55 коп.
Д.В. КАЕТБНИК
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ

Д. В. КЛЕТЕНИК
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЕ
ГЕОМЕТРИИ
Под редакцией проф. Н. В. ЕФИМОВА
ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1980

22.151.5
К 48
УДК 516
От издательства
Настоящее (тринадцатое) издание книги не отличается
от предыдущего A975 г.)
Давид Викторович Клетеник
Сборник задач по аналитической геометрии
М., 1980 г., 240 стр. с илл.
Редакторы Ф. И. Кизнер, В. В. Донченко
Техн. редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Т. С. Плетнева, Н. Д. Дорохова
ИБ № 11596
Печать с матриц. Подписано к печати 06.03.80. Бумага 84Х108'/з2. тип. № 3.
Литературная гарнитура, Высокая печать. Условн. печ. л. 12,6. Уч.-изд. л. 14,73.
Тираж 200 000 экз. A-й завод 1—100 000-экз.). Заказ № 2899.
Цена книги 55 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с матриц Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской
типографии Л° 2 имени Евгении Соколовой «Союзполиграфпрома» при Госу-
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфин и кннжиой
торговли. Измайловский проспект, 29 в типографии № 2 изд-ва «Наука»,
Москва, Г-99, Шубипский пер., 10

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии на
плоскости «... » 5
§ 1. Ось и отрезки оси. Координаты на прямой E). § 2. Декартовы
прямоугольные координаты иа плоскости G). § 3. Полярные координаты
^9). § 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось.
1роекцня отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка.
Расстояние между двумя точками A2). § 5. Деление отрезка в данном
отношении A6). § 6. Площадь треугольника B0). §7. Преобразование
координат B1)<
Глава 2. Уравнение линии » , ,..,..»>•»» 25
§ 8. Функция двух переменных B5). § 9. Понятие уравнения линии.
Задание линии при помощи уравнения B7). § 10. Вывод уравнений зара-
hee данных линий B9). § 11. Параметрические уравнения линии C3).
Глава 3. Линии первого порядка ...... . .... 35
§ 12, Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэф-
коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и пер-
перпендикулярности двух прямых C5). § 13. Неполные уравнения прямой.
Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение
прямой «в отрезках» D3). § 14. Нормальное уравнение прямой. Задача
определения расстояния от точки до прямой D7). § 15. Уравнение пучка
прямых E3). § 16. Полярное уравнение прямой E6).
Глава 4. Геометрические свойства линий второго порядка 58
§ 17. Окружность E8). § 18. Эллипс F4). § 19. Гипербола G5).
§ 20. Парабола (85). § 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы н па-
параболы (90). § 22. Диаметры линий второго порядка (92).
Глава 5. Упрощение общего уравнения линии второго по-
порядка. Уравнения некоторых кривых, встречаю-
встречающихся в математике и ее приложениях .... 96
§ 23. Центр линии второго порядка (96). § 24. Приведение к про-
простейшему виду уравнения центральной линнн второго порядка (98).
§ 25.* Приведение к простейшему виду параболического уравнения A03).
§ 26. Уравнения некоторых кризых, встречающихся в математике и ее
приложениях A05).

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава 6. Некоторые простейшие задачи аналитической гео-
геометрии в пространстве 112
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве A12).
§ 28. Расстояние между дв>мя точками. Деление отрезка в данном от-
отношении A13).
Глава 7. Векторная алгебра 110
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора A16), § 30. Линейные опера-
операции над векторами A18). § 31. Скалярное произведение векторов A24).
§ 32. Векторное произведение векторов A28). § 33. Смешанное произведе-
произведение трех векторов A31). § 34. Двойное векторное произведение A33.)
Глава 8. Уравнение поверхности и уравнения линии . . . 135
§ 35. Уравнение поверхности A35). § 36. Уравнения линии. Задача
о пересечении трех поверхностей A38). § 37. Уравнение цилиндрической
поверхности с образующими, параллельными одной из координатных
осей A39).
Глава 9. Уравнение плоскости. Уравнения прямой. Уравне-
Уравнения поверхностей второго порядка 141
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей
через данную точку и имеющей данный нормальный вектор (J41).
§ 39. Неполные уравнения плоскостей, Уравнение плоскости «в отрезках»
A45). § 40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до пло-
плоскости A47).- § 41. Уравнения прямой A51). $ 42. Направляющий вектор
прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения
прямой A54). § 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению пло-
плоскости н уравнениям прямой A59). § 44. Сфера A65). § 45. Уравнения пло-
плоскости, прямой yi сферы в векторной символике A70), § 46. Поверхности
второго порядка A74).
Приложение. Элементы теории определителей 185
§ 1. Определители второго порядка и система двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными A85). § 2. Однородная система двух урав-
уравнений первой степени с тремя неизвестными A87). § 3, Определители
третьего порядка A88). § 4. Свойства определителей A90). § 5. Решение
и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвест-
неизвестными A94). § 6. Определители четвертого порядка A96).
Ответы и указания к задачам 198

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛАВА 1
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой
Прямая, на которой выбрано положительное направление, на-
называется осью. Отрезок оси, ограниченный какими-нибудь точками Л
и В, называется направленным, если сказано, какая из этих точек
считается началом отрезка, какая — концом. Направл_енный отрезок
с началом А и концом В обозначается символом АВ. Величиной
направленного отрезка оси называется его длина, взятая со знаком
плюс, если направление отрезка (т. е. направление от начала к кон-
концу) совпадает с положительным направлением оси, и со знаком
минус, если это направление противоположно положительному на-
направлению оси. Величина отрезка АВ обозначается символом АВ,
его длина — символом \АВ\. Если точки А и В совпадают, то, опре-
определяемый ими отрезок называется нулевым; очевидно, в этом слу-
случае АВ = ВА = 0 (направление нулевого отрезка следует считать
неопределенным).
Пусть дана произвольная прямая .а. Выберем некоторый отре-
отрезок в качестве единицы измерения длин, "назначим на прямой а
положительное направление (после чего она становится осью) *)
и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем са-
самым на прямой а будет введена система координат.
Координатой любой точки М прямой а (в установленной систе-
системе координат) называется число х, равное величине отрезка ОМ:
х = ОМ.
Точка О называется началом координат; ее собственная координата
равна нулю. В дальнейшем символ М(х) означает, что точка М
имеет координату х.
Если Ali (дг[) и М2(х2)—две произвольные точки прямой а, ю
формула
ММ
выражает величину отрезка М{М2, формула
\М1М2\ = \х2-х,\
выражает его длину.
*) Обычно на чертежах у горизонтальных осей положительным
назначается направление слева направо.
5

1. Построить точки ЛC), В E), С(-1), /)Ш, е(~),
2. Построить точки, координаты которых удовлетво*
ряютуравнениям: 1) И = 2;2) |я — I |=3;3) [ 1 —x|=s
= 2; 4) |2 + *| =2.
3. Охарактеризовать геометрически расположение то-
точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам!
1) х>2; 2) х — 3<0; 3) 12 — х < 0; 4) 2х —3<0;
5) Зл:-5>0;6) 1 < х < 3; 7) — 2 < л; ^ 3;8) ^=4 >
>°*9) >1;
f]2) д:2 — 8jc4^ 15 < 0; 13) jc2 — 8дс"+ч15>Оз 14) *24-
+ * — 12 >0; 15) &J?x— 12 < 0.
4. Определить величину Л.8 и длину \АВ\ отрезка,
заданного точками: 1) ЛC) и 5A1)? 2) ДE) и В B);
3) i4(—1) и ВC)а 4) Л(—5) и В(—3); 5) А{—\) и
В(-3); 6) А (-7) и В (-5).
5. Вычислить координату точки А, если известны:
1) 5C) и ЛВ = $; 2) ВB) и ЛВ = —3; 3) В(—1) и
ВЛ=2; 4) В (-5) и ВА = -3; 5) В@) и |ЛВ| =2;
6) ВB) и |ЛВ| =3; 7) В(—1) и |ЛВ| = 5j 8) Я(-5)
и |ЛВ| =2.
6. Охарактеризовать геометрически расположение то-
точек, координаты которых удовлетворяют следующим не-
неравенствам:
1) |лг|<1; 2) \х\>2\ 3) U|<2; 4) |л;!>3; 5) |*-2|<3;
6)| л: — 5|<1; 7)|jt—1 |>2; 8)|л— 3 |>1; 9) | 1 |3
10) |* + 2| > 1;Ц) |ж + 5|<1; 12) \х+ 1
7. Определить отношение ^:=~c]f> B котором точ-
точка С делит отрезок ЛВ при следующих данных: 1) Л B),
ВF) и СD)9 2) ЛB), ВD) и СG); 3) Л(-1), ВE) и
СC)з 4) ЛA), ВA3) и СE); 5) ЛE), В(-2) и
СE
)
8. Даны три точки Л (—7), В(—1) и СA), Опреде-
Определить отношение К в котором каждая из них делит от-
отрезок, ограниченный двумя другими.
: 9. Определить отношение X = мм , в котором дан-
нал точка М(х) делит отрезок Mifrh, ограниченный дан-
данными точками Mi(xi) и М^)

10. Определить координату х точки М, делящей от-
отрезок AUM2, ограниченный данными точками Af^Xi) и
ЛЫ*2) в данном отношении М^=="млГ~)'
11. Определить координату х середины отрезка, огра-
ограниченного двумя данными точками Mi(xi) и Л1г(х2).
12. Определить координату х середины отрезка, огра-
ограниченного двумя данными точками, в каждом из сле-
следующих случаев: 1) ЛC) и В E); 2) С(—1) и DE);
3) Aii(-l) и Ма(-З); 4) Pi(-5) и Ра0); 5) QtC) и
Q2(-4).
13. Определить координату точки М, если известны:
), М2G) и
2) Л B), В (-5) и
3) С(—1), DC) и
4) Л(—1), ВC) и
5) ЛA), В(—3) и
Л —
л
ЛМ
MB
см
MD
AM
MB
ВМ
MA
= 3;
1
2
*
>
■2;
3;
6) Л(-2), В(-1) и я = |^--1.
14. Даны две точки Л E) и В(—3). Определить:
1) координату точки М, симметричной точке А отно-
относительно точки В',
2) координату точки N, симметричной точке В отно-
относительно точки Л.
15. Отрезок, ограниченный точками Л(—2) и ВA9),
разделен на три равные части. Определить координаты
точек деления.
16. Определить координаты концов Л и В отрезка,
который точками Я(—25) и Q(—9) разделен на три
равные части.
§ 2. Декартовы прямоугольные координаты
на плоскости
Декартова прямоугольная система координат определяется за-
заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно
перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами
оси — координатными осями. Первая из координатных осей назы-
называется осью абсцисс, а вторая — осью ординат.
Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс — сим-
символом Ох, ось ординат — символом Оу.
Координатами произвольной точки М в заданной системе назы-
называют числа
х = ОМХ, у = ОМУ
(рис. 1), где Мх и Му суть проекции точки М на оси Ох и Оу, ОМХ
обозначает величину отрезка ОМХ оси абсцисс, ОМУ — величину
отрезка ОМУ оси ординат. Число х называется абсциссой точки М,
число у называется ординатой этой же
точки. Символ М(х;у) обозначает, что
точка М имеет абсциссой число х, а ор-
ординатой число у.
Ось Оу разделяет всю плоскость на
две полуплоскости; та из них, которая
расположена в положительном направ-
направлении оси Ох, называется правой, дру-
другая — левой. Точно так же ось Ох раз-
деляет плоскость на две полуплоскости;;
та из них, которая расположена в поло-
положительном направлении оси Оу, назы-
рис [ вается верхней, другая нижней.
Обе координатные оси вместе раз-
разделяют плоскость на четыре четверти,
которые нумеруют по следующему правилу: первой координатной
четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и в
верхней полуплоскости, второй — лежащая в левой и в верхией по-
полуплоскости, третьей — лежащая в левой и в нижней полуплоско-
полуплоскости, четвертой — лежащая в правой и в нижней полуплоскости.
17. Построить точки Л B; 3), В (—5; 1), С (—2; —3),
D@; 3), £(-5; 0), /?(-1;|).
18. Найти координаты проекций на ось абсцисс то-
точек ЛB; -3), 5C; -1), С(-5; 1), D(-3; -2),
£(-5; -1).
19. Найти координаты проекций на ось ординат та-
тачек Л (-3; 2)t 5(-5; 1), СC; -2), D(-l; I), £(-6; -2),
20. Найти координаты точек, симметричных относи-
относительно оси Ох точкам: 1) /4B; 3); 2M(—3; 2);
3) C(-lj -1); 4) /)(-3; -5); 5) £(-4; 6); 6) F(a>, Ь).
21. Найти координаты точек, симметричных относи-
относительно оси Оу точкам: 1) А(—\\ 2); 2) 5C; — 1);
3) С(-2;« -2); 4) £>(-2; 5); 5) £C; -5); 6) F(a; Ь).
22. Найти координаты точек, симметричных отно-
относительно начала координат точкам: 1) ЛC; 3);
2) 5B; -4); 3) С(-2; 1); 4) DE; -3); 5) '£(-5; -4);
6) F{a; b).

23. Найти координаты точек, симметричных относи-
относительно биссектрисы первого координатного угла точкам:
1) ЛB;3);2) В E; -2); 3) С(-3; 4).
24. Найти координаты точек, симметричных относи-
относительно биссектрисы второго координатного угла точкам:
1) ЛC; 5), 2) Я(-4;3);3) СG; -2).
25. Определить, в каких четвертях может быть рас-
расположена точка М(х;у), если: 1) ху > 0; 2) ху < 0;
3) х — у = Ъ\ 4) х + у = 0; 5) х + у > 0; 6) * + у < 0;
7) *-г/>0; 8) х — у<0.
§ 3. Полярные координаты
Полярная система координат определяется заданием некоторой
точки О, называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этой точки,
называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме
того, при задании полярной системы
должно быть сказано, какие повороты
вокруг точки О считаются положитель-
положительными (на чертежах обычно положитель- О
ными считаются повороты против часо-
часовой стрелки).
Полярными координатами произ-
произвольной точки М (относительно задан- 0
пой системы) называются числа р = ОМ _ '
и Q = <£AOM (рис. 2). Угол 9 при Рис> 2-
этом следует понимать так, как принято
в тригонометрии. Число р называется первой координатой, или по-
полярным радиусом, число 0 —второй координатой, или полярным
углом точки М @ называют также амплитудой) *).
Символ УИ(р;0) обозначает, что точка М имеет полярные1 коор-
координаты р и 0.
Полярный угол 0 имеет бесконечно много возможных значении
(отличающихся друг от друга на величину вида ±2пя, где п:— це-
целое положительное" число). Значение полярного угла, удовлетворяю-
удовлетворяющее неравенствам —я < 0 <; -\-л, называется главным. •
В случаях одновременного рассмотрения декартовой и поляр-
полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же
масштабом, '2) при определении полярных углов считать положи-
положительными повороты в том направлении, в каком следует врашать
положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совме-
совместить ее с положительной полуосью ординат (таким образом, если
оси декартовой системы находятся в обычном расположении, т. е.
ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчет полярных
*) Здесь ОМ обозначает длину отрезка, понимаемую как в
элементарной геометрии (т. е. абсолютно, без учета знака). Употреб-
Употреблять более громоздкий, символ \ОМ\ в данном случае нет надоб-
надобности, поскольку точки О и М рассматриваются как .произвольные
точки плоскости,, а не-как точки некоторой оси. Подобное упроще-
упрощение символики в аналогичных случаях часто делается и Дальше"-.

углов должен быть обычным, т. е. положите чьными следует считать
те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).
При этом условии, если полюс полярной системы координат
совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а по-
полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то пере-
переход от полярных координат произвольной точки к декартовым ко-
координатам той же точки осуществляется по формулам
х = р cos б, у = р sin 9.
В этом же случае формулы
являются формулами перехода от декартовых координат к по-
полярным.
При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных
систем координат условимся считать направление положительных
поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.
26. Построить точки, заданные полярными координа-
координатами: лC;-|-), В B; я), с(з; --£-), D [м 3-f), £"E;
2) и F{\\ — 1) (для точек D, Е и F выполнить построе-
построение приближенно, пользуясь транспортиром).
27. Определить полярные координаты точек, симмет-
симметричных относительно полярной оси точкам Мх C; -2-J,
М2B; -!), М3C; -£), М4A; 2) и М5E; -1), задан-
заданным в полярной системе координат.
28. Определить полярные координаты точек, сим-
симметричных относительно полюса точкам МЛ!;-?-),
М2 E; f), М3 B; -f), М4 D; }я) и М5 C; - 2), за-
данным в полярной системе координат.
29. В полярной системе координат даны две верши-
вершины А C;-— -г-я) и В E; -jr n) параллелограмма ABCD,
9 V \ ' 14
точка пересечения диагоналей которого совпадает с по-
полюсом. Определить две другие вершины этого паралле-
параллелограмма.
30. В полярной системе координат даны точки
А (8; —к-jtJ и В (б; -5-J. Вычислить полярные коорди-
координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В.
31. В полярной системе координат даны точки
лC;|),вB;-|), C(lj я), /)(б; -|я),£C; 2) и
10

FB; —1), Положительное направление полярной оси из-
изменено на противоположное. Определить полярные ко-
координаты заданных точек в новой системе.
32. В полярной системе координат даны точки
MiC;|), M2(l;f я),М3B;0),М4E;^),М5C; —-§-«)
и МбA; j9~rt)« Полярная ось повернута так, что в но-
новом положении она проходит через точку М{. Опреде-
Определить координаты заданных точек в новой (полярной)
системе.
33. В полярной системе координат даны точки
Мх П2; -Q- я) и M2(l2; -—-д-я). Вычислить полярные ко-
координаты середины отрезка, соединяющего точки Mt
и М2.
34. В полярной системе координат даны точки
'Afi(pi; 6i) и М2(рг; 0г). Вычислить расстояние d между
ними.
35. В полярной системе координат даны точки
МЛб;'-^-) и М2Ы', —гтН. Вычислить расстояние d ме«
жду ними.
36. В полярной системе координат даны две смежные
вершины квадрата МЛ 12; —^А и М2 C; -j^-j. Опре-
Определить его площадь. г ^
37. В полярной системе координат даны две противо-
противоположные вершины квадрата Р 6; —J2" я] и Q \Л) -g- jt).
Определить его площадь.
38. В полярной системе координат даны две вершины
правильного треугольника Л 4; —^ %] и В\В;~^ял.
Определить его площадь.
39. Одна из вершин треугольника ОЛВ находится
в полюсе, две другие суть точки Л (pi; 9i) и б(рг; 0г). Вы-
Вычислить площадь этого треугольника.
40. Одна из вершин треугольника ОЛВ находится
в полюсе О, две другие суть точки А E; -JJ и ВD; ■jg-J.
Вычислить площадь этого треугольника.
41. Вычислить площадь треугольника, вершины ко-
которого Л (З; -=- я), В \8; -^ п\ и С (б; у я] заданы в по-
полярных координатах.
11

42. Полюс полярной системы координат совпадает
с началом декартовых прямоугольных координат, а по-
полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс.
В полярной системе координат даны точки Мх (б; у),
Л*2(б;0), Л*3B;£), M4[\0; -|), М5 (б;-| я), M6(l2;
— |н. Определить декартовы координаты этих точек.
43. Полюс полярной системы координат совпадает
с началом декартовых прямоугольных координат, а по-
полярная ось совпадает с положительной полуосью аб-
абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат
даны точкиМ{@; 5)±М2(-3; 0), М3(/3; 1), М4(-]/;
— V 2), M5(l; — У^З). Определить полярные координаты
этих точек.
§ 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка
на произвольную ось. Проекции отрезка
на оси координат. Длина и полярный угол отрезка.
Расстояние между двумя точками
Прямолинейный отрезок называется направленным, если указа-
указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая —
концом. Направленный отрезок, имеющий точку А своим началом
и точку В концом (рис. 3), обозначается символом АВ (т. е. так
же, как отрезок оси; см. § 1). Длина направленного отрезка АВ
(при заданном масштабе) обозначается
символом \АВ\ (или АВ\ см. сноску на
стр. 13). ■
Проекцией отрезка АВ на ось и назы-
называется число, равное величине отрезка
А\В\ оси и, где точка А\ является проек-
проекцией на ось и точки А, а В] — проекцией
на эту же ось точки. В.
Рис. 3. Проекция отрезка АВ на ось и обозна-
• чается символом пр« АВ. Если на плоско-
плоскости задана система декартовых прямоугольных координат,, то про^
екция отрезка на ось Ох обозначается символом X, его проекция на
ось Оу — символом Y.
Если известны координаты точек М\(х\\у\) и M?(xf, у2)^ то
проекции Л' и У на оси координат направленного отрезка М\М2
могут быть вычислены по формулам
Таким образом, чтобы найти проекции направленного отрезка иа
оси координат нужно от координат его конца отнять соответствую-
соответствующие координатыначала.
12

Угол 9, иа который нужно повернуть положительную полу-
полуось Ох так, чтобы ее направление совпало с направлением отрезка
iWi/Vf2, называется полярным углом отрезка МиЩ.
Угол 9 понимается, как в тригонометрии. Соответственно
зтому 0 имеет бесконечно много возможных значений, которые от-
отличаются друг от друга на величину вида ■±2пп (где п — целое
положительное число). Главным значением полярного угла назы-
называется то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам
—я < G < +я.
Формулы
X = d-cosQ, Y = d -sin9
выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси
через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы
(-У2, cos 9 = -7==k==r, ^in f> =——L-
/X2 + У2 /X2 + у 2
которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проек-
проекции на оси координат.
Если на плоскости даны две точки Mi(xi\yi) и М2(х2',У2), то
расстояние d между ними определяется формулой
44. Вычислить проекцию отрезка на ось и, если даны
его длина d и угол ср наклона к оси: 1) d = 6, (p = -|-j
2л; я
2) и = о» ф = —q-', 3) а = 7, ф = -х- j 4) а =5, ф == Oj
г v ^ F . р«\ J л Я
о
45. Построить на чертеже отрезки, исходящие из на-
начала координат, зная их проекции на координатные оси:
1) Х=3, У = 2; 2) Х = 2, У =-5; 3) X = -5, У = 0;
4) Х=-2, У = 3; 5) X = 0, У = 3; 6) X = -5, У =
46. Построить на чертеже отрезки, имеющие нача-
началом точку МB; —1), зная их проекции на координатные
оси: 1) Х = 4, У = 3; 2) X = 2, У = 0; 3) X =-3, У =
= 1; 4) Х=-4, У = -2; 5) X = 0, У =-3; 6) X == 1,
У = —3.
47. Дацы точки Mi(l; -2), М2B; 1), М3E; 0),
М4(--1; 4) и Мб@; —3). Найти проекции на координат-
координатные оси следующих отрезков: 1) 7Vfi-M2, 2) М3Ми 3) Л14М5,
4) М$Мз.
48. Даны проекции отрезка М{М2 на оси координат
X = 5, У = —4; зная, что его начало в точке Mi(—2- 3),
найти координаты его конца.
13

49. Даны проекции отрезка АВ на" оси координат
X = 4, Y =-—5; зная, что его конец в точке В(\\ —3),
найти координаты его начала.
50. 'Построить на чертеже отрезки, исходящие из на-
начала координат, зная длину d и полярный угол 0 каждо-
го из них: 1) с? = 5, 0s=-5"» 2) d=s3, 0= —я; 3) d = 4,
О ^^ Jl , л\ J __ о л ч w
w "q- , Ч:) (Л О, V 5" 31.
о О
51. Построить на чертеже отрезки, имеющие нача-
лом точку MBf 3), зная длину и полярный угол каждо-
каждого из них: 1) d = 2, 0 =—j~; 2) rf= 1, 0 = ~; 3) ^ = 5,
G= — ~ (координаты точки М — декартовы).
52. Вычислить проекции на координатные оси отрез-
отрезков, зная длину d и полярный угол 0 каждого из них!
53. Даны проекции отрезков на координатные оси:
1) * = 3, У =-4; 2) Х=12, У =5; 3) X =-8, У =
= 6. Вычислить длину каждого из них.
54. Даны проекции отрезков_ на координатные оси:
У =«2. Вычислить длину d и полярный
угол 0 каждого из них.
55. Даны точки AfiB; —3), М2A; —4), Af3(—1; —7)
и <М4(—4* 8). Вычислить длину и полярный угол сле-
следующих отрезков: 1) MiM2, 2) MiM3, 3) МъМь
4) М±М3.
56. Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось
абсцисс равна 4. Найти проекцию этого отрезка на ось
ординат при условии, что он образует с осью ординат!
1) острый угол, 2) тупой угол,
57. Длина отрезка MN равна 13; его начало в точ-
точке Л1 C; —2), проекция на ось абсцисс равна —12. Най-
Найти координаты конца этого отрезка при условии,
что он образует с осью ординат: 1) острый угол, 2) ту-
тупой угол.

58. Длина отрезка MN равна 17, его конец в точке
N{—7\ 3), проекция на ось ординат равна 15. Найти ко-
координаты начала этого отрезка при условии, что он
образует с осью абсцисс: 1) острый угол, 2) тупой
угол.
59. Зная проекции отрезка на координатные оси
X = 1, Y= — Уз , найти его проекцию на ось, которая
2
составляет с осью Ох угол 9 = -д-я.
60. Даны две точки Mt(l; —5) и М2D; —1). Найти
проекцию отрезка МХМ2 на ось, которая составляет
с осью Ох угол 9 = —-г .
61. Даны две_точки Р(—5; 2) и QC; 1). Найти проек-
проекцию отрезка PQ на ось, которая составляет с осью Ох
угол 0 = arctg -g-.
62. Даны две точки MtB; —2) и М2G; —3). Найти
проекцию отрезка MiM2 на ось, проходящую через точки
ЛE; —4), В(—7; 1) и направленную: 1) от Л к В,
2) от В к Л.
63. Даны точки Л@; 0), 5C; —4), С(—3; 4),
D(— 2; 2) и £A0; —3). Определить расстояние d между
точками: 1)Л и В\ 2) В и С; 3) Л и С; 4) С и D; 5) А
и £>; 6) D и Е.
64. Даны две смежные вершины квадрата Л C; —7)
и В(—1; 4). Вычислить его площадь.
65. Даны две противоположные вершины квадрата
РC; 5) и Q(l; —3). Вычислить его площадь.
66. Вычислить площадь правильного треугольника,
две вершины которого суть Л(—3; 2) и В(\\ 6).
67. Даны три вершины ЛC; —7), 5E; —7), С(—2; 5)
параллелограмма ABCD, четвертая вершина которого D
противоположна В. Определить длину диагоналей этого
параллелограмма. ,
68. Сторона ромба равна 5 V'lO» две его противопо-
противоположные вершины суть точки РD; 9) и Q{—2; 1). Вычис-
Вычислить площадь этого ромба. __
69. Сторона ромба равна 5 ]/2 , две его противопо-
противоположные вершины суть точки РC; —4) и Q(l; 2). Вычис-
Вычислить длину высоты этого ромба.
70. Доказать, что точки ЛC; —5), В (—2; —7) и
СA8; 1) лежат на одной прямой.
15

71. Доказать, что треугольник с вершинами j4i(I; 1),
Л2 B; 3) и Л5E; —1) прямоугольный.
72. Доказать, что точки Л B; 2), В(—1; 6), С(—5; 3)
и £(■—2; —I) являются вершинами квадрата.
73. Определить, есть ли среди внутренних углов тре-
треугольника с вершинами М1A; 1), М2@; 2) и М3B; —-1)
тупой угол.
74. Доказать, что все внутренние углы треугольника
с вершинами М(—\; 3), Лф; 2) и Я@; 4) острые.
75. Вершины треугольника суть точки ЛE; 0), Л@; 1)
и СC; 3). Вычислить его внутренние углы. _
76. Вершины треугольника суть точки Л (— ]/3 ; 1),
5@; 2) и С(— 2 ]/3 ; 2). Вычислить его внешний угол
при вершине Л.
77. На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние
которой до точки NB; —3) равнялось бы 5.
78. На оси ординат найти такую точку М, расстояние
которой до точки N(—8; 13) равнялось бы 17
79. Даны две точки М{2\ 2) и ЛгE; —2); на оси
абсцисс найти такую точку Р, чтобы угол MPN был
прямым.
80. Через точку ЛD; 2) проведена окружность, ка-
касающаяся обеих координатных осей. Определить ее
центр С и радиус R.
81. Через точку Mi(l; —2) проведена окружность ра-
радиуса 5, касающаяся оси Ох. Определить центр С
окружности.
82. Определить координаты точки Мг, симметричной
точке Mi(l; 2) относительно прямой, проходящей через
точки /4A; 0) и В{— 1; —2).
83. Даны две противоположные вершины квадрата
ЛC; 0) и С (—4; 1). Найти две его другие вершины.
84. Даны две смежные вершины квадрата Л B; —1)
и В(—1; 3). Определить две его другие вершины.
85. Даны вершины треугольника Mi(—3; 6),
{§\ —10) и Мз{—5; 4). Определить центр С и радиус R
описанного около этого треугольника круга.
§ 5. Деление отрезка в данном отношении
Если точка М(х;у) лежит на прямой, проходящей через две
данные точки М\(х\\ г/i), Mi(x2\ г/г)» и дано отношение Я = ■■...' ■,
в котором точка М делит отрезок М\Мь то координаты точки М
16

определяются по формулам
Если точка М является серединой отрезка М[Мъ, то ее координаты
определяются по формулам
У\
86. Даны концы ЛC; —5) и 5(—1; 1) однородного
стержня. Определить координаты его центра тяжести.
87. Центр тяжести однородного стержня находится
в точке М(\; 4), один из его концов в точке Р(—2; 2).
Определить координаты точки Q другого конца этого
стержня
88. Даны вершины треугольника /4A; —3), 6C; —5)
и С(—5; 7). Определить середины его сторон.
89. Даны две точки ЛC; —1) и 6B; 1). Определить:
1) координаты точки М, симметричной точке А отно-
относительно точки В;
2) координаты точки N, симметричной точке В отно-
относительно точки А.
90. Точки МB; — 1), N (— 1; 4) и Р(—2; 2)' являются
серединами сторон треугольника. Определить его вер-
вершины.
91. Даны три вершины параллелограмма ЛC; —5),
Б E; —3), С( — I; 3). Определить четвертую вершину D,
противоположную Б.
92. Даны две смежные вершины параллелограмма
А(—3; 5), 5A; 7) и точка пересечения его диагоналей
М(\\ 1). Определить две другие вершины.
93. Даны три вершины ЛB; 3), ВD; —1) и С@; 5)
параллелограмма ABCD. Найти его четвертую верши-
вершину D.
94. Даны вершины треугольника ЛA; 4), БC; —9),
С(—5; 2). Определить длину его медианы, проведенной
из вершины В.
95. Отрезок, ограниченный точками ЛA; —3) и
5D; 3), разделен на три равные части. Определить ко-
координаты точек деления.
96. Даны вершины треугольника Л B; —5), 5A; —2),
СD; 7). Найти точку пересечения со стороной АС бис-
биссектрисы его внутреннего угла при вершине 5.
17

97. Даны вершины треугольника /1C; —5)', В(—3; 3)
и С(—1; —2). Определить длину биссектрисы его вну-
внутреннего угла при вершине Л.
98. Даны вершины треугольника Л( — 1} —1), 5C; 5),
С(—4; 1). Найти точку пересечения с продолжением сто-
стороны ВС биссектрисы его внешнего угла при вершине Л.
99. Даны вершины треугольника /4 C; —5), 5A; —3),
СB; —2). Определить длину биссектрисы его внешнего
угла при вершине В.
100. Даны три точки ЛA; —1), 5C; 3) и СD; 5),
лежащие на одной прямой. Определить отношение X,
в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный
двумя другими.
101. Определить координаты концов "А и 5 отрезка,
который точками РB; 2) и Q(l;< 5) разделен на три рав-
равные части.
102. Прямая проходит через точки Mi(—12; —13) и
М2(— 2; —5). На этой прямой найти точку, абсцисса ко-
которой равна 3.
103. Прямая проходит через точки МB; —3) и
N(—6; 5). На этой прямой найти точку, ордината кото-
которой равна —5.
104. Прямая проходит через точки Л G; —3) и
5B3;. —6). Найти точку пересечения этой прямой с осью
абсцисс,
105. Прямая проходит через точки Л E; 2) и
5(—4; —7). Найти точку пересечения этой прямой с осью
ординат.
106. Даны вершины четырехугольника Л(—3; 12),
5C; —4), СE; —4) и DE; 8). Определить, в каком от-
отношении его диагональ АС делит диагональ BD.
107. Даны вершины четырехугольника Л (—2; 14),
5D; —2), СF; —2) и DF; 10). Определить точку пере-
пересечения его диагоналей АС и BD.
108. Даны вершины однородной треугольной пла-
пластинки A(xi) у у), В(х2; yi) и С(хз', уз)- Определить ко-
координаты ее центра тяжести.
Указание. Центр тяжести находится в точке пересечения
медиан.
109. Точка М пересечения медиан треугольника ле-
лежит на оси абсцисс, две вершины его — точки Л B; —3)
и 5(—5;- 1), третья вершина С лежит на оси ординат.
Определить координаты точек МиС,
18

110. Даны вершины однородной треугольной пластин-
пластинки А{Х{\ yi), В(х2; уг) и С(х3; у3). Если соединить сере-
середины ее сторон, то образуется новая однородная тре-
треугольная пластинка. Доказать, что центры тяжести
Обеих пластинок совпадают.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 108.
111. Однородная пластинка имеет форму квадрата со
стороной, равной 12, в которой сделан квадратный вы-
вырез, прямые разреза проходят через центр квадрата, оси
У
I
\
О
1
1
1
<\
1
1
\
0
У
--—а—'"
X
Рис. 4.
Рис. 5.
О
координат направлены по ребрам пластинки (рис. 4),
Определить центр тяжести этой пластинки.
112. Однородная пластинка имеет форму прямоуголь-
прямоугольника со сторонами, равными а и Ь, в -котором сделан
прямоугольный вырез; прямые раз-
разреза проходят через центр, оси ко-
координат направлены по ребрам пла-
пластинки (рис. 5). Определить центр
тяжести этой пластинки.
113. Однородная пластинка
имеет форму квадрата со стороной,
равной 2а, от которого отрезан тре-
треугольник; прямая разреза соеди-
соединяет середины двух смежных сто-
сторон, оси координат направлены по
ребрам пластинки (рис. 6). Определить центр тяжести
пластинки.
114. В следующих точках А(х\\ у{), В(х2\ уг) н
Cfe Уз) сосредоточены массы т, п и р. Определить
координаты центра тяжести этой системы трех масс.
115. Точки /4D; 2), ВG; —2) и СA; 6) являются
вершинами треугольника, сделанного из однородной про-
проволоки. Определить центр тяжести этого треугольника.
19
Рис. 6.

§ 6- Площадь треугольника
Каковы бы ни были три точки А{х\\ у\), В(х2\ Уг)> С{х3; y3)t
площадь S треугольника ABC дается формулой
Кг — X] у 2 — У\
^з — Х\ Уз — У\
Правая часть этой формулы равна +5 в том случае, когда крат*
чайший поворот отрезка АВ к отрезку АС положителен, и —5
в том случае, когда такой поворот отрицателен.
116. Вычислить площадь треугольника, вершинами
которого являются точки: 1) Л B; —3), 5C; 2) и
С(-2; 5); 2) М^-З; 2), М2E; -2) и МяA; 3);
3) МC; -4), JV(-2;3) и РD; 5).
117. Вершины треугольника суть точки ЛC; 6),
5( —1; 3) и СB; —1). Вычислить длину его высоты, про-
проведенной из вершины С.
118. Определить площадь параллелограмма, три вер-
вершины которого суть точки Л (—2; 3), 5D; —5) и
С(-3; 1).
119. Три вершины параллелограмма суть точки
"»; 7), 5B; —3) и С(— 1; 4). Вычислить длину его вы-
высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
120. Даны последовательные вершины однородной че-
четырехугольной пластинки Л B; 1), 5E; 3), С(— 1; 7) и
D(—7\ 5). Определить координаты ее центра тяжести.
121. Даны последовательные вершины однородной
пятиугольной пластинки ЛB; 3), 5@? 6), С(—1; 5),
D@; 1) и £A; 1). Определить координаты ее центра тя*
жести.
122. Площадь треугольника 5 = 3, две его вершины
суть точки А C; 1) и 5A; —3), а третья вершина С ле-
лежит на оси Оу. Определить координаты вершины С.
123. Площадь треугольника 5 = 4, две его вершины
суть точки Л B; 1) и ВB>\ —2), а третья вершина С ле-
лежит на оси Ох. Определить координаты вершины С.
124. Площадь треугольника 5 = 3, две его вершины
суть точки ЛC; 1) и 5A; —3), центр тяжести этого тре-
треугольника лежит на оси Ох. Определить координаты
третьей вершины С.
126. Площадь параллелограмма 5=12 кв. ед.; две
его вершины суть точки Л(—1; 3) и 5 (—2; 4). Найти
две другие вершины этого параллелограмма при усло-
условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси
абсцисс.
20

126. Площадь параллелограмма S = 17 кв. ед.;- две
его вершины суть точки А B; 1) и 5E; —3). Найти две
другие вершины этого параллелограмма при условии,
что точка пересечения его диагоналей лежит на оси
ординат.
§ 7. Преобразование координат
Преобразование декартовых прямоугольных координат при па-
параллельном сдвиге осей определяется формулами
х = х' + а,
Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости отно-
относительно старых осей, х', у' — координаты той же точки относи-
относительно новых осей, а, Ь — координаты нового начала О' относитель-
относительно старых осей (говорят также, что а есть величина сдвига в на-
направлении оси абсцисс, Ъ — величина сдвига в направлении оси
ординат).
Преобразование декартовых прямоугольных координат при по-
повороте осей на угол а. (который надо понимать, как в тригономет-
тригонометрии) определяется формулами
х = х' cos a — у' sin а,
у — *'sin а + ч' cos а.
Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости отно-
относительно старых осей, х', у' — координаты той же точки относи-
относительно новых осей.
Формулы
х ■= х' cos a — у' sin а -f a,
у = xr sin а + у' cos а + Ь
опредеяяют преобразование координат при параллельном сдвиге
системы осей на величину о в направлении Ох, на величину Ь
в направлении Оу и последующем повороте осей на угол а Все
указанные формулы соответствуют преобразованию координат при
неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается так-
также п нижеприводимых задачах.
127. Написать формулы преобразования координат,
если начало координат (без изменения направления
осей) перенесено в точку: 1) АC; 4); 2) В(—2; 1);
3) С(-3; 5).
128. Начало координат перенесено (без изменения на-
направления осей) в точку О'C; —4). Координаты точек
А(\; 3), В(—3; 0) и С(—1; 4) определены в новой си-
системе Вычислить координаты этих же точек в старой
системе координат.
21

129. Даны точки АB; 1), Я(-1; 3) и С(-2; 5),
Найти их координаты в новой системе, если начало
координат перенесено (без изменения направления
осей): 1) в точку А; 2) в точку В; 3) в точку С.
130. Определить старые координаты начала О' новой
системы, если формулы преобразования координат за-
заданы следующими равенствами: 1) х = х' + 3, у = у'-\-
+ 5; 2) х = х* — 2, у = у'+1; 3) * = *', #==*/-I;
4) * = *' —5, y = t/.
131. Написать формулы преобразования координат,
если оси координат повернуты на один из следующих
углов: 1) 60°; 2) -45°; 3) 90°; 4) -90°; 5) 180°.
132. Оси координат повернуты на угол а = 60°. Ко-
Координаты точек А B /З"; —4), S(VT; 0) и. С@; —2 /3~)
определены в новой системе. Вычислить координаты этих
же точек в старой системе координат.
133. Даны точки МC; 1), ЛГ(—1; 5) и Р(—3; — I),
Найти их координаты в новой системе, если оси ко-
координат повернуты на угол: 1) —45°; 2) 90°; 3) — 90°;<
4) 180°.
134. Определить угол а, на который повернуты оси,
если формулы Преобразования координат заданы сле-
1 Vf
дующими равенствами: 1)*»-.,*' 2~У'>
+ ±У; 2) х = Ц ^ ^ Ц
135. Определить координаты точки О' нового началу
координат, если точка ЛC; —4) лежит на новой оси аб-
абсцисс, а точка BBj 3) лежит на новой оси ординат, при-
причем оси старой и новой систем координат имеют соот-
соответственно одинаковые направления.
136. Написать формулы преобразования координат,
если точка ;WiB; —3) лежит на новой оси абсцисс, а
точка М%{\\ —7) лежит на новой оси ординат, причем
оси старой и новой систем координат имеют соответ-
соответственно одинаковые направления.
137. Две системы координатных осей Ох, О у и Охг,
Oyf имеют общее начало О и преобразуются одна в дру-
другую поворотом на некоторый угол. Координаты точки
/4C; —4) определены относительно первой из них. Вы-
Вывести формулы преобразования координат, зная, что
положительное направление оси Ох' определено отрез-
отрезком О А,
22

138. Ыачало координат перенесено в точку О'(~1; 2),
оси координат повернуты на угол a = arctg-j2-. Коорди-
Координаты точек Mi C; 2), М2B; —3) и Л13A3; —13) опреде-
определены в новой системе. Вычислить координаты этих же
точек в старой системе координат.
139. Даны три точки: А E; 5), В B; —1) и СA2; —6).
Найти их координаты в новой системе, если начало ко-
координат перенесено в точку В, а оси координат повер-
, з
нуты на угол а = arctg-j.
140. Определить старые координаты нового начала
и угол а, на который повернуты оси, если формулы пре-
преобразования координат заданы следующими равенства-
равенствами: 1) x=-*/' + 3,j/ = x'--2; 2) x = -x'-l, y =
141. Даны две точки: Mi(9; —3) и М2(—б; 5). Нача-
Начало координат перенесено в точку Mit а оси координат по-
повернуты так, что положительное направление новой оси
абсцисс совпадает с направлением отрезка М1М2. Выве-
Вывести формулы преобразования координат.
142. Полярная ось полярной системы координат па-
параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной си-
системы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы
прямоугольные координаты полюса 0A; 2) и полярные
координаты точек Мх (?; j), М2C; 0), AlJS; — ■§),
Af4 f2; yjcj иМ5B; —■?■]• Определить координаты этих
точек в декартовой прямоугольной системе.
143. Полюс полярной системы координат совпадает
с началом декартовых прямоугольных координат, а по-
полярная ось направлена по биссектрисе первого коорди-
координатного угла. Даны полярные координаты точек
Мф;^), M2C;~J), М3A;-|я), Af4(б; --|я)
и М512; —^"j. Определить декартовы прямоугольные
ординаты этих точек.
144. Полярная ось полярной системы координат па-
параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной си-
23

стемы и Одинаково с нею направлена. Даны декартовы
прямоугольные координаты полюса 0C; _2) и точек
Af,E; 2), Л*яC; 1), М3C; 5), М4 C +/2~; 2 - уТ)
и М5C-\- УЗ ; 3).Определить полярные координаты этих
точек.
145. Полюс полярной системы координат совпадает
с началом декартовых прямоугольных координат, поляр-
полярная ось направлена по биссектрисе первого координат-
координатного угла. Даны декартовы прямоугольные координаты
точек Mi(-12_1),М2(уТ; -/2),МзA; /з), Л*4(-/зТ
1) иМ5B]/3; —2). Определить полярные координаты
этих точек.

ГЛАВА 2
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
§ 8. Функция двух переменных
Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М
плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется неко-
некоторое число и, то говорят, что на плоскости (или на части плоско-
плоскости, «задана функция точки»; задание функции символически выра-
выражают равенством вида u — f(M). Число и, сопоставляемое с
точкой М, называется значением данной функции в точке М. Напри-
Например, если А — фиксированная точка плоскости, М — произвольная
точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном
случае f (М) = AM.
Пусть дана некоторая функция и ;= f(M) и вместе с тем вве-
введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется
координатами х, у. Соответственно этому и значение данной функ-
функции в точке М определяется координатами х, у, или, как еще
говорят, и = f (M) есть функция двух переменных х и у. Функция
двух переменных х, у обозначается символом f(x, у); если f{M) =
~f(x, у), то формула u = f(x, у) называется выражением данной
функции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем при-
примере f(M)= AM; если ввести декартову прямоугольную систему
координат с началом в точке А, то получим выражение этой
функции:
146. Даны две точки Р и Q, расстояние между ко-
которыми равно а, и функция f {М) = d\ — dl, где rfi = МР
и d% — MQ. Определить выражение этой функции, если
в качестве начала координат принята точка Р, а ось Ох
направлена по отрезку PQ.
147. При условиях задачи 146 определить выражение
функции f(M) (непосредственно и при помощи преобра-
преобразования координат, используя результат задачи 146),
если:
25

1) начало координат выбрано _в_ середине отрезка
PQ, ось Ох направлена по отрезку PQ.
2) начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох
направлена по отрезку QP.
148. Даны: квадрат ABCD со стороной а и функция
f(M) = tfi+& + dl+t&, гДе Ъ = МА, d2 = MB, d3 =
= MC и ^4 = AID. Определить выражение этой функции,
если за оси координат приняты диагонали квадрата (при-
(причем ось Ох направлена по отрезку АС, ось Оу — по от-
отрезку BD).
149. При условиях задачи'148 определить выражение
для f(M) (непосредственно и при помощи преобразова-
преобразования координат, используя результат задачи 148), если
начало координат выбрано в точке Л, а оси координат
направлены по его сторонам (ось Ох — по отрезку АВ,
ось Оу — по отрезку AD).
. 150. Дана функция f (х, у) =* х2 +'у2 — 6* + 8#. Опре-
Определить выражение этой функции в новой координатной
системе, если начало координат перенесено (без измене-
изменения направления осей) в точку О'C; —4).
151. Дана функция / (д:, г/) == агз — г/3 — 16- Опреде-
Определить выражение этой функции в новой координатной
системе, если оси координат повернуты на угол —45°.
152. Дана функция f(x, у) =*2«f-#2. Определить вы-
выражение этой функции в новой координатной системе,
если оси координат повернуты на некоторый угол а.
153. Найти такую точку, чтобы при переносе в нее
начала координат выражение функции f(x,y)—x2—'
— \уг — 6х «|- 8// + 3 после преобразования не содержало
членов первой степени относительно новых переменных.
154. Найти такую точку, чтобы при переносе в нее
начала координат выражение функции f(x,y)=x2 —
— Аху + 4у2 4- 2* «f- У — 7 не содержало членов первой
степени относительно новых переменных.
155. На какой угол нужно повернуть оси координат,
чтобы выражение функции f(xty)=x2 — 2xy-\-y2 —
— 6а;+'3 после преобразования не содержало члена с
произведением новых переменных?
156. На какой угол нужно повернуть оси координат,
чтобы выражение функции / (я, у) = Зх2 + 2 ]/3 ху + у2
после Преобразования не содержало члена с произведе-
произведением новых переменных?
26

§ 9. Понятие уравнения линии. Задание линии
при помощи уравнения
Равенство вида F{xt у) = О называется уравнением с двумя
переменными х, у, если оно справедливо не для всяких пар чисел
х, у. Говорят, что два числа х = х0, У = Уо удовлетворяют некото-
некоторому уравнению вида F(x, t/)=0, если при подстановке этих чисел
вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается
в нуль.
"Уравнением данной линии (в назначенной системе координат)
называется такое уравнение с двумя переменными, которому удо-
удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и
не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.
В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии
F(x, У) = О» мь1 часто будем говорить короче: дана линия
F(x, t/)=0.
Если даны уравнения двух линий F(x, у)=0 и Ф(*, у) = 0, то
совместное решение системы
F(x,y) = 0, Ф{х, у) = 0
дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являю-
являющаяся совместным решением этой системы, определяет одну из
точек пересечения,
157. Даны точки*) MtB; -2), М2B; 2), М3B; -1),
М4C; —3), Л1&E; —5), М6C; —2), Установить, какие из
данных точек лежат на линии, определенной уравнением
х + У — Ь, и какие не лежат на ней. Какая линия опре-
определена данным уравнением? (Изобразить ее на чер-
чертеже.)
158. На линии, определенной уравнением х2-{-у2 =
= 25» найти точки, абсциссы которых равны следующим
числам: 1) 0, 2) —3, 3) 5, 4) 7; на этой же линии найти
точки, ординаты которых равны следующим числам: 5) 3,
6) —5, 7) —8. Какая линия определена данным урав-
уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)
159. Установить, какие линии определяются следую-
следующими уравнениями (построить их на чертеже): 1) х — у=0;
2)х + у = 0; 3) х — 2 = 0; 4)* 4-3 = 0; 5) г/ — 5 = 0;
6) г/ + 2 = 0; 7) х = 0; 8) ?/ = 0; 9) х2-ху = Ъ\ 10) ху-\-
+ у2 = 0; 11) х2-у2 = 0; 12) ху = 0; '13) #2-9 = 0;
14) х2 — 8х + 15 = 0; 15) у2 + 5г/+ 4 = 0; 16) х2у - Ixy -f
Ч- Юу —0; 17) у = \х\{ 18) * = |у|; 19) г/+|*| = 0;
20) х + \у\ = 0; 21) r/ = U-l|; 22) у = \х + 2\;
23) х2 + у2=\е>; 24) {х-2J + {у— 1J = 16; 25 ( 2
*) В rex случаях, когда система координат не названа, подра-
подразумевается, что она—декартова прямоугольная.
27

+ (/ IJ = 9; 26) (*- 1J + ^=4; 27) ( ) s
28) (x - 3J + У2 = 0; 29) x2 + 2/ = 0; 30) 2x2 + 3//2 +
+ 5 = 0; 31) (л: — 2J -h (г/ + 3J + 1 = 0.
160. Даны линии: l)x-\-y = 0; 2)x — y~0; 3)л:2 +
+ ^-36 = 0; 4) ^2+//2-2x+i/ = 0; 5) x2 + #2 + 4*-
— 6^— 1—0.
Определить, какие из них проходят через начало коор-
координат.
161. Даны линии: 1) x2 + y2 = 49; 2) {x —
+ (у + 4J = 25; 3) (д; + 6J + (г/-3J = 25; 4) (х + )
+ (£/_4J = 9; 5) л:2 -+- z/2 — 12л: -+- 16# = 0; Ь) х* + у2
— 2а: + 8г/ + 7 = 0; 7) х2 + г/2 - 6х -f 4г/ + 12 = 0.
Найти точки их пересечения: а) с осью Ох; б) с осью Оу.
162. Найти точки пересечения двух линий:
2) *2 + г/2- 16*-Ь4#+ 18 = 0; х + у = 0;
3) х2 4- у2 - 2х + 4г/ - 3 = 0; дг2 + у2 = 25;
4) х2 + г/2 - 8л: + 10г/ + 40 = 0; л;2+1/2 = 4.
163. В полярной системе координат даны точки
( ( )(|
)
Установить, какие из этих точек лежат на линии, опре-
определенной в полярных координатах уравнением р =
= 2 cos 9, и какие не лежат на ней. Какая линия опре-
определяется данным уравнением? (Изобразить ее на чер-
чертеже.) , з
164. На линии, определенной уравнением Р = cos q »
найти точки, полярные углы которых равны следующим
числам: а) у, б) — ~, в) 0, г) ~. Какая линия опреде-
определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)
165. На линии, определенной уравнением Р = -гпгп»
найти точки, полярные радиусьмкоторых равны следую-
следующим числам: а) 1,6) 2, в) Y2 . Какая линия опреде-
определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже.)
166. Установить, какие линии определяются в по-
полярных координатах следующими уравнениями (по-
Л ТЕ
строить их на чертеже): 1) р = 5; 2) 0 —у; 3) 9 = —^-;
4) р cos9 = 2; 5) psin9 = 1; .6.) p = 6cos9; 7) р = 10sin9;
8) sin 9 = у; 9) sin p == j-. L
28

167. Построить на чертеже следующие спирали Архи-
Архимеда: 1) р = 29; 2) р = 59; 3) р = |; 4) р = —|.
168. Построить на чертеже следующие гиперболиче-
гиперболические спирали: 1) р = -1; 2) P — j; 3) р = -£; 4) р= — ■$■.
169. Построить на чертеже следующие логарифми-
/ 1 \ ft
ческие спирали: 1) р = 29; 2) Р=(у)
170. Определить длины отрезков, на которые рассе-
рассекает спираль Архимеда р = 39 луч, выходящий из по-
полюса и наклоненный к полярной оси под углом 9=-^-.
Сделать чертеж.
171. На спирали Архимеда р=—9 взята точка С,
полярный радиус которой равен 47. Определить, на
сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус
точки С. Сделать чертеж.
172. На гиперболической спирали P = f найти точ-
точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать
чертеж.
173. На логарифмической спирали р = З9 найти точ-
точку Q, полярный радиус которой равен 81. Сделать
чертеж.
§ 10. Вывод уравнений заранее данных линий
В задачах предыдущего параграфа линия определялась при по-
помощи данного уравнения. Здесь мы будем иметь задачи противо-
противоположного характера: в каждой из них линия определяется чисто
геометрически, а уравнение ее требуется найти.
Пример I. В декартовой прямоугольной системе координат
вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов
расстояний которых до двух данных точек Аг(—а; 0) и A2(a;Q)
есть величина постоянная, равная 4а2.
Решение. Обозначим буквой М произвольную точку линии,
буквами х и у обозначим координаты этой точки. Так как точка М
может занимать на линии любое положение, то х и у являются
переменными величинами; их называют текущими координатами.
Запишем геометрическое свойство линии символически:
В этом соотношении при движении точки М могут меняться
длины МА\ и МА2. Выразим их через текущие координаты точки М:
29

Подставив полученные выражения в равенство A), найдем уравне-
ние, связывающее координаты х, у точки М:
(х + аJ + у2 + (х - аJ + у2*= 4а2. B)
Это и есть уравнение данной линии.
Действительно, для каждой точки М, лежащей на этой линии,
выполняется условие A) и, следовательно, координаты точки М бу-
будут удовлетворять уравнению B); для каждой точки Л!, не лежащей
на линии, не будет выполняться условие A) и, следовательно, ее
координаты не будут удовлетворять уравнению B).
Таким образом, задача решена. Однако уравнение B) можно
упростить; раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим
уравнение данной линии в виде
М 2 12 2
х2 + у2 = а.
Теперь легко понять, что данная ли-
линия есть окружность с центром в на-
начале координат и радиусом, равным о.
Пример 2. В полярной системе
координат вывести уравнение окруж-
окружности, которая имеет центр С(ро', 8о)
и радиус т (рис. 7).
Решение. Обозначим буквой
М произвольную точку окружности,
Рис- ' • буквами р и 0 — ее полярные коор-
координаты. Так как точка М может за-
занимать на окружности любое положение, то р и 0 являются пере-
переменными величинами. Как и в случае декартовой системы, их на-
называют текущими координатами.
Все точки окружности отстоят от центра на расстоянии г, за-
запишем это условие символически:
-г. A)
Выразим СМ через текущие координаты точки М (воспользуемся
теоремой косинусов; рис. 7):
см = Vp2 + pi - 2р0р cos (е - е0).
Подставив полученное выражение в равенство A), найдем урав-
уравнение, связывающее координаты р, 6 точки М:
+ Po-2p0pcos(e~eo) = г. B)
Это и есть уравнение данной окружности.
Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной
окружности, выполняется условие A) и, следовательно, координаты
точки М будут удовлетворять уравнению B); для каждой точки М,
не лежащей на данной окружности, не будет выполняться усло-
условие A) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять
уравнению B).
Таким образом, задача решена. Можно лишь несколько упро-
упростить полученное уравнение и представить его в виде, свободном
от радикала;
2
30

174. Вывести уравнение геометрического места точек,
одинаково удаленных от координатных осей.
175. Вывести уравнение геометрического места точек,
находящихся на расстоянии а от оси Оу.
176. Вывести уравнение геометрического места точек,
находящихся на расстоянии b от оси Ох.
177. Из точки Р F; —8) проведены всевозможные
лучи до пересечения с осью абсцисс. Составить уравне-
уравнение геометрического места их середин,
178. Из точки СA0; —3) проведены всевозможные
лучи до пересечения с осью ординат. Составить уравне-
уравнение геометрического места их середин.
179. Вывести уравнение траектории точки, которая
в каждый момент движения одинаково удалена от точек:
1) ЛC; 2) и Я B; 3); 2) ЛE; -1) и ЯA; -5);
3) ЛE; -2) и Я(-3; -2); 4) ЛC; -1) и 5C; 5)
180. Составить уравнение геометрического места то-
точек, разность квадратов расстояний которых до точек
Л (—а; 0) и В (а; 0) равна с.
181. Вывести уравнение окружности, имеющей центр
в начале координат и радиус г.
182. Вывести уравнение окружности, имеющей центр
С (а; р) и радиус г.
183. Дано уравнение окружности х2 -f- у2 = 25. Со-
Составить уравнение геометрического места середин тех
хорд этой окружности, длина которых равна 8.
184. Составить уравнение геометрического места то-
точек, сумма квадратов расстояний которых до точек
'Л(-3; 0) и ВC; 0) равна 50.
185. Вершины квадрата суть точки Л (а; а), В (--а', а),
С(—а; —а) и D(а; —а). Составить уравнение геометри-
геометрического места точек, сумма квадратов расстояний кото-
которых до сторон этого квадрата есть величина постоянная,
равная 6а2.
186. Через начало координат проведены всевозмож-
всевозможные хорды окружности (х — 8J-{-у2-= 64. Составить
уравнение геометрического места середин этих хорд.
187. Вывести уравнение геометрического места точек,
сумма расстояний которых до двух данных точек
Fi(—3; 0) и /^C; 0) есть величина постоянная, рав-
равная 10.
188. Вывести уравнение геометрического места точек,
разность расстояний которых до двух данных точек
^i(—5; 0) и jp2E; 0) есть величина постоянная, равная 6.
31

189. Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых расстояние до данной точки FC; 0) равно
расстоянию до данной прямой х + 3 = 0.
190. Вывести уравнение геометрического места точек,
сумма расстояний которых до двух данных точек
Fi{—с; 0) и F2(c; 0) есть величина постоянная, равная
2а. Это геометрическое место называется эллипсом, точ-
точки Ft и F2— фокусами эллипса.
Доказать, что уравнение эллипса имеет вид
£-4-ig—1, где б* = с*_ С2.
191. Вывести уравнение геометрического места точек,
разность расстояний которых до двух данных точек
Л(—с* 0) и Fz{c\ 0) есть величина постоянная, равная
2а. Это геометрическое место называется гиперболой,
точки Fi и F2 — фокусами гиперболы.
Доказать, что уравнение гиперболы имеет вид
192. Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых расстояние до данной точки Wir» о) равно
расстоянию до данной прямой # = — ■—• Это геометри-
геометрическое место называется параболой, точка F — фокусом
параболы, данная прямая — ее директрисой.
193. Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых отношение расстояния до данной точки
F(—4; 0) к расстоянию до данной прямой 4л:+ 25 = 0
4
равно -£-.
194. Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых отношение расстояния до данной точки
F(—5; 0) к расстоянию до данной прямой 5л: + 16 = 0
5
равно -т".
195. Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых кратчайшие расстояния до двух данных
окружностей (*Н-3J + 1/2= 1, (*-3J.+>2 = 81 равны
между собой.
196. Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых кратчайшие расстояния до двух данных
окружностей (* + 10J,+ ф = 289, (* - 10J + у2 = 1
равны между собой.
32

197. Вывести уравнение геометрического места точек,
для которых кратчайшие расстояния до данной окруж-
окружности (х — 5J + */2 = 9 и до данной прямой x-f 2 = 0
равны между собой.
198. Прямая перпендикулярна полярной оси и отсе-
отсекает на ней отрезок, равный 3. Составить уравнение этой
прямой в полярных координатах.
199. Луч выходит из полюса и наклонен к полярной
оси под углом -j. Составить уравнение этого луча в по-
полярных координатах.
200. Прямая проходит через полюс и наклонена к по-
полярной оси под углом 45°. Составить уравнение этой
прямой в полярных координатах.
201. В полярных координатах составить уравнение
геометрического места точек, расстояния которых от по-
полярной оси равны 5.
202. Окружность радиуса R — 5 проходит через по-
полюс, ее центр лежит на полярной оси. Составить уравне-
уравнение этой окружности в полярной системе координат.
203. Окружность радиуса R = 3 касается полярной
оси в полюсе. Составить уравнение этой окружности в
полярной системе координат.
§ 11. Параметрические уравнения линии
Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки М; рас-
рассмотрим две функции аргумента t: ,
При изменении / величины х и у будут, вообще говоря, ме-
меняться, следовательно, точка М будет перемещаться. Равенства A)
называются параметрическими уравнениями
линии, которая является траекторией точ-
точки М', аргумент t носит название парамет-
параметра. Если кз равенств A) можно исключить
параметр t, то получим уравнение траекто-
траектории точки М в виде
F (х, у) - 0.
204. Стержень АВ скользит свои-
своими концами Л и В по координат- ^)
ным осям. Точка М делит стержень Рнс 8
на две части AM = а и ВМ = Ь.
Вывести параметрические уравнения траектории точки
М, приняв в качестве параметра угол t = <£ОВА
(рис. 8). Исключить затем параметр t и найти уравнение
траектории точки М в виде F(x,y) =0.
2 Дь В. Клетеник 33

205. Траекторией точки М является эллипс, уравне-
д.2 ц2
пае которого -^г-}-~=1 (см. задачу 190). Вывести
параметрические уравнения траектории точки М, прини-
принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ
к оси Ох.
206. Траекторией точки М является гипербола, урав-
нение которой -^— ь^==^ (см< заДачУ 191). Вывести
параметрические уравнения траектории точки Му прини-
принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ
к оси Ох.
207. Траекторией точки М является парабола, урав-
уравнение которой у2 = 2рх (см. задачу 192). Вывести пара-
параметрические уравнения траектории точки М, принимая
в качестве параметра t:
1) ординату точки М;
2) угол наклона отрезка ОМ к оси Ох;
3) угол наклона отрезка FM к оси Ох, где точка F-~*
фокус параболы.
208. Даны полярные уравнения следующих линий!
= 2tfcos9; 2) p = 2flsin8; 3) p =
Составить параметрические уравнения этих линий
в декартовых прямоугольных координатах, совмещая по-
положительную полуось абсцисс с полярной осью и выби-
выбирая в качестве параметра полярный угол.
209. Даны параметрические уравнения линий:
4) * = |-(*+ у), 5) x = 2Rcos2t, 6) x = Rsm2t,
7)
исключив параметр t, найти уравнения этих линий
в виде
F {х, у) = 0.

ГЛАВА 3
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой
с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми.
Условие параллельности и перпендикулярности
двух прямых ' '
В декартовых координатах каждая прямая определяется урав-
уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой сте-
степени определяет прямую.
Уравнение вида
А + Ву + С = 0 A)
называется общим уравнением прямой.
Угол а, определяемый, как показано на рис, 9, называется
углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона'' прямой
к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно
обозначают буквой k\ „
Уравнение у = kx -f Ъ называется уравнением прямой
коэффициентом; k — угловой коэффициент,
Ь — величина отрезка, который отсекает
прямая на оси Оу, считая от начала коор-
координат.
Если прямая задана общим уравнением
Ах + By + С = О,
то ее угловой коэффициент определяется
по формуле
с угловым
***
О
\
i
b
1
Рис. 9.
Уравнение у — yo = k(x — хо) является уравнением прямой, ко-
которая проходит через точку Мо(хо'> Уо) и имеет угловой коэффи-
коэффициент k.
Если прямая проходит через точки М\{х\\ у\) и Мг[х2\ уг) то
ее угловой коэффициент определяется по формуле
35

является уравнением прямой, проходящей через две точки
и М2(х2;у2).
Если известны угловые коэффициенты двух прямых ki и k2, то
один из углов ф между этими прямыми определяется по формуле
/?2 "~™ "-1
Признаком параллельности двух прямых является равенство их
угловых коэффициентов
К\ = К2,
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотно-
соотношение
k\k2 — — 1 или k2 — =—.
Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых
обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
210. Определить, какие из точек MiC; 1), МгB; 3),
М3F; 3), М4(—3; —3), М5C; -1), М6(—2; 1) лежат на
прямой 2х — Зу — 3 = 0 и какие не лежат на ней.
211. Точки Pi, Рг, Рз, Р4 и Р5 расположены на прямой
Зх — 2у — 6 = 0; их абсциссы соответственно равны чис-
числам; 4, 0, 2, —2 и —6. Определить ординаты этих
точек.
212. Точки Qi, Q2, Q3, Q4 и Q5 расположены на пря-
прямой х — 3^ + 2 = 0; их ординаты соответственно равны
числам: 1, 0, 2, — I, 3. Определить абсциссы этих
точек.
213. Определить точки пересечения прямой 2х — Зу—
— 12 = 0 с координатными осями и построить эту пря-
прямую на чертеже.
214. Найти точку пересечения двух прямых Зх — 4у —
— 29 = 0, 2х + 5у + 19 == 0.
215. Стороны ЛВ, ВС и АС треугольника ЛВС даны
соответственно уравнениями *) 4х + Зу — 5 = 0, х — Зу -f-
+ 10 = 0, х_—2 = 0. Определить координаты его вер-
вершин.
216. Даны уравнения двух сторон параллелограмма
&1 = 0, 2# + #— 1=0 и уравнение одной из
*) Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы бу-
будем понимать уравнения прямых, йа которых лежат стороны.
36

его диагоналей Зх + 2у + 3 = 0. Определить координа-
координаты вершин этого параллелограмма.
217. Стороны треугольника лежат на прямых х-\-
_1_5# —7 = 0, Зле—2.у —4 = 0, 7х -f у -f 19 = 0. Вычис-
Вычислить его площадь S.
218. Площадь треугольника S = 8 кв. ед.; две его
вершины суть точки ЛA; —2) и ВB;3), а третья вер-
вершина С лежит на прямой 2х + у — 2 = 0. Определить
координаты вершины С. '
219. Площадь треугольника S = 1,5 кв. ед., две его
вершины суть точки А B; —3) и ВC; —2); центр тяже-
тяжести этого треугольника лежит на прямой Зх — у— 8=0.
Определить координаты третьей вершины С.
220. Составить уравнение прямой и построить пря-
прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и от-
отрезок Ь, отсекаемый ею на оси Оу\
1) /г = -|, 6=3; 2) /г = 3, 6 = 0; 3) k = 0, b=— 2;
4) £ = --|, 6 = 3; 5) /г = -2, 6 = -5;
6) Л = -у, b = j.
221. Определить угловой коэффициент k и отрезок 6,
отсекаемый на оси О^/, для каждой из прямых:
1) Бх — г/ + 3 = 0; 2) 2* + Зг/ — 6 = 0;
3) 5л; + 3// + 2 = 0; 4) 3* + 2# = 0; 5) # —3 = 0«
222. Дана прямая 5л: -J- Зх/ — 3 = 0. Определить угло-
угловой коэффициент к прямой:
1) параллельной данной прямой;
2) перпендикулярной к данной прямой.
223. Дана прямая 2# + Ъу + 4 = 0. Составить урав-
уравнение прямой, проходящей через точку М0B; 1):
1) параллельно данной прямой;
2) перпендикулярно к данной прямой;
224. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
2х —3# + 5 = 0, Зх + 2г/ —7 = 0 и одна из его вершин
Л B; —3). Составить уравнения двух других сторон
этого прямоугольника.
225. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
х — 2г/= 0, х — 2г/ +15 = 0 и уравнение одной из его
диагоналей 7#u-J-у— 15 = 0. Найти вершины прямо-,
угольника.
226. Найти проекцию точки Р(—6; 4) на прямую
5^3 0
37

227. Найти точку Q, симметричную точке Р(—5; 13)
относительно прямой 2х— $у — 3 = 0.
228. В каждом из следующих случаев составить
уравнение прямой, параллельной двум данным прямым
и проходящей посередине между нимш
1) Зх-2у— 1=0, 2) 5л: + # + 3 = 0,
Зл; — 2i/ — 13 = 0; 5х + у — 17 = 0;
3) 2лЧ-3*/-6 = 0,
4л:+ 6//+17 = 0;
4) 5* + 7#Н-15 = 0, 5) 3*-15//-1=0,
Ъх + 7 у + 3 = 0; х — Ьу — 2 = 0.
229. Вычислить угловой коэффициент & прямой, про-
проходящей через две данные точки: а) Мi B; —5), Mo C; 2);
б) Я(-3; 1), QG; 8); в) ЛE; -3), В(-1; 6).
230. Составить уравнения прямых, проходящих че-
рез вершины треугольника ЛE; —4), В(—1; 3),
С(—3; —2) параллельно противоположным сторонам.
231. Даны середины сторон треугольника: М\B\ 1),
■М2E? 3) и МзC} —4). Составить уравнение его сто-
сторон.
232. Даны две точки: РB; 3) и Q(—1; 0). Составить
уравнение прямой, проходящей через точку Q перпен-
перпендикулярно к отрезку PQ.
233. Составить уравнение прямой, если точка ЯB;3)
служит основанием перпендикуляра, опущенного из
начала координат на эту прямую.
234. Даны вершины треугольника AfiB; 1);
ЛЬ(— 1; —О и МзC; 2). Составить уравнения его высот;
235. Стороны треугольника даны уравнениями 4# —
-^(/ — 7 = 0, х + Зу — 31=0, х + Бу — 7 = 0. Опреде-
Определить точку пересечения его высот.
236. Даны вершины треугольника А A; —1), В (—2; 1У
и СC; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опу-
опущенного из вершины А на медиану, проведенную из
вершины В.
237. Даны вершины треугольника А B; —2), 5C; —5)
и СE; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опу-
опущенного из вершины С на биссектрису внутреннею угла
при вершине А.
238. Составить уравнения сторон и медиан треуголь-
треугольника с вершинами ЛC: 2), БE; —2), СA; 0)»
38

239. Через точки М\(—1; 2) и Л12 B; 3) проведена
прямая. Определить точки пересечения этой прямой
с осями координат.
240. Доказать, что условие, при котором три точки
Mt(Xi\ У\), М2{х2\ уг) и Л13(х3; Уз) лежат на одной пря-
прямой, может быть записано в следующем виде:
Х2
У\
Уз
= 0.
241. Доказать, что уравнение прямой, проходящей
через две данные точки Afi(*i; у\) и М2(х2; у2), может
быть записано в следующем виде:
х
х2
у 1
= 0.
242. Даны. последовательные вершины выпуклого
четырехугольника Л(—3; 1), БC; 9), С G; 6) и
D(—2; —6). Определить точку пересечения его диаго-
диагоналей.
243. Даны две смежные вершины А{—3; —1) и
В B; 2) параллелограмма ABCD и точка QC; 0) пере-
пересечения его диагоналей Составить уравнения сторон
этого параллелограмма.
• 244. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
Бх + 2у — 7 = 0, Ьх-\-2у — 36 — 0 и уравнение его диа-
диагонали Зх-\-7у—10 — 0. Составить уравнения осталь-
остальных сторон и второй диагонали этого прямоуголь-
прямоугольника.
245. Даны вершины треугольника /4A; —2), £E; 4)
л С(—2; 0). Составить уравнения биссектрис его вну-
внутреннего и внешнего углов при вершине А.
246. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку РC; 5) на одинаковых расстояниях от точек
Л(—7; 3) и £A1;—15).
247. Найти проекцию точки Р(—8; 12) на прямую,
проходящею через точки ЛB; —3) и В (—5; 1).
248. Найти точку Mi, симметричную точке М2(8;—9)
относительно прямой, проходящей через точки А C; —4)
иВA2)
39

249. На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы
сумма ее расстояний до точек М(\; 2) и /VC; 4) была
наименьшей.
250. На оси ординат найти такую точку Р, чтобн
разность расстояний ее до точек М(—3; 2) и NB; 5)
была наибольшей.
251. На прямой 2л: — г/ — 5 = 0 найти такую точку Р,
сумма расстояний которой до точек А (—7; 1), В(—5; 5)
была бы наименьшей. -
252. На прямой Зх— у—1=0 найти такую точку
Л разность расстояний которой до точек ЛD; 1) и
5@; 4) была бы наибольшей.
253. Определить угол ф между двумя прямыми:
1) 5* — у + 7 = 0, Зх +
2) 3* — 2у + 7 = 0, 2х + Зу — 3 = 0;
3) х — 2у — 4 = 0, 2х — Ау + 3 = 0;
4) 3* + 2у — 1 = 0, 5х — 2у + 3 = 0.
254. Дана прямая 2х + 3^ + 4 = .0. Составить урав-
уравнение прямой, проходящей через точку М0B; 1) под
углом 45° к данной прямой.
255. Точка Л(—4; 5) является вершиной квадрата,
диагональ которого лежит на прямой 7х — у + 8 = 0.
Составить уравнения сторон и второй диагонали этого
квадрата.
256. Даны две противоположные вершины квадрата
А(—1; 3) и СF; 2). Составить уравнения его сторон.
257. Точка £A; —1) является центром квадрата,
одна из сторон которого лежит на -прямой х — 2у +,
-f-12 = 0. Составить уравнения прямых, на которых
лежат остальные стороны этого квадрата.
258. Из точки Afo(—2; 3) под углом а к оси Ох на*
правлен луч света. Известно, что tg а = 3. Дойдя до
ос*и Ох, луч от нее отразился. Составить уравнения пря*
мых, на которых лежат лучи падающий и отраженный..
259. Луч света направлен по прямой л: — 2# + 5 = 0.
Дойдя до прямой Зя — 2г/ + 7 = 0, луч от нее отра-
отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит
отраженный луч.
260. Даны уравнения сторон треугольника Зл: + 4г/ —
— 1=0, х — 1ц— 17 = 0, 7*+ # + 31=0. Доказать,
что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу
при помощи сравнения углов треугольника,
40

261. Доказать, что уравнение прямой, проходящей
через точку Mi(x\; у\) параллельно прямой Ах-{-By-\-
+ С = 0, может быть записано в виде А(х — j?i)+
B( ) 0
+ (y
262. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку АЬB; —3) параллельно прямой: 1) Зх — 70 + 3 =
= 0; 2) х + 9у — 11 =0; 3) 16л: — 240 — 7 = 0; 4) 2х +
+ 3 = 0; 5) 30 — 1 =0.
Решихь задачу, не вычисляя угловых коэффициентов
данных прямых.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
263. Доказать, что условие перпендикулярности пря-
прямых Л^ + В^ + С] = 0, А2х + В2у + С2 — 0 может
быть записано в следующем виде: А\А2-\- BiB2 = 0.
264. Установить, какие из следующих пар прямых
перпендикулярны:
1) Зх — у + 5 = 0, 2) Зх - 4# + 1 = 0,
л; + 3#—1=0; 4х — Зу-\-7 = 0;
3) 6л;— 15z/ + 7 = 0, 4) 9*- \2у + 5 = 0,
10* -\~Ау — 3 = 0; 8*-f 6#— 13 = 0;
5) 7* —2#-f 1=0, 6) 5jc —7^4-3=0,
' 4* + 6r/+17 = 0; 3*H~2r/~5 = 0.
Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов
данных прямых.
Указание. Воспользоваться условием перпендикулярности
прямых, выведенных в задаче 263.
265. Доказать, что формула для определения угла ф
между прямыми А\Х + В\у + С,=0, А2х + В2у-\- С2= 0
может быть записана в следующем виде:
266. Определить угол ф, образованный двумя пря-
прямыми:
1) 3* —0 + 5 = 0,
2х + у — 7 = 0;
2) * l/2-r/ УЗ -5=0,
C+У2)*
3) x
41

Решить-задачу, не вычисляя угловых коэффициентов
данных прямых.
Указание. Воспользоваться формулой для определения угла
между двумя прямыми, полученной в задаче 265.
267. Даны две вершины треугольника Afi(—10; 2)
и ЛЬ F; 4); его высоты пересекаются в точке NE; 2).
Определить координаты третьей вершины Щ.
268. Даны две вершины /4C; ^-1) и В E; 7) тре-
треугольника ЛВС и точка ND\ ~-1). пересечения его
высот. Составить уравнения сторон этого треуголь-
треугольника.
269. В треугольнике ЛВС даны: уравнение стороны
АВ 5х — 3# + 2 —0, уравнения высот AM 4х — 3#-f,'
|+1=0 и BN 7#-|-2г/—- 22 = 0. Составить уравнения
двух других сторон и третьей высоты этого треуголь-
треугольника.
270. Составить уравнения сторон треугольника ABC,
если даны одна из его вершин ЛA; 3) и уравнения двух
медиан х — 2# + 1 = 0 и # — 1=0.
271. Составить уравнения сторон треугольника, если
даны одна из его вершин В(—4; —5) и уравнения двух
высот 5* + Ъу — 4 = 0 и За- +. Ьу + 13 = 0.
272. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну из его вершин ЛD; —1) и уравнения двух биссек-
биссектрис Л" — 1 р=0 и л: — у — 1 =0.
273. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину В B; 6), а также уравнения высоты
х ~ JyгК 13 = 0 и биссектрисы 7х + у_+ 5 = 0, прове-
проведенных hj одной вершины.
274. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его. вершину ВB; —1), а также уравнения высоты
Зл: — 4# +*U7 = 0 и биссектрисы х ^ 2у —- 5 = 0, прове-
проведенных из различных вершин.
275. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину СD; —1), а также уравнения высоты
2х — Зу +. 12 = 0 и медианы 2х^3у = 0, проведенных
из одной вершины.
276. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину В B; —7), а также уравнения высоты
Зл: —f-1/ —|— 11 = 0 и медианы х^ 2у +_ 7 = 0, проведен-
проведенных из различных вершин.
277. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину С(А\ 3K а также уравнения биссек-
42

трисы х+ 2г/ — 5 = 0 и медианы Ах+' 1 Зг/ — 10 = О,
проведенных из одной вершины.
278. Составить уравнения сторон треугольника, зная
одну его вершину Л C; —1), а также уравнения биссек-
биссектрисы х—- 4# + 10 = 0 и медианы 6* + Юу — 59 = 0,
проведенных из различных вершин.
279. Составить уравнение прямой, которая проходит
через начало координат и вместе с прямыми х— г/ +
1+12 = 0, 2х + у + 9 = 0 образует треугольник с пло-
площадью, равной 1,5 кв. ед.
280. Среди прямых, проходящих через точку РC;0),
найти такую, отрезок которой, заключенный между пря-
прямыми 2х — у — 2 = 0, л: -f- z/ -j- 3 = 0, делится в точке Р
пополам.
281. Через точку Р(—3; —1) проведены всевозмож-
всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, за-
заключенный между прямыми д: — 2г/ — 3 = 0, х — 2у +
[+5 = 0, делится в точке Р пополам.
282. Через точку Р@; 1) проведены всевозможные
прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок
которой, заключенный между прямыми х — 2у — 3 = 0,
х — 2у + 17 = 0, делился бы в точке Р пополам.
283. Составить уравнение прямой, проходящей через
начало координат, зная, что длина ее отрезка, заклю-
заключенного между_гфямыми 2х — // + 5 = 0, 2х — у + 10 =
= 0, равна У10.
284. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку С(—5; 4), зная что длина ее отрезка, заключен-
заключенного между прямыми х + 2у + 1 = 0, х + 2у — 1 = 0,
равна 5.
§ 13. Неполные уравнения прямой. Совместное
исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение
прямой «в отрезках»
Если в общем уравнении прямой
С = 0 (I)
один или два из трех коэффициентов (считая и свободный член)
обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны
следующие случаи:
1) С — 0; уравнение имеет вид Ах + By = 0 и определяет пря<
мую, проходящую через начало координат.
2) В = 0 (Л Ф 0); уравнение имеет вид Ах -f- С =я 0 и опреде-
определяет прямую, перпендикулярную к оси Ох Это уравнение может
43

быть записано в виде х = а, гдеа = —-г\ является величиной
отрезка, который отсекает прямая на оси Ох, считая от начала ко-
координат.
3) В — О, С — О (АФО); уравнение может быть записано в
виде л: а» 0 и определяет ось ординат.
4) А = О (В Ф 0); уравнение имеет вид By 4- С = 0 и опреде-
определяет прямую, перпендикулярную к оси Оу. Это уравнение может
быть записано в виде у = Ь, где Ъ = =- является величиной
отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала ко-
координат.
5) А = 0, С = 0 (В Ф 0); уравнение может быть записано в
виде у — 0 и определяет ось абсцисс.
Если ни один из коэффициентов уравнения A) не равен нулю,
то его можно преобразовать к виду
С С
где о = —-г- и Ь<=* —тг суть величины отрезков, которые отсе-
отсекает прямая на координатных осях.
Уравнение B) называется уравнением прямой «в отрезках*.
Если две прямые даны уравнениями
Cl=0 и А2х + В2у + С2 — 0,
то могут представиться три случая:
а) -г2- ^ ~d~ ~~ прямые имеют одну общую точку;
б) -~- = -~ Ф тг- — прямые параллельны;
ч Ах Вх С\
в) -—!-=-^i-ssa — прямые сливаются, т. е. оба уравнения
Л2 - ^2 определяют одну и ту же прямую. .
285. Определить, при каком значении а прямая ,
1) параллельна оси абсцисс;
2) параллельна оси ординат;
3) проходит через начало координат. .
В каждом случае написать уравнение прямой,
286. Определить, при каких значениях т и п прямая
(т + 2п — 3) х + B т - п + 1) у + 6 от + 9 = О
параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат от-
отрезок, равный —3 (считая от начала координат). Напи-
Написать уравнение этой прямой.

287. Определить, при каких значениях тип прямая
Bт — п + 5)* + (т + Згс — 2) у + 2т + In + 19 = О
параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцисс от-
отрезок, равный +5 (считая от начала координат) На-
Написать уравнение этой прямой.
288. Доказать, что в следующих случаях две данные
прямые пересекаются, и найти точку их пересечения!
2) 14* — 9# — 24 = 0, 7* — 2у — 17 — 0;
3) 12*4- 15*/-8 = 0, 16*4-9г/-7;=0;
4) 8*-33*/- 19 = 0, 12х + Ь5у— 19 = 0;
5) 3*4-5 = 0, г/ —2 = 0.
289. Доказать, что в следующих случаях две данные
прямые параллельны:
1) 3* + 5г/-4 = 0, 6*+ Юг/ + 7 = 0;
2) 2х — Ау + 3 = 0, х — 2у = 0;
3) 2х - 1 = 0, * 4- 3 = 0;
4) #4-3 = 0, 5г/ — 7 = 0.
.290. Доказать, что в следующих случаях две данные
прямые совпадают:
1) 3* + 5г/ — 4 = 0, 6*4-Юг/ —8 = 0;
2) * — 0Уг2=О, лгуТ—20 = 0;
3)* 1/3 — 1=0, Зл:—1/3=0.
291. Определить, при каких значениях а и b две пря-
прямые
ах - 2г/ — 1 = 0, 6* — Ау — 6 = 0
1) имеют одну общую точку; 2) параллельны} 3) сов-
совпадают
292. Определить,- при каких значениях тип две
прямые
тх 4- 8у 4- п = 0, . 2л; -f- mr/ — 1=0
1) параллельны; 2) совпадают; 3) перпендикулярны*
293. Определить, при каком значении т две прямые
(т— 1)*4->я# — 5 = 0, тх + Bт— 1)#4-7«=0
пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс*
45

294. Определить, при каком значении т две прямые
тх + B^ + 8) У + гп + 6 = О,
Bot+1)j?+(ot—1)у + от —2 = 0
пересекаются в точке, лежащей на оси ординат.
295. Установить, пересекаются ли в одной точке три
прямые в следующих случаях:
2) За;— # + 3 = 0, 5* + 3# — 7 = 0, я —
3J*— ^+1=0, * + 2#-17^0, * +
296. Доказать, что если три прямые А{х -\-
C А В f С 0 Л В + С
= 0, л2* + в2у +;;с2—о,
секаются в одной точке, то
Л, В, Cj
■ri2 °2 ^
лЗ °3 ^3
297. Доказать, что если
Ах В, С,
А2 В2 С2
*»з ■*-' з ^ з
= 0
= 0.
= 0,
то три прямые AiX'lfcBiy'-f.GiVsxO, А&'грВцу'-рСй^О,
Лз# + ВъУ&Съ =s0 пересекаются в одной точке или
параллельны,
V 298. Определить, при каком значении а три прямые
2* —0+,&««О, *:+>+,3=-0, cwfhif —ДЗ —0 будут
пересекаться в одной точке.
299. Даны прямые: 1) 2л: }f Зу — 6 = 0; 2) 4л; — 3^
[+24 = 0; 8) 2^^-3^ — 9 = 0; 4) 3^ — Ъу ~ 2 =?. 0?
5) Ъх^2у — 1 =0. Составить для них уравнения «вот-
«вотрезках» и построить эти прямые на чертеже.
300. Вычислить рлощадь треугольника, отсекаемого
прямой За; -— 4г/—12 = 0 от координатного угла.
301. Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку М\ C; —7) и отсекает на координатных осях
отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая
каждый отрезок направленным от начала координат).;
302. Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку РB\ 3) и отсекает на координатных осях
46

отрезки равной длины, считая каждый отрезок от на-
начала координат.
303. Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку СA; 1) и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 2 кв. ед.
V 304. Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку В E; —5) и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 50 кв. ед.
305. Составить уравнение прямой, 'которая проходит
через точку Р(8; 6) и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 12 кв. ед.
306. Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку РA2; 6) и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 150 кв. ед.
307. Через точку МD; 3) проведена прямая, отсе-
отсекающая от координатного угла треугольник, площадь
которого равна 3 кв. ед. Определить точки пересечения
этой прямой с осями координат.
308. Через точку M\(Xi\ у\), где X\tj\ > 0, проведена
прямая
а ' Ь '
отсекающая от координатного угла треугольник, пло-
площадь которого равна 5. • Определить, при каком соот-
соотношении между величинами хи У\ и S отрезки а и Ь бу-
будут иметь одинаковые знаки.
§ 14. Нормальное уравнение прямой. Задача
определения расстояния от точки до прямой
Пусть на плоскости хОу дана прямая. Проведем через начало
координат перпендикуляр к данной прямой и назовем его нормалью.
Обозначим через Р точку пересечения нормали е данной прямой
и установим положительное направление нормали of точки О
к точке Р.
Если а есть полярный угол нормали, р — длина отрезка UP
(рис. 10), то уравнение данной прямой может быть записано в виде
х • cos а + У • sin а — р = 0;
\
уравнение этого вида называется нормальным.
Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка М*\
обозначим через d расстояние точки М* от данной прямой. Откло-
Отклонением о точки М* от прямой называется число +«> если данная
точка и начало координат лежат по разные стороны от данной
прямой, и — d, если данная точка и начало координат расположены
47

по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой
прямой, 6 р» 0.) Если даны координаты х*, у* точки М* и нор-
нормальное уравнение прямой х cos а + У sin а — р == 0, то отклонение б
точки М* от этой прямой может быть вычислено по формуле
б = х* cos а + У* sin а — р.
Таким образом, чтобы найти отклонение какой-нибудь точки М*
от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения
этой прямой вместо текущих коорди-
координат подставить координаты точки М*.
Полученное число будет равно искомо-
искомому отклонению.
Чтобы найти расстояние d от точки
до прямой, достаточно вычислить от-
отклонение и взять его модуль:
1*1.
X
Рис. 10.
Если дано общее уравнение прямой
Ах + By + С — О, то, чтобы привести
его к нормальному виду, нужно все чле-
члены этого уравнения умножить, на нор-
нормирующий множитель ц, определяемый формулой
1
Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку
свободного члена нормируемого уравнения.
309. Определить, какие из следующих уравнений
прямых являются нормальными:
3) *? х ^ и ~1~ 2 с
5) -*-f-2 = 0;
7) # + 2 = 0;
2) 4*
з
0-1
б) * -2 = 0;
8) -г/-2 = 0.
310. Привести общее уравнение прямой к нормаль-
нормальному виду в каждом из следующих случаев;
1) 4* -Зу- 10 = 0;
3) I2.r-5#+I3 = 0;
5) 2*-у—уЧ)—0.
2)-i
4) л;
2 = 0;
10
48

311. Даны уравнения прямых:
1) х _ 2 = 0; 2) х + 2 = 0; 3) «/ — 3 = 0;
4) г/ + 3 = 0; 5) x/3 + z/-6 = 0; 6) *-# + 2 = 0;
7) х+г/]/3 + 2 = 0;
8) xcosp —z/sin(J —g=0, g>0; р —острый угол;
9) л: cos Э -f- г/ sin p -f- ^ == 0, q>0; р — острый угол.
Определить полярный угол нормали а и отрезок р
для каждой из данных прямых; по полученным значе-
значениям параметров аир построить эти прямые на чер-
чертеже (в последних двух случаях построение прямой вы-
выполнить, считая E = 30° и q = 2).
312. Вычислить величину отклонения б и расстоя-
расстояние d точки от прямой в каждом из следующих слу-
случаев: 1) ЛB; —1), 4*+ 3*/ +10 = 0; 2) В@; — 3),
5лг— 12г/ —23 = 0; 3) Р(—2; 3), Зх — 4у — 2 = 0;
4) Q(l; -2),*--20 —5 = 0.
3-13. Установить, лежат ли точка МA; —3) и начало
координат по одну или по разные стороны каждой из
следующих прямых: 1) 2х — у + 5 = 0; 2) х — Ъу— 5 =
= 0; 3) 3* + 2# — 1 =0; 4) х — Зу + 2 = 0; 5) 10*+,
9-240+15 = 0.
314. Точка /4B; —5) является вершиной квадрата,
одна из сторон которого лежит на прямой х — 2у — 7 =
= 0. Вычислить площадь этого квадрата.
315. Даны уравнения двух сторон прямоугольника
Зх — 2у — 5 = 0, 2х + 3# + 7 = 0 и одна из его вершин
А(—2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.
316. Доказать, что прямая 2х+# + 3 = 0 пересе-
пересекает отрезок, ограниченный точками Л(—5; 1) и£C;7).
317. Доказать, что прямая 2х — Зу + 6 = 0 не пере-
пересекает отрезка, ограниченного точками М\{—2; —3) и
Af(l2)
(
318. Последовательные вершины четырехугольника
суть точки А(—3; 5), В(—1; —4), СG; —1) и 0B; 9).
Установить, является ли этот четырехугольник вы-
выпуклым.
319. Последовательные вершины четырехугольника
суть точки A(-U 6), ВA; —3), СD; 10) и D(9; 0).
Установить, является ли этот четырехугольник вы-
выпуклым.
49

320. Даны вершины треугольника: Л(—10; —13),
В(—2; 3) и С{2\ 1). Вычислить длину перпендикуляра,
опущенного из вершины В на медиану, проведенную
из вершины С.
321. Стороны АВ, ВС и С А треугольника ABC соот-
соответственно даны уравнениями х^-2\у— 22 = 0, 5# —
— \2у 4* 7 = 0, 4л:— ЗЗг/^+ 146 = 0. Вычислить расстоя-
расстояние от центра тяжести этого треугольника до сторо-
стороны ВС.
322. Вычислить расстояние d между параллельными
прямыми в каждом из следующих случаев:
-10 = 0, 2) 5,v-*12r/-f-26 = 0,
6л: — 8y+ 5 = 0; . 5дг — 12г/ — 13 = 0;
3) 4х — 3у + 15 = 0, V4) 24л; — Юг/-Ь39 = 0,
8* — 6г/ + 25 = 0; 12*— 5г/ — 26 = 0.
323. Две стороны квадрата лежат на прямых 5л: —«
— 12#— 65 = 0, 5х — \2у -f- 26 = 0. Вычислить его пло-
площадь.
324. Доказать, что прямая 5л: — 2#— 1=0 парал*
лельна прямым 5л: — 2у 4- 7 = 0, 5л: — 2у — 9 = 0 и
делит расстояние между ними пополам.
325. Даны три параллельные прямые: 10**-f-' \5у—*
— 3 = 0, 2л: -f Ъу + 5 = 0, 2х + ?>у — 9 = 0. Установить,
что первая из них лежит между двумя другими, и вы*
числить отношение, в котором она делит расстояние
между ними.
326. Доказать, что через точку Р{2; 7) можно про*
вести Две прямые так, чтобы их расстояния от точки
Q(l; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых*
327. Доказать, что через точку Р{2\ 5) можно про-
провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки
QE; 1) были равны 3. Составить уравнения этих пря-
прямых,
328. Доказать, что через точку СG; -^2) можно про-
провести только одну прямую так, чтобы расстояние ее от
точки А D; —6) было равно 5. Составить ее уравнение*
329. Доказать, что через точку 5D; —5) невозмож-
невозможно провести прямую так, чтобы расстояние ее от точки
С(—2; 3) было равно 12.
330. Вывести уравнение геометрического места точек,
отклонение которых от прямой 8л;—\Ьу — 25 = 0
но —2.
50

331. Составить уравнение прямых, параллельных
прямой Зл: — 4г/ — 10 = 0 и отстоящих от нее на рас-
расстоянии d = 3.
332. Даны две смежные вершины квадрата Л B; 0)
и В(—1; 4). Составить уравнения его сторон.
333. Точка Л E; —1) является вершиной квадрата,
одна из сторон которого лежит на прямой Ах— Зу —
— 7 = 0. Составить уравнения прямых, на которых ле-
лежат остальные стороны этого квадрата.
334. Даны уравнения двух сторон квадрата Ах—
•— Зг/ + 3 = 0, 4л: — Зг/ — 17 = 0 и одна из его вершин
А B; —3). Составить уравнения двух других сторон
этого квадрата.
335. Даны уравнения двух сторон квадрата 5л;-}-!
[_|_ \2у — 10 =0, 5л: + 12# + 29 = 0. Составить уравне-
уравнения двух других его сторон при условии, что точка
М{{—3; 5) лежит на стороне этого квадрата.
336. Отклонения точки М от прямых 5л:—\2у—13 =
,= 0 и Зл: — Ау—19 = 0 равны соответственно —3 и—5.
Определить координаты точки М.
337. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку Р(—2; 3) на одинаковых расстояниях от точек
Л E; —1) и 5C; 7).
338. Составить уравнение геометрического места то-
;к, равноудаленных от двух параллельных прямых:
1) Зл; — #-f7 = Q, 2) х — 2у + 3 = 0,
Зл; — у — 3 = 0; х — 2у + 7 = 0;
3) 5лг ■— 2г/ — 6 = 0,
10л: —
339. Составить уравнения биссектрис углов, образо-
образованных двумя пересекающимися прямыми:
1) л:— 3z/ -Ь 5 = 0, 2) jc — 2у — 3 = 0,
Зл;— # — 2 = 0; 2л; + 4г/+ 7 = 0;
3) Зл; + Ау — 1 = 0,
5л; 4- 12# —2 = 0.
340. Составить уравнения прямых, которые прохо-
проходят через точку РB; —1) и вместе с прямыми 2л: — у -f
-|-5 = 0, Зл: j- by — 1 _=0 образуют равнобедренные
треугольники.
51

341. Определить, лежат ли точка Af(lj —2) и начало
координат в одном, в смежных или вертикальных уг-
углах, образованных при пересечении двух прямых:
1) 2х — у — 5 = 0, • 2) 4х + 3у — 10 = 0,
3*+ #+10 = 0; 12* — 5# — 5 = 0;
8) х-2у- 1=0,
3jc — у— 2 = 0.
342. Определить, лежат ли точки AfB;3) и NE;—1)
в одном, в смежных или вертикальных углах, образо-
образованных при пересечении двух прямых:
1) х — Зг/ —5 = 0, 2) 2x + 7z/ —5 = 0,
2*+9*/ — 2 = 0; х + Зг/ + 7=0;
3) 12* + г/ — 1=0,
13д: + 2г/ — 5 = 0.
343. Определить, лежит ли начало координат вну-
внутри или вне треугольника, стороны которого даны урав*
нениями 7х — Ъу — 11 = 0, 8х + Зу + 31 = 0, * + &/ —
— 19 = 0.
344. Определить, лежит ли точка М(—3; 2) внутри
или вне треугольника, стороны которого даны урав*
нениями *4-# —4 = 0, Ъх — ly -j- 8 = 0, 4Jf — г/ — 31 =,
= 0.
345. Определить, какой из углов, острый или тупой,
образованных двумя прямыми Зл; — 2у + 5 = 0 и 2х^{-,
гЬ У — 3 = 0, содержит начало координат.
346. Определить, какой из углов, острый или тупой,
образованных двумя прямыми Зх— Ъу — 4 ==> 0 и #+J
k+ 2y + 3 = 0, содержит точку М B; —5).
347. Составить уравнение биссектрисы угла между
прямыми Зд; — у — 4 = 0 и 2* + 6# + 3 = 0, в котором
лежит начало координат.
348. Составить уравнение биссектрисы угла между
прямыми х — 7^ + 5 = 0, Ъх + Ъу — 3 = 0, смежного
с углом, содержащим начало координат
349. Составить уравнение биссектрисы угла между
прямыми х-\-2у — 11=0 и Зх — 6у — 5 = 0, в котором
лежит точка М A; —3).
350. Составить уравнение биссектрисы угла между
прямыми 2х — Зу — Ъ — 0, Ьх-~4у+г7.== 0, смежного
с углом, содержащим точку С B; —1).
52

351. Составить уравнение биссектрисы острого угла,
образованного двумя прямыми Зл; + 4z/ — 5 = 0 5л: —
2 3 0
12# + 3 0.
352. Составить уравнение биссектрисы тупого угла»
образованного двумя прямыми х— 3^/ -|- 5 = 0, Зл; —
+15 0
§ 15. Уравнение пучка прямых
Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S,
называется пучком прямых с центром S.
Если Aix + Biy + Ci = 0 и Л2х + £2# + С2 = 0 — уравнения
двух прямых, пересекающихся в точке 5, то уравнение
а(Л1л: + £1# + С1) + р(Л3л; + Я2// + С2)=0, A)
где а, р — какие угодно числа, не равные одновременно нулю, опре-
определяет прямую, также проходящую через точку S.
Более того, в уравнении A) числа а, р всегда возможно подо-
подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную)
прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую
пучка с центром S. Поэтому уравнение вида A) называется урав-
уравнением пучка (с центром S). ■
Если а Ф 0, то, деля обе части уравнения A) на а и полагая
Р *
-L- ==Л, получим:
t + X (A2x + Вгу + С2) = 0. B)
Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с цен-
центром S, кроме той, которая соответствует а = 0, т. е. кроме прямой
А2х + В2у + С2 = 0.
353. .Найти центр пучка прямых, данного уравнением
B 31)+рB4) 0
( #))
354. Найти уравнение прямой, принадлежащей пуч-
пучку прямых а(х + 2у — 5) + р (Зл: — 2у + 1) == 0 и
1) проходящей через точку ДC; —1);
2) проходящей через начало координат;
3) параллельной оси Ох\
4) параллельной оси Оу\
5) параллельной прямой Ах + Ъу + 5 = 0;
6) перпендикулярной к прямой 2х + Зу + 7 = 0.
355. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямых Зл; — 2у + 5 = 0, 4х + Зу —
— 1 = 0 и отсекающей на оси ординат отрезок Ь = —3.
Решить задачу, не определяя координат точки пересе-
пересечения данных прямых.
356. Составить уравнение прямой, которая проходит
.через точку пересечения прямых 2х ^у — 2 = О,
53

x — Ъу — 23 =* 0 и делит -пополам отрезок, ограниченный
точками Mi E; —6) и Л!2(—1; —4). Решить задачу, не
вычисляя координат точки пересечения данных прямых*
357. Дано уравнение пучка прямых а (Зл; — 4у — 3)-fr
+ PB*-}-3z/ — 1) = 0. Написать уравнение прямой это-
этого пучка, проходящей через центр тяжести однородной
треугольной пластинки, вершины которой суть точки
Л(-1;2),ЯD;-4) и СF; -1).
358. Дано уравнение пучка прямых аC* — 2у—lJ-P1
+ РDя — 5z/-f-8) = 0. Найти прямую этого пучка, про*
ходящую через середину отрезка прямой х + 2у + 4 = 0,
заключенного между прямыми 2х + 3# + 5 = 0, я.-f?
-тЬ7у—1 — 0.
359. Даны уравнения сторон треугольника х-\-2у—>
— 1=0, 5*+ 4*/ — 17 = 0, * — 4# + 11=0. Не опре-
определяя координат его вершин, составить уравнения вы-
высот этого треугольника.
360. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку пересечения прямых 2х + 1у — 8 = 0, Ъх-\-2у -f?
-f 5 = 0 под углом в 45° к прямой 2я,+ 3у — 7 = 0. Ре-
Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения
данных прямых.
361. В треугольнике ABC даны уравнения высоты
AN: х + Ьу — 3 = 0, высоты BN: х'+у — 1=»0 и сто-
стороны АВ: х[-\-Зу-~\ =0. Не определяя координат вер-
вершин и точки пересечения высот треугольника, составить
уравнение двух других сторон и третьей высоты.
362. Составить уравнения сторон треугольника ABC,
зная одну его вершину ЛB; —1), а также уравнения
высоты 7х — Юу + 1 = 0 и биссектрисы Зх — 2у + 5=0,
проведенных из одной вершины. Решить задачу, не вы*,
числяя координат вершин В и С.
363. Дано уравнение пучка прямых аBх -f у -f- 8) -{4
+ Р(* + У + 3) = 0. Найти прямые этого пучка, отрезки
которых, заключенные между прямыми х — у — 5 = 0,
х — у — 2 = 0, равны У§.
364. Дано уравнение пучка прямых aC*-f-у— l)-fr-
-|- рBл; — г/ — 9) = 0. Доказать, что прямая x-\-3y-fr
-j- 13 = 0 принадлежит этому пучку.
365. Дано уравнение пучка прямых <хEх-{-Зу + 6) -у
_|_ рCя — 4г/ — 37) = 0. Доказать, что прямая 7х^-2у —
— 15 = 0 не принадлежит этому пучку.
366. Дано уравнение пучка прямых а(Зл:'-{-2# —
+ (H2*rh^rh5) = 0. Найти, при каком значении
54

прямая 4х— Зу -\- С = 0 будет принадлежать этому
пучку.
367. Дано уравнение пучка прямых аE#,+ Зу— 7)-f*
4- PCjc^ \0y + 4)=?= 0. Найти, при каких значениях а
прямая at4-,by4- 9 = 0 не будет принадлежать этому
пучку.
368. Центр пучка прямых аB# — 3# + 20)-|-
4- р (Зд; -}- 5# — 27) = О является вершиной квадрата,
диагональ которого лежит на прямой х-\-1у—16 = 0.
Составить уравнения сторон и второй диагонали этого
квадрата.
369. Дано уравнение пучка прямых аBх -j- Ъу + 4) 4*
Ц-|3(Зл: — 2г/ + 25) = 0. Найти прямую этого пучка, от-
отсекающую на координатных осях отличные от нуля от-
отрезки равной величины (считая от начала координат).
370. Дано уравнение пучка прямых аB# + У + 1L-
Ц-${х — Зу—10) — 0. Найти прямые этого пучка, отсе-
отсекающие на Координатных осях отрезки равной длины
[(считая от начала координат).
371. Дано уравнение пучка прямых осB\х'4-8у~
— i8)-fp(ll*4-3#-f 12) = 0. Найти прямые "этого
пучка, отсекающие от координатных углов треугольни-
треугольники с площадью, равной 9 кв. ед.
372. Дано уравнение пучка прямых аBх"-\-у-\- 4) -f-
r-fP('r — 2у — 3) = 0. Доказать, что среди прямых этого
пучка существует только одна прямая, _отстоящая от
точки РB; —3) на расстоянии c? = ]/l0« Написать
уравнение этой прямой.
373. Дано уравнение пучка прямых а B^ — у — 6L-
4"Р(* — У — 4) = 0. Доказать, что среди прямых этого
пучка нет прямой, отстоящей от точки РC; —1) на рас-
расстоянии d — 3.
374. Составить уравнение прямой, проходящей че-
через точку пересечения прямых Зх -}-'у — 5 = 0, х —
.— 2г/+10 = 0 и отстоящей от точки С(—1; —2) на
'расстоянии d = 5. Решить задачу, не вычисляя коор-
координат точки пересечения данных прямых.
375. Дано уравнение пучка прямых а{Ьх-\-2у4-
с-+-4) + р (х + 9у — 25) = 0. Написать уравнения прямых
этого пучка, которые вместе с прямыми 2л: — Зу-{-
+ 5 = 0, \2х-\-8у—-7 = 0 образуют равнобедренные
треугольники.
376. Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку пересечения прямых \1х^Зу-~7. = 0,
55

12* + у — 19 = 0 на одинаковых расстояниях от точек
АC; —2) и В(— 1; 6). Решить задачу, не вычисляя
координат точки пересечения данных прямых.
377. Даны уравнения двух пучков прямых
Щ (х — У + 1) + fe B* — у — 2) = 0.
Не определяя их центров, составить уравнение прямой,
принадлежащей обоим пучкам.
378. Стороны АВ, ВС, CD и DA четырехугольника
ABCD заданы соответственно уравнениями 5я + #-{-'
,+ 13 = 0, 2х — 7у—\7 = 0, Зх + 2у — 13 = 0, 3* —
4у + 17 = 0. Не определяя координат вершин этого че-
четырехугольника, составить уравнения его диагоналей
AC uBD.
379. Центр пучка прямых аBх"+" 3#"+ 5) + р C# —«
— г/ -f- 2) = 0 является одной из вершин треугольника,
две высоты которого даны уравнениями х — Ау-{• 1 = 0,
2х-\-у-\- \ =0. Составить уравнения .сторон этого тре-
треугольника.
§ 16. Полярное уравнение прямой
Прямая, проведенная через полюс перпендикулярно к данной
прямой, называется ее нормалью. Обозначим буквой Р точку, в ко-
которой нормаль пересекает прямую; установим на нормали положи-
положительное направление от точки О
к точке Р. Угол, на который нуж*
но повернуть полярную ось до
наложения ее на отрезок ОР, бу-
будем называть полярным углом
нормали.
380. Вывести полярное
уравнение прямой, зная ее
расстояние от полюса р и
полярный угол нормали а.
Решение. 1-й способ. На
данной прямой s (рис. 11) возь-
Рис- И« мем произвольную точку м с по-
полярными координатами р и 9.
Точку пересечения прямой s с ее нормалью обозначим буквой Р. Из
прямоугольного треугольника ОРМ находим:
Р
A)
cos (8 — а) '
Мы получили уравнение с двумя переменными р и б, которому
удовлетворяют координаты всякой точки М, лежащей на прямой s,
56

и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой
прямой. Следовательно, уравнение A) является уравнением пря-
прямой s. Таким образом, задача решена.
2-й способ. Будем рассматривать декартову прямоугольную
систему координат,' положительная полуось абсцисс которой совпа-
совпадает с полярной осью заданной полярной системы. В этой декарто-
декартовой системе имеем нормальное уравнение прямой s:
д: cos а -+- у sin а — р = 0. B)
Воспользуемся формулами преобразования полярных координат в
декартовы:
0
у == р sin 9. { }
Подставляя в уравнение B) вместо х и у выражения C), получим:
р (cos 8 cos a -f- sin 8 sin а) = p
или
p
p"~ cos (8 - a) '
381. Вывести полярное уравнение- прямой, если
даны:
1) угол р наклона прямой к полярной оси и длина
перпендикуляра /?, опущенного из полюса на эту пря-
прямую. Написать уравнение этой прямой в случае £ — -?■»
Р = 3;
2) отрезок а, который отсекает прямая на поляр-
полярной оси, считая от полюса, и полярный угол а нор-
нормали этой прямой. Написать уравнение этой прямой
' 2
в случае a = 2, a = — -jn;
\ 3) угол E наклона прямой к полярной оси и отре-
отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, счи-
считая от полюса. Написать уравнение этой прямой в слу-
случае P = -f-, a = 6.
'' 382. Вывести полярное уравнение прямой, проходя-
проходящей через точку Afi(pi;6i) и наклоненной к полярной
оси под углом р.
383. Вывести полярное уравнение прямой, проходя-
проходящей через точку Mi(pi;.6i), полярный угол нормали
которой равен а.
384. Составить уравнение прямой, проходящей че-
через точки Afi(pi;9i) и И(б)

ГЛАВА 4
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 17. Окружность
Уравнение
(*-о)* + (у-Р)« = # A)
определяет окружность радиуса R с центром С(а; Р).
Если центр, окружности совпадает с началом координат, т. е.
если а = 0, |3 = 0, то уравнение A) принимает вид
х2 + у2 = ф. B)
385. Составить уравнение окружности в каждом из
следующих случаев:
1) центр окружности совпадает с началом координат
и ее радиус R = 3;
2) центр окружности совпадает с точкой СB;. —3)
и ее радиус R = 7;
3) окружность проходит через начало координат и
ее центр совпадает с точкой С F; —8);
4) окружность проходит через точку ГА B; 6) и ее
центр совпадает с точкой С(—1; 2);
5) точки ЛC; 2) и В( — 1; 6) являются концами од-
одного из диаметров окружности;
6) центр окружности совпадает с началом координат
и прямая За; — 4у -[- 20 = О является касательной к
окружности;
7) центр окружности совпадает с точкой СA; —1) и
прямая 5л: — 12^ + 9 = 0 является касательной к окруж-
окружности;
8) окружность проходит через точки /4C} 1) и
В(—1; 3), а ее центр лежит на прямой Зл: — г/ — 2 = 0;
9) окружность проходит через три точки /4A; 1),
5A; -1) иСB;0);
10) окружность проходит через три точки; Afi(—1;
M2{—2i -2) и М3E; 5), "
58

386. Точка СC; —1) является центром окружности,
отсекающей на прямой 2х — Ъу ■+• 18 = 0 хорду, длина
которой равна 6. Составить уравнение этой окружности.
387. _Написать уравнения окружностей радиуса
# = УЪ, касающихся прямой л: — 2г/ — 1 = 0 в точке
AfiC; 1).
388. Составить уравнение окружности, касающейся,
двух параллельных прямых: 2х -f-# —• 5 = О, 2я + #-Ь
_[- 15 = 0, причем одной из них — в точке Л B; 1).
389. Составить уравнения окружностей, которые про-
проходят через точку /4A; 0) и касаются двух параллель-
параллельных прямых: 2х 4- У + 2 = 0, 2х-{-у — 18 = 0.
390. Составить уравнение окружности, которая, имея
центр на прямой 2#-f-# = 0, касается прямых 4л; —
— Зу -Ь Ю = 0, Ах - Ъу - 30 = 0.
391. Составить уравнения окружностей, касающихся
двух пересекающихся прямых: 7х — у — 5 = 0, х-\- у -{•
-j- 13 = 0, причем одной из них — в точке Mi(l; 2).
392. Составить уравнения окружностей, проходящих
через начало координат и касающихся двух пересекаю-
пересекающихся прямых: х + 2у — 9 = 0, 2х — у ■+• 2 = 0.
393. Составить уравнения окружностей, которые, имея
центры на прямой Ах — Ъу — 3 = 0, касаются прямых
2х — Зу — 10 = 0, 2>х — 2у -Ь 5 = 0.
394. Написать уравнения окружностей, проходящих
через точку А(—-1; 5) и касающихся двух пересекаю-
пересекающихся прямых: 3* + Ау — 35 = 0, Ax + Zy -f- 14 = 0.
395. Написать уравнения окружностей, касающихся
трех прямых: 4л: — Зг/ — 10 = 0, 3# — Ау — 5 = 0 и Зл; —•
— Ау-^ 15 = 0.
396. Написать уравнения окружностей, касающихся
трех прямых: 3jc + Ay — 35 = 0, Зл; — Ay — 35 = 0 и х —
-1=0.
397. Какие из нижеприводимых уравнений опреде-
определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой
из них:
1) (x - 5J + (у
3) (л: — 5J -f (У
Of Л ^^ */ ^»Л
6) л;2+г/2-2л:
7) л:24-г/2 + 4лг
9) х2 + у2 4- 6л:
+ 2J = 25;
4- 2J = 0;
4- Ау — 20 =
~\-Ау 4- 14 =
— 2# 4- 5 = С
-4г/4-И =
0;
0;
1;
0;
2)
4)
8)
Ю)
(* 4- 2J 4- у2
х2+(у-5J
х2-\- у2-\-х =
Я* + у* + у =
= 64;
= 5;
= 0;
= 0.
59

398. Установить, какие линии определяются следую-
следующими уравнениями:
у = + ]/9^72; 6)
2) г/ = - У2Ъ--£; 7) *^= -2 - ]/9- у8;
3) х^-уТ^; 8)
4) jc = + /16 -*/2; 9) */ = --3-
5) у = 15 + /64 -*2; 10) jc = - 5 + /40-6//- г/2]
Изобразить эти линии на чертеже.
399. Установить, как расположена точка /1A; —2)
относительно каждой из следующих окружностей — вну-
внутри, вне или на контуре: 1) х2-\-у2 = 1; 2) я2-{-#2=5;
3) ^ + ^ = 9; 4) *2+г/2-8*-4г/-5 = 0; 5) *2-{J
[Ю 8 а
400. Определить уравнение линии центров двух
окружностей, заданных уравнениями:
1) (х -3J+ у2 = 9 и (* + 2J+ (*,-1J = 1;
2) (* + 2)Ч (#-1J=16 и (лг+2J + (^ + 5J = 25;
3) дг2+г/2-4л:Н-6г/ = 0 и х2 + у2-6* = 0;'
4) ^+г/2-^4-2г/ = 0 и Х2 + у2-\-Ьх + 2у-\ =0.
401. Составить уравнение диаметра окружности #2-f-
"т- У2 + 4* — 6# — 17 = 0, перпендикулярного к прямой
5x + 2#— 13 = 0.
402. Вычислить кратчайшее расстояние от точки до
окружности в каждом из следующих.случаев:
а) ЛF; -8),х2+г/2 = 9;
б) В C; 9), х2 + у2 — 26* -f ЗОу + 313 = 0;
в) С(—7; 2), *2 + #2- 10^-14^-151 = 0.
403. Определить координаты точек пересечения пря-
прямой 7х — у^г 12 = 0 и окружности (я — 2J+ (у — 1J =
= 25.
404. Определить, как расположена прямая относи»
тельно окружности (пересекает ли, касается или прохо-
проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следую-
следующими уравнениями: '
1) у = 2х - 3 и х2 + у2 - Зл: + 2у - 3 = 0;
3) # = *+ 10 и *2 + у2—1«
60

405. Определить, при каких значениях углового ко-
коэффициента k прямая у = кх
1) пересекает окружность х2 + у2 — 10* + 16 = 0;
2) касается этой окружности;
3) проходит вне этой окружности.
406. Вывести условие, при котором прямая y = kx-\-
-f- b касается окружности х2-\-у2 = R2.
407. Составить уравнение диаметра окружности
(л: — 2J + (г/ + IJ = 16, проходящего через середину
хорды, отсекаемой на прямой х — 2у — 3 = 0.
408. Составить уравнение хорды окружности
(х-3J+ (у — 7J= 169, делящейся в точке Л! (8,5; 3,5)
пополам.
409. Определить длину хорды окружности (х — 2J-\-
.+ (у — 4J = 10, делящейся в точке А(\; 2) пополам.
410. Дано уравнение пучка прямых а(х — Ъу -f 30) +
4-p(#-f-5i/ — 22) = 0. Найти прямые этого пучка, на
которых окружность_ х2 + У2 — 2.x -f- 2y — 14= 0 отсекает
хорды длиною 2 УЗ.
411. Даны две окружности (х — m^f -f (у — п\у = R2V
(х — т2J + (у — n2j = Rj, пересекающиеся в точках
Mi(xi', г/i) и ЬАг{хч\ Уг). Доказать, что любая окруж-
окружность, проходящая через точки Ми М2, а также прямая
MiM2, могут быть определены уравнением вида
а \(х- mtf -f (У - л,J - Л?) + р [(х - m2f+ (у - n2f - tf|]=
= 0при надлежащем выборе чисел аир.
412. Составить уравнение окружности, проходящей
через точку ЛA; —1) и точки пересечения двух окруж-
окружностей: х2 + у2 + 2х — 2у — 23 = 0, *2 + #2 — 6л;-f-J2//-
- 35 = 0.
413. Составить уравнение окружности, проходящей
через начало координат и точки пересечения двух окруж-
окружностей: (х + 3J+ (у +1J = 25, (х -2J± (у + 4J =
= 9.
414. Составить уравнение прямой, проходящей через
точки пересечения двух окружностей: х2 -f- У2 + Зх— у =
= 0, 3jc2 + Зг/2 + 2х + ^ = 0.
415. Вычислить расстояние от центра окружности
jc2 -f- у2- = 2х до прямой, проходящей через точки пересе-
пересечения двух окружностей: х2 + у2 + 5я — By -f- I = 0, х2 -f-
Н- г/2 — 3* + 7у — 25 = 0.
416. Определить длину общей хорды двух окружно-
окружностей: я2^//2— 10*— 10# = 0,x2z\-y2^r 6х 4-2^ — 40 = 0.
61

417. Центр окружности лежит на прямой *"-f-'# = 0.
Составить уравнение этой окружности, если известно,
что она проходит через точки пересечения двух окруж-
окружностей: (х- 1J^(^ + 5J = 50, (*-ИJн-,<г/-ИJ =
.« 10.
418. Составить уравнение касательной к окружности
х2 -f- #2 =5 5 в точке А (— 1; 2).
419. Составить уравнение касательной к окружности
(х _|_ 2J+ (# — 3J = 25 в точке А(—5; 7).
420. На окружности 16х2 -f- \6у2 + 48* — 8z/ — 43 = 0
найти точку Mi, ближайшую к прямой 8х — 4г/ -f- 73 = 0,
и вычислить расстояние d от точки М\ до этой пря-
прямой.
421. Точка Mi(Xi\ у{) лежит на окружности х2 + У2 =
= /?2. Составить уравнение касательной к этой окружно-
окружности в точке Mi.
422. Точка Mi(xi\ #i) лежит на окружности
(х — аJ 4* (У — рJ =*= ^2- Составить уравнение каса-
,тельной к этой окружности в точке Afi.
423. Определить острый угол, образованный при пе-
пересечении прямой Зх — у—-\=0 и окружности
(х — 2J + у2 = 5 (углом между прямой и окружностью
называется угол между прямой и касательной к о'круж-
ности, проведенной в точке их пересечения).
424. Определить, под каким углом пересекаются две
окружности: (х — 3J+ (у— 1J= 8, (х^2J-\-'1
гЬ (У + 2J = 2 (углом между двумя окружностями на-
зьшается угол между их касательными в точке пересе-
переселения).
425. Вывести условие, при котором две окружности
(х - atf + (у- вJ = Я?, (х - а2J + (у - р2J = Щ пере-
пересекаются под прямым углом.
426. Доказать, что две окружности
х2 -f у2 - 2тх - 2пу - т2 + п2 = 0,
*2 + f/2 ~ 2я* + 2/ш/ 4- w? - п2 = 0
пересекаются под прямым углом.
427. Из точки AI -g-; — -д-) проведены касательные
к окружности х2'-\-'у2 = 5. Составить их уравнения.
428. Из точки ЛA; 6) проведены касательные к
окружности х2^у2^2х—19 = 0t Составить их
нения,
62

429. Дано уравнение пучка прямых (у
*—10)-f-EC*—-z/— 5) = 0. Найти прямые этого пучка,
которые касаются окружности х2 -f- у2 + 2х — 4у = 0.
430. Из точки А D; 2) проведены касательные к
окружности хг-\- у2 = 10. Определить угол, образован-
образованный этими касательными.
431. Из точки РB; —3) проведены касательные к
окружности (х — 1 J + (у + 5J = 4. Составить уравне-
уравнение хорды, соединяющей точки касания.
432. Из точки СF; —8) проведены касательные к
окружности я2-f-г/2 = 25. Вычислить расстояние d от
точки С до хорды, соединяющей точки касания.
433. Из точки Р(—9; 3) проведены касательные к
окружности х2 -f- у2 — вх + Ау — 78 = 0. Вычислить рас-
расстояние d от центра окружности до хорды, соединяющей
точки касания.
434. Из точки Af D;—4) проведены касательные к
окружности х2 -f- у2 — 6х + 2у -f- 5 = 0. Вычислить дли-
длину d хорды, соединяющей точки касания.
435. Вычислить длину касательной, проведенной из
точки ЛA; —2) к окружности х2 -f- У2 + х — %У — 3 = 0.
436. Составить уравнения касательных к окружности
x2-\-y2Jr 10x —2z/-f 6 = 0, параллельных прямой 2#+,
437. Составить уравнения касательных к окружности
х2 + у2 — 2х + 4г/ = 0, перпендикулярных к прямой' х -~
438. Составить уравнение окружности в полярных ко-
координатах по данному радиусу R и полярным координа-'
там центра С(#; 0о).
439. Составить уравнение окружности в полярных ко-
координатах по данному радиусу R и полярным координа-
координатам центра окружности: 1) С (Я; 0); 2) C(R; я) а
(
440. Определить полярные координаты центра и ра-
радиус каждой из следующих окружностей: 1) p = 4cos0j
2) р = 3 sin 0; 3) р = —2 cos 0; 4) р == —5 sin 0;
5) p = 6cos(-f--0); 6) p = 8sin(e--^); 7) р =
441. Окружности заданы уравнениями в поляр-
полярных координатах: 1) p = 3cos0; 2), р~,—4 sin 8;
63

3)" p = cos 8 — sin 0. Составить их уравнения в декарто-
декартовых прямоугольных координатах при условии, что
полярная ось совпадает с положительной полуосью ,0л;,
а полюс — с началом координат.
442. Окружности заданы уравнениями в декартовых
прямоугольных координатах: 1) хг -f- у2 = х\ 2) #2-Ь
■+0* = -3*; 3) *2+г/2 = 5^ 4) ** + 0а — -у; 5) *2+.
'-{- //2 __ х _j_ у. Составить уравнения этих окружностей в
полярных координатах при условии, что полярная ось
совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс —
с началом координат.
443. Составить полярное уравнение касательной к
окружности р = R в точке Mi(R\ Go).
§ 18. Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых
сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, назы-
называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстоя-
ние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной
точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы
эллипса обозначают буквами /\ и Ft, расстояние между ними—!
через 2с. По определению эллипса 2а > 2с или а > с.
Рис. 12.
Пусть даз эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы
координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются
на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в
этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид
а2
A)
где Ь = Va2 — с2; очевидно, а > Ь. Уравнение вида (I) называется
каноническим уравнением эллипса.
При указанном выборе системы координат оси координат
являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его цен-
центром симметрии (рис, 12). Оси симметрии эллипса называются
64

просто гго осями, центр симметрии — просто центром. Точки, в ко-
которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На
рис. 12 вершины эллипса суть точки А\ А, В' и В. Часто осями
эллипса называются также отрезки А'А =» 2а и В'В = 2Ь; вместе
с тем отрезок ОА = а называют большой полуосью эллипса, отре-
отрезок ОБ = Ъ — малой полуосью.
Если фокусы эллипса расположены на оси Оу (симметрично
относительно начала координат), то уравнение эллипса имеет тот же
вид A), но в этом случае Ь > а; следовательно, если мы желаем
буквой а обозначать большую полуось, то в уравнении A) нужно
буквы а и Ь поменять местами. Однако для удобства формулировок
задач мы условимся буквой а всегда обозначать полуось, располо-
расположенную на оси Ох, буквой Ь — полуось, расположенную на оси Oyt
независимо от того, что больше, а или Ь. Если а = Ь, то уравне-
уравнение A) определяет окружность, рассматриваемую как частный слу-
случай эллипса.
Число
/де а — большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса.
Очевидно, 8< I (для окружности е = 0). Если М(х; у)—произ-
у)—произвольная точка эллипса, то отрезки F\M == r\ и F%M = г2 (рис. 12)
называются фокальными радиусами точки М, Фокальные радиусы
могут быть вычислены по фор-
формулам
г, = а +
— &х.
Если эллипс определен
уравнением A) и а > 6, то
прямые
а а_
х~ Т' х== е
(рис. 12) называются дирек-
директрисами эллипса (если Ь > а,
то директрисы определяются
уравнениями
Ь Ь
Рис. 13.
Каждая директриса обладает следующим свойством: если г —
расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса,
d — расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом
г
директрисы, то отношение -т есть постоянная величина, равная
эксцентриситету эллипса
Если две плоскости а и Р образуют острый угол ф, то проек-
проекцией -на плоскость Р окружности радиуса а, лежащей на плоско-
плоскости а, является эллипс с большой полуосью а; малая полуось Ь
3 Д, ВА Клетеник
65

этого эллипса опредетяется по формуле
Ь = a cos ф
(рис. 13).
Если круглый цилиндр имеет в качестве направляющей окруж-
окружность радиуса Ь, то в сечении этого цилиндра плоскостью, накло-
наклоненной к оси цилиндра под острым углом ф, будет эллипс, малая
полуось которого равна Ь; большая полу-
| ось а этого эллипса определяется по
формуле
а
(рис.. 14).
444. Составить уравнение эл-
эллипса, фокусы которого лежат
на оси абсцисс, симметрично от-
относительно начала координат,
зная, кроме того, что:
1) его полуоси равны 5 и 2;
2) его большая ось равна 10,
Рис' 14 а расстояние между фокусами
2с = 8;
3) его малая ось равна 24, а расстояние между фоку-
фокусами 2с = 10;
4) расстояние между его фокусами 2с = б и эксцен-
3
триситет е = —;
3
5) его большая ось равна 20, а эксцентриситет 8 = -^-;
12
6) его малая ось равна 10, а эксцентриситет 6==Tj7l
7) расстояние между его директрисами равно 5 и
расстояние между фокусами 2с = 4;
8) его большая ось равна 8, а расстояние между ди-
директрисами равно 16;
9) его малая ось равна 6, а расстояние между дирек^
трисами равно 13;
10) расстояние между его директрисами равно 32 и
е==Т '
445. Составить уравнение эллипса, фокусы которого
лежат на оси ординат, симметрично относительно на-
начала координат, зная, кроме того, что:
1) его полуоси равны соответственно 7 и 2;
2) его большая ось равна 10, а расстояние между фо-
фокусами 2с = 8;
66

3) расстояние между его фокусами 2с = 24 и эксиен-
12
триситет s = -[з '♦
4) его малая ось равна 16, а эксцентриситет г = ^г\
5) расстояние между его фокусами 2с = 6 и расстоя-
ние между директрисами равно 16 -д-;
2
6) расстояние между его директрисами равно 10 -^
3
и эксце нтр и си тет е = -j.
446. Определить полуоси каждого из следующих эл-
эллипсов:
4) а;2 + 5#2 = 15; 5) 4х2 + 9г/2 = 25; 6) 9х2 + 25г/2 = 1;
7) *2 + 4#2 = 1; 8) 16л:2 + у2 = 16; 9) 25л:2 + 9r/2 = 1;V
10) 9л;2-Н2 = 1.
447. Дан эллипс 9л:2 +" 25г/2 = 225. Найти: 1) его
полуоси; 2) фокусы; 3) эксцентриситет* 4) уравнения ди-
директрис.
448. Вычислить площадь четырехугольника, две вер-
вершины которого лежат в фокусах эллипса х2 + 5t/2 = 20,
а две другие совпадают с концами его малой оси.
449. Дан эллипс 9л:2 + 5#2 == 45. Найти: 1) его полу-
полуоси? 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения дирек-
директрис.
450. Вычислить площадь четырехугольника, две вер-
вершины которого лежат в фокусах эллипса 9л:2 -f- 5г/2 = 1,
две другие совпадают с концами его малой оси.
451. Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса
до односторонней с этим фокусом директрисы,
452. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы
эллипса те+ -%~== ^ (считая, что изображены оси коор-
координат и задана масштабная единица).
453. На эллипсе -^ ■+■ -^р = 1 найти точки, абсцисса
которых равна — 3.
3* 67

454. Определить, какие из точек Л1(—2;3)\ Л2B; —2),
ГЛ5B; -4),Л4(-1;3),Л5(-4;-3),ЛбC;-1),Л7C;__2),
Л8B; 1), Л9@; 15) и Лю@; — 16) лежат на эллипсе
8л:2 -f- Ъу2 — 77, какие внутри и какие вне его.
455. Установить, какие линии определяются сле-
следующими уравнениями: 1) у = -f- -j ]/16 — х2; 2) r/ =
4
Изобразить эти линии на чертеже.
2
456. Эксцентриситет эллипса в = -=-, фокальный ра-
О
диус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние
от точки М до односторонней с этим фокусом дирек-
директрисы.
457. Эксцентриситет эллипса е ==-=-, расстояние от
точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить
расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой
директрисой.
458. Дана точка М] B; — -А на эллипсе — -f- \- == I"»
составить уравнения прямых, на которых лежат фокаль-
фокальные радиусы точки Mi.
459. Убедившись, что точка Mi(—4; 2,4) лежит на
эллипсе ^5"+-^- = Ь определить фокальные радиусы
точки Mt.
460. Эксцентриситет эллипса 8 = у, центр его совпа-
совпадает с началом координат, один из фокусов (—-2; 0)„
Вычислить расстояние от точки Mt эллипса с абсциссой,
равной 2, до директрисы, односторонней с данным фо-
фокусом.
461. Эксцентриситет эллипса е=у» центр его совпа-
совпадает с началом координат, одна из директрис дана урав-
уравнением х = 16. Вычислить расстояние от точки Mi эл-
эллипса с абсциссой, равной —4, до фокуса, односторон-
одностороннего с данной директрисой.
462. Определить точки эллипса -щ + -fg- = I» рас-
расстояние которых до правого фокуса равно 14.
463. Определить точки эллипса -jg--f-—■ *= 1, рас-
расстояние которых до левого фокуса равно 2,5,
68

464. Через фокус эллипса •£=• 4- 4=- = 1 проведен пер-
пендикуляр к его большой оси. Определить расстояния
от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом
до фокусов.
465. Составить уравнение эллипса, фокусы которого
расположены на оси абсцисс, симметрично относительно
начала координат, если_даны:
1) точка М,(— 2 j/5; 2) эллипса и его малая полу-
полуось 6 = 3;
2) точка Mi B; —2) эллипса и его большая полуось
а = 4;
3) точки М,D; — l/З) и М2B 1/2; 3) эллипса;
4) точка МД^Лб; — l) эллипса и расстояние между
его фокусами 2с = 8;
5) точка MJ2; —^-) эллипса и его эксцентриситет
= 20 от
Е~ 3 '
6) точка Afi (8; 12) эллипса и расстояние
нее до левого фокуса*^
7) точка М,( — ]/5; 2)
эллипса и расстояние ме-
между его директрисами
равно 10.
466. Определить экс-
эксцентриситет 8 эллипса,
-осли:
1) его малая ось вид-
видна из фокусов под углом
в 60°;
2) отрезок между фоку-
фокусами виден из вершин ма-
малой оси под прямым углом;
3) расстояние между директрисами в три раза боль-
больше расстояния между фокусами;
4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра
эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса
пополам.
467. Через фокус F эллипса проведен перпендикуляр
к его большой оси (рис. 15). Определить,_при каком зна-
значении эксцентриситета эллипса отрезки АВ и ОС будут
параллельны,
69
Рис. 15.

468. Составить уравнение эллипса с полуосями a, b н
центром C(xq\ г/о), если известно, что оси симметрии эл-
эллипса параллельны осям координат.
469. Эллипс касается оси абсцисс в точке Л C; 0) и
оси ординат в точке В@; —4). Составить уравнение
этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны
координатным осям.
470. Точка С(— 3; 2) является центром эллипса, ка-
касающегося обеих координатных осей. Составить урав-
уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии парал-
параллельны координатным осям,
471. Установить, что каждое из следующих уравнений
определяет эллипс, и найти координаты его центра С,
полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:
1) 5*2-f-9#2 - ЗОл; + 18^ + 9 = 0;
2) 16^2 +25г/2 +32д:—ЮОг/ — 284 = 0;
3) Ах2 + Зу2 — 8х + 12# — 32 = 0.
472. Установить, какие линии определяются следую-
следующими уравнениями:
1) у = - 7 + -§ ]Лб + 6а; - х2;
2) у=\-±у -6х-х2;
3) *=-21/-5-б0-
4) *=-5 + 4
Изобразить эти линии на чертеже.
473. Составить уравнение эллипса, зная, что:
1) его большая ось равна 26 и фокусы суть
Fi(-10;0), F2A4; 0);
2) его малая ось равна 2 и фокусы суть У71(—1; —1),
3) его фокусы суть F] f — 2; -jj, i^fo —g-J и эксцен-
триситет e = ~Y~)
4) его фокусы суть Fi(\; 3), /^C; 1) и расстояние
между директрисами равно 12 Y2.
474. Составить уравнение эллипса, если известны его
о
эксцентриситет е = —, фокус /гB; 1) и уравнение соот-
соответствующей директрисы л: — 5 = 0.
70

475. Составить уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет 8=-^-, фокус F( — 4; 1) и уравнение
соответствующей директрисы #4-3 = 0.
476. Точка А(— 3; —5) лежит на эллипсе, фокус ко-
которого F(— 1; —4), а соответствующая директриса дана
уравнением лс — 2 = 0. Составить уравнение этого эл-
эллипса.
477. Составить уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет е = -^, фокус FC; 0) и уравнение соот-
соответствующей директрисы jc-f-'z/— 1 =0.
478. Точка AJiB; — 1) лежит на эллипсе, фокус кото-
которого F(\\ 0), а соответствующая директриса дана урав-
уравнением 2х— у—10 = 0. Составить уравнение этого эл-
эллипса.
479. Точка MiC; —1) является концом малой оси
эллипса, фокусы которого лежат на прямой */-4-6 = 0-
Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентри-
V?
ситет е =я —— .
480. Найти точки пересечения прямой х'+'2у —- 7 = 0
и эллипса х2 + 4г/2 = 25.
481. Найти точки пересечения прямой Злг-f- 10е/—25=0
и эллипса 7jf + ^г = !•
482. Найти точки пересечения прямой Sx—Ay—40=0
и эллипса 7б" + ^- = 1«
483. Определить, как расположена прямая относи-
относительно эллипса; пересекает ли, касается или проходит
вне его, если прямая и эллипс заданы следующими урав-
уравнениями:
1) 2х - у - 3 = 0, 2) 2х + у — 10 = 0,
16 ^ 9 ' 9 ^ 4 ~-1'
3) 3* + 2^-20=0,
_i I У 1
40 "*" 10 ~ '
484. Определить, при каких значениях т прямая у =•
= — х 4- т
О л
1) пересекает эллипс -^q- H—^- =?= 1; 2) касается его;
3) проходит вне этого эллипса,
71

a2
485. Вывести условие, при котором прямая у — kx'-\-m
X2 Ц2
дается эллипса --§■ + -^ = 1.
486. Составить уравнение касательной к эллипсу
-f- "fr" * в его точке Mi{Xi\ yi).
487. Доказать, что касательные к эллипсу -^ + -^ ви
= 1, проведенные в концах одного и того же диаметра,
параллельны. (Диаметром эллипса называется его хор-
хорда, проходящая через центр.)
488. Составить уравнения касательных к эллипсу
■^-+-|-=1, параллельных прямой За;-f-2# + 7 = 0.
489. Составить уравнения касательных к эллипсу
х2-\-4у2 = 20, перпендикулярных к прямой 2х—2у—\3 =
490. Провести касательные к эллипсу "зо" + 24" — I
параллельно прямой 4лг — 2г/ + 23 = 0 и вычислить рас-
расстояние d между ними.
2 2
491. На эллипсе т5" + ^-=^ найти точку Мь бли-
1о о
жайшую к прямой 2х — 3#-f-25 = 0, и вычислить рас-
расстояние d от точки Mi до этой прямой.
492. Из точки Лг-я-; -у) проведены касательные
Xs I/2
к эллипсу о"Н" 5 ==^' С°ставить их уравнения.
493. Из точки СA0; —8) проведены касательные к
х2 и2
эллипсу 5" Ч- -|q = Ь Составить уравнение хорды, со-
соединяющей точки касания.
494. Из точки Р(— 16; 9) проведены касательные к
X2 У2
эллипсу -j- + -TjT- = 1. Вычислить расстояние d от точки
Р до хорды эллипса, соединяющей точки касания.
495. Эллипс проходит через точку ДD; —1) и ка-
касается прямой х -f-4z/— 10 = 0. Составить уравнение
этого эллипса при условии, что его оси совпадают с ося-
осями координат.
496. Составить уравнение эллипса, касающегося двух
прямых Зх — 2у — 20 = 0, х + 6у — 20 — 0, при условии,
что его оси совпадают с осями координат.
497. Доказать, что произведение расстояний от цен-
центра эллипса до точки пересечения любой его касательной
72

с фокальной осью и до основания перпендикуляра, опу-
опущенного из точки касания на фокальную ось, есть вели-
величина постоянная, равная квадрату большой полуоси эл-
эллипса.
498. Доказать, что произведение расстояний от фоку-
фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату
малой полуоси.
499. Прямая х — х/ — 5 = 0 касается эллипса, фокусы
которого находятся в точках Л(—3; 0) и /^(З; 0). Со-
Составить уравнение этого эллипса.
500. Составить уравнение эллипса, фокусы которого
расположены на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, если известны уравнение касательной
к эллипсу Зл: -f- \0у — 25 = 0 и его малая полуось Ь = 2„
501. Доказать, что прямая, касающаяся эллипса в не-
некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными
радиусами FiM, F2M и проходит вне угла FiMF2.
X2 У2
502. Из левого фокуса эллипса 5" Н" fo"==г ^ под ТУ"
пым углом а к оси Ох направлен луч света. Известно,
что tga =—2. Дойдя до эллипса, луч от него отразился.
Составить уравнение прямой, на которой лежит отра-
отраженный луч.
503. Определить точки пересечения двух эллипсов:
Х2 _|_ 9у2 _ 45 = 0, х2 + 9г/2 - 6х - 27 = 0.
504. Убедившись, что два эллипса п2х2-\-т2у2—т2п2—
= 0, т2х2 -f- п2уг — т2п? = 0 (т Ф п) пересекаются в че-
четырех точках, лежащих на окружности с центром в на-
начале координат, определить радиус R этой окружности*
505. Две плоскости аир образуют угол ф = 30°.
Определить полуоси эллипса, полученного проектирова-
проектированием на плоскость р окружности радиуса R = 10, лежа-
лежащей на плоскости а. . .
506. Эллипс, малая полуось которого равна 6, яв-
является проекцией окружности радиуса R = 12. Опреде-
Определить угол ф между плоскостями, в которых лежат эл-
эллипс и окружность.
507. Направляющей круглого цилиндра является
окружность радиуса R = 8. Определить полуоси эллип-
эллипса, полученного в сечении этого цилиндра плоскостью,
наклоненной к его оси под углом ф = 30°.
508. Направляющей круглого цилиндра является
окружность радиуса R = "j/З. Определить, под каким
углом к оси цилиндра нужно его пересечь плоскостью,
73

чтобы в сечении получить эллипс с большой полуосью
а » 2.
509. Равномерным сжатием (или равномерным рас-
растяжением) плоскости к оси абсцисс называется такое
преобразование точек плоскости, при котором произволь-
произвольная точка М(х\ у) перемещается в точку М'{х'\ у')
(рис. 16) так, что х' = х, y'*=qy, где q> 0 — постоян-
постоянная, называемая коэффициен-
коэффициентом равномерного сжатия.
Аналогично определяется
равномерное сжатие плоскости
t.
\
r'
0
У
1
1
kM'
1
1
1
1
1
1
о
У
м' м
х
Рис. 16.
Рис. 17.
к оси Оу при помощи уравнений х' = qx, у' = у
(рис. 17).
Определить, в какую линию преобразуется окруж-
окружность x2t-\-y2 в 25, если коэффициент равномерного сжа-
4
тия плоскости к оси абсцисс q = •=•.
510. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к
оси Оу равен -j. Определить уравнение линии, в кото-
х2 и2
рую при таком сжатии преобразуется эллипс ~^г + -^- =»
s= 1.
511. Найти уравнение линии, в которую преобра-
х2 и2
зуется эллипс -^ + ■— = 1 при двух последовательных
равномерных сжатиях плоскости к координатным осям,
если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к
осям Ох и Оу равны соответственно ^ и у.
512. Определить коэффициент q равномерного сжатия
плоскости к оси Ох, при котором эллипс ^g- -Ь -^- == 1
X2 У2
преобразуется в эллипс -^ —|—^g- = 1.
74

513. Определить коэффициент q равномерного сжатия
плоскости к оси Оу, при котором эллипс ~- + -f-5* = 1
х2 и2
преобразуется в эллипс -^-\- "fif"!*
514. Определить коэффициенты qi и q% двух последо-
последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и
Я2 У2
Ог/, при которых эллипс -gg—|—^— = 1 преобразуется в
окружность х2 + #2 = 16.
§ 19. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, для кото-
которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости,
называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная раз-
разность берется по абсолютному- значению и обозначается обычно
через 2а, Фокусы гиперболы обозначают буквами Л и F2, расстоя-
расстояние между ними — через 1с. По определению гиперболы 2а < 2с,
или а < с.
Рис. 18.
Пусть дана гипербола. Если оси декартовой прямоугольной си-
системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы рас-
располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала коор-
координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид
Ь2
(О
где b = Yc* — а2. Уравнение вида (I) называется каноническим
уравнением гиперболы При указанном выборе системы координат
оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало
координат — ее центром симметрии (рис. 18). Оси симметрии гипер-
гиперболы называются просто ее осями, центр симметрии—центром
гиперболы. Гипербола пересекает одну из своих осей! точки
75

пересечения называются вершинами гиперболы. На рис. 18 вершины
гиперболы суть точки А' и А.
Прямоугольник со сторонами 2а и 26, расположенный симмет-
симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах,
называется основным прямоугольником гиперболы.
Отрезки длиной 2а и 2Ь, соединяющие середины сторон основ-
основного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями. Диаго-
Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные)
являются асимптотами гиперболы; их уравнения суть:
Ь Ь
Уравнение
х2 и2
определяет гиперболу, симметричную относительно координатных
осей с фокусами на оси ординат; уравнение B),как и уравнение A),
называется каноническим уравнением гиперболы; в этом случае
постоянная разность расстояний от произвольной точки гиперболы
до фокусов равна 2Ь.
Две гиперболы, которые определяются уравнениями
.£l__i £lj.lli
02 б2 — ' ~ а2 "*" Ь2
в одной и той же системе координат, называются сопряженными,
Гипербола с равными полуоясми (а = Ь) называется равносто-
равносторонней.; ее каноническое уравнение имеет вид
х2 — у2 = о2 или — х2 + У2 = а2.
Число
где а —расстояние от центра гиперболы до ее вершины, называется
эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, для любой гиперболы е > 1.
Если М(х; у)—произвольная точка гиперболы., то отрезки F\M
и F2M (см. рис. 18) называются фокальными радиусами точки М.
Фокальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по
формулам
Г] = ех + а, г 2 = ех — а,
фокальные радиусы точек левой ветви — по формулам
Г\ = — ех — а, г2 = — ел: + о.
Если гипербола задана уравнением A), то прямые, определяе-
определяемые уравнениями
__ а _а_
*-""Т* *- в*
называются ее директрисами (см. рис. 18). Если гипербола задана
уравнением B), то директрисы определяются уравнениями
Ь Ь
у = — —1 у = —.
76

Каждая директриса обладает следующим свойством: если
г—расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фо-
фокуса, d — расстояние от той же точки до односторонней с этим
фокусом директрисы, то отношение-г- есть постоянная величина,
равная эксцентриситету гиперболы:
515. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
расположены на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, зная, кроме того, что:
1) ее оси 2а = 10 и 2Ь = 8;
2) расстояние между фокусами 2с = 10 и ось 2Ь = 8;
3) расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентри-
эксцентриситет е = y '■>
5) уравнения асимптот у — ±-g x и расстояние меж-
меж5
4) ось 2а = 16 и эксцентриситет s = -j;
5) уравнения асим
ду фокусами 2с = 20;
6) расстояние между директрисами равно 22-^- и
расстояние между фокусами 2с = 26;
7) расстояние между директрисами равно -?- и ось
2Ь = 6;
8) расстояние между директрисами равно -j и экс-
3
центриситет s = -^;
9) уравнения асимптот у== ± -т х и расстояние ме-
жду директрисами равно 12у.
516. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
расположены на оси ординат симметрично относительно
начала координат, зная, кроме того, что:
1) ее полуоси а = 6, b = 18 (буквой а мы обозна-
обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);
2) расстояние между фокусами 2с = 10 и эксцентри-
эксцентриситет s = -j;
3) уравнения асимптот у=±.-г-х и расстояние
между вершинами равно 48;
77

4) расстояние между директрисами равно 7 у и экс-
7
центриситет 8 = -^;
4
5) уравнения асимптот у=± -jх и расстояние ме-
жду директрисами равно 6-^-.
517. Определить полуоси а и Ь каждой из следующих
гипербол:
4) *2-#2=1; 5) 4л;2- 9у2 = 25; 6) 25л:2-16/== 1;
7) 9л;2-64#2=1.
518. Дана гипербола 16л:2 — 9^2 = 144. Найти: 1) по-
полуоси а и Ь\ 2) фокусы; 3) эксцентриситет* 4) уравнения
асимптот; 5) уравнения директрис.
519. Дана гипербола 16*й — 9у2 = —144. Найти:
1) полуоси а п Ь* 2) фокусы;- 3) эксцентриситет* 4) урав-
уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
520. Вычислить площадь треугольника, образованного
асимптотами гиперболы -т- — "Т3** и ПРЯМ0^ 9*"Н
Н- 2// — 24 » 0.
521. Установить, какие линии определяются следую-
следующими уравнениями:
1) y^ + jV**^; 2)
3) *~-jVJFF9i 4) y«+|
Изобразить эти линии на чертеже.
522. Дана точка Mj(lO; —V^5) на гиперболе ~ —
—1^- = 1. Составить уравнения прямых, на которых
лежат фокальные радиусы точки Afi.
523. Убедившись, что точкаМЛ—5; —\ лежит на ги-
х2 и2
лерболе Yq—-^- = 1, определить фокальные радиусы
точки Mi.
78

524. Эксцентриситет гиперболы 8=2, фокальный ра-
радиус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса,
равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односто-
односторонней с этим фокусом директрисы.
525. Эксцентриситет гиперболы s = 3, расстояние от
точки, М гиперболы до директрисы-равно 4. Вычислить
расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой
директрисой.
526. Эксцентриситет гиперболы е =2, центр ее лежит
в начале координат, один из фокусов FA2} 0). Вычи-
Вычислить расстояние от точки Mi гиперболы с абсциссой,
равной 13, до директрисы, соответствующей заданному
фокусу.
527. Эксцентриситет гиперболы s = у, центр ее ле-
лежит в начале координат, одна из директрис дана урав-
уравнением х = — 8. Вычислить расстояние от точки М*
гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответ-
соответствующего заданной директрисе.
уЛ у2
528. Определить точки гиперболы -g^-— зё" === ^ Рас"
стояние которых до правого фокуса равно 4,5.
д.2 „2
529. Определить точки гиперболы -§ -^- = 1, рас-
расстояние которых до левого фокуса равно 7.
530. Через левый фокус гиперболы -щ- —^g- = 1 про-
проведен перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины.
Определить расстояния от фокусов до точек пересечения
этого перпендикуляра с гиперболой.
531. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы
X2 V2
гиперболы -rg—|g- =1 (считая, что оси координат
изображены и масштабная единица задана).
532. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото-
которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, если даны:
1) точки М^б; —1) и М2(—8; 2У~2) гиперболы;
2) точка Mi (—5; 3) гиперболы и эксцентриситет
3) точка Mi(-g\ —l] гиперболы и уравнения асим-
2
2
птот у = ± у х;
79

4) точка Mj Г—3; -Л гиперболы и уравнения дирек-
4
трис х = ± -=■;
з
5) уравнения асимптот у = ±-гх и уравнения ди-
16
ректрис х== ± —.
533. Определить эксцентриситет равносторонней ги-
гиперболы.
534. Определить эксцентриситет гиперболы, если от-
отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопря-
сопряженной гиперболы под углом в 60°.
535. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эд«
х2 и2
липса 95"-Ь g — 1 • Составить уравнение гиперболы,
если ее эксцентриситет 8 = 2.
536. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото-
кото, ф
f
рой лежат в вершинах эллипса -щ -+■ -f^ —
ректрисы проходят через фокусы этого эллипса.
537. Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы
•^2—^г" sss * До ее асимптоты равно Ь.
538. Доказать что произведение расстояний от лго-
х2 и2
бой точки гиперболы — — Jp-=:l до двух ее асимптот
аЧ2
есть величина постоянная, равная q2 , &2 .
539. Доказать, что площадь параллелограмма, огра-
ничейного асимптотами гиперболы ^——-|^ = 1 и пря-
прямыми, проведенными через любую ее точку параллель-
аЬ
но асимптотам, есть величина постоянная, равная —.
540. Составить уравнение гиперболы, если известны
ее полуоси а и Ь, центр C(#0;#o) и фокусы располо-
расположены на прямой: 1) параллельной оси Ох; 2) парал-
параллельной оси Оу.
541. Установить, что каждое из следующих уравне-
уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее
центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимп-
асимптот и уравнения директрис:
1) 16*2-9#2- 64* -54# -161=0;
2) 9л:2 - 16у2 -f 90* + 32у - 367 = 0;
3) 16х2 —9г/2-64лг-18г/+ 199 = 0.
80

542. Установить, какие линии определяются сле-
следующими уравнениями:
2) r/ = 7-f/х2-
3) х = 9 - 2 W + 4г/ + 8;
4) х = 5-|
Изобразить эти линии на чертеже.
543. Составить уравнение гиперболы, зная, что:
1) расстояние между ее вершинами равно 24 и фо-
фокусы суть F,(—10;2), F2(\b;2);
2) фокусы суть F)C;4), F2(—3; —4) и расстояние
между директрисами равно 3,6;
3) угол между асимптотами равен 90° и фокусы
суть F, D;-4), /^(-2; 2).
544. Составить уравнение гиперболы, если известны
ее эксцентриситет e = -j, фокус F^jO) и уравнение
соответствующей директрисы Ьх— 16 = 0.
545. Составить уравнение гиперболы, если известны
13
ее эксцентриситет e = -jj, фокус F@; 13) и уравне-
уравнение соответствующей директрисы 13// — 144 = 0.
5.46. Точка А(—3;—5) лежит на гиперболе, фокус
которой F(—2;—3), а соответствующая директриса
дана уравнением at -j— 1 = 0. Составить уравнение этой
гиперболы.
547. Составить уравнение гиперболы, если известны
ее эксцентриситет е = ]/Л5, фокус /7B;— 3) и уравне-
уравнение соответствующей директрисы Зх — у -f 3 = 0.
548. Точка М\(\;—2) лежит на гиперболе, фокус
которой /•'(—2; 2), а соответствующая директриса дана
уравнением 2х — у—1=0. Составить уравнение чтой
гиперболы.
549. Дано уравнение равносторонней гиперболы
х2 — у2 =. а2. Найти ее уравнение в новой системе, при-
приняв за оси координат ее асимптоты.
550. Установив, что каждое из следующих уравне-
уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них
центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на
чертеже: I) лгг/ = 18; 2) 2л#—9 = 0; 3) 2,п/+ 25 = 0.
81

55f. Найти точки пересечения прямой 2х — у —
—10 = 0 и гиперболы -—• — —-=={.
552. Найти точки пересечения прямой Ах — 2>у —•
х2 и2
— 16 = 0 и гиперболы -~- — тг — 1.
1о 1Ь
553. Найти точки пересечения прямой 2л: —#'-{-]
ff- I ===== 0 и гиперболы -^ —■ = 1.
554. В следующих случаях определить, как распо-
расположена прямая относительно гиперболы: пересекает
ли, касается или проходит вне ее:
L) X у 6—0, ,2 3 — 1;
2) х-2у+ 1=0, —- — = 1;
Г2
о\ 7v 1л« П ^ J
555. Определить, при каких значениях т прямая
у=^х-\-т
-~ |
1) пересекает гиперболу -~ 1^- — 1; 2) касается ее;
3) проходит вне этой гиперболы.
556. Вывести условие, при котором прямая у = kx-\-m
касается гиперболы -^—-тг—!-
557. Составить уравнение касательной к гиперболе
-tf ~^г;==: I B ее точке М] (х\\ у{).
558. Доказать, что касательные к гиперболе, про-
проведенные в концах одного и того же диаметра, парал-
параллельны.
559. Составить уравнения касательных к гиперболе
0"— 5 ~*' пеРпендикулярных к прямой 4л:Ц- Зг/ -—
560. Составить уравнения касательных к гиперболе
~ 4j-==1, параллельных прямой Юл: — 3# + 9 = 0,
X2 У2
561. Провести касательные к гиперболе -тг- ^"==
= — 1 параллельно прямой 2л:^т:4# — 5 = 0 и вычис-.
лить расстояние d между ними.
82

562. На гиперболе -^— ^- = 1 найти точку Afi,
ближайшую к прямой Зл: + 2г/+ 1 = О, и вычислить
расстояние d от точки Mi до этой прямой.
563. Составить уравнение касательных к гиперболе
л:2 — г/2 == 16, проведенных из точки Л (— 1; —7).
564. Из точки СA; —10) проведены касательные
л п
к гиперболе -| -|^=1, Составить уравнение хорды,
соединяющей точки касания.
565. Из точки РA;—5) проведены касательные
X2 У2
к гиперболе ~х уя1, Вычислить расстояние d
от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки
касания. _
566. Гипербола проходит через точку ДСУ'б; 3) и
касается прямой 9л; 4- 2у — 15 = 0. Составить уравне-
уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают
с осями координат.
567. Составить уравнение гиперболы, касающейся
двух прямых: 5л; — 6у— 16 = 0, 13* — \0у — 48 = 0,
при условии, что ее оси совпадают с осями ко-
координат.
568. Убедившись, что точки пересечения эллипса
я2 и2 х2 у2
—-}--^-=1 и гиперболы -jTf — ■%-— 1 являются вер-
вершинами прямоугольника, составить уравнения его
сторон.
х2 у2
569. Даны гиперболы —-2— -р- = 1 и какая-нибудь
ее касательная: Р — точка пересечения касательной
с осью Ox, Q — проекция точки касания на ту же ось.
Доказать, что ОР • OQ = а2.
570. Доказать, что фокусы гиперболы расположены
по разные стороны от любой ее касательной.
571. Доказать, что произведение расстояний от фо-
фокусов до любой касательной к гиперболе -^— -|г == 1
есть величина постоянная, равная Ь2.
572. Прямая 2х — у — 4 = 0 касается гиперболы,
фокусы которой находятся в точках Fi (—3;0) и
^2C10). Составить уравнение этой гиперболы.
573. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото-
которой расположены на оси абсцисс симметрично относи-
относительно начала координат, если известны уравнение
83

касательной к гиперболе 15л:"Ч- 16г/ — 36 = 0 и расстоя-
расстояние между ее вершинами 2а = 8.
574. Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы
в некоторой точке М, составляет равные углы с фокаль-
фокальными радиусами FiM,- F2M и проходит внутри угла
FMF
х2 у2
575. Из правого фокуса гиперболы -= -^- = 1
под углом a n<o<j.i к оси Ох направлен луч
света. Известно, что tgct==2. Дойдя до гиперболы,
луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на
которой лежит отраженный луч.
567. Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие
общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
577. Коэффициент равномерного сжатия плоскости
к оси Ох равен -=■. Определить уравнение линии, б ко-
которую при этом сжатии преобразуется гипербола
16 9 '
Указание. См. задачу 509.
578. Коэффициент равномерного сжатия плоскости
к оси Оу равен ■?-. Определить уравнение линии, в ко-
которую при этом сжатии преобразуется гипербола
25 9 "" l'
579. Найти уравнение линии, в которую преобра-
преобразуется гипербола х2 — у2 = 9 при двух последователь-
последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным
осям, если коэффициенты равномерного сжатия плос-
плоскости к осям Ох и Оу соответственно равны у и у.
580. Определить коэффициент q равномерного сжа-
X
2
тия плоскости к оси Ох, при котором гипербола -^ —
У2 X2 V2
— -g^- ===== 1 преобразуется в гиперболу -^- — ^ = 1.
581. Определить коэффициент q равномерного сжа-
X2
X
тия плоскости к оси Оу, при котором гипербола -?
— JL. ~~ i преобразуется в гиперболу -^q ^- = 1.
84

582. Определить коэффициенты q\ и q2 двух после-
последовательных равномерных сжатий плоскости к осям
Ох и Оу, при которых гипербола-^-— |к-= 1 преобразую
X2 У2
ется в гиперболу -^ — ~т — 1.
§ 20. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, для каждой
из которых расстояние до некоторой фиксированной точки пло-
плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фикси-
фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обо-
обозначается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы — бук-
буквой р. Число р называется параметром параболы.
Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоуголь-
прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через
Рис. 19.
Рис. 20.
фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была
направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим
посредине между фокусом и директрисой (рис. 19). В этой системе
координат данная парабола будет определяться уравнением
A)
Уравнение A) называется каноническим уравнением параболы.
В этой же системе координат директриса данной параболы имеет
уравнение
Фокальный радиус произвольной точки М(х; у) параболы (т. е.
длина отрезка FM) может быть вычислен по формуле
85

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью пара-
параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка
пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При ука-
указанном выше выборе координатной системы ось параболы совме-
совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся
парабола лежит, в правой полуплоскости.
Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс сов*
мешена с осью параболы, начало координат —с вершиной, но пара-
парабола лежит в левой полуплоскости (рис. 20), то ее уравнение будет
иметь вид
у2 = — 2рх. B)
В случае, когда начало координат находится в вершине, а о
осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение
*2 = 2ру, C)
если она лежит в верхней полуплоскости (рис. 21), и
х2 - - 2ру D)
— если в нижней полуплоскости (рис. 22),
о
Рис. 21.
Рис. 22.
Каждое из уравнений параболы B), C), D), как и уравне-
уравнение A), называется каноническим.
583. Составить уравнение параболы, вершина кото-
которой находится в начале координат, зная, что:
1) парабола расположена в правой полуплоскости
симметрично относительно оси Ох, и ее параметр
/> = 3;
2) парабола расположена в левой полуплоскости
симметрично относительно оси Ох, и ее параметр
Р = 0,5;
3) парабола расположена в верхней полуплоскости
симметрично относительно оси Оу, и ее параметр р=-т\
86

4) парабола расположена в нижней полуплоскости
симметрично относительно оси Оу, и ее параметр
/9 = 3.
584. Определить величину параметра и расположе-
расположение относительно координатных осей следующих па-
парабол:
1) tf = 6x; 2) х2 = 5у; 3) */2 = -4*; 4) x2 = -*/.
585. Составить уравнение параболы, вершина кото-
которой находится в начале координат, зная, что:
1) парабола расположена симметрично относитель-
относительно оси Ох и проходит через точку А (9; 6);
2) парабола расположена симметрично относитель-
относительно оси Ох и проходит через точку В(—1;3);
3) парабола расположена симметрично относитель-
относительно оси Оу и проходит через точку СA; 1).
4) парабола расположена симметрично относитель-
относительно оси Оу и проходит через точку DD;—8).
586. Стальной трос подвешен за два конца; точки
крепления расположены на одинаковой высоте; рас-
расстояние между ними равно 20 м. Величина его про-
прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по
горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину про-
прогиба этого троса в середине между точками крепления,
приближенно считая, что трос имеет форму дуги па-
параболы.
587. Составить уравнение параболы, которая имеет
фокус £@;—3) и проходит через начало координат,
зная, что ее осью служит ось Оу.
588. Установить, какие линии определяются следую-
следующими уравнениями:
1) у = + 2 /г, 2) у = + V~\ 3) у = - 3 / - 2х;
4) у = -2\Гх; 5) х = +УЩ\ 6) х = - 5 V~^\
7) х=*-УЩк 8) * = +
Изобразить эти линии на чертеже.
589. Найти фокус F и уравнение директрисы пара-
параболы у2 = 24лг.
590. Вычислить фокальный радиус точки М пара-
параболы у2 — 20л;, если абсцисса точки М равна 7.
■ 591. Вычислить фокальный радиус точки М пара-
параболы уг = 12л;, если ордината точки М равна 6.
87

592. На параболе у2 = ]6х найти точки, фокальный
радиус которых равен 13.
593. Составить уравнение параболы, если дан фо-
фокус F(—7;0) и уравнение директрисы х— 7 = 0.
594. Составить уравнение параболы, зная, что #ее
вершина совпадает с точкой (а;Р), параметр равен р,
ось параллельна оси Ох и парабола простирается
в бесконечность:
1) в положительном направлении оси Ох\
2) в отрицательном направлении оси Ох.
595. Составить уравнение параболы, зная, что ее
вершина совпадает с точкой (а; E), параметр равен р,
ось параллельна оси Оу и парабола простирается
в бесконечность:
1) в положительном направлении оси Оу (т. е. па-
парабола является восходящей);
2) в отрицательном направлении оси Оу (т. е. па-
парабола является нисходящей).
596. Установить, что каждое из следующих уравне-
уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вер-
вершины А, величину параметра р и уравнение директри-
директрисы: 1) #2 = 4х — 8; 2) г/2 = 4 — бх; 3) х2 = 6у + 2;
4) х2 = 2 — у.
597. Установить, что каждое из следующих уравне-
уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вер-
вершины Л и величину параметра р: 1) у— j*2 + x + 2;
2) у = 4х2 -8х + 7; 3) у= ~^2 + 2*- 7.
598. Установить, что каждое из следующих уравне-
уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вер-
вершина А и величину параметра рЛ) х~2уг—12^.+ 14;
2) х 10* + у;3) х = ~г/2 + 2#-1.
599. Установить, какие линии определяются следую-
следующими уравнениями:
^1; 2) * = -
3) х = 2 - J/6 - 2г/; 4) # = - 5+ / — Злг —21.
Изобразить эти линии на чертеже.
600. Составить уравнение параболы, если даны ее
фокус FG; 2) и директриса х — 5 = 0
601. Составить уравнение параболы, если даны ее
фокус /гD;3) и директриса //+ 1 «■ 0.
88

602. Составить уравнение параболы, если даны ее
фокус FB; —1) и директриса х —у— 1 = 0.
603. Даны вершина параболы ЛF;—3) и уравне-
уравнение ее директрисы Зл: — Ъу -\-s 1 = 0, Найти фокус F
этой параболы.
604. Даны вершина параболы Л (—2; — 1) и урав-
уравнение ее директрисы х-{-2у — 1 =0. Составить уравне-
уравнение этой параболы.
605. Определить точки пересечения прямой х-{-у-~
-3 = 0 и параболы х2 = Ау.
606. Определить точки пересечения прямой Зх+'
[+ Ау — 12 = 0 и параболы у2 = —9х.
607. Определить точки пересечения прямой Зх —
— 2у + 6 = 0 и параболы у2 = 6*.
608. В следующих случаях определить, как распо-
расположена данная прямая относительно данной парабо-
параболы — пересекает ли, касается или проходит зне ее:
1) х— г/ + 2 = 0, у2 = $х\ 2) 8х + Ъу — 15 = 0, х* =
= —3#; 3) 5* —у — 15 = 0, у2 = — Ъх.
609. Определить, при каких значениях углового ко-
коэффициента к прямая y = kx-\-2 1) пересекает пара-
параболу у2 = Ах\ 2) касается ее; 3) проходит вне этой па-
параболы.
610. Вывести условие, при котором прямая у =
= kx -f- b касается параболы у2 = 2рх.
611. Доказать, что к параболе у2 = 2рх можно про-
провести одну и только одну касательную с угловым ко-
коэффициентом к Ф 0.
612. Составить уравнение касательной к параболе
у2 — 2рх в ее точке М\ (х\\ у{).
613. Составить уравнение прямой, которая касается
параболы .у2=.&х и параллельна прямой 2х-\-2у —
—3 = 0.
614. Составить уравнение прямой, которая касается
параболы х2=16г/ и перпендикулярна к прямой 2х -f-
615. Провести касательную к параболе у2 = 12х па-
параллельно прямой Зх — 2*/ +30 = 0 и вычислить рас-
расстояние d между этой касательной и данной прямой.
616. На параболе уг«64х найти точку Мь бли-
ближайшую к прямой Ах -f- Ъу — 14 — 0, и вычислить рас-
расстояние d от точки Mi до этой прямой.
617. Составить уравнения касательных к параболе
зб, проведенных из точки Л B; 9).
8Э

618. К параболе у2 = 2рх проведена касательная^
Доказать, что вершина этой параболы лежит посре-
посредине между точкой пересечения касательной с осью
Ох и проекцией точки касания на ось Ох.
619. Из точки А E; 9) проведены касательные к па-
параболе у2 в Ъх. Составить уравнение хорды, соединяю-
соединяющей точки касания.
620. Из точки Р(—3; 12) проведены касательные
к параболе у2 = 10*. Вычислить расстояние d от точки
Р до хорды параболы, соединяющей точки касания.
621. Определить точки пересечения эллипса -щ- ■+■
у2
+ -225" — 1 и параболы у2 = 24дс.
622. Определить точки пересечения гиперболы-^ —
g-= — 1 и параболы у2 = Здс
623. Определить точки пересечения двух парабол:
у = х2 - 2* + 1, х = //2 - 6у + 7. '
624. Доказать, что прямая, касающаяся параболы
в некоторой точке М, составляет равные углы с фо-
фокальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя
из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда
парабола бесконечно простирается.
625. Из фокуса параболы #2=12х под острым уг-
углом а к оси Ох направлен луч света. Известно, что
tga = —. Дойдя до параболы, луч от нее отразился*
Составить уравнение прямой, на которой лежит отра*
женный луч.
626. Доказать, что две параболы, имеющие общую
ось и общий фокус, расположенный между их верши-
вершинами, пересекаются под прямым углом.
627. Доказать, что если две параболы со взаимно
перпендикулярными осями пересекаются в четырех
точках, то эти точки лежат на одной окружности,
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы
и параболы
Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви
гиперболы и параболы, имеет вид
р= l-ecos9'
90

где р, 0 — полярные координаты произвольной точки линии, р — фо-
фокальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендику-
перпендикулярной к ее оси), е — эксцентриситет (в случае параболы е= 1).
Полярная система координат при этом выбрана так, что полюс нахо-
находится в фокусе, а полярная ось направлена по оси линии в сторону,
противоположную ближайшей к этому фокус*у директрисы.
628. Дано уравнение эллипса -?tf + tf = ! • Соста-
/о Id
вить его полярное уравнение, считая, что направление
полярной ocft совпадает с положительным направле-
направлением оси абсцисс, а полюс находится:
1) в левом фокусе эллипса; 2) в правом фокусе.
629. Дано уравнение гиперболы -^^- —^- ===== 1 - Со-
Составить полярное уравнение ее правой ветви, считая,
что направление полярной оси совпадает с положитель-
положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится:
1) в правом фокусе гиперболы; 2) в левом фокусе.
630.-Дано уравнение гиперболы -^—иТ^
ставить полярное уравнение ее левой ветви, считая, что
направление полярной оси совпадает с положительным
направлением оси абсцисс, а полюс находится:
1) в левом фокусе гиперболы; 2) в правом фокусе.
631. Дано уравнение параболы у2 = 6*. Составить
ее полярное уравнение, считая, что направление поляр-
полярной оси совпадает с положительным направлением оси
абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.
632. Определить, какие линии даны следующими
уравнениями в полярных координатах:
1 ;r- COS 9
—i" cos 9
; 6) Р
5) Р= 3-4cos9
144
633. Установить, что уравнение р = 13 —5 cos 6 0ПРе*
деляет эллипс, и найти его полуоси.
18
634. Установить, что уравнение р — 4 „ 5 cos q опре-
определяет правую ветвь гиперболы, и найти ее полуоси^
91

21
635. Установить, что уравнение р = ■=—5 5" опре-
О ^~ Z COS t7
деляет эллипс, и составить полярные уравнения его
директрис.
636. Установить, что уравнение р — я — 5 cos 9 0ПРе"
деляет правую ветвь гиперболы, и составить полярные
уравнения директрис и асимптот этой шперболы.
12
637. На эллипсе р = j= найти точки, по-
3 - V2 cos 9
лярный радиус которых равен 6.
15
638. На гиперболе о—-о—з к найти точки, по-
^ ^ 3 — 4 cos 9
лярный радиус которых равен 3.
639. На параболе p=-i—-—к найти точки:
1 — COS О
1) с наименьшим полярным радиусом;
2) с полярным радиусом, равным параметру пара-
параболы,
640. Дано уравнение эллипса "^г + '|г==^ Соста-
Составить его полярное уравнение при условии, что направ-
направление полярной оси совпадает с положительным на-
направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре
эллипса.
641. Дано уравнение гиперболы -^—-fr — l- Со-
Составить ее полярное уравнение при условии, что на-
направление полярной оси совпадает с положительным
направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре
гиперболы.
642. Дано уравнение параболы #2 = 2рх. Составить
ее полярное уравнение при условии, ■ что направление
полярной оси совпадает с положительным «аправле-
нием оси абсцисс, а полюс находится в вершине
параболы.
§ 22. Диаметры линий второго порядка
В курсе аналитической геометрии доказывается, что середины
параллельных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой.
Эта прямая называется диаметром линии второго порядка. Диаметр,
делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллель-
параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, ко*
торые ей параллельны). Все диаметры эллипса и /иперболы прохо*
92

дят через центр. Если эллипс задан уравнением
*-2 и2
то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k%
определяется уравнением
EciH гипербола задана уравнением
то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k,
определяется уравнением
Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана
уравнением
у2 = 2рх,
то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом k,
опредепяется уравнением
Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит по-
пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит по-
пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра назы-
называются взаимно сопряженными.
Если k и к' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжен-
сопряженных диаметров гиперболы B), то
**- ■£. C)
Если k и k' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряжен-
сопряженных диаметров гиперболы B), то
kk'^~. D)
Соотношения C) и D) называются условиями сопряженности диа-
диаметров соответственно для эллипса и для гиперболы.
Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопря-
сопряженным хордам, называется главным.
х2
643. Составить уравнение диаметра эллипса -$? +
4- •—■ в 1, проходящего через середину его хорды, от-
отсекаемой на прямой 2л: — f/ — 3 = 0.
93

644. Составить уравнение хорды эллипса -^г + \- =
е=1, проходящей через точку Л A; —2) и делящейся
рю пополам.
645. Составить уравнения двух взаимно сопряжен-
сопряженных диаметров эллипса х2-\-4у2—1, из которых один
образует с осью Ох угол в 45°,
646. Составить уравнения двух взаимно сопряжен-
сопряженных диаметров эллипса 4#2 + 9#2=1, из которых один
параллелен прямой х -J- 2у — 5 = 0.
647. Составить уравнения двух взаимно сопряжен-
сопряженных диаметров эллипса х2-\-Зу2=\, из которых один
перпендикулярен к прямой 3* + 2у — 7 = 0.
648. На чертеже изображен эллипс. Пользуясь цир-
циркулем и линейкой, построить его центр.
649. Доказать, что оси эллипса являются единст-
единственной парой его главных диаметров.
650. Пользуясь свойствами сопряженных диаметров,
доказать, что каждый диаметр окружности является
главным.
651. а) В эллипс вписан равнобедренный треуголь-
треугольник так, что его вершина совпадает с одной из вершин
эллипса. Доказать, что основание этого треугольника
параллельно одной из осей эллипса.
б) Доказать, что стороны прямоугольника, вписан-
вписанного в эллипс, параллельны осям этого эллипса.
в) На чертеже изображен эллипс. Пользуясь цир-
циркулем и линейкой, построить его главные диаметры
652. Доказать, что хорды эллипса, соединяющие
его произвольную точку с концами любого диаметра
этого эллипса, параллельны паре его сопряженных
диаметров.
653. а) Доказать, что сумма квадратов двух сопря-
сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоян-
постоянная (равная сумме квадратов его полуосей).
б) Доказать, что площадь параллелограмма, по-
построенного на двух сопряженных полудиаметрах эл-
эллипса, есть величина постоянная (равная площади
прямоугольника, построенного на его полуосях).
654. Составить уравнение диаметра гиперболы -g-—
— -^-=1, проходящего через середину ее хорды, от-
отсекаемой на прямой 2х—у-{-3 — 0.
94

655. Дана гипербола ~—-у-=1. Составить урав-
уравнение, ее хорды, которая проходит через точку
Л C; — 1) и делится точкой А пополам.
656. Составить уравнения двух сопряженных диа*
метров гиперболы х2— 4г/2 = 4, из которых один про-
проходит через точку А (8; 1).
657. Составить уравнения сопряженных диаметров
гиперболы -^ -^-=1, угол между которыми ра-
равен 45°.
658. На чертеже изображена гипербола. Пользуясь
циркулем и линейкой, построить ее центр.
659. Доказать, что оси гиперболы являются един-
единственной парой ее главных диаметров.
660. На чертеже изображена гипербола. Пользуясь
циркулем и линейкой, построить ее главные диаметры.
661. Составить уравнение диаметра параболы у2 =
= 12л;, проходящего через середину ее хорды, отсекае-
отсекаемой на прямой Ъх + у — 5 = 0.
662. Дана парабола у2 = 20л\ Составить уравнение
ее хорды, которая проходит через точку А B;5) и де-
делится точкой А пополам.
663. Доказать, что ось параболы является единст-
единственным ее главным диаметром.
664. На чертеже изображена парабола. Пользуясь
циркулем и линейкой, построить ее главный диаметр.

ГЛАВА 5
УПРОЩЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ
В МАТЕМАТИКЕ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ
§ 23. Центр линии второго порядка
Линия, которая в некоторой декартовой системе координат
определяется уравнением второй степени, называется линией вто-
второго порядка. Общее уравнение второй степени (с двумя перемен-
переменными) принято записывать в виде:
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. A)
Центром некоторой линии называется такая точка плоскости,
по отношению к которой точки этой линии расположены симме-
симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным
центром, называются центральными.
Точка S(x0; y0) является центром линии, определяемой урав-
уравнением A), в том и только в том случае, когда ее координаты удо-
удовлетворяют уравнениям:
+ Ву0 + D = 0, | .
6 =
Обозначим через б определитель этой системыг
А В
В С
Величина б составляется из коэффициентов при старших членах
уравнения A) и называется дискриминантом старших членов этого
уравнения.
Если б ф 0, то система B) является совместной и определен-
определенной, т. е. имеет решение и притом единственное. В этом случае
координаты центра могут быть определены по формулам:
D
Е
А
В
А
В
В
С
Неравенство б # 0 служит признаком центральной линии второго
порядка
96

Если S{x0; yo) —центр линии второго порядка, то в результате
преобразования координат по формулам
(что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее
уравнение примет вид
Ах2 + 2Вху + Су2 + F = О,
где А, В, С —те же, что в данном уравнении A), a F определяется
формулой
В случае 6^0 имеет место также следующая формула:
где
А
В
D
В
С
Е
D
Е
F
Определитель Д называется дискриминантом левой части общего
уравнения второй степени.
665. Установить, какие из следующих линий являются
центральными (т. е. имеют единственный центр), какие не
имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:
1) 3%2 - 4ху - 2у2 + Зх - \2у — 7 = 0;
2) \х2 + Ъху + Зг/2 - х 4- 9у - 12 = 0;
3) 4л:2 - 4ху + у2 - 6* -г Sy + 13 = 0;
4) Ах2 — Ьху + у2— 12х + 6#- 11 =0;
5) х2 — 2ху + 4г/2 + 5^ - 1у + 12 = 0;
6) л;2 - 2хг/ + у2 - бх + Ъу — 3 = 0;
7) 4х2 — 20хг/ Ч- 25у1 — 14дт + 2у — 15 = 0;
8) 4х2 - 6^ - 9у2 + Зх - 7^/ + 12=0.
666. Установить, что следующие линии являются
центральными, и для каждой из них найти координаты
центра:
1) Зх2 + Ъху + у1 — Ъх — 11 у — 7 = 0;
2) Ьх2 + 4х?/ + 2г/2 4- 20л: + 20у - 18 = 0;
3) 9х2 - Аху - 7у2 - 12 = 0;
4) 2л:2 - Ьху 4- Ъу2 4- 22л: - 36^ 4- И = 0.
667. Установить, что каждая из следующих линий
имеет бесконечно много центров; для каждой их них
4 Д.. В. Клетеник 97

составить уравнение геометрического места центров:
1) х2 — 6ху + V— 12л:+36^ + 20 = 0;
2) 4х2 + Аху + у2- 8* - Ау - 21 =0;
3) 25л:2- 10л#+*/2 + 40л: — % + 7 = 0.
668. Установить, что следующие уравнения опреде-
определяют центральные линии; преобразовать каждое из
них путем переноса начала координат в центр:
1) Зл:2 - бху 4- 2у2 - Ах + 2у + 1 = 0;
2) бх2 + 4*# 4- у2 + 4л: - 2у + 2 = 0;
3) 4л:2 + 6**/+ г/2 — 10*—10 = 0;
4) 4л:2 + 2ху + 6#2 + 6л: — Юу + 9 = 0.
669. При каких значениях тип уравнение
тл:2 + 12ху + 9у2 + 4л: + пу — 13 = 0
определяет:
1) центральную линию;
2) линию без центра;
3) линию, имеющую бесконечно много центров.
670. Дано уравнение линии 4л:2-— Аху + у2 + 6х -f
4-1=0. Определить, при каких значениях углового
коэффициента k прямая у = kx\ 1) пересекает эту ли-
линию в одной точке; 2) касается этой линии; 3) пересе-
пересекает эту линию в двух точках; 4) не имеет общих то-
точек с этой линией.
671. Составить уравнение линии второго порядка,
которая, имея центр в начале координат, проходит че-
через точку /И(б;—2) и касается прямой х—-2 = 0
в точке iVB;0).
672. Точка РA;—2) является центром линии вто-
второго порядка, которая проходит через точку Q@;—3)
и касается оси Ох в начале координат. Составить урав-
уравнение этой линии.
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения
центральной линии второго порядка
Пусть дано уравнение
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ёу + F = 0, A)
определяющее центральную линию второго порядка (б=ДС—62#О).
Перенося начало координат в центр S(xq[ y0) этой линии и
98

преобразуя уравнение A) по формулам
х = х + х0, у = у + Уа,
получим:
Су2 + £ = 0. B)
Для вычисления Р можно пользоваться формулой
F = Dxq -f £y0 + Z7 или F = ~.
Дальнейшее упрощение уравнения B) достигается при помощи
преобразования координат
х = я' cos a — у' sin а, 
у «= л' sin а + #' cos а, J
соответствующего повороту осей на угол а.
Если угол а выбран так, что
J3tg2ct-(C-A)tga-B=0, D)
то в новых координатах уравнение линии примет вид
4V2-|-Cy24-F = 0, E)
где А'Ф0, С'ФО.
Замечание. Уравнение D) позволяет определить tg а, тогда
как в формулах C) участвуют sin a и cos a. Зная tg a, можно най-
найти sin a и cos a no формулам тригонометрии
tga 1
sin a = '■ —, cos a = -—.
± у 1 + tg2 a ± у 1 4- tg2 a
Между коэффициентами уравнений A) и E) существуют важ-
важные соотношения:
А'С = АС-В\ Л' + С = Л + С,
которые позволяют определить коэффициенты А' и С, не проводя
преобразования координат.
Уравнение второй степени называется эллиптическим, если
б > 0, гиперболическим, если 6 < 0, и параболическим, если 6 = 0.
Уравнение центральной линии может быты только эллиптиче-
эллиптическим или гиперболическим.
Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо
обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (т. е. опреде-
определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае
уравнение не определяет никакого геометрического образа).
Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкно-
обыкновенную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (т. е. пару пере-
пересекающихся прямых).
673. Определить тип каждого из следующих урав-
уравнений*); каждое из них путем параллельного переноса
*) То есть установить, какие из них являются эллиптическими,
какие гиперболическими и какие параболическими.
4* 99

осей координат привести к простейшему виду; устано-
установить, какие геометрические образы они определяют, и
изобразить на чертеже расположение этих образов от-
относительно старых и новых осей координат:
1) 4*2+ W — 40дг + 360 + 100 = 0;
2) 9*2 — 16^/2 — 54* — 640 - 127 «= 0;
3) 9*2+402+18*-80 + 49 = О;
4) 4д:2 — 02 + 8* —20 + 3 = 0;
5) 2л:2 + 3г/2+8* — 60 + 11 =0.
674. Каждое из следующих уравнений привести
к простейшему виду? определить тип каждого из них;
установить, какие геометрические образы они опреде-
определяют, и изобразить на чертеже расположение этих об-
образов относительно старых и новых осей координат:
1) 32*2 + 52*0 — 7г/2 +- 180 = 0;
2) 5*2 - 6*0 + by2 — 32 = 0;
3) 17*2—
4) Б*
5) б*2-6*0 + 502+8 = 0.
675. Определить тип каждого из следующих урав-
уравнений при помощи вычисления дискриминанта старших
членов:
1) 2х2 + 10*0 + 12г/2 — 7* + 180 — 15 = 0;
2) З*2 - 8*0 + 7у2 + 8* — 150 + 20 = 0;
3) 25*2 - 20*0 + 402 - 12* + 200 - 17 = 0;
4) 5*2 + 14*0 + 1102 + 12* - 7у + 19 = 0;
5) *2 — 4*0 + 402 + 7* - 12 = 0;
6) 3*2 —2*0 —302+120—15 = 0.
676. Каждое из следующих уравнений привести
к каноническому виду; определить тип каждого из них;
установить, какие геометрические образы они опреде-
определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси
первоначальной координатной системы, оси других ко-
координатных систем, которые вводятся по ходу реше-
решения, и геометрический образ, определяемый данным
100

уравнением: •
, 1) Зх2 + 10*0 + Ъф — 2х — \4у -13 = 0;
2) 25x2 _ 14x0 + 2Ьу2 + 64х - 640 — 224 = 0;
3) 4x0 + 302 + 16х + 120 — 36 = 0;
4) 7х2 + 6x0 — 02 + 28х + 120 + 28 = 0;
5) 19х2 + 6x0+1102 + 38х +60 + 29 = 0;
•6) 5x2 __ 2x0 + 502 — 4х + 200 + 20 = 0.
677. То же задание, что и в предыдущей задаче,
выполнить для уравнений:
1) 14х2 + 24x0 + 2102 — 4х + 180 — 139 = 0;
2) Их2 —20x0 —402 —20х —80+1 =0;
3) 7*2 + 60x0 + 3202 — 14х — 600 + 7 ~ 0;
4) 50х2 —8x0 +3502+100х —80 + 67 = 0;
5) 41х2 + 24x0 + 3402 + 34х — 1120 + 129 = 0;
6) 29х2 - 24x0 + 3602 + 82х - 960 - 91 = 0;
7) 4х2 + 24x0 + 1102 + 64х + 420 + 51 = 0;
8) 41x2 _|_ 24x0 + 9#2 + 24х + 180 — 36 = 0.
678. Не проводя преобразования координат, уста-
установить, что каждое из следующих уравнений опреде-
определяет эллипс, и найти величины его полуосей:
1) 41x2 + 24x0 + 902 + 24х + 180 - 36 = 0;
2) 8х2 + 4x0 + 502 + 16х + 40 — 28 = 0;
3) 13х2+18Х0 + 3702-26х—180 + 3 = 0;
4) 13х2+10x0+ 1302 +46х +620+13 = 0.
679. Не проводя преобразования координат, уста-
установить, что каждое из следующих уравнений опреде-
определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и
найти ее координаты:
1) 5х2 —6x0 + 202 —2х +2 = 0;
2) х2 + 2х0 + 202 + б0 + 9 = О;
3) 5х2 + 4X0 + 02 - 6х — 20 + 2 = 0;
4) х2 — 6x0 + 1О02+ Юх — 320 + 26 = 0.
680. Не проводя преобразования координат, устано-
установить, что каждое из следующих уравнений определяет
101

гиперболу, и найти величины ее полуосей:
1) 4*2 + 24*0"+" 11 у2 + 64*"+ 42г/ + 51 = 0;
2) 12х2 + 26*0 + 1202 — 52х — 480 + 73 = 0?
3) З*2 + 4jc«/ — 12л: + 16 = 0;
4) х2 — 6x0 — 7у2 + 10* — 300 + 23 = 0.
681. Не проводя преобразования координат, устано*
вить, что каждое из следующих уравнений определяет
пару пересекающихся прямых (вырожденную гипер-.
болу), и найти их уравнения:
1) За:2 + 4x0 + У2 — 2х — 1 = 0;
2) х2 — Ьху + 8у2 — Ау — 4 = 0;
3) л-2 - Аху + Зг/2 = 0;
4) я2 + 4*# + 3#2 — 6х — 12у + 9 = 0.
682. Не проводя преобразования координат, устано-
установить, какие геометрические образы определяются сле-
следующими уравнениями:
v 1) 8,v2— 12*#+ 17г/2+ 16*— 12</ + 3 = 0;
2) 17хй - 18*0 - 7у2 + 34л: - \8у + 7 = 0;
3) 2л:2 + 3*0 — 202 + 5х + Юг/ = 0;
4) б*2 — бху + 9г/2 — 4* + 180 + 14 = 0;
' 5) 5*2 — 2*0 + 502 — Ах + 200 + 20 = 0.
683. Для любого эллиптического уравнения доказать,
что ни один из ■ коэффициентов А и С не может обра-
обращаться в нуль и что они суть числа одного знака.
684. Доказать, что эллиптическое уравнение второй
степени F > 0) определяет эллипс в том и только в том
случае, когда А и Д суть числа разных знаков.
685. Доказать, что эллиптическое уравнение второй
степени (б > 0) является уравнением мнимого эллипса
в том и только в том случае, когда /1 и Д суть числа
одинаковых знаков.
686. Доказать, что" эллиптическое уравнение второй
степени (б > 0) определяет вырожденный эллипс (точ-
(точку) в том и только в том случае, когда А = 0.
687. Доказать, что гиперболическое уравнение второй
степени (б < 0) определяет гиперболу в том и только в
том случае, когда Д ф 0t
102

688. Доказать, что гиперболическое уравнение второй
степени (б < 0) определяет вырожденную гиперболу
(пару пересекающихся прямых) в том и только в том
случае, когда Д = 0.
§ 25. Приведение к простейшему виду
параболического уравнения
Пусть уравнение
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2D* + 2Еу + F = 0 A)
является параболическим, т. е. удовлетворяет условию
В этом случае линия, определяемая уравнением (I), либо не имеет
центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение парабо-
параболического уравнения целесообразно начать с поворота координат-
координатных осей, т. е. сначала преобразовать уравнение A) при помощи
формул
х = х" cos a — у' sin а, \
у = xf sin а + у' cos а. J
Угол а следует найти из уравнения
В tg2 а — (С — A) tg а — В — 0; C)
тогда в новых координатах уравнение A) приводится либо к виду
А'х'2 + 2DY + 2Е'у' + F = 0, D)
где А' # 0, либо к виду
СУ2 + 2DY + 2ЕУ + F = 0, E)
где С # 0.
Дальнейшее упрощение уравнений D) и E) достигается путем
параллельного перенесения (повернутых) осей.
689. Установить, что каждое из следующих уравнений
является параболическим; каждое из них привести к про-
простейшему виду; установить, какие геометрические образы
они определяют; для каждого случая изобразить на чер-
чертеже оси первоначальной координатной системы, оси
других координатных систем, которые вводятся по ходу
решения, и геометрический образ, определяемый данным
уравнением:
1) 9*2 — 24*0 ~-£ 16г/2 — 20*~-Н 1100 — 50 = 0;
2) 9х2 + 12*0 + 402 — 24* — 160"+ 3 = 0j
3) 1 б*2 ~ 24*0 + 902 — 160* ^ 1200 ^ 425 = Ьк
103

690. То же задание, что и в предыдущей задаче, вы-
выполнить для уравнений:
1) 9л:2 + 24ху + 16#2 — 18а: + 226//"+ 209 = 0;
2) х2 — 2xz/ + #2—12х + 12*/- 14 = 0*
3) 4л:2 + \2ху + 9г/2 — 4л: — 6f/ +' 1 =а 0.
691. Для любого параболического уравнения дока-
доказать, что коэффициенты А и С не могут быть числами
разных знаков и что они одновременно не могут обра-
обращаться в нуль.
692. Доказать, что любое параболическое уравнение
может быть написано в виде:
± 2Ey'+ F = 0.
Доказать также, что эллиптические и гиперболиче-
гиперболические уравнения в таком виде не могут быть написаны.
693. Установить, что следующие уравнения являются
параболическими, и записать каждое из них в виде, ука-
указанном в задаче 692:
1) *2 + 4хг/Ч-4г/2~+'4**+'#— 15 = 0;
2) 9*2 — бху + г/2 — х + 2у — 14 = 0;
3) 25*2 _ 20ху + 4г/2 + 3* - у + 11 == 0г
4) 16л:2 4- \&су+ 4у2 - 5*"+; 1у — 0;
5) 9х2 - 42ЛГХ/ + 49г/2 + Зх - 2у — 24 « 0.
694. Доказать, что если уравнение второй степени
является параболическим и написано в виде
4-" М)г .4- 2/)л: + 2Еу + F = 0,
то дискриминант его левой части определяется фор-
формулой
Д
695. Доказать, что параболическое уравнение
(ах + WJ"+ 2^ + 2Ег/ + ^ = 0
при помощи преобразования
jc = xf cosG — /sin 9, a
I/= *'sin е + я'cose, tg9==~J
приводится к виду
C't/ + 2D'jc' + 2£ V + F = 0,
104

где
с — a -f p , ь» — ± j/ a2 + p2,
а Л — дискриминант левой части данного уравнения.
696. Доказать, что параболическое уравнение опреде-
определяет параболу в том и только в том случае, когда Л ф 0.
Доказать, что в этом случае параметр параболы опре-
определяется формулой
(А + СK *
697. Не проводя преобразования координат, устано-
установить, что каждое из следующих уравнений определяет
параболу, и найти параметр этой параболы:
1) 9*2 + 24*0 + Щ2 - 120* + Щ = 0;
2) 9*2 - 24*0 -f 16*/2 - 54х - 178// + 181 = 0;
3) х2 - 2ху + г + 6* - 14# + 29 = 0;
4) 9*2 - Ьху + ^ - 50* + 50// - 275 = 0.
698. Доказать, что уравнение второй степени является
уравнением вырожденной линии в том и только в том
случае, когда Л = 0.
699. Не проводя преобразования координат, устано-
установить, что каждое из следующих уравнений определяет
пару параллельных прямых, и найти их уравнения;
1) 4х2 Ч- Аху + У2 - 12* - 6t/ + 5 = 0;
2) 4х2 - 12х«/ + 9у2 + 20* — ЗОг/ — 11= 0;
3) 25*2-10*04-^+Ю*-20-15 = 0.
700. Не проводя преобразования координат, устано-
установить, что каждое из следующих уравнений определяет
одну прямую (пару слившихся прямых), и найти урав-
уравнение этой прямой:
1) *2 — 6*0 + 902+4*—120 + 4 = 0;
2) 9*2 + 30*0 + 2502 + 42* + 700 ■+ 49 = 0;
3) 16*2 - 16*0 + 402 — 72* + 360 + 81=0.
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся
в математике и ее приложениях
701. Составить уравнение геометрического места то-
точек, произведение расстояний которых до двух данных
точек /7i(— с; 0) и F%(c\ 0) есть постоянная величина а2.
105

Такое геометрическое место точек называется овалом
К а ссин и (рис. 23).
702. Составить уравнение геометрического места то-
точек, произведение расстояний которых до двух данных
точек Fi(— a; 0) и F2{a\ 0) есть постоянная величина а2.
Такое геометрическое место точек называется лемни-
лемнискатой (рис. 24). (Уравнение лемнискаты сначала най-
найти непосредственно, потом — рассматривая ее как част-
частный вид овала Кассини.) Составить также уравнение
М
У
Рис. 23.
Рис. 24.
лемнискаты в полярных координатах, совмещая поляр-
полярную ось с положительной полуосью Ох и полюс с нача-
началом координат.
703. Составить уравнение геометрического места
оснований перпендикуляров, опущенных из начала коор-
координат на прямые, отсекающие от координатного угла
треугольники постоянной площади S.
Указание. Составить уравнение сначала в полярных коор-
координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось
с положительной полуосью Ох.
704. Доказать, что геометрическое место точек задачи
703 есть лемниската (см. задачу 702).
Указание. Повернуть координаты оси на угол в 45°.
705. Луч а, в начальном положении совпадающий с
полярной осью, вращается вокруг полюса О с постоян-
постоянной угловой скоростью со.
Составить в данной системе полярных координат
уравнение траектории точки М, которая, имея начальное
положение в О, движется по лучу а равномерно со ско-
скоростью v (спираль Архимеда, рис. 25).
706. Даны прямая х = 2г и окружность радиуса г,
которая проходит через начало координат О и касается
данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий
106

данную окружность в точке В и данную прямую в точке
С, на котором отложен отрезок ОМ = ВС (рис. 26). При
вращении" луча длина отрезка ОМ меняется и точка М
описывает кривую, называемую циссоидой. Соста-
Составить уравнение циссоиды.
707. Даны прямая х = а {а > 0) и окружность диа-
диаметра а, проходящая через начало координат О и ка-
касающаяся данной прямой. Из точки О проведен луч, пе-
пересекающий окружность в точке Л и данную прямую
в точке В. Из точек А к В проведены прямые, параллель-
параллельные соответственно осям Оу и Ох (рис. 27). Точка /VI
Рис. 25.
Рис. 26.
Рис. 27.
пересечения этих прямых при вращении луча описывает
кривую, называемую верзьерой. Составить ее урав-
уравнение.
708. Из точки Л (—а; 0), где а > 0, проведен луч А В
(рис. 28), на котором по обе стороны от точки В отло-
отложены отрезки BMnBN одинаковой длины b (b = const).
При вращении луча точки Af и М описывают кривую, на-
называемую конхоидой. Составить ее уравнение сна-
сначала в полярных координатах, помещая полюс в точку Л
и направляя полярную ось в положительном направле-
направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декарто-
декартовых прямоугольных координат.
709. Из точки. Л (— а\ 0), где а > 0, проведен луч АВ
(рис. 29), на котором по обе стороны от точки В отло-
отложены отрезки ВМ и BN, равные ОВ. При вращении луча
107

точки М и N описывают кривую, называемую строфо-
строфоидой. Составить ее уравнение сначала в полярных ко-
координатах, помещая полюс в точке Л и направляя поляр-
полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем
перейти к данной системе декартовых прямоугольных
координат.
Рис. 28.
Рис. 29.
Рис. 30.
710. Из начала координат проведен луч, пересекаю-
пересекающий данную окружность хг + у2 = 2ах (а > 0) в точке В
(рис. 30); на луче по обе стороны от точки В отложены
равные между собой отрезки ВМ и BN постоянной дли-
длины Ь. При вращении луча точки М и N описывают кри-
кривую, называемую улиткой Паскаля (рис. 30). Со-
Составить ее уравнение сначала в полярных координатах,
совмещая полюс с началом координат и полярную ось
с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной
системе декартовых прямоугольных координат.
711. Отрезок длины 2а движется так, что его концы
все время находятся на координатных осях. Составить
уравнение траектории основания М перпендикуляра, опу-
опущенного из начала координат на отрезок (рис. 31), сна-
сначала в полярных координатах, совмещая полюс с нача-
началом координат и полярную ось с положительной полу-
полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых
прямоугольных координат. Точка М описывает кривую,
называемую четырехлепестковой розой.
712. Отрезок длины а движется так, что его концы
все время находятся на координатных осях (рис. 32). Че-
Через концы отрезка проведены прямые, параллельные
координатным осям, до их взаимного пересечения в точ-
108

ке Р. Составить уравнение траектории основания М пер-
перпендикуляра, опущенного из точки Р на отрезок Эта
траектория называется астроидой.
Рис. 31.
Рис. 32.
Указание. Составить сначала параметрические уравнения
астроиды, выбирая параметр t, как указано на рис. 32 (затем исклю-
исключить параметр t).
713. Из точки В пересечения луча ОВ с окружностью
х2-\-у2 = ах опущен перпендикуляр ВС на ось Ох. Ич
точки С на луч ОВ опущен перпендикуляр СМ. Вы-
Вывести уравнение траектории
точки М сначала в по-
полярных координатах, сов-
совмещая полюс с началом ко-
координат и полярную ось с
Рис. 33.
Рис. 34.
положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной
системе декартовых прямоугольных координат.
714. Нить, намотанная на окружность х2 + у2 = у2,
разматывается так, что в точке В, где нить отделяется от
окружноси, она остается касательной к ней (рис. 33).
109

.#■?*<.
Рис. 35.
Найти параметрические уравнения линии, описываемой
концом нити, если начальным положением конца являет-
является точка А(щ 0), где а > 0. Линия, о которой идет речь,
называется эвольвентой круга.
715. Круг радиуса а катится без скольжения по оси
Ох. Траектория некоторой точки М окружности этого
круга называется циклоидой (рис. 34). Вывести па-
параметрические уравнения циклои-
циклоиды, принимая в качестве пара-
параметра / угол, на который повора-
поворачивается катящаяся окружность
вокруг своего центра; считать
при этом, что в начальный мо-
момент (t вя 0) точка М находится
в начале координат. Исключить
параметр t из полученных урав-
уравнений.
716. Круг радиуса а катится
без скольжения по окружности
a:2 -f- z/2 ===== а2, оставаясь вне ее.
Траектория некоторой точки М окружности катящегося
круга называется кардиоидой (рис. 35). Вывести па-
параметрические уравнения кардиоиды, выбирая в качестве
параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвиж-
неподвижной окружности, проведенного в точку касания с по-
подвижной. Считать при этом, что в начальный момент
;(£к=0) точка М находится справа на оси Ох. Перейти
к полярным координатам при условии, что направление
полярной оси совпадает с положительным направлением
оси абсцисс, а полюс находится в точке А. Доказать,
что кардиоида есть частный вид улитки Паскаля (см,
задачу 710).
717. Круг радиуса а катится без скольжения по окру-
окружности х2 /-f- у2 = Ь2, оставаясь вне ее. Траектория неко-
некоторой точки М окружности катящегося круга называется
эпициклоидой (рис. 36). Вывести параметрические
уравнения эпициклоиды, выбирая в качестве параметра
t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окруж-
окружности, проведенного в точку касания с подвижной;- счи-
считать при этом, что в начальный момент (t == 0) точка М
находится справа на оси Ох. Доказать, что кардиоида
(см. задачу 716) есть частный вид эпициклоиды.
718. Круг радиуса а катится без скольжения по окру-
окружности х^^у2 = Ь2, оставаясь внутри нее. Траектория
ПО

некоторой точки М окружностк катящегося круга назы-
называется гипоциклоидой (рис. 37). Вывести парамет-
параметрические уравнения гипоциклоиды, выбирая в качестве
У
х
Рис. 36.
Рис. 37.
параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной
окружности, проведенного в точку касания с подвижной;
считать при этом, что в начальный момент (/ = 0)-точ-
0)-точка М находится справа на оси Ох. Доказать, что астро-
астроида (см задачу 712) есть частный вид гипоциклоиды,

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛАВА 6
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты
в пространстве
Декартова прямоугольная система координат в пространстве
определяется заданием линейной единицы для измерения длин и
трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных
осей, занумерованных в каком-либо порядке.
Точка пересечения осей называется началом координат, а сами
оси — осями координат. Первая координатная ось называется осью
абсцисс, вторая — осью ординат, тре-
третья — осью апликат.
Начало координат обозначается бук-
буквой О, оси координат обозначаются со-
соответственно символами Ox, Оу, Oz.
Пусть М — произвольная точка про-
пространства, Мх, Му и Мг — ее проекции
на координатные оси (рис. 38).
Координатами точки М в заданной
системе называются числа:
У
х = ОМХ, у — ОМУ, г = ОМ г
V
(рис. 38), где ОМХ есть величина отрез-
отрезка ОМХ оси абсцисс, ОМУ — величина от-
Рис. 38. резка ОМУ оси ординат, ОМг — величи-
величина отрезка ОМг оси апликат. Число х
называется абсциссой, «/ — ординатой, г — апликатой точки М. Сим-
Символ М{х\у\г) обозначает, что точка М имеет координаты х, у, г.
Плоскость Оуг разделяет все пространство на два полупро-
полупространства; то из них, которое расположено ь положительном на-
направлении оси Ох, называется ближним, другое — дальним. Пло-
Плоскость Охг также разделяет пространство на два полупространства;
то из них, которое расположено в положительном направлении
оси Ое/, называется правым, другое — левым. Наконец, и плоскость
Оху разделяет пространство на два полупространства; то из них,
которое расположено в положительном направлении оси Ог, назы-
называется верхним, другое —• нижним.
J12

/
/
/
•
L/
/щ
Ш
ш/
(/
0
/
/
/
ж
/
А
i ;
« /
i /
4- -
/ .
/ «
• 1
/
>/
//
//
Уж
Y
г
/
/
/
У!
Три плоскости Оху, Oxz и Oyz вместе разделяют пространство
на восемь частей; их называют координатными октантами и нуме-
нумеруют так, как показано на рис. 39.
719. Построить (в аксонометрической проекции) сле-
следующие точки по их декартовым координатам: ЛC;4;6),
В(-5;3; 1), СA; -3; -5),
£>@; -3; 5), Е(-3; -5; 0)
и F{-\; -5$-3).
720. Найти координаты
проекций точек Л D; 3; 5),
В(-3; 2; 1), СB; -3; 0) и
£>@; 0; —3): 1) на пло-
плоскость Оху; 2) на плоскость
Oxz; 3) на плоскость Oyz;
4) на ось абсцисс; 5) на ось
ординат; 6) на ось апликат.
721. Найти координаты
точек, симметричных точ-
точкам Л B; 3; 1), ВEJ-3; 2),
С(-3; 2; -1) и D{a; b; с)
относительно: 1) плоскости Оху; 2) плоскости Oxz;
3) плоскости Oyz; 4) оси абсцисс; 5) оси ординат;
6) оси апликат; 7) начала координат.
722. Даны четыре вершины куба: А (—а; — а; —а),
В (а; —а; —а); С{—а; а; —а) и D(a; a\ а). Определить
его остальные вершины.
723. В каких октантах могут быть расположены точ-
точки, координаты которых удовлетворяют одному из сле-
следующих условий: 1) х — у = 0; 2) х + у = 0; 3) х — z =
= 0; 4) x + z = 0; 5) y-z = O\ 6) г/ + г = О.
724. В каких октантах могут быть расположены точ-
точки, если: 1) ху>0; 2) xz < 0} 3) уг > 0; 4) xyz > 0;
5) xyz<0.
725. Найти центр шара радиуса R = 3, который ка-
касается всех трех координатных плоскостей и расположен:
1) во втором октанте; 2) в пятом октанте; 3) в шестом
октанте; 4) в седьмом октанте; 5) в восьмом октанте.
Рис. 39.
§ 28. Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном отношении
Расстояние d между двумя точками М\(х\\ yw г{) и Мг
в пространстве определяется формулой
U =
- ХХ)г + [У2 - Ух)'1 + («2 -
2\ уг\ z%))
113

Координаты х, у, г точки М, которая делит отрезок М{М2,
ограниченный точками М[(х\\ у\\ Z\) и М2(х?, У2,' z2), в отношении А,,
определяются по формулам:
.. . ДС1 + Я,лса у .... fft+Яуа __ г, + ?.г2
В частности, при Я = 1 имеем координаты середины данного от-
отрезка:
_ х\ + х2 _ t/i + г/г ..._ г! + г2
х— 2 * У~ 2 ' г 2 *
726. Даны точки: /4A; —2; —3), В B; —3; 0),
СC; 1; —9), D(— 1; 1; 12). Вычислить расстояние меж-
между I) Д и С; 2) В и D; 3) С и D.
727. Вычислить расстояния от начала координат О до
точек: ЛD; —2; -4), В(—4j 12j 6), СA2; -4; 3),
DA2; 16; -15).
728. Доказать, что треугольник с вершинами
/1C; —1; 2), В@; —4; 2) и С(— 3; 2; 1) равнобедрен-
равнобедренный.
729. Доказать, что треугольник с вершинами
Л,C; —1; 6), Аг( — \; 7; —2) и /43A; —3; 2) прямо-
прямоугольный.
v 730. Определить, есть ли тупой угол среди внутренних
углов треугольника Mi D; —-1; 4), AJ2@; 7; —4),
Л1зC; 1; -2).
731. Доказать, что внутренние углы треугольника
МC; -2; 5), #(—2; 1; -3), РE; 1; —1) острые.
732. На оси абсцисс найти точку, расстояние которой
от точки Д(—3; 4; 8) равно 12.
733. На оси ординат найти точку, равноудаленную от
точек ЛA; —3; 7) и В E; 7; -5).
734. Найти центр С и радиус R шаровой поверхности,
которая проходит через точку РD; — 1; —1) и касается
всех трех координатных плоскостей.
735. Даны вершины М,C; 2; —5), М2A; —4; 3) и
Л13(—3; 0; 1) треугольника. Найти середины его сторон.
736. Даны вершины А B; —1; 4), ВC; 2; —6),
С(—5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его меди-
медианы, проведенной из вершины А.
737. Центр тяжести однородного стержня находится
в точке СA ;.—■!; 5), один из его концов есть точка
А (—2; —-1; 7). Определить координаты другого конца
стержня.
738. Даны две вершины ДB; —3; —5), В( — 1} 3; 2)
параллелограмма ЛВС£> и точка пересечения его диаго-
114

налей ЕD; —1; 7). Определить две другие вершины это-
этого параллелограмма.
739. Даны три вершины /4C; —4} 7), В (—5; 3; —2)
и С(Ц 2; —3) параллелограмма ABCD. Найти его чет-
четвертую вершину D, противоположную В.
740. Даны три вершины ЛC; — Ц 2), В(\\ 2; —4) и
С(-~1; 1* 2) параллелограмма ABCD. Найти его четвер-
четвертую вершину D.
741. Отрезок прямой, ограниченный точками
!Л (— 1; 8; 3) и В{9\ -~7\ —2), разделен точками С, D,
Е, F на пять равных частей. Найти координаты этих
точек.
742. Определить координаты концов отрезка, который
точками СB' 0| 2) и DE; —2f 0) разделен на три рав-
равные части.
743. Даны вершины треугольника /4A; 2; — 1),
ВB; —1; 3) и С(-—4; 1\ 5). Вычислить длину биссек-
биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.
744. Даны вершины треугольника ЛA» —If —3),
ВB; 1; —2) и С(—5; 2j —6). Вычислить длину биссек-
биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
745. В вершинах тетраэдра A(xt; yt; Zi), B(x2; y2; zz),
С(хз; yz\ £з), &{х*\ У& zi) сосредоточены равные массы.
Найти координаты центра тяжести системы этих масс.
746. В вершинах тетраэдра Ai(xi; у±\ Zi), Аг(хг\ у2\ г2),
'Аз{х$ у а; г3), Л4(^4; у& гь) сосредоточены массы ть т2,
/Из и ntk. Найти коо{здинаты центра тяжести системы этих
масс.
747. Прямая проходит через две точки М4(—1; 6; 6)
и М2C$ —6; —2). Найти точки ее. пересечения с коорди-
координатными плоскостями,

Г Л А В А 7
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
Направленные отрезки принято называть также геометрически-
геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный
отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя боль-
большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии,
что первая из них обозначает начало, вторая — конец вектора. На-
Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой
латинской буквой полужирного шрифта,
которая на чертежах ставится у конца
стрелки, изображающей вектор (см.
рис. 40, где изображен вектор а с нача-
началом А и концом В). Начало вектора часто
будет называться также его точкой прило-
Рис 40 жения-
Векторы называются равными, если
они имеют одинаковые длины, лежат на
параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну
сторону.
Число, равное длине вектора (при заданном масштабе), назы-
называется его модулем. Модуль вектора а обозначается символом \а\
или о. Если \а\ = 1, то вектор а называется единичным.
Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным
вектором а, называется ортом вектора а и обозначается обычно
символом а0.
Проекцией вектора АВ на ось и называется число, равное ве-
величине отрезка А\В\ оси и, где точка А\ является проекцией на
ось и точки Л, a Bj — проекцией на эту ось точки В.
Проекция вектора АВ на ось и обозначается символом: приЛ"Ж
Если вектор обозначен символом а, то его проекцию на ось и при-
принято обозначать: приа.
Проекция вектора а на ось и выражается через его модуль
и угол ф наклона к оси и формулой
приа — \а | -cosq). A)
Проекции произвольного вектора а на оси некоторой заданной
системы координат в дальнейшем обозначаются буквами Xt Y, Z,
Равенство
а = {X; Г; Z)
116

означает, что числа X, У, Z являются проекциями вектора на ко-
координатные оси.
Проекции вектора на координатные оси называют также его
(декартовыми) координатами. Если даны две точки М](х\\ у\',г\)
и Мч(jc2; tj2\ Z2), являющиеся соответственно началом и концом век-
вектора а, то его координаты X, У, Z определяются по формулам
Я — *а —*ь У— й-0ii Z — 28 —2lt
Формула
I a | = VX2 + У2 + Z2 B)
позволяет по координатам вектора определить его модуль.
Если а, р, у — углы, которые составляет вектор а с координат-
координатными осями (рис. 41), то cos a, cos E, cosy называются направляю-
направляющими косинусами вектора а.
Вследствие формулы A)
X = |a|cos а, У = |а 1 cos C,
Отсюда и из формулы B) следует, что let
cos2 a + cos2 P + cos5 у = 1.
Последнее равенство позволяет определить
один из ^глов а, Р, у, если известны два
других.
748. Вычислить модуль вектора
а = {6; 3; -2}.
749. Даны две координаты век-
вектора X = 4, У =—12. Определить
его третью координату Z при усло-
условии, что \а\ = 13.
Рис. 41.
750. Даны точки AJ3; —]± 2) и В{ — 1; 2; 1). Найти
координаты векторов АВ и ВА.
751. Определить точку Л/, с которой совпадает конец
вектора а = {3; — 1; 4}, если его начало совпадает с точ-
точкой МA; 2; -3).
752. Определить начало вектора а = {2; —3; —1},
если его конец совпадает, с точкой A; —1; 2).
753. Дан модуль вектора |а|=2 и углы а = 45°,
р = 60°, у = 120°. Вычислить проекции вектора а на ко-
координатные оси.
754. Вычислить направляющие косинусы вектора а =
= {12; -15; -16}.
755. Вычислить направляющие косинусы вектораа =
_О_. _L. ill
V13 * 13' 13Г
756. Может ли вектор составлять с координатными
осями следующие углы: 1) а = 45°, р = 60°, у = 120е;
2) a = 45°, 0=135°, у = 60°; 3) a = 90°, р = 150°;
Y == 60°?
И7

757. Может ли вектор составлять с двумя координат-
координатными осями следующие углы: 1) а = 30°, р = 45°; 2) р =з
= 60°, у = 60°; 3) а = 150°, у = 30°?
758. Вектор составляет с осями Ох и Oz углы а=120°
и у = 45°. Какой угол он составляет с осью Оу?
759. Вектор а составляет с координатными-осями Ох
и Оу углы а = 60°, р = 120°. Вычислить его координаты
при условии, что \а\ =2.
760. Определить координаты точки М, если ее радиус-
вектор составляет с координатными осями одинаковые
углы л его модуль равен 3.
§ 30. Линейные операции над векторами
Суммой а + Ь двух векторов о и b называется вектор, кото-
который идет из начала вектора а в конец вектора Ь при условии, что
вектор Ъ приложен к концу вектора а (правило треугольника) По-
Построение суммы а + Ъ изображено на рис. 42.
Рис. 42.
Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносиль-
(равносильным ему) ,пр а в и л ом параллелограмма: если векторы а
и Ь приведены к общему началу и на них построен параллелограмм,
то сумма а + Ь есть вектор, совпадающий с диагональю этого па-
параллелограмма, идущей из общего на-
начала а и 6 (рис. 43). Отсюда сразу еле-
дует, что a -j- Ь = Ь + а.
Сложение многих векторов произво-
производится при помощи последовательного
применения правила треугольника (см.
рис. 44, где изображено построение сум-
суммы четырех векторов а, Ь, с, d).
Разностью а — Ь двух векторов а
и Ъ называется вектор, который в сум-
сумме с вектором Ь составляет вектор а..
Если два вектора а и Ь приведены к
общему началу, то разность их а — Ъ
есть вектор, идущий из конца Ъ («вычи-
(«вычитаемого») к концу а («уменьшаемого»). Два вектора равной дли-
длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные
стороны, называются взаимнообратными: если один • из них обо-
обозначен символом а, то другой обозначается символом —а. Легко
118
Рис. 44.

видеть, что а — 6 = а + (—6). Таким образом, построение разно-
разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратно-
обратного «вычитаемому».
Произведением ад (или также act) вектора а на число а назы-
называется вектор, модуль которого равен произведению модуля век-
вектора а на модуль числа а; он параллелен вектору а или лежит
с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор а, если
а — число положительное, и противоположно вектору а, если a —
число отрицательное.
Сложение векторов и умножение вектора на число называются
линейными операциями над векторами.
Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях
векторов:
1. Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме
их проекций на эту же ось:
пРн(Л]-Ьа2+ ... + an) ^npu^i + приа2-f-... + приап.
2. При умножении вектора на число его проекция умножается
«а то же число:
при (сш) == а пр„л.
В частности, если
а = {Х,- У,;
то
a+ & = {*,+ Х2; К, + У2; Z,+Z2}
и
— Xz\ К] — У2» 2i — Z2}»
Если а — {Х\ Y\ Z), то для любого числа a
аа — {аХ; аУ; aZ}.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных пря-
прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух
векторов
о-№; Г,; Z,}, Ь={Х2; У2; Z2)
является пропорциональность их координат:
■Лд '2 Z2
Тройка векторов i, /, fe называется координатным базисом, если
эти векторы удовлетворяют следующим условиям:
1) вектор i лежит на оси Ох, вектор / — на оси Оу, вектор
ft — на оси Oz\
2) каждый из векторов I, ], k направлен на своей оси в поло-
положительную сторону;
3) векторы i, /, ft — единичные, т. е. 1 i \ = 1, | i | = 1, | к \ — I
119

Каким бы ни был вектор а, он всегда может быть разложен
по базису I, У, k, т. е. может быть представлен в виде:
а - XI + У/ + Zft;
коэффициенты этого разложения являются координатами вектора а
(т. е. X, Y, Z суть проекции вектора а на координатные оси).
761. По данным векторам а и Ь построить каждый
из следующих векторов: 1) а + 6; 2) а — Ь\ 3) 6—-а;
4) —а —6.
762. Даны: |а| = 13, |6|=19 и \а + Ь\ = 24. Вычи-
Вычислить | а — Ь |.
763. Даны: |а| = 11, |ft | = 23 и |а — 6| = 30. Опре-
Определить | а + 6 |.
764. Векторы л и 6 взаимно перпендикулярны, при-
причем |а| = 5 и | 6 | = 12. Определить \a-\-b\ и \а — Ь\.
765. Векторы а и 6 образуют угол <р = 60°, причем
|а| = 5 и |6| = 8. Определить \a-\-b\ и |л — Ь\.
766. Векторы а и b образуют угол <р= 120°, причем
\а\ —3 и |6| =5. Определить |а + 6| и \а — Ь\.
767. Какому условию должны удовлетворять векторы
а и ft, чтобы имели место следующие соотношения:
1) | а+6 | = | а-Ь |; 2) | а+b \ > \ а-Ъ \; 3) | a+b \ <| а-Ь |.
768. Какому условию должны удовлетворять век-
векторы а и Ь, чтобы вектор а + Ь делил пополам угол
между векторами а и Ь.
769. По данным векторам а и b построить каждый
из следующих векторов: 1) За; 2) — -^б; 3) 2a-\--^b\
4) -^а-36.
770. В треугольнике ABC вектор АВ — тп вектор
АС = п. Построить каждый из следующих векторов:
I) —f—\ 2) —g—5 3) —g—» 4) Т~ч
в качестве масштабной единицы -^-| я I» построить также
векторы: 5) \n\m-\-\m\n\ 6) |п\m — | m |п.
771. Точка О является центром тяжести треуголь-
треугольника ABC. Доказать, что ОА + ОВ + ОС*=0.
772. В правильном пятиугольнике ABCDE заданы
векторы, совпадающие с его сторонами: АВ — т, ВС=п,
CD =p, DE — q и ЕА =г. Построить векторы: I) m—n-f-
+ p-q + r, 2) m + 2p + ~r; 3) 2m+y л- Зр-q + 2г.
120

773. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' (рис 45)
заданы векторы, совпадающие с его ребрами: АВ — т,
n и АА' — р. Построить ка-
каждый из следующих векторов:
1) т + п + р', 2) m + n + jp;
\
р;
3) \т+^п-\-р\ 4) т + п
5) —т — п + ^Р-
774. Три силы М, N и Р, при-
приложенные к одной точке, имеют
взаимно перпендикулярные напра-
направления. Определить величину их
равнодействующей R, если известно, что |Л1| =
|ЛМ=10 *Г и |J°| = 11 кГ.
775. Даны два вектора а = {3; —2; 6} и Ь = {—2; 1; 0}.
Определить проекции на координатные оси следующих
векторов: 1) а + Ь; 2) а — Ь\ 3) 2а; 4) — jb; 5) 2a+3b;
6) ja-b.
776. Проверить коллинеарность векторов а —
= {2; — 1; 3} и b = {—6; 3; —9}. Установить, какой из
них длиннее другого и во сколько раз, как они направ-
направлены— в одну или в противоположные стороны.
777. Определить, при каких значениях а, р векторы
а = — 2i + 3/ + pfe и b = ai — 6/ + 2k коллинеарны.
778. Проверить, что четыре точки А C; — 1; 2),
ВA; 2; -1), С{-U U -3), Z)C; -5; 3) служат вер-
вершинами трапеции.
779. Даны точки А{— 1; 5; —10^ 5E; —7; _8К
С{2\_2\ —7) и £>E; —4; 2). Проверить, что векторы ~АВ
и CD коллинеарны; установить, какой из них длиннее
другого и во сколько раз, как они направлены — в одну
или в противоположные стороны.
780. Найти орт вектора а = {6; —2; —3}.
781. Найти орт вектора а = {3; 4; —12}.
782. Определить модули суммы и разности векторов
а = {3; -5; 8} и 6 —{—1; 1; -4}.
783. Дано разложение вектора с по базису I, /, k: c =
= 162 — 15/+ 12ft. Определить разложение по этому
же базису вектора d, параллельного вектору с и
121

противоположного с ним направления, при условии, что
|<*[ = 75.
784. Два вектора а = {2; —3; 6} и 6 = {— 1; 2; —2}
приложены к одной точке. Определить координаты век-
вектора с, направленного по биссектрисе угла между век-
векторами а и Ь, пр_и_условии, что |c| = 3j/42~.
785. Векторы AS = {2; 6; —4} и ЛС = {4; 2; —2}
совпадают со сторонами треугольника ABC. Определить
координаты векторов, приложенных к вершинам тре-
треугольника и совпадающих с его медианами AM, BN, СР.
786*). Доказать, что если р и q — какие угодно не-
коллинеарные векторы, то всякий вектор, лежащий в их
плоскости, может быть представлен в виде: a—ap-\-$q.
Доказать, что числа аир век-
векторами а, р и q определяются
однозначно. (Представление век-
„ yS тора а в виде a = ap-\-$q назы-
0 вается разложением его по ба-
базису р, q; числа аир называют-
называются коэффициентами этого разло-
разложения.)
р 4R Доказательство. Приведем
с" 0# векторы а, р и q к общему началу,
которое обозначим буквой О (рис. 46).
Конец вектора а обозначим буквой А. Через точку А проведем
прямую, параллельную вектору q. Точку пересечения этой прямой
с линией действия вектора р обозначим через Ар. Аналогично, про-
проводя через точку А прямую, параллельную вектору р, получим
в пересечении с линией действия вектора q точку AQ.
По правилу параллелограмма получим:
A)
Так как векторы ОАр и р лежат на одной прямой, то вектор ОА
может быть получен умножением вектора р на некоторое число а
ОА~Р = ар. —~ B)'
Аналогично
OAp=*$q. C)
Из равенств A). B) и C) получаем: а = ар+ 07- Тем самым
возможность требуемого разложения доказана. Остается доказать,
что коэффициенты а и (J этого разложения определяются одно-
однозначно.
*) Задачи 786 и 792 существенны для правильного понимания
остальных задач. Решение первой из них здесь приводится пол-
полностью.
122

Предположат, что вектор а имеет два разложения;
а — ар + fa. а = а'р + $'q,
и, например, а' ф а. Вычитая почленно одно из другого, получаем:
или p^
Но это равенство означает коллинеарность векторов р и gr, которые,
однако, по условию являются неколлинеарными. Следовательно,
неравенство а' Ф а невозможно. Аналогично доказывается, что
невозможно неравенство $'ф$. Таким образом, a'=a, |3' = р,
т. е. двух различных разложений один и тот же вектор иметь не
может.
787. На плоскости даны два вектора р = {2; —3},
<7 = {1; 2}. Найти разложение вектора a = {9; 4} по ба-
базису р, q.
788. На плоскости даны три вектора а = {3; —2},
Ь = {—2; 1} и с =={7; —4}. Определить разложение каж-
каждого из этих трех векторов, принимая в качестве ба-
базиса два других.
789. Даны три вектора а = {3; —1}, Ъ — {\\ —2},
с — {— 1; 7}. Определить разложение вектора р = а-\-
-\-Ъ-\-с по базису а, 6.
790. Принимая в качестве базиса векторы АВ — Ь
и АС = с, совпадающие со сторонами треугольника ABC,
определить разложение векторов, приложенных в вер-
вершинах треугольника и совпадающих с его медианами.
791. На плоскости даны четыре точки А{\; —2),
В B; 1), СC; 2) и D (—2; 3)._О преде лить разложение
векторов AD, BD, CD и_ЛО + BD + CD, принимая в каче-
качестве базиса векторы АВ и АС.
792. Доказать, что если р, q и г — какие угодно
некомпланарные векторы*), то всякий вектор а про-
пространства может быть представлен в виде: а = ар-\-
Ч-fty + V- Доказать, что числа а, Р, у векторами а, р,
q и г определяются однозначно. (Представление век-
вектора а в виде а — ap + $q + yr называется разложе-
разложением его по базису р, q, г. Числа a, ft и y называются
коэффициентами этого разложения.)
793. Даны три вектора р = {3; —2; 1}, <7 = {— 1; 1; —2},
г = {2; I; —3}. Найти разложение вектора с = {11; —6; 5}
по базису р, <7, г.
*) Три вектора называются некомпланарными, если после при-
приведения к общему началу они не лежат в одной плоскости.
123

794. Даны четыре вектора а = {2; 1; 0}, 6 = {1; —1; 2},
с =={2; 2; —1} и d = {3; 7; —7}. Определить разложение
каждого из этих четырех векторов, принимая в качестве
базиса три остальных.
§ 31. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число,
равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между
ними.
Скалярное произведение векторов а, Ь обозначается симво-
символом аЪ (порядок записи сомножителей безразличен, т. е. ab = ba).
Если угол между векторами а, Ь обозначить через <р, то их
скалярное произведение можно выразить формулой
аЬ= \а\ • \Ь | «cosqp. A)
Скалярное произведение векторов а, Ь можно выразить также
формулой
а& = |а| *про&, или a& = |&|
Из формулы A) следует, что а&>0, если ф —острый угол,
аЪ < 0, если угол ф — тупой; аЬ = 0 в том и только в том случае,
когда векторы а и & перпендикулярны (в частности, аЪ = 0, если
а = 0 или Ь = 0).
Скалярное произведение аа называется скалярным квадратом
вектора и обозначается символом а2. Из формулы A) следует, что
скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
а2 = | а |2.
Если векторы а и & заданы своими координатами:
а = {Х1\ Уу, Zj}, b = {X2; Y2', Z2},
то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
аЬ = XiX2 + ^1^2 * Z\Z2-
Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендику»
лярности векторов:
XX\YY
Угол ф между векторами
а = {Х{] У,; Z,} и & = {Л2; Г2; Z2)
дается формулой созф = -т—j—гтгу* или в координатах
cos ф =
Проекция произвольного вектора S = {X; Y; Z) на какую-нибудь
ось и определяется формулой
124

где е — единичный вектор, направленный по оси и. Если даны
углы а, р, у> которые ось и составляет с координатными осями,
то е = {cos a; cos р; cos у} и для вычисления проекции вектора S
может служить формула
при S = X соз а + Y cos р + Z cos у-
2
795. Векторы а и 6 образуют угол ф = ул; зная, что
|а| = 3, |61 = 4, вычислить: 1) аб; 2) а2; 3) б2; 4) (а+6J;
5) (За - 26) (а + 26); 6) (а - бJ; 7) (За + 26J.
796. Векторы а и Ь взаимно перпендикулярны; век-
вектор с образует с ними углы, равные у; зная, что \а\=
= 3, |6| = 5, |с| = 8, -вычислить: 1) (За — 26)F + 3<?);
2) (а + Ь + сJ; 3) (а + 26 - ЗсJ.
797. Доказать справедливость тождества (a -f 6J -\-
-f- (а — бJ = 2 (а2 + Ь*) и выяснить его геометрический
смысл.
798. Доказать, что —ab<^ab<^.ab; в каких случаях
здесь может иметь место знак равенства?
799. Считая, что каждый из векторов а, 6, с отли-
отличен от нуля, установить, при каком их взаимном рас-
расположении справедливо равенство: (аб)с —аF<:).
800. Даны единичные векторы a, b и с, удовлетво-
удовлетворяющие условию а -f- 6 + с = 0. Вычислить ab-\-bc-{-ca.
801. Даны три вектора а, 6 и с, удовлетворяющие
условию а + 6 + с==0. Зная, что |а| = 3, 161 == 1
и | с | = 4, вычислить аб + be -f- ca.
802. Векторы а, 6, с попарно образуют друг с дру-
другом углы, каждый из которых равен 60°. Зная, что
|al = 4, | 6 | = 2 и 1 с 1 = 6, определить модуль вектора
p = a-f b -f-e.
803. Дано, что | а | = 3, | 6 | == 5. Определить, при
каком значении а векторы а + аб, а — аб будут взаимно
перпендикулярны.
804. Какому условию должны удовлетворять век-
векторы а и 6, чтобы вектор а + 6 был перпендикулярен
к вектору а — 6.
805. Доказать, что вектор р = 6 (ас) — с (аб) перпен-
перпендикулярен к вектору а.
806. Доказать, что вектор р = 6 — а£ ' перпенди-
перпендикулярен к вектору а.
807. Даны векторы АВ — b и АС —с, совпадающие
со сторонами треугольника ABC. Найти разложение по
125

базису 6, с вектора, приложенного к вершине В этого
треугольника и совпадающего с его высотой BD.
808. ВекторьГа и Ь образуют угол ф=я-~; зная, что
|а|= l/З, |6|=1, вычислить угол а между векторами
р=-.а -rb и q — a — Ь.
809. Вычислить тупой угол, образованный медиа-
медианами, проведенными из вершин острых углов равно-
равнобедренного прямоугольного треугольника.
810. Определить геометрическое место концов пере-
переменного вектора х, если его начало находится в дан-
данной точке А и вектор х удовлетворяет условию ха=а,
где а — данный вектор и а — данное число.
811. Определить геометрическое место концов пере-
переменного вектора х, если его начало находится в дан-
данной точке А и вектор х удовлетворяет условиям ха—а,
хЬ=$, где а, Ь — данные неколлинеарные векторы и а,
р — данные числа.
812. Даны векторы о_={4; —2; —4}, Ь = {6; —3; 2}.
Вычислить: 1) аЬ\ 2) Va2; 3) УЪ2\ 4) Bа - 2>Ъ) (а + 26);
5) (а + бJ; 6) (а - ЪJ.
813. Вычислить, какую работу производит сила
f = {3; —5; 2}, когда ее точка приложения переме-
перемещается из начала в конец вектора sB; —5; —7)*).
814. Даны точки Л(—1; 3; ^-7), _В_B; _—1; 5)__и
С@, Jj__—5). Вычислить: 1) BАВ — СВ)BВС + В А);
Щ_У_А}Р\_ 3) VАС2; 4) найти координаты векторов
{АВЩВС и АВ{АСВС).
815. Вычислить, какую работу производит сила
f = {3; —2, —5}, когда ее точка приложения, двигаясь
прямолинейно, перемещается из положения АB; —3; 5)
в положение 5C; —2; —1).
816. Даны три силы М = {3; —4; 2}, N = {2; 3; —5}
и Р = {— 3; —2; 4}, приложенные к одной точке. Вы-
Вычислить, какую работу производит равнодействующая
этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямо-
прямолинейно, перемещается из положения Mi E; 3; —7)
в положение М2D; —1; -—4).
*) Если вектор f изображает силу, точка приложения которой
перемещается из начала в конец вектора s, то работа w этой силы
определяется равенством
w — fs.
126

817. Даны вершины четырехугольника ЛA; —2; 2),
ВA; 4; 0), С (—4; 1; 1) и О(—5; —5; 3). Доказать, что
его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны.
818. Определить, при каком значении а векторы
а = ш —3/-f 2ft и 6 —$ + 2/—-aft взаимно перпендику-
перпендикулярны.
819. Вычислить косинус угла, образованного векто-
векторами а = {2; —4; 4} и Ь = (—3; 2; 6}.
820. Даны вершины треугольника А(—1; —2; 4),
В (—4; —2; 0) и СC; —2; 1). Определить его внутренний
угол при вершине В.
821. Даны вершины треугольника ЛC; 2; —3),
ВE; I; —1) и СA; —2; 1). Определить- его внешний
угол при вершине А.
822. Вычислив внутренние углы треугольника
ЛA; 2; 1), ВC; —1; 7), СG; 4; —2), убедиться, что этот
треугольник равнобедренный.
823. Вектор х, коллинеарный вектору а={6; —8; —7,5},
образует острый угол с осью Oz. Зная, что |jc| = 50,
найти его координаты.
824. Найти вектор х, коллинеарный вектору а =
= {2; 1; —1} и удовлетворяющий условию *а = 3.
82Г. Вектор дг, перпендикулярный к векторам а ~
— 3* + 2/ + 2ft и Ь — Ш — 22/ — 5ft, образует с осью Оу
тупой угол. Найти его координаты, зная, что |дс|=14.
826. Найти вектор дг, зная, что он перпендикулярен
к векторам а =={2; 3; — 1} и Ь = {\; —2; 3} и удовле-
удовлетворяет условию x{2i — / + k) = — 6.
827. Даны два вектора: fl = {3; —1;5} и Ь = {1; 2; —3}.
Найти вектор х три условии, что он перпендикулярен
к оси Oz и удовлетворяет условиям: ха = 9, хЬ = — 4,
828. Даны три вектора: а = 21 — / + 3&, 6 = г —
— 3/ + 2ft и с = Si -f 2/ — 4ft. Найти вектор л:, удовле-
удовлетворяющий условиям: ха— — 5, дсб ===== — 11, #с —20.
829. Найти проекцию вектора S = {4; —3; 2} на ось,
составляющую с координатными осями равные острые
углы. _
830. Найти проекцию вектора S=(]/2; —3; —о) на
ось, составляющую с координатными осями Ox, Oz
углы a = 45°, у — 60°, а с осью Оу — острый угол р.
831. Даны две точки Л^З; —4; —2), В B; 5; —2).
Найти проекцию вектора АВ на ось, составляющую
с координатными осями Ох, Оу углы a = 60°, $=120°,
а с осью Oz — тупой угол у,
127

832. Вычислить проекцию вектора а = {5; 2; 5} на
ось вектора Ь = {2; —1; 2}.
833. Даны три вектора: a = 3i — 6/ — k, b = i +
4- 4/ — 5k и с = 3* — 4/ + 12£. Вычислить прс (а + Ь).
834. Даны три вектора: а = {1; —3; 4), 6 = {3; —4; 2}
и с = {— 1; 1; 4}. Вычислить пр&+са.
835. Даны три вектора: а = — 2« + /-г-£, 6 = £ -f- 5/
и c = 4i + 4/ — 2fe. Вычислить прсCа —26).
836. Сила, определяемая вектором # = {1; —8; —7},
разложена по трем направлениям, одно из которых
задано вектором а = 2*+ 2/ +Л. Найти составляющую
силы R в направлении вектора а.
837. Даны две точки М{—5; 7; —6) и WG; —9; 9).
Вычислить проекцию вектора а = {1; —3; 1} на ось век-
вектора ММ.
838. Даны точки Л(-2; 3; —4), 5C; 2; 5), СA; -1; 2),
£> C; 2; —4), Вычислить
§ 32. Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора а на вектор Ъ называется
вектор, обозначаемый символом \ab] и определяемый следующими
тремя условиями:
1) модуль вектора [аЬ\ равен |a|»|6|sinq), где ф ~ угол
между векторами а и Ь;
2) вектор [ab\ перпендикулярен к каждому из векторов а и 6;
3) направление вектора [ab] соответствует «правилу правой
руки». Это означает, что если векторы а, & и [ab] приведены
к общему началу, то вектор [ab] должен быть направлен так, как
направлен средний палец правой руки, большой палец которой на-
направлен по первому сомножителю (т, е. по вектору а), а указатель-
указательный — по второму (т. е. по вектору &).
Векторное произведение зависит от порядка сомножителей,
именно:
Модуль векторного произведения [ab\ равен площади S парал-
параллелограмма, построенного на векторах а и &:
Само векторное произведение может быть выражено формулой
[ab] = Se,
где е — орт векторного произведения,
Векторное произведение [ab] обращается в нуль тогда и только
тогда, когда векторы а и Ь коллинеарны. В частности [аа]«0.
128

. ". Если система координатных осей правая и векторы а и Ь за-
заданы в этой системе своими координатами:
7 \ ft — i Y • V • 7 \
то векторное произведение вектора а на вектор 6 определяется
формулой
или
[аЬ]
I I к
Л2 Y 2 £>2
839. Векторы а и Ь образуют угол <p = -^-. Зная,
что |а| = 6, | Ь |^=5, вычислить \[ab]\.
840. Даны: |а|—10, I 61 == 2 и аб == 12. Вычислить
] |
841. Даны: |а|==3, |6| = 26 и |[а6]| = 72. Вычи-
Вычислить аЬ.
842. Векторы а и Ь взаимно перпендикулярны. Зная,
что | а 1 = 3, | Ь 1 = 4, вычислить:
1) 1 [(а + Ь)(а - Ь)] |; 2) | [(За - Ь){а - 26)] |.
2
843. Векторы а и 6 образуют угол ф = -д-л;. Зная,
что |я|=1, |б| = 2, вычислить:
1) \аЬЬ 2) [Bа + Ь)(а + 26)]2; 3) [(а + 36) (За - б)]2.
844. Какому условию должны удовлетворять век-
векторы а, Ь, чтобы векторы а + Ь и а — Ь были колли-
неарны?
845. Доказать тождество [ab]2-\-(abJ = a2b2.
846. Доказать, что [а6]2<а262; в каком случае
здесь будет знак равенства?
847. Даны произвольные векторы: р, q, r, п. Дока-
Доказать, что векторы а = [р«], b = [qn], c — [rn] компла-
компланарны (т. е., будучи приведены к общему началу, рас-
располагаются в одной плоскости).
848. Векторы а, Ь и с удовлетворяют условию
а + 6 + <; = 0. Доказать, что [ab] — [be] = [са].
849. Векторы а, 6, с и d связаны соотношениями
[а6] = [с^], [ac] — [bd]. Доказать коллинеарность векто-
векторов а — d и Ь — р.
850. Даны векторы а = {3; —1; —2} и 6 = {1; 2; — 1}.
Найти координаты векторных произведений: 1) [ab];
2) [Bа+ 6) 6]; 3) [Bа - Ь) Bа + 6I.
5 Д. В. Клетеник
129

851. Даны точки Л B; — 1; 2), ВA; 2; —1) и СC; 2; 1).
Найти координаты векторных произведений 1) [АВВС\\
2) [{ВС — 2СА)СВ].
852. Сила / = {3; 2; —4} приложена к точке А B; — 1; 1).
Определить момент этой силы относительно начала
координат *).
853. Сила Р = {2; —4; 5} приложена к точке
Л10 D; —2; 3). Определить момент этой силы относи-
относительно точки ЛC; 2; —1).
854. Сила Q = {3; 4; —2} приложена к точке
С B; —1; —2). Определить величину и направляющие
косинусы момента этой силы относительно начала коор-
координат.
855. Сила Р= {2; 2; 9} приложена к точке ЛD; 2; —3).
Определить величину и направляющие косинусы мо-
момента этой силы относительно точки С B; 4; 0).
856. Даны три силы М = {2; — 1; —3}, Л/ = {3; 2; — 1}
и Р = {—4; 1; 3}, приложенные к точке С(— 1; 4; —2).
Определить величину и направляющие косинусы мо-
момента равнодействующей этих сил относительно точки
857. Даны точки А A; 2; 0), 5C; 0; —3) и С E; 2; 6).
Вычислить площадь треугольника ABC.
858. Даны вершины треугольника ЛA; —1; 2),
В (б; ~6; 2) и СA; 3; —1). Вычислить длину его вы-
высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
859. Вычислить синус угла, образованного векторами
а = {2; -2; 1} и Ь = {2; 3; 6}.
860. Вектор дс, перпендикулярный к векторам а —
= {4; —2; —3} и 6 = {0; 1; 3}, образует с осью Оу
тупой угол. Зная, что |#| = 26, найти его коорди-
координаты.
861. Вектор т, перпендикулярный к оси Oz и к век-
вектору а = {8; —15; 3}, образует острый угол с осью Ох.
Зная, что | яг | = 51, найти его координаты.
862. Найти вектор х, зная, что он перпендикулярен
к векторам а = {2; —3; 1} и Ь = {\; —2; 3} и удовле-
удовлетворяет условию: х {i + 2/ — 7k) = 10.
*) Если вектор f изображает силу, приложенную к какой-нибудь
точке М, а вектор а идет из некоторой точки О в точку М, то
вектор [af] представляет собой момент силы f относительно
точки О,
130

863. Доказать тождество
(Ц + т\ + п\) (Щ + mf + nl) - (Ц2 + m1m2
Указание. Воспользоваться тождеством задачи 845.
864. Даны векторы а = {2; —3; 1), & = {— 3; 1; 2} и
с*={\; 2; 3}. Вычислить [[ab]c] и [а[6с]].
§ 33. Смешанное произведение трех векторов
Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой
из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку
векторов записывают в порядке нумерации; например, запись а, Ь, с
означает, что вектор а считается первым, Ь — вторым, с — третьим.
Тройка некомпланарных векторов а, 6, с называется правой,
если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу,
располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как располо-
расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если
векторы а, &, с расположены аналогично тому, как расположены
большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка
этих векторов называется левой.
Смешанным произведением трех векторов а, Ь, о называется
число, равное векторному произведению [ab], умноженному ска-
лярно на вектор с, т. е. [аЬ] с.
Имеет место тождество: [ab] c = a [be], ввиду чего для обо-
обозначения смешанного произведения [ab] с употребляется более про-
простой символ: abc. Таким образом,
abc=[ab]c, abc =■ a [be].
Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда,
построенного на векторах а, Ь, с, взятому со знаком плюс, если
тройка abc правая, со знаком минус, если эта тройка левая. Если
векторы а, Ь, с компланарны (и только в этом случае), смешанное
произведение abc равно нулю; иначе говоря, равенство
есть необходимое и достаточное условие компланарности векто-
векторов а, &, <?.
Если векторы а, Ь, с заданы своими координатами:
а-{*,; К,; Zj), Ь = {Х2; К2; Z2}, c-{*3; У3; Z3>,
то смешанное произведение abc определяется формулой
i Yi Z,
abc
У %
Напомним, что система координатных осей предполагается пра-
правой (вместе с тем является правой и тройка векторов i, /, ft).
5* 131

865. Определить, какой является тройка я, Ь, с
(правой или левой), если
1) a = k, 6 = i, c = j\ 2) a — iy b = k, c = /;
866. Векторы а, 6, с, образующие правую тройку,
взаимно перпендикулярны. Зная, что | а | = 4, |6| = 2,
|с| = 3, вычислить abc.
867. Вектор с перпендикулярен к векторам а и Ь,
угол между а и & равен 30°. Зная, что |a-| = 6, | &| = 3,
| с | = 3, вычислить abc.
868. Доказать, что | abc |<| д || b \\ с |; в каком случае
здесь может иметь место знак равенства?
869. Доказать тождество {a-\-b){b-\-c){c-\-a) — 2abc.
870. Доказать тождество аб {с + ^« + М^б) = а&с, где
Я и |х — какие угодно числа.
871. Доказать, что векторы a, b, с, удовлетворяющие
условию [ab] + [be] + [са] = 0, компланарны.
872. Доказать, что необходимым и достаточным
условием компланарности векторов а, Ь, с является
зависимость аа + рб + ус = 0, где по крайней мере одно
из чисел a, fJ, у не равно нулю.
873. Даны три вектора: а — {\\ — 1; 3}, & = {— 2; 2; 1},
с = {3; —2; 5}. Вычислить а&с.
874. Установить, компланарны ли векторы а, &, с,
если:
1) а = {2;3; -1}, 6 = {1; -1; 3}, с-{1; 9; -11};
2) а = {3; -2; 1}, b = {2; 1; 2}, с = {3; -1; -2};
3) а = {2; -1; 2}, 6 = {1; 2; -3}, с = {3; -4; 7}.
875. Доказать, что четыре точки ЛA; 2; —1),
5@; 1; 5), С(—1; 2; 1), £>B; 1; 3) лежат в одной пло-
плоскости.
876. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого
находятся в точках А B; —1; 1), 5E; 5; 4), СC; 2; — 1)
и DD; 1; 3).
877. Даны вершины тетраэдра: АB; 3; 1), ВD; 1; —2),
С F; 3; 7), D (—5; —4; 8). Найти длину его высоты,
опущенной из вершины D.
132

878. Объем тетраэдра v — Ъ, три его вершины на-
находятся в точках А B; 1; —1), 5C; 0; 1), С B; —1; 3).
Найти координаты четвертой вершины D, если известно,
что она лежит на оси Оу.
§ 34. Двойное векторное произведение
Пусть вектор а умножается векторно и а вектор Ь, после чего
полученный вектор [ab] умножается снова векторно на вектор с.
В результате получается так называемое двойное векторное цроиз-
ведение [[аЬ] с] (ясно, что ЦаЬ] с] — вектор). Умножая вектор а
векторно на [6с], получим двойное векторное произведенне [а [Ьс]\.
Вообще говоря,
Докажем, что имеет место тождество
[[аЬ] с]=*Ь (ас) - а (Ьс).
Доказательство. Введем (декартову прямоугольную) си-
систему координат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси ко-
координат специальным образом, а именно: ось Ох направим по век-
вектору а, ось Оу поместим в плоскости векторов а и Ь (считая, что
векторы а, Ь приведены к общему началу). В таком случае будем
иметь:
0;0}, 6 = {Х2; К2; 0}, с
Теперь находим:
С другой стороны,
ас = Х\Х5\ Ь (ас) — {Х^Х^Х^, Х)У2Х$', 0},
Ьс = ВД + №, а (Ьс) = {Х,Х2ХЬ + Х,Г2К3; 0; 0},
Следовательно,
Ь (ас) - а (Ьс) = {- *,Г2Г3; X,Y2X3-, 0}. B)
Сравнивая правые части формул A) и B), получаем:
[[аЬ] с] = Ь (ас) - а (Ьс),
что и требовалось.
879. Доказать тождество [a[bc]] = b(ac) — c(ab).
880. Решить задачу 864, используя тождества, дан-
данные в начале этого параграфа, и тождество задачи 879.
881. Даны вершины треугольника А B; —1; —3),
5A; 2; —4) и СC; —1; —2). Вычислить координаты
вектора h, коллинеарного с его высотой, опущенной
из вершины А на противоположную сторону, при
133

условии, что вёТтбр* h образует с осью Оу fyff&ft угол ft
что его модуль равен 21/34".
882. Считая, Что каждый из векторов а, 6, с отличен
от нуля, установить, при каком их взаимном располо*
жении справедливо равенство [a [be]] = [[ab] с],
883. Доказать тождества:
2) [ab] [cd] = (ас) {bd) - (ad) (be);
3) [ab] [cd] + [ас] [db] + [ad] [be] = 0;
4) [[ab] [cd]] = с (abd) - d {abc)\
5) [ab] [be] [ca] = (abcf\
6) [a [a [a [ab]]]] = a4b при условии, что векторы а
и b взаимно перпендикулярны;
7) [a [b [cd]]] = [ас] (bd) - [ad] (be)]
8) [а [Ь [cd]]] = (acd) b - (ab) [cd];
9) [abf [acf - ([ab] [ac] f = a2 (abef;
10) [[ab] [be]] [[be] [ca]] [[ca] [ab]] = (abcf\
11) (ab) [cd] + (ac) [db] + (arf) [6c] = a (&cd);
12) (abc) (ade) =
ace
884. Три некомпланарных вектора a, 6 и с приве-
приведены к общему началу. Доказать, что плоскость, про-
проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна
к вектору [ab] + [6с] + [ca].

ГЛАВА 8
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЯ
ЛИНИИ
§ 35. Уравнение поверхности
Уравнением данной поверхности (в выбранной системе коорди-
координат) называется такое уравнение с тремя переменными
которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на
этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки
не лежащей на ней.
885._Даны точки Мх B; —3; 6), М2@; 7; 0), М3C; 2; —4),
М4B ]/2 ; 4; -5), М5A; -4; -5), МбB; 6; - ]/5 ). Уста-
Установить, какие из них лежат на поверхности, определен-
определенной уравнением х2 + у2 + & = 49, и какие не лежат на
ней? Какая поверхность определена данным уравнением?
886. На поверхности *2 + 02 + 22 = 9 найти точку,
для которой: 1) абсцисса равна 1, ордината равна 2;
2) абсцисса равна 2, ордината равна 5; 3) абсцисса
равна 2, апликата равна 2; 4) ордината равна 2, апли-
ката равна 4.
887. Установить, какие геометрические образы опре-
определяются следующими уравнениями в декартовых прямо-
прямоугольных координатах пространства:
1) лг = 0; 2H = 0; 3) z=«0; 4)* —2 = 0;
5) # + 2 = 0; 6J + 5 = 0; 7) *2 + #2 + г2 = 25;
8) (* - 2J + (у + ЗJ + (г - 5J х» 49;
9) х2 + 2у2 + Зг2 = 0; 10) *2 + 2г/2 + Зг2 + 5 = 0;
11)* —0 = 0; 12)x + z = 0; 13) 0-2=0; 14) ЛГ0=О;
15) *2 = 0; 16) 02 = 0; 17) л:02 = О; 18) Jt2-4x = 0;
19) ху-у2 = 0; 20) 02 + z2 = 0.
135

888. Даны две точки Pi(—c) 0; 0) и Р2(с\ 0; 0).
Вывести уравнение геометрического места точек, сумма
расстояний которых до двух данных точек есть вели-
величина постоянная, равная 2а при условии а > 0, с > 0;
а > с.
Решение. Обозначим буквой М произвольную точку про-
пространства, буквами х, у, z — ее координаты. Так как точка М может
занимать любое положение, то х, у и z являются переменными
величинами; их называют текущими координатами.
Точка М лежит на данной поверхности в том и только в том
случае, когда
i + MF2 = 2а. A)
Это есть определение поверхности, выраженное символически.
Выразим MF\ и MF2 через текущие координаты точки М:
X = Y(x + сJ + У2 + г2 , MF2 = Y{x~cV + t/ + z2.
Подставим полученные выражения в равенство A). Тем самым
мы найдем уравнение
У(х + сJ + У2 + г2 + V(x - сJ + У2 + z2 — 2а, B)
которое связывает текущие координаты х, у, z. Это и есть уравне-
уравнение данной поверхности.
Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной по-
поверхности, выполняется условие A) и, следовательно, координаты
такой точки будут удовлетворять уравнению B); для каждой точки,
не лежащей на поверхности, условие A) не будет выполняться
и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравне-
уравнению B). Таким образом, задача решена; дальнейшие выкладки имеют
целью представить уравнение поверхности в более простом виде
Уединим в уравнении B) первый радикал:
V (х + сJ + У2 + z2 = 2а — У(*-сJ + у2Ч-22,
возведем обе части этого равенства в квадрат и раскроем скобки
мы получим:
х2 4- 2сх + с2 + у2 4- г2 =
= 4а2 - 4aV(x-c)z + y2 + z2 + х2 - Чех + с2 + у2 + z\
или
аУ(х — сJ + y2 + z2 = а2 — сх.
Снова, освобождаясь от радикала, найдем:
а2*2 — 2а?сх 4- а?с2 4- а*у2 4- а*2* = а4 — 2а2сх +
или
(а2 - с2) х2 + а?у2 + а2г> = а2 (а2 - с2). C)
136

Так как а > с, то а2—с2 > 0; положительное ЧЯёло а5-*-
обозначим через б2. Тогда уравнение C) примет вид
или
Рассматриваемая поверхность называется эллипсоидом враще-
вращения. Уравнение D) называется каноническим уравнением этого
эллипсоида.
889. Вывести уравнение сферы, центр которой на-
находится в начале координат и радиус которой равен г.
890. Вывести уравнение сферы, центр которой
С (а; [3; у) и радиус которой равен г.
891. Из точки РB; 6; —5) проведены всевозможные
лучи до пересечения с плоскостью Oxz. Составить урав-
уравнение геометрического места их середин.
892. Из точки А C; —5; 7) проведены всевозможные
лучи до пересечения с плоскостью Оху. Составить урав-
уравнение геометрического места их середин.
893. Из точки С(—3; —5; 9) проведены всевозмож-
всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Оуг. Составить
уравнение геометрического места их середин.
894. Вывести уравнение геометрического места точек,
разность квадратов расстояний которых до точек
Fг B; 3; —5) и F2B; —7; —5) есть величина постоянная,
равная 13.
895. Вывести уравнение геометрического места точек,
сумма квадратов расстояний которых до двух точек
Fx (— а; 0; 0) и F2 (а; 0; 0) равна постоянной величине 4а2.
896. Вершины куба суть точки А(—а; —а; —а),
В (а; —а; —а), С(—а; а; —а) и D{a\ a\ а). Составить
уравнение геометрического места точек, сумма квадра-
квадратов расстояний которых до граней этого куба есть
величина постоянная, равная 8аг.
897. Вывести уравнение геометрического места точек,
равноудаленных от двух точек Mv A; 2; —3) и М2 C; 2; 1).
898. Вывести уравнение геометрического места точек,
сумма расстояний которых до двух данных точек
Fx @; 0; —4) и /^(О; 0; 4) есть величина постоянная,
равная 10.
899. Вывести уравнение геометрического места точек,
разность расстояний которых до двух данных точек
/^@; —5; 0) и /v@; 5; 0) есть величина постоянная,
равная 6.
137

§ 36. Уравнения линии. Задача о пересечении
трех поверхностей
Линия в пространстве определяется совместным заданием двух
уравнений
F (*, у, г) = О, Ф (х, у, г) = О
как пересечение двух поверхностей F(x, y,z) — 0 и Ф(х, у, г) = 0.
Если F (х, у, г) = О, Ф (х, у, z) = О, Ч (х, у, г) = 0 суть уравнения
трек поверхностей, то для разыскания точек их пересечения нужно
совместно решить систему:
F {x,y,z) = 0,
Ф (х, у, г) = О,
4>(x,y,z)=0.
Каждое решение х, у, z этой системы представляет собой коор-
координаты одной из точек пересечения данных поверхностей.
900. Даны точки Af, C; 4; —4), М2 (—3; 2; 4),
М3(—1; —4; 4) и М4B; 3; —3). Определить, какие
из них лежат на линии
и какие не лежат на ней.
901. Определить, какие из следующих линий проходят
через начало координат: ■
} Ь = 0;
(*_ 1J +(г,+ 2J+ (z+ 2J ==9,
f * + # + z 49,
902. На линии s 2 . . . 2 . ne n найти
I х2 + г/2 + г2 — 42 — 25 = 0
точку:
1) абсцисса которой равна 3;
2) ордината которой равна 2;
3) апликата которой равна 8.
138

903. Установить, какие линии определяются сле-
следующими уравнениями:
= 0, ( х = 0, Г у = 0, f л: — 2 = О,
= 20,
904. Составить уравнения линии пересечения пло-
плоскости Oxz и сферы с центром в начале координат
и радиусом, равным 3.
905. Составить уравнения линии пересечения сферы,
центр которой находится в начале координат и радиус
равен 5, с плоскостью, параллельной плоскости Oxz
и лежащей в левом полупространстве на расстоянии
двух единиц от нее.
906. Составить уравнения линии пересечения пло-
плоскости Oyz и сферы, центр которой находится в точке
С E; —2; 1) и радиус равен 13.
907. Составить уравнения линии пересечения двух
сфер, одна из которых имеет радиус, равный 6, и центр
в начале координат, другая имеет радиус, равный 5,
и центр СA; —2; 2).
908. Найти точки пересечения трех поверхностей:
д;2 + ^2 + 22 = 49, у- 3 = 0, z + 6 = 0.
909. Найти точки пересечения трех поверхностей:
х2 + г/2 + 22 = 9, x2 + #2 + (z-2J = 5, г/ — 2 = 0.
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности
с образующими, параллельными
одной из координатных осей
Уравнение с двумя переменными вида
F (х, у) = 0
в пространственной системе координат определяет цилиндрическую
поверхность с образующими, параллельными оси Oz. На плоскости
в системе координат с осями Ох и Оу уравнение F (х, у) = 0
139

определяет линию, именно, направляющую линию рассматривав*
мого цилиндра. Но эта же линия в пространственной системе коор-
координат должна быть задана двумя уравнениями;
Аналогично: уравнение F (ж, г) «= 0 (в пространстве) определяет
цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Оу;
уравнение F{y, г)«»0 определяет цилиндрическую поверхность
с образующими, параллельными оси Ох.
910. Установить, какие геометрические образы опре->
деляются в пространственной системе координат сле-
следующими уравнениями:
А \ *У £* VT \ 9 /\ /"* 4 9 9 f\
7) y2 + z2 =s 0; 8) л:2 + 4«/2 + 4 = 0; 9) x2 + z2 ~ 2z;
10) #2 + 22« — z.
911. Найти уравнение цилиндра, проектирующего
окружность
i
на плоскость: 1) Оху; 2) Oxz\ 3) Oyz.
912. Найти уравнение проекции окружности
на плоскости 1) Оху; 2) Oxz\ 3) Oyz.

ГЛАВА 9
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.
УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку и имеющей данный
нормальный вектор
В декартовых координатах каждая плоскость определяется
уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени
определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной
плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение
А (х - х0) + В (у - г/о) + С (ж - 20) = 0 A)
определяет плоскость, проходящую через точку Mq (xq\ Уо', г0)
и имеющую нормальный вектор п=*{А;В; С).
Раскрывая в уравнении A) скобки и обозначая число — Ахо —
— Ву0 — Сг0 буквой D, представим его в виде:
Ах + By + Cz + D = 0.
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
913. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит через точку MtB; 1; —1) и имеет нормальный
вектор п = {1; —2; 3}.
914. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит через начало координат и имеет нормальный век-
вектор п = {5; 0; —3}.
915. Точка РB; —1; — 1) служит основанием пер-
перпендикуляра, опущенного из начала координат на пло-
плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
916. Даны две точки уИ^З; — 1; 2) и М2D; —2; — 1).
Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Mi перпендикулярно вектору M,Af2.
141

917. Составить уравнение плоскости, проходящей че^
рез точку М{ C; 4; —5) параллельно двум векторам
а,=»{3; 1; -1} и а2 = {1; -2; 1}.
918. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через точку Afo(*o; yQ; zQ) параллельно двум векторам
<*]={/(; Щ\ щ) и а2 = #2; Щ\ Щ}* может быть предста-
представлено в следующем виде:
X — Xq у — Г/о 2 — Zq
1% 1712 f1>2,
= 0.
919. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки М1B; —1; 3) и М2C; 1; 2) параллельно век-
вектору а = {3; — 1; 4}.
920. Доказать, что уравнение плоскости, проходя-
проходящей через точки М, (*,; ух\ гх) и М2{х2\ у2! z^ парал-
параллельно вектору а = {/; т\ «}, может быть представлено
в следующем виде:
-У\ 2 —
I
т
п
= 0.
921. Составить уравнение плоскости, проходящей
через три точки: М, C; — 1; 2), М2D; — 1; — 1) и
МзB; 0; 2).
922. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через три точки: М1 [хх\ уг; гО, М2(х2; у2\ г2) и М3(д;з» Уз> )
может быть представлено в следующем виде:
x — x\ У У\ z —
Л*2 — X\ у 2 — У\ %2 —
*^3 "~* Х\ //з ~~ У\ %Ъ ~~"
0.
923. Определить координаты какого-нибудь нормаль-
нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каж-
каждом случае написать общее выражение координат произ-
произвольного нормального вектора:
1) 2х-
3) Злг —
6) у-
.142
у — 2z ■+• 5 = 0; 2) х -\
2у — 7 «а 0; 4) Ъу — 32 = 0; 5) х + 2 = 0;

924. Установить, какие из следующих пар уравне-
уравнений определяют параллельные плоскости;
2) 4х + 2*/-42 + 5 = 0, 2x + y + 2z — 1=0;
3) я — 32 + 2 = 0, 2#--б2-7 = 0.
925. Установить, какие из следующих пар уравне-
уравнений определяют перпендикулярные плоскости:
1) Здс — ^ — 22-5 = 0, * + 9# — 32 + 2 = 0;
2) 2* + 3// — 2 - 3 = 0, х — г/ — z + 5 = 0;
3) 2х
926. Определить, при каких значениях I и т сле-
следующие пары уравнений будут определять параллель-
параллельные плоскости:
1) 2х + 1у + 32 — 5 = 0, тх — Qy — 62 + 2 = 0;
2) 3* — у + /2 — 9 = 0, 2х + /ш/ + 22 — 3 = 0;
3) тх + Зг/ — 22 — 1 = 0, 2х — 5г/ — lz = 0.
927. Определить, при каком значении / следующие
пары уравнений будут определять перпендикулярные
плоскости:
1) Зл: —
2) 5л: + г/ — 32 — 3 = 0, 2х + /г/ — Зг + 1 = 0;
3) 7х — 2# — 2 = 0, ** + г/ — 32 — 1 = 0.
928. Определить двугранные углы, образованные
пересечением следующих пар плоскостей:
2)
3) 6д; + 3г/ —22 = 0, д; +2^ +62 — 12 = 0;
4) *+2# + 2z-3 = 0, 16л:+12^—152—1=0.
929. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит через начало координат параллельно плоскости
Ьх — Ъу + 22 — 3 = 0.
143

- 930. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит через точку М, C; —2; —7) параллельно плоско-
плоскости 2х — 32 + 5 = 0.
931. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит через начало координат перпендикулярно к двум
плоскостям! 2х — у + Зг — 1 = 0, х + 2у + z — 0.
932. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит через точку М{{2', — 1; 1) перпендикулярно к двум
плоскоотрмг 2х — z + 1 — 0, у = 0.
933. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через точку M0(xQ\ yo\ z0) перпендикулярно к плоскостям
А\Х + В{у + Cxz + £>! = 0, А2х + В2у + С2х + D2 = 0, мо-
может быть представлено в следующем виде:
X —
У —У о
В2
с2
= 0.
934. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит через две точки Mi(l; —1; —2) и А12C; 1; 1)
перпендикулярно к плоскости х — 2у + Зг — 5 «О.
935. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через две точки М{{хх\ ух\ z{) и М2(х2; у^ z2) перпенди-
перпендикулярно к плоскости Ах + By + Cz -\- D = 0, может быть
представлено в следующем виде:
— х\ Уч — У\ гч — z\
ABC
= 0.
936. Установить, что три плоскости х — 2y-\-z — 7=0,
2х-\-у — z + 2 = 0, x — 3y-\-2z— 11=0 имеют одну
общую точку, и вычислить ее координаты.
937. Доказать, что три плоскости + #
2х — у — 2 + 2 = 0, л: + 2г/ + 3z — 1=0 проходят через
одну прямую.
938. Доказать, что три плоскости 2х — у + 32 — 5=0,
Зх -\- у-\- 2z— 1=0, 4л:+ 3i/+ г + 2 = 0 пересекаются
по трем различным параллельным прямым.
939. Определить, при каких значениях а и Ь пло-
плоскости 2л:—-# + 32— 1=0, х + 2у — 2 + 6 = 0, х-\-ау —
— 62+ 10 = 0: 1) имеют одну общую точку; 2) прохо-
проходят через одну прямую; 3) пересекаются по трем раз-
различным параллельным прямым.
144

§ 39. Неполные уравнения плоскостей* Уравнение
плоскости «в отрезках»
Каждое уравнение первой степени
Ах + By + Сг + D = О
(в декартовых координатах) • определяет плоскость. Если в этом
уравнении отсутствует свободный член (D = 0), то плоскость про-
проходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из
текущих координат (т. е. какой-либо из коэффициентов А, В, С ра-
равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей,
именно той, которая одноименна с отсутствующей координатой;
если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость прохо-
проходит через эту ось. Если в уравнении отсутствуют два члена с те-
текущими координатами (какие-либо два из коэффициентов А, В, С
равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных
плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноименные
с отсутствующими координатами; если, кроме того, отсутствует сво-
свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной пло-
плоскостью.
Если в уравнении плоскости
Ах + By ■+■ Сг + D = 0
ни один из коэффициентов А, В, С, D не равен нулю, то это урав-
уравнение может быть преобразовано к виду
7 + Т + 7-1' <"
где
D D D
суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координат-
координатных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение A) на-
называется уравнением плоскости «в отрезках».
940. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит:
1) через точку Mt B; — 3; 3) параллельно плоско-
плоскости Оху;
2) через точку М2A; —2; 4) параллельно плоско-
плоскости Охг;
3) через точку М3(~5; 2; —1) параллельно плоско-
плоскости Oyz.
941. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит:
1) через ось Ох и точку М,D; —1; 2);
2) через ось Оу и точку М2A; 4; —3);
3) через ось Oz и точку М3C; —4; 7).
145

942. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит:
1) через точки MtG; 2; —3) и М2E; 6; —4) парал-
параллельно оси Ох\
2) через точки Р,B; —1; 1) и Р2C; 1; 2) параллельно
оси Оу\
3) через точки QjC; —2; 5) и Q2B; 3; 1) параллельно
оси Oz.
943. Найти точки пересечения плоскости 2х — Zy —
— 4z —24 = 0 с осями координат.
944. Дано уравнение плоскости х-\- 2у — Zz — 6 = 0.
Написать для нее уравнение «в отрезках».
945. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3jc —
— 4у — 24г + 12 = 0 на координатных осях.
946. Вычислить площадь треугольника, который от-
отсекает плоскость 5,¥ — 6г/ + Зг + 120 = 0 от координат-
координатного угла Оху.
947. Вычислить объем пирамиды, ограниченной пло-
плоскостью 2х — 3// + 6^ — 12 = 0 и координатными плоско-
плоскостями.
948. Плоскость проходит через точку Л], F; —10; 1)
и отсекает на оси абсцисс отрезок а = —3 и на оси
апликат отрезок с = 2. Составить для этой плоскости
уравнение «в отрезках».
949. Плоскость проходит через точки Afi(l; 2; —1) и
М2(—3; 2; 1) и отсекает на оси ординат отрезок Ь = 3.
Составить для этой плоскости уравнение «в отрез-
отрезках».
950. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит через точку Mt B; —3; —4) и отсекает на коор-
координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой
величины (считая каждый отрезок направленным из на-
начала координат).
951. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит через точки Mi(—\\ 4; —1), М2{—13; 2; —10) и
отсекает на осях абсцисс и апликат отличные от нуля
отрезки одинаковой длины.
952. Составить уравнения плоскостей, которые про-
проходят через точку Mj D; 3; 2) и отсекают на коор-
координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой
длины.
953. Составить уравнение плоскости, отсекающей
на оси Oz отрезок с = —5 и перпендикулярной к век-
вектору « = {—2; 1; 3}.
146

954. Составить уравнение плоскости, параллельной
вектору /=={2; 1; —1} и отсекающей на координатных
осях Ох и Оу отрезки а = 3, Ъ = —2.
955. Составить уравнение плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной к плоскости 2х — 2у + 4г — 5 = 0 и отсекающей
на координатных осях Ох и Оу отрезки а = —2, b=-j.
§ 40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние
от точки до плоскости
Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение,
написанное в виде
xcosa-\-ycos$-\-zcosy — р = 0, A)
где cos a, cos C, cosy суть направляющие косинусы нормали пло-
плоскости, р — расстояние до плоскости от начала координат. При
вычислении направляющих косинусов нормали следует считать,
что она направлена от начала координат к плоскости (если же
плоскость проходит через начало координат, то выбор положи-
положительного направления нормали безразличен).
Пусть М* — какая угодно точка пространства, d — расстояние
от нее до данной плоскости. Отклонением б точки М* от данной
плоскости называется число + d, если точка М* и начало коор-
координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и число — d,
если они лежат по одну сторону от данной плоскости (если М*
лежит на самой плоскости, то отклонение равно нулю).
Если точка М* имеет координаты х*, г/*, г*, а плоскость задана
нормальным уравнением
х cos a + У cos p + z cos \ — р = 0,
то отклонение точки М* от этой плоскости дается формулой
б = х* cos a + у* cos p + г* cos v — Р-
Очевидно, d = | б |.
Общее уравнение плоскости
Ах + By + Cz + D = 0
приводится к нормальному виду A) умножением на нормирующий
множитель, определяемый формулой
±
знак нормирующего множителя берется противоположным знаку
свободного члена нормируемого уравнения.
147

9?6. Определить, какие из следующих уравнений
плоскостей являются нормальными:
1) jx—jy—j z—5=0; 2) -|л:+-^~2 —3 = 0;
|*—|н42+5=0; 4) — -fx+|-r/—4г — 5 = 0;
4,-4,-3 = 0; 6)-JL,+i§z+l-0;
9) х- 1=0; 10) £/ + 2 = 0;
11) — г/ — 2 = 0; 12) 2-5 = 0.
■i
957. Привести каждое из следующих уравнений пло-
плоскостей к нормальному виду:
1) 2х-2г/ + 2-18 = 0; 2) ■£* -^-у + \г + 3 = 0;
3) 4х-6у-122- 11=0; 4) -4х — 4у + 22 + 1 =0;
5) 5г/- 122 + 26 = 0; 6) 3* - 4#- 1 =0;
7) // + 2 = 0; 8) -* + 5 = 0;
9) -2 + 3 = 0; 10) 22-1=0.
958. Для каждой из следующих плоскостей вычис-
вычислить углы а, р и y» образуемые нормалью с осями
координат, и расстояние р от начала координат:
1) х + у 1/2 + 2-10 = 0; 2) х — у — 2 "|/2 + 16 = 0;
3) * + z-6 = 0; 4) у — 2 + 2 = 0;
5) х 1/3~+*/+ 10 = 0; 6J-2 = 0; 7Jд;+1=0;
8) 2// +1=0; 9) х — 2г/ + 22 — 6 «= 0;
10) 2^ + 3//-б2 + 4 = 0.
959. Вычислить величину отклонения б и расстояние
d точки от плоскости в каждом из следующих случаев;
1) Af,(—2; -4; 3), 2* - у + 2г + 3 = 0;
2) М2B; -1; -1), 16*— 12*/+ 152-4 = 0;
3) М3A; 2; -3), 5.v- 3z/ + z + 4 = 0;
4) М4 C; -6; 7), 4х - 3z - 1 = 0;
5) М3 (9; 2; —2), 12г/ - 5аг + 5 « 0.
148

960. Вычислить расстояние d от точки Р(—1; 1; —2)
до плоскости, проходящей через три точки Mj(l; —1; 1),
М2(-2; 1; 3) и М3D; -5; -2).
961. Определить, лежат ли точка QB; —1; 1) и на-
начало координат по одну или по разные стороны отно-
относительно каждой из следующих плоскостей:
1) 5*-3# + z- 18 = 0; 2) 2* + 7«/+ 3z-+■ 1=0;
3) * + 5г/+12z-l=0; 4) 2*-у + г+П =0;
5) 2х -+- 3# — 6г + 2 = 0; 6) Злг — 2у-|-2z — 7 =0.
962. Доказать, что плоскость Зх — 4# — 2z + 5 = 0
пересекает отрезок, ограниченный точками MiC; —2; I)
и Af2(-2; 5; 2).
963. Доказать, что плоскость 5л: — 2у + z — 1=0 не
пересекает отрезка, ограниченного точками Mj(l; 4; —3)
и М2B; 5; 0).
964. В каждом из следующих случаев вычислить
расстояние между параллельными плоскостями:
1) x — 2y — 2z — 12 = 0, 2) 2х — 3*/ + 6z-14 = 0,
л; - 2г/ - 2z - 6 = 0; 4*—%+ 12z+2l = 0;
^•3) 2a:-^ + 2z + 9 = 0, 4) 16*+12*/-152+50=0,
4х -2ц + 4? -21=0; 16д:+12г/--152+25=0;
5) 30лг-32г/+24г — 75 = 0, 6) 6.V — 18*/ — 9г-28 = 0,
15л:-16г/+122 — 25 = 0; 4л; — 12г/ - 6z - 7 = 0.
965. Две грани куба лежат на плоскостях 2х — 2у +
4- г — 1 = 0, 2я — 2у + z + 5 = 0. Вычислить объем этого
куба.
966. На оси Оу найти точку, отстоящую от пло-
плоскости л:+2# — 2z — 2 = 0 на расстоянии d = 4.
967. На оси Oz найти точку, равноудаленную от
точки М{\\ —2; 0) и от плоскости Зл: — 2у + 6z — 9 = 0.
968. На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух
плоскостей: 12л; — 16?/ -f 15г + 1 =0, 2л; + 2y—z—\ =0.
969. Вывести уравнение геометрического места точек,
отклонение которых от плоскости 4л: — 4у — 2z + 3 — 0
равно 2.
970. Вывести уравнение геометрического места точек,
отклонение которых от плоскости бл; + 2>у + 2z — 10 = 0
равно —3.
149

971. Составить уравнения плоскостей, параллельных
плоскости 2х — 2y — z — 3 = 0 и отстоящих от нее на
расстоянии d = 5.
972. В каждом из следующих случаев составить
уравнение геометрического места точек, равноудаленных
от двух параллельных плоскостей:
1) 4х — у — 2г — 3 = 0, 2) 3* + 2у — г + 3 = 0,
\х — у — 2z — 5 = 0; Зх + 2у — z — 1 = 0;
3) 5* — Зу + z + 3 = 0,
. 973. В каждом из следующих случаев составить
уравнения плоскостей, которые делят пополам двугран-
двугранные углы, образованные двумя пересекающимися пло-
плоскостями:
1) х — Зу + 2г — 5 = 0, 2) ох — 5// — 2z — 3 = 0,
Зх - 2у - z + 3 = 0; * + 7// - 2z + 1 = 0;
3) 2х— // + 52 + 3 = 0,
2х— 10# + 4z — 2 = 0.
974. В каждом из следующих случаев определить,
лежат ли точка Л! B; —1; 3) и начало координат в одном,
в смежных или вертикальных двугранных углах, обра-
образованных при пересечении двух плоскостей:
1) 2х — у + 3z — 5 = 0, 2) 2х + Зу — 5г — 15 = 0,
Зх+2г/ —2 + 3 = 0; Ъх— y — 3z— 7 = 0;
3) х + 5г/ — 2 + 1 = 0,
975. В каждом из следующих случаев определить,
лежат ли точки М.B; —1; 1) и N{[; 2; —3) в одном,
в смежных или вертикальных двугранных углах, обра-
образованных при пересечении двух плоскостей:
1) Зх — г/+ 22-3 = 0, 2) 2х— у + 52 -1=0,
х — 2у — 2 + 4 = 0; Зх — 2г/ + 62 — 1 = 0.
976. Определить, лежит ли начало координат внутри
острого или тупого угла, образованного двумя пло-
плоскостями: х — 2у + 32 — 5 = 0, 2х — у — 2 + 3 = 0.
977. Определить, лежит ли точка М C; 2; —1) внутри
острого или тупого угла, образованного двумя плоско-
плоскостями: 5л: — у + 2 +■ 3 = 0, 4х — Зу + 22 + 5 = 0.
150

978. Составить уравнение плоскости, делящей попо-
пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями
2х — \4у + 6z — 1 = 0, 3.v + Ъу — 5z + 3 = 0, в котором
лежит начало координат.
979. Составить уравнение плоскости, делящей попо-
пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями
2* — у + 2z — 3 = 0, Зл; + 2у — 6г — 1 = 0, в котором
лежит точка МA; 2; —3).
980. Составить уравнение плоскости, которая делит
пополам острый двугранный угол, образованный двумя
плоскостями: 2х — Ъу —■ 4г — 3 = 0, 4х — Зу — 2z—3 = 0.
981. Составить уравнение плоскости, которая делит
пополам тупой двугранный угол, образованный двумя
плоскостями: 3* — 4у — z + 5 — 0, 4х — Зг/ + z + 5 = 0.
§ 41. Уравнения прямой
Прямая как пересечение двух плоскостей определяется совмест-
совместным заданием двух уравнений первой степени:
i «0,
А2х + В2у + С2г + D2 = 0
при условии, что коэффициенты Ль Ви Сх первого из них не про*
порциональны коэффициентам А2, В2, С$ второго (в противном
случае эти уравнения будут определять параллельные или слив-
слившиеся плоскости).
Пусть некоторая прямая а определена уравнениями A) и а
ир — какие угодно числа, одновременно не равные нулю; тогда
уравнение
а (Л,х + В,*/ + Схг + D,) + р {А2х + В2у + С2г + D2) — 0 B)
определяет плоскость, проходящую через прямую а.
Уравнением вида B) (при соответствующем выборе чисел а, C)
можно определить любую плоскость, проходящую через прямую а.
Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же
прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение вида B) назы-
называется уравнением пучка плоскостей.
Если а^0, то, полагая —вяЛ,, уравнение B) можно привести
к виду
А& + Вху + Схг + Dl + Л {А2х + В2у + Czz + Z>2) — 0. C)
В таком виде уравнение пучка плоскостей более употреби-
употребительно, чем уравнение B). однако уравнением C) можно опреде-
определить все плоскости пучка, за исключением той, которой соответ-
соответствует а — 0, т. е. за исключением плоскости А2х + Bzy + C2z +
+ Д2 = 0.
151

982. Составить уравнения прямых, образованных
пересечением плоскости 5х — 7# + 2г — 3 = 0 с коорди-
координатными плоскостями.
983. Составить уравнения прямой, образованной
пересечением плоскости Злт—//—7г + 9 = 0 с плоскостью,
проходящей через ось Ох и точки £C; 2; —5).
984. Найти точки пересечения прямой
| 2х ~\~у — z — 3 = 0,
с координатными плоскостями.
985. Доказать, что прямая
iz — 6 = 0,
-72+ 10 = 0
пересекает ось #
986. Определить, при каком значении D прямая
-2+ Z) = 0,
1 3* — 2z/ + 22 —6 = 0
пересекает: 1) ось Ох; 2) ось Оу\ 3) ось Oz.
987. Найти соотношения, которым должны удовле'
творять коэффициенты уравнений прямой
Г Ахх + fl,y + CiZ + D,= 0,
для того, чтобы эта прямая была параллельна: 1) оси Ох;
2) оси Оу\ 3) оси Oz.
988. Найти соотношения, которым должны удовле-
удовлетворять коэффициенты уравнений прямой
\ А& + В2у + С22 + D2 = 0
для того, чтобы эта прямая пересекала: 1) ось абсцисс;
2) ось ординат; 3) ось апликат; 4) совпадала с осью
абсцисс; 5) совпадала с осью ординат; 6) совпадала
с осью апликат.
989. В пучке плоскостей 2х — By + z — 3+Л(*+3#+
+ 22+1) = 0 найти плоскость, которая: 1) проходит
через точку М,A; — 2;3); 2) параллельна оси Ох; 3) парал-
параллельна оси Оу\ 4) параллельна оси Oz.
152

990. Составить уравнение плоскости, которая, про-
проходит через прямую пересечения плоскостей Зх — у +
+ 22+9 = 0, x+z—3=0: 1) и через точку Mi D; —2; —3);
2) параллельно оси Ох; 3) параллельно оси О#; 4) парал-
параллельно оси Oz.
991. Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую пересечения плоскостей 2х — у + 32—5=0,
л; + 2// — 2 + 2 = 0 параллельно вектору £={2; —1; —2}.
992. Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую пересечения плоскостей 5х — 2у—2—3 = 0,
* + 3z/ — 2г + 5 = 0 параллельно вектору 1 = {7\ 9; 17}.
993. Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую пересечения плоскостей Зх—2у + z-~'6 = 0,
х — 22 = 0 перпендикулярно плоскости я—2#+г + 5 = 0.
994. Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую
( Ъх — у — 2z — 3 — 0,
1 3* — 2# — 52 + 2 = 0
перпендикулярно плоскости х + 19// — 72 — 11 = 0.
995. Составить уравнение плоскости, которая прохо-
проходит через прямую пересечения плоскостей 2х + у — г +
+ 1=0, лг + # + 22+1=0 параллельно отрезку, огра-
ограниченному точками М1{2; 5; —3) и М2C; —2; 2)".
996. Написать уравнение плоскости, принадлежащей
пучку плоскостей а {Зх—4у + 2+6) + ft Bл:—3//+2+2) = 0
и равноудаленной от точек М^З; —4; —6), М2A; 2; 2).
997. Определить, принадлежит ли плоскость 4х—8//+
+ 172 — 8 = 0 пучку плоскостей а Eл: — у + 42 — 1) +
+ 3B + 23 + 2H
998. Определить, принадлежит ли плоскость 5л: —
— 9у — 22 + 12 = 0 пучку плоскостей а Bх—3у + 2—5) +
+ Р(* — 2у — z — 7) = 0.
999. Определить, при каких значениях / и т пло-
плоскость 5л: + 1у + 42 + т = 0 принадлежит пучку плоско-
плоскостей а (Зх — 7у + z — 3) + р (* — 9# — 22 + 5) = 0.
1000. Написать уравнение плоскости, которая при-
принадлежит пучку плоскостей а (х — Зу + 72 + 36) +
+ р{2х + # — 2 — 15) = 0 и отстоит от начала координат
на расстоянии р = 3.
1001. Написать уравнение плоскости, которая при-
принадлежит пучку плоскостей а A0* — 8у — 152 + 56) +
+ р Dх + # + 32 — 1) = 0 и отстоит от точки С C; —2; —3)
на расстоянии d = 7.
153

1002. Найти уравнение плоскости, которая принад-
принадлежит пучку плоскостей аDлс + 13*/ — 22 — 60) 4- {1 D* +
4- Зу + 32—30) = 0 и отсекает от координатного угла Оху
треугольник с площадью, равной б кв. ед.
1003. Составить уравнения плоскостей, проектирую-
проектирующих прямую
f 2х — у + 2г — 3 = 0,
на координатные плоскости.
1004. Составить уравнения проекций прямой
f х + 2у — Зг — 5 = 0,
12*- г/+ 2 + 2 = 0
на координатные плоскости.
1003, Составить уравнение плоскости, проектирую*
щей прямую
2у — 2-1=0,
22 — 2 = 0
на плоскость х-{- 1у 4- Зг — 5 = 0.
1006. Составить уравнения проекции прямой
| 5л; — 4y — 2z — 5 = 0,
1 *4-22-2 = 0
на плоскость 2х — у 4- 2— I =0.
§ 42. Направляющий вектор прямой. Канонические
уравнения прямой. Параметрические
уравнения прямой
Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой
или параллельный ей, называется направляющий! вектором этой
прямой.
Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем
обозначается буквой а, его координаты — буквами /, т, п\
а = {I; т\ п).
Если известна одна точка Мо (ха; Уо> z0) прямой и направляю-
направляющий вектор а = {/; т\ п), то прямая может быть определена (двумя)
уравнениями вида:
X ■""" Х$ ^^ у ■■" £/о ^^ 2Г ~~ 2?о {\\
В таком виде уравнения прямой называются каноническими.
154

Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные
точки Mi (xi\ Уи zi) и М2 (х2; у2; ?г), имеют вид:
х-х\ _у — у{ _Ап?±_ B^
х2 —
Обозначим буквой i каждое из равных отношений в канони-
канонических уравнениях A); мы получим:
х —
l\ m n
Отсюда
C)
Это —параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
./Ио (хо\ Уо\ zQ) в направлении вектора а = {/; т; п\. В уравнениях C)
/ рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, х, у,
z — как функции от /; при изменении t величины х, у, z меняются
так, что точка М {х; у, z) движется по дайной прямой.
Если параметр t рассматривать как переменное время, а урав-
уравнения C) как уравнения движения точки М, то эти уравнения
будут определять прямолинейное и равномерное движение точки М.
При t = 0 точка М совпадает с точкой Afo> Скорость v точки М
постоянна и определяется формулой
v = Vl2 + m2 + п2.
1007. Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через точку Мх B; 0; —3) параллельно:
1) вектору а = {2; -3; 5}; 2) прямой izile2 + 2e2±i;
3) оси Оде; 4) оси Оу\ 5) оси Oz.
1008. Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через две данные точки: 1) A; —2; 1),
C; 1; -1); 2) C; -1; 0), A; 0, -3); 3) @; -2; 3),
C; -2; 1); 4) A; 2; -4), (-1; 2; -4).
1009. Составить параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку М{{\\ —1; —3) параллельно:
1) вектору а = {2; -3; 4}; 2) прямой ^- = ^±^ = 2jzi;
3) прямой х = St—\, y= — 2t + 3, г = 5^ + 2.
1010. Составить параметрические уравнения прямой,
проходящей через две данные точки: 1) C; —-1; 2),
B; 1; 1); 2) A; 1; -2), C; -1; 0); 3) @; 0; 1), @; 1; -2)t
1011. Через точки М,(—6; 6; -5) и М2A2; -6; 1)
проведена прямая. Определить точки пересечения этой
прямой с координатными плоскостями.
155

1012. Даны вершины треугольника ЛC; 6; —7),
В(—5; 2; 3) и С D; —7; —2). Составить параметрические
уравнения его медианы, проведенной из вершины С.
1013. Даны вершины треугольника ЛC; — 1; — I),
ВA; 2; —7) и С (—5; 14; —3). Составить канонические
уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вер-
вершине С.
1014. Даны вершины треугольника АB; —I; —3),
В E; 2;— 7) и С (—7; И; б). Составить канонические
уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине А.
1015. Даны вершины треугольника ЛA; —2; —4),
ВC; 1; —3) и С E; 1; —7). Составить параметрические
уравнения его высоты, опущенной из вершины В на
противоположную сторону.
1016. Дана прямая
Г 2лг — 5y + z — 3 = 0,
Вычислить проекции на оси координат какого-нибудь
ее направляющего вектора а. Найти общее выражение
проекций на оси координат произвольного направляю-
направляющего вектора этой прямой.
1017. Дана прямая
[ 2х — у + 3z + 1 = 0,
\3х + у — z — 2 = 0.
Найти разложение по базису i, /, к какого-нибудь ее
направляющего вектора а. Выразить в общем виде раз-
разложение по базису i, /\ k произвольного направляющего
вектора этой прямой.
1018. Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через точку Мх B; 3; —5) параллельно прямой
( Зх— у + 2z — 7 = 0,
{
1019. Составить канонические уравнения следующих
прямых:
1) i х-2# + Зг-4 = 0, 2) | 5х + у + z = 0,
2r/-5z-4 = 0; \2* + Ъу — 2z + 5 = 0;
2у + 32 + 1 = 0,
У ~ 42 - 8 = 0.
156

1020. Составить параметрические уравнения следую-
следующих прямых:
2-4 = 0, 2) f * + 2*/-г~6 = 0,
22+1=0; \2jc- у + г+1—0.
1021. Доказать параллельность прямых:
f
и \x
г/ — t г f ЛГ+Г/ —2 = 0,
- 2 - 1 и \
*J з - -2 \xy5z8 0;
2) * = 2*+5, z/ = -* + 2, z = t — 7 и
f х + 3# + 2 + 2 = 0,
I я — г/— 32 —2 = 0;
3) f * + # —3z+ 1=0, Г х+2гу-52 — 1=0,
!*-# + 2 + 3 = 0 и | я — 2.V + 32 — 9 = 0.
1022. Доказать перпендикулярность прямых:
П£ £-!__£ J3X+ //-52+1=0,
' -2 — з н ( 2х + 3/у-82 + 3 = 0;
2) л; =2?+ 1, 0 = 3*— 2, 2 =-6*+ 1
| 2х + г/ — 42 + 2 = 0,
И 1 4л: - // - 52 + 4 = 0;
Л * + ;/-32-1=0, |2л+ ^ + 22 + 5 = 0,
М 2x-y-9z-2 = 0 И 1 2x~2t/- 2 + 2 = 0.
1023. Найти острый угол между прямыми:
х — 3 _ г/ + 2 __ _z_ дг + 2 ___ у —3 _ г + 5
1024. Найти тупой угол между прямыми х = Ы — 2,
*/ = 0, 2 = —/ + 3 и x = 2t— 1, // = 0, z = t — 3.
1025. Определить косинус угла между прямыми:
| л: —г/ —42 —5 = 0, | х — 6# — 6г + 2 = 0,
1 2х + г/ — 2г — 4 = 0; 1 2* + 2г/ + 9г — 1 = 0.
1026. Доказать, что прямые, заданные параметри-
параметрическими уравнениями х = 2t — 3, у «= 3* — 2, 2 = — 4*+6
и лс = * + 5, г/ = —4* —1, 2 = * —4, пересекаются.
157

1027. Даны прямые
_ у
—3
—l
g--7
при каком значении / они пересекаются?
1028. Доказать, что условие, при котором две прямые
X — п\ У —
П\
и
х — а2
z —
лежат в одной плоскости, может быть представлено
в следующем виде:
— #1 Ь2 —
=0.
1029. Составить уравнения прямой, которая проходит
через точку М, (— 1; 2; —3) перпендикулярно к вектору
а = {6; —2; —3} и пересекает прямую
— 1
3
г —3
— 5
1030. Составить уравнения прямой, которая проходит
через точку М] (—4; —5; 3) и пересекает две прямые
х+ I у+ 3 г —2 х — 2 у + 1 г— 1
3 ~~ -2 "~" -1 ' 2 "~~ 3 ~ -5 '
1031. Составить параметрические уравнения общего
перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями
х = 3/ —7, у = — 2/+ 4, 2 = 3/+ 4
и
1032. Даны уравнения движения точки М{х\ у\ z)
х = 3 — 4/, 0 = 5 + 3/, 2 = -2+12*.
Определить ее скорость v.
1033. Даны уравнения движения точки М{х\ у; z)
х = 5 — 2t, y —
z = 5 —
Определить расстояние d, которое пройдет эта точка
за промежуток времени от tl=0 до /2 = 7.
1034. Составить уравнения движения точки М(х; у; z),
которая, имея начальное положение М0C; — 1; —5),
158

движется прямолинейно и равномерно в направлении
вектора s = {—2; 6; 3} со скоростью v = 21.
1035. Составить уравнения движения точки М(х\ у; z\
которая, двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла
расстояние от точки М, (—7; 12; 5) до точки М2 (9; —4; —3)
за промежуток времени от /t —0 до /2~4.
1036. Точка М (х; у\ г) движется прямолинейно и равно-
равномерно из начального положения Л10B0; —18; —32) в на-
направлении, противоположном вектору s = {3; —4; —12};
со скоростью v = 26. Составить уравнения движения
точки М и определить точку, с которой она совпадает
в момент времени £ = 3.
1037. Точки М{х\ у\ z) и N{x\ у\ z) движутся прямо-
прямолинейно и равномерно: первая из начального положения
Mq(—5; 4; —5) со скоростью и^=14 в направлении
вектора s = {3; —6; 2}, вторая из начального положения
No(—5; 16; —6) со скоростью 1^=13 в направлении,
противоположном вектору г = {—4; 12; —3}. Составить
уравнения движения каждой из точек и, убедившись,
что их траектории пересекаются, найти:
1) точку Р пересечения их траекторий;
2) время, затраченное надвижение точкиМотAf0до Р;
3) время, затраченное на движение точки N отМ0 до Р\
4) длины отрезков М0Р и NQP.
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению
плоскости и уравнениям прямой
1038. Доказать, что прямая х = 3£ — 2, у = -— At + 1»
z = 4t — 5 параллельна плоскости 4х — 3// — Qz — 5 = 0.
1039. Доказать, что прямая
f Ьх — Зу + 2z — 5 = О,
\ 2л: — у— 2—1=0
лежит в плоскости Ах — Зу + lz — 7 « 0.
1040. Найти точку пересечения прямой и плоскости:
1)
2)
3)
X —
I1 II
I
x +
3
M 1 ■■
С
3_
y + i
2
-1
— A.
г
~" 6"»
г+1
~" -5 '
——> ——
2a:+ 3^
л: + 2г/.
< + z
-2z
- 1
-15
+ 6
= 0;
Л.
— Ui
= 0.
159

1041. Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через точку М0B; —4; —1) и середину
отрезка прямой
f 3* + 4# + 52--26 = 0,
1 Зх — Ъу — 22 — 5 = 0>
заключенного между плоскостями 5* ■+■ Зу ■— 42 + 11=0,
5х + 3# — 42 — 41 =« 0.
1042. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку М0B; —3; —5) перпендикулярно к йлоскости
бд: - 3// - 52 + 2 = 0.
1043. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Мо(\; —1; —1) перпендикулярно к прямой
2 -3 "" 4 •
1044. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку Af0A; —2; 1) перпендикулярно к прямой
f х — 2y-\-z — 3==0,
1045. При каком значении т прямая ^ ~^;—
2 + 3
=== _2 параллельна плоскости х — Зу + 6г + 7 = 0?
1046. При каком значении С прямая
1 4д; — Зг/ + 42 + I = 0
параллельна плоскости 2а:— г/+ С2 — 2 = 0?
1047. При каких значениях Ли D прямая д: —3 + 4Л
г/ = 1 — 4^, 2== —3 + ^ лежит в плоскости Ах + 2// —
— 42 + Z) = 0?
1048. При каких значениях Л и В плоскость Ах +
+ By + З2 — 5 = 0 перпендикулярна к прямой х = 3 + 2/,
г/ = 5 —Зг, 2 = — 2 — 2^?
д. 2
1049. При каких значениях / и С прямая —j— =
= ^—\— = г~<£ перпендикулярна к плоскости Зд: — 2г/+
Н- С z + 1 = 0?
1050. Найти проекцию точки РB; — 1; 3) на прямую
* = 3г, 0 = 5* —7, 2 = 2*+ 2.
160

1051. Найти точку Q, симметричную точке РD; 1; 6)
относительно прямой
Г х — у — 42 + 12 = 0,
+ y-2z+ 3 = 0.
1052. Найти точку Q, симметричную точке РB; —5; 7)
относительно прямой, проходящей через точки Мх E; 4; 6)
и Л!я(-2; -17; -8).
1053. Найти проекцию точки РE; 2; —1) на пло-
плоскость 2*-*/ + 3z + 23 = 0.
1054. Найти точку Q, симметричную точке РA; 3; —4)
относительно плоскости Зл: + у — 2z = 0.
1055. На плоскости Оху найти такую точку Р, сумма
расстояний которой до точек А{—1? 2; 5) и В A1; —16; 10)
была бы наименьшей. •
1056. На плоскости Oxz найти такую точку Р, раз-
разность расстояний которой до точек М1 C; 2; —5) и
М2{8\ —4; —13) была бы наибольшей.
1057. На плоскости 2х — Ъу + Ъг — 17 = 0 найти та-
такую точку Р, сумма расстояний которой до точек
ЛC; —4; 7) и В{—5; —14; 17) была бы наименьшей.
1058. На плоскости 2х + 3# — 4г — 15=0 найти такую
точку Р, разность расстояний которой до точек
Мц{5\ 2; —7) и М2G; —25; 10) была бы наибольшей.
1059. Точка М(х; у; z) движется прямолинейно и
равномерно из начального положения М0A5; —24; —16)
со скоростью v = 12 в направлении вектора 5 = {—2; 2; 1}.
Убедившись, что траектория точки М пересекает пло-
плоскость Зл: + 4# + 72 — 17 = 0, найти:
1) точку Р их пересечения;
2) время, затраченное на движение точки М от MQ
До Р;
3) длину отрезка MqP.
1060. Точка М(х; у; z) движется прямолинейно и
равномерно из начального положения М0B8;—30; —27)
со скоростью у =12,5 по перпендикуляру, опущенному
из точки Мо на плоскость 15* — 16#— 122 + 26 = 0. Со-
Составить уравнения движения точки М и определить:
1) точку Р пересечения ее траектории с этой пло-
плоскостью;
2) время, затраченное на движение точки М от Мй
До Р;
• 3) длину отрезка
6 Д., В.. Клетеник

1061. Точка М{х; у\ z) движется прямолинейно и ра-
равномерно из начального положения Мо A1; —21; 20)
в направлении вектора s = {— 1; 2; —2} со скоро-
скоростью v =12. Определить, за какое время она прой-
пройдет отрезок своей траектории, заключенный между
параллельными плоскостями: 2х + Зг/ + 52--41 =0,
2+З + 5 + 31 0
1062. Вычислить расстояние d точки Р(Г; —1; —2)
от прямой
* + 3 _ у + 2 _ z-8
3 "" 2 ~~ -2 •
i
1063. Вычислить расстояние d от точки РB; 3; — 1)
до следующих прямых:
1)
I) ЛГ =
-Ь У
3 2
£±25..
-2 '
2+ 3 = 0,
lz+ 17 = 0.
1064. Убедившись, что прямые
Г 2*+ 2*/ — 2— 10 = 0,
1 я— w —2 — 22 = 0,
лг+7
3
-I
параллельны, вычислить расстояние d между ними.
1065. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку МД1; 2; —3) параллельно прямым
х—\ _ У+1 _г — 7
2 — ~3 "" 3
у —2
-2
1066. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через точку Afo(-V» Уо'> 2о) параллельно прямым
у
Z—QX
z — с2
может быть представлено в следующем виде:
X #о У {/о 2 2(
1{ т{ щ =0.
/2 т2 п2
162

1067. Доказать, что уравнение плоскости, проходя-
проходящей через точки Mi(x{; yx\ z{) и М2{х2\ у2; г2) парал-
параллельно прямой
х — а у — b z — с
I m n *
может быть представлено в следующем виде:
У — У\ г —гх
0.
/ т п
1068. Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую л: ===== 2f-j— 1, у =— 3^ + 2, z = 2t — 3 и
точку Mi B; —2; 1).
1069. Доказать, что уравнение плоскости, проходя-
проходящей через прямую х=*хо + И, У=^у^-\- mt, z = zu-\-nt
и точку М.\{х\\ Уи Zi), может быть представлено в сле-
следующем виде:
X ~ Х\ -У — У\ Z —Z
v у ,, и ~ ,, Л
Л[ ^^ AQ уJ t/Q i&J ibQ — \J*
I m n
1070. Доказать, что прямые
v _ 1 f>_L9 ~ с
-__=____ = ___
лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой
плоскости.
1071. Доказать, что если две прямые
х — пх у — Ь\ г — С\ х — а2 __ у — Ь2 __ г — с2
пересекаются, то уравнение плоскости, в которой они
лежат, может быть представлено в следующем виде:
x x =0.
/2 tn2 n2
1072. Составить уравнение плоскости, проходящей
через две параллельные прямые
х — 2 __ у+ I -г — 3 х— 1 у ~2 г + 3
163

1073. Доказать, что уравнение плоскости, проходя-
проходящей через две параллельные прямые x^a^-^-lt,
z = c24-nt> может быть представлено в следующем
виде:
X "— й[ у — О\ Z — С[
/ m га
1074. Найти проекцию точки СC; —4; —2) на пло-
плоскость, проходящую через параллельные прямые
х — 5 у —6 24-3 * —2 у — 3
13 I —4 » 13 в 1
z + 3
1075. Найти точку Q, симметричную точке РC;—4j
—6) относительно плоскости, проходящей через М{ (—6;
1; -5), М2G; -2; -1) и М3A0; -7; 1).
1076. Найти точку Q, симметричную точке Р (—3; 2; 5)
относительно плоскости, проходящей через прямые
х — 2у +
х — 2у —
5 = О,
3 = 0;
3*+ у
5* — Зг/
4- 7 = 0,
+ 5 = 0.
1077. Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую x*=3t + 1 > y = 2t + 3, z~ — t — 2 парал-
параллельно прямой
1x4- 2у — 2 — 5 = 0.
1078. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей
через прямую —-.— —  = =■ параллельно пря-
прямой х —яо4-^> У = Уо-\~ tnt, z = zuJctit> может быть
представлено в следующем виде:
х — %\ У — У\ z —
/ т п
1\ тх щ
=0.
1079. Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую *~ — у_^ = г J перпендикулярно
к плоскости Зл: 4~ 2у — z — 5 = 0.
164

— 0
1080. Доказать, что уравнение плоскости, проходя*
шей через прямую лг = хо4-/^ y — yQ + mt, z~zo + nt
перпендикулярно к плоскости Ах + By -f Сг + D ■=* 0,
может быть представлено в следующем виде:
— #0 # — У 0 z —
I tn n
А В * С
1081. Составить канонические уравнения прямой,
которая проходит через точку М0C; —2; —4) парал-
параллельно плоскости Зл: — 2у — Зг — 7 = 0 и пересекает
* — 2 у + 4 г— 1
прямую —§— = "~32~===—2—'
1082. Составить параметрические уравнения прямой,
которая проходит параллельно плоскостям Ъх-\-\2у —
— Зг — 5 =* 0, Зл: — 4у + 9г + 7 ~ 0 и пересекает пря-
лг + 5 у —3 +1 З 4l 2
МЫе
1083. Вычислить кратчайшее расстояние между
двумя прямыми в каждом из следующих случаев:
п * + 7_ У + 4 _ г + 3 . *-21 у + 5 _ г-2
^ - 3 ~" 4 "" -2 ' 6 *" -4 "" -1 »
2) л; = 2/ —4, г/= —J + 4, z = — 2/—1;
x = 4t — 5, t/ = — 3*4-5, z = — 5H-5;
о\ л:4-5 у 4- 5 JLZli.
^ 3 "™ 2 ~" -2 '
§ 44. Сфера
В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая
центр С (а; Р; y) и радиус г, определяется уравнением (х — аJ 4-
4- (у — РJ 4* (г — vJ = ^ Сфера радиуса г, центр которой нахо-
находится в начале координат, имеет уравнение х2 •{■ у2 •{■ г2 *=> г2.
1084. Составить уравнение сферы в каждом из сле-
следующих случаев:
1) сфера имеет центр С@; 0; 0) и радиус г = 9;
2) сфера имеет центр С E; —3; 7) и радиус г —2;
3) сфера проходит через начало координат и имеет
центр С D; —4; —2);
4) сфера проходит через точку ЛB; —1; —3) и имеет
центр. С C; —2; 1);
5) точки А B; —3; 5) и В D; 1; —3) являются кон-
концами одного из диаметров сферы;
165

6) центром сферы является начало координат, ц
плоскость 16л; — \Бу — 12г + 75 = 0 является касатель*
ной к сфере;
7) сфера имеет. центр СC; —5; —2) и плоскость
2л; — у — 32+11=0 является касательной к сфере;
8) сфера проходит через три точки М\ C; 1; —3),
М2{—2; 4; 1) и М3(—5; 0; 0), а ее центр лежит на пло-
плоскости 2л: + у — 2 + 3 = 0;
9) сфера проходит через четыре точки:
М,A; -2; -1), М2(-5; 10; -1),
М3D; 1; 11), М4(-8; -2, 2).
1085. Составить уравнение сферы радиуса г = 3,
касающейся плоскости я + 2г/ + 22+3 = 0 в точке
Af,(l; 1; -3).
1086. Вычислить радиус R сферы, которая касается
плоскостей Зл; + 2у — 62 — 15 = 0, Зл; + 2у — 6z + 55 = 0.
1087. Сфера, центр которой лежит на прямой
| 2л; + 4у — 2 — 7 = 0,
f2-14 = 0,
касается плоскостей х + 2# — 2г — 2 = 0, х + Чу —
— 22 + 4 = 0. Составить уравнение этой сферы.
1088. Составить уравнение сферы, касающейся двух
параллельных плоскостей 6* — Згу —■ 2z — 35 = 0, 6л; -—
—- Зу — 22 + 63 = 0, причем одной из них в точке
ЛГ,E; -1; -1).
1089. Составить уравнение сферы с центром С B, 3;
— 1), которая отсекает от прямой
3z + 20 = 0,
z— £8 = 0
хорду, имеющую длину, равную 16.
1090. Определить координаты центра С и радиус г
сферы, заданной одним и'з следующих уравнений:
J 5;t-
\ Зх —
2)
3) х2 + у2 + z2 - 4л: - 2у + 22 - 19 = 0;
4) х2 + if + z2 - 6г = 0;
5) х2 + у2 + z2 + 20у = 0.
1091. Составить параметрические уравнения диаметра
сферы л:2 + у2 4- г2 + 2х — 6// + Z— 11 =0, перпендику-
перпендикулярного к плоскости 5л; — у + 22— 17 = 0.
166

1092. Составить канонические уравнения диаметра
сферы х2 + У2 + 22 ~"х + Зг/ + z — 13 = 0, параллельного
прямой х=-2/—1, #=*-3/ + 5, z = 4f + 7.
1093. Установить, как расположена точка Л B; — 1; 3)
относительно каждой из следующих сфер — внутри, вне
или на поверхности:
) (
2) [х + 14J + (У - 1D2 + (* + 12J - 625;
3) (х-
4) *2 +
5)
1094. Вычислить кратчайшее расстояние от точки А
до данной сферы в следующих случаях:
а) А (-2; 6; -3), х2 + я2 + г2 - 4;
б) Л (9; -4; -3),
х2 +1/2 + г2 + 14* - 16# - 24z + 241 = 0;
в) ЛA; -1; 3), x2 + y2 + z2-Gx + 4y- 10z-62=0.
1095. Определить, как расположена плоскость отно-
относительно сферы ■— пересекает ли, касается или прохо-
проходит вне ее; плоскость и сфера заданы следующими
уравнениями:
1) 2 = 3, x2 + y2 + z2 — 6x + 2y — 102 + 22 = 0;
2) # = 1, д?-1-г/2 _1_22_Н*--2г/--62+14 = 0;
3) * = 5, д;2+г/2 + 22-2дг + 4г/-22-4 = 0.
1096. Определить, как расположена прямая относи-
относительно сферы ■— пересекает ли, касается или проходит
вне ее; прямая и сфера заданы следующими уравне*
ниями:
Q\ *-5 — У _ z + 25
*' 3 "~ 2 *"" —2 •
*2 + ^ + 22 - 4* - 60 + 22 - 67 = Oj
- # + 22—12 = 0,
— 4г/— 2+ 6 = 0,
167

. 1097. На сфере (*-IJ+ (#-}-2J-h(z-3J =* 23
найти точку Мц ближайшую к плоскости Зя—4я-Н9=0,
и вычислить расстояние d от точки Мх до этой плоскости.
1098. Определить центр С и радиус R окружности
1099. Точки ЛC; —2; 5) и В(—1; 6; —3) являются
концами диаметра окружности, проходящей через точку
СA; —4; 1). Составить уравнения этой окружности.
1100. Точка СA; —1; —2) является центром,окруж-
центром,окружности, отсекающей от прямой
| 2х — у 4- 22 — 12 = 0,
| 4* —
хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения
этой окружности.
1101. Составить уравнения окружности, проходящей
через три точки /М, C; —1; —2), М2A; 1; —2) иМ3(—1;3;0).
1102. Даны две сферы
(х - mxf +{у-щJ + {2- Plf ?
(х - т2J + (У - гс2J + (г - р2J
которые пересекаются по окружности, лежащей в неко-
некоторой плоскости т. Доказать, что любая сфера, про-
проходящая через окружность пересечения данных сфер,
а также плоскость т могут быть представлены урав-
уравнением вида
при надлежащем выборе чисел аир.
1103. Составить уравнение плоскости, проходящей
через линию пересечения двух сфер:
2х2 + 2tf + 2z2-4- Sx - 2у + г - 5 « 0,
а:2 + у2 + -г2 - х + Зг/ - 2г + 1 = 0.
1104. Составить уравнение сферы, проходящей через
начало координат и окружность
Г х2 + У2 + г2 - 25,
1 2х — Зу + 5г — 5 = 0.
168

1105. Составить уравнение сферы, проходящей через
окружность
\ х2 + У2 + 22 - 2х + Зу - 6г - 5 = 0,
\ 5л; + 2z/ — 2 — 3 = 0
и точку А B; — 1; 1).
1106. Составить уравнение сферы, проходящей через
две окружности:
I # = 2, 1 z/ = 3.
1107. Составить уравнение касательной плоскости
к сфере я2 +//2 4--г2 = 49 в точке М, F; -3; -2).
1108. Доказать, что плоскость 2х — 6г/-Ь 32 — 49 = 0
касается сферы х2 -{-у2-\- z2 = 49. Вычислить координаты
точки касания.
1109. При каких значениях а плоскость х -\- у -\-z = a
касается сферы х2 + у2 + г2 = 12.
1110. Составить уравнение касательной плоскости
к сфере (jt-3J+(f/-lJ+B+2J=24 в точке М, (-1; 3; 0).
1111. Точка Mi (ay» j/i',Z]) лежит на сфере'x2-\-tf-\-z2=r2.
Составить уравнение касательной плоскости к этой
сфере в точке М{.
1112. Вывести условие, при котором плоскость Ах-\~
+By + Cz 4- D = 0 касается сферы х'2-\- у'2 + z2 — R2.
1113. Точка Mj (jC|j Уи z{) лежит на сфере {х — aJ -f
-\-{у — РJ 4- (^ — yJ — г2- Составить уравнение касатель-
касательной плоскости к этой сфере в точке Mt.
1114. Через точки пересечения прямой x = 3t — 5,
v = St—U, 2=~4/ + 9 и сферы (л; -f- 2J -f (у - IJ +
+(z + 5J = 49 проведены касательные плоскости к этой
сфере. Составить их уравнения.
1115. Составить уравнения плоскостей,'касательных
к сфере х2 + У2 + z2 == 9 и параллельных плоскости лг-Ь
+2#--2z+ 15 = 0.
- 1116. Составить уравнения плоскостей, касательных
к сфере (л: — ЗJ + {у + 2J + B — IJ = 25 и параллельных
плоскости 4х + 32 — 17 = 0.
1117. Составить уравнения плоскостей, касательных
к сфере л?+1/2+22— 10*-f2#-b26z--113=0 и параллель-
параллельные ппамм», x + 5_y-l_z+lZ x+7_y+\_z-8
ных прямым -j--s-зу——2—, —^—=—-2-=—^-.
169

1118. Доказать, что через прямую
f 8*—110 + 82 —30 = 0,
1 л; — у — 2z = 0
можно провести две плоскости, касательные к сфере
*2 + У2 + z2 + 2* — 6г/ + 4г— 15 = 0, и составить их
уравнения.
1119. Доказать, что через прямую
нельзя провести плоскость, касательную к
+z2 - Ах + 2г/ - Az + 4 = 0.
1120. Доказать, что через прямую # = 4/+ 4, */ =
=3/+1, z = /+l можно провести только одну пло-
плоскость, касательную к сфере х2 + у2 + z2 — 2х + 6г/ +
+ 2z + 8 в 0, и составить ее уравнение.
§ 45. Уравнения плоскости, прямой и сферы
в векторной символике
В дальнейшем символ М (г) означает, что г есть радиус-вектор
точки М.
1121. Составить уравнение плоскости а, которая
проходит через точку Мо(го)и имеет нормальный вектор п.
Решение*). Пусть М (г) — произвольная точка. Она лежит
в плоскости а в том и только в том случае, когда вектор ЛГ0Л1
перпендикулярен к п. Признаком перпендикулярности векторов
является равенство нулю их скалярного произведения. Таким обра»
вой, МйМ 1лв том и только в том случае, когда
— М 0М • п — 0. A)
Выразим вектор М0М через радиусы-векторы его конца и начала:
М 0М = г — г<}.
Отсюда и из A) находим:
(|--Го)«—0. B)
Это есть уравнение плоскости а в векторной символике; ему удо-
удовлетворяет радиус-вектор г точки М в том и только в том случае,
когда М лежит на плоскости а [г называется текущим радиусом-
вектором уравнения B)].
1122. Доказать, что уравнение гл + £> = 0 определяет
плоскость, перпендикулярную к вектору л. Написать
*) Задачи 1121 и 1129 существенны для правильного понимания
задач этого параграфа. Их решения приводятся в тексте.
170

уравнение этой плоскости в координатах при условии,
ЧТО Л -=: V*» •*-'' ^-*1"
1123. Даны единичный вектор л° и число р > 0. До-
Доказать, что уравнение гл° — р = 0 определяет плоскость,
перпендикулярную к вектору л°, и что р есть расстояние
от начала координат до плоскости. Написать уравнение
этой плоскости в координатах при условии, что век-
вектор л° образует с координатными осями углы а, C и у.
1124. Вычислить расстояние d от точки М{ {г{) до пло-
плоскости гя°—■ р —0. Выразить расстояние d также в ко-
координатах при условии, что /•1 = {д;1; yY\ z{}, n°=*
^={cosa; cosp; cosy).
1125. Даны две точки М^г^) и М2(г2). Составить
уравнение плоскости, которая проходит через точку Mi
перпендикулярно к вектору М]М2. Написать уравнение
этой плоскости также в координатах при условии, что
i {
1126. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит через точку М0(г0) параллельно векторам ах и а2.
Написать уравнение этой плоскости также в координа-
координатах при условии, что Го = {х0; Уо'> zj, ax—{li\ m^, n^,
2{2
1127. Составить уравнение плоскости, проходящей
через три точки Mi(ri), M2{r2) и М3(*"з)' Написать урав-
уравнение этой плоскости также в координатах при условии,
что fi = {*i; У\\ zj, r2 = fe у2; 22}, г3 = {х3; г/3; 23}.
1128. Составить уравнение плоскости, которая про-
проходит через точку М0(г0) перпендикулярно к плоскостям:
ГЛ1 + Di = 0, rn2 + /J = 0- Написать уравнение этой
плоскости также в координатах при условии, что rQ~
={*о; Уо*> zj; Л!={Л1; В,; С^, л2 = {Л2; В2\ С2}.
1129. Доказать, что уравнение [(г — ro)a] = O опре-
определяет прямую, которая проходит через точку М0(г0)
параллельно вектору а, т. е. что этому уравнению удо-
удовлетворяет радиус-вектор г точки М{г) в том и только
в том случае, когда М лежит на указанной прямой.
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку М(г).
Пусть г удовлетворяет данному уравнению; по правилу вычитания
векторов г — Го «= М0М; так как [{г — rQ) а] = 0, то [МаМа] = 0;
следовательно, вектор MqM коллинеареи вектору а. Значит, точка М
действительно лежит на прямой, которая проходит через Мо в на-
напр авлении_ вектор а а. Обратно, пусть М лежит на этой прямой.
Тогда М0М коллинеарен а. Следовательно, [М0Ма] = 0; но MqM =
^г — Го; отсюда [(г — го)а\ =0. Итак, заданному уравнению
171

удовлетворяет радиус-вектор г точки М в том и только в том слу-
случае, когда 'М лежит на указанной прямой (г называется текущим
радиус-вектором уравнения).
1130. Доказать, что уравнение [га] = т определяет
прямую, параллельную вектору а.
1131. Доказать, что параметрическое уравнение г=*
=r0 -\- at, где t — переменный параметр, определяет пря-
прямую, которая проходит через точку М0(г0) (т. е. при
изменении t точка М{г) движется по указанной прямой).
Написать в координатах канонические уравнения этой
прямой при условии, что ro = {*o; уо\ z0}, а~{к пг\ п].
1132. Прямая проходит через две точки: Мх {г{) и М2 (г2).
Составить ее уравнения в виде, указанном в задачах
1129, ИЗО, 1131.
1133. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку М{ (г{) перпендикулярно к прямой г = r0 — at.
Написать уравнение этой плоскости также в координатах
при условии, что /•1={a;i; y\\ zj, а = {1\ т\ п}.
1134. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку М0(г0) параллельно прямым [rajasщ,,
[га2] = т2. 4
1135. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку М0(г0) перпендикулярно к плоскостям
П^ + Д—О, /712 + Ь2 = 0.
1136. Прямая проходит через точку М0(г0) перпен-
перпендикулярно к плоскости гл + /) = 0. Составить ее урав-
уравнение в параметрическом виде. Написать каноническое
уравнение этой прямой в координатах при условии, что
г0— {*<>; Уо\ ^о}. л— {Л; В; С).
1137. Прямая проходит через точку М0(г0) парал-
параллельно плоскостям гщ -}- Dx = 0, гп2 -{- D2» 0. Составить
ее уравнение в параметрическом виде. Написать кано-
каноническое уравнение этой прямой в координатах при
условии, что ro={*o; у0; z0}, п^А^ Вх\ С,}, й2»{Л2; В2\ С2].
1138. Вывести условие, при котором прямая г==
s=ro + fltf лежит на плоскости г л + £>~0. Написать это
условие также в координатах при условии, что го^=^
— froJJ/o; 2о}, а = {/; т\ п}, л = {Л; В; С).
1139. Составить уравнение плоскости, проходящей
через прямую r = ro + ^i^ параллельно прямой [ra23 = m.
1140. Вывести условие, при котором две прямые
г я=в п + ait и г = r2 + a2t лежат в одной плоскости.
1141. Найти радиус-вектор точки пересечения прямой
г = г0 + at и плоскости гп 4- D = 0. Вычислить также
172

координаты х, у, z точки пересечения при условии, что
го = {хо\ уо\ 20}, <* = {/; т> «). л = {Л; Я; С}.
1142. Найти радиус-вектор проекции М\ {г{) на пло-
плоскость rn + D = Q. Вычислить также координаты х, у, г
этой проекции при условии, что r{={xi\ tj\\ z{}y л={Л; В; С}.
1143. Найти радиус-вектор проекции точки Мх (г^ на
прямую г *= г0 + *t. Вычислить также координаты х, у, z
этой проекции при условии, что ri = {x{\ у{; zj, ro =
о; У6 ^оЬ а = {1; т\ п}.
1144. Вычислить расстояние d точки Mj (rj) от пря-
м ==го + ^^ Выразить расстояние d также в ко-
координатах при условии, что гх «= [х{\ ух\ z{), го={л:о; у6 20),
д = {/; т; /г}.
1145. Вычислить кратчайшее расстояние d между
двумя скрещивающимися прямыми: г*=*гг-{-а^ и г =
= г2 + «2^ Выразить расстояние d также в координатах
при условии, что
2; у2;
л", ={^; rnt; /г,}, йг113^
1146. Доказать, что уравнение (г — r0J = R2 опреде-
определяет сферу с центром С(г0) и радиусом, равным R
(т. е. что этому уравнению удовлетворяет радиус-
вектор г точки М в том и только в том случае, когда М
лежит на указанной сфере).
1147. Найти радиус-векторы точек пересечения прямой
г —at и сферы r2 = R2. Вычислить также координаты
точек пересечения при условии, что а — {1; т\ п}.
'1148. Найти радиусы-векторы точек пересечения пря-
прямой г = r0 -\- at и сферы (г — г0J = R2. Вычислить также
координаты точек пересечения при условии, что го =
= {*о; Уо, 20}, « = {/; т\ п).
1149. Точка Mj (Г[) лежит на сфере (r — rQf — R2.
Составить уравнение касательной плоскости к этой
сфере в точке М,.
1150. Составить уравнение сферы, которая имеет
центр С {г:) и касается плоскости /•л + ^ = 0. Написать
уравнение этой сферы также в координатах при усло-
условии, что /-^{лу, у и Zi}y n = {A\ В\ С}.
1151. Составить уравнения плоскостей, касательных
к сфере r2=*R2 и параллельных плоскости гп + Ъ = 0.
Написать уравнения этих плоскостей также в коорди-
координатах при условии, что л = {Л; В\ С}.
173

1152. Через точки пересечения прямой г = го-Ьа/ и
сферы (г — r0J = R2 проведены касательные плоскости
к этой сфере. Составить их уравнения. Написать урав-
уравнения этих плоскостей также в координатах при усло-
условии, что ro*={*o; «/о*. z0), Л=я№ т» ЛЬ
§ 46. Поверхности второго порядка
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой си-
системе декартовых прямоугольных координат определяется уравне-
уравнением
X2 У2 22
L 0)
У2
-
22
Уравнение A) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Величины а, Ь, с суть полуоси эллипсоида (рис. 47). Если все они
Рис. 47.
различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-
нибудь две из них одинаковы, эллипсоид является поверхностью
вращения. Если, например, а = 6, то осью зращения будет Oz. При
а=Ь<с эллипсоид вращения называется вытянутым, приа—Ь>с—
сжатым. В случае, когда а = Ъ = с, эллипсоид представляет собой
сферу.
Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой
системе декартовых прямоугольных координат определяются урав-
уравнениями:
2 г2
У*
C)
Гиперболоид, определяемый уравнением B), называется одно-
полостным (рис. 48); гиперболоид, определяемый уравнением C), —•
двухполостным (рис. 49); уравнения B) и C) называются канониче-
каноническими уравнениями соответствующих гиперболоидов. Величины а, Ь, с
174

называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного ги-
гиперболоида, заданного уравнением B), только первые из них (а и Ь)
показаны на рис. 48. В случае двухполостного гиперболоида, задан-
заданного уравнением C), одна' из них (именно, с) показана на рис. 49.
Гиперболоиды, определяемые уравне-
уравнениями B) и C), при а
поверхностями вращения
' Ь ЯВЛЯЮТСЯ
Рис. 48.
Рис. 49.
Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой
системе декартовых прямоугольных координат определяются урав*
нениями:
4- + -т- = 2г, D)
Я
E)
где р и q — положительные числа, называемые параметрами пара-
параболоида. Параболоид, определяемый уравнением D), называется
эллиптическим (рис. 50); параболоид, определяемый уравнением E),—
гиперболическим (рис. 51). Уравнения D) и E) называют канониче-
каноническими уравнениями соответствующих параболоидов. 6 случае, когда
P — q, параболоид, определяемый уравнением D), является поверх-
поверхностью вращения (вокруг Oz).
Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое назы-
называется равномерным сжатием (или разномерным растяжением).
Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой а. За-
Зададим, кроме того, некоторое положительное число q. Пусть М—
175

произвольная точка пространства, не лежащая на плоскости a, Af0—
основание перпендикуляра, опущенного на плоскость а из точки М.
Переместим точку М по прямой ЛШ0 в новое положение М' так!
чтобы имело место равенство
и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от
плоскости а, где она была первоначально (рис. 52). Точно так же
мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на пло-
плоскости а; точки, которые расположены на плоскости а, оставим на
Рис. 51.
своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключе-
исключением тех, что лежат на плоскости а, переместятся; при этом рас-
расстояние каждой точки от плоскости а изменится в некоторое опре-
определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас пе-
перемещение точек пространства
называется его равномерным сжа-
сжатием к плоскости а; число q носит
название коэффициента сжатия.
Пусть дана некоторая поверх-
поверхность F; при равномерном сжатии
пространства точки, которые ее со*
ставляют, переместятся и в но-
новых положениях составят поверх»
Рис- 5^- ность F'. Будем говорить, что
поверхность F' получена из F
в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что
многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического
параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия
из поверхностей вращения.
Пример. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид
может быть получен из ' сферы
176
+ г* = а

результате двух последовательных равномерных сжатий прост-
пространства к координатным плоскостям: к плоскости Оху с коэффициен-
коэффициентом сжатия <7i —— и к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия
Доказательство. Пусть производится равномерное сжатие
С
пространства к плоскости Оху с коэффициентом <7i =» — и пусть
ЛГ (*'*. У'> «О—точка, в которую переходит при этом точка М (х\ у, z).
Выразим координаты xr, yf, z точки ЛГ через координаты х, у, г
точки М. Так как прямая ММ' перпендикулярна к плоскости Оху,
то / =sjt, yf = #. С другой стороны, так как расстояние от точки М'
до плоскости Оху равно расстоянию от точки М до этой плоскости,
С С
помноженному на число <7i=—, то ^ = — z.
Таким образом, мы получаем искомые выражения:
*'*=*, у'=*у, * — — z> F)
или
Х = хг, У = у', z = ~z'. G)
с
Предположим, что М {х; у; z)~произвольная точка сферы
х2 + у2 + г2 = а2.
Заменим здесь х, у, z их выражениями G); мы получим:
откуда
а:
2
'2 у'2 г'2
02
Следовательно, точка ЛГ (х; у'\ z') лежит на эллипсоиде вращения.
Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к пло-
плоскости Oxz по формулам:
г'=
тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение кото»
рого дано в условии задачи.
Отметим еще, что однополостиый гиперболоид и гиперболиче-
гиперболический параболоид суть линейчатые поверхности, т. е. они состоят из
прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими
указанных поверхностей.
Однополостный гиперболоид ^
X2 , У2
+
J77

имеет две системы прямолинейных образующих, которые опреде-
определяются уравнениями:
где а и Р — некоторые числа, не равные одновременно нулю. Ги«
перболический параболоид
также имеет две системы прямолинейных образующих, которые
определяются уравнениями:
Конической поверхностью, или конусом» называется поверхность,
которая описывается движущейся прямой (образующей) при усло-
условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересе-
пересекает некоторую определенную линию L. Точка S называется вер-
вершиной конуса; линия L — направляющей.
Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется по-
поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей)
при условии, что эта прямая имеет постоянное направление и пере-
пересекает некоторую определенную линию L (направляющую).
1153. Установить, что плоскость х — 2 = 0 пересекает
эллипсоид -jg- 4- -jg* + ~4~ ~ 1 по эллипсу; найти его по-
полуоси и вершины.
1154. Установить, что плоскость г •+■ 1 =0 пересекает
х2 и2 г2
однополостный гиперболоид ^ —j-g- + — = 1 по гипер-
гиперболе; найти ее полуоси и вершины.
1155. Установить, что плоскость у + 6 = 0 пересекает
гиперболический .параболоид |- — ^- = 6г по параболе;
найти ее параметр и вершину.
1156. Найти уравнения проекций на координатные
плоскости сечения эллиптического параболоида у2 + z2=x
плоскостью х + 2у — z = 0
1157. Установить, какая линия является сечением
эллипсоида ^ + ^г + ij-= 1 плоскостью 2х — Zy -\-4z—
— 11=0, и найти ее центр.
178

1158. Установить, какая линия является сечением
2 9
гиперболического параболоида -£ \~==У плоскостью
Ъх — Зг/-f 4z 4-2 = 0, и найти ее центр.
1159. Установить, какие линии определяются сле-
следующими уравнениями:
2)"
х — 2у 4- 2 = 0;
и найти центр каждой из них.
1160. Установить, при каких значениях т плоскость
^ -j. mz — 1 = 0 пересекает двухполостный гиперболоид
#2 + У2 — z2'= — 1 Ю по эллипсу, б) по гиперболе.
1161. Установить, при каких значениях т плоскость
х + ту — 2 — 0 пересекает эллиптический параболоид
-£--|--5-=f/ а) по эллипсу, б) по параболе.
2 о
1162. Доказать, что эллиптический параболоид
1 2
~--\-■?—==: 2у имеет одну общую точку с плоскостью
2х — 2у — г — 10 = 0, и найти ее координаты.
1163. Доказать, что двухполостный гиперболоид
4- + Л—-|g- *=* — 1 имеет одну общую точку g пло-
плоскостью 5* -|- 2z + 5 =s 0, и найти ее координаты.
f
1164. Доказать, что эллипсоид ■—- + -fg- + \- = 1
имеет одну общую точку с плоскостью 4*—Зг/+12г—54=0,
и найти ее координаты.
1165. Определить, при каком значении т плоскость
#-^2г/ — 22 4-ш = 0 касается эллипсоида -щ- + -|г -{-
1166. Составить уравнение плоскости, перпендику-
перпендикулярной к вектору п = {2; — 1; —2} и касающейся эллип-
2 2
тического параболоида -^-
1167» Провести касательные плоскости к эллипсоиду
Ах2 + 16#2 + S^2 = 1 параллельно плоскости х — 2у +
179

-\-2z + 17 = 0; вычислить расстояние между найденными
плоскостями.
1168. Коэффициент равномерного сжатия простран-
ства к плоскости O.yz равен -g-. Составить уравнение по-
поверхности, в которую при таком сжатии преобразуется
сфера #2 +*/2 + z2~25.
1169. Составить уравнение поверхности, в которую
у.2 у2 22
преобразуется эллипсоид -^ + -gr + -^ « 1 при трех по-
последовательных равномерных сжатиях пространства
к координатным плоскостям, если коэффициент сжатия
Q л
к плоскости Ол:// равен -j, к плоскости Ояг равен -%
и к плоскости Оуг равен -j.
1170. Определить коэффициенты qx и <72 Двух после-
последовательных равномерных сжатий пространства к коор-
координатным плоскостям Оху, Охг, которые преобразуют
сферу х2 + у2 + z2 = 25 в 'эллипсоид ^ + j^ +-j = 1.
1171. Составить уравнение поверхности, образован-
2 2
U2
эллипса -р
Z2
-^ = \t x == 0
вокруг
ной вращением
оси Оу.
Решение*). Пусть М (х; у; z) — произвольная точка про-
пространства, С — основапие перпендикуляра, опущенного из точки М
Рис. 53.
на ось Оу (рис. 53). Вращением этого перпендикуляра вокруг оси Оу
точка М может быть - переведена в плоскость Oyz; в,этом располо-
жении обозначим ее N @; К; Z). Так как СМ— СМ я СМ — У х2 + z2,
*) Задача 1171 решена здесь как типовая.
180

CN — I Z1, то
\Z\-*Vx*+z2. A)
Кроме того, очевидно, что
У - У- B)
Точка М лежит на рассматриваемой поверхности вращения в том
и только в том случае, когда N лежит на данном эллипсе, т.е.
когда к» z*
-р" + ~в1; (8)
принимая во внимание равенства A) и B), отсюда получаем урав-
уравнение для координат точки М:
Из предыдущего ясно, что оно удовлетворяется в том и только
в том случае, когда точка М лежит на рассматриваемой поверхно-
поверхности вращения. Следовательно, уравнение D) и есть искомое урав«
нение этой поверхности.
1172. Составить уравнение поверхности, образован-
образование2 и1
ной вращением эллипса -^ + ф-« 1, 2 = 0 вокруг
оси Ох.
1173. Составить уравнение поверхности, образован-
X2 Z1
ной вращением гиперболу -у—^г—1» # = 0 вокруг
а с
оси Oz.
1174. Доказать, что трехосный эллипсоид, опреде-
у2 ,,2 Z1
ляемый уравнением —7 + -тд- + -ф-~ 1. может быть по-
лучен в результате вращения эллипса -^- + -|з-= 1,г=0
вокруг оси Ох и последующего равномерного сжатия
пространства к плоскости Оху.
1175. Доказать, что однополостныи гиперболоид,
х2 у2 г2
определяемый уравнением ~у + 42—тг^3!» может
быть получен в результате вращения гиперболы
И? —^2 !=я: Ь /У = 0 вокруг оси Oz и последующего равно-
равномерного сжатия пространства к плоскости Охг.
1176. Доказать, что двухполостный гиперболоид,
X2 W2 22
определяемый уравнением —2- + 4г j"*53"—!» может
С* О С
быть получен в результате вращения гиперболы
■р— -£р = 1, # aps 0 вокруг оси 02 и последующего
равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz.
18L

1177. Доказать, что эллиптический параболоид, опре-
деляемый уравнением — + — = 2г, может быть полу-
получен в результате вращения параболы x2 = 2pz, г/ = 0
вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия про-
пространства к плоскости Oxz.
1178. Составить уравнение поверхности, образован*
ной движением параболы, при условии, что эта пара-
парабола все время остается в плоскости, перпендикулярной
к оси Оу, причем ось параболы не меняет своего напра-
направления, а вершина скользит по другой параболе, заданной
уравнениями y2=—2qz, л: = 0. Подвижная парабола
в одном из своих положений дана уравнениями х2= 2pz,
г/ = 0.
1179. Доказать, что уравнение z = xy определяет
гиперболический параболоид. __
1180. Найти точки пересечения поверхности и прямой:
А ГУ 9
\\ JL 4- ^— 4- — =
x/_ \ У zl i • x_ у
* _ У-2
4) ^--|- =
1181. Доказать, что плоскость 2х — \2у — z + 16 = 0
пересекает гиперболический параболоид x2 — 4y2 = 2z
по прямолинейным образующим. Составить уравнения
этих прямолинейных образующих.
1182. Доказать, что плоскость Ах — Ъу — Юг — 20 = 0
X2 U2 22
пересекает однополостный гиперболоид ^ + тъ —г = 1
по прямолинейным образующим. Составить уравнения
этих прямолинейных образующих.
1183. Убедившись, что точка МA; 3; —1) лежит на
гиперболическом параболоиде Ах2 — z2 = y, составить
уравнения его прямолинейных образующих, проходящих
ч?рез М.
1184. Составить уравнения прямолинейных образую-
.2 у2 ~2
у у 2
щих однополостного гиперболоида —Ч--^ j^- == I,
параллельных плоскости 6* + Ау + Зг — 17 = 0.
182

1185. Убедившись, что точка А (—2; 0; 1) лежит на
х2 и2
гиперболическом параболоиде — ^-==2, определить
острый угол, образованный его прямолинейными обра-
образующими, проходящими через А.
1186. Составить уравнение конуса, вершина которого
находится в начале координат, а направляющая дана
уравнениями:
.,2 О\ , v2 -?2
_ У__ 1 Z) t X | _z 1
!*5
1187. Доказать, что уравнение z2 = xy определяет
конус с вершиной в начале координат.
1188. Составить уравнение конуса с вершиной в на-
начале координат, направляющая которого дана уравне-
уравнениями х2 — 2г + 1 = 0, у — г + 1 = 0.
1189. Составить уравнение конуса с вершиной в точке
@; 0; с), направляющая которого дана уравнениями
1190. Составить уравнение конуса, вершина которого
находится в точке C; —1; —2), а направляющая дана
уравнениями х2 + У2 — 22= 1» х—-y + z = 0.
-1191. Ось Oz является осью круглого конуса
с вершиной в начале координат, точка Мх C; —4; 7)
лежит на его поверхности. Составить уравнение этого
конуса.
1192. Ось Оу является осью круглого конуса с верши-
вершиной в начале координат; его образующие наклонены
под углом в 60° к оси Оу. Составить уравнение этого
конуса.
* 1193. Прямая -^—• ~ У^2 sas g—i являет'ся осью
круглого конуса, вершина которого лежит на плоско-
плоскости Oyz. Составить уравнение этого конуса, зная, что
точка мА\\ 1; —-H лежит на его поверхности.
1194. Составить уравнение круглого конуса, для ко-
которого оси координат являются образующими.
183

1195. Составить уравнение конуса с вершиной в точке
S E; 0; 0), образующие которого касаются сферы
*2 + г/2 + 22 = 9.
1196. Составить уравнение конуса с вершиной в на-
начале координат, образующие которого касаются сферы
U-r*2J + (//-lJ-Hz-3J = 9.
1197. Составить уравнение конуса с вершиной
в точке SC; 0; —l), образующие которого касаются
х2 и2 z2
эллипсоида —+ ^- + —— Ь
1198. Составить уравнение цилиндра, образующие
которого параллельны вектору / = {2; —3; 4), а напра-
направляющая дана уравнениями х2 + г/2 = 9, 2=1.
1199. Составить уравнение цилиндра, направляющая
которого дана уравнениями x2 — y2 = z, х + у + z = 0,
а образующие перпендикулярны к плоскости направ-
направляющей.
1200. Цилиндр, образующие которого перпендику-
перпендикулярны к плоскости х-\- у — 22 — 5 = 0, описан около
сферы х2-\-у2-{■ z2 = \. Составить уравнение этого ци-
цилиндра.
1201. Цилиндр, образующие которого параллельны
прямой x~2t — 3, #=--*Н-7, z = —-2^ + 5, описан
около сферы х2 + у2 + z2 — 2х + Ay -f- 2z — 3 = 0. Соста-
Составить уравнение этого цилиндра.
1202. Составить уравнение круглого цилиндра, про-
проходящего через точку SB; —1; 1), если его осью слу-
служит прямая х = 3*+1, {/ = —2f-~2, z = *-{-2.
1203. Составить уравнение цилиндра, описанного
около двух сфер: {х — 2J + {у — lJ-j-22 = 25 2 + 2
-r-z2 — 25.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
§ 1. Определители второго порядка и система двух
уравнений первой степени с двумя неизвестными
Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел аи й2> b\> Ь2:
С1 »)• * ">
Число a]b2 — a2bi называется определителем второго порядка,
соответствующим таблице A). Этот определитель обозначается сим-
п\ Ь
волом
а2
соответственно имеем:
а, Ь{
а2 62
B)
Числа а\, а2, Ъь Ь2 называются элементами определителя. Говорят,
что элементы п\, Ь2 лежат на главной диагонали определителя,
аг, &i — на побочной. Таким образом, определитель второго порядка
равен разности между произведениями элементов, лежащих на
главной и побочной диагоналях. Например,
—3 2
в—3«4 —(—1)»2 —-10.
— 1 4
Рассмотрим систему двух уравнений
C)
а2х + b2y
с двумя неизвестными х, у. (Коэффициенты аи Ьъ а2, Ъ% и свобод»
«ые члены hu h2 предположим данными.) Введем обозначения
а2 bz
D)
Определитель А, составленный из коэффициентов при неизвестных
системы C), называется определителем этой системы. Определи-
Определитель ДЛ получается путем замены элементов первого столбца
185

определителя Д свободными членами системы C); определитель Ау
получается из определителя Д при помощи замены свободными
членами системы C) элементов его второго столбца.
Если Д=И=0, то система C) имеет единственное решение; оно
определяется формулами
Л* At/
Х Д ' У Д * W
Если Д = 0 и при этом хотя бы один из определителей Д*, Ду
отличен от нуля, то система C) совсем не имеет решений (как го-
говорят, уравнения этой системы несовместимы).
Если же Д = 0, но также &х== &у=>0, то система C) имеет
бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений си-
системы есть следствие другого).
Пусть в уравнениях системы C) А1 = Л2==0; тогда система C)
будет иметь вид:
0.
F)
Система уравнений вида F) называется однородной; она всегда
имеет нулевое решение: х = 0, г/ —0. Если Д=^0, то это решение
является единственным* если же Л = 0, то система F), кроме ну-
нулевого, имеет бесконечно много других решений.
1204. Вычислить определители:
1)
4)
7)
-1
-5
3
5
а-г
4
2
16
10
- 1
-а
1
Ь
аЬ
2)
5)
— ас
3
1
а
а2
?
4
2
1
а
*
; 3)
6)
8)
3
5
1
Х\
cos
sin
6
10
1
х2
а —
а'
cos а
1205. Решить уравнения:
1)
3)
5)
7)
2 х
1
X
-4
х +
1
4 sin
1-
4
X
X
1
X
4
+
+
х -
ее
* •
1
1
= 0;
-5
-1
1
>S*J1
с
= 0;
= 0;
2)
4)
6)
8)
1 4
Ъх х + 22
0;
Зх
1
л: 2дг —3
* —4 *4-2
cos 8jc — sin 5л;
-0.
185

1206. Решить неравенства:
1)
3)
ОХ ~~ О Z,
X 1
2л:-2 1
7л: 2
2)
4)
1
2
X
4
■5
X
ох
2х
<
1207. Найти все решения каждой из следующих
систем уравнений:
1) | Злг — 5г/== 13, 2) Г Зу-4х=\,
4)
6)
3) Bх—3у = 6,
\ 4л: — 6у = 5;
5)
=1,
— Зг/ = V3;
1 Ьх -
1208. Определить, при каких значениях а и & си-
система уравнений Зх — ау=\, 6х + 4у = Ь 1) имеет
единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет
бесконечно много решений.
1209. Определить, при каком значении а система
однородных уравнений 13л: + 2г/ = 0, Ъх 4- ау = 0 ■ имеет
ненулевое решение.
§ 2. Однородная система двух уравнений первой
степени с тремя неизвестными
Пусть дана система двух однородных уравнений
а3х + Ь2у + с2г = 0
с тремя неизвестными х, у, г. Введем обозначения:
А.
(О
b<i Ci
"а, "с,
а1 Ь^
U2 Ь2
Если хотя бы один из определителей Дь Д2, Аз не равен нулю, то
все решения системы A) будут определяться по формулам
х = Д,г, у — — Д2/, 2 = A3?,
где / — произвольное число. Каждое отдельное решение получается
при каком-либо определенном значении U
187

Для практики вычислений полезно заметить, что определители
Л», Д2> Дз получаются при помощи поочередного вычеркивания столб-
столбцов таблицы:
/ ах b{ cx \
\а2 Ь2 с2г
Если все три определителя Ль Д2, Дз равны нулю, то коэффициенты
уравнений системы A) пропорциональны. В этом случае одно из
уравнений системы есть следствие другого и система фактически
сводится к одному уравнению. Такая система, естественно, имеет
бесконечно много решений; чтобы получить какое-нибудь из них,
следует двум неизвестным придать произвольно численные значе-
значения, а третье найти из уравнения.
1210. Найти все решения каждой из следующих си-
систем уравнений:
1)
3)
5)
7)
9)
И)
За- — 2у + 52 = О,
х -\- 2у — 32 = О;
( Зл:
2х — 9у + 32 = 0;
— Он _1_ <у — О
\ Зл: — 5# + 22 = 0;
Г х + Зу- 2 = 0,
\ 5л: —Зг/ + г = .О;
| ах + 2г/ ~ 2 = 0,
2)f Зл; — 2у + 2 = 0,
1 6л: - 4у + Зг = 0;
4) | Зл--2г/+ 2 = 0,
I х + 2у— 2 = 0;
6) | 2л; — у — 2г = О,
\ л; — 5?/ + 22 = 0;
8) Г Зл:-5#+ 2 = 0,
I х -\-2у — z — 0;
10) Г ал: + г/+ 2 = 0,
1 л; — у + а2 = 0;
12) J л; — Зг/ + az = О,
\ йл: + 6г/ — 2 = 0.
§ 3. Определители третьего порядка
Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел аи а2, а3)
£>3, С\) С2> С$
п\ Ьх С\
п2 Ь2 С2
а3 Ь$ Сз
A)
Определителем третьего порядка, соответствующим таблице A),
называется число, обозначаемое символом
188

jj определяемое равенством
а2 Ьг
аз Ь3
. B)
Числа flti, а2, аз, bu b2, b3, c{i е2, Сз называются элементами опре-
определителя. Элементы п\, Ь2, сэ расположены на диагонали определи-
определителя, называемой главной; элементы аз, Ь2, с{ составляют его по-
побочную диагональ. Для практики вычислений полезно заметить, чтд
первые три слагаемые в правой части равенства B) представляют
собой произведения элементов определителя, взятых по три так,
как показано различными пунктирами на нижеприводимой схеме
слева.
Чтобы получить следующие три члена правой части равенства B),
нужно перемножить элементы определителя по три так, как
.' /
..-••■' ^
х-
< X У.
\o/" 'Ьл
A />\
\o3
У
показано различными пунктирами -на той же схеме справа, после
чего у каждого из найденных произведений изменить знак.
В задачах 1211 — 1216 требуется вычислить опреде-
определители третьего порядка.
1211.
1213.
1215.
3
-2
2
1
0
2
1
0
2
1
0
5
-2
1
1 3
0 -2
0 5
3 16
-1 10
0
3
-1
•
•
1212
•
1214.
1216.
0
а
а
а
0
а
1
0
5
2
2
0
а
а
0
2
1
0
■
0
3 .
-1
-1 3
3 2
2 5
189

§ 4. Свойства определителей
Свойство I. Величина определителя не изменится, если все
его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить
столбцом с тем же номером, т. е.
a,
аг
«3
b\ сг
b2 c2
Ьз Сз
п\ 0
из
Свойство 2. Перестановка двух столбцов или двух строк
определителя равносильна умножению его на —I. Например,
п\ Ь\ С\
а% b% c>
а3 Ьз С[
Свойство 3. Если определитель имеет два одинаковых
столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
.Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца
или одной строки определителя на любое число к равносильно
умножению определителя на это число k. Например,
С\
h
из
Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца или
некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю.
Это свойство есть частный случай предыдущего (при & = 0).
Свойство 6. Если соответствующие элементы двух столб-
столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определи-
определитель равен нулю.
Двойство 7. Если каждый элемент «-го столбца или
п-й строки определителя представляет собой сумму двух слагае-
слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы
двух определителей, из которых один в n-м столбце, или соответ-
соответственно в n-й строке, имеет первые из упомянутых слагаемых, а
другой — вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех
трех определителей одни и те же. Например,
#2
4
ь2
С1
с2
Ч
=
а[
4
4
Ь\ с\
&2 ^2
ba eg
+
а"
4
h
b2
h
Ч
Ч
Свойство 8. Если $ элементам некоторого столбца (или
некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого
столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множи-
190

тель, то величина определителя при этом не изменится. Например,
ij + kbx b\ С]
*2 + kb2 b3 с-
из +
ах
а2
с2
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алге-
алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента
называется определитель, получаемый из данного путем вычерки-
вычеркивания строки' и столбца, на пересечении которых расположен
этот элемент.
Алгебраическое дополнение любого элемента определителя
равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если
сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых рас-
расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если
это число нечетное.
Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать
большой буквой того же наименования и тем же номером, что и
буква, которой обозначен сам элемент.
Свойство 9. Определитель
а, 6, сх
а2 &2 <?2
из &з Сз
равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или
строки) на их алгебраические дополнения.
Иначе говоря, имеют место следующие равенства:
Д = п\,Ах + ЬХВХ +
с2С2,
Д = a, ^i + а2А2
Д == bxBi + ЬйВ2
Д = схСх + с2С2
В задачах 1217—1222 требуется, не раскрывая опре*
делителей, доказать справедливость равенств.
1217.
3
о
4
2
3
5
1
2
3
=
3 2
-2 3
4 5
7
-2
11
Указание. Воспользоваться свойством 8.
1218.
1 -2 3
-2 I -5
3 2 7
1 О О
-2 -3 1
3 8-2
191

Указание. Воспользоваться свойством &
1219.
а2 Ь2 с2
ах + <ха2 b[ + ab2 с{
= 0.
Указание. Воспользоваться свойствами 7, 3, 6.
1220.
Ьх с,
ус2 Ь2 с2
b3 c3
= 0.
Указание. Воспользоваться свойствами 7 и 6.
1221.
sin2 a cos2 а cos 2а
p cos2p cos2p
sin2v cos2y cos2y
= 0.
1222.
0 —а —Ъ
a 0 — с
b с 0
= 0.
В задачах 1223—1227 требуется вычислить опре-
определители, пользуясь одним свойством 9.
1223.
1
1
-1
1224.
1225.
2 0 5
1 3 16
0 -1 10
1226.
1 17 -7
■1 13 1
1 7 1
1 2 4
-2 1 -3
3-4 2
1227.
1
х
1
У
1
z
У2 г2
192

1228. Определители, данные в задачах 1223—1227,
пользуясь свойством 8, преобразовать так, чтобы в ка-
каком-либо столбце (или строке) определителя два элемента
стали равными нулю, а затем вычислить каждый из них,
воспользовавшись свойством 9.
В задачах 1229—-1232 требуется вычислить опре-
определители.
1229.
О а Ь
а 0 а
Ь
1231.
X
а О
У
У2
if
1230.
1232.
0
sin a
ctg а sin а
a b с
cab
bed
sin а ctg а
0 sin а
О
1233. Доказать справедливость равенств:
1)
1 sin a sin2 а
sin2p
1 sinv sin2 v
= (sin а — sin p) (sin p — sin y) (sin у — sin a);
2)
1
1
1
tga tgP tgy
tg2a tg2p tg2Y
sin (а — C) sin.(ft — у) sin (у — а)
cos2 a cos2 (J cos2 у
1234..Решить уравнения:
1)
1
4
2
1235.
1)
7 Д.
3
5 —
-1
Решить
3 -2
1 X
-1 2
в.
Клетеник
X
1
5
2)
— 0;
X
неравенства:
3
2
-1
2)
3
2
+
2
I
5
10
. х-\
1
—
X
— 1
1
-2
4
3
1
-1
X
= 0.
>о.
193

§ 5. Решение и исследование системы трех уравнений
первой степени с тремя неизвестными
Рассмотрим систему уравнений
с неизвестными jc, г/, г (коэффициенты ах,
члены hi, hit h3 предположим данными).
Введем обозначения:
(О
* с3 и свободные
Д = <72 ^2 ^2 » ^ЛТ= Л2 ^2 ^2 » Д^^ Яо Ло С?
#3 ^3 ^-3  ^3 ^3
ал Ъл hx
а<2 bo /t2
■
Определитель Д, составленный из коэффициентов при неизвест-
неизвестных системы A), называется определителем данной системы.
Полезно заметить, что определители Ах, Ау, Аг получаются
из определителя Д при помощи замены соответственно его первого,
второго и, наконец, третьего столбца — столбцом свободных членов
данной системы.
Если Д ф 0, то система A) имеет единственное решение; оно
определяется формулами
А х Аь Дг
Х~ . , У— гг- , Z— д .
Предположим теперь, что определитель системы равен нулю;
Д = 0. Если в случае Д = 0 хотя бы один из определителей Д*, Д^,
Аг отличен от нуля, то система A) совсем не имеет решений.
В случае, когда Д = 0 и одновременно ДЛГ = 0, Ау — 0, Дг = 0,
система A) также может совсем не иметь решений; но если
система A) при этих условиях имеет хотя бы одно решение", то она
имеет бесконечно много различных решений. Однородной системой
трех уравнений первой степени с тремя неизвестными называется
система видаг
B)
т. е. система уравнений, свободные члены которых равны нулю.
Очевидно, что такая система всегда имеет решение: *=:0, у=0,
г=0; оно называется нулевым. Если А Ф 0, то это решение
является единственным. Если же Д=гО, то однородная система B)
имеет бесконечно много ненулевых решений,
194

В задачах 1236—1243 требуется установить, что
системы уравнений имеют единственное решение, и
найти его.
1236.
1238.
1237.
1239.
к 0 + 2 — X— 7.
I л:+ 20+ 2 = 4,
2л:+ 70— z = 8.
2х + 0= 5,
л:+ 32 =16,
50— 2=10.
( 7л: + 20 + 32= 15,
5л:— 30 + 22= 15,
Юл: —11?/ + 52 = 36.
1242.
= a, 1243.
х — 0 + 2 = а,
у -\- z — х = с.
I л: + 0 — 2 = с. ,
1244. Найти все решения системы
х + 20 -42=1,
2л: + 0 —52 = —1,
д. j, 2 = 2.
1245. Найти все решения системы
2л:— 0+ 2 = —2,
л:+ 20+ 32 = — 1,
л: —30 —22 = 3.
1246. Найти все решения системы
Зл: — 0 + 22 = 5,
2л:— 0— 2 = 2,
4л: — 20 — 22 = —3.
1247. Определить, при каких значениях а и Ь си-
система уравнений
Зл: —20+ 2 = 6,
5* — 80 + 92 = 3,
12л:+ 0 4
7*
195

1) имеет единственное решение;
2) не*имеет решений;
3) имеет бесконечно много решений.
1248. Доказать, что если система уравнений
axX'
a2x
a3x
совместна, то
a,
a2
c2
0.
a3 b3 C;
1249. Найти все решения системы
2х + у- 2 = 0,
I 2х — г/ + 32 = 0!
12^0. Найти все решения системы
л;— г/— 2 = 0,
3* -К 7# -I- 3z = 0.
1251. Определить, при каком значении а система
однородных уравнений
Зл: — 2г/ 4- 2 = 0,
ах— Ну 4 152 = 0,
*+ 2г/— 32 = 0
имеет ненулевое решение.
§ 6. Определители четвертого порядка
Все свойства определителей, перечисленные в § 4, относятся
к определителям любого порядка. В настоящем параграфе следует
применить эти свойства для вычисления определителей четвертого
порядка.
196

В задачах 1252—1260 требуется вычислить опре»
делители четвертого порядка.
1252.
1254.
1256.
1258.
1260.
-3 0
2
0
3
3
2 2
1 3
-I 5
-1
1
1
1
8 7
-8 2
а
b
с
d
0
а
b
d
4 4
0 4
b с
a d
• d a
с b
—a
■ 0
с
e
0
0
-1
3
1
2
2
6
2
7
4
-3
d
с
b
a
~b
0
0
0
0
0
5
0
1
3
1
0
10
5
2
«
■
•
о
-d
~e
0
0
1253.
1255.
1257.
1259.
2
0
0
0
2
2
6
2
0
b
с
d
a
d
с
b
3
1
2
3
b
0
d
с
b
a
d
с
-1
-1
0*
0
3
5
5
0
-3
1
с
d
0
b
с
b
a
d
1
0
d
с
b
0
d
с
b
a
4
-3
q
2
4
2
0
-5
*
*
1261. Доказать, что если система уравнений
f B2y 4- C2z 4- A> = 0»
Лз-^ 4* ^з£/ 4* ^з^ 4" -^3==: 0»
совместна, то
А2 В2 С2 D2
Л3 В3 Сз /)з
л4 вА с4 d4
= 0.
197

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
1. См. рис. 54. 2. Указание. Уравнение |#| = 2 эгсви-
вялеитно двум уравнениям: х——2 и х — 2; соответственно имеем
две точки: /li( — 2) и А2 B) (рис. 55). Уравнение | jc — 1 | ===== 3 экви-
Рис. 54.
о
4
Рис. 55.
в а от точки
точку
включая
от точки
валентно двум уравнениям: х — 1 = —3 и х— 1=3, откуда нахо-
находим .*:= —2 и * = 4 и соответствующие им точки Bj и В2 (рис. 55).
В остальных случаях решения аналогичны. 3. Точки расположены:
1) справа от точки Мх B); 2) слева
/ от точки М2 C); включая точку М2;
3) справа от точки Ms A2); 4) слё-
5) справа
1-^-1; 6) внутри отрезка, огра-
ограниченного точками Мц(\) и М2 C); 7) внутри отрезка, ограни-
ограниченного точками М7{—2) и М2 C), включая точки М7 и М2\
8) внутри отрезка, ограниченного точками А(\) и В B); 9) вне
отрезка, ограниченного точками Р( — 1) и Q B); 10) вне отрезка,
ограниченного точками А(\) и В B); 11) внутри отрезка, ограничен-
ограниченного точками Р {— 1) и Q B); 12) внутри отрезка, ограниченного
198

точками М C) и N E), включая точки М й N; 13) вне отрезка,
ограниченного точками М C) и М E); 14) вне отрезка, ограничен-
ограниченного точками Pi (—4) и Qt C); 15) внутри отрезка, ограниченного
точками Pi (—4) и Qi C), включая точки Рг и Q}. 4. 1) ЛВ —8,
АВ | = 8; 2) АВ = -3, АВ I = 3; 3) АВ = 4, | ЛВ | = 4; 4) ЛВ = 2,
j АВ I — 2; 5) АВ = -2, ЛВ | = 2; 6) ЛВ = 2, | ЛВ | = 2. 5. 1) -2;
2) 5; 3) 1; 4) -8; 5) -2 и 2; 6) -1 и 5; 7) -6 и 4; 8) -7 и -3.
С. I) Внутри отрезка, ограниченного точками Л( —1) и ВA); 2) вне
отрезка, ограниченного точками Л (—2) и В B); 3) внутри отрезка,
ограниченного точками Л (—2) и В B), включая точки Л и В;
4) вне отрезка, ограниченного точками А (—3) и В C), включая
точки Л и В; 5) внутри отрезка, ограниченного точками Л (—1)
и В E); 6) внутри отрезка, ограниченного точками Л D) и В F),
включая точки Л и В; 7) вне отрезка, ограниченного точками А (—1)
и ВC), включая точки Л и В; 8) вне отрезка, ограниченного
точками Л B) и В D), включая точки Л и В; 9) внутри отрезка,
ограниченного точками Л(—4) и В B); 10) вне отрезка, ограни-
ограниченного точками Л(—3) и В{ — 1); 11) внутри отрезка, ограни-
ограниченного точками Л (—6) и В (—4), включая точки Л и В;
12) вне отрезка, ограниченного точками Л (—3) и В A), включая
точки
Л я В.' 7.
8. А,,
1) 1; 2) -у; 3) 2;
— о. j _св_ 1 . л _лс_
Ж^ ' Л2"~ВЛ~"Т' М~СВ-~
1; ,-
ВС
11
3
вл
3*
Q Я
— X
10. * =
11. д;==
1
13. L)
17
2) -
.12. 1) 4; 2) 2;
13 _ I
/7
в
F
0
Д
3) -2; 4) -2; 5) -^.
4) 7; 5) 3; 6) 0. 14. 1) М (-11);
2) ЛГ A3). 15. E) и A2). 16. Л G) и
£(— 41). 17. См. рис 56. 18. Ах{2\ 0),
Вх[3; 0), С* (-5; 0), • D,(-3; 0),
£,(-5; 0). 19. Л„@; 2), Ву{0; 1),
С„ (О, -2), Dy@; 1), £^@; -2).
20. 1) 'B; -3); 2) (-3; -2);
3) (-1; 1); 4)(-3;5); 5) (-4; -6);
6) (а;'-6), 21. 1) A;2); 2) (-3;-1);
3) 2; -2); 4) B; 5); 5) (-3; -5);
6) -а; Ь). 22. 1) (-3; -3);
2 -2; 4); 3) B; -1); 4) (-5; 3);
5 E; 4); 6) (~ а; - Ь). 23. 1) C; 2);
2 (-2; 5); 3) D; -3). 24. 1)(-5; -3);
2 (-3; 4); 3) B; -7). 26. 1) В первой
и третьей; 2) во второй и четвертой; 3) в первой и третьей;
4) во второй и четвертой; 5) в первой, второй и четвертой;
б) во второй, третьей и четвертой; 7) в первой, третьей и четвертой;
Рис. 56.
) р, р р ) р р р
8) в первой, второй и третьей. 26. См. рис. 57. 27. (З; — "х]»
199

B; 4 я\ D; —4" яУ C; я —2). 29. С C; ~ я) и D [ 5; — U яУ
\3у\ 67 \ 9 ) \ 14/
30. (l; — ~У 31. л(з;—■£■), вB;—яУ С A; 0), D (б; ^У
£C;2-я), FB; зх— I). 32. Af, C; 0), "М2 (l; ^-), Af3 (г; - £),
я), Aiefl; ~-яУ 33. (б; $\,
/И3
33 )
/р? + р2-2р1р2со8(в2—G,). 35. rf=7. 36. 9 A7-4/з") кв. ед.
37. 2 A3+6 УТ) кв. ед. 38.28 Уз~ кв. ед.
39. S = —p,p2[sin(9,— 92)]. 40. 5 кв. ед.
41. 3D/3~— 1) кв. е_д. 42. /И, @; 6),
М2 E; 0), М3 (VT; /2 ), М4 (б; ГбУТ),
М5(-4; 4/3), ЛМб/З; -б).
43. /И, (б; у), А12C;я), Л^3 B; ^j,
|) (;-|). 44 1K;
Рис. 57.
3) Я
2) <*
-6,
2) -3; 3) 0; 4) 5; 5) -5; 6) 2.
47. 1) X = I, Y = 3; 2) X = - 4, Y — - 2;
3) Ы, К = -7; 4) Х-=5, У-3.
. 48. C; -_]_). 49. (-3; 2). 5_2. 1) X = - 6,
К = 6 Уз ; 2) X — 3 Уз, У — - 3;
-У5". 53. 1) 5; 2) 13; 3) 10. 54. 1) с? = 2, 6 = 4;
--ij 3)
■ 4, G
я. 55. 1) d
/Г, е--! я;
2) d = 5, 9 = arctg у — я; 3) d = 13, в— я—arctg -^ ; 4) d = /234,
6 = -arctg5. 56. 1) 3; 2) -3. 57. 1) (-9; 3); _2) (-9; -7).
58. 1) (-15; -12); 2) (t; -12). 59. -2. 60. ■ 32~~4. 61. 4.
62. 1) -5; 2) 5. 63. 1) 5; 2) 10; 3) 5; 4) Уб"; 5) 2У2~; 6) 13.
64 137 кв. ед. 65. 34 кв. ед. 66. 8Уз~кв. ед. 67. 13,15. 68. 150 кв. ед.
'69. 4 VT. 73 «£ М2М,/И3 - тупой. 75. «£ ВАС = 45е, <£ ABC = 45°,
«£; АС В — 90°. 76.60°. Указание. Вычислить длины сторон треуголь-
треугольника, а затем применить теорему косинусов. 77. Л1[F;0) и М2(—2;0).
78. Af, @; 28) и А12@; -2). 79. Р, A; 0) и Р2 F; 0). 80. С, B; 2),
Ri = 2; С2 A0; 10), Л2- 10. 81. С, (-3; -5), С2E;.-5). 82. М2C; 0).
83. В @; 4) и D(—1; —3). 84. Условию задачи удовлетворяют два
квадрата, симметрично расположенных относительно стороны АВ.
Вершины одного квадрата суть точки С] (—5; 0), Dx(— 2; —4),
вершины другого — С2 C; 6), D2F;2). 85. С C; — 2), Я =10.
86. A; —2). 87. Q D; 6). 88. Середины сторон АВ, ВС, АС соот-
соответственно суть B;-4), (-1; 1), (-2; 2). 89. 1) М A;3); 2) N D; -3).
90. A; -3), C; 1) и (-5; 7).' 91. D (-3; I). 92. E; -3), A; -5).
93. £>iB;l), £>2(—2; 9), D3 F; — 3). Указание. Четвертая вер-
вершина параллелограмма может быть противоположной любой из дан-
200

ных. Таким образом, условию задачи удовлетворяют три параллело-
параллелограмма. 94. 13. 95. B; -1) и C; 1). 96. f-|; -2). 97. 4рУТ.
AR АС'
д8, (_И; -3). 99. 4. 100. Л,—-g£-- 2; Л,2--^- 3;
Я3=-^-=»--|. 101. ЛC;-1)иВ@;8). 102. C;-1). 103. D;-5).
104. (— 9;0). 105. @; —3). 106. 1 :3, считая от точки В. 107. U-j5 l).
108. Хшт*1±Щ±*2-, у=яУ±±М£±У±% 109. Af(-I;O), С @; 2).
111. E; 5). 112. |i«| JLj}. 113. (|f а; ^-а).
тух + пу2
»»4- *- ш + „ + р • У т + п+р '
Указание. Вес однородной проволоки пропорционален ее длине.
116. 1) 14 кв, ед.; 2) 12 кв. ед.; 3) 25 кв. ед. 117. 5. 118. 20 кв. ед.
А 1 7 1
119.7,4. 120. * = -—, 0=4—. 121. x = -jj, У=»3-^-.
122. @; —8) или @; -2). 123. E; 0) или (-у5 oj. 124. E; 2)
или B; 2). 125. С, (-7; -3), D, (-6; -4) или С2A7; -3),
Da A8; -4). 126. Сх (—2; 12), D, (-5; 16) или C2(-2;|-j,
127. I) дг = *' + 3, у = у' + 4; 2) д: = х - 2,
у = у'+\; 3)jc = x'-3, у=уЧг5. 128. Л D; —1), Б @; -4),
С B; 0). 129. 1) А @; 0), Я (-3; 2), С (-4; 4); 2) А C; -2), В @; 0),
С (-1; 2); 3) А D; -4), В A; -2), С @; 0). 130. 1) C; 5); 2) £-2; 1);
3) @; — 1); 4)(-5;0). т. \) x-jL=O^ О£*£
у--*'; 5) * = -*', ущ—tf. 132. Л C КЗ"; l), ^
С C; - /Ю. _ 133. I) М (УТ; 2 У2~), N (-3 /г"; 2 /г"),
р(-/2"; -2/2); 2) МA; -3), iVE; 1), Р(-1; 3); 3) М(-1; 3),
Л/ (-5; -1), Р A; -3); 4) М (-3; -1), Л/ A; -5), Р C; I). 134. 1) 60°;
2) -30°. 135. О'B; -4). 136.. Х — /+1. у — у'-З.
137. i--|jt' + -|.^, у---|/ + -|у'. 138. Af 1 A; Б), ,AfaB;0).
Af3 <16j -5). 139. А F; 3), В @; 0), С E; -10). 140, 1) О' C; —2),
а =90°; 2) О'(-1; 3), а =180°; 3) О'E; -3), а = -45°.
^ ,y = ~rx-~y'-3. 142. ЛМ1;9),
М2 D; 2), Л*3 A; -3), Щ @; 2 + VD, Af5 (l + VT; l). 143. Мх @; 5),
Af2 C; -0), Af3 (-1; 0), М4 @; -6), М5(/3;1). 144. Af, B; 0),
Af,(l;-|)f AfaC;|]f Af4 B;-j), Af. B;-|). 146. Al» (/51 я),
201

(£) Ц^) ^^) ^ ^ )
146. f(x,y)=*2ax — a?. 147. 1) f(x,y) = 2ax\ 2) / (х, у) = -2а*- а2.
148. f (л, #) — 4л:2 + 4у* + 2а2. 149. / (х, у) = 4х2 + 4у* - 4ах -
— 4ш/ + 4а2. 150. / (х, у) = х2 + у2- 25. 151. f (х, у) =» 2ху - 16.
152. При повороте координатных осей выражение функции не ме-
меняется. 153. C; 1). 154. Такой точки не существует. 155. ± 45° или
± 135°. 156. 30°, 120°, -60°, - 150°. 157. Точки Ми М4 и М5 ле-
лежат на линии; точки М2, М3 и М6 не лежат на ней. Уравнение
определяет биссектрису второго и четвертого координатных углов
У
\
0
j
1
У s
\
!
r
Мз.
К
\
\
M
X
Рис. 58.
Рис. 59.
(рис. 58). 158. 1) @; -5), @; 5); 2) (-3; -4), (-3; 4); 3) E; 0);
4) на данной линии такой точки нет; 5) (—4; 3), D; 3); 6) @; —5);
7) на данной линии такой точки нет. Уравнение определяет окруж-
окружность с центром О@; 0) и радиусом 5 (рис. 59). 159. 1) Биссек-
Биссектриса первого и третьего координатных углов; 2) биссектриса вто-
второго и четвертого координатных
углов; 3) прямая, параллельная
оси Оу, отсекающая на положи-
положительной полуоси Ох, считая от на-
начала координат, отрезок, равный 2
(рис. 60); 4) прямая, параллель-
параллельная оси Оу, отсекающая на отри-
отрицательной полуоси Оле, считая от
начала координат, отрезок, рав-
равный 3 (рис. 60); 5) прямая, парал-
параллельная оси Ох, отсекающая на
положительной полуоси Оу, считая
от начала координат, отрезок, ра-
равный 5 (рис. 60); 6) прямая, па-
параллельная оси Ох, отсекающая
на отрицательной полуоси Оу,
считая от начала координат, отрезок, равный 2 (рис. 60); 7) прямая,
совпадающая с осью ординат; 8) прямая, совпадающая с осью
абсцисс; 9) линия состоит из двух прямых: биссектрисы первого
и третьего координатных углов и прямой, совпадающей с осью
ординат; 10) линия состоит из двух прямых: биссектрисы второго
202
II
1
У+2=0
Рис. 60.

и четвертого координатных углов и прямой, совпадающей с осью
абсцисс; 11) линия состоит из двух биссектрис координатных углов
(рис 61); 12) линия состоит из двух прямых: прямой, совпадающей
О
У
Рис. 61.
Рис. 62.
1
I
О
X
а.
Рис. 63.
Рис. 64.
с осью абсцисс, и прямой, совпадающей с осью ординат; 13) линия
состоит из двух прямых, параллельных оси абсцисс, которые отсе-
отсекают на оси ординат, считая вт начала координат, отрезки, равные 3
и — 3 (рис. 62); 14) линия состоит
иэ двух прямых, параллельных
оси 'Оу, которые .'отсекают на
положительной полуоси Ох, считая
от начала координат, отрезки,
равные 3 и 5 (рис. 63); 15) линия
состоит из двух прямых, парал-
параллельных оси Ох, которые отсекают
на отрицательной полуоси Оу, счи-
считая от начала координат, отрезки,
равные 1 и 4 (рис. 64); 16) линия
состоит из трех прямых: прямой,
совпадающей с осью абсцисс, и
двух прямых, параллельных оси
ординат, которые отсекают на положительной полуоси абсцисс,
считая от начала координат, отрезки, равные 2 и 5; 17) линия со-
состоит из двух лучей: биссектрис первого и второго координатных
углов (рис. 65); 18) линия состоит из двух лучей: биссектрис
203
х
Рис 65.

первого и четвертого координатных углов (рис. 66, а); 19) линия со-
состоит из двух лучей: биссектрис третьего и четвертого коор-
динатных углов (рис. 66, б); 20) линия состоит из двух лучей: бис-
биссектрис второго и третьего координатных углов (рис. 66, в);
У
О
21) линия состоит из двух лучей, расположенных в верхней полу-
полуплоскости, выходящих из точки A; 0) и направленных параллельно
биссектрисам координатных углов (рис. 65); 22) линия состоит из
двух лучей, расположенных в верхней полуплоскости, выходящих
из точки (—2; 0) и направленных параллельно биссектрисам коор-
координатных углов (рис. 65); 23) окружность с центром в начале ко-
координат и -радиусом 4 (рис. 67); 24) окружность с центром Оi B; 1)
и радиусом 4 (рис. 67); 25) окруж-
окружность с центром (—5; 1) и радиу-
радиусом 3; 26) окружность с центром
A; 0) и радиусом 2; 27) окруж-
окружность с центром @; —3) и радиу-
радиусом 1; 28) линия состоит из Ъднон
точки C; 0) — вырожденная ли-
линия; 29) линия состоит из одной
точки @; 0) — вырожденная линия;
30) нет ни одной точки, коор-
координаты которой удовлетворяли
бы данному уравнению («мнимая
линия»); 31) нет ни одной точки,
координаты которой удовлетво-
удовлетворяли бы данному уравнению
рис> 57. («мнимая линия»).. 160. Линии 1)',
2) и 4) проходят через начало ко-
координат. 161. 1) а) G; 0), (—7; 0);
6) @; 7), @; -7); 2) а) @; 0), F; 0); б) @; 0), @; -8); 3) а) (-10; 0),
(—2; 0); б) линия с осью Оу не пересекается; 4) линия с коорди-
координатными осями не пересекается; 5) а) @; б), A2; 0); б) @; 0),
@; —16); 6) а) линия с осью Ох не пересекается; б) @; — 1), @; —7);
7) линия с координатными осями не пересекается. 162. 1) B; 2),
(-2; -2); 2) A; -1), (9; -9); 3) C; -4), (l-|; -4-|); 4) линйи
не пересекаются. 163 Точки Мь' Мг и М4 лежат на данной линии;
204

точки Мз и ЛГ5 не лежат на ней. Уравнение определяет окружность
«рис. 68). 164. а) (б; ~); б) (б; -|); в) C; 0); г) BУТ; £);
прямая, -перпендикулярная к полярной оси и отсекающая на ней
считая от полюса, отрезок, равный 3 (рис. 69). 165. а) [1; Ц-у,
б) f2; --J и B; -^ я]; в) \V2\ -jj и (/IF; -^ я|; прямая, рас-
расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси
0
О
Рис. 68.
Рис. 69,
Рис. 70. '
Рис. 71.
и отстоящая от нее на расстоянии 1 (рис. 69). 166. I) Окружность с цен-
центром в полюсе и радиусом 5; 2) луч, выходящий из полюса, наклонен-
ный к полярной оси под углом 4- (рис. 70); 3) луч, выходящий из по-
полюса, наклоненный к полярной оси под углом —-г (рио. 70);
4) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней,
считая от полюса, отрезок а — 2; 5) прямая, расположенная в верх-
верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее
на расстоянии, равном 1; 6) окружность с центром С, C; 0) и ра-
радиусом 3 (рис. 71); 7) окружность с центром С2Ы; ^jA и радиу-
радиусом б (рис. 71); 8) линия состоит из двух лучей, выходящих из
205

лолюса, один из 'которых наклонен к полярной оси под углом Л.,
jj_ 5
а другой—под углом — п (рис. 71); 9) линия состоит из концен-
концентрических окружностей с центром в полюсе, радиусы которых г
определяются по формуле г — ( — l)n-jr + ш, где п — любое целое
положительное число или нуль. 167. Рис. 72 и рис. 73. 168. Рис. 74
и рис. 75. 169. Рис. 76. 170. Отрезок, примыкающий к полюсу, имеет
п
длину, равную -г-; каждый из остальных отрезков имеет длину,
равную 6я (рис. 77). 171. На пять частей (рис. 78). 172. /4 12; ~\
(рис. 79). 173. Q (81; 4) (рис. 80). 174. Прямые х±у = 0. 175. Пря-
Прямые * ± а = 0. 176. Прямые у ± Ь — 0. 177. у + 4 = 0. 178. х—5=0.
179. 1) Прямая х — У = 0; 2) прямая * -f у — 0; 3) прямая х — 1=0;
4) прямая у — 2 = 0. 180. Прямые 4ах±с — 0. 181. *2 + у2 = г2.
182. (х - аJ + (у — рJ = г2. 183. ^ + J2 = 9, 184. х2 + у2 = 16.
X1
185. *2 + г/2 = а2. 186. (лг-4J + ^2=16. .„.
z£b 1О
188. 4---^-=l. 189. z/2 = 12a:. 192. y2 = 2px - парабола.
у2 x2 и2
iL- = 1 _ эллипс. 194. -тд- —тг
У 1о У
у2 f/2 *2 у2
193. -^г +-тг =1—эллипс. 194. -т%- — ~- == 1 — гипербола.
х2 г/2
195. -^г^- + -ух- -» 1 — эллипс. 196. Правая ветвь гиперболы
Zo lb
^- — JL ж 1. 197. у2 — 20л: — парабола. 198. р cos 9 = 3. 199. 9 = -£.
64 36 3
200. tg9=l. 201. р sin 9+ 5 = 0, р sin 9 —5 = 0. 202. р = 10 cos 9.
203 Условию задачи удовлетворяют две окружности, уравнения
которых в полярных координатах р + 6 sin 9 = 0, р — 6 sin 9 = 0,
х2 . у1 . ОЛ- ab cos /
h-T:e=l. 205. х
VVsin21 + b2 cos21 '
ab sin t nne __ ab cos t
У =
■
У Ь2cos2 ^— a2 sin2/
iL ^ 2)
2
cos2 t-a2 sin2/ 2p
^ = ^Sin2e,
2) у = 2/?sin29;
2) ** + j,«-a»-O; 3) ^--.ll-l^O; 4) |--|i-l=
210. Точки Afi, M3 и М4 лежат на данной прямой; точки М2, М$
и Af6 не лежат на ней. 211. 3, — 3, 0, —6 и — 12. 212. 1л —2, 4,
Г5и7. 213. F; 0), @; -4). 214. C; -5). 215. 4B; -1), 5(-1; 3),
С B; 4). 216. (I; -3), (-2; 5), (б; -9) и (8; -17). 217. 5=» 17 кв. ед.
1206

p-50
2в
Рис. 72.
P-'l
Рис. 73.
Рис, 79.
Рис. 80.

218. C,(-l; 4) или С2(~; -у-). . 219. С, A; -I) ИЛа
62(-2; -10). 220. 1) 2*-Зг/ + 9 = 0; 2) 3*-*/ = 0; 3) # + 2 = 0;
4) Зх +4^-12 = 0; 5) 2* + у+ 5 = 0; 6) * + Зг/-2 = о.
221. 1) £=5, 4 = 3; 2) *«--|, & = 2; 3)
4) ft —--§» 6=*°; 5) * — о. .&=3- 222- l) -•§■' 2) !•
223. 1) 2л: + 3^-7 = 0; 2) 3*-2#-4 = 0. 224. д+/ 0
2х-3у- 13 = 0. 225. B; I), D; 2), (-1; 7), A; 8). 226. (-2; -1).
227. Q(ll; -11). 228. 1) 3* - 2у - 7 = 0; 2) 5* + р-7-*0
3> 8* +12^ + 5 = 0; 4) 5х + 7г/ + 9 = 0; 5) 6л:-30у-7 =
229. a) k = 7; б) k = -^-; в) /в = -~. 230. 5л: - 2у - 33 == Q,
х + Ау — 11=0, 7л + 6# + 33 = 0. 231. 7х — 2у — 12 = 0,
5* + # — 28 = 0, 2а; — Зг/— 18 = 0. 232. х + у + 1 =» 0. 233. 2* +
-f Зг/ — 13 = 0. 234. 4* + Зу - 11 — 0, х + У + 2 = 0, 3* + 2//—13=0.
235. C; 4). 236. 4х + у — 3 = 0. 237. х — 5 = 0. 238. Уравнение
стороны АВ: 2х + г/ — 8 = 0; ВС: х + 2г/ — 1 =» 0; СЛ: д; — у — 1=0.
Уравнение медианы, проведенной из вершины А: х — 3 = 0; из
вершины В: х + «v — 3=0; из вершины С: у — 0. 239. (—7; 0);
+2jV 242. A; 3). 243. Зх - 5# + 4 = 0, * + 1ц - 16 = 0,
За; — 5г/ — 22 = 0, л; + 7# + 10 = 0. 244. Уравнения сторон прямоу-
прямоугольника: 2х — 5г/ + 3 = 0, 2л: — 5г/— 26 = 0; уравнение его диаго-
диагонали: 7дг — Зу — 33 = 0. 245. 5* + у — 3 = 0 — биссектриса внутрен-
внутреннего угла; х — 5у — 11 = 0 — биссектриса внешнего угла. 246. х-\-у—
— 8 = 0; 11* — у — 28== 0. Указание. Условию задачи удовлетво-
удовлетворяют две прямые: одна из них проходит через точку Р и середину
отрезка, соединяющего топки А и В; другая проходит через точку Р
параллельно отрезку АВ. 247. (—12; 5). 248. Мх A0; — 5).
249. ■Pf-o"; 0)« Указание. Задача может быть решена по сле-
следующей схеме: 1) устанавливаем, что точки М и N расположены
по одну сторону оси абсцисс; 2) находим точку, симметричную одной
т данных точек относительно оси абсцисс, например точку Nu
симметричную точке ■ N; 3) составляем уравнение прямой, прохо-
проходящей через точки М и #,; 4) решая совместно найденное уравне-
уравнение с уравнением оси абсцисс, получим координаты искомой точки.
250. />@; 11). 251. РB; — 1)л 252. Р B; 5). 253. 1)'ф = -^;
4
Л 1 •' i
2) Ф — -х-; 3) ф = 0—прямые параллельные; 4) <p = arctg— -.
*£ J 1
254. х — 5# + 3=0 или 5* + # — 11=0. 255. Уравнения сторон
квадрата: 4*.+ 3?/ + 1 — 0, 3* — Ау + 32 — 0, 4л: + Зу — 24 = 0,
За; — 4,*/*+ 7 ==> 0; уравнение его второй диагонали: х + 7у — 31 = 0.
256. 3* - 4г/ + 15 = 0, Ах + Зу — 30 = 0, Зх — Ау — 10 = 0, 4д: + Зу—
— 5 = 0. 257. 2х + у— 16 = 0, 2л: + г/+14 = 0, х — 2у — 18 — 0.
258. Злг —г/ + 9 = 0, Зл: + у + 9 = 0. 25а 29л — 2у + 33 = 0.
262. 1) Злт — 7у — 27 = 0; 2) * + 9# + 25 = 0; 3) 2л: — Зу — 13 = 0;
4) х—2=0; 5) г/+3=О. 264. Перпендикулярны 1), 3) и 4). 266.-1) ф = 45°;
2) ф = 60°; 3) <р =.90°. 267. Ма (б; —6). 268. Ах —у— 13=0, х~5=0,
208

Д
В
x + 8«/ + 5 = 0. 269. ВС: 3* + 4*/- 22 = 0; CA'. 2x-7y -5 = 0
CN\ 3jc + 5^-23 — 0. 270. x + 2y-7 = 0, x—4y —1=0, *-y+2=0.
Указание. Задача может быть решена по следующей схеме:
1. Устанавливаем, что вершина А не лежит ни на одной из данных
прямых. 2. Находим точку пересечения медиан и обозначаем ее
какой-нибудь буквой, например М. 3. На прямой, проходящей через
точки А и М, строим отрезок MD — AM (рис. 81). Затем опреде-
определяем координаты точки D, зная точку М — середину отрезка AD
и один из его концов А. 4. Уста-
Устанавливаем, что четырехугольник
BDCM —параллелограмм (его диа-
диагонали взаимно делятся пополам),
составляем уравнения прямых DB
и. DC. 5. Вычисляем координаты
точек В и С. 6. Зная координаты
всех вершин треугольника, мы
можем составить уравнения его
сторон. 271. 3* — 5^—13 = 0,
Вх-Зу +17 = 0, Ьх +: 2#-1 = 0.
272. 2х—у + 3 = 0, 2х + у—1 = 0,
д: — 2// — 6 = 0. Указание.
Если на одной из сторон угла дана
точка А, то точка, симметричная то^ке А относительно биссектрисы
этого угла, будет лежать на другой его стороне. 273. 4х—3у + 10=0,
7х + у — 20 = 0, 3* + 4у — 5 = 0. 274. 4х + Ту — 1 = 0, ^ — 3 = 0,
4х + Зу-5 = 0. 275. 3* + 7у-5 = 0, 3* + 2^-10=0, 9* + 11#+5=0.
276. х— 3#-23 = 0, 7* + 9у+19 = 0, 4х + Зу + 13 = 0,
277. х + у—1 = 0, х + 7у + 5=0, *-8г/ + 20=0. 278. 2х + 9#—65=0,
%х-7у— 25 = 0, 18*+ 13г/-41 =0. 279. х + 2# = 0, 23* + 25« = 0.
289. 8х— у— 24 = 0. 283. 3* + г/ = 0, *—Зг/ = 0. 284. 3* + 4у—1=0,
— 61=0. 285. 1) а = -2, 5# —33 = 0: 2) а, — -3,
D
Рис. 81.
56 = 0; а2 = 3, 5* + 8 = 0; 3)
— 56t/ = 0. 286. т = 7, п = —2, t
-5 = 0. 288. 1) E; 6); 2) C; 2);
а, —
+ 3-
з"
, з*-8г/=0; а2<
0, 287. т = -4, i
4) B; -
5_
3'
5)(_-|;2). 29!. 1) При а Ф 3; 2) при я = 3 и b Ф 2; 3) при
й = у и # = 2. 292. 1) т'=—4, «=^2 или m = 4, п=^ — 2;
2) m = —4, « = 2 или m = 4, /г = —2; 3) m = 0, /г — любое значе-
значение. 293. m = -j7j-. 294. Условию задачи удовлетворяют два значе-
ния т: mi=0, /п2 = 6. 295. 1) Пересекаются; 2) не пересекаются;
3)не пересекаются. 298. а = -7. 299 1) -£ + |-= 1: 2) JL + JU*!;
з)
4=1; 4)
1; 5) .-г
7»
1 (рис 82).
в/г"' 3 -*'■ " 2/3 ' -2/5 ■ -7в
300. 6 кв. ед. 301. х + у + 4 = 0. 302. д; + t/ — 5 = 0, * — #+1=0,
Зх — 2у = 0. 303. Решение. Напишем уравнение искомой прямой
«в отрезках»:
209

Наша задача — определить значения параметров а и Ь. Точка СA; I)
лежит на искомой прямой, следовательно, ее координаты должны
удовлетворять уравнению A). Подставим в уравнение A) вместо
текущих координат координаты точки С; после приведения к общему
знаменателю получим:
а + Ъ = аЬ. B)
Теперь заметим, что площадь треугольника S, отсекаемого прямой
от координатного угла, определяется формулой ±5 =■-—-; +5
в том случае, когда отрезки а и b одного знака, и — 5 в том слу-
случае, когда эти отрезки разных знаков. Согласно условию нашей
задачи будем иметь:
аЪ = ± 4. C)
ab
,| e + ft—4,J
; J ab = — 4; J
Решим систему уравнений B) и C):
тогда получим:_я, = 2, 6] =2; О2 = — 5
а3 = —2 —2/2, Ьз — —2-{-2у2. Таким образом, условию задачи
удовлетворяют три прямые. Подставим в уравнение A) полученные
х и
значения параметров а и Ь: Ь —= 1,
2 2
У
'B)
-2+2/2 -2-2УТ
, У
'-2-2/2 ~*~ -2 + 2/Т
После упрощения этих уравнений
получим: х + у — 2 — 0,(l
+ A-У2~Ь-2 = 0, A-
+ A+/2")г/-2 = 0." 304. Условию
задачи удовлетворяют следующие три
прямые: (/§"_+ l) х + (/2^— 0 ^ —
— 10 = 0, (/2 — l)# + (/2+ l)t/ +
+ 10 = 0, х—у—10 = 0. 305. Злг —
— 2у—12=0, 3* — 8у + 24 = 0.
306. * + 3# — 30 = 0, Здг + 4^— 60 = 0,
Зх — у — 30 - 0, х — 12у + 60 = 0.
307. Условию задачи удовлетворяют
две прямые, пересекающие соответ-
соответственно оси координат в точках B; 0)»
@; -3) и (-4; 0), (о; -|\. 308. 5 >
1. 309. Прямые 1), 4), 6) и 8) заданы нормальными уравнениями.
Рис. 82.
310. 1)-|*--|г/-2 = 0; 2) - j х +-|# - 10 = 0; 3) -
-1=*0.
311. I) о —0, р — 2; 2) cc = rt,

2; 3)а«-^,/) = 3;
1; 5) a = -f, p = 3; 6) a««--J,

nsl; 8) a = — $,p = q\ 9) a = p —я, p — q. 312. 1N = — 3,
£ = 3; 2) 6=1, c?=l; 3) 6 = —4, tf = 4; 4) 6 = 0, d = 0-точка Q
лежит на прямой. 313. 1) По одну сторону; 2) по разные стороны;
3) по одну сторону; 4) по одну сторону; 5) по разные стороны.
314. 5 кв. ед. 315. 6 кв. ед. 318. Является выпуклым. 319. Не яв-
является выпуклым. 320. 4. 321. 3. 322. 1) с? = 2,5; 2) <i = 3; 3) d = 0,5;
4) d = 3,5. 323. 49 кв. ед. 325. В отношении 2 : 3, считая от второй
прямой. 326. Решение. Задача о проведении прямых через точку Р
на расстоянии, равном 5 от точки Q, равносильна задаче о прове-
проведении из точки Р касательных к окружности радиуса 5, с центром
в Q. Вычислим расстояние QP: QP = VB — IJ + G — 2J = /26.
Мы видим, что расстояние QP больше радиуса окружности; сле-
следовательно, из точки Р можно провести две касательные к этой
окружности. Теперь перейдем к составлению их уравнений. Урав-
Уравнение всякой прямой, проходящей через точку Р, имеет вид
у — 7 » k (х — 2) (П
или kx — у + 7 — 2k = 0, где k — пока неопределенный угловой
коэффициент. Приведем это уравнение к нормальному виду. С этой
целью находим нормирующий множитель ц = ± —, У.-шо-
У fe2 + 1
жая уравнение A) на ц, получим искомое нормальное уравнение
Подставляя в левую часть уравнения B) координаты точки Q,
\k — 2 + 7 - 2k | _ D
имеем: J --■- - L = 5. Решая это уравнение, найдем два
5
значения k: k\ = рт-, £2—0< Подставляя найденные значения
\тлового коэффициента в уравнение A), получаем искомые уравнения:
Ьх + 12*/—94 = 0 и у—7 = 0. Задача решена. 327. 7л; + 24г/—134=0,
х- 2 = 0. 328. 3* + 4у- 13 = 0. 330. 8* - 15г/+ 9 = 0.
331. Зх — 4у — 25 = 0, Ъх — 4у -\- 5 = 0. 332. Условию задачи удо-
удовлетворяют два квадрата, симметрично расположенных относительно
стороны АВ. Уравнения сторон одного из них: 4х + Зу — 8 = 0,
4х + Зу + 17 = 0, 3* — Ау — 6 = 0, Зх — 4у + 19 == 0. Уравнения «то-
рон другого: 4я + 3t/ — 8 = 0, 4х + 3t/ — 33 = 0, Ъх — 4у — 6 = 0,
Зх — 4у + 19 = 0. 333. Условию задачи удовлетворяют два квад-
квадрата; остальные стороны одного из них лежат на прямых:
Зх + 4г/ — 11 = 0, 4х — Зу — 23 ■> 0,. Зл: + 4у — 27 = 0; остальные
стороны другого — на прямых: Зх + 4у — 11 а= 0, 4лс — 3^ — 23 = 0,
3* + 4^ + 5 = 0. 334. Зл: + 4г/+ 6 = 0, Зд: + 4г/ — 14 = 0 или
3* + 4г/ + 6*=0) Зл + Ау + 26 — 0. 335. 12* — 5г/ + 61 =0,
12*- 5^ + 22 = 0 или 12*-5^ + 61= 0, 12* —5у + 100 = 0.
336. МB; 3). 337. 4л: -+- ^ + 5 = 0, у —3«=0. 338. 1) 3* — г/+ 2 = 0;
2) х — 2t/ + 5 = 0; 3) 20л; — 8г/ - 9 = 0. 339. 1) 4х - 4у + 3 = 0,
2x + 2t/-7«=0; 2L*+l=0, 8у+13 = 0; 3) 14* - 8у - 3 = 0,
64*+112^ — 23-= 0. 340. * —Зг/ —5 = 0, Sjt + t/ —5 = 0. Указа-
н и е. Искомые прямые проходят через точку Р перпендикулярно
к биссектрисам углов, образованных двумя данными прямыми.
341. 1) В одном углу; 2) в смежных углах; 3) в вертикальных
211

углах. 342. 1) В вертикальных углах; 2) в смежных углах; 3) в од-
ном углу. 343. Внутри треугольника. 344 Вне треугольника
345. Острый угол. 346. Тупой угол. 347. 8л: + Ау — 5 = V
348. дг + Зу —2 = 0. 349. 3* — 19 = 0. 350. 10;; — Юу — 3 = 0*
351. 7* +56у — 40—0. 352. * + 0 + 5 = О. 353. S B; -\)
354. \уЗх + 2у-7 = 0; 2Jх-0 = О; 3H-2 = 0; 4) х-1=0;
5) Ах + Зу- 10=0; 6) Зх - 2у + 1 =0. 355. 74х + 13у + 39 = 0
356. л:- у -7 = 0. 357. 7х + 19t/- 2 = 0. 358. х- у + 1 =0
359. Ах — Ъу + 22 = 0, Ах + у — 18 = 0, 2* — 0 + 1 = 0. 360. лг—5м+
+ 13«=0, 5*+ «/+13 = 0. 361. Ъх — у — 5 = 0 (ВС), *—у +
+ 3 = 0 (ЛС), 3* - 0 —1 = 0 (CJV). 362. х - 50 - 7 = 0, Ъх + у +
+ 17 = 0, 10*+70- 13 = 0. 363. 2х + 0 + 8 = 0, * + 2*/+1=0.
366. С = —29. 367. аФ —2. 368. Уравнения сторон квадрата:
4* + Ъу - 14 = 0, Ъх-Ау + 27 = 0, Зд:—4^ + 2 = 0, 4* + Зу + 11=0;
уравнение его второй диагонали: 7х—у + 13 = 0. 369. х + г/ + 5 = О
370, *+z/ + 2 = 0, * — г/~ 4 = 0, Зд;+г/ = 0. 371. 2* + « — б = 0,
9л: + 2г/+18 = 0. 372. 3* - у + 1 = 0. 374. 3* - Ау + 20 = О,
4* + Зг/— 15 = 0. 375. * + Ъу - 13 = 0, Ъх — у + 13 = 0. 376. Усло-
Условию-задачи удовлетворяют две прямые: 7лг +-1/—9 = 0, 2x + t/ + l=0.
377. 5* - 2у — 7 = 0. 378. АС: Зх + 8г/ — 7 = О, SD: 8*-3|/ + 7 = 0.
379. Ах + г/ + 5 = 0, л: — 2г/ — I = 0, 2* + 5# — 11 = 0. 381.
1) psin(p-e)-p, Р sin (j - 6\ = 3; 2) р cos (9 - а) = a cos а,
pcosF + -£-я| = -«1; 3) р sin (р* — 9) = а sin р\ р sin f-^- — 9)с=:3.
382. р sin (р* — 9) = pi sin (р — 9j). 383. р cos (9 — а) = pj cos (9, — а).
384. Ps.n(e-e0 |/^T7;-2pp1cos(e-9l) ад5 () ^^
р2 sin (92 - 9j) I/ p2+p?-2p2Pl cos (92-9,)
2) (х - 2J"+ (у + ЗJ = 49; 3) (*-6J + (t/+8J = 100; 4) (jt + IJ +
+ (г/-2J = 25; 5) (*_l)* + (j,-.4J = 8; 6) х2 + г/2=1б;
7) (x-D2 + @+ 1J = 4; 8) (^-2J + @-4J=lO; 9) (x- 1)* +
+ t/2=i; io) (д: — 2J+-(r/— 1J = 25. 386. (x - 3J + @ + IJ = 38.
387. (* - 4J + @ + 1 J = 5 и (x - 2J + (y - 3J = 5. 388. (x + 2J+
+ (y+1J = 20. 389. (x - 5J + (y + 2J = 20 и
+ /^) 390. (х-1J +(у+2J =16. ^
+(„ _ 3J = 50 и (* - 29J + (у + 2J = 800. 392. (*-2J + (г/-1J=5
.(—f-M' + Tr)'-* -LC-«• + *«—ft
(^ + 8J + (г/ + 7J = |. 394. (х-2)» + (у-1)»( ^)
V „n_ / , 10\2 / ,25\2 / 30\2
) 396. (A;-5J + t/2 = 16)
35 \2 , / 40 \2 /32\2 / 35Д2 . / . 40
(х) (х) (х) (х} Ит) ()
397. Уравнения 1), 2), 4), 5), 8) и A0) определяют окружности;
1) С E; —2), Я = 5; 2) С (—2; 0), /? = 8; 3) уравнение определяет
212

единственную точку E; -2); 4) С@;5), Д = /5; 5) СA; -2), R = 5;
6) уравнение не определяет никакого геометрического образа на
плоскости; 7) уравнение определяет единственную точку (—2, 1).
Рис. 83.
о
г
с
0
J
ее
У
Рис. 84.
У
Рис. 87.
Рис. 88.
Рис. 89.
X
Рис. 90.
0
с
У
у+3=0
Рис. 91.
Рис. 92.
/ 1 \ I
8) С1 — ■у"'0)» °~"9"; ^ уравнение не определяет никакого гео-
r(o;-!), R
метрического образа на плоскости; 10)
398. 1) Полуокружность радиуса # =
й
с центром в начале коор-
координат, расположенная в верхней полуплоскости (рис. 83); 2) полу-
полуокружность радиуса R = 5 с центром в начале координат, располо-
расположенная в нижней полуплоскости (рис. 84); 3) полуокружность
радиуса R — 2 с центром в начале координат, расположенная в левой
Полуплоскости (рис. 85); 4) полуокружность радиуса R = 4 с центром
213

в начале координат, расположенная в правой полуплоскости (рис. 86);
5) полуокружность радиуса # = 8 с центром С @; 15), расположен-
расположенная над прямой у — 15 = 0 (рис. 87); 6) полуокружность радиуса
Я = 8 с центром С @; 15), расположенная под прямой у—- 15== о
(рис. 88); 7) полуокружность радиуса Я = 3 с центром С (— 2; 0),
расположенная влево от прямой х + 2 = 0 (рис. 89); 8) полуокруж-
полуокружность радиуса R = 3 с центром С (—2; 0), расположенная вправо
от прямой х + 2 = 0 (рис. 90); 9) полуокружность радиуса R = 5
с центром С (f-2; —3), расположенная под прямой у + 3 = 0 (рис. 91);
10) полуокружность радиуса R = 7 с центром С (—5; —3), располо-
расположенная вправо от прямой х+5 = 0 (рис. 92). 399. 1) Вне окруж-
окружности; 2) на окружности; 3) внутри окружности; 4) на окружности;
5) внутри окружности. 400. I) x + Zy — 3 = 0; 2) * + 2 = 0;
3) Зх — у — 9 = 0; 4) у +1=0. 401. 2х - 5# + 19 = 0. 402. а) 7;
6) 17; в) 2. 403. Alt (—1; 5) и М2{—2;-2). 404. 1) Пересекает
окружность; 2) касается окружности; 3) проходит вне окружности.
405.-1) |* К-|-! 2)*-±-|; 3) |Л|>-|. 406. у-^р- = &.
^07. 2х + у — 3 = 0. 408. \\х — 7# —69 = 0. 409. 2/5*. 410. 2* — 3# +
+ 8 = 0, Зл: + 2^ — 14 == 0. 412. х2 + #2 + 6* — 9у— 17 = 0.
413. 13*2 + 13у2 + 3* + 71*/ = 0. 414. 7* — 40 = 0. 415.2. 416.10.
417. (х + 3J + @- 3J=10. 418. х — 20 + 5 = 0. 419. 3* - 4у +
+ 43 = 0. 420. Af,--!-;-f;,d —2У5. 421.
422. (*! — а) (л; — a) + (j/, — p) (y — P) = Я2. 423. 45°. 424. 90°.
425. (aj — a2J + (Pi — p2J = R\ + Я| 427. л: — 2y •— 5 = 0 я
2* — у — 5 = 0. 428. 2х + 0 - 8 = 0 и х - 2у + 11 = 0. 429. 2х + 0-
— 5 = 0, л: —20 = 0. 430. 90°. 431. х + 2^ + 5 = 0. 432. d = 7,5.
433. d—7. 434. rf=KlO. 435. 3. 436. 2х + j/— 1=0 и 2jc + у +
+ 19 = 0. 437. 2* + 0 — 5=0и 2л+0+5 = 0. 438. р = 2R cos (9- в1})
(рис. 93). 439. 1) p = 2tfcos9 (рИС. 94); 2) р = — 2/? cos 9 (рис. 95);
3) p=2^sin9 (рис. 96); 4) p = -2#sin9 (рис. 97). 440. 1) B; 0)
и /? = 2; 2) (|.;-£) и Я = |; 3) A; я) и /?-1; 4) (-|; -i) я
/? = -|; 5) (з; jj и /? = 3; 6) ^4; |- я) и /? = 4; 7) ^4; --|j и
Я = 4. 441. 1) х2 + 02 - Зд: = 0; 2) х2 + 02 + 40 = 0; 3) х* + у2 -
_^ + 0 = O. 442. 1) p = cos8; 2) p = — 3cos8; 3) p = 5sin9;
4) р = — sin 9; 5) р = cos 9 +sin 9. 443. p = R sec (9 — 90).
X2 U2 X2 У2 X2 
444§ i) ^._j_^__ |. 2) —'■—h -—-=*!; 3) -t^q-4
v-2 ,,2 r2
2) x+lr-1; 3> ^
2) 2 и 1; 3) 5 и I; 4) УТЗ и УЖ; 5) -| и -|j 6) ~ и -ij 7) 1 и
214

8) 1 и 4; 9) 1 и 1; 10) 1 и 1. 447. 1) 5 и 3; 2) F, (-4; 0),
faD; 0); 3) e==-^; 4) x=±-~. 448. 16 кв. ед. 449. 1) УЬ и
t
М
Рис. 93.
Рис. 94.
Рис. 95.
Рис. 97.
9 лел 41^
-jr. 450. —т?— кв. ед.
2 4о
2) МО; -2), МО; 2); 3) e = -gj 4) y^
451. —. 452. См. рис. 98. 463. f-3; — -g-V (-3; ^-j. 454. Точки
А\ и Л3 лежат на эллипсе; Л«$, Л4 и Л8 — внутри эллипса; Л3, ЛЭ|
Л7, Лэ и А\й — вне эллипса. 465. 1) Половина эллипса -ту + увя I,
216

расположенная в верхней полуплоскости (рис. 99); 2) половина эл-
х2 и'2
липса —- +^р= 1, расположенная в нижней полуплоскости (рис. 100)-
9 2а '
х7 и'
3) половина эллипса -г- + ~ц— I» расположенная в-левой полу*
и2
плоскости (рис. 101); 4) половина эллипса х2 + -^ — 1» располо-
расположенная в правой полуплоскости (рис. 102). 456. 15. 457. 8.
458. 5х + \2у + 10 = 0, х - 2 — 0. 459. г, = 2,6, г2 = 7,4. 460. 20.
461. 10. 462. (-5; з/з~) и (-5; -3VT). 463. (-2;
V 2
2) 1б"+"
5)!+J5-
466. 1)
464. 3 и 7.
3) 0" + Т5
я2 и2
465.1) з1 + |
V2
2) Y'
з) Ц-:
Рис. 100.
467.
469.
16
468. -*
= 1. 470.
Рис. 101. Рис. 102.
■ (У ~ УоJ
(у-
9
• 2
471. D С C; —1), полуоси 3 и |^5, 8 =-я". уравнения
директрис: 2я — 15 = 0, 2.v + 3 = 0; 2) С(—J;2), полуоси 5 и 4,
е = _, уравнения директрис: Зд: — 22 = 0, Ъх + 28 = 0; 3) С A; —2),
/— 1
полуоси. 2V3 н 4, 8 = у» Уравнения директрис: г/—6=0, t/+10==0.
(д; — ЗJ (у 4- 7J
472. 1) Половина эллипса -—^ ' + ^ •зса 1, расположенная
fjc + ЗJ
над прямой у+ 7 = 0 (рис. 103); 2) половина эллипса -1—~^- +
210

(у— П2
4- ifi ~ ^ расположенная под прямой у — 1=0 (рис. 104);
3) половина эллипса -y^" +
= 1 расположенная в левой
полуплоскости (рис. 105); 4) половина эллипса ■■■■ —f- 1>/ =1,
4 9
расположенная вправо
У
от прямой
f
4 9
д: + 5 = 0 (рис. 106),
Рис. ЮЗ.
Рис. 104.
Рис. 105.
473. 1)
(х -
У2
5~=1;
Рис. 106.
2) 2*2 - 2ху + 2|/2 - 3 = 0; 3) 68x2 +
169
+ 48xy + 82y2 - 625 — 0; 4) Пх2 + 2xy + \ly2 - 48x-48y - 24 = 0.
474. 5л;2 + 9t/2 + 4x — 180 — 55 = 0. 475. 4л;2+302+32л: - 140+59=0.
476. 4jc2 + by2 + 14л; + 40y + 81 = 0. 477. 7л:2 - 2xy + 7#2 - 46л; +
+- 20 + 71 = 0. 478. 17л;2 + 8*0 + 23t/2 + 30л: - 40v - 175 == 0.
479. л:2 + 202 - 6л: + 240+31 =0. 480. ^4; -|j, C; 2). 481. (з; -|j-
грямая касается эллипса. 482. Прямая проходит вне эллипса.
483. 1) Прямая пересекает эллипс; 2) проходит вне эллипса;
3) касается эллипса. 484. 1) При | т|<5~ пересекает эллипс;
2) при т = ±5 — касается эллипса; 3) при |т\>5 — проходит вне
эллипса. 485. k2a2+b2=m*. 486. ■££• + Щ
п Зл: + 20 + 10 = 0. 489. х + у — 5 = 0 и х + у + 5
-у -12 = 0, 2х-
492. х + 0 — 5 = 0
и лг+4#~10
проходит вне
1. 488. Зл;+20—-10=0
= 0. 490. 2л; —
491. М, (-3; 2); d = УТз.
493. 4л; — 50 — 10 = 0.
494. d=18. 495. -^7 + 4"
zu о
217

х2 и7-
499. -рг- + 4т- «l.Указание. Воспользоваться свойством эллипса,
х2 у2
сформулированным в задаче 498. 500. -^- + -^- =1. Указание.
Воспользоваться свойством эллипса, сформулированным в задаче 498.
502. 2# + 1 \.у —: 10 = 0. Указание. Воспользоваться свойством
эллипса, сформулированным в задаче 501. 503. C; 2) и C; —2),
504. Р=**-тп* —, 505. 10,6/З". 506. <р = 60°. 507. 16,8. 508. 60е.
Vm2 + п2
х2 у2
509. В эллипс, уравнение которого —+-yg-=l. 510. jc2+#2 = 9.
25
6П. -5д-+т;г~1. 512. <7 = -^-.
оо ю о о  5
v2 «2 v2 ifi v2 м2 v-2
5I5- « Ir-^-u f 4— ^-|; 3> т-1--1; 4) w-
""Зб*1'^ "Зб""""бТСв1; 6^ T44""5~~l; ?}} 1б""""9"=а1;
8V ^ - ^
8)  5"
2)
^1
16
64 36
о
3)
1.
100 576
X2
-1- 4) jc~
5) -±г--|£-«-1. 517. 1) а-3,
2; 4) а=1, 6 = 1; 5) а = 4» 6=4? 6) «в4".
7) fl-1. 6==1Г- 518. 1)й = 3, 6 = 4; 2) f, (-5; 0),
; 2) a = 4, & = 1; 3) a = 4,
= 1;
3) e —-|; 4) y=± j x; 5)
Рис. 107.
х2 и2
520. 12 кв. ед. 521. 1) Часть гиперболы -q"-— 4 *"* ^» расположен-
расположенная в верхней полуплоскости (рис. 107); 2) ветвь гиперболы
х2 — •— «я ~ 1, расположенная в нижней полуплоскости (рис. 108);
х2 и2
3) ветвь гиперболы "Tq-—• 9 ■■*» расположенная в левой полупло*
218

Х1 у2
скости (рис 109); 4) веть гиперболы -^ — —г- — — 1, расположен-
расположенная в верхней полуплоскости (рис. ПО), 522. х — 4У~5 у + 10 = 0
и х _ 10 = 0. 523. /-, = 2—, r2—10-L 524. 8, 525. 12. 526. 10.
527. 27. 528. A0; -|j и A0; --|). 529. (-6; 4 УТ) и (-6; - 4
Рис. 108.
Рис. 109.
530. 2-jj и 26-jj. 531. См. рис. 111. 532. 1) |—^-
2) xz-y2
V2
, 6) {8
16 9
=! ИЛИ
533. e =
534. в =
- 1.
541. 1) С B; -3), а = 3, & —4,
е = 5/з. уравнения директрис:
Бд: — 1=0, 5*— 19 = 0, уравнения
Рис. 111.
асимптот: 4*- Зу — 17 = 0, 4д; + Зг/Ц-1 = 0; 2) С (-5; 1), а = 8,
Й = 6, 8=1,25, уравнения директрис: jt = — 11,4 и д: ===== 1,4, уравне-
уравнения асимптот: Зх + 4г/ + 11 =0 и 3* — Ау +.19 = 0; 3) С B; —1),
а = 3, & = 4, е = 1,25, уравнения директрис: у = — 4,2, # = 2,2,
уравнения асимптот: Ах + 3# — 5 = 0, 4х — 3# — 11 = 0. 542. 1) Часть
219

гиперболы
{X-2Y- (y+l)«
■ —л
//+1=0 (рис. 112); 2) ветвь гиперболы
расположенная нал прямой
- i,
/ у+7=0
Рис. 112.
расположенная под прямой у —7 = 0 (рис. 113); 3) ветвь гиперболы
(я _ 9)^ (у _|_ 2J
:— I, расположенная влево от прямой х — 9 = 0
16
4
(рис. 114); 4) часть гиперболы
U-5J
16
— 1, располо-
Рис. 113.
Рис. 114.
женная влево от прямой х — 5 = 0 (рис. 115). 543, 1) -—г~
— {У ~52J' — I; 2). 2Аху + 7у2 - 144 » 0; 3) 2л:г/ + 2л: - 2г/ + 7 = 0.
544. —^- — -^г- =» 1. 545. -jr— — -Г/пг г=я ~~ Ь 546. л;2 — 4г/2 — 6л* —
— 24у —47 = 0. 547. 7л:2 — бдгг/ — у2 + 26л: — 18г/—17 = 0. 548. 91 х1—
— \00xy + 1бг/2 — 136л: + 86г/ — 47 — 0. 549. ху — ~- при повороте
а2
старых осей на угол —45^ ху^=* „- при повороте на угол +45°.
550. I) С @; 0). a«rb = 6, уравнения асимптот: д: = 0 и у — 0;
2) С @; 0), а = Ь = 3, уравнения асимптот: х = 0 и у — 0, 3) С @; 0),
а = Ь = 5, уравнения асимптот: л: = 0и# = 0. 551. F; 2) и (-^-, — -^-1.
220

B5 \
-j-; 31 —прямая касается гиперболы. 553. Прямая проходит
вне гиперболы. 554. 1) Касается гиперболы; 2) пересекает гипер-
гиперболу в двух точках; 3) проходит вне гиперболы. 555. 1) При
I т | > 4,5 — пересекает гиперболу; 2) при т = ± 4,5 — касается ги-
гиперболы; 3) при | т | < 4,5—проходит вне гиперболы. 556. k2a2—b2=m2.
б57> _£•£_ IlL-И. ^ 559. 3* — 4у-10=0, 3*-4y+10 = 0.
560i 10* - 3y — 32 = 0, \0_x - 3y + 32 = 0. 561. x + 2y - 4 =
x + 2y + 4
11
13
тЛз.
$2 = 0, \0x — 3y + 32 = 0.
0; d = -^\^-. 562. /И,(-6;3);
5
563. 5x — 3y— 16 = 0,
3 = 0. 564. 2x + 5y— 16 = 0.
565.
3,г
IF
568.
45
,
566. 4---7F
5 45
567. ^- — i- =
16 4
х
572. ^-
— 4, x = 4, y = —
У2
и г/
I.
х2 и2
573 Te-i
1,
1.
1.
У+2*
575. 2*+Ну+ 6 = 0. Указание. Восполь-
Воспользоваться свойством гиперболы, сформулиро-
сформулированным в задаче 574. 577. х2 — г/2 =16.
фр
х2 — г/2
2 и2
16
580. <7
583.
-|. 581. «7 = 2. 582. </, = 2, </a—-y.
2)
•х\ 3)
Рис. 115.
4) *2 = — 6y. 584. I). p = 3; в пра-
правой полуплоскости симметрично оси О*; 2) р=*2,5; в верхней
полуплоскости симметрично оси Оу; 3) р = 2; в левой полуплоскости
симметрично оси Од:; 4) р —
■п , в нижней полуплоскости симме-
У
о
О
х
х
Рис 116.
Рис. 117.
Рис. 118.
трично оси Оу. 585 I) у2 = 4х; 2) у2 = —9лг; 3) х2 = у; 4) *2 = — 2у.
586. 40 ел. 587. д:2 = --12у. 588. 1. Часть параболы у2 = 4#, рас-
расположенная в первом координатном углу (рис. 116); 2) часть пара-
параболы у2 = — х, расположенная во втором координатном углу
(рис. 117); 3) часть параболы у2 = ~-18я, расположенная в третьем
221

координатном углу (рис. 118); 4) часть параболы г/2 = 4^,. располо-
расположенная в четвертом координатном углу (рис. 119); 5) часть пара-
параболы х1 — 5у, расположенная в первом координатном углу (рис. 120);
6) часть параболы х2 = — 25у, расположенная в третьем координатном
О
У
Рис. 119.
О
Рис. 120.
У
О
Рис. 122.
О
а:
Рис. 121.
Рис. 123.
углу (рис. 121); 7) часть параболы х2 = 3у, расположенная во втором
координатном углу (рис. 122); 8) часть параболы я2 = — 16*/, рас-
расположенная в четвертом координатном углу (рис. 123). 589. F F; 0),
у-3=0
. I
/
У
О
X
Рис. 124.
Рис 125.
Рис. 126.
я+ 6 = 0. 590. 12. 591. 6. 592. (9; 12). (9; -12). 593. у2— -28*.
594.1) (г/-рJ = 2р{х- а); 2) (у - рJ = -2р (ж-а). 595. 1) (*-аJ =
= 2р(г/~Р); 2) (х - аJ= -2р (у - Р). 596. I) ЛB; 0), р=2,
х- 1=0; 2) л(-|;
= 3, блг — 13 = 0; 3) Л^0; --^ р-3,
У, 4) Л@; 2), Р = j. 4^-9 = 0. 597, 1)Л(-2; 1),р-2;
222

2) ,4A; 3), р«1; 3) Л F; -1), p =
1
598. 1) A (-4; 3), p = l;
2) /4A; 2), p = 2; 3) A @; 1), P — -^- 599. 1) Часть параболы
у—3J = 16 (jc — 1), расположенная под прямой #—3 = 0 (рис. 124);
2) часть параболы (*+4J=9(у+5), расположенная вправо от
прямой jc+4 = 0 (рис. 125); 3) часть параболы (дс—2J=—2 ^—3),
расположенная влево от прямой х—2 = 0 (рис. 126); 4) часть пара-
параболы (*/+5J=-3(*+7), рас-
расположенная под прямой 0 + 5 = 0
(рис. 127). 600.
601. у=1*2-
602. *2 +
+ 2ху + ф — вх + Чу + 9 = 0.
603. F(9; —8).. 604. 4х2 — 4ху +
+ у* _f_ 32л: +34t/ + 89 = 0. 605.
B; 1), (—6; 9). 606. (—4; 6) —пря-
—прямая касается параболы. 607. Пря-
Прямая и парабола не пересекаются,
608. 1) Касается параболы; 2) пе-
пересекает параболу в двух точках;
3) проходит вне параболы. 609. 1)
610. р = 2Ыг. 612. u,u = ptx + xi). 613.
i/+5=0
1
Рис 127.
1
fe<-5-; 2) fe—i.; 3) /г
_ +#+2=0. 614.
— г/—16 = 0. 615. d = 2 J/ТЗ. 616. Mj (9; —24); rf=10. 617.
— ^ + 3 = 0 и Зл:—2^+-12 = 0. 619. 5л:—18^+25 = 0 620. й~
621. F; 12) и F; -12). 622. A0; УЩ> (Ю; - V0), B;
623. B; 1), (—1; 4),
2д: —
5
B; -
3—
7—
)••'
625. у—18 = 0. Указание. Вое-
/
пользоваться свойством параболы, сформулированным в задаче 624.
628. 1) р = =—i£—^; 2) р = 7г-г7Г—5- 629« О ^
w 53cosG 5 + 3 cos 9
2) ^-
=—i£—
5—3cos
9
5 + 3 cos 9
144
5+13cos9
; 2) P"
=5—Е^ 5^
4—5 cos 8
144
5+ 13 cos 6"
3
631. p = -j д. 632. 1) Эллипс; 2) парабола; З) ветвь гиперболы;
1 ' COS 17
4) эллипс; 5) ветвь гиперболы; 6) парабола. 633. 13, 12. 634. 8, 6.
21 29
635. р = — 2cos6> P = 2cos6- 636. Уравнения директрис: р =
34 16 20
; УРавнения асимптот; Р =
5Ж-9'
; т);
= — о—:—п ■ л з- 637. 16; -р ]. о; •**-7-| > 638.
3 sin 8 + 4 cos 9 \ 4 / \ 4/
; — |-ni. 639." 1) (-§-; я);2)(р; ~V fp; ~~\
3 sin9-4 cos 6*
638;
; C:4Я)'
640.
223

эте- *"• ''=таг=т- •«■
643. 8x + 25г/ — 0. 644. 9* — 32y — 73 — 0. 645. x — у =0, л ■+• Ay = 0
646. x + 2y = 0, 8x — 9*/ = 0. 647. x + 2«/ — 0, 2* — Зг/ = О.
654. 2x — 5г/ = 0. 655. 7* + */ —20 = 0. 656. * — 8*/ = О,
— y = 0. 657. x — 2y = 0 3 0 + 2 0 3 +
y y y y , + y .
661. */ + 2 = 0. 662. 2* — у + 1 = 0. 665. Линии 1), 2), 5) и 8) имеют
единственный центр, 3), 7) — не имеют центра, 4, 6) — имеют бес-
бесконечно много центров. 666. 1) C; —2); 2) @; —5); 3) @; 0);
4) (-L; 3). 667. 1) *-3t/-6=0; 2) 2* +у-2 = 0; 3) Бх-у +
+ 4 = 0. 668. 1) 9л2- 18*г/ + 6г/2 + 2 = 0; 2) б*2 + Аху + г/2 — 7 = 0;
3J Ах2 + бху + г/2 - 5 = 0; 4) 4*2 + 2ху + 6t/2 + 1 = 0. 669. I) m^4,
п — любое значение; 2) т = 4, л^=6; 3) т = 4, п = 6. 670. 1) fe = 2;
2) fej = — 1, fe2 = 5; 3) при всех fe=£2 и удовлетворяющих
неравенствам —-Kfe<5; 4) прий< — 1 ипри&>5. 671. л:2 — 8г/2—
— 4 = 0. 672. х2 -4- яг/ + у2 + Зг/ = 0. 673. 1) Эллиптическое уравне-
^2 ,2
ние; определяет эллипс-q-+-^-=» 1; О'E; —2) —новое начало;
х'2 W2
2) гиперболическое уравнение; определяет гиперболу тг~" q = •'.
х?2 W2
О' C; —2) — новое начало; 3) эллиптическое уравнение -г- + ^-=_i;
не определяет никакого геометрического образа (является уравне-
уравнением «мнимого эллипса»); 4) гиперболическое уравнение; опре-
определяет вырожденную гиперболу — пару пересекающихся прямых
Ах'2 — у'2 = 0; О'(—1; —1) —новое начало; 5) эллиптическое урав-
уравнение; определяет вырожденный эллипс (единственную точку)
2х'2 -f 3t/2 — 0. 674 *). Л) Гиперболическое уравнение; определяет
х2 t/2 1 9
гиперболу -Q ~Г"— ь ^2 а== ~2» cosa — •/-— 1 sincc = ?=■;
у 1 у 5 У 5
jc'2 ц'2
2) эллиптическое уравнение; определяет эллипс Tr + д == 1; ct = 45°;
3) эллиптическое уравнение; определяет вырожденный эллипс —
единственную точку х'2 + Ау'2 = 0; tg а = 2, cos а = ~j=., sin а = -~=;
У 5 К 5
4) гиперболическое уравнение; определяет вырожденную гипер-
9 2 ^
болу — пару пересекающихся прямых jc — «/' = 0; tg a = 4k
3 2
cos а = ■--—s-, sin а = -т—•; 5) эллиптическое уравнение; не опре-
определяет никакого геометрического образа (является уравнением
«мнимого эллипса»); в новых координатах его уравнение имеет
2
/2
-j- + у/2 = — 1; а=в45°. 675. I) Гиперболическое; 2) эллиптиче-
эллиптическое; 3) параболическое; 4) эллиптическое; 5) параболическое;
6) гиперболическое. 676. 1) Гиперболическое уравнение; определяет
*) В задачах 674 1) —5) а есть угол от положительного на-
направления старой оси абсцисс до новой.
224

гиперболу, уравнение которой приводится к виду х —
X
путем двух последовательных преобразований координат: х = х + 2,
у — у - 1 и .?>
—-r=r—, У = —Х-' (рис. 128); 2) эллиптическое
уравнение; определяет эллипс, уравнение которого приводится
*'2 и'2
к виду -гд- + ■—■ = 1 путем двух последовательных преобразований
1 -г'
Рис. 128.
Рис. 129
координат:
х
Рис. 130.
1. У —У + 1 и
е *' - У' д- ^ + у
VI
(рис. 129);. 3) гиперболическое уравнение; определяет гиперболу,
*'2 У2
уразнение которой приводится к виду -^ д^- = I путем двух
последовательных преобразований координат: * = л: + 3, у =у — 4
х ~~ и~, д = ~х.У_У ■ (рис. 130); 4) гиперболическое урав-
8 Д. В, Клетеник
225

пение; определяет вырожденную гиперболу •—пару пересекающихся
прямых, уравнение которых приводится к виду х'2 — \у'2 = 0 путем
двух последовательных преобразований координат: х — х->2,
У = у и * = >— /, у = ' (рис. 131); 5) эллиптическое
/ю н /ю
уравнение; не определяет никакого геометрического образа ~-«мни-
~-«мнимый эллипс»; его уравнение приводится к виду х -\-2у' ±= — i
путем двух последовательных преобразований координат: х = х— I,
_ х' + Ъу' . - Зл:' + у'
= у и х =
/То
т=> У
/То
и ие;
6) эллтатическое уравне-
определяет вырожденный
эллипс — единственную точку; его
уравнение приводится к виду 2хл-\-
+ Зг/'2==0 путем двух последова-
последовательных' преобразований коорди-
нат:
рр р
%' у'
х, у = у — 2и.х — —т==~.
V2
■Xх
30
у2
= I — эллипс; 2) 9л:2 — L6*/2 = 5 —
гипербола; 3) х2 — Ау2 = 0 — выро-
вырожденная гипербола — пара пере-
пересекающихся прямых, уравнения
которых х — 2у = 0, л: + 2г/ = 0;
4) 2х2 + Зг/2 = — 1 — «мнимый
р lot эллипс»; уравнение не определяет
никакого геометрического образа;
5) х2 + 2г/2 == 0 — вырожденный
эллипс; уравнение определяет единственную точку — начало коор-
X2 Уг X*
динат; 6) -у + Л- =« 1 — эллипс; 7) —j, г/г = 1 — гипербола!
JC2 1
8) -у + У2 = 1 - эллипс 678 1) 3 к 1; 2) 3 к 2; 3- 1 к -~ , <) 3 й ?.
У7Э. 1)л- = 2,г/ = 3;2)д: = 3,#=»-3;3)А-=« 1, f« --1; 4) х •» — 2,у--- -
680. I) 2 и 1; 2) 5 и I; 3) 4 и 2; 4) i и --. 68* I) х + у- t =0,
3* + у + 1 = 0: 2) х - 4у — 2 = 0, jc - 2у + 2 => 0; 3) х — у = 0,
x — 3y—-0t 4) ж+ 0 — 3 —0, * + Зг/ + 3 = 0. 682. 1) Эллипс;
9) гипербола; 3) пар? пересекающихся прямы? (вырожденная гипер-
Г,ола); i) уравнение ие определяет никакого геометрического образа
(«уннмый эллипс»); 5) точка (вырожденный эллипс). 689. 1) Пара-
Параболическое уравнение; определяет параболу, уравнение которой
приводится к виду у" —2х" путем двух последовательных пре-
преобразований координат: х = '■—= ~, г/ = = — и
х' = х" — 3, г/' = //'/ + 2 (рис. 132); 2) параболическое уравнение;
определяет вырожденную параболу — пару параллельных прямых,
'.'равнение которых приводится к виду х = 1 путем двух последо-
3*' — 2м' 2хг + Зу'
вптельных преооразовании координат: х = j=~—t у— ' ■«

л
и /с=х"+-_.> t/c=y" (рис. 133); 3) параболическое уравнение;
не определяет никакого геометрического образа; приводится к виду
у + I — 0 путем двух последовательных преобразований координат!
парабола; 2) у2 = 25 — вырожденная парабола — пара"параллельных
Рис. 132.
\
Рис. 133.
прямых, уравнения которых у — 5 = 0, г/ + 5 = 0; 3)г/2 = 0 — выро-
вырожденная парабола — пара слившихся прямых, совпадающих с осью
абсцисс. 693. 1) {х-\-2уJ + 4х + у — 15 = 0; 2) C* - уJ — х +
4-2г/-14 = 0;3) E*-2уJ + 3*-г/+11=0; 4) D* + 2#J - 5*+-
4- 7г/ — 0; 5) C* - 7г/J + 3jc - 2у - 24 = 0. 697. 1) 3; 2) 3; 3) V%
4) -g-VlO. 699. 1) 2* +у-5 = 0, 2л:+ г/-1=0; 2) 2х-Зг/-1=0,
-Зу+ 11=0; 3) 5*-у-3 — 0,5*-j/ + 5 = 0. 700.. 1) д;-3г/ +
2 = 0; 2) 3* + Ъу + 7 = 0; 3) Ах - Чу - 9 = 0. 701. {х2 + г/2J —
2сЦх2-у2) = а'-сК 702. (д;2 + r/2J = 2a2(.v3 —//2); p2 = 2a2cos20.
+ 2 у
2-у2) = а'-сК 702.
703, р2 = S sin 29; (д:2 + г/2J = 2
+ /)
) p = 2a2cos20.
705. р = — 9 и р = — — 0.
706. Bг - *) г/2 = д;3. 707. д; (а2 + г/2) = а3. 708. р
COS y
± Ь\
(x*-b2) = 0. 709. р = JL. ±a tg 9; х2 [(.v+aJ+i/2]=a2«/2.
710. р = 2а cos 9 ± ft; (д;2 + у2 - 2алJ = Ь2 (д:2 + у2). 711. р = о| sin 201;
1 21 1
( + уУ у2. 712.
713. p = acos39; (x2 + у2J = а*3.
г/= a (sin/ — fslnf). 715.
x-\rVy Ba — «/) = ^^
у _; +a.
714. х = a (cos / + t sin f):
^ — sin 0, г/== а A — cos 0;
716. .v = а B cos t — cos 20,
t/ = a B sin / — sin2t)\ p = 2a A — cos8). 717. * = (a + 6) cos*—
£/, у = (a + 6) sin/ — a sin /. 718. x= (b—a) cost +
— a cos
+ a cos
a
/, г/ = (Ь — a) sin / — a sin
a
b-
a
t.
227

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
720. 1) D; 3; 0), (—3; 2; 0), точка С лежит па плоскости Oxyt
следовательно, ее проекция на эту Плоскость с ней совпадает, @; 0; 0);
2) D; 0; 5), (—3; 0; 1), B| 0; 0), точка D лежит на плоскости Oxz,
следовательно, ее проекция на эту плоскость с ней совпадает?
3) @; 3; 5), @; 2; 1), ф\ —8; 0), точка D лежит на плоскости Оуё,
ее проекция на эту плоскость g ней совпадает; 4) D; 0; 0), (—3; 0; 0),
B; 0; 0). @; 0; 0); 5) @; 3; 0), @; 2; 0), @; -3; 0), @; 0; 0); 6) @; 0; 5),
@; 0; 1), @; 0; 0), точка D лежит на оси апликат, следовательно,
ее проекция на эту ось с ней совпадает. 721. 1) B; 3; —1) •
E; -3; -2), (-3j % 1), (а; Ь\ - б); 2) B; -3; 1), E; 3; 2), (-3; -2; -1),
(а;-Ь',е); 3) (-2; 3; 1), (-5; -3; 2), C; 2; -!), (- а; й; с){
4) B; -3; -1), E; 3; -2), (-3; -2; 1), (а; - Ь; - с); 5) (-2; 3; -1),
(-5; -3; -2), C; 2; 1), (- а; Ъ\ *- с); 6) (-2; -3; 1), (-5; 3; 2),
C; -2; -1), (- а; - Ъ\ с)) 7) (-2; -3; -1), (-5; 3; -2), C; -2; 1),
(— а; *- Ь\ ^- £). 722. (а; й; — а), (а; — а\ а), (— а; а; а), (— а; — а; а)ф
723. 1) В первом, третьем, пятом и седьмом; 2) во втором, четвер-
четвертом» Шестом и .восьмом; 3) в первом, четвертом, шестом и седьмом;
4) йо втором, третьем, пятом и восьмом; 5) в первом, втором,
седьмом и восьмом; 6) в третьем, четвертом, пятом и шестом.
724, 1) В первом, третьем, пятом и седьмом; 2) во втором, третьем,
йятом и восьмом; 3) в первом, втором, седьмом и восьмом; 4) в пер-
первом, третьем, шестом и восьмом; 5) во втором, четвертом, пятом и
седьмом. 725. 1) (-3; 3; 3); 2) C; 3; -3); 3) (-3; 3; -3);
4) (-3; -3; -3); 5) C; —3; -3). 726. 1) 7; 2) 13; 3) 5. 727. О А = 6,
ОВ = \4, ОС = 13, OD = 25. 730. <£ Af,Af3Af2 - тупой. 732. E; 0; 0)
и(-11;0;0). 733. @; 2; 0). 734. С C; -3; -3), # = 3. 735. B; — I; —1),
(—1; —2; 2), @; 1; -2). 736. 7. 737. * = 4, # = -1, 2 = 3.
738. С F; 1; 19) и D (9; -5; 12). 739. D (9; -5; 6). 740. Четвертая
вершина параллелограмма может совпадать с одной из точек:
£>, (-3; 4; -4), D2 A; -2; 8), D3 E; 0; -4). 741. С A; 5; 2), D C; 2; 1),
£E; -1; 0), РG; -4; -1). 742. А (-1; 2; 4), В (8; -4; -2). 743. -|/74.
744. |/Т0. 745. JC-*»
Z\ + £г Ч- ?3 + 24
4 . mi + т2 + т3 +
т1у1 + т2г/2 + т3уз + т4у4 z _ mxz^ + ^2^2 + т3г3
747. J2; -3; 0), A; 0; 2)j_@j 3; 4). 748. | о | — 7. 749. z= ± 3.
759. ЛВ = {-4;3;-1}, ВЛ={4;-3; 1}. 751.^D; 1; 1). 752. (-1; 2; 3).
753. Х = У2, К = 1, £«=-1. 754. coscc=™, cos р = —|-,
cosy= — -щ-. 755. cosa=-|^-, cosp = —, созу = -уз~.
756. 1) Может; 2) не может; 3) может. 757. 1) Не может; 2) может;
3) не может. 758. 60° или 120°. 759. а = {\\— I; V5} или
a = {1; -1; -/2}. 760. АГ, (/3; /3; /§), Л12 (- /3; - У 3; - Уз).
761. См. рис. 134. 762. | a — 6 | = 22. 763. j a + 6 [ = 20.
764. |a + ft|e|e-ft| —13. 765. |a + 6|=/l29« П,4,|я-*|«7.
766. | a + 6 I —Vl9 яя 4,4, I a — 6 I = 7. 767. 1) Векторы a и Ь
228

должны быть взаимно перпендикулярны; 2) угол \5ежду векто-
векторами а и b должен быть острым; 3) угол между векторами а и Ь
должен быть тупым. 768. |а|«*|А|. 789. См. рис. 135. 774. |#|=* 15.
775. 1) {И -\\ б}; 2) {5; -3; 6}; 3) {6; -4; 12}; 4) { 1; -у; О J;
5) {0; —2; 12}; 6) < 3; —•'-£■; 2 >. 776. Вектор 6 длиннее вектора а
в три раза} они направлены в противоположные стороны.
Рис. 134.
Рис. 135.
777. а = 4, р = — 1. 779. Вектор АВ в два раза длиннее вектора CD;
они направлены в одну сторону. 780. а°=:\ —; —-*-> "" "г" I*
781. а° = {-^-5 4"; ™"Ц}- 782* Ia + 6i = 6> la-ft |-14.
783. d =» - 48* + 45/ — 36Л. 784. с = {-3; 15; 12}. 785. АМ={3; 4; -3},
В V = {0; -5; 3}, СР = {-3; 1; 0}. 787. а = 2р + 5д. 788. й =■ 26 + с,
11 __ 1 1
i ___ j
= — Ъ — с, где М, N и Р — середины сторон
треугольника ЛВС. 7911j4D =J1AB-^7ЛС, BD_ = 10ЛВ — 7ЛС,
CZ) = 11 АВ - 8АС, AD + BD + CD = 32AB - 22ЛС. 793. с = 2р —
-3<jf+r. 794.d —2e-3ft + c,c=--2a+3ft+d. ft —4в + 4"с—з-rf»
fl = lft-ic + irf. 795. 1) -6; 2)9; 3) 16; 4) 13; 5)-61; 6) 37; 7) 73.
796. 1) —62; 2) 162; 3) 373. 797. Сумма квадратов диагоналей па-
параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 798. —ab = ab,
229

линеарны
802. | р | =
808. а —
. 800. ab
= 10. 803.
2
arccos- /u.
+
а =
be + са
3
809. Ф =
= *•
804.
= arcc
когда векторы а и 6 коллинеарны и имеют противоположные на-
направления; ab — ab, когда векторы'а и 6 коллинеарны и имеют
одинаковые направления. 799. При условии, что Ь перпендикулярен
к векторам at и с, и также в т5м случае, когда векторы а п с кол-
кол&. 801. ab + be + са — — 13.
| = 1 6 |. 807. 5D =-^-с - 6.
с
—таг. 809. ф = arccos ( - . 810. Плоскость, пер-
VT \ -67
Пендикулярная к оси вектора а и отсекающая на ней отрезок, ве-
величина которого, считая от точки А, равна -т—г. 811. Прямая
Пересечения плоскостей, перпендикулярных к осям векторов at и 6
й отсекающих на этих осях отрезки, величины которых, считая от
точки А, равны у— и JL-, 812. 1) 22; 2) 6; 3) 7; 4) —200;
5) 129; 6) 41. 813. 17. 8JA 1)_-б24; 2) 13; 3)' 3; 4) (аВ-АС)-ВС =
^={-70; 70; -350} и АВ(АС- ВС) = {-78; 104; -312}. 815. 31.
816. 13. 818. а ==—6. 819. cos<p«»—-. 820. 45°. 821. arccos f— -ц-\.
823. х = {-24; 32; 30}. 824. х ==| 1; у; - ~-1. 825. х = - 41 -
«- 6/ + 12А. 826. ж = {-3; 3; 3}. 827. х = {2; -3; 0}. 828. х = 2i +
4-3/-2*. 829. Т/". 830. -3. 831. -5. 832. 6. 833. -4. 834. 5.
835. -11. 836. X = --j-, y = -ii, z = --j. 837. 3.
838. -6-|. 839. | [ab] | = 15. 840. j [ab] | = 16. 841. ab = ± 30.
842. 1) 24; 2) 60. 843. 1) 3; 2) 27; 3) 300. 844. Векторы а и 6
должны быть коллинеарны. 846. В случае перпендикулярности век-
векторов а и 6. 850. 1) {5; 1; 7}; 2) {10; 2; 14}; 3) {20; 4; 28}.
851. 1) {6; -4; -6}; 2) {-12; 8; 12}. 852. {2; 11; 7}. 853. {-4; 3; 4}.
2 2 11 3
854. 15; cosa = —, cosP = r=-, cosy = t;::> 855. 28; cosa=——,
о LO 10 7
cosp== , cosy = —. 856. 1^66; cos a = -7=-, cos|3== ^==-,
7 7 У66 У 66
7
cosy = 7==". 857. 14 кв. ед. 858. 5. 859. sin9s=___.
V66 21
860. {-6; -24; 8}. 861. m = {45; 24; 0). 862. « = {7; 5; 1}.
864. [[a6]c3={-7; 14; -7}; [a [be]] ={10;-13; 19}. 865. 1) Правая*
2) левая; З) левая; 4) правая; 5) йекторы компланарны; 6) левая.
866. а6с = 24. 867. аЬс = ± 27; знак плюс в том случае, когда
тройка векторов а, 6, с правая, и минус -*■ когда эта тройка левая.
868. В том случае, когда векторы й, Ь, с взаимно перпендикулярны.
873. а6с»= —7. 874. 1) Компланарны; 2) нб компланарны; 3) ком-
компланарны. 876. 3 куб. ед, 877. 11, 87$. Dx @; 8; 0), D2 @; —7; 0>ь
881. X = — 6, У = — 8, Z = — б, §82. $екМры сие должны быть
коллинеарны или вектор b -должен быть перпендикулярен к век-
векторам а к О, 8*85, Точки Mlt М2,"М^ лежат на поверхности, точке*
230

Т6 не лежат на ней. Уравнение определяет сферу с центром,
в начале координат и радиусом, равным 7. 886. 1) (I; 2; 2) и
A; 2; — 2); 2) на данной поверхности нет так.ой точки; 3) B; 1; 2) и.
B; —1; 2); 4) на данной поверхности нет такой точки. 887. 1) Пло-
Плоскость Oyz\ 2) плоскость Oxz; 3) плоскость Оху, 4) плоскость, па-
параллельная плоскости Oyz и лежащая в ближнем полупространстве
на расстоянии двух единиц от нее; 5) плоскость, параллельная пло-
плоскости Oxz и лежащая в левом полупространстве на расстоянии
двух единиц от нее; 6) плоскость, параллельная плоскости Оху и
лежащая в нижнем полупространстве на расстоянии пяти единиц
от нее; 7) сфера с центром в начале координат и радиусом, равным 5;
8) сфера с центром B; —3; 5) и радиусом, равным 7; 9) уравнений
определяет единственную точку — начало координат; 10) уравнение
никакого геометрического образа в пространстве не определяет;
11) плоскость, которая делит пополам двугранный угол между пло-
плоскостями Oxz, Oyz и проходит в 1, 3, 5 и 7 октантах; 12) плоскость,
которая делит пополам двугранный угол между плоскостями Оху,
Oyz и проходит во 2, 3, 5 и 8 октантах; 13) плоскость, которая
делит пбполам двугранный угол между плоскостями Оху, Oxz n
проходи? в 1, 2, 7 и 8 октантах; 14) плоскости Oxz и Oyz; 15) пло-
плоскости Оху и Oyz\ 16) плоскости Оху и Oxz; 17) совокупность всех
трех координатных плоскостей; 18) плоскость Oyz и плоскость, па-
параллельная плоскости Oyz и лежащая в ближнем полупространстве
на расстоянии четырех единиц от нее; 19) плоскость Oxz и пло-
плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями
Oxz, Oyz и проходит в 1, 3, 5 и 7 октантах; 20) плоскость Оху и
плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоско-
плоскостями Оху, Oxz и проходит в 3, 4, 5 и 6 октантах. 889. х2-\-у2-\-г2=г2»
890. (л: —аJ 4- (У —РJ Ч- B —уJ == г2. 891. г/-3 = 0. 892. 2г-7 = 0.
893. 2л;+ 3 = 0. 894. 20г/ + 53 = 0. 895. х2 + У2 + г2 = а2.
896. х2 + у1 + г2 => а2. ' 897. х + 2z = 0. 898. -у- + -^- + -^- = 1.
X2 Ц2 ' Z"
899. "Те""— q + Tr"~~ lf 9°0' Точки Mlt Мг лежат на данной
линии; точки Мг, М4 не лежат на ней. 901. Линии 1) и 3) проходят
через начало координат. 902. 1) C; 2; 6) и C; —2; 6) C; 2; 6) и
(—3; 2; 6); 3) на данной линии нет такой точки. 903. 1) Ось апликат;
2) ось ординат; 3) ось абсцисс; 4) прямая, проходящая через точку.
B; 0; 0) параллельно оси От, 5) прямая, проходящая через точку.
(—2; 3; 0) параллельно оси Oz; 6) прямая, проходящая через точку»
E; 0; —2) параллельно оси Оу; 7) прямая, проходящая через точку
@; —2; 5) параллельно оси Ох; 8) окружность, лежащая на пло-
плоскости Оху, с центром в начале координат и радиусом, равным 3;
9) окружность, лежащая на плоскости Oxz, с центром в начале
координат и радиусом, равным 7; 10) окружность, лежащая на пло*
скости Oyz, с центром в начале координат и радиусом, равным 5«
11) окружность, лежащая на плоскости г —2 = 0, с центром
в точке @; 0; 2) и радиусом, равным 4. 904. х2 + у2 + z2 == 9. у = 0,
905. х2 + у2 + -г2 — 25, у+ 2 = 0. 906. (х - 5J + (у + 2J +■
+ (г —1J=169, л: = 0. 907. х2 + г/2 + г2 = 36. (х — IJ + (у + 2J +
+ (а- 2J = 25. 908. B; 3; -6), (-2; 3; -6). 909. A; 2; 2), (—1;2;2)„
910. 1) Цилиндрическая поверхность с образующими, параллель-
параллельными оси Оу, имеющая направляющей окружность, которая на
плоскости Oxz определяется уравнением х2 + z2 = 25; 2) цилиндри-
231

ческая поверхность с образующими, параллельными оси Ох, имею-
имеющая направляющей эллипс, который на плоскости Оуг определяется
уравнением ib- + Тй"*3 1; 3) Цилиндрическая поверхность с обра-
образующими, параллельными оси Oz, имеющая направляющей гиперболу,
которая на плоскости Оху определяется уравнением -гт—-^-=1;
4) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными
оси Оу, имеющая направляющей параболу, которая на плоскости Oxz
определяется уравнением х2 = 6г; 5) цилиндрическая поверхность
с образующими, параллельными оси Oz, имеющая направляющей
пару прямых, которые на плоскости Оху определяются уравнениями
х — 0, л; — у = 0; эта цилиндрическая поверхность состоит из двух
плоскостей; 6) цилиндрическая поверхность с образующими, парал-
параллельными оси Оу, имеющая направляющей пару прямых, которые
на плоскости Oxz определяются уравнениями х — 2 = 0, я + г = 0;
эта цилиндрическая поверхность состоит из двух плоскостей; 7) ось
абсцисс; 8) уравнение никакого геометрического образа в про-
пространстве не определяет; 9) цилиндрическая поверхность с обра-
образующими, параллельными оси Оу, имеющая направляющей окруж-
окружность; направляющая на плоскости Oxz определяется уравнением
х2 + (z — 1J = 1; 10) цилиндрическая поверхность с образующими,
параллельными ©си Ох; направляющая на плоскости Оуг опреде-
/ 1 \2 1
ляется уравнением
; р у рд
/ 1 \2 1
l2 + -r-j = -у. 911. I) x2 + 5r/2— 8y— 12 = 0;
2) 4x2-f 5z2 + 4г - 60 = 0; 3Jг/-2-2 = 0. 912. 1) 8л:2 + 4y2 -
— 36jc+ 16г/-3 = 0, 2 = 0; 2) 2x — 2z — 7 = 0, г/=0;3) 4г/2 + 8г2 +
М-16г/ + 202-31=0, х = 0. 913. л:-2г/ + 32 + 3 = 0. 914. Ъх — 32=0.
Г15. 2х — у — 2 — 6 = 0. 916. х — у — Зг + 2=О. 917. х + 4у + 7г+
-|. 16 = 0. 919. х — # — 2 = 0. 921. Зх + Зг/+ г — 8 = 0.
923. 1) п = {2;-1;-2}, п = {2Я; - Я; - 2^}; 2) п = {1;5;-1},
п == {Я; 5Я; - Я}: 3) п = {3; -2; 0}, п = {ЗЯ; - 2Я; 0}; 4) п = {0; 5; -3},
п = {0; ГД; - ЗЯ}; 5) п = {1; 0; 0}, л = {Я; 0; 0}; 6) п = {0, 1, 0},
п ={0; Я; 0}, где Я — любое число, не равное нулю. 924. 1) и 3) опре-
определяют параллельные плоскости. 925. 1) и 2) определяют перпенди-
2
кулярные плоскости. 926. 1) / ===== 3, т = — 4; 2) / = 3, т = —5*;
о
3) /=_3-i, m = -l~-. 927. 1) 6; 2) -19; 3) -у. 928. 1) 1Л
2 1 3 я 2 9
и -г- л; 2) — л и -т-я; 3) -г-; 4) arccos-т?" и я — arccos-^-.
■3 4 4 z 15 1э
929/ 4х — Зу + 22 = 0. 930. 2л; — Зг — 27 = 0. 931. 7х — г/ — 5г = 0.
932. л; + 2г — 4 = 0. 934. Ах — у — 2г — 9 = 0. 936. х=Л, г/ = — 2,
г = 2. 939, 1) 0=?== 7; 2) а = 7, 6 = 3; 3) а = 7, 6=?==3. 940. 1J — 3 = 0;
2)y-f2 = 0; 3) х + 5 = 0. 941. 1) 2у + 2 = 0; 2) Зх + г = 0;
3) 4х+Зу = 0. 942. 1) у + 4г +10 = 0; 2) х-г-1=0;
3^ 5л: + у - 13 = 0. 943. A2; 0; 0), @; -8; 0), @; 0; -6).
944. 4- + -т + -^Г=1- 945. а = -4, Ь = 3, с = 4-- 946. 240 кв. ед.
947. 8 куб. ед. 948. -^ + -^ + -|= 1. 949. -~ + |- + -—• = I.
950. л; + ^ + 2 + 5 = 0. 951. 2х — 21у + 22 + 88 = 0, 2х — Зу- 2г+
+ 12 ==0. 952. х + у + 2 — 9 = 0, л; — #— 2+ 1=0, х-у + 2-3=0,
232

x + у ~ г — 5 = 0. 933. 2x — у — 32 — 15 = 0. 934. 2x—3tj + z—6=0.
955. х-Зг/-2г + 2 = 0. 956. Плоскости 1), 4), 5), 7), 9), 11) и 12)
2 2 1
заданы нормальными уравнениями. 957. 1) -^-х—— z/+ — 2—6=0;
362 23611
2) — — х-\--=• у — тгz 3 = 0; 3) ~ х — -zr у ~~ ~~* 2 —" "Пр ~ Щ
— i.j,--L = O; 7) -у — 2 = 0; 8) *-5=0; 9) г —3 = 0;
5 о
10) 2--^ = 0' 958- О « = 60°, р = 45°, y = 60°, р = 5; 2) а = 120°,
0 = 60°, y = 45°, р = 8; 3) а = 45°, Р - 90°, v = 45e, р
4) а = 90°, р= 135°, y = 45°, р=>/2"; 5) а ==150°, р=120°, y =
р = 5; 6) а — 90°, р = 90°, y = 0°, р = 2; 7) а = 180°, р = 90°, y =- ^0o.
р = 1; 8) а = 90°, р= 180°, Y = 90°, P=y> 9)a = arccosy,
2 2 2
р = л — arccos-5-, Y — arccos-r-, р=з2; 10) а = зг —arccos-=-,
3 6 4
р=зг— arccosy, y — arccogy, p = -=-« 959. 1) б = — 3, d = 3\
2) 6=1, d—[\ 3) 6 = 0, rf = 0 — точка Af3 лежит на плоскости}
4) б = — 2, d = 2; 5) 6 = — 3, d = 3. 960. d = 4. 961. 1) По одну
сторону; 2) по одну сторону; 3) по разные стороны; 4) по одну сто»
рону; 5) по разные стороны; 6) по разные стороны. 964. 1) d — 2i
2) rf = 3,5; 3) rf = 6,5; 4) d—1; 5) rf = 0,5; 6) d = -|. 965. 8куб. ед.
966. Условию задачи удовлетворяют две точки: @; 7; 0) и @; —5; 0).
967. Условию задачи удовлетворяют две точки: @; 0; —2) и @; 0}
4 \
—6-Г7Г-1. 968. Условию задачи удовлетворяют две точки: B; 0; 0)
и (~; 0; о]. 969. 4х — Ау — 2г + 15 =» 0. 970. 6х + Зг/+2г + 11 =0.
971. 2х — 2у — 2 — 18 = 0, 2* — 2г/— г + 12 = 0. 972. 1) 4х — t/ —
_2г —4 = 0; 2) Зл; + 2у — г + 1 = 0; 3) 20д: — \2у + 4г + 13 = 0.
973. I) 4х - 5у + 2 — 2 = 0, 2х + г/ — Зг + 8 = 0; 2) х — Ъу — 1 = 0,
Зх + у — 2г — 1 = 0; 3) Зл; — бу + 7г + 2 = 0, х + 4у + Зг + 4 = 0.
974. 1) Точка М и начало координат лежат в смежных углах;
2) точка М и начало координат лежат в одном углу; 3) точка М
и начало координат лежат в вертикальных углах. 975. 1) Точки М
и Лг расположены в смежных углах; 2) точки М и N расположены
в вертикальных углах. 976. Начало координат лежит внутри острого
угла. 977. Точка М лежит внутри тупого угла. 978. &х—4у—4z-}-5=0.
979. 23х — у — 4г — 24 = 0. 980. х — у — 2-1 = 0. 981. *+#+2г=0.
982. 5* — 1у — 3 = 0, 2 = 0; 5* + 2г — 3 = 0, у = 0; Ту—2г + 3 = 0,
*=0. 983. Ъх — у — 72 + 9 = 0 Ъу + 2г = 0. 984. B;—1; 0),
;0; -у), @; 2; — 1). 986. 1) D = - 4; 2) D = 9; 3) D =
) ЛЛ 0 б D D
3.
987. 1) Л1=Л2 = 0, и хотя бы одно из чисел Du D2 отлично от
нуля; 2) £i = £2 = 0, и хотя бы одно из чисел Du D2 отлично от
233

нуля; 3) Ci=C2'=0, и хотя бы одно из чисел D{. D2 отлично от
= д = О, А2 = D2 = 0; 5J В! — D, = 0, 52 = D2 = 0; 6) С, = D1==0,
С2 = D2 = 0. 989. 1) 2х + 15у + 7г + 7 — 0; 2) 9# + Зг + 5 = 0;
3) Зл; + 32 —2 = 0; 4) Зх — 9у — 7 = 0. 990. 1) 23.v—2y+2\z—33=0;
2) г/+ 2—18 = 0; 3) х + 2-3 = 0; 4) 4) х — у + 15 = 0. 991. 5.V +
+ 5г - 8 = 0. 992. а E* — 2у — г — 3) + р (* + 3# — 2z + 5) = О,
Указание. Прямая пересечения плоскостей 5* — 2у — г — 3 = О,
^ —|— Зг/ — 2г+ 5 = 0 параллельна вектору I = {7; 9; 27}; следова»
телыю, условию задачи будут удовлетворять все плоскости, при*
надлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую,
993. 1 \х — 2у — 152 — 3 = 0. 994. а E* — у — 2г — 3) + р(Зх — 2у—
— 5г + 2)=0. Указание. Прямая пересечегшя плоскостей
Бх — у — 2z — 3 = 0. 3* — 2*у — 5г + 2 = 0 перпендикулярна к пло-
плоскости х + 19«/— 7г— 11=0; следовательно, условию задачи будут
удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей»
проходящих через эту прямую. 995. 9л: + ly + 8z + 7 = 0.
996. х — 2у + 2 — 2 = 0, х — 5г/ + 4г — 20 = 0. 997. Принадлежит.
998. Не принадлежит. '999. /== — 5, от = —11. 1000. Зх — 2у +
+ 6г + 21=0, 189л;+ 28^+ 482 —591 =0. 1001. 2х — Зу — 6г +
+ 19 = 0, 6л; — 2у— 32 + 18 = 0. 1002. 4л: — Зу + 62 — 12 = 0,
12Х — 49у + 382 + 84 = 0. 1003. 4х + 3# — 5 = 0, 5х + Зз — 7 = 0.
1004. 7х — у + 1 = 0, 2 = 0; 5* — z — 1 = 0, у = 0; Ъу — 7х— 12=0,
х = 0. 1005. л; —8«/ + 5г-3 = 0. 1008. 2jc — 4^ —82 + 1 =0,
2*-0+*-1=О. 1007. i)i—.--£-.-±^12., 2) ^~^"в
У з + З. ^-2_г/_г + 3. х-2 _ у _ 2 + 3
' 1 ~" 0 ~ 0 ' } 0 ~" 1 0~;
х- 1 _ У + 2 g~ 1
2 3 ~~ -2 }
г~3- 4) АГ+1 _,
-2 !
1009. 1) л; = 2/ + 1, у— — 3/— 1, 2 = 4* — 3;
у = — ^— 1, z = t\ 3) х = 0, у — /, 2 = —3f+ I. 1011. (9; —4;0),
C; 0; —2), @; 2;-3). 1012. х = 5^ + 4, */= - 11/ - 7, г = - 2.
1115. jc = 3/ + 3, г/ = 15^+1, z=19i — 3. 1016. а = {1;1;3}1
а — {К; Я.; ЗЛ}, где Я — любое число, не равное нулю. 1017. а = — 2* +
+ 11/ + 5Jfe; а = — 2?J + 11А-/ + Ли, где Я — любое число, не равноо
пулю. 1О18.*^1.^.«±|.. ,0,9. ,) = =i.
Решение. Полагая, например, г0 = 0. находим из данной системы:
„yo = 2, j/0 = — 1; таким образом, мы уже знаем одну точку прямой:
А/0B; — 1; 0). Теперь найдем направляющий вектор. Имеем
и, ={1; —2; 3}, п2 = {3; 2; —5}; отсюда а = [щп2] ={4; 14; 8}, т. е.
1 — 4, т = \4, я = 8. Подставляя найденные значения х0, у0, z0 и
л; — лг0 У — Wo 2 — 20
/, m, m в равенства —-.—-*=*- ^- = -, получим канони-
231

x 2
Ческие уравнения данной прямой: —■£
у + 1 __ 2 . X У+ 1 _ 2— 1
*=~ 4; } ^-5 в 12 ~ 13 ' "' 1
1020. 1) x*=t+ 1, г/= -7*, г=- 19*-3; 2) х = -
гв=5/—1. 1023.60°. 1024. 135°. 1025. cos ф = ± -gj-
я + 1 */ — 2 2 + 3 £ + 4 *у -
1031. x = 2t — 5, y= — 3t+\,is — — 4t. 1032. о = 13. 1033. rf = 21.
1034. х = 3 - 6/, у = - 1 + Ш, г = - 5 + 9*. 1035. л; = - 7 + 4/,
^ = 12 — 4^, 2 = 5 — 2*. 1036. ;с=20—6*, у = — 18+8/, 2=—32+24*;
B; 6; 40). 1037. Уравнения движения точки М: х== — 5 + 6*,
г/ = 4 — 12/, 2 = — 5 + 4*; уравнения движения точки N'. х——5+4*.
^=16— Ш, г = — 6 + 3*;" 1) РG; —20; 3); 2) за промежуток вре-
времени, равный 2; 3) за промежуток времени, равный 3; 4) Л10Р = 28,
ЛГ0Р = 39. 1040. 1) B; —3; 6); 2) прямая, параллельная плоскости;
х 2 у + 4 2+1
8) прямая лежит на плоскости. 1041. —-— = -2-н— =—5—•
zoo
1044. х + 2у + 32 = 0. 1045. ш = — 3. 1046. С = — 2. 1047. А = 3,
£> = — 23. 1048. ^ = — 3, B = 4-j. 1049. / = -6, С = ^-.
1050. C; —2; 4). Решение. Искомую точку найдем, решая сов-
совместно уравнения данной прямой с уравнением плоскости, прове-
проведенной из точки Р перпендикулярно к этой прямой. Прежде всего
заметим, что направляющий вектор данной прямой {3; 5; 2} будет
являться нормальным вектором искомой плоскости. Уравнение пло-
плоскости, которая проходит через точку Р B; —1; 3) и имеет нормаль-
нормальный вектор п = {3; 5; 2}, будет иметь вид 3 (х — 2) + 5 (у + 1) +
+ 2B— 3) = 0 или Зх + Ъу + 2г — 7 — 0. Решая совместно урав-
уравнения х = 3t, у = Ы — 7, 2 = 2t + 2, 3* + 5г/ + 2г — 7 == 0, найдем
координаты искомой проекции: # = 3, # = — 2, г=4. 1051. Q B; —3; 2).
1052. Q D; I; — 3). 1053. A;4; — 7). Решение. Искомую точку
найдем, решая совместно уравнение данной плоскости с уравне-
уравнениями прямой, проведенной'из точки Р перпендикулярно к этой
плоскости. Прежде всего заметим, что нормальный вектор данной
плоскости {2; —1; 3} будет являться направляющим вектором искомой
Прямой. Параметрические уравнения прямой, которая проходит
через точку Р E; 2; —1) и имеет направляющий вектор а = {2; —I; 3},
будут иметь вид л;=2* + 5, #==—* +2, г==3*—1. Решая сов-
совместно уравнения 2х — у + Зг + 23 = 0, х — 2* + 5, у = — * + 2,
г = 3^—1, найдем координаты искомой проекции: х = 1, у = 4,
2 == — 7. 1054. Q (-5; 1; 0). 1055. Р C; —4; 0). Указание. Задача
может быть решена по следующей схеме: 1) устанавливаем, что
точки А и. В расположены по одну сторону от плоскости Оху;
2) находим точку, симметричную одной из данных точек относи-
относительно плоскости Оху, например точку Ви симметричную точке В;
3) составляем уравнение прямой, проходящей через точки Л и Si;
4) решая совместно найденные уравнения прямой с уравнением
Плоскости Оху, получим координаты искомой точки. 1056. Р (—2; 0'; 3).
1057. P(-2j-2;6). 1058. Р(-1;3;-2). 1059. 1) Р (-25; 16; 4);

2) за промежуток времени, равный 5; 3) М0Р = 60. 1060. Я=28—7,5ft
у « - 30 + Bt, Z = - 27 + 6/; 1) Р (-2; 2; -3); 2) от *, = 0 до *2 = 41
3) М0Р »«бО. 1061. За промежуток времени, равный 3, 1062. d = 7*
1 х -4— Я у «4ч 2 й •""> ft
Решение, Выберем на прямой ——— — "^—аа "ЛЪ"~ какУю*
нибудь точку, например М\ (—3; —2; 8); будем считать, что напра-
направляющий Вектор прямой а = {3; 2;—2} приложен в точке Ми
Модуль векторного произведения векторов ц, и М,Р определит
площадь параллелограмма, построенного на ^тих векторах; высота
этого параллелограмма, проведенная из верщ^инь) Р, будет являться
искомым расстоянием й. Следовательно, для вычисления расстоя-
расстояния d имеем формулу d*=*-^—.—т-^-. Теперь вычислим координаты
, I # I
вектора МХР, зная координаты его конца и начала: MiP ==»{4; 1; —10},
Найдем векторное произведение векторов а и MtP: [aMxP\ =*
I j k
3 2 —2 = — 18* + 22/ — 5ft. Определим его модуль:
4 1 -10 _
| [аМ{Р] \ «= VlS2 + 222 + 52 = 1^833 = 7 /17. Вычислим модуль
вектора <р. | a|=V9 + 4 + 4="Kl7. Найдем искомое расстояние:
7 Vl7
d= ' *JL «7. 1063. 1) 21; 2) 6; 3) 15. 1064. d=2o. 1065. 9*+ \\y +
+ 52-16 = 0. 1068. 4x + 6y-f 5г-1 =0. 1070. 2jc—16y—L3z +31=0.
1072. 6* — %- tlz-f 1=0. 1074. B;-3;—5). 1075. Q A; -2| 2).
1076. Q(l\ -6; 3). 1077. 13*- 14*/-f Иг + 31 == 0. 1079. £ — Ъу —
-13г + 9 = 0. 1081. i-=-i-f A±p := -^-—. 1082. л; = 8^ - 3,
г/ == — 3/ — 1, 2 = -4* + 2. 1083. 1) 13; 2) 3; 3O. 1084. 1) x2 +
+ j,a + 22-8L; 2) (x - 5J + (y + 3J + (z - 7J = 4; 3) (л - 4J +
+ («/ + 4J + (г + 2J = 36; 4) (x - 3J + (г/ + 2J + (z - IJ = 18;
5) (^r-3J + (i/+lJ + B-lJ = 21; 6) *2 + г/2 + г2 = 9; 7) (ж-3)* +
+ (// + 5J + (г + 2J = 56; 8) (x - IJ + (у + 2J + (г - ЗJ = 49;
9) (x + 2J + (У - 4J + (г - 5J = 81. 1085. (x - 2J + (// - 3J +
+ B-|-lJ = 9 и x2 + (y+ tJ + B + 5J = 9. 1086. /? = 5.
1087. (x + IJ + (г/ - 3J + {z- ЗJ *= h 1088. (* + IJ + (y - 2J +
+ B_tJ = 49. Ю89. {x -2J + (г/ - 3J + {z + IJ = 289.
1090. 1) CC;-2;5), r = 4; 2) C(-l;3; 0), r = 3; 3) С B; 1; -1),
r = 5; 4) C@;0;3), r = 3; 5) С @; -10; 0), r=10. 1091. л; =Ы- 1,
1 , 3 1
* "" "л" У "г ~п" z*~2
ffa=_f + 3, z = 2/ —ОД 1092. —^—= _3 «a j—.
1093. 1) Вне сферы; 2) и 5) на поверхности сферы; 3) и 4) внутри
сферы. 1094. а) б; б) 21; в) 7. 1095. 1) Плоскость пересекает сферу;
2) плоскость касается сферы; 3) плоскость проходит вне сферы.
1096. I) Прямая пересекает сферу; 2) прямая проходит вне сферы;
3) прямая касается сферы. 1097. Mi (—2; —2; 7), cf = 3.
1098. С (-1; 2; 3), £ = 8. 1099. (*- ГJ + {у - 2J+ (г — IJ = 36,
2*-г-1=0. 1100. (*- 1J + (у + 1J + (г + 2J = 65, 18л;-22^ +
+ 52-30 = 0. 1101. (х-2J + #2 + (г-3J = 27, л: + г/ — 2 = 0
1103. 5х - By + 52 - 7 = 0. 1104. л2 + #2 + г2 - Юх + 15г/ ~2бг = 0*
236

1107. 6*-30-* 22-49 = 0. 1108. B; -6; 3). 1109. a=± 6.
1110, 2x — У ■— 2 + 5 t=s 0. A\\\. X\X-\-yxy-\-ZiZ = r2, 1112. Л2/?2+
I в'2/?2 + C2i?2 = £J4 1113. (#i — a)(.r—a) + (t/i —"P)(y — p) +
i_ (^j — у) (г — y) = r2> 1114. 3jc —2y+ 62—11 =»0, 6jc + 3z/ +
i 2г — 30 = 0. Ш5. # + 2у — 2г— 9 = 0, x + Чу — 22 + 9 = 0.
1116. 4* + 32-40 = 0, Ах + 32 +10 = 0. 1117. 4* + 6у + 52-103 = 0,
4д + 6и+ 5z + 205 = 0. Ш8. 2* —Зу + 4z— 10 = 0, Зд: — 4у +
+ 22— 10 = 0. 1120. «-0-2-2 = 0. 1122. Л* + £у + Сг +D = 0.
1123. л; cos a + у cos р + г cos Y "— Р ==r 0- 1124. dcal^n0 — /j |;
d = |X] cosa + 0lcosp + 2icosv —p|. " П25. (*-2 — /*i) (** — **i) = 0;
— Xi) (X — Xi) + (y2 — У\) (У — У1) + B2 — 2i) (g — 2[) = 0.
c """ Xq У — Уо 2 — 2o
1123
1126.
— г0) — 0;
г,) (г- г0=
h
h
m,

= 0. 1127. (rjj-
1128.
( 0
Ai

y-
JC —
«a —
*з —
-УО 2
B2
Xi
xx
Xi
—
с
С
У
У2
Уз
20
1
2
-У1
— У]
~У\
= 0.
г —
г2-
г3 —
1131.
= 0.
' — -У о
1133. a(r-r,)=:0; / (л - *,) + т (у -//,)
34 { ) 0 1135 ( )
Г1 + (Га - П) f. 1133. a(r-r,)=:0; / (л - *,) + т (у -//,) +
пB —20=0. 1134. аха2{г — г0) == 0. 1135. я,я2 (г — г0) = 0.
1136. г =
— *о _ У —Уо ^_ г~ го
Bi
В2 ^2
■I Вх
Л2 В2
с
1138.
. 1137. r-
1140.
.С2 А2
,0 + C20 + D = 0, Л/ +Лт + Сд=0. 1139. ^щ (r — rQ) — O.
D
— а; х =
an
Al + Вт + Сп 1>
Ах0 + Вуа + Cz0 + D
Сп
У = Уо —
п.
D
_ _
' у — у*
At + Вт + Сгс
1142. п—■'
+ 5у, +
D
Л2 +
1143. го
от,
-я;
■В,
X —
— *0) I
— Уо) от + B, «- г0) я
-" Ха) 1 + @1 — Уо) ОТ + Bi -Г- 2р) Я
2+ С2
(Г1 — *"о)Дд.
г/ == г/0 +
2 — 20 +
^ (J! - хо) f + (У, - уо) т + B[1 д ft) /г
/2 + т2 + я2
237

У\ —
tn
п
П
абс. вел.
^«2 г/г —- ^1
«2 2г — ?}
П47.
1/1
и -
R
т2 п2
«1
«2
l\ mi
h tf*2
Rl
ft2
У12
X2= —
П48.
Rm
+ w2 + n2
2, =
1149.
(x-
Vl2 + tn* + n2
I Rm
n? + n2 Yl2 + tn2 + n2
-ro)(r-ro)=./?2. 1150. (r-
У
1151
х + Ви
Ax + By-\-Cz
VA* + jB2 + C2
a(r-
(* ~ -^o)
— l/o) + Л B — 20)
16
; B; 3; 0),
B; -3; 0), B; 0; V3), B; 0; ~/з). 1154. 4,3; D; 0; -I),
(—4; 0; —1). П55. 15; (O; — 6; — •—), 1156. Уравнения про-
проекции а) на плоскость Оху: f л:2+4л:г/+5у2---л:=0, б) на плос-
I 2=0;
кость Охг\ (х2 — 2яг + 5г2 — Ах = 0, в) на плоскость Oyz:
X
2
X У;
f у2 + г2 + 2у — z = 0, 1157. Эллипс; B; — I; 1) — центр этого
\ х = Ъ.
эллипса. Указание. Центр сечения проектируется в центр проек*
ции. 1158. Гипербола; A; —I; —2) — центр этой гиперболы.
1159. 1) Эллипс; (—3/2; 1; 13/4) — центр этого эллипса; 2) пара-
238

бола: не имеет центра; 3) гипербола; B; —3; —4) — центр этой
гиперболы. 1160. a) l<\m\<V~2; б) |от|<1. 1161. г) тФО и
т > — 1/4, причем в случае т = — 1/4 — вырожденный эллипс —
точка; б) т = 0. 1162. (9; 5; -2). 1163. C; 0; -10). 1164. F; -2; 2).
1165. т =±18. 1166. 2х — у — 22 — 4 = 0. 1167. х — 2у + 22 — 1 =0,
~2 О
■^--1. П70. ^="f,
>у2
1173. дУ --^- = 1. П78. —--^-==22. 1180. 1) C; 4; -2)
и F; —2; 2); 2) D; —3; 2) — прямая касается поверхности; 3) пря-
прямая и. поверхность не имеют общих точек; 4) прямая лежит на
поверхности. 1181. ( 2х — 12у — г + 16 = 0, f 2х — \2у — z + 16 = 0,
1 *-2z/ + 4 = 0;j х + 2у-8 = 0-
| — 5 = 0;(г/+4 = 0. 1 4 —2
+ 9 _ 2 + 3 .v у —3 z х^г-2 у _ г
Т""~ТГ"~ 2 1 11Ъ4' Т^-^^^^Т» о ~з~-4*
1185. arccos-jL. 1186. 1) £ + -|1 - |- = 0; 2)|-|| + ^-0;
3)--^ + ^ + ^ = 0- "88.*» + У'-г"-0. 1189. ^- + ^ -
_ (г~сJ = о. 1190.3.v2 - 5у2 + 7г2 - &ху + \0хг - 2уг-4^ + 4у-
+ £
_ 4г+ 4 = 0. 1191. —■ + -£■ - ~ =» 0. 1192. хй - Зг/2 + г2 = 0.
1193. 35*2 + 35у2 — 52г2 — 232ху — 116x2 + 1 IGyz + 232л; — 70^ —
— 1162+35 = 0. 1194. ху + лгг + г/г = О — ось конуса проходит
в первом и седьмом октантах; ху + хг — yz = 0 — ось конуса про-
проходит во втором и восьмом октантах; ху — xz—yz = 0 — ось конуса
проходит в третьем и пятом октантах; ху — xz + yz = 0 — ось конуса
проходит в четвертом и шестом октантах. 1195. 9л2— 16г/2— 16г2 —
— 90* + 225 = 0. 1196. *2 + 4г/2-4г2+4*г/ + 12л:г-6г/г = 0,
1197. 4х2-15г/2 — б22—12x2-36л +24г+ 66 = 0. 1198. 16л:2 +
+ 16у2 + 13г2 - 16*2 + Щг + 16* - 24г/ - 26г - 131 = 0.1199. х2 —
— у2 — 2xz + 2г/2 + х + </ — 2г — 0. 1200. 5л:2 + Ъу2 + 2г2 — 2ху ■+•
+ 4л:г + 4г/г - 6 = 0. 1201. 5*2 + 8?/2 + 5г2 + 4ху + 8*г — 4г/г -+•
+ 6л: + 24^ — 6г - 63 — 0. 1202. 5л2 + Wy2 + 13г2 + \2ху — 6xz -+•
+ 4г/2 + 26л: + 20у - 38г + 3 = 0. 1203. х2 + 4г/2 + 5г2 - Аху -
-125 = 0. 1204. 1) 18; 2) 10; 3) 0; 4) -50; 5) 0; 6) х2 — хх\
7H; 8) 1. 1205. 1)х= 12; 2) л: = 2; 3) *, = — 1, х2 = -4; 4) х{ — -1/6,
д:2 = 3/2; 5) л:Ь2 = ±2{; 6) хх =2, *2|3--2±/; 7) л; - (~1)ге ^ +
+ -^л, где « — целое число; 8) х = пBп + 1)/6, где « — любое
целое число. 1206. 1) л:>3; 2) х> —10; 3) л:<—3; 4) — 1<х<7.
1207. 1) л: =16, у = 7; 2) л: = 2, г/ = 3; 3) система не имеет реше-
решений; 4) система имеет бесконечно много различных решений, каж-
х I
дое из которых может быть вычислено по формуле у = ' /— ■ f
у 3
239

где численные значения х задаются произвольно и вычисляются
_, ac-\-bd be —ad
соответствующие значения у, 5) х — —2 , . 2 , у =—2 2 ;
6) система не имеет решений. 1208. 1) а Ф — 2; 2) а = —2, 6=^2;
3) а = -2, 6 = 2. 1209. а = 10/13. 1210. 1) х = —2*, г/ = 7/, z —At;
2) * = 2/, г/ = 3/, 2 = 0; 3) * = 0, y^t, 2 = 3/; 4) лг = О, г/ = /,
2 = 2/; 5) * = 2/, y = 5t, z = 4t; 6) л; = 4/, г/ = 2/, 2 = 3/; 7) * = /,
г/ = 5£, г=Ш; 8) х = 3/, у = 4/, г=Ш; 9) * = 0, # = t, г=3/;
10) * = (а + 1) t, y—{\ — a2) t, z= — {a-\"\)t при условии, что
аф — I (если а = —1, то любое решение системы состоит из трех
чисел х, у, z, где х, у — какие угодно, а г = * — г/); 11) х = F •— 6) /,
C 2)/ = {ab — 4) t при условии, что аФ2/3 или 6^6
2
/ ( ) /
/ 2 \
(если а = 2/3 и 6=6, то *, # произвольны, а 2== — дг + 2^1;
12) л: = 3 (:i —2a)t,' у = (аб + 1) f, г = 3F + 2) t при условии, что
а Ф 1 /2 или b Ф —2 (если а ==■ 1/2 и 6 = —2, то *, # произвольны,
a z = 2Cy — x)). 1211. -12. 1212. 29. 1213. 87. 1214. 0. 1215. -29,
1216. 2а3. 1223. —4. 1224. 180. 1225.87. 1226.0. 1227. (х-у) (y-z) X
X {z — x). 1229. 2a2b. 1230. sin 2а. 1231. xyz (x — у) (у — z) {z — х).
1232. (а + & + с) (а2 + &2 + с2 ~ аб — ас - йс). 1234. 1) дт = —3;
2) *! = —10, *2 = 2. 1235. 1) *>7/2;2) — 6<д:<— 4. 1236. *=24-£-,
у = 21 у, z— 10. 1237. лее» 1, # = 1, г= 1. 1238. ж = 2, у = 3, 2 = 4.
1239. л=1, г/ = 3, 2 = 5. 1240. *=13^-, # = 8j, 2 =14-^-,
1941 у=9 w = 1 ? = 1 1242
1243. ,_«±». , = А+£
бесконечно много решений, каждое из которых может быть вычи-
вычислено по формулам * = 2г— 1, г/ = г+1, где численные значения
2 задаются произвольно и вычисляются соответствующие значе-
значения х, у. 1245. Система не имеет решений. 1246. Система не имеет
решений. 1247. I) а ф - 3; 2) а = -3, b ф 1/3; 3) -а = -3, b = 1/3.
1249. Система имеет единственное решение: x — y — z = O. 1250. Си-
Система имеет бесконечно много решений, каждое из которых может
быть вычислено по формулам х = 2t, у — —3t, z = 5/, где численные
значения / задаются произвольно и вычисляются соответствующие
значения х, у, z. 1251. а = 5. 1252. 30. 1253. —20. 1254. 0. 1255. 48.
1256, 1800. 1257. F + с + d) (b - с- d) (b - с + d)(b + с - d).
1258. (а + b + с + d) (a + Ь —с — rf) (а —& + с — d)(a — b — с + rf).
1269. (а + 6 + с + d) (а - 6 + с - d) [(а - сJ + F - df\. 1260. (&е -а/J.