переменных.
Такая же геометрическая интерпретация позволяет наглядно
подтвердить факт неограниченного роста целевой функции в
случае, когда область допустимых значений открыта (рис. 18).
Линия уровня целевой функции может неограниченно
смещаться вправо, но при этом всегда будет иметь непустое пересечение
с областью допустимых значений.
Случай бесконечного числа решений реализуется, например,
если бы линии уровня на рис. 17 были бы параллельны грани DE.
Аналитически это значит, что отношение коэффициентов при
неизвестных хи х2 в целевой функции должно быть таким же, как
у коэффициентов при тех же неизвестных во втором
ограничении. Тогда линия уровня при максимальном значении целевой
функции совпала бы с гранью DE области допустимых значений,
то есть любая точка отрезка DE соответствовала бы одному из
оптимальных решений, обеспечивающих достижение одного и
того же (максимально возможного) значения целевой функции.
В общем случае линейный характер целевой функции и
выпуклость области допустимых значений позволяют сделать очень
важное утверждение: оптимальному решению соответствует по
крайней мере одна из вершин многогранника, описывающего
область допустимых значений. Следовательно, задача сводится к
направленному перебору вершин, что и реализует алгоритм
симплекс-метода.
14.6. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СИМПЛЕКС-МЕТОДА
Для перехода к аналитическому описанию направленного
поиска оптимального решения общей задачи линейного
программирования дадим аналитическое описание вершин области
допустимых значений. Выше мы уже отмечали, что каждой грани
этой области отвечает нулевое значение одной из переменных
(дополнительной или основной). Поскольку (в рассматриваемой
281

двухмерной задаче, рис. 17) каждая вершина образуется при
пересечении двух граней, то в каждой вершине, как минимум, две
переменные должны быть нулевыми, а остальные переменные в
общем случае могут быть не равны нулю. Такого рода
характеристика вершин дана в таблице 67.
67. Характеристика вершин области допустимых значений задачи 14.5
Вершина
Номера соответствующих
ограничений или осей системы
координат
Нулевые
переменные
Ненулевые переменные
А 5-е ограничение и ось х2 *з> *8, х{ х2, х4, х5, хб> *7
В 3-е ограничение и ось х2 лг15 д^ хъ jc3, *4» *5> *7> хъ
С 3-е и 4-е ограничения х6, х1 хи хъ х3, х4, х5, х8
D 4-е и 2-е ограничения х7, х5 хьх2, х3, jc4, х6, jc8
Е 2-е и 1-е ограничения х5у х4 хи хъ jc3, x6, jc7, x8
F 1-е и 5-е ограничения х4у х3, jc8 х\, хъ х5, *6, jc7
Заметим, что в пределах области допустимых значений
основных переменных искусственная переменная х8 всегда может быть
приравнена к нулю, так как 5-е ограничение из системы (14.15) в
этой области можно удовлетворить, подобрав соответствующее
неотрицательное значение избыточной переменной х3. Поэтому
в пределах области допустимых значений искусственные
переменные можно исключать из рассмотрения.
Нетрудно заметить следующую особенность: в
рассматриваемой задаче имеется пять ограничений (не считая условий
неотрицательности) и семь основных, остаточных и избыточных
переменных; количество ненулевых переменных, не считая
искусственную, в каждой вершине равно именно пяти, а количество
нулевых (7 - 5) = 2. В общем случае, если в задаче т ограничений
и п основных, остаточных и избыточных переменных, то каждой
вершине области допустимых значений соответствует т
ненулевых переменных и (п-т) нулевых. Как уже указывалось ранее,
такое решение называется допустимым базисным решением, а
ненулевые переменные в нем — базисными.
Посмотрим теперь, как меняется допустимое базисное
решение (далее будем говорить просто «базисное») при переходе от
данной вершины области допустимых значений к соседней.
Искусственные переменные, как уже отмечалось, мы не будем при-,
нимать во внимание. Из таблицы 67 видно, что при таком
переходе только пара переменных меняется местами. Например, при
переходе от вершины А к вершине В переменная х6 переходит в
базис, а переменная х3 выводится из базиса. Это свойство
соседних вершин и было положено в основу вычислительного
алгоритма симплекс-метода.
Другая особенность данного алгоритма — правила,
благодаря которым переход от одной вершины области допустимых
значений к другой осуществляется направленно, а именно в
282

сторону роста целевой функции (если задача решается на
максимум).
В каноническом представлении исходное (опорное) решение
задачи определяется элементарно: все основные и избыточные
переменные приравниваются к нулю, а остаточные и
искусственные приравниваются к правым частям соответствующих
ограничений. Поскольку такое решение включает ненулевые значения
искусственных переменных, на первых шагах алгоритма они не
должны исключаться из рассмотрения. Отметим также, что
поскольку при этом х\=х2 = О, опорное решение соответствует
началу координат. Далее общее число ограничений обозначим
символом т, а общее число переменных на данном шаге алгоритма —
символом п. Таким образом, для рассматриваемой
демонстрационной задачи на первом шаге т = 5, п = 8.
Все расчеты удобно проводить в так называемых симплексных
таблицах, первая из которых (табл. 68) соответствует опорному
решению.
Построение первой таблицы проводится по следующим
правилам (с учетом того, что опорное решение задачи получено из
ее канонического представления).
1. Первая строка таблицы содержит коэффициенты Cj,
j= 1,...,8 при неизвестных в каноническом представлении
целевой функции (14.14).
2. Первый столбец — это просто сплошная (от 1 до т)
нумерация переменных, попавших в базис. Этот столбец сохраняется
неизменным во всех последующих симплекс-таблицах, хотя
набор и порядок расположения базисных переменных меняется на
каждом шаге алгоритма.
3. Второй столбец содержит список базисных переменных.
4. Величины Q, /= 1,...,/и из третьего столбца равны
соответствующим коэффициентам Cj при базисных переменных в
каноническом представлении целевой функции.
5. Значения базисных переменных Аю, /= 1,...,аи берутся в
соответствии с опорным решением. Столбец Ai0 иногда называют
столбцом свободных членов (имея в виду, что он формируется из
правых частей исходной системы ограничений).
6. В качестве коэффициентов замещения А1} берутся
соответствующие коэффициенты при переменных из системы
ограничений в канонической форме (смысл термина «коэффициент
замещения» будет подробно анализироваться в гл. 16).
7. Элементы индексной строки вычисляются по формуле
т „
(Zj-С j)=JjCjAjj-Сj, j=0,1,—,&, (14.17)
где Cj,j= 1,...,8 — коэффициенты при соответствующих переменных в выражении
для целевой функции в каноническом представлении; С0 = 0.
283

оо
68. Первая симплекс-таблица задачи 14.5
Коэффициенты целевой функции
N°
п/п
(0
Базисные

переменные
с,-
Номера

ограничений (для

дополнительных

переменных)
An
(значение
базисных

переменных)
150
800
0
0
0
0
0
-М
Коэффициент замещения
Л|(*|)
(осн.)
(осн.)
4э(*з)
(изб.,
огр. 5)
АА(хл)
(ост.,
огр. 1)
(ост.,
огр. 2)
А/ьЫ
(ост.,
огр. 3)
An(x7)
(ост.,
огр. 4)
АнЫ
(иск.,
огр. 5)
Ai0
4.Л+1
1 х4 (ост.)
2 х5 (ост.)
3 *б (ост.)
4 x-j (ост.)
5 х8 (иск.)
Индексная
строка
0
0
0
0
-Л/
<3-
1
2
3
4
5
-9
1500 1
12000 5
2000 -10
НО 0
400
-400 М -150
0
50
80
¦
40
-800
-40 М
0
о
0
0
-1
1
0
0
0
¦
-М 0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
—
240
25
ПО
10
1502
12056
2071
112
440
-950
-441М

Заметим, что принятое в каноническом представлении
целевой функции буквенное обозначение коэффициента при
искусственных переменных сохранено в симплекс-таблице. В связи с
этим, например, второй элемент индексной строки равен
величине (-800 - 40 At).
Назначение двух последних столбцов симплекс-таблицы будет
пояснено ниже. Нулевой элемент индексной строки (Zq - C0) равен
значению целевой функции на данной итерации симплекс-метода.
Итерационная процедура симплекс-метода сводится к
последовательному преобразованию симплекс-таблиц, что (после
исключения искусственных переменных — см. ниже) соответствует
последовательному переходу от одной вершины симплекса к
другой. На каждой итерации выполняется несколько шагов;
рассмотрим их подробнее.
Шаг 1. Оценка решения, представленного данной таблицей, на
оптимальность и, если оптимум не достигается, поиск переменной,
вводимой в базис.
Указанные операции осуществляются на основе анализа всех
элементов индексной строки, соответствующих небазисным
переменным. Если все эти элементы неотрицательны в задачах на
максимум (неположительны в задачах на минимум), то данное
решение оптимально и соответственно вычислительный процесс
прекращается. В противном случае в задачах на максимум ищется
наибольший по абсолютной величине отрицательный элемент (в
задачах на минимум — наибольший положительный элемент).
Переменная, вводимая в базис, соответствует именно этому
элементу. Соответствующий столбец называется ключевым {главным,
разрешающим) столбцом. В таблице 68 такой столбец выделен
затенением.
Для понимания смысла действий на первом шаге следует
учесть, что каждый элемент индексной строки, взятый с
обратным знаком, показывает, насколько изменяется значение
целевой функции при изменении соответствующей переменной на
единицу. Значит, если в задачах на максимум все
рассматриваемые элементы индексной строки неотрицательны, то при
введении любой небазисной переменной в базис (то есть при
придании ей какого-либо положительного значения) значение
целевой функции либо не возрастет (если соответствующий
элемент равен нулю), либо даже уменьшится (если элемент
положителен). Это и означает, что мы достигли оптимума —
больше нет возможности увеличить значение целевой
функции. Если же среди элементов индексной строки есть
отрицательные (случай максимизации целевой функции), то это
означает, что, придавая соответствующей небазисной переменной
положительное значение (вводя ее в базис), мы можем
повысить значение целевой функции; при этом чем больше элемент
по абсолютной величине, тем быстрее будет расти целевая фун-
285

кция с ростом переменной. Именно поэтому при решении
задачи на максимум каждая очередная итерация начинается с
выбора наибольшего по модулю отрицательного значения элемента
индексной строки.
В рассматриваемом примере вводимой в базис является
переменная х2 (см. первую симплекс-таблицу). Геометрически это
означает, что мы движемся по оси х2 от начала координат (где
переменная х2 равна нулю) к вершине А (см. рис. 17).
Шаг 2. Определение выводимой из базиса переменной.
Рассмотрим сначала геометрическую интерпретацию этого
шага.
При движении по оси х2 от начала координат первой
встречается вершина А. В ней сходятся грани АВ и AF, а значит, в ней
нулевой является не только переменная хь но и переменная х8.
Следовательно, именно переменная х8 должна быть выведена из
базиса (см. табл. 67).
Общее правило выбора выводимой из базиса переменной
формулируется следующим образом: выводиться должна переменная
текущего базиса, которая раньше других обращается в нуль при
возрастании вводимой в базис переменной. Для ее определения
следует разделить значения элементов столбца Аю на
соответствующие положительные элементы ключевого столбца А{у В
рассматриваемом примере результаты деления показаны в
предпоследнем столбце первой симплекс-таблицы. Ту строку, в которой
результат деления оказался минимальным, называют ключевой
{главной, разрешающей) строкой] базисная переменная,
расположенная в этой строке, подлежит выводу из базиса (в
рассматриваемом примере — переменная х8; в таблице 68 ключевая строка
выделена затенением). Элемент симплекс-таблицы, лежащий на
пересечении ключевого столбца и ключевой строки, называют
ключевым {главным, разрешающим) элементом.
Основанием для такого алгоритма поиска выводимой из
базиса переменной служит доказываемое в теории линейного
программирования утверждение, согласно которому при увеличении
данной небазисной переменной (например, х2) любая базисная
переменная (например, х8) в соответствии с заданной системой
ограничений должна меняться следующим образом:
*8 = 4ю - А52х2 = 400 - 40х2, (14.18)
где Л50 — базисное значение переменной х8 (см. первую симплекс-таблицу); А52 —
коэффициент замещения базисной переменной х8 на небазисную переменную х2.
Формула (14.18) достаточно наглядно иллюстрирует смысл
термина «коэффициент замещения». Из нее прямо следует, что
именно при
х2 = А50/А52 = 400/40 =10 (14.19)
286

переменная х8 обращается в нуль (замещается вводимой
переменной х2). Аналогичные формулы можно записать и для других
базисных переменных. Их совместный анализ и приводит к
указанному алгоритму.
Описанная процедура позволяет сразу найти значение новой
базисной переменной. Действительно, коль скоро выгодно
достичь максимально допустимого значения вводимой в базис
переменной (в данном случае х2), то искомое значение определится
формулой (14.19). Дальнейшее увеличение х2 нарушит условие
неотрицательности переменной х8, что следует из формулы
(14.18).
Шаг 3. Частичная замена базиса.
Суть этого шага состоит в исключении из базиса переменной,
стоящей в ключевой строке, и записи на ее место новой
переменной, стоящей в ключевом столбце.
Шаг 4. Расчет всех элементов новой симплекс-таблицы.
Расчет новых значений элементов ключевой строки
проводится по формуле
А'..- А- I Акя
У ~ У ' if '
где А^1 — ключевой элемент.
В рассматриваемом примере (табл.68) А™ =40.
Соответственно новые элементы ключевой строки будут равны:
^0=400/40=10; Л^=0; ^52=40/40=1; А^=-1/40=-0,25; ^4=0;
^55=0; ^6=0; ^7=0; А& =1/40=0,025.
Вычисление новых значений элементов в остальных строках
симплекс-таблицы, включая индексную, производится по
формуле
А(1=АУ~АУкпАЫ>
где Ау — значения элемента преобразуемой i-й строки, расположенного в
ключевом столбце; А\ j — элементы преобразованной ключевой строки.
Для примера проведем вычисления элементов 2-й строки:
А$0 =12000-5010=11500; ^=5-50-0=5; ^2 =50-50-1= 0;
^з=0-50-(-0,025)=1,25; ^4=0-50-0=0; ^5 = 1-500=1;
^26 =0-50-0=0; ^27=0-50-0=0; Л$8=0-50-0,025=-1,25.
287

После всех преобразований все коэффициенты замещения,
расположенные в ключевом столбце, кроме ключевого элемента,
должны быть равны нулю; ключевой элемент будет равен 1. В
результате получим новую симплекс-таблицу (табл. 69). В этой
таблице, как и в последующих, ключевая строка и ключевой
столбец выделены.
Анализ второй и последующих таблиц проводится по той же
схеме. Кроме того, в этих таблицах проводится анализ
размещения искусственных переменных. Если на данной итерации какая-
либо искусственная переменная перешла в число небазисных, то
она должна быть исключена из дальнейшего рассмотрения.
Фактически это делается путем вычеркивания из полученной
симплекс-таблицы столбца, соответствующего искусственной
переменной, ставшей небазисной. В целях упорядочения
итерационной процедуры симплекс-метода такое вычеркивание
целесообразно считать самостоятельной итерацией. Для
рассматриваемого примера вычеркивание единственной искусственной
переменной х8, ставшей небазисной, зафиксировано в переходе
от таблицы 69 к таблице 70.
Преобразование таблиц заканчивается, если на очередной
итерации достигается оптимальное решение (см. выше описание
шага 1). Четвертая и пятая (последняя) симплекс-таблицы для
рассматриваемого примера приведены в таблицах 71, 72.
Контроль вычислений можно осуществлять следующим
образом.
1. Логический контроль изменения значений целевой
функции: в задачах на максимум эти значения от итерации к итерации
должны возрастать (не убывать), в задачах на минимум
—убывать (не возрастать).
2. Логический контроль вычисления значений базисных
переменных — в столбце Аю не должно появляться отрицательных
чисел. Их появление свидетельствует о том, что, например,
неправильно выбрана ключевая строка.
3. Расчет дополнительного столбца симплекс-таблиц (в
табл. 68—72 это последний столбец), в котором размещают
контрольные суммы, определяемые по формуле,
п
у = 0
В первой симплекс-таблице в этот столбец заносят суммы
коэффициентов по строке, включая столбец Ai0. При переходе к
новой таблице эти коэффициенты пересчитываются по общим
правилам (см. описание шага 4), причем эти пересчитанные
значения должны совпадать с суммами коэффициентов по
соответствующим строкам новой таблицы.
288

69. Вторая симплекс-таблица задачи 14.5
Коэффициенты целевой функции
п/п
(0
Базисные

переменные
с,
Номера

ограничений (для

дополнительных

переменных)
Л/о
(значение
базисных

переменных)
150
800
0
0
0
0
0
-М
Коэффициенты замещения
4i(*i)
(осн.)
Лг(*2)
(осн.)
Лз(*з)
(изб. в
огр. 5)
AiA(xA)
(ост. в
огр. 1)
МХ5)
(ост. в
огр. 2)
(ост. в
огр. 3)
Лр(х7)
(ост. в
огр. 4)
А*(*8)
(иск. в
огр. 5)
4о
4,
Л л + 1
1 х4 (ост.)
2 х5 (ост.)
3 Хб (ост.)
4 х7 (ост.)
5 jc2 (осн.)
Индексная
строка
0
0
0
0
800
<3-
1
2
3
4
-
-<3>
1500
12000
1200
100
10
8000
1
5
-10
0
0
-150
0
0
0
0
1
0
0
1,25
. 20
0,025
-0,025
-20
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
-1,25
-2
-0,025
0,025
20 + М
1500
2300
-
—
—
1502
12006
1209
101
11
7850 + М
to
ОО

70. Третья
Коэффициенты целевой функции
№
п/п
(0
Базисные

переменные
1 х4 (ост.)
2 х5 (ост.)
3 х6 (ост.)
4 дс7 (ост.)
5 х2 (осн.)
Инде
стр
жсная
>ока
С/
0
0
0
0
800
Номера
офаничений
(для
дополнительных
переменных)
1
2
3
4
—
(%-Cj)
До
(значение
базисных

переменных)
1500 |
12000
1200
100
10
8000
150
Л|(*|)
(осн.)
симплекс-
800
-таблица задачи 14.5
0
0
0
0
Коэффициенты замещения
Mxi)
(осн.)
Mxi)
(изб. в
оф. 5)
А»(х4)
(ост. в
Оф. 1)
ШШшШШШШШШШШЯ
0 1,25 0
0 20 0
0 0,025 0
1 -0,025 0
0
-20
0
Mxs)
(ост. в
оф.2)
ЛЛ(*б)
(ост. в
оф. 3)
0
Мх7)
(ост. в
оф. 4)
' :^ "\ '
1 0
0 1
0 0
0 0
0
0
0
0
1
0
0
2300
—
—
—
A: j.i
Л/. Я + 1
12007,25
1211
101,025
10,975
7830
71. Четвертая симплекс-таблица задачи 14.5
Коэффициенты целевой функции
п/п*
(О
Базисные

переменные
Номера
офаничений
(для
дополнительных
переменных)
До
(значение
базисных

переменных)
Л,я +
1 Х\ (ОСН.)
2 *5 (ОСТ.)
3 *б (ост.)
4 X-J (ост.)
5 х2 (осн.)
Индексная
строка
150
0
0
0
800
<3-
—
2
3
4
—
-9
1500
4000
16200
100
10
233000
- 1502
16213
101,025
10,975
233130

72. Петая (последняя) симплекс-таблица задачи 14.5
Коэффициенты целевой функции
jNfen/n
(/¦)
Базисные
переменные
с,
Номера
ограничений (для
дополнительных
переменных)
Аю
(значение
базисных
переменных)
150
800
0
0
0
0
0
Коэффициенты замещения
ЛЛ(*|)
(осн.)
Ап(х2)
(осн.)
Лз(*з)
(изб. в
огр. 5)
Ац(хА)
(ост. в
огр. 1)
Аб(х5)
(ост. в
огр. 2)
Ал(хь)
(ост. в
огр. 3)
Ап(х7)
(ост. в
огр. 4)
Л. п + 1
1 *! (ОСН.)
2 хъ (изб.)
3 Лб (ост.)
4 jc7 (ост.)
5 х2 (осн.)
Индексная
строка
150
0
0
0
800
<3-
—
5
3
4
—
-Ъ)
1500
3200
9800
20
90
297000
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
-4
18
0,1
-0,1
70
0
0,8
-1,6
-0,02
0,02
16
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1502
3197,8
9817,4
21,08
90,92
297086

4. Контроль вычисления коэффициентов индексной строки
производится так: они могут определяться как элементы любых
других строк по формуле
Zj-Cj =Ay =Ay-Aij^A-^j, y=0,l,...,/i,
а также по формуле (14.17). Кроме того, вычисление значений
целевой функции может быть проконтролировано по исходной
формуле
N
г=ъс]Х].
У = 1
Ответ задачи находится в столбце значений базисных
переменных последней симплексной таблицы. Из нее видно, что х\ =
= 1500 га; х2 = 90 голов; х3 = 3200 ц; х$ = 9800 ц; х7 = 20 голов. Все
остальные переменные, не вошедшие в базис, равны 0.
Максимальное значение целевой функции Z= 297 000 руб.
Проведем экономический анализ результатов решения задачи
по данным последней симплексной таблицы. Из нее видно, что
площадь под зерновыми культурами равна 1500 га (х! = 1500).
Значение х4, которое характеризует неиспользуемую площадь
пашни, равно нулю.
Таким образом, выполняется первое ограничение
канонической формы записи данной задачи (14.15):
х{+х4 = 1500 + 0= 1500 га.
Поголовье коров в результате решения получилось равным 90
(х2 = 90). Величина х7 = 20 в ответе задачи характеризует факт,
что на ферме хозяйства 20 ското-мест остались незанятыми.
Таким образом, выполняется четвертое условие:
*2 + *? = 90 + 20 = 110 голов.
Значение избыточной переменной х3 = 3200 ц показывает, что
плановое производство молока перекрыто на 3200 ц, что видно
из пятого ограничения:
40*2 - *з + *8 = 40 • 90 - 3200 + 0 = 400 ц.
Значение х^ в рассматриваемой задаче характеризует
недоиспользование кормов (хв = 9800 ц). Тем самым выполняется третье
условие канонической записи задачи:
-lOjq + 80*2 + х6 = -10 • 1500 + 80 • 90 + 9800 = 2000 ц.
292

Учитывая экономический смысл значения остаточной
переменной *б, можно сказать, что хозяйству следует принять меры к
реализации 9800 ц фуражного зерна, которое не используется.
Значение переменной х5 в решении задачи равно нулю
(х5 = 0). Это говорит о том, что ресурсы труда в оптимальном
плане использованы полностью и второе условие системы
ограничений также выполняется:
5*! + 50х2 + х5 = 5 • 1500 + 50 • 90 + 0 = 12 000 чел.-ч.
Таким образом, подставляя полученные в ответе значения
переменных в уравнения канонической формы представления
задачи, можно осуществить заключительный контроль решения и
провести его содержательный анализ.
14.7. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Одним из способов экономического анализа решения, его
чувствительности к возможным изменениям является
построение так называемых двойственных задач. В принципе любой
задаче линейного программирования соответствует действенная
(обратная) по отношению к ней; она строится по определенным
правилам. Воспользуемся простой и наиболее универсальной
схемой, основанной на представлении любой задачи в
стандартной форме, в которой все ограничения приведены к типу «=» с
помощью остаточных и избыточных переменных, но без
искусственных переменных, а правые части ограничений и все
переменные неотрицательны (ТахаХ. Введение в исследование
операций. Книга 1.-М.: Мир, 1985. - С. 133):
Z= ^ZcjXj-*
J
i=l
max
или
min
(14.20)
%aijXj=bi;i=l,...,m', (14.21)
xj>0,j= 1,...,л,
где хи...,хп — совокупность основных, остаточных и избыточных переменных.
Двойственная задача по отношению к этой прямой строится
по следующей схеме:
1) каждому /-му ограничению из системы (14.21) сопоставляется
ассоциированная с ним двойственная переменная yh /= l,...,m;
293

2) каждой переменной */,./ = 1,...,л прямой задачи
сопоставляется одно ограничение двойственной задачи (всего п
ограничений), причем в качестве коэффициента при переменной у,- в у'-м
ограничении двойственной задачи используется /-й
коэффициенту-го столбца матрицы 11 а^\ I, а в качестве правых частей
ограничений — коэффициенты cj при переменных в выражении для
целевой функции Z прямой задачи;
3) в качестве коэффициентов при переменных у-, в выражении
для целевой функции ^двойственной задачи используются
правые части bi ограничений прямой задачи;
4) на переменные у-, изначально условия неотрицательности не
накладываются (однако они могут появиться как результат
применения п. 2 данной схемы — примеры см. ниже);
5) направление оптимизации (максимизация или
минимизация целевой функции) и тип ограничений для двойственной
задачи определяются в соответствии с направлением оптимизации
в прямой задаче (табл. 73).
73. Схема взаимосвязи прямой и двойственной задач
Целевая функция прямой
задачи
Двойственная задача
целевая функция
ограничения
Максимизация Минимизация «>»
Минимизация Максимизация «<»
Таким образом, если, например, в задаче (14.20), (14.21)
задана максимизация целевой функции Z, то соответствующая
двойственная задача имеет вид
т
т
^ayy^cj; у=1,...,л,
i=i
причем двойственные переменные у\,...,ут не ограничены в
знаке.
Рассмотрим два конкретных примера построения
двойственной задачи.
Задача 14.6. Проектом внутрихозяйственного землеустройства
предусмотрено коренное и поверхностное улучшение
заболоченных (100 га) и закустаренных (140 га) пастбищ. Определить,
какие мероприятия и на какой площади целесообразно провести
для получения максимального выхода продукции (в переводе на
кормовые единицы) с улучшенных угодий. На эти мероприятия
запланировано 6 млн руб. Другие исходные данные приведены в
таблице 74.
(14.22)
(14.23)
294

74. Исходные данные к задаче 14.6
Виды угодий и мероприятия по их
улучшению
Пастбища заболоченные:
осушение + коренное
улучшение
осушение + поверхностное
улучшение
Пастбища закустаренные:
коренное улучшение
поверхностное улучшение
Затраты на улучшение 1 га,
тыс. руб.
35
25
15
10
Выход продукции с 1 га
угодий
ц корм. ед.
32
23
27
18
В качестве основных переменных задачи примем:
х\, х2 — площади заболоченных пастбищ, на которых
проводится осушение с последующим коренным и поверхностным
улучшением соответственно, га;
х3, х4 —площади закустаренных пастбищ, на которых
проводится коренное и поверхностное улучшение соответственно, га.
Развернутая постановка прямой задачи в стандартной форме
имеет вид
Z= 32jc, + 23jc2 + 27х3 + 18х4 -> max;
xi + x2 + х5 = 100;
Х3 + Х4 + *6== ^'
35х! + 25jc2 + 15*з + Юх4 + *7 = 6000;
xy>0,y=l,...,7.J
Здесь jc5, *6, *7 — остаточные переменные.
Вводя двойственные переменные уи уъ j>3> ассоциированные с
тремя ограничениями прямой задачи, получим следующую
постановку двойственной задачи:
W= Ю0у{ + 140>^2 + 6000)>з -> min;
1*
1л
Оуг
Oyi
1*
Oyi
Oyi
+ 0у2
+ 0у2
+ ^Уг
+ 1у2
+ 0у2
+ 1^2
+ 0^2
+
+
+
+
+
+
+
35у3 *
25у3 >
15у3 >
Юу3 >
Оуз *
0у3 *
1у3 S
32;]
23;
27;
18;
0;
0;
0;J
(14.24)
У и Уъ Уз формально не ограничены в знаке.
Обратим внимание на последние три ограничения этой систе-
295

мы. Фактически они являются условиями неотрицательности для
двойственных переменных у\, y-i, Уъ- Следовательно, система
ограничений двойственной задачи может быть записана и в
обычном виде с неотрицательными переменными:
У\ + 35у3 >
У\ + 12j>3 ^
уг + 18^ >
У1 + Ю^з ^
УъУъ Уз^О.
32;1
23;
27;
18;
Это утверждение справедливо для всех случаев, когда в
исходной формулировке прямой задачи:
либо все ограничения относятся к типу «<» и целевая функция
максимизируется;
либо все ограничения относятся к типу «>» и целевая функция
минимизируется.
Рассмотрим еще один пример.
Задача 14.7. Определить оптимальное сочетание следующих
отраслей в хозяйстве: молочное животноводство, свиноводство,
пшеница на фураж, кукуруза на силос, пастбища, сенокосы.
Цель — максимум прибыли. Хозяйство располагает 1000 га
пашни, запасом кормов на пастбищах и сенокосах в 1400 ц корм, ед.,
ресурсами механизированного труда 11 тыс. чел.-ч, ручного труда
150 тыс. чел.-ч. Продуктивность молочного стада 4000 кг.
Согласно бизнес-плану в хозяйстве должно быть произведено не менее
1000 ц молока. Прибыль в расчете на 1 голову КРС 400 руб., 1
голову свиней 350 руб. Другие исходные данные приведены в
таблице 75.
75. Исходные данные ж задаче 14.7
Показатели
Нормативы затрат и выхода продукции (на 1 га, 1 голову)
Пшеница
Кукуруза
КРС
Свиньи
Затраты труда, чел.-ч:
механизированного
ручного
Урожайность, ц корм. ед.
Норма кормления, ц корм. ед.
5
35
30
—
11
21
55
—
2
100
—
80
0,2
80
—
40
В качестве основных переменных задачи примем:
х\9 х2 — площадь пашни под пшеницей и кукурузой
соответственно, га;
х3, х4 — поголовье КРС и свиней соответственно, голов.
Прямая задача в неканонической форме имеет вид
296

Z= 400x3 + 350x4 -» max;
x, + x2 < 1000;
5x! + llx2 + 2x3 + 0,2x4 < 11000;
35x! + 21x2 + 100x3 + 80x4 < 150000;
-30x, - 55x2 + 80x3 + 40x4 < 1400;
40x3 > 1000;
л
[
x,>0,y=l,...,4.
В канонической форме записи ограничения примут вид
lxi + 1х2 + 0х3 + 0х4 + 0х5 + 1х6 + 0х7 + 0х8 + 0х9 = 1000
5х, + 11х2 + 2х3 + 0,2х4 + 0х5 + 0х6 + 1х7 + 0х8 + 0х9 = 11000
35х, + 21х2 + 100х3 + 80х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7 + 1х8 + 0х9 = 150000
-ЗОх! - 55х2 + 80х3 + 40х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7 + 0х8 + 1х9 = 140
0х, + 0х2 + 40х3 + 0х4 - 1х5 + 0х6 + 0х7 + 0х8 + 0х9 = 1000
ху>0,у=1,...,9.
где х5 — избыточная переменная; х6,...,Л9 — остаточные переменные.
Вводя двойственные переменные уи ...,у$, ассоциированные с
пятью ограничениями прямой задачи, получим следующую
постановку двойственной задачи:
w=
Ъ\
1Л
Oyi
0Л
0ух
1^1
0Л
0Л
Оу,
= 1000^ + 11 000у2 + 150 ООО^з + 1400^4 + 1000у5 -> min;
+ 5у2 +
+ 1 lyi +
+ 2у2 +
+ 0,2у2 +
+ 0у2 +
+ 0у2 +
+ 1^2 +
+ 0у2 +
+ 0у2 +
35у3 - 30у4 + 0у5 >
21у3 - 55у4 + 0у5 >
100у3 + 80у4 + Л0у5 >
80у3 + 40у4 + 0у5 ^
Оуз + 0у4 - 1у5 >
Оуз + 0у4 + 0у5 >
0у3 + 0у4 + 0у5 ^
1УЗ + ОДЧ + 0у5 >
0у3 + 1^4 + 0У5 *
0;
0;
400;
350;
0;
0;
0;
0;
0;
(Ь
Уъ —,У5 не ограничены в знаке.
297

Учитывая структуру последних четырех ограничений из
(14.26), данную систему можно переписать следующим
образом:
ух + 5у2 + 35у3 - 30j/4 > 0;]
Ух + 11>>2 + 21у3 - 55^4 ^ 0;
2у2 + Шу3 + 80у4 + 40у5 ? 400;
0,2у2 + 80у3 + 40у4 ^ 350:
- у5 * о;
У/>0, /= 1,...,4; у5 не ограничена в знаке.
Для того чтобы привести двойственную задачу к обычному
виду (со всеми неотрицательными переменными), воспользуемся
следующей заменой переменных:
где у^у$ неотрицательны.
В результате получим следующую окончательную постановку
двойственной задачи:
W=\000yx +11000^2 +150 000у3 + 1400у4 +1000^ -1000>^->min;
>
>
Ух + 5у2 + 35^з - 30^4
Ух + \\у2 + 21>^з - 55^4
2у2 + ЮО^з + 80j>4 + 40^ - 40j# > 400:
0,2^ + 80j>3 + 40у4 ^ 350:
- y's + У? * 0:
14.8. СОПОСТАВЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ПРЯМОЙ
И ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧ
Решения только что рассмотренных прямых и двойственных
задач приведены в таблицах 76—79. Для большей компактности
из них исключены столбцы коэффициентов замещения,
соответствующие базисным переменным.
298

76. Оптимальное решение прямой задачи 4.6
JSfe п/п
(О
Базисные
переменные
Номера офа-
ничений
(для
дополнительных
переменных)
Аю
(значение
базисных

переменных)
Коэффициенты замещения
Ai4(x2)
(осн.)
А6(х4)
(осн.)
Adxs)
(ост. в
Оф. 1)
Ал(хь)
(ост. в
оф. 2)
1 х, (осн.)
2 х3 (осн.)
3 х7 (ост.)
Индексная
строка
32
27
0 3
(Zj-Cj)
100
140
400
6980
1
0
-10
9
0
1
-5
9
1
0
-35
32
0
1
-15
27
77. Оптимальное решение двойственной задачи 4.6
N° п/п
0)
Базисные
переменные
в;
Номера
офаничений (для
дополнительных
переменных)
(значение
базисных
переменных)
Коэффициенты замещения
Аа,<Уз)
(осн.)
Лз/дч)
(изб. в
Оф. 1)
Аб,{уб)
(изб. в
оф. 3)
1 ^5 (изб.) 0 2
2 Л (осн.) 100 -
3 Мизб.) 0 4
4 Ыосн.) 140 —
Индексная строка (Wt — В/)
9
32
9
27
6980
10
35
5
15
-400
-1
-1
0
0
-100
0
0
-1
-1
-140
78. Оптимальное решение прямой задачи 4.7
№п/п
(О
Базисные
переменные
Номера
офаничений
(для
дополнительных
переменных)
А0
(значение
базисных

переменных)
Коэффициенты замещения
А6(х5)
(изб. в
оф. 5)
АЛМ
(ост. в
Оф. 1)
Ар(х7)
(ост. в
оф. 2)
As(X9)
(ост. в
оф. 4)
1
2
3
4
5
X! (ОСН.)
х4 (осн.)
*8 (ОСТ.)
хз (осн.)
х2 (осн.)
0
350
—
400
0
53
-0,007 1,84 -0,16 0,0012
Индексная строка
(Zj-Cj)
1327
19590
25
947
474500
0,054
-1,74
-0,025
0,007
8,93
0,22
-64,7
0
-0,84
78,6
0,1
-5,88
0
0,16
35,7
0,001
0,024
0
-0,0012
8,57
В теории линейного программирования доказывается
несколько теорем о взаимосвязи решений прямой и двойственной
задач. Знание этих взаимосвязей важно не только с
теоретической, но и с прикладной точки зрения; укажем (без
доказательства) важнейшие из них:
взаимодвойственность: прямая задача и двойственная к ней
являются взаимодвойственными (то есть задача, двойственная к
двойственной, совпадает с прямой);
теорема двойственности: если взаимодвойственные задачи
имеют хотя бы одно допустимое решение, то они имеют
одинаковые значения целевых функций в оптимуме;
299

о
о
79. Оптимальное решение двойственной задачи
№ п/п
0)
Базисные
переменные
bj
Номера офаничений
(для дополнительных
переменных)
Ац
(значение
базисных
переменных)
Коэффициенты замещения
(осн.)
AbjW
(осн.)
Аб/Уб)
(изб.
10ф. 1)
Ayiyn)
(изб.
в оф. 2)
Афн)
(изб.
в оф. 3)
Аъ<Уэ)
(изб.
в оф. 4)
1 ух (осн.) 1000
2 у2(осн.) 11000
3 уА (осн.) 1400
4 .Ню (изб.) -
5 ^(осн.) -1000
Индексная строка
(Wj-Bj)
78,6
35,7
8,57
8,93
8,93
474500
6,47
5,88
1,97
1,04
1,04
-19590
0
0
0
0
-1
0
-1,84
0,16
-0,0008
0,007
0,007
-53
0,844
-0,16
0,0008
-0,007
-0,007
-947
0
0
0
0,025
0,025
-25
-0,012
-0,024
-0,55
-0,064
-0,064
-1327

полнота симплекс-таблицъг. симплекс-таблица,
соответствующая прямой задаче, содержит всю информацию о решении
двойственной и наоборот.
Свойство взаимодвойственности достаточно очевидно. Если
двойственную задачу рассматривать в качестве прямой и
применить к ней правила построения двойственной, то, как нетрудно
заметить, мы получим исходную прямую задачу.
Теорема двойственности непосредственно иллюстрируется
приведенными таблицами. Так, для задачи (4.6)
2opt = H^opt = 6980; для задачи (4.7) Z^ = Wopt = 47 450.
В справедливости утверждения о полноте симплекс-таблиц
прямой и двойственной задач нетрудно убедиться, сравнивая их
попарно. Специально укажем на соответствие между элементами
индексной строки прямой задачи, расположенными в столбцах
небазисных дополнительных переменных, и значениями
основных двойственных переменных, попавших в базис оптимального
решения двойственной задачи. Так, в таблице 76 значения
элементов индексной строки для остаточных переменных х5, х^
(порожденных соответственно 1-м и 2-м ограничениями прямой
задачи 4.6) равны ассоциированным с этими ограничениями
основным двойственным переменным уи "у2- Аналогичное
утверждение можно сделать и относительно элементов индексной
строки прямой задачи 4.7, соответствующих избыточной
переменной х5 и остаточным переменным х$у х7, х$. Значения этих
элементов совпадают со значениями ассоциированных с
соответствующими ограничениями двойственных переменных (ср. табл.
78 и 79).
Методы анализа оптимальных решений, основанные на
взаимосвязях прямой и двойственной задач, подробно рассмотрены в
главе 16.
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте общие требования к задачам, решаемым методами
линейного программирования.
2. В чем состоит практическое значение линейного программирования?
Каковы его преимущества перед традиционными способами проектирования и
экономического обоснования проектных решений?
3. Назовите основные виды алгоритмов линейного программирования и
охарактеризуйте кратко их суть.
4. Назовите основные составные части модели линейного программирования.
5. Укажите, какие аспекты землеустроительного проектирования отражают:
совокупность основных переменных задачи;
система линейных ограничений;
целевая функция.
6. Как записывается целевая функция общей задачи линейного
программирования?
7. Приведите общий вид системы ограничений задачи линейного
программирования. Какова стандартная форма записи ограничений?
8. Какие виды землеустроительных задач сводятся к общей задаче линейного
программирования? Приведите соответствующие примеры.
301

9. Назовите основные этапы постановки задачи линейного программирования.
10. Как обычно записывают ресурсные ограничения в задачах линейного
программирования? Приведите примеры.
11. Какой вид обычно имеют ограничения, учитывающие плановые задания по
производству продукции? Приведите примеры.
12. Каков общий вид ограничений по кормам? Какие разновидности
ограничений по кормам вы можете назвать?
13. Что такое избыточность системы ограничений? Приведите соответствующие
примеры для случая ограничений по кормам.
14. Каковы основные особенности табличного представления задач линейного
программирования?
15. Что называется каноническим видом (представлением) задачи линейного
представления?
16. Каким образом задача линейного программирования может быть приведена
к каноническому виду (представлению)?
17. Перечислите разновидности дополнительных переменных.
18. Как привести к каноническому виду ограничение типа «>»? Каков
экономический смысл избыточной переменной? Приведите примеры.
19. Как преобразовать к каноническому представлению ограничение типа «<»?•
Каков экономический смысл остаточной переменной? Приведите примеры.
20. В ограничения какого типа вводят искусственные переменные? Какова цель
их введения в каноническую запись задачи?
21. Как получить опорное решение задачи линейного программирования,
используя ее каноническое представление?
22. С какими коэффициентами входят в выражение для целевой функции в
каноническом представлении остаточные и избыточные переменные?
23. Каким образом необходимо включать в выражение для целевой функции
искусственные переменные в задачах на минимум и на максимум целевой функции?
24. Какими методами решаются общие задачи линейного программирования?
25. Что такое область допустимых значений (ОДЗ) основных переменных
задачи линейного программирования? Чем определяются границы ОДЗ?
26. Приведите пример графического изображения области допустимых
значений задачи линейного программирования, в которой число основных переменных
равно двум.
27. Как геометрически изображается целевая функция задачи линейного
программирования, в которой число основных переменных равно двум?
28. Что такое линия уровня целевой функции? Приведите пример уравнения
для линии уровня.
29. Какому расположению линии уровня целевой функции соответствует
оптимальное решение задачи линейного программирования?
30. Что такое допустимое базисное решение задачи линейного
программирования? Каким точкам области допустимых значений соответствуют базисные
решения?
31. Каким должно быть число базисных переменных в базисном решении?
32. Перечислите правила построения первой симплекс-таблицы.
33. Чему равен нулевой элемент индексной строки симплекс-таблицы?
34. В чем смысл итерационной процедуры симплекс-метода?
35. Назовите последовательность шагов одной итерации симплекс-метода.
36. Как на основании анализа индексной строки симплекс-таблицы можно
определить, оптимально полученное решение или нет?
37. Как определяется ключевой (разрешающий) столбец симплекс-таблицы на
данной итерации?
38. Как определяют вводимую в базис переменную?
39. Как определяют ключевую (разрешающую) строку симплекс-таблицы на
данной итерации?
40. Как определяют выводимую из базиса переменную?
41. Приведите формулы для расчета элементов новой симплекс-таблицы при
частичной замене базиса.
302

42. Как осуществляется контроль вычислений при определении оптимального
решения задачи линейного программирования?
43. Какую задачу называют двойственной задачей линейного
программирования? Какая форма представления прямой задачи используется при построении
двойственной?
44. По какой схеме строится двойственная задача? Что такое «двойственные
переменные, ассоциированные с ограничениями прямой задачи»?
45. К какому виду можно привести двойственную задачу, если в прямой задаче
все ограничения относятся к типу «<» и целевая функция максимизируется?
46. Как связаны между собой решения прямой и двойственной задач?
Глава 15
РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНАЯ (ТРАНСПОРТНАЯ) МОДЕЛЬ
15.1. ПОСТАНОВКА РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Некоторые широко применяемые методы линейного
программирования приспособлены для решения определенного
класса задач; их использование дает большие преимущества по
сравнению с симплекс-методом (применимым для любых задач
линейного программирования). Наиболее распространенным из
них является распределительный метод, позволяющий в ряде
случаев существенно упростить расчеты, повысить точность
вычислений и снизить затраты времени на ввод исходной
информации.
Идея этого метода принадлежит отечественным ученым
(А.Толстой, Л.В.Канторович), которые в 1939—1940гг., по
существу, поставили и решили транспортную задачу с
использованием метода потенциалов. Аналогичный метод, отличающийся
лишь небольшой деталью, был предложен независимо в 1951г.
американским ученым Дж. Данцигом и назван им
модифицированным распределительным методом (в зарубежной литературе
он называется методом MODI).
Первоначально распределительный метод применялся в
задачах, связанных с транспортировкой грузов, их распределением
между несколькими пунктами отправления и приема; поэтому он
известен также под названием «транспортная задача». Суть ее
заключается в следующем.
Заданы т источников ресурса и п пунктов его потребления.
Запасы ресурса в источниках составляют Ah /= 1,...,/я,
потребности — Bj, j = 1,...,л. Стоимость транспортировки единицы ресурса
от /-го источника к у-му потребителю — Cij9 ху — количество
ресурса, транспортируемого от /-го источника к у-му потребителю.
Требуется определить такие значения Ху, при которых общие
транспортные расходы будут минимальны. Задача
предполагается сбалансированной; общий запас ресурса у поставщиков и
общий спрос на него у потребителей равны:
303

т п
/=i j=\
Такую задачу называют закрытой; если же этот баланс не
выдерживается, транспортная задача является открытой.
С учетом условия сбалансированности модель транспортной
задачи может быть сформулирована следующим образом.
Целевая функция:
Z = ^CyXjj->min.
(U)
Ограничения по запасам:
п
yZxiJ=Ai, /=l,...,m.
y=i
Ограничения по потребностям:
т
!Lxij = Bp j=\,...,n.
/ = 1
Условие баланса:
т п
/=1 у=1
Условия неотрицательности:
x,j>0, /= l,...,/w, y= 1,...,л. (15.5)
Из данной модели видны важнейшие отличительные
особенности распределительных (транспортных) задач:
условия задачи описываются только уравнениями (в
симплексном методе ограничения задачи описывались и неравенствами);
все переменные выражаются в одних и тех же единицах
измерения;
во всех уравнениях коэффициенты при переменных равны
единице;
каждая переменная встречается только в двух уравнениях
системы ограничений: в одном по строке (по запасам) и в одном по
столбцу (по потребностям).
Целевая функция Z выражает суммарные расходы на
транспортировку груза. Ограничения типа (15.2) и (15.3) означают, что
сумма ресурса, забираемого из /-го источника, должна быть рав-
(15.1)
(15.2)
(15.3)
(15.4)
304

на запасу ресурса в нем и что сумма ресурса, доставляемого у-му
потребителю, должна быть равна его потребности.
Величины Сц могли бы выражать не транспортные расходы, а,
например, прибыль от транспортных операций. В этом случае
также была бы возможна постановка задачи такого же типа, но с
максимизацией целевой функции.
Сфера применения транспортных моделей, несмотря на,
казалось бы, их специфический характер, очень широка. С их
помощью можно моделировать реальные задачи отнюдь не только
«транспортного» содержания. Приведем несколько примеров,
иллюстрирующих это утверждение.
Задача 15.1. При землеустроительном обследовании в
хозяйстве было выделено 5 участков с различным плодородием,
пригодных для трансформации угодий. Площади этих участков 250,
100, 520, 310 и 130 га. По проекту на них намечается разместить
кормовой севооборот площадью 600 га, полевой — 560 га,
улучшенные сенокосы—150га. Необходимо так распределить
севообороты и угодья по участкам, чтобы чистый доход был
максимальным. Дополнительная информация приведена в таблице 80.
80. Исходные данные к задаче 15.1
Угодья и севообороты
Кормовой
севооборот
Полевой севооборот
Улучшенные
сенокосы
Площади участков,
Чистый доход при размещении на данном участке,
руб. на 1 га
1
(пастбище)
800
1000
550
250
2
(пашня)
1100
1800
440
100
3
(пашня)
800
2000
380
520
4
(пашня)
600
2200
300
310
5
(сенокосы)
440
2000
700
130
Проектные
площади
угодий и

севооборотов, га
600
560
150
^_1310
га
На «транспортном языке» эта задача может быть описана
следующим образом: «ресурсы» в источниках (4) — это площади
севооборотов и улучшенных сенокосов; «потребности в ресурсах»
(R) — площади участков; «прибыль от транспортных операций»
(О,) —чистый доход с единицы площади; «транспортируемый
ресурс» (х0) — часть площади /-го севооборота или угодья,
размещаемого на у-м участке; максимизируемая целевая функция —
чистый доход хозяйства от рационального размещения и
трансформации угодий.
Задача 15.2. В сельскохозяйственном предприятии на пахотных
землях выделено 5 категорий земель различной степени
эродированное™. Площади земель различных категорий: I —980 га, II —
710, III —220, IV—100, V—100га. Необходимо так разместить
культуры на землях различных категорий, чтобы смыв с поверхнос-
305

ти почвы был минимальным. Площади пашни под различными
культурами составляют: озимая пшеница — 340 га, ячмень — 560 га,
многолетние травы — 510 га, однолетние травы — 360 га, пар —
340 га. Дополнительная информация приведена в таблице 81.
Культуры
81. Исходные данные к задаче 15.2
Интенсивность смыва почвы при размещении на
землях определенной категории, т на 1 га в год
I
II
III
IV
V
Площади
культур, га
Озимая пшеница 1,8 4,7 10,2 30,5
Ячмень 2,4 6,3 12,0 34,0
Многолетние травы 0,2 0,8 2,4 4,8
Однолетние травы 2,3 6,3 11,8 33,5
Пар чистый 3,8 10,0 30,0 60,0
Площади категорий 980 710 220 100
земель, га
Транспортная интерпретация задачи: «ресурсы в источниках»
(Aft — это площади культур; «потребности в ресурсах» (BJ) —
площади земель различных категорий эродированное™; «удельные
транспортные расходы» (Q)— интенсивность смыва почвы;
«транспортируемый ресурс» (х/у) — площадь /-й культуры на
землях у-й категории; целевая функция — общий смыв почвы.
Задача 15.3. Три близлежащих хозяйства имеют 7 чересполосных
участков, продукция которых используется на кормовые цели.
Необходимо так перераспределить чересполосные участки между
хозяйствами, чтобы транспортные затраты на перевозку кормов были
минимальными при условии, что общий объем потребления кормов
в каждом хозяйстве сохраняется. Объем производства кормов в
хозяйствах на первоначально закрепленных за ними участках
составил: «1 Мая» —6000 т корм, ед., «Луч» —4000, «Победа» —
10 000 т корм. ед. Объемы производства кормов на указанных
участках (т корм, ед.): 1-1000, II-2000, III-3000, IV-2500, V-
1500, VI —9000, VII— 1000. Стоимость транспортировки кормов с
участков в хозяйства в рублях и первоначальное закрепление
участков за хозяйствами показаны в таблице 82.
: Транспортная интерпретация задачи: «ресурсы в источниках»
(Aj) — потребности хозяйств в кормах; «потребности в ресурсах»
(BJ) — объемы производства кормов на различных участках;
«удельные транспортные расходы» (Су) — стоимость
транспортировки кормов с участков в хозяйства; «транспортируемый
ресурс» (Ху) — часть кормов су-го участка, которая после
перераспределения должна потребляться /-м хозяйством; целевая
функция — общие транспортные раоходы. В результате решения
задачи полученные объемы перевозимых кормов с участков делятся
на урожайность кормовых культур, вследствие чего можно
получить площадь перераспределения земель между хозяйствами.
306

82. Исходные данные к задаче 15.3
V. Хозяйства и псрво-
^чначально закреп-
х. ленные за
\s^ ними
\тчастки
Хозяйства ^v
«1 Мая»
«Луч»
«Победа»
Объем
производства кормов на
участках, т корм. ед.
I
5
16
8
1000
«1 Мая»
II
10
2
25
2000
III
18
31
36
3000
«Луч»
IV
22
3
14
2500
V
8
46
13
1500
«Победа»
VI
17
17
4
9000
VII
6
25
28
1000
Объем
производства
кормов в
хозяйствах, т
корм. ед.
6000
4000
10000
20000
20000^" ~
Задача 15.4. При размещении отарных участков в районах
развитого овцеводства при круглогодичном использовании
сезонных пастбищ необходимо так организовать передвижение отар с
участков весенне-летних пастбищ на осенне-зимние, чтобы
общая длина перегонов была минимальной. Расстояния между
участками весенне-летних и осенне-зимних пастбищ и другие
исходные данные приведены в таблице 83.
83. Исходные данные к задаче 15.4
^\. Участки на осенне-
^\зимних пастбищах
Участки ^v
на весенне- ^\^
летних пастбищах ^\
1
2
3
4
5
6
Расстояния между участками, км
Запас кормов на
весенне-летних
участках,
ц корм. ед.
12
20
24
25
37
28
35
20
.100
19
18
17
16
22
21
20
32
1300
17
21
19
10
23
25
30
25
1700
22
19
20
18
29
29
32
19
1200
14
23
22
21
18
27
27
18
3000
36
28
19
27
16
37
22
29
2400 -
1000
1300
1700
1500
1600
1100
1400
2100
1
2
3
4
5
6
7
8
Запас кормов на осенне
зимних участках,
ц корм. ед.
Если задача решается в предположении, что на всех
пастбищах запасы кормов используются полностью, то транспортная
интерпретация задачи такова: «ресурсы в источниках» (А,) —
запасы кормов на весенне-летних участках; «потребности в
ресурсах» (BJ) — запасы кормов на осенне-зимних участках; «удельные
транспортные расходы» (С/,)— расстояния между участками
весенне-летних и осенне-зимних пастбищ; «транспортируемый
ресурс» (xjj) — количество овец, перегоняемых с /-го
весенне-летнего пастбища нау-е осенне-зимнее пастбище. Заметим, что в ходе
307

решения задачи можно оперировать не количеством животных, а
объемом кормов, который потребляют овцы, перегоняемые с /-го
нау-е пастбище. За целевую функцию может быть принята общая
длина перегонов овец (с учетом предыдущего замечания можно
оперировать не реальной длиной перегона, а величиной,
пропорциональной ей).
По этим примерам можно ориентировочно представить
перечень землеустроительных задач, решаемых распределительным
методом:
определение оптимальных маршрутов перевозки грузов с
закреплением гуртовых и отарных пастбищных участков за
фермами, объемов перевозки продукции (семян, кормов, органических
удобрений) между производственными центрами,
севооборотами, угодьями, перераспределение сенокосов между бригадами и
т. п.;
рациональное размещение культур на участках различного
плодородия (например, установление состава культур в
севооборотах при заданном размещении последних, ежегодное
размещение культур по рабочим участкам и т. п.);
оптимальное размещение угодий и севооборотов на
различных по качеству и местоположению участках с уточнением
намечаемой трансформации земель;
устранение чересполосицы, вкрапливаний и других
недостатков землевладения и землепользования;
определение размера и структуры сырьевых зон
промышленных предприятий, перерабатывающих или хранящих
сельскохозяйственную продукцию (сахарных, спиртовых, крахмалопаточ-
ных, эфиромасличных, консервных заводов,
хлопкоочистительных пунктов, элеваторов, токов, калибровочных центров) в
схемах землеустройства;
составление оптимальных планов перехода к
запроектированным севооборотам при внедрении прогрессивных систем
землевладения в хозяйствах.
Существует определенный порядок решения задач
распределительным методом: постановка задачи с формулировкой
цели; сбор исходной информации и ее обработка; заполнение
исходной матрицы и составление первоначального опорного
плана; вычисление цены опорного плана и его анализ на
оптимальность; последовательное улучшение плана (до
получения оптимального); контроль результатов полученного
решения.
Существует много методов решения задач распределительного
типа; мы рассмотрим лишь основные из них.
308

15.2. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПОРНОГО ПЛАНА
В РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ
Нетрудно заметить, что задача (15.1 —15.5) является частным
случаем общей задачи линейного программирования и в
принципе ее можно было бы решать симплекс-методом. Однако
специфический вид транспортной модели (ограничения только типа
«=», все коэффициенты при неизвестных в левых частях
ограничений равны 1 или 0) позволил разработать для транспортных
моделей более быстродействующую модификацию
симплекс-метода. При изучении и применении этого метода полезно
использовать стандартное табличное представление транспортной
модели, в котором отражается вся исходная информация задачи
(табл. 84).
84. Табличная форма представления транспортной модели
^-х^^ Потребители
^^\^^ ресурса
Источники^^\^^
ресурса ^^\
1
2
т
Потребности в
ресурсах
1
Си
*21
Ст\
хт\
Вх
2
С,2
*12
On
*22
Q;2
хт2
в2
3
С,з
*13
С2з
*23
Qi3
хтЪ
Вз
п
Си
*1п
Съ
х2п
с
хтп
в„
Наличие
ресурсов
А,
А2
Ащ
Для формализованного изложения методов решения
транспортной задачи сформулируем основные понятия, родственные
введенным для общей задачи линейного программирования.
Допустимым решением транспортной задачи называется такая
совокупность значений величин xij9 /= l,...,m,j = 1,...,л, для
которой выполняются все ограничения. Допустимое решение, при
котором целевая функция достигает минимума (максимума),
называется оптимальным. Среди допустимых решений выделяют
базисные, в которых не более (т +/i— 1) величин ху отличаются
от нуля, а остальные строго равны нулю. Наличие таких
решений — общее свойство задач линейного программирования;
количество ненулевых переменных в базисном решении не может
превышать числа независимых ограничений. В данном случае в
задаче имеется (т +/i) ограничений типа (15.2), (15.3), но с
учетом балансового условия (15.4) независимых ограничений
остается только (т+п— 1). Следовательно, в базисном решении
транспортной задачи должно быть не более (т + л — 1)
ненулевых переменных. Как и в общей задаче линейного программиро-
309

вания, при поиске оптимального решения транспортной задачи
можно ограничиться анализом только базисных решений.
В матричном представлении задачи (табл. 84) клетки, в
которых величины хц отличны от нуля, называют занятыми, а все
остальные — свободными. Таким образом, любое базисное решение
содержит не более (т +п— 1) занятых клеток. Если число
занятых клеток (Азан) в точности равно (т+п- 1), решение
называется невырожденным, в противном случае — вырожденным.
Поскольку в рассматриваемом ниже алгоритме мы будем
оперировать только базисными решениями, то в ходе решения для
контроля необходимо рассчитывать величину K32iH. Если
Азан > (т + п~ 1)> то решение на очередной итерации найдено
неверно и необходимо искать ошибку. В вырожденном решении
некоторые базисные переменные равны нулю; соответствующие
им клетки заполняются нулями и считаются условно занятыми.
Итерационная процедура решения транспортной задачи, как
и в общей задаче линейного программирования, начинается с
поиска хотя бы одного допустимого базисного решения; его
также называют опорным решением (планом). Затем опорный план
проверяется на оптимальность, при необходимости улучшается
(с заменой одной из базисных переменных) и т. д.
В отличие от первого опорного плана симплекс-метода,
имеющего чисто условный характер, распределительный метод
предполагает составление реального опорного плана; методы его
нахождения очень важны. Чем ближе опорный план к
оптимальному, тем меньше итераций необходимо будет произвести для
достижения оптимального решения, тем меньше затраты времени и
выше точность вычислений.
Существует несколько методов нахождения опорного
решения; любой из них позволяет сделать это, но они существенно
различаются по количеству вычислительных операций, которые
необходимо осуществить, и по степени близости опорного
решения к оптимальному. Как правило, чем проще метод, тем хуже
опорное решение (хотя не всегда это так).
Мы рассмотрим два наиболее часто используемых на
практике метода: один из простейших — метод минимального
(максимального) элемента, полезный прежде всего в дидактическом
отношении, и метод аппроксимации, требующий более сложных
вычислений, но дающий опорное решение, более близкое к
оптимальному.
Метод минимального (максимального) элемента.
Рассмотрим случай минимизации целевой функции и
соответственно метод минимального элемента (при максимизации
целевой функции говорят о методе максимального элемента). Суть его
заключается в том, что на каждом шаге алгоритма поиска
опорного решения стараются занять максимально возможным
ресурсом прежде всего те клетки транспортной таблицы, в которых
310

стоят наименьшие величины Qj. Тем самым достигается
определенное приближение к оптимальному решению.
Алгоритм метода сводится к следующему.
1. Из всех значений С^в матрице выбирают наименьшее.
2. В соответствующую клетку записывают значение х,у, равное
наименьшей из соответствующих величин A-t и В/.
хи=ттп(Аь Bj).
3. Определяют новые значения величин Л, и В/.
А[=Aj- Xjf, Bj = Bj - Xy.
4. Если 4'=0и Bj>0, то из таблицы вычеркивают
соответствующую строку и далее с этой строкой не работают. Если
Д->0 и Bj=09 то вычеркивают соответствующий столбец. Если обе
величины 4Г и Bj равны нулю, то вычеркивают только (!) строку
или только столбец (безразлично что). С оставшимся столбцом
(строкой), имеющим нулевое значение Bj(Af), далее работают,
как с нормальным столбцом (строкой).
5. Далее указанные операции повторяют до тех пор, пока в
таблице все строки, кроме одной (или все столбцы, кроме одного), не
окажутся вычеркнутыми. Оставшиеся ресурсы AfrBj) заносят в
соответствующие клетки последней невычеркнутой строки
(последнего невычеркнутого столбца). Полученное решение
проверяют по числу занятых клеток. Кроме того, необходима проверка
ограничений типа (15.2) и (15.3). Если ограничения выполняются, то
по формуле (15.1) вычисляют значение целевой функции.
Если в ходе реализации приведенного алгоритма на каких-
либо шагах окажется, что одновременно A-=0hBj=0,
полученное опорное решение будет вырожденным (некоторые из
занятых клеток будут условно занятыми).
При решении задач на максимум приведенный алгоритм
меняется только в первом шаге: вместо минимального значения Су
находят максимальное и далее работают с соответствующей
клеткой. Рассмотрим конкретный пример.
Задача 15.5. В хозяйстве для обеспечения грубыми и сочными
кормами 5 животноводческих ферм имеется 3 источника кормов:
2 полевых и 1 кормовой севооборот. Необходимо составить
оптимальный план закрепления источников кормов за фермами,
минимизирующий стоимость перевозки кормов. Исходные данные
приведены в таблице 85.
Поиск опорного решения методом минимального элемента по
описанной выше схеме иллюстрируется таблицей 86. В ней
приняты обозначения, введенные в начале данной главы.
311

85. Исходные данные к задаче 15.5
Севообороты
Удельные затраты на перевозку кормов, руб. на 1 т
ферма I ферма 2 ферма 3 ферма 4 ферма 5
Ресурсы
севооборотов, т
Полевой № 1
Полевой № 2
Кормовой
Потребности ферм
в кормах, т
55
35
40
40
30
30
60
40
40
100
95
20
50
45
55
30
15
60
25
40
49
63
58
170
86. Нахождение опорного решения задачи 15.5 методом минимального
элемента*
1 . . L . .
1 2
3
Bj
[ 1
. .. . 5L5 .
• 35
23'
. 40
17-
40-
47
\г
. ... ао.
• зо
40 в
60
40 •
3
... 40.
9
100
95
11
20
11
4
. . .50 ,
45
55
30
30
40
40
5
.15 j
60
25
Л
49. . . щ
9
М
& 1
44-
11
V\ 17°
170\1
© ©
CD
* Числа в кружках указывают последовательность вычеркивания столбцов и
строк. Значения базисных переменных опорного решения выделены полужирным
шрифтом.
Проверка решения, указанного в таблице 86, по числу
занятых клеток, а также на выполнение ограничений типа (15.2)
и (15.3) показывает, что оно может быть принято в качестве
опорного. Значение целевой функции, соответствующее этому
решению, равно Z= 9 • 40 + 40 • 15 + 23 • 35 + 40 • 30 + 17 • 40 +
+ 11-95 + 30-55 = 6330 руб.
Метод аппроксимации (метод Фогеля).
Суть метода аппроксимации заключается в том, что на каждом
шаге выбор очередной клетки, заполняемой ресурсом,
осуществляется не на основе строго локальных оценок стоимостей Q, как
в методе минимального элемента, а на основе расчетов так
называемых штрафов1, позволяющих приближенно оценивать
полезность данного шага с точки зрения скорейшего приближения к
оптимальному решению с учетом состояния таблицы на
следующем шаге.
*Таха X. Введение в исследование операций. Кн. 1. — М.: Мир, 1985. — С. 216.
312

Схема метода аппроксимации для случая минимизации целевой
функции такова.
1. По каждой строке и столбцу находят два минимальных
значения Су.
2. Определяют их разности (штрафы) \ih /= 1,...,/и (для строк)
и |Ы/,у= 1,...,л (для столбцов).
3. Из всех разностей выбирают наибольшую jnmax.
4. По строке (или столбцу), к которой относится цтах, в
клетку, где размещается наименьшее значение Су, записывают
значение х7д равное наименьшей из соответствующих величин А{ и Bj.
5. Определяют новые значения указанных величин At и В/.
Af= Aj - ху\ Bj=Bj -Xy.
6. Если Aj=0 и Bj>0, то из таблицы вычеркивают
соответствующую строку и далее с этой строкой не работают. Если
Л/>0 и Bj=0, то вычеркивают соответствующий столбец. Если обе
величины А- и Bj равны нулю, то вычеркивают только (!) строку
или только столбец (но неодновременно столбец и строку). С
оставшимся столбцом (строкой), имеющим нулевое значение
Я/(40, далее работают, как с нормальным столбцом (строкой).
7. Далее операции повторяются до тех пор, пока в таблице все
строки, кроме одной (или все столбцы, кроме одного), не
окажутся вычеркнутыми. Оставшиеся ресурсы Aj(Bj) заносят в
соответствующие клетки последней невычеркнутой строки
(последнего невычеркнутого столбца). Полученное решение проверяют
так же, как и при использовании метода минимального элемента.
При решении задач на максимум приведенный алгоритм
меняется только в двух пунктах: в п. 1 вместо минимальных
находят два максимальных значения Су, а в п. 4 заполняют клетку не
с наименьшим, а с наибольшим значением Су.
При реализации приведенного алгоритма возможны некоторые
осложнения (напоминаем, что мы рассматриваем случай
минимизации целевой функции). Например, в п. 3 не одна, а несколько
величин (1/ и \ij могут иметь одинаковое наибольшее значение. В
этом случае в качестве дальнейшей расчетной можно выбрать
любую из них, однако опорное решение можно улучшить
(приблизить к оптимальному), если в качестве дальнейшей взять ту из
величин \ij или ц,, для которой в соответствующих строках и
столбцах находится наименьшее значение Су. Если при этом
наименьшее значение достигается несколькими Q, то для решения берут
ту клетку, которую можно заполнить наибольшим значением ху.
Как уже отмечалось, в случае, когда Д'=0иЯу=0, можно
вычеркнуть либо /-ю строку, либоу-й столбец. Для того чтобы
приблизить опорное решение к оптимальному, целесообразно со-
313

(2). .
\±J
шаг 1
шаг 2
шагЗ
шаг 4
шаг 5
N'
2
3
Bj
Щ
Ъ
И/
И/
Ну
1-
40
40-
55
35
40
: з
5
5
5
5
87. Нахождение опорного решения задачи 15.5
•
ъ
30
• 30
40 '
. 60
40- .
0
0
• 30
' 30*
3
* 40
20 .
• 100
. 95
-26- .
* 55*
.
•
•
.
.
4
50
45
23
55
7
30
5
5
10
10
10
5
29
11
40-
-Н-
методом аппроксимации*
| шаг 1
И
60
25
10
10
35*
Ai
' -49-
-29-
23
-58-
49-
7
^\^ 170
170 ^\
И/
15
5
15
шаг 2
Ц/
15*
5
15
шагЗ
Ц/
5
15
шаг 4
И/
5
15
шаг 5
И/
10
15*
©
0
©
©
* Числа в кружках указывают последовательность вычеркивания столбцов и строк. Значения базисных переменных
опорного решения выделены полужирным шрифтом. Звездочкой помечены максимальные на данном шаге значения ц.

блюдать следующее правило: в /-й строке, исключая вычеркнутые
и занятые клетки, а также рассматриваемую (/,у)-ю клетку,
определяем наименьшее значение Су (обозначим его Су); в у-м
столбце, исключая вычеркнутые и занятые клетки, а также
рассматриваемую (/,/)-ю клетку, определяем наименьшее значение Су
(обозначим его Су); если Су <СЦ, то вычеркиваем у-й столбец, в
противном случае — /-ю строку.
Если в ходе применения приведенного алгоритма на каких-
либо шагах окажется, что одновременно Д'=0и2?у=0, опорное
решение будет вырожденным — некоторые клетки будут условно
занятыми. Как правило, вырожденное решение может
появиться, если выполняются какие-либо из равенств А\ —В\\ А\ = В2;
А{ = В{ + В2; А1+А2 = В{ + В2и т. п.
Необходимо подчеркнуть, что при использовании
рассмотренного алгоритма (так же, как и алгоритма метода минимального
элемента) наличие вырожденных решений не усложняет как
получение опорного решения, так и улучшение его до оптимального.
Никакие специальные приемы в операциях с вырожденными
решениями не требуются. С условно занятыми клетками (занятыми
нулями) необходимо работать, как с обычными занятыми.
Определение опорного решения методом аппроксимации
удобно проводить в таблице специального вида (табл. 87).
Заметим, что опорное решение, полученное методом
аппроксимации, не совпадает с решением, полученным методом
минимального элемента. Значение целевой функции (Z= 5730 руб.) в
первом случае меньше, то есть данное решение ближе к
оптимальному.
15.3. МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ
Основные понятия.
Опорное решение, полученное любым из известных методов,
как правило, уе является оптимальным. Поэтому алгоритмы
оптимизации основаны на его последовательном улучшении.
Прежде чем изложить строго формализованный метод такого
улучшения, рассмотрим циклическую процедуру преобразования
любого (в том числе опорного) решения транспортной задачи.
Суть ее заключается в, перемещении части транспортируемого
ресурса внутри некоторой замкнутой последовательности клеток
(цикла), причем в каждом цикле одна клетка свободна, а
остальные заняты. Тем самым происходит замена одного базисного
решения другим.
Замкнутый цикл (многоугольник) строится по следующим
правилам:
315

стороны многоугольника должны располагаться только вдоль
строк и столбцов матрицы, то есть пересекаться только под
прямыми углами;
вершины многоугольника должны находиться в занятых
клетках, кроме одной начальной, лежащей в выбранной свободной
(испытуемой) клетке;
пересечение несмежных сторон многоугольника вершиной не
считается;
начальной вершине приписывается знак «+», далее знаки
чередуются.
В теории линейного программирования доказывается, что при
выполнении указанных правил для любой свободной клетки
можно построить единственный цикл. Два примера построения
циклов для свободных клеток (3,5) и (2,5) показаны в таблицах 88
и 89, где размещено опорное решение задачи 15.5, полученное
методом минимального элемента.
88. Цикл испьпуемой клетки (3,5)
1
2
3
1
55
35
23
40
17
2
30
30
40
60
3
+ Р--40
9 '
i 100
1 95
11 ~
4
50
45
55
30
5
15
40 "1
¦ 60
i
1 25
" J +
89. Цижл испьпуемой клетки (2,5)
Преобразование решения осуществляется следующим
образом (см., например, табл. 88). Среди клеток, помеченных знаком
«—», находят клетку с наименьшим ресурсом (обозначим его xmin)
и далее последовательно в клетках, помеченных знаком «+»,
ресурс увеличивают на xmin, а в помеченных знаком «—» —
уменьшают на Xmin. Очевидно, что при этом, как минимум, в одной из
316

клеток ресурс уменьшится до нуля и в испытуемой клетке (ij)
появится ресурс х,у = xmin, то есть переменная Ху будет введена в
базис. При таком изменении решения значение целевой
функции может уменьшиться (то есть достигается улучшение решения
задачи на минимизацию) или увеличиться (то есть решение
ухудшится). Чтобы выяснить, как изменится решение, вычисляют
так называемую оценку испытуемой клетки (такую оценку иногда
называют ценой цикла, или характеристикой клетки):
(+) (-) (ПЛ))
где (+) и (-) относятся к клеткам, помеченным знаками «+» и «-» соответственно.
В силу единственности цикла для каждой испытуемой клетки
оценку оу действительно можно рассматривать как
характеристику именно этой клетки (а не конкретного цикла). Эта величина
показывает, как изменится стоимость транспортировки ресурса в
случае перемещения по циклу единицы ресурса. Полное
изменение стоимости транспортировки ресурса (то есть изменение
значения целевой функции) задается величиной
&Z=xminGiJ. (15.7)
На этой формуле основан также один из видов контроля
значений целевой функции промежуточных решений транспортной
задачи: Z'=Z0 + AZ или Z/=ZQx//, где Z'—значение целевой
функции улучшенного плана, Zq —значение целевой функции
предыдущего плана. Значения Z', вычисленные по двум разным
формулам, должны совпадать.
Таким образом, в задачах на минимизацию положительное
значение а,у означает, что соответствующее преобразование
решения невыгодно, а отрицательное — что оно выгодно.
Нетрудно видеть, что оценки с у незанятых клеток
(соответствующие переменные х^ не входят в базис) играют роль
элементов индексной строки в симплекс-методе. По их знакам можно
установить, достигнуто оптимальное решение или нет.
Для примеров циклов, приведенных в таблицах 88 и 89,
оценки свободных клеток составляют:
_стз5 = С35 + С13 - С15 - С33 = -45 < 0;
<*25 = C2s + С13 + СЪ\ - С15 - С3з - С2\ = -5 < 0.
Таким образом, преобразование решения с помощью обоих
циклов выгодно.
Рассмотренные особенности циклического преобразования
решений транспортной задачи и лежат в основе распределитель-
317

ного метода. Суть его заключается в построении на каждом шаге
циклов для всех свободных клеток, вычислении оценок ауу,
выборе одной из клеток с отрицательной оценкой (для задач на
минимизацию) и преобразовании решения. Этот процесс повторяется
до тех пор, пока оценки всех свободных клеток не станут
неотрицательными.
Распределительный метод — весьма трудоемкая процедура,
поскольку требует построения циклов для всех свободных клеток.
Существенно меньше вычислений требует метод потенциалов,
позволяющий в результате небольшого числа операций сразу (без
построения циклов) определить оценки свободных клеток.
Полное обоснование этого метода потенциалов может быть получено
в рамках общего метода решения задач линейного
программирования — симплекс-метода и теории двойственности таких задач.
Мы воспользуемся более простой, но также достаточно строгой
схемой (Вентцель Е. С. Исследование операций. — М.:
«Советское радио», 1972. — С. 99), хотя и опустим доказательство
промежуточных теорем. Полезность схемы заключается в том, что она
позволяет естественным образом выйти на экономическую
интерпретацию потенциалов.
Введем новые характеристики поставщиков и потребителей
транспортируемого ресурса — потенциалы а,- и Ру соответственно.
Придадим этим характеристикам следующий экономический
смысл: при заданном решении транспортной задачи будем
полагать, что:
а; —это взятые с обратным знаком средние расходы /-го
поставщика на транспортировку единицы продукции к
потребителям;
Ру — это средние расходы у-го потребителя на доставку
единицы продукции.
Термин «средние» предполагает, что, например, значение а,
характеризует всю продукцию /-го поставщика
(предназначенную в общем случае для нескольких потребителей).
При принятых предположениях- значение целевой функции
должно быть равно:
п т
^=ХРу^у-1М- (15.8)
у=1 1=1
С другой стороны, по определению, должно быть:
п т
у=1/=1
Для всех занятых клеток (включая условно занятые, в которых
х;у=0) положим:
318

C^Py-ct,, (15.10)
то есть потребуем, чтобы сумма средних расходов /-го
поставщика и у-го потребителя на транспортировку единицы продукции
была равна заданной цене транспортировки Су. В (15.10)
учитывается, что, по определению, величина а,- задает расходы
поставщика с обратным знаком. Используя исходные ограничения на
переменные х-ф можно показать, что подстановка (15.10) в (15.9)
приводит к (15.8).
Рассматривая равенства типа (15.10) как уравнения
относительно неизвестных а,- и Ру, получим (т+п-1) уравнений (по
числу занятых клеток). Поскольку общее число неизвестных
равно (т + п), то дополним эту систему уравнений еще одним:
а! = const, (15.11)
где константа может быть выбрана произвольно. Обычно, чтобы
обеспечить положительность потенциалов а,- и Ру, полагают:
"iWty (15.12)
Можно доказать, что введенные выше оценки свободных
клеток могут быть рассчитаны по формуле
G^Q + ay-py. (15.13)
Для иллюстрации покажем это на примере таблицы 88 для
клетки (3,5). В соответствии с первоначальным определением
оценок (15.6) и соотношением (15.10), учитывая построенный
цикл, запишем:
а35=Сз5+С1з-С15--Сзз=Сз5 + (Рз-а1)-(Р5-а1)-(Рз-аз) =
= С35 + р3 - щ - р5 + щ - р3 + а3 = С35 + а3 - Р5,
то есть приходим к формуле типа (15.13).
Таким образом, существует возможность определить оценки
Су, минуя построение циклов для всех свободных клеток, что
существенно упрощает процедуру получения оптимального
решения. Заметим, что потенциалы, по определению, зависят от
расположения занятых клеток и не зависят от величины стоящих в
этих клетках ресурсов.
С учетом изложенного опишем оставшиеся этапы получения
оптимального решения.
Проверка опорного решения на оптимальность.
Для проверки любого (в том числе опорного) решения на
оптимальность используют потенциалы а„ /= 1,...,/л и Ру, j= 1,...,л,
соответствующие строкам и столбцам таблицы. Расчет
потенциалов ведется, исходя из следующих условий:
319

ai=maxC;/;
U
a,- = by — Су или by = a;- + Q (для занятых клеток).
Пользуясь этими условиями, для опорного решения задачи
15.5, полученного методом аппроксимации (табл. 87), проведем
-следующие вычисления:
а! = 100; р4 = а3 + С34 = 90 + 55 = 144;
Р5 = а1+ С15=100+ 15= 115; (3, = а3 + С31 = 90 + 40= 130;
р3 = а{ + С13 = 100 + 40 = 140; а2 = р4 - С24 = 145 - 45 = 100;
а3 = Р5 - С35 = 115 - 25 = 90; р2 = а2 + С22 = 100 + 30 = 130.
Для свободных клеток вычислим оценки с^ по формуле
(15.13); результаты расчетов представлены в таблице 90.
90. Потенциалы и оценки* для опорного решения задачи 15.5, полученного методом
аппроксимации
¦Значения а,у показаны в правых нижних углах свободных клеток.
Как уже говорилось, в задачах на минимизацию целевой
функции решение оптимально, если все оценки незанятых клеток
удовлетворяют условию неотрицательности (а,у>0). Таким
образом, согласно результатам, представленным в таблице 90,
опорное решение задачи 15.5, полученное методом аппроксимации,
является оптимальным.
В задачах на максимум допустимое решение является
оптимальным, если все оценки незанятых клеток удовлетворяют
условию неположительности: а,у<0.
Проверка опорного решения задачи 15.5, полученного
методом минимального элемента (табл. 91), показала, что данное
решение неоптимально.
Улучшение опорного решения.
Для улучшения опорного решения, если оно не является
оптимальным, в случае минимизации целевой функции строим замкнутый
320

91. Потенциалы и оценки* для опорного решения задачи 15.5, полученного методом
минимального элемента
/
1
2
3
J
о^
100
50
45
1
85
55
| +70
35
23
40
17
2
80
30
| +50
30
40
60
| +25
3
140
+г-40
9 i
i 100
¦| +10
-:.*.
и
4
100
5D .
| +50
45
1 -5
55
30
5
115
40 i
i 60
1 1 -5
!+ 25
Т-45
* Значения а,у показаны в правых нижних углах свободных клеток.
прямоугольный цикл с началом в свободной клетке с наибольшей по
абсолютной величине отрицательной оценкой су (испытуемая клетка).
В случае максимизации целевой функции в качестве испытуемой
выбирают свободную клетку с наибольшей положительной оценкой о^.
Правила построения цикла излагались выше. Выбор клетки с
наибольшим по модулю отрицательным значением о,у (случай
минимизации целевой функции) обусловлен тем, что при этом,
как видно из формулы (15.7), на очередном шаге произойдет
наиболее существенное улучшение целевой функции- при
перемещении по циклу единицы ресурса.
После выбора испытуемой клетки и
построения'соответствующего цикла осуществляют преобразование решения за счет
перемещения по циклу ресурса xmin.
Рассмотрим случай улучшения опорного решения задачи 15.5,
полученного методом минимального элемента. Выбор
испытуемой клетки (3,5) и построение цикла показаны в таблице 91;
результат преобразования решения после перемещения по циклу
ресурса xmin = 11 записан в таблице 92. В результате изменилось
содержание всех клеток, входивших в цикл; в частности, клетка
(3,3) стала свободной, а клетка (3,5) — занятой.
Это решение, как и любое другое, должно быть проверено на
выполнение ограничений по строкам и столбцам, а также по
числу занятых клеток. Кроме того, необходимо оценить новое
значение целевой функции. С учетом (15.7) оно может быть
рассчитано через предыдущее значение по формуле вида
Z'= Z+ AZ= Z+ a35Xmin = 6330 - 45 • 11 = 5835.
Дополнительно правильность расчетов контролируется по
величине AZ Очевидно, что в задачах на минимизацию целевой
функции должно выполняться условие AZ< 0.
Как показывает расчет оценок свободных клеток, новое реше-
321

92. Потенциалы и оценки на втором шаге решения задачи 15.5
\
/
1
2
3
J
100
95
90
1
130
55
| +25
_ 35
23 i
17
2
125
30
1 +5
30
40
60
| +25
3
140
40
20
100
+55
95
+45
4
145
50
1 +5
+ 45
• ; i-5
,.._ 55
30
5
115
15
29
60
| +40
25
И
ние также неоптимально — оценка клетки (2,4) отрицательна.
Принимая ее в качестве испытуемой и строя соответствующий
цикл (см. табл. 92), проведем очередное преобразование.
Результат представлен в таблице 93.
93. Потенциалы и оценки на третьем шаге решения задачи 15.5
Нетрудно видеть, что очередное решение совпадает с
опорным решением задачи, полученным методом аппроксимации
(табл. 91), оптимальность которого уже была установлена. Таким
образом, опорное решение задачи 15.5, полученное методом
минимального элемента, удалось улучшить за две итерации.
Решение задачи 15.5 в окончательном виде приведено в
таблице 94. Общая стоимость перевозки кормов в оптимальном
решении составила 5730 руб.
94. Оптимальный план закрепления источников кормов за фермами
Севообороты
Объемы перевозок кормов с севооборотов на фермы, т
ферма 1
ферма 2
ферма 3
ферма 4
ферма 5
Ресурсы
севооборотов, т
Полевой № 1 — - 20 - 29 49
Полевой №2 - 40 - 23 — 63
Кормовой 40 — - 7 И 58
Потребности ферм 40 40 20 30 40 ^\^ 170
в кормах, т 170 ^^\^
322

Описанный выше алгоритм решения транспортной задачи
был реализован в виде программного комплекса на
IBM-совместимых машинах в Государственном университете по
землеустройству. Комплекс предназначен в основном для обучения
студентов по курсу «Экономико-математические методы и
моделирование в землеустройстве», однако может использоваться и при
решении прикладных задач.
15.4. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПОСТАНОВКИ И РЕШЕНИЯ
РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Выше мы рассмотрели простейший вариант транспортной
задачи. Реальные ситуации, как правило, сложнее — часто имеются
некоторые особенности, которые не позволяют сразу перейти к
формализованной записи задачи в виде (15.1)—(15.5). Все
конкретные пояснения будут даны на примере следующей задачи.
Задача 15.6. Распределить посевы кормовых культур по 4
участкам земли различного плодородия таким образом, чтобы сбор
кормов (в кормовых единицах) был максимальным. Исходные
данные приведены в таблице 95.
95. Исходные данные к задаче 15.6
Урожайности культур по участкам,
Культуры
1. Кукуруза на силос
2. Вико-овсяная смесь
3. Однолетние травы
на сено
4. Картофель
5. Кормовые бахчи
6. Многолетние травы
на сено
Площади участков, га
I
35
18
10
20
15
20
2100
ц корм.
II
38
18
11
25
22
18
1700
ед. с 1 га
III
40
21
13
30
18
19
1050
IV
47
26
12
40
24
22
1000
Площадь
посева, га
550
1300
900
150
600
800
^\430
5850"\
Задачу необходимо решить с дополнительными
ограничениями:
1) не менее половины площади посева однолетних трав
должно быть размещено на 3-м участке;
2) посевы вико-овсяной смеси на 4-м участке должны
составлять точно 300 га;
3) весь картофель следует разместить на 4-м участке;
4) посевы кукурузы на 2-м участке должны занимать не более
100 га.
Введение дополнительных ограничений связано с тем, что в
процессе практического применения распределительного метода
323

появилась необходимость расширить его границы и решать
задачи, имеющие в своем составе неравенства. Для этого были
разработаны специальные алгоритмы, которые и рассматриваются
ниже.
Несбалансированные задачи.
Условие сбалансированности (15.4) транспортных задач
является очень важным с точки зрения применимости
рассмотренных выше быстродействующих алгоритмов их решения. В
действительности исходные данные задачи могут быть и
несбалансированными. Например, в задаче 15.6 сумма площадей всех
участков составляет 5850 га, а сумма площадей посева всех
культур — 4300 га, то есть модель распределительной задачи
является открытой:
т п
Х4<ЕДу- (15.14)
/=1 у=1
Для приведения задачи к закрытому (сбалансированному)
виду в случае выполнения неравенства типа (15.14) вводится
фиктивный, в данном случае 7-й, поставщик ресурсов, причем
его мощность полагают равной разности
п т
Д})ИКТ=^7=Х^у -Е4- (15.15)
j=\ /=1
Если же
п т
2Я/<24> (15.16)
у = 1 /=1
вводят фиктивного потребителя ресурса с объемом потребления
т п
Яфикт = Е4- -? Bj. (15.17)
/=1 У = 1
Для того чтобы значение целевой функции не изменилось,
стоимость транспортировки ресурса от фиктивного поставщика
ко всем потребителям (в случае выполнения неравенства 15.14), а
также стоимость транспортировки ресурса от всех поставщиков к
фиктивному потребителю (в случае выполнения неравенства
15.16) необходимо приравнять к нулю. Отметим, что поскольку
вся фиктивная строка (или фиктивный столбец) заполнена
нулевыми стоимостями транспортировки ресурса, то даже в задачах
на минимизацию целевой функции алгоритм поиска
оптимального решения автоматически обеспечит наилучшее распределе-
324

ние ресурса по значимым клеткам транспортной таблицы;
никакая специальная корректировка алгоритма не требуется.
При постановке задачи 15.6 необходимо ввести 7-ю
(фиктивную) культуру, положив ее урожайность на всех участках равной
нулю: С71 = ...С74 = 0. С учетом изложенных правил
сбалансированная исходная транспортная таблица для задачи 15.6 без учета
дополнительных условий примет вид, показанный в таблице 96.
96. Сбалансированная исходная транспортная таблица задачи 15.6
1 2 3 4 Л
1 35 38 40 47 550
2 18 18 21 26 1300
3 10 11 13 12 900
4 20 25 30 40 150
5 15 22 18 24 600
6 20 18 19 22 800
7(фикт.) 0 0 0 0 1550
В; 2100 1700 1050 1000 —^__ 5850
5850^ --^
Вопрос интерпретации полученных результатов с учетом
включения в исходную матрицу фиктивных объектов
рассматривается ниже.
Задачи с дополнительными условиями.
Сначала рассмотрим дополнительные ограничения типа
Xj*j*>D, (15.18)
где /*,/* — некоторые фиксированные значения индексов / и у; D — заданная
константа.
При наличии такого ограничения данные о ресурсах /*-го
поставщика и у*-го потребителя ресурса преобразовываются в
транспортной таблице следующим образом:
Ai*=Ai*-D\ B'r=Br-D, (15.19)
где Л/., Bj* — новые значения объемов ресурса.
Очевидно, чтобы задача не теряла смысла, должны
выполняться условия:
D<A?\ D<Br.
Помимо изменений транспортной таблицы в соответствии с
(15.19) необходима проверка новых значений Aj*hBj+. Если
^*=0, то из транспортной таблицы вычеркивается /*-я строка.

Если B'j*=0, то вычеркивается у*-й столбец. При А-*=0и B'j*=0
вычеркиваются /*-я строка и у*-й столбец.
Содержательно условия (15.18) и (15.19) означают, что /*-й
поставщик гарантированно поставляет у*-му потребителю ресурс
объема D. Кроме того, если это будет выгодно с точки зрения
достижения оптимального значения целевой функции, при
A-*>0hBj+>0 допускается превышение указанного объема.
Одновременно с операцией (15.19) необходимо «запомнить», что
фактически в клетку (/*, у*) уже помещен ресурс Д хотя формально
этот факт в транспортной таблице отражать не нужно.
К ограничениям типа (15.18) относится первое ограничение
из задачи 15.6 (его формализованная запись *зз>450).
Соответственно в транспортной таблице 96 необходимо
провести следующие изменения:
4=А}-450=450; ^=^-450=600. (15.20)
После решения задачи и получения оптимального плана
данное число вносится в клетку, то есть прибавляется к значению
х$3- Если в процессе решения х&=0, то х3з = 0 + 450 и
ограничение выполняется по нижней границе. Если *зз>0, Т0
ограничение принимает вид х33 > 450.
Поскольку новые значения ресурсов не равны нулю,
дополнительные изменения транспортной таблицы не производятся.
Перейдем к рассмотрению дополнительных ограничений типа
xrj* = D. (15.21)
Первоначальные действия по учету таких ограничений
аналогичны действиям для случая ограничений вида х^ > D. Тем
самым в клетку (/*, у*) уже фактически будет помещен ресурс D.
Дальнейшие действия зависят от значений величин Aj*hB'j*.
Если оказывается, что одна из величин Aj*hB'j* (или обе) равны
нулю, алгоритм полностью подобен случаю х,у > D. Если же обе
указанные величины оказались больше нуля, то дополнительно
проводится изменение соответствующей стоимости
транспортировки Ct-*j*. При этом новое значение Cpj* зависит от того,
минимизируется целевая функция Z или максимизируется.
Если целевая функция минимизируется, то значение С/у
необходимо сделать очень большим (намного больше любой величины
Су из исходной транспортной таблицы). В результате такой
замены алгоритм поиска оптимального решения не будет размещать в
клетке дополнительный ресурс, так как из-за большой величины
Cj*j* это невыгодно. Соответственно при максимизации целевой
функции новое значение С,*у* необходимо сделать очень малым
326

(намного меньше любой величины Су из исходной транспортной
таблицы) — например, положить его равным нулю.
Указанное изменение величины С^ называется блокировкой
оценки клетки (/*, /*). Практически вместо оценки клетки Q*,-*
ставится искусственная оценка М. При этом полагается, что
Л/-> 0 при решении задачи на максимум и Л/-> «> при решении
задачи на минимум. Такой прием, который также проводится до
решения задачи, позволяет не только блокировать оценку, но и
за счет приведения М к экстремальному значению не допустить
попадания ресурса в блокированную клетку1.
В рассматриваемом примере (задача 15.6) к ограничениям
типа (15.21) относятся второе и третье, которые можно записать
как х24 = 300; х^ = 150. Соответственно в транспортной таблице
(табл. 96) нужно провести следующие изменения (учтен тот факт,
что изменение величины В4 должно проводиться дважды):
4=4-300=1000; ^=54-300=700;
4=^-150=0; Щ=Щ-150=550.
Поскольку второе ограничение (х24 = 300) не привело к
нулевым значениям величин 4 и Щ> необходима блокировка оценки
клетки (2,4). Для этого считают, что С24 = Л/-> 0. Кроме того,
поскольку окончательное значение величины А\ равно нулю,
четвертую строку следует вычеркнуть из таблицы.
Помимо рассмотренных выше ограничений на практике
встречаются дополнительные ограничения типа
Xj*j*<D или D<Xi*j*<D.
Таким, например, является четвертое ограничение из задачи
15.6.
Ограничения этого типа не учитываются при постановке
задачи (то есть до начала ее решения). Их анализ ведется после
получения оптимального решения (см. далее). При этом возможны
следующие три случая:
1) если заданное ограничение x^<D или D<Xj*j*<D
выполняется, полученное решение задачи принимается без изменений;
2) если ограничение x^<D не выполняется, то по правилу
построения цикла величина Дх,у (Xj*j*=xpj*-bXj*j*=D)
перемещается по циклу, приводя таким образом решение задачи к вы-
1 Следует иметь в виду, что в ряде исключительных случаев прием блокировки
оценки не срабатывает и в клетку попадают значения x,-*f > 0. В таких случаях
задача с поставленным ограничением не имеет решения (система условий задачи
несовместна).
327

полнению условия xj*j*=D. Доводить оптимальный план до вида
x'j*j*<D нецелесообразно, так как это приведет его с точки
зрения изменения целевой функции к еще большему ухудшению.
Аналогичным образом рассматривается ограничение D<xt*j*<D.
При его невыполнении по циклу перемещается такое значение
Ах,™, которое наносит наименьший вред оптимальности задачи;
5) если значение Дх/у, перемещаемое по циклу, попадая в
вершины с отрицательными знаками, нарушает условие
неотрицательности переменных (х,у>0), то данная задача при
поставленных условиях не имеет решения.
С учетом всех необходимых изменений исходная транспортная
таблица задачи 15.6 примет вид, представленный в таблице 97.
97. Исходная транспортная таблица задачи 15.6, в которой учтены требование
сбалансированности задачи и первые три дополнительных условия*
\. j
i ^\
1
2
3
5
6
7 (фикт.)
BJ
1
35
18
10
15
20
0
2100
2
38
18
11
22
18
0
1700
3
40
21
13
18
19
0
1 600 1
4
47
1 о I
12
А,
24
550
1000
450
600
22 800
0
1 550 1
1550
"~^—-^4950
4950
*Величины, изменившиеся в результате учета дополнительных ограничений,
обведены. Кроме того, в результате учета 3-го ограничения вычеркнута 4-я строка
таблицы и с учетом требования сбалансированности в таблицу введена строка с
фиктивным источником ресурса. Предполагается, что в клетки (2,4), (3,3) и (4,4)
уже внесены ресурсы, равные 300, 450 и 150 соответственно.
После получения транспортной таблицы, удовлетворяющей
требованию сбалансированности и дополнительным условиям,
находят оптимальное решение методом потенциалов или любым
иным.
Вырожденные решения транспортной задачи.
Покажем на конкретных примерах, что вырожденность
(равенство нулю некоторых базисных переменных) не усложняет
поиск оптимального решения. Фактически мы это уже
констатировали, рассматривая методы поиска опорного плана и метод
потенциалов. Отметим еще раз, что указанное качество методов
обеспечивается тем, что в них предусмотрены правила выбора
условно занятых клеток. Если от этих правил отказаться, то будет
невозможно вычислить потенциалы и соответственно
проконтролировать решение на оптимальность, а также построить
замкнутый многоугольник (цикл) для улучшения решения.
328

Рассмотрим начальную транспортную таблицу задачи 15.6
(табл. 97). Применяя метод аппроксимации, найдем
соответствующее опорное решение (табл. 98).
На первом шаге реализации данного метода была заполнена
клетка (1,4). При этом ресурсы Ах и 54 согласно пятому шагу
метода аппроксимации уменьшатся до нуля. После этого четвертый
столбец был вычеркнут, а первая строка с нулевым значением
ресурса А\ сохранена. На следующем шаге этот нулевой ресурс
заполнил клетку (1,3)— появилась условно занятая клетка, что и
определило вырожденность опорного решения.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В принципе
на первом шаге можно было бы вычеркнуть не только четвертый
столбец, но и первую строку. Последующая процедура метода
аппроксимации все равно дала бы допустимое решение задачи.
Однако число занятых клеток в этом допустимом решении было
бы меньше (т + п - 1), что не позволяет применить метод
потенциалов. Чтобы довести число занятых клеток до (т + п - 1),
пришлось бы некую подходящую (обеспечивающую в дальнейшем
построение необходимых циклов) клетку объявить условно
занятой, то есть заполнить нулем. При этом пришлось бы
руководствоваться двумя правилами: 1) за условно занятую клетку надо
принимать ту, которая не образовывает с другими занятыми
клетками замкнутых многоугольников; 2) условно занятой
можно объявлять только ту клетку, которая впоследствии, попадая в
цикл, находилась бы в положительной вершине многоугольника.
В противном случае при перемещении поставок по циклу и
улучшении плана может нарушиться условие неотрицательности
переменных (ху>0). Выполнение этих правил является довольно
сложной процедурой даже для сравнительно простых
транспортных таблиц, а в больших таблицах вообще нереально. Именно
это обстоятельство делает практически полезным тот алгоритм
метода аппроксимации (так же, как и метода минимального
элемента), который был изложен ранее. Этот алгоритм
автоматически находит подходящую условно занятую клетку, он же легко
реализуется на ЭВМ.
При улучшении опорного решения до оптимального методом
потенциалов с условно занятыми клетками вырожденного
решения необходимо работать так же, как и с обычными занятыми.
Проиллюстрируем это утверждение на примере полученного
опорного решения. В таблице 99 показан процесс
преобразования опорного решения методом потенциалов. Согласно
алгоритму этого метода испытуемой должна быть клетка (1,2), при этом
перемещаемый по циклу ресурс xmin равен нулю. Очевидно, что
значение целевой функции при таком преобразовании решения
не изменится (см. 15.13). Не изменится также расположение
клеток, занятых ненулевым ресурсом. Однако в целом перечень
занятых клеток, включая условно занятые (а значит, и список базис-
329

fTV .
\t>
ft). •
\SJ
ft). •
\jj'
ft). .
kD-
ft)- •
vi/
шаг 1
шаг 2
шагЗ
шаг 4
шаг 5
шаг 6
шаг 7
1 . . .
1
0 . . .
а . . .
6 • • •
7
(фикт)
4
IV
Ц/
Ц/
И/
Ц/
^
И/
1
35
18
400
10
15
20
800
0
900
Л1ЛЛ
900
15
15
2
2
2*
8*
10
98. Нахождение опорного решения задачи 15.6
2
38
18
11
450
22
600
18
0
650
+700-
650
16
16
4
0
0
7
11*
3 •
• 40
0
. 21
600
. 13
18
* 19
0
С(\(\
Ol/U .
600
• 19
* 19*
2
2
А
550
550
[
47
0
12
24
22
0
• 23*
А,
¦550-
1ЛЛЛ
1UUU
450
600
800
1550
4950
методом аппроксимации
| шаг 1 | шаг 2 | шаг 3
0
400
4950
И/
7
3
1
2
2
0
И/
2
3
2
4
1
0
Ц/
3
2
4*
1
0
шаг 4
Ц/
3*
2
1
0
шаг 5
И/
0
1
2
0
шаг 6
И/
0
1
0
шаг 7
Ц/
1
0
®
©

99. Потенциалы и оценки для опорного решения задачи 15.6
\
/
1
2
3
5
6
7
(фикт.)
У
47
66
73
62
64
84
1
84
35
1 -2
18
400 Г
i 10
[1 -1
1 15
'1 ~7
! 2°
800 i
+ L-JL.
900
2
84
+ 38
Г""Т^+Г"
' 18
* 1 о
1 11
J 450
i 22
¦600
! 18
i | -2
650
3
87
40
' 21
600 +
13
1 -1
18
1 -7
19
1 -4
0
-3
4
94
47
550
0
| -28
12
1 -9
24
1 "8
22
1 -8
0
| -10
ных переменных) изменится. Соответственно изменятся
потенциалы и оценки незанятых клеток (ср. табл. 99 и 100). Именно
это обстоятельство делает преобразование решения при Xmin = 0
необходимым шагом алгоритма потенциалов. Только после этого
шага и проверки нового решения можно установить, достигнут
оптимум или необходимо продолжить поиск. На практике часто
оказывается, что после указанной приостановки изменения зна-
100. Оптимальная транспортная таблица задачи 15.6
/
1
2
3
5
6
7
(фикт.)
j
47
67
74
63
65
85
1
85
35
1 -з
18
400
10
1 -1
15
1 "7
20
800
0
900
2
85
0
450
600
650
38
18
0
11
22
18
-2
0
3
88
40
1 -1
21
600
13
1 -1
18
1 -7
19
1 -4
0
1 -з
4
94
47
550
0
1 -27
12
1 -8
24
1 -7
22
1 -7
0
1 "9
331

чений целевой функции опять возобновляется «нормальная»
итерационная процедура — целевая функция снова начинает
возрастать (в задачах на максимум).
Подчеркнем еще раз: в общем случае равенство нулю xmin и
соответственно неизменность значения целевой функции при
преобразовании решения на данном шаге само по себе не может
расцениваться как достижение оптимального решения (хотя в
принципе этого исключить нельзя — именно такая ситуация
складывается в рассматриваемом примере, где полученное
решение оказывается оптимальным). Очевидно, это означает
оптимальность и предыдущего решения, однако утверждать это с
достоверностью можно только после строгого выполнения всех
предписаний метода потенциалов (см. табл. 100).
Особенности формирования окончательного решения
несбалансированных задач и задач с дополнительными условиями.
Исходная транспортная таблица (табл. 97), с которой
начинается применение методов поиска оптимального решения задачи
15.6, существенно отличается от таблицы 95 из формулировки
условия задачи. Это порождает определенную специфику
формирования окончательного решения на основе оптимальной
транспортной таблицы (см. табл. 100), что вообще характерно для
изначально несбалансированных задач и задач с дополнительными
условиями.
Для рассматриваемого примера последовательность
формирования окончательного решения такова:
1) учитывается изначальная несбалансированность задачи,
которая содержательно выражается в наличии избытка площади
пашни (1550 га) по сравнению с общей площадью посева культур.
Поскольку фиктивной культуре реально ничего не соответствует,
то 7-я строка вычеркивается из оптимальной таблицы.
Поскольку же клетки (7,1) и (7,2) этой строки были заняты, то
содержательно такое вычеркивание означает следующее: исходя из
целевой установки задачи (максимизации сбора кормов), именно на
1-м и 2-м участках желательно оставить неиспользованными 900
и 650 га соответственно (всего 1550 га);
2) в таблице восстанавливается 4-я строка, вычеркнутая в
связи с учетом третьего дополнительного условия. Одновременно в
клетку (4,4) вносится площадь 150 га, отводимая под картофель;
3) в клетку (3,3) вносится площадь 450 га, которая согласно
1-му дополнительному условию на 3-м участке должна быть
отведена под однолетние травы;
4) в клетку (2,4) вносится площадь 300 га, которая согласно
2-му дополнительному условию на 4-м участке должна быть
отведена под вико-овсяную смесь;
5) проверяется выполнение 4-го дополнительного условия
х12< 100, не учтенного при постановке задачи. Согласно
полученному решению (см. табл. 100) данное условие выполняется, сле-
332

довательно, дополнительная корректировка таблицы не
требуется (ситуации, когда такая корректировка нужна, будут
рассмотрены в следующей главе).
С учетом всех проведенных операций, несбалансированности
и дополнительных условий окончательное решение задачи
приведено в таблице 101. Максимально возможный общий сбор
кормов составил 99 450 ц корм. ед.
101. Оптимальный план распределения кормовых культур по участкам
Культуры
1. Кукуруза на силос
2. Вико-овсяная смесь
3. Однолетние травы
на сено
4. Картофель
5. Кормовые бахчи
6. Многолетние травы
на сено
Площади участков, га
Площади
I
400
—
—
—
800
2100
(900 га
культур на различных участках, га
II
—
450
—
600
—
1700
(650 га
III
600
450
—
—
—
1050
IV
550
300
—
150
—
—
1000
Площади
посева, га
550
1300
900
150
600
800
^-^ 43
5850^--
не исполь- не
используются) зуются)
15.5. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Закрепление пастбищ за животноводческими фермами.
Одной из главных задач, решаемых в проекте
внутрихозяйственного землеустройства, является закрепление пастбищных
участков за различными фермами, гуртами и отарами скота.
Данная задача может быть решена распределительным методом
линейного программирования.
В качестве критериев оптимальности в данной задаче могут
применяться:
при пастбищном содержании скота минимум потерь
продуктивности животных из-за дальних перегонов;
при стойловом содержании минимум стоимости
транспортировки кормов с пастбищ на фермы.
Известно, например, что на 1 км перегона коров расходуется
столько энергии, сколько необходимо для получения 0,1 кг
молока. Если водопой и доение коров осуществляют на ферме, а
расстояние от фермы до пастбища составляет 1 км, то проведение
этих операций приведет к перегону скота на 4 км (выгон на
пастбище утром, затем послеобеденное доение коров и водопой на
ферме, новый выгон на пастбище, возврат стада на ферму). За
180 дней пастбищного периода при закупочной цене молока
1,5 руб. за 1 кг потери продукции на 1 корову составят 108 руб.
333

(0,1 -4* 180* 1,5= 108). При норме потребления зеленой массы 1
коровой за пастбищный период 54 ц данные потери в расчете на
1 ц зеленой массы составят 2 руб. (108 : 54 = 2), что соответствует
значению Си = 2 в таблице 102.
102. Исходные данные к задаче 15.7
Фермы
Потребности
в зеленых
кормах, ц
МФ-1
МФ-2
МФ-3
Запас зеленой массы на
участках, ц
2
3
5
13000
2
1
3
9300
4
8
9
12000
7
4
6
8200
27000
10000
5500
^__ 42500
42500—-^
Аналогично рассчитываются и другие значения Су в
зависимости от удаленности конкретных пастбищ от ферм.
Задача 15.7. В хозяйстве имеется 4 участка пастбищ площадью
130, 93, 120, 82 га. Средняя урожайность на этих пастбищах
составляет 100 ц зеленой массы с 1 га. В этом же хозяйстве есть 3
молочные фермы с потребностью в зеленых кормах 27 000, 10 000
и 5500 ц соответственно. Необходимо так распределить пастбища
между фермами, чтобы суммарные потери молока в стоимостном
выражении были минимальными. Исходные данные к задаче (в
том числе потери в расчете на 1 ц зеленой массы с учетом
расстояний между фермами и участками) приведены в таблице 102.
Запишем расширенную экономико-математическую модель.
Целевая функция:
Z= 2хи + 2х12 + 4х13 + 7х14 + 3*21 + *22 + 8*23 +
+ 4*24 +5x3i + Зх32 + 9*зз + 6*34 ~* т*П'
Ограничения по строкам:
х\ 1 + *i2+ *i3 + *i4 = 27 000;
х2\ + *22 + *23 + *24 = Ю 000;
*3i + *32 + *зз + *34 = 5500.
Ограничения по столбцам:
хц+х21+*31 = 13 000;
x12 + X22 + x32 = 9300;
*в + *2з + х33=13 000.
Условие сбалансированности запасов и потребностей:
ЪА:=%В:=42500.
/=1 ;=1 J
334

Условие неотрицательности переменных:
ху>0, /=1,...,3;у=1,...,4.
Составим опорный план методом минимального элемента и
проверим его на оптимальность, используя потенциалы (табл.
103).
103. Опорный план задачи 15.7
^^\^ Участки пастбищ
Фермы
МФ-1
МФ-2
МФ-3
10
13
11
Запас зеленой массы
на участках, ц
1
12
2
13000
3
5
13000
2
14
+ г-2
1
9300
3
9300
3
14
4
12000
8
9
12000
4
17
7
2000 ^
' 4
700
6
5500
8200
Потребности в
зеленых кормах, ц
27000
10000
5500
^-\^^ 42500
42500 ^^\^
Вычислим для опорного плана значение целевой функции:
Zx = 2 • 13 000 + 4 • 12 000 + 7 • 2000 + 1 • 9300 + 4 • 700 +6 • 5500 =
= 133 100 руб.
Анализ таблицы с использованием потенциалов показывает,
что в клетке (1,2) не соблюдается условие а,+ Q>py, то есть
условие Оу>0. Здесь а,* Су= 10 + 2 < 14, что говорит о
необходимости улучшения этого плана, так как он не является
оптимальным.
Следующий, улучшенный план задачи после перемещения по
циклу 2000 ц продукции показан в таблице 104. Анализ данного
плана показывает, что он является оптимальным, так как для
всех свободных клеток выполняется условие а,+ С0>$.
Произведем вычисление целевой функции данного плана с
контролем:
Z$=213 000+2-2000+412000+l-7300+4-2700+6-5500=129100py6.;
Z?=Z1-AZ=133100-(14-(10+2)=129100py6.;
4 3
Z?= 1 Ру5у-5:М/=(1213000+12.9300+1412000+15.8200)-
y=i /=i
-(10-27 000+11-10 000+9-5500)=558 600-429 500=129100 руб.
335

104. Второй (оптимальный) план задачи 15.7
^"^^Участки пастбищ
Фермы
МФ-1
МФ-2
МФ-3
10
и
9
Запас зеленой массы
на участках, ц
1
12
2
13000
3
5
13000
2
12
2
2000
1
7300 [
, 3
+
9300
3
14
4
12000
8
9
12000
4
15
7
4
2700 [
. 6
5500
8200

Потребности в зеленых
кормах, ц
(4)
27000
10000
5500
\. 42500
42500Х\
Поскольку Zj>=Z$=Z% вычисления правильны.
Данные таблицы 104 показывают также, что в свободной
клетке (3,2) (Х/+ С//=Р/=9 + 3 = 12. Это свидетельствует о том, что
данная задача имеет еще одно оптимальное решение с таким же
значением целевой функции. Чтобы получить его, построим еще
один цикл и переместим по нему минимальное значение
х34 = 5500, находящееся в отрицательной вершине этого
многоугольника (см. табл. 104). Новый оптимальный план показан в
таблице 105.
105. Альтернативный оптимальный план задачи 15.7
^"^^^ Участки пастбищ
Фермы
МФ-1
МФ-2
МФ-3
10
И
9
Запас зеленой массы
на участках, ц
1
12
2
13000
3
5
13000
2
12
2
2000
1
1800
3
5500
9300
3
1.4
4
12000
8
9
12000
4
15
7
4
8200
6
8200

Потребности в зленых
кормах, ц
(Ад
27000
10000
5500
\42500
425(Ю\^
Расчет Z по этому плану подтверждает равенство целевых
функций:
336

Z = 2 • 13 000 + 2 • 2000 + 4 • 12 000 + 1 • 1800 + 4 • 8200 + 3 • 5500 =
= 129 100 руб.
Обращаясь к проекту землеустройства,
инженер-землеустроитель, анализируя оба варианта оптимального плана, может
выбрать наиболее подходящее проектное решение, учитывающее
территориальные особенности землепользования.
Устранение недостатков землепользования.
Постановка данной задачи проекта межхозяйственного
землеустройства заключается в следующем. В группе
сельскохозяйственных предприятий, расположенных территориально в одном
месте, имеется некоторое число чересполосных и вкрапленных
участков, с которых получается продукция одного вида
(например, участки пойменных земель, на которых производятся
корма). Необходимо так перераспределить чересполосные участки
между хозяйствами, чтобы суммарный экономический эффект от
этой реорганизации был наибольшим.
В качестве показателя, характеризующего эффективность
перераспределения земель (критерия оптимальности), могут быть
использованы следующие:
минимум транспортных затрат на перевозку продукции;
минимум себестоимости продукции.
Транспортные затраты зависят от расстояния перевозок,
себестоимость продукции — от удаленности, конфигурации и
плодородия участков.
Для постановки и решения задачи нужна следующая
информация:
объемы производства кормов или другой продукции
растениеводства, приведенной к сопоставимому виду, на чересполосных
участках;
общий объем производства кормов или другой продукции
каждого хозяйства со всех чересполосных участков;
расстояния перевозок.
В частности, можно взять исходные данные, приведенные в
таблице 82 (задача 15.3). Опорный план составим, пользуясь
методом минимального элемента (табл. 106).
Анализ данного плана методом потенциалов показывает, что
он не является оптимальным, так как в клетках (3,1) и (3,5) не
выполняется условие сс/+ Q>p,-. Произведя улучшение плана по
клетке с большей характеристикой [для клетки (3,1): 45-(22 +
+8) =15, для клетки (3,5): 48 - (22+13) = 13], то есть по клетке
(3,1), сразу же получим оптимальное решение (табл. 107).
Проанализируем полученное решение.
За хозяйствами после перераспределения земель будут
закреплены следующие земельные участки (при урожайности 2,5 т
корм, ед с 1 га):
у колхоза «1 Мая» остается 200 га первого участка
337

106. Опорный план задачи 15.3
ЧХозяйст
\ во
\ за
\

Хозяйства
«1
Мая»
«Луч»

«Победа»
ъа и пер-
начально

крепленные за
ними
участки
а, \
40
33
22
Объем
производства кормов
на участках, т
корм. ед.
«1 Мая»
1
45
- г-5
1009
i 16
2000
+ L"8
1000
2
35
ia
2
25-
2000
3
58
,+ 18
1
,2500
i 31
12000
л- 36
500
3000
«Луч»
4
36
22
3
14
500
2500
5
48
8
1500
46
13
1500
«Победа»
6
26
17
17
4
9000
9000
7
46
6
1000
25
28
1000
Объем

производства
кормов
в

зяйствах, т
корм,
ед.
6000
4000
10000
\20000
20000\
107. Оптимальный план задачи 15.3
^Хозяйства и пер-
\ воначально
\ закреплен-
\ ные за
\ ними
\ участки

Хозяйства
«1
Мая»
«Луч»

«Победа»
\ Ру
40
48
37
Объем
производства кормов
на участках, т
корм. ед.
«1 Мая»
1
45
5
500
16
8
500
1000
2
50
10
2
2000
25
2000
3
58
18
3000
31
36
3000
«Луч»
4
51
22
3
2000
14
500
2500
5
48
8
1500
46
13
1500
«Победа»
6
41
17
17
4
9000
9000
7
46
6
1000
25
28
1000
Объем

производства
кормов
в

зяйствах, т
корм,
ед.
6000
4000
10000
\20000
20000\J
(500:2,5 = 200), сохраняется третий участок на площади 1200 га
(3000: 2,5 = 1200), от акционерного общества (АО) «Луч»
передается пятый участок — 600 га (1500: 2,5 = 600), от АО «Победа»
присоединяется седьмой участок — 400 га (1000: 2,5 = 400);
АО «Луч» сохраняет часть четвертого участка — 800 га (2000:
: 2,5 = 800), от колхоза «1 Мая» передается второй участок —
800 га (2 000:2,5 = 800);
338

у АО «Победа» остается шестой участок — 3600 га
(9000:2,5 = 3600), от колхоза «1 Мая» передается половина
первого участка — 200 га (500 : 2,5 = 200) и от АО «Луч»
присоединяется 200 га от четвертого участка (500 : 2,5 = 200).
Рассчитаем экономическую эффективность полученного
решения.
Исходные показатели (по данным табл. 84):
ZHCX = 5 • 1000 + 10 • 2000 + 18 • 3000 + 3 • 2500 + 46 • 1500 +
+ 4 • 9000 + 28 • 1000 = 219 500 руб.
Показатель опорного плана:
Zi = 5 • 1000 + 18 • 2500 +8 • 1500 + 6 • 1000 + 2 • 2000 +
+ 3 • 2000 + 36 • 500 + 14 • 500 + 4 • 9000 = 139 000 руб.
Показатель оптимального плана:
ZonT = 5 • 500 + 18 • 3000 + 8 • 1500 + 6 • 1000 + 2 • 2000 +
+ 3 • 2000 + 8 • 500 + 14 • 500 + 4 • 9000 = 131 500 руб.
Таким образом, при заданной стоимости перевозок грузов
экономия транспортных расходов по оптимальному плану
составит 88 тыс. руб. (219 500-131 500 = 88 000), или 40,1 %, что
говорит о высокой эффективности полученного решения.
Следует иметь в виду, что данная постановка задачи
предполагает равноценный обмен хозяйств участками. Если
допускается неравноценный обмен, возникает открытая транспортная
задача и решение может быть иным.
Размещение культур по участкам пашни различного плодородия.
Данная задача очень важна, так как ее цель, с одной
стороны, состоит в максимально эффективном использовании
плодородия почв, с другой — в сохранении этого плодородия.
Кроме того, в условиях рыночной конъюнктуры традиционное
понятие севооборотов существенным образом меняется.
Чередование культур по полям севооборотов в пространстве все
больше заменяется их чередованием по полям и рабочим
участкам во времени. Это означает, что при изменении рыночных
цен состав культур в севооборотах может изменяться и
собственник земли в любой момент времени может выращивать те
культуры, которые пользуются наибольшим спросом. Тем более
важно, чтобы на каждом конкретном участке не нарушались
принципы чередования культур и они размещались по
наилучшим предшественникам, то есть чтобы выдерживались хотя бы
звенья севооборотов.
Постановка данной задачи не отличается сложностью.
Предположим, что в хозяйстве имеются участки земель, различающи-
339

еся по плодородию и местоположению (к ним относятся как
поля севооборотов, так и отдельно обрабатываемые рабочие
участки). В качестве участков могут рассматриваться также
отдельные контуры земельных угодий или массивы земель (группы
примыкающих друг к другу контуров). Каждый из участков имеет
заданную площадь и определенные качественные
характеристики (плодородие почв, степень увлажненности, удаленность от
хозяйственного центра и др.).
Необходимо так разместить сельскохозяйственные
культуры на заданных участках, чтобы экономический эффект от
этого размещения был максимальным. В качестве критерия
оптимальности лучше всего использовать максимум чистого
дохода, что обусловлено рядом причин. Во-первых, чистый
доход аккумулирует в себе три основных фактора — динамику
цен (через стоимость валовой продукции и величину затрат),
производственные свойства земли (через урожайность
сельскохозяйственных культур) и местоположение участка, его
удаленность от хозяйственного центра (через затраты на
возделывание культур). Во-вторых, использование
дифференцированного по участкам показателя чистого дохода позволяет
одновременно добиться двух целей — увеличить объемы
производства экономически выгодной продукции и снизить
затраты на ее получение.
Значения С0- рассчитывают по следующей формуле:
г\.= тту — 3
где Ц/ —стоимость (закупочная, сдаточная или рыночная цена) единицы
продукции, получаемой от /-Й культуры, руб. за 1 ц; У у— урожайность /-й культуры нау-м
участке с учетом влияния предшественников, ц с 1 га; 3/, — дифференцированные
затраты на возделывание /-Й культуры нау-м участке земли, руб. на 1 га.
Расчет У у можно вести по следующей формуле:
У-ЦБ^К,,
где ЦБ, — цена 1 балла по урожайности культур, ц (берется из данных
внутрихозяйственной оценки земель); Б,у — балл /-Й культуры по урожайности при размещении
ее нау-м участке (балл участка); К, — коэффициент изменения урожайности
сельскохозяйственных культур в зависимости от предшественников.
Значения коэффициента К, для центральных районов
Нечерноземной зоны европейской части России приведены в таблице 108.
Рассмотрим конкретный пример. Допустим, что цена 1 балла
по урожайности картофеля равна 1,875 ц. Необходимо
определить, какой будет урожайность картофеля на двух участках,
имеющих балл оценки земель по этой культуре соответственно 80 и
100, в том случае, если на первом он будет размещаться по
кормовым корнеплодам, а на втором — по озимой ржи.
340

108. Средние значения коэффициентов урожайности культур в зависимости
от предшественников*
Культуры
Предшественники
Озимая рожь
Ячмень
Лен
Кормовые
корнеплоды
Картофель
Однолетние травы
Многолетние травы
озимая
рожь
**
0,93
0,95
—
0,97
0,98
1,00
ячмень
0,87
—
0,93
0,98
1,00
0,93
0,94
лен
0,93
—
—
—
1,03
—
1,01
кормовые

корнеплоды
0,97
0,99
0,85
—
1,00
—
—
картофель
1,00
1,00
0,89
0,87
—
0,90
1,00

однолетние травы
0,97
0,92
—
—
1,00
—
—

многолетние травы
0,92
0,93
—
—
—
0,91
1,00
* Методические рекомендации по проектированию севооборотов в колхозах и
совхозах Нечерноземной зоны РСФСР/Под ред. К. И. Саранина, С. Н. Волкова,
Е. Н. Кочергина. — М.: НИИСХ центральных районов Нечерноземной зоны.
1986.-С. 126.
**Прочерк означает нецелесообразность или недопустимость посева по
соответствующему предшественнику.
Расчет по приведенной выше формуле дает:
У{ = 1,875 • 80 • 0,87 = 130,5 ц с 1 га;
У2 = 1,875 • 100 • 1,0 = 187,5 ц с 1 га.
Таким образом, на втором участке урожайность картофеля
будет выше на 57 ц с 1 га.
Методика вычисления значений 3,у в зависимости от
производительных и территориальных свойств земли изучается в курсе
«Экономика землеустройства» (Волков С. Н. Экономика
землеустройства. — М.: Колос, 1996. — С. 131 — 133). В том случае, если
какую-то культуру по условиям предшественников или другим
природным факторам (высокая степень эродированности,
увлажненности, засоренности) размещать на каком-то участке
нецелесообразно, значение Q при решении задач на максимум
принимается равным нулю.
Следует отметить, что при решении задач данного типа могут
применяться и другие критерии оптимальности:
в районах водной эрозии почв — минимум объема смываемой
почвы, а в районах ливневой эрозии — максимум проективного
покрытия почв растительностью (Волков С. Н. Оптимальное
планирование и проектирование использования земельных
угодий в условиях водной эрозии почв. Дисс. канд. эк. наук. — М.,
1977.-С. 172);
при однородном почвенном покрове и сильных различиях в
удаленности земельных участков —на минимум прямых затрат
на производство продукции;
341

при хороших территориальных условиях производства и
больших различиях в плодородии земель — на максимум стоимости
валовой продукции.
В практической деятельности землеустроительных органов
при обслуживании сельскохозяйственных предприятий
используются специальные пакеты прикладных программ, основанные
на данной методике; они позволяют автоматизировать все
расчеты.
Распределительным методом линейного программирования
могут решаться и другие землеустроительные задачи; некоторые
из них будут рассмотрены в следующих главах.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие исходные данные нужны для постановки транспортной задачи?
2. Какие транспортные задачи называются сбалансированными? Запишите
условие сбалансированности в общем виде.
3. Назовите типы ограничений, задаваемых при постановке транспортной
задачи, и запишите их в общем виде.
4. Что представляет собой целевая функция транспортной задачи? Запишите в
общем виде выражение для этой функции.
5. Какие виды требований могут предъявляться к целевой функции? Приведите
примеры задач с различными видами требований к целевой функции.
6. Назовите отличительные особенности распределительных (транспортных)
задач.
7. Приведите примеры землеустроительных задач, решаемых с помощью
транспортной модели. Перечислите основные виды таких задач.
8. Каков общий вид транспортной таблицы?
9. Что такое решение транспортной задачи? Какие решения называют
допустимыми, оптимальными, базисными?
10. Что называют опорным планом (опорным решением) транспортной задачи?
11. Каковы основные этапы общей схемы решения транспортной задачи?
12. Какие виды проверок следует осуществлять при проверке любого
допустимого решения транспортной задачи?
13. Что такое «проверка решения по строкам и столбцам»?
14. Что такое «проверка решения по числу занятых клеток»?
15. Назовите разновидности методов нахождения опорного решения.
Качественно опишите, в чем заключаются их различия.
16. Назовите основные пункты алгоритма метода минимального элемента,
выполняемые на каждом шаге.
17. Чем отличаются методы максимального элемента и минимального
элемента?
18. Назовите основные пункты алгоритма метода аппроксимации,
выполняемые на каждом шаге.
19. Чем различаются алгоритмы метода аппроксимации в случае минимизации
и максимизации целевой функции?
20. Нужно ли вычеркивать одновременно и строку, и столбец транспортной
таблицы, если на очередном шаге поиска опорного решения новые значения
некоторой величины Л, и некоторой величины 2^-стали равными нулю?
21. По каким правилам строится цикл, используемый для преобразования
решения, размещенного в транспортной таблице?
22. Что такое оценка испытуемой клетки? Как она связана с циклом?
23. Можно ли для одной и той же испытуемой клетки построить два цикла?
24. Определите понятия «потенциалы поставщика» и «потенциалы
потребителя».
^5. Какова связь потенциалов с целевой функцией?
342

26. Как оценки свободных клеток связаны с потенциалами?
27. Каким образом, используя оценки свободных клеток, можно проверить
данное решение на оптимальность, если целевая функция задачи
максимизируется? минимизируется?
28. Дайте качественное описание процедуры последовательного улучшения
опорного решения транспортной задачи.
29. Каким образом выбирают испытуемую клетку при построении цикла для
улучшения решения транспортной задачи в случае минимизации целевой
функции? В случае ее максимизации?
30. В каком порядке помечаются знаками «+» и «-» вершины цикла?
31. Как определяется величина ресурса, перемещаемого по циклу, при
изменении решения транспортной задачи? Как при таком перемещении меняется
заполнение клеток, в которых находятся вершины цикла?
32. Как изменяется целевая функция после преобразования решения
транспортной задачи с помощью цикла? Приведите общую формулу для определения такого
изменения.
33. Какие транспортные задачи называют несбалансированными (открытыми)?
34. Каковы основные этапы изменения транспортной таблицы при приведении
несбалансированной задачи к сбалансированному виду?
35. Какие численные значения величин CiJt соответствующие фиктивному
поставщику ресурса или фиктивному потребителю ресурса, задают при приведении
задачи к сбалансированному виду?
36. Каким образом при постановке транспортной модели учитывают
дополнительные ограничения вида ху> D1
37. В каком случае при учете ограничения вида Ху> D из таблицы должен
вычеркиваться столбец? строка?
38. Каким образом при постановке транспортной модели учитываются
дополнительные ограничения вида xtj = Z)?
39. Что такое блокировка клетки? Когда она осуществляется в случаях
минимизации и максимизации целевой функции? Каков смысл блокировки клетки?
40. Учитываются ли при постановке транспортной задачи ограничения вида
Xjj< W. Если учитываются, то на каком этапе решения задачи?
41. Что такое вырожденные решения транспортной задачи?
42. При каких исходных данных возможно возникновение вырожденных
решений?
43. Охарактеризуйте особенности определения опорного решения
транспортной задачи в случае его вырожденности.
44. Опишите особенности алгоритма последовательного улучшения решения
транспортной задачи при наличии вырожденных решений.
45. Каким образом при формировании окончательного решения учитывается
исходная несбалансированность задачи?
46. Каким образом при формировании окончательного решения учитываются
ограничения вида Ху> ЕР. вида х^= W х0< D1
47. Назовите основные особенности задач закрепления пастбищ за
животноводческими фермами. Какими могут быть критерии оптимальности в таких задачах?
48. Какие реальные факторы делают актуальной задачу закрепления пастбищ за
животноводческими фермами? Приведите примеры.
49. Чем объясняется важность задач по устранению недостатков
землепользования хозяйств?
50. Какими могут быть критерии оптимальности в задачах устранения
недостатков землепользования? Какая исходная информация требуется для их
постановки?
51. Чем объясняется актуальность задачи дифференцированного размещения
культур по участкам пашни различного плодородия?
52. Какие критерии оптимальности могут использоваться при решении задач
дифференцированного размещения культур по участкам различного плодородия?
53. Как можно оценить значение дифференцированного по участкам земли
чистого дохода?
343

Глава 16
АНАЛИЗ И КОРРЕКТИРОВКА ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
16.1. АНАЛИЗ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПОСЛЕДНЕЙ СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦЫ
Решение задачи симплексным методом позволяет получить
оптимальный вариант плана, являющийся наилучшим с точки
зрения выбранного критерия оптимальности и поставленных
условий задачи. При этом, как известно, оптимальное решение
находится в последней симплекс-таблице. В качестве иллюстрации
рассмотрим последнюю симплекс-таблицу задачи 14.4,
поставленной в п. 14.3 (табл. 109). К основным блокам информации,
содержащейся в ней, относятся:
собственно оптимальное решение — значения в столбце Ai0
базисных переменных (напомним, что небазисные переменные
равны нулю);
оптимальное значение целевой функции, находящееся в
индексной строке в том же столбце: Zmax = 391 631;
коэффициенты замещения (коэффициенты структурных
сдвигов), расположенные в столбцах небазисных переменных;
элементы индексной строки, соответствующие небазисным
переменным.
Значения элементов индексной строки называют
двойственными оценками, или, точнее, оценками переменных
двойственной задачи линейного программирования. Они показывают, как
изменяется целевая функция при небольших отклонениях
небазисных переменных от нуля (напомним, что элементы
индексной строки, соответствующие базисным переменным, равны
нулю).
Полезной информацией является также указание на
соответствие дополнительных переменных и номеров ограничений,
«породивших» эти переменные (3-й столбец табл. 109).
Учитывая, что различные группы данных характеризуют
различные аспекты оптимального решения, целесообразно
рассмотреть их раздельно.
1. Основные переменные, попавшие в базис, характеризуют
эффективные отрасли хозяйства, которые целесообразно развивать
для достижения максимального чистого дохода. К ним относятся:
площадь пашни под зерновыми товарными культурами х\ =
= 180 га;
площадь пашни под зерновыми фуражными культурами х2 =
= 120 га;
площадь пашни под культурами на сочные корма х3 = 137,5 га;
площадь пашни под культурами на зеленый корм х4 = 20 га;
поголовье свиноматок х5 = 75 голов;
поголовье коров х^= 100 голов.
344

109. Последняя симплекс-таблица для задачи 14.4
N° п/п
(0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Индек
Базисные
переменные
*io (ост.)
х, (осн.)
JQ (ОСН.)
х5 (осн.)
*14 (ОСТ)
Х8 (ОСН.)
*6 (ОСН.)
*17 (ОСТ.)
х3 (осн.)
Х2 (ОСН.)
сная строка
С/
0
2250
0
4500
0
-1
4500
0
0
0
Номера
ограничений (для
дополнительных
переменных)
1
—
—
—
5
-
—
8
—
—
(Zj-CJ)
Лд>
(значения
базисных
переменных)
42,5
180
20
75
6686
800000
100
8300
137,5
120
391631
Ар (*7)
(осн.)
-0,62
-0,82
0
2,54
165
0
0
0
1,62
0,82
8400
(изб. в
огр. 9)
0,015
0,023
0
0,029
1,21
0
-0,033
-2,87
-0,015
. -0,023
33,1
Коэффициенты замещения
А,\\ (*п)
(ост. в
огр. 2)
-0,72
1,14
0
-0,44
5,25
0
0
0
-0,28
-0,14
604
Л/12 (ХП)
(ост. в
огр. 3)
-0,68
-0,005
1
0,015
-14,2
0
0
0
-0,32
0,005
56,1
Л,|3 (*1Э)
(ост. в
огр. 4)
-0,0002
-0,0001
0
0,0004
-0,034
1
0
0
0,0002
0,0001
0,37
Л/15 (*15>
(ост. в
огр. 6)
0,012
-0,003
0
0,01
-0,52
0
0
-1
-0,012
0,003
37,4
Л/16 С*1б)
(ост. в
огр. 7)
-0,012
0,035
0
-0,01
0,36
0
0
0
0,012
0,035
34,7

При этом общие денежные расходы хозяйства составят
х8 = 800 тыс. руб.
2. Основные переменные, не попавшие в базис, характеризуют
неэффективные отрасли хозяйства, которые развивать
нецелесообразно. В рассматриваемой задаче к ним относится производство
сахарной свеклы (х7 = 0).
3. Экстремальное значение целевой функции показывает
максимально возможный чистый доход хозяйства, достигаемый при
оптимальном сочетании отраслей хозяйства (2^ах = 391 631 руб.).
Любое другое сочетание отраслей в условиях ограниченности
ресурсов, в том числе развитие неэффективных отраслей (придание
ненулевых значений небазисным переменным), будет приводить
к ухудшению оптимального плана.
4. Остаточные переменные, попавшие в базис, характеризуют
недоиспользованные ресурсы, то есть соответствующие им
ресурсы являются недефицитными:
недоиспользованная площадь пашни х10 = 42,5 га;
недоиспользованные трудовые ресурсы х14 = 6686 чел.-ч.
Очевидно, что увеличение недефицитных ресурсов не
приведет к увеличению дохода хозяйства.
Формально по данным последней симплекс-таблицы можно
считать недоиспользованными «все корма для свиней» (х17 =
= 8300 ц корм. ед. — см. табл. 109; см. также табл. 66 и систему
канонических ограничений (14.9). Однако остаточная
переменная х15, соответствующая общему (шестому) ограничению «по
всем кормам для всех животных», равна нулю, что говорит о
полном использовании кормов в хозяйстве. Таким образом,
значение хх1 = 8300 интерпретируется не как недоиспользование
кормов, а как количество кормов с пашни, используемых для коров.
5. Остаточные переменные, не попавшие в базис (и
соответственно равные нулю), характеризуют полностью исчерпанные,
то есть дефицитные, ресурсы. Всякое увеличение дефицитного
ресурса обеспечивает дополнительное развитие эффективных
отраслей и увеличение дохода хозяйства. Поскольку в число
базисных не вошли остаточные переменные хи, х12, х13, х15, *i6> то к
дефицитным ресурсам относятся:
площадь пашни, выделяемой под зерновые культуры;
площадь пашни, выделяемой под культуры на зеленый корм;
денежно-материальные ресурсы хозяйства;
общий запас кормов;
запас концентрированных кормов.
Следует, однако, отметить, что дефицитность кормов является
вторичной — она обусловлена дефицитностью
денежно-материальных ресурсов. Характерно также, что пашня в целом
недоиспользуется — на ней можно было бы произвести еще сочные
корма, но при наличии дополнительных денежно-материальных
средств.
346

6. Избыточная переменная, не вошедшая в базис (и, стало
быть, равная нулю), свидетельствует о точном выполнении (без
перевыполнения) заданного в соответствующем ограничении
требования по производству продукции. Более того,
попадание избыточной переменной в число небазисных
свидетельствует о том, что перевыполнение плана невыгодно с точки
зрения максимизации целевой функции. Соответствующие
плановые задания можно назвать критическими — их включение в
условия задачи, как правило, сдерживает дальнейшее
повышение эффективности хозяйства в целом. Содержательно этот
факт будет подробно проанализирован в последующих
пунктах. В рассмотренной выше задаче такой является переменная
х9, показывающая, что план производства молока точно
выполняется (см. табл. 109).
На примере простых симплексных задач, содержащих только
две основные переменные, можно дать наглядную
геометрическую интерпретацию дефицитности или недефицитности
ресурсов. Например, на рисунке 17, дающем графическую
интерпретацию решения задачи 14.5, видно, что поскольку линия уровня,
соответствующая максимальному значению целевой функции,
касается области допустимых значений в точке Е, дальнейший
рост целевой функции (сдвиг линии уровня вправо и вверх)
невозможен именно из-за ограниченности площади пашни (грань
EF) и трудовых ресурсов (грань DE). Если бы, например, удалось
увеличить площадь пашни, то грань EF сместилась бы вправо и,
следовательно, предельная линия уровня вместе с точкой Е
также сместилась бы вправо. В то же время увеличение, например,
числа мест для содержания коров (смещение грани CD вверх)
никак не скажется на положении оптимальной точки Е, что
вполне соответствует интерпретации соответствующего ресурса
как недефицитного.
16.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАМЕЩЕНИЯ
Коэффициенты, стоящие в /-х строках и у'-х столбцах
последней симплекс-таблицы, называются коэффициентами
замещения или коэффициентами структурных сдвигов. Они показывают,
как изменяется значение базисной переменной из /-й строки при
изменении небазисной переменной на единицу (то есть при
введении в оптимальный план небазисной переменной),
соответствующей у-му столбцу. Аналогично элементы индексной строки
определяют изменения целевой функции.
Коэффициентами замещения (или структурных сдвигов) их
называют прежде всего потому, что с их использованием можно
корректировать оптимальное решение по данным последней
симплекс-таблицы, «замещая» значения базисных переменных
347

небазисными. При этом существенно экономится время на
приближение оптимального решения к новым экономическим
условиям, возникающим после решения задачи. Например, для того
чтобы иметь в оптимальном плане сахарную свеклу (х7 = В, где
В— некоторая константа), можно заново решить задачу, введя
указанное ограничение в первоначальную систему условий.
Этого же можно добиться, скорректировав последнюю симплекс-
таблицу с использованием коэффициентов замещения, введя в
план значение х7 = В.
Математической основой таких действий являются
доказываемые в теории линейного программирования соотношения:
х^б=хУб"4ху; <16л)
Z'=Zopt-(^.-Cy)xy, (16.2)
где xj— вводимое в план значение небазисной переменной; х$, *}б — оптимальное
и измененное значения базисной переменной; Ац— коэффициент замещения,
стоящий на пересечении /-й строки иу-го столбца; ZqPU Z' — оптимальное и
измененное значения целевой функции; (Z,— Cj) — элемент индексной строки, стоящий
ву'-м столбце.
Последствия включения в оптимальный план небазисной
переменной, ее влияние на значения базисных переменных и
целевой функции зависят от ее типа, то есть от того, является ли она
основной, остаточной или избыточной.
Соотношение (16.2) подтверждает сформулированный выше
вывод о том, что развитие неэффективной отрасли, то есть
введение в план основной небазисной переменной, всегда будет
приводить к ухудшению (или по крайней мере к неулучшению
оптимального плана). Это прямо связано с тем фактом, что в задачах
на максимизацию в последней симплекс-таблице все элементы
индексной строки неотрицательны. Направление изменений
базисной переменной определяется знаком соответствующего
коэффициента замещения: положительный знак ^означает
уменьшение базисной переменной, стоящей в /-й строке,
отрицательный — ее увеличение.
Так, например, если хозяйство будет развивать производство
сахарной свеклы, то введение в план 1 га посева сахарной свеклы
приведет к следующему изменению базисных переменных (см.
коэффициенты замещения в столбце Ап):
увеличится площадь пашни под зерновыми товарными
культурами (хО на 0,82 га;
уменьшится среднегодовое поголовье свиноматок (х5) на
2,54 гол.;
уменьшится площадь пашни под культурами, идущими на
сочные корма (х3), на 1,62 га;
348

уменьшится площадь пашни под зерновыми фуражными
культурами (х2) на 0,82 га.
Кроме того:
увеличится площадь неиспользованной пашни (х10) на 0,62 га;
уменьшатся неиспользованные трудовые ресурсы (jc14) на
165 чел.-ч;
не изменятся площадь пашни под культурами на зеленый
корм (х4), поголовье коров (х6), денежно-материальные затраты
хозяйства (х8).
Чистый доход (целевая функция) уменьшится на 8400 руб.
Увеличение дефицитных, то есть исчерпанных полностью,
ресурсов (например, выявление их резервов или дополнительное
привлечение извне) будет способствовать развитию некоторых
отраслей и увеличению чистого дохода. Сокращение
дефицитных ресурсов приведет к противоположному эффекту.
Для того чтобы дать этой закономерности строгую
количественную интерпретацию, необходимо учесть особенности
включения остаточных переменных в каноническую постановку
задачи линейного программирования (см. п. 14.4). Для
определенности рассмотрим каноническое ограничение на
денежно-материальные ресурсы хозяйства [четвертое ограничение из системы
(14.9)]:
*8 + *13 = 800 000, (16.3)
где х8 — денежно-материальные расходы хозяйства, руб.; х13 — остаточная
переменная, руб.
В правой части этого ограничения указаны
денежно-материальные ресурсы хозяйства.
Из (16.3) непосредственно следует:
х8 = 800 000-х13, (16.4)
откуда видно, что увеличению расхода дефицитного ресурса (х8)
должно соответствовать введение в оптимальный план
отрицательных значений остаточной переменной (х13), а уменьшению —
положительных значений.
Количественные изменения базисных переменных и целевой
функции при введении в оптимальный план остаточной
переменной определяют коэффициенты замещения и элемент
индексной строки, стоящие в столбце вводимой переменной. Из
вышеизложенного ясно, что при введении в план отрицательного
значения небазисной остаточной переменной (то есть при
увеличении расхода дефицитного ресурса) положительный знак
коэффициента замещения А0- означает соответствующее увеличение
значения базисной переменной, стоящей в /-й строке, а
отрицательный знак — уменьшение. Значение целевой функции при
этом должно возрасти. При введении в план положительного
349

значения небазисной остаточной переменной направления
указанных изменений становятся противоположными. Так,
например, на каждый рубль дополнительно привлекаемых денежно-
материальных ресурсов (то есть при х13 = — 1) хозяйство получит
дополнительно 37 коп. чистой прибыли. Характеристики
эффективных отраслей изменятся следующим образом (см.
коэффициенты замещения в столбце А,лъ последней симплекс-таблицы):
уменьшится площадь пашни под зерновыми товарными
культурами (х{) на 0,0001 га;
увеличится среднегодовое поголовье свиноматок (х5) на
0,0004 гол.;
увеличится площадь пашни под культурами, идущими на
сочные корма (х3), на 0,0002 га;
увеличится площадь пашни под зерновыми фуражными
культурами (х2) на 0,0001 га.
Кроме того:
уменьшится площадь неиспользованной пашни (х10) на
0,0002 га;
уменьшатся неиспользованные трудовые ресурсы (х14) на
0,034 чел.-ч;
не изменятся площадь пашни под зелеными кормами (х4) и
поголовье коров (х$).
Введение в план небазисной избыточной переменной
позволяет установить, как меняется оптимальное решение при
изменении соответствующих плановых заданий. Для примера
рассмотрим ограничение, задающее план производства молока [девятое
ограничение из системы (14.9)]:
30х6-х9 = 3000, (16.5)
где хе — поголовье коров, гол.; х9 — избыточное производство молока, ц.
Из (16.5) непосредственно следует:
30х6 = 3000 + х9, (16.6)
откуда ясно, что увеличению плана производства молока (30х6)
соответствует введение в оптимальный план положительных
значений избыточной переменной (х9), а уменьшению — отрицательных
ее значений.
По общему правилу введение в план положительного
значения небазисной избыточной переменной при положительном
знаке коэффициента замещения А„ приведет к
соответствующему уменьшению значения базисной переменной, стоящей в /-й
строке, а при отрицательном — к ее увеличению. Значение
целевой функции при этом должно уменьшиться. При введении в
план отрицательного значения небазисной избыточной
переменной изменения будут противоположными.
350

Так, например, при снижении плана по молоку на 1 ц (то есть
при х9 = —1) хозяйство получит дополнительно 33,1руб. чистой
прибыли. Характеристики эффективных отраслей изменятся
следующим образом (см. значения коэффициентов замещения в
столбце А$ последней симплекс-таблицы):
увеличится площадь пашни под зерновыми товарными
культурами (х\) на 0,023 га;
увеличится среднегодовое поголовье свиноматок (х5) на
0,029 гол.;
уменьшится среднегодовое поголовье коров (х6) на 0,033 гол.;
уменьшится площадь пашни под культурами, идущими на
сочные корма (х3), на 0,015 га;
уменьшится площадь пашни под зерновыми фуражными
культурами (х2) на 0,023 га.
Кроме того:
увеличится площадь неиспользованной пашни (х10) на
0,015 га;
увеличатся неиспользованные трудовые ресурсы (х14) на
1,21 чел.-ч;
площадь пашни под культурами на зеленый корм (х4) и
денежно-материальные затраты хозяйства (х8) не изменятся.
Заметим, что снижение планового задания в относительно
невыгодной при имеющихся условиях отрасли (в молочном
животноводстве) позволяет расширить две эффективные отрасли
(производство товарного зерна и свиноводство). При этом часть
трудовых ресурсов и пашни высвобождается.
16.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЗАМЕЩЕНИЯ
ДЛЯ ВАРИАНТНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Коэффициенты замещения в последней симплекс-таблице
могут использоваться для отыскания новых решений, близких по
значению целевой функции к оптимальному и не нарушающих
исходные ограничения задачи. При этом в определенных
пределах изменения в оптимальный план могут вноситься без
пересчета всего плана. Такая корректировка основана на
фундаментальном свойстве решений симплексных задач —они сохраняют
свою структуру (список базисных переменных), а также значения
коэффициентов замещения и элементов индексной строки при
незначительных изменениях небазисных переменных. В
процессе корректировки меняются только значения базисных
переменных и целевой функции.
Корректировка оптимального плана может быть оправдана,
если:
351

возникает необходимость развития отрасли, не вошедшей в
базисное решение;
появляются дополнительные источники дефицитных ресурсов
в хозяйстве или, наоборот, реальная ресурсная база по
сравнению с предварительно прогнозируемой сужается;
увеличиваются или уменьшаются плановые задания по
производству той или иной продукции.
Методической основой алгоритмов корректировки остаются,
рассмотренные выше соотношения (16.1) и (16.2). Речь всегда
идет о введении в оптимальный план той или иной небазисной
переменной. При этом для основной небазисной переменной,
естественно, допустимы только положительные значения, тогда
как для дополнительной (остаточной или избыточной) реальный
экономический смысл имеют как положительные, так и
отрицательные значения.
Соотношение (16.1) определяет также основное ограничение
на допустимые пределы корректировки оптимального плана. А
именно, поскольку ввод в план любой небазисной переменной
сопровождается изменениями базисных, причем некоторые из
них уменьшаются, предельно допустимое изменение плана
задается требованием неотрицательности уменьшающихся базисных
переменных. Сформулируем это утверждение в виде конкретных
правил.
Сначала рассмотрим случай введения в план основной
небазисной переменной xj. Пусть некоторой базисной переменной х^
соответствует положительный коэффициент замещения. В этом
случае согласно (16.1) при введении в план х,- базисная
переменная будет уменьшаться. Полагая новое значение х'. равным
нулю (то есть предельно допустимому значению), из (16.1)
получим наибольшее допустимое значение вводимой в базис
основной переменной х/.
*r'=V4" <16-7>
Напомним, что в соответствии с правилами формирования
симплекс-таблиц между индексами уб и / имеется однозначное
соответствие.
Проходя по у'-му столбцу, перебирая в нем все коэффициенты
замещения А0>0 и выбирая среди х^аХ/, /=1,...,/и, наименьшее
значение Z>min, определяем допустимый интервал значений
вводимой в базис основной переменной х/.
.0<xy<Amn.
352

При введении в план дополнительной небазисной переменной
Xj (остаточной или избыточной) имеют смысл как
положительные, так и отрицательные ее значения. Поэтому при
прохождении по у-му столбцу коэффициентов замещения и определении
величин х?13*' по формуле (16.7) следует использовать как
положительные, так и отрицательные значения коэффициентов Ау
(не учитываются только значения А0 = 0). После определения
всех значений х]^аХ/, /= 1,...,/и находим среди них наименьшее
положительное значение D^in и наименьшее по модулю
отрицательное значение Д^п. Тем самым будет определен допустимый
интервал значений вводимой в базис дополнительной переменной х/.
D^n<Xj<D^in.
Рассмотрим теперь конкретные примеры.
Введение в оптимальный план основной переменной.
Предположим, что в решенной ранее задаче (см. табл. 109)
необходимо учесть следующее дополнительное условие: в связи с
расширением в регионе предприятий сахарной промышленности
в хозяйстве необходимо отвести 25 га пашни под сахарную
свеклу, то есть принять х7 = 25.
Сначала нужно найти пределы допустимых значений х7 при
вводе этой переменной в оптимальный план. Для этого делим
значения базисных переменных из последней
симплекс-таблицы на соответствующие положительные коэффициенты
замещения из столбца, соответствующего переменной х7. В данном
случае (см. табл. 109) получим (числа округлены): 75/2,54 =29,5;
6686/165 = 40,5; 137,5/1,62 = 84,9; 120/0,82 = 146,3. Наименьшим
частным («узким» местом) будет значение 29,5. Следовательно,
заданные в исходной постановке задачи ограничения не будут
нарушены, если площадь пашни под сахарной свеклой будет
находиться в пределах
0<х7<29,5га. (16.8)
Значение jc7 = 25 находится в этих пределах, следовательно,
требуемая корректировка оптимального плана из таблицы 109
допустима.
Далее рассчитывают новые значения целевой функции и
базисных переменных, используя соотношения (16.1) и (16.2). При
этом удобно использовать специальную таблицу (табл. ПО).
Полученные результаты подтверждают вывод о том, что
всякое изменение оптимального плана за счет введения основной
небазисной переменной (за исключением случая альтернативных
353

110. Корректировка оптимального плана задачи 14.4 при введении основной
переменной х7 = 25
Базисные
переменные
Значение базисной
переменной в
оптимальном плане
Коэффициенты
замещения по
небазисной
переменной
Произведения
коэффициентов
замещения на
вводимую переменную
Новый план
при х1 = 25
*ю (°ст-)
Х\ (ОСН.)
х4 (осн.)
х5 (осн.)
*14 (ОСТ.)
*8 (ОСН.)
хв (осн.)
хп (ост.)
*з (осн.)
х2 (осн.)
х7 (осн.)
Целевая
функция
42,5
180
20
75
6686
800000
100
8300
137,5
120
0
391631
-0,62
-0,82
0
2,54
165
0
0
0
1,62
0,82
—
8400
-15,5
-20,5-
0
64
4125
0
0
0
40,5
20,5
—
210000
58
200,5
20
11
2561
800000
100
8300
97
99,5
25
181631
оптимальных решений) приводит к ухудшению плана. В данном
случае:
на 20,5 га увеличилась площадь пашни под зерновыми
товарными культурами (х[);
на 64 гол. уменьшилось поголовье свиноматок (х$);
на 40,5 га уменьшилась площадь пашни под культурами,
идущими на сочные корма (х3);
на 20,5 га уменьшилась площадь пашни под зерновыми
фуражными культурами (х2);
на 15,5 га увеличилась площадь неиспользованной пашни
(*ю);
на 4125 чел.-ч уменьшились неиспользованные трудовые
ресурсы (х14);
на 210 000 руб. уменьшился чистый доход хозяйства (Z).
При этом площадь пашни под культурами на зеленый корм
(х4), поголовье коров (х6) и денежно-материальные затраты
хозяйства (х8) остались прежними.
Для корректной интерпретации полученного результата
необходимо учитывать следующее:
полученный скорректированный план (см. табл. ПО) можно
рассматривать как оптимальное решение новой задачи с
ограничением х7 = 25, дополняющим исходную систему ограничений
(14.7). Основная особенность рассмотренного способа получения
этого решения заключается в использовании уже имеющегося
решения (см. табл. 109);
в принципе допустимо задать требование, нарушающее вновь
полученное ограничение на вводимую переменную х7, например
положить х1 = 100 га. Однако в этом случае для получения нового
354

оптимального плана нельзя будет воспользоваться уже
имеющимся решением (см. табл. 109), а необходимо будет решить
новую задачу, дополнив систему ограничений (14.7) одиннадцатым
ограничением х7 = 100 и применяя процедуру симплекс-метода с
самого начала.
Эти замечания относятся к введению в оптимальный план
переменных любых типов.
Введение в оптимальный план остаточной переменной.
В хозяйстве имеется возможность увеличить
денежно-материальные ресурсы на 20 000 руб. Необходимо выяснить последствия
введения в план остаточной переменной х13 = —20 000
(напомним, что выбор знака «-» связан с экономической
интерпретацией остаточных переменных — см. пояснение к формуле (16.4).
Здесь также сначала нужно установить пределы введения
переменной в оптимальный план; при этом учтем, что для х13
допустимы как положительные, так и отрицательные значения. Разделим
значения базисных переменных последней симплекс-таблицы на
все ненулевые коэффициенты замещения из столбца,
соответствующего х13. Получим 42,5/(-0,0002) = -212 500; 180/(—0,0001) =
= -1 800 000; 75/0,0004 = 187 500; 6686/(-0,034) = -196 647;
800 000/1 = 800 000; 137,5/0,0002 = 687 500; 120/0,0001 = 1 200 000.
Сравнивая полученные частные, выберем наименьшие по
модулю положительные и отрицательные значения (D^m и D^m
соответственно). Дополнительно необходимо проверить, не
превышает ли значение Д^п заданного ресурса в исходном
ограничении, соответствующем остаточной переменной х13, и если
превышает, то приравняем значение Д^п к величине этого ресурса.
Такое действие необходимо, чтобы предотвратить появление
отрицательных значений реально расходуемого ресурса [см.
формулу (16.4)]. Ограничения задачи не будут нарушены, если
значения дополнительной переменной х13, характеризующие
изменения денежно-материальных ресурсов хозяйства, будут
находиться в пределах
i)-in<x13<ZUin. (l6-9)
Если среди коэффициентов замещения нет отрицательных,
переменная xi3 может принимать сколь угодно большие по
модулю отрицательные значения.
Для рассматриваемой задачи ограничение (16.9) примет вид
-196 647 <х13< 187 599 (руб.).
Требуемое значение дс13 находится в этих пределах,
следовательно, корректировка плана из таблицы 109 допустима. Рассчи-
355

таем теперь новые значения целевой функции и базисных
переменных (табл. 111).
111. Корректировка оптимального плана задачи 14.4 при введении остаточной
переменной дг13 = -20 000
Базисные
переменные
Значение
базисной переменной i
оптимальном
плане
Коэффициенты
замещения по
небазисной
переменной ;с,3
Произведения
коэффициентов
замещения на
вводимую переменную
Новый план
при
*13 =
¦ -20 000
*ю (ост.)
Х\ (ОСН.)
Х4 (ОСН.)
х5 (осн.)
*14 (ОСТ.)
*8 (ОСН.)
х6 (осн.)
хп (ост.)
*з (ОСН.)
х-, (осн.)
х'п (ост.)
Целевая
42,5
180
20
75
6686
800000
100
8300
137,5
120
0
391631
-0,0002
-0,0001
0
0,0004
-0,034
1
0
0
0,0002
0,0001
—
0,37
4
2
0
-8
680
-20000
0
0
-4
-2
—
-7400
38,5
178
20
83
6006
820000
100
8300
141,5
122
-20000
399031
Таким образом, введение в план дополнительно 20 000 руб.
денежно-материальных ресурсов привело к следующим
изменениям:
на 2 га уменьшилась площадь пашни под зерновыми
товарными культурами (х{);
на 8 гол. увеличилось поголовье свиноматок (х5);
на 4 га увеличилась площадь пашни под культурами, идущими
на сочные корма (х3);
на 2 га увеличилась площадь пашни под зерновыми
фуражными культурами (х2);
на 4 га уменьшилась площадь неиспользованной пашни (х10);
на 680 чел.-ч уменьшились неиспользованные трудовые
ресурсы (х14);
на 7400 руб. увеличился чистый доход хозяйства (2).
Площадь пашни под культурами на зеленый корм (х4) и
поголовье коров (х6) при этом не изменились. Увеличение денежно-
материальных ресурсов хозяйства позволило расширить
кормовую базу и соответственно увеличить поголовье свиноматок.
Введение в оптимальный план избыточной переменной.
Предположим, что план производства молока в хозяйстве был
увеличен с 3000 до 4000 ц. Необходимо выяснить возможность
введения в план избыточной переменной х9 = 1000 (напомним,
что выбор знака «+» связан с экономической интерпретацией
избыточных переменных — см. пояснение к формуле 16.6).
Порядок действий здесь тот же, что и для случая остаточной
переменной, но при анализе результатов необходимо учесть раз-
356

личия в интерпретации знаков остаточных и избыточных
переменных.
После определения частных от деления значений базисных
переменных на ненулевые коэффициенты замещения из
столбца, соответствующего переменной х9, получим следующее
ограничение:
-2892 <х9<+2586 (ц). (16.10)
Требуемое значение х$ находится в этих пределах,
следовательно, корректировка плана допустима. Расчет новых значений
целевой функции и базисных переменных приведен в таблице 112.
112. Корректировка оптимального плана задачи 14.4 при введении избыточной
переменной х9 = +1000
Базисные
переменные
*ю (ост)
хх (осн.)
х4 (осн.)
xs (осн.)
Х,4 (ОСТ.)
*8 (ОСН.)
хв (осн.)
*17 (ОСТ)
х3 (осн.)
х2 (осн.)
х~9 (изб.)
елевая
Значение
базисной переменной в
оптимальном
плане
42,5
180
20
75
6686
800000
100
8300
137,5
120
0
391631
Коэффициенты
замещения по
небазисной
переменной х9
0,015
0,023
0
0,029
1,21
0
-0,033
-2,87
-0,015
-0,023
—
33,1
Произведения
коэффициентов
замещения на
вводимую переменную
15
23
0
29
1210
0
-33
-2870
-15
-23
—
33100
Новый план
при
л> = +1000
27,5
167
20
46
5476
800000
133
11170
152,5
143
1000
358531
функция
Увеличение плана производства молока на 1000 ц привело к
следующим изменениям:
на 23 га уменьшилась площадь пашни под зерновыми
товарными культурами (х{);
на 29 гол. уменьшилось поголовье свиноматок (х5);
на 33 гол. увеличилось поголовье коров (х6);
на 15 га увеличилась площадь пашни под культурами,
идущими на сочные корма (х3);
на 23 га увеличилась площадь пашни под зерновыми
фуражными культурами (х2);
на 15 га уменьшилась площадь неиспользованной пашни (дс10);
на 1210 чел.-ч уменьшились неиспользованные трудовые
ресурсы (х14);
на 33 100 руб. уменьшился чистый доход хозяйства (2).
Площадь пашни под культурами на зеленый корм (х4) и
денежно-материальные затраты хозяйства (х8) не изменились.
Таким образом, увеличение планового задания в относитель-
357

но невыгодной отрасли (молочном животноводстве) привело к
сокращению двух эффективных отраслей (производства
товарного зерна и свиноводства), что снизило чистый доход хозяйства.
Использование трудовых ресурсов и пашни при этом возросло.
16.4. ДВОЙСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА
И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
Как отмечалось в п. 14.8, оптимальные симплекс-таблицы
прямой и двойственной к ней задач линейного
программирования обладают свойством полноты. Симплекс-таблица,
соответствующая прямой задаче, содержит всю информацию о решении
двойственной задачи и наоборот, в связи с чем это последнее,
как правило, самостоятельного интереса не представляет1. Очень
важно, однако, что сопоставление структур прямой и
двойственной задач позволяет дать содержательную экономическую
интерпретацию элементов индексной строки прямой задачи,
соответствующих дополнительным переменным. Покажем это на
конкретном примере.
Задача 16.1. Необходимо найти оптимальное сочетание
площадей многолетних трав, томатов и зеленого горошка в бригаде с
площадью пашни 1000 га при наличии 10 000 т органических
удобрений и 5000 чел.-дн. трудовых ресурсов. По условиям
организации кормопроизводства в хозяйстве в целом за счет
многолетних трав должно быть получено не менее 24 000 ц зеленого
корма. Другие исходные данные приведены в таблице 113.
113. Исходные данные к задаче 16.1
Показатели
Единицы
измерения
Культуры
многолетние
травы
томаты
зеленый горошек
Норма внесения органи- т на 1 га 5 25 5
ческих удобрений
Затраты труда чел.-дн. на 1 га 2,5 10 4
Чистый доход руб. с 1 га 100 2000 250
Поставим прямую и двойственную к ней симплексные задачи
(правила их построения указаны в п. 14.7).
Основные переменные прямой задачи:
*ь *2> *з — площади пашни под многолетними травами,
томатами и зеленым горошком соответственно.
13десь мы не рассматриваем вычислительные аспекты проблемы. Переход к
двойственной задаче может упростить получение оптимального решения, если,
например, число ограничений в прямой задаче очень велико и существенно
превышает число основных переменных.
358

Целевая функция прямой задачи в стандартной форме:
Z= ЮОх, + 2000х2 + 250х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7 -> max. (16.11)
Система ограничений прямой задачи (слева в квадратных
скобках указаны двойственные переменные, ассоциированные с
соответствующими ограничениями):
[)\] 1х1 + 1х2+1хз+0х4+1х5+0х5+0х7=1000,1
[у2] 5х1+25х2+5х3+0х4+0х5+Ъ%+0х7=10000; I
[у3] 2,5х1+10х2+4хз+0х4+0х5+0хб+1х7=500а, I (16.12)
[у4] 240x1+0x2+0x3-lx4+0x5+0xjS+0x7=24000.J
Здесь х4 — избыточная, а х5, Хб, х7 — остаточные переменные.
Требование неотрицательности переменных:
х,>0, /=1,...,7.
Целевая функция двойственной задачи (в неканонической
форме):
^=1000^+10000^2+50003/3+240004-240004-^min. (16.13)
Система ограничений:
Я+5>>2+2Акз+240}4-240з4'> Ш
>^н-25^2н-10^з >2000;
^+5^+4^3 > 25а,
-/4+tf> 0.
(16.14)
Для обеспечения неотрицательности всех основных
переменных используется следующая замена переменных:
И=Й-#- (16.15)
Требование неотрицательности основных переменных
двойственной задачи имеет вид
Решения прямой и двойственной к ней задач приведены в
таблицах 114 и 115.
359

о
114. Оптамальное решение прямой задачи 16.1
N° п/п
(О
Базисные
переменные
Номера ограничений
(для дополнительных
переменных)
An
(значение
базисных
переменных)
Коэффициенты замещения
А,(х3)
(осн.)
А* (х4)
(изб. в огр. 4)
Ал (*б)
(ост. в огр. 2)
Индексная строка
х5 (ост.)
х2 (осн.)
х7 (ост.)
Х\ (ОСН.)
2000
100
(Zj- С)
520
380
950
100
770000
0,8
0,2
2
0
150
0,0033
0,0008
0,0021
-0,0042
1,25
-0,04
0,04
-0,4
0
80
115. Оптимальное решение двойственной задачи 16.1*
№п/п
(/)
Базисные
переменные
Номера ограничений
(для дополнительных
переменных)
(значение
базисных
переменных)
Коэффициенты замещения
АО.)
(осн.)
Лз,<Л)
(осн.)
A'4j(y'4)
(осн.)
(изб. в огр. I)
(изб. в огр. 2)
1 у2 (осн.)
2 у7 (изб.)
3 у8 (изб.)
4 ^ (осн.)
Индексная строка
5000
-24000
3
4
W-Bj)
80
150
1,25
1,25
770000
0,04
-0,8
-0,0033
-0,0033
-520
0,4
-2
-0,0021
-0,0021
-920
ооо
1
0
0
0
0,0042
0,0042
-100
-0,04
-0,2
-0,0008
-0,0008
-380
*В соответствии с (16.15) и значениями у\,у'А' из таблицы получаем у4 = —1,25.

В п. 14.8 мы уже указывали на соответствие между элементами
индексной строки прямой задачи и значениями основных
переменных, попавших в базис оптимального решения двойственной
задачи. Проведем теперь более полный анализ именно с этой
точки зрения.
Примем во внимание следующие факты:
элементы индексной строки последней симплекс-таблицы
прямой задачи, соответствующие базисным переменным (в табл.
114 не показаны), равны нулю;
значения небазисных переменных двойственной задачи также
равны нулю;
в каждое ограничение прямой задачи в стандартной форме
входит точно одна дополнительная переменная (остаточная или
избыточная) и с этим же ограничением ассоциирована одна
основная переменная двойственной задачи (см. систему 16.12).
Следовательно, существует попарное соответствие между
дополнительными переменными прямой задачи и основными
переменными двойственной задачи: х4 -± у4 (4-е ограничение прямой
задачи); х5^>у{ (1-е ограничение); х6-^у2 (2-е ограничение); х7->у3
(3-е ограничение);
значения целевых функций Z (прямой) и W (двойственной)
задач в оптимуме совпадают.
С учетом сказанного сопоставление таблиц 114 и 115
показывает, что все элементы индексной строки прямой задачи,
соответствующие дополнительным переменным, точно равны
ассоциированным с ними двойственным переменным с учетом знака,
с которым дополнительная переменная входит в ограничение
прямой задачи:
(Z4-C4) = -^=1,25; (Z5-C5)=y{ = 0;
(Z6-C6)=y2 = &0; (Zj-C7)=y3 = 0. (16.16)
Дальнейшие выводы строятся на анализе выражения для
целевой функции двойственной задачи. Запишем его для задачи
16.1 в общем виде:
W= ЪхУх + Ь2у2 + b3y3 + b4y4, (16.17)
где в качестве коэффициентов при основных переменных
двойственной задачи используются правые части ограничений
прямой задачи — bh / = 1,...,4, то есть уровни ресурсов, которыми
обладает хозяйство, и уровни плановых заданий по производству
отдельных видов продукции.
Для того чтобы прямая и двойственная целевые функции
совпадали в оптимуме не только по численному значению, но и по
единицам измерения, необходимо, чтобы в выражении (16.17)
каждая двойственная переменная имела размерность [у] =
361

= [руб.]/[единица измерения соответствующего ресурса или
планового задания], то есть фактически являлась «ценой» данного
ресурса или планового задания. Например, у2 является «ценой»
ресурса Ь2, то есть органических удобрений, у4 является «ценой»
планового задания по производству зеленой массы многолетних
трав (Ь4).
В литературе такие «цены» получили название скрытых или
теневых. Впервые они были исследованы Л. В. Канторовичем,
который называл их объективно обусловленными оценками.
В целом с учетом (16.16) можно констатировать, что:
скрытые цены ресурсов равны элементам индексной строки
последней симплекс-таблицы прямой задачи, соответствующим
остаточным переменным;
скрытые цены плановых заданий равны взятым с обратным
знаком элементам индексной строки последней
симплекс-таблицы прямой задачи, соответствующим избыточным переменным.
В соответствии с (16.16) элементы индексной строки прямой
задачи часто называют двойственными оценками. Рассмотрим
содержание этих оценок более детально.
В соответствии с соотношением (16.2) и рассмотренной
выше экономической интерпретацией знака дополнительных
переменных различных типов, вводимых в базис, двойственная
оценка определяет изменение целевой функции при изменении
соответствующего ресурса на единицу, то есть характеризует
эффективность использования (ценность) данного ресурса в
смысле достижения требуемого эффекта (увеличения целевой
функции). Аналогично, если анализируется роль планового
задания, то двойственная оценка может рассматриваться как цена
увеличения задания в плане потерь в достижении требуемого
эффекта.
В рассматриваемой задаче 16.1 двойственная оценка ресурса
органических удобрений составляет 80 руб. за 1 т, то есть при
увеличении ресурса органических удобрений на 1 т прибыль
увеличивается на 80 руб. Это полностью согласуется с тем
фактом, что органические удобрения являются дефицитным
ресурсом, так как соответствующая остаточная переменная является
небазисной. В то же время недефицитные ресурсы (пашня и
трудовые ресурсы) имеют нулевые двойственные оценки, то
есть изменения в наличии этих ресурсов (в определенных
пределах) не сказываются на значениях целевой функции.
Двойственная оценка планового задания по производству зеленой
массы многолетних трав составляет 1,25 руб. за 1 ц, то есть
увеличение их производства на 1 ц приведет к снижению прибыли
на 1,25 руб.
Двойственные оценки основных небазисных переменных прямой
задачи (то есть соответствующие этим переменным элементы
индексной строки) можно также назвать скрытыми ценами не-
362

эффективных отраслей производства. Такая цена показывает,
чего будет стоить развитие неэффективной отрасли с точки
зрения достижения поставленной цели. В рассматриваемой задаче
16.1 двойственная оценка производства зеленого горошка
составляет 150 руб. на 1га, то есть возделывание каждого гектара
пашни под зеленый горошек будет снижать общую прибыль на
150 руб.
В практическом отношении важно, что двойственные
оценки прямой задачи позволяют выявить наличие альтернативных
оптимальных решений. Действительно, из соотношения (16.2)
прямо следует, что если двойственная оценка какой-то
небазисной переменной равна нулю, то введение ее в оптимальный
план не изменит значения целевой функции, а новое решение,
соответствующее любому допустимому значению вводимой
переменной, также будет оптимальным. Здесь можно провести
аналогию с транспортными задачами, в которых признаком
наличия альтернативных оптимальных решений является
равенство нулю оценки какой-либо свободной клетки (см. анализ
задачи 15.7).
Наличие альтернативных оптимальных решений расширяет
возможности землеустроителя при выборе рационального
проекта с учетом дополнительных факторов, прямо не учтенных в
постановке задачи линейного программирования.
Принципиальная особенность любой двойственной оценки
заключается в том, что она отражает влияние на процесс
производства не только данного ресурса, но и представляет собой
интегрированный показатель его влияния в комплексе со всеми
остальными. Фактически двойственные оценки формируются под
влиянием всех факторов, определяющих постановку задачи, —
типов ограничений, коэффициентов при неизвестных в целевой
функции и в ограничениях, правых частей ограничений. Можно
сказать, что реальные рыночные цены на данные виды ресурсов
или производимую продукцию являются только одной —
«видимой» составной частью факторов формирования двойственных
оценок. Это объясняет другое наименование двойственных
оценок — «скрытые цены».
Из определения двойственных оценок следует, что их
экономическое содержание распространяется только на данную задачу.
При изменении исходных данных (например, коэффициентов
целевой функции) двойственные оценки могут существенно
измениться.
Абсолютная величина двойственных оценок,
соответствующих остаточным переменным, характеризует степень
эффективности ресурсов, находящихся в дефиците. Так, в задачах на
максимум чем выше значение двойственной оценки, тем данный
ресурс дефицитнее.
363

Как известно, в сельском хозяйстве используются самые
разнообразные ресурсы — земля, труд, машины, топливо, семена,
удобрения и т. д. При существенном ограничении объемов
данных ресурсов они получают в оптимальном плане ненулевые
двойственные оценки. При этом экономическое содержание
двойственных оценок зависит от степени детальности выбора
переменных, а также от структуры отдельных ограничений и их
системы в целом. Например, если дифференциация
переменных в процессе постановки задачи ведется по ряду земельных
участков различного плодородия, то двойственные оценки
показывают эффективность применения различных средств
производства на этих землях. Они могут отражать, в частности,
размер дифференциальной земельной ренты по плодородию,
местоположению и по фактору повышения интенсивности
производства.
При построении ограничений по затратам ручного и
механизированного труда двойственные оценки будут указывать на
резервы повышения производительности труда в конкретном
хозяйстве. Например, более высокая двойственная оценка по
затратам механизированного труда укажет на необходимость более
широкого использования, улучшения подготовки
механизаторских кадров, повышения их квалификации.
Двойственные оценки дефицитных ресурсов позволяют
выявить различные направления улучшения хозяйства. Так, высокая
двойственная оценка по трудовым ресурсам свидетельствует о
необходимости первоочередного привлечения рабочей силы со
стороны.
Двойственные оценки могут применяться также при
планировании объема производственных ресурсов и денежных средств на
перспективу, а также указывать на наиболее целесообразное
распределение ресурсов между производственными
подразделениями хозяйства.
В заключение данного раздела дополнительно
проанализируем экономическое содержание двойственных оценок,
основываясь на теореме равновесия (Ларченко Е. Г. Вычислительная
техника и экономико-математические методы в землеустройстве. —
М.: Недра, 1978.— С. 295). Рассмотрим случай, когда в задаче
имеются только ресурсные ограничения (в соответствии с
принятыми обозначениями заданные объемы ресурсов —это bh
/= 1,...,ал). Согласно теореме равновесия в оптимальных
решениях прямой и двойственной задач соответствующие двойственные
оценки, то есть значения двойственных переменных yt по
отношению к прямой задаче и значения переменных xj по
отношению к двойственной задаче, равны нулю при выполнении
следующих условий:
364

1) v(°)=0, как только ? а„ху <bh и наоборот;
у = 1
2) х^о)=0, как только ? auy^<ch и наоборот.
J /=1 у ^
Символ (о) при переменных указывает на оптимальность
решений. Обратите внимание на то, что в неравенствах
использованы знаки строгого неравенства.
В соответствии со смыслом переменных прямой и
двойственной задач, а также коэффициентов я,у, bh Cj, формирующих
прямую задачу, указанные выше суммы следует интерпретировать
так:
L OyXj _ 0бщий объем использования /-го ресурса во всех
отраслях хозяйства;
п , .
ЪвцУг — затраты на единицу продукции ву-й отрасли хозяй-
/=1
ства.
Экономически интерпретируя данную теорему, можно
сделать следующие выводы.
Во-первых, если по оптимальному плану имеется недоисполь-
т .
зованный ресурс (Х^у<§) и, значит, соответствующая
остаточная переменная находится в базисе, то цена на этот ресурс в
данном хозяйстве падает до нуля. Расходование остатка этого
ресурса может иметь смысл только при увеличении ресурсов,
находящихся в дефиците. Положительные цены имеют лишь те
ресурсы, которые лимитируют дальнейшее развитие производства.
Например, если недоиспользуются пашня и трудовые ресурсы, а
денежно-материальные средства израсходованы полностью, то
положительную цену будет иметь только ресурс, указанный
последним. В рассмотренном выше примере (см. задачу 16.1, табл.
114) положительную цену имел только один ресурс —
органические удобрения.
Во-вторых, если затраты на производство у'-го продукта пре-
вышают получаемый от него доход (?^>у >су), то соответству-
ющая у-я отрасль исключается из оптимального плана. В
указанном примере такой отраслью является производство зеленого
горошка (/"= 3, см. табл. 114).
365

Таким образом, использование двойственной задачи
позволяет:
осуществить анализ и контроль решения прямой задачи;
оценить оптимальность любого базисного решения (по
данным индексной строки);
облегчить решение задачи при числе ограничений,
значительно превышающем число переменных (заменив прямую задачу
двойственной);
оценить дефицитность и эффективность использования
различных ресурсов путем сравнения двойственных оценок;
находить альтернативные оптимальные решения по признаку
равенства нулю двойственных оценок при переменных, не
вошедших в оптимальный план в последней симплекс-таблице.
Тем самым двойственные оценки становятся важным
инструментом анализа оптимальных решений и в этом качестве могут
служить для обоснования действий, направленных на
повышение эффективности производства.
16.5. ПРЕДЕЛЫ УСТОЙЧИВОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПРИ
ИЗМЕНЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Фактически мы уже рассмотрели вопрос об устойчивости
структуры оптимального решения (то есть списка базисных
переменных) и элементов индексной строки (двойственных оценок)
при изменении дефицитных ресурсов и критических плановых
заданий, а также при развитии неэффективных отраслей
хозяйства. Было показано, что при изменении этих факторов в
некоторых пределах структура решения и двойственные оценки
сохраняются. Конкретно указанные пределы определяются в рамках
алгоритмов введения небазисных переменных в оптимальный
план. При этом, однако, значения базисных переменных и
целевой функции меняются.
Практически полезным свойством оптимальных решений
задач линейного программирования является определенная
устойчивость этих решений к изменению коэффициентов целевой
функции (их иногда называют коэффициентами удельной
прибыли). А именно при изменении этих коэффициентов в
определенных пределах решение сохраняется как по составу базисных
переменных, так и по их значениям, однако значение целевой
функции и двойственные оценки при этом меняются. Таким
образом, использование указанного свойства расширяет
возможности по корректировке оптимального решения задачи в случае
относительно малых изменений коэффициентов целевой функции.
При этом повторного применения симплекс-метода, так же как
и при корректировке решения с помощью коэффициентов
замещения, не требуется.
366

Алгоритмы корректировки значения целевой функции и
двойственных оценок небазисных переменных прямой задачи при
изменении коэффициентов целевой функции Z основываются на
детальном сопоставлении решений прямой, и двойственной
задач; для иллюстрации мы воспользуемся уже имеющимися
решениями задачи 16.1 в прямой и двойственной постановках (см.
табл. 114 и 115). Все расчеты ведутся только для случая
максимизации целевой функции; формулы для случая минимизации
легко получить по аналогии.
Сначала рассмотрим изменение коэффициентов целевой
функции при переменных, входящих в базис оптимального решения
прямой задачи. Допустим, например, что коэффициент при
переменной х{ в целевой функции Z (16.11) изменяется следующим
образом:
С{=С1+АС, (16.18)
где Ас— изменение коэффициента, которое может быть как положительным, так и
отрицательным.
Если решить задачу с новым значением коэффициента, то
изменение претерпит только индексная строка, причем новое
значение у-го элемента индексной строки можно рассчитать,
основываясь на уже имеющемся решении прямой задачи, по
формуле
(Zj-Cjy = (Z,-Cj)+Aqbc,JZO, (16.19)
где А4; — коэффициенты замещения, расположенные в симплекс-таблице (см.
табл. 114) в строке, соответствующей базисной переменной хи то есть в 4-й
строке.
Таким образом, формула (16.19) позволяет определить новые
значения как целевой функции Zopt=(Z0-Co)/, так и всех
двойственных оценок небазисных переменных: (Zj- Cj)' при у>1.
При этом так как рассматриваемое изменение задачи не
затрагивает структуры последней симплекс-таблицы, элементы
индексной строки, соответствующие базисным переменным (в
последней симплекс-таблице они не показаны), сохраняют нулевые
значения.
Схему рассуждений, приводящих к формуле (16.19), кратко
поясним следующим образом.
Изменение коэффициента Q в целевой функции Z
одновременно означает идентичное изменение правой части первого
ограничения системы ограничений (16.14) двойственной задачи.
Следовательно, вариацию Дсиз формулы (16.18) можно
рассматривать как изменение «планового задания» в двойственной зада-
367

че, соответствующего этому ограничению (тип ограничения —
«>»). В то же время если решение двойственной задачи
рассматривать как обычное решение симплексной задачи (16.13)—
(16.16), то результатом указанного изменения правой части
первого ограничения будет обычная корректировка оптимального
решения двойственной задачи за счет введения в оптимальный
план избыточной переменной у5= дс (см- табл. 115). Как
известно, в процессе такой корректировки будут меняться базисные
переменные двойственной задачи и значение целевой функции
W. При этом новые значения базисных переменных и целевой
функции будут определяться с использованием коэффициентов
замещения и элемента индексной строки таблицы 115,
соответствующих избыточной переменной у$. Теперь остается
вспомнить, что:
каждая базисная переменная двойственной задачи
соответствует определенной двойственной оценке прямой задачи;
в оптимуме значения целевых функций прямой и
двойственной задач совпадают.
Если учесть, что между множеством чисел столбца у5
последней симплекс-таблицы двойственной задачи, включая элемент
индексной строки, и числами 4-й строки последней симплекс-
таблицы прямой задачи, включая элемент из столбца Ai0,
существует взаимно однозначное соответствие с точностью до
изменения знака на обратный (ср. табл. 114 и 115), то из формул (16.1)
и (16.2) непосредственно вытекает формула (16.19).
Допустимые пределы изменений величины Ас (в рамках
которых структура симплекс-таблицы не меняется) можно
определить из тех же соображений, воспользовавшись уже
рассмотренным выше алгоритмом ввода в оптимальный план избыточной
переменной. Однако возможен и более прямой путь, которым
мы и воспользуемся.
Из правила определения оптимальности симплекс-таблицы (в
задачах на максимум — неотрицательность элементов индексной
строки) следует, что при применении соотношения (16.19) новые
значения (Zj — Cj)' приу> 1 не должны быть отрицательными.
Таким образом, в случае максимизации целевой функции для
любого у > 1 должно выполняться условие
(Zj-ty+Aq Ac>0. (16.20)
Следовательно, для определения пределов допустимых
изменений Дс необходимо разделить (Zj — CJ) на соответствующие
ненулевые значения АЛ] и частные взять с обратным знаком. Среди
положительных частных от такого деления нужно найти
наименьшее (обозначим его D^m), а среди отрицательных —
наименьшее по модулю (обозначим его Dm'm)- Затем следует прове-
368

рить, не превышает ли значение Dmm по модулю коэффициент
Сь и если так, положить D^m=-C{. Такое действие необходимо,
чтобы предотвратить появление отрицательного коэффициента
удельной прибыли по отрасли хозяйства, соответствующей
переменной х\ (см. 16.18). В результате получим следующее
ограничение:
Z)-in<Ac<ZUin.
Очевидно, что если среди коэффициентов Ау нет
отрицательных, то вариация Ас может быть сколь угодно большой
положительной, а если нет положительных — должно выполняться
условие #min=-Q-
Пусть в задаче 16.1 чистый доход от реализации томатов
уменьшается с 2000 до 1500 руб. с 1 га, то есть Ас= -500.
Определить, как при этом изменяются оптимальное значение чистого
дохода, двойственные оценки неэффективной отрасли
(производство зеленого горошка), дефицитного ресурса (органические
удобрения) и критического планового задания (по выращиванию
многолетних трав).
Учитывая, что меняется коэффициент С2 при переменной х2
(см. целевую функцию 16.11), для определения допустимых
значений Ас разделим элементы индексной строки на ненулевые
коэффициенты замещения, стоящие в строке, соответствующей
переменной х2 (см. табл. 114). Используя полученные результаты,
на основании рассмотренного выше алгоритма оценим
допустимые пределы изменений С2:
-2000 < Ас < 750 (руб. с 1 га).
Таким образом, предполагаемое изменение чистого дохода от
реализации томатов находится в допустимых пределах.
Используя формулу (16.19), получим:
чистый доход по хозяйству в целом уменьшится на
190 000 руб.;
скрытая цена (двойственная оценка) производства зеленого
горошка уменьшится на 100 руб. с 1 га;
скрытая цена органических удобрений уменьшится на 20 руб.
за 1 т;
скрытая цена критического планового задания по
выращиванию многолетних трав уменьшится на 0,4 руб. за 1 ц.
Теперь следует рассмотреть случай, когда изменяется
коэффициент в целевой функции при небазисной переменной — например,
переменной х3 в задаче 16.1 (см. табл. 114). Пусть
369

q=c3+AC,
(16.21)
где Ас— вариация коэффициента, которая может принимать как положительные,
так и отрицательные значения.
В данном случае это приведет к изменению только элемента
индексной строки, соответствующего рассматриваемой
переменной:
(Z3-C3)' = (Z3-C3)-AC. (16.22)
Потребовав, чтобы новое значение этого элемента не было
отрицательным, получим следующее ограничение на допустимые
изменения С3 (для случая максимизации целевой функции):
-C3<AC<(Z3-C3). (16.23)
Пусть в задаче 16.1 чистый доход от реализации зеленого
горошка увеличивается с 250 до 350 руб. с 1 га, то есть Ас = 100.
Определить, как при этом изменится скрытая цена этой
неэффективной отрасли.
Учитывая, что меняется коэффициент при небазисной
переменной х3 (см. целевую функцию 16.11), получим следующие
допустимые пределы его вариации:
-250<дс< 150 (руб. с 1 га).
Таким образом, предполагаемое изменение чистого дохода от
реализации зеленого горошка находится в допустимых пределах.
Используя формулу (16.22), получим, что скрытая цена
производства зеленого горошка уменьшится на 100 руб. с 1га. При
этом другие двойственные оценки и чистый доход по хозяйству в
целом не изменятся.
Заметим, что изменение коэффициента при небазисной
переменной в допустимых пределах в принципе не может перевести
соответствующую неэффективную отрасль в число эффективных.
В то же время в соотношениях вида (16.23) содержится важная
информация экономического характера: например, из них
следует, что при прочих неизменных исходных данных производство
зеленого горошка станет эффективным, если будет выполнено
условие
AC>(Z3-C3),
то есть если в данном конкретном примере коэффициент
удельной прибыли по зеленому горошку (С3) будет больше 400 руб. с
1 га. Для иллюстрации этого утверждения в таблице 116 приведе-
370

но оптимальное решение задачи 16.1 при значении
коэффициента С3 = 410.
116. Опгамальное решение задачи 16.1 при увеличении удельной прибыли по зеленому
горошку до 410 руб. с 1 га
№ п/п (/)
Базисные

переменные
С;
Номера

ограничений (для

дополнительных
перемен-
ных)
(значения
базисных

переменных)
Коэффициенты замещения
А* (х,)
(изб. в
огр. 4)
А* (*6)
(ост. в
огр. 2)
Ап (*7)
(ост. в
огр. 3)
1 х5 (ост.)
2 х2 (осн.)
3 х3 (осн.)
4 jc, (осн.)
Индексная строка
- 1
2000 -
410 -
100 -
(Zj-Cj)
140
285
475
100
774750
0,0025
0,0006
0,001
-0,004
1,26
0,12
0,08
-0,2
0
78
-0,4
-0,1
0,5
0
5
Возрастание коэффициента удельной прибыли по зеленому
горошку привело к переходу данной отрасли в число
эффективных. Одновременно произошли следующие изменения (ср. табл.
116 и 114):
увеличился чистый доход хозяйства в целом на 4750 руб.;
более полно стала использоваться пашня (уменьшилась
остаточная переменная х5, соответствующая 1-му ограничению);
теперь полностью исчерпаны трудовые ресурсы (остаточная
переменная х7, соответствующая 3-му ограничению, перешла в
число небазисных);
уменьшилась площадь пашни под томатами (переменная х2).
16.6. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ РЕШЕНИЯ
РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Методы анализа и корректировки решений задач
транспортного типа мы рассмотрим на примере
землеустроительной задачи, в которой требуется закрепить источники сырья
за предприятиями-переработчиками (другими словами,
определить размеры сырьевых зон перерабатывающих
предприятий).
Задача 16.2. В области имеется 5 сахарных заводов и 9
свеклосеющих хозяйств, снабжающих эти заводы сырьем. Найти такой
вариант закрепления хозяйств за сахарными заводами, при
котором общая стоимость доставки свеклы будет минимальной.
Мощности заводов по переработке (т): 1—19 800, II — 8040, III —
3200, IV —2000, V—1000. Дополнительная исходная
информация дана в таблице 117.
371

117. Исходные данные к задаче 16.2
Хозяйство
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Стоимость доставки свеклы на заводы, руб/т
1
1,8
1,9
2,4
2,5
2,6
0,2
2,3
1,8
3,8
2
4,7
4,8
6,3
6,4
7,4
0,8
6,3
4,3
10,0
3
10,2
10,3
12,0
12,3
24,0
2,4
11,8
ю,з
30,0
4
30,5
30,6
34,0
38,7
41,4
4,8
33,5
30,6
60,0
5
61,4
61,5
64,0
64,5
69,5
6,4
64,0
61,4
80,0
Объемы
производства
свеклы в
хозяйствах, т
3400
3400
6800
3400
4070
5120
3590
860
3400
Оптимальное решение приведено в таблице 118. Нам необходимо
рассмотреть возможности его корректировки, которая может
потребоваться в связи с появлением дополнительных ограничений
(например, на транспортировку ресурса по отдельным маршрутам) или в
связи с изменением мощностей производства (потребления) ресурса
у поставщика (потребителя) после получения оптимального решения.
/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
J
\1Ру
а, \
80,0
79,9
78,4
78,3
78,2
87,8
78,5
80,4
77,0
*J
118. Оптимальное решение задачи 16.2 (Zopt = 125 299 руб.)
1
80,8
1,8
1 1,0
1,9
1 1,0
2,4
6800
2,5
1940
2,6
4070
0,2
1 7,2
2,3
3590
1,8
1 1,4
3,8
3400
19800
2
84,7
- 4,7
3400 г " "
2320
6,3
1 0,9
6,4
1460
7,4
1 3,9
0,8
1 39
6,3
г^г
4,3
860
10,0
1 2,3
8040
3
90,2
+ Ю,2
"Ч о
'_ 10,3
f "I080" " ¦
1 12,0
i | 0,2
1 12,3
! 1 0,4
i 24,0
1 | 12,0
+ 2120
11,8
1 од
10,3
1 0,5
30,0
1 16,8
3200
4
92,6
30,5
1 17,9
+ 30,6
~ ] 1 17,9
i 34,0
i | 19,8
1 38,7
! 1 24,4
i 41,4
1 | 27,0
. .! - 4,8
2000
33,5
1 19,4
30,6
1 18,4
60,0
1 44,4
2000
5
94,2
61,4
1 47,2
61,5
I 47,2
64,0
I 48,2
64,5
I 48,6
69,5
1 53,5
6,4
1000
64,0
1 48,3
61,4
I 47,6
80,0
1 62,8
1000
А,-
3400
3400
6800
3400
4070
5120
3590
860
3400
^\34040
34040\J
372

Представляет практический интерес поиск альтернативных
оптимальных решений, то есть решений, отличающихся от
приведенного в таблице 118 значениями х,у, но дающих то же (в
данном случае минимальное) значение целевой функции. Такжуэе-
шения^югух-понадоб^ться, например, при появлении новыхг ра-
нее не учтенных ограничен^ла-^бъемы перевозок ресурса по
отдельным маршрутам. Формальным признаком их -налкчкя
является появление в матрице оптимального плана свободных
клеток с оценками а,у = 0. В рассматриваемом примере таких клеток
две: (1,3) и (3,2). Если построить замкнутый цикл (по правилам,
рассмотренным в п. 15.2) и переместить ресурс из какой-либо
занятой клетки в свободную клетку с оценкой, равной 0, мы также
получим оптимальное решение.
Рассмотрим, например, клетку (1,3). Если построить цикл с
углами в клетках (1,2), (1,3), (2,2), (2,3) и переместить ресурс,
равный 1080, то получим новое оптимальное решение, в котором
клетка (1,3) будет занята ресурсом х13= 1080, клетка (2,3) станет
свободной, а ресурсы в клетках (1,2) и (2,2) соответственно
уменьшатся и увеличатся на 1080. При этом поскольку оценка
свободной клетки равна 0, то в соответствии с формулой (15.7)
изменение AZ целевой функции также равно 0, что и
подтверждает оптимальность нового решения.
Отметим, что в данном случае по циклу можно переместить
ресурс и меньший 1080. Полученное решение также будет
оптимальным, хотя число занятых клеток превысит т + п — 1 (то есть
оно не будет базисным).
Таким образом, наличие даже одной свободной клетки с
нулевой оценкой обеспечивает получение бесконечного числа
оптимальных решений (в рассмотренном примере за счет
варьирования перемещаемого ресурса в диапазоне [0,1080]). Поскольку
транспортные задачи представляют собой частный случай общих
задач линейного программирования, можно сказать, что здесь
реализуется ситуация, когда поверхность уровня целевой
функции параллельна одной из граней симплекса, сформированного
системой ограничений транспортной задачи. Естественно, что
наличие другой клетки с нулевой оценкой — клетки (3,2) —
обеспечивает получение еще одного множества оптимальных
решений задачи. Более того, можно показать, что допустимо
одновременное преобразование полученного оптимального решения с
использованием циклов, соответствующих всем свободным
клеткам с нулевыми оценками (при соблюдении требования
неотрицательности переменных).
Альтернативные решения с отклонением целевой функции от
экстремума.
Не всегда имеется возможность выполнить дополнительные
условия, сохранив оптимальность решения. Пусть, например,
задано дополнительное условие 2500 <х& < 3200. Клетка (6,3) в таб-
373

лице 118 уже занята. Если мы увеличим в ней ресурс в
соответствии с дополнительным условием (то есть увеличим *бз)> то
получим уже неоптимальное решение. Для этого строим цикл с
углами в клетках (6,3), (6,4), (2,4) и (2,3), помечаем их
последовательно знаками «+» и «-», начиная с клетки (6,3). Максимально
возможный перемещаемый ресурс в построенном цикле
xmin= 1080. Следует ли переместить ресурс, равный именно 1080
(дополнительное условие при этом будет выполнено)? Ответ
будет отрицательным. Чем больший ресурс мы переместим, тем
сильнее нарушим оптимальность плана (тем больше возрастет
целевая функция по сравнению с минимумом). Изменение
целевой функции легко подсчитать:
д2=д*(ЕС,-2;ф, (1624)
где Ах—перемещаемый ресурс; ?С/У, ?С/У —суммы значений коэффициентов
Су, стоящих в клетках, помеченных знаками «+» и «-» соответственно.
В силу оптимальности преобразуемого решения величина,
стоящая в скобках в правой части формулы (16.24),
положительна, и поэтому целесообразно переместить по циклу как можно
меньший ресурс. В соответствии с дополнительным условием мы
должны переместить, как минимум, 380 т. Произведя такое
преобразование, получим новое значение целевой функции:
Z' = ^in + Л^= 125 299 + 380 (33,0 - 15,1) =
= 125 299+ 6802 =132 101 руб.
При этом в клетках цикла ресурсы изменятся следующим
образом:
х2з: Ю80 -» 700; х24: 0 -> 380; х63: 2120-> 2500; ^4: 2000 -> 1620.
Заметим, что ранее свободная клетка (2,4) стала занятой и
общее число занятых клеток превысило (т + п — 1). Полученное
решение неоптимально, но (!) оно ближе к оптимальному, чем если
бы мы, стараясь сохранить число занятых клеток равным
(т +л— 1), перемещали ресурс Ах= 1080.
Действуя по аналогичной схеме, можно не только
увеличивать, но и уменьшать ресурс в занятой клетке (например, для
учета ограничений типа х#<А) или занимать ранее свободную
клетку, получая новые неоптимальные, но полезные на практике
решения.
Отметим, что в рассмотренных выше случаях при получении
других оптимальных и неоптимальных решений мы преобразо-
374

вывали первоначальное оптимальное решение, перемещая
некоторый фиксированный ресурс по замкнутому циклу. Такой
методический прием автоматически обеспечивает выполнение
ограничений транспортной задачи.
Рассмотрим более подробно случай, когда необходимость
корректировки решения вызвана дополнительным условием
типа x?f < Д где D — заданная константа. Как уже отмечалось,
такие условия не учитываются при постановке задачи (см.
п. 15.3).
Пусть, например, в полученном решении (см. табл. 118)
необходимо учесть условие x3i < 100. В принципе в данном случае
можно воспользоваться описанной выше процедурой. Однако
в связи с тем что для удовлетворения дополнительного условия
из клетки (3,1) необходимо удалить весьма большой ресурс —
6700, превышающий ресурс в любой другой занятой клетке,
преобразовать имеющееся оптимальное решение с помощью
одного цикла нельзя. Необходимо построение нескольких
циклов, что значительно усложняет задачу, особенно в таблицах
больших размеров. Кроме того, поскольку допустимое
преобразование решения с помощью циклов, очевидно, не
единственное, в любом случае остается открытым вопрос о
наилучшей корректировке оптимального решения. В связи с этим
рекомендуется следующая универсальная процедура учета
дополнительных условий типа х^ < D, обеспечивающая
наилучшую корректировку решения (с точки зрения наименьшего
отклонения целевой функции от оптимального значения). Она
включает следующие шаги:
1) решение задачи без учета дополнительного условия;
2) анализ полученного решения; если выполняется
ограничение Xi*f<D, процедура заканчивается, в противном случае
осуществляется переход к третьему шагу;
3) замена условия х^ < D на условие х^ = Д блокировка
клетки (/*, /), соответствующее изменение величин А? и Bj* (см.
п. 15.3) и решение новой задачи. Полученное решение и будет
наилучшей корректировкой исходного оптимального плана с
учетом условия л>у* < D.
Очевидно, что нецелесообразно сразу переходить к шагу 3, так
как до выполнения первого шага неясно, выгодно ли в клетке (/*,
У*) размещать ресурс, равный D. Для примера проведем
корректировку решения задачи 16.2, представленного в таблице 118, с
учетом ограничения x3i < 100. Результаты представлены в
таблице 119.
375

119. Решение задачи 16.2 с учетом ограничения jc3j ? 100 (Z= 130 299 руб.)
Г\
/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
J
a, \
100
99,9
98,4
99,3
99,2
107,8
99,5
100,4
98,0
*J
1
101,8
1,8
3400
1,9
1840
2,4
(100)| 96,6
2,5
3400
2,6
4070
0,2
1 6,2
2,3
3590
1,8
1 0,4
3,8
3400
19800
2
104,7
4,7
1 о
4,8
480
6,3
6700
6,4
1 i.o
7,4
1 1,9
0,8
1 3,9
6,3
1 1,1
4,3
860
10,0
1 3,3
8040
3
110,2
10,2
1 о
10,3
1080
12,0
1 0,2
12,3
11,4
24,0
1 13,0
2,4
2120
11,8
1 1Д
10,3
1 0,5
30,0
1 17,8
3200
4
112,6
30,5
1 17,9
30,6
1 17,9
34,0
1 19,8
38,7
1 25,4
41,4
1 28,0
4,8
2000
33,5
I 20,4
30,6
1 18,4
60,0
I 45,4
2000
5
114,2
61,4
1 47,2
61,5
1 47,2
64,0
1 48,2
64,5
1 49,6
69,5
1 54,5
6,4
1000
64,0
1 49,3
61,4
1 47,6
80,0
1 63,8
1000
A,
3400
3400
6800
3400
4070
5120
3590
860
3400
\34040
34040\J
16.7. АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ
ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ПОТЕНЦИАЛОВ
Анализ оптимальных решений задач транспортного типа с
помощью потенциалов основывается, во-первых, на их
экономической интерпретации (см. п. 15.2), а во-вторых, на устойчивости
значений потенциалов по отношению к таким изменениям
решения задачи, которые сохраняют расположение занятых клеток
(по самой сути определения потенциалов их значения зависят
только от величин Q, стоящих в занятых клетках, но не от
величин Ху). Указанное свойство устойчивости решений
транспортных задач является частным случаем устойчивости решений
общей задачи линейного программирования.
С учетом (15.10) можно утверждать, что разность ((Зу —а,)
численно равна стоимости С/у транспортировки единицы груза из
пункта / в пункту при условии, что грузы транспортируются
только по маршрутам, соответствующим заданному решению, то есть
занятым клеткам. Второе из отмеченных выше обстоятельств по-
376

зволяет усилить сделанное утверждение: при возрастании на
единицу объема производства и потребления продукции в пунктах /
и у соответственно, то есть при сбалансированном изменении
исходных данных и при условии, что клетка (/, j) занята, целевая
функция возрастет на величину (Ру-сс,). Аналогично можно
говорить об уменьшении целевой функции, если объемы
производства и потребления в пунктах / и j уменьшатся (дополнительно
при этом должно выполняться условие: снижение объема
продукции не должно превышать величину ресурса xij9 стоящую в
соответствующей занятой клетке).
Отмеченные свойства потенциалов позволяют анализировать
и более сложные ситуации, когда относительно небольшие
изменения объема производства А{ и Bj происходят у несвязанных
поставщика и потребителя, то есть когда клетка (/, j) свободна.
Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере (Ларчен-
ко Е. Г. Вычислительная техника и экономико-математические
методы в землеустройстве. — М.: Недра, 1978. — С. 257).
Задача 16.3. Пусть имеются три поставщика и четыре
потребителя однородного груза. Количество грузов у поставщиков —
Ai(i= 1,...,3), спрос потребителей — Д(/' = 1,.-,4), стоимость
транспортировки груза — Cijy руб. за 1 т. Требуется определить
такой план перевозки грузов, при котором транспортные расходы
были бы минимальны.
Оптимальный план приведен в таблице 120. Рассмотрим
теперь такую задачу: если необходимо сократить потребление
продукции, то в каком конкретно пункте целесообразно это сделать
и у какого поставщика необходимо уменьшить запас продукции?
120. Оптимальное решение задачи 16.3
Опираясь на экономическую интерпретацию потенциалов,
можно сразу сказать, что в качестве указанных потребителя и
поставщика целесообразно взять потребителя с наибольшим
потенциалом и поставщика с наименьшим потенциалом. В
рассматриваемом примере это 4-й потребитель и 3-й поставщик. Здесь раз-
377

ность ((Зу — а,) будет максимальной и, следовательно, мы
добьемся наибольшего снижения транспортных расходов за счет общего
уменьшения объема продукции в системе.
Аналогично, если необходимо увеличить объем потребления,
то целесообразно взять потребителя с наименьшим
потенциалом, а поставщика —с наибольшим. В рассматриваемом примере
это 1-й потребитель и 1-й поставщик. Тогда разность (р, —а,)
будет минимальной и, следовательно, целевая функция возрастет в
наименьшей степени. Рассмотренное правило говорит только о
том, как следует менять объемы продукции у поставщиков и
потребителей. Однако пока неясно, как должны измениться
ресурсы в занятых клетках, то есть неизвестно, как изменится само
оптимальное решение при условии сохранения его структуры
(расположения занятых клеток).
Рассмотрим, например, случай увеличения объема продукции
на единицу. Как отмечалось, в этом случае целесообразно
увеличить мощности 1-го потребителя и 1-го поставщика. Однако в
полученном оптимальном решении они непосредственно между
собой не связаны — клетка (1,1) свободна (см. табл. 120), иначе
говоря, маршрут от первого поставщика к первому потребителю
не используется. На первый взгляд это парадоксально, но дело в
том, что разность (Ру —а,), на основе анализа которой мы
выбрали поставщика и потребителя, характеризует решение в целом, а
не только клетку (1,1). Значит, нужно так изменить решение,
чтобы, во-первых, расположение занятых клеток не изменилось,
а во-вторых, чтобы при измененных значениях А\ и Вх
выполнялись все граничные условия. Проделаем это следующим образом.
Потребитель 1 в оптимальном плане получает груз от
поставщика 3; все остальные поставщики оказываются для него менее
выгодными. Увеличив потребление Вх на единицу, следует
принять xji = 15 + 1 = 16. Но поскольку мощность поставщика 3 не
менялась, то для сохранения баланса следует уменьшить и объем
поставок, которые он делает потребителю 4, то есть положить
х34 = 6 - 1 = 5. Наконец, чтобы 4-м потребителем было получено
требуемое количество груза, необходимо добавить единицу к
поставкам от 1-го поставщика к 4-му потребителю, то есть
положить х14 = 1 + 1 = 2. Таким образом, несмотря на отсутствие
прямой связи между 1-м поставщиком и 1-м потребителем (клетка
(1,1) свободна), увеличение потребления В{ произошло именно
из-за увеличения запаса Ах.
При уменьшении общего объема продукции в системе
«поставщики — потребители» действовать можно по аналогичной
схеме. В общем случае при больших матрицах найти новое
оптимальное решение, непосредственно преобразовывая
оптимальный план, бывает нелегко и можно рекомендовать следующий
порядок действий. На основании анализа потенциалов
устанавливаем, мощности какого поставщика и потребителя нужно, на-
378

пример, увеличить, а затем после увеличения соответствующих
величин А/ и Bj получаем на ЭВМ новое решение задачи. В этом
случае польза от анализа потенциалов заключается в том, что мы
сразу находим поставщика и потребителя, у которых необходимо
увеличить объем продукции. Поиск же «наугад» может
потребовать очень много итераций.
Обратим еще раз внимание на то, что изменение величин А{ и
Bj не изменило структуру оптимального решения, а значит, и не
изменило потенциалы. Именно это свойство устойчивости
потенциалов позволяет использовать их в качестве показателей
экономической эффективности. Однако необходимо помнить об
относительности такой устойчивости: потенциалы изменятся,
если изменения исходных данных потребуют включения в план
ранее свободных клеток и исключения ранее занятых. Так, если
бы в рассмотренном примере необходимо было увеличить общий
объем продукции более чем на 6 единиц (например, на 7), то,
действуя по рассмотренной выше схеме, мы при изменении
поставки х34 получили бы х34 = 6-7 = -1, что, очевидно,
недопустимо. Таким образом, в рассмотренном примере анализ
потенциалов дает разумный результат только при приращениях
продукции, меньших или равных 6. Именно в этом смысле мы
говорили выше о полезности анализа потенциалов при относительно
небольших изменениях общего объема продукции.
Приведем теперь несколько примеров использования
потенциалов для корректировки оптимального решения в
соответствии с различными вариантами дополнительных условий. При
этом в качестве уже имеющегося решения примем оптимальное
решение задачи 16.2 (см. табл. 118).
Пример 1. Пусть во 2-м хозяйстве объем производства свеклы
увеличился на 1000 т. В каком хозяйстве следует уменьшить ее
производство при условии, что общий объем поставок свеклы
должен сохраниться и мощности заводов не меняются?
В данном случае ^2 =^2 -«-1000=4400. Необходимо найти такой
номер /, что Д'=Д-1000 и при этом соответствующее изменение
значения целевой функции будет минимальным: AZ= (Z' -
- Z) -> min. Используя формулу (15.8) для расчета целевой
функции через потенциалы, получим
AZ=1000(-a2 + a/).
Следовательно, для минимизации AZ необходимо выбрать /
таким, чтобы значение а, было наименьшим. Это значит, что
объем производства свеклы необходимо уменьшить на 1000 т в
9-м хозяйстве (см. табл. 118).
В таблице 121 представлено оптимальное решение,
соответствующее указанному изменению объемов производства свеклы
379

во 2-м и 9-м хозяйствах. Поскольку расположение занятых
клеток не изменилось (и соответственно не изменились
потенциалы), можно сделать вывод о правомерности использования
анализа потенциалов для решения данной задачи.
121. Оптимальное решение задачи 16.2 с дополнительным условием (пример 1)*
/
гг
2
3
4
5
6
7
8
9
J
\ ft
80,0
79,9
78,4
78,3
78,2
87,8
78,5
80,4
77,0
Bj
1
80,8
1,8
ГиГ
1,9
1 1,0
2,4
6800
2,5
2940*
2,6
4070
0,2
\~T1
2,3
3590
1,8
| 1,4
3,8
2400*
19800
2
84,7
4,7
3400
4,8
3320*
6,3
1 0,9
6,4
460*
7,4
1 3,9
0,8
| 39
6,3
1 од
4,3
860
10,0
1 2,3
8040
3
90,2
10,2
1 о
10,3
1080
12,0
1 0,2
12,3
1 0,4
24,0
I 12,0
2,4
2120
11,8
1 0,1
10,3
1 0,5
30,0
1 16,8
3200
4
92,6
30,5
1 17,9
30,6
1 17,9
34,0
1 19,8
38,7
I 24,4
41,4
1 27,0
4,8
2000
33,5
1 19,4
30,6
1 18,4
60,0
I 44,4
2000
5
94,2
61,4
1 47,2
61,5
I 47,2
64,0
1 48,2
64,5
1 48,6
69,5
1 53,5
6,4
1000
64,0
1 48,3
61,4
I 47,6
80,0
1 62,8
1000
Ai
3400
4400
6800
3400
4070
5120
3590
860
2400
\34040
3404(Nj
*Звездочкой помечены значения xih отличающиеся от аналогичных значений в
табл. 118. Zopt= 122 399 руб.
Пример 2. Пусть требуется увеличить общий объем
переработки свеклы на 300 т. Это разрешается сделать за счет увеличения
ее производства только в одном хозяйстве и соответствующего
увеличения объема переработки на одном заводе. Какие
конкретно хозяйство и завод следует выбрать?
В данном случае, если мы выберем у-й завод и /-е хозяйство,
целевая функция по сравнению со значением, соответствующим
исходному оптимальному решению, изменится на величину
AZ=300(Py-a/).
380

Следовательно, для минимизации AZ необходимо выбрать j
таким, чтобы значение (Зубыло наименьшим, а / — таким, чтобы
значение а/ было наибольшим, то есть увеличить на 300 т
производство в 6-м хозяйстве и переработку на 1-м заводе (см. табл. 118).
Пример 3. Пусть на 3-м заводе объем переработки свеклы
уменьшается на 400 т, но общий объем переработки (и
производства) свеклы должен сохраниться. Разрешается увеличить объем
переработки свеклы на одном заводе, уменьшить объем
производства в одном хозяйстве и увеличить его также в одном
хозяйстве. Какие конкретно хозяйства и завод следует выбрать?
В этом примере, если выбрать у'-й завод (объем переработки
увеличивается на 400 т), /ге хозяйство (объем производства
возрастает на 400 т) и /2-е хозяйство (объем производства
уменьшается на 400 т), то целевая функция по сравнению со значением,
соответствующим исходному оптимальному решению,
изменится на
AZ= 400(Ру- р3) + 400(-а/-1 + а/,).
Следовательно, для минимизации AZ необходимо выбрать j
таким, чтобы значение (3,- было наименьшим, i{ — чтобы значение
аа было наибольшим, /2 — чтобы значение аа было наименьшим.
В данном случае объем производства свеклы необходимо
увеличить на 400 т в 6-м хозяйстве, уменьшить на 400 т в 9-м хозяйстве и
увеличить объем переработки на 400 т на 1-м заводе (см. табл. 118).
Анализ решений, полученных в рассмотренных примерах,
подтвердил правомерность использования потенциалов в
поставленных задачах.
Контрольные вопросы и задания
1. Назовите основные блоки информации, содержащиеся в последней
(оптимальной) симплекс-таблице.
2. Что характеризуют: основные переменные, попавшие в базис последней
симплекс-таблицы? Не попавшие в базис? Остаточные переменные, попавшие в базис?
Не попавшие в базис? Избыточные переменные, попавшие в базис? Не попавшие в
базис?
3. Что характеризуют коэффициенты замещения симплекс-таблицы?
4. Что означает выражение «ввести в оптимальный план небазисную
переменную»?
5. Каким образом меняется решение задачи линейного программирования при
введении в план небазисной переменной? Приведите соответствующие расчетные
формулы.
6. Докажите с помощью формулы расчета нового значения целевой функции,
что введение в план небазисной основной переменной (то есть переменной,
соответствующей неэффективной отрасли) приводит к уменьшению значения целевой
функции (в задачах на максимизацию целевой функции).
7. Какому изменению ресурса соответствует введение в оптимальный план
положительного значения остаточной переменной? Отрицательного значения?
8. Какому изменению планового задания соответствует введение в
оптимальный план положительного значения избыточной переменной? Отрицательного
значения?
381

9. В каких случаях может оказаться необходимой корректировка оптимального
плана задачи линейного программирования?
10. Перечислите основные действия при введении в оптимальный план
небазисной основной переменной.
11. Как определить пределы допустимых значений вводимой в оптимальный
план небазисной основной переменной?
12. Перечислите основные действия при введении в оптимальный план
небазисной остаточной переменной.
13. Как следует поступать, если в оптимальный план требуется ввести значение
небазисной основной переменной, выходящее за пределы интервала допустимых
значений?
14. Как определить пределы допустимых значений вводимой в оптимальный
план небазисной остаточной переменной?
15. Укажите основные действия при введении в оптимальный план небазисной
избыточной переменной.
16. Как определить пределы допустимых значений вводимой в оптимальный
план небазисной избыточной переменной?
17. Что такое двойственные оценки оптимального плана?
18. Дайте экономическую интерпретацию двойственной оценки,
соответствующей небазисной остаточной переменной; небазисной избыточной переменной;
небазисной основной переменной.
19. Каков смысл термина «скрытые цены»?
20. Как будут меняться элементы индексной строки оптимальной симплекс-
таблицы при изменении коэффициента в целевой функции при базисной
переменной?
21. Как оценить пределы изменения коэффициента в целевой функции при
базисной переменной, если поставлено условие сохранения структуры (состава
базисных переменных) оптимального плана?
22. Как будут меняться элементы индексной строки оптимальной симплекс-
таблицы при изменении коэффициента в целевой функции при небазисной
переменной?
23. Как оценить пределы изменения коэффициента в целевой функции при
небазисной переменной, если поставлено условие сохранения структуры (состава
базисных переменных) оптимального плана?
24. При каком изменении коэффициента при небазисной переменной в
целевой функции соответствующая неэффективная отрасль станет эффективной?
25. Назовите основные виды корректировок решения транспортной задачи.
26. Что называется альтернативным оптимальным решением транспортной
задачи?
27. По каким параметрам оптимальной транспортной таблицы можно судить о
наличии альтернативных оптимальных решений?
28. Как с помощью циклов можно найти альтернативные оптимальные
решения?
29. В каких случаях может возникнуть необходимость в определении
альтернативных неоптимальных решений?
30. Каким образом с помощью циклов можно построить альтернативное
неоптимальное решение для соблюдения ограничения вида х^< №
31. Опишите универсальный способ наилучшего преобразования оптимального
решения при введении дополнительного ограничения вида х^< D.
32. Приведите формулу для расчета целевой функции транспортной задачи
через потенциалы поставщиков и потребителей. Какова экономическая
интерпретация потенциалов, согласующаяся с этой формулой?
33. Если /-й поставщик и у-й потребитель связаны, то есть в оптимальной
транспортной таблице клетка (/,у) занята, как изменится оптимальное решение и
значение целевой функции в случае одновременного увеличения (уменьшения)
величин Aj и Bj на единицу ресурса?
34. Какие виды задач по корректировке оптимального решения можно решать,
используя экономическую интерпретацию потенциалов, если необходимы
изменения несвязанных величин At и В?.
382

Глава 17
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
17.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СОКРАЩЕННЫХ
СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦ
Этот алгоритм позволяет существенно сократить время
решения землеустроительных задач, которые имеют относительно
небольшой размер матрицы (особенно если расчеты проводятся
вручную). При этом порядок задачи несколько отличается от
обычного алгоритма симплекс-метода.
Рассмотрим в качестве примера задачу по оптимальной
трансформации угодий в хозяйстве. Ее постановка, математическая
формулировка и методика вычисления коэффициентов
рассмотрены в главе 23.
Задача 17.1. В хозяйстве возникла необходимость определить
наиболее целесообразный способ трансформации 592,8 га
пастбищ и 6,6 га болот. Учитывая природные особенности и
качественные характеристики участков, 54,8 га пастбища можно
трансформировать в пашню, а остальные улучшить; болота могут
быть переведены либо в сенокосы, либо в пастбища.
Введем переменные: х{ — площадь пастбищ,
трансформируемая в пашню; х2 — подлежащих улучшению; х3 — площадь болот,
осушаемая гончарным дренажем, переводимая в пастбище; х4 —
осушаемая открытой сетью каналов, переводимая в сенокос.
Исходные данные для составления плана трансформации
приведены в таблице 122.
122. Исходные данные к задаче 17.1
^^^^ Проектные угодья
Угодья, подлежащие^^^
трансформации ^"^^^
Пастбища
Болота
Чистый доход, руб. с 1 га
Затраты труда, чел.-дней
Затраты
денежно-материальных средств, руб. на 1 га
Коэффициенты
эффективности капиталовложений
Пашня
*1
164
2
40
-97
Пастбище
улучшенное
*2
49
2
27
9
Пастбище
*з
36
20
450
14
Сенокос
**
40
10
115
-9,5
Площадь
угодий,
пригодных
для

трансформации, га
592,8
6,6
Объем
ресурсов
2500
25000
0
383

Задача формулируется следующим образом.
Целевая функция:
Z= 164*1 + 49х2 + 36х3 + 40х4 -> max.
Ограничения:
по общей площади существующих пастбищ:
xi + х2< 592,8;
по площади пастбищ, пригодных для вовлечения в пашню:
xi < 54,8;
по общей площади болот:
х3 + х4<6,6;
по трудовым ресурсам:
2xi + 2х2 + 20х3 + 10х4 < 2500;
по затратам денежно-материальных средств:
40xi + 27х2 + 450х3 + 115х4 < 25 000;
по эффективности капиталовложений:
-97xi + 9х2 + 14х3 - 9,5х4 < 0.
Условия неотрицательности переменных:
х\ > 0; х2 > 0; х3 > 0; х4 > 0.
Перейдем к канонической форме записи задачи и составим по
правилам определения первоначального базисного плана
исходную сокращенную симплекс-таблицу (табл. 123):
164xi + 49х2 + 36х3 + 40х4 + 0х5 + 0х6 + 0х7 + 0х8 + 0х<> + 0хю -> max.
xi +x2 +x5 =592,8;
xi +Хб = 54,8;
х3 +х4 +х7 = 6,6;
2xi + 2х2 + 20х3 + Юх4 +х8 = 2500;
40х! + 27х2 + 450х3 + 115х4 +^ = 25 000;
-97xi + 9х2 + 14х3 - 9,5х4 +хш = 0;
384

123. Исходная симплекс-таблица задачи 17.1
Базисные
ные, Ь.
х<
Ь
*,
х*
Хя
*.«
z,-
ci
0
0
0
0
0
0
-с,
с.
J
а«
592,8
54,8
6,6
2500
25000
0
0
164
1
1
0
2
40
-97
-164
49
аа
1 1
0
I 0
i 2
S 27
\ 9
i -49
36
аа
0
1
20
450
14
-36
40
°А
0
1
10
115
-9,5
-40
В данной таблице отсутствуют столбцы небазисных
переменных и контрольные столбцы сумм ai5,...,ano; ?я,у. Она содержит
следующие сведения: J
/ — номер строки;
Ъ\ — базисные переменные (в первоначальном плане
базисными являются дополнительные переменные);
^ — коэффициенты, с которыми базисные переменные входят
в целевую функцию;
яд — свободные члены системы ограничений;
ац — коэффициенты системы ограничений при небазисных
переменных х}.
В самой верхней ненумерованной строке таблицы записывают
коэффициенты с, целевой функции при соответствующих
переменных Xj. В индексной строке в столбце аю записывают
значение целевой функции, соответствующее исходному плану:
т
Z0=Xc/x/=0592,8+0.54,8+0-6,6+0-2500+0-25000+00=0,
/=1
где при суммировании учитываются только базисные переменные.
В остальных столбцах индексной строки записывают величины
т
ZJ-Cj=yZciaij-Cj.
/=1
Так как в исходной симплекс-таблице значения ?ед,=0 (так
как С/ = 0), то в индексной строке по столбцам базисных
переменных записывают коэффициенты целевой функции с
обратным знаком (—с,).
385

Например, для столбца ап:
Z1-C1 = [l-0+l-0 + 0-0 + 2-0 + 40-0 + (-97) • 0] - 164 = -164.
Далее принимают следующий алгоритм.
1. Определяют ключевой столбец к; при решении задачи на
максимум это столбец, который содержит в индексной строке
наименьший отрицательный (то есть наибольший по модулю из
отрицательных) коэффициент. В нашем примере это столбец ап
(Zl_Cl = -164).
2. Выбирают ключевую строку / и ключевой элемент aik.
minM=M(%>0).
/ aik alk
В нашем примере ключевой является вторая строка таблицы
123. Элемент, находящийся на пересечении ключевых столбца и
строки, называют ключевым элементом. В нашем примере это
коэффициент а1к = а2\ = 1.
3. Заполняют следующую симплекс-таблицу (табл. 124).
124. Первая расчетная симплекс-таблица 17.1
Базисные
ные, bi
х,
*.
х7
х*
х.
*.«
zr
ci
0
164
0
0
0
0
-с,
CJ
а*
54,8
6,6
2390
22808
5315,6
8987,2
0
а*
1
0
-2
-40
97
164
49
1
0
0
2
27
9
-49
36
ав
0
1
20
450
14
-36
40
°А
\
0
1
10
115
-9,5
-40
Переменная хь соответствующая ключевому столбцу
предыдущей таблицы, становится базисной и ее записывают в столбце
Ь; вместо переменной х6, соответствующей бывшей ключевой
строке. Остальные элементы столбца Ь{ остаются прежними. В
столбце с/ записывают значения коэффициентов целевой
функции при новых базисных переменных (при х{ — значение 164,
остальные равны 0).
В верхней ненумерованной строке бывшего ключевого
столбца (в нашем примере 1-го) записывают коэффициент целевой
функции (0) при переменной, выведенной из базиса (х6), а в
следующей строке — обозначение коэффициента при этой
переменной (я/6). Остальные компоненты двух верхних ненумерованных
строк переписывают из предыдущей таблицы.
386

Все остальные элементы новой таблицы вычисляют по
обычным формулам симплекс-метода. Сначала определяют элемент
ajk, соответствующий ключевому элементу предыдущей таблицы:
'* Щк
В нашем случае он равен 1.
Элементы ау строки, соответствующей ключевой строке
предыдущей таблицы, определяют, как и в полных симплексных
таблицах, по формуле
Элементы а'& столбца, соответствующего бывшему
ключевому, вычисляют согласно выражению
В этом заключается отличие от полного симплекс-метода.
Остальные элементы новой таблицы вычисляют по формуле
Пользуясь ею для получения каждого из элементов ау
некоторой строки / (/*/) новой таблицы, достаточно прибавить к
соответствующему элементу atj предыдущей таблицы произведение
уже вычисленного элемента ау этой строки на соответствующий
элемент ау ключевой строки предыдущей таблицы. Значение ajj
можно вычислить также по формуле
ay=ay-ayaik.
В результате указанных преобразований получают первую
расчетную симплекс-таблицу (см. табл. 124).
Например, значение д1)0 в этой таблице будет определено так:
alj0 = 592,8-54,8- 1 = 538,0.
4. По той же методике вычисляются вторая и все
последующие таблицы (табл. 125, 126).
387

125. Вторая расчетная симплекс-таблица задачи 17.1
Базисные
ные, Ь{
х.
*.
*7
х*
х.
х
z,-
с,
49
164
0
0
0
0
-с,
CJ
°А>
538,0
54,8
6,6
1314
8282
473,6
35349,2
0
Ч
-1
1
0
-13
106
115
0
аб
1
0
-2
-27
-9
49
36
Ч
0
0
1
20
450
14
-36
40
0
0
1
10
115
-9,5
-40
126. Третья (последняя) расчетная симплекс-таблица задачи 17.1
Базисные
ные, bt
х,
х.
хл
хя
V
Х\а
z,-
с.
49
164
0
0
0
0
-с,
с.
J
а»
538,0
54,8
6,6
1248
7523
536,3
35613,2
**
-1
1
0
0
-13
106
115
ав
1
0
0
-2
-27
-9
49
36
аа
0
0
1
10
335
23,5
4
ап
0
0
1
-10
-115
9,5
40
Оптимальное решение содержится в третьей
симплекс-таблице, так как все значения коэффициентов индексной строки в ней
положительны.
Как известно, решение задачи на максимизацию
заканчивается, если в индексной строке отсутствуют отрицательные
величины. В данном случае получаем оптимальный план х{ = 54,8;
х2 = 538,0; хз = 0; хц = 6,6; xs = *б = xi ~ 0-
5. Осуществляют контроль решения (промежуточный и
окончательный).
Промежуточный контроль состоит в следующем:
значение целевой функции задачи на максимум после каждой
итерации должно, по крайней мере, не уменьшаться, что
соблюдается в таблицах 124—126;
в столбце аю не должно возникать отрицательных значений,
так как в противном случае нарушается условие
неотрицательности переменных (наличие отрицательных значений в столбце ai0
обычно говорит о том, что при решении задачи неправильно
выбран ключевой элемент);
так как в столбце аю на любой итерации содержится
допустимое решение, то оно должно удовлетворять всем поставленным
388

условиям задачи; поэтому при подстановке значений базисных
переменных в уравнения канонической формы модели должны
получаться строгие равенства (некоторые ошибки могут
возникать вследствие округления).
Окончательный контроль решения по сокращенным
симплекс-таблицам очень важен, так как он позволяет получить
правильные точные значения целевой функции и переменных.
Проконтролируем значения неизвестных, подставив их в уравнения
канонической формы:
54,8 + 538,0 + 0 = 592,8;
54,8 + 0 = 54,8;
0 + 6,6 + 0 = 6,6;
2 • 54,8 + 2 • 538,0 + 20 • 0 + 10 • 6,6 + 1248 = 2499,6;
40 • 54,8 + 27 • 538,0 + 450 • 0 + 115 • 6,6 + 7523 = 25 000;
-97 • 54,8 + 9 • 538,0 + 14 • 0 - 9,5 • 6,6 + 536,3 = 0.
Расчеты показывают, что все условия задачи выполняются,
что подтверждает правильность решения.
При контроле значений целевой функции она может
вычисляться несколькими способами.
1. По формуле целевой функции:
т
^опт=1^ю=49-538,0+164.54,8+406,6=35613,2.
/=1
2. Как обычный элемент симплексной таблицы:
Z0m = 2пРед - AZ= 35349,2 - 6,6(-40) = 35349,2 + 264 = 35613,2.
3. При вычислениях с помощью как полных, так и
сокращенных симплексных таблиц существует жесткий независимый
контроль, основанный на теории двойственности:
т т
/=i /=i
где я,'0 — значения базисных переменных в контролируемой таблице; с, —
коэффициенты целевой функции при базисных переменных; ал — свободные члены
исходной системы условий (компоненты столбца дЛ исходной таблицы); yt —
элементы, находящиеся в индексной строке контролируемой таблицы в столбцах,
соответствующих /-м дополнительным переменным, то есть в столбцах ain + h где п — число
основных переменных задачи.
т
Например, значение ZonT= XfliOV/ будет вычисляться так:
/=1
3шт = 115 • 54,8 + 49 • 592,8 + 40 • 6,6 = 35613,2.
389

Таким образом, значение целевой функции определено
правильно.
Решение землеустроительных задач симплексным методом по
сокращенным таблицам с использованием искусственного базиса
осуществляется по аналогичной методике (Задания и
методические указания по применению вычислительной техники для
решения инженерно-экономических задач /Е. Г. Ларченко, М. И. Ко-
робочкин, В. С. Бережнов. — М.: Недра, 1967. —С. 66—69).
17.2. ПРОБЛЕМА ВЫРОЖДЕННЫХ РЕШЕНИЙ
Как и при решении транспортных задач, при использовании
симплексного метода могут возникать вырожденные решения. В
невырожденных задачах каждое базисное решение содержит ровно
т положительных компонентов. Любая задача при наличии хотя бы
одного нуля в правых частях ограничений будет вырожденной.
В вырожденных задачах возникает опасность после некоторых
итераций вновь вернуться к набору базисных переменных,
который уже встречался. Тогда все планы, рассмотренные после
этого, будут повторением последовательности предыдущих, что
приведет к зацикливанию алгоритма, и оптимальное решение
никогда не будет достигнуто. Несмотря на то что такая ситуация
встречается редко, полезно знать способ преодоления
вырожденности симплексной задачи.
Следует учитывать, что даже если в исходных ограничениях
задачи все свободные члены положительны (6/>0 для всех /),
нельзя гарантировать, что последующие базисные решения не
будут вырожденными. Не исключена возможность, что на
некоторой итерации /-й элемент столбца я/0 окажется равным нулю.
Если одновременно с этим /-й элемент столбца aik, подлежащего
вводу в базис, окажется положительным, то минимальное из
отношений элементов столбца дю к соответствующим
положительным элементам столбца aik будет равно нулю. Тогда, хотя набор
базисных переменных будет другим, целевая функция после
преобразования сохранит прежнее значение.
Нули в столбце ai0 также образуются в случае, если на
предыдущей итерации имела место неоднозначность при выборе
переменной, которую предстояло исключить из числа базисных. Она
возникает там, где минимум соотношений agjaik достигается
сразу для нескольких (по крайней мере, двух) строк.
Способ преодоления вырожденности при решении
землеустроительных задач симплексным методом описан Е. Г. Ларченко;
по его методике, когда указанный минимум достигается для
нескольких значений индекса /, исключается та переменная, для
которой достигается минимум соотношений an/aib где / —
индексы строк переменных, которые участвуют в выборе.
390

Пусть, например, при базисных переменных х{, х2,...,хт>0
имеем
g10 = fl20
а\к а2к'
В этом случае неизвестно, какую из базисных переменных (х{
или х2) следует сделать на следующем шаге небазисной. Для
выхода из неопределенности сопоставим величины
а\к а2к
Если минимальна по модулю первая из них, исключаем
переменную хь если вторая —то х2. Если же и они одинаковы,
сравниваем отношения
а\2 и fl22
а\к а2к
и выбираем из них наименьшее. Такое сравнение проводится до
тех пор, пока не будут получены неравные величины.
17.3. РОЛЬ ОГРАНИЧЕНИЙ В ФОРМИРОВАНИИ ОБЛИКА
ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ (НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ)
Выше мы специально оговаривали тот факт, что
функциональная зависимость результата производства у от
производственных факторов х\, х2,...,хК может применяться только в
определенной области допустимых значений факторов. В
действительности ограничения, характерные для землеустроительных
задач, играют существенно более фундаментальную роль —они
фактически формируют облик производственной функции
внутри области допустимых значений производственных факторов.
Проиллюстрируем это утверждение на примере анализа уже
рассматривавшейся в главе 14 упрощенной демонстрационной
задачи линейного программирования, заменив в ней
фиксированные ресурсные ограничения на варьируемые и несколько
изменив принятые там исходные данные и обозначения.
Задача 17.2. В хозяйстве производятся молоко и зерно. Все
молоко идет на продажу; 40 % зерна используется на корм скоту,
60 % идет на продажу.
Ресурсы хозяйства (варьируемые): х{ — площадь пашни, га;
х2 — трудовые ресурсы, чел.-ч; х3 — запас кормов на пастбищах и
сенокосах, ц корм, ед.; х4 — количество мест для содержания
коров, гол.
Нормы трудозатрат: 5 чел.-ч на 1 га; 50 чел.-ч на 1 гол. Норма
391

кормления животных 80 ц корм. ед. на 1 гол. Урожайность
зерновых 25 ц корм. ед. с 1 га. Продуктивность коров 4000 кг на 1 гол.
Цена на зерно 10 руб. за 1 ц, молоко — 0,2 руб. за 1 кг.
При любых фиксированных ресурсах хозяйства необходимо
определить максимальный валовой годовой продукт в денежном
выражении.
Введем основные переменные симплексной модели задачи
17.2:
?i — площадь пашни под зерновыми, га;
?"2 — поголовье коров, гол.
Тогда модель будет иметь вид
(17.1)
ь
^+50^2
-10&1 + 80&2
h
<*ь
<х2;
<*3;
<х4;
гг=0,15^1+0Д2->тах;
^>0, ^2>0.
Напомним, что здесь Z—целевая функция (валовой продукт
хозяйства в денежном выражении, тыс. руб.), а ограничения
имеют следующий смысл: 1-е— по площади пашни; 2-е —по
трудовым ресурсам; 3-е — по кормам; 4-е — по количеству мест для
содержания коров.
Зафиксировав ресурсы хь...,х4 и решив задачу
симплекс-методом, получим определенное оптимальное решение:
2=2опт(х{,...,Х4); ?i=?j (xi,...,X4);^2=^2 (хь->*4)-
Предположим теперь, что цель анализа задачи (17.1)
—установление зависимости оптимального значения целевой функции
от обеспеченности хозяйства ресурсами, то есть определение
вида производственной функции
y = Zom(xu...,x4). (17.2)
Рассмотрим сначала случай фиксированных трудовых
ресурсов, запасов кормов на пастбищах и сенокосах и количества мест
для содержания коров:
х2 = 12 000 чел.-ч; х3 = 2000 ц корм, ед.; х4 = 110 гол.,
то есть ситуацию, когда переменным является только ресурс
пашни fa).
392

О 500 xf WOO xf 15002000 xf
3000
Рис. 20. Зависимость оптимального значения целевой функции
задачи от обеспеченности хозяйства пашней
Зависимость
y=ZonT(x{)\
^2»JC3»JC4=const'
(17.3)
полученная в результате решения серии задач линейного
программирования вида (17.1), каждая из которых соответствует
определенному значению хь приведена на рисунке 20.
Обращает на себя внимание кусочно-линейный характер
представленной зависимости. Это не следствие приближенного
описания результата, а точное отражение зависимости решения
симплексной задачи от ресурса х{. Причем на каждом линейном
отрезке зависимости у(х{) производная ду/дхи то есть
дополнительный продукт фактора хи совпадает с его скрытой ценой.
Проиллюстрируем это утверждение для случая, когда ресурс
пашни х\ находится в интервале от 1300 до 2400 га, например
при х{ = 1500 га. Для таких условий (с учетом зафиксированных
ранее значений ресурсов х2, х3, х4) область допустимых
значений, соответствующая модели (17.1), изображена на рисунке 21.
Ресурс хх = 1500 га формирует в области допустимых значений
грань EF. Линии уровня целевой функции Z(?b ?2) задачи
линейного программирования, показанные на рисунке
штриховыми прямыми, ориентированы так, что оптимальной является
вершина Е. Таким образом, сдерживающими ограничениями
являются 1-е и 2-е и соответственно дефицитными ресурсами —
пашня и трудовые ресурсы. Увеличение ресурса пашни должно
приводить к сдвигу вершины Е вправо-вниз, а значит, к увеличе-
393

нию целевой функции. В то же время известно, что увеличение
ресурса эквивалентно введению в план отрицательного значения
остаточной переменной, связанной с этим ресурсом (в данном
случае это переменная ?3 — см. табл. 127). При таком введении ?3
в план оптимальное значение целевой функции будет меняться в
соответствии с двойственной оценкой этой переменной (скрытой
ценой ресурса пашни):
^опт~^опт (^3 ^3/S3~^onT'
-0,07?з
Учитывая, что |?з| — это и есть приращение ресурса пашни,
получим следующую формулу:
3;=Уз+0,07(х1-х13),
где х{ е [1300, 2400], уъ = 283,
показанную на рисунке 20 и отражающую линейный характер
рассматриваемой производственной функции на интервале
Х!е[1300, 2400].
Обратим внимание также на то, что в области х^НОО, 2400]
увеличение ресурса пашни приводит к относительно слабому
росту валовой продукции у. «Ответственным» за этот эффект
полностью является второе ограничение: из-за него при увеличении
хх оптимальная вершина Е сдвигается по направлению, сильно
отличающемуся от направления нормали к линии уровня
целевой функции, что и приводит к слабому сдвигу линии уровня.
500 1000 \1500
^Z=20 Z=19(?x Z=283x ^Z=297
Рис. 21. Область допустимых значений задачи при jc, - 1500
394

127. Последняя симплекс-таблица задачи 17.1 при х1 = 1500 га, хг = 12 000 чел.-ч,
х3 = 2000 ц корм, ед., х4 = 110 гол.
№

строки (/)
Базисные

переменные ^
Номера

ограничений (для

дополнительных

переменных)
(значения
базисных

переменных)
Коэффициенты замещения
(0
4
*, (У
(ост.,
огр. 1)
4, (У
(OCT.,
огр. 2)
4» (У
(OCT.,
огр. 3)
4* (У
(OCT.,
огр. 4)
1 5б(ост.) 4 20 0 0 0,1 -0,02 0 1
2 ?5(ост.) 3 9800 0 0 10 -1,6 1 0
3 ?2(осн.) - 90 0 1 -0,1 0,02 0 0
4 5,(осн.) - 1500 1 0 1 0 0 0
(Zj-C) 297 0 0 0,07* 0,016** 0 0
* Скрытая цена ресурса пашни.
** Скрытая цена трудовых ресурсов.
Несколько иная ситуация складывается при *ie[0, 680]. В
этом случае, например, при х{ = 600 область допустимых
значений задается фигурой АВЕ'Т" (рис. 22), а оптимальной является
вершина Е". Вторым связывающим ограничением (наряду с
ограничением по площади пашни) является ограничение не по
трудовым ресурсам, а по кормам, что приводит к более
выгодному смещению оптимальной вершины Е" и соответственно к
большей скорости роста целевой функции при увеличении
площади пашни. Скрытая цена пашни при этом составляет 0,25 тыс.
руб. на 1га (см. табл. 128 и рис. 22, а также рис. 20 —участок
х{е[0, 680]).
Анализ симплексной задачи объясняет и тот факт, что при
х{ > 2400 га рост рассматриваемой производственной функции
прекращается — наблюдается эффект насыщения, характерный
для реальных зависимостей обобщенных экономических
показателей (валовой продукт и т. п.) от ресурсных факторов.
Действительно, при хх > 2400 га линия, соответствующая первому
ограничению модели (17.1), вообще выходит за пределы области
допустимых значений, которая превращается в фигуру ABCDF (это
нетрудно видеть, например, по рис. 21). В геометрической
интерпретации оптимальной в этом случае будет вершина F, причем
сдерживающим будет только второе ограничение — по трудовым
ресурсам, избыток же пашни (свыше 2400 га) нельзя
использовать, что и определяет нулевое значение дополнительного
продукта.
Подобным же образом на основе анализа симплексной задачи
может быть установлена зависимость у от любого другого ресурса
(производственного фактора).
Так, например, нетрудно видеть, что при xi = 1500ra, х2 =
= 12 000 чел.-ч, х4= ПО гол. ресурс кормов на пастбищах и сено-
395

О \ 500 1000\ 1500
Z=20 \z=170
Рис. 22. Область допустимых значений задачи при хх <, 680
косах (х3) никак не влияет на валовой продукт хозяйства. Это
ясно из геометрического представления задачи (см., например,
рис. 21).
Поскольку при указанных значениях хь х2, х4 оптимальной
является вершина Е, то даже при уменьшении хъ до нуля
соответствующая третьему ограничению грань области
допустимых значений (ВС) сдвинется вправо незначительно (пройдет
через точку А), что не поменяет характер оптимального
решения — ресурс х3 не станет дефицитным и, следовательно, бу-
128. Последняя симплекс-таблица задачи 17.1 при хх = 600 га, х2 = 12 000 чел.-ч,
х3 = 2000 ц корм, ед., хА = 110 гол.

строки (/)
Базисные

переменные^
Номера

ограничений (для

дополнительных

переменных)
(значения
базисных

переменных)
Коэффициенты замещения
<t
(t.
(OCT.,
огр. 1)
(ост.,
огр. 2)
4 (У
(OCT.,
огр. 3)
(OCT.,
огр. 4)
1
2
3
4
Kx (ост.)
?4(ост.)
?2(осн.)
^(осн.)
_3z9
—
2
-
4
600
4000
100
10
170
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
-11,3
0,125
-0,125
0,25*
0
1
0
0
0
0
-0,625
0,0125
-0,0125
0,01**
0
0
0
1
0
* Скрытая цена ресурса пашни.
** Скрытая цена запаса кормов.
396

129. Последняя симплекс-таблица задачи 17.1 при лс, = 1500 га, хг = 6000 чел.-ч,
х3 = 2000 ц корм, ед., х4 = НО гол.
N°

строки (/)
Базисные

переменные ^
Номера

ограничений (для

дополнительных

переменных)
1 К, (ост.) 1
2 4,(ост.)
3 45(осн.) 3
4 ^(осн.) 4
<4-9
(значения
базисных

переменных)
300
1200
14000
ПО
180
ь
0
1
0
0
0
Коэффициенты
ь
(OCT.,
огр. 1)
-10 1
10 0
180 0
1 0
0,07
0
замещение
4, (У
(OCT.,
огр. 2)
-0,2
0,2
2
0
0,03*
i
4. (У
(OCT.,
огр. 3)
0
1
0
0
0
4. (У
(ост.,
огр. 4)
1
0
0
0
0
* Скрытая цена трудовых ресурсов.
дет иметь нулевую скрытую цену (нулевой дополнительный
продукт).
На рисунке 23 приведена зависимость у от х2 (трудовые
ресурсы) при фиксированных значениях других ресурсов: х{ = 1500 га,
х3 = 2000 ц корм, ед., х4 = 110 гол. (табл. 128).
Для иллюстрации механизма формирования зависимости,
представленной на рисунке 23, в таблице 129 показана последняя
симплекс-таблица, а на рисунке 24 — область допустимых
значений, соответствующие задаче 17.1 при х{ = 1500 га, х2 = 6000 чел.-ч,
х3 = 2000 ц корм, ед., х4 = 110 гол. (см. также табл. 127 и рис. 21).
В целом приведенные результаты наглядно иллюстрируют
принципиальную роль ограничений в формировании вида
производственной функции, а также идентичность двух важных по-
У
300
200
100
О
5000
10000
*2
KZ=20
^Z=180
Рис. 23. Зависимость оптимального Рис. 24. Область допустимых значений задачи
значения целевой функции от обеспе- при х2 = 6000
ченности хозяйства трудовыми
ресурсами
397

нятий — дополнительного продукта (см. п. 10.1) и скрытой цены
(см. п. 16.1) данного фактора. Нетривиальной является
существенная нелинейность (в целом) зависимости результирующего
показателя у от ресурсных факторов, в частности проявление
«эффекта насыщения», в то время как исходный изучаемый
математический объект — симплексная модель — является
линейной.
Контрольные вопросы и задания
1. С какой целью проводятся вычисления в сокращенных симплексных
таблицах?
2. В чем отличие алгоритмов решения задач в полных и сокращенных
симплексных таблицах?
3. Какие виды контроля вычислений применяются при использовании
сокращенных симплекс-таблиц?
4. Можно ли использовать алгоритм решения задач в сокращенных
симплексных таблицах при реализации программы симплекс-метода на ЭВМ?
5. Что является признаком вырожденности симплексных задач? К каким
последствиям может привести появление вырожденных решений?
6. Как можно преодолеть вырожденность симплексной задачи?
7. Покажите на примере несложной задачи линейного программирования роль
ограничений в формировании облика производственной функции.
Проиллюстрируйте это графически.
8. Объясните, как возникает нелинейный характер зависимости
результирующего показателя (например, валового продукта хозяйства) от его ресурсообеспечен-
ности, даже если исходная постановка задачи является линейной.
9. Как соотносятся понятия «дополнительный продукт фактора» в
производственной функции и «скрытая цена» того же фактора в модели линейного
программирования?
Глава 18
НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
При решении ряда землеустроительных задач могут быть
использованы методы не только линейного программирования, но
и другие, относящиеся к классу задач математического
программирования: динамическое, параметрическое, стохастическое,
дробно-линейное и целочисленное программирование.
К сожалению, исследований в этой области математического
моделирования в землеустройстве недостаточно, так как до
настоящего времени в землеустроительное производство не
внедрены задачи, решаемые вышеназванными методами. Удачные
попытки применения методов параметрического и
стохастического программирования в землеустройстве были предприняты
А. Ю. Ашенбреннером, И. Ф. Полуниным, Т. Я. Перингером
(Ашенбреннер А. Ю. Организация угодий и устройство
территории севооборотов в условиях орошаемого земледелия. Канд.
дисс. — М., 1984. — 210 с; Полунин И. Ф. Математическое
398

программирование в землеустройстве. — Минск: Вышэйшая
школа, 1972.— 240 с; Математические методы в организации
использования земель. — М.: ГИЗР, 1977. — С. 35—98).
Отдельные исследования в этом направлении были выполнены в
Государственном научно-исследовательском институте
земельных ресурсов (ГИЗР) с середины 70-х до середины 80-х
годов. Тем не менее в других отраслях аграрной
экономической науки применение методов математического
программирования дает прекрасные результаты, поэтому знание
возможностей и постановок задач, решаемых этими методами,
позволит существенно расширить круг математического
моделирования в землеустройстве и за счет этого повысить его
эффективность.
18.1. ЛИНЕЙНО-ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Многие из землеустроительных общих и частных задач носят
динамический характер. Например, задачи, связанные с
оптимизацией структур производства, состава и площадей земельных
угодий на перспективу, должны включать в себя не только
разработку показателей на момент полного освоения проекта
(конечный год), но и годовых планов осуществления проекта
землеустройства, связанных между собой. Это обусловлено тем, что
воспроизводство, в том числе и плодородия почв, — непрерывный,
ежегодно повторяющийся процесс.
Другая землеустроительная задача — разработка плана
перехода к запроектированным севооборотам — тоже представляет
собой динамическую модель, так как основана на постепенном
переходе от одних предшественников сельскохозяйственных
культур к другим во времени (по годам).
В ряде линейно-динамических задач в качестве аргумента
выступает время, а этапами, как правило, являются отрезки
времени. Так, например, в линейно-динамических задачах этапами
являются годы.
В настоящее время наиболее широкое распространение
получили имитационные и оптимизационные линейно-динамические
модели.
Имитационная модель реализуется в виде программы или
пакета прикладных программ для ЭВМ и описывает поведение
моделируемой системы в интерактивном режиме (человек—машина).
Реальная работа с имитационной моделью предполагает ответы
на вопрос: «Что будет, если...?». По сути дела имитационная
модель представляет собой машинный аналог реально
существующего объекта (явления или процесса), синтезированный исходя
из понимания разработчиками моделируемых закономерностей.
В этой связи, изменяя параметры модели, определяющие ее мно-
399

гоэтапный характер, можно получить динамические
оптимизационные решения.
Линейно-динамические модели содержат в основе постановку
оптимизационных задач, сделанную Л. В. Канторовичем. Эта
модель является обобщением известной «основной задачи
производственного планирования» (Гранберг А. Г. Моделирование
социалистической экономики. — М.: Экономика, 1998. — С. 224) и
формулируется как задача линейного программирования. Будучи
теоретической, универсальной моделью, она применима
практически неограниченно для моделирования динамики самых
разнообразных процессов и объектов как на микро-, так и на
макроэкономических уровнях.
Впоследствии, используя идею этой модели, была
сформулирована и решена Г. В. Гавриловым и Э. Н. Крылатых линейно-
динамическая задача для пятилетнего планирования развития
агропромышленного комплекса с включением инвестиционных
блоков.
В настоящее время наиболее известными и
апробированными являются линейно-динамические модели перспективного
развития сельскохозяйственного предприятия (Гаврилов Г. В.
Математическое моделирование экономических процессов в
сельском хозяйстве/ Под ред. А. М. Гатаулина. — М.: Агропром-
издат, 1990. — С. 255—279) и оптимизации проекта развития
сельскохозяйственного предприятия (КошелевВ. М.,
Ермакова Е. А. Линейно-динамическая модель оптимизации проекта
развития сельскохозяйственного предприятия. — МСХА,
1996.-С. 11-38).
Все линейно-динамические модели независимо от постановки
задачи и уровня иерархии имеют сходные черты. Их структура —
блочно-диагональная (рис. 25).
Модель включает п основных блоков, где « — число
временных циклов (дней, месяцев, лет и т. д.) в зависимости от
выбранного такта модели. Основные блоки описывают статическое
состояние объекта на момент /. Каждый последующий блок связан
с предыдущим посредством подблока увязки, в котором
отражаются условия перехода системы из состояния t в состояние
(/+ 1). Общий связующий блок включает сквозные для всего
моделируемого периода ограничения и единую для всех временных
циклов целевую функцию.
Линейно-динамические модели оптимизации структуры
производства и состава земельных угодий сельскохозяйственных
предприятий на перспективу тесно связаны с традиционными
статическими моделями перспективного развития хозяйств.
Каждый основной блок, по существу, повторяет модель
оптимизации производственной структуры в статической постановке
для соответствующего годичного цикла перспективного
развития. Однако в них включаются вспомогательные способы и до-
400

7-й блок I
Подблок увязки I
[1-го и 2-го блоков!
2-й блок
Подблок увязки
В-го и 3-го блоков!
Подблок увязки
(/-1)-гои /-го
блоков
1 /-й блок
Подблок увязки
/-гои(Ж)-го
блоков
Подблок
увязки
(л-1)-гои
л-го блоков!
Общий связующий блок

Вспомогательный
блок
Рис. 25. Структурная схема линейно-динамической модели
полнительные условия, определяющие динамику описываемых
процессов.
Например, если обозначить х{ — площадь зерновых, х2 —
площадь кормовых культур, возделываемых на пашне, х3 — площадь
технических культур, х4 — площадь естественных пастбищ, х5-
площадь естественных сенокосов и считать, что в первый год
освоения проекта они останутся неизменными, ограничения по
земельным ресурсам примут вид:
1-й год:
пашня
х{ + х2 + *з= Х6> Х6 ^ 2000;
сенокосы и пастбища
х4< 1000, х5< 500,
где х6 — общая площадь пашни первого года освоения проекта; 2000, 1000 и 500 —
соответственно фактические площади пашни, пастбищ и сенокосов в хозяйстве.
Во втором блоке, характеризующем второй год освоения
проекта, площади зерновых, технических и кормовых культур будут
обозначаться уже как х7, х8, х$. Если во второй год наметить
трансформацию в пашню пастбищ площадью не более 300 га
(х10<300га), сенокосов площадью не более 100 га (хп< 100 га) и
обозначить расчетные площади пашни, пастбищ и сенокосов как
401

*i2> *i3> *м, то ограничения по земельным ресурсам в блочной
модели примут следующий вид:
2-й год:
пашня
х7 + *8 + х9 = х12>
х^^гооо + хю + хц,
х10<300, хп<100;
сенокосы и пастбища
х13<1000-х10,
х14<500 — хи.
Таким образом (схематично) осуществляется увязка земельно-
ресурсных характеристик задачи.
В общем виде ресурсные параметры (правые части
ограничений) определяют с учетом постепенного выбытия части средств,
которые были в наличии на начало моделируемого периода
(технические ресурсы и другие основные производственные фонды).
Формула для расчета объема первого ресурса в /-цикле (Bit) будет
иметь вид
д -д Bii'1
п\
где Д/_1 — размер ресурса первого вида в предыдущем (/—1) цикле; л,— число
циклов.
Практически все виды линейно-динамических моделей
отличаются от статических оптимизационных моделей также
особенностями расчета технико-экономических коэффициентов задачи.
Отдельные коэффициенты рассчитывают с помощью трендовых
моделей с предварительным выравниванием ретроспективных
динамических рядов или с использованием производственных
функций и эконометрических моделей. Для прогнозирования
некоторых других коэффициентов применяют специальные
приемы аппроксимации, благодаря которым нелинейные
зависимости сводятся к линейным, что позволяет упростить процесс
определения прогнозных значений этих коэффициентов.
Для решения линейно-динамических задач в практике
экономико-математического моделирования используют следующие
способы:
линейного программирования (симплекс-метод) для решения
задач с блочно-диагональной структурой;
учитывая то, что матрицы блочных задач имеют большую
размерность, в ряде случаев линейно-динамическую модель
разбивают на несколько задач (по годам), которые решают самостоя-
402

тельно по стандартным программам симплекс-метода (при этом
осуществляют увязку выходных и входных данных предыдущих и
последующих задач).
Для решения линейно-динамических задач в сельском
хозяйстве, а также на микро- и макроэкономическом уровнях в других
отраслях народного хозяйства могут применяться специально
разрабатываемые схемы и методы решения (Динамическое
программирование (Математические методы исследования
операций). Методические указания для самостоятельной работы
студентов/ Н. Г. Лядина, И. И. Плетцова, В. П. Лядин. — МСХА,
1996. — 32 с; Замков О. О., Черемных Ю. А., Толстопятенко А. В.
Математические методы в экономике. — М.: Дело и сервис,
1999. - 2-е изд. - С. 204-214).
18.2. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
В параметрическом программировании коэффициенты
целевой функции, технико-экономические коэффициенты и
свободные члены системы ограничений в общей постановке задачи
считаются зависимыми от некоторого переменного параметра /,
например колебаний цен на продукцию. Необходимо найти
оптимальные планы и установить для каждого из них интервал
изменения параметра /.
В параметрических моделях работает фактор «последствия»,
когда различные этапы функционирования системы в
определенном интервале изменения параметра / взаимосвязаны и
взаимообусловлены. Поэтому для их решения применяются
специальные методы.
Сформулируем наиболее часто встречающуюся задачу
параметрического программирования, в которой зависимыми от
параметра / являются коэффициенты целевой функции.
Математическая формулировка данной задачи следующая.
Дана система ограничений вида
апхх+апх2+..ла{пхп<аь }
ат\х1+ат2х2 + -+ ^тпхп—^т>
xj>0, у=1,2,...,л. J
Нужно найти максимум целевой функции Z,:
403

в которой числа с, и dj известны и постоянны, а величина /
является переменным параметром, способным принимать любые
значения на отрезке [а, р], а</<р.
В этой задаче может быть несколько оптимальных планов,
поскольку коэффициенты ее функционирования переменны.
Требуется найти все эти планы и установить для каждого интервал
изменения параметра t.
Такую формулировку получают землеустроительные задачи
при колебаниях урожайности сельскохозяйственных культур и
продуктивности животных, а также при изменяющихся ценах на
продукцию.
Данная задача может решаться с использованием метода
модифицированных жордановых исключений. Последовательность
решения при этом рекомендуется следующая (Полунин И. Ф.
Математическое программирование в землеустройстве. — Минск,
Вышэйшая школа, 1972.— С. 72—78).
1. Принимается, что / = а. Тогда в целевой функции Za все
коэффициенты станут постоянными:
Za=?(cj+dja)(-Xj).
Запишем систему ограничений и эту целевую функцию в жор-
данову таблицу. В таблице предусмотрим две строки для
коэффициентов cj и dj, что позволит в дальнейшем на любом этапе
рассматривать целевую функцию Z, для произвольного параметра t
(табл. 130).
130. Исходная таблица
У2 =
Ут =
-*|
с{ + d{a
dx
-х2 | ...
(*//)
с2 + d2a
d'i
I — х„
сп + dna
сп
dn
I
а2
0
0
0
Обычным симплекс-методом находим опорный и
оптимальный план, преобразуя на каждой итерации последние две строки
(табл. 131).
131. Оптимальный план
*1 =
Xs =
404
-У\
-Уг
-ys
—xs+ i
-хп
L
bx
bs

Продолжение
л+г8
2:
-У|
Pi
?i
-л | •
Pi + ДО
02
1 ~^
(V
Л + fca
Ps
Яз
~xs + 1 1 •
Ps+l
Я*+\
| -*„
Рп + Я,&
Рп
Яп
L
^5+1
ът
P + Qv.
р
Q
В связи с тем что план в последней таблице является
оптимальным, все коэффициенты 2^-строки будут
неотрицательными, то есть
Pj + qja>0, j= l, 2, ..., п.
2. На втором этапе определяем такие значения параметра /,
для которых план будет оставаться оптимальным. Для этого
необходимо, чтобы все коэффициенты функции Z, были
неотрицательными:
д+ftteO,
Pj+qjteb
pn+q„t>0.
Из решения этой системы неравенств и будут получены
нужные значения /.
Разделим все неравенства данной системы на две группы,
исходя из знаков коэффициентов qj. В одну группу отнесем
неравенства, в которых qj > 0, в другую — те, где qj < 0.
Возьмем первую группу неравенств:
Pj + qt>0.
Перенося pj вправо и деля на qj > 0, отчего смысл неравенства
не нарушается, находим
/>--
*У
Pj
Чисел — будет получено столько, сколько неравенств ока-
жется в группе, и параметр Одолжен быть больше каждого из них.
405

Если определить / по наибольшему из этих чисел, то остальные
неравенства будут выполнены автоматически. Поэтому
max
( pi"
V 4JJ
<t,qj>0.
Со второй группой неравенств
Pj + gjt<0
поступаем аналогично. Переносим pj вправо и делим на qj < 0;
при этом смысл неравенства меняется на противоположный.
Получаем
t<-X
Чтобы удовлетворялось каждое неравенство второй группы, /
надо определять по наименьшему из найденных значений:
/<min
/
ч
Л
*))
qj<0.
Объединяя оба результата в один, имеем
max
r.?l)
(
</<min
Л
*/.
Qj>0
gj<Q
Таким образом, для положительных коэффициентов а, пара-
Г р>л
метр / должен быть больше наибольшего отношения
^ ч1)
' ДЛЯ
отрицательных — меньше наименьшего. Если все коэффициенты
qj одного знака, то вторым концом интервала изменения
параметра является бесконечность соответствующего знака. Если
qj = 0, то из условия следует, что в данном столбце pj > 0 и
Pj + q/t=Pj+0-t = pj>0
для любого /. Поэтому такой столбец можно не принимать во
внимание.
Отыскав правую границу а\ изменения параметра (левой
границей на первом этапе всегда служит значение а), сравниваем
интервал [а, а{] с заданным интервалом [а, Р]. Если первый из
406

них больше, то задача решена: на всем отрезке [а, р] найденное
решение оптимально. Если же интервал [а, <Х\] меньше
заданного, то исключаем его из рассмотрения, а для оставшегося отрезка
[cti, (3] задачу решаем заново. Так этап за этапом будут найдены
все оптимальные планы.
Рассмотрим пример (решение и исходные данные И. Ф.
Полунина). Необходимо решить задачу параметрического
программирования для целевой функции
Z,= (6 - 0*i + (3 - 2/)х2 + tx3 -> max,
в которой / изменяется на отрезке [1; 3,5], и ограничений
Х[ + 2x2 + x3<3;
2*i — х2 + Зх3 < 7;
ху>0, у=1,2,3.
Полагаем t= 1 и получаем целевую функцию с постоянными
коэффициентами
Z/ = 5х\ + х2 + *з ->тах-
Составляем исходную жорданову таблицу, в которую заносим
все нужные величины с учетом того, что верхним переменным Xj
приписан знак «минус» (табл. 132).
132. Исходная таблица
У\ =
У2 =
Zi =
~Х\
ш
2
-5
-6
1
-xi
2
-1
-1
-3
2
-'з
1
3
-1
0
-1
1
3
7
0
0
0
План Х[=х2 = х3 = 0 опорный, но не оптимальный. Выбираем
в первом столбце разрешающий элемент и делаем шаг
модифицированных жордановых исключений, преобразуя по общим
правилам все элементы таблицы. Получаем таблицу 133, в zr
строке которой стоят только положительные числа.
Следовательно, для /= 1 план х{ = 3, х2 = хъ = 0 оптимальный.
133. Первый оптамальный план
*1 =
У2 =
*1 =
z,= {
-.Vl
1
-2
5
6
-1
~*2
2
-5
9
9
0
-*з
1
1
4
6
-2
1
3
1
15
18
-3
407

Найдем другие значения /, для которых этот план останется
оптимальным. Обращаясь к последней строке таблицы 133,
видим, что в ней стоят два отрицательных числа и нуль (свободный
член не считается). Для первого и третьего столбцов вычисляем
отношения
6 -6 6 ч
---6, --=3.
Второй столбец с нулевым коэффициентом q пропускаем.
Согласно формуле
/<min
Lei)
,<7/<0
имеем
/<min(6; 3).
Вторым концом интервала будет -«>. Следовательно, —©о < /< 3.
Однако нас интересует отрезок числовой оси, начинающийся с
1, поэтому план в таблице 133 оптимален для 1 < /<3.
Указанный отрезок [1; 3] меньше заданного [1; 3,5]. Исключив
его, продолжаем решение задачи для оставшегося интервала [3;
3,5].
Вычислим для /= 3 коэффициенты функционала ?з,
выраженного через набор верхних переменных в таблице 133. Для этого
умножим на 3 коэффициенты последней строки (включая
свободный член) и сложим их с коэффициентами предпоследней;
результаты запишем в строку z3> которая займет место строки z\-
Прочие элементы таблицы оставим без изменения; получим
таблицу 134.
134. Промежуточный опорный план
*1 =
У2 =
-У\
1
-2
3
6
-1
"*2
2
-5
9
9
0
-*з
1
И
0
6
-2
1
3
1
9
18
-3
В третьем столбце, по которому вычислено /=3, в гз-строке
получен нуль. При малейшем увеличении параметра свыше 3 на
месте нуля окажется отрицательное число; план перестанет быть
408

оптимальным. Поэтому принимаем третий столбец за решающий
элемент и делаем следующий шаг модифицированных
исключений (табл. 135).
135. Последний оптимальный план
Х\ =
*3 =
Zi =
7 f
z'={
-У\
3
-2
3
18
-5
~*2
7
-5
9
39
-10
-У1
-1
1
0
-6
2
1
2
1
9
12
-1
В новой таблице гз-строка осталась без изменения; план
х\ = 2, х2 = 0, х3 = 1 оптимален. Найдем для него возможные
значения параметра /.
В последней строке таблицы 135 имеются как положительные,
так и отрицательные коэффициенты q. Для положительного
коэффициента 2 по формуле
(
max
El
\
^><lj>0 имеем
-6
——^t, или 3 < /.
Для отрицательных коэффициентов согласно формуле
/<min
г
v
>i
V)
, <7/<0, находим
/<min
C-s9'
/<3,6.
-10
Объединяем оба результата в одно выражение:
3</<3,6.
Найденный отрезок [3; 3,6] больше заданного [3; 3,5], поэтому
задача решена окончательно. При 1</<3 оптимально первое
найденное решение, при 3 < t< 3,5 — второе. Характерно, что при
/= 3 оптимальны оба эти решения, а также некоторые их
комбинации.
18.3. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Задачи математического программирования, в которых все
или некоторые параметры являются случайными величинами и
409

задаются вероятностными характеристиками, называются
стохастическими.
Такие задачи изучает самостоятельный раздел
математического программирования — стохастическое программирование.
Ранее, при изучении методов линейного программирования,
мы исходили из допущения, что все параметры
экономико-математических моделей (коэффициенты целевой функции, технико-
экономические коэффициенты, объемы ресурсов) являются
детерминированными, то есть определенными, точными, заранее
известными. При решении землеустроительных задач, связанных
с организацией сельскохозяйственного производства и
территории, это допущение оказывается недостаточно строгим, так как
многие параметры задач, связанные с погодными условиями
(осадками, температурой, инсоляцией и т.д.), а также с
динамикой цен на рынке, носят вероятностный (стохастический)
характер. То есть при экономико-математическом моделировании
приходится работать не только с приближенными, но и со
случайными величинами, которые возникают как в результате
действия неконтролируемых природных и экономических факторов,
так и вследствие работы с информацией, искаженной в процессе
ее получения и обработки.
Стохастическое программирование позволяет выбрать
наилучший план с точки зрения всех возможных случайных факторов.
Один из крупнейших специалистов в области исследования
операций Г. Вагнер писал, что интерес к стохастическим
явлениям был бы весьма ограничен, если бы его не стимулировала
практическая необходимость решения конкретных задач
организационного управления (Вагнер Г. Основы исследования
операций. -М.: Мир, 1973).
Обратимся к классической математической формулировке
общей задачи линейного программирования в матричной форме.
Необходимо найти F(x) = Сх -> max при условиях Ах<В и
х>0.
В этой модели матрица А, векторы В и С являются
детерминированными. В стохастических задачах А, В и С могут быть
случайными. При этом значение целевой функции F(x) также
является случайной величиной.
Для того чтобы понять значение стохастического
программирования для экономики сельскохозяйственного
предприятия и его отличие от детерминированных задач, рассмотрим
один из примеров, приводимых в изданной в 1972 г. в
Амстердаме монографии Д. К. Сенгунты (Senqunta J. К. Stochastic
programming methods and applications. — Amsterdam, North
Holland, 1972).
В задаче определялось оптимальное сочетание отраслей
производства (картофеля, зерна, мяса, осенней капусты) при
ограниченных ресурсах земли, капитала и труда. В качестве целевой
410

функции отыскивалось максимальное ожидаемое значение
прибыли, которая содержала стохастические параметры.
Предполагалось, что система ограничений данной задачи (Ах<В) была
детерминирована.
После преобразования целевой функции и приведения ее к
детерминированному виду она приобрела следующий вид:
(а\_
F(x)=m'x-\ — bcTx->max,
где т — среднее значение вектора чистого дохода; т' — транспонированный
вектор /я; V— ковариационная матрица; х — вектор независимых переменных,
обозначающий объем продукции (картофель, зерно, мясо, осенняя капуста); а
—коэффициент, показывающий степень риска.
В уравнении целевой функции первое слагаемое представляет
собой величину прибыли, которую можно было бы получить при
отсутствии влияния на нее случайных факторов. В
детерминированной задаче целевая функция состояла бы только из первого
слагаемого.
Второе слагаемое — \x'Vx показывает, на сколько изменится
прибыль с учетом в модели случайных величин. С введением
второго слагаемого функция F(x) приобретает нелинейный
(квадратичный) характер.
Модель была реализована автором при следующих числовых
значениях параметров:
1
а"1250'
^=(100,100,100,100);
В= (60, 60, 24, 12, 0, 799, 867, 783);
А=
1,199 1,382 2,776 0
0 1,382 2,776 0,482
1,064 0,484 0,038 0
-2,064 0,020 0,107 0,229
-2,064-1,504-1,145-1,229
5,276 4,836 0 0
2,158 4,561 0 4,198
0 4,146 0 13,606
411

["7304,69 903,89 -688,73 -1862,05]
620,16 -471,14 110,43
1124,64 750,69
[ 3689,53 J
Результаты расчета вероятностного и детерминированного
вариантов оптимального плана приводятся в таблице 136.
136. Вероэтностный и детерминированный планы
Показатель
Вероятностный план
Детерминированный
план
Переменные величины
хх — картофель
х2 — зерно
*з — МЯСО
х4 — осенняя капуста
Вектор цен
У\ — земля (период 1)
у2 — (период 2)
Уъ — капитал (период 1)
у4 — (период 2)
у5 — (период 3)
Ув — трудовые ресурсы (период 1)
у7 — (период 2)
у% — (период 3)
Ожидаемое значение дохода, долл.
Среднее квадратическое отклонение
10,31
26,75
2,68
32,35
0
32,93
65,96
0
0
0
0
0
7209
2195
22,14
0
11,62
57,54
0
34,72
94,01
0
0
0
0
6,10
9131
4225
Из таблицы видно, что при учете вероятностного характера
вектора выпуска х ожидаемый чистый доход уменьшается по
сравнению с детерминированным аналогом примерно на 20 %,
но возрастает гарантия получения этого дохода. Коэффициент
вариации для вероятностной модели VBB= 30,4%, для
детерминированной ^д. в. = 46,2 %. Очевидно, что для собственника
земли лучше иметь меньший, но устойчивый доход, что
обеспечит стабильность производства и его гарантированную
эффективность.
Классификация задач и методов стохастического
программирования. В настоящее время разработано большое число
математических моделей задач стохастического программирования,
что требует их классификации. В агроэкономических
исследованиях наиболее распространенной является классификация
стохастических оптимизационных моделей, разработанная
Ю. И. Копенкиным, которая не претерпела существенных
изменений с середины 70-х годов до настоящего времени (Крав-
412

ченко Р. Г. Математическое моделирование экономических
процессов в сельском хозяйстве. — М.: Колос, 1978.— С. 407—411;
Математическое моделирование экономических процессов в
сельском хозяйстве/ Под ред. А. М. Гатаулина. — М.: Агропром-
издат, 1990.-С. 384-389).
Согласно этой классификации стохастические модели задач
делятся на два основных класса: одноэтапные и двухэтапные.
Одноэтапные задачи характеризуются тем, что принимается
только одно решение (априорное), которое затем не
корректируется. Это решение имеет вид детерминированного вектора:
Х = (Х\, Х2, ..., Хп).
Оно не поддается корректировке при уточнении
производственной ситуации. Например, априорным (предварительным)
может быть решение, которое получают при усредненных
значениях случайных параметров.
Двухэтапные задачи основаны на применении двух
последовательно получаемых решений. На первом этапе определяется
априорное (предварительное) решение, которое уточняется на
втором этапе в зависимости от изменения параметров случайных
условий производства (исходов).
Решение, получаемое на втором этапе, называется
апостериорным. В моделях эти решения имеют вид стохастического
вектора уг = (у\г> У2п У кг), применяемого с вероятностью рп где г—
номер исходов (реализации случайных условий, г= 1, 2, ..., N).
Термин «двухэтапная задача» имеет условный характер, так
как разделение на этапы относится лишь к ее постановке. С
точки зрения математического программирования это единственная
задача, включающая одновременно переменные двух этапов,
объединенные единой целевой функцией и системой
ограничений.
В настоящее время выделяют следующие постановки одно-
этапных задач стохастического программирования.
1. Примитивная постановка задачи заключается в
определении оптимального плана на основе решения обычной
детерминированной задачи линейного программирования,
коэффициенты которой рассчитаны путем усреднения случайных
параметров и считаются условно детерминированными.
Если случайным является только вектор (Q-коэффициентов
целевой функции, то для решения задачи достаточно заменить
коэффициенты с,- их средними значениями Cj.
Тогда целевая функция задачи примет вид
F(x)=M(Cx)=M(Cx)->max,
где М — символ математического ожидания эффекта.
413

2. Жесткая постановка задачи требует, чтобы при
любых конкретных реализациях (исходах) случайных параметров
выполнялись все ограничения, то есть
Агх < Вг для всех re R;
х>0;
/г(х)=Сх^тах,
где г— индекс возможной реализации (исхода) случайных параметров задачи; R —
множество значений г, С — вектор средних значений целевой функции.
Таким образом, решение одноэтапной стохастической задачи
сводится к решению громоздкой детерминированной задачи
линейного программирования при условиях:
А{х<В{
А2х<В2
А,х<Вг
ANx<BN
х>0
и целевой функции F(x)=Cx->max,
где г — номер возможной комбинации значений А и В, появляющихся с некоторой
вероятностью (г= 1, 2, ..., N).
Исходя из этого следует, что решение данной задачи в
стохастической постановке может быть сведено к задаче линейного
программирования с «пессимистическими» значениями, то есть
наихудшими величинами параметров технико-экономических
коэффициентов и объемов ограничений.
Жесткая постановка должна применяться тогда, когда нужно
исключить риск. Этого требуют ситуации, когда выполнение хотя
бы одного из ограничений задачи приводит к катастрофическим
последствиям (например, к разорению и ликвидации
сельскохозяйственного предприятия).
3. Вероятностная постановка задачи (с
вероятностными ограничениями) — вероятность выполнения /-го
ограничения должна быть не менее заданной величины Р^\ то есть:
i ayXjZbAzpM, 0<Р0(/)<1, /=1,2,...,/я.
U=1 J
Задача с вероятностными ограничениями обычно решается
для ситуаций, когда случайным является вектор В, а матрица А и
вектор С — детерминированы.
414

Эта задача может быть также сведена к детерминированной
задаче линейного программирования следующего вида:.
^(х)=Сх-»тах,
Ах<В, х>0.
Элемент случайного вектора 2?=^(/=1,2,...,/я) вычисляют по
уравнению вида
ь
где ф/(?/) — плотность распределения случайной величины Ь{.
Если Р^=1, данная постановка переходит в жесткую.
Методы постановки двухэтапных задач стохастического
программирования делятся на непрямые и прямые.
Непрямыми методами стараются свести зависимость
F(x, со), где со — вероятностный элемент, к зависимости F(x), a
затем применить один из известных методов математического
программирования. Иными словами, стохастическую задачу
сводят к ее детерминированному аналогу, а последний решают
известными методами линейного или нелинейного
программирования.
Кпрямым методам относят методы, основанные на
информации только о функции F(x, со): методы стохастической
аппроксимации, проектирования стохастических квазиградиентов
и др. (Ермольев Ю. М. Стохастические модели и методы
оптимизаций. — Киев: Кибернетика, 1974. — № 4).
Рассмотрим рекомендуемые непрямые приемы сведения
двухэтапных стохастических задач к задачам линейного
программирования (Копенкин Ю. И. Стохастические задачи
математического программирования. — В кн.: Математическое
моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве/
Под ред. А. М. Гатаулина. — М.: Агропромиздат, 1990. —
С. 388-389).
1. Если случайным является вектор В (свободные члены
ограничений bh обозначающие наличие ресурсов), а матрица
А детерминированная, то двухэтапная стохастическая
постановка допускает возникновение невязок в ограничениях
(нехватку ресурсов) при отдельных исходах, однако им
соответствует определенный штраф, который вычитается из целевой
функции. Задача линейного программирования при этом
имеет вид
415

Ах =Во
Ах + Dy{ =B{
Ах +Dy2 = В2
Ах +DyN=BN
x>0,y{>0, ...9yN>0
Дх,у) = Сх + Pim + р2уу2 + ... + Plf[yN9
где jc = {jci, х>, ..., хп} — вектор основных переменных (управляющих переменных
первого этапа); уг = {у1г, у2п ..., утг) — вектор вспомогательных переменных
(управляющих переменных второго этапа), обозначающих невязки в /-м ограничении при
г-м исходе (г=1, 2, ..., N)\ Br = {?,г, />2п •••> ^mr} — вектор свободных членов
ограничений, обозначающих наличие /-го ресурса при г-м исходе (г=1, 2,..., N); А —
матрица размерностью тп неизменяющихся технико-экономических коэффициентов
ау, обозначающих затраты /-го ресурса за единицу у'-го вида деятельности; D —
вспомогательная матрица, элементы которой служат для ввода в ограничения
невязок (например, диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны
-1); Y = (Yi> Y2> •••> Yw} — вектор, элементами которого являются размеры штрафа за
единицу невязки по /-му ресурсу; рг — вероятность г-го исхода (г = 1, 2, ..., ЛО;
С= ic\y съ •••> сп) — вектор коэффициентов целевой функции; блоках = 2?0
предназначен для отображения всех условий, не зависящих от случайностей.
2. Если случайной является матрица А
технико-экономических коэффициентов aij9 обозначающих размеры затрат ресурсов и
выход продукции на единицу у-го вида деятельности, а вектор В
детерминированный, то соответствующая задача линейного
программирования также имеет блочную структуру:
Aqx = B0
Axx+Dxy, = Bx
А2Х + Z>2}>2 = В2
Atfc+ DNyN=BN
x>0,y{>0, ...,yN>0
F{x, у) = CX+piWi +Р2УУ2 + ». +P№n,
где x = {хь хъ ..., xn) — вектор управляющих переменных первого этапа; уг- {уХп у2п
•••» Утг) — вектор управляющих переменных второго этапа, соответствующих г-му
исходу (г=1, 2,..., N); Ли А2, ..., AN — матрицы (тп) технико-экономических
коэффициентов, соответствующие возможным исходам; Db Z>2, ...,
^—вспомогательные матрицы технико-экономических коэффициентов, необходимые для
отображения связи управляющих переменных r-го исхода с управляющими переменными
первого этапа; В = {bu Ьъ ..., Ьт) — вектор неизменяющихся свободных членов
ограничений; С= {с1у съ ..., сп) — вектор коэффициентов целевой функции при
переменных первого этапа; у= {Yi, Y2» •••» Y) — вектор коэффициентов целевой функции
при переменных второго этапа; /?г — вероятность г-го исхода (г=1, 2, ..., ЛО.
Блок Aqx = 2?o предназначен для отображения всех условий, не зависящих от
случайностей.
416

Второй случай имеет большое значение для тех
стохастических землеустроительных моделей, технико-экономические
коэффициенты которых связаны с урожайностью
сельскохозяйственных культур, обусловливающей случайный характер
матрицы А. К этим моделям относятся задачи оптимизации
трансформации земель, определения оптимального сочетания
отраслей и структуры земельных угодий, соотношения
орошаемых и богарных земель и т. д. Элементы вектора В в таких
задачах могут рассматриваться в большинстве случаев как
детерминированные величины (площади сельскохозяйственных угодий,
трудовые ресурсы, планы производства и реализации
продукции). Эти элементы не зависят от конкретных результатов года
по урожайности.
Если случайный характер имеют одновременно параметры
матрицы А и вектора В, то задачу линейного программирования
можно построить путем комбинирования описанных выше
приемов.
В агроэкономических исследованиях рекомендуется
использовать определенные критерии оптимальности для решения
задач стохастического программирования. Эти же критерии могут
применяться и для поиска оптимальных планов в
землеустроительных задачах. В качестве основных целевых функций
(критериев) могут быть использованы следующие.
1. Максимум или минимум математического ожидания
эффекта:
F(x) = М(Сх) -> max (min),
где М— символ математического ожидания.
При этом дисперсия эффекта не учитывается. Данный
критерий соответствует задачам, в которых критерием оптимальности
является максимум стоимости валовой и товарной продукции,
максимум прибыли и т. д. В стохастических задачах показателями
качества решения будут соответственно математические
ожидания названных величин. Этот критерий является наиболее
распространенным.
2. Минимум дисперсии эффекта:
D(Cx)=L\ SQx/ ->min
Задача сводится к выбору такого плана, при котором
дисперсия эффекта будет минимальной. Для многих землеустро-
417

ительных задач уменьшение колеблемости результативного
показателя весьма важно. Например, желательно выбирать
такой план кормопроизводства, при котором колеблемость
(дисперсия) объема производимых кормов является минимальной.
При использовании этого критерия оптимальности
устанавливают некоторое пороговое значение математического
ожидания эффекта т0, условие достижения которого вводится в
модель в качестве ограничения. В этом случае требуется
определить
min D(Cx) при М(Сх) > т0.
Пороговое значение устанавливается на основе
соответствующих нормативов, плановых заданий и т. д.
3. Линейная комбинация математического ожидания и
дисперсии линейной формы:
Cx-XxDx->max,
где X — штраф за единицу дисперсии; D — квадратичная матрица, элементами
которой являются дисперсия и ковариация, например выходов продукции с 1 га по
культурам; х —транспонированный векторх переменных задач.
При использовании данного критерия трудно объективно
оценить влияние дисперсии на выбор плана, то есть определить
размер штрафа за дисперсию.
4. Максимальная вероятность превышения некоторого
фиксированного значения эффекта:
Р(Сх>К)^>тах,
где К— заданное пороговое значение эффекта, превышение которого желательно.
Примерами могут служить сведения к максимуму вероятности
того, что прибыль будет не менее заданного значения К или
объем произведенной продукции заданного вида будет не менее
необходимой потребности.
Таким образом, из всего многообразия постановок задач
стохастического программирования необходимо выбрать ту, которая
в наибольшей степени соответствует характеру и цели
исследования.
Стохастическое моделирование оптимального соотношения
площадей озимых и яровых зерновых культур (одноэтапная модель).
Постановка задачи. Задача определения оптимального
соотношения площадей озимых и яровых зерновых культур в
агрономической науке является классической. Это объясняется тем, что
озимые зерновые культуры в большинстве районов являются бо-
418

лее урожайными, чем яровые. Однако вероятность того, что
озимые погибнут или дадут небольшой урожай вследствие
заморозков или вымокания посевов весной, очень велика. Заменять их
менее урожайными яровыми культурами часто невыгодно, так
как для ряда культур (прежде всего пропашных) яровые являются
менее предпочтительным предшественником и реализуются на
рынке по более низким ценам, что дает хозяйству меньший
доход.
В связи с этим определение оптимального соотношения
площадей озимых и яровых зерновых культур — важная задача, в
ходе решения которой с учетом стохастических характеристик
урожайности культур необходимо получить максимальную
выгоду.
Математическая формулировка задачи. Примем, что в данной
задаче вероятностный характер имеют коэффициенты целевой
функции — вектора с линейной формы и вектора b — свободных
членов ограничений.
Будем считать матрицу технико-экономических
коэффициентов а детерминированной.
Математическую формулировку данной одноэтапной задачи
рассмотрим на примере ее постановки, данной в
Государственном научно-исследовательском институте земельных ресурсов
Т. Я. Перингером и И. Ф. Полуниным (Стохастическое
моделирование размещения посевов озимых и яровых культур. Научный
отчет «Математические методы в организации использования
земель». - М.: ГИЗР, 1977. - С. 53-63).
При этом примем третий случай постановки: для задач с
вероятностными ограничениями.
Определим систему переменных. Для этого примем, что х{ —
площадь озимой ржи, га; х2 — площадь овса, га.
В задаче необходимо определить оптимальное соотношение
площадей посева двух культур: озимой ржи и овса.
На неизвестные наложим следующие ограничения.
1. Баланс площадей посевов:
P(x{+x2=bw)>P^\
2. Необходимые трудовые затраты:
Р(а?\+^х2<Ь™)>Р«\
3. Объем полевых механизированных работ:
419

4. Потребность в денежно-материальных средствах:
Р{а\*\+а^х2<Ь^)>Р^.
5. Баланс минеральных удобрений:
6. Неотрицательность переменных:
х{>0, х2>0, 0<Р0(/)<1.
Данные условия читаются следующим образом: вероятность
того, что будет выполнено А>е ограничение, должна быть не
меньше />0(/)(/=1,2,3,4,5).
Чтобы решить эту задачу при заданных вероятностных
ограничениях, необходимо определить составляющие вектора Ъ.
Известно, что по закону распределения компонент вектора Ъ
и вероятности Р^ можно найти составляющие вектора
ограничений и от вероятностной системы ограничений перейти к ее
детерминированному аналогу.
Поскольку составляющие случайного вектора ограничений b
независимы и каждая из них представляет собой сумму
элементарных независимых слагаемых, можно считать, что компоненты
вектора Ъ распределены по нормальному закону,
характеризуемому плотностью вероятности вида
(Ъ-т)2
Су/2п
где а — среднеквадратическое отклонение величины Ъ\т — математическое
ожидание величины Ь.
Графически это может быть показано так (рис. 26).
Допустим, стохастическая задача решена. Тогда после подста-
п
новки в левую часть неравенств вида ^ayXj^bj оптимальных
7 = 1
значений х получим некоторую величину b. С вероятностью Р0
можно утверждать, что b <b, так как только в этом случае требуе-
420

мое условие выполняется.
Причем точка^ b должна быть
правее точки b.
Чтобы по плотности
распределения подсчитать
вероятность попадания точки b в
интервал |6,оо|, надо взять
интеграл от плотности в
соответствующих границах:
p0 = [f(b)db.
ь
В полученном интегральным уравнении есть только одно
неизвестное Ь— такое значение свободного члена, которое
позволяет перейти к детерминированному ограничению. Для
определения b подставим в вышеприведенное уравнение вместо J{b) ее
выражение:
~ ! -(*-"/
Po = J—т=е 2°2 db.
?0>/2я
Не останавливаясь на выводе, приведем формулу для
вычисления значения Ь, полученную Т. Я. Перингером и И. Ф.
Полуниным:
b=m+ko,
где m — математическое ожидание (среднее арифметическое значение) величины
Ь\ о — квадратическое отклонение величины Ь\ к — коэффициент, учитывающий
изменение параметра Ь в зависимости от различной вероятности событий
(табл. 137).
Зная значения ь, мы переводим стохастическую задачу к
обыкновенному детерминированному виду.
Обоснуем значение целевой функции. В связи с тем что в
данной задаче важно получить гарантированный суммарный
урожай зерновых (на продажу, подстилку и корм скоту), в
качестве критерия оптимальности примем минимум набора
урожая.
Рис. 26. Плотность распределения
составляющих вектора ограничений (Ь)
421

137. Значения коэффициента для & = ол/2 при 0?/>0?1
р<>
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1-2ро
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
-0,10
-0,20
-0,30
-0,40
-0,50
-0,60
-0,70
-0,80
-0,90
-1,00
а = ф-|(1_2р)
для функции Лапласа
3,000
1,164
0,906
0,733
0,595
0,477
0,371
0,273
0,179
0,089
0,000
-0,089
-0,179
-0,273
-0,371
-0,477
-0,595
-0,733
-0,906
-1,164
-3,000
*=aV2
4,2426
1,6461
1,2813
1,0366
0,8415
0,6746
0,5247
0,3861
0,2531
0,1259
0,0000
-0,1259
-0,2531
-0,3861
-0,5247
-0,6746
-0,8415
-1,0366
-1,2813
-1,6461
-4,2426
Исходя из рекомендуемых выше критериев оптимальности,
применяемых в задачах стохастического программирования,
проанализируем и выберем наиболее подходящий из них.
Пусть в качестве целевой функции выбрано математическое
ожидание величины линейной формы. Тогда функцию цели
математически запишем в виде
Z{=M\
( п Л
ZCjXj
1м .
> mm,
где М— знак математического ожидания; С;— случайный коэффициент,
учитывающий недобор урожая с 1 га посевов (/= 1, 2, ..., п).
Пользуясь правилом вынесения неслучайной величины за
знак математического ожидания, а также тем, что
математическое ожидание линейной функции равно той же линейной
функции от математических ожиданий аргументов, функцию
перепишем как
(
Z\=M\
y=i J y=i 7=1 У=1
Здесь cj —математическое ожидание (среднее
арифметическое значение) коэффициентов линейной формы, то есть матема-
422

тическое ожидание недобора урожая в планируемом году, которое
определяется как разность между многолетней средней
урожайностью и прогнозируемой урожайностью на планируемый год.
Поясним физический и экономический смысл данного
функционала (рис. 27).
Линии 1 и 2 показывают значения соответственно
прогнозируемого и среднего многолетнего валового сбора озимых и
яровых культур. Из рисунка видно, что в любой планируемый год
может возникнуть одна из трех ситуаций: недобор урожая
озимых и яровых положителен (случай 1), отрицателен (случай 2) и
равен 0 (случай 3). В первых двух случаях условие задачи
минимизировать величину недобора урожая озимых и яровых культур
приводит к тому, что прогнозируемая кривая 1 переместится в
положение 3, то есть произойдет увеличение фактического
валового сбора озимых и яровых культур.
Целесообразно не только «поднять» кривую валового сбора,
но и уменьшить ее колебания по годам, то есть добиться
стабильности валовых сборов зерновых.
Математически величину колебаний характеризует дисперсия.
Покажем, как изменится вид кривой прогнозируемого валового
сбора урожая озимых и яровых культур, если показателем
качества решения будет выбрана дисперсия линейной формы:
< п Л
Z2 = IA IcjXj
->min.
В этом выражении D — знак дисперсии, а с; и Xj имеют тот же
физический смысл, что и в целевой функции zj.
»!
I
U
h
'a mngtvd?L. - ¦¦ь^ - •--.; ~
1 ) * ¦*¦.
ty'
J&+
л
I
з: s:
1
•ass:
II
Годы
Рис. 27. Возможные пути получения урожая озимых и яровых зерновых культур
423

Учитывая правило нахождения дисперсии линейной
функции, приведенное уравнение Z2 можно переписать в виде
z?=a
' п ^
ICjXj
U=1 .
г i2
= S [xj\ DCj+1 ^XjXiKij ->min,
7=1 j<\
где Kjj — корреляционный момент величин с, и су.
Последнее выражение можно записать в более удобной
форме, заменив Dcj на cj и К1} на /yj/O, (^ — коэффициент
корреляции величин с,- и су):
Z2 = X <*у*у + 2 X ryGjOjXiXj -* min.
у=1 у<1
Минимизируя выражение Z2, мы уменьшаем размах
колебаний, и следовательно, кривая прогнозируемого валового сбора
озимых и яровых культур будет сглажена и займет положение 4
(см. рис. 27).
С экономической точки зрения наиболее выгодным
представляется вариант выбора такой целевой функции, которая
одновременно уменьшала бы недобор урожая и сглаживала его
колебания. Этого можно достичь, если показателем качества решения
задачи выступит линейная комбинация математического
ожидания и дисперсии линейной формы.
Функция цели в этом случае будет состоять из двух слагаемых:
Z3 = (aZj + pZ2) -> min,
где a и Р — некоторые коэффициенты, не равные нулю.
Преобразуем это уравнение, для чего разделим обе его части
на а. Получим
ь.
Введем обозначения
Тогда имеем
а а
Z-Z0; 1-я.
a a
Zq = (Zi + XZ2) -» min.
424

Выбор неизвестного коэффициента X зависит от конкретных
условий задачи. В ряде исследований он называется штрафом за
единицу дисперсии.
Подставляя в последнее уравнение значения Z\ и Z2, получим
целевую функцию в окончательном виде:
Z= ^CjXj+m
( " 9 9 ^
l^jXj+2yZruciGJxiXj
U=1 J<*
Для нее надо найти минимум.
Таким образом, задача стохастического программирования
сведена к детерминированной задаче нелинейного
программирования.
Рассмотрим пример по одному из районов Ивановской
области за пять лет (исходные данные и решение Т. Я. Перингера и
И. Ф. Полунина, изложение и обозначения наши).
Построение системы ограничений. Учитывая, что матрица
технико-экономических коэффициентов данной задачи
детерминирована, их определяют обычным способом. Например, затраты
труда в расчете на 1 га посевов зерновых определяют путем
деления объема затраченных трудовых ресурсов при возделывании
культуры на ее общую площадь (табл. 138).
138. Исходные значения технико-экономических коэффициентов
^Ограничения |
Культура
Потребность в
трудовых
ресурсах, чел.-ч
Объем

низированных работ,
усл. эт. га
Потребность в

денежно-материальных средствах,
руб. на 1 га
Потребность в
минеральных
удобрениях,
кг на 1 га
Озимая рожь, jc,
Овес, х2
1
1
8,02
8,63
9,64
7,25
107,0
82,0
110,0
78,0
По условию задачи размещения посевов озимой ржи и овса
правая часть системы ограничений считается случайной, то есть
(
она записывается в виде Р\
Л
a/f
и не может быть за-
l^jXj<bi\
ранее точно определена. Рассмотрим подробно процедуру
вычислений технико-экономических коэффициентов в правой
части и переход от вероятностной формы ограничений к
детерминированной. Из годовых отчетов за пять рассматриваемых лет
находим общую площадь, занятую посевами озимой ржи и овса.
За этот же период по годовым отчетам устанавливаем наличие
трудовых ресурсов (с учетом привлеченной рабочей силы),
техники, выделенных денежных средств и наличие минеральных
удобрений. Вычисляем среднее арифметическое значение ресур-
425

ca ty, а также среднеквадратическое отклонение о/ по формуле
Х№-Л/)2
1
Исходные данные и расчеты заносим в таблицу 139.
Для того чтобы свести систему вероятностных ограничений к
детерминированным, зададим вероятность выполнения каждого
неравенства: например, р№>0$5; PQ(2)>0,40; i>0(3)>0,60; ^о(4)-°>70;
i>0(5)>0,35.
Тогда систему ограничений для района в вероятностной
форме можно записать следующим образом:
1. P(xj+x2=15 032)>0,85;
2. P(S,02x{ + 8,63x2 < 132 354) > 0,40;
3. P(9,64jq +7,25x2 < 131 665) > 0,60;
4. P(l07xl + 82x2< 1 543 430) >0,70;
5. P(110x1 + 78x2< 1710 000) > 0,35;
6. *!>0;
7. x2>0.
Используя вышеприведенную формулу b=m+ko=b+ko, а
также данные таблицы 139, перейдем от системы вероятностных
ограничений к ее детерминированному аналогу.
Например, для ограничения по трудовым ресурсам:
6=132354; ?=0,2531 (при вероятности 0,40, табл. 139), а = 5169,
6=132 354+0,2531-5169=133662. Тогда общий вид этого
ограничения в детерминируемом выражении будет следующим:
ЪЩхх + Ъ?Ъх2<\ЪЪ(>(>г.
Учитывая, что первое ограничение по площади посева имеет
вид равенства, в детерминированный вид, исходя из закона
плотности распределения (рис. 28), оно трансформируется в два
условия с параметрами
?1=15032-1,0366-947=14 050;
^=15 032+1,0366947=16 014.
Тогда баланс площадей посева будет выглядеть так:
1. X!+x2>14 050;
2. хх+х2< 16 014.
426

139. Исходные и расчетные данные для вычисления значений ресурсов в ограничениях
Значение
ресурсов
*|
В,-В,
М)2
Вг
*i~*i
(*!-*$
Вг
Вз-В,
(ъ-в3)2
в,
в4-в4
(вА-в4)2
в5
в5-в5
(Bs-Bsf
1-й
14961
-71
5041
141586
9232
85229624
123519
-8146
66357316
1429090
-114340
13073635600
1456004
-253996
64513968016
2-й ~~1
16073
1041
1083681
129257
-3097
9591409
121311
-10354
107205316
1320330
-223100
4973610000
1564375
-145625
21206640626
Исходные годы
3-й | 4-й |
5-й
Площадь пашни под зерновыми
13415 16077 14632
-1617 1045
2614689 1092025
-400
160000
Трудовые ресурсы
126341 133438 131150
-6013 1084
36156169 1175056
-1204
1449616
Механизированные работы
126828 134515 152151
-4837 2850
23396569 8122500
Денежно-материальные
1557760 1719360
14330 175930
205348900 30951364900
20486
419676196
средства
1690640
147210
21670784100
Минеральные удобрения
1804825 1828532 1896264
94825 118532
8991780625 14049835024
186264
34694277696
I
75158
661772
658324
7717180
8550000
Ь
15032
132354
131665
1543430
1710000
О/
947
5169
11178
152100
169331

Исходя из этих расчетов, система ограничений в
детерминированной задаче будет следующей:
1. х{+х2> 14050;
2. х{+х2< 16 014;
3. 8,02х, + 8,63х2<133 662;
4. 9,64х1 + 7,23х2<128 836;
5. 107х! + 82х2< 1463 623;
6. 110х, + 78х2< 1775 400;
7.х,>0;
8. х2>0.
Целевую функцию Т. Я. Перингер и И. Ф. Полунин в данном
примере предложили задать в виде
/=1
у=1
2V2
.22
А
z = X Q*/ + XО*;+>J X W + X ауХу + 2 X rijVpjxixj
/=1
У = 1
У<1
->min.
В качестве значений с,- и Cj были приняты относительные
величины, определяемые отношением разности между
прогнозируемой (сп) и средней многолетней урожайностью культур (см) к
средней многолетней урожайности:
%) =
_?п__?м_
Расчеты данных величин показаны в таблице 140.
140. Исходные данные для вычисления коэффициентов целевой функции
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й
Недобор урожая озимой ржи с 1 га
в относительных величинах с,-
0,Ю8
0,123
0,085
0,101
0,026
Недобор урожая овса с 1 га
в относительных величинах, с,-
-0,2095
-0,0828
0,0267
0,2517
-0,1120
Принимая, что каждое из значений ch Cj может появиться в
любой год с равной вероятностью р^=-\ найдем
математическое ожидание величин с,- и Cj по формулам
/=1
»4?
5/=1
г;=1^о')=тХс/;
5 ... i 5
Cj=J.CjpV}=-J,Cj.
J=\ ЭУ=1
428

Так, например, согласно данным таблицы 140
~ 0,108+0,123+0,085+0,101+0,026
=0,0886;
~ -0,2095-0,0828+0,0267+0,2517-0,1120
С; = =- 0,0251 о.
Для определения значений а,^ была использована следующая
формула:
««л-^Кл-М^-1
|Х(С/(У)"С/(Л)
В результате расчетов были получены следующие значения:
о, = 0,0436, о> = 0,1575.
Для определения значения гу была применена формула
nj=
WCi-cMCj-Cj)^ _ZXfi,-q)(Cj-Cj)
OjOj
Расчет коэффициента г у показан в таблице 141.
141. Исходные данные для расчета г,:
Год
1-Й
2-Й
3-й
4-й
5-й
I
*/-?, 1
+0,0194
+0,0534
-0,0036
+0,0124
-0,0816
0,0036
г.. — -
с ,-с,
-0,1844
-0,0577
+0,0518
+0,2769
-0,0868
_-П1П4Я
(Ci-ci)(c,-c,)
-0,0036
-0,0031
-0,0002
+0,0034
+0,0071
0,0036
'•> 50,04360,1575
Вычислим и запишем окончательное значение целевой
функции, изменяя знаки коэффициентов на обратные:
Z=-0,0886x1+0,02518x2 + 0,0019xf+0,0248x|+0,00144x1x2-^min.
429

Рис. 28. Графическая иллюстрация решения задачи стохастического
программирования
Поскольку задача имеет только две переменные, она может
быть решена графическим способом (рис. 28). Областью
допустимых решений задачи является заштрихованный многоугольник.
Линии уровня целевой функции Z\ представляют собой
эллипсы; их удобно строить, используя теорию инвариантов. С
уменьшением Zx размеры эллипсов уменьшаются. Оптимальное
решение оказывается в точке А пересечения первой и четвертой
граничных линий. Для нахождения значений величин х{ и х2
необходимо решить систему уравнений:
1. Х!+х2= 14 050;
4. 9,64;q + 7,23х2=128 836.
Получаем ^ = 11 309, х2 = 2741.
Следовательно, сумма площадей посевов озимой ржи и овса
составляет 14 050 га, а фактически в планируемом году она равна
15 032 га. Разница между результатом решения и фактической
цифрой составляет 982 га, то есть она равна значению ко.
Чтобы снять это несоответствие, необходимо оставшуюся
площадь разделить пропорционально между посевами ржи и
430

овса. Другими словами, необходимо решить систему уравнений
х2 _ 2741 .
х{ 11309'
х1+х2=15032.
Определяем xj=12100 и х2=2932. Мы получили площади
посевов, которые являются результатом решения данной задачи.
Стохастическая двухэтапная модель оптимизации
производственной структуры хозяйства. Данная модель достаточно
хорошо описана в литературе (Математическое моделирование
экономических процессов в сельском хозяйстве/ Под ред.
А. М. Гатаулина. — М.: Агропромиздат, 1990. — С. 390—400).
Учитывая, что она содержит в себе неизвестные и
ограничения, характеризующие использование земель, ее можно
применять при разработке агроэкономического обоснования
проектов землеустройства.
При построении модели пользуются понятием исхода, под
которым понимают массив информации, описывающий
эффективность производства, состав земельных угодий и отраслей при г-
комплексе погодных условий. Каждому r-му исходу
соответствует своя вероятность Р2.
При решении практических задач число исходов обычно
принимают равным трем, что соответствует лучшим, средним и
плохим (неблагоприятным) погодным условиям.
Постановка задачи заключается в следующем. Требуется
определить такие посевные площади сельскохозяйственных культур,
размеры поголовья скота и других отраслей, которые позволят
обеспечить пропорциональное, сбалансированное ведение
хозяйства и получить максимум математического ожидания
прибыли при любых природных и экономических условиях.
Процесс принятия оптимального решения данной задачи
условно разбивается на два этапа. На первом этапе выбирается
оптимальный план х=(хь хъ ..., хп), где Xj— посевные площади
культур, поголовье скота. Этот план принимается до выяснения
исхода. Его считают стабильным, не изменяющимся в
зависимости от конкретных исходов. Действительно, структура посевных
площадей, поголовье скота и ряд других важных плановых
показателей формируются до того, как станут известны реальные
условия того или иного года. Эти показатели не могут подвергаться
частым изменениям в расчете ца ожидаемые случайные исходы.
Вместе с тем решение, принимаемое на первом этапе, должно
учитывать перечень возможных исходов и быть приемлемым для
каждого из них.
На втором этапе, когда исход известен, принимается решение
431

о наилучшем использовании имеющихся ресурсов —
распределении посевов и продукции по способам использования,
корректировке норм и рационов кормления скота и других с целью
достижения наивысшего эффекта в сложившихся условиях.
Таким образом, для каждого r-го исхода должен быть выбран
вектор переменных уг= (хь х2, ..., х/г), определяющий оптимальную
«тактику».
Двухэтапная стохастическая модель задачи с тремя исходами
имеет следующую блочную структуру (табл. 142).
142. Схема двухэтапной стохастической задачи
^^^^ Переменные
Ограничения ^*"^^^
Общие ограничения по
структуре производства
По условиям
производства при I исходе
По условиям
производства при II исходе
По условиям
производства при III исходе
Целевая функция
Переменные
первого
этапа
(основные)
Ло
Л
Л
А
Переменные второго этапа
I исход
У.
II исход
III исход
Уу
А\
А2
Аз
РХС
Р2С
РгС
Тип
ограничения
и объемы
констант
<в0
В
В
В
-»тах
Система переменных данной задачи делится на две группы.
Переменные первой группы (первого этапа) включают в себя
посевные площади (без детализации по способам использования:
на товарные цели, семена, фураж и т. д.), площади других
сельскохозяйственных угодий, поголовье скота и птицы и т. д.
Переменные второй группы (второго этапа) вводятся для
каждого исхода отдельно. Набор этих переменных для всех исходов
одинаков и включает в себя:
1. Посевные площади культур и площади естественных угодий
с детализацией по способам использования продукции.
2. Поголовье скота и птицы с дифференциацией по нормам
кормления. Необходимость этой группы переменных вызвана
тем, что нормы кормления, а соответственно и продуктивность
животных, могут варьировать в зависимости от обеспеченности
кормами при разных исходах.
3. Объем дополнительно привлекаемых ресурсов (покупка
удобрений, кормов, привлечение временной рабочей силы и др.).
4. Объем сверхплановой реализации продукции, ц.
5. Стоимостные показатели: валовая, товарная продукция,
производственные затраты, затраты на товарную продукцию и др.
Систему ограничений модели разделяют на две части: общие
по структуре производства, охватывающие переменные первого
этапа, и по условиям производства при различных исходах.
432

143. Схема числовой стохастической модели оптимизации производственной структуры
Ограничения
1
Основной блок


новые
*\
2

Многолетние
травы
3


ровы
4


лодняк
хл
5
Блок I исхода
Зерновые

товарные jcs
6

фуражные *Л
7
Многолетние травы
на
сено jc7
8
на
зеленый корм хк
9
Привлечение

дополнительной рабочей
силы *„
10
мдз
11

Увеличение норм
кормов
*„
12
Сверх плана
зерно
13

молоко хп
14
1. Пашня, га
2. Структура посевных
площадей
3. Структура стада
1
а'
1
-а"
4. Затраты труда, чел.-ч
5. Денежно-материальные
затраты, руб.
6. Корма, всего, ц корм. ед.
7. В том числе
концентрированные, ц корм.ед.
8. Увеличение норм
кормления скота (коров), ц корм. ед.
9. Распределение площадей 1
зерновых, га
10. Распределение площадей
многолетних трав, га
11. Производство зерна, ц
12. Производство молока, и
Р' ~Р"
SjJ)—W> wr~
а<1> а*1* а<'>
_V(D _V(D _v0>
ad)
~=T~
а
а
а
а
а
-Я
а
а
а
а
-1
а
а
-1
-1
v(«)
-1
-1
13. Затраты труда, чел.-дн.
14. Денежно-материальные
затраты, руб.
15. Корма, всего, ц корм. ед.
16. В том числе
концентрированные, ц корм.ед.
17. Увеличение норм
кормления скота (коров), ц корм. ед.
18. Распределение площадей
зерновых, га
19. Распределение площадей
многолетних трав, га
20. Производство зерна, ц
^ 21, Производство молока, ц
а
а
а
а
а
а
а
а
-я
й Критерий оптимальности — 0 0
математическое ожидание
чистого дохода, руб.
Р\с{ Pic1
Р\с1
Р\с1
-Р\
Р\С Р\С Р\С

Продолжение
Ограничения
1
Блок II исхода
Зерновые

товарные х1Л
15

фуражные дг,<
16
Многолетние травы
на сено
17
на зеленый
корм х„
18
Привлечение
дополнительной
рабочей силы х|к
19
мдз
Х\9
20
Увеличение
норм
кормов х2()
21
Сверх плана
зерно
22
молоко
х„
23
В,
24
1. Пашня, га
2. Структура посевных
площадей
3. Структура стада
4. Затраты труда, чел.-ч
5. Денежно-материальные
затраты, руб.
6. Корма, всего, ц корм. ед.
7. В том числе
концентрированные, ц корм. ед.
8. Увеличение норм
кормления коров (скота), ц корм. ед.
9. Распределение площадей
зерновых, га
10. Распределение площадей
многолетних трав, га
11. Производство зерна, ц
12. Производство молока, ц
= В
<0
<0
= 0
<0
<0
<0
= 0
= 0
= G
13. Затраты труда, чел.-дн.
14. Денежно-материальные
затраты, руб.
15. Корма, всего, ц корм. ед.
16. В том числе
концентрированные, ц корм. ед.
17. Увеличение норм
кормления скота (коров), ц корм. ед.
18. Распределение площадей
зерновых, га
19. Распределение площадей
многолетних трав, га
20. Производство зерна, ц
21. Производство молока, ц
а<2>
_v<2>
_V(2)
-1
а(2)
_у(2>
_у<2)
-1
n.(2>
_v(2)
а(2)
_v(2)
-1
а
а
а
-1
-1
-1
Критерий оптимальности —
математическое ожидание
чистого дохода, руб.
~р^ р^ р^ р^~
-1
= 0
<0
<0
<0
= 0
= 0
= е
л2_
-pi
PlC
PlC
PlC

Общие ограничения включают условия: по площади
земельных угодий; структуре посевных площадей; размерам и структуре
поголовья скота.
Коэффициенты при переменных в этих ограничениях
образуют матрицу А0.
Ограничения по условиям производства при различных
исходах записывают отдельно. Состав их во всех блоках аналогичен.
Выделяются следующие группы ограничений:
по балансу посевных площадей культур и площадей
естественных угодий — при помощи этих ограничений имеющаяся
площадь у'-й культуры распределяется по способам
использования;
по балансу поголовья скота — имеющееся поголовье у-го вида
скота разделяется на группы с разными нормами кормления;
по использованию трудовых ресурсов;
по балансу кормов;
по доле групп кормов в годовых рационах скота;
по выполнению плана реализации товарной продукции;
по формированию стоимостных показателей.
Структура матрицы экономико-математической модели
задачи приведена в таблице 143.
Из таблицы видно, что модель данной задачи для простоты
учитывает два исхода и имеет блочную структуру.
Решение задачи позволяет получить значения переменных
основного блока, а также блоков двух исходов, например при
благоприятных и неблагоприятных стечениях обстоятельств. Анализ
решения, полученного с использованием двухэтапнои задачи
стохастического программирования, позволит выбрать
наилучший экономический вариант с точки зрения вероятных
природных и экономических условий, которые могут сложиться на
конкретном сельскохозяйственном предприятии.
Контрольные вопросы и задания
1. Каковы особенности линейно-динамических моделей?
2. Каков математический смысл параметрического программирования?
3. В чем сущность стохастического программирования?
4. Что такое одноэтапные и двухэтапные стохастические модели?

Раздел VI
ОСНОВЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
Глава 19
ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
19.1. ПОНЯТИЕ ИНФОРМАЦИИ И ТРЕБОВАНИЯ,
ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К НЕЙ
В управлении земельными ресурсами существенное значение
имеет информационное обеспечение, особенно при разработке
проектов землеустройства, позволяющих рационально
организовать территорию.
При разработке землеустроительных проектов необходимо
иметь достоверную, полную и точную информацию,
характеризующую и отражающую процессы управления земельными
ресурсами и связанные с ними виды хозяйственной деятельности
землевладельцев и землепользователей. Даже самый
совершенный метод разработки проектов землеустройства ни к чему
реальному не приведет, если информация, применяемая при
решении задач, несовершенна. Чем точнее и качественнее исходные
данные, тем лучше результат.
Поэтому процесс управления всегда связан с организацией
информационного обеспечения, включающей сбор, хранение,
обработку и использование информации о состоянии и динамике
землевладений и землепользовании. Научно обоснованное
решение этих вопросов основывается на современной теории
информации.
Классическая теория информации сформировалась на
основе фундаментальных исследований Н. Винера, К. Шеннона,
А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, А. А. Харкевича и др. Она
опирается на результаты исследований математической
статистики, теории вероятностей. Новый импульс она получила в
связи с развитием кибернетических понятий, общей теории
систем, системного анализа, теории управления и др. С
формированием кибернетики как науки об общих законах управления
теория информации стала рассматриваться как отдельный
раздел этой науки.
В кибернетике информация рассматривается как совокупность
сведений о состоянии подсистем и элементов некоторой управ-
436

ляемой системы, происходящих в ней процессах, ее поведении в
целом. В общем, под информацией понимают все данные,
являющиеся объектом хранения, передачи и преобразования.
Землеустроительная информация — это особый вид данных
(сведений), которые характеризуют состояние подсистем и
элементов управляемой системы землевладения
(землепользования), а также связанных с ними систем организации
производства и видов деятельности.
Решение любой экономико-математической задачи в
землеустройстве связано с большим количеством информации. Если для
ее решения имеется вся необходимая информация, можно
сказать, что задача информационно обеспечена.
Информационное обеспечение моделирования при решении
землеустроительных задач проходит следующие этапы.
1. Получение исходной информации. Осуществляется на
основании детального изучения объекта землеустроительного
проектирования (сельскохозяйственного предприятия, системы
землевладений и землепользовании, участков земли и др.).
Конкретным выражением этого этапа при составлении проектов
внутрихозяйственного землеустройства являются, например,
подготовительные работы, включающие как основную составную часть
землеустроительное обследование территории и сбор
необходимой информации.
2. Обработка информации, ее анализ и оценка. Производятся в
камеральных и полевых условиях. Информация приводится к
виду, пригодному для дальнейшего использования. Примером
может служить корректировка планово-картографического
материала для разработки проектов землеустройства или оценка точности
имеющейся информации методами математической статистики.
Результатом анализа и оценки материалов являются акты и
чертежи землеустроительного обследования территории, данные
подготовительных работ, а также предварительные соображения
об организации территории.
3. Подготовка информации для решения землеустроительных
задач. Определяются показатели, используемые при
землеустроительном проектировании: урожайность сельскохозяйственных
культур, продуктивность животных, затраты на производство
продукции, объемы ресурсов, различные стоимостные
показатели (цена, себестоимость и т.д.). Объем и точность информации
при этом должны определяться видами задач, которые отражают
существующий порядок планирования и проектирования
использования земель. Результатом данного этапа является
разработка задания на проектирование.
4. Переработка информации в процессе решения задач.
Производится с использованием экономико-математических методов
моделирования. Завершается разработкой выходных документов,
позволяющих принимать землеустроительные решения.
437

Оперирование информацией графически может быть
представлено следующим образом (рис. 29).
Развитие информационно-вычислительных систем и
возрастание объема информации в землеустройстве обусловили
существенные изменения в организации ее базы. Концентрация
информации привела к созданию централизованных и
защищенных фондов, состоящих из множества взаимосвязанных
массивов, предназначенных для использования различными
потребителями при решении задач с помощью АСУ. Такие
информационные фонды получили название банков или баз
данных. Эффективное функционирование банка (базы) данных
предполагает наличие комплекса ЭВМ и соответствующего
программного обеспечения. Банки данных современных
информационно-вычислительных систем автоматизированные.
При разработке автоматизированных банков данных в
землеустройстве реализуются следующие принципы:
выделение банка данных как самостоятельного, относительно
независимого от решаемых задач элемента информационной
системы;
многофункциональность, возможность решения множества
классов задач без существенной реорганизации массивов
информации и программного обеспечения;
доступность для пользователей;
возможность сравнительно легкого изменения структуры;
обеспечение защиты данных;
возможность стыковки с другими банками и базами данных;
обеспечение контроля достоверности информации
программными методами.
Большое значение для решения землеустроительных задач
стали иметь географические и земельно-информационные
системы (ГИС и ЗИС). Это системы, включающие определенные
технические средства, программное обеспечение и совокупность
процедур, предназначенных для сбора, хранения, обработки и
воспроизведения большого объема графических и тематических
Объект
землеустроительного
проектирования
Получение
исходной
информации
исходная
информация
Обработка

информации, ее
анализ и
оценка

Подготовка
информации для
решения
задачи
выходная (воздействующая)
входная
информация
ЭВМ

Переработка

информации
информация
Рис. 29. Основные этапы информационного обеспечения
438

данных, имеющих пространственную привязку. Их основу
составляют электронные карты (планы) местности, базирующиеся
на цифровых моделях рельефа (ЦМР), характеризующих
трехмерное расположение объектов в пространстве путем
присвоения им плановых и высотных координат (X, Y, Z).
Требования, предъявляемые к информации.
Экономико-математические методы базируются на большом объеме информации и
предъявляют к ней определенные требования.
1. Землеустроительная информация должна быть полной. При
получении необходимых сведений нельзя пользоваться
единичными и случайными данными. Необходимо изучить всю
совокупность относящихся к рассматриваемому вопросу фактов без
исключений.
Если для обычных землеустроительных расчетов достаточно
отдельных данных и рекомендаций, то применение экономико-
математических методов и моделирования в землеустройстве
требует учета всех сведений в широком пределе изменения
параметров.
2. Землеустроительная информация должна быть достоверной
и существенной. Особенности и зависимость сельского хозяйства
от природных и климатических условий вызывают
необходимость измерения степени возможности различных случайных
результатов. Информация, полученная и обработанная на
основании теории вероятности, позволяет предвидеть, как случайные
события будут протекать в дальнейшем.
3. Землеустроительная информация должна быть
своевременной и оперативной. Только полученные вовремя необходимые
данные свидетельствуют о современном состоянии объекта, могут
быть надежными и достоверными, позволяют правильно
принимать решения. Например, не использованные вовремя планово-
картографические данные быстро устаревают и требуют при
составлении проектов землеустройства корректировки, для чего
используется полевое землеустроительное обследование территории.
4. Применение математических методов и моделирования
предъявляет требования не только к качеству и количеству
получаемой информации, но и к формам ее предоставления. Это
объясняется большим количеством сведений, их
несопоставимостью, трудностью и громоздкостью расчетов. В связи с этим
информация должна быть представлена в виде, удобном для
дальнейшего использования. Для этих целей с успехом могут быть
применены производственные функции, составленные на
основе корреляционно-регрессионного анализа.
5. Землеустроительная информация должна быть
экономичной. Затраты на сбор, обработку, передачу и хранение
информации по возможности должны быть минимальными.
К системе информационного обеспечения предъявляются
следующие требования:
439

достаточность информации для решения функциональных
задач управления;
информационная совместимость различных задач, уровней
управления, совместимость с внешними системами,
взаимодействующими с данной системой;
гибкость и возможность развития системы информационного
обеспечения с учетом изменений в системе управления;
возможность реализации принципов «безбумажной
технологии» при одноразовом вводе и многократном использовании
информации, минимальном дублировании ее в хранимых и
обрабатываемых массивах и др.
Землеустроительная информация многообразная и очень
сложная, поэтому она подразделяется на различные виды, а для
ее сбора используют различные источники.
19.2. ВИДЫ И ИСТОЧНИКИ ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНОЙ
ИНФОРМАЦИИ
Землеустроительная информация, используемая при
математическом моделировании, подразделяется на
геоинформационную, отчетную, плановую, проектировочную, нормативную,
корректирующую и научную.
Геоинформационные данные — это сведения, содержащиеся в
географических и земельно-информационных системах. При их
отсутствии пользуются данными аэрофотогеодезических, топог-
рафо-геодезических и других обследований и изысканий,
касающихся изучения Земли (почвенных, геоботанических,
эрозионных и т.д.). Источниками этой информации являются прежде
всего материалы различных съемок и обследований, имеющиеся
в предприятиях, учреждениях и организациях
землеустроительного и геодезического профиля.
Отчетная информация характеризует обеспеченность объектов
землеустройства земельными и другими ресурсами и выражает
результаты их хозяйственной деятельности. К отчетной
информации относятся данные, характеризующие состав и площади
угодий, качество земель хозяйств, обеспеченность основными и
оборотными фондами, число работников, занятых в
производстве, наличие техники, урожайность сельскохозяйственных
культур, продуктивность животных, себестоимость, рентабельность
производства продукции и др.
Источниками отчетной информации являются годовые
отчеты сельскохозяйственных предприятий, земельно-учетные
данные регистрационных и кадастровых книг, отчеты о
распределении земель по землепользователям и земельным угодьям,
материалы текущей отчетности сельскохозяйственных предприятий,
документы и записи оперативного и бухгалтерского учета хо-
440

зяйств, данные автоматизированной системы земельного
кадастра, статистических и сельскохозяйственных органов, материалы
обследований и изысканий.
Отчетная информация может быть использована для анализа
сельскохозяйственного производства, выявления определенных
тенденций и взаимосвязей организации производства и
территории, построения производственных функций.
Основными методами получения отчетной информации и ее
обработки являются экономико-статистические. При этом
используются выборки, определяются статистические величины
(средние, дисперсии, коэффициенты вариации и др.),
составляются различные группировки, ряды динамики и производится их
выравнивание. Отчетную информацию контролируют по
первоисточникам.
Плановая информация характеризует перспективные данные,
используемые при составлении экономико-статистических
моделей, и носит директивный характер. Это сведения,
определяющие направление развития хозяйства, объемы производства
продукции различных видов по плану и сверх плана (госзаказ),
объемы строительства, мелиорации, данные о планируемой структуре
посевных площадей, урожайности сельскохозяйственных культур
и продуктивности животных, организации кормовой базы.
Источниками плановой информации являются задания на
составление проектов землеустройства, утвержденные
бизнес-планы, проекты строительства различных объектов, сооружений,
животноводческих комплексов, оросительной сети, материалы
инвестиционных проектов, данные бюджетов различных
уровней, определяющих размеры средств, авансируемых на
мелиорацию, борьбу с эрозией.
Плановая информация может быть получена в
соответствующих администрациях сельскохозяйственных и
землеустроительных органов.
Проектировочная информация включает сведения, полученные
при составлении проектов землеустройства традиционными
методами, а также данные схем землеустройства,
градостроительных схем и проектов, материалов землеустроительных
обследований, пожелания землевладельцев и землепользователей.
Нормативная информация используется непосредственно для
составления числовой, расширенной
экономико-математической модели задачи и расчета различных коэффициентов. Она
представляет собой нормативы затрат труда,
денежно-материальных средств на единицу производимой продукции, нормы
внесения удобрений, высева семян, кормления, содержания
питательных веществ в единице корма, затраты на
трансформацию и др.
Источниками нормативной информации являются
технологические карты по отдельным сельскохозяйственным культурам,
441

отраслям, производственным операциям, а также специально
разработанные нормативные данные, полученные на основании
обследований и экспериментов.
Плановая, проектировочная и нормативная информация
может быть подготовлена с использованием не только
традиционных методов, но и путем построения производственных
функций, решения частных экономико-математических задач.
Научная обоснованность применяемых нормативов во многом
определяет результаты решения землеустроительных проблем.
Корректирующая информация представляет собой новые
сведения, получаемые при реализации экономико-математической
модели, корректировке результатов ее решения, а также в ходе
осуществления проектов землеустройства и авторского надзора.
Такая информация требует внесения изменений либо во входные
данные модели, либо в ее конечные результаты. Множественная
корректирующая информация может оказать существенное
влияние на структуру модели и повлечь за собой ее полное
изменение.
Для экономико-математического моделирования может быть
использована и научная информация, получаемая в результате
изучения литературных источников, научных отчетов, докладов и
сообщений, материалов научных конференций и симпозиумов.
19.3. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ ЗАДАЧИ. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ
ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Основой числовой модели экономико-математической задачи
является матрица, содержащая основную информацию о
моделируемом объекте (явлении или процессе).
Матрица — это специальная таблица, содержащая смысловые
или кодовые обозначения функции цели, переменных и
ограничений, их числовое выражение в виде конкретных
коэффициентов и ограничений. Каждой экономико-математической модели
соответствует определенное расположение информации. При
этом соблюдается установленный порядок заполнения и
формирования матрицы.
Рассмотрим, как формируются матричные модели задач,
решаемых симплексным методом, и каков состав коэффициентов в
них.
В экономико-математической задаче, решаемой симплексным
методом, применяют два наиболее общих способа расположения
элементов в матричной модели: прямоугольный и блочный.
Матричная модель с прямоугольным расположением
информации представляет собой обычную таблицу с различным
соотношением значащих и нулевых элементов (разной
заполненности) (табл. 144).
442

144. Схема матричной модели с прямоугольным расположением информации
Номер
ограничения
1
2
/
т
Z
*х
Оц
оц
°п
Ота
С\
Переменные величины
*2
*i
0\2 0Xj
Оц a2j
0,7 Otj
Oml Omj
сг
CJ
xn
0\n
02n
Oin
Omn
Cn
Тип
ограничений
=
<
>
—>
Объем
ограничений
ii
Ъ
bt
bm
max (min)
Матричная модель с блочным расположением информации —
это таблица, составленная как бы из прямоугольных матриц,
обычно расположенных по диагонали. Каждому из блоков в экономико-
математической задаче соответствуют свои значения правой части
(столбец, коэффициенты которого в большинстве случаев
указывают на объем ограничений) и строки, содержащие коэффициенты
целевой функции. Объединение блоков в единую
экономико-математическую модель обеспечивается связующим блоком.
Приведем схему записи матричной модели
экономико-математической задачи с блочным размещением информации
(табл. 145).
145. Схема модели с блочным размещением информации (для двух блоков)
Номер

ограничений
1-й блок
2-й блок
Тип

ограничений
Объем

ограничений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Z
д(1)
д(1)
И21
/.(1)
/7<1)
"12
д(1)
"22
д(1)
"32
-
-
—
—
1
—
"13
д(1)
"23
д(1)
"33
—
-
—
—
—
1
с<'>
—
—
-
д(2)
"14
д(2)
"24
«J?
1
—
—
с<2>
—
—
—
ag>
<®
д(2)
"35
—
1
—
г(2)
С5
-
-
-
д(2)
"16
"26
д<2>
"36
—
—
1
42>
<
>
=
<
>
=
<
>
=
-
Ц"
Щ>
ьу
Г
ь?
ь\2)
Ъ\
h
Ъъ
max (min)
В каждом отдельном случае базовая
экономико-математическая модель может усложняться в той или иной степени путем
введения ограничений, накладываемых на использование
отдельных видов ресурсов или формирующих дополнительные условия
и требования. Но при этом следует иметь в виду, что
оптимизационные землеустроительные задачи могут успешно решаться
методами линейного программирования лишь в том случае,
когда их содержание вписывается в такие матричные модели,
которые могут быть приведены к базовой.
Таким образом, при разработке основной матрицы экономи-
443

ко-математической модели можно выделить следующие группы
исходных данных.
1. Технико-экономические коэффициенты, несущие
основную информацию о решаемой задаче, д,у.
2. Планируемые объемы производства и размеры
хозяйственных ресурсов (земельных, материальных, денежных, трудовых), bh
3. Коэффициенты целевой функции задачи, с,.
В матричной модели экономико-математических задач
коэффициенты каждого условия (ограничения) записывают отдельной
строкой. При этом коэффициент ац указывается в столбце
соответствующей переменной xg. Следовательно, ау одинаково
относится как к строке (строке-ограничению), так и к столбцу (столбцу
переменной). Элементы, которые в матричной модели несут
определенную экономическую информацию в числовом выражении,
принято называть технико-экономическими, обозначая их я,у.
Иногда технико-экономические коэффициенты называют
технолого-экономическими.
Технико-экономические коэффициенты в зависимости от
назначения подразделяются на нормативные, пропорциональности
и связи.
Нормативные коэффициенты по экономическому содержанию,
в свою очередь, делятся на коэффициенты по уровню затрат и
уровню производства продукции.
Коэффициенты по уровню затрат представляют
собой объем различных ресурсов, расходуемых на производство
единицы продукции. К ним относятся: нормы высева, кормления
скота, внесения органических и минеральных удобрений в расчете
на 1 га посевов, поливные нормы, затраты труда и денежных
средств на 1 га и др. Основой для их расчета являются
технологические карты, а также фактические или прогнозируемые затраты,
полученные с использованием производственных функций.
Коэффициенты по уровню производства
разрабатываются на основании технологических карт, а также в
результате обработки отчетных данных методами
математической статистики. Основными коэффициентами по уровню
производства являются урожайность сельскохозяйственных культур,
продуктивность скота и птицы и т. д.
При получении нормативных технико-экономических
коэффициентов могут быть использованы специально разработанные
нормативные данные для определения природных и
экономических условий хозяйств.
Все нормативные коэффициенты как по уровню
производства, так и по уровню затрат могут быть выражены в прямом
(физическом, натуральном) виде, а также как производные
величины. Например, затраты кормов на производство
животноводческой продукции можно выразить и в физической массе, и в
производных величинах (по содержанию питательных веществ).
444

Коэффициенты пропорциональности вводятся в матрицу по
дополнительным и вспомогательным ограничениям с целью
обеспечения пропорциональности развития взаимосвязанных
отраслей (при формировании ограничений сельскохозяйственных
культур по предшественникам, доле кормов в рационе
кормления, условиям компенсации утраченной пашни при
трансформации).
Например, если обозначить через х{ площадь озимых культур,
а через х2 площадь многолетних трав, занимающих в севообороте
два поля, то ограничения по предшественнику озимых можно
записать так:
х{ < 0,5х2, или хх - 0,5х2 ^ 0.
Значение ^ = 0,5 в данном случае является коэффициентом
пропорциональности.
Коэффициенты связи обозначают связь между получаемым
значением переменной и объемом ограничения. Их используют
при построении ограничений по гарантированным объемам
производства, размерам отраслей (когда требуется ограничить
размеры отрасли Ху< bt или предусмотреть ее развитие х,у> Ь,).
В большинстве случаев коэффициенты связи равны единице.
Для коэффициентов, записанных по строкам ограничений,
устанавливают единицы измерения в соответствии со
следующими правилами о соизмеримости элементов матрицы.
Размерность каждого /-го ограничения определяется
единицами измерения его правой части bh Например, Ъ\ означает запас
трудовых ресурсов в человеко-днях. Следовательно, размерность
ограничения по трудовым ресурсам будет также в человеко-днях.
Размерность любого коэффициента аф входящего в /-е
ограничение, должна быть равна размерности, принятой для этого
ограничения (размерность bj), деленной на размерность xj. Если
для Xi принята размерность в гектарах, а для Ь{ — в человеко-
днях, то для а\\ размерностью являются человеко-дни,
отнесенные на гектар. В случае, если х2 представляет головы скота,
размерность ап будет выражена в человеко-днях, отнесенных на
голову скота.
Размерность всех слагаемых, входящих в i-e ограничение,
должна равняться размерности bh В равенстве апх{ + д12х2 = Ьх
размерность
чел.-дн. га чел.-дн. -гол.скота
+ = чел.-дн .
га гол. скота
Установленные размеры ресурсов и гарантированные объемы
производства во многом определяют результаты решения земле-
445

устроительной задачи. Основными хозяйственными ресурсами
являются земельные, трудовые, денежные, материальные.
Данные о земельных ресурсах включают в себя сведения об
общей площади землевладения или землепользования, составе,
площадях, качестве и местоположении земельных угодий,
возможности их трансформации.
Они могут быть получены из различной отчетной земельной
документации, а также на основании специальных обследований
(землеустроительных, почвенно-эрозионных) и проведенных
работ по бонитировке почв и экономической оценке земель. Как
правило, откорректированные земельно-учетные данные
получают в процессе подготовительных работ, проводимых при
составлении проектов землеустройства.
Размеры трудовых ресурсов определяют, исходя из наличия
трудоспособных в хозяйстве, а также объемов выполненных ими
работ. При необходимости размеры трудовых ресурсов
дифференцируют по напряженным периодам, производственным
подразделениям хозяйств и населенным пунктам.
Данные о динамике трудовых ресурсов могут быть получены
на основании годовых балансовых отчетов за ряд лет, материалов
периодической отчетности сельскохозяйственных предприятий
по труду, а также справок и сведений, полученных в сельской
администрации.
При построении ограничений по механизированным работам
используют сведения о наличии техники в хозяйстве, ее
производительности, фактически выполненном объеме работ в га усл.
пахоты или эт. га. Перспективный объем механизированных
работ определяют с учетом возможных поставок техники и
повышения производительности труда.
Объемы денежно-материальных ресурсов в хозяйствах
устанавливают на основании бизнес-планов,
производственно-финансовых планов или других бухгалтерских сведений.
Объемы вносимых удобрений определяют в соответствии с
возможностями хозяйства приобрести минеральные удобрения и с
учетом развития животноводства (для органических удобрений).
При решении землеустроительных задач с известным
поголовьем животных и его размещением на фермах определяют
потребность в кормах, обеспечивая их производство. При этом
учитывают возможность приобретения или продажи кормов.
При решении многих землеустроительных задач приходится
формировать ограничения, обеспечивающие выполнение плана
продажи продукции государству или другим заказчикам.
Основой для построения таких ограничений является объем валовой и
товарной продукции, установленный в хозяйственных договорах
на соответствующий год или в задании на составление проекта
землеустройства.
Каждая землеустроительная задача требует расчета различных
446

технико-экономических коэффициентов и производственных
ресурсов, что объясняется спецификой и многообразием
решаемых вопросов.
Коэффициенты целевой функции или стоимостные оценки
переменных тесно связаны с определением критерия оптимальности
поставленной задачи. Для их расчета используют показатели
стоимости продукции с единицы площади посева и 1 гол. скота,
данные о затратах на производство продукции или осуществление
различных мероприятий и другие экономические показатели.
Коэффициенты целевой функции могут быть выражены в
натуральных и стоимостных единицах.
Числовое значение критерия оптимальности при этом
определяется как сумма произведений переменных, полученных в ходе
решения задачи, на соответствующие коэффициенты целевой
функции.
Для расчета технико-экономических коэффициентов
производственных ресурсов сельскохозяйственных предприятий и
объемов производства используют методы анализа
хозяйственной деятельности, ее динамики и тенденций, составляют
технологические карты, применяют экспертные оценки.
Для научно обоснованного определения параметров
землеустроительных моделей строят производственные функции.
19.4. СИМВОЛИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ
При разработке базовых, структурных
экономико-математических моделей, сводящихся к задачам математического
программирования, с целью сокращения объемов записываемой
информации, облегчения и ускорения понимания задачи
используют формализованное представление в ней условий и критерия
оптимальности. Для этого применяют различные символические
обозначения.
С формальных позиций безразлично, какими символами будут
обозначаться отдельные параметры модели, главное, чтобы они
имели однозначный смысл и пояснения. Однако такой подход не
способствует хорошему восприятию записей моделей, так как
приходится постоянно отвлекаться на поиски толкования
символов. Поэтому целесообразно наиболее часто встречающиеся
параметры моделей обозначать общепринятыми символами и
индексами и только в отдельных случаях привлекать новые
символы с дополнительными пояснениями.
При моделировании оптимизационных землеустроительных
задач в основном используются общепринятые в аграрной
экономике символы. Тем не менее часть из них имеет некоторые
особенности, которые будут рассмотрены ниже.
447

Общепринятыми индексами и символами при моделировании
землеустроительных экономико-математических задач являются
следующие.
Индексы:
п — общее число переменных (неизвестных) в задаче,
обозначающих искомые размеры площадей, отраслей, видов
деятельности и т. д.;
j — номер переменной (порядковый номер отрасли, вида
деятельности);
т — общее число ограничений, выражающих условия
решения задачи, баланс ресурсов, производство продукции и т. д.;
/ — порядковый номер ограничений.
В случае, когда необходимо объединить переменные по видам
деятельности, привлекают символ j с индексами,
обозначающими подмножество переменных, объединяемых по какому-либо
признаку (j\,J2 и т.д.). В экономико-математических моделях
задач при записи условий указывают, что j e Q или другому
подмножеству (знак е —принадлежит), и пояснения индексации
сводятся только к групповому индексу у (например, j\
—подмножество, элементами которого являются номера переменных,
обозначающих конкретный вид деятельности; j2 —
подмножество, элементами которого являются номера переменных,
обозначающих другой вид деятельности, и т. д.).
Часто подмножества j\ и j2 заменяют следующей записью:
у е Q\, или ye Q2, что означает одно и то же.
В том случае, если необходимо суммировать виды
деятельности Qx и Q2 и перейти от подмножества к одному множеству,
используют знак объединения (знак и —сумма), то есть
Q = Qx и Q2.
В землеустроительных задачах выделяют также однородные
группы (подмножества) ограничений. Тогда /е Мх или /е М2, где
М\ и М2 — соответствующие подмножества, элементами которых
являются номера конкретных ограничений.
Встречаются случаи, когда выделяются группы переменных и
ограничений, принадлежащих к одной подсистеме (например,
переменные, обозначающие виды деятельности и
ограничивающие их условия в одном экономическом объекте, районе,
бригаде и т.д., и переменные, обозначающие такие же виды
деятельности и такие же ограничения в другом районе или зоне и
т.д.). Тогда вводятся индексы г, которым обозначают номер
объекта группы переменных и ограничений, и Л —общее число
объектов.
Не рекомендуется делать многоуровневую индексацию. Без
крайней необходимости не следует переходить третий уровень,
для обозначения которого используют индекс /—номер группы
переменных, L — общее число индексов этого уровня.
При необходимости введения дополнительной индексации
448

для ограничений рекомендуется обозначать индексами к номер
группы ограничений и К— число групп ограничений.
В ряде случаев, особенно в линейно-динамических задачах,
принадлежность видов деятельности или ограничений по годам
обозначают индексом /.
Коэффициенты — это величины, характеризующие размеры
производства или затрат в расчете на единицу, принятую для
искомой переменной.
Коэффициенты сопровождаются индексами принадлежности,
первый (первые) из них обозначает принадлежность к
ограничениям, последующий (последующие) — к переменным, т. е. ij.
Для обозначения любых видов затрат принимается
коэффициент я, любых видов выпуска (производства) — коэффициент v.
При необходимости связать какие-либо отношения двух и
более переменных следует воспользоваться в ограничениях
символами а, со (коэффициент пропорциональности), иногда символ ш
заменяют символом а.
Коэффициенты целевой функции обозначают символом с с
соответствующими индексами принадлежности к переменной.
Суммарное значение целевой функции обозначают символами с,
F, J[x) или Z.
Константами называют величины, представляющие значения
правых частей уравнений и неравенств, моделирующих систему.
Индексы при символах-константах соответствуют индексам
ограничений. В качестве обозначающих символов принимаются
(по объемам):
Р— площади (землевладений и землепользовании, угодий,
культур);
Т— размер трудовых ресурсов, V — трудовые ресурсы в
конкретный период времени;
D — денежные ресурсы;
N, Р, К — минеральные удобрения по видам;
Q — органические удобрения;
Л — сельскохозяйственная техника, А* — то же по периодам;
5—основные производственные фонды;
Я— производство продукции (включая кормовые ресурсы);
Я, U, S— производственные ресурсы прочих видов.
В ряде случаев при формировании констант используют
подстрочные или надстрочные символы. Например, Р<х<Р. Это
означает, что переменная х находится в интервале между Р_
(ограничение снизу) и Р (ограничение сверху). Данное
ограничение может быть записано и так: Р\ <х<Р2, или х>Ри х< Р2.
Переменные, представляющие виды деятельности, обозначают
символом х. Дополнительные искомые переменные можно
обозначать тем же символом с черточками, другими
дополнительными обозначениями, а также символами у или и.
449

Во всех случаях переменные при моделировании экономико-
математических задач требуют пояснений по тексту,
раскрывающих их экономическое, технологическое и другое значение, с
введением соответствующих индексов.
Если для представляемой экономико-математической модели
приведенная символика недостаточна, привлекаются
дополнительные символы из латинского и греческого алфавитов. В этих
случаях в тексте обязательно должно быть разъяснение
содержания этих символов.
Суммы и ограничения. При формализации указанных условий
используют классические обозначения:
? — знак суммы;
п R
ХХ> или ЕЕ- знак двойной суммы, например, в блоч-
J г у=1г=1
ной модели данные знаки обозначают суммирование по всему
ряду переменных с индексом j в каждом блоке с индексом г;
X — то же, что и в предыдущем случае (знак двойной суммы)
(в задачах могут применяться знаки тройных и более сумм);
<, =, > —символы, означающие соответственно меньше или
равно, равно, больше или равно;
-> — символ «стремиться», используется в целевых функциях,
например f(x) -> max (min) — это означает, что целевая функция в
процессе решения задачи должна достичь максимума или
минимума.
С развитием систем автоматизированного
землеустроительного проектирования создаются программные комплексы,
полностью автоматизирующие решение конкретных
землеустроительных задач. Для правильного решения задач постановщики и
разработчики создают специальные информационные модели на
основе единого, сквозного алгоритма подготовки исходной
информации, ее переработки различными методами (в том числе
и методами математического программирования) и
формирования выходных документов, информация которых полностью
удовлетворяет определенную функцию управления
землеустроительными ресурсами. Математическое моделирование процессов
переработки информации в такой информационной модели
обеспечивает основу для программирования, создания
программного комплекса или пакета прикладных программ. В этом
случае применяются другие способы формализации
землеустроительных задач, изучаемые в курсе «Автоматизация
землеустроительного проектирования».
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение понятия информации.
2. Что такое информационное обеспечение моделирования?
450

3. Какие требования предъявляют к информации?
4. Какова единица измерения информации?
5. Как подразделяются виды и источники землеустроительной информации?
6. Что такое матрица задачи?
7. Какие показатели составляют матрицу?
8. Какова роль технико-экономических коэффициентов?
9. Как классифицируют технико-экономические коэффициенты?
10. Чем отличаются нормативные коэффициенты, коэффициенты
пропорциональности и связи? Приведите примеры.
11. Для чего нужны символические обозначения, используемые при
моделировании? Можно ли использовать нестандартные символические обозначения?
Глава 20
ВЫБОР ПЕРЕМЕННЫХ И ПОСТРОЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИЙ
ЗАДАЧИ
20.1. УСТАНОВЛЕНИЕ ПЕРЕЧНЯ ПЕРЕМЕННЫХ И ОГРАНИЧЕНИЙ
Формулирование матрицы экономико-математической задачи
начинается с определения перечня переменных величин или
неизвестных. Этот перечень определяет размер матрицы.
В землеустроительных моделях перечень переменных должен
отражать содержание экономико-математической задачи и быть
достаточным. Не нужно увеличивать состав переменных без
необходимости и включать в решение задачи переменные,
значения которых заранее известны и не повлияют на результат.
В каждой задаче перечень переменных специфичен. В
зависимости от цели задачи основные переменные могут характеризовать:
площади земельных угодий;
сельскохозяйственные отрасли или объемы производства
продукции;
основные и оборотные средства производства;
другие параметры, учитываемые в задаче.
Площади земельных угодий — основные
переменные, поиск которых идет в землеустроительных задачах. Они
могут выражаться в гектарах —для сельскохозяйственных
культур, севооборотов и угодий или в гектарах через километры (при
оговоренной ширине) — для линейных элементов организации
территории (лесополос, дорог, водозадерживающих валов).
Состав переменных, характеризующих площади земельных
угодий, может быть полным, то есть включать все земли с
подразделением на виды, соответствующие данным земельного
учета (например, пашня богарная, орошаемая, осушаемая,
засоленная и т. д.), а также сокращенным — без подразделения на виды.
Во многих случаях в состав данной группы переменных
включают неизвестные, характеризующие объемы трансформации, то
есть перевода угодий из одного вида в другой.
При решении задач межхозяйственного землеустройства в со-
451

став переменных входят неизвестные, отражающие площади
перераспределения земель между хозяйствами и размеры
землевладений и землепользовании по формам собственности, срокам
пользования и аренды.
В ряде случаев некоторые переменные в процессе решения
являются расчетными величинами. Например, общая площадь
пашни хозяйства включается в задачу в качестве основной
переменной (jcq), но вычисляется она в процессе решения в
зависимости от искомых площадей посева сельскохозяйственных культур
(xj,je Q) по формуле
yeG JeQ
Часто состав переменных по площадям в землеустроительных
задачах зависит от сопутствующих решению других неизвестных,
например по сельскохозяйственным отраслям.
Следует иметь в виду, что переход к площадям в
землеустроительных задачах может осуществляться и по результатам
решения. Например, в качестве переменной выступает объем
производства картофеля. Зная его урожайность, можно легко перейти
к площади картофеля в структуре посевов. Аналогичным образом
можно сформулировать ограничение по земельной площади.
Оно примет следующий вид:
где Xj — объемы производства продукции растениеводства у-го вида, ц; wj? —
урожайность у-й культуры (продуктивность угодья), ц с 1 га; Р— площадь,
ограничивающая решение, га.
Сельскохозяйственные отрасли или объемы
производства продукции выбираются, исходя из
постановки задачи. Перечень сельскохозяйственных отраслей может
быть полным, то есть охватывать все отрасли производства,
которые возможны в данном предприятии, или конкретным, а
именно включать отрасли только по определенному признаку
(растениеводство или животноводство, все культуры в
растениеводстве или только кормовые).
Перечень отраслей может быть объединенным и более
детальным. В объединенном перечне, например, зерновые
продовольственные культуры представлены вместе, в одном столбце одной
переменной. В более детальном перечне зерновые дают по
отдельным культурам, например, озимая пшеница, ячмень, яровая
пшеница и т. д.
В задаче каждая культура будет обозначена основной
переменной, ей отводится отдельный столбец. Отрасль крупного ро-
452

гатого скота можно рассматривать в расчете на структурную
(переводную или условную) голову или на половозрастную
группу.
Часто используют прием, при котором сельскохозяйственные
отрасли представляют в перечне в зависимости от их
производственного назначения. Так, отдельно в матрицу включают
зерновые продовольственные и зерновые фуражные культуры или
более детально: картофель на семена, картофель ранний товарный,
картофель поздний товарный, картофель на корм скоту;
применительно к животноводству: крупный рогатый скот молочного,
мясо-молочного направления и т. д.
Некоторые экономико-математические задачи разрабатывают
для того, чтобы определить оптимальное использование
сельскохозяйственной продукции или продукции промышленного
производства для сельского хозяйства. Поэтому искомые
переменные величины могут обозначать различные виды продукции,
выраженные в центнерах или тоннах.
Основные и оборотные средства
производства могут также вводиться в задачу в качестве основных
переменных. При определении оптимальных размеров
землевладений и землепользовании основные средства производства, в том
числе неразрывно связанные с землей (постройки, сооружения,
дороги и каналы), во многом определяют результат решения
задачи. В этом случае основные средства производства и их состав
определяют как некоторые переменные величины.
В других задачах, например по оптимальному составу
тракторного парка, каждая марка тракторов получает значение
переменной величины и вводится отдельным столбцом.
В большинстве землеустроительных задач решение
определяют с учетом оборотных средств — денежных, материальных. В
таком случае каждый вид оборотных средств может быть
представлен отдельной переменной величиной.
В процессе решения землеустроительных задач в качестве
основных переменных могут выступать и другие неизвест-
н ы е, например площади проведения агротехнических,
лесомелиоративных и других мероприятий в районах эрозии, объемы
оросительной воды, регулируемого стока при орошении на
местном стоке и т. д.
Нахождение оптимальных землеустроительных решений
зависит от правильного определения состава ограничений, поэтому
они занимают центральное место в математических моделях. В
них отражаются важнейшие условия и требования
землеустройства. Ограничения формулируют в виде системы неравенств и
уравнений, выражающей возможности производства и баланс
ресурсов. В связи с этим особое значение приобретают полнота
и точность отражения в модели всех ограничений,
накладываемых на переменные. При формулировании ограничений необ-
453

ходимо, чтобы были учтены все условия (природные,
социально-экономические, землеустроительные, технические и др.).
Число их должно быть достаточным, так как число
составленных уравнений и неравенств определяет максимальное число
видов и способов деятельности, которые смогут войти в
оптимальный план.
Ограничения могут налагаться на отдельные переменные,
часть их или на все одновременно. В одну систему ограничений
могут входить три типа линейных соотношений: равно (=), равно
или больше (>), равно или меньше (<). По характеру ограничения
делят на основные, дополнительные и вспомогательные.
К основным ограничениям относятся такие,
которые накладываются на все или большинство переменных. Они
выражают основные условия задач. В сельскохозяйственном
производстве в их состав включают ограничения по
использованию ресурсов: земли, рабочей силы, основных средств
производства, семян, удобрений, ядохимикатов, топлива и смазочных
материалов, кормов и др. Из всех ресурсов в расчет включают
только те, использование которых ограничено.
Дополнительные ограничения накладываются
на отдельные переменные или небольшие группы их. Обычно
они формулируются в виде неравенств, ограничивающих «снизу»
или «сверху» объемы производства отдельных видов продукции,
потребление животными некоторых видов или группы кормов,
агротехническую целесообразность насыщения отдельных
культур в севообороте, организационную или зооветеринарную
целесообразность концентрации животных и др.
Дополнительные ограничения при разработке плана
обеспечивают учет требований по производству некоторых продуктов в
объемах, удовлетворяющих потребность. С их помощью
связываются также отдельные блоки модели.
Вспомогательные ограничения не имеют
самостоятельного экономического значения. Их используют главным
образом для правильной формулировки экономических требований
и математической записи системы линейных отношений.
Следует иметь в виду, что нельзя перенасыщать модель
ограничениями, навязывая решение задачи. Необходимо также
анализировать ограничения во избежание их несовместимости.
20.2. ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ОГРАНИЧЕНИЙ
Формирование ограничений экономико-математической
задачи проводится после ее постановки, определения перечня
переменных и условий, установления технико-экономических
коэффициентов и объемов ограничений, сбора исходной
информации.
454

Математическая формулировка ограничений в
землеустроительных задачах может происходить:
с постоянными коэффициентами при переменных и
известными объемами ограничений;
с постоянными коэффициентами при переменных и
изменяющимися объемами ограничений;
с изменяющимися коэффициентами при переменных и
фиксированными или изменяющимися объемами ограничений.
Моделирование землеустроительных задач с постоянными
коэффициентами при переменных и известными объемами ограничений.
В ходе моделирования таких задач используют следующие типы
линейных соотношений:
апх{ + а[2х2 + ... + а]пхп<Ьи
а2{х{ + а22х2 + ... + а2пхп>Ь2\
*3i*i + *32*2 + .- + аЪпхп < Ь3.
Коэффициенты при переменных ац и объемы ограничений Ь{
(ie 1, 2, ..., т) остаются постоянными в течение решения задачи.
Коэффициенты (afJ) могут иметь любое числовое значение, но
постоянное в ходе решения.
Например, в хозяйстве имеется три вида земельных угодий,
пригодных для трансформации:
X! — площадь пастбищ, трансформируемая в пашню;
х2 — площадь сенокосов, переводимая в пашню;
хъ — площадь болот, осваиваемая под сенокос.
Затраты труда на 1 га трансформируемых земель составят
соответственно 25, 40 и 400 чел.-ч, а общий объем трудовых
ресурсов, имеющихся в хозяйстве в бригаде по сельскохозяйственному
освоению и мелиорации земель, — 10 000 чел.-ч.
Тогда условие по трудовым ресурсам с постоянными
коэффициентами при переменных и известными объемами ограничений
можно записать в следующем виде:
25;q + 40*2 + 400*3 ^ Ю 000.
Таким же образом записывают и другие аналогичные условия,
например по минеральным удобрениям, механизированным
работам, денежным средствам и т. д.
При постоянных параметрах ограничений в задачу можно
вводить любые условия, коэффициенты которых являются
производными от постоянных и рассчитываются на их основе.
Например, при построении ограничений по гарантированному
производству товарных культур в рассматриваемой выше постановке
экономико-математической задачи из планируемой урожайности
сельскохозяйственных культур следует исключить часть продук-
455

ции, необходимой для воспроизводства (на семена) и
хозяйственные цели.
Точно так же можно оперировать и со значением bh
Например, ограничение по гарантированному производству зерна
яровых зерновых культур имеет вид
а^>Ьп
где ау — урожайность яровых зерновых; х} — искомая площадь яровых зерновых;
Ь; — гарантированный объем производства зерна.
Значение bt одновременно может включать суммарные
потребности хозяйства в семенах, концентратах и товарном зерне.
В этом случае ставится одно ограничение, а переменные xj не
дифференцируются по целевому использованию. В противном
случае можно было бы иметь три переменные по яровым
зерновым: на семена, концентраты, товарные цели.
Моделирование землеустроительных задач с постоянными
коэффициентами при переменных и изменяющимися объемами
ограничений. В некоторых землеустроительных задачах требуется
отыскать оптимальную структуру ресурсов по отношению к величине,
которая пока еще неизвестна. В таких случаях прибегают к двум
приемам моделирования.
Первый прием предполагает построение двух ограничений вида
п _ п
ZayXjubi и ZayXj^b;.
В общем виде данное ограничение может быть записано так:
п _
b^^QijXjubi.
7 = 1
Такое ограничение может применяться, например, в задаче по
оптимизации структуры и состава противоэрозионных
мероприятий в районах водной эрозии почв. Здесь а0- — водозадерживаю-
щие (водопоглощающие) характеристики отдельных
противоэрозионных мероприятий (агротехнических, мелиоративных,
гидротехнических); bj — сток, вызывающий эрозию; bt — общий сток
с рассматриваемой территории.
При постановке ограничений неясно, каким будет значение
br Важно, чтобы оно находилось в пределах Ц-Ь{9
характеризующих безопасный с точки зрения водной эрозии или допустимый
сток.
При решении задачи подобная формулировка обеспечит
изменение величины Ь,- в пределах 6,.<^<^, где ъ_. — нижняя допу-
456

стимая граница изменения величины bh а Ъ{ — верхняя
допустимая граница.
Однако этот прием применим лишь в тех случаях, когда
можно установить величины Ь. и Ъг Но их значения могут зависеть
и от других условий, которые учитывают при разработке
экономико-математической модели и роль которых в общей системе
пока неизвестна, а следовательно, неизвестно, как может
меняться величина bh В таких случаях применяется другой, более
универсальный прием.
Второй прием. В систему вводится переменная xn+h
помогающая установить, насколько увеличится значение bt под влиянием
других условий. При этом формализованная запись условия
принимает следующий вид:
п
Y.agXjZbi+ViXn.i.
Экономический смысл записи — объем производственных
ресурсов, выраженный константой bh может использоваться
частично или полностью, а при определенных условиях возрастать
на величину vjxx+ {. В модели это условие записывается так:
Yagxj-vtx^zb,.
j=l
В землеустроительных задачах значение v7, как правило,
принимается равным единице, ограничение принимает следующий
вид:
п
ZdjjXj-Xn+^bi.
7 = 1
В ряде землеустроительных задач значение Ь,- неизвестно, его
требуется рассчитать. Тогда принимается, что
*«+/ = */•
Ограничения по расчету ресурсных или других, например
экономических, показателей принимают такой вид:
п
ZayXj-xn+i = 0.
у=1
Вспомогательная переменная xn+i учитывается и в других ог-
457

раничениях, в которых записаны условия, функционально
связанные с этой переменной.
Описанный прием называют вводом в линейное соотношение
вспомогательной переменной в целях учета изменения или
расчета величины br
Моделирование землеустроительных задач с изменяющимися
коэффициентами при переменных. Моделирование
землеустроительных процессов для решения методами линейного
программирования не допускает прямого изменения значений
коэффициентов при переменных величинах в ходе решения. Существует три
приема, позволяющих учитывать изменение этих
коэффициентов в процессе решения, хотя истинное (абсолютное) значение
получают после решения всей системы. Это методы среднего
взвешенного, суммирования коэффициентов и вычитания
коэффициентов.
Данные приемы одинаково применимы и при постоянных, и
при изменяющихся объемах ресурсов (А/).
Метод среднего взвешенного применяется тогда, когда технико-
экономические коэффициенты предположительно изменяются в
некотором известном интервале, например а-<а^<а^.
Данный метод заключается в следующем.
В развернутую модель задачи вводят две переменные Xj и
Xj, коэффициентами которых являются соответственно а~ и
а0.
При решении задачи возможны три случая:
1) Xj=0, xj>0, тогда fl,y=fl#;
2) xj=0, Xj>0, тогда Щ}=<кф
3) Xj>0, Xj>0, тогда ^рассчитывают после решения всей
системы по формуле
_aijXj+ayXj
Щ) — _
Xj+Xj
Допустим, что минимальная урожайность зерновых культур
30 ц с 1 га. Если позволят производственные ресурсы, при
внесении удобрений урожайность может быть повышена до 40 ц. При
этом допускается, что между затратами производственных
ресурсов и повышением урожайности в интервале (30—40) существует
линейная зависимость. В общую систему неизвестных вводят две
переменные: х_; —площадь посевов у-й культуры при
урожайности 30 ц и Xj — площадь посева у'-й культуры при урожайности
40 ц. По каждой из них в ограничениях, которыми учитываются
затраты производственных ресурсов, записываются коэффици-
458

енты ау и ay, обозначающие соответственно затраты /-го вида
ресурсов на получение урожайности 30 и 40 ц по культуре Xj.
В соответствии с условием x-j, х^>0 при решении задачи эти
переменные могут получать различные значения, от которых
зависит достигаемый уровень урожайности. Так, если ?/=0> а
ху-=500га, то урожайность будет 40ц с 1га; при *у=0 и
Ху=500га —урожайность 30ц. При х-=200, 7.=300 урожайность
рассчитывают по приведенной выше формуле:
30-200+40-300 „ ,
500 =36ЦС1га'
Наиболее распространен метод среднего взвешенного для
решения такой землеустроительной задачи, как установление
оптимального уровня интенсивности использования земли при
различных изменениях факторов интенсификации производства.
Метод суммирования коэффициентов осуществляется путем
введения вспомогательных переменной и ограничения.
Вспомогательная переменная может иметь различный экономический
смысл в зависимости от того, какой экономический показатель
требуется определить.
В экономической литературе метод суммирования
коэффициентов сводят к следующим обозначениям и действиям.
Переменная Xj характеризуется коэффициентом Vy,
обозначающим объем продукта, который может быть произведен в
расчете на единицу х,-. Известно также, что для достижения у,-
необходимо затратить производственные ресурсы /-го вида в объеме а у.
В постановке задачи указывается, что в зависимости от объема
ресурсов bi и целесообразности их использования затраты
ресурсов по отрасли Xj можно увеличивать от а{] до ajj. При этом будет
также увеличиваться Уудо значения vy. Интервалы (д,у, ajj )
избираются такими, в которых прослеживается линейная зависимость
УуИ V}.
Рассмотрим пример. Известно, что для получения удоя 40 ц на
одну корову должно быть затрачено 8 ц корм. ед. При
скармливании коровам 12 ц корм. ед. удои могут повыситься до 50 ц.
Примем, что vy = 40, v'=50, я,у = 8, ajj=12 и ху — общее
поголовье коров. Надо установить оптимальную продуктивность
молочного поголовья vj™ с учетом наиболее целесообразного
использования кормов.
Для записи условий вводят вспомогательную переменную
хп +у, которая будет обозначать суммарный прирост продукции по
459

отношению к минимальному уровню производства, возможному
ву-й отрасли, когда размер ее будет равен ху. Если Xj = 1, то xn+J
может изменяться в интервале
0<xn+j<v'rvj.
Рассчитывают коэффициенты при xn+J, представляющие
частное от деления прироста продукции и затрат на какую-то общую
величину t
an+j~ t > Чу- f •
Величина / подбирается такой, чтобы dn+J= 1. Это можно
определить, приняв /равным разности vy-vy.
В системе развернутой экономико-математической модели
заданные условия записывают в виде ограничений:
l)vjXj+dn+Jxn+j=Rj;
2) (vy-v^Xy+rf^yX^^O;
3) GijXj + qijXn+j^bi.
Ограничения обозначают: 1) общий объем производимой
продукции по Xj равен R; 2) вспомогательное ограничение,
фиксирующее интервал, в котором соблюдается линейная зависимость;
3) баланс ресурсов bh Напомним, что данная система не имеет
самостоятельного значения. Она составляет часть общей
развернутой экономико-математической модели, в которой
учитываются иные взаимосвязи и возможности расходования ресурсов Ь, по
Xj и другим отраслям.
Вернемся к конкретному примеру, в котором d„ +J будет равно
1, если /=vy-vy, или 50—40= 10. Тогда
Пользуясь условиями, запишем ограничения:
4)40х,+хя+, = Л,;
5) -Щ+х„+;<0;
6) Sxj + 0,4xn+ j<b,.
При решении всей системы возможны только два результата
460

по значениям переменных этой подсистемы: 1)х7>0, хл+7 = 0;
2) Xj > О, хп +j> 0. Третьего решения Xj = 0, хп +J> 0 не может быть
в связи с записью второго ограничения.
Оптимальное значение vy будет определено по формуле
уопт=у j "n+j+xn+j
J x -
XJ
Допустим, что Xj получил значение 20, хп +J — 80. Тогда v°J™
(искомая продуктивность) составит 40+—=44 ц молока на
корову. Истинное значение аУ™ также можно определить после
решения всей системы по формуле
диет Qijxn+j
и v v
xj
или
0 0,4-80 0,
8+ =9,6ц корм, ед.
Метод вычитания коэффициентов, по существу, основывается
на тех же положениях, что и метод суммирования
коэффициентов, но при другой постановке задачи. Если в методе
суммирования коэффициентов предполагалось vy>v7, то метод вычитания
коэффициентов применяется при vy<vy-.
При моделировании и решении землеустроительных задач
используют ряд приемов, которые позволяют без ущерба для
получаемого ответа облегчить получение результата даже при
наличии некоторых трудностей (недостаточная мощность ЭВМ,
многофункциональная постановка, большая размерность матрицы,
отсутствие надлежащих алгоритмов и т. д.). Это приемы
поэтапного решения, сжатия размерности модели.
Прием поэтапного решения применяется либо
при отсутствии мощных ЭВМ, либо в случае необходимости
выдачи решений на различных уровнях (по блокам или в целом по
связующему блоку). На первом этапе получают информацию,
которая характеризует землеустраиваемый объект в целом,
например сельский административный район.
Данная информация может использоваться районной
администрацией при планировании использования и охраны земель и
является входной для решения задач второго этапа по внутрихо-
461

зяйственному землеустройству отдельных сельскохозяйственных
предприятий.
Может решаться и обратная задача. На первом этапе
определяются основные параметры сельскохозяйственных предприятий
(обеспеченность земельными ресурсами, трансформация угодий,
трудообеспеченность и т.д.), а на втором этапе — параметры
района — корректируются договорные обязательства (поставки
продукции, семян, комбикормов, инвестиции), специализация,
объемы производства и т. д.
Прием сжатия размерности модели
применяется, когда требуется иметь универсальную
(унифицированную) модель для использования в процессе автоматизации
расчетов технико-экономических коэффициентов матрицы и ее
построения в автоматизированном режиме на ЭВМ.
Кроме того, реализация моделей с большим числом
переменных и условий бывает затруднена из-за ограниченных
возможностей программ или недостаточной емкости памяти ЭВМ.
Поэтому при моделировании процессов иногда прибегают к приемам,
позволяющим сокращать размерность моделей. В этих целях
используют прием агрегирования отраслей (видов деятельности),
введения ограничений через единичный вектор и др.
Прием агрегирования заключается в том, что отрасль
вводится в модель не в развернутом, а в агрегированном виде,
что позволяет использовать меньшее число переменных или даже
одну переменную. Чаще этот прием используют для
моделирования отраслей животноводства. Например, крупный рогатый скот
можно ввести в модель с учетом половозрастных групп, а можно
записать одной переменной, размерность которой структурная
или условная корова. Для расчета этого показателя определяют
затраты ресурсов, выход продукции по половозрастным группам,
затем по всему стаду и делят на поголовье коров. В результате
будут определены коэффициенты по затратам ресурсов, выходу
продукции в расчете на единицу принятой размерности по
данной переменной, то есть на одну структурную корову.
В ряде случаев этот прием используют при моделировании
отраслей растениеводства. Например, в число переменных вводят
какую-то культуру одной переменной без подразделения на
неизвестные по целевому назначению. Например, яровой ячмень
может вводиться в задачу тремя переменными: на продажу, на
семена, на фураж (концентраты). Заменив их одной переменной,
просто ячменем, используют некоторые приемы изменения
коэффициентов в ограничениях. Так, при построении ограничений
по обеспечению гарантированного производства товарного зерна
из урожайности ячменя вычитают норму высева и часть зерна,
идущую на корм скоту.
Прием введения ограничений через
единичный вектор заключается в следующем. В модель вводится
462

единичный вектор с гарантирующим его наличие в оптимальном
решении ограничением. Коэффициенты по этому вектору могут
обозначать объемы ресурса, производства продукции и т. д.
Например, условия по использованию естественных
сенокосов, пастбищ, культурных пастбищ можно записать в модель с
помощью трех ограничений. Но если исходить из предпосылки,
что площадь их должна обязательно использоваться, можно
избежать этих ограничений, подсчитав по всем видам угодий
общие затраты ресурсов, выход кормов и отразив их через вектор
по соответствующим ограничениям модели.
20.3. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ОГРАНИЧЕНИЙ В ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫХ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
После того как определены переменные задачи линейного
программирования, рассчитаны все технико-экономические
коэффициенты и коэффициенты целевой функции, а также
объемы ограничений (ресурсов или констант), приступают к
построению моделей, основу которых составляют системы
математических соотношений, представляемых в виде уравнений и
неравенств, характеризующих условия задач.
Основными типами ограничений в землеустроительных
экономико-математических задачах являются:
условия, характеризующие использование земельных
ресурсов;
ресурсные ограничения (кроме земельных);
ограничения по производству и использованию кормов;
условия гарантированного производства отдельных видов
продукции;
ограничения, устанавливающие пропорции отраслей или
различные взаимосвязи переменных;
другие ограничения, формирующиеся в зависимости от
особенностей постановки той или иной землеустроительной задачи
и характеристик объекта землеустроительного проектирования.
Рассмотрим основные приемы математической
формулировки условий землеустроительных задач.
1. Условия, характеризующие использование земельных ресурсов,
подразделяют на два основных вида:
по площадям, ограничивающим решение задачи;
по качественным характеристикам, обеспечивающим баланс
питательных веществ в почве, условия воспроизводства
плодородия почв и прекращение процессов деградации земель.
Условия по площадям земельных угодий
формулируются в зависимости от особенностей решаемой задачи и перечня
выбираемых переменных. При этом возможны три случая, когда
в качестве переменных (xj) выбирают:
463

площади сельскохозяйственных культур;
площади севооборотов и внесевооборотных участков;
площади сельскохозяйственных угодий отдельных видов.
Задача может предполагать трансформацию отдельных видов
земельных угодий, а также решаться без учета возможного
перевода угодий из одного вида в другой.
В том случае, если задача решается без учета трансформации
угодий, при построении ограничений по земельным ресурсам
поступают следующим образом. Допустим, в хозяйстве имеется
1500 га пашни, увеличение ее не предусматривается, и
намечается возделывать следующие сельскохозяйственные культуры:
х{ — озимые зерновые на товарные цели (здесь и далее
неизвестные характеризуют площадь культур, выраженную в
гектарах);
х2 — яровые зерновые на концентрированные корма;
х3 — картофель на продажу;
х4 — многолетние травы на сено;
х5 — многолетние травы на зеленый корм;
х6 — многолетние травы на семена;
х7 — кукуруза на силос;
дс8 — кормовые корнеплоды.
При этом ограничение по площади пашни будет иметь вид
х\ + х2 + ХЪ + х4 + х5 + х6 + х1 + *8 ^ 1500.
Такой же вид будут иметь ограничения по площади пашни,
если в качестве переменных будут выступать не
сельскохозяйственные культуры, а площади отдельных севооборотов
(полевых, кормовых, специальных). Таким же образом записывают
ограничения и по другим земельным угодьям, площадь которых
известна до решения задачи.
Предположим, что в хозяйстве 800 га пастбищ и 500 га
сенокосов.
Продолжим обозначения неизвестных:
х9 — площадь естественных пастбищ;
х10 — площадь пастбищ, подлежащая улучшению;
хп — площадь сенокосов.
Тогда ограничения по площади пастбищ и сенокосов можно
записать так:
X9 + jc10<800;
хи<500.
Эти ограничения в символах можно записать так:
j
где у е Qx — подмножество переменных по пашне (она может подразделяться на
464

виды: богарная, орошаемая, осушаемая); je Q2 — подмножество переменных по
другим угодьям (пастбищам, сенокосам, садами виноградникам и т.д.); /е Л/,—
подмножество ограничений по земельным угодьям; Р, —известная площадь
земельных угодий /-го вида.
Усложним данную задачу. Введем в нее переменные,
характеризующие перевод отдельных видов земельных угодий в другие
виды:
х12 — площадь пашни, трансформируемая в сад;
х13 — площадь пастбищ, трансформируемая в пашню;
х14 — площадь сенокосов, трансформируемых в пастбища.
Будем считать, что приведенные выше площади 1500 га
пашни, 800 га пастбищ и 500 га сенокосов — это фактические
площади земель в хозяйстве. Примем также, что под сад надо освоить
не менее 100 га пашни; для трансформации в пашню пригодно
не более 500 га пастбищ, а для перевода в пастбища пригодно не
более 300 га сенокосов.
Тогда ограничения по земельным ресурсам с учетом
трансформации будут иметь следующий вид:
по пашне: Xj+х2 + х3 + х4 + Х5 + х6 + х7 + х8< 1500 —х12 + х13;
по пастбищам: х9 + х10 < 800 — х13 + х14;
по сенокосам: хп < 500 — х14;
по объемам трансформации: xi2> 100; х13<500; xi4<300.
Или в окончательном виде:
Х[ + х2 + х3 + х4 + Х5 + Хб + xj + х8+ х12 — х13 < 1500;
х9 + х10 + х13 — х14 < 800;
хи + х14< 500; х12 > 100; х13 < 500; х14< 300.
В символах данная система ограничений будет записана так:
?х,+ ?ху<^;
JzQl JeQs
?х,± lxj<Pi;
jeQ2 jeQi
где ye 2з — подмножество переменных, характеризующих виды и объемы
сельскохозяйственного освоения, трансформации и мелиорации земель.
Условия по качественным характеристикам
п о ч в в землеустройстве принято формулировать по балансу
гумуса. В случае, если баланс гумуса положительный, то есть в
почве накапливается больше органического вещества, чем расходу-
465

ется (выносится), проектом землеустройства создаются
нормальные условия для роста почвенного плодородия, то есть его
воспроизводства.
В противном случае, при отрицательном балансе гумуса почва
деградирует, земельные ресурсы истощаются, урожайность
сельскохозяйственных культур падает.
Известно, что под посевами большинства
сельскохозяйственных культур (зерновые, технические) содержание гумуса в почве
снижается. Вместе с тем отдельные культуры, к которым
относятся прежде всего бобовые, способствуют повышению гумуса в
почве.
Нами произведен расчет баланса гумуса в почве под посевами
различных сельскохозяйственных культур с учетом их
урожайности. Эти данные могут быть использованы при построении
ограничений по балансу гумуса в почве (табл. 146).
146. Баланс гумуса в почве под посевами различных сельскохозяйственных культур
Культуры
Озимая рожь
Озимая пшеница
Яровая пшеница
Ячмень
Зернобобовые
(горох)
Кукуруза на зерно
Льноволокно
Сахарная свекла
Картофель
Подсолнечник на
семена

Урожайность,
цс 1 га
20
30
40
20
30
40
20
30
40
20
30
40
10
20
30
20
40
60
3
5
200
300
400
100
200
300
10
20
30
Вынос азота
с учетом

растительных
остатков, кг
на 1 ц
3,6
3,5
3,4
4,3
4,2
4,1
4,7
4,6
4,4
4,1
3,6
3,5
9,6
9,0
8,5
5,0
4,7
4,6
11,5
10,6
0,75
0,72
0,70
0,74
0,69
0,64
8,6
7,8
7,3


рализация
гумуса, т
с 1 га
-0,86
-1,24
-1,63
-1,04
-1,51
-1,98
-1,13
-1,64
-2,09
-0,98
-1,30
-1,68
-1,15
-2,15
-3,06
-1,21
-2,26
-3,31
-0,42
-0,63
-1,79
-2,60
-3,35
-0,88
-1,66
-2,30
-1,03
-1,88
-2,62
Накопление
гумуса за счет
разложения
растительных
остатков, т
на 1 га
+0,54
+0,70
+0,86
+0,61
+0,91
+ 1,01
+0,58
+0,76
+0,94
+0,58
+0,59
+0,72
+0,42
+0,66
+0,79
+0,54
+0,86
+ 1,19
+0,24
+0,29
+0,43
+0,54
+0,58
+0,31
+0,5
+0,54
+0,43
+0,61
+0,65

Фиксированный
азот
бобовых, т
на 1 га, Фл
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
+0,75
+ 1,40
+ 1,99
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Баланс
гумуса под
культурой
(±), т на 1 га
-0,32
-0,54
-0,77
-0,43
-0,70
-0,97
-0,55
-0,88
-1,15
-0,40
-0,71
-0,96
+0,02
-0,09
-0,28
-0,64
-1,40
-2,12
-0,18
-0,34
-1,36
-2,06
-2,77
-0,57
-1,16
-1,76
-0,65
-1,27
-1,97
466

Культуры
Кукуруза на силос
и зеленый корм

Урожайность,
цс 1 га
100
200
300
Силосные и зеленые 100
корма без кукурузы
Кормовые
корнеплоды
Однолетние травы
на сено (50 %
бобовых)
Многолетние травы
на сено
Овощи (томаты)
Пар
Допустим, в
200
300
200
300
400
20
40
60
20
40
60
100
200
300
—
Вынос азота
с учетом

растительных
остатков, кг
на 1 ц
0,60
0,53
0,48
0,56
0,49
0,48
0,62
0,59
0,58
3,6
3,1
3,0
6,7
5,7
5,3
0,70
0,63
0,58
—


рализация
гумуса, т
с 1 га
-0,72
-1,28
-1,72
-0,67
-1,18
-1,74
-1,50
-2,14
-2,80
-0,87
-1,49
-2,15
-1,60
-2,74
-3,83
-0,84
-1,52
-2,08
—
Накопление
гумуса за счет
разложения
растительных
остатков, т
на 1 га
+0,49
+0,76
+0,86
+0,43
+0,65
+0,92
+0,43
+0,49
+0,58
+0,68
+0,96
+ 1,32
+ 1,06
+ 1,67
+2,24
+0,49
+0,76
+0,86
—
Продолжение

Фиксированный
азот
бобовых, т
на 1 га, ФЛ
—
—
—
—
—
—
—
—
+0,28
+0,48
+0,70
+ 1,04
+ 1,78
+2,49
—
—
—
—
Баланс
гумуса под
культурой
(±), т на 1 га
-0,23
-0,52
-0,86
-0,24
-0,53
-0,82
-1,07
-1,65
-2,22
+0,09
-0,05
-0,13
+0,50
+0,71
+0,90
-0,35
-0,76
-0,86
-3,00
хозяйстве имеется 10 000 т органических удобре-
ний. Изогумусовый коэффициент (коэффициент перевода
органических удобрений в гумусовый эквивалент) составляет 0,22, то
есть при внесении в почву 10 000 т органики будет накоплено
2200 т гумуса.
Приняв минерализацию (вынос) гумуса под культурами по
минимальной границе урожайности, составим ограничение по
балансу гумуса. Коэффициент по озимым зерновым возьмем по
озимой пшенице (-0,43 т на 1 га), по яровым зерновым
используем ячмень (—0,40 т на 1 га), все многолетние травы, а также
сенокосы и пастбища возьмем по многолетним травам на сено
(+0,50 т на 1 га), сад —по многолетним травам, так как
предполагается, что его междурядья будут залужены, пашню в целом —
по яровым зерновым.
Учитывая, что накопление гумуса (2200 т) будет стоять в
правой части неравенства со знаком «+», нетрудно понять, что
технико-экономические коэффициенты по культурам, накапливающим
гумус, в левой части неравенства будут иметь отрицательный знак.
И наоборот, культуры, активно снижающие плодородие почв,
будут иметь положительный знак технико-экономического
коэффициента. Условие запишем так:
0,43;q + 0,40*2 + 0,57хз - 0,50*4 - 0,50х5 -
- 0,50х6 + 0,23*7 + 1,07*8 - 0,50*9 - 0,50*10 - 0,50*!, -
- 0,50*12 + 0,40*13 - 0,50*14 < 2200.
467

В общем виде данное ограничение примет следующий вид:
%$jXj<B; Уе (?1и(?2и(2з,
J
где Р7 — вынос (накопление) гумуса под посевами культур, т с 1 га (знак «+»
технико-экономического коэффициента в левой части неравенства свидетельствует о
расходовании гумуса, знак «-» о его накоплении); В — общее количество
органических удобрений, имеющихся в хозяйстве, в переводе в гумусовый эквивалент, т.
Однако приводимое выше ограничение — это частный случай
общей постановки условия по балансу органических веществ в
почве. В данное условие могут быть добавлены и отрасли
животноводства.
Продолжим введение обозначений:
х\5 — поголовье коров в хозяйстве;
*1б — поголовье молодняка крупного рогатого скота;
x/je Q*) — переменные, характеризующие отрасли
животноводства.
Выход навоза на одну корову в год составляет 9 т, на одного
теленка— 1,2т. Приняв изогумусовый коэффициент для свежего
навоза равным 0,1, получим, что от одной коровы имеем 0,9 т
органических удобрений в переводе на гумус, от одного
теленка—0,12т.
Если обозначить через *17 объем приобретаемых органических
удобрений, необходимый для бездефицитного баланса гумуса, то
вышеназванное ограничение будет иметь следующий
окончательный вид:
0,43*! + 0,40*2 + 0,57*3 - 0,50*4 - 0,50*5 -
- 0,50х6 + 0,23*7 + 1,07х8 - 0,50*9 - 0,50*10 - 0,50лгц -
- 0,50*12 + 0,40*13 - 0,50*14 - 0,9*15 - 0,12*16 - хп < 2200.
Подобно вышеприведенному ограничению по гумусу может
быть сформулировано условие по органическим удобрениям.
Оно должно записываться, исходя из следующего соотношения:
объемы внесения органических удобрений = наличие
органических удобрений.
Оставляем в правой части уравнения константу, равную
известной величине имеющейся в хозяйстве органики, например
переходящего запаса навоза с прошлого года, в левой части со
знаком «+» будут нормы внесения органических удобрений под
культуры и угодья и со знаком «-» — нормы выхода навоза с
1 гол. скота.
В ряде землеустроительных задач ставят также ограничения
по предотвращению эрозионно опасного стока или смыва почвы.
Данные ограничения будут рассмотрены при построении модели
468

оптимизации состава и структуры комплекса противоэрозион-
ных мероприятий в последующих главах.
2. Ресурсные ограничения. К числу основных ресурсов, кроме
земельных, относятся трудовые, технические (машины и
механизмы), единовременные денежные затраты
(капиталовложения), ежегодные финансовые издержки производства,
минеральные удобрения, средства защиты растений, оросительная вода,
семена и т. д.
Рассмотрим постановку данных ограничений на примере
трудовых ресурсов.
Допустим, собственные трудовые ресурсы
сельскохозяйственного предприятия обеспечивают выработку 300 000 чел.-ч. Тогда
их использование выразится следующим неравенством
(обозначения переменных приведены выше):
65;q + 43,9*2 + 328*3 + - + 393х15 + 193*16 + 0,50*17 < 300 000.
Технико-экономические коэффициенты при переменных в
данном неравенстве означают затраты труда в чел.-ч в расчете на
единицу вводимой переменной (1 га, 1 гол. скота), а константа
300 000 — имеющийся объем трудовых ресурсов.
В случае, если допускается увеличение состава трудовых
ресурсов за счет привлечения со стороны сезонных и временных
рабочих, число которых, пересчитанное в чел.-ч, определяется в
процессе решения задачи через *18, ограничение примет
следующий вид:
65*! + 43,9*2 + 328*3 + ... + 393*15 + 193*16 + 0,50*17 < 300 000 + х18,
или
65х, + 43,9*2 + 328*3 + ... + 393*15 + 193*16 + 0,50*17 - *18 < 300 000,
где jc18 — вспомогательная переменная, характеризующая объем привлекаемых
дополнительно трудовых ресурсов, чел.-ч.
Наконец, возможен случай, когда объем производственного
ресурса не задается заранее, а определяется в ходе решения
задачи. Тогда *18 — общий объем необходимых ресурсов труда, а
ограничение по труду примет вид
65*! + 43,9*2 + 328*з + - + 393*15 + 193*16 + 0,50*17 = х18,
или
65*! + 43,9*2 + 328*з + - + 393*15 + 193*,6 + 0,50*i7 - *i8 = 0.
Вспомогательная переменная *18 отражает общие суммарные
469

затраты труда, этот тип переменных получил название
«отраженные», «накопительные».
Обобщенная математическая запись условий по
использованию производственных ресурсов имеет вид
^dyXj^bi+Xi (ie М2)\
JzQ
YsQijXj-Xi^bi (ie M2);
JeQ
Qe QiuQ2uQ3uQ4,
где X/ — вспомогательная переменная, обозначающая искомый (неизвестный)
размер /-го ресурса.
Если объем производственного ресурса необходимо
определить в результате решения задачи, то математическая запись
будет иметь вид
Ea,yX/-x,-=0 0"e М2),
JeQ
где X/ — общий искомый объем /-го ресурса; д,у— норма затрат ресурса /-го вида
на единицу у-й переменной.
Ряд ресурсных ограничений имеет свои особенности.
Например, в силу того что сельскохозяйственное производство
отличается сезонным характером, в землеустроительных задачах
ставится несколько ограничений по трудовым ресурсам: в целом за год
(или за весь полевой период), а также по напряженным периодам
работ (посев, уборка, основная обработка почвы и т. д.).
Величины технико-экономических коэффициентов по затратам
труда (нормы затрат труда) определяются по данным
технологических карт на возделывание сельскохозяйственных культур или
другим источникам и измеряются в человеко-часах или
человеко-днях.
Ограничения по техническим ресурсам ставят, как правило,
по видам техники: тракторам, комбайнам и т. д. В случае, если
техника универсальная и может быть использована на
различных видах полевых работ, в качестве технико-экономических
коэффициентов используют величины, выражаемые в
условных единицах (усл. эт. га). Через эти же величины
пересчитывают и объемы ресурсов (константы). Например, при наличии
в хозяйстве 10 тракторов с годовой загрузкой 150эт. га и 5
тракторов с загрузкой 100 эт. га общий объем ресурса
механизированного труда с использованием тракторов составит
2000 га.
470

Если техника используется только при одном виде полевых
работ, то в качестве единиц измерения могут быть применены
натуральные гектары.
При постановке ограничений по минеральным удобрениям их
подразделяют на виды (азотные, фосфорные, калийные,
микроудобрения и т. д.). Для того чтобы привести к единому
показателю эффективность удобрений, их соизмеряют в кг д. в. или в ц
усл. туков.
В районах орошения ограничения по объемам оросительной
воды измеряют в тыс. м3.
Ограничения, учитывающие финансовую сторону проекта (по
единовременным и ежегодным затратам, основным и оборотным
фондам), принимают, как правило, в рублях.
Технико-экономические коэффициенты выбирают из разного рода калькуляций.
3. Ограничения по производству и использованию кормов
формулируют, исходя из следующего соотношения: потребление
кормов < производство кормов.
При переносе неизвестных членов из правой части
неравенства в левую их знак меняют на обратный. Константы, например
переходящие с прошлого года запасы кормов, остаются в правой
части с положительным знаком. Тогда в общем виде ограничения
по производству и использованию кормов можно записать так:
-? vitxJ + X WjjXj<Aj+Xj, ie М3,
где v,y — выход кормов /-го вида (урожайность основной или побочной продукции,
продуктивность угодий) с единицы площади вводимой переменной, ц с 1 га; wy —
норма кормления 1 гол. скота (птицы), ц; /^ — известный запас кормов, ц;
x/je Q\ u Qi u (?з) — отрасли растениеводства; x} (Je Q4) — отрасли
животноводства; jc/ — дополнительно приобретаемые корма.
Ограничения по кормам составляют целый блок ie My
Обычно их формулируют по всем видам кормов (концентраты, сено,
силос, корнеплоды, сенаж, травяная мука, зеленые корма) в
центнерах. Дополнительно ставят ограничения по обеспечению
полноты и питательности кормов, выражая их в кормовых единицах,
переваримом протеине и каротине.
Ограничения по зеленым кормам разбивают по месяцам или
декадам пастбищного периода.
В случае, если в процессе решения задачи отрасли
животноводства являются заданными величинами, ограничения
упрощаются и имеют следующий вид:
^VijXj>Vh ie My
/
где Vj — объем гарантированного производства кормов /-го вида.
471

В случае, если при моделировании стоит задача
оптимизировать рационы животных и сбалансировать их по питательности,
данное ограничение будет выглядеть так:
Y^lvijXj<vh
J*Q
где Vf и Vi — соответственно нижняя и верхняя границы рационов животных.
Например, в модели оптимизации рациона основными
являются ограничения по обеспечению животных различными
питательными веществами в минимально необходимом количестве
(кормовые единицы, переваримый протеин, каротин и др.).
Ограничение по балансу кормовых единиц имеет следующий вид:
0,95*! + 0,45*2 + 0,22х3 + 0,11х4 > 20,
где *!, х2, х3 и х4 — переменные, обозначающие искомое количество концентратов,
сена, силоса и корнеплодов в рационе коровы; технико-экономические
коэффициенты показывают содержание кормовых единиц в 1 кг соответствующих кормов, а
константа 20 — минимально допустимую суточную норму в кормовых единицах
для обеспечения требуемой продуктивности.
При использовании строгих равенств система ограничений
модели может быть несовместной. Так, если условия по
кормовым единицам, каротину, переваримому протеину задать
равенствами, то обеспечение переваримым протеином, например,
может быть гарантировано при невысоком содержании его в
кормах данного хозяйства лишь в случае превышения (избытка)
кормовых единиц.
В то же время при записи условия по сухому веществу
используется тип ограничения <.
4. Условия гарантированного производства отдельных видов про-
дукции связывают переменные задачи (отрасли) с объемами
производства. Объемы работ или производства продукции могут
определяться:
1) заданной величиной (тип ограничения =);
2) минимально допустимой границей (тип ограничения >);
3) максимальной границей (тип ограничения <);
4) интервалом между минимальной и максимальной границами.
В моделях с минимизирующими критериями наиболее важны
первые два типа ограничений. Они имеют следующий вид:
I,vijxj=vi или ^ijXj>Vn ie A/4,
где Vj — объем гарантированного производства продукции /-го вида.
Например, если поголовье коров обозначено величиной х15, а
удой на 1 гол. составляет 50 ц, то при плане реализации молока
472

25 000 ц ограничение по гарантированному производству будет
иметь вид
50х15>25 000.
В то же время поголовье коров может быть ограничено
числом имеющихся в хозяйстве ското-мест, например
х15<400.
Эти два условия противоречат друг другу, поскольку для
выполнения плана закупок необходимо иметь не менее 500 коров
(25 000 : 50 = 500), а постройки позволяют содержать лишь 400.
Нельзя допускать несовместимости условий, иначе задача не
будет иметь решения.
5. Ограничения, устанавливающие пропорции между отраслями
или различие взаимосвязи переменных, вводятся для того, чтобы
ограничить размеры отраслей (Xj<bi)9 зафиксировать их на
требуемом уровне (xj=bj), предусмотреть развитие (ху>6,) или
установить в определенном интервале параметры (b^xj^bi).
Различные взаимосвязи переменных могут устанавливаться
прежде всего по организационно-хозяйственным,
технологическим и другим причинам.
Например, поставлено условие обеспечить себя семенами
многолетних трав собственного производства. Примем
урожайность многолетних трав на семена равной 3 ц с 1 га, а норму
высева семян — 0,2 ц на 1 га, то есть 1 га многолетних трав,
используемых на семена, обеспечит дополнительно 15 га посева этой
культуры.
Используем ранее приведенные обозначения:
х4 — многолетние травы на сено;
х5 — многолетние травы на зеленый корм;
х6 — многолетние травы на семена.
Ограничение по балансу семян многолетних трав примет вид
0,2(х4 + х5) = Зх6,
или в окончательном виде
0,2*4 + 0,2х5 - Зхб = 0.
Рассмотрим еще один пример.
Допустим, при разработке экономико-математической модели
стоит задача выдержать следующий севооборот с озимыми
зерновыми на товарные цели:
1) многолетние травы на корм;
2) многолетние травы на корм;
473

3) многолетние травы на корм и семена;
4) озимые зерновые.
В этом -севообороте озимые надо разместить по многолетним
травам 3-го года пользования. Тогда ограничения по
предшественнику озимых (х{) примут следующий вид:
х{ = 0,333(х4 + *5 + *б), или
хх - 0,333х4 - 0,333х5 - 0,333х6 = 0.
Данное ограничение можно описать в следующем виде при
менее жесткой постановке задачи:
X! < 0,333(Х4 + Х5 + Хб).
В процессе экономико-математического моделирования могут
возникать аналогичные и другие ограничения, которые будут
рассмотрены нами при математической формулировке
конкретных землеустроительных задач.
Контрольные вопросы и задания
1. Как установить перечень основных переменных задачи?
2. Какие виды основных переменных существуют в землеустроительных
задачах?
3. Какие виды ограничений существуют?
4. Назовите основные приемы построения ограничений.
5. Как построить ограничения с постоянными коэффициентами при
переменных и известными и изменяющимися объемами ограничений; с изменяющимися
коэффициентами при переменных?
6. В чем заключаются методы средневзвешенного, суммирования и вычитания
коэффициентов, приемы поэтапного решения задачи и ее сжатия?
7. Назовите основные типы ограничений в землеустроительных задачах, их
особенности.
Глава 21
КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ
ПРИ РЕШЕНИИ ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ
21.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Выбор критерия оптимальности — один из наиболее важных и
ответственных этапов моделирования. Даже при самой
тщательной постановке и математической формулировке
землеустроительной проектной задачи, обосновании системы переменных и
условий, адекватно отражающих действительность, неудачно
выбранный критерий оптимальности может привести к неудов-
474

летворительным решениям и исказить целевую установку
проекта землеустройства.
Возникновение понятия «критерий оптимальности» было
обусловлено разработкой оптимизационных моделей, в которых
задавалось достижение экстремального (максимального или
минимального) значения какого-то экономического результата. В этой
связи требовалось не только качественно определить показатели
экономической функции, но и аналитически выразить их в виде
конкретной математической функции. Поэтому в теории
моделирования возникло такое понятие, как целевая функция.
Целевая функция (функционал, целевая установка, функция
цели) — это аналитическая форма выражения критерия
оптимальности задачи.
В связи с тем что развитие экономико-математического
моделирования в землеустройстве началось с постановки и решения
частных задач по оптимизации трансформации угодий,
проектированию севооборотов, планированию структуры посевов и т.д.,
в качестве критериев оптимальности использовались простейшие
показатели оценки эффективности (эффекта) землеустройства.
При этом эффективность землеустройства сводилась к
экономической эффективности развития сельскохозяйственного
производства на конкретных сельскохозяйственных предприятиях, а в
качестве целевых установок задач применялись критерии:
максимизирующие валовую и товарную продукцию в
стоимостном и натуральном выражении, валовой, чистый доход,
прибыль, рентабельность производства, производительность
труда и др.;
минимизирующие приведенные затраты, затраты труда,
материально-денежных средств, некоторые виды ресурсов (пашни,
кормов и т.д.), себестоимость продукции;
обусловленные порайонными особенностями
землеустройства (минимум коэффициента эрозионной опасности культур,
максимум оленеемкости пастбищ, максимум проектного
покрытия почв растениями, минимум смыва почвы, максимум
накопления в почве органического вещества и т.д.), отображаемые,
как правило, в натуральном или безразмерном выражении.
При математическом моделировании экономических
процессов в целом по народному хозяйству выделяют так называемые
глобальный, а также отраслевой и локальные критерии
ОПТИМАЛЬНОСТИ? "
Глобальный критерий оптимальности — это критерий
функционирования народного хозяйства как целостной экономической
системы общества. В настоящее время проблема построения
количественного значения глобального критерия оптимальности
как математической функции цели не решена.
Математики-экономисты выделяют две основные концепции
при решении этой задачи:
475

глобальный критерий — это максимум совокупного
общественного продукта или важных его составных частей
(национального дохода, фонда накопления, фонда потребления и т.д.);
глобальный критерий должен максимизировать
благосостояние общества (его материальные и духовные потребности).
Однако сторонники и противники концепций понимают, что
выбрать и обосновать глобальный критерий оптимального
функционирования народнохозяйственной экономической системы
формально, математическими методами невозможно. Это
сложная социально-экономическая проблема.
Отраслевой критерий оптимальности характеризует
эффективность отрасли или определенной сферы деятельности, каковой и
является землеустройство.
Любая отрасль или сфера деятельности как подсистема
народнохозяйственного комплекса имеет иерархическую структуру,
элементы которой обладают определенной самостоятельностью,
специфичностью, локальными целями, поэтому отраслевые
критерии оптимальности могут реализовываться через локальные
критерии оптимальности.
Экономические процессы, направленные на решение частных
технико-экономических задач в землеустройстве, преследуют
конкретные цели и оптимизируются с помощью частных
критериев оптимальности, подчиняющихся требованиям локальных
критериев.
Проблема эффективности землеустройства более подробно
рассматривается в курсе «Экономика землеустройства».
В общем виде целевая функция линейной оптимизационной
задачи записывается так:
п
Z=F(x)= ^CjXj ->max(min)
7 = 1
или в расширенной постановке
F{x) = С\Х\ + с2х2 + ... + с„хп -> max (min),
где cj — коэффициент целевой функции при переменных величинах; значение с, в
данной постановке должно быть известно.
Если задача предполагает определение оптимального плана, в
котором за счет имеющихся производственных ресурсов должно
быть произведено максимальное количество валовой продукции,
то коэффициентами в целевой функции с, будет стоимость
валовой продукции, полученной в расчете на единицу принятой
размерности для переменных величин. Оптимальное решение
системы обеспечит достижение максимально возможного значения
избранного показателя решения задачи, то есть максимума
производства валовой продукции в стоимостном выражении.
476

Таким же образом в качестве с, могут использоваться
известные, рассчитанные заранее значения стоимости товарной
продукции, валового или чистого дохода и т. д., что соответствует
таким критериям оптимальности, как максимум стоимости
товарной продукции, максимум валового дохода, максимум чистого
дохода. То есть коэффициенты с^ могут иметь как прямой
характер, например стоимость валовой продукции, так и быть
расчетными (производными) величинами. Такими будут
коэффициенты при решении экономико-математической задачи с целевыми
функциями по максимуму прибыли (где с, — прибыль,
полученная в расчете на единицу размерности, принятой по объекту,
обозначенному х,), минимуму приведенных затрат (где Cj
рассчитывается как Sj + EKj\ Sj — себестоимость продукции по у-й
переменной; Е — нормативный коэффициент эффективности
капиталовложений; А} —удельные капиталовложения на единицу
размерности, принятой по переменной xj).
В последнее время для решения землеустроительных задач,
имеющих природоохранный характер, используют и такой
критерий оптимальности, как максимум чистого дохода в расчете на
единицу приведенных затрат по каждой конкретной переменной
Xj. Тогда значение cj рассчитывают по следующей формуле:
с.= 1/
J Sj+EKj'
где Pj — чистый доход поу-му объекту.
Многие землеустроительные задачи решаются по
комбинированным (смешанным) критериям оптимальности, то есть по
таким, которые предполагают вычисление целевой функции в
процессе решения задачи.
Например, значение чистого дохода может вычисляться и так:
п
F(x)= X cjxj -*/->max,
7 = 1
где cj — стоимость валовой продукции на единицу вводимой переменной; х, —
суммарные производственные затраты (вычисляются в процессе решения задачи,
исходя из ограничения ? S х.- - х, = 0, где 5} — себестоимость продукции на единицу
переменной). J=l
В целевую функцию значение х, вводится с коэффициентом
(-1). Таким образом, первая часть функционала представляет
собой стоимость валовой продукции, вторая — производственные
затраты, а все вместе — чистый доход, который и
максимизируется.
477

В ряде случаев используют критерии оптимальности, в
которых целевая функция имеет дробно-линейный вид. В числе таких
критериев производительность труда и т. д. Так, в качестве
оценки переменных величин при названных критериях будет дробь
С 'X •
/ ,/ а общая величина показателя качества решения задачи бу-
"Л"
ZCjXj
дет определена как - , которая должна достичь макси-
Yjdjxj
7=1
мального значения. J
Решения, которые учитывают одновременно действие
нескольких критериев оптимальности, называются субоптимальными.
При решении землеустроительных задач могут применяться и
другие критерии оптимальности. Например, при оптимизации
структуры посевных площадей в районах водной эрозии почв
предлагалось использовать такие критерии оптимальности, как
минимальный суммарный коэффициент эрозионной опасности
культур (в условиях эрозии, вызываемой весенним
снеготаянием), а также максимум проективного покрытия почв растениями
(в условиях ливневой эрозии).
Рассмотрим, как строится целевая функция с использованием
первого критерия оптимальности.
Обозначим коэффициент эрозионной опасности культур
через Кк. Известно, что для зяби (пара) Кк=1, для пропашных
культур 0,7—0,85, для яровых зерновых 0,4—0,6, для озимых 0,3,
для многолетних трав 0,01—0,06 в зависимости от года
использования.
Данные коэффициенты соответствуют участкам с крутизной
склона от 3° до 8° (в среднем 6°). На ровной местности опасность
смыва при любом составе культур близка к 0. Поэтому в Кк
вводится поправка 5Ь учитывающая крутизну склона:
v y * v l°m. s l°m
где Kki — коэффициент эрозионной опасности с учетом рельефа местности; Гт —
средняя крутизна склона по севообороту.
Опасность эрозионного разрушения зависит также от проти-
воэрозионной устойчивости почв, поэтому в Kki вводится
поправка 82, учитывающая устойчивость почв к смыву:
где Кп = 62 — коэффициент, учитывающий противоэрозионную устойчивость почв.
478

При известных площадях пашни или севооборотов значение
ctj в целевой функции выглядит следующим образом:
_ Кк5ф2
ctj~ Б >
Ч
где Pj — площадь пашни или севооборота.
Целевая функция примет вид
Z=l lctjxtj=Z IV к\Ч ЧX(l->mm.
/=ly=l t=\j=\ pj
Для удобства вычисления значений Кк умножают на 10 000.
Для сахарной свеклы (^=0,85), выращиваемой в полевом
севообороте площадью Р= 1000 га, со средней крутизной склона
3
3°8i=-=0,5 при противоэрозионной устойчивости почв Кп =
о
= 52 = 2 значение ctj определится следующим образом:
0,850,5210000 ЛОС
ссв = гт^т: =0,85.
св 1000
Для многолетних трав в том же севообороте
_ 0,030,5-2-10000 _П1
Смнтрав- 100()
При решении задач на максимум с использованием
коэффициента эрозионной опасности культур значение целевой
функции будет выглядеть следующим образом:
z-jj(l-(Kk)№j
/=iy=i
Pj
x/y->max.
Почвозащитное значение сельскохозяйственных культур в
период ливневых дождей сказывается иначе, чем в период
снеготаяния. В этом случае значительную роль играют пропашные
культуры (особенно в период сентябрьских ливней) и многолетние
травы, образующие растительный полог, хорошо защищающий
почву от эрозии. Поэтому в условиях ливневого стока в качестве
критерия оптимальности целесообразно использовать максимум
проективного покрытия.
479

Обозначим проективное покрытие культур в /-й месяц
вегетации через а. Средневзвешенное проективное покрытие /-й
культуры будет определяться по формуле
1а
ао=—>
где / — число месяцев вегетационного периода.
Функция цели будет выглядеть следующим образом:
S n S n afi
где Р— площадь пашни.
Значение atj для пропашных культур при площади пашни
1000 га и значениях проективного покрытия в мае 5%, июне —
20, июле — 50, августе — 80, сентябре — 100 % определяется так:
5+20+50+80+100 255 сло,
atj= =—=51%.
21.2. СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫЕ
РЕШЕНИЯ
Известно, что при землеустроительном проектировании
решают многие вопросы. Во-первых, оптимизируется размещение
объектов производственной и социальной инфраструктуры
хозяйств; во-вторых, устанавливаются объемы производства
сельскохозяйственной продукции, сочетание отраслей на
предприятиях и размещение производства с учетом особенностей землеуст-
раиваемой территории; в-третьих, определяются основные
направления использования земель и организуется земельная
площадь сельскохозяйственных предприятий. Поэтому
составление землеустроительного проекта — многоцелевая задача.
Правильно составленный и экономически обоснованный
проект землеустройства должен обеспечивать получение
максимального количества валовой и товарной продукции, прибыли,
способствовать снижению (минимизации) издержек
производства, обеспечивать высокую производительность труда, низкую
себестоимость продукции, а также создавать условия для
постоянного повышения плодородия почв.
Качество проекта землеустройства оценивается по многим
показателям. Поэтому проектное предложение, получаемое в ре-
480

зультате оптимизации только по одному критерию, может
оказаться нелучшим. Использование других критериев
оптимальности в отдельности создает аналогичную ситуацию, так как в
каждом оптимальном плане значение выбранного в качестве целевой
функции показателя экстремальное, а значения других —хуже,
чем могли бы быть.
Известны примеры, когда план, максимизирующий объемы
товарной продукции в стоимостном выражении, дает
наибольшие издержки производства и, как следствие, наименьший
чистый доход. В то же время план, максимизирующий чистый доход,
может значительно снизить объем товарной или валовой
продукции. Поэтому оба этих плана могут быть непригодны при
составлении проекта землеустройства в реальной экономической
ситуации.
В связи с этим возникает задача поиска такого решения,
которое было бы наилучшим (компромиссным) по выполнению всех
критериев оптимальности. В теории экономико-математических
методов и моделирования такое решение называется
субоптимальным.
Таким образом, субоптимальное решение — это план, который
учитывает одновременно действие всех критериев
оптимальности данной задачи и отражает все реально поставленные условия,
то есть субоптимальный план является или может быть
неоптимальным по каждому отдельно взятому критерию, но должен
быть наилучшим с точки зрения выполнения всех критериев
одновременно (рис. 30).
В общей модели проекта землеустройства система
ограничений представлена линейными неравенствами и уравнениями,
выделяющими в евклидовом я-мерном пространстве некоторый
:2 -
1 Максимум дохода
Область допус1 'Z^^F^T
т им ых решении^\ Ov.
Чиним
затрс
-
rm
<^ • ^\
^ч. Субоптимальный
^* план у
Ф Эмпирический ^jf
план ^У^^
1 1 1 1 щ^
jk Максимум валовой
' \ продукции
>
Рис. 30. Геометрическая интерпретация многокритериальных землеустроительных
задач
481

выпуклый многогранник. Величина этого многогранника сильно
влияет на точность планов, полученных разными способами.
Если многогранник мал, любое допустимое решение будет
близко по своему экономическому эффекту к оптимальному. В
этом случае поиск субоптимального решения необязателен.
Если многогранник вырождается в точку, то план, найденный
любым способом, будет оптимальным, поскольку он в задаче
единственный.
В случае, если многогранник допустимых решений имеет
значительные размеры, произвольный допустимый план, например
полученный традиционными методами (эмпирический), может
отличаться от оптимального по любому критерию весьма
существенно. Будет он отличаться и от субоптимального плана.
При отыскании минимума целевой функции с
положительными коэффициентами при неизвестных оптимум получается в
вершине, достаточно близкой к началу координат, при
нахождении максимума —в наиболее удаленной.вершине. Точка,
соответствующая субоптимальному плану, располагается в области
допустимых решений где-то между минимальной и
максимальной вершинами в зависимости от значимости критериев.
Учитывая это, для поиска субоптимальных решений были
предложены методы, учитывающие различную
предпочтительность критериев оптимальности: последовательных уступок,
штрафных функций, равных и наименьших относительных
отклонений, линейного мультипрограммирования, выпуклой
комбинации. Обзор этих методов дан в научной работе А. М. Они-
щенко (Критерии оптимизации сельскохозяйственного
производства и методы нахождения наиболее эффективных планов по
нескольким критериям. — Киев, 1970), а также в учебнике
профессора А. М. Гатаулина (Математическое моделирование
экономических процессов в сельском хозяйстве/ Под ред. А. М.
Гатаулина. — М: Агропромиздат, 1990. — С. 134—139).
Получение субоптимальных планов в экономике называют
еще решением многокритериальных задач, многоцелевой
оптимизацией или решением задач с векторным критерием качества.
Исследования показали, что при решении таких задач
необходимы:
обоснование набора (перечня) критериев, подлежащих
рассмотрению в данной модели;
оценка относительной предпочтительности критериев или
построение некоторой шкалы предпочтительности;
определение условий возможного компромисса (выбор схемы
компромисса) и обоснование метода нахождения
компромиссного варианта решения (выбор схемы расчета обобщенного
критерия).
Набор (перечень) возможных критериев определяется
характером исследуемого экономического процесса и устанавливается
482

на основе логического анализа. На практике редко встречаются
задачи, когда необходимо одновременно рассматривать более
трех-четырех критериев.
При оценке предпочтительности различных критериев
оптимальности землеустроительных задач с использованием
экспертных оценок можно построить специальную шкалу. В шкале
условия предпочтительности могут быть выражены в баллах оценки
каждого &-го критерия из некоторого множества S или в виде не-
s
которых весовых коэффициентов pk\ при pk > О Х/>*=1.
к=\
При невозможности установить шкалу предпочтительности
исходят из предположения экономической равнозначности
критериев, и их ранжирование не производится:
Условия возможного компромисса определяют путем:
минимизации относительных отклонений от оптимальных
значений по всем рассматриваемым критериям;
фиксирования одного из критериев на некотором заданном
уровне и оптимизации по следующему критерию и т. д.
В соответствии с различными условиями компромисса
разработаны методы нахождения многокритериальных
компромиссных или субоптимальных решений.
Метод последовательных уступок состоит в отыскивании
оптимума наиболее предпочтительного критерия, затем
экстремальная величина уменьшается (или увеличивается) посредством
введения в задачу нового ограничения. В расширенной задаче
находится экстремум второго критерия, после чего вводится
дополнительное ограничение на его величину (делается вторая
уступка). В новой задаче оптимизируется третий критерий и т. д.,
пока все критерии не будут использованы. Метод обладает тем
недостатком, что степень приближения окончательного решения
к каждому отдельному оптимуму, кроме первого, остается
неопределенной, и решение может оказаться ближе к экстремуму по
менее важному критерию.
Метод штрафных функций заключается в том, что к основному
критерию прибавляются некоторые специальные функции,
сформулированные по остальным критериям. Эти так
называемые штрафные функции ухудшают значение функционала тем
больше, чем больше отклоняются от своих экстремальных
значений учитываемые ими показатели. Решив задачу по новому
критерию, получим субоптимальный план.
Если связать два критерия в одной целевой функции посред-
483

ством некоторого параметра, то компромиссный план может
быть найден путем решения задачи параметрического
программирования. Иногда оказывается возможным по тем же исходным
данным составить дробно-линейный критерий, который также
оптимизируется. Из полученной совокупности оптимальных
планов выбирают наилучший по выполнению всех трех критериев.
(Применение математических методов при внутрихозяйственном
землеустройстве. Заключительный отчет ГИЗР. —Б. Вяземы,
1975.-С. 159-160).
Метод равных и наименьших относительных отклонений,
предложенный И. Ныковским (Польша), состоит в следующем.
Исходная задача решается по каждому критерию отдельно, для всех
критериев вычисляют экстремальные значения. После этого
ставится требование, чтобы компромиссному плану
соответствовали равные и минимальные относительные отклонения всех
критериев от своих экстремальных значений. Равенство отклонений
обеспечивается дополнительными ограничениями, вводимыми в
задачу, минимизация — новой целевой функцией.
Предпочтительность критериев можно учесть путем введения поправочных
коэффициентов. Решение такой «замещающей» задачи дает
компромиссный план.
Способ линейного мультипрограммирования, разработанный
чешским ученым И. Саской, по характеру математических
операций лучше назвать способом минимакса. После отыскания
оптимума для каждого рассматриваемого критерия в многограннике
решений определяется точка, максимальное удаление которой от
всех гиперплоскостей, соответствующих экстремальным
значениям функционалов, было бы минимально. Эта точка и
считается субоптимальной (Математическое моделирование
экономических процессов в сельском хозяйстве/ Под ред. А. М. Гатаули-
на. — М.: Агропромиздат, 1990. — С. 136—137).
По методу выпуклой комбинации, предложенному немецким
исследователем X. Юттлером, сначала отыскивают оптимальные
планы по каждому критерию, а затем составляют их выпуклую
линейную комбинацию, коэффициенты которой определяют из
решения дополнительной задачи (Юттлер X. Линейная модель с
несколькими целевыми функциями// Экономика и
математические методы, 1967. — № 3).
Рассмотренные методы разработаны для решения только
линейных задач. Однако общая модель землеустроительного
проекта, в которую целесообразно включение нескольких
функционалов, содержит задачу размещения производственных центров,
вызывающую разрыв почти всех целевых функций. Кроме того,
некоторые важнейшие экономические показатели (например,
рентабельность) имеют дробно-линейную структуру. Поэтому в
Государственном научно-исследовательском институте
земельных ресурсов (ГИЗР) на основе метода выпуклой комбинации в
484

1970—1975гг. И.Ф.Полуниным был разработан и апробирован
для землеустроительных задач специальный способ получения
субоптимальных решений без привлечений теории игр, как это
имело место у X. Юттлера (Полунин И. Ф. Субоптимальные
решения при обосновании землеустроительных проектов. — В сб.:
Вопросы землепользования и землеустройства. Научные труды
ГИЗР.-М., 1974. -№10. -С. 56-63).
Рассмотрим порядок применения этого метода для решения
землеустроительных задач.
Пусть требуется найти максимум (минимум) г показателей:
Zk=Fk(xux2, ...,*„), к=1, 2, ..., г
при условиях
f(xux2, ..., хп)>0, /= 1, 2, ..., т.
Решим задачу отдельно по каждому критерию и вычислим
соответствующие оптимальные планы:
Щх^хр,...^), /=1,2,..., г.
Будем считать компромиссным планом вектор X0(xi,x2,...,x%),
являющийся выпуклой линейной комбинацией найденных
оптимальных решений:
Xq ~^\Х\ +А.2^2 +-~+ХгХг\
lXk=l, Xk>0, A: = 1,2, ..., г.
к = \
Если область определения исходной задачи выпуклая, то
такой план всегда окажется допустимым. Следовательно, данная
задача заключается в определении значений X.
Используя значения X, можно вычислить все переменные
субоптимального плана следующим образом:
\x?=Xlx[l)+X2x[2)+...+Xrx[r)
\х%=ХххУ)+Х1х?)+..лХгх{{)
[х°=Х{х«Кх2х?К..лХгхР
Коэффициенты Хк выпуклой комбинации И. Ф. Полунин
485

предложил определить, исходя из условия минимума
наибольшего относительного отклонения величины каждого критерия в
компромиссном плане от его экстремального значения. Для
этого предлагалось использовать следующий путь. Подставим
каждый оптимальный план Xj в каждую целевую функцию zk.
Получим численные значения функционалов:
Zki=Fk(Xi), к= 1, 2, ..., г, /= 1, 2, ..., г,
которые при к = I будут экстремальными.
Вычислим коэффициенты ак1 по формуле
z'kl-z'kk\
zkk \
к= 1, 2, ..., г, /=1, 2, ..., г.
Они представляют собой модули относительных отклонений
величин критериев в разных оптимальных планах от их
экстремальных значений. При к = 1 имеем акк=ац=0. Все
коэффициенты сведены в таблицу 147.
147. Вычисление значений ам
Целевые функции
Оптимальные планы
*i
хг
х,
Хг
Z\ <*ll Я|2 <*\l &\г
Z2 a2\ а22 а2, а2г
Zk fl*i ak2 аи аь
Zr ar\ аг2 ан ап
Первый оптимальный план Х\ войдет в компромиссное
решение с коэффициентом \\\ он привнесет с собой такую же долю
относительного отклонения первого функционала от
экстремального значения, то есть величину апХ{. Второй частный
оптимум Xi будет включен в эффективный план с коэффициентом
Х2, относительное отклонение в нем первого критерия от своего
экстремума войдет в эффективный план с той же долей Х2 и
составит а[2к2. Продолжая рассуждения, получаем отклонение
первого критерия из-за третьего частного оптимума а13Х3, из-за
четвертого -А^ИТ.Д.
акГ
Fk(X,)-Fk(Xk)
Fk{Xk)
486

Сумму указанных величин будем считать относительным
отклонением vi первого критерия в компромиссном плане от его
экстремального значения:
Аналогичное выражение можно составить для второго, третьего
и всех последующих функционалов. В итоге получим систему
**i*i + akih + - + akr\r = vk9 k= 1, 2, ..., г.
В случае предпочтительности каких-либо критериев левая
часть нужных уравнений умножается на соответствующий
коэффициент.
Из приведенных выражений видно, что все отклонения v*
неотрицательны:
v*>0,*=l, 2, ..., г.
Выберем из них наибольшее отклонение
max v* = v
и согласно сформулированному выше требованию будем его
минимизировать.
Целевая функция U новой задачи имеет вид
t/=min (max)v^,
или
U= v->min.
Заменяя во всех уравнениях правые части наибольшим
отклонением v, приходим к системе нестрогих неравенств:
a*i^ + %2^2+--- + tf*A^v, к= 1, 2, ..., г.
Добавив условие ^ХАС=1, получаем следующую задачу линей-
ного программирования:
найти минимум функции
U= v->min
487

при ограничениях
[fl| |Xi +^12^2 +...+flirA.r - v<0 ]
\а2\^\ +fl22^2 +—+^2r^r ~V<0
]flrlXi+ar2X2+...+ ^Xr-V<0 Г
[xr>0,Jfc=l,2,...,r;v>0 J
Приведем пример задачи по установлению сочетания
отраслей и структуры земельных угодий на одном из
сельскохозяйственных предприятий, которая решалась по следующим
четырем критериям оптимальности (максимумам):
чистого дохода;
производственных затрат;
валовой продукции;
товарной продукции.
На первом этапе решения задачи было получено четыре
оптимальных плана с перечнем переменных.
На втором этапе значения этих переменных поочередно
подставлялись в каждую целевую функцию, в результате чего
определились 16 значений функционалов, на основании которых
было вычислено 16 коэффициентов aki (табл. 148).
148. Числовые значения ак*
Целевые функции
Оптимальные планы
Максимум
чистого дохода
*i
Минимум
затрат
хг
Максимум
валовой
продукции
*э
Максимум
товарной
продукции
я,
Чистый доход 0 0,0392 0,0620 0,0685
Затраты 0 0 0,0292 0,0334
Валовая продукция 0,0296 0,0330 0 0
Товарная продукция 0,0340 0,0392 0 0
¦Применение математических методов при внутрихозяйственном
землеустройстве. Заключительный отчет ГИЗР. — Б. Вяземы, 1975. — С. 267.
На основании данных таблицы была построена следующая
задача линейного программирования.
Необходимо найти минимум функции:
U= V-* min.
488

При ограничениях:
ОХ! + 0,0392Л2 + 0,0620Л3 + 0,0685Л4 - V< 0;
0Х{ + 0к2 + 0,0292Лз + 0,0334Х4 - V< 0;
0,0296*! + 0,0330Х2 + 0Х3 + 0Х4 - V< 0;
0,0340Xi + 0,0392Х2 + 0Х3 + 0Х4 - V<0;
X1+X2 + X3 + X4=sl.
Решение данной задачи дало следующие результаты:
U= ^min = 0,0218; Х{ = 0,6458; Х2 = 0; h = 0,3542; Л4 = 0.
На третьем этапе вычислялись значения неизвестных
субоптимального плана. Например, значение х{ определялось по
формуле
jq0=0,6458x!(1) + 0х(2) + 0,3542х{3)+0х}4).
Учитывая, что х[1)=90, х|2)=103, х{3)=129, х|4)=90,
X!0=0,6458-90+0,3542129=103,8.
Так же производился перерасчет значений других
переменных.
По аналогичной методике нами проводились расчет
субоптимального плана и решение многокритериальной задачи по
установлению состава культур в севооборотах различных типов на
примере одной из бригад колхоза «Ленинец» Алексеевского
района Белгородской области.
В бригаде были выделены три массива пахотных земель.
Первый массив площадью 293 га размещался вблизи населенного
пункта и фермы на землях I категории. Второй массив площадью
232 га примыкал непосредственно к балкам и оврагам и
размещался на землях IV и V категорий. Третий массив площадью
941 га размещался на землях II и III категорий.
По проекту землеустройства первый массив предполагалось
выделить под кормовой севооборот, на втором ввести
почвозащитный севооборот, а на остальных пахотных землях
запроектировать полевой севооборот. Результаты решения задачи по
определению оптимального состава культур в севооборотах,
найденные по сравниваемым критериям, приведены в таблице 149.
Из таблицы видно, что состав культур в севооборотах
соответствует целевому назначению последних. Так, в кормовом
севообороте преобладают культуры, идущие на корм скоту, в
почвозащитном — эрозионно устойчивые.
489

149. Площади культур в севооборотах, вычисленные по проекту и различным
критериям оптимальности, га
Севообороты
Озимые
Яровые
Свекла
Кукуруза
Зернобобовые и
однолетние травы
Овощи
Картофель
Итого
Озимые
Яровые
Кукуруза
Зернобобовые
Многолетние травы
Итого
Озимые
Яровые
Свекла
Кукуруза
Зернобобовые и
однолетние травы
Многолетние травы
Подсолнечник
Кориандр
Итого
По различным критериям оптимальности
Максимум
валовой
продукции
27
—
59
59
59
30
59
293
Максимум
чистого
дохода
Кормовой
27
—
59
59
59
30
59
293

Средневзвешенное
покрытие
—
27
59
118
—
30
59
293
Почвозащитный
58
29
—
29
116
232
230
113
116
212
106
—
106
58
941
58
29
—
—
145
232
Полевой
230
113
116
212
106
—
106
58
941
58
29
—
—
145
232
212
106
116
237
—
106
106
58
941
Коэффициент
эрозионной
опасности
27
27
59
32
59
30
59
293
58
29
—
—
145
232
230
ИЗ
116
106
106
106
106
58
941

Субоптимальный
план
26
6
59
57
56
30
59
293
58
29
—
—
145
232
229
113
116
194
102
23
106
58
941
Сравнение показателей оптимальных планов, найденных по
различным критериям оптимальности, приводится в таблице 150.
Данные таблицы свидетельствуют о том, что оптимальные
планы, полученные по различным критериям в анализируемой
задаче, способствуют росту стоимости валовой продукции и
чистого дохода по сравнению с традиционным проектом
землеустройства в среднем на 8—10% при улучшении противоэрозион-
ной структуры посевов в севооборотах. Уменьшается
коэффициент эрозионной опасности культур, увеличивается
средневзвешенное проективное покрытие.
Вместе с тем значения чистого дохода, учитывающие
стоимость питательных элементов в результате сокращения смыва
почвы, изменяются не только в зависимости от критерия
оптимальности, но и от характера проявления эрозии. В условиях
эрозии, вызываемой таянием снега, наибольший экономический
эффект имеют севообороты, состав культур в которых определен
490

150. Сравнение результатов вычислений с проектными данными (в сопоставимых ценах 1983 г.)
Показатели
На год
землеустройства
По проекту

землеустройства
По различным критериям оптимальности
Максимум
валовой
продукции
Максимум
чистого
додхода
Максимум
проективного
покрытия
Минимум
коэффициента
эрозионной
опасности
В
субоптимальном плане
1. Стоимость валовой
продукции, тыс. руб.
В том числе на 1 га пашни,
руб.
К данным проекта, %
2. Чистый доход, тыс. руб.
В том числе на 1 га пашни,
руб.
К данным проекта, %
3. Проективное покрытие, %
К данным проекта, %
4. Коэффициент
эрозионной опасности культур:
в полевом севообороте
в кормовом севообороте
в почвозащитном
севообороте
5. Коэффициент эрозионной
опасности с учетом рельефа:
в полевом севообороте
в кормовом севообороте
в почвозащитном
севообороте
6. Стоимость питательных
элементов в результате
сокращения смыва в период
снеготаяния, тыс. руб.
В том числе на 1 га пашни,
278,5
190
76,7
61,3
42
37,8
47,3
97
0,54
0,27
364,5
248
100
164,0
111
100
50,6
100
0,53
0,63
0,17
0,26
0,11
0,12
402,2
274
НО
180,9
123
109
51,2
101
0,49
0,63
0,17
0,23
0,11
0,13
402,1
274
НО
181,0
124
ПО
52,1
103
0,49
0,63
0,17
0,23
0,11
0,12
395,4
269
108
177,9
121
108
55,0
109
0,52
0,67
0,17
0,25
0,12
0,12
397,1
271
109
178,7
121
108
53,2
105
0,44
0,54
0,17
0,21
0,09
0,12
400,8
273
ПО
180,4
123
109
52,7
104
0,47
0,62
0,17
0,22
о,п
0,12
2,9
2,0
VO руб.
7,0
4,9
7,5
5,1
3,8
2,7
12,0
8,1
9,4
6,4

4ь
Продолжение
Показатели
На год
землеустройства
По проекту

землеустройства
По различным критериям оптимальности
Максимум
валовой
продукции
Максимум
чистого
додхода
Максимум
проективного
покрытия
Минимум
коэффициента
эрозионной
опасности
В
субоптимальном плане
7. Эффективность введения
севооборотов в условиях
весеннего снеготаяния
(стр. 2 + стр. 6), руб. на 1 га
Разница по отношению
к лучшему варианту, руб
8. Стоимость питательных
элементов в результате
сокращения смыва в период
ливней, тыс. руб.
В том числе на 1 га пашни,
руб.
9. Эффективность введения
севооборотов в условиях
ливневой эрозии (стр. 2 + стр. 8),
руб. на 1 га
Разница по сравнению с
лучшим вариантом, руб. на 1 га
10. Эффективность введения
севооборотов в условиях
одновременного проявления
ливневой и паводковой
эрозии, руб. на 1 га
Разница по сравнению с
лучшим вариантом, руб. на 1 га
113
-15
116
-15
128
-2
132
-3
129
138
-2
124
0
132
-3
129
-2
135
129
-16
4,7
3,3
114
-1
5,7
3,8
127
0
6,0
4,0
128
-5
п,з
7,8
129
0
8,6
5,9
127
0
7,9
5,3
128
-1
134
-1

с использованием следующих критериев: минимума эрозионной
опасности культур и максимума чистого дохода (129 руб. на 1 га
пашни).
В условиях ливневой эрозии наибольший экономический
эффект имеют севообороты, структура посевов в которых
вычислена с использованием максимального проективного покрытия
(129 руб. на 1 га пашни). В условиях одновременного проявления
эрозии лучшие результаты дает критерий минимум
коэффициента эрозионной опасности (135 руб. на 1 га).
Учитывая, что при вычислении по противоэрозионным
критериям в оптимальный план вводят культуры, защищающие
почвы от эрозии и дающие значительный эффект, такие планы
можно рекомендовать для применения в условиях водной эрозии
почв.
21.3. ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Дробно-линейные критерии оптимальности обусловливают
появление еще одного класса задач математического
программирования — дробно-линейного программирования.
В общем виде задача дробно-линейного программирования
имеет следующий вид:
найти экстремум функции
п
ICjXj
Z2(X) idjxj
n
при условиях ?я//Ху ^bh xj> 0, Z2(x) ф0(/= 1,2,..., m),
7=1
где Z{(x) и Z2(x) — некоторые функции эффективности производства; д/у —
технико-экономические коэффициенты модели.
Предполагается, что в области решений дробно-линейной
задачи знаменатель функционала не обращается в нуль, а
следовательно, сохраняет свой знак.
К такому виду приводятся задачи, в которых критерием
оптимальности служат себестоимость продукции, рентабельность
производства, производительность труда.
В учебниках по экономико-математическим методам
рекомендуется следующий способ преобразования дробно-линейных
задач в задачи линейного программирования.
493

Введем следующие обозначения:
Xj 1
ZdJxJ %dJxJ
Следовательно,
yj
Xj =
Уп+\
n
Кроме того, в первом уравнении Е^уУу = 1-
Разделив первое выражение на Z2(x) и введя новое
ограничение Е*//У/ = 1, получим следующую задачу линейного
программирования:
п
найти экстремум функции ?с/У/
при условиях у=
anyl+any2+... + alnyn<blyn+l;
ат\У\ + ат2У2 + ••• + атпУп^ЬтУп+Ь
d{y{+d2y2+... + dny„=l;
yj>0.
Оптимальное решение находят по соотношению
У]
XJ =
Уп+\
Задачи с дробно-линейной целевой функцией по описанной
методике решают с использованием обычных программ
линейного программирования, что сводится к следующему:
в матрицу задачи вводят (л+ 1)-й столбец, содержанием
которого являются свободные члены исходной системы, взятые с
противоположными знаками;
столбец свободных членов матрицы исходной задачи
заменяют нулями;
494

п
вводят дополнительное ограничение (равенство) Х</,}>/ = 1;
7=1
коэффициенты при переменных этого уравнения соответствуют
коэффициентам знаменателя целевой функции, а свободный
член равен 1;
задачу решают по программе симплексного метода линейного
программирования, в результате чего определяют вектор Y;
вычисляют вектор X, то есть оптимальный план, делением
значений у на величину уп + { (по формуле х, =yj:yn+\)
(Математическое моделирование экономических процессов в
сельском хозяйстве/Под ред. А. М. Гатаулина. — М.: Агропромиздат,
1990.-С. 140).
Примеров решения землеустроительных задач, имеющих
дробно-линейный характер, в научных работах по
землеустройству в настоящее время нет. Алгоритм данного метода
рассматривался только И. Ф. Полуниным на условном примере
(Полунин И. Ф. Математическое программирование в
землеустройстве. — Минск: Вышэйшая школа, 1972. — С. 81—84). Однако
при развитии землеустроительных исследований в этом
направлении применение дробно-линейного программирования может
стать перспективным.
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое критерий оптимальности задачи и целевая функция?
2. Опишите способы моделирования целевой функции.
3. Какие основные критерии оптимальности применяются при решении
различных оптимизационных задач в землеустройстве?
4. Как классифицируются критерии оптимальности?
5. Что такое субоптимальное решение?
6. Каковы методы определения субоптимальных решений?
7. Раскройте алгоритм нахождения субоптимального решения по способу
И. Ф. Полунина.
8. Что такое дробно-линейное программирование и чем оно отличается от
линейного?
9. Как решить задачу с дробно-линейным функционалом?

Раздел VII
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ
Глава 22
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ОПТИМИЗАЦИИ МЕРОПРИЯТИЙ ПО ОСВОЕНИЮ
И ИНТЕНСИФИКАЦИИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗЕМЕЛЬ
22.1. ПОСТАНОВКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
В условиях Нечерноземной зоны Российской Федерации
интенсификация использования земель связана с вовлечением в
сельскохозяйственный оборот новых угодий путем осушения
болот, раскорчевки мелколесья, расчистки земель от кустарника,
камней, кочек, закладки орошаемых культурных пастбищ (ОКП),
поверхностного и коренного улучшения кормовых угодий,
известкования кислых почв и т. д. Проведение этих мероприятий
способствует повышению сельскохозяйственной освоенности и рас-
паханности территории, устранению мелкоконтурности угодий,
дальноземелья, созданию крупных, однородных в
агротехническом отношении земельных массивов, позволяющих
производительно использовать сельскохозяйственную технику и
рационально организовывать полевые работы.
Среди факторов интенсификации, имеющих отношение к
земле, важное значение имеют применение научно обоснованных
норм внесения органических и минеральных удобрений, средств
защиты растений, использование элитных и сортовых семян.
Каждое из перечисленных мероприятий может быть выражено
переменной величиной. Их набор в условиях конкретных хозяйств
различен и определяется наличием ресурсов (земельных,
трудовых, денежно-материальных). Кроме того, эффект от
осуществления отдельного мероприятия неодинаков. Учитывая это, для
оптимизации состава и объемов работ по освоению и
интенсификации использования земель могут быть применены методы
линейного программирования.
Впервые в землеустройстве модель оптимизации уровня
интенсивности использования земель была предложена В. А.
Кудрявцевым (Применение вычислительной техники и
экономико-математических методов в землеустройстве/Сост. В. А. Кудрявцев. —
МИИЗ, 1986. — Ч. 1. — С. 25—29). Рассмотрим отработанную
нами ее модификацию.
496

Обозначим в качестве основных переменных xj объемы работ
по освоению и интенсификации использования земель на
конкретном сельскохозяйственном предприятии в гектарах (je Q).
На неизвестные наложим следующие ограничения.
1. По обеспечению дополнительного объема производства
различных видов продукции (зерна, технических культур, кормов):
? v»Xj*Vh ieMh
где V/y —выход продукции с 1 га осваиваемой или улучшаемой площади, ц; Vf —
объемы дополнительно необходимой для развития хозяйства продукции, ц.
2. По капиталовложениям в мелиорацию и улучшение угодий
(по видам единовременных затрат):
? djjXj<Dh ieM2,
jeQ
где dji--единовременные затраты на 1 га осваиваемой или улучшаемой площади,
руб.; Ц — капиталовложения по /-Й группе мероприятий в зависимости от
направления инвестиций и источников финансирования, руб.
Данную группу ограничений можно записать и следующим
образом:
? с!уХ;-Х;=0,
JeQ
Xj < Dh i g M2.
3. По дополнительным ежегодным затратам денежных средств:
? aijxj-xi=0, ieM3,
где qij — ежегодные производственные затраты денежных средств, руб. на 1 га; х,- —
общий объем искомых производственных затрат, руб.
4. По максимально возможным объемам освоения и
интенсификации использования земель:
I Xj<Ph
Xj<Ph ie M4,
где Р, — максимально возможные (допустимые) площади осуществления
мероприятий; Qx — подмножество переменных, характеризующих однородные
мероприятия.
497

5. По дополнительным трудовым ресурсам:
S tijXj<Th ieM5,
где tjj— норма затрат трудовых ресурсов на единицу площади, чел.-дн.; Г/
—общий и по /-м периодам объем трудовых ресурсов, выделяемых хозяйством на
освоение и интенсификацию использования земель. В случае, если значение 7}
неизвестно, оно рассчитывается в процессе решения задачи через отраженные
переменные.
6. По удобрениям:
Е wyXj<lVi9 ieMe,
JzQ
где Wu — норма внесения удобрений, ц на 1 га; W, — общий объем вносимых
удобрении, ц.
Данные ограничения могут формулироваться в условных
единицах (цд. в., цусл.туков и т.д.). Если значения Щ неизвестны,
они также вычисляются в процессе решения задачи.
7. По учету возможностей строительных организаций
(собственных строительных подразделений хозяйства или
подрядчиков) в осуществлении комплекса мелиоративных работ:
S x.<Ph ieM7.
JzQi
8. Условия неотрицательности переменных:
xj>0, jc/>0.
Дополнительно могут формулироваться ограничения по
наличию и использованию машин и механизмов, семян, оросительной
воды и других ресурсов.
В качестве критерия оптимальности данной задачи может
приниматься целевая функция следующего вида:
JeQ J J
Коэффициент целевой функции с, в данной задаче
целесообразно рассчитывать как минимум дополнительных приведенных
затрат по каждому отдельному мероприятию с последующим
суммированием по всей системе неизвестных.
Имеются и другие варианты расчета параметров целевой
функции с использованием показателя приведенных затрат, которые
будут рассмотрены ниже.
498

22.2. ОСОБЕННОСТИ ПОДГОТОВКИ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
(НА ПРИМЕРЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ)
В соответствии с бизнес-планом развития хозяйства и заданием
на разработку проекта внутрихозяйственного землеустройства
намечается рост объемов производства зерна и товарного картофеля,
а также углубление специализации хозяйства на производстве
мясо-молочной продукции.
Планируемые изменения в объемах производств зерна,
картофеля и кормов в хозяйстве на год освоения проекта
землеустройства представлены в таблице 151.
151. Планируемые изменения в объемах производства и балансе кормов
Отрасли производства
Производство зерна
Производство картофеля
Молоко
Мясо крупного рогатого скота
Мясо свиней
Мясо овец
Итого
Изменение
в объемах
по отраслям, ц
+25050
+55400
+15000
+ 1600
-600
-250
—
Нормы расхода
кормов на 1 ц
продукции
—
—
1,5
11,0
7,7
9,2
—
Изменения
в балансе
кормов
—
—
+22500
+17600
-4620
-2300
+33180
На сельскохозяйственном предприятии намечается иметь
следующую структуру посевных площадей: зерновые — 45 %,
картофель — 12, кормовые — 38, пар — 5 %. ^
В связи с общим ростом объемов производства на перспективу
в данном хозяйстве потребуется проведение ряда мероприятий по
расширению площадей сельскохозяйственных угодий и
интенсификации использования уже имеющихся продуктивных земель.
Данные о резервах осуществления различных мероприятий и
связанных с ними дополнительных затратах, а также о
результативности этих мероприятий, установленные в процессе
подготовительных работ к составлению проекта внутрихозяйственного
землеустройства, приведены в таблице 152.
Осуществление мероприятий ограничивается экономическими
возможностями хозяйства, лимитами материально-технических
ресурсов, возможностями мелиоративной базы и другими
факторами.
Требуется установить оптимальный состав мероприятий по
совершенствованию организации использования земель,
обеспечивающий достижение плановых показателей развития отраслей
производства при заданных ограничениях и максимальной
эффективности.
В качестве критерия оптимальности данной задачи можно
использовать показатель минимума дополнительных приведенных
затрат, связанных с осуществлением всей системы мероприятий.
499

152. Сведения о максимально возможных объемах и эффекпшноста различных
мероприятий по освоению и интенсификации использования земель
Мероприятия
Орошение
пашни
Осушение
пашни
Повышение доз
внесения
удобрений в 1 га
пашни:
на 1 ц д. в.
2 ц д. в.
3 ц д. в.
Известкование:
пашни
пастбищ
Уборка камней
на пашне
Коренное
улучшение сенокосов
Поверхностное
улучшение
пастбищ
Освоение болот:
в пашню
в пастбище
Создание
орошаемых культурных
пастбищ:
на пашне
на
естественных
пастбищах
Применение
элитных и
сортовых семян:
зерновых
картофеля
Трансформация

несельскохозяйственных угодий
в пашню
Воздействие
мероприятий на
прирост производства
в растениеводстве,
зерна,
ц
16
9
2,8
5,2
7,3
3
—
2
—
—
20
—
-20
—
2,5
—
20
на 1 га

картофеля,
ц
90
60
22
40
55
20
—
17
—
—
190
—
-190
—
—
30
190

кормов,
корм.
ед.
17
7
2,6
5,0
7,2
4
2,5
3
6
4
18
16
45
40
—
—
18

Капитальные

вложения
в1 га,
руб.,
4
1800
1100
—
—
—
70
70
400
600
400
1400
1500
2000
2100
—
—
700

Дополнительные

ежегодные
затраты
на 1 га,
руб.,
ai
200
150
20
40
60
—
—
—
40
30
160
20
350
350
20
50
40

Приведенные
затраты
на 1 га,
тыс. руб.
0,42
0,28
0,02
0,04
0,06
0,01
0,01
0,05
0,11
0,08
0,32
0,26
0,59
0,60
0,02
0,05
0,12

Максимально

возможные
объемы

ществления

роприятий, га
450
160
400
170
250
400
160
200
552
48


нительные
трудовые
ресурсы
на 1 га,
чел.-дн.
6,5
5,2
0,15
0,20
0,3
2,5
1,8
1,5
5
5
0,1
2
Коэффициенты целевой функции данной задачи с, можно
вычислить по формуле
Cj = djE + aj9
где djг — капиталовложения на осуществление мероприятий по освоению и интен-
500

сификации использования земли, руб. в 1га; Е— коэффициент эффективности
капиталовложений (ориентировочно для решения данной задачи 0,12); д,
—дополнительные ежегодные затраты в расчете на 1 га, руб.
Например, значения с{ и с2 будут вычисляться так:
с, = 1800 - 0,12 + 200 = 416 руб. « 0,42 тыс. руб.;
с2 = 1100 - 0,12 + 150 = 282 руб. = 0,28 тыс. руб. и т. д.
Данные по технико-экономическим коэффициентам
приведены в таблице 153. Однако при расчете коэффициентов по ряду
ограничений необходимо обратить внимание на то, что часть
показателей данной таблицы, иллюстрирующих воздействие
отдельных мероприятий на объемы производства, в целях облегчения их
экономической интерпретации дана без учета доли
соответствующих отраслей растениеводства в структуре посевных площадей.
Это отражает лишь частный случай, когда, например, каждый
гектар пашни будет занят только зерновыми культурами или
картофелем и т.д. На самом деле перевод каждого дополнительного
гектара земли в пашню отразится на объемах производства зерна,
например, не на 20 ц, а на 9 ц (20 • 0,45), то есть пропорционально
доле зерновых культур в структуре посевных площадей.
При расчете ограничений по повышению доз удобрений на
пашне необходимо учитывать ее площадь в хозяйстве (4600 га).
Данная площадь, а также структура посевов используются и
при расчете максимально возможного внесения элитных и
сортовых семян, га:
по зерновым 4600 • 0,45 = 2070;
по картофелю 4600 • 0,12 = 552.
На основании приведенных данных составим матрицу
экономико-математической модели задачи по оптимизации состава и
объемов мероприятий по освоению и интенсификации
использования земель (см. табл. 153).
Всего в задаче выделим 21 переменную. На неизвестные
наложим 26 ограничений из структурной экономико-математической
модели.
Решим задачу дважды с использованием критерия минимум
приведенных затрат.
Первый критерий определим по формуле
Z\ = Xc/JC/ ->min.
Второй критерий рассчитаем так:
^ = 0,12х18 + х19,
где х18 — искомый объем капиталовложений, руб.; 0,12 — коэффициент
эффективности капиталовложений; х19 — искомое значение дополнительных ежегодных
затрат.
501

о 153. Матрица экономико-математической модели задачи оптимизации мероприятий по освоению и интенсификации использования
¦° земель
Ограничения
1

Орошение
пашни,
га
*i
2

Осушение
пашни,
га
*2
3
Повышение доз удобрений
на 1 га пашни
на
1 цд.в.
*з
4
на
2 цд.в.
*4
5
на
3 ц д.в.
*5
6
Известкование,
га
пашни
Ч
7

пастбищ
*7
8
Уборка
камней
на
пашне,
га
*8
9
Коренное
улучшение
сенокосов,
га
х9
10

Поверхностное
улучшение
пастбищ, га
*|0
11
Освоение
болот, га
в

пашню
Х\\
12
в

сенокос
*12
13
I. По обеспечению
дополнительного
производства:
1. зерна, ц 7,20 4,05 1,26 2,34 3,285 1,35 0,90 9,00
2. картофеля, ц 10,80 7,20 2,64 4,80 6,60 2,40 2,04 22,80
3 кормов, ц корм, ед. 6,46 2,66 0,988 1,90 2,736 1,52 2,50 1,14 6,00 4,00 6,80 16,00
II. По капиталовложе-
ниям в мелиорацию,
руб.:
4. расчетное значение 1800 1100 70 70 400 600 400 1400 1500
5. в том числе на осу- 1100 1100 1100
шение
6. на орошение 1800
7. всего
III. 8. По дополни- 200 150 20 40 60 40 30 160 20
тельным ежегодным
затратам, руб.
IV. По максимально
возможным объемам
осуществления
мероприятий, га:
9. орошению пашни 1
10. осушению пашни 1
11. без удобрений
12. известкованию
1 1 1
1
пашни
13. известкованию
пастбищ
1

Продолжение
1
10
11 12 13
14. уборке камней
на пашне
15. коренному
улучшению сенокосов
16. поверхностному
улучшению пастбищ
17. освоению болот:
в пашню
18. в сенокос
19. созданию
орошаемых культурных
пастбищ: на пашне
20. на пастбищах
21. применению
элитных и сортовых семян:
зерновых
22. картофеля
23. трансформации
несельскохозяйствен-
ных угодий в пашню
V. 24. По
дополнительным трудовым
ресурсам, чел.-дн.
VI. 25. По удобрениям,
цд. в.
6,5
5,2
0,1
1
0,15
2
0,2
3
0,5
0,3
2,5
1,8
2
1,5
1,5
10
2.5
5
2
VII. 26. По учету
возможностей
строительных ограждений в
создании орошаемых куль-
турных пастбищ
Целевая функция
(минимум приведенных затрат),
тыс. руб.:
1-й вариант расчета 0,42
2-й вариант расчета
0,28 0,02 0,04 0,06 0,01 0,01 0,05
0,11
0,08 0,32 0,26
g Ответ задачи:
w 1-й вариант
2-й вариант
240
247
4600 1700 400 70,16
4600 1700 400 21,15
ПО 160
ПО 160

о
Продолжение
Офаничения
1
Создание
орошаемых культурных
пастбищ, га
на пашне
*13
14
на
пастбищах
*14
15
Применение
элитных и
сортовых семян, га

зерновых
*15
16

картофеля
*1б
17

Трансформация

скохозяйственных
угодий в
пашню, га
*17
18


ловложения в

лиорацию, руб.
*1Х
19
Сумма

дополнительных
ежегодных
затрат, руб.
х19
20
Объем

трудовых

ресурсов,
чел.-ч
*20
21
Объем

необходимых

удобрений,
ЦД.В.
*21
22
Знак


ничения
23
Объем

ограничения
24
I. По обеспечению
дополнительного производства:
1. зерна, ц -9,00
2. картофеля, ц -22,80
3. кормов, ц корм. ед. 45,00
2,50
40,00
30,00
9,00
22,80
6,80
> 25050
> 54400
> 33180
II. По
капиталовложениям в мелиорацию, руб.
4. расчетное значение
5. в том числе на
осушение
2000 2100
700
-1
IV. По максимально
возможным объемам
осуществления мероприятий, га:
9. орошению пашни
10. осушению пашни
11. без удобрений
12. известкованию пашни
13. известкованию пастбищ
14. уборке камней на
пашне
15. коренному улучшению
сенокосов
16. поверхностному
улучшению пастбищ
0
440000
6. на орошение
7. всего
III. 8. По дополнительным
ежегодным затратам, руб.
1800
350
1800
350
20
50
1
40
-1
VI VI
=
955000
1620000
0
<
<
<
<
<
<
<
<
450
160
4600
1700
400
170
250
400

Продолжение
1
14
15
16 17
18
19
20
21
22
23
24
17. освоению болот:
в пашню
18. в сенокос
19. созданию орошаемых
культурных пастбищ:
на пашне
20. на пастбищах
21. применению элитных
и сортовых семян:
зерновых
22. картофеля
23. трансформации
несельскохозяйственных угодий
в пашню
VII. 26. По учету
возможностей строительных
ограждений в создании
орошаемых культурных
пастбищ
ПО
160
400
200
2070
552
48
V. 24. По дополнительным
трудовым ресурсам,
чел.-дн.
VI. 25. По удобрениям,
ЦД. в.
6
5
0,1
0,1
2
2,5
-1
-1
—
=
0
0
700
Целевая функция
(минимум приведенных затрат),
тыс. руб.:
1-й вариант расчета
2-й вариант расчета
0,59
0,60 0,02 0,03
0,12
0,12
min
min
Ответ задачи:
1-й вариант
о 2-й вариант
75,7
83,5
200
200
2070
2070
550
552
48 1620000 514900 7288 14660
48 1615000 516300 7308 14510
1054220
1081554

Как видно, полученные два решения близки друг другу.
Разница объясняется результатами округления при вычислении
коэффициентов.
Контрольные вопросы и задания
1. В каких землеустроительных документах используются результаты решения
задач по оптимизации мероприятий, направленных на освоение и
интенсификацию использования земель?
2. Какова постановка данной задачи?
3. Какие основные ограничения входят в модель?
4. Какие критерии оптимальности могут быть использованы при решении
задачи оптимизации мероприятий, направленных на освоение и интенсификацию
землепользования?
5. Как рассчитывают технико-экономические коэффициенты и
коэффициенты целевой функции данной задачи?
Глава 23
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ТРАНСФОРМАЦИИ УГОДИЙ
23.1. ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАНСФОРМАЦИИ УГОДИЙ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМПЛЕКСНОГО МЕТОДА
Известно, что в землеустройстве под трансформацией угодий
понимают перевод угодий из одного вида в другой. При этом
основными задачами являются следующие:
приведение состава и структуры площадей в соответствие с
новыми производственными задачами, вытекающими из бизнес-
плана развития хозяйства;
решение природоохранных задач за счет консервации земельных
угодий, залужения и облесения деградированных земель и т. д.;
повышение доли ценных сельскохозяйственных угодий,
особенно пашни;
укрупнение земельных массивов путем освоения новых земель
и комассации угодий;
ликвидация мелкоконтурности и раздробленности угодий,
улучшение их культуртехнического состояния.
Необходимость трансформации угодий может возникнуть в
следующих случаях:
при изменении специализации хозяйства (расширение
садоводства, виноградарства и др.);
углублении специализации и повышении уровня концентрации
производства (создание орошаемых культурных пастбищ вблизи
крупных животноводческих комплексов и ферм, освоение
пойменных земель при организации овощеводства и кормопроизводства);
защите почв от водной эрозии и дефляции (сплошное
облесение или залужение эродированных склонов, проектирование
лесополос, гидротехнических сооружений), когда изыскивается
возможность компенсации утраченной пашни;
осуществлении других природоохранных мер.
506

В районах орошения трансформация земель связана с
увеличением лимитов оросительной воды при организации новых
ирригационных систем и т. д.
При наличии определенных (ограниченных) ресурсов,
отпускаемых на трансформацию и улучшение угодий, необходимо
найти такой план, который обеспечит хозяйству получение
наибольшего экономического эффекта.
Экономико-математическая модель задачи формулируется
следующим образом. В качестве неизвестных x(J выступают площадь
/-го угодья, трансформируемого в у-е, а также площади объектов
мелиорации, имеющие в составе различные угодья.
На неизвестные накладываются следующие ограничения.
1. По наличию пригодных для трансформации земель:
lXij<Ph isMb
J
где />/(/€ Mi) — площадь угодий, пригодная для трансформации, га (определяется
в процессе землеустроительного обследования).
2. По затратам денежных средств на трансформацию:
ZayXij^Ai, ieM2,
где fl/y—затраты денежных средств на перевод угодья из одного вида в другой,
руб. на 1 га; А{ — объем ежегодных производственных затрат на осуществление
трансформации угодий в хозяйстве, руб.
3. По трудовым ресурсам:
pjjXj/ZTi, ieM3,
где //у —затраты труда на перевод единицы /-го угодья в у-е, чел.-дн. на 1 га; 7} —
объем трудовых ресурсов, расходуемых на трансформацию и улучшение угодий в
/-й период, чел.-дн.
4. По наличию машин и механизмов (мощности собственных и
подрядных строительных организаций):
ZlyXyuLi, ieM4,
J
где fa — норма затрат механизированных ресурсов на перевод единицы /-го угодья
ву'-е, усл. эт. га; Ц — объем работ /-го вида, выполняемых машинами и
механизмами, усл. эт. га.
5. По потребности в удобрениях:
ЪпуХу<1У;, ieM5,
где Wjj — дозы вносимых удобрений в трансформируемые угодья, ц усл.ед.; Wj —
общее количество имеющихся удобрений /-го вида, ц.
507

6. По лимиту оросительной воды (в районах орошения):
где hjj — поливная норма, м3 на 1 га; Я,— лимит оросительной воды по различным
системам орошения, м3.
7. По капиталовложениям, выделяемым на трансформацию:
Y,dyxyuDh ieM7,
j
где dfj — норма затрат капиталовложений на перевод угодья из /-го вида ву'-й, руб.;
Д —общий объем капиталовложений, расходуемых на трансформацию, руб.
Аналогично могут быть построены ограничения и по другим
ресурсам (наличию посевного и посадочного, строительного
материалов и др.).
8. По эффективности капитальных вложений.
На трансформацию расходуются значительные денежные
средства. При этом необходимо не только уложиться в отпускаемые
средства, но и обеспечить эффективное их использование. В
сельском хозяйстве использование капитальных вложений считается
эффективным, если они окупаются в течение устанавливаемого
нормативного срока. Раньше этот срок был равен 10—15 годам.
Сейчас он определяется бизнес-планом по заданию предприятия
или исходя из требуемых сроков окупаемости инвестиций.
Срок окупаемости капитальных вложений (Г') рассчитывают
по формуле
Tt = j[
ZVijxij'
ii
где qij — дополнительный чистый доход, получаемый при переводе /-го вида
угодья ву-е, руб.
Величина, обратная сроку окупаемости капитальных
вложений, называется коэффициентом эффективности капитальных
вложений (?):
E--L-
Е~тг
508

E=lJ
ЪЯдХд
ZdyXy '
У
Чем больше коэффициент эффективности капитальных
вложений, тем меньше срок окупаемости затрат. Поэтому условие по
эффективности капитальных вложений может быть записано
следующим образом:
E<lJ
Igyxy
IdyXy
При решении задачи принимают Е = Е^. Е^ устанавливают,
исходя из принимаемого срока окупаемости капиталовложений.
Если Т* = 5 лет, то Ен = 0,2; если Т* = 10 лет, то Ен = 0,1 и т. д.
Учитывая, что Y.dyXy >0, можно записать
*у*у
У
E^dyXy <lqyxy
У У
или в окончательном виде
l(EHdy-qy)xy<0.
У
9. Условие неотрицательности переменных:
*//>0.
Целевая функция данной задачи имеет следующий вид:
Z = ^СуХу ->тах.
В качестве с0- можно использовать чистый доход, получаемый с
трансформируемых участков qJf или прирост чистого дохода qiJu
Для расчета qy применяют следующую формулу:
Я и = Я] - Яь
где qj — чистый доход после трансформации угодий; #, —чистый доход до
трансформации угодий.
509

Чистый доход рассчитывают по формулам
qi=Bi-3j,q,= Bj-3h
где В/, В, — стоимость валовой продукции соответственно до и после
трансформации, руо.; 3,
мации, руб.
ции, руб.; 3/, 3у — себестоимость продукции соответственно до и после трансфор-
Для решения задачи необходимо определить состав
переменных, собрать исходную информацию и рассчитать показатели,
необходимые для составления модели.
На основании обследования землевладения или
землепользования хозяйства выявляют массивы земель, пригодные для
перевода из одного вида угодий в другой. При этом объемы
намечаемой трансформации используют в качестве переменных.
Исходной информацией являются затраты денежных средств
на перевод угодий из одного вида в другой, руб. на 1 га;
нормативы затрат труда, чел.-дн. на 1 га; объемы механизированных
работ, эт. га; нормы внесения удобрений; данные по планируемой и
фактической урожайности сельскохозяйственных культур,
продуктивности угодий; сведения о себестоимости продукции
(фактической и планируемой), закупочные цены; площади земель,
пригодные для трансформации, га; объемы работ, выполняемых
имеющейся и приобретаемой техникой.
В процессе решения задачи рассчитывают дополнительный
чистый доход при переводе одного вида угодий в другой; чистый
доход с 1 га угодий до и после трансформации.
Рассмотрим пример. В хозяйстве выделено четыре участка,
пригодных для трансформации в другие виды угодий и
улучшения. Намечено шесть видов использования этих участков, в
соответствии с которыми и определен перечень переменных х,у,
включающий шесть неизвестных.
Состав основных переменных задачи и площади угодий,
пригодных для трансформации, приведены в таблице 154
(для простоты двухиндексные переменные заменены одноин-
дексными).
154. Основные переменные
^Угодья по проекту
Угодья на
год землеустройства
Сады
Пашня
Сенокосы
улучшенные
Пастбища
улучшенные
Площадь,
пригодная для
трансформации
Пашня
Сенокосы
Пастбища
Прочие
*i
*2
*3
*5
Ч
200
400
600
200
510

На трансформацию хозяйство выделило 200 тыс. руб. денежных
средств (капиталовложений) и трудовые ресурсы в объеме
8000 чел.-дн.
Исходные данные, необходимые для расчета
технико-экономических коэффициентов задачи и целевой функции, приведены в
таблице 155.
В процессе решения задачи необходимо составить такой план
трансформации, который, исходя из имеющихся денежных
средств и трудовых ресурсов, обеспечит хозяйству максимальную
экономическую эффективность.
Составим экономико-математическую модель задачи.
В качестве целевой функции возьмем обеспечение
максимального чистого дохода после трансформации. Тогда значения с0-
вычисляют следующим образом:
С\ =
сг =
с3 =
с4 =
cs =
Сб =
= 40
= 30
= 50
= 30
= 80
= 80
50-
10-
3-
10-
0,9
0,9
-800
-120
40 =
-120
-30 =
-30 =
=1200;
= 180;
ПО;
= 180;
= 42;
= 42.
Целевая функция примет следующий вид:
Z= 1200X! + 180х2 + 110х3 + 180*4 + 42х5 + 42х6 -> max.
На неизвестные накладываются следующие ограничения.
1. По площади:
хх < 200; х2 + х3 < 400; х4 + х5 < 600; х$ < 200.
2. По капитальным вложениям:
300*! + 100x2 + 50х3 + 80*4 + 50х5 + 800х6 < 200 000.
3. По трудовым ресурсам:
20;q + 2х2 + 1,5х3 + 2х4 + 1,5х5 + 30х^ < 8000.
4. По эффективности капитальных вложений на
трансформацию.
Для того чтобы составить ограничение по эффективности
капитальных вложений, нужно определить коэффициенты qij9
показывающие прирост чистого дохода:
q{ = (40 • 50 - 800) - (20 • 10 - 100) = 1200 - 100 = 1100;
511

155. Исходные дщшые
Угодья на
год
землеустройства
Намечаемое
использование


менные
Затраты на
трансформацию

капиталовложения, руб.
на 1 га
трудовые
ресурсы,
чсл.-дн.
на 1 га
Урожайность, ц с 1 га
до
трансформации
после

трансформации
Стоимость единицы
продукции, руб.
до
трансформации
после

трансформации
Производственные
затраты, руб. на 1 га
до
трансформации
после

трансформации
Пашня Сад х, 300 20 20 40 10 50 100 800
Сенокосы Пашня х2 100 2 20 30 3 10 30 120
Сенокосы х3 50 1,5 20 50 3 3 30 40
улучшенные
Пастбища Пашня х4 80 2 40 30 0,9 10 27 120
Пастбища х5 50 1,5 40 80 0,9 0,9 27 30
улучшенные
Прочие Пастбища % 800 30 0 80 0 0,9 0 30
улучшенные

q2 = (30 • 10 - 120) - (20 • 3 - 30) = 180 - 30 = 150;
?з = (50 • 3 - 40) - (20 • 3 - 30) = 110 - 30 = 80;
qA = (30 • 10 - 120) - (40 • 0,9 - 27) = 180 - 9 = 171;
q5 = (80 • 0,9 - 30) - (40 • 0,9 - 27) = 42 - 9 = 33;
?6 = (80-0>9-30)-0 = 42.
Затем рассчитаем общие коэффициенты при неизвестных.
Примем коэффициент эффективности капиталовложений равным
0,1(Д, = 0,1).
Прих, 300 0,1-1100 = -1070;
прих2 100 0,1-150 = -140;
прих3 50 0,1-80 = -75;
прих4 80 0,1-171 =-163;
прих5 50 0,1 -33 = -28;
прих6 800 0,1-42 = +38.
Окончательно ограничение по эффективности
капиталовложений примет следующий вид:
-1070х, - 140*2 - 75*з - 163*4 - 28х5 + 38*6 < 0.
5. Условие неотрицательности переменных:
х,>0,х2>0, ...,^>0.
Сведем коэффициенты задачи в матрицу (табл. 156).
156. Матрица задачи по оптимизации трансформации угодий
Переменные
*i
*2
*Э
Х4
*5
Хб
Тип
ограничения
Объем
ограничения
10 0 0 0 0 < 200
0 110 0 0 < 400
0 0 0 110 < 600
0 0 0 0 0 1 < 200
300 100 50 80 50 800 < 200 000
20 2 1,5 2 1,5 30 < 8000
-1070 -140 -75 -163 -28 38 < 0
1200 180 ПО 180 42 42 -> max
В результате решения данной задачи на ЭВМ был получен
следующий ответ. В хозяйстве необходимо:
заложить сад на площади 200 га на пашне (х\ = 200);
освоить 400 га сенокоса в пашню (х2 = 400);
трансформировать 600 га пастбищ в пашню (х4 = 600);
перевести 65 га прочих угодий в улучшенные пастбища
(*6 = 65).
В результате трансформации хозяйство получит максимальный
чистый доход 422 730 руб. (2^^ = 422 730).
513

В землеустроительной практике решение задач по
оптимизации трансформации угодий осуществляется значительно сложнее.
Как правило, за переменные при составлении проекта
землеустройства выбираются не площади отдельных видов угодий, а
массивы земель (объекты мелиорации), включающие разные угодья,
например болото, сенокос заболоченный, пашню
переувлажненную, кустарник закочкаренный и т.д., расположенные в одном
месте. Эти угодья можно считать единым объектом мелиорации с
проведением осушения, культуртехнических работ,
окультуривания земель. Перечень такого рода объектов и определит состав
переменных в задаче.
После решения задачи традиционным способом
разрабатывается план трансформации и улучшения угодий в хозяйстве.
23.2. ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАНСФОРМАЦИИ
И РАЗМЕЩЕНИЯ УГОДИЙ И СЕВООБОРОТОВ
РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫМ МЕТОДОМ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Постановку и решение задачи определения оптимальной
трансформации угодий симплексным методом целесообразно
осуществлять в районах со сложной мелиоративной обстановкой. Это
позволит более обоснованно выбрать объекты мелиорации,
разместить их по территории хозяйства, установить объемы,
очередность и сроки освоения, трансформации и улучшения угодий в
увязке с бизнес-планами развития хозяйств, обеспеченностью их
трудовыми, финансовыми и материальными ресурсами.
В сельскохозяйственных предприятиях с небольшими
резервами освоения и трансформации земель возможно применение
распределительного метода линейного программирования. Этот
метод позволяет не только определить объемы трансформации и
улучшения угодий, но и установить, как наиболее целесообразно
разместить их по территории хозяйства с учетом качества земель.
Реализация модели основана на применении многоиндексной
транспортной задачи с введением дополнительных ограничений.
Методика решения данной задачи сводится к следующему.
1. На плане землепользования хозяйства выделить участки,
однородные по условиям увлажнения, почвам, рельефу,
компактные. Эти участки могут включать различные виды угодий (пашню,
сенокосы, лес и др.).
2. По каждому выделенному участку определить площадь и
средневзвешенный балл (Б/*) по возделываемым культурам /-го
вида и кормовому достоинству (/=1,2 ,..., q).
3. Вычислить стоимость продукции (С/*), получаемой при
размещении культур или кормовых угодий на каждом участке,
514

по формуле
г _ Б/*у/3/
Чк~ 100 '
где У/— урожайность при оценке участка 100 баллов (при отсутствии данных
следует брать планируемую урожайность), ц с 1 га; 3/— закупочная цена /-и
культуры, руб.
4. С учетом рекомендуемых для зоны схем севооборотов на
основании планируемой структуры посевных площадей найти
стоимость продукции, получаемой при размещении у-го угодья или
севооборота на к-м участке по формуле
с _/=1
/=1
где /^ — площадь /-й культуры ву-м севообороте, га.
Для сенокосов, пастбищ и садов Cjk = Clk.
5. Определить чистый доход Cijk, получаемый при размещении
угодий и севооборотов на участках к-то вида с /-м составом угодий
по формуле
Qjk = Cjk — {Щк + Щк)>
где Щк — затраты на транспортировку продукции, руб.; Щк — прочие прямые
затраты, связанные с возделыванием культур, руб.
Затраты на транспортировку продукции рассчитывают
следующим образом:
ntjk = Q}VjS,
где С, —стоимость транспортных работ, руб. на 1 ткм; Щ — объем перевозимого
груза на 1 га угодья или севооборота, т (в переводе на 1-й класс); S— расстояние
до производственного центра, км.
6. Определить проектную площадь угодий и севооборотов с
учетом территориальных особенностей землепользования,
удовлетворения потребности животных в кормах, обеспечения
выполнения бизнес-плана хозяйства.
7. Составить матрицу транспортной задачи и решить ее любым
известным методом.
Рассмотрим пример. На основе проектируемого размещения
животноводства, намечаемой организации кормопроизводства, а
также с учетом основных направлений использования земель и
515

бизнес-плана развития хозяйства на сельскохозяйственном
предприятии определены предварительные площади
сельскохозяйственных угодий. Расчеты показали, что в хозяйстве необходимо
создать 163 га орошаемых культурных пастбищ, улучшить все
пастбища (162 га) и сенокосы (251 га). В соответствии с
территориальным размещением земельных массивов предусмотрено ввести два
полевых севооборота на площади 648 и 612 га.
Детальное изучение территории хозяйства с использованием
данных экономической оценки земель, материалов почвенного,
геоботанического, мелиоративного и землеустроительного
обследований позволило выделить 7 участков, однородных по
почвенным условиям и пригодных для сельскохозяйственного
использования.
Характеристика качественного состояния участков по
основным культурам и кормовому достоинству приведена в таблице 157.
157. Качественная характеристика участков
№ участка
Площадь, га
Балл бонитета
по культурам
озимая рожь
яровые зерновые
(ячмень)
по кормовому
достоинству
1
2
3
4
5
6
7
228
45
674
218
72
175
424
54
49
46
66
83
78
57
59
57
58
74
88
84
62
58
50
56
71
89
83
61
60
69
58
58
79
84
60
Баллы бонитета по культурам определены как
средневзвешенные по каждой почвенной разновидности на участках.
Выход продукции по каждой культуре на участке рассчитан
следующим образом. По озимой ржи, например, для 1-го участка
выход продукции составит 253 руб. с 1 га:
54.36,0.13,0 = 253
Jk 100
Пример расчета значения Cjk для полевого севооборота № 1 в
случае размещения его на 1-м участке показан в таблице 158.
158. Расчет значения Cjk для полевого севооборота № 1 по 1-му участку
Культуры
Площадь в севообороте, га,
h
Чк
PiCJk
Озимые зерновые
Яровые
Лен
Многолетние травы
Итого
93
277
93
185
648
253
249
145
105
—
23529
68973
13485
19425
125412
516

Используя данные таблицы, вычислим значение CJk:
Cjk =
125412
648
= 194 руб.
Вычитая из Cjk транспортные затраты, получим окончательные
значения коэффициентов целевой функции CiJk (без учета Пик),
которые и были использованы при решении поставленной задачи:
194- 1,3*193 руб.
Матрица оптимального плана (приведена для простоты
иллюстрации к двухиндексной транспортной задаче) представлена в
таблице 159.
159. Оптимизация трансформации угодий
Угодья и севооб
по проект
Полевой N° 1
Полевой JNfe 2
ОКП
Улучшенные
пастбища
Улучшенные
сенокосы
Итого
ороты
161
100
119
250
281
Участки (
1

пашня

сенокосы
354
65
163
i
—v—
228

пастбища
[193
1252
1235
| 100
166
по угодьям на год землеустройства)
2
362
[174
1225
1230
[112
45
| 75
45
3
угодья
343
1182
306
[239
1194
| 93
117
| 62
251
674
4
5
6
на год землеустройства
402
[229
|302
218
1196
[93
[62
218
478
[286
|378
72
[292
128
|_86
72
457
[272
| 357
175
1 305
| 139
1 91
175
7
i
362
| 201
277
| 262
147
| 231
| 97
1 65
424

Площадь,
648
612
163
162
251
1836
Значение целевой функции, полученное по оптимальному
плану, составит 387 743 руб.
2тах = (65 • 193) + (306 -182) + (277 • 201) + (218 • 302) + (72 • 378) +
+ (175 - 357) + (147 • 262) + (163 - 235) + (45 -112) -•- (117 - 93) + (251 • 62) =
= 12 545 + 55 692 + 55 677 + 65 836 + 27 216 + 62 475 + 38 514 +
+ 38 305 + 5040 + 10 881 + 15 562 = 387 743.
Контроль:
3™< = [(354 • 228) + (362 • 45) + (343 • 674) + (402 • 218) + (478 • 72) +
+ (457 • 175) + (362-424)] - [(648 • 161) + (612 • 100) + (163 • 119) +
+ (162 • 250) + (251 • 281)] = 387 743.
517

Если рассмотреть проект землеустройства, составленный
традиционными методами, то при тех же ценах и проектной
урожайности будет получено продукции на сумму 371535 руб. Это на
16,2 тыс. руб. меньше, чем по оптимальному плану (табл. 160).
160. Расчет стоимости продукции растениеводства по проекту, составленному
традиционным методом
участка
Угодья и севообороты
по проекту
Площадь, га
Выход продукции
с 1 га, руб.
Общий выход
продукции, руб.
1
2
3
4
5
6
7
Полевой № 1
Улучшенные пастбища
ОКП
Итого
Сенокосы
Полевой № 1
Полевой № 2
Итого
Полевой № 2
Сенокосы
Итого
Сенокосы
Полевой № 2
Сенокосы
Итого
Полевой № 2
Пастбища
Сенокосы
Итого
20
45
163
228
45
628
46
674
172
46
218
72
150
25
175
244
117
63
424
193
100
235
75
182
239
302
62
86
357
91
262
97
65
Всего
3860
4500
38305
46685
3375
114296
10994
125290
51944
2852
54796
6192
53550
2275
55825
63928
11349
4095
79372
371535
Оптимальный план лучше и с точки зрения размера
капиталовложений (табл. 161).
161. Расчет капитальных затрат на трансформацию угодий
Вид мероприятий
Проектная площадь пашни
Освоение в пашню:
сенокосов
пастбищ
прочих
Осушение пашни закрытым дренажем
Создание ОКП
Прочее сельскохозяйственное освоение
Улучшение кормовых угодий
Всего
По проекту, составленному
традиционными методами
Стоимость
освоения
1 га, руб.
125
89
158
500
673
158
216
—

Площадь,
га
1260
223
34
34
570
163
61
413
—
Всего
затрат,
РУб.
27875
3026
5372
285000
109699
9638
89208
529818
По
оптимальному плану

Площадь,
га
1260
130
96
23
539
163
50
413
Всего
затрат,
РУб.
16250
8544
3634
269500
109699
7900
89208
504735
518

Экономия капиталовложений составляет 25 083 руб. (529 818-
-504 735 = 25 083).
Сводные показатели оценки эффективности оптимального
плана даны в таблице 162.
162. Сводная таблица оценки вариантов, тыс. руб.
Показатели
По проекту
По оптимальному
плану
Единовременные капиталовложения 529,8 504,7
в трансформацию
Ежегодные издержки и потери, всего 90,3 70,3
В том числе:
амортизационные и эксплуатационные 66,2 63,1
расходы
транспортные затраты на перевозку 7,9 7,2
кормов
потери продукции от нерационального 16,2 —
размещения угодий и севооборотов
в худшем варианте
Приведенные затраты (?н = 0,10) 143,3 120,8
Из таблицы видно, что приведенные затраты по оптимальному
плану меньше на 22,5 тыс. руб. (143,3 тыс. - 120,8 тыс. = 22,6 тыс.).
В данном случае не очень важен размер затрат, так как разница
будет тем выше, чем больше размер удельных затрат,
определяемых уровнем цен. Важно, что экономико-математические методы
гарантируют преимущество по сравнению с традиционными.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие ограничения ставятся в задаче по оптимизации трансформации
угодий?
2. Какие показатели могут применяться в качестве критерия оптимальности?
3. В чем заключается экономический смысл ограничения по эффективности
капитальных вложений? Выведите это ограничение.
4. В каком случае при оптимизации трансформации угодий может
применяться метод потенциалов?
5. Какова методика данной задачи?
Глава 24
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОРГАНИЗАЦИИ
СИСТЕМЫ СЕВООБОРОТОВ ХОЗЯЙСТВА
24.1. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
ПРИ ОРГАНИЗАЦИИ СЕВООБОРОТОВ
Разработка и внедрение в сельскохозяйственное производство
наиболее продуктивных севооборотов — важное средство
повышения эффективности использования земли, увеличения валовых
сборов сельскохозяйственных культур, защиты земель от деграда-
519

ции. Севообороты закрепляются за трудовыми коллективами, в их
границах осуществляются технологические процессы по
возделыванию культур, применяется система машин, удобрений,
организуется труд работников полеводства. Поэтому организация
севооборотов—главная задача внутрихозяйственного
землеустройства, которая может решаться с применением
экономико-математических методов.
При построении модели оптимизации используют следующие
способы:
1) учет требований введения севооборотов и агротехнической
целесообразности возделывания сельскохозяйственных культур
при оптимизации структуры посевных площадей;
2) взаимоувязку планируемой структуры посевных площадей с
рекомендуемыми для зоны расположения хозяйства схемами
чередования сельскохозяйственных культур при оптимизации
сочетания отраслей сельскохозяйственного предприятия;
3) выбор лучших возможных схем чередования
сельскохозяйственных культур;
4) размещение севооборотов определенных типов и видов
культур с учетом качества почв.
По первому способу севообороты необходимо разрабатывать с
учетом биологических особенностей и агротехники
сельскохозяйственных культур. Для этого строят ограничения по
предшественникам или допустимым пределам доли отдельных культур в общей
площади посева. Ограничения имеют вид
Ъа'м - "ZayXj <0;
JeQ jeQ
dfibiuXjZdjjbr, xj^djjbr, ieM,
где Q — множество сельскохозяйственных культур; М— множество ограничений
по агротехнической целесообразности возделывания сельскохозяйственных
культур; а\. и а"- —коэффициенты пропорциональности (соотношения) между
различными культурами или их группами; xj— площади сельскохозяйственных
культур, га; d\- и d". — нижняя и верхняя границы допустимой доли культур в
рекомендуемой для зоны хозяйства структуре посевов; dy — доля у-й культуры в
общей площади посева по /-му агробиологическому ограничению; 6,- —общая
площадь пашни, га.
Например, необходимо составить систему ограничений по
агротехнической целесообразности возделывания
сельскохозяйственных культур исходя из следующих условий:
а) 60 % посевов озимых зерновых культур необходимо
разместить по пласту многолетних трав, срок использования которых два
года, остальные — по пару;
б) доля посевов озимых зерновых культур должна составлять
40—50 % всех посевов зерновых;
520

в) посевы зерновых в общей структуре пашни не должны
превышать 60 %;
г) общая площадь пашни в хозяйстве 3000 га, площадь сахарной
свеклы не должна превышать 20 % площади пашни;
д) исходные данные и обозначения приведены в таблице 163.
163. Исходные данные для системы ограничений
Культуры

Переменные
Доля культур в рекомендуемых схемах чередования, аи
схема 1 | схема 2 | схема 3
Озимая пшеница
Озимая рожь
Яровая пшеница
Ячмень
Сахарная свекла
Многолетние травы:
на сено
зеленый корм
сенаж
семена
Пар
Севообороты:
схема 1
схема 2
схема 3
Х\
*2
*з
х4
*5
Хб
*7
*8
*9
*10
*11
*12
*13
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0,05
0,05
0,05
0,05
0,1
1
—
—
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
0,08
0,08
0,08
0,01
0,125
—
1
—
—
0,15
0,15
0,15
—
0,15
0,15
0,15
0,10
—
—
—
1
Составим ограничения:
а) 0,6(*i + х2) < 0,5(*$ + х7 + *8 + Л9), или 0,6*i + 0,6*2 - 0,5*6 -
-0,5*7 - 0,5л:8 - 0,5*9 ^ 0;
0,4(*! + х2) < *ю, или 0,4*! + 0,4*2 - х\о ^ 0;
б) *! + *2 > 0,4(*! + *2 + *3 + *4), ИЛИ *i + Х2 — 0,4*! — 0,4*2 —
-0,4*3 - 0,4*4 ^ 0, то есть 0,6*i + 0,6*2 - 0,4*3 - 04*4 > 0.
Разделив последнее неравенство на 0,4, получим
окончательную запись условия
1,5*1 + 1,5*2-*з~*4^0, ИЛИ —1,5*! - 1,5*2 +*3+*4^0.
Вторую часть условия запишем так:
*1 + *2 < 0,5(*i + *2 + *з + Х4),
*i + *2 — 0,5*1 — 0,5*2 — 0,5*з" 0,5*4 ^ 0,
0,5*i + 0,5*2 - 0,5*з — 0,5*4 ^ 0, или *i + *2 - *3 - хл < 0;
в) *i + *2 + *3 + *4 ^ 0,6 • 3000, или *i + *2 + *3 + *4 ^ 1800;
г) *i + х2 + *з + *4 + *5+ Х6 + х7 + *8 + *9 + *ю ^ 3000;
*5 < 0,2 • 3000, или *5 < 600.
521

Данный способ, учитывающий условия агротехнической
целесообразности возделывания сельскохозяйственных культур,
наиболее простой. Однако он не учитывает зависимости урожайности
сельскохозяйственных культур от предшественников, что
определяется выбранной схемой севооборота. Полученные в результате
площади культур, как правило, корректируют при определении
ротации севооборотов и их размещении по землепользованию
хозяйства.
По второму способу взаимоувязка планируемой структуры
посевных площадей с рекомендуемыми для зоны расположения
хозяйства схемами чередования сельскохозяйственных культур
может осуществляться в ходе решения самостоятельной задачи по
проектированию севооборотов или при решении задачи по
оптимизации сочетания отраслей в хозяйстве. Включение в состав
переменных такой задачи позволяет определить типы, виды, число и
площади севооборотов.
Данный способ обладает рядом преимуществ. Он позволяет
сбалансировать площади севооборотов и планируемую структуру
посевов и дифференцировать через урожайность культур их
отношение к предшественникам.
Вместе с тем, несмотря на некоторое увеличение размеров
матрицы задачи, полученные результаты будут в некоторой степени
условными, так как они во многом определяются ограниченным
числом включенных в задачу схем чередования культур и не
учитывают природных условий землепользования хозяйства.
Наряду с перечисленными выше переменными в задачу
включают неизвестные Xj (je (?Сев)> характеризующие площади
севооборотов заданного типа и вида (?)сев — множество таких
севооборотов).
Взаимосвязь площадей культур и севооборотов в такой задаче
осуществляется следующим образом:
*/- S aijXj=0,ieQ,
У"е Осев
где а— доля культуры /'-го вида ву'-й схеме севооборота.
При этом надобность в рассматриваемых выше ограничениях
по агротехнической целесообразности возделывания культур
практически отпадает.
Рассмотрим пример. Используя данные таблицы 163, составим
ограничения по взаимоувязке площадей озимой ржи и сахарной
свеклы в рекомендуемых к освоению трех схемах чередования
культур.
1. По озимой ржи
х2 - 0,2хп - 0,125х12 - 0,15х13 = 0.
522

2. По сахарной свекле
лг5-0,1х11-0,125х12 = 0.
Такая постановка задачи позволяет найти рациональные
размеры севооборотов, ограничив их минимально и максимально
рекомендуемыми размерами, исходя из следующего соотношения:
Pj<Xj<Pj, yeeCeB,
где Pj и F, — соответственно нижняя и верхняя границы севооборотов
(площадей), рекомендуемых к закреплению за бригадами с оптимальной численностью
механизаторов и технической оснащенностью.
Кроме того, если коэффициенты целевой функции
рассчитывают по xj, то в такой задаче можно учесть влияние
предшественников сельскохозяйственных культур. Для этого используем
данные таблицы 164.
164. Ориентировочные коэффициенты изменения урожайности культур в зависимости
от их предшественников по отношению к средней урожайности хозяйства
(зона неустойчивого увлажнения)
N°
поля
Предшествующее звено (предшественник) в севообороте
Коэффи-
циент Кк
Озимая пшеница
1 Многолетние травы — многолетние травы — многолетние
травы — озимая пшеница
2 Многолетние травы — многолетние травы — озимые — озимая
пшеница
3 Озимые — кукуруза на зерно — зернобобовые — озимая пшеница
4 Сахарная свекла — озимые — кукуруза на зерно — озимая
пшеница
5 Подсолнечник — озимые — кукуруза на силос — озимая пшеница
6 Кукуруза на зерно — озимые — подсолнечник — озимая пшеница
7 Кукуруза на зерно — озимые — сахарная свекла — озимая
пшеница
8 Озимые — сахарная свекла — озимые — озимая пшеница
9 Озимые — кукуруза — подсолнечник — черный пар — озимая
пшеница
10 Кукуруза — подсолнечник — занятый пар —озимая пшеница
Подсолнечник
1 Кукуруза — озимые — сахарная свекла — подсолнечник
2 Озимые — кукуруза — озимые — подсолнечник
3 Озимые — кукуруза на силос — подсолнечник
4 Кукуруза — озимые — еуданская трава — подсолнечник
5 Многолетние травы — многолетние травы — озимые —
подсолнечник
Сахарная свекла
Кукуруза на силос — сахарная свекла
Озимая пшеница — сахарная свекла
1,06
1,04
1,05
0,96
1,05
0,97
0,92
0,98
1,09
1,05
0,86
1,06
1,03
0,89
0,91
1,11
1,09
523

Продолжение
поля
Предшествующее звено (предшественник) в севообороте

Коэффициент Л^
Подсолнечник — сахарная свекла
Многолетние травы — сахарная свекла
Кукуруза на зерно
Озимые — сахарная свекла — кукуруза на зерно
Озимые — подсолнечник — озимые — кукуруза на зерно
Сахарная свекла — подсолнечник — озимые — озимые —
кукуруза на зерно
Озимые — озимые — кукуруза — кукуруза на зерно
Горох
Озимые — сахарная свекла — озимые — горох
Озимые — озимые — сахарная свекла — горох
Озимые — сахарная свекла — кукуруза на зерно
Озимые — озимые — кукуруза на силос — горох
0,88
0,96
1,07
0,86
1,04
0,83
0,97
0,94
1,03
1,06
Рассмотрим пример. Необходимо рассчитать чистый доход Cj с
учетом влияния предшественников для севооборота со
следующим составом культур.
1—3. Многолетние травы.
4—5. Озимая пшеница.
6. Сахарная свекла.
7. Кукуруза на зерно.
8. Озимая пшеница.
9. Подсолнечник
10. Яровые зерновые и зернобобовые с подсевом многолетних
трав.
Расчет проведем в таблице 165.
165. Расчет С, по полевому севообороту
№

поля
Культуры

Плановая


жайность
по

зяйству, ц
с 1 га,


фициент

влияния
пред-
шест-
вен-
ников,


почная
цена,
руб.
за
1ц,
*J
Стоимость
валовой

продукции, руб.
за 1 га,
в;=уМ
Мате-
риаль-
но-де-
неж-
ные

затраты,
•3qj
Чистый
доход,
руб.
с 1 га,
4 =
в,-з„
Доля

культуры
все-
во-
обо-
роте,
а
Чистый
доход с
учетом
доли в

севообороте, руб.
с 1 га,
V;
1 Многолетние травы
(сено)
2 Многолетние травы
3 Многолетние травы
4 Озимая пшеница
5 Озимая пшеница
6 Сахарная свекла
7 Кукуруза на зерно
8 Озимая пшеница
9 Подсолнечник
10 Яровые зерновые и
зернобобовые
Всего
524
40 1,00 3,0 120,00 85,20 34,80 0,1 3,48
40
40
30
30
250
40
30
20
25
1,00
1,00
1,06
1,04
1,09
1,07
0,96
1,06
1,00
3,0
3,0
8,4
8,4
2,9
10,0
8,4
30,0
5,7
120,00
120,00
267,12
262,08
790,25
428,00
241,92
636,00
142,50
85,20
85,20
110,54
110,54
452,00
244,85
110,54
195,16
100,65
34,80
34,80
156,58
151,54
338,25
183,15
131,38
440,84
41,85
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
3,48
3,48
15,66
15,15
33,82
18,32
13,14
44,08
4,18
154,79

Окончательно значение Cj по данному севообороту принимаем
равным 154,79 руб. с 1 га.
Модель задачи (второй способ) включает ограничения: 1) по
площади пашни; 2) по взаимоувязке площадей культур и
севооборотов; 3) по рекомендуемым размерам севооборотов; 4) по
поддержанию положительного баланса гумуса в почве; 5) по
использованию производственных ресурсов; 6) по обеспечению животных
питательными веществами и формированию структуры кормовых
ресурсов на пашне; 7) по гарантированному производству
товарной продукции полеводства; 8) по условиям неотрицательности
переменных.
В качестве целевой функции данной задачи можно
использовать максимальное значение чистого дохода с учетом влияния
предшественников на сельскохозяйственные культуры.
По третьему способу задача по проектированию севооборотов
решается как самостоятельная (по заданной структуре посевов);
она направлена на выбор лучших схем чередования культур из
числа возможных, которые могут быть применены в хозяйстве.
Оптимальное решение при этом показывает, какие из
предварительно намеченных севооборотов наиболее эффективны, сколько
севооборотов надо вводить и на какой площади.
Преимущество этого способа состоит в том, что
агротехнические требования чередования культур учитываются наиболее
полно. Кроме того, ограниченный по сравнению с двумя
предыдущими постановками задачи перечень переменных позволяет решать
задачу проектирования севооборотов в разрезе выделенных
земельных массивов, что позволит при незначительном увеличении
матрицы учесть плодородие и местоположение земельных
участков.
Вместе с тем подготовка информации для решения такой
задачи требует больше времени, так как технико-экономические
коэффициенты, как правило, являются расчетными
средневзвешенными величинами в зависимости от площади и состава культур в
севооборотах.
В состав переменных задачи по проектированию севооборотов
включают значения Xj (для у е QCCB), характеризующие площади
севооборотов с заданной ротацией.
На неизвестные накладывают следующие ограничения: 1) по
площади пашни; 2) по использованию производственных
ресурсов; 3) по поддержанию положительного баланса гумуса в почве;
4) по выполнению производственной программы полеводства
(гарантированному производству кормов и товарной продукции);
5) по рекомендуемым размерам севооборотов; 6) условие
неотрицательности переменных.
В качестве целевой функции может использоваться
максимальный чистый доход или минимум затрат на производство
продукции.
525

Рассмотрим пример. Для сельскохозяйственного предприятия
зональными системами земледелия рекомендуется к освоению 6
схем чередования культур. Доля культур в севооборотах показана в
таблице 166.
166. Доля сельскохозяйственных культур в рекомендуемых к освоению севооборотах
№

поля
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Культуры
Озимая пшеница
Озимая рожь
Яровая пшеница
Ячмень
Сахарная свекла
Многолетние травы на:
сено
зеленый корм
сенаж
семена
Пар
I
0,2
0,2
0,1
0,1
0,1
0,05
0,05
0,05
0,05
0,1
Схемы севооборотов
II
III
0,25 -
0,125 0,15
0,125 0,15
0,125 0,15
0,125 -
0,08 0,15
0,08 0,15
0,08 0,15
0,01 0,10
0,125
IV
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
V
0,25
—
—
0,25
0,25
—
—
—
—
0,25
VI
0,2
0,2
—
0,2
0,2
0,2
—
—

Планируемая

урожайность,
цс га
40
40
30
35
300
40
150
80
3
—
Объем

необходимого

производства,
ц
10000
10000
30000
5000
20000
10000
150
—
Исходные данные для построения системы ограничений и
целевой функции приведены в таблице 167.
Составим экономико-математическую модель. За неизвестные
задачи примем площади севооборотов с заданным чередованием
культур. Их шесть — с хх по *$.
167. Исходные данные для построения экономико-математической модели задачи
Схемы севооборотов
Показатели
Расход пашни на 1 га
севооборота, га
Затраты труда, чел.-дн. на 1 га
Затраты техники, эт. га
Затраты минеральных
удобрений, ц усл. туков
Баланс гумуса, т в 1 га
Чистый доход, усл. ед. с 1 га
Рекомендуемые площади
севооборотов, га
I
1
6,6
зл
2,8
-0,62
320
—
II
1
7,2
3,2
2,9
-0,54
345
—
III
1
3,0
2,6
1,2
+ 1,15
210
>800
IV
1
6,4
3,0
2,7
-0,49
350
—
V
1
11,1
3,6
4,1
-1,72
450
—
VI
1
9,5
3,5
3,5
-0,45
420
—
Ресурсы
3250
25000
10000
9000
4000
—
—
На неизвестные наложим следующие ограничения.
1. По площади пашни:
*1 + х2 + *3 + *4 + *5 + *6 ^ 3250.
2. По трудовым ресурсам:
6,6*! + 7,2х2 + Зх3 + 6,4*4 + 11,1*5 + 9,5х6 < 25 000.
526

3. По техническим средствам:
3,1*! + 3,2д:2 + 2,6*3 + Зх4 + 3,6л:5 + 3,5л:6 < 10 000.
4. По минеральным удобрениям:
2,8*! + 2,9*2 + 1,2*з + 2,7*4 + 4,1*5 + 3,5*6 < 9000.
5. По балансу гумуса:
0,62*! + 0,54*2 - 1,15*з + 0>49*4 + 1,72*5 + 0,45*6 < 4000.
6—11. По гарантированным объемам производства продукции
и кормов:
зерна
22,5*i + 19,4*2 + 15,75*з + 14,5*4 + 18,75*5 + 14*6 > 10 000;
сахарной свеклы
30*! + 37,5*2 + 0*з + 30*4 + 75*5 + 60*6 > 30 000;
сена
2*i + 3,2*2 + 6*з + 4*4 + 0*5 + 8*6 > 5000;
зеленого корма
7,5*i + 12*2 + 22,5*з + 15*4 + 0*5 + 30*6 > 20 000;
сенажа
4*! + 6,4*2 + 12*з + 8*4 + 0*5 + 0*6 > 10 000;
семян многолетних трав
0,15*i + 0,03*2 + 0,3*з + 0,3*4 + 0*5 + 0*6 > 150.
Коэффициенты при переменных в ограничениях 6—11
рассчитывают следующим образом. Например, первый коэффициент по
зерну:
0,2 • 40 + 0,2 • 40 + 0,1 • 30 + 0,1 • 35 = 22,5.
Долю культур или их групп в севообороте умножаем на
урожайность (см. табл. 167), затем суммируем значения.
12. По рекомендуемой площади третьего севооборота:
*3 > 800.
В качестве целевой функции задачи используем максимум
чистого дохода:
Z = 320*i + 345*2 + 2Ю*з + 350*4 + 450*5 + 420*6 -> max.
Матрица данной задачи приведена в таблице 168.
527

168. Матрица задачи по проектированию системы севооборотов хозяйства
Ограничение
Схемы севооборотов
I
*i
II
*2
III
*3
IV
х4
V
*5
VI
Хб
Тип
огра-
ниче-
ния
Объем

ограничения
По площади пашни
По трудовым ресурсам
По технике
По минеральным удобрениям
По балансу гумуса
По зерну
По сахарной свекле
По сену
По зеленому корму
По сенажу
По семенам многолетних трав
По площади третьего севооборота
Целевая функция (максимум
чистого дохода)
В результате решения задачи получен следующий ответ: х3 =
= 800 га, х4 = 1367 га, х5 = 1060 га. Значение целевой функции
составляет Z= 1 123 814 руб.
Не останавливаясь на анализе полученного решения, можно
сделать вывод, что данная модель работает и ее можно применять
при разработке проектов внутрихозяйственного землеустройства.
Четвертый способ решения задачи рассматривается в разделе
24.2.
1 1
6,6 7,2
3,1 3,2
2,8 2,9
0,62 0,54
22,5 19,4
30 37,5
2 3,2
7,5 12
4 6,4
0,15 0,03
0 0
320 345
1
3
2,6
1,2
1
6,4
3
2,7
-1,15 0,49
15,75
0
6
22,5
12
0,3
1
210
1
11,1
3,6
4,1
1
9,5
3,5
3,5
1,72 0,45
14,5 18,75
30
4
15
8
0,3
0
350
75
0
0
0
0
0
450
14
60
8
30
0
0
0
420
<
<
<
<
<
>
>
>
>
>
>
>
—>
3250
25000
10000
9000
4000
10000
30000
5000
20000
10000
150
800
max
24.2. РАЗМЕЩЕНИЕ СЕВООБОРОТОВ И СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ
КУЛЬТУР С УЧЕТОМ СТЕПЕНИ ЗАГРЯЗНЕННОСТИ
И КАЧЕСТВА ПОЧВ
Для решения данной задачи распределительным методом
линейного программирования нужно знать площади и качество
севооборотов различных типов и видов, с одной стороны, и
площади и число участков различного плодородия — с другой.
Суть задачи и ее решения будут зависеть от коэффициентов
целевой функции с;у, которые характеризуют эффективность каждого
севооборота при его размещении на конкретном участке пашни.
В землеустройстве известны многие модификации данной
постановки задачи, различающиеся способом расчета с у.
Например, в процессе проектирования системы севооборотов и
устройства их территории в условиях техногенного загрязнения
почв приходится учитывать множество факторов, оказывающих
влияние на размещение культур по участкам, количество и
качество получаемой продукции. Так, накопление радиоактивных
элементов в почвах зависит прежде всего от их механического
состава. Растения, в свою очередь, по-разному реагируют на накопле-
528

ние радиоактивных веществ в почве. Наименьшая способность к
накоплению радиоактивных веществ у злаковых, наибольшая — у
культур с большой растительной массой (кукуруза, корнеплоды,
многолетние травы, силосные).
В этих условиях при организации севооборотов требуется
проектировать участки, однородные по степени загрязнения, и
определять размещение культур с учетом снижения степени
загрязненности конечной продукции вредными примесями. При
составлении планов перехода к севооборотам необходимо также учитывать
предшественники культур, что позволяет значительно снизить
уровень загрязненности конечной продукции.
Значение с0- в условиях радиоактивного загрязнения местности
можно вычислить по следующей формуле:
Су ~~ ЯуУуу
где а0 — содержание радионуклидов (цезия-137) в единице продукции /-й
культуры, выращенной нау-м участке; у0 — урожайность /-й культуры при размещении
ее нау-м участке.
Содержание радионуклидов (цезия-137) в
сельскохозяйственных культурах приведено в таблице 169.
Данный коэффициент показывает содержание цезия-137 в
урожае при степени загрязнения 1 Ки на 1 км2. Если размещение
культуры произведено на участке с загрязнением 5 Ки на 1 км2, то
этот показатель надо умножить на 5.
Рассчитаем значение с1} для озимой пшеницы при ее
размещении на двух участках с дерново-подзолистыми почвами
соответственно супесчаного и тяжелосуглинистого механических
составов. Примем урожайность озимой пшеницы одинаковой: зерна
30 ц с 1 га, соломы 30 ц с 1 га. Тогда значение а{ составит по зерну
0,04, по соломе 0,08, а значение а2 будет равно по зерну 0,055, по
соломе 0,07.
Значения с0- вычисляем так:
q = 0,04 • 30 + 0,08 • 30 = 3,6;
с2 = 0,055 • 30 + 0,07 • 30 = 3,75.
Минимизируя целевую функцию, можно добиться такого
размещения посевов, при котором суммарное содержание
радионуклидов в почве будет минимальным.
При применении симплексного метода для оптимизации
размещения севооборотов и сельскохозяйственных культур по
территории задачу можно решить с большей эффективностью, так как
по участкам различного плодородия можно дифференцировать не
только урожайность, но и различного рода ресурсы (трудовые,
минеральные удобрения, нормы высева семян и т.д.).
529

169. Содержание радионуклидов (цезия-137) в 1 ц сельскохозяйственных культур при плотности загрязнения почвы 1 Ки на 1 км2
Культуры
Озимая рожь
Озимая пшеница
Яровая пшеница
Ячмень
Овес
Гречиха
Люпин (бобовые)
Лен
Конопля
Картофель
Сахарная свекла
Кормовые корнеплоды
Овощи (морковь, лук, кабачки)
Кукуруза (силос, зеленая масса)
Силосные (люпин)
Однолетние травы (сено,
зеленая масса, сенаж)
Многолетние травы (злаковые)
Многолетние травы (бобовые)
Пар занятый
Пар чистый
Продукция
Зерно
Солома
Зерно
Солома
Зерно
Солома
Зерно
Солома
Зерно
Солома
Зерно
Солома
Зерно
Солома
Семена
Соломка
Семена
Треста
Клубни
Корнеплоды
Ботва
Корнеплоды
Ботва
Вегетативная масса
Вегетативная масса
Вегетативная масса
Сено
Сено
Вегетативная масса
Дерново-подзолистые почвы
песчаные и
супесчаные
0,030
0,060
0,040
0,080
0,090
0,180
0,020
0,040
0,020
0,050
0,560
0,900
1,900
0,920
0,020
0,040
0,018
0,040
0,015
0,050
0,100
0,050
0,100
0,006
0,020
0,920
0,100
0,600
0,300
0,100
—
легко- и
среднесугли-
нистые
0,013
0,033
0,060
0,120
0,060
0,120
0,010
0,030
0,015
0,040
0,280
0,600
1,665
0,500
0,010
0,030
0,010
0,040
0,015
0,040
0,080
0,040
0,080
0,006
0,020
0,500
0,060
0,300
0,200
0,060
—

тяжелосуглинистые
0,010
0,020
0,055
0,070
0,055
0,080
0,005
0,010
0,010
0,030
0,200
0,400
1,250
0,450
0,005
0,010
0,005
0,010
0,015
0,016
0,040
0,016
0,040
0,006
0,020
0,450
0,060
0,100
0,150
0,060
—
Серые
лесные
почвы
0,005
0,010
0,005
0,010
0,005
0,010
0,005
0,010
0,004
0,020
0,020
0,060
—
—
0,005
0,010
0,005
0,010
0,015
0,050
0,050
0,025
0,050
0,004
0,005
—
0,005
0,100
0,100
0,005
—

Черноземы
0,004
0,008
0,004
0,008
0,005
0,010
0,005
0,010
0,004
0,020
0,020
0,060
—
—
0,005
0,010
0,005
0,010
0,010
0,020
0,020
0,010
0,020
0,004
0,005
—
0,005
0,100
0,100
0,005
—
Торфяно-
глеевые и
оторфован-
ные
0,040
0,250
0,010
0,020
0,010
0,020
0,010
0,020
0,050
0,180
0,020
0,060
—
—
0,005
0,010
0,005
0,010
0,015
0,040
0,040
0,020
0,020
0,006
0,12
—
0,12
0,450
0,070
0,12
—

170. Фрагмент матрицы оптимального размещения культур (севооборотов) по участкам с различным плодородием
п/п
Ограничения
Озимая пшеница
1
Х\
2
*2
3
*з
4
*4
5
*5
6
*6
7
*7
8
*8
Сахарная свекла
1
*9
2
¦*10
3
*м
4
*12*
5
^13
6
ДС|4
7
*15
8
*I6

Другие

культуры
Тип
огра-
ни-
че-
ния
Объем


ничения
1 По площади хозяй- 11111111111111 11
ства (севооборота),
га
2 По площади
участков:
1 1 1
2 1 1
3 1 1
4 1 1
5 1 1
6 1 1
7 1 1
8 1 1
3 Ресурсные
ограничения
4 Баланс гумуса
5 По обеспечению
гарантированного
производства:
зерна 2,73 2,812,47 2,53 2,31 2,52 2,38 2,32
сахарной свеклы 20,74 21,03 22,17 20,43 21,38 21,01 21,31 23,92
кормов и т. д
Целевая функция
(максимум чистого
Й дохода), усл. ед. 247 240 273 267 289 268 282 288 197,6 194,7 183,3 200,7 191,2 194,9 191,9 186,1
1880
<
<
<
<
<
<
<
<
<
235
235
235
235
235
235
235
235
л,
Bi
543
6000
max

В этом случае матрица оптимального размещения культур
(севооборотов) по территории будет выглядеть следующим образом
(табл. 170).
Размер задачи существенно возрастает, но получается
наилучший результат. При наличии земельно-информационной системы
(ЗИС) в хозяйстве, когда по каждому земельному контуру имеется
информация о всех его характеристиках (площадь, тип почв,
данные экономической оценки земель, удаленность от
хозяйственных центров и т.д.), решить задачу по ежегодному размещению
посевов на ЭВМ несложно.
24.3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПЛАНА ПЕРЕХОДА
К ЗАПРОЕКТИРОВАННЫМ СЕВООБОРОТАМ
Один из главных этапов осуществления проекта
внутрихозяйственного землеустройства — составление плана перехода к
запроектированным севооборотам. В таком плане для всех
участков, входящих в границы выделенных полей,
предусматривается размещение посевов сельскохозяйственных культур по
допустимым предшественникам с расчетом постепенной
ликвидации пестрополья и выполнения производственной программы
предприятия.
Трудности составления этого плана очевидны. В хозяйстве
обычно вводится несколько севооборотов, проектируемые поля не
совпадают с существующим размещением посевов. В момент
перенесения проекта в натуру почти на каждом поле содержатся
разные культуры. Поэтому для всех полей и рабочих участков
необходимо составить план посева на несколько лет вперед таким
образом, чтобы не снижалась урожайность культур и они были
размещены по наилучшим предшественникам и чтобы выдерживалась
запроектированная структура посевов. Кроме того, необходимо,
чтобы сроки осуществления проекта были минимальными и
переход к запроектированным севооборотам был осуществлен как
можно быстрее.
Рассмотрим пример (с нашими изменениями заимствован
из работ И.Ф. Полунина). В производственном подразделении
хозяйства вместо двух существующих введен один 9-польный
полевой севооборот на площади 1696,5 га со средним размером
поля 188,5 га. В часть полей севооборота включают осваиваемые
участки леса, пастбищ, полевых дорог. Поля в проектируемых
границах имеют множество участков посевов полевых культур
прошлых лет (многолетние травы, озимые), а также являются
неоднородными по составу предшественников.
Чередование культур в проектируемом севообороте по проекту
внутрихозяйственного землеустройства следующее:
532

№ поля
1
2
3
4
5
6
7
Чередование культур
Пар занятый — 100 га; пар чистый
Озимые
Картофель — 120 га; кукуруза
Яровые зерновые с подсевом многолетних трав
Многолетние травы 1-го года
Многолетние травы 2-го года
Озимые
Озимые
Кукуруза
В границах запроектированных полей имеется существенное
пестрополье с размещением от 3 до 6 различных
сельскохозяйственных культур и участков пастбищ, кустарников, леса,
намеченных к освоению.
Размещение посевов в предыдущем и текущем годах показано в
таблице 171.
171. Фактическое размещение посевов сельскохозяйственных кулыур
№
поля
1
2
3
4
5
6
7
Площадь
поля в
проектируемых
границах, га
178,7
184,7
184,1
177,3
193,2
165,5
205,8
Фактическое размещение
в предыдущем году
Дороги
Пары
Лес
Озимые
Многолетние травы
прошлых лет
Ячмень
Однолетние травы
Пар
Пастбище
Дороги
Озимые
Картофель
Лес
Дороги
Озимые
Картофель
Дороги
Прочие угодья
Пар
Озимая пшеница
Многолетние травы
прошлых лет
Сад
Кукуруза
Однолетние травы
Дороги
Кустарник
Ячмень с подсевом
многолетних трав
га
в текущем году
0,4 Дороги распаханные
178,3 Озимые
0,9 Лес
58,8 Озимые
17,1 Однолетние травы
2,0
10,0
95,9
11,1 Пастбище распаханное
0,7 Дороги распаханные
54,9 Яровые
117,4 Яровые с подсевом
многолетних трав
Картофель
0,4 Лес освоенный
0,7 Дороги распаханные
166,8 Яровые
9,4 Картофель
0,5 Дороги распаханные
3,0 Прочие освоенные угодья
49,6 Озимые
135,5 Многолетние травы
прошлых лет
4,6
23,0 Сад освоенный
117,7 Кукуруза
24,8 Однолетние травы
0,8 Дороги распаханные
0,2 Кустарник освоенный
18,4 Многолетние травы
1-го года
га
0,4
178,3
0,9
154,7
29,1
11,1
0,7
1,9
53,0
117,4
0,4
07
166,8
9,4
0,5
3,0
185,1
4,6
23,0
117,7
24,8
0,8
0,2
18,4
533

Продолжение
поля
Площадь
поля в
проектируемых
границах, га
Фактическое размещение
в предыдущем году
га
в текущем году
га
Однолетние травы 108,8 Однолетние травы 108,8
с подсевом
многолетних трав
Кукуруза 77,6 Кукуруза 77,6
8 191,7 Многолетние травы 53,3 Многолетние травы 53,3
1-го года 2-го года
Корнеплоды 28,7 Корнеплоды 28,7
Озимые 61,3 Озимые 61,3
Картофель 37,1 Картофель 48,5
Многолетние травы 11,4
прошлых лет
9 215,4 Многолетние травы 74,9 Подсолнечник 29,3
прошлых лет
Ячмень 62,3 Многолетние травы 74,9
прошлых лет
Озимые 78,2 Озимые 78,2
Яровые 18,0
Картофель 15,0
В процессе решения данной задачи необходимо составить план
перехода существующего размещения посевов к чередованию
культур в запроектированном севообороте с учетом обеспечения
растений наилучшими предшественниками, что и является целью
решения.
По существу, данная задача должна решаться методами
динамического программирования, так как каждый последующий план
размещения посевов зависит от предыдущего. Однако во
избежание сложностей можно заменить одно оптимальное решение на
весь период освоения севооборота последовательностью
оптимальных решений на каждый отдельный год. Это допущение
нарушит строгость и немного снизит качество плана, но
существенно упростит задачу.
Таким образом, принимая длительность периода освоения
севооборота за один год, как это делается на практике, будем
оптимизировать план перехода к запроектированному севообороту,
используя распределительный метод линейного программирования,
отдельно для каждого севооборота на каждый переходный год.
В качестве целевой функции для простоты иллюстрации задачи
используем балльную оценку размещения культур по
предшественникам.
Предшественники оценивались баллами по следующей
схеме: лучший предшественник 4, хороший 3, допустимый
(удовлетворительный) 2, плохой 1, недопустимый-Л/, где М—
большое по абсолютной величине число, например 100, 1000 или
любое другое.
Оценка предшественников приведена в таблице 172. В таблице
каждой культуре и предшественнику присвоен номер, причем од-
534

172. Оценка предшественников сельскохозяйственных кулыур

Предшественник
N?

шественника

Озимые


куруза

Картофель
Яровые

зерновые

Многолетние
травы

Многолетние
травы
Пар

занятый
Пар

чистый
Пар
сиде-
раль-
ный


плоды

Подсолнечник

Однолетние
травы
Гречиха
Номер культуры
Озимые
Кукуруза
Картофель
Яровые зерновые
Многолетние
травы 1-го года
Многолетние
травы 2-го года
Пар занятый
Пар чистый
Пар сидераль-
ный
Корнеплоды
Подсолнечник
Однолетние
травы
Гречиха
Лес освоенный
Пастбище
освоенное
Прочие
освоенные
Сад освоенный
Кустарник
освоенный
Дороги
распаханные
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
-М -М
3
4
3
2
2
-М
4
4
4
4
2
-М
5
2
-М
-М
4
-М
-М
-М
-м
-м
-м
3
-м
-м
-м
-м
6
-м
-м
-м
-м
4
7
4
4
1
3
-М
-М
-М
-М
-М
-М
-М
-М
-М
-М
-м -м
-м
-м
-м
-м
-м
-м
3
-л/
1
4
4
-М -М
8
4
4
-М
3
-м
-м
-м
-м
-м
3
-л/
9
4
1
1
2
-М
-м -м -м -м -м
-м
-м
-м
-м
-м
-м
10
4
3
4
3
-М
4
1
4
-М
-М
2
11
4
3
3
3
-М
-Л/
1
-л/
-л/
3
12
4
3
4
4
-Л/
-Л/
-Л/
-Л/
-м
3
1
-л/
3
4
4
13
4
4
4
2
-Л/

ноименным культуре и предшественнику присвоены одинаковые
номера. При составлении макетов для непосредственного
решения задачи это избавит от необходимости писать названия культур
и угодий, поскольку можно будет заменить их соответствующими
номерами.
При решении данной задачи следует иметь в виду, что в
качестве оценок плана с,у могут использоваться соответствующие
стоимостные показатели, рассчитываемые через урожайность
сельскохозяйственных культур, которая учитывает одновременно и
качественные характеристики почв поля, и размещение культур по
отдельным предшественникам.
При построении матрицы задачи необходимо также
руководствоваться требованиями агротехнической и хозяйственной
целесообразности размещения посевов. Например, посев однолетних
трав по пару или многолетним травам возможен, но
нецелесообразен, так как это самые лучшие предшественники для озимых,
овощей, картофеля и т.д. В подобных случаях можно ставить
запрещающие оценки.
Поскольку севооборот разрабатывается с учетом всех
особенностей агротехники, почвенных условий, биологических свойств
растений и т.д., предшественники культур в принятом
чередовании получают всегда высший балл. В нашем севообороте,
например, высшим баллом оцениваются пар чистый и пар занятый как
предшественники для озимых, озимые как предшественник для
картофеля и кукурузы, а картофель и кукуруза как
предшественники для яровых зерновых и т.д. Такая оценка способствует
нахождению плана, по которому переход к севообороту
осуществляется в кратчайшие сроки.
При заполнении макетов задачи оценочными баллами надо
учитывать последействие на размещаемую культуру предыдущих
предшественников. Например, озимые как предшественник для озимых
оцениваются баллом 4, но если озимая культура-предшественник, в
свою очередь, размещалась по озимым, то балл должен быть
снижен. А если такое размещение недопустимо, должна ставиться
запрещающая оценка. Необходимо также учитывать фактические
условия поля (засоренность, степень увлажнения и т.д.).
С учетом приведенных исходных данных составим матрицу
экономико-математической задачи на 1-й год перехода к
запроектированным севооборотам. Ее размер 31x11.
С целью уменьшения размерности из задачи исключались
предшественники, размещение по которым не вызывает сомнения
и может быть единственным, Так, во 2-м поле севооборота
участок леса 0,9 га был исключен, поскольку к 1-му году перехода он
не будет освоен. Исключены также из соответствующих полей
многолетние травы 1-го года пользования, так как ясно, что по
ним идут многолетние травы 2-го года.
Число столбцов уменьшается за счет многолетних трав, по-
536

скольку их подсев можно осуществить под ограниченное число
культур, решение этого вопроса не вызывает особых затруднений.
Многолетние же травы 2-го года размещаются только по
многолетним травам 1-го года.
После решения задачи для 1-го года освоения (на основе
первоочередных данных) выполняется корректировка плана. При
большом числе предшественников в одном поле могут оказаться
посевы нескольких культур, в том числе некоторые на малых
площадях. В таких случаях для укрупнения посевов производятся
целесообразные замены, соблюдая допустимость предшественников
и по возможности баланс площадей.
Для корректировки плана можно использовать клетки, в
которых разность потенциалов равна тарифу. Сдвиг по циклу,
построенному на такой клетке, не меняет величину функционала, а сам
план может быть изменен. Обычно недостатки отчетливо видны, и
их легко исправить.
Применительно к нашему примеру оптимальный план задачи
1-го года освоения севооборотов приведен в таблице 173.
Анализ полученного решения показал, что оптимальное
размещение культур по предшественникам, позволяющее точно
выполнить план посева, не уменьшило их раздробленности. Но при
этом новый план является хорошей основой для последующей
корректировки с целью укрупнения посевов. Корректировка
проводится с учетом предшественников, сбалансированности в
соответствии с заданным планом посева. Отклонения от плана посева
не должны превышать наибольшего из отклонений площадей
полей севооборота от среднего размера поля. В таблицу
корректировки (табл. 174) вписывают все предшественники, включая и те,
которые не вошли в задачу.
Как показали расчеты, величина целевой функции для
откорректированного плана уменьшилась незначительно по сравнению
с максимальным уровнем. Для данного плана это уменьшение
составило 0,8%.
Отклонения площадей посевов основных культур по
откорректированному плану от запланированных показаны в таблице 175.
Из таблицы видно, что эти отклонения не являются
значительными и не изменят бизнес-план хозяйства.
Проведя корректировку и установив план посева на 1-й год
перехода, считаем его исходным для 2-го года и составляем для этого
же севооборота новую задачу. В ней площади предшественников
записываем из плана посева на 1-й год, а набор культур и
плановые площади на 2-й год определяем заново (уточняем положение
в связи с уже достигнутой структурой посевов). Показатели
экономической эффективности с,у устанавливаем с учетом
предшественников не только данного года, но и предыдущего.
Решив эту задачу, получим план посева в севообороте на 2-й
год освоения. После корректировки он является исходным для ре-
537

№ поля
1
i
l
2
3
4
5
№ п/п
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
L!i_
173. Матрица задачи по оптимизации плана перехода i
N° |
прсд-
шсст-
всн-
ника
3
19
1
1
12
15
19
4
3
14
19
4
3
19
16
j 1
\ Р/
4
5
5
5
5
5
5
6
5
5
5
6
5
5
5
Ь_
:запроектированным
севооборотам
№ культуры
1
9
5
3
4
97,0
4
4
29,1
3
3
2
3
3
3
2
3
3
3
4
1 185,1
2
9
6
2
4
4
3
2
2
2
4
45,3
2
2
2
4
9,4
2
2
4
1
3
9
7
2
4
30,1
4
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
9
8
3
4
51,2
4
40,2
3
3
3
3
4
69,3
3
3
2
4
3
3
4
7
9
9
4
0,4
4
4
82,2
-Л/
4
11,1
4
0,7
3
1
4
0,4
4
0,7
3
1
4
0,5
4
3,0
4
8
9
10
1
4
4
-Л/
1
1
3
1.9
-Л/
1
1
3
88,1
-Л/
1
1
4
12
10
11
4
4
4
-Л/
4
4
4
4
4
4
4
40,0
4
4
4
4
10
9
12
2
4
4
2
2
2
3
4
2,8
2
2
3
38,7
4
2
2
4
И
9
13
1
4
4
12,0
3
1
1
3
3
1
1
3
3
1
1
4
13
9
14
1
4
4
3
1
1
2
4
1
1
2
4
1
1
4
9
9
15
1
4
4
20,3
-М
2
2
4
Площадь
предшественника,
16
0,4
178,3
154,7
29,1
11,1
0,7
1,9
117,4
0,4
0,7
166,8
9,4
0,5
1 3,0
J 85,1

Продолжение
1
5
6
7
8
9
2
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
3
6
17
2
12
19
18
2
10
1
3
6
1L
6
1
4
3
4
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
5
5
6
5
Планируемая площадь посевов
культур, га
5
4
4,6
4
23,0
3
4
24,8
3
3
3
3
4
3
4
53,3
2
4
74,9
4
78,2
2
3
570,0
6
4
3
4
117,7
3
2
2
4
42,6
4
4
4
4
2
4
4
2
4
.15,0
230,0
7
4
3
3
3
2
2
3
4
28,7
4
61,2
2
4
2
4
4
2
2
120,0
8
4
4
4
3
3
3
4
4
4
4
4
3
29,3
4
4
2
4
190,0
9
-Л/
4
4
-Л/
4
0Т8
4
0,2
4
-Л/
4
1
-М
3
-М
4
3
1
100,0
10
-м
1
4
-Л/
1
1
4
-Л/
4
-Л/
-Л/
3
-м
4
3
-Л/
90,0
11
-м
4
3
-Л/
4
4
3
3
4
4
-Л/
1
-Л/
4
4
4
40,0
12
4
2
3
2
2
2
3
-Л/
4
4
48,5
4
-Л/
4
4
3
4
90,0
13
-Л/
1
3
3
1
1
3
-м
4
3
-Л/
-Л/
-м
4
3
18?0
3
30,0
14
3
2
4
3
1
1
4
35,0
4
4
4
3
2
3
4
2
4
35,0
15
-М
1
1
-Л/
1
1
1
-м
4
1
-м
-м
-м
4
2
1
20,3
16
4,6
23,0
117,7
24,8
0,8
0,2
77,6
28,7
61,2
48,5
53,3
29,3
74,9
78,2
18,0
15,0
1515,3

О
174. Корректировка плана перехода к запроектированным севооборотам
№
поля
1

Площадь
поля,
га
2
Предшественники
вид
3

площадь, га
4
Посевы по результатам решения
вид
5

площадь, га
6
Корректировка

увеличение
(+),га
7

уменьшение
(-),га
8
Откорректированные посевы
вид
9

площадь, га
10
1
2
3
4
178,7
184,7
184,1
177,3
Дороги
Озимые
Лес
Озимые
Однолетние травы
Выгон освоенный
Дороги распаханные
Яровые зерновые
Яровые с подсевом
многолетних трав
Картофель
Лес освоенный
Дороги распаханные
Яровые зерновые
Картофель
0,4
178,3
0,9
154,7
29,1
11,1
0,7
1,9
53,0
117,4
0,4
0,7
166,8
9,4
Пар занятый
Озимые
Картофель
Яровые зерновые
Лес
Яровые зерновые
Пар занятый
Подсолнечник
Пар сидеральный
Озимые
Пар занятый
Пар чистый
Многолетние травы
1-го года
Кукуруза
Яровые зерновые
Корнеплоды
Пар занятый
Кукуруза
Пар чистый
Однолетние травы
Корнеплоды
0,4
97,0
30,1
51,2
0,9
40,2
82,2
12,0
20,3
29,1
11,8
1,9
53,0
45,3
69,3
2,8
1,1
9,4
88,1
40,0
38,7
—
51,6
—
—
—
41,1
—
—
—
—
1,9
—
—
2,8
—
—
—
—
1,1
9,4
0,4
—
—
51,2
—
—
—
12,0
—
29,1
—
1,9
—
—
2,8
1,1
9,4
—
—
—
—
Озимые
Картофель
—
Лес
Яровые зерновые
Пар занятый
—
Пар сидеральный
—
Пар занятый
—
Многолетние травы
1-го года
Кукуруза
Яровые зерновые
—
—
Пар чистый
Однолетние травы
Корнеплоды
—
148,6
30,1
—
0,9
81,3
82,2
—
20,3
13,7
53,0
48,1
69,3
88,1
41,1
48,1

Продолжение
1
5
6
7
8
9
2
193,2
165,5
205,8
191,7
215,4
3
Дороги распаханные
Прочие освоенные
Озимые
Многолетние травы
прошлых лет
Сад освоенный
Кукуруза *
Однолетние травы
Дороги распаханные
Кустарник освоенный
Травы 1-го года
Однолетние травы
с подсевом
многолетних трав
Кукуруза
Корнеплоды
Озимые
Картофель
Многолетние травы
2-го года
Подсолнечник
Многолетние травы
прошлых лет
Озимые
Яровые
Картофель
4
0,5
3,0
185,1
4,6
23,0
117,7
24,8
0,8
0,2
18,4
108,8
77,6
28,7
61,2
48,5
53,3
29,3
74,9
78,2
18,0
15,0
5
Пар занятый
Озимые
Озимые
Кукуруза
Пар занятый
Многолетние травы
2-го года
Многолетние травы
1-го года
Кукуруза
Гречиха
Картофель
Корнеплоды
Озимые
Яровые зерновые
Озимые
Подсолнечник
Кукуруза
6
3,5
189,7
47,8
117,7
1,0
18,4
108,8
42,6
35,0
89,9
48,5
53,3
29,3
153,1
18,0
15,0
7
—
3,5
—
14,0
—
—
—
1,0
—
—
—
10,1
—
15,0
—
8
3,5
14,0
—
1,0
—
—
—
—
—
—
10,2
—
15,0
9
Озимые с подсевом
многолетних трав
Озимые
Кукуруза
—
Многолетние травы
2-го года
Многолетние травы
1-го года
Кукуруза
Гречиха
Картофель
Корнеплоды
Озимые
Яровые зерновые
Озимые
Подсолнечник
10
193,2
33,8
131,7
18,4
108,8
43,6
35,0
89,9
48,5
53,3
39,4
143,0
33,0

175. Структура посевов после корректировки, га
ГО
Высеваемые культуры
Запланированные площади
Площади посева по
откорректированному плану
Отклонения от запланированных
площадей посева
Озимые
Кукуруза
Картофель
Яровые зерновые
Пар занятый
Пар чистый
Однолетние травы
Корнеплоды
Подсолнечник
Гречиха
Пар сидеральный
Итого
570,0
230,0
120,0
190,0
100,0
90,0
40,0
90,0
30,0
35,0
20,3
1515,3
571,9
223,4
120,0
190,0
95,9
88,1
41,1
96,6
33,0
35,0
20,3
1515,3
1,9
1,1
6,6
3,0
12,6
6,6
4,1
1,9
12,6
176. Окончательный план перехода к запроектированным севооборотам
N>

поля
1

Площадь
поля,
га
2
Фактическое размещение культур или угодий
в предыдущем 1997 г.
вид посевов
3
га
4
в текущем 1998 г.
вид посевов
5
га
6
1999 г.
вид посевов
7
га
8
2000 г.
вид посевов
9
га
10
2001 г.
вид посевов
11
га
12
2002 г.
вид посевов
13
га
14
178,7 Дороги
Пар
184,7 Лес
Озимые
Многолетние
травы
прошлых лет
Ячмень
Однолетние
равь
lap
травы
Па]
0,4 Дороги рас- 0,4 Озимые
паханные
178,3 Озимые 178,3 Картофель
0,9 Лес
58,8 Озимые
148,6 Корне- 60,5 Кукуруза 60,5 Озимые 178,7
плоды
30,1 Озимые 118,2 Пар заня- 118,2
тый
0,9 Лес 0,9 Лес 0,9 Озимые 184,7 Картофель 120,0
154,7 Яровые зер- 81,3 Пар заня- 41,3 Кукуруза 64,7
новые тый
17,1 Однолетние 29,1 Пар занятый 82,2 Однолет- 40,0
травы *ние травы
2,0
10,0
95,9
Пар
сидеральный
20,3 Озимые 102,5

Продолмсение
4ь
М 2 1 3
3 184,1 Пастбища
Дороги
Озимые
Картофель
4 177,3 Лес
Дороги
Озимые
Картофель
5 193,2 Дороги
Прочие
Пар
Озимая
пшеница
Многолетние
травы
прошлых лет
6 165,5 Сад
11,1 Пастбища 11,1
распаханные
0,7 Дороги рас- 0,7
паханные
Т~^Т
10
12
13
Кукуруза
Однолетние
травы
Пар занятый 13,7 Озимые 61,8 Озимые
54,9 Яровые
1,9
117,4 Яровые с под- 53,0
севом
многолетных трав
Картофель 117,4
0,4 Лес освоен- 0,4
ный
0,7 Дороги рас- 0,7
паханные
166,8 Яровые 166,8
9,4 Картофель 9,4
0,5 Дороги рас- 0,5
паханные
3,0 Прочие ос во- 3,0
енные
49,6 Озимые 185,1
135,5 Многолетние 4,6
травы
прошлых лет
4,6

Многолетние травы
1-го года
Кукуруза
Яровые
зерновые
53.0 Многолет- 53,0
ние травы
2-го года
48.1 Пар за- 69,3
нятый
69,3
184,1 Пар
занятый
Пар
чистый
1 14
100,0
84,1
Пар чистый 88,1 Озимые 177,3 Картофель 120,0 Яровые 177,3
зерновые
с подсевом

многолетних трав
Однолетние 41,1 Кукуруза 57,3
травы
Корнеплоды 48,1
Озимые с 193,2 Многолет-193,2 Многолет- 193,2 Озимые 193,2
подсевом ние травы ние травы
многолет- 1-го года 2-го года
них трав
23,0 Сад
23,0 Озимые
117,7 Кукуруза 117,7 Кукуруза
24,8 Однолетние 24,8
травы
33,8 Яровые 165,5 Многолет- 165,5 Многолет- 165,5
зерновые ние травы ние травы
с подсевом 1-го года 2-го года

многолетних трав
131,7

4^
Продолжение
Mb

поля
1

Площадь
поля,
га
2
Фактическое размещение культур или угодий
в предыдущем 1997 г.
вид посевов
3
га
4
в текущем 1998 г.
вид посевов
5
га
6
1999 г.
вид посевов
7
га
8
2000 г.
вид посевов
9
га
10
2001 г.
вид посевов
11
га
12
2002 г.
вид посевов
13
га
14
7 205,8 Дороги
Кустарник
Ячмень с
подсевом
многолетних трав
Однолетние
травы
Кукуруза
191,7 Многолетние
травы 1-го года
Корнеплоды
Озимые
Картофель
Многолетние
травы
прошлых лет
215,4 Многолетние
травы
прошлых лет
Ячмень
Озимые
0,8 Дороги рас- 0,8
паханные
0,2 Кустарник 0,2
освоенный
18,4 Многолет- 18,4
ние травы
1-го года
108,8 Однолетние
травы с
подсевом
многолетних трав
77,6 Кукуруза 77,6
"^ Многолет- 53,3
ние травы
2-го года

Многолетние травы
2-го года

Многолетние травы
1-го года
Кукуруза
108,8 Гречиха
53'3
Картофель
28,7 Корнеплоды 28,7 Корнеплоды
61,2 Озимые 61,2 Озимые
37,1 Картофель 48,5
11,4
74,9
Подсолнечник
29,3 Яровые
зерновые
62,3 Травы прош- 74,9 Озимые
лых лет
78,2 Яровые 18,0
Подсолнечник
Озимые 78,2
Картофель 15,0
18,4 Многолет-108,8 Озимые 108,8 Озимые 205,8
ние травы
2-го года
108,8 Кукуруза 43,6 Пар чис- 97,0
тый
43,6
35,0
89,9 Кукуруза 89,9 Яровые 191,7 Многолет- 191,7
зерновые ние травы
с подсевом 1-го года

многолетних трав
48,5 Картофель 101,8
53,3
39,4 Пар чис- 91,0 Озимые 91,0 Кукуруза 215,4
тый
143,0 Озимые 124,4 Кукуруза 124,4
33,0

шения задачи 3-го года, план 3-го года — исходным для решения
задачи 4-го года.
В процессе корректировки из задачи исключаем те поля, в
которых переход к запроектированному севообороту уже завершен.
Всего для получения оптимального плана перехода к
запроектированному севообороту было проделано 5 итераций. В
результате составлен окончательный план перехода (табл. 176).
План соответствует землеустроительным и агрономическим
требованиям.
24.4. ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ПОСЕВОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЕТЕВЫХ ГРАФИКОВ
Методы сетевого планирования и управления хорошо известны
землеустроителям, однако они не получили достаточно широкого
распространения. Наиболее часто эти методы применялись при
планировании и организации землеустроительных работ (см.
работы В. А. Гавриленко, В. А. Синдеева и др.), а также при решении
транспортных задач (см. работы Е. Г. Ларченко).
Методы сетевого планирования и управления в
землеустройстве впервые изложены профессором Е. Г. Ларченко
(Вычислительная техника и экономико-математические методы в
землеустройстве. — М.: Недра, 1973. — С. 336 — 360). Не останавливаясь на
изложении сути методов, рассмотрим методику размещения
культур в севооборотах на основе сетевых графиков.
В качестве примера возьмем данные, приведенные П.Т.
Соловей (Применение сетевых графиков для оценки размещения
культур в севооборотах по продуктивности. — С. 101—107). Первый
этап применения сетевого метода — построение сетевого графика.
Известно, что график строится из элементов — кружков и
сплошных или штриховых стрелок. Сплошными стрелками изображают
возделываемые культуры, штриховыми — логические связи.
Кружком обозначается переход от возделывания одной культуры к
следующей (по установившейся традиции будем называть кружок
«событием»).
При составлении графика могут возникнуть следующие
ситуации (рис. 31).
1. На одном поле возделывается одна культура, но виды
культур могут меняться (рис. 31, I, а, б, в). В первом случае
(см. рис. 31, 1,а) на поле возделывается только озимая рожь, во
втором (рис. 31, /, б) — озимая рожь или озимая пшеница; в
третьем (рис. 31, 1,в) — ячмень, или овес, или яровая пшеница.
2. На одном и том же поле высевают несколько культур. На
графике это отображается последовательными стрелками (рис. 31, II, а).
3. На поле может возделываться несколько культур или одна
культура (рис. 31, /7, б).
545

v~' рожь v-^
Ш 400(20) JM
0
—, ку
*375(45)
350
350+15 7,n ,
^400-20(20+30) '^J
j^^\ *?
^^20(150+35)^50+15 &J70+25
770 350+15375+10(45+0)^770+25
V 6
Рис. 31. Варианты (сценарии) использования сетевых графиков
При построении переходов от одного поля к другому
необходимо учитывать наилучший предшественник культуры или
руководствоваться производственной необходимостью. Например, на
рисунке 31, /// изображено, что при посеве на первом поле как
озимой ржи, так и озимой пшеницы на втором поле можно сеять
либо картофель, либо кукурузу.
Если на следующем поле вид возделываемой культуры зависит
от предшествующей, то логическую связь между вторыми
кружками (событиями) не показывают, а стрелки культур начинаются с
каждого кружка (события) в отдельности (рис. 31, IV). По рисунку
31, IV, а, если предыдущее поле занято клевером, то впоследствии
следует сеять озимую рожь; если оно засеяно озимой рожью, то
затем можно сеять картофель или свеклу. Соединение событий 2 и
3 логической связью показывает, что в случае возделывания на
первом поле клевера на втором можно сеять как рожь, так и
картофель или свеклу (рис. 31, IV, б). При возделывании озимой ржи
все остается по-прежнему.
546

Таким образом, осуществляя построение сети при переходе от
поля к полю, можно показать любую логическую возможность
сочетания культур в севообороте. При построении сети следует
руководствоваться следующими правилами.
1. В сети не должно быть провисающих стрелок, то есть каждая
стрелка должна начинаться и заканчиваться кружком.
2. Не должно быть изолированных событий: в каждое событие
должна входить (или выходить) стрелка.
3. В сетевом графике не должно быть замкнутых циклов, то
есть таких участков, на которых цепочка стрелок, выходя из
какого-то события, опять замыкается этим событием.
После построения участка или всей сети события следует
пронумеровать по порядку. Нумерация начинается с начального
события, которое имеет только выходящие стрелки. Последующие
события нужно нумеровать так, чтобы второе событие одной и той
же культуры имело всегда больший номер, чем первое. Другими
словами, чтобы стрелка всегда выходила из кружка с меньшим
номером и входила в кружок с большим номером.
Номера событий образуют шифр культуры, например 7 — 2,
2—3, 4 — 5 и т. д. При наличии шифра, чтобы не загромождать
сеть, название культуры можно не указывать, а на отдельном
листе составить перечень культур и их шифров. При этом шифры
удобно располагать в порядке возрастания номеров первых
событий. Второй этап в сетевом планировании — определение веса,
который должен численно выражать весь вес полезного продукта,
полученного при выращивании данной культуры на данном поле.
Для определения величины этого веса следует спланировать
урожайность, учитывая тип почвы, ее плодородие, вносимые
удобрения и другие факторы. При этом необходимо, чтобы урожайность
(вес продукта) разных культур выражалась в одних и тех же
сопоставимых единицах измерения, например в стоимости исчисления
или в кормовых единицах.
При установлении веса культур в виде стоимости продукции в
результате расчета сетевого графика критическим путем будет
определен набор культур, дающий максимальную суммарную
стоимость. Резервы культур, не лежащих на критическом пути, будут
показывать уменьшение суммарной стоимости при возделывании
их взамен культур критического пути.
Вес культуры, выраженный в суммарной стоимости продукции
или в кормовых единицах, записывается в сетевой график над
стрелкой, изображающей данную культуру. После этого делается
расчет сетевого графика, заключающийся в нахождении
критического пути и резервов продуктивности культур и полей.
Рассмотрим порядок расчета сетевого графика на примере
простейшего фрагмента (рис. 31, К, а). На рисунке изображен график
из шести культур, которые могут выращиваться на двух полях.
Культуры имеют разный вес (цифры, стоящие над стрелками). Вес
547

события равен весу предыдущего события, суммированному с
весом стрелки, соединяющей события. Если в событие входит
несколько строк, то из всех сумм берется наибольшая. Начальное
событие имеет нулевой вес.
На графике (см. рис. 31, V, а) вес события 2 равен весу
события / (0), сложенному с весом культуры 1 — 2 (350), то есть
0 + 350 = 350. Вес события 3 определяется весом события 2 (350)
плюс вес культуры 2 — 3 (0, так как логические связи имеют
нулевой вес) и весом события 1 (0) плюс вес культуры 1 —3 (200).
Большая цифра 350, поэтому ее и записываем около события 3.
Событие 4 имеет вес 350 как результат сравнения чисел 350 + 0 и
0+150. Событие 5 имеет вес 350 + 400 = 750. Вес события 6
определяется числами 750 + 0 = 750 и 350 + 420 = 770, то есть
равен 770. Для определения веса события 7 сравниваются числа
770 + 0 = 770 и 350 + 375 = 725.
Вес последнего события является максимально возможным
суммарным весом, который может быть получен при данном
наборе культур. Он показывает величину критического пути. Сам
критический путь определяется обратным ходом, начиная с
последнего события с максимальным весом. В нашем примере
критический путь проходит через события 1 — 2—3—4—6—7и
включает культуры 1 — 2 и 4— 6.
Критический путь в сетевом графике показывает, какие
культуры дадут максимальную суммарную продуктивность и какова
ее величина. При планировании производства могут учитываться
и другие факторы, которые вынуждают сеять культуры, не
попавшие на критический путь. В этом случае важно знать, на
сколько теряется продуктивность. Эти сведения можно
получить, рассчитав резерв по каждой культуре, не лежащей на
критическом пути.
Резерв продуктивности культур вычисляют путем вычитания из
веса события, лежащего на критическом пути, веса культуры, для
которой определяется резерв, и веса ее начального события.
Например, резерв культуры 4— 7будет 770 - 375 - 350 = 45, культуры
2-7\ ПО - 350 = 420, культуры 1 - 3: 350 - 200 - 0 = 150 и т.д.
Резерв продуктивности записывают рядом с весом культуры в
скобках. Он показывает, на сколько единиц теряется продуктивность,
если культуру, лежащую на критическом пути, заменить данной
культурой.
Обозначим:
к — номер события, из которого стрелка выходит;
/— номер события, в которое стрелка входит;
Рк — вес события с номером к;
Pi — вес события с номером /;
Pki — вес культуры с шифром к — /;
P?,Pi*,Pki —вес событий и культур, лежащих на критическом
пути;
Rki— резерв продуктивности культуры.
548

Тогда правила расчета можно записать в виде формул
Р7 = max {/>*+/>*/};
КкГР1~Рк~Рк1-
Аналогично производится расчет сети, если вес культур
выражен в виде комплексных оценок (см. рис. 31, К, б). При
нахождении веса события каждая часть комплексной оценки складывается
отдельно с учетом знака. Выбор максимального числа
производится сравнением первых частей комплексных оценок. Сумма вторых
частей записывается со своим знаком. Резерв продуктивности
вычисляется путем вычитания каждой комплексной оценки
отдельно.
Расчет комплексных оценок П.Т. Соловей рекомендует
применять для решения двухкритериальных задач.
Например, в качестве оценки можно использовать кормовые
единицы. Критический путь сетевого графика покажет набор
культур, обеспечивающий максимальный выход кормовых единиц
с площади севооборота. Характеристика кормов будет более
полной, если наряду с кормовыми единицами показать
обеспеченность их переваримым протеином. Это можно сделать, применяя
для определения веса культуры комплексные числа вида а + Ы.
Действительная часть комплексного числа (а) будет обозначать
количество кормовых единиц, а мнимая (Ь) — количество
избыточного или недостающего переваримого протеина.
Если принять за норму обеспеченности протеином 100 г на
1 корм, ед., то 1 кг кукурузного силоса, содержащего
0,24 корм. ед. и 17 г переваримого протеина, будет иметь оценку
0,24-0,07/(я=0,24;6=—-0,24=-0,07]. В общем виде формула
для расчета мнимой части комплексного числа будет иметь вид
Ь=—а,
Р
где л —содержание протеина в 1 корм, ед., г; р — норма обеспеченности
протеином 1 корм, ед., г; а —содержание кормовых единиц в 1 кг корма.
Для вычисления комплексной оценки любого количества
корма нужно умножить оценку 1 кг корма на его вес.
Экономический смысл суммарной комплексной оценки
критического пути состоит в том, что действительная часть
показывает максимально возможное получение кормовых единиц при
возделывании культур, лежащих на критическом пути, а
мнимая — сколько кормовых единиц недостает (при знаке «-») или
каков избыток (при знаке «+») протеина по норме обеспечен-
549

ности кормов. Так, в нашем примере (см. рис. 31, V, б)
критический путь даст 770 корм. ед. и количество протеина, которым
можно обеспечить дополнительно 25 корм. ед. какого-либо
другого корма.
Комплексная оценка резерва продуктивности показывает, на
какое количество кормовых единиц уменьшается продуктивность
севооборота (первая часть) и как изменяется обеспеченность
протеином. Причем знак «+» во второй части оценки будет означать
уменьшение на соответствующее количество обеспеченности
протеином, а знак «-» ее увеличение. Например, резерв культуры
2—5, равный 20 + 30/, означает, что при ее посеве количество
кормовых единиц уменьшится на 20, кроме того, теряется
возможность обеспечить протеином 30 корм. ед. Резерв культуры
1 — 4, равный 200 — 35/, показывает уменьшение на 200 корм, ед.,
но возникает возможность обеспечить протеином на 35 корм. ед.
больше.
На рисунке 32 показан сетевой график размещения культур в
9-польном севообороте.
Так как в севообороте предполагается одинаковая площадь
полей и на каждом поле возделывается только одна культура, оценки
сделаны по урожайности с 1 га. Критический путь в этом случае
покажет суммарную величину продукции с 9 га. Для определения
общего количества кормовых единиц нужно умножить эту
величину на площадь полей севооборота.
27+ т
128+311 108-331
40+121
206+291
206+2%
Рис. 32. Сетевой график размещения культур в 9-польном севообороте
550

Величина оценок по культурам приведена в таблице 177.
Оценки получены вероятностным методом путем усреднения
оптимистической и пессимистической оценок трех специалистов и расчета
наиболее вероятной урожайности.
177. Оценка урожайности культур в 9-полыюм севообороте
Шифр

культуры
0-1
0-2
0-3
0-4
4-5
4-6
6-7
7-8
7-9
7-10
10-11
Культура
Клевер 2-го года,
зеленая масса
Смесь однолетних трав на
зеленый корм
Люпин сладкий на зеленый корм
Рожь на зеленый
поукосно
Озимая пшеница
зерно
солома
Всего
Озимая рожь:
зерно
солома
Всего
Клевер 1-го года,
Клевер 2-го года,
Яровая пшеница:
зерно
солома
Всего
Ячмень:
зерно
солома
Всего
Озимая пшеница
зерно
солома
10—12 Озимая рожь:
12-13
12-14
зерно
солома
Картофель
корм + люпин
зеленая масса
зеленая масса
Полусахарная свекла
12—15 Кукуруза на силос, зеленая масса
15—16 Ячмень:
зерно
солома
15—17 Яровая пшеница:
15-18
17-21
зерно
солома
Горох:
зерно
солома
Всего
Клевер 1-го года,
18—19 Ячмень:
зерно
солома
зеленая масса
Наиболее
вероятная

урожайность
200
140
180
230
27
30
28
30
230
200
27
20
30
20
27
30
28
30
230
280
280
30
20
27
20
22
20
230
30
30
Коэффициенты
корм. ед.
0,20
0,19
0,12
0,19
1,19
0,20
1,11
0,20
0,20
0,20
1,18
0,33
1,13
0,33
1,19
0,20
1,11
0,20
0,31
0,24
0,16
1,13
0,33
1,18
0,33
1,17
33
0,20
1,13
0,33

переваримого
протеина
26
24
21
24
120
5
100
5
26
26
140
13
80
13
120\
5 /
100}
14
13
11
80\
13/
1401
13/
195
13
26
80\
13/
K*OMnnPWP-
ная оценка,
ц корм.ед.
40+12/
27 + 7/
22+16/
44+16/
32 + /
6-4/
38 - 3/
31-3/
6-4/
37 - 7/
46 + 14/
40+12/
32 + 6/
6-4/
38 + 2/
34 - 10/
6-4/
40-14/
38 - 4/
37 - 7/
71-39/
67-31/
45 - 14/
40-14/
38 + 2/
26+17/
6-4/
32+13/
46+14/
40-14/
551

Продолжение
Шифр

культуры
Культура
.19 — 20 Клевер 1-го года,
21-22 Овес:
зерно
солома
Всего
21—23 Ячмень:
зерно
солома
21 — 24 Яровая пшеница:
зерно
солома
зеленая масса
Наиболее
вероятная

урожайность
230
27
20
30
20
27
20
Коэффициенты
корм. ед.
0,20
1,0
0,33
1,13
0,33
1,18
0,33

переваримого
протеина
20
85
13
80 \
131
140 \
13 /

Комплексная оценка,
ц корм. ед.
46 + 14/
27-4/
6-4/
33 - 8/
40— 14/
38 + 2/
Критический путь в графике обозначен стрелками и проходит
через события 0—4—5—6—7—8—10—11—12—13—15-
16—17—21 — 23 — 25. Наибольшая продуктивность будет
получена при возделывании ржи на зеленый корм и поукосного
люпина на 1-м поле, озимой пшеницы на 2-м и 5-м, клевера на 3-м, 4-м
и 8-м полях, картофеля на 6-м поле и ячменя на 7-м и 10-м полях.
Общая оценка 403 — 24 ц корм. ед. Это означает, что на 9 га
севооборота будет получено 403 ц корм. ед. (44,8 ц корм, ед на 1 га), но
24 ц корм. ед. не обеспечиваются переваримым протеином из
расчета 100 г на 1 корм. ед.
Представляет интерес рассмотрение путей, мало отличающихся
от критического. Так, если в графике, начиная с события 12,
пойти по пути 12—14—15—17—21 — 23 — 25, то есть заменить на
6-м поле картофель свеклой, а на 7-м — ячмень яровой пшеницей,
то общая оценка уменьшится на 6 ц корм, ед., но будет достигнута
полная обеспеченность протеином. Замена озимой пшеницы
рожью уменьшает продуктивность на 1 ц корм, ед., но дает
возможность обеспечить протеином 26 ц корм. ед.
Построение сетевого графика, расчет критического и подкри-
тических путей и резервов продуктивности культур позволяют
более обоснованно разместить культуры в севообороте и
способствуют решению задачи увеличения производства кормов.
Применение комплексных оценок помогает сбалансировать рационы
животных.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие основные способы используются при моделировании системы
севооборотов хозяйства?
2. Как учитываются предшественники культур при расчете коэффициентов
целевой функции?
3. Каковы основные ограничения в задаче по оптимизации системы
севооборотов?
4. Что является критерием оптимальности в задаче по размещению культур в
районах техногенного и радиоактивного загрязнения территории?
552

5. Как оптимизировать план перехода к запроектированным севооборотам?
6. Какова методика оптимизации размещения посевов с использованием
сетевых графиков?
7. Какой метод лучше использовать при размещении посевов: сетевых
графиков или распределительный линейного программирования?
Глава 25
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ОПТИМИЗАЦИИ СТРУКТУРЫ ПОСЕВНЫХ ПЛОЩАДЕЙ
ПРИ АГРОЭКОНОМИЧЕСКОМ ОБОСНОВАНИИ ПРОЕКТОВ
ВНУТРИХОЗЯЙСТВЕННОГО ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА
25.1. ПОСТАНОВКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
Структура посевных площадей — один из главных показателей
агроэкономического обоснования проектов внутрихозяйственного
землеустройства. Она оказывает влияние на урожайность
сельскохозяйственных культур, динамику почвенного плодородия,
состояние кормовой базы, развитие животноводческих отраслей.
К основным условиям, под влиянием которых оказывается
структура посевов, относятся: структура, состав и площади
земельных угодий хозяйства, уровень плодородия почв,
обеспеченность трудовыми и денежно-материальными ресурсами,
сельскохозяйственной техникой, кадрами механизаторов, система
ведения хозяйства. Во многом структура посевных площадей
определяется и факторами, складывающимися при производстве и
реализации продукции, а также зависит от объемов госзаказа и
хозяйственных договоров на производство продукции, уровня
развития семеноводства в районе расположения хозяйства или в
самом хозяйстве.
В условиях самостоятельности сельскохозяйственных
предприятий определение оптимальной структуры посевных площадей
превращается в особо актуальную задачу, так как из возможных
вариантов развития полеводства надо выбрать наиболее
эффективные, с тем чтобы повысить экологическую, экономическую и
социальную значимость принимаемых решений по развитию и
поиску резервов повышения эффективности
сельскохозяйственного производства.
Главная задача при установлении рациональной структуры
посевных площадей — достижение высокой продуктивности пашни,
выполнение программы хозяйства в области производства
товарной продукции полеводства и кормов с высокими
экономическими результатами при неуклонном повышении плодородия почв.
Рациональная структура посевных площадей должна
обеспечивать выполнение следующих основных требований:
экологических;
553

экономических и организационно-хозяйственных;
агрономических;
технологических.
С точки зрения экологии структура посевных площадей
хозяйства должна обеспечивать такую интенсивность использования
пашни, которая способствовала бы воспроизводству почвенного
плодородия, созданию наилучших условий для размещения
сельскохозяйственных культур с учетом качества земель хозяйства,
обеспечивала бы соответствие биологических особенностей
растений плодородию почв, позволяла бы осуществлять систему проти-
воэрозионных мероприятий. Оптимальная структура посевов
должна иметь экологически обоснованный состав и площадь угодий,
рациональное соотношение пашни, кормовых угодий, лесов и др.
Экономические и организационно-хозяйственные требования
диктуют необходимость учета конъюнктуры рынка,
специализации производства, имеющихся в хозяйстве ресурсов труда,
денежно-материальных средств, основных и оборотных фондов,
соблюдения определенных пропорций в структуре производства,
ассортименте продукции и т. д.
Агрономические требования обусловливают размещение
сельскохозяйственных культур по наилучшим предшественникам,
возможность формирования рекомендуемых для зоны расположения
хозяйства схем чередования культур в намечаемых севооборотах, а
также освоение всех элементов научно обоснованной системы
земледелия.
С технологической стороны структура посевов должна
обеспечивать взаимосвязи между отраслями растениеводства и
животноводства, способствовать наилучшей организации
кормопроизводства, применению рациональных норм кормления скота, схем
зеленого конвейера и др.
Постановка задачи оптимизации структуры посевных
площадей хозяйства может осуществляться двумя способами.
Первый способ заключается в том, что в качестве основных
неизвестных выступают только площади посевов различных
сельскохозяйственных культур. Поголовье скота при этом считается
известным, и основные объемы ограничений по кормам, зеленому
конвейеру, органическим удобрениям формируются исходя из
предварительных расчетов потребности в кормах, накопления
органических удобрений.
По второму способу поголовье скота или объемы производства
животноводческой продукции вводятся в задачу в качестве
переменных величин, но фиксируются на определенном уровне.
Аналогичным образом вводятся в задачу и переменные по площадям
кормовых угодий и культур. Основные расчеты производства и
потребности в кормах и баланса сохранения гумуса в почве
осуществляются в процессе решения задачи. По содержанию
последняя задача близка к модели установления оптимального сочета-
554

ния отраслей в хозяйстве. Однако в отличие от нее
животноводческие отрасли хотя и задаются .неизвестными, но включаются в
задачу в уравнения со строгим равенством.
Выбор первого или второго способа моделирования зависит от
требований заказчика, наличия нормативной и исходной
информации, вида применяемой техники и программных средств.
Рассмотрим математическую формулировку задачи по
оптимизации посевных площадей.
Сформируем состав переменных задачи.
Основные переменные:
xj(je Q)~площади посева сельскохозяйственных культур и
пара.
При моделировании по второму способу данные неизвестные
относятся к подмножеству ху(/е Qx). Тогда xj(Je Q2) — площади
кормовых угодий;
xj(Je (?з) — поголовье различных видов скота или объемы
производства продукции животноводства;
e=Qiu02u03.
Кроме того, в задаче выделены следующие основные
переменные:
xtj — привлекаемые трудовые ресурсы /-го вида в /-й период;
х0 — количество приобретаемых органических удобрений,
необходимых для поддержания положительного баланса гумуса;
xdi — объемы покупных кормов /-го вида;
xai — количество необходимых (или приобретаемых) видов
минеральных удобрений, сельскохозяйственной техники;
хк — производственные затраты в хозяйстве А:-го вида.
На неизвестные накладываются следующие ограничения.
1. По площади земельных угодий, га:
по пашне
X Xj<BhieMx;
по кормовым угодьям
yZxj<PhieM2, или Хху=/%
где Д — планируемая площадь пашни /-го вида; М\ — множество видов пашни
(богарная, орошаемая и т.д.); М2 — множество видов кормовых угодий; Ру
—планируемые площади кормовых угодий /-го вида.
В значении В, может учитываться также различное состояние
земель (богарные, орошаемые, осушенные и др.).
2. По трудовым ресурсам, чел.-ч:
Х//ух,<7}+*,,-,/еЛ/3
jeQ[vQ2
555

или по второму способу
ZtjjXj<Ti+xtJ,ieM3,
JzQ
где fy — норма затрат труда на единицу площади у-й культуры в /*-й период
рабочего цикла, чел.-ч; 7} — общий объем трудовых ресурсов в /-Й период, чел.-ч; Мъ —
множество видов трудовых ресурсов или периодов.
3. По поддержанию бездефицитного баланса гумуса в почве с
целью создания условий для воспроизводства почвенного
плодородия, т в 1 га:
? IjXj =L + x0
JeQ[KjQ2
или по второму способу
X IjXj- X соух7-х0=0,
JeQ[yjQ2 jeQ3
где lj — норма минерализации (накопления) гумуса под посевами
сельскохозяйственных культур и угодьями, т в 1 га (вводится в матрицу задачи со знаком «+» в
случае выноса гумуса, со знаком «-» при его образовании); L — наличие
органических удобрений в хозяйстве в пересчете на гумус; со, — коэффициент,
учитывающий образование гумуса за счет разложения органических удобрений, получаемых
с 1 гол. скота в год, т.
4. По обеспечению животных кормами, кроме зеленых (в корм. ед.,
переваримом протеине, ц):
^y(/Xj>Vh ieM4
или по второму способу
- 5>|у*/+ TjdijXj^Dj+xjiJeMi,
где Vy — урожайность кормовых культур и продуктивность угодий у-го вида, ц с
1 га, по /-му виду корма; ^—потребность в кормах /-го вида; dy— норма расхода
кормов /-го вида на 1 гол. у-го вида скота в год, ц; Д — запасы переходящих
кормов /-го вида в хозяйстве; xdi — объем приобретаемых кормов, ц; МА — множество
видов кормов, кроме зеленых.
5. По схеме зеленого конвейера по месяцам пастбищного
периода:
^WijXj^Ki, ieM5
yeduft
или по второму способу
-5>,у*у+ YdijnijXj<0,ieM5,
где v/y — урожайность у-го вида культуры и выход кормов с пастбищ в /-й месяц
556

пастбищного периода, ц с 1 га; di} — доля потребности животных ву-м виде корма
в /-и месяц пастбищного периода, ц; л,у — общая потребность скота в зеленом
корме, ц на 1 гол.; К{¦ — потребность в зеленом корме в /-Й месяц пастбищного
периода, ц; Л/5 — множество месяцев пастбищного периода.
6. По предельным площадям возделывания отдельных групп
культур, их соотношению и предшественникам:
bt< "Zxj<li,ieM6,
JzQ
где bitbi —соответственно минимальная и максимальная площади возделывания
различных групп культур: М6 — множество групп кормовых и товарных культур.
При учете предшественников озимых культур в данную группу
ограничений могут вводиться такие условия:
jeQ\ J^Qs
где Xj(je Q4 и ye ??5) — соответственно множество площадей озимых и яровых
культур; XjQ'e Qs) — множество площадей культур, используемых в качестве
предшественников озимых; а, — коэффициент, учитывающий соотношение площадей
полей в севооборотах озимых культур и их предшественников (например, если
озимые размещаются по пару, то коэффициент а,- при переменной,
характеризующей пар, равен 1, если озимые размещаются по многолетним травам, срок
использования которых в севообороте составляет два года, то коэффициент а, при
переменных, характеризующих многолетние травы, равен 0,5).
В случае, если в задаче имеется необходимость поставить
ограничение по соотношению различных групп культур, например
озимых и яровых, принимают условие следующего вида:
jzCk JeQs
где Xj(je б4 и Уе Qs) — соответственно множество площадей озимых и яровых
зерновых культур; а, — коэффициент, учитывающий соотношение озимых и
яровых зерновых культур в структуре посевов.
Например, если соотношение озимых и яровых зерновых в
структуре посевов 1:0,8, то при всех переменных,
характеризующих озимые, коэффициент ос, будет равен 1, а при яровых
зерновых — 0,8.
7. По расчету объемов производства товарной продукции:
"ZwyXjTuVjJeM-j,
JeQ
где Wy — выход товарной продукции /-го вида с 1 га площади у'-й товарной
культуры; ^ — гарантированный объем производства товарной продукции /-го вида;
Л/7 — множество видов товарной продукции.
При втором способе решения задачи строго фиксируются
поголовье скота или объемы производства животноводческой продук-
557

ции, тогда расчет объемов производства товарной продукции (х,-
для i е Л/7) будет производиться так:
? yijxj-xi=09 ie Мъ
JeQivQ)
где уу— выход товарной продукции /-го вида с 1 га площади или от 1 гол. скота.
8. По расчету потребности в минеральных удобрениях,
сельскохозяйственной технике различных видов:
? aijXj-xai=0, ie M8.
JeQ[uQ2
При возможности установить объемы поставок удобрений или
техники данное ограничение примет следующий вид:
Е aiJXj<Ai+xai=Q, ie M8,
где ay — норма внесения удобрений, затрат механизированных тракторных работ
и других механизированных ресурсов на 1 га посева сельскохозяйственных
культур; At — объемы поставок удобрений /-го вида; Л/g — множество видов
производственных ресурсов.
9. По расчету производственных затрат:
1к;Х;-хк=0,
JeQ
где kj — норма производственных затрат на единицу вводимой переменной.
В дополнение к названным могут ставиться и другие
ограничения, учитывающие специфику природных и экономических
условий хозяйства.
10. Условие неотрицательности переменных:
xj>0, xti>0, xt>0, xdi>0, x{>0, xalJ>0, xk>0, xq>0.
В качестве целевой функции данной задачи наиболее
целесообразно использовать максимум чистого дохода (прибыли)
хозяйства:
Z= J C,x7-jc^-^max,
где Cj — стоимость единицы товарной продукции хозяйства, тыс. руб.
В зависимости от конкретной задачи могут применяться и
другие критерии оптимальности.
558

25.2. ОСОБЕННОСТИ ПОДГОТОВКИ
ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
И ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
Особенности построения экономико-математической модели
оптимизации структуры посевных площадей рассмотрим на
примере акционерного общества «Россия» Отрадненского района
Краснодарского края. Данное сельскохозяйственное предприятие
многоотраслевое, имеет 9979 га пашни, 5676 га пастбищ, из
которых 352 га улучшенных; 873 га сенокосов, 63 га занято под садом и
тутовником. В хозяйстве возделывается большой ассортимент
сельскохозяйственных культур, используемых на различные цели
(товарные нужды, корма, семена), всего более 30 культур.
Вопросы оптимизации структуры посевных площадей для АО
«Россия», учитывая сложность природных и экономических
условий хозяйства, очень важны.
В основные переменные задачи вошло 33 неизвестных,
характеризующих площади сельскохозяйственных культур и угодий.
Зерновые и зернобобовые товарные:
хх — озимая пшеница;
х2 — озимый ячмень;
х3 — овес;
х4 — вика;
х5 - кукуруза;
х6 — горох;
х7 — люпин на зерно;
х8 — рапс на зерно.
Зерновые и зернобобовые, используемые на концентрированные корма:
х9 — озимая пшеница;
х10 — озимый ячмень;
хи- кукуруза;
х12 — горох.
Товарные технические культуры:
х13 — сахарная свекла (маточники и семенники);
х14 — подсолнечник;
х15 — картофель;
х16 — овощи.
Кормовые культуры:
х17 — корнеплоды;
х18 — кукуруза на силос;
х19 — однолетние травы на сено;
х20 — многолетние травы на сено;
x2i — озимые на зеленый корм;
х22 — многолетние травы на зеленый корм;
559

х2з — однолетние травы на зеленый корм;
*24 — яровой рапс на зеленый корм;
х25 — кукуруза на зеленый корм;
х2б — кукуруза пожнивная на зеленый корм;
х27 — многолетние травы на сенаж;
х28 — кормовая бахча;
х29 — многолетние травы на семена;
*зо — гречиха (после озимых на зеленый корм).
Кормовые угодья:
*3i — пастбища естественные;
х32 — пастбища улучшенные;
х3з — сенокосы улучшенные.
Кроме того, в задаче выделены следующие основные переменные:
х34 — привлекаемая рабочая сила в напряженный период, чел.-ч.;
*35 — объем дополнительно приобретаемых органических
удобрений, необходимых для поддержания бездефицитного баланса
гумуса, обеспечивающего воспроизводство плодородия почв, т;
*зб ~ общий размер производственных затрат, руб.;
х37 — дополнительно привлекаемые к работе механизаторы, чел.-ч;
х38 — потребность в азотных удобрениях, кг д. в.;
х39 — потребность в фосфорных удобрениях, кг д. в.;
х4о -" потребность в калийных удобрениях, кг д. в.
На переменные накладываются следующие ограничения.
1. По площади пашни.
2. По площади естественных пастбищ.
3. По площади улучшенных пастбищ.
4. По площади улучшенных сенокосов.
В связи с тем что задача по оптимизации структуры посевных
площадей может решаться на фактические и планируемые
площади сельскохозяйственных угодий, в процессе сбора информации
были подготовлены отчетные и проектные данные (табл. 178).
178. Состав и площадь сельскохозяйственных угодий на год землеустройства
и по проекту
Вид угодий
По отчету, га
На расчетный срок
%
Пашня
Пастбища естественные
Пастбища улучшенные
Сенокосы
Ито го
9799
5624
352
873
16648
8563
4625
816
1248
15252
56,2
30,3
5,3
8,2
100
5. По балансу гумуса.
6. По размеру производственных затрат.
7 — 9. По минеральным удобрениям (азотным, фосфорным,
калийным).
560

10 — 25. По кормам (в ц корм, ед., в ц переваримого протеина,
в натуральных ц: по концентратам, сену, силосу, корнеплодам,
сенажу, соломе кормовой, соломе подстилочной, зеленым кормам с
мая по октябрь).
26 — 31. По агротехническим требованиям возделывания культур.
32 — 38. По гарантированному производству товарной
продукции полеводства.
39 — 43. По площади пожнивных посевов, люпина, озимого
ячменя и зернобобовых.
44. По трудовым затратам в среднем за год, чел.-ч.
45. По трудовым затратам в напряженный период, чел.-ч.
46. По затратам механизированного труда, чел.-ч.
Для расчета общих затрат труда в полеводстве собраны данные
о численности работников, занятых в сельскохозяйственном
производстве АО«Россия» (табл. 179).
179. Число работников и общий объем трудовых ресурсов
Категория
Постоянных работников, всего
В том числе:
в животноводстве
растениеводстве
Из них:
в садоводстве и виноградарстве
полеводстве и кормопроизводстве
В том числе механизаторов
Работники хозяйства на уборочных работах
(в напряженный период)
Число работников
677
369
308
16
292
132
292
Отработано, чел.-ч
1326920
723240
603680
31360
572320
258720
286160
Из таблицы видно, что постоянными работниками
растениеводства отработано в отчетном году 603 680 чел.-ч. Если
исключить объем работ, выполненных в садоводстве и
виноградарстве (31 360 чел.-ч), получим общий объем работ, который
в среднем может быть выполнен и в перспективе (603 680 -
-31360 = 572 320 чел.-ч). Причем 258 720 чел.-ч из них может
быть выполнено механизаторами, а 286 160 чел.-ч — отработано в
напряженный полевой период.
В качестве целевой функции данной задачи использовался
максимальный чистый доход.
Матрица экономико-математической модели задачи по
оптимизации структуры посевных площадей в АО «Россия» Отраднен-
ского района Краснодарского края представлена в таблице 180.
Расчеты показали, что стоимость валовой продукции
полеводства по оптимальному плану, полученному с использованием
ЭВМ, на 14,5 % выше, чем при фактической структуре посевов.
561

ON
180. Экономико-математическая модель оптимизации структуры посевных площадей в АО «Россия»
№ п/п
1
^ч. Переменные
Ограничения ^^^
2
Товарные культуры, га
озимая
пшеница
*i
3
озимый
ячмень
*2
4
овес
*з
5
вика
ха
6
кукуруза
*5
7
горох на
зерно
Хб
8
люпин на
зерно
*7
9
рапс на
зерно
хн
10
Концентрированные
корма, га
озимая
пшеница
*9
11
озимый
ячмень
*10
12
кукуруза
*и
13
горох
Х\2
14
Товарные технические
культуры, га
сахарная
свекла
*13
15

подсолнечник
*14
16
картофель
*15
17
овоши
*|6
18
1 По площади пашни, га
2 По площади естественных
пастбищ, га
3 По площади улучшенных
пастбищ, га
4 По площади улучшенных
сенокосов, га
5 По балансу гумуса, т в 1 га
6 По размеру производственных
затрат, руб. на 1 га
По минеральным удобрениям,
кг д. в.:
7 азотные
8 фосфорные
9 калийные
По кормам:
10 вц. корм. ед.
11 в переваримом протеине, ц
12 по концентратам, ц
13 сену, ц
14 силосу, ц
15 корнеплодам, ц
16 сенажу, ц
17 соломе кормовой, ц
18 соломе подстилочной, ц
По потребности в зеленом
корме по месяцам
пастбищного периода, ц:
1
0,07
1428
60
43
42
4,86
0,43
1 1 1
0,06 0,06 0,06
1020 660 660
60 60 60
43 50 50
45 60 60
4,86 6,24 6,24
1 1 1
1,57 0,06 0,06
1740 413 3750
120 60 60
86 50 50
20 60 60
10,6 4,8 4,4
0,43 0,37 0,37 0,64 0,29 0,26
31,2 31,2
53 24
1 1
0,07 0,07
1200 1428
34 60
50 43
50 42
1
0,06
1292
60
43
45
1
1,57
1102
120
86
20
4,4 45,66 45,66 49,46
0,26 4,11
34
4,57
34
54
2,96
29,0
54
1
0,06
570
80
50
60
22,35
4,64
15,0
53
1
1,57
9500
20
68
50
24
1
1,57
2275
56
53
40
1
1,57
1
1,57
8125 7000
104
172
160
36,4
2,1
80
90
30
12
1,1

Продолжение
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
И
ON
1
1
1
1
1
34
34
34 20 20
15 15
29
-1
-1
1
1
1
10
1
15
11
в апреле
мае
июне
июле
августе
сентябре
октябре
По агротехническим
требованиям к площадям, га:
зерновых, всего
озимых зерновых
семенников сахарной свеклы
масличных культур
многолетних трав
многолетних трав на семена
По выполнению госзаказа по
производству, ц:
зерновых
озимой пшеницы
кукурузы на зерно
подсолнечника
рапса
картофеля
овощей
По площади пожнивной
гречихи, га
По площади пожнивной
кукурузы, га
По площади люпина, га
По площади зернобобовых, га
По площади озимого ячменя, га
По трудозатратам в среднем
за год, чел.-ч
По трудозатратам в напряжен- 8,1 9 11,3 9,8 26 9,8 9,8 5,2 8,1
ный период, чел.-ч
По механизированному 5,6 8,9 7,9 5,9 9,3 5,9 5,9 3 5,6
труду, чел.-ч
Целевая функция —max чис- 2856 2040 1320 1320 3480 825 7500 2400
того дохода
Значение переменной 1206 344,8 506,7 86,58
-1
15,0 16,7 12,5 10,5 27 10,5 10,5 5,4 15
12
13
14
15
16 17
18
13
130
100
1
16,7 27
9 11,3
8,9 9,3
13,96 439,2
1
10,5
9,8
5,9
ИЗ 8,3 226 1800
28 7,9 218 1350
24,5 6,9 29 180
19000 4550 1625014000
153,2 115,4 76,92 3

OS
Продолжение
Кормовые
культуры, га
хп
хщ
о
111 i
lip
*I9 *20
Зеленый корм, га
о*
О п
*21
3
ffi —
cd 2
*3
и X
2^
О п
is
*22
5а
за
с* cd
Зх
-^23
и о.
й5
ДС24
Р
?х
^25
-^26
Кормовые культуры,
га
S
X
О w
*27
*28
• о
*29
X
cd ffi
*30
Кормовые
угодья, га
3
si
Ц
Is
С о
*3I
3
Л X
3 =
^32
3
cj >»
*33
Si
ДС34
°s
V 5
3=.
PS,
о s
•«35
С h
0.?
*36
и «I
S
ii
«¦>.!-
cd«
*3
¦SB
*3*
Минеральные
удобрения,
*зх
X39
*40
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40 41 42 43 44 45
1111111111
2
3
4
5 1,57 1,570,06 -0,80,07-0,8 0,06 0,06 1,57
6 2700 785 647 353 647 618 647 692 635
7 52 26 17 23 37 17 15 50 60
8 86 43 28 19 63 15 15 50 30
9 40 40 27 25 60 25 18 60 61
10 53,8 46,2 8 9,6 30 45 35,7 31,5 44
11 1,6 4,62 0,7 1,08 3,9 6,5 4,93 4,35 35
12
13 20 20
14 220
15 110
16
17
1 1
1,57-0,81,57
635 353 641
60
19
25
20 28 7,8
15 2,720,27
30
80
1
-0,8
941
15
19
25
0,06
1176
45
45
3
0,18
15,0
1
1
-0,8 -0,8
340 360
60 45
60 50
70 70
9 10,2
1,15 1,89
1
-0,8
360 3
18
8
12
4,5
0,4
10
-0,1
70 -1
6 0,5 0,3
-1
-1
0,4
-1
< 8563
= 4625
= 816
= 1248
<6326,75
< 286160
= 0
= 0
= 0
> 229320
>22960,45
>63145,5
> 27000
> 143400
> 13300
> 78500
> 53557

19|
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
20
169
23
21
32,3
22
12
23 1 24 J 25"
45
105 15
135
25
75
1 1
0,2 0,2
-1
12 6,5 3,3
30 11,9 11,9 6,5 3,1
46 11,132,1 5,7
Lh
R 120,9651,8726
5,8 5,7 2,9
26 | 27 | 28 | 29 1 30 | зГ
170
75 143
77 100
75
1
0,2
1
6,5 5,4 32,3 32,3 5 88
6,5 5,2 30 30 3,9 85
5,7 3 32,1 32,1 3,2 13,6
800,1121,3 221,8 391,5319,5 981,3
32
1
-1,0
12
12
4,5
33
1
19
8,5
5,3
7568 5600
220,5 800,1
34
6,5
1
13
9,5
6,5
5
8,5
10
1,7
1
4625
35
11,7
6,3
23,4
17,1
11,7
9
10,8
13,3
2,2
1,5
816
36 1 37 | 38 1 39
13,3
8,4 -1
1,5
1248
-1
40
-1
14900000
[_41
42
43
-1
441 45
> 61492
> 47799
> 95598
> 95598
> 95598
> 95598
> 95598
> 47799
> 3965
> 3143
> 266
> 780
> 1978
> 0
> 41000
> 31000
> 10000
> 1500
> 7600
> 10000
> 300
< 0
< 0
< 180
< 265
< 1396
= 1295560
< 206360
< 258720
-> max
783300751600769500

Контрольные вопросы и задания
1. Какие способы моделирования существуют для оптимизации структурных
посевных площадей в проектах землеустройства?
2. Какие основные ограничения входят в экономико-математическую модель?
3. Какой показатель может быть принят в качестве целевой функции?
4. Назовите источники информации, необходимой для вычисления технико-
экономических коэффициентов и объемов ресурсов в данной задаче?
5. Чем отличается задача по оптимизации структуры посевов от задачи по
проектированию севооборотов в хозяйстве?
Глава 26
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСА
ПРОТИВОЭРОЗИОННЫХ МЕРОПРИЯТИЙ
В УСЛОВИЯХ РАЗВИТОЙ ВОДНОЙ ЭРОЗИИ ПОЧВ
26.1. ПОСТАНОВКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
Основные элементы комплекса противоэрозионных
мероприятий — организационно-хозяйственные, агротехнические,
лесомелиоративные и гидротехнические.
В организационно-хозяйственных мероприятиях главное место
занимают севообороты. Введение и освоение системы
севооборотов в хозяйствах с развитой эрозией почв должны проводиться в
тесной связи с проектированием и осуществлением других
элементов противоэрозионного комплекса.
Все элементы комплекса противоэрозионных мероприятий
должны быть взаимно согласованы. Например, различная
структура посевных площадей в хозяйствах, типы и виды севооборотов
требуют неодинаковой противоэрозионной агротехники. Если в
период весеннего снеготаяния почвозащитная способность
многолетних трав и озимых может быть повышена щелеванием
посевов, то на зяби требуются глубокая пахота, лункование,
устройство микролиманов и т. д.
Таким образом, в районах с развитой водной эрозией почв
требуется проектировать такую систему севооборотов, которая,
согласуясь с другими элементами комплекса противоэрозионных
мероприятий и особенностями территории землеустраиваемых
хозяйств, обеспечивала бы защиту почв от эрозии, восстанавливала
их плодородие к способствовала производству продукции с
максимальной экономической эффективностью. При этом
необходимо укладываться в имеющиеся земельные, трудовые и
материально-денежные ресурсы.
Разделим все переменные на следующие группы:
Xj, je Q{ —площади севооборотов с различным чередованием
сельскохозяйственных культур;
566

xj, je Q2 — виды и площади агротехнических мероприятий,
включая внесение удобрений;
Xj,je Qi — виды и площади лесополос;
xj,je б4 —площади гидротехнических противоэрозионных
сооружений (Q = Qx u Q2 u ft u Q4).
Целевая функция
Z= ^CjXj-*m2iX,
JeQ
где с, —чистый доход от проведения единицы у'-го мероприятия.
Основные ограничения:
1. По площади пашни:
jeQi jeQi jeQ4
где Р—площадь пашни.
2. По обеспечению пропорциональности между структурой
севооборотов и агротехническими мероприятиям^:
-X OtyJCy + Sxy=0, /еЛ//,
где а/у —доля /-го агрофона ву-й схеме чередования культур; /е Л/j —число агро-
фонов, на которых возможна различная противоэрозионная агротехника.
Например, при решении задачи в районах, где эрозия
проявляется в период весеннего снеготаяния, будут иметь место
следующие агрофоны: зябь, многолетние травы и озимые. Допустим, в
хозяйстве возможны три схемы чередования культур с площадями
*ь х2> *з> в которых доля зяби в период весеннего снеготаяния
равна соответственно 0,4; 0,8; 0,5. На зяби будут проводиться:
обычная агротехника х4, лункование х5, вспашка с почвоуглублением
х6, бороздование х7. Чтобы сбалансировать агротехнические про-
тивоэрозионные мероприятия и площадь зяби в севооборотах,
можно записать
х4 + *5 + *6 + х7 = ®АХ\ + 0,8х2 + 0,5*3,
или
— 0,4;q — 0,8л:2 — 0,5х3 + *4 + *5 + *б + xi= 0-
Аналогично записывают ограничения по другим агрофонам.
567

3. По возможной и целесообразной площади проведения
отдельных мероприятий:
Xj<Phje Q,ie M2,
где Mi — число площадей, на которых проводят отдельные мероприятия.
4. По задержанию стока, вызывающего эрозию почв:
/< ZtjXjZL,
JeQ
где /—объем стока, вызывающего эрозию почв, тыс.м3; L — общий сток с
рассматриваемой территории, тыс.м3; (3, — водозадерживающая способность
единицы противоэрозионного мероприятия у-го вида.
5. По поддержанию положительного баланса гумуса в почве:
JeQ\ У'е(?4
где Jj— вынос (минерализация) гумуса под культурами, тс 1 га; А, — вынос гумуса
в процессе смыва почв, т с 1 тыс.м3; хг — количество гумуса, необходимое для
поддержания в почве его положительного баланса (или приобретаемые
органические удобрения в пересчете на гумус); В — общее количество имеющихся
органических удобрений в пересчете на гумус, т.
6. Ресурсные ограничения (по труду, материально-денежным
средствам, удобрениям и т.д.):
ZajjXj<Ai,ieM3,
JeQ
где Oij — норма затрат ресурсов /-го вида на проведение у-го мероприятия; Л,—
объем /-го ресурса; Л/3 — множество видов ресурсов.
7. По плану производства продукции:
^ijXj>Vi,ieM4,
JeQ
где ш,у — выход продукции /-го вида с 1 га у-го севооборота; Vt — объем
гарантированного производства продукции /-го вида; Л/4 — множество видов продукции.
8. Условие неотрицательности переменных:
ху>0, хт>0.
Дополнительно могут формулироваться условия по
рекомендуемым размерам севооборотов, экономической эффективности
капитальных вложений в борьбу с эрозией почв. Методика
построения этих ограничений рассмотрена в предыдущих разделах.
568

26.2. ОСОБЕННОСТИ ПОДГОТОВКИ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
И ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
Составим матрицу основных переменных и главных
ограничений, отражающих специфику постановки данной задачи. Для
этого рассмотрим следующий пример.
На земельном массиве площадью 1477 га необходимо
запроектировать комплекс противоэрозионных действий, включающих
организацию севооборотов, проведение агротехнических,
лесомелиоративных и гидротехнических мероприятий.
Состав переменных данной задачи, учитывающий ограничения
1—5, приведен в матрице (табл. 181).
Результаты решения задачи показаны в таблице 182. Из
таблицы видно, что для задержания эрозионно опасного стока на
выделенном земельном массиве необходимо разместить два
севооборота, провести агротехнические противоэрозионные мероприятия,
построить 70 пог. м водозадерживающих валов и сложные
гидротехнические сооружения для безопасного сброса 494 тыс. м3 воды.
На данном массиве намечается также закладка 16,8 га
водорегулирующих и 12,6 га приовражных и прибалочных лесополос.
Чистый доход от осуществления противоэрозионных
мероприятий будет максимальным и составит 396,8 тыс. руб.
Особенности подготовки исходной информации для решения
задачи заключаются в следующем. В состав переменных включают
неизвестные, характеризующие площади различных схем
чередования сельскохозяйственных культур, виды и площади
агротехнических лесомелиоративных и гидротехнических
противоэрозионных мероприятий. Причем если при проектировании
севооборотов основная информация имеется в технологических картах
возделывания сельскохозяйственных культур, справочниках и других
нормативных материалах по планированию сельского хозяйства,
то при установлении экономических характеристик других
элементов комплекса противоэрозионных мероприятий получение
такой информации затруднено.
Поэтому для облегчения расчетов по проектированию
противоэрозионных мероприятий нами подготовлены
ориентировочные нормативы, которые можно использовать при решении
данной задачи (табл. 183).
Для установления объемов агротехнических
противоэрозионных мероприятий используют материалы полевого
землеустроительного обследования территории хозяйства. При этом
учитывают следующие особенности противоэрозионной
агротехники.
Глубокая обработка почвы (вспашка, рыхление) необходима в
основном на пологих односкатных склонах, на зяби с несмытыми
или слабосмытыми почвами крутизной 3—6°.
Щелевание и кротование используют для улучшения впитыва-
569

570
№
п/п
181. Матрица экономико-математической модели задачи проектирования противоэрозионных мероприятий
Ограничения
1 По площади
2 Агрофон: зябь
многолетние травы и озимые
3 По площади мероприятий:
залужение
вспашка с почвоуглублением
вспашка с бороздованием
щелевание
посев поперек склона
снегозадержание
водорегулирующие лесополосы
приовражные и прибалочные
лесополосы
4
5
6
7
водозадерживающие валы
По стоку: общему
эрозионно опасному
Баланс гумуса
По площади севооборотов
Целевая функция (чистый доход)
Переменные
Площадь схем
севооборотов, га
схема 1-я
*i
схема 2-я
*2
схема 3-я
*з
Агротехнические
противоэрозионные
мероприятия, га
залужение
*4
обычная
агротехника
*5
вспашка с почво-
| углублением |
*б
вспашка с
бороздованием
хп

многолетние травы
и озимые
обычная
агротех-
1 ника |
*8
щелева- 1
ние |
*9
Посев поперек склона
*10
1111
-0,4 -0,8 -0,5 1 1 1
-0,6 -0,2 -0,5 -1 1 1
1
1
1
1
1
0,63 0,18 0,47 0,27
0,63 0,18 0,47 0,27
0,28 0,68 0,38-0,54
258,69 138,75 232,20 37,8 0
0,2 0,2
0,2 0,2
27,54 25,9?
\ 0
Снегозадержание
*п
1

Лесополосы,
га

водорегулирующие
*12
приовражные и
прибалочные
*1Э
1 1
1
1
0,3 0,27 0,1
0,3 0,27 0,1
15,8818,3639,94 128
0,7
0,7
183

Гидротехнические

мероприятия

водозадерживающие валы,
пог. м
*14
регулируемый
сброс, тыс. м3
*15
Тип ограничения
0,001 <
=
=
VI VI VI
<
<
<
VI VI
1
0,012
0,012
0,95
2,5
0
J, IV 1Л IV 1Л 1Л
S
аничен
Объем огр
1477
0
0
167
209
586
208
997
997
16,8
12,6
70
2385,29
616,25
3400
600
max

182. Результаты решения задачи проектирования противоэрозионных мероприятий
№
п/п
Название переменных

Переменные
Значение
переменной
1 Площади севооборотов, га:
схема 1-я
схема 2-я
2 Агротехнические противоэрозионные мероприятия, га:
обычная вспашка зяби
вспашка с почвоуглублением
вспашка с бороздованием
обычная агротехника озимых и многолетних трав
щелевание
посев поперек склона
снегозадержание и регулирование снеготаяния
3 Водорегулирующие лесополосы
Приовражные и прибалочные лесополосы
4 Гидротехнические противоэрозионные мероприятия:
водозадерживающие валы, пог. м
сложные гидротехнические сооружения
(регулируемый сброс, противоэрозионные пруды), тыс. м*
5 Чистый доход, руб.
*\
*2
*5
*6
*7
*8
Х9
*10
*||
*12
*13
*14
*15
877
600
42,8
202
586
438,2
208
997
997
16,8
12,6
70
494,03
396859
183. Экономические и водозадерживающие характеристики элементов
противоэрозионного комплекса в расчете на 1 га
Противоэрозионные мероприятия
Норма затрат ресурсов
на проведение
мероприятий
о 9
5*?
л о 3 cd
2ХХХ
. з2
я х ? •
is0"
j> о ал|
з2ъ
I
О ti
X S 3
О ц н
о а
Ч -О
о 5й-
ogno
ЛиСЗ
ill!
Агротехнические
Глубокая обработка почвы (вспашка,
рыхление)
Улучшение впитывающей способности
почв (щелевание, кротование)
Поверхностная водозадерживающая
обработка почв (бороздование, обвалование)
Вспашка с устройством микролиманов
Лункование зяби
Снегозадержание и регулирование
снеготаяния
Посев поперек склона
Внесение органических и минеральных
удобрений
Зал ужение
Лесомелиоративные
Водорегулирующие лесополосы
Полезащитные лесополосы
Приовражные и прибалочные лесополосы
Сплошные насаждения на склонах и
смытых землях
Гидротехнические
Водозадерживающие валы, пог. м
0,26
0,32
0,30
0,28
0,27
0,07
0,24
0,20
1,5
2,3
2,3
2,5
1,0
0,005
3,74
2,38
1,12
3,75
0,73
0,50
0,95
1,0
36,2
90,0
89,2
97,0
26,0
0,25
1,30
0,90
0,25
1,30
0,25
0,10
0,22
0,80
2,0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,05
0,2
0,3
1,2
0,58
0,25
0,1
0А27
Й,1
0,27
2,0
1,6
1,7
1,7
0,012
27,54
15,08
25,98
35,84
26,40
39,94
18,36
44,52
37,80
128
108
183
44,8
0,95
571

ющей способности почв на склоновых пастбищах, посевах
многолетних трав и озимых культур.
Поверхностная водозадерживающая обработка почвы (бороз-
дование, обвалование) нужны для уменьшения скорости и объема
стекающей воды, а в ряде случаев и для ее безопасного сброса, как
правило, на выровненных склонах крутизной 1—4°.
Лункование применяют на зяби, более сложных склонах.
Микролиманы устраивают на парах, ровных склонах небольшой
крутизны.
Снегозадержание и регулирование снеготаяния проводят, как
правило, на всей площади пашни хозяйства, а посев и основную
обработку почвы поперек склона — при уклонах более 2°.
Объемы стока с изучаемых водосборов вычисляют по средним
многолетним данным стоковых характеристик (слою стока,
модульным коэффициентам, площади водосбора и др.). Величину
безопасного стока определяют по предельно допустимому смыву
почв в зависимости от их эрозионной устойчивости. Все расчеты
следует проводить на сток 10%-ной обеспеченности (см. табл.
183).
При расчете допустимого слоя стока можно использовать
данные таблицы 184.
184. Расчет допустимого слоя стока
Уклон

водосбора,
о .
1
2
3
5
8
10
Уклон
водосбора (в про-
милях),
'в
17
35
52
88
140
175
Допустимый
смываемый
слой почвы,
Не более 2 т
То же
»
»
»
»
Эрозионный
коэффициент
в среднем,
с
0,10
0,10
0,10
0,10
0,10
0,10
Допустимый слой
стекаемой воды, А, мм
/ шж \
(и М 1
\л=0,012а/
Не более 98 мм
» 48 »
» 32 »
» 20 »
» 12 »
» 10 »

Допустимый слой
стекярмпй
V 1 W^CIVIVlUrl
ВОДЫ,
м3с 1 га
980
480
320
200
120
100
Зная площадь водосбора, его уклон и имея нормативы данной
таблицы, можно рассчитать объем допустимого слоя стока.
Например, если /в = 35, то А = 480 м3 с 1 га. При площади водосбора
1000 га допустимый слой стока составит 480 • 1000 = 480 000 м3,
или 480 тыс. м3. Если общий сток на данном массиве равняется
1500 тыс. м3, то эрозионно опасный сток, который надо
отрегулировать, будет равняться 1020 тыс. м3 (1500 - 480 = 1020). Тогда
ограничения по стоку примут вид
1020< 2Ру*у<1500.
В результате обработки данных проектов внутрихозяйственно-
572

го землеустройства экономико-статистическими методами нами
получены формулы расчета площадей линейных элементов
организации территорий (дорог, лесополос), которые включаются в
задачу в качестве объемов ограничений (табл. 185).
185. Зависимость площадей линейных элементов организации территории
от ее особенностей
Особенности
территории
Центрально-Черноземная зона
Центральные и южные
районы Нечерноземья
Площадь лесо- Рх =0,01а(0,916 + 0,058^ + 0,524и3)
полос на пашне
(кроме
приовражных и при-
балочных), га, Р\
Площадь приов- Р2 = 0,01Р(0,597 + 0,706w2)
ражных и приба-
лочных
лесополос, га, Р2
Площадь под до- Р3 = 0,01Р(0,687 + 0,648и2)
рогами, га, Р3
Р,=0,01/>а(0,392 +
+ 0,047*/,)^
P2 = 0,01/Y0,278 +
+ 0,95w2)^
Р3 = 0,01Р(0,278 +
+ 0,95и2)?
Обозначения (коэффициенты перевода земель в сопоставимую
эродированность):
для несмытых земель — 0,01; для слабосмытых — 0,3; для сред-
несмытых — 0,7; для сильносмытых земель — 1,0;
щ — сопоставимая эродированность, %;
и2 — коэффициент расчлененности территории;
иъ — уклон водосборов, °;
а — распаханность территории, доли единицы;
к — средний размер контура пашни, га;
Р— площадь землепользования хозяйства, га.
Например, площадь под дорогами в хозяйствах Центрально-
Черноземной зоны при коэффициенте расчлененности
территории, равном 1 (х2 = 1), не должна превышать 1,34 % площади
землепользования (0,687 + 0,648 • 1 = 1,34), что при площади
хозяйства 5000 га составит 67 га и т. д.
Данные величины позволят ограничить облесенность пашни,
строительство лишних дорог и создать надлежащие условия для
последующего устройства территории севооборотов.
В районах проявления эрозии, вызываемой и талыми, и
ливневыми водами, матрица экономико-математической модели задачи
усложняется. В нее включают переменные и условия,
характеризующие комплекс противоэрозионных мероприятий, проводимых
в период весеннего снеготаяния и ливневых дождей. Порядок
построения ограничений в этой задаче соответствует
рассматриваемому в этом разделе.
573

26.3. ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ПОСЕВОВ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ КУЛЬТУР
ПО ТЕРРИТОРИИ С УЧЕТОМ
ИНТЕНСИВНОСТИ СМЫВА ПОЧВЫ
Постановка данной задачи сводится к следующему: требуется
разместить сельскохозяйственные культуры по категориям
эрозионно опасных земель и севооборотным массивам так, чтобы
потенциальный смыв почвы при возделывании культур на
различных категориях эрозионно опасных земель был минимальным.
Критерий оптимальности данной задачи: объем смываемой почвы
должен стремиться к минимуму.
Практика показала, что наилучшие результаты при решении
этой задачи дает распределительный метод линейного программи-%
рования.
Постановка данной задачи в землеустроительной науке была
сделана нами, а ее реализация доведена до стадии практического
применения профессором Н. Г. Конокотиным.
Введем следующие обозначения:
п — число видов сельскохозяйственных культур;
т — число категорий эрозионно опасных земель;
у —индекс сельскохозяйственной культуры (/= 1, 2, ..., л);
/ — индекс категории эрозионно опасных земель (/ = 1, 2, ..., т)\
Aj — площадь /-и категории эрозионно опасных земель;
5, — площадьу-й сельскохозяйственной культуры;
Xjj — площадьу'-й сельскохозяйственной культуры на /-й
категории эрозионно опасных земель;
су — интенсивность смыва почв под посевами у-й
сельскохозяйственной культуры на /-й категории эрозионно опасных земель.
Исходя из принятых обозначений, экономико-математическая
модель задачи в структурной форме будет иметь вид
п т
z=yL Y,cijxij->min
У = 1/ = 1
при условиях:
1. Ограничение по площади /-й категории эрозионно опасных
земель:
т
У = 1
по площади посева сельскохозяйственной
п
1Zxij=Bj,j=l, 2,...,п.
У=1
2. Ограничение
культуры:
574

3. Ограничение по равенству площадей сельскохозяйственных
культур, категорий эрозионно опасных земель и площади в
севообороте:
* J
4. Условие неотрицательности переменных:
х0>0.
Перед решением задачи необходимо рассчитать
потенциальный смыв почвы и на этой основе составить карту категорий
эрозионной опасности земель хозяйства. Расчеты потенциального
смыва почвы и сопоставление карт категорий эрозионно опасных
земель проводят для участков, не покрытых растительностью
(табл. 186).
186. Интенсивность смыва
почвы на различных категориях эрозионно опасных земель
(пар, зябь)
Категории
эрозионно
опасных земель
Площади категорий
эрозионно опасных
земель, га
Интенсивность смыва почвы, т с 1 га в год
от снеготаяния
от ливней
всего за год
I
II
III
IV
V
726
638
1481
350
520
1,7
5,6
14,0
28,0
42,0
0,8
2,4
6,0
12,0
18,0
2,5
8,0
20,0
40,0
60,0
Расчеты интенсивности смыва почвы под посевами
сельскохозяйственных культур Су приведены в таблице 187.
187. Расчет ежегодного потенциального смыва почвы под посевами
сельскохозяйственных культур на склонах различной крутизны эрозионно опасных земель
Культуры
Пар (зябь)
Озимые
Яровые зерновые
Зернобобовые
Картофель
Кукуруза, подсолнеч-
Однолетние травы
Многолетние травы
о
о
циенты
ной опас
кохозяй-
х культур
Коэффи
эрозион
ти сельс
ственны
1,00
0,30
0,50
0,35
0,75
0,75
0,30
0,10
Интенсивность смыва почвы на пару, зяби и под
посевами
сельскохозяйственных культур на различных
по крутизне склонах эрозионно опасных земель
I
от снего
таяния
«
от ливне
1,7 0,8
0,5 0,2
1,7 0,4
1,7 0,3
1,7 0,6
1,7 0,6
1,7 0,2
0,2
0,1
II
от снего
таяния
«
от ливне
III
от снего
таяния
«
от ливне
IV
от снего
таяния
«
от ливне
V
от снего
таяния
«
от ливне
5,6 2,4 14,0 6,0 28,0 12,0 42,0 18,0
1,7 0,7 4,2 1,8 8,4 3,6 12,6 5,4
5,6 1,2 14,0 3,0 28,0 6,0 42,0 9,0
5,6 0,8 14,0 2,1 28,0 4,2 42,0 6,3
5,6 1,8 14,0 4,5 28,0 9,0 42,0 13,5
5,6 1,8 14,0 4,5 28,0 9,0 42,0 13,5
5,6 0,7 14,0 1,8 28,0 3,6 42,0 5,4
0,6
0,2
1,4
0,6
2,8
1,2
4,2
1,8
575

В первой строке (пар, зябь) записывают величину смыва почвы
на различных категориях эрозионно опасных земель. Умножив ее
на коэффициент эрозионной опасности сельскохозяйственных
культур, получаем смыв почвы под посевами культур на
различных категориях земель. В период снеготаяния (март, апрель)
только озимые и многолетние травы защищают почву от эрозии,
поэтому смыв почвы от талого стока уменьшается под посевами этих
культур.
Площади эрозионно опасных земель по севооборотам
определяют по картам категорий, а площади сельскохозяйственных
культур берут из задания на проектирование.
В результате расчетов составляют исходную матрицу задачи
(табл. 188).
188. Исходная матрица задачи
№

поля
Показатели

Почвозащитный

севооборот
Полевой севооборот N9 1
Полевой
севооборот № 2

Площадь,
га
1 Пар
2 Озимые
3 Яровые зерновые
4 Зернобобовые
5 Картофель
6 Силосные
7 Однолетние травы
8 Многолетние травы
Площадь категорий
земель
Площадь в севооборотах
40,0 60,0
12,0 18,0
34,0 51,0
32,2 48,3
37,0 51,5
37,0 51,5
31,6 47,4
4,0 6,0
260 49
2,5 8,0 20,0 40,0 60,0
0,7 2,4 6,0 12,0 18,0
2,1 6,8 17,0 34,0 51,0
2,0 6,4 16,1 32,2 48,3
2,3 7,4 18,5 37,0 55,5
2,3 7,4 18,5 37,0 55,5
1,9 6,3 15,8 31,6 47,4
0,3 0,8 2,0 4,0 6,0
255 230 526 90 12
2,5
0,7
2,1
2,0
2,3
2,3
1,9
0,3
471
8,0
2,4
6,8
6,4
7,4
7,4
6,3
0,8
406
20,0
6,0
17,0
16,1
18,5
18,5
15,8
2,0
955
298
694
923
ПО
48
319
90
772
309
1113
1832
В данной таблице суммарную величину смыва почвы от стока
талых и ливневых вод под посевами сельскохозяйственных
культур на различных категориях эрозионно опасных земель
принимают за су.
Решение задачи позволит оптимизировать размещение посевов
сельскохозяйственных культур по севооборотам и категориям
эрозионно опасных земель.
Контрольные вопросы и задания
1. В чем заключается постановка задачи по оптимизации комплекса противо-
эрозионных мероприятий в условиях водной эрозии почв?
2. Какие основные ограничения входят в модель?
3. В чем особенности подготовки исходной информации для решения данной
задачи?
4. Опишите методику расчета допустимого слоя стока, приведите пример.
5. Какова методика решения задачи по оптимизации размещения посевов
сельскохозяйственных культур по территории с учетом интенсивности смыва
почвы?
576

Глава 27
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОРГАНИЗАЦИИ
ТЕРРИТОРИИ ПЛОДОВЫХ И ЯГОДНЫХ МНОГОЛЕТНИХ
НАСАЖДЕНИЙ*
27.1. ПОСТАНОВКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
Для увеличения производства плодово-ягодной продукции
необходимо повысить урожайность садов и ягодников, изменить
породно-сортовой состав насаждений, правильно осуществлять
выбор участков под многолетние насаждения и обоснованно
размещать все элементы устройства их территории. Соответственно
целью проектов устройства территории многолетних насаждений
является создание наилучших организационно-территориальных
условий, обеспечивающих получение максимального объема
плодово-ягодной продукции на единицу площади при оптимальных
затратах труда и средств.
Основные задачи устройства территории многолетних
насаждений следующие:
создание организационно-территориальных условий для
рационального и эффективного использования земли, капитальных
вложений в закладку насаждений и уход за ними, оборудование
территории дорогами, водными сооружениями и т. д.;
защита почв от эрозии и охрана окружающей среды;
улучшение условий для механизации производственных
процессов, эффективного использования сельскохозяйственной
техники и трудовых ресурсов, роста и развития насаждений.
В устройство территории садов и ягодников входят:
подбор и размещение пород и сортов;
размещение рядов насаждений, кварталов, клеток в пальметт-
ных садах и виноградниках;
установление видов, числа, размеров производственных
подразделений (бригад) и размещение их земельных массивов;
размещение дополнительных (подсобных) хозяйственных
центров (бригадных станов), фруктохранилищ, заводов, цехов по
переработке плодово-ягодного сырья, тарных цехов, упаковочных
площадок, пунктов приготовления растворов ядохимикатов и т. д.;
размещение защитных лесных полос;
размещение дорожной сети;
размещение водных источников и оросительной сети (при
орошении).
Перечисленные элементы устройства территории тесно
связаны между собой и решаются в комплексе. Кроме того, решение
* Глава подготовлена совместно с доцентом В. В. Пименовым.
577

указанных вопросов имеет многовариантный характер. Поэтому
при организации территории плодовых и ягодных многолетних
насаждений в проектах внутрихозяйственного землеустройства
эффективно применение экономико-математических методов и
моделей.
Одним из главных вопросов устройства территории плодовых и
ягодных многолетних насаждений является определение
оптимального породно-сортового состава растений и их размещение с
учетом природных и экономических условий хозяйства.
Впервые в землеустроительной науке постановка данной
задачи была осуществлена В. Д. Кирюхиным и Г. П. Даниловой
в 1965 г. (Применение методов линейного программирования в
землеустройстве: Сб. научных трудов. — МИИЗ, 1965. — Вып. 29).
Позже данная задача была решена профессором Е. Г. Ларченко
(Вычислительная техника и экономико-математические методы в
землеустройстве. — М.: Недра, 1973. — С. 273—280).
Породно-сортовой состав насаждений должен обеспечивать
получение гарантированного объема плодовой продукции,
взаимосвязь между потребностями в ресурсах и источниках их покрытия.
В качестве критерия оптимальности данной задачи можно
использовать максимальный чистый доход на расчетный срок.
При известной площади сада, которая определена в ходе
внутрихозяйственного землеустройства, необходимо найти
оптимальное сочетание пород и сортов плодовых насаждений, площадей
дорог и защитных лесных полос с целью обеспечения
максимальной прибыли при наиболее эффективном использовании
капитальных вложений, ежегодных затрат, трудовых и материальных
ресурсов.
В процессе решения задачи определяются значения следующих
групп переменных: площади посадки различных пород и сортов
плодовых насаждений, дорог, лесных полос, вспомогательных
площадок, оросительной сети; потребность в минеральных и
органических удобрениях, средствах защиты посадок от вредителей и
болезней; общехозяйственные ежегодные затраты, размер
капитальных вложений. Устанавливаются количественные соотношения
между породами и сортами, ресурсами и затратами, которые
обеспечивают оптимальный вариант организации производства,
территории и структуры инвестиций, наиболее экономичное
использование производственных ресурсов, гарантируют получение
запланированного объема производства плодовой продукции при
заданных финансовых затратах и максимальном размере чистого дохода.
В модели отражаются все основные факторы и условия,
оказывающие влияние на породно-сортовой состав плодовых
насаждений. К ним относятся: баланс площадей по видам плодовых
насаждений; баланс по площади устраиваемой территории сада; 6av
ланс по труду и капитальным вложениям; балансы по органичес-'
ким и минеральным удобрениям; условия по гарантированным
578

объемам производства продукции по породам и сортам; условия
по производству и переработке плодов.
Для построения указанных групп ограничений необходимы
следующие данные: общая площадь устраиваемой территории сада;
запас трудовых ресурсов; объем гарантированного производства
продукции по сортам и породам; лимит оросительной воды;
рекомендуемая структура породно-сортового состава сада для условий
определенной природной зоны.
На основе разработки экономико-математической модели и
результатов ее решения разрабатывается подробный рабочий
проект устройства территории плодовых насаждений со сметно-фи-
нансовой документацией.
Рассмотрим экономико-математическую модель данной задачи
в общем виде.
Введем следующие основные и вспомогательные переменные:
xj (/G Q\) — площади сортов семечковых яблоневых насаждений;
xjUe Qt) — площади пород семечковых плодовых насаждений;
Xj(je Qz)— площади пород косточковых плодовых насаждений;
XjQ't Qa)— площади дорог;
Xj (je Qs)— площади садозащитных лесных полос;
Xj(jE Qe)— площади оросительной сети;
XjQ'e Qt)— площади производственных площадок для
временного хранения тары, инвентаря, плодов и др.;
xj(j? Qs)— объемы агротехнических мероприятий;
Xj (je Q9) — объемы капиталообразующих инвестиций;
Xj (je Q\о) — объемы трудовых ресурсов по месяцам
вегетационного периода;
Xj (je Q{i) — объемы производства продукции плодоводства
сверх установленного плана;
Xj (je Q{2) — объемы реализации продукции в свежем виде;
Xj (je Q{y) — объемы реализации продукции в переработанном
виде;
Q = Q2U&U<24U<25U<26U{27.
На переменные накладывается система ограничений,
обеспечивающая баланс между ресурсами и затратами.
1. По общей площади всех элементов устройства территории
плодовых насаждений:
2xj<p9
JzQ
где Р— общая площадь территории сада.
2. По площади дорог, садозащитных лесных полос, элементов
579

оросительной сети, производственных площадок:
УеО,и(?5и(?6иС?7
где (3 — коэффициент непродуктивного использования территории сада, равен
0,05—0,1 общей площади.
3. По соотношению различных пород плодовых насаждений,
так как доля посадок семечковых пород в саду должна составлять,
к примеру, 30 % общей площади всех посадок:
а Е xj= Zxy,
jzQivQs jeQi
где а — коэффициент пропорциональности посадок.
4. По соотношению площадей различных сортов яблоневых
насаждений, так как доля посадок зимних сортов яблони должна
составлять, например, 40 % площади посадок всех сортов яблони:
где у/ — коэффициент пропорциональности посадок /-х сортов.
5. По объемам агротехнических противоэрозионных
мероприятий:
где ру — норма задержания объема смываемой почвы /-м видом агротехнических
мероприятий на 1 гау-го вида плодовых насаждений.
6. По объему капиталообразующих инвестиций на подготовку
почвы, закладку плодовых насаждений и садозащитных лесных
полос, строительство дорог, оросительной сети и устройство
производственных площадок:
Е SjfXj -Xi=0,ieQ9,
izQxvQ2vQiKjQAKjQ5\jQeKjQ1
где Sy — удельные затраты /-го вида капиталообразующих инвестиций на единицу
у-го вида угодий и плодовых насаждений.
580

7. По общему объему всех видов требуемых капиталообразую-
щих инвестиций:
? xj <s0,
JeQ9
где S0 — общий размер капиталообразующих инвестиций, выделенных на
организацию и устройство территории сада.
8. По общему размеру ежегодных издержек, выделяемых на
производство продукции садоводства и содержание элементов
организации территории:
где dij— удельные затраты /-го вида ежегодных издержек на 1 гау'-го вида угодий и
плодовых насаждений; Д — ежегодные затраты /-го вида, выделяемые на
производство продукции садоводства и содержание элементов организации территории;
М\ — множество видов ежегодных затрат.
9. По балансу трудовых ресурсов, осуществляющих уход за
плодовыми насаждениями, по месяцам вегетационного периода:
где /,у —затраты труда на 1 гау'-го вида угодий и плодовых насаждений в /-й период
вегетации.
10. По общему размеру трудовых затрат на уход за плодовыми
насаждениями:
X Xj<T0,
JeQio
где Г0 — общий запас трудовых ресурсов.
11. По объему органических удобрений при закладке плодовых
насаждений:
Z,ojjxJ<Oi,ieM2,
где Oij— норма внесения /-го вида органических удобрений на 1 гау'-го вида
плодовых насаждений; О, — объем органических удобрений /-го вида; Л/2 —
множество видов органических удобрений.
12. По объему минеральных удобрений при закладке плодовых
насаждений:
?Лх;</7,/еЛ/3,
где fij— норма внесения /-го вида минеральных удобрений на 1 гау'-го вида плодо-
581

вых насаждений; /} —объем /-го вида минеральных удобрений; Л/3 — множество
видов минеральных удобрений.
13. По объему средств защиты от вредителей и болезней:
X bijX<Bi,ieM^,
где by — норма применения /-го вида средств защиты от вредителей и болезней на
1 гау-го вида плодовых насаждений; Bt— объем /-го вида средств защиты от
вредителей и болезней; Л/4 — множество видов средств защиты от болезней и
вредителей.
14. По объему оросительной воды:
X yijXj<VhieMs,
где Vjj— поливная норма орошения из /-го вида источника на 1 гау-го вида угодий;
V; — лимит оросительной воды /-го источника орошения; М5 — множество видов
источников орошения.
15. По гарантированному производству продукции
плодоводства:
X qijXj=Wi+xhieM6,
JeQiuQi
где 0,у— выход продукции /-го вида с 1 га у-го вида плодовых насаждений; Wt —
планируемый объем продукции плодоводства /-го вида; М6 — множество видов
продукции плодоводства.
16. По распределению сверхплановой продукции плодоводства
на реализацию в свежем виде и на переработку:
X 4ijXj-Xi=0,ieQnvQH,
JzQu
где п,у— коэффициент пропорциональности, учитывающий соотношение
объемов продукции по формам реализации.
17. По количеству пчелосемей для опыления плодовых
насаждений:
? rijXj^RiJeMj,
где Гу— норма опыляющих насекомых /-го вида на 1 га у-го вида плодовых деревь-
582

ев; R,- — количество опыляющих насекомых /-го вида; Л/7 — множество видов
опыляющих насекомых.
Целевая функция: максимум прибыли от реализации плодов в
свежем и переработанном виде:
Z= S с.-х.-—>max.
27.2. ОСОБЕННОСТИ ПОДГОТОВКИ
ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
И ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
Построение матрицы экономико-математической модели
данной задачи базируется на следующей информации:
нормативной, используемой для расчета технолого-экономи-
ческих коэффициентов и коэффициентов целевой функции;
формализованной, представляющей собой формулы и
алгоритмы расчета показателей;
ресурсной и плановой, характеризующей ресурсы хозяйства и
перспективы его развития;
исходной, необходимой для формирования матрицы, расчета
технико-экономических коэффициентов и объемов ограничений.
Учитывая специфику задачи, в состав нормативной
информации должны входить следующие основные данные:
породы и сорта плодовых насаждений;
нормативы затрат труда, денежно-материальных средств,
удобрений в расчете на 1 га сада;
нормы полива сада;
другие нормативные коэффициенты, необходимые для
решения задачи.
Рассмотрим экономико-математическую модель оптимизации
породно-сортового состава плодовых насаждений на примере
устройства территории плодовых насаждений в ОПХ
«Мичуринский» Ростовской области. В хозяйстве предусматривается
выращивать семечковые и косточковые породы. Для решения задачи
используются урожайность плодовых насаждений, нормативы
капитальных и ежегодных затрат, трудовых и материальных
ресурсов (табл. 189).
Урожайность плодовых насаждений определена на основе
среднегодовых данных за последние пять лет. Для обоснования
уровня затрат труда и материально-денежных средств
использовались перспективные технологические карты, которые составлены
с учетом типичных природных условий Ростовской области в
расчете на 1 га площади.
Исходная матрица задачи представлена в таблице 190.
583

2 189. Технико-экономические коэффициенты для решения задачи по оптимизации породно-сортового состава плодовых насаждений
Наименование переменных
1


начение


менных
2
Капиталовложения, тыс. руб.
в
подготовку
почвы
3
в закладку

насаждений
4
в
строительство
дорог
5
в
строительство

оросительной сети
6
в
строительство

площадок
7

Ежегодные

изводственные
ресурсы,
тыс. руб.
8

Урожайность,
цс 1 га
9
Число

пчелосемей,
шт.
10
Цена

реализации,
тыс. руб.
И
Яблоня:
зимние сорта
летние сорта
осенние сорта
Груша
Вишня
Слива
Черешня
Абрикос
Магистральные дороги
Межквартальные дороги
Межклеточные дороги
Ветрозащитные лесополосы
Стокорегулирующие
лесополосы
Постоянная оросительная
сеть
Временная оросительная
сеть
Площадки для хранения
продукции
Площадки для
ядохимикатов и инвентаря
Х\
*2
*3
*5
ч
х7
х*
х9
Х\\
Х\1
*13
Х\5
х\6
0,36
0,36
0,36
0,435
0,345
0,345
0,345
0,345
0,45
0,345
0,634
0,634
0,634
0,634
0,865
0,865
0,865
0,865
0,865
0,634
1,5
0,15
0,05
*18
*19
х2\
*22
1,96
1,05
1,3
0,493
0,493
0,493
0,34
0,4
0,24
0,4
0,4
0,6
0,3
0,15
0,35
0,35
0,8
0,45
0,5
0,5
100
80
90
170
80
80
100
150
2
2
1,8
2
2,2
1,5
1,5
1,5
100
56
45
204
120
165
88
320

Продолжение
Наименование переменных
я *
* 3
« х
а: 5
со *
Нормы затрат труда, чел.-дн.
Ь
&
Нормы
агротехнических
мероприятий
as n
s
3" О?
С» cd
2 со
Нормы удобрений и средств
защиты сада, кг на 1 га
"а
Р
О* X
355
я 5
ах
я
fa
чйч
й я я
acd a
one
2
s я
I?-
2 X cd
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
oo
Яблоня:
зимние сорта
летние сорта
осенние сорта
Груша
Вишня
Слива
Черешня
Абрикос
Магистральные дороги
Межквартальные дороги
Межклеточные дороги
Ветрозащитные лесополосы
Стокорегулирующие
лесополосы
Постоянная оросительная
сеть
Временная оросительная
сеть
Площадки для хранения
продукции
Площадка для ядохимикатов
и инвентаря
*1
*2
*3
*5
*6
*7
*8
х9
Х\1
х\2
*13
*15
*16
4,9
4,9
4,9
4,9
5
5
5
4,9
0,46
0,46
0,46
0,65
0,76
0,76
0,76
0,46
0,5
0,5
0,5
6,96
1,38
1,38
1,38
0,5
14,1 28,2 24,5
14,1 28,2 24,5
14,1 28,2 24,5
18,3 31,1 36,7
10,9 18,97 0,16
10,9 18,97 0,16
10,9 18,97 0,16
14,1 31,1 26,7
5,17 0,8
5,17 0,8
5,17 0,8
5,24 0,8
1,34 0,8
1,34 0,8
1,34 0,8
5,24 0,8
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
0,3
4
4
4
3
3
2
3
3
4
4
0,25
0,25
0,25
0,2
0,23
0,18
0,3
0,25
0,3
0,15
0,15
0,15
0,15
0,3
0,13
0,18
0,15
0,15
0,25
0,15
3,5
3,5
3,5
2,6
1
1
1
1,5
21
21
21
20
15
15
15
15
500
600
500
600
600
700
600
900
*18
х\9
*21
*22

?g 190. Матрица задачи по оптимизации организации территории плодовых многолетних насаждений
ON
№
п/п
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1 19
Ограничения
2
По общей площади территории, га
По площади дорог, га
По площади магистральных дорог, га
По площади межквартальных дорог, га
По площади межклеточных дорог, га
По площади лесополос, га
По площади садозащитных лесополос, га
По площади стокорегулирующих лесополос, га
По площади оросительной сети, га
По площади постоянной оросительной сети, га
По площади временной оросительной сети, га
По размеру производственных площадок, га
По размеру площадки для хранения
продукции, га
По размеру площадки для ядохимикатов
и инвентаря, га
По чистой площади сада, га
По соотношению пород, га
По площади яблонь, га
По соотношению сортов, га
По площади вишни и черешни, га
Семечковые
яблоня

зимние
*i
3
1
1

летние
XI
4
1

осенние
*з
5
1
-0,4

всего
*4
6
1
1
1
-1

груша
*5
7
1
1
1
V
1Ч.1Л, 1U4 NUDblC

ВИШНЯ
х6
8
1
1
-1

слива
XI
9
1
1


решня
*8
10
1
1
+1


рикос
Х9
11
1
1

всего
*10
12
-1
-0,3
диупл п |


стральные
*м
13
1
1
меж-
квар-
таль-
ные
Х\2
14
1
1
меж-
кле-
точ-
ные
Х\3
15
1
1
всего
Х\4
16
1
-о,з
-0,5
-0,2

Продолжение
1
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
2
Капиталовложения в подготовку почвы,
тыс. руб. в 1 га
На закладку, тыс. руб. в 1 га
На строительство дорог, тыс. руб. в 1 га
На строительство оросительной сети,
тыс. руб. в 1 га
На устройство производственных
площадок, тыс. руб. в 1 га
По общему объему, тыс. руб.
По ежегодным производственным
затратам, тыс. руб. в 1 га
По балансу трудовых ресурсов, чел.-дн.:
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
По объему агротехнических
мероприятий, т:
залужение
распашка междурядий
мульчирование
По объему органических удобрений,
тв 1 га
1
4
S
6
0,36
0,634
0,439
4,9
0,46
0,5
14,1
28,2
24,5
5,17
0,8
0,1
0,3
4
7
0,4325
0,623
0,34
4,9
0,65
6,96
18,3
31,1
36,7
5,24
3
8
0,345
0,865
0,4
5
0,76
1,38
10,9
18,97
0,16
1,34
3
9
0,345
0,865
0,24
5
0,76
1,38
10,9
18,97
0,16
1,34
2
10
0,345
0,865
0,4
5
0,76
1,38
10,9
18,97
0,16
1,34
3
11
0,345
0,865
0,4
4,9
0,46
0,5
14,1
31,1
26,7
5,24
3
12
0,8
0,1
0,3
13
1,5
0,6
14
0,15
0,3
15
0,05
0,15
16
-J

Продолжение
N9
п/п
1
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Ограничения
2
По объему минеральных удобрений,
тыс. га:
фосфорные
калийные
По объему средств защиты от
вредителей, кг в 1 га
По объему средств защиты от болезней,
кгв 1 га
По объему оросительной воды, м3 в 1 га
По производству яблок, ц
По производству груш, ц
По производству вишни, ц
По производству абрикосов, ц
По распределению продукции в свежем
виде, ц
По распределению продукции в
переработанном виде, ц
По количеству пчелосемей, шт.
1 Целевая функция: выручка от реализации,
тыс. руб.
Семечковые
яблоня

зимние
*i
3
500
100
2
100

летние
*2
А
600
80
2
56

осенние
*з
5
500
90
1,8
45

всего
*4
6
0,25
0,15
3,5
21

груша
*5
7
0,2
0,3
2,6
20
600
170
2
204
Косточковые

вишня
Хб
8
0,23
0,13
1
15
600
80
2,2
120

слива
х7
9
0,18
0,18
1
15
700
1,5
165


решня
*8
10
0,3
0,15
1
15
600
1,5
88


рикос
х9
11
0,25
0,15
1,5
15
900
150
1,5
320

всего
*10
12
Дороги


стральные
*м
13


квартал ь-
ные
Х\2
14
меж-
кле-
точ-
ные
*13
15

всего
*14
16

Продолжение
№
п/п
1
1
?
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
[l^
Ограничения
2
По общей площади территории, га
По площади дорог, га
По площади магистральных дорог, га
По площади межквартальных дорог, га
По площади межклеточных дорог, га
По площади лесополос, га
По площади садозащитных лесополос, га
По площади стокорегулирующих лесополос, га
По площади оросительной сети, га
По площади постоянной оросительной сети, га
По площади временной оросительной сети, га
По размеру производственных площадок, га
По размеру площадки для хранения
продукции, га
По размеру площадки для ядохимикатов
и инвентаря, га
По чистой площади сада, га
По соотношению пород, га
По площади яблонь, га
По соотношению сортов, га
По площади вишни и черешни, га
Садозащитные
лесополосы


защитные
*15
17
1
1
стоко-
регули-
рующие
*1б
18
1
1
всего
*17
19
1
-0,7
-0,3
Оросительная сеть

постоянная
*18
20
1
1

временная
Х,9
21
1
1
всего
*20
22
1
-0,5
-0,5
Площадки
для
хранения
продукции
*21
23
1
1
для

химикатов и
инвентаря
*22
24
1
1
всего
*23
25
+ 1
-0,5
-0,5

^ Продолжение
№
п/п
1
20
21
22
73
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
1 38
Ограничения
2
Капиталовложения в подготовку почвы,
тыс. руб. в 1 га
На закладку, тыс. руб. в 1 га
На строительство дорог, тыс. руб. в 1 га
На строительство оросительной сети,
тыс. руб. в 1 га
На устройство производственных площадок,
тыс. руб. в 1 га
По общему объему, тыс. руб.
По ежегодным производственным затратам,
тыс. руб. в 1 га
По балансу трудовых ресурсов, чел.-дн.:
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
По объему агротехнических мероприятий, т:
зал ужение
распашка междурядий
мульчирование
По объему органических удобрений, т в 1 га
Садозащитные
лесополосы


защитные
*15
17
0,45
0,865
0,35
4
стоко-
регули-
рующие
Х\Ь
18
0,345
0,634
0,35
4
всего
*17
19
Оросительная сеть

постоянная
*18
20
0,8


менная
*19
21
0,45
всего
*20
22
Площадки
для
хранения
продукции
*21
23
1
0,5
для
ядохимикатов и
инвентаря
*22
24
1,3
0,5
всего
*23
25

Продолжение
1
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
2
По объему минеральных удобрений, тыс. га:
фосфорные
калийные
По объему средств зашиты от вредителей,
кгв 1 га
По объему средств защиты от болезней,
кгв 1 га
По объему оросительной воды, м3 в 1 га
По производству яблок, ц
По производству груш, ц
По производству вишни, ц
По производству абрикосов, ц
По распределению продукции в свежем виде,
Ц
По распределению продукции в
переработанном виде, ц
По количеству пчелосемей, шт.
1 Целевая функция: прибыль от реализации,
тыс. руб.
17
0,3
0,15
18
0,25
0,15
19
20
21
22
23
24
25

Продолжение
п/п
1
1
?
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Ограничения
2
По общей площади территории, га
По площади дорог, га
По площади магистральных дорог, га
По площади межквартальных дорог, га
По площади межклеточных дорог, га
По площади лесополос, га
По площади садозащитных лесополос, га
По площади стокорегулирующих лесополос, га
По площади оросительной сети, га
По площади постоянной оросительной сети, га
По площади временной оросительной сети, га
По размеру производственных площадок, га
По размеру площадки для хранения продукции, га
По размеру площадки для ядохимикатов и
инвентаря, га
По чистой площади сада, га
По соотношению пород, га
По площади яблонь, га
По соотношению сортов, га
По площади вишни и черешни, га
Капиталовложения в подготовку почвы, тыс.руб. в 1 га
На закладку, тыс. руб. в 1 га
На строительство дорог, тыс. руб. в 1 га
На строительство оросительной сети,
тыс. руб. в 1 га
Агротехнические мероприятия
залу-
же-
ние
*24
?6

распашка

междурядий
*25
27


чирование
*26
28
на
подготовку
почвы
*27
29
-1
I
на
закладку
и
посадку
*28
30
-1
Сапиталообразующие инвестиции
на

строительство
дорог
*29
31
-1
на
строительство

оросительной сети
*зо
32
-1
на устройство

производственных площадок и
фруктохранилищ
*31
33

Продолжение
1
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
. 50
2
На устройство производственных площадок, тыс. руб. в 1 га
По общему объему, тыс. руб.
По ежегодным производственным затратам, тыс. руб. в 1 га
По балансу трудовых ресурсов, чел.-дн.:
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
По объему агротехнических мероприятий, т:
залужение
распашка
мульчирование
По объему органических удобрений, т в 1 га
По объему минеральных удобрений, тыс. га:
фосфорные
калийные
По объему средств защиты от вредителей, кг в 1 га
По объему средств защиты от болезней, кг в 1 га
По объему оросительной воды, м3 в 1 га
По производству яблок, ц
По производству груш, ц
По производству вишни, ц
По производству абрикосов, ц
По распределению продукции в свежем виде, ц
По распределению продукции в переработанном виде, ц
По количеству пчелосемей, шт.
| Целевая функция: прибыль от реализации, тыс. руб.
26
0,45
-1
27
0,6
-1
28
0,7
-1
29
1
4
0,3
0,15
600
30
1
0,25
0,15
31
1
32
1
33
-1
1

Ь69
щ
Е
! о :
I ГО '
ш
о <
i
S
?!
\х
3 !
о <
1
й
И
е
р
го
о <
I
-К
> X
! я
о
! *
ig
о
|S: I
1Ш
I CD
I
I
о
P
о
I
IS: I
C5
го
го
*
апрель
май
август
сентябрь
октябрь
дополнительно
привлекаемые
на переработку
в свежем виде
?
сверх плана
зимние яблоки
сверх плана
груши
сверх плана
вишни
?] сверх плана
абрикосы
I
Тип ограничения
Щ
о
Объем ресурса

Продолжение
1
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
2
На устройство производственных площадок, тыс. руб. в 1 га
По общему объему, тыс. руб.
По ежегодным производственным затратам, тыс. руб. в 1 га
По балансу трудовых ресурсов, чел.-дн.:
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
По объему агротехнических мероприятий, т:
залужение
распашка междурядий
мульчирование
По объему органических удобрений, т в 1 га
По объему минеральных удобрений, тыс. га:
фосфорные
калийные
По объему средств защиты от болезней, кг в 1 га
По объему средств защиты от болезней, кг в 1 га
По объему оросительной воды, м3 в 1 га
По производству яблок, ц
По производству груш, ц
По производству вишни, ц
По производству абрикосов, ц
По распределению продукции в свежем виде, ц
По распределению продукции в переработанном виде, ц
По количеству пчелосемей, шт.
[Целевая функция: прибыль от реализации, тыс. руб.
34
10
1
-1
35
10
1
-1
36
6
1
-1
37
6
1
-1
38
6
1
-1
39
10
1
-1
40
10
1
-1
41
15
-1
42
-1
43
-1
44
-1
0,6
45
-1
0,6
0,4
46
-1
0,6
0,4
47
-1
0,6
0,4
48
=
<
<
<
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
<
<
<
<
<
<
>
>
>
>
=
=
>
-»
49
0
485
620
25000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1100
100
100
700
6000
264000
23000
10000
5000
2000
0
0
100
max

В составе основных переменных выделены 26 неизвестных,
характеризующих площади различных пород, сортов плодовых
насаждений, а также элементы устройства территории:
хх — яблони зимних сортов, га;
х2 — яблони летних сортов, га;
х3 — яблони осенних сортов, га;
х4 — все сорта яблонь, га;
х5 — груши, га;
х6 — вишни, га;
х7 — сливы, га;
х8 — черешня, га;
х9 — абрикос, га;
х[0 — всего семечковых и косточковых пород, га;
хп — под магистральными дорогами, га;
хп — под межквартальными дорогами, га;
х13 — под межклеточными дорогами, га;
х[4 — все дороги, га;
х15 — ветрозащитные лесные полосы, га;
х16 — стокорегулирующие лесные полосы, га;
х{7 — все лесные полосы, га;
х18 — постоянная оросительная сеть, га;
х{9 — временная оросительная сеть, га;
х2о — вся оросительная сеть, га;
х2\ — площадки для хранения продукции, га;
х22 — площадки для ядохимикатов и инвентаря, га;
*2з ~ всего площадок, га;
*24 — работы по залужению, т;
*25 — работы по вспашке междурядий, т;
*2б — работы по мульчированию, т.
Кроме того, в задаче выделены следующие вспомогательные
переменные:
х27 — необходимый объем капиталовложений в подготовку
почвы, руб. на 1 га;
х28 — необходимый объем капиталовложений в закладку и
посадку насаждений, руб. на 1 га;
х29 — необходимый объем капиталовложений в строительство
дорог, руб. на 1 га;
х3о — необходимый объем капиталовложений в строительство
оросительной сети, руб. на 1 га;
x3i — необходимый объем капиталовложений в устройство
производственных площадок, руб. на 1 га;
*32— трудовые ресурсы в апреле, чел.-дн.;
х3з — трудовые ресурсы в мае, чел.-дн.;
*34 ~ трудовые ресурсы в июне, чел.-дн.;
*35 — трудовые ресурсы в июле, чел.-дн.;
*зб — трудовые ресурсы в августе, чел.-дн.;
*37 — трудовые ресурсы в сентябре, чел.-дн.;
*38 — трудовые ресурсы в октябре, чел.-дн.;
596

*39 — дополнительно привлекаемые трудовые ресурсы, чел.-дн.;
*40 — продукция, идущая на переработку, ц;
*4i — продукция в свежем виде, ц;
х42 — сверхплановое производство яблок, ц;
х43 — сверхплановое производство груш, ц;
*44 "" сверхплановое производство вишни, ц;
х45 — сверхплановое производство абрикосов, ц.
Результаты решения задачи показаны в таблице 191.
191. Результаты решения задачи организации территории плодовых и ягодных
многолетних насаждений
Показатели
Площадь яблонь, всего, га
В том числе:
летних сортов
осенних сортов
зимних сортов
Площадь груш, га
Всего семечковых, га
Площадь черешни, га
Площадь вишни, га
Площадь сливы, га
Площадь абрикоса, га
Всего косточковых, га
Итого плодовых насаждений, га
Площадь под дорогами, всего, га
В том числе:
магистральными
межклеточными
межквартальными
Площадь садозащитных лесных полос, всего, га
В том числе:
ветрозащитных
стокорегулирующих
Площадь оросительной сети и мест хранения продукции, инвентаря
и ядохимикатов, всего, га
В том числе:
постоянной и временной оросительной сети
площадок
Объемы противоэрозионных агротехнических работ, всего, т
В том числе:
по залужению
по мульчированию
Объем капиталообразующих инвестиций, всего, тыс. руб.
В том числе:
на подготовку почвы
закладку плодовых и лесных насаждений
строительство дорог
прокладку оросительной сети
устройство производственных площадок
Потребность в трудовых ресурсах, всего, чел.-дн.
В том числе:
в апреле
мае
июне
июле
Значения
39,65
-
0,0
23,79
15,86
58,82
98,47
62,5
62,5
4,44
100,3
229,74
328,21
15,0
4,5
3,0
7,5
20,0
14,0
6,0
30,0
20,0
10,0
404,4
294,0
110,4
453,425
127,3
276,5
8,025
30,1
11,5
22507
1621
201
658
4461

Продолжение
Показатели
августе
сентябре
октябре
Объем продукции плодовых в свежем виде, ц
Прибыль, всего, тыс. руб.
В том числе:
на 1 руб. вложений
на 1 чел.-дн.
на 1 га сада
Простой срок окупаемости капиталообразующих инвестиций после
начала плодоношения, лет
Значения
8524
5830
1212
7831
25220,0
0,056
10,06
64,14
5
Из таблицы видно, что оптимальный план породно-сортового
состава в хозяйстве будет следующим: площадь семечковых —
98,47 га, или 30,0 %, площадь косточковых — 229,74 га, или 70,0 %
общей площади плодовых насаждений.
Среди семечковых пород небольшую долю составляет груша —
17,9 % всей площади плодовых насаждений. Невыгодно
выращивать летние сорта яблок, наибольшую площадь занимают яблони
осенних сортов — 7,2 %. Среди косточковых пород должны
преобладать абрикосы — 30,6 % общей площади сада.
По оптимальному плану необходимо отвести: под дороги 15 га
и садозащитные лесные насаждения 20, оросительную сеть 20 и
площадки для хранения продукции 10 га.
В структуре капиталообразующих инвестиций, общий объем
которых составляет 453,425 тыс. руб., больше всего вложений в
закладку плодовых и лесных насаждений — 276,5 тыс., подготовку
почвы под посадку— 127,3тыс., меньше —на строительство
элементов производственной инфраструктуры — 11,5 тыс. руб.
Наибольшая потребность в трудовых ресурсах ожидается в
летний и осенний периоды, что связано с уборкой урожая.
Эффективность оптимального плана породно-сортового
состава выражается в получении прибыли всего 25220 тыс. руб., в том
числе на 1 га плодоносящего сада —64,14 тыс. руб. Срок
окупаемости капиталообразующих инвестиций после начала
плодоношения составит 5 лет.
Контрольные вопросы и задания
1. Приведите математическую формулировку задачи.
2. Дайте обоснование основных критериев оптимальности при решении
задачи.
3. Напишите ограничения по площади и соотношению пород и сортов
плодовых насаждений.
4. Какова исходная информация для составления системы ограничений?
5. Укажите состав и наименование переменных, принятых в задаче.
6. Укажите перечень ограничений по ресурсам, требующимся для создания
многолетних насаждений.
7. Напишите формулу целевой функции при решении задачи на максимум
чистого дохода или минимум капитальных вложений.
598

Глава 28
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ОРГАНИЗАЦИИ ЗЕЛЕНОГО КОНВЕЙЕРА
28.1. ПОСТАНОВКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
При составлении проекта внутрихозяйственного
землеустройства планируется организация зеленого конвейера. Он
предназначен для наиболее полного и рационального обеспечения скота
кормами по месяцам пастбищного периода и предусматривает
вариант наилучшего использования пастбищ и сеяных трав на
зеленый корм в севооборотах с учетом проектных площадей пастбищ,
намечаемой структуры посевов кормовых культур и способов
содержания видов и групп скота в летний период.
Как правило, зеленый конвейер составляется для каждой
отдельно расположенной фермы или каждого гурта. Его данные
используют для проектирования кормовых севооборотов и при
устройстве пастбищ с учетом принятых схем пастбищеоборотов и др.
Схемы зеленого конвейера могут быть различными. Они
зависят от вида скота, способов его содержания, вида пастбищ
(естественные, улучшенные, орошаемые), а также от природных
условий, которые определяют степень отрастания травостоя и выход
зеленой массы по месяцам пастбищного периода. При этом
основная цель зеленого конвейера заключается в правильном
установлении соотношения пастбищ и сеяных трав в севообороте,
обеспечивающего наиболее полное удовлетворение скота
кормами в различное время пастбищного периода и получение зеленых
кормов с минимальной площади или с минимальными затратами.
Для организации зеленого конвейера необходима следующая
исходная информация:
возможный набор культур на зеленый корм, соответствующий
зоне расположения хозяйства;
агротехнические сроки их использования и выращивания;
площади пастбищ различных видов и выход зеленых кормов с
них по месяцам пастбищного периода;
потребность животных в зеленом корме на каждую декаду или
месяц;
возможные границы скармливания зеленой массы различных
видов корма (пастбищ или отдельных культур);
максимально допустимые площади посева отдельных культур
для выращивания зеленого корма, не выходящие за рамки
севооборота планируемой структуры посевов;
урожайность культур на зеленый корм, используемых в
определенный месяц или декаду, а также процент отрастания зеленой
массы пастбищного корма по месяцам содержания скота;
себестоимость 1 ц зеленой массы каждой культуры;
продолжительность пастбищного периода.
599

Существует два способа экономико-математической
формулировки задачи.
По первому способу за неизвестные величины ^принимаются
объемы производства зеленых кормов в конкретный месяц или
декаду пастбищного содержания скота.
Тогда на неизвестные накладываются следующие ограничения.
1. По обеспечению потребности в зеленых кормах по месяцам
(декадам) пастбищного периода (в каждой группе условий
суммирование должно выполняться по разным наборам переменных):
? X;>Bti teM{.
2. По допустимым (максимально возможным) площадям
посева культур на зеленый корм:
? TjTxj-Pi>ieM2-
jeQiV J
3. По предельным нормам скармливания зеленой массы
различных культур в соответствии с зоотехническими требованиями
по месяцам пастбищного периода:
^apJXj<Lp9 ieM3.
JzQp
4. Условие неотрицательности переменных:
ху>0.
В качестве целевой функции данной задачи могут
использоваться два критерия оптимальности:
производство зеленых кормов с минимальной площади
mWij
производство зеленых кормов с минимальной себестоимостью
Z2= ?cyxy->min.
JeQi
Обозначения: В, — потребность в зеленых кормах в /-й месяц; Wy—
урожайность у-й культуры в /-й период; -^ величина, обратная урожайности, выра-
жающая необходимую площадь для производства 1 ц зеленой массы у'-й культуры
в /-й период;Р,— максимально возможная площадь возделывания /-й культуры;
ctpj— предельная норма скармливания у-го корма в р-й период (доля); Lp — пре-
600

дельное количество у-го корма, скармливаемого животным вр-й период; с,—
себестоимость единицы зеленого корма; М\ — множество периодов летнего
содержания скота (месяцы, декады); Л/о —множество площадей посева культур для
организации зеленого конвейера; Л/3 — множество видов зеленого корма, на которые
накладывается ограничение по нормам скармливания; Qh Qh Qp — наборы
индексов.
По второму способу за. неизвестные Xj принимаются площади
культур на зеленый корм по месяцам (декадам) пастбищного
периода.
Тогда экономико-математическая модель задачи будет иметь
следующий вид (обозначения те же).
1. По обеспечению потребности в зеленых кормах по месяцам
(декадам) пастбищного периода:
S WijXj>BhieMx.
2. По допустимым (максимально возможным) площадям
посева культур на зеленый корм:
X Xj<Pt,ieM2.
JeQt
3. По предельным нормам скармливания зеленой массы:
I^OLpjWpjXj^Lp, ieM3.
JzQp
4. Условие неотрицательности переменных:
"х,>0.
Критерии оптимальности:
Zj= ?xy->min;
JeQ
Z2=*Z cjWj*j -> rnin,
JeQ
где fVj=lJV9.
28.2. ОСОБЕННОСТИ ПОДГОТОВКИ ИСХОДНОЙ
ИНФОРМАЦИИ И ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
Необходимо составить оптимальный зеленый конвейер,
обеспечивающий соответствующими кормами ферму крупного
рогатого скота с минимальными затратами.
Период использования зеленого конвейера 180 дней —с 1 мая
по 1 ноября.
601

Перечень культур для организации зеленого конвейера и их
максимально допустимые площади приведены в таблице 192.
192. Допустимые площади кормовых культур и пастбищ*
Культуры и угодья
Озимая рожь
Однолетние травы
Вико-гороховая смесь
Многолетние травы
Кукуруза
Пожнивные культуры
Кормовая бахча
Естественные пастбища
Площадь, га
60
20
25
135
55
50
40
224
*Практикум по экономико-математическим методам и моделированию в
землеустройстве/Под ред. С.Н.Волкова, Л. С. Твердовской. — М.: Агропромиздат,
1991.-С. 249-254.
Поголовье животных и нормы кормления приведены в
таблице 193.
193. Расчет потребности в зеленом корме
Группы скота
Голов в группе
Суточная норма
потребления зеленого
корма, кг
Потребность в
зеленом корме, ц
Коровы
Быки-производители
Нетели
Молодняк:
старше одного года
до года
Всего
380
5
70
97
140
692
33
46
30
22
15
—
22572
418
3780
3840
3780
34390
Как видно, всем половозрастным группам крупного рогатого
скота требуется на пастбищный период 34 390 ц зеленого корма.
Расчеты необходимого количества кормов с пашни приведены в
таблице 194. Урожайность естественных пастбищ принята равной
40 ц с 1 га.
194. Расчет потребности в кормах с пашни
Пастбищный
период
Потребность в
зеленом корме, ц
Выход зеленого корма с пастбищ
%
ц
Потребность в
зеленом корме с
пашни, ц
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Всего
5732
5732
5732
5732
5730
5732
34390
30
35
20
—
10
5
100
2688
3136
1792
—
896
448
8960
3044
2596
3940
5732
4834
5284
25430
В каждый период предусматривается давать животным два-три
602

вида зеленого корма. Перечень культур, их урожайность,
агротехнические сроки выращивания и использования приведены в
таблице 195.
195. Сроки использования, урожайность и себестоимость культур зеленого конвейера

Переменные
Культуры
Срок
использования

Урожайность,
цс 1 га

Себестоимость,
руб. за 1 ц
I.V-31.V
1.V-31.V
1.VI-30.VI
1.VI-30.VI
10.VI-30.VI
l.VII—30.VII
1.VII-31.VII
l.VII—31.VII
l.VIII—30.VIII
l.VIII—20.VIII
20.VIII—21.VIII
1.IX-10.IX
1.IX-10.IX
1.IX-20.IX
11.IX-30.IX
20.IX-30.IX
1.Х-30.Х
1.Х-30.Х
I.X-30.X
150
180
150
180
200
160
180
200
135
240
250
135
250
230
100
100
100
100
70
0,32
0,19
0,32
0,19
0,34
0,18
0,19
0,34
0,17
0,60
0,54
0,17
0,54
0,52
0,26
0,49
0,26
0,49
0,10
х. Озимая рожь
х2 Многолетние травы 1 -го укоса
jc3 Озимая рожь
х4 Многолетние травы 1-го укоса
JC5 Вико-гороховая смесь
дгб Однолетние травы
х7 Многолетние травы 1-го укоса
х8 Вико-гороховая смесь
х9 Многолетние травы 2-го укоса
Хю Кукуруза 1-го срока посева
хц Кукуруза 2-го срока посева
х\2 Многолетние травы 2-го укоса
х13 Кукуруза 2-го срока посева
jc14 Кукуруза 3-го срока посева
Х\5 Пожнивные культуры
jc16 Кормовая бахча
Xj7 Пожнивные культуры
Х|8 Кормовая бахча
х19 Ботва сахарной свеклы
Допустимые пределы скармливания зеленой массы в месяц не
должны превышать общей месячной потребности: по
многолетним травам — 50 % трав 1-го укоса и 25 % трав 2-го укоса; по
кукурузе 2-го срока посева — 60 %.
Составим расширенную экономико-математическую модель
задачи. Используем целевую функцию и решим задачу на
минимум себестоимости зеленых кормов.
В этом случае целевую функцию запишем следующим образом:
Z=0,32x1 + 0J9x2 + 0,32x3 + 0J9x4 + 0,34x5 + 0J&C6 + 0,19x7 + 0,34x8 +
+ 0,17*9 + 0,60х10 + 0,54хи + 0,17х12 + 0,54х13 + 0,52х14 + 0,26х15 + 0,49х16 +
+ 0,26х17 + 0,49х18 + 0,10х19 -> min.
Составим ограничения.
1. По обеспечению зелеными кормами по месяцам
пастбищного периода, ц:
май х{ + х2 > 3044,
июнь х3 + х4 + х5 > 2596,
июль х6 + х7 + jc8 > 3940,
август х9 + лс10 + X! i > 5732,
сентябрь х12 + х13 + х14 + х15 + х16 > 4834,
октябрь х17 + х18 + х19 > 5284.
603

2. По площадям посева культур на зеленый корм, га:
озимая рожь Т5о*1+Т5о 6
однолетние травы -—дс6<20,
16U
вико-гороховая смесь ^^*5+-^*8^25,
многолетние травы 1-го укоса 7олх2+Т?7Г*4 +To7Tx7^135,
loO lol) loU
0 1111
многолетние травы 2-го укоса - т™ *2 - т™ *4 "Тол х7 + "п?х9 +
+ Т35Х12^0'
пожнивные культуры 7™х15+7оо*17-50'
кормовая бахча Щ*16+удо*18^40.
3. По предельным нормам скармливания многолетних трав и
кукурузы 2-го срока посева, используемых на зеленый корм:
х2<1522,
х4<1298,
х7<1910,
х9<1433,
хп<3440,
х12<1208,
х13 < 2900.
4. Условие неотрицательности переменных:
х{>0;х2>09 ..., х14>0.
Первая группа ограничений учитывает поступление зеленых
кормов от возделываемых в севооборотах культур по месяцам
летнего содержания животных не менее планируемой потребности.
Число ограничений соответствует числу периодов летнего
содержания животных, то есть 6 мес. Единицы измерения переменных
и столбца свободных членов — выход зеленой массы и
потребность в ней, ц.
Вторая группа ограничений — по площадям посева культур,
соотношению посевов многолетних трав 1-го и 2-го укосов.
604

Технико-экономические коэффициенты выражают
потребность в площади для выращивания 1 ц зеленой массы
определенной культуры, что соответствует величине, обратной
урожайности. Так, для озимой ржи она равна т-ттта , для однолетних трав —
В результате преобразований вторая группа ограничений
примет вид:
озимая рожь х{ + х3 < 9000,
однолетние травы х6< 3200,
вико-гороховая смесь х5 + х8 < 5000,
многолетние травы 1-го укоса х2 + х4 + х7 < 24300,
многолетние травы 2-го укоса - х2 — х4 - х7 + 1,333*9 + 1 >333х12 < 0,
кукуруза 1,042х10 + хц +дс13+ 1,087дс14< 13750,
пожнивные культуры х15 + х17 < 5000,
кормовая бахча х16 + х18 < 4000.
Третья группа ограничений выражает предельные нормы
скармливания зеленой массы отдельных групп культур в соответствии
с зоотехническими требованиями животных и агротехническими
сроками использования в центнерах. Свободные члены этих
ограничений—объем зеленой массы многолетних трав 1-го и 2-го
укосов и кукурузы, которые на протяжении определенного
периода могут быть стравлены, но не более заданной величины: для
многолетних трав 1-го укоса — не более 50 %, 2-го — 25, кукурузы
2-го сева — не более 60 %.
Матрица экономико-математической модели и ответ задачи
приведены в таблице 196.
В Государственном университете по землеустройству для
составления схемы зеленого конвейера в проектах землеустройства
расчетно-конструктивным методом в автоматизированном
режиме на ЭВМ доцентом В. В. Бугаевской составлена специальная
программа «Conveer».
Результаты расчетов по зеленому конвейеру могут быть
использованы для нужд агроэкономического обоснования проектов
землеустройства.
Контрольные вопросы и задания
1. Почему можно оптимизировать состав и структуру зеленого конвейера?
2. Какие способы постановки данной задачи существуют и в чем их отличие?
3. Назовите основные ограничения, применяемые в задаче по оптимизации
зеленого конвейера.
4. Как выбрать критерий оптимальности задачи?
5. Как составляется экономико-математическая модель задачи по
оптимизации зеленого конвейера?
605

196. Матрица задачи оптимизации зеленого конвейера
Ограничения
7. По кормам
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Ьктябрь
2 По площадям
Озимая рожь
рднолетние травы
Ёико-гороховая смесь
|Многолетние травы 1-го укоса
[Многолетние травы 2-го укоса
кукуруза
Пожнивные культуры
кормовая бахча
\3. По нормам скармливания
|Многолетние травы в мае
Многолетние травы в июне
[Многолетние травы в июле
|Многолетние травы в августе
|Многолетние травы в сентябре
кукуруза в августе
кукуруза в сентябре
|Целевая функция
|Ответ задачи, тыс. ед.
Переменные |
Озимая
рожь
в мае
Х\
1
1
0,32
0,52

Многолетние
травы
в мае
*2
1
1
-1
1
0,19
1,52
Озимая
рожь
в июне
*з
1
1
0,32
1,30

Многолетние
травы
в июне
*4
1
1
-1
1
0,19
1,30
Вико-го-
роховая
смесь
в июне
*5
1
1
0,34
0

Однолетние
травы
в июле
Хб
1
1
0,18
3,20

Многолетние
травы
в июле
*7
1
1
-1
1
0,19
0,76
Вико-го-
роховая
смесь
в июле
*8
1
1
0,34
0

Многолетние
травы
в августе
х9
1
1,333
1
0,17
1,43
Кукуруза 1
1 -го срока
посева
в августе
*к)
1
1,042
1
0,60
0,86

Продолжение
Ограничения
7. По кормам
Май
Июнь
Июль
1\вгуст
Сентябрь
Ьктябрь
2 По площадям
Озимая рожь
Ьднолетние травы
Вико-гороховая смесь
|Многолетние травы 1-го укоса
Многолетние травы 2-го укоса
кукуруза
|Пожнивные культуры
кормовая бахча
\3. По нормам скармливания
|Многолетние травы в мае
|Многолетние травы в июне
|Многолетние травы в июле
|Многолетние травы в августе
|Многолетние травы в сентябре
кукуруза в августе
кукуруза в сентябре
|Целевая функция
|Ответ задачи, тыс. ед.
Переменные
Кукуруза
2-го срока
посева
в августе
Х\\
1
1
1
0,54
3,44

Многолетние травы
2-го укоса
в сентябре
Х\7
1
1,333
1
0,17
1,21
Кукуруза
2-го срока
посева в
сентябре
*!3
1
1
1
0,54
0
Кукуруза
3-го срока
посева в
сентябре
*14
1
1,087
0,52
0

Пожнивные
культуры в
сентябре
*15
1
1
0,26
3,63

Кормовая
бахча в
сентябре
*1б
1
1
0,49
0

Пожнивные
культуры в
октябре
*17
1
1
0,26
1,28

Кормовая
бахча в
октябре
*18
1
1
0,49
0
Ботва
сахарной
свеклы в
октябре
*19
1
0,1
4,00
Тип
огра-
ни-
че-
ния
>
>
>
>
>
>
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
-»
Объем


ничения
3044
2596
3940
5732
4834
5284
9000
3200
5000
24300
0
13750
5000
4000
1522
1298
1910
1433
1208
3440
2900
min
6,65717

Глава 29
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОРГАНИЗАЦИИ
УГОДИЙ И СЕВООБОРОТОВ ХОЗЯЙСТВА
29.1. ПОСТАНОВКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
Организация угодий и севооборотов — важнейшая часть
проекта внутрихозяйственного землеустройства, позволяющая
установить хозяйственное назначение и характер использования каждого
участка земли в соответствии с перспективами развития
хозяйства, системой мероприятий по мелиорации и интенсификации,
борьбе с эрозией почв.
Главная задача организации угодий и севооборотов — создание
организационно-территориальных условий, способствующих
получению максимального объема продукции, снижению затрат на
ее производство при неуклонном повышении плодородия почв,
прекращению процессов их деградации. Многовариантный
характер проектных решений обусловливает применение
оптимизационных методов и ЭВМ.
Необходимо установить такие состав и площади угодий и
севооборотов, которые обеспечивали бы выполнение
производственной программы предприятия с учетом имеющихся земельных,
трудовых и материально-денежных ресурсов с максимальной
экономической эффективностью.
В самом простом случае за первичный объект моделирования
можно принять площади отдельных угодий
сельскохозяйственного предприятия, например площади пашни, сенокосов, пастбищ и
т.д. Однако пахотные земли даже в пределах одного хозяйства
сильно различаются. Степень различий обусловлена
многообразием природных условий по зонам страны. В северо-западных
районах — это мелкая контурность угодий, пестрота почвенного
покрова, переувлажненность территории; в Центральном и
Центрально-Черноземном районах — большая расчлененность земель
и водная эрозия, в южных и восточных степных районах —
неоднородный почвенный покров, дефляция и т. д.
Значение имеют плодородие и степень увлажненности почв.
Кроме того, применяемые мелиорация, агротехника, технология
возделывания культур, система удобрений и т. д. зависят от
качества земель. Поэтому теоретически в качестве первичного объекта
моделирования должен выступать однородный по природным
свойствам участок земельных угодий, а на пашне —
агротехнически однородный рабочий участок. Но выбор таких участков при
полном наборе переменных сделает матрицу задачи очень
большой, и при данном уровне информационного обеспечения
решить задачу будет очень трудно.
608

Поэтому, учитывая, что незначительные различия пахотных
земель по почвенным условиям нивелируются при возделывании
сельскохозяйственных культур за счет некоторых изменений в
технологии или сроках полевых работ, за объект моделирования
необходимо принять массив пахотных земель, входящий в
однородную агропроизводственную группу почв. По кормовым
угодьям в качестве объектов моделирования можно использовать их
площади, дифференцированные следующим образом:
естественные угодья, улучшенные (по видам), трансформируемые в другие
виды.
В районах эрозии почв для проведения полного комплекса
противоэрозионных мероприятий в качестве объекта организации
угодий и севооборотов необходимо выделять склоны балочных
или других водосборов. При этом будет обеспечена надежная
защита почв от эрозии на всем водосборе и, начиная от водораздела
и кончая тальвегом, весь склон будет охвачен противоэрозионны-
ми мероприятиями.
Поэтому в качестве переменных данной
экономико-математической задачи должны выступать различные варианты схем
чередования площадей культур и технологий их возделывания на
пашне, а также площади угодий, включая трансформацию их в другие
виды, объемы противоэрозионных мероприятий на выделенных
земельных массивах с одинаковыми агропроизводственными
характеристиками почв или склонах первичных водосборов.
Введем следующие переменные:
XjkJt Q\k — варианты чередования сельскохозяйственных
культур в рекомендуемых к освоению схемах севооборотов;
xJk,je Q2fc — площади кормовых угодий, включая
трансформацию их в другие виды угодий;
Xjbje Qzk— виды и площади культур с различными
технологиями возделывания, масштабами агротехнических или
лугомелиоративных мероприятий;
Xjhje Que — виды и площади защитных лесных насаждений;
XjkJ е Qsk — площади, занимаемые противоэрозионными
прудами или другими искусственно создаваемыми водоисточниками;
XjkJ e Qek — виды и объемы гидротехнических мероприятий;
ху, j eS\— объемы дополнительно привлекаемых основных и
оборотных средств производства;
Х'Ф ;е52- расчетные значения экономических показателей
проекта;
Qk = Q\hV Qik^ (hkvQ4kv Q5kv Qek-
S = S{uS2.
Переменные в задаче могут выражаться в гектарах (для
севооборотов, кормовых угодий, агротехнических, луго- и
лесомелиоративных мероприятий, дорог), километрах протяженности при
609

оговоренной ширине (для лесополос), погонных метрах (для водо-
задерживающих валов), кубометрах воды (для сбросных
сооружений, противоэрозионных прудов).
На неизвестные накладываются следующие ограничения.
1. По площади земельных массивов или склонов балочных
водосборов:
X xjk<Pk, keL,
JzQjk
Qn = Gi*u Qik^ &*uQ5*u Qek,
где Pk — площадь к-то земельного массива.
2. По обеспечению пропорциональности между технологиями
возделывания культур, структурой севооборотов и площадями
кормовых угодий:
- Yjaijkxjk- ?*д+ X *д=0>
JeQik JzQik i^Qhk
где aijk — доля /-го агрофона или культуры в у-й схеме чередования культур
X aijk = 1 ; Мх — множество ограничений по видам культур.
isM1 )
Необходимость данного ограничения обусловлена тем, что в
процессе решения задачи виды и объемы агротехнических
мероприятий должны быть «плавающими», то есть находиться в
постоянном соответствии с изменением площадей севооборотов и
входящих в них культур. При этом в оптимальном решении будет
обеспечен не только выбор наилучшего варианта севооборотов и
технологий возделывания культур, но и их взаимобаланс.
3. По возможности и целесообразности трансформации угодий,
применения различных технологий возделывания культур и
противоэрозионных мероприятий на выделенных участках:
xjk<Pk, /6 Muj e Q2kf3b k? U
PJk<xjk<PJkJeQk,keL,
где Pikf Pjk— допустимые или минимально рекомендуемые площади проведения
мероприятий.
4. По поддержанию бездефицитного баланса гумуса и созданию
условий для воспроизводства плодородия почв.
В проектах внутрихозяйственного землеустройства данное
ограничение должно учитывать вынос (накопление) гумуса в
посевах различных культур, вынос органических веществ из почвы в
процессе эрозии, накопление гумуса в результате внесения орга-
610

нических удобрений. При этом необходимо обеспечивать
положительный баланс гумуса в почве.
1 <*jkXjk± I,ajkXjk<Hk,
JtQikvQik yeQg
Qu = Qzk^ Q4kV Qsk^Qek, ke L,
где ajk — коэффициент выноса (накопления) гумуса под посевами культур, а
также учитывающий проведение различных мероприятий; Нк — общий объем
гумуса, образующийся за счет внесения в почву органических удобрений.
Как показано в предыдущих главах, в данном ограничении
коэффициент яд вводится в левой части неравенства со знаком
«плюс», если имеет место вынос гумуса, и со знаком «минус», если
идет его накопление. В качестве отраженных переменных могут
быть использованы виды и объемы дополнительно приобретаемых
органических веществ (навоза, торфа, сапропеля и др.).
5. По поддержанию или сбросу стока, вызывающего эрозию
почв.
Данное условие предполагает, что водозадерживающая (водо-
поглощающая) способность комплекса противоэрозионных
мероприятий должна обеспечивать защиту почв от эрозии путем
снижения объема эрозионно опасного стока до допустимых
пределов.
Ik* lVjkXjk<h,
JeQk
где Зд — водопоглощающая (водозадерживающаяТсггособность единицы противо-
эрозионного мероприятия у'-го вида на к-м водосборе (склоне или пахотном
массиве); [к —сток, вызывающий эрозию почв на к-м массиве; 1к —общий сток с
к-то водосбора; 1к-1к —допустимый остаточный сток, не вызывающий эрозии.
Формулировка ограничений в данном виде предполагает, что
есть возможность сброса лишней воды в объеме /л-/^. Поэтому
она вполне применима и при решении задач в районах
достаточного увлажнения. При дефиците влаги и необходимости ее
аккумуляции в противоэрозионных прудах ограничение будет иметь
вид:
X Vjkxjk+ lyjkxjk=~lk,keL,
JeQ[k,2k,3k,4kM J^Qsk
где yjk— объем воды, приходящейся на единицу площади пруда.
В практике решения экономико-математических задач
величины у.к, *jk удобнее заменять самостоятельной переменной xJk для
je Qsk, выражающей объем (запас) воды в прудах.
611

Приведенное ограничение может рассчитываться и на твердый
сток (смыв почвы).
Правильность ограничений по задержанию или сбросу эрози-
онно опасного стока определяется точностью количественного
выражения характеристик противоэрозионных мероприятий
(научно обоснованными методиками расчета показателей смыва
почв, водопоглощающих характеристик противоэрозионных
мероприятий для различных климатических условий, рельефа
местности, особенностей почвенного покрова, подтверждаемых
экспериментальными данными, и др.).
6. По возможности орошения из противоэрозионных прудов
или других водных источников:
X bjkXjk - Е^jkyjkXff <0,keL,
JeQlkvQlk JeQSk
где Aj/c— норма полива на 1 га севооборота или кормового угодья; r\Jk—
коэффициент использования полезного запаса воды в противоэрозионных прудах.
7. По площадям отдельных видов сельскохозяйственных угодий
с учетом трансформации:
X 2 xJk± ? X xjk<Bj,
keLjeQuc keL j^Qik^QAk^QSk^Qdk
J^Qlk
где Bj — площадь сельскохозяйственных угодий до трансформации.
8. По трудовым ресурсам:
? ltijkXjk^ThieM2,
keLjeQk
где tiJk — норма затрат трудовых ресурсов в /-Й период; 7} — объем трудовых
ресурсов в хозяйстве в /-й период; / е М2 — число напряженных периодов в хозяйстве.
9. По использованию и приобретению основных и оборотных
средств производства (материально-денежные средства,
механизированные тракторные работы, минеральные удобрения и т.д.,
кроме кормов):
? l^ijkXjk-Xij^DiJeM^jeSi,
keLjeQ/c
где dijk— затраты ресурсов /-го вида на единицу вводимой переменной; Д —
объем основных и оборотных средств /-го вида в хозяйстве; /е Мъ —
подмножество ограничений по основным и оборотным средствам, кроме кормов.
10. По расчету экономических показателей проекта (валовой
продукции, валового дохода, издержек производства, чистого до-
612

хода, затрат на борьбу с эрозией почв и т. д.):
? X hijkxjk- Xjj =0, ieM4,
keLjeQk jeSl
где hijk — значение /-го показателя на единицу вводимой переменной; /е Л/4 —
подмножество ограничений по расчету экономических показателей проекта.
11. По взаимоувязке размеров севооборотов и кормовых угодий
с рекомендуемыми размерами:
J keL
где Pj, Pj —соответственно нижняя и верхняя границы площадей севооборотов,
рассчитанные с учетом оптимальной нагрузки пашни на механизатора,
минимальной и максимальной численности трудового коллектива.
12. По выполнению плана производства продукции
растениеводства (семян, кормов, товарной продукции):
Е X WiJkXjj>VhieM5,
keLjeQk
где wijk — выход продукции /-го вида с 1 га севооборота или угодья; V,- —
планируемые объемы производства /-й продукции; / е М5 — подмножество ограничений
по объему производства продукции.
13. По эффективности капитальных вложений в
сельскохозяйственное освоение, трансформацию, улучшение угодий и в борьбу
с эрозией почв:
2. Е (EHKjk-4jk)xjk<0,
teLje®k
Оэк = Gz*u &*u Qsk^Qeh
где Ен — нормативный коэффициент эффективности капитальных вложений;
Kjk— размер капитальных вложений в проведение единицы мероприятий; 4Jk —
дополнительный чистый доход от проведения единицы мероприятий.
14. Неотрицательность переменных:
xJk>09Xij>0.
При решении экономико-математической задачи по
разработанной модели в конкретных условиях могут возникнуть и другие
ограничения, определяющие специфику проектирования и
производственные возможности организаций, участвующих в
осуществлении мелиоративных и противоэрозионных мероприятий. При
этом могут ставиться ограничения по наличию семенного и поса-
613

дочного материала, механизмов, цемента, камня для
строительства гидротехнических сооружений и др. Они не нарушают
порядок постановки приведенной задачи и поэтому могут быть
использованы в дополнение к ней.
Цель задачи — исходя из максимального эффекта, получаемого
с единицы площади севооборотов, кормовых угодий, технологий
возделывания культур и противоэрозионных мероприятий, найти
оптимальный вариант состава угодий, типов, видов, количества,
размеров и размещения севооборотов по территории в увязке с
основными элементами системы земледелия и организацией других
угодий. Целевая функция будет выражена в следующем виде:
^= Z 2сд*д-»тах,
keLjeQk
где cJk— чистый доход, получаемый с единицыу'-го мероприятия.
Задача имеет блочную структуру. Число блоков равно числу
выделенных земельных массивов с однородными почвенными
характеристиками, а в районах водной эрозии почв — числу
балочных водосборов или их склонов. При этом схема построения
модели будет иметь следующий вид (рис. 33).
В каждом блоке формируются следующие ограничения:
по площади земельных массивов;
по обеспечению пропорциональности между технологиями
возделывания культур, агротехническими противоэрозионными
мероприятиями, структурой севооборотов и кормовых угодий;
по возможности и целесообразности трансформации угодий,
возделывания культур и про-
вызывающего водную эрозию
по поддержанию
бездефицитного баланса гумуса;
по возможности
орошения на местном стоке.
Связующий блок задачи
содержит ограничения,
обеспечивающие не только
дифференцированное
использование сельскохозяйственных
угодий, но и выполнение
сельскохозяйственным
предприятием производственной
программы. К ним
относятся условия по определению
площадей земельных уго-
применения различных технологий
тивоэрозионных мероприятий;
по задержанию или сбросу стока,
почв;
|l. Пахотный
массив
(блок)
2. Пахотный
(земельный)
массив
(блок)
л-й пахотный
(земельный)
массив
(блок)
Связующий блок по хозяйству
Рис. 33. Схема решения задачи
614

дий, трудовым ресурсам, технике, удобрениям, гарантированному
производству продукции растениеводства, установлению размеров
севооборотов и полей в них, расчету технико-экономических
показателей проекта.
29.2. ОСОБЕННОСТИ ПОДГОТОВКИ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
И ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
Рассмотрим данную задачу на примере хозяйства, в котором
выделено четыре однородных земельных массива. Их
характеристика дана в таблице 197.
197. Характеристика земельных массивов хозяйства
№
массива
Площадь, га
всего
1 1484
2 1714
3 1743
4 1564
В сред
нем
в том
числе
пашни
1318
1591
1608
1461
—

Экономическая
оценка
земли по
стоимости
валовой
продукции,
баллов
88
92
87
73
87
Уклон

водосбора,
град
2,0
1,5
1,9
0,8
1,5
Площадь земель,
подверженных
эрозии, %
всего
в переводе на
составимые
сильносмы-
тые земли
49,5 15,1
37,0 11,3
50,0 15,3
8,7 2,5
36,5 10,2

Расстояние
до хоз-
центра,
км
4,5
8,9
14,2
6,0
8,4
Преобладающие
типы почв
Оподзоленные
черноземы
слабосмытые
Выщелоченные
черноземы
Выщелоченные
черноземы
слабосмытые
Серые лесные
глееватые
—
На основании изучения территориальных свойств земельных
массивов, состава угодий, планируемой структуры посевов и
экономических возможностей хозяйства в соответствии с
разработанной моделью сформирована матрица размером 77 х 79. Числовая
экономико-математическая модель задачи организации угодий и
севооборотов в сокращенной записи приведена в таблице 198.
В результате землеустроительного обследования на территории
первого земельного массива выявлена возможность применения
кроме обычной агротехники на склонах: вспашки с
почвоуглублением; бороздования зяби; щелевания многолетних трав, озимых,
кормовых угодий; снегозадержания; посадки полезащитных,
водорегулирующих, приовражных и прибалочных лесополос,
массивных лесонасаждений; строительства гидротехнических
сооружений. На втором и третьем массивах помимо этих мероприятий
предусматриваются лункование зяби, строительство
окультуренных пастбищ.
Результаты решения задачи приведены в таблице 199.
615

198. Матрица оптимизации проектирования севооборотов с комплексом противоэрозионных мероприятий (в сокращенной записи)
№.
п/п
1
Ограничения
2
Севообороты (массив)
схема 1
Х\
3
схема 2
*2
4
схема 3
*з
5
Агротехника на период снеготаяния
(массив)

залужение и
кормовые
угодья
*4
6
обычная

агротехника
*5
7
вспашка
с

углублением
Хб
8
бороздо-
вание
зяби
*7
9
Многолетние
травы и озимые
обычная

агротехника
*8
10

щелевание
*9
11
Склоны
посев
поперек
склона
*10
12


задержание
*м
13 |
1-й массив \
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 13
По площади массива, га
По пропорциональности
агротехники и структуры угодий
и севооборотов:
зябь
Многолетние травы, озимые:
залужение
По возможности проведения
мероприятий:
Залужение
Вспашка с почвоуглублением
Вспашка с бороздованием
Щелевание
Посев поперек склона
Снегозадержание и
регулирование снеготаяния
Существующие лесополосы
Водорегулирующие лесополосы
Приовражные и прибалочные
лесополосы
Массивные насаждения
1
-0,4
-0,6
1
-0,8
-0,2
1
-0,5
-0,5
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Продолжение
1
14
15
16
17-65
2
Водозадерживающие валы,
пог. м
По регулированию стока,
тыс. м3
Общий сток
Эрозионно опасный сток
Ограничения по второму,
третьему и четвертому
массивам земель хозяйства
3
0,81
0,81
4
0,238
0,238
5
0,619
0,619
6
0,27
0,27
7
0
0
8
0,2
0,2
9
1,2
1,2
10
0
0
11
0,3
0,3
12
0,27
0,27
13
0,1
0,1
Связующий блок
66
67
68
69
70-74
75-78
79
По трудовым ресурсам,
чел.-дн.
По капитальным вложениям
на борьбу с эрозией почв,
руб.
Расчет ежегодных издержек,
руб.
Стоимость валовой
продукции, руб.
По механизированным
тракторным работам,
наличию зерноуборочной,
картофелеуборочной,
свеклоуборочной, силосоуборочной
техники, эт. га
По гарантированному
производству зерна, картофеля,
свеклы, многолетних трав на
семена, т
По производству силоса, т
корм. ед.
Целевая функция —
максимум чистого дохода
5,49
195,3
453,9
0,471
258,6
6,99
184,8
323,6
0,223
138,8
3,34
120,29
352,49
232,2
3,3
70,6
79,2
8,6
0
0
0
0
0,16
2,95
3,74
31,28
27,54
0,19
3,83
4,1
31,19
27,09
0
0
0
0
0,1
2,16
2,38
18,36
15,88
0,06
3,41
1,70
20
18,3
0,05
1,38
0,5
40,44
39,94

Продолжение
N° п/п
1
Ограничения
2
Лесонасаждения, 1 м
лесополосы

существующие
Х\2
14


гулирующие
*13
15

приовражные и
приба-
лочные
ДС,4
16

массивные
*15
17
Гидротехнические
мероприятия

задерживающие
валы
*1б
18

регулируемый
сброс
*17
19

Массивы
земель,
2-4
*18—*69
20


нительные

переменные
*70—*77
21
Тип

ограничения
22
Объем

ограничения
23
1-й массив
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 13
По площади массива, га
По пропорциональности
агротехники и структуры
угодий и севооборотов:
зябь
Многолетние травы,
озимые, залужение
По возможности
проведения мероприятий:
Залужение
Вспашка с
почвоуглублением
Вспашка с бороздованием
Щелевание
Посев поперек склона
Снегозадержание и
регулирование снеготаяния
Существующие лесополосы
Водорегулирующие
лесополосы
Приовражные и
прибавочные лесополосы
Массивные насаждения
1
1
1
1
1
1
1
1
<
=
=
<
<
<
<
<
<
=
<
<
<
1486
0
0
167
202
586
208
997
997
1
16,8
12,6
2,0

Продолжение
1
14
15
16
17-65
2
Водозадерживающие валы,
пог. м
По регулированию стока,
тыс. м*
общий сток
эрозионно опасный сток
Ограничения по второму,
третьему и четвертому
массивам земель хозяйства
14
1,6
1,6
15
2
2
16
1,7
1,7
17
1,7
1,7
18
1
0,012
0,012
19
1
1
20
21
22
<
<
>
23
70
2399,8
630,85
Связующий блок
66
67
68
69
70-74
75-78
79
По трудовым ресурсам,
чел.-дн.
По капитальным вложениям
на борьбу с эрозией почв,
руб.
Расчет ежегодных издержек,
руб.
Стоимость валовой
продукции, руб.
По механизированным
тракторным работам,
наличию зерноуборочной,
картофелеуборочной,
свеклоуборочной, силосоуборочной
техники, эт. га
По гарантированному
производству зерна, картофеля,
свеклы, многолетних трав на
семена, т
По производству силоса, т
корм. ед.
Целевая функция —
максимум чистого дохода
2,32
1,8
109
107,21
32,3
90
1,8
129
127,2
2,5
97
1,94
184,9
18
1
26
0,52
45,30
344,80
0,005
0,25
0,025
0,9750
950
2
0
-1
-1
-1
-1
<
=
=
=
>
-»
21706
0
0
0
96
max

199. Результаты решения эковомико-математяческой задачи
Показатели
Массив земель
1-й
2-й
3-й
4-й
По
хозяйству,
всего
Всего земель, га
Эродированность, %
Среднее расстояние до центральной
усадьбы, км
Бонитировка почв по стоимости
валовой продукции, баллов
Расчетные показатели
Площади севооборотов, га:
схема 1
схема 2
схема 3
Площадь естественных кормовых
угодий, га
ОКП, га
Агротехнические противоэрозионные
мероприятия, га:
вспашка с почвоуглублением
бороздование зяби
лункование
щелевание
регулирование снеготаяния
Лесополосы, га:
водорегулирующие
приовражные и прибалочные
Сплошное облесение
Водозадерживающие валы, пог. м
Предотвращаемый смыв почв, т с 1 га
Остаточный смыв почв, т с 1 га
1486
49,5
4,5
88
1714
37,0
8,9
92
1743
50,0
14,2
87
1564
8,7
6,0
73
6507
36,5
8,4
85
—
1286,6
—
167
-
202
586
—
208
997
16,8
12,6
2
70
4,5
2,3
1409
—
—
120
137
149
367
25
244
788
25,1
12,9
7
50
3,9
1,1
1095
—
56
133
453
241
219
—
581
1117
—
4
80
4,5
1,9
—
500,2
960,8
102
-
41
116
—
31
196
—
—
—
1,2
1,5
2504,0
1786,8
1016,8
522
590
633
1288
25
1064
3098
41,9
25,5
13
200
3,5
1,7
Из таблицы 199 видно, что в хозяйстве необходимо
запроектировать три севооборота: первый (2504 га) — на наиболее смытых
землях с насыщением многолетними травами и культурами
сплошного сева; второй — полевой севооборот, включающий
сахарную свеклу, силосные культуры, площадью 1786,8 га
предусматривается разместить вблизи населенного пункта; третий
(1016,8 га) с преобладанием многолетних трав и зерновых при
небольшой площади пропашных необходимо разместить на
четвертом земельном массиве с глееватыми почвами. Кроме того, будут
созданы орошаемые культурные пастбища на площади 590 га и
использовано 522 га кормовых угодий. Для защиты почв от эрозии
необходимо на 633 га зяби проводить вспашку с
почвоуглублением, на 1288 га — бороздование, на 25 га — лункование, на 1064 га
многолетних трав, озимых и кормовых угодьях — щелевание. На
всех склонах крутизной более 2° предусматриваются посев
поперек направления движения стекающей воды и регулирование
снеготаяния.
Агротехнические противоэрозионные мероприятия
дополняются проектированием защитных лесополос на площади 67,4 га,
620

сплошным облесением— 13га и строительством 200пог. м водо-
задерживающих валов.
На противоэрозионные мероприятия нужны дополнительные
капитальные вложения в сумме 30,7 тыс. руб. Общие ежегодные
издержки производства в растениеводстве составят 1252 тыс. руб.,
чистый доход— 1375,8 тыс. руб., что более чем на 15% больше,
чем по проекту, составленному традиционными методами.
Контрольные вопросы и задания
1. В чем заключается постановка задачи по оптимизации организации угодий
и севооборотов в хозяйстве?
2. Почему эта задача решается как блочная?
3. Какие ограничения в задаче используются в качестве основных?
4. Какие критерии оптимальности можно применить при организации угодий
и севооборотов хозяйства?
5. Какие исходные данные используют для расчета технико-экономических
коэффициентов задачи и где их можно получить?
6. Сформулируйте данную задачу для районов орошения, условий Крайнего
Севера, условий осушительных мелиорации и мелкоконтурности угодий.

Раздел VIII
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ
МЕЖХОЗЯЙСТВЕННОГО ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА
Глава 30
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОПТИМАЛЬНОГО РАЗМЕРА ЗЕМЛЕВЛАДЕНИЯ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОГО ПРЕДПРИЯТИЯ
(НА ПРИМЕРЕ КРЕСТЬЯНСКОГО ХОЗЯЙСТВА)
30.1. ПОСТАНОВКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
Размеры крестьянских хозяйств и их структура — состав и
площади земельных угодий, сочетание и размеры основных и
дополнительных отраслей, структура посевов — зависят от множества
природных и экономических факторов. Для одного и того же
хозяйства при вполне определенных ресурсах земли, труда и
капитала возможны различные варианты организации производства и
территории. Задача состоит в том, чтобы выбрать оптимальный,
соответствующий интересам фермера и дающий максимальный
экономический эффект. Решение ее возможно с использованием
методов математического моделирования на ЭВМ.
Задача может иметь две основные постановки. Первая
заключается в том, чтобы определить при известной площади
крестьянского хозяйства структуру, состав и площади земельных угодий,
оптимальные размеры производства различных видов продукции.
Такая постановка по существу ничем не отличается от
стандартной экономико-математической задачи оптимального сочетания
отраслей, многократно описанной в научной и учебной
литературе.
Более сложно установить общую площадь и структуру
крестьянского хозяйства и одновременно оптимизировать производство,
исходя из размера крестьянской семьи, ее финансовых
возможностей и конкретной экономической ситуации. Варьируя ресурсами
хозяйства, ценами, качественными характеристиками
закрепленных земель и другими условиями, можно подобрать различные
варианты развития, оптимальные для той или иной ситуации, с
соответствующими параметрами и ожидаемыми экономическими
результатами.
Первая постановка задачи является частным случаем второй,
поэтому экономико-математическую модель целесообразно
строить исходя из последней.
622

Разделим все основные переменные задачи х,- на следующие
совокупности:
XjQ'e d) —площади сельскохозяйственных культур,
возделываемых в крестьянском хозяйстве, га;
xj(je Qi) — площади сельскохозяйственных угодий, га;
X; (/' е Qi) — поголовье животных.
В задаче используются также дополнительные переменные:
х0 — общая площадь сельскохозяйственных угодий
крестьянского хозяйства, га;
хп — общая площадь пашни в хозяйстве, га;
Ху — количество дополнительно приобретаемых органических
удобрений, необходимых для поддержания бездефицитного
баланса гумуса в почве, т;
хкк — общее количество приобретаемых комбикормов, ц;
xN, x?, хК — потребность соответственно в азотных, фосфорных
и калийных удобрениях, кг д.в.;
Xj — общие производственные затраты, руб.;
xj(Je Q4) — переменные, характеризующие основные
направления использования капиталовложений в хозяйстве, руб.; к их
числу относятся капитальные затраты: на производственное
строительство (здания и сооружения, включая приобретение
оборудования для животноводства); покупку сельскохозяйственной
техники; использование или приобретение автотранспорта; покупку
скота.
Дополнительно к названным в задачу могут включаться
переменные, характеризующие размер капиталовложений в
мелиорацию земель, осуществление противоэрозионных мероприятий,
закладку многолетних насаждений и др.
В задачу вводятся также переменные:
хк — общий размер капиталовложений, руб.;
xti— трудовые ресурсы, привлекаемые в напряженные
периоды работ, чел.-ч;
XjjQ'e Qs) — объемы производства товарной продукции
растениеводства и животноводства, т.
На переменные накладываются следующие условия.
1. По общей площади сельскохозяйственных угодий:
2. По площади пашни:
623

3. По трудовым ресурсам:
^/«Ху-х^ГД/е JHi) Q = Qx u Q2u Q3,
где /;у — норма затрат труда на 1 га площади или одну голову скота в /-й период (в
среднем за год, за период уборочных работ и т.д.), чел.-ч; 7} —общий объем
трудовых ресурсов в /-й период; М{ — множество выделенных периодов работ.
4. По поддержанию бездефицитного баланса гумуса в почве с
целью создания условий для воспроизводства почвенного
плодородия:
X ajxj- ^jXj-xy<0,
ieQ[vQ2 jeQ}
где QLj — норма минерализации (накопления) гумуса под посевами
сельскохозяйственных культур и угодьями, т на 1 га (вводится со знаком «+» в случае выноса
гумуса и со знаком «-» при его образовании); р, — коэффициент, учитывающий
образование гумуса за счет разложения органических удобрений, получаемых от
одной головы скота, т.
5. По расчету необходимого объема минеральных удобрений:
JeQ[uQ2
1 IpjXj-x? = 0;
где Vn, h> ^c — соответственно нормы внесения азотных, фосфорных и калийных
удобрений в расчете на 1 га площади, кг д. в.
6. По расчету ежегодных производственных затрат (без учета
оплаты труда членов хозяйства):
ZbjXj+Akkxkk + AyXy+Atxt-x3=0,
JeQ
где Ду, А^, Ду, Д, — соответственно производственные затраты на возделывание
1 га культур, включая минеральные удобрения, уход за 1 га угодий и одной
головой скота; стоимость приобретения 1 ц комбикормов; стоимость
приобретения 1 т органических удобрений; оплата 1 чел.-ч труда привлекаемых
работников.
7. По общему размеру капиталовложений, необходимых для
624

организации крестьянского хозяйства, и их структуре:
? xkJ-xk = 0; хк <D\
y\ijXj-xkj=Q(ie M2Je Q4),
где г\у— норма затрат капиталовложений /-го вида на одно ското-место, одну
голову приобретаемого скота, 1 га пашни или иных сельскохозяйственных угодий;
М2 — множество направлений использования капиталовложений.
8. По кормам, кроме зеленых (в корм, ед., переваримом
протеине, физической массе):
-X yvxj+ ? vgXj<0(ieM3\
JzQbvQi jeQ$
в том числе по концентратам
-X yi/Xj+ Z VijXj-xkk<0(ieM3),
jeQ[yjQ2 jeQ$
где уц— урожайность кормовых культур и продуктивность угодий по /-му виду
кормов, ц с 1 га (в эту же группу включают ограничение по объему полученного
комбикорма в обмен на продукцию растениеводства и животноводства по
соответствующим эквивалентам); v,y — потребность в одном виде корма на 1 голову
скота в год, ц; Мъ — множество видов кормов (кроме зеленых).
9. По схеме зеленого конвейера по месяцам пастбищного
периода:
-X УцХ; + 2 rf/iV//*; <0 (/G Л/4),
где уу — урожайность культур на зеленый корм и выход кормов с пастбищ в /-й
месяц пастбищного периода, ц с 1 га; dy — доля потребности животных в зеленом
корме в /-й месяц пастбищного периода, ц; Л/4 — множество месяцев пастбищного
периода.
10. По агротехническим требованиям, предъявляемым к
возделываемым культурам, и их рекомендуемой доле в структуре
посевных площадей:
xj-djxn<0 (je Qx)\
lxj'djxn<09
JzQe
где dj — максимально допустимая доля культур или их групп в структуре посев-
625

ных площадей; Qs — множество агротехнических групп сельскохозяйственных
культур (зерновых и зерновых бобовых, озимых зерновых и т. д.).
Дополнительно в этой группе формируются ограничения по
предшественникам озимых культур и по площади многолетних
трав на семена (для обеспечения потребности в них за счет
собственного производства).
11. По расчету объемов товарной продукции:
Efy*y-*/y=0 (ie Ms,je Q5),
где qij — выход продукции /-го вида с 1 га посева или от одной головы скота; Ms —
множество видов товарной продукции.
В задачу могут включаться условия, ограничивающие или
фиксирующие поголовье скота, площади отдельных видов
сельскохозяйственных культур и другие, учитывающие специфику
природных и экономических условий деятельности хозяйства.
12. Условия неотрицательности переменных:
xj>0; Xij>0; хо>0; хп>0; ху>0; хкк>0;
xN>0; *р>0; хК>0; х3>0; хк>0; х„>0.
Поскольку фермер заинтересован в производстве большего
объема товарной продукции с меньшими
материально-денежными затратами, в качестве критерия оптимальности данной задачи
целесообразно использовать максимум хозяйственного дохода
(прибыли):
Z= 2cyXy-jc3-»max,
JeQ
где с, —цена реализации единицы у-й товарной продукции, руб.
30.2. ОСОБЕННОСТИ ПОДГОТОВКИ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
И ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
Результаты решения задачи по оптимизации размера
землевладения и структуры производства крестьянского хозяйства во
многом определяются имеющейся базой данных, то есть той
информацией, которая будет вводиться в ЭВМ в качестве
технологических коэффициентов и объемов ограничений. Следует иметь в
виду, что уровень механизации и степень технической
оснащенности крестьянских хозяйств, применяемые технологии
возделывания сельскохозяйственных культур и многие другие параметры
будут иными, чем в крупных сельскохозяйственных
предприятиях; поэтому фактическая и нормативная информация по колхозам
626

и совхозам, на территории которых организуются крестьянские
хозяйства, вряд ли может быть использована для решения данной
задачи. При отсутствии достоверных фактических сведений по
вновь организуемым крестьянским хозяйствам придется
пользоваться главным образом нормативными данными, специально
разрабатываемыми для этих целей на основе технологических карт,
типовых проектов крестьянских хозяйств или их аналогов.
Поскольку основными в задаче являются ограничения по
трудовым ресурсам и капиталовложениям, рассмотрим, как они будут
строиться в конкретной ситуации.
Известно, что общий объем трудовых ресурсов, имеющихся в
хозяйстве, зависит от числа трудоспособных и их годовой
занятости. Безусловно, степень интенсивности труда и
продолжительность рабочего дня ввиду прямой материальной
заинтересованности и ответственности за конечные результаты производства здесь
будут выше, чем в крупных сельхозпредприятиях. Так, в
землеустроительных расчетах обычно принимают, что за год в
общественном хозяйстве каждый его трудоспособный член отрабатывает
1869 чел.-ч. Ориентировочные данные по крестьянским
хозяйствам приведены в таблице 200.
200. Продолжительность рабочего периода в крестьянском хозяйстве
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
Итого за год
Число рабочих и
выходных дней
26/5
24/4
26/5
25/5
24/7
9/21*
26/5
27/4
25/5
27/4
24/6
26/5
365
Минимальная

продолжительность работы в
рабочий и
выходной день, ч
7/4
7/4
7/4
10/4
10/4
10/-
12/4
12/4
10/4
10/4
7/4
7/4
—
Отработано,
всего, чел.-ч
202
184
202
270
268
90
332
340
270
286
192
202
2838
В том числе в
напряженный
период, чел.-ч
—
—
—
—
—
—
332
340
—
—
—
—
672
* 21 день приходится на очередной отпуск.
Таким образом, на одного работника в год приходится не менее
2838 чел.-ч., в том числе в июле—августе (в напряженный
период)—не менее 672 чел.-ч. При ежедневной работе по 10 ч общая
величина годовой занятости крестьянина может быть увеличена
до 3650 чел.-ч.
Основным источником информации по затратам удобрений,
труда и денежно-материальных средств на 1 га посевов (угодий) и
на одну голову скота служат технологические карты. Примерные
627

данные по крестьянским хозяйствам молочно-картофелеводчес-
кого направления для Центрального экономического района
приведены в таблице 201.
201. Нормы внесения минеральных удобрений под сельскохозяйственные культуры,
кг д. в. на 1 т продукции*
Культуры
Озимая пшеница
Ячмень
Горох
Картофель
Овощи
Силосные
Корнеплоды
Озимая рожь на зеленый корм
Азотные
удобрения (N)
39
32
17
5,3
2,6
2,8
2,8
2,5
Многолетние травы на зеленый корм 2,8
Однолетние травы на зеленый корм
Кукуруза на зеленый корм
Многолетние травы на сено
Однолетние травы на сено
Культурные пастбища
Сенокосы улучшенные
2,5
2,8
п,з
10
37**
18,1
Фосфорные
удобрения (Р205)
36
28
26
5,2
1,4
1,4
1,5
4,2
2,4
4,2
1,4
9,6
17
16**
7,8
Калийные
удобрения (К
28
24
26
5,9
2,5
2,9
3,6
4
3,2
4
2,9
12,6
16
24**
12
* Таблица составлена по изданию: Нормы и нормативы для планирования в
сельском хозяйстве. Растениеводство/Под ред. А. К. Иевлева. — М.: Агропромиз-
дат, 1988.-С. 8, 176.
** В пересчете на 1 корм. ед.
Социологические обследования и анализ работы личных
подсобных хозяйств сельских жителей, бригад на коллективном,
семейном и арендном подряде, крестьянских хозяйств, проведенные
институтами ЦНИИЭПграждансельстрой и Мосгипрониисель-
строй, показывают, что в год на обслуживание одной коровы
затрачивается 219 чел.-ч, 1 теленка —73,1, одной головы молодняка
на откорме — 47,4, свиноматки с приплодом — 328,5, свиньи на
откорме — 18,2 чел.-ч.
При расчете затрат на строительство животноводческих ферм в
крестьянских хозяйствах могут быть использованы данные
типовых проектов. Технико-экономические показатели строительства
ферм с использованием индустриальных конструкций и местных
строительных материалов, разработанные Мосгипрониисельстро-
ем, приведены в таблице 202.
Технико-экономические коэффициенты задачи по
оптимизации размера и структуры землевладения крестьянского хозяйства
приведены в таблице 203.
628

202. Технико-экономические характеристики животноводческих хозяйств*
Тип фермы
Выход
продукции,
ц

молоко

Расчетная
стоимость
фермы,
тыс. руб.
(1990 г.)**

Стоимость
одного
ското-
места,
тыс. руб.
(1990 г.)
Площадь
фермы, га
на одну
голову

основного
стада
Молочная ферма с привязным
содержанием скота, полным
воспроизводством стада и откормом
молодняка:
12 коров (32 ското-места)
18 коров (46 ското-мест)
24 коровы (50 ското-мест)
Молочная ферма на 50 коров
привязного содержания без
воспроизводства стада
Молочная ферма беспривязного
содержания без воспроизводства
стада:
50 коров
100 коров
150 коров
Ферма по откорму 130 голов
молодняка крупного рогатого скота
в год
Ферма по откорму молодняка
крупного рогатого скота (2
коровы, 46 телят)
Ферма по откорму свиней на 500
голов в год (210 ското-мест)
Ферма по производству
романовских овчин и баранины на
собственных кормах на 100
овцематок (175 ското-мест)
660
990
1320
48
72
20
65,0
130,3
220,0
2,03
2,800
4,40
0,12
0,18
0,82
0,010
0,010
0,034
3000 50 225,0 4,50 1,00 0,020
3000
6000
9000
—
по
—
2,21
50
100
150
284,5
100,7
574
86
275,0
530,0
680,0
136,0
36,0
95,4
125,4
5,50
5,30
4,50
1,1
0,75
0,45
0,72
0,7
1,9
1,9
1,2
0,12
0,90
0,83
0,014
0,013
0,013
0,009
0,0025
0,0018
0,063
* Таблица подготовлена по изданию: Семейные фермы (опыт проектирования
и строительства). — М.: Госкомархстрой РСФСР, 1990. — С. 49—83.
** При применении местных строительных материалов стоимость фермы
снижается примерно на 15 %.
Матрица экономико-математической модели задачи по
оптимизации размеров крестьянского хозяйства молочно-картофеле-
водческого направления представлена в таблице 204.
629

203. Технико-экономические коэффициенты задачи по оптимизации размера и структуры землевладения крестьянского хозяйства
Переменные
Озимая пшеница
Ячмень
Горох
Картофель
Овощи
Силосные
Корнеплоды
Озимая рожь на
зеленый корм
Многолетние травы
на зеленый корм
Однолетние травы
на зеленый корм
Кукуруза на зеленый
корм
Многолетние травы
на сено
Однолетние травы
на сено
Культурные пастбища
Сенокосы улучшенные
Коровы
Солома озимых
Солома яровых
Ботва
Комбикорма
Затраты
труда,
чел.-ч
65
43,9
37
328
328
64,8
623
20,3
38
22,4
35
38
32
13,3
13,3
393
—
—
—
—
Затраты труда в
напряженный период
%
63,8
66,7
61,5
36,1
36,1
41,1
18,6
27,8
66,3
71,0
41,1
63,0
66,3
16,7
63,0
16,7
—
—
—
—
чел.-ч
41,5
29,3
22,8
118,4
118,4
26,6
115,9
5,6
25,2
15,9
14,4
23,9
21,2
2,2
8,4
65,5
—
—
—
—
Выход
продукции, ц
40
35
25
250
250
160
400
150
200
200
300
50
40
200
34
40
60
40
240
—
Норма минерализации
(выноса) гумуса, т
на 1 ц
продукции
-0,02425
- 0,024
- 0,0072
- 0,00273
- 0,00273
-0,00243
-0,00692
- 0,00286
+ 0,0041
- 0,00025
- 0,00273
+ 0,0162
-0,00125
+ 0,00365
+ 0,0191
—
—
—
—
—
на 1 га
-0,97
-0,84
-0,18
-1,46
-1,46
-0,39
-2,77
-0,43
+ 0,81
-0,05
-0,82
+ 0,81
-0,05
+ 0,71
+ 0,65
+ 9,0
—
—
—
—
Содержите*
корм. ед.
1,20
1,21
1,17
0,28
0,12
0,18
0,12
0,20
0,18
0,19
0,14
0,48
0,45
0,18
0,47
42,7
0,09
0,24
0,18
0,90
i в 1 ц корма
переваримого
протеина
0,117
0,081
0,195
0,614
0,006
0,021
0,008
0,019
0,022
0,02
0,011
0,055
0,041
0,023
0,041
4,16
0,008
0,015
0,022
0,12

204. Математическая модель молочно-картофелеводческого крестьянского хозяйства
№

ничения
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
^^^ Переменные
Ограничения "^^^^^
2
Земельная площадь, га
Затраты труда, всего, чел.-ч
Затраты труда в напряженный период
(июль—август), чел.-ч
Баланс гумуса, т
Баланс минеральных удобрений, кг д. в.:
азотных
фосфорных
калийных
Производственные затраты, руб.
Капитальные вложения, всего, руб.
Здания и сооружения, руб.
Сельхозтехника, руб.
Автотранспорт, руб.
Продуктивный скот, руб.
Корма, всего, ц корм. ед.
Переваримый протеин, ц
Концентраты, ц корм. ед.
Солома кормовая, ц корм. ед.
Солома подстилочная, ц корм. ед.
Силос, ц корм. ед.
Корнеплоды,ц корм.ед.
Зеленые корма, ц:
15 мая — 15 июня
16 июня — 15 июля
16 июля — 15 августа
16 августа — 15 сентября
Зерновые товарные
озимая
пшеница
X,
3
1
65
41,5
0,97
156
144
112
125,44
-60
яровые
зерновые
*>
4
1
43,9
29,3
0,84
112
98
84
113
-9,6
-0,6
-40
зерновые
бобовые
*.
5
1
37
22,8
0,18
42,5
65
65
121
-9,6
-0,6
-40
Концентраты
яровые
зерновые
хл
6
1
43,9
29,3
0,84
112
98
84
113,89
-42,35
-2,84
-35
-40
зерновые
бобовые
*,
7
1
37
22,8
0,18
42,5
65
65
121,69
-29,25
-4,88
-25
-40

Картофель
товарный
*
8
1
328
118,4
1,46
132,5
130
147,5
692,16
Овощи
*>
9
1
328
118,4
1,46
65
35
62,5
692


лосные
*„
10
1
64,8
26,6
0,39
44,8
22,4
46,4
268
-28,8
-3,36
плоды
*,
11
1
623
115,9
2,77
112
60
144
486,5
-48
-3,2
-160
-400

Продолжение
№
ограничения
1
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1 24
Переменные
Органичения "^^^^
2
Земельная площадь, га
Затраты труда, всего, чел.-ч
Затраты труда в напряженный период
(июль—август), чел.-ч
Баланс гумуса, т
Баланс минеральных удобрений, кг д. в.:
азотных
фосфорных
калийных
Производственные затраты, руб.
Капитальные вложения, всего, руб.
Здания и сооружения, руб.
Сельхозтехника, руб.
Автотранспорт, руб.
Продуктивный скот, руб.
Корма, всего, ц корм. ед.
Переваримый протеин, ц
Концентраты, ц корм. ед.
Солома кормовая, ц корм. ед.
Солома подстилочная, ц корм. ед.
Силос, ц корм. ед.
Корнеплоды, ц корм. ед.
Зеленые корма, ц:
15 мая — 15 июня
16 июня — 15 июля
16 июля — 15 августа
16 августа — 15 сентября
Зеленые корма
озимая
рожь
*..
12
1
20,3
5,6
0,33
37,5
63
60
153,44
-30
-2,85
-150

многолетние
травы
*п
13
1
38
25,2
-0,81
56
48
64
182,56
-36
-4,4
-100
-100

однолетние
травы
*,2
14
1
22,4
15,9
0,05
50
84
80
147,02
-38
-4
-200

кукуруза
*.з
15
1
35
14,4
0,82
84
42
87
268
-42
-3,3
-300
Сено

многолетние
травы
*м
16
1
38
23,9
-0,81
56,5
48
63
118,5
-24
-276

однолетние травы
*.$
17
1
32
21,2
0,05
40
68
64
147
-18
-164
Культурные
пастбища
*.*
18 1
1
13,3
2,2
-0,71
133
576
86,4
69,75
-36
-4,6
-30
-60
-50
-40

Продолжение
№

ничения
1
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
1 36
37
1 38
39
"""^--^^^ Переменные
Ограничения ""~^^^^
2
16 сентября — 1 октября
Сено, ц корм. ед.
Агротехнические требования: зерновые,
всего
Озимые зерновые
Картофель и овощи
Предшественники озимых
Производство молока, т
Производство товарного зерна, т
Производство товарного картофеля, т
Приобретение комбикормов, ц
Площадь пашни, га
Поголовье скота, гол.
Соотношение посевов многолетних
трав, га
Соотношение озимых и яровых, га
Капитальные вложения, руб.
Хозяйственный доход (прибыль), руб.
Зерновые товарные
озимая
пшеница
*.
3
1
1
1
4
-54
1
1
529,2
яровые
зерновые
*»
4
1
3,5
-42
1
-0,8
459,2
зерновые
бобовые
*!
5
1
-1
2,5
-37,5
1
-0,8
331,5
Концентраты
яровые
зерновые
х*
6
1
1
-0,8
зерновые
бобовые
*<
7
1
-1
1
-0,8

Картофель
товарный
х,
8
1
25
1
292,5
Овощи
*,
9
1
1
2000


лосные
*ш
10
-1
1

Корнеплоды
*•
11
-240
1
U)

Продолжение
№
ограничения
1
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
^"-^^^ Переменные
Органичения ^^^-^
2
16 сентября — 1 октября
Сено, ц корм. ед.
Агротехнические требования:
зерновые, всего
Озимые зерновые
Картофель и овощи
Предшественники озимых
Производство молока, т
Производство товарного зерна, т
Производство товарного картофеля, т
Приобретение комбикормов, ц
Площадь пашни, га
Поголовье скота, гол.
Соотношение посевов многолетних трав, га
Соотношение озимых и яровых, га
Капитальные вложения, руб.
Хозяйственный доход (прибыль), руб.
Зеленые корма
озимая
рожь
*i.
12
-1
1
1

многолетние
травы
JC,,
13
-0,5
1
-1

однолетние
травы
*и
14
-1
1

кукуруза
*п
15
-1
1
Сено

многолетние
травы
*14
16
-50
-0,5
1
1

однолетние травы
*1»
17
-40
-1
1
Культурные
пастбища
*i*
18
-20
1

Продолжение
огра-
ни-
че-
ния
1
1
?
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
| 24
^\^^ Переменные
Ограничения ^"^^
2
Земельная площадь, га
Затраты труда, всего, чел.-ч
Затраты труда в напряженный
период 1июль—август), чел.-ч
Баланс гумуса, т
Баланс минеральных удобрений,
кг д. в.:
азотных
фосфорных
калийных
Производственные затраты, руб.
Капитальные вложения, всего, руб.
Здания и сооружения, руб.
Сельхозтехника, руб.
Автотранспорт, руб.
Продуктивный скот, руб.
Корма, всего, ц корм. ед.
Переваримый протеин, ц
Концентраты, ц корм. ед.
Солома кормовая, ц корм. ед.
Солома подстилочная, ц корм. ед.
Силос, ц корм. ед.
Корнеплоды, ц корм. ед.
Зеленые корма, ц:
15 мая — 15 июня
16 июня — 15 июля
16 июля — 15 августа
16 августа — 15 сентября

Сенокосы


шенные
*17
19
1
13,3
84
-0,65
615
265
40,8
9,63
-16
-1,39

Поголовье
коров,
усл.
гол.
*!¦
20
393
65,5
-0,9
500,1
2800
727,6
42,7
4,16
13,6
15
18,2
30
26
13,33
13,33
13,33
13,33


обретение


бикормов
ххч
21
15
-0,90
0,12
-1

Приобретение

органических

удобрений
х»
22
-1
3
Потребность в
минеральных удобрениях

азотных
*м
23
-1


форных
*>2
24
-1


лийных
*v
25
-1


изводствен -
ные

затраты
*м
26
-1
Капитальные вложения
здания
и

оружения
х*
27
1
-1
сель-
хоз-
тех-
ника
**
28
1
-1


транспорт
*>7
29
1
-1


тивный
скот
**
30
1
-1

всего
X2V
31
-1

Продолжение
№ 1


ничения
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1 24
^"""¦^-^^^ Переменные
Ограничения ^""""""^^^^
2
Земельная площадь, га
Затраты труда, всего, чел.-ч
Затраты труда в напряженный период
(июль—август), чел.-ч
Баланс гумуса, т
Баланс минеральных удобрений, кг д. в.:
азотных
фосфорных
калийных
Производственные затраты, руб.
Капитальные вложения, всего, руб.
Здания и сооружения, руб.
Сельхозтехника, руб.
Автотранспорт, руб.
Продуктивный скот, руб.
Корма, всего, ц корм. ед.
Переваримый протеин, ц
Концентраты, ц корм. ед.
Солома кормовая, ц корм. ед.
Солома подстилочная, ц корм. ед.
Силос, ц корм. ед.
Корнеплоды, ц корм. ед.
Зеленые корма, ц:
15 мая — 15 июня
16 июня — 15 июля
16 июляв— 15 августа
16 августа — 15 сентября
Общая
земельная
площадь
*ю
32
-1
472
Площадь
пашни
*«
33
5653

Привлеченный труд
*»
34
-1

Производство молока
*и
35

Производство
зерна
*и
36

Производство
картофеля
х„
37
Тип


ничения
38
=
<
<
<
=
=
=
=
=
=
=
=
=
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
Объем


ничения
39
0
11352
2688 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
• 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

Продолжение


ничения
1
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
^\. Переменные
Ограничения \
2
16 сентября — 1 октября
Сено, ц корм. ед.
Афотехнические требования:
зерновые, всего
Озимые зерновые
Картофель и овощи
Предшественники озимых
Производство молока, т
Производство товарного
зерна, т
Производство товарного
картофеля, т
Приобретение комбикормов,
Ц
Площадь пашни, га
Поголовье скота, гол.
Соотношение посевов
многолетних трав, га
Соотношение озимых и
яровых, га
Капитальные вложения, руб.
(Хозяйственный доход (прибыль),
|руб.

Сенокосы


шенные
*,7
19
-34

Поголовье
коров,
усл.
гол.
*ш
20
6,68
14
4
1460


обретение


бикормов
*и
21
1

Приобретение

органических

удобрений
¦*20
22
Потребность в
минеральных удобрениях

азотных
*,,
23


форных
хп
24


лийных
xv
25


изводствен -
ные

затраты
*14
26
-1
Капитальные вложения
здания
и

оружения
*«
27
сель-
хоз-
тех-
ника
*»
28


транспорт
хп
29


тивный
скот
*2К
30
-1

всего
Х2Ч
31
1
-J

ON
oo Продолжение
№


ничения
1
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
-—^^^ Переменные
Ограничения ^"^-—^^
2
16 сентября — 1 октября
Сено, ц корм. ед.
Агротехнические требования: зерновые,
всего
Озимые зерновые
Картофель и овощи
Предшественники озимых
Производство молока, т
Производство товарного зерна, т
Производство товарного картофеля, т
Приобретение комбикормов, ц
Площадь пашни, га
Поголовье скота, гол.
Соотношение посевов многолетних трав,
га
Соотношение озимых и яровых, га
Капитальные вложения, руб.
|Хозяйственный доход (прибыль), руб.
Общая
земельная
площадь
*зо
32
Площадь
пашни
*31
33
-0,6
-0,385
-0,333
-1

Привлеченный труд
*32
34

Производство
молока
*33
35
-1
,

Производство
зерна
*34
36
-1

Производство
картофеля
*35
37
-1
Тип


ничения
38
<
<
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
<
Объем


ничения
39
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1000000
-> max

По отдельным ограничениям следует дать некоторые
пояснения.
В соответствии с рекомендациями доля зерновых культур в
структуре пашни не должна превышать 60 %, а доля озимых
зерновых в зерновом клине — 56 %, что в пересчете на площадь
пашни составит 33,6 %. Соотношение озимых и яровых зерновых
должно находиться в пределах 1: 0,8; все это влечет появление
следующего ограничения:
х, - 0,8х2 - 0,8х3 - 0,8х4 - 0,8х5 = 0.
Площадь картофеля не должна превышать одной трети
площади пашни, а площадь многолетних трав должна быть такой, чтобы
вписываться в 7-польный севооборот с двумя полями этой
культуры:
— хц — Xi4+ 0,286х31 <0.
Озимые культуры должны размещаться по пласту многолетних
трав (срок использования которых два года), зерновым бобовым,
силосным, кукурузе на зеленый корм, однолетним травам;
соответственно ограничение по предшественникам озимых можно
записать так:
X! + Х10 < Х3 + Х5 + Х8 + 0,5 (х{! + Х14) + Х12 + Х13 + Х15,
или в окончательном виде:
Х\ — х3 — х5 — х8 +х10 — 0,5 хп — х12 — х13 — 0,5 х14 — х15<0.
Показатели использования культурных пастбищ, необходимые
для расчета зеленого конвейера, приведены в таблице 205.
205. Выход кормов с 1 га культурных пастбищ
Отрезки пастбищного периода
15 мая — 15 июня
16 июня — 15 июля
16 июля — 15 августа
16 августа — 15 сентября
16 сентября — 1 октября
Итого
%
15
30
25
20
10
100
ц
30
60
50
40
20
200
Норма получения навоза от одной коровы в год равна 9 т,
продолжительность стойлового периода —200—240 дней; при изогу-
мусовом коэффициенте 0,1 это будет равнозначно ежегодному
внесению 0,9 т гумуса.
Коэффициент обмена зерна на комбикорм по сдаче 1 ц
пшеницы с содержанием клейковины не ниже 25 % принят равным
639

1,35ц, 1ц ячменя—1,2, 1 ц гороха— 1,5ц. Таким образом, при
урожайности озимой пшеницы 40 ц с 1 га, ячменя 25 ц, гороха 25 ц
ограничение по комбикормам примет вид
— 54 х{ — 42 х2 — 37,75 х3 + х{9 = 0.
Решение задачи на ЭВМ дало следующие результаты (табл. 206).
206. Оотимальные размеры землевладений и структура производства в крестьянском
хозяйстве молочно-картофелеводческого направления
№

ременных
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Переменные
Озимая пшеница товарная, га
Яровые зерновые товарные, га
Зерновые бобовые товарные, га
Яровые зерновые на концентраты, га
Зерновые бобовые на концентраты, га
Картофель, га
Овощи, га
Силосные, га
Корнеплоды, га
Озимая рожь на зеленый корм, га
Многолетние травы на зеленый корм, га
Однолетние травы на зеленый корм, га
Кукуруза на зеленый корм, га
Многолетние травы на сено, га
Однолетние травы на сено, га
Культурные пастбища, га
Сенокосы улучшенные, га
Поголовье коров, усл. гол.
Приобретение комбикормов, ц
Приобретение органических удобрений, т
Потребность в азотных удобрениях, кг д. в.
Потребность в фосфорных удобрениях, кг д. в.
Потребность в калийных удобрениях, кг д. в.
Производственные затраты, руб.
Капиталовложения в строительство зданий и
сооружений, руб.
Капиталовложения в приобретение сельскохозяйственной
техники, руб.
Капиталовложения в приобретение автотранспорта, руб.
Капиталовложения в приобретение продуктивного скота
руб.
Капиталовложения, всего, руб.
Площадь сельхозугодий, га
Площадь пашни, га
Привлеченный труд, чел.-ч
Производство молока, т
Производство зерна, т
Производство картофеля, т
Хозяйственный доход (прибыль), руб.
Оптимальное
значение
6,07
0
0
7,58
0
3,85
0
3,75
1,30
0,44
0
0
0
9,27
0
6,67
0
20
6,58
0
4044
3134
3429
17694
56000
18209
1835
14552
90596
38,88
32,21
40
80
24,3
96,4
25989
640

30.3. АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТОВ МОДЕЛИ НА ЭВМ
Для решения приведенной выше задачи в автоматизированном
режиме на ЭВМ в Государственном университете по
землеустройству разработан пакет прикладных программ «Фермер». Он
реализует изложенный в § 1—2 подход к определению оптимальной
структуры крестьянского хозяйства. Симплексная матрица
формируется автоматически после введения трех наборов данных.
1-й набор данных отражает агрономические и экономические
особенности зоны, в которой находится хозяйство, а также
специфику хозяйств данной специализации (молочно-картофелеводчес-
ких, по откорму крупного рогатого скота, откорму свиней и т. д.).
В результате заполняется часть клеток симплексной таблицы,
отражающих наиболее устойчивые характеристики зоны и
хозяйства.
Незаполненные клетки предназначены для ввода данных,
меняющихся более быстро (цены на сельскохозяйственную
продукцию и затраты на ее производство, число рабочих рук в хозяйстве,
предполагаемое поголовье скота, капитальные вложения и т.д.).
Соответствующие показатели вычисляются на начальном этапе
решения задачи с использованием 2-го (закупочные цены и
производственные затраты) и 3-го наборов данных. Последний
содержит лишь три показателя: число основных работников, размер
капитальных вложений и предполагаемое количество скота в
хозяйстве.
1-й и 2-й наборы данных готовят заранее и вводят в
оперативную память машины с магнитного диска в процессе решения
задачи, причем 1-й набор создается для каждого типа хозяйства в
заданном регионе и корректируется лишь в случае изменения или
уточнения характеристик региона. 2-й набор по понятным
причинам нуждается в корректировке чаще, чем 1-й. В состав пакета
входят программы, предназначенные для создания и
корректировки файлов с этими наборами данных.
3-й, наиболее динамичный набор состоит из трех
перечисленных выше величин и вводится с клавиатуры непосредственно в
процессе решения задачи.
Помимо файлов с числовыми значениями данных, входящих в
1-й и 2-й наборы, пакет использует файлы с наименованиями
данных. Их содержимое применяется для организации диалога при
подготовке и корректировке файлов с исходными данными и
решении задачи, а также при выдаче результатов. Наличие файлов с
наименованиями и возможность корректировки содержимого
этих файлов делают пакет инвариантным по отношению к
наборам факторов, определяющих оптимальную структуру хозяйства.
Результаты решения оптимизационной задачи могут быть
выданы на печать или записаны на магнитный диск для
последующего чтения или печати.
641

Алгоритм работы пакета приведен на рисунке 34. Если задача
имеет решение, выдается следующая информация (используются
иллюстративные данные).
Исходные данные.
Решается задача определения оптимальной структуры
производства и территории для 2-го варианта молочно-картофелевод-
ческого хозяйства.
Число трудоспособных — 4.
Капиталовложения для развития хозяйства — 80 000 руб.
Поголовье скота — 10.
Запрос и ввод номера варианта и типа хозяйства
Выбор режима работы пакета
Подготовка
данных
Решение
задачи
Проверка наличия на диске файлов с
наименованиями и значениями 1 -го и 2-го наборов данных
Отсутствует
один
по крайней мере
из файлов
В меню
Есть все файлы
|Ввод данных с файла, ввод 3-го набора,
генерация симплексной матрицы, решение
задачи и выдача результатов
Вменю
Характер данных
1 -й набор
Характер подготовки
Ввод
Ввод
матрицы
Корректировка

Корректировка матрицы
2-й набор
Характер подготовки
Печать
Печать
матрицы
Ввод
Ввод

таблицы
Корректировка

Корректировка
таблицы
Вменю
Вменю
"Г"
В меню В меню В меню
Печать
Печать
таблицы закупочных
цен и
производственных
затрат
Вменю
Рис. 34. Алгоритм работы пакета программ по оптимизации размера и
производственной структуры крестьянского хозяйства
642

Получен оптимальный вариант.
Максимум прибыли 48044,63 руб.
Задача не имеет решения, если невозможно удовлетворить
одновременно все условия, включенные в нее (то есть когда эти
условия несовместны). Такая ситуация может возникнуть, если
слишком мал объем капиталовложений при высоких ценах на
строительство, сельхозтехнику и другие статьи капитальных
расходов, при нехватке рабочей силы для обслуживания
планируемого поголовья скота и по другим причинам. В этом случае на
монитор выводится следующая информация.
Исходные данные.
Решается задача определения оптимальной структуры
производства и территории для 2-го варианта молочно-картофелевод-
ческого хозяйства.
Число трудоспособных — 4.
Капиталовложения, имеющиеся для развития хозяйства, —
30 000 руб.
Поголовье скота — 10.
Ответ.
Задача не имеет решения.
Попытайтесь увеличить размер капиталовложений или
уменьшить планируемое поголовье скота. Если вы считаете, что
капиталовложений достаточно, попробуйте увеличить число работников.
После корректировки исходных данных машина решает задачу
заново; процесс продолжается, пока не будут получены
приемлемые результаты.
Значения переменных (ответ) задачи приводятся в таблице 207.
207. Значения переменных задачи
Переменные
Значение
переменных
Рекомендуемые параметры хозяйства
Озимая пшеница товарная, га 7,13
Ячмень товарный, га 5,03
Ячмень на кормовые цели, га 3,89
Картофель товарный, га 16,62
Силосные, га 1,88
Корнеплоды, га 0,65
Озимая рожь на зеленый корм, га 0,36
Кукуруза на зеленый корм, га 0,09
Многолетние травы на сено, га 14,28
Пастбища культурные, га 2,67
Коровы, гол. 10,00
Приобретаемые органические удобрения, т 18,98
Потребность в азотных удобрениях, кг д. в. 5652,65
Потребность в фосфорных удобрениях, кг д. в. 5007,83
Потребность в калийных удобрениях, кг д. в. 5339,10
Производственные затраты, руб. 21263,96
Капиталовложения в строительство зданий и сооружений, руб. 28000,00
643

Продолжение
Переменные
Значение
переменных
Капиталовложения в приобретение сельхозтехники, руб. 28218,39
Капиталовложения в приобретение автотранспорта, руб. 2481,94
Капиталовложения в приобретение продуктивного скота, руб. 7276,00
Капиталовложения, всего, руб. 65976,33
Общая земельная площадь, га 52,58
Площадь пашни, га 49,92
Привлеченный труд, чел.-ч 967,93
Производство молока, т 40,00
Производство товарного зерна, т 46,14
Производство товарного картофеля, т 415,56
Ожидаемый объем неиспользованных ресурсов и ожидаемый избыток
сверх необходимого производства, ц
Производство кормов, всего 324,06
Производство переваримого протеина 33,66
Производство кормовой соломы 206,65
Производство подстилочной соломы 245,98
Производство зеленых кормов (16 июня —15 июля) 26,66
Производство зеленых кормов (16 сентября —1 октября) 142,52
Капитальные вложения, руб. 14023,67
Контрольные вопросы и задания
1. Какие способы моделирования существуют при определении оптимального
размера и структуры производства крестьянского хозяйства?
2. Какие показатели могут применяться в качестве критерия оптимальности?
3. Каковы основные ограничения модели?
4. Назовите источники информации для вычисления технико-экономических
коэффициентов и объемов ресурсов в дайной задаче.
5. Опишите особенности подготовки исходной информации для данной
задачи и приведите примеры.
6. Изложите алгоритм работы пакета программ по оптимизации размера и
структуры крестьянского хозяйства.
Глава 31
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗЕМЕЛЬ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ
31.1. ПОСТАНОВКА И ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
При межхозяйственном землеустройстве часто возникает
задача перераспределения земель между хозяйствами. Это бывает в
следующих случаях.
Во-первых, при устранении недостатков землевладения и
землепользования (дальноземелья, чересполосицы, изломанности
границ и т. д.). При этом, если сохраняются сами хозяйства, ис-
644

пользуются следующие методы: обмен равновеликими
(равноценными) и неравновеликими (неравноценными) участками; их
безвозмездная передача другим хозяйствам; выкуп или взятие в
аренду земельных участков.
Во-вторых, в силу ряда экономических и социальных причин
(недостаток финансовых, трудовых и других ресурсов) некоторые
сельскохозяйственные предприятия, имеющие землю в
собственности, вынуждены продавать или передавать в аренду часть своих
земель, находя таким образом денежные средства для организации
и повышения эффективности производства на оставшейся
территории.
В-третьих, во время земельных реформ, изменения форм
собственности на землю и организационно-правового статуса
хозяйств, разделения земель на доли (паи), перерегистрации и
реорганизации сельскохозяйственных предприятий, выделения
земельных фондов различного назначения земли могут передаваться
местной администрации, вновь образуемым хозяйствам,
предоставляться и изыматься для нужд промышленности, транспорта и
иного несельскохозяйственного использования,
природоохранных целей и т. д.
Итак, задача перераспределения земель при
межхозяйственном землеустройстве является одной из главных.
При перераспределении земель между сельскохозяйственными
предприятиями с экономической точки зрения важно обеспечить
оптимальные пропорции между имеющимися в хозяйствах
трудовыми ресурсами, основными и оборотными фондами,
возможностями привлечения и использования инвестиций и размером
землевладений с определенной структурой угодий. При этом
основанием для перераспределения земель являются не столько внешние
признаки в виде размера землевладения (землепользования)
хозяйства, его конфигурации, компактности, местоположения,
сколько влияние их на хозяйственную деятельность, экономику
сельскохозяйственного предприятия, состояние и использование
его земель.
Перераспределение земель может осуществляться как между
хозяйствами, входящими в какое-то
территориально-производственное объединение, имеющее общую цель или средства, так и
между самостоятельными сельскохозяйственными
предприятиями, связанными между собой территориально.
И в том и в другом случае при перераспределении земель
имеется множество вариантов, наилучший из которых может быть
найден с использованием экономико-математических методов и
моделей.
В процессе межхозяйственного землеустройства необходимо
так перераспределить земли между сельскохозяйственными
предприятиями, чтобы выдержать общий их баланс и, уложившись в
имеющиеся хозяйственные ресурсы (трудовые, денежно-матери-
645

альные), обеспечить максимальную экономическую
эффективность сельскохозяйственного производства.
Составим экономико-математическую модель задачи.
За основные переменные xijk примем площади /-го вида угодья
(/6 А/),у-го способа использования (существующая площадь,
изымаемая площадь, присоединяемая площадь), j e Q, в к-м
хозяйстве (ке N),
где М — множество видов угодий;
Q — подмножество способов использования угодий;
N— подмножество хозяйств.
Задача имеет блочную структуру с числом блоков, равным
числу хозяйств, и связующим блоком.
На неизвестные накладываются следующие ограничения.
/. Ограничения в блоках.
1. По расчету проектных площадей угодий /-го вида в k-м
хозяйстве (xik):
5>/Д -хцс =0, ieM,keN.
JeQ
В данном ограничении переменные, характеризующие
существующие и присоединяемые площади угодий, имеют
коэффициент + 1, а изымаемые площади — 1.
2. По существующим площадям угодий /-го вида в к-м
хозяйстве (Р1к):
Xijk=P,k, /е М, ке N, je Q{.
Разделим подмножество Q на две части:
Qx — первая часть подмножества, характеризует фактические
площади угодий на год землеустройства;
Q2 — вторая часть подмножества, характеризует
перераспределяемые площади по проекту землеустройства.
3. По расчету общих проектных площадей землевладения
(землепользования) к-х хозяйств (хк):
Y,xik~~xk=®> k^N.
ieM
4. По трудовым ресурсам в к-х хозяйствах (Г*):
^tikxik<Tk,keN,
ieM
где tik — норма затрат труда на единицу площади /-го вида угодья в к-м хозяйстве,
чел.-дн.; Тк — размер трудовых ресурсов в к-м хозяйстве в растениеводстве, чел.-дн.
5. По гарантированному производству продукции S-то вида с
угодья в к-м хозяйстве:
ZVikSxik>VkS9keN,SeR,
ieM
646

где VikS— выход продукции S-ro вида с /-го угодья в к-м хозяйстве; R —
подмножество видов продукции; S— число видов продукции; V^ — объем
гарантированного производства продукции 5-го вида в к-м хозяйстве.
6. По затратам денежных средств на куплю-продажу и аренду
земельных участков:
1 laijkXijk^Ak,keN,
ieM jeQi
где aiJk — стоимость (продажная цена) единицы площади /-го угодья в к-м
хозяйстве; Аь — общий размер денежных средств, имеющихся в хозяйстве на выкуп
земельных участков (единовременные затраты).
При постановке ограничений данного вида следует иметь в
виду, что арендная плата — это ежегодный платеж. Поэтому в
случае арендных отношений названное выше ограничение изменяет
коэффициенты и константы.
В случае, если вместе с куплей-продажей применяется и аренда
земель, ставятся два ограничения.
/7. Ограничения в связующем блоке.
7. Баланс площадей:
а) баланс общей площади (Р0):
lxk<P0;
keN
б) баланс площадей угодий /-го вида (Pi):
Y,xik<Ph ieM;
keN
в) баланс перераспределяемых между хозяйствами площадей:
5>/*=0, ieM, jeQ2.
keN
8. Условие неотрицательности переменных:
х^>0,^>0,х^>0.
В случае, если сельскохозяйственные предприятия,
затрагиваемые межхозяйственным землеустройством, являются участниками
объединения, имеющего общую цель, например по производству
каких-либо видов продукции, ограничение 5-го вида может
переноситься в связующий блок. Тогда в процессе решения задачи
будут не задаваться, а устанавливаться наиболее целесообразные
объемы производства этой продукции в хозяйствах. В этом же
случае в связующем блоке могут участвовать и отдельные ресурсные
647

ограничения, которые формируются в интересах всего
объединения, например распределение средств защиты растений или
минеральных удобрений, поставляемых в порядке бартерных сделок.
Следует также иметь в виду, что в число основных переменных
данной задачи может быть включено и поголовье различных видов
скота. Оно может считаться заданным или перераспределяться в
процессе решения. Тогда в число ограничений данной задачи
будут вводиться условия по кормам, вместимости животноводческих
построек, гарантированному производству продукции
животноводства.
В качестве целевой функции данной задачи может
использоваться следующая:
Z= X ?c/?%^niax(min),
ieMkeN
где cik— коэффициент, учитывающий уровень эффективности использования
угодий /-го вида в к-м хозяйстве.
Научные исследования в области оценки эффективности
межхозяйственного землеустройства в настоящее время
продолжаются. Поэтому в качестве критерия оптимальности данной задачи
могут использоваться и другие показатели.
31.2. ОСОБЕННОСТИ ПОДГОТОВКИ
ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
И ПРИМЕР РЕШЕНИЯ
Переменные данной задачи — площади существующих и
перераспределяемых земельных угодий в хозяйствах, затрагиваемых
межхозяйственным землеустройством, а также расчетные
проектные площади отдельных угодий и землевладений
(землепользовании) сельскохозяйственных предприятий в целом.
Размер матрицы экономико-математической задачи
определяется числом сельскохозяйственных предприятий и детализацией
состава угодий. Сельскохозяйственные угодья, как правило,
показывают по видам (пашня, многолетние насаждения, сенокосы,
пастбища) и при необходимости с разбивкой по мелиоративному и
культуртехническому состоянию (орошаемые, осушенные,
заросшие кустарником и т. д.).
Несельскохозяйственные угодья представляют укрупненно в
зависимости от целей перераспределения, например земли
населенных пунктов в целом, передаваемые в ведение сельской
администрации, или консервируемые земли, включаемые в земли
запаса, и т. д.
Пример укрупненной матрицы задачи по трем хозяйствам
приведен в таблице 208.
648

208. Экономико-математическая модель перераспределения земель при межхозяйственном землеустройстве
п/п
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Наименование ограничений
2
?ло/с Л? 7 (1-е хозяйство)
Расчетная площадь
пашни
Существующая площадь
пашни
Расчетная площадь
кормовых угодий
Существующая площадь
кормовых угодий
Прочие угодья
Общая площадь
хозяйства
Трудовые ресурсы,
чел.-дн.
Корма, ц корм. ед.
Денежные средства,
тыс. руб.
Блок № 2 (2-е хозяйство)
Расчетная площадь
пашни
Существующая площадь
пашни
Расчетная площадь
кормовых угодий
Существующая площадь
кормовых угодий
1 -с хозяйство
пашня


ствующая

площадь
*i
3
1
1
увеличение
за счет
2-го

хозяйства
*2
4
1
1,2
за счет
3-го

хозяйства
*3
5
1
1,2
сокращение

передача
2-му

хозяйству
*4
6
-1
-1,2

передача
3-му

хозяйству
*5
7
-1
-1,2

расчетная

площадь
Хб
8
-1
1
4,4
35
кормовые угодья


ствующая

площадь
XI
9
1
1
увеличение
за счет
2-го

хозяйства
*8
10
1
0,4
за счет
3-го

хозяйства
х9
11
1
0,4
сокращение

передача
2-му

хозяйству
*10
12
-1
-0,4

передача
3-му

хозяйству
х\\
13
-1
-0,4

расчетная

площадь
Х\2
14
-1
1
1,8
24

прочие

угодья
Х\3
15
1
1
0,1
общая
площадь

хозяйства
*14
16
-1

Продолжение
I
N9
п/п
1
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
1 28_.
Наименование
ограничений
2
Прочие угодья
Общая площадь
хозяйства
Трудовые ресурсы,
чел.-дн.
Корма, ц корм. ед.
Денежные средства,
тыс. руб.
Блок № 3 (3-е хозяйство)
Расчетная площадь
пашни
Существующая площадь
пашни
Расчетная площадь
кормовых угодий
Существующая площадь
кормовых угодий
Прочие угодья
Общая площадь
хозяйства
Трудовые ресурсы,
чел.-дн.
Корма, ц корм. ед.
Денежные средства,
тыс. руб.
Связующий блок
Баланс общей площади
1-е хозяйство 1
пашня


ствующая

площадь
Х\
3
увеличение
за счет
2-го

хозяйства
хг
4
за
счет 1
3-го

хозяйства
*з
5
сокращение
перс-
дача
2-му

хозяйству
*4
6

передача
3-му

хозяйству
*5
7

расчетная

площадь
*б
8
кормовые угодья


ствующая

площадь
*7
9
увеличение
за счет
2-го

хозяйства
*8
10
за счет
3-го

хозяйства
*9
11
сокращение

передача
2-му

хозяйству
*10
12

передача
3-му

хозяйству
*и
13

расчетная

площадь
Х\2
14

прочие

угодья
Х\Ъ
15
общая
площадь

хозяйства
*14
16
1

Продолжение
1
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
[46
2
Баланс
перераспределения земель:
пашня, расход:
1-е -> 2-му
1-е -> 3-му
кормовые угодья:
1-е -> 2-му
1-е -> 3-му
пашня:
2-е -> 3-му
кормовые угодья
2-е -> 3-му
пашня, приход:
1-е -> 2-му
1-е -» 3-му
кормовые угодья:
1-е -> 2-му
1-е -> 3-му
пашня:
2-е -» 3-му
кормовые угодья
2-е -> 3-му
Баланс пашни
Баланс кормовых угодий
Баланс прочих угодий
Целевая функция
Решение задачи
3
650
1
4
1
28,9
2
5
1
152
3
6
-1
—
4
7
-1
—
5
8
1
350
830,9
6
9
400
7
10
1
250
8
И
1
640
9
12
-1
—
10
13
-1
—
11
14
1
240
1290
12
15
1
220
13
16
2340,9
14

Продолжение
№
п/п
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Наименование ограничений
2
?/ю/с № 1 (1-е хозяйство)
Расчетная площадь
пашни
Существующая площадь
пашни
Расчетная площадь
кормовых угодий
Существующая площадь
кормовых угодий
Прочие угодья
Общая площадь
хозяйства
Трудовые ресурсы,
чел.-дн.
Корма, ц корм. ед.
Денежные средства,
тыс. руб.
Блок № 2 (2-е хозяйство)
Расчетная площадь
пашни
Существующая площадь
пашни
Расчетная площадь
кормовых угодий
2-е хозяйство
пашня


ствующая

площадь
*15
17
1
1
увеличение
за счет
1-го

хозяйства
*1б
18
1
за счет
3-го

хозяйства
*17
19
1
сокращение

передача
1-му

хозяйству
*18
20
-1

передача
3-му

хозяйству
Х,9
21
-1


четная

площадь
*20
22
-1
кормовые угодья


ствующая

площадь
*21
23
1
увеличение
за счет
1-го

хозяйства
*22
24
1
за счет
3-го

хозяйства
*2Э
25
1
сокращение

передача
1-му

хозяйству
*24
26
-1

передача
3-му

хозяйству
*25
27
-1

расчетная

площадь
*26
28
-1

прочие

угодья
*27
29
общая

площадь

хозяйства
*2К
30

Продолжение
1
13
14
lb
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
2
Существующая площадь
кормовых угодий
Прочие угодья
Общая площадь хозяйства
Трудовые ресурсы,
чел.-дн.
Корма, ц корм. ед.
Денежные средства,
тыс. руб.
Блок № 3 (3-е хозяйство)
Расчетная площадь пашни
Существующая площадь
пашни
Расчетная площадь
кормовых угодий
Существующая площадь
кормовых угодий
Прочие угодья
Общая площадь хозяйства
Трудовые ресурсы,
чел.-дн.
Корма, ц корм. ед.
Денежные средства,
тыс. руб.
Связующий блок
Баланс общей площади
Баланс перераспределения
земель:
1-е-» 2-му
1-е -> 3-му
кормовые угодья:
1-е-» 2-му
17
18
1,2
1
19
1,2
20
-1,2
21
-1,2
22
1
4,4
35
23
1
24
0,4
1
25
0,4
26
-0,4
27
-0,4
28
1
1,8
24
29
1
1
0,1
30
-1
1

Продолжение
N9
п/п
1
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
| 46
Наименование
ограничений
2
1-е -> 3-му
пашня:
2-е -> 3-му
кормовые угодья
2-е -> 3-му
пашня, приход:
1-е-» 2-му
1-е -> 3-му
кормовые угодья:
1-е -> 2-му
1-е -> 3-му
пашня:
2-е -> 3-му
кормовые угодья
2-е -> 3-му
Баланс пашни
Баланс кормовых
угодий
Баланс прочих угодий
Целевая функция
Решение задачи
2-е хозяйство |
пашня


ствующая

площадь
*15
17
480
15
увеличение
за счет
1-го

хозяйства
*1б
18
0
16
за счет
3-го

хозяйства
*|7
19
1
0
17
сокращение

передача
1-му

хозяйству
*18
20
-1
28,9
18

передача
3-му

хозяйству
*19
21
-1
19


четная

площадь
¦*20
22
1
350
451,1
20
кормовые угодья


ствующая

площадь
*21
23
250
21
увеличение
за счет
1-го

хозяйства
*22
24
0
22
за счет
3-го

хозяйства
*2Э
25
1
0
23
сокращение

передача
1-му

хозяйству
*24
26
-1
250
24

передача
3-му

хозяйству
*25
27
-1
—
25

расчетная

площадь
*26
28
1
240
—
26

прочие

угодья
*27
29
1
150
27
общая

площадь

хозяйства
*28
30
601,1
28

Продолжение
п/п
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Наименование ограничений
2
Блок № 1 (1-е хозяйство)
Расчетная площадь
пашни
Существующая площадь
пашни
Расчетная площадь
кормовых угодий
Существующая площадь
кормовых угодий
Прочие угодья
Общая площадь
хозяйства
Трудовые ресурсы,
чел.-дн.
Корма, ц корм. ед.
Денежные средства,
тыс. руб.
Блок № 2 (2-е хозяйство)
Расчетная площадь
пашни
Существующая площадь
пашни
Расчетная площадь
кормовых угодий
Существующая площадь
кормовых угодий
3-е хозяйство '
пашня
су-
щест-
вую-
шая

площадь
*29
31
увеличение
за
счет
2-го

хозяйства
*30
32
за
счет
3-го

хозяйства
*31
33
сокращение

передача
2-му

хозяйству
*32
34

передача
3-му

хозяйству
*33
35


четная

площадь
*34
36
кормовые угодья
су-
щест-
вую-
щая

площадь
*35
37
увеличение
за
счет
2-го

хозяйства
*36
38
за
счет
3-го

хозяйства
*37
39
сокращение

передача
2-му

хозяйству
*38
40

передача
3-му

хозяйству
*39
41


четная

площадь
*40
42

прочие

угодья
*41
43

общая

площадь


зяйства
*42
44
Тип


ничения
45
=
=
=
=
=
=
<
>
<
=
=
=
=
Объем


ничения
46
0
650
0
400
220
0
6000
4500
1000
0
480
0
250

os Продолжение
№
п/п
1
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Наименование ограничений
2
Прочие угодья
Общая площадь хозяйства
Трудовые ресурсы, чел.-дн.
Корма, ц корм. ед.
Денежные средства,
тыс. руб.
Блок № 3 (3-е хозяйство)
Расчетная площадь пашни
Существующая площадь
пашни
Расчетная площадь угодий
Существующая площадь
кормовых угодий
Прочие угодья
Общая площадь хозяйства
Трудовые ресурсы, чел.-дн.
Корма, ц корм. ед.
Денежные средства,
тыс. руб.
Связующий блок
Баланс общей площади
3-е хозяйство
пашня
су-
щест-
вую-
щая

площадь
*29
31
1
1
увеличение
за
счет
2-го


зяйства
*30
32
1
1,2
за
счет
3-го


зяйства
*31
33
1
1,2
сокращение

передача
2-му


зяйству
*32
34
-1
-1,2

передача
3-му


зяйству
*зз
35
•
-1
-1,2


четная

площадь
*34
36
-1
1
4,4
35
кормовые угодья
су-
щест-
вую-
щая

площадь
*35
37
1
1
увеличение
за
счет
2-го


зяйства
*36
38
1
0,4
за
счет
3-го


зяйства
*37
39
1
0,4
сокращение

передача
2-му


зяйству
*38
40
-1
-0,4

передача
3-му


зяйству
*39
41
-1
-0,4


четная

площадь
*40
42
-1
1
1,8
24

прочие

угодья
*41
43
1
1
0,1

общая

площадь


зяйства
*42
44
Тип
огра-
ни-
че-
ния
45
=
=
<
>
<
=
=
=
=
=
=
<
>
<
<
Объем


ничения
46
150
0
2000
3500
500
0
1100
0
640
270
о
7500
6000
2000
4380

Продолжение
1
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
2
Баланс перераспределения
земель:
пашня, расход:
1-е -> 2-му
1-е -»3-му
кормовые угодья:
1-е -> 2-му
1-е -> 3-му
пашня:
2-е -» 3-му
кормовые угодья
2-е -»3-му
пашня, приход:
1-е-» 2-му
1-е -> 3-му
кормовые угодья:
1-е-> 2-му
1-е -> 3-му
пашня:
2-е -> 3-му
кормовые угодья
2-е -» 3-му
Баланс пашни
Баланс кормовых угодий
Баланс прочих угодий
Целевая функция
Решение задачи
31
1100
29
32
1
—
30
33
1
—
31
34
-1
152
32
35
-1
—
33
36
1
350
948
34
37
640
35
38
1
1
0
36
39
1
0
37
40
-1
640
38
41
-1
—
39
42
1
240
—
40
43
1
270
41
44
1218
42
45
=
=
=
=
=
—
=
_
=
=
_
<
<
<
->
46
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2230
1290
660
max
1090100

Как видно, даже по данным трех хозяйств и при трех видах
угодий (пашня, кормовые и прочие) размер матрицы довольно
большой—42x43.
Основными ограничениями, определяющими решение данной
задачи, являются условия по наличию денежных средств на аренду
или выкуп земель в собственность, трудовым ресурсам и
гарантированному производству продукции.
В задаче принято, что все угодья хозяйств имеют одинаковое
качество по плодородию и местоположению, поэтому технико-
экономические коэффициенты, характеризующие размер
арендной платы за землю, одинаковые. На практике данные
коэффициенты рассчитываются с учетом производительных и
территориальных свойств земель и ситуации на земельном рынке.
Ограничения по трудовым ресурсам предполагают, что
перераспределение земель обеспечит в хозяйствах, затронутых
землеустройством, равную трудообеспеченность, то есть примерно
одинаковую нагрузку продуктивных угодий в расчете на одного
работника.
Условия по гарантированному производству продукции
позволят ограничить в хозяйствах размер изымаемых площадей и
оставить необходимые земельные угодья для обеспечения
существующего поголовья скота кормами или выполнения
сельскохозяйственными предприятиями договорных обязательств.
В рассматриваемом примере в качестве коэффициентов
целевой функции приняты значения чистого дохода, получаемого с
1 га продуктивных земель. Для иллюстрации и упрощения
расчетов эти коэффициенты взяты одинаковыми. Безусловно, они
также зависят от плодородия и местоположения земель.
Данный критерий оптимальности в некоторой степени
является условным, так как интересы конкретных хозяйств учитываются
недостаточно. Решение с использованием этой целевой функции
целесообразны с народнохозяйственной точки зрения, так как в
первую очередь земля будет перераспределяться в пользу
хозяйств, имеющих более плодородные земли и ведущих
производство более эффективно. (Это не относится к рассматриваемому
условному примеру.)
Требуются дальнейшие исследования в области выбора
критериев оптимальности для задач межхозяйственного
землеустройства.
Результаты решения задачи представлены в таблице 209.
Из таблицы видно, что в данной группе хозяйств произошло
перераспределение земель в пользу 1-го сельскохозяйственного
предприятия. Его площадь возросла с 1270 до 2340,9 га. Площадь
2-го сельскохозяйственного предприятия уменьшилась с 880 до
601,1 га, а 3-го — с 2010 до 1218 га.
658

209. Состав земельных угодий до и после перераспределения земель
Хозяйства
Угодья
пашня
кормовые
прочие
Общая площадь
землевладения
На год землеустройства
1-е 650,0 400,0 220,0 1270,0
2-е 480,0 250,0 150,0 880,0
3-е 1100,0 640,0 270,0 2010,0
Итого 2230,0 1290,0 640,0 4160,0
По проекту
1-е 830,9 1290,0 220,0 2340,9
2-е 451,1 - 150,0 601,1
3-е 948,0 - 270,0 1218,0
Итого 2230,0 1290,0 640,0 4160,0
Контрольные вопросы и задания
1. В чем суть постановки задачи по перераспределению земель между
хозяйствами?
2. Какие ограничения используются в качестве основных?
3. Какой критерий оптимальности лучше применять в подобных задачах?
4. Запишите экономико-математическую модель задачи.
5. Какие ограничения ставят в отдельных блоках, а какие — в связующем?
6. Какие переменные выбирают в задаче по перераспределению земель в
качестве основных?
Глава 32
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В СХЕМАХ ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА
32.1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ОРГАНИЗАЦИИ РАЦИОНАЛЬНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
И ОХРАНЫ ЗЕМЕЛЬ В СХЕМЕ ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА
АДМИНИСТРАТИВНОГО РАЙОНА
Основные экономико-математические задачи, которые
решаются в схеме землеустройства административного района,
следующие.
1. Распределение земель административного района по
категориям (земли сельскохозяйственного назначения,
промышленности, транспорта, лесного фонда и т. д.).
2. Оптимизация мероприятий по освоению и интенсификации
использования земель.
3. Перераспределение земель между сельскохозяйственными
предприятиями и гражданами в районе.
4. Установление оптимальных размеров сельскохозяйственных
предприятий.
659

5. Оптимизация размещения, специализации и уровня
концентрации сельскохозяйственного производства в административном
районе.
6. Размещение объектов производственной и социальной
инфраструктуры района, включая формирование сырьевых зон
перерабатывающих предприятий.
Первые четыре задачи рассмотрены ранее. Основным отличием
их в отношении административного района будет то, что они
должны иметь блочный характер. При этом в качестве отдельных
блоков будут выступать либо категории земельного фонда района,
либо отдельные землевладения и землепользования.
В связующем блоке задач, как правило, ставят ограничения,
балансирующие земельную площадь района, а также учитывающие
распределение некоторых ресурсов (инвестиций; свободного
земельного фонда, находящегося в ведении районной
администрации; материальных средств).
Задача по оптимизации размещения, специализации и уровня
концентрации сельскохозяйственного производства в районе
подробно описана в землеустроительной и экономической литературе
(Практикум по экономико-математическим методам и
моделированию в землеустройстве/Под ред. С. Н. Волкова, Л. С. Твердовс-
кой.— М.: Агропромиздат, 1991. —С. 118—137; МизюринВ. К.
Организация землепользования сельскохозяйственных
предприятий в современных условиях с применением ЭВМ и моделей.
Лекция. - МИИЗ, 1987. - 33 с).
В ее основе лежат две классические модели:
по определению оптимального сочетания отраслей
сельскохозяйственного предприятия;
по установлению оптимального размера землевладения
(землепользования) хозяйства.
Эта задача имеет блочную структуру. В качестве отдельных
блоков выступают сельскохозяйственные предприятия.
Результаты решения данной задачи служат для подготовки
заданий на проектирование при межхозяйственном и
внутрихозяйственном землеустройстве.
В качестве переменных выступают неизвестные,
характеризующие способы использования пашни (площади культур) по
хозяйствам; виды и подвиды многолетних плодовых и ягодных
насаждений, сенокосов и пастбищ, других угодий (леса, кустарники и
т. д.); трансформируемые угодья; отрасли животноводства;
площади, находящиеся в ведении местной администрации (районной,
поселковой, сельской); виды внутрихозяйственных ресурсов
(труд, вода и т. д.), а также другие переменные, учитывающие
особенности природных и экономических условий района.
Структурная модель типовой задачи обоснования размещения,
специализации и уровня концентрации сельскохозяйственного
производства в районе в части организации оптимального исполь-
660

зования земель должна включать следующие блочные и
связующие группы ограничений:
возможно полное использование всех земельных, особенно
сельскохозяйственных, угодий; эффективное использование
основного сельскохозяйственного угодья — пашни (в
специализированных хозяйствах — многолетних плодово-ягодных насаждений
и т. д.);
баланс основных видов и подвидов угодий;
нижние и верхние границы возможных площадей
трансформации угодий и освоения новых (мелиорируемых) земель;
выделение для несельскохозяйственных нужд минимальных
(нормируемых) размеров земель;
агробиологические и зоотехнические условия ведения
хозяйства;
производство и потребление кормов, их эффективное
распределение;
определение рациональных размеров разных по специализации
хозяйств или их групп;
возможно полное использование внутрихозяйственных
ресурсов (с учетом напряженных периодов работ);
перераспределение внутри- и межхозяйственных ресурсов;
баланс трудоспособного населения в растениеводстве и
животноводстве и численности всего населения;
число жителей в перспективных населенных пунктах;
балансы площадей земель, находящихся в ведении местной
администрации;
балансы жилых территорий и площадей, подлежащих
реконструкции;
балансы объемов реализации продукции профилирующих
отраслей;
потребность в капиталовложениях и источники ее покрытия;
рентабельность производства и др.
Для удобства описания порядка составления развернутой
экономико-математической модели относительно однородные виды
ограничений рекомендуется объединять в следующие группы
(Методика экономико-математического обоснования решений в
схемах землеустройства и проектах межхозяйственного
землеустройства. —М.: ГИЗР, 1982. - 62 с).
1. Использование земельных угодий с учетом их качества и
возможной трансформации.
2. Соотношение площадей угодий.
3. Агробиологические и зоотехнические условия ведения
хозяйства.
4. Условия производства и использования кормов.
5. Рекомендуемый размер землевладений и землепользовании
сельскохозяйственных предприятий в зависимости от их
специализации.
661

6. Расселение, использование трудовых и механизированных
ресурсов.
7. Финансово-экономические условия.
8. Общерайонные условия и пропорции.
1. Ограничения по использованию земельных угодий с учетом их
качества и возможной трансформации зависят от имеющихся
видов угодий. Их количество должно отражать номенклатуру угодий
в основных формах учета и регистрации землевладений и
землепользовании в районе.
Ряд показателей в целях сокращения размерности решаемой
задачи агрегируется (например, некоторые
несельскохозяйственные угодья в группу «прочих земель»). Кроме того, для описания
подвидов угодий должны быть привлечены материалы по
характеристике их мелиоративного состояния и т. д. Такой подход связан
с необходимостью организации использования земель с
различным мелиоративным состоянием в увязке с целесообразными
вложениями труда и средств для поддержания того или иного режима
функционирования. Для отражения качественного состояния
земель должны быть использованы имеющиеся материалы по
бонитировке почв и их экономической оценке. Площади
проектируемых угодий записываются в модели как алгебраическая сумма
площадей угодий базового периода и их изменений за счет
трансформации или освоения. Размеры площадей трансформации
обусловливаются эколого-экономическими причинами (спросом
на продукцию, требованиями охраны земель и т. д.).
2. Ограничения по соотношению площадей угодий должны
отражать региональные особенности использования земель того или
иного района. Например, в районах крупных мелиоративных
мероприятий вводится соотношение по использованию
проектируемых мелиорируемых сельскохозяйственных угодий. В то же
время независимо от региональных особенностей необходимо
вводить соотношения площадей по использованию таких
несельскохозяйственных угодий, как дороги, лесополосы, каналы и
т. д. Информация для составления подобных соотношений
берется из форм земельной отчетности. Кроме того, привлекаются
дополнительные материалы (справки, прогнозы, схемы
мелиорации земель).
3. Ограничения по агробиологическим и зоотехническим условиям
ведения хозяйства содержат требования, касающиеся
рациональной структуры посевных площадей, организации севооборотов,
пропорций в структуре отраслей животноводства, норм и режимов
использования кормов и т. д.
4. Ограничения по условиям производства и использованию кормов
балансируют производство и потребление кормов на отдельных
сельскохозяйственных предприятиях и в районе в целом. В
модели предусматриваются основные группы кормов
(концентрированные с учетом покупных, грубые, сочные, зеленые) при условии
662

обеспеченности белком всего рациона той или иной группы
животных. Выход кормов с 1 га задается одной нормой, а их расход —
двумя (минимальной и максимальной).
5. Ограничения по рекомендуемому размеру землевладений и
землепользовании сельскохозяйственных предприятий в зависимости от
специализации формулируются с учетом возможных нижних и
верхних границ (размеров). Оптимальную площадь при этом ищут в
диапазоне этих допусков с учетом требований охраны природы,
улучшения земель, эффективного производства.
6. Ограничения по расселению, использованию трудовых и
механизированных ресурсов записываются в модели в среднегодовом
исчислении и по напряженным периодам работ. Свободные члены
ограничений по трудовым ресурсам при этом должны учитывать
возможность оттока или притока рабочей силы, а в напряженные
периоды — привлечения части несельскохозяйственного
населения.
Здесь же описывается потребность в жилом фонде населенных
пунктов для проектируемого строительства. Последнее
обеспечивается как за счет нового строительства, так и за счет
реконструкции имеющегося фонда. Такая запись необходима, так как в
других группах условий учитывается потребность в капитальных
вложениях на эти цели (как составная часть общей потребности в
капитальных вложениях). Для записи этих ограничений используют
данные технологических карт, материал инвентаризации жилого
фонда и т. д.
7—8. К ограничениям по финансово-экономическим и
общерайонным условиям и пропорциям можно отнести:
объем продажи профилирующей продукции в данных типах
хозяйств;
денежные затраты на перевозки людей, продукции и техники
внутри и вне хозяйств;
объемы затрат единовременных вложений во все виды
деятельности и в сферу мелиоративных мероприятий;
источники покрытия затрат, единовременных вложений,
исходя из требований хозяйственной реформы (часть затрат
покрывается за счет собственных средств, другая — за счет заемных
бюджетных и кредитных ассигнований).
В общерайонные пропорции, как правило, включают условия
по гарантированному производству продукции в натуральном
выражении (по видам); балансу распределяемых фондов
материально-технического характера (минеральные удобрения, комбикорма
и др.); численности работающих в сельском хозяйстве и всего
населения района и др.
В качестве критерия оптимальности данной задачи
рекомендуется использовать минимум предстоящих приведенных затрат на
фиксированный объем производства продукции.
В результате расчетов в оптимальном плане организации ис-
663

пользования земельных и других производственных ресурсов
района устанавливаются:
объем, состав и соотношение всех видов угодий, учитываемых в
модели как в пределах отдельных землевладений и
землепользовании, так и в целом по району;
площади угодий, отводимые для несельскохозяйственных
целей;
площади земель, подлежащие освоению и трансформации;
площади отдельных культур (или их групп) в разных
севооборотах;
отраслевая структура стада животных и птицы;
структура производства и потребления кормов;
размеры земель, находящихся в ведении администрации (по
населенным пунктам) и сельскохозяйственных предприятий;
межхозяйственное и внутрихозяйственное размещение
отраслей в районе;
специализация хозяйств и их объединений;
внутрирайонное производство продукции в разрезе хозяйств;
внутрирайонные и внутрихозяйственные балансы средств
(денежного и материального характера);
затраты на внутрихозяйственные и внехозяйственные
перевозки (с учетом размера, конфигурации и размещения хозяйств);
распределение средств единовременного характера между
хозяйствами.
Учитывая, что схема землеустройства района разрабатывается,
как правило, на перспективу (до 15 лет), при расчете
технико-экономических коэффициентов и объемов ограничений задачи
широко используются рассмотренные ранее методы планирования и
прогнозирования на базе производственных функций.
32.2. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ФОРМИРОВАНИЯ СЫРЬЕВЫХ ЗОН ПРЕДПРИЯТИЙ,
ПЕРЕРАБАТЫВАЮЩИХ ПРОДУКЦИЮ
СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
Для решения задачи по формированию сырьевых зон
перерабатывающих предприятий наиболее целесообразно использовать
распределительный метод линейного программирования.
Возможный объем производства сырья на
сельскохозяйственных предприятиях, учитываемый в ограничениях задачи,
устанавливают на основе предварительного размещения площадей посева
сырьевой культуры в специализированных и других севооборотах
(свекловичных, картофельных, льняных, конопляных) с учетом
ряда природных и экономических требований. Например, доля
посевов сахарной свеклы в структуре посевных площадей на
землях, пригодных для ее возделывания, как показывает практика, не
664

должна превышать 18—20 %. В связи с этим по каждому району и
в целом по области необходимо выявить максимально возможную
площадь посева этой культуры с учетом того, что она должна быть
размещена только на 20 % несмытых земель с уклоном до 3°, то
есть на землях, где практически отсутствуют эрозионные
процессы, а возможность их возникновения незначительна. При этом
следует учесть, что часть хозяйств области не будет заниматься
свекловодством ввиду другой специализации.
С точки зрения сельскохозяйственного производства сырьевую
культуру наиболее выгодно разместить в хозяйствах, где возможно
получение наибольшего чистого дохода от нее или необходим
минимум затрат на ее производство.
Чтобы уменьшить расходы на доставку сырья на
перерабатывающие предприятия, посевы сырьевой культуры целесообразно
концентрировать в близлежащих к этим предприятиям хозяйствах
или, наоборот, приближать перерабатывающие предприятия к
посевам. В данном случае критерием оптимальности может
выступать минимум транспортных затрат.
Для снижения затрат на переработку сырья следует создавать
(реконструировать или строить новые) перерабатывающие
предприятия такой мощности, которые обеспечивали бы их
минимум.
Однако указанные критерии оптимальности учитывают
эффективность производства лишь в отдельном структурном звене
регионального АПК. Поэтому в качестве критерия оптимальности
данной задачи целесообразно принять комплексный показатель —
минимум удельных приведенных затрат всех структурных звеньев
АПК.
Показатель удельных приведенных затрат отраслевого
подкомплекса регионального АПК рекомендован Е. М. Чепуриным. Его
рассчитывают по формуле
ГОа+ГОи+ГОш_(Ссх+ЕнКс^
ШУ~ v V
где П3у — удельные приведенные затраты, руб. за 1 т; П3сх, П3и, П3пп —
приведенные затраты соответственно в сельскохозяйственном производстве,
инфраструктуре и перерабатывающей отрасли промышленности, тыс. руб.; Ссх, КсХ —
издержки и капитальные вложения на сельскохозяйственных предприятиях,
связанные с производством сырья, тыс. руб.; Ен — нормативный коэффициент
эффективности капитальных вложений; Си, Ки — издержки и капитальные
вложения в инфраструктуре отраслевого подкомплекса регионального АПК,
связанные с доставкой и хранением сырья, тыс. руб.; Спп, Кпп — издержки на
переработку сырья в конечную продукцию и капитальные вложения на
перерабатывающих предприятиях, тыс. руб.; V— объем производимой за сезон
продукции, тыс. т.
Если в региональном АПК делают прогнозные проработки по
нескольким отраслевым подкомплексам с малотранспортабель-
665

ным сырьем, то нужно учитывать капитальные вложения в
инфраструктурных подразделениях.
Необходимость учета капитальных вложений обусловливается
тем, что различное размещение сырьевой культуры по
сельскохозяйственным предприятиям влияет не только на величину ежегодных
затрат, но и на капитальные вложения, производственную
инфраструктуру АПК: на реконструкцию (например, увеличение
мощности) и строительство новых перерабатывающих предприятий.
В связи с этим в качестве оценок плана в распределительной
задаче необходимо использовать сумму удельных приведенных
затрат, определяемую по формуле
CU =
^-ХХ+Ь'Н^СХ
(С +Е К ^
(С + Е К ^
где ij— индекс маршрута от сельскохозяйственного до перерабатывающего
предприятия.
Среди возможных вариантов находят такой, для которого
сумма удельных приведенных затрат по всем маршрутам минимальна.
Для оптимизации схем связей перерабатывающих и
сельскохозяйственных предприятий при изменяющихся капитальных
вложениях во всех звеньях АПК в качестве оценок плана может быть
использована сумма удельных ежегодных издержек на
производство конечной продукции:
СУ=\
-'СХ
(С \
' ^пп
Рассмотрим пример. В свеклосахарный подкомплекс АПК
области входят 4 сахарных завода и 10 хозяйств, которые могут быть
отнесены к сырьевым зонам различных заводов (табл. 210).
210. Исходная матрица задачи
Хозяйство
Сахарные заводы,затраты на 1 т, тыс. руб.
«Спасский»
«Ленский»
«Шенский»

«Михайловский»
Производство
в хозяйствах
(в запасы), т
«Победа»
«Дружба»
«Родина»
«Россия»
«Восход»
«Правда»
«Искра»
«Октябрь»
«Звезда»
«Мир»
Переработка на заводах
(потребность), т
0,45
0,60
0,70
0,54
0,55
0,73
0,68
0,56
0,69
0,70
3500
0,58
0,63
0,52
0,75
0,59
0,60
0,63
0,55
0,67
0,48
1900
0,40
0,55
0,70
0,65
0,45
0,66
0,45
0,43
0,57
0,50
1770
0,43
0,60
0,58
0,70
0,52
0,77
0,44
0,62
0,53
0,65
1490
2300
750
820
500
1000
420
540
910
720
700
866(Г^
666

Необходимо определить наиболее целесообразный вариант
закрепления указанных хозяйств за сахарными заводами, при
котором полная себестоимость производства сахара (затраты на
производство, уборку, транспортировку, переработку сахарной
свеклы) в АПК области будет минимальной. При этом изменение
капитальных вложений в структурных звеньях АПК не
предусматривается.
Оценки плана с,у рассчитывают на основе планируемых данных
по себестоимости производства сахарной свеклы в каждом
хозяйстве; доставке ее от хозяйств сахарным заводам в соответствии с
принятым способом уборки (поточным, поточно-перевалочным)
и используемым для перевозки видом транспорта
(автомобильным, железнодорожным); затратам на хранение, транспортировку,
переработку сахарной свеклы на каждом заводе.
Например, себестоимость производства 1 т сахарной свеклы в
АО «Победа» на планируемый период 38 руб., доставка ее на
«Спасский» сахарный завод 93 руб., затраты на сахарном заводе
320 руб. Таким образом, общие затраты на 1 т сахарной свеклы
будут равны 0,45 тыс. руб.
Для решения задачи использован рассмотренный ранее
алгоритм распределительного метода линейного программирования.
После нескольких последовательных улучшений был получен
оптимальный план (табл. 211).
211. Оптимальный план формирования сырьевых зон перерабатывающих предприятий
Хозяйство
«Победа»
«Дружба»
«Родина»
«Россия»
«Восход»
«Правда»
«Искра»
«Октябрь»
«Звезда»
«Мир»
Переработка на
заводах (потребность), т
Сахарные заводы
«Спасский»
0,45
2250
0,60
750
0,70
0,54
500
0,55
0,73
0,68
0,56
0,69
0,70
3500
«Ленский»
0,58
0,63
0,52
780
0,75
0,59
0,60
420
0,63
0,55
0,67
0,48
700
1900
«Шенский»
0,40
0,55
0,70
0,65
0,45
860
0,66
0,45
0,43
910
0,57
0,50
1770

«Михайловский»
0,43
50
0,60
0,58
40
0,70
0,52
140
0,77
0,44
540
0,62
0,53
720
0,65
1490
Производство
в хозяйствах
(в запасы), т
2300
750
820
500
1000
420
540
910
720
700
\^ 8660
866<Г\^^
667

Значение целевой функции в оптимальном плане 4241,1 тыс. руб.
Минимальная себестоимость производства сахара в АПК
области (для 10 хозяйств), равная 4241,1 тыс. руб., будет достигнута,
если корнеплоды будут поставлять:
на «Спасский» сахарный завод хозяйства «Победа» — 2250 т,
«Дружба» — 750, «Россия» — 500 т;
на «Ленский» сахарный завод хозяйства «Родина» — 780 т,
«Правда» — 420, «Мир» — 700 т;
на «Шенский» сахарный завод хозяйства «Восход» — 860 т,
«Октябрь» —910 т;
на «Михайловский» сахарный завод хозяйства «Победа» — 50 т,
«Родина» — 40, «Восход» — 140, «Искра» — 540, «Звезда» — 720 т.
32.3. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ
РАБОЧЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Составление рабочих проектов по использованию и охране
земель — завершающая стадия в комплексном землеустроительном
проектировании. Отличительные особенности этих проектов —
конкретность, детальная инженерная и технологическая
проработка мероприятий с последующими подробными сметно-финан-
совыми расчетами, а также расчетами необходимых материалов,
механизмов, трудовых, финансовых затрат и определением их
эффективности.
Рабочие проекты в землеустройстве делятся на двустадийные и
одностадийные.
Двустадийные рабочие проекты наиболее сложные. Они
разрабатываются на большие массивы земель и включают проект со
сводным сметным расчетом стоимости работ и рабочую
документацию с чертежами и сметами для конкретных объектов
(земельных участков) или мероприятий.
В связи со сложностью двустадийные проекты имеют
многовариантный характер. Поэтому на первой стадии
(проектирование) могут быть применены экономико-математические методы.
При этом выбор экономико-математической модели зависит от
вида рабочего проекта. Например, при составлении рабочих
проектов на освоение и коренное улучшение угодий, проведение
культуртехнических мероприятий, рекультивацию и улучшение
малопродуктивных земель можно использовать модели
оптимизации мероприятий по освоению и интенсификации использования
земель (см. главу 22), трансформации угодий (см. главу 23).
Для рабочих проектов осуществления противоэрозионных
мероприятий может применяться модель оптимизации состава и
структуры противоэрозионного комплекса (см. главу 26), закладки
сада, ягодника или виноградника — модель организации
территории плодовых и ягодных многолетних насаждений (см. главу 27) и
т.д.
668

При разработке рабочей документации двустадийных проектов
в землеустройстве, включающей чертежи и сметы, используются
специальные пакеты прикладных программ, разработанные
различными организациями (РосНИИЗемпроектом, МосНИИПи-
землеустройства, ГУЗ и др.). Эти пакеты позволяют
автоматизировать и ускорить сметно-финансовые расчеты, а графические
приложения к ним — создать типовые решения и конструкции или же
индивидуальные проектные решения.
Содержание и порядок пользования указанными пакетами
прикладных программ рассматриваются в курсе «Автоматизация
землеустроительного проектирования».
Одностадийные рабочие проекты разрабатываются для
устройства территории небольших по площади земельных участков или
небольших объектов (пруды, лесополосы, дорожные сооружения).
Они включают рабочий проект (чертеж) со сводным сметным
расчетом стоимости работ.
Одностадийные рабочие проекты редко являются
многовариантными, чаще это типовые решения. Поэтому при их
составлении экономико-математические методы и модели применяются
нечасто.
В землеустроительном производстве для составления таких
проектов применяются указанные выше пакеты прикладных
программ. При наличии вариантов лучший выбирают на основании
последовательной оценки экономической эффективности
различных решений по данным таблицы окончательного сметно-финан-
сового расчета в автоматизированном режиме на ЭВМ.
Во всех случаях при составлении рабочих проектов, в которых
используются нормативы (по урожайности сельскохозяйственных
культур, продуктивности животных, затратам труда и денежных
средств), широко применяют производственные функции.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие экономико-математические задачи могут решаться в схеме
землеустройства административного района?
2. Каковы состав переменных, ограничений и вид целевой функции в задаче
по оптимизации использования земель в схеме землеустройства района?
3. В чем могут заключаться особенности постановки
экономико-математической задачи по организации использования и охраны земель в схемах
землеустройства области (субъекта Федерации)?
4. Какова постановка задачи по формированию сырьевых зон
перерабатывающих предприятий?
5. Какие экономико-математические методы и модели применяются при дву-
стадийном и одностадийном рабочем проектировании в землеустройстве?

ЛИТЕРАТУРА
Аасмяэ В. Р. Организация сельскохозяйственных угодий и севооборотов в
Эстонской ССР (на примере колхозов Пайдеского района): Автореф. дис. — МИ ИЗ,
1966.-25 с.
Аасмяэ В. Р. Предварительная блок-схема составления проекта
внутрихозяйственного землеустройства в совхозах и колхозах Эстонской ССР // Сб.
материалов научно-практической конференции по землеустройству Латвийской
сельскохозяйственной академии. — Елгава, 1967.
Аасмяэ В. Р. Применение методов линейного программирования при
установлении состава и соотношения сельскохозяйственных угодий и структуры
посевных площадей //Труды МИИЗ. — М., 1964. — Вып. 23. — С. 136 — 149.
АборинЛ., ВаленродА., Стремим В., Фадеев Б. Оптимизация сочетания отраслей
в колхозе / В кн.: Кибернетика в сельском хозяйстве//Сб. научных трудов.—
Одесса, 1973.
'АбчукВ.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и
логика. Методы исследования операций. — СПб.: Союз, 1999.— 320 с.
Автоматизация землеустроительного проектирования: Лекция / С. Н. Волков,
В. С. Красницкий, В. В. Бугаевская и др.; Под ред. С. Н. Волкова. — М.: ГУЗ,
1995.-28 с.
Агасандян Г. А. Итерационные процедуры поиска равновесия на аграрном
рынке с учетом экспортно-импортных операций // Экономико-математические
методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999. - С. 157-160.
Агасандян Г. А. Определение арендной платы за землю в равновесной модели
аграрного сектора экономики // Экономико-математические методы в АПК:
история и перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.:
ВИАПИ, 1999. - С. 190-193.
Актуальные вопросы организации использования пахотных земель // Сб.
научных трудов МИИЗ; Отв. ред. А. А. Варламов. — М., 1991. — 104 с.
Ала пока С, Навал Э., СавенкоЛ., Смолина Л., Христев Е. Вычислительная
модель общего равновесия для Молдовы//Экономико-математические методы в
АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999.-С. 160-163.
Александров А. X., Павлов А. А. Многокритериальная задача интенсификации
молочного скотоводства//Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ,
1999.-С. 121-125.
Алтухов А. И., Читаишвили Е. Т. Система экономико-математических моделей
по прогнозированию развития регионального
АПК//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного
научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 64—66.
Анализ производственной деятельности сельскохозяйственных предприятий с
применением экономико-математических методов: Учеб. пособие для ФПК. —
М.: Колос, 1976.-26 с.
Андриишин М. В. К вопросу о необходимости и возможности применения
метода оптимального программирования в землеустройстве//Научные труды
МИИЗ.-М., 1964.-Вып. 22.-С. 91-100.
Андриишин М. В. Линейное программирование в землеустройстве: Учеб.
пособие для студентов землеустроительных факультетов. — Львов, 1969. — Ч. 1. — 78 с.
Андриишин М. В. Линейное программирование в землеустройстве. Учеб.
пособие для студентов землеустроительных факультетов. — Львов, 1971. — Ч. 2. — 72 с.
Андриишин М. В. Применение методов математического программирования
670

для экономического обоснования проектов землеустройства//В сб.: Применение
математических методов в экономических исследованиях по сельскому
хозяйству. - М: ВНИЭСХ, 1963.
Лндриишин М. В. Экономико-математическая модель установления
оптимального состава и соотношения угодий и сельскохозяйственных культур // Научные
труды МИИЗ. - М., 1964. - Вып. 25. - С. 77-85.
Лндриишин М. В., Кудымов Г. Я. Методы оптимального планирования
размещения и специализации сельскохозяйственного производства в районе//Научные
труды МИИЗ. - М., 1965. - Вып. 30. - С. 119-128.
Андрюшина И. А. Учет финансовых рисков при земельной ипотеке //
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 193—195.
Андрющенко С. А. Прогноз сбалансированного развития регионального АПК
(программный аспект) // Отв. ред. В. Н. Крючков. — М.: Наука, 1990.
Анфиногентова А. А. Планирование межотраслевых связей области. —
Саратовский университет, 1973.
АрсенъкинаЛ.Ф., БрюнинаР.Ф., ГальминасФ.А., Рыбакова Р. А., Шапиро В. Я.
Моделирование торговых отношений России и стран СНГ в рамках общего
аграрного рынка//Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. —
С. 163-169.
Артыкова С. История формирования и перспективы развития
экономико-математического моделирования АПК в Республике Узбекистан //
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного
научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 36—38.
Асташкин А. П. О влиянии организации территории на использование
транспорта в сельском хозяйстве // Землеустройство, планировка сельских населенных
пунктов и геодезия. — Сб. научных работ Белорусской сельскохозяйственной
академии. — Минск: Урожай, 1966.
Асташкин А. П. О совершенствовании методики обоснования размещения
населенных пунктов и производственных центров//В сб.: О методике обоснования
землеустроительных проектов. — Тарту: ЭСлА, 1966.
Ашенбренер А. Е. К вопросу создания автоматизированной системы
проектирования в землеустройстве // Совершенствование землеустройства в условиях
перестройки хозяйственного механизма в АПК. Тезисы доклада на Всесоюзной
научно-технической конференции. 31 мая —2 июня 1989 г. — М., 1989.— 4.1. —
С. 68-74.
Ашенбренер А. Е. Организация угодий и устройство территории севооборотов в
условиях орошаемого земледелия. (Автореф. дис.) — М., 1984. — 210 с.
Багриновский К. А., Прокопова В. С. Использование моделей эквивалентного
межотраслевого обмена для стабилизации аграрной экономики России //
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 66—69.
Баканов М. И., Шеремет А. Д. Теория экономического анализа.— 3-е изд., пе-
рераб. — М.: Финансы и статистика, 1995. — 288 с.
Балашова Л. И., Кравчук Ф. И., Готовкин В. Л/., Лихунова М. Ф. Вопросы
технико-экономического обоснования размещения животноводческих комплексов/В
кн.: Землеустройство и планировка сельских населенных мест//Сб. научных
трудов Белорусской сельскохозяйственной академии. —Горки, 1974.—Т. 124.
Барбакадзе М. Ш. Модели и методы территориального планирования: Учеб.
пособие. — МИНХ им. Г. В. Плеханова, 1976. — Ч. 1.
Бартеньев А. П. К вопросу оптимизации кормопроизводства / В кн.:
Кибернетика в сельском хозяйстве//Сб. научных трудов. — Одесса, 1973.
Беер К. К., Степанов В. А., Бочонков Д. В. Автоматизированная система
местного самоуправления (АСМС) в муниципальном образовании Чеховского района
Московской области//Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ,
1999. - С. 223-224.
БезгиновА. Н. Экономико-математические модели в землеустройстве (линей-
671

ные модели): Метод, пособие//Под ред. С. Н. Волкова. — М.: ГУЗ, 1994. — Ч. 1,
2.-98 с.
Белова Т. Н. Математические модели размещения производства
сельскохозяйственной продукции в новых экономических
условиях//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного
научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 69—71.
Белова Т. Н. Математическое моделирование экономических процессов в
сельском хозяйстве: лекции и сборник задач. — РГСХА, 1997.
Белова Т. Н. Стохастическая оптимизация в сельском хозяйстве. — Рязань:
Узорочье, 1998.
Белова Т. Н. Экономико-математические методы: Учеб. пособие — Рязань:
Узорочье, 1998.
Березенко Г. П. Вопросы технико-экономического обоснования
внутрихозяйственной системы расселения// Научные труды МИИЗ. — М., 1971. — Вып. 55. —
С. 61-69.
Березенко Г. П. К вопросу определения единовременных затрат на
совершенствование расселения при районной планировке//Научные труды МИИЗ. — М.,
1968.-Вып. 47.-С. 158-167.
Беркинов Б. Б. Становление и развитие в Узбекистане научных исследований в
области моделирования агропромышленного производства //
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного
научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 38—40.
БерлянтА. М. Геоинформационное картографирование. — МГУ, 1997. — 64 с.
Блаж И. Д. Математические методы планирования сельского хозяйства. —
Кишинев: Картя Молдовеняскэ, 1969.
Блаж И. Д. Оптимальное планирование производства в аграрно-промышлен-
ных комплексах. — М.: Пищевая промышленность, 1974.
Блаж И. Д., Валуцэ И. И. Экономические расчеты по моделям оптимального
планирования. — Кишинев: Картя Молдовеняскэ, 1970.
Блегборн С. Планирование и организация производства на фермах/ Пер. с
англ.; Под ред. Г. С. Гордеева. — М.: Прогресс, 1964.
Борланд?. Эффективная работа с Microsoft Word 97.— СПб.: Питер Ком,
1999.-960 с.
БорукА.Я. Бонитировка и экономическая оценка земель. — М.: Колос,
1972.-192 с.
Бочварова Ц. Е. Оптимизация структуры площадей под разные культуры на
богаре и на заданном массиве, орошаемом из незарегулированного источника при
стохастических колебаниях водности//В сб.: Оптимизация. — Новосибирск,
1975.-№17 (34).
Бравый М. Я., Соболев И. В. Опыт решения задачи линейного
программирования со случайными технологическими коэффициентами//В сб.: Математические
методы в экономических исследованиях. — М.: Наука, 1974.
БрандтЗ. Статистические методы анализа наблюдений / Пер. с англ. — М.:
Мир, 1975.-310 с.
Браславец М. Е. Практикум по экономико-математическим методам в
организации и планировании сельскохозяйственного производства. — 2-е изд., перераб.
и доп. — М.: Экономика, 1975. — 232 с.
Браславец М. Е. Экономико-математические методы в организации и
планировании сельского хозяйства. — Киев: Урожай, 1968. — 398 с.
Браславец М. Е. Экономико-математические методы в организации и
планировании сельскохозяйственного производства: Учеб. для вузов. — М.: Экономика,
1971.-358 с.
Браславец М. Е. Экономико-математические методы в организации и
планировании сельскохозяйственного производства. — М.: Экономика, 1974.
Браславец М. Е., Кравченко Р. Г. Математическое моделирование
экономических процессов в сельском хозяйстве. — М.: Колос, 1972. — 589 с.
БруверА. Ф. Экономико-математические методы планирования размещения
сельскохозяйственных производственных центров (на примере размещения ферм крупного
рогатого скота в хозяйствах Латвийской ССР): Автореф. дис. — Одесса, 1970.
672

Бугаевская В. В. Автоматизированная система экономического обоснования
проектов землеустройства//Итоги научно-исследовательской работы
Государственного университета по землеустройству за 1991—1995 гг.: Тезисы доклада на
научно-практической конференции. 19 —20 марта 1996 г. — М., 1996. — С. 92—94.
Бугаевская В. В. Обобщенная схема взаимосвязей задач землеустройства //
Тезисы доклада на научно-практической конференции
профессорско-преподавательского состава ГУЗ по итогам НИОКР за 1996 г. (21 — 22 апреля 1997 г.). — М.:
ГУЗ, 1997.-С. 65-66.
Бугаевская В. В. Организация землеустроительного проектирования с
использованием компьютерных технологий//Экономико-математические методы в
АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума.-М.: ВИАПИ, 1999.-С. 224-227.
Бугаевская В. В. Основные элементы автоматизированной системы
землеустройства//Актуальные вопросы землеустройства, землепользования и земельного
кадастра: Тезисы доклада на научной конференции. 4 —6 декабря 1996 г. — М.:
ГУЗ, 1996. - Вып. 1. - С. 28-29.
Бугаевский Ю. Л., Бугаевская В. В. Концепция создания автоматизированной
системы землеустройства // Геодезия и картография. — 1996. — № 9. — С. 51—56.
Бугаевский Ю. Л., Бугаевская В. В. Обобщенная блок-схема
автоматизированной системы землеустройства//Геодезия и картография. — 1998. — № 2. —
С.49 - 52.
Бурихин Н. Н. и др. Экономическое обоснование землеустройства колхозов
Нечерноземной зоны РСФСР. — М.: Колос, 1967. — 286 с.
Бурихин Н. Н. и др. Землеустроительное проектирование и организация
землеустроительных работ: Учеб. пособие для техникумов. — 2-е изд., перераб. и
доп. — М.: Колос, 1974.— 416 с.
Буркадзе В. К., БажунаишвилиДж.Н., Николеишвили М. М.
Экономико-математическая модель оптимального размещения сельскохозяйственного
производства с учетом максимально возможного удовлетворения населения Грузии
продукцией местного производства//Экономико-математические методы в АПК:
история и перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.:
ВИАПИ, 1999.-С. 71-74.
Бурков В. Н., Маркотенко Е. Н. Конкурсные механизмы в рыночной
экономике // Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы.
Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 195—196.
Бурмистров Г. А. Основы способа наименьших квадратов. — М.: Госгеолтехиз-
дат, 1963. —392 с.
Бущинская Е. Б. О методике экономической оценки проектов организации
территории //Труды Омского СХИ. — Омск, 1964. — Вып. 55. — № 1.
Вагнер Г. Основы исследования операций / Пер. с англ. Б. Т. Вавилова. — М.:
Мир. - Т. 1. - 1972. - 335 с. Т. 2. - 1973. - 488 с.
Валеева Н. И. Об использовании экономико-математических моделей для
повышения эффективности инвестиций в АПК / Экономико-математические
методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999. - С. 125-127.
Варламов А. А., Волков С. Н. Применение экономико-математических методов
при установлении сочетания отраслей, состава и площадей угодий//Научные
труды МИИЗ. - М., 1976. - Вып. 81. - С. 66-73.
ВасмутА. С. Моделирование в картографии с применением ЭВМ. — М.:
Недра, 1983.— 200 с.
ВасмутА. С. и др. Автоматизация и математические методы в картосоставле-
нии. — М.: Недра, 1990. — 392 с.
Венецкий И. Г., Кильдишев Г. С. Основы теории вероятностей и математической
статистики: Учеб. пособие для вузов. — М.: Статистика, 1968. — 360 с.
ВентцельЕ. С. Исследование операций. — М.: Советское радио, 1972. — 552 с.
ВентцельЕ. С. Теория вероятностей. — М.: Физико-математическая
литература, 1958.-464 с.
ВентцельЕ. С, Овчаров Л. А. Теория вероятностей (Избр. главы высш.
математики для инженеров и студентов втузов). — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 366 с.
673

Вервейко А. Д. Экономическая оценка проектов противоэрозионной
организации территории в условиях лесостепи //Труды ХСХИ. — Харьков, 1966. — Т. 47.
Вершинин В. В. Методика экономической оценки проектов землеустройства по
использованию сельскохозяйственной техники // Внутрихозяйственное
землеустройство сельскохозяйственных предприятий в условиях интенсификации
производства. Научные труды МИИЗ. — М., 1985. — С. 47—50.
Вершинин В. В. Оценка влияния устройства территории севооборотов на
эффективность использования сельскохозяйственной техники//Организационно-
экономические основы землеустройства сельскохозяйственных предприятий.
Научные труды МИИЗ. — М., 1983. — С. 81—84.
Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине / Пер. с
англ.; Под ред. Г. Н. Поварова. — 2-е изд. — М.: Советское радио, 1968. — 326 с.
Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине / Пер. с
англ. - М.: Наука, 1983. — 340 с.
Вирченко М. И., Рапопорт Э. О. Математико-экономический анализ
некоторых проблем земельной ренты//Экономико-математические методы в АПК:
история и перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. —
М.: ВИАПИ, 1999.-С. 196-198.
Вирченко М. И., Шестакова Н. В. Моделирование формирования
экономических показателей//Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ,
1999.-С. 198-201.
Внутрирайонная специализация и концентрация сельскохозяйственного
производства/А. П. Курносое, Б.А.Дубровский, Л. И. Заикин и др. — М.: Колос,
1975.-256 с.
Внутрихозяйственное землеустройство колхозов и совхозов / Под ред.
Ф. К. Куропатенко. — Минск: Сельхозиздат, 1963. — 282 с.
Волков С. Н. Землеустройство крестьянских хозяйств: Метод, разработки. 4.1,
II.-М., 1991.-87 с.
Волков С. Н. Методологические основы построения системы показателей
экономической оценки проектов внутрихозяйственного
землеустройства//Территориальная организация производства в агропромышленном комплексе района.
Научные труды МИИЗ. — М., 1987. — С. 57—68.
Волков С. Н. Моделирование состава и структуры противоэрозионного
комплекса при землеустройстве //Сб.: Теоретические и практические проблемы
защиты почв от эрозии. Материалы научно-практической конференции молодых
ученых ВНИИЗПЭ, ВНИИТЭИСХ, 28.Х. 1980, N104/32-80.
Волков С. Н. Моделирование структуры себестоимости продукции полеводства
в зависимости от территориальных свойств земли // Внутрихозяйственное
землеустройство сельскохозяйственных предприятий в условиях интенсификации
производства. Научные труды МИИЗ. — М., 1985 — С. 33—41.
Волков С. Н. Некоторые теоретические вопросы математического
моделирования в землеустройстве // Землеустройство. Научные труды МИИЗ. — М., 1977. —
Вып. 82. - С. 39-48.
Волков С. Н. Оптимальное планирование и проектирование использования
земельных угодий в условиях водной эрозии почв (на примере хозяйств
Центрально-Черноземной зоны): Автореф. дис. — М., 1977. — 24 с.
Волков С. Н. Оптимальное проектирование комплекса противоэрозионных
мероприятий / МИИЗ//Землеустройство. Научные труды МИИЗ. — М., 1978. —
Вып. 87. - С. 82-88.
Волков С. Н. Оптимизация проектирования севооборотов при
внутрихозяйственном землеустройстве//Информация Госагропрома РСФСР. — 1987.—
№6.-С. 10-11.
Волков С. Н. Оптимизация проектирования севооборотов с комплексом
противоэрозионных мероприятий // Оптимизация структуры и размещения
севооборотов при помощи ЭВМ. Тезисы доклада научного семинара. — Тарту: ЭСХА,
1982.-С. 20-25.
Волков С. Н. Оценка эффективности использования сельскохозяйственной
техники при проектировании севооборотов в условиях мелиоративной неустроен-
674

ности территории//Внутрихозяйственная организация использования мелиора-
тивно неустроенных земель. Научные труды МИИЗ. — М., 1988. — С. 14—22.
Волков С. Н. Применение экономико-математических методов при
перспективном использовании земельных ресурсов в условиях водной эрозии // Противо-
эрозионная организация территории. Научные труды МИИЗ. — М., 1976. —
Вып. 8.-С. 106-116.
Волков С. Н. Пример постановки экономико-математической задачи
обоснования проектирования противоэрозионных мероприятий: Рекомендации по
применению экономико-математических методов и моделей в землеустройстве. — М.:
ГИЗР, 1981.
Волков С. Н. Совершенствование проектирования противоэрозионного
комплекса с применением ЭВМ // Научные и методические вопросы
землеустроительного проектирования на современном этапе. Научные труды МИИЗ. — М.,
1981.-С. 46-55.
Волков С. Н. Экономика землеустройства: Учеб. для вузов. — М.: Колос,
1996.-239 с.
Волков С. Н. Экономико-математические методы и моделирование в
землеустройстве//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы.
Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999.—
С. 40-47.
Волков С. Н. Экономическая эффективность внутрихозяйственного
землеустройства: Автореф. дис. — М., 1986. — 23 с.
Волков С. Н. Экономическая эффективность внутрихозяйственного
землеустройства: Учеб. пособие. — М., 1990. — 126 с.
Волков С. Н., Безгинов А.Н. Экономико-математические модели в
землеустройстве. — Ч. III. — Методические основы применения производственных функций
при решении землеустроительных задач. — М., 1997. — 90 с.
Волков С. Н. и др. Экономико-математические модели в землеустройстве:
Задания для выполнения расчетно-графических, лабораторных, контрольных и
самостоятельных работ/ Волков С. Н., Твердовская Л. С, Бугаевская В. В. — М.: ГУЗ,
1998.-104 с.
Волков С. Н., Кирюхина К. М. Оптимизация структуры посевных площадей в
схемах землеустройства района//Землеустройство. Научные труды МИИЗ. — М.,
1977.-Вып. 82.-С. 75-83.
Волков С. Н., Красницкий В. С. Расчет оптимального состава
противоэрозионных мероприятий на персональной ЭВМ//Внутрихозяйственная организация
территории сельскохозяйственных предприятий в условиях интенсификации.
Научные труды МИИЗ. — М., 1991. - С. 41-48.
Волков С. Н., Красницкий В. С. Установление размера землевладения и
структуры производства крестьянского хозяйства с использованием
экономико-математических методов и ПЭВМ // Организация территории сельскохозяйственных
предприятий в условиях многообразия форм владения и пользования землей.
Научные труды ГУЗ. — М., 1993. - С. 14-30.
Волков С. Н., Купчиненко Л. В. Оптимизация проектирования трансформации
угодий//Землеустроительное проектирование. Научные труды МИИЗ. — М.,
1978.-Вып. 93.-С. 99-106.
Волков С. Н., Матасова Н. М. Экономическое обоснование формирования
территории межхозяйственных предприятий по производству кормов на пойменных
землях // Совершенствование использования земель и организации территории в
связи с реализацией Продовольственной программы. Научные труды МИИЗ. —
М., 1986.-С. 21-27.
Волков С. Н., Мизюрин В. К. Пути внедрения экономико-математических
методов в землеустроительное проектирование//Информация МСХ РСФСР. — М.:
Росземпроект, 1980. — № 12.
Волков С. Н., Никитин В. В. Прогнозирование площадей лесополос и дорог в
проектах внутрихозяйственного землеустройства сельскохозяйственных
предприятий южных областей Нечерноземного центра // Внутрихозяйственная
организация использования мелиоративно неустроенных земель. Научные труды
МИИЗ.-М., 1987.-С. 53-58.
675

Волков С. Н., Розенбладт Г И., Аббо Фарук. Экономическое обоснование
организации севооборотов хозяйств с использованием ЭВМ//Актуальные вопросы
организации использования пахотных земель. Научные труды МИИЗ. — М.,
1991.-С. 15-20.
Волков С. Н., Папаскири Т. В. Информационное обеспечение землеустройства
на основе применения компьютерных технологий. Деп. под № 144 — ВС — 98,
аннотирована в 4,1 выпуске БД ВНИИТЭИагропрома, 1998. — 154 с.
ВолковС. Н., Романов А. Н., Григоренко Г. П. Построение и функционирование
сложных экономических систем. — М.: Финансы и статистика, 1982.
Волков С, Семочкин В. #., Папаскири Т. В. Теоретические основы и технология
автоматизации землеустроительного проектирования на основе применения САПР
«АИТОСАД» // РАСХН, ВНИИТЭИ. Коллективная монография. — М., 1999.
Волков С. И., ТвердовскаяЛ. С. Применение экономико-математических
методов в землеустройстве: Метод, указания по изучению дисциплины и задания для
контрольных работ. — М.: МИИЗ, 1984. — 48 с.
Вольное Ю. В. Обоснование системы показателей оценки земель в условиях
рыночной экономики // Проблемы землевладения и землепользования ГУЗ. —
М., 1992.-С. 20-26.
Вольф В. Г. Статистическая обработка опытных данных. — М.: Колос, 1966.
Вопросы совершенствования перспективного планирования АПК с
использованием экономико-математических моделей / В. И. Киселев, В. И. Денисов, Л. С. Па-
шинина, С. Н. Стрельцова; Отв. ред. А. А. Гусев. — М.: Наука, 1988. — 133 с.
Воробьев Л. А. Основы управления производством: Учеб. пособие. — 2-е изд.,
перераб. — Минск: НПЖ «Финансы. Учет. Аудит», 1997. — 200 с.
Воробьев Ф. А. Оптимальные размеры животноводческих ферм в условиях
белорусского Полесья // Землеустройство, планировка сельских населенных
пунктов и геодезия. Научные труды Белорусской СХА. — Минск: Урожай, 1966. —
Т. 41.
Вычислительная техника в сельском хозяйстве / Под ред. М. М. Рапопорта. —
М.: Статистика, 1968.— 320 с.
Гаврилец Ю. Н. О критерии оптимальности экономической системы //
Экономика и математические методы. 1967. — № 2, — Т. 3.
Гаршин П. П. Определение варианта схем севооборотов в задаче обоснования
оптимальной организации производственного типа сельскохозяйственных
предприятий // Кибернетика в сельском хозяйстве: Сб. научных трудов. — Одесса,
1973.
Гасс С, Спектор М. Д., Тихомирова Е. Д. Планировка сельскохозяйственных
районов. — М.: Колос, 1971.
Гатаулин А. М. Система прикладных статистико-математических методов
обработки экспериментальных данных в сельском хозяйстве. — МСХА, 1992.—
Ч. 1, 2.
Гатаулин A.M. и др. Математика для сельского экономиста/Гатаулин А. М.,
Харитонова Л. А., Нефедова Э. С. — М.: Россельхозиздат, 1975. — 206 с.
Гатаулин А. М. и др. Экономико-математические методы в планировании
сельскохозяйственного производства/Гатаулин А. М., Харитонова Л. А., Гаврилов
Г. В. - М.: Колос, 1976. - 223 с.
Гатаулин А. М. и др. Экономико-математические методы в планировании
сельскохозяйственного производства: Учеб. для техникумов / А. М. Гатаулин,
Г. В. Гаврилов, Л. А. Харитонова. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Агропромиздат,
1986.-272 с.
Гирсанов И. В., Поляк Б. Т. Математические методы решения задачи о
размещении: проблемы оптимального планирования, проектирования и управления
производством. — МГУ, 1963.
Глухое В. В. и др. Экономические основы экологии: Учебник / Глухов В. В.,
Лисочкина Т. В., Некрасова Т. П. — СПб.: Специальная литература, 1995. — 280 с.
ГозуловА. И., Мержанов Г. С. Статистика сельского хозяйства: Учеб. для
вузов. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Статистика, 1975. — 367 с.
Голдина В. Н. Моделирование сельскохозяйственных процессов с помощью
эмпирических формул: Автореф. дис. — Харьков, 1968.
676

Головня А. А., СафроновА.Д., Ягуткин С. Л/. Экономическое моделирование
конкурентоспособности сельскохозяйственных предприятий в Белгородской области //
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 127—129.
Голыитейн Е. Г., Юдин Д. Б. Новые направления в линейном
программировании. — М.: Советское радио, 1966.
Горячев Ю. В. Математические модели и проблемы агроэкономического
прогнозирования//Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. —
С. 74-76.
Дабруцкая Е. Г., Сигаев М. П., Таланин В. И. Вопросы экономического
обоснования проектов внутрихозяйственного землеустройства / Землеустройство и
планировка сельских населенных мест // Сб. научных трудов Белорусской СХА. —
Горки, 1974.-Т. 124.
Данилова Г. П. Организация сельскохозяйственных угодий и территории
севооборотов в совхозах эрозионной зоны Липецкой области: Автореф. дис. — М.,
1970.
Данциг Дж. Линейное программирование, его применения и обобщения/Пер.
с англ. — М.: Прогресс, 1966.
Данчелян А. А., Ахмедов И. В. Некоторые вопросы математического
моделирования при решении задач оптимального планирования сельскохозяйственного
производства / Кибернетика в сельском хозяйстве // Сб. научных трудов. —
Одесса, 1973.
Денисов В. И. Измерение экономической эффективности дизайна продукции
перерабатывающих отраслей АПК // Экономико-математические методы в АПК:
история и перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. —
М.: ВИАПИ, 1999. - С. 169-172.
ДженнингсР. Microsoft Access 97 в подлиннике / Пер. с англ.— СПб.: BHV-
Санкт-Петербург, 1999. — Т. 1 и 2. — 1312 с.
Добряк Д. Автоматизированная земельная информационная
система//Международный сельскохозяйственный журнал. — 1995. — № 6. — С. 21—22.
Донцов А. В. Обоснование организаций угодий и устройства территории
севооборотов в колхозах Курской области: Автореф. дис. — М., 1974.
Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. Mathcad 8 PRO в математике, физике и
Internet. — М.: Нолидж, 1999. —512 с.
Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной
математики. — М.: Нолидж, 1999. — 640 с.
Ерешко Ф. И. Информационные технологии и математические модели в
аграрной сфере//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы.
Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999.—
С.227 - 232.
Ермольев Ю. М. Стохастические модели и методы оптимизаций //
Кибернетика.—Киев, 1974. — № 4.
Ефремов В. М. Основные вопросы землеустройства в условиях водной эрозии
почв (на примере совхозов Ульяновской области): Автореф. дис. — М., 1971.
Жданов С. А. Экономические модели и методы в управлении. — М.: Дело и
сервис, 1998. — 176 с.
Журкин И. Г. Концепция построения экологической информационной
системы // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. — 1992. — № 2. — С. 105—119.
Задонцева В. Я. Вопросы методики прогнозирования оптимальных севооборотов /
В кн.: Кибернетика в сельском хозяйстве//Сб. научных трудов. — Одесса, 1973.
Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в
экономике: Учеб. для вузов. — М.: ДИС, 1998. — 368 с.
Заплешин В. Я. Вопросы совершенствования землепользования колхозов. —
М.: Экономика, 1975. —63 с.
Заплешин В. Я. Межхозяйственное землеустройство. — Воронеж: Центрально-
Черноземное книжное издательство, 1970. — 176 с.
Заплешин В. Я. Организация территории колхоза.— 2-е изд., доп. — Воронеж:
Центрально-Черноземное книжное издательство, 1973. —216 с.
677

Заплешин В. Я. Рациональная организация территории колхоза. — Воронеж:
Центрально-Черноземное книжное издательство, 1969.— 173 с.
Заплешин В. Я. Экономические основы территориальной организации
производства в условиях Центрально-Черноземного экономического района: Автореф.
дис. — Воронеж, 1974.
Землеустройство крестьянских хозяйств: Учеб. пособие/В. Н. Хлыстун,
С. Н. Волков, В. X. Улюкаев и др.; Под ред. В. Н. Хлыстуна, С. Н. Волкова. — М.:
Колос, 1995.-224 с.
Землянский А. А., Землянский А. А. Каскадное принятие решений о
предоставлении средств хозяйствующим субъектам//Экономико-математические методы в
АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999. - С. 129 - 133.
ЗинченкоА. В. Использование математических методов для прогнозирования
размещения сельскохозяйственного производства//В кн.: Математические
методы в планировании и организации производства. Труды Целиноградского СХИ. —
Целиноград, 1974.
ЗинченкоА. В. О критериях планирования сельскохозяйственного института. —
1973.-Вып. 8.-Т. 9.
Зорин Ф. И, Кутилов М. К. К вопросу разработки планов
организационно-хозяйственного устройства совхоза «Луговской» // В кн.: Вопросы экономики и
организации сельскохозяйственных предприятий. Труды Пермского СХИ. —
Пермь, 1971.-Т. 83.
Зятьков Ю. И Экономико-математическое моделирование производственного
планирования в информационно-консультационной системе АПК // Экономико-
математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С.232 — 240.
Ильченко А. И. От моделирования производственных процессов — к
моделированию управляющих технологий в производстве и распределении продукции
АПК//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы.
Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. —
С.76-78.
Ильюшонок С. Е. Оптимизация темпов и пропорций развития аграрно-про-
мышленного комплекса. — Новосибирск: Наука, 1980.
Илюхина В. И. Опыт применения ЭВМ при планировании
внутрихозяйственного размещения отраслей //В кн.: Кибернетика в сельском хозяйстве. Сб.
научных трудов. — 1973.
Информатика в решении экономических проблем АПК (Материалы VI
конгресса Международной академии информатизации). — М.: ВИМ, 1997.
Искаков Б. И. Проблемы и перспективы экономико-математического и статис-
тико-демографического моделирования АПК
России//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного
научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. - С.216 — 223.
Исаков Б. И. Проблемы оптимального функционирования сельского
хозяйства: Автореф. дис. — МИНХ, 1971.
Использование математических методов и вычислительной техники в сельском
хозяйстве//Экономика. — М., — 1968.
Исследование операций в экономике: Учеб. пособие / Н. Ш. Кремер, Б. А. Пут-
ко, Н. М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. Н. Ш. Кремера. — М.: Банки и
биржи, ЮНИТИ, 1997.-407 с.
КалиевГ.А. Применение экономико-математических методов в аграрной
науке и аграрном производстве Республики Казахстан: состояние и задачи //
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С.47 — 48.
Канторович Л. В. Математические методы в организации планирования
производства. — ЛГУ, 1939.
Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использования
ресурсов. - М.: АН СССР, 1959. - 344 с.
Канторович Л. В., ГорсткоА.Б. Оптимальные решения в экономике. — М.:
Наука, 1972.-231 с.
678

Канторович Л. В., Коротко Д. Б. Математическое оптимальное
программирование в экономике. — М.: Знание, 1968.
Кардаш В. А. Краткая история становления и развития российской школы
стохастической оптимизации в АПК//Экономико-математические методы в АПК:
история и перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. —
М.: ВИАПИ, 1999. - С. 48-53.
Кардаш В. Л. Модели управления производственно-экономическими
процессами в сельском хозяйстве. — М.: Экономика, 1967.
Кардаш В. А., Рапопорт Э. О. Моделирование экономических процессов в
сельском хозяйстве. — Новосибирск: Наука, 1979.
Кардаш В. А. Экономика оптимального погодного риска в АПК. — М.: Агро-
промиздат, 1989.
Кармалов В. Г., Поляк Б. Т. Опыт решения задач размещения производства в
вычислительном центре МГУ//В сб.: Применение математики при размещении
производительных сил. — М., 1964.
Карпенко А. Ф. Математическое моделирование в экономических трудах
К. Маркса и В. И. Ленина //Сб.: Экономико-математические методы и
вычислительная техника в сельском хозяйстве. — Вып. 3. — Новосибирск, 1972.
Качуров В. И. Использование объективно обусловленных оценок в
определении эффективности сельскохозяйственных угодий и уровня хозяйственной
деятельности сельскохозяйственных предприятий // В кн.:
Экономико-математические методы и вычислительная техника в сельском хозяйстве. Труды
Новосибирского СХИ. — Вып. 2. — Новосибирск, 1969. — Т. 36.
Кезлинг Г. Б., Евдокимов В. В., Федоров С. Л. Эффективность и качество АСУ. —
Л., 1970.
Кекелидзе М. В. Анализ межотраслевых связей республики. — М.: Наука, 1968.
Келехсашвили Л. И. Перспективы развития фермерского хозяйства на
приватизированных землях и их оптимальные размеры (на примере Кахетинского и Ши-
дакартлинского регионов Грузии)//Экономико-математические методы в АПК:
история и перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. —
М.: ВИАПИ, 1999. - С.133 - 134.
Кемниц Ю. В. Определение параметров эмпирических формул методом
наименьших квадратов. — М.: Недра, 1964. — 196 с.
Кенжегузин М. Б. Оптимальное планирование сельского хозяйства. — Кайнар,
1972.
Кенжегузин М. Б. Оптимизация развития, размещения и специализации
сельскохозяйственного производства района //В кн.: Математические методы в
планировании и организации производства. Труды Целиноградского СХИ. —
Целиноград, 1974.
Кирсанов В. А. Социально-экономические основы сельскохозяйственного
расселения (на примере Украинской ССР): Автореф. дис. — Харьков, 1964.
Кирюхин В. Д., Волков С. И. Некоторые вопросы применения
экономико-математических методов при организации угодий и севооборотов в районах водной
эрозии почв//Противоэрозионная организация территории. Научные труды
МИИЗ. - Вып. 73. - М., 1975. - С.51 - 61.
Кирюхин В. Д., Данилова Г. Д. Применение линейного программирования в
землеустройстве // Научные труды МИИЗ. — Вып. 29. — М., 1965. — С. 28 — 40.
Кирюхин В. Д., Данилова Г. Д. Эффективность оптимизации уровня
специализации сельскохозяйственного производства с помощью
экономико-математических методов и ЭВМ // Землеустройство. Научные труды МИИЗ. — Вып. 67. — М.,
1973. - С. 28-37.
Кирюхин В. Д. Противоэрозионная организация территории. — М.: Колос,
1973.-160 с.
Кирюхин В. Д. Установление рациональных размеров отделений с
применением математических методов//Научные труды МИИЗ. — Вып.44. — М., 1969. —
С. 142-151.
Кирюхина К М. Эффективность введения кормовых севооборотов и
полезащитных лесных полос в Центрально-Черноземном районе/Труды МИИЗ.—
Вып. 34. - М., 1965.
679

Кирюхина К M.t Васильков Ю. С. Землеустройство садоводческих товариществ.
Итоги научно-практической работы молодых ученых и специалистов за 1997 г. —
М.: СМУиС ГУЗ, 1997.
Кирюхина К М., Волков С. Н. Оптимизация площадей в схемах землеустройства
района // Научные труды МИИЗ. — Вып. 82. — М., 1977.
Кирюхина К. М., Волков Г. П. Экономическое обоснование проектов
землеустройства с комплексом противоэрозионных мероприятий//Противоэрозионная
организация территории. Научные труды МИИЗ. — Вып. 81. — М., 1976.
Кирюхина К Л/., Хохунова С. А. Организация использования городских земель.
Итоги научно-практической работы молодых ученых и специалистов за 1997 г. —
М.: СМУиС ГУЗ, 1997.
Киселев В. И. Организация и планирование народнохозяйственного
агропромышленного комплекса. — М.: Наука, 1979.
Киселев В. И. и др. Вопросы совершенствования перспективного планирования
АПК с использованием экономико-математических моделей. — М.: Наука, 1988.
Кислое В. Государственная автоматизированная система земельного кадастра
Российской Федерации//Международный сельскохозяйственный журнал.—
1995.-№6.-С.12-14.
КолемаевВ.Л. Математическая экономика. — М.: ЮАИТИ, 1998.
Колемаев В. А. Моделирование развития агропромышленного комплекса: Учеб.
пособие. — М., 1985.
Колемаев В. А. Экономика — для всех//Экономико-математические методы в
АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999. - С. 53 - 56.
Колемаев В. А., Кузнецов А. А. Экономика и организация агропромышленного
комплекса: Учеб. пособие. — М., 1983.
Колесников Ю. Г. Информация как фактор управления АПК // Экономико-
математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 240—241.
Колтунов Н. М. Оптимизация ежегодного размещения сельскохозяйственных
культур в автоматизированном режиме. — М.: ГУЗ, 1996. — 21 с.
КомлевА.А. Экономика противоэрозионной мелиорации. — М.: Колос,
1970.-150 с.
КомовН.В. Управление земельными ресурсами России: российская модель
землепользования и землевладения. — М.: РУССЛИТ, 1995. — 301 с.
Комплексная организация территории колхозов и совхозов / Под ред. Ф. К. Ку-
ропатенко. — Минск: Урожай, 1970. — 271 с.
Конокотин Н. Г. Применение распределительного метода линейного
программирования при проектировании почвозащитных севооборотов//Противоэрози-
• онная организация территории. Научные труды МИИЗ. — Вып. 81. — М., 1976. —
С. 57-65.
Конокотин Н. Г. Эколого-экономическое обоснование противоэрозионной
организации территории: Учеб. пособие. — М.: ГУЗ, 1996. — 123 с.
Копенкин Ю. И. Стохастическая оптимизация в решении проблем
устойчивости сельскохозяйственного производства//Экономико-математические методы в
АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999. - С. 78 - 80.
КорнеевА.Ф., Капитонов А. А. Моделирование земельной
ренты//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 172 — 175.
Королев М. А., МишенянА. И., ХотяцовЭ. Н. Теория экономических
информационных систем. — М.: Финансы и статистика, 1984.
Король В. И. Особенности размещения производственных подразделений и
хозяйственных центров в молочно-мясных совхозах Владимирской области //
Научные труды МИИЗ. — Вып. 64. — М., 1973.
Король В. И. Совершенствование размещения производственных
подразделений и хозяйственных центров в условиях Кировской области // Проблемы
землеустройства на современном этапе. Научные труды МИИЗ. — Вып. 99. — М.,
1980.
680

Король В. И. Установление состава и соотношения угодий в хозяйствах
Владимирской области//Землеустройство. Научные труды МИИЗ. — Вып. 87. — М.,
1978.
Королюк В. С, Портенко Н. И. и др. Справочник по теории вероятностей и
математической статистике. — 2-е изд. — М.: Наука, 1985. — 640 с.
Коршунова И. И., Плясунов B.C. Математика в экономике. — М.: Вита-Пресс,
1996.-368 с.
Косенко Т. А. Задача размещения сыродельных предприятий на территории
нескольких районов Алтайского края//В сб.: Применение математики при
размещении производительных сил. — М.: Наука, 1964.
КоссовВ. В. Межотраслевой баланс. — М.: Экономика, 1966.
Кочегура Н. М. Применение методов стохастического программирования для
решения задач перспективного планирования. — Киев, 1974.
КошелевВ. М. Моделирование динамики развития инвестиционных проектов//
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 134 — 138.
КошкаревА. В., Тикунов В. С. Геоинформатика / Под ред. Д. В. Лисицкого. —
М.: Картгеоцентр: Геодезиздат, 1993. — 213 с.
Кравченко Р. Г. Методы планирования и анализа сельскохозяйственного
производства. — Новосибирск: Наука, 1969.
Кравченко Р. Г. Экономика и электроника. — М.: Изд. сельскохозяйственной
литературы, журналов и плакатов, 1963.
Кравченко Р. Г. Экономико-математические методы в управлении и
планировании сельского хозяйства. — М.: Колос, 1970.
Кравченко Р. Г. Экономико-математические модели задач по сельскому
хозяйству. — М.: Экономика, 1965. — 311 с.
Кравченко Р. Г., Попов И. Г., Толпекин С. 3. Экономико-математические методы
в организации и планировании сельскохозяйственного производства: Учебное
пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Колос, 1973. — 528 с.
Кравченко Р. Г., Крылатых Э. Н. Автоматизированная система управления в
сельском хозяйстве. — М.: Колос, 1975.
Кравченко Р. Г., Скрипка А. Г. Основы кибернетики: Учеб. пособие. — М.:
Экономика, 1974.
Крамер Г. Математические методы статистики / Пер. с англ. — 2-е изд. — М.:
Мир, 1975.-647 с.
Крастинь О. П. Агроэкономические функции. — Рига, 1971.
Крастинь О. П. Корреляционные методы в экономическом анализе
сельскохозяйственного производства. — Рига: Зинатне, 1967.
Крастинь О. П. Применение регрессионного анализа в исследованиях
экономики сельского хозяйства. — Рига: Зинатне, 1976.
Критерии оценки экологической обстановки территорий для выявления зон
чрезвычайной экологической ситуации и зон экологического бедствия. — М.:
Минэкология, 1992. — 58 с.
КручининИ.А. Проектная и фактическая эффективность АСУ. — М.:
Экономика, 1973.
Крылатых Э.Н., АрсенькинаЛ. Ф., ГальминасФ.А., Рыбакова Р. А. Экономико-
математическое моделирование и его новое приложение в исследовании
процессов формирования общего аграрного рынка СНГ. Отчет о
научно-производственной деятельности за 1998 г. Всероссийский институт аграрных проблем и
информатики РАСХН.—Люберцы: Производственно-издательский комбинат
ВИНИТИ, 1998.-56 с.
Крылатых Э. Н. Пропорции и приоритеты в развитии АПК. — М.: Экономика,
1983.
Крылатых Э. Н. Система моделей планирования сельского хозяйства. — М.:
Экономика, 1979.
Крылатых Э. Н. Экономико-математическое моделирование и его роль в
аграрной экономической науке//Экономико-математические методы в АПК:
история и перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.:
ВИАПИ, 1999.-С. 9-22.
681

Кудрявцев В. Л. Обоснование структуры АСПР и САПР в землеустройстве//
Совершенствование землеустройства в условиях перестройки хозяйственного
механизма в АПК. Тезисы доклада на Всесоюзной научно-технической
конференции. 31 мая —2 июня 1989 г. — М., 1989.— С. 23—28.
Кулешов В. А. Системный Подход и системные модели мирового рынка //
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы.
Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 175 —
180.
КупчиненкоА. В., Бугаевская В. В. Оптимизация размещения
сельскохозяйственных культур и севооборотов с учетом степени радиоактивного загрязнения
почв. - Вып. 3. - М.: ГУЗ, 1994. - 19 с.
Курносое А. П., Синельникова М. М. Вычислительная техника и
экономико-математические методы в сельском хозяйстве: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд.,
перераб. и доп. — М.: Статистика, 1977. — 328 с.
Курносое А. П., Сысоев И. А. Вычислительная техника и
экономико-математические методы в сельском хозяйстве. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и
статистика, 1982. — 304 с.
Кутенков Р. П. Математические методы классификации агросистем регионов
Российской Федерации // Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ,
1999. - С. 83-85.
Ланге О. Оптимальные решения. Основы программирования. — М.: Прогресс,
1967.-285 с.
Лапшин К. А. Определение цены информации с использованием методов
теории игр//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы.
Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. —
С. 201—203.
Ларченко Е. Г. Применение математических методов в землеустройстве: Учеб.
пособие. — М.: Колос, 1969. — 152 с.
Ларченко Е. Г. Вычислительная техника и экономико-математические методы
в землеустройстве: Учеб. пособие для вузов. — М.: Недра, 1973. — 399 с.
Лемешев М. Межотраслевые связи сельского хозяйства (вопросы анализа и
планирования). — М.: Экономика, 1968.
Леньков И. И. Оптимальное планирование АПК района. — Минск: Ураджай,
1987.
Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статисти-
ческой обработки наблюдений. — М.: Физматгиз, 1962. — 352 с.
Лихтенштейн В. Е. Дискретность и случайность в экономико-математических
задачах. — М.: Наука, 1973.
ЛичманА.А. Прогнозирование количественных макроэкономических
показателей сельскохозяйственного производства с учетом изменения тенденции
развития // Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы.
Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 85—93.
Ломидзе Ю.Л. Системный анализ информационного обеспечения
государственного управления в АПК России// Экономико-математические методы в
АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999.-С. 241-245.
ЛопатниковЛ. И. Популярный экономико-математический словарь.— 3-е
изд., доп. — М.: Знание, 1990. — 254 с.
Лугачев М. И. Исследование моделей аграрного производства (Опыт
моделирования динамики урожайности). — М.: МГУ, 1985. — 133с.
Лукьянов Б. В. и др. Новые информационные технологии в управлении
сельскохозяйственным производством: Учеб. пособие. — МСХА, 1995. — 168 с.
Лурье А. Л. Экономический анализ моделей планирования социалистического
хозяйства. — М.: Наука, 1973. — 435 с.
ЛутинЯ.А. Стохастическое моделирование в оптимизации размеров мелких
сельскохозяйственных и других предприятий//Экономико-математические
методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999. - С. 138-141.
682

Лысенко Е. Г. Эколого-экономические и социальные аспекты
землепользования в условиях аграрной реформы. — М., 1995. — 231 с.
Любчак М. М., Задонцева Н. И. Методика определения эффективности
севооборотов с помощью экономико-математических методов/В кн.:
Математические методы в планировании и организации производства//Труды
Целиноградского СХИ. — Целиноград, 1974.
Макиева А. Ю. Задача увеличения отдачи ресурсного потенциала области при
производстве сельскохозяйственной продукции // Экономико-математические
методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 93—95.
Маршалкович Т., Рыхлик Т. Теоретические и методологические проблемы
оптимального планирования сельскохозяйственного производства в связи с
вопросами математического моделирования. — М., 1973.
Маслов А. А. Экономическая эффективность рационального сочетания
сельскохозяйственных угодий / Пути повышения рентабельности производства и
совершенствования учета в колхозах и совхозах БССР // Сб. научных трудов
Белорусской СХА. — Горки, 1968.
Математические методы в планировании отраслей и предприятий: Учеб.
пособие для вузов/ Под ред. И. Г. Попова. — М.: Экономика, 1973. — 375 с.
Математические методы в управлении АПК (Материалы симпозиума). — М.:
ЦОПКБ ВИМ, 1997.
Матряшин Н. П. Опыт решения стохастической модели оптимального
планирования//Экономика и математические методы, 1968.— Т. 4, №5.
Мацкевич И. П., Свирид Г. П. Теория вероятностей и математическая
статистика. — Минск: Вышэйшая школа, 1993. — 269 с.
Меденников В. И., Бородин К. Г., Котельников В. А. Новые тенденции в
разработке информационных систем в АПК//Экономико-математические методы в
АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума.-М.: ВИАПИ, 1999.-С. 245-248.
Медницкий В. Г., Медницкий Ю. В. Об одной схеме декомпозиции //
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 203—207.
Менский В. Я. Математические вопросы формирования экономических
моделей. — Новосибирск: Наука, 1973.
Менский В. Я. Организационно-экономическое обоснование севооборотов. —
Горький: Волго-Вятское книжное издательство, 1973.
Методика и опыт разработки региональных программ (тезисы докладов). —
М., 1977.
Методика определения эффективности мелиоративных и противоэрозионных
мероприятий. — Кишинев: Издательство ЦК КП Молдавии, 1969.
Методика оптимизации размещения предприятий для послеуборочной
обработки и хранения зерна в колхозах и совхозах. — М., 1972.
Методика образования землевладений крестьянских (фермерских) хозяйств/
С. Н. Волков, Г. П. Митяев, Н. М. Колтунов и др. — М., 1993. — 71 с.
Методические основы зонирования городских территорий с использованием
компьютерных технологий. — М.: РАСХН, ВНИИТЭИ, 2000. - 154 с.
Методика проведения деловой игры «Гексагон» по совершенствованию
хозяйственного механизма. — М., 1982.
Методики научных исследований по оптимальному планированию
сельскохозяйственного производства. — М.: ВНИЭСХ, 1967.
Методические рекомендации по определению конечной продукции
регионального АПК. — Саратов: Институт социально-экономических проблем
развития АПК, 1990.
Методические указания по анализу экономики сельскохозяйственного
производства в колхозах и совхозах. — М.: МСХ СССР, 1973.
Методологические вопросы планирования сельского хозяйства с
использованием ЭВМ/Под ред. Н. П. Трубилко, И. В. Борисевича. — Минск, 1971.
Мизюрин В. К. Организация землевладений сельскохозяйственных предприятий
в современных условиях с применением ЭММ и моделей. — МИИЗ, 1987. —33 с.
683

Мизюрин В. К. Территориальная организация сельскохозяйственного
производства при формировании аграрно-промышленного комплекса
административного района методами экономико-математического моделирования. — МИИЗ,
1988.-34 с.
Милосердое В. В. Математические методы в экономике и организации
сельского хозяйства. — Минск: Высшая школа, 1965.
Милосердое В. В. Оптимальное размещение государственных заготовок. — М.:
Колос, 1971.
Милосердое В. В. Автобиография в кибернетике // Экономико-математические
методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999.— С. 22-29.
Миндрин А. С. Модель производственного обеспечения региона // Экономико-
математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 95—98.
Миронова Н Н Проблемы экономико-математического моделирования
использования производственного потенциала в
животноводстве//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 98—100.
Миронова Н Н., Симонова В. Н Применение корреляционно-регрессивного
анализа при оценке производственного потенциала в свиноводстве // Экономико-
математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 141 — 143.
Мирцхулава И. Е. Инженерные методы расчета и прогноза водной эрозии. —
М.: Колос, 1970.-240 с.
Михеева В. С. Математические методы в планировании размещения
сельскохозяйственного производства. — М.: Экономика, 1966. — 102 с.
Модели и инструментальные средства электронизации в АПК. — М.: ВНИИП-
ТИК, 1989.
Моделирование макроэкономических процессов для принятия решений в
сфере АПК (Материалы научно-методического симпозиума). — М.: ЦОПКБ ВИМ,
1996.
МожинВ.П. Оптимизация плановых решений в сельском хозяйстве. — М.:
Экономика, 1974.
Можин В. П. Проблемы оптимизации перспективного развития сельского
хозяйства. — Новосибирск: Наука, 1972.
Морозов К. Е. Математическое моделирование в научном познании. — М.:
Мысль, 1969.-212 с.
Муртазалиев М. М. Моделирование программ развития АПК // Экономико-
математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 100—102.
Мусихин И. Вопросы планирования оптимального сочетания отраслей в
сельскохозяйственных предприятиях с использованием ЭВМ//В кн.: Вопросы
экономики и организации сельскохозяйственных предприятий. Труды Пермского
СХИ.-Пермь, 1971-Т. 83.
Назаренко В. И. Информационное обслуживание на основе баз данных АСН-
ТИсельхоз//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы.
Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. —
С. 248-251.
Назаров А. И. Математическая модель перспективного плана мелиорации и
использования земель//Землеустройство, планировка сельских населенных
пунктов и геодезия: Сб. научных трудов Белорусской СХА. — Горки, 1968. —
Т. 55.
Назаров А. И. Планирование и проектирование мелиоративных работ
методами математического программирования (применительно к условиям БССР): Ав-
тореф. дис. — Московский гидромелиоративный институт, 1969.
Народнохозяйственный агропромышленный комплекс. Теория и практика. —
М.: Экономика, 1980.
Научные основы АСУ-сельхоз (теория и практика создания системы). — М.,
1976.
684

Немчинов В. С. Избранные произведения. В 6-ти т. — Экономика и
математические методы. — М.: Наука, 1967. — Т. 3. — 490 с.
Немчинов В. С. Применение математики в экономических исследованиях. —
М., 1959.
Немчинов В. С. Экономико-математические методы и модели. Избранное. В
6-ти т. — М.: Соцэкгиз, 1962. —Т. 3.
Немчинов В. С. Экономико-математические методы и модели. — М.: Мысль, 1965.
Нестеров В. Г. Математическая модель задачи борьбы с эрозией почвы. —
Вып. 169. - М.: ТСХА, 1971.
Никитенко Н. П., Жихар Я. Н Экономико-математические методы
планирования и управления в сельском хозяйстве. — Минск, 1972.
Николь Н, Альбрехт Р. Электронные таблицы Excel 5.0: Практ. пособие / Пер.
с нем. - М.: ЭКОМ, 1997. - 352 с.
Новиков Г. И. Методика расчета оптимальных размеров бригад и ферм. — М.:
Колос, 1967.-240 с.
Новиков Г. И., Колузанов К. В. Применение экономико-математических
методов в сельском хозяйстве. — М.: Колос, 1975.
Новожилов В. В. Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном
планировании. — М.: Наука, 1972. — 434 с.
Огнивцев С. Б., ОскановА.Б. Моделирование зернового рынка//Экономико-
математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 180—182.
Огнивцев С. Б. Разработка и экономическое обоснование систем ведения
агропромышленного производства для сельскохозяйственных предприятий с
использованием экономико-математических моделей и экспертных систем. — М.:
ЦОПКБ ВИМ, 1994.
Огнивцев С. Б. Современные проблемы моделирования АПК//Экономико-
математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 5 59.
Огнивцев С. Б., Сиптиц С. О., Чан Чонг Хуэ. Моделирование
макроэкономических процессов в аграрной сфере. — М.: ВИМ, 1998.
Олейник М. Н. Моделирование севооборотных условий в задачах по
оптимизации производственной программы к проекту внутрихозяйственного
землеустройства колхоза (совхоза) / Кибернетика в сельском хозяйстве // Сб. научных
трудов. — Одесса, 1973.
Онищенко А. Л/. Критерии оптимизации сельскохозяйственного производства
и методы нахождения наиболее эффективных планов по нескольким
критериям. — Киев, 1970.
Оптимальное планирование сельскохозяйственного производства с
использованием математических методов и ЭВМ. Тематический сборник. — Одесса, 1970.
Оптимизация производственной программы к
организационно-хозяйственному (перспективному) плану колхоза (совхоза) — Киев: УкрНИИ экономики и
организации сельского хозяйства им. А. Г. Шлихтера, 1972.
Организация использования земли в условиях формирования рыночных
отношений в сельском хозяйстве // Сб. научных трудов Омского ГАУ / Отв. ред.
Ю. М. Рогатнев. — Омск, 1994. —60 с.
Орлова Т. Т. Оптимизация структуры машинно-тракторного парка (опыт
применения в других отраслях) // Экономико-математические методы в АПК:
история и перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.:
ВИАПИ, 1999.-С. 102-105.
ОскановА. Б. Методические положения по использованию моделей зернового
рынка для определения основных направлений развития зернового сектора АПК //
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999.— С. 182—184.
Основные методические положения перспективного планирования
сельскохозяйственного предприятия (с использованием математических методов и
ЭВМ).-М., 1970.
Основы землевладения и землепользования (учеб. пособие). — М.: Колос,
1992.-144 с.
685

Основы ГИС: теория и практика/А. И. Мартыненко., Ю. Л. Бугаевский.,
С. Н. Шибалов и др.; Под ред. А. И. Мартыненко. — М., 1995. — 232 с.
Отраслевые экономико-математические модели: Анализ производственных
процессов / Пер. с англ.; Ред. Е. М. Четыркин, В. А. Курдымов. — М.: Прогресс,
1967.-423 с.
Пальм Л. Об использовании транспортной задачи при организации
сельскохозяйственных угодий и севооборотов: О методике обоснования
землеустроительных проектов. — Тарту: ЭСХА, 1966.
Пальм Л. Земля как средство производства и вопросы ее оптимизации: Авто-
реф. дис. —Тарту, 1967.
Панкратов Д. С, Филатов А. И. Экономико-математическая модель
функционирования мясоперерабатывающего завода // Экономико-математические методы
в АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999.-С. 143-148.
Пастернак П. П. О расчете ненулевых оценок на все ресурсы оптимального
плана и их использовании в экономике//Экономико-математические методы в
АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999.-С. 207-211.
Перингер Т. Я. Компонентный анализ в изучении колебаний урожайности //
Труды ГИЗР. - М., 1976.
Перингер Т. Я. Некоторые методы многомерного статистического анализа и их
применение для нахождения зависимости урожая и его колебаний от природных
факторов. — Деп., 1973.
Письменная А. Б., Лабазное Е. А. Формирование конъюнктуры региональных
продовольственных рынков России (моделирование и
анализ)//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 184—187.
Планирование государственных заготовок сельскохозяйственных продуктов
методами линейного программирования. — Новосибирск: СИБНИЭСХ, 1974.
Поликарпов В. Н. Методы линейного программирования в обосновании
рационального соотношения разных типов жилых домов в сельском населенном
пункте//Планировка и застройка сельских населенных мест. Научные труды
МИИЗ. - Вып.46. - М., 1968. - С. 42-50.
Половнев Н. М., Якимов А. М. Системы автоматизированной обработки учетной
информации. — М.: Финансы и статистика, 1994. — 192 с.
Полунин И. Ф. Задача размещения производственных центров в хозяйстве и ее
решение симплексным алгоритмом // Землеустройство, планировка сельских
населенных пунктов и геодезия: Сб. научных трудов Белорусской СХА. — Горки,
1970.-Т. 66.
Полунин И. Ф. Курс математического программирования. — 3-е изд., доп.—
Минск: Высшая школа, 1975. — 318 с.
Полунин И. Ф. Математическое программирование в землеустройстве: Учеб.
пособие для вузов. — Минск: Высшэйша школа, 1972. — 240 с.
Полунин И. Ф. О необходимости и возможности применения математического
программирования в землеустроительном проектировании//Землеустройство,
планировка сельских населенных пунктов и геодезия: Сб. научных трудов
Белорусской СХА. - Горки, 1968. — Т. 55.
Полунин И. Ф. Применение математических методов в организации
территории//В кн.: Комплексная организация территории колхозов и совхозов/Под
ред. проф. Ф. К. Куропатенко. — Минск: Урожай, 1970.
Полунин И. Ф. Субоптимальные решения при обосновании
землеустроительных проектов / Труды МЗР. — М., 1974. — Вып. 10.
Помелов С. И., Помелова В. А. Установление оптимального соотношения сторон
полей севооборотов//Землеустройство, планировка сельских населенных пунктов
и геодезия: Сб. научных трудов Белорусской СХА. — Минск: Урожай, 1966. — Т. 41.
Помелова В. А. К вопросу обоснования землеустроительных
проектов//Землеустройство, планировка сельских населенных пунктов и геодезия: Сб. научных
трудов Белорусской СХА. — Минск: Урожай, 1967. — Т. 46.
686

ПомеловаВ.А. Нахождение оптимального варианта размещения
производственных бригад и животноводческих ферм в колхозах//Землеустройство,
планировка сельских населенных пунктов и геодезия: Сб. научных трудов Белорусской
СХА.-Горки, 1968.-Т. 55.
ПомеловаВ.А. Размещение производственных бригад и животноводческих
ферм в льноводных колхозах Могилевской области: Автореф. дис. — Горки, 1968.
Попов И. Г. Математические методы в экономических расчетах по сельскому
хозяйству. — М.: Колос, 1964. — 238 с.
Попов И. Г. Математические методы планирования сельского хозяйства. — М.:
Колос, 1975.-127 с.
Попович И. В. Методика экономических исследований в сельском хозяйстве. —
4-е изд., перераб. — М.: Экономика, 1982. — 216 с.
Пошкус Б. И. Применение экономико-математических методов в сельском
хозяйстве Литвы // Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. —
С. 59-61.
Практикум по математическому моделированию экономических процессов в
сельском хозяйстве: Учеб. пособие для вузов. — М.: Колос, 1975. — 303 с.
Практикум по математическому моделированию экономических процессов в
сельском хозяйстве: Учеб. пособие для вузов /Под ред. А. Ф. Карпенко. — 2-е
изд., перераб. и доп. — М.: Агропромиздат, 1985. — 269 с.
Практикум по экономико-математическим методам и моделированию в
землеустройстве: Учеб. пособие/Под ред. С.Н.Волкова, Л. С. Твердовской. — М.:
Агропромиздат, 1991. — 256 с.
Практикум по экономическому анализу деятельности предприятий АПК:
Учеб. пособие / П. В. Смекалов, М. Н. Малыш, Ю. М. Тютюнник и др. — СПб.:
Балтийский аудит, 1996. — 211 с.
Применение математических методов в экономических исследованиях по
сельскому хозяйству / Под ред. Т. Л. Басюка, К. П. Оболенского. — М.: Экономика,
1964.-355 с.
Проблемы оптимального использования земельных ресурсов // Труды ГИЗР. —
Вып. 8. - М., 1974.
Прогнозирование использования земельных ресурсов//Труды ГИЗР.—
Вып. 9. - М., 1975.
Прогнозирование развития региональных продовольственных комплексов / Под
ред. Э. Н. Крылатых. - МГУ, 1989.
Прокопьев М. Г. Моделирование экономических процессов в АПК в условиях
перехода к рыночным отношениям. — М.: РУЦНИИМ, 1994.
Пугачев В. Ф. Проблемы многоступенчатой оптимизации
народнохозяйственного планирования. — М.: Статистика, 1975. — 80 с.
Размещение предприятий по переработке сельскохозяйственной продукции
и формирование их сырьевых зон: Учеб. пособие / М. П. Шубич, А. В. Купчи-
ненко, Е. М. Чепурин, В. Н. Нестеров; Под ред. М. П. Шубича. — М., 1990. —
60 с.
Размещение производственных подразделений и хозяйственных центров,
организация угодий и севооборотов колхоза: Методические указания и задания
для выполнения лабораторных работ и разработки курсовых проектов / Под ред.
С. Н. Волкова. - М.: ВСХИЗО, 1991. - 143 с.
Разработка плана организационно-хозяйственного устройства совхоза с
применением экономико-математических методов. — Алма-Ата, 1974.
РатгаузМ. Г. Хозрасчет и кибернетика. — М.: Россельхозиздат, 1976.
Резванцев Б. 3., Власов И. А. Определение оптимального сочетания отраслей по
совхозу «Новобратский» симплексным методом//Труды Целиноградского
СХИ. -Вып. 8. - 1973. - Т. 9.
Рекомендации по определению оптимальных размеров крестьянских
(фермерских) хозяйств. — М.: Роскомзем; РосНИИземпроект, 1992. — 68 с.
Романенко И. А., Евдокимова Н. Е. Основные эконометрические зависимости
687

модели АПК РФ// Отчет о научно-производственной деятельности за 1998 г.
Всероссийского института аграрных проблем и информатики РАСХН.—Люберцы:
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ, 1998.— 56 с.
Романенко И. А. Формирование и выбор вариантов инвестиционных решений
с использованием системы моделей АПК РФ в процессе государственного
регулирования экономики//Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ,
1999.-С. 105-109.
Рябенький В. С Введение в вычислительную математику: Учеб. пособие для
вузов. — М.: Физматнит, 1994. — 336 с.
Саакян А. В. Стохастическое и нелинейное программирование в сельском
хозяйстве. — Ереван: Айстан, 1978.
Сазонов К. Н. Математические закономерности организации земельной
площади // В кн.: Записи Харьковского ордена Трудового Красного Знамени
сельскохозяйственного института имени В. В.Докучаева.— Харьков, 1951. —Т. VII
(XLIV).
Сазонов С. Н. Методы оптимизации распределения объемов работ между
звеньями ремонтной сети агропромышленного
комплекса//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного
научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. —С. 109—111.
Сазонове. Н.у Сазонова Д. Д., Кузнецова И. М. Методика обоснования
ресурсного обеспечения крестьянских (фермерских)
хозяйств//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного
научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 148—151.
СандуИ.С, Федичкин А. Г. Информационное обеспечение
АПК//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М: ВИАПИ, 1999. — С. 254—256.
Сборник задач по методам вычислений: Учеб. пособие для вузов// Под ред.
П. И. Монастырского. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Физматлит, 1994. — 320 с.
Сельскохозяйственная экология: Учебник/Н. А. Уразаев, А. А. Вакулин,
В. И. Марымов и др. — М.: Колос, 1996. — 255 с.
Светлов Н. М. Определение коэффициентов преобразования цен в
альтернативные стоимости на основе данных межотраслевого баланса //
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного
научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 211—214.
Свободин В. А., Свободина М. В. Имитационное моделирование
экономического механизма стабилизации развития сельского
хозяйства//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного
научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. —С. 111—115.
Семочкин В. Н., Тарасов А. А. Обоснование прогноза использования земель//
Сб. научных трудов МИИЗ. — М., 1983.
Симонович С. Windows 98: Учебный курс. — СПб.: Питер Ком, 1999. — 512 с.
Сиптиц С О., Муртузалиев М. М. Графовые модели устойчивого развития
АПК//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы.
Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999.— С. 115—118.
Сиптиц С. О. Проблема проектирования сельскохозяйственных предприятий
и морфология пространства проектных решений//Экономико-математические
методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999.-С. 151-153.
Скирта Б. К., Кропивко М. Ф. Использование методов имитационного
моделирования для создания информационно-советующих систем в сельском
хозяйстве // Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы.
Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 251—253.
Смилянский Г. Л. Какая АСУ эффективна? — М.: Экономика, 1988. — 304 с.
Смирнов В. А., Герчиков С. В., Соколов В. Г. Оценка надежности и маневренных
качеств плана. — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1978.
Спектор М. Д. Проблема сельскохозяйственного расселения в связи с
землеустройством совхозов и колхозов (на материалах Северного Казахстана): Автореф.
дис. — Целиноград, 1974.
688

Стативка И. М. Оптимизация использования земель в районном
агропромышленном объединении. — Киев: Урожай, 1987. — 184 с.
Стативка И. М. Применение экономико-математических методов при
проектировании кормовых севооборотов // Труды ХСХИ. — Харьков, 1970. — Т. 140.
Стативка И. М. Экономико-математические методы и моделирование в
землеустройстве: Учеб. пособие. — Харьковский СХИ, 1985. — 102 с.
Столяров И. А. Математика и кибернетика в управлении. — М.: Экономика,
1973.-79 с.
Столярова Е. М. Анализ основных подходов к оценке ресурсного потенциала
сельскохозяйственных культур // Экономико-математические методы в АПК:
история и перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.:
ВИАПИ, 1999.-С. 214-216.
Строкова О. Г. Земельные отношения как фактор эффективности в различных
видах хозяйств//Отчет о научно-производственной деятельности за 1998 г.
Всероссийского института аграрных проблем и информатики РАСХН.—Люберцы:
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ, 1998. — 56 с.
Строкова О. Г. Земельные реформы и земельные отношения в зарубежных
странах//Отчет о научно-производственной деятельности за 1998 г.
Всероссийского института аграрных проблем и информатики РАСХН.—Люберцы:
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ, 1998.— 56 с.
ТайцА.М., ТайцА.А. CorelXARA 2.0: графика для Internet, офиса и
полиграфии.—СПб.: BHV — Санкт-Петербург, 1999.— 336 с.
ТахаХ. Введение в исследование операций. — Кн. 1. — М.: Мир, 1985. — 479 с.
Твердовская Л. С, Бугаевская В. В. Определение оптимальной
производственной программы сельскохозяйственного предприятия. — Вып. 7. — М.: ГУЗ,
1994.-13 с.
Твердовская Л. С, Бугаевская В. В. Определение оптимальной специализации
производства и сочетания отраслей в сельскохозяйственном предприятии. — М.:
ГУЗ, 1994.-11 с.
Твердовская Л. С, Бугаевская В. В. Организация кормопроизводства
животноводства в условиях арендного подряда и использование пашни в системе
севооборотов. — Вып. 2. — М.: ГУЗ, 1994. — 19 с.
Твердовская Л. С, Бугаевская В. В. Планирование оптимального сочетания и
использования орошаемых и неорошаемых земель в сельскохозяйственном
производстве. — Вып. 5. — М.: ГУЗ, 1994. — 17 с.
Текучее В. В. Организация информационно-консультативного обслуживания
предприятий АПК//Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ,
1999.-С. 253-254.
Теория и методы САПР в землеустройстве / С. Н. Волков., В. В. Бугаевская,
Т. В. Папаскири, В. Н. Семочкин. - М.: РАСХН, ВНИИТЭИ, 1998.-66 с.
Терехов Л. Л. Экономико-математические методы.— 2-е изд., доп. — М.:
Статистика, 1972.— 360 с.
Тимофеев В. Г. Проблемы планировки поселков колхозов и совхозов в
Латвийской ССР//Материалы научно-практической конференции по землеустройству
Латвийской СХА. — Елгава, 1967.
Тимофеев В. Г. Проблемы расселения и планировки поселков в колхозах и
совхозах Латвийской ССР: Автореф. дис. — М., 1971.
Тихомиров Р. А. О прогнозировании уровня использования земель в колхозах
Центрального экономического района РСФСР//Проблемы землепользования и
землеустройства Нечерноземной зоны РСФСР: Научные труды МИИЗ. —
Вып. 80.-М., 1975.-С. 157-165.
Тунеев М. М., Сухорукое В. Ф. Экономико-математическое моделирование в
организации и планировании сельскохозяйственного производства: Учеб.
пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 1986. — 144 с.
Тюрин Ю. Н., Макарова А. А. Статистический анализ данных на компьютере /
Под ред. В. Э. Фигурнова. — М.: ИНФА, 1998. — 528 с.
УзунВ.Я. Прогнозирование урожайности. — Кишинев: Штиинца, 1975.
689

Указания по проектированию комплекса противоэрозионных мероприятий
при внутрихозяйственном землеустройстве колхозов, совхозов и других
сельскохозяйственных предприятий РСФСР. — Ч. 1, 2, 3. — М.: Росгипрозем, 1971.
Успенский А. К. Выбор вида и нахождение параметров эмпирических
формул. - МГЭМ, 1959.
УшачевИ. Г. Управление АПК на базе современных информационных систем//
Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 29—36.
Ушачев И. Г. Управление сельскохозяйственным производством: Учеб.
пособие. — М.: Экономика, 1978.
ФрансДж., ТорнлиДж.Х.М. Математические модели в сельском хозяйстве/
Пер. с англ. А. С. Калянского; Под ред. Ф. И. Еременко. — М.: Агропромиздат,
1987.-400 с.
Фролова Л. А., КауженаД. Перспектива экономико-математического
моделирования в странах трансформации экономики // Экономико-математические
методы в АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999. - С. 61-62.
Хазанова Л. Э. Математическое моделирование в экономике: Учеб. пособие. —
М.: Бек, 1998. - 141 с.
Харина М. В. Оценка устойчивости валовых сборов зерна в России с
использованием методов статистического анализа // Экономико-математические методы в
АПК: история и перспективы. Материалы Международного научного
симпозиума. - М.: ВИАПИ, 1999. - С. 118-121.
Харламов Г. И. Некоторые расчеты для экономического обоснования
размещения животноводческих ферм//Землеустройство, планировка сельских
населенных пунктов и геодезия: Сб. научных трудов Белорусской СХА. — Минск:
Урожай, 1966.-Т. 41.
Харламов Г. И. Размещение производительных центров в совхозах
животноводческого направления (на примере совхозов Могилевской области): Автореф.
дис. — Белорусская СХА, 1966.
Харламов Г. И. Обоснование размещения производственных центров в
совхозах животноводческого направления // Землеустройство, планировка сельских
населенных пунктов и геодезия: Сб. научных трудов Белорусской- СХА. — Минск:
Урожай, 1967.-Т. 6.
Харламов Г. И., Канторович И. Е. О размерах животноводческих ферм в
совхозах Могилевской области // Землеустройство, планировка сельских населенных
пунктов и геодезия: Сб. научных трудов Белорусской СХА. — Минск: Урожай,
1967.-Т. 46.
Хлопенюк Н. Г. Экономико-математическая модель задачи по оптимизации
сочетания отраслей для целей годового планирования//В кн.: Применение
ЭВМ и математических методов в сельском хозяйстве. — Вып.1. — Минск:
Урожай, 1973.
ХеЬиЭ.у ДиллонД. Производственные функции в сельском хозяйстве / Пер. с
англ. — М.: Прогресс, 1965.
Черемушкин С. Д. Теория и практика экономической оценки земли. — М.:
Издательство социально-экономической литературы, 1963.
Чешихин Г. В., Березенко Г. П. Методика экономического обоснования
вариантов землеустройства и расселения при районной планировке//Научные труды
МИИЗ. - Вып. 39. - М., 1966.-С. 17-26.
Шайтура С. В. Геоинформационные системы и методы их создания: Учеб.
пособие. - М.: ГУГиК, 1995. - 164 с.
Шатилова Л. И. Оптимизация производственных планов отделений
совхоза/В кн.: Кибернетика в сельском хозяйстве//Сб. научных трудов. — Одесса,
1973.
Шатохина Л. А., Бобрышев Н. Ф. Оптимальное сочетание отраслей — резерв
роста производства продукции сельского хозяйства // Научные труды Воронежского
СХИ, 1973.-Т. 58.
Шашкова И. Г. Информационное обеспечение учета затрат на
сельскохозяйственных предприятиях//Экономико-математические методы в АПК: история и
690

перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ,
1999.-С. 256-258.
Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах,
бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ — ДАНА, 2000. — 367 с.
Шеремет А. Д., Сайфулин Р. С. Методика финансового анализа. — М.: ИНФ-
РА-М, 1996.-176 с.
Ширяев Е. Е. Новые методы картографического отображения и анализа
геоинформации с применением ЭВМ. — М.: Недра, 1977. — 182 с.
Шкурка М. С. Обоснование выбора перспективных населенных пунктов в
свеклосовхозах с применением ЭММ, анализа и ЭВМ/Труды ХСХИ. — Т. 140.
Щиголев Б. М. Математическая обработка наблюдений. — М.: Наука, 1969. —
344 с.
Экологические основы рационального землепользования //РАСХН; ГУЗ; Отв.
за вып. Н. М. Колтунов. - М.: РАСХН, 1994. - 128 с.
Экономико-математические методы и моделирование в землеустройстве:
Методические указания и задания для выполнения расчетно-графических работ/
Под ред. С. Н. Волкова.-4.1, 2. - МИИЗ, 1987.-96 с.
Экономико-математические методы и моделирование в землеустройстве:
Методические указания по разработке курсового проекта/ Под ред. С. Н. Волкова. —
М.: ГУЗ, 1995.-74 с.
Экономико-математические методы планирования и анализа
сельскохозяйственного производства / Под ред. В. И. Можина. — Новосибирск: Наука, 1969.
ЭлштейнД.Б. О применении экономико-математических
методов//Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы. Материалы
Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ, 1999. — С. 62—64.
ЭннустеЮ.А. Принципы декомпозиционного анализа оптимального
планирования. — Таллин: Валгус, 1976.
Эшби У. Системы информации // Вопросы философии. — 1964. — № 3.
Юдин А. Д. Стохастическая вариантная модель разработки плана
функционирования производственного объединения//Экономика и математические
методы. - 1974.-№ 6.
Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Задачи и методы линейного программирования. —
М., 1961.
Юняева Р. Р., Абрамова Г. К. Об оценке кредитоспособности
сельскохозяйственных предприятий//Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ,
1999.-С. 153-154.
Юрьева Г. И. Проект организации инновационного предприятия для
сельскохозяйственных товаропроизводителей при Рязанской государственной
сельскохозяйственной академии//Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ,
1999.-С. 154-157.
ЮттлерЛ. Линейная модель с несколькими целевыми
функциями//Экономика и математические методы. — 1967. — Т. 3. — № 3.
ЯськоД. Экономическая оценка интеграции Латвийского аграрного сектора в
систему отношений Европейского сообщества: моделирование тенденций и
перспектива развития//Экономико-математические методы в АПК: история и
перспективы. Материалы Международного научного симпозиума. — М.: ВИАПИ,
1999.-С. 187-190.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
Раздел I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МЕТОДАХ И МОДЕЛИРОВАНИИ В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ 9
Глава 1. Моделирование и современные методы вычислений 9
К 1.1; Понятие модели и моделирования 9
ХИ. Математические методы, применяемые в экономических расчетах 14
1.3. Возникновение и развитие средств и методов вычислений 17
1.4. Необходимость и возможность применения математических методов
и моделей в землеустройстве 25
Глава 2. Основные этапы развития математического моделирования в аграрно-
экономической и землеустроительной науке 32
2.1. Математическое моделирование экономических процессов в сельском
хозяйстве 32
2.2. Применение экономико-математических методов и моделей в земле-
/^> устройстве 45
Глава 3. Классификация математических моделей, применяемых в земле-^д
устройстве 57
3.1. Экономико-математические модели и моделирование 57
9 3.2. Типы,\виды и классы математических моделей, применяемых в земле-
* устройстве Г........ 60
^ 3.3j Требования, предъявляемые при использовании экономико-математи-
Ь ческих методов и моделей 68
Раздел II. АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В
ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ 72
Глава 4. Построение и исследование аналитических моделей 72
4.1. Аналитические модели и их свойства 72
4.2. Исследование аналитических моделей на наличие экстремума 76
4.3. Метод решения задачи на условный экстремум Лагранжа 80
4.4. Оценка точности вычислений с использованием аналитических
моделей 82
Глава 5. Применение дифференциального и интегрального исчисления при
построении оптимизационных аналитических моделей 92
5.1. Вычисление средних расстояний и их использование при
обосновании проектов землеустройства 92
5.2. Определение оптимальной площади землевладения
(землепользования) 98
5.3. Определение оптимальных размеров полей севооборотов 99
5.4. Расчет оптимального соотношения сторон полей (рабочих участков)
в севооборотах 105

Глава 6. Итерационные методы : 109
6.1. Постановка и математическая формулировка задач 109
6.2. Методика решения задач итерационным методом 112
Раздел III. ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ 121
Глава 7. Общие сведения об экономико-статистическом моделировании 121
7.1. Основные элементы и стадии экономико-статистического
моделирования 121
7.2. Виды производственных функций и способы их представления 127
Глава 8. Расчет параметров производственных функций 133
8.1. Основные понятия и определения 133
8.2. Принцип наименьших квадратов 136
8.3. Системы нормальных уравнений для основных видов
производственных функций 138
8.4. Понятие линейной модели регрессии 150
8.5. Применение линейных моделей регрессии 152
Глава 9. Оценка производственных функций с использованием методов
корреляционно-регрессионного анализа 161
Понятие коэффициентов корреляции и их вычисление 161
*9.2. Оценка погрешностей определен1™ КШффи|ГШМ|ТПР упрррпт^ ^^^Cjjjfr
#3. Оценка значимости представления производственной функции,
полученного по результатам выборочных наблюдений 168
9.4. Примеры корреляционного анализа 173
Глава 10. Экономические характеристики производственных функций и
их использование в землеустройстве 177
10.1. Основные экономические характеристики производственных
функций 177
10.2. Примеры расчета экономических характеристик 184
Раздел IV. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗЕМЛЕУСТРОИТЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 196
Глава 11. Оптимизация интенсивности использования земли при
землеустройстве 197
11.1. Анализ показателей использования земли 197
11.2. Установление оптимального уровня интенсивности использования
земли 203
11.3. Обоснование укрупнения (разукрупнения) сельскохозяйственных
предприятий с использованием кинетической функции 206
Глава 12. Планирование урожайности сельскохозяйственных культур 209
12.1. Значение и методы планирования урожайности 209
12.2. Методика планирования урожайности в проектах землеустройства .... 217
12.3. Планирование урожайности с помощью факторно-временных
корреляционных моделей 230
Глава 13. Разработка землеустроительных нормативов и решение
нестандартных задач 234
13.1. Расчет удельных капиталовложений для оценки размещения
объектов строительства 234
693

13.2. Оценка размещения полей севооборотов по условиям
конфигурации 237
13.3. Оценка размещения полей и рабочих участков с учетом
механического состава почв 240
13.4. Оценка вариантов размещения полезащитных лесных полос 242
13.5. Определение расстояний между основными полосами 245
13.6. Определение расстояний между продольными полевыми
дорогами в полях севооборотов 252
13.7. Выбор типичного хозяйства для экспериментального
землеустроительного проектирования 255
Раздел V. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ 261
Глава 14. Общая модель линейного программирования 261
14.1. Понятие линейного программирования 261
14.2. Составные части общей модели линейного программирования 262
14.3. Естественная (неканоническая) запись задачи линейного
программирования 269
Г П4.4. Приведение задачи линейного программирования к канони-
J * [ческому представлению 274
Л4.5. Симплекс-метод. Геометрическая интерпретация 277
14.6. Основные элементы симплекс-метода 281
) 14.7. Схема построения двойственной задачи линейного программиро-
J,- вания 293
14.8. Сопоставление оптимальных решений прямой и двойственной задач .... 298
Глава 15. Распределительная (транспортная) модель 303
15.1. Постановка распределительных задач 303
15.2. Методы определения опорного плана в
распределительных задачах 309
15.3. Метод потенциалов 315
15.4. Особые случаи постановки и решения распределительных задач 323
15.5. Примеры решения землеустроительных задач 333
Глава 16. Анализ и корректировка оптимальных решений 344
16.1. Анализ показателей последней сиплекс-таблицы 344
16.2. Коэффициенты замещения 347
16.3. Использование коэффициентов замещения для вариантного
решения задач линейного программирования 351
16.4. Двойственные оценки оптимального плана и их использование
в экономическом анализе 358
16.5. Пределы устойчивости оптимального решения при изменении
коэффициентов целевой функции 366
°\ 16.6. Альтернативные решения распределительных задач 371
' 16.7. Анализ оптимальных решений на основе экономической
интерпретации потенциалов 376
Глава 17. Дополнительные аспекты решения задач линейного
программирования 383
17.1. Использование сокращенных симплекс-таблиц 383
17.2. Проблема вырожденных решений 390
17.3. Роль ограничений в формировании облика производственных
функций (на примере задачи линейного программирования) 391
694

Глава 18. Некоторые виды задач математического программирования 398
18.1. Линейно-динамические задачи 399
18.2. Параметрическое программирование 403
18.3. Стохастическое программирование 409
Раздел VI. ОСНОВЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ 436
Глава 19. Информационное обеспечение моделирования 436
19.1. Понятие информации и требования, предъявляемые к ней 436
19.2. Виды и источники землеустроительной информации 440
19.3. Построение матрицы экономико-математической модели задачи.
Понятие и виды технико-экономических коэффициентов 442
19.4. Символические обозначения, используемые при моделировании 447
Глава 20. Выбор переменных и построение ограничений задачи 451
20.1. Установление перечня переменных и ограничений 451
20.2. Основные приемы построения ограничений 454
20.3. Основные типы ограничений в землеустроительных экономико-
математических задачах 463
Глава 21. Критерии оптимальности при решении землеустроительных задач 474
21.1. Моделирование целевой функции 474
21.2. Субоптимальные землеустроительные решения 480
21.3. Дробно-линейные критерии оптимальности 493
Раздел VII. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВЕ 496
Глава 22. Экономико-математическая модель оптимизации мероприятий
по освоению и интенсификации использования земель 496
22.1. Постановка и экономико-математическая модель задачи 496
22.2. Особенности подготовки исходной информации (на примере
решения задачи) 499
Глава 23. Экономико-математическая модель трансформации угодий 506
23.1. Оптимизация трансформации угодий с использованием
симплексного метода 506
23.2. Оптимизация трансформации и размещения угодий и
севооборотов распределительным методом линейного программирования 514
Глава 24. Экономико-математическая модель организации системы
севооборотов хозяйства 519
24.1. Основные способы моделирования при организации севооборотов ....519
24.2. Размещение севооборотов и сельскохозяйственных культур с
учетом степени загрязненности и качества почв 528
24.3. Оптимизация плана перехода к запроектированным севооборотам .... 532
24.4. Оптимизация размещения посевов с использованием сетевых
графиков 545
Глава 25. Экономико-математическая модель оптимизации структуры
посевных площадей при агроэкономическом обосновании проектов
внутрихозяйственного землеустройства 553
25.1. Постановка и экономико-математическая модель задачи 553
25.2. Особенности подготовки исходной информации и пример
решения 559
695

Глава 26. Экономике-математическая модель проектирования комплекса
противоэрозионных мероприятий в условиях развитой водной эрозии почв 566
26.1. Постановка и экономико-математическая модель задачи 566
26.2. Особенности подготовки исходной информации и пример решения . 569
26.3. Оптимизация размещения посевов сельскохозяйственных
культур по территории с учетом интенсивности смыва почвы 574
Глава 27. Экономико-математическая модель организации территории
плодовых и ягодных многолетних насаждений 577
27.1. Постановка и экономико-математическая модель задачи 577
27.2. Особенности подготовки исходной информации и пример
решения 583
Глава 28. Экономико-математическая модель организации зеленого
конвейера 599
28.1. Постановка и экономико-математическая модель задачи 599
28.2. Особенности подготовки исходной информации и пример
решения 601
Глава 29. Экономико-математическая модель организации угодий и
севооборотов хозяйства 608
29.1. Постановка и экономико-математическая модель задачи 608
29.2. Особенности подготовки исходной информации и пример
решения 615
Раздел VIII. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ
МЕЖХОЗЯЙСТВЕННОГО ЗЕМЛЕУСТРОЙСТВА 622
Глава 30. Экономико-математическая модель определения оптимального
размера землевладения сельскохозяйственного предприятия (на примере
крестьянского хозяйства) 622
30.1. Постановка и экономико-математическая модель задачи 622
30.2. Особенности подготовки исходной информации и пример
решения 626
30.3. Автоматизация расчетов модели на ЭВМ 641
Глава 31. Экономике-математическая модель оптимизации
перераспределения земель сельскохозяйственных предприятий 644
31.1. Постановка и экономико-математическая модель задачи 644
31.2. Особенности подготовки исходной информации и пример
решения 648
Глава 32. Экономико-математические модели в схемах землеустройства 659
32.1. Экономико-математическая модель организации рационального
использования и охраны земель в схеме землеустройства
административного района 659
32.2. Экономико-математическая модель формирования сырьевых зон
предприятий, перерабатывающих продукцию сельского хозяйства 664
32.3. Экономико-математические модели задач рабочего
проектирования 668
Литература 670