/
Текст
Л.И.Седов
МЕТОДЫ ПОДОБИЯ
И РАЗМЕРНОСТИ
В МЕХАНИКЕ
Л.И.Седов
МЕТОДЫ ПОДОБИЯ
И РАЗМЕРНОСТИ
В МЕХАНИКЕ
ИЗДАНИЕ ВОСЬМОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1977
531
C28
УДК 531.001.362
Методы подобия и размерности в механике.
Седов Л. И., изд. 8-е, переработанное, Главная
редакция] физико-математической литературы из-
издательства «Наука», М., 1977, 440 стр.
В книге излагаются общая теория размернос-
размерностей физических величин, теория механического и
физического подобия и теория моделирования.
Даны типичные примеры использования теорий
подобия и размерности для установления фунда-
фундаментальных механических закономерностей, отно-
относящихся к гидродинамике судов, к авиации, к тех-
технике взрывного дела, к астрофизике и к другим во-
вопросам. Развита общая теория автомодельных дви-
движений сплошных сред, теория распространения
взрывных волн в газах и теория одномерных неус-
неустановившихся движений газа. Даны основы газоди-
газодинамической теории взрыва атомной бомбы в атмос-
атмосфере. Развита теория осреднения газовых потоков
в каналах, рассмотрен вопрос о моделировании и о
безразмерных характеристиках работы компрес-
компрессоров, а также теория реактивной тяги двигателей
и теория коэффициента полезного действия идеаль-
идеального пропеллера как для дозвуковых, так и для
сверхзвуковых скоростей полета.
Табл. 6, илл. 147, библ. 181.
20302-091
053@2)-77
149-77
Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1977, с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 6
Из предисловия к третьему изданию 8
Предисловие к шестому изданию 9
Предисловие к восьмому изданию 10
Глава I. Общая теория размерности для различных величин ... 11
§ 1. Введение И
§ 2. Размерные и безразмерные величины 13
§ 3. Основные и производные единицы измерения 14
§ 4. О формуле размерности If
§ 5. О втором законе Ньютона 21
§ 6. Структура функциональных связей между физическими
величинами 28
§ 7. Параметры, определяющие класс явлений 32
Глава II. Подобие, моделирование и различные примеры приложе-
приложений теории размерности Л6
§ 1. Движение математического маятника 36
§ 2. Истечение тяжелой жидкости через водослив 39
§ 3. Движение жидкости в трубах 40
§ 4. Движение тела в жидкости 46
§ 5. Теплоотдача тела в потоке жидкости 53
§ 6. Динамическое подобие и моделирование явлений .... 56
§ 7. Установившееся движение твердого тела в сжимаемой жид-
жидкости \. . . 67
§ 8. Неустановившееся движение внутри жидкости 71
§ 9. Движение корабля 76
§ 10. Глиссирование по поверхности воды 84
§ И. Удар о воду 91
§ 12. Погружение в жидкость конуса и клина с постоянной ско-
скоростью 99
§ 13. Малые волны на поверхности несжимаемой жидкости . . . 101
§ 14. Пространственные автомодельные движения сплошных сред 109
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Приложения к теории движения вязкой жидкости и к
теории турбулентности ИЗ
§ 1. Диффузия вихрей в вязкой жидкости 113
§ 2. Точные решения уравнений движения вязкой несжимаемой
жидкости 115
§ 3. Пограничный слой при обтекании вязкой жидкостью плос-
плоской пластинки) 122
§ 4. Изотропные турбулентные движения несжимаемой жидкости 126
§ 5. Установившиеся турбулентные движения 162
Глава IV. Одномерные неустановившиеся движения газа .... 176
§ 1. Автомодельные движения газа со сферическими, цилиндри-
цилиндрическими и плоскими волнами 176
§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения и условия на
скачках для автомодельных движений 185
§ 3. Алгебраические интегралы для автомодельных движений 198
§ 4. Движения, предельные к автомодельным 207
§ 5. Исследование полей интегральных кривых в плоскости z, V 211
§ 6. Задача о поршне 220
§ 7. Задача о фокусировании газа в точке и разлете от точки 223
§ 8. Сферическая детонация 226
§ 9. Распространение пламени 233
§ 10. Распад произвольного разрыва в горючей смеси 238
§11. Задача о сильном взрыве 243
§ 12. Точечный взрыв с учетом противодавления 274
§ 13. О моделировании и о формулах для максимального давления
и импульса при взрывах 287
§ 14. Задача о сильном взрыве в среде с переменной плотностью 296
§ 15. Неустановившиеся движения газа, когда скорости пропор-
пропорциональны расстоянию до центра симметрии 308
§ 16. К общей теории одномерных движений газа 320
§ 17. Асимптотические законы затухания ударных волн .... 334
Глава V. Введение в теорию газовых машин 343
§ 1. Об осреднении неравномерных потоков газа в каналах . . . 343
§ 2. Условия подобия и отвлеченные параметры, определяющие
характеристики компрессоров ЗЛ8
§ 3. О полетном коэффициенте полезного действия идеального
винта и идеального воздушно-реактивного двигателя . . . 370
Г л а в а VI. Приложения к проблемам астрофизики 378
§ 1. Некоторые данные наблюдений 378
§ 2. Об уравнениях равновесия и движения массы газа, модели-
рующей^звезду • 388
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Теоретические формулы для закономерностей светимость —
масса и радиус — масса 394
§ 4. Некоторые простые решения системы уравнений равновесия
звезд 399
§ 5. О зависимости между периодом колебания блеска и средней
массовой плотностью для цефеид 405
§ 6. К теории вспышек новых и сверхновых звезд 408
Именной указатель 432
Предметный указатель 435
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В физике и в технике при экспериментах и в практических рас-
расчетах постоянно необходимо принимать во внимание различные
обстоятельства, связанные с физическим подобием явлений и с
размерностями рассматриваемых величин. Постройка самолетов,
кораблей, плотин и многих других сложных технических соору-
сооружений основана на предварительных обширных исследованиях,
среди которых важную роль играют испытания моделей. В теории
размерности и подобия устанавливаются условия, которые долж-
должны соблюдаться в опытах с моделями, и выделяются характерные
и удобные параметры, определяющие основные эффекты и режимы
процессов. Вместе с тем сочетание соображений теории размер-
размерности и подобия с общим качественным анализом механизма фи-
физических явлений в ряде случаев может служить плодотворным
теоретическим методом исследования.
С вопросами теорий размерности и моделирования мы стал-
сталкиваемся при самом первоначальном изучении физики в школе,
а в исследовательской работе — в самой начальной стадии поста-
постановки новых задач. Добавим еще к этому, что эти теории отли-
отличаются крайней простотой и элементарностью. Несмотря на это,
соображения о подобии явлений получили широкое распростра-
распространение и сознательное использование сравнительно недавно; так,
например, в гидромеханике — только в последние 30—40 лет.
Общеизвестно, что изложение этих теорий в учебниках и в
практике преподавания в высших учебных заведениях обычно
страдает многими недостатками; как правило, эти вопросы затра-
затрагиваются только вскользь и попутно. Основные понятия, даже
такие, как понятия размерной и безразмерной величин, вопрос
о числе основных единиц измерения и т. п., не выясняются в отчет-
отчетливой форме. Между тем смутные и интуитивные представления
о содержании понятия размерности служили нередко источником
возникновения взглядов, в которых формулам размерности при-
приписывался некий мистический или особый сокровенный физиче-
физический смысл. В некоторых случаях неясности приводили к парадок-
парадоксам, служившим предметом недоумений. Мы разбираем подроб-
подробно один пример такого недоразумения в связи с выводами Релея
предисловия 7
о теплоотдаче тела в потоке жидкости. При изложении теории
подобия часто привлекаются соотношения и математический
аппарат, не связанные с существом этой теории. Построение тео-
теории размерности и подобия, как и вообще всякой теории, жела-
желательно производить с помощью методов и основных посылок,
адекватных существу теории. Такое построение позволяет ясно
проследить границы и возможности теории. Это особенно необ-
необходимо для теории размерности и подобия, так как часто прихо-
приходится встречаться с крайними мнениями: с одной стороны, о ее
всесильности и, с другой, о ее тривиальности. То и другое мнение
нельзя признать правильным.
Следует отметить, однако, что наиболее существенные и полез-
полезные результаты получаются путем комбинирования соображений
теории размерности с общефизическими предположениями, кото-
которые сами по себе непосредственно не дают интересных выводов.
Поэтому с целью более полной иллюстрации разнообразных при-
приложений мы рассматриваем ряд механических задач и примеров
комбинирования методов размерности с различного рода дру-
другими качественными механическими и математическими соображе-
соображениями.
Это же побудило нас коснуться более подробно проблемы тур-
турбулентных движений жидкости. В теории турбулентности методы
подобия являются основными рабочими теоретическими методами,
так как в этой области мы еще не имеем замкнутой системы урав-
уравнений, которые позволяли бы сводить задачи механики к задачам
математическим. В разделе о турбулентных движениях жид-
жидкости содержатся новые результаты, которые дополняют и разъяс-
разъясняют некоторые вопросы теории турбулентности. Помимо приме-
примеров применения методов подобия и размерности, мы стремились
осветить постановку ряда важнейших для техники механических
задач, из которых некоторые являются новыми и еще очень мало
разработанными.
В связи с общими соображениями о природе различных меха-
механических соотношений, а также в связи с некоторым самостоя-
самостоятельным значением мы остановились несколько подробнее на рас-
рассмотрении основного уравнения механики, выражающего собой
второй закон Ньютона. Излагаемая нами по этому поводу точка
зрения не является новой, однако она сильно отличается от трак-
трактовок этого основного вопроса механики в некоторых распро-
распространенных учебниках по теоретической механике.
Число известных приложений теории размерности и подобия
к механике очень велико; многих из них мы не касались. Автор
надеется, что предлагаемая книга даст читателю представление
о типичных приемах и возможностях этих методов, поможет при
разборе новых задач и при постановке и обработке новых экспе-
экспериментов.
ПРЕДИСЛОВИЯ
Для чтения большей части книги не требуется специальной
подготовки. Для понимания материала, помещенного во второй
половине книги, необходимо иметь некоторые общие сведения
из гидромеханики.
Москва, 1943 г.
Л. Седов
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В последнее время все шире и шире внедряются в научные
исследования соображения и методы, использующие свойства
инвариантности математических и физических закономерностей
относительно выбора для употребляемых характеристик явлений
единиц измерения и физических масштабов явлений.
Практическая и теоретическая ценность и сила этих методов
все больше и больше осознаются в среде научных работников
в противовес еще недавно распространенному мнению о второ-
степенности методов теории подобия и размерности.
Можно говорить о некоторой аналогии между теорией размер-
размерности и подобия и геометрической теорией инвариантов относи-
относительно преобразований координат — фундаментальной теории
для современной математики и физики.
После выхода в свет первого издания предлагаемой книги
появилось много новых приложений теории подобия и размер-
размерности к самым разнообразным вопросам физики, механики сплош-
сплошной среды и к некоторым вопросам математического характера,
связанным с привлечением теории групп для отыскания решений
дифференциальных уравнений х), и к статистическим проблемам
выборки и браковки товаров и продуктов производства 2).
В третье издание внесены некоторые поправки и дополнения
для лучшего подчеркивания основных идей теории подобия
и размерности. Так, например, это сделано в ходе рассуждений
при доказательстве П-теоремы. Далее несколько детализировано
определение динамического или вообще физического подобия
явлений. Это новое определение еще не является общеупотреби-
общеупотребительным при изложении вопросов подобия, однако с точки зрения
практики оно схватывает существенные особенности физически
подобных процессов; кроме того, оно удобно для непосредствен-
х) В этой связи отметим: Birkhoff G., Hydrodynamics. A Study in
logic, Fact and Similitude. Priceton Univ. Press, 1950 (русский перевод под
редакцией М. И. Гуревича: Б и р к г о ф Г., Гидродинамика, постановка
задач, результаты и подобие. М., ИЛ, 1954).
2) См. D г о b о t S. and W а г m u s M., Dimensional Analysis in Sam-
Sampling Inspection of Merchandise. Rozprawy Matematyczue, V, Warszawa,
1954.
ПРЕДИСЛОВИЯ
noro использования и, по-видимому, вполне удовлетворяет всем
нуждам различных приложений.
Добавления в главе IV посвящены некоторым задачам взрыва
н затухания ударных волн, а также некоторым соображениям
из общей теории одномерных движений газа. В новой главе V 1)
рассматриваются приложения теории одномерных неустановив-
неустановившихся движений газа и методов размерности к некоторым астро-
астрофизическим проблемам.
Теория, развитая в добавлениях к главе IV и в главе V, явля-
является в своей значительной части совсем новой. Предлагаемые
постановки и решения задач газовой динамики можно рассматри-
рассматривать как иллюстративные примеры приложений методов размер-
размерности к астрономии и как запас моделирующих простых идеаль-
идеальных движений, которыми можно располагать и которые можно
использовать при исследовании проблем космогонии. Часть этих
результатов была получена мной совместно с моими молодыми
учениками в связи с работами семинара по гидромеханике в Москов-
Московском государственном университете в 1952 —1953 годах.
В разработке § 14 главы IV приняли участие Н. С. Мельникова
и С. И. Сидоркина, § 1G, п. 1° главы IV—В. А. Васильев и
М. Л. Лидов и в разработке § 6 главы V—И. М. Яворская.
Всем им я выражаю свою искреннюю благодарность.
Москва, март 1954 г.
Л. Седов
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
В предлагаемом шестом издании добавлена глава V «Введение
в теорию газовых машин» и сделаны некоторые добавления в гла-
главах I, IV и VI. Первоначальный текст предыдущих изданий пере-
пересмотрен, замеченные погрешности исправлены.
Добавлены некоторые ссылки на работы, опубликованные
в последние годы. В частности, следует отметить специально
книгу В. П. Коробейникова, Н. С. Мельниковой и Е. В. Рязанова
«Теория точечного взрыва», которая примыкает к предлагаемой
книге и содержит дальнейшее развитие теории взрыва.
Я очень обязан и глубоко благодарен Н. С. Мельниковой,
которая произвела общее редактирование и усовершенствование
текста, под ее наблюдением были также проведены дополнитель-
дополнительные расчеты и построены новые диаграммы.
Москва, февраль 1967 г.
Л. Седов
1) В шестом издании эта глава стала шестой.
10
ПРЕДИСЛОВИЯ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ
По сравнению с предыдущими изданиями в книгу внесены
некоторые дополнения, разъяснения и усовершенствования.
Наиболее существенные дополнения относятся к сопоставлению
с новейшими опытами ранее развитой и опубликованной нами уже
в первом издании этой книги A944 г.) теории изотропной турбу-
турбулентности. Теперь, через тридцать лет, покавано, что эта тео-
теория, основанная на использовании методов теории размерности и
подобия, хорошо согласуется с экспериментальными данными,
полученными и опубликованными в этот промежуток времени.
Можно отметить еще, что развитые приложения методов
газовой динамики и теории размерности, изложенные в главах
IV и VI, постепенно внедряются в практику современных астро-
астрофизических исследований и многих других областей наук.
В настоящее время соображения, связанные с размерностями
различных переменных или постоянных величин и с физическим
подобием, повсеместно широко используются в постановках позна-
познавательных проблем и практических задач разнообразных разделон
науки и техники.
Москва, май 1976 г.
Л. Седов
ГЛАВА I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 1. Введение
При изучении механических явлений вводится ряд понятий,
например энергия, скорость, напряжение и т. п., которые харак-
характеризуют рассматриваемое явление и могут быть заданы и опре-
определены с помощью чисел.
Все вопросы о движении и о равновесии формулируются как
задачи об определении некоторых функций и численных значений
для величин, характеризующих явление, причем при решении
таких задач законы природы и различные геометрические соотно-
соотношения представляют в виде функциональных уравнений — обыч-
обычно дифференциальных.
При чисто теоретических исследованиях эти уравнения служат
для установления общих качественных свойств движений и для
фактического вычисления искомых функциональных связей с по-
помощью различных математических операций. Однако механиче-
механическое исследование не всегда возможно осуществить путем математи-
математических рассуждений и вычислений. В ряде случаев решение меха-
механических задач встречается с непреодолимыми математическими
трудностями. Очень часто мы не имеем вообще математической
постановки задачи, так как исследуемое механическое явление
настолько сложно, что для него пока еще нет удовлетворительной
схемы и нет еще уравнений движения. С таким положением мы
встречаемся при решении многих очень важных задач в области
авиамеханики, гидромеханики, в проблемах изучения прочности
и деформаций различных конструкций и т. п. В этих случаях
главную роль играют экспериментальные методы исследования,
которые дают возможность установить простейшие опытные факты.
Вообще всякое изучение явлений природы начинается с установле-
установления простейших опытных фактов, на основе которых можно форму-
формулировать законы, управляющие исследуемым явлением, и запи-
записать их в виде некоторых математических соотношений.
12 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл. I
Для правильной постановки и обработки экспериментов,
результаты которых позволяли бы установить общие закономер-
закономерности и могли бы быть приложенными к случаям, в которых экспе-
эксперимент не производился непосредственно, необходимо вникать
в сущность изучаемого вопроса и давать общий качественный
анализ. Кроме того, сама постановка экспериментов, результаты
которых представляются в виде совокупности чисел, характе-
характеризующих исследуемые стороны явлений, может осуществляться
только на основе предварительного теоретического анализа. В по-
постановке опытов и вообще для практики очень важно правильно
выбрать безразмерные параметры. Число их должно быть мини-
минимальным, и взятые параметры должны отражать в наиболее удоб-
удобной форме основные эффекты.
Возможность такого предварительного качественно-теорети-
качественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных
параметров дает теория размерности и подобия. Она может быть
приложена к рассмотрению весьма сложных явлений и значи-
значительно облегчает обработку экспериментов. Более того, в настоящее
время грамотная постановка и обработка экспериментов немысли-
немыслимы без учета вопросов подобия и размерности. Иногда в началь-
начальной стадии изучения некоторых сложных явлений теория размер-
размерности является единственно возможным теоретическим методом.
Однако не следует переоценивать возможностей этого метода.
Результаты, которые можно получить с помощью теории размер-
размерности, ограничены и во многих случаях тривиальны. Вместе с тем
совершенно неверно довольно широко распространенное мнение,
что теория размерности вообще не может дать важных результатов.
Комбинирование теории подобия с соображениями, полученными
из эксперимента или математическим путем из уравнений движе-
движения, иногда может приводить к довольно существенным резуль-
результатам. Обычно теория размерности и подобия приносит очень
много пользы и в теории и в практике. Все результаты, которые
добываются с помощью этой теории, получаются всегда очень про-
просто, элементарно и почти без всякого труда. Тем не менее, примене-
применение методов теории размерности и подобия к новым задачам тре-
требует от исследователя известного опыта и проникновения в
сущность изучаемых явлений 1).
С помощью теории размерности можно получить особенно цен-
ценные выводы при рассмотрении таких явлений, которые зависят
от большого количества параметров, но при этом так, что некото-
некоторые из этих параметров в известных случаях становятся несу-
несущественными. В дальнейшем мы проиллюстрируем такие случаи
на примерах. Методы теории размерности и подобия играют
особенно большую роль при моделировании различных явлений.
г) Более подробно о постановках задач см. книгу: Седов Л. П., Ме-
Механика сплошной среды, т. I и II. М., «Наука», 1976.
S 21
РАЗМЕРНЫЕ И БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
13
§ 2. Размерные и безразмерные величины
Величины, численное значение которых зависит от принятых
масштабов, т. е. от системы единиц измерения, называются раз-
размерными или именованными величинами. Величины, численное
значение которых не зависит от применяемой системы единиц
измерения, называются безразмерными или отвлеченными вели-
величинами. Длина, время, сила, энергия, момент силы и т. д. могут
служить примерами размерных величин. Углы, отношение двух
длин, отношение квадрата длины к площади, отношение энергии
к моменту силы и т. п. — примеры безразмерных величин.
Однако подразделение величин на размерные и безразмерные
является до некоторой степени делом условности. Так, например,
угол мы только что назвали безразмерной величиной. Но известно,
что углы можно измерять в радианах, в градусах, в долях пря-
прямого угла, т. е. в различных единицах. Следовательно, число,
определяющее угол, зависит от выбора единицы измерения. Поэто-
Поэтому угол можно рассматривать и как величину размерную. Опре-
Определим угол как отношение стягивающей его дуги окружности
к радиусу; этим самым будет определена однозначно единица
измерения угла — радиан. Если теперь во всех системах единиц
измерения измерять углы только в радианах, то угол можно
будет рассматривать как безразмерную величину. Точно так же,
если для длины ввести единую фиксированную единицу измерения
но всех системах единиц измерения, то после этого длину можно
будет считать безразмерной величиной. Но фиксирование единицы
измерения для углов удобно, а для длин неудобно. Это объясня-
объясняется тем, что для геометрически подобных фигур соответствующие
углы одинаковы, а соответствующие длины неодинаковы, и поэто-
поэтому в различных вопросах выгодно выбирать за основную длину
различные расстояния.
Ускорение обычно рассматривается как размерная величина,
размерность которой есть длина, деленная на квадрат времени.
Но многих вопросах ускорение силы тяжести g, равное ускорению
при падении тел в пустоте, можно считать постоянной величиной
((.),81 м/сек2). Это постоянное ускорение g можно выбрать в каче-
качестве фиксированной единицы измерения для ускорений во всех
системах единиц. Тогда любое ускорение будет измеряться отно-
отношением его величины к величине ускорения силы тяжести. Это
отношение называется перегрузкой, численное значение которой
не будет меняться при переходе от одних единиц измерения к
другим. Следовательно, перегрузка является величиной безразмер-
безразмерной. Но в то же время перегрузку можно рассматривать и как
рлзмернузю величину, именно как ускорение, когда за единицу
измерения принято ускорение, равное ускорению силы тяжести.
К итом последнем случае мы предполагаем, что за единицу измере-
14J ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл. I
ния перегрузки — ускорения — можно взять и такое ускорение,
которое не равно ускорению силы тяжести.
С другой стороны, величины отвлеченные (безразмерные) в
общепринятом смысле этого слова можно выражать с помощью
различных чисел. В самом деле, отношение двух длин можно
выразить не только в виде обычного арифметического частного,
но и в процентах, а также другими способами.
Таким образом, понятия размерных и безразмерных величин
являются относительными понятиями. Мы вводим некоторый
запас единиц измерения. Тогда величины, для которых единицы
измерения одинаковы во всех принятых системах единиц измере-
измерения, мы будем называть безразмерными. Величины же, для которых
в опытах или в теоретических исследованиях фактически или
потенциально (явно или неявно) допускаются различные единицы
измерения, мы будем называть размерными. Из этого определения
вытекает, что некоторые величины можно рассматривать в одних
случаях как размерные, а в других — как безразмерные. Выше
мы указали подобные примеры, в дальнейшем мы встретимся с
рядом других таких примеров.
§ 3. Основные и производные единицы измерения
Различные физические величины связаны между собой опре-
определенными соотношениями. Поэтому если некоторые из этих вели-
величин принять за основные и установить для них какие-то единицы
измерения, то единицы измерения всех остальных величин будут
определенным образом выражаться через единицы измерения
основных величин. Принятые для основных величин единицы
измерения будем называть основными или первичными, а все
остальные — производными или вторичными.
На практике достаточно установить единицы измерения для
трех величин, каких именно,— это зависит от конкретных условий
той или иной задачи; в разных вопросах целесообразно за основ-
основные единицы брать единицы измерения различных величин. Так,
в физических исследованиях удобно за основные единицы взять
единицы длины, времени и массы, а в технике — единицы длины,
времени и силы. Но можно было бы взять за основные единицы
измерения также единицы скорости, вязкости и плотности и т. п.
В настоящее время большим распространением пользуются
физическая и техническая системы единиц измерения. В физиче-
физической системе за основные единицы измерения приняты сантиметр,
грамм-масса и секунда (отсюда сокращенное название — система
единиц CGS), а в технической системе — метр, килограмм-сила
и секунда (отсюда сокращенное название — система единиц MKS).
Единицы длины — один метр (=100 см), массы — один кило-
килограмм (=1000 г) и времени —1 секунда установлены опытным
6 з]
ОСНОВНЫЕ И ПРОИЗВОДНЫЕ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ
15
путем на основе определенного соглашения. До 1960 года за
один метр принималась длина эталона из платино-иридиевого
сплава, хранящегося во французской Палате мер и весов; за один
килограмм — масса эталона из платино-иридиевого сплава, храня-
хранящегося в той же Палате мер и весов. За одну секунду принималась
1/24-3600 доля средних солнечных суток 1).
С 1 января 1963 года государственным стандартом СССР
(ГОСТ 9867—61) введена единая Международная система единиц
СИ (SI — System International) 2). В системе СИ за основные
механические единицы измерения приняты метр, килограмм-
масса и секунда; за единицу силы тока принят ампер, за единицу
температуры — градус Кельвина, за единицу силы света —
свеча 3).
Как только установлены основные единицы измерения, едини-
единицы измерения для других механических величин, например для
силы, энергии, скорости, ускорения и т. п., получаются автомати-
автоматически из их определения.
Выражение производной единицы измерения через основные еди-
единицы измерения называется размерностью. Размерность записы-
записывается символически в виде формулы, в которой символ единицы
длины обозначается буквой L, символ единицы массы — бук-
буквой М, символ единицы времени — буквой Т (в технической систе-
системе единиц символ единицы силы обозначается буквой К). О раз-
размерности можно говорить только применительно к определенной
х) На XI Генеральной конференции по мерам и весам (Париж, 1960 г.)
были уточнены определения для эталонов основных единиц. За один метр
принята длина, равная 1 650 763,73 длины волн излучения в вакууме, соот-
соответствующего переходу между уровнями 2р10 и 5d5 атома криптона 86. За
одну секунду принята 1/31 556 925,9747 части тропического года для 1900 го-
года января 0 в 12 ч. эфемеридного времени.
Единица массы сохранена как масса прототипа эталона, сделанного из
платино-иридиевого сплава и хранящегося во французской Палате мер и
носов.
2) Читатели, желающие более подробно ознакомиться с новой системой
единиц СИ, могут обратиться, например, к книге А. Чертова «Международ-
«Международная система единиц измерений», «Высшая школа», М., 1967 г.
3) Эталоны основных единиц силы тока, температуры и силы света опре-
определены на IX Международной конференции по мерам и весам в 1948 году.
За один ампер принята сила неизменяющегося тока, который, протекая
по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и
ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 метра
один от другого в вакууме, вызывал бы между этими проводниками силу
2 -10~7 ньютонов на каждый метр длины проводника. (Ньютон — единица
механической силы системы СИ, 1 кГ = 9,8 н.)
За один градус Кельвина принята единица измерения температуры по
термодинамической температурной шкале, в которой для температуры трой-
тройной точки воды установлено значение 273,16 °К.
За одну свечу принята единица силы света, значение которой принимает-
принимается таким, чтобы яркость полного излучателя при температуре затвердевания
платины была равна 60 свечам на один квадратный сантиметр.
16 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ - ВЕЛИЧИН [Гл. 1
системе единиц измерения. Например, размерностью площади
будет L2, размерностью скорости L/T, размерностью силы в физи-
физической системе единиц будет ML/T2, а в технической системе —К.
В дальнейшем для обозначения размерности какой-нибудь
величины а мы будем пользоваться символом [а], введенным
Максвеллом. Например, для размерности силы F в физической
системе будем писать
ML
или
ML
Формулы размерности удобны для пересчета численного зна-
значения размерной величины при переходе от одной системы единиц
измерений к другой. Например, при измерении ускорения силы
тяжести в сантиметрах и секундах имеем g = 981 см/сек2. Если
необходимо от этих единиц измерения перейти к километрам
и часам, то для пересчета указанного численного значения уско-
ускорения силы тяжести следует воспользоваться соотношениями
1 CM = 177^ клг' ! сек = ~Ш\
часа.
поэтому
g = 981 —, = 981
° сек*
f_L_Y
\ 3600 у
час'2
= 98,1-36*-^
час2
Вообще, если в новой системе единиц измерения единица дли-
длины в а раз, единица массы в р раз, а единица времени в у раз
меньше старых единиц, то численное значение физической вели-
величины а, имеющей размерность [а] = L!MT", увеличивается в
новой системе в а'рту" раз.
Число основных единиц измерений не обязательно должно
быть равно трем. Вместо трех можно брать и большее число основ-
основных единиц. Так, например, опытным путем можно установить
независимо друг от друга единицы измерения для четырех величин:
длины, времени, массы и силы. В этом случае уравнение Ньютона
примет вид
F = ста,
где F есть сила, т — масса, а — ускорение и с — постоянная,
имеющая размерность
Кт-2
с =
ML
При таком выборе основных единиц в формулы размерности
механических величин будут входить в общем случае четыре аргу-
аргумента. Коэффициент с в написанном выше уравнении является
з]
ОСНОВНЫЕ II ПРОИЗВОДНЫЕ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ
17
физической постоянной, подобной ускорению силы тяжести g
или гравитационной постоянной у в законе всемирного тяготения
где mx и /п2 суть массы двух материальных точек, г —расстояние
между ними. Численное значение коэффициента с будет зависеть
от выбора основных единиц измерения.
Если постоянную с считать отвлеченным числом (следователь-
(следовательно, с будет иметь одинаковые численные значения во всех системах
единиц измерения), равным или не равным единице, то тем самым
определится размерность силы через массу, длину и время, еди-
единица измерения силы будет определяться однозначно в зависимо-
зависимости от единиц измерения массы, длины и времени.
Вообще с помощью введения дополнительных физических
постоянных мы можем выбирать опытным путем независимо друг
от друга единицы измерения для п величин (ге^>3), но при этом
мы должны ввести п — 3 дополнительных размерных физических
постоянных. В этом случае формулы производных величин будут
содержать в общем случае п аргументов.
При изучении механических явлений достаточно ввести только
три независимые основные единицы измерения: для длины, массы
(или силы) и времени. Этими единицами можно обойтись также
и при изучении тепловых и даже электрических явлений. Из физики
известно, что размерности тепловых и электрических величин
можно выразить через L, М и Т. Например, количество теплоты
и температура имеют размерность механической энергии. Однако
на практике во многих вопросах термодинамикии газовой динамики
принято выбиратьединицы измерения дляколичестватеплоты и тем-
температуры независимо от единицы измерения механической энергии.
Для измерения температуры единицей служит градус Цельсия,
для измерения количества теплоты — калория. Эти единицы
измерения устанавливаются опытным путем независимо от единиц
измерения для механических величин.
При изучении явлений, в которых имеет место преобразование
механической энергии в тепловую, необходимо вводить в
рассмотрение дополнительно две физические размерные постоян-
постоянные; одной из них является механический эквивалент тепла / =
— 427 кГм/ккал, а другой — либо коэффициент удельной теплоем-
теплоемкости с кал/м3град, либо газовая постоянная R м2/сек2град, либо пос-
постоянная Больцмана к = 1,38-10~16 эрг/град. Еслимы будем изме-
измерять количество теплоты и температуру в механических единицах,
то механический эквивалент тепла и постоянная Больцмана будут
входить в формулы как абсолютные безразмерные постоянные
и будут аналогичны переводным коэффициентам при пересчете,
например, метров в футы, эргов в килограммометры и т. п.
18 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН 1Гл. I
Нетрудно видеть, что число основных единиц измерения мож-
можно взять и меньшим трех. В самом деле, все силы мы можем сравни-
сравнивать с силой тяготения, хотя это неудобно и противоестественно
в тех вопросах, в которых сила тяготения не играет роли. В физи-
физической системе единиц сила вообще определяется равенством
F = та,
а сила тяготения — равенством
где y есть гравитационная постоянная, имеющая размерность
[y]=-M~lL3T~2. Подобно тому как размерную постоянную меха-
механического эквивалента тепла можно заменить безразмерной
постоянной при измерении количества тепла в механических еди-
единицах, так и гравитационную постоянную можно считать абсолют-
абсолютной безразмерной постоянной. Этим определится размерность
массы в зависимости от L и Т: [т] = М = L3T~2. Следовательно,
в этом случае изменение единицы массы полностью определяется
изменением единиц измерения для длины и времени. Таким обра-
образом, рассматривая гравитационную постоянную как абсолютную
безразмерную постоянную, мы будем иметь всего две независимые
единицы измерения.
Число независимых единиц измерения можно сократить до
одной, если мы примем за абсолютную безразмерную постоянную
еще одну размерную физическую постоянную, например коэффици-
коэффициент кинематической вязкости воды v или скорость света в пустоте с.
Наконец, мы можем рассматривать все физические величины
как безразмерные, если примем соответствующие физические
постоянные за абсолютные безразмерные постоянные. В этом
случае исключается возможность употребления различных систем
единиц идмерения. Получается одна-единственная система единиц
измерения, основанная на выбранных физических постоянных
(например, на гравитационной постоянной, скорости света и
коэффициенте вязкости воды), значения которых принимаются в
качестве абсолютных универсальных постоянных.
В науке можно было наблюдать тенденцию к введению такой
системы единиц, так как она позволяет установить единицы изме-
измерения, которые не могут быть утрачены, подобно эталонам для
метра и килограмма — величинам, являющимся по существу слу-
случайными величинами, не связанными с основными явлениями
природы х).
*) По первоначальной идее комиссии Французской академии наук, ко-
которая занималась установлением метрической системы мер, один метр был
определен как 1/4-107 длины парижского меридиана, а 1 кг —как масса куби-
кубического дециметра дистиллированной воды при 4 СС и при атмосферном давле-
5 4]
О ФОРМУЛЕ РАЗМЕРНОСТИ
19
Введение такой единственной системы единиц измерения,
исключающей все другие системы единиц, равносильно полному
устранению понятия размерности. В единой универсальной систе-
системе единиц измерения численные значения всех количественных
характеристик определяются однозначно их физической вели-
величиной.
В некоторых отношениях такая универсальная единая система
единиц измерения, т. е. употребление одинаковых мер, способов
исчисления времени и т.п., представляла бы собой определенное
удобство для практики, являясь одним из звеньев стандартизации
способов измерения.
Однако во многих явлениях такие специальные постоянные,
как гравитационная постоянная, скорость света в пустоте или
коэффициент кинематической вязкости воды, совершенно несущест-
несущественны. Поэтому единая универсальная система единиц измерения,
связанная с законами тяготения, распростанения света и вязкого
трения в воде или с какими-нибудь другими физическими процесса-
процессами, во многих случаях носила бы искусственный характер и была
бы практически неудобна. Наоборот, практически в различных
разделах физики удобно пользоваться системами единиц измерения
с различными основными единицами в соответствии с существом
и сравнительной значимостью физических понятий, применяе-
применяемых для описания рассматриваемых явлений.
В механике за основные величины удобно взять силу, длину
и время, причем в технической механике единицы для сил и дли-
длины удобнее взять иными, чем в небесной механике; в электротех-
электротехнике за основные величины выгоднее принять силу тока, сопро-
сопротивление, длину и время (ампер, ом, сантиметр и секунда) и т. д.
Более того, при конкретном изучении отдельных специальных
классов явлений численные значения количественных характе-
характеристик часто выгодно выражать в виде отношения к задаваемым
или наиболее характерным величинам по смыслу рассматриваемых
частных задач. В разных случаях эти характерные основные
величины могут быть различными.
§ 4. О формуле размерности
Зависимость единицы измерения производной неличины от еди-
единиц измерения основных величин может быть представлена в виде
формулы. Эта формула называется формулой размерности, и ее
ими. Из-за неопределенности понятия длины меридиана и из-за погрешностей
pro измерений оказалось удобнее определить эталон длины, как это указано в
гноске х) на стр. 15. В качестве эталона массы принята масса эталона из плати-
ноиридиевого сплава, который первоначально равнялся массе 1 кубического
дециметра дистиллированной воды при 4° С п прп атмосферном давлении.
20 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл. I
можно рассматривать как сжатое определение и характеристику
физической природы производной величины.
О размерности можно говорить только применительно к опре-
определенной системе единиц измерения. В разных системах единиц
измерения формула размерности для одной и той же величины
может содержать различное число аргументов и может иметь
различный вид. В системе единиц измерения CGS формулы раз-
размерности всех физических величин имеют вид степенного одно-
одночлена
Покажем, что такой вид формулы размерности определяется сле-
следующим физическим условием: отношение двух численных зна-
значений какой-нибудь производной величины не должно зависеть от
выбора масштабов для основных единиц измерения. Например,
будем ли мы измерять площадь в квадратных метрах или квадрат-
квадратных сантиметрах, отношение двух площадей, измеренных в квад-
квадратных метрах, будет таким же, как и отношение этих же площа-
площадей, измеренных в квадратных сантиметрах. Для основных вели-
величин это условие является составной частью определения единицы
измерения и удовлетворяется само собой.
Пусть мы имеем какую-нибудь размерную производную вели-
величину у; для простоты примем сначала, что величина у является
геометрической и поэтому зависит только от длин, следовательно,
±, Х%, . . ., Хп),
У =
где
суть некоторые расстояния. Обозначим через
у' то значение величины у, которое соответствует значениям аргу-
аргументов х\, х'2, . . ., х п. Численное значение у, а также у', зави-
зависит от единицы измерения для расстояний хх, х2, • ¦ •, хп. Умень-
Уменьшим эту единицу или масштаб расстояний в а раз. Тогда согласно
сформулированному выше условию мы должны иметь:
у' _ 1 (x'v х'г х'п) i (хла> xia, ¦¦•• х'па)
..х а) ' [iA>
У
х.2,
f (xLa, хм,
т. е. отношение у'/у должно быть одинаковым при любом значе-
значении масштаба длин а. Из равенства D.1) получаем:
хпа)
^а, ж3а, . . ., хпа)
ИЛИ
D.2)
Следовательно, отношение численных значений производной
О ВТОРОМ ЗАКОНЕ НЬЮТОНА
21
геометрической величины, измеренной в разных масштабах длины,
зависит только от отношения масштабов длин.
Из соотношения D.2) легко найти вид функции ф (а). В са-
самом деле имеем:
2/A)
= ф(а2).
Отсюда получаем:
так как при Х\ = хх<хг, х\ = х2а2, . . ., х'п = хпа2 имеем:
D.3)
у Ю
У («г)
a2
= Ф
Дифференцируя уравнение D.3) по ах и полагая ах = а2 =. а,
получаем:
1 rfcp _ 1 / dip (a) \ _ т
cp (a) da a \ da /?.=i a
Интегрируя, найдем
Ф = Сат.
Так как при а = 1 имеем ф = 1, то С = 1; следовательно,
Ф = о. D.4)
Этот вывод справедлив для любой размерной величины, за-
зависящей от нескольких основных величин, если мы будем менять
только один масштаб. Нетрудно видеть, что если изменяются
масштабы а, |3, у трех основных величин, то функция <р будет
иметь вид
Ф = ampy.
Этим доказывается, что формулы размерности физических величин
должны иметь вид степенных одночленов.
§ 5. О втором законе Ньютона
При исследованиях механических или вообще физических яв-
явлений мы вводим, во-первых, систему понятий — величин, ха-
характеризующих различные стороны изучаемых процессов (будем
называть их просто характеристиками), и, во-вторых, систему
единиц измерения, с помощью которой определяются численные
значения введенных характеристик. Между характеристиками
явления имеется ряд соотношений. Некоторые из этих соотноше-
22 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл. I
ний присущи только для конкретной системы и для отдельного
частного процесса, другие соотношения могут быть справедливы
для некоторых классов систем и движений. Соотношения послед-
последнего рода имеют особую ценность, и отыскание подобных соотно-
соотношений составляет важнейшую задачу физических исследований.
Одним из средств определения соотношений между характерис-
характеристиками могут служить методы теории размерности и подобия.
Наша цель — показать в дальнейшем способы и приемы примене-
применения и использования этих методов. Перед непосредственным из-
изложением этих приемов рассмотрим на примерах сущность не-
некоторых механических соотношений и общие характерные спо-
способы их получения. В связи с этим, а также в связи с некоторым
самостоятельным интересом мы рассмотрим основное соотношение
механики, известное под названием второго закона Ньютона.
Некоторые из соотношений между характеристиками явля-
являются простыми следствиями, выражающими определение этих
величин. Например, величина скорости v равняется отношению
пройденного пути к соответствующему промежутку времени; ве-
величина кинетической энергии материальной точки Е равняется
mv2l2, где т есть масса материальной точки, и т. д.
Помимо этих тривиальных соотношений, можно находить с
помощью экспериментальных или теоретических исследований
функциональные связи между численными значениями характе-
характеристик явления, вытекающие из природы и особенностей рассматри-
рассматриваемого явления или класса явлений. Примером таких соотноше-
соотношений могут служить законы Кеплера о движении планет и закон
всемирного тяготения. Осветим кратко связь между этими зако-
законами.
На основании многолетних и обширных наблюдений над дви-
движением планет в 1609 и 1619 гг. Кеплером были сформулированы
следующие общие законы:
I. Планеты описывают около Солнца эллипсы, причем Солнце
находится в одном из фокусов эллипса.
II. Радиус-вектор, соединяющий Солнце с планетой, ометает
в равные промежутки времени равные площади.
III. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца
пропорциональны кубам соответствующих средних расстояний
планет от Солнца.
Если определить величину силы взаимодействия Солнца и
планеты как массу, умноженную на ускорение, то из законов
Кеплера математическим путем можно вывести закон всемирного
тяготения:
F = Y -^ ,
E.1)
где F есть сила притяжения, г — расстояние между материаль-
О ВТОРОМ ЗАКОНЕ НЬЮТОНА
23
лыми точками, а тх и т2 — их массы. Этот закон был установлен
Ньютоном в 1682 г. и в дальнейшем был проверен и подтвержден
сравнением полученных с его помощью многочисленных выводов
с наблюдениями в природе и в специально поставленных опытах.
Другим примером может служить закон Гука, выражающий
зависимость между силой F натяжения пружины и ее удлине-
удлинением х-
Этот закон выводится из наблюдений равновесия и движения
груза, подвешенного на пружине, на основе определения величины
силы как произведения массы на ускорение и в ряде случаев с
использованием правила сложения сил.
В математической записи этот закон имеет вид
^ = кх, E.2)
где к есть коэффициент пропорциональности (коэффициент жест-
жесткости пружины).
Пользуясь этим законом, можно в различных частных слу-
случаях (груз подвешен на нескольких пружинах, изменяется масса
или жесткость пружины, изменяются начальные условия движения
и т. д.) теоретически определить закон движения, т. е. зависи-
зависимость от времени всех механических величин, найти период ко-
колебания и т. д.
Решение этих и других подобных задач механики основано
на исследовании уравнения движения материальной частицы
F = та, E.3)
где а есть вектор ускорения, т — масса материальной точки и
р — вектор силы. Сила F в ряде случаев представляется в виде
векторной суммы нескольких сил
F = Fi + Fa + ..., E.4)
характеризующих различные эффекты. Возможность замены од-
одновременно действующих нескольких сил одной силой, определен-
определенной по формуле E.4), является опытным фактом.
Рассмотрим теперь подробнее величины, входящие в уравне-
уравнение E.3). Ускорение а представляет собой кинематическую вели-
величину, которую всегда можно получить опытно независимо от урав-
уравнения E.3). Масса т определяет свойство инерции тела. Для мате-
материальной точки понятие массы можно ввести на основе третьего
закона Ньютона (всякое действие представляет собой взаимодей-
взаимодействие с равными, но противоположно направленными силами).
В самом деле, каждой материальной точке можно приписать зна-
значение постоянной величины — ее массы, так что при движении
любых' двух изолированных взаимодействующих материальных
точек Мх и М2 или Мх и М3 будут иметь место соотношения
т2а2 = 0, пца + т3а3 = 0. E.5)
24 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл. I
Следовательно, отношение масс всегда можно определить из опыта
независимо от уравнения E.3) путем измерения отношения уско-
ускорений при движении взаимодействующих тел.
Постоянство массы, определяемой соотношениями E.5) при
всевозможных движениях, является опытным фактом, выражаю-
выражающим собой закон природы, который, вообще говоря, может допу-
допускать уточнения.
Если движение известно, то соотношение E.3) может служить
просто равенством, определяющим величину суммарной силы.
На практике уравнение E.3) очень часто служит для вычисления
силы. В задачах об определении движения соотношение E.3) мож-
можно использовать только в том случае, когда известна зависимость
силы от величин, характеризующих движение (времени координат
положения точки, скорости и т. п.). Эта зависимость может быть
получена либо теоретически на основании дополнительных гипо-
гипотез, которые обязательно должны быть проверены на опыте, либо
непосредственно опытным путем.
Как при теоретических рассуждениях, так и в опытах опреде-
определение зависимости силы от различных физических величин полу-
получается с помощью уравнения E.3). Из наблюдения и изучения
простейших движений устанавливается зависимость произведе-
произведения та от других параметров движения. Затем полученные зави-
зависимости обобщаются на более сложный класс движений, справед-
справедливость обобщений опять должна проверяться на опыте путем
сравнения выводов, полученных из уравнений движения, с резуль-
результатами опыта. Таким образом, общий путь получения закона все-
всемирного тяготения из законов Кеплера характерен для опреде-
определения силы в зависимости от параметров движения.
Аналогичным образом определяется сила взаимодействия элек-
электрических зарядов — закон Кулона, сила магнитного напряже-
напряжения — закон Био — Савара, сила капиллярности — закон Вебе-
ра, сила трения между твердыми телами — закон трения Кулона,
связь между напряжениями и деформациями в упругом теле —
закон Гука, сила вязкого трения внутри жидкости — закон
Ньютона и т. п.
Часто высказывается мнение, что силу можно определить неза-
независимо от уравнения E.3) статическим путем. В самом деле,
в ряде важных случаев, в частности, когда можно принять, что
сила зависит только от положения, зависимость силы от коорди-
координат можно определить путем сравнения искомой силы с известными
силами из рассмотрения частного случая движения — покоя,
когда а = 0 1).
1) На практике при определении сил часто пользуются еще тем, что си-
система сил не меняется при сообщении всей системе поступательного движения
с постоянной скоростью, так как при этом ускорения не изменяются.
О ВТОРОМ ЗАКОНЕ НЬЮТОНА
25
Однако в связи с этим необходимо иметь в виду следующее:
но-первых, сравнивая при статическом определении силы искомую
силу с известными силами, мы пользуемся уравнением E.3) при
а = 0, во-вторых, утверждение о справедливости зависимостей,
найденных для силы при покое, также и при движении является
дополнительной гипотезой, требующей опытной проверки, которая
осуществляется с помощью уравнения E.3). Часто опытная про-
проверка не подтверждает сделанного предположения. Такой слу-
случай имеет место, например, с силами трения; оказывается, что
трение при покое (при скорости v = 0) и при движении (при v Ф
=т"ьО) может быть различным; так обстоит дело и с силой пружины,
действующей на подвешенный груз. Закон, определяющий силу
в зависимости от натяжения [формула E.2)], справедливый для
пружины любой массы при статических измерениях, перестает
быть справедливым при движении, причем отклонения получа-
получаются тем большими, чем больше масса пружины. Если масса
пружины мала по сравнению с массой груза, то формулу E.2)
можно считать справедливой при движении груза.
Часто вообще нельзя сказать, что сила определяется как функ-
функция времени, положения, скорости и ускорения. В самом деле,
рассмотрим суммарную силу, действующую со стороны воды
на лодку, совершающую сложные петлеобразные движения по
поверхности воды. Сила, действующая со стороны воды на лодку,
зависит от состояния движения воды, которое определяется всем
законом движения лодки. Пусть в двух различных движениях
лодки для некоторого одного и того же момента времени (время
можно отсчитывать от начала движения, когда вода и лодка по-
покоились) положение, скорость и ускорение лодки одинаковы.
Очевидно, нельзя сказать, что силы, действующие в этот момент
со стороны воды на лодку,будут одинаковы; силы могут значи-
значительно различаться между собой. В первом движении в предыду-
предыдущие моменты лодка могла сильно взволновать воду, тогда как
при втором движении лодки движение воды в рассматриваемом
месте может быть более спокойным. В этом примере очевидно,
что силы, действующие на лодку, будут зависеть функциональным
способом от закона движения, т. е. от всей истории движения;
иными словами, будет иметь место как бы явление наследствен-
наследственности.
Таким образом, опытные законы природы, подобные закону
всемирного тяготения, закону Гука и т. п., получены из рассмот-
рассмотрения широких классов движения, в которых величина силы
определялась как произведение массы на ускорение.
Следовательно, в конкретных задачах, связанных с определе-
определением движения, мы не можем ввести в рассмотрение силы незави-
независимо от уравнения F = та, использованного применительно к
соответствующим опытам.
26 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл. I
Исследование механических явлений можно проводить анало-
аналогичным путем, если взять вместо силы за основную величину
другое понятие, например, кинетическую энергию системы. Ра-
Равенство]
*«•?¦=? E.6)
мы можем рассматривать как определение кинетической энергии
механической системы. Исследуя экспериментально некоторые
классы движений данной механической системы, мы можем под-
подметить зависимость величины энергии Е от ряда других механи-
механических характеристик. Например, при движении консервативной
системы устанавливается, что кинетическая энергия может быть
представлена как некоторая функция координат точек системы
и аддитивной постоянной h, значение которой выделяет известный
подкласс среди всех возможных движений системы:
Е = — V + h. E.7)
Величина V носит название потенциальной энергии системы.
Равенство E.6) и закон E.7), характеризующий консервативную
систему, приводят к уравнению
l? + V-h, E.8)
которое выражает собой закон сохранения механической энергии.
В настоящее время в исследованиях ряда механических яв-
явлений мы еще не можем определять движения с помощью соотноше-
соотношения E.3) или E.7), так как наукой еще не решены окончательно
простейшие задачи о зависимости силы и кинетической энергии
от обстоятельств механического состояния системы.
В аналитической механике всегда подразумевается, что законы
для сил или выражение потенциальной энергии известны. Основ-
Основные задачи аналитической механики связаны с вопросами матема-
математического аппарата исследования: с методами интегрирования
уравнений движения и установлением различных эквивалентных
или более широких принципов, которые могут заменять исходные
опытные законы 1).
1) В конце XVIII в. главное внимание и усилия ученых-теоретиков были
направлены на исследование и преодоление указанных математических труд-
трудностей (задачи небесной механики, развитие общей теории дифференциальных
уравнений, вариационные принципы и т. д.). Исходные уравнения движения
рассматривались в общем виде; в связи с этим была распространена точка
зрения о сводимости физических явлений к механическим движениям и о за-
законченности механики как науки. Основная трудность усматривалась
в интегрировании дифференциальных уравнений механики. Известное
положение Лапласа гласило: дайте начальные условия, и этого достаточ-
достаточно, чтобы предсказать все будущее и восстановить все прошедшее. Одна-
Однако нужно заметить, что даже в [рамках классической механики теорети-
« г,]
О ВТОРОМ ЗАКОНЕ НЬЮТОНА
27
Главнейшая задача механического или вообще физического
исследования многих явлений заключается в установлении зако-
законов для сил в зависимости от основных характеристик состояния
движения и в связи с этим в выявлении определяющих характе-
характеристик и самой возможности установления подобных законов для
практических целей.
Основная заслуга Ньютона состоит в том, что он указал на
произведение массы на ускорение как на величину, котораяможет
иметь одинаковое значение для разных тел и различных движе-
движений, происходящих в разных местах пространства с различными
скоростями, и главное как на величину, которую можно в ряде
случаев определять в опытах в функции от времени, положения
и скорости точек системы.
Однако определение силы в функции простейших характерис-
характеристик движения, как мы видели, принципиально не всегда возмож-
возможно. В этих случаях возникает вопрос, не удобнее ли вместо произ-
произведения массы на ускорение взять другие характеристики движе-
движения и исследовать их связь?
Рассмотрим еще кратко вопрос о силах инерции. Возьмем
совокупность различных систем координат, движущихся друг
относительно друга. Ускорение имеет различную величину и на-
направление1 в двух системах координат, совершающих разные
движения. Связь между ускорениями точки по отношению к сис-
системам координат, движущимся друг относительно друга, устанав-
устанавливается в кинематике.
Мы можем зависимость силы от основных характеристик дви-
движения устанавливать опытно в некоторой определенной системе
координат, обычно в системе координат, связанной с Землей или
с центром тяжести солнечной системы.
Если нам известны законы для сил в некоторой системе коор-
координат, то мы легко найдем произведение массы на ускорение, т. е.
силу в любой системе координат, движение которой относительно
исходной системы задано. Как известно, в этом случае мы должны
вводить в рассмотрение так называемые силы инерции. Для наб-
наблюдателя, связанного неизменно с подвижной системой, действу-
действующие силы слагаются из сил, определенных в системе координат,
в которой производился опыт (исходная система координат), и
из сил инерции, которые для подвижного наблюдателя с механи-
механической точки зрения неотличимы от любых других сил.
ческую проблему о составлении дифференциальных уравнений движения
нельзя считать простой и уже принципиально разрешенной. Как раз задача
о составлении уравнений движения, задача о действующих силах, т. е. о пра-
пых частях дифференциальных уравнений движения, является основной зада-
задачей физических исследований, причем даже в условиях возможных примене-
применений классической механики эта задача не разрешена в очень многих случаях.
В тех же случаях, когда для простейших приложений существует необходи-
необходимое приближенное решение, оно нуждается в постоянных уточнениях.
28 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл. I
§ 6. Структура функциональных связей
между физическими величинами
Физические закономерности, устанавливаемые теоретически
или непосредственно из опыта, представляют собой функциональ-
функциональные зависимости между величинами, характеризующими исследу-
исследуемое явление. Численные значения этих размерных физических
величин зависят от выбора системы единиц измерения, не свя-
связанной с существом явления. Поэтому функциональные зависимости,
выражающие собой физические факты, которые не зависят от
системы единиц измерения, должны обладать некоторой специаль-
специальной структурой.
Пусть мы имеем размерную величину а, которая является функ-
функцией независимых между собой размерных величин а1; а2, . . .,ап:
а = f
а2,
F.1)
некоторые из этих параметров в рассматриваемом процессе могут
быть переменными, другие — постоянными.
Выясним структуру функции / (аи й2, ¦ • ¦, ап) в предположе-
предположении, что эта функция выражает собой некоторый физический
закон, независимый от выбора системы единиц измерения х).
а) Подчеркнем, что по предположению функциональная связь F.1) выра-
выражает собой только одно существенное физическое соотношение, определяю-
определяющее величину а в функции независимых между собой определяющих величин
а1У а2 , ап, и, таким образом, не является общим видом мыслимой матема-
математической связи между некоторой совокупностью размерных величин, незави-
независимой от выбора системы единиц измерения.
Например, для величин а1, а2,. . ., ап, g, P, т, где g — ускорение силы
тяжести, Р — вес п т — масса некоторого тела, наряду с F.1) верно соот-
соотношение
Р
а = /(а1,а2,...,йп)+ф(а1,я2,..., aj In — , F. Г)
которое для произвольной функции Ф (а15 . . ., ап) не зависит от выбора
системы единиц измерения. Однако равенство F.1) распадается на две вообще
разные физические закономерности: соотношение F.1') и связь Р = mg,
нз которых последняя в данном вопросе может рассматриваться как «парази-
«паразитическая». Можно было бы привести множество других искусственных при-
примеров соотношений, независимых от единиц измерения и исключаемых при-
принятой выше постановкой задачи.
Рассматриваемую физическую закономерность мы берем в форме F.1)
п в дальнейшем пользуемся только допущением о существовании такой свя-
связи, которая может быть в общем случае неоднозначной.
Вопросы теоретического или экспериментального метода фактического
установления этой связи в последующих рассуждениях не имеют значения.
Именно поэтому исследование соотношений между размерными величинами
в неявной форме
Ф (а, ах, а2,. . ., ап) = О
fi «I
СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ
29
Пусть среди размерных величин aY, а2, . . ., ап первые к вели-
ч ин (к <; п) имеют независимые размерности (число основных
единиц измерения должно быть больше или равно к).
Независимость размерностей означает, что формула, выражаю-
выражающая размерность одной из величин, не может быть представлена
как комбинация в виде степенного одночлена из формул размер-
размерности для других величин. Например, размерности длины L, ско-
скорости L/T и энергии ML2/T2 независимы; размерности длины L,
скорости L/T и ускорения L/T2 зависимы. Среди механических
величин обычно имеется не более трех с независимыми размерно-
размерностями. Мы предполагаем, что к равняется наибольшему числу
параметров с независимыми размерностями, поэтому размерности
величин а, ак+1, . . ., ап можно выразить через размерности па-
параметров ах, а2, . . ., ак.
Примем к независимых величин аи а2, . . ., ак за основные
величины и введем для их размерностей обозначения
[aj = Аи \а2] = А2, . . ., \ак] — Ак.
Размерности остальных величин будут иметь вид
[a,+1] = A?A? . . . Ар,
Изменим теперь единицы измерения величин alt a2, . . ., at
соответственно в ах, а2, . . ., а,* раз; численные значения 3tpix
величин и величин а, а;с+1, . . ., ап в новой системе единиц
будут соответственно равны:
а'=
2 = а2а2,
= af'a.]'2
ак =
an =
или в форме нескольких неявных функций для величин а, Ъ, с
Ф1 (я, Ь, с,. . ., av а2,. . ., аи) = О,
Ф2 (а, Ь, с,. . ., а1( а21. . ., an) = О,
Ф3 (а, Ъ, с,. . .,
ап) = О
не является рассмотрением вопроса в какой-то более общей форме. В такой
трактовке роль «паразитических» соотношений возрастает, причем в этом слу-
случае не связанные с существом рассматриваемой задачи сложные вопросы раз-
разрешимости системы неявных уравнений не способствуют простоте получения
основных результатов теории размерности.
30 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл. I
В новой' системе единиц измерения соотношение F.1)~примет вид
а' = а?1<%* • • • а"*о = аГ'аГ • • ¦ «Г*/ К а2, ..., ап) =
= / (щаи . .., афъ af'al'. .. а^а»+1, .. ., afag ... а^ап). F.2)
Это равенство показывает, что функция / обладает свойством
однородности относительно масштабов ах, а2, . . ., а^. Масштабы
аи а2, ¦ • м ак произвольны. Воспользуемся выбором этих мас-
масштабов для сокращения числа аргументов у функции /. Положим:
1 1 1
ах = —-, а2 =-—,..., а» =—,
&\ «2 "ft
т. е. выберем систему единиц измерения таким образом, чтобы
значения первых к аргументов в правой части соотношения F.2)
равнялись единице х). Иначе говоря, используя то обстоятельство,
что соотношение F.1) согласно предположению не зависит от си-
системы единиц измерения, мы устанавливаем систему единиц
измерения так, чтобы к аргументов у функции / имели фиксиро-
фиксированные постоянные значения, равные единице.
В этой относительной системе единиц измерения численные
значения параметров а, ак+1, . . ., ап определяются формулами
«« . . .
где а, аъ а2, . . ., ап суть численные значения рассматриваемых
величин в первоначальной системе единиц измерения. Нетрудно
видеть, что значения П, П^ . . ., Нп-.к не зависят от выбора
первоначальной системы единиц измерения, так как они имеют
нулевую размерность относительно единиц измерения Ах, А2, . . .
. . ., А л- Очевидно также, что значения П, ni5 . . ., Пп_г; вооб-
вообще не зависят от выбора системы тех единиц измерения, через
которые выражаются к единиц измерения для величин alt a2,. . ., «к-
Следовательно, эти величины можно рассматривать как безраз-
безразмерные.
х) Для простоты мы принимаем, что параметры alt a2l. . ., а;: конечны
и отличны от нуля. Последующие выводы распространяются на случаи, ког-
когда аъ а2,- ¦ ., % могут обращаться в нуль или бесконечность, если функция /
при этих значениях аргументов непрерывна.
СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ
31
Пользуясь относительной системой единиц измерения, соотно-
соотношение F.1) можно представить в виде
П = / A, 1, . . ., nlt . . ., П„.»).
F.3)
Таким образом, связь между п + 1 размерными величинами
а, аъ . . ., ап, независимая от выбора системы единиц измерения,
принимает вид соотношения между п -\- 1 — к величинами П,
П1? . . ., Ип-к, представляющими собой безразмерные комби-
комбинации из п + 1 размерных величии х). Этот общий вывод теории
размерностей известен под названием П-теоремы.
Если известно, что рассматриваемая безразмерная величина
является функцией ряда размерных величин, то эта функция
может зависеть только от безразмерных комбинаций, составлен-
составленных из определяющих размерных величин.
Очевидно, что в соотношении F.3) систему безразмерных пара-
параметров Пц П2, . . ., Пп_к- можно, изменяя вид функции /, заме-
заменять другой системой безразмерных параметров, являющихся
функциями п — к параметров П1( . . ., Пп-х.
Нетрудно видеть, что из п параметров ах, а2, . ¦ ., ап, среди
которых имеется не более к параметров с независимыми размер-
размерностями, нельзя составить больше п — к независимых безразмер-
безразмерных степенных комбинаций. Это непосредственно вытекает из
вывода соотношения F.3), если за величину а мы примем любую
выбранную безразмерную комбинацию, определяемую величи-
величинами ах, а2, . . ., ап.
Всякое физическое соотношение между размерными величи-
величинами можно сформулировать как соотношение между безразмер-
безразмерными величинами. В этом, собственно, и заключается источник
полезных приложений метода теории размерности к исследованию
механических задач.
Чем меньше число параметров, определяющих изучаемую
величину, тем больше ограничена функциональная зависимость
и тем проще вести исследование. В частности, если число основ-
основных единиц измерения равно числу определяющих параметров,
которые имеют независимые размерности, то с помощью теории
размерности эта зависимость полностью определяется с точностью
до постоянного множителя. В самом деле, если п = к, т. е. все
размерности независимы, то из параметров аъ а2, . . ., ап нельзя
образовать безразмерной комбинации, и поэтому функциональная*
х) Полученный вывод необходимо прокорректировать, если функция
/ (аг, а2,- . ., %, aft+1, . . ., ап) при значениях первых к аргументов, равных
нулю или бесконечности, терпит разрыв. В соотношении F.3) первые к аргу-
аргументов можно заменить единицей только в тех точках, в которых alt а%, . . .
. . ., пк отличны от нуля или бесконечности; поэтому в таких точках число
существенных аргументов в правой части F.3) может превышать п — к.
32 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл. I
зависимость F.3) может быть представлена в виде
в = СИ! iua г . . . ппп,
где с есть безразмерная постоянная, а показатели тъ т2, . . ., тп
легко определяются с помощью формулы размерности для а. Что
же касается безразмерной постоянной с, то ее можно определить
либо опытом, либо теоретически, решая соответствующую мате-
математическую задачу. Очевидно, что теория размерностей
приносит тем большую пользу, чем больше мы можем выбирать
основных единиц измерения.
Выше мы видели, что число основных единиц измерения можно
выбирать произвольно, однако увеличение числа основных еди-
единиц связано с введением дополнительных физических постоянных,
которые также должны фигурировать среди определяющих пара-
параметров. Увеличивая число основных единиц измерения, мы уве-
увеличиваем число размерных постоянных; в общем случае разность
п + 1 — к, равная числу безразмерных параметров, в которых
формулируется физическое соотношение, остается постоянной.
Увеличение числа основных единиц измерения может прино-
приносить пользу только в том случае, когда из дополнительных физи-
физических соображений ясно, что физические постоянные, возникаю-
возникающие при введении новых основных единиц измерения, несуще-
несущественны. Например, если мы рассматриваем явление, в котором
имеют место механические и тепловые процессы, то для измерения
количества тепла и механической энергии мы можем ввести две
различные единицы измерения — калорию и джоуль, но при
этом необходимо ввести в рассмотрение размерную постоянную
/ — механический эквивалент тепла. Допустим теперь, что мы
рассматриваем явление теплопередачи в движущейся несжимаемой
идеальной жидкости. В этом случае не происходит превращения
тепловой энергии в механическую или обратно, и поэтому тепловые
и механические процессы будут протекать независимо от значе-
значения механического эквивалента тепла. Если бы мы располагали
возможностью изменять величину механического эквивалента
тепла, то это никак не сказалось бы на значениях характерных
величин. Следовательно, в рассматриваемом случае постоянная
/ не войдет в физические соотношения, и увеличение числа основ-
основных единиц измерения позволит получить с помощью теории раз-
размерности дополнительные важные сведения.
В дальнейшем мы иллюстрируем эти выводы на примерах.
§ 7. Параметры, определяющие класс явлений
При всяком изучении механических явлений мы начинаем
со схематизации, с выделения основных факторов, определяющих
интересующие нас величины, и в широком смысле слова с постро-
построения модели исследуемых процессов при помощи простейших
7]
ПАРАМЕТРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ КЛАСС ЯВЛЕНИЙ
33
образов и явлений, уже выясненных и изученных. Правильная
схематизация очень часто представляет собой трудную задачу,
требующую от исследователя большого опыта, интуиции и пред-
предварительного качественного выяснения механизма изучаемых про-
процессов. Сущность некоторых задач заключается в проверке пра-
правильности гипотез, справедливость которых более или менее веро-
вероятна.
Выделение определяющих факторов и глубокое проникнове-
проникновение в существо взаимных связей и закономерностей — это осно-
основа сознательного использования и управления явлениями приро-
природы для успешного разрешения многообразных задач, поставленных
в жизни перед человечеством.
Свойства тел и элементарные физические законы, которые
играют существенную роль и управляют явлением, характеризу-
характеризуются рядом величии, которые могут быть размерными или без-
безразмерными, переменными или постоянными.
Механическая система и состояние ее движения определяются
рядом размерных и безразмерных параметров и функций.
Рассматривая совокупность различных механических систем,
совершающих некоторые движения, мы всегда можем ограничить
соответствующим образом класс допустимых систем и движений
так, чтобы конкретная система и ее движение определялись ко-
конечным числом размерных и безразмерных параметров. Ограни-
Ограничение класса допустимых систем и движений всегда может быть
достигнуто дополнительными требованиями о фиксировании от-
отвлеченных параметров и вида задаваемых функций задачи в без-
безразмерной форме.
Теория размерности позволяет получить выводы, вытекаю-
вытекающие из возможности применять для описания физических законо-
закономерностей произвольные или специальные системы единиц изме-
измерений. Поэтому при перечислении параметров, определяющих
класс движений, необходимо указывать все размерные параметры,
связанные с существом явления, независимо от того, сохраняют
ли эти параметры фактически постоянные значения (в частности,
это могут быть физические постоянные) или они могут изменяться
для различных движений выделенного класса. Важно, что раз-
размерные параметры могут принимать разные численные значения
в различных системах единиц измерения, хотя, возможно, и оди-
одинаковые для всех рассматриваемых движений. Например, при
рассмотрении движений, в которых вес тел существен, мы обяза-
обязательно должны учитывать в качестве физической размерной по-
постоянной ускорение силы тяжести g, хотя величина g постоянна
для всех реальных движений. После того как ускорение силы тя-
тяжести g введено в качестве определяющего параметра, мы мо-
можем, ничего не усложняя, искусственно расширять класс дви-
движений путем введения в рассмотрение движений, в которых
34 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ВЕЛИЧИН [Гл. I
ускорение g принимает различные значения. В ряде случаев подоб-
подобный прием позволяет получить практически ценные качественные
выводы.
Как находить систему параметров, определяющих класс яв-
явлений?
Таблицу основных параметров, определяющих явление, всег-
всегда легко выписать, если задача сформулирована математически.
Для этого нужно отметить все размерные и безразмерные величины,
которые необходимо и достаточно задать для того, чтобы числен-
численные значения всех искомых величин определялись уравнениями
задачи. В ряде случаев таблицу определяющих параметров можно
составить, не выписывая уравнений задачи. Можно просто уста-
установить те факторы, которые необходимы для полного определения
искомой величины, численные значения которой иногда возможно
находить только экспериментально.
При составлении системы определяющих параметров необхо-
необходимо, как и при составлении уравнений задачи, схематизировать
явление.
Тем не менее для применения теории размерности нужно знать
меньше, чем для составления уравнений движения механической
системы. Для одной и той же системы определяющих параметров
могут быть различные уравнения движения. Уравнения движения
не только показывают, от каких параметров зависят искомые
величины, но содержат в себе потенциально также все функцио-
функциональные связи, определение которых составляет математическую
задачу.
Из этих соображений очевидно, что теория размерности по су-
существу ограничена. С помощью одной только теории размерности
мы не можем определить функциональных соотношений между
безразмерными величинами.
Выводы теории размерности не могут измениться, если мы
будем изменять уравнения движения путем умножения различ-
различных членов уравнений задачи на некоторые положительные или
отрицательные безразмерные чгсла или функции, зависящие от
системы определяющих параметров. Подобные видоизменения
уравнений могут существенно влиять на характер физических
закономерностей х).
Всякую систему уравнений, заключающую в себе математи-
математическую запись законов, управляющих явлением, можно сформу-
сформулировать как соотношение между безразмерными величинами.
Все выводы теории размерности будут сохраняться при любом
изменении физических законов, представленных в виде соотноше-
*) Например, если в уравнениях движения рассматриваемой системы
изменить знаки у некоторых сил, то это может отразиться существенно на за-
законах движения; все же выводы теории размерности при этой операции сох-
сохраняются неизменными.
I, /I
Параметры, определяющие класс явлений
35
ими между одними и теми же безразмерными величинами. Система
определяющих параметров должна обладать свойствами полноты.
Среди определяющих параметров должны обязательно быть
неличины с размерностями, через которые могут выразиться раз-
размерности всех зависимых параметров х). Некоторые из определя-
определяющих параметров могут быть физическими размерными постоян-
постоянными. В качестве примера к этому требованию рассмотрим пара-
параметры, которые могут определять статическое состояние газа.
Нельзя утверждать, что состояние газа определяется только
днумя размерными величинами: абсолютной температурой Т
(| '/'] = С0) и плотностью р ([р] = M/L3), потому что давление р
конечно, отлично от нуля и имеет размерность, независимую от
размерностей температуры и плотности.
Предположим теперь, что состояние газа определяется зна-
значениями температуры, плотности и одной физической постоянной,
например коэффициентом теплоемкости с„, измеренным в меха-
механических единицах измерения ([с„] = L2/jF C°). Обозначив че-
через / кГм/кал механический эквивалент тепла, имеем:
где cv есть коэффициент теплоемкости в тепловых единицах изме-
измерения ([с„] = кал/масса-С0). Размерность давления можно выра-
выразить через размерности Т, р и c'v, поэтому сделанное предполо-
предположение допустимо с точки зрения теории размерности. Так как
размерности Т, р и с„ независимы, то из предположения, что
p = f(T, p, cv),
сразу вытекает справедливость уравнения Клапейрона
,р = с или р = pRT,
где с есть безразмерная постоянная, а через R обозначена раз-
размерная постоянная cc'v = cJcv.
Таким образом, уравнение Клапейрона можно рассматривать
как следствие единственной гипотезы, заключающейся в том, что
дпилепие, плотность, температура и теплоемкость независимо от
.тичений других характеристик связаны между собой соотноше-
соотношением, имеющим физический смысл. Ниже на отдельных примерах
мм укажем способы комбинирования методов теории размерности
с соображениями, вытекающими из симметрии, линейности за-
задачи, математических свойств функций при малых или больших
ииачониях определяющих параметров и т. п.
') Если система определяющих параметров неполна и ее расширение иск-
лючаотся по существу, то это означает, что определяемая величина равна либо
нулю, либо бесконечности. С таким случаем мы часто встречаемся при задании
начальных условий «типа источника» с помощью б-функции.
ГЛАВА II
ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАЗЛИЧНЫЕ
ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ
§ 1. Движение математического маятника
В качестве первого примера мы рассмотрим классический при-
пример о движении математического маятника.
Математический маятник (рис. 1) представляет собой тяжелую
материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжи-
нерастяжимой нити, которая закреплена другим своим концом неподвижно.
Совокупность возможных движений мы ограничим условием, что
движения маятника плоские.
Введем обозначения: I — длина маятника, ф — угол между
нитью и вертикалью, t — время, т — масса груза и N — натяже-
натяжение нити. Если пренебречь силами сопротив-
сопротивления, то задача о движении маятника при-
' водится к решению уравнений
\ d^w в
т
dt I
с начальным условием
при t = 0 ф =
-?-) Z = N -mg cos.
A.2)
-|р = О,
Рис. 1. Математи-
Математический маятник.
т. е. за начальный момент времени принят
тот момент, когда маятник отклонен на угол
ф0, а скорость равна нулю.
Из уравнений A.1), A.2) и начального условия очевидно, что
в качестве определяющих параметров можно взять следующую
систему:
t, I, g, т, ф0.
Численные значения всех остальных величин определяются пол-
полностью значениями этих параметров. Следовательно, мы можем
Движение математического маятника
3?
пописать:
Ф = ф (/, ф0, I, g, т), N = mgf (t, ф0, I, g, m), A.3)
где ф и / суть безразмерные функции.
Численные значения функций ф и / не должны зависеть от си-
системы единиц измерения. Вид этих функций можно определить
либо решая уравнения A.1) и A.2), либо экспериментальным спо-
способом.
Из общих соображений, изложенных выше, вытекает, что пять
¦л ргументов функций ф и / можно свести только к двум аргументам,
которые представляют собой безразмерные комбинации, состав-
составленные из t, I, g, m и ф0, так как имеются три независимые еди-
единицы измерения.
Из величин t, I, g, m, и ф0 можно составить две независимые
безразмерные комбинации:
Фо
¦"V + -
A.4)
Нее другие безразмерные комбинации, составленные из t, I, g, m
и ф0 или вообще из любых величин, определяемых этими пара-
параметрами, будут функциями комбинаций A.4). Следовательно,
можно написать:
A.5')
= ф(фо
A.5")
Формулы A.5), полученные с помощью метода размерности,
показывают, что закон движения не зависит от массы груза,
а натяжение нити прямо пропорционально массе груза. Эти вы-
иоды вытекают также непосредственно из уравнений A.1) и A.2).
Неличину iYgll можно рассматривать как время, выраженное
и специальной системе единиц измерения, в которой длина маят-
маятника и ускорение силы тяжести приняты равными единице.
Обозначим через ?F какой-нибудь характерный промежуток
иремени, например время движения маятника между крайним
п вертикальным положениями или между двумя одинаковыми
фазами, т. е. период колебания, и т. д. (существование периоди-
периодического движения можно принять как гипотезу или как резуль-
результат, известный из дополнительных данных). Имеем:
?Г = h (Фо, I, g,m) = у 4- U (Фо. U g, m).
' о
Функция /2 представляет собой безразмерную величину, а так
пак из I, g и т нельзя составить безразмерную комбинацию, то
38 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
очевидно, что функция /2 не зависит от I, g и т. Следовательно,
-'/2(ф0). A.6)
Формула A.6) устанавливает зависимость времени if от длины
маятника. Получить вид функции /2 (<р0) с помощью теории раз-
размерности нельзя. Определение /2 (<р0) необходимо произвести либо
теоретически, на основании уравнения A.1), либо эксперимен-
экспериментально.
Формулу A.6) можно получить непосредствепно из соотноше-
соотношений A.5'). В самом деле, для периода колебаний соотношение
A.5') дает:
"y -f-J.
Решая это уравнение, получим формулу A.6).
Если W есть период колебания, то из соображений симметрии
очевидно, что значение периода 3~ не зависит от знака ф0, т. е.
U (фо) = U (—Фо)-
Следовательно, функция /2 является четной функцией аргумента
Фо. Предполагая, что при малых ф0 функция /2 (ф0) регулярна,
можно написать:
к (Фо) = сг + с2ф" + с3фо + . . . A.7)
Для малых колебаний члены со степенями фо и выше можно от-
отбросить, и для периода SF мы получаем формулу
г • A-8)
Решение уравнения A.1) показывает, что сг = 2п. Таким об-
образом, мы видим, что для малых колебаний маятника с помощью
теории размерности можно получить формулу периода колебания
маятника с точностью до постоянного множителя.
Формулы A.5) и A.6) сохранят свою справедливость и в том
случае, если вместо уравнения A.1) мы возьмем уравнение
где / (ф) есть любая функция от ф. Вообще справедливость фор-
формул A.5) и A.6) вытекает из единственного условия, которое сос-
состоит в том, что состояние движения определяется параметрами
t, I, g, m, ф0.
Для установления этой системы параметров нам послужили урав-
уравнения движения, но ее можно указать и не прибегая к уравне-
ИСТЕЧЕНИЕ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ВОДОСЛИВ
39
и ним движения. В самом деле, для характеристики маятника надо
указать I и т. Далее необходимо указать g, так как сущность
пиления определяется силой тяжести. Наконец, необходимо ука-
мать ф0 и t, так как конкретное движение и состояние движения
определяются углом крайнего отклонения ф0 и рассматриваемым
моментом времени t.
§ 2. Истечение тяжелой жидкости через водослив
Рассмотрим задачу о струйном движении тяжелой жидкости
чорез водослив (рис. 2), который представляет собой вертикаль-
вертикальную стенку с треугольным отверстием, расположенным симмет-
симметрично относительно вертикали, причем угол^отверстия а равен
(.Ю°. Жидкость вытекает под
напором h, который равен высоте
уровня жидкости над вершиной
треугольника на далеких рас-
расстояниях от отверстия водосли
на. Для простоты мы примем,
что сосуд, в котором находится
жидкость, очень велик, и по-
:>тому движение жидкости можно
(¦читать установившимся. При
струйном движении жидкости
основное значение имеют свой-
Рис. 2. Перетекание тяжелой жид-
жидкости через водослив.
ства инерции и весомости, кото-
которые характеризуются значениями плотности р и ускорения силы
тяжести g.
Установившееся течение жидкости через рассматриваемый во-
водослив полиостью определяется следующими параметрами:
P. gi h-
lice жидкости Q, вытекающий через отверстие водослива в едини-
единицу времени, может быть функцией только этих параметров:
Q = / (р, g, h).
С помощью теории размерности нетрудно найти вид этой функ-
функции. В самом деле, размерность Q равняется кГ/сек. Комбинация
\щ№\/~glh также имеет размерность кГ/сек. Поэтому отношение
Q
шишется безразмерной величиной. Это отношение является функ-
функцией величин р, g, h, из которых нельзя образовать безразмерной
40 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
комбинации, поэтому можно написать:
Q с
или
Q=C9gW\ B.1)
где С есть абсолютная постоянная, которую проще всего опреде-
определить из опыта. Полученная формула полностью определяет зави-
зависимость количества протекающей жидкости от напора h и от плот-
плотности р.
Совокупность рассматриваемых движений можно расширить,
допуская водосливы с различными углами а. В этом случае систе-
система определяющих параметров дополняется углом а, и формула
B.1) примет вид
Q = C(a) pg'W\ B.2)
т. е. коэффициент С будет зависеть от угла а.
Если водослив имеет прямоугольную форму шириной Ъ, то
система определяющих параметров будет:
p. g, h, b.
Все безразмерные величины определяются параметром h/b. Фор-
Формула B.1) в этом случае заменится следующей:
Функцию / (h/b) можно определить опытным путем, наблюдая
течение через водослив различной ширины Ъ, но с постоянным h.
Определив таким способом функцию / (h/b), формулу B.3) можно
применять к случаям постоянной ширины Ъ = const, но с раз-
различным напором h, т. е. к случаям, в которых опыт не произ-
производился.
Этот пример показывает, что соображения, полученные с помо-
помощью метода размерности, могут приносить большую пользу при
постановке опытов, позволяя ограничивать их количество и полу-
получать благодаря этому экономию не только в срсцстлах, но и во
времени. Изменение одних величин можно заменять в опытах из-
изменением других величин. На основе опытов, произведенных с
водой, можно дать исчерпывающие ответы о явлении вытекания
нефти, ртути и т. д.
§ 3. Движение жидкости в трубах
Большое значение методов теории размерности и подобия вы-
выяснилось впервые с особой ясностью в гидравлике при изучении
движения жидкости в трубах. Несмотря на*практическую важ-
важность и на простоту соображений теории размерности, их примене-
ДМШКПИК ЖИДКОСТИ I", Т1-УБАХ
41
р.
Рр
г*—
I
I
I
1 —*,
/а
t
о
Рис. 3. Движение несжимаемой
жидкости в цилиндрической
трубе.
пмо к задачам гидравлики, принесшее огромную пользу
II явившееся крупным шагом вперед в истории гидравлики,
произошло только в конце XIX в. после работ Осборна Рей-
пол ьдса 1).
Долгое время в гидравлике пользовались многочисленными
лмиирическими формулами, предложенными различными авто-
авторами. Эти формулы содержали
ряд размерных постоянных, зна-
значение которых определялось част
ними условиями опытов и свой-
свойствами жидкостей.
Соображения теории размерно-
размерности вместе с более четкой и об-
общей постановкой задачи позво-
.чили согласовать и объединить
многие эмпирические законы, най-
найденные для движения различных
жидкостей при разной температуре в трубах с различными диа-
диаметрами и с различными скоростями движения.
Схематизируем и поставим задачу. Класс движений мы опре-
определим следующими условиями. Трубы — цилиндрические с оди-
одинаковой формой поперечного сечения (рис. 3). Следовательно, тру-
труба и ее поперечное сечение полностью определяются заданием
площади сечения или заданием какого-нибудь характерного
линейного размера а. Для круглых труб в качестве характерного
размера обычно берется радиус или диаметр. Длина труб доста-
достаточно велика, поэтому можно не учитывать особенностей движе-
движения на концах трубы. Идеализируя явление, мы примем, что тру-
трупы имеют бесконечную длину.
Относительно рассматриваемого движения жидкости мы пред-
предположим, что оно установившееся.
Далее мы допустим, что свойство сжимаемости в изучаемых
процессах несущественно, поэтому будем рассматривать движе-
движение несжимаемой жидкости. Свойства инерции и вязкости жидко-
жидкости, характеризуемые плотностью р и коэффициентом вязкости \х,
м i.i примем во внимание. Так как коэффициент вязкости зависит
от температуры, то, учитывая эту зависимость, мы учтем также
нлияние температуры 2).
') Reynolds О., An Experimental Investigation of the Circumstances
which Determine whether the Motion of Water shall ве Direct or Sinuous,
niid of the Law of Resistance in Parallel Channels. Phil. Trans. Roy. Soc.
London, 1883, v. 174, № 3, p. 935—982 (см. также: Reynolds О., Papers
mi Mcch. and Phys. Subjects, v. 2, 1901, p. 51—105; сборник «Проблемы тур-
г.улоитиости». М—Л., ОНТИ, 1936).
*) Мы имеем здесь в виду учет температуры в предположении, что ее мож-
можно считать постоянной во всей массе жидкости.
42 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
Для определения движения жидкости достаточно еще задать
либо перепад давления вдоль трубы, либо расход жидкости в еди-
единицу времени через поперечное сечение трубы, либо среднюю
скорость п жидкости по сечению трубы и т. п.
Следовательно, труба, жидкость и состояние движения жидко-
жидкости в целом определяются системой параметров
р, |я, а, п.
Все механические характеристики движения являются функ-
функциями этих параметров.
Рассмотрим, например, падение давления вдоль трубы. Паде-
Падение давления на единицу длины трубы представляется величиной
Pi — Рг
I
где рх и р2 суть давления в сечениях трубы, отстоящих друг от
друга на расстоянии I.
Комбинация
является безразмерной величиной и называется коэффициентом
сопротивления трубы.
Сопротивление участка трубы длиной I представится в виде
P = (Pl-pz)S = q-^S^, C.1)
где S есть площадь поперечного сечения трубы.
Из четырех определяющих параметров р, \х, а и п можно обра-
образовать только одну независимую безразмерную комбинацию
V>
которая называется числом Рейнольдса. Все безразмерные вели-
величины, зависящие от указанных четырех параметров, являются
функциями числа Рейнольдса. В частности,
Ф = ф (R). C.2)
Задачи об определении сопротивления трубы или об определе-
определении расхода жидкости в зависимости от перепада давления сводят-
сводятся к отысканию функциональной зависимости я|э (R). Эту функцию
можно найти экспериментальным путем, измеряя сопротивление
в зависимости от скорости (или от расхода протекающей жидко-
жидкости) при движении воды в одной какой-нибудь трубе. Полученные
результаты можно использовать при рассмотрении движения
s .и
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
43
других жидкостей и в трубах с другими диаметрами. Так, напри-
например, по опытным данным о движении воды можно в ряде случаев
(когда несущественна сжимаемость, т. е. при скоростях, значи-
значительно меньших скорости звука) решить многие вопросы о движе-
движении в трубе воздуха и т. п. (рис. 4).
Опыт показывает, что движение жидкости в трубе происходит
при двух резко различающихся между собой режимах: ламинар-
ламинарном режиме и турбулентном режиме. При ламинарном движении
1! цилиндрической трубе частицы жидкости движутся по прямым,
параллельным образующим трубы; при турбулентном движении
имеется беспорядочное перемешивание жидкости в направлении,
перпендикулярном к образующим трубы. Турбулентный поток
можно рассматривать как установившееся движение только в сре-
среднем.
В ряде случаев ламинарное движение жидкости в трубе обла-
обладает слабой устойчивостью или вообще неустойчиво и уступает
место турбулентному движению.
Свойство устойчивости представляет собой характеристику дви-
движения жидкости в целом, поэтому для гладких труб это свойство
должно определяться числом Рейнольдса R. Опыт хорошо под-
подтверждает этот вывод. Для малых значений чисел Рейнольдса
ламинарное движение устойчиво, для больших — неустойчиво.
Режим движения определяется числом Рейнольдса. Граница
устойчивости ламинарного движения характеризуется некоторым
значением числа Рейнольдса, которое называется критическим.
Для круглых цилиндрических труб критическое значение числа
Рейнольдса имеет порядок R = 1000 -г- 1300.
Ламинарный режим характерен для движений очень вязкой
жидкости с малыми скоростями в трубах с малыми диаметрами
(например, в капиллярных трубках). Турбулентный режим харак-
характерен для движений жидкости с малой вязкостью, происходящих
с большой скоростью в трубах с большими диаметрами.
Опытные данные показывают, что функция "ф (R) имеет две вет-
ни, одна из которых соответствует ламинарному, а другая — тур-
Пулентному режимам движения. Вблизи критического значения
числа Рейнольдса имеется некоторая переходная область.
При ламинарном движении в цилиндрической трубе все части-
частицы жидкости движутся по прямым линиям, параллельным оси
¦грубы, с постоянной скоростью, т. е. с ускорением, равным нулю.
!)то движение жидкости в трубе называется течением Гагена —
Цуазейля. Свойство инерции жидкости, представляемое парамет-
параметром р, может сказаться только тогда, когда ускорения отличны от
пуля *), поэтому при ламинарном движении сопротивление не
J) Как известно, в уравнения движения плотность и ускорение входят
только в произведении.
44 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. IT
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
45
должно зависеть от р. Следовательно, при ламинарном движении
правая часть в равенстве C.1) не должна зависеть от р, отсюда
получаем, что при ламинарном движении плотность р в равен-
равенстве C.1) должна сократиться, поэтому функция г|з (R) должна
иметь вид
с
C.3)
где С есть безразмерная постоянная, определяемая геометриче-
геометрической формой поперечного сечения трубы; а — линейный размер
сечения трубы. Для круглой трубы С легко вычисляется теоре-
теоретически: С = 16.
Следовательно, в случае ламипарного движения для сопротив-
сопротивления трубы получается формула
C.4)
где Сх есть безразмерная постоянная, зависящая от формы по-
поперечного сечения трубы. Формулу C.4) легко получить непосред-
непосредственно, если взять в качестве определяющих параметров только
три величины: а, |я, п, и учесть еще, что Р пропорционально I.
Если задан перепад давлений, под которым движется жидкость,
то в качестве определяющих параметров удобнее взять величины
p, \i, а и i =
Pi
l
В этом случае режим движения определяется безразмерным
параметром
pie» _ ,
Из формулы C.1) нетрудно видеть, что
C.5)
Это соотношение дает зависимость / от R через функцию гр (R).
Обозначим через
Q = US
объем жидкости, протекающей в единицу времени через попереч-
поперечное сечение трубы (так называемый объемный расход трубы). Без-
Безразмерная комбинация
(ХО
= R
46 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
является функцией величины /, т. е.
Q = —/К)- (^-6)
Вид функции / (/) для ламинарного движения легко определить.
На основании формул C.3) и C.5) находим:
п 2 S ie4 r ia* ,q 7\
^ = ~С~ ~cfl~~пГ = 2 ~п~ ' №•')
где безразмерная постоянная С2 зависит от формы поперечного
сечения трубы. Для круглой трубы
Формула C.7) составляет закон Пуазейля, установленный экс-
экспериментально Гагеном в 1839 г. и Пуазейлем в 1840 г. Хорошее
согласование этого закона с опытами является одним из главных
подтверждений правильности закона вязкого трения в жидкости
и исходной схематизации явления.
§ 4. Движение тела в жидкости
Схематизация задачи о движении самолета, подводной лодки
и т. п. приводит к задаче о поступательном движении твердого
тела с постоянной скоростью внутри безграничной массы жидко-
жидкости, заполняющей все пространство вне тела.
Фиксируем геометрическую форму поверхности, ограничиваю-
ограничивающей тело; тогда для полного задания поверхности тела достаточно
задать некоторую характерную
длину d. Рассмотрим совокуп-
совокупность поступательных движений
тела, параллельных некоторой не-
неподвижной плоскости. Обозначим
через i> и а скорость движения и
угол, который определяет направ-
направление скорости (рис. 5); величины
v и а могут быть различными для
разных движений. Допустим да-
далее, что жидкость можно считать
несжимаемой. Свойства инерции и
вязкости жидкости будем прини-
принимать во внимание. Примем для
простоты, что массовые силы отсутствуют. Распределение давле-
давлений на поверхности тела и суммарные силы, действующие со
стороны жидкости на тело, зависят от состояния возмущенного
движения жидкости.
Рис. 5. Движение твердого тела
в жидкости.
', '-I
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ЖИДКОСТИ
47
Для тела заданной формы установившееся состояние движения
жидкости определяется системой пяти параметров 1):
d, v, а, р, [г.
Все безразмерные механические величины, связанные с состоя-
состоянием движения жидкости, можно рассматривать как функции двух
безразмерных параметров: угла атаки и числа Рейнольдса
Обозначим через W силу, действующую со стороны жидкости
па тело (для дальнейших рассуждений безразлично, будем ли мы
понимать под W полную силу сопротивления или же одну из ее
составляющих: лобовое сопротивление, направленное противо-
противоположно скорости движения, или подъемную силу, направленную
перпендикулярно к скорости). Из общей теоремы теории размер-
размерности вытекает, что безразмерная величина W/pd?v2 является
функцией угла а и числа Рейнольдса R. Поэтому
W = pdV/ (a, R). D.1)
Определение функции / (a, R) составляет важнейшую задачу
теоретической и экспериментальной аэродинамики и гидромеха-
гидромеханики.
Очевидно, что для взятой системы параметров влияние вязко-
вязкости на движение сказывается только через посредство влияния
числа Рейнольдса.
Из вида формулы R = vdp/ц. можно сделать некоторые общие
заключения о роли вязкости жидкости при увеличении скорости
или размеров тела. Например, при увеличении скорости движения
или линейных размеров тела число Рейнольдса увеличивается.
*) Давление в бесконечности р0, которое можно задать произвольно, не
вводится в эту систему параметров по следующей причине. Жидкость несжи-
несжимаема, поэтому изменение р0 не может оказать влияния на поле скоростей.
Вместо величины полного давления р всегда можно рассматривать только
разность давлений р — ра. Отсюда очевидно, что величина ра несущественна,
и поэтому ее не нужно вводить в качестве определяющего параметра. Однако,
когда движение жидкости может сопровонедаться явлением кавитации, кото-
которое связано с возникновением испарения жидкости в областях пониженного
давления, то в число определяющих параметров необходимо включить вели-
величину р0 — р', где р' есть упругость паров жидкости при данной температуре.
Для сжимаемой жидкости в число определяющих параметров необходимо
включить величину ра или другой параметр, который может заменить р0.
При движении, сопровождаемом кавитацией, существен еще один без-
безразмерный параметр к = 2
Ро-
. В опытах при изучении влияния числа
кавитации у. изменение числа % можно осуществлять либо за счет р0, либо
насчет v, либо искусственным образом за счетр'. Можно также применять
различные жидкости и менять плотность р.
48 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРПЛОЖКНПИ [Гл.ИТ
Но для сохранения роли вязкости число Рейнольдса должно
оставаться постоянным, так как всякое изменение числа Рейнольд-
Рейнольдса можно относить за счет изменения коэффициента вязкости;
если произведение vd р увеличивается, то для постоянства числа
Рейнольдса необходимо увеличить коэффициент вязкости |я. Сле-
Следовательно, при одной и той же скорости тела движение меда
(большое |я/р), вызванное движением большого тела, аналогично
движению воды (малое |я/р), вызванному движением малого тела,
или движение тела в меде с большой скоростью аналогично дви-
движению того же тела в воде с малой скоростью. Аналогия движе-
движений выражается в том, что все безразмерные величины для этих
движений одинаковы.
Далее, из этих соображений очевидно также, что при движении
тела в одной и той же жидкости эффект вязкости падает с увеличе-
увеличением скорости и размеров тела х). Теоретические исследования
и экспериментальные данные показывают, что при больших зна-
значениях числа Рейнольдса роль вязкости жидкости уменьшается
и в некоторых случаях становится несущественной. Пренебрегая
вязкостью, т. е. полагая |я = 0, мы приходим к понятию идеаль-
идеальной жидкости.
В задачах о движении тела в идеальной жидкости число опре-
определяющих параметров сокращается до четырех
d, a, p, v.
В идеальной жидкости все безразмерные характеристики опре-
определяются углом атаки а, поэтому формула D.1) заменяется фор-
формулой
W = pdV/i (a). D.2)
Следовательно, при движении тела в несжимаемой идеальной
жидкости силы, действующие на тело со стороны жидкости, про-
пропорциональны квадрату скорости. Для вязкой жидкости при
достаточно большом значении числа Рейнольдса этот закон спра-
справедлив приближенно.
Для тел различной формы функции / (a, R) и Д (а) в формулах
D.1) и D.2) зависят, помимо угла атаки, существенным образом
от отвлеченных параметров, определяющих геометрическую фор-
форму тела. На рис. 6 и 7 представлены экспериментальные данные
о зависимости коэффициента сопротивления от числа Рейнольдса.
На рис. 8 показан характер влияния угла атаки на сопротивление
и на подъемную силу крыла.
Рассмотрим теперь случай весьма медленных движений тела,
соответствующий малым значениям числа Рейнольдса.
х) В данном случае мы принимаем, что при прочих равных условиях эф-
эффект вязкости падает с уменьшением коэффициента вязкости.
к '.I
ДПИЖКНЙИ ТКЛ\ В ЖИДКОСТИ
о
и
л
ч
ф
ч
ч
га
о,
ч
ч
и *-~
S §
? I
ft
|—< ев
м и
л
М П
а Ч
-о се
~* О,
I a
я
а. к
1=1 н
8 §
II
8
о
-
50 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. П
- — 5
u
о •
111. "
в о е |
у
T
*—
T
J
J
i
i
¦J
f
... __\
1
1
\
\
4
p
-
i
1
4»
to.
&.
нольдса
Рей
я
й
Sb >в<
^&
% в
-5-h;
I
се И
n
la
S>. о
иент с
" I
*i >&
^ m
^ о
г*. ^
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ЖИДКОСТИ
51
При уменьшении числа Рейнольдса роль сил вязкости увели-
увеличивается. Если мы пренебрежем силами инерции по сравнению
г силами вязкости, то это равносильно допущению о несущест-
иопности параметра р. В этом случае системой определяющих па-
параметров служат четыре параметра
d, a, v, ц,
поэтому все безразмерные характеристики будут зависеть также
только от угла атаки а. Следова-
Следовательно,
W=
D.3)
Отсюда очевидно, что сопротивле-
сопротивление и подъемная сила пропорцио-
пропорциональны скорости, коэффициенту вяз-
вязкости и линейному масштабу d. Этот
.чакон, который можно назвать зако-
законом Стокса, хорошо согласуется с
опытами при малой скорости движе-
движения малых тел, например при оседа-
оседании мелких частиц в жидкости.
Для шара функция
/2 (а) = const = с,
4
- 1П
.no
-0,6
-ом
r/nO
«^
i° 0
V
/
/
у
A
%
/
1° 8° 1
f
/
J
/
V
Рис. 8. Типичные кривые зави-
зависимости коэффициентов подъем-
подъемной силы Са = 2A/{pSi?) и со-
сопротивления Cw = 2W7(pSy2)
для крыла от угла атаки а
(S —площадь крыла в плане).
т. е. не зависит от угла а. Теорети-
Теоретическое значение коэффициента с для
медленных движений шара при
указанных допущениях (которые сво-
сводятся к пренебрежению в уравнениях
Лавье — Стокса инерционными чле-
членами) было вычислено Стоксом; оно оказалось равным с = Ззх
(если d — диаметр шара).
Таким образом, мы видим, что теория размерности позволяет
выяснить вид функции / (a, R) в зависимости от числа Рейнольдса
R при весьма малых и весьма больших значениях числа Рейноль-
Рейнольдса. При R ->¦ оо мы приходим к идеальной жидкости; в этом
случае функция / (a, R) стремится к некоторой функции /х (а),
независящей от числа Рейнольдса. Режимы движения, соответ-
соответствующие малым значениям числа Рейнольдса, характеризуются
тем, что вязкость жидкости имеет основное значение, а свойство
инерции второстепенное — большие значения для |я, малые —
для р. В пределе при р = 0 справедлива формула D.3); принимая
р =т^= 0, из этой формулы получим:
w =
v d
52 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
Отсюда следует, что для малых значений числа Рейнольдса
должна быть справедлива формула вида
/(«,R) = -^-. D-4)
Это соотношение представляет собой следствие из закона Стокса.
Сопоставление опытных данных с законом Стокса для шара пред-
представлено на рис. 9.
Рис. 9. Коэффициент сопротивления шара при малых значениях числа Рей-
Рейнольдса.
С помощью теории размерности мы установили, что если пре-
пренебречь инерционными членами в уравнениях Навье — Стокса,
то закон Стокса D.3) справедлив для тел любой формы.
Функцию /2 (а) можно определить экспериментально или теоре-
теоретически, решая упрощенные уравнения Навье — Стокса,
b Г>| ТЕПЛиОТДАЧА ТЕЛА В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ 53
§ 5. Теплоотдача тела в потоке жидкости
В 1915 г. Релей применил теорию размерности к задаче Бусси-
моска о передаче телом тепла жидкости, обтекающей тело х).
|{ дальнейшем рассуждения Релея послужили предметом замеча-
замечаний ряда авторов 2), но вопросы, поставленные в этих замечаниях,
остались невыясненными.
Рассмотрим подробно все обстоятельства, возникающие при
приложении теории размерности к этой задаче.
Постановка задачи заключается в следующем: имеется устано-
установившийся процесс перехода тепла от тела заданной фиксированной
формы к жидкости, 'саполняющей все пространство вне тела. Тело
неподвижно, жидкость обтекает тело и на достаточно больших рас-
расстояниях впереди от тела движется поступательно с постоянной
скоростью v.
Пусть Н есть количество тепла, отдаваемое телом в единицу
времени. Предполагая жидкость идеальной и несжимаемой, Релей
рассуждает так: величина Н определяется значениями следующих
параметров: характерного размера I тела, скорости v жидкости
вдали от тела, перепада температуры Т, равного разности между
температурой тела и жидкости вдали от тела, причем предпола-
предполагается, что температура тела поддерживается постоянной, тепло-
теплоемкости с единицы объема жидкости и коэффициента теплопровод-
теплопроводности к жидкости. Следовательно, можно написать:
H = f(l, v, T, с, л).
В качестве основных единиц измерения Релей выбирает единицы
измерения для длины, времени, температуры, количества тепла
и массы: L, Т, С0, Q, М. Поэтому размерности параметров будут:
[I] = L, [v] = ±-, [Т] = С°, [с] = jA , [X] = -jiL- ;
заметим, что все эти размерности не зависят от массы.
Из пяти определяющих размерных параметров можно образо-
образовать только одну независимую безразмерную комбинацию
Ivc
~т~ ¦
Размерность Н будет
_0_
т '
1) LordRayleigh, The Principle of Similitude, Nature, v. 95, 1915,
p. 66—68 (см. также: Lord Rayleigh, Sci. Papers, v. 6, p. 300—305).
2) Riabouchinsky D. P., On the Principle of Similitude, Nature,
v. 95, 1915, p. 105; Lord Rayleigh, Nature, v. 95, 1915, p. 644; В г i d g-
man P. W., Dimensional Analysis. New Haven, Yale University Press,
1932 (русский перевод: Б р и д ж м е п П. В., Анализ размерностей. Л.—М.,
ГТТИ, 1934).
54 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. !¦¦
Легко видеть, что комбинация Н/Х1Т представляет собой безраз-
безразмерную величину, поэтому
() E.1)
Эта формула получена Релеем. Из нее вытекает, что расход теп-
тепла пропорционален перепаду температур Т и имеет одно и то же
значение при различных vac, но при постоянном произведении vc.
Рябушинский сделал следующее замечание. Так как количест-
количество тепла и температура имеют размерность энергии (в кинетиче-
кинетической теории газов температура определяется как средняя кине-
кинетическая энергия молекул в хаотическом движении), то за основ-
основные единицы измерения можно взять только единицы измерения
для длины, времени и массы. Тогда размерности определяющих
параметров будут
T '
LT "
Теперь из определяющих параметров можно составить две
независимые безразмерные комбинации:
Ivc
и сР.
Следовательно, в этом случае теория размерности приводит к
формуле
Н = UT/ {—-, el*) ,
E.2)
которая, очевидно, дает меньше сведений, чем формула E.1).
В своем ответе Рябушинскому Релей пишет 1):
«Вопрос, поднятый Рябушинским, относится скорее к логике,
чем к способу применения анализа размерности, интересовавшему
меня. Вопрос очень заслуживает дальнейшего рассмотрения. Мое
заключение получено на основе обычных уравнений Фурье для
теплопроводности, в которых температура и количество тепла при-
принимаются как величины sui generis. Мы имели бы дело с парадок-
парадоксом, если бы углубление наших знаний о природе тепла в молеку-
молекулярной теории приводило бы нас к худшему положению, чем
раньше при рассмотрении частной задачи. Решение парадокса
состоит, по-видимому, в том, что в уравнениях Фурье содержится
такое предположение о природе тепла и температуры, которого
нет в аргументации Рябушинского». Останавливаясь на этом
ответе, Бриджмен 2) справедливо заметил, что ответ Релея едва
)
стр. 17.
!) Nature, 1915, р. 644.
2) Бриджмен П. В., Анализ размерностей. М.—Л., ГТТИ, 1934,
17.
ТГШЛООТДАЧА ТЕЛА 1! ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ
55
ли кого удовлетворит, но сам разъяснения этого вопроса все же
не дает.
Недоразумение разъясняется следующим образом: в системе
основных единиц, принятой Релеем при выводе формулы E.1),
имеются три различные единицы измерения для энергии: эрг =
¦ ML2/T2, градус С° и калория Q. Определение теплоты и темпе-
температуры как механической энергии дается в кинетической теории
газов. Перевод количества теплоты и температуры в механические
единицы измерения связан со значением постоянных: механическо-
механического эквивалента тепла /= 427 кГм/ккал ([/]= ML2/T2Q) и посто-
постоянной Больцмаца к =- 1,38-10'16 эрг!град ([к] -= ML2/T2C°). При
независимых единицах измерения для механической энергии,
количества тепла и температуры эти постоянные необходимо рас-
рассматривать как физические постоянные.
Из условий о несжимаемости и идеальности жидкости следует,
что поле скоростей определяется кинематическими условиями
и явление не сопровождается преобразованием между тепловой
и механической энергиями. Механические процессы происходят
независимо от тепловых. Отсюда следует, что значение плотности
жидкости несущественно для всех тепловых величин, а значение
механического эквивалента тепла вообще несущественно ввиду
отсутствия перехода тепловой энергии в механическую. Далее,
если принять, что плотность р и величина/ не влияют на изучае-
изучаемый процесс передачи тепла, то из теории размерности получает-
получается, что величина постоянной Больцмана к также несущественна,
так как размерность постоянной к содержит символ единицы мас-
массы, от которой независимы размерности Н и определяющих
величин. Несущественность величин р, / и к при указанных
предположениях легко также усмотреть из математической форму-
формулировки задачи об определении количества тепла, передаваемого
телом жидкости. Эти обстоятельства оправдывают отсутствие /,
р и к среди определяющих параметров, указанных Релеем х).
Однако если сохранить допущение о несущественности плотно-
плотности р 2) и не делать предположения, что / и к несущественны, что
является результатом дополнительных соображений, то к таблице
определяющих параметров Релея необходимо присоединить вели-
величины к и J, что дает следующую систему определяющих пара-
параметров:
I, и, Т, с, л-, /, к.
х) Если мы рассмотрим эту же задачу в случае вязкой и сжимаемой жид-
жидкости, то величины р, / и к становятся существенными, тогда эти параметры
или их заменяющие параметры нужно включать в таблицу определяющих
величин.
2) В рассуждениях Рябушинского это допущение сохраняется.
ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИИ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ
Гл. 11
Из этих семи размерных величин можно образовать только две
независимые безразмерные комбинации:
Ivc Jcl3
i А /с
В этом случае формула E.1) заменяется следующей:
Ivc Jcla\
Н = UTf
к I
E.3)
Полученная формула E.3) приводится к формуле E.1), если
принять во внимание несущественность механического эквивален-
эквивалента тепла /, а следовательно, и несущественность параметра
к -
Если теперь вместе с Рябушинским воспользоваться определе-
определением тепловых величин через механические, то к и / будут без-
безразмерными универсальными постоянными, и формула E.3) пре-
превращается в формулу E.2). Вывод получается более слабым пото-
потому, что при этом способе рассмотрения не учитываются дополни-
дополнительные соображения о механизме явления.
§ 6. Динамическое подобие и моделирование явлений
Теория размерности и подобия имеет большое значение при мо-
моделировании различных явлений. Моделирование это есть замена
изучения интересующего нас явления в натуре изучением аналогич-
аналогичного тления на модели меньшего или большего масштаба, обычно
б специальных лабораторных условиях. Основной смысл модели-
моделирования заключается в том, чтобы по результатам опытов с моде-
моделями можно было давать необходимые ответы о характере эффек-
эффектов и о различных величинах, связанных с явлением в натурных
условиях.
В большинстве случаев моделирование основано на рассмотре-
рассмотрении физически подобных явлений. Изучение интересующего нас
натурного явления мы заменяем изучением физически подобного
явления, которое удобнее и выгоднее осуществить. Механическое
или вообще физическое подобие можно рассматривать как обобще-
обобщение геометрического подобия. Две геометрические фигуры подоб-
подобны, если отношения всех соответственных длин одинаковы. Если
известен коэффициент подобия — масштаб, то простым умножени-
умножением на величину масштаба размеров одной геометрической фигуры
получаются размеры другой, ей подобной геометрической фигуры.
Существуют различные способы определения механического
или физического подобия. Ниже мы даем определение физическо-
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ
57
го подобия в такой форме, которая необходима для практики и
удобна для непосредственных приложений.
Два явления подобны, если по заданным характеристикам од-
одного можно получить характеристики другого простым пересче-
пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц из-
измерения к другой системе.
Для осуществления пересчета необходимо знать «переходные
масштабы».
Численные характеристики для двух различных, но подобных
явлений можно рассматривать как численные характеристики од-
одного и того же явления, выраженные в двух различных системах
единиц измерения. Для всякой совокупности подобных явлений
все безразмерные характеристики (безразмерные комбинации из
размерных величин) имеют одинаковое численное значение. Не-
Нетрудно видеть, что обратное заключение также справедливо, т. е.
если все безразмерные характеристики для двух движений оди-
одинаковы, то движения подобны.
Совокупность механически подобных движений определяет
собой режим движения.
Подобие двух явлений иногда можно понимать в более широком
смысле, принимая, что указанное выше определение относится
только к некоторой специальной системе характеристик, полно-
полностью определяющей явление и позволяющей находить любые
другие характеристики, которые, однако, нельзя получить про-
простым умножением на соответствующие масштабы при переходе
от одного к другому «подобному» явлению. Например, в этом смы-
смысле два любых эллипса можно считать подобными при использо-
использовании декартовых координат, направленных по главным осям
эллипсов. Указанным пересчетом можно получить декартовы ко-
координаты точек любого эллипса через координаты точек какого-
либо одного эллипса (аффинное подобие).
Для сохранения подобия при моделировании необходимо соб-
соблюдать некоторые условия. Однако на практике сплошь и рядом
эти условия, обеспечивающие подобие явления в целом, не выпол-
выполняются, и тогда встает вопрос о величине погрешностей (масш-
(масштабном эффекте), которые возникают при переносе на натуру ре-
результатов, полученных на модели.
После установления системы параметров, определяющих вы-
выделенный класс явлений, нетрудно установить условия подобия
двух явлений.
В самом деле, пусть явление определяется п параметрами,
часть из которых может быть безразмерными, а некоторые явля-
являются размерными физическими постоянными. Допустим далее,
что размерности переменных параметров и физических постоянных
выражены через к величин с независимыми размерностями (к <^ п).
В общем случае очевидно, что из п величин можно составить не
58
ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
более п — к независимых безразмерных комбинаций. Все безраз-
безразмерные характеристики явления можно рассматривать как функ-
функции от этих п — к независимых безразмерных комбинаций, сос-
составленных из определяющих параметров. Следовательно, среди
всех безразмерных величин, составленных из характеристик яв-
явления, всегда можно указать некоторую базу, т. е. систему без-
безразмерных величин, которые определяют собой все остальные
величины.
Определенный соответствующей постановкой задачи класс яв-
явлений содержит явления, вообще не подобные между собой. Вы-
Выделение из него подкласса подобных явлений осуществляется
с помощью следующего условия:
Веобходимым и достаточным условием подобия двух явлений
будет постоянство численных значений безразмерных комбинаций,
образующих бару. Условия о постоянстве базы отвлеченных пара-
параметров, составленных из заданных определяющих явление величин,
называются критериями подобия.
Если условия подобия выполнены, то для фактического расче-
расчета всех характеристик в натуре по данным о размерных характе-
характеристиках на модели необходимо знать переходные масштабы для
всех соответствующих величии.
Если явление определяется п параметрами, из которых к имеют
независимые размерности, то для к величин с независимыми раз-
размерностями переходные масштабы могут быть произвольными и
их нужно задать или определить условиями задачи, а при экспери-
экспериментах — из опытов. Переходные масштабы для всех остальных
размерных величин легко получить из формул размерности для
каждой размерной величины через размерности к независимых,
для которых масштабы определены опытом или постановкой за-
задачи.
В задаче об установившемся поступательном плоскопараллель-
плоскопараллельном движении тела в несжимаемой вязкой жидкости все безразмер-
безразмерные величины определяются двумя параметрами: углом атаки а
и числом Рейнольдса R. Условия физического подобия — крите-
критерии подобия — представляются соотношениями
а = const и R =
= const.
При моделировании этого явления результаты опытов с моделью
можно переносить на натуру только для одинаковых а и R. Пер-
Первое условие всегда легко осуществить на практике. Труднее удов-
удовлетворить второму условию (R = const), особенно в тех случаях,
когда обтекаемое тело имеет большие размеры, как, например,
крыло самолета. Если модель меньше натуры, то для сохранения
величины числа Рейнольдса необходимо либо увеличивать ско-
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ
59
рость обтекающего потока, что практически обычно неосуществи-
неосуществимо, либо существенно изменить плотность и вязкость жидкости.
На практике эти обстоятельства вносят большие затруднения
при изучении аэродинамического сопротивления. Необходимость
постоянства числа Рейнольдса привела к постройке гигантских
к „„1 I
Рис. 10." Продольный разрез аэродинамической трубы NACA для испытания
в натуру. Ширина трубы 18,3 м. Обратные каналы не показаны.
Рис. 11. Фото натурной аэродинамической трубы.
аэродинамических труб, в которых можно производить продувки
самолетов в натуру (рис. 10 и 11), а также труб закрытого типа,
в которых циркулирует с большой скоростью сжатый, т. е. более
плотный воздух (рис. 12).
Специальные теоретические и экспериментальные исследова-
исследования показывают, что в ряде случаев для обтекаемых тел число
Рейнольдса заметно влияет только на безразмерный коэффициент
лобового сопротивления и иногда очень слабо влияет на безразмер-
60
ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ (Гл. 11
ный коэффициент подъемной силы и на некоторые другие величи-
величины, играющие весьма важную роль в различных практических
вопросах. Следовательно, различие в значении числа Рейнольдса
для модели и явления в натуре в некоторых вопросах не является
существ енным.
Мы указали условия подобия для движения крыла без учета
свойства сжимаемости воздуха, которое несущественно при скоро-
скоростях, малых по сравнению со скоростью звука. В дальнейшем мы
рассмотрим условия подобия с учетом сжимаемости воздуха.
Рис. 12. Разрез аэродинамической трубы NACA переменной плотности. Дав-
Давление внутри трубы может достигать 21 am, а скорость воздушного потока
23 м/сек.
Рассмотрим в качестве другого примера задачу о моделирова-
моделировании равновесия упругих конструкций.
Пусть мы имеем какое-нибудь сооружение из однородного ма-
материала, например мостовую ферму. Упругие свойства изотроп-
изотропного материала определяются двумя постоянными: модулем Юнга
ЕкПм1 и безразмерным коэффициентом Пуассона о. Рассмотрим
геометрически подобные конструкции и составим таблицу опреде-
определяющих параметров.
Для определения всех размеров модели достаточно задать не-
некоторый характерный ее размер В. Если в рассматриваемом состо-
состоянии равновесия вес конструкции существен, то удельный вес
у= pg кГ/ма должен фигурировать в качестве определяющего па-
параметра. Кроме силы веса частей сооружения, на него действуют
еще внешние нагрузки, распределенные некоторым определенным
способом по элементам конструкции. Пусть величина этих нагру-
нагрузок определяется силой Р кГ. Итак, системой определяющих
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИИ II МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ
61
параметров будет:
о,
Е, В, T =
P-
В этом случае мы имеем п = 5, к = 2, следовательно, базой
для механических подобных состояний упругого равновесия будут
три безразмерных параметра:
Е Р
0) pgB ' ?В2 "
равенстве этих параметров
этих условий все деформа-
раз меньше натуры, то на
перемещения) будут в п
выполнены из одного и то-
одинаковы на модели и в
подобия необходимо удов-
Критерии подобия заключаются в
на модели и в натуре. При выполнении
ции будут подобными. Если модель в п
модели деформации (соответствующие
раз меньше, чем в натуре.
Если модель и сооружение в натуре
го же материала, то значения р, о и Е
натуре, и поэтому для механического
летворить условию
gB = const.
В обычных условиях g =wconst; следовательно, для соблюде-
соблюдения механического подобия должно быть В = const, т. е. модель
^
Рис. 13. Схематический чертеж центрифуги для испытания моделей.
должна совпадать с натурой. Иначе говоря, при постоянном g мо-
моделирование невозможно 1).
Изменения g можно достигнуть искусственным путем, если за-
заставить модель вращаться с постоянной угловой скоростью, по-
поместив ее на так называемую центробежную машину (рис. 13).
При достаточно малых размерах модели и большом радиусе вра-
вращения центробежные силы инерции элементов модели можно счи-
считать параллельными. Осуществляя вращение около вертикальной
оси, мы получим, что в состоянии относительного равновесия мо-
модели (по отношению к центробежной машине) на модель будут
действовать постоянные массовые силы, аналогичные силе тяже-
*) Требуемое на практике увеличение удельного веса pg при уменьшении
размеров модели иногда можно осуществить приложением к элементам моде-
модели дополнительных нагрузок.
62 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
сти, но только с другим ускорением. Выбором угловой скорости
вращения можно получать любые большие значения для ускорения.
Идея о применении центробежной машины для моделирования
различных процессов была высказана инж. Бакки х) в 1931 г.,
независимо от него эту же идею выдвинули в 1932 г. Н. Н. Дави-
денков 2) и Г. И. Покровский3). Еще до этого в 1929 г. Дави-
денков4) предлагал пользоваться для этой же цели падающим на
жесткую пружину ящиком, однако этот способ неудобен и был
оставлен
В настоящее время имеются построенные центробежные маши-
машины, которые применяются для исследования на моделях различ-
различных процессов 5), происходящих в грунтах.
Рассмотрим напряжение х кГ/м2, возникающее при деформа-
деформации упругой конструкции под действием веса и заданного распре-
распределения нагрузок. Под х мы можем понимать максимальное зна-
значение какого-нибудь компонента напряжения или вообще некото-
некоторый компонент напряжения для определенного элемента конст-
конструкции.
Комбинация xlE является безразмерной, поэтому можно на-
написать
E
Р
ЕВ°-
Если модель и сооружение в натуре сделаны из одинакового мате-
материала, то Е = const; поэтому для механически подобных состоя-
состояний напряжения в соответствующих точках будут одинаковыми.
Если мы примем, что напряженные состояния механически по-
подобны и что разрушение определяется значениями максимальных
напряжений, то очевидно, что на модели и в натуре разрушения
наступят для подобных состояний. Если величины внешних наг-
нагрузок велики, а собственный вес конструкции мал, так что им
можно пренебречь, то параметр у = pg, а следовательно, и пара-
параметр ElpgB несущественны. В этом случае предыдущее соотноше-
соотношение приобретает вид
т _
х) Bucky, The American Institute of Mining and Metallurgical Engi-
Engineers. Technical Publication, № 425.
2)Давиденков Н. Н., Журнал технической физики, № 1, 1933.
3) Покровский Г. И., Журнал технической физики, № 4, 1933.
4) См. Покровский Г. И., Вестник Воен.-инж. академии РККА
им. В. В. Куйбышева, № 30, 1940.
6) Условие E/pgB = const должно выполняться при моделировании про-
процессов, в которых наряду с другими существенными параметрами встречаются
параметры р, g, В и Е. Поэтому во всех таких случаях возможно моделирова-
моделирование с помощью центробежной машины.
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ
63
а условия подобия представляется только двумя условиями:
р
а — const и
= const.
Отсюда следует, что при моделировании с сохранением свойств
материалов внешние нагрузки необходимо изменять пропорцио-
пропорционально квадрату линейных размеров.
Обозначим через I изменение длины при деформации некото-
некоторого элемента упругой системы. Для конструкций определенного
выше класса имеет место соотношение вида
I I pgB Р
-в *= * @ i
В ряде случаев из физических соображений сразу видно, что
величина ИВ уменьшается при уменьшении удельного веса элемен-
элементов конструкции, т. е. при уменьшении параметра pgB/E.
Возьмем теперь две геометрически подобные конструкции раз-
разных размеров и изготовленные из одного и того же материала
(Е и о одинаковые). Допустим, что величины внешних нагрузок
изменяются пропорционально квадратам размеров, т. е.
Р
ЕВ2
= const.
Очевидно, в этом случае параметр pgB/E уменьшается с умень-
уменьшением размеров конструкции, следовательно, механическое по-
подобие будет нарушено. На конструкции меньших размеров относи-
относительные деформации будут меньше, поэтому конструкция малых
размеров будет иметь большую прочность. Рднако этот вывод
справедлив только в том случае, когда удельный вес материала
Y = pg играет существенную роль. Если собственный вес (у) не-
несуществен, a PIEB2 — const, то относительные деформации имеют
одинаковые значения для тел различных масштабов.
Рассмотрим еще случай, когда у несуществен, и известно,
что для данной конструкции отношение ИВ уменьшается при
уменьшении внешней нагрузки Р. Если внешние нагрузки будут
пропорциональны кубу линейных размеров, то очевидно, что для
конструкции малых размеров отношение ИВ будет меньше, чем
для конструкции больших размеров. Следовательно, в этом слу-
случае уменьшение размеров также увеличивает прочность.
Интересным примером, в котором определяется однозначно
масштаб модели, может служить пример гидростатических моде-
моделей дирижаблей и аэростатов х).
!) См. Воробьев А. Г., Гидростатическое испытание моделей аэро-
аэростатов. Сборник Ленинградского института инженеров путей сообщения,
вып. >28, 1928; Катанский В. В., Проектирование баллрно-такелаж^
лых конструкций и т, д. М., ОНТИ, 1936.
64 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ [Гл. II
На практике очень важно знать форму и деформации элемен-
элементов матерчатой оболочки баллона аэростата после наполнения ее
газом. Геометрическая форма аэростата определяет его гидроста-
гидростатические и аэродинамические свойства; сведения о деформации
материи необходимы для обеспечения прочности баллона.
Наметим параметры, которыми определяется статическое со-
состояние аэростата.
В пределах разности высот для различных точек аэростата
можно считать, что воздух и газ имеют постоянный удельный вес.
Внутри аэростата и на его оболочке разность между давлением
воздуха и давлением газа (в рассматриваемой задаче существенны
только разности этих давлений) определяется величиной у*, рав-
равной разности удельного веса воздуха и газа: у* = увозп — утаз.
Опыты по исследованию зависимости между напряжениями
и деформациями в материях показывают, что для данной материи
относительные деформации одинаковы, когда напряжения одина-
одинаковы. В матерчатых оболочках напряжения определяются как
силы, рассчитанные на единицу длины сечения.
Обозначим через т кГ/м некоторое напряжение, характеризую-
характеризующее свойство материала, и через I —характерный линейный раз-
размер. Далее введем в рассмотрение вес единицы площади материи
д кГ/м2 и внешние заданные сосредоточенные силы Q кГ, приложен-
приложенные к различным элементам оболочки (направление этих сил в
различных случаях соответственное).
Таким образом, для геометрически подобных оболочек, изго-
изготовленных из материалов с одинаковыми соотношениями между
деформациями и напряжениями, получаем систему определяющих
параметров:
7*, т, I, q, Q.
Условия подобия представятся в виде
Qi
(а)
(Ь)
Условие (с) легко удовлетворить путем соответствующего выбора
внешних сил Q, которые можно осуществить с помощью грузов
и блоков. Если модель и натура (Z2 ф h) изготовлены из одной
и той же материи, то qx = q2 и х1 = т2, вследствие чего условия (я)
и (Ь) противоречат друг другу. Поэтому рассмотрим случай, когда
силы собственного веса оболочки не учитываются, благодаря чему
§ 6] ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ 65
условие (Ь) выпадает. Для удовлетворения условия (а) необходи-
необходимо положить:
отсюда следует, что при уменьшении масштаба 12 < 1Х необходимо
увеличивать удельную подъемную силу Ц > yf. Этот эффект
можно осуществить путем применения тяжелой жидкости и при-
прикрепления модели «вверх ногами». На этом основаны гидростати-
гидростатические модели дирижаблей и аэростатов. В качестве «газа» для
Рис. 14. Испытание модели дирижабля.
модели можно взять воду, ртуть, глицерин и т. п. Общий вид та-
такой модели показан на рис. 14.
Если для натуры известны высота полета, температура, давле-
давление и применяемый газ, то, выбрав жидкость для модели, мы
получаем вполне определенное отношение удельных весов, что
определяет масштаб модели.
Например, в нормальных условиях имеем:
для водорода . . . yf = 1,1 кПм3,
для воды у* = 1000 кГ/м3,
для ртути . . . . у* = 13 600 кГ/м3.
Отсюда при использовании воды найдем следующее значение для
масштаба модели:
66 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ II ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
при использовании ртути получим:
Моделирование с помощью ртути приводит к маленьким моделям,
что, вообще говоря, неудобно.
Вес оболочки в натуре и вес оболочки модели действуют в про-
противоположные стороны, поэтому влияние веса будет нарушать
подобие. Учет влияния весомости оболочки можно осуществить
с помощью специальных приспособлений приложением внешних
сил, действующих вертикально вверх и распределенных по обо-
оболочке соответственно требованию условия о подобии (Ь) и с уче-
учетом собственного веса оболочки, направленного вниз.
В некоторых случаях моделирование можно производить,
используя опыты с заведомо неподобными явлениями, когда не-
некоторые параметры подобия л17 я2,... имеют различные значения
на модели и на натуре, но вместе с тем, когда из дополнительных
соображений заранее известен вид зависимости искомых безраз-
безразмерных величин от этих определяющих безразмерных параметров
я17 л2, . . . В таких случаях при моделировании нужно выдержи-
выдерживать постоянство только тех параметров подобия, зависимость от
которых неизвестна.
Иногда указанный путь моделирования может применяться,
когда вид зависимости искомых величин от параметров п17 п2,...
выдвигается в качестве рабочей гипотезы, которая может быть
подтверждена или опровергнута уже после проведения модельных
исследований. Как было указано выше, примером такого модели-
моделирования в ряде случаев служит моделирование при различных
значениях числа Рейнольдса, когда его влияние на искомые ха-
характеристики несущественно, однако этот же прием возможно
применять и в тех случаях, когда число Рейнольдса существенно,
но зависимость от числа Рейнольдса заранее известна.
Исследование с помощью моделей зачастую является един-
единственно возможным способом экспериментального изучения и ре-
решения важнейших практических задач. Так обстоит дело при
изучении натурных явлений, протекающих в течение десятков,
сотен или даже тысяч лет; в условиях модельных опытов подобное
явление может продолжаться всего несколько часов или дней.
С таким положением мы встречаемся при моделировании явлений
просачивания нефти, разрабатываемой и откачиваемой через
скважины. Могут быть и обратные случаи, когда вместо исследо-
исследования чрезвычайно быстро протекающего в природе явления мож-
можно изучать подобное ему явление, происходящее на модели го-
гораздо медленнее.
Моделирование — ответственная научная задача, имеющая
общее принципиальное и познавательное значение, но его нужно
I 71
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
67
||цссммтривать только как исходную базу для главной задачи.
Последняя состоит в фактическом определении законов природы,
и отыскании общих свойств и характеристик различных классов
пилений, в разработке экспериментальных и теоретических мето-
ДП11 исследования и разрешения различных проблем, наконец, в
получении систематических материалов, приемов, правил и ре-
рекомендаций для решения конкретных практических задач.
§ 7. Установившееся движение твердого тела
в сжимаемой жидкости
Рассмотрим общую задачу об установившемся поступательном
дпижении твердого тела с постоянной скоростью внутри жидко-
жидкости, заполняющей все пространство вне тела. Свойства инерции,
пылкости, сжимаемости и теплопроводности жидкости примем во
им и мание. Для простоты не будем учитывать свойство весомости L)
жидкости и передачу тепла путем лучеиспускания.
Для определения системы определяющих параметров сформу-
сформулируем задачу математически. Прежде всего напишем уравнения
днижения сжимаемой вязкой жидкости, которую мы будем счи-
считать совершенным газом. Имеем:
1) уравнение Навье — Стокса
dx>
2 —
— gradp g- grad u. div d + 2 div u.def t>, G-1)
где defo есть тензор скоростей деформации;
2) уравнение неразрывности
4^-+divpt> = 0;
G.2)
о) уравнение состояния газа (уравнение Клапейрона)
р = рВТ, G.3)
где R есть газовая постоянная;
4) уравнение притока тепла
dT - 2 ~
./е„р ——\- р div о = div JX grad T ^- u. (div оJ -|-
idu_ dw ¦
dx
dv du\2)
дх ^~ ду ) J *
G.4)
') В ряде случаев свойство весомости жидкости существенно, так как
пни может вызвать интенсивное конвективное движение, возникающее вслед-
<инк1 неравномерного нагревания жидкости.
68
ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
Левая часть этого уравнения дает изменение внутренней энер-
энергии за счет изменения температуры и работу сил давления. Пра-
Правая часть дает изменение энергии за счет притока тепла от тепло-
теплопроводности и от работы внутренних сил трения.
Далее, для учета зависимости коэффициентов вязкости и тепло-
теплопроводности от температуры воспользуемся формулой Сетер-
ленда х):
JL
1
С
273,1 ЛГ
273,1
G.5)
где Хо и ^i0 суть коэффициенты теплопроводности и вязкости при
температуре Т = 273,1°, соответствующей нулю шкалы Цельсия,
а С — постоянная Сетерленда, которая имеет размерность темпе-
температуры. Постоянная С имеет различное значение для разных газов.
Для воздуха С ¦х- 113 °С.
Кроме указанных уравнений, имеем еще условия в бесконеч-
бесконечности и граничные условия: в бесконечности впереди и в направ-
направлениях, перпендикулярных к скорости тела, жидкость покоится,
| D [оо = 0, а плотность и абсолютная температура имеют заданные
значения р0 и То.
Форма поверхности тела фиксирована, поэтому все размеры
тела определяются значением некоторого характерного размера I.
Кинематические условия обтекания вполне определяются за-
заданным значением поступательной скорости тела v и двумя углами
аир, которые вектор скорости образует с осями системы коорди-
координат, связанной с телом.
Наконец, должны быть заданы граничные условия на поверх-
поверхности тела для температуры 2). Примем, что температура тела на
поверхности постоянна и равняется 7\.
Уравнения G.1) — G.5), условия в бесконечности и граничные
условия показывают, что система определяющих параметров пред-
представится таблицей
I, а, Р, v, То, Ти р0, |я0, R, с„, /, Хо, С.
Размерности перечисленных тринадцати величин выражаются
через пять основных единиц измерений L, T, M, Q и С°.
Число параметров можно сократить на единицу, если принять
во внимание, что постоянные /, cv и К входят только в уравнение
х) J e a n s J. H., The Dynamical Theory of Gases. Cambridge, Univ.
Press, 1925, p. 284.
2) Во многих технических задачах и, в частности, в аэродинамике мы
встречаемся с задачами об обтекании жидкостью сильно нагретых или охлаж-
охлаждаемых тел, например с обтеканием радиаторов моторов, с исследованием об-
обтекания охлаждаемых корпусов летательных аппаратов и т. п.
I 'I
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
69
G.1) в виде произведений Jcv и Л,. Если заменить три параметра
./, с„ и X двумя параметрами Jcv и J%, то размерности всех вели-
величин выразятся только через четыре основные единицы L, Т, М и
(. , поэтому такое сокращение параметров несущественно. Режим
днижения и совокупность подобных движений определяются, зна-
значениями восьми независимых безразмерных параметров:
= У — 1 ° = Р a R Р" ' — R
-М -li С
~М' т„ '-Г7*
В кинетической теории газов показывается, что постоянные у
II V зависят только от строения молекул газа. Для совершенного
г.чза известны следующие теоретические формулы:
с о
-Р- = у= 1 л-— •
— 5
(A. Euchen),
где m — число степеней свободы молекулы газа. Для одноатом-
пых газов m = 3, для двухатомных m = 5. Для многих газов (ге-
(гелий, водород и др.) опытные значения близки к указанным тео-
теоретическим значениям, однако при изменении температуры и дав-
давления в широком диапазоне обнаруживается влияние этих па-
параметров L). На практике для обычных температур и давлений
для воздуха можно принять
1 = 1,4;
^с„
^ = 0,737.
Условие механического подобия движения геометрически по-
подобных тел заключается в постоянстве перечисленных восьми
параметров. Обозначим через W лобовое сопротивление, а через
Л ~ подъемную силу. Для газов с одними и теми же постоянны-
постоянными значениями чисел у ъ Р можем написать:
^2 = сх = /i (a, P, R, М, у- , -=- ,
'2/1 / Т С \
-—5-= су = /2 а, Р, R, ДА, -^ , -яг- .
При изучении распределения давлений, поля температур, поля
скоростей и т. п., помимо указанных восьми безразмерных пара-
параметров, необходимо еще ввести безразмерные координаты точек
пространства xll, y/l, zll (для определенности примем, что система
координат связана с телом). Например, для распределения дав-
давлений и температуры будем иметь функциональные зависимости
г) См. Hilsenrath J. and Touloucian Y. S., Transaction of
the ASME, v. 76 A954), № 6. В этой работе содержится много ссылок на ис-
исследования по этому вопросу.*
70
ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ II ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
следующего , вида:
2p
Po*-
T
4- \ •"
¦f- = /4 (— > -7- - —' a' P* R' M> ~лГ' 'з
Определение вида функций /15 /2, /3 и /4 составляет основную за-
задачу экспериментальной и теоретической аэродинамики.
Параметр С1Т0 может оказаться существенным только в том
случае, когда теплопроводность и вязкость играют заметную
роль, причем явление характеризуется заметными изменениями
температуры. По даже в тех случаях, когда теплопроводность
и вязкость существенны, влияние температуры на коэффициенты
вязкости и теплопроводности можно представить обычно с хоро-
хорошим приближением вместо формулы G.5) следующей формулой,
не содержащей размерной постоянной С:
273Д
или более общей формулой
273,1
где к есть некоторое отвлеченное постоянное число. Эти сообра-
соображения показывают, что на практике параметр CI То обычно не
играет существенной роли и, следовательно, его можно не учиты-
учитывать при моделировании.
Часто при малых скоростях движения тела (малые М) темпе-
температуры 7\ и То мало различаются между собой, поэтому в таких
случаях отношение ТХ1ТО всегда примерно одинаково и близко
к единице.
В предыдущих рассуждениях мы приняли, что температура
тела 7\ имеет заданное значение. Если можно пренебречь переда-
передачей тепла между телом и жидкостью, то граничное условие на
поверхности тела можно взять в виде
это соответствует случаю, когда поверхность тела можно считать
теплонепроницаемой. При этом условии параметр 7У70 исклю-
исключается. То же самое получается и в том случае, если вообще пре-
пренебречь теплопроводностью и рассматривать адиабатические
процессы.
Иногда параметр Тх/Т0 исключается, так как температура Тх
становится определяемой величиной. Например, в некоторых слу-
случаях независимо от тепловых свойств тела в результате теплопе-
н|
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВНУТРИ ЖИДКОСТИ
71
редачи между жидкостью и телом температура тела устанавлива-
с1С)[ и получает некоторое значение, отличное от температуры
жидкости в бесконечности. С подобным случаем мы встречаемся
мри измерении жидкостным термометром температуры газа,
движущегося с весьма большой скоростью. Показания термометра
зависят вообще от R и М и от способа установки термометра
относительно потока; температура тела (термометра) будет отли-
отличаться от температуры невозмущенного потока вдали от тела.
Если в постановке рассматриваемой задачи учесть указанные
добавочные данные, то очевидно, что для подобия возмущенных
движений газа основное значение имеет постоянство чисел Рей-
иольдса и М, причем число Маха М существенно только при за-
заметных эффектах свойства сжимаемости.
Все предыдущие выводы легко распространяются на случай
движения в жидкости винта. В задаче о винте, кроме поступатель-
поступательного движения винта, имеется еще вращение около оси винта.
Поэтому при установившемся движении винта с постоянной посту-
поступательной и угловой скоростями добавляется еще один пара-
параметр — угловая скорость вращения, которую можно задать числом
оборотов винта п в единицу времени. К характеристикам режима
поступательного движения тела для случая винта добавляется
безразмерный параметр v/nl, который называется относительной
поступью винта. При изучении аэродинамических или гидроди-
гидродинамических свойств винтов этот параметр является основным.
Если жидкость можно считать идеальной и несжимаемой, то
при поступательном движении винта вдоль своей оси и при
фиксированном шаге поступь является единственным безразмер-
безразмерным параметром, определяющим режим движения.
§ 8. Неустановившееся движение внутри жвдкости
Выводы теории размерности, полученные в предыдущем пара-
параграфе для установившегося движения, можно обобщить на слу-
случай неустановившегося движения.
В общем случае при изучении неустановившегося движения
мы должны вводить в число определяющих параметров время t,
которое представляет собой переменную величину. При рассмот-
рассмотрении механически подобных движений мы встречаемся с изме-
изменением численного значения параметра t за счет изменения масш-
масштабов и за счет изменения времени в процессе движения. В связи
с этим мы остановимся сначала на некоторых общих замечаниях
о кинематически подобных неустановившихся движениях.
Пусть мы имеем неустановившиеся кинематически подобные
движения. При кинематическом подобии все соответствующие
безразмерные комбинации, составленные из кинематических вели-
величин, одинаковы для всех движений. Класс движений можно рас-
72
ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
ширить и рассматривать совокупность кинематически неподобных
движений, если принять, что некоторые безразмерные кинемати-
кинематические параметры, характеризующие все движение, могут при-
принимать различные значения для разных движений.
Среди кинематически подобных движений каждое конкретное
движение и состояние движения определяются тремя парамет-
параметрами. Два параметра выделяют движение системы в целом, а один
параметр фиксирует определенное состояние движения.
В качестве параметров, которые определяют конкретное дви-
движение в целом, можно взять некоторую длину, характеризующую
геометрические размеры, и некоторое характерное время. Эти
параметры определяют собой кинематические масштабы закона
движения.
Например, при движении по кругу за характерный размер
естественно выбрать радиус круга, при колебательном движе-
движении — амплитуду колебания некоторой точки и т. п. За характер-
характерное время для периодических процессов естественно брать период.
Вместо характерного времени можно взять скорость для некото-
некоторого определенного состояния или среднюю скорость и т. п.
Мгновенное состояние заданного неустановившегося движения
можно определять значением времени t 1).
Пусть d, v и t суть характерный размер, характерная скорость
и рассматриваемый момент времени. Подобные, или, иначе гово-
говоря, соответствующие состояния движения для движений, подоб-
подобных в целом, определяются значением безразмерного переменного
параметра vt/d, который можно рассматривать как безразмерное
время.
Равенство v^ld-^ = v2tjd2, выполняющееся для подобных сос-
состояний движения двух систем, можно рассматривать как условие
для пересчета времени при переходе от одной системы к другой.
В качестве примера рассмотрим систему гармонических коле-
колебаний точки по дуге окружности радиуса d. Закон движения пред-
представляется формулой s = a cos kt, где s есть длина дуги. Для ки-
кинематически подобных движений должно быть:
-!L- — const.
а
Конкретное движение определяется амплитудой а и частотой к.
Состояние движения определяется моментом времени f.
Подобные состояния для различных движений характеризу-
характеризуются одинаковым значением безразмерного параметра kt.
Если для двух движений отношения axld± и ajd2 имеют различ-
различное значение, то такие движения кинематически не подобны.
1) Начало отсчета для времени, так же как и начало отсчета для линей-
линейных координат, выбирается так, чтобы для разных движений положение си-
систем и состояние движений в момент t = 0 были бы подобны.
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВНУТРИ ЖИДКОСТИ
73
Отношение ах1а2 определяет масштаб длины. Для кинематически
подобных гармонических колебаний по кругу должно быть aja^ =
- djd%. Для прямой линии нельзя указать характерного размера,
поэтому очевидно, что всякие два гармонических прямолинейных
колебания кинематически подобны.
Возьмем еще прямолинейное движение s — vt + acos kt, пред-
представляющее собой равномерное движение, соединенное с гармо-
гармоническим колебанием. В этом случае класс подобных движений
характеризуется постоянством численных значений безразмерного
параметра aklv = S, называемого числом Струхаля. Подобные
состояния движения можно характеризовать значением парамет-
параметра kt, либо значением параметра vtla = kt/S.
Класс движений можно расширить и рассматривать неподоб-
неподобные движения, допуская, что при сохранении основного вида за-
закона колебаний число Струхаля может принимать различные зна-
значения для разных движений.
Рассмотрим теперь неустановившееся движение тела в жидко-
жидкости в предположении, что закон движения тела задан. В качестве
размерных параметров, выделяющих определенный закон движе-
движения, можно взять некоторую длину d и скоростыл По сравнению
со случаем установившегося движения в случае неустановивше-
неустановившегося движения с заданным законом движения система опреде-
определяющих параметров дополняется только значением длины d, ха-
характеризующей закон движения, и переменным параметром вре-
времени t. Поэтому система безразмерных параметров, определяющих
движение в целом и каждое состояние движения, дополняется
только двумя параметрами dll и vt/l, причем для подобия двух
движений необходимо обеспечить условие dll = const; постоян-
постоянство параметра vtH определяет только соответствующие значения
времени (масштаб времени) для подобных состояний движений.
Если неустановившиеся движения представляют собой некото-
некоторые колебания с определенной формой и частотой к, которую мож-
можно задавать произвольно, то таблица определяющих параметров
дополняется параметром к, вследствие чего в качестве безразмер-
безразмерного параметра, определяющего режим движения, добавляется
число Струхаля
— — S
v
Пусть имеем неустановившиеся движения тела в жидкости,
представляющие собой некоторые поступательные движения,
характеризующиеся скоростью v, и колебательные движения с
определенной формой колебаний, но возможно с различной час-
частотой к. Для подобия различных движений необходимо обеспечить
постоянство числа Струхаля, если к, I и v задаются заранее по
смыслу рассматриваемой задачи. Если же частота к является
74
ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
определяемой величиной, то постоянство числа Струхаля полу-
получится как следствие условий подобия, составленных из задаваемых
величин. В ряде случаев мы встречаемся с изучением неустановив-
неустановившегося движения тела в жидкости, когда движение тела не изве-
известно заранее. В качестве подобной задачи рассмотрим задачу о
колебаниях упругого крыла в поступательном потоке жидкости
(флаттер крыла).
Пусть в потоке жидкости помещено упругое крыло. Для про-
простоты примем, что крыло, имеющее продольную плоскость сим-
симметрии, закреплено жестко в среднем сечении.
Упругие свойства крыльев, изготовленных из однородного
материала и имеющих вполне определенную конструкцию, опре-
определяются двумя физический постоянными.
Мы оставим в стороне анализ практических способов установ-
установления характеристик упругих свойств конструкций крыльев, при-
применяемых на самолетах. Подробная и детальная постановка задачи
позволяет охарактеризовать упругие свойства различных кон-
конструкций некоторыми функциями и параметрами, которые только
и существенны с точки зрения рассматриваемой задачи. В этом
смысле можно выделить классы крыльев, эквивалентных по упру-
упругим свойствам, но с различными геометрическими свойствами
и имеющих вообще различную конструкцию.
В общей постановке задачи мы можем принять, что в пределах
справедливости закона Гука все упругие характеристики каждого
крыла из различных систем геометрически подобных крыльев,
эквивалентных по свойствам упругости, определяются значением
характерного размера I, модуля Юнга Е и модуля сдвига G.
Распределение масс может сильно повлиять на колебания. За-
Закон распределения масс можно выразить так, чтобы масса каждого
элемента была пропорциональна общей массе и определялась
вполне значением некоторой массы т.
Как известно, динамические свойства абсолютно твердого тела
зависят только от некоторых суммарных характеристик распреде-
распределения масс. Именно: динамические свойства абсолютно твердого
тела вполне определяются значениями общей массы тела, положе-
положением центра тяжести и тензором инерции для центра тяжести
тела.
При практической приближенной постановке задачи подробное
рассмотрение показывает, что упругие крылья с некоторыми раз-
различными распределениями масс, как и в случае абсолютно твердо-
твердого тела, могут быть динамически эквивалентными.
На практике устанавливается система отвлеченных парамет-
параметров, характеризующих свойства законов распределения масс, ко-
которые определяют собой возникающие колебательные движения
(положения центра тяжести различных сечений крыла, моменты
инерции сечений и т. п.). Все последующие выводы можно распро-
Ь|
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ВНУТРИ ЖИДКОСТИ
75
г гранить на случаи различных, но динамически эквивалентных
распределений масс для упругого крыла.
Допустим, что в рассматриваемом явлении жидкость можно
считать идеальной однородной и несжимаемой. В этом случае
механические свойства жидкости вполне определяются плотно-
плотностью р. Свойство весомости жидкости можно не учитывать. Далее
примем, что жидкость заполняет все пространство вне крыла.
Среднее сечение крыла неподвижно. В бесконечности жидкость
движется поступательно с постоянной во времени скоростью v,
параллельной продольной плоскости симметрии крыла, причем
скорость v имеет фиксированное направление относительно не-
неподвижного сечения крыла.
Подытоживая, получим, что в рамках сделанных допущений
неустановившееся движение системы крыло — жидкость опреде-
определяется параметрами
I, Е, G, т, р, v
и величинами, задающими начальное возмущение. Кроме этого,
каждое отдельное состояние движения определяется моментом
кремени t.
Свойства возмущенных неустановившихся движений, которые
справедливы для всевозможных неустановившихся движений,
возникающих при любых достаточно малых начальных возмуще-
возмущениях, очевидно, не зависят от параметров, характеризующих на-
начальные возмущения.
Следовательно, эти свойства для динамически подобных дви-
движений определяются системой безразмерных параметров
G
Т"'
т
vt
при этом подразумевается, что распределение масс и конструкция
крыльев в различных случаях одинаковы.
Последнее обстоятельство можно рассматривать в расширенном
смысле и требовать только эквивалентности крыльев по упругим
и динамическим свойствам при сохранении геометрического подо-
подобия внешней поверхности крыла, соприкасающейся с жидкостью.
Очевидно, что свойства, характеризующие движение в целом,
независимые от отдельных состояний каждого движения, не
иинисят от параметра vt/l. Опыт показывает, что состояние уста-
установившегося обтекания упругого крыла может обладать свойст-
иами устойчивости и неустойчивости.
При устойчивом движении амплитуды перемещений для воз-
возмущенных колебаний крыла в потоке убывают. При неустойчи-
iiDM обтекании имеет место нарастание амплитуд, в результате
:»того возможно разрушение крыла.
76 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
Устойчивость и неустойчивость обтекания для достаточно ма-
малых возмущений можно рассматривать как свойства, не завися-
зависящие от начальных условий движения и от отдельных состояний
движений. Поэтому свойства устойчивости движений должны
определяться системой параметров
pv"-fE, G/E, m/pl3.}
При общей постановке задачи нельзя совокупность всех движе-
движений разделить на движения с увеличивающейся и с уменьшающей-
уменьшающейся амплитудой возмущаемых величин; возможны случаи, когда
при колебаниях максимальные отклонения либо постоянны, ли-
либо переменны, но практически сохраняют при любом t достаточно
малые значения.
Если режимы движения с нарастающими и убывающими ампли-
амплитудами ясно выражены, то граница между этими режимами харак-
характеризуется соотношением
рг.-2 G г.
Е ' ~Ё~ ' 7
F
которое можно представить в виде
Эта формула определяет критическую скорость флаттера. При
изменении скорости набегающего потока и постоянных значениях
прочих параметров значение критической скорости отделяет
устойчивые и неустойчивые режимы обтекания.
Коэффициенты жесткости крыла пропорциональны величи-
величинам Е и G. Изменение Е и G в л раз эквивалентно изменению коэф-
коэффициентов жесткости в п раз. Из полученной формулы для vKp
видно, что при сохранении массы, формы и размеров крыла кри-
критическая скорость при изменении жесткости крыла в п раз изме-
изменяется в У п раз.
Число Струхаля kl/vKp, соответствующее критическому состоя-
состоянию, определяется значениями отвлеченных параметров GIE
и m/pl3, которыми определяются также все отвлеченные вели-
величины, не зависящие от начальных данных и характеризующие
критическое движение.
§ 9. Движение корабля
Вопросы теории размерности и подобия имеют большое практи-
практическое значение при различных расчетах и особенно при экспери-
экспериментальном решении многих механических задач о плавании
на поверхности воды х).
х) Приложения теории подобия ко многим новым интересным проблемам
морского дела изложены в книге: Э п ш т е й н Л. А., Методы теории размер-
размерностей и подобия в задачах гидромеханики судов. «Судостроение», Л., 1970.
ДВИЖЕНИЕ КОРАБЛЯ
77
Рассмотрим установившееся прямолинейное поступательное
движение корабля по поверхности жидкости, заполняющей все
нижнее полупространство и покоящейся на большой глубине и на
далеких расстояниях перед кораблем. Движение плавающего тела
вызывает возмущение свободной поверхности. Возмущенное дви-
движение жидкости имеет волновой характер, обусловленный свой-
свойством весомости.
Будем учитывать свойства инерции р, весомости g и вязкости |я
поды, которые играют важную роль. Свойство сжимаемости воды
не имеет практического значения, поэтому в рассматриваемом
явлении воду можно считать несжимаемой. Свойство капилляр-
капиллярности также несущественно для движения обычных кораблей.
Размеры и форма корпуса корабля оказывают существенное
влияние на важнейшие механические характеристики. Рассмотрим
сначала движение корабля с определенной формой корпуса.
Все геометрические размеры определяются значением длины
корабля L. Различным L соответствуют геометрически подобные
корпусы. Для обычных кораблей тяжелого типа можно считать,
что общий вес вполне определяет положение корпуса относительно
воды. Очевидно, что положение корабля относительно воды влияет
на сопротивление и т. п. Поэтому вес или водоизмещение корабля А
мы возьмем в качестве определяющего параметра 1). Вместо водо-
водоизмещения А, выраженного в тоннах, можно взять объемное водо-
водоизмещение D, выраженное в кубических метрах, так как А =
= pgD, где р есть плотность воды. Для пресной воды имеем:
pg = 1 т/м3.
Скорость корабля обозначим через ь\ Системой определяющих
параметров будет 2):
L, D, р, g, \i, v.
Все геометрические и механические величины, например смочен-
смоченную площадь S3), сопротивление И7 и т. п., можно рассматри-
рассматривать как функции этих параметров. Динамически подобные дви-
движения и режим движения определяются тремя безразмерными
х) Если различные движения происходят при подобных расположениях
корпуса относительно уровня воды, то тогда вес пропорционален /А В этом
случае вместо двух параметров L и А достаточно взять только один из них.
2) Движение происходит на поверхности раздела между водой и возду-
воздухом, поэтому следовало бы еще указать в качестве определяющих параметров
плотность р' и вязкость [>.' воздуха (при обычных скоростях движения сжи-
сжимаемость воздуха несущественна). Однако эти параметры оказывают малое
плияние на явление, и их учет не меняет последующих выводов, так как при
¦атом добавляются безразмерные величины р'/р и [х'/(х, которые можно считать
постоянными для всего класса движений.
3) Величина S мало отличается от величины смоченной площади в стати-
статическом состоянии, которая определяется только двумя параметрами L и D.
78 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл II.
параметрами:
= 3 _ [коэффициент остроты1)],
V D
F =
(число Фруда), R = -^— (число Рейнольдса).
Iх
yjl * - w- /- ^
Таким образом, для сопротивления можно написать:
W = / (i|>, F, R) pSiA
Критерия!ми подобия служат соотношения:
(9.1)
У Dl
VD.,
уж,'
М-а
Нетрудно видеть, что если для модели и натуры применяется
одна и та же жидкость, то \ijpx = Цг/рг» и моделирование явления
невозможно. В самом деле, из постоянства числа Фруда вытекает,
что при уменьшении линейных размеров корабля скорость должна
уменьшаться, а из постоянства числа Рейнольдса следует, что при
уменьшении линейных размеров корабля скорость должна увели-
увеличиваться. Поэтому при моделировании этого явления с изменением
масштаба длин не соблюдается полное подобие, вследствие чего
величина коэффициента сопротивления модели не равняется
величине этого коэффициента для натуры.
Определение сопротивления кораблей с помощью испытания
моделей основано на практической возможности разделения
сопротивления на две составляющие: одну, определяемую свой-
свойством вязкости, и другую, определяемую свойством весомости.
Оказывается, что формула (9.1) приближенно может быть замене-
заменена следующей формулой:
W = Wx + W2 = с, (R)
,(T|),F)pgD.
(9.2)
Вид формулы (9.2) можно обосновать некоторыми качественными
соображениями теоретического характера, которых мы не будем
здесь касаться.
Сопротивление
называется сопротивлением трения. Для модели и для натуры
сопротивление трения определяется вычислением, которое про-
производится с помощью различных полуэмпирических формул.
*) Коэффициент остроты можно рассматривать как длину геометрически
подобного корпуса, имеющего одну тонну водоизмещения.
ДВИЖЕНИЕ КОРАБЛЯ
79
Значение коэффициента трения определяется числом Рейнольд-
с.а R. Кроме того, этот коэффициент зависит от шероховатости
поверхности корабля и в некоторой мере от формы обводов корпу-
корпуса корабля. С увеличением числа Рейнольдса коэффициент трения
уменьшается. На практике коэффициент Cf принимается равным
коэффициенту трения плоских пластинок. Опытные данные о
коэффициенте трения плоских пластинок приведены на рис. 6.
Для гладких пластинок значение коэффициента с/ определяет-
определяется по формуле Прандтля — Шлихтинга:
0,455
(9.3)
Значение коэффициента трения cf для шероховатой пластинки
будет значительно больше.
Сопротивление W2 называется остаточным сопротивлением.
Коэффициент с1п = WJpgD дает остаточное сопротивление на тон-
тонну водоизмещения. Этот коэффициент можно определять опытно,
путем испытания геометрически подобных моделей с соблюдением
следующих условий:
VsU.
Эти условия составляют закон подобия Фруда.
Остаточное сопротивление зависит от формы корпуса. При
исследовании влияния формы корпуса необходимо расширить
класс движений и изучить движение семейства корпусов, образо-
образованного по некоторому закону в зависимости от геометрических
параметров, изменение которых характеризует исследуемые гео-
геометрические особенности обводов.
Для практики очень важно выделить из бесконечного многооб-
многообразия параметров, характеризующих геометрические свойства фор-
формы корпусов, такие параметры, которые имеют определяющее
значение для остаточного сопротивления. Опыты показывают, что
для всевозможных геометрически неподобных обводов корпусов
кораблей обычных типов основными параметрами, определяющими
коэффициент с„., являются число Фруда и коэффициент остроты.
Вместо числа Фруда по длине F = v/^gL можно взять число
Фруда по объемному водоизмещению
= F
80 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
На рис. 15 представлен график Дуайера г), на котором даны
осредненные экспериментальные данные о зависимости коэффи-
коэффициента с„ от i|i и Fd для корпусов без выступающих частей (рули,
¦/Л*?/"* I 1 I Т ~Т 1 1 ¦ : — .
V U
Рис. 15. Остаточное сопротивление на тонну водоизмещения в функции ко-
коэффициента остроты г|> и числа Фруда FD по водоизмещению.
кронштейны для валов винтов и т. д.). С помощью графика Дуайе-
Дуайера и значения коэффициента трения в функции числа Рейнольдса
легко рассчитать сопротивление корпуса корабля в функции
l) D о у ё г е Ch., Theorie du navire. Paris, Bailliere, 1927.
$ 9] ДВИЖЕНИЕ КОРАБЛЯ 81
скорости движения. Этот расчет часто дает в первом приближе-
приближении очень хорошие результаты.
При более точном определении остаточного сопротивления ока-
оказывается, что наиболее существенны следующие параметры х):
X = DILy. и BIT,
где у. есть площадь миделя, В — ширина корпуса, а Г — осадка.
Коэффициент % называется призматическим коэффициентом пол-
полноты.
Помимо указанных основных параметров, можно учитывать
также параметры, определяющие влияние на сопротивление раз-
различных величин,' характеризующих форму миделя, носа, кор-
кормы и т. п.
При изучении движения кораблей рассматриваются буксиро-
буксировочное сопротивление корабля без винтов W и сопротивление W"
при наличии вращающихся винтов, вызывающих упор (тягу),
под действием которого происходит движение. В последнем случае
при равномерном установившемся движении сопротивление W
равняется горизонтальной составляющей от упора винтов. Сопро-
Сопротивление W является характеристикой корпуса, независимой от
свойства движителя. Благодаря взаимодействию между корпусом
и винтом обычно имеет место неравенство W < W".
Если корпус, винт и его расположение, скорость движения,
водоизмещение и все размеры заданы, то этим определяется сопро-
сопротивление, а также необходимое число оборотов винта п и необ-
необходимая мощность на валу винта Е. Вместо скорости в качестве
определяющей величины можно взять мощность Е или число
оборотов щ в таком случае величиной, подлежащей определению,
станет скорость.
Произведение W" v определяет собой эффективную мощность,
затрачиваемую на продвижение корабля. Эта мощность всегда
меньше мощности Е, развиваемой на валу винта, так как часть
мощности Е расходуется на дополнительные возмущения воды
винтом при создании упора.
Отношение
W'v
— =1
называется пропульсивным коэффициентом. Величина т) харак-
характеризует качество корпуса, качество винта и его работу во взаимо-
взаимодействии с корпусом. Лучшие суда характеризуются повышенными
значениями пропульсивного коэффициента.
х) Экспериментальные данные о влиянии F, 1|з, % и В/Т на остаточное соп-
сопротивление для некоторой серии корпусов содержатся в книге: Tay-
Taylor G. I., Speed and Power of Ships. Washington, 1933.
82 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
Для кораблей с заданной формой обводов, с заданным коэффи-
коэффициентом 1(з, определенным винтом и определенным его расположе-
расположением относительно корпуса, пропульсивный коэффициент можно
рассматривать при постоянном отношении d/L (d — диаметр винта)
как функцию числа Фруда и числа Рейнольдса или как функцию
поступи винта vjnd и числа Рейнольдса; при небольших изменени-
изменениях числа Рейнольдса влияние числа Рейнольдса незначительно.
При варьировании формы корпуса и геометрических данных вин-
винта значение г) будет зависеть от параметров, определяющих форму
корпуса и винт. В некоторых случаях эти влияния осуществляют-
осуществляются через изменение сопротивления корпуса, которое можно рассма-
рассматривать независимо от работы винта, в других случаях — через
характеристики винта, которые не зависят от формы корпуса.
Наконец, встречаются вопросы, в которых значение пропульсив-
ного коэффициента связано со взаимодействием корпуса и винта.
В современном судостроении наблюдается стремление к по-
постройке больших судов. Приведем некоторые простые соображе-
соображения, которые говорят в пользу зтой тенденции. Формуле (9.2)
можно придать несколько иной вид:
(9.4)
где
- 2с —
~ u' LS
Возьмем два геометрически подобных судна с водоизмещениями,
пропорциональными кубу линейных размеров:
Dl D.2
что равносильно естественному допущению о подобии подводных
частей. Очевидно, что смоченная площадь S пропорциональна
квадрату линейных размеров.
Пусть L1 и L2 суть характерные соответствующие длины, при-
причем L2 > Lj. При одной и той же скорости движения имеем
R2 > Rx и F2 < Fx.
Из опыта известно, что с увеличением числа Рейнольдса коэффи-
коэффициент cf убывает [см. формулу (9.3)] и что с уменьшением числа
Фруда коэффициент c'w также убывает (по крайней мере, в диапа-
диапазоне небольших значений числа Фруда F < 0,5, характерных для
практики). Типичная зависимость c'w от числа Фруда показана
на рис. 16.
Если движение происходит с одинаковой скоростью, то отно-
отношение сопротивлений WJW2 равняется отношению мощностей
ДВИЖЕНИЕ КОРАБЛЯ
83
или при одинаковом коэффициенте полезного действия отношению
расходов топлива в единицу времени. Количество перевозимых
грузов пропорционально водоизмещению, т. е. кубу линейных
размеров. Стоимость перевозки одной тонны определяется отно-
отношением веса израсходованного топлива к весу перевезенного гру-
:т. При одинаковой скорости дви-
жения отношение стоимостей Q2' ?„
и Q1 перевозки одной тонны на '
расстояние одного километра пред-
представится формулой
„г ,я 2,0
Последнее отношение можно ^
рассматривать как один из важ-
важнейших элементов, характеризу-
характеризующих выгодность эксплуатации.
На основании формулы (9.4) мож- -
-
/
/
J
по написать:
0.2
f я/
(9.5)
Рис. 16. Типичная кривая для ко-
коэффициентов остаточного сопро-
сопротивления сю в функции числа
Фруда F.
где х есть некоторая величина, меньшая единицы и уменьшающая-
уменьшающаяся с увеличением отношения L2ILl.
Формула (9.5) показывает, что величина Q2 убывает быстрее,
чем обратно пропорционально увеличению размеров судна. При
одинаковой скорости движения отношение мощностей растет
медленнее, чем пропорционально квадрату линейных размеров.
Рассуждая аналогичным путем, можно показать, что если
с увеличением размеров увеличивать мощность пропорционально
кубу линейных размеров, то скорость увеличивается, а время
доставки и стоимость перевозки тонны груза на один километр
уменьшаются.
Приведенные выше соображения могут быть отнесены не толь-
только к кораблям, движущимся по поверхности воды, но и к самоле-
самолетам, так как сопротивление воздуха при фиксированной скорости
полета растет медленнее, чем пропорционально квадрату линей-
линейных размеров, а вес самолета и полезный груз растут прибли-
приблизительно пропорционально кубу линейных размеров. В связи
г, этим относительный запас топлива и дальность полета само-
самолотов возрастают с их размерами. Этим объясняется увеличе-
увеличение размеров и веса самолетов, предназначенных для дальних
полетов.
84 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
Вместе с этим представляет большой практический интерес
вопрос о рациональных размерах авиационных двигателей, гидра-
гидравлических машин и т. п.
Отношение веса реактивных двигателей к развиваемой ими тяге
{«удельный вес») является важнейшей характеристикой двигателя
с точки зрения его применений на самолетах.
Для получения заданной тяги выгоднее использовать несколь-
несколько двигателей с меньшими размерами, чем один двигатель больших
размеров, так как с увеличением размеров двигателя его удель-
удельный вес возрастает, потому что тяга растет пропорционально
квадрату линейных размеров, а вес двигателя пропорционален
приблизительно кубу линейных размеров.
Таким образом, если иметь в виду удельный вес двигателей,
затрату дефицитных материалов и производственные операции, то
выгоднее строить несколько маленьких двигателей, чем один
большой. Для двигателей очень малых размеров указанные сооб-
соображения теряют свою силу, так как с резким уменьшением разме-
размеров теряется механическое подобие, при этом тяга и полезная
мощность уменьшаются очень быстро.
Кроме этих общих качественных соображений теории подобия,
выбор выгодных размеров двигателей и гидравлических машин
связан также с некоторыми ограничениями, со свойствами и разме-
размерами вспомогательных механизмов автоматики, анализом экономи-
экономических, технологических, строительных и некоторых иных тре-
требований, которые необходимо учитывать для получения оконча-
окончательных выводов.
Вопрос о рациональных размерах авиационных двигателей,
гидравлических турбин и многих других машин должен быть
всесторонне проанализирован и изучен. В этом анализе сообра-
соображения подобия также имеют важнейшее значение.
§ 10. Глиссирование по поверхности воды
Глиссирование представляет собой скольжение по поверхности
воды. При глиссировании поддерживающая сила почти целиком
обусловлена динамической реакцией воды. При движении водо-
измещающих судов поддерживающая сила, как и в покое, пред-
представляет собой архимедову силу, обусловленную увеличением
гидростатического давления на глубине.
Принцип глиссирования выгоден для быстроходных судов.
Современные быстроходные торпедные катеры являются глиссе-
глиссерами. Разбег гидросамолетов в воде при взлете и пробег после по-
посадки сопровождаются глиссированием.
Явление глиссирования судна с заданной формой может про-
происходить при различной ориентации судна относительно водяной
10 j
ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ВОДЫ
85
поверхности. Ориентация судна относительно воды имеет сущест-
ионное значение.
Число параметров, определяющих движение глиссера или
гидросамолета с заданными геометрическими формами, больше,
чем в рассмотренном выше случае- движения водоизмещающих
судов. При глиссировании, кроме осадки или смоченной площади,
необходимо задать еще угол дифферента 0 (угол с горизонтом
некоторого фиксированного на судне направления). Вместо осадки
и угла дифферента 0 можно задать нагрузку на воду А, положение
центра тяжести судна и момент относительно центра тяжести
внешних сил, но не гидродинамических сил, а, например, аэроди-
аэродинамических. На практике удобно выбирать в качестве определяю-
определяющих величин нагрузку на воду и угол дифферента.
Оставляя общую постановку задачи о глиссировании такой же,
как и в случае движения корабля, мы приходим к выводу, что
явление установившегося глиссирования судна с заданной гео-
геометрической формой можно определить следующей системой
параметров:
В, А, 0, v, р, g, и..
Совокупность динамически подобных движений и все безраз-
безразмерные комбинации, образованные из различных механических
величин, определяются значениями безразмерных параметров
п д п vBP d v
VgB
F.
A0.1)
По сравнению с движением водоизмещающих судов пришлось
ввести в рассмотрение дополнительно угол хода 6, который может
иметь различные значения в сравниваемых движениях. Для водо-
водоизмещающих судов различие в углах хода для движений, сравне-
сравнение которых имеет практический интерес, можно обычно считать
несущественным.
Свойство весомости воды сказывается через посредство пара-
параметров, содержащих ускорение силы тяжести. В системе A0.1)
имеется два параметра, содержащих g, а именно Сд и F. Эту
систему можно заменить системой
^L=^M,F, (Ю.2)
в которую ускорение силы тяжести входит только через число
Фруда F = vlY~gB.
Явление глиссирования носит ясно выраженный ударный ха-
характер. Впереди глиссирующей лодки вода практически покоит-
покоится, затем в краткий промежуток времени вода приводится в дви-
движение надвигающимся днищем лодки. Это дает основание пред-
предположить, что инерционные силы являются главными силами, по
86
ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
сравнению с которыми силы веса частиц воды малы, и ими можно
пренебречь.
Предположение о несущественности весомости частиц воды
равносильно предположению о несущественности параметра g,
а следовательно, и числа Фруда в системе параметров 0, Св, R и F.
Для режима глиссирования (большие значения числа Фру-
Фруда) несущественность влияния свойства весомости воды на ряд
основных характеристик движения установлена теоретически х).
Многие экспериментальные материалы 2) также хорошо подтверж-
подтверждают справедливость этого положения. Поэтому при моделировани
режимов чистого глиссирования можно отступить от закона по-
подобия Фруда.
Нетрудно видеть, что в системе параметров 0, Сд, R и F при
отсутствии влияния весомости жидкости вывод об одновременной
несущественности числа Фруда F и коэффициента Сд, содер-
содержащих ускорение силы тяжести g, неверен. Параметры Сд и F
образуют комбинацию
2СЛ
не содержащую g. Параметр Св может иметь важное значение
в ряде вопросов, в которых свойство весомости воды и параметр g
совершенно несущественны.
Безразмерные величины, не зависящие от числа Фруда и чис-
числа Рейнольдса, могут зависеть от нагрузки А и от скорости v
только через комбинацию
2Д
Благодаря этому исследование влияния скорости можно заме-
заменить исследованием влияния нагрузки, и наоборот. Это обстоя-
обстоятельство имеет большое значение, когда располагаемые скорости
недостаточны.
Пользуясь этим, можно получить экспериментальным путем
ряд результатов, справедливых для режимов, недоступных непо-
непосредственному эксперименту.
') С е д о в Л. И., Плоская задача о глиссировании на поверхности тя-
тяжелой жидкости. В сборнике «Труды конференции по теории волнового соп-
сопротивления». М., Изд. ЦАГИ, 1937, стр. 7—30; К о ч и н Н. Е., Плоская за-
задача о глиссировании слабо изогнутого контура по поверхности тяжелой не-
несжимаемой жидкости. Труды ЦАГИ, вып. 356, 1938; Ч а и л ы г и н Ю. С,
Глиссирование плоской пластинки бесконечного размаха по поверхности тя-
тяжелой жидкости. Труды ЦАГИ, вып. 508, 1940, стр. 1—45.
2) Э и пт т е й н Л. А., Новые экспериментальные материалы по глис-
глиссированию плоских пластинок. Труды ЦАГИ, вып. 508, 1940, стр. 46—72;
Седов Л. И., Владимиров А. Н., Глиссирование плоско-килеватой
пластинки. ДАН СССР, т. 33, № 2, 1941, стр. 116—119; Устойчивость глисси-
глиссирования килеватой пластинки. ДАН СССР, т. 33, № 3, 1941, стр. 193—196.
ю
ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ВОДЫ
87
Свойство вязкости воды сказывается заметно только в непосред-
непосредственной близости от днища лодки (пограничный слой), поэтому,
число Рейнольдса не влияет существенно на распределение давле-
давления, на момент гидродинамических сил, на форму смоченной
поверхности и т. п. Влияние вязкости воды на гашение возмущений
сказывается практически только на весьма далеких расстояниях
от лодки. i
Сила сопротивления зависит существенно от сил трения на по-
поверхности днища, поэтому вязкость и число Рейнольдса влияют
па безразмерные коэффициенты сил сопротивления.
Гидродинамические характеристики установившегося глисси-
глиссирования зависят, помимо указанных механических параметров,
в сильной степени от геометрической формы днища лодки.
Различие в природе поддерживающей силы вызывает резкое
отличие формы глиссирующих судов от формы водоизмещающих
судов. Обводы лодок глиссирующих судов характеризуются плос-
плоскодонной формой днища, резко очерченными скулами и нали-
наличием реданов, представляющих собой поперечные ступеньки па
днище лодки. Плоскодонная форма необходима для восприятия
больших вертикальных сил при малой смоченной поверхности.
Острые скулы и редан вызывают при глиссировании срыв струй
воды, вследствие чего боковая поверхность лодки и некоторая
значительная доля нижней части днища не смочены водой, что
уменьшает сопротивление трения.
Различные особенности днища можно характеризовать некото-
некоторыми безразмерными параметрами. Влияние изменения этих пара-
параметров можно определить путем систематических испытаний серии
профилей.
В задаче о глиссировании пластинки, имеющей форму плоского
клнна, мы сталкиваемся с весьма интересным обстоятельством,
сущность которого тесно связана с механическим подобием и ана-
анализом размерности. Пусть мы имеем плоскокилеватую призмати-
призматическую пластинку, глиссирующую по поверхности воды. Пусть
продольная плоскость симметрии, проходящая через киль пла-
пластинки, вертикальна и движение происходит параллельно плоско-
плоскости симметрии. Задняя часть пластинки —¦ транец — представ-
представляет собой плоскость, перпендикулярную к плоскости симметрии.
Рассмотрим случай, когда длина пластинки и ширина щеки
клина достаточно велики, так что для всех сравниваемых дви-
движений границы смоченной поверхности никак не связаны с кон-
конструктивной шириной и длиной пластинки. Геометрическую
ширину и длину пластинки для всех сравниваемых движений мож-
можно принять равными бесконечности. Геометрическая форма пла-
пластинки полностью определяется углом между щеками л —¦ 2C
(р — угол килеватости) и углом между килевой прямой и плоско-
плоскостью торца. Эти углы можно принять за геометрические параметры
88 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
Рис. 17. Глиссирование килеватых пластинок.
ml глиссирование по поверхности воды 89
U Т U /li iU ии *л *•*' '-'
Рис. 18. Экспериментальные данные показывают, что влияние весомости во-
воды несущественно для чисел Фруда ^i > 2.
90
ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
формы. Для простоты мы рассмотрим класс движений, в которых
эти углы фиксированы.
Нетрудно видеть, что в этом случае число определяющих пара-
параметров сокращается, так как отсутствует линейный размер, харак-
характеризующий пластинку.
Установившееся глиссирование килеватой пластинки на не-
неполной смоченной ширине определяется параметрами
Д, 9, v, р, g, (х.
Смоченная ширина пластинки по транцу и смоченная длина по
килю вполне определяются указанными параметрами.
Класс подобных движений и режим движения характеризуются
тремя безразмерными величинами:
6
, v/V
yr
gyrA/pg =
A0.3)
Числа Fx и Rx можно рассматривать как число Фруда и число
Рейнольдса по нагрузке.
Число Рейнольдса для режимов глиссирования (большие Fx)
влияет только на величины, которые зависят от обстоятельств
движения жидкости в
пограничном слое. В
частности, можно при-
принять, что смоченная
длина по килю I не за-
зависит от свойства вяз-
вязкости, т. е.
l = f (9, A,v, р, g). A0.4)
В безразмерном виде это
соотношение можно
представить так:
?
I
b
3,
г
rD
-
ъ
о
20"
О
1
Z
F, 5
Рис. 19. Глиссирование килеватых плстинок.
Влияние весомости существенно только для
чисел Фруда Fx <[ 2.
A0.5)
Если допустить еще,
что свойство весомости
не влияет на величину
I, т. е. что ускорение g в соотношении A0.5) несущественно, то
получим:
Г~Г~ A0.6)
При этих предположениях очевидно, что все линейные размери
(например, смоченная ширина на транце и т. п.) пропорциональны
УДАР О ВОДУ
91
)/~ A/pv2. При фиксированном угле дифферента б, но при различных
цагрузках на воду А и при различных скоростях глиссирования v
смоченные поверхности будут геометрически подобны.
Опыты хорошо подтверждают справедливость этих выводов для
больших значений числа Фруда, когда Fx > 2 L) (рис. 17, 18, 19).
В системе определяющих параметров в качестве естественных
параметров мы взяли нагрузку на воду Л и скорость движения v,
так как в опытах именно эти величины задаются зараиее, а осталь-
остальные измеряются. Вместо нагрузки Л можно взять в качестве
определяющей величины смоченную длину I или смоченную ши-
ширину на транце Ъ. Например, можно взять следующую систему
размерных определяющих параметров:
9, I, v, р, g, |я
и соответственно систему безразмерных параметров
В этом случае соотношения A0.4) — A0.6) можно рассматривать
как соотношения, определяющие нагрузку на воду А.
§ 11. Удар о воду
В ряде практических вопросов, в частности при посадке гидро-
гидросамолетов на воду, приходится сталкиваться с явлением удара
о воду. При изучении этого явления особый интерес имеют выяс-
выяснение свойств силы реакции воды и исследование явления водяных
рикошетов.
Многие, вероятно, наблюдали, как'камни плоской формы, кото-
которым сообщены скорость с большой горизонтальной составляющей
и вращение, обеспечивающее сохранение малого наклона плоскости
камня к горизонту, при соприкосновении с водой легко отскаки-
отскакивают вверх от воды, иногда несколько раз. Очевидно, что в явле-
явлении такого водяного рикошета горизонтальная скорость играет
основную роль. При отсутствии горизонтальной скорости плоский
тяжелый камень не может отскочить от воды. Многократное рико-
шетирование свидетельствует о небольшой потере горизонтальной
скорости во время соприкосновения с водой. Хорошо известно
также рикошетирование снарядов. Так, например, круглое ядро
диаметром 0,16 м с начальной скоростью 455 м/сек может совер-
совершить на воде более 22 рикошетов 2).
В настоящее время в артиллерии иногда намеренно производят
стрельбу на рикошетах.
х) Седов JI. И. иВладимиров А. Н., Глиссирование плоско-
килеватой пластинки. ДАН СССР, т. 33, № 2, 1941, стр. 116—119.
2) Jonquieres E., Sur le ricochet des projectiles spheriques a la sur-
Cace de l'eau. С. г. Acad. sci., v. 97, № 23, 1883, p. 1278—1281.
92 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
Явление водяного рикошета может иметь место при посадке
гидросамолетов на воду. Водяной рикошет самолетов опасен
при эксплуатации и рассматривается как крайне нежелательное
явление.
Рассмотрим с помощью теории размерности и подобия задачу
об ударе о воду применительно к посадке гидросамолетов и к экс-
экспериментам с пластинками — схематизированными моделями
лодок и поплавков самолетов.
Фиксируем геометрическую форму движущегося тела. Мас-
Масштаб, который можно задать значением некоторого линейного
размера, оставим переменным. В качестве характерного линейного
размера естественно взять ширину лодки. Для простоты ограни-
ограничимся рассмотрением случая, когда тело можно считать абсолют-
абсолютно твердым. Различие в аэродинамической схеме может сильно
отразиться на протекании всего явления. Экспериментальное ис-
исследование задачи можно начать с рассмотрения движения тел
с одинаковой геометрической формой и, следовательно, с одина-
одинаковыми аэродинамическими свойствами.
Примем, что тело имеет продольную плоскость геометрической
и динамической симметрии, причем движение тела происходит-
в продольном направлении параллельно плоскости симметрии.
Далее, мы примем, что неустановившееся движение тела происхо-
происходит с двумя степенями свободы: могут происходить вертикальные
перемещения центра тяжести и вращение около центра тяжести.
Горизонтальную скорость центра тяжести будем считать постоян-
постоянной. В действительности вследствие сил сопротивления происходит
уменьшение горизонтальной скорости, однако ввиду кратковремен-
кратковременности наиболее интересных процессов этим уменьшением можно
пренебречь х).
В общей постановке задачи учтем свойства инерции, вязкости
и весомости жидкости. Сжимаемостью и капиллярностью жидкости
пренебрежем. Волновое движение воды может оказать существен-
существенное влияние на изучаемое явление, однако мы предположим, что
до соприкосновения с телом вода покоилась.
Из сделанных допущений вытекает, что движение системы те-
тело — вода определяется следующей системой параметров, которые
в известных пределах можно задавать произвольно:
!) Для применения теории размерности к общей постановке задачи об
ударе о воду постоянство горизонтальной скорости несущественно. При мо-
моделировании этого явления возникает необходимость фиксировать горизон-
горизонтальную скорость. В лабораторных условиях постоянство горизонтальной
скорости можно обеспечить движением буксировочной тележки; центр тяже-
тяжести модели может скользить по вертикальной направляющей, скрепленной
с тележкой, которая движется с заданной постоянной скоростью. Силы тре-
трения, возникающие в ведущих приспособлениях, можно сделать пренебрежи-
пренебрежимо малыми.
Ш
удар о воду
93
I. Параметр, определяющий масштаб: ширина В лодки (в слу-
случае модели — ширина пластинки).
II. Кинематические параметры: рассматриваемый момент вре-
времени t (начальный момент времени t = О соответствует моменту
касания тела с поверхностью воды), горизонтальная скорость U
и начальная вертикальная скорость v0, начальный угол диффе-
дифферента (угол атаки) 90, начальная угловая скорость Qo *).
III. Динамические параметры тела: координаты центра тяже-
тяжести ?, т) в некоторой системе координат, связанной с телом; момент
инерции / относительно поперечной оси, проходящей через центр
тяжести; масса т; вертикальная составляющая А внешних задан-
заданных сил (для свободного тела А = mg). В лабораторных опытах
с помощью искусственного уравновешивания величины А и mg
можно сделать независимыми 2).
IV. Физические постоянные: ускорение силы тяжести g, плот-
плотность р и вязкость воды ц.
Все безразмерные величины, которые мы можем связать
с изучаемой задачей, являются функциями следующей системы
безразмерных параметров, определяющих собой режим движе-
движения и состояние движения:
Ut r(, Q QnB
"о 1
X =
В ' U
св =
U
ц
в
2.4
с U р_ Р^
рВ3 '
Влияние числа Рейнольдса R может проявляться через обу-
обусловленные вязкостью воды силы трения, которые вообще невели-
невелики по сравнению с подъемной силой и обычно направлены прибли-
приблизительно горизонтально; однако в некоторых случаях силы трения
могут заметно влиять на величину вращающего момента. Но ес-
если учесть сравнительно слабую зависимость сил трения от числа
Рейнольдса, то, по-видимому, вполне законно пренебречь влия-
влиянием числа Рейнольдса на характеристики вертикального и угло-
углового движения и, в частности, на явление водяного рикошета.
Влияние числа Фруда F на гидродинамические силы, форму
смоченной поверхности и т. п. связано с влиянием свойства весо-
весомости воды на возмущенное движение воды вблизи тела. При
большой горизонтальной скорости явление носит ударный харак-
характер, поэтому силы реакции воды можно считать независимыми от
х) Мы допускаем, что начальное состояние движения в момент посадки
практически вполне определяется параметрами]
V, 1>0, е0 и Qo.
2) Мы предполагаем, что внешние дополнительно заданные силы приложе-
приложены в центре тяжести. Суммарные аэродинамические силы и моменты можно
считать величинами, определяемыми формой и движением тела.
94 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
числа Фруда. Следует все же иметь в виду, что достаточно боль-
большое значение числа Фруда, начиная с которого влияние этого
числа несущественно, зависит от характера рассматриваемой
механической величины и связано со значениями других определя-
определяющих параметров.
Если А = mg, то параметры т/рВ3, С в hF становятся зависи-
зависимыми. В этом случае достаточно сохранить только два параметра
mlpBz и С в, так как через коэффициент С в учитывается одновре-
одновременно влияние весомости модели и воды.
Обозначим через Y вертикальную составляющую суммарной
гидродинамической силы. Из сказанного выше следует справедли-
справедливость формулы
" Q"B " " i- tSt. CB). A1.1)
Y -f(r v°
~г -Ilx< ~rr'
T
и
в
в
При движении конкретной модели параметры-g-, -jL , -= и -^
постоянны. Если угол дифферента закреплен и переменна только
вертикальная скорость, то мы имеем движение только с одной
степенью свободы — вертикальное поступательное движение.
В этом случае Qo = О, а параметры ?, г\ и / несущественны;
формула A1.1) принимает вид
С
(И.2)
В этой формуле сохранен угол дифферента как постоянный
угол установки, который может быть различным в различных
опытах.
Параметр т определится, если мы будем рассматривать в раз-
разных опытах максимальную величину отношения Y/A или вообще
значение Y/A для некоторых характерных моментов времени:
(Н.З)
А '
Очевидно, что при рикошете средние значения всех величин за
время соприкосновения с водой, безразмерное время соприкоснове-
соприкосновения тх == UtxIB, безразмерная максимальная глубина погруже-
погружения hma_JB и т. п. не связаны с параметром т.
Всю совокупность выделенного класса движений можно разде-
разделить на две части, соответствующие наличию и отсутствию выска-
выскакивания из воды (наличие или отсутствие рикошетов). Граница
между этими двумя режимами характеризуется соотношением
-т?, во,
Св) = 0, A1.4)
U ' В ' В ' рВ5 '
а в случае поступательного движения с одной степенью свободы —
5 111
соотношением
ф(
' ''о
. и
УДАР
, е,
о
ВОДУ
т
зВ3 '
95
0. A1.5)
В настоящее время имеются экспериментальные данные х)
о виде функции Ф для посадки на воду плоской пластинки.
Рассматривая задачу об установившемся глиссировании килева-
той пластинки, мы выяснили возможность уменьшения числа
определяющих параметров в том случае, когда смоченная поверх-
поверхность не зависит от размеров пластинки, вследствие чего пара-
параметр В исключился.
В задаче об ударе о воду клина (с закрепленным углом), вид
которого описан в предыдущем параграфе, вместо формул A1.3)
и A1.5) справедливы формулы
= 0.
A1.7)
Вместо параметров -тт- и —-— можно воспользоваться экви-
валентными параметрами
р т
и
которые имеют симметричный вид и при постоянных Акт харак-
характеризуют раздельно влияние вертикальной и горизонтальной
скоростей.
Выше мы наметили систему определяющих параметров и вид
некоторых важных соотношений. Некоторые из указанных пара-
параметров в ряде случаев несущественны; это выясняется путем спе-
специальных исследований, выходящих за пределы теории размерно-
размерности и подобия.
Явление рикошетирования по поверхности воды тесно связано
с явлением продольной неустойчивости глиссирования. В натуре
для гидросамолетов и глиссеров и в опытах с моделями мы встре-
встречаемся с явлением продольной неустойчивости глиссирования.
В настоящее время хорошо известно, что для всякого гидросамо-
гидросамолета и для всякой модели существуют неустойчивые режимы дви-
движения. На этих режимах возникают сильные продольные коле-
колебания, которые крайне неприятны и опасны. Так же как в задаче
х) Седов Л. И., Водяные рикошеты. ДАН СССР, т. 37, № 9, 1942,
стр. 291—294.
96
ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
о посадке на воду, исследование явления неустойчивости глисси-
глиссирования осложняется большим числом параметров, влияние
которых необходимо выяснить.
Нетрудно усмотреть, что система безразмерных параметров,
определяющих устойчивость глиссирования, получается из систе-
системы параметров, определяющих явление удара о воду, если поло-
положить v0 = Qo = 0. Понятию границы рикошетирования соответ-
соответствует аналогичное понятие о границе устойчивости, разделяю-
разделяющей устойчивые и неустойчивые режимы глиссирования.
Если влияние весомости воды отсутствует, то границы устой-
устойчивости зависят от нагрузки и от скорости глиссирования только
через коэффициент С в = 2Л/р52С72. Для ряда практически важ-
важных режимов это хорошо подтверждается опытными данными1).
Как и в задаче об ударе о воду, число параметров, определяю-
определяющих устойчивость глиссирования плоскокилеватых пластинок на
неполной ширине, уменьшается 2).
Рассмотрим еще специально задачу о вертикальном падении
на воду.
Явление удара о воду при вертикальном падении, когда тело
движется поступательно 3), определяется параметрами
t, v0, т, В, A, g и р.
В качестве безразмерных параметров, определяющих режим и со-
состояние движения, возьмем следующие четыре величины:
tvn
A1.8)
Если А = mg, то остаются только три параметра.
Очевидно, что изучаемые безразмерные величины, взятые для
некоторых характерных моментов времени (максимальные значе-
значения или средние значения по времени), определяются при А = mg
только двумя параметрами:
т ?¦„
Например, для максимальной силы удара и для импульса, по-
подействовавшего на тело со стороны воды за некоторый характер-
х) Седов Л. И., Глиссирование по поверхности воды. Техника воздуш-
воздушного флота, № 4—5, 1940, стр. 5—33.
2) С е д о в Л. И. и Владимиров А. Н., Влияние механических
параметров на явление глиссирования килеватой пластинки. Изв. АН СССР,
ОТН, № 1—2, 1943, стр. 44—66.
3) Если тело несимметрично, то вертикальное поступательное движение
можно осуществлять с помощью специальных направляющих.
8 П|
УДАР О ВОДУ
ный интервал времени, справедливы формулы вида
re=Mfr
A1.9)
Г *
A1.10)
Если скорость касания воды v0 велика, а форма смачиваемой
поверхности тела близка к горизонтальной плоскости, то явление
погружения в воду носит резко выраженный характер удара.
В этом случае свойство весомости воды и вес тела несущественны.
Поэтому при падении на воду, когда величина
Y*yf
достаточно велика, должны быть справедливы формулы вида
Ртах = /l
1 = h
A1.11)
A1.12)
В случае постоянных v0 и т очевидно, что с увеличением разме-
размеров тела (параметр В) реакция жидкости увеличивается, поэтому
функции Д (т/рВ3) и /2 (m/pBs) должны увеличиваться, когда па-
параметр m/pBs стремится к нулю. Формулы A1.11) и A1.12) пока-
показывают, что максимальная сила пропорциональна квадрату ско-
скорости, а импульс пропорционален первой степени скорости па-
падения х).
Параметр т/рВ3 исключается в задаче о падении па поверх-
поверхность воды конуса (сечение конуса горизонтальной плоскостью
может быть любым), так как в этом случае нет задаваемого харак-
характерного линейного размера.
Таким образом, в задаче о падении на воду конуса вместо фор-
формул A1.11) и A1.12) получим:
1 A1.13)
A1.14)
тгю1,
= c2mv0.
х) Экспериментальные данные хорошо подтверждают этот вывод; см.
Крепе Р. Д., Экспериментальное исследование удара о воду. Труды
ЦАГИ, вып. 438, 1939; Удар о воду профилей днищ лодок гидросамолетов
Труды ЦАГИ, вып. 513, 1940.
98 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. 1Г
Эти формулы определяют зависимость -Ршах и / от массы. Постоян-
Постоянные с1 и с2 зависят от формы конуса. Интересно отметить, что
в формулах A1.13) и A1.14) закон влияния массы не зависит от
формы конуса. Форма конуса влияет только на значения постоян-
постоянных сх и с2.
Однако общий вывод о том, что максимальная сила пропорцио-
пропорциональна т2'3 для тел любой формы, вообще говоря, был бы неспра-
несправедлив. В самом деле, рассмотрим падение на воду длинного плос-
плоского клина с небольшим углом килеватости. Пусть плоскость сим-
симметрии клина вертикальна, скорость падения велика. Пренебрегая
свойством весомости воды и клина, получим следующую систему
определяющих параметров:
, т
t,v0,— =
, p,
где L есть длина клина по килю, тх — масса клина, приходящая-
приходящаяся на единицу длины.
Если L очень велико, то мы можем рассматривать предельный
случай L = оо. В предельном случае плоского бесконечно длин-
длинного клина, когда смоченная поверхность не достигает краев
клина, линейный размер исключается, благодаря чему явление
определяется только четырьмя размерными величинами
t, v0, m^ р.
Все безразмерные характеристики определяются одной безразмер-
безразмерной величиной
л/ т
У 1л
Максимальные и средние значения безразмерных механических
характеристик будут безразмерными постоянными.
Таким образом, в этом случае для максимальной силы удара
справедлива формула
р
с3у pm1V0,
или
L
1 m;
= г„ l/
У pmL Vu-
Следовательно, для весьма вытянутых тел максимальная сила про-
пропорциональна корню квадратному из массы тела. Постоянная с3
зависит от килеватости, ее можно рассматривать как функцию от
угла килеватости р\
Нетрудно видеть, что с3 увеличивается с уменьшением угла
килеватости. Для малых углов килеватости можно положить
с3 = с4/Р, где с4 при малых р можно считать не зависящей от угла
« 12]
ПОГРУЖЕНИЕ В ЖИДКОСТЬ КОНУСА И КЛИНА
99
килеватости. В общем случае конечного клина для с3 можно
дать формулу
cs =
Р
Результаты эксперимента удобно обрабатывать, определяя
функцию / (m/pL3, р), так как при малых р и для сильно вытянутых
клиньев или малых т эта функция будет изменяться слабо в за-
зависимости от своих аргументов.
§ 12. Погружение в жидкость конуса и клина
с постоянной скоростью
Рассмотрим задачу о неустановившемся движении несжимаемой
жидкости, вызываемом погружением в жидкость твердого тела,
имеющего форму конуса или клина. Форма конуса в случае про-
пространственной задачи и форма плоского клина бесконечного раз-
размаха в случае плоской задачи интересны тем, что их поверхность
фиксируется полностью одним требованием о геометрическом
подобии. Совокупность геометрически подобных конусов сводится
к одиому-единственному конусу. Поверхность конуса и поверх-
поверхность плоского клина определяются полностью безразмерными
геометрическими величинами.
Примем, что жидкость занимает все нижнее полупространство,
ограниченное горизонтальной плоскостью, и что свойствами весо-
весомости и вязкости жидкости можно пренебречь. Следовательно,
будем считать, что жидкость несжимаема, невесома и идеальна.
Пусть t = 0 есть начальный момент времени, в который проис-
происходит касание телом покоящейся жидкости. Тело, погружающееся
в жидкость, совершает поступательное движение со скоростью v,
постоянной по величине и по направлению.
Предположим, что на свободной поверхности давление р имеет
постоянное значение р0. Из несжимаемости жидкости следует, что
:)начепие р0 на свободной поверхности не может повлиять па воз-
возмущенное движение жидкости. Вместо давления р мы можем рас-
рассмотреть разность р — р0; в этом случае параметр р0 несуществен.
Поэтому механические свойства жидкости определяются единст-
н(М1ным параметром — плотностью р.
Из сказанного следует, что все механические характеристики
движения жидкости в каждой точке определяются величинами г)
р, t, v, а, р, х, у, z,
') Для простоты принимаем, что отношение плотности среды над жид-
жидкостью к плотности жидкости фиксировано.
100 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
где аир суть углы, определяющие направление скорости v отно-
относительно тела, а х, у, z — координаты рассматриваемой точки либо
в неподвижной системе координат, начало которой совпадает
с точкой касания острия конуса с уровнем жидкости, либо в под-
подвижной системе координат, которая скреплена с телом и начало
которой совпадает с острием конуса.
Очевидно, что все безразмерные величины, которые можно свя-
связать с рассматриваемым явлением, определяются параметрами
X
IT
у
vt
it
причем параметры xlvt, y/vt, zlvt могут влиять только па величины,
зависящие от положения рассматриваемой точки внутри жидко-
жидкости. Суммарные безразмерные параметры (например, общая сила
реакции жидкости и т. п.) или параметры, независимые от по-
положения точки в пространстве, зависят только от углов а, р.
Если направление скорости фиксировано (например, скорость вер-
вертикальна), то все безразмерные суммарные характер истки мы
можем рассматривать как абсолютные постоянные, зависящие
только от формы конуса.
Обозначим через <р (х, у, z, t) потенциал скоростей возмущенного
движения жидкости для случая, когда скорость конуса задана по
величине и по направлению. Ввиду того, что движение жидкости
неустановившееся, задача об определении возмущенного движения
жидкости сводится к определению потенциала скоростей как функ-
функции четырех независимых переменных х, у, z, t.
На основании теории размерности легко свести четыре незави-
независимые переменные к трем.
В самом деле, величина qlvH безразмерная, поэтому справедли-
справедлива формула следующего вида:
A2.1)
Для скорости частицы жидкости о имеет место формула вида
Величины суммарной силы реакции Р воды и смоченной площади
S представляются формулами
Р = clPv4\ S =
A2.3)
причем коэффициенты сх, с2 и направление силы Р зависят только
от формы конуса и от направления скорости движения конуса.
Первая из формул A2.3) показывает, что сила реакции воды про-
пропорциональна плотности жидкости, четвертой степени скорости
5 1.4] ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
101
и квадрату времени. Смоченная площадь пропорциональна квад-
квадрату скорости и квадрату времени. Очевидно, что два различных
состояния одного и того же движения динамически подобны.
В случае двухмерной задачи о погружении плоского клина
(плоскость движения есть плоскость ху) для потенциала скоростей
и для распределения скоростей справедливы формулы
Для силы на единицу длины клина и для смоченной длины по щеке
клина имеют место формулы
Pl^c\9v4, l=c2vt. A2.4)
Из формул A2.3) и A2.4) видно, что при погружении тела в воду
с постоянной скоростью зависимость величины силы реакции во-
воды от скорости движения оказывается разной для тел различной
формы.
Постоянные с[ и с'2 зависят от угла килеватости клина, от углов
наклона плоскости симметрии клина и скорости клина относитель-
относительно невозмущенного уровня свободной поверхности.
Для плоской задачи имеются приближенные теоретические ре-
решения для вертикального погружения и для погружения пла-
пластинки, мало наклоненной к уровню жидкости, когда горизон-
горизонтальная составляющая скорости пластинки велика 1).
§ 13. Малые волны на поверхности несжимаемой жидкости
Рассматривая задачу Коши — Пуассона о волнах на поверхно-
поверхности тяжелой несжимаемой жидкости, Н. Е. Кочин 2) применил
соображения теории размерности и придал решению этой клас-
классической задачи новую изящную математическую форму.
Развивая соображения теории размерности, можно найти 3)
и явном и простом виде целый класс новых решений задач о вол-
пах. В полученном классе решений решение Н. Е. Кочина являет-
является частным случаем.
Этот метод и найденные решения можно распространить и
обобщить на случай пространственной задачи.
J) См. Wagner H., Ober Stoss- und Gleitvorgenge an der Oberflache
von Fliissigkeiten. ZAMM, Bd. 12, Ht 4, 1932, S. 193—215; Седов Л. И.,
Теория нестационарного глиссирования и движения крыла со сбегающими
пихрями. Труды ЦАГИ, JV« 252, 1936.
'-) Кочин Н. Е., К теории волн Коши — Пуассона. Труды МИАН
СССР, т. 9, 1935.
:|) Седов Л. И., К теории малых волн на поверхности несжимаемой
жидкости. Вестник Московского университета, № 11, 1948, стр. 71 — 77
102 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
Плоскую задачу о потенциальных волнах бесконечно малой
амплитуды на поверхности тяжелой несжимаемой жидкости, за-
занимающей все нижнее полупространство, можно сформулировать
в следующем виде.
Возьмем декартову систему координат; ось х совместим с невоз-
невозмущенным уровнем жидкости, ось у направим вертикально вверх.
Потенциал скоростей ср (х, у, t) при у <^ 0 является регулярной
гармонической функцией, т. е.
O'W О'ф A . „
~Hr Л—т-т- = U при V <С 0.
дх2 Oyl r и ^
A3.1)
Далее мы будем рассматривать такие движения, когда движение
жидкости затухает при погружении в глубь жидкости, т. е.
[grad ф] ->- 0 при у -+• — оо. A3.2)
В линеаризованной форме условие постоянства давления на
свободной поверхности может быть представлено так:
¦л7Г + ^-^Г = 0 ПРИ г/ = 0 и f > О,
A3.3)
где g — ускорение силы тяжести. Для определения потенциала
скоростей ф (х, у, t), кроме условий A3.1), A3.2) и A3.3), необхо-
необходимо выставлять некоторые дополнительные требования.
В качестве таких дополнительных условий можно взять, на-
например, начальные условия: при t = 0 задаются форма свободной
поверхности и распределение импульсивных давлений.
При формулировке начальных условий в линеаризованной тео-
теории можно исходить из соотношений
и — = — ф, A3.4)
=0 Р V '
где ? (х, t) — возвышение точек свободной поверхности над невоз-
невозмущенным уровнем, pt — импульсивное давление, ар — плот-
плотность жидкости.
Начальные условия можно сформулировать в следующем виде:
при t = 0 имеем
1 дф , , . I j-i/ ч /л о с\
т~ = / (-Л, Ф и=п = г (#)¦ A6.0)
Если функции / и ^одновременно отличны от нуля или от бес-
бесконечности, причем если / ф кх, то очевидно, что эти функции,
помимо переменной х, должны зависеть еще от некоторых размер-
размерных постоянных. Так как задача формулируется в кинематических
величинах, то очевидно, что может быть не более двух размер-
размерных постоянных с независимыми размерностями, входящих в функ-
функции / и F.
5 1.4] ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
103
Мы удовлетворим уравнению Лапласа, если положим:
Ф (х, у) = Re w (x + iy), A3.6)
где w (z, t) (z = х + iy) — характеристическая функция течения жид-
жидкости. Далее мы предположим, что характеристическая функ-
функция w (z) однозначна, конечна и регулярна при t ^> 0 и конечных
.г и у < 0.
Из условия A3.2) следует, что производная dw/dz исчезает
при у ->- — оо.
Граничное условие A3.3) можно представить в виде
A3.7)
• ho условие позволяет продолжить комбинацию
„ , . ffiw . dw
Ot Oz
и я верхнюю полуплоскость, после чего получим, что функция G(z)
является однозначной во всей плоскости комплексного перемен-
переменного z = х + iy. Из принятых предположений об общем характере
движения жидкости следует, что особые точки G (z) лежат на дей-
действительной оси.
Будем искать решения, для которых характеристическая
функция w (z) зависит линейно от размерных постоянных, входя-
входящих в добавочные условия, определяющие потенциал скоростей;
вид этих условий мы не будем конкретизировать.
Из линейности задачи следует, что достаточно рассмотреть
случай, когда мы имеем только одну размерную постоянную а,
от которой характеристическая функция w (z) зависит линейно
(постоянная а может быть комплексной). Пусть размерность по-
постоянной а представляется формулой
[а] = 1/Т?.
Из сделанных предположений мы получаем, что полная система
определяющих параметров представится таблицей
z = х + iy, t, g, a.
Положим теперь
показатели аир подобраны так, чтобы % было отвлеченной вели-
величиной. Так как [а] = LPTQ, то очевидно, что для этого должно
Пыть
р + а + р = 2, q- 2p = -1,
откуда
104 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
Из теории размерности следует, что функция % (z, t, g) зависит
только от комбинации
т. е.
¦g*z«x(X). A3.9)
На основании формулы A3.9) следуют равенства
dw
at
d*w
UP"
«О -
так как
oi
то
* [f + (^ - -L
х] . A3.10)
Функция G (Я) является однозначной функцией комплексной
переменной Я во всей плоскости. Особые точки могут находиться
только на действительной оси. Так как при К действительном
функция G (к) чисто мнимая, то очевидно, что для любой особой
точки этой функции коэффициенты в ряде Лорана чисто мнимые.
Обозначим:
G = 4a0g^«p*-* G^X).
а = a0ei5
Из A3.10) получим
[¦/ + (-±.-±.
A3.ii)
Мы можем удовлетворить условиям внутри жидкости и на свобод-
свободной поверхности, если в качестве функции Gx (%) возьмем любую
однозначную функцию, имеющую особенности только на действи-
действительной оси, на которой она чисто мнимая.
Для определения характеристической функции соответствую-
соответствующего волнового движения необходимо проинтегрировать диффе-
дифференциальное уравнение A3.11) для функции % (X). В самом общем
случае получаются волновые движения, обладающие особенно-
особенностями на свободной поверхности жидкости.
ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
105
мы примем, что при t > 0 движение жидкости на свобод-
свободной границе регулярно, то из конечности комбинации
d2w . dw
01* ~"~ 1% 6z
следует, что функция Gx (к) сводится к мнимой постоянной, кото-
которую мы должны положить равной нулю на основании условия
A.'!.2) и добавочного условия о постоянстве по времени давления
при у —>• — оо.
Таким образом, мы приходим к задаче об интегрировании обык-
обыкновенного дифференциального уравнения
+ -jr X — О. A3.12)
В этом уравнении а — произвольная постоянная. Нетрудно
нидеть, что при а комплексном решение уравнения A3.12) также
дает некоторое волновое движение. Основное решение, рассмотрен-
рассмотренное Н. Е. Кочиным, соответствует частному значению а = — 1/2.
Уравнение A3.12) после замены переменной
- a+-L,±,v
приводится к виду
(f + aX = 0. A3.13)
Решение уравнения A3.13) выражается через конфлюэнтные гипер-
гипергеометрические функции у = М (к, у, х), которые удовлетворяют
дифференциальному уравнению х)
ху" + (у - х) у' - ку = 0.
Общее решение уравнения A3.13) имеет вид
X = Сф1 (—a,-^-,ii) + С2ц"
Пользуясь этим решением для характеристической функции вол-
волнового движения, можно написать
w = Axwx + A2w2, A3.14)
где
u\{z,t,a) = zaM[—a,-^-,l^Pj, A3.15)
-^-M ( — а + — , -jj-, -?Г) • A3.1b)
Произвольные постоянные Аг и А2 могут быть комплексными.
!) См. Янке Е.. иЭмде Ф., Таблицы функций с формулами и кри-
Ш.1МИ. М.—Л., Гостсхиздат, 1949.
106 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
Частные решения волновой задачи A3.15) и A3.16), зависящие
от одной произвольной постоянной а, можно обобщить, заменив t
через t — t0 и z через z — z0. Постоянные t0 и z0 (z0 действительно)
определяют изменение начального момента времени и смещение
особой точки, соответствующей началу координат в плоскости дви-
движения жидкости. Исходя из полученных решений, можно строить
суммированием более общие решения: при суммировании постоян-
постоянные Ах и Аг можно считать функциями от параметров a, t0 иг0.
Из формул A3.15) и A3.16) легко усмотреть следующие свойст-
свойства функций w1 и w2:
при t = 0 имеем:
=0
A3.17)
A3.18)
Рассмотрим теперь волновые движения, для которых характери-
характеристические функции определяются формулами
Qi(z,f) = -¦
Яг
(z — a'o, t, a) d.c0,
A3.19)
Q2 (z, t) =
V
F (.r0) и;2 (z - ,r0, г, a) dr0, A3.20)
где / (x0) и i*7 (;ro) — некоторые функции, для которых интегралы
в формулах A3.19) и A3.20) сходятся.
При t = 0 имеем:
+¦*>
q1=__L С /Ы^ ^Jgji^p,
Q, = 0,-^2.= L \
<tt яг j
(ж„) da;,,
A3.21)
A3.22)
Первое из уравнений A3.21) при а = ~1 ж z = х дает
JT t J JCjj — ОС
— оо
Таким образом, если / (х) действительно, то при а = —1 формула
A3.19) дает решение задачи о волновом движении для следующих
§ 13] ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
107
начальных условий:
при t = 0
(,г0) = / (х),
= 0.
Для функции W (х, у) получаются следующие начальные условия:
при г = 0 TlM=J_v- P-
Если / (х) чисто мнимо, то начальные условия имеют аналогич-
аналогичный вид, но только функции Фг и Wi меняются ролями.
В случае а = — 1/2 второе из уравнений A3.22) при t = 0
и z = х дает
+°°
дп2 - ¦ • -
dt
Отсюда следует, что если F (х) действительно, то получаются сле-
следующие начальные условия:
дф9
при ( =
Ф2 -f- i*F2 = 0,
dt
= F (x).
Этот случай разбирался Н. Е. Кочиным. Выясним теперь характер
начальных условий в общем случае при а ф — 1, —1/2.
Рассмотрим начальные условия для функции Qx (z, t). Имеем:
Й! (z, 0) = - -1- ^ (,т0 - z)« / (з-о) da-0.
— оо
Если а ^> 0 и целое число, то очевидно, что QL (z, 0) есть полином
степени а. Вообще, если а > 0, то функция Qt (z, t) будет обра-
обращаться в бесконечность при z ->- оо, поэтому при а > 1 условие
об исчезновении скоростей при i/ -> — оо не удовлетворяется.
Если а = — A + s), где s — целое положительное, то мы имеем:
Q1(z,0) = -
/ (a;0)da:0
(a;0—г)
l+s
A3.23)
Предположим, что интеграл \ f(xo)dxo конечен1), и введем
—оо
и рассмотрение функцию
1
я
/ы
13.24)
1) Очевидно, что выражение для Qx (z) может иметь смысл в ряде случаев,
когда интеграл в A3.24) расходится.
108 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
При принятых предположениях о функции / (х0) легко видеть
справедливость соотношений
а со
= ю' (z) == Г (s+ l)Q1(z,O),
A3.25)
dz$
—ioo —ico
Q(Zl)dZl =
z — u)sQ[(u)du. A3.26)
—ioo
Следовательно, для определения / (x) имеем соотношение
-^§2-. A3.27)
Таким образом, из формул A3.23) и A3.24) для целых s>0 мы
вывели уравнение A3.27). Это соотношение остается также спра-
справедливым при любых вещественных s > — 1.
Действительно, из A3.23) имеем:
Q' (и) = _
Умножая на (г — w)s и интегрируя, получим:
Во внутреннем интеграле произведем замену переменных
отсюда
а-о - и = -
и = ,r0
- и = ^
— .г0) -1- ;
- 1), du = (,т0 - z)-^- .
Произведя эту подстановку для внутреннего интеграла, получим:
A — %У dl =
ж„—z
Я I'll ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ Ю9
Пользуясь этим, находим:
Отсюда при z -+• а; следует формула A3.27).
Формула A3.25) может быть обобщена на дробные s, если дроб-
дробную производную о>ч (z) определить по формуле
0K (z) =
Н самом деле,
Г A-
s)
— u)-s(u'{u)du.
Для вычисления внутреннего интеграла сделаем замену перемен-
переменных
ц =
(г — т0) -у ,
после чего получим:
(z— up , _
В (s-f- 1, 1 — s)
так как
ТО
и ГB)=1,
_ (^o-z)s+1
§ 14. Пространственные автомодельные движения
сплошных сред
Постановки задач о движении несжимаемой жидкости в §§ 12
и 13, приводившие к уменьшению числа независимых переменных,
можно расширить и распространить на более общие случаи.
Движения сплошной среды, в которых все безразмерные харак-
характеристики зависят только от комбинаций
It»
у
"It5"
где х, у, z — декартовы координаты, t — время, а Ъ — постоянная
110 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
с размерностью LT~5, мы будем называть автомодельными с цент-
центром подобия в начале координат.
Легко указать общую характеристику задач, для которых имеет
место автомодельность. Очевидно, что для автомодельности доста-
достаточно, чтобы система размерных определяющих параметров, зада-
задаваемая дополнительными условиями и, в частности, краевыми
или начальными условиями, содержала бы не более двух постоян-
постоянных с независимыми размерностями, отличными от длины и вре-
времени.
Иначе говоря, система определяющих величин должна пред-
представляться таблицей следующего вида:
а, Ь, х, у, z, t, аг, а2,. . .,
где а1; а2 — отвлеченные комбинации из размерных постоянных;
число их может быть любым, а для постоянных а и Ъ верны сле-
следующие формулы размерности:
[а] = ML*TS, [Ъ] = LT"S,
причем б Ф 0, а к и s могут быть произвольными. Не ограничи-
ограничивая общности, постоянную а всегда можно заменить постоянной
А = abs 5 с размерностью
[А] = ML",
где со может быть произвольно.
Для автомодельности движения сплошной среды, вообще гово-
говоря, необходимо, чтобы в постановке задачи не содержалось харак-
характерных линейных и временных величин (клин, конус и т. п.).
Укажем на некоторые примеры автомодельных движений.
1. Задача о раздвигании вначале покоящейся бесконечной мас-
массы несжимаемой жидкости внутренней полостью, которая рас-
расширяется из точки с сохранением геометрического подобия своей
формы.
Пусть заданные радиальные скорости внутренней границы —
полости определены формулой вида
v (t, 9, i|)) =
где 0 и г|) — полярные координаты и Ъ — постоянная: [b] = LT;
при б > 0 внутренняя поверхность расширяется непрерывно и по-
подобно из нулевой точки. Возмущенное движение несжимаемой
жидкости потенциально и определяется системой параметров
р, Ь, г, 9, г|), t, f (9, ![)),
где р — плотность, г — полярный радиус; начальное давление и
давление в бесконечности р0 несущественны, так как можно рас-
рассматривать только разности р — р0.
5 141
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
111
Очевидно, что в этом случае для потенциала скоростей верна
формула следующего вида:
ср =
V
, гр, -Аг
Задачу можно видоизменить и вместо закона для скоростей
расширения внутренней полости можно задать закон для давле-
давлений, действующих на поверхности полости:
Р-Ро = pbH^-VF(Q,x\>).
Одну такую задачу мы рассмотрим в § 11 главы IV.
2. Предыдущие выводы об автомодельности движения жидко-
жидкости сохраняются при рассмотрении движения жидкости со свобод-
свободной поверхностью, совпадающей вначале с плоскостью, если
центр симметрии для расширяющейся заданной поверхности лежит
на этой плоскости. Таким образом, приходим к обобщению задач
о погружении конуса и клина па случай любой не твердой подобно
изменяющейся поверхности, вытесняющей жидкость, ограничен-
ограниченную свободной поверхностью.
В частности, можно рассмотреть автомодельное движение
жидкости при погружении клипа или конуса с переменной ско-
скоростью, зависящей от времени по степенному закону.
Если учитывать весомость жидкости, то необходимо добавить
я число определяющих параметров ускорение силы тяжести. Для
сохранения автомодельности необходимо, чтобы [g] = 16], т. е.
б = +2.
Следовательно, при равномерно ускоренном погружении клина
или конуса в несжимаемую весомую жидкость возмущенное дви-
движение жидкости будет автомоделыю.
Автомодельность движения жидкости со свободными поверх-
поверхностями сохраняется также и в том случае, когда в начальный
момент времени свободная поверхность имеет коническую или
клинообразную форму и центр подобия совпадает с острием кону-
са или клина.
В качестве примера автомодельного решения для упругой сре-
среди укажем на задачу Буссинеска о распределении напряжений
и деформаций в упругом полупространстве, ограниченном пло-
плоскостью, в некоторой точке которой приложена заданная сосре-
сосредоточенная сила Р.
В статических задачах упругая среда полностью задается
модуледг Юнга Е и коэффициентом Пуассона 0. Внешняя сила
задается ее величиной Р и отвлеченными параметрами, определя-
определяющими направление силы.
Возьмем полярные координаты г, б с началом, совпадающим
'.'. точкой приложения силы в плоскости, перпендикулярной к гра-
границе и содержащей вектор силы. Система определяющих величии
112 ПОДОБИЕ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ [Гл. II
имеет вид
Р, Е, г, 0, г|з, 0, 0О;
б0 — угол, задающий наклон силы Р. Вследствие линейности
задачи все напряжения и деформации зависят линейно от Р,
поэтому зависимость от Р заранее известна; зависимость всех
величин от Е и г можно найти сразу из соображений размерности.
Получаются только две независимые переменные 0 и гр. В случае
осевой симметрии (сила Р перпендикулярна к граничной плос-
плоскости) выпадет гр и поэтому полное решение задачи легко полу-
получить с помощью интегрирования одного обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения.
В некоторых случаях, очевидных в каждом конкретном при-
примере, предыдущие соображения могут быть распространены на
задачи о неустановившихся движениях сжимаемых сред с различ-
различными свойствами.
ГЛАВА Ш
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И К ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
§ 1. Диффузия вихрей в вязкой жидкости
Соображения теории размерности могут оказать большую по-
помощь при математическом решении некоторых физических задач.
В этом и следующих параграфах мы приведем примеры такого
приложения теории размерности.
Рассмотрим задачу о диффузии вихрей в вязкой несжимаемой
жидкости в предположении, что движение жидкости плоскопарал-
плоскопараллельное и жидкость занимает всю плоскость х). Рассматриваемое
движение неустановившееся. Пусть в начальный момент времени
t = 0 жидкость движется потенциально везде, за исключением
полюса О, представляющего собой след на плоскости движения
бесконечного прямолинейного концентрированного вихря с цирку-
циркуляцией Г.
Примем, что движение обладает осевой симметрией. Обозначим
через Q угловую скорость частиц жидкости.
Как известно, циркуляция по кругу радиуса R с центром
в О равна
R jii Я
Гн= 2$ § Qrdrd6= 4я§ rQ(r)dr. A.1)
0 0 0
В начальный момент времени для любого, в частности и для сколь
угодно малого, круга имеем
Гн = Г. A.2)
Уравнение распространения вихрей в рассматриваемом случае
имеет вид
дп __ / d2Q , J_ 3Q '
dt ~~ \ dr2 * r Or
A.3)
х) См. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А. и Р о з е Н. В., Теоретическая
гидромеханика, ч. II. М., Физматгиз, 1963. В этой книге содержатся подроб-
подробное описание и решение этой задачи с использованием соображений о размер-
размерностях.
114 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
где v есть коэффициент кинематической вязкости (v = uVp). Зада-
Задача заключается в определении величины Q как функции от радиу-
радиуса г и времени t.
Из постановки задачи следует, что
Q = / (Г, v, r, t).
Из линейности уравнения A.3) и начального условия следует, что
Q пропорционально Г, т. е.
Q = Г/, (v, г, t).
A.4)
Безразмерная комбинация Qvi/T должна выразиться как функция
от единственной независимой безразмерной величины rz/vt = |,
которую можно составить из размерных параметров v, r, t. Сле-
Следовательно,
г
О -I, /t\ /Л С\
" уТ^^Г A-5)
Из формулы A.5) очевидно, что уравнение в частных производных
A.3) для функции Q с двумя независимыми переменными г и t
приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению
с одной неизвестной переменной ?¦
Подставляя выражение для Q из A.5) в уравнение A.3), имеем:
Ф (?) + W (I) +
Интегрируя, получаем:
(I)] = 0.
4|г|з' = С.
Постоянная С равняется нулю для решения, в котором г|) @)
и г|/ @) конечны. Интегрируя уравнение
найдем:
гр = Ае~т'.
Для величины вихря Q это дает
vt
Постоянную А определяем из начального условия. Циркуляция
по кругу радиуса R равняется
R Г*_ R2
Г в — 4л —— \ re ы dr = 8яAT A — е w ). A.G)
2] РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Ц5
При t — 0 для любого R ^> 0 имеем:
Гд = 8лАТ.
Начальное условие Гд = Г дает
А =
8я "
Окончательное решение задачи представляется формулой
Q =-?—.е
A.7)
Обозначим через d (r, t) скорость частиц жидкости. Движение
жидкости обладает осевой симметрией, причем скорость частиц
жидкости направлена перпендикулярно к радиусу-вектору, про-
проведенному в рассматриваемую точку из полюса О.
Учитывая направление вектора скорости, получаем следующую
связь между Гд и о:
Гн = 2яго.
Воспользовавшись формулой A.6), найдем закон распределе-
распределения скорости по радиусу г и по времени t:
,_.?.(!_.-?).
При t = 0 получается закон распределения скоростей, соответ- '
ствующий точечному вихрю в идеальной жидкости. При г^>0
и t = 0 движение жидкости потенциально и вихри отсутствуют:
при г^>0и t > 0 движение жидкости вихревое в каждой точке
жидкости. Формула A.7) дает закон распространения — диффу-
диффузии — вихрей. Эта формула показывает, что величина вихря
в каждой точке возрастает с течением времени от нуля до мак-
максимума, равного Г/2лг2е, и затем опять стремится к нулю.
Так как уравнение A.3) линейное, то, исходя из полученного
решения о распространении точечного вихря, можно построить
методом суперпозиции решение задачи о симметричном движении
при любом начальном распределении скоростей.
§ 2. Точные решения уравнений движения
вязкой несжимаемой жидкости
Рассмотрим установившееся движение вязкой несжимаемой
жидкости, заполняющей все пространство.
Уравнение Навье — Стокса и уравнение неразрывности можно
написать в следующей форме:
= — grad f —
vAd,
div d = 0.
B.1)
116 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
В дальнейшем воспользуемся сферической системой коорди-
координат. Независимыми переменными и определяющими величинами
будут
г, е, к, v,
где г— расстояние рассматриваемой точки до полюса, 0—полярный
угол, 'к — долгота и v — коэффициент кинематической вязкости.
Искомыми величинами будут проекции скорости vr, vlU vk и дина-
динамическое давление, отнесенное к плотности, равное р/р — U.
Изучим решения уравнений B.1), которые вполне определяют-
определяются параметрами г, 8Д, v и еще только одной размерной постоян-
постоянной А. Пусть формула размерности для Л.имеет вид
[А] = LpT«,
где ряд — некоторые постоянные.
При этом предположении очевидно, что все безразмерные ком-
комбинации из введенных величин будут функциями только трех
отвлеченных параметров:
6л
, X, п =
А
Тогда искомые функции можно представить в виде
уг = -^-/(яД,6), 17в = -?-Ф(я, X, 9),
1Ъ=7-Ч>(лД,е), tf--?- = -?/¦ (яД, 6).
В такой форме можно представить и рассматривать самое об-
общее решение уравнений B.1).
Число независимых переменных сократится, если мы предпо-
предположим, что
р + 2q = 0.
Это условие означает, что размерность постоянной А пред-
представляет собой некоторую степень размерности коэффициента
кинематической вязкости v.
Помимо этого предположения, примем еще, что изучаемые дви-
движения обладают осевой симметрией, так что переменная X несу-
несущественна.
Из сделанных предположений вытекает, что для искомых
величин должны быть справедливы следующие формулы:
B.2)
Эти формулы устанавливают зависимость поля скоростей
и давлений от переменной г. В этом случае из уравнений B.1)
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
117
для четырех функций /, ф, г|), F получается система обыкновенных
нелинейных дифференциальных уравнений
/" + /' (ctg 6 - Ф) + f + Ф'2 + Ч>2 - 2F = 0, 1
срср' — x|;2ctg9-/' — F' = О,
г|)" - (рф' - ф^ ctg 9 + г|)' ctg 6 - -^Lq- = 0,
= о. J
B.3)
После исключения функции F и некоторых простых преобра-
преобразований получим:
/'" + 2*|> W + яр ctg 9) + (/' ctg 9)' - (ф/')' + 2//' + 2/' = 0,
B.4)
Общее решение этой системы уравнений зависит от шести про-
произвольных постоянных.
Перед изучением решений системы уравнений B.4) отметим
некоторые общие свойства рассматриваемых движений вязкой
жидкости.
Дифференциальные уравнения для проекций линий тока на
плоскость меридиана можно написать в виде
dr
rdQ
или
/(9)
rdQ
~фТ9Г'
откуда
Ф(9)
где а — постоянная интегрирования. На основании последнего
уравнения системы B.4) получим:
— = Ц-- B-5)
a q) sra 6
Из общих соображений теории размерности, а также непосред-
непосредственно из уравнения B.5) следует, что различные линии тока
подобны между собой.
Обозначим через Q объемный расход жидкости и через / объем-
объемный поток количества движения сквозь замкнутую поверхность S,
т. е.
Размерности Q и / представляются формулами
[Q] = L3T-\ [/] = L4T.
118 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
При стягивании поверхности S к полюсу в точку получим, что
величины Q и / могут зависеть только от коэффициента v и от
постоянной А, размерность которой выражается через размер-
размерность v. Так как размерности Q и v независимы, то очевидно, что
расход Q равняется либо нулю, либо бесконечности. Размерность
/ выражается через размерность коэффициента v, поэтому вели-
величина / может быть конечной.
Иное положение имеет место при плоскопараллельных движе-
движениях. Если для плоскопараллельных движений поле скоростей
во всей плоскости зависит только от координат точки и от кон-
констант, имеющих размерность, зависящую от размерности коэф-
коэффициента кинематической вязкости v, то в полярных координатах
справедливы формулы, аналогичные формулам B.2). (В этом
случае г — радиус-вектор в плоскости движения.)
Для плоскопараллелыюго движения расход и поток количе-
количества движения можно определить формулами
Q = \ ondS, /= ) v-ondS,
L L
где L — некоторый замкнутый контур, охватывающий начало
координат. Размерности Q и / в этом случае представляются
формулами
[Q] = L2T"\ [/] = L3!1-1.
Следовательно, плоские движения рассматриваемого типа могут
характеризоваться конечным расходом, а соответствующие им-
импульсы будут равняться нулю или бесконечности.
Это обстоятельство позволило Гамелю и ряду других авторов
в задаче о движении жидкости в угле между двумя плоскостями
получить точные решения уравнений Навье — Стокса путем све-
сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям х).
Переходим к рассмотрению решения системы уравнений B.4).
Первое из уравнений B.4) можно представить в виде
Ф+_\'1 _ (\|i2sin29)'
_ ~ sin2! '
где
|_ sin
sin 9 \ sin 9
B.6)
/ 1 о \
Ф = СО т- ф" Sill2 б —
U' L. ф2) 8щ2 е_ ф Sin0 cose. B.7)
Из уравнения B.6) можно вывести следующий интеграл:
sin2 e — sin e
sm <
>' = D,
B.8)
где D — постоянная интегрирования.
х) Эти решения изложены подробно в книге: К о ч и н Н. Е., К и б е л ь
И. А. и Р о з с Н. В., Теоретическая гидромеханика, ч. II. М., Физматгиз,
1963.
5 2]
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
119
Функция г|) @) определяет собой распределение составляющих
скоростей, перпендикулярных к плоскости меридиана.
Нетрудно видеть, что при ¦ф = 0 или при гр sin б = const,
система уравнений B.4) дает для определения функций / и ср одни
и те же соотношения.
Условие т|5 = c/sin 0 дает vk = cv/r sin б; поле скоростей
для vx соответствует прямолинейному вихрю, совпадающему
с осью симметрии. Следовательно, уравнения движения будут
удовлетворены, если к любому полю скоростей рассматриваемого
типа мы добавим поле скоростей от прямолинейного вихря.
Если мы примем, что
¦ф sin б = const, B.9)
то уравнение B.6) можно проинтегрировать три раза, после чего
решение задачи сведется к интегрированию уравнения Риккати:
(ср' грср2 sin2 0— ф sin б cos б = М cos 26+ JVcose+ R, B.10)
где М, N, R — произвольные постоянные интегрирования 1).
Если положить М = N = R = 0, то уравнение B.10) легко
интегрируется и дает
2sin6 , о , 2(,12-1) „ ...
ср =-
А + cos 9
откуда / = — 2
(A +cos9J
где А — отвлеченная постоянная интегрирования. Решение B.11)
было изучено Ландау 2).
Нетрудно проверить, что для этого решения при | А | ^> 1
расход жидкостр1 через поверхность, охватывающую начало коор-
координат, равен нулю, а при | А | <^ 1 — бесконечности.
Для потока проекции количества движения на ось симметрии
сквозь любую сферу с центром в начале координат верна следую-
следующая формула:
/-pv2[8D2-l)]n4^-J-
Следовательно, величина импульса / не зависит от радиуса сферы
и дает механическую характеристику особой точки в начале
координат. Для этого течения уравнения линий тока имеют вид
г А + cos 9
~ = 2 sin2 9 '
32.4 , 8А(ЗА*-\I ,«,,„
- 3(,i*-n ' at^I • {ZAZ>
1) Уравнение B.10) иным путем получено Н. А. Слезкипым (см. С л е з-
к и н Н. А., Об одном случае интегрируемости полных дифференциальных
уравнений движения вязкой жидкости. Ученые записки МГУ, вып. 2, 1934,
стр. 89—90).
2) Ландау Л. Д. и Л и ф ш и ц Е. М., Механика сплошных сред.
М., Гостехиздат, 1953, стр. 108.
120 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
Для А ^> 1 форма линий тока указана на рис. 20.
При удалении в бесконечность линии тока будут приобретать
параболический характер. При движении вдоль линии тока ра-
радиус-вектор г достигает минимального значения при некотором
значении б = б*, определяемом соотношением
cos 9* = — А + /Л2 — 1.
Соответствующее движение можно рассматривать как дви-
движение вязкой жидкости, заполняющей все пространство, выз-
вызванное бесконечно тонкой струей в
начале координат, бьющей из конца бес-
бесконечно тонкой трубки в направлении
оси х с конечным импульсом.
Можно непосредственно указать ряд
решений уравнения Риккати B.10), со-
соответствующих частным значениям
постоянных М, N и R. Например, при
R = 1, N == 0 и М = 72 имеем решение
Ф = — ( ctg 6+ cth-
где б0 — произвольная постоянная.
В случае
N = 0,
М = -i- - m2 и R=-L
Рис. 20. Линии тока для
источника нулевой мощное-
ти и конечного импульса
в вязкой жидкости.
имеем решение
w — Bт
v
2sin2m9
sin
В общем случае уравнение Риккати
B.10) можно разрешить с помощью
гипергеометрических функций 1).
С помощью подстановок
__ г, у' (9) _ а 9
уравнение B.10) приводится к виду
M-i-R— N
'v
__
B.13)
1) См. Я ц е е в В. И., Об одном классе точных решений уравнений дви-
движения вязкой жидкости. ЖЭТФ, т. 20, вып. 11, 1950, стр. 1031.
2] РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Это уравнение легко интегрируется с помощью гипергеометриче-
гипергеометрических функций; его общий интеграл можно написать в видех)
= (cos ~^-
/
Q (cos2 4I"" F (a + 1 - Y, p + 1 _ 7, 2 - v, cos2 -|-JJ , B.14)
где постоянные а, р\ у связаны с М, N и /? формулами
R =
3 [ 1 — (а 4- Р)-]
4
— ар — 2у2 + 27 (а + Р -f- 1).
Вместо М, N, R в качестве произвольных постоянных можно
взять параметры а, р, у.
Полученное решение для <р зависит от четырех произвольных
постоянных, от трех параметров а, р, у и от отношения P/Q.
При М = N = R = 0 уравнение B.13) вырождается в урав-
уравнение у" (и.) = 0, которое имеет только одну регулярную особую
точку при и. = оо. Соответствующее решение было рассмотрено
выше.
Если N — —4М = —4/3 R, то в уравнении B.13) множитель
(\х — IJ в знаменателе сокращается и остаются только две особые
регулярные точки ц = 0 и (i — оо. Уравнение B.13) в ято.и
случае переходит в уравнение Эйлера
ц.2
Г
My =-- 0,
которое легко интегрируется 2).
1) Если у — целое число, то решение также можно написать в несколько
ином виде. Для этого можно использовать представление решений гипергео-
метрпческого уравнения в форме, приведенной в книге Л. И. Седова (С е-
д о в Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., «Наука»,
1966).
2) Аналогично рассмотренным движениям вязкой жидкости меридиональ-
меридиональные течения несжимаемой проводящей жидкости также имеют класс автомо-
автомодельных движений, которые определяются одной размерной постоянной [А] =
^ LPT^M при р + 2д + 3 = 0; см. Г р о д з о в с к и й Г. Л., Д ю к а-
л о в А. Н., Токарев В. В. и Толстых А. И., Осесимметричное
меридиональное течение проводящей жидкости. Выравнивание параметров
закрученного потока вязкой жидкости. Изв. АН СССР, ОТН, № 1, 1960,
<^тр. 41—46.
122
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
§ 3. Пограничный слой при обтекании вязкой жидкостью
плоской пластинки
Рассмотрим обтекание плоской бесконечно тонкой пластинки
несжимаемой вязкой жидкостью. Пусть вдали перед пластинкой
жидкость движется поступательно с постоянной скоростью Uo.
Пластинка имеет бесконечную длину и расположена вдоль по
потоку параллельно скорости Uo. Задача плоская; движение уста-
установившееся; жидкость занимает всю плоскость вне пластинки.
Эта задача о движении вязкой жидкости является самой простой,
но несмотря на это, она пе поддается точному решению с помощью-
уравнений Навье — Стокса ввиду больших математических труд-
трудностей. Мы разберем эту задачу с помощью уравнений Прандтля,
которые получаются из общих уравнений движений вязкой жид-
жидкости с помощью некоторых приближений х).
Уравнения пограничного слоя Прандтля в рассматриваемом
случае имеют вид
ди , ди д-и
U L v = V , „ ,
оу ду2
Ох
ди
дх
ду
= 0.
C-1)
где и и. v суть проекции скорости частиц жидкости на оси коорди-
координат, a v — коэффициент кинематической вязкости. Ось х направ-
направлена по пластинке вдоль потока, ось у — перпендикулярно к пла-
пластинке. Кроме уравнений C.1), для определения и (х, у) и v (x, у)
имеем еще граничные условия
при х ^> 0, у = 0 и = v = 0;
при у — + оо и¦ = Uo. J
Определяющими параметрами будут
Uo, v, х, у.
Ввиду того, что пластинка плоская и бесконечно длинная,
характерного линейного размера указать нельзя. Из общих сооб-
соображений теории размерности следует, что все безразмерные вели-
величины являются функциями двух безразмерных комбинаций
х
]) Prandtl L., Ueber Fliissigkeitsbewegung bei sehr Kleiner Reibung-
Verhandl. Ill Intern. Math. Kongr. in Heidelberg A904). Leipzig, 1905, S.
484—491 (Ges. Abhandl., Bd. 2, 1961, S. 575—584 (русский перевод: Движение
жидкости с очень малым трением. В книге: Прандтль Л., Теория несу-
несущего крыла, ч. I. М., ЦАГИ, 1931, стр. 5—11); см. также: Седов Л. И.,
Механика сплошной среды, т. 2, изд. 3-е. М., «Наука», 1976.
% 3] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ 123
Поэтому для рассматриваемой задачи справедливы формулы вида
u = U*f(±, -тЛ=-\, C.3)
v =
C.4)
Покажем теперь, что вследствие особенностей уравнений C.1)
первый параметр у/х в формулах C.3) и C.4) несуществен. Для
этого сделаем преобразование переменных:
" г^ь C.5)
где I есть некоторая постоянная, большая нуля. Если мы припи-
припишем постоянной I размерность длины, то величины ?, ц, их, v1
можно рассматривать как безразмерные.
После замены переменных по формулам C.5) уравнения C.1)
примут вид
vx-
дц
&t\
to?
¦ = 0.
C.6)
C.7)
Граничные условия C.2) в новых переменных примут вид
при ?>0, т] = 0 uL = vx = 0;
ПрИ Т] = + ОО U]. = 1.
Уравнения C.6) и граничные условия C.7) можно рассматри-
рассматривать как формулировку задачи о пограничном слое в безразмер-
безразмерном виде. Решение этой задачи не может зависеть от величины
Uol/v = R, которая никак пе фигурирует в уравнении C.6) и гра-
граничных условиях C.7) 1). С другой стороны, общие формулы
C.3) и C.4) показывают, что
11 - ^-\ C.8)
VI-
= ф /—L-
C.9)
х) Это обстоятельство есть свойство уравнений Прандтля C.1). Если при-
применить преобразование C.5) к уравнениям Навье — Стокса, то в результате
получим безразмерные уравнения, содержащие параметр R, вследствие чего
дальнейшие выводы теряют свою справедливость в применении к уравнени-
уравнениям Навье — Стокса.
124 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. Ill
Так как решение не должно зависеть от R, то отсюда следует,
что первый аргумент у/х не может входить в правую часть формул
C.8) и C.9).
Таким образом, мы доказали, что решение поставленной зада-
задачи должно иметь вид 1)
и = UJ
УъУ
V =
Введем теперь новое переменное
У Utt
C.10)
C.11)
VI
i/—
У и0
и положим / (к) = ф' (к). Подставляя ки»в уравнение неразрыв-
неразрывности, выразим функцию Ф (к) через <р (к):
Пользуясь этим равенством, формулы C.10) и C.11) можно напи-
написать в виде
и = С/оФ' (А,), C.10')
V —-
Подставляя полученные выражения для и и v в первое из уравне-
уравнений C.1), для функции ф (к) получим обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение третьего порядка:
2ф'" + фф" = 0. C.12)
Из граничных условий задачи C.2) для искомой функции ф (к),
удовлетворяющей уравнению C.12), получаются следующие гра-
граничные условия:
Ф' @) = Ф @) = 0 и Ф' (оо) = 1. C.13)
Решение нелинейного дифференциального уравнения C.12) при
граничных условиях C.13) может быть получено приближенно 2).
1) Доказательство справедливости формулы C.10) проведено иным спо-
способом в книге: Л о й ц я н с к и и Л. Г., Аэродинамика пограничного слоя.
2' Гостехиздат, 1941, стр. 76.
г, ,»^ ,В 1 а s * u s H-' Grenzschichten in Fliissigkeiten mit Kleiner Reibung.
Z. Math und. Phys., Bd. 56, Ht. 1, 1908, S. 1-37; TopferK., Bemer-
kung zu dem Aufsatz von Blasius «Grenzchichten in Fliissigkeiten mit Kleiner
Reibung». Z. Math. uud. Phys., Bd. 60, 1912, S. 397—398.
§ 31
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ПЛАСТИНКЕ
125
В приближенном способе решения, данном Тепфером, использу-
используется общее свойство решений уравнения C.12), которое заклю-
заключается в следующем.
Если ф0 (к) есть некоторое решение уравнения C.12), то
функция
Ф (к) = аф0 (ак),
где а — любая постоянная, есть также решение уравнения C.12).
Непосредственной проверкой легко убедиться в справедливости
этого свойства.
В качестве исходного решения ф0 (к) возьмем решение уравне-
уравнения C.12), удовлетворяющее граничным условиям
Фо(О) = ф'в(О) = 0иф„@) = 1.
Функцию ф0 (к) можно построить обычными приближенными
методами. В результате приближенного решения можно вычислить
предел
lim фо (к) = к.
Численные вычисления дают к = 2,0854. Решение уравне-
уравнения C.12), представляемое формулой
Ф {к) = а''ф0 (а),
удовлетворяет граничным условиям
ф @) = ф' @) = 0 и ср" @) = а,
причем
lim ф' (к) = к-а*'\
Отсюда ясно, что для получения искомого решения достаточно
положить:
а =-4т-= 0,332.
к 2
Определив а = ф" @), с помощью формулы C.10') леко най-
найдем сопротивление трения, испытываемое пластинкой.
На пластинке для напряжения трения т имеем:
^?L = о,зз2
C.14)
Пользуясь этим, вычислим сопротивление W участка пластин-
пластинки шириной Ъ и длиной I:
W = Ъ \ х dx = 0,664 Ъ
C.15)
126 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
Напряжение трения т и сопротивление W оказались пропор-
пропорциональными полуторной степени скорости обтекания.
Из соотношения C.15) для коэффициента трения cf получается
следующая формула:
2W \ ,398
С1 =
?ыиг0 V*
где
Данные экспериментов х) с плоскими гладкими пластинками
хорошо согласуются с найденным законом распределения скорости
и сопротивления при ламинарном режиме обтекания, характери-
характеризующемся небольшими значениями числа Рейнольдса:
ил
<3-106.
При больших значениях числа Рейнольдса рассмотренное выше
ламинарное установившееся движение неустойчиво. Возникает
турбулентное движение, изменяющее существенным образом зако-
законы сопротивления и распределения скоростей вблизи пластинки.
§ 4. Изотропные турбулентные движения
несжимаемой жидкости
1. Осреднение турбулентных движений. Многие движения
жидкости, наблюдающиеся в природе, и большинство движений,
с которыми мы имеем дело в технике, характеризуются наличием
беспорядочного неустановившегося движения жидкости, нала-
налагающегося на основное движение жидкости, которое можно пред-
представить себе как некоторое статистически среднее движение.
Движения жидкости такого рода называются турбулентными.
При турбулентном движении жидкости скорость, давление
ж другие величины в каждой точке потока претерпевают нерегу-
нерегулярные пульсирующие изменения около некоторых средних зна-
значений. Поэтому для исследования турбулентных потоков воз-
возможно целесообразно использовать понятия теории вероятности;
в этом случае мгновенные значения механических характеристик
рассматриваются как случайные величины, а средние значения
определяются как математические ожидания2). Чаще, однако,
1) Hanscn M., Die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht
an einer eingetauchten Platte. ZAMM, Bd. 8, Ht 3, 1928, S. 185 — 199, Fage,
ARC, R & M, № 1580, 1934.
2) См., например, Миллионщиков М. Д., Вырождение однород-
однородной изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости. ДАН
СССР, т. 22, № 5, 1939.
4]
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
127
средние значения определяются как обычные средние по времени.
Промежутки времени, за которые производится осреднение,
должны быть достаточно большими по сравнению со временем
отдельных пульсаций и должны быть малыми по сравнению со
временем заметного изменения средних величин, если осреднешюе
движение нестационарно *).
Средние значения давлений, проекций скорости, произведений
проекций пульсаций скорости, взятых в одной и той же точке
и in в различных соседних точках (так называемые моменты связи
для скорости), и т. п. зависят в сильной степени от наличия тур-
турбулентного перемешивания, которое способствует выравниванию
и сглаживанию изменения средних величии в зависимости от коор-
координат точек пространства.
Опыт показывает, что ламинарные установившиеся движения
жидкости при больших значениях числа Рейнольдса, т. е. при
больших скоростях и больших масштабах, становятся неустой-
неустойчивыми и переходят в неустановившиеся турбулентные движения,
которые в среднем в ряде случаев могут быть установившимися
движениями.
В современной гидромеханике и аэродинамике основные и
насущные проблемы движения жидкости в ограниченных про-
пространствах и сопротивления при движении тел в жидкости тесно
связаны с исследованием турбулентных потоков.
Все теоретические исследования движения вязкой жидкости
исходят из предпосылки о справедливости уравнений Навье —
Стокса для истинного неустановившегося пульсирующего дви-
движения. Однако ввиду крайней запутанности, извилистости и слож-
сложности траекторий частиц жидкости при турбулентном движении
и, по-видимому, вообще всех основных функциональных связей
получение решения уравнений Навье — Стокса для таких движе-
движений представляет собой крайне громоздкую и сложную задачу,
которую можно сравнить с задачей об описании движения отдель-
отдельных молекул большого объема газа. Поэтому подобно тому, как
поступают в кинетической теории газов, в гидромеханике основ-
основные задачи о турбулентных движениях жидкости ставятся как
задачи о разыскании функциональных соотношений между сред-
средними величинами.
Уравнения движения для средних величии можно получить
путем осреднения уравнений движения для величин, описывающих
мгновенное состояние движения. Ввиду нелинейности уравнений
движения после осреднения мы получаем большее число неиз-
неизвестных, чем число уравнений, так как средние значения нели-
нелинейных членов, например произведения двух или нескольких
х) Об осреднении см. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А. и Р о з е Н. В.,
Теоретическая гидромеханика, ч. II. М., Физматгиз, 1963.
128 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
величин, представляют собой новые неизвестные 1). Таким образом,
при осреднении уравнений Навье — Стокса для несжимаемой
жидкости2), помимо средних значений3), для проекций скорости
п1, ц2> "з необходимо вводить еще в рассмотрение средние зна-
значения произведений utu; (i, к = 1, 2, 3).
Следовательно, для математического изучения осредненных тур-
турбулентных движений одних уравнений гидромеханики, достаточ-
достаточных для изучения истинных движений, недостаточно. Поэтому
полное теоретическое исследование осредненных турбулентных
движений возможно только на основании некоторых дополни-
дополнительных гипотез, справедливость которых в конечном счете может
быть установлена только опытом4).
Содержание ряда работ по исследованию турбулентных дви-
движений сводится к изучению справедливости различных, более
или менее вероятных, простых и естественных гипотез, которые
можно проверить опытно и которые позволят поставить и решать
теоретически основные задачи о турбулентном движении жидкости.
В настоящее время еще не существует общей математической
постановки задачи о произвольных осредненных турбулентных
движениях и, вообще, формулировки математических реологи-
реологических задач об осредненных турбулентных движениях жидкостей
и газов оказываются различными, и они приспособлены к отдель-
отдельным, довольно ограниченным классам задач.
Методы теории размерности и соображения о подобии движе-
движений много раз использовались как основные методы исследования
турбулентных движений жидкости.
2. Свойства однородности и изотропности. Рассмотрим турбу-
турбулентное движение вязкой жидкости, заполняющей все простран-
пространство 8).
Состояние движения в каждый момент времени t определяется
начальными возмущениями (возмущениями жидкости в момент
t = 0) и свойствами инерции и вязкости жидкости, т. е. величи-
величинами р и |i.
Возьмем систему кинематически подобных начальных возму-
возмущений. Всякое отдельное возмущённое состояние можно опреде-
х) Более подробно об этом см. Keller L., Ueber die Aufstellung eines
Systems von Charakteristiken der atmospharishen Turbulenz. Ж. геофиз. и
метеорол., т. 2, № 3—4, 1925, стр. 275—290.
2) Предположение о несжимаемости жидкости мы сохраним во всех даль-
дальнейших рассуждениях.
3) По принятому обычаю мы будем обозначать средние значения величии
буквами с чертой наверху.
4) Мы предполагаем, что речь идет о формулировке математической зада-
задачи с конечным числом неизвестных.
5) Все последующее можно относить к движению жидкости в ограничен-
ограниченном пространстве или в конечных объемах жидкости, если допустимо пренеб-
пренебречь влиянием границ.
§4]
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
129
лить заданием масштабов для длины и для времени, указав для
этого некоторую характерную скорость и0 и некоторую характер-
характерную величину 10, имеющую размерность длины.
Следовательно, турбулентное состояние движения жидкости
для системы кинематически подобных начальных" возмущений
определится параметрами
где хх, ж2, х3 суть координаты точек пространства *¦).
Полученная таким образом совокупность турбулентных дви-
движений содержит движения, динамически не подобные. Для по-
подобия двух турбулентных движений необходимо и достаточно,
чтобы для обоих движений число Рейнольдса имело одинаковое
значение:
Момент времени и координаты точек, соответствующих по-
подобным состояниям, определятся из соотношений
хг\
(i =4,2,3).
Значения и и I определятся функциями вида
м ' 1 ' ' 1 ) '
[Л i(J tQ (q j
иЛ
к
D.1)
Вообще для любой безразмерной механической характеристи-
характеристики, связанной с одной точкой жидкости, будут справедливы фор-
формулы аналогичного вида. Помимо указанных параметров, эти
функции зависят еще от безразмерных параметров, определяющих
законы распределения начальных возмущений.
При изучении турбулентных движений приходится рассматри-
рассматривать характеристики, зависящие от состояния движения в двух
или в нескольких точках; эти характеристики могут зависеть
от координат нескольких точек. Например, средние "значения
произведений проекций скорости в т точках Мх (х[, х'г, ха),
Мъ (х{, х"г, Жз), . . ., Мт (х™, х™, я™) равны
Ms, . . ., Md) =
(къ к2, . . ., It
щ, (Мг)щ, (Ms)
n = i, 2, 3)
d) D.2)
х) Системы координат расположены относительно распределения началь-
начальных возмущений подобно.
130
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
и образуют тензор, компоненты которого для системы подобных
начальных возмущений зависят еще от Зпг координат х\ (i = 1,
2, 3; к = 1, 2, . . ., т). Индексы г, s, . . ., d представляют собой
некоторую определенную последовательность из номеров 1, 2, ...
. . ., т (т <^ п). В общем случае величины т зависят существенно
от всех координат.
Турбулентный поток называется однородным, если все средние
величины в каждой точке не зависят от положения точки, а сред-
средние значения для величин, зависящих от нескольких точек, зави-
зависят только от их относительного расположения, т. е. только от
разностей координат xf — х\. В однородном турбулентном поле
скоростей функции D.1) не зависят от xjlo, x2/l0, x3fl0. Осреднен-
ные характеристики движения жидкости вблизи любых двух
точек одинаковы. Очевидно, что в случае однородного турбулент-
турбулентного потока начальные возмущения должны обладать некоторыми
свойствами равномерности распределения возмущений по объему
жидкости.
Однородный турбулентный поток называется изотропным, если
тензоры связи проекций скорости, определенные равенством D.2),
для любых п и т не зависят от ориентации в пространстве много-
многогранника МгМ2 . . . Мт и от перехода к зеркальным изображе-
изображениям этого многогранника относительно координатных плоско-
плоскостей *).
Компоненты тензора связи могут зависеть от положения осей
координат относительно многогранника МгМ2 . . . Мт и от вы-
выбора положительного направления вдоль осей. Для изотропного
турбулентного потока величины т№ . . . ы имеют одинаковое
значение в системах координат, ориентированных одинаково от-
относительно различных положений одного и того же многогранника.
По определению изотропное турбулентное движение обладает
свойством симметрии в среднем. Предполагается, что в течение
достаточно большого промежутка времени, за который произво-
производится осреднение, в каждой точке пространства все направления
скорости равновероятны; это сочетается с допущением о том, что
в каждое мгновение движение жидкости непрерывно и близкие
точки имеют приблизительно одинаковые^скорости.
Однородное изотропное турбулентное движение можно рас-
рассматривать как простейший вид турбулентного движения. Воз-
Возмущенная жидкость, предоставленная самой себе, движется по
инерции; под действием внутренних сил вязкости происходит
диссипация кинетической энергии — движение характеризуется
затуханием, происходит вырождение турбулентных возмущений.
*) Если это условие справедливо только для 2 < re < JV, 2 < т < М,
где iV и М — некоторые целые числа, то такой поток можно рассматривать
как приближенно изотропный.
4]
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
131
При изучении изотропной турбулентности основная задача зак-
заключается в определении законов затухания *).
В общем случае турбулентные движения характеризуются
выравниванием—диффузией—возмущений. Изотропное турбулент-
турбулентное движение можно рассматривать в ряде случаев как своего рода
предельное турбулентное движение, подобно тому как неустано-
неустановившееся течение часто можно приближенно заменять устано-
установившимся предельным движением.
Как показывают опыты, турбулентные движения воздуха,
возникающие позади быстро продвигающихся мелкоячеистых
решеток, на некоторых неблизких и не очень далеких расстояниях
от решеток в области слабого влияния границ потока, практиче-
практически можно рассматривать как однородные изотропные турбулент-
турбулентные движения. К этому же случаю приводится также турбулент-
турбулентное движение воздуха, продуваемого через неподвижную решетку,
если добавить ко всой системе трансляцию с постоянной ско-
скоростью. С такой проблемой мы сталкиваемся при исследовании
турбулентности в аэродинамических трубах.
3. Свойства симметрии тензоров моментов связи скоростей.
Допущение об изотропности влечет за собой ряд соотношений
между компонентами тензора тк к . ..ft .Например, если компо-
пенты тензора хк Л ... к образованы как средние значения для
проекций скорости одной и той же точки Мх = М2 = . . . = Мт,
то очевидно, что при п нечетном имеем
При п четном не равны нулю только те компоненты, в которых
каждая проекция скорости встречается в четной степени. В част-
частности, при п = 1 имеем
при п = 2 имеем
щ = и2 = и3 = 0;
2 2 1 ~п
= U2 = Uo = -5- О ,
D.3)
при п = 3 все компоненты равны нулю и т. д.
Если точки Мх, Мг, . . ., Мт различны или мы имеем всего
две точки, то в этом случае будут иметь место некоторые условия
симметрии, причем в случае только двух точек тензор связи зави-
зависит только от взаимного расстояния г рассматриваемых точек.
Компоненты т^- к . ^ зависят от г и от ориентации осей коор-
координат относительно отрезка М1М2-
J) В настоящее время вопрос о существовании и о возможных различных
видах изотропного турбулентного движения вязкой жидкости теоретически
шцо не разобран.]
132 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
Легко усмотреть справедливость следующих соотношений,
вытекающих из изотропности движения:
щ (MJuj (М2) = щ (Mjuj {Mx) (i = 1, 2, 3; / = 1, 2, 3). D.4)
Возьмем точку Мх в начале координат, а точку Мг на оси хг;
тогда будем иметь
Тц = Ьа ф 0, т22 = т33 = Ь^фО, т12 = т13 - т23 = 0. D.5)
Верхние индексы соответствуют точке Мг, нижние •— точке Мх.
Очевидно, что величины bi и Ь% зависят от з\ и t и являются чет-
четными функциями от ху.
Если точка М2 расположена произвольно относительно осей
координат, то все компоненты т^ легко выразить через Ьа и &?•
Формулы, выражающие xilt через Ьа и Ь", представляют собой
формулы преобразования компонент тензора при переходе от
специальной системы координат, для которой ось хх проходит
через точку Af2, к произвольно заданной системе координат. Эти
формулы имеют вид
= (bi - Ы) iui
kl
D>6)
где ltK суть направляющие^ косинусы осей заданной системы коор-
координат относительно системы специальной.
При г = О имеем
Ь2 = Ь" = 4-»2 = Ь. D.7)
Рассмотрим теперь условия симметрии для тензора связи
третьего порядка. Формулы преобразования компонент тензора
третьего порядка при переходе от одной системы координат
к другой имеют вид
j 2 PvpA
а, р, V
где lsm суть направляющие косинусы новой системы координат.
Возьмем преобразование
= xs
= х3,
сводящееся только к изменению направления оси хг на прямо
противоположное. В этом случае имеем
ltl = —1, hi = ^зз = 1» hm = 0 (« ф ™);
поэтому, если индекс единица встречается среди индексов i, j, к
нечетное число раз, то из формулы D.8) следует
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Пусть точка Мх совпадает с началом координат, а точка М% лежит
на оси хг. Из изотропности следует, что компоненты тензора связи
третьего порядка, образованные для проекций скоростей точек
Мг и М2, не зависят от направления осей х2 и х3.
Отсюда следует, что компоненты, содержащие индексы 2 или 3
нечетное число раз, равны нулю, так как они не могут менять
липки при перемене направления осей х2 или xs.
Таким образом, если точка Af2 лежит на оси хх, то тензор связи
(составленный из двух проекций скорости точки Мх и одной про-
окции скорости точки М2) имеет следующие пять компонент,
по равных нулю:
,d
гП
— "-133 — °dnt
l122 — ЧЗЗ
Т221 ~ Т331 == иПП-
Компоненты связи третьего порядка х) при употреблении любой
системы координат можно выразить через bid, b%n и bnn с помощью
формул D.8). В общем случае вместо переменной х1 необходимо
нзять расстояние между точками М1 и М%, которое в дальнейшем
мы будем обозначать буквой г. С увеличением расстояния между
точками их скорости становятся все более статистически незави-
независимыми, поэтому рассмотренные выше компоненты тензоров связи
скоростей должны стремиться к нулю при неограниченном возра-
возрастании г.
При г = 0 точки Мх и Л/2 совпадают; в этом случае имеем
id in ii d f\
bdd = bdn = pnn = U.
Перемена ролей точек Мх и Мг равносильна изменению направле-
направления осей координат на прямо противоположное; отсюда следует,
что
т1Л (Mlt Mlt Mt) = - т,д (M2, Mt, Mj). D.9)
Ути соотношения в другом виде можно написать так:
id idd
bdd — — bd ,
7,"
bdn
,dn
id т. nn
bnn = — bd ¦
D.10)
l) С помощью общей теории симметрии легко выписать соответствующие
формулы для компонент тензоров моментов четвертого и высшего порядков
и случае изотропной турбулентности, а также и в случаях других условий
симметрии (например, при наличии осевой симметрии и т. п.). См. работу Ло-
хииа В. В. и Седова Л. И., содержащуюся в приложении к курсу Седова Л. И.
(Седов Л. И., Механика сплошной среды, том 1. М., «Наука», 1970, 1973,
1976.)
{34 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
Следовательно, моменты связи bid, b*i и b?n являются нечетными
функциями от переменной хх или переменной г.
Если проекции скоростей пульсации являются регулярными
функциями координат, разлагающимися в ряды Тейлора, то оче-
очевидно, что моменты связи также разлагаются в ряды Тейлора
по г. Ряды Тейлора для моментов второго порядка Ъ% и б? будут
содержать только четные степени г, а ряды для моментов третьего
порядка b%i, Ьпйп и Ъпп — только нечетные степени г.
Покажем, что ряд для bid не содержит члена с первой степе-
степенью г. В самом деле, имеем
= BI@, 0, 0)Ul (г, 0, 0) = и\
Первый член обращается в нуль, так как
г=о
т=о
а и\ (г) = 0 ввиду изотропности турбулентного движения. Итак,
разложение в степенной ряд момента Ь^ц может начинаться с чле-
членов порядка по крайней мере г3.
4. Условия несжимаемости и динамические соотношения.
С помощью операции осреднения из уравнения несжимаемости и
уравнений Навье — Стокса можно установить соотношения меж-
между независимыми компонентами тензоров связи скоростей 1). Из
уравнения несжимаемости получаются следующие соотношения:
Ьпп = Ы+^-?$, D.11)
дг
D.12)
D.13)
В экспериментах моменты связи bd и &я можно измерить непо-
непосредственно и независимо друг от друга. Пользуясь эксперимен-
экспериментальными результатами Симмонса, полученными в аэродинамиче-
аэродинамической трубе, Тейлор показал 2), что опыты очень хорошо подтвер-
подтверждают равенство D.11) (рис. 21).
1) Keller L., Friedmann A., Differentialgleichungen fur die
turbulente Bewegung einer kompressibelen Flussigkeit, In: Proc. 1 st Intern.
Congr. Appl. Mech. A924), 1925, p. 395—405 (русский перевод: Дифферен-
Дифференциальные уравнения турбулентного движения сжимаемой жидкости, в книге:
Фридман А. А., Избранные труды. М., «Наука», 1966, стр. 45—57);
К а г щ a n Tb., Howartb L., On the Statistical Theory of Isotropic
Turbulence. Proc. Roy. Soc, London, A164, № 917, 1938, p. 192—215
(K arm an Th., Coll. Works, v. 3, London, Butterworths, 1956, p. 280—
300).
2) T а у 1 о r G. I., J. Aeronaut. Sci., v. 4, No. 8, 1937.
I 41
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
135
Соотношения D.12) и D.13) показывают, что при малых г сте-
тчшые ряды по г для ЬТ и f%,d Должны начинаться с члена поряд-
порядки но крайней мере г3, так как этим свойством обладает ряд для
Ь'а[- Равенства D.11),' D.12) и D.13) показывают, что определение
1,0,
0,3
0,8
9,7
0,6
0,5
0Л
0,3
0,2
0,1
0
~°B 1 2 3 V f r f
Рис. 21. Опытные данные хорошо подтверждают теоретическую формулу
свяяывающую hi и Ь"
[
\
V
\
\
о Ъп вычислен/) лп формуле
х -^ измерена в вль/тйх
Ч,о I
тензоров связи проекций скоростей второго и третьего порядков
сводится к определению двух функций bd (г, {) и Й™ (г, t). Из
уравнений Навье — Стокса для этих величин получается только
одно уравнение
*d 4 dbd'
эь™
дГ
где v = ц/р. Это уравнение в несколько иной форме для функций
получено Карманом и Хоуартом. Уравнение D.14) в написанном
яиде рассматривалось Л. Г. Лойцянским х).
Умножая уравнение D.14) на г4, получим:
dt
дг
дг
1)Лойцянский Л. Г. Некоторые огповные закономерности
тройного турбулентного потока. Труды ЦАГИ, вып. 440, 1939,
136 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
Предполагая, что при г —*- + оо порядок исчезновения функций
dbd/dr и Ь™ более высокий, чем 1/г4, и что выражение в квадрат-
квадратных скобках обращается в нуль при г = 0, найдем
или
Л =
= const.
D.15)
Существование определяемой таким образом инвариантной
величины Л указано JI. Г. Лойцянским х). Заметим, однако, что
конечность и инвариантность Л получаются как результат пред-
предположения о порядке исчезновения Ьй™ и производной dbd/dr.
Для определения bd и Ь™ одного уравнения D.14) недостаточ-
недостаточно. Переход к моментам связи четвертого и высших порядков
также не дает замкнутой системы уравнений. Уравнение для
моментов третьего порядка содержит моменты четвертого порядка,
следующие уравнения содержат моменты пятого порядка и т. д.
Кроме незамкнутости этих уравнений, мы встречаемся еще
с вопросом о задании начальных условий; поэтому для теорети-
теоретического изучения изотропной турбулентности требуются еще
дополнительные гипотезы механической природы1).
Подобные гипотезы выставлялись Карманом и Хоуартом при
рассмотрении случаев малых и больших значений числа Рей-
нольдса.
5. Заключительная стадия вырождения изотропной турбулент-
турбулентности. Турбулентное движение жидкости затухает, следовательно,
величина Ъ = и\ стремится к нулю при t, стремящемся к беско-
бесконечности.
При очень малых величинах скоростей пульсации компоненты
моментов связи третьего порядка малы по сравнению с компонен-
компонентами моментов связи второго порядка. Это дает основание к прене-
пренебрежению в уравнении D.14) моментами связи третьего порядка.
Заменив в уравнении D.14) правую часть нулем, получим
Для отыскания определенного решения уравнения D.16) необхо-
необходимо знать функцию Ьа (г, 0), дающую начальное распределение
х) Разъяснение этих вопросов, а также результаты, содержащиеся в пп. 5,
7, 8, были опубликованы в первом издании этой книги в 1944 г. Краткое
изложение см, Седов Л, И,, ДАН СССР, т. 42, № 3, 1944.
I
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
137
для момента связи продольных скоростей двух точек. Мы имеем
и ниду получить решение уравнения D.16) для больших значений
времени t. При больших t детали в особенностях функции b\ (г, 0)
должны иметь второстепенное значение, поэтому при исследова-
исследовании асимптотического поведения функции bd (r, t) при t —>¦ -f- оо
начальные условия можно учитывать в некотором упрощен-
упрощенном виде.
Функция Ьа (г, 0), помимо расстояния г, зависит еще от раз-
размерных постоянных, которые обязательно должны быть, так как
размерности bd и г разные.
Допустим теперь, что влияние начального распределения
моментов связи сказывается на асимптотическом поведении Ь$ при
t —>• + оо посредством только одного постоянного множителя А,
имеющего размерность I/TQ. Эта постоянная может характеризо-
характеризовать собой в некотором смысле суммарныо свойства начального
распределения момента связи Ьа- В частности, значение постоян-
постоянной А может быть определено формулой вида
где Ф (r2fvt) есть некоторая функция.
Положим
По предположению, безразмерная величина / (г, t, v) зависит
только от трех размерных параметров г, t и v, поэтому функция
/ (г, t, v) зависит только от комбинации \ = r2ht. Следовательно,
справедлива формула вида
Av
D.17)
В дальнейшем мы будем рассматривать такие движения, для
которых / (оо) =0, а / @) = 1; первое условие соответствует
статистической независимости скоростей двух точек при г —>¦ -f- оо,
второму условию легко удовлетворить выбором численного значе-
значения постоянной А.
Из формулы D.17) при г = 0 имеем
i--?-
D.18)
138 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 1Тп. Ш
Вследствие затухания турбулентного движения должно быть
поэтому, так как / @) = 1, распределение возмущений, опреде-
определяемых формулой D.17), характеризуется нерегулярностью при
t = 0.
Очевидно, что функция
,/ г* \ _ Ц1@,0,0, QMl(r,O,O, ;
'\V«/ и?
представляет собой коэффициент корреляции между проекциями
скоростей двух точек на отрезок, соединяющий эти точки., В рас-
рассматриваемом случае при t = 0 коэффициент корреляции равен
нулю, если /• Ф 0, и единице, если г = 0.
Пользуясь формулой D.17), из уравнения D.16) нолучим
i . 5_\ ,, . _5а_ , _ q
D.19)
где
""" 10
Это уравнение получено Карманом и Хоуартом непосредственно
из допущения, что коэффициент корреляции зависит только от
комбинации r^/vt. Число а является произвольной постоянной,
введенной Карманом.
Решение уравнения D.19) зависит только от постоянной а.
При а = const различие в значениях р и q важно только для
указания размерности постоянной А. Формула D.17) показывает,
что существенна только постоянная Av 2, которая имеет размер-
размерность
„, v ,
Общее решение уравнения D.19) регулярно для всех | ф 0, оо.
Регулярное решение при § = 0, удовлетворяющее условию / @) =
= 1, представляется формулой
1 с? I 2Q
-а .«6-т 4.7.2| S 42-7-9-3! ?+••-. ^-^j
где М (а, 7> ж) есть конфлюэнтная гипергеометрическая функ-
S 4]
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
139
дия 1). Для этого решения при весьма больших значениях
5 —>¦ + оо справедливо асимптотическое разложение
/E) =
40'
-—10а
10а 10а —
1+8 L-s-
3
10аA0а+1)A0а —-9- A0а—-р-
D.21)
где Г есть символ функции гамма Эйлера.
Из формул D.17) и D.21) легко выяснить поведение момента bd
при г -> + оо или при t -> 0. Для всех a ]> 0 справедливо пре-
предельное соотношение
lim
г»
W
Пхгоа
г[-|—к
D.22)
Если
т. е.
10а 2~ = fc,
где & есть целое положительное число, то изучаемое решение урав-
уравнения D.19) приобретает простой конечный вид:
М- "г"
D-)
... + (-!)*
!Л 82
2 J--
к
П этом случае распределение момента bd для t = 0 имеет характер
источника. При г ф 0 и t = 0 имеем 6$ = 0; при г = 0 и ? -*• 0
имеем 6d -> оо.
д) См. Явке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривы-
кривыми. М.—Л., Гостехиздат, 1949.
140 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
Уравнение D.16) можно истолковать как уравнение теплопро-
теплопроводности в пятимерном пространстве при наличии симметрии отно-
сительно начала координат. Решение, соответствующее а — -г
(когда к = 0), можно рассматривать как аналог теплового источ-
источника в пятимерном пространстве х). В этом случае решение имеет
вид
Bit
D.23)
Постоянная Av 2 при а = V4 имеет размерность L2T°>5.
Легко проверить, что рассмотренные выше решения для
а = V4 + 0,1 к,
где к ^> 0 — целое число, могут быть получены из решения D.23),
соответствующего простому источнику, дифференцированием по
времени
Av
дк
gut
D-24)
Отсюда ясно, что эти решения соответствуют временным дипо-
диполям, порядок которых определяется числом к. В этих случаях
характер изменения коэффициента корреляции / (г/|А>?) представ-
представлен на рис. 22.
Нетрудно видеть, что при а = V* параметр Л имеет конечное
значение, отличное от нуля.
На основании формулы D.17) можно написать
Л = \ bjr* dr =
Av
*10а
D.25)
Это равенство показывает, что постоянство во времени Л =/= 0, оо
несовместимо с неравенством а Ф V-i- Из разложения D.21) оче-
очевидно, что при 0 < a < XU имеем Л = оо. При a ]> x/4 имеем
А = 0; в последнем случае / (?) обязательно меняет знак при
изменении | от нуля до бесконечности.
Решения, определяемые формулами D.17) и D.20), дают непре-
непрерывные законы распределения для Ьа (г, t0) при любых а и t0 > 0.
х) См. Лойцянский Л. Г., Некоторые основные закономерности
изотропного турбулентного потока. Труды ЦАГИ, вып. 440, 1939; М и л л и-
о н щ и к о в М. Д., Вырождение однородной изотропной турбулентности
в вязкой несжимаемой жидкости. ДАН СССР, т. 22, № 5, 1939.
4]
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЙ ДВИЖЕНИЯ
141
Очевидно,'что в этих частных случаях, а следовательно, и в общем
случае закон затухания зависит существенным образом от свойств
начальных возмущений. Поэтому для получения асимптотиче-
асимптотических законов затухания с помощью рассмотренных решений
Рис. 22. Коэффициент корреляции для движений типа источника при раз-
различных к.
необходимо еще воспользоваться либо дополнительными гипоте-
гипотезами механического характера, либо опытными данными.
6. Задача о турбулентном движении в аэродинамической тру-
(мч. Как мы уже указывали, исследование изотропной турбулент-
турбулентности связывается с изучением турбулентности, вызываемой на-
направляющими решетками в аэродинамических трубах.
Рассмотрим вопрос о развитии турбулентного движения несжи-
несжимаемой жидкости за решеткой, движущейся поступательно с по-
постоянной скоростью и вдоль оси х. Для простоты примем, что
жидкость беспредельна, а решетка образована двояко-периоди-
двояко-периодической системой конгруэнтных ячеек, сдвинутых друг относитель-
относительно друга в плоскости, перпендикулярной к оси х. Возьмем сово-
совокупность движений] решеток с геометрически фиксированной
формой.
Движение жидкости в плоскости, перпендикулярной к ochjc,
определяется системой параметров
р, |я, и, М, х — и (t — t0),
гдо М ость характерный размер решетки, а х — координата
142 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
рассматриваемой плоскости; постоянная to определяется началом
отсчета для х.
Безразмерные характеристики движения зависят от двухх) па-
параметров:
риМ
м
и
Предположим, что для достаточно больших значений х/М можно
принять, что турбулентное движение изотропно и что в различных
плоскостях, перпендикулярных к оси х, развитие изотропной тур-
турбулентности отличается только по фазе. В этом случае характери-
характеристики турбулентного движения жидкости определяются парамет-
параметрами р, ц, и, М, t.
Коэффициенты корреляции / = Ь%/Ь и h = bT'lb''1 зависят от
безразмерных параметров
риМ ut r2
Формула D.17) получается как следствие допущения, что для
достаточно больших значений параметра utlM этот параметр ста-
становится несущественным.
Из
t — t0
1 1 / t \5a
формулы D.18) вытекает, что —==- = —==¦(—) ; полагая
уЪ уЪо\го/
получим:
Формула D.26) дает закон затухания турбулентных пульсаций
вдоль оси трубы.
На основе ряда экспериментальных данных, полученных
в аэродинамических трубах, Тейлор 2) предложил эмпирическую
формулу вида
м
D.27)
где А и В суть постоянные.
х) В опытах с турбулентными движениями жидкости за решетками по-
поток не беспределен, поэтому на некоторых характеристиках движения жид-
жидкостей могут сказаться, различным образом, форма канала трубы или струи,
в частности, через их поперечный размер L и соответственно через число
p«L/[x. :
2) Т а у 1 о г G. I., Statistical Theory of Turbulence, HI—V. Proc. Roy.
Soc. London, A151, №. 873, 1935, p. 421—478; A156, №. 888, 1936, p. 307—
317 (см. также: Taylor G. I., The Scientific Papers, v. 2. Cambridge,
Cambridge Univ. Press, 1960, p. 288—335, 356—364).
8 43
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
143
Для согласования формул D.26) и D.27) необходимо положить
а = V5- При а = V5 имеем
[А\~^] = L*.
7. Турбулентные движения с большими пульсациями. Если
параметр utiM несуществен, то коэффициенты корреляции сохра-
сохраняют постоянное значение при
Влияние времени сводится к изменению масштаба для г.
В рассмотренных решениях измоненис масштаба определяется
соотношением
D.28)
Из формулы D.28) следует, что при х = const, т. е. в фиксирован-
фиксированной точке относительно решетки, масштаб I постоянен во времени.
Вместе с тем формула D.28) показывает, что этот масштаб зависит
от скорости и.
В цитированной работе Тейлор приводит некоторые опытные
данные, которые не подтверждают последнего вывода. Это обстоя-
обстоятельство привело к необходимости усовершенствования и видоиз-
видоизменения теории применительно к случаю больших пульсаций.
При больших пульсациях основное значение приобретает обмен
количествами движения между перемешивающимися массами жид-
жидкости. В этих процессах главную роль играет свойство инерции
жидкости.
Свойство вязкости играет большую роль в развитии движе-
движений весьма малых пульсаций, в которых осуществляется основной
процесс диссипации кинетической энергии. Имея в виду изу-
изучение больших пульсаций, допустим, следуя Карману и Хоуарту,
что для достаточно больших значений г справедливы форму-
формулы вида
D.29)
D.30)
где I есть некоторая линейная величина, которая может зависеть
от нремени и от постоянных параметров, определяющих изот-
144 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл.'Ш
ропное турбулентное движение х). Формулы D.29) и D.30) по-
показывают, что влияние времени на коэффициенты корреляции
сводится к изменению масштаба для расстояния I. Свойство вяз-
вязкости на явление диссипации энергии влияет неявно через вели-
величины Ь и I.
Величине I мы не будем придавать конкретного геометрическо-
геометрического или механического смысла. Определение I можно рассматривать
как дополнительную гипотезу. В частности, если допустить, что
инвариант Л Ф 0, оо, т. е. существует соответствующий интеграл
и удовлетворяются условия, сформулированные на стр. 136,
то это дает зависимость между I и Ъ. В самом деле,
о о
Отсюда находим
г = а(А.)'\ ^ D.31)
где а есть постоянная. Если еще принять, что I = у vt, что соот-
соответствует вышерассмотренному решению для малых пульсаций,
то мы получим сразу закон затухания, соответствующий а = Vv
*) Дальнейшие выводы, опубликованные еще в 1944 году в первом изда-
издании этой книги (см. также Седов J1. И., ДАН СССР, т. 42, № 3, 1944), опи-
опираются существенным образом на сформулированные выше предположения
(только для двухточечных моментов второго и третьего порядков, см. сноску
на стр. 130) об однородности и изотропии турбулентного движения несжимае-
несжимаемой жидкости с вытекающим отсюда уравнением D.14) и еще только на до-
допущения, заключенные в формулах D.29) и D.30). В течение тридцати лет
вопрос о согласовании с опытами гипотез D.29) и D.30) оставался открытым.
Неоднократно высказывались сомнения о допустимости этих гипотез для
описания результатов опытов. В последнее время А. И. Корнеевым после
кропотливой обработки опубликованных данных опытов показано, что пред-
предположения D.29) и D.30) при соответствующем выборе постоянных, возни-
возникающих в процессе математического решения задачи, хорошо отвечают изме-
измерениям в опытах не только качественно, но и количественно. См. К о р -
н е е в А. И., Прикл. матем. и мех., т. 37, вып. 5, 1973, стр. 864—881 и дис-
диссертацию А. И. Корнеева, защищенную в 1974 году в МГУ.
В цитированных работах А. И. Корнеев изучил также аналогичные
асимптотические законы затухания однородной изотропной турбулентности
при более общих допущениях — гипотезах следующего вида:
выполняющихся только в некотором интервале 0 ^ %i ^ r/l ^ %2 =С °°> где
%i и %2 — некоторые предельные величины. Эти более общие допущения сов-
совпадают в этом интервале с D.29) и D.30), если bilb1 = const и Ь31Ъ1 = const.
А. И. Корнеев подчеркнул, что дальнейшая теория в значительной своей
части сохраняет свое значение, если ослабить гипотезы D.29) и D.30) усло-
условием об их выполнимости только в интервале 0 ^ %i ^ % <J %2 ^» °°*
4]
ИЗОТРОПНЫЕ TVP-БУЛЁНТНЫЁ ДВИЖЕНИЙ
145
На основании формул D.29) и D.30) уравнение D.14) дает
4/i (х) 1 ,, , ч 1 dl , 1 ,, ч I db
v *} "/ \Л/ ,1/, j* Г о / \Л/ т3/» /7/
v /,„/..ч , 4/' (х)
н
Ъ1'Ч
гею-
D.32)
Этому соотношению можно удовлетворить с помощью различных
допущений. Следуя Карману и Хоуарту, рассмотрим движения,
соответствующие большим значениям числа Рейнольдса jAftZ/v,
и поэтому пренебрежем правой частью уравнения D.32). Тогда
получим
h'
где
4/t
X
1
1
1
2
dt
dl
Xf'kc -
1 1 /
dt
D.33)
D.34)
D.35)
Безразмерные величины Arc и с не зависят от %. Из уравнения D.33)
и из общих свойств функции / (у) следует, что величины кс и с
являются постоянными.
Интегрируя уравнения D.34) и D.35), получим
J_- ( ь" U
/0 ^ ь
При А; > — V2 имеем L)
D.36)
где через ?0 обозначен момент времени, которому соответствуют
значения 10 и Ьо.
Если к полученным формулам D.37) добавить предположение,
что существует инвариант Л Ф 0, то из формулы D.31) следует,
что к = V5. Подставляя к = х/6 в формулы D.37), получим резуль-
результаты А. Н. Колмогорова 2)
г \-»»/т
1 _/*о±!\ш/»
¦г-
D.37')
х) Условие к ^ — V2 должно удовлетворяться для того, чтобы средняя
иеличина скорости турбулентного движения не обращалась в нуль для неко-
некоторого конечного момента времени.
2) Колмогоров А. Н.,К вырождению изотропной турбулентности
и несжимаемой вязкой жидкости. ДАН СССР, т. 31, № 6, 1941.
146 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ (Тп. Ш
найденные им с помощью ряда допущений, в том числе допущений,
выражаемых равенствами D.29) и D.31) х).
В предыдущем выводе показатель к произволен. Если принять,
что для случая аэродинамической трубы масштаб I имеет постоян-
постоянное значение, пропорциональное размерам ячеек решетки М,
т. е. I = const -М, то это дает к = 0 и
Получилась формула, совпадающая с формулой Тейлора D.27).
8. Законы вырождения турбулентности с учетом моментов
третьего порядка. Законы развития турбулентности, представляе-
представляемые формулами D.37), получены с помощью дополнительного
допущения Кармана и Хоуарта о том, что правую часть в уравне-
уравнении D.32) можно заменить нулем. Если приравнять правую часть
уравнения D.32) нулю, то это дает следующее уравнение для
функции f{y):
Л = О,
' ^ 1
которое не имеет решений, удовлетворяющих условию / @) = 1,
за исключением решения / (%) = 1, которое не удовлетворяет
физическому условию / (оо) = 0.
Следовательно, решение Кармана и Хоуарта является прибли-
приближенным, вместе с тем оно не дает соотношений для определения
функций / (%) и /г (%). Поэтому это решение нельзя считать удовле-
удовлетворительным.
Далее, мы найдем все физически допустимые точные решения
уравнения D.14) при сохранении только основных предположений
Кармана и Хоуарта, которые заключаются в следующих двух фор-
формулах:
D-29)
D.30)
где I и Ъ суть некоторые функции от времени.
Вследствие этих предположений уравнение D.14) приводится
к соотношению D.32). Рассмотрим теперь более подробно точные
*) В п. 8 будет показано, что предположения D.29), D.30) и D.31) про-
противоречивы, если h ф 0. а если h = 0, то получаются законы, отличные от
D.37%
§ 4]
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
147
решения этого уравнения *). Дифференцируя уравнение D.32) по
времени при постоянном %, получим
2 %! W It \ b dt ) 2 ' W dt \ ь31' dt ) -]
(J4s)M)°- D38)
В связи с соотношением D.38) проанализируем следующие воз-
возможные случаи:
Г. Функции xf (%), f (у) и /" (х) + 4/' [%I% линейно незави-
независимые.
2°. Существует только одно независимое линейное соотношение
с постоянными коэффициентами вида
cs(f"
0,
D.39)
в котором не все clf c2, с3 равны нулю.
3°. Между функциями
X/', /. /" + -^
существует два линейно независимых соотношения с постоян-
постоянными коэффициентами. Так как / ф. 0, то эти соотношения всегда
можно представить в виде
Нетрудно видеть, что в последнем случае должно быть
с[ = с'2 = 0 и / = const.
Это решение не представляет физического интереса, поэтому
третий случай отпадает.
В первом случае все коэффициенты в соотношении D.38) равны
нулю, поэтому
1 dl
dt
тХ lit ~~ C' i/Ti ~ mr ' D.40)
где к, с и m суть некоторые постоянные числа. Система соотноше-
1) В одно уравнение D.14) и соответственно в уравнение D.32), получае-
получаемое как следствие, входят несколько искомых функций. На первый взгляд
нельзя определить несколько функций только из одного уравнения. Однако
подробное вникновение в математическую структуру этого уравнения позво-
позволяет проанализировать все возможные случаи и с точностью до одной суще-
существенной постоянной а (см. ниже) найти все допустимые решения рассматри-
иаомой проблемы. Это обстоятельство и соответствующий математический
ппализ задачи ускользали от внимания многих авторов при построении тео-
теории и обработке экспериментов турбулентных движений жидкости.
148 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
ний D.40) дает
= 4-- с4-41)
Следовательно, получается вполне определенный закон для
изменения I и Ъ в зависимости от времени. Этот закон г) совпадает
с законом D.37) при к = 112. В этом случае для двух функций
/ (у), h (%) получается только одно уравнение.
Исследуем теперь второй случай. Легко видеть, что в соотно-
соотношении D.39) коэффициент ся должен быть отличным от нуля, так
как иначе для функции / (%) получается уравнение
cj + Wf' = 0,
которое при сх Ф 0 не имеет решения, удовлетворяющего усло-
условию / @) = 1, а при сх = 0 получаем /' = 0 или / = const ф 0,
что исключается условием / (оо) = 0.
Так как с3 Ф 0, то соотношение D.39) можно представить
в виде
^Г+^Х/' + ^/^О, D.42)
где аг и Oj суть постоянные коэффициенты.
Из уравнений D.38) и D.42) находим
1 ft\_d 1_Л
Тv [ dt уь dt
ai
dt
1
J
1 Г d I db
v ]_0
Так как функции yf и / линейно независимы, то очевидно, что вы-
выражения в квадратных скобках обращаются в нуль, отсюда сле-
следует:
_ а * + п D.43)
1 dl
I db
где р п q суть постоянные интегрирования.
Подставляя соотношения D.43) в D.32) и приняв во внимание
уравнение D.12), найдем уравнение для определения h (%) в виде
b' + f^ + / 0 D44>
Ран е мы установили, что разложение функции bT'lb3'2 = h
по степеням г/1 = % должно начинаться с членов порядка %3, по-
поэтому из уравнения D.44) следует, что q = 0.
х) Очевидно, что в этом случае величина Л не может быть конечным и не
равным нулю инвариантом, так как в противном случае равенство D.31)
противоречило бы равенству D.41).
§ 4]
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
149
Таким образом, в рассматриваемом случае 2° мы нашли полную
систему уравнений D.42), D.43) и D.44) для определения h и /
в функции от переменной % и величин I и Ъ в функции от времени t.
Эти уравнения содержат три отвлеченные постоянные аи а2
и р. Нетрудно усмотреть, что одна из этих постоянных несуще-
несущественна. В самом деле, преобразование % = Х%', где X есть некото-
некоторая постоянная, приводит к умножению еще не определенного
масштаба I на постоянную 1А, (I = V1%). Произведя в уравнениях
D.42), D.43) и D.44) это преобразование, получим те же уравне-
уравнения, но с преобразованными значениями а\, а'г и q', которые опре-
определяются формулами
% = ахК2, а'ъ = а2^2, р' = рХ.
Фиксирование определенного значения для ах Ф 0 или для
а2 Ф 0 равносильно выбору определенного масштаба для I.
На основании второго уравнения D.43) из условия затухания
турбулентных пульсаций (Ъ -у 0 при t —у оо) следует, что а2 ]> 0.
Далее, в качестве физического условия мы примем также, что
I -> + оо при t -*¦ оо или при Ъ -*- 0.
Уравнения D.43) можно проинтегрировать, после чего для ill
придем к соотношениям
при
и
при
а2 - 2аг ф О
а2— 2^ =
D.45)
D.46)
где с и сх — постоянные интегрирования.
Из формулыD.45), неравенства а^^>0 и из условия I —>- оо при
6 -> 0 следует, что ах ^> 0, если с Ф 0.
Рассмотрим еще случай, когда с = 0 и % = 0. При ах = 0
уравнение D.42) имеет единственное решение, удовлетворяющее
условию / @) = 1.
Это решение легко определяется и имеет вид
sin
«2 V «г
ту т-
Полученная функция при возрастании % ¦— r/Z колеблется,
имеет бесконечное число нулей и медленно убывает как 1/%2.
Основываясь на этом, дальше мы исключим случай aL = 0.
150
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
Пользуясь свободой выбвра параметра ^
тогда уравнение D.42) представится в виде
положим а
= 1/
2;
D.47)
Уравнение D.47) после обозначения а,
менного
!Г = Х =1
= 10а ]> 0 и замены пере-
перепереходит в уравнение D.19), которое мы исследовали раньше при
изучении затухания весьма малых пульсаций. Следовательно,
для / (?) мы получаем то же решение, как и в случае малых пуль-
пульсаций:
D.48)
но теперь I ф |А#и h Ф 0. Следовательно, учет моментов третье-
третьего порядка оказывает влияние на коэффициент корреляции f = bjb
только через изменение зависимости от времени линейного мас-
масштаба I.
Функцию h (%) на основании уравнения D.44) {q = 0) легко
выразить через функцию /. Интегрируя уравнение D.44) и прини-
принимая во внимание условие h — 0 при % = 0, получим
D.49)
Если а = lU и h Ф 0, то очевидно, что функция h (%) исчезает
при 5С —>- оо как 1/%4; поэтому момент третьего порядка йп при
г -> + оо имеет порядок 1/г4 и, следовательно, условия, необхо-
необходимые для инвариантности Л (см. стр. 136), не удовлетворяются.
Таким образом, при а < V4 имеем Л = оо, при а ]> V4 имеем
Л = 0, а при а = х/4 и р ф 0 (отличны от нуля моменты третьего
порядка) величина Л конечна и отлична от нуля, но не является
инвариантом. В самом деле, из уравнений D.14') и D.49) при
а = 1/i получим
Если р = 0, то интеграл Л конечен и инвариантен, но в этом
случае моменты третьего порядка равны нулю.
Таким образом, если моменты третьего порядка отличны от
нуля и выполняются гипотезы, выражаемые равенствами D.29)
и D.30), то либо интеграл Л равен нулю или бесконечности и,
S4]
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРЁУЛЕНТНЫЁ ДВИЖЕНИЯ
151
следовательно, непригоден для определения масштабов согласно
равенству D.31), либо при а = V4 величина А изменяется с тече-
течением времени и поэтому не может рассматриваться в качестве
характерной постоянной.
Умножая уравнение D.47) на %id% и интегрируя, найдем
X / d% = — 4у4/ — 20а \ % f d% = — i% f — 4<x% / 4- 4а
о о
Пользуясь этим соотношением при а Ф V4, получим
fe= 4а-1 I/'00 +ах/(X)]-
D.50)
Для определения I и Ъ в функции от времени мы имеем уравнения
D.43), которые при ау == 1/г, а2 = 10а и д> = 0 приобретают вид
1 dl I v |^ Z rfb
dt
D.51)
Нетрудно видеть, что в частном случае, когда р = 0, система
уравнений D.51) и D.47) имеет решение
которое соответствует решению Кармана и Хоуарта для малых
пульсаций.
Введем теперь фигурирующий во многих работах по изотроп-
изотропной турбулентности тейлоровский линейный микромасштаб \ (t)
по формуле
J__ dif(r, t) I
A,2 ~ dr* |r=o '
С помощью формулы D.48) для / (?) (% = г2/Р), содержащей
известную конфлюэнтную функцию, легко вывести следующую
связь между I и ^,:
I = %fa. D.52)
Теперь рассмотрим случай, когда р ф 0, и перепишем формулы
D.45) и D.46) с использованием вместо I масштаба К и следующих
обозначений:
К* =
->о,
\р\Уъ*
Ъ_ _ 1 —10а
Ь* ' V ~ 20а
D.53)
причем величина Ь* ^> 0 при а Ф 0, 1 определяется с помощью
152 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ tai. Ill
сA0а —1)
формулы D.45) равенством
(а8 —2ах)
2р
= 6*
при а = 0,1 постоянная Ь* связана с постоянной С\ в формуле
D.46) формулой
сг = In Ъ*.
Вместо постоянных рис при а ф 0,1 или р и сх при а = 0,1
предлагаются масштабные постоянные X* с размерностью длины
и Ъ* с размерностью скорости.
Из D.45) можно написать следующие соотношения:
при а Ф 0,1, р A0а — 1) > 0, с > 0, 0 < w < оо (это семейство
решений обозначим через а+)
[1 + иР]; D.54)
при а ф 0,1, с A0а — 1) > 0, р < 0, 0 < w < 1 (это семей-
семейство решений обозначим через а_)
_Х*_ __2_
X ~ A -
а из D.46) найдем при а = 0,1, р < 0, 0 < w < 1
Здесь выписаны связи между Я, и и? с учетом условий X* ]> 0,
^ ^> 0 и А, —>¦ оо при w —*¦ 0. Этим устанавливаются неравенства
р A0а — 1) > 0 в D.54) и р < 0 в D.56) и D.55) и фиксируются
указанные диапазоны возможного изменения для w = b/b*.
С помощью второго из уравнений D.51) связь между временем
t и w можно получить в следующих формах:
в случае D.54)
т =
в случае D.55)
_ у (t + t*) _ A0g+ — 1J
X**
40а+
X*
2 ~ 40g_ \ 2" t1 ~
и при а = 0,1
т —
v (*+*»)
X*2
= \
D.57)
D.58)
D.59)
S 4]
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
153
Здесь т — безразмерное время, а величина t* — постоянная ин-
интегрирования, имеющая размерность времени. В формулах D.58)
и D.59) значение t* зависит от выбора w0. Для определенности
принято
т. е. w0
, что
И W
w0 определяется уел
dl
dw
определены
10»
rfX
ови
уравнениями
и
или
г».
и;"
dk
dw = l и | -^>
-
И
rfX
= 0
_
W
dX
dt
= ^ =0.
Таким образом, выписанные системы точных решений зависят
от четырех постоянных параметров а (а+ или а_, или а = 0,1),
Ь*, X* и ?*, последние три играют роль масштабных постоянных.
Семейство безразмерных функций
^ И ^
зависит только от одного безразмерного параметра a (a+, или a_,
или a = 0,1), согласно D.53) р = ± vA*J^6*. Следовательно,
параметр а и является единственным существенным параметром
для найденных решений. Функции f(r/X) и — h -г-) для обоих со-
меиств при а+ = а_ одинаковы, различие возникает только для
функций
-р-(т, а) и — (т, а).
Рассмотрим еще асимптотические формулы для ЫЪ* и XIX*
при т = v (? -f- i*)/^2 -> оо. Эти формулы для обоих семейств
имеют один и тот же вид:
при а > 0,1
D.60)
X* — '
& [(lQg — 1)U*2 lloa
154 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. Ш
при а < 0,1
А
Х* л~ f ' " ' ¦ ' D.61)
_Ь A0Л— "
6* ~ 40av(i + <*) '
Расчеты по полученным точным и асимптотическим формулам
для a = 0,05; 0,08; 0,1; 0,15; 0,2 приведены на рис. 23—26.
Рис. 23. Графики функции / (г/к), отвечающие формуле D.20), при раз-
разных ос.
0,2
J
ос =0,05
У/
О ( 2 _г
Л
Рис. 24. Графики функции — — ft (r/Х), отвечающие'формуле D.50), при раз-
разных а.
При рациональных а интегралы в формулах D.55) и D.54) вычис-
вычисляются в элементарных функциях. На рис. 25 и 26 пунктиром
§ 41
ИЗОТРОПНЫЙ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДЁИН<ЁНЙЯ
155
представлены в логарифмическом масштабе соответствующие
прямые, отвечающие асимптотическим законам, которые приводят-
приводятся к степенным законам согласно формулам D.57) и D.58). Из этих
графиков видно, что при больших t -> оо выведенные (при мини-
минимальных предположениях, основанных на равенствах D.29) и
D.30)) точные законы вырожде-
вырождения изотропной турбулентности
стремятся к степенным законам.
В данной теории это обстоятель-
обстоятельство является следствием, а не
исходным допущением.
Согласно формулам D.17) и
D.18) при сС>0,1 асимптотические
законы D.60), найденные с уче-
учетом моментов третьего порядка,
получаются такими же, как и в
случае пренебрежения моментами
третьего порядка. Однако если
a <0,l (это обнаруживается ниже
при определении а по опытным
данным), то соответствующие аси-
асимптотические законы D.61) для
ЫЪ* отличаются от законов D.18),
отвечающих равенству нулю мо-
моментов третьего порядка (р = 0).
В цитированной работе А. Й-
Корнеевым показано, что после
применения гипотез типа D.29) и
D.30) к однородной неизотропной
турбулентности полученные выше
законы изменения для I (t) и Ъ (?)сохраняются и в этом случае.
Из формул D.21) и D.49) для / и h при % = г/1 ->- оо легко
получаются следующие асимптотические формулы:
Рис. 25. Графики теоретической
зависимости Ь/Ь* от t при раз-
ных а.
- л {±
и h =
Zap
4а—1
Л( —
20а-1
где
А =
г D— к*)
а Г (z) — гамма-функция Эйлера. Только при а ]> 0,05 имеем
h -*¦ 0 при г/1 -*¦ оо.
Из асимптотических формул для / и h следует, что при инте-
интегрировании этих функций по г от нуля до бесконечности соответ-
156 приложения К Феории движения вязкой Жидкости [Гл. Ш
ствующие интегралы расходятся при а ^0,1- Установленные
выше асимптотические формулы показывают, что для моментов
второго, третьего и, может быть, для моментов высшего порядка
Z
Рис. 26. Графики теоретической зависимости к/к* от t при разных а.
их интегральные преобразования по формулам Фурье не имеют
смысла L). Соответствующие трехмерные интегралы Фурье расхо-
расходятся при а ^ 0,05.
Медленные законы убывания различных моментов при rj-»- oo,
полученные как результаты точного решения, с физической точки
зрения вполне допустимы.
При сравнении теории с опытами в качестве примера изотроп-
изотропной турбулентности рассматривают движения воды или воздуха
за неподвижными двоякопериодическими решетками с квадрат-
квадратными ячейками размерам, через которые протекает возмущенный
поток со средней поступательной скоростью U, перпендикулярной
к средней плоскости решетки. Этот турбулентный поток, строго
говоря, неоднороден в направлении скорости U и неоднороден,
вообще говоря, в направлениях, перпендикулярных к О, за счет
влияния условий на границах поперечных сечений турбулент-
турбулентного потока на стенках трубы или на пограничных слоях, отде-
отделяющих турбулентный поток от внешней среды. Первоначальные .
свойства потока, набегающего на решетку, также могут служить
источником неоднородности и неизотропности турбулентного по-
потока за решеткой.
х) Это замечание, так же как указанное выше замечание о поведении ин-
инварианта Лойцянского, существенно для развиваемых во многих работах тео-
теорий турбулентности, основанных на применении преобразований Фурье.
4]
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
157
Таким образом, для действительных условий в опытах для
турбулентных движений жидкости за решетками имеются^ замет-
заметные отступления от идеальной постановки задачи, принятой в тео-
теории однородных изотропных турбулентных движений безгранич-
безграничной жидкости или газа. Естественно, что эти отступления прояв-
проявляются особенно сильно вблизи самой решетки. Данные опытов
показывают, что при числах Рейнольдса RM = UM/y x- 10
поток можно приближенно рассматривать как изотропный на рас-
расстояниях от решетки х > 20М, а для коэффициентов корреляции
из-за различия по фазе в затухании по х — только при не очень
больших г/1, что может быть особенно существенным для моментов
третьего и высшего порядков. В частности, в опытах х) было уста-
установлено, что в некоторых случаях изучавшейся вырождающейся
турбулентности за решетками нет определенной тенденции к уста-
установлению изотропии. Так, например, в этих опытах было уста-
установлено, что отношение средних значений квадратов продольных
пульсаций к средним значениям поперечных пульсаций скорости
отличается от единицы и составляет 1,3 + 0,2.
К сказанному выше относительно внутренних свойств турбу-
турбулентных потоков следует еще добавить, что измерения в рассмо-
рассмотренных ниже опытах также были связаны со своими погрешно-
погрешностями и, в частности, с возмущениями, вносимыми в изучаемые
потоки измерительными датчиками. Очевидно, что перечисленные
причины возможных несоответствий теории с экспериментами
необходимо учитывать при сопоставлении их результатов.
На первый взгляд кажется, что можно было бы удовлетворить-
удовлетвориться качественным согласованием теории с опытами. Однако ниже
будет показано, что построенная выше теория дает очень хорошее
количественное описание экспериментальных результатов. Это
связано с тем, что исходные гипотезы и полученные теоретические
закономерности применимы не только для выделенного особого
примера — однородной изотропной турбулентности, но и в дру-
других более общих случаях 2).
С деталями подробного сопоставления теории с опытами можно
ознакомиться в цитированной работе А. И. Корнеева, в которой
рассмотрены все опубликованные к 1974 году данные опытов.
Здесь мы проведем сравнение теории только с некоторыми опытами
и приведем соответствующие характерные графики.
Рассмотрим серию опытов Линга, Хуанга и Вена относительно
вырождения турбулентных движений воды за неподвижными и
1) Compte- В е 1 1 о t G., С о г г s i n S., The Use of a Contraction to
Improve the Isotropy of Grid-Generated Turbulence. J. Fluid Mech., v. 25,
.№ 4 1966, p. 657-682. В a t с h e 1 о г G. К., S t e w а г t R. W., Anv-
sotropy of the Spectrum of Turbulence at Small Wave-Number, Quart. J.'Mecn.
Appi: Math., v. 3, № 1, 1950.
2) См. диссертацию и цитированную выше работу А. И. Корнеева.
158 приложения К теории Движения Вязкой жидкости [Гл. Ш
колеблющимися решетками 1). Неподвижные решетки имели квад-
квадратные ячейки с длиной М и были образованы круглыми прути-
прутиками диаметра d, причем в одном случае Mid = 2,8, аМ = 3,56 см
(решетка А), в другом"Mid =
=2,8, а М = 1,78 см (решет-
(решетка В) и в третьем Mid = 5 (ре-
(решетка С). Колеблющаяся ре-
решетка представляла собой ряд
колеблющихся вокруг своих
осей круглых прутиков, к кото-
которым были жестко прикреплены
пластинки (см. рис. 27). Мак-
Максимальная скорость концов
пластинок Vp, колеблющихся
вместе с прутиками, в одном
случае превышала в три, а в
другом в 17 раз среднюю по-
поступательную скорость воды за
решеткой. В этих опытах было
достигнуто хорошее выравнива-
выравнивание по направлениям средних
значений квадратов компонент
скоростей пульсаций. Различия не превышали 5 %.
В приведенной ниже таблице сведены данные опытов и резуль
таты вычислений масштабных постоянных t*, b* и К*. Через еь
и ej, обозначены среднеквадратичные отклонения опытных данных
для Ъ (t) и A (t) от их теоретических значений. Во всех случаях
теоретические кривые, представленные сплошными линиями
на рис. 28, 29 и 30, отвечают одному и тому же универсальному
значению а_ = 0,08. Рассмотрение этих графиков указывает на
очень хорошее согласование теории с опытами. Очевидно, что за-
закон bi/b = / (г/К) подтверждается очень определенно как свой-
свойство самоподобия и количественно совпадает с теоретической
формулой D.48) при а_ = 0,08.
При описании турбулентных движений воздуха, продувавше-
продувавшегося через решетки в опытах Бэтчелора и Таунсенда 2), также
хорошо подтверждается закономерность / (г/К), однако параметр а
для чисел Рейнольдса RM, изменяющихся в пределах от 650 до
Рис. 27. Схема решетки с колеблю-
колеблющимися пластинками, использовав-
использовавшейся для турбулизации потока в
опытах S. С. Ling и С. A. Wan
A972 г.).
!) Ling S. С, Н u a n g Т. Т., Decay of Weak Turbulence. Phys. Fluids,
v. 13, No. 12, 1970, p. 2912—2924; Ling S. C, W a n С A., Decay of Isotro-
pic Turbulence Generated by a Mechanically Agitated Grid. Phys. Fluids, v. 15,
№ 8. 1972, p. 1363-1369.
2)Batchelor G. K., Townsend A. A., Decay of Isotropic Turbu-
Turbulence in the Initial Period. Proc. Roy. Soc. London, A193, № 1035, 1948,
p. 539—558; Decay of Turbulence in the Final Period; там же, А194, № 1039,
1948, p.527-543.
§ '.1
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
159
Наименование
величины
Mjd
U, см/'сек
М, см
t*, сек
W/b*
A,*2/v, сек
еЬ. %
вх. %
Обозначения экс-
экспериментальных
точек на рис. 28—30
А
940
2,8
2,9
3,56
—22,2
15,9
14,3
4,5
—
V
Тип
Неподвижные
В
470
2,8
2,9
1,78
—17,9
20
10,9
8
9
+
С
840
5
2,9
3,18
—11,8
84,7
6,97
1
6
X
решетки
А + В>)
_
—
2,9
—
—19,7
29,4
17,1
3,6
—
А
Колеблющиеся
—=3
2000
5
3,14
6,4
-5,9
33,3
8,12
1
2,5
•
*-«
2000
5
3,14
6,4
1,25
0,445
1,57
2
3,8
О
!) Решетка А на 30 см впереди решетки В; отсчет времени от решетки А.
5620, убывает от а = 0,2 до а = 0,05, а соответствующие решения
переходят от семейства а+ к семейству а_.
0,5
X
Рис. 28. Сравнение расчетной кривой для / от r/Х при а_ = 0,08 (сплошная
линия) с опытными данными S. С. Ling, Т. Т. Huang и С. A. Wan (обозна-
(обозначения экспериментальных точек приведены в таблице).
На рис. 29 и 30 даны теоретические кривые и эксперименталь-
экспериментальные точки для зависимостей -rj- (т) и -yj- (т) по опытам Линга
160
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
•-/¦
-К7
Хуанга и Вена. Эти графики также показывают хорошее
согласие теории и опыта. При больших t эти закономерно-
закономерности переходят в степенные (в логарифмическом масштабе — в
линейные). Если вместо введенной выше масштабной постоянной
t* использовать другое подхо-
I дящее'^значение t0, то соответ-
2 ствующие кривые на рис.
29 и 30 могут стремиться бы-
быстрее к соответствующим аси-
асимптотическим прямым.
Что касается сравнения с
опытом теоретических функ-
функций для коэффициентов кор-
корреляции h и постоянной р,
отвечающих моментам треть-
третьего порядка, то после со-
согласования с опытами най-
найденных выше законов для
/(!.),-?-(т) и-?-(т) такое
соответствие для однород-
однородной изотропной турбулент-
турбулентности не может вызывать
серьезных сомнений; коль
Рис. 29. Сравнение расчетной кривой скоро' есть уверенность, что
для 6/6* от времени при а_ = 0,08 уравнение Кармана — Хоу-
(сплошная линия) с опытными данными й
я г. т.;™ т т Нпяпг и С. a. Wan аРта может быть положено
-г
\
\
А.
S. С. Ling, Т. Т.' Huang и С. A. Wan
(обозначения экспериментальных точек
приведены в таблице).
в основу теории, описываю-
описывающей однородную изотропную
турбулентность, то из уравне-
уравнения Кармана — Хоуарта и указанных выше законов для / (г/К),
-t-j-(t) и -р- (т) легко вывести, что формулы D.30) и D.53) получа-
получаются как следствие. По измерению моментов третьего порядка
в литературе опубликовано очень мало опытных данных. Многие
авторы не измеряли моментов третьего порядка; другие авторы,
и в частности Линг и Хуанг, не публикуют результатов своих
измерений из-за их неточности и ненадежности. Это связано
также с тем, что моменты третьего и высшего порядков зависят
более чувствительно, чем моменты второго порядка, от имеющих
место в опытах нарушений однородности и изотропии турбулент-
турбулентного потока. Только Стюарт и Таунсед *) опубликовали резуль-
*) Stewart R. W., Townsend A. A., Similarity and Selfpreser-
yation in Isotropic Turbulence. Phil. Trans. Roy. Soc, A 243, № 867, 1951,
4]
ИЗОТРОПНЫЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
161
таты своих косвенных измерений величины h (r, f) в 1951 году
(с тех пор не было опубликовано других систематических изме-
измерений для h).
Результаты Стюарта и Таунсенда хорошо подтверждают ка-
качественно, а при малых г и количественно теоретическую универ-
универсальную автомодельную закономерность вида —h (-?-). При этом
Р \ к i
замечательно, что соответствующая величина для л определяется по
данным опытов, а согласно D.53) постояннаяр = + ^Ur-также
X* уь*
T,q—
Рис. 30. Сравнение расчетной кривой для XIX* от времени при а_ = 0,08
(сплошная линия) с опытными данными S. С. Ling, Т. Т. Huang и С.
A. Wan (обозначения экспериментальных точек приведены в таблице).
вычисляется из законов для I (w) и Ь (t). При больших rl% опыт-
опытные данные этих авторов дают некоторые, вообще небольшие,
отклонения от автомодельности. Выше были перечислены возмож-
возможные причины этих отклонений.
Об исследованиях моментов более высокого, чем третий,
порядка нет еще каких-либо систематических экспериментальных
данных. Теоретическое исследование моментов высшего порядка
может быть осуществлено при допущениях о наличии изотропии
только для моментов второго и третьего порядков (см. сноску на
стр. 130), а также и в более узкой постановке задачи о наличии
изотропии в моментах высшего порядка. Гипотезы об автомодель-
автомодельности D.29) и D.30) можно выставлять только для моментов вто-
второго и третьего порядков и рассматривать полученное выше
уравнение.
При возникновении дополнительных проблем, связанных с оп-
определением моментов порядка выше третьего, для устранения
162
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
большого произвола обязательно нужно выставлять дополни-
дополнительные предположения. Это связано с тем, что после фиксирова-
фиксирования моментов второго и третьего порядков последовательное вы-
вычисление моментов высших порядков можно производить из соот-
соответствующих уравнений в частных производных на основании
дополнительных условий. Исходя из полученного решения для
моментов второго и третьего порядков, можно строить различные
теории, опирающиеся на различные гипотезы — условия, для опи-
описания турбулентных движений жидкости и газов, различающиеся
между собой только поведением моментов высших порядков.
В частности, для моментов высших порядков можно применить
допущения об автомодельности, аналогичные гипотезам1) D.29)
и D.30), однако такого рода гипотезы не обязательны.
§ 5. Установившиеся турбулентные движения
В ряде случаев, в частности при движении жидкости в трубах
и в каналах, мы встречаемся с турбулентными движениями, для
которых осредненное движение установившееся; такие потоки
называются установившимися турбулентными потоками.
Рассмотрим задачу об установившемся турбулентном движении
несжимаемой жидкости в неподвижной гладкой бесконечно длин-
длинной цилиндрической круглой трубе.
Предположим, что среднее движение жидкости обладает осевой
симметрией и средние скорости направлены вдоль оси трубы. Из
уравнения несжимаемости следует, что величины средних скоро-
скоростей не зависят от координаты х вдоль оси трубы; по сечению тру-
трубы средняя скорость переменна и зависит от расстояния г рассма-
рассматриваемой точки до центра трубы.
Нетрудно видеть, что характеристики осредненного движения
определяются следующей системой параметров:
р, [I, а, т0 = 2~а!га' г = а~У> E-1)
где а есть радиус трубы, др/дх— среднее значение градиента дав-
давления вдоль трубы, а т0 — напряжение трения на стенках тру-
трубы. Все безразмерные величины являются функциями двух пара-
параметров:
R=-fr-' — = 1-~' ^-Z)
где v# = У"то/р представляет собой так называемую скорость каса-
касательного напряжения трения на стенках трубы. Безразмерные
величины, характеризующие свойства движения в целом, не зави-
зави!) По этому поводу см. работу: Корнеев А. И., Гипотезы Кармана
и степенные законы изменения энергии и линейного масштаба турбулентно-
турбулентности. ПММ, т. 39, вып. 3, 1975.
5]
УСТАНОВИВШИЕСЯ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
163
сят от переменной г и, следовательно, определяются только одним
числом Рейнольдса.
Обозначим через и величину скорости осредненного движения
п через мтах скорость в центре трубы. Из теории размерности выте-
вытекает, что
E.3)
= F R
а — у
E.4)
Величина umax — и, называемая дефектом скорости, характеризу
ет распределение скорости по сечению трубы относительно движе
пия в центре трубы.
Дальше мы будем рассматривать резко выраженные турбулент-
турбулентные движения, что соответствует большим значениям числа Рей-
Рейнольдса.
Распределение скоростей в трубе тесно связано с явлением тур-
турбулентного перемешивания, благодаря которому происходит об-
обмен количеством движения между соседними слоями жидкости.
Выравнивание скоростей, обусловливаемое переносом количеств
движения, определяется свойством инерции жидкости.
С точки зрения кинетической теории материи свойство вязко-
вязкости объясняется наличием хаотического молекулярного движения,
которое способствует выравниванию скоростей наблюдаемого дви-
движения и приводит к преобразованию кинетической энергии наб-
наблюдаемого движения в энергию теплового движения.
Закон сохранения энергии выражается в постоянстве суммы
механической энергии наблюдаемого движения и энергии молеку-
молекулярного движения. Оба вида энергии можно рассматривать как
составляющие различных видов механической энергии. Если пре-
пренебречь внутримолекулярными силами, то свойство вязкости оп-
определяется средними кинематическимихарактеристиками состояния
молекулярного движения и свойством инерции молекул жидкости.
Беспорядочное турбулентное перемешивание по отношению
к осредненному движению аналогично молекулярному движению
по отношению к истинному турбулентному движению. Турбулент-
Турбулентные пульсации аналогичны пульсациям молекулярного хаотиче-
хаотического движения. Различие заключается в разном порядке средних
величин, характеризующих пульсационные движения. Вместо дви-
движения отдельных молекул в тепловом процессе при турбулентном
перемешивании мы имеем пульсационные движения «молей»—
объемов жидкости, весьма больших по сравнению с размерами и
массой молекул. Кроме этого, величины средних скоростей пуль-
пульсаций в турбулентном движении очень малы по сравнению с вели-
величиной средней скорости теплового движения.
164 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
При турбулентном движении можно рассматривать преобразо-
преобразование энергии осредпенного движения в энергию турбулентного
молярного движения. В этом смысле можно говорить о диссипации
энергии среднего движения, причем диссипация непосредственно
не связана с переходом механической энергии в тепловую, и следо-
следовательно, этот процесс может быть независим от свойства вязкости
жидкости. Перераспределение кинетической энергии между на-
наблюдаемым средним движением и движением пульсацнонным мож-
можно рассматривать также и для идеальной жидкости. Как известно,
для идеальной несжимаемой жидкости переход механической энер-
энергии в тепловую невозможен. Следовательно, переход энергии из
среднего движения в молярное турбулентное движение пульсаций
в ряде случаев может определяться в основном только свойством
инерции.
При движении жидкости в трубе происходит потеря механи-
механической энергии, следовательно, должны быть области, в которых
влияние вязкости существенно. Вследствие прилипания жидкости
к стенкам трубы мгновенная и средняя скорости жидкости на стен-
стенках равны нулю. Поэтому в непосредственной близости у стенок
трубы не может быть интенсивного перемешивания жидкости.
Это служит основанием для вывода, что непосредственно около
стенок резкое изменение скорости должно определяться свойством
вязкости жидкости и что около гладких стенок должен существо-
существовать слой с ламинарным движением. Опытные данные хорошо под-
подтверждают этот вывод.
Предположим, что в основном ядре турбулентного потока вбли-
вблизи оси трубы выравнивание скоростей определяется молярным пе-
перемешиванием жидкости, в котором свойство вязкости имеет вто-
второстепенное несущественное значение. Обозначим через б толщину
слоя жидкости вблизи стенок, в котором недопустимо прене-
пренебрегать свойством вязкости жидкости. Приближенно величину
б можно приравнять толщине ламинарного слоя у стенок трубы.
По предположению при г/ > б вязкость несущественна и, следова-
следовательно, в формуле E.4) при у ^> б число Рейнольдса несуществен-
несущественно, т. е
"""*"* = W-iUl.). E.5)
Равенство E.5) указывает на существование универсального зако-
закона распределения скоростей в трубах.
Опыты по измерению распределения скоростей в трубах при
турбулентном движении, произведенные при всевозможных значе-
значениях числа Рейнольдса, очень хорошо подтверждают справедли-
справедливость существования подобного универсального закона распре-
распределения скоростей, независимого от числа Рейнольдса (рис. 31).
М ОСТАНОВИВШИЕСЯ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Рис. 31. Опытное подтверждение универсальною закона распределения ско-
скоростей вблизи оси трубы.
166 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРШГДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЩ[Гл. III
Еще в 1858 г. Дарси х) предложил эмпирическую формулу
-^ = 5,08A —-
E.6)
Графическое изображение результатов эксперимента для вели-
величины (uraax — u)/Vx как функции от у/а дано также в работах Стан-
тона 2), Фрича 3) и Никурадзе 4). Эти авторы отметили существо-
существование указанной универсальной зависимости, которая оказалась
справедливой в центральной части гладких и шероховатых труб
независимо от шероховатости, несмотря на то, что сопротивление,
¦а также отношение u,a&x/v^ и т. п. существенно зависят от числа
Рейнольдса и от шероховатости.
Приведенное истолкование справедливости закона E.5) полу-
получилось из анализа размерностей как следствие пренебрежения
свойством вязкости для относительного движения в центре трубы.
Это объяснение дано в работах Прандтля и Кармана.
Рассмотрим теперь задачу об определении вида функции, даю-
дающей закон распределения скоростей в поперечном сечении трубы
при турбулентном движении. Имея в виду большие значения числа
Рейнольдса, что для заданных v^ и |я/р равносильно большим зна-
значениям радиуса а, рассмотрим предельный случай а —>• оо. В этом
случае получается задача о турбулентном движении в полупро-
полупространстве у > 0, ограниченном плоскостью у = 0.
Системой определяющих параметров будет
р, и., т0, у.
Для распределения осредненных скоростей получаем формулу
— = ф(т)), где f) = . E.7)
При ламинарном движении вид функции ф (х\) легко опреде-
определяется теоретически. В самом деле, при ламинарном движении
в цилиндрической трубе все частицы жидкости движутся равномер-
равномерно и прямолинейно, поэтому свойство инерции должно быть несу-
несущественно, и следовательно, распределение скоростей не должно
зависеть от величины р. Так как определяющими параметрами яв-
являются т0, и. и у, то из теории размерности получаем
и-кг у
и - лт0 — =
М-
!) D а г с у Н., Memoires de div. savants etrangers, t. 15, 1858.
2) Stanton Th., Proc. Roy. Soc. (A), v. 85, 1911.
3) F г i t s с h W., Der Einfluss der Wandrauhigkeit auf die turbulente
Geschwindigkeitsverteilung in Rinnen. ZAMM, Bd. 8, 1928, S. 199—216 (см.
также: Abhandlungen Aerodyn. Institut Aachen, Bd. 8, 1928, S. 45—62).
4) Nikuradse J., Proc. of the Third Intern. Congress, 1930.
5]
УСТАНОВИВШИЕСЯ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
167
где к есть безразмерная постоянная. Составляя соотношение
(ди\
\ дУ /v=o
получаем к = 1. Следовательно, для ламинарного движения спра-
справедлива формула
ф (П) = П- E-8)
Если мы примем, что в общем случае турбулентного движения
вблизи стенки имеется ламинарный слой, то формула E.8) опреде-
определяет вид функции ф (г\) непосредственно вблизи стенок.
Для турбулентного движения функцию ф (rj) можно определить
опытным путем. Но в опытах в трубе с конечным радиусом, кроме
параметра 1}, добавляется еще число Рейнольдса R = гл„ра/и..
В исследованиях распределения скоростей при турбулент-
турбулентном движении большую роль сыграли степенные эмпирические
формулы вида
— = Ацп, E.9)
где А жп суть постоянные. Эти постоянные можно определить либо
путем непосредственного измерения распределения скоростей, либо
косвенно, с помощью опытного определения закона сопротивле-
сопротивления трубы. Для выяснения последнего способа выразим сопротив-
сопротивление трубы через закон распределения скоростей по радиусу
трубы.
Коэффициент сопротивления круглой трубы определяется ра-
равенством
,,, _ (Pi—Ра)« _ 4т„ _
1-Р-
E.10)
где
и =
п есть средняя скорость по сечению трубы, причем Q есть объем-
объемный расход жидкости. В общем случае для распределения скоро-
скоростей по радиусу трубы справедлива формула вида
Осредняя по сечению трубы, получим
E.11)
Рпарошяя это уравнение относительно vju, найдем "ф как функцию
от R,.|
168 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. Ill
Нетрудно усмотреть, что для степенного закона распределения
скоростей, определяемого формулой E.9), в которой Л и вне за-
зависят от числа Рейнольдса Rx, для коэффициента г|) получаем фор-
формулу вида
¦ф = —, E.12)
где а и т суть постоянные. В самом деле, подставляя
в соотношения E.11), получим
отсюда определяем vju, после чего на основании равенства E.10)
найдем
2
- А Г
"+1 1
E.13)
Rn+i
Сравнивая формулы E.12) и E.13), получаем простые соотношения
между постоянными т. и п и постоянными а, А и /г.
Эмпирическая формула Блазиуса для сопротивления гладких
цилиндрических труб имеет вид
Ri'4
Если принять степенной закон для распределения скоростей,
то формула Влазиуса E.14) приводит к «закону одной седьмой»:
" — Я 7 / V*W \*''
1 О, I t 1 .
E.15)
Формулы E.14) и E.15) хорошо согласуются с опытом для чи-
чисел Рейнольдса 2RX в интервале от 104 до 105; для меньших
значений с опытами согласуется лучше формула вида E.9) с пока-
показателем п = 1/6. Для 2RX ]> 105 показатель необходимо умень-
уменьшить.
Результаты экспериментов (рис. 32) показывают, что наилуч-
наилучшее совпадение с опытом получается для эмпирической формулы
вида
— = ф (i]) = 5,75 lg ц + 5,5. E.16)
Формулы E.9) и E.16) теряют справедливость в непосредствен-
непосредственной близости стенок, где ц = 0. Вблизи стенок имеется ламинар-
§ 5]
УСТАНОВИВШИЕСЯ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
169
ный слой, для которого ф (¦)}) = ц. Если мы допустим, что лами-
ламинарный слой примыкает к турбулентному потоку, и потребуем,
чтобы скорости частиц жидкости на границе ламинарного слоя
переходили непрерывно в турбулентные распределения скоростей,
V*
за
20
10
? ¦
W
2,0
3fl
iff
Рис. 32. Распределение скоростей в турбулентном пограничном слое.
определяемые по формулам E.15) и E.16), то это дает возможность
определить толщину ламинарного слоя либо из уравнения
•п = 5,75 lg tj + 5,5,
либо из уравнения
Ч = 8,7г]Ч
Решение этих уравнений в обоих случаях дает для г\ значение,
близкое к г\ ?гг 12. Полагая ц = 12, найдем формулу для толщины
ламинарного слоя
A=12JL_=_24
Полагая Rx = 40 000 и пользуясь формулой Блазиуса, получим
— = ~ = 0,0065.
a R /8
Отсюда можно заключить, что толщина ламинарного слоя мала по
ершшоиию с радиусом трубы а.
1'ассмотрим теперь теоретические соображения Прандтля
и Кармана об определении вида функции <р (г\). Обозначим через
170
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
и' и v' проекции на оси хну скорости турбулентных пульсаций.
Среднее значение переноса количества движения жидкости вдоль
оси у, отнесенное к единице времени и площади, представляется
в виде т = pu'v'. Применяя теорему об изменении количества дви-
движения к объему жидкости, заключенному внутри соосного с тру-
трубой круглого цилиндра радиуса г
(рис. 33), после осреднения полу-
получим
л:
\ р,
\У
D'
(Pi — Рг) я? =
ц ~2ягЬ.
Отсюда с помощью соотношения
(Pi — Рг)а = 2то? находим
fJL) E.18)
U, -г— = Т» 1 —
Рис. 33. Схема к расчету турбу-
турбулентного движения в круглой ци-
цилиндрической трубе.
При ламинарном движении т = 0, и мы имеем течение Пуазейля.
В этом случае из уравнения E.18) получается параболический
закон распределения скоростей. При турбулентном движении не-
непосредственно вблизи стенок при у = 0 имеется ламинарный слой,
в котором т = 0 и у/а ^ 0, вследствие чего уравнение E.18) при-
приводится к соотношению
откуда
U =
da
и
ИЛИ =
я*
что совпадает с формулой E.8).
Если обратиться к кинетической теории газа, то касательное
напряжение вязкого трения |я du/dy можно рассматриваь как
среднее значение переноса количества движения, отнесенного к еди-
единице времени и площади и обусловливаемого хаотическим тепло-
тепловым движением отдельных молекул. В этом смысле оба члена ле-
левой части уравнения E.18) имеют одинаковую природу.
В области резко выраженного турбулентного потока т ^ь 0
и велико по сравнению с jj, du/dy, поэтому допустимо пренебрегать
членом |я dfildy по сравнению с т.
Определение зависимости т от характеристик осредненного дви-
движения можно свести к определению величины I, имеющей размер-
размерность длины и связанной с т соотношением
т = pZ2
da
dy
1±
dy
E.19)
При более подробном рассмотрении механизма турбулентного
перемешивания ряд интуитивных соображений позволяет истолко-
УСТАНОВНВШИЕСЯ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
171
вать длину I как величину, аналогичную пути свободного пробега
молекул в тепловом движении газов г). Поэтому/ называется путем
перемешивания.
Основной смысл перехода от т к 1 связан с большей нагляд-
наглядностью величины /. При отсутствии влияния вязкости величина
т зависит от квадрата скорости, поэтому I не зависит от скорости,
что позволяет для установления связи с характерными размерами
опереться на некоторые интуитивные соображения. При более
подробном рассмотрении удается показать, что I убывает при
приближении к стенкам, и связать величину I у стенок с характе-
характеристиками шероховатости.
При а = оо можно принять, что путь перемешивания опре-
определяется параметрами р, ^, v^ и у; поэтому в этом случае
справедлива формула вида
Допустим, что при некотором специальном выборе начала отсчета
для координаты у свойство вязкости несущественно. Из этого до-
допущения следует
I = ку,
где к есть некоторая безразмерная постоянная. Пренебрегая в
уравнении E.18) членами |я du/dy и у/а я^ 0, получим
Интегрируя это уравнение, найдем
E.20)
На оси подобия при у = 0 имеем и = — оо. Постоянная интегри-
интегрирования у0 дает расстояние до оси подобия точки, в которой и = 0.
Непосредственно около стенки будет существовать ламинарный
слой, к которому прилегает турбулентное течение; если мы про-
продолжим турбулентное течение до стенки, на которой удовлетво-
удовлетворяется условие и = 0, то получим, что у0 равняется расстоянию
оси подобия до стенки. Так как у0 должно определяться величи-
величинами р, |я и v^, то это дает
где р есть безразмерная постоянная.
') Подробно об этом см. статью Прандтля Л. «Механика вязких жидко
стой» н книге: Дюрзнд В. Ф., Аэродинамика, т. III. M., Оборонгиз, 1939-
172 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
При резко выраженном турбулентном движении величина у0
мала. Подставив найденное значение у0 в формулу E.20), найдем
и =
' *
E.21)
В области турбулентного движения формулу E.21) можно рас-
рассматривать как теоретическое обоснование эмпирической формулы
E.16). Постоянные /сир необходимо взять из опыта. С увеличе-
увеличением числа Рейнольдса допущения, сделанные при выводе форму-
формулы E.21), становятся более точными. Это позволяет сделать вывод
о том, что формула E.16) должна хорошо отвечать действительно-
действительности при увеличении числа Рейнольдса.
Если принять, что логарифмический закон распределения ско-
скоростей E.21) справедлив для турбулентного движения в круглой
трубе до самой оси трубы, то получим формулу
которая хорошо согласуется с опытными данными как для глад-
гладких, так и для шероховатых труб; последнее объясняется тем, что
влияние шероховатости можно свести к изменению величины у0,
которая исключается при выводе этой формулы L).
Остановимся еще на ряде соображений теории размерности
и подобия, которые можно применить к рассматриваемой задаче
о турбулентном движении.
Обозначим через vx, vv проекции скорости мгновенного дви-
движения и через и' и v — проекции скорости пульсации. В изучае-
изучаемой задаче о прямолинейном осреднением движении имеем
vx = и + и', vv = г/.
Рассмотрим поле скоростей относительного движения, определяе-
определяемого проекциями и + »' — им, v', где им есть средняя скорость
в некоторой точке М.
Основная гипотеза Кармана заключается в предположении, что
турбулентные поля скоростей относительного движения в различ-
различных точках потока кинематически подобны. Применяя операцию
осреднения, получим, что поле осредненных относительных скоро-
скоростей [и (у) — им, 0] также кинематически подобно в различных точ-
точках потока.
Пересчет значений всех кинематических величин при переходе
от одной точки к другой можно произвести с помощью переходных
масштабов для двух независимых кинематических величин. Вели-
х) О влиянии шероховатости см. статью Прандтля Л. «Механика вязких
жидкостей» в книге: Дюрэнд В. Ф., Аэродинамика, т. III. M., Оборонгиз,
1939.
§ 5]
УСТАНОВИВШИЕСЯ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
173
чины этих масштабов можно получить из рассмотрения закона
распределения средних скоростей.
Закон распределения средних относительных скоростей вблизи
данной точки можно характеризовать последовательностью произ-
производных от средней скорости и по координате у
E.22)
и', и", и'", и™,
Любые две производные имеют независимые размерности, а из
любых трех производных можно образовать безразмерную комби-
комбинацию. Из первых трех производных можно образовать безраз-
безразмерную комбинацию
Так как все производные являются функциями одной и той же пе-
переменной, то очевидно, что между любыми двумя безразмерными
комбинациями, составленными из последовательности E.22), имеет
место функциональная связь, не содержащая размерных постоян-
постоянных. Например,
Следовательно, необходимым и достаточным условием подобия
относительных движений для всех значений у служит условие
_^1- = к]= const.
и и'" '
E.23)
Условие E.23) представляет собой дифференциальное уравнение
для и (у). Интегрируя это уравнение, найдем при к Ф 1 и к =?= 2
и = А (у + В)^ + С,
E.24)
где А, В, С суть некоторые размерные постоянные интегрирования.
При к = 1 решение имеет вид
и = Mevld + N, E.25)
и, наконец, при к = 2 имеем
и = Р In (у + Q) + S,
E.26)
где М, d, N, P, Q, S суть постоянные интегрирования.
Таким образом, очевидно, что предположение о точном подо-
подобии приводит к вполне определенным специальным видам законов
распределения средней скорости.
Формула E.26) отвечает логарифмическому закону распреде-
распределения скоростей.
174 ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [Гл. III
Из условия подобия для пути перемешивания I и для турбу-
турбулентного переноса количества движения т следуют формулы
1 — h и
E.27)
E.28)
где кх есть безразмерная постоянная.
Для законов распределения скоростей E.24) и E.26) формула
E.27) приводит при соответствующем выборе начала отсчета для
у к соотношению I = kYy, которое мы получили раньше как след-
следствие гипотезы о несущественности свойства вязкости.
Закону распределения скоростей E.26) соответствует т = т0 =
= const. Для законов распределения скоростей E.25) и E.24) т
получается переменным.
Условие E.23) сильно сужает возможные законы распределе-
распределения средних скоростей. Первоначальное точное условие о подобии
можно ослабить и предположить наличие подобия относительных
полей скорости в окрестности любых точек с точностью только
до величин второго порядка малости. При таком допущении в по-
последовательности E.22) в качестве характерных величин сохра-
сохраняются только и' и и", и поэтому уравнение E.23) выпадает, тогда
как формулы E.27) и E.28) сохраняются.
С помощью формулы E.28) и равенства E.18) можно получить
теоретические формулы для закона распределения средних ско-
скоростей х).
Развитие этой теории, основанное на усложнении функцио-
функциональных связей для длины пути смешения I, которое позволяет
учесть влияние магнитного поля на турбулентное движение про-
проводящей жидкости в круглой цилиндрической трубе, было сделано
в работе Ликудиса 2). Присутствие магнитного поля приводит
к подавлению турбулентных пульсаций. Формула для I, учиты-
учитывающая совместное сильное влияние малых добавок полимеров,
шероховатости стенок и чисел Рейнольдса на распределение ско-
скоростей и сопротивление при турбулентном движении в трубах,
дана в работе Н. Г. Васецкой и В. А. Иоселевича 3).
х) См. статьи Т. Кармана в сборнике «Проблемы турбулентности». М.—
Л., ОНТИ, 1936.
2) Л и к у д и с П. С, Экспериментальное изучение свойств переноса
электропроводной среды при турбулентном течении в присутствии магнит-
магнитного поля. В сборнике «Низкотемпературная плазма». М., «Мир», 1967,
стр. 513—527.
3) В а с е ц к а я Н. Г., И о с е л е в и ч В. А., О построении полуэм-
полуэмпирической теории турбулентности слабых растворов полимеров. Изв. АН
СССР, МЖГ, № 2, 1970, стр. 136—146.
УСТАНОВИВШИЕСЯ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
175
Авторы показали, что влияние добавок полимеров приводит
к утолщению пристеночного слоя с резким изменением профиля
скорости; с этим связано уменьшение градиентов скорости на стен-
стенке и соответствующее уменьшение сопротивления трения. При об-
обтекании турбулентным потоком шероховатых стенок и при доста-
достаточно больших числах Рейнольдса пристеночный слой отсутству-
отсутствует, и поэтому исчезает влияние полимерных добавок на профили
средних скоростей и на сопротивление трения х).
*) В последнее время теории, учитывающие влияние малых добавок по-
полимеров, шероховатости стенок, чисел Рейнольдса и других факторов, полу-
получили развитие в следующих работах: Иоселевич В. А., П и л и п е н-
к о В. Н., О турбулентном течении жидкости с полимерными добавками в
пограничном слое с продольным градиентом давления. ДАН СССР, т. 213,
№ 4, 1973; Иоселевич В. А., Пилипенко В. Н., Логарифмический
профиль скорости при течении слабого полимерного раствора у шероховатой
поверхности. ДАН СССР, т. 213, № 6, 1973; Пилипенко В. Н., Течение
слабых полимерных растворов в пограничном слое вращающегося диска.
Научные труды института механики МГУ, № 31, 1974; В а с е ц к а я Н. Г.,
Иоселевич В. А., Полимерные добавки в пограничном слое плоской
пластины. Научные труды Института механики МГУ, № 32, 1974; Иосе-
Иоселевич В. А., Пилипенко В. Н., О сопротивлении плоской пластины
в потоке полимерного раствора переменной концентрации. Изв. АН СССР,
МЖГ, № 1, 1974; Sedov L., Vasetskaya N., Ioselevich V.,
Calculation of Turbulent Boundary Layers with Polymer Additives. Interna-
ional Conference on Drag Reduction (September 4—6, 1974), Cambridge, Eng-
tland.
ГЛАВА IV
ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
§ 1. Автомодельные движения газа со сферическими,
цилиндрическими и плоскими волнами
1. Понятие автомодельности. Одномерные движения жидкости
или газа определяются как движения, все характеристики которых
зависят только от одной единственной геометрической координаты
и от времени. Можно показать, что одномерные движения возмож-
возможны только со сферическими, цилиндрическими и плоскими волна-
волнами х). Методы теории размерности позволяют найти точные реше-
решения некоторых задач об одномерном неустановившемся движении
сжимаемой жидкости2). Эти задачи представляют во многих слу-
случаях значительный теоретический и практический интерес. Но
!) См. Lipschitz R., Beitrag zu der Theorie der Bewegung einer
Elastischen Flussigkeit. J. fur die reine und angew. Math., t. 100, 1887, S.
89-120.
См. также: Любимов Г. А., О возможных видах одномерных неус-
неустановившихся движений вязкого газа. В сборнике статей № 19 «Теоретиче-
«Теоретическая гидромеханика» (под редакцией Л. И. Седова), вып. 7. М., Оборон-
гиз, 1956.
2) Этот класс решений был указан в работе: С е д о в Л. И., О некоторых
неустановившихся движениях сжимаемой жидкости. ПММ, т. 9, вып. 4,
1945, стр. 293—311 (см. также: О неустановившихся движениях сжимаемой
жидкости. ДАН СССР, т. 47, № 2,1У45, стр. 94—96). Аналогичные решения
без использования соображений теории размерности или теории групп и вне
связи с постановками разбираемых ниже задач рассматривались в работе:
Bechert К. Ueber die Differentialgleichungen der Wellenausbreitung in
Gasen. Ann. Phys., Bd. 39, Ht 5, 1941, S. 357—372 (Бехерт рассматривает
только политропические движения) и в работе: Станюкович К.П.,
Автомодельные решения уравнений гидродинамики, обладающих централь-
центральной симметрией. ДАН СССР, т. 48, № 5, 1945, стр. 331—333.
Применение развитых нами методов к теории фильтрации жидкости в по-
пористой среде и обобщение этих методов для отыскания движений предельных
к автомодельным (см. § 4) даны в работах: БаренблаттГ. И., Об ав-
автомодельных движениях сжимаемой жидкости в пористой среде. ПММ, т. 16,
вып. 6, 1952; О предельных автомодельных движениях в теории нестацио-
нестационарной фильтрации газа в пористой среде и теории пограничного слоя. ПММ,
т. 18, вып. 4, 1954, стр. 409—414.
1]
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
177
даже в тех случаях, когда постановка задачи не представляет
самостоятельного интереса, получаемые точные решения можно
использовать как примеры для проверки правильности различных
приближенных методов решения задач газовой динамики.
Для того чтобы охарактеризовать задачи, решение которых мо-
может быть получено методами теории размерности, рассмотрим ис-
искомые функции и определяющие параметры одномерного движе-
движения. Основными искомыми функциями при использовании точки
зрения Эйлера являются скорость v, плотность р и давление р,
а определяющими параметрами — линейная координата г, время t
и константы, входящие в уравнения и краевые и начальные усло-
условия задачи. Так как размерности величин р и р содержат символ
массы, то среди определяющих параметров обязательно должна
быть хотя бы одна константа а, размерность которой также содер-
содержит символ массы. Не ограничивая общности, можно предполо-
предположить, что ее размерность имеет вид [а] = MLTS. При этом для
искомых функций скорости, плотности и давления всегда можно
написать формулы
p =
-fr+1,
Р,
A.1)
где V, Я и Р — отвлеченные величины и, следовательно, могут
зависеть лишь от безразмерных комбинаций, содержащих г, t и
другие параметры задачи.
В общем случае они являются функциями двух безразмерных
переменных. Но если среди определяющих параметров, кроме а,
имеется всего лишь еще одна константа Ъ с независимой от а раз-
мерностью^1), то из г, t, а и Ъ можно образовать только одну пере-
переменную отвлеченную комбинацию.
Так как размерность постоянной а содержит символ массы, то,
не ограничивая общности, постоянную Ь всегда можно ввести так,
чтобы ее размерность не содержала символа единицы измерения
массы, т. е. [Ъ] = ЬтТп. В этом случае единственной безразмерной
переменной комбинацией будет rmtn/b, которую при т =^ 0 можно
заменить переменной
г
bm t&
где б =
A.2)
*) Вообще определяющих постоянных может быть много, но их размер-
размерности должны быть зависимы от а и Ь. Для дальнейшего важно, что среди оп-
определяющих постоянных имеются только две а и Ъ с независимыми размер-
размерностями с фиксированными показателями к, s, m, п, которые могут быть
целыми или дробными, или трансцендентными числами. Что касается факти-
фактического определения этих показателей в конкретных задачах, то это связано
с постановкой задачи и свойствами искомых решений, что всегда выходит за
рамки теории размерностей.
178 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Если т = 0, то V, Л и Р могут зависеть только от времени t,
в этом случае скорость v пропорциональна г; соответствующие
частные движения подробно изучены ниже в § 15.
Кроме переменного параметра к, решение может зависеть еще
от ряда постоянных отвлеченных параметров.
Таким образом, когда среди определяющих параметров задачи,
кроме rut, имеются всего две константы с независимыми размер-
размерностями, то уравнения в частных производных, которым должны
удовлетворять скорость, плотность и давление при неустановив-
неустановившемся одномерном движении сжимаемой жидкости, могут быть
заменены обыкновенными дифференциальными уравнениями для
величин V, М и Р.
Решение же обыкновенных дифференциальных уравнений ино-
иногда можно получить в замкнутом виде точно, в других случаях
приближенно с помощью численного интегрирования.
Такого вида движения называются автомодельными. Остано-
Остановимся на постановке некоторых задач, решение которых легко
получить описанным выше методом.
Для определенности предположим, что газ совершенный, не
вязкий и не теплопроводный, причем движение не сопровождается
какими-либо физическими или химическими превращениями (в ка-
какой мере в той или иной задаче можно отказаться от этих предполо-
предположений, будет рассмотрено позднее). В этом случае уравнения дви-
движения, неразрывности и энергии можно взять в следующей форме:
dv , dv , 1 dp
dt ' дг ' р дг
A.3)
где у — показатель адиабаты, v = 1 для плоских, v = 2 для ци-
цилиндрических и v = 3 для сферических волн.
Уравнения не содержат никаких размерных констант. Поэтому
вопрос об автомодельности движения сводится к тому, чтобы в до-
дополнительные условия задачи входило не более двух параметров
с независимыми размерностями. Рассмотрим примеры автомодель-
автомодельных задач х).
2. Задача о движении газа по заданным начальным распреде-
распределениям скорости v0 (г), плотности р0 (г) и давления р0 (г) (задача
Коши). Нетрудно указать вид законов распределения для v0 (r),
р0 (г) и р0 (г) в начальный момент времени (t = 0), когда возни-
х) >В последние годы опубликовано очень много работ, в которых анало-
аналогичные автомодельные решения получены и изучены для систем уравнений
в частных производных, применяемых в различных областях науки.
§ 1
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
179
кающее в последующие моменты времени t > 0 движение будет
автомодельным.
В самом деле, так как все движение определяется только двумя
размерными постоянными а и Ъ с независимыми размерностями,
то начальные распределения должны определяться тремя величи-
величинами а, Ь, г.
Дальше мы примем, что размерности Ъ и г независимы х) и, сле-
следовательно, п Ф 0. При т Ф 0, не ограничивая общности, поло-
положим [b] = LT-S.
Из соображений размерности следует, что начальные распреде-
распределения должны быть представлены формулами следующего вида:
Vo =
Ро = афЪ г
Ро =
A.4)
где ах, а2, а3 — задаваемые отвлеченные постоянные; в случае
плоских волн значения этих пос-
постоянных могут быть различными:
при г
U
-и
Рис. 34. Поршень начинает
двигаться с постоянной ско-
скоростью U; перед поршнем газ
вначале покоится и имеет оди-
одинаковую плотность pi и дав-
давление рх.
Рис. 35. Расширение с постоян-
постоянной скоростью U сферы или круг-
круглого цилиндра в газе, который в
начальный момент времени поко-
покоится, а радиус сферы или цилинд-
цилиндра равен нулю. Начальная плот-
плотность газа р1 и начальное давление
р1 постоянны.
При решении рассматриваемой начальной задачи на бесконеч-
бесконечном интервале по г и с возможными бесконечными значениями ха-
характеристик движения при г = 0 или г = оо существен вопрос
о единственности и о существовании решения.
х) Если размерности & и г зависимы, то п = 6 = 0, и поэтому существу-
существует безразмерная комбинация Ьг~т. Из соображений размерности в этом слу-
случае следует, что начальная скорость может равняться только нулю или бес-
бесконечности, так же как и начальные плотность и давление, если s =f= 0 или
s Ф —2.
Если п = 0 и s = 0, то начальная плотность может быть произвольной
функцией от г, но давление и скорость либо нуль, либо бесконечность. Если
п= 0и« = —2, то начальное давление может быть произвольным, а скорость
и плотность равны либо нулю, либо бесконечности.
180 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
Для решения начальных задач с произвольными к, s и б необ-
необходимо рассматривать автомодельные движения самого общего
типа.
3. Задача о поршне. В длинной цилиндрической трубе, закры-
закрытой с одного конца поршнем, находится газ. В начальный момент
времени газ покоится (ух = 0), а поршень начинает двигаться с по-
постоянной скоростью U (рис. 34).
Определяющими параметрами в этой задаче, кроме г и t, будут
начальная плотность газа рх, начальное давление рх и скорость
движения поршня U. Так как между размерностями рх, рхп U име-
имеется соотношение
то действительно имеем всего две постоянные с независимыми раз-
размерностями.
Аналогичная задача может быть поставлена для движений
с цилиндрической и сферической симметрией: в начальный момент
времени газ, заполняющий пространство, начинает раздвигаться
соответственно цилиндром или сферой, радиус которых растет
от нуля пропорционально времени (рис. 35).
Если скорость движения поршня не постоянна, а пропорцио-
пропорциональна, например, какой-либо степени времени
U = ctn,
то появится третья существенная постоянная с размерностью,
не зависящей (при п Ф 0) от размерностей рх и рх:
[с] = LT""-1;
поэтому соответствующее возмущенное движение газа не будет
автомодельным.
Движение с таким законом изменения скорости (при п фО) пор-
поршня будет автомодельным в предельном случае, когда рх = 0,
и следовательно, в условия задачи войдут только две независимые
размерные константы рх и с.
4. Задача о фокусировании в точке и о разлете газа от точки.
В начальный момент времени все частицы однородного газа, за-
заполняющего пространство, при рг = const и р1 — const имеют оди-
одинаковую скорость, направленную к центру (фокусирование) или
от центра (разлет).
В случае цилиндрической симметрии все частицы имеют одина-
одинаковую скорость, направленную к оси симметрии или от нее.
Очевидно, что аналогичная задача для плоских волн после
добавления поступательной скорости, равной, но противоположно
направленной начальной скорости газа, сводится к задаче о дви-
движении поршня с постоянной скоростью.
АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
181
В случае сферической или цилиндрической симметрии рас-
рассматриваемые задачи и задачи о сферическом и цилиндрическом
поршне являются различными задачами.
Как и в предыдущей задаче, среди размерных постоянных, вхо-
входящих в начальные и граничные условия, имеется всего лишь две
с независимыми размерностями (рх, pL).
Задачи о фокусировании и разлете газа с постоянными началь-
начальными значениями представляют собой частные случаи более общей,
рассмотренной в качестве основной первой, начальной задачи Ко-
ши. В других случаях, когда определяющие постоянные имеют
размерности, отличные и независимые от размерности скорости,
давления и плотности, начальные распределения по радиусу дол-
должны быть переменны, если они отличны от нуля.
5. Распространение фронта пламени или детонации. Горючая
однородная смесь, заполняющая пространство, с одинаковыми
плотностью рх и давлением plt поджигается в момент t = 0 вдоль
плоскости (плоский случай), прямой (цилиндрическая симметрия)
или в точке (сферическая симметрия). По смеси будет распростра-
распространяться плоский, цилиндрический или сферический фронт пламени
или детонации.
Как известно, толщина зоны горения при обычных условиях
очень незначительна (порядка долей миллиметра).
Если не интересоваться процессами, происходящими в самой
зоне горения, то можно считать, что ее толщина равна нулю, т. е.
что газ сгорает мгновенно на некоторой геометрической поверхно-
поверхности. Определяющими параметрами в этом случае будут: начальная
плотность смеси рх, начальное давление ръ количество теплоты Q,
выделяющееся при сгорании единицы массы газа, и в случае распро-
распространения фронта пламени—его скорость по частицам и, являю-
являющаяся для дайной смеси известной физико-химической константой.
Размерность Q в механических единицах может быть выражена
через размерности рх и рх:
Следовательно, из четырех определяющих параметров снова
независимые размерности имеют лишь два.
Если начальная плотность рх переменна и изменяется по закону
то определяющими постоянными будут А, рх, Q, и возмущенное
движение газа не будет автомодельным.
Из рассмотрения уравнений и краевых условий следует, что
начальное давление рх входит только в условие на ударной волне;
если в этом условии пренебречь начальным давлением рг по срав-
182
ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
нению с большим давлением за фронтом детонационной волны, то
величина рх исключается из числа определяющих параметров. В та-
такой приближенной постановке задача становится автомодельной
с двумя определяющими независимыми размерными постоянными:
[А] = ML" и [Q] = L2T.
6. Задача о распаде произвольного разрыва в горючей смеси.
В момент t = О слева от плоскости г = 0 (случай v = 1) находится
газ с постоянными скоростью vlt плотностью pt и давлением рх,
а справа — горючая смесь с постоянными скоростью [72> плотностью
р2 и давлением р2. Так как при переходе через такой разрыв усло-
условия сохранения массы, количества движения и энергии, вообще
говоря, не будут выполнены, то в следующий момент времени он не
может существовать изолированно, а должно возникнуть движе-
движение газа с одной или несколькими поверхностями разрыва, на каж-
каждой из которых уже будут выполнены условия сохранения (по го-
горючей смеси при этом может распространяться фронт пламени или
детонации). Среди параметров задачи (ух, pl7 px, y2, p2, p2, Q— коли-
количество тепла, выделяемое при сгорании единицы массы газа, и
и — скорость фронта пламени) имеется всего два параметра с не-
зависимымиразмерностями. Следовательно, возникающее движение
будет автомодельным.
При решении задачи Коши с плоскими волнами для произволь-
произвольных значений в формулах A.4) постоянных к, s и б, а^, а2, aj при
г ^> 0 и а~[, <хГ, осо при г <^ 0 необходимо решать более общую авто-
автомодельную задачу о распаде соответствующей особенности разры-
разрыва при г = 0.
В тех случаях, когда решение существует и единственно, рас-
распад соответствующего разрыва представляет собой локальное яв-
явление, определяемое только типом особенности.
7. Задача о сильном взрыЬе. В момент t = 0 в покоящемся газе
в центре симметрии (в точке) происходит взрыв, т. е. мгновенно
выделяется конечная энергия Ео. В этой постановке мы пренебре-
пренебрегаем массой и размерами вещества, выделяющего энергию. Постав-
Поставленная таким образом задача о сильном взрыве отражает суще-
существенные черты явления при взрыве атомной бомбы; ниже в § 11
мы укажем на опытные данные по этому поводу.
В условия задачи входят три постоянные с независимыми раз-
размерностями: начальная плотность газа plt начальное давление рх
и энергия взрыва Ео.
Система определяющих параметров для адиабатических возму-
возмущенных движений газа после взрыва представится величинами
рх, рх, Ео, г, t, у.
Поэтому из общих соображений теории размерности следует,
что все зависимые безразмерные величины могут зависеть только
S U АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
от трех безразмерных параметров: •
т;
Pl«r
= т.
183
A.5)
из которых % и т — переменные величины. Опыт и теория показы-
показывают, что при взрыве на границе области возмущенного движения
газа получается резкий скачок характеристик движения, образует-
образуется так называемая ударная волна. В рассматриваемой постановке
задачи это будет сфера, радиус которой растет со временем. Влия-
Влияние начального давления рг, а следовательно, и параметра т воз-
возникает только за счет динамических условий на ударной волне.
Однако, если взрыв сильный (Ео велико), то давление за обра-
образующейся вследствие взрыва ударной волной будет во много раз
больше начального давления в газе, и движение газа за ударной
волной на небольших расстояниях от центра взрыва практически
не будет зависеть от начального давления pY. Таким образом, су-
существенными оказываются лишь две размерные постоянные: pt
и Не-
Нематематически возможность пренебречь начальным давлением
выражается в том, что в условиях на ударной волне невозмущенное
давление рг полагается равным нулю; благодаря этому выпадает
параметр ри а следовательно, независимая переменная т, вслед-
вследствие чего очевидно, что возмущенное движение газа можно рас-
рассматривать как автомодельное.
При дальнейшем ослаблении ударной волны пренебрежение
начальным давлением —«противодавлением» рх — становится не-
незаконным, и следовательно, задача о возмущенном движении газа
при точечном взрыве на далеких расстояниях от центра взрыва
перестает быть автомодельной.
Заметим, что при численном решении задачи о точечном взрыве
с учетом противодавления ри достаточно произвести расчет только
одного конкретного случая; этим самым можно получить зависи-
зависимость всех искомых величин от безразмерных величин %, т, после
чего для того же значения у можно легко определить характери-
характеристики возмущенного поля взрыва для любых значений Ео, любой
начальной плотности рх и любого начального давления рх.
В случае цилиндрической симметрии взрыв происходит вдоль
прямой 1), а в случае плоских волн вдоль плоскости 2). При этом
величина Ео обозначает соответственно энергию, выделяющуюся
на единице длины или площади.
х) Сильный взрыв вдоль прямой в некоторых случаях можно рассматри-
как электрический разряд большой интенсивности в газе.
") В цилиндрическом и плоском случаях меняется размерность Ео и со-
отпетственно изменяются параметры Я и т; см. §§ И, 12, 13, 14.
184
ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
Очевидно, что задачу о взрыве можно обобщить на случай пе-
переменной начальной плотности, изменяющейся по закону pL =
= А/г"'. Для этого вместо постоянного параметра рх в качестве
определяющего параметра необходимо взять постоянную А с фор-
формулой размерности [А] = ML»-3.
В этом случае вместо переменных A.5) можно взять переменные
5—ы
А \з-«
— л,
= т.
А1
При малых значениях параметра т за счет большой выделив-
выделившейся энергии Ео, малого начального давления рг или малого ин-
интервала времени t влиянием второго параметра можно пренебречь,
после чего получим автомодельную задачу о распространении силь-
сильного взрыва в среде с переменной плотностью.
Решение сформулированных задач о сильном взрыве излагается
в §§ 11, 12, 14.
8. Свойства идеальных сред и автомодельность. Выше было по-
показано, что если для определения одномерного неустановившегося
адиабатического L) движения идеального (не вязкого) совершенно^
го газа граничные и начальные условия содержат только две неза-
независимые размерные постоянные, то имеет место автомодельность.
Нетрудно усмотреть, что в случае, когда определяющие посто-
постоянные имеют размерности, зависимые от плотности рх и давления
plt вывод об автомодельности движения сохраняется для любой
другой идеальной среды (в отсутствие касательных напряжений
термодинамическое состояние определяется двумя параметрами,
например р и р).
В самом деле, из общих соображений теории размерностей сле-
следует, что для внутренней энергии, отнесенной к единице массы,
входящей в условия на скачках, верна формула следующего вида:
Р_
п* '
ссь сс2,
а для энтропии формула
где/?*, р* —[постоянные с размерностью давления и плотности. Раз-
Размерная постоянная А несущественна, так как в условии адиабатич-
1) Условие адиабатичности можно заменить другими условиями, напри-
например отсутствием градиента температуры дТ/дг = 0 (бесконечная теплопро-
теплопроводность).
§ 2] ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
185
кости ее можно сократить: ах, а2, . . ., Рх, Р2, . . . — отвлеченные
постоянные. Очевидно, что в общем случае для уравнения состоя-
состояния верна формула следующего вида:
Отсюда ясно, что добавление постоянных р* и р* в таблицу опре-
определяющих параметров ие нарушит автомоделыюсти, если две
определяющие размерные постоянные имеют размерности, завися-
зависящие от р* и р*.
В некоторых случаях можно говорить об автомодельности
внутренних свойств среды, когда некоторые из функций F, G, Н,
существенные с точки зрения поставленной задачи, зависят не от
двух параметров pip* и р/р*, а только от одного безразмерного
параметра типа рк'ркг/С. В этом случае вместо постоянных р*
и р* свойства среды могут сказаться только через размерную по-
постоянную С. Размерную постоянную С необходимо, вообще говоря,
внести в число определяющих. Для таких сред и соответствующих
задач возможны автомодельные движения, в которых размерность
одной из определяющих постоянных фиксирована и равна размер-
размерности С.
В случае идеального совершенного газа функции F, Н сводятся
к отвлеченным постоянным, а аддитивная постоянная у функции G
для многих постановок задач несущественна. Благодаря этому об-
обстоятельству для идеального совершенного газа возможно строить
автомодельные движения с двумя произвольными независимыми
размерными определяющими постоянными.
§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
и условия на скачках для автомодельных движений
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Для решения
указанных задач выведем уравнения, которым должны удовлетво-
удовлетворять У, Л и Р.
Подставляя в уравнения A.3) вместо v, p и р их выражения че-
через V, Я, Р из A.1) и учитывая A.2) получим
186 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
Вводя вместо Р новую переменную х) z = yP/Jfi!, преобразуем эти
уравнения к следующему виду:
dV
— b)\V(V— i)(V — 6) +(x — vV)z]
din Я,
dV
z —(F —6J
G-6)
din 9?-
(x — vF)z '
T=W)Ty B-1)
B.2)
^, B.3)
где
Для данного типа автомодельных движений размерность посто-
постоянной а можно менять путем введения новой постоянной ах по фор-
формуле ах = аЪх, где показатель % произвольный. Видоизмененные
значения кх и st определяются формулами
кг = к
X,
S-, = S
Можно также менять параметр к введением новой постоянной
Ъг = Ът. Функции Р (к) и Л (к) и параметр к зависят от выбора
размерностей постоянных а и Ь; очевидно, что переменные z, V,
а также функция z (У) не зависят от выбора показателей A;, s, m,
а определяются вполне типом автомодельного движения, завися-
зависящего существенно только от двух параметров х и 6. После замены
в выражении для х величин к и s через кх и sL получим х = хх.
Отмеченная особенность функции z (F) выясняет связь поля
интегральных кривых уравнения B.1) в плоскости z, V с типом
автомодельного движения, независимую от способа введения опре-
определяющих постоянных а жЪ.
Легко видеть, что основная задача заключается в интегрирова-
интегрировании уравнения B.1). Если уравнение B.1) проинтегрировано, то
зависимости V и М от к определяются из уравнений B.2) и B.3)
с помощью квадратур.
Плоскость безразмерных переменных z, V можно рассматривать
для произвольных неавтомодельных движений. В каждый момент
времени полю одномерного неустановившегося движения газа в
х) Температура Т и переменная z связаны формулой
RT =
где R — газовая постоянная.
V*2
§ 2]
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
187
плоскости z, V соответствует некоторая кривая. При наличии
сильных разрывов — скачков—на этой кривой будут точки разры-
разрыва. Для неавтомодельных движений в разные моменты времени
движению газа соответствуют различные кривые в плоскости z, V.
Точки, соответствующие сильным разрывам в плоскости z, V,
движутся с течением времени. Различным фиксированным точкам
в пространстве или различным фиксированным частицам в плоско-
плоскости z, V соответствуют различные кривые. Если движение автомо-
дельно, то полю движения газа в плоскости z, V соответствует
в разные моменты времени или для различных точек или частиц
одна и та же кривая, которая является интегральной для уравне-
уравнения B.1). Из постановки автомодельных задач следует, что коорди-
координата скачка г и переменная к = r/bt5 на скачке являются функци-
функциями времени t и определяющих размерных постоянных а и Ъ х).
Из трех величин a, b, t нельзя образовать безразмерной комби-
комбинации, поэтому для поверхности разрыва имеем
к = к0 = const, г = kobfi.
Следовательно, для автомодельных движений скачку соответ-
соответствуют фиксированные значения переменных к, Я, z, P, V. В плос-
плоскости z, V скачкам соответствуют фиксированные точки.
Для величины скорости скачка с всегда можно написать фор-
формулу следующего вида:
с = ^=б4- B.4)
Очевидно, что для автомодельных движений б постоянно. Ско-
Скорости распространения фаз в пространстве при г ]> 0, t ^> 0 на-
направлены от центра при 5)>0 и к центру при б <^ 0. Следова-
Следовательно, при б > 0 ударные волны получаются расходящимися и
и сходящимися при б <^ 0, причем при б <^ 0 скорость движения
фаз замедляется. Если г ^> 0, время t возрастает, но t <^ 0, то
имеем противоположный характер движения скачков. На параболе
z = F — VJ фазовые скорости по частицам равны скорости звука,
выше этой параболы эти скорости дозвуковые, ниже сверхзвуко-
сверхзвуковые. В общем случае неавтомодельных движений отвлеченная
величина б есть некоторая функция от времени.
2. Условия на скачках уплотнения. В большинстве указанных
выше задач в потоке возникают сильные разрывы (ударные волны,
1) В частных случаях возможно такое положение: движение газа авто-
модельно, но движение границ, например ударной волны, определяется до-
дополнительными постоянными, и поэтому координата скачка г зависит не толь-
только от а, Ъ и t, но и от других размерных постоянных; в этих случаях формула
X = const на скачке неверна. В соответствии с принятыми определениями та-
такие движения, рассматриваемые в целом, мы будем называть неавтомодель-
неавтомодельными, хотя автомодельность нарушается только на границе.
188 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
|[Гл. IV
фронты детонации, фронты пламени), поэтому рассмотрим в общем
виде соотношения между значениями V, z и Я по обе стороны по-
поверхности сильного разрыва.
При переходе через поверхность сильного разрыва должны вы-
выполняться условия сохранения массы, количества движения и по-
потока энергии. Отмечая индексом 1 величины по одну сторону по-
верхности|разрыва, и индексом 2 — по другую, можем написать
Pi
Pl (»1 ~ С) = 02 (v2 — С),
. — Cf + Pl = P2 (»2 — CJ -f- p2
..}
B-5)
Эти уравнения выписаны для совершенного газа, в них приня-
принято, что теплосодержание i единицы массы газа определено форму-
формулой
i = срТ + const = —У—г — + const.
—
Заменим в соотношениях B.5) и B.6) величины v, p, p их выра
жениями через V, Я, Р по формулам A.1), скорость с через 8^r
согласно B.4) и введем переменное z = РШ
Соотношения на скачке примут вид
- б) =
- б),
= F2 - б +
(Vi - бJ -f ~^- = (F2 - бJ + -Jf^- .
Из этих равенств величины F2 и z2 выражаются через Fx и zx no
формулам
z =
X
X
[(К,-
B.7)
Задавая в плоскости (F, z) точку (F1? zx) из соотношений B.7),
найдем точку (F2, z2), в которую она переходит после скачка. Мы
примем, что частицы газа переходят через скачок от состояния 1 к
состоянию 2. Из симметрии уравнений B.5), B.6) ясно, что в фор-
формулах B.7) индексы 1 и 2 можно поменять местами.
Точки параболы
z= (V- бJ B.8)
S 2] ^ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
189
переходят сами в себя. Этой параболе соответствуют слабые разры-
разрывы, т. е. поверхности разрыва производных. Действительно, урав-
уравнение B.8) записанное в размерных величинах, дает
Ш. = iv — cf
р
т. е. квадрат скорости скачка по частицам равен квадрату скорости
звука. Точки, лежащие под параболой B.8), переходят в точки,
лежащие над ней, и наоборот.
Так как z по своему физическому смыслу всегда положительно,
то имеют физический смысл только те случаи, когда точки верхней
полуплоскости переходят в точки верхней же полуплоскости.
Точки оси V, соответствующие предельному случаю, когда
z = 0, переходят в точки параболы]
у — 1
Следовательно, преобразование B.7) отображает область меж-
между осью V и параболой
z= (V — бJ
в область между параболой
z = -^— (F - бJ
у — 1|Л
и параболой
7-1Г
z= (F-6J,
и наоборот.
Далее, так как
Р2 _ _f?2_
Pi ~~ 39 х
О,
B.9)
то очевидно, что точки на разных сторонах скачка в плоскости z/F
расположены по одну сторону от прямой V = б. Соотношение
B.9) следует также из B.7) для любых zx > 0.
Для точек над параболой B.8)
-6J или аг={
а для точек, расположенных под параболой B.8)
z]< (FJ-J6J или а2 = ^ < {v - сJ;
иначе говоря, имеем: скорость частиц газа относительно скачка
дозвуковая при z^> (V — бJ и сверхзвуковая при z <^ (V — бJ.
190 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
Гл. IV
Поэтому х) область между параболой
z = (V - бJ
и прямой z = 0 соответствует состояниям, по которым могут рас-
распространяться скачки уплотнения, а область между параболами
z = (V _ бJ,
соответствует состояниям за скачками уплотнения.
Точки, лежащие выше параболы
переходят согласно B.7) в точки нижней полуплоскости и, следо-
следовательно, не могут соответствовать состоянию газа ни перед,
ни за скачком.
На рис. 36 области, точки которых могут изображать сос-
состояние газа перед скачком, заштрихованы вертикально, а об-
области, в которые переходит
изображающая точка после
скачка,— горизонтально.
Направления возможных пе-
переходов от точки (Fl7 zt) к точке
(V2, z2) указаны стрелками.
Отметим еще, что если удар-
ударная волна распространяется по
покоящемуся газу, т. е. если
точка (Fj, zL) находится на оси z
(V = 0), то точка (F2, z2) долж-
должна лежать на параболе
Рис. 36. В плоскости z = YPiVpr2,
V = vtlr скачкам может соответст-
соответствовать переход точек из области,за-
области,заштрихованной вертикально, в область, . ,
заштрихованную горизонтально. (~.1О)
Возможные перехода указаны стрел- Эт& парабола изображена в
левой нижней части рис. 36.
Слева от прямой V = б скорости фазы % = const (в частности,
скорость скачка) с = 8r/t больше, а справа от этой прямой меньше,
чем скорость частиц газа v = Vr/t в той же точке пространства.
!) Анализ условий на сильных разрывах в общем случае изложен, на-
например, в книге: Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэроди-
аэродинамики. М.— Л., Гостехиздат, 1950; М., «Наука», 1966.
2]
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
191
Направление обеих скоростей в пространстве в первом и во втором
случаях одинаково. Относительная скорость фазы по частицам
в первом случае совпадает с направлением скорости частицы, во
втором противоположна скорости частицы.
Очевидно, что все выводы пункта 2 не связаны с автомодель-
ностью движения.
3. Условия на фронте детонации и на фронте пламени. Рассмот-
Рассмотрим сначала общие свойства скачков с притоком энергии. Пусть
при переходе частиц газа через фронт скачка от состояния 1 к сос-
состоянию 2 возникает приток энергии к единице массы, равный Q.
Этот приток может осуществляться за счет химических реакций
(фронт пламени, фронт детонации), за счет теплопроводности, излу-
излучения или других каких-либо процессов.
При наличии притока энергии на фронте скачка механические
условия B.5) сохраняются в неизменном виде, а уравнение энергии
B.6) изменяется за счет притока к состоянию 2 энергии Q (прира-
(приращение постоянной в формуле для теплосодержания). Измененное
уравнение энергии имеет вид
В этом уравнении принято во внимание, что значения коэффи-
коэффициента Пуассона у = cp/c,j перед волной Yi и за волной у2 могут
быть различными.
Уравнения B.5) и B.11) можно преобразовать к виду
Ра = Pi + (l - -g-) Pi
y - сJ,
B.12)
B.13)
PiV 2Va U ,
Р2
Тг+1
_?l_
Pi К — сJ 1 Рг
Pi
2Q I _
J
^ Т2+ 1 LTi— 1
Модуль разности
| С — Vx | = U
представляет собой скорость скачка по частицам перед фронтом
волны. В случае фронта пламени скорость и — заданная физико-
химическая постоянная.
Непосредственно очевидны следующие равенства:
2
ч
i-ар
и
Т-2Р2
-бJ '
192 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
В этих формулах zx и z2 определены соответственно через Yi и 7г»
ах и а2 — соответствующие величины скорости звука.
В плоскости z, V уравнению
= const
соответствует парабола. Интервалу,гсоответствующему равенствам
УР
= сс,
(у _ СJ — Р>
в плоскости z, V соответствует область между^двумя параболами
z = a (F — бJ и z = р (V — бJ.
Уравнение B.14) представляет собой квадратное уравнение,
определяющее отношение рх/р2 в функции следующих четырех па-
параметров: Yi, Y2> ft/pi^2 и Qlu2.
Фронт пламени является скачком разрежения, для которого
верны неравенства]
р.2(г,2_сJ
Pi("i—<
B.15)
т. е. плотность продуктов горения^меныпе плотности горючей
смеси, а скорости скачка по частицам"(у1 — с) и (i>2 — с) за и перед
фронтом пламени дозвуковые.
Фронт детонации является скачком уплотнения, для которого
уравнение B.14) имеет два корня, рх/р21 и pt/p22 ^ Pi/p2i- Для этих
корней выполняются следующие неравенства:
Т2Р2
ч
Р21
г-е)а (Fa—.
Pl(Vl-cf
л
1'
B.16)
т. е. скорость скачка по частицам за скачком дозвуковая или
равна скорости звука, перед скачком сверхзвуковая;
Ч
Р22
У1Р1
B.16')
Pi ("l—
т. е. скорость скачка по частицам за и после скачка сверхзвуковая.
Корни уравнения B.14), рх/р21 и р^р^, совпадают, т. е. p1/p2i=p2/p22»
если выполняется равенство
pi«2/ ~{У2~ >
7^
1 4- Щ
B 1
§ 2]
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
193
Так как из B.12) и B.13) имеем формулу
Т2Р2
-»l1 + *f-'*
B.18)
то на основании уравнения B.14) очевидно, что равенство B.17)
равносильно равенству
7-2Р2
О _ ^2 __ л
B.19)
Следовательно, равенство корней уравнения B.14) достигается
в случае, когда скорость скачка по частицам за фронтом скачка
точно равна скорости звука.
Условие B.17), равносильное условию B.19) для скачков уплот-
уплотнения, носит название правила Чепмена — Жуге. Во многих слу-
случаях ото правило верно для действительных движений газа с нали-
наличием детонационных воли. С помощью добавочного уравнения
B.17) при заданных характеристиках состояний газа перед фрон-
фронтом волны р1? рг, а также заданных уг, у2 и Q можно рассчитать
независимо от характера частной задачи скорость фронта
и = vx — с |
и из B.12), B.13) и B.14) величины р2,/>2, v2 — с за фронтом дето-
детонационной волны.
Еще в конце прошлого века в работах Вертело, Вьейя, Малля-
ра, Ле-Шателье и других х) было установлено, что волны горения
представляют собой скачки разрежения, а волны детонации —
скачки уплотнения в горючей среде с последующей очень тонкой
зоной, в которой быстро происходит химическая реакция, сопро-
сопровождающаяся выделением тепла. Установление основных механи-
механических эффектов, связанных с явлениями установившегося рас-
распространения детонации, можно найти уже в работах В. А. Ми-
хельсона A889 г.), Чепмена A899 г.), Жуге A905 г.), Крюссара
A907 г.) и других.
При установившемся движении среды в различных точках
зоны химической реакции величина Q соответственно раз-
различна, причем каждое состояние промежуточных продуктов ре-
реакции соответствует своему значению Q' и движется с одной и той
же скоростью и относительно частиц среды перед фронтом скачка.
Очевидно, что для всякого промежуточного значения Q' соответ-
соответствующие значения v'2, p2 и р'%, отвечающие величине^', связаны
также соотношениями B.12), B.13) и B.14). При постоянных зна-
!) В в г t h e 1 о t M., V i e i 1 1 е Р., С. г. Acad. Sci., Paris, 94, 101—8,
seance du 16 Janvier, 1882. Mallard E., Le Chatelier H., Ann.
Mines, 8, ser. 4, 274, 1883.
194 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
чениях plt рх в плоскости переменных рУрх, Pi/p'2 согласно B.13)
получим прямую, которая называется прямой Михельсона *).
Таким образом, получим, что вдоль прямой Михельсона для
данного начального состояния рх, рх и и в интервале от Q' = 0 до
Q' = Q все характеристики движущейся среды v'z, р2, р2 на осно-
основании B.12), B.13) и B.14) и Т\ и S'2 на основании уравнений
состояния можно легко вычислить через Q', ръ рх и постоянную и.
Что касается определения этих же величин в зависимости от
координаты по толщине зоны химической реакции, то для этого
достаточно найти одну из указанных величин в зависимости от этой
координаты. Для определения этой зависимости необходимо ис-
использовать уравнения кинетики химических реакций. Соответ-
Соответствующие уравнения кинетики химических реакций во многих слу-
случаях еще неизвестны достаточно детально, и поэтому вопрос о
структуре детонационной волны до сих пор остается неясным. Не-
Нередко из-за тонкости слоя химической реакции при решении газо-
газодинамических задач можно ограничиться расчетами скачков дето-
детонации, в которых можно посчитать волну детонации бесконечно
тонкой и удовлетворять условиям на разрыве B.12), B.13) и
B.14) при данном Q.
Исследование, восходящее к работам Михельсона, показывает,
что в газах верпы неравенства
Pi
P2
Pi
P21
Pi
P32
где р2 — значение плотности за фронтом ударной волны до начала
химической реакции при Q' = 0, a p^p^i и Pi/p22 — корни уравне-
уравнения B.14) для данного Q.
На прямой Михельсона в интервале р]/р2, Р1/Р21 по изменению
плотности р2' тепловыделение Q' (рх/р2) монотонно растет от 0 до Q.
При дальнейшем непрерывном изменении pt/p2 вдоль прямой Ми-
Михельсона от рх/р21 до pi/p22 согласно B.12), B.13) и B.14) происхо-
происходит немонотонное изменение Q': сначала продолжается выделение
тепла, так что Q' становится большим Q, а затем происходит по-
поглощение тепла и соответственно уменьшение Q' до значения Q
в точке Р]/р22.
Отсюда следует, что если в зоне волны детонации при химичес-
химических превращениях явление происходит непрерывно, а величина
(?'(Pi/Ps) может расти только монотонно, то за фронтом детонации
не может осуществляться состояние, отвечающее корню 2) рх/р22.
!) Михельсон В. А., Уч. зап. Имп. моек, ун-та, отд. физ.-мат.,
вып. 10, 1893.
2) Очевидно, что условие монотонности функции Q' (fiJPs) есть достаточ-
достаточное условие для исключения корня р]/р22- С другой стороны, для реализации
корня Р1/Р21 за фронтом детонации требование о монотонности функции
Q' (Pi/Pa') B зоне химической реакции не является необходимым.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
195
И точке рх/ргх за фронтом детонационной волны скорость распро-
распространения детонации по частицам дозвуковая или точно равна ско-
скорости звука в точке Жуге.
Очевидно, что если скорость детонации и строго дозвуковая,
то в этом случае будет происходить взаимодействие детонационной
полны с газовым потоком продуктов детонации, т. е. с газовым по-
потоком, который регулируется краевыми условиями за фронтом де-
детонационной волны. Именно это обстоятельство, установленное
ипервые в диссертационной работе А. А. Гриба, относящейся к
1939—1940 годам, выясняет вопрос о величине возможных значений
скорости детонации и при распространении волны детонации по
частицам в различных конкретных задачах.
При малых подпорах потока сзади из-за ослабления скачка де-
детонации, взаимодействующего с потоком продуктов детонации, воз-
возможна только минимальная скорость и распространения фронта
детонации по частицам перед ним, отвечающая точке Жуге, при
которой скорость фронта по частицам за ним равна местной скоро-
скорости звука за фронтом детонации. При больших подпорах за фрон-
фронтом детонации х), вызываемых соответствующими краевыми усло-
пиями, возможны режимы распространения детонации, отвечаю-
отвечающие большим, чем по Жуге, значениям скорости и, при которых
скорость фронта по частицам за ним дозвуковая,
- cf
a\
и согласии со знаком неравенства в B.16).
4. О связи между температурой и скоростью за скачками. Не
ограничивая общности, можно принять vx = 0, т. е. можно всегда
рассматривать движения относительно газа перед скачком.
Из механических соотношений B.5) следует равенство
У ==
Р2
Рг
Рг
1+ pW~ p
B.20)
Отношение pj/p2 для скачков уплотнения меньше единицы. Без-
ригшерпая функция % (pL/p2, jVPic2) положительна и монотонна по
обоим указанным аргументам при
-^2^> 0 и — <^ 1;
отсюда следует, что в самом общем случае, независимо от уравне-
уравнении энергии, для скачков уплотнения величина / имеет максимум,
соотнотствующий pJpsC*' = 0 и (Рх/ргЭтш:
B.21)
V — ( РЛ 1
Атах — I —— — -1 ¦
\ Pi /max
Соответствующие примеры даны в § 8.
196
ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Очевидно, что наибольшее уплотнение р2/рх достигается для
простых ударных волн или для волн с дополнительным поглоще-
поглощением энергии. Для волн с подводом энергии и, в частности, для
пламени или детонационных волн величины (p2/pi)inax и Хтах полу-
получаются меньшими. Из условий па скачке следует, что для простых
сильных волн наибольшее значение отношения р2/рг равняется
(У ~Ь 1)/(y —¦!) и, следовательно,
2
Хтах —
V-1
B.22)
Для сильных детонационных волн (pJpiC1 = 0), удовлетворяю-
удовлетворяющих условию Чепмена — Жуге, из уравнения B.14) найдем
Та
Pi /max
72
и соответственно этому
_ 1
Хтах —~
Найденные верхние границы для % позволяют оценить темпера-
температуру за фронтом по данным о скорости частиц газа за фронтом.
Скорость частиц газа во многих случаях известна; при движе-
движении тел в неподвижном газе относительная скорость газа равна
скорости тела; в астрофизике скорость частиц газа в туманностях
или в звездных фотосферах можно определять с помощью изуче-
изучения спектров.
Например, если в водороде скорость за фронтом равна
1000 км'сек, то в этом случае температура за фронтом должна быть
большей, чем 50 миллионов градусов по Цельсию.
5. Условия на фронте скачка с притоком тепла для автомо-
автомодельных движений. В этом случае постоянная Q является опреде-
определяющей; так как [Q] = L2T~2, то можно Припять т = 2, п = —2,
т. е. б = 1 и, следовательно,
где р — некоторая постоянная, значением которой можно распо-
распорядиться. Вторую размерную постоянную обозначим через А;
очевидно, что всегда можно считать, что формула ее размерности
имеет вид
[А] = М1>-3.
Из автомодельности следует, что для плотности и давления при
t = 0 должны быть верны формулы вида
Pi=*i4, Pi = ka^, B.23)
( :•!
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
197
i д|' А1, и к2 — постоянные. Если мы примем, что начальное состоя-
состояние соответствует равновесию при отсутствии массовых сил, то
отсюда вытекает, что при со ^ 0 к2 = 0 и, следовательно, в невоз-
м у щепной среде, находящейся в равновесии,
Pl = 0. B.24)
Если ay ~ 0, торх — const и может при равновесии отличаться
от пуля.
Для автомодельных движений при наличии притока тепла ус-
условия на скачке примут вид
B.25)
причем X = X* = const на скачке.
Для закона движения скачка имеем
Если скачков несколько, то на одном из них всегда можно счи-
считать, что X* = 1. Этим определится постоянная р.
Условие Чепмена — Жуге B.19) дает
= (V2 - бJ.
B.26)
Таким образом, при выполнении условия Чепмена — Жуге
фронт детонации в плоскости z, V должен соответствовать некото-
некоторой точке параболы B.26).
Если скачок распространяется по покоящемуся газу, то
Vl = 0; из B.25) получим
*-
¦?)<'-А>Г-
z9 = ¦
причем
Л2=
B.27)
Условие Чепмена — Жуге равносильно равенству /V = 0. Если
198 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
условие Чепмена — Жуге не удовлетворяется, причем V1 — zL =
= 0, то
-1 7*A-Л) '
Тз-Ь 1 '
B.28)
Значения за скачком V2, z2 расположены на параболе:
22 == у2у2 A_ у2). B.29)
Точка Чепмена — Жуге соответствует точке пересечения пара-
парабол B.26) и B.29), в которой Л = 0. Парабола B.29) проходит
через начало координат, в котором Л = —1/у2. При движении по
параболе B.29) вверх от начала координат Л возрастает и обра-
обращается в нуль на параболе B.26), при дальнейшем движении пара-
параметр Л возрастает и стремится к Л = + 1/у2, соответствующему
сильной простой ударной волне (Q = 0).
§ 3. Алгебраические интегралы для автомодельных движений
С помощью соображений теории размерностей для автомодель-
автомодельных движений можно установить независимо от частных краевых
или начальных условий алгебраические интегралы для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений. Иначе говоря,
в общем случае всегда можно понизить порядок системы обыкно-
обыкновенных уравнений.
Ниже мы покажем, что число таких интегралов можно увели-
увеличить в некоторых частных примерах размерностей определяющих
постоянных а и Ъ. Последующие выводы сохраняют свою силу для
случаев более общих, чем движение газа, описываемое системой
A.3).
Для конкретности мы рассмотрим одномерные неустановив-
неустановившиеся адиабатические движения совершенного газа с учетом нью-
тонианского тяготения для сферического случая, описываемые сис-
системой уравнений
др дру , (у — 1)p"_q. C I)
dt ~т~ дг t~ г ' у ' '
dv
ду
dS
dt
1 dp
dS
C.2)
C.3)
C.4)
где oj= 2 (v —1)л + 4 (v —2) (v —3), v = 3 в сферическом слу-
з]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
199
чае, / — гравитационная постоянная, [/] = M~1L3T~2. Мы рас-
рассмотрим одновременно также случай цилиндрических волн х) v =
= 2 или плоских волн v = 1, когда / = 0; М — масса между фик-
фиксированной и рассматриваемой координатными поверхностями,
\jll\ — MLV~3; S — энтропия или некоторая функция от нее.
Рассмотрим автомодельные движения, определяемые двумя раз-
размерными постоянными а, Ь2):
[а] = ML'fcTs и [Ь] = LmT".
При т ф 0, не ограничивая общности, можно принять, что т = 1,
п = — б, а к = —3. Достаточно положить
-ft-з _?
Й1 = аЬ т и h = bm .
В случае учета сил пьютонианского тяготения при к = —3 необ-
необходимо принять [а] = [1//], поэтому s = 2 и, следовательно, един-
единственным существенным параметром будет показатель б. При
/ = 0 показатель s также может быть произвольным.
В общем случае для автомодельных движений при т Ф 0 мо-
можно написать
Р (к);
Л =
C.5)
Подстановка C.5) в уравнения C.1) — C.4) приводит к систе-
системе четырех обыкновенных дифференциальных уравнений для
V (X), Я (Я), Р (X) и М (Я).
Для этой системы уравнений, которую нам не нужно выписы-
нать, мы найдем алгебраические интегралы — конечные соотно-
соотношения между
V, Я, Р, М и Я.
1. Интеграл масс. Из уравнения C.2) следует
М" г"
Л" — Л[ = ^ АЛ = 0V у pr" dr.
Ж т'
Рассмотрим подвижные поверхности г' (?) и г" (?), на которых
параметр X принимает постоянные значения X' и Я". Нетрудно про-
J) При V = 2 в последующих выводах силы гравитации можно учесть.
2) Выражение энтропии S через р и р не должно содержать существенных
рпимпрпых постоянных, независимых от а и Ь. Очевидно, что мультиплика-
•гишн.Н! и аддитивные постоянные несущественны.
200 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
верить следующее тождество, верное для любой функции F (r, t):
(-J- - i>)? , C.6)
d
dt
г'
где символ d/dt означает производную по времени, взятую для под-
подвижного объема интегрирования, составленного из одних и тех
же частиц газа. Так как
то
Л" - Л' =
d (Л" — Л')
dt
f'
X"=const
K'=const
- %'+-*-*М(к1)],
s-f b(k-\- 3— v) , „ ..,
= (Л — M ).
В силу закона сохранения масс, имеем
d(M -Л) =а
Поэтому равенство C.6) при F = 1 дает
- Ж) = с.
Отсюда после использования формул C.5) и равенств -у- = б—— ,
dr» „ г"
-т- = о—— получим интеграл
Oft Г
1*-};-з {[s о. § (д. _(_ 3—v)]M — 0VJ? (F — б)} = С = const C.7)
который является следствием закона сохранения массы и, следова-
следовательно, верен всегда. При отсутствии сил ньютонианского тяготе-
тяготения интеграл C.7) можно рассматривать независимо от уравнений
движения как формулу, выражающую в конечном виде М (к) че-
через X, V и Л. При учете сил тяготения функция М (к) войдет в обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение, полученное из уравне-
уравнения импульсов. С помощью интеграла C.7) функцию М (Я) можно
исключить из этого уравнения. Если для изучаемого решения ,М =
= 0 или л = const при X = 0, т. е. в центре симметрии нет источ-
источников массы с конечным или бесконечным расходом, то, полагая
X' = 0 и г' = 0, из вывода интеграла C.7) следует, что постоянная С
в правой части C.7) равна нулю.
Если вблизи центра симметрии при t ^> 0 образуется кавер-
каверна — пустота, причем па границе этой каверны имеем X' = const
и Jf = 0, то скорость частиц на каверне совпадает со скоростью
ее расширения v — dr'fdt. В этом случае получим также, что С — 0.
Перечисленные случаи соответствуют решениям, в которых за-
закон сохранения масс выполняется не только в каждой регуляр-
6 .4]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
201
ной точке потока при г ф^ 0, но и в особой точке потока в центре
симметрии при t ;> 0.
Если закон сохранения массы не удовлетворяется при г = 0,
то в центре симметрии может присутствовать источник масс; в этом
случае постоянная С может отличаться от нуля.
При отсутствии источников массы в центре симметрии пере-
переданная М может рассматриваться как лагранжева координата,
it противном случае при V Ф б в качестве лагранжевой координаты
можно взять переменную Л = prv (V '— б), имеющую размер-
размерность массы. Справедливость равенства
d,A
dt
¦ = 0
легко проверить непосредственно с помощью уравнения неразрыв-
неразрывности.
При С = 0 переменные ,м и Л отличаются только численным
множителем.
Случай V = б соответствует частному решению с линейным по
радиусу г распределением скоростей v = бг/i; в этом случае в час-
частицах к = const и поэтому безразмерная переменная X является
лагранжевой координатой.
2. Интеграл адиабатичности. Для обратимых адиабатических
движений газа существует еще один интеграл х)— следствие зако-
закона о постоянстве энтропии в частице.
Пусть Ф (р, р) = / (S) — некоторая функция от энтропии. За-
Зависимость энтропии S от р и р может быть произвольной. Условие
постоянства энтропии C.4) в частице равносильно соотношению
вида
Ф (Р, Р) = F (-M, а, Ъ, аи а2, . . .),
где ах, а2 — отвлеченные постоянные, а Л — лагранжева коорди-
координата.
Отметим формулу размерности для Ф. Пусть
[Ф] = М»ЫГ*.
Если при любом х нет равенства [ab\] = [,#]2), то из трех раз-
х) Л и д о в М. Л., Конечный интеграл уравнений одномерных автомо-
автомодельных адиабатических движений газа. ДАН СССР, т. 103, № 1 1955, стр.
35-36.
2) Так как
то равенство [а&*] = [Л] возможно, если s+8(&-{-3 — v) = 0 и
x = V— к — 3;в этом случае интеграл C.7) дает V~k~3&, (V — 6) = С. Если
С = 0, то V = б, и, следовательно, v = brlt. Такое частное решение мы изу-
изучим в § 15.
202 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
мерных параметров а, Ьг, Л нельзя образовать безразмерной ком-
комбинации, поэтому верно следующее уравнение:
[>-co(v-3)]&
«б,8 '
t
s+S(Jc+3-v)
/(ox, a2, ...)• C.8)
После замены в C.8) р, р, Л по формулам C.5), получим конеч-
конечное соотношение между V, J%, P и X, которое является интегралом
уравнений неразрывности и адиабатичности.
Если при некотором % существует отвлеченная комбинация
аЪ\1м, то величина / может зависеть от аЪ\1,М, причем эта зависи-
зависимость может быть неизвестна заранее, поэтому в этом частном слу-
случае дифференциальное уравнение адиабатичности, вообще говоря,
не заменяется конечным соотношением — интегралом.
Если газ совершенный, то можно положить Ф = р/ру', в этом
случае имеем
« = 1— у; [х = 3Y —!; % = —2-
Интеграл адиабатичности приобретает форму
s+S(/C+3-v)
а2, ...).
C.9)
На основании интегралов масс и адиабичности порядок систе-
системы обыкновенных уравнений снижается от четырех до двух.
3. Интеграл энергии. Как мы покажем ниже, этот интеграл
имеет место х), если из определяющих постоянных либ, можно
образовать постоянную с размерностью MLV~XT, равной размер-
размерности энергии в сферическом случае, энергии, рассчитанной на
единицу длины или площади, в цилиндрическом или соответствен-
соответственно в плоском случае.
Рассмотрим сначала случай отсутствия сил тяготения, но в об-
общем случае при v = 1, 2, 3.
Для полной энергии между подвижными координатными по-
поверхностями г' (?) и г" (t) имеем формулу
где е — внутренняя энергия, рассчитанная на единицу массы.
Изменение энергии частиц, заключенных в данный момент време-
времени между поверхностями г" = const и г' = const, равно работе
!) Седов Л. И., Распространение сильных взрывных волн. ПММ,
т. 10, вып. 2, 1946, стр. 241—250.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
203
сил давления на этих поверхностях; поэтому
"?- = — G,(p"v"r"^ — p'v'r'"^).
dt
Далее для любых автомодельных движений (т Ф 0) из сообра-
соображений размерности следует, что для величины '?, имеющей размер-
размерность MLV"LT, верна формула следующего вида:
да „гУ~ 1-fc +B(v-i-ft)-2-s j/\ n \ i „ „, \
© = UOi I ДЛ , Л , O-i, и2, . . •),
где / (к", Я', аи . . .) — отвлеченная функция. Примем теперь,
что г' (t) и г" (t) определены из условий If = const и %" = const.
После этого в общем случае будем иметь
dt ^ ' t
Теперь с помощью этих формул, формул C.5) и соотношения
C.6) после замены F (r, t) через г?2/2 + р/ (у — 1) р (мы полагаем
для определенности, что е = р/(у — 1) р) легко выводим соотно-
соотношение, верное для любых автомодельных движений газа:
[S _|_ 2 — б (v — 1 — к)] f (К", К', аъ аа, .. .) =
Полученное соотношение содержит неизвестную функцию
/ (Я", X', а1? а2...), которая исключается если
s- 6(v-l —fc) = -2. C.10)
Следовательно, при наличии условия C.10) получим еще один
существенный интеграл:
[ру + (У _ 6) {^Р- + j^j)] =
const,
C.11)
являющийся следствием закона сохранения энергии. Учитывая,
что в предыдущих выкладках было принято т = 1, легко усмот-
усмотреть, что условие C.10) равносильно равенству
Следовательно, наличие интеграла энергии эквивалентно усло-
условию о том, что постоянная аЬ1~г~ имеет размерность энергии Ш\
соответствующие автомодельные движения могут определяться
постоянной Щ и постоянной Ъъ [Ъу\ = LT, причем показатель
б может быть произвольным.
Очевидно, что равенство
е = —-L
204 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
несущественно; можно написать интеграл, аналогичный интегралу
C.11), для других зависимостей е (р, р), если указанная автомо-
дельность имеет место.
Рассмотрим еще случай движения газа со сферической симмет-
симметрией с учетом сил ньютонианского тяготения.
При наличии сферической симметрии для полной энергии час-
частиц газа внутри объема О, заключенного между двумя сферами
радиусов г" и г', верна следующая формула:
= \ [& + ре -
В подынтегральном выражении первый член определяет кине-
кинетическую энергию, второй — тепловую, внутреннюю и третий —
часть внутренней энергии, обусловленную внутренними силами
взаимодействия гравитационного тяготения. Масса газа внутри
сферы радиуса г' обозначена через.М'.
Поясним формулу для третьей части—
внутренней энергии гравитационного
взаимодействия масс газа. При выводе
этой формулы энергия взаимодействия
полагается равной нулю при бесконеч-
бесконечном удалении материальных частиц друг
от друга. Очевидно, что для двух мате-
материальных точек с массами пгх и т2 по-
потенциальная энергия взаимодействия
равна
Рис. 37. Сферический слои
притягивает внешнюю точ- __ {т^щ
ку А как материальная точ- г12
ка, помещенная в центр О.
Равнодействующая притя- Как известно, сферический слой мате-
жения слоем равна нулю рИи с общей массой ,МХ и с плотностью,
для внутренней точки В. зависящей только от радиуса (рис. 37),
действует на внешнюю точку А с массой
т2как материальная точка с массой Лъ сосредоточенной в центре
сферического слоя.
Суммарная сила притяжения сферическим слоем внутренней
точки В точно равна нулю. Поэтому потенциальная энергия взаи-
взаимодействия сферического слоя с массой Лх и материальной точки
с массой т2, расположенной на расстоянии г от центра сферического
слоя, представляется формулой
Потенциальная энергия взаимодействия сферического слоя
с точкой В равна нулю.
з]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
205
Масса сферического слоя между сферами радиусов гиг' равна
Л _ л'- поэтому потенциальная энергия взаимодействия масс
внутри объема О между сферами г' и г" представится формулой
\ \ Л — Л') р4яг2 dr
\ f(,M — Jl')d.M \
-) ; \
г' г'
Согласно закону сохранения энергии для массы внутри объе-
объема О имеем
dcS
dt
dt
di
dQ^
где dAnL/dt — работа в единицу времени внешних поверхностных
сил, определяемая равенством
"классов/"" - работа в единицу времени внешних массовых сил
гравитации, которые эквивалентны силе притяжения материаль-
материальной точки с массой Jfl, помещенной в центр симметрии. Работа
этой силы в единицу времени над элементом d <" равна
]М' d,M dr
^ Jt '~
__
dt
Отсюда следует, что
dQV/dt — внешний приток тепла в единицу времени, равный
нулю, так как по предположению процесс адиабатический.
Отсюда следует, что для частиц газа, заключенных в данный
момент времени внутри рассматриваемого объема О, закон сохра-
сохранения энергии приводит к уравнению
J*. \ ^|! + ре
dr = 4
~ ^p"v"). C.13)
При медленном адиабатическом гравитационном сжатии газовых
шаров (ь = 0) с отсутствием работы внешних сил, что применимо
к звездам, уравнение C.13) дает
R R
С* i Л{
- const.
206 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
Так как при сжатии правая часть возрастает, то очевидно, что
температура газа должна повышаться. При сжатии тепловая энер-
энергия излучения может расходоваться за счет гравитационной.
Если движение газа автомодельно с определяющими постоян-
постоянными
[а] = [у-] = MlT3T2 (ft = - 3, s = 2) и [Ъх] = LT-»,
то верна формула
г'
е ~
Воспользуемся теперь соотношением C.6), в котором положим
С учетом C.13) и C.14) найдем
отсюда на основании формул C.5) при е = р/(у — 1) р получим
E6 - 4)/ (к', к") = {4л?^ГрУ + (-?• + ( Р1)% -М)Я{у — 6I V.
В этом соотношении выпадает неизвестная функция / (%', Я"),
если б = 4/5. Таким образом, при б = 4/5 имеет место еще один
интеграл:
= const. C.15)
Если б = 4/5, то
Следовательно, в этом случае в качестве независимых размерных
постоянных можно взять гравитационную постоянную / и некото-
некоторую энергию IS*.
4. Интеграл импульса. Рассмотрим еще случай одномерных
неустановившихся движений с плоскими волнами, когда из опре-
определяющих постоянных аи Ъ можно образовать постоянную с = аЪ*
при некотором к с размерностью импульса, рассчитанного на
единицу площади [с] = ML^T. В этом случае можно поло-
положить к = — 1, s = — 1и путем аналогичных рассуждений найти
интеграл
Р — (V — б) ЯУ = const. C.16)
§ 4]
ДВИЖЕНИЯ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ К АВТОМОДЕЛЬНЫМ
207
В любом из интегралов C.7), C.9), C.11) и C.15) переменную
X можно исключить с помощью выбора подходящего значения
показателя размерности к, который можно варьировать путем
замены постоянной а на постоянную ах = аЬх, где % может прини-
принимать любые значения.
Предыдущие методы получения интегралов приложены к уста-
установлению интегралов для линеаризированных решений около
автомодельных движений х) и для любых приближений 2) при раз-
разложении неавтомодельных решений в ряды по автомодельным
функциям.
Выше мы установили конечные интегралы обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений для автомодельных движений газа.
В выводе были использованы соображения теории размерности
и общие теоремы механики, вытекающие из системы уравнений
движения. Из общих соображений ясно, что интегралы можно
получить также путем формальных выкладок из системы обыкно-
обыкновенных уравнений.
Выведенные интегралы имеют место как следствие системы
обыкновенных уравнений, которая может сохранять свой вид для
иных постановок задач, в частности для политропических движе-
движений совершенного газа, когда уфср/с„ и, следовательно, энтро-
энтропия переменна в частице и имеется внешний приток тепла.
§ 4. Движения, предельные к автомодельным
Исходя из рассматриваемого семейства автомодельных реше-
решений, зависящего от нескольких параметров, можно с помощью
некоторых предельных переходов построить другие семейства
точных решений для тех же уравнений с частными производными.
Поясним это на одном примере.
Возьмем решение вида C.5) и напишем его в следующей форме:
v =
' (t + ta)
abs
\S+2
sJf7 (X)
rft4-3-v ,
+ to)
И к =
\5 '
D.1)
Очевидно, что если в решении C.5) время t заменить через
t + t0, получим снова решение, содержащее еще один постоянный
х) Л и д о в М. Л., К теории линеаризованных решений около одномер-
одномерных автомодельных движений газа. ДАН СССР, т. 102, № 6, 1955.
2) Коробейников В. П., Об интегралах уравнений неустано-
нивптихся адиабатических движений газа. ДАН СССР, т. 104, № 4, 1955,
стр. 509-512.
208 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
параметр t0. Кроме, этого, мы ввели новые обозначения
V = б Г; Я = б5Я; Р = 8S^P;
М = 63Ж; z = 82f.
D.2)
Уравнения C.1), C.2), C.3) и C.4) имеют решения вида D.1)
при к = —3, s = 2 и любых значениях б, t0 и 6. Для уравнений
A.3) при / = 0 постоянные к и s могут быть произвольными. По-
Положим теперь
f0 = бт и Ъ = г0 (8т)-5.
Очевидно, что [т] = [t] и [г0] = [г], причем т, г0 и б — произ-
произвольные постоянные.
Перейдем в формулах D.1) к пределу при фиксированных т, г0,
конечных V, Я, Р, Й и при б -> оо; формулы D.1) дадут
D.3)
Отсюда следует, что уравнепия одномерных неустановившихся
движений газа должны иметь решения вида D.3), которые можно
рассматривать как предельные для автомодельных движений.
Из уравнений B.1), B.2) и B.3) легко получить уравнения для
2, Я, Р и X; при конечных has найдем
dz
— 1)] V(V— IJ — G—
— 1)}
, 1 \\ ,1
ft + 1
vF
dlnX,
z — (F —
72G—1) +
D.4)
(F-l)
rilnX,
- - / к + 1
F2G —l) + (—^—-
z— G — IJ
ДВИЖЕНИЯ, ПРЕДЕЛЬНЫЕ К АВТОМОДЕЛЬНЫМ
209
Интегралы масс и адиабатичности для этих предельных движе-
движений приобретают вид
: + 3 — v) — avJ# (V — 1)} = const,
H2
• const.
D.5)
При & = v — 1hs= —2 верен иптеграл энергии, представляе-
представляемый соотношением
= const.
D.6)
Нетрудно убедиться, что случай s = so6 + «i, т. е. s-> + cxd
при б —>• cxd, приводится к рассмотренному после замены постоян-
постоянной a/xs на ах в D.3) и замены к на к -\- s0 в уравнениях D.4) и
интегралах D.5).
Для движений газа с плоскими волнами аналогичные рассуж-
рассуждения применимы к координате г, которую можно заменить через
Хо.
о
Формулы C.5) можно написать в виде
(х + ха) 6
V =
Р =
¦V(k);
аР(Х)
Р =
; Л =
(X)
ail/(Я)
D.7)
Здесь использованы обозначения
D.8)
Положим
Очевидно, что верны следующие формулы размерности:
[ж] = [г0] и [i] = [т];
т и г0 могут быть произвольными. Фиксируем к, s, r0, т
210 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
и устремим б к нулю; тогда получим
-Я (К);
(I)
Jt+l
D.9)
Из уравнений B.1), B.2) и B.3) легко получить уравнения
для z, P, Я и X; после подстановки в B.1), B.2) и B.3) формул
D.8) и перехода к пределу при 6 = 0 получим
dz
dV
z 2(F-1P-(T-
(F-1)[f(F-1)-^^-;]
d\nl z — (F— IJ
dV
s-j-2
z —F(F—1)
s + 2
(V-l)
din
= s —
D.10)
dln'X, " z — (V—1J
В этом случае интегралы масс и адиабатичности можно напи-
написать в виде
sM — M (V — 1) = const,
-=r^— = M * ? + s const.
D.11)
При fc = 0 и s = —2 имеет место интеграл энергии х)
Р
1 = const.
D.12)
Применяя еще один предельный переход |я —> + эо в формулах
D.3) и D.9), после замены t на t + цгх и т = (х?г получим общие
формулы для установившегося движения газа. Предельный пере-
переход в формулах D.9) после замены х на х + ц1 и г0 на jji при
ц_> оо приводит к поступательному движению с переменным
(по времени) давлением.
Решения типа D.3) и D.9) рассматривались К. П. Станюкови-
Станюковичем 2) путем формальных подстановок.
!) При наличии интегралов D.5) и D.6), а также интегралов D.11) и
D.12) уравнения движения могут быть проинтегрированы в квадратурах.
Это интегрирование осуществлено Н. Н. Кочиной (см. Кочина Н. Н.,
Некоторые точные решения уравнений одномерного неустановившегося дви-
движения совершенного газа. ПММ, т. 21, вып. 4, 1957, стр. 449—458).
2) Станюкович К. П., Неустановившиеся движения сплошной
среды. М., Гостехиздат, 1955; М., «Наука», 1971.
5]
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
211
§ 5. Исследование полей интегральных кривых
в плоскости г, V
Для анализа существования, единственности и способов по-
построения решения различных краевых и начальных задач необ-
необходимо исследовать поле интегральных кривых в плоскости z, V.
Мы рассмотрим в случае отсутствия силы тяготения обыкновенное
дифференциальное уравнение B.1), которое, помимо параметра
v = 1, 2, 3, содержит еще два существенных параметра % и б.
Для перечисленных выше задач в § 1 и дальнейших приложе-
приложений особенно важными будут два семейства решений со следую-
следующими размерностями определяющих параметров.
1. Одна из постоянных и имеет размерность скорости, произ-
произвольную размерность второй постоянной А можно считать равной
ML»-3 (к = « - 3, s = 0).
2. Одна из постоянных Е имеет размерность энергии ML4!1",
размерность второй Л может быть произвольной, и ее также можно
считать равной МЬШ~3.
К случаю 1 сводятся задачи, когда фазовые скорости постоян-
постоянны: задачи о поршне, движущемся с постоянной скоростью в среде
с постоянными начальными давлением и плотностью (со = 0),
задача о детонации и горении в среде с постоянной или переменной
плотностью при рх = А/г'л, задача о распаде произвольного
разрыва в горючей смеси с постоянными справа и слева характери-
характеристиками газа и т. п.
К случаю 2 сводятся задачи о сильном взрыве {рг = 0) при
постоянной начальной плотности, когда со = 0, или при перемен-
переменной начальной плотности рх = А/г", когда « Ф 0.
В случае 1 имеем
R Л а 1 О г
6 = 1; х = — ; ^ = Р—
ut
E.1)
а в случае 2 получим
1
= D)
[Ъ] = LT"
7
б =
2 + v— a>
bt&
E.2)
где р — отвлеченная постоянная, которой в каждом конкретном
решении можно распорядиться. В обоих случаях в плоскости z, V
получаются семейства решений, зависящих только от одного суще-
существенного параметра со.
Рассмотрим теперь подробнее дифференциальные уравнения
B.1) и B.2).
212 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
В случае 1 имеем
dz
—
¦ vV z
1 f
dV
E.3)
E.4)
Уравнение B.3) можно заменить интегралом адиабатичности.
Согласно формуле C.9) при 6 = 1, s = 0, & = со — Зи форму-
формуле C.7) получим
)
E.5)
После интегрирования уравнения E.3) и вычизления с по-
помощью квадратуры Я (V) из E.4) соотношение E.5) определяет
функцию Я (V); Сх и С2 — произвольные постоянные. Если при
А, = г/г2 = 0 масса Ж равна нулю и нет источника массы, то
В сферическом случае при v = 3 обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение E.3) в полуплоскости z Г> 0 имеет следующие осо-
особые точки (см. рис. 38—41).
Точка О (z = О, V = 0) — узел, интегральные кривые входят
в точку О, касаясь оси F, причем имеется одна-единственная инте-
интегральная кривая, которая подходит к точке О с угловым коэффи-
коэффициентом, равным у/со. Вблизи точки О для интегральных кривых
верны асимптотические формулы
z = CV2; l = ~- и z = ^-V; % = -%:. E.6)
При приближении к точке О в плоскости z, V в газе мы удаляемся
в бесконечность.
Точка С (z = 0, V =¦¦ 1) — сложный узел, интегральные кри-
кривые подходят к точке С, касаясь оси V и по направлению, перпеп-
дикулярному к этой оси, причем во втором направлении имеются
интегральные кривые при со > 0.
Асимптотические формулы для интегральных кривых, касаю-
касающихся оси V, при у <С 2 имеют вид
У + 1 *./1_У), 2= 2^--? A-Л2.
* _
__
3G-1)
6 •—
A—V)
E.7)
Рис. 38. Картина поля интегральных кривых при v = 3, б = 1, со = 0. Точ-
Точки, соответстпующис покою на прямой ОЛ, могут перейти через ударную
/у — 1 \
иолну в точки параболы z2 = A — V.z) I 1 -f- ^— V2 • Стрелки указыва-
\ I
ют напрапление роста X = |3r/(ui). Эти нее интегральные кривые при F>0,
Х>0 и i <; 0 (можно принять, что моменту прихода возмущения в центр
симметрии соответствует t = 0) описывают течения с постоянной ско-
скоростью переднего фронта слабого возмущения в случае сходящихся
(у < 0) потоков.
и ж ш_
Зу 2у Зу-1
1'ис. 39. Картина поля интегральных кривых при v = 3, 6 = 1 иО<со<
< 2у1(у + 1) (точка А лежит выше параболы z=fl/'2(l — F2)). Характерно,
что особая точка А сдвигается по параболе z = A — FJ, сдвигается также
точка D и меняется свойство особой точки С.
214 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
В
Ж 2 (о
ЗуЗу-Uy
Зу-1
Рис. 40. Картина поля интегральных кривых при б = 1 и со =
= 3 (у + 1)/(Зу — 1). Особая точка В лежит на параболе z = yV2 (I — V2
~Зу-Г" Зу-1
Рис. 41. Картина поля интегральных кривых при v = 3, 6 = 1 и
д . ¦ < со < -5—-Ц- • Движению к центру симметрии из точек парабо-
лы z = yV2 A — F2) соответствует движение к особой точке С.
S Г.]
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
215
где С и X*— некоторые постоянные; при со <^ 6у/(у+1) величина
/>-*0 при %->Х*.
Для кривых, перпендикулярных к оси V, верны асимптотиче-
асимптотические формулы
Ь-^*= vylco V-V) при ©<6Y/(Y
G-1)» -(у-1)м
z = А A - F)~^=»~ , Я = В{\ — Vf*
р _ ЛВ
' 7 '
E.8)
где Я*, Л, В — некоторые постоянные. При приближении к точке
С в газе мы приближаемся к поверхности на конечном расстоянии
от центра, на которой фазовая скорость равна скорости частиц
газа,— поршень или граница с пустотой
Точка
_ 1J тг 2
—со)}'
V =
Зу —
— узел при со > 4у/Cу — 1) и седло при со <^ Ау/Cу — 1); при
о = 6у/Cу — 1) точка В совпадает с бесконечно удаленной особой
точкой D. При больших со точка В переходит в отрицательную
полуплоскость. Если точка В не лежит на параболе z = A — FJ,
то на интегральных кривых, входящих в эту точку, переменная К
стремится к нулю или к бесконечности, т. е. к центру симметрии
или к бесконечно удаленной точке. Если точка В лежит на пара-
параболе z = A — FJ, что возможно только при со = 4y/Cy — 1),
то значение X при приближении к точке В может сохранять конеч-
конечное значение. В этом случае точка В может соответствовать под-
подвижной точке в газе. Если
со =
3G + 1)
37—1
то точка S лежит на параболе z2 = yV2 (I — F2), при меньших
со — ниже, а при больших <в — выше этой параболы; это обстоя-
обстоятельство имеет важное значение при решении задачи о распро-
распространении детонации в среде с переменной плотностью рх = А/гю.
Точка D (z = оо, F = co/3y) — седло
6Т .
при
и узел
при
„ _
В первом случае имеется одна интегральная
кривая, уходящая в бесконечность асимптотически параллельно
оси z; вдоль этой кривой при удалении в бесконечность К —>¦ 0, и,
следовательно, мы приближаемся к центру симметрии. Во втором
случае при приближении вдоль интегральных кривых к узлу D
в газе мы удаляемся в бесконечность, так как X—> + оо. Вблизи
точки D при со <^ 6y/Cy — 1) верны следующие асимптотические
216 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
формулы:
зу-ш
Z =
у ^J
Зу у
со (Зу — соK
27у3A5у—Зусо —2ш)
и(З-ы)
6v+»-3v»
<ДC-ы)
а>Cу — соK
>J-6V
E.9)
г -"^ 27у4A5у—Зусо—2со)
где ВхиС — произвольные постоянные; В выражается через Вх и С.
На основании E.9) и основных формул A.3) легко получить
асимптотические формулы вблизи центра симметрии для скорости,
давления и плотности.
Точка А
при 0 ^ со <^
\г = A — -|М
4у
седл0 при
4у
V = -|ч — фокус
при со<0, узел
<; 2у, узел при 2у < со <
и центр при
О-
6у — 2 — у2
При со = 0 интегральные кривые входят в узел, касаясь оси z.
При 0<со<
6у-
имеются два направления подхода
интегральных кривых к точке А; угловые коэффициенты этих на-
направлений даются формулой
4у(у +
'¦]¦
Точка А всегда расположена на параболе z = A — FJ, поэто-
поэтому в точке А переменная Я может иметь конечное значение. Пере-
Переход через точку А, в которой фазовая скорость и скорость частиц
различны, соответствует переходу через характеристику, и поэто-
поэтому эта точка может отвечать слабому разрыву.
Точка $ (z = оо, V = 1) — узел при со <^ 0 и седло при 0 <^
<^ со <^ Зу. Точка G (z = оо, V = оо) — седло при любом со.
Каждой особой точке соответствует простое точное решение
уравнений газовой динамики, для которого z = const и V =
= const; переменная Я остается свободной. Функция М (X) опре-
определится из E.5), причем при С2 = 0 получится, что Я является
степенной функцией от X, следовательно, и Р тоже степенная
функция. Таким образом, это — частное решение, для которого
v, р, р являются степенными одночленами от г и t. В частности,
если z — 0 и V — 0, то получим покой при нулевом давлении —
исходное состояние в некоторых автомодельных движениях.
S 5]
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ
217
На рис. 38—41 даны качественные изображения поля инте-
интегральных кривых для y =: 5/з при
3 (V + 1) гЗ(у4-1) . . 6у
= 0, 0<со<
со =
3v —
—1
У + 1 ' "" Зу-'
Направление роста переменной Я указано стрелками. На пара-
параболе z = A — FJ параметр Я достигает максимума или минимума,
поэтому непрерывный переход по интегральной кривой через эту
параболу невозможен, так как это приведет к двулистиости в про-
пространстве движения газа — неоднозначность решения. Однако
переход параболы z == A — FJ по интегральной кривой возможен,
если интегральная кривая проходит через особую точку А,
расположенную на этой параболе. В точке А на параболе для X
происходит смена максимума на минимум, причем в точке А при
движении по пересекающей интегральной кривой параметр X имеет
конечное значение и меняется монотонно. Ниже мы увидим, что
это обстоятельство выделяет пересекающую интегральную кри-
кривую как решение соответствующей задачи о детонации.
При со = 0 в автомодельных решениях может быть pL ф 0:
состояниям покоя соответствует вся прямая V = 0.
В исследуемых решениях вдоль интегральных кривых пара-
параметр X должен изменяться от 0 до оо, если газ безграничен. В боль-
большинство случаев соответствующее движение возможно только
с сильными скачками.
Начало Я — 0 и конец Я = оо могут соответствовать только
указанным выше особым точкам, границы поршня или пустоты
могут соответствовать только точкам прямой V = 1 (совпадение
фазовой скорости и скорости частиц) и, в частности, особым точкам
С ж Ж.
В точках С и Ч либо давление, либо плотность равны нулю
или бесконечности. Случаи давления, равного нулю, соответству-
соответствуют пустоте, случаи конечного давления и бесконечной плотности
для точки С ж плотности, равной нулю для точки со, соответствуют
расширению сферического поршня.
Рассмотрим еще поле интегральных кривых дифференциального
уравнения B.1) для случая 2. Имеем
dz z [2(F — 1) + v(y — 1) У] (У — 6)
E.10)
E.11)
d\nl
dV
— (V — 6J
F(F-l)(F-6) +
— V
218 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
где б = 2/B + v — со). Третье уравнение, определяющее Я,
можно заменить интегралом адиабатичности. Из формул C.9)
при б = 2/B + v — со), s = 0, к =- о — 3 и формул C.7) при
со <^ v получим
о)—v л — B-t-v— о)) >-i
Л С,
2v-vv—со
= Л? »-
~ (У -
\ 2 -•(- v — (о
E.12)
где С — постоянная интегрирования; условие ю <^ v можно
заменить неравенствами со =/= v и <d=^=v-j-2. При со 5& v инте-
интеграл, определяющий массу
г
расходится. Постоянная в правой части C.7) принята равной
нулю на основании замечаний, указанных на стр. 201.
Соотношение E.12) определяет Я через z, V и Я.
Постоянная Е с размерностью МЬ"-1Т~2 является определяю-
определяющей, поэтому в случае 2 имеет место интеграл энергии. На основа-
основании C.11) получим
[zV + (
V
2 +v —со
Я =
E.13)
Интеграл E.13) может заменить уравнение E.10). Из E.13)
можно определить z и подставить в уравнение E.11), после чего
получим обыкновенное уравнение, содержащее только К и V-
Если Сх = 0, то E.13) даст интеграл уравнения E.10), а уравне-
уравнение E.11) интегрируется квадратурой. Если Сх Ф 0, то для опре-
определения z (у) можно интегрировать уравнение E.10), а после этого
функция Я может быть вычислена с помощью E.13), без интегриро-
интегрирования уравнения E.11).
Качественная картина поля интегральных кривых в плоскости
z, V для уравнения E.10) при v = 3, со = 0 ъу <^ 2 представлена
на рис. 42. Направление роста "к указано стрелками. Характер
особых точек виден на чертеже.
Особая точка С (z = оо, V == 2/B + v — со) у) является сед-
седлом. Вдоль единственной интегральной кривой, упирающейся
в точку, переменная К стремится к нулю при удалении к точке С.
Замечательно, что уравнение этой кривой получим из E.13) при
Сг = 0.
При рассмотрении поля интегральных кривых в плоскости z, V
в зависимости от со и у необходимо учесть, что уравнение E.10)
имеет еще особую точку
2 ?* 2(у-1)у[B-т)у-а>1
(у* =
V
?* - -
E.14)
S 5] ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИВЫХ 219
С D
Рис 42. Картина поля интегральных кривых при v = 3, со — 0, § — 2/5,
Y<2.
FIW)
Рис. 43. Картина поля интегральных кривых при v = 3, 6 — 3i><a><
Lj 0 _ . —— в верхней полуплоскости появляется особая
точка Ш — узел. Поле отвечает случаю со > 3/у.
220 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
которая может переходить через точку В из нижней полуплоско-
полуплоскости z <^ 0 в верхнюю полуплоскость z ^> 0. Легко проверить, что
особая точка Щ лежит на интегральной кривой, проходящей через
особую точку С, т. е. z* и V* удовлетворяют уравнению E.13) при
Сг = 0.
Условие положительности координаты z* имеет вид
E.15)
При нижнем равенстве точка Щ совпадает с точкой 5, при
верхнем — с точкой С.
На рис. 43 изображено поле интегральных кривых для случая,
когда Ф лежит в верхней полуплоскости.
Центру симметрии Я = 0 могут соответствовать только точка С
и особые точки z = 0, V = + °°-
Бесконечно удаленным точкам К = оо могут соответствовать
особые точки О, F и Ш.
Параметр К может иметь конечное значение в особых точках В
и D, которые могут соответствовать границам расширяющихся
сферических поршней или границе с пустотой.
§ 6. Задача о поршне
Рассмотрим картину движения газа в некоторый момент време-
времени t в предположении, что газ вытесняется сферой — поршнем,
расширяющимся с постоянной скоростью U¦ Начальное давление
рх и начальная плотность pL постоянны и отличны от нуля х).
*) Решение задачи о движении газа, вытесняемого сферой, расширяющей-
расширяющейся с постоянной скоростью, с численными расчетами опубликовано впервые
в 1945 г. в цитированной выше работе Л. И. Седова (см. Седов Л. И.,
О некоторых неустановившихся движениях сжимаемой жидкости. ПММ, т. 9,
вып. 4, 1945, стр. 293—341).
Решение задачи о движении газа, вытесняемого сферой, расширяющейся
со скоростью, равной U = ctn, со сравнительным анализом для некоторых п
(причем в случае п = —V2 с учетом вязкости и теплопроводности) дано в дис-
диссертации Н. Л. Крашенинниковой, защищенной весной 1954 г. в МГУ (см.
Изв. АН СССР, ОТН, № 8, 1955).
Для более широкого диапазона чисел п и у задача о движении газа, вы-
вытесняемого сферой, цилиндром или плоским поршнем, с качественным иссле-
исследованием дифференциальных уравнений рассмотрена в работах: Григо-
Григорян С. С, Задача Коши п задача о поршне для одномерных неустановив-
неустановившихся движений газа (автомодельные движения). ПММ, т. 22, вып. 2, 1958,
стр. 179—187; К о ч и н а Н. Н., Мельникова Н. С, О неустано-
неустановившемся движении газа, вытесняемого поршнем, без учета противодавле-
противодавления. ПММ, т. 22, вып. 4, 1958, стр. 444—451; О взрыве в воде с учетом сжи-
сжимаемости. Труды МИАН СССР, т. 87, 1966, стр. 35—65.
Численное решение задачи о движении газа, вытесняемого цилиндром
при п — —V4, дано в работе: Г р о д з о в с к и й Г. Л., Некоторые особен-
особенности обтекания тел при больших скоростях. Изв. АН СССР, ОТН, № 6,
1957, стр. 86—92.
6]
ЗАДАЧА О ПОРШНЕ
221
Так как для частиц жидкости, прилегающих к поршню, v — U
и г = Ш, то на поршне
Следовательно, в плоскости F, z (см. рис. 44) изображаю-
изображающая точка, соответствующая поршню, должна принадлежать
прямой V — 1. Движению по радиусу от поршня к бесконеч-
Ударная
волна
Покоящийся
газ
Рис. 44. Интегральная кривая в плоскости z, V для решения задачи о сфе-
сферическом поршне. Переход из точки А в точку В происходит скачком через
ударную волну. Точка С соответствует поршню. Кривая ВС соответствует
адиабатическому сжатию между поршнем и ударной волной.
ности соответствует движение по интегральной кривой в сторону
возрастания переменной К. Интегральная кривая пересекает пара-
параболу z = (V — IJ, непрерывный переход через которую невозмо-
невозможен, поэтому продолжение движения до точки О, соответству-
соответствующей бесконечно удаленной точке, возможно только скачком.
С другой стороны, в области, до которой еще не дошло возму-
возмущение, газ покоится, т. е. внешней стороне скачка соответствует
точка оси z.
Точки оси z, как было показано выше, переходят скачками
в точки параболы
' 4-^0- FЛ)
Итак, при движении в физическом пространстве от поршня
к бесконечности изображающая точка движется по интегральной
кривой от некоторой точки прямой V = 1 до пересечения с пара-
параболой F.1), после чего скачком переходит на прямую V = 0
(рис. 44).
В физическом пространстве этому соответствует следующая
картина движения: по покоящемуся газу распространяется
222 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[ГЛ. IV
ударная волна; между ударной волной и поршнем происходит
адиабатическое сжатие газа.
Случай цилиндрического поршня качественно не отличается
от сферического поршня. Для плоского поршня в случае дви-
движения поршня в цилиндрической трубе в отличие от сферического
случая очевидно, что между ударной волной и поршнем возникает
область движения газа с посто-
постоянными скоростью, плотностью
и давлением.
На рис. 45 и 46 приведены
кривые, дающие отношения давле-
давления и плотности частиц газа, при-
прилегающих к поршню, к давлению
и плотности в покоящемся газе
как функции отношения скорости
поршня к начальной скорости
звука.
На рис. 47 дано отношение
скорости ударной волны к скоро-
скорости звука как функция отноше-
отношения скорости поршня к скорости
звука.
Из графиков видно, что при
одной и той же скорости поршня
в плоском случае сжатие газа ока-
оказывается большим, чем в сфери-
сферическом. Ударная волна в плоском
случае также интенсивнее, чем в
сферическом (особенно для неболь-
небольших скоростей поршня).
В плоском случае в отличие от
сферического и цилиндрического,
кроме задачи о сжатии газа порш-
поршнем, возможны также задачи о выдвижении поршня в сторону,
обратную от газа. Решение этой задачи легко построить с по-
помощью поступательных движений и особого решения системы
уравнений A.3) при v = 1, которое в переменных z, V и К имеет
вид
Рис. 45. Давление на поршне р
как функция скорости поршня
U; Pi — давление и ах — скорость
звука в невозмущенном газе.
z = A - Vf,
F.2)
где С — постоянная интегрирования.
5 7]
ЗАДАЧА О ФОКУСИРОВАНИИ И РАЗЛЕТЕ ГАЗА
223
После перехода к размерным переменным получим нелиней-
нелинейную прогрессивную волну разрежения в газе (простейший случай
Рис. 46. Плотность р частиц, при-
прилегающих к поршню, как функ-
функция скорости поршня U; рх —
плотность, а^ — скорость звука
в невозмущенном газе.
Рис. 47. Скорость с ударной вол-
волны, возникающей перед поршнем,
как функция скорости поршня U;
ах — скорость звука в невозму-
невозмущенном газе.
решения Римана):
2
-г а + const,
F.3)
где а — скорость звука х).
§ 7. Задача о фокусировании газа в точке
и разлете от точки
Задачу о фокусировании и о разлете рассмотрим в случае,
когда начальные скорость, плотность и давление для всех частиц
одинаковы, т. е. со = 0, б = 1. В плоскости z, V соответствующее
поле интегральных кривых дано на рис. 38.
Бесконечно удаленной точке соответствует точка О. Асимпто-
Асимптотические формулы вблизи точки О согласно E.6) имеют вид
z = CV\ К = ¦%1 ¦
!) Задача о движении воды, вытесняемой расширяющимся с постоянной
скоростью поршнем, рассмотрена в работе: Кочина Н. Н., Мельни-
Мельников а Н. С, О расширении поршня в воде. ПММ, т. 23, вып. 1, 1959,
стр. 93—100.
224 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
Из условия в бесконечности или начального условия получим
z -= 1П.; __ = с —— v\; отсюда С —
,¦2 '
G.1)
При vt <^ 0 необходимо взять левую ветвь параболы z=CV2
при V <^ 0, при г\ ^> 0 — правую ветвь при F ,> 0.
Положим Я =¦- r/a^, ax = YPi/Pi> согласно формуле E.2) этим
фиксируем постоянную р.
Пользуясь этим, из асимптотической формулы для Я получаем
г
аЛ
G.2)
Если начальная скорость направлена к центру (фокусирова-
(фокусирование), т. е. г?! <^ 0, то движению из бесконечности к центру при фик-
фиксированном t соответствует движение по интегральной кривой,
входящей в точку О при отрицательных V.
Так как скорость газа в центре при t Ф 0 равна нулю, то
центр может быть достигнут или при движении по интегральной
кривой, упирающейся в особую точку В, или при движении по
интегральной прямой V = 0, упирающейся в особую точку D
УЗармгяаша
Z,,
fffetxoHevHo {бесконечно
удаленная удаленна/?
/nov/faj
шоенг/е в тате ff
Рос. 48. Интегральные кривые в плоскости z, V, соответствующие: а) соуда-
соударению в точке и б) разлету от точки.
(z = оо, V = 0). Но из области V <^ 0, в которой находится изоб-
изображающая точка, на интегральную кривую, упирающуюся в точ-
точку В, перейти вообще невозможно, а на ось z можно перейти толь-
только скачком.
Следовательно, изображающая точка движется по интеграль-
интегральной кривой до пересечения с параболой B.11)
в которую переходят при разрыве точки оси z; после пересечения
§ 7]
ЗАДАЧА О ФОКУСИРОВАНИИ И РАЗЛЕТЕ ГАЗА
225
/ \
Покоящийся \
с параболой изображающая точка скачком переходит в некоторую
точку оси z. Вид интегральной кривой показан на рис. 48, а.
В физическом пространстве при этом получается, что, дви-
двигаясь из бесконечности к центру, газ сначала адиабатически
сжимается, после чего скачком переходит в состоярие покоя
(рис. 49, а).
В случае разлета (vt ]> 0 — скорость частиц газа направлена
от центра) при небольших значениях начальной скорости изобра-
изображающая точка движется w,- . „ , ., ._, , ,
„ Ударная волна Слабый рс/эры В
по интегральной кри- r ^ Л
вой, которая определя- \ т //
ется условием G.1), из
точки О в точку А. и за-
затем по интегральной
прямой V—0 (рис.48,5).
Этому соответствует в
физическом простран-
пространстве при движении из
бесконечности к центру
в фиксированный мо-
момент времени падение
плотности и давления
газа до некоторой оп-
определенной величины,
после чего газ слабым
скачком переходит в состояние покоя (рис. 49, б). Границе сфе-
сферического ядра покоящегося газа соответствует особая точка А
(рис. 48, б).
При некоторой начальной скорости v = v\ в плоскости (г, V)
решению соответствует интегральная кривая ОВ. Центру симмет-
симметрии соответствует точка В. В физическом пространстве в этом
случае скорость равна нулю только в центре симметрии.
Если г»г ^> v\, то по интегральной кривой можно дойти только
до особой точки С, в которой параметр К имеет некоторое конеч-
конечное, отличное от нуля постоянное значение Я*, а плотность и
давление равны нулю. Следовательно, в газе образуется пустота,
расширяющаяся с постоянной скоростью, определяемой значе-
значением Я*. Легко исследуемые поля интегральных кривых в плоскости
z, V для различных б, % (или со) и у и соответствующие асимпто-
асимптотические формулы о поведении решений вблизи особых точек поз-
позволяют установить существование, качественные- свойства и коли-
количественные расчеты для всех различных и многочисленных ав-
автомодельных движений газа о разлете от центра симметрии и о
охлопывании газовых каверн в центре симметрии в интервалах
времени 0<^?<^-|-°о и — оо <^t <^0. Эти решения могут быть
непрерывными или содержать разрывы (слабые или сильные).
газ
Рис. 49. Схемы движения: а) к соударению в
точке и б) к разлету от точки. Перед ядром
возникают адиабатическое сжатие и разре-
разрежение.
226 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
§ 8. Сферическая детонация
1Гл. IV
Рассмотрим возмущенное движение газа, вызванное возникно-
возникновением в момент t — 0 детонации в центре симметрии; при t ]> О
по начальному невозмущенному состоянию газа распространяется
сферическая волна детонации. По предположению приток тепла
происходит только на фронте
скачка, за скачком — волной
детонации, движение газа адиа-
адиабатическое х).
Изучим сначала случай, ког-
когда в начальном покоящемся со-
состоянии плотность р2 и давление
Рх постоянны и отличны от нуля.
Возмущенное движение совер-
совершенного газа определяется па-
параметрами
г, t, 7, Vi, Pi, Pi, Q,
где Q — теплота, выделяемая
на фронте единицей массы газа;
Vi, V — соответствующие зна-
значения коэффициента Пуассона:
Yi — перед фронтом, а у — за
фронтом. Движение автомодель-
но и принадлежит к типу 1, оп-
определенному в § 5. Для диффе-
дифференциального уравнения E.3)
(со = 0) поле интегральных кри-
кривых в плоскости z, V представ-
представлено на рис. 38; X = $r/Y"Qi-
В той части пространства, до
которой еще не дошла детонаци-
детонационная волна, газ покоится; по-
поэтому внешней стороне волны
детонации в плоскости z, V со-
соответствует точка Н1 (рис. 50),
0
Рис. 50. Интегральные кривые в
плоскости z, V, соответствующие
сферической детонации. Случай pj =
= const =/= 0; р! = const (со = 0).
находящаяся на оси z. Этой точке соответствует Я2 = fiyQfi
определим из условия А,2 = 1. Из условия Гюгонио B.27) сле-
1) Сферическая детонация без поршня впервые рассматривалась
О. Е. Власовым. Он установил автомодельность, вывел соответствующее
обыкновенное дифференциальное уравнение и начал изучать решения этой
задачи. См. книгу: Власов О. Е., Взрывные волны, гл. 3, М., Изд. ВИА
РККА, 1937, Зельдович Я. В., О распределении давления и скорости
в продуктах детонационного взрыва, в частности, при сферическом распро-
распространении детонационной волны. ЖЭТФ, т. 12, вып. 9, 1942, стр. 389—406.
8 «I
СФЕРИЧЕСКАЯ ДЕТОНАЦИЯ
227
дует, что внутренней стороне волны детонации в плоскости z, V
соответствует парабола
z2 = A — F2J YZIX" ' (8l1)
при Л = 0 выполняется условие Чепмена — Н?уге и парабола
(8.1) совпадает с параболой
z = A _ уI. (8.2)
Если Л ]> 0, парабола (8.1) расположена выше параболы (8.2)
(см. рис. 38 и схему на рис. 50). Так как на параболе (8.2) пере-
переменное X имеет экстремум, то при Л ^> 0 из точек параболы (8.1)
нельзя продолжить непрерывно решение до центра симметрии;
легко усмотреть также, что решение с дополнительным скачком
уплотнения также невозможно.
Однако решение можно продолжить до прямой F=l; точки
этой прямой можно рассматривать как соответствующие сфериче-
сферическим поршням. Таким образом, можно получить решение задачи
о расширении поршня в детонирующей массе газа.
Выбор соответствующей интегральной кривой и параметра Л
фиксируется значением давления или скорости (к*) на поршне, так
как для каждого Л заданием па-
параметра Pi/Qpx определяется точка
Н2 на параболе (8.1) (рис. 50).
Если Л < 0, то парабола (8.1)
расположена ниже параболы (8.2).
В этом случае решение задачи не
единственно.
Существует целый пучок кри-
иых, исходящих из узла А, кото-
которые могут дать решение, удовлетво-
удовлетворяющее всем краевым условиям.
Положение точки за фронтом скач-
скачка Н2 и параметр Л < 0 опреде-
определяются заданием скорости фронта
детонации. В центре получится
Слабый '
разрыв
({
V
""Ч ,
л/
Фрокп
(си
(,
Л
щ
Hi
Зсг
ачи
. ^
онации
}
Рис. 51. Картина течения при
сферической детонации. Качест-
Качественная схема та же, что и в слу-
случае плоских волн (А. А. Гриб,
1939 г.).
ядро покоящегося газа, граница которого соответствует точке
А и является слабым разрывом. Точкам ядра соответствует пря-
прямая AD. Точка D соответствует центру ядра X = 0 (рис. 51). Если
точка Нг лежит на параболе (8.2), то удовлетворяется условие
Чепмена — Жуге и скорость детонации получается минимальной.
Если Л <; 0, то за фронтом детонации до покоящегося ядра
следует волна разрежения.
Случаи Л < 0 соответствуют второму корню Pi/pa (см. B.16)).
Они могут исключаться дополнительным свойством монотонности
функции Q' (Pi/р'г) в зоне химической реакции. При отсутствии
228 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
такой монотонности в зоне химической реакции такие решения
можно рассматривать, причем отбор требуемого решения сводится
к определению Л < 0 с помощью данных о кинетике химических
реакций и соответствующих данных о немонотонности функции
(?'(Pi/p'2). С другой стороны, как указано выше, при Л^> 0 измене-
изменение функций Q' (Pi/p'2) не обязательно должно быть монотонным.
Следует отметить, что в случае режима Чепмена — Жуге
(Л = 0) имеются два непрерывных решения. Кроме решения
с волной разрежения существует еще решение с волной сжатия,
которое продолжается до поверхности поршня, движущегося с со-
соответствующей постоянной скоростью Uj.
Если поршень движется со скоростью, меньшей Uj, то в этом
случае можно построить следующее решение. К волне детонации,
распространяющейся со скоростью Жуге, примыкает волна раз-
разрежения, соответствующая участку Н2В (рис. 50), из точки В в то-
точку С происходит скачок, после чего решение продолжается до по-
поверхности поршня в F. На поршне постоянная скорость Up меньше
Uj. Расположение точки В регулируется значением скорости Up.
Таким образом, для любой скорости поршня Up можно постро-
построить единственное автомодельное решение х).
На рис. 52, 53 и 54 даны результаты расчета для распределений
давления, скорости и температуры в иллюстративном примере,
когда у = Yi = 5/3 и рг = 0 при удовлетворении условия Чепме-
Чепмена — Шуге (кривые, соответствующие со = 0).
Решение задачи о детонации в случаях цилиндрических и пло-
плоских волн можно получить аналогичным путем.
Рассмотрим еще задачи о детонации в среде с переменной на-
начальной плотностью 2). Если
то поле интегральных кривых представлено на рис. 39.
На рис. 55 дана схема в плоскости z, V для интегральных кри-
кривых, доставляющих решение задачи о распространении детонации.
Для продолжения решения внутрь за фронт детонационной
волны необходимо воспользоваться интегральной кривой, исходя-
исходящей из точки D, в которой К — 0, и которая входит в особую точ-
точку А. В точке А, лежащей на параболе
z = A - FJ,
1) Аналогичная ситуация возникает при обтекании конуса детонирую-
детонирующей смесью газа. См. Квашнина С. С, Черный Г. Г., Установив-
Установившееся обтекание конуса потоком детонирующего газа. ПММ, т. 23, вып. 1
1959, стр. 182—186.
2) Седов Л.И., О движении газа при звездных вспышках. ДАН
СССР, т. 111, № 4, 1956, стр. 780—782; Яворская И. М., Решение не-
некоторых задач о детонации в среде с переменной плотностью. ДАН СССР
т. 111, №4, 1956, стр. 783—786.
0,8
0,6
0,2
7=
ы
»ч
ш =
/ /
/
/ш=2Щ
/,
А
/
0,2.-
гг
Рис. 52. Распределение давлений за фронтом полны детонации; начальное
давление р1 = 0, начальная плотность р1 = Air", при о> > 3 (Y+1)/Cy—1)
около центра образуется пустота, внутри которой давление равно нулю.
1'нс. Г).Ч. Распределение скоростей за фронтом волны детонации (р1 = 0,
Pi = A/r°).
/7
Рис. 54. Распределение температур за фронтом волны детонации (рх = О,
р = А/г").
Н,
О 0,5 f,0 1,5
Ряс. 55. При 0 < со < 2у1(у + 1) решению задачи о детонации соответствуют
интегральные кривые H2AD или H%AD. Для точки Я2 выполняется условие
Чепмена — Жуге.
§ R]
СФЕРИЧЕСКАЯ ДЕТОНАЦИЯ
231
может быть слабый разрыв; переменная X имеет конечное значение
и увеличивается при движении вниз по любой интегральной кри-
пой: решению могут соответствовать только те интегральные кри-
кривые, которые пересекаются с параболой, уравнение которой со-
согласно B.29) имеет вид
Ч = УУ2 A - F2). (8.3)
Так же как и в случае со = О, решение не единственно, причем
па фронте детонации Л ^ 0. Решение, удовлетворяющее условию
Чепмена — Жуге Л = 0, соответствует точке пересечения пара-
парабол (8.2) и (8.3).
Решение о распространении детонации с дополнительным сфе-
сферическим поршнем, расширяющимся из центра, доставляется ин-
интегральной кривой типа #2 С, изображенной на рис. 55 пунктиром.
При выполнении условия Чепмена — Жуге в случае y = 6/3
и со = 1,5 соответствующие кривые для распределения характери-
характеристик движения газа даны на рис. 52, 53 и 54. •
Если со —> 2y/(y + 1), то особая точка А перемещается по пара-
параболе (8.2) и приближается к точке пересечения с параболой (8.3);
при со = 2y/(Y + 1) точки Нг и А совпадают, получается един-
единственное решение, причем условие Чепмена — Жуге удовлетво-
удовлетворяется. Если <^ со <^
Если
со
то в этом случае нет решения,
<^ со <^ я <
удовлетворяющего условию Чепмена — Жуге.
Решение единственно и доставляется интегральной кривой,
исходящей из особой точки D и пересекающей параболу (8.3)
в точке Н2, для которой Л ^> 0 (рис. 56).
Если со -> 3 (у + 1)/Cy — 1), то особая точка В (см. рис. 39)
поднимается вверх, проходит через особую точку А и обменивает-
обменивается с ней типом. Когда со = 3 (y + 1)/Cy — 1). точка В лежит
на параболе (8.3) (см. рис. 40). В этом случае для получения ре-
решения необходимо совершить скачок из точки О в точку В. Все
движения газа за фронтом волны в плоскости z, V соответствуют
одной точке В. В этом случае за фронтом волны % = z2 = const,
V = F2 = const соответствующее решение представляется про-
простыми формулами
p
P2
Скорость за фронтом волны меняется пропорционально коорди-
координате г.
Если 3 (y + 1)/Cy — !)<<», то из рис. 41 очевидно, что в пло-
плоскости z, V решению соответствует интегральная кривая, прохо-
проходящая через точку А и дальше в точку С. Особой точке С соот-
нотстнуот расширяющаяся сфера, внутри которой давление рав-
равно нулю. Значение Л, а следовательно, и скорости детонации,
232 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
У>
Рнс. 56. При 2у1(у + 1) < w < 3 (у -f 1)/(Зу — 1) решению задачи о дето-
детонации соответствует интегральная кривая DH2. Условие Чепмена — Жуге
но выполняется.
Рис. 57. При со > 3 (у + 1)/(Зу — 1) решению задачи о детонации соответ-
соответствует интегральная кривая Н2АС. Точке С соответствует расширяющаяся
пустота. Условие Чепмена — Жуге но выполняется.
§ 9]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛАМЕНИ
233
определяется точкой пересечения интегральной кривой с пара-
параболой (8.3) (см. схему на рис. 57).
Соответствующие распределения характеристик газа даны
для у = 6/з и ю — 7U = 2,33... на рис. 52, 53 и 54.
В рассмотренной постановке для автомодельных движений
очевидно, что все выводы о повышении скорости детонации и об
образовании пустоты в центре симметрии не зависят от величины
тепловыделения Q, а зависят только от закона падения начальной
плотности, определяемого значением показателя со.
Увеличение скорости детонации по сравнению со скоростью
по правилу Ченмена — Жуге можно получить также при детона-
детонации газа в сужающихся трубках. Если площадь сечения меняется
по степенному закону, то при приближенном гидравлическом рас-
рассмотрении получим, что движение газа автомодельно и опреде-
определяется уравнениями E.3), E.4) и E.5), но при v<l. Величина
v определяется законом сужения трубки тока.
§ 9. Распространение пламени1)
Мы рассмотрим возмущенное движение горючей смеси, вызван-
вызванное горением, происходящим в очень тонком подвижном слое.
Анализ показывает, что толщиной слоя, в котором происходит
химическая реакция, в ряде случаев можно пренебречь, и мы при-
приходим к задаче о движении газа, в которой химическая реакция
и выделение тепла совершаются мгновенно при переходе через
некоторую поверхность, причем при переходе через эту поверх-
поверхность, называющуюся фронтом пламени, характеристики состоя-
состояния и движения газа меняются скачком. В отличие от фронта
детонации фронт пламени является скачком разрежения, скорость
распространения фронта пламени и по частицам горючей смеси
является известной физико-химической постоянной. Скорость рас-
распространения пламени мала по сравнению со скоростью звука,
а следовательно, и по сравнению со скоростью детонации.
На фронте пламени, так же как и на фронте детонации, удовле-
удовлетворяются условия B.12), B.13) и B.14); отличие фронта пламени
от детонации заключается только в том, что скорость фронта пла-
пламени по частицам мала и заранее известна. В случае горения
возмущения в газе, вызванные фронтом горения, распространяют-
распространяются впереди и за фронтом пламени. При решении уравнения B.14)
необходимо взять наименьший корень pj/p2 ^> 1. Этому корню
соответствуют состояния, которые при рассмотрении реакции
в тонком конечном слое получаются из начального состояния при
непрерывном выделении тепла (без зоны поглощения тепла).
J) Задача о распространении сферического пламени при рх = const и
-- const изучена Г. М. Бам-Зеликовичем.
2.Vi ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Решение задачи о распространении плоского фронта пламени
по покоящемуся газу с плотностью р1 и давлением рх в цилиндри-
цилиндрической трубе при поджигании у закрытого конца очень просто
и состоит в следующем. От закрытого конца по покоящемуся газу
движется ударная волна, за фронтом ударной волны получается
поступательное движение газа со скоростью, направленной в сто-
сторону ударной волны. По движущемуся газу распространяется
плоский фронт пламени, за которым газ покоится, что обусловли-
обусловливается граничным условием на закрытом конце. Для полного
решения задачи достаточно написать и решить совместно шесть
уравнений: три на фронте пламени и три на скачке уплотнения.
Из шести уравнений определяются шесть неизвестных: плотность
и давление за фронтом пламени и за скачком уплотнения, скорость
газа за ударной волной и скорость распространения ударной волны.
Рассмотрим задачу о сферическом фронте пламени в предполо-
предположении, что фронт горения возникает в момент t = 0 в точке, затем
распространяется сферической волной по покоящемуся газу с по-
постоянной плотностью рх и постоянным давлением рх. Очевидно,
что возмущенное движение газа автомодельно и определяется
теми же постоянными, что и явление детонации. Для сферического
пламени, как и в случае сферической детонации, интегральные
кривые в плоскости z, V даны на рис. 38.
В некоторый момент времени t ^> О частицы газа, достаточно
удаленные от центра воспламенения, будут еще в покое. Область
покоя соответствует интегральной прямой V = 0. Переход от
покоя V = 0 к движению на другую интегральную кривую
в левую часть полуплоскости z > 0, V < 0 с помощью скачка раз-
разрежения — фронта пламени или через особую точку А со сла-
слабым разрывом невозможен, так как в дальнейшем движение
непродолжимо к центру симметрии. В этих случаях непрерывное
движение или движение с наличием скачка приводит на инте-
интегральную кривую, пересекающую параболу
z = A _ VJ.
Следовательно, переход от покоя V = 0 к движению на другую
интегральную кривую возможен только путем перехода через
простой скачок уплотнения при начальном гх<.\. Согласно B.10)
скачки уплотнения переводят ось V = 0 в точки параболы
Условие о продолжимости решения до центра симметрии, где
Я = 0 приводит к необходимости определения фронта пламени
так, чтобы точка за фронтом пламени была бы расположена либо на
интегральной прямой V = 0, уходящей в особую точку D (z = оо,
§ 9]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛАМЕНИ
235
V = 0), либо на интегральной кривой L, входящей в особую точ-
точку Б1):
' 3G —IJ у __ __2__\ /
Из условий B.25) следует, что переход на ось V = 0 через фронт
Центр
симметрии
Рис. 58. Интегральные кривые в плоскости г, V, соответствующие сфериче-
сферическому горению. Точки Ях и Я2 соответствуют ударной волне перед фронтом
пламени. Фронту пламени соответствуют точки N3 и ЛГ4-
пламени возможен только из точек кривой
z3 =
(9.2)
Уравнение (9.2) получено из B.25) после замены индексов 1, 2
на 4, 3, условия F4 = 0 и изменения знака у величины
Q Q(l-7,y
С2 и2 '
так как сгорание происходит при переходе от состояния 3 к состоя-
состоянию 4; и — скорость распространения пламени по частицам:
u = c — v='—(i—Va) = c(l~V3).
*
!) Если начальная плотность переменная рх — А/г™, то координаты точ-
точки В зависят от со (см. § 5).
236
ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
В уравнении (9.2) у относится к движущейся горючей смеси,
Y'— к покоящимся продуктам горения.
На рис. 50 дана схема построения решения.
После скачка изображающая точка оказывается в некоторой
точке г2, F2 на параболе (9.1); дальнейшему движению к центру
соответствует движение по интегральной кривой, проходящей
через эту точку в направлении убывания переменной X, т. е.
движение в области, расположенной выше параболы (9.1). Точке
Плоеное пламя
Цилиндрическое пламя
О
Рис. 59. Плотность и давление перед фронтом пламени для различной вели-
величины тепловыделения Q/u2 (Q — энергия, выделяемая единицей массы- и —
скорость фронта пламени по частицам; р1 — давление; р1 — плотность и
% — скорость звука в горючей смеси).
пересечения рассматриваемой интегральной кривой с кривой (9.2)
соответствует передний край фронта пламени, за которым полу-
получается покоящееся ядро, соответствующее точкам оси V = 0.
Указанное построение всегда возможно, так как любая интег-
интегральная кривая при V < 2/(y + 1), исходящая из параболы (9.1),
пересекает кривую (9.2), а из любой точки кривой (9.2) возможно
через фронт пламени перейти к точкам оси V = 0.
Однако при этом построении мы предполагаем, что z4 > 1.
Точки кривой (9.2), для которых получается z4 < 1, не могут соот-
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПЛАМЕНИ
237
ветствовать переднему краю фронта пламени, так как это приво-
приводит к сверхзвуковой скорости фронта пламени по частицам
за фронтом. В этом случае можно построить фронт пламени
с помощью скачка на параболу z = A — FJ из точки пересече-
JL
Р,
0,5
Плоский случай
Сгреричесний случай
0,2 0,1 0,6 OJ3 1/1 !,Z
f,f
Рис. 60. Распределение давления при распространении горения от плоской
стенки (плоский фронт пламени) и от точки (сферический фронт пламени):
Qla\ — 60, в/в! = 0,016.
ния интегральной кривой для движения газа за ударной волной
с параболой х)
(9-3)
(рис. 58, кривая KQC). Скорость распространения такого скачка
по частицам за фронтом точно равна скорости звука, причем за
фронтом образуется дополнительная волна разрежения. Эта волна
разрежения соответствует интегральной кривой, идущей от точек
на параболе z = A — УJ либо до точки А, соответствующей
границе ядра покоя, либо от точки F до точки В — при этом не
образуется ядро покоя и движение продолжимо до центра сим-
симметрии, либо в особую точку С (z = 0, V = 1) — в последнем
случае вблизи центра образуется пустота.
Решение задачи существует для всех точек z2, У2 на параболе
(9.1), расположенных выше точки Q, в которой парабола (9.1)
1) Для скачка фронта пламени парабола (9,3) переходит в параболу
г = A _ УJ.
238 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
пересекается с параболой (9.3). Точке Q на параболе z = A— FJ
соответствует точка Ф. Если точка Ф лежит выше точки F, то
всегда вблизи центра симметрии образуется покоящееся ядро.
Если рх и рх постоянны, то вблизи центра симметрии возникает
V
030
цго
Плоений случаи
Сферический с пути
B
Рис. 61. Распределение скорости прп распространении горения от плоской
стенки и от точки: Q/a^ = 60, w/ai=0,016.
покоящееся ядро газа. Если pL = A/ra, то при некоторых « воз-
возможно образование пустоты вблизи центра симметрии.
С помощью аналогичных методов можно построить решение
задачи о распространении пламени с цилиндрическими волнами.
Результаты численных расчетов и сравнение различных случаев
даны на рис. 59, 60 и 61.]
§ 10. Распад произвольного разрыва в горючей смеси
Не проводя здесь подробного анализа задачи о распаде произ-
произвольного разрыва (сформулированной в § 1), укажем только об-
общий характер возникающего движения х).
Предположим сначала, что по обе стороны от поверхности раз-
разрыва находятся два инертных газа и что давление в левом B-м)
газе больше, чем в правом A-м) (обратный случай совершенно
г) Эта задача для инертного газа впервые исследована Н. Е. Кочиным;
см. Кочин: Н. Е., Sur la theorie des ondes de choc dans un fluide, R. C.
Circ. mat., Palermo, 1826, v. 50, p. 305—344, см. также Кочин Н. Е., Соб-
Собрание сочинений,т. 2, изд. АН СССР, М.—Л.,1949; Ландау Л. Д., Л и ф-
шиц Е. М., Механика сплошных сред. М,, Гостехиздат, 1954,
РАСПАД |'А.ЧИ>ТВА В ГОИОЧИ'1 ОМ КС; Л
239
аналогичен этому). Тогда, если направить ось х от 2-го газа к 1-му
и если разность vx— v% начальных скоростей газов отрицательна
и велика по модулю (этот случай будет, например, если начальные
скорости газов направлены к поверхности разрыва, так что их
разность велика по абсолютной величине, но отрицательна), то
в обе стороны пойдут ударные волны. На границе, разделяющей
газы, может быть еще стационарный разрыл, на котором давление
и нормальная скорость непрерывны, а плотность может терпеть
разрыв. На рис. 62, а показан график давления для этого случая.
При увеличении разности начальных скоростей ударная волна
во втором газе сменяется волной разрежения (рис. 62, в), а затем
Стационарный ^
разрыв
В) г)
Рис. 62. Различные случаи распада произвольного разрыва в инертном газе.
и в первом газе вместо ударной волны идет волна разрежения
(рис. 62, б). Когда разность начальных скоростей становится очень
большой положительной величиной, то между волнами разреже-
разрежения, идущими в обе стороны, образуется пустота (рис. 62, г).
Более сложный случай имеет место, когда справа от поверхно-
поверхности разрыва находится горючая смесь, так что при распаде произ-
произвольного разрыва по ней может пойти фронт пламени. В этом
случае в общих чертах возникающее движение будет аналогично
рассмотренному выше х).
При малой разности начальных скоростей по инертному газу
распространяется ударная волна, по горючей смеси также пойдет
ударная волна и за ней фронт пламени. Между инертным газом
и продуктами горения может быть стационарный разрыв.
*) Количественно этот вопрос детально разобран в работе: Б аи-Зе-
аи-Зелик о в z ч Г. М., Распад произвольного разрыва в горючей смеси.
В сборнике статей № 4 «Теоретическая гидромеханика» под ред. Л. И. Седова.
М., Оборонгиз, 1949, стр. 112—141.
241) ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
На рис. 63, а показан график давления для итого случая
(широкой вертикальной чертой обозначен фронт племени, пункти-
пунктиром — стационарный разрыв). При увеличении разности началь-
начальных скоростей сначала ударная волна в инертном газе сменяется
волной разрежения (рис. 63, в), а затем и перед фронтом пламени
вместо ударной волны пойдет волна разрежения рис. 63, б)
Стационарный х ¦ Фронт пламени х
разрыв
В) г)
Рис. 63. Различные случаи распада произвольного разрыва в горючей смеси.
При этом скорость продуктов горения относительно фронта
пламени возрастает до тех пор, пока не достигнет скорости
звука.
При дальнейшем увеличении разности начальных скоростей
течение перед фронтом пламени не меняется, а непосредственно
за фронтом появляется еще одна волна разрежения (рис. 63, г).
При очень большой разности начальных скоростей между инерт-
инертным газом и продуктами горения может возникнуть пустота.
Если давление в инертном газе меньше, чем в горючей смеси,
то возможен еще случай, когда по горючей смеси перед фронтом
пламени пойдет волна разрежения, а по инертному газу — удар-
ударная волна.
Аналогично, если по горючей смеси идет волна детонации, то,
увеличивая разность начальных скоростей от — оо до +оо, полу-
получим, что сначала по инертному газу идет ударная волна и по горю-
горючей смеси — волна детонации со сколь угодно большой ско-
скоростью; затем ударная волна в инертном газе заменяется волной
разрежения, а скорость волны детонации уменьшается до некото-
некоторой определенной величины. При этом скорость продуктов детона-
детонации относительно фронта возрастает, пока не достигнет скорости
звука. В дальнейшем скорость волны детонации не меняется, а
за ней возникает волна разрежения.
s ml
РАСПАД РЛ-ЧРЫВЛ а ГОРЮЧИЙ СМКСИ
241
Приведем несколько примеров образования и распада произ-
произвольного разрыва.
1. Пусть по газу распространяется ударная волна, а сзади
ее нагоняет вторая ударная волна. В момент, когда вторая
волна нагонит первую, образуется поверхность разрыва, на
которой не будут выполняться условия сохранения массы, ко-
количества движения и энергии, т. е. образуется произвольный
разрыв.
Расчеты показывают, что в этом случае после распада разры-
разрыва в обе стороны пойдут ударные волны.
2. Ударная волна подходит к границе раздела двух сред разной
плотности. В момент перехода ударной волны из одной среды
в другую образуется произвольный разрыв. При распаде этого
разрыва возможны два типа движения.
При переходе волны из менее плотной среды в более плотную
(например, из воздуха в воду) в обе стороны пойдут ударные
волны. Если же волна переходит из более плотной среды в менее
плотную (например, из воды в воздух), то вперед (в воздух) пойдет
ударная волна, а назад (в воду) волна разрежения.
3. Ударная волна небольшой интенсивности нагоняет фронт
пламени. (Этот случай встречается при пульсационном горении
в закрытых сосудах.) После того как волна нагонит пламя, в обе
стороны от фронта пламени пойдут ударные волны. Если же удар-
ударная волна небольшой интенсивности сталкивается с фронтом пла-
пламени, то после распада произвольного разрыва перед фронтом
пламени по горючей смеси пойдет волна разрежения, а по продук-
продуктам горения пойдет ударная волна.
Задача о распаде заданного разрыва важна при изучении
начальной стадии движения газа в ударных трубах. Схема дви-
движения в ударной трубе изображена на рис. 64. Два газа высокого
и низкого давления разделены мембраной. После внезапного раз-
разрушения мембраны образуется произвольный разрыв, в резуль-
результате в газе низкого давления возникает ударная волна. В момент
разрыва мембраны газ высокого давления либо покоится, либо
движется, если к мембране подходит ударная или детонационная
волна. Интенсивность ударной волны в газе низкого давления
зависит от начального движения и перепада давлений, от разни-
разницы температур и от свойств газов, разделенных вначале мем-
мембраной.
При прочих равных условиях интенсивность ударной волны
возрастает, если в качестве газа с низким давлением применяется
газ с пониженной начальной скоростью звука, что может обуслов-
обусловливаться пониженными значениями коэффициента у для много-
многоатомных газов. Например, при температуре 273° К для гелия
Y = 1,67 и скорость звука аг — 975 м/сек; для воздуха у = 1,4
и аг = 333 м/сек, а для фреона y = 1,15 и ах = 121,5 м/сек.
2/B ОДНОМКРНЫК НЕУСТАНОВИВШИЙСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл., IV
При прочих равных условиях интенсивность ударной волны
в газе низкого давления увеличивается с уменьшением его темпе-
температуры.
Интенсивность ударной волны в газе низкого давления может
оказаться намного большей, чем интенсивность ударной волны,
набегающей на мембрану в газе высокого давления.
5 Высшие дабление
Низкое давление 1
Давление
Температура I
Чист М I
Скорость ,
Контактный Ударная
разрыв Волна
I ПоВ контактного
разрыва
Ударная
волна.
Рис. 64. Схема движения в ударн ой трубе.
В ударных трубах можно получить весьма интенсивные удар-
ударные волны, большие температуры за фронтом волны и большие
скорости движения газа. За фронтом ударной волны получаются
частицы с высокой температурой, которая через короткое время т
быстро падает.
Ударные трубы широко внедряются для аэродинамических
исследований при очень больших скоростях обтекания тел и для
различного рода физико-химических исследований, в частности
для получения химических реакций при больших температурах.
Возможность получения больших температур в течение очень
коротких интервалов времени позволяет изучать кинетику хими-
химических реакций и получать промежуточные продукты в цепных
реакциях.
§ и]
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
243
§ 11. Задача о сильном взрыве1)
1. Сильный взрыв в газе. Из дальнейшего следует, что при
сильном взрыве область возмущенного движения воздуха отделе-
отделена от невозмущенных состояний ударной волной.
Как уже указывалось, при сильном взрыве можно пренебречь
давлением перед ударной волной по сравнению с давлением за
ударной волной. Прежде всего оценим, с какой точностью и для
каких ударных волн справедливо это предположение.
Для этого, учитывая, что vx = О, перепишем условия на удар-
ударной волне B.5) и B.6) в следующем виде:
2-7-1
¦--^Wi+Tb-JI -&ы*
/>2 =
i^-V^-ttt
A1.1)
где с — скорость распространения ударной волны.
Чем интенсивнее ударная волна, тем меньше отношение ajc.
На рис. 65 показана зависимость fu /2 и /3 от ах1с. На рис. 66
показана зависимость рг1рх от отношения ах/с для у = 1,4. Легко
видеть, что уже при а1/с<0,1 величины /х, /2 и /3 отличаются
от единицы меньше чем на 0,05.
Если в соотношениях A1.1) положить
-?— = 0 и Д = /2 = /3 = 1
(или, что то же, положить /?х = 0), то при ах/с < 0,1 допустим
ошибку в значениях v2, p2 и р2 менее 5%.
Условия на ударной волне при этом примут форму
Р2 =
Р2 =
7-1
2
Pb
A1.2)
Скорость распространения ударной волны с — определяемая
величина.
х) Ниже мы излагаем постановку, точное теоретическое и численное ре-
решение задач о сильном взрыве как для сферических, так для цилиндрических
и плоских волн, впервые опубликованное нами в ДАН СССР, т. 42, № 1,
1946 и в журнале ЛММ, т. 10, вып. 2, 1946,
244 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Если мы воспользуемся уравнениями движения в форме A.3)
и указанной выше постановкой задачи о сильном взрыве, то за
0/5
0,5
0,25
\
К
0,25
0,75
aL
с
Рис. 65. Зависимость величин /х, /2 и /3 от отношения ajc, где аг — скорость
звука в невозмущенной среде; с—-скорость ударной волны.
Рг
Pi
30
го
\
\
.
о
0,5
2±
г.
1.0
Рис. 66. Перепад давления в ударной волне в зависимости от отношения
аг1с.
основные размерные постоянные могут быть приняты следующие
величины:
Pi
где Е — некоторая постоянная, которую мы определим дальше,
s и]
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
245
имеющая ту же размерность, что и энергия Ео, выделяющаяся при
взрыве; размерность Е равна:
[Е] = ML2T-2 в сферическом случае,
[Е] = MLT~2 в цилиндрическом случае,
[Е] — МТ~2 в плоском случае.
Можно объединить все три случая одной формулой
[Е] = ML^T-2.
Очевидно, что постоянная Е просто пропорциональна Ео:
Ео = аЕ,
где а — постоянная.
Единственный безразмерный переменный параметр А, в этом
случае равен
V Pi
_
2+v
Закон движения ударной волны легко установить, не решая
уравнений движения газа.
Уравнения движения могут быть различными, однако эти
уравнения не должны содержать новых существенных физических
постоянных с размерностями, не зависящими от pL и Е. В частно-
частности, в уравнениях A.3) нет нужды предполагать, что коэффициент
У = Ср/с» имеет постоянное значение.
Для ударной волны координата г2 есть функция времени t,
а так как из размерных величин t, pt и Е нельзя образовать без-
безразмерной комбинации, то
Pi
A1.3)
где X* = const; X* можно положить равным любому отличному
от нуля числу и вычислить значение Е в зависимости от величины
энергии заряда Ео. В дальнейшем для простоты и определенности
положим Я* = 1. Этим на основании решения уравнений движе-
движения определится постоянная а в формуле
Ео = аЕ.
Таким образом, для закона движения и для скорости ударной
волны получаем в случае сферической симметрии
= —) i
\В_ 1 ; (Ц.4)
Pi frs K '
246 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
в случае цилиндрической симметрии
для плоских волн
г2 = — f'l», с =-=- — *-Ч« = —-Л/ —. A1.6)
\ Pi / 3 \ рх / ^ Г Pi |Л-2 v '
Эти формулы показывают, что закон затухания ударной волны
зависит от формы заряда.
Полученная выше формула в случае сферической симметрии
хорошо подтверждается опубликованными опытными данными —
фотографиями взрыва атомной бомбы в Нью-Мексико в 1945 г.
На рис. 67, 68 и 69 приведены фотографии взрыва атомной
бомбы, опубликованные в 1950 г. в работе Дж. Тейлора 1).
Внутри области возмущенного движения воздуха на довольно
значительных расстояниях от центра взрыва атомной бомбы тем-
температура воздуха очень высокая, поэтому эта область представ-
представляется на фотографиях в виде светлого пятна. В верхней части
пятна граница имеет сферическую форму, резко очерчена и совпа-
совпадает с ударной волной. С увеличением времени ударная волна
ослабляется, температура за ее фронтом уменьшается. Однако
видимость фронта волны при некоторых условиях сохраняется
за счет скачка плотности. На основании фотографий в работе
Тейлора указана зависимость между радиусом г2 расширяющейся
сферической ударной волны для значений от 11 до 185 м и соот-
соответствующими моментами времени t от момента возникновения
взрыва в интервале от 0,1 -10~3 до 62-10~3 сек2).
1) Т а у 1 о г G. I., The Formation of a Blast Wave by a Very Intense
Explosion. II. The Atomic Explosion of 1945. Proc. Roy. Soc. London, A201,
№ 1065, 1950, p. 175.
2) Учет излучения и теория развития в начальной стадии огненного шара
при взрыве атомной бомбы содержится в работах Броуда Г. [см. В го d e H. L.,
Review of Nuclear Weapons Effects. В сборнике Annual Rev. Nucl. Sci.,
v. 18, Palo Alto, Calif., 1968, p. 153—202 (русский перевод: Б р о у д Г., Дей-
Действие ядерного взрыва. В сборнике «Действие ядерного взрыва». М., «Мир»,
1971, стр. 9-88)].
При фиксированной энергии Ео роль переноса энергии излучением в на-
начальной стадии явления взрыва повышается с уменьшением характерных ли-
линейных размеров d бомбы. Это связано с соответствующим повышением тем-
температуры Та в продуктах взрыва. С повышением этой температуры возрас-
возрастает доля энергии, уносимая от продуктов взрыва излучением.
Если не учитывать поглощение энергии излучения от продуктов взрыва
окружающей, средой, то при Ео конечном d —> 0 и То —• °о, согласно макро-
макроскопическим законам излучения, в пределе вся энергия, выделяющаяся при
взрыве, должна уноситься излучением.
Рис. 67. Последовательные фотографии огненного шара от t = 0,1-10 3 сек
до ( = 1,93-10~3 сек при взрыве атомной бомбы в Нью-Мексико.
248 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИИ ГАЗА [Гл. IV
На рис. 70 опытные данные представлены крестиками. Прямая
отвечает формуле
~]цг2см — Igtcen = 11,915,
которая совпадает с теоретической формулой A1.4) после лога-
Рис. 69. Фото взрыва при t = 127-10~3 сек.
рифмирования последней, если положить дополнительно, что
¦i-lg-f = 11,915,
откуда при рх = 0,00125 г/см3
Е = 6,76-Ю23 Pl = 8,45-1020 эрг. A1.7)
Рис. 68. Огненный шар при t = 15-10""* сек.
§ Ц] ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ 249
Опытные данные хорошо подтверждают закон распространения
ударной волны A1.4), установленный ранее с помощью общих
соображений теории размерности, и позволяют определить вели-
величину постоянной Е согласно
равенству A1.7). Лщ -
Формулы для скорости л
ударной волны можно запи- Wt5 - /^
сать еще и так: /*
_ 2 г - /
С ~~ v + 2 l ' /
9,5 ' /
Подставляя это выраже- /
ние для с в условия на удар- jr
ной волне A1.2) и переходя s/
в них по формулам A.1) к /
безразмерным переменным ' /
V, Л, Р и z = уРШ, най- /°
дем значения V2, Яг и z2 за ^
ударной волной: ^ о ,,,,,,
4 '-io -3,0 -гр -to
V2~ G+l)(v+2) ' l^
Mi = _ , , Рис. 70. Опытные данные, отмеченные
V кружочками, ложатся на прямую, нак-
8? (Т — 1) (\\ о\ лоненную под углом 45° к осям коор-
22 = /„ I jp /v I 2J • \ ) динат, что является хорошим под-
тверждением теоретической формулы
Для получения решения Г2= (E^ih) st s-
о возмущенном движении
газа при сильном взрыве можно воспользоваться анализом поля
интегральных кривых в плоскости z, V, данного в § 5, и конеч-
конечными интегралами, установленными в § 3.
Поля интегральных кривых при v = 1, 2 аналогичны полю
интегральных кривых в сферическом случае при v = 3. Это поле
изображено на рис. 42.
При непрерывном движении вдоль интегральной кривой пара-
параметр К может стремиться к бесконечности только при приближении
к особым точкам О и F. Следовательно, при непрерывном дви-
движении бесконечно удаленной точке в газе в плоскости z, V мо-
могут соответствовать только точки О и F. При t Ф 0 центру сим-
симметрии соответствует значение К = 0. Вдоль интегральных кри-
кривых параметр X стремится к 0 только на интегральных кривых
2 = 0 при F = ± оо и при подходе к особой точке С, в которую
упирается одна-единственная интегральная кривая, которая
другим своим концом упирается в точку В. Особым точкам В и D
соответствуют конечные значения параметра А, Ф 0.
250 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Нетрудно видеть, что решению задачи о сильном взрыве может
отвечать единственная интегральная кривая, упирающаяся в осо-
особую точку С, соответствующую центру симметрии х). Однако это
решение невозможно продолжить непрерывно до г = оо, [поэтому
непрерывное движение газа при сильном взрыве невозможно.
Для того чтобы это решение можно было продолжить и сочетать
с покоем через сильную ударную волну, необходимо и достаточно,
чтобы согласно A1.8) точка М с координатами
4 8т (у-1)
z2 =
G-
принадлежала интегральной кривой, упирающейся в бесконечно-
бесконечности в особую точку С.
Важный теоретический вопрос о существовании решения поста-
поставленной выше задачи о сильном взрыве связан с доказательством
принадлежности двух точек М и С одной и той же интегральной
кривой для обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка E.10) при ю = 0, б = 2/B + \). Очевидно, что этот
вопрос невозможно решить с помощью приближенного численного
решения.
Однако оказалось, что решение получается в конечной зам-
замкнутой форме.
В самом деле, из условий на ударной волне A1.8) следует, что
постоянная в правой части интеграла энергии C.11) равна нулю.
Отсюда следует, что интегральная кривая в плоскости z, V, со-
соответствующая искомому решению, представляется простым урав-
уравнением
Z =
(„.9,
Подставляя z из A1.9) в уравнение E.11), на основании гранич-
граничного условия
X = 1 при V = У2 = 4
с помощью простой квадратуры найдем % (V).
Функция Л (У) легко определится из интеграла адиабатич-
ности и найденных функций z (У) и Я (У). Постоянная в интеграле
адиабатичности определится условиями на ударной волне A1.8).
Интегральная кривая A1.9) является той единственной инте-
интегральной кривой уравнения E.10), которая упирается в особую
точку С (z = оо, У = 2/y (v + 2)). Вдоль этой кривой перемен-
1) Детальный анализ этого вопроса дан в работе, относящейся к 1945 г.
См. Седов Л. И., Распространенно сильных взрывных волн. ПММ, т. 10,
выи. 2, 1946, стр. 241—250.
§ 1П
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВИ
251
ная % уменьшается от единицы на ударной волне до нуля в особой
точке С, в которой V имеет конечное значение 2ly (v +2). Отсюда
следует, что скорость газа в центре симметрии равна нулю
(у = rVlt), что является естественным механическим условием
продолжимости решения до центра симметрии.
Таким образом, доказано, что решение автомодельной задачи
о сильном взрыве существует и единственно.
Это доказательство существенным образом связано с тем, что
значения z2 и F2 A1.8) за фронтом ударной волны оказались при-
принадлежащими как раз той единственной интегральной кривой,
которая проходит через особую точку С, благодаря чему решение
продолжимо до центра симметрии. На всех соседних интегральных
кривых движение газа нельзя продолжить до центра симметрии.
Ниже даны универсальные формулы, таблицы и графики, спра-
справедливые при рх = 0 для любых значений начальной плотности
рх и энергии взрыва Ео.
Мы воспользуемся следующими обозначениями и соотношения-
соотношениями, вытекающими из определений A.1) и из условий на ударной
волне A1.2):
= / —
Р
Р2
причем
Рч
A1.10)
Е \ 2+у
7 + 1
P2 ¦¦= y=y Pi,
8Pl
A1.11)
(v
Pl)
v+2
P2
Обозначим через г0 начальную координату частиц газа — лаг-
ранжеву координату. Очевидно, что для каждой частицы коорди-
координата г0 равна радиусу ударной волны г2 в момент ее прохождения
через частицу.
252 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Из условий на ударной волне и из уравнения адиабэтичности
за фронтом волны следует
— = — Ы =
p P2
Отсюда получаем формулу
8G —
2)Цу
JLA
p7 r
0
A1.12)
A1.13)
которая может служить для вычисления лагранжевой координаты.
Согласно A1.11) верны также следующие равенства:
''2
0
Pi
P-zn
где i>20 и р20 — скорость и давление за фронтом ударной волны
в момент прохождения ударной волны через точку с координа-
координатой г0.
Решение задачи о сильном взрыве представлено с помощью
конечных формул в параметрическом виде с переменным пара-
параметром V1). Интервал изменения V н. характер движения вблизи
центра симметрии зависят от относительного расположения точ-
точки М, отвечающей движению газа за фронтом скачка, и особой
точки Щ, которая, как было выяснено в § 5, принадлежит инте-
интегралу A1.9) и при больших у поднимается в область z ^> 0 (см.
рис. 43).
Согласно A1.8) и E.14) равенство F2 для точки М и F* для
точки &
при v = 3 достигается для у = 7, при v = 2 — для у = оо и при
v = 1 — только для y = —1-
Следовательно, при v = 1,2hy^>1 интервал изменения пере-
переменной V определен неравенством
A1.14а)
х) Аналогично задаче о сильном взрыве в центре симметрии покоящегося
газа рассмотрено автомодельное движение газа при сильном периферий-
периферийном взрыве, вызывающем движение ударной волны к центру симметрии
(см. Гродзовский Г. Л., Автомодельное движение газа при сильном пери-
периферийном взрыве. ДАН СССР, т. 111, № 5, 1956, стр. 969—971; К о ч и н а
Н. Н., Мельникова Н. С, Неустановившиеся движения при пери-
периферийном взрыве. Труды МИАН СССР, т. 87, 1966, стр. 106—115).
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
253
В неравенстве A1.14а) значение
4
V =
„ 2
соответствует ударной волне, а V == ¦ , „, соответствует центру
(v -\- zO
взрыва.
Если v = 3 и у < 7, то формула A1.14а) также верна; при
v = 3 и y ^> 7 интервал изменения V определен неравенствами
В неравенстве A1.146) значение V — 2/5 соответствует границе
расширяющей пустоты, а V = 4/5 (y + 1) соответствует ударной
волне. Таким образом, пустота при конечных больших у получает-
получается только в сферическом случае.
После проведения указанных выкладок полное решение пред-
представится формулами
_ = Г (у + 2) G + 1) уТ Т^ ГГ + 1
1_ = Г (у + 2) G + 1)
v Г(у+ 2) G + 1)
/
vG-l)] V
у
\-i—<Z2
X
¦^^-v)]-a',
г0 Г (у+ 2) G+1)
77-L 4
¦V-1H X
X
-2К7 + 1)
1 2 +у G-
1)
у г
X
a
X
(у+ 2) G + 1) vTi+7 ГТ + 1 / ,
(у+2) G + I)
; 2+v(y-1) у
1— 2 и
j—2oti
Pi P
J
A1.15)
254 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл IV
где
1—v
а =
1 2
2-7 '
а6 = -5-
а, =
vB-7)
A1.16)
Из формул A1.15) для y < 7 легко вывести асимптотические
формулы для v, р, р и температуры Т вблизи центра взрыва при
Т7 2
и г->0.
Эти формулы имеют следующий вид:
_2 г_
)у t '
V =
p = ftlPl (Л.
2v
л
L
= /% _L (_L) (V-D (v+2)
2vB-V)
cv \ Pi
где для сферической симметрии;
ту—1
2 3(?-i) у (v-i)
7 —-
7+1
0,32
2*1.
47
,37-1
7-у
/Сз —
для цилиндрической симметрии
V+l
37—4
fcl
G + 1) у~1 7 (V~X) B~v)
7=1
ta =
2 G—1) B—7)
2G-1)
, 2-7
2 2-7
t3 =
A1.17)
A1.18)
! G —
A1.19)
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
255
для плоских волн;
/. B7-D
к 2''3 Bv
J 9
57—4
3G-1) B-7) (v +
2 1
2 3G-1) у 7-1 (V
57—4
_1KB-V)
2G+1) '
_j_lKB-V)
4+7-372
j) 3(V-D B-7)
-1)
A1.20)
My--
Зависимость постоянных къ'к2 и к3 от y представлена на рис. 71.
Вблизи центра симметрии скорость близка к нулю; давление
отлично от нуля и асимптотически постоянно по координате r-t
Л/
0,3 3,0-
l/i/лтфтселая см
0,22,0-
0,1
1,0-
К,
1,0
2,0
1,0
2,0
1,0
2,0
Рис. 71. Величины kt (у), к2 (у), к3 (у) в формулах A1.17), дающих асимпто-
асимптотические значения плотности, давления и температуры вблизи центра взрыва.
плотность весьма быстро стремится к нулю, а температура —
к бесконечности. Легко видеть, что энтропия также стремится
к бесконечности. Вблизи центра взрыва возникают большие гра-
градиенты температуры; благодаря этому свойство теплопроводности
становится весьма важным. Если учесть теплопроводность, то тем-
температура в центре взрыва получится конечной.
Масса газа разлетается от центра взрыва (при г = 0 имеем
с, «=i 0), давление в центре конечно, но стремится к нулю при
возрастании времени.
Отсюда ясно, что при сильном взрыве в газе, в котором до взры-
взрыва имеется конечное давление, должно возникать обратное движе-
движение газа к центру взрыва. Этот эффект хорошо наблюдаем при
256 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
подводных взрывах, в которых возникают повторные пульсации
газового пузыря.
Вследствие разлета газа от центра и понижения давления воз-
возникает архимедова подъемная сила, вызывающая всплывание
в окружающей атмосфере области возмущенного движения газа.
По данным на фотографиях взрыва атомной бомбы в Нью-Мек-
Нью-Мексико вертикальная скорость подъема святящегося ядра имела
порядок 35 м/сек.
На рис. 72—79 для у = 1,4 даны графики для распределения
скорости, плотности, давления, температуры за фронтом волны,
для закона движения и для изменения состояний частиц газа
в случаях v = 1, 2, 3.
y-ffi
/
г
г.
W
Рис. 72. Распределение скоростей за ударной волной: сплошная линия —
сферический случай; штриховая — цилиндрический случай; штрих-пунктир-
штрих-пунктирная — плоский случай.
В таблицах приведены некоторые численные значения величин,
полезных для различных приложений.
Влияние показателя Пуассона y на распределение характери-
характеристик движения за фронтом ударной волны для сферической сим-
симметрии представлено на рис. 80, 81 и 82.
В формулах A1.16) при 7 = 2 коэффициент а5 — оо, поэтому
для расчета при у = 2 характеристик движения газа в формулах
A1.15) необходимо перейти к пределу при у ->¦ 2.
и]
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
257
iff
0.5
y=ffi
щ
ш
I
0,5
Л ',0
Рис. 73. Распределение плотности за ударной волной.
/fl
0,5
^ _ _-= .
/Л
_
0,5
Рис. 74. Распределение давления за ударной волной: сплошная линия — сфе-
сферический случай; штриховая — цилиндрический случай; штрих-пунктир-
штрих-пунктирная — плоский случай.
258 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА 1Гл. IV
40
го
\ \
\
\
\
\
\
\
\
\
i
\
\
\
\
\
\
д o,s _r_ ffl
Рис. 75. Распределение температур за ударной волной.
v =
r
¦-г
\
f
N
***
w
го
Рис. 76. Закон движения частиц газа (у = 1,4).
§ и]
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
259
«/<
l
\
/
\ 4
\ N
\
4
v = /
/
<
y = 2
/ '
»
R
v = 3
¦^ .
¦
ffi
— —
™ i.
f9
1 ¦ ii- —
AC
Рис. 77. Скорость частицы в функции положения ударной волны (у = 1,4).
о ?¦
W W гг
^
* в в т гг
Рис. 78. Плотность частицы в функции положения ударной волны (у = 1,4).
9*
260 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
ЦБ
Off
о,г
1
\
/\
V
,,г
>1
1
-L
6 8 ID 12
1Б IB r2
Рис. 79. Давление частицы как функция положения ударной волны (у = 1,4).
w
0,5
7-11
y=a
y=/fi
¦A-r
05 _r
?.
Р,
50
@
у=11
——"— '
г-'Ц
0,5
/О
Рис. 80. Влияние постоянной у Рис. 81. Влияние постоянной у
на распределение давления за на распределение плотности за
фронтом ударной волны для сфе- фронтом ударной волны для сфе-
сферической симметрии. рической симметрии.
s in
-
l
o,
o,
o,
0,
o,
o,
0,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
0
0
X
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
r
r2
9797
9420
90J3
85G5
8050
7419
7029
6553
5925
5396
4912
4589
4161
3480
2810
2320
1680
1040
0000
_ r
9998
9802
9644
9476
9295
9096
8725
8442
8094
,7629
7242
,6894
,6390
,5745
,5180
,4748
,4222
,3654
,3000
,2500
,2000
,1500
,1000
,0000
1
0,
o,
o,
o,'
o,
o,
o,
o,
0,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
1
0
о
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1°.
8873
7151
5722
4501
3427
2448
1980
1514
1040
0741
0529
0415
0293
0156
0074
0038
0012
0002
0000
9954
8911
8164
7460
6789
6140
5115
4461
3695
3009
,2480
,2071
,1577
,1081
,0748
,0552
,0370
,0220
,0111
,0058
,0027
,0010
,0002
,0000
1
o,
o,
o,
0,
o,
.0,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
0
o,
1
I
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ЗАДАЧА
;-'
9699
9156
8599
8017
7390
6678
6263
5780
5172
4682
4244
3957
5580
2988
2410
1989
1441
0891
0000
>
2
9996
9645
9374
9097
8812
8514
7998
7638
7226
6720
6327
,5989
,5521
4943
,4448
,4073
,3621
,3133
,2571
,2143
,1714
,1286
,0857
,0000
p
p
1
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
0
o,
o,
о
p
p
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
2
8625
6659
5160
3982
3019
2200
1823
1453
1074
0826
0641
0536
0415
0263
0153
0095
0042
0013
0000
v = 2,
9973
7653
6285
5164
4234
3451
,2427
,1892
,1414
,0975
,0718
,0545
,0362
,0208
,0123
,0079
,0044
,0021
,0008
,0003
,0001
,0000
,0000
,0000
T =
7
V
1
o,
o,
o,
o,
o,
о
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
0
0
0
о
= 1,4
2
9162
7915
6923
6120
5457
4904
4661
4437
4229
4116
4038
4001
3964
3929
3911
3905
3901
3900
3900
T=l,4
~Рг~
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,9985
8659
,7832
,7124
,6514
5983
,5266
,4884
,4545
,4242
,4074
,3969
,3867
,3794
, 3760
,3746
,3737
,3733
,3730
,3729
,3729
,3729
,3729
,3729
1
1,
1,
1,
i;
i,
i,
r,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
o,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
'(>.)
5
4688
4067
3367
2597
1758
0862
0396
9921
9438
9144
8947
8849
8750
8651
8602
8584
8574
8572
8571
,<x,
8333
8325
7516
6848
6132
,5371
4569
3206
,2313
1394
,0455
,9885
,9503
,9120
,8833
,8698
,8640
,8602
,8583
,8574
,8572
,8572
,8571
,8571
,8571
8' (>•)
7,5
6,1575
4,3615
3,1109
2,2183
1,5638
1,0738
0,8726
0,6919
0,5232
0,4213
0,3473
0,3020
0,2551
0,1905
0,1370
0,1025
0,0630
0,0307
0,0000
8' (>•)
14,1667
14,1149
9,8877
7,5936
5,8431
4,4922
3,4390
2,1977
1,6219
1,1561
0,7709
0,5660
0,4344
0,2998
0,1863
0,1202
0,0839
0,0522
0,0292
0,0132
0,0064
0,0026
0,0008
0,0002
0,0000
*
4,
3,
3,
2
l',
1,
0,
0,
o,
o,
o!
o,
o,
о
o,
o,
o,
o,
o,
7
7
5
4
3
3
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
261
(X)
5
8131
8352
0959
5250
0723
7067
5483
4022
2648
1838
1289
1003
0453
0237
0111
0089
0029
0005
0000
'(X>
8333
8102
8478
6993
7665
0009
3668
5608
1574
8136
,5170
,3567
,2551
,1556
,0798
,0423
,0249
,0123
,0052
,0016
,0005
,0001
,0000
,0000
,0000
262 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
X
1
0
0
0
0
о,
о
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
г
~~ пГ
9913
9773
9622
9342
9080
8747
8359
7950
7493
6788
5794
4560
3600
2960
2000
1040
0000
И
1
0,9498
0,8785
0,8103
0,7038
0,6220
0,5320
0,4463
0,3704
0,2983
0,2097
0,1201
0,0519
0,0227
0,0114
0,0051
0,0000
0,0000
1
0
0
0
0
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
-~f
9814
9529
9237
8744
8335
7872
7397
6952
6496
5844
4971
3909
3086
2538
1714
0892
0000
?-*
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о,
о,
о,
о,
о,
,8379
,6457
,4978
,3241
2279
1509
0967
0621
0379
0174
0052
0009
0002
0000
0000
0000
0000
Рг
1
0,
0,
0
0,
о,
о,
0,
о,
о,
о,
0,
о,
о,
о,
о,
о,
о,
9109
7993
7078
5923
5241
4674
4272
4021
3856
3732
3672
3656
3655
3655
3655
3655
3655
1
2
2
1
1
1
1,
1,
¦!,
1,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
о,
о,
о,
'(>.)
1666
0981
9864
8659
6548
4837
3036
1495
0395
9610
8991
8662
8581
8572
8572
8571
8571
8571
i
20
16
11
8
4
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
>'(>•)
,8333
,4159
,5610
,1607
,6349
,9536
,7841
,0716
,6690
,4090
,1981
0679
0142
0030
0008
0001
0000
0000
h'(X)
11,1666
9,2305
6,9475
5,2109
3,2119
2,1425
1,3269
0,7900
0,4720
0,2669
0,1095
0,0278
0,0036
0,0005
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
Перейдя к пределу, найдем
^ = [| (v + 2)
[3 (l -
X expj —
[3 ((v +2) V -
4v [i-4(v + 2)F]
v + 2 ~7 v+2
^—2-
X exp
2(v-2)
v+2
4v
X
(*+ 2)V
v + 2
В центре симметрии (V = l/(v + 2)) при 7 =
A@) = 3 v+2 4^"
exp l - ¦
Как видно из этой формулы, давление в центре при любых v и
7 = 2 конечно и отлично от нуля.
Ш
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
263
Отметим, что при у = 7 решение получается особенно простым
шеет вид
и имеет вид
V Г.
= = А,,
Г2
р.
-*— = Л,
= Л,3.
р2
A1.21)
W
В этом случае получилось, что в центре симметрии v = р= р = 0.
Если 7^7, то в центре получается пустая сфера радиуса
г*; внутри этой сферы давление
равно нулю. Радиус г* возрастает
с течением времени, так что отно-
отношение г*/г2, зависящее только от
7, остается постоянным.
Большие значения показателя
7 можно вводить при рассмотре-
рассмотрении сильного взрыва в сжимаемых
средах, подобных воде.
Поставленная выше задача о
точечном взрыве решается для
любого постоянного значения от-
отвлеченного параметра 7- Если
7 = 7* = ср/св, то процесс для
каждой частицы газа адиабатиче-
адиабатический. Если постоянная 7 произ-
произвольна и не равна 7* = cp/cv, то
процесс будет политропический;
в этом случае фронт скачка ана-
аналогичен фронту детонации или
фронту фазовых переходов с по-
поглощением тепла.
В самом деле, условие B.6)
можно переписать в виде
05
О
\
V
V
0,5
(Р
Рис. 82. Влияние постоянной 7
на распределение скорости за
фронтом ударной волны для сфе-
сферической симметрии.
(V*-l)Pi
A1.22)
где
Q =
Pi
так как р2/р2 — RT2^> RT1 = рх/ри то очевидно, что условие
A1.22) аналогично условию на фронте детонации при 7 > у* =
= cPlcv > 1, когда Q > 0. На фронте будет происходить поглоще-
поглощение тепла (Q < 0), если 7 > 1 и 7 < ?*¦
С другой стороны, для обратимого процесса внутри потока за
фронтом скачка для каждой частицы газа верно равенство
264 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
отсюда, так как для частицы plpt = const и р = RpT, получим
dQ = Тс„ (у — у*)^-= .Т— У* с йт. A1.23)
В изученных решениях мы имели для фиксированных частиц
dp < 0 и dT < 0; поэтому в частице имеем процесс с выделением
тепла dQ ]> 0 при у < у* и с поглощением тепла dQ <^ 0 при
Y> ?*•
В полученные выше формулы для размерных характеристик
движения входит постоянная Е, которую надо выразить через
энергию заряда Ео (равпую в принятой постановке задачи полной
энергии возмущенного газа). Безразмерные характеристики дви-
движения представляются универсальными кривыми, независимыми
от энергии взрыва Ео или от пропорциональной ей величины Е.
Для полной энергии имеем формулы
Ео = \ ¦—- inr2 dr + \ —^—f-inr2dr в сферическом случае,
о о
П г,
Ео = \ -~—2nrdr-{- \ —-^-т-2ягйг в цилиндрическом случае,
dr для плоских волн.
7-1
о о
Первый член есть кинетическая, а второй — тепловая энергия
газа. Вводя безразмерные величины, найдем
Е0 = а(у)Е, A1.24)
где
1 1
а = 2я \$V2№dX-\-- _. {PK^dX в сферическом случае;
1
а = я \
а = 1
dk +
\
{У \?-) «)
о
1
1
\ Р№ d\ в цилиндрическом случае;
Р№ d\ для плоских волн.
На рис. 83 представлена зависимость а (у), вычисленная для
сферической, цилиндрической и плоской симметрии.
В частности, в случае сферической симметрии при, у = 1,4
имеем
Ео= @,186 + 0,665) ?= 0,851? или Е = 1,175?0.
§ Ш
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
265
Если воспользоваться значением Е по формуле A1.7) соглас-
согласно опытным данным для взрыва атомной бомбы в Нью-Мек-
Нью-Мексико и принять у = 1L, то для энергии взрыва L) получим Ео =
— 7,19 X 1020 эрг, что соответствует энергии, выделяющейся при
взрыве 16 800 т тринитротолуола.
Можно рассмотреть движение газа с примесями очень мелких
твердых или жидких частиц, движущихся вместе с частицами
Цилиндрическая симметрия
Сферическая симметрия
Плоеная симметрия
Рис. 83. Отношение EJE = а в функции величины у.
газа (запыленная атмосфера) 2). Плотность взвешенных частиц
в газе бывает достаточно большой; действительно, в 1 см? воздуха
в большом промышленном городе содержится в среднем 20 000 пы-
пылинок, в 1 см3 облаков или тумана находится 100—600, а иногда
до 1400 капелек. Поэтому можно считать, что наличие частиц
в газе увеличивает инерцию среды, которая остается однородной
х) При оценке полной энергии, выделяющейся при взрыве атомной бом-
бомбы, необходимо иметь в виду, что значительная часть энергии расходуется на
излучение.
2)Сидоркина СИ., О некоторых движениях аэрозоля. ДАН
СССР, т. 112, № 3, 1957, стр. 398—399.
266 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
С ПЛОТНОСТЬЮ
Р' =
где р — плотность газа, а к — положительная постоянная.
Рассмотрим систему уравнений гидродинамики для адиаба-
адиабатических движений. В уравнения движения будет входить плот-
плотность р' = р A + к), в уравнение неразрывности — р, однако,
поскольку оно однородно относительно плотности, умножением
на постоянную величину A + к) приводим его к уравнению нераз-
неразрывности для непрерывной среды плотности р'. Особого внимания
требует условие адиабатичности, которое в рассматриваемой
среде имеет вид
pcv dT + скр dT + р'р d A/p') = О,
где с — теплоемкость частиц, предполагаемая постоянной, a cv
и далее ср — удельные теплоемкости газа. После интегрирования
получим
где А — постоянная, зависящая от частицы среды. Выражение
кс
сю-г
обозначим через у'. При этом уравнениэ адиабатичности
ю
и вся система уравнений гидромеханики приобретают обычный
вид. В нее входит р' —¦ плотность рассматриваемой среды и у',
представляющее собой отношение удельных теплоемкостеи среды:
где
рср
Теперь рассмотрим условия на скачках уплотнения. По-преж-
По-прежнему не меняют своего вида условия сохранения массы и коли-
количества движения при переходе через ударную волну. Третье
условие — условие сохранения потока энергии — тоже сохра-
сохраняется в старом виде. Это связано с тем, что в него входят плот-
плотность среды р' и удельная внутренняя энергия, которая для дан-
данного случая записывается так же, как для идеального газа,
с отношением теплоемкостеи у'. Действительно,
dsp A + к) = cvp dT + скр dT,
где
\
~ —Г" '
Р
8 =
\-\-k
у —'
и y' приближается к единице при возрастании — , т. е. при увели-
§ Ш
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
267
чении содержания частиц и их теплоемкости. Из формул A1.22)
и A1.23) следует, что на фронте волны наличие примесей приводит
к поглощению тепла (dQ < 0), а в потоке газа нагретые частицы
отдают тепло (dQ ^> 0).
Можно сделать вывод, что во всех задачах газовой динамики
среда, в которой содержится большое число частиц, ведет себя
как газ с отношением теплоемкостеи y' меньшим, чем для чисто-
чистого газа.
Рассмотрим задачу о сильном взрыве в запыленной среде
и определим интенсивность взрывной волны. Формула A1.11)
дает давление на ударной волне
-8J?1
где Е = EJa (у').
Отношение p'^lpi для двух взрывов с одной и той же выделившей-
выделившейся энергией Ео на одном и том же расстоянии от центра взрыва г2
просто зависит от у:
• 4
-1) _ /(?)
Рис. 84. График функции
/ (y), характеризующей вли-
влияние запыленной атмосферы
на давление.
Рг nftW + l) f(Y) '
На рис. 84 представлена зависимость
/ (y) = а (у) (у + 1), где а (у) — функ-
функция, изображенная на рис. 83. Функция
/ (y) с уменьшением у увеличивается,
что приводит к падению давления на
ударной волне в запыленной атмосфере
по сравнению с давлением на ударной
волне в чистом газе. Уменьшение y от
1,4 до 1,2 приводит к снижению давле-
давления на ударной волне в 2 раза. Однако
для этого необходима весьма высокая плотность аэрозоля (888 г
пыли в 1 м3 воздуха). Чтобы снизить р2 на 10%, достаточно плот-
плотности пыли 0,12 кг/м?. Запыленность воздуха в промышленном
городе соответствует уменьшению р2 на 2%.
2. Об учете теплопроводности. Выше мы отметили, что свой-
свойства вязкости и теплопроводности могут оказать некоторое влия-
влияние на движение газа вблизи центра взрыва; если не пренебрегать
вязкостью и теплопроводностью, то в уравнения движения газа
войдут коэффициент вязкости |я и коэффициент теплопроводности х.
Следует отметить, что коэффициент теплопроводности входит
как множитель при температуре Т.
После исключения температуры Т с помощью уравнения состоя-
состояния (для простоты предположим, что это уравнение Клапейрона
Т = р/ Rp) в качестве коэффициента будет входить фактически не
268 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
само и, а отношение %IR (R — газовая постоянная). Как изве-
известно, коэффициенты |я и и зависят от температуры. Обычно их при-
принимают пропорциональными температуре Т в какой-либо степени
(чаще всего пропорциональными У Т) или постоянными. Предпо-
Предположим, что
где \хг и их — постоянные.
После исключения Т в уравнения войдут новые размерные
константы
И-1
да
И
Их размерности равны
[^5-j-[-^Tj-MLJ1
Для того чтобы движение было автомодельным, достаточно,
чтобы их размерности выражались через размерности рх и /?0.
Легко видеть, что для этого надо положить в сферическом случае х)
а = 1/6, в цилиндрическом а = 0 и в плоском а = —1/2.
Таким образом, задача о сильном взрыве может быть решена
с помощью интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений с учетом вязкости и теплопроводности, если принять
(л = iixT1'6. и = щТ1' для сферических волн; A1.25)
|Л = const, у, = const для цилиндрических волн; ^11.26)
\i = ju,x/j/"Т, к = х^У Т для плоских волн. A1.27)
В настоящее время опубликованы приближенные решения
задачи о сильном точечном взрыве с учетом теплопроводности 2).
Нетрудно усмотреть, что для совершенного газа и для многих
других сред автомодельность задачи о сильном взрыве сохра-
сохраняется также и в тех случаях, когда в области возмущенного
движения благодаря интенсивному теплообмену (за счет очень
большой теплопроводности или за счет излучения и других про-
процессов) температуру можно считать одинаковой, но, вообще го-
говоря, переменной во времени, иначе говоря, когда уравнение
1) Этот результат получен в работе: Бам-Зеликович Г. М. Рас-
Распространение сильных взрывных волн. В сборнике статей № 4 «Теоретическая
гидромеханика» под ред. Л. И. Седова. М., Оборонгиз, 1949. При а = 1/6
имеем [[Xj/i?a] = [(Eply*].
2) Коробейников В. П., О распространении сильной сфериче-
сферической взрывной волны в теплопроводном газе. ДАН СССР, т. 113, № 5, 1957,
стр. 1006—1009.
§ И]
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
269
адиабатичности можно заменить уравнением
зт
~~дГ
= 0.
Решение соответствующих задач о точечном взрыве и о поршне
опубликовано в ряде работ L).
3. Автомодельность точечного взрыва для идеальных сред.
Еще следует сделать одно замечание о возможности решения
задачи о сильном взрыве в рамках теории идеальной жидкости
при более общем виде уравнения состояния и зависимости внут-
внутренней энергии газа в функции от р и р 2). Функция внутренней
энергии е (р, р) непосредственно входит в условия на ударной
волне и в уравнение притока тепла. В общем случае ее всегда
можно представить в виде
; = _Lq>(JL, _P_W const,
Pi T \ p* Pi У
где ф — безразмерная функция своих аргументов, ар* — какая-
либо константа с размерностью давления.
Так как размерность р* не может быть выражена через раз-
размерности рх и Е, то для автомодельности движения достаточно,
чтобы е не содержало р*, т. е. чтобы было
<и-28)
где ф — произвольная функция своего аргумента.
В уравнении адиабатичности не может появиться новых физи-
физических размерных постоянных, потому что это уравнение имеет вид
de + pd — = 0.
Условие A1.28) накладывает некоторое ограничение на урав-
уравнение состояния. Действительно, так как
1
pd —
9 = dS
т
есть полный дифференциал, то Т и е должны удовлетворять
!) Коробейников В. П., Задача о сильном точечном взрыве в
газе при нулевом градиенте температуры. ДАН СССР, т. 109, № 2, 1956,
стр. 271—273; Рыжов О. С, Таганов Г. И., Второй предельный
случай задачи о сильном взрыве. ПММ, т. 20, вып. 4, 1956, стр. 545—548;
Мельникова Н. С, О неустановившемся движении газа, вытесняемого
поршнем, при нулевом градиенте температуры. Яссы, Бюлл. Политехи, ин-та,
т. 10, № 3—4, 1964.
2) См. цитированную выше работу Г. М. Бам-Зеликовича.
270 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
уравнению в частных производных
т , дТ
1 ' дР
де \
дТ
~др~
др
Подставляя сюда е = рц> (р) (для простоты можно положить
рх = 1), получим
т + -%-р w (р) р2 -1] - р2ф (р) 4г = °-
Можно написать эквивалентную систему обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений
??_ dp _ dp
Т '
Р[Ф'(Р)Р2 —
Она имеет два первых интеграла:
Те
Ф(р)р2
= Сх и рф (р) е
С
следовательно,
'dp _
Р2Ф(Р)
dp
рМр)
A1.29)
где ф и Ф — произвольные функции своих аргументов. Очевидно,
что соотношению A1.29) удовлетворяют, в частности, все уравнения
состояния, при которых температура пропорциональна дав-
давлению, а от плотности зависит произвольным образом. Однако,
несмотря на наличие двух произвольных функций, многие инте-
интересные уравнения состояния (например, уравнение Ван-дер-
Ваальса) не могут быть записаны в форме A1.29).
Если функция Ф сводится к постоянной, то давление, а сле-
следовательно, и внутренняя энергия зависят только от плотности;
соответствующая размерная постоянная, равная Ф, войдет в выра-
выражение внутренней энергии. В этом случае система становится
однопараметрической, поэтому предыдущая постановка задачи
становится невозможной.
В общем случае функция Ф в A1.29) может зависеть от ряда
размерных постоянных, которые не могут нарушить автомодель-
ность задачи, сформулированной через и, р, р в § 1. Однако нали-
наличие этих постоянных может привести к неавтомодельной зави-
зависимости температуры Т от г и t в возмущенном потоке среды.
Заметим еще, что из формулы A1.28) следует
dp f" dp
РФ (р) е
р2ф(р)
где гр (S) — функция от энтропии, зависящая от вида функции Ф
S Ы
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
271
в A1.29) и удовлетворяющая уравнению
!> (S) = Ф (г|/ (S)).
4. Точечный взрыв в идеальной несжимаемой жидкости. Задачу
о точечном взрыве можно рассмотреть в предположении о несжи-
несжимаемости среды L). Уравнение адиабатичности можно заменить
уравнением
р = рх = const. A1.30)
В этом случае возмущения распространяются с бесконечно
большой скоростью; поэтому возможно решение без ударной
волны. Случай движения несжимаемой жидкости при точечном
взрыве можно получить как предел для адиабатических движений
газа при у —*- +оо. Как и в общем случае, если /?L = 0, то движе-
движение жидкости автомодельно и, как легко проверить, для поля
скоростей верна следующая формула:
у =
5 \2jtp
J
A1.31)
так как движение должно соответствовать источнику с перемен-
переменной интенсивностью, зависящей только от Ео, р, t. Постоянный
множитель определяется заданием кинетической энергии жидкости,
которая равна 4/26^о- Из интеграла Лагранжа следует
(Ц.32)
Pi
25
Г'" it [l _
В центре образуется пустая сфера с возрастающим радиусом г*,
для которого верна формула
Внутри сферы радиуса г* давление равно нулю.
На рис. 85 кривая 1 дает распределение давлений в жидкости,
которое в переменных
Pi
г
7*"
представляется универсальной кривой.
*) Задача о точечном взрыве в идеальной сжимаемой среде рассмотрена
в работах: К о ч и н а Н. Н., Мельникова Н. С, О сильном точеч-
точечном взрыве в сжимаемой среде. ПММ, т. 22, вып. 1, 1958, стр. 3—15, и К а р-
ликовВ.П., Коробейников В.П., Рязанов Е.В., Приб-
Приближенный метод решения задачи о взрыве в некоторых идеальных сжимае-
сжимаемых средах. ПМТФ, № 2, 1963, стр. 132—134.
272 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Максимальное давление падает обратно пропорционально ?''•,
причем максимум давления достигается независимо от времени
при г*/гртах = 4'», откуда
гРтях —
A1.34)
В найденном движении существенно только отношение E0/pi.
Если рх -ф- О, то движение несжимаемой жидкости при точеч-
точечном взрыве, так же как и для газа, не автомодельно. Однако
02
(
1
г—
3
г
\
i
г~^
Ь = О,58
О
ю
?5
го
Рис. 85. Распределение давлений в несжимаемой жидкости при точечном
взрыве: 1 — автомодельное решение; 2 — решение с учетом противодавления
для малых § = r*/rmax; 3 — давление, когда внутренняя каверна имеет мак-
максимальный радиус.
в этом случае полное решение легко получить в простой аналити
ческой форме.
Для потенциала скорости и для величины скорости можно на-
написать формулы
dr*
г*2 ¦
Ф = :
dt
V =
г*2 dr*
dt
A1.35)
которые верны для любого закона г* (?) расширения внутренней
сферической полости.
§ ш
ЗАДАЧА О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ
273
Из интеграла Лагранжа, если внутреннее давление р* = О,
а внешнее в бесконечности рг = const, получим
dt
Отсюда,
dr*
dt
Pl
A1.36)
A1.37)
Из решения автомодельной задачи на основании формулы
A1.33) найдем
L~ 25\2
Рис. 86. Закон расширения внутренней каверны: 1 — автомодельное реше-
решение; 2 — движение несжимаемой жидкости с учетом противодавления; 3 —
сжимаемая среда при у = 11.
Если ввести обозначения
B5яI/з Уг v\*
, 'max —
A1.38)
то закон расширения внутренней полости представится универ-
универсальной формулой
^ . A1.39)
274 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
Очевидно, что гтах равняется наибольшему радиусу внут-
внутренней полости.
Закон расширения согласно A1.39) изображен на графике
(рис. 86). В этих же переменных закон расширения для автомо-
автомодельного движения представится формулой
т = 2/6?5'2; A1.40)
соответствующая кривая на рис. 86 дана пунктиром. На гра-
графике 86 нанесена также кривая для автомодельного решения для
газа при у = 11.
§ 12. Точечный взрыв с учетом противодавления
Рассмотрим теперь задачу, сформулированную в § 1, о точеч-
точечном взрыве в совершенном газе с постоянной начальной плот-
плотностью рх и постоянным начальным давлением ръ отличным от ну-
нуля. При учете давления рх, входящего в условия на ударной волне,
теряется автомодельность.
Как уже было указано в § 1, решение неавтомодельной задачи
зависит только от двух независимых безразмерных переменных
и от одной отвлеченной постоянной у.
Обозначим, как и раньше, через г2 переменный радиус ударной
волны и через с = drjdt скорость ударной волны.
При описании движения с точки зрения Эйлера возьмем сле-
следующие безразмерные независимые переменные:
а =
и <7 =
A2.1)
где а\ = урх/рх, ах — скорость звука в невозмущенном состоянии
газа. Диапазоны изменения q и л определяются неравенствами
0<Я< 1,
0<д< 1.
Вместо переменной q можно воспользоваться также одной из без-
безразмерных переменных
V+2
C~, A2-2)
т = -^, где t» = Eo"
безразмерное время, или
7 ^*2 О
/ 0
A2.3)
I — безразмерная координата ударной волны, f — динамическое
характерное время, г° — динамическая характерная длина.
S I2J
ТОЧЕЧНЫЙ ВЗРЫВ С УЧЕТОМ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ
275
На рис. 87 даны графики в сферическом случае для определе-
определения г° в метрах и t° в секундах в зависимости от энергии взрыва
и от высоты стандартной атмосферы, определяющей давление рг
и плотность pj. Например, возьмем в качестве основной энергии
энергию Ео, вычисленную на стр. 265, и для ориентировки
приведем следующие численные значения для высоты Н = 5 км:
10щ0 Ео = 7,19 • 1016 эрг, r° ~ 51 м, t° ~ 0,002 сек;
Ео = 7,19 -1020 эрг, г» ~ 1100 м, t° ~г 4,1 сек;
1000?0 = 7,19-2023 эрг, r« ~ И 000 м, t° ~ 41 сек.
Для сильного взрыва при р1 — 0 имеем q = 0, т = 0, 1 — 0.
Для точечного взрыва с учетом р± Ф 0 при t —у 0 имеем т -*• 0,
В дальнейшем мы можем принять, что если безразмерные ха-
характеристики движения газа, имеющие вид
К Я, У),
при q -*- 0, или при т -*- 0, или при I -> 0 сохраняют конечное
значение, то они стремятся к соответствующей, известной из реше-
решения, данного в § 11, функции для автомодельного движения.
Для автомодельного решения, независимого от величины
Pi, при конечных plt рх и Ео можно рассматривать конечные вели-
величины q, т, I.
Так как зависимости скорости ударной волны от времени t или
от координаты г2 для автомодельного движения известны (фор-
(формулы A1.4), A1.5) и A1.6)), то это дает следующие соотношения:
я =
2 2V
2-|-v 2+v
al .
A2.4)
Для неавтомодельного движения функциональные связи q (т)
или q (Г) определяются законом движения ударной волны, при
д> —>- 0 эти функции соответственно стремятся к A2.4). Нетрудно
видеть, что при постоянной скорости звука ах = 1/ — верна
' Pi
следующая формула:
Л
dq
A2.5)
Обозначим, как и раньше, через i>2, p2 и р2 значения скорости,
плотности и давления на фронте взрывной волны. На основании
276 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
-Г
-г
-з
У.
1
j
/
А
1
H=Wn
/
'/
л
/
3
2
1
О
-1
-г
-з
-4
-5
-В
12 3 4 5
! 1 I
-Н=0
НЧОпм
=5пм
W
</
линейный
Рис. 87. Масштабные постоянные: г° = VEB/p1 —динамический unnmu™
размер в метрах; i° = Е^'р^'р^1' — динамическое время в секундах;] HL—
высота стандартной атмосферы; Еа — энергия взрыва в эргах.
§ 12]
ТОЧЕЧНЫЙ ВЗРЫВ С УЧЕТОМ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ
277
условий на ударной волне A1.1) верны формулы
l !—Я „ _
2
V7
,A2.6)
определяющие в явном виде зависимость от q всех характеристик
газа на фронте ударной волны. Зависимость у2, р2, р2 от т или I
заранее не известна; определение этой зависимости равносильно
установлению функции q (т) или функции q (I).
Если взять в качестве неизвестных функций величины
Ч), A2-7)
то точные условия на ударной волне представляются в простой
форме:
приЯ,= 1 f(l,q)=g(i,q)=h(l,q) = l. A2.8а)
В центре симметрии обращение скорости в нуль дает равенство
/ @, q) = 0. A2.86)
Начальные условия в задаче о точечном взрыве можно написать
в виде
/ (X, 0) = /0 (Я), g (К, 0) = g0 (К), h(%,O)=ho(%), A2.9)
где /0 (А,), ^0 (А,) и h0 (К) — соответствующие функции для автомо-
автомодельного движения, найденные и изученные при решении задачи
об автомодельном движении в § 11.
В этих переменных система уравнений для одномерных неуста-
неустановившихся адиабатических движений газа A.3) преобразуется
к виду
df , Л
2A—
dh
д'к
4-
= 0,
2A- q)_dj_ t[ 2A-q) _ ^-jj_ dg 2A-
ax,^L 7-
g 3? Y +1-2A-?) J
A2.10)
2
[2A-?)
L 7+1
_ [2A-?) , _ a 1 JL i? , [J_ ЭА T 3g
L V + l > } g dk +[h 8q g -Щ--
dq
278 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Уравнению A2.10) и условиям A2.8) и A2.9) можно удовлетво-
удовлетворить, положив
ч) =
ya(y)
A2.11)
С помощью уравнений A2.10) и краевых условий A2.8а) и A2.86)
можно определить функции )х (к), gx (A,), hx (к) и постоянную А1).
Краевые условия дают:
МО) = 0, U A) = 0, gl A) = 0, К A) = 0. A2.12)
Уравнения A2.4) приводят к следующей системе линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих неиз-
неизвестную постоянную А:
f
h'° ~ vfogo - ITT
2go
2/0
.I rfgl
2/0
x
2 Гу-1
go+go\fi
j — A, I hog1 —
!) Решение этой задачи дано в диссертации Н. С. Мельниковой (Бурно-
вой), защищенной в МГУ в 1953 г. (Реферативный журнал «Механика», № 3,
2535, 1954).
Несколько позже аналогичная линеаризированная задача о точечном
взрыве с учетом противодавления независимо и другим способом была изуче-
изучена A. Sakurai (см. Sakurai A., On the Propagation and Structure of the
Blast Wave, I, II. J. Phys. Soc. Japan, v. 8, № 5, 1953, p. 662—669).
Подробное исследование и численные результаты, полученные Н. С.
Мельниковой, были опубликованы в третьем издании этой книги в 1954 г.
§ 12]
ТОЧЕЧНЫЙ ВЗРЫВ С УЧЕТОМ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ
279
Коэффициенты этих уравнений суть известные функции от X, выра-
выражающиеся через функции /0, g0, h0, соответствующие автомодель-
автомодельному решению. Постоянная А входит линейным образом только
в свободные члены, поэтому искомое решение системы A2.10)
можно представить в виде
/l = /ll + Afx2,
gi = gn + Aglt, A2.14)
К = hu + Ah12.
Функции /u (A,), gn (A,), hn (X) определим как решение задачи
Коши для системы A2.13) при А = 0 и при начальных данных
/и A) = О- gu A) = 0, Ли A) = 0.
Функции /12 (A,), g12 (А,) и h12 (А,) определим как решение задачи
Коши для аналогичной системы уравнений с соответственно
измененными свободными членами и с начальными данными
/i2 A) = 0, gl2 A) = 0, fe12 A) = 0.
Условие A2.12) в центре будет удовлетворено, если постоянная А
определится из условия
lim (/n + Af12) = 0. A2.15)
Решение задач Коши можно произвести численным способом.
Система обыкновенных линейных дифференциальных уравне-
уравнений A2.13) после замены независимой переменной А, на V со-
согласно формулам A1.10) и A1.15) преобразуется в систему линей-
линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами в виде
простых рациональных функций от V.
В точках, соответствующих центру симметрии, при V =
= 2/B + v) y некоторые коэффициенты имеют полюсы. Требуемые
решения преобразованной системы можно построить в виде рядов,
сходящихся для всех значений V в интервале
(для v = 3 при y < 7), в котором требуется построить нужное
решение.
Результаты численных расчетов дают для всех трех случаев
v = 1, 2, 3 для А значение, близкое к двум L).
Условие A2.8) и в линеаризированном случае условие A2.15)
можно заменить требованием о конечности энергии возмущенного
!) Численные расчеты для случаев v = 1 и v = 2 даны в работе: Б р у ш-
линский Д. Н., СоломаховаТ. С, Исследование задачи о силь-
сильном взрыве с учетом противодавления. Сборник статей № 19, вып. 7, «Тео-
«Теоретическая гидромеханика» под ред. Л. И. Седова. М., Оборонгиз, 1956.
280
ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
движения. Конечность энергии и условие A2.15) для линеаризиро-
линеаризированных уравнений эквивалентны. После определения постоянной
А из формул A2.11) при отбрасывании неуказанных членов высше-
высшего порядка получим уточненную связь между I и q при малых q.
ч ¦
ол
0,3 -
0,2 -
0,1
о
У=1Л
]
L-O.SIgi
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1
1
1 ,
/ Уу
/ /
/
/
/ /
//
/
/ 1/"
/
7 П ri D643
L цоЦ В •
1
J?U/7Bflfi'?/3l/f7ffl/7/yW? ОМШ&
У1/СЛ{?///У/7&//Ш8/>7/7М/7$?У7&///7б'
0,1
0,2
0,3
0,5
ае
i
Рпс. 88. Сравнение различных теорий с численными решениями для функ-
функции q (I) (д = а\1<?, I = г2/г°).
На основании A2.5) связь между q и т при малых q имеет вид
2 + v
Соответствующие кривые даны на графиках рис. 88 и 89. Пунктир-
Пунктирные линии соответствуют автомодельному закону A2.4), штрих-
пунктирные соответствуют уточненным законам с учетом линейных
членов, сплошные линии получены при численных расчетах
с помощью счетных электронных машин х).
2) GoldstineH. H., Neumann J., Blast Wave Calculation.
Comm. Pure and Appl. Math., v. 8, № 2, 1955, p. 327—354. Расчет произведен
в диапазоне 100 ^ v4P\^> 1,017. В г о d e H. L., Numerical Solutions of
Spherical Blast Waves. J. Appl. Phys., v. 26, № 6, 1955, p. 766—775. Расчет
произведен в диапазоне 1600 ^ pjp\ ^ 1,06. Охоцимский Д. Е.,
КондрашеваИ.Л., ВласоваЗ.П., Казакова Р.К., Рас-
Расчет точечного взрыва с учетом противодавления. Труды МИАН СССР, т. 50,
1957. Диапазоны расчета 1740 > рг/рг > 1,008. Охоцимский Д. Е.,
Власова 3. П., О поведении ударных волн на большом расстоянии от
места взрыва. Ж. вычисл. матем. иматем. физ., т. 2, № 1, 1962, стр. 107—124.
12] ТОЧЕЧНЫЙ ВЗРЫВ С УЧЕТОМ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ
281
Т
Vi/cj7e//»osмедв/ттмодельтя яештае
0,1 —
0,1 0,2
Рис. 89. Сравнение различных теорий с численными решениями для функ-
функции Т (д) (Т = t/tn).
Рис. 90. Кривые для нроизводных
da
(к), определяющих плпяпие противодавления в начальной
стадии точечного взрыва.
282 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Результаты численных расчетов для функций /х (X), g-x (X) и
hL (к) для v = 3 даны на рис. 90. С помощью этих графиков со-
согласно формулам A2.11) для малых q можно оценивать изменение
характеристик движения газа с течением времени х).
1- г*
г»
t
т ~ 7°
Автомодельные кривые
0,1867
0,2669
0,3342
0 4890
0,6003
0,6812
0,7566
0,9566
0,9801
1,2524
1 3210
1.5171
1,8751
2,3222
2,8641
3,6983
7,0791
9,6424
0,01403
0,03230
0,05431
0,1231
0,1842
0,2333
0,2807
0,3667
0,4323
0,6296
0.6811
0,8299
1,1080
1,4636
1,8973
2,7763
5,3764
7,5180
Рг
Pi
со
21,1
10,31
4,967
3,056
2,321
2,010
1,835
1,615
1,521
1,338
1,315
1,255
1,185
1,136
1,102
1,066
1,032
1,022
Обозначение
для 1
и
h
h
h
h
к
h
h
h
h
h0
hi
In
hs
lu
In
hs
In
hs
Начиная с 1955 г. публикуются работы 2), в которых приведе-
приведены результаты численных расчетов решения неавтомодельной
задачи о точечном взрыве (сферический случай: v = 3, у = 1,4)
с учетом противодавления.
Результаты всех процитированных работ были сопоставлены
и обработаны в введенных выше безразмерных переменных 3).
:) Линеаризированная задача о неустановившемся движении газа, вытес-
вытесняемого расширяющимся поршнем, рассмотрена в работах: Кочина Н. Н.,
М е л ь н и к о в а Н. С, О движении поршня в идеальном газе. ПММ,
т. 24, вып. 2, 1960, стр. 213—218; О неустановившемся движении газа, вы-
вытесняемого поршнем, с учетом противодавления. ДАН СССР, т. 12, № 2
1958, стр. 192—195.
2) См. сноску на 280 стр.
3) Приводимые ниже результаты численных расчетов обработаны Н. С.
Мельниковой, В. П. Коробейниковым и Е. В. Рязановым.
Результаты расчетов неавтомодельной задачи о точечном взрыве при
v = 1; 2; 3 для широкого диапазона значений у приведены в работах 1964 г.
(См. Коробейников В. П., Чушкин П. И., Метод расчета точеч-
точечного взрыва в газах. ДАН СССР, т. 154, № 3, 1964, стр. 549—552; Мельни-
Мельникова Н. С, СаламахинТ. М., О расчете точечного взрыва в раз-
различных газах. Ж. прикл. механ. и техн. физ., № 4, 1964, стр. 155—160.)
12]
ТОЧЕЧНЫЙ ВЗРЫВ С УЧЕТОМ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ
283
На рис. 91—93 даны распределения скорости, плотности и дав-
давления за фронтом взрывной волны; на графиках указана наиболее
ощутимая переменная I = г^/г0, характеризующая расстояние
взрывной волны до центра взрыва, измеренное в долях динами-
динамической длины r° = (Eq/pj).
~ ~о ' г ^1~п~1 -динамическая алчна
-о.
-Of/
Рис. 91. Распределение скоростей при точечном взрыве.
В прилагаемой таблице даны численные значения пронуме-
пронумерованных значений lk и указаны соответствующие значения
т = tit0 и перепад давлений на фронте ударной волны pJP\-
Все приведенные графики верны и для точечного взрыва при
любых рх, рх и Ео, но при у = 1,4.
О 0,8 Ofi Of О,В 1,0 гг
Рис. 92. Распределение плотности при точечном взрыве.
100
80
БО
- -4=40; 1-0,153 W
н
p, iVx^i+ojsb
0,1 ол o.i us as i
Рис. 94. Перепад давлений на фронте в функции радиуса ударной волны
О 0,2 Ofi OS 0,8 tfl гг
Рис. 93. Распределение давлений при точечном взрыве.
О 1 2 3 ? f
Рис. 95. Плотность за фронтом волны в функции радиуса ударной волны.
286 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИИ ГАЗА
[Гл. IV
Связи q (I) и q (т) даны на рис. 88 и 89, из которых легко усмо-
усмотреть диапазоны приближений и характер отклонений при
0,2
0,04
0,02
ПК
OJ
. vz_ 0,163
1Щ1+0./5В
ИМ; -?=0,122
f-^-%
решете
n,2 DM
! 2
L -
Рис. 96. Скорость за фронтом волны в функции радиуса ударной волны.
затухании ударной волны. На основании графиков рис. 88 и 89 и
формул A2.6) легко построить
величины p2lpx, p2/piH vjau от-
отвечающие фронту волны в функ
ции от I или от т. Соответствую-
Соответствующие графики даны на рис. 94—•
96 (рис. 94 и 96 даны в логариф-
логарифмических масштабах). На этих
графиках приведены также
кривые, соответствующие авто-
автомодельному движению и асимп-
асимптотической формуле Л. Д. Лан-
Ландау х).
На рис. 97 и 98 представле-
представлены графики, взятые из цитиро-
цитированной работы Неймана и Гольд-
р/рх в функции времени в
Pi
If
10
\
---
-—
(_
7,553
0 0,45 0S3 1,3S 7,86 Z,32 г=ть
Рис. 97. Изменение давления в фик-
фиксированной точке пространства.
штина, для изменения давления
х) См. Л а н д а у Л. Д., Об ударных волнах на далеких расстояниях от
места их возникновения. ПММ, т. 9, вып. 4, 1945.
131
О МОДЕЛИРОВАНИИ ПРИ ВЗРЫВАХ
287
фиксированной точке пространства и для изменения давления
p/Pi, в функции координаты г/г° для фиксированного момента
времени.
Щ -
tpo
Ц9В -
-
-
T=fB= 7,5/8
/
r
7"
5,0 5,0 7,0 8,0 9fl
Рис. 98. Распределение давления в фиксированный момент времени.
Выше даны графики, вычисленные для сферического случая
при у = 1,4. Для закона движения ударной волны и для харак-
характеристик газа за фронтом волны при других у, а также в случаях
цилиндрических и плоских волн имеются теоретически аргу-
аргументированные приближенные формулы х).
§ 13. О моделировании и о формулах
для максимального давления и импульса при взрывах
Структуру формул, определяющих максимальные давления,
импульсы и т. п. в зависимости от расстояния до места взрыва,
от энергии взрыва и от других факторов, можно было бы дать
в самом начале книги как один из примеров, аналогичных тем
примерам, которые были рассмотрены в § 6 главы II.
Однако изложение этого вопроса, а также правил моделиро-
моделирования явления и действия взрыва удобнее дать после развития
теории точечного взрыва в газе; это упрощает задачу и позволяет
опереться на описанные выше постановки соответствующих задач.
Для оценки действия взрыва на некоторое тело, попадающее
во взаимодействие с полем возмущенного движения газа, можно
рассматривать максимальное давление ртах или величину дей-
действующего на поверхность тела импульса /, отнесенного к единице
площади на рассматриваемой элементарной площадке поверхно-
поверхности тела.
х) Коробейников В.П., Приближенные формулы для расчета
характеристик фронта ударной волны при точечном взрыве в газе. ДАН
СССР, т. 111, №3, 1956, стр. 557—559.
288 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
При наличии только напряжений давлений на поверхности
тела импульс / можно определить по формуле
и
1 = \ (Р — Pi) dt,
Го
где /?х — начальное невозмущенное давление, t0 и tx — харак-
характерные моменты времени (например, t0 — время начала взаимо-
взаимодействия, tx = оо или ?х соответствует моменту изменения знака
у разности р — рх и т. п.). Иногда существен взятый за характер-
характерный промежуток времени вектор J общего суммарного импульса,
действовавшего на тело.
При взрыве происходит взаимодействие возмущений в среде,
окружающей тело, и самого тела. Величина рт&% в разных точках
поверхности тела, импульс Г, суммарный вектор импульса J
и другие характеристики взаимодействия зависят не только
от свойств заряда и его расположения относительно тела, от свойств
окружающей атмосферы, но существенным образом зависят также
от свойств самого тела, его формы, условий закрепления, массы
и других динамических характеристик, от его свойств деформи-
деформируемости и сил внутреннего сцепления, условий расположения
относительно других тел и т. п.
При выделении системы определяющих параметров и условий
подобия необходимо отмечать размерные и безразмерные пара-
параметры, характеристики самого тела, определяющие его размеры
и форму, массу и ее распределение в объеме тела, параметры, ха-
характеризующие внутренние силы сцепления, весомость тела
и т. п.
В общем случае основная трудность связана с выделением
только существенных факторов, которые могут быть в конкретных
случаях различными в зависимости от характера решаемых задач.
Дополнительных физических постоянных, характеризующих
тело, не возникает в предельных случаях, когда тело абсолютно
твердое и закреплено неподвижно (это может быть тело с массой,
в пределе бесконечной) или когда тело весьма мало и его возму-
возмущениями в поле взрыва можно пренебречь. В самом деле, абсолют-
абсолютно твердое неподвижное тело произвольной фиксированной гео-
геометрической формы может быть задано только одним размерным
параметром — характерным линейным размером D; другие пара-
параметры можно считать отвлеченными, и для серии геометрически
подобных случаев они сохраняют постоянное значение. Если мы
предположим, что действие взрыва определяется только энергией
заряда Ео (на практике часто действие заряда характеризуют
только его весом, который пропорционален энергии взрыва, и пре-
пренебрегают формой, химической или физической природой заряда
и т. п.), то можно воспользоваться идеей о точечном мгновенном
13]
О МОДЕЛИРОВАНИИ ПРИ ВЗРЫВАХ
289
взрыве, определяющемся вполне величиной выделенной энергии
Ео. Как известно, во многих случаях такое предположение невер-
неверно х), в частности, в вопросах действия кумулятивных зарядов.
Если взрыв сильный точечный и происходит в совершенном
газе, заполняющем все пространство вне абсолютно твердого тела,
то согласно постановке задачи, данной в § 1, очевидно, что система
параметров, определяющих явление в целом, представится таб-
таблицей
= -J-, R,
A3.1)
где R, ф, г|) — полярные координаты центра взрыва в некоторой си-
системе координат, связанной с те-
телом (рис. 99).
Рассмотрим некоторую точку
N на теле и обозначим через ршах
и через / максимальное давление
и импульс в этой точке.
Легко проверить, что из анали-
анализа размерности следуют формулы
?, Ф,
, N, у).
A3.3)
у
Рис. 99. Точка О — центр взрыва.
Координаты точки N можно рассматривать как отвлеченные
числа. При фиксировании точки N, не ограничивая общности,
мы можем начало координат А совместить с точкой N.
Для полного импульса, просуммированного по всем точкам
поверхности тела, верпа формула вида
I, ф, я|з, у). A3.4)
Для теоретического вычисления этих функций необходимо
разрешить сложную пространственную задачу, что практически
не всегда возможно.
Для сильного взрыва (рх ~ 0), не решая этой сложной задачи,
из формул A3.2), A3.3) и A3.4) ясна зависимость ртах, I в. J
от Ео, рх и R для геометрически подобных случаев.
Условия динамического подобия в данном случае сводятся
к постоянству параметров I = D/R, cp, i> и не накладывают ника-
никаких ограничений на pl5 R и Ео.
1) В соответствующих случаях дальнейшие выводы могут потребовать
существенных корректировок.
290 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
При ? = DIR —у 0, когда тело стягивается в точку, величины
Ртах, / остаются конечными, поэтому при | -*- 0 функции /х, /2
и /3 сохраняют в пределе конечное значение.
Для тел малых размеров параметр | можно положить равным
нулю. В этом случае формулы A3.2), A3.3) и A3.4) дают зависи-
зависимость рассматриваемых величин от расстояния тела до центра
взрыва R.
Если учесть начальное давление (рх Ф 0), то справа в формулах
A3.2), A3.3) и A3.4) добавится безразмерный аргумент
R R
X
У Pi
При больших Ео и малых R этот параметр близок к нулю;
при любых Ео и больших R этот параметр велик; поэтому указан-
указанные выше условия подобия и зависимость рассматриваемых вели-
величин от энергии Ео при больших R могут видоизменяться. Условия
подобия при наличии противодавления рг имеют вид
а = const, -д- = const, ф = const и "ф = const. A3.5)
При постановке опытов такие условия удовлетворяются при
наличии геометрического подобия и равенства
Ео = const
что практически легко выполнимо при уменьшении масштабов.
Если из дополнительных данных (например, экспериментальных)
установлена зависимость каких-либо из величин рШах, I или J от
энергии взрыва Ео, то это позволит соответственно определить
зависимость функций /х, /2, /3 от параметра % и, следовательно,
при | = 0 станет известной зависимость от расстояния R.
Условия подобия A3.5) можно распространить на более общий
случай, когда взятое тело можно рассматривать как сплошную
среду с постоянной плотностью р*, либо как невесомую несжимае-
несжимаемую жидкость, либо как невесомое упругое тело, характеризуемое
модулем Юнга & и коэффициентом Пуассона о\ Для этого к усло-
условиям A3.5) необходимо добавить условия
р #
-— = const и — = const, о" = const.
Pi Pi
A3.6)
Условия подобия A3.5) и A3.6) сохранят свой вид также и в том
случае, когда имеется система жидких, упругих тел и абсолютно
жестких границ. В более общем случае, кроме геометрического
подобия — условий A3.5), должны быть выполнены условия ти-
типа A3.6) для каждого тела с соответствующими постоянными от-
отношениями.
6 МОДЕЛИРОВАНИИ ПРИ ВЗРЫВАХ
291
Очевидно, что плотность р* может быть переменной в простран-
пространстве, но в подобных случаях распределения плотности должны
быть подобными х).
Все предыдущие выводы получены без учета силы веса. Если
учесть собственный вес различных тел и газа, то к системе опре-
определяющих параметров добавляется постоянная ускорения силы
тяжести g. В этом случае условия подобия дополняются прибавле-
прибавлением требования о постоянстве безразмерного параметра
-ГТ7Г = const. A3.7)
При большом уменьшении линейных размеров D условие A3.7)
может быть выполнено при уменьшении plt увеличении рх или
увеличении g. Если упругие свойства существенны и модуль
Юнга <о нельзя менять существенно, то условие рг/& = const
приводит к требованию сохранения величины рх. Плотность
воздуха можно менять в широких пределах, но плотность упругих
тел меняется в небольших пределах, поэтому условие
P*/Pi = const,
вообще говоря, фиксирует плотность рх.
Следовательно, для выполнения условия A3.7) необходимо
менять g, что можно осуществить с помощью центробежной маши-
машины или с помощью ускоренно движущейся платформы (§ 6 гл. II).
Однако оба эти метода сильно осложняют постановку опытов:
они связаны с применением малых моделей с очень большим отно-
отношением линейных масштабов и вносят дополнительное влияние
на модели обтекающего потока движущегося воздуха, влияние
кратковременности процесса на ускоренной платформе и т. п.
При больших уменьшениях масштаба возможно также возникно-
возникновение влияния ряда других факторов (способы изготовления
моделей, невозможность обеспечить] полное подобие структуры
материалов, вязкие и капиллярные силы и многое другое), кото-
которые явно несущественны для натуры.
Для несжимаемой жидкости ($ = оо) условие рг1Ш выпадает,
поэтому условию A3.7) можно удовлетворить уменьшением харак-
характерного давления рх (опыты в вакууме). Можно указать примеры,
когда собственный вес играет существенную роль: действие взры-
взрыва, приводящее к сотрясению больших сооружений, устойчивость
сооружений на опрокидывание, явление образования воронок при
взрывах в грунтах и явление выброса водяных фонтанов и волн
на поверхности воды при взрывах над поверхностью воды и т. п.
Во многих вопросах, связанных с изучением разрушения мест-
местного характера на поверхности и внутри различного рода металли-
х) Сидоркина СИ., О некоторых движениях аэрозоля, ДАН
СССР, т. 112, № 3, 1957, стр. 398-399.
292 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
1Гл. IV
ческих конструкций, инерционные и прочностные свойства могут
быть важными, тогда как свойство весомости, вообще говоря,
несущественно.
Рассмотрим более подробно вопрос о величинах воронок при
взрыве в грунтах. Во многих случаях, особенно при взрывах
в песчаных грунтах, силы внутренних напряжений, обусловлен-
обусловленные физическими свойствами грунта (силы трения или скалываю-
скалывающие напряжения) и атмосферным давлением, малы. Силы вну-
внутреннего давления, имеющие характер гидростатических давле-
давлений, обусловленные весомостью, могут быть большими, и их
влияние мы учтем.
Рассмотрим опыты, схемы которых изображены на рис. 100.
Предположим, что для определенного типа взрывчатых веществ
явление выброса грунта, так же как и явление выброса воды
при взрывах, существенным образом связано только с плотностью
Рис. 100. Точечный взрыв внутри грунта; точка О — центр взрыва; h — глу-
глубина взрыва. В подобных случаях имеем {Е1Ег) = hjh)*
и весомостью грунта. В соответствии с распространенным на прак-
практике предположением примем, что размеры воронки зависят су-
существенно только от энергии заряда Е *) (вес заряда) и от заглуб-
заглубления h. Кроме этого, пренебрежем давлением р± на поверхности
грунта. Таким образом, получим систему определяющих пара-
параметров рх, g, h, E. Для подобия необходимо выдерживать посто-
постоянство параметра
¦ тт = const = с. A3.8)
При больших глубинах h, т. е. малых с, воронка не получится
(камуфлет). Из A3.8) ясно, что воронки будут подобными, если
Е = c9lgtf. A3.9)
У Энергия заряда, а следовательно, и вес заряда для подобных
воронок должны быть пропорциональными четвертой степени
масштаба. Так как выброшенный объем пропорционален кубу
масштаба, то очевидно, что связь между энергией заряда и объемом
*) Более определенно величина Е равняется механической энергии, пе-
переходящей от заряда к грунту. Часть энергии заряда может теряться на из-
излучение, оасплавление и испарение грунта и т. п.
1.1]
О МОДЕЛИРОВАНИИ ПРИ ВЗРЫВАХ
293
выброшенного грунта Q при подобии имеет вид
Е = сх (с) Q">Plg.
A3.10)
Если взрыв производить на поверхности, h = 0, то условие
подобия A3.8) выпадает. В этом случае при указанных выше
предположениях формула A3.10) сохраняет свою силу, причем
постоянная сх = сг (оо) является определенной числовой постоян-
постоянной, независимой от плотности грунта и от энергии взрыва.
Формулу A3.10) можно переписать в виде, более удобном
для практики, если заменить энергию заряда Е с соответствующи-
соответствующими поправками весом заряда, а объем Q весом грунта.
Если производить взрывы с применением закона Е' IЕ =
= (hlh'Y, то подобие нарушится, воронки не будут подобны;
характер отклонения воронки в этом случае указан на рис. 100
пупктиром.
В предыдущих рассуждениях мы пренебрегли эффектом внеш-
внешнего атмосферного давления рг на поверхности грунта. Этот эффект,
а также эффект внутренних упругих сил при одинаковых мате-
материалах оказывают влияние через параметры u. = pjp^gh и рг/$.
При одинаковых рг, {\ и g с увеличением h величина и. умень-
уменьшается; при постоянных р, g, h уменьшение и. соответствует
уменьшению давления pt.
Можно допустить, что при постоянных plt g, h, $ с уменьше-
уменьшением внешнего давления рг размеры воронки увеличиваются.
Следовательно, уменьшение параметра ц = Pi/Pigh за счет уве-
увеличения ft при постоянных значениях остальных безразмерных опре-
определяющих величин нарушает подобие в сторону увеличения выбро-
выброшенного грунта по сравнению с пересчитанным по закону подобия.
Отсюда ясно, что при переходе к натуре для получения подоб-
подобной по объему воронки требуется менее сильное возрастание энер-
энергии заряда, чем по закону A3.10).
Таким образом, роль внешних давлений и упругих сил сцепле-
сцепления понижается с увеличением линейных размеров, если энергия
взрыва увеличивается пропорционально четвертой степени линей-
линейных размеров.
Относительное перемещение и деформации на натуре будут
большими, чем на модели, если энергия растет пропорционально
четвертой степени масштаба.
С другой стороны, если весомость несущественна, то подобие
обеспечивается условиями A3.5) и A3.6), из которых следует, что
энергия пропорциональна кубу масштаба. Дополнительное влия-
влияние силы тяжести нарушает подобие в сторону уменьшения отно-
относительных деформаций и перемещений при переходе от модели
к натуре.
204 ОДНОМИРНЫК НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Тп. IV
Следовательно, при постоянных рх, pL и g, если Е — /г4, дей-
действительные относительные деформации в натуре больше, чем
на малых моделях; если Е — ft3, действительные относительные
деформации на натуре меньше, чем на малых моделях.
Эти соображения полезно иметь в виду при постановке и обра-
обработке опытов, посвященных исследованиям действия взрыва.
Из сказанного выше также следует, что при использовании
взрывов в грунтах па выброс применение очень больших сосредо-
сосредоточенных зарядов энергетически, по-видимому, невыгодно. Рассре-
Рассредоточение зарядов и другие выгодные способы проведения взрывов
могут дать положительные эффекты.
Выше мы рассмотрели вид общих формул для ртах, I nJ при
взаимодействии неустановившегося движения газа и твердого тела.
При отсутствии тела можно мысленно фиксировать в газе некото-
некоторую поверхность 2, которая не взаимодействует с движением
газа, и рассмотреть аналогичные величины рт&ъ, I" nJ°, пред-
представляющие собой характеристики поля взрыва; очевидно, они
не будут равны рассмотренным выше соответствующим величинам
Ртах, I и J, существенно обусловленным взаимодействием движе-
движения газа и твердого тела.
В этом случае для каждого элемента поверхности 2 можно
написать формулы
Аах = -^Л (¦?, Т
is; У). A3.11)
где г — расстояние рассматриваемого элемента до центра взрыва.
Функции fx и /2 зависят только от параметра г/г° (г° = у EJp-^
и у. Так как давление в идеальном газе не зависит от ориентации
соответствующей площадки, то рщах равняется значению давле-
давления за фронтом скачка в момент прохождения его через рассма-
рассматриваемую точку. Для сильного взрыва г/г° жОи, следовательно,
функции /х и /2 сводятся к постоянным, которые легко рассчитать
с помощью решепия, найденного в § И L). Для этих постоянных
верны следующие значения 2):
при у =
U = 0,157, ' U = 0,486.
A3.12)
1) Исследование зависимости решения задачи о взрыве в произвольной
идеальной двухпараметрической среде от параметров, определяющих движе-
движение и возможности пересчета решения на другие значения параметров, про-
проведено в работе: К о ч и н а Н. Н., Мельникова Н. С, О свойствах
решения задачи о точечном взрыве в сжимаемых средах. ДАН СССР, т. 138,
№ 2, 1961, стр. 326—329.
2) Импульс /° определен формулой 1° = \ (р — рх) dt; t0 — момент про-
Н
хода ударной волны через рассматриваемую точку.
13]
О МОДЕЛИРОВАНИИ ПРИ ВЗРЫВАХ
295
На рис. 94 дан график функции /х (rlr°, у) (ra/r)z — рлах/Pi Для
У = 1,4.
С помощью решения, описанного в § 12 для точечного взрыва
с противодавлением, можно вычислить давление в функции време-
времени для каждой точки с координатой г. Это давление вначале всегда
0,025
Рис. 101. Распределение суммарных положительных и отрицательных им-
импульсов для точечного пзрыпа п зависимости от расстояпття до центра взрыва.
больше, чем начальное невозмущенпое значение рх, затем, начи-
начиная с некоторого момента времени t, давление становится меньше
рг, достигает минимума и потом монотонно возрастает до значения
рг (см. рис. 97).
Для каждой точки мы определим положительный импульс
цо формуле
\dt -=
и отрицательный импульс по формуле
A3.13)
296 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
На основании численного решения были определены функции
ft (r/r°) и /2 (г/г°). Соответствующие графики представлены на
рис. 101. Из этих графиков следует, что для г/г° ^> 0,3 отрицатель-
отрицательный импульс по модулю больше, чем положительный.
Для взрыва вдоль прямой — случай цилиндрических волн —
меняется размерность Ёо, поэтому формулы A3.11) заменяются
формулами
для взрыва вдоль плоскости — формулами
Ртах — ——~ 11 -о
где г — соответственно расстояние до прямой или до плоскости
взрыва.
Если для сильного взрыва импульс 1° определить по формуле
1° =
dr9l
то в плоском и цилиндрическом случаях получим /° = оо. В этих
случаях конечные предельные значения для 1° получатся, если
воспользоваться определением
кг
где к — некоторое число, большее единицы.
§ 14. Задача о сильном взрыве в среде
с переменной плотностью
Постановку, метод и результаты решения задачи о сильном
взрыве легко обобщить на случай, когда начальная плотность рх
зависит от начальной координаты частицы г0 по следующему
закону:
Pi = 4 . A4Л)
г
где ю — отвлеченная постоянная, которая может быть положи-
положительной или отрицательной, и Л — положительная постоянная
с размерностью
[А] =- ML"-3.
Если для сильного взрыва пренебречь начальным давлением рг
14] СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В СРЕДЕ С ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
297
и рассматривать адиабатическое движение совершенного газа,
то система определяющих параметров представится таблицей
со, у, А, Ео, г, t. A4.2)
Отсюда следует, что соответствующее возмущенное движение газа
автомодельно. Дальше мы рассмотрим только случай сферической
симметрии, поэтому размерностью характерной энергии будет
\Е0] - ML2fT2.
Все безразмерные величины можно рассматривать как функции
следующих параметров:
^)^-4-. A4.3)
'¦О / —-
х = х
0
,а = const,
1гг 2
2
хАа i
5—ы
А2
1
лГ
2
5-ео
t
ы-3
2
где а — постоянная, которой можно распорядиться б = -=—
\ о — со ;
Из постановки задачи следует, что на состояниях с одинаковой
фазой (X = const) и, в частности, на ударной волне верны соот-
соотношения
A4.4)
Постоянную а определим из условия, что Я2 = 1 на ударной
волне. При таком определении а очевидно, что для X верна формула
%= — .
Ударная волна будет двигаться с замедлением, если ю <^ 3,
и с ускорением, если ю ^> 3. Случай w <^ 3 соответствует конечной
массе внутри любой конечной сферы, содержащей центр симмет-
симметрии; при ю > 3 эта масса будет равна бесконечности.
Из формулы A4.4) следует, что образующаяся при t = 0 вбли-
вблизи центра симметрии ударная волна распространяется с конечной
скоростью при !.>0 к периферии только в том случае, когда
ю <^ 5. В дальнейшем мы примем, что о <^ 5.
В § 5 было показано, что в этом случае задача сводится к инте-
интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения E.10).
Из рассмотрения поля интегральных кривых, изображенного
для различных ю на рис. 42 и 43, следует, что, как и в случае pj =
const, область возмущенного движения отделена от невозмущен-
невозмущенной области сферической ударной волной, распространяющейся
298 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
по покоящимся частицам с переменной скоростью с, опре-
определяемой формулами A4.4).
Из условий на сильной ударной волне A1.2) на основании фор-
формул A4.4), A4.5) получим, что за скачком величины V, Я и z =
= уР1Л имеют следующие постоянные значения:
у =
26 д, _ Y+1 8т(Т-1)
+ 1 ' ~ V-1 ' 2 ""E-03J(v +
A4.5)
Как было показано в § 3, в этом случае имеет место интеграл
энергии C.11).
После подстановки значений на фронте волны A4.5) в левую
часть интеграла энергии C.11) получим, что постоянная справа
равна нулю. Отсюда следует, что уравнение интегральной кривой,
проходящей через точку F2, z2 в плоскости z, V, имеет вид
A4.6)
Из физических соображений ясно, что z > 0, поэтому допустимые
значения F расположены на отрезке
А - 2 < у < 2 = .
7 7E — <*>) ^ ^5—со '
так как у ^> 1, то очевидны неравенства
A4.7)
поэтому значение F2 согласно A4.5) попадает в интервал A4.7).
Концы интегральной кривой A4.6)
Г\ -гг 2л Т7- 1 -"
являются особыми точками дифференциального уравнения E.10).
Нетрудно также проверить, что особая точка х) & с координатами
2
принадлежащая интегральной кривой A4.6) при значениях у =
= 1,4 или у = 5/3 и значениях ю, близких к нулю, лежит вне
интервала A4.7). При о = 6—Зу эта особая точка совпадает
См. § 5 и рис. 43.
§ 14] СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В СГЕДЕ С ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
299
с правым концом интервала A4.7) и при дальнейшем увеличении со
поднимается вверх по интегральной кривой A4.6). При значе-
значении ю, определяемом из уравнения
Зт-1
или со =
7-7
7 + 1
A4.8)
(при у = 1,4 со = 7, при у = 5/3 ю = 2), рассматриваемая особая
точка совпадает со значениями F2, z2 за фронтом скачка.
Легко видеть, что особой точке V*, z* при любом ю соответ-
соответствует следующее простое точное решение системы обыкновенных
дифференциальных уравнений B.1)—B.3):
(ю-З)У*
V = V* = const, z = z* = const, М = ВХ v*
^ (ш-З)У
у
A4.9)
которому отвечает точное решение уравнений с частными производ-
производными в размерных переменных:
(ш 3)V*
-X
v= V*
(ш-з)У*
_ АВ . (v*-5)
ABz*
<t*
. A4.10)
Здесь В — произвольная постоянная. Формулы A4.10) дают ре-
решение задачи L) о сильном взрыве при
7 — 7
^Т+Т-
Определив в этом случае постоянную В из условий на ударной
волне, получим
8
2 г A (v 4- 1 \ . ~ГГГГ
V =
3Т-1
Р =
Г
2G+1)
или, относя скорость, плотность и давление к соответствующим
величинам за ударной волной, найдем
Р2
Р
Р2
A4.11)
х) Соответствующая связь между со и у для цилиндрических волн при
4
V = 2 имеет вид со = „ _i_ j . а Для плоских волн npnv = 1, если у> ф — 1,
имеет вид «о = 1.
300 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Из этих формул ясно, что в этом случае движение продол-
продолжается до центра симметрии, причем в центре симметрии плот-
плотность и давление равны нулю.
Нетрудно видеть, что производная d In K/dV в точке F2, z2 ме-
меняет знак при изменении со, когда точка V*, z* проходит через точ-
точку У2, z2 по интегральной кривой A4.6). Отсюда следует, что при
движении от ударной волны к центру симметрии — при убывании
К — необходимо двигаться по интегральной кривой A4.6) вверх,
если F2 <^ V*, и вниз, если F2 ^> V* (см. рис. 43). В первом слу-
случае при приближении к особой точке F=2AyE—ю), z = оо пара-
параметр Я стремится к нулю, движение определяется вплоть до центра
симметрии; во втором случае необходимо двигаться по интеграль-
2
ной кривой вниз к особой точке V = ¦--——, z — 0, в которой па-
параметр X принимает конечное значение х).
Легко определить связанную с энтропией комбинацию pip1
в функции от начальной координаты г0. На основании условий на
ударной волне A1.2) и формулы A4.4) получим
p
2(у
(? + 1 )v+1 (й — coJ a
3. A4.12)
Соотношение A4.12) используем для определения го/г2 в функции
параметрического переменного V.
Любопытно отметить, что по мере распространения ударной
волны по частицам энтропия частиц за фронтом скачка убывает,
если о <С ЗАу, сохраняется постоянной при со = ЗАу и возрастает,
если ю ^> ЗАу.
В диапазоне
-f<co<3
ударная волна замедляется, тогда как энтропия за фронтом волны
растет. Это объясняется тем, что, несмотря на ослабление удар-
ударной волны и падение давления за фронтом волны, плотность падает
настолько сильно, что энтропия в результате этого возрастает.
При таком эффекте, если
возмущенное движение газа занимает всю внутренность сферы
Из формул A4.14), A4.15), дающих решение, это видно непосредст-
непосредственно.
§ 14] СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В СРЕДЕ С ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ 301
ударной волны — вплоть до центра симметрии; если же
то вблизи центра взрыва образуется пустота.
Рассмотрим еще поведение температуры Т2 за фронтом ударной
волны. Учитывая условия на скачке A1.2), получим
R2 сК A413)
Ра (Y + lJ v '
Здесь R — газовая постоянная. Температура 7 пропорциональна
с2, следовательно, для рассматриваемых движений газа темпера-
температура за фронтом скачка может возрастать только при возраста-
возрастании с2, т. е. при со > 3.
Пользуясь интегралом A4.6) уравнения E.10), из уравнений
E.11) и E.12) с помощью одной простой квадратуры можно опре-
определить Я (V) и Я (V), что позволяет получить в замкнутой простой
форме полное решение рассматриваемой задачи.
Это решение дается формулами
X
X
Г E-"
L7-7-
-соХт
JJL-Г.
E-т)(т
у E — со)
X
4 ' j [_ 7-1 \ 2
E-со)(у + 1) I, Зу-1
/ 14 4 1 6~Ъ
V - l)]- X
а' х
E —
2
5—o
r
r2
2ы
X
E-<
JL = h= Г E-со)G + 1) тгПтЬгГ 7 + 1 (»
Pi L 4 J L 7 -1 I
X
Г E-co
L7-v-
(Y + l)co
= _P__Pj
P2 P
5 — со
X
"~2
5 — со
2~
— F
X
A4.14)
302 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
где
а, =
а2 =
E —o))v Г 2F —Зу —со)
-со) У Г
i 1
1 L
у E — со)-2
Bу + 1 - усо) '
E — со)C — со) at
F — Зу — со)
а3 =
а, =
— a2|,
— co + 3
By + 1 — yco) '
co(l+y)— 6
F-З7-
Cy-l)at
F — Зу — со)
со)
A4.15)
Формулы A4.14) дают полное решение с точек зрения Эйлера
и Лагранжа. Эти формулы показывают, что распределение без-
безразмерных характеристик движения будет одинаковым для раз-
различных значений энергии взрыва Ео. Формулы A4.14), A4.15),
описывающие полное решение задачи о сильном взрыве, для не-
некоторых значений параметров у и сог (i = 1, 2, 3),
,, 7-7 „ _ 2G-0 + 3
со2 =
= 3B-7),
""¦ у + 1 ' - у
при которых обращаются в бесконечность либо коэффициенты
правых частей в формулах A4.14), либо показатели сх,- (/ = 1,
2, . . ., 7), можно записать в другом виде, удобном для расчета
всех интересующих нас характеристик движения.
Решение задачи для первого особого случая, когда со = wlt
было исследовано ранее и дается формулами A4.11). Установим
вид решения в двух других случаях, когда со = со2 (при со = со2
показатели аи а2, а3, а6 обращаются в бесконечность) и когда
со = соз (при со = со3 показатели а4, а5, а7 обращаются в беско-
бесконечность). Вид решения в этих двух случаях можно получить
либо предельным переходом в решении A4.14) при со -*~ сог (i =
= 2, 3), либо непосредственно из системы дифференциальных
уравнений E.10) и граничных условий A4.5), подставляя в них
со
Если проделать вычисления
(у+1)E-со2)
4
то при со = со2 найдем
V—1
X ехр
у+1 у+1
¦—V
Зу —1
V--
х) Подробный вывод формул, описывающих решение при со = он, дан
в книге: Коробейников В. П., Мельникова Н. С, Ряза-
Рязанов Е. В., Теория точечного взрыва. М., Физматгиз, 1961, и в статье:
Коробейников В. П., Рязанов Е. В., Представление решения
задачи о точечном взрыве в газе в особых случаях. ПММ, т. 23, вып. 2, 1959.
стр. Щ-г38"?,
§ 14] СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В СРЕДЕ С ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
303
Р2
L Y \ 2
sv-i
¦—V
р _
1)E-со2) тДа^т
х
ЗУ
зт—1
Зависимость го/г2 от У легко находить из соотношений A4.12),
а формулы для v/v2 следуют из A4.14). В третьем особом случае,
т. е. при о = «3> решение для функций г/г2, р/р2, р/р% можно
записать в таком виде:
Рг
2.=
f- Г V + 1 /4 L.\1"W=
L у-1 \ s3 /J
На рис. 102, 103 и 104 представлены кривые v/v2 = / (к, ю),
р/р2 = g (%t а), р/р2 = h (X, со) при у = 1,4 и для со = 2, 1, 0, —1,
—2, 7/3; во всех этих случаях движение газа продолжается вплоть
до центра симметрии.
На рис. 105, 106,107 представлены кривые для со = 7/3; 2,5; 3;
3,5 при у = 7/5 и со = 2; 2,5; 3; 3,5 при у = Ч3; для каждого у
в последних трех случаях вблизи центра взрыва образуется пусто-
пустота (область, не содержащая масс, движение которых рассматри-
рассматривается).
304 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
f.0
0,6
Oft
ш=О
0,2
0,6
Рис. 102. Поле скоростей при точечном взрыве в газе с переменной началь-
начальной плотностью, распределенной по закону рх = А/г^, у = 1,4. В случаях
со ^J 7/3 движение продолжается до центра симметрии.
W I—---r-
08 —
0,1 —
у
—¦
/
к
.—-—¦
- -
"~
,—-
ш=2'/з
А
/
\
у.
~7ni
1
1
/1
0,8
0,0
Рис. 103. Поле плотностей при точечном взрыве в газе с переменной началь-
начальной плотностью, распределенной по закону pt = А/r^, у = 1,4. В случаях
со ^ 7/3 движение продолжается до центра симметрии.
§ 14] СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В СРЕДЕ С ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ 305
(О
по __ ___ ._
0,1
цг
¦
,—¦ '
--
. -~
—
ш=-г
\
fftt—
0,3
1,0
,_ г
л— ~~р
Г
Рис. 104. Поле давлений при точечном взрыве в газе с переменной начальной
плотностью, распределенной по закону рх = Air™, у = 1,4. В случаях
со ^ 7/3 движение продолжается до центра симметрии
Л
"г
V
о,е
Off.
—у}
у=7/5;ш=8'/
ш = 35 «^
0,2
Oft
0,8
1,0
Рис. 105. Поле скоростей при точечном взрыве в газо с переменной началь-
начальной плотностью, распределенной по закону рх = А/г^, со ^ 7/3 для Y = 7/5
и со ^ 2 для у = 5/3.
306 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Р2
p
ъ
о
в
7
У 5
Y^7/5;uj-2
—
—
•
1
i
i
ii
л
i
I
i
i
\\
-——.
т3-5
\
0,4
0,5
0,8
>Р
j Г
~г
Рис. 106. Поле плотностей при точечном взрыве в газе с переменной началь-
начальной плотностью, распределенной по закону р1 = Л г™, со ^ 7/3 для у = 1,4
и со ;> 2 для "у = 5/3.
Рг
у=§
у=7/5;ш=2'/л y=fo; ш=2
1
uj-3,5<A
-q
а)=3,0
i
!
4
i \
\ \
\\
\\
N.
0,2
Off
Ofi
Рис. 107. Поле давлений при точечном взрыве в газе с переменной'началь-
ной плотностью, распределенной по закону р1 = Аг?, со > 7/3 для у —
= 1,4 и со ^ 2 для у = 5/3.
§ i4] СИЛЬНЫЙ ВЗРЫВ В СРЕДЕ С ПЕРЕМЕННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
307
При со <^ j- вблизи центра взрыва верны следующие асимп-
асимптотические формулы:
Р
Рч.
!)•
°" /со — -
2Y + 1
v a»— —- ot3
7-Т
'~Т+т
A4.16)
Из формул A4.16) следует, что если со <^ Ъ1у, то плотность
при г -*¦ 0 быстро стремится к нулю, давление получается отлич-
7 у
ным от нуля; однако при со—> —ц^- давление в центре стремится
к нулю. При со = —-TTJ- асимптотические и точные формулы сов-
совпадают и даны равенствами A4.11).
Если со^>—тт~> то образуется расширяющаяся от центра
взрыва пустота, на границе которой V = -g—
следующие асимптотические формулы:
_v_ _ y + 1 г* _р_ _ ¦ lj_ _ г* у. _р_ _ ^ /_г_ _ г* \
Vt> 2 Го Of \ Тп Го / Р-2 4^*2 ^2 /
A4.17)
где
причем верны
Ef Г
А =
X
в =
t=ZT
X
. щ — 6 \ ai+ai(<*-2)
Y(l-Y)
Y(l-Y)
г* \_
оН-Ц/ г*
308 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
причем аъ а2, а3, а4, а5 определяются по формулам A4.15); здесь
г* — радиус при V = -Е ; внутри соответствующей сферы ра-
радиуса г* получается пустота. Отношение г*/г2 в функции от со пред-
представлено на рис. 108.
г
гг
0,8
0,6
Off
0,2
у=А/з
Ц
у
—^
.
_—— ¦
— ——
— — 1—
—. " —¦
_
_
W
2,0
30
Рис. 108. г* — радиус сферы внутренней границы; г2 — радиус сферы удар-
ударной волны. Отношение г*/г2 в функции показателя со для газа с начальной
плотностью, распределенной по закону pt = Л/г" при у = 7/5 и у = 5/3.
3 давление при г — г* равно пулю, плотность равна
Cи бесконечности при ю ^>
При со
нулю при uxC-jj;и бесконечности при ю ^> —ТГГ
давление на внутренней границе равно бесконечности.
Из установленных асимптотических формул ясно, что энергия
возмущенного движения при ю <^ 3 конечна. Очевидно также,
что при со ^> 3 энергия возмущенного движения бесконечна, так
как при г = г* давление все время бесконечно, и поэтому работа,
передаваемая газу на этой границе, равна бесконечности х).
§ 15. Неустановившиеся движения газа, когда скорости
пропорциональны расстоянию до центра симметрии2)
Рассмотрим адиабатические неустановившиеся движения совер-
совершенного газа в случаях сферической, цилиндрической и плоской
симметрии (v = 1, 2, 3), для которых распределение скорости
х) Точное решение задачи о взрыве, когда начальная плотность распре-
распределена по некоторому специальному закону, получено в работе: Коро-
Коробейников В. П., Точное решение нелинейной задачи о взрыве в газе при
переменной начальной плотности. ДАН СССР, т. 117, № 6, 1957, стр. 947—949.
2) Формулы для этого решения впервые опубликованы в нашей работе
«Об интегрировании уравнений одномерного движения газа». ДАН СССР,
т. 90, № 5, 1953, стр. 735. Классификация и подробное исследование этих
движений опубликованы в третьем издании этой книги в 1954 г.
15]
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
309
представимо формулой вида г)
v = гФ (О,
A5.1)
где г — расстояние до центра симметрии.
В автомодельных движениях формула для распределения ско-
скорости A5.1) верна, если независимые размерности определяю-
определяющих постоянных имеют вид
[а] = ML*T' и [Ъ] = Т (т = 0),
и следовательно, переменная К --- -г. В общем случае для произ-
произвольных а и Ъ среди соответствующих автомодельных движений
существуют отдельные решения вида A5.1). В частности, решения,
соответствующие V = V* = const, имеют вид A5.1)
v —
V*.
A5.2)
Таким образом, частные решения, соответствующие особым
точкам в плоскости z, V, с постоянными значениями z* и V* при-
принадлежат к рассматриваемому типу.
Напомним, что решение задачи о распространения детонации
в среде с переменной плотностью рх = —- при
со =
(формулы (8.4)), решение задачи о точечном сильном взрыве при
рх = const и у = 7 (формулы A1.21)) и решение задачи о точеч-
точечном сильном взрыве в среде с переменной начальной плотностью
при со = ———- (формулы A4.11)) характеризуются распределе-
распределениями скорости вида A5.1).
Отметим, что во всех перечисленных выше задачах решение
вида A5.1) является предельным решением, отделяющим реше-
решения, продолжимые до центра симметрии, от решений с образо-
образованием расширяющегося вакуума вблизи центра симметрии.
Если не учитывать сил ньютонианского тяготения, то на осно-
основании формулы A5.1) для адиабатических движений совершенного
газа из уравнений A.3) легко найдем, что решение искомого типа
х) Из уравнений движения можно вывести, что из предположения v =
= /i (r) h (t) следует, если /2 =f= const, формула A5.1).
310 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
представляется формулами
V =
р =
p =
dr _ 1 ф,
C-1--
A5.3)
где Л, В нС — произвольные постоянные, ф (|яг) — произвольная
функция от своего аргумента. Не ограничивая общности, функцию
|я (?) всегда можно считать положительной.
Таким образом, формулы A5.3) определяют точное решение
уравнений A.3), зависящее от произвольной функции ср (иг)
и от трех произвольных постоянных А, В, С.
Так как плотность р положительная, то функция q/ (\ir) дол-
должна удовлетворять условию
Ф' (|*г) > 0.
Из формул A5.3) следует, что
р
A5.4)
Так как в частице энтропия постоянна, то найденное решение
характеризуется тем, что
т =
где ? — лагранжева координата. Функция |я (?) определяется
первым из уравнений A5.3); эта функция в зависимости от значе-
значений постоянных А я В определяет вполне закон движения всех
частиц газа.
Обозначим через ? координату г частиц газа в некоторый мо-
момент времени t0, которому соответствует значение ц (t0) = ц0.
Очевидно, что верно равенство
F A) = |i0S,
и следовательно, закон движения различных частиц газа можно
написать в следующем виде:
v =1— = _l
.. <гг> . A5-5)
Формула A5.5) получается также непосредственно из второго
равенства в*A5.3).
15]
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
311
Из A5.4) следует, что произвольная функция ср (\хг) связана
непосредственно с законом распределения энтропии по части-
частицам газа.
Из двух последних формул A5.3) следует, что давление и плот-
плотность для любого момента времени связаны соотношением
дг
= В
7-1
2
^гр.
A5.6)
Градиент давления в частице и в данной точке пространства
зависит от времени через |я. При В ^> 0 давление растет вместе с г,
при В <^ 0 — убывает при удалении к периферии.
Для зависимости г (t) возможны три характерных случая:
I. А ^> О, В ^> 0\ давление растет с удалением от центра
II. А <^ О, В ^> 0J симметрии;
III. А ^> О, В <[ 0 — давление падает с удалением от центра
симметрии.
В случае I первой из формул в A5.3) и формуле A5.5) можно
придать следующий вид:
т =
г/ =
dy,
= —, где |А0 =
A5.7)
Из этих формул следует, что универсальные кривые у (т) для
различных v, изображенные на рис. 109, позволяют легко получить
закон движения каждой частицы при любых А ^> 0 и В > 0.
При т = t = 0 все частицы газа концентрируются в центре
симметрии, при возрастании t происходит разлет, который начи-
начинается с бесконечно большой скоростью. При у = 1 для разных
частиц координата г равняется |. Соответствующий момент вре-
времени находится из соотношения
т =
При т ->• оо имеем у -> оо и |я ->• 0; при этом скорость каждой
частицы в пределе стремится к конечному значению.
Так как-^- = 1, то~^- = if А у*.
Т—•¦СО
Для каждой частицы [>|я = const, поэтому согласно A5.3)
очевидно, что плотность и давление при t = 0 и |я = оо равны
бесконечности, а при ? —>- оо, когда ц -+• 0, стремятся к нулю.
312 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
В случае И первой из формул в A5.3) и формуле A5.5) можно
придать аналогичный вид:
A5.8)
Соответствующие универсальные кривые для различных v
изображены на рис. 110. Вблизи момента времени t = 0 случаи
I и II вполне аналогичны.
Рис. 109. Закон движения частиц газа в случае I, А > 0 и В > 0. При
t < 0 — фокусирование в центре. При t > 0 — разлет в бесконечность.
Однако в дальнейшем в процессе разлета в отличие от случая I
координата г имеет максимальное значение, равное % (у = 1). Это
положение достигается всеми частицами одновременно в момент
§ 15]
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
313
времени т*, определяемый формулой
1
у
."(Y-1)
В момент т* все частицы останавливаются, и в следующий момент
времени под влиянием градиента давления возникает обратное
движение к центру, в результате которого все частицы приходят
в, центр симметрии одновременно в момент времени 2т*.
4 0!
? <
i !
Рис. 110. Закон движения частиц газа в случае II, А < 0 и В > 0. Начиная
от момента t = 0 — разлет из центра, затем остановка на конечном расстоя-
расстоянии, после чего фокусирование в центре.
При дальнейшем возрастании времени можно представить себе
повторение этого процесса. Получается пример пульсирующего
периодического движения газа.
Наконец, в случае III первой из формул в A5.3) и формуле
A5.5) можно придать вид
-т! А
\В\
t =
где ^ =
¦dy,
A5.9)
Соответствующие универсальные кривые у (т) для различ-
различных v изображены на рис. 111.
При т = t = 0 имеем у = 1 и d\i/dt = 0. Лагранжева координа-
координата | представляет собой значение координат г в этот момент вре-
времени, причем все частицы газа покоятся в момент t = 0. При
t <^ 0 частицы двигались к центру симметрии, в момент t = 0
произошла остановка, а дальше начинается разлет. В случаях
I и II происходит разлет газа, концентрирующегося при t = 0
в центре симметрии.
314 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
В рассматриваемом случае] III имеется распределенная в про-
пространстве покоящаяся масса газа, которая в момент t = О начи-
начинает разлетаться, так как давление согласно A5.6) убывает при воз-
возрастании г.
Если на некоторой сфере при v = 3 (при v = 2 на цилиндре и при
v = 1 на плоскости) выражение в скобках \С -{¦ „ Вср(ги,)\
обращается в нуль, то на этои;подвижнои сфере, состоящей из одних
Рис. 111. Закон движения частиц газа в случае III, А >О и В <С 0. При
t <[ 0 — движение из бесконечности к центру с остановкой всех частиц при
t = Она конечном расстоянии от центра. При t > 0 — разлет в бесконечность.
и тех же частиц газа, давление всегда будет равно нулю. Такую
сферу необходимо рассматривать как внешнюю границу с пусто-
пустотой разлетающейся массы газа, находящегося внутри этой сферы.
Таким образом, найденное решение позволяет в простой ана-
аналитической форме найти точное решение задачи о разлете газа
в пустоту в том случае, когда начальные распределения плотности
и давления связаны соотношением A5.6).
Для примера придадим функции <р (r\i) следующий частный
вид:
М2
фМ =
Ро
Тогда для распределения плотности и давления верны формулы
/ М- V Pi) f y~f л — VV (У 1)V / чо\ „,,
Р=Ро f =-v. P=[C—Ap0]i0 v u , (ф)')^-
§ 151
Неустановившиеся движения газа
315
Плотность получилась не зависящей от геометрической координа-
координаты и падает с течением времени. Давление распределено по пара-
параболическому закону. Радиус расширяющейся сферы, граничащей
с пустотой, определяется формулой
г* =
4С
Рассмотрим еще случаи Л — 0 или В — 0. Если 4 = 0 и В ^> 0, то
v(T-l)
2
"(V—1)
2 =
a+v(v-i) .
A5.10)
Следовательно, г|я = %\i0, г = I {tltoY^W, где \х0 и t0 — по-
постоянные. Движение газа автомодельно и представляет собой дви-
движение, соответствующее случаю I. При t0 ^> 0 имеем разлет,
при t0 < 0 — движение к центру симметрии.
Если В = 0 и А > 0, то
4- = ^ + ' Hi-**., r-E-i-. A5.11)
Соответствующее движение также автомодельно и принадлежит
к типу III, однако в этом случае при t = 0 все частицы газа сосре-
сосредоточиваются в центре симметрии. Каждая частица газа движется
с постоянной скоростью, равной ?/?„.
Согласно формулам A5.3) в этом случае имеем
— С
р =
A5.12)
Давление постоянно во всем пространстве и падает с течением
времени, плотность в каждой частице падает обратно пропорцио-
пропорционально Г.
Точные решения, аналогичные решению A5.3), можно постро-
построить г) в задаче о движении совершенного газа с учетом сил ньюто-
нианского тяготения между частицами газа. Если положить у =
= 4/3, то для системы уравнений C.1), C.2), C.3) и C.4) при
v = 3 имеем решение, представимое следующими формулами:
dt =
±J!L
(X dt
\l(t)
A5.13)
х) Л и д о в М. Л., Точные решения уравнений одномерных неустано-
неустановившихся движений газа с учетом сил ньютониапского тяготения. ДАН СССР,
т. 97, № 3, 1954, стр. 409—410.
310 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЙСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Формулы A5.13) и формулы A5.3) при у = 4/3 и v = 3 вполне
аналогичны, различие возникает только за счет связи между функ-
функциями W (|) и Ф (?), которая при наличии тяготения имеет вид
A5.14)
где А и В — произвольные постоянные, a W (Е) — произвольная
функция.
Очевидно, что решение A5.13) является непосредственным
обобщением рассмотренного выше решения A5.3). Данная выше
классификация решений сохраняется и в этом случае. Наличие
силы тяготения не меняет общего качественного типа движе-
движений газа.
Если у любое, то для уравнений движения с учетом гравитации
C.1), C.2), C.3) и C.4) при v = 3 легко указать автомодельное
движение, в котором скорость является линейной функцией от
радиуса -1). Таким движением будет автомодельное движение,
зависящее только от двух независимых размерных постоянных
с размерностью гравитационной постоянной [/] = M^L3!1, вхо-
входящей в уравнение движения, и постоянной t0 — некоторого
характерного времени. Из общих соображений следует, что это
решение должно иметь вид
A5.15)
После подстановки формул A5.15) в уравнения движения найдем
, L *v- r r _ t
Р = i"H-3(TO
Р = X -^- ЦЗУ+2
л =
4яг3
A5.16)
где х — произвольная постоянная, а функция ц (т) определяется
квадратурой
_; A5.17)
4х
,3G-1)
1) Станюкович К. П., Автомодельные движения газа в поле тяже-
тяжести. ДАН СССР, т. 64, № 4, 1949, стр. 467—470; см. также Rosseland S.,
The Pulsation Theory of Variable Stars. Oxford, 1949 (русский перевод:
Росселанд С, Теория пульсаций переменных звезд. М.— Л., ИЛ., 1952).
8 15]
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГА.ЧА
317
здесь % — произвольная постоянная. Семейство решений A5.16)
зависит существенно от двух безразмерных постоянных % ш к.
Легко усмотреть, что семейство решений A5.16) можно расши-
расширить, если в формулах A5.16) формулу для давления заменить
новой формулой
I1»
"а
A5.18)
в которой pro — новая произвольная постоянная с размерностью
квадрата длины. В самом деле, давление входит в уравнение
импульсов и в уравнение адиабатичности. Добавочное слагаемое
в A5.18) зависит только от времени и поэтому исключается в урав-
уравнении импульсов; в уравнении адиабатичности комбинация pip"*
при введении добавочного слагаемого изменится только на адди-
аддитивную постоянную, и следовательно, уравнение адиабатичности
также удовлетворится.
В полученном семействе решений законы движения различных
частиц представятся формулой
Г =
(т„)
A5.19)
где | — лагранжева координата: ? = г при т = т0. Для различ-
различных частиц зависимость координаты г от времени выразится через
одну и ту же функцию \у (т). Б зависимости от значений % и %
функция |я (т) может иметь различный характер и, в частности,
и. (т) может быть положительной периодической функцией, колеб-
колеблющейся между двумя положительными значениями и.! и и.2,
обращающими в нуль подкоренное выражение
I,»«, X, 7) = X + -о- И-
.3G-1)
в интеграле A5.17).
Рассмотрим поведение функций fx(\i, x, %, у). В случае у ^> 4/3,
если х ^> О, /х (|я, х, 0, у) монотонно возрастает с ростом и. от нуля
до бесконечности, поэтому при % <С 0 имеется только один поло-
положительный корень. Если х <; 0 и % = 0, то имеется два поло-
положительных корня
* п * Г 2л G — 1) I 1
Ц! — U И Н-2 = I ~ 1з7-4 ¦
В интервале \i*, \x* при х<0 функция /х имеет максимум, равный
v , 8я 3Т-4 - — !
9 7 — 1
318 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА 1Гл. IV
Следовательно, если
8я
9
^
7 — ¦
то у функции / (%, х, |я) имеется два положительных корня \ix и ц2,
расположенных внутри интервала [х|, ц1; соответствующее движе-
движение представляет собой периодические пульсации.
В случаях % = х = 0 при у Ф 4/3 или % — 0 и х Ф —2я (у — 1)
при у = 4/3 формула A5.17) дает
1 W A5-20)
т =
2я +
И 2
•1
Аддитивная постоянная и знак перед корнем несущественны,
так как определяют начало и направление изменения времени.
Если y = iUi х — —2я (у — 1) и х ^> 0, то вместо A5.20) будем
иметь
т =
1 1
A5.21)
Для y = 4^з всо соответствующие формулы являются частными
случаями более общего решения, определяемого формулами A5.13)
и A5.14).
При наличии связей A5.20) и A5.21) формулы A5.16) определя-
определяют монотонное изменение по степенным законам всех характери-
характеристик движения газа.
Рассматриваемое решение характеризуется постоянством плот-
плотности по радиусу.
Согласно A5.19) формулу A5.18) в лагранжевых переменных
при х = —р/цо (Р ^> 0) можно написать в следующем виде:
"о
A5.22)
Если мы рассмотрим газовый шар, радиус которого при т = т0
равняется г0, то из формулы A5.22) следует, что во время движения
всегда на поверхности этого шара давление равно нулю и растет
к центру шара по параболическому закону.
Таким образом, с помощью найденного решения можно по-
построить нелинейные пульсирующие периодические движения
однородного газового шара под действием сил гравитации х). Это
х) Н. Р. Сибгатуллин изучил устойчивость этого решения (ем. С и б г а-
т у л л и н Н. Р., Об устойчивости однородных нелинейных пульсаций гра-
витирующих газовых шаров. Изв. АН СССР, МЖГ, № 4, 1976).
15]
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
319
движение непрерывно, без ударных волн. Максимальные и мини-
минимальные значения |я (т) определяются как корни подкоренного
выражения под знаком интеграла в A5.17). Соответствующее зна-
значение периода колебания т* определится формулой
т* =
8я
= Ф (X, Р, Y)-
¦V-
Обозначим через 951 всю массу газового шара и через р0 плотность
газа в момент т0 и |я0 = |я (т0). Так как р0 = \i.o/fu и 951 =
= 4яго|Ло/3/?о, то формулу для размерного периода колебаний t*
можно написать в виде
t* =
У/Ро
Ф =
зал
A5.23)
Параметры %, |3, у определяют амплитуду и форму колебаний.
Зависимость периода колебаний от гравитационной постоянной
/, от массы 9I и от радиуса г0 получается в явной форме. Если г0 =
= TmiiD то |х0 = Hi — известная функция от %, f> и у.
Рассмотренное решение о колебаниях газовых шаров использо-
использовалось различными авторами для анализа пульсации звезд —
цефеид (см. главу VI).
В случае применимости формулы A5.20) имеем
ft*
A5.24)
Здесь для сокращения введено обозначение
Ла = -
В главе VI мы используем решение A5.24) для построения неуста-
неустановившихся движений гравитирующих газовых масс взрывного
типа с наличием ударных волн. При х = 0 давление зависит
только от времени. Решения рассмотренного типа с законом дви-
движения г = |/[х (t) можно найти для газов — сжимаемых сред
с более общими физическими свойствами — и в некоторых слу-
случаях для уравнений магнитной газовой динамики.
320
ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
§ 16. К общей теории одномерных движений газа1)
Решение краевых задач для нелинейной системы уравнений A.3)
при отсутствии автомодельности наталкивается на значительные
трудности.
Для получения требуемых результатов обычно необходимо
применять численные методы с привлечением современных счетных
машин. Для разработки таких способов расчета и для построения
аналитических приближенных приемов решения могут оказаться
полезными различного рода общие соотношения, которые имеют
место для некоторых общих классов движений газа.
I. Поведение решений уравнений одномерных неустановив-
неустановившихся движений газа вблизи центра симметрии.
Рассмотрим одномерные неустановившиеся движения совер-
совершенного газа при помощи уравнений, получающихся путем про-
простых преобразований из уравнений A.3),
dp»
dt
dp .
dt '
dt
/p и
dr
= 0,
dr
= 0
A6.1)
A6.2)
A6.3)
Из уравнений A6.1) и A6.2) можно выразить v (r, t) и р (г, t)
через плотность р (г, t).
В самом деле, из A6.1) при условии, что v = 0 при г = 0, имеем
непосредственно
v =
A6.4)
Из A6.2), учитывая A6.4), следует
р (г, t) = p @, t) - pv* -
^-dr-u ^-L_jj^ *$!?*,«. A6.5)
0 0 0
Рассмотрим класс движений газа, когда вблизи центра сим-
симметрии плотность может быть разложена в степенной ряд вида
р (г, t) = г* Uo0 (?) + ©J*) rm + . . . + (вп (t) rnm + ...], A6.6)
где (Oo ?= 0) s и m — постоянные числа, удовлетворяющие
*) Седов Л. И., К общей теории одномерных движений газа. ДАН
СССР, т. 85, №4, 1952, стр. 723—726; О неустановившихся одномерных дви-
движениях газа вблизи центра симметрии. ДАН СССР, т. 87, № 1, 1952, стр. 4.
§ 16] К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
321
неравенствам
s + v + пт ф 0, s + 2 + птфО (п = 0, 1, 2, 3, ...). A6.7)
Подстановка ряда A6.6) в формулу A6.4) после интегрирования
дает
v — — г-
;; i ± т, ,
-у ~ s -\- у -\- т ' • • • "г s_|_
v -\- пт
«о
+ . . . + aynm + . .
A6.8)
Благодаря условию A6.7), при интегрировании не появляется
логарифмический член.
Очевидно, что скорость v (r, t) может быть представлена вбли-
вблизи г = 0 степенным рядом вида
v = г [Фо {t) + ф! (t) гт + . . . + Ф„ (t) г™ + ...]. A6.9)
Сравнение A6.8) и A6.9) приводит к следующей системе урав-
уравнений для коэффициентов ф;:
ы„
i=0
s + v + «"l
= 0.
A6.10)
Очевидно, что из системы уравнений A6.10) функцию ф„ (t)
можно выразить через функции щ (t), щ (?), . . ., а>п (t) и их
производные первого порядка с помощью определителя
Фп =
s -(- v + пт '
(О2
- , + v + (n_1)m , «О «1 ¦•• <В„_2 <Bn_!
О (Oq . . . <ЙП—з (Оп_2
.0
0 0.
(О0
О
(О0
. A6.11)
Подставив A6.6) и A6.9) в формулу A6.5), мы получим после
интегрирования (в силу условия A6.7) не появятся логарифмиче-
логарифмические члены), что давление р (г, t) представляется степенным рядом
вида
р (г, t) = ф^ (*) +
+ rs+2 [яро (t) + ^ (t) rm + . . . + фп (i) r"m + . . .], A6.12)
322 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
причем для функций г|)г(?) верны следующие формулы:
"Фо =
(V
(«¦
m)(s + 2 + т)
v 4- s + 1 + т
s + 2 + m
+
П П—}
(s + v + nm)(s 4- 2 + ram)
s + 2 +
A6.13)
В общей формуле для г])„ порядок суммирования можно пере-
переставить согласно равенству
п n—j n i=k
S % Zi Ф;Фп-м ~
(с=0
г=0
Учитывая это и равенства A6.10), получим общую формулу для
г|)„ в следующем упрощенном виде:
(s 4- v 4- пт) (s + 2 4- nm)
' —f— s —|— 1 —f- nm
s 4- 2 + nm
Фп-
s +v
-kwk
4- km
A6.14)
Таким образом, если фп определено формулами A6.11), a i|)n
формулой A6.14), то ряды A6.6), A6.9) и A6.12) удовлетворяют
уравнениям A6.1) и A6.2).
Подставляя теперь эти ряды в уравнение A6.3), получим
Фп
пт) гпт) +
{ [я|4 + 3 Ф^-г (W + s + 2 + im (v - 1) + пт)] гпт) = 0.
п=о г=0
A6.15)
Это соотношение вместе с формулами A6.11) и A6.14) может
служить основой для получения уравнений для функций р @, t),
(iH(t), coL (t), tt>2 (?),'... Для составления этих уравнений необ-
необходимо опереться на соотношение между s и т.
Уравнение A6.15) удовлетворится при произвольном s, если
оба выражения, стоящие в фигурных скобках, обращаются в нуль.
§ 16] К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ГАЭА
323
Обращение первой скобки в нуль равносильно системе уравнений
A6.16)
9o = 0,
(т 4- v) -ф^Фх = 0,
(пт 4- v) ¦ф.афп = 0.
Отсюда, если г]^ = р @, t) Ф 0, то система A6.16) с учетом
A6.11) при km 4- v ф 0 (к = 1, 2, ...) дает
Ф°=~(Н^к' Ф1 = Ф. = ..- = Фп = .-. = 0. A6.17)
Следовательно, в данном случае скорости распределены в зави-
зависимости от г по линейному закону
V = ф0Г.
На основании A6.17) и A6.10) следует
> + v 4"пт п (s + v) wo '
поэтому
(n = 1,2,3,
A6.18)
и следовательно, на основании A6.6) имеем
1 1
A6.19)
где
[ro+s+2
x s+2
Cl m4-S4-2
2WI+S+2
+ ca
2m 4-s 4-2
...1.
A6.20)
Ввиду произвольности коэффициентов c0, cL, ..., cn, ...
и постоянной т Р(х) является некоторой произвольной функцией
своего аргумента. Далее, из первого уравнения A6.16) с учетом
равенства со0 = сосо следует
A6.21)
324 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
Для tyn из A6.14) получим
1Гп. IV
V + S + 1 + пт
(s + v,+ пт) (s + 2 + пт) (s + 2 + пт) (s + v)co s + v + nm '
отсюда на основании A6.18) найдем
(« + •
L"^l+J±l^l] A6.22)
[ s + vcoj v '
(ra = 0, 1, 2,...).
Таким образом, приравнивание нулю первой фигурной скобки
в уравнении A6.15) приводит к решению, выражающему, согласно
A6.17), A6.18), A6.21) и A6.22), все функции a>n(i)t Фп(*) и фп(«)
через одну функцию со (?), которая может быть произвольной.
Покажем теперь, что полученное решение при подходящем
выборе функции со (?) обращает в нуль вторую скобку в A6.15).
В самом деле, в силу A6.17) соответствующая бесконечная
система уравнений имеет вид
со'
(s + v)co
= 0 (га = 0,1,2,...).
Из формулы A6.22) следует, что все эти уравнения удовлетво-
удовлетворятся, если функция со (t) является решением обыкновенного
дифференциального уравнения
со» -
v+i±l) ml
со
(T-DvC+v)
2
A6.23)
где В — произвольная постоянная.
Общее решение уравнения A6.23) можно представить в виде
t =
rfco
со
!+-*
A6.24)
где А — произвольная постоянная и \i — cov+s — величина, кото-
которую можно считать положительной при с0 ^> 0, так как со0 ]> 0
по своему физическому смыслу. Выбор нижнего предела у инте-
интеграла в формуле A6.24) несуществен, так как это влияет только
на начало отсчета времени.
8 1GJ К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
325
На основании формул A6.21), A6.22) и A6.23) разложение
A6.12) можно написать в следующем виде:
s+2 s+2+m
р
ш I1-1 ' 2 'L s + 2
s+2
~ s + 2+m
s+2 s+2+2m
¦¦¦]
что согласно A6.20) можно представить так:
т>
С-л
(Y-l)v
2(s + 2)
A6.25)
A6.25')
Заменив со на |я, полученное решение можно написать в сле-
следующей форме:
dt.
p =
A6.26)
Решение A6.26) совпадает с решением, определенным форму-
формулами A5.3) в § 15 х), для этого достаточно положить
s + 2 '
Возвратимся теперь к уравнению A6.15). Рассмотренное выше
решение имеет место при любых т и s. Если условия A6.7) удов-
удовлетворены, то очевидно, что при s + 2 < 0 решение A6.26) яв-
является общим решением уравнения A6.15). Этот вывод сохраняет
свою силу также и в том случае, когда s + 2^>0, hos + 2=^ km,
где к — некоторое целое положительное число.
В случаях, когда условия A6.7) не удовлетворяются и, в част-
частности, когда s = —2, в формулах A6.9) и A6.12) возможно появ-
появление членов, содержащих Iirr.
Если s + 2 = km, где к !> 1 — целое число, то появятся соот-
соответствующие члены одного порядка в первой и во второй фигурных
скобках, начиная с члена порядка гЛт. Уравнения A6.16) при га =
= —1,0, . . ., (к — 1) сохраняют свою силу, и поэтому в этом
случае при га < к верны формулы A6.17), A6.18), A6.21) и A6.22).
Это решение было получено первый раз с помощью указанного выше
вывода.
320 одномерные неустановившийся: движения газа
[гл. rv
При п !> к получатся уравнения
¦ф0 + (km + vv) ф0г|50 + (km + v)
= 0,
7i—к
+ .S «Pi^n-fr-t (ram — im -|- 17/71 4- Yv) +
4- («и 4- v
= 0. ¦
A6.27)
Эти уравнения совместно с соотношениями A6.11) и A6.14)
можно рассматривать как дифференциальные уравнения для
последовательного определения а>к, tf>jc+1, . . ., юп, . . ., если
функция (о0 (t) задана.
Таким образом, все коэффициенты а>п (?), фп (t) и i\>n (t) можно
выразить через одну функцию ю0 (t), постоянные у, к, т и посто-
постоянные интегрирования. Указанные постоянные и функция <в0 (?)
могут быть заданы произвольно.
Если!])_! = р @, t), в уравнении A6.15) первая фигурная скоб-
скобка обращается в нуль. Обращение в нуль второй фигурной скоб-
скобки равносильно системе уравнений
п
i|>n + 2 Фг^-t (s + 2 + 7V + пт + im (у — 1)) = 0, A6.28)
из которой с учетом A6.11) и A6.14) последовательным интегри-
интегрированием можно найти функции ю0 (?), (oL (t), . . ., озп (t), . . .;
произвол в решении получится только за счет постоянных интег-
интегрирования и значения показателя т. Ряды для плотности р A6.6),
для скорости v A6.9) и для давления р A6.12) можно записать
в виде
g = -?¦ = ^ (оо
/=-!-= Л, (Р„
+ ...),
f2 (То
...),
A6.29)
где X = rlr2 и r2, p2, v2, p2 — некоторые характерные и вообще
зависящие от времени величины с размерностью соответственно
длины, плотности, скорости и давления. Безразмерные величины
«г, Рг и 7; можно рассматривать вместо <вг, ф; и г|)г как безразмер-
безразмерные функции некоторого безразмерного параметра т, который
можно ввести вместо времени t.
Согласно предыдущему при s + 2 = km (к ]> 0) все коэффи-
коэффициенты рядов A6.29) можно выразить через функции г2 (т), р2 (т),
§ 16]
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
327
Ih (T)i V2 (T)i ao (т)- В частности, если в неустановившемся движе-
движении газа есть ударная волна, то в качестве r2, p.2, v2 и р2 можно
взять значения соответствующих характеристик движения на
ударной волне.
Если движение газа автомодельно и все характеристики дви-
движения в целом, включая r2, p2, v2, p2, определяются как функ-
функции времени t и постоянных, из которых имеются только две с не-
независимыми размерностями
[а] =
и lb] = LT"
(где %, Z, и ц — некоторые вещественные постоянные), то должны
быть верны формулы вида
A6.30)
i11+
(Здесь б1; б2, б3 и б4 — отвлочспные постоянные.) В этом случае
все коэффициенты а,-, [Зг и у, не зависят от времени и следователь-
следовательно, являются постоянными отвлеченными числами.
При заданных б1? б2, б3 и 84 уравнение A6.15) приводит к алге-
алгебраическим уравнениям, позволяющим найти s, m и выразить все
коэффициенты аг, рг, у: через постоянные а0 и Y-i (когда Y-i t^ 0).
В самом деле, не ограничивая общности, отвлеченные числа бх,
ба, б3 и б4 можно положить равными единице, если видоизменить
соответствующим образом определение постоянных коэффициен-
коэффициентов at, рг и 7г а)- Пользуясь этим, найдем, что уравнения AA.10)
и формулы A6.14) для автомодельного движения примут вид
s 4- v -f- итп. an
i=0
A6.31)
/„ (/«-
1 !
где
+nm)
24-nm
km '
A6.32)
+.x) - Б (n = 0, 1, 2, . . .). A6.33)
l) Это равносильно видоизменению смысла размерных параметров г2,
(>2> "г и Р2 при сохранении произвола в выборе постоянных аш Ь.
328 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
Основное уравнение A6.15) в этом случае приобретает форму
со
Y-i{i (X + 1) - Б ~ 2 + Y 21 P«(v + пт) Г} +
п
+ 25 PiYn-i (Yv + * + 2 + irn (у - 1) + пт)] Г™} = 0. A6.34)
i
i=0
Пусть Y-i ?=0 и s + 2 = Атл. (/с !> 1). Уравнение A6.34) равно-
равносильно системе уравнений
A6.35)
P*-i = О,
YY-iPt (km + v) + (/о — 2) 7о + PoYo (km + yv) = О,
YY-i (nm + v) + (/„_» - 2) y»-* +
n—It
+ 21 P;Yn-fc-i (nm — im -\- iym -\- yv) = 0.
Из уравнений A6.31) и первого из уравнений A6.35) получим
а _• /о _
A6.36)
A6.37)
Так как согласно A6.35) (Зх = |32 = . . . = рк_х = 0, то уравне-
уравнения A6.31) для п = 0, 1, 2, . . ., к — 1 дадут
Отсюда следует, что при А; ]> 1 должно выполняться равенство
? = C - v + Х)т1, A6.39)
что является дополнительным условием, налагаемым на показа-
показатели в формулах размерности для постоянных а и Ъ. В этом слу-
случае показатель s остается произвольным.
Если условие A6.39) не выполняется, то должно быть к = 1
и следовательно,
!)l7-
S 16J
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ГАЗа
329
Очевидно, что при к = 1 постоянные а0 и y-i остаются произ-
польными, остальные постоянные коэффициенты в разложениях
A6.29) легко определяются последовательно с помощью урав-
уравнений A6.31), A6.32) и A6.35).
Если условие A6.39) удовлетворяется, то т = (s + 2)/k, при-
причем к, s, а0, аъ . . ., а»-! и Y-i остаются произвольными, рх = C2 =
= . . . = Рк-! = 0; остальные коэффициенты определяются из
уравнений A6.31), A6.32) и A6.35).
Если Y-i Ф 0 и s + 2 Ф km, где к — целое число, то из урав-
уравнения A6.34) найдем
о
Ро = -
/о
7TV
ft _ r ft
Pi - Р2 = ¦ • • = Р„ = ... =
и, кроме этого, получим
— т]C— v+x)
LH -3—— «"! —
Yn
s + v
S+v
(в = 0, 1, 2, . . .).
Формулы A6.32) в этом случае приобретают вид
A6.41)
u].
' ™ (s + 2 + ram) (s + v + nm)
В общем случае уравнения A6.41) могут быть удовлетворены при
произвольных s, т и ап (п = 0, 1, 2, . . .), если показатели ?, 1]
удовлетворяют соотношениям L)
л== J и g = п C — v + х); A6.42)
постоянная Y-i также может быть произвольной. Соответствую-
Соответствующее решение представляет собой частный случай автомодельного
движения в точном решении A6.26).
Если Y-i = 0 и давление р ^ 0, то показатель s определяется
формулой
_2у-[т|C+к)-С1[2 + у(т-1I
412+ (y-1) vl+ 2
Коэффициенты а0, aL и показатель т остаются неопределенными,
все остальные коэффициенты определяются формулами A6.31),
A6.32) и уравнением A6.34).
!) Очевидно, что в некоторых специальных случаях система A6.41) мо-
может быть удовлетворена, когда соотношения A6.42) не удовлетворяются.
Г>0
ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАПОШШШПЕОН ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
Ll'jr. IV
11. О производных по координате от v, р, р, Т, S в харак-
характерных подвижных точках одномерного неустановившегося дви-
движения газа.
Рассмотрим некоторую подвижную точку М, движущуюся в
неподвижном пространстве со скоростью с. При помощи уравне-
уравнений A.3) легко выразить первые производные по координате г
от v, р, р, температуры Т и энтропии S через их значения и значе-
значения их производных по времени t в подвижной точке М.
Для произвольной функции F (r, t) верны формулы
dt
где
dt
На основе этого соотношения уравнения A.3) можно представить
в виде
dv , да , ч (v — 1) pv dp
,/,• t I ()r У I r
Or
dv
dt '
—-Iv-
—-Ivor v
dS
A6.4Л)
Кроме этих соотношений из уравнения состояния в форме
Р — Р (Р' S) и в форме Т = Т (р, S) имеем
дг
дТ
дг
dp_
dp Js dr
dp
A6.44)
dr -
После разрешения линейной системы уравнений A6.43) и
A6.44) относительно частных производных по г придем к форму-
формулам, верным в подвижной точке М для адиабатических движений
любого газа:
(dp\
3y v ' ^ \dp Js
~dr~ = 7K
dp __ (v —1)р2г;(с — v)
dv
dp
дг
rh
dv
A6.45)
16]
Jlp_
дг
дТ
дг
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
др
331
гА
dv
дТ
rA
с— v \dp Jt \ dS Jp dt J'
1
dS _
дг ~~ (c—v) dt
, где
A6.45)
При выводе формул A6.45) использованы следующие известные
тождества для определителей Якоби:
др\ = Р(р,р) = Р(Р,Р) P(P,S) _ (_др\ /др\
dS /р ,Х)(р, б1) ?>(р, 5) Х)(р, 5) \ds)p\dp}s
P(T,p) D(T,p) D{T,p) _ (dp\
D(p,S) D(T,p) D(p,S) \др)т
дТ
dS
Если относительная скорость движения точки М по частицам
и = с — v равняется скорости звука + yr(dp/dp)s, то А = 0, и
следовательно, определение искомых производных становится воз-
возможным только при обращении в нуль соответствующих числите-
числителей. Равенство А = 0 выполняется на характеристиках системы
уравнений A6.43) и A6.44).
Формулы A6.45) можно применить к случаю, когда точка М
совпадает с фронтом сильного разрыва. На основании условий
Гюгонио все величины за скачком можно выразить через парамет-
параметры состояний, по которым распространяется скачок, и через ско-
скорость с (r2) = drjdt, определяемую законом движения скачка
(г2 — координата скачка).
В частности, рассмотрим случай, когда ударная волна рас-
распространяется от центра (с ^> 0) по покоящемуся совершенному
газу с плотностью рх и давлением рх. Обозначим, как и раньше,
У Pi
Использовав условия на ударной волне A2.6), формулы A6.45)
332 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
можно преобразовать к виду
дг
дг
dq
\-q
3A+9)
X
X
1 — 9 dr2 '
dh
7
9
2y(v-l)
7+1
2A-9)
2 I ra
[7 + 1-2A- g)P [7 + 1 + G - 1) A - 9)] -9
dr,
A6.46)
Тем же путем можно получить формулы для вторых производных,
аналогичные формулам A6.45) и A6.46).
Из A6.46) следует, что если скачок движется с постоянной
скоростью с в невозмущенной среде с постоянной температурой
Т1г то q = const и, следовательно,
27 (v-1)
= 0, Л-Л
A6.47)
Равенство нулю производных достигается только для плоских
волн v = 1. При движении плоской ударной волны с постоянной
скоростью производные от характеристик возмущенного движе-
движения газа за фронтом равны нулю.
В случае сферических и цилиндрических волн при q = const
только dS/dr = 0; производные dv/dr, др/дг, др/дг отличны от нуля,
но стремятся к нулю при возрастании г2 как А/г2 (А — соответст-
соответствующая постоянная; см. A6.47)).
16]
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
333
Если скорость ударной волны с убывает, то величина q = а\1с2
возрастает, и поэтому dqldr2 ^> 0. В этом случае направление ка-
касательных к соответствующим кривым на рис. 112, указанное для
постоянной скорости с, поворачивается против хода часовой
стрелки.
Очевидно, что при заданном q интенсивность затухания скач-
скачка уплотнения усиливается при увеличении значений производных
dfld%, dg/dK, dh/dX. При удалении ударной волны от центра симмет-
симметрии, вблизи которого в конечный промежуток времени образова-
образовалось возмущение с конечной энергией, происходит затухание
Рис. 112. Элементы кривых распределения скорости газа за фронтом ударной
волны при постоянной скорости фронта в плоском, цилиндрическом и сфери-
сферическом случаях.
скачка, причем скорость распространения скачка с стремится к
скорости звука и следовательно, q-*~l.
Асимптотические законы затухания ударной волны можно оп-
определить при помощи формулы A6.46), если известно предельное
поведение левых частей при q —»- 1.
Приближенные решения г) задач о неустановившемся движении
газа внутри ударной волны @ <^ г <| г2) в некоторых случаях
можно строить при помощи интерполяционных формул для /, g,
h или для каких-либо других функций, выражающихся через /,
В интерполяционные формулы можно вводить как параметри-
параметрические искомые функции ю0 (?) и q (t), определяющие поведение
решения вблизи центра симметрии и вблизи ударной волны.
Для определения этих функций можно использовать различ-
различного рода интегральные соотношения аналогично тому, как это
делается в методах Ритца и Галеркина и в приближенных теориях
пограничного слоя.
Условия на ударной волне (формулы A6.46)) и их обобщения
для производных по радиусу г порядка выше первого позволяют
х) См. Седов Л.И., К общей теории одномерных движений газа.
ДАН СССР, т. 85, № 4, 1952, стр. 723-726,
334 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл. IV
рассчитать движение газа за фронтом скачка, если закон движе-
движения скачка известен. (Движение скачка — ударной волны — мож-
можно определить экспериментально, либо на основании дополни-
дополнительных допущений.)
§ 17. Асимптотические законы затухания ударных волн
В общем случае возмущенного движения газа, ограниченного
ударной волной, распространяющейся по покоящемуся газу,
асимптотические законы поведения скорости ударной волны в
функции от координаты ударной волны г2, а следовательно,
и изменение интенсивности ударной волны могут быть самыми раз-
разнообразными и зависят существенным образом от условий, опре-
определяющих движение газа внутри ударной волны.
Законы вырождения плоских ударных волн рассматривались
и были установлены еще в 1913 г. Крюссаром *) в предположении,
что возмущенное движение газа за фронтом скачка представляет
собой риманову бегущую волну, содержащую точку, в которой
скорость газа равна нулю.
Еще Риманом было показано 2) (для одномерных движений га-
газа с плоскими волнами, когда газ заполняет все пространство),
что если начальные возмущения были непрерывны и распределе-
распределены на конечном отрезке вдоль оси х, то при непрерывном движе-
движении через некоторое конечное время начальные возмущения транс-
трансформируются в две бегущие волны, которые распространяются в
разные стороны. Если в бегущей волне, распространяющейся в
положительном направлении оси х, в некоторый момент времени
движение газа непрерывно и имеются интервалы, на которых дав-
давление падает с ростом координаты х, то в бегущей волне за счет
опрокидывания волны возникают ударные волны — скачки уп-
уплотнения.
Затухание сферических и цилиндрических ударных волн ус-
установлено впервые Л. Д. Ландау 3) в 1945 г. в предположении,
что возмущенное движение газа за фронтом ударной волны ос-
ослабляется и что это движение стремится к бегущей волне, в кото-
которой возмущения в фиксированный момент времени расположены
1) См. Crussard L., Sur la deformation des ondes dans les gaz el sur
les interferences finies. C. r. Acad. Sci., t. 156, № 6, 1913, p. 447—450; Sur la
propagation et l'alteration des ondes de choc. Там же, JY« 8, 1913, p. 611—613.
В книге Я. Б. Зельдовича «Введение в теорию ударных волн и газодинамику»
A948) дана библиография работ, посвященных вопросу затухания плоских
ударных волн.
2) См. Р и м а н В., О распространении плоских волн конечной ампли-
амплитуды. Сочинения. ОГИЗ, М.—Л., 1948, стр. 376—39.i.
3) Л а н д а у Л. Д., Об ударных волнах на далеких расстояниях от
места их возникновения. ПММ, т. 9, вып. 4, 1945, стр. 286—292.
S 17]
ЗАКОНЫ ЗАТУХАНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
335
на интервале конечной длины и которая отличается от акустиче-
акустической только уточненным значением скорости звука.
F "Впоследствии появилось много работ по этому вопросу, в ко-
которых изучено затухание сферических и цилиндрических волн в тех
же или аналогичных предположениях, что и у Ландау. В работе
Ландау было показано также, что соответствующие методы, рас-
рассуждения и результаты переносятся непосредственно на случай
затухания криволинейных ударных волн, образующихся при об-
обтекании тел сверхзвуковым поступательным потоком газа в плос-
плоскопараллельном и осесимметрическом случаях.
Ниже дана теория затухания ударных волн на основе формул
A6.46) для производных за фронтом ударной волны.
Для системы A.3) на характеристиках, вдоль которых рас-
распространяются возмущения в сторону возрастания координаты г,
верно дифференциальное соотношение
dr — (а -Ь v)dt - 0.
A7.1)
Уравнение этих характеристик в плоскости г, t можно написать
в форме I (r, t) = const, причем функция I {r, t) определяется
на основании равенства
Отсюда
\i d\ = dr — (а + v)dt.
dt =
dr
dE,
A7.2)
где и. — некоторый интегрирующий множитель.
Вместо независимых переменных г, t введем независимые пере-
переменные г, |. Формулы для замены частных производных имеют
вид
Л at Ir. t) dill, г) . df (I,r) 1
df{r,t) = _ dj(Z,,r)(a
dt b\
dr
dr
Пользуясь этим, уравнения движения A.3) можно написать в сле-
следующем виде:
dv L??-— I il_L_L dp\
дг
dr
д р
Условие интегрируемости A7.2) дает еще одно уравнение
A7.3)
A7.4)
Легко видеть, что при v = 1 в случае плоских волн система A7.3)
336 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
и уравнение A7.4) допускают решение, в котором v, p, p зависят
только от |. Это решение является бегущей волной Римана; его
можно представить в следующем виде:
d In (a -\- v)
d\n{a
r—
v)t = F(v) = Q(?) или
A7.5)
где F (v) = Q (g), а следовательно, и
Slr-(a + v)t] = Ф (|)
— произвольные функции своих аргументов (рг и рх — постоян-
постоянные).
В частности, в этом случае, не нарушая общности, можно по-
положить
= I = г - (а + v)t,
A7.6)
сохраняя функцию F (v) и соответственно обратную функцию
Ф (|) произвольными. Для производной (dv/dr)t=COnst на основа-
основании A7.5) и A7.6) имеем
Отсюда
l±ldv
1
гаГ = -
A7.7)
Если при г2 -> оо ударная волна вырождается в звуковую волну
и движение газа за фронтом скачка вырождается в течение Римана,
то q -> 1 и ах11гг -*- 1.
Обозначим через |0 предельное значение | на ударной волне
при г2 ->- оо. Так как по предположению ударная волна вырож-
вырождается в звуковую, то очевидно, что при % -> \0 должно быть
у->-0, и следовательно,
Ф (Бо) = о.
Дальше мы найдем асимптотический закон затухания ударной
волны при допущении, что
оо.
A7.8)
ЗАКОНЫ ЗАТУХАНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
337
Если Ф' (?0) =?0, то предельное соотношение A7.8) не является
допущением.
Если
i
где с и п > 1 постоянные, то Ф' (|) = с (у/с) " + . . ., поэтому
допущение A7.8) равносильно условию
которое будет выполнено, если скорость v за фронтом скачка убы-
убывает медленнее, чем
к
Дальше мы покажем, что допущение A7.8) приводит к закону
убывания скорости, более медленному, чем к/г1*1'^'1), поэтому
в этом случае допущение A7.8) также несущественно.
На основании формул A6.46) и A7.7) при v = 1 получим
асимптотическое уравнение
2fli _ 4ах r2 dq
—<7
Отсюда после интегрирования найдем
где г0 — некоторая постоянная.
На основании A7.9) и условий на скачке A2.6) получим асимп-
асимптотические формулы для закона движения скачка х) и для харак-
характеристик движения газа за скачком
л/ г° 1
гп
2Pl
A7.10)
Формулы A7.10) находятся в согласии с решением A7.5) и дают
х) Здесь и дальше через — а^ обозначена произвольная постоянная ин-
интегрирования.
азе
ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
искомые асимптотические законы для плоских волн. Из A7.10)
очевидно, что условий A7.8) удовлетворяется при любом п.
В случае сферических или цилиндрических волн уравнения
A7.3) при |я = 1 после линеаризации около невозмущенного со-
состояния покоя с давлением /?L и плотностью pL приобретают вид
A7.11)
p
Pi
dv
a d?
(p V
[pj
1 dp
¦ dv
Pi d^
P ~
f
1
Pi
rv-l
-Pi
l
-—,
dr'~lv
dr '
v P — Pi
I
В отличие от случая плоских волн при v = 1 уравнения A7.11)
не имеют решений, зависящих только от одной переменной |.
Рассмотрим решения уравнений A7.11) для бегущих волн в слу-
случае, когда скорость v возмущенного движения представима рядом
v =
I
щ
I
1
A7.12)
где Фх (|) —произвольная функция и т ^> 0 — постоянное чис-
число, подлежащее определению.
Положим
= Pi !
Л-
+
Последнее из уравнений A7.11) дает
Р = Pi Г1 + Т ^}Р +
A7.13)
A7.14)
Подстановка этих рядов в первые два уравнения A7.11) приводит
к соотношениям
т
Г.
- +
+ ¦ ¦ • = О,
m \ • • •
(т + 1 — у) Фа Bот + 1— v)Ф2
_2m+l
- ... = 0.
Отсюда следует, что
х = "Pi + С,
A7.15)
A7.16)
где С — постоянная интегрирования.
Так как функция Фх произвольна, то необходимо, чтобы в урав-
уравнениях A7.15) члены порядка m + 1» 2m + 1, ... приводились
§ 17]
ЗАКОНЫ ЗАТУХАНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
339
с одним из членов порядка 2т, Зпг, . . . Следовательно, должно
быть
т + 1 = km,
где & — некоторое целое число.
Приравнивание в A7.15) коэффициентов при гкт нулю дает
ф^ — ijr^ 4- wiYi = 0, Фа — Ys — (т + 1 — у)Фх = 0.
Отсюда и из A7.16) следует, что
2щ + 1 - v = 0 и С = 0.
Таким образом, находим, что в случае цилиндрических волн
при v = 2, когда m = 0,5 и к = 3, верны формулы
Т„=^ФП, Ф;+2 = 1^|гФп, ф; = 0, A7.17)
причем функция Фг (|) остается произвольной, функции Ф271+1 (|)
с нечетными значениями индекса (п = 1, 2, 3, . . .) выражаются
через функцию Фх (!) с помощью тг-кратного неопределенного ин-
интеграла
функции Ф2п (|) — полиномы по | степени п — 2; каждый после-
последующий полином получается интегрированием предыдущего по
рекуррентной формуле A7.17).
В случае сферических волн при v = 3 верны формулы
т=1, к =2,
Ф
п п
п (п — о)
(»= 1,2,3,...),
(п = 2, 3, 4,. .,).
A7.18)
Функция Фх (|) остается произвольной; из формул A7.18) сле-
следует, что
и что последующие функции Ф„ (|) при п^> 2 — полиномы по ?
степени п — 3; каждый последующий полином получается из пре-
предыдущего интегрированием по рекуррентной формуле A7.18).
Таким образом, для линеаризированных уравнений определяет-
определяется класс решений, представляемый рядамиA7.12), A7.13) и A7.14),
содержащими произвольную функцию Фх (?) и произвольные пос-
постоянные, появляющиеся при определении коэффициентов при
высших степенях Иг.
340 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. IV
Из формул A7.12), A7.13) и A7.14) вытекает, что для величины
+ v верно следующее разложение:
+ ... . A7.19)
В акустическом приближении уравнения A7.11) можно рас-
рассматривать независимо от уравнения A7.4), если принять \х = 1
и ? = г — axt, что равносильно замене в уравнении A7.4) и A7.2)
величины а -\- v на aj. На основании A7.19) из уравнений A7.4)
и A7.2) можно найти уточненные выражения для t {\, г) и |я (?, г),
соответствующие первым членам разложений для функций v,
р, р в A7.12), A7.13) и A7.14).
При решении нелинейных уравнений A7.3) разложения A7.12),
A7.13) и A7.14) меняются, однако первые члены сохраняют свой
вид, но связь между t, г и ? и функцию \х (?, г) необходимо уточ-
уточнить. Эти соотношения в случае цилиндрических волн при v = 2
имеют вид
a.jt -f- const =
A7.20)
Здесь и дальше через О (/ (г)) обозначены величины, стремящиеся
к нулю при возрастании г; порядок стремления к нулю равен / (г),
через г* обозначена некоторая постоянная.
Из A7.2) и A7.20) для всех Ф^ (Q ф 0 следует
дг
*=const
G + 1)Ф1<
Аналогичные формулы в случае сферических волн при v = 3
имеют вид
+ const = г — ifi Ф! (I) In r/r* + О ( ln rJr* )
A7.22)
иприФ' (I) ф 0
дг
_ 1
*=oonst (А
| 17] ЗАКОНЫ ЗАТУХАНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
Из формулы A7.12) следует 1)
341
dv
дг
dv
дг
Ф1
(=const ]
ф
(-const
& >д?\ \\ \ с
fr \ дг /f=const |_
г \ дг /(^const L
-,/ 1 \1
при v
при v
= 2,
= 3.
A7.24)
Для асимптотических законов в случае цилиндрических волн
(v ^ 2) из A6.46), A7.21) и A7.24) получим асимптотическое урав-
уравнение
2fll
4а,
dq
7 + 1 7 + 1 ' 7 +
Отсюда после интегрирования имеем
1-9
A7.25)
где ;-0 — некоторая постоянная.
Из A7.25) и условий на скачке A2.6) найдем для цилиндриче-
цилиндрических волн следующие асимптотические законы движения скачка
и значений характеристик движения газа за скачком:
- t0) = га -
A7.26)
Формулы A7.26) согласуются с формулами A7.12), A7.13)
и A7.14), представляющими движение газа за фронтом скачка.
В случае сферических волн (v = 3) из A6.46), A7.23) и A7.24)
получим асимптотическое уравнение
2ах 1 4at 4ox r2 dq
A7.27)
7 + 1 Inr^r* 7 + 1 ' "
Отсюда после интегрирования найдем
1-? = гк +••¦; *
»-2 У In rg/r*
где к — некоторая постоянная, имеющая размерность длины.
С помощью формул A7.27) и условий на скачке A2.6) соответствую-
соответствующие асимптотические законы в случае сферической симметрии
1) В формулах A7.24) порядки исчезающих членов указаны с учетом по-
появления следующих за первым дополнительных членов в ряде A7.12) для рас-
расходящейся волны при решении нелинейных уравнений A7.3).
342 ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[Гл. 1\
примут вид
- (t0) = r2 - fc /in r2/r* +
2ay к
V-2 =
Ра =
Pi = Pl
2р,
,/ln,
A7.28)
Формулы A7.28) согласуются с формулами A7.12), A7.13) и
A7.14), определяющими движение газа за скачком.
В обоих рассмотренных случаях (v = 2 и v = 3) скорость v2
убывает быстрее, чем по акустическим законам, поэтому при
г2 ->- оо имеем \ -*¦ ?0, причем должно быть Ф1 (Е,о) = 0. Из урав-
уравнений A7.20) и A7.22) следует, что соответствующие предельные
характеристики в плоскости г, t стремятся к прямым линиям.
Ударная волна и линии характеристик, отличные от предельных,
при г -> + оо уклоняются от любой фиксированной прямой на
бесконочное расстояние :).
Изложенный выше метод может быть приложен для получения
асимптотических законов или уточнения законов, найденных выше,
также и в том случае, когда движение газа за фронтом скачка оп-
определяется некоторыми известными законами, отличающимися от
законов, рассмотренных выше или уточняющих их.
х) Асимптотические формулы с учетом членов более высокого порядка ма-
малости npnv = 2 даны в работе: III е ф т с р Г. М., Асимптотическое решение
уравнений одномерного неустановившегося движения идеального газа с шт-
липдрпческой симметрией. ДАН СССР, т. 116, №4, 1957, стр. 572—575,
a npiiv = 3 — в работе: Якимов Ю. Л., Об асимптотических решениях
уравнений одномерного неустановившегося движения идеального газа и об
асимптотических законах затухания ударных волн. ПММ, т. 19, вып. 6, 1955,
стр. 681—692.
ГЛАВА V
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН 1)
§ 1. Об осреднении неравномерных потоков газа в каналах2)
1. Ввиду невозможности точного расчета пространственных те-
течений газа в каналах ВРД 3) различной формы возникает необхо-
необходимость в гидравлическом расчете таких течений, т. с. расчете
их с использованием параметров газа, осредненных по сечениям
канала, выбранным соответственным образом. Кроме того, даже
в тех случаях, когда отдельные агрегаты ВРД (диффузор, компрес-
компрессор, камера сгорания, турбина, реактивное сопло) и рассчитыва-
рассчитываются с учетОхМ пространственного характера потока, связь между
ними при анализе работы двигателя устанавливается гидравли-
гидравлически — по средним значениям параметров газа.
В настоящее время при дальнейшем усовершенствовании агре-
агрегатов двигателя, например компрессора или турбины, приобре-
приобретает значение каждый процент к. п. д. удельной производитель-
производительности, степени повышения давления и пр. При различных спосо-
способах осреднения значения характеристик одного и того же режима
движения могут отличаться также на несколько процентов. По-
Поэтому становится важной задача о выборе правильных и единооб-
единообразных методов осреднения параметров состояния и движения га-
газа, полученных опытным путем или определенных теоретически.
*) Излагаемые в этой главе результаты были опубликованы в работах:
Седов Л. И., О полетном коэффициенте полезного действия идеального
винта и идеального воздушно-реактивного двигателя. Сборник статей № 13,
«Теоретическая гидромеханика», выи. 5. М., Мин-во авиац. промышл., 1954;
Седов Л. И., Условия подобия и отвлеченные параметры, определяющие
характеристики компрессоров (там же).
2) Вопрос об осреднении был изучен в работе: Седов Л. И., Чер-
Черный Г. Г., Об осреднении неравномерных потоков газа в каналах. Сбор-
Сборник статей № 12, «Теоретическая гидромеханика», вып. 4. М., Мин-во авиац.
промышл., 1954.
3) Здесь и в дальнейшем использованы общепринятые буквенные обоз-
обозначения: ВРД — воздушно-реактивный двигатель, ПВРД — прямоточный
воздушно-реактивный двигатель, ТРД — турбореактивный двигатель,
ТВД — турбовинтовой двигатель, ГТД — газотурбинный двигатель.
344
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
1.ГЛ. V
На практике часто приходится сталкиваться с осреднением
потоков, однако правила осреднения многочисленны, разнообраз-
разнообразны и теоретически не обоснованы.
Излагаемые ниже соображения о правильном применении гид-
гидравлического расчета течений и обоснованном осреднении пото-
потоков имеют общий характер и справедливы при рассмотрении не
только газовых машин, но и любых других задач о течении жид-
жидкости и газа.
Так, например, с подобной точки зрения Г. А. Любимовым
рассмотрены вопросы осреднения и применимости гидравлическо-
гидравлического приближения для ряда задач магнитной гидродинамики 1).
2. Задачей правильного осреднения является описание нерав-
неравномерного потока газа посредством наименьшего числа парамет-
параметров при сохранении всех свойств потока, существенных при оцен-
оценке процессов, происходивших в потоке ранее, или имеющих зна-
значение для дальнейшего использования потока в рассматриваемом
техническом вопросе. При осреднении каждый неравномерный
поток газа в некотором сечении заменяется соответствующим ка-
каноническим потоком (в общем случае вновь неравномерным), ха.
рактеризующимся наименьшим' числом параметров, при котором
сохраняются еще все свойства неравномерного потока, сущест-
существенные для рассматриваемых задач. Правила, по которым устанав-
устанавливается такое соответствие, и составляют метод осреднения.
Естественно, что при любом осреднении, т. е. при уменьшении
числа параметров, характеризующих поток, не могут быть сохра-
сохранены все свойства существенно неравномерного потока; часть этих
свойств при осреднении теряется, поэтому в некоторых случаях
осреднение вообще невозможно, в других же случаях число пара-
параметров, описывающих осредненный поток, может быть различным.
3. Существует ряд физических величин, характеризующих те-
течение газа в целом в данном сечении канала и обладающих свой-
свойством аддитивности (характеристики всего потока получаются
суммированием тех же характеристик элементов потока). Важней-
Важнейшими из таких величин являются следующие.
Поток массы (массовый расход)
<? =
здесь 2 — поверхность сечения канала, d1> — элемент этой по-
поверхности, р — плотность; vn — составляющая скорости газа,
*) Л ю б и м о в Г. А., Об осреднении магнитогидродинамических по-
потоков и применимости гидравлического приближения для расчета магнито-
магнитогидродинамических течений в каналах. Изв. АН СССР, МЖГ, № 3, 1966,
стр. 3—11.
ОБ ОСРЕДНЕНИИ ПОТОКОВ ГАЗА В КАНАЛАХ
345
нормальная к 2. Поток импульса (векторный)
J = \ (рп + pvnv) dS,
s
где h — единичный вектор нормали к 2, v — вектор скорости га-
газа, р — давление.
Поток момента количества движения (векторный)
М= \[r,pvn9]d2= \{f,v]dQ,
где f — радиус-вектор точек поверхности 2 относительно- центра
моментов.
Поток полного теплосодержания
/0 =
^- + -f)pvndZ= \iodQ,
где е — внутренняя энергия единицы массы газа. Поток энтро-
энтропии
S — \ spvn d2 = ^ s dQ,
s q
где s — энтропия единицы массы газа и т. п.
Значение выписанных характеристик определяется тем, что
именно они являются существенными при расчете двигателя и при
анализе его работы в целом, так как они характеризуют расход
газа через двигатель, подвод энергии к
газу, потери в тракте двигателя, прило-
приложенные к нему внешние силы и моменты
и т. д. Кроме того, важно отметить, что
ряд этих характеристик сохраняется при
разнообразных установившихся движе-
движениях газа в каналах. Для пояснения
этих свойств обратимся к интегральным
соотношениям при движении газа в ка-
канале.
4. Рассмотрим (рис. 113) канал (трубку
тока), в котором происходит движение га-
газа. Обозначим через I расстояние вдоль
средней линии канала, отсчитываемое от некоторой ее точки. Вы-
Выделим элемент объема, заключенный между поверхностью канала и
двумя его близкими сечениями, нормальными к его средней линии
и отстоящими друг от друга на постоянном расстоянии по нормали
к 2. Через С обозначим линию пересечения поверхности 2 с по-
поверхностью трубки тока (С может состоять из нескольких замк-
замкнутых контуров).
Рис. 113. Схема течения
в канале (трубке тока).
346
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
Для пространственного неустановившегося движения газа в
канале (трубке тока) можно написать следующие точные интег-
интегральные соотношения.
Уравнение расхода (неразрывности)
ie.
dt
dQ
dl
= 0,
где t — время.
Уравнение импульсов в проекции на направление средней
линии канала (уравнения импульсов и моментов количеств дви-
движения приводим в случае, когда средняя линия канала прямая)
dJi
dt
Здесь Р — суммарная сила от давления на поверхности трубки то-
тока; рассчитанная на единицу длины и действующая на газ в нап-
направлении средней линии трубки тока. В случае течения с осевой
симметрией, если С — окружность, с центром на оси симметрии,
то Р = р2лгс tg б, где р — давление на линии С, а 0 — угол меж-
между меридиональным сечением трубки тока в точках линии С и
направлением оси симметрии; f\e) Л, dl — составляющая по нап-
направлению I суммарной внешней силы (кроме силы поверхностных
давлений), действующей на объем 1,dl (индекс I означает проекцию
на направление касательной к средней линии).
Уравнение моментов количеств движения относительно нап-
направления средней линии канала
Здесь Мр — суммарный момент относительно средней линии ка-
канала сил давления; в случае осесимметричною движения, когда
средняя линия совпадает' с осью симметрии, Мт = 0; mp'Ldl —
суммарный момент относительно той же оси всех остальных внеш-
внешних сил, действующих на объем 2Л.
Уравнение энергии
dt
P « + -5-
где a^Hidl — суммарная работа в единицу времени внешних сил
(кроме сил давления), действующих на объем SdZ; q^'^cU — внеш-
внешнее тепло, подведенное в единицу времени к объему
§ П
ОБ ОСРЕДНЕНИИ ПОТОКОВ ГАЗА В КАНАЛАХ
347
5. Из уравнения неразрывности вытекает, что при любых уста-
установившихся движениях газа
dl
= 0,
т. е. величина Q сохраняется вдоль трубки тока.
При установившихся движениях идеального газа при отсут-
отсутствии внешних массовых сил уравнения импульса и момента коли-
количеств движения принимают вид
OJ, дМ,
' = Р и ' "'
01
ЬТ
Таким образом, величины Jl и Мг в общем случае не сохраня-
сохраняются вдоль трубки тока. В дальнейшем будем рассматривать преи-
преимущественно течения газа с осевой симметрией. Для таких тече-
течений
дМ
-^- = 0 и Ml = const.
Величина /г не сохраняется и для таких течений; по разности ее
значений вычисляется реактивная сила газового потока, прило-
приложенная к стенкам канала.
Для установившихся движений без внешних сил и при отсут-
отсутствии внешнего притока тепла из уравнения энергии следует
—— — О
dl ~ u'
т. о. полное теплосодержание потока сохраняется при движении
вдоль трубки тока.
При установившемся движении в криволинейном канале по-
поток энтропии S может изменяться только за счет притока тепла
извне и за счет потерь, вызываемых действием вязкости, тепло-
теплопроводности, наличием скачков уплотнения и т. д.
При обратимом адиабатическом процессе в любых криволиней-
криволинейных каналах поток энтропии S при движении газа вдоль трубки
тока сохраняется:
OS
= 0, S — const.
6. Вводимые при осреднении условные канонические газовые
потоки должны сохранять соответствие с действительными пото-
потоками при движении вдоль канала (по параметрам, важным для тех-
технического приложения).
В большинстве случаев параметры осредненного потока долж-
должны правильно характеризовать расход газа через канал, поток
полного теплосодержания (для вычисления подвода энергии)
348
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
и поток энтропии (для вычисления потерь). Поэтому в таких слу-
случаях необходимо сохранить в исходном и в осредненном потоках
равенство интегральных характеристик Q, 10 и S. В некоторых
случаях также могут иметь значение правильное вычисление по
осредненным параметрам потока импульса и потока момента коли-
количеств движения (для вычисления сил и их моментов), правильная
оценка статического давления и температуры (для рассмотрения
прочности и термостойкости), а также оценка величины и направ-
направления скорости (для профилирования элементов канала и учета
последующих потерь) и т. п.
В соответствии со сказанным, вводимые при осреднении кано-
канонические газовые потоки могут характеризоваться различными
параметрами. Число их должно быть достаточным для обеспече-
обеспечения равенства основных для рассматриваемой задачи величин в за-
заданном неравномерном потоке и в соответствующем каноническом
потоке.
7. В простейшем случае осреднение неравномерных потоков
можно производить путем установления состояния покоя (тормо-
(торможения), соответствующего данному состоянию движения. Однород-
Однородный газ с фиксированными физическими и химическими свойства-
свойствами в состоянии покоя характеризуется только двумя параметрами
(например, энтропией и теплосодержанием единицы массы газа),
поэтому удовлетворить равенству средних (в заданном потоке газа
и в соответствующем состоянии покоя газа) можно только при
помощи двух интегральных характеристик. Если исключить поте-
потери и энергообмен при переходе от движения к покою, то очевид-
очевидно, что неравномерный поток нужно заменить покоящимся газом
с теми же значениями энтропии и теплосодержания
S . 10
S=-Q- И 1° = ^-'
что и у движущегося газа х). Как известно, по параметрам s и i0
и уравнению состояния можно определить другие физические ха-
характеристики покоящегося газа. В случае уравнения состояния
р = RpT (i? — газовая постоянная, Т — абсолютная температу-
температура ) формулы для определения температуры, плотности и давле-
давления в покое (заторможенное состояние) имеют вид
о = Т~ 1
Ро = "IT -Г-
!) Формулы для вычисления величин Q, Io, S, а также /; по распреде-
распределениям параметров потока в некотором сечении приведены на стр. 354—355.
§
ОБ ОСРЕДНЕНИИ ПОТОКОВ ГАЗА В КАНАЛАХ
349
Описание неравномерного потока газа посредством только двух
параметров s и i0 (или р0 и То) дает возможность правильно опре-
определять по осредненным параметрам лишь величину энергии, сооб-
сообщаемой единице массы газа, и величину потерь между двумя се-
сечениями канала.
Использование для описания состояния движения параметров
соответствующего обратимо заторможенного газа без подвода
энергии общеизвестно и широко применяется на практике; удоб-
удобство и плодотворность такого использования доказаны и термоди-
термодинамически обоснованы.
8. В другом широко применяющемся способе осреднения за-
заданный неравномерный поток заменяется поступательным осред-
осредненным потоком с той же площадью сечения 2. Такой поток харак-
характеризуется тремя физическими параметрами, например, энтропией
и теплосодержанием единицы массы газа, имеющими одинаковое
значение в потоке и в обратимо заторможенном состоянии без под-
подвода энергии, и величиной скорости или расхода. Поэтому можно
потребовать равенства трех характеристик течения в заданном и в
осредненном потоках. Эти три характеристики следует выбирать
соответствующими рассматриваемой задаче.
Как уже говорилось, при изучении течений во внутренних ка-
каналах ВРД во многих случаях наибольший интерес представляет
знание расхода, подвода энергии и потерь на различных участках
тракта двигателя.
Развивая и обобщая указанный выше метод осреднения путем
перехода к покою, при переходе к поступательному потоку нужно
принять равенство в рассматриваемом и осредненном потоках сле-
следующих величин: потока энтропии S, потока полного теплосодер-
теплосодержания /0 и расхода Q.
Описание неравномерного потока газа посредством трех пара-
параметров Q, s = SIQ и i0 = lolQ (или вычисленных с их помощью
значений Q, То и р0) позволяет правильно определить по осреднен-
осредненным параметрам величину энергии, сообщаемой единице массы
газа, величину необратимых потерь между двумя сечениями кана-
канала и расход газа через канал.
Зная параметры соответствующего состояния покоя р0, ро,
То, можно ввести величины скорости, статического давления, плот-
плотности и температуры в осредненном потоке. По формуле
7+1 7—1
Ркр^кр
определяется параметр X, скорость v определяется из равенства
v =
350 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
где
1'кр =
[Гл. V
Ро,
Ро = -R" Т~
Далее имеем
Таким образом, все параметры среднего поступательного пото-
потока со скоростью v и с площадью сечения 2 можно рассматривать
как величины, получающиеся при истечении газа через насадок
площади 2 с расходом Q из большого сосуда, в который исходный
неравномерный поток переведен обратимым путем без притока
энергии извне. Можно указать процесс, в котором исходный не-
неравномерный поток переводится обратимым путем без притока
энергии извне непосредственно в поступательный поток площадью
2 с тем же расходом Q.
Отметим, что в некоторых случаях, когда истинное давление
по сечению почти одинаково, оно может заметно отличаться от
давления, вычисленного по указанным формулам после определе-
определения средних значений р0, То. Это может относиться и к другим
параметрам: скорости, температуре и т. п.
Аналогичное положение может встретиться при использова-
использовании любого метода осреднения.
В ряде случаев на практике принимаются при осреднении ус-
условия равенства характеристик Q, 10 и Jь с дальнейшим исполь-
использованием осредненных параметров для вычисления потерь. По-
Подобное осреднение равносильно переходу от заданного неравномер-
неравномерного потока к равномерному в цилиндрической камере смешения
(эжектор) и связано, следовательно, с увеличением энтропии в ос-
редненном потоке. Вычисленные таким образом потери могут су-
существенно отличаться от потерь, которые фактически произошли
в потоке.
Для примера приведем результаты расчета средних значений
полного давления для потока газа в круглой цилиндрической
трубе с профилями скоростей и разностей температур, подчиняю-
подчиняющимися закону (рис. 114)
Т—Т.
JL = ст = (\ _ _L_\~
и0 то-ты \1 аь)
ОБ ОСРЕДНЕНИИ ПОТОКОВ ГАЗА В КАНАЛАХ
351
и постоянным по сечению статическим давлением р = const =
= pot (индекс «0» относится к величинам на оси трубы, индекс
«ст» относится к величинам у стенки р_
трубы, Л — радиус трубы). «Ж
На рис. 115 (а, б) для двух зна-
значений & = (Го — Гст)/Гст представ-
представлена зависимость полного давле-
давления pjpc-i от числа Мо (Мо — чис- д$
ло М на оси канала); сплошные кри-
кривые соответствуют значениям полно-
полного давления, полученным при осред-
осреднении с сохранением Q, 10 и S;
пунктирные кривые — при осредне-
осреднении с сохранением Q, /0 и Jt.
Осреднение с сохранением потока
импульса, по существу, является по-
попыткой охарактеризовать стандарт-
стандартным образом не только потери, кото-
которые произошли до данного сечения,
но и те потери, которые могут воз-
возникать при выравнивании в процес-
процессе дальнейшего движения образовав-
образовавшейся неравномерности потока. Такой подход в ряде случаев
на практике может оказаться целесообразным (например/ при
s
\
\
\
\
\
1
1
u.JT
Рис. 114. Профиль скоростей
и разностей температур, изме-
изменяющихся по закону
и
"о
Т 7'
Б:
—
—
—
—
—
1
1
j
1
1
1
1
II
м„
'
э
г
7
—
-ше-
-
-
t
/
i
—
i
i
I
i
a
1
ff0
Рис. 115. Средние значения полного давления, полученные при осреднении
с сохранением расхода, потока полного теплосодержания и потока энтропии
(сплошная кривая) и при осреднении с сохранением расхода, потока тепло-
теплосодержания и потока импульса (пунктирная кривая).
сравнении между собой устройств, на выходе из которых харак-
характер неравномерности потока одинаков). Однако следует отно-
352
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
ситься с большой осторожностью к полученным таким образом
результатам и выводам из них.
Как показано выше, при таком методе осреднения вычислен-
вычисленные потери могут существенно отличаться от потерь в данном се-
сечении. Они могут также существенно отличаться и от потерь, ко-
которые фактически произойдут в дальнейшем.
Увеличение энтропии, в действительности не возникающее,
связано с «обесценением» энергии потока и утратой им некоторых
свойств, которые могут быть существенными и для дальнейшего.
В самом деле, рассмотрим, например, поток на входе в первую сту-
ступень компрессора с неравномерным распределением осевой ско-
скорости. При осреднении нельзя считать, что в таком потоке уже
произошли потери от перемешивания или что они обязательно
произойдут в дальнейшем, так как поток поступает в колесо,
спрофилированное соответствующим образом.
При смешении вместе с ростом энтропии растет и площадь кри-
критического сечения. Поэтому осредненный поток может утратить
свойство проходить сквозь заданное сечение. Точнее говоря, мо-
может оказаться, что не существует поступательного течения с той
же площадью сечения и с теми же значениями расхода Q, потоков
теплосодержания /0 и импульса /ь как и данный неравномерный
поток. Условие существования поступательного течения рассмот-
рассмотрено ниже.
Таким образом, осреднение потоков с сохранением импульса
в ряде случаев вообще невозможно. Осреднение с постоянной энт-
энтропией всегда возможно.
Если при смешении необходимо учитывать потери, то следует
иметь в виду, что эти потери при перемешивании зависят также от
формы канала, поэтому в различных криволинейных каналах,
каналах со стойками потери будут различны и не равны потерям
на смешение с сохранением импульса, т. е. потерям в цилиндри-
цилиндрическом канале.
В случае осреднения импульса потока на выходе из колеса
центробежного компрессора величина радиальной составляющей
импульса зависит от размера выбранного участка сечения; это
вносит неопределенность в результат такого осреднения.
Если при движении газа в канале происходят сильные изме-
изменения энтропии (так что поток энтропии S, а следовательно, и
параметры потока газа, осредненного при условии равенства вели-
величин Q, /0 и S, резко меняются в зависимости от выбора сечения),
то мы можем учесть этот эффект, производя осреднение с сохране-
сохранением энтропии в сечении, где основные потери на перемешивание
уже произошли. Таким образом, возможные и неизбежные в рас-
рассматриваемом случае потери могут быть учтены не способом осред-
осреднения, а правильным выбором контрольных сечений, в которых
производится измерение параметров потока. При осреднении с co-
coОБ ОСРЕДНЕНИИ ПОТОКОВ ГАЗА В КАНАЛАХ
353
хранением энтропии можно правильно оценивать потери, произо-
произошедшие в потоке до рассматриваемого сечения.
9. В ряде случаев существенное значение имеет составля-
составляющая скорости газа в плоскости, касательной к сечению 2. На-
Например, в кольцевом сечении на входе в рабочее колесо ком-
компрессора или турбины (центробежного или осевого типа) и на
выходе из него большое значение имеет закрутка потока — окру-
окружные скорости. От окружных скоростей зависит поток момента
количества движения газа Мь а разность потока момента коли-
количества движения при переходе от одного сечения к другому равня-
равняется суммарному моменту внешних сил, действующему на газ меж-
между выбранными сечениями со стороны стенок проточной части и
рабочего колеса.
При профилировании элементов компрессора или турбины су-
существенны многие детали неравномерного распределения скорос-
скоростей, поэтому в задачах о профилировании мы не можем, вообще
говоря, заменять действительное распределение характеристик
движения средними значениями с заметным сглаживанием.
Тем не менее в ряде вопросов существенны только средние
величины. Эти величины важны, например, при вычислении по-
поглощаемой газомили сообщаемой газу мощности, при определении
внешних моментов, действующих на неподвижные части конст-
конструкции, а также в некоторых случаях при рассмотрении рассея-
рассеяния механической энергии в направляющих аппаратах или в соп-
сопле за турбиной.
Для получения средних величин, учитывающих закрутку по-
потока и позволяющих правильно оценивать внешние суммарные
моменты, можно производить осреднение путем введения канони-
канонических газовых потоков с постоянной окружной скоростью по
всему кольцевому сечению (в случае центробежного или осевого
компрессора) или с окружными скоростями, распределенными по
радиусу по закону свободного вихря (в случае осевой машины)
v* = ^Г = const'
где Г — циркуляция вихря.
Поле скоростей, определяемое равенствами
= си =
= сг= О (Г = const),
при наличии радиального равновесия соответствует точному ре-
решению уравнений газовой динамики для установившегося движе-
движения идеального газа в кольцевом пространстве между двумя круг-
круглыми концентрическими цилиндрами.
При этом две величины из следующих трех: энтропии s, пол-
полного теплосодержания ?0 единицы массы газа и осевой скорости
са — можно считать постоянными в потоке.
354
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
Для распределения температуры, плотности и давления по
радиусу в этом случае верны следующие формулы:
—Т—Т °а
- 1 -2»~-2^-
Г2
Y —
^7р
Подчеркнем, что в этом движении давление, температура и плот-
плотность переменны по радиусу.
Для потока момента количества движения справедлива
формула
Неравномерный закрученный поток газа можно заменить опре-
определенным выше закрученным потоком, для которого величины
S==~Q"
Q, »o = -<p S==~Q"
имеют такие же значения, как и у данного неравномерного пото-
потока газа.
10. Приведем теперь общие формулы для вычисления инте-
интегральных характеристик потока. Для вычисления интегральных
характеристик потока необходимо знать распределение по сечению
канала пяти независимых параметров состояния и движения газа,
например, давления р, плотности р и трех составляющих вектора
скорости д. На практике более удобными параметрами, допускаю-
допускающими непосредственное измерение, являются То, р0, р и два угла,
определяющие направление скорости. Температура торможения
То измеряется при помощи термопар, полное давление р0, стати-
статическое давление р и направление скорости определяются специ-
специальными насадками и трубками.
Расход газа через канал измеряется часто непосредственно
с помощью расходомерных устройств или определяется по
формуле
§ П
где
ОБ ОСРЕДНЕНИИ ПОТОКОВ ГАЗА В КАНАЛАХ
355
та
Y-l 1
1 N757 Р\~Т{л_( Р\Т~|2
} та L \ро) J '
cos (v, h) — косинус угла между направлением скорости и нор-
нормалью к сечению 2.
Поток полного теплосодержания определяется формулой
¦'о = lo cp.v =
Поток импульса в проекции на среднюю линию канала выра-
выражается соотношением
; = ^р cos (n,
i)cos {h'J) cos
где
cos (h, I) — косинус угла между направлением нормали к сече-
сечению и направлением средней линии канала.
Определим энтропию формулой
,pj~ V 7-1 L1 \po) Г
s = R]n-
ny-l
P Pn
Тогда поток энтропии выразится интегралом
S = scv.Q =
7-
7 +
срТ0
Рь
Pa
11. Теперь легко указать формулы для расчета параметров
осредненного поступательного потока по вычисленным значениям
интегральных характеристик действительного потока.
а) При сохранении равенства Q, /0, S
т _
Оср-~
*о
8ср.
ср.
'"
ср.
12*
356
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
В случае, если температура торможения сохраняется постоянной
в потоке, получаем
1
т. е. для вычисления потерь следует осреднять по массе (по рас-
расходу) логарифм полного давления (а не полное давление, что иног-
иногда применяется на практике).
б) При сохранении равенства Q, 10, /г
ср. =
1 ср.
28
lyi
*-l)/0Q'
Ро ср. —
A +
с p.'
Лср./
V
Как уже указывалось, при заданном сечении потока не всегда
может быть найден поступательный однородный поток, обладаю-
обладающий теми же значениями Q, 10 и /г, что и заданный неравномер-
неравномерный поток. Можно показать, что существует широкий класс нерав-
неравномерных течений, для которых величина
Jl
'ср.
рассчитанная по опытным данным, получается меньше двух;
вследствие этого действительные значения А,ср и других парамет-
параметров соответствующего поступательного потока не могут быть най-
найдены (таким течениям соответствуют режимы невозможного сме-
смешения в цилиндрическом эжекторе).
Неравенство Jl 1/ ¦. 2 . _ <^2 есть признак невозможнос-
невозможности осреднения с постоянными /;, Q, 10. Осреднение с постоянны-
постоянными S, Q, 10 всегда возможно.
12. В заключение подчеркнем еще раз, что при осреднении
часть свойств потока газа неизбежно утрачивается. Поэтому
в ряде течений, когда существенны детали распределения пара-
параметров потока, осреднение с заметным сглаживанием вообще не-
невозможно.
Так как всякое осреднение связано с утратой ряда свойств
потока, то нельзя указать способ осреднения, применение кото-
которого не встретило бы возражений в том или ином случае. Однако
унификация способов осреднения для определенного широкого
класса неравномерных течений необходима. Используемые на
ОБ ОСРЕДНЕНИИ ПОТОКОВ ГАЗА В КАНАЛАХ
357
практике способы арифметического осреднения, осреднения по
площади, осреднения полных давлений по массе, а также другие
способы осреднения при применении средних значений для вы-
вычисления подвода энергии, потерь и прочих величин являются
необоснованными. Применение таких способов может быть иног-
иногда оправдано соображениями практического удобства, однако
только в том случае, если получаемые таким путем числен-
численные результаты не расхо-
расходятся со средними, получен-
полученными (при использовании
средних значений для вычис-
вычисления фактических потерь
в данном сечении) из условия
равенства Q, /0 и S.
Так, на практике часто
при определении потерь в по-
потоке газа, происходящем без
энергообмена (например, во
входных диффузорах ВРД),
пользуются следующей мето-
методикой: посредством специ-
специальных измерений определя-
определяется расход газа через ка-
канал Q. С помощью дренажных
отверстий в стенке канала в
том месте, где поток доста-
достаточно выравнивается, вычис-
вычисляется среднее по периметру
сечения статическое давле-
0,5
1,0
Рис. 116. Средние значения полного
давления, полученные при осреднении
с сохранением расхода, потока полного
теплосодержания и потока энтропии (/)
и при осреднении с сохранением расхо-
расхода, потока полного теплосодержания и
среднего по периметру сечения статиче-
статического давления (//).
ние р.
Температура торможения
То принимается постоянной
в потоке и измеряется в котле, откуда происходит истечение.
Затем из соотношения
<?-/:
А,2
справедливого в однородном поступательном потоке, определя-
определяется величина %, а из формулы
„ 1
1
Y-1
вычисляется значение рц, т. е. находится величина потерь. Такая
методика равносильна осреднению с принятием в качестве капони-
358
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
ческого потока поступательного однородного течения с теми же
значениями расхода, потока полного теплосодержания и среднего
по периметру сечения статического давления, что и в действитель-
действительном потоке. Вычисление потерь по значениям параметров, полу-
полученным при таком осреднении, не обосновано. Однако в расчетах
па примерах видно, что отклонение значений полного давления,
вычисленных таким методом, от точных значений в случае срав-
сравнительно небольшой неравномерности потока и небольших ско-
скоростей незначительно.
Так, на рис. 116 показаны зависимости от приведенной скорос-
скорости ^,0 на оси капала средних значений полного давления р0, вы-
вычисленного по точной методике, и полного давления р0, вы-
вычисленного по рассматриваемой упрощенной методике, для слу-
случая р = const, То = const и скорости, изменяющейся по закону
и = и0 A — г1Л)х'\ Ошибка в определении потерь при Хо ¦< 1
не превышает 2%.
Следовательно, описанную выше приближенную простую ме-
методику осреднения можно с известной осторожностью применять
вместо точной методики (осреднение с сохранением S, 10, Q) при
определении потерь, когда неравномерности в потоке невелики.
§ 2. Условия подобия и отвлеченные параметры,
определяющие характеристики компрессоров х)
Вопрос о подобии и о системе независимых параметров, ха-
характеризующих в нужном и удобном для приложения виде комп-
компрессоры реактивных двигателей с учетом высоты, скорости полета
и свойств рабочего газа как для натурных компрессоров, так и
для их моделей, элементарен и весьма прост. Тем не менее повсед-
повседневная практика показывает, что необходимы систематизация и
внесение ясности в трактовку этого вопроса.
Характеристики испытательных стендов для газотурбинных
двигателей и компрессоров и методика экспериментальных иссле-
исследований определяются требованиями сохранения условий подобия.
Для установления необходимых и достаточных условий меха-
механического подобия взаимно связанных движений газа перед вхо-
входом в компрессор и внутри него выясним предварительно систему
параметров, определяющих это явление. Иначе говоря, установим
систему параметров, которую можно в условиях опыта задать
произвольно, после чего все остальные характеристики процесса
вполне определяются значениями этих параметров.
1. Отметим прежде всего параметры, характеризующие меха-
механические и тепловые свойства воздуха — газа, влияющие на его
х) Теория основных агрегатов гидродинамических и газовых машин из-
изложена в книге: Седов Л. И., Механика сплошной среды, т. 2. М., «Нау-
«Наука», 1976.
21
УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ
359
движение в компрессоре. Примем, что газ совершенный, т. е. дав-
давление р, плотность р и абсолютная температура Т связаны урав-
уравнением Клапейрона
Е m B.1)
Р =
m
рТ,
где R — универсальная газовая постоянная, одинаковая для всех
газов, и m — молекулярный вес — величина, характеризующая
физико-химическую природу газа.
Далее мы предположим, что внутренняя энергия газа е может
быть представлена в виде г)
г = CvT + const, B.2)
где с„ — теплоемкость газа при постоянном объеме.
Допускаем, что в каждом конкретном случае движения вели-
величина cD может быть принята одинаковой во всем потоке.
Уравнение состояния B.1) и формула B.2), содержащие две
существенные физические постоянные с„ и Rlm, полностью опре-
определяют внутренние тепловые и механические свойства газа при
обратимых процессах.
Вместо двух параметров cv и Rim можно ввести параметры
ср и cv (где ср — теплоемкость при постоянном давлении) или
Rim и y = cp/cv.
Как известно, эти величины для совершенного газа связаны
формулой
B.3)
С Г) — С-п
R
m
откуда
R
_
R
у —
поэтому параметры y и Rlm полностью характеризуют газ при
равновесных процессах.
Свойства вязкости и теплопроводности газа определяются ко-
коэффициентом вязкости (х и коэффициентом теплопроводности %.
Дальше примем, что и. и % в потоке одинаковы, но могут при-
принимать различное значение для разных потоков.
При схематизации задачи, основываясь на общих физических
соображениях, можно принять, что такие явления, как конден-
конденсация или затвердевание паров в потоке, инерция теплоемкости,
диссоциация, химические взаимодействия, а также свойство ве-
весомости газа должны исключаться в практике нормальной работы
компрессора, поэтому система параметров Rlm, у, ц и х полностью
характеризует в рассматриваемых газовых потоках механическую
и тепловую природу воздуха — газа.
х) Аддитивная постоянная в формуле B.2) несущественна.
360
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
2. Поступательное движение газа относительно компрессора
на далеких расстояниях и его термодинамическое состояние пол-
полностью определяются давлением торможения р*, абсолютной тем-
температурой торможения Т* и скоростью потока vx. Все характе-
характеристики поступательного потока газа (плотность, статическое дав-
давление и т. п.) могут быть выражены через р*, Т*, v^, при помощи
хорошо известных простых формул газовой динамики. При лю-
любом испытании компрессора эти величины измеряются и задаются
условиями опыта. В каждом расчете эти величины задаются или
определяются дополнительными условиями.
3. Рассмотрим параметры, характеризующие компрессор и
режимы его работы х). В предлагаемой постановке задачи мы
допустим, что упругие свойства 2) компрессора не влияют на его
характеристики.
При больших скоростях полета и при различных режимах ра-
работы компрессора распределение скоростей на входе в компрес-
компрессор существенным образом
^„.„^„„„„„„„„„„„„«х^,,, зависит от формы входных
1 \ / устройств и от расположе-
расположения компрессора относи-
относительно самолета. Для по-
получения условий подобия
зафиксируем геометричес-
геометрическую форму всех-элементов
компрессора и его распо-
расположение в подвеске. До
пустим, что все линейные
размеры, определяемые-
Рис. 117. Схема устройства компрессора:
а — сечение перед компрессором; 1 — под-
подвеска, крыло, фюзеляж; 2 — вход и вход-
входной диффузор; 3 — вращающиеся колеса
и направляющие аппараты; 4 — дроссель.
значением характерного
размера D, могут изме-
изменяться вместе с D (из-
(изменение масштаба при моделировании).
Для осевых компрессоров в качестве характерного размера
примем диаметр входа, для центробежной машины можно взять
линейный размер, определяющий поперечный габарит.
Схема устройств компрессора приведена на рис. 117. Эта об-
общая схема пригодна как для осевого, так и для центробежного
компрессора.
х) Дальше для простоты мы рассмотрим только однокаскадный комп-
компрессор.
2) На практике это допущение всегда принимается. В ряде случаев ло-
лопатки компрессора могут деформироваться различным образом на разных ре-
режимах, это может повлиять на характеристики компрессора. Материал лопа-
лопаток в связи с их деформацией также может повлиять на характеристики комп-
компрессора.
2]
УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ
361
Режим работы можно задать числом оборотов п рабочих ко-
колес и положением дроссельной заслонки, схематизирующей свой-
свойства устройств, в которых используется сжатый газ. Вместо поло-
положения дросселя или сопротивления сети удобнее в ряде случаев
определять режим, задавая весовой расход газа G или объемный
расход газа V* через компрессор.
В испытаниях весовой (массовый) расход газа можно легко
измерить; эта величина является суммарной характеристикой,
которая для потребителя и во всех приложениях компрессоров
служит основной величиной, характеризующей режим и механи-
механический эффект действия компрессора.
Объемный расход газа V* легко выражается через весовой,
если объемы газа определять по состоянию, отвечающему пара-
параметрам торможения. Соответствующая формула имеет вид
g-^^7* B.4)
(g — ускорение силы тяжести).
При земных испытаниях расход У* равен секундному объему
воздуха, засасываемому компрессором из атмосферы.
Иногда вводят в рассмотрение величину объема по параметрам
на входе перед колесом — в сечении а. В связи с этим можно за-
заметить, что перед колесом возможна значительная неравномер-
неравномерность в распределении осевых скоростей, вследствие чего могут
возникать потери при входе, поэтому для получения указанного
объемного расхода необходимо производить весьма подробные
измерения распределения характеристик газового потока, что не
всегда возможно и не всегда необходимо; кроме того, объемный
расход на входе, с точки зрения характеристик компрессора в
целом, не является параметром, непосредственно необходимым
для потребителя.
Однако значение осевой скорости при входе са имеет важное
значение для специалиста по компрессорам в то время, когда он
занят решением задачи о профилировании колеса и направляюще-
направляющего аппарата. Поэтому объемный расход на входе и соответствую-
соответствующее среднее значение осевой скорости са можно рассматривать
как своего рода характеристику внутреннего пользования, необ-
необходимую, главным образом, только при создании компрессора,
а не при его эксплуатации.
Наибольший интерес представляют значения са непосредствен-
непосредственно перед колесом. При наличии направляющего аппарата величи-
величина са перед колесом существенным образом определяется свойст-
свойствами такого аппарата.
Если потери при входе в компрессор известны и температуру
торможения в потоке можно считать постоянной, то величину
соответствующей средней осевой скорости са легко выразить через
362
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
параметры торможения и полный массовый расход. Для вычис-
вычисления са имеем газодинамические соотношения
= P*F*;
отсюда
(г1 \ У- 1 Т/*
Где S — площадь проходного сечения на входе в компрессор, а
о =
При отсутствии специального охлаждения компрессора и при
обеспечении соответствующей теплоизоляции можно пренебречь
теплообменом между газом и элементами конструкции компрессо-
компрессора; это исключает необходимость введения еще дополнительных
параметров, определяющих режим работы компрессора.
Таким образом, на основании всего сказанного выше полную
систему определяющих параметров можно представить в следую-
следующем виде:
~
Y =
л, к, Р*,
, у», D, п, V*. B.6)
Система параметров B.6) полностью определяет все характе-
характеристики режима работы компрессора, такие, например, как ко-
коэффициент полезного действия, который может быть введен раз-
различными способами х), степень сжатия я, осевую скорость на вхо-
входе са, напор Н и т. п.
Вместе с этим величины B.6) обязательно должны измеряться
или быть известными в любом, даже простейшем, опыте, причем
в большинстве опытов эти величины измеряются наилучшим спо-
способом и с наибольшей точностью. В конкретных приложениях зна-
значения всех параметров B.6) являются заданными.
1) По определению коэффициент полезного действия можно вводить
различными способами. На практике к.п.д. должен характеризовать свой-
свойство компрессора с точки зрения получения результата, требующегося по-
потребителю. Поэтому наибольшее распространение и непосредственную необ-
необходимость для расчетов двигателя имеет адиабатический к.п.д., определяе-
определяемый формулой т]ад = ?щ/?, где L — действительно затраченная работа на
валу компрессора, а ?ад — работа, которую необходимо затратить при адиа-
адиабатическом обратимом процессе при переходе от состояний и движения газа
до входа в компрессор к состоянию газа с той же степенью повышения давле-
после компрессора (к.п.д. по параметрам заторможенного потока).
2]
УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ
363
На основании общей теории подобия *) можно сделать вывод,
что необходимые и достаточные условия подобия газовых пото-
потоков состоят в постоянстве следующих шести отвлеченных пара-
параметров:
R =
p*V*
р =
mp*V*
\iRDT*
8V-D '
B.7)
B.8)
Лео —¦
"кр
*B>9)
„*ТЛ*
q =
'кр
¦ KfT
\ 2
4F"
У 7 + 1 m
"кр
/27 R *
, B.10)
B.11)
где и — окружная скорость колеса.
Физические параметры у и Р при испытаниях в разных случаях
в одном и том же газе, например в воздухе, имеют одинаковые зна-
значения, и поэтому на практике постоянство этих величин обычно
выдерживается автоматически.
Для данного компрессора число Рейнольдса в основном зави-
зависит только от весового расхода. Так как при поднятии на высоту
при постоянной скорости весовой расход уменьшается, то число
Рейнольдса также уменьшается с высотой. При уменьшении мас-
масштаба число Рейнольдса также падает, так как весовой расход
пропорционален приблизительно квадрату линейных размеров.
При больших значениях числа Рейпольдса его влияние слабо,
и поэтому подобие приближенно осуществляется при отсутствии
постоянства числа Рейнольдса.
На практике, однако, необходимо следить за значением числа
Рейнольдса. Если его значение отлично от того, которое имеется
в натуре, то нужно на основании имеющихся экспериментальных
данных проверять, можно ли пренебречь влиянием числа Рей-
Рейнольдса.
Влияние вязкости на безразмерные характеристики компрес-
компрессора может сказаться только через значение числа Рейнольдса
(при постоянном числе Р). В частности, потери в значительной
См. стр. 31.
364
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
степени обусловлены вязкостью. Однако в ряде случаев потери
можно определить, пользуясь теорией идеального газа, подобно
тому, как это производится при расчете скачков уплотнения или
при смешении газов в эжекторе. По этой причине изменение зна-
значения числа Рейиольдса может оказаться несущественным.
При заданном объемном расходе механизм влияния числа М^
или коэффициента Хх на характеристики компрессоров заключается
во влиянии сжимаемости газа на законы распределения характе-
характеристик газового потока на входе в передний направляющий аппа-
аппарат или — при его отсутствии — в колесо компрессора (сечение я,
рис. 117).
Для идеальной несжимаемой жидкости всегда, а для газа —
при гидравлическом рассмотрении с учетом потерь на входе, па-
параметры рабочего тела (газа) на входе в компрессор определяются
полностью величинами р*, Т* и V*, независимо от значения ско-
скорости Усе, поэтому для несжимаемой жидкости или при гидравли-
гидравлической трактовке для движения газа параметр vx, а следовательно,
и параметр М,*, несущественны.
Этим объясняется широкое распространение метода моделиро-
моделирования компрессоров, при применении которого скорость полета
моделируется только путем соответственного изменения давления
торможения р* и температуры торможения Т*. Для малых ско-
скоростей полета эта методика является вполне правильной и, кроме
того, она очень удобна.
Однако такой метод моделирования становится неправильным
для длинных входов или входов с несимметричной формой, или
входов, загроможденных различного рода препятствиями, или
коротких входов с резкими изменениями проходных сечений,
а также во всех случаях при больших скоростях полета, когда
на входе в компрессор имеется неравномерное распределение ско-
скоростей. Это замечание особенно важно для сверхзвуковых и около-
околозвуковых скоростей, когда вблизи входа в компрессор возникает
система скачков уплотнения, вызывающая потери и большие не-
неравномерности в потоке, входящем в компрессор. Эти потери и не-
неравномерности обычно трудно оцепить заранее и трудно осущест-
осуществить искусственно при моделировании без задува. Поэтому для
больших скоростей полета необходимо проводить испытания комп-
компрессоров с задувом, создавая с помощью специального сопла газо-
газовый поток при входе в компрессор с заданным значением числа
/Л,». Набегающий поток должен правильно имитировать обтека-
обтекание входных устройств, что имеет значение при образовании внут-
внутреннего потока.
Условия геометрического подобия вызывают также необходи-
необходимость моделировать угол атаки полета, что может быть осуществ-
осуществлено соответствующей ориентацией сопла относительно входа в
компрессор.
§ 2]
УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ
365
Параметры q и п являются главными; на практике эти пара-
параметры или параметры их заменяющие,
V
¦/? - -у
/7Т
или просто V* и п (и т. д.) берутся в качестве основных независи-
независимых переменных при построении диаграмм, определяющих харак-
характеристики компрессоров, Т$ — характерная температура.
С аэродинамической точки зрения безразмерные параметры q
и п более удобны и имеют преимущество перед указанными выше
другими аналогичными переменными по следующим соображе-
соображениям.
Величина q <^ 1 равна отношению действительного расхода
газа через компрессор к максимально возможному. Значение q
существенно, так как для ГТД очень важно обеспечить получе-
получение наибольших расходов воздуха при наименьших габаритах.
Поэтому достигаемые максимальные значения q можно рассмат-
рассматривать как существенные сравнительные характеристики для раз-
различных компрессоров.
Кроме того, значение параметра q может характеризовать
влияние сжимаемости в осевом потоке при входе в компрессор.
Параметр п — приведенные обороты или коэффициент окруж-
окружной скорости колеса — характеризует приближение окружной
скорости к скорости звука.
Употребление параметров q я п дает возможность непосредст-
непосредственно переносить результаты земных испытаний на высотные
и скоростные условия полета, а также использовать без всяких
пересчетов результаты испытания компрессоров с различными га-
газами в качестве рабочего тела (при удовлетворении условий подо-
подобия). При использовании параметров
или просто V* и п в первом случае учитывается только изменение
температуры торможения; использование таких параметров мо-
может быть оправдано непосредственной наглядностью и простотой
некоторых конкретных расчетов х).
Несомненно, что в диаграммах при сравнении характеристик
компрессоров различных размеров и испытанных в различных ус-
условиях выгоднее пользоваться безразмерными параметрами q и п.
На практике очень часто выгодно бывает использовать такие
системы независимых параметров, в которых влияние отдельных
!) Непосредственная наглядность — это дело привычки и установив-
установившихся обычаев.
366
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
параметров на режимах работы, представляющих интерес, стано-
становится очень слабым. Благодаря этому число независимых суще-
существенных параметров в ряде случаев сокращается, что позволяет
делать важные практические — качественные и количественные —•
выводы и дает возможность сократить число опытов.
Для компрессоров в системе параметров М,*,, R, q и п такими,
в ряде случаев слабо влияющими параметрами являются Моо и
R; на основании этого можно сделать вывод о правильности и вы-
выгодности выбора параметров Мто и R. Для малых скоростей поле-
полета такие параметры определенно очень выгодны, так как они мало-
малосущественны.
Для малых относительных расходов, т. е. малых q, с указанной
выше точки зрения выгодно вместо параметров q и п выбирать
параметры cju и п, так как в этой системе влияние параметра п
становится второстепенным. Основные безразмерные характерис-
Н
тики, такие как -щ- и т^ад, зависят в основном только от cju и
слабо зависят от п. Однако это обстоятельство не может служить
достаточным основанием для перехода от переменных q и. п к cju
и п, так как для наиболее важных режимов больших скоростей в
каждой системе оба параметра существенны, а в приложениях па-
параметры q и п нужны непосредственно для расчетов.
Связь между параметрами cju, n и q, n при предположениях,
указанных выше в обосновании формулы B.5), может быть пред-
представлена в виде
V—1
ч _ с2 12}
п \ • )
При использовании системы безразмерных параметров B.7) —
B.11) характеристики компрессора независимы от различных
условий испытания. В этом случае нет нужды отмечать отдельно
характеристики высотные и земные, расходы высотные и земные
и т. п.
Используя параметры B.7) — B.11), можно наилучшим обра-
образом рассмотреть задачу о наивыгоднейших условиях эксперимен-
экспериментов для получения характеристик, необходимых в процессе раз-
разработки и создания новых типов компрессоров. Для этого в пер-
первую очередь нужно установить размеры моделей, исходя из
удобства проведения эксперимента — малые модели затрудняют
снятие долей в потоках газа и характеризуются малыми значениями
числа Рейнольдса, а большие модели требуют специальных боль-
больших мощных испытательных стендов, что также может затруднять
проведение опытов.
Потребную мощность можно снижать искусственно путем сни-
снижения давления торможения р* и окружной скорости и. Давление
§ 2J
УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ
367
торможения рлинет на значение числа Гейиольдса. Окружная
скорость может быть снижена при использовании газа с повышен-
повышенным молекулярным весом или путем снижения температуры тор-
торможения (рис. 1.18) 1).
Величина окружной скорости резко ограничивается условиями
прочности, связанными с действием центробежных сил на лопатки
вращающихся колес компрес-
компрессора.
С подъемом на высоту тем-
температура падает, благодаря
этому при заданной окружной
скорости приведенные обороты
повышаются. Возможный диа-
диапазон изменения приведенных
оборотов в зависимости от вы-
высоты и скорости легко устано-
установить при помощи формул и
графиков, представленных на
рис. 119 (а и б). Для фиксиро-
и
Щ-вягвв
у
, ¦
j
воя смесь ff*?ES4
У
у
У
У^
—
.—¦
У=14у
у\
'
\
-Л
\
1
i
JOD SOU 3DD 400
Рис. 118. Влияние молекулярного
веса газа на величину приведенного
числа оборотов.
ванной окружной скорости ве-
величина п0 постоянна и ее мож-
можно рассматривать как значение
п при у» = 0 и нормальной температуре 15° С; значение п0 можно
сильно увеличить при использовании газов с большим моле-
молекулярным весом.
Обозначим через q0 величину q, отвечающую земным испытани-
испытаниям на месте (ув = 0) при нормальных температуре и давлении.
При подобных режимах работы
= Яо =
*кр
кр. зем
отсюда (для подобных режимов)
так как
^зем ^кр. зем Ркр^кр. :
_ 1
Рзем - -g-
Т*
Рзем Г 288 '
х) На рис. 118 численные значения газовой постоянной даны для кило-
килограмма газа.
368
то
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Та. V
/Т7D+^
?/?
V+1
На рис. 120 и 121 зависимость 6 изображена графически в
функции от высоты fen от числа М^Моо.
У.
у
/
У/
'/
/
/
1
/ /
//
У
//
/
V
/
///
/
V
аз
U7
Off
h, км
as,
"о
——
——-
—. -
_—
_—-
—-
-
.——-
1Щ>
—"
тт>,аю
етфта
пика
таи
Тв°Н
м=/
О
15 h,nM
Рис. 119. Изменение приведенных оборотов для постоянных оборотов ГТД
в функции высоты и скорости полета. На рис а), б) масштабы высоты.
одинаковы, Тто=288°К.
Пусть R и Ro — значения числа Рейнольдса для двух режи-
режимов работы одного и того же компрессора.
В этом случае очевидно, что
Если параметры Ro, Go и |я0 соответствуют земным испытаниям
в нормальных условиях, a R, G и |я — высотно-скоростным при
равном q, то
. 288
где п — показатель в степенной зависимости вязкости воздуха
от температуры.
2]
УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ
369
Очевидно, что при помощи графиков, приведенных на рис. 120
и 121, легко выяснить зависимость числа Рейнольдса от услови
полета для режимов работы компрессора, в которых величина
q сохраняет постоянное значение.
ю
is /7,км га
Рис. 120. Изменение весового
расхода воздуха через двига-
двигатель для подобных режимов ра-
работы ГТД в функции высоты
и скорости полета при М > 1.
15 h,HM ZD
Рис. 121. Изменение весового
расхода воздуха через двига-
двигатель для подобных режимов
работы ГТД в функции высоты
и скорости полета при М <[ 1.
По условиям эксплуатации ГТД и условиям прочности можно
определить диапазон изменения параметров B.7) — B.11) на
натуре. Модельные и земные испытания должны быть поставле-
поставлены таким образом, чтобы влияние параметров B.7) — B.11)
в требуемой области было бы найдено экспериментально на уст-
устройствах, геометрически подобных во всех существенных эле-
элементах.
Потребную мощность и окружную скорость при модельных
испытаниях можно сильно снижать при переходе к газам с боль-
большим молекулярным весом. В частности, использование фреона,
имеющего молекулярный вес в шесть раз больше, чем у воздуха,
может дать в этом отношении весьма существенные результаты.
370
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
Современные данные позволяют утверждать, что в практиче-
практических расчетах нужно учитывать изменение значений параметра
Г = cplcv.
В смеси фреона с другими газами можно получить большие
молекулярные веса с сохранением значения у = 1,4, как у воз-
воздуха. Проблема применения тяжелых газов в экспериментальной
аэродинамике требует дополнительного освещения.
§ 3. О полетном коэффициенте полезного действия
идеального винта и идеального
воздушно-реактивного двигателя1).
Полетный коэффициент полезного действия двигателя опре-
определяется формулой2)
Pv работа полезная
W
C.1)
работа затраченная '
где Р — тяга двигателя, v — скорость полета, W — мощность
энергии, подведенной к потоку.
Идеальный к.п.д. вводится с целью получения критерия,
который позволил бы дать оценку возможных пределов наивы-
наивыгоднейшего использования подводимой энергии и степени прибли-
приближения к этому пределу в практически осуществляемой конструк-
конструкции машины.
Как известно из термодинамики, идеальный к.п.д. меньше еди-
единицы. Идеальный к.п.д. достигается при идеальном обратимом
процессе. Действительный к.п.д. вследствие неизбежной необра-
необратимости явления всегда будет меньше, чем идеальный. Однако
в ряде случаев в правильно сконструированных машинах можно
приблизиться к идеальным условиям весьма близко. Отличие
действительного к.п.д. от идеального является важнейшей харак-
характеристикой технического совершенства машины.
Наивыгоднейшие условия использования идеального двигателя
могут послужить указанием при проектировании двигателя для
выбора основных параметров и правильных способов организа-
организации процесса работы двигателей. Значения идеального к.п.д.
могут быть использованы также для оценки различного рода пер-
перспективных возможностей.
Воздушно-реактивный двигатель определим как газовую маши-
машину, создающую тягу в результате взаимодействия элементов
!) Здесь изложен материал лекций по специальному курсу «Одномерные
движения газа», прочитанному автором в Московском университете в 1951/52
учебном году.
2) Рассматривается полный коэффициент полезного действия, который
для тепловых двигателей равен произведению термического к.п.д. на к.п.д.,
выражающий отношение полезной работы к механической работе, получен-
полученной от двигателя.
§ з]
О ПОЛЕТНОМ К. П. Д. ИДЕАЛЬНОГО ВИНТА
371
двигателя и движущегося воздуха, которому сообщается энергия1)
(тепловая — За счет сгорания топлива, механическая — за счет
работы винта или компрессора и т. п.).
Таким образом, можно рассматривать одновременно теорию
идеального винта, идеальных ТРД, ТВД, ПВРД и других моди-
модификаций ВРД.
На рис. 122 приведена схема установившегося относительного
движения воздуха в случае идеального двигателя. Пунктиром
изображены линии тока частиц воздуха, принимающих участие
Рис. 122. Схема относительного потока воздуха для идеального воздушно-
реактивного двигателя (ВРД).
в энергетическом взаимодействии с элементами двигателя, сплош-
сплошными линиями — линии тока частиц, не участвующих в энерге-
энергетическом взаимодействии. Совокупность первых линий тока назо-
назовем внутренним потоком, а совокупность вторых — внешним
потоком. Заштрихованы элементы конструкции двигателя (внут-
(внутренние тела, диффузоры, сопла, крыло, фюзеляж и т. п.).
Из аэродинамики известно, что для больших скоростей полета
силы воздействия воздуха на летательный аппарат от внешнего
и внутреннего потоков тесно связаны между собой и физически
неразделимы. Кроме того, из общего курса гидромеханики изве-
известно, что в идеальных условиях при обратимом установившемся
непрерывном обтекании тел газом с отсутствием подвода энергии
к газу извне тяга и сопротивление равны нулю 2). Поэтому при
наличии энергетического взаимодействия под тягой идеального
двигателя необходимо понимать общую силу воздействия потока
газа на внешние и внутренние поверхности всех элементов дви-
двигателя.
*) Дальше для простоты будем пренебрегать дополнительной массой
топлива, вводимой в поток воздуха.
2) Это — известный парадокс Даламбера—Эйлера (см. вывод'на^стр. 373).
372
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
В идеальном случае движение газа во всех элементах мы дол-
должны предполагать обратимым и, в частности, с отсутствием скачков
уплотнения. При дозвуковых скоростях набегающего потока
идеального газа не вызывает сомнения существование специаль-
специальных форм тела двигателя, для которых возможно построение
непрерывного внешнего обтекания тела и струи.
При сверхзвуковых скоростях полета участки поверхности
струи и тела, обтекаемые внешним потоком, можно в идеальном
случае считать цилиндрическими с образующими, параллельными
скорости набегающего потока. В этом случае внешний поток будет
поступательным и очевидно, что внешнее сопротивление будет
равно нулю.
Легко указать формы тел не цилиндрических, с конечными раз-
размерами, для которых внешнее сопротивление будет меньше любой
наперед заданной малой величины.
Схемы обтекания идеального винта или другого какого-либо
двигателя со скачками уплотнения для получения идеальных
к.п.д. являются с точки зрения общей механики и термодинамики
неправильными схемами.
Постановки задач с течениями такого рода могут иметь неко-
некоторый теоретический и практический смысл, однако коэффициенты
полезного действия, вычисляемые для обтекания со скачками
уплотнения, нельзя рассматривать как ориентиры предельных
выгодных возможностей. Практическое значение таких к.п.д.
нуждается в специальном обосновании. Значения к.п.д. в пра-
правильно сконструированных машинах на практике могут быть
большими, чем вычисленные для схемы обтекания со скачками.
Для применения общих уравнений механики и первого начала
термодинамики выделим контрольной поверхностью AA-JiB-fiEE^
(рис. 122) «струю» воздуха, проходящую через двигатель и состав-
составляющую внутренний поток. Буква С символизирует все внутрен-
внутренние поверхности, буква D — все внешние поверхности двигателя.
Нетрудно показать, что сила, определяемая как
Р = S (Р - Р~) do, C.2)
действующая со стороны внешнего потока газа на поверхность
струи AAXBBJ)EE^ равна нулю (da — проекция элемента по-
поверхности на плоскость, нормальную к набегающему потоку,
а роо — давление в бесконечности).
В самом деле, рассмотрим сначала обтекание поверхности
AA1BB1DEE1 в цилиндрической трубе, параллельной скорости
набегающего потока. Применяя к этому потоку теорему о коли-
количестве движения и закон сохранения массы, мы можем написать
Р=(Рг- Л)B - «,) + № B - SJfvi - v,), C.3)
B - St) = p2v2 B - St), C.4)
§ з]
О ПОЛЕТНОМ К. П. Д. ИДЕАЛЬНОГО ВИНТА
373
где 2 — площадь сечения трубы и индексы 1—2 относятся соот-
соответственно к сечениям потока в бесконечности впереди тела и
за ним.
Из C.4) имеем
2-St == Jig^
пользуясь этим, из C.3) находим
= plVl (St -
1 V
dv,
так как
pvdv = —dp.
Если площади Su S% конечны, а площадь 2 стремится к бес-
бесконечности, то рг —>¦ рх = рх и i>2 —>• vt; поэтому F —>• 0.
Заметим, что этот вывод верен также и в тех случаях, когда
внутренний поток необратим, а обратим только внешний поток.
Обозначим через Q массовый расход газа во внутреннем потоке:
Q = Pi^x = p2v,S2. C.5)
Общая сила Р, действующая на внешнюю и внутреннюю поверх-
поверхности двигателей, и затрачиваемая мощность W выражаются
через параметры потока в бесконечности в струе перед двигателем
и за ним по формулам х)
Р ^ Q (v2 — Vl), C.6)
W=Q (Ц - if), C.7)
где i* — теплосодержание по параметрам заторможенного по-
потока.
Формулы C.5), C.6) и C.7) верны для случая обратимого адиа-
адиабатического внешнего потока и любого необратимого внутрен-
внутреннего потока.
Величины vlf p*, T*, рь ц задаются условиями полета. Коэф-
Коэффициент расхода
где S — площадь входа в двигатель, а ^ — площадь струи
') Здесь мы принимаем, что характеристики потока на бесконечности в
струе перед двигателем и за ним распределены равномерно.
374
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
воздуха перед двигателем в бесконечности, и параметры состоя-
состояния и движения газа за двигателем определяются устройством и
режимом работы двигателя; кроме этого, необходимо учесть,
что статические давления в бесконечности впереди двигателя и
за ним одинаковы
Из уравнения C.5) в самом общем случае для отношения пло-
площадей струи внутреннего потока можно написать
ч
р*
где q (M) — известная функция для относительной плотности
потока.
Из уравнения состояния имеем
р*1
где х = еСр c'v, Sj и s2 — энтропии, рассчитанные (так же как ср
и с„) на единицу массы в сечениях 5Х и S2.
Обычно величина и <[ 1, так как энтропия растет вследствие
потерь х) или подогрева.
Из равенства статических давлений следует
я у =
отсюда
М2 =
V—1
Пользуясь этими соотношениями, находим
S1 7+1 7-1 '
q (M2) Л гу X 2V
C.9)
C.10)
На рис. 123 отношение S2/S1 представлено в функции от Мх и
*) Для винта, компрессора или турбины величина у. равняется отноше-
отношению давлений торможения —* в установившемся потоке относительно
> I о гн
вращающихся частей.
§ 3]
О ПОЛЕТНОМ К. П. Д. ИДЕАЛЬНОГО ВИНТА
375
1
3,
л при и = 1. Очевидно, что потери и подогрев приводят к увели-
увеличению отношения ЛУ»?!, однако это увеличение незначительно,
/ V —•
так как показатель у % мал (¦
Дальнейшее установление соответствующих связей должно
опираться на механизм подвода энергии к внутреннему потоку.
Теория идеального прямо-
прямоточного двигателя как на до-
дозвуковых, так и на сверхзву-
сверхзвуковых скоростях полета рас-
рассмотрена ранее 1).
В качестве примера рассмот-
рассмотрим теорию идеального венти-
вентилятора или винта, или вообще Г,О
любого устройства, в котором
подвод энергии к газу осущест-
осуществляется при помощи передачи
механической энергии обрати-
обратимым адиабатическим путем.
В этом случае из условий
постоянства энтропии и равен-
равенства статических давлений сле-
следует равенство плотности и тем-
температуры в сечениях Sx и S2.
Поэтому
W = Q
О
и получается известная формула Рис- 123- Зависимость отношения
площади струи вдали за двигателем
Т) =
1 +
21.
/о л л\ S2 к площади струи вдали перед дви-
\о> 1 *¦) гателем 5t от степени повышения дав-
давления и числа Mi полета.
распространенная на любые сверхзвуковые скорости.
Для воздуха отношение скоростей v2lvx легко выразить через
степень повышения давления я = р*/р* и число Мх полета.
Имеем рг = р2, рх = р2, и следовательно, сх = с2, где с — ско-
скорость звука; поэтому из формулы C.9) получим
V+l 7-1
q (M2) Л ^ x *V
l) Абрамович Г.Н., Прикладная газовая динамика. М., Гостех-
издат, 1953.
376
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГАЗОВЫХ МАШИН
[Гл. V
и следовательно,
Г] =¦
C.12)
1 +
Эта зависимость изображена на графике рис. 124.
V \
а,в ¦
Рис. 124. Полетный к.и.д. в функции степени повышения давления и числа
Мх полета.
Для выяснения значения величины S площади входа в двига-
двигатель большой интерес представляет зависимость полетного к.п.д.
1} от коэффициента нагрузки
2Р 2Р .. о. /„ Л
5 =
Отсюда находим
т] =
C.14)
Из формулы C.14) очевидно, что к.п.д. ц возрастает с увели-
увеличением коэффициента расхода <р. Иначе говоря, при заданных
габаритах входа наивыгоднейший случай соответствует наиболь-
наибольшему количеству воздуха, который можно пропустить через
двигатель.
Отсюда вытекают правила для определения наивыгоднейшего
значения коэффициента <р. По свойству сверхзвуковых потоков
при М ;> 1 надо положить <р = 1.
Для дозвуковых скоростей максимум <р получается в том
случае, если скорость газа при входе в двигатель (в сечении S)
равна скорости звука. В современных авиационных компрессо-
компрессорах ясно выражено стремление приблизиться к выполнению дан-
данного условия.
3]
О ПОЛЕТНОМ К. II. Д. ИДЕАЛЬНОГО ВИНТА
377
В этом случае получаем
ф = А р
S
Таким образом, находим
Т) =
в
для сверхзвуковых скоростей и
¦п =
1 +
Bq
C.15)
C.16)
C.17)
для дозвуковых скоростей.
Формула C.17) при малых значениях Мг не совпадает с обыч-
обычной общеизвестной формулой идеального к.п.д. винта, получен-
полученной в теории несущего диска. Это объясняется тем, что предла-
V
iff
Ц9
as
0,7
т
ИИ
тлел
ьныйНЛД етта при
зетовыхстрастях
7ОМ,27
-
—¦ —
——>
1—.
¦—.
-- —
1
1,5
Рис. 125. Полетный к.п.д. идеального механического движителя (винта) для
дозвуковых и сверхзвуковых скоростей полета в функции коэффициента
нагрузки.
гаемая постановка задачи имеет более широкий смысл и охваты-
охватывает случай работы винта в насадках (дюзы, насадки Корта, винт
в туннеле и т. п.), когда значительная часть тяги может образо-
образоваться на такого рода насадках. Зависимости C.16) и C.17) пред-
представлены графически на рис. 125.
На основании изложенной выше теории идеального винта
можно также сделать вывод о том, что при конструировании
двигателей с наименьшим весом входные устройства и проточная
часть двигателя должны обеспечивать при входе в компрессор
скорость потока, близкую к скорости звука.
ГЛАВА VI
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
§ 1. Некоторые данные наблюдений
В современной астрофизике анализ и понимание внутренних
движений в звездах, эволюции звезд и эволюции различных ту-
туманностей невозможны в рамках динамики систем дискретных
материальных точек или в рамках гидростатики жидких масс —
теорий, которые до последнего времени служили основным источ-
источником различного рода моделей и представлений в классической
астрономии. В настоящее время изучение движений небесных
объектов как газообразных тел должно дать ключ для решения
главных проблем космогонии, и только таким путем можно найти
объяснение и толкование ряда наблюдаемых эффектов. Сейчас
стало очевидным, что в основу концепций для исследований небес-
небесных явлений необходимо положить постановки и решения ряда дина-
динамических задач о движениях газа, которые можно рассматривать
как теоретические модели, охватывающие существенные особен-
особенности движения и эволюции звезд и туманностей. Для построения
и исследования таких моделей необходимо использовать методы,
аппарат и представления современной теоретической газовой ди-
динамики — аэродинамики — и применительно к проблемам аст-
астрофизики поставить и разрешить соответствующие механические
задачи.
В связи с этой ясно осознанной потребностью в 1949 г. было
созвано международное совещание в Париже, на котором про-
произошла встреча астрофизиков с виднейшими представителями
аэродинамики, занимавшимися до этого главным образом задачами
авиации и теориями распространения взрывных волн.
В результате этого совещания опубликован сборник докладов
с дискуссиями х), в которых отмечалось, что в исследованиях важ-
важнейших небесных явлений необходимо ставить задачи о движении
в гравитационном поле газовых масс с большими относительными
J) Этот сборник переведен на русский язык («Проблемы космической аэро-
аэродинамики». М., ИЛ, 1953).
П
НЕКОТОРЫЕ ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ
379
скоростями и с наличием ударных воли, о турбулентных движе-
движениях газа с учетом электромагнитных полей и т. п.
Предварительный анализ показал, что для объяснения небес-
небесных явлений недостаточно использовать уже известные изученные
явления движения газа — необходимо строить новые модели,
ставить и решать новые задачи газовой динамики.
На основе методов теории размерности, развитых в главе IV
в приложениях к теории одномерных движений газа со сфери-
сферической симметрией, мы изучили некоторые движения газа,
которые, по-видимому, могут отражать существенные черты, об-
обнаруженные в астрономических наблюдениях.
Ниже мы рассмотрим некоторые приложения к теории блеска
и внутреннего строения звезд, к теории изменения блеска цефеид
и к теории вспышек новых и сверхновых звезд. Изложим теперь
некоторые основные данные об этих явлениях, известные из аст-
астрофизики.
Основными характеристиками звезд являются их блеск и яр-
яркость, которые связаны непосредственно с ощущением глаза при
наблюдениях. Блеск можно измерять с помощью специальных
приборов, называемых фотометрами. С давних времен интенсив-
интенсивность блеска звезд положена в основу понятия «звездной вели-
величины».
Вначале классификация звезд производилась просто на глаз
так, что звезды первой величины казались ярче звезд второй
величины во столько раз, во сколько те кажутся ярче звезд тре-
третьей величины и т. д. Таким образом, все звезды можно было
расположить в ряд в соответствии с их видимым блеском. Уже
в древности при наблюдениях простым глазом звезды были под-
подразделены на шесть классов. Самые яркие звезды были отнесены
к первому классу и названы звездами первой величины, затем
следовали звезды второй величины и т. д. Очевидно, что многие
звезды попали в промежутки между классами и в соответствии
с этим им приписывались видимые величины, выражающиеся
нецелыми числами. Из указанного определения очевидно, что
с увеличением звездной величины видимый блеск уменьшается.
В настоящее время при фотографировании с длительной выдерж-
выдержкой изображений звезд, полученных при помощи мощных совре-
современных телескопов, можно изучать слабые звезды, которые могут
быть отнесены к звездным величинам 22-й или даже 23-й видимой
величины.
Описанное выше расположение звезд зависит от способов
определения яркости. При определении видимой величины на глаз
или с помощью предварительного фотографирования можно прийти
к различным выводам, так как человеческий глаз более чувстви-
чувствителен к красным и желтым лучам света, тогда как фотографиче-
фотографическая пластинка обладает повышенной чувствительностью к синим
380
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
и фиолетовым лучам. Поэтому различают визуальную видимую
величину звезд, фотографическую, фотоэлектрическую видимую
величину и т. п.
Звездные величины, определяемые с помощью аппаратов,
одинаково чувствительных ко всем длинам волн, с внесением
поправок на поглощение в земной атмосфере и в оптике инстру-
инструментов, называются болометрическими. Болометрические вели-
величины характеризуют полное излучение звезды, доходящее до
верхних слоев атмосферы Земли. В дальнейшем мы будем поль-
пользоваться понятием болометрической звездной величины.
Очевидно, что звездная величина т определяется количеством
лучистой анергии Ет, попадающей в единицу времени от рассмат-
рассматриваемой звезды па Землю. Эта энергия пропорциональна общей
энергии, излучаемой звездой в единицу времени, т. е. светимости
звезды ?*, и обратно пропорциональна квадрату расстояния I
от Земли до звезды.
На основании свойств человеческого глаза, определяемых
законом Вебера-Фехнера, оказалось, что при изменении звездных
величин т, определяемых интенсивностью ощущений, по числам
арифметической прогрессии соответствующие интенсивности раз-
раздражителя Ет изменяются по числам геометрической прогрессии.
Согласно этому была установлена связь
т = — 2,5-1яЕт -Н const, A.1)
которую можно представить в виде
-B,512)"
A.2)
Видимая величина Солнца т2 = —26,7. Видимая величина
звезды Сириус — наиболее яркой видимой звезды, тг = —1,6;
отсюда следует, что тг — т2 = 25,1, а Ясолнца/Ясириуса ~ Ю10;
иначе говоря, видимый блеск Солнца в десять миллиардов раз
больше видимого блеска Сириуса.
Видимая величина звезд зависит существенно от расстояния
звезды от Земли, поэтому для получения сравнительной харак-
характеристики звезд вводится понятие абсолютной визуальной вели-
величины М, которая равняется определенной выше видимой величине
звезды, если рассматриваемую звезду поместить на расстоянии
10 парсеков от Земли1).
На основании формул
т=
= —2
const и М = — 2,51g |rj-+ const
*) Один парсек равняется 3,26 светового года = 3,08 X 1013 км и соот-
соответствует расстоянию от Земли такой звезды, для которой параллакс равня-
равняется 1".
§ П
НЕКОТОРЫЕ ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ
381
получим
М = т + 5 — 5 ]g I;
A-3)
в формуле A.3) расстояние звезды от Земли I выражено в пар-
парсеках.
Абсолютная величина Солнца равна 4,8; это значит, что на рас-
расстоянии 10 парсеков Солнце представлялось бы нам слабенькой
звездочкой пятой величины, едва доступной наблюдению нево-
невооруженным глазом. Абсолютная величина Сириуса 1,3. Отсюда
следует, что
о* 4,8—1,3
* _ ^q 5T5 ^ 25
Следовательно, светимость Сириуса в 25 раз больше, чем свети-
светимость Солнца. Величину видимого блеска звезды т можно изме-
измерить непосредственно; если из каких-либо дополнительных данных
мы сумеем найти абсолютную величину М, то с помощью формулы
A.3) легко вычислить расстояние I до звезды.
Наряду со светимостью звезды ?* важнейшими характеристи-
характеристиками являются масса звезды Ш и ее радиус SK. С помощью раз-
различного рода наблюдений и соответствующего анализа астрономы
в настоящее время располагают для значительного числа звезд
данными о величинах 2*, Ш и SK. Рассмотрение этих данных пока-
показывает, что для различных групп звезд существуют зависимости
вида х)
?* = h (Щ и Ж = U (Щ- (I-4)
На рис. 126 и 127 даны диаграммы, взятые из работ П. П. Паре-
наго и А. Г. Масевич, из которых обнаруживаются такого рода
зависимости. В § 3 мы приведем некоторые теоретические сообра-
соображения о соотношениях A.4).
Рассмотрим теперь некоторые данные о так называемых пере-
переменных звездах. В 1784 г. астроном Гудрайк впервые опублико-
опубликовал сообщение2) о наблюдениях, в которых он открыл, что звезда,
обозначенная буквой б, находящаяся около головы Цефея, перио-
периодически изменяет свой блеск. В настоящее время подобных пере-
переменных звезд, названных цефеидами, известно очень много; они
найдены в различных областях нашей Галактики и в других га-
галактиках.
1) См. ПаренагоП. П. и М а с е в и ч А. Г., Исследование зави-
зависимости масса — радиус — светимость, Труды Государственного астрономи-
астрономического ин-та им. Штернберга, т. 20, Изд. МГУ, 1951.
2) Goodrike J.,A Series of Observations on,and a Discovery of the
Period of Variation of the Star 6 Cephei. Phil. Trans. Roy. Soc, London,
v. 76, 1786, p. 48-61.
382
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
Эмпирические закономерности, установленные между периода-
периодами и абсолютными визуальными величинами цефеид, позволили аст-
астрономам с помощью формулы A.3) найти расстояния до других
галактик L), получить очень ценный материал для исследования
проблемы эволюции звезд и для решения многих других вопросов.
• /лабная последовательность ff-ff4
* .. „ G7-H
¦ Выше главной паследрвательности
* Нише и „
о Сверхгиганты
• /изап/пы
° Субгиганты
* Субкарлики
о Белые карлики
-10 -5
-2/1$ Z
Рис. 126. Диаграмма масса — светимость.
На рис. 128 показаны результаты фотометрических измерений
блеска т звезды б Цефея по времени. Соответствующие кривые
для других цефеид в общем сохраняют тот же характер. Современ-
Современными наблюдениями обнаружено, что период б Цефея равен
5 суткам, 8 часам, 53 минутам и 27,46 секундам, причем эта вели-
величина имеет почти постоянное значение. В исследованиях астро-
астрономов показано, что хотя колебания периода реальны, но они
малы; например, для б Цефея за время в 20 лет уменьшение пе-
периода имеет порядок 1 сек. Периоды у характерных цефеид на-
находятся в диапазоне от полусуток до 80 суток.
х) В настоящее время — это основной способ определения таких
больших расстояний, имеющих порядок сотен миллионов световых лет.
НЕКОТОРЫЕ ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ
383
Спектроскопические измерения на основании эффекта Доп-
плера показывают, что изменение блеска цефеид сопровождается
изменением с тем же периодом лучевых скоростей излучающих
-1,0
ЦП
-05
0,5
/.5
2,0
1.5
~ к Нише ,,
о Сверхгиганты
• Гиганты
о Субгиганты
-* Субкарлини
10 -
0,5
-0,5
л —i
• ГлпВипя последовательность в~ЕЦ
а „ „ S7-M
¦ Выше главной последовательности
2,5
0,5
-05
-OS
0,5
1.0
1,5
ц т
Рис. 127. Диаграмма масса — радиус.
т
-1,0
0,0
• 1 1 1 1 1 — i 1 I
—1—1—1—1 1 'II''
1—1—1—1—1—
1_ 1 1 L
Рис. 128. Фотовизуальная кривая блеска звезды 8 Цефея.
частиц газа, что свидетельствует о наличии радиального движения
газа в фотосфере цефеид. Амплитуда колебаний лучевой скорости
имеет порядок нескольких десятков километров в секунду, для
384
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
б Цефея эта амплитуда равняется 39 км/сек. Кривые блеска и
кривые лучевых скоростей очень похожи друг на друга.
Таким образом, данные наблюдений, без сомнения, указывают
на наличие значительных движений газа в фотосфере цефеид.
Кроме того, наблюдениями установлено, что колебания блеска
сопровождаются изменением их спектров и эффективных темпе-
температур. Изменение температуры и радиуса фотосферы обусловли-
обусловливает изменение блеска. Отношение светимостей (полная световая
энергия, излучаемая звездой) цефеиды во время колебания изме-
изменяется в несколько раз, для 8 Цефея это изменение равно 2.
В таблице даны некоторые величины /для типичных цефеид.
Т а б л и ц а
Данные для характерных цефеид *)
Звезда
1 Саг
YOph
х cyg
С Gem
S Sge
W Sgr
T] Aql
X Sgr
Y Sgr
б Сер
T Vul
a UMi
SUCyg
RT Aur
SZ Таи
SU Cas
RR Lyr
Д о
В а
СС Л
Р.Ч
Н И
к »
о a
F8-K0
F8-G7
F8—КО
cG lv
F8—G7
F2—G5
F2—G9
F5—G9
F5-G8
F4-G6
F3—G5
cFv
FO—Gl
F1-G5
F4-G2
F2—F9
B9—F2
И
si
35,52
17,12
16,39
10,15
8,38
7,59
7,18
7,01
5,77
5,37
4,44
3,97
3,85
3,73
3,15
1,95
0,567
Is
и S
!s °
**< И
—5,52
—4,00
—3,92
-3,16
—2,87
—2,72
—2,62
—2,60
—2,30
-2,19
—1,95
—1,81
—1,78
-1,74
—1,58
—1 15
—0,35
О)
я 3
tt« 3
SSs
5 S ir
2 н я
5 Л
1,2
0,61
0,69
0.42
0,50
0,85
0,51
0,67
0,74
0,61
0,71
0,08
0,74
0,80
0,33
0,85
*) Все числовые данные и эта таблица взяты из
Теория*1ульсаций переменных звезд. М.,
о
sf
to
8,59
1,79
6,12
1,82
1,47
1,93
1,77
1,33
1,35
1,27
0,97
0,17
0,71
0,86
0,46
0,30
0,17
КНИГИ
ИЛ, 1952.
к
3
fif
145
59
41
43
33
24
25
28
27
23
17
20
12
14
14
9,2
4,3
Рос
©
50
23
19
15
13
11
11
11
10
9
8
8
7
7
7
5
4
p
3 йа
<! к к
1,7
1,4
>
1 7
1 0
2 0
2 5
г'о
2 0
14
2^5
1,7
1 7
25
3 3
1 0
1 0
л. ^\j
2,0
се ланд С.
В этой таблице Ж — масса звезды, ЭК© — масса Солнца, Ж —
радиус звезды (радиус Солнца Ж© = 6,96-Ю5 км), 8?К — половина
разности между наибольшим и наименьшим значениями радиуса
звезды, М — средняя абсолютная визуальная величина. В гра-
графе «Асимметрия кривой блеска» дано отношение продолжи-
продолжительности падения блеска от максимума до минимума к продол-
продолжительности его возрастания.
НЕКОТОРЫЕ ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ
385
I Графа «спектральный класс» связана с температурной харак-
характеристикой звезды. Цефеиды, как и все переменные звезды, это—
звезды очень высокой светимости и, как правило, являются сверх-
сверхгигантами. По массе и по своим размерам цефеиды значительно
больше, чем наше Солнце.
рЗ Величины радиусов вычислены в этой таблице в предположе-
предположении, что фотосфера (расширяющаяся или сжимающаяся вместе
со звездой) состоит из одних и тех же частиц газа. При этом видно,
что изменения радиуса 831 имеют порядок миллионов километров.
Ишнь5
СентябрьЗ ВптябрьЗ
/77
_ j
0
1
г
3
5
i
-
"i
T 1 1 1 1 |"
V
i i i > i i
i i i i i I i i 11 i 11 i i i i i
НоВая Орла 1918
i i i i i i i i i i i i i i МП"
Рис. 129. Кривая изменения блеска Новой Орла.
Если граница расширяющейся фотосферы совпадает с фронтом
ударной волны, то изменение радиуса фотосферы будет большим,
так как скорость скачка больше, чем измеряемая скорость частиц
газа за скачком. Очевидно, что изменение светимости звезды
за счет изменения площади фотосферы для цефеид может быть
весьма значительным. Этот эффект усугубляется, когда перед
фронтом ударной волны — границей фотосферы — имеется слой
сравнительно холодного газа, который особенно много поглощает
излучаемой энергии в моменты минимального радиуса фотосферы.
Новыми звездами называются звезды, резко увеличивающие
свой блеск на 10—12 звездных величин, а в некоторых случаях
даже на 15 величин; это означает, что визуальный блеск таких
звезд возрастает в 10 000—-1 000 000 раз. Характерной особен-
особенностью вспышек новых звезд является их крайняя внезапность;
время возрастания блеска имеет порядок одних или двух суток,
а освобождение энергии, вызывающее вспышку, происходит, по-
видимому, всего только за несколько часов.
После достижения максимума блеска происходит медленное
спадание блеска до первоначальной величины.
На рис. 129 представлено изменение блеска звезды Новой
Орла, вспыхнувшей в 1918 г.
Изменение блеска сопровождается"резкими изменениями спект-
спектров. Характерным является смещение всех линий в фиолетовую
сторону, обусловленное возникновением больших радиальных
386
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
скоростей излучающего газа. Эти скорости имеют порядок от
нескольких сотен до 3 000—4 000 км/сек. Через некоторое время
после вспышки в спектре новой звезды появляются яркие запре-
запрещенные линии, что характерно для излучения весьма разрежен-
разреженного газа и для спектров газовых туманностей. Спектры новых
звезд до вспышки и после вспышки через много лет принадлежат
к классу О наиболее горячих звезд. Для Новой Орла с помощью
метода Занстра по линиям Не-П было найдено, что через 3 ме-
месяца после вспышки температура звезды равнялась 65 000° (тем-
(температура Солнца равна 6000°).
Диаметр новых звезд в момент своего максимума сравним с диа-
диаметром орбиты Земли. По различным расчетам астрономы оцени-
оценивают энергию, выделяемую при вспышках новых звезд, в Ю*5—
— 10м орг. Пта энергия равна энергии, излучаемой Солнцем в
10 000—100000 лет. В нашей Галактике вспыхивает около 30 но-
новых звезд в год.
Между новыми звездами и цефеидами существует промежу-
промежуточный тип переменных звезд — «повторные новые», которые вспы-
вспыхивают несколько раз, иногда через несколько лет. Примером
/5-
" 50 то 150 гво zso дни
Рис. 130. Кривые изменения яркости новых звезд типа U Близнецов.
такой переменной звезды может служить звезда Мира Кита (Уди-
(Удивительная), у которой время между вспышками 320—370 дней;
во время вспышки блеск изменяется в 1500 раз.
Можно указать еще на так называемые карликовые новые
звезды типа U Близнецов, повторяющие свои слабые вспышки —
звездно% «чихание» — через одну-две недели. На рис. 130 пред-
представлена кривая блеска для таких звезд.
Наконец, укажем еще на звезду R Северной Короны, для ко-
которой кривая изменения блеска представлена на рис. 131. Внезап-
Внезапные понижения блеска обусловлены поглощением света массами
углерода, выбрасываемого звездой.
Вспышки новых звезд представляют собой удивительные ко-
колоссальные космические взрывы, однако еще более гигантской,
трудно представимои чудовищной катастрофой являются вспышки
так называемых сверхновых звезд. При вспышках сверхновых
НЕКОТОРЫЕ ДАННЫЕ НАБЛЮДЕНИЙ
387
звезд светимость возрастает в миллиарды раз и сравнима с сум-
суммарной светимостью всех звезд Галактики.
Самая яркая наблюдавшаяся сверхновая звезда вспыхнула
в NGC 5253 (достигла абсолютной величины — 18,4). Эта звезда
!
I
Й -
О 500 1ООО /500 2000 Мш
Рис. 131. Кривая изменения яркости R Северной Короны.
в максимуме блеска светила ярче нашего Солнца в 15 миллиар-
миллиардов раз.
На рис. 132 дана типичная кривая изменения блеска сверхно-
сверхновой звезды. Кривые падения блеска сверхновых звезд монотонны;
Сентябрь^'Ноябрь! Декабрь/! Ыарь20 НартЯ
т
IZ
13
tt
/5
/В
/7
1В
Рис. 132. Кривая блеска сверхновой звезды в спиральной туманности
NGC 1003.
для новых звезд при падении блеска наблюдаются его колебания.
Вспышки сверхновых звезд — редкое явление. В нашей Галак-
Галактике за последние 1000 лет наблюдались, по-видимому, три сверх-
X
N
**—-
о
ь——ос
—о-
13*
388
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
2]
ОБ УРАВНЕНИЯХ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ
389
новые звезды: первая — это звезда, вспыхнувшая согласно китай-
китайским летописям в 1054 г. в созвездии Тельца. Сейчас в этом месте
наблюдается туманность, названная Крабовидной. В наши дни
эта туманность продолжает расширяться с большой скоростью.
В центре Крабовидной туманности имеется слабая, но очень горя-
горячая звезда с температурой свыше 100 000°. В качестве второй
сверхновой, наблюдавшейся Тихо Браге, считают звезду, вспых-
вспыхнувшую в 1572 г. в Кассиопее и блиставшую на небе около года
(она была видна даже днем при полном блеске Солнца). Третья
вспыхнула в 1604 г. в Змееносце. На ее месте сейчас также наблю-
наблюдается газовая туманность.
В других галактиках астрономы уже наблюдали более 100
сверхновых звезд. С современными инструментами из-за большого
расстояния наблюдение сверхновых звезд в других галактиках
возможно только в моменты максимума их блеска.
По оценкам астрономов диаметры сверхновых звезд в момент
максимума могут в 250 раз превышать соответствующие диаметры
обычных новых звезд и в 5—6 раз превышать диаметр нашей
солнечной системы — дичметр орбиты планеты Плутона. За корот-
короткий промежуток времени, порядка нескольких дней, при вспыш-
вспышках сверхновых звезд выделяется энергия, оцениваемая величиной
10*8 эрг; такая энергия излучается Солнцем в 10 000 000 лет.
С помощью спектроскопических данных обнаружено, что при
вспышках сверхновых звезд газовые частицы в излучающей
фотосфере движутся с огромной скоростью, имеющей порядок
6 000 км/сек.
Описанные выше наблюдения вспышек сверхновых звезд,
новых звезд и колебаний светимости цефеид показывают, что
существо этих явлений самым непосредственным образом связано
с движением колоссальных масс газа, из которых образованы
соответствующие переменные звезды.
Ниже мы рассмотрим постановки задач, и в некоторых случаях
их решения, о неустановившихся движениях газа, которые можно
рассматривать как приближенные модели колебаний цефеид и
вспышек новых и сверхновых звезд.
« ;
§ 2. Об уравнениях равновесия и движения массы газа,
моделирующей звезду
Для построения количественного описания равновесия и дви-
движения газовых масс, образующих звезду, необходимо установить
уравнения равновесия и движения. Ниже мы приводим уравне-
уравнения равновесия и уравнения движения гравитирующих по закону
Ньютона масс газа. Для движущихся масс мы рассмотрим только
случай радиального движения при наличии сферической сим-
симметрии.
Для движения со сферической симметрией уравнение нераз-
неразрывности, выражающее собой закон сохранения массы, имеет
вид
dp , дру 2pv _ q <2 ^ч
где р — плотность, v — радиальная скорость частиц газа, г —
расстояние до центра симметрии ж t — время. При равновесии —
покое — это уравнение удовлетворяется тождественно.
При огромных линейных и скоростных масштабах движений
газовых масс пренебрежение вязкостью газа вполне законно,
поэтому уравнение импульсов с учетом гравитационных сил мы
напишем в предположении, что газ не вязкий — идеальный:
dv . dv I dp f,Al p. ,o r,-
dt dr p dr r2 '
где / = 6,670-10~8 см3/г сек2 — гравитационная постоянная, р —
полное давление, равное сумме молекулярного и светового дав-
давлений, Jt (r, t) — масса газа внутри сферы рассматриваемого
радиуса г. Как известно, при наличии сферической симметрии
действие всех масс на точечную массу на расстоянии г от центра
симметрии равно силе притяжения материальной точки, помещен-
помещенной в центре симметрии и имеющей массу, равную М (г, t). Для
определения Л (г, i) имеем уравнение
вг
1
= 4яг2р или .// = 4я \ г2 р dr.
B.3)
Температура вещества внутри звезды очень высокая — по-
порядка миллионов градусов, а вблизи поверхности звезды —
порядка нескольких тысяч градусов; при таких температурах
вещество звезды можно рассматривать как совершенный газ
даже в том случае, когда давление и плотность чрезвычайно
большие. Поэтому, допуская еще, что имеет место локальное
термодинамическое равновесие, уравнение состояния возьмем
в виде
_
Р — Ряолек "т~ Рсветов —
1 п
г 3
B.4)
где Т — абсолютная температура, R = 8,3144-10' эрг/град моль
абсолютная газовая постоянная, и. — молекулярный вес (масса
одного моля газа, [и.] = г/моль), определяемый химическим соста-
составом газа г), и а = 7,569- 10~ls эрг/см3 град* — постоянная плот-
плотности излучения (постоянная Стефана).
х) Благодаря высоким температурам внутри звезды наступает полная
ионизация легких элементов. При полной ионизации для всех элементов ц
близко к двум, только для водорода (г = 0,5 и для гелия ц = 1,33.
390
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
Световое давление сравнимо с молекулярным только при очень
больших температурах или только при чрезвычайно малых плот-
плотностях. Поэтому при изучении строения и внутренних движений
газа в звездах световым давлением обычно можно пренебречь по
сравнению с молекулярным давлением, что равносильно замене
уравнения B.4) уравнением Клапейрона
Р =
Вместо уравнения сохранения энергии воспользуемся след-
следствием этого уравнения и теоремы живых сил—уравнением прито-
притока тепла, которое в общем случае имеет вид
dE dA^ dQle)
dt ~т~ ~
dt
dt
B.5)
где E — внутренняя энергия частицы без внутренней потен-
потенциальной гравитационной энергии, dA^Vdt — работа в единицу
времени сил внутренних напряжений (сюда не входит работа
внутренних гравитационных сил *)), dQ^ldt — внешний приток
тепла в единицу времени. В силу предположепий, сделанных выше,
уравнение притока тепла можно написать в виде
B'5)
dT
d \
it— =e'
где cu — теплоемкость единицы массы газа при постоянном объе-
объеме, зависящая от химического состава вещества, е — полная
энергия, выделяющаяся в единице массы газа в единицу времени.
Величина е может быть отличной от нуля за счет излучения, по-
поглощения, за счет ядерных или химических реакций и за счет
теплопроводности. Если звезда-газ находится в равновесии, то
общий баланс энергии сводится к уравнению
е = 0.
Так как звезда излучает энергию в окружающее пространство,
то при равновесии внутри звезды должны быть источники энер-
энергии. Исследование равновесия звезд при различных законах рас-
распределения источников энергии показывает, что распределение
давления и плотности внутри звезды и, в частности, их значения
в центре звезды зависят слабо от закона распределения источников
энергии. Расчеты показывают, что если принять распределение
источников равномерным по всей массе звезды или принять, что
то же количество энергии выделяется в одной точке — в центре
звезды, то характеристики состояния получаются близкими.
К этому можно еще добавить, что количество выделенной энергии
!) Работа внутренних гравитационных сил и приращение внутренней
гравитационной энергии сокращаются в левой части уравнения B.5).
§ 2]
ОБ УРАВНЕНИЯХ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ
391
за счет физико-химических процессов очень чувствительно зависит
от температуры. В центре звезды температура наибольшая, по-
поэтому в ряде случаев можно принимать, что основная часть энер-
энергии выделяется вблизи центра звезды. Как показывают расчеты,
это положение должно хорошо оправдываться в действительностих).
Поэтому в дальнейшем иногда мы будем пользоваться схемами,
в которых принято, что энергия может выделяться только в цен-
центре звезды.
В настоящее время общепринята и научно обоснована точка
зрения, согласно которой продолжительное расходование звезда-
звездами энергии на излучение происходит либо за счет гравитацион-
гравитационной энергии, выделяющейся при сжатии звезды (см. стр. 205,
уравнение C.13)), либо за счет ядерных реакций внутри звезды.
Возможные типы ядерных реакций чувствительным образом
зависят от температур и от наличия «горючего».
На основании физических соображений и данных о химиче-
химическом составе звезд установлено, что основным типом ядерных ре-
реакций является превращение ядер водорода в ядра гелия. Расчеты
показывают, что для звезд типа Солнца можно объяснить баланс
притока и расхода энергии за время существования звезды за счет
ядерных реакций, обусловленных сгоранием водорода. При этой
реакции масса звезды изменяется очень мало, всего на 0,007
первоначальной массы, хотя каждую секунду Солнце излучает
энергию, которая по формуле Е = тс2 (с — скорость света)
равна 4 миллионам тонн, и этот процесс продолжается уже по
крайней мере 5—6 миллиардов лет.
Энергия может передаваться излучением от центра к перифе-
периферии звезды; в этом процессе благодаря поглощению и собствен-
собственному излучению может меняться распределение энергии по спек-
спектру частот, но при равновесии излучаемая, поглощаемая и переда-
передаваемая теплопроводностью 2) энергия дает общий баланс, равный
нулю. Дальше мы в качестве приближенного условия примем,
что и при нестационарных процессах такое положение сохраняется,
иначе говоря, мы будем рассматривать адиабатические движения
газа а) (е = 0).
х) См. А м б а р ц у мя н В. А., М у с т е л ь Э. Р., Северный
А. В., Соболев В. В., Теоретическая астрофизика. М., Гостехиздат,
1952; см. также Chandrasekhar S.,An Introduction of the Study of
Stellar Structure. Chicago, Cniv. Chicago Press, 1939 (русский перевод: Ч а н-
драсокар С, Введение в учение о строении звозд. М., ИЛ, 1950).
2) Энергия, передаваемая теплопроводностью, мала по сравнению с энер-
энергией, передаваемой излучением.
3) С другой стороны, для некоторых бурных процессов с наличием боль-
больших выделений энергии и очень больших температур можно применять пос-
постановки задач, в которых имеется интенсивный лучистый и другой теплооб-
теплообмен, и вследствие этого в возмущенном поле скоростей можно посчитать тем-
температуру одинаковой, но она может изменяться во времени (см. постановки за-
задач о взрыве на стр 268—269).
392
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
Нетрудно показать, что общая энергия, излучаемая цефеидами
за периоды изменения их блеска, мала по сравнению с общим
запасом гравитационной и внутренней тепловой энергий всей
звезды. Этим можно объяснить также слабое влияние законов
распределения источников звездной энергии на распределение
плотности и давления в звездных недрах для обычных звезд и для
цефеид. Поэтому мы можем допустить, что в неустановившихся
движениях звезды в целом энергия, выделяемая в центре и излу-
излучаемая во внешнее пространство за время периода колебания,
не играет существенной роли. При рассмотрении неустановившихся
движений в качестве последнего допущения мы примем, что
молекулярный вес |я и коэффициент теплопроводности cv постоян-
постоянны во всей массе звезды.
Из сделанных выше предположений следует, что для описания
неустановившихся движений газовых моделей звезд мы можем
пользоваться следующей системой уравнений:
dv
д?
dt
dv ,
я P
d——
P
1 dPv
' dr
1 dp
p dr
d.M
dr
i 2pv
1 r
, t-M
1 ri
- 4itr2p
py
(I)
= 0,
= 0,
= o,
= 0,
где у = Ср/са — постоянная Пуассона. Последнее из уравнений
(I) следует непосредственно из уравнений B.4') и B.5'), когда
е = 0. Система (I) состоит из четырех уравнений с четырьмя не-
неизвестными функциями р, v, р, Л.
Если у Ф cp/cv и y = const, то уравнения (I) определяют дви-
движение газа при политропическом процессе.
В случае равновесия уравнения (I) упрощаются и сводятся
к одному уравнению
4я/
dr
= 0,
содержащему две неизвестные функции р и р. Для отыскания
распределения температур необходимо опереться на данные
о распределении внутри звезды источников энергии и на уравне-
уравнения теории переноса лучистой энергии.
При наличии сферической симметрии и термодинамической
обратимости явления система уравнений, описывающих распреде-
распределение характеристик состояния внутри звезды при равновесии,
2]
ОБ УРАВНЕНИЯХ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ
393
может быть взята в следующем виде х):
г
1 dp , f.M n .. , Г , ,
~ 4- „ = 0, .// = 4л; \г2раг, р =
р dr г* ,)
о
~dr 3~ = 4яг2 ' %1 = ас ' 17
где х — коэффициент поглощения, с — скорость света, е* — ин-
интенсивность источников энергии, выделяемой единицей массы
звездного вещества в единицу времени, S (г) — поток энергии
через сферу радиуса г.
Для получения решений уравнений равновесия (II) можно
взять в качестве независимой переменной массу Л и восполь-
воспользоваться следующими краевыми условиями:
в центре звезды при Л = 0 S = So, B.6)^
на поверхности звезды при Л = Ж р = 0 и Г = 0. B.6')
Если источники энергии распределены внутри звезды непре-
непрерывно, то величину 80 надо положить равной нулю. При наличии
в центре звезды концентрированного источника энергии имеем
Так как температура внутри звезды намного больше, чем на
поверхности, то многие астрофизики принимают обычно, что на
поверхности звезды можно взять Т = 0. При заданных ц, к и е*
решение системы (II) зависит от трех произвольных постоянных,
для которых имеются одно краевое условие B.6) в центре и два
условия B.6') на поверхности звезды.
Если молекулярный вес |я, коэффициент поглощения щ и
интенсивность источников энергии е* заданы в функции р и Т
= р (р, Т), X! = хх (р, Т) и е* = е* (р, Т),
B.7)
то система уравнений (II) и краевые условия B.6) и B.6') пол-
полностью определяют решение, которое имеет вид
р = р (,#, Ж, So, аи о,, ...),Т= Г (Jf, Ж, So, olf о,, . . .), I ,2 8v
S = S (Л, Ж, So, аъ о,, ...), г = г ( ", 9R, So, olf о„ . . .), J l '
где а-i, а2... — физические постоянные, входящие в систему (II)
и функциональные связи B.7).
1) См. АмбарцумянВ. А., МустельЭ. Р., Северный
А. Б., С о б о л е в В. В., Теоретическая астрофизика, М., Гостехиздат,
1952, стр. 5.
394
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
Если 2о = 0, то из B.3)] для светимости и радиуса звезды
следуют формулы вида
( ' '
Таким образом, в результате решения поставленной задачи
можно определить связь между светимостью звезды и ее массой,
радиусом звезды и ее массой и, следовательно, получить возмож-
возможность теоретического осмысливания эмпирических результатов,
описанных в § 1 настоящей главы.
Соотношения B.9) зависят параметрически от постоянных
аг, а2, •••, значения которых могут быть разными у различных
звезд. Для тех групп звезд, у которых эти постоянные одинаковы,
соотношения B.9) определяют единую зависимость светимости от
массы звезд.
Если So ?= 0 и задается независимо от Ж, то функции B.9)
зависят от So как от дополнительного параметра. Если все источ-
источники энергии сконцентрированы в центре — модель с точечным
источником энергии, то вместо B.9) получим формулы вида
2* = So,
SR = /(gR>S0,ai, «а, •¦¦)•
Итак, для модели с точечным источником энергии нельзя уста-
установить в результате решения системы уравнений (II) два соотно-
соотношения вида S* (Щ и ?К (Щ. Эти связи можно установить в том
случае, если задать дополнительно зависимость So (р0, То),
где р0 и То — плотность и температура в центре звезды.
§ 3. Теоретические формулы для закономерностей
свети ность—масса и радиус—масса1)
Для постановки задачи, сформулированной в предыдущем
параграфе, представляет большой интерес фактическое определе-
1) Многие и# последующих теоретических выводов о равновесии и неста-
нестационарных явлениях при движении газов со сферической симметрией с уче-
учетом гравитационных сил были получены в работах Л. И. Седова и
И. М. Яворской 15—20 лет тому назад. Впоследствии эти результаты уже
применялись и теперь все больше и больше проникают в практику для по-
понимания и истолкования наблюдаемых астрофизических явлений примени-
применительно к различным конкретным событиям и объектам.
Дальнейшее непосредственное использование и развитие этих теорий со-
содержится в книге: Д и б а й Э. А., К а п л а н С. А., Размерности и подо-
подобие астрофизических величин. М., «Наука», 1976 (см. также, например, ра-
работы: SolingerA., RappoportS., BuffJ., Isothermal Blast
Wave Model of Supernova Remnants. Astrophys. J., v. 201, № 2, pt. 1, 1975,
p. 381—386; Castor J., McCrayR., WeawerR., Interstellar
Bubbles. Astrophys. J., v. 200, №2, pt. 2, 1975, p. L107—L110).
3] ЗАКОНОМЕРНОСТИ СВЕТИМОСТЬ — МАССА И РАДИУС — МАССА 395
ние закономерностей B.9). Эту задачу рассматривал Стремгрен х)
при следующих предположениях:
1°. В уравнении состояния отбрасывается член аГ4/3, соответ-
соответствующий давлению излучения.
2°. Молекулярный вес ц постоянен везде внутри звезды.
3°. Для коэффициента поглощения и для источников энергии
Верны формулы
г* = еор«
где В, s, е0, а, р — постоянные.
Опираясь на эти допущения, Стремгрен установил формулу
?* = S_LJJl__H,7+3j C.1)
где постоянная S5 зависит только от /, s, а, р.
Однако оказывается 2), что с помощью соображений теории
размерности при сохранении предположения 1° и при более
общих допущениях, чем 2° и 3°, заключенных в формулах
C.2)
щ = Bpw{RTyj,
г* = еора
где ?, tj, w, v, a, p—постоянные, можно указать вместо одного соот-
соотношения C.1) два простых соотношения вида B.9).
Введем новые переменные
Л=- - RT - М
р
1
х =
и обозначения
и
ЩИ*
= Q
Ве0
Р+,4-4
) п = СО.
!) Strom gren В., Handb. d. Astrophys., v. 7, p. 159, 1936;
Erg. Exact. Naturwiss., v. 16, p. 465, 1937.
Изложение многих результатов по теории звездных газовых моделей
можно найти в книге: Chandrasekhar S., An Introduction of the
Study of the Stellar Structure. Chicago, Univ. Chicago Press, 1939 (русский
перевод: Чандрасекар С, Введение в учение о строении звезд, М.,
ИЛ, 1950).
2) См. Седов Л. И., О теоретических формулах для звездных зако-
закономерностей «светимость — масса» и «радиус — масса». ДАН СССР, т. 94,
№ 4, 1954, стр. 643—646.
396
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
Нетрудно проверить, что система уравнений (II) и краевое-
условие B.6) при So = 0 эквивалентны системе уравнений
dpi
dx
4л ) р
о
Pl =
= -Тбя^Рт
C.3).
и формуле для вычисления светимости
S =
C.4>
Таким образом, задача сводится к разрешению системы C.3)'
при следующих краевых условиях х) (см. условия B.6')):
на поверхности звезды при х = 1 имеем
р = 0 и т = 0. C.5)
Отсюда следует, что если решение поставленной математиче-
математической задачи существует и имеет физический смысл, то искомые-
функции
Р, г,
= -nr и [т] = М " L "
определяются величинами
х, Ж, со, Q,
причем имеют место следующие формулы размерности:
[Щ =- М, [ю] = M^lA [Q] =
где
ко *= 4 + За» + За
!-^^
C.6>
C.7)
Дальше мы примем, что к2 =т^ 0- Если допустить, что Q = 0
(предположение 1°), или если ? = т] = 1 (предположение 2°),
то в случае к2 = 0 среди определяющих величин нет величин,
зависящих от линейных размеров, тогда как искомые величины
т, р, г, рх связаны с линейными размерами. В этом случае ука-
указанная выше постановка задачи нуждается в уточнениях.
х) Краевые условия C.5) можно видоизменять. Если в видоизмененных
условиях не появляются новые размерные физические постоянные, то все
последующие выводы сохраняют свою силу.
-S 3] ЗАКОНОМЕРНОСТИ СВЕТИМОСТЬ — МАССА И РАДИУС — МАССА 397
Из определяющих параметров можно составить только две
независимые отвлеченные комбинации
4-0+4C5—4)
x = w и 6 =
Q
-3)C?—4)
где
-4)l [B
| —D-р^Р) B -
D + Aw + За) I] + D — v — Р) C? — 4)
Очевидно, что при |я = const, т. е. ? = т] = 1, имеем
/е3 = —2 и б =
Если равенства |=1ит1 = 1не выполняются одновременно,
то при некоторых значениях показателей ?, т), а, р ю, у можно
удовлетворить равенству
При к3 = 0 получим, что отвлеченный параметр б не зависит
от массы 9К.
Из общих соображений теории размерности вытекает, что
искомое решение имеет вид
со \ь'к,
ri (х, 8),
г =
Т =
35-4
mki
2 (Pit? 4- бтх).
C.8)
Подстановка формул C.8) в систему уравнений C.3) и краевые
условия C.5) приводит к уравнениям
rl =
"" i
х
Pi
C.9)
398
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
и краевым условиям
при х — 1 pL = 0 и хг = 0.
C.10)
Уравнения C.9) и условия C.10) не содержат размерных по-
постоянных Ж, ю и определяют безразмерные функции тх (х, 8),
рх (х, б) и гх (ж, б). Параметр б не войдет, если принять предполо-
предположение Г. В последнем случае функции гх (х), рх (х) и %г (х) явля-
являются универсальными числовыми функциями, зависящими только
от значения показателей ?, ц, w, v, a, p.
На основании формул C.8) и C.4), учитывая, что со =
= Ве0 (/|я0) п и формулы C.7) для радиуса 31 и светимости звез-
звезды ?* получим:
31 = [(Де0)"
X
^ б),
?* = е0 (Ве0)
-4) х
X
4-=-+"
—»-P)C4—4)J
X
а)*1—D—Р—РХ2—?)НC?—4K—3
X
[(»+зю-|-за
C.11)
Если пренебречь световым давлением в уравнении состояния
(предположение Г), то надо положить б = 0, после чего формулы
C.11) определяют полностью зависимость 31 и й* от е0, /|i0, В
и от массы звезды Ж.
Если б ф 0, но к3 = 0, то б не зависит от массы звезды, и по-
поэтому в этом случае формулы C.11) также полностью определят
зависимость 31 и 8* от массы звезды 5R.
Если из формул C.11) исключить е0, то получим соотношение
'^Я»-1-1*4"^5?, C.12)
Где ?> — отвлеченная постоянная, которая при 6 = 0 может
зависеть только от ?, ц, а, |3, w, v.
Любопытно отметить, что в формуле C.12) от закона выделе-
выделения энергии может зависеть только постоянная ©.
Формула C.1) получается как частный случай из формулы
C.12). Нетрудно убедиться непосредственно, что формула C.12)
сохраняет свою силу для модели звезды с точечным источником
энергии в центре звезды, когда мощность точечного источника
энергии S* задается произвольно.
§ 4]
РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗД
399
Формулы C.12) и C.11) можно использовать для обработки
наблюдений. При сопоставлении этих формул с эмпирическими
данными можно получить некоторые основания для суждения о
законах C.2), а также о правильности принятой постановки задачи.
§ 4. Некоторые простые решения системы уравнений
равновесия звезд
В теории вспышек новых звезд при исследовании неустановив-
неустановившихся движений газовых масс звезды необходимо использовать
в начальных условиях данные о распределении характеристик
состояния газа внутри звезды при равновесии. Для этой цели
использование решений системы уравнений (II) с краевыми
условиями B.6) и B.7) из-за сложности этих решений неудобно
и исключает возможность получения эффективных решений о не-
неустановившихся движениях.
Кроме этого, для более глубокого уяснения роли различных
физических факторов полезно рассмотреть решения системы
(II), не подчиненные краевым условиям на поверхности звезды.
Мы рассмотрим точные решения уравнений равновесия (II)
(в которых мы пренебрегаем световым давлением), при этом вместо
краевых условий на поверхности звезды будем опираться на неко-
некоторые дополнительные гипотезы. Исходя из соображений размер-
размерности, рассмотрим простейшую гипотезу о том, что распределение
характеристик состояния, помимо сил гравитации, связанных со
значением гравитационной постоянной /, зависит существенно
еще от какого-либо физического закона, влияние которого может
осуществляться посредством только одной характерной физиче-
физической постоянной, которую мы обозначим через а.
Более определенно рассмотрим равновесно газа, для которого
распределение плотности и давления зависит только от следующих
трех размерных параметров:
[г] = L, [/] =
[a] =ML*T'.
D.1)
Размерность параметра а (значения постоянных к и s) фикси-
фиксируется указанной выше гипотезой, которую мы не будем пока кон-
конкретизировать. Мы рассмотрим случай, когда размерность до-
дополнительной физической постоянной а содержит символ массы.
Очевидно, не ограничивая общности, можно принять, что в форму-
формуле размерности постоянной а символ массы входит в первой сте-
степени1).
х) Если дополнительная заданная постоянная о* есть кинематическая ве-
величина, то в качестве а можно взять постоянную, равную а*//.
•400
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
Легко проверить, что из гипотезы D.1) вытекают следующие
формулы:
Р=
Р =
—
^ ы ч 4 ы и
2/С+в '
4 2+S
а 2—s j 2—s
8+2s+4fc '
2
2—s
4 }
2
Л о к
я
2
S/2-3
-t-s+L
2ft-f-3s
2—s
2—s
D.2)
где alr a2, a3, a4 — отвлеченные постоянные и s Ф 2. Если s =
= 2 и к ф —3, то нельзя установить зависимости от г, так как
в этом случае имеется отвлеченная комбинация af/r 3; если
s = 2 и к = —3, то размерности / и а зависимы, и поэтому в этом
случае система D.1) неполна и не может определять р и р.
По своему физическому смыслу масса ,М (г) — положительная
монотонная величина, не убывающая с возрастанием г; поэтому
должно быть
2 —s
¦>
D3)
Формулы D.2) показывают, что центр симметрии является особой
точкой, в которой плотность, давление и температура, вообще
говоря, бесконечны. С одной стороны, это обстоятельство в извест-
известном смысле может отражать действительное положение вещей,
так как в центре звезды плотность, давление и температура имеют
максимум и достигают весьма больших значений. С другой сто-
стороны, из физических соображений следует, что давление, плот-
плотность и температура в центре звезды существенно конечны. От-
Отсюда следует, что непосредственно вблизи центра звезды в тех
случаях, когда получаются бесконечные значения характеристик
состояния, принятая гипотеза о существовании только двух физи-
физических постоянных / и а является неприемлемой. Это служит
также указанием на то, что вблизи центра звезды, помимо / и а,
становятся существенными еще дополнительные физические фак-
факторы. Однако, если допустить, что такие уточнения необходимы
только непосредственно вблизи центра звезды, то формулы D.2)
можно использовать для моделирования действительного равно-
равновесия вне окрестности центра звезды 1).
1) Заметим попутно, что вблизи центра звезды гравитационная постоян-
постоянная, по-видимому, в явной форме несущественна, так как вблизи центра звез-
звезды равнодействующая сила ньютонианского тяготения близка к нулю. Од-
Однако мы не будем касаться здесь более глубоко явлений вблизи центра звез-
звезды. В § 6, стр. 410—411, показано, что для решений D.2) полная энергия
Н (г) конечна при со < 2,5jH Н (г) —»• 0 при г -*¦ 0.
41
РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗД
401
„ 2ft + 6 - о
Если со = -~—— <_ о, то при г
О имеем Л -*¦ 0.
Формулы D.2) показывают также, что давление и плотность-
могут обратиться в нуль только в бесконечности и что масса
стремится к бесконечности вместе с г, если — "„ 5 > 0. Это
Ci -— S
обстоятельство показывает, что рассматриваемая гипотеза также
требует корректировки на далеких расстояниях от центра звезды.
„ 2А: -г 3s „ . 3
Ьсли s_2 ~ "¦> то « = 9~ s'в этом слУчае комбинация
2 s
_2—s/2—s = // имеет размерность массы. Эту постоянную можно-
взять вместо а, и поэтому формулы D.2) приобретают вид L)
у f r \
D.4>
Очевидно, что в этом случае, если р ф 0, уравнение
не удовлетворяется, поэтому этот случай не может привести
к точному решению системы (II). Нетрудно усмотреть, что мы удо-
удовлетворим первым трем уравнениям системы (II)
— ^- + ^75- = °. -^ = 4л\г2рйг,
pRT
D.5)
при постоянном [л, если определим постоянные а2! аз и а4
через постоянную а1 согласно формулам
= — 4л
°а=-2я B, + 35)D + ;+2,) , D-7)
™3 = if = ~ 2Л^ B/с + 35)D5++^) * D"8>
Нетрудно видеть, что показатель в формуле для давления
2 2 _ s—должен быть отличным от нуля, так как в противном
случае давление получается постоянным по радиусу, что исклю-
исключает возможность удовлетворить уравнению равновесия.
Обратимся теперь к Еопросу о построении решения искомого
типа, удовлетворяющего последним двум уравнениям системы
') Мы полагаем М = Мй, и следовательно, а4 = 1.
7214 Л. И. Седов
402
ПРИЛОЖРНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
1Гл. VI
(II) — уравнениям теории излучения:
d
й = 4 , ,
D.9)
Этим уравнениям можно удовлетворить с помощью решения
вида D.2), если источники энергии концентрируются в центре
знезды: к* = 0 при г _> 0, и если для коэффициента поглощения
серна формула вида
их = Ври (ДГ)", D.10)
где у, w ж В — постоянные. Легко проверить, что размерность
постоянной В дается формулой \В] = м-е2+ш>Ь1С+;з
Из уравнений D.9) получаем
= ?o = const и и1 = _
D.11)
Сравнение D.10) и D.11) при использовании формул D.2) дает,
что уравнения излучения удовлетворяются, если будут выполнены
соотношения
к {2w + 2v — 6) + s {2v — 9) + Qw + 2v = 0 D.12)
и
32л
3
/c
D.13)
Уравнение D.12) дает связь между к, s, w и v. На основании
<4.6), D.7), D.8), D.12) и D.13) коэффициенты аи а2, а3 и а4
выражаются через В, ?0, |л, а, /, w и v. После подстановки этих
выражений в D.2) найдем точное решение полной системы урав-
уравнений равновесия газа (II), представляемое формулами
( C — w—v) ГCг4> + v) (v—w — f>)
" 116я Bш + 3) L C — w — v)z 2я[г/
4'"
r»-2o
JVb =
w -\- v — 3J3 — w —
1
X
X
(Зи;
__ fC — Ш—
__ fC—
~" \ 16
ш + 3)
C — w — v
Cw -f- v)(v — w — 6)
C— w —
]
„1*4.1
5+w—V
3—w—v
( C — w — ^)
C —ш —»
-T
3Bg0 )з-ш-
D.14)
§ 4]
РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ЗВЕЗД
403
В построенном таким образом точном решении задачи о равно-
равновесии гравитирующей по закону Ньютона массы газа законы
изменения р, р и RT по радиусу определены полностью через
показатели w и v в формуле для коэффициента поглощения и
через произведение постоянной В, входящей в закон для коэффи-
коэффициента поглощения, и мощности источника излучения So, нахо-
находящегося в центре симметрии.
В полученном решении D.14) не фигурирует постоянная «;
это объясняется тем, что постоянные ах и а входят только в ком-
комбинации
которая в силу уравнений равновесия в рассматриваемой задаче
выражается через произведение В20- Степенная зависимость
от В2а получена в явном виде через показатели w и v.
Решение D.14) позволяет оценить влияние законов для коэф-
коэффициента поглощения х на равновесие газов с источником излу-
излучения.
Если задать размерность постоянной а (показатели к и s),
то формулы D.2) определят все законы для изменения характери-
характеристик состояния по радиусу, тогда как показатели w и v в формуле
D.10) можно варьировать, удовлетворяя условию D.12). Если
показатели w и v заданы, то законы изменения по радиусу также
определятся, а постоянные к и s можно варьировать, удовлетворяя
тому же условию D.12).
Согласно решению D.14) соответствующая газовая модель
звезды занимает все бесконечное пространство и имеет бесконеч-
бесконечную массу. Очевидно, что масса конечна внутри любой сферы
S конечного радиуса, на поверхности которой давление ps может
быть весьма малым. При фиксировании ps на поверхности 5
наличие бесконечной массы впо сферы S не оказывает никакого
влияния на равновесие масс внутри сферы S. Таким образом, рав-
равновесие конечной массы внутри сферы S не связано существенным
образом с законами распределения характеристик равновесия вне
сферы S. Для получения приближенных решений с конечной
массой можно воспользоваться решением типа D.14) внутри неко-
некоторой сферы S, а вне этой сферы решение может быть продолжено
с непрерывным изменением давления ')ис некоторой иной зако-
закономерностью для изменения плотности, обеспечивающей конеч-
конечность и заданную величину массы.
В частности, если постоянная а имеет размерность энергии,
т. е. \а\ = ML2T~2 (отсюда к — 2 и s = —2), то условие D.12)
1) При приближенном конструировании равновесия конечной массы га-
газа можно допуска'] ь разрыв в распределении плотности.
404
дает
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
v = —3—Ъхю.
_В этом случае формулы D.14) приобретают вид
[Гл. VI
D.15)
_ J_ Г/ 3 \7+5w ЗВД0 I в+4ш
22'8 L\ 2л(х/ у 4л J
.2,5
i_ г/
fZ L\ 2я^
D.16)
3gg,,
4л
Для полной определенности решения необходимо выбрать
-значение показателя w или в согласии с D.15) показателя v.
С помощью формул D.14) легко выписать решения, соответст-
соответствующие различным употребляемым в астрофизике частным фор-
формулам для коэффициента поглощения.
Например, если для коэффициента поглощения взять формулу
Крамерса
xi = ВрТ-'ь (w = 1, v = -3,5), D.17)
то решение D.14) приобретает вид
p = 0,00457
/> = 0,000756
11A1/)""' r4"»
ЛГ = 0,1654
D.18)
Рассмотрим еще случай, когда \а] = IS] = ML2T 3 (Л = 2,
s = —3), что может соответствовать предположению о том, что
распределение состояний по радиусу определяется полной свети-
светимостью.^Втот случай является особым, и его необходимо рассмот-
рассмотреть отдельно, так как из формул D.2), D.6), D.7) и D.8) получим
.М = 4яа1а ""г,
D.19)
p - 2яа? ^-ф.—, RT = 2яа!|я (а/)'4 = const.
•Отсюда следует, что температура получается постоянной по
5]
О ПКРИОДР КОЛЕБАНИЯ БЛЕСКА ЦЕФЕИД
405
радиусу. В этом случае уравнение
x,gp
dr
если S =j?= 0, может быть удовлетворено только при допущении,
что %х = 0. После этого второе уравнение теории излучения
dr
всегда может быть удовлетворено и использовано для определения
S, если е* известно как функция г, р и Т х).
В частности, если е* = 0, то S = So = const. В формулах
D.19) содержится только один существенный произвольный
параметр, равный а1А'1к
§ 5. О зависимости между периодом колебания блеска
и средней массовой плотностью* для цефеид
Данные наблюдений о периоде изменения блеска и о скоростях
излучающих частиц газа убедительным образом свидетель-
свидетельствуют о том, что наблюдаемые колебания светимости обуслов-
обусловлены радиальными пульсациями с большими амплитудами и
скоростями газовых масс, образующих звезду.
Пользуясь соображениями, изложенными в § 2, мы можем
допустить, что эти пульсации представляют собой адиабатический
процесс, описываемый системой уравнений (I) § 2.
Рассматриваемое движение может быть существенно нели-
нелинейным процессом. Внутри газа возможны ударные волны, рас-
распространяющиеся к центру звезды и от центра к периферии.
Возможно, что в некоторые промежутки времени граница светя-
светящейся фотосферы при ее расширении совпадает с ударной волной.
Так как скорость ударной волны больше скорости частиц газа
за ее фронтом, то при расширении фотосферы, ограниченной
ударной волной, ее максимальный диаметр будет значительно
большим поперечного линейного размера, вычисленного интегри-
интегрированием измеренных в наблюдениях лучевых скоростей.
При распространении ударных волн к центру звезды в момент
отражения от центра возможно возникновение движений, рассмот-
рассмотренных в § 7 главы IV при фокусировании потока газа в точке.
Изменение блеска цефеид можно объяснить возникающими при
пульсациях большими изменениями диаметра фотосферы, темпе-
') Очевидно, что эти соображения можно отнести также и к более общему
случаю, когда
s + к + 1 = 0,
приводящему, согласно формулам D.2), к постоянству температуры.
406
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
ратуры в фотосфере и изменениями величины поглощения в окру-
окружающей цефеиду газовой атмосфере. При различных диаметрах
фотосферы величина пути светового луча в окружающей атмосфе-
атмосфере будет изменяться.
Для описания пульсаций газовых шаров—моделей цефеид,
помимо системы уравнений (I) и условий па скачках, имеющих
тот же вид, что и при отсутствии сил тяготения (см. § 2 главы IV),
мы будем иметь следующие краевые условия:
в центре звезды при г = 0 ,Н = 0 и v = 0, 1
на поверхности звезды г = 31 + AiK .// = 3R, р = 0 ир=0.1 '
Примем еще гипотезу, что установившийся режим пульсаций
определяется вполне только уравнениями движения, условиями
на скачках, краевыми и другими условиями, не содержащими
новых размерных постоянных. В таких предположениях нетрудно
выписать систему определяющих параметров. Эта система пред-
представляется таблицей
г, t, у, /, », Ж. E.2)
Средний радиус звезды Ж и массу Ж в данном случае мы рас-
рассматриваем как независимые параметры; как было указано в § 2,
при равновесии радиус Ж является функцией массы ЭД. Однако
при пульсациях такой связи между Ж и Ж может и не быть L),
что и может явиться причиной отсутствия равновесия — причи-
причиной пульсации цефеиды.
Математическая нелинейная задача об отыскании v, p и р
в указанной выше постановке очень трудна. В исследовании этой
задачи имеются только отдельные результаты, полученные с по-
помощью дополнительных существенных допущений и в большин-
большинстве случаев основанных на линеаризации уравнений движения 2).
Однако, не проводя решения, в самой обшей постановке задачи
можно с помощью соображений теории размерности установить
фундаментальный результат, связывающий период пульсаций
цефеиды с ее массой и радиусом. В самом деле, обозначим через
т период пульсаций цефеиды; так как это есть характеристика
движения в целом, то на основании установленной таблицы
определяющих параметров E.2) мы выводим, что
т = / (у, /, Ж, Щ. E.3)
) В случае наличия такой связи в виде степенной зависимости кроме
массы 9J! появится еще размерная постоянная, содержащаяся в этой связи.
В системе определяющих параметров вместо массы ВД и этой постоянной (ко-
(которая может быть различной для разных серий цефеид) можно взять прямо
2) Изложение этих результатов содержится в книге: Rosseland S
The Pulsation Theory of Variable Stars. Oxford, 1949 (русский перевод: Р о с-
селанд С, Теория пульсаций 'переменных звезд. М., ИЛ, 1952).
5]
О ПЕРИОДЕ КОЛЕБАНИЯ БЛЕСКА ЦЕФЕИД
407
Так как /, Ж и 5К имеют независимые размерности, то отсюда
следует
-f = А (V)
= U (У)
E.4)
Таковы простые соображения, позволяющие, не проводя деталь-
детального математического решения, обосновать при довольно общих
допущениях соотношение E.4), установленное впервые с помощью
наблюдений.
На рис. 133 в логарифмических масштабах lg т и Ig |^pi;y
представлены диаграммы результатов обработки наблюдений;
Igr
2,5
2,0
7,5
05
ЦО
-0,5
к As •%• .
ААаЧж
'¦А
\ ^
ч
чес/a/enspe
А Двлулрави
переменно
vmte
\
ч
ч
га
-4,0
-3,0
-2,0,
-7,0
Рис. 133. Эмпирические данные о связи период — плотность для различных
переменных звезд.
отдельные точки нанесены как средние значения для групп звезд,
пунктирная прямая проведена согласно теоретической формуле
E.4). Расположение точек, полученных из наблюдений цефеид,
показывает замечательное согласие с наклоном теоретической
пунктирной прямой.
Соотношение E.4), по-видимому, отражает фундаментальные
закономерности в пульсациях газовых масс, образующих пере-
переменные звезды.
Обработка наблюдений полуправильных и длиннопериодиче-
ских переменных показывает, что соответствующие точки на ана-
аналогичной диаграмме располагаются вдоль некоторых прямых,
нараллельных соответствующей прямой для цефеид.
408
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
§ 6. К теории вспышек новых и сверхновых звезд
1. Уравнения движения и краевые условия. Согласно данным
наблюдений, приведенным в § 1, следует, что вспышки новых и
сверхновых звезд представляют собой неустановившиеся движе-
движения больших масс газа, сопровождающиеся бурным возрастанием
излучаемой энергии.
Для теоретического осмысливания таких грандиозных косми-
космических катастроф мы изучим примеры точных решений уравнений
неустановившегося движения газа с учетом гравитационных
сил, которые можно рассматривать как схематические модели,
отражающие некоторые существенные черты действительных яв-
явлений звездных вспышек.
Для выяснения явления звездных вспышек можно рассмот-
рассмотреть и предложить решения следующих трех типов:
1°. Распространение из глубины звездных недр к поверхности
звезды детонационных волн с выделением ядерной энергии на
фронте нолны. В § 8 главы IV изучены движения такого типа.
В зависимости от закона падения плотности установленыг) эффек-
эффекты повышения скорости детонации и при достаточно резком паде-
падении плотности полный разлет газовых продуктов детонации с об-
образованием пустоты вблизи центра а).
2°. Возмущенное движение взрывного типа, вызванное вне-
внезапным выделением энергии внутри звезды; эта энергия перено-
переносится к периферии вместе с ударной волной.
3°. Движение взрывного типа без всякого выделения энергии :i),
развивающееся за счет динамической неустойчивости равновесия
газовых масс, образующих звезду.
В этом параграфе с учетом сил гравитации даны решения,
отвечающие типам 2° и 3°. Ниже мы покажем, что для таких
движений в некоторых случаях также возможны возмущенные
движения с полным разлетом газовых масс, находившихся вначале
в покое 4).
>) Седов Л. И., О движении газа при звездных вспышках. ДАН
СССР, т. 111, № 4, 1956, стр. 780—782; Яворская И. М., Решение не-
некоторых задач о детонации в среде с переменной плотностью. ДАН СССР,
т. 111, №4, 1956, стр. 783—786.
2) Соответствующие автомодельные решения построены без учета сил
гравитации, наличие сил гравитации и неавтомодслыгость могут внести не-
некоторые количественные поправки.
Аналогичные решения можно построить для сферической задачи о рас-
распространении но покоящемуся газу с переменной начальной плотностью скач-
скачка разрежения с выделением энергии — скачка типа фронта пламени.
3) Седов Л. П., О динамическом взрыве равновесия. ДАН СССР,
т. 112, № 2, 1957, стр. 211 — 212.
4) Для приложения полученных выводов к обработке наблюдений необ-
необходимо еще исследовать неустановившиеся эффекты в звездных фотосферах.
Необходимо также выяснить роль и значение электромагнитного поля при
6]
К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ И СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД
409
Рассмотрим решения системы уравнений (I) о неустановив-
неустановившихся движениях газа со сферической симметрией, описанной
в § 2 и имеющей вид
dp , "H" i <-\Jv r\
Я* ~T~ a_ "T ~ — "i
dpv
дг
dv
dt
dv
1 dp
p dr
dt
дг
7-2
дг
¦ = 4яг2р,
¦ = o,
= 0.
F.1)
Пусть неустановившееся движение возникает в момент t = 0
в покоящейся массе газа в результате выделения энергии в центре
симметрии при адиабатическом движении и при дополнительном
выделении энергии в возмущенной области в политропическом
движении.
Начальное распределение характеристик газа, определяемое
условиями равновесия, возьмем по формулам D.2), D.6), D.7)
и D.8), которые после замены
2 —s
. 2—s , 2—S
= A>0
можно написать в следующем более простом виде:
v = °. Р = — .
Р =
RT =
1
(СО— 1)C— W) г2ш-2
(со — 1)C — со) г»-а
F.2)
Определяющая постоянная а в формулах D.2) с размерностью
[а] = Ml/Ts заменена в формулах F.2) на постоянную А с раз-
размерностью [А] = МЬШ. Семейство решений F.2) уравнений рав-
равновесия зависит кроме гравитационной постоянной / еще от одной
размерной постоянной А и от одного существенного параметра со,
определяемого размерностью постоянной А.
звездных вспышках. См., например, Chevalier R. A., The Evolution
of Supernova Remnants. I. Spnerically Symmetric Models. Astrophys. .Г.,
v. 188, JY» 3, pt. 1, 1974, p. 501-516.
15 л. И. Седов
410
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
Из условия конечности массы вблизи центра симметрии сле-
следует, что со <^ 3. Для положительности давления и температуры
должно быть со ^> 1. Для роста температуры при приближении
к центру должно быть со ^> 2, при со = 2 температура газа не
зависит от г — имеем случай изотермической массы газа. Если
постоянная а имеет размерность энергии к = 2, s = —2, то со =
= 2,5.
Согласно формуле C.12) главы IV полная энергия газа между
сферами радиусов г' и г" определяется формулой
«-и-
y*-i
Р/ (.М — Ж')
где у* = cpfcv. С помощью этой формулы и формул F.2) нетрудно
вычислить полную начальную энергию Н, заключенную внутри
сферы радиуса г. Для 1 < со < 2,5 имеем
„ _ 8л? 1 _2(ш —1)G* —1) 2
п - v*_i (Ш-1)C-ш)E-2а>) >Л Г ¦ 10-6>
Если со ]> 2,5, то при любых у* и г начальная энергия получается
равной ± оо.
Если
-1)
со < 2,5,
то начальная энергия конечна и положительна: Н
При
27* —1 . .5
<(Й<Г
начальная энергия конечна и отрицательна: Я<0г) (рис. 134).
При со = 2,5 после вычисления иптегралов получим
= З2я-/Л«
la f + 2 - 2 /^} ,
F.4)
отсюда ясно, "что при со = 2,5 и у* = 4/3 верно равенство
Я = 64я2/42. F.5)
В этом случае начальная энергия конечна, положительна и не
зависит от радиуса г. Если со = 2,5 и у* ^> 4/3, то Н = —оо.
Неустановившиеся движения газа с начальными условиями
F.2) будут автомодельными, если все размерные постоянные,
!) Если Я > 0, то внутренняя тепловая энергия больше модуля грави-
гравитационной энергии, при Я < 0 она меньше модуля гравитационной энергии.
§ 6]
К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ И СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД
411
входящие в дополнительные условия, имеют размерности, зави-
зависящие от размерности гравитационной постоянной/и размерности
постоянной А.
Если автомодельное возмущенное движение вызвано выделе-
выделением энергии, возникающим в момент t = 0, то закон выделения
энергии определяется толь-
только тремя размерными ве-
величинами с независимыми
размерностями t, A lii /; по-
поэтому
_5 _5_ 2(В--2и)
р /О) j СО , СО
t = a/ At
, F.0)
где а — отвлеченный коэф-
коэффициент, не зависящий от
времени. В частных случаях
величина а может равняться
бесконечности. Еслисо = 2,5,
то формула F.6) приобрета-
приобретает вид
Е = а/Л2. F.7)
Рис. 134. Знаки начальной энергии Я в
зависимости от со и-у*. В заштрихован-
заштрихованных областях И конечно; при со > 2,5
Я бесконечно.
Случай, когда а конечно,
соответствует мгновенному
выделению в центре звезды
конечной энергии. Если мгновенно выделившаяся энергия бес-
бесконечна, то коэффициент а равен бесконечности.
При й)<12,5 и а ^> 0 согласно F.6) должно происходить не-
непрорывное выделение энергии, так что величина Е возрастает
с течением времени.
Искомое поле возмущенного движения газа определяется
системой размерных параметров
A,f,r,t; F.8)
кроме этого, движение может зависеть еще от задаваемых отвле-
отвлеченных постоянных параметров, таких, как у, входящего в урав-
уравнение движения, и а, входящего в формулу F.6).
На основании F.8) следует, что движение газа автомодельно,
причем законы движения газа можно записать с помощью формул
вида
и
F.9)
15*
412
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
где V, Л, М, z — безразмерные функции от А, которые, кроме
этого, зависят параметрически от дополнительных задаваемых
отвлеченных постоянных, C — постоянная, которой можно рас-
распорядиться.
Уравнения движения F.1) после подстановки F.9) с заменой
функции Р (А) через z (X) приведутся к системе обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений
k f(_f
¦V+-,
У
ПУ-- rv-
ХМ' = — ЗМ +
F.10)
Искомые функции V (X), Я (К) и z (к) аналогичны соответствую-
соответствующим функциям, определяемым из уравнений B.1), B.2) и B.3)
главы IV, причем б = 2/со, однако в уравнениях F.10) учтена
сила ныотонианского тяготения и входит дополнительно еще одна
функция М (А,).
2. Различные точные решения. Согласно общей теории, из-
изложенной в § 3 главы IV, порядок системы F.10) можно понизить
на две единицы с помощью интегралов C.7) и C.9) главы IV,
имеющих место для любых движений. В данном случае необхо-
необходимо положить v = 3, б = 2/й) и к = —3, s = 2, так как
[-у-] = МЬ~8Т2.
Эти интегралы представляются соотношениями
Кроме этого, при со = 2,5 имеет место еще один интеграл C.15)
(глава IV, интеграл энергии)
+ -^ЙгТ7-^У1 = Сз. F.13)
V 5
Как было указано в § 3 главы IV, эти интегралы верны также
и для политропических процессов, при которых энтропия в частице
переменна и имеется внешний приток тепла.
При возникновении внезапного выделения энергии в центре
звезды образуется ударная волна, которая распространяется
от центра к периферии звезды.
К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ И СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД
413
На поверхности ударной волны, распространяющейся по покоя-
покоящемуся газу, должны выполняться следующие условия совмест-
совместности:
7 + 1
Pi = ~у~^Т
Р* = „ J.-1
«(• -4
¦у — 1 с*
F.14)
Здесь с—скорость распространения скачка и а\ = liJL. rj.
— RT\ — квадрат скорости звука в невозмущенном состоянии.
Радиус ударной волны г2 определяется только тремя размерными
величинами с независимыми размерностями /, A, t; поэтому
г2 = С (рЛ/)ш tw или Хг — С = const. F.15)
Постоянное значение к на ударной волне, равное С, можно при-
принять равным единице и определить из этого условия постоянный
множитель р. В этом случае имеем
F.16)
Х2 = 1 и X = —.
Из формулы F.15) следует также, что
2—а>
F.17)
При © ^> 2 ударная волна замедляется с возрастанием времени,
при оз <^ 2 происходит ускорение ударной волны х). В частности,
при со ¦— 2,5 получим
г, = (м/)'/д t\ с = 4 (р'4/) 4т • (б-18)
х) Эффекты замедления или ускорения распространения ударной волны
по среде переменной плотности не определяются только законами падения
плотности. Законы падения давления и внешние возмущающие эффекты внут-
внутри волны могут существенно влиять на законы движения волны.
В § 14 главы IV было показано, что для автомодельных движений, опре-
определяемых постоянными [Л] = ML" и [Е] = ML2T, и, в частности, для силь-
сильного точечного взрыва в среде с переменной начальной плотностью верна фор-
формула c=const/V.2(-3"<0''2, следовательно, получается замедление для всех со < 3.
В рассматриваемом автомодельном движении, определяемом постоянными
[А] = МЬШ~3 и [/] = M"XL3T в задаче с начальной переменной плотностью
рх = Air", ударная волна ускоряется при со < 2 и замедляется при со > 2.
414
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
В условиях на скачке фигурирует отвлеченная величина
„2
Я. =-тг =
УР1
Из общих соображений размерностей следует, что отвлеченная
величина q, зависящая только от трех размерных величин /, А, г2,
должна быть постоянной. Из формул F.2) и F.17) следует
^ = 2 (to — 1) C — со) р " F.19)
При фиксированном со значение q определяется постоянной |3,
и наоборот.
Условия на ударной волне F.14) после преобразования к без-
безразмерной форме с помощью F.9) дают
V — 4 1—q
2 ~~ Y + 1 со "
2 со2
(Т
!2 =
яусо2
7-1+2?
причем
F.20)
1 .
При заданном q условия F.20) представляют собой данные
Коши для системы уравнений F.10) и, следовательно, определяют
полностью все движение газа внутри ударной волны. Согласно
F.19) определяется р, конкретизирующая формулу для перемен-
переменной \. Очевидно также, что заданием q определяется постоянная
а и этим самым доопределяется полностью закон выделения
энергии F.6). Таким образом, выбор значения q равносилен
установлению закона выделения энергии в центре симметрии.
С помощью краевых условий F.20) легко определить постоян-
постоянные в интегралах F.11), F.12) и F.13). После простых вычислений
получим
Сг = 0,
С =
2
ыC—2V)—3A>—1)
2 3~ш
0J (у + 1 )V+1 C — СО)'»'-
и при (о = 2,5
>-1)
X
_ 384 (Зу — 4)
F.21)
F.22)
6]
К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ И СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД
415
Если у = 4/3, то С3 — 0, и из интегралов энергии и адиабатич-
ности исключается переменная Я, что существенным образом
упрощает задачу. Если со = 2,5 и у = 4/3, то указанная выше
задача Коши разрешается с помощью одной квадратуры, вычис-
вычисляющейся в конечном виде.
Ниже приведены результаты численных расчетов для у — 4/3,
со =' 2,5 и для у = 5/3, со = 2,5 1).
Анализ решения при у = 4/3 и « = 2,5 показывает, что воз-
возмущенное движение газа возникает в результате точечного взрыва
с выделением конечной энергии в момент t = 0 в центре симметрии.
Величина выделившейся энергии возрастает с уменьшением q,
т. е. с увеличением интенсивности ударной волны. При 0 <^ q <^
<^ 1/36 у центра симметрии образуется сферический вакуум ра-
радиуса г*, причем г* = Х*г2, где постоянная Я* зависит только
от q и равняется значению параметра к на внутренней грани-
границе, на которой давление и плотность обращаются в нуль. Если
q ^> 1/36, то возмущенное движение газа после взрыва занимает
всю внутренность сферической ударной волны. При q ^> 1/36
плотность и давление в центре обращаются в бесконечность.
При q = 0 распределение характеристик газа совпадает с
распределением характеристик газа, изученным в § 15 главы IV,
для точечного взрыва в невесомой массе с переменной плотно-
плотностью при рг = 0.
Отметим, что переход от типа движения, продолжимого до
центра симметрии, к типу движения с образованием у центра
пустой расширяющейся сферы может происходить за счет различ-
различных факторов. В § 15 главы IV мы показали, что этот эффект воз-
возникает за счет усиления закона падения плотности, т.е. роста
показателя со (рх = А /г"), или для фиксированного со за счет
увеличения коэффициента Y-
В данном случае такой эффект возникает при постоянных
со = 2,5 и y = 4/3 за счет изменения параметра q, определяющего
количество выделившейся энергии в центре симметрии. Распреде-
Распределения характеристик движения при y = 4/3 и со = 2,5 для раз-
различных q представлены на рис. 135—142.
Легко проверить, что при y = 4/3 система обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений F.10) имеет решение
2 4я
-о- , 31 = ^о = const, М = -о—J
о о
— "97 ¦~о~^0. F.23)
где Мй — произвольная положительная постоянная.
!) Рассматриваемая задача для у = 5/3 и со = 2,5 с песколько иным под-
подходом путем численного интегрирования системы F.10) была изучена в рабо-
работе: С а г г us P. A., Fox Ph. A.,GaasF., К о р а 1 Z., The Propagation
of Shock Waves in a Stellar Model with Continuous Density Distribution. Ast-
rophys. J., v. 113, 1951, p. p. 496—518.
416
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
1Гл. VI
0,8
Ofi
02
q=ap
4-0,0
У
¦
r=
юг —;
05-~г
3
/
18
0,2
Рис. 135. Распределение скоростей в поле возмущенного движения газа.
Около цептра образуется пустая сфера с растущим радиусом г* = X* (q)r2.
Рис. 136. Распределение плотности в ноле возмущенного движения газа.
На внутренней границе плотность равна нулю.
§ 6] [К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ И СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД 417
Рг
o,s
!^
3
1
36
1,005
?\
0=1.
4 36
\
7
/
02
0,6
0,8
Рис. 137. Распределение давления в поле возмущенного движения газа. На
внутренней границе давление равно нулю.
Рис. 138. Масса газа как функция расстояния до центра симметрии. При
г = г* имеем М = 0.
418
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
Рис. 139. Распределение скоростей в поле возмущенного движения газа.
Движение продолжается до центра симметрии.
fB
/5
12
3,0
6,0
3,0
О
\
/
\
q=oj
\
\
аззз
——.
q>.
—¦—
3
1
3S
.
¦
¦
^-
Рис. 140. Распределение плотности в поле возмущенного движения газа.
В центре симметрии плотность бесконечпа при д > 1/36.
§ 6] К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ II СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД
419
/5
р_
Рг
/г
3,0
6,0
3,0
о
ру
\
\
1—
\
-
¦-0J33
ч
У=
ч>
¦
1
!
3?
-—
7--!-
36
Рис. 141. Распределение давления в поле возмущенного движения газа
В центре симметрии давление бесконечно при q > 1/36.
о,в
0,1
02
1
н
Ч>
1
36
4=0,0
>
У
/
у
Л
/
//
/
с/
0,6
W
Рис. 142. Масса как функция расстояния до центра симметрии.
420
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
Согласно формулам F.9) соответствующее точное решение урав-
уравнений с частными производными F.1) имеет вид
5?„
9? о
5?„
4я
2я
F.24)
В соответствующем движении плотность зависит только от вре-
времени и не зависит от радиуса. Решение F.24) является частным
случаем решения A5.24) главы IV при у — 4/3 и 6 = 0; величины
х и Ло связаны соотношением
1 2я
X =
9» о
При у = 4/3 и ю = 2,5 формулы F.20) дают
¦§*,
ЬОя J_ '
— + -<]
16(8 —<?)(! +67)
25-4'J
F.25)
Из условий на ударной волне F.25) следует, что при q = 1/36
имеем F2 = 2/3. Если теперь положить q =- 1/36 и приравнять
произвольную постоянную J/?o значению J?2, равному, согласно
F.25), —fnn, то найдем, что
я-100
то найдем,
4 8я
= z2 и
¦ = Л/,
Следовательно, при y = 4/3, со = 2,5 и q = 1/36 формулы F.24)
в простом виде дают точное решение рассматриваемой задачи
о вспышке. В этом случае решение F.24) можно написать в следу-
следующей простой форме
__ = ^ 1= F.26)
V.2 ' Рг ' Р2 ' ^2 • а
Полученное решение разделяет решения для движений с обра-
образующейся пустотой при q <^ 1/?6 и движений, продолжимых до
центра симметрии при q > 1/36. На графиках рис. 134—142 на-
нанесены также кривые для решения F.26).
С помощью точного решения A5.24) главы IV можно найти
в простой форме другие точные решения взрывного типа.
В самом деле, из решения A5.24) главы IV и краевых усло-
условий F.14) на ударной волне для щ, р2 и Jf% найдем, что эти условия
на основании формул F.2) удовлетворятся, если постоянные
§ 6] К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ И СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД 421
значения q, J?o, уг и со связаны соотношениями х)
Ч = б(^1°) ' g = I- (Tl+1)M , F.27)
причем закон движения ударной волны определен формулой
Условие на ударной волне для /?2 на основании A5.24) главы IV,
F.2), F.14) и F.28) дает равенство
3 —со
4
(f+v)
¦Pro
3 —со
2я C-
9 (ш-1)[6 —
. F.29)
Если со < 3, то соотношение F.29) может быть удовлетворено
в двух случаях
2TlB-Tl)
2я C-
F.30)
9 (со —1)[6 —Gl+ l)co]
— получается семейство решений, зависящее от ух; если ух =
= Y = 4/3, то решение, соответствующее соотношениям F.30),
совпадает с решением F.26)
2-.* = 0, 7-2(l-_L
„ _ со(б-со)
_ 6 (со — 1)F — со)
соGсо— 6)
6Gсо —6) '
2
9 (со —1)[6 — (
F.31)
Если Yi = Y> T0
У —-*-> а — 2,4, q =
16я
Т~
F.32)
В случае 2° получилось семейство частных решений для различных
х) При выводе F.27) и F.28) в условиях на скачке F.14) постоянная v
заменена на yv
Величину у в уравнениях F.1) можно рассматривать в некоторых случа-
случаях как показатель политропы, а в условиях на скачке полагать уг = cv/cv ф у.
422
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
о, однако для каждого со получаются неравные значения для
Y и 7! и только при со = 2,4 имеем у = Yi = 7/6.
В случае Iе распределение характеристик движения гача
внутри ударной волны для всех ух представляется формулами
F.26). В случае 2° получатся формулы
.М
Pi
Рг
X3; 1 =
F.33)
Следовательно, в случае 2° не только плотность, но и давление
за фронтом волны получились постоянными.
В обоих случаях движение газа продолжается вплоть до центра
симметрии, причем в первом случае р = 0 в центре, во втором
р = р2 (t). Если у = Yi — 7/6 — показатель адиабаты, то реше-
решение F.33) соответствует разрушению — динамическому взрыву —
неустойчивого равновесия без выделения энергии г). Энергия га-
газа, находящегося в возмущенном движении внутри взрывной вол-
волны, равна начальной энергии в равновесии.
Используя формулы A5.24), F.28), F.31) и F.32), запишем
решение F.33) в размерном виде
/*2
причем радиус ударной волны г2 дается формулой
r2 {t) = COnfAtju.
Рассмотрим теперь еще результат численного решения для
у = 5/3, соответствующего одноатомному или полностью ионизи-
ионизированному газу.
Результаты расчетов для y = 5/3 и различных численных зна-
значений q представлены на рис. 143—146.
Левые края значений Я = г/гг для кривых распределения
соответствуют Jf — 0, поэтому эти точки можно рассматривать
как внутренние границы, возникающие в центре симметрии в на-
начальный момент времени. Возмущенное движение газа можно
рассматривать как. результат вытеснения газа особым сферическим
поршнем — сферой, радиус которой г* вырастает от нуля по
закону
г* = \*г2, где X* (у, q, со) = const.
F.34)
х) Седов Л. И., О динамическом взрыве равновесия. ДАН СССР,
т. 112, № 2, 1957, стр. 211-212.
§ 6]
К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ II СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД
423
Функция Я* (y, q) для y = 4/3 и 5/3 при « = 2,5 представлена на
рис. 147.
При q ->- 0 рассматриваемое решение стремится к решению,
найденному в § 14 главы IV при отсутствии сил ньютонианского
тяготения.
При q = 0 имеем К* Ф 0 и X* зависит только от у; соответ-
соответствующие предельные значения г*/г2 = К* @, у) для у = 5/3
и 4/3 при со = 2,5 даны также на рис. 147.
0,70
Рис. 143. Распределение скоростей при у = 5/3.
Найдем асимптотическое поведение решения вблизи внутрен-
внутренней границы. На этой границе Л = 0, а так как г = г* — конеч-
конечная величина, то из F.9) следует, что при г -> г* имеем М -> 0.
Поэтому уравнения движения F.10) вблизи г ж г* стремятся
к уравнениям E.10) и E.11) главы IV. Физически это связано
с тем, что силы ньютонианского тяготения вблизи внутренней
границы малы и в пределе равны нулю.
Для получения асимптотических формул достаточно изучить
решения обыкновенных уравнений E.10) и E.11) главы IV вблизи
особой точки 7 = 6= 2/E — со), z = 0. В рассматриваемом
424
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
30
Рг
го
10
г-4
\
дЩЗЗЗ
\
\
\
\
\
9=0/
д=0,05
д=оог
\.
,0,01 ;0,Ь
¦—
05i орт
;о
1.0
Рпс. 144. Распределение плотности при у = 5/3.
0,2
Рис. 145. Распределение давления при у = 5/3.
6]
К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ И СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД
425
случае « = 2,5, поэтому б = 4/5. При q = 0 асимптотические
формулы вблизи внутренней границы (г~+г*) даны в § 14 главы IV
(формулы A4.17)).
(О
м
08
0,6
0,4
qz
о о,г о// оо о,в 1,0
Рис. 146. Масса газа как функция расстояния до центра симметрии.
У=
ч=
5
3
с*
g=L
д=Щ; 0,005/
-^
ч-Ч-
А/
V/
у
т А
у/
/
/
У
/
/
0,9
0,2
О
.
Ч
~~~— .
'" 3
\
0.1
0,3
0,2
Ф
0,3 д 0 0,01 0,02 0,03 q
Рис. 147. Зависимость радиуса внутренней границы от g = ajc* при
Y = 5/3 и у = 4/3.
Существует только одна-единственная интегральная кривая,
входящая в особую точку V = 4/5, z = 0 с асимптотическим за-
законом
Эта кривая соответствует решению о точечном взрыве при со = 2,5
и q = 0. Однако эта кривая соответствует С3 = 0. В рассматри-
рассматриваемом случае q Ф- 0, С3 =$= 0; поэтому необходимо воспользо-
воспользоваться другими решениями. Асимптотические уравнения других
интегральных кривых в плоскости z, V, входящих в особую точку
426
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
V = 4/5, z=0, вблизи этой точки имеют вид
. / 4 T7
= A[-T- — V
F.36)
где А —произвольная постоянная. Очевидно, что fi, __ <С !•
Справедливость формулы F.36) легко проверить непосредственно.
С помощью F.36) из интегралов F.11), F.13) найдем
ьу—в
= в 4--У
в =
5уС3
4А
1*-5
F.37)
С помощью интеграла F.12) и формул F.21) и F.22) постоянные
А, С2 и С3 выразятся через у, q и Я*. При у = 4/3 формулы A6.37)
неверны, так как в этом случае С3 = 0. Далее с помощью второго
уравнения из F.10) и F.37) легко найдем асимптотическую
формулу
~Р^~ = ~Т^~ = 12G-1) \~Ь~
На основании F.9), F.20), F.37) и F.38), соответствующие асимп-
)
тотические формулы при у
чин имеют вид
4/3 и г -> г* для размерных вели-
V
Н
Р
Р2
Р
Рг
М
7+1
~Г2
— 1 + 2?) В
5V—6
625ят (у
96? [27 — G— :
пуВ /г*\зГ12(у—1) r—i
0,192д
L
5?
F.39)
При g = 0 асимптотическое поведение решения изучено в § 14
главы IV; там было показано, что в рассматриваемом случае при
со = 2,5 <^ 3 давление на внутренней границе равно нулю, а для
плотности верна асимптотическая формула
Р2
2,5у—3,5
3?—3,5
6]
К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ И СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД
427
Из этой формулы вытекает, что при г —>• г* и у = 4/3 отно-
отношение р/р2 стремится к нулю. При у = 1,4 отношение р/р2 конеч-
конечно, а при у = 5/3 отношение р/р2 стремится к бесконечности как
А)
Из формул F.39) следует, что при со = 2,5, q ^> 0 и у Ф 4/3
на внутренней границе масса равна нулю, а давление конечно
и отлично от нуля. Последнее связано с отличием от нуля работы
сил давления на внутренней границе (работа, совершаемая сфери-
сферическим поршнем).
На основании полученных решений следует, что полная энер-
энергия возмущенного движения газа внутри ударной волны
конечна. Так как при у > 4/3 и со = 2,5 начальная энергия равна
отрицательной бесконечности, то в принятой идеализированной
постановке задачи получается, что эти движения вызваны выделе-
выделением в начальный момент времеяи бесконечно большой энергии
в центре симметрии. Эта энергия тратится на компенсацию началь-
начальной бесконечной отрицательной энергии и на создание возмущен-
возмущенного движения газа. Из соображений размерности очевидно, что
энергия возмущенного движения постоянна. Добавочная отрица-
отрицательная энергия, которой обладают мас^ы газа, Еахватываемые
ударной волной, компенсируется притоком энергии за счет ра-
работы сил давления на внутренней граничной сфере.
Если у = 4/3, то начальная энергия и энергия возмущенного
движения конечны и не зависят от радиуса ударной волны; в этом
случае давление на внутренней границе равно нулю. Энергия вы-
выделяется только в центре мгновенно в начальный момент времени.
Если со <^ 2,5, то согласно формуле F.3) начальная энергия
внутри любой сферы радиуса г2 конечна. Исследование задачи
и расчеты показывают, что при y = 5/3 и со = 1,4 или со = 2
получаются движения, соответствующие наличию сферического
поршня с давлением на поршне, отличным от нуля, причем работа
поршня W сравнима с начальной энергией газа Н : Н ^> 0 при
со = 1,4 и Н <^ 0 при со = 2.
Отношение W/\ H | растет с уменьшением q, т. е. с ростом
интенсивности ударной волны.
Отношение г*/г2, где г* —радиус поршня, также растет с
уменьшением q. Характерно, что давление на поршне больше,
чем давление на ударной волне р2, причем отношение р*/р% растет
с уменьшением q.
В рамках изученных автомодельных движений можно пост-
построить модели вспышек звезд при малых у, например при y — 7/6
или 4/3. Малые значения*^ можно'иногда рассматривать как по-
показатели политропы при непрерывном выделении тепла источни-
источниками, распределенными по объему газа.
428
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
Выше мы рассмотрели автомодельные движения. В линеаризи-
линеаризированной постановке можно рассмотреть различные неавтомо-
неавтомодельные движения, близкие к автомодельным х). При этом для
искомых характеристик, определяющих отличие решения от авто-
автомодельного, также можно указать конечные соотношения, ана-
аналогичные приведенным интегралам массы, адиабатичности и
энергии.
3. Динамический взрыв равновесия в случае нулевого градиен-
градиента температуры. Рассмотрим теперь задачу о динамическом взры-
взрыве равновесия совершенного газа для случая, когда за фронтом
ударной волны предполагается наличие интенсивного теплообме-
теплообмена и поэтому градиент температуры в области возмущенного дви-
движения газа предполагается равным нулю 2). Уравнения движения
в возмущенной области принимают вид
dp dpv 2pv
ir +
"Г
dv
dv
d,M
dr
dp_
dr
, * п дТ
- 4яг*р = 0, 1-
F.40)
Пусть в начальный момент времени имеется покоящийся газо-
газовый шар с распределением плотности
= Лг-« (А
F.41)
Из уравнений F.40) найдем равновесное распределение характе-
характеристик движения
VX = 0, ,#! =
_4я?_
3 — со
C — to) (<в—1)
F.42)
На ударной волне, распространяющейся по покоящемуся газу,
должны выполняться следующие условия:
Рг
ъ = Мъ р2 (с — v2) = рхс,\
Р2 (с — Щ? = Р\ + PiC2- Г
F.43)
Легко видеть, что система F.40) имеет следующее точное решение,
ограниченное ударной волной, на которой удовлетворяются
1) Лидов М.Л., К теории неустановившихся движений газа с уче-
учетом сил тяготения. ПММ, т. 19, вып. 5, 1955, стр. 541—550.
2) Рязанов Е. В., Примеры точных решений задач о распростране-
распространении взрывных волн в гравитирующем газе при нулевом градиенте температу-
температуры. ДАН СССР, т. 126, № 5, 1959, стр. 955—957.
§ 6] К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ И СВЕРХНОВЫХ ЗБЕЗД
условия F.43) и F.42):
429
2 r
УТ¦
1 1
9/
Р ="
(l.'Sco— 12) C —со)
V 4 Р--
3—со
162я/ш(со—1)
F.44)
причем начальная энергия газа, заключенного внутри сферы
радиуса г2, равна полной энергии движущегося газа за фронтом
ударной волны, и следовательно, нет никаких дополнительных
источников механической или тепловой энергии, вызывающих
рассматриваемое движение, если y и со связаны зависимостью
2(8@-15) F45)
У
Зсо
в случае со
5/2, со Ф 2, и если
У =
5/3—4
= A (J/3 + 4) ^2,65
13
F.46)
при со ^> 5/2.
Из F.45) следует, что при со <" 5/2 интересующие нас значения
Y и со заключены в интервалах 1 <^ y<C4/3, 30/13 <^ со <^ 5/2.
Таким образом, движение взрывного типа без выделения энер-
энергии в совершенном газе с начальным распределением плотности
F.41) возможно только при значениях ю и у, определяемых фор-
формулами F.45) и F.46).
При со = 2,4 из F,45) получаем, что y = 7/6. В этом случае,
описанном в пункте 2 этого параграфа, в результате динамиче-
динамического взрыва равновесия возникают адиабатические движения
совершенного газа. Условие адиабатичности при этом совпадает
с четвертым из уравнений F.40).
Если ю = 2,5, у = 4/3, причем уравнения движения имеют
вид F.40), то при выделении в центре звезды энергии Ео =
— 2^- п2А2/ также возникнет неустановившееся движение, давае-
430
ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРОБЛЕМАМ АСТРОФИЗИКИ
[Гл. VI
мое формулами F.44), которое сопрягается через ударную вол-
волну с областью покоя, где распределение характеристик газа имеет
вид F.42).
Рассмотрим еще задачу о динамическом взрыве равновесия
без выделения энергии в некоторой идеальной двухпараметри-
ческой сжимаемой среде 1), внутренняя энергия которой имеет вид
Ч
e (p, p) = ~ {-~T + BxMni + в2яп* + cxpm + a
D (q) ЯЧ>т dq + J [В (К) Я]х + С (h) P~
p
Po
F.47)
в предположении, что уравнения движения в области возмущен-
возмущенного движения имеют вид F.40), а начальное распределение плот-
плотности дано зависимостью F.41), где 1 <^ ю <^ 2,5. Решение этой
задачи, удовлетворяющее условиям F.42) и F.43), дается форму-
формулами F.44).
Приравнивая начальную энергию газа, заключенного
внутри сферы радиуса г2, полной энергии движущегося газа за
фронтом ударной волны, находим уравнение F.45) для нахожде-
нахождения константы у, трансцендентные уравнения для определения
констант пъ щ, т и функции s (q) при заданном q
5 — 2<в — щ + 2 A — со) s (q) =
(О)
13co— 12
F.48)
и условие, накладываемое на функции В (h), С (h) и Dt (h) (i =
= 1, 2,. . , I)
i
а (со, h) B(h) + fi (со, h) С (h) + ^ Si (<». Щ D{ (h) = 0, F.49)
t=i
l) К очи на Н. И., О динамическом взрыве равновесия в некоторых
идеальных средах при нулевом градиенте температуры. ДАН СССР, т. 148,
№ 1, 1963, стр. 57-60.
§ 0] К ТЕОРИИ ВСПЫШЕК НОВЫХ И СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗД
где обозначено
431
C —co)(w—
А_
р.)
X
X
13@—12
3@
3 —со
1
Р («- й) =
C — (о) (со—1) I ('1—(о) (ш—1)р0
1/13@ — 12
2A—ш)
5 — о B + К)
X
X *, з
@
2A—ш)
1
V
5 — со B+ Л) J
/^4_\ ' Г 2яЛ2/ -1!
_1) ^ро j L C—(о) ((о— 1)р„ J
х
X
3 13 — (о
1
5 —(оB+
F.50)
Величины g>oi Чъ ^л, входящие в формулу F.47), должны удов-
удовлетворять некоторым неравенствам. Константы Въ В2, Cl5 C2
и функции D (h), В (/г), С {h), Dt {h) (i = 1, 2 ,. . ., I — 1) произ-
произвольны. Чтобы течение было физически реальным, на эти констан-
константы и функции должны быть наложены некоторые дополнительные
ограничения. Температура Т находится интегрированием линей-
линейного дифференциального уравнения в частных производных пер-
первого порядка
где е (р, р) определяется выражением F.47).
При выполнении условий F.45), F.48) — F.50) динамический
взрыв в покоящейся среде с внутренней энергией вида F.47)
происходит без выделения энергии.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрамович Г. Н. 375
Амбарцумян В. А. 391, 393
Бакки (Виску) 62
Бам-Зеликович Г. М. 233, 239, 268,
269
Баренблатт Г. И. 176
Бафф (Buff J.) 394
Вертело (Berthelot M.) 193
Бетчелор (Batchelar G. К.) 157, 159
Бехерт К. (Bechert К.) 176
Биркгоф Г. (Birkhoff G.) 8
Блазиус (Blasius H.) 124, 168
Вольцман (Boltzmann L.) 17
Бриджмен (Bridgman P. W.) 53, 54
Броуд (Brode H. L.) 246, 280
Брушлинский Д. Н. 279
Буссипеск (Boussinesq J.) 53
Вагнер (Wagner H.) 101
Ван (Wan С. А.) 158, 159, 160
Вармус (Warmus M.) 8
Васецкая Н. Г. 174, 175
Вебер (Weber W.) 24, 380
Вивер (Weawer R.) 394
Владимиров А. П. 86, 91, 96
Власов О. Е. 226
Власова 3. П. 280
Воробьев А. Г. 63
Вьей (Vieille P.) 193
Гааз (Haas F.) 415
Гаген (Hagen G.) 43, 46
Голдстейн (Goldstein H.) 280
Гриб А. А. 195, 227
Григорян С. С. 220
Гродзовский Г. Л. 121, 220, 252
Гудрайк (Goodrike J.) 381
Гук (Hooke R.) 23
Гюгонпо (Hugoniot H.) 331
Давиденков Н. Н. 62
Дарси (Darcy H.) 166
Джине (Jeans J. H.) 68
Дибай Э. А. 394
Дробот (Drobot S.) 8
Дуайер (Doyere Ch.) 80
Дюкалов А. Н. 121
Дюрэнд (Durand W. F.) 171, 172
Жонкьер (Jonquieres E.) 91
Жуге (Jounguot E.) 193
Зельдович Я. Б. 226, 334
Золингер (Solinger A.) 394
Иоселевич В. А. 174, 175
Казакова Р. К. 277, 280
Каплан С. А. 394
Карликов В. П. 271
Карман (Karman Th.) 134—136, 138,
143, 146, 166, 169, 174
Каррус (Karrus P.) 415
Кастор (Castor J.) 394
Катанский В. В. 63
Квашнина С. С. 228
Келлер Л. В. 128, 134
Кеплер (Kepler J.) 22
Кибель И. А. ИЗ, 118, 127
Клапейрон (Clapeyron В. Р. Е.) 35, 67
Колмогоров А. Н. 145
Кондрашова И. Л. 280
Конт-Белло (Compte-Bellot G-) 157
Копал (Kopal Z.) 415
Корнеев А. И. 144, 155, 157, 162
Коробейников В. П. 9, 207, 268,
269, 271, 282, 287, 302, 308
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
433
Корсэн (Corrsin S.) 157
Кочин Н. Е. 86, 101, 105, ИЗ, 118,
127, 238
Кочина II. Н. 210, 220, 223, 252,
271, 282, 294, 430
Коши (Cauchy A. L.) 178
Крашенинникова Н. Л. 220
Крепе Р. Л. 97
Крюссар (Crussard) 193, 334
Кулон (Coulomb С. Л.) 24
Раппопорт (Rappoport S.) 394
Рейнольде О. (Reynolds О.) 41
Релей (lord Rayleigh; Strut J. W.)
6, 53, 54, 55
Риман Б. (Riemann В.) 334
Розе Н. В. 113, 118, 127
Росселанд (Rosseland S.) 316, 384, 406
Рыжов О. С. 269
Рябушинский 53—56
Рязанов Е. В. 9, 282, 302, 428
Ландау Л. Д. 119, 238, 286, 334
Лаплас (Laplace P. S.) 26
Лс-Шателье (Le Chatelier H.) 193
Лидов М. Л. 201, 207, 315, 428
Ликудис (Likoudis P. S.) 174
Лииг (Ling S. С.) 158, 159, 160
Липшитц (Lipschitz R.) 176
Лифшиц В. М. 119, 238
Лойцянский Л. Г. 124, 135, 136,
140
Лохии В. В. 133
Любимов Г. А. 176, 344
Маккрой (McCray R.) 394
Максвелл (Maxwell С.) 16
Маллард (Mallard E.) 193
Масевич А. Г. 381
Мельникова Н. С. 9, 220, 223, 252,
269, 271, 278, 282, 294, 302
Миллионщиков М. Д. 126, 140
Михельсои В. А. 193, 194
Мустель Э. Р. 391, 393
Навье (Navier II.) 67
Нейман (Neumann J.) 280
Никурадзе (Nikuradse J.) 166
Ньютон (Newton I.) 21 и д.
Охоцимский Д. Е. 280
Паренаго П. П. 381
Пилипенко В. Н. 175
Покровский Г. И. 62
Праидтль (Prandtl L.) 79, 122, 106,
169, 171, 172
Пуазейль (Poiseuille J. L.) 43, 46
Пуасон (Poisson S. D.) 60
Сакураи (Sakurai A.) 278
Саламахин Т. М. 282
Северный А. Б. 391, 393
Седов Л. И. 12, 86, 91, 95, 96, 101,
121, 133, 136, 143, 175, 176, 190,
202, 220, 228, 243, 250, 278, 320,
333, 343, 358, 370, 395, 408, 422
Сетерленд (Sutherland С.) 68
Сибгатуллин Н. Р. 318
Сидоркина С. И. 9, 265, 290
Слезкин Н. А. 119
Соболев В. В. 391, 393
Соломахова Т. С. 279
Стантон (Stanton Th.) 166
Станюкович К. П. 176, 210, 316
Стоке (Stokes G.) 51, 67
Стрёмгрен (Stromgren В.) 395
Струхаль (Strouhal V.) 73, 79
Стюарт (Stewart R. W.) 157, 161
Таганов Г. И. 269
Таунсонд (Townsend А. А.) 159, 161
Тейлор Дж. (Taylor G.I.) 81, 134,
142, 246
Тспфер (Tapfer С.) 124, 125
Токарев В. В. 121
Толстых А. И. 121
Тулусян (Touloucian Y. S.) 69
Фокс (Fox P.) 415
Фридман А. А. 134
Фрич (Fritsch W.) 166
Фруд (Froude W.) 78, 79
Фэйдж (Fage A.) 126
Хансен (Hancen M.) 126
Хильзеират (Hilsenrath J.) 69
Хоуарт (Howarth L.) 134—136, 138,
143, 146
Хуанг (Huang Т. Т.) 158—160
434
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Чапдрасекар (Chaudrasekhar S.)
395
Чаплыгин 10. С. 86
Чепмен (Chapmen S.) 193
Черный Г. Г. 228, 343
Чертов А. 15
Чушкин П. Н. 282
391, Эйлер Л. 177, 371
Эйхен (Euchen A.) 69
Эпштейн Л. А. 86
Юнг (Young Т.) 60
Шевалье (Chevalier R. А.) 409
Шефтор Г. М. 342
Шлихтинг (Sclilichting H.) 79
Яворская И. М. 9, 228, 408
Якимов 10. Л. 342
Яцеов В. И. 120
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автомодельность 110 и д., 178, 184,
185, 207
— пространственных задач! 10 и д.,
176 и д., 207
— точечного взрыва для идеальных
сред 269
Астрофизяка 378 и. д.
Био — Савара закон 24
Блазиуса формула 168
Блеск звезд 379
Больцмана постоянная 17
Бомба атомная 246, 247, 256, 265
Вебера закон 24
Величина абсолютная визуальная 380
— безразмерная (отвлеченная) 13,
14
— звездная 379, 380
— — болометрическая 380
— — видимая 380
— размерная 13, 14
Величины размерно зависимые 29, 31
— — независимые 29, 31
Вентилятор идеальный 375
Взрыв в запыленной атмосфере 265,
267
— в идеальных средах 269
— периферийный 252
— равновесия динамический 422,
428
— с учетом противодавления 274
и д.
— сильный 182, 211, 243 и д.
— — в среде с переменной плот-
плотностью 296
— — с учетом теплопроводности 267
— точечный 182, 271
Винт идеальный 371, 375
Водослив 39
Волна разрежения 240
— ударная 187, 196 243, 245
Волны на поверхности несжимаемой
жидкости 101
Воронка при взрыве 292
Время динамическое характерное 274
Вырождение турбулентности 136,
146, 155
Гагена-Пуазейля течение 43, 46
Газовая машина 343
— постоянная 17
Гидродинамическая машина 358
Гипотезы подобия Кармапа 136
Глиссирование 84 и д.
Горение 181, 233
Градус Цельсия 17
Граница рикошетирования 96
Гука закон 23
Давление максимальное при взрыве
287, 289
Дальность полетов и размеры само-
самолетов 83
Дарси формула 166
Двигатели авиационные, их рацио-
рациональные размеры 84
Двигатель воздушно-реактивный
343, 348, 370
— — — идеальный 370
— — — прямоточный 343, 371
— газотурбинный 358, 368, 369
— турбовинтовой 343, 371
— турбореактивный 343, 371
Движение автомодельное 111 и д.,
176 и д., 269, 315, 316
— газа в ударных трубах 241, 242
— — одномерное 320 и д.
— гравитирующей массы газа 409
— жидкости в трубах 40—46
— корабля 76
¦— ламинарное 43 и д.
— предельное к автомодельному 207
436
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Движение тела в жидкости 46
— — — — неустановившееся 71
и д.
— — — — установившееся 67 и д.
— турбулентное 43 и д., 126 и д.
— — в аэродинамической трубе 141
— — с большими пульсациями 143
— — установившееся 162
— тяжелой жидкости 39
Движения подобные 57 и д.
Детонация 181, 191, 225
— сферическая 225
Дефект скорости 163
Динамический взрыв 408, 422, 428
Диффузия вихрей в вязкой жидкос-
жидкости ИЗ
Диффузор 344
Длина динамическая характерная
274 283
Единицы измерения основные (пер-
(первичные) 14, 16—18, 29, 32
— — производные (вторичные) 14
Задача Буссицеска 53, 111
Закон Био — Савара 24
— Вебера 24
— Вебера — Фехнера 380
— всемирного тяготения 22
— Гагсна — Пуазейля 45, 46
— Гуна 23
— Кулона 24
— закон Ньютона второй 21 и д.
— подобия Фруда 79
— Пуазейля 46
— сохранения энергии 26, 203
— Стокса 51
Законы асимптотические затухания
ударных волн 334 и д.
— вырождения турбулентности 146,
155
— Кеплера 22
Звезды карликовые 386
— новые 385, 408
— неременные 381
— повторные 386
— сверхновые 386, 408
Импульс при взрыве 287 и д., 289
Инвариант Л и масштаб турбулент-
турбулентности 136
Интеграл адиабатичностн 201
— импульса 206
— масс 199
Интеграл энергии 202
Истечение тяжелой жидкости через
водослив 39
Калория 17
Камера сгорания 343
Кеплера законы 22
Клапейрона уравнение 35, 67
Колебания газовых шаров под дей-
действием сил гравитации 318, 319
— гармонические кинематически
подобные 73
— упругого крыла ц поступатель-
поступательном потока 74
Компрессор 343, 358, 360
Коэффициент вязкости 41
— корреляция 138
— остроты 78
— полезного действия двигателя
действительный 370
— — — — идеальный 370, 376
— — — полетный 370
— полноты призматический 81
— проиульсивный 81
— Пуассона 60
— сопротивления трубы 42
— теплоемкости 17
— трения 79
Кулона закон 24
Масса 22, 23
— звезды 394
Масштаб и удельный вес двигателей
84
Машина газовая 343
— центробежная 61
Маятник математический 36
Механический эквивалент тепла 17
Микромасштаб тейлоровский линей-
линейный 151
Моделирование 17, 56
— аэростатов 63, 64
— взрыва 287 и д.
— — в грунтах 292
— движение тела в жидкости 67—72
— компрессоров 364—366
— равновесия упругих конструкций
60
— центробежное 61
Модель гидростатическая аэростата
63, 64
Модуль Юнга 60
Моменты связи 131
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
437
Неустойчивость глиссирования про-
продольная 95
Ньютона второй закон 21 и д.
Обтекание тел 46 и д., 122
Осреднение параметров состояния
и движения газа в каналах 343
— турбулентных движений 126
Относительная поступь впита 71
Падение вертикальное на воду 96
Парадокс Даламбера—Эйлера 371
Параметры, определяющие класс яв-
явлений 32, 33
— торможения 361 , 362
Парсек 380
Перегрузка 13
Переменные безразмерные 186
Период пульсаций цефеид 382, 405
Пластинка килеватая 87, 88, 90
Погружение в жидкость конуса и
клина 99
Подобие динамическое 56
— кинематическое 71, 72, 129
— физическое 56
Показатель адиабаты, влияние на
взрыв 256, 262, 263
Полнота системы определяющих
параметров 35
Поршень 180, 211, 220
Постоянная Больцмана 17
— газовая 17
— гравитационная 18, 19
— Сеторленда 68
Поток газа канонический 344, 347
— импульса 345
— массы (массовый расход) 344
— момента количества движения
345
— полного теплосодержания 345
— турбулентный 43 и д., 126 и д.
— — изотропный 130 и д.
— — однородный 130
— энтропии 345
Правило Чепмена — Жуге 193
Прандтля — Шлихтинга формула 79
Производные характеристик одно-
одномерных неустановившихся движе-
движений по координате 330 и д.
Прочность и размеры конструкций 63
Пуазейля закон 46
Пульсация звезд 319
Пустота в центре при взрыве 253
детонации 227, 229
— — — — распространении пла-
пламени 238
Путь перемешивания 171
Радиусы звезд 394
Разлет газа от точки 180, 223
Размерность 15
Распад произвольного разрыва в
горючей смеси 182, 238
Распространение пламени 181, 191,
233
Режим ламинарный 43 и д.
— турбулентный 126 и д., 141, 162
и д.
Рейнольде» число 42, 43, 58, 78
Рикошет водяной 91
Светимость звезд 380. 394
Сила 23, 24, 25, 27
— взаимодействия электрических
зарядов 24
— магнитного напряжения 24
¦— трения 24
Силы инерции 27
Система единиц международная 15
— — техническая 14, 15
— — универсальная 19
— — физическая 14
— определяющих параметров 34 и д.
Скорость, зависящая линейно от ра-
радиуса 308
— касательного напряжения тре-
трения 162
— ударной волны 243, 245, 246
— флаттера критическая 76
Слой пограничный при обтекании
плоской пластинки 122
Сопло реактивное 344
Сопротивление остаточное 79
— трения 78, 87
Состояние торможения 348, 349
Стоимость перевозок на кораблих
83
Стокса закон 51
Струхаля число 73, 76
Температура звезд 389
— и скорость за скачком 195
Теплоотдача тела в потоки жидкости
53
Теплопроводность 267
Течение Гагена — Пуазейля 4.4
Труба аэродинамическая 50, A0, 141
— ударная 241, 242
Трубка тока 345
Турбина 343
Турбулентность 43 и д., \21 И Д.,
162
— в аэродинамической труЛо 14l,1fiN
438
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Турбулентность изотропная 130, 156
— однородная 130
Угол дифферента 85
Удар о воду 91 и д.
Уравнение импульсов 346
— Кармана — Хоурта 138
— Клапейрона 35, 67
— Навьо — Стокса 07
— притока тепла 67, 390
— расхода (неразрывности) 07
— состояния при взрыве 269
— теплопроводности 140
— энергии 203, 346
Уравнения равновесия и двмжоннл
массы газов, моделирующей звез-
звезду 388
Ускорение силы тяжести 16
Условия Гюгонио 331
— мехавического подобия 57, 58, 69
— на ударной волне 185, 187—190,
196
— на фронте дзтопации и фронте
пламени 191
Условия подобия, определяющие ха-
характеристики компрессоров 358
Устойчивость глиссирования 96
— обтекавия упругого крыла 75, 76
Флаттер крыла 74
Фокусирование газа в точке 180,
223
Формула Блазиуса 168
— Дарсп 166
— Прандтля — Шлихтинга 79
Формула размерности 20 и д.
— Сетерленда 68
Фруда закон подобия 79
— число 78
Характеристики потока в газовых
машинах интегральные 354, 357
Центрифуга 01
Цефеиды 319, 381
Чепмена — Жуге правило 193
Число Рейпольдса 42, 43, 58, 78
-- — критическое 43
— степеней свободы 69
— Струхаля 73, 76
— Фруда 78
Эквивалент тепла механический 17,
53, 55
Энергия атомной бомбы 265
— гравитационная 410
— кинетическая 26
— покоящегося газа 410
— полная при движении газа 202
— потенциальная 26
Эффект Доиплера 353
— масштабный 57
Эффективная мощность 81
Яркость звезд 379
я-тоорема 31
Jlcotiud Иванович Седов
МЕТОДЫ ПОДОБИЯ
И РАЗМЕРНОСТИ В МЕХАНИКЕ
М-, 1977 г., 440 стр. с илл.
Редактор В. В. Розанцева
Техн. редактор Л. В. Лихачева
Корректор В. П. Сорокина
Сдано в набор 19.01.1977 г.
Подписано к печати 09.06. 1977 г. Бумага 60х90Ч,6.
Физ. печ. л. 27,5. Уоловн. печ. л. 27,5. Уч.-изд. л. 28,06.
Тираж 800Оэкз. Т-08483. Цена книги 2 р. 10 к.
Заказ № 1898
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука»
Москва, Шубинский пер., 10