Текст
                    КЛАССИЧЕСКАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
ПО МАТЕМА1ИКЕ


П. С. АЛЕКСАНДРОВ


КУРС


АНАЛИТИЧЕСКОИ
rЕОМЕТРИИ



ИЛИНЕИНОИ
АлrЕБрыI


.


УЧЕБНИК


Издание второе,
стереотипное


ь
ЛАНЬ@
САНКТ
ПЕТЕРБурr. МОСКВА. КРАСНОДАР
2009





ББК 22.143, 22.151.5 А46 Александров п. с. А 46 Курс аналитической rеометрии и линейной ал rебры: Учебник. 2 e изд., стер. СПб.: Издатель ство «Лань», 2009. 512 с., ил. (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 978-5-8114-0908-2 Книrа представляет собой учебник по объединенному курсу аналитической rеометрии и линейной алrебры для университе тов. Наряду с традиционной тематикой книrа содержит OCHOB ные сведения из мноrомерной аналитической rеометрии, вклю чая аффинную классификацию rиперповерхностей BToporo по рядка. Кроме Toro, в книrе излаrаются простейшие понятия rеометрии n MepHoro проективноrо пространства. Учебник рассчитан на студентов математиков и CTyдeHTOB физиков университетов и пединститутов, а также на все KaTero рии читателей, серьезно интересующихся математикой. ББК 22.143, 22.151.5 Обложка А. ю. ЛАПШИН Охраняется законом рф об авторском nраве. Воспроизведение всей кни2и или любой ее части запрещается без nисьмеНН020 разрешения издателя. Люб ые попытки нарушения закона будут nреследоваться в судебном порядке. @ Издательство «Лань», 2009 @ п. с. Александров, наследники, 2009 @ Издательство «Лань», художественное оформление, 2009
оrЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . . . . .... ............ .... ..... .... Ч А С Т Ь 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ rЕО1\\ЕТРИЯ ....... r л а D а 1. Простейшие понятия ана 1итиqеской rеометрии 1. Векторы На плоскости и в про транстве .... 2. П роекции ......................... 3. Кол.Т'Iин арныс и Коt,JПЛ2нарные векторы; координаты относите.т:ьно данноrо базиса ......... 4. Координаты н а плоскости и в пространстве .. э 5. Прямая .'IИНИЯ в П..l0СКОСТИ ........... 6. Плоскость и пр ямая D пространстве ...... [сктора . . . r л а в а II. ПараБО.ТIа. Э..1ЛИПС. rиперБО lа ... 1. Пар а бо .ТIa .............. э 2. Элли пс ............... 3. rипербола ................ 4. Директрисы эллипса и rиперболы ................. 5. Фокальный параметр. Уравнсния эллипса, rиперболы и параболы в полярных координатах ...................... . . . rЛ8ва 111. Преобразование координат. Движения и аффинные преобра.. 30 ван и я .........,...................... Переход от одной аффинной системы координат к др уrой Переход от ОДНОЙ ПрЯ 10уrольной системы КО()Р;l.ИН2Т I{ друrоЙ. Ориентация пространства (плоскости) ............... Yr.rrbI Эй..ТIера ............................ Определение движения и аффинноrо преобразования плоскости и пространства ........................... Преобрэзование векторов при аффинном преобразоnании плоско.. сти пространства. Основные свойства аффинных преобразо.. в а н и I{ . . . , . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Аналитическое выражение аффинных преобразоnаний ...... r л а в а IV. Алrебраические пииии и поверхности. Комплексная плос- кость и комплексное пространство ................ 1. Определен ие алrебраических линий и поверхностей ....... 2. ПреобраЗОВ2ние мноrочлена второй степени при преобразовании координат ......................... 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей 9 4. Комплексная П.ТIоскость и комплексное пространство ...... 5. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и кони. ческие поверхности. Поверхности вращения ..,........ ..... 7 . . 9 9 9 14 18 23 41 55 69 69 72 75 80 85 89 89 91 96 103 105 107 113 116 116 119 1:24 126 132
4 оrЛАВЛЕНИЕ r л а в а V. Различные ВИДЫ кривых BToporo порядка .......... 9 1. О ЛИНИЯХ, определяемых уравнениями второй степени с двумя неизвестными ....................... 2. Инварианты мноrочл€на второй степени 3. Центральный случай ............ 4. Параболический случай: б О .......... 5. Аффинная классификация кривых BToporo порядка . . . r л а в а VI. Общая теория кривых BToporo порядка . . . . . . . э 1. Асимптотические направления кривых BToporo порядка .... 2. Пересечение кривой BToporo порядка с прямой неасимптотичес- Koro направления. Касательные .................. 3. Пересечение кривой BToporo ПОрЯДl{З с прямой асимптотичеСI<оrо направления. rеометрическая характеристика асимптотических и неасимлтотических на правлен ий ................ 4. Центр кривой BTcporo порядка .................. 5. Диаметры I<рИВОЙ BToporo порядка ................ 6. Взаимно сопряженные веI{ТОРЫ (направления). Диаметры и каса- те J1 ь Н ые ............................... 7. Вид уравнения кривой. если оси координат имеют сопряженные направления ............................ 8. Теорема единственности для кривых BToporo порядка. О полноте системы ортоrональных инвариантов ............... 9. Оси симметрии и rлавные направления кривой BToporo порядка 10. Основная теорема об аффинных преобразованиях . . . . . . . . r л а в а VI 1. Краткое описание различных видов поверхностей 8Toporo порядка ................ 1. Распадзюшиеся поверхности 2. Цилиндрические поверхности З. Конусы BToporo порядка ........ 9 4. Эллипсоиды и rиперболоиды 5. Параболоиды .......... 6. Прямолинейные образующие . . . . . r л а в а VII]. Общая теория поверхностей BToporo порядка. I ..... э 1. PaHr и детерминант малой и большой матрицы мноrочлена вто- рой степен и ............................. 2. Пересечение поверхности BToporo порядка с плоскостью ... 3. Пересечение поверхности BToporo порядка с прямой. Асимптоти- ческие направления. Касательные прямые и касательная плос- кость. Особые точки поверхности BToporo порядка ....... 4. Асимптотические направления, конус асимптотичеС1\ИК направ- лений, лрямолинейные образующие поверхностей BToporo поряд- ка ........................... 5. Центр поверхности BToporo порядка ........ r л а в а I Х. Общая теория поверхностей BToporo порядка. 11 1. Диаметральные плоскости. Особые нап рав.ления . 2. Диаметральные ПЛОСКОСТИ поверхностей различных видов 3. Сопряженные направления ............... 4. Уравнение поверхности Broporo порядка относительно коорди" натной системы с сопряженными направлениями осеЙ ..... 9 5. Теорема единственности ...................... 9 6. r лавные направлени я ....................... э 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности BToporo пор ядка ............................... В. Аффинная классификация поверхностей BToporo порядка ... . . 140 141 145 150 153 156 160 160 165 . . 167 169 172 174 178 181 186 192 195 195 197 )98 201 208 212 218 218 220 222 226 2,,5 240 240 247 251 253 254 257 264 275
оrЛАВЛЕНИВ r JI а в а Х. Проективная ПnОСКОСТЬ. Kp IBble BToporo порядка на "роек- тивной плоскости .......................... 1. Перспективное соответствие между плоскостыо и связкой ... 2. Однородные координаты точек на плоскости и лучей в связке 3. Координаты прямой, арифметическая проективная плоскость, общее определение проективной плоскости ............ 4. Принцип двойственности для проективной плоскости ..... 5. Проективная система координат в связке и на проективной плоскости ............................... 6. Проективные преобразования и отображения проеКТИВIiОЙ плос.. 7. 8. 9. кости ............ Кривые BToporo пор ядка на единственности ....... Пересечение кривой BToporo асимптоты .......... Проективная классификация ............ просктивной плоскости. Теорема порядка с прямой. Касате.пьные; . .................. крив х BToporo порядка ..... Ч А С Т Ь 11. ЛИНЕЙНАЯ АлrЕБРА 5 280 281 283 288 292 296 ЗО 315 320 325 r JI а в а Х 1. Линейные пространства ...... . . . . . . . . .. 330 9 1. Определение линейноrо пространства ...... . .. 330 Э 2. Размерность. Базис. Координаты . . . . . . . . . . . 335 3. Теорема об ИЗО:\10рфизме между любыми ДВУ:\1Я .'1инеЙ ными про. странствами одной и той же размерности ......... 338 4. ПОДПрОСТрЭlIстпа линей Horo простра нства. Да '1ьнеЙШJfе теоремы о линеЙной зависимости векторов и о базисе липеЙноrо про- стра нства .............................. 339 5.. Алrебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств 344 Э 6. Теорема о paHre матриuы ...................... 346 Э 7.. Системы линейных однородных уравнениii .. . . . 349 Э Вь Комплексификаuия н овеществление ......... . . .. 354 r л а в а Х I 1. Аффинное п..мерное прос.rраиство ............. 358 1. Опредсление п.McpHoro аффннноrо просr'ранства .......... 358 9 2. Системы координат. Арифметическое аффинное пространство. Изоморфизм B ex п l\.H.:'pIIUIX пространств между собой ..... 360 Э 3. ,-мерные плоскости п MepHoro аффинноrо пространства; т-мерные па р аллелепипеды .......................... 362 4. rеометрически llезависимые СНСТС:\1Ы точек. Барицентрические координаты СИl\1Плексы ........... . . . . 366 9 5. Системы линейных уравнений ................... 372 . rлзва XJII. Линейные отображения..... .......... 378 1. Определение и простсйшие свойства линейных отображений 378 2. Матрица линейноrо отображени я . . . . . . . .. 380 3. Действия с линейными оrrератирами ..... .. . . . . .. 382 Э 4. Ядро и образ ЛИ нейноrо опера тора ..... .. . . . . .. 384 5. Инвариантные подпространства и собственные векторы линей. Horo оператора ........................... 387 r л а в а XIV. Линейные, билltllейные и квадратиqные ФУНКЦИИ на линей- ны х пространствзх ......................... 395 1. Л и н е й н bl е фу JI К Ц Н И ............................ 395 2. Билинейные функции и билинеЙные формы ............. 400 З. Матрица билннейной н квадраТИЧ1l01f формы и re прео6разова. нне при переходе к новому баЗIIСУ ................. 403
6 or ЛАВЛЕНИЕ 6. 7. 8. PaHr билинейной и квадратичной формы (билинейной и KBaдpa тичной функции) .......................... Существование каноническоrо базиса для всякой квадратичной и всякой БИJ1инейной функции ( приведение квадратичных форм К каноническому виду ) ...................... Нормальный вид квадратичной формы ............. Закон инерции для вещественных квадратичны х форм .... Положительно определенные квадратичные функции и формы 406 4. 5. 408 412 413 414 r л а в а Х v. Каноническая форма 'nинейноrо оператора ......... 419 1. Жорданова форма .......................... 419 2. ,.. матрицы. ЭJlементарные преобразования л-матриц ...... 421 3. Нормальная форма л матрицы .................. 423 4. Теорема о приведении матриц оператора к канонической форме 428 r л а в а XVI. Евклидовы и унитарные пространства .......... 432 1. Положительно определенные эрмитовы функции В линеЙном пространстве ................. . . . . . . . . . . .. 432 2. Евклидовы И унитарные пространства и их простейшие свойства 436 З. Подпространства унитарных и евклидовых пространств. Opтoro- нальное дополнение. Ортоrональная проекция . . . . . .. 439 4. Линейные операторы В унита рном пространстве ........ 442 5. Структура ПРОИЭВОJ1ьноrо линейноrо оператора в евклидовом пространстве .................... . . . . . . . .. 447 r л а в а XVII. Преобразования аффинноrо пространства . . .. 450 1. Аффинные прео6раЗОВ8НИЯ ................ . .. 450 2. Движения вффинноrо евклидова пространства ......... 454 3. Классификация движений ..................... 457 r л а в а XVIII. fиперповерхности 8Toporo порЯдка в п..мерном аффинном пространстве ....................... 463 1. Общая теория rилер поверхностей BToporo порядка ...... 463 2. Классификация rиперповерхностей 8Toporo порядка ...... 471 r ла в а Х 1 Х. Элементы rеометрии n-мерноrо проективноrо пространства 479 1. Проективное пространство; ero плоскости и прямые ...... 479 2. Проективные координаты. Проективные преобразования .... 481 3. rиперповерхности BToporo порядка в п MepHOM просктивном IJрострэнстве. Теорема единственности .............. 486 4. Проективная классификация rиперповерхностей BToporo порядка 490 5. Проективно аффинная классификация поверхностей BToporo порядка в трехмерном пространстве .. . . . . . . . . . . . . 495 Предметный указате 1Ь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 505
ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книrа представляет собой учебник объединенноrо курса аналитической rеометрии и линейной алrебры для университетов. Книrа состоит из ЛВУХ частей. Первая часть посвя" щена собственно аналитической rеометрии и включает в себя первые десять rлав книrи. Во второЙ части (rлавы XI XIX) излаrается обязательный 1атериал из J1инейной алrебры и основные сведения из MHoroMep" ной аналитической rеометрии, включая простейшие ПОНЯ тия rеометрии n-мерноrо проективноrо пространства. Исходя из реальных целей университетскоrо препо- давания, а также будучи стесненным требованиями объема, я отказался от дублирования материала, ВХО" ДЯПlеrо в обязательный университетский курс алrебры. В первую очередь это относится к теории определите.. лей и матриu, а также к некоторым частным вопросам теории систем линейных уравнений. Книrу эту, предназначенную для университетских студеНТОIЗ-первокурсников, я старался писать так. чтобы она была доступна каждому студенту..... при единствен- ном условии, что он вообще склонен к I\1зтематике и желает серьезно заниматься ею. Из вещей, не входящих в проrрамму средних клас- сов общеобразовательной школы, этот «Курс» предпо- лаrает лишь знание комплексных чисел, так что книrа может служить и целям самообразования; я ДУI\.tаю. что она доступна всем тем учащимся старших классов cpeд ней школы, которые любят математику, интереСУfОТСЯ ею и rOTOBbJ шаr за шаrом ее изучать, не стремясь
8 ПРЕДИСЛОВИЕ ВО что бы то ни стало начинать это изучение с пости- жения так называемых «последних СЛОВ науки». Приношу искреннюю блаrодарность рецензентам этой книrи профессору Льву Дмитриевичу Кудрявцеву и академику АН rрузсср rеорrию Северьяновичу Чоrо- швили за ценные советы и замечания, которые немало u послужили улучшению предлаrаемои читателю книrи. Кроме Toro, я очень блаrодарен Алексею СераПИQНО- вичу Пархоменко за чрезвычайно ценные советы по пер- вой части этой книrи. Ero советы и предложения ока. зали большое влияние на ее окончательное формирование. Наконец, я блаrодарен моему ученику, научному сотруднику кафедры высшей rеометрии и тополоrии MOCKoBCKoro университета кандидату физика-математи- ческих наук В. И. Зайцеву за мноrообразную помощь, оказанную им при моей работе над этой книrой. П. Александров Москва, 27 декабря 1978 f.
ЧАСТ Ь 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ rЕОМЕТРИЯ rЛАВА 1 ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ rЕОМЕТРИИ 1. Векторы на плоскости и в пространстве 1. Определение. Алrебраические операции над векторами. Н аправ- леННblМ оmрезком называется упорядоченная пара точек Р и Q пространства. Первая из двух точеI{ называется началом направ- ленноrо отрезка, вторая ero кон.ЦОАt. Направленный отрезок называют короче вектором. Вектор с нача,,'10М Р и концом Q обозначается через PQ, точка Р называется точкой прuложения вектора PQ. Вектор, начало и конец KOToporo совпадают, называется нуле- вым вeKmopo/ l, и обозначается через О == АА (точка А при этом любая). Направление нулевоrо вектора не определено. Расстояние между точками А и В называется длиной или ;11,одулем вектора A B; модуль вектора 1113 обычно обозначается через I A B 1. Оп р е Д е л е н и е (равенство векторов). Вектор А 13 равен век- тору CD , если выполнено одно из следующих условий: 10 А==В и C==D. 20 А =1= В; точки С и D лринадлежат прямой АВ, причем : CD ! === == IA B I и ТОЧI{а D лежит с той же стороны от С, с какой точка В ........ от А (рис. 1). 30 А, В. С, D четыре различные точки, никакие три из кото- рых не принадлежат одной прямой; прямые АВ и CD параллельны, и прямая АС параллельна прямоЙ BD (рис. 2). Равенство векто- ров АВ и ('D записывается так: АВ == CD . Отметим следующие свойства отношения == между векторами: 1. АВ == Сй (отношение == рефлеКСИ8НО). 2. Если АВ == е6 . то со == АВ (отношение == симметрично). 3. Если АВ == CD и cl5 == ЕР , то АВ == ЕР (отношение == тран- зитивно ).
10 ПРОСТЕVfШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ Выполнимость свойств 1 .3 часто формулируют в следующем виде: отношение == есть отношение эквива.пентности. 4. Если .48 == CD, то I АВ 1=== I w 1. 5. Для ,,1Jобых трех точек А, В и С существует единственная точка [) такая, что Ав == ш. Рассмотрим неКQТОРЫЙ вектор АВ жество всех векторов, равных вектору вается классом эквивалентности. порожденным вектором АВ. Если CD принадлежит U, т. е. если сЬ === АВ , то каждый вектор из u равен вектору CD и все векторы, равные вектору CD , nринадле- А о в .: )r o----- D с о р НС. 1. и обозначим через U мно" АВ . Это множество назы- в с Рис. 2. жат U. Следовательно, u будет также и ]{лассом эквива.пеНТ4 ности, порожденным neKTOpO:v1 сй . Класс эквивалентности u представляет собой новый математи- ческий объект, и мы называем этот объект свободным вектором, лорожденным каждым из равных между собой векторов, состав.. ляющих данный класс. Мы будем часто писать U == АВ === Сй =:!... и ПОНИ 1ать под u как любой из равных между собой векторов АВ , CD и т. Д., TaI{ и весь образованный ими класс, т. е. свободный вектор. Определим теперь .пинейные операции над свободными BeI{TO- рами (сложение и умножение на число). 1 о Сложение пекторов. Пусть даны свободные векторы U 1 и U 2 . Приложим вектор U 1 к какой нибудь точке о: получим U 1 == ОА . Затем nриложим U 2 к точке А: получим U 2 == АВ. По определе- нию, вектор 08 == U З называется суммой векторов U 1 и U 2 (рис. 3), т. е. 08 ::::: ОА + АВ & Единственный элемент nроизволз, содержащийся в этом опредеJlе- НИИ. есть выбор точки О 'сочки приложения вектора и 1 8 Прила-
BE TOPЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАнства 11 rая вектор 01 к ка-кой-нибудь друrой точке О' (рис. 4), получим вектор (5; А ' == ОА == U 1 ; построим вектор А' В' U 2 ; вектор О' В ' :;;= ==o'A'+ A'В', очевидно, равен вектору ОВ ==М+ АВ . Если дан вектор u == оА , обозначим через u свободный Bel{- тор, порожденный вектором АО . Тоrда свободный вектор u + ( и) представляется вектором 00' и, А значит, равен О. о U 1 + 1.12 в 8 А О' U 1 + U z Р не. 4. Рис. 3. т е о р е м а 1. Сложение векторов обладаеfп следующими свойст- вами: 1. Для любых двух векторов u и v сущеСfпвуеm единственный вектор u + V называемый суммой векпl0РО8 u u v. 2.. Для любblХ U и v u + v == v + u (коымутативность сло- жения). З. ДЛЯ любых U, v и w (u +v) +w u +(v +w) (ассоциатив- ность сложения). 4. СущеспZ8уеm единственный 6ек/пор О, называемый нулевым вектором, такой, ЧlrlО 0+ u == U для всех о. 5. Для любосо вектора u суu еСПlвуепl единственный ве"mор ...... u та ОЙI Чlпо U + ( u) == О. ВеКЛlОр ........ u называется eeKтopo.4t t про- тuвопОЛОЖНblАt BeKпzopy и. АссоциаТИЕНОСТЬ сложения векторов позволяет rоворить о сумме трех векторов U 1 + и 2 + и а , понимая под этим Bel{TOp V == U 1 + (и 2 + uз) == (и 1 + u 2 ) + u з . По индукции может БыIьь опредеJlена и сумма любоrо числа век- торов и 1 + U 2 +. . . + U n ,
12 ПРОСТЕАШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ причем из ассоциативности следует, что, например, в случае четырех векторов мы имеем и 1 +U2 + uз + U4 111 + (U 2 +uз + U4) == (u x + Uз) + (u з + U4) == (и 1 + u 2 + uз) + и4. При этом В силу коммутативности можно произвольно менять порядок слаrаемых. Из сказаНllоrо вытекает следующее удобное на практике правило сло)кения любоrо числа векторов (<<правило замыкающеrо вектора»). Для Toro чтобы сложить дан.. ные п векторов. надо записать их в любом порядке: ПрИ lJОЖИТЬ первый вектор к ка.. кой нибудь точке О, а каждый следующий вектор к КОНЦУ пре.. дыдущеrо, так что и 1 == ОА х , А.; и 2 == А 1 А 2' ..., U n == Aп lA n (рис. 5). Тоrда сумма Ul+U2+... Рис. 5. . . . + и п есть замыкающий век... тор ОА п . 20 Умножение вектора на число. Определим теперь произведе ние вектора U на число л. Это произведение тоже является век.. тором и обозначается через ЛU. Если u * О и л> О. то выберем точку А, вектор u == АВ, при.. ложенный к точке А, и такую точку С, что С лежит на прямой АВ по ту же сторону от точки А, что и В и I АС 1=== л I АВ {. Тоrда ЛU свободный вектор t порожденный вектором АВ. Если u =1= О и 'А < О, положим \ I и 2 и\ А, и х , и 2 . .., Оп е j u == « л) и). Наконец, положим Ou == О для любоrо вектора U; лО === О для любоrо числа л. т е о р е м а 2. У .множение вектора на число обладает следgю щи.мu свойствами: 1. Для любоzо BeKrпopa U и л/обоzо числа 'Jv существует и eдин, ствен, вектор ли. 2. (Ах + Л 2 ) u == л. u + Л2U для всех чисел л'1 и Л2 и всех u. 3. (А 1 А 2 ) u == Л 1 (л 2 u) для всех чисел л'1 и и всех и.
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАнстве 13 4. ,,, (u 1 + U 2 ) == л'U 1 + '"u 2 для любых векторов и 1 u и 2 и Лl0(;ОсО числа л. 5. 1. U == U для лю60ёО вектора u. Выражение 1-1 U 1 + 1 2U2 +. . . + л'пUп, тде U 1 ' ..., U n векторы, а Л t , ..., '),'/1 какие IIибудь веществен ные числа, называется ЛUflеuной комбинацией векторов Ul, U2' ... . . ., U N С коэффициентами ""1' л'2' .. . , !vп. При п == 1 получаем просто вектор вида Л 1 U 1 . 2. ОСЬ. Координата вектора на оси. Пусть на прямой дан единичный вектор, т. е. вектор, который принят за единицу изме рения длин, а ero направление объявлено положительным на всей этой прямой. Тоrда мы rоворим, что наша прямая превращена в ось. Можно, очевидно, сказать и так: ось ecпlb прямая, на Koтo рой 8ыбрана единица измерения длин и одно из двух направлений названо положительным. Если это сделано, то всякий вектор ДЛИНbI единица и ПОЛО)l{ительноrо направдения и будет единичным век.. тором данной оси. Отношение лю6020 вектора U на данной оси к едuниЧflОМУ век.. тору этой оси называется алее6раичеСКU.,фt значением или коорди.. натой вектора U на даflНОЙ оси. Алrебраическое значение век.. тора АВ будем обозначать (АВ). Из этоrо определения непосред ственно BbITeKaIoT следующие предложения. 1. Два вектора на данной прЯА!ОЙ равнЬ! mozaa и только mОсда, коеда равны их координаты. 2. Если два веК1110ра U/Ylеют одну и ту же длину, но проmиво.. пОЛОЖНbl по направлеНll/О, то их алzебраuческие значения имеют OaUfl и mOtп же .модуль но пропlивопОЛОЖНbl по знаку: (АВ) + (8 /"1) О. 3. I(оордиН,аmа едuн,UЧflО20 вектора равна 1. Имеет Т\Iесто слеДУIОlцее предложение, ЯВJ1яющееся ЛИIllЬ reo.. метрическим истолкованием правила сложения чисел (с про из.. вольными знаками). 4 (лемма Шаля). При Лlобом расположении точек А, В II С на оси U.fiteelil ,Jrlectпo числовое paeeHcrпeo (АВ) + (В С) == (АС). в самом деле, если две из трех точек А, В, С совпадают (напри. мер, А == В или А == С), то равенство (АВ) + (ВС) == (АС) сводится к тождеству (АС) == (АС) или к тождеству (АВ) + (БА) == о.
14 ПРОСТЕйШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ Пусть все три точки А, В, С попарно различны. Тоrда одна из них лежит между двумя друrими 1). Если В лежит между А и С, то I (АВ) 1+1 (ВС) I == I (АС) j и векторы А В, ве и АС имеют одно и то же направление, их а 1Jrебраические значения имеют один и тот же знак, значит, число (АС) равно сумме (АВ) + (ВС), т. е. доказываемое равенство справедливо. Пусть теперь С лежит между А и В. Тоrда по ТО"lЬКО что замеченному (АС) + (СВ) == (АВ), т. е. (АС) == (АВ) (СВ). Поскольку ...... (СВ) == (ЕС), то равенство (АС) == (АВ) + (ВС) снова справедливо. Аналоrично доказывается и третий случай, коrда А ле}t{ит между В и С. 2. Проекции Пусть на плоскости дана прямая d и прямая d', не параti1 lель.. ная прямой d. d' 'd' А d d I ) Ad o р не. б. Рис. 7. Через произво.пьную точку А плоскости проводим прямую d A , параллельную прямой d' (рис. 6); она пересекает прямую d в точке Ad' называемой nроекцuей точки А на прямую d вдоль (или параллельно) прямой d'. .l) Это утверждение может служить пр имером одной из аксиом. принимаемых без доказательства при аксиоматическом построении rеометриИ.
ЛРОЕКЦИИ 15 Если в пространстве даны прямая d и плоскость /)', не парал- лельные между соБОЙ t то для каждой точки А определены: 1) nроекцuя Ad н,а прямую d вдоль плоскости б,...... это точка пересечения прямой d с плоскостью БА, проведенной через точку А параллельно плоскости б' (рис. 7); 2) nроекцuя A , на плоскость 6' вдоль прямой d...... это точка пересечения плоскости б' с прямой d A , проведенной через точку А параллельно прямой d (рис. 8). Если дан вектор АВ , то, беря проекции Ad и Bd ero начала ......... и конца, получим вектор AdBd' называемый nроекцией вектора АВ на прямую d вдоЛЬ прямой d' (рис. 9) (соответственно ВДОЛЬ плоскости б' (рис. 10). /i I 7 d А Рис. 8. Рис. 9. Аналоrично вектор АО'Вб" есть nроекцuя вектора А В на пло CKOCпlb 6' (вдоль прямой d) (рис. 11). Проекция вектора АВ на прямую d (на плоскость б') обозна- чается через ПРd АВ (про, АВ), а иноrда (коrда невозможны недо- разумения) и просто через пр АВ . Перечислим простейшие свойства проекций. 1. Проекцuя вектора АВ равна нулю (т. е. является нулевым вектором) mОсда а только lпocдa КОсда данный eeKпzop параллелен той пРЯ.l11.0Й или плоскосmu вдоль КОПlОРОй происходит проектuро- еание (рис. 12). 2. Проекции любосо веКПlора на две параллельные прямые (пло- скости) равны между собой (рис. 13). 3. Проекцuи двух равных векторов равны. Пусть даны векторы U 1 == ОА, U 2 == iiA.' и их замыкающий век- тор u == 0/1 ' == U 1 + и 2 . Тоrда при лроектировании на прямую d (вдоль какой-нибудь прямой d' или плоскости 6') или на
16 ПРОСТЕйШИЕ понятия АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ , d ............... о rj' d /и 1 I I / .......оА ' Ad о .. о Рис. 10. d ' = d ' А 8 В I Рис. 12. Рис. 11. / Рис. 13.
ПРОЕI<UИИ плоскость б' (ВДОЛЬ прямой d) (рис. 14) ti7 ПРdUl === OdAd, ПРd U 2 === AdAd, т. е. 17 nPd u == OdAdt nPd (u 1 + U 2 ) == ПРdUl + ПРd U 2' Вообще проек.цuя замыкающе20 вектора дaн,Нhex n векторов "1' U 2 '.'. . . . " п есть замыlaIoщuйй вектор nроеКЦUЙ данных векторов) или: 4. Проекцuя суммы двух (или более) векторов есть сумма про.. екцuй эrпuх векторов (рис. 14). а; tI о rry , I , I I В) Рис. 14. Р) Без труда доказывается формула пр (лu) == л пр u (1) (надо рассмотреть отдельно случаи л> О, л < О. ' == О). Из (1) и п. 4 вытекает пр (Л 1 U 1 +...+ " пuп) == л'l пр u 1 +...+ Л п ПР U п . (2) Полученные результаты кратко объединяются В следующем пред" ложении:
18 ПРОСТЕViШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСI<Ой rЕОМЕТРИИ ЛuН,ейН,ьt.e операции над вектора'м'и (Т. е. сложение векторов и их умножение на число) neреместuтельны с операцией nроекти- рованuя. 3. Коллинеарные и компланарные векторы; координаты вектора относительно данноrо базиса 1. Коллинеарные и КОМПЛ8нзрные векторы. Несколько векто- ров называются коллuН,еарН,ымu (соответственно ко,М,план,арн,ымu) между собой, если все они, будучи приложенными к ОДНОЙ и той же точке, оказываются лежащими на одноЙ прямой d (рис. 15) U, ) U5 / "5 r/ Рис. 15. Рис. 16. (соответственно в одной плоскости n (рис. 16»). в этом с.пучае rоворят также, что рассматриваемые векторы коллинеарны пря- моЙ d (компланарны плоскости л). т е о р е м а 3. 1. Нулевой вектор коллинеарен всяко"иу векп:ору. 2. Если несколько векторов коллuнеарны Me:JlCay собой, то они u подавно между собой KOA-fJlланаРНbl. 3. КаждыЙ eeKnlOp коллuнеарен, самому себе. 4. Всякие два вектора между собой КО ff,плаflарНbl. 5. Пусть U 1 каКОЙ fluбудь ненулевой векп10р. ТОсда все векторы вида ЛU 1 , еде л любое вещественное число, tl Пl0ЛЬКО векторы этоео вида коллинеарны вектору U 1 . 6. ПусrrlЬ на плоскостu даны две прямые d 1 u d 2 , nересекаю- щиеся в некоторой точке о. Tozaa любой вектор u == оА есть сумма своих nроекций u 1 и U2 н,а эти прямые (проекцuи берутся на каждую из двух прямых вдоль друеой прямой).
J(ОЛЛННЕАРНЫЕ И КОМПЛЛНА'J'НЫЕ ВЕКТОРЫ 19 7. Пусть через точку О пространства проходят три nрЯА4ые, не лежащие в одной плоскости. Тоеда любой вектор u == оА есть ., сумма своих nроекцuи и 1 , U 2 , U З на эти nрЯАtые, причем nроекции берутся на каждую пРЯАfУ'0 вдоль плоскости, несущей две друсие прямые. Д о к а 3 а т е.П Ь с т в о. Утверждения 1 4 являются непосред- " ственными следствиями опреде.пении коллинеарности II компла нарНОСiИ. Доказательство утверждения 5. Если U 1 каКОЙ lIибудь неНУtllевой вектор, то, по определению умножения вектора на число, вектор ЛU! КОЛ,,1инеарен вектору U 1 . Обратно, пусть U 1 и U2 два коллинеарных вектора. Прилаrая их к одной точке о, ПО.,1УЧИМ векторы U l == ОАl И U 2 == оА 2 , лежащие на одной прямой. Пусть вектор и 1 == о. Тоrда l дА 1 \ =F О, и поэтому определено вещественное число л, обозначаемое U 2 : U 1 и называе. мое отношением вектора U 2 к вектору U1' ПО опреде.пению, I л! == 'ОА 2 1 J БА 1 1 ' а знак л берется положительным, если векторы оА. 1 и ОА 2 на- правлены в одну и ту же сторону, и отрицательным если они напраВL1ены в противоположные стороны. Если U 2 === о, то л === о. т аким образом, если U 2 : u 1 == Л, то, по самому определению умножения вектора на число, имеем u 2 === лu 1 . Утверждение 5 до. казано. Доказательство утверждения 6. Утверждение очевидно. если вектор u лежит на одной из наших прямых, например на d 1 , тоrда u == U l , U 2 == о. Пусть вектор U не лежит ни на одной из двух данных ПрЯ 4 МЫХ. Пусть оА 1 И 6А 2 суть проекции вектора u == оА на К3ЖДУIО из наших прямых вдоль друrой прямой. Тоrда OA есть диаrона.пь параллелоrрамма, построенноrо на БА l === U 1 И О А 2 == U 2 , 1I [I == == Ul + U 2t что И требова..тIОСЬ доказать. Доказательство утверждения 7. .i\10ЖНО оrраничиться случаем, I{оrда вектор u == ОА не ЛС>IПIТ ни в одной из П.поскостей, несущих две каI<ие нибудь из наших трех прямых. Тоrда лроекции вектора u == ОА на каждую ПРЯМУIО (вдоль плоскости, несущей две друrие прлмые) образуют три ребра ОА 1 . ОА 2 . оА э парадлелепипеда с диаrона.пью дА и ОА == ОА 1 + ОА 2 + ОА з . Теорема 3 доказана.
20 nРОСТЕйШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ Из теоремы 3 вытекает следующая основная теорема: т е о р е м а 4. Пусть в плоскости даны два н.еколлuнеаРНblХ веКПlора е 1 и е2' ТО2да каждый веКlпор u еСЛlЬ линейная комбинация u == х 1 е 1 + Х2е2 ( 1) век то ров е 1 u е2 и коэффицuенпlЫ Х 1 и Х 2 определены однозн,ачно как алсебраические значения nроекциЙ вектора U на оси, несущие соотвеmсmеенно единичные векторы е 1 и е 2 (проекция на каждую ось берется вдоль друсой оси). ПУСfпь в простра1lс!пве даны три неКОJrtпланарных вектора е 1 , е 2 , е з . ТОсда каJlCдыu вектор u еСlпь линейная КОJftбинация u == x 1 e 1 +х 2 е 2 +хзе з (2) векторов е 1 , е 2 , е з , в КОnl0рОЙ коэффициенты X 1 , х 2 , х з определены однозначно как аЛ2ебраическuе значения nроекций вектора u на оси, определенные единиЧНЫJ11.И вeK "lора.ми е 1 , е 2 , ез (проекция на КQждУl0 ОСЬ берется вдоль плоскости, определеflНОЙ двумя дРУ2ими осями). Доказательство совершен- но одинаково в обоих слу чаях плоскости и простраIl ства. Оrраничиваемся случаем плоскости. Приложим BeI<TO ры е 1 и е 2 к какоЙ-нибудь точке О (рис. 17); получим ОБ 1 == е 1 , ОЕ '} == е2' Тоrда вектор u == О А есть сумма своих проекций и 1 == ОА 1 И и 2 == ОА 2 на прямые, несущие векторы е 1 и е 2 , причем векторы и 1 и U2 однозначно определены условием U == и 1 + U 2 и требованием КОЛJ]инеа рности векторов и 1 и и 2 векторам е 1 и е 2 . Из этоrо последнеrо требования вытекает, что и 1 == x 1 e 1 , и 2 === == х 2 е 2 , rде Х 1 и Х 2 определены однозначно как алrебраические значения векторов и 1 , U 2 на соответствующих осях (несущих со.. ответственно векторы е 1 и е 2 ). Итоrом Bcero сказанноrо является следующее О с н о в н о е о п р е д е л е н и е. Л/обая пара неколлuнеарных ве/(,- торов е 1 .1 е2 на плоскости u любая тройка некомпланарных ве/(,- торов е 1 , е 2 , е з в пространстве, данных в определенно и порядке, называется базисом множества всех векторов, лежащих соответст- венно в плоскости или в пространстве; сами eeKtrlOpbt e t , е2' е з называются базиснымu илu единичными векторами. Однозначно y 81 Е, .. х РИС. 17.
КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ 21 определеННЫ8 коэффициенmы Х 1 . Х 2 (соответствеН,Н,о х., Х 2 , XJ) в представленuях U == X 1 еl + х 2 е 2 , (32) u ==х1еl +х 2 е 2 +хз е з (3 а ) На3ываl0mся координатами вектора u относитеЛЫ-lО aaHHOZO базиса (Х 1 первая, Ха вторая, хз третья координата). Каждая координата вектора u есть алrебраическое значение лроекции вектора u на ось, несущую соответствующий базисный вектор. Равенства (32) и (3з) записываются часто в виде u == {х 1 , Х 2 } u === {х 1 , Х 2 . х з }. (3;) (З ) и Сделаем два важных замечания. Замечание 1. Мы знаем, что проекции равных векторов равны, поэтому равные векторы имеют (относительно данноrо базиса) соответственно равные координаты. Обратно, если даны координаты Х 1 , Х 2 (соответственно Х1' Х 2 , х з ) вектора, то дан и вектор u == Х 1 е 1 + х 2 е 2 (соответственно U == х 1 е 1 + х 2 е 2 + х з е з ) как CB бодный вектор. Друrими словами, представления (32)' (3з) Ka саются свободных векторов, они не зависят от точек приложения векторов. 3 а м е ч а н и е 2. Мы знаем, что при умножении вектора на какое либо число л на это же 'А умножается и проекция вектора (на любую ось); мы знаем также, что проекция суммы двух век.. торов равна сумме проекций этих векторов. Отсюда и из опре.. деления координат вектора следует: При умножении вектора на данное число л 1ta это же число л умножаются и к,оординаты вектора. Каждая координата СУММЫ двух векторов есть сум.ма соответствующих координат сла аеАtblХ векторов. Друrими словами. если U ==x1e 1 +х2е2, v == Уl е 1 + У2е2' то u + v :::2 (Х 1 + Уl) е 1 + (Х 2 + У2) е2' ЛU == (лх 1 ) еl + (лх 2 ) е 2 . 2. Линейная зависимость и независимость векторов. Линейная комбинация л'l U l +Л 2 U 2 +'...+ ЛnU п векторов U., " 2 , ..., U n называется нетривиальной., если в ней хотя бы один из коэффициентов Л 1 , .., t л'п отличен от нуля. Ли- нейная комбинация вида О. u. О. U 2 +...+ О. U n называется тривиальной; она равна нулевому вектору.
22 ПРОСТЕйШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ Система векторов U 1 t U 2 , ..., U N называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная комбинация зтих векторов. В противном случае векторы называются линейно неза- вИСllАtblМИ. Предлаrаем читателю доказать следующие простые t но важные утверждения о линейной зависимости. 1 о Если среди ееКlпоров U 1 , ... t и п есть хотя бы один нулевой веКП20Рt то вся сuотема векторов линейно завuсиАtа. 2° Если среди векторов U 1t ..., U n некоторые образуют линейно зависи.л,zу/о систему, то и вся система U!,..., U n линейно за.. вис U.t""a . 3° Если cucmeA-tа U 1 , ..., U n линейно заВUСUhtQ, то по крайней мере один из век/поров U 1t ..., U n раоен линейной ко tбинацuu оспlаЛЬНblХ. rеометрический смысл линейной зависимости векторов заклю- чается в следующем: (а) система t состоящая из двух векторов, линейно зависима тоrда и только тоrда, коrда векторы ]{оллинеарны; (Ь) система, состоящая из трех векторов, линейно зависима тоrда и только тоrда, коrда данные три вектора комлланарны; (с) всякие четыре (или более) вектора в пространстве линейно зависимы. О п р е Д е л е 11 и е. Векторное мноrообразие есть такое непустое множество V векторов, что любая линейная комбинация векторов, принадлежащих этому множеству, также принадлежит ему. Наи.. большее число векторов, образующих линейно независимую си- стему в данном мноrообразии, называется размерностью этоrо мносоо6разия. П р е Д л о ж е н и е. Пусть V какое лuбо векторное мноеообра- зuе. Возможны ЛИИlЬ следу/ощuе САучаu: (А) V сос/поит из односо ЛИUlЬ нулевоео вектора, тozaa размер. Н,ость V равна НУЛ/О. (Б) V состоит из всех векторов, коллинеарНbLХ какой лu60 пря мой, mОсда размерНОСfпь V равна 1. (В) V состоит из всех векторов t компланарных н еl(оторой пло скосп1И, п20сда размерность V равна 2. (r) v состоит из всех вообще векторов трехмерНОёО простран.. ствй, lпоzда размерНОСlllЬ }/ равна 3. Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Заметим преждс Bcero, что всякое век- торное мноrообразие V содержит нулевой Bel{Top. В самом деле, по определению Bel{TOpHOro мноrообразия MHO}l{eCTBO V непусто, Т. е. содержит хотя бы один BeI(TOp U, но тоrда, по определению BeKTopHoro мноrообразия, вектор О. U == О также содержится в мно" )I{ec тве V. Может случиться, что все множество V состоит из одноrо ну- JIeBOrO Bel{TOpa, Tor да МЫ находимся в случае (А).
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 23 Пусть в V содер}кится хотя бы один вектор e 1 =1= о. Тоrда в V содержатся и все векторы вида x 1 e 1 . rAe Х 1 любое вещественное ЧИС&l10. ЕСLrJИ все ыножество V этими векторами исчерпывается, то это множество есть мноrообразие размерности 1, состоящее из всех векторов, КО"lлинеарных вектору е 1 . Тоrда мы находимся в слу- чае (Б). Предпо.пожим, что в множестве V И Iеется вектор e 1 , Не кол.. линеарный вектору е 1 . Тоrда в V содержатся и все векторы вида х 1 е 1 + х 2 е 2. Т. е. все векторы, КОМПJ1анарные плоскости, несущей Два неколлинеарных вектора е 1 и е2' Если все множество V исчер- пывается 9ТИМИ векторами, то мы находимся в случае (В). Если же в множестве \1 иыеется хотя бы один вектор е з , не компланарный паре векторов е 1 , е 2 , то в V содержится тройка некомпланарных векторов е 1. е 2 , е з , а следовате&l1ЬНО, содержится и всякий вектор u вида u х 1 е 1 + х 2 е 2 + хзе з . По теореме 4 I3сякий neI{TOp u пространства может быть пред ставлен в таком виде, и мы находимся в случае (r). ПреДJ10же ние доказано. 4. Координаты на плоскости и в пространстве 1. Аффинная система координат на плоскости. Аффинная система координат на ПL10СКОСТИ задается точкой О (начало координат) и парой приложенных к ней He коллинеарных векторов e 1 === ::::: ОЁ 1 И е 2 == ОБ ? (рис. 18), дан- ных в определенном порядке: еl есть первый, а е 2 второй BeK тор; векторы е. и е2 опреде- ляют две оси, пересекающиеся в точке О, пepeYfO u 8lпору'о оси коордuнаПl и являются, по определению, единичными векп1пра.ми этих осей. Первая ось называется также осыо аб.. сцисс или ОСЬЮ ОХ, а вторая......... осью ординат ИЛИ ОСЬЮ Оу дан... ной координатной системы. Сама система координат обозначается через Oe 1 e z или через Оху. Пусть М какая-нибудь точка плоскости; обозначим через Мх и Ми проекции точки М соответственно на первую и вторую ось координат (проекции на каждую ось берутся вдоль друrой оси) (рис. 19). Алrебраические значения векторов ОМ Х и ОМ у назы у 81 Е[ .х Рис. 18.
24 ПРОСТЕйШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ ваются соответственно первой и в/порой координатой (абсциссой и ординаl1Z0Й) точки М. Любая пара чисел х, у однозначно определяет точку М, дЛЯ которой х является первой, а у второй координатой. Точка М с координатами х, у обозначается так: М == (х, у).. Система координат Oe 1 e 2 включает в себя базис е 1 , е 2 множе. ства всех BeI{TOpOB на плоскости. Координаты лроизво.пьноrо век- тора u относительно базиса e t , е 2 называются KoopauHatпaMu вектора u относительно системы координат Ое 1 е 2 ; они являются х м Рис. 19. Рис. 20. алrебраическими значениями nроеl{ЦИЙ вектора u на оси координат и не зависят от выбора начала координат (рис. 20). Вектор u с координатами х, у обозначается так: u == {х, У}; тоrда u == хе 1 + уе 2 8 Условие х == О характеризует векторы, коллинеарные оси ординат, а условие у === о хараl{теризует векторы, коллинеарные оси абсцисс. Очевидно, координаты любой т оч и М в данной системе коор- динат суть координаты вектора ОМ в этой системе координат. Два вектора А В и С й равны тоrда 11 только тоrда, коrда равны их соответствующие координаты. Если А === (х 1 , Yl)' В == (х 2 , У2)' то для координат х, у век.. тора АВ имее.М, х == Х 2 X 1 , у == и2 Yl' 2. Аффинная система координат в пространстве. Все сказан- ное с очевидными изменениями применяется и к случаю простран- ства. Аффинная система координат в пространстве состоит из
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 25 точки О («начало координат») и лри.поженных к этой точке трех некомпланарных единичных векторов е 1 , е 2 , ез (рис. 21), данных в определенном порядке (еl...... пеРВЬ1Й, е 2 второй, е з ...... третий). Каждый из этих векторов определяет проходящую через начало О ось, единичным вектором которой он является; эти оси назы ваются первой, второЙ и третьей осью координат или COOTBeT ственно «осью Ох» (осыо абсцисс), «осыо Оу» (осью ордuна11l) и «ОСЬЮ Oz» (осыо аппликат; последнее название, впрочем, употребляется нечасто). Каж- дые две координатные оси оп- ределяют ПРОХОДЯЩУЮ через них координатную плоскость. Так, оси Ох и Оу определяют координатную плоскость Оху или Oe 1 e 2 и т. Д. ПервоЙ, второй, третьеЙ координатой даННО20 вектора u называются соответствующие ero координаты относительно бази- са e 1t е 2 , ез, т. е. соответствую- щие коэффициенты в представ- лении Z Е, е 1 .:с u xel +уе 2 +zе з . Они равны алrебраическим зна- чениям проекций вектора U на оси, определенные соответственно векторами е 1 , е 2 , е з (проекции на ка}l{ДУЮ ось берутся вдоль плоскости, несущей две друrие оси). Координаты BeI{TOpa не зависят от выбора начала координат О. Координаты точки М суть, по определению, координаты век- тора ОМ (рис. 22). Если Мх, Му, Л'lz суть проекции точки М, а U x == ОМ х , U y == ОМ у, U z == OM z ...... проекции вектора ом на оси координат. то координаты х, у, z точки А1 суть алrебраические значения векторов OM x==u x , ОМ у == U y , OM z==u z . Тоrда Рис. 21. U x хе 1 , U y == у е 2' U z == zе з , ОМ == u == хеl + уе 2 + zез. (1) Векторы, коллинеарные данной координатной оси, характеризуются тем, что равны нулю их координаты, соответствующие двум дру- rим осям. МЬ1 уже знаем, что при сложении векторов их одноименные координаты складываются, а при умножении вектора u на число л на это л умножается каждая координата вектора u. Отсюда сразу
26 ПРОСТЕйШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ следует, что два вектора тоеда u только mоеда коллuнеарНbl, коюа координаты одНО20 из них пропорцuональны координатам дРУ2020. Каждая упорядоченная тройка чисел х, у, z однозначно опре- деляет точку М пространства, тройкой координат которой она является. Для получения этой точки М надо приложить к точке О вектор хе 1 +уе 2 +zе з == ОМ , т. е. взять диаrональ параллелепипедз, nOCTpoeHHoro на векторах хе 1 == ОМ х . уе 2 == ОМ У' zез == OM z . Точка М Рис. 22. с координатами х, у, z обозначается так: М:=: (х, у, z). По опре- делению координат точки М, вектор 01\1 имеет те же координаты, что и ero конеп М. Вообще, если А == (х 1 , Уl' Zl) И в == (х 2 , У2' Z2). то вектор АВ имеет координаты х == Х 2 Х 1 , У == У2 Уl' Z === Z2 Zl' 3. Деление отрезка в данном отношении. Пусть в пространстве или на плоскости дана прямая d и на неЙ направленный отре- зок АВ . Даны два произвольных вещественных числа сх и , ИЗ которых по крайней мере одно отлично от нуля. По определению, точка М де ТIИТ отрезок А В в отношении CG : , если AM : M B==a: . Задача состоит в том, чтобы по данным ct и и по координатам точек А и В найти коор.LIИН аты тачки л,1. Л е м м а. Пусть на плоскости (соответственно в пространстве) даны две прЯМhlе d u d' u прямая (соответственно плоскость) б, не параллельная ни одной из прямых d, d'. Пусть А', В', М' nроuзвольные три точки на прямой d'; обозначим через А, В, М
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 27 их nроекции вдоль 6 на прямую d. Тоеда А,м""7 АМ == . М'В' Л1 8 (2) Доказате,,'IЬСТВО этой леммы оставляем читателю в качестве упраж- нения. Если обозначить через Ах, Вх, jИ х проекuии точек А. В. М на ось /абсuисс, то из этой J1eMMbI сразу следует, что АМ: м в == а : == A.\. G: Мх В: == (АхМх) : ( k1 x B x). fIo (на оси Ох) имеем (AxMx)==X......Xl' (M.кBx)=-x.2 X' ТаК что (х X 1 ) : (Х 2 х) == а : , откуда aX2+ Xl Х == а+р и аналоrично У аУ2 + Yl aZ2+ Zl a+ · z== a+ что дает во всех случаях определенную ТQЧК.У М == ( . у, z) пря- мой, за исключением случая Q, + == О, Т. .е. а.: .:II::........ 1 (коrда получаем единственную несобственную, или «бесконечно удален- ную», точку нашей прямой). При а == точка М будет серединой отрезка АВ и для коор- динат середины отрезка мы получаем следующие формулы: X Хl+Х2 Y Уl+У2 2 ' 2 ' ZI + 22 z=== 2 · (3) а Если а + =1= О и =1= О, то, полаrая f; == Л J можем переписать полученные формулы в виде Хl +ЛХ2 Уl +ЛУ2 Z1 +л. Z 2 х ===- 1 +л J У ::=; l +л ' z ==:; 1 +А . (4) 4. Прямоуrольная система координат на плоскости и в про-- странстве. Задание прямоуrо.,1ЬНОЙ системы координат на плоскости или в пространстве прех{де Bcero предпо.лаrает, что выбрана одна определенная единица дЛUНbl l посредством которой измеРЯIОТСЯ длины всех отрезков (на ПЛОСI{ОСТИ или в пространстве). Такую единицу Д,,'IИНЫ будем называть масшп10бом; считая ero раз навсеrда выбран.. ным, мы наЗblваем ОРПlО.;И ВСЯI{ИЙ вектор, длина KOToporo равна 1. После Toro, как масштаб выбран, прямоуrольная система коор- динат определяется (]{аи частный случай общей аффинной системы) требованием, чтобы единичные координатные векторы (el и е 2 на плоскости; е 1 , е 2 . ез в пространстве) были взаuмно пepпeHдиKY лярны.мu ортами,
28 ПРОСТЕйШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ 3 а м е ч а 1-1 и е. Далее в этом пункте мы будем лредполаrать, что система координат прямоуrольная. Все проеКЦИИ также пред" полаrаются прямоуrольными. у у Масштао ............... .:с х Рис. 23. Рис. 24. Пусть дан вектор u ==:: {х, у} (рис. 23). Приложим вектор u к началу координат: u== OM . Длину вектора u === ОМ обозначаем через 1 u 1 ==: ! ONl !. Обозначая через М х , Му проекuии точки ,И на оси координат, имеем х == (ОМ Х ), У == (ОМу) и (по теореме Пифаrора) ! ОМ 12 === I ом х ' + I ОМ у 1\ т. е. I u 12 == 10/\112 == х 2 +у2. Аналоrично в пространстве для вектора u == {х) у, z} имеем I u 12 == х 2 + у 2 + Z2 квадрапl длины веКПlора равен сумме квадратов есо координат. Отсюда непосредственно вытекает формула для расстояния р (/\-11' М 2 ) ме)({ду двумя точками (рис. 24): M 1 == (Х 1 , Уl' ZI)' М 2 == (х 2 , У2' Z2)' Так как MIM == {х 2 ....... Хl' У2 У.}, то Р (M 1 , Nf 2 ) == I iИIМ ( == + V (Xz .... х 1 )2 + (У2 ..... Yl)2.
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 29 Аналоrично в пространстве для точек М 1 == (X 1 , Уl, Zl)' М 2 === (Х2, У2, Z2) имеем р (M 1 , М 2 ) == 1 м1JИ; 1== + V(x 2 х 1 )2 + (У2 Уl)2 + (Z2 Z1)2. Пусть на плоскости дана система прямоуrольных координат. Рассмотрим на этой плоскости окружность с центром С == (а, Ь) и радиусом r (рис. 25). Эта окружность есть множество всех точек М (х, у) плоскости, расстояние которых от точки С равно (. Друrими словами, необходимым и достаточным условием, чтобы точка М == (х, у) лежала на нашей !I окружности, является условие р(С, M)==r, }/(х а)2 + (у Ь)2 == r. (5) Так I<al( r > О, то уравнению (5) эквивалентно т. е. е 2 (х а)2 + (у Ь)2 == ( 2 . (6) Уравнение (6) называется урав- н'ение,Лt окружности с центром С:=: (а, Ь) и радиусом '. В про- странстве с данной прямоуrольной системой I{оординат сфера (ша- ровая поверхность) с центром С == (а, Ь, с) и радиусом , опреде- ,пяется как rеометрическое место точек М ==: (х, У. z). расстояние которых от точки С равно '. Поэтому уравнение (х а)2 + (у Ь)2 (z с)2 === ,2 о 81 :. Рис. 25. (6') выIажаетT необходимое и достаточное условие для Toro, чтобы точка М == (х, у, z) лежала на нашей сфере: уравнение (6') есть уравнение сферы с 1lентром С == (а, Ь, с) и радиусом '. 5. Уrол между двумя векторами. Пусть (в пространстве или на ПЛОСКОСТИ с выбранным раз навсеrда единым масштабом) даны два вектора U 1 и U 2 , отличных от нулевоrо. Прилаrая их к какой. нибудь точке О пространства так, что и 1 === ОА , и 2 08 (рис. 26), получаем уrол (в самом элементарном смысле слова) между этими векторами (или несущими их ПО.пупрямыми, исходящими из точки О). Обозначим этот уrол через <р; он ле)кит в плескости, несущей прямые ОА и ОБ, и по величине заключен междv О и л. Считая, что каждый из векторов и 1 , и 2 задает положительное н(]прав пепие на несущей ero прямой, мы каждую из этих прямых превращаем в ось и, следовательно, М0жем rоворить об алrебраическом 3Ha чении (прямоуrольной) проекции каждоrо вектора на ось, несущую
30 ПРОСТЕИШИЕ ПОНЯТИSl АНАЛИТИЧЕСI\Ой rЕОМЕТРИИ друrой вектор: аз ПР U l U 2 , аз прu!u 1 , Эти алrебраические значения положительны, если уrол q> острый (рис. 27, а); они отрицательны, если уrол Q) тупой (рис. 27, б), n и равны нулю, если <P 2. Из подобия ПрЯМоуrоль.. ных треуrольников ОАА' и ОВВ' заключаем, что Jl5В1 'ОА'I 1081 IOAI' Т. е. I аз nP Ut и2[ r аз ПРu2U1 , :U2 I Ul r Так как, кроме Toro, аз ПРU1U2 и аз п P L1 2 U 1 имеют один и тот же знак (положительный, еС,IIИ уrол ер острый, отрицатель- ный, если этот уrол тупой), ТО аз прu! и2 аз nPU2 u 1 J и2 J I Ut i Каждое из этих отношений МО- Рис. 26. Рис. 27. жет быть ПРИНЯТО за опредедение косинуса уrла ер между векторами U 1 и U 2 : аз прu и2 COS ер == I U 2 I 8З прuz Ul i Ul/ (7) Как видно из рис. 27, это определение cos q> совладает с опреде- лением, известным из триrонометрии.
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 31 Из формулы (7) вытекает аз ПРU!"2 == r U 2 r cos q> (8) аЛ2ебраuческое значение nроекции одНО20 вектора на OCb опреде- леН"lУ'О дpY2и.M, равно длине проектируеМО20 вектора, умноженной на косинус У2ла между двумя векпl0ра иu. 6. Направляющие косинусы. Пусть (1 == {х, у, z}...... какой-нибудь ненулевой вектор, а, , у УfЛЫ между этим вектором и ортами е} t е 2 , е з координаТНЬJХ осей (рис. 28). Тоrда cos а, cos , cos '\' Ha ЗLJваются направЛЯ10ЩU ИU КОСИНУ са.ми вектора U. Так как х аз ПРе1U, У == аз ПРе2U' Z == аз прсзu, то в силу ФОР 'fУЛЫ (8) имеем Х:::: 1 u 1 cos а, у I u r cos р, z == I 111 cos у. (9) в частности, если u есть орт, то lul::::cl и х == cos а, у == cos р, z == cos у z 3: Рис. 28. координаты орта равны есо направляющи'м' косинусам. Далее из (9) получаем I U J2 == х 2 + у2 + Z2 == I u 12 (С05 2 а + С05 2 Р + cos 2 у), откуда, сокращая на I u 12 =F О, имеем cos 2 а + cos 2 + С05 2 у === 1 (10) .......... C!j, tJ{a квадра/пов Nаnравля/ощих косинусов люБО20 вектора u =1= =1= О равна 1. Пусть даны произвольные три числа ;, 11, , удовлетворяющих рапенству S2 + 112 + 2 == 1. ( 1 О') ОТ.10ЖИМ на осях координат векторыI ОС 1 , ОС 2 , OC: , алrебраичес- кие значения которых соответственно равны qисла , Ч, , и построим на этих векторах (прямоуrольный) пара.пле.,lепипед. Исходящая из точки О диаrональ ос этоrо параллелепипеда имеет ДJlИНУ, равную 2+rI2+ 2 == 1, и является ортом с координатами === cos а, 11 === cos , == cos у. Итак, любая тройка чисел , 't'l, с. удовлетворяющая уравнению (10), является ТРОЙI{ОЙ координат ( «направляющих косинусов») HeKoToporo орта в пространстве. 7. Скалярное произведение двух некторов. Введем тепер ь сле- дующее фундаментальное опредеJIение: скаЛЯРflЫ,М, проuзведенuе'м'
32 ПРОСТЕP'fШИЕ ПОНЯТИ51 АНАЛИТИЧЕСКОЯ rЕОМЕТРИИ двух векторов 11., U 2 называется число (U 1 , и 2 ), равное произведе- пию длин этих векторов на косинус уr.па <р между ними: (U l , и 2 ) ==: ull.! и 2 1 cos ер. (11) Скалярное произведение нулевоrо вектора на любой вектор пола- rается равным нулю. Свойства скалярноrо произведения: 1. (и 1 . и 2 ) == (u 2 , и1)' 11. (и 1 , U 2 ) == о тоrда и ТОcllЬКО тоrда, коrда векторы U 1 и и2 перпендикулярны между собой. Если U 1 === U 2 === U, то <р == О, cos <р ::::::;; == 1, I и ! 1 == I u 2 1 === 1 U 1. Итак, 111. (u, u)=='uI2 скалярное произведение вектора на саМО20 себя («скалярный квадрат вектора») равно квадрату е20 длины, скалярный квадрат равен нулю для Лl0БО20 нулевО20 вектора и поло- жителен для вСЯКО20 вектора, отЛИЧНО20 от нулевО20. Подставляя значение cos ер из (7) в (ll), получаем lV. (u 1 , (12) == I U 2 : аз np U 2 U 1 == I u11 аз ПРUtU2 скалярное произве- дение двух векторов равно проuзведеНИ10 длины одНО20 из них на алиб- раическое значение nроекции дРУ2020 вектора на ОСЬ, несущую первый. В частности. для любоrо вектора U {х, у, z} и координатных ортов e lt е 2 , еа имеем (u, е 1 ) == аз ПРеtU == ХИТ. Д., т. е. У. Х == (и, e j ), у == (u, е 2 ). z == (u, ез) координаты люБО20 век- тора в пРЯМОУ20ЛЬНОЙ систе.ме координат равны скалярным произ- ведениям эmою вектора на орты осей координат. Из равенства IV вытекае1: каково бы ни было вещественное число Л-, имеем (Л-u 1 , U 2 ) == I u 2 1 аз ПРU)"U l == 1 u21 лаз ПРU:!U l == Л-I и 2 1 аз ПРU2Ul, т. е. VI. (ЛU t , U 2 ) == л (и 1) и 2 ) числовой .множитель можно выносить за знак скалярноw проuзведеНllЯ. Из Toro х{е равенства IV вытекает далее (111 + и 2) v) == I v I аз прv (u 1 + t1 2 ) == I v I аз ПРVUl + I v I аз ПРV U 2, т. е. VII. (U 1 + U 2 , v) == (и., v) + (u 2 , v) (12) свойсп180 аuсlпрu6Уl1l1UJI-lОСlпU относительно сложения. Из VI и VII следует, что СJ<алярное произведение двух линей ных комбинаций векторов MOiI{HO вычислить по правилу умноже ния мноrочленов, например: (Лз. U 1 + л'2 U 2 + лзu з , 1 v t + f.t 2 V 2 ) == ==Лl l(Ul, V t )+Л 2 1l1(U 2 ' V 1 )+Лзfll(U З ' V1)+Лl 12("llt V )+ + Л 2 1l2 (и 27 v 2) + Л э f.12 (uз, v 2 ).
КООРДИНАТЫ НЛ ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 33 Пусть на плоскости) U 1 === {Xl' Уl}' U 2 == {Х 2 , У2}' Это значит, что U 1 === x1e. + Уl e , и 2 == Х2 е 2 + У2 е 2- Тоrда в силу V VII имеем (U 1 , и 2 ) == (x1e 1 + y 1 e 2 , xze} + У2 е 2) ==X 1 X2(e 1 , e 1 )+YI X 2(e z , e l )+x 1 Y2(e 1 , е 2 ) +УIУ2(е 2 , е 2 ). Но оекторы1 e 1 и е 2 суть взаимно перпендикулярные орты, так что (е 1 , е 2 ) == (е 2 , e 1 ) == О и (e 1 , e 1 ) == (е 2 , е 2 ) == 1; значит, (u 1 , U 2 ) == X 1 X 2 + YIY2' (132) в пространстве дЛЯ U 1 =={X 1 , Уl, Zl}' и2 {X2' У2' Z2} совершенно так же получаем (U 1 , 112) Х 1 Х2 + У!У2 + Z l Z2' (13з) Эти формулы очень важны и имеют мноrочисленные лримене 4 ния. В частности, они позволяют определить уrол ер между двумя векторами U 1 == Xl' У1' Zl} И U 2 == {Х 2 , У2' Z2} по координатам этих векторов: для этоrо достаточно переписать формулу (11) в виде (Ul t L1 2 ) cos <Р == I Ul I . I u 2 1 и подставить в нее значение длины векторов U1' U 2 И их скаляр- Horo лроизведения (13з). Получаем XIX2 + У1У2 + ZlZ2 cos <р == у XI+Yr+zi. JI xi+Y;+z (14) (корни в знаменателе берутся положительные). Леrко получить также формулу, дающую алrебраическое зна- чение проекции произвольноrо вектора u == {х, у, z} на ось снаправ.. ляющими косинусами cos сх, cos , cos у. Для этоrо переписываем формулу (11) в виде 1 11 I cos <р := (Ul, и2) 2 I Ul ! · т. е. в виде (иl, и2) 8З ПР U 1 U 2 == I Ul 1 · Если u 2 ==u=={x, у, z}, U 1 ==е== {cosa, cosp, cosy}, Т. е. 1 u11 == I е 1== 1, то мы получаем аз преu == Х cos сх + у cos + Z cos у. (15) Эта формула очень удобна в применениях.
34 ПРОСТЕPIШИЕ ПОНЯТИ5I АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ 8. Векторное пронзведение. Рассмотрим в пространстве прямо- уrольную систему координат Ое 1 е 2 е з . Пусть u, У, W тройка некомпланарных векторов. данных в определенном порядке (в том, в каком они написаны). Приложим их к точке о: u==дA, v=== OB , w==OC и построим на них параллелепипед. Пусть в системе координат Oe 1 е 2 ез u == {Хl. Уl' Zl}' V == {х 2 , У2, 2 2 }, W == {х з , Уз. zз}. Остав.ляем читателю в качестве упражнения доказательство следующеrо предложения: объем параллелеnuпеда, натянуmО20 на вeKtrlOpbl U == ОА, v == l5Ё, w == ОС, равен I (u, v, ,у) 1, zae Хl иl 2'1 ( U, v, w) == Х2 У2 2'2 . Х3 Уз ZЗ О n р е Д е л е н и е. Объемом ориентuрованное.о параллелепuпеда, построенное.о на векторах u, у. w, называется число (и, v, w). Если (и, V, w) > О, то rоворят, что репер Ouvw ориентирован положительно относительно репера Ое 1 е 2 е з ; в противном случае репер Ouvw называется отрицательно ориентированным относительно Ое 1 е 2 е з . О п р е Д е л е н и е. Векторным проuзведенuеАt вектора u на век- тор v называется вектор п, модуль KOToporo равен произведению модулей векторов u и V на синус уrла fP между ними: I n I == I u I х х I v I sin q>; этот вектор перпендикулярен к плоскости п, в которой лежат векторы u и У, если их отложить от одной точки; он нап- равлен так, что упорядоченная тройка векторов u, у) n имеет поло}кительн ую ар иентаЦИIО. Векторное произведение вектора u на вектор v обозначается через r u, у]. Свойства BeKTopHoro произведения: 1. Векторное проuзведенuе [u, у] равно нулю mozaa и только пl02aa кос.да векторы (1 и v коллuнеарны. 11. [11, v]=== [v, u]. 111. [лu, vJ==[u, ЛV]==Л[U, v], 2де 'Л......проtlз80лЬflое вещест- венное число. lV. [(u'+u"), v]===[u', v]+[u", v], r u, (v' + v/)] == [u, v'] + [u, v"]. v. Скалярное произведение вектора [u, v] на каКОЙ fluбудь век- тор w равняется об'ьеАtу ориентuроваННО20 nараллелепuпеда, на- тЯНУf1l020 на векторы u, v, w: ([u, у], w)==(u. V, w). CnoiiCTBa 1.... 111 являются непосредственными следствиями определен ия Bel{TOpa [11, V J.
КООРДИНАТЫ НЛ ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 35 Доказательство свойства v. Предположим сначала, что век- торы и, v, w компланарны. Тоrда правая часть равенства ([u, v], w) == (u, V, w) обращается в нуль. Докажем, что и левая часть равна нулю. Это очеВИДНО t если векторы u и v коллине- арны тоrда [u, v]==Ot знаЧИТ t и ([и, v], w)==O. Пусть u и v неколлинеарны, и пусть п несущая их плоскость. Поскольку векторы и, V t W компланарны, то и w лежит в плоскости л. Но вектор [и, v] перпендикулярен к плоскости л, значит, ([ u, v], w) == о. Итак, в случае компланарности векторов u, V, w равенство ([u, v], w)==(u, v, w) верно обе ero части равны нулю. Пусть теперь векторы и, v, w не компланарны. Положим n == [и, v] и будем считать параллелоrрамм, построенный на век- торах u и v, основанием параллелепипеда, построенноrо на век- торах u, v, w. Площадь этоrо параллелоrрамма равна I n 1, так что формула ([и, V]t w) == (о, V, w) переписывается в виде (о, v, w) == I n 1 . аз прп W. С друrой стороны, скалярное лроизведение ([u, v], w} может быть записано в виде ([u, v], w) == (о, w) == 1 n (. аз npnw, что и требовалось доказать. 3 амеч а н ие. Формула (u, v, w) == ([о, V], w) может служить определением функции (и, v, W), которая при таком подходе к ней называется с.мешан,ны,М, nроuзведен,uем трех векторов u, v, w. Пусть теперь в какой"нибудь прямоуrольной системе коорди- нат Ое 1 е 2 е з имеем u == {Хl' Yl' Zt}, V == {х 2 , У2' Z2}. Найдем координаты Х, У, Z вектора 0== [u, v]. Так как система координат прямоуrольная, то Х == (п, е 1 ) == ([и, v], е 1 ) == (u, v, ev, и аналоrично у == (u, V, е2)' Z == (u, v, е з ). Но е 1 == {1, О, О}, е 2 == {о, 1, О}, е з == {О, О, 1}; поэтому Хl Уl 2'1 Х == Х2 Ytj %2 == I Уl %1 1 . 1 О О Ys %2 Аналоrично у == I %1 Хl I ' Z2 Х2 z == I Хl Уl 1 . Х2 Уа
36 ПРОСТЕАШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЯ rЕОМЕТРИИ Друrими словами, если в прямоуrольной системе координат Ое 1 е 2 е з векторы u и v даны в виде u == {х 1 , Yl, Zl}' V == {х 2 , У2' Z2}' то век- тор [u, v] может быть записан в виде разложенноrо по элементам первой строки детерминанта: е! ез [u, v] == Xl УI Z. . Х2 Y<,J Z )Jоказательство свойства IV. Вследствие свойства 11 достаточно доказать одну какую нибудь из формул IV, например первую. Пусть u' == {х', у', z'}, u" === :::; {х", у", z"}, v == {х, у, z}. Тоrда u' + u" == {х' + х", у' + у", z' + z"}, и мы имеем х' + х" у' + у" z' + z" {(u' + u"), v] == х у z еl е2 ез Х' у' z' х" у" z" х у z + х у z == [о', у] + [и", У], еl е2 ез еl е2 ез что и требовалось доказать. 9. Уrол от одноrо вектора до друrоrо на плоскости. Враще- нием плоскости BOKpyr данной ее точки О (центр вращения) мы будем наЭЬ1вать движение этой плоскости по себе самой, эаклю- чающееся в том, что точка О остается неподвижной, а все осталь- ные точки перемещаются по лежащим в нашей плоскости окруж- ностям с центром о. Вращение плоскости BOKpyr центра О можно производить В двух направлениях: по часовой стрелке и против нее. Предположим, что в плоскости задаНа прямоуrольная система координат Oe 1 e 2 . Посредством вращения BOKpyr точки О орт еl можно совместить с ортом е2 двумя способами: повернув ero n 3л на уrол "2 в одном или на уrол 2" в противоположном направ- лении. Мы условимся считать поло}кительным ТО из двух направ- лений вращения, которое переводит орт е 1 в орт е 2 посредством поворота на . Таким образом, если на плоскости дана прямо- У20льная система "оордuнат то определено и положительное направленuе вращения. Пусть на данной плоскости одно ИЗ двух возможных направ- лений вращения выбрано в качестве положительноrо. Возьмем на нашей плоскости два вектора u и V. Приложим оба вектора к одной и той же точке О, так что u ==ОА, v == ОВ.
КООРДИНАТЫ НЛ ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 37 Назовем уелом от веклwра u до векnwра v или наклоном век- тора v к вектору U тот уrол q>, на который в положительном направлении надо повернуть вектор u так, чтобы ero направле- ние совпало с направлением вектора У. Этот уrол изменяется от О до 2п. Если u единичный вектор какой-либо оси, то уrол от вектора u до вектора V называется У2ЛО.м наклона или просто наклоном вектора v к данной оси. Пусть в плоскости дана прямоуrольная система к<,ординат. Для yr ла наклона а вектора v == { , 1l} к оси абсцисс имеем, очевидно, 6 · т} COS а == iVI' SlП а == IVl. Если векторы U 1 и U 2 наклонены к оси абсцисс соответстоенно под уr.пами CX 1 и а 2 . то уrол <р от вектора U 1 до вектора U 2 есть, очевидно. <р == а 2 ....... аl' Пусть U 1 == {X 1t Yl}' U 2 == {х 2 , У2}' Тоrда . . ( ) . · хlу2....... Х2Уl SlЛ <р :; SIП а 2 Cl 1 === Sln а 2 cos аl ....... cos а 2 SlП а 1 == I I I I t U 1 · и в COS ер == COS (а 2 ....... ( 1 ) == cos а 2 cos СХ 1 + sin а 2 sin CX 1 == ....... XIXZ + иlу2 ....... (Ul' [' 2 ) ....... j u 1 I · I U2 I ....... r u 1 I · J U j I · 10. Полярная система координат на плоскости. Для определе- ния системы полярных координат на плоскости надо задать: ]0 Масштаб (т. е. единицу измерения длины). 20 Направление вращения в плоскости) считаемое положи- тельным. 30 Точку О (называеМУIО «началом» или полюсом системы коор- динат). 40 Полупрямую Ох, исходящую из точки О (рис. 29) (эта полупрямая называется полярной осью). Положительное направ- ление на полупрямой задается вектором ОБ (аде Е любая ее точка} отличная от точки О). Если, таким образом, выбрана полярная система координат, то дЛЯ каждой точки М (рис. 30) плоскости определеНbl ее полярные координаты, а именно: J) уrол наклона q> вектора ОМ к полярной оси (Т. е. уrол ОТ вектора ОБ дО вектора ОМ ); 2) расстояние , точки М от начала О (т. е. длина вектора ОМ). Уrол q> наЗblвается полярным У2ЛО.м. точки М или первой поляр- ной координатой этой точки. Полярный уrол определен для всех точек М плоскости (и заключен между О и 2п), за единственным
38 ПРОСТЕИШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ исключением точки О, дЛЯ которой он делается неопределенным. Число , называется полярным радиусом или второй полярной координатой точки М. Полярный радиус любой точки М, отлич- ной от О, положителен; для точки О он равен НУЛIО. Иноrда бывает целесообразно считать полярный уrол точки определенным лишь с точностью до слаrаемых вида 2k1t, rде k любое целое число, т. е. считать наряду с данным <р и всякое число <р + 2kл: за значение лолярноrо уrла: если дано произ- вольное положительное r и произвольное не оrраниченное никаким ДОПО.пнительным УС 10вием действительное ЧИС.;10 <р, то) взяв М{Jсштао а l Масштаб I . м + п 2 О Е .х ...... Е х Рис. 29. Рис. 30. на полярной оси вектор 0"11 ДЛИНЫ , И повернув ero в положи.. тельном направлении BOKpyr точки О на уrол <р, получим вектор О М, конец KOToporo будет иметь полярные координаты <р и '. ТОЧI<У М, полярные координаты которой равны данным <р и " будем обозначать так: М == (<р, (). Если на плоскости дана полярная система координат, то этим vпределена и некоторая лрямоуrольная система координат: за мас- штаб и начало координат в этой прямоуrольной системе берем масштаб и начало полярной системы; полярную полуось объявляем: положительной полуосью абсцисс. Таким образом определена ось абсцисс (вместе с ее направ.пением). Так как в определение поляр- ной системы входит и направление положительноrо вращения плоскости, то мы можем определить ось ординат как ту ось, u б в которую переидет ось а сцисс при повороте ее на уrол 2" в положительном направлении. Полученную таким образом прямоуrольную систему координат будем называть cucme,wou 1 определенной данной полярной системой (рис. 31).
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 39 Обратно, если дана какая нибудь прямоуrольная система коор- динат, то однозначно определяем полярную систему, сохраняя в ней масштаб и начало данной прямоуrольной системы и тре- буя, чтобы полярная полуось совпадала с положительной полуосью абсцисс, а положительное направление вращения было тем враще- нием, которое переводит ось абсцисс в ось ординат поворотом На уrол . Очевидно, если мы лля полученной таким образом полярной системы координат построим определенную ею прямо- уrольную, ТО вернемся к ис- ходной прямоуrольной си- стеме. Итак, каждой полярной системе координаm соответ- ствует вполне определенная пРЯАtОУ20ЛЬНая система, и обратно. Посмотрим, как связаны между собой координаты х, у и (}), , какой-нибудь точ- ки М плоскости в обеих си- стемах. Имеем очевидные формулы: х == , c s <р, } (16) у == r SlП q>. !I МuсштtJо I I !I ... х о Рис. 31. Они позволяют перейти от полярных координат точки М к прямоуrольным. Но они же позволяют произвести и обратный переход по формулам ,2 == х 2 + у2, 1 Х х cos q> === =:: . ,. + V х 2 + у2 I . у у Sln <р == == . r +Ух 2 +у2 (17) 11. Полярная система координат 8 пространстве. Для ее оп.. ределения необходимы следующие элементы (рис. 32): 10 Плоскость (называемая далее основной) с выбранной в ней полярной системой координат: начало О, полярная полуось Ох (с положительным направлением ОБ ), масштаб, принимаемый в качестве единоrо масштаба для всех измерений отрезков во всем пространстве.
40 ПРОСТЕИШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ 20 Выбор на прямой OZ, перпендикулярной к основной пло- скости, одноrо из двух ее ортов в качестве положительноrо (что дает нам на этой прямой систему координат с началом О). Основная плоскость разбивает пространство на два полупро ., странства; то из них, которое содержит положительныи орт пря- tОЙ Oz, считаем положительным. Теперь для каждой точки М пространства (не лежащей на прямой Oz) определяются ее координаты в данной системе поляр ных координат, а именно: а) полярныЙ радиус р точки М, т. е. длина вектора I ОМ 1; имеем всеrда р о; только для точки М == О имеем р == о; и z Масштаб , х Рис. 32. б) дол( оmа <р точки М это полярный уrол ортоrональной проекпии Лt10 точки NI на основную плоскость относительно дaH ной в этой плоскости полярной системы координат; долrота изме няется в пределах О <р < 2п; в) широта 11' точки м это уrол между вектором Ol и ero лроеl{цией ОМ О на основную плоскость, считаемый положительным, Jt О 'ф 2" ' для точек М положительноrо ло.лупространства и отрицательным, ; 11' о, дЛЯ точек отриuательноrо полу- пространства. Та же полярная система координат в пространстве позволяет ДЛЯ каждой точки 1\-1 пространства определить и так назы ваемые цилиндрические координа",ы ее, а именно: полярные KOOp динаты <р, , (в основной плоскости) точки Мо (проекции точки М на основную плоскость) и аппликату, или высоту точки Лr! над основной плоскостью, Т. е. координату точки М 1 (ортоrональной
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ 41 проекции точки М на ось Oz) относительно системы координат, данной на этой прямой (рис. 33). Полярная система координат в пространстве определяет пря- моуrольную систему t состоящую из прямоуrольной системы Оху, порожденной в основной плоскости заданной в ней полярной системой, и оси Oz. z #tlсштоо , Е Без труда устанавливаются следующие соотношения, связы- вающие полярные координаты р, " 'Ф и прямоуrольные коорди- наты х, у, z в пространстве: х == р cos 'Ф cos <р, у == р COS 'Ф sin «р, z == р sin ,р. Эти формулы позволяют выразить х, у, 2 через р, 'Р, 'Ф, и об- ратно. Что касается соотношений между цилиндрическими и прямо- уrольными координатами точки NI, то аппликата z в обеих -этих системах ОДНа и та же, а связь между q> и , uилиндрической системы и х, у прямоуrольной дается уже известными нам фор- мулами х== r cos . у == r sin <р. 5. Прямая линия в плоскости 1. Уравнение прямой. Определение. Всякий lIенулевой вектор, коллинеарный данной ПРЯМОЙ 1 называется ее направля- юu,им веt(mоро и.
42 ПРОСТЕйШИЕ ПОНЯТИ5I АНАЛИТИЧЕСI(Ой rЕОМЕТРИИ Так как всякие два направляющих вектора U 1 . U 2 ОДНОЙ И той же прямой коллинеарны между собой) то один ИЗ них получается из друrоrо умножением на некоторое число =1= О.. Предположим, что в данной плоскости раз навсеrда выбрана некоторая аффинная система координат. Рассматриваем сначала случай прямой d, параллельной ОДНОЙ из координатных осей. Если прямая d параллельна оси ординат, то ее направ,пяющими векторами являются все векторы вида {О, 'r}} и только они (здесь 1') про.. извольное число =1= О). Точно так же ненулевые векторы вида {s, О} Jf только эти векторы являются направ- ляющими векторами любой прямой, параллельной оси абсцисс. Пусть прямая d параллельна оси ординат и пересекает ось абсцисс в точке А == (а, О) (рис. 34). Тоrда все векторы ОМ, rде М..... произвольная точка прямой, при лроектировании на ось абсцисс (вдоль оси ординат) переходят в один и тот же вектор О А; дЛЯ всех точек М нашей пря.. мой (и только для них) имеем х == а. :с Рис. 34. Это и есть уравнение прямой, лараллельной оси ординат. Анало- rично прямая. параллельная оси абсuисс, имеет уравнение у == Ь. При этом лараллельностъ лонимается в широком смысле сама ось ординат имеет уравнение Х:;: О, а ось абсцисс и == о. Имеет место следующее простое предложение: Для всех наnравЛЯ10ЩUХ векторов u == {х, у} данной прямой, не nараллельн,ой оси ордИн'ат отношение у: х ординаты вектора к е20 абсциссе uMeerп одно u то же постоянное значение k, назы- ваемое уzловым КQэффuцuенmОlft данной nРЯМ,Ой. В самом деле) если и 1 === {хн Уl} И О 2 ;::: {х 2 . у2}...... два направ- ляющих вектора данной прямой d, то U 2 == ЛU 1 , т. е. одновременно Х 2 :::::::: ЛХ 1 . и2 === ЛУt, И, значит (так как Х 1 О, Х2 =1= О), и2 = Х 2 Уl : x 1 ' НаЙдем теперь уравненпе прямой d, не параллельной оси ординат. Обозначим уrловой коэффициент прямой d через k, а точку ее пересечения е осью 011 через Q с::: (О, Ь) (рис, 35).
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ 43 Если М::::: (х, у) произвольная точка прямой d, отличная от точки Q, то вектор Qлi == {х, у...... Ь} есть направляющий вектор прямой d и, следовательно, y b ==k. х Друrими словами, все точки М == (х, у) прямой d удовлетво- ряют уравнению у == kx + Ь. ( 1 ) Обратно, всякая точка М 1 == (X 1 , Уl)' удовлетворяющая урав- нению (1), лежит на прямой d: в самом деле, существует един- ственная точка М' с абсцис... сой X t , лежащая на прямой d, и эта точка, имея ту же абс- циссу Xl, что И точка Ml' удовлетворяет уравнению (1) и, значит, имеет ординату Yl ==kx 1 +Ь ту же, что и точка M 1 . Значит, М'==М 1 , т. е. точка M 1 лежит на пря.. мой d. Итак, уравнению (1) удов- летворяют все точки прямой х d и только они, а это и значит, что уравнение (1) есть уравнение прямой d. Пусть мы каким бы то ни было способом нашли Рис. 35. уравнение вида (1), которому удовлетворяют все точки данной прямой d и только они. До- кажем, что тоrда непременно Ь есть ордината Q пересечения d с осью ординат, а k есть yr ловой коэффициент этой прямой. Первое утверждение очевидно: для нахождения точки Q пере- сечения прямой d с осью ординат надо в уравнение (1) подста- вить х == О, получаем у == Ь, т. е. Q == (О, Ь). Далее, при любом выборе отличной от Q точки м == (х, у) прямой d вектор ОМ == ;::: {х, у Ь} есть направляющий вектор этой прямой, и, следо- вательно, у х Ь == k есть yr ловой коэффициент прямой d. И так, существует единственное у равнение вида (1), являющееся уравнениеА." данной прямой d (не параллельной оси ординат). Это уравнение первой степени; так как и прямая. параллельная оси ординат, определяется уравнением первой степени х с:: а. то мы доказали, что всякая прямая на плоскости определяется не- которым уравнением первой степени, связывающим координаты ее точек.
44 ПРОСТЕАШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ Верно и обратное утверждение: каждое уравнение первой сте- пени относительно х и у Ах+Ву+С==О (2) ., ., является уравнением нек.оmороu прям.оu. Д о к а 3 а те л ь с т в О. Возможны два случая: В == О и В ,*0. Рассмотрим первый случай: В == о. Тоrда уравнение (2) имеет вид Ах + с == О (2) и А =1= О (иначе не было бы уравнения. а было бы верное или неверное тождество С:::; О); следовательно, С X== A' т. е. уравнение (2) является уравнением не которой прямой, парал- лельной оси ординат. Переходим КО второму случаю: В =F о. Тоrда уравнение (2) переписывается в виде А С У с::: B х в и опре11.еляет прямую d, пересекающуlО ось ординат в точке Q == == (о, ; ) и имеющую уrловой коэффициент k == . что и тре60валось доказать. А 3 а м е ч а н и е. Так как k == B ' то вектор "o=={ B. А} есть направляющий вектор прямой (2). Это утверждение верно и при В:::; О (т. е. для прямых. параллельных оси ординат). Отсюда следует, что направляющими векторами прямой d, определенной уравнением (2), являются все векторы u=={s. '1}, rде == .......... 'АВ, 11 == лА (при каком нибу дь л =j:. О). Очевидно, эти векторы удовлетворяют уравнению As + 811 == о. Обратно. если вектор u == {s. '1} удовлетворяет этому уравнению, то : '1 == в : А) т. е. U есть направляющий вектор прямой d; CJlучай прямой, параллельной оси ординат исключением не ЯВ- ляется. Друrими словами: все векп10РЫ u == {s. 11}, (Jдовлетворя ющие урсюненuю As + 811 == О. и только они КОЛАuнеарНЫ прямой/ определенной уравнением (2).
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ 45 2. Расположение двух прямых на плоскости. Пусть теперь даны два уравнения: Ах+Ву+С==О, А'х+В'у+С' ==0. (2) (2') Посмотрим, коrда прямые d и d', определяемые этими уравне- ниями, лараЛ.1Jельны в широком смысле, коrда они совпадают, коrда параллельны в собственном смысле (т. е. не имеют ни одной общей точки). Ответ на первый вопрос получается сразу: прямые d и d' тоrда и только тоrда параллельны в широком смысле, коrда их направляющие векторы uo=={ B, А} и u =={ B', А'} колли- неарны, т. е. коrда имеет место пропорция ( B):A==( B'):A' а следовательно, и пропорция А I : В' === А : В. (3) Если эта пропорция может быть продолжена до пропорции А I : В' : С' ;::: А : В : С, (4) то прямые d и d' совпадают: в этом случае все коэффиниенты одноrо из двух уравнений (2), (2') получаются из коэффициентов друrоrо умножением на некоторое л и, значит, уравнения (2) и (2') эквивалентны (всякая точка М == (х, у), удовлетворяющая од.. ному уравнению, удовлетворяет и друrому). Обратно, если две прямые d и d' совпадают, то имеет место пропорция (4). Докажем это сначала в случае, коrда наши прямые парал- лельны оси ординат. Тоrда В == В' == О, и нам нужно доказать только равенство С': А' == С : А. Но последнее равенство (в кото- ром А' =#= О, А * О) вытекает из Toro, что обе (совпадающие) пря- мые пересекают ось абсцисс в одной и той же точке с абсциссой С' С A'== A. Пусть теперь совпадающие прямые d, d' не параллельны оси ординат. Тоrда они пересекают ее в одной и той же точке с ор- С' С динатой В' == в' и мы имеем пропорцию В': С' == В : С, ко.. торая вместе с пропорцией (3) (выражающей параллельность пря- мых d и d' в широком смысле) и дает нам искомую пропор... цию (4). Параллельность в собственном смысле означает, что имеет место параллельность в широком смысле (Т. е. выполнено усло- вие (3»), но нет совпадения (т. е. не выполнено (4». Это озна- чает, что пропорция А' : В' == А : В (е)
46 ПРОСТЕPfШИЕ ПОНЯТИSl АНАЛИТИЧЕСI\Ой rЕОМЕТРИИ имеет место, тоrда как А' : В' : С' :;t= А : В : С. (5) Совокупность двух соотношений (3) и (5) обычно записывают в виде ОДНОЙ формулы А В С А' == В' * с' · (6) Подведем итоr всему доказанному: т е о р е м а 5. Всякая прямая d на плоскости, снабженной аф... финной системой координат, определяется некоторым уравнением первой степени между координатами ее точек. Обратно# всякое уравнение первой степени Ах+Ву+С==О (2) является уравнением некоmорой (единственной) прямой d; при этом все векторы U == { , ll}, коллинеарные этой прямой, и только они удовлетворяют однородному уравнению As + 811 == О, (7) та1\, что# в частности, вектор ио == { B, А} R8ляется направля- ющим вектором нашей прямой. Два уравнения Ах+Ву+С== О, (2) А'х+В'у+С' ==0 (2') mО2да и толыw mozaa определяют одну и ту же прям.ую, кozaa А' : В' : С' == А : В : С. ( 4) Пропорция А' : В' == А : В (3) выражает условие, необходимое u достаточное, чтобы уравнения (2) и (2') определяли прямые, параллельньre в широком с.мblсле Для параллельностu в собственном смысле необходuмыlM и до- статочным является требование, чтобы 8ЫnОЛНЯЛОСЬ условие (3) без выполнения условия (4), Ч"lО записывается и в виде (6). Пусть дана какая-нибудь точка МО и вектор Uo =1= О, который считаем приложенным к точке J\.-1 0 : ............... ......... Uo == МОМ!. Эти данные определяют прямую d как rеометрическое место кон- цов всевозможных векторов вида МоМ ::::: t · МОМ! (8) rде t пр обеrает все вещественные числовые значения. Вектор u o == :;; MoM , очевидно, является направляющим вектором прямой d.
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ 47 \ОЖНО сказать, что наша прямая есть rеометрическое место всех точек М, удовлетворяющих уравнению (8), а само это уравнение можно назвать уравнением прямой в векторной форме (или век- торным уравнением прямой). ЯСНО, что каждая прямая может быть задана, таким образом, какой нибудь своей точкой o и на. .... правляющим вектором и о :::::: МОМl. Существенным преимуществом уравнения (8) является то, что оно позволяет задать прямую не только на плоскости, но и в пространстве. Записав векторное уравнение прямой в координатах, мы получим ее парам.еmрuческое уравнение. На плоскости оно имеет вид х Хо == at, } (9) y yo===bt, rде Мо == (х о , Уо), {а, Ь}...... координаты направляющеrо вектора , Uo == Л1 0 М!- Система уравнений (9) равносильна ОДНОЙ пропорции x xo Y Yo а Ь ' (10) u называемои каноническим уравнением прямоu на плоскости. Если прямая задана д вумя своими точками Мо и Ml' то ее направляющий вектор и о == Mo M имеет координаты а == Х 1 ..... Хо, Ь == У! ..... УО и уравнение (10) превращается в х..... ХО у.... УО Xl Ха Yl....... Уо · (11) Это и есть уравнение прямой, проходящей через две заданные точкu N10 == (хо, Уо) u М 1 == (х 1 , Yl)' В пространстве параметриче.. ское уравнение записывается в виде х Хо == at, ) y yo==Ы, z Zo == ct. a система равносильна пропорции (12) X Xo y Уо ...... 2 Zo а ....... Ь ( 13) (теперь уже трехчленной), называемой канонuческим уравнением прямой в пространстве. Если прямая в пространстве задается двумя своими точками Мо == (Ха, Уо, Zo) и М 1 == (Хl, Уl, 21)' то для ее направляющеrо век- тора и о == MoM == {а, Ь, с} имеем а == Хl ..... Хо, .Ь == 111 ..... Уа, с == Zl ...... ZQ
48 ЛРОСТЕRШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ и пропорция (13) превращается в ПРОПОРЦИЮ x xo Y Yo z zo == == , Хl Xo Yl Yo Zl zo (14) которая и определяет прямую (в пространстве), проходящую через две заданные точки. 3. Две полуплоскости, определяемые данной прямой на ПJlО- скости. Пусть на плоскости дана прямая d своим уравнением Ах+Ву+С==О. (15) Для всех точек М == (х, у) этой прямой и только для этих точек трехчлен F (х, у) == Ах+Ву+С обращается в нуль; если же точка М == (х, у) не лежит на прямой (15), то для нее либо F (х, у) > О, либо F (х, у) < О. Мы rоворим, что прямая (15) разбивает плоскость на дtЗe полуплоскости; одна из этих полуплоскостей определяется как множество всех точек М == (х, у), для которых F (х, у) > О, а друrая как множество всех тех точек М == (х, у), для которых F (х, У) < о; первая полу- плоскость называется положительной по отношению к данному уравнению (15) нашей прямой, а вторая отрицательной. Если ту же прямую d задать каким либо друrим уравнением А'х+В'у+С' ==0, (15') 1'0 имеется такое число. Л, что А' == лА, В' == Л-В, С' == Л-С, так что, обозначая левую часть уравнения (15') через F'(x, У), имеем Е'(х, у) == 'АР (х, у). Отсюда сразу следует, что при л> о положи;;. тельная и отрицательная ПОЛУПЛОСКОСТИ дЛЯ уравнения (15) сов.. падают с положительной и отрицательной полуплоскостями отно- сительно уравнения (15'), а при 'А<О эти полуплоскости меняются местами: положительная лолуплоскость относительно уравнения (15) делается отриц?тельной для уравнения (15'), и наоборот. 1--10 Всеrда две точки, принадлежащие к одной или разным полуплос.. костям относительно одноrо из двух уравнений (15). (15'), сохра.. няют это свойство и при переходе к друrому уравнению. Имеет место следующая т е о р е м а 6. Если точки Мо == (хо, Уо) и М 1 == (х 1 , YJ) лежат в ра зных полуnлоскоспlЯХ, определенных прямой (15), то отрезок; М оМl пepeceKaenz Эfпу прямую в некоторой точке М' (рис. 36, а); если же точки Мо и М 1 леJlсаm 8 одной и той же полу плоскости , то 8 этой же nолупЛОСКОС"lU лежит и весь отрезок Nl o Ml (рис. 36, б). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть точки Мо и М 1 лежат в разных полуплоскостях. Напишем уравнение прямой, проходящей через
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ 49 точки Мо и Ml' В параметрической форме: х === Ха + at, У==Уо+Ы, rIle за направляющий вектор U o :::::: {а, Ь} взят вектор MoMt, так что а == Х 1 ХО, Ь == Yl Уо. Поэтому те и только 'Х'е точки М == (х, у) нашей прямой пр инадле- l/ жат отрезку МоМ! этой . прямой, для которых О t 1. Посмотрим, какие значения принимает трех- член F (х, у), коrда точка М == (х, У) пробеrает HaJIIY прямую. Для этоrо подС'та.. (с вим В трехчлен F (х, У) зна- чения Х и у из равенств х == Ха + at, у==уо+ы. Получаем Р(х, у)==(Ахо+Вуо+С)+ +(Aa+Bb)t. о) Обозначая константы Ахо+ +Вуо'+С и Аа+ВЬ СООТ- ветственно через Jl и л" видим, что трехчлен F (х,у) превратился в линейную функцию от переменноrо t: F (х, у) == лt + !--t. При t == О уравнения пря- мой дают нам координаты Хо, Уо точки Мо, а при t == 1 (напомним, что а == Х 1 Хо, Ь == Yl Уо) I{ООРДИ- наты X l , У! точки M 1 . Так как по предположению числа F (хо, уо) и F (X 1 , Yl) раэноrо знака, то и значения линейной функции ').J + f.t при t == О и t == 1 имеют разные знаки, а тоrда для HeKOToporo промежуточ- Horo значения t', 0< t' < 1, которому соответствует точка М' == (х', у') отрезка МОМ1 ' функция лt+f.t И, значит. трехчлен F (х, у) обратятся в ну ль. Тоrда точка М' является точкой пере- сечения отрезка МоМ! и прямой (15) первое утверждение тео- ремы доказано. :;с о) Рис. 36.
50 ПРОСТЕАШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЯ rЕОМЕТРИИ Доказываем второе утверждение. Помня, что а == Хl ......... Хо, Ь == == Уl уо, представляем F (х, у) в виде Р(х, у)==(Ахо+Вуо+С)+[А (Х 1 xo)+B(Yl yo)]t, т. е. F (х, У) == (1 t) Р (Ха, уо) + ,р (Х 1 , Уl). Если 0< t < 1, то числа как t, так и 1 t положительны, по- этому если F (Ха, Уо) и F (X 1 , Yl) одноrо знака, то число F (х, у) === (1 t) F (хо, уо) +tP (Xl' Уl) будет иметь тот же знак , что и оба числа Р (х о , Уо) и F (хl' У}) любая точка М отрезка M o J\t1 1 при- надлежит той же полуплос- g кости, что и обе точки Мо и М.8 Теорема 6 полностью доказана. 4. Прямая на плоскости .- в прямоуrольнои системе ко- ординат. Нормальное урав.. нение прямой на плоскости. До сих пор предполаrалось, что на плоскости дана про- х извольная аффинная система координат. ПреДПОЛО}l{ИМ теперь, что эта система координат прямо- уrольная. Тоrда уравнению всякой прямой на плоскости может быть придан так назы- ваемый нормальный вид. Рассмотрим орт е, перпен- дикулярный к нашей пря- мой d, причем если прямая d Рис. 37. проходит через начало КООР" динат, то понимаем под е про- изво-пьный из двух взаимно противоположных ортов, перпен- дикулярных к п ямоА d, а если эта прямая не проходит через начало координат, то обозначаем через е тот из этих двух ортов, который направлен от начала координат О к прямой (рис. 37). Отсюда следует, что на оси, несущей BeI{TOp ON (или, что то же, орт е), имеем (ON) == аз ПРе ON == р О, (16) rде р есть расстояние от начала координат до прямой d. Обозна- чая координаты орта е через и t}, и Meel\1 == cos а) 11 == sin а, rде а...... уrол наклона орта е к оси абсцисс. Итак, е == {cos а, sin а}.
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ 51 Пусть М:= (х, у)....... какая-нибудь точка плоскости. В том и только в том случае, коrда точка М лежит на прямой d, ее (орто- rональная) проекция на прямую ON совпадает с точкой N t а про- екция вектора ОМ совпадает с вектором ON . Следовательно. для всех точек М == (х. у) прямой d и только ДЛЯ этих точек выпол" нено условие 8З ПРе ом == р. (17) Так как ом -=r {х. у} И е с= {cos (t, sin а}. то 8З "Ре ОМ == х cos а+ у sin а, так что условие (17) переписывается в виде уравнения х cos а+ у sin а....... р === о. (18) Это уравнение и называется нормальным уравнением прямой d. Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение Ах+Ви+С==О (19) нашей прямой d. Так как уравнения (18) и (19) являются уравнениями одной и той же прямой в одной и той же системе координат, то суще- ствует такое число Л, что коэффициенты уравнения (18) полу- чаются из коэффициентов уравнения (4) умножением на л: C S а == Ал, } Sln а == Вл, р == Сл. Последнее из уравнений (20) (в случае С =1= О) позволяет сразу определить знак л: так как р> О, то Сл == р < О и знак л, противоположен знаку с. Для определения модуля числа л возводим каждое из двух первых уравнений (20) в квадрат и складываем. Получаем (А2 + В2) л 2 == cos 2 а + sin 2 а =: 1, (20) откуда 1 J л I ::::::: 6 ]1 А2+В9 t Числа л, модуль котОрОёО есть V t а знак противоположен А2+В2 знаку С. называется нормирующим множителем уравнения (19): при С == О эна1(, л .можно выбрать произвольно. Умножая обе части уравнения (19) на нормирующий множи" тель Л, мы превращаем это уравнение в нормальное уравнение (18) той же прямой.
52 ПРОСТЕЯШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ 3 аметим, что вектор {А, В} == n всееда nерnендuкулярен к пря- мой (19). Это вытекает из Toro, что векторы е и п=== {А, В} кол- линеарны, а вектор е перпендикулярен к прямой d, определяемой уравнением (19). 5. Расстояние от точки до прямой (на плоскости). ПОД рас.. стоянием от точки Мо плоскости до прямой d, лежащей в этой плоскости, понимается длина перпендикуляра, опущенноrо из точки Мо на прямую d. Т е о р е м а 7. Пусть 8 плоскости, снабженной nря.моу20АЬНОЙ сuсте.МОЙ координат, задана прямая d своим нормальным уравне- нием xcosa+ysina p==O. (21) Tozaa расстояние р (МО, d) nрОUЗ80АЬНОЙ точки Мо == (х о , уо) Ofn прямой d равно числу 1 хо cos а + Уа s i n а р 1. Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Через точку Мо проведем прямую d', параллеЛЬНУIО прямой d, и рассмотрим ось, несущую приложен- ный к началу координат орт е == {cos а, sin а}; эта ось перпенди- кулярна к обеим прямым d и d' и пересекает их соответственно в точках N и N'. Длина вектора N JJi, равная модулю ero ал.. rебраическоrо значения (N N') на определенной выше оси, и есть искомое расстояние р (Мо, d) между точкой Мо и прямой р (М о , d) == I (N N')'. Имеем на той же оси т. е. (ON') == (ON) + (NN'), (N N') == (ON')...... (ON), rде ............ (ON') == аз ПРе ОМО == ХО cos а + Уо sin а, (ON) == р. Следовательно, (N N') == хо cos а+ Уо sin а........ р, р (М О , d) == I (N N') I == I хо cos а + уо sin а...... р 1, что и требовалось доказать. Если прямая d задана своим общим уравнением Ах+Ву+С==О, то для определения ее расстояния от точки Мо == (хо, Уо) надо сначала привести уравнение прямой к нормальному ВИДУ, т. е. 1 умножить обе ero части на у . в результате получается A +B2
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ 53 формула ( М d) ==, ' Ахо+Вуо+С 1 . р О, V A2+Bs 6. Уrлы, образуемыедвумя прямыми на плоскости. 3'2ЛОАt между двумя пряМ,ыМ,u на плоскости называется уrол между любым на- правляющим вектором одной и люБЬ1М направляющим векто- ром друrой прямой (рис. 38). Очевидно, это определе ние дает нам не ОДИН, а два yr ла, дополняющих друr друrа до п, т. е. оба смеж- d z ных уrла, образуемых двумя пересекающимися прямыми. Предположим, что наши прямые d 1 и d 2 даны их урав- нениями (в прямоуrольной системе координат) Akx+Bky+C==O, k == 1, 2. (I t 11) Рис. 38. Тоrда в качестве направляющих векторов этих прямых мы можем взять, например, векторы U 1 == { BH А)}. U 2 == { 82. А 2 }. (22) Уrол q> между векторами U 1 и U 2 дается косинусом: АIА2+ВIВ2 cos Q) (+ у Ai+B ) (+ у A +B ). Если А 1 А 2 + 8182> О, то мы получаем по этой формуле ост- рый уrол меж1.У прямыми d. и d 2 . Если 41A2+BIB2<O TO тупой. Равенство А 1 А, + В.В2:=::: О (23) выражает необходимое и достаточное условие для 1lерnен'дuкуляр- насти прямых d 1 и d 2 t Если на плоскости выбрано положительное направление вра- щения, то можно rоворить об уrле от первой прямой до второй, понимая ПОД этим снова уrол от любоrо напраВЛЯlощеrо вектора первой до любоrо направляющеrо вектора второй прямой (рис. 39). Так определенный уrол 61.2 определен с точностью до слаrаемых вида k1t, rде k целое. Обозначая через а 1 , соответственно (Х 2 , уrол наклона к оси абсцисс пюбоrо напраВЛЯlоU!еrо вектора соответственно первой и
54 ПРОСТЕйШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕfРИИ второй прямой (Т. е. уrол от орта оси абсцисс до соответствую.. щеrо направляющеrо вектора), мы также получаем уrлы, опреде.. .ТIeHHыe с ТОЧНОСТЬЮ ДО слаrаемых вида kп. При этом все время :J.; Рис. 39. ТО'-IНОСТЬЮ ДО слаrаемых вида kn имеем 61,2 == а 2 CXl, откуда sin 61,2 == sin а 2 cos CX 1 COS а 2 sin Ct 1 , } (24) cos 61, 2 == cos а 2 COS СХ 1 + s in СХ 2 sin а 1 . Беря снова напраВЛЯЮLцие векторы U 1 == { B1' A 1 }, U2 == { 82' В 2 }, ПО"ТIучаем А/ sin а, == V Al+B ) BI COS (1" == YAi+B1 (i==I,2) И, подставляя эти значения в формулы (24), находим . О A1B2 А 2 В 1 Sln 1, 2 V 2 2 Jf 2 2' Аl +8j. A2+Bg (25) в AIA2+BIB2 cos == 1,2 YA +B 'YA +B J t AIB2 A2Bl 26 g б 1 , 2 == AIA2+B1B2 · ( )
плоскость и ПРЯМАЯ R ПРОСТРАНСТВЕ 55 Если один из векторов U 1 , U2 заменить на противоположный, то изменится знак как у синуса уrла (вследствие изменения направ- пения вращения на противоположное), так и у косинуса (полу- чается уrол, смежный с рассмотренным): знак же TaHreHca уr.па от nepBoro вектора до BToporo при такой замене не меняется. Если прямые (1) и (11) даны своими уравнениями с уrловым коэффициентом; у == kjx +Ь/. j == 1, 2, rде k 1 == tg Ct 1 ' k 2 == tg а 2 , то t t ( ) tga2 tga) g Ul, 2 == g а 2 ....... аl == 1 + tg аl tg a ' Т. е. t в k2 kl g 1, 2 == 1 + k 1 k 2 · (26') Если прямые (1) и (11) взаимно перпендикулярны, ТО можно n t 1 положить CXi == а 1 +"2 t значит, g а2 == ctg "1, т. е. k 2 == k 1 ' или k 1 k 2 ==........1 (условuе перпен.дuкулярностu). (23') Формулы (26) и (25) можно получить и пользуясь общими урав- нениями прямых (1) и (11)....... подставляя в формулы (26) и (23') значения уrловых коэффициентов k Аl k А2 1 == В 1 ' а ==........ Bt · 6. Плоскость и прямая в пространстве t. Параметрическое и общее уравнения плоскости. Всякую плоскость в пространстве можно задать, указав какую-нибудь ее точку Мо == (хо, Уо, Zo) и два произвольных прило- женных к этой точке неколлинеарных вектора (рис. 40) u 1 =r {а 1 , b 1t C 1 } == == Mo и U2 == {а 2 , Ь 2 , С2} == == ""10М 2. Рассмотрим МНО. жество, состоящее из всех векторов U, являю- щихся линейными комби- нациями векторов U 1 и U 2 ; Рис. 40. прилаrая векторы u к точке Мо. получим всевозможные закрепленные векторы вида А10 М == SU 1 + tu 2 . (1)
56 ПРОСТЕYfШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОА rЕОМЕТРИИ rде s и t произвольные вещественные числа; концы М этих век- торов U заполняют плоскость, проходящую через точку Мо и два приложенных к ней вектора Ul и и 2 . В координатной форме уравнение (1) переписывается так: х ХО == sa 1 + ta 2 , ) у Уо == sb 1 + tb 2 , 2 Zo == sc) +tc 2 . Давая в этих уравнениях переменным s и t всевозможные число- вые значения, получим все точки нашей плоскости и только ТОЧI<И этой плоскости. Поэтому векторное уравнение (1) (или равносиль- ная ему тройка числовых уравнений (1» называется пара.метри- ческuм уравнением плоскости. Уравнения (1) выражают линейную зависимость столбцов матрицы (1) X Xo аl 02 Y Yo Ь 1 Ь 2 , Z 20 Сl С2 что в свою очередь эквивалентно равенству X XO 01 а2 Y Yo Ь. b z zo Сl == О С2 (2) или уравнению А (х Хо) +8 (у уо) +с (z 20) == о, (3) rде А == I ы1 Сl I ) в == I Cl 01 I ' с == I й1 Ь 1 1 . Ь 2 С2 CI й t й2 Ь 2 (4) Таким образом, уравнение (3) предстаВJlяет собоЙ необходимое и достаточное условие, чтобы точка М == (Х, у, z) принадлежала пло.. скости, определяемой уравнением (1), т. е. уравнение (3) есть уравнение плоскости, проходящей через точку Мо == (Х о , Уо, 20) и через пару неколлинеарных векторов U 1 == {a 1 , b 1 , с 1 }, и 2 == {а 2. Ь 2 , С 2 }. 3 а д а ч з. Найти уравнение плоскости, проходя щей через три данные неколлинеарные точки Мо == (Х о , Уо, zo), М 1 == (Xl' Yl' 21), М 2 == (Х2' У2' 2?). Искомая плоскость содержит точку Мо и неколлинеарные векторы моМ; == {Х 1 ...... Х о , Уl ...... Уо, Zl...... 20} И моМ; == {Х 2 ...... Хо. 112 Уо,22 2о}; ее уравнение. следовательно, есть (2), т. е. I х ХО у 110 z....... Zo I Хl xo Уl Yo 21 zo == О, XI Xo Y2 YO Z2 Zo
ПЛОСКОСТь и ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 57 что может быть переписано и в виде х У z 1 ХО Уо Zo J ....... О Хl Уl %1 1 · Х2 У2 %, 1 Мы установили, что всякая плоскость есть множество всех точек М == (х, у, z), являющихся решениями иекотороrо уравне- ния первой степени с тремя неизвестными, а именно уравнения (3). Верно и обратное утверждение: множество всех точек М == (х, у, z), координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению первой степени, есть плоскость. Итоrом Bcero сказанноrо выше является следующая теорема: т е о р е м а 8. Всякая плоскость в пространстве, снабженном аффинной системой координат, есть .множество всех точек, удов- летворяющих некоторому линейному уравнению A"x+By+Cz+D ==0. (5) Обратно, множество всех точе" М == (х, у, z), являющuхся реше- ниями nроизвольноzо уравнения вида (5), есть плоскость. Оп р е де л е н и е. Всякое уравнение (5), которому удовлетво- ряют все точки данной плоскости, называется уравнением этой плоскости. 2. Условие КОМПJlанарности вектора плоскости. Связь между уравнением плоскости (5) и соответствующим однородным уравне- нием As+BfJ+Ct==O (6) дается следующим предложением: т е о р е м а 9. Для тozo ч,тобы вектор u == { , 1), t} был комп- ланарен плоскости Ax+8y+Cz+D==O, необходимо u достаточно, чтобы было А6 +81] +Ct ==0. (5) (6) д о к а 3 а т е л ъ с т во. 1 о Пусть вектор u == { , т), t} компланарен плоскости (5). Берем какую-нибудь точку Мо == (х о , Уо, 20) этой плоскости н прилаrаем к ней вектор u; получаем вектор с нача- лом в Мо и концом М == (х о + , Уо +11, Zo + ), лежащим в пло- скости (5), значит, AXo+Byo+Czo +D == О, А (х о +6) +8 (Уо + fJ) +С (zo +t) +D ==0. (50) Вычитая, получаем A +Bl1 +C == о. (6)
58 ПРОСТЕЯШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКаЯ rЕОМЕТРИИ 20 Пусть u == { , 'fJ, ,} удовлетворяет уравнению (6). Прилаrая вектор u к какой нибудь точке Мо == (хо, Уа, Zo) плоскости (5), по.. пучим вектор МоМ , I{OHeu М ==(xo+ , Yo+fJ, zo+ ) KOToporo в силу (5) и (6) лежит в плоскости (5). Так как и начало Мо этоrо вектора лежит в плоскости (5), то и весь вектор лежит в этой плоскости. Теорема доказана. С л е Д с т в и е. Прямая X Xo Y Yo z zo а Ь (7) тоеда и только тО2да параллельна (8 широкоAt смысле) плоскости Ax+By+Cz+D ==0, (5) Kozaa I Аа+вь+сс==о. 1 Если, кроме тО20, выполнено условие Ахо +ВУо +Cz o +D == О, (8) (50) то (и тольк.о 8 атом случае) прямая (7) лежит 8 плоскости. В самом деле, условие (8) означает, что направляющий век.. тор {а, Ь, с} прямой (7) компланарен плоскости (5), а условие (50) означает, что точка Мо == (Х о , Уо' zo) прямой (7) лежит в этой пло- скости. 3. Взаимное расположение двух плоскостей. Если две плоскости параллельны (в широком смысле), То всякий вектор, компланар- ный одной из них, будет КQмпланарен и друrой плоскости. Две параллельные в широком смысле плоскости имеют одно и то же множество компланарных им векторов. Обратно, если у двух пло.. скостей 11;1 и 11;2 одно И то же мноrообразие компланарных им векторов V, то они параллельны в широком смысле слова, если, кроме Toro, эти плоскости различны, то они не имеют ни одной общей точки (Т. е. параллельны в узком смысле слова): если бы плоскости Л 1 И п 2 имели общую точку Мо, то, прилаrая к этой точке все векторы мноrообразия V, мы бы получили все точки каждой из плоскостей 1t 1 и 11;2 И эти плоскости были бы тождест- венны. Итак. две плоскости, определяемые соответственно уравне- ниями и Ax+By+Cz+D==O A'x+B'y+C'z+D' :=::0, (9) (9') параллельны в широком смысле слова тоrда и только тоrдз, коrда ОНИ определяют одно и то же мноrообразие компланарных им
плоскость и ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 59 векторов, Т. е. коrда уравнения A +Bll+C ==O А'; + В' 11 + С' == о (10) (! О') 11 имеют ОДНО И то }ке множество решений. А это, как мы видели, сывает тоrда и только тоrда, коrда I А' : А == В' : В == С' : С. t (11 ) Если, более Toro, А' : А == В' : В == С' : С == D' : D, (12) ТО У равнен ия (9) и (9') раВНОСИ lЬНЫ, определяемые ими плоско сти совпадают. Обратно, если плоскости (9) и (9') совпадают, то совпадают МI-Iоrообразия компланарных им векторов, т. е. выпол- нено (11), и, следовательно,. при некотором л А' == лА, В' == лВ, С' == 'Ас. Дока}кем, что тоrда и D' ==. лD, т. е.. имеет место nропорция (12). В самом деле, если Мо == (хо, Уо, 10) каl{ая нибудь точка СОВПа- дающих между собоЙ плоскостей (9) и (9'), то имеем тождества Ахо + ВУо + CZ o ==......... D, А I хо + В' уо + с' 10 ==........ D', в которых А' ==лА, В' ==.лВ, С' ==.лС, а следовательно, и D' ==лD. Утверждение доказано. Итак, пропорция (12) является необходимым и достаточным условием для совпадения плоскостей (9) и (9'). Наконец, параллельность плоскостей (9) и (9') в собственном смысле означает, что имеет место параллельность в широком смыс.пе, но нет совпадения плоскостей. Друrими словами, верна пропорция (11), но неверна пропорция (12), а это значит) что А' : А == В' : В == С' : С =1= D' : D. (13) 11ToroM всему ЯRляется т е о р е ы а 10. Два уравнения первой степени (9) u (9') Ах + Ву + Cz + D == О, А'х+В'у +C'z+D' == О тozaa u ,полько тоада определяют одну и ту же плоскость) коеда 8ыполнено условие А' : А == В' : В == С' : С == D' : D. (12)
60 ПРОСТЕPfШИЕ ПОНЯТИSl АНАЛИТИЧЕСI\Ой rЕОМЕТРИИ Уравнения (9) и (9') тО2да и толыш тО2да определяют две плоскости, параллеЛЬНble в широком СМblсле слова, КО2да выполнено условие (11). HaкoHeц эти уравнения тО2да u только то2да определяют две плоскости, nараллеЛЬНЫЕ в собственном смысле, КО2да имеет .место (13). 4. Прямая как пересечение двух плоскостей. Взаимное распо- ложение двух прямых в пространстве. Пусть две плоскости, за- данные уравнениями Ax+By+Cz+D==O (9) A'x+B'y+C'z+D' :::;0, (9') не параллельны, т. е. А: В : С =1= А' : В' 1 С'. Tor да по крайней мере один из трех детерминантов а == 1 , g, 1. ь == I g, ,I. с == ' , .I отличен от нуля, и уравнения (9) и (9') совместны; чтобы найти их совместное решение, т. е. точку Мо == (х о , Уо, zo), принадле.. жащую обеим плоскостям (9) и (9'), достаточно в предположении, что, например, с == ' . ,I *' О, взять произвольное значение Z == Zo и решить по правилу Крамера систему уравнений Ax+By== D Czo, А' х + В' у == D' ....... С' zo. Итак, пусть Мо == (х о , уо, zo) есть какая-нибудь точка, принадле- >кащая обеим плоскостям (9) и (9'). Все остальные точки М, общие двум нашим плоскостям, найдутся, если приложить к точ" ке Мо всевозможные векторы u == Мо М == {s, 11, t}. лежащие одновременно как в одной, так и в друrой плоскости, или, что то же самое, всевозможные векторы-решения системы однородных уравнений A6+B11+C =:O, (10) A's + В'11 +C' == о. Так как А: В : С =1= А' : В' : С', то все эти векторы коллинеарны одному из них, например, вектору uo == {а, Ь, с}. Все общие точки наших двух плоскостей суть точки М, опреде.. ляемые векторным уравнением МоМ == tu o ,
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 61 они образуют прямую, проходящую через точку Мо и имеющую вектор U o == {а, Ь, с} своим направляющим вектором. Каноническое уравнение этой прямой есть x xo Y Yo z zo а Ь с ' rде a t Ь, с заданы равенствами а == I :' ,I, ь == I , , 1, с == l , :' 1. Две прямые X XO Y Yo z zo а Ь с (1) и , , , x xo Y lJo Z Zo ( 1' ) а' Ь' с' MorYT быть или не быть компланарными. Положим Мо == (Х о , Уо, 10)' M == (x , y , Z ). ДЛЯ компланарности прямых (1) и (1') необходимым и достаточ ным условием является компланарность трех векторов M M == {x Хо, y Уо, Z zo}, U o === {а, Ь, с}, , { ' Ь ' , С , } , uo a, т. е. равенство , х о ...... ХО а а' , Yo Yo Ь Ь' Z ..... 20 С == О. с' Следовательно, прямые скрещиваются, т. е. не лежат в одной плоскости тоrда н только тоrда, коrда последнее равенство не имеет места. Найдем уравнение плоскости, содержащей две компланарные JJрямые (1) и (1'). Предположим сначала t что прямые (1) и (1') пересекаются и что Мо == (хо, Уо, 10) их точка пересечения. Тоrда плоскость, в которой лежат обе наши прямые, есть плоскость, лроходящая через точку Мо == (х о , Уо' zo) и два приложенных к ней неколлинеарных вектора U o == {а, Ь, с} н Ц; == {а'. Ь', с'}. Урав- нение этой плоскости имеет вид X Xo Y Yo а Ь а' Ь' z ..... 20 С с' O I (2') оно и дает ответ на поставленный вопрос.
62 ПРОСТЕPfШИЕ ПОНЯТИSl АНАЛИТИЧЕСI\Ой rЕОМЕТРИИ Пусть теперь прямые (1) и (1') параллельны. Тоrда векторы U o и u; коллинеарны, следовательно, уравнение п,поскости (2') обра- щается в тождество и ничеrо нам не дает. Чтобы определить урав- нение плоскости, содержащей две данные паралле,пьные прямые (1) и (1'), заметим, что эта плоскость содержит точку Мо == (Хо, Уо, zo) одной из наших прямых, ее напраВ.:1ЯIОЩИЙ Bel TOp U o == {а, Ь, с} и вектор MoM == {x Х о , y Уо? Z zo}. Поэтому уравнение искомой плоскости есть x xo Y Yo Z Zo x xo Y Yo z zo == О. а Ь с 5. О двух полупространствах, определяемых данной ПЛf).. скостью. ЭтОТ вопрос совершенно аналоrичен вопросу о двух по- луплоскостях, определяемых данной прямой на плоскости. IlYCTb плоскость Л задана уравнением F(x, у, z)=:Ax+By+Cz+Dc:O. (14) Плоскость n разбивает пространство на два полупространства, одно из которых состоит из всех точек М == (х, у, z), для кота.. рых F (х, у, z) > О, друrое из всех точек М == (х, у, z), для КО.. торых F (х, у, z) < О. Первое полупространство называется поло- жительным, второе ...... отрицательным по отношению к. даяному уравнению (14) плоскости п. При переходе к какому-нибудь дру" rOMY уравнению той же плоскости оба полупространства MorYT или остаться неизменными, или поменяться местами: положитель- ное полупространство для одноrо уравнения сделается отрица- тельным для друrоrо. Первый или второй случай наступает в за... висимости от знака Toro множителя, на который надо почленно помножить одно уравнение, чтобы получить друrое. Имеет место утверждение, аналоrичное теореме 6. т е о р е м а 11. Если точки Мо == (х о , Уо, zo) и М 1 == (х 1, У1, Zl) лежапl в р азныlx n олуnросmранствах, определяемых плоскостью (14), то отрезок МОМ1 пересекает плоскость; если же точки Мо и M 1 лежат в одно.м и том же полупростра нстве , то в это.м, же nо- луnросmрансmве лежит и весь отрезок МОМ1 (рис. 41). Наrлядный смысл этой теоремы таков же, как в случае ана- лоrичной теоремы о двух полуплоскостях, определяемых на пло- скости данной прямой. Плоскость (14) не может быть параллельна сразу всем трем координатным осям. Пусть, например, она не параллельна оси Oz. Тоrда каждая точка Мо == (Хо, Уо, zo), не ле- жащая на плоскости (14), лежит «выше» или «ниже» этой пло- СКОСТИ В следующем смысле. Через точку мо== (хо, Уо' 'О) про- ходит единственная прямая, параллельная оси Oz; она пересекает плоскость (1) в некоторой точке M 1 == (Хl? У1, Zl) (рис. 42). Если zo> Zl' то rоворим, что точка Мо == (Х о , Уо, Zo) лежит выше плQ-
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 63 скости (1); если же Zo < ZlJ ТО rоворим, что точка Мо лежит ниже плоскости (14). / /10 Рис. 41. т е о р е м а 12. Все точки пространства, лежащие 8Ьиие пло.. скости (14), образуют одно из двух полупространств, на Koтo рые эта плоскость разбивает пространство; все точки, лежatЦuе ниже плоскости (14), образуют второе полупространство. Наконец, имеет место следующая теорема. z И О :.с х Рис. 42. Рис. 43. Теорема 13. Если плоскость п задана ypaвHeHueJ4 (14), то вектор n == {А, В, С}, приложенный х какой-либо точке Мо =: == (х о , Уо, zo) этой плоскости (рис. 43), направлен 8 положитель- ное flолупространсmво опlносuтелы'tО уравнения (14).
64 ПРОСТЕйШИЕ понятия АНАЛИТИЧЕСКОА rЕОМЕТРИИ 6. Плоскость в прямоуrольной системе координат. Предпола- raeM до конца rлавы, что система I{оординат лрямоуrольная. т е о р е м а 14. П!JСfпь пЛОСКОСfrlЬ n задана (в прям'ОУZОЛЬНОЙ системе KoopaUHanl) своим уравнением Ах +By+Cz +D ==0. (15) ТОсда BeKlrlOp n == {А, В, C перпендuкулярен к плоскости л. В самом деJlе, если u == {s, 11, } ПРОИЗВО.JIЬНЫЙ вектор, ле- жащиЙ в плоскости 1[, то (п, u)::::: A + 811 + C == О. что означает, что вектор n перпендикулярен КО ВСЯI{ОМУ вектору, лежащему в плоскости 1[, т. е. перпендикулярен к плоскости 1(;, что и требовалQCЬ доказать. Проведем теперь через начало (<<flормаль») ON к данной плоскости координат О перпендикуляр n (рис. 44); через N обозна- чаем точку пересечения плос- }{ости n с этой нормалью. Если плоскость n проходит через нача по ксординат (т. е. О == N), то положительное на- правление на нормали выби- раем произволыI;; в против ном случае считаем положи.. bHЫM направление вектора ON (т. е. направление от на- чала координат к плоскости n). Орт этоrо направления обозначаем через ero направ ляющие косинусы через cos а, COS р, COS 1', так что е == {cos а, COS р, COS у}. f-Ia ОСИ ON алrебраическое значение вектора ON есть число р О, равное расстоя.. пию плоскости 1(; от начала координат. Пусть М == (х, У, z)...... какая-нибудь точка пространства. В том и только в том случае. коrда она лежит в ПЛОСКОСТИ Л. ее ортоrональная проекция на ось орта е есть точка N, а проекция вектора ОМ есть вектор ON. Следовательно, для всех точек 1\1 == (х, У, z) ПЛОСКОСТИ n и только ДЛЯ них имеем z .х Рис. 44. аз ЛРе ом == Ре
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВВ 65 НО левая часть этоrо равенства есть Х COS сх, + у cos р + z cos у, так что точки М == (х, у, z) плоскости n и только они удовлет- воряют уравнению х cos а, + у cos + z cos у .... р == О, (16) которое есть, следовательно, уравнение плоскости 31:; оно назы- вается н,ормаЛЬНЬt,М уравнением этой плоскости. Пусть теперь дано какое-нибудь уравнение Ax+BU+Cz+D==O (15) плоскости п. Как, отправляясь от этоrо уравнения, получить нор- мальное уравнение той же плоскости? Так как уравнения (15) и (16) определяют одну и ту же пло- скость 31:, то их соответствующие коэффициенты пропорциональны, Т. е. cos а == Л-А, I cos == 'АВ, cos у == лС , ........ р == лD при некотором А. Иэ равенств (17) определяем л, а именно: из первых трех равенств (17) имеем д," (А2 + ва + С 2 ) == cos 2 а + cos 2 + cos 2 у == 1, (17) откуда 1 I л l == у . (18) А2+В2+С 2 Знак л определяем лишь в случае D rp О из четвертоrо равен- ства (17): так как Р> О, то 'AD < О и, следовательно, л имеет знак, противоположный знаку о. О п р е д е л е н и е. Число Л, имеющее моду ль -./ У А2+ 82+ С 2 и знак, противоположный знаку коэффициента D, называется нор. мирующим множителем уравнения (15). При D == О можно знак л выбрать произвольно. Мы установили: для тО20 чтобы из nроuзвольноzо (<<общеrо») уравнен u я nЛОСI(,остu ( 15) получить нормальное у равнение плоско.. сти (16), надо обе части у ршзнен.uя ( 15) помножить на нор .klU- рующий множитель этоzо уравнения. Аналоrично случаlО прямой на плоскости, нормальное уравне- ние ПЛОСI{ОСТИ позволяет определить расстояние любой точки про- странства до этой плоскости. т е о р е м а 15. РасСlпояние р (М О , п) от точки Мо == (ХО' Уо, zo) до плоскости п, данной своим нормальным уравнением (16), равно
66 ПРОСТЕйШИЕ ПОНЯТИSl АНАЛИТИЧЕСI\Ой rЕОМЕТРИИ модулю числа, nолучаеМО20, еслu в левую часть УрOJJНенuя (17) под- ставить Х == Хо, у == Уо' z == Zo, nl. е. р (М о' п) == I хо cos а. + Уо cos + Zo cos V Р 1. Если плоскость n задана общим уравнение f (15), то расстоя- ние ОТ точки Мо == (х о , Уо, zo) ДО ЭТОЙ плоскости находится по формуле (М ) I AXo + BYo+Czo+D I Р o,n У А2+В2+С 2 · 7. YrOJJ между прямой и плоскостью; уrол между двумя пло- скостями'! Уеол между прямой d и плоскостыо 3't есть, по опре- де.пению, уrол '1' между этой прямой и ее лроекцией на пло- скость 3't. Это определение дает не один, а два уrла (острый и тупой), дополняющих друr друrа ДО 11 (рис. 45); каждый из этих yr лов заключен ме}l{ДУ О и 1t. n .7z' / /' I I / I I I I . I / I Рис. 45. Рис. 46. в зависимости от выбора налравляющеrо вектора прямой d и нормальноrо вектора к плоскости пимеем Bcero четыре уrла (рис. 46), образующих две пары вертикальных уrлов. Обозначим через уrол между любым направляющим вектором u прямой d н любым вектором п, нормальным к плоскости. Так как уrол 'ф заключен между О и п, то ero синус неотрицателен, причем, как леrко видеть, всеrда sin 'ф == 1 cos q> 1. Если прямая d дана уравнением X Xo Y Yo z zo а == Ь == ' (19)
плоскость и ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 67 а плоскость п..... уравнением Ax+By+Cz+D==O, (20) То уrол q> между векторами и о == {а, Ь, с} и n == {А, В, С} нахо- дится по формуле cos == Аа+ВЬ+Сс . ер у А2+В2+С2 . Jl a 2 +b 2 +c i ' значит, . r Аа+ВЬ+Сс1 srn Ф == "1/ "1/ · r А2+В2+С З . , а 2 +Ь 2 +с* УСЛО8ие перпендuкулярносmи прямой (19) и плоскости' (20) есть условие параллельности векторов uo и П, т. е. а Ь с А == в == С' За У20Л между двумя плоскостями Ax+By+Cz+D==O (20) и A'x+B'y+C'z+D' ==0 (20' ) принимаем уrол <р между любыми двумя перпендикулярпыми к ним векторами (что опять дает два уrла, острый и тупой, дополняю... щих друr друrа до л), например между n == {А, В, С}, п' == {А', В', С'}. Получаем АА' +В8' +СС' cos ер == YAz+B2+C2.YA,2+B,2+C,2 · JlСЛО8uеJJ перпендuкулярносmu двух nлоскоспwй (20) и (20') явля- ется АА' +В8' +СС' ==0. Рассмотрим в заключение следующую задачу. 3 а д а ч а. Написать уравнения перпендикуляра, опущенноrо из данной точки М 1 == (Хl' Yl, Zl) на прямую d (не ПРОХОДЯЩУIО через точку л.,1 1 ), данную уравнением x xo Y Yo z zo а == Ь == с И найти ero длину. При этом лод nерпендuкуляро.м, опущенным из данной точки М 1 на прямую d, понимается прямая, проходя.. щая через точку М 1 и пересекающая прямую d в некоторой ее точке М 2 под прямым уrлом. Длина отрезка М 1 М 2 называется
68 ПРОСТЕйШИЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОй rЕОМЕТРИИ длиной nерпендuкуляра. Для решения поставленной задачи, во первых, проводим плоскость через точку М 1 И прямую d. Эта плоскость, неся на себе векторы U o === {а, Ь, с}, моМ; ==U 1 == {Х 1 Хо, Уl Уо, Z1 Zo} и содержа точку Мо, имеет уравнение x xo Y Yo % Zo Х1 xo Уl Yo %1 zo == О. а Ь с Во-вторых, проводим плоскость через точку М 1 === (X 1 , Уl' Zl) перпендикулярно к прямой d. Уравнение ЭТОЙ плоскости есть а (X Xl) +Ь (y !/1) +с (z Zl) == О. Пересечение этих двух пл-оскостей дает искомую прямую, прохо.. дящую через точку M 1 , пересекающую прямую d и перпендику'" лярную к ней. Длину перпендикуляра, опущенноrо из точки М 1 на прямую d, найдем как высоту параллелоrрамма, nOCTpoeHHoro на векто... рах Лtl0М и u o , отложенных от точки Мо. считая основанием сторону U o . Площадь S этоrо пара.плелоrра мма е сть аБСОЛIотная величина BeKTopHoro произведения вектора MoM на вектор u o , а длина ero основания есть I U o 1; ПОЭТО!\'IУ дЛЯ расстояния р (M 1 , d) имеем р (Nl 1 ) d) == I [ М;, uo] I == I Но I VI Уl Yo :1-;:012 + I :1 :o Хl---;ХО 12 + I Хl -:;ХО y + + Уl ;- у О 12 .
r л А В А I1 ПАРАБОЛА. эллипс. rИПЕРБОЛА Во всей этой rлаве предполаrается, что в плоскости (в KOTO рой лежат все рассматриваемые далее фиrуры) выбран определен- ный масштаб; рассматриваются лишь прямоуrольные системы координат с этим масштабом. 1. Парабола Парабола известна читателю из курса средней школы как кри- вая, являющаяся rрафиком функции у == ах 2 +Ьх+с. (1) ( ь 4ас Ь 2 ) u Точка с координатами 2а ' 4а называется вершинои пара- болы. В частности, если Ь == с === О, ТО у == ах 2 , (2) и вершина параболы находится в начале I{оординат. Поменяем названия осей, т. е. перейдем к новой системе коор- динат, в которой осью ординат будет старая ось абсцисс, а осью абсцисс старая ось ординат. В этой новой системе уравнение 1 1 (2) запишется в виде у2 === х или, если число обозначить а а через 2р, в виде у2 == 2рх, р> о (рис. 47). (3) Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы: прямоуrольная система координат, в которой данная парабола имеет уравнение (3), называется канонической системой координат (для этой параболы). Установим rеометрический смысл коэффициента р. Для этоrо возьмем точку p==( . о). (4)
70 ПАРАБОЛА. эллипс. rИЛЕРБОЛЛ называемую фокусом параболы (3), и прямую d, определенную уравнением р X 2. (5) Эта прямая называется директрисой параболы (3) (см. рис. 47). Пусть М == (х, у) произвольная точка параболы (3). Из урав- нения (3) следует, что Х;?; О. Поэтому расстояние точки М от директрисы d есть число cS м + х. (6 ) Расстояние точки М от фокуса F есть ' + Y(x y +у2. Но у2==2рх, поэтому ,==x+. == б м . d 9 IJ d 8 н о РИС4 47. р "2 Рис. 48. Итак, все точки М параболы ранноуда,,'!ены от ее фокуса и директрисы: r == б м . (7) Очевидно обратное: каR<дая точка М, удовлетворяющая условию (7), лежит на параболе (3). Мы доказали, что каждая парабола (3) eC"lb 2еомеmрическое место точек равн'оудален/'i,ыlx от фокуса F и от директрисы d этой параболы.
ПАРАБОЛА 71 Вместе с тем мы установили и 2еомеf11раческuй СМhLCЛ КОЭффи цшнта р в уравнении (3): число р равно расстоянию между фокусом u директрисой параболы. Пусть теперь на плоскости даны произвольно точка F и прямая d, не проходящая через эту точку. Докажем, что существует парабола с фокусом F и директрисой d. Для эrоrо проведем через точку F прямую g (рис. 48), перпендикулярную к прямой d; точку пересечения обеих прямых обозначим через D; расстояние JDF I обозначим через р. Прямую g превратим в ось, приняв на ней направление в качестве ПОЛО1Кительноrо. y ось сделаем осью абсцисс лрямоуrольной системы координат, началом которой является середина О отрезка DF . Тоrда F == ( , о) и прямая d по.пучает уравнение х == . Теперь мы можем в выбранной системе координат написать каноническое уравнение параболы: у2 == 2рх, (3) причем точка F будет фокусом, а прямая d директрисой пара- болы (3). Мы установили выше, что парабола есть rеометрическое место точек М, равноудаленных от точки F и прямой d. Итак, мы можем дать такое rеометрическое (т. е. не зависящее ни от какой системы кО<)рдинат) определение параболы. О п р е Д е л е н и е. Параболой НазЬ18аеmся ееометрuческое .Atecтo точек равн,оудаленнblX от некоторой фиксированной точки (<<фоку.. са» параболы) и некоmорой фиксированной прямой (<<директрисы» параболы) . Обозначая расстояние между фокусом и директрисой параболы через р, мы можем всеrда найти лрямоуrольную систему коорди нат . каноническую для данной параболы, т. е. такую, в которой уравнение параболы имеет канонический вид у2 == 2рх. (3) Обратно, всякая кривая, имеющая такое уравнение в некоrорой прямоуrольноЙ системе координат, является параболой. Расстояние р между фокусом и директрисой параболы назы.. вается фокальным параметром. или просто параметром параболы. Прямая, проходящая через фокус перпендикулярно к директрисе параболы, называется ее фокальной осью (или просто осью); она является осью симметрии параболы это вытекает из TorO t что ось параболы является осью абсцисс в системе координат, отно- сительно которой уравнение параболы имеет вид (3). Если точка М == (х, у) удовлетворяет уравнению (3), то этому уравнению удовлетворяет и точка М' == (х, ....... у), симметричная точке М отно- сительно оси абсцисс.
72 ПАРАБОЛА. эллипс. rИПЕРВОЛЛ Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параБО.1JЫ; она является началом системы координат, канонической для данной параболы. 2. Эллипс О п р е Д е л е н и е. Эллипсом Н,а3ЬLвается 2ео.метрuческое .место пwчек плоскосmu Су.мма расстояний которых от двух данных точеl( Р 1 и F 2 (рис. 49) есть nоспiоянное число; эmо число .мы обозначаем через 2а. Точки Р 1 и Р 2 на. зываются фокусами эллипса; расстояние между ними обо- значается через 2с и назы- вается фокусным расстоя нием. Число а называется большой полуосью эллипса (по .:с причинам, которые выяснятся в дальнейшем). Середина О отрезка F 1 F 2, соединяюще20 ФОКУСbl, назы8еmcяя центром эллипса, а вся прямая Р 1 Р 2 называется е20 фокальной или первой осью. Прямая проходящая через цеНfпр эллипса neрпендикулярно 1(, фокальной оси J называепlСЯ второй осыо эллипса. Пусть М какая нибудь точка эллипса. Так как 2а == I Р 1 М f + +I F2M I IF1F21==2c, то a c. Однако если а==с, то получаем совокупность всех точек М, дЛЯ которых I Р 1 М '+! Р 2 М I ==! р 1 р 2 1, т. е. отрезок FIF2 ' Этот случай мы в да.пьнейшем рассматривать не будем и поэтому будем предполаrать, что а> с. Ч иСАО t Y ........ Рис. 49. с e== а называется эксцентрuсuте11l0лt эллипса; оно все2да < 1. Эксцентри- ситет эллипса равен нулю тоrда и только тоrда. коrда фокусы эллипса совпадают: F 1 ::=Р 2 . В этом случае эллипс превращается D rеометрическое место точек М, расстояние которых от точки Рl == F 2 равно а, т. е. в окружность радиуса а с центром 0=== Fl == == Р 2 ; под осью окружности понимаем всякую прямую, проходя.. щую через ее центр о. Пусть нам дан эллипс; значит. даны ero фокусы Р 1 И F и дана ero большая полуось а. Значит, нам известно и число с<а, равное половине расстояния между фокусами. Построим на плоскости прямоуrольную систему координат, которую будем называть канонической системой (для данноrо
эллипс 73 эллипса). Ее начало О есть nентр эллипса, а ось абсцисс совпа дает с фокальной осью. Положительным направлением на ней считаем направление вектора р 1 р 2 ' Положительное направление на оси ординат выбираем ПРОИ3ВО ТIьно.. В этой системе координат имеем Fl == (......... С, О), Р 2 ::= (с, О); .фокус Р 1 условно называем леВblАl, фокус Р 2 правым. Предположим теперь, что М == (х, у) произвольная точка эллипса. Пусть '1 == Р (Р 1 , М) И '2 === Р (F 2 , Л1) расстояния точки М до фокусов Р 1 , соответственно Р 2 . Числа '1 и '2 называются фокальными радиуса ми точки М . Имеем 'l==У(х+с)2+у2, '2==Y(x c)2+y2. Точка М == (х, у) является точкой Э.алипса тоrда и только тоrдз, 1{ or да '1 +'2 == 2а, (1) Т. е. (1 ') У(х+с)2+у2+ Y(x c)2+y2==2a. Это уравнение и есть уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем уравнение (1) к виду, который называется каН,о... н'uчеСКUАt уравнением эллипса. Для этоrо перенесем второй ради... кал в праВУIО часть. Возведя после этоrо обе части уравнения в квадрат, получае (х+с)2 + у2 == 4а 2 4а Y(x с)2 + у2 + (х с)2 + у2 (2) И.lIИ (после очевидных преобразований) (а 2 с 2 ) х 2 + а 2 у2 === а 2 (а 2 с 2 ). (3) Так l{aK а> С, то число а 2 с 2 по ложительно; обозначим ero через Ь 2 , называя число Ь == + V а 2 с 2 малой полуосью эллипса. Теперь равенство (3) можно переписать в виде Ь 2 х 2 + а 2 у2 == а 2 Ь2 ИЛИ х2 у2 а 2 + 12 == 1. (4) Покажем теперь, что уравнение (4) действительно есть ypaB нение нашеrо ЭЛ.пипса, ведь пока мы доказали только, что каждан точка М == (х, у), удовлетворяющая уравнению (1 '), удовлетворяет и уравнению (4). Остается доказать обратное утверждение, а именно, что каждая точка М == (х, у), удовлетворяющая уравнению (4), есть точка эллипса J т. е. что для нее выполнено условие'l +'2 == 2а.
74 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. rИПЕРБОЛА Итак, пусть М == (х, у) nроизвольная точка, удовлетворяю щая уравнению (4). Найдем расстояния '1, '2 ТОЧКИ М от фокусов Р 1 И Р 2 . Имеем '1 == + V (х+с)2+ у2, (5) причем из (4) имеем уВ == Ь 2 (1 :: ) . (6) Но lJI == a t ..... с 2 , поэтому с 2 У 2 == а 2 ....... с 2 х 2 + х2. а 2 Это значение у подс тавим в (5); по лучим / C / ( с ) 2 '1==+ r 2сх+а 2 .+ а2 х 2 ===+ r a+-а Х , откуда r 1 == + (a+ ; х)== + (а+ех). (7) Слева...... положите.,'Iьное число r 1; справа надо взять такой знак, чтобы правая часть была тоже положительной. Но из (4) следует, что !хl а; кроме Toro, О е < 1; значит, !ех! < а, т. е. всеrда а + еХ > О, так что справа в (7) надо взять знак + , и мы получаем I r 1 == а + ех. I (1) Точно так же 1 rB==a ex,1 (11) Из (1) и (11) получаем '1 +'2 == 2а, точка М (х, у) принадлежит нашему эллипсу. Итак, мы доказали, что уранение (4) действительно есть урав- нение эллипса; оно называется каноническим уравнением эллипса. Кроме Toro, V Ь2 V a2 b2 Ь V e 1 == == 1 e2. а 2 а t а Из уравнения (4) леrко находятся некоторые свойства эллипса. Прежде Bcero, если точка М;:: (х, у) лежит на нашем эллипсе, т. е. удовлетворяет уравнению (4), то тем же свойством обладает и точка М' == (х, у) (рис. 50), симметричная точке Л1 относи тельно оси абсцисс, а также точка М" == ( Х, у), симметричная точке М относительно оси ординат. Итак, обе оси эллипса являются ezo осями симметрии. (8)
rИПЕРБОЛА 75 Центр эллипса является е20 центром симметрии: в самом деле, при нашем выборе системы координат центр есть начало коорди- нат о; если точка М == (х, у) удовлетворяет уравнению (4), то и точка М* == (.......х, у), симметричная точке М относительно центра О, также удовлетворяет уравнению (4), откуда утверждение следует. ЗамеТИМ,наконец,что в силу уравнения (4), ко- торому удовлеТВОРЯIОТ все точки эллипса'....... для каж- ДОЙ точки М == (х, у) эл- липса имеем х2 у2 А, а 2 1, Ь 2 1, т. е. .lxJ а, 'Уl b вecь эллипс лежит в nрямо- уrольнике, оrраниченном прямыми х== + а, y + bt параллельными (второй и первой) осям эллипса и отстоящими от них соответствено на расстояние а и Ь. ЭТОТ прямоуrольник называется OCH08HtJl.М, пря.. моуеодьником для данноrо эллипса. Точки Al == ( ..... а, О), А 2 === (а, О), а также точки 81 == (О, ..... b)t 82 == (О, Ь), т. е. точки пересечения эллипса с е20 осям.и, назы- ваются вершинами эллипса. Таким образом, у эллипса (не являющеrося окружно- стью) имеется четыре вер- шины. 8, Рис. 50. !I 3. rипербола Оп р е Д е л е н и е. Fuпep- болой называется ееометрuче- ское место точек плоскости, МlJдуль разности расстояний каждоЙ из которых до двух фикси роваН,ных точек F 1 и F 2 Рис. 5 t · (рис. 51) есть положитель- ная постоянная. Эту поспlОЯННУЮ обозначим через 2а. Число а будем называть первой полуосью 2ипер60Лbl. Точки Fl и Р 2 НQЗbI еаются фокусами zиперболы. Расстояние между ними обозначается через 2с и называется фокусным расстояние'м'. Середина отрезка FJ.F2 НClЗIJlвается центром 2иперболы. Прямая, на которой лежат z
76 ПАРАБОЛА. эллипс. rИПЕРЕОЛА фоКУСbl 2uперБОЛbl называется фокальной или пepBOll осью 2uперБОЛbl. П рямая проходящая через центр перпендикулярно " первой оси сипер60Лbl называется ее второй осью. Из рис. 51 ясно, что I FIF2 1 II MFl l I MF2 Ir, Т. е. c a. Если с == а, то мы получаем точки М, дЛЯ которых или I MPl l ' MF 2 1==/ F 1 F 2 /, или I МР 2 1 1 МР 1 1 == F 1 F 2 1. Эти точки М заполняют две полупрямые, дополняющие отрезок FtF2 до всей прямой. Поэтому случай с == а в дальнейшем рассмат- ривать не будем, т. е. предполаrаем, что с> а. Как и в случае с эллипса, число а н, азыlаемM эксцеflПlриситетОАt zиперБОЛbl u обозна- чаем через е. 11 меем с e== >l. а Пусть нам дана rипербола, т. е. даны ее фокусы Рl и Р2' а также числа а и с. Построим на плоскости прямоуrольную систему координат, которую будем называть канонической (.аля данной rиперболы). Начало этой системы координат лежит в центре О rиперболы, ось абсцисс совпадает с фокальной осыо rиперболы. За положительное направление оси абсцисс примем направление вектора Ё P2' Тоrда Р 1 == ( c, О), Р 2 == (с, О). Пусть М == (х, у) произвольная точка rиперболы. Обозначим через '1 Р (Р 1 , М) И '2 == Р (Р 2 , Nl) расстояния точки М == (х, у) соответственно До фокусов Рl И Р 2 . Числа '1 и '2 называются Фо/(,аЛЬНblJJtи радиуса ми точки М. Имеем 'l==У(х+с)2+ у 2, '2==Y(x c)2+y2. (1) Точка М == (х, у) есть точка rипербо,пы тоrда и только тоrда, коrда I , 1 '2 I == 2а (2) или r 1 r 2 == + 2а. Если принять в о внимание раве нства (1), т о имеем Y(x+c)2+y2 Y(x c)2 +у2== + 2а. (3) Это уравнение и есть уравнение нашей rиперболы в выбранной системе координат.
rlfПIZРВОЛА 77 Преобраэуем уравнение (3) к виду, который называется KaHO lIическим. Для этоrо уединим первый радикал. Возведя затем обе части уравнения в квадрат, получаем (х +с)2 + уЗ == 4а 2 + 4а У(х с)2 + у2 + (х....... с)2+ у2 или (после простых преобразований) (с 2 ....... а 2 ) х 2 ....... а 2 у2 == а 2 (с 2 .... а 2 ) . ( 4) Так как с> а, то числ о с 2 а 2 положительно; обозначим ero через Ь 2 , считая Ь;:;= + У с 2 .... а 2 . Равенство (4) можно переписать в виде Ь 2 х 2 а 2 у З == а 2 Ь 2 или х2 у2 а 2 ...... Ь 2 :::= 1. (5) Осталось показать, что уравнение (5) действительно есть урав- нение нашей rиперболы; как и в случае э.плипса. еще надо дока- зать, что каждая точка М == (х, у). удовлетворяющая уравнению (5), удовлетворяет и уравнению (2). Пусть М == (х, у)........ произвольная точка, удовлетворяющая уравнению (5). Найдем фокальные радиусьr '1 и '2 точки 1\-1. Имеем 'I== V (х+с)2+у2, '1 === ....J (а + ех). Совершенно аналоrично имеем '2== + (a ex). (11) (6 1 ) (62) Так как '1 и ,2....... положительные числа, то надо знак перед скобками выбрать так, чтобы и правые части равенств (61) и (62) были по ложительными. Для этоrо исследуем различные возможные случаи, предстаВJ]яемые равенствами (61) и (62). Из уравнения (5) HaXo дим прежде Bcero, что I х I а > О. Поэтому имеем два основных случая: в зависимости оТ Toro, лежит ли точка М == (х, у) в пра- вой полуплоскости х> О или в левой х < О. Так как е> 1, то в обоих случаях имеем I ех I > а. (7) При х> О внутри скобки в (61) стоит положительное ЧИСJIО, поэтому скобку на до взять со знаком +, и м ы получаем I r 1 ==а+ех при х> О. (I+)
78 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. rИПЕРВОЛА Из (7) следует, что при х> О внутри скобки (62) стоит отрица- тельное число, ск обку надо взять со знаком , так что I ra== a+ex при х>О. {II+} Из (1+) и (11+) следует, что при Х>О имеем r 1 '2 == 2а, и точка М == (х, у), удовлетворяющая уравнению (5), лежит на rиперболе. Пусть х < о; из (7) следует, что теперь внутри скобки (6) стоит отрицательное число, значит, перед скобкой надо взять знак ......., так что I rl== a ex при х<О. (I ) Зато внутри скобки в (6) стоит теперь число поло)кительное, значит, r2==a ex при Х<О. (II ) Имеем r 2 , 1 == 2а. Итак, во всех случаях всякая точка, удовлеТВОРЯIОlцая уравне- нию (5), лежит на rиперболе мы доказали, что уравнение (5) действительно является уравнением нашей rиперболы. Оно назы- вается каноническим уравнением zиnерболы. Формулы (1), (11) линейно выражают фокальные радиусы лю бой точки rиперболы через ее абсциссу. Заметив, что с 2 == а 2 + Ь 2 , получаем 2 с 2 а 2 +Ь 2 1 + ( ' ) 2 e 2 2 , а а а == v е 2 1, е == ... / 1 + ( ) I . а V ,й Из уравнения (5) вытекает (как и в случае э.плипса), что обе оси rиперболы являются ее осями симметрии, а центр rиперболы есть ее центр симметрии. Переписывая уравнение rиперболы (5) в виде у2 х'! - == 1 Ь 2 а 2 (8) (9) и замечая, что ero левая часть всеrда О, видим, что для точек х 2 rиперболы до,пжно быть й2" 1 О, т. е. I х 1;:::: а. Друrими словами, в полосе а < х < а, оrраниченной прямыми х == + а (на рис. 52
эта полоса заштрихована), в частности на второй оси х == О, не содержится точек rиперболы: все они лежат или вправо от пря- мой х == а, или влево от прямой х == а, кроме двух точек А 1 == ::::::: ( a, О), А 2 === (а, О), лежащих на самих этих прямых и являю- щихся точками пересечения rиперболы с ее фокальной осью. Эти две точки назы- ваются вершинами rиперболы. Итак, rипербола распа- дается на две ветви: «правую», для точек которой абсцисса х а, и «левую», для точек которой х а. Чтобы ближе познако" миться с общим видом rипер.. балы, надо определить пря- мые, называемые ее асимпто- тами. Как и в случае эллипса, основным пРЯМ,ОУ20ЛЬН,ИКО.м, rи- перболы называется прямоуrольник, оrраниченный прямыми, па- раЛJ1ельными второй и первой осям rилерболы и ОТСТОЯЩИМИ от них соответственно на расстояния а и Ь (рис. 53). В канонической системе координат уравнения этих прямых суть х == + й, у + Ь, тоrда как уравнение самой rилерболы имеет вид х2 у2 ...... === 1 а 2 Ь 2 · (10) Диаrонали OCHOBHoro пр я.. моуrольника суть прямые, имеющие своими уравнениями Ь у == + x. (11) а Эти прямые называются асимптотами rиперболы. ь Прямую У=={iХ будем на- rИПЕРБОЛА 79 !I ... :с Рис. 52. .r Рис. 53.. .... Ь".. зывать первои, а прямую у:=: ....... аХ второu асимптотои. Возьмем какое нибудь значение переменноrо Х, Х а. Ему соответствует в верхней полу плоскости точка М rнперболы с абс... циссой х (см. рис. 53) и точка М' (первой) асимптоты с той же абсциссой х: м == (х, у), м' == (х, У').
80 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. rИПЕРВОЛА При ЭТОМ y== v x2 a2, а , ь У == Х. а I1ри неоrраниченном возрастании х разность , аЬ у Y== , х+ У x2 a2 оставаясь положительной, монотонно убывает и стремится к нулю, т. е. точки М и М', уходя в бесконечность, неоrраниченно сбли- жаются между собой. При этом точка М rиперболы все время остается под точкой М' асимптоты. На нижней полуплоскости положение аналоrично, что след) ет из симметрии фиrуры, составленной из rиперболы и пары ее асимптот, относительно оси rиперболы. Мы исследовали взаимное расположение точек rиперболы и пары ее асимптот при х а. Картина при х а получается по симметрии. В целом общий вид rиперболы ясен из рис. 53. 4. ДиреКТРИСbl эллипса и rиперболы ДиректрисоЙ эллипса (rиперболы), соответствующей данному фокусу Р, называется прямая d, перпендикулярная к фокальной u а оси кривои, отстоящая от центра на расстояние e и лежащая по ту же сторону от центра, что и фокус F (рис. 54 и 55). l у a Рис. 54. Таким образом, и у эллипса (не являющеrося окружностью), и у rиперболы....... две директрисы. Если взята каноническая для данной кривой прямоуrольная система координат, то уравнение директрис d 1 , d 2 (соответствую..
ДИРЕI(ТРИСЫ ЭЛЛИПСА И rИПЕРБОЛЫ 81 щих фокусам F 1 , F 2 ) будет соответственно а х== , е а Х==е 8 ( 11) (12) Для эллипса е < 1, поэтому директрисы эллипса удалены от центра на расстояние, большее а. т. е. расположены за пределами OCHOBHoro прямоуrольника (см. рис. 54). !I Рис. 55. Для rиперболы е> 1, поэтому директрисы rиперболы удалены от ее центра на расстояние, меньшее а. они пересекают основ.. ной прямоуrольник и проходят между центром и соответствующей вершиной rиперболы (см. рис. 55). Заметим, наконец, что расстояние Li директрисы от соответ.. ствующеrо ей фокуса есть 1) в случае эллипса а 1 е 2 1 Ь а A== ае==а == 8 8 е е е а' 2) в случае rиперболы а е 2 1 1 Ь 2 ==ae ==a == . е е е а' Итак, для эллипса и для rиперболы имеем 1 Ь 2 L\== . е а. (2)
82 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. rИПЕРБОЛА Если в случае rиперболы (при данном а) фокусное расстоя- ние с, а значит, и эксцентриситет е == увеличиваются, то (острый) уrол между асимптотами уменьшается, а директрисы все более приближаются ко второй оси (и сближаются между собой). Если в случае эллипса (при данном а) фокусное расстояние с, с а значит, и эксцентриситет е а уменьшаются, то эллипс стано.. вится Бсе более похожим на ОI{РУЖНОСТЬ, а ero директрисы ухо" дят все дальше и дальше от второй оси (и друr от друrа). Нако. нец, для окружности е == О и директрисы исчезают (<<уходя в бес. конечность») окружность не имеет директрис. Пусть дан какой нибудь эллипс или rипербола с; один из фокусов кривой С обозначим через Р, соответствующую ему ди- ректрису через d. Для произвольной точки 1\.1 обозначим через r расстояние этой точки М от точки Р, через б расстояние точки М от прямой d. Докажем, что для всех точек М кривой С имеем r -б== е. (3) Достаточно доказать это равенство для случая, коrда F == Р 1 ........ первый (левый) фокус (система координат каноническая). Тоrда имеем r;:la+exj. б;:/х+ 1. откуда r б ==е. Итак, равенство (3) имеет место для всех точек кривой С. Докажем обратное утверждение: если для какой-нибудь точки М == (х, у) плоскости выполнено равенство (3), то точка М лежит на кривой С. в самом де.пе, пусть снова р....... левый фокус кривой С, т. е. F == ( c, О), а прямая d имеет уравнение а X== . е Тоrда r 2 == (х + с)2 + у2, 62;: (х+ : )2;: (х+ :2 у. По предположению для точки М выполнено условие (3), так что ,2 с2 e 2........ S2 ........ а 2 , т. е. (а 2 с 2 ) х 2 + а 2 у 2 == а 2 (а 2 с 2 ). (4)
ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА И rИПЕРБОЛЫ 83 Если кривая С эллипс t ТО е == < 1, а 2 с 2 === Ь ! И уравнение (4) переписывается в виде х9 у'- + == 1 а 2 b'J ...... точка М лежит на эллипсе С. с Если же кривая С ....... rипербола, то е == а > 1, с 2 а 2 == Ь 2 и уравнение (4) можно написать в виде х! у" ....... == 1 а'1 Ь 2 точка М лежит на rиперболе с. Итак, доказана следующая теорема: Как эллипс} пlaK и с.ипербола С с эксцеflmРUСUlпето,М, е есть сео- меmрическое место точек М плоскости удО8леm80рЯIОlцих следу/о- щему условию: отношение расстояния точки М до проuзвольно 8ыбраflНО20 фокуса кривой /(, расстоянию точки М до cooпzвeпlcт- вующей этому фокусу директрисы равно е. Пусть теперь на плоскости даны точка Р, прямая d, не про.. ходящая через эту точку, и положительное число е *' 1. Докажем, что при е < 1 существует эллипс и при е> 1 ........ rипер.. бала с эксцентриситетом е, фокусом F и соответствующей ему директрисой d. В самом деле t опустим из точки F перпендикуляр FD на пря- мую d и обозначим через А точку, делящую отрезок FD в отно- шении е, а через А' точку, делящую тот же отрезок РЬ в отно- шении e, что FA ==e t AD РА' e ;rь · (5) Нетрудно показать, что тоrда середина О отрезка АА' делит отрезок FD в отношении e2: т. е. OF == е 2 ОО . (5') Из равенств (5) и (5') следуеТ t что точки Ft D и А лежат по одну сторону ОТ точки О. Выберем прямоуrольную систему координат Оху с началом в точке О и положительным направлением OF оси Ох. Пусть в этой системе F == (с, О), D == (d, О) А == (а, О).
84 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. rИПЕРБОЛА Так как точки А, F и D лежат на положительном луче оси Ох, то все три числа а, с и d являются положительными, причем c+ed а== l+е ' с == е 2 · d. (6) Чтобы установить, что точка F и прямая d являются фокусом и директрисой кривой с центром О, первой полуосью а и эксцен- триситетом е, достаточно показать, что ае == с, а d е · Имеем c+ed ее + e 2 d ес+с а.е== .е== == ==с l+e l+e l+e и == c+ed == e 2 d+ed ==d е (1 + е) . е (1 + е) . е · Утверждение доказано. Эксцентриситет ЭЛ.пипса (не являющеrося окружнос.тью) есть положительное число е < 1; эксцентриситет rиперболы е > 1. Определим эксцентриситет для всякой параболы, положив ero равным е == 1. Теперь любое положительное число е является эксцентриситетом или эллипса, или параболы, или rиперболы, и мы получаем следующий результат: Класс Kpивыx являющихся эллипсами (KpOJfte окружносmu) параболами или GиlZер60ламu может быть определен следующu.м Dб разом: Каждая кривая С Э/n020 класса (и только кривая этоzо класса) r есть zеомеmрическое место точек M для KOfrlOpblX отношение 6 1v!. м расстояния 'м точки Л'l от некопlОрОЙ фиксированной точки F (<<фокуса кривой С») " расстоянu/о б м тOttKU М от некоторой фиксированной прямоЙ (<<директрисы кривой С») есть постоянное положительное число e r е == (для всех mоч ек /уl кривой С), 6м называемое эксцентриситетом кривой с. l(рuвая С есть 8ллuпс если е < 1, парабола, если е == 1. 2ипе рбола I если е > 1.
ФОКАЛЬНЫА ПДРДМЕТР 85 5. Фокальный параметр. Уравнения ЭЛJlllпса, rиперболы и параболы в полярных координатах 1. Фокальный параметр. Пусть С эллипс или rипербола. Проведем через какой нибудь фокус F кривой С прямую. перпен- дикулярную к ее фокальной оси. Эта прямая пересечет }(рИDуIО С В двух точках Р и Р'. Длину полученной таким образом хорды рр ' обозначаем через 2р; величина р называется фокальным nара- метром кривой С. Фокальный параметр окружности. очевидно. равен ее радиусу. Возьмем каноническую для данной кривой С систему коор- динат, тоrда фокальный параметр кривой С равен модулю орди- наты каждой из точек Р, Р'. Вычислим ero. Если кривая С эллипс х2 у2 а 2 + Ь Э 1, то для любой точки М (х. у) этоrо эллип са у == + !!.. V а 2 х 2 . а Подставляя сюда абсциссу фокуса Р, т. е. х == + с, получим для ординат точек Р, Р' зн ачения у == + !!.. V а 2 с2 == + Ь'1. . а а Итак, фокальный параметр эллипса есть Ь 2 Р ==а- Для точки М == (х. у) rилерболы (1) х2 у'1. == 1 а 2 Ь 2 имеем у == 4 V х 2 а 2 8 а Для х == + с получаем у == + .!. V с 2 а2 == + Ь 2 . а а ФокаЛЬНbJЙ параметр rиперБОЛbl также есть Ь 2 р ==-а 8 (1)
86 ПАРАБОЛА. эллипс. rИПЕРБОЛА Вспомним, ЧТО мы нашли ( 4) для расстояния А между фокусом и соотвеТСТВУЮIЦей директрисой как эллипса, так и rиперболы выражение 1 Ь 2 11 ::::: · е а' Теперь мы ВИДИМ, что это расстояние d может быть выражено и через фокальный параметр: ==.!!. е (2) и это выражение rодится не только для эллипса и rнперболы, НО и для параболы (для которой, как мы знаем, е == 1 и == p) Таким образом, для всех наших кривых (кроме окружности) фокаЛЫtЫЙ пара.метр р может быть определен как число р == e , zде d расстояние от фокуса до дupeKтpиcы а е...... зксчентрuсumem. rI :J; J} Рис. 56. 2. Уравнение эллипса, rиперболы и параболы в полярных координатах. Получим уравнение эллипса, rиперболы и параболы в полярных координатах. Этими уравнениями постоянно поль- зуются в астрономии и во мноrих вопросах механики. Начало полярной системы координат помещаем в фокус F (левый в случае эллипса (рис. 56), правый в случае rилерболы (рис. 57) и в единственный фокус в случае параболы (рис. 58)); полярная ось направлена от полюса в сторону, противоположную от соответствующей директрисы d. Для любой точки М нашей кривой обозначаем через r рас- стояние от М до фокуса Р, через () расстояние от М до d. Наша кривая С есть rеометрическое место точек М, дЛЯ которых r 7;== е, т. е. r :;: ед. (3)
ФОI(АЛЬНЫА ПАРАМЕТР 87 Но , есть полярный радиус точки М. Вычислим 8. Обозначая через D точку пересечения директрисы d с фокальной осью, а через M проекцию точки М на эту ось, ВИДИМ, что б есть d ]} $ Рис. 57. Рис. 58. длина вектора DM x, лежащеrо на оси абсцисс (канонической системы). Для алrебраических значений векторов на этой оси имеем (DM x ) == (DF) + (РМ Х ), (4) НО ' """"""" I р (DF)==,DF == , е тоrда как (Р М х ) === r cos ер, rде <р уrол наклона вектора ЕМ к полярной ОСИ, Т. е. поляр- ный уrол точки М. На кривой С (в случае rиперболы на правой
88 ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. rИПЕРБОЛА ее ветви) (DM x ) == 1 DMx } == б. Подставляя в равенство (4) найден.. ные значения входящих в Hero величин, получаем р + S p+ercosq> u ж:::2 r со <р == . е е Наконец, подставляя это значение 6 в (3), имеем r р+еrсоsЧ', или р r == 1 t сos q> .. (5) Это и есть уравнение параболы, эллипса и (ветви) rиперболы в полярных координатах.
r л А В А Ilt ПРЕОБРА30ВАНИЕ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЯ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРА30ВАНИЯ 1. Переход от одной аффинной системы координат к друrой 1. Переход от одной аффинной системы координат к друrой с тем же началом. Аффинная координатная система или аффин- ный репер 8 пространстве 1), есть тройка некомпланарных BeKTO ров е 1 , е 2 , ез, данных в определенном порядке и приложенных к точке О началу репера. Тройка векторов е 1, е 2 , е з называется иноrдв базисом репера или координатной системы. Если наряду с репером О е 1 е 2 е з , который будем условно назы- вать «старым», дан «новый» репер с началом О' и базисом е 1 , ez, ез, то возникает общая задача преобразования координат: по координатам произвольной точки М (произвольноrо вектора u) u u u воднои И3 двух систем координат наити координаты тои же точки (Toro же вектора) в друrой системе. Предположим, что оба репера имеют одно и то же начало о. Тоrда новый репер вполне определен, если заданы векторы eJ, е2, ез своими координатами (относительно cTaporo базиса), Т. е. если даны коэффициенты aik, i, k == 1, 2. 3, в равенствах з , , ek == aik el- i r:;. 1 (1) Матрица ан а21 аз! А * == а19 а22 аЗ2 аlЗ а2З азэl называется матрицей перехода от базиса e t , е2, е з к базису ej, , , u е2, ез, а также матрицеи перехода от nepBoro репера ко второму. Так как векторы eI, е2, ез линейно независимы, то детерминант ;1) МЫ иэлаrаем случай пространства! случай плос!{ости отличается ОТ Hero только большей просrоrой.
90 ПРЕОВРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ матрицы А* отличен от нуля Mampицa перехода от одн.О20 базиса к, дРУ20МУ есть всееда невырожденная матрица. Так как векторы еl, е2, ез образуют базис, то каждый из векторов e 1 , е2, е з в свою очередь однозначно представим как линейная комбинация векто- ров ' , , · el, е2, ез. 3 el:::: akie;' k== 1 ...... уравнения (1) однознлЧН,о fX13решu},f,Ы относительно старых еди" ничных векторов e 1 , е 2 , е з . Посмотрим, как связаны между собой координаты х, у, z и х', у', z' произвольной точки М (произвольноrо вектора u == ОМ ) в старой и новой координатных системах. Вектор u== OM записывается, во первых, как линейная комби- нация векторов e 1 , е2' е з с коэффициентами Х, У, z Н, BO BTOpЫX, как линейная комбинация векторов еl, е2, ез с коэффициентами х', у', z', так что имеем тождество (1 ') u == хе 1 + уе 2 + zе з == x'ei + y'ei + z'ез. Вносим в это тождество выражения еl, е2, ез из (1); получаем u === xe 1 + уе2 + ze a == (а 11 х' + й12У' + аJзz') е 1 + + (aZ1x' +а 2 2У' + зz') е 2 + (аЗI Х ' +а э 2У' +йзз z ') е з .. Но вектор u единственным образом представляется как линейная комбинация векторов еl. еа, ез. следовательно, коэффициенты при векторах e 1 , е 2 , е з в левой и правой частях последнеrо равенства должны быть одни и те же, т. е. Х:::: a 11 x' + а l 2У' + a13 Z " I у :::: й21 х' + й22У' + зZ' , Z == аз1х' + а з 2У' + аззz' · Эти формулы и выражают старые координаты Х. у, Z точки М (вектора u) через новые. 1\t\атриuа (2) I ан а12 GIЗ А == I a2t а22 а23 , азt йЭ2 азз (3) дающая это выражение, называется .матрuц!й nреобразованuя координат; она является транспонированнои по отношению к матриuе А * перехода от базиса e 1 , е2, е з к базису e , е;, е;. Обе матрицы имеют один и тот же отличный от нуля детеРМlIнант.. 2. Переход от одной аффинной системы координат к друrой с изменением начала координат. Общий случай перехода от репера Оеlе2ез к реперу О' e e e сводится к комбинации двух случаев:
прямоуrОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 91 переноса начала и только что разобранноrо случая перехода от одноrо базиса к друrому. В самом деле, рассмотрим наряду с двумя реперами Ое1е2ез и O'e e e еще третий, «промежуточный», имеющий начало О' == (хо, Уо, zo) и базис e 1 , е 2 , ез; координаты точки относительно этоrо промежуточноrо репера обозначим " " " Т I ./' + " + " " через Х , у, z. or да Х == ХО т А., У == Уо у, z == Zo z, r де х , у". z" выражаются через х' t у', z' по формулам (2) (в которых, естественно, надо х, у, z (слева) соответственно заменить на х", у", z"). Получаем окончательно: в пространстве: X==XO+a11x' +a l 2Y' +а1зz', ! у ==Уо+a 21 x' +a 2 2!J' + z', z == 20 + аз! х' + а з 2У' + азз z ' ; (4 з ) на плоскости х == ХО + а l1 х' + a 1 'JlJ', } (42) У == Уо + а21 Х ' + 2Y' · Это и есть общие формулы преобразования координат для двух произвольных аффинных координатных систем. Матрица ан а12 а13 А == а21 а22 а23 аЗ1 аЭ2 йзз коэффициентов a'k в равенствах (4з) соответственно (42) называется матрицей nреобраэован.ия координат. 2. Переход ОТ ОДНОЙ прямоуrОJlЬНОЙ системы координат к друrой 1. Случай прямоуroльноrо репера на плоскости. Можно orpa- ничиться реперами с общим началом. Базис прямоуrольноrо репера состоит из двух взаимно перпендикулярных ортов. Такие базисы будем называть пРЯМОУ20ЛЬНЫ.м.и или орmонормальными. Л е м м а. Пусть Oe1e Z и Oe e два ортоzонаЛЬНblХ репера на плоскости с общим н.ачалом О. Т02да поворотом репера Oe 1 e2 в несущей еео плоскости вокруе точки О на некоторый У20Л а можно перевести репер Ое 1 е 2 лцбо 8 репер Oe e , либо в репер Ое; ( e;) (рис. 59 и 60). ДРУ2ими словами: репер Oe;e получается из репера Ое 1 е 2 либо пoeOPOmOM 1 либо поворотом и последующим отражением (относительно прямой. несуU{eЙ вектор е;). Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Репер Oe 1 e 2 определяет некоторое поло- жительное направление вращения плоскости, а именно то направ- ление, в котором уrол от орта e 1 до орта е2 равен i (а не 3: ).
92 ЛРЕОБРАЗОВАНИЕ I(ООРДИНАТ Обозначим через а уrол от орта е 1 до орта e . Повернув репер Ое 1 е 2 (в ero плоскости) в положительном направлении на уrол а, мы совместим орт е 1 с ортом е;; тоrда орт е 2 , будучи перпенди.. ку.пярен к орту е 1 , либо совместится с ортом e (рис. 59), либо .:с а) о) Рис. 59. ;х :с а) б) Рис. 60. совместится с противоположным ему ортом ..... e (рис. 60). Утверж.. дение доказано. Из доказанноrо следует, что относительно базиса e 1 . е 2 орт e имеет координаты COS а, sin а: e === {cos сх, sin а}, тоrда как для е2 имеем две возможности: .1Iибо e2=={cos(a+ ). sin(a+ )}.
прямоуrОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 93 Т. е. е2 == { sin а, cos а}, либо е2 == { sin а, cos а}, и тоrда е2 == {sin а, ....... COS а}. Матрица перехода от базиса e 1 , е 2 к базису еl, е2 имеет вид: в первом случае С == C?S а sin а 1 1 de t С == 1, (1 ) \1 Sln а cos а \ ' во втором с 11 :: : 11 ' det С 1. (II) Базисы е 1 , е 2 и ei, е2 называются в первом случае одноименными или одинаково ориентированными, а во втором разноименными или противоположно ориентированными. Так как det С == 1 в случае одноименных, det С == 1 в случае разноименных базисов, то только что высказанное определение можно сформулировать и так: О п р е Д е л е н и е. Два ортО20нальных базиса (репера) одно" U./rf.eHHbL, если мапlрuца перехода от одНО20 из них к дРУ20,М,У имеепz положительный детерминант, u разноименны, если этоm aerпep минант отрицателен. Формулы преобразования координат даются матрицами, TpaHC понированными к матрицам перехода от одноrо базиса к друrому; это будут формулы: Х:= х' COS а у' sin а, } У::: х' sin ct + у' cos а в случае одноименных базисов, х == х' COS а + у' sin а, } У === х' sin cl у' cos а в случае разноименных базисов. 2. Ортоrональные матрицы. ПРЯ lоуrольные (ортоrональные) реперы в пространстве. Дадим следующее О п р е Д е л е н и е. Квадратная матрица С любоrо порядка п называется ортОё.ональноu, если транспонированная к ней мат... рица С* является ее обратной матрицей: С* == C l. (1) Через Е обозначаем, как всеrда, единичную матрицу. Тоrда равенство (1) эквивалентно каждому из равенств СС* == Е, С*С == Е. Если расписать равенство сс. == Е t приравнивая каждый эле мент матрицы СС* соответствующему элементу матрицы Е, то
94 ПРЕОВРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ получатся (ДЛЯ всех i == 1, 2, ..., п; j === 1, 2, ..., n) соотноше ния CilCjl +. . . + ClпCjn == О (при i =F j), С?l +. . . + cl ft == 1, называе мые соотношениями орmОZОflаЛЬflости (точнее, ортонормальности) по строкам. Точно так же, расписывая поэлементно равенство С*С === Е, получим соотношения ортоrональности по столбцам: C 1 IClj':+.' ,+CпICпj ==0 (при i * j), C l+.. .+C l === 1. Нами доказана т е о р е м а 1. ОртО201ШАЬНОСlпь .матрицы С в смысле равен- ства ( 1 ) эквивалентна как о ртоеон.альности по строкам, так и ортоеональностu по Сfполбцам. т е о р е м а 2. Детерминант всяlООй ортоеональной матрицы С равен + 1. В самом деле, det С. det C l == det Е === 1, но дЛЯ ортоrональной матрицы C l == C'J<, значит, det C l == det С* == det С, и мы получаем (det С)2 == 1, det С === + 1. rеометрический смысл понятия ортоrональной матрицы вто" poro или TpeTbero порядка заключается в следующем: т е о р е м а 3. Орmосональные матрицы u только они являются JШтрuцй},f,U neрехода от одноео орт020налыюео базиса к друеому. Д о к а з а тел ь СТ В о. Если матрица t:1l Cli С13 С == С21 С22 С2З СЗ1 СЗ! СЗЗ ортоrональна и в пространстве дан произвольиый ортоrональный базис el, е 2 , е з , то, полаrая e == с 11 е 1 +С 1 2 е 2 +с 1з е з, I е; == С 21 е 1 + с 22 е 2 + с2зеЗt е; == C Bl е. + св2е2 + сззез, получим снова ортоrональный базис е;, е;, е; в самом деле, равенство единице скалярноrо квадрата каждой строки матрицы С u , , , б означает, что каждыи из векторов e I , е 2 , ез есть орт, а тре ова.. ние равенства нулю скалярноrо произведения двух различных строк означает, что любые два из этих ортов перпендикулярны между собой. Обратно: если С есть матрица перехода от ортоrональноrо б 6 ", азиса е 1 , е 2 , е з к ортоrональному азису е 1 , е2, ез, то строки С ' , , матрицы выражают векторы еl, е2, ез, поэтому пх скалярные квадраты равны 1, а скалярные произведения двух различных строк равны нулю матрица С ортоrональна (по строкам). Тео- рема 3 доказана. (2)
прямоуrопЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 95 3 а м е ч а н и е. Координаты С 11' С 1 2' С 1 3 орта е; относительно репера е 1 , е 2 , е з суть направляющие косинусы этоrо орта, Т. е. ero скалярные произведения с ортами е 1 , е2, е з , так что С 1 1 == (e , е 1 ), C12 == (e , е2), С 13 == (e , е з ) и аналоrично С 21 == (е;, е 1 ), С З1 == (e , e 1 ), с 22 :::::: (e , е 2 ), С З2 == (e , е 2 ), С2З ::::: (e , е з ), С З3 (е з , еа)' Отсюда сразу следует, что столбцы матрицы С суть орты e 1 , е 2 , б ", ез, записанные их координатами относительно азиса e I , l, ез. Ортоrональность по сто-пбцам означает, таким образом, что орты е 1 , е2, е з образуют ортоrональный базис, транспонированная матрица С* есть матрица перехода от базиса e , e , e к базису e 1 , е 2) е з (поэтому она и совпадает с обратной!). Итак, если в ПрОС1ранстве дан произвольный ортоrонапьный базис е 1 , е 2 , ез, то для всякой ортоrональной матрицы С суще.. ствует такой (однозначно определенный) ортоrональный базис е;, e , e , что элементы Clk матриuы С суть косинусы уrлов между векторами el и ek, 1, k == 1, 2, 3. В точности такое же утвержде- ние (с заменой п == 3 на п == 2) верно, разумеется, и для плоско- сти, в чем леrко убедиться, если записывать координаты х, у какоrо нибудь орта е не в виде х == cos а, у == sin ct, а в виде ска- лярных произведеннй х == (е, е 1 ) == COS (х, У == (е, e 1 ) == COS Р (rде а, р....... уrлы между ортом е и координатными ортами еl и ). TorAa рассуждения для плоскости будут дословно теми же, что и в слу- чае пространства. Однако для матриц BToporo порядка верна и следукхцая т е о р е м а 4. Для всякой ортО20Н,йЛЬН,Ой матрицы С втОро20 порядка можно найти такой У20Л a что С == COS . а sin а I если d t С 1 11 SIn а сos а f ' е ==, (1) и С == 11 ' СOS , а. sin а. ' 1 если d t С 1 SIn а cos tX I ' е == · (11) в самом деле, матрица С есть матрица перехода от произ.. вольноrо opTOrOHa.,1JbHOrO репера Ое 1 е 2 к HeIiOTopOMY ортоrональ- НОМУ реперу Oe;e . Репер Oe e получается из репера Oe 1 e 2 или поворотом на некоторый уrол а (уrол наклона вектора e к век.. тору e 1 ), или поворотом с последующим отражением относительно прямой, несущей вектор e . Мы видели, что в первом случае матрица С имеет вид (1), во втором случае вид (11).
96 ПРЕОБРА30ВАНИЕ КООРДИНАТ з. Ориентация пространства (плоскости) Назовем в пространстве (или на плоскости) два координатных базиса (два репера) одноименными, если матрица перехода от одноrо из них к друrому имеет положительный детерминант; в противном случае (т. е. если детерминант матрицы перехода отрицателен) назовем базисы разноименными. В случае opToro- нальных базисов на плоскости это определение и ero rеометриче- ский смысл нам уже известны из 2. Одноименность двух бази- , , , б сов еl' е 2 , е, и eJ, е2' е з удем иноrда записывать так: е 1 е 2 е з "'-J , , , "-' е 1 е'Аез. Покажем, что данное определение одноименности удовлетво- ряет так называемым аксиомам равенства, т. е. требованиям реф- лекси8ности (е 1 е 2 ез '" е 1 е 2 е з ), симметрии (из е1е2езI"J e e e следует "' ) ( '" ", е 1 еi е з '" е 1 е 2 ез и транзитивности из еlе2еаI""Vеlеiез и е 1 е 2 е з f"V N " " " " " ) "-' еl e i ез следует е 1 е2ез I"J еl e е а . Рефлексивность вытекает из Toro, что матрица лерехода от базиса е 1 е 2 е з к нему самому (т. е. матрица тождественноrо преоб- Р8эования) есть единичная м"атрица, имеющая детерминант 1. Симметрия вытекает из Toro, что детерминанты матрицы и обратной к ней матрицы C l имеют один и тот же знак. Для Toro чтобы убедиться в транзитивности, рассмотрим три базиса: 1: e 1 , е 2 , е з ; 11: е;, e , e : 111: е;, е;, е;. Если обозначить матрицы перехода от 1 к 11, от 11 к 111 и от 1 к 111 соответственно через СЬ, CBr, cfIIt то cl II == СПIС I' зна- чит, и det C II det СИI det cfr, откуда утверждение следует. Из сказанноrо следует: Множество всех базисов пространства (пЛDСКОСПlU) распа- дается на попарно не nересека/ощuеся классы, обладающие тем свойством, что все базисы, принадлежащие одному какому-нибудь классу, одноименны, а всякие два базиса, принадлежаu(их различ- НЫМ классам, разноименны между собой. Докажем, что число эпlUХ классов равно двум. Для Toro чтобы убедиться, что имеется по крайней мере два класса, возьмем какой нибудь базис е., е 2 , е з и заметим, что матрица перехода от el' е 2 , е з к e 1 , е 2 , ( ез) есть 1 О О О 1 о. t О О I ее детерминант равен 1, значит, базисы е 1! е 2! е з и el' е 2 , ( ез) разноименны, они при надлежат к различным классам. Теперь мы покажем, что всякий базис е;, е;, e принадлежит к одному из двух классов: либо к классу, содержащему базио e 1 , е 2 , е з , либо к классу, содержащему базис el' е2' (....... ев), Дру-
ОРИЕНТАЦИЯ 91 u б ", rими словами, докажем, что всякии азис еl' eg, еа, не ОДНО4 именный базису е 1 , е 2 . е з , одноименен базису е 1 , е 2 , ( ез). В самом деле, матрица перехода от e 1 , е 2 , ез к e , е;, e имеет (в силу раЗI-Iоименности этих базисов) отрицательный детерминант: матрица перехода от е 1 , е 2 , (........... е з ) к e 1 , е 2 , ез имеет детерминант 1; значит, матриuа перехода от е 1 , е 2 , ( ез) к e , e , e (будучи лроизведением двух названных матриц) имеет положительный детерминант. Утверждение доказано. В каждом из двух классов базисов имеются ортоrональные базисы. В самом деле, берем какой нибудь ортоrональный базис е 1 , е 2 , ез. Он содержится в одном из наших двух классов; ОрТО4 rональный базис е 1 , е 2 , ( eB) содержится тоrда во втором классе. Два базиса, лолучающиеся ОДИН из друrоrо одной транспози- цией (Т. е. перестановкой двух каких-либо из трех векторов, образующих данный базис), всеrда разноименны. В самом деле, б ", б пусть азис е., e , ез получается из азиса еl' et, е з перестанов- кой двух каких нибудь векторов этоrо последнеrо, например век- торов e 1 и е2' так что , е. == I ei == е 1 , , ез == , ез. Тоrда соответствующая матрица перехода " " o о 111 имеет детерминант 1. Поэтому два базиса, получающихся один из друrоrо произ. вольной перестановкой их векторов, одноименны, если эта пере становка четная, и разноименны, если перестановка нечетная: базисы е 1 , е 2 , е з ; е 2 . е з , C t ; Сз, е 1 , е 2 входят в один класс, а базисы е 2 , е 1 , e ; е з , е 2 , е 1 ; еl' ез, е 2 в друrой. Введем теперь слеДУlощее весьма важное определение. Скажем, что базис е 1 , е 2 , ез переходит в базис e , е;, e по- средством непрерывной деформации. если для каждоrо числа t, принадлежащеrо некоторому отрезку а t Ь, дан базис , e . e , а именно: з e == Qkek' k ;;:: I i == 1, 2, 3,
98 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ так что все координаты C l' c: и Т. д. являются непрерывными функциями от t на отрезке а t Ь, причем при t:::= а мы полу.. чаем ИСХОДНЫЙ базис е 1 , е 2 , е з , т. е. ct;) == 1, с:. == о, С: 1 == О, C 2 == О, c == 1, С: 2 == О, C 3 == О, 3 === О, С:з ==81, а при [:=: Ь получаем базис e t , e : з е; == Cfkek' k : 1 i == 1, 2, 3. Теперь предположим, кроме Toro, что базис e , e , приложен к точке О, === (x , y , Z ), rде X , 110, Z суть также непрерывные на отрезке а t Ь функции от t, причем х: == и: == z: == о, х: == === Х о ' y == У о ' Z == zO' О' == (Ха, Уа, zo). Тоrда мы rоворим, что репер Ое}е 2 е з переходит в репер O'e e;e; посредством непрерывной деформации. Наrлядный смысл этих определений таков. Считая параметр t временем, изменяющимся от начальноrо момента t == а до конечноrо t === Ь, мы имеем непрерывно меняю... u ийся (<<деформирующийся») во времени репер 0te e e , начальное состояние KOToporo (при t === а) есть паш исходный репер Ое 1 е 2 еЗt а конечное репер O'e e e; (в который превратился репер Ое 1 е 2 е з в результате процесса деформаuии, длившеrося отрезок времени a t b). Имеет rv:eCTo слеДУЮlцее очевидное преДJIожение. Если базис e 1 , е 2 , е з переходит в базис е;, , e посредством деформации, которая длится, положим, отрезок времени а t Ь б 1" б " " " :::;; , а 8ЗИС еl, е 2 , ез переходит в азис е 1 , е-1, ез посредством деформации, которая длится в течение отрезка времени Ь t С, то базис e 1 , е 2 , е з переходит в er, е;, е3' посредством деформации, которая длится в течение отрезка времени а t с. Далее, если базис e 1 , е 2 , е з переходит посредством непрерыв", ной деформации (а t Ь) в базис e , е;, e , то и базис e , e , e переходит посредством непрерывной деформации в базис e 1 , , е з . Действительно, положим t' == (а + Ь) t и з *1' t ei == L..J C ik e k . k == 1 Тоrда при t' == а получаем t == Ь и, следовательно, ет а == e и т. д., t ' Ь t :.. ь а при ;;:; имеем а, значит, еl == еl н Т. Д.
ОРИЕНТАЦИЯ 99 .& налоrичные предложения, разумеется, верны и для деформа ции реперов. 3 а м е ч а н и е. Обычно за отрезок а t Ь берут единичный отрезок О t 1. Докажем следующее основное предложение: la. Еслu базис еl' , еа пepexoauпz в базис e , е;. e посред- Cп160M непреры.вной деформации, то оба базиса одноu/"tеННbt. В самом деле, положим Сll (/) Сl! (t) С13 (t) D (t) === С21 (t) cd (t) С2З (t) , С31 (t) СЗ2 (/) сзз (t) а t Ь; надо доказать, что числа D (а) и D (Ь)...... одноrо и Toro же знака. Но детерминант D (t), будучи мноrочленом от своих элементов С 11 (t), С1з (t), ..., ЯВЛЯЮЩИХСЯ непрерывными функциями от t, есть непрерывная функция от t на всем отрезке а t Ь. Если бы ее значения в концах этоrо отрезка имели разные знаки. то существовало бы промежуточное значение t o , а < 'о < Ь, для кота- poro D (t o ) == О. Но этоrо не может быть, так как D (/0) как детер- минант матрицы перехода от базиса e 1 , е 2 , ез к базису e o, e o, e o всеrда отличен от нуля. Теперь мы докажем обратное предложение: 16. Всякие два одноименных базиса (репера) ,моеут быпlЬ пере- ведены друе в дРУ2а непрерывной деформацией. План доказательства таков. Мы сначала доказываем, что вся- кий репер может быть непрерывной деформацией переведен в пря- моуrольный. После этоrо доказываем, что всякие два одноимен- ных прямоуrольных репера MorYT быть переведены друr в друrа движением в пространстве, т. е. специальным видом непрерывной деформации. Предположим, что мы доказа"llИ оба эти факта. Пусть Ое 1 е 2 е з О ' , I О И еjе:2ез два произвольных одноименных репера, е 1 е 2 е з r-....J r-v О' e e e ; переводим их непрерывной деформацией соответственно в прямоуrольные реперы ОВ1828з и О'8'е'в'. TorAa ОВIВ2вз'""-'Оеlе2езrv "-' О' e e e rv О' 8 8 B , следовательно (по свойству транзитивности), О О , , " Н О О , , , , е 1 8 2 8 з r-....I 8J8 8з,. О одноименные реперы 81828з, 818-й8з орто- rональны; значит, по сделанному преДПОJl0жению они MorYT быть переведены друr в друrа непрерывной деформацией. Переводим теперь непрерывными деформациями последовательно Ое 1 е 2 е з в 081828з, (А) 081е з в O'8 B 8 , (Б) O'8 e;S в O'e e; (В) (последнее возможно: раз существует деформация, переводящая O'e e;e; в O'E e; , то существует, как мы видели, и Деформация,
100 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ переводящая O'E;e;e в O'e;e;e ). В результате трех последователь- ных деформаций (А), (5), (В) получаем искомую деформацию, переводящую Ое 1 е 2 е з в O'e;e;e . Основное предложение доказано. Переходим к выполнению намеченноrо плана.. Доказываем первое утверждение: всякий репер может быть непрерывной деформацией переведен в ортоrональный. Докажем это утверждение сначала для плоскости. Пусть Oe1e данный репер, e == OE , e == оЩ .. Построим ортоrональныЙ репер Oete так, чтобы орт еl == о Щ лежал на оси, несущей вектор e === БЩ, а орт e == ОЩ (перлендикулярный к e ) лежал в той же Е! Е- О 2 о) Е' E t 1 I Е О 'J о а) Е/ E t I I Е О I о ?ис. 61. полу плоскости (из двух полуплоскос .J!: определяемых прямой OЬ" ), в которой лежит вектор е; == OE . Тоrда, если уrол <"р, О < fP < л, между векторами e и eg острый (рис. 61, а), то он весь лежит внутри прямоrо уrла между оЩ и оЩ, а если уrол <р тупой (рис. 61, 6), то он, наоборот, содержит прямой yrou'I между OEl и OE .. Для каждоrо t, О t 1, обозначим через t t Е н соответственно через E точку отрезка E El, соответственно E E4 ) делящую этот отрезок в отношении t : (1 ------ t). При любом t, 0< t < 1, вектор e == оЩ лежит на полупрямой о Щ, несущеЙ вектор e , а вектор e лежит внутри треуrольника OE E4, имею- щеrо с полупрямой О Щ единственную общую точку о. Поэтому векторы оБi , OE при любом t не коллинеарны, б О t t u т. е. о разуют репер ele , непрерывно меняющиися при изме- нении t от О до 1 и осуществляющий непрерывный переход (деформацию) от репера Oe e к реперу Oele . Переходим к случаю пространства. В плоскости Oe1e произ- ведем те же построения, как и выше. Обозначим через еА == OEl
ОРИЕНТАЦИЯ 101 орт, перпендикулярный к плоскости Oele и направленный в ту же сторону от этой плоскости, что и вектор e (рис. 62). В полной аналоrии с предыдущим случаем обозначаем через t Е 3, О t 1, точку отрезка E E , делящую этот отрезок в отно- шении t: (1 t) при любом t, 0< t < 1. Таким образом, опреде- O E t t О t t t u t лены вектор 3== ез и репер еJе,!ез, непрерывно зависящии от и осуществляющий при изменении t от О до 1 непрерывный переход от данноrо репера Oe1e eg к прямоуrольному реперу Oe e e . Пер.. вое утверждение доказано. Е! Е/ EJ1 Е О z Рис. 62. Рис. 63. Переходим к доказательству BToporo утверждения. Всякий прямоуrольный репер Ое 1 е 2 ез может быть посредством непре.. pbIBHoro движения, являющеrося, как было сказано выше частным случаем непрерывной деформации, переведен во всякий друrой одноименный с ним лрямоуrольный репер O'e;e e;. Посредством сдвиrа на вектор 07У можно прежде Bcero сов- местить начала О и О' обоих реперов; поэтому можно оrраничиться случаем, коrда оба репера имеют оБUl.ее начало о. Теперь начи- наем с Toro, что совмещаем орты ез == оЕ; и е; == о щ. Для этоrо проведем через эти орты (имеЮULие общее начало О) плоскость ОЕзЕ; (рис. 63) и восставим к этой плоскости в точке О пер- пендикуляр d. Совершим теперь поворот репера Ое 1 е 2 еэ (как твердоrо тела) BOKpyr прямой d на уrол б, О е ::::;; п, между ортами е з и e в таком направлении, чтобы орт ез == оЕ; совме.. ............ .............. стился С ортом е; == ОБ;. Этот поворот переведет орты еl == ОЕ! и e2== O в какие"то взаимно перпендикулярные орты еТ и е:.
102 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ лежащие в плоскости, перпендикулярной к орту о Щ (и лрохо- дящей через точку О), т. е. в плоскости OE;E . Теперь остается поворотом репера Oere;e; BOKpyr прямой, несущей орт е;, сов- местить орт ef == оЩ с ортом ОБ;. Эroт поворот, оставляя пару ортов ОЩ и ощ в ИХ плоскости (которая есть плоскость OE E ) н совмещая орт оЩ с ортом ОБ; ==е;, переведет орт ОБ : (с кото- рым' еще ранее был совмещен орт о Е;) в орт, перпендикулярный к оЩ == e , т. е. либо в e , либо в ( e ). Но вторая возможность исключена, так как реперы Ое 1 е 2 ез и Ое; ( e ) e разноименны и поэтому не MorYT быть совмещены движением в пространстве. Утверждение доказано. Вместе с ним завершено доказательство и следующеrо резу ль.. тата (BepHoro как для плоскости, так и для пространства): т е о р е м а 5. Для тосо Чlrlобbl два репера (два базиса) были однои.меННbl J необходимо II достаточно, ЧПlобbl один из них можно было. непрерывной деформациеЙ перевести в друzой. Если данные реперы пря.мОУZОЛЬНЫ J то их .можно перевести друс в друеа даже движение-м в пространстве. Если реперы разноимеННbl J mo их нельзя перевести друс в друса даже никакой деформациеЙ 1 значит, и подавно никаким движением. Эту теорему можно сформулировать следующим образом. т е о р е м а 5'. Два прямоуzольных репера (на плоскости иllи в пространстве) mоzда u только тОсда одноименны , КОсда один llЗ них может быть переведен в apyzoa непрерывным двиalсениеJt (в плоскости, соответственно в пространстве). П О О , , , , усть e 1 e 2 e;-) и еlе ез два прямоуrольных разноименных репера. Тоrда реперы Ое 1 е 2 е з и O'e e ( e;) одноименны И, например, первый из них может быть движением перевед€н во второй. Но репер О'е;е; ( e ) является зеркальным отражением репера O'e;ц относительно плоскости O'e; . Поэтому имеет место т е о р е м а 6. Если орmО20налЬflЬ/R реперы Ое 1 е 2 е з и О' e e разноuменны, та один из них };fО'Жеm быть переведен в друеой flосредспизом, движения со следующим за Н,им (или предшествующи'м ему) зеркальным отражением. Доказательство следующеrо замечания можно в качестве упраж.. нения предоставить читателю. 3 а м е ч а н и е. Беря зеркальные отражения относительно произ.. вольноЙ плоскости всех баЗИЗ0В (реперов) одноrо какоrо нибудь класса в пространстве, получим все базисы (реперы) друrоrо класса. АналоrиЧНЫЙ результат, разумеется, имеет место и в плоскости. О п р е д е л е н и е. Ориентировать плоскость или пространство ........ значит один из двух классов базисов (реперов) объявить поло- жительным (а друrой отрицательным). Тоrда и всякий базис (репер) называется положительным или отрицательным в завися.. мости от Toro, к какому классу он принадлежит.
yrлы ЭйЛЕРА 103 Для TOrO чтобы ориентировать (плоскость или пространство), достаточно задать один какой нибудь базис и объявить положи- тельными все с ним одноименные базисы. 4. Уrлы Эйлера Вернемся к теореме 5; нас интересует утверждение этой Teo ремы, касаlощееся возможности перевести посредством движения данный прямоуrолъный репер в любой друrой прямоуrолъный репер, одноименный с данным. Мы можем леrко дополнить эту теорему установлением тех rеометрических элементов (тех «пара метров»), которые определяют положение BToporo репера Oe e e относительно первоrо Ое 1 е 2 ез (МЫ предполаrаем сначала, что у обоих реперов одно и то же начало О). Из рассуждений, проведенных на стр. lOl 102, вытекает, что по.. О ' , , d ложение репера еlе ез вполне определено, если известны: прямая (перnендикуляр, восставленный в точке О к плоскости Оезе ) и два уrла: уrол б, на который надо повернуть репер Ое 1 е 2 е з BOKpyr прямой d, чтобы совместить орт еэ с ортом e , и уrол Toro пово рота, который после этоrо надо сделать, чтобы совместить вектор еТ (в который перешел вектор еl после первоrо поворота) с век- тором е; (после этоrо BToporo поворота репер Ое 1 е 2 ез, как мы видели, оказался полностью совмещенным с репером Oe e e ). Рассмотрим ближе всю картину. Прежде Bcero прямая d, проведенная через начало О перпендикулярно к плоскости Оезе;, есть, очевидно, прямая пересечения плоскостей Оеlе2 и Oe e;. Плоскость Ое 1 е2, в которой, таким образом, лежит прямая d, ориентирована самим данным в ней репером Oe 1 e2; поэтому поло. жение прямой d определено наклоном какоrо либо ее направляю щеrо вектора к вектору е 1 . За направляющий вектор прямой d примем такой ее орт е; (рис. 64), что репер Оезе;е; одноименен с репером Ое1е2ез. Уrол от орта еl до орта еТ (в ориентированной плоскости Ое 1 е2) мы обозначим через 'Ф, о ", < 2л. Тоrда пово", ротом репера Ое 1 е 2 BOKpyr оси, несущей орт ез (ось апп..тrикат координатной системы Ое 1 е z е з ), на уrол 'ф в ПО.п ожительном направ- лении вращения 1) мы совместим орт е 1 с ортом e . При этом .. .. " повороте орт е 2 переидет в какои то орт е 2 , а орт ез останется на месте. Теперь совмещаем вектор е з с вектором e посредством крат... чайшеrо поворота на некоторый уrол 6, О е Л, BOKpyr пря мой d, несущеЙ орт e . Так как репер Оезе е; одноименен с репером 1) ПОД положительным направлением вращения BOKpyr какой ни6удь (направленной) оси мы в этом параrрафе всеrда понимаем направление враще ния, определенное репером Оеlе з. На нашем рисунке направление вращения против часовой стрелки для зрителя, стоящеrо ВДОЛЬ орта ЭТОЙ оси, ноrами....... в начале, rоловой в конце орта.
104 ПРЕОБРА30ВАНИЕ КООРДИНАТ Ое 1 е 2 ез, ТО этот поворот ПРОИСХОДИТ в положительном направле- нии. Он переводит репер Ое;е;е з в репер Oe;e;"e , причем плос- кость Ое}е 2 совместилась с плоскостью Oe;e . Нам остается только сделать поворот репера Oe;e "e BOKpyr оси Oz' (несущей орт e ) на уrол ер от вектора er до вектора е; (в ориентированной плоскости Oe;e , в которой лежат оба вектора ei и е;), тоrда ", , и вектор e совместится с вектором е 2 . Три уrла: 'Ф, о '1' < 2л, от e 1 до е; в плоскости Ое 1 е2' 6, О в Л, от ез до e в плоскости Оезе , <р, О ер < 2л, от ei до e в плоскости Oe e;, называются эйлеРО8ЫМU уеламu репера Oe e e относительно репера Ое 1 е 2 е з . Зная репер Ое}е 2 е з и эти уrлы 'Ф, в, <р, мы сразу же можем определить единствеННЬJЙ репер Oe e;e , имеющий эти уrлы своими 9йлеровыми уrлами и одноименный с репером Ое 1 е 2 ез. В самом деле, мы сначала совершаем поворот репера Ое 1 е 2 е з BOKpyr оси, несущей вектор еа (ось аппликат координатной системы Ое 1 е 2 е з ) на уrол 'ф в положительном направлении. Этот ПОБОрОТ переводит орт еl в орт er, определяющий ось d (и весь репер Oe1eZe:l в Ое;е;ез). После этоrо совершаем поворот репера Oeie;e 3 BOKpyr оси d на уrол 6 в положительном направлении. При этом u u, V орт ез переидет в некоторыи орт ej\, орт еl останется на месте, а орт е; перейдет в новый орт e "; репер Оеrе;е з перейдет в (прямо- уrольный) репер Oe e "e . Наконец, делаем поворот на уrол q> в положительном направлении BOKpyr оси орта e . Этот поворот, , " ", оставляя орт ез на месте, переведет орты еl, e в некоторые
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АФФИННЫХ ПРЕОБРА30ВАНИPl 105 , , О " ", , ( О ) орты e 1t е2, а весь репер elei еа значит, и е 1 е 2 е з в одно.. значно определенный предыдущим построением прямоуrольный репер Oe e;e (одноименный с Ое 1 е 2 ез). Для репера Oe e;e; ero уrлы Эйлера (относительно исходноrо репера Ое t е 2 е з , остающеrося фиксированным) ЯВЛЯIОТСЯ независи- мыми параметрами (определяющими этот репер); «независимость» означает, что этим параметрам мы можем давать совершенно произвольные значения (в пределах изменения О <р < 2л, 0< в 31, О <р < 2л каждоrо из них); каждому набору значений пзрзметров соответствует вполне определенный репер Oe e;e . 5. Определение движения и аффинноrо преобразования плоскости и пространства Оп р е Д е л е н и е. Движением плоскости (пространства) ма.зы.. ваеtncл всякое преобразование которое может быть задано следую- щи.Аt образОМ. Берется некоmoрый (произволыlыl)) «исходный» nРЯМОУ20ЛЬНЫЙ репер Ое}е 2 на плоскости (соответственно прЯАfО уzольныu репер Ое 1 е 2 ез в пространстве); наряду с ни,М задается у g g е 2 О 81 о) е 2 :х О е1 Рис. 65. ::с б) «новый» прямоуzольный репер O'e e (соответственно O'e e e ) с mEJt же масиlтабо.м, чmo и первый. Этими данными определяется преобразование плоскости (пространства), состоящее в тOM чпzо каждой точке М ставится в соответствие точка M'I и.ме/ощая относительно 81nОрО20 репера те же caA-tbtе KoopaUHaпlbl которые точка М имела отНОСИlпельно исходНО20 репера (рис. 65). Если первый репер одноименен со старым, исходным, то дви- жение называется собствеННblМ (рис. 65, а), в противном случае движение называется несобственным (рис. 65, б)..
106 ПРЕОБРДЗОВДНИЕ КООРДИНАТ Из определения движения сразу следует, что при движении сохраняется расстояние между любыми двумя точками. В самом деле, пусть даны какие-нибудь две точки М( и М 2 своими коор- динатами в исходной системе координат Ое 1 е 2 : М 1 == (Х 1 , Уl)' м 2 === (х 2 , У2). Расстояние между ними есть число р (М 1 , М 2 ) == У(Х 1 ..... х 2 )2+(Уl У2)2. При данном движении точки М 1 и ЛJ 2 переходят в точки .'\1), 1\-12, имеющие те же координаты X 1 , Yl, соответственно Х 2 , У2' но только в новой системе координат O'elef. Так как эта новая система тоже прямоуrОJlьна и имеет тот же масштаб, что и старая, то рассто- яние между точками М 1 и М 2 выражается (в той же единице длины) тем же числом р (M t , М 2 ) == У (X 1 х 2 )2 + (Уl У2)2-, ЧТО И расстояние между точками Л1 1 и М 2 , На неизбежно возникающий вопрос: Что получится с нашим определением движений, если оmlШ- заmьcЯ от требования прямоусольносmи систем KoopaUflaпL, в это определение входящих? отвечаем: получится определение иHHЫX преобразований. !/' х' М :с а) Рис. 66. м 6) и т ак, пусть снова в плоскости (в п рост ранстве) задан а на этот раз совершенно nрОUЗ80ЛЬНал аффиННая....... систе'м'а координат Oel (соответСf11fJенно Ое 1 е 2 е з ). Если, наряду с этой (<<старой», или «исход.. нои») сuctneМОЙ координат, задать также совершеННQ nроизвольную
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ 107 «Н08УЮ» аффинную координатн.ую систе,м,у O'eie2 (соответственно О' еiе2ез), tпo определится nре06разованuе, сосmОЯlцее в mо,м" что каждой ftWЧке М плоскости (соответственно npocтpaHcпlBa) ста- вится в соответствие п10чка М' t которая 8 новой коордUl-lаmной z' о) :с. о) Рис. 67. системе имеепl те са,М,ые координаты, какие точка М имела в ста- рой системе (рис. 66 и 67). Преобразование, которое .может быть задано эти,М способом, называется аффuН,Н,ы,,м,. Очевuдно, движенuя явЛЯ10тся частным случаем аффинных преобра.зований. Рис. 66 и 67 пOMorYT читателю составить себе наrлядное пред- ставление о ТОМ, что может происходить при аффинном преобра- зовании. 6. Преобразование векторов при а инном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобраЗ0ваний Возьмем на плоскости (или в пространстве) какой-нибудь век- тор м.;л1 1 (рис. 68). При аффинном преобраэовании точки Мо, М ! переходят соответственно в точки Мо, М 1 , имеющие относительно HOBoro репера те же координаты, которые точки Мо, M 1 имели относитеJ1ЬНО cTaporo. Так как координаты вектора получаются . вычитанием координат ero начальнои точки из координат ero конца, то координаты вектора МоМ 1 относительно HOBoro репера те же, что и координаты вектора Mo Ml относительно стзроrо репера. Итак:
108 ЛРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ }О При аффинно},f, прео6разооании век/пору U == JИ О М 1 ставится о соответствие вектор u' == Мо М), имеющиЙ относительно нов020 1/' репера те же KOOpaUHal11bl, которые вектор u имел относительно стаРО20. Отсюда сразу следует, что при аффинном преоб- разовании равным векто- рам соответствуют равные, так что: 20 Аффинное преобра- зование плоскости (прост- ранства) порождает взаим- но однозначное отображе- ние на себя (преобразование) .множества V всех свобод- ных векmoрО8 плоскости (соопюеmcrrюенно nростран- 81 cmвa). Это преобразование об- ладает следующим свойст.. вом линейности: если при данном преобразовании век- moра'м U, v соотвеmcт- ву/от векторы u', v', то вектору u + v будет соот- ветствовать вектор u' + v', а вектору I"u..... вектор лu' (доказы- вается сразу переходом к координатам). Из свойства линейности вытекает, далее: 30 Если при данном аффинном преобразованиu векторам U 1 , ... , , ., и", . . ., u n соо/nветствуют векторы Ul, ..., 11 п? то всякои линеuноu комбинации Л 1 U 1 +Л 2 U 2 + ... +ЛпU n векторов u 1 , ..., U n соответствует линейная комбинация л'lUl + Л2U2 + ... + tlfпU векnwров Ul, ..., u (с теми же коэффициентами Л 1 , Л 2 , ..., Л п ). Так как при аффинном преобразовании нулевому вектору, оче- видно, соответствует нулевой, то из доказанноrо следует: 40 При аффинном преобразованuи линейна}: зависимость векто- ров сохраняется (и, значит, всякие два КОЛЛUf:,J'lРНЫХ вектора nере- ходят в коллинеарны.е, всякие три компланарных вектора перехо- дят в компланарНblе). 50 Обратное nреобразованuе к, аффинному nреобразованuю eCfпb аффuнное п реоб разован uе.
ПРЕОВРА30ВАНИЕ ВЕКТОРОВ 109 в самом деле, если данное аффинное преобраэование плос- КОСТИ задается переходом от репера Oele2 к реперу O'e.e:Z, то аффин- ное преобрвзование, задаваемое переходом от репера O'eie2 к реперу Ое 1 е 2 , есть, как леrко видеть, преобразоввние, обратное к преоб- разованию d. То же и для пространства. Мы видели, что при аффинном преобразовании линейная зави- симость векторов сохраняется. Сохраняется и линейная независи- мость векторов. 60 При аффинном, преобразовании d всякая линейно незавuси- .мая система векторов и 1 , и 2 , ... переходит 8 линейно независu- м,у/о в противном случае при аффинном преобразовании d lt обратном к , линейно зависимая система иl, и2, _.. перешла бы в линейно независимую, что, KaI{ мы знаем, невозможно. Так как репер есть система линейно независимых векторов (двух на плоскости, трех в пространстве), ПРИЛО}l{енных к данной точке О, то при аффинном преобразовании всякий репер перехо- дит в репер_ Более Toro, имеет место предложение 70 При аффинном отображении (заданном переходом от репера 1 1(, реперу !') всякий репер 11 переходит в репер 11' u всякая точка М (всякий вектор u) переходит в точку М' (в вектор u') с теми же координатами относипlельно репера 11', какие точка М и вектор u имели относительно репера 11. Доказательство в случае плоскости и в случае пространства одно и то же. Оrраничимся случаем плоскости. Пусть 11 есть репер 08182' а 11' репер 0'8182- Докажем сначала утверждение, касающееся векторов. Если вектор u имеет относительно репера 0 182 координаты 6, f), то u == 81 +1182. Но тоrда образ вектора u есть, по свойству 30, вектор , t ' + ' u == 81 l1е2, имеющий координаты s, f) относительно репера 0'8182. Пусть точка М имеет координаты 6, 't') относительно репера ов 1 е 2 - Тоrда оМ == == 681 +1182' так что, по предыдущему, относительно репера 0'8}82 вектор о' м' , а значит, и точка М' имеют координаты , f). Утвер- ждение доказано. Доказанное утверждение является существенным: из Hero сле- дует, что, задав аффинное преобразование переходом от каКО20 нuбудь репера Ое 1 е 2 к реперу О' eie2J мы МiJжем задать е20, взяв в качесп'tве исходНОёО любой репер ое 1 е 2 и указав тот репер 0'8.82, в кoпlOPblU ОН должен пepeaпzu. В качестве приложения только что сделанноrо замечания дока- жем, что произведение двух аффинных преобразований d 1 и е4 2 есть аффинное преобразование. В самом де.не, пусть аффинное преобразование е4 1 задается переходом ОТ репера 1 к реперу 11. Аффинное преобразонание
110 ПРЕОБРА30ВАНИЕ КООРДИНАТ G/! 2 мы можем, по только что доказанному, задать переходом оТ репера 11 к KaKOMY TO реперу 111. Тоrда аффинное преобразова- иие, задаваемое переходом ОТ репера 1 к реперу 11, есть, очевидно, произведение t27t 22/t 1 преобразования этt 1 на преобразование e/t 2. Продо-нжаем перечисление простейших свойств аффинных преоб- разований и отображений. Три точки M 1 , М 2 , М з тоrда и только тоrда коллинеарны (Т. е. лежат на одной прямой), коrда векторы м;л1 2 и М 2 М З кол.. линеарны. А так как коллинеарность векторов при аффинном преобразовании сохраняется, то сохраняется и коллинеарность точек. Отсюда вытекает: 80 П ри аффинном' отображенuи (плоскости или пространства) прямая переходит в прямую. Мы сейчас даДИМ второе доказательство этоrо факта. Пусть дано аффинное отображение. Оно состоит в ТОМ, что каждая точка М с координатами х, у (в координатной системе Oe 1 e 2 ) переходит в точку М', имеЮIЦУЮ те же координаты во ВТО- u О , " О рои системе ete2. тсюда следует: 90 При данном' аффинном отображении (определенном neрехо- дом от репера Ое}е 2 к реперу 0'ele2) М,ножества всех П'lОчек, коор- динаты которых (8 координатной системе Oe 1 e 2 ) удовлетворяют некоторому уравнению, переходит в М,ножество точек, координаты которых в системе О'еlе2 удовлетворяют тому же УРШJненuю. В частности, прямая с уравнением Ах+Ву+С==О (1) (в системе Oel ) перейдет в прямую, имеющую то же уравнение, О , , , но только в системе координат ele2. Точно так же при аффинном преобразовании пространства (определенном переходом от репера Ое 1 е 2 е з к реперу 0'еiе2ез) плоскость, имеющая в системе Ое 1 е 2 ез уравнение Ax+By+Cz+D ==0, (2) переходит в плоскость, имеющую то же уравнение (2), но только О , , , , в системе координат еlе2ез. Прямая, заданная в пространстве своим «общим уравнением» A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 ==0, А 2 х+В 2 у+ C 2 z+D 2 ==0 ИЛИ той ИЛИ иной ero специальной разновидностью, например каноническим уравнением x xo а g ...... 90 Ь z ...... %0 С t
ЛРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРОВ 111 при данном аффинном преобразовании перейдет в прямую, имею- щую те же уравнения, но только в системе координат 0'еtе2ез. Итак, доказана т е о р е м а 7. При аффUНflО.м. nреобраЗО8Шluи плоскоспlU, соот- вemCl1)eeHHo пространства, nрямы,е переходят 8 nрЯJdble, плоскости переходят 8 плоскосmu. При этом сохраняется параллельность. В самом деле, если две прямые (или две плоскости, или пря- мая и плоскость) параллельны, ТО их уравнения относительно репера Ое 1 е 2 ез удовлетво", ряют известным условиям параллельности; но образы этих прямых (плоскостей) имеют те же уравнения ОТ- носительно репера О' eie2e3 и, значит, удовлетворяют тем же условиям парал... лельности. т е о р е м а 8. При аф- финном прео6разованuu плоскости (пространства), переводЯll{eJA. прЯAfУЮ d в прямую d', оmрезок МоМ ! прямой d переходит в 'от- резок М о М1 прямой d', а точка М прямоЙ d, деля... щая отрезок М;М l 8 дан- НО-М отношении Л, перехо- ............... дит в точку М' прямой d', делящу/о Оn7резок МоМ в том же отношении л, (рис. 69). Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как пр и пол ожительном л мы полу- чаем ТОЧI{И, лежащие внутри отрезка МОМ! (соответственно МоМ }), а при отрицательном вне этоrо отрезка, то из BToporo утвержде- ния теоремы 8 следует первое. Доказываем второе утверждение теоремы 8, оrраничиваясь случаем ПЛОСКОСТИ,. Пусть (в системе координат Oele ) имеем 11.' 1 .:е' J.: Рис. 69. Мо == (Хо, Уо), М! == (х 1 , иl)' М == (х, у). Так как точка М делит отрезок МОМ! в отношении Л, то Хо+Ах! У уо+'АУl х=== 1+"" 1+"- (3) (в пространстве к этим равенствам присоединится еще равенство z == Z;t ZI ). При данном аффинном преобраэовании точки Мо.
112 ПРЕОБРА30ВАНИЕ КООРДИНАТ M 1 , М перейдут в точки М О) Mi, м с теми же координатами, что и у точек Мо, Мl' М, но только в координатной системе O'eiez. Эти координаты связаны по-прежнему соотношениями (3), из которых следует, что М' делит отрезок МоМ ! в отношении OI. Этим теорема 8 доказана. Докажем в заключение этоrо параrрафа следующее предло- жение: т е о р е м а 9. Существует одно u только одно аффuяное nре- образование плоскости. переводящее данную тройку неколлuнеаРНblХ /nочек О, А, В этой плоскости в (проuзвольную вторую) тройку н,еколлинеарных точек О', А', В' той же плоскости. Аналоеuчно существует одно и только одно аффинное преобра- зованuе пространства, переводящее данную четверку некомпланар- н,ых точек О, А, В, С в (пРОUЗ80ЛЬНУЮ) вторую четверку некомпланаРНblХ точеl\, О', А', В', С'. Доказательство в обоих случаях, плоскости и пространства, одно и то же. Оrраничимся случаем плоскости. Берем координаТНУIО систему с началом О и единичными век... торами е 1 == ОА , е 2 == 08, О , а также координатную систему с началом и единичными век- торами ei == О'А' , ............. , О ' В ' е2== . Этим определено аффинное преобразование , переводящее каж- дую точку М, имеющую в системе Oe 1 e 2 координаты Х, у, в точку м' с теми же координатами, но в системе О'еlе2. в частности, точка О == (О, О) перейдет в О', точка А == (1, О) в точку А', .................... ................... точка В == (0,1) в точку В' t а векторы е 1 == ОА и е 2 == 08 перейдут ............... соответственно в еl == О' А' и е2 == О' Bf. Таким образом, преобразование удовлетворяет требованиям теоремы. Оно есть единственное аффинное преобразование, YДOB летворяющее этим требованиям. В самом деле, всякое аффинное лреобразование, лереводящее точки О, А, В соответственно в О', А', В', переводит векторы еl' е2 соответственно в e , e значит, совпадает с преобраэованием .
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВДНИЯ 113 7. Аналитическое выражение аффинных преобразований IlYCTb аффинное преобразование плоскости задается переходом ОТ репера Ое 1 е 2 к реперу O'e;e . Ilокажем, как вычислить в исходной системе координат Ое}е 2 координаты преобразованной точки М' по координатам данной точки Лt' (РИС. 70). Векторы e , е; даны своими координатами относительно CTaporo репера: Кроме Toro, известны координаты а, Ь HOBoro начала О'. Тоrда координаты х', у' любой точки М' относительно CTaporo репера связаны с координатами 6', 1')' той же точки М' относи- тельно HOBoro репера соотно- шениями х' === C 11 S' +С 12 Т]' + а, } (2) у' === C 21 S' + С 22 11' + Ь. Нам даны: произвольная точка М с координатами х и у относительно CTaporo репера и ее образ М', имею- щий относительно HOBoro ре- пера те же координаты х, у, которые точка М имела от- носительно CTaporo репера. Требуется найти координаты точки М' относительно ста.. poro репера. Решение этой задачи дается формулами (2), в которые вместо 6', f}' надо подставить координаты точки М' в новой системе, т. е. х и у; тоrда в левой части будут искомые координаты х', у' точки М' (в старой системе), и мы получим х' ==C}l X + C t2Y+ a , I СН C12 1 *0. (3) у' ==с 21 х+с 22 у+Ь, С21 С22 ЭТО И есть формулы, дающие координаты преобразованной точки М' по координатам точки М (те и друrие координаты берутся при этом относительно одноrо и Toro же «CTapOrO» репера). Обратно, если дана невырожденная матрица С == 11 : :: 11 е; == clle} + с 21 е 2 , е; == с 12 е} + с 22 е 2 , I С11 С12 I =#: о. Сп С22 (1) х Рис. 70.
114 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ и два числа а, Ь, то, ставя в соответствие каждой точке М == (х, у) точку м' == (х', у'), rде х' и у' определены по формулам (3), мы получим аффинное преобразование плоскости оно определено переходом от исходноrо репера Ое 1 е2 к реперу O'e e;, rде е; == c 11 e 1 + с 21 е 2 , е; == c 12 e 1 + с 22 е 2 . Итак, мы можем определить аффинное преобразованuе плоскости как такое преобразованuе J которое ставит в cooтвeпlcтeue каждой точке М == (х, у) точку М' == (х', у'), координаты х', у' которой находятся из координат х, у пl0ЧК,И М по формулам (3): система координат одна и та же. Аффинное преобразование вполне опре- деляется системой координат Ое.е 2 , матрицей коэффициенmов С и числами й, Ь в фор1ttулах (3). Так же доказывается и аналоrичный результат ДЛЯ простран- ства: Аффинное преобра:зование пространства вполне определено, если 8 пространстве даны аффинная система координат Oe.e 2 e:J, невы- рожденная матрица С11 С12 С13 11 С == С21 С22 С23" СЗI. СЗ2 Сзз J называемая матрицей аффUННО20 nреоБI'П:Зf'f?ЙНUЯ, и три числа а, Ь, с; определенное эпlUМ,U данными преобразованuе состоит в "10М, чmo каждой точке М == (х, у, z) ставится в соотвепlсmвие точка 1' == (х', у', z'), еде х: == С ll Х + С l 2У + С]З Z + а, J у ===С НХ+С22У+С2ЗZ+Ь' z' == С З1 Х + С З '1У + СззZ + с. Система координат одна и та же. 3 а м е ч а н и е. Матрица аффинноrо преобразования, очевидно, является транспонированной к матрице перехода от исходноrо репера к реперу, задающему данное аффинное преобразование. Поэтому аффинное преобразование будет собственным или несоб- ственным в зависимости от Toro, имеет ли матрица этоrо преобра- З0вания положительный или отрицательный детерминант. Выведем из только что доказанноrо одно Ba)l{HOe следствие (сначала для плоскости}. Пусть на l1ЛОСКОСТИ с выбранной на ней лрямоуrольной систе- МОЙ координат даны два вектора: Ul == {хl' Уl}' и 2 {Х2' У2}' Мы знаем, что площадь ориентированноrо лараллелоrРЗММЗ J натяну.. Toro на эти векторы, есть (Ul' U 2 ) == 1:: : 1. (4)
АФФИННЫЕ ПРЕОБРА30ВАНИЯ 115 При аффинном преобразовании g' ПЛОСКОСТИ с матрицей С BeK торы Ul' U 2 переходят соответственно в u; == {x , y }, и; {X , y }, rде Xh == C 11 X h + C 12 Yh, Yh == C 21 X h + C 22 Yh (h == 1, 2), так что (U , U ) == I CllXl +C12Yl C21 X . +C22Yl I Сl1 Х 2 + С12У2 С21 Х 2 + С22У2 · 110 справа СТОИТ произведение детерминантов I СН С12 1 . 1 Хl Yl 1 , С21 С22 Х2 У2 поэтому <u , U ) == det С · (и 1 , U 2 ). Пусть в .пространстве дана прямоуrольная система координат. Тоrда для любых трех векторов и 1 , и 2 , UЗ И аффинноrо лреобра- (J7 , , , зования , переводящеrо эти векторы соответственно в U1, U , Uз, доказывается формула (и;, u;, U > == det С · (и 1 , и 2 , uз). Итак, имеет место т е о р е м а 1 о. При аффинном nреобразованuu плоскости (соот- ветсrrюенно пространства) площадь opueHmupoвaHHOZO параллело.. ерамма , построенною (в данной плоскости) на двух каких-либо векторах (соответственно объем ориентированноео nараллелеnипеда, nостроенноео на трех векторах), умножается на детерминант преобразования. С л е д с т в и е. При аффинном nреобразованиu плоскости (соот.. eetпCmeeHHO пространства) отношение площадей nараллелоzраММО8 соответственно объемов параллелеnиnедов) сохраняется.
r л А В А IV АлrЕБРАИЧЕСКИЕ линии и ПОВЕРХНОСТИ. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1. Определение алrебраических линий и поверхностей Алеебраuческu.м уравнением от переменных Хl,... Х п назы- вается уравнение вида F (X 1 , ..., Х n ) == О, (1) в котором левая .часть F (х 1 , ..., Х n ) есть мноrочлен от этих пере- менных. Степень мноrочлена F (Х 1 , ..., Х n ) называется степенью уравнения (1). в аналитической rеометрии линии на плоскости и поверхности в трехмерном пространстве принято определять соответственно как мноrообразия решений алrебраических уравнений F (х, у) == о для линий, (12) F (х, у, z) == О для поверхностей. (1з) Примеры нам известны: прямая линия и плоскость суть соответ- ственно нулевые мноrообразия мноrочленов первой степени от двух и трех переменных; известные нам кривые эллипс, rипербола, параБО&l1а суть мноrообразия решений своих канонических урав- нений; сфера с центром в начале прямоуrольной системы координат есть множество решений уравнения х 2 + у2 + Z2 == ,2, rде , есть радиус сферы. Само собой разумеется, для Toro чтобы эти определения линий и поверхностей имели смысл, необходимо, чтобы в плоскости (в пространстве) была выбрана определенная система координат. При этом, если уравнение (12)' сооmеетСПlвенно (1з), определяющее дан-ную ЛUН-Иl0 (или пoeepXHOCfпv), UMeelrl степен-ь /n, то еоворяm, что эmа лuн-uя (или поверхн-осmь) UAteem порядок т. Однако с определением линии и поверхности не все обстоит так просто) как кажется на первый вэrляд. 1\\ножество всех точек
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АлrЕБРАИЧЕСКИХ ЛИНИй и ПОВЕРХНОСТЕI'I 117 плоскости, удовлетворяюu их уравнению х 2 == о, совпадает с множе. стном точек, удовлетворяющих уравнению х == О, и есть ось ординат координатной системы, положенной в основу наших рассуждений. Получается, что прямая линия (в данном случае прямая х == О) определяется не только своим «естественным» уравнением пер вой степени, но еще и некоторыми уравнениями более высоких степеней. Однако в аналитической rеометрии считают, и к этому имеются серьезные основания, что уравнение х 2 == О есть уравне- ние не просто оси ординат, а «Дважды взятой оси ординат» кривой BToporo порядка, являющейся парой слившихся прямых, каждая из которых есть прямая х == о. Далее, нулевое мноrообра. зие каждоrо из мноrочленов х 2 + у2 + 1 и 2х2 + 3у2 + 7 есть пустое множество; приравнивая эти мноrочлены нулю, мы получим урав" нения, не определяющие никаких реальных линий. Это второе затруднение устраняется пополнением плоскости, соответственно пространства, так называемыми мнимыми точками, что приводит к комплексной плоскости и к комплексному пространству, rде уже не будет уравнений с пустым множеством решений. Уже первое замечание об уравнении х 2 == О приэодит к важ.. ному утверждению. Ясно, что два пропорциональных между собой мноrочлена от данноrо числа переменных имеют одНо и то же нулевое мноrообразие. Возникает обратный вопрос: можно ли утверждать, что два мноrочлена одной и той же степени (от двух или от трех переменных), имеющих одно и то же нулевое MHoro.. образие, пропорциональны между собой? Оказывается, что ответ на этот вопрос положителен, если под решениями х, у соответ- ственно х, у, z понимать наборы комплексных чисел. Однако это утверждение представляет собой совсем не очевидную и вовсе не так просто доказываемую теорему алrебры. Для мноrочленов вто" рой степени от двух и трех переменных теорема эта под назва.. нием (<теоремы единственности» будет доказана в r лаве VI ( 8) для линий и в rлаве IX ( 5) для поверхностей BToporo порядка. Только после Toro, как эта теорема будет доказана, и после Toro, как произойдет ПОПОI/1Jнение плоскости и пространства мнимыми точками, определение линии и поверхности BToporo порядка как множества точек, являющихся решениями уравнения второй сте. пени от двух, соответственно от трех, переменных, станет на твер- дую почву. Пока же в уверенности, что разыrравшаяся маленькая драма получит счастливую развязку, мы вынуждены пользоваться следующим, так сказать, рабочим определением: Задать алrебраическую линию на плоскости значит задать некоторое алrебраическое уравнение (12) с двумя пеРtменными и некоторую аффинную систему Оху координат на плоскости; тоrда те и только те точки М (х, у), координаты которых в данной координатной системе удовлетворяют уравнению (12)' считаются лежащими на данной линии (или принадлежащими ей).
118 АлrЕВРАИЧЕСКИЕ линии и ПОВЕРХНОСТИ Аналоrично для поверхностей: задать алrебраическую поверх- ность в трехмерном пространстве значит задать алrебраическое уравнение от трех переменных (l з ) и систему координат в трех- мерном пространстве. Те и только те точки J\tl === (х, у, z) про- странства, координаты которых удовлетворяют уравнению (1з), называются точками, лежащими на данной поверхности. При этом мы считаем, что два уравнения тОсда и только тоеда определяют одну u ту же линию или поверхность, коеда одно из этих уравнений получается из друеоео nочленным умножением на некоторый числовой множитель л. Если На плоскости дана система координат Oe 1 e 2 , то левая часть уравнения (12) мноrочлен F (х, у) определяет функцию от точки плоскости: каждой точке М, имеющей в данной системе координат координаты х, у, соответствует число F (М) == F (х, у). Если мы перейдем к друrой системе координат O/e e;, то та же точка М, имевшая в системе Oe 1 e 2 координаты Х, у, получит О ' , , , в системе elei новые координаты х, у, связанные со старыми формулами преобразования координат: х === C 11 X' + с 12 у' + С 1 , } (2) у == C 21 X' +С 2 2У' +С 2 ... с матрицеи с === 11 Cl1 С}2 I1 С21 С 22 и детерминантом det С == I С11 С12 1 =#= о. С21 С22 Для Toro чтобы вычислить значение Toro же числа F (М) через новые координаты х', у' точки М, надо в мноrочлен F (х, у) вместо х и у подставить выражения (2) этих переменных через х' и у'; от этоrо мноrочлен F (х, у) тождественно преобразуется в мноrочлен Р' (х', у') от новых переменных х', у': F (М) == F (х, у) == F (C 11 X' + C 12 Y' + c 1J C 21 X' + C 2 'll1' + С 2 ) == ==. р' (х', у'). (3) Координаты х' J у' какой либо точки М в системе O'ele тоrда и только тоrда удовлетворя уравнению Р' (х' J у') == О, (1 коrда координаты х, у той же точки в системе Oe 1 e 2 удовлетво- ряют уравнению F (х, у) == о. (12) Таким образом, задавая какую...нибудь алrебраическую линию ее уравнением (12) в данной системе координат Oe 1 e 2 , мы сразу
ПРЕОБРАЭОВАНИЕ мноrОЧЛЕНА ВТОРОЯ СТЕПЕНИ t 19 же можем написать и ее уравнение (1;) в любой друrой системе координат О'еl е ; оба уравнения (12) и (1;), рассматриваемые соответственно относительно координатных систем Ое 1 е2 и O'ele , задаlОТ одну и ту же алrебраическую линию. При этом, если алrебраическая линия задаНа в данной системе координат Oe 1 e 2 уравнением (12) степени т, то и ВО всякой друrой системе коор" динат О' ei e она задается уравнением ( l ) той же степени т. В самом деле, при подстановке (2) каждый член axPyQ мноrочлена F (х, у) переходит в выражение а (C 11 X' +С l 2У' +с 1 )Р (C 21 X' +с 22 у' +c 2 )q, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов дает нам некоторую совокупность членов мноrочлена р' (х', у'), кажДЫЙ из которых имеет степень р + q. Итак, при переходе от координатной системы Oe 1 e 2 к координатной системе O'ele; сте- пень мноrочлена F (х, у) не может повыситься. Но она не может и понизиться, так как тоrда при обратном переходе от О'еlе; к Oe 1 e 2 степень мноrочлена должна была бы повыситься. Итак, степень уравнения (1), задающеrо (в какой"нибудь системе координат) данную алrебраическую линию, есть число, не зависящее от выбора системы координат; это число и назы... вается порядком ал ебраuческой линии, задаваемой уравнением (1). Все сказанное о кривых дословно переносится и на случай поверхностей. 2. Преобразование мноrочлена второй степени при преобразовании координат Так как мы в дальнейшем будем заниматься лишь линиями и поверхностями BToporo порядка, то мноrочлены второй степени имеют для нас лреимущественный интерес. Каждый мноrочлен второй степени от двух переменных F (х, у) == а 11 х 2 + 2а 12 ху + а 22у 2 + 2а 1 х + 2а 2 у + ао (12) может быть записан в виде F (х, у) == q> (х, у) + 21 (х, у) + а о , (1 ) rде (f) (х, у) == a 11 x 2 + 2a 12 xy + а 22 у2 (22) называется квадратичной формой старших членов мноrочлена F (х, у), а 1 (х, у) ==a 1 x+a2!l --- линейной формоЙ мноrочлена F (х, у).
120 АлrЕБРАИЧЕСКИЕ линии и ПОВЕРХНОСТИ Полаrая а 2 1 == a 12 , получаем симметричную матрицу BToporo порядка А == 11 а11 а12 11 , а21 й 22 называемую матрицей квадратичной формы Q) (х, у) == al 1 x 2 + 2а 12 ху + а22У 2 ; детерминант б == I а1]: a12 1 a2i 022 называется дискриминантом фОрМЫ <р (х, у). Подобное же положение вещей мы имеем и в случае MHoro члена второй степени от трех переменных. Общий вид TaKoro мноrочлена есть F (X t у, z) == a 11 x 2 + 2a 12 xy+a22Y 2 + 2а1зхz + 2а 2з уz + а зз z 2 + + 2а 1 х + 2а 2 у + 2азz + ао, (1з) причем члены BToporo порядка этоrо мноrочлена образуют ква д.. ратuч.НУIО форму q> (х, у, z) == a 11 x 2 + 2а 12 ху + а 2 2У 2 + 2а1зхz + 2а 2з уz + а зз z 2 , (2з) а члены nepBoro порядка......... линейную форму 21 (х, у, z), rде 1 (х, у, z) == a 1 x+a 2 y +а з z, так что весь мноrочлен F (х, у, z) может быть записан в виде F (х, у, z) == q> (х, у, 2) + 21 (х, у, z) + ао. Нас интересует вопрос, как преобразуются мноrочлены F (х, у), соответственно F (х, у, z) при преобразовании координат. Как мы знаем, каждое преобразование координат слаrается из OДHOpOД Horo преобразования, которое в случае двух переменных х, у записывается в виде х == С ll Х: + + С 12 У:, } , с == 11 11 12 11 J det С =1= О, (3) У == С 21 Х С 22 У , 21 22 и из сдвиrа х == х' , +хо, } У == У + Уо. (4) Однородное преобразование (3) соответствует переходу от перво- начальноrо репера Oe 1 e 2 к реперу Oele с тем же началом, а npe образование (4) сдвиrу начала координат на вектор 00' == {Х о , Уо}. Посмотрим сначала, как преобразуется мноrочлен F (х, у) при сдвиrе (4).
ЛРЕОБРАЭОВАНИЕ мноrОЧЛЕНА ВТОРОй СТЕПЕНИ 121 Подставляя в F (х, у) значения х == х' + Хо, у;:: у' + Уо, полу- чаем (считая всеrда а 21 === a 12 ) F (х, у) == F (х' + Хо, у' + уо) == а 11 (х' + хо)2 + + 2а 1 2 (х' + хо) (у' + Уо) + а 22 (у' + уо)2 + 2а 1 (х' + хо) + + 2а 2 (у' + уо) + а о == a 11 x,2 + 2а 12 х' у' + 1.2y,2 + + 2 (а 11 х о + а 1 2УО + a 1 ) х' + 2 (а 21 х о + а 22 уо + а 2 ) у' + + а11Хб + 2а 12 х о уо + a22Y + 2а 1 х о + 2а 2 уо + а о == F (х', Обозначая преобразованный мноrочлен через Р ' ( ' ' ) ,,2 + 2 ' , , + ' ,2 + 2 ' , + 2 ' , + ' х, у == аl1Х aJ2x У а22У аlХ a:Jj а о , у'). ( 1;) имеем I I ан == а 1Н , a J2 == а 12 , , й22 == 2' (52) a == а 11 х о + a 12 yo + а 1 , J a == а 21 х о + а'1.2Уо + а 2 , a ::::: F (х о , Уо). На эти формулы мы будем MHoro раз ссылаться. Первые три из равенств (5), а именно a l == a 11 , a 2 === а 12 , a 2 == а 22 , означают, что при сдвuее (4) к'оэффициенты при старших членах М1tосочлена F (х, у) не меняются. Все это можно повторить и для случая трех переменных: МНО" rочлен F (х, у, z) переходит в F' (х', у', 2') == a lx,2 + 2a 2X' у' + й,;,2у,2 + 2а зх' z' + 2 +2а зу'z' +а з2' +2a x' +2a y' +2a 2' +a , (1 ) rде , , , , ан ::::: й 1 1, aH === а 12 , a 2 == а 22 , а13 == а 1з , a == a 11 x O + а l 2Уо + а 1 э z о + a 1 , a ::::: а 21 х о + а 22 уо + а 2э z о + а 2 , a == а З1 Ха + а з2 уо + аззzо + аз, a == F (х о ' Уо, Zo). Что касается однородноrо преобрззования (3), то H(lC интере. суют в первую очередь }{вадратичные формы <р' (х', у') и ({/ (х', у', z'), в которые при этом преобразовании то)кдественно лереходят формы q:> (х, у) и q> (х, у, z). Исчерпывающий ответ на интересующий нас вопрос дает слеДУlощая т е о р е м а 1. МаПlрuца А' квадратичной формы <р' (х', у'), соответственно (р' (х', у', z') выражаеtпся через матрицу А фор.. мы ер (х, у), соответственно ч> (х, у, z) u через .маПlрUЦУ С , , I а з == а 2з , азз == йЭ3, I J (5з)
122 АлrЕБРАИЧЕСКИЕ линии и ПОВЕРХНОСТИ nреобразова/t,UЯ следующuм образом: А'==С*АС, (6) еде С*, как всееда, есть матрица, транспонированная к. с. Доказательство этой теоремы получается непосредственным вычислением и оставляется читателю в качестве упражнения. Так как det С* == det С, то ИЗ формулы (6) вытекает det А' == det А · (det С)2. (7) Если обе координатные системы, старая и новая, лрямоуrольны, то матрица С ортоrональна, det С == + 1 и det А' == det А. Как мы уже отмечали выше, в заданной системе координат Ое 1 е2 (соответственно Ое 1 е 2 ез) мноrочлен F (х, у) (соответственно F (х, у, z» определяет ФУНКЦИЮ от точки плоскости (соответст- венно пространства). Рассмотрим подробнее функции, задаваемые однородными мноrочленами от двух или трех переменных второй степени такие мноrочлены в алrебре называются квадратичными формами. Для сокращения изложения оrраничимся лишь случаем трех переменных. Начнем со следующеrо определения. Предположим, что задано правило, ставящее в соответствие каждой паре векторов u и v пространства некоторое число 'l' (u, v); пусть, кроме Toro, 9та функция линейна по каждому aprYMeHTY, Т. е. ч' (л1ul + Л2U2, v) == л 1 '1' (и 1 , v) + л'2'1' (u 2 , v), 'у (и, Vl +Л2 V 2) =='''1'1' (u, Vl)+ Ч' (u, V 2 ) дЛЯ любых векторов u 1 , u 2 , и; V 1 , V 2 , V И чисел Лl' Л 2 . Тоrда rоворят, что 'р' билинейн.ая функция от aprYMeHToB u и у. Если векторы u и v относительно базиса el, е 2 , е з записываются в виде U == X 1 е 1 + х 2 е 2 + хае з , v == Уl е 1 + У2 е 2 + узез, то леrко видеть, что з 'l' (u, v) == XIYj'l' (el, ej), i, j == 1 или, если положить Ч' (е" ej) == ац, 3 '1' (u, v) == aijXiYj. i, j == 1 (8) Мноrочлен в правой части равенства (8) называется бuлuнеЙНQU формой от переменных XJ, У/. Матрица А == \\ aij /11. 1== 1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ мноrОЧЛЕНА ВТОРОй СТЕПЕНИ 123 называется матрицей бuлинейноu формы относительно базиса еl, е 2 , ез. Билинейная форма называется СUJw,М,етрuчн.ой, если симмет.. рична ее матрица А, т. е. если ац == ajl. Билинейная функция '1' (u, у) называется сuм...wеmрuчной, если для любых двух векторов u и v 'I! (u, У) == ч' (у, u). Тоrда а,} == == '1' (el, ej) == '1' (ej, e/);=: ан матрица А оказывается симметрич- ной. Верно и обратное: если в каком-нибудь базисе билинейная функция записывается в виде симметричной билинейной формы, то она симметрична (докажитеl). Любая функция f (u, v) от двух переменных определяет функ- цию g (u) от одноrо nepeMeHHoro, если положить g (u) == f (u, u). Функция Ф, полученная по этому правилу И3 симметричной би- линейной функции 'у: Ф (u) === '1' (u, u), называется квадратичной функцией, порожденной билинейной ФУНК- иией '1' . Для произвольной квадратичной функции Ф существует одна и только одна порождающая ее симметричная билинейная функ- ция Ч', называемая полярной бuлинейн ой функцией от даннои квад ратuчной. Действительно, пусть 'l' какая нибудь симметричная билиней- ная функция, порождающая данную квадратичную функцию Ф: Ф (u) == '1' (U, u). Поскольку 'I'(u+v, u+v)=:'I'(u+v, U)+Ч'(U+V, v)== == 'l' (u, u) + 2Ч" (u, У) + 'р' (У, У) == Ф (u) + 2'1' (u, v) + ф (У), то 1" ( ) ф (u+v) ф (u) ф (У) у U, V 2 t (9) что позволяет вычислить значение функции '1" для любой пары векторов u, У, зная значения функции Ф для каждоrо из векто- ров u, v, u+v. Формула (9) называется полярным разложением симметричной билинейной Функuии Ч' (u, v). Если в данном базисе симметричная билинейная функция ч1 (u, v) записывается в виде з '1' (u, У) == aljXIYj, i)j::=1 ТО 3 Ф (u):::= aijX,X" i. j == 1
124 АлrЕБРАИЧЕСКИЕ линии и ПОВЕРХНОСТИ т. е. квадратичная функция Ф (и) == 'р (u, u) во всяком базисе записывается в виде квадратичной формы, имеющей ту же мат... рицу, что и билинейная форма, являющаяся записью функции '1'. Мы закончим этот параrраф перечислением некоторых теорем о билинейных и квадратичных функциях, полные доказательства которых мы отложим до rлавы XIV. Рансом билинейной, а также ранео'м квадратичн'ОЙ формы на... зывается paHr ее матрицы. Имеет место следующий замечатель- ный результат: все билиН,ейН,ые (все квадра"luчные) формы, пред- ставляющuе 8 различных базисах одну и ту же билинейную (соответственно квадратичную) функцию, имеют один и тот же ране. Далее, билинейная, а также квадратичная форма, матрица которой диаrональна, называется канонической формой данной би.. линейной (соответственно квадратичной) функции. Имеет место следующая теорема: для любой квадратичной функции Ф сущест.. вует канонический базис, т. е. базис e 1 , е 2 , е з , 8 котором данная функция имеет каноническую запись. При этом. 80 всех канони.. ческих записях квадратичной функции Ф: Ф (u) == alX + a 2 xi + азх:, u == x 1 e 1 + X2 e Z + хэе s , число положительных коэффициентов среди a 1 , а 2 , аз одно и то же (оно называется индексом данной квадратичной функции). 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат Ое 1 е 2 . Мы знаем, что задать аффинное преобразование пло.. скости значит задать, наряду с исходным репером Ое 1 е2, новый репер O'e e ; аффинное преобразование , определенное этим репером, ставит в соответствие каждой точке М точку М', имею.. щую относительно репера O'e e те самые координаты, которые точка М имела относительно исходноrо репера Ое 1 е 2 . Рассмотрим теперь какую нибудь линию, определенную в исход.. ной системе координат Ое 1 е 2 уравнением Р(х, у) ==0. ( 12) При аффинном преобразовании каждая точка М, лежащая на этой кривой, перейдет в точку М', лежащую на линии, имеющей то }I{e уравнение (12)' но уже относительно системы координат О , , , eJe . В соответствии с этим мы rоворим, что при аффинном преоб- разооании кривая 1, заданная уравнением (12) в системе коор" динат Oelez, переходит в кривую 11, заданную тем же уравне- нием, но в системе координат О' e e;. Очевидно, кривая 11 пере..
АФФИННАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 125 ХОДИТ В кривую 1 при аффинном преобразовании l, обратном к преобразованию . rоворят также, что кривая 11 является образом кривой 1 при преобразовании e, . О п р е Д е л е н и е. Две кривые 1 и 11 называются аффUн'flО эквивалентными, если одна из них переходит в друrую при HeKO тором аффинном преобразовании . Леrко видеть (читатель должен это проверить), что отношение аффинной эквивалентности удовлетворяет условиям р лексивно- сти, симметрии и транзитивности. Поэтому, в частности, две кри" вые, аффинно эквивалентные одной и той же третьей, аффинно эквивалентны между собой. Из сказанноrо выше непосредственно следует: Пусть дана алrебраическая кривая 1 своим уравнением F (х, у) == о ( 12) в системе координат Ое 1 е 2 . Тоrда аффИНflО эквивалентными кри- вой 1 будут те u только те кривые 11, которые в какой-нибудь системе координат O'e;e имеют то же уравнение (12). Пусть В плоскости дана система координат Ое 1 е 2 . Тоrда, как мы знаем, всякое аффинное отображение задается формулами х: == С ll Х + С12У +Cl' } У == С 21 Х + С 22 У + С 2) (2) выражающими для каждой данной точки М (х, у) координаты х' t у' лреобразованной точки М' (в той же системе Oe 1 e 2 ). Теперь леrко решить задачу: пусть дана кривая 1 своим урав- нением (12) в координатной системе Ое 1 е2. Найти в той же си- стеме координат Ое 1 е 2 уравнение кривой 11, в которую перейдет кривая 1 при данном аффинном преобразовании (2). Решение просто: ведь надо найти уравнение, которому YДOB летворяют х' и у', связанные с х и у соотношениями (2), если эти х и у удовлетворяют уравнению (12). Искомое уравнение по лучится, если выразить х и у через х' и у' из (2) и подставить полученные значен ия в уравнение (12)' Все сказанное о кривых можно повторить и в применении к поверхностям. В следующей r лаве мы, в частности, решим задачу аффинной классифнкаuии кривых BToporo порядка, т. е. задачу перечисле нмя всех аффинных классов, на которые распадается множество всех кривых BToporo порядка. В rлаве IX мы реIllИМ аналоrичную задачу аффинной класси- Фи]{ации всех поверхностей BToporo порядка.
126 АлrЕБРАИЧЕСКИЕ линии и ПОВЕРХНОСТИ t 4. Комплексная плоскость и комплексное пространство Вся суть аналитической rеометрии заключается в том, что, выбрав (скажем, на плоскости) систему координат Ое 1 е 2 , мы ПОД" мениваем точки плоскости парами (х, у) координат этих точек, а линии задаем их уравнениями вида F (х, у) === о. Однако уже из школьноrо курса алrебры мы знаем, сколь убоrим получается исследование даже уравнений второй степени с ОДНИМ неизвестным, если при рассмотрении их решений ПО.'lьзоваться лишь вещественными числами. Поэтому неудивительно, что, orpa- ничиваясь в анаЛllтической rеометрии вещественными значениями координат, мы не построим rармонической теории, так как будем постоянно натыкаться на досадные исключения, несносные для математика. Единственный радикальный способ их избежать..... это допустить в качестве возможных значений координат точек любые комплексные числа. Мы приходим, таким образом, к следующему построению. Пусть дана обыкновенная (<<вещественная») плоскость и про.. иэвольная аффинная система координат Ое}е 2 в ней 1). Точку М плоскости мы отождествляем с парой ее координат х, у. Теперь мы всякую пару х, у комплексных чисел также будем считать точкой (комплексной) плоскости, а сами числа х, у будем назь[- вать координатами точки л1 комплексной плоскости относительно данной системы координат Ое 1 е 2 . При этом точку М (х, у) будем называть мнимой точкой плоскости, если хотя бы одна из ее координат есть комплексное число, не являющееся вещественным. Дальше все идет автоматически. Пара точек М 1 == (Х 1, Yl) И М 2 (х 2 , У2)' данных в определенном порядке (М 1 ..... первая, М 2 ....... вторая точка), называется вектором, приложенным к. точке М Т или закрепленным в этой точке, и обозначается через u == М 1 М 2 . Точка М 1 называется начальной точкой, а точка М 2 конечной точкой (концом) вектора М 1 М 2 . Комплексные числа х == х 2 ..... Х 1 , у === у", Уl называются координата.ми вектора M 1 M z . Два вектора М 1 М 2 и M M; называются равными, если равны их соответственные координаты. Таким образом, множество всех векторов комплексной плоскости распадается на классы равных между собой векторов (любые два вектора одноrо класса равны между собой, никакие два вектора, принадлежащие к разным клас- сам, не равны между собой). Эти классы, как и в случае вещест" 1) Речь идет при этом лишь об обыкновенных, «вещественных» реперах.
КОМПЛЕКСНЫЕ П.ТIоскость И ПРОСТРАНСТВО 127 венных чисел, называются свободными векторами; они обозна- чаются так: U == {х, у}, rде х, y лара координат какоrо нибудь (закрепленноrо) вектора, входяп еrо в данный класс равных между собой векторов. Таким образом, мы можем сказать: любая лара комплексных чисел х, у определяет, во первых, точку М == (х, у), BO BTOpЫX, свободный вектор U == {х, у} с координатами х, у. Каждая пара точек М 1 == (х 1 , Уl) И М 2 == (х 2 , и2) определяет свободный вектор u == {х, у} с координатами х == х 2 ...... Х 1 , У == У2 Yl; точка М 1 ==(х 1 , Уl) И вектор u == {х, у} определяют точку М 2 == (Х 1 + Х, Yl + у)...... КО48 lIец вектора и, приложенноrо к точке M 1 . Суммой двух векторов u == {Х, у} и u' {х', у'} называется век- тор u+u' == {х+х', у+у'}, произведенuем вектора U == {х, у} на nрОUЗ80ЛЬНое (комплексное) число л называется вектор ЛU == {АХ, лу}. Вектор О == {О, О} по-прежнему называется нулевым вектором; вектор u == { x, у} называется вектором, nроmuвoположны'м' вектору u == {х, у}. Понятия линейной зависuмости и ЛUнейной независи,М,ости вво- дятся для векторов с комплексными координатами совершенно так же, как и в вещественном случае, только, разумеется, в ка- честве коэффициентов в линейных комбинациях векторов теперь допускаются любые комплексные числа. При этом все алrебраи... ческие теоремы о линейной независимости сохраняют свою силу. В частности, два вектора U 1 == {Х 1 , Yl} и U2 == {Х 2 , У2} тоrда и только тоrда линейно зависимы, коrда координаты одноrо вектора пролорциональны координатам друrоrо, т. е. коrда I : : I == О. Два линеЙно зависимых вектора мы будем называть коллинеар- ными. Важно сразу же установить и ДЛЯ векторов с комплекс- ными координатами основное предложение. Три вектора на комплексной плоскости всеrда линейно зави- симы (и, следовательно, один из них есть линейная комбинация двух друrих). В самом деле, это утверждение справедливо, если среди трех дан- ных векторов u., U 2 , U З каК 1е нибудь два, например О 1 и а2, линейно зависимы. Пусть векторы Ut == {SI' 'r11} И U 2 == { 2' f)2} ли- нейно независимы. Докажем, что тоrда всякий третий вектор U ::м ;::: { , f)} является линейной комбинацией векторов U 1 и U 2 : U == X 1 U 1 + X Ut, причем коэффициенты Хl и Х2 В этой линейной комбинации ОДНО- значно определены.
128 АлrЕБРАИЧЕСКИЕ линии и ПОВЕРХНОСТИ в самом деле, из линейной независимости векторов U 1 == { l' Т)1} и U2 == {;2, 'fl2} следует. что I : 1* о. А тоrда система уравнений (относительно неизвестных Хl и Х 2 ) === lXl + 2X29 '1 == 'YII X l + 'YI2 X 2 (равносильная одному уравнению u == Х 1 и 1 + X 2 U 2 ) имеет единствен- ное решение относительно Хl и Х2. что И доказывает наше утвер'" ждение. Существенным является следующее 3 а м е ч а н и е. Мы определили комплексную плоскость, взяв обыкновенную. вещественную плоскость с заданной в ней аффин- ной системой координат Ое 1 е2. Эта система координат лежит в основе caMoro определения комплексной плоскости и будет назы... ваться ее «основной» системой координат. Начало этой системы координат есть вещественная точка О == (О, 0)9 а единичными век.. торами являются векторы e 1 =={I, О} и е2=={О' I}. Каждый вектор комплексной плоскости может быть записан, и притом единствен- ным образом, в виде u == хеl + уе2' (1) rде х и у комплексные числа. Задать е комплексной плоскости какую нибудь «HOBYIO» (Т. е. отличную от основной) вещественную 1) систему аффинных коор- динат значит задать вещественную точку О' == (а, Ь) ........ начало новой системы координат и пару линейно независимых вещественных векторов e == {C 11 , С 21 } == c11el + с21е2, e == {C 12 , С 22 } == с 12 е 1 + с 22 е 2 (все числа Clk, i. k == 1, 2, при этом являются вещественными). Тоrда вектор u, записывающийся в основной системе координат в виде (1), однозначно записывается и в виде линейной комбина... , , ции векторов еl и : , ' + ' , u == х еl У е2. (1 ') Коэффициенты х' и у' в этой линейной комбинации называются координатами вектора u в системе координат О'е;е; (они, как н в случае вещественных векторов, не зависят от выбора начала О'). ) Только такие будут рассматриваТЬС}l,
КОМПЛЕКСНЫЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРОСТРАНСТВО 129 I<оординатыI точки М в системе н:оординат O'e суть координаты вектора О'М в этой системе координат. При определении :JТИХ координат остаются в силе все рассуждения rлавы 111, и итоrом этих рас уждений являются формулы х == C 11 X' + с 12 у' + а, } (2) у === с 21 х' + С22У' + Ь, т. е. формулы преобразования координат, полученные на стр. 113. Эти формулы в комплексной плоскости таковы же, как в веlцест пенной, и коэффициенты C 11 , C 1 2; С21' С22; а, Ь в них...... веществен- 11 ые числа. TaI{ же, как в вещественном случае, прямую линию на комп" лексной плоскости естественно определить как линию первоrо порядка, т. е. задать ее уравнением первой степени Ах+Ву+С==О. (3) Из общих теорем об уравнениях первой степени элементарно выводится, что если прямая задана каким"нибудь уравнением (3), то все уравнения вида (kA) х+ (kB) у+ (kC) == О, rде k какое-нибудь комплексное число, и только эти уравнения задают ту же прямую. Если среди этих уравнений имеется урав.. нение, все коэффициенты KOToporo kA, kB, kC вещественны, то прямая (3) называется вещественной; в противном случае она на.. зывается мнимой. Например, прямая 2ix + 3iy i == О есть вещественная прямая: она может быть задана уравнением 2х + Зу 1 == о. Прямая х + ёу == О является мнимой. Вообще, алrебраическая кривая, заданная уравнением F (х, у) == О, rде F (х, у) какой нибудь мноrочлен от двух переменных, назы.. вается вещеСПlвенноu, если комплексное число л =1= О может быть подобрано таким образом, что в мноrочлене лF (х, у) все коэффи- пиенты суть вещественные числа. Может, однако, случиться, что на веlцественной кривой не лежит ни одной вещественной точки. Так, например, кривая, задаваемая уравнением х 2 +у2+ 1 ==0,
130 АлrЕБРАИЧЕСКИЕ линии и ПОВЕРХНОСТИ u есть вещественная кривая, однако на неи нет ни ОДНОИ вещест- венной точки. Эта кривая называется окружностью радиуса i (при- чина тзкоrо названия читателю, вероятно, ясна 1). Кривая, задаваемая в прямоуrольной системе координат урав- нением x2+y2 O, (4) называется окружностью нулевоrо радиуса. Она имеет единствен... ную вещественную точку О == (О, О). Эта кривая распадается на пару мнимых прямых x+iy==O, x iy O, (5) так так х 2 + у2 == (х + iy) (x iy). Среди всех линий на плоскости мы в этом курсе будем рас- сматривать, кроме прямых, лишь вещественные кривые BToporo порядка и будем всеrда задавать их уравнениями F (х, у) О, все коэффициенты в которых вещественны. Пополнение TpeXMepHoro пространства мнимыми элементами............ мнимыми точками и мнимыми векторами происходит совершенно аналоrично введению мнимых точек и векторов на плоскости. Предполаrается, что в 06ыкновенном (<<вещественном») трехмерном пространстве дана произвольная аффинная система координат Ое 1 е 2 е з . Это позволяет каждую точку М пространства отождест.. ЕИТЬ с тройкой вещественных чисел, ее координат: М == (х, у, z). После этоrо мы всякую тройку Х, Yt Z комплексных чисел также объявляем «комплексной» точкой пространства, а сами комплекс.. вые числа х, у, z называе f коордuнатаАtи точки М в коорди- натной системе Ое 1 е 2 е з . Множество всех комплексных точек обра.. зует комплексное трехмерное пространство. Все вновь присоеди.. ненные точки, т. е. все точки М == (х, у, z), у которых хотя бы одна из трех координат является невещественным числом, назы- ваются мнимыми точками комплексноrо TpeXMepHoro пространства. 1) к сожалению, общепринятая терминолоrия (с которой невозможно не считаться) в этом пункте непоследовательна: окружность X + у2 + I == О мни... Moro радиуса i обычно называется мнимой окружностью; вообще, кривая, за... х 2 уl даваемая уравнением а 2 + ь2 + 1 ==0, называется .мнимы.м эллиnсо-м, ХОТЯ она соrлзсно только что данному общему определению является действительной кривойl
КОМПЛЕI(СНЫЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРОСТРАНСТВО 131 Упорядоченная пара точек М 1 == (х 1 , Уl' Zl)' М 2 == (х 2 , У2, Z2) kомплексноrо пространства называется векторо'м', nрuложеН,Нbtм 1(. точке М (или закреnленным, в ней). Комплексные числа х == == ХЗ Хl' У == У2 Yt, z == Z2 Zl называются координатами заКреп- ленноео вeK"lOpa. Два вектора равн'Ы, если соответственно равны их координаты. Классы равных между собой векторов наЗЬ1ваются свободными векторами; они взаимно однозначно соответствуют тройкам комплексных чисел х, у, z тройкам координат всевоз можных закрепленных векторов, являющихся элементами Данноrо класса. Свободные векторы обозначаются так: u == {х, у, z}. Линейные операции сложения векторов и умножения вектора на комплексное число определяются так же, как и в случае пло.. скости, т. е. «покоординатно», только КООрДИнаТ сейчас три, а не две, в этом вся разница. Автоматически вводится и исследуется также и понятие линейной независимости векторов. Как и в слу- чае точек, мы называем веществеНн'ыми лишь те векторы u === == {х, У, z}, У которых все три координаты х, у, 2 суть вещест венные числа. Все остальные векторы называются мнимыми. Существенно отметить, что в комплексном пространстве, так же как и в КОМП.,1ексной плоскости, мы рассматриваем наряду с основной системой координат (введенной при самом определении комплексноrо пространства) и друrие системы координат O'e;e e;, но всееда лишь вetЦeCтвeHHыe; это значит, что и новое начало О( , , , есть вещественная точка лростр.анства и векторы еl, е2, ез суть вещественные векторы. Поэтому переход от одной координатной системы к друrой задается формулами линейноrо преобразования, все коэффициенты в которых суть вещественные числа. Словом, все происходит так, как в случае плоскости, с единственной разни- цей, что вместо размерности n == 2 теперь имеем n == 3. Веществен'НОЙ поверхностью мы называем такую алrебраическую поверхность, которая задается уравнением F (х, у, z) == О с вещественными коэффициентами. 3 а м е ч а н и е. Определенное в этой rлаве «комплексное» про- странство следовало бы называть комnлексН,ым nростран'сmво-м с выделенн'ЫМ в нем веществен'НЫМ подnросmран'ством. (которое пе- реходит в себя при всех аффинных преобразованиях с веществен.. ной матрицей С, никаких друrих мы, как неоднократно упомина лось, рассматривать не будем). Такое же замечание можно сде.. лать, разумеется, и о комплексной плоскости.
132 АлrЕБРАИЧЕСКИЕ линии и ПОВЕРХНОСТИ 5. Распадающнеся линии и поверхности. Цилиндрические н конические поверхности. Поверхности вращения 1. Распадающиеся линии и поверхности. Если мноrочлен F (х, у) есть произведение двух мноrочленов Рl (х, у) и F 2 (х, у): F (х, у) == F 1 (х, у). F 2 (х, у), 1'0 те и то.пы{о те ТОЧКII лежат на линии F (х, у) == о, (1) которые лежат хотя бы на ОДНОЙ из двух линий F1(x, у) ===0, (2) Р 2 (х, у) === о. (3) В этом случае rоворят, что кривая (1) распадается на кривые (2) и (3). Например, кривая BToporo порядка, заданная уравнением х 2 у2 о, распадается на пару действительных прямых х+у==О и x y==O, а кривая х 2 +у2 ==0, KaI{ упомянуто выше, распадается на пару мнимых прямых x+iy==O, x iy==O, называемых сопряженными. То же имеет место и для поверхностей. Если Р(х, у, z)==F1(x, у, Z).P2(X, у, z), то поверхность Р(х, у, 2)==0 распадается на пару поверхностей F 1 (х, у, z) == о, F 2 (х, у, z)::::: о. Так, например, поверхность BToporo порядка х 2 + 2ху + у2 Z2 == О распадается на пару плоскостей x+y+z==o и x+y z==o. 2. Цилиндрические поверхности. О п р е Д е л е н и е. Алrебраи.. ческая поверхность называется цилиндрической (или цилиндром),
РАСПАДАЮЩИЕСЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ 133 если внекоторой афq)инной системе координат она может быть задана уравнением, не содер,кащим одну из координат, например уравнением не содержащим координату z. Кривая, определяемая уравнением (4) в плоскости Оху, назы- вается иноrда основанием или направляющей цилиндра. Если точка М == (х, у, z) лежит на цилиндре (4) (рис. 71), то псе точки М' == (х, у, z'), rде z' сопершеНIIО ПрОИЗНОЛЬНО, то}ке лежат на цилиндре (4). Все эти точки образуют прямую, проведенную че рез одну из них, например через точку Мо == (х, у, О), параллельно оси Oz. Таким образом, всякая пря мая, проведенная параллельно оси Oz через какую.. нибу дь точку М о =: == (х, у, О) цилиндра, всеми своими точками .пежит на цилиндре; все эти прямые называются образующими ци линдра. Их объединение 11 образует множество всех точек, лежащих на uилиндре. Обратно, пусть дана алrебраиче ская поверхность S, обладающая тем свойством, что всякая прямая, парал лельная некоторому (одному и тому же) направлению и проходящая через какую нибудь точку этой поверхности, всеми своими точками лежит на ней. Покажем, что эта поверхность является цилиндрической. В самом деле, не оrраничивая общности раССУ}I{дений, МО}({НО прсдпо.. JIОЖИТЬ, что направление, о котором идет речь, есть направление оси z некоторой системы координат. Пусть уравнение поверхности S есть F (х, у, z) == о. ВСЯJ(ИЙ мноrочлен F (х, у, z) от трех переменных может быть записан в виде F (х, у, z) == Zk g (х, у, z) + f (х, у), rде k l. Докажем, что в нашем случае g(x, у, z) == и. в противном случае пусть существуют такие значения Хо, Уо, Zo, что g (х о , уо, Уо) == А =f= о. Тоrда F (Ха, Уа, zo) == Az + f (х о , уо) {(х, у) ==0, (4) ........... .х Рис. 71. и существует лишь конечное число значений z, для которых F (хо. уо, z) == о. Пусть Z1 ..... одно из них. Тоrда точка Мо == (х о , Уо, Zl)
134 ллrЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИJIИИ И ПОВЕРХНОСТИ лежит на поверхности S, но прямая х ::::: Хо, у =t: Уо, проходящая через эту точку в направлении оси z, уже не ,,'Iежит целиком на поверхности S вопреки нашим предположениям. Итак, действительно g (х, у, z) == О, и уравнение поверхности S имеет вид '(х, у)==О, чем и доказано, что S цилиндрическая поверхность. lv\bI будем в дальнейшем рассматривать лишь цилиндрические поверхности BToporo порядка; их основаниями являются кривые BToporo порядка. :.с :JJ ,"" ... ""', / / '" ,; ,; / I I \ Рис. 72. Рис. 73. 3. Конические поверхности. О п р е Д е л е н и е. Конической поверхностью п-со порядка называется алrебраическая поверхность, задаваемая в некоторой аффинной системе координат Oxyz урав- нением ф (х, У. z) == О, (5) rде Ф (х, у, z) есть однородный мноrочлен (форма n-й степени от переменных х, у, z). Леrко доказывается слеДУЮIЦее основное свойство конических u поверхностеи: (*). Если точка М == (х, у, z) лежит на конической поверхно- сти (5) (рис. 72), то и вся прямая ОМ лежит на этой поверх- ности (О при этом есть начало координат).
РЛСПАДАЮЩИЕСЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ 135 в самом деле, если точка ""1' == (х', у', z') какая",нибудь точка lIРЯМОЙ ОМ, то для вектора ОМ ' имеем равенство ОМ' == л олi при некотором числовом множителе л. А это значит, что х' == ')..х, у' == 'Ау, z' == лz. Так как Ф (х, у, z)....... ОДНОРОДНЫЙ мноrочлен п...й степени, то Ф ('\.оХ, лу, лz) == Л,llф (Х, у, z); так как точка 1\.1 == (Х, у, z) лежит на поверхности (4), то Ф (х, у, z) ==0, значит, и Ф(х', у', Z/) /\lnФ(Х, у, z)==O, т. е. точка М' также лежит на поверхности (5). Итак, всякая коническая поверхность ела- rается целиком из прямых, проходящих через точку О (рис. 73).. Рассмотрим систему координат Oe 1 e2ea с началом О и едиНИЧНЫМИ векторами e 1 , е 2 , параллельными плоскости л; вектор еэ опреде- ЛИМ как какой",нибудь вектор 00' , конец KOToporo лежит в пло- скости л. Таким образом, в этой плоскости определена коорди- натная система O'e 1 e.l, а сама плоскость п в системе Oel e, имеет уравнение z === 1. Пусть кривая К, лежащая в плоскости п, имеет в координатной системе O'el уравнение F (х, у) == О, z == 1 (6) степени n. Пусть М == (х, у, z) какая"нибудь точка поверхно.. сти s. Тоrда прямая ОМ пересекает плоскость л; в точке Мо == == (Ха, Уо, 1 ), координаты Хо, Уо которой удовлетвор нют равен. ству F (Ха, Уо)::::: о. (7) Вектор ОМ О == {хо, Уо, 1} является направляющим вектором пря мой ОМ, следовательно, ее параметрическое уравнение имеет вид х == xot, } У == yot, (8) z==l.t. Так как лежащая на прямой (8) точка М == (х, у, z) есть произ вольная точка поверхности S, то мы доказали следующее пред пожение: для Toro чтобы точка М == (х, у, z) лежала на поверх- ности S, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлет.. воряли при некотором t уравнениям (8), rде Хо, Уо удовлетворяют уравнению (6). Подставляя в (7) значения х у t ХО == Т, Уо == т' == z из (8), переписываем уравнение (7) в виде P ( JL ) ==o. z' z Именно этому уравнению удовлетворяют все (отличные от точки О) точки М == (х, У, z) поверхности s. Мноrочлен F ( ; , ) есть
136 ллrЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИJIИИ И ПОВЕРХНОСТИ мноrочлен n й степени относительно , JL, значит, мноrочлен z z ф (х, у, z) == znF ( : ' ; ) 'tCTb однородный мноrочлен относительно х, у, z. Среди точек М == (х, у, Z), не лежащих в плоскости 2 == О, уравнению Ф (х, у, z) ==0 (5) удовлетворяют все точки поверхности S и только они. Само урав.. нение (5) определяет коническую поверхность порядка n, МНО- =кество точек которой получается присоединением к поверхности S точек, лежащих в плоскости z == О и удовлетворяющих уравне.. нню Ф (х, у, z) == о. 4. Поверхности вращения. Пусть в пространстве дана прямо- уrольная система координат Oxyz. Рассмотрим мноrочлен F (и, z) от двух переменных, одно из которых, а именно и, есть х 2 +у2, та-к что F (и, z) == F (х 2 + у2, z). Очевидно, выражение F (х 2 + у2, z) тождественно равно неI{ОТОРОЙ сумме одночленов от трех переменных х, у, Z, Т. е. некоторому мноrочлену f (х, у, z) от этих переменных. Если потребовать, чтобы мноrочлен f (х, у, z) был при этом второй степени, то в выражение F (х 2 + у2, z) aprYMeHT х 2 + у2 может входить только в первой степени, а 2 может входить во второй и в первой степени. Итак, общий вид мноrочлена второй степени f (х, у, 2), допускающеrо запись f (х, у, 2) == F (х 2 + у2, Z), есть '(х, у, z):=F(X 2 +y2, z)а::эА (x 2 +y2)+az 2 +2bz+c. Но вернемся к общему случаю мноrочлена f (х, у, z) любой степени, допускающеrо запись вида f (х, у, 2) == F (х 2 + у2, z), и рассмотрим алrебраическую поверхность S, задаваемую уравне.. нием F (х 2 + у2, z) == о. (9) Пусть точка Мо == (хо, уо, Zo) лежит на поверхности (9). В пло- скости 2 == 20' проходящей через точку Мо параллельно плоскости Оху (рис. 74), возъмем окружность у с центром Q == (О, О, zo), проходящу ю чер ез точку Мо. Радиус этой окружности, очевидно, есть r == V x + y , а ее уравнение х 2 + у2 == ,2, Z == zo. Так как точка Мо лежит на поверхности (9), то F (,2, 2) == О, а так как во всех точках М == (х, у, 2) окружности У имеем х 2 + у2 ==
РЛСПЛДЛЮЩИЕСЯ линии и ПОВЕРХНОСТИ 137 == ,2, Z == ZO' то псе эти точки лежат на поверхности (9). Итак, если данная точка Мо лежит на поверхности (9), то на той же поверхности лежат и все точки М, в которые попадает точка Мо при вращении пространства BOKpyr ОСII z. Поэтому поверхности, уравнения которых при надлежащем выборе пря- моуzольной системы коор- динат Mozym быть запи.. саны в виде (9), называют.. сл поверхностями враще.. пия. В частности, уравне.. ние поверхности BToporo Порядка, являющейся по- верхностью вращения, за- писывается в виде z :J; А (x 2 +y2)+az 2 + + 2bz+c==O. Jlиния, получающаяся при пересечении поверхности Рис. 14. вращения плоскостью, про- ходящей через ось вращения (в нашем случае через ось Z), на.. зывается .меридианом этой поверхности вращения. Например, ме.. рИДИ8НОМ поверхности вращения F (х 2 +у2, z) === О является сечение этой поверхности плоскостью у == о, Т. е. линия F (х 2 , z) == О, У == о. Поверхность вращения описывается при вращении линии, являю... щейся ее меридианом, околе оси вращения. Рассмотрим, например, коническую поверхность х 2 + у2 22 == о. (1 О) Ее меридианом, лежащим в плоскости у == О, является пара прямых X2 Z2 == (X+Z)(X z)==0, у==о; конус (10) описывается при вращении этой пары прямых BOKpyr оси z (рис. 75). Рассмотрим в качестве BToporo примера поверхность, зада- ваемую уравнением z == х 2 + у2 (система координат все время прямоуrольная). Эrо снова поверх- ность Broporo ПОрЯДка, являющаяся поверхностью вращения. Она
138 АлrЕБРАИЧЕСКИЕ линии и ПОВЕРХНОСТИ АЕ I I ............... , ,-.,; I " , , /' r \ ,'/ I I '<. ..J I , I 1, I " I \ , , х Рис. 75. Рис. 77. Рис. 76. ..Z I I I I I 7f , I / ', ,,.. I / I ) + t , / I I " / I I " ,/ I I I I :.с Рис. 78.
РАСПАДАЮЩИЕСЯ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ 139 nслучается вращением около оси z параболы 2 == х 2 , У == о; вид полученной поверхности вращения совершенно ясен, эта по- верхность изобра)кена на рис. 76; она называется параболоидом вращения. Поверхности, заданные урав- нениями у Рис, 79. х 2 + у2 ...... 22 == 1, соответственно х 2 + у2...... Z2 == 1, z z Рис. 80. получаются, как леrко проверит читатель, при вращении BOKpyr оси 2 равнобочной rиперболы. лежащей в плоскости у == о и имеющей ось z соответственно своей второй и первой осью (рис. 77, 78). Читатель сам напишет уравнения поверхностей, получающихея от вращения эллипса BOKpyr ero осей (рис. 79, 80).
rЛАВА v РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ BTOPOrO ПОРЯДКА в 1 этой rлавы будет показано, что единственными кривыми BToporo порядка являются: эллиncы (включая так называемые мнимые эллипсы, опреде ляемые в надлежащей системе координат уравнениями вида х2 у2 а 2 + 1)2 + I :=: О), еипе рБОЛbl, параболы и кривые, распадающиеся на пару пРЯАfblХ (пересекаЮЩИХСЯ t параллельных или совпадающих); при этом прямые Moryr быть действительные или мнимые сопряженные 1); прямая в паре сов- падающих прямых всеrда действительна. В э9 2, 3, 4 будет показано, как определить вид кривой по ее общему уравнению. В 5 будет дана аффинная классификация кривых BToporo порядка. Рассмотрим уравнение F (х, у) == О, rде Р(х, y)==al1x2+2a12xy+a22y2+2alx+2a2y+aO (1) общий мноrочлен второй степени. Л\ы хотим найти прямоуrоль.. ную координатную систему, в которой уравнение кривой F (х, y) o приняло бы возможно простой «канонический» вид. Начальную координатную систему будем предполаrать прямо.. уrольной (если бы она не была таI{ОВОЙ, мы бы перешли к новой прямоуrольной системе координат и этим преобразовали бы пер" воначальный мноrочлен F (х, у) в новый мноrочлен, то)ке второй степени, с KOToporo и начали бы наши дальнейшие рассуждения). 1) Две мнимые прямые называются СОЕРЯЖ I1НЫ Иt если они MorYT быть заданы уравнениями Ах+Ву+С==О и Ах+Ву+С==:О, о которых коэффи. циенты А и .4, в и В, с и С являются взаимно сопряженными комплексными числами.
линии. ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ УРАВНЕНИЯJ\НI ВТОРОй СТЕПЕНИ 141 9 1. О линиях, определяемых уравнениями второй степени с двумя неизвестными 1. При ведение квадратичной формы от двух переменных к ка- ноническому виду при помощи преобразований прямоуrольных координат. Первый шаr заключается в том, чтобы поворотом на... чальноrо прямоуrольноrо репера Ое}е2 на некоторый уrол а пре образовать квадратичную форму <р (х, у) == а 11 х 2 + 2а 12 ху + а22у2 старших членов мноrочлена F (х, у) := allx2+2a12xy+a2iY2+2alx+2a2y+aO (1) к каноническому виду , ,2 + ' ,2 аl1 Х a i 9.Y' Итак, делаем преобразование координат х == х' cos а у' sin а, } у ==х' sin а+ у' cos а. Получаем ТО)l{дественно F (х, у) == ан (х,2 co 2 а 2х'у' cos а sin а + у,2 sin 2 а) 4--- + 2a 12 (х,2 COS а sin с{. х' у' sin 2 а у,2 sin а cos а + х' у' cos 2 а) + + а 22 (х,2 sin 2 сх. 2х' у' cos а sin ct + у/2 cos 2 а) + + 2a 1 x' cos а 2а 1 у' sin а + 2а 2 х' sin а + 2а2У' cos а + а о == F ' ( ' ' ) ,,2 + 2 , " + ' , 2 + 2 ' , + 2 ' ' + == .х, у == а l1 х a l2 x У а 22 у а 1 х aj,Y а(}, (2) rде a 1 == ан cos 2 а + 2al cos а sin а + а 22 siп 2 а, , " ( 2 . 2 )+ . al'l == а 1 } COS а. stn а +а 12 cos а SlП а а 2 2 COS а. Sln а, , "2 2 . + 2 аи == ан SIn а а 12 cos а Sln а а 22 COS а, a === а 1 cos а. + sin а, a == Ql sin сх. + а 2 cos а. Определим уrол а требованием, чтобы было а;') == О, Т. е. требо ванием а 12 cos 2 а + (а 2 2 a 11 ) cos а sin а a 12 sin 2 а === О, (4) (3) причем естественно предположить, что а 12 =1= О (при a 12 == О нечеrо было бы делать форма q> (х, у) уже имела бы вид a 11 x 2 + а22у2). Из (4) получаем t au all:!: Y(a22 all)2+4a g сх. :::;:: 2 а 12 (5)
142 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ BTOPOro ПОРЯДКА Так как (а 22 а 11 )2 + 4a 2 > о, то по формуле (5) нужный нам уrол tX всеrда можно определить. Полаrая для сокращения письма аl1 == 'Л 1 , GZ2 == Л 2 , сформули- руем полученный результат. Поворотом координатной системы Ое 1 е 2 на уrо.п а, определяе- мый из (5), можно преобразовать квадратичную форму !р (х, у) == а 1l х 2 + 2a 12 xy + а 22 у2 к каноническому виду , ( ' ' ) "l ,2 + "l ,2 q> х, у == АI Х {\,'l,y, а весь мноrочлен F (х, у) к виду р' (х', у') == X,2 + ..2Y,2 + 2а;х' + 2а;у' + а о . (1 ') Оба коэффициента Л'1 и Л 2 не MorYT одновременно быть ну- лями: если бы было л'1 == Л 2 == О, то мноrочлен второй степени F (х, у) при преобразовании (2) перешел бы в мноrочлен первоЙ степени, что, как мы знаем, невозможно. Итак, возможны два основных случая: 10 Л 1 *0, л 2 =*о. 20 ОДИН из двух коэффициентов Л 1 , Аз отличен от нуля, дpy rой равен нулю. 2. ПервыА ОСНОВНОЙ случай: л'1 =1= О, л'2 =1= О. При переносе Ha чала координат в какую нибудь точку О' == (x ; y ), т. е. при пре- образовании х' == х' +X , у' == у" + y мноrочлен р' (х', у') принимает вид Р' (J6' t у') == F" (х", у") == == л 1 х,,2 + л 2 у,,2 + 2 (ЛIХ + a ) х" + 2 (Л2У + a ) у" + a , (6) rде свободный член a есть a :::I: x ? + Л2У 2 + 2a x + 2a y + а о F (x , y ). Подберем теперь такие координаты x , y HOBoro начала О", чтобы коэффициенты при х" и у" в (6) обратились в нуль, т. е. чтобы л.х + a == О, Л2У + a == о. (7) Так как "'1"* О, Л 2 =1= О, то уравнения (7) дают нужные значения дЛЯ X , y . Итак, в системе координат O'e 1 e2 первоначальное урав- нение F (х, у) == о нашей кривой преобразуется к виду x'" + 'А"у,,2 + а; == О. (8)
ЛИНИИ. ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ ВТОРа А СТЕПЕНИ 143 Переходим к исследованию уравнения (8). Имеем два случая: С л у чай А rиперболический: коэффициенты ;"1 и разных знаков. С л у чай Б...... эллиптический: коэффициенты л'1 и одноrо и Toro же знака. А. r и пер б о л и ч е с к и й с Л у чай. Пусть сначала a * О, один из коэффициентов Лl' Л 2 имеет тот же знак, что и a ; пусть это будет, например, л'2; тоrда "-1 и a ПРОТИВОПОЛО)l{НЫ по знаку. Переписываем уравнение (8) в виде х" 2 у.2 1 + . a a ...... "'2 (8') а' Знаменатель ...... ...Q. В пе р вом члене есть положительное число; обо- Лl а' значаем ero через а 2 , знаменатель ...... л: отрицателен; обозначаем ero через ........ Ь 2 . У равнение (8'), т. е. уравнение (8), приняла вид х,,2 уп2 а 2 ...... Ь 2 == 1. Это каноническое уравнение еuперболы. Если в rиперболическом случае a == О, то можно без оrрани- чения общности предположить, что Л 1 > О, Л2 < о; введем обозна- чения Л 1 == а 2 , Л 2 == Ь 2 ; уравнение (8) переписывается в виде а 2 х,,2 Ь 2 у,,2 О, Т. е. (ах" + Ьу") (ах" ...... Ьу") == о. (9) Это...... уравнение пары прямых, пересекающихся в начале коорди- нат О'. У равнение (9). считаеJ,f каноническим уравнением кривоЙ, распадаюu ейся на пару действительных пересекающихся прям.ых. Б. Э л л и п т и ч е с к и й с л у чай. Теперь Л 1 и Л 2 одноrо знака. Снова предполаrаем сначала, что a =t= о. Если общий знак чисел Л 1 и л'2 противоположен знаку a , то, переписав уравнение (8) а' а' В виде (8'), видим, что оба знаменателя ....... л; и л: положи- тельны; обозначив их соответственно через а 2 и Ь 2 , получим х"2 у"З а2 + ь2 == 1 Если же общий знак Лl и совпадает со менатели в (8) отрицательны, и мы получаем t у'" ...... == 1 а 2 Ь"1 · каноническое уравнение эллипса с полуосями а, Ь. , знаком а о , то эна- уравнение (10)
144 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ nTOPOrO ПОРЯДКА Это уравнение «мнимоrо эллипса», или эллипса с мнимыми по- луосями ai и bi; нет ни одной действительной точки плоскости, которая бы этому уравнению удовлетворяла. Пусть теперь в эллиптическом случае a == о. Уравнение (8) принимает вид Л 1 х н2 + Л2У,,2 == о. Так как "-1 и Л2 одноrо знака, то это уравнение можно пере.. писать в виде a2x" + Ь 2 у"2 == О или в виде (ах" + biy") (ах" ЬЁу") == о. (11) Это каноническое уравнение кривой, распадающейся на пару пересекаlОЩИХСЯ мнимых сопряженных прямых; оно у довлетво. ряется единственной действительной точкой О' точкой пересечения двух мнимых сопряженных прямых ах" + iby" == о, ах" iby" == о. Итак, в эллиптическом случае уравнение (8) а значит, и Ha чальное уравнение (6) определяет или обычный эллипс (<<дейст. вите.ПЫ-IЫЙ»), или «мнимый» эллипс, или пару мнимых сопряжен ных прямых с одной общей действительной точкой. 3. Второй основной случай: Л 1 А 2 === о. Пусть из коэффициентов Л 1 'Л2 в уравнении (1') ОДИН, например Л 1 , отличен от нуля, а Л 2 == о. Тоrда в системе координат Oe e уравнение F (х, у) == о принимает вид F' (х', у') == x,2 + 2а;х' + 2a y' + а о == о. (12) ИмеlОТСЯ две дальнейшие возможности: А. a * о. Тоrда уравнение (12) можно реП1ИТЬ относительно у', Т. е. представить ero в виде у' ::::z рх,2 + qx' + r, наша кривая есть rрафик трехчлена второй степени, Т. е. па- рабола. Б. а2== о. Тоrда уравнение (12) есть Л1х,2 + 2а;х' + а о == о. (13) Это квадратное уравнение отн осительно х'; оно имеет два ре- шения: Х ' , Х ' Х2 ' == Xt, (14) мы имеем пару параллельных прямых (14) действительных, если корни x и X квадратноrо уравнения (13) действительны, MIUtMblX и сопряженных, если таковы корни x и х; уравнения (13).
ИНВАРИАНТЫ мноrОЧЛЕНА BTOrOA СТЕПЕНИ 145 Наконец, если X == х;, то rоворят, что уравнение (12), а значит и уравнение (1), определяет пару слuвшихся (или совпадающих) действительных прямых. Подведем оБЩИЙ итоr. Всякая кривая етОРО20 порядка есть или эллипс (действиmeлы'lЫЙ или .мнимый), или 2иnербола, или парабола, или пара прямых: пересек.аюu ихся (действиmеЛЫlblХ или ,мнимых сопряженных), параллеЛЬНblХ (в собственном смысле) (действиmeлы.,ых или мни.. JrlblX сопряженных), совпадающих (действительных). Ilриведенное доказательство этоrо результата содер>кит в себе и способ определения вида кривой по ее уравнению. однако прак- тически удобным этот способ не является; удобный способ будет дан в следующих параrрафах. 9 2. Инварианты мноrочлена второй степени Пусть дан какой нибудь мноrочлен второй степени от пере.. менных Х, у: F (х, у) == (х, у) + 2l (х, у) +а о . (1) ({) (х, у) ==al1x2+2a12xy+a22Y2, 1 (х, у) ==alX+ Y. (2) Обозначим через б детерминант б == I :: :: 1. Напомним, что детерминант б называется дискриминантом квадра- тичной формы ср (х, у). При переходе от прямоуrольной системы координат Оху к новой прямоуrольноЙ системе координат О' х' у' мноrочлен F (х. у) пере ХОДИТ в мноrочпен р' (х', у') == ер' (х'. у') + 2[' (х', у') + a . (1 ') Так как общее преобразование координат сводится клереносу начала и к переходу к новой координатной системе с тем же началом, то рассмотрим отдельно оба этих частных случая. Как мы знаем (rл. IV, 2), при переносе начала, т. е. при преобра зовании х == х' + х о , у::::: у' + Уо, коэффициенты ан, a 1 2, а 22 при старших членах мноrочлена F (х. у) остаются неизменными. Друrими словами, остается неизменной матрица квадратичной формы <р (х, у), а значит, и ее дискриминант б.
146 РАЗЛИЧНЫЕ виды КРИВЫХ BToporo ПОРЯДКА Если )I{e новая координатная система имеет то же нача.по О' o, что и старая, то , ( I ' ) ,,2 + 2 , " + ' ,2 <р Х t У == йl1 Х ali x У 'J.lJ, [' (х', у') == а;х' + a y', причем (как мы видели в rл. IV, 2) имеем б' === I a 1 a 2 1 :::::: l a l1 а12 1 == б. a 2t а 22 аи 022 Теперь сформулируем два определения. 6 n р е д е л е н и е 1. Общее (неоднородное) nреобразование х == C 11 X' +C l 2lJ' +C 1 , } (3) у == С2.1 Х ' + C'1.2!J' + С, называется ортоеональн.ьt.М, если ортоrональна ero матрица Сll Cl 11 11 С21 С22 ' т. е. матрица, составленная из коэффициентов при переменных. О n р е Д е л е н и е 2. Пусть дана целая рациональная функция 1) J (a 11 , а 12 , а 2 2' а 1 , а 2 , а о ) от коэффициентов мноrочлена F (х, у) :=-а 11 х 2 + 2а 12 ху.+ а 22 у2 + 2a 1 x + 2а 2 у + а о . При произвольном ортоrонаЛЬНQМ преобраэовзнии (3) мноrоqлен F (х, у) тождественно переходит в F (х', у') == a lx,2 + 2а;2 Х ' у' + iy,2 + 2а;х' + 2a ' + a . Если при этом Бсеrда, т. е. для любоrо ортоrональноrо преобра- З0вания (3), при любом наборе значений a 11 , а 12 , й22, й 1 , , G.o J(a;l' a; , a , a , a , a )==J(allJ Q 1 2, а 2 2, а 1 , а 2 , tЧ), (4) то функция J называется ортоеоналЬНblМ, инвариантом MHoro- члена F (х, у). Примером ортоrональноrо инварианта мноrочлена может слу- жить б == 6 (а 11) а 12 , й22, Qt, й2, а о ) == I ан 012 1 . а21 а22 Точно так же ортоrональным инвариантом является и ФУНКUИЯ s :=: S (а 1 !, й12, а 22. а 1 , , йо) == йl1 + а 22 . 1) Целая рациональная функция (от каких-то переменных , '1, С, ...) ЭТО просто мноrочлен от этих переменных. В данном случае ===al1' Т)==а12 ИТ. д.
ИНВАРИАНТЫ мноrОЧЛЕНА ВТОРОИ СТЕПЕНИ 147 в самом деле, ес"ТIИ преобразование (3) есть ПОБорот координат.. Horo репера (на какой то уrол а), то из первой и третьей формул (3) 1 с.педуеТ t что S' == s. н о функция S, очевидно, не меняется и при отражении х ::::: х' t У == у' , а также при переносе начала координат, следоватеЛЬНО t и при любом ортоrональном преобразовании. ДокажеМ t наконец, инвариантность функции ан а12 аl А === d (а 11 , а 12 , а 22 , а 1 , а 2 , а о ) == 021 а2! · а1 а2 Gt Для этоrо наряду с мноrочленом F (х, у) рассмотрим квадр'атич. ную форму Ф (х, у, t) == а 11 х 2 + 2а 12 ху + a 2 2!J 2 + 2a 1 xt + 2a 2 yt + aJ2, а наряду с преобразоввнием (3) рассмотрим преобразование х == с 11 х' + с 12 у' + c 1 t', j у == С 21 х' + с 22 у' + c 2 t' , t == Ох' + Оу' + 1 . t' . (5) При этом преобразовании квадратичная форма Ф (х, у, t) переходит в квадратичную форму ф' (х', у', t') ==a lx,2 +2a x'y' +а22У'1 +2a x't' +2a /t' +a t,t (rде коэффициеНТbI а;., a; и т. д. те же, что и в мноrочлене F (х', у'»). Дискриминант квадратичной формы Ф (х, у, t) есть наш детерминант ан аlЭ al А == 021 022 а2 · а1 00 При преобразовании (5) он помно)кается на квадрат детерминаНТа этоrо преобразования, Т. е. на откуда и следует, d (a t, a i' a;i' a , а;, a ) == L.\ (а 1 1' а 12 , а 2 2' al, , а о ). С 11 С 12 С} С 21 С 22 С2 C 11 C 12 == 1, О О 1 С 21 С 22 что Нами доказана
148 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ I(РИВЫХ BTOPOrO ПОРЯДК.А Теорема 1. Функции s a 11 + a 2' 6=== I ан 012 1 , а21 а 22 ан й12 йl t1 == 021 022 а2 йl а2 ао от коэффициентов мноеочлена (1) явЛЯlотся орmосонаЛЫ-lьиvtu инва- риантами этО20 .мно очлена. 3 а м е ч а н и е 1. Из наших рассуждений следует; если MHoro- член F (х, у) удовлетворяет какому-нибудь из условий б О, д О, то при переходе к Лlобой аффинной координатной системе О' х' у' он nреобразуется в мноrочлен F' (х', у'), удовлетворяющий тому же условию (потому что детерминанты б', 11', построенные дЛЯ F' (х', у'), получаются соответственно из б и умножением на положительное число квадрат детерминанта преобразования). При этом, если квадратичная форма <р (х, у) старших членов мноrочлена F (х, У) ЯВ.:'Iяется знакоопределенной, т. е. если для любых х, у qJ (х, у) имеет определенный знак, то коэффициенты а 1 1 и 2' а значит, и их сумма S == а 11 + а 22 сохраняют свой знак при любом невырожденном линейной преобразовании. Для неопре- деленной формы <р (х, у) это не так. Из теоремы 1 мы выведем сеЙчас такое фундаментальное С л е д с т в и е. Если каки.М, бы то ни было ортО20нальным nре- образованием ' + ' х с 11 х C 12 Y, ' + ' у C 21 X С 22 У .мы привели форму fP (х, у) == a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22y <J к каноническому виду , ( ' ' ) ,,2 + ' ,2 <р х, у == а ll Х a'J.'J,Y' (2') то коэффициенты а;. и a 2 непременно являются корнями квадрат- 11020 уравнения л 2 Sл+б== о. (6) в самом деле, из инвариантности S и {, следует, что S == а 1 1 + а 22 == a 1 + a; , } I ан а12 I I a 1 О I " (7) u == О ' == a1la 2, а21 022 a 2 т. е. что сумма чисел а;. и a равна S, а их произведение равно В. А это и значит, что сами эти числа суть корни уравнения (6). Уравнение (6) называется характеРUСfпuческим уравнением Кбадра..
ИНВАРИАНТЫ мноrОЧЛЕНА ВТОРОИ СТЕПЕНИ 149 п1UЧНОЙ формы (х, у). Оно всеrда имеет действительные корни, что сразу следует из Toro. что дискриминант уравнения (6) есть 82..... 46 === (Йll + a i 2)2 4 (а ll а 22 ..... а;2) == (а 11 ....... й22)2 + 4ai о. (8) 3 а м е ч а н и е 2. Этот дискриминант равен нулю тоrда и только тоrда, коrда одновременно G 11 == а 22 , а12 == о. (9) Равенства (9) выражаlОТ условие, необходимое и достаточное для Toro, чтобы корни характеристичеСI{оrо уравнения были равны между собоЙ. Л\ы знаем, что поворотом на уrол а (определяемым из фор- мулы (5) Э 1) квадратичная форма fP (х, у) == Gl1 X2 + 2a 12 xy + а22у 2 б ' ( ' ' ) "С] + ' ,2 " прео разуется в <р х, у == йl1Х a'J.9J/, причем ан и ан всеrда суть корни характеристическоrо уравнения (6). Но если корни этоrо уравнения суть /...1 и л'2, то мы не знаем, какой из них есть коэффициент при х,2 (Т. е. a .), а какой коэффициент при y' . Считая, что корни и ""2 характеристическоrо уравнения даны, найдем уrол ('Х, на который надо повернуть систему координат, чтобы форма ч> (х, у) перешла именно в л 1 х,2 + l'w2!J,2 (а не в л 2 х,2 + + л I у,2). Этот уrол будет вместе с тем уrлом наклона новой оси абсцисс (оси Ох') к старой Ох. Для этоrо переписываем первые два равенства (3) из 1: , '\ 2 +2 . + . 2 ан == 1'''1 == ан COS а а 12 cos ct sln а а 2 2 Sln а, , О . + 2 '2 + . а li == == - a 11 cos а SIП а a 12 cos а..... a 12 Sln а а 22 cos а Sln (Х. Умножаем первое нз этих равенств на cos а, второе на sin а и складываем. Получаем Л 1 cos ('Х == a 11 (со З а + cos а, sin 2 ('Х) + 2а 12 cos 2 а sin а a 12 cos 2 а sin а + а 12 siп З а + а 22 (sin 2 ('Х cos а cos а. sin 2 а), Т. е. л'l COS ('Х == а 11 cos а + а12 sin а., откуда tg а == Лl all . a12 (10) Это и есть уrловой коэффициент новой оси абсцисс! Заметим, что если a 12 == о, то форма (х, у) уже имеет канонический вид и нет надобности ни в каком повороте системы координат.
150 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ кривых BToporo порядКА 3. Центральный случай ИТЗI{, ПОБОРОТОМ первоначальной прямоуrольной системы коор- динат на уrол а, определяемый из формулы (10) преДЫДУШ,еrо па- раrрафа, мы приводим мноrочлен Р(х, y) :=: allx2+2a12xy+a22y2+2alx+2a2y+aO (1) к виду x,2 + Л2У,t + 2а;х' + 2a y' + ао. (1 ') Дальнейшее исследование кривой F (х, у) == о 3ЗI{Лlочалось в разборе двух случаев: центральноrо (коrда Л 1 =1= О, j"2 * О) и параболическоrо (коrпа лишь одно ИЗ двух чисел Л 1 , ' отлично от нуля). Так как '\'lЛ 2 == <5, то uентральный случай есть случай 6 ::/= О, а парасолический == о. Предположим, что б =1= о. Докажем, что в этом случае можно до всякоrо поворота системы координат Оху переносом начала, Т. е. преобразованием Х == s + Хо, } (2) У == 1} + Уо, преобр.азовать мноrочлен F (х, у) в F* ( , 1]) == all 2 +2al Y} + а 22 'У}2 + а6 . (1 *) При этом Х о , Уо В (2), Т. е. координаты HOBoro начала О' == (х о , Уо) являются однозначно определенными. В самом деле, подставим X==S+Xo, У==l1+Уо в (1). Получим F (х, у) == aJl 2 +2a12 Т) +a2 112 + 2 (аllх о +a 12 yo +a 1 ) + + 2 (a21xO + а 22 уо + й2) ''1 + F (х о , уо). Теперь определяем Хо и УО так, чтобы коэффициенты при и 1} обраТlJЛИСЬ в нуль, Т. е. чтобы QklXO + ak2Yo + ak === О, k == 1, 2. (3) Так как по предположению б == I 01 t 012 I О, а21 а 22 то уравнения (3) решаются однозначно и дают нам искомые хо, Уо. Теперь, имея корни "-1' л'2 харзктеристическоrо уравнения л З Sл+<5 == О, нам остается только определить уrол а из формулы (10) преды- дущеrо параrрафа и........ посредством ПОБорота координатной системы O'Sf} на этот уrод а преобразовать мноrочлен (1) в р' (х', у') == Л1Х' + ,з + а*. (I)
ЦЕНТРАЛЬНЫй СЛУЧАй 151 Определим свободный член а*. Для этоrо воспользуемся инва- риантностью детерминанта == ан G12 а) а21 а22 а2 аl а2 ао J"1 о о о о Л2 О О a == /"1 л 2 а: == оа: , откуда * ао == б · Итак, при переходе от первоначальной системы координат Оху к новой системе О' х' у' мноrочлен F (х, у) тождественно преобра.. зуется в 2 2 Д Р(х', y')== x' + y' +6. Нами доказана следующая т е о р е м а 2. Пусть в пРОU380ЛЫ-lОЙ пРЯМО!:/20ЛЬНОЙ системе /(oopauHanz Оху кривая впwp020 порядка дана своим уравнением F (х, у) == a 11 x 2 + 2а12ХУ+ a 2 2!J 2 + 2a 1 x + 2а 2 у + а о == О, при'Ее.М, б == I ан а12 ] =1= о. a21 а22 Возьме.м. новУ'0 систему координат О' х' у' начало ко/пороЙ есть moчка О' == (хо , Уо), определенная уравнениямu (3), а ось абсцисс О' х' наклонена к оси Ох под уелом а, определенным ypaвfteHueM (1 О) предblдущеzо nараzрафа. В системе координат О' х' у' кривая F (х, у) == о имеет У равнеl-lие " ,1 '\ ,1 Д О /\'1 Х + 1\,2!I + б == · (4) 3 а м е ч а н и е 1. Как ВИДНО из уравнения (4), точка О' == (хо, Уо), являющаяся началом новой координатной системы О' х' у', есть центр симметрии нашей кривой. Мы увидим в следующей rJ1aBe. что в случае 6 =1= О кривая F (х, у) == О имеет единственный центр симметрии. Поэтому крпвая F (х, у) == о называется в этом случае центральной. Уравнен ие (4) называется п риведенны.4! у равнением централь. ной кривой. Ero исследование быстро доводится до конца. При == О уравнение (4) имеет вид 1'1 ,1 '\ ,. О /\'1 Х + Л2У == (4' ) и определяет пару прямых, пересекающихся в начале координат О' (т. е. в центре кривой). Эти прямые, действительные при 6 ==л 1 л'2 < О, мнимые (сопряженные) при о ==Лl > о.
152 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ BTOPOrO ПОРЯДКА Пусть =1= О, уравнение (4) переписывается тоrда в виде х,2 у,2 Д + L\ == 1. (5) БЛ1 ...... БЛ 2 Имеем два случая: а) Случай rиперболический. 6==л 1 л 2 <О; обозначая через Лl тот из двух корней характеристическоrо уравнения, знак KOToporo совпадает со знаком А, полаrаем L1 L1 а 2 == > O b2== < о (6) бл!' БЛ2' получаем уравнение rиперболы х,2 у,2 ....... == 1 ( 6' ) а 2 Ь 2 · б) Случай эллиптический. 6==л 1 л 2 >0 числа Л 1 и Л 2 ОДНоrо знака, и этот знак совпадает со знаком их суммы s. Если ЭТОТ знак S противоположен знаку д, то можно поло- жить (обозначая через л'l тот из двух корней л'1' ')"'2 характери- стическоrо уравнения, для KOToporo I л'll I Л 2 /) L1 L\ a2 > O b2 > O ( 7 ) бл. ' БЛ2 ' получаем уравнение эллипса х,2 у,2 . G2 + ь2 == 1, (7') если же знак S совпадает со знаком д, то полаrаем L\ L\ а 2 == бл ' Ь 2 == БЛ ' (8) уравнение (5) превращается в уравнение ....... х,2 у,2 == 1 (8' ) а 2 Ь 2 мнимоrо эллипса. Подведем итоr. В центральном случае, б =1= О, имеем такие возможности: I .6 == О, .6 * О случай вырождения rиперболический случай, Пара пересекающихся rипербола 6<0 действительных прямых Эллиптический случай, Пара мнимых сопряжен- действительный, если S и А раз. 6>0 ных пересекающихся ных знаков прямых Эл липе мнимый, если S и L\ OAHoro знакв
ПАРАБОЛИЧЕСКИй СЛУЧАй 153 3 а м е ч а н и е 2. Мы видели (замечание 1 2), что если MHoro член F (х, у) удовлетворяет какому нибудь из УСJIОВИЙ {) == О, б * О, б > О, б < О, д О, L\ * О, > О, < О, то тому же условию удовлетворяет и мноrочлен р' (х', у'), в который лере те", мноrочлен F (х, у) при переходе от координатной системы Оху к произвольной аффинной координатной системе О'х'у'. AHa лоrичное утверждение верно и для инварианта S (в случае опре деленной квадратичной формы «р (х, у»). Поэтому только что лриведенная таблица, решающая вопрос о том, находимся ли мы в центральном или нецентральном (параболическом) случае, а также в эллиптическом или rиперболическом, вырождающемся или невы.. рождающемся случае, сохраняет свою силу при произвольно выбранной аффинной координатной системе. * 4. Параболический случай: 6:=0 В любом случае, в том числе и параболическом, можно пово... ротом координатной системы на уrол а, определяемый из равен... ства (10) 2, преобразовать уравнение F (х, у) == a 11 x 2 + 2a 12 xy + а 2 2!1 2 + 2a 1 x + 2а21/ + а о == О (1) исследуемой кривой к виду Р' (х', у') === x'! + Л2У,. + 2a x' + 2a y' + ао == о. (1 ') При этом б:::: Л2. Так как теперь В === О, то один из корней харsктеристическоrо уравнения равен нулю. Пусть Л 1 ==0, л'2*0. Тоrда S::: + == и уравнение (1') может быть написано в виде J F' (х', у') == Sy' +2а;х' +2 y' +ао ===0. (1 *) В уравнении (10) 2 надо положить Л 1 == О, так что для опре- деления уrла а получается особенно простая формула: tg а == ан === аа . (2) а 12 a Исследование уравнения (1*) начнем с вычисления инварианта . Имеем аll а19 аl О О а' 1 ,1 S А=== а21 а22 02 О S а' ........ а 1. , 2 йl а2 ао а' а' ао 1 i откуда ,z А I а; I == 11 . (3) йl == s ' так что a тоrда и только тоrда обращается в нуль, Коrда l\ == о.
154 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ КРИВЫХ BToporo ПОРЯДКА Рассмотрим сначала случай == О, Т. е. a == О, тоrда уравне- ние (1 *) имеет вид S ,2 2 " О У + a y +а о == . Перепишем уравнение (4) в виде S ,2 + 2 ' , + S ( , + a ) 2 + ' О У а2У а о == у S а о ==, (4) (5) rде s , а'2 ao==ao s. Посредством сдвиrа х" == х' , , y"==y'+ системы координат преобразуем уравнение (5) к виду Sy 1 +a == о. (5') Положим 1 1 1 == Ь 2 . Теперь возможны три случая: , 1 о а о > О S ' , а о Ь 2 S , (5 ' ) уравнение записывается в виде у" + Ы, имеем пару параллельных мнимых сопряженных прямых: 2 Q , <О, а' ..... Ь 2 S , уравнение (5') записывается в виде у" == + Ь u различных деиствительных параллелъных и определяет пару прямых; 30 , йо O s , уравнение (5') принимает вид . О У == и определяет пару слившихея прямых.
ПАРАБОЛИЧЕСКИй СЛУЧАй 155 Переходим КО второму случаю: А =1= О, Т. е. a =1= о. Кривая F (х, у) == о имеет в системе координат О' х' у' уравнение F' (х' у') == Sy,2 + 2а;х' + 2й;у' +а о == О, (1 *) т. е. является параболой (что нам известно уже из 1, п. 3). Найдем ее параметр р. Д,ПЯ этоrо сделаем переное начала координат х: == +xo, } у == 11 + Уе. (6) Внося (6) в (1 *), получаем F (х', у') == S1}2+2al +2 (SYo + ) 11 +Sy + 2a +2a;Yo +а о == о. Так как S == "-2 =#= О, то, приравнивая коэффиnиент при 1') нулю, получаем уравнение SYo +a == о. из KOToporo определяем Уо: Уо == S. После этоrо приравниваем нулю выражение Sy + 2a xo + 2a yo +ао. Так как а; =/= О, получаем уравнение относительно Хо: S y + 2а;хо + 2a;Uo + ао == О, (7) (8) откуда и определяем Хо. В системе координат O' l1 уравнение F (х, у) == о принимает вид S'Y}2 + 2a; == О или а' 112 == 2 s 6- (9) Л\еняя, если нужно положительное направление оси 0'6 на противоположное, всеrда можно добиться Toro, чтобы число a р== з было положительным. ОI{ончательно записываем уравнение (9) в виде 1}2 === 2p , р>о, (10) rде Направление оси правление ОСН O' , P==Y a ' параболы есть (с точностью до т. е. направление оси Ох'. (11) знака) на- Ее yr лавой
156 РАЗЛИЧНЫЕ видьr КРИВЫХ BTOPOrO ПОРЯДКА коэффициент (по отношению к старой системе координат Оху) есть tg а == ан == a 12 . аll а22 Для попноrо определения располо}кенпя параболы нужно знать еще координаты вершины О' == (х о , Уо), а также, в какую сторону парабола обращена воrнутостью. Простое решение этих вопросов будет дано в rлаве VI, 9. 5! Аффинная классификация кривых BToporo порядка Мы сейчас покажем, что аффинная классификация кривых ВТО- poro порядка дается самими наименованиями кривых, т. е. что аффинными классами кривых BпZOp020 порядка являются классы: действительных эллипсов, мнимых эллипсов, zипербол, пар действительных nересекающuхся прямых, пар .МНИМЫХ (сопряженных) пересекающихся прямых, парабол, пар параллельных действительных прямых, пар параллеЛЬflblХ мнимых сопряженных прямых, пар совпадаlОlцих деifсп-lвительныlx прямых. Надо доказать два утверждения: А. Все кривЫЕ одНО20 /{,аиАfенованuя (т. е. все эллипсы, все rи- перболы и т. д.) аффtlННО эквuвалент/f,Ы между собой. Б. Две кривЫЕ различных наименовании никоеда не являю/пел аффuнно эквивале/f,mНЫ1rtи. Доказываем утверждение А. При аффинном преобразовании , 1 I 1 х ==й Х , у ==Ь У эллипс, заданный уравнением х 2 у'- a + bi == 1, переходит в окружность х2 + уl == 1. Аналоrично показывается, что всякая rипербола х2 у2 а2 b l == 1 аффинно эквивалентна равнобочной rиперболе х 2 у2 == 1. Значит, все эллипсы, соответственно все rиперболы аффинно ЭК- вивалентны между собой. Все мнимые эллипсы, будучи аффИННQ
АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ BToporo ПОРЯДКА 157 эквивалентными окружности х 2 + у2 == 1 радиуса ", также аф фИННО эквивалентны между собой. Докажем аффинную эквивалентность всех парабол. Мы ДOKa жем да}ке больше, а именно, что Бсе парабо.пы подобны между собой. Достаточно доказать, что парабола, данная внекоторой системе координат своим каноническим уравнением у2 === 2рх, подобна параболе у2 == 2х, что очевидно, если подверrнуть плоскость преобразованию по добия 1 6 == рХ, 1 fl== Y. р Переходпм к распадающимся кривым. В 1 было доказано, что кривая, распадающаяся на пару пересекающихся прямых, внекоторой (да)ке прямоуrольной) системе координат имеет ypaB пение а 2 х 2 Ь 2 у2 == О, если она действительная, а 2 х 2 + Ь 2 у2 == О, еСt/7JИ она мнимая. Делая дополнительное преобразование координат х == ах' , у == Ьу' , ВИДИМ, что всякая кривая, распадающаяся на пару пересекающихся действите/IЫIЫХ, соответственно мнимых сопряженных, прямых, имеет в некоторой аффинной системе координат уравнение х 2 у2 == О, соответственно х 2 + у2 == О. Что касается кривых, распадающихся на пару парал,,!ельных пря мых, то кз)кдая из них может быть задана уравнением у2 Ь 2 == О для действительных, соответственно у2 + Ь 2 == О для мнимых прямых. Преобразование координат х == Ьх', У == у' позволяет в этих уравнениях положить Ь == 1 (или для совпадаю.. щихся прямых Ь == О). Отсюда следует аффинная эквивалентность всех распадающихся кривых BToporo порядка, имеющих одно и то же наименование. Переходим к доказательству утверждения Б. Заметим прежде Bcero: при аффинном преобразовании плоско.. сти порядок алrебраической кривой остается неизменным. Далее: всякая распадающаяся кривая BToporo порядка есть пара прямых, а при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую, пара пересекающихся прямых переходит в пару пересекающихся,
158 РАЗЛИЧНЫЕ виды кривьrх BTOPOrO ПОРЯДКА а пара параллельных в пару параллельных; кроме Toro, деЙстви- тельные прямые переходят в действительные, а мнимые в мнимые. Это вытекает из Toro, что все коэффициенты в формулах, опреде- ляющих аффинное преобразование, суть действительные числа. Из сказанноrо следует, что линия, аффинно эквивалентная данной распадающейся кривой BToporo порядка, есть распадающаяся кривая Toro же наименования. Переходим к нераспадающимся кривым. Опять-таки при аффин- ном преобразовании действительная кривая не может перейти в мнимую, и обратно. Поэтому класс мнимых эллипсов аффинно инвариантен. Рассмотрим классы действительных нераспадающихся кривых: эллипсов, rипербол, парабол. Среди всех кривых BToporo порядка всякий эллипс и только эллипс лежит в некотором прямоуrольнике, тоrда как параболы и rиперболы (равно как и все распадающиеся кривые) простираются в бесконечность. При аффинном преобразовании прямоуrОЛЬНИI{ ABCD, содержащий данный эллипс, перейдет в параллелоrрамм, содержащий преобрззованную кривую, которая, таким образом, не может уходить в бесконечность и, следовательно, является эллипсом. Итак, кривая, аффинно эквивалентная эллипсу, есть непре- менно эллипс. Из доказанноrо следует, что кривая, аффинно эквивалентная rиперболе или параболе, не может быть эллипсом, а также, как мы знаем, не может быть и рзспадающейся кривой. Поэтому остается лишь показать, что при аффинном преобрззовании плоскости rипербола не может перейти в параболу, и наоборот. Это, пожалуй, проще Bcero следует из Toro, что у параболы нет центра симметрии, а у rиперболы он есть. Но так как отсутствие центра симметрии у параболы будет доказано лишь в следующей rлаве, то мы сейчас даДИМ второе, тоже очень простое доказатель- ство аффинной неэквивалентности rиперболы и параболы. Л е м м а. Если парабола имеет общие точки с каждой из двух полуплоскостей, определяемыlx в плоскости данной пря'м'ОЙ d, nzo она и,М,еет хотя бы одну общую п:очку и с пРЯАl,ОЙ d. В самом деле, мы видели, что существует такая система коор- динат, в которой данная парабола имеет уравнение у2 == х. Пусть относительно этой системы координат прямая d имеет урав- нение Ах+Ву+С==О. (1) По предположению на параболе 11 == х имеются две точки М 1 == (Xl' Yt) и М 2 ==(х 2 , Yi)' ИЗ которых одна, положим Ml' лежит в положительной. а друrая, М!',..... в отрицательной полуплоскости
АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ BToporo ПОРЯДКА 159 относитеJlЬНО уравнения (1). Поэтому, помня, что Х 1 == y , Х2 == y , MO)I<eM написать Ay +BYl+C>O, Ay +BY2+C<O, так что мноrочлен А у 2 + Ву + с принимает в двух концах Уl и У2 отреЗI{а [У., У2] числовой прямой значения, противоположные по знаку. Но тоrда существует значение у===- Уо, лежащее между Уl и У2' при котором мноrочлен А у 2+Ву+С принимает значение нуль: Ауб+Вуо+С==О. Точка М (Ха, Уо), rде хо == y , лежит на параболе у2 === Х, и на пря- мой Ах + Ву + с == О. Лемма доказана. Пусть при некотором аффинном преобразовании rипербола К переходит в кривую К'; докажем, что К' не может быть пара.. болой. Для этоrо обозначим через d вторую (так называемую «мнимую») ось rипербо-лы К. При преобразовании прямая d перейдет в некоторую прямую d', а лолуплоскости, определяемые прямой d, перейдут в полуплоскости, определяемые прямой d'. rилербола К не имеет ни ОДНОЙ общей точки с прямой d, но имеет общие точки с каждой из двух полуплоскостей, на которые пря.. мая d разбивает плоскость; кривая К' обладает теми же СВОЙСТ- вами относительно прямой d'. Поэтому в силу только что доказан- ной леммы кривая К' не может быть параболой и утверждение об аффинной неэквивалентности rиперболы и параболы доказано. Вместе с тем закончена аффинная классификация кривых ВТО- poro порядка.
r л А В А vr ОБЩАЯ ТЕОРИЯ кривых BToporo ПОРЯДКА 1. Асимптотические направления кривых BToporo порядка Рассмотрим кривую, заданную в произвольной аффинноЙ си- стеме координат Oe 1 e 2 уравнением F (х, у) == rp (х, у) + 2l (х, у) +а о == О, (1) rде, как всеrда, <р (х, у) а}}х 2 + 2a 12 xy + а22У 2 , } 1 (х, у) == а 1 х + а 2 у. При переходе к новой системе координат Oe e; мноrочлен F (х, у) 'fождественно переходит в мноrочлен р' (х', у'), а квадратичная форма <р (х, у) старших членов мноrочлена F (х, у) тождественно переходит в квадратичную форму <р' (х', у') старших членов мно" rочлена р' (х', у'). Поэтому квадратичная форма старших членов уравнения (1), задающеrо данную кривую BToporo порядка в лю.. бой аффинной системе координат, определяет одну и ту же KBaд ратичную функцию на множестве свободных векторов плоскости, задаваемую равенством (2) ф (и) == q> (а, Р) дЛЯ u == {а, Р}. в системе Oe e.; та же функция Ф (и) запишется в виде Ф (и) == q>' (а', Р'), если а', ' координаты вектора и относительно базиса e , e . О n р е д е л е н и е. Вектор и == {а, } имеет по отношению к кри- вой (1) асимптотическое направление, если Ф (и) == a 11 a 2 +2а 12 аР +a22 2 == О. (3) Из сказанноrо следует, что ceoucrпeo вектора иметь асимпто- тическое направление по 01rlношению к данной кривой зависит толыro от данНО20 вектора u, данной кривой и не зависит от коор- динатной cucmeМbl, в которой .мы их рассматриваем.
АСИМПТОТИЧЕСКИВ НАПРАВЛЕНИЯ 16) Из условия (3), определяющеrо асимптотические направления, леrко следует, что всякая кривая BToporo порядка имеет два асимптотических направления, которые MorYT быть действитель- ными и различными, действительными и совпадающими или мни- мыми сопряженными. В самом деле, все три коэффициента Qll' a 12 , а 22 не MorYT быть одновременно равны ну ЛIО. Если a 11 =1=- О, то для определения асимптотических направлений {о:.: } имеем квадратное уравнение a11( / +2a12( )+a22==O, (3 L ) из KOToporo находим два значения для отношения a: : а a12 + V аТ2 аl1 а 22 13 == ан . (41) Если известно, что а 22 * О, то вместо (31) для определения а: мы бы написали уравнение а 11 +2а 12 ( ) + а 22 ( y ==0, (3:,) откуда _ а12 :!: V аТ2 Ql1 Q "l2 а а22 (4z) Пусть один из коэффициентов ан, а=!2 равен нулю. Если. на- пример, a 11 == О, то уравнение (3) превращается в (2a 12 a + a22 ) == О, п одним НЗ двух асимптотических направлении является направ" ление а * О, == О, соответствующее оси абсцисс. НаI{онец, при а 1 1 == а 22 == О, а 12 =F О УСJIовие (3) превраlцается в 2a12a == О, оно определяет направления а == О, =1= О Il а =1= О. В == О, т. е. направления осей координат выбранной нами коорди- натной системы. Дискриминант квадратноrо уравнения (31) ИЛИ (3J ССТЬ a 2 a 11 a 22 == б, rде, как всеrда, <5 == I ан а12 1 . а 12 а22 Итак, асиМn"lоmuческuе направления кривой втОрО20 порядка действителыtоl и различны, КОсда б < О, т. е. косаа Кривая.... zu- перболическоzо типа; они явля/отея MHUМblMU и сопряжеНН1Jlми в эллиптическом случае, т. е. Kozaa б> о; наконец, кривые пара- БОАuчеСКО20 типа (6 == О) характеризуются тем. чпlО у них им,еlОlпся
162 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BToporo ПОРЯДКА два совпадаfощих вещественных асимптотических н,аправления, а именно (как следует из (41) или (42) при «5 == О): а а12 а22 13 ан ........ a12 . (5) Рассмотрим частный случай окружности. Всякая окружность в любой координатноЙ системе задается уравнением вида х 2 + у2 +2а 1 х + 2а2У +а о ==0, и всякое уравнение этоrо вида определяет окружность. Для на- хождения асимптотических направлений {а: } имеем условие а 2 + 2 =:; О, из KOToporo следует, ЧТО все окружности имеют одни и те же мнимые асимптотические направления, а именно напраВ4 ленин. записывающиеся в любой прямоуrолыIйй системе коорди- нат в виде а : р ==:: + i. (6) Эти направления называются изотропными направлениями на пло- скости. Асимптотические направления эллипса, заданноrо в канонн.. -. ческои для Hero системе координат уравнением х 2 1/2 а 2 + Ь 2 ::::2 1, суть а: р == r i. как сразу видно из определяющеrо эти на.. а2 2 прав.пения условия а 2 + Ь 2 == о. Так как ни одно действительное направление не является для эллипса асимптотическим, то всякая веществеflная прямая пересекает эллипс в двух действumелы./'ых или мнимых различных или совпадаюu{их точках. При этом ко вся- " u u u U кои вещественнои прямои можно наити параллельную еи прямую. пересекаЮЩУIО эллипс в двух различных вещественных точках. Для этоrо достаточно взять прямую, параллельную данной и про.. ходящую через центр эллипса (Т. е. через нача"ТIО канонической для данноrо ЭЛ..1Iипса системы координат). Для rипербо.пы х 2 у2 == 1 а 2 Ь 2 (7) получаем асимптотические направления р : а == + Ь : а. Это направления диаrоналей OCHoBHoro прямоуrольника rиперболы, Т. е. прямых ь У == + x, а
АСИМПТОТИЧЕСКИВ НАПРАВЛЕНИЯ 163 уже названных нами в rлаве 11 асимптотами rиперболы; они и действительно являются асимптотами в общем смысле: каждое из .. + Ь уравнении у == t т. е. а + == о и 1L == О, а Ь а Ь (8) несовместно с уравнением (7), что де..'1ается очевидным, если урав- нение (7) переписать в виде ( + i ) ( ; : ) == 1. Дока)кем, что никаких друrих асимптот, кроме прямых (8), у rиперболы (7) нет. В самом де.,1е, всякая асимптота должна иметь асимптотиче- ское направление, т. е. направляющий вектор {а, + Ь}. Прямая с напраВJ1ЯЮЩИМ вектором {о, Ь} И 1еет параметричеСRое уравнение х == Хо + af, } (9) у == Уо + ы. Найдем общие точки rипербо.пы (7) и прямой (9). Подставляя зна... чения х, у из (9) в (7), получаем для определения точек пересе... чения rилерболы с прямой (9) уравнение (относительно t) X y I 2 I Хо Уо \ t 1 а 2 &2 Т \ а 7; } · Это уравнение имеет единственное решение, за исключением слу- чая, Kor да ХО O == о. а Ь ' (10) в этом случае оно превращается в противоречивое тождество 0== 1 и прямая (9) деliствитеvlЬНО оказывается асимптотой. Покажем, ь что ее уравнение есть у == а х. в самом деле, система параметри... ческих уравнений (9) Э!{ВIII3а 1еIIтпа одному уравнению а (у Уо) == Ь (х Х о ), (11) а ТОЖ;'l,ество (1 О) может быть пеrеписано в виде ЬХ О == ауо, так что уравнение (11) получает вид ау ЬХ, Т. е. ь У == х. а Итак. единственная аСИ lптота rипербо..тIЫ (7), имеющая направ- ЛЯЮЩИЙ вектор {а, Ь}, есть даОIIО известная нам асимптота Ь y=== x. а
164 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BTOPOrO ПОРЯДКА Совершенно так же доказывается, что единственная асимптота rиперболы (7), имеющая направляющий вектор {а, Ь}, есть Ь асимптота у == аХ. Друrих асимптот у rиперболы нет. Для параболы y2 2px==O (12) квадратичная форма <р (х, у) сводится к одному члену у2; асимп- тотические направления :a определяются из условия 2 == о; это два слившихся направления, каждое из которых совпадает с направлением == О, т. е. с направлением оси параболы. Каждая прямая у == с этоrо направления имеет с парабо.!IОЙ единственную общую точку ( : ' с); таким образом, ни одна из прямых асимптотическоrо направления не является асимптотой параболы у параболы асимптот нет. Рассмотрим, наконец, случай, коrда кривая BToporo ПОрЯДI<а распадается на пару прямых. Если эти прямые пересекающиеся, то их можно принять за оси координат некоторой аффинной си- стемы Оху и уравнением пары этих прямых будет F (х, у) == ху == о. Здесь F (х, у) == ер (х, у) и асимптотические направления опреде- ляются из УР2внения ар == о. Это направления а == О и р === о наших прямых. Такой же результат мы получим и для кривой, распадаlощейся на пару параллельных (в широком смысле) прямых. Взяв систему координат, ось абсцисс которой является средней прямой между обеими данными, а ось ординат произвольна, видим, что полу- чаем каноническое уравнение,...... в надлежащей системе координат эта кривая имеет уравнение у2 + Ь 2 == о. Здесь (как и в случае параболы) ч> (х, у) == у2, И мы получаем пару СJIИВШИХСЯ асимптотичес&их направлений р2 == О, !<аждое из которых совпадает с общим направлением двух данных парал.. лельных прямых.
КАСАТЕЛЬНЫЕ 165 2. Пересечение кривой BToporo порядка с прямой неасимптотическоrо направления Касательные Берем снова кривую BToporo порядка, заданную (о произволь- ной аффинной системе координат) уравнением F (х, у) == ер (х, у) +2l (х, у) +00 ==0, (1) rде <р (х, у) == а 11 х 2 + 2а 12 ху + а 22У 'А. l(x, у) == а 1 х+а 2 у. Введем следующие обозначения: Fk(x, у) == akl x + akzY+ak, k=: 1, 2. Решая уравнение (1) совместно с уравнением данной прямой х == Хо +at, } Y==Yo+Pt, (2) получим е (t) == At 2 +2Bt+C===O, (3) rде, как ПОI{азывает леrкий подсчет, А == (j) (а, ), В == Р 1 (Ха, Уо) а + Р 2 (х о , Yo) ' с == F (Х о . Уо). (4) Мы теперь предполаrаем, что А == ер (а, ) * О, так что уравнение (3) имеет два корня t 1 , t 2 . Пусть t 1 == t 2 , тоrда прямая (2) пересекает кривую (1) в двух совпадающих точках и наЗIJIпается касательной к этой кривой: обе точки пересечения СJIИ.ПИСЬ в одну точку касания. Для нахождения уравнения Kaca тельной удобно взять за точку Мо == (х о , Уо) прямой (2) как раз ту ТОЧI{У, которая принадле)lПfТ и кривой (1), и прямой (2). Тоrда с == F (хо, уо) ==: о И уравнение (3) принимает вид t(At+2B)==O; (3') оно имеет I{ореиь t == о. Если в точке Мо == (х о , Уа) сливаются обе точки пересечения кривой (1) и прямой (2), то оба корня урав" нения (3) совпадаIОТ и равныI нулю. А это может случиться лишь при в == F 1 (х о , Уо) а + Р 2 (хо, Уо) === О, OTI{ У да . F 2 (хо? Уо) а. · F 1 (ХОI Уо) ·
166 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BToporo ПОРЯДКА Следовательно, уравнение (2) касательной, переписанное в виде x xo Y Yo а. 13 получает вид x xo F 2 (хо, Уо) == Y Yo F 1 (хо, Уо) или F 1 (Ха, Уо) (х хо) + F 2 (х о , Уо) (у Уа) == о. (5) Подставляя в (5) значения Р 1 (хо, Уа)' Р 2 (Ха, Уо), раскрывая скобки и принимая во внимание, что F (х о ' Уо) == О, переписываем уравнение (5) в виде (а 11 х о +a 12 yo + Q 1 ) х+ (a 21 x O +а 22 уо + ) y+a1x O + а2Уо + tlo == О. (6) 3 а м е ч а н и е. Для нераспадающихся кривых BToporo порядка (для которых F 1 (Ха, Уо) и F 2 (хо, Уо) не MorYT одновременно обра- титься в нуль) уравнение касательной в виде (5) совпадает с урав- нением, даваемым в курсах анализа: ведь 1 дР 1 дР Fl (х, у) == 2: дх I Р 2 (х, у) =="2 ду · Из уравнения (5) ВИДИМ, что уrловой коэффициент к сательной есть k ==.! == Fl (хо, уо) а; Р 2 (хо, Уо). в случае эллипса х2 у 2 а 2 + Ь 2 == 1 уравнение (6) касательной в точке Мо == (Х о ' Уо) получает вид ХоХ + Yo :::= 1 а 2 Ь 2 ' что и является самой удобной формой уравнения касательной к эллипсу в ero точке Мо == (Х о , Уа). Аналоrично в случае rиперболы х 2 .... у? == 1 а 2 Ь 2 из (6) получаем ХоХ ....... УоУ 1 а 2 Ь 2 · Для параболы у2 ...... 2рх == О
ХАРА ТЕРИСТИ А АСИМПТОТИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИй 161 уравнение (6) касательной в точке Мо == (Хо. Уо) имеет вид рх + УоУ РХо :=1 О, ИЛИ, после очевидных преобраЗQваний, УоУ :::: Р (х + хо). I 3. Пересечение кривой BToporo порядка с прямой асимптотическоrо направления. rеометрическая характеристика асимптотических инеасимптотических направлениА Пусть дана кривая F(x, у) == al1x2+2a12xy+az2y2+2alx+2a2Y+ao==0 (l) и прямая х === хо +at, } (2) у == Уо + t, имеющая асимптотическое направление по отношению к кривой (1). Это значит, что А == <р (се, Р) == Qll а 2 + 2a 12 ap + a2a 1 =z о. Уравнение (3) предыдущеrо параrрафа, определяющее точки пе- ресечения прямой (2) с кривой (1), превращается в 2Bt + с == о. (З) Возмо)кны следующие случаи. С л у чай 1. В * о; тоrда уравнение (3) определяет одну-един- ственную точку пересечения прямой (2) с кривой (1). С.п у чай 11. В == О, с." =1= о; прямая (2), не имея с кривой (1) ни ОДНОЙ точки пересечения, является асимптотой этой кривой. С л у чай 111. В === С == о; у равнение (3) есть тождество О == о, каждая точка ПрЯ fОlUl (2) лежит на кривой (1). Эта кривая рас- падается на пару пря лых, одноЙ из которых является прямая (2). 1TaK, nря_иая, U-,Jtеюtцая по отношению к данной кривой eпzo- pozo порядка аСUАtпl11.0тuческое направление, либо целuко 11, сосmоипl из fпоч.ек, лежаu{uх на данной !(,ривой, либо содеР:JlCиm не более одноЙ такой точки. Если же пРЯ.мая имеет неаси.мпmОlпuческое направленuе, то она nересекает кривую 8 двух вещеспlвенных (или AfHUJ,lblX сопряженных) точках, которые, одна!,о, AtOZyпz сливаться в одну ПIОЧКУ tпочку касания. Но пара сдившихся точек rеоыетрически ниче\1 не отличается от одной точки, поэтому пока мы еще не умеем охарактеризовать асимптотические (соответственно неасимптотические) направления rеомеТрllчески, не прибеrая к уравнению кривоЙ. Такая характе- ристика дается следующим предложением:
168 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BToporo ПОРЯДКА Теорема 1. Пусть Р(х, у)==О крuвая второео порядка, не являющаяся парой слuвшuхся прямых, u {a: } есть напра8ление, неасимптотическое по отноше'J./ию к кривой (1). ТОсда существует прямая направления {а: }, пересек.ающая кривую в двух различных пlочках Р и Q. П ри эmом, если кривая содержиm более одноЙ деЙСlnвительной точки (т. е. не является мнимым эллипсом или парой мнимых сопряженных прямых) u направление {a: } деист-- вительно, то дейспlвительны u точки Р, Q. Д о к а з а т е л ь с т во. t.lерез каждую точку Хо, Уа кривой (1) проведем прямую х ==хо +a.t, у == УО + t (2) неасимптотическоrо направления {а: }. Требуется доказать, что среди прямых (2), проведенных через всевозможные точки (хо, Уо) кривой (1), имеется по крайней мере одна прямая, не являющаяся касательной к кривой (1) в точке (х о , Уо). Но если прямая (2) есть касательная к кривой в точке (хо, Уо), то, как мы знаем из предыдущеrо параrрафа, должно быть В ==' Р 1 (х о , Уо) а+Р2 (Ха, Уо) == == (аll а +tltl ) ХО + (а 12 а + 2 ) Уа +а 1 а + a2 == о. Если это верно для каждой точки (х о , Уо), лежащей на кривой (1), то все эти точки должны удовлетворять соотношению (а 11 а + a12 ) хо + (а 21 (Х + a22 ) Уо + (a1CL + a2 ) == о. (40) в этом равенстве коэффициенты al1a+a12 и a21ct+a22 при Хо и Уо не MorYT быть одновременно равны НУЛЮ; в самом деле, умно- жая обе части равенств allcx+a12 ==0, а21 а +a22 == О, соответственно па а и. р и складывая ИХ, мы получили бы а 11 а 2 + 2a12a + a22 2 == О, что означает, что направление {а: }, вопреки нашим предлоло жениям, является асимптотическим. Итак, равенство (40) есть уравнение первой степени относительно ХО и Уо, которому YДOB летворяют все точки (хо, уо) кривой (1); друrими словами, все точки этой кривой должны лежать на прямой (а 11 ct + a12 ) х + (а21 а + a 2 ) У + (а 1 а + а 2 Р) == о. (4) Но среди кривых BToporo порядка лишь кривая, являющаяся парой слившихея прямых, обладает тем свойством, что все лежа... щие На ней точ]{и принадлежат одной прямой; поэтому кривая
ЦЕНТР КРИВОй BToporo ПОРЯДКА 169 (1), обладающая этим свойством есть пара слившихся прямых, каждая из которых задана уравнением (4)...... случай, который мы исключили. Итак, существует точка Мо == (хо, Уо) кривой (1), об,,1адающая тем свойством, что проходящая через нее прямая d неасимптоти ческоrо направления {а: } Не является касательной; значит, эта прямая пересекает кривую (1) в двух различных точках Мо и M 1 . Если кривая содержит более одной и, следовательно, беско нечное множество действительных точек и {а: } действительное неасимптотическое направление. то, повторяя наше рассуждение лишь для действительных точек кривой (1), видим, что найдется прямая, имеющая направление {a: } и проходящая через дейст", вительную точку Мо кривой и пересекающая ее в двух различ.. ных точках. Но если точка Мо == (х о , Уо) действительна, то деЙст вительной должна быть и вторая точка пересечения M 1 . Теорема доказана. 4 Центр кривой BToporo порядка Пусть в произвольной аффинной системе координат дана кривая Р(х, у) al1x2+2a12xy+a22Y2+2alx+2a2Y+ao==O (1) и прямая x==xo+at, } у == УО + t (2) неасимптотическоrо направления; обозначим через М 1 z:= (X 1t У!) И М 2 == (х 2 , У2) точки пересечения кривой (1) с прямой (2). Решим следующую задачу: коrда хорда, имеющая направле... нне {a: }, делится в точке Мо=={Хо. 00) пополам? Для этоrо, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было Х Хl + X У Yl + У2 O 2' O 2 · (3) Но x1==xO+at H Yl==YO+ tlt Х 2 == Хо + at 2 , У2 =:2 Ув + t2. Подставляя эти значения в (3), получаем t 1 +t'J O А ti+ t 2 O а 2 ........, t' 2 . Так как а и {как координаты направляющеrо вектора прямой (2») не MorYT быть равны нулю одновременно, то условие (3) равносильно условию t 1 + t 2 == О. ( 4)
170 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BTOPOro ПОРЯДКА Но t. и t 2 суть корни квадратноrо уравнения At 2 + 2В! + с == о; 2B значит, (1 + t 2 :::::: А ' и условие (4) означает В == О ИЛИ Рl (хо, уо) ct + Р 2 (хо, Уо) Р == о. (5) Это и есть усло вие для Toro, чтобы точка Мо == (х о , Уо) была серединой отрезка MIM2' т. е. хорды, высекаемой кривой (1) из прямой (2). Определение центра. Напомним прежде Bcero, что точкой, СU.А-tметрuчной точке М == (х, у) относительно точки С == (х о , Уо), Рис. 81. называется точка А1' == (х', у'), обладающая те1\! свойством, ЧТО точка С есть середина отреЗI<Э iYIA1'. Координаты х', у' точки /\:1' однозначно определяются из условиЙ ХО == Х1 Х ' , Уо == У1 У ' . Точка С называется центро!.! CU/vf.Meтpuu (или просто центрО f) данной инии, если, какова бы ни была точка М, .пе>Iсзиtая на этой JIiIНИlI, ТОЧI<а М', СИ:\fметричная точке 1\1 относите..1Ь1-IО ТОЧНН С, так}ке 811е){{ит на данноЙ линии (рнс. 81). ЭтZI опреJ.С,,1ення сохра.. НЯIОТ силу И для комплексноЙ IJv10СКОСТИ. JloKa)KeM слеДУЮUlее предложение: т е о р е м а 2. Для тОеО чтобы точка Мо == (Ха' Уо) была цеНfп. ро.м кривой (1), liсабходи.но u дОСlnаmочно, чтобы коордllНй1l1Ы Хо, УО Э/710Й точки удовлеl1Z80РЯЛU следУЮЩUАt !Jра8неНUЯ,,1t (назыеае.Нbl"'t < !Jравненuя.МU цеНtlzра»): Fl (х, у) == a11x + й12У + a 1 === О, } (6) Р 2 (х, у) == а 21 Х + а 22 у + й 2 == О. Д о к а з а т е л ь с т в о. А. У с л о в и е н е о б х о д и м о. Пусть Мо == (ХС), уо) есть центр I{РИВОЙ (1), и пусть хотя бы ОДНО ИЗ дву х чисел Fl (Хо, Уо), F2, (Х О ' Уо) отлично от нуля, Приведем ЭТО
ЦЕНТР КРИВОЯ BTOPOrO ПОРЯДКА 171 предположение к противоречию. Рассмотрим равенство (5) как урав- нение относительно а и р. Перелисывая ero как пропорцию r. : а == ....... F 1 (хо, Уо): F 2 (х о , 110)' ВИДИМ, что оно удовлетворяется векторами лишь одноrо направ- ления, а именно направления o : а о Р 1 (хо. 90): F 2 (Хо. 1/0). Между тем для любоrо неасимлтотическоrо направления (а тако.. выми являются все направления, кроме двух) условие (5) ДОЛЖНО быть выполнено (так как прямая (2) этоrо направления пересе.. кает кривую (1) в двух точках М 1 и М 2 И точка Мо есть сере... дина отрезка M 1 M 2 ). Противоречие получено, необходимость нашеrо условия доказана. Б. Условие достаточно. Пусть точка Mo (xo, Уо) удов" летворяет условию (6). Перенесем начало координат в точку Мо == (х о , Уа)' т. е. выполним преобразование координат х == хо +х', у == Уа + у' · Оно переводит уравнение F (х, у) == о в уравнение р' (х' t у')::::а О, rде F (х, у) == р' (х' t у') == йl1 (Ха +х')2 +2а 12 (х о +х') (Уо + у') + + а 22 (Уо + у')2 + 2a 1 (х о +х') + 2а 2 (Уо + у') +а о == == a 11 x,2 + 2а 12 х'у' +а 2 2У,2 +2 (а 11 х о +а 12 уо +а 1 ) х' + + 2 (a 21 x O +а 22 уо+а 2 )у' +a ==0 ао == F (х о , Уо). и Но ввиду равенств (6) последнее уравнение имеет вид F' (х', у') == al1X' + 2а12Х' у' + а 2 2У''.! + ао == о. в этом уравнении отсутствуют члены первой степени, откуда сле- дует, что новое начало, т. е. точка Мо === (х о ' уо), есть центр сим.. метрии нашей кривой. Теорема доказана. Из докаэанноrо вытекает, что в центральном случае, т. е. коrда б I а11 й12 1 =F О. 021 3 кривая (1) имеет единственный центр симметрии Мо == (Х о, 90)' координаты KOToporo и находятся из уравнений (6). Если центральная кривая задана своим уравнением в канон и.. .. ческои системе координат то начало координат и есть, как мы теперь знаем, единственный центр кривой.
172 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BTOPOro ПОРЯДI<А Заметим вообще, что уравнения (6) имеют силу для любой аффинной системы координат. Поэтому для определения центра какой-либо кривой мы можем оrраничиться рассмотрением ее уравнения в канонической для нее координатной системе. Единственным центром пары пересекающихся прямых является их точка пересечения: это сразу следует из каноническоrо урав- нения а 2 х З + Ь 2 у2 == о. (7) в параболическом случае мы имеем или параболу, ее канони ческое уравнение есть у2 2рх == О, или пару параплельных (в широком смысле) прямых х 2 + а 2 == о. (8) (9) Для параБОЛЫ t заданной уравнением (8), уравнения центра при- обретают вид O.x+O.y p==o, } О.х+ l.у+О==О. (10) Уже первое из этих уравнений противоречиво (так как р =1= О), поэтому система (10) HeCOBMeCTHa y параболы центра нет. Для пары параллельных прямых, заданных уравнением (9), уравнения (6) имеют вид 1.x+0.y+O==O, } о.х+о.у+о==о. (11 ) Они определяют прямую х === о, все точки которой и ЯВЛЯIОТСЯ центрами симметрии пары прямых (9), что очевидно и reOMeTpl[ чески: пара параллельных прямых имеет прямую центрап (это средняя прямая между двумя данными). 5. Диаметры кривой BToporo порядка Рассмотрим все прямые, имеющие одно и то же неаСИМПТОТII ческое направление {а: }; на каждой из этих прямых возьмем в качестве точки Мо == (х о , Уо) середину хорды, высекаемой из &той прямой кривой F (х, у) == а11х2 + 2а 12 ху + а22у2 + 2а 1 х + 2а 2 у + ай == о. (1) Эти точки Мо == (Х о , уо) (координаты Х о , Уо теперь уже перемен- вые!) удовлетворяют уравнению (9 4, (5» Р 1 (х, у) а + F 2 (х, у) == О. (2) т. е. (а 11 х + a l 2Y + а 1 ) а + (а 21 х + а 2 2У + а 2 ) == О,
ДИАМЕТРЫ ривой BTOPOrO ПОРЯДКА 173 Которое, rруппируя nO HOBOMY ero члены, переписываем в виде (a11rt +a12 ) х + (a 21 ct + 2 ) у + (а 1 а + a2 ) == о. (2') Это уравнение есть уравнение некоторой прямой d. на котороЙ и лежат середины всех хорд данноrо неасимптотическоrо направ" ления (рис. 82). Прямая d называется auaMefnpOM кривой (1), сопряженным направлению {сх: }. Центр (или центры, если их MHoro) кривой (1), очевидно, удо- влетворяет уравнению (2), каково бы ни было направление {а: }, и поэтому лежит на любом диаметре кривой (1). ,.. :с Рис. 82. Только что данное определение диаметра имеет силу для лю- бой кривой BToporo порядка (как nентральной, так и параболи- ческой). При этом направляющим вектором диаметра, сопряжен.. Horo направлению {а : }, является вектор {а,'. '}, rде а,' === :::: (a Ha + a2 )' ' == a 11 ct + a12 . Пусть теперь (1) центральная кривая. Возьмем какую нибудь прямую d неасимптотическоrо направления, проходящую через единственный центр Мо == (Хо. 110) кривой (1); уравнение прямой d записывается в виде A(x xo) +8 (y 90) ==0, (3) rде (х о , Уо) удовлетворяют уравнениям центра, Т. е. уравнениям (6) предыдущеrо параrрафа. Мы ищем направление {а: }, для KOToporo прямая d была бы сопряженным диаметром, и решаем для этоrо уравнения Qll CG + a12 == А, a21a+a22 В.
174 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BToporo ПОРЯДКА Уравнения эти решаются однозначно (так как по предположению б =1= О) и позволяют переписать (3) в виде (a 11 (% + a12 ) (х Хо) + (а 21 сх + a22 ) (у Уо) == о, (2'). (4) что представляет лишь друrую запись уравнения В самом деле, переписываем (4) в виде (a11a + a12 ) х + ( la + a22 ) У == (a11a +a12 ) ХО + (а21 а +a22 ) Уо. (4') Но ввиду уравнений центра, которым удовлетворяют числа Х О ' Уо. правая часть равенства (4') есть al a2 ' т. е. (4') принимает вид (2'). Итак, всякая пРЯА1ЙЯ d неаси иппl0пlическоzо направления, про.. ходяи ая через (единственный) центр центральной кривой втОрО20 порядка, есть диaMemp сопрЯ:JlCеН1iЫЙ некопl0рОМУ вполне опреде- ленному направлению {а.,: }. Посмотрим, что дает уравнение (2') в случае, коrда направле- ние . {а : } асимптотическое. Тоrда уравнение (2'), то}кдественное уравнению (2), есть уравнение асимптоты. Таким образом, естест- венно считать асимптоту диаметром, СОПРЯ}I{енным своему собст- венному направлению (хотя при этом первоначальный, наrлядно rеометрический смысл диаметра, сопряженноrо данному направ.пе.. нию, утрачивается, так как хорд асимптотическоrо направления не существ ует). Теперь диаметры цеfU11ральноu кривой второео порядка Mo yт быть определены npOCfnO ка" nрЯАtые, проходящие через цеНfl1р дан.. ной кривой. 3 а м е ч а н и е. Из сказанноrо выше следует, что если направ... ление данноrо диаметра неасимптотическое, то и направление, ему сопряженное, также неасимптотическое. 6. Взаимно сопря}кенные векторы (направления). Диаметры и касательные 1. Взаимно сопряженные векторы. Особое направление. Диа.. метр, сопряженный направлеНИIО {а.: }, имеет направляющий век- тор {а', /}, rде а , ' == (а 21 а +a22 )' } (1) == а 11 сс + a12 . Векторы {а, } и {а', '} связаны СООТНОIlJением а11а.а,' +а 12 (o: ' +a' ) +a22 ' == О, (2) получающимся, еепи почленно сло)кить уравнения (1), предвари- тельно умно,кив обе части перnоrо из ННХ на ...... ', а BToporo...........
ВЗАИМНО СОПРЯЖЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 175 на а.!. Но левая часть равенства (2) есть не что иное, как сим- метричная билинейная форма 'Ф (а, ; а', '), полярная к квадра- ТlIЧНОЙ форме <р (а, ) == ава.! + 2a 1z a.B +a22 2. Поэтому естественно ввести следующее Оп р е Д е л е н и е. Ненулевы.е векторы u == {а, } и u' == {а', /} (а также определяеJиые U,,'ZU направления {а: } и {а': '} называlоmся взаимно сопряженнымu опlН,осuтельно квадратutlНОЙ формы <р (х) у) == а 11 х 2 + 2a J2 xy +а 22 у2, если они удовлеrпворя/оm уравнению 'ф (и, о') == W (С%, ; а', ') == а l1 аа.' + а 12 (a ' + a') + a22 ' == о. Заметим прежде Bcero: при переходе от координатной системы Оху к произвольной новой координатной системе ох у билинейная форма (а, ; а', Р') переходит в би.пинейную форму 'i' (а, ; а', '), выражающую ту же билинеЙНУIО ФУНI{ЦИЮ 'IJ (u, u'), полярную к квадратичной функиии Ф (u), записывающейся в коор- динатной системе Оху в виде квадратичной формы ер (а, ) и в коор- динатной системе о ху в виде tp (ёl, ). Поэтому билинейная функ- ция 'i' (u, о'), обращение в нуль которой характеризует сопряжен- НОСТЬ векторов u и о', в любой координатной системе записывается в виде билинейной формы, полярной к квадратичной форме стар- ших членов уравнения F (х, у) == О, определяющеrо в этой системе координат данную кривую BToporo порядка. Свойство двух векто- ров быть или не быть сопряженными относительно формы q> (х, у) не зависит от выбора той или иной системы коордuнаm l а ЗQ8u- сит только от квадратичной функции Ф (и), определенной (в какой. нибудь системе координат) формой q> (х, у). Мы будем также rоворить, что векторы u и и' (и их направ- ления) сопряжены относительно данной кривой BToporo порядка, если они сопряжены относительно квадратичной формы старших членов уравнения этой кривой (в какой нибудь, все равно в какой именно, системе координаl). Это позволяет нам в дальнейшем писать условие сопряженности, пользуясь какой-нибудь опреJlе- ленной, например канонической для данноЙ кривой, системой координат. Зная одно из двух сопряженных направлений, например нпправление { : }, друrое определяем без труда; для этоrо пере- n IIcыаемM равенство (2) в виде а/ (a 11 a+a 1 a!3) - ' (a21a,+a22 )' (2') что означает пропорцию ' : а' :CI ........ (Йl1 а +a12 ) : (a21 + Йt2Р)' (2") определяющую направление вектора {а', '}. Точно так же выра.. жается {а, Р! через {а', '}: р : а == (Йl1 а ' + a12 ') : (a 21 (%' + а22Р').
176 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ I(РИВЫХ BToporo ПОРЯДКА Посмотрим, коrда два сопряженных между собой направления совпадают. Очевидно, тоrда и только тоrда, коrда ...... (а 11 а + a J2 P) : (а 21 сх + a22 ) === : а, Т. е. КОl'да а 11 а 2 + 2a12a +a22 2 == о. Друrими словами, направление тоrда и только тоrда совпадает со своим сопряженным, коrда оно является асимптотическим. Поэтому асимптотические направления называются иначе са.МОСО- пряжеН/f,bLМU. Посмотрим, не может ли случиться, что направление {rx: }. сопряженное направлению {а': /}, перестанет быть определенным. В этом случ&е направление {а': '} назовем особым. Очевидно, направление {а': '} будет особым тоrда и только тоrда, коrда оно удовлетворяет системе уравнений а 11 сх' + a12 ' :::: О, } (3) а21а' + a22 ' ::::z о. Но вектор {а', '} не есть нулевой вектор, поэтому равенства (3) MorYT иметь место, лишь если б == I al1 a12 1 == О, а21 а22 Т. е. если кривая F (х, у) == о параболичеСI(ая. I Io это еще не все: умножая обе части первоrо ИЗ уравнений (3) lIa а', а BToporo на ' и складывая, получаем a 11 rx,2 + 2a12a,' ' + a22 /1 === О, Т. е. направление {rx': '} есть асимптотическое направление. ИТЗI{, только для параболuтutlескоа кривой и дм (единствен- II 020) ее асuмптоmuчеСКО20 наПР(JJ3ленuя. сопряжеllflOS направление перестает быть определеNНbl.м,. С друrой стороны, единственное асимптотическое направлснне (1.,' GJ2 022 тt == a == а21 параболической }(ривой F (х, у) == о удовлетворяет условиям a 11 a' + a12 ' == О, а 21 а,' +a22 ' О, Т. е. УСЛОВИЮ <р(а., ; а', ') == (а 11 а' +a12 ')a+{a21a' +a22 ') ==0 для любоrо направления {а: }.
ВЗАИМНО СОПРЯЖЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 177 Итак, в случае параболической линии ее асuмnтотuчеСКQe направ- ление сопряжено всякому направлению, т. е. является осоБЫМ. Вернемся теперь........ в случае любой кривой BToporo порядка F (х, у) == о к уравнению (2') 5: (а1l + a12 ) х+ (a21 a +а 22 Р) у+ (a1a +а 2 Р) == O Т. е. к уравнению диаметра, сопряженноrо направлению {а: }. Какова бы ни была кривая BToporo порядка F (%, 11) == О, ее диаметр, сопряженный направлению {CI Z Р}. имеer направление {а' : '}, сопряженное направлению {Gt: }. Если кривая F (х, у)==О центральная, то диаметр, сопряженный направлению {а,': '}, будет иметь направление {CI: }. Два диаметра центральноа кривоа НllЗb18аются взаимно сопря- женными между собой, если сопряжены их напраоления. Каждыа из двух сопряженНhLX между собоа диаметров делит пополам xopabl 1 параллеЛЬНЬLe apYZOMY. Переходим к параболическому случаю. Если данная криваg F (х, у) == о распадается на пару параллельных прямых, то у нее один единственный диаметр (<<средняя) прямая по отношению к двум данным); этот диаметр является rеометрическим местом середин хорд любоrо направления, 011 является прямой центров нашей кривой (1), ero направление..... особое, оно сопряжено любому направлению. у па раболы середины всех хорд данноrо направпения { : Р} лежат, как мы видели, на вполне определенной прямой. и прямая эта имеет асимптотическое направление Р' : а/ == ......... йll : Q12 ::::::;; === а 12 : а 22 , она является диаметром параболы (сопряженным данному направлению). ДОI<эжем, что 8 случае параболы всякая прямая аси.мптотuче- СКОсО направления есть диaMeтp сопряженный некоторо.м.у вполне определенному направлению. При доказательстве мы вправе выбрать любую систему коор. дннат; возьмем такую, в которой уравнение параболы имеет вид у! 2рх &::: о. (4) Прямые асимптотическоrо направления суть просто прямые, парал- лельные оси абсцисс. Пусть у ::2 т (5) таI{ая произвольная прямая. Уравнение (2') 5, Т. е. уравнение диаметра, сопряженноrо направлеНИIО р: а, имеет в нашем случае вид Y ра IC:I о. (6) Для Toro чтобы оно определяло ту же прямую, что и уравнение (5), необходимо и достаточно, чтобы было p ... m. ЭтИМ условием отно-
178 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ nTOPOro ПОРЯДКА шеине : ct == Р : т определено однозначно, и наше утверждение доказано. Таким образом, диаметры параболы Mozym быть определены как прямые асuмnmотuческоzо nаnравления. 7. Вид уравнения кривой) если оси координат имеют сопряженные направления Пусть дана кривая BToporo порядка своим общим уравнением F (х, у) == а 11 х 2 + 2a 12 xy + а 22 у2 + 2a 1 x + 2а2У + а о == о. (1) Посмотрим сначала, каковы диаметры, сопряженные напраВ lIениям осей координат. Уравнение диаметра, сопряженноrо направлению {а : }, есть (а 11 а +а 12 Р) х + (a 21 Ct +а 22 Р) g + (a1a +а 2 Р) == о. (2) Если а == 1, == о (Т. е. вектор {а, } есть направляющий век- тор оси абсцисс), то уравнение (2) превращается в + + О (2 ' ) а 11 х a1?U йl == · Если же а::::: О, == 1, то уравнение сопряженноrо диаметра есть + + О (2 " ) а 2 1 Х а 2 2У а 2 == · ИтаК t диаметр, сопряженный направлению оси абсцисс, имеет уравнение (2'), а диаметр, сопряженный направлению оси орди- нат t имеет уравнение (2"). Предположим теперь, что ось ординат имеет ПрОИ3Больное, неасимптотическое для данной кривой напраВ lIение, а ось абсцисс является диаметром, сопряженным направлению оси ординат. Тоrда уравнение (2") есть уравнение оси абсцисс, т. е. BbIpa)l,aeT ту же прямую, что и уравнение у == о. Следовательно, коэффициенты 021' а 22 , а 2 уравнения (2") должны быть пропорциона-пьны коэффициентам О, 1, О уравнения оси Ох, а ЭТО значит, что а21 ==0, а 22 *0, ==0. СледоваТeJJЬНО, в нашей системе координат кривая (1) имеет урав- нение а11х2 + '4.2!l 2 + 2а 1 х + ао == о. (3)
ВИД УРАВНЕНИЯ КРИВОй 179 Рассмотрим отдельно два случая: 1 о Кривая (1) центральная. 2 G Кривая (1) параболическая (парабола или пара парал- лмьных прямых). В первом случае из Toro, что ось абсцисс представляет собой диаметр, сопряженный направлению оси ординат, следует, что и o ь ординат имеет направ.:Iение, сопряженное оси абсцисс. Если при этом нача.,10 координат ле)I{ИТ в центре кривой, то обе оси координат являются сопряженными ме)кду собой диаметрами. Но тоrда ОСЬ ординат, будучи диа lетром, сопряжеННbIМ оси абсцисс, имеет уравнение (2'), которое ДО.-1ЖНО быть равносильно уравнению х == о. Значит, коэффициенты й 1 1, a 12 , аl уравнения (2') должны быть пропорциональны коэффициентам 1, О, О уравнения оси Оу, т. е. a 11 =1= О, a 12 == О, a 1 == о; следовательно, уравнение (3) имеет вид a ll x 2 + а22у2 + а() == о. (4) Итак, если оси координат образуют пару сопряженных диамет- ров данной (произвольной) центральной кривой второю порядка, !I :с :с 1/\ а) б) Ри€. 83, пw уравнение эпl0Й кривоЙ в этой системе KoopauHatп имеет вид (4) (рис. 83). Случай расладаIощейся центральной кривой характеризуется тем, что в уравнении (4) имеем а о == О (центр, Т. е. начало КООР" динат, есть точка кривоЙ) (рис. 84).
180 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BTOPoro ПОРЯДКА Пусть теперь кривая (1) (уравнение которой уже пр иведено к виду (3» есть кр.ивая параболическая. Тоrда а 11 а 22 == а;2; но в уравнении (3) коэффициент a 12 == О, значит, a 11 a 22 === О, а так как а 22 =F о, то а 11 == о. Итак, если в случае параболической кривой ось ординат направ- лена по произвольному, неасимптоmuческому направлению, а ось Л\ \ х Ри . 84. Рис, 85. абсцисс есть диаметр, сопряженный атому 1-(f'!.правленuю (и, сле- довательно, имеющий асuмпmoтuческое HarL , равление) то ypaвHe ние кривой в этой системе координат имеетп вид а22у2+2аlх+ао===0. (5) Если наша кривая распадается на пару параллельных пря- мых (рис. 85), То Ll == о, т. е. О О 01 О й22 О === aia 22 === о. 01 О йо Так как а 2 2 * о, то непремеНIlО аl == О, И уравнение (5) пеобхо.. дима имеет вид а22у2 +а о == О, V йо у== + . а22 (6) Если же наша кривая есть нераспадающаяся параболическая кривая, то непременно а 1 =1= о. Сделаем теперь перенос начала в точку пересечения О' кри- ПОЙ С осью Х, т. е. преобразование координат х == х' +Хо, у == у', rде ХО определено требованием, чтобы ТОЧI{а О' == (хо, о) удовлет" воряла уравнению (5), т. е. чтобы было а 22 . О +2а 1 х о +а о ==О.
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 181 в преобраэованной системе координат уравнение (5) приобретает вид а 22 у,2 + 2а 1 х' + (2a 1 x O +а о ) == О. Т. е. вид й22у,2 + 2а 1 х' == о. (7) Найдем точки пересечения оси ординат О'у' с параболой. Для этоrо положим в уравнении (7) х' о; получим а 22 у,2 О. Т. е. 11' .1:' Рис. 86. Рис. 87. ось ординат О'у' пересекается с параболой в двух сливаIОЩИХСЯ ТОЧI{(1Х (совпадающих с точкой О'), и, следовательно, является касательной к параболе (рвс. 86). Если при этом ось абсцисс перПСIIдикулярна к оси ординат, то, деля пополам перпендику" J1ярные к ней хорды, она ока}кется осыо параболы (рис. 87). 8. Теорема единственности для кривых 8Toporo порядка. О полноте системы opTOrOHaJlbHbIX инвариантов J. Теорема единственности. т е о р е м а 3. Если два урасненuя впlОрОЙ спzеllСН,U F (х, у) == a 11 x 2 + 2а 12 ху + Q2z.Y 2 + 2a 1 x + 2а 2 у + а О == О, (1) u F (х, у) == ыI22 + 2Ь 12 ху + Ь 22 у2 + 2Ь 1 х + 2Ь 2 у + Ь О == О (i) удов.1flпвОРЯIОl11СЯ одни.+! u f11еЛl же множеством точек С комплекс.. ной I1лоскоспlU, пzo одно из Эl11UХ уравнен'ий получается из дpy o o поЦ,ленным !j/;IHOJ.'CCNUe_1l на неКОlпорый числовой множиmель.
182 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ Бтороrо ПОРЯДКА с л е Д с т в и е. Если известно лишь. что множество действи.. тельных точек плоскости, удовлеmворяющuх уравнения.м. (1) u (1 '), одно и пlO же и состоит более чем из Qдной точки, то утвержде- ние теоремы 3 остается в силе. Вспомним. что неасимптотические направления lсс: } по отно- шению к кривой (1) характеризуются тем, что имеется прямая данноrо направления {а: }, имеющая с множеством С ровно две (различные) общие точки, поэтому всякое направление, неасимпто- тическое для одной ИЗ двух кривых (1) и (1), будет неасимптоти" ческим и для друrой кривой. Выбираем некоторое определенное неасимптотическое направ- ление {a: } для кривых (1) и (i). Одну из прямых d направления {а: Р} примем за ось ординат, а диаметр, сопряженный направлению {а: р}, ..... за ось абсцисс координатной системы О'х'у'. Из результатов предыдущеrо napar- рафа следует, что уравнения (1), (i) получат в системе координат О'х'у' вид Р ' ( ' ' ) ,,2 + I ,2 + 2 ' , + ' О (2) х , у == a 2 'lY аl1Х аl Х ао == , Р' (х', у') == b 2y,2 + b 11 x!2 + 2Ь 1 х' + b == о. (2) Здесь a О (и b;g;P О), в противном случае единичный вектор {О, 1} оси у', удовлетворяющий уравнению '9' (х', у') == ailx,2 +tz;gy,2 == О, имел бы, вопреки предположению, асимптотическое направление. .;,;' -ж' Nно,жестdо СО DjlCтO Рис. 88. Ино,жестdо СО codnuuocт с DjJIIнои 8":0 Рис. 89. Пересечение множества С с ОСЬЮ у' == о обозначим через СО. Возможны следующие случаи: lQ Множество СО пусто (рис. 88). Этот случай осуществляется тоrда н только тоrда, коrда какое нибудь (и тоrда каждое) из
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 183 равенств f (х') == allX'Z + 2ахх' + a == О, f (х') == b 11 x,2 + 2b 1 x' + b == О противоречиво, т. е. коrда один какой нибудь (и тоrда каждый) из мноrочленов f (х'), f (х') тождественно равен отличной ОТ нуля постоянной a , соответстзенно b . 20 Множество СО совпадает со всей ПРЯ\fОЙ у' == о (рис. 89). Это происходит тоrда и только тоrда, коrда каждый из мноrочленов f (X') 1 (х') ТО,l\дественно Р(1вен ву ...110. 30 Н и один из случаев 1 о, 20 не имеет места. Тоrда множество СО состоит ИЗ одной точки (рис. 90), или из пары (быть может, совпадающих между собой) точек (рис. 91), являющихся парой KOp ней как уравнения , ,2 + 2 ' + 1 О а I J Х а 1 х ао == , (3) так и уравнения b 11 x,2 + 2Ь 1 х' + b == о. (3) х' МНQжеr:тdо С() состоит ОЭ 001f!Jt.' /!1!JlI/(U А Рис. 90. Рассмотрим ближе этот случай. 1а1< как уравнения (3) и (з) имеют одни и те же корни, то при некотором f1 * О имеем b 11 x,2 + 2Ь 1 х' + b == f.t (allx,2 + 2aix' + a ) Ь' И, значит, полаrая 'А == ;2 , имеем а 2з р' (х', у') == a 2y'2 + (al1x,2 + 2аlХ' + O ), F (х', у') == ла 2у,2 + J-t (al1x,2 + 2alx' + a ). Докажем, что ')." == . Для этоrо даДП I переменному х' значе.. , , нне х == XI, являющееся корнем уравнения а} lX,2 + 2аlХ' + a == 1, и наЙдем значения у', УДОВ,,1етворяющпе уравнению F ' ( ' I ) , /2 1 О х 1, У == Qj.2Y + === f т. е. Yl:=: + lf +r r а2:&
184 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BTOPOrO порядКА Значит, точка (Xl, Yt) принадлежит множеству С; следовательно, р' (Xl, Уl) Ла "АУ12 + fl. 1 == Ла ( ) + J.L == О, а 22 Т. е. л == 11, и 'р' (х', у') == лF' (х', у'), значит, и F (х, у) == 'АР (х, у). Итак, в случае 30 теорема доказана. о) МножестВо СО состоит us tlиy.r lещест!ен 1111/3: mO'leK 11 и В .z' б) I1ножестdо СО состоит ш o .r HHUHIJIZ СОЛflR:JICВНН6/Z mOl/8H 1&' 6) МножестВо СО (1Остоит из o6j1c.Z' сodлиtJоющu.z тOI/BI( А Рис. 91. в случае 2 Q имеем Р ' ( ' ' ) ,,2 , О р .... , ( ' ' ) Ь ,,2 Ь ' О х , у == а 2 'АУ . a2 -+, х , у == 'J y , ':12..,...... . Ь' ,..., Полаrая л == . получим Р' (х'» у') == 'AF' (х', у') утвер>!{дение а 22 теоремы верно и в этом случае. Наконец, в случае 1 о уравнения (2) и (2) принимают ВИД Р' (х', у') == a '1Y,2 + a == О, a * О. р' (х', у') == b 2!J'2 + b == О J b =1= О
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 185 ..... множество С есть пара прямых, определенная каждым из урав- нений , V a у === + ............ ......,.... а 22 , + V b или У Ь '. 29 Для Toro чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, а' Ь' необходимо и достаточно, чтобы было === Ь ,О , т. е. b 2 === ла 2' Q2j 22 Ь ' , b 2 О == /\,а о при I\i == ..........., . а 22 Теорема 3 доказана во всех случаях. 2. О полноте системы opTorOHaJlbHblX инвариантов. Будем рас- сматривать на плоскости лишь прямоуrольные системы координат с одним и тем же масштабом. Имеет место следующая основная т е о р е м а 4. Пусть на плоскости даны две нераспадающuеся на пары параллеЛЬ1iblХ прямых кривые втОрО20 порядка С и С', имеющие внекоторой пРЯМ,ОУ20ЛЬ1iОй системе координат Оху соот- ветственно уравнения Р(х, у) ==0 (4) и Р' (х, у) == о. ( 4') Для тО20 чтобы кривые С и С' были метрuчески эквивалентНbl, необходимо и достаточно, чтобы после доМ,ножения одНО20 из двух Аtноеочленов F (х, у), Р' (х, у) на некоторый числовой ,Множитель k оба эти М,НО20члена имели соответственно одни и те же инва- рианты б, d, s. Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Если кривые С и С' метрически эквивалентны, то посредством HeKOToporo ДВИ)l{ения, Т. е. ортоrональноrо преобразования плоскости, кривая С' может быть преобразована в кривую С. При этом прсобразовании инва рианты б, д, S мноrочлена р' (х, у) (будучи ортоrональными инвариантами) не изменятся, а сам мноrочлен Р' (х, у) перейдет в мноrочлен G (х, у), имеющий то же нулевое мноrообразие, что и мноrочлен F (х, у), так что в силу теоремы единственности О(х, y)==kF(x, у) при некотором k=l=O. vlTaK, инварианты мноrочлена Е' (х, у) совпадают с COOTBeT СТВУIОЩИМИ инвариантами МlIоrочлена kF (х, у) первая часть тео- ремы 4 доказана. Переходим к доказательству второй части. Д о с т а т о ч 1-1 О С Т ь. Если мноrочлены Р' (х, у) и kF (х, у) Иi\fеют одни и те же инварианты б, /1, S, то кривые р' (х, у) == о и kF (х, у) метрически эквивалентны. Но кривая kF (х, у) == О, оче- видно, совпадает с кривой F (х, у) == О, чем эквивалентность КрИ вых F' (х, у) == о и F (х, у) == о доказана.
186 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BTOPOrO ПОРЯДКА Полученный результат иноrда формулируют так: Ортоzональные инварианты б. d, S образуют полную систему ортоzонаЛЬНblХ инвариантов кривых второео порядка, не распада- ющихея на пару параллеЛЬН,blХ прямых. 9. Оси симметрии и rлавные направления кривой BToporo порядка Пусть прямая d есть ось симметрии данной кривой BToporo порядка с. Возможны два случая: А. Направление, перпендикулярное к прямой d, является для кривой С асимптотическим. Б. Направление. перпендикулярное к прямой d, не есть асимп- тотическое направление для кривой с. d' d' 8 d" А, А, d d d" I А 2 А 2 Рис. 92. р не. 9'.3. Пусть имеет место случай А. Возьмсм каКУlо либо пару точек Аl' А 2 кривоЙ С, СИl\'lметричных друr друrу относите.п:ьно прямой d. Так как прямая d' == А 1 А 2 пмеет асимптотическое направление и в то же время содержит две точ!{и А 1 и А 2 кривой С, то она вся входит в состав этой кривой: кривая С распадается на пару прямых d', d", одна из которых d' перпеНДИI<улярна к прямой d. Вторая прямая d" не MOfKeT быть наклонной к прямой d, так как в этом случае ПрЯ:\1ая d, очевидно, не f\lожет быть осью симмет- рии фиrуры, составленной из двух прямых d l , d", ИЗ которых одна перпендикулярна, а друrая наклонна к прямой d. Поэтому прямая d" или тоже перпендику.пярна к прямой d, или совпада-- ет с ней. В первом с.тIучае линия С состоит ИЗ двух параллель-
ОСИ СИММЕТРИИ И rЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 187 ных прямых (рис. 92), и тоrда всякая прямая, к этим прямым перпендикулярная, является осью симметрии линии с; кроме тoro, осью симметрии линии С является и единственный ее диа- метр б средняя прямая между прямыми d' И d". Во втором случае линия С есть пара взаимно перпендикуляр- ных прямых d' и d" ==d (рис. 93); каждая из этих прямых есть ось симметрии линии с. Кроме Toro, осями симметрии являются две биссектрисы б и б" двух пар вертикальных прямых уrлов, образованных прямыми d и d'. Эти биссектрисы являются (вза- имно перпендикулярными) сопряженными диаметрами: каждый из них делит пополам хорды, ему перпендикулярные (и парал- .пе.пьные второй биссектрисе). Итак, в случае А кривая распадается на пару параллеЛЬНblХ или на пару перneндUКУЛЯРНblХ между собой прямых и имеет в nep oм' случае бесконечно MHOZO d' осеи симметрии, а во вто.. ром четыре оси симметрии. Переходим к случаю Б: направление, перпендикуляр. tI ное к оси симметрии d, не является асимптотическим для кривой с. Пусть d' какая- А,е нибудь прямая, перпендику- ..YJярная к прямой d. Кри.. вая С пересекает прямую d' Рис. 94. в двух точках А 1 и А 2 (быть может, мнимых, быть может, совпадающих), симметричных от носи- тельно прямой d, так что прямая d делит пополам хорду A1 A s (р.ис. 94). Друrими словами, прямая d является диаметром кри- вой С, сопряженным направлению, перпендикулярному к прямой d. О п р е Д е л е н и е. Н аправленuе называется 2лавным относитель- но данной кривой второсо порядка C если эmо направление и пер- пен.дuкулярное к HeJrfY являются взаимно сопряженными наnравле- flllЯМU относительно эпzой кривой. r лавное направление относи.. fllельно кривой С Н,азываепzся maKJlCe zлавным направлением квадра- п llЧНОЙ функции, определенной квадраmИf.lНОЙ формой <р (Х. у) CfllapUlllX членов уравнения кривой С в л/обои прямоуzольн.ой сис- теме KoopдиHam а также елаВНbl,М направлением любой такой квадраП/llЧНОЙ фор.мы. Дuамеt1zр кривой С, сопряженный перпенди- кулярНо/),tУ к нему направлению, называется zлавНЫJrf, диaMeтpo кривой с. Направление 2лавноzо диаметра, очевидно, является славным направлением. Из определения r лавноrо направления непосредственно выте- кают такие с..педстпия: 1 о Н аправленuе I nерпендuкулярн.ое 1с елавНОМУJ тоже является eIlСЮНЬ1Аt.
188 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BTOPOrO ПОРЯДI<А 20 Особое направление кривой С является 2лавны.м для этой кривой. В самом деле t особое направление сопрял ено всякому направ- лению, в том числе и перпендикулярному к нему. Итак, асимпто- тическое напра ление параболы является rлавным для нее направ- лением. У параболы все диаметры имеют rлавное направление, но, как мы видели в 6, среди этих диаметров только один со- пряжен перпендикулярному к нему направлению, и, следователь- но, только один является rлавным диаметром это ось параболы. Ось параболы единственная ее ось симметрии. Из утверждения 1 о следует, что направление, перrrендикуляр- ное к асимптотическому направлению параболы, также является rлаВIIЫМ направлением. Никакое направление {а: }, кроме асим- птотическоrо и перпендикулярноrо к нему направления, не явля- ется rлавным направлением параболы (так как единственное на- правление, сопряженное направлению {а: }t есть асимптотичес- ксе направление и оно не перпендикулярно направлению {а: }). Итак, у параболы имеются ровно два zлавНblХ направления: асим- птотическое и перпендикулярное к нему. По тем же соображениям и линия, распавшаяся на пару па- раллельных прямых d и d', имеет два rлавных направления: общее направление прямых d и d' и перпендикулярное к этим прямым направление. Переходим к центральным кривым. Если направление {a: } rлавное для центральной кривой С, то (перпендикулярное к нему) сопряженное ему направление {а': '} тоже rлавное. Ни одно из rлавных направлений центральной кривой не может быть асим" птотическим (потому что в случае центральной кривой каждое направление сопряжено одному единственному направлению, а асимптотическое направление сопряжено лишь самому себе). По- этому диаметр центральной кривой, имеющий rлавное напраВ"ТIе... ине, является rлавным диамеТРОМ t а значит, является осью сим- метрии кривой. Из сказанноrо вытекает, что всякая кривая emopozo порядка UMeelп по крайней .мере одну пару взаимно перпендику" ЛЯрНblХ елавных направлений. l-iз предыдущих рассуждений следует т е о ре 1\1 а 5. За искл/очением случая, Kozaa данная кривая вто- pozo порядка С есть пара параллельньа или пара перпендикуляр" ных между собой прЯМblХ всякая ОСЬ симметрии кривой С есть 2ла8Нblй дuаJr1.еl11р эпl0Й кривой. Обратно, елавный диаметр кривой С. очевидНО 1 есть ОСЬ сим- Merl1pUa кривой с. Переходим к нахождению rлавных направлений. Система коор" ДIIнат до конца параrрафа прямоуrольная. J\'\bI ищем такое направление, чтобы вектор {а, Р} этоrо на- пра1Зления был перпендикулярен к сопряженному ему вектору
ОСИ СИММЕТРИИ И rЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 189 {а', '}. По формуле (2") 6 имеем ': а/ == (al1a.+a12 ): (a21a+a22 )' Условие перпендикулярности векторов {а, р} И {а', Р'} есть аа' + ' ==0, Т.. е. р' : а' ==a: , Т. е.. (а 11 а + a12 ) : (a 21 C(, + a22 ) == а : . ЭТО условие означает СУlllествование TaKoro Л, что а 11 (% + a12 Ла, } (1) а 21 а + а22Р == лР или (а 11 л) с(, + a12 == О, } a 21 a + (а 22 'А) Р == О.. Рассмотрим сначала центральный случай: 6 =F о. Требуется найти ненулевой вектор решение {а, } однородной системы (1'); это возможно, лишь коrда детерминант системы равен нулю, т. е. (1') I ан л ai2 I == о. а21 а22 Л (2) Взяв в качестве 'А какой-либо корень уравнения (2) и подставив ero в (1 '), заключаем именно в ввиду равенства ну лю детерми нанта (2), что оба уравнения (1) эквивалентны между собой и дают одно и то же направление : а == (л а 11 ) : a 12 == а 21 : (л а 22 ). (3) Здесь, как только что сказано, л какой нибудь корень ypaBHe пия (2). Но этих корней два, так как уравнение (2) KBaдpaT ное уравнение, которое в развернутом виде есть л2 Sл+б==:О (2') (здесь, как всеrда, S == a 11 +а 22 , б == a 11 a 22 ai2). Обозначая корни уравнения (2) через 1\..1 и Л 2 , получаем из (3) два rлавных направ" лен ия: l : а 1 == (Л 1 ан) : a 12 == а 21 : (Л 1 а 22 ) (31) и 2 : а 2 == (Л 2 a 11 ) : а 12 == а 21 : (Л 2 а 22 ); (32) мы получили давно известные нам формулы. Эти направления действительны, Т31{ как действ ительны корни л s ::!: VS2 4б S :!: У(аl1 a22)2+4a 1.2 2 2
190 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BTOPOrO ПОРЯДКА уравнения (2). Эти корни совпадают в единственном случае, коrда Qll == а 22 и a 12 == О, Т. е. коrда рассматриваемая I(ривая есть окруж" ность. Заметим, ЧТО в центральном случае б *" О ни один из корней Л 1 , Л 2 уравнения (2) не равен нулю, так как, подставив 'А == О в (2), получили бы б == о. Име!отся ли случаи, коrда два эквивалентных уравнения (1') (Т. е. (3)) не ПОЗВОЛЯIОТ определить rлавное направление? В силу (3) это может случиться, только KorAa одновременно а 12 == О,.л == ан, л == 022' т. е. снова JlИШЬ в случае окружности (а 12 == О, а 11 == а 22 ). Для окружности всякий диаметр есть ось симметрии, всякое направ" ление rлаВI-Iое. Если х{е наша кривая не есть окружность, то фор МУЛl>I (3) ПОЗI30ЛЯIОТ совершенно однозначно определить два rлавных направдения. Они заведомо различны, так как в центральном случае, который мы рассматриваем, являются направлениями двух взаимно перпендикулярных сопряженных диаметров. Итак, дока.. зана т е о р е м а 6. За еданственным иСКЛfоченuем окружности (KOZ да всякое направление zлавное) , мы и.меем для каждой централь.. ной f\,рU80Й второса порядка два и только два zлавных наnравле.. нuя (и, значu,'п, не более двух осей симметрии с неасимnтоти.. чес/(uмu направлениями). Два славных направления центральной кривой nерnендиКУЛЯРНbl ме :ж:д у собой. Мы уже установили непосредственно, что парабола и пара пара,п,,'1ельных прямых имеют два взаимно перпендикулярных rлав" ных направления, одно из Которых....... асимптотическое. Леrко убе.. диться в этом и посредством простоrо вычисления. В самом деле, пусть б == о. Тоrда уравнение (2) удовлетворяется при л == Л 1 == о. Второй корень уравнения (2) не может равняться нулю, так как тоrда было бы ан == й22, a 12 == О, S == л'l + Л 2 == о, Т. е. S == 2a J1 == 2а22 === == О мноrОЧ..1ен F (х, у) БыIпп бы мноrочленом не выше первой сте- пени. fJодстановка 11. == О В уравнения (1') дает a 11 a + a12 == О, а 21 а +a22 == О, ЧТО сразу приводит к асимптотическому rлавному направлеНИIО р : а == аа == а12 параболической кривой. Второй корень Л2 == S G12 а22 дает rлавное направление ': а' == (8 a 11 ) : а 12 == а22 : а 12 == а 12 : G 11 , перпеНДIIКУЛЯРНое к асимптотическому направлению : а (пола- rая cf., == ан, р::: а 12 , а' == а 12 , '::: йl1, имеем аа' + ' == о). Теперь мы леrко можем найти по обще fУ уравнению пара.. балы и уравнение ее оси. Ось параболы имеет уrловой коэффи- циент k == ан == Gl! И является в то же время диаметром, со.. а 12 а22
ОСИ СИММЕТРИИ И rЛАВIIЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 191 пряженным к хордам перпендикулярноrо направления, Т. е. хор- дам с yrJJOBblM коэффициентом а12 == а22 (или С направляющим ан a12 вектором {а, }, rде можно взять а == a 11 , == а 12 или а === а 1 2' == а. 22 ). Уравнение диаметра, сопряженноrо хордам с направ,,'!яющим Еектором {а, }, есть р 1 .(х, y)a.+Fz(X, у)р==о. Значит, полаrая а == ан, == а 12 , получаем уравнение оси пара.. болы в виде Рl (х, у) a 11 + Fz (Х, у) а 12 == О, т. е. (ail +a ) х + а 12 (a 11 + а 22 ) У + a11a 1 + a12aZ == о. Из a == йl1й22 вытекает ат. + a == а 11 (а 11 + а 22 ). Поэтому уравнение оси перелисывается в Биде al1Sx+a12Sy+al1al +a 12 a 2 ==0, Т. е. окончатеJ]ЬНО в виде + + allal + a1 2 a 2 О а 11 Х а l 2У S ==. Ана..10rично, полаrая а == а 12 , === а 22 , получаем для оси уравнение + + Q12al + а22 а 2 О a 1 2 x a 2z y S ==. При a 1 2 =1= О МО)КНО пользоваться любым из Э7ИХ уравнений. При а12 == О И аl1 == О (значит, а 22 =1= О) надо пользоваться вторым, при а 22 == О (и, значит, а 11 =1= О) первым. Получаем соответственно уравнение оси в первом случае в виде а 22 у + а 2 == О, ВО втором С 1учае в виде a 11 x+ а 1 == о. Найдя уравнение оси параболы, мы сразу же находим и вершину О' параболы (как точку пересечения параболы с ее осью). Принимая вершину параБОtllЫ О' за начало новой системы координат, ось параболы за новую ось O' , а касательную в вер.. шине за ось O''t'), определим положительное направление О'; так, чтобы в новой системе координат O' ll уравнение параболы имело вид 112 == 2p , Р > о. Для нахождения интересуюrцеrо нас положительноrо направле- ния O' вспомним (rл. y 9 4), что после поворота ИСХОДНОЙ
192 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ I(РИВЫХ BTOPOrO ПОРЯДI<А системы координат Оху на уrол а и последующеrо переноса начала координат в точку О' уравнение параболы приняло вид f)2 == 2 ( ) , rде (rл. V, 1, формула (3)) a == а 1 cos а. +а 2 sin а.. а' Для TOrO чтобы было s > О, надо на уrол а., определяемый из уравнения tg сх. =: ........ ан , наложить дополнительное требование, a12 заключающееся в том, чтобы числа S и йl cos а. + а 2 sin а имели противоположные знаки. Найденный таким образом уrол а, и дает нам положительное направление оси O' канонической системы координат O' 'Y). lOI! Основная теорема об аффинных преобразооаниях Элементарная теория кривых BToporo порядка позволяет дать простое доказательство одноrо из важнейших свойств аффинных преобразований плоскости. Пусть при аффинном преобразовании еЛ плоскости кривая BToporo порядка К переходит в кривую К'. Так как при аффин- ном отображении отрезок переходит в отрезок, причем середина отрезка переходит в середину отрезка, то при преобразовании центр кривой К переходит в центр кривой /('. Так как при аффинном преобразовании параллельность пря мых сохраняется, то всякий пучок параллельных хорд кривой К переходит в пучок параллельных хорд кривой К', середины хорд первоrо пучка переходят в середины хорд BToporo пучка, а зна. чит, диаметр, сопряженный хордам первоrо Пучка, перехо- дит в диаметр, сопря}кенный хорда!\1 BToporo пучка. Отсюда DЫ с текает Т е о р е м а 7. Пусть при данно.М аффинном nреобразованиu данная кривая 8tпOp020 порядка К переходит в кривую К' тоеда всякая пара сопРЯ:JlсеННblХ диаметров кривой К переходит в пару сопряженных диа1Уtепlров кривой к.'. Выведем ОТсюда следующее основное своЙство аффинных пре- образований: т е о р е м а 8. Всякое аффинное nреобразованuе плоскости Я8ЛЯ- еrпся rzроuзведение'м' собствеННО20 или несобсmвеfl1tО20 дви /сения и двух сжатий (растяжении) плоскости nроисходЯЩtlХ в двух вза- имно nерпендикулярных направлениях. Д о к а 3 а т е л ь с т D о. Возьмем аффинное преобразование eТt l f обратное к преобразаванию Q/t, и рассмотрим какую-нибудь окруж- ность К' радиуса 1 с центром О'. При аффинном преобразова... нии l окружность К! переходит в эллипс К, а центр О' окружности К' переходит в центр О эллипса К. При этом вся- кая пара взаимно перпендикулярных, т. е. сопряженных, диаметров ОКРУЖНОСТИ К' переходит в пару СОI1РЯ}i\енных диаметров эллипса К.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 193 При отображении <2-71, обратно, эллипс К переходит в окруж'" ность К', центр О ЭС/1Jлипса К переходит в иентр О' окружности К' $ а всякая пара сопряженных диаметров эллипса К переходит в пару сопряженных, Т. е. взаимно перпендикулярных, диаметров окружности К'. Но среди пар сопряженных диаметров эллипса имеется пара ero rлавных осей (и они взаимно перпендикулярны). Сделаем эти rлавные оси эллипса (фокальную и вторую) осями координат аффинной системы Оху (рис. 95), единичные векторы ............... ...... кото рой суть соответс.твенно векторы е. :::::: О А и :::::: О В, ведущие в соответствующие вершины А и В эллипса (длины векторов е 1 , еl обозначим через а и Ь). При на- шем аффинном преобразовании <2-71 пара rлавных осей эллипса пе.. рейдет в пару сопряженных и, следовательно, взаимно перпенди" кулярных диаметров окружности, которые примем за оси координат системы О' х' у'. За единичные век- торы этой системы примем ра.. диусы e , e (они имеют длину 1). При аффинном преобраэовании <2-71 пара взаимно перпендикулярных прямых Ох и Оу переходит в пару взаимно перпендикулярных прямых О' х' , О' у' , а отрезки ....... ............ t} == ОА, е 2 == 08, лежащие на Ох, иу и имеющие соответственно длины а и Ь, переходят в отрезки e , e длины 1, лежащие на О' х', О' у'. в чем же состоит аффин- ное лреобразование e/t? Очевидно, в движении (собственном или несобственном), которое переносит пару взаимно перпендикуляр- ных прямых Ох И Оу соответственно в пару взаимно перпендп- кулярных прямых О'х', О'у', и в последующем сжатии или растя- жении вдоль этих последних прямых в отношении а: 1 и Ь: 1. Теорема 8 доказана. Из теоремы 8 вытекает С л е Д с т в и е. Пусть аффинное преобразованuе <2-71 предс/псюлено в виде произведения ортоzоН,альН,оzо преобразован'ИЯ (т. е. собствен- IiOzo или Н,есобственН,оzо движения) u двух сжатий с коэффициен- тами k 1 и k 2 . ТО2да отношен'ие длины образа любоzо отрезка к длине прообраза эmО20 оmрезка заключено между числами k 1 u k'a. В самом деле, пусть u == {а, } какой. нибудь вектор и' {a', '} ero образ при преобразовании <2-71. Так как opToro.. нальное преобразование не меняет длины вектора, то можно пред- положить, что преобразование есть произведение двух сжатий a z о :с РИl'. 95.
194 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ BTOPOrO ПОРЯДКА к осям прямоуrольноЙ системы координат с коэффиuиентами k 1 и k 2 . Без оrраничения общности можно преДПОJlОЖИТЬ, ЧТО, напри- мер, kl k2. Тоrда а' == k1a, А' /; ., п t'I == "2r. Поэтому I и' 1:::: V (1.,12 + ,2 :=: Vkia 2 +k 2 k 1 I а 2 + 2 == k 1 J u 1. Аналоrично 1 и' 1 k 2 I u r J т. е. I и' I k 1 ТUТ k2' ЧТО И требовалось доказать. Если при ЭТОМ k 1 := k 2 k, то дЛЯ любоrо вектора u и ero образа u' имеем о' ТUl == k преобразование е7! есть преобразование подобия. Итак: Аффинное преобразование, являющееся произведением opToro- нальноrо преобразовзния и двух сжатий с ОДНИМ и тем же коэф- фиuиентом, есть преобразование подобия. ОТСlода в СБОЮ очередь в виде непосредственноrо следствия вытекает т е о р е м а 9. Аффинное преобразован'uе, отображающее какую- нибудь окружность на окружность, есть преобразованuе подобия.
r л А В А VII КРАТКОЕ ОПИСl liИЕ РАЗЛИЧНblХ ВИДОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ BTOPOrO ПОРЯДI(А в этой r.паве будут перечислены различные виды поверхностеЙ BToporo порядка. В rлаве IX мы покажем, что ка>кдая из поверх- ностей BToporo порядка является одной из упомянутых D настоящей rлаве, т. е. что мы перечислили все поверхности Бтороrо порядка. Система координат 130 всей этой r лаве предполаrается прямо.. уrо.ТIЬНОЙ. 1. Распадающиеся поверхности Ес"ТIИ мноrочлен второй степени F (х, у, z) есть произведеНIIЭ двух ыноrОЧ.пенов первоЙ степени: Р(х, у, Z) == (AIX+Bly+ClZ+Dl)(A2X+B2y+C2Z+D2)' то поверхность F (Х, у, z) == О распадается на пару плоскостей зt{ и П 2 : AIX+Bly+ClZ Dl==O и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 ==O. ЕСс.fJИ эти пЛОСКОСfпu пересек а ,'ОПlСЯ , то сделаем прямую их пересечения осыо аппликат, а биссе!{торные П,,1JОСКОСТИ двуrранных yr лов, образуе.. мых этими плоскостями, ПрИI\fем за координатные n 7JOCKOCTII Oyz и Oxz пряыоуrольной систеыы координат, беря в качестве плоскости любую n lIOCKOCTb, перпендику.пярную к линии пересечения данных плоскостей (рис. 96). Тоrда данные плоскости Лl и зt 2 получат уравнения Ах + Ву == О 1I Ах Ву == О, а поверхность F (х, у, z) == О, распавшаяся на эти плоскости, будет поверхностью (Ax+By)(Ax Bи)==O, т. е. A2x2 B2y ==O. (1) Итак, всякая поверхность 8Jll0p020 nорядка J распада/ощаяся на пару пересеl\аЮll UХСЯ nлоскоспlей J в н.екоторой сиспzе.ме координат U.l teelil уравнение (1). Если поверхность распадается на пару nаралеЛЛЬНblХ плоское.. тей Л 1 и П 2 , то примем за плоскость Оху прямоуrодьной системы координат среднюю плоскость n между плоскостями П 1 И п 2 . Начало прямоуrОJlЬНОЙ систеl\lЫ координат О и векторы е 1 и е 2 возьмем в плоскости л, а вектор е з направим перпендикулярно к плоскости зt (рис. 97); тоrда плоскости пl и П 3 будут сосэтветственно иметь
196 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕН BToporo ПОРЯДКА уравнения z == а и z == ....... а; уравнение пары плоскостей п!. "2 будет Z2 а 2 == о. (2) Наконец, мы rоворим, что уравнение (Ax+By+Cz+D)2=:O определяет пару совпадающих 'м'ежду собой плоск.остеiJ. Ax+BU+Cz+D ==0. Приняв эту плос!{ость за плоскость z == О новой координатной системы, мы ВИДИМ, что всякая поверхность BToporo порядка, z Рис. 96. rl1C. 97. НВЛЯlощаяся парой совпадающих ые)иду собой плоскостеЙ, в BeKO т()рой системе координат может БLIТЬ задана уравнением Z2 == о. (3) 1\lы УПIIДИМ (в rл. IX), что поверхность, распадзющаяся на пару л1flllАtblХ (соnряжеflНЫХ) плоскосmей может быть задана ypaB неннем Al x 2+B2 y 2 ==о, если эти плоскости пересеКЗIОТСЯ, и уравнением :2 +а 2 == О, если они параллельны.
UИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ 197 2. Цилиндрические поверхности Цилиндрическая noвepXflOCfrlb втОрОёО порядка задается в неко" торой наДvlежаще выбранной Д 1JЯ данной поверхности канонической системе координат уравнением F (х, у) == О, rде F(x, у) мноrочлен второй степени от переменных х и у. Кривая, оп е. деленная уравнением (1) в плоско- сти Оху, является направляющей кри- вой (основанием) цилиндрической по- верхности. Эта кривая может быть эл- липсом, действительным или мнимым, rипербо.пой или параболой, в зависи- мости от чеrо мы и различаем эллипти- ческие (рис. 98). мнимые эллuпmuче- CKиe 2uперболuческue (рис. 99) и пара- болические (рис. 100) цилиндры, кано- нические уравнения которых совпадают с каноническими уравнениями их На- правляющих кривых (1). Если направ- ляющая (1) есть пара прямых, то ци- линдрическая поверхность вырождается в пару плоскостей (пересекающихся, параллельных z f I 1 I I I 1 1 ,j".... I 1 1 ," 1,.0' I Рис. 99. (1) !! I I I...... .... ....-"1' ... , , .... I " 1,'" I 1,/ I y I I I I I I f f I I f / J. / ...... .... ....I / " , I / '" / /' О , / 1" 1/ .( ..,.... '1 /" I I / 1 // I I I . ,( Рис. 98. или совпа- Z! I r I .............. i I "".... I .....--- I /."...... f'" , / / / / ..J. .. t / ............. / "'..... I"!....'" ...-. ,z- Рис. 100. даЮIЦИХ t действительных или мнимых в зависимости от соответ" ствующеrо свойства лежащей в основании пары прямых).
198 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕН BToporo ПОРЯДКА 3. Конусы BToporo порядка Под дейспlвuтельным конусом вmороео порядка поверхность BToporo порядка, которая внекоторой ной системе координат задается уравнением х2 у2 Z2 а 2 + ь2 "С2==О, понимается прямоуrо.пь- (1) Это уравнение и система координат, в которой данный конус им задается, называются каноническими для этоrо конуса (рис. 101). Поверхность, получающаяся от вращения BOKpyr заданной пря мой б какой нибудь прямой d, пересекающейся с прямой <5, называется круелым конусом или конусом ,Z вращения. Выведем уравнение круrлоrо конуса. Для этоrо примем прямую о за ось Рис. 101. !Z I I , ..-- . ............ .......... J " \ / , \/" f .................... ..... ...... 1, . , \ I I :с -- i ' - /; '...... ........,..., ..............) d b'" Ркс. 102. апп.пика1', течку ее пересечения с прямоЙ d за начало коорди. нат, а плоскость, ПРОХОДЯЩУIО через ПРЯ .-Iые б и d, за плос кость Oxz прямоуrОJ1ЬНОЙ системы координат (рис. 102). Уравне- u d О 'хl t вие пря лои в плоскости xz МОЖНО записать в виде ТZI == ga, у == О, rде острый уrол наклэна ПрЯ fОЙ d 1<: оси Oz. Тоrда
конусы BToporo ПОРЯДКА / , /" : \ ......"'(. I '\ , 1 "-"-.............i .... "-,,- t t: i I "- I " " .....с; + ".."-'!. \ I ",,- \ I "- \ I "- \ I \ I \ I \ I / \ I // '\, / V ..... I " t l 199 . u') о .... () == Q.c . о C.J :Q . ci) о ..... (j а..
200 РАЗЛИЧНЫЕ виды ПОВЕРХНОСТЕА BToporo ПОРЯДКА уравнение поверхности вращения будет х 2 + у2 k 2 z 2 :::= О, (2) rде k == tg а. Уравнение (2) и есть каноническое уравнение Kpyr- ,,1]oro конуса. Плоскость, пара.плельная плоскости Оху, пересекает конус (2) по окружности (например, плоскость z === 1 ..... ПО окружности х 2 + + у2 == k 2 ). Если HeMHoro наклонить эту плоскость, то в сечении получится эллипс (рис. 103) (читателю предлаrается проверить это). Плоскости, параллельные плоскостям Oyz и Oxz, пересекают конус (2) по rиперболам: например, в сечении конуса (2) плоскостью х == Ь получаем кривую k 2 z 2 ..... у2 == Ь2, ь Т. е., полаrая k а, rиперболу (рис. 104) Z2 у2 ...... == 1 а 2 Ь 2 · (3) Не только эллипс и rипербола, но и парабола являются плоскими сечениями круrлоrо конуса (2). Для простоты положим k == 1, тоrда уравнение конуса будет х 2 + у2 Z2 == о. ( 4 ) Докажем, что параболой является, например, сечение !{онуса (4) плоскостью п, заданной уравнением x z+l==O (рис. 105). Сделаем преобразование прямоуrольных координат: х' z' 1 , х' +z' 1 х == У2 2' У у, z == У2 + "2 · в новой системе координат плоскость 1t является координатной плоскостыо z' ==Ot а поверхность (4) получает уравнение у' 2 2х' z' х' у 2 == О, поэтому ее сечение плоскостыо z' == о есть парабола у,2 == х'у 2 . Итак, и эллипс. и rипербо.па, и парабола являются сечениями конуса (даже круrлоrо конуса). Поэтому эти кривые 11 называются коничеСКUАfИ сечениями. К плоским сечениям поверхностей BToporo порядка мы еще вернемся с более обlцей точки зрения в rлаве VIII. Наряду с действительными конусами BToporo порядка суще СТВУЮТ еще мнимые I{оиусы, которые в канонической для них
ЭЛЛИПСОИДЫ И rИПЕРБОЛОИДЫ 201 системе координат имеют уравнение х 2 у2 Z2 О t;2+bi+Ci==. (5) Единственная действите пьная точка мнимоrо конуса есть точка О (О, О, О). Их дальнейшее изучение интереса для нас не представ- л яет . Заметим, наконец, что цилиндрические и конические поверх- ности BToporo порядка (охватывающие, как мы видели, в виде ч стноrо случая и все распадающиеся поверхности BToporo порядка) будут объединены ПОД общим наименованием вырождающuхся по- верхностей втор oro порядка; им в качестве невырождающихся поверхностей противополаrаются эллипсоиды, rиперболоиды и па.. раболоиды, к определению и краткому описанию которых мы и переходим. 4t Эллипсоиды и rиперболоиды Эллипсоидом (веи{ественным') называется поверхность, имеющая внекоторой (<<канонической» для нее) прямоуrольной системе координат (<<каноническое») уравнение х 2 у2 Z2 a 2 +fj2+&==1. (1) Положительные числа а, Ь, с называются пОЛУОСЯJrtU эллип- соида (1). Эллипсоид лех{ит внутри прямоуrольноrо параллелепипеда a<:.x a, b<y b, c z c. Друrими словами, эллипсоиды суть оrраниченные поверхности. Все плоские сечения эллипсоида явЛЯЮfпся пОЭflZО..ну 02раfltlчеНflЬ!.IНU кри8blJrlИ втОрО20 порядка, т. е. эллипсами. Оби ий вид эллипсоида изображен на рис. 106. Предположим, что а 2 Ь 2 ;;:::: с 2 (изменяя, если нужно, ос 11 координат, мы всеrда можем достиrнуть этоrо). Если а==Ь*с, то сечения эллипсоида плоскостями z == h суть окружности х 2 у2 h2 а 2 + а 2 == 1 С2' z == h (радиуса rh == v с 2 h 2 , вещественноrо лишь при I h 1 С), а сам с х 2 Z2 эллипсоид получается вращением эллипса а 2 + с2 == 1, у == о вокрур оси z. Так как с < а, то вращение эллипса происходит BOKpyr ero второй оси (рис. 107), и полученный при этом эллипсоид естественно назвать сжатым эллипсоидом вращения. Если же
202 РАЗЛИЧНЫЕ виды ПОВЕРХНОСТЕЯ BTOPOrO ПОРЯДКА а> Ь :::= С, ТО сечения эл Т)ипсоида плоскостями х == h суть ОКРУЖНОСТI1 у2 Z2 h 2 7ft + Ь2 == 1 ....... а 2 ' Х == ! . Радиусы этих окружностей равны rh==.!Vа2 h2(ОНИ вещественны а ..туишь при ! !ll а); ЭЛ,,1ИПСОИД получается ОТ вращения Э.,'J..1JИflса z $ I 3J .f FlIC. 103. Рис. 107. а'2 + Ъ-?; == 1, у == О (или эллипса а 2 + ь2 == 1, z == О) BOI{pyr оси Ох, т. е. BOKpyr ero фокальной оси. Полученная поверхность называется 8ЫI11януты},! эллuпсоuдОАt вpaи(e )Z fl!lЯ (рис. 108). " Наконец, при а == Ь == с э.п . "Т]ИПССIlД (1) ЯВilяется сфероЙ радиуса а (рис. 109). t z Рис. lС8. Рис. 109. Поверхность, эадавае ая в какой нибу дь прямоуrольной системе !{ООРДllнат уравнением х 2 y Z2 а2 + Ь2 + ci == 1,
ЭЛЛИПСОИДЫ И rИПЕРБОЛОИДЫ 203 пазывается МIlИМЫ.А! эллипсоидом. 1\'\нимыЙ эллипсоид не имеет НИ ОДНОЙ вещественной точки. Однополостным} соответственно двуполостным 2uперболоидОАt НС1зывается поверхность, имеющая внекоторой прямоуrольной системе координат уравнение х 2 у2 Z2 1 ( u а 2 + 7i2 с2 == однопо.лостныи rиперболоид (рис. 110)), (2) х 2 у2 Z2 ........ а 2 ь2 + с2 == 1 (двуполостный rиперболоид (рис. 111 ). (3) Пряыоуrольная система координат, в котороЙ данный rипер- БО.10НД имеет уравнение вида (2), соответственно (3), называется канонической для этоrо rиперболоида, а сами уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнеНUЯЛlU ёuперболоuдов. Положитель- ные числа а, Ь, с называются полуосями rиперболоидов (2) и (3). х 2 у2 Z2 Конус а2 + Ь 2 с2 == О определяется KaI{ общий асимптотический конус обоих rиперболоидов (2) и (3) (рис. 112). Из уравнений (2) и (3) ВИДНО, что начало канонической ДЛЯ данноrо rиперболоида системы координат является ero центром симметрии, координатные плоскости прямоуrольной канонической системы ero плоскостями симметрии, а оси координат этой системы осями симметрии. Всякий rиперболоид имеет три плоско- сти симметрии. Если а == Ь == С, то rиперболоид называется nравuльн.ым. Плоскость z h пересекает однополостный rиперболоид (2) по кривой х 2 у2 ....... 1 h 2 а 2 + Ь 2 + с 2 ' z == h. (4) h 2 2 По.лаrая 1 + == Лh, ВИДИМ, что кривая (4) есть эллипс х2 у2 (а Лh)2 + (Ь Лh)2 == 1, z ==h. Все эти эллипсы подобны между собой: отношение их полvосеЙ Ь Лh Ь а Лh == а одно и то же, их эксцентриситеты равны эксцентриси- тету эллипса х2 у2 а 2 + ь2 == 1, z == О, являющеrося лересечением однополостноrо rиперболоида (2) с П..10СI{ОСТЬЮ Z == о; этот эллипс называется еорловым эллипсом данноrо однополостноrо rиперболоида. При а == Ь эти сечения являют- ся окружностями, а rиперболоид (2) делается однополостн.ЫА1.
204 РАЗЛИЧНЫЕ виды ПОВЕРХНОСТЕй BTOPOrO ПОРЛДКА c's ...... C.J :;.1 /,/ ' \ I I I I . I ..........., " I .......... 1 " ......... '- I i ....... 1 "1 I j -',- I u , 1" ::.:. ' а.. \ / ' ) \ . "" \ !' " \/ ',- ... о .......... .......... u =:.:
эллипсоиды и rИЛЕРЕОЛОИДЫ 205 2unерБОАоuдОАl вращенuя ОН получается при вращении rиперБО/Iьr n ..... " == 1, У:=2 О (или rиперболы 2 ...... 2 == 1, х == О) БОКР yr оси а'" С'" а с Zt являющейся второй осью КЗ}l{ДОЙ ИЗ этих rипербол. Сечения однопо.постноrо rиперболоида (2) плоскостнми у::= ' суть кривые a -ёз == 1 ...... 7)9. Полаrая Л === 1 ...... bi при r h 1< ь и АХ == z: 1 при Ih/>b, видим, что эти кривые суть соответственно rи- перболы (рис. 113) х 2 z ...... == 1, Y ==h и {а ЛhР (с Лh) z'JI X (с Лh)i (а Лh) == 1, у == h. Аналоrично ДОI{ззываем, что се. чения однополостноrо rиперболоида (2) плоскостями х == h суть rиперболы у2 (Ь Лh)3 Z2 (с л h)2 == 1, x==h h при I h I < а, л, == 1 2 ' а Z2 у2 (с л'h)2 (Ь Лh) == 1, х == h . !/ при !hl>a, Ц == : 1. Сечение Рис. 113. ОДIIОПОJIостпоrо rиперБОv10нда (2) каждой из плоскостей у == . .. ь есть пара прямых х 2 Z2 .. == о У == + Ь а 2 c'l. , . Точно ТЭI< же сечение однопо.постноrо rипербо.попда (2) каждой нз плоскостеЙ х == r а есть пара прямых у'! 22 - == о Ь 2 с 2 , x::=: :I a. РаСС 10ТрИМ теперь пересечения двуполостпоrо rипербо.поида х 2 ц2 Z3 а 2 ...... Ь 2 + с 2 == 1 (3) с плос}{остями, парал.пе.пьными координа rНЬП.l. ПЛОСI{ОСТЬ z == Jl при I h ! < с пересе((ает поверхность (3) по мни.. мым эллипсам, при l/ll > с по вещественным. Ес.пи а == Ь, ТО эти
206 РАЗЛИЧНЫЕ виды ПОВЕРХНОСТЕй BToporo ПОРЯДКА эллипсы ЯВЛЯЮТСЯ окруя<ностями, а rиперболоид (3) есть rипербо.. Z2 х 2 JIОИД вращения: ОН получается при вращении rиперболы ё2 li2 === == 1 У == О ( или ----- у2 == 1 х == О ) t с2 а'2 , / BOI<pyr оси z (являющейся фо.. кальной ОСЬЮ каждой из этих rипербол). При I h 1== с получасы пару мнимых сопряженных пря.. мых с ОДНОЙ вещественной точ- }<ОЙ (О, О, С), соответственно (О, О, С). Плоскости х == h и у == 11 пере- секают rиперболоид (3) по rипер" балам (р ис. 1 14) (плоскости х === == + а, у == + Ь ИСКЛlочения не предстаВЛЯIОТ). Мы определили асимптотиче- ский конус для обоих rипербо.. ЛОИДОВ (2) И (3) как I<ОИУС х? Y? o а? + Ь 2 с 2 · Сравним сечения Пv10СКОСТИ Z == h с каждым из rиперболои.. ДОВ (2), (3) и с КОНУСОМ (5). При ЭТОМ предполаrаем h > с. Получаем эллип сы. пол уоси которых суть ah == а / + 1 J r :: (сечение с ОДНОПОJlOСТНЫМ , / h 2 J rиперболоидом (2). b h := Ь r с2 + 1 соответственно " / h 2 а h == а r С2....... Ь h == ь / !!:.. ....... JI с 2 И, наконец, z / Рис. 114. (5) (6) 1, } 1 (сечение с двуполостным rиперболоидом (3)) I (7) ah == а J!:l.. l с ' I h (сечение с !\:ОН ус()м (5». bh==b с J МЫ ВИДИМ, что (8) а'; < ah < ah. Ь'; < b h < b h 8 Эro значит, что в каждой плоскости z==h ЭЛЛИПС J явпяющийся
ЭЛЛИПСОИДЫ И rИПЕРБОЛОИДЫ 207 сечение?vI этой плоскости с конусом (5). лежит между эллипсами, ЯВЛЯЮЩИМИСЯ сечениями той же плоскости с rиперболоидами (2) и (3): общий асимптотический конус обоих rиперболоидов располо- жен «между» обоими этими rипер60лоидами, как показывает рис. 115. Далее, имеем , " ( 1" h 2 ... 1" h 2 ) 2 ah ah а V с2 + 1 JI с2 ......... 1 == y h 2 y h2 ' +1 + 1 с 2 с 2 Т. е. выражение, стремящееся к нулю при I h 1--+ 00. Итак, при I h I со И lеем ah a'h ---+ о И (аналоrично) b'L b'h о и подавно ah ah О, b h b h ---+ О. С.педова- те.пьно, три эллипса, являющиеся сечениями плоскости z::::: h с rипер- балоидами (2), (3) и ИХ асимпто- тическим конусом (5), имея об- щие направления осей и общий центр. неоrраниченно сближаются. Можно сказать, что при 121.-+ 00 оба rиперболоида (2) и (3) неоrраниченно сближаются со своим оБЩИМ асимптотическим ко- нусом. Определение. Прямая, все- ми своими точками лежащая на данной поверхности, называется пря.молuн.еЙIl0Й образующей этой поверхности. В g 6 этой r лавы мы пока- }Кем, что у однополостноrо rипер- болоида имеются прямолинейные образующие. Сейчас мы док:з>кем, что у ДВУПО.J10стноrо rиперболоида вещест... венных прямолинейных образующих нет. В самом деле, предпо .ложим, что вещественная прямая d является прямолинейной обра- зующеЙ rилерболоида (3). Прямая d не может пересекаться с пло- скостью Оху (или лежать в ней), так как плоскость Оху не со... держит ни одной вещественной точки rиперболоида (3). Но прямая d не может быть и параллельной плоскости Оху, потому ЧТО в этом случае она содержалась бы в пересечении rилерболоида (3) с не... которой плоскостью z == h, что невозможно, Tal( как это пересече- нпе есть эллипс (вещественный или мнимый) и, значит, не содер" жит никакой прямой. Утверждение доказано. Ы видели, что начало канонической для данной поверхности системы координат является ее центром симметрии (единственным, !/ Рис. 115.
208 РАЗЛИЧНЫЕ виды ПООЕРХНОСТЕй BToporo ПОРЯДКА I<aK мы докажем в rлаве УI 1 1). Поэтому Э.,1JЛИПСОИДЫ И rипербо 10HДЫ получат в r лаве V 111 общее название центральных невы- pOJlCaeflftblX nовеРХНОСlпей onzopozo порядка (класс вырожденных цснтральных поверхностей составят конусы BToporo порядка). 5. Параболоиды ЭллuптuчеСКU"tt, соответственно 2uперболuческим параболоuдо..и называется всякая поверхность, которая в некоторой (канони- ческой для данной поверхности) прямоуrольноЙ системе координат Ое 1 е 2 е з имеет каноническое уравнение 2 х2 у2 Z == + для эллиптических параболоидов, р q 2z == для rиперболических параболоидов; р q (1) (2) при этом р и q положительные числа (<<параметры» парабо.. лондов). Общий вид эллиптическоrо параболоида представить себе очень леrко (рис. 116): он расположен весь по одну сторону от пло.. .z I скости Z О, а именно в полу- "" "" "" 7t ........., пространстве. z о; сечения .,."....;.... ' 1 // J ' \ плоскостями Z == h, h> О, суть , /' / \ ,,/ , // I х 2 у2 )L -J L . кривые + == 2h, т. е. эл 1\ /1 I Р q I \ /, I \ \ //, I липсы \ / I 1 \ / I I \ / I / х2 у2 , \ I I + 1 z h. (3) , \ ,/ 2ph 2q/1, , \ \ , )- ..... \ ;....,......, // I ....). \ // I / I / / / .f! ...J 7" I \ // I / /. " ,/ I ,/ " -:,ol", / ох Сечения эллиптическоrо па раболоидз (1) плоскостями у == о и х == О суть соответственно па.. раболы х 2 2pz, у==о (4) и Рис. 116. у2 == 2qz, х == О (5) 2лавные параболы параболоида (1); при этом параболу (4) условно назовем неподвuжноu, а параболу (5) подвижной. Сечение эллиптическоrо параболоида (1) плоскостью z == О есть пара l\IНИМЫХ сопряженных прямых с единственной вещественной точкой О (<<вершина параболоида»). Все эллипсы (3), являющиеся «rОРИЗ0нтальными» сечениями эллиптическоrо параболоида (1), подобны между собой они имеют
ПАРАБОЛОИДЫ 209 ОДНО И ТО же отношенпе полуосей: Y2qh == .. / q . и ОДИН и тот же Y2ph JI р эксцентриситет. В частности, если р == q, то все эти ЭЛll1ИПСЫ суть окружности радиусов V 2ph ; параболоид в этом случае есть пара- болоид враu(ения: он получается враlцением параболы х 2 === 2pz (раСПОЛQ}кенной в плоскости у == О) BOKpyr ее оси (рис. 117). Эллиптический параболоид веrцественных прямолинейных обра эующих не имеет. В ca OM деле, прямая d, паралле.пьная пло- скости Оху, лежит в некото- рой плоскости z === h, следова- тельно, все ее точки пересече- ния с параболоидом (1) при.. надлежат эллипсу, по кото- рому плоскость z == h пересе.. кает параболоид (значит, у нее не БО J}ее двух обlЦИХ точек с параболоидом (1). Если }и е прямая d не па- ра.плельна плоскости Оху, то целая ее полупрямая лежит в полупространстве z < О, не содержащем ни одной ТОЧКИ параболоида (1). Итак, никаl{ая прямая не может быть образующей па- раболоида (1). Можно дать следующее Рис. 117. очень Har лядное построение эллиптическоrо параболоида посредством СКОЛЬ)I{ения одной па- раболы ВДОЛЬ друrой (система координат все время предполаrается прямоуrольной). Возьмем сечение параболоида (1) плоскостыо х==х о (рис. 118); получим в этой плоскости, снабженной (прямоуrольной) системой координат Оое 2 е з . rде 00 == (Х о , О, О), кривую, уравнение которой бу дет у2 х2 === 2z х == ХО q р' или у2 == 2q (z 20), х == Хо, (6) rде х 2 (7) Z " о 2р · Перейдем в плоскости х === хо от системы координат Оое 2 е з к си.. стеме координат О'е 2 ез, rде О' == (х о , О, zo) есть точка пересечения
210 РАЗЛИЧНЫЕ виды ПОDЕРХНОСТЕй BToporo ПОРЯДКА плоскости х == ХО с неподвижной параболой х 2 2pz, У == О. (4) Перенеся начало !{оординат системы Оое 2 ез в точку О', мы произ- ве lJИ преобразование координат , ' + у ;:::;:: у , z == z 20, В результате KOToporo уравнение кривой (6) получило вид ,2 2 ' у == pz, х === Ха; (8) кривая (6) есть та же «подвижная» парабола, но перенесеннзя пара lле.пьно себе в плоскость Х == Хо, перенос этот можем осущест- вить TaK t что вершина подви}кной параболы скользит по непо- дви)кноЙ параболе из точки О в точку О', а сама парабола при Рис. 118. ЭТОl\'1 перемещается, как твердое те,,'! О, оставаясь все время в пло. скости, парал.пельноЙ плоскости Oyz. Этот результат мы можем сформулировать так: Эллuптический параболоид (заданный уравнением (1» есть 11 верхность, описываемая при движении одной (<<подвижной») пара- болы (5) вдоль друzой, неподвuжной (4), так, что вершина по- двuжной параболы СКОЛЬЗUfп по неподвuжной, а плоскость u ось подвижной параболы остаются все время параллеЛЬНblМU са.л1,UМ себе, причем nредполazается, что обе параболы (nодвuжная u неnодвuж- н'QЯ) обращены вО2нутостью в одну и ту же cnzopOHY (а именно в положительную сторону оси z).
ПАРАБОЛОИДЫ 21 t АналоrичныЙ способ построения применим и к rиперболиче- скому параболоиду (рис. 119), поверхности, нэr лядное предстэв.. ление о которой при первом знакомстве с ней обычно требует от учащеrося HeKOToporo небольшоrо усилия. Сеченияыи rиперболическоrо параболоида (2) с плоскостями у == о ИХ:;:: О CHJBa являются две «rа-'1звные» параболы: неПОДВIпкная парабола х 2 == 2pz, у == О (4) и подвижная у2 == 2qz, x o, (9) обраlценные теперь воrнутостью в противополо)кные стороны: не.. подвижная «вверх» (Т. е. в ПОЛОiките,,'1ЬНОМ напраВJlении о и z), 8 подвижная ({ВНИЗ» (в отрицательном направле. нии оси z). Сечение плос.. костью х == ХО имеет в си- стеме координат Оое ез (rде 00 == (хо, О, О) уравнение у2 X q == 2z + р ИЛИ у2 == 2q (z zo), } (10) х == хо, rде х 2 Z O о 2р , (7) )..Z о) z или, наконец, после пере.. несения начала координат в точку О' == (хо, О, zo) (лежащую на параболе х 2 == ;::: 2pz, У == О), уравнение ,2 2' } у == qz, ( 11 ) х == Хо. Последнее уравнение пока.. зывает, что кривая (10) б) есть та же подвижная па- рабола (9), только сдвину- Рис. 119. тая па раллельно себе по.. средством скольжения ее вершины ВДОЛЬ неподвижной параболы из точки О в точку О'. Отсюда следует, что euперболuческий пара.. 6оlЮuд (задсш1tый 8 прямоуzолыюй системе координат уравнением 1/
212 РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ПОВЕРХНОСТЕй Broporo порядКА (2) есть поверхность, описываемая подвижной параболой у2 =:: 2qz, х == О при ее деи"сении вдоль неподвижной параБО/lbl (4) так} что eeplUllHa подвижной параболы. скользит по неподвuжной nара60Ае, а плоскость u ось подвижной параболы остаются все время парал- леЛЫ-lblJrlи себе самим, при ,том 06е параБОАЫ 8О2нутостью все ере.МЯ 06раtцеНbl в противоположные стороны: неподвuжная еоену- mостью «вверх», т. е. е noложu. тельном направлении оси z, а под- вижная «ВНИЗ». ИЗ 9Toro построения ВИДНО, что rиперболический параболоид 3; имеет вид седла. Сечение rиперболическоrо па- раболоида плоскостью % == О есть пара (вещественных) прямых (рис. 120) (Vp + ;J(Vp fq )==O j.Z Рис. 120. (f:ВЛЛЮЩИХСЯ парой образующих rипербо.пическоrо параболоида). Сечение плоскостью z === h rF О есть rипербола, уравнение кото- рой есть (в системе координат Ohele2t rде Oh ТОЧI<а пересечения оси z с плоскостью z == h, а векторы е 1 , е 2 те же, что и в исход- ной системе Ое 1 е 2 е з ) х2 у2 2ph ..... 2qh == 1, z == '7,. При 11 > О фокальная ось этой rиперболы направлена по вектору {l, О, О}, Т. е. параЛ.:1е.пьно оси абсцисс, а при }l<О параCl1" лсльно оси ординат, так что проекции на ПЛОСI<ОСТЬ Оху rипербол, по.лучающихся в сечении параболоида (2) плоскостями z ;:: h и z == h, ЯВЛЯIОТСЯ сопряженными rиперболами в ПЛОСКОСТiI Оху. При ! h ! 00 эти r иперб олы и меют неоrраПИЧСПIIО возрастаю- щие полуоси у 2р ! h I и V2q 1/1:, отношение KOTOphIX постоянно И равно V : , так что все rиперБОJlЫ, являющпеся rОрl!ЗОlJта.1IЬ НЫ IИ сеченпями rиперболическоrо параболоида, подобны между собоЙ. 6. Прямолинейные образующие Нас интересуют в этом параrрафе лишь вещественные прямо.. линеЙные образующие только что рассмотренных поверхностей. Мы видели, что эллипсоиды, двуполостные rиперболоиды и эллипти-
ПРЯМОЛИНЕYlНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ 213 ческие параболоиды их не имеют вовсе. Докажем, что через каж- дую точку однополостноrо rиперболоида и rиперболическоrо пара- болоида ПРОХОДЯТ (по крайней мере) две (различные) вещественные прямолинейные образующие. 1. Прямолинейные образующие однополостноrо rиперБОJlоида. Пусть однополостный rиперболоид задан своим каноническим уравнением 1,2 у2 Z2 а2 + Ь 2 ....... с 2 == 1. Перепишем это уравнение в виде х 2 Z у2 ;:::: 1 а 2 с?, Ь 2 (1) ( }') или (= + :)( = :) == ( 1 + 0 (1 ). (2) Рассмотрим теперь пару вещественных чисел а, , не равных одно- вреыенно нулю, и для каждой такой пары напишем систему уравнений а( : + :) == (l+ ). j ( : )==a(l : ). в частности, при (Х * О, о получаем !... + !..==О ) а с ' 1 ==O ь ' (3) (4) а при а == о, :f= О 1 + == о, j х z == о. а с (5) Для каждой пары чисел а, наши уравнения определяют пару плоскостей, как леrко видеть, не параллельных (в широком смысле слова) И, следовательно, пересекающихся по прямой. Прямая эта uеЛИI<ОМ лежит на rиперболоиде (1). В самом деле, каждая ее точка М == (х, у, z) удовлетворяет обоим уравнениям (3), а следо- вательно, уравнению, полученному почленным перемножением уран.. нений (3), И, значит, уравнению (1). Случай, коrда один из MHO жителей сх., равен нулю, исключения не представляет, так как ТОЧI<а М == (х ) у, Z), удовлетворяющая системе уравнений (4) или (5), удовлетворяет и уравнению (1).
214 РАЗЛИЧНЫЕ виды ПОnЕРХНОСТЕП BToporo ПОРЯДКА Итак, мы получили семейство прямолинейных образующих rиперболоида (1) (рис. 121). СемеЙство это назовем семейством 1; оно, очевидно, зависит от одноrо параметра и == : а. Докажем, что через каждую точку Мо == (х о , Уо, 20) rиперболоида (1) проходит одна единственная прямая семеЙСТЕа 1. В самом де,,'IС, мы ищем прямую (3), проходящую через точку Мо === (Ха, Уа, Zo) и у дов.петворяющую уравнению (1), так что для t z опреде..1ения отношения р: ct имеем ураппения (3), которые (после за- мены х, у, z на Ха, Уа, Zo) MorYT быть записаны в виде следующих пропорций: р : а == ( + ) : ( 1 + ) I (311 : а == ( 1 ) : ( . ). (32) причем выполнено тождество ( + o ): (1 + У; ) == == (1 ) : ( %; ). (20) получающееся, если п одс та вить в (1) координаты х == Ха, У == Уа, z == Zo точки "'10. В силу тожде.. ства (20) мы можем для определе- ния отношения : а воспользо- ваться любым из уравнений (31)' Рис. 121. (32). Первое из них делается неопределеННЫI\'I, лишь если одно" временно 1 + У Ь О == О и ХО + Zo == о; НО в этом случае мы можем а с воспользоваться уравнением (32)' так как при 1 +!ff == о ВО вся.. ком с.пучае 1....... =1= О и, значит, отношение : а определится из (32). Итак, если задана точка 1\.10 == (хо , Уа, 20)' то однозначно нахо- дится отношение р: а, определяющее прямую семейства 1, прохо- дящую через точку Мо. Отсюда следует, что никакие две ПРЯМЬfе семейства 1 не пере.. секаются (так как если бы они пересекались 8 некQТОРОЙ точке Аl н то эта точка была бы точкой rиперболоидз (1), через которую проходят две прямые семейства 1, а такой точки, по только что ДОl{азанному, не СУlцествует).
ПРЯМОJ1ИНЕАНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ 215 Леrко проверить, что среди прямых семейства 1 нет двух па ралле.пьных. Ана"ryоrично уравнениям (3) можно было бы для ЛIобой пары чисел а', ', не равных OДHOBpe eHHO НУЛЮ, написать систему уравнений а' ( + !..., == ' ( 1 ) J \ а с / \ Ь' (3') ' ( \ == а' ( 1 + .!L ) \а с) \ Ь t определяющую ПрЯ .IУЮ, лежащую на rиперболоиде (1): каждая точка Л1 == (х, Yt Z)t у ДОВ ТIетворяющая двум уравнениям (3'), у дов" летворяет и уравнеНИIО, ПОt7Iученному от почленноrо перемноже.. ния этих уравнен й, И, значит, удовлетворяет уравнению (1). Итак, уравнения (3') также определяют семейство nрямоли нейных образующих ОДНОПО,,10стноrо rиперболоида (1), зависящее от одноrо параметра v == В' : а'; это семейство мы назовем ceMetlcrп.. вам 11 (рис. 121). Совершенно так же, как выше, мы убеждаемся в том, что через ка)l{ДУЮ точку /',t1 == (х, у, z) rиперболоида (1) проходит одна..един- ственная образуюrцая семейства 11. Наконец, совместное рассмотрение уравнений (3) и (3') (для данных р: (J., == u и /: а,' === v) позволяет установить, что каждая образующая семейства 1 пересекается с каждой обраЗУlощей се.. мейства 11 (или параллельна ей в узком смысле слова). Читателю пред.паrается (в виде задачи) провести относящиеся сюда paccy ждения. 2. Прямолинейные образующие rиперболическоrо параболоида. Начнем с чисто rеО:\1етрическоrо рассмотрения вопроса. Пусть дан парабо 10ИД х2 у2 2z== р q . Рассмотрим аффинное преобразование , х , у х == ур ' у == yq ' Тоrда уравнение параболоида при ет вид 2z' == х,2 y'Z . Рассматриваем сечения параболоида (7) плоскостями у' :=: х' + с, (8) у' :=: ........ х' + с, (9) параЛ"YJедьными плоскостям у' == + х'. Подставляя (8) в (7), ВИДИ I, что пересечение параболоида (7) с плоскостью (8) есть прямая 2z' == 2сх' ....... с 2 , у' == х' + с. (10) (6) z' == z. (7)
216 РАЗЛИЧНЫЕ виды ПОВЕРХНОСТЕй BTOPOrO ПОРЯДКА Аналоrично. пересечением параболоида (7) с плоскостью (9) есть прямая 2z' :::: + 2сх' с 2 , у' == ......... х' + с. (11 ) Коrда с пробеrает все значения от со до + 00, плоскость (8) (так же как и плоскость (9» пройдет через все точки парабо- JIоида, который, таки образом. оказывается покрытым двумя семействами прямых 1 и 11, определяемыми уравнениями (10) и (11) (рис. 122). Через каждую точку Л1 параболоида (7) проходит единственная плоскость вида (8) и единственная плоскость вида Рис. 122. (9), а знаЧИТ t и единственная прямолинейная образующая каж... доrо из семейств 1 и 11. При этом все образующие семейства 1 параллеtПЬНЫ плоскости у' == х', а все образующие семейства 11 параллельны плоскости у' == х'. Можно было бы получить тот же результат и для любоrо параболоида, заданноrо своим каноническим уравнением 6 2z === ( ) р q (только вместо плоскостей у' == + х' были бы рассмотрены плоско сти .;. р + .; q == о ) . Прямолинейные образующие rиперболическоrо параболоида MorYT быть аналитически найдены способом разложения на MHO жители, аналоrичным тому, который мы применили в случае однополостноrо rиперболоида. Именно, перепишем каноническое уравнение х' у2 2z== р q (6)
ПРЯМОЛИIJЕйНЫЕ ОВРЛЗУIОЩИЕ 217 rиперболическоrо параболоида в виде (; р + у q) (ур Vq) == 2z (12) и рассмотрим для каждой пары чисе.П а, , не равных нулю одновременно, уравнения двух плоскостей: а (ур + у q )==2 Z, I ( ур Vq )==a. Эти плоскости пересекаются по прямой, целиком лежащей на параболоиде (6). Прямые (13), каждая из которых определена отношением : а, образуют одно семейство прямолинейных обра.. зующих параболоида. Второе семейство получим, если рассмотрим (ДЛЯ каждой пары чисел а', , не равных нулю одновременно) систему уравнений (13) a' (;p ;q )==2 'Z, } ,( ;p + Vq )==a'. Снова доказываем, что через каждую точку rиперболическоrо параболоида (6) проходит по одной образующей каждоrо семей.. ства, что две образующие, принадлежащие к разным семействам, пересекаются, а принадлежащие к одному и тому же семейству всеrда скрещиваются. Наконец, очевидно, что образующие семейства 1, определяемоrо уравнениями (13), параллельны плоскости (13') х у О Ур yq === , а образующие семейства 11, определяемоrо уравнениями (13'), параллельны плоскости х у у р + Jf q == о.
r л А В А \ТПI ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ BTOPOrO ПОРЯДКА. I 1 PaHf и детерминант малой и большой матрицы u мноrочлена втором степени РассмаТрИDаем общее уравнение поверхности BToporo ПОрЯДI{3 в произвольной аффинной системе координат Oxyz: F (х, у, z) == a 11 x 2 + 2а 12 ху + а 2 2у2 + 2а 1з хz + 2а 2з уz + + аз з z2 + 2a 1 x + 2а 2 у + 2а з z + а о == о. ( 1) Как всеrдз, полаrаем ер (х, у, z) == a 11 x 2 + 2а 12 ху + a2zy2 + 2а1зхz + 2а 2з уz + а зз z 2 . (2) ВВОДИМ еще CJIедующие обозначения: I ан Q12 а13 йl А 021 а22 а23 02 F......... , аЗl 032 азэ аз аl а2 аз ао ' 1 аll аи аlЗ А, == I 1 а22 а23. IJ аз! аЗ2 0зз Матрицу Ар называем большой .матрицей уравнения (1), матрицу Aq> "иалой MaтpUl!etl. Ранrи этих матриц называем соответственно БОЛblutlА-t и малым раНсОА! поверхности, задаваемой уравнением (1), и обознзчае:\1 их соответственно через R и (. l\\bI сейчас увидим, что эти рЗНfИ не зависят от выбора системы координат, в кото.. рой задается уравнение поверхности. Детерминанты матриц A F и А<р обозначаются соответственно через и б. l\1bI знаем, что при сдвиrе начала координат малая матрица, а значит, и ее детерминант не меняются. При .пинейном однородном преобразовании ' + " ' ) х == С 11 Х С 12 У I С 1З Z , ' + ' + ' у == С 21 Х С 2 2У C 23 Z , ' + ' + ' z == С З1 Х С з2 У СззZ , С11 С12 СlЗ С21 С22 С 2 Э == С =1= О, С31 СЭ2 СЗ3 (3) paHr , матрицы AqJ не меняется, а детерминант б (как дискрими.. нант квадратичноЙ формы <р (х, у, z» умножается на с 2 .
PAHr и ДЕТЕРМИНАНТ МАЛОй П БОЛЬШОй МАТРИЦЫ 219 Так как всякое преобразование координат сводится к сдвиrу начала координат и к однородному преобразованию вида (3), то при переходе от системы координат Oxyz к произвольной новоЙ О , , , , А системе координат х у z paHr r маТРИЦbl ер не меняется, а ее детерминант б умножается на квадрат детерминанта преобра- зования. Докажем аналоrичное утверждение для большоrо paHra R и детерминанта Д. Возьмем общие формулы преобразования координат: ' I ' + ' I d ) х .- C 11 X I C 12 Y C 13 Z Т 1, , I ' + ' I d У == C 21 X ' C 2 2!J С 2з Z I 2' ' + ' + 'L d z == Сз1Х С з2 У СззZ I 3' I С11 С12 Cl3 I С,Н С22 С21 == С * о. СЗ1 С 32 СЗЗ (4) Наряду с мноrочленом F (Х, у, z) рассмотрим квадратичную форму Ф(х, у, z, t)==аl1х2+2аl?ху+а22у2+2аlзхz+2а2ЗУZ+ + а зз z 2 + 2а 1 х' + 2a2l/t + 2a a zt + a o t 2 и преобразование х == C 11 X' +с 12 у' +С1зZ' +d 1 t', у==с 21 х' +С 2 2У' +С 2 эZ' + d 2 t', z == с з1 х' + c:nu' + Ca.,z' + dst', t === t' . Тоrда Ар есть матрица формы Ф (х, у, z, t), а L1 ее дискрими- нант. При преобразовании (4') paHr R формы Ф остается неиз.. менным, а ее дискриминант умножается на квадрат детерминанта преобраЗQвания (4'), Т. е. на (4') Са С12 С13 d 1 Са С12 С1З С21 С22 С2З d 2 d з С21 С22 С23 СЗl СЗ2 СЗ3 СЭ! СЗ2 Сзз О О О 1 (5) Мы доказали следующее предложение: О с н о в н а я .п е ]':1 м а. П ра преобразоваНllа координ-аln (4) раН2а R и r мат.риц Ар u Ац> остаются неизменными, а их детерми" нанты Д u б умножаются на квадрат деmер.минанmа преобразо- ванuя (4) и, следовательно, сохраняют свой знак. 3 а м е ч а н и е 1. Если преобразование (4) есть сдвиr начала координат, то С 11 === С 22 == С З == 1, а C 12 == Cl == С 21 == С 23 == С З1 == == CO == 01 так что детерминант (5) равен 1. Поэтому при переносе начала координат не только детерминант 6, но и детерминант d сстаются неизмен ными. 3 а 1\1 е ч а н и е 2. Так как детерминант б есть детерминант TpeTbero порядка, то при умножении всех ero элементов на 1
220 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ пав ErXHOCTEA BToPoro ПОРЯДКА. r знак б меняется на обратный. Зато знак детерминанта не меня.. ется при умножении ero элементов (т. е. всех коэффициентов уравнения (1» на ....... 1, значит, и на любой вообще множитель Л=t=О. 2. Пересечение поверхности BToporo порядка с плоскостью Пусть даны поверхность BToporo порядка и плоскость. Пе'.. рейдем к такой системе координат Oxyz, в которой данная лло.. скость была бы ПЛОСКОСТЬЮ Оху, т. е. имела бы уравнение z == о. Запишем в этой системе координат уравнение нашей поверх- ности: F (х, у, z) == a 11 х 2 + 2а12ХУ + a 2 2U 2 + 2а 1з хz + 2а 2з уz + + йззz2 + 2а 1 х + 2 y + 2а з z + ао :=: О, (1) и будем решать ero совместно с уравнением z==O. (2) Получим уравнение Р(х, y)==al1x2+2a12xy+a22Y2+2alx+2 y+ao==0. (3) Этому уравнению и удовлетворяют точки, одновременно лежащие на поверхности (1) и на плоскости (2). Мы видим, что, вообще rоворя (т. е. за исключением особоrо случая a 11 === а 12 == а 22 ::::: О, который мы сейчас отдельно разберем), уравнение (3) есть урав- нение второй степени, определяющее HeKoTopYIO (лежащую в пло... скости z == О) КРИВУЮ BToporo порядка, которая и является пере- сечением данной поверхности BToporo порядка с данной плоскостыо. Переходим к случаю а 11 == а 12 == й22 == о. Предположим, что по крайней мере один из коэффициентов йl, а 2 отличен от нуля. В этом случае пересечение поверхности (1) с плоскостью z == О есть прямая 2а 1 х+2а 2 у+а о ==0. Пусть теперь не только a 11 == a 12 == й22 == О, но II а 1 == а 2 === о. Если при этом и ао О, то уравнение поверхности (1) имеет вид z (2а 1з х + 2а 2з у + йззZ + 2а з ) == О поверхность распадается на пару плоскостей: z == о, 2а1зх + 2а 2з у + аззz + 2аз == О,
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОС ОСТЬЮ 221 ОДНОЙ ИЗ которых является данная плоскость z == о. Наконец, последняя возможность состоит в ТОМ, что 011 == й12 == а 22 == йl == а 2 == о, но й о =1= о. Тоrда уравнение (3) ПРИВОДИТ к противоречию: 00 == о (Tor- да как дано, что йо:;=О), означающему, что нет ни ОДНОЙ ТQЧ.. КН (ни вещественной, ни мнимой), которая лежала бы OДHOBpe менно на данной плоскости и на данной поверхности BToporo порядка. 11так, доказана т е о р е м а 1. П ри nересеченuu поверхности втОрО20 порядка с плоскостью Mozym nредставляmься лишь следующие случаи: (а) поверхность пересекается с плоскостью по кривой вmоросо порядка; (б) поверхность пересекается с nЛОСКОСlnЫО по (вещественной) nрЯ. tОЙ линии; (в) поверхность распадается на пару плоскостей, одной из КОПZОрЫХ является данная плоскость (входЯlцая, тOKUAl образом, в сос/пав рассматриваемой пoвepXHocrпu); (r) поверхность не имеет с плоскостью на одной общеЙ точки (ни веt.цеспl('енной, на мнимой) 1). 3 а м е ч а н и е. В случае (а) кривоЙ BToporo порядка, являю.. :цеЙся пересечение 1 данной поверхности BToporo порядка с данной плоскостью, может быть (а 1 ) нераспадающаяся действительная или мнимая кривая, Т. е. эллипс (действительный или мнимый), rипербола или парабола; (а 2 ) пара пересекающихся вещественных прямых; (аз) пара мнимых сопряженных прямых. имеющих единствен- ПУIО вещественную (общую) точку, которая и является единствен- ной вещественной точкой, лежащей одновременно на данной поверх.. ности BToporo порядка и в данной плоскости; 1) Эта Teope la с указанными в вей четырьмя различными случаями пред- ставляется довольно уродливой; в rлаве Х мы перейдем от обыкновенноrо (KOMn ' KCHoro) пространства К проектнвному о:ространству, ПОJlучаемому из оБЫКIlовенноrо пространства пополнением ero бесконечным множеством таи: называемых несобственных (или бесконечно удаленных) точек, образующих в своей совокупности нссобственную (И.'lИ бесконечно удаленную) плоскость (с J1 }кащими в ней несобствеинЬ1ЫИ, впи бесконечно удаJlенны и прямыми). Если рассматривать нашу поверхность в проективном пространстве, то случай (6) будет состоять в том, что лересеченые поверхности ПЛОСКОСТЬЮ является кривой BToporo порядка, распавwейся на пару прямых, одна из которых лежит D нссобс1Dенной плоскости (<<ушла в бесконечносты), а случай (r)...... в том, что пересечением является пара совпадающих между собой несобственных прямых. Таким образом, в проективпом пространстве возможны лишь два с..'lучая: либо пересечение ПОDСрХНОСТИ BToporo порядка с П.поскостыо есть кривая DToporo Порядка, либо поверхность распадается на лару плоскостеЙ, одноЙ из которых является данная плоскость.
222 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BTOPOrO ПОРЯДКА. 1 (34) пара параллельных D собственном смысле вещественных или мнимых сопря){{енных пря!...IЫХ; (а 5 ) пара совпаД3!ОЩIIХ вещественных лряыых. ZA Zt I z с) Рис. 123.. Как мы увидим ниже, ВОЗМО)l{НОСТИ ( а 2 ), (аз), (35) ха рактери.. ЭУЮТ различные С"ryучаи касания данной поверхности BTOPOI'O порядка с плоскостью (рис. 123). 3! Пересечение поверхности BToporo порядка с прямой. Асимптотические направления. Касательные прямые и касатеv1ьная П,,'10СКОСТЬ. Особые точки поверхности BToporo порядка То, что rоворилось в r.паве УI екой кривой с прямой, можно было очевидными изменениями повторить ческой поверхности опересечении алrебраиче.. бы с несущественными и и опересечении алrебран" F (х, у, z) == О (lA)
КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫВ И КАСАТЕЛЬНАЯ плоскость 223 с прямой х == Ха + at, ) у === Уо + pt, Z == Zo + "lt. Как всеrда, мы будем предлолаrать, что и поверхность (1 А) и прямая (2) являются вещественными; в соответствии с ЭТИ f все коэффициенты Б уравнениях (1 А) и (2) всеrда предполаrDЮТСЯ вещественными. Мы оrраничимся случаем, }(оrда данная поверхность (l А ) вто.. [-.oro порядка, Т. с. коrда ее уравнение ест[) F ,Х, у, z) == a 11 x 2 + 2al Y + а 22у 2 + 2а 1з хz + 2а 2э уz + а зz2+2аlХ1 2а2у+2азz+ао О. (1) (2) Старшие члены мноrочлена F (х, у, z) образуют квадратичную форму fP(x, у, 2)==аllх2+2а12ху+а22у2+2аlзхz+2 зУz+а.JЗz2. (3) Мы будем пользоваться еще следующими обозначениями, которых будем постоянно придерживаться в этой rлаве 1 ): Fk(x, у, z)==аklх+аk2У+аkзz+аk, k==l, 2,3. (4) Для нахождения точек пересечения поверхности (Х) с прямой (2) подставим (2) в (1); после приведения подобных членов получим уравнение второй степени относительно [, а именно: At 2 + 2В! + с == О, (5) r де, как леrко проверить, А == ер (а, , ,\,) == аl1 а 2 + 2a12a + a22 2 + 2а 1з ау + + 2а2з l'+аззv2, В == Рl (Ха, Уо, zo) а + Р 2 (Х о , Уо, zo) + F3 (Ха, Уо, zo) у, С == F (х о , Уа, Zo). Уравнение (5) есть квадратное уравнение, за исключением Toro С 1учая, Kor да (6) <р (а, , ,,) == о. (7) дР дР дР ;1) Читатель, знающий, что такое частные производные д ,............... д ' д х у z ФУНКЦИИ F (х. у, z) от трех пере 1СННЫХ, сразу заметит, что Р 1 (Х, у, z) === 1 oF 1 д F 1 дР '2 дх ' F (xl у, Z)=== 2 ду ,Fэ(х, у, Z)== 2 az ·
224 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BToporo ПОРЯДКА. r BeKпlOp U == {ct, , у}, удовлетворяющий условию (7), называется вектОРОА'" асимпmотuчеСКО20 направления или просто асимптоти- ческим вектором поверхности (1); прямая, наnршзляющий вектор КОfпорой является асимптотическим, наЗbl8ается прямой acUJ;tптo- mичеСКО20 направления для данной поверхности. 3 а м е ч а н и е. Повторяя в точности рассуждения 3 rлавы VI, убеждаемся в том, что вопрос о том, является ли данное направление асимптотическим или нет ДЛЯ данной поверхности BToporo порядка, зависит то пько от этой поверхности и от данноrо направления и не зависит от системы координат, в которой задано уравнение этой поверхности. Если прямая (2) имеет неасимптотичеСI{ое направление, то уравнение (5) квадратное и имеет два корня t 1 , t 2 веществен- ные различные, или мнимые сопряженные, или совпадающие (вещественные). Подставляя эти значения /1 и t 2 В равенства (2), получим две точки пересечения (вещественные или мнимые, быть может, совпадающие) прямой (2) и поверхности (1). Итак: Если прямая (2) имеет неасuмnтотическое направление, то она пересекает поверхность (1) в двух точках различных (дейст- вительных или мнимых сопряженных) или совnада/ощuх (действи- тельных), nолучаЮU{UХСЯ J если подставить в (2) любой из двух корНей t 11 или t == t 2 квадратНО20 уравнения (5). Если обе точки пересечения прямой (2) с поверхностью (1) сливаются в ОДНУJ т. е. уравнение (5) имеет совпадающие корни, то прямая (2) называется касательной к поверхности. В этом случае за точку Мо == (Х о , Уо, zo) прямой (2) возьмем точку, лежащую на поверхности (эта точка и будет точкой при- косновения прямой к поверхности). Тоrда С == F (х о ' Уо, zo) О и уравнение (5) принимает вид At 2 + 2Bt == О, Т. е. t(At+2B)==O. Один ero корень есть /1 == О, второй /2 == 2: ; для Toro чтобы он тоже был равен нулю, надо, чтобы было В == О, т. е. Р 1 (х о , Уо, zo) ct + Р 2 (хо, Уо, zo) Р + Ра (Х о , уо, zo) у == о. (8) Это и есть условие, которому должен удовлетворять направляю- щий вектор {а, , у} прямой (2), проходящий через точку Мо == == (х о , Уо' zo) поверхности (1), чтобы эта прямая была касательной (и тоrда она будет касательной в точке Мо). Имеется бесконечное множество прямых, проходящих через ТОЧI{У /vl o , С направляющими векторами, удовлетворяющими усло- вию (8), т. е. бесконечное множество касательных к поверхности (1) в данной ее точке Мо. Пусть М ==: (х, у, z) произвольная точка любой из тих прямых. Тоrда {х ХО' у Уо, z Zo} есть
КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И КАСАТЕЛЬНАЯ плоскость 225 направляющий вектор этой прямой, и он удовлетворяет уравнению F 1 (Ха, Уа, 20) (х ХО) + F 2 (Хо. Уо, Zo) (у Уо) + + F з (х о , Уо, zo) (z %0) :=1 о. (9) Итак, все точки М == (х, у, 2) всех касательных, проведенных к поверхности (1) в точке Мо == (Х о , уо, zo), удовлетворяют уравне- нию (9); уравнение (9) первой степени, следовательно, это урав.. нение некоторой плоскости, проходящей через точку Мо. Плоскость эта называется касательной плоскостью к поверхности (1) в точке Мо: она несет на себе все прямые, касающиеся поверхности (1) в точке М о == (х о , УО' 20). J1 равнение (9) II есть уравнение каса- тельной плоскости к поверхности (1) в ее точке Мо==(Х о , Уо' zo). В развернутом виде это уравнение записывается так: (a11xO +a l 2fJo + а1зz о + а 1 ) х + (a 21 x O + 2YO + ЗZО + а 2 ) У + + (а з1 х о + а з 2Уо + аззzо +а з ) 2 + (a1x O + а2Уо +llзZо +а о ) == о. (9') Уравнение (9) может быть переписано в виде ( )o (x xo)+( : )o (у уо) +( :: )0 (z Zo) ==0, rде через ( : )o и т. д. обозначены значения соответствующ их частных производных функции F (х, у, z) в точке Мо == (Х о , Уо, zo). В этом виде в курсе анализа записывается уравнение касатель.. ной плоскости к поверхностям, значительно более общим, чем поверхности BToporo порядка (и алrебраические поверхности вообще ). О с о б ы е т о ч к и п о в е р х н о с т и в т о р о r о пор я Д к 8. Воз- никает вопрос: КО2да уравнение (9) к,асшпельН,ой nЛОС1СОсти стано- вuпlСЯ неоnределеННblМ? Очевидно, это происходит лишь тоrда, коrда одновременно F k (Х о , уо, Zo) == QklXO +ak2Yo + akз z 0 + ak О, (1 О) причем в то же время F (хо, уо. 20) == о. (10) Но F (хо, Уо, zo) == (а 1l х о + а 12 уо + а 1з z о + а 1 ) ХО + + ( lXO +а 2 2Уо + а 2З z о +а 2 ) Уа + (a lxO +а з2 уо +ЙЗзZо +йз)zо + +аl Х О + Yo +aazo +llo. (11) Если выполнено (10), то тождество (11) превращается в F (х о , Уо, 20) === a1x O + а2Уо +ilэZо +йо. а (1 о) в alxO+ YO+a&Zf)+ao ==0. (12)
226 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BToporo ПОРЯДКА. 1 Это равенство вместе с равенствами (10) показывает, что четверка чисел (х о , Уо, zu, 1) образует ненулевое решение системы уравне- ний { akl x + ak2Y + ak3 z + ak t == О, k:=I, 2 , 3, a1x + y + азz + aot ;::::; о. Значит, ан й12 alS аl d== а21 а22 а2З == о. (13) аз! аз:! йзв аз al й2 аз ао Поверхности вmОрО20 порядка, данные уравнением (1), коэффи- циенты KOnlop020 удовлетворя/оm условиJО (13), называются выро.. ждающu.AtиСЯ 1 а точка Мо == (х о , Уо, zo), удовлетворяющая уравне- ниям (10) и (10), называется особой точкой поверхности (1). Из доказанноrо следует, что только у вырождающихся поверх.. настей MorYT быть особые точки. Итак, только в случае вырождающейся поверхности BToporo порядка и только в ее особой точке Мо == (X Ot Уо, 10) касательная плоскость к поверхности (1) оказывается неолределенной. Попутно мы доказали, что при выполнении условий (10) условия (10) и (12) эквивалентны .между собой. 4. Асимптотические направления, конус асимптотических направлений, прямолинейные образующие поверхностей BToporo порядка Пусть вектор {а., , 'У} есть вектор асимптотическоrо направ ления для поверхности BToporo порядка Р(х, у, z) == О, т, е. пусть "(f1 (а., , у)::::; о. Прямая х Хо + at, ) y yo+ t, z Zo +'\'t имеет вектор {а., , ')'} своим направ.ПЯЮЩИМ BeKTopOM t Т. е. есть прямая асимптотическоrо направления. Тоrда коэффициент А в уравнении (5) предыдущеrо параrрафа равен НУЛIО, н само это уравнение приобретает вид 2Bt +С == о. (1) (2) (3) Возможны следующие случаи: 1 о В =1= о; тоrда ур.авнение (3), т. е. уравненпе (5) предыдущеrо параrрафа, есть уравнение первой степени; единственный ero
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 227 корень определяет единственную точку пересечения поверхности (1) с прямой (2). 20 В:=; О, С =F о; уравнение (З) противоречиво (так как при- нимает вид С == О при С ==1= О), уравнения (1) и (2) несовместны, прямая (2) не имеет с поверхностью (1) ни одной общей точки) ни действительной, ни мнимой. В ЭТО!\1 случае прямая (2) назы.. вается асимптотой поверхности (1). 30 В == С:== о; уравнение (3) обращается в тождество О == О, оно удовлетворяется при всех значениях t, все точки прямой (2) принад.лежат поверхности (1), прямая (2) есть прямолинейная образующая поверхности (1). Доказана следующая т е о р е м а 2. П РЯ.мая (2), U.меющая асимптотическое наnрав... ленuе по оmНОLuенuю к пoaepXHocпlU (1) 8тopo o порядка, А10жеfn находUlпься в одном из следующих положений: 1 с Она uhtee.71 с поверхностью (1) eдuH.cmBeHHYlo t/, тozaa н.епре.. .менно вещесmвеftНУ'О общую точку. 20 Она является асимптотой поверхнос/пu (/п. е. не ИАlеет с ней ни одной общей тОЧI(,и, ни вещественной I ни мн,и.м.ой). 30 Она является nрямолuнеuной образующей поверхности (fп. е. Bce.Atu CBOU.Atu точками лежит на поверхности (1)). Посмотрим теперь, каковы асимптотические направления поверх.. настей различных видов, определенных в предыдущей r лаве. В случае эллипсоида. заданноrо своим каноническим уравне- х2 у2 Z2 нием а 2 + 7i2 + с2 === 1, асимптотические направления {а : : у} опре.. а 2 2 1'2 деляются из уравнения а 2 + Ь 2 + с 2 == о; все эти направления ЯВЛЯIОТСЯ мнимыми. Асимптотические направления однополостноrо и двуполостноrо rиперболоидов, заданных их каноническими уравнениями а2 + ь2 ...... с2 == 1, соответственно --- а2 ..... ь2 + с2 == 1, ( 4) суть направления образующих их общеrо действительноrо аСИ1\1 птотическоrо конуса х! у2 Z2 а 2 + Ь 2 ...... с2 :::= 1. (5) Эллиптический параболоид х2 у2 p+q==2z. р>О, q>O, (6) 1I 1eeT асимптотические направления {а: : у}, удовлетворяющие уравнению а. 2 + ==0. р q .
228 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЯ BToporo ПОРЯДКА. I все эти направления мнимые. за исключением одноrо, а именно направления {о: о: у}, ,,+ о, оси % канонической для данноrо параболоида системы координат. Асимптотические направления rиперболическоrо параболоида х 2 11' ......... ==2z р q , определяются условием р>О, q>O, (7) а.' Э ==0. р q t это всевозможные направления, коллинеарные какой"либо одной (или обеим) из плоскостей х у JI р + Jlq ==0, х у Ур JI q o. (8) Все эти направления действительны. Все прямые, являющиеся образующими асимптотическоrо конуса (5) обоих rиперболоидов (4), суть асимптоты каждоrо из этих rиперболоидов; любая друrая прямая асимптотическоrо направле ния пересекает двуполостный rиперболоид х 9 у2 Z2 ...... a ь2 + с2 == 1 в единственной точке; в случае однополостноrо rиперболоида име- ются, кроме Toro, и прямолинейные образующие (известные Ha '1 НЗ 6 предыдущей rлавы). Все действительные прямые асимптотическоrо направления по отношению к эллиптическому параболоиду (6) параллельны между собой (они параллельны оси z) и пересекают параболоид в един ственной точке; читатель леrко проверит это. У .9ллиптическоrо параболоида нет ни действительных асимптот, ни (как мы уже знаем из предыдущей rлавы) действительных прямолинейных обра sующих. Прямая, имеющая асимптотическое направление по отношению к rилерболическому параболоиду (7), параллельна одной из двух плоскостей (8); она или является ПрЯМОJlинейной образующей (см. rл. VII, 6), или пересекает параболоид в одной точке, или, наконец, не имеет с ним ИИ одной общей точки (является ero асимптотой). Асимптотические направления конуса суть направления ero образующих. Асимптот конус не имеет. Всякая прямая, имеющая по отношению к конусу асимптотическое направление и не явля- ющаяся ero образующей, пересекает ero в одной точке. Переходим к асимптотическим направлениям цилиндрических поверхностей.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 229 10 Асимптотические направления эллиптическоrо цилиндра х2 уЗ а 2 + 12 == 1 суть направления {сх: р : у}, удовлеТВОРЯЮЩие условию (%2 2 . а2 + bi О, среди них действительным является лишь направление {о: О : у}, 'v =1= О, оси z канонической системы координат. 20 Асимптотические направления rиперболическоrо цилиндра х2 у2 ==l аЗ Ь 2 суть все направления, параллельные ОДНОЙ (или обеим) из двух плоскостей х у а-+ь ==0, х у а b == о. 30 Асимптотические направления параболическоrо цилиндра у? == 2рх суть все направления, параллельные плоскости у == о. Прямая, имеющая асимптотическое направление по отношению к данному цилиндру, может находиться в любом из трех положений, пре дусмотренных теоремой 2: эта прямая может быть образующей цилиндра, она может быть параллельной образующей и не иметь с цилиндром ни одной общей точки, наконец (в случае rипербо- лическоrо и параболическоrо цилиндров), она может пересекать поверхность в единственной точке. Асимптотические направления поверхности, распавшейся на пару плоскостей, суть направления, параллельные одной из этих плоскостей (или им обеим). Если все векторы, имеющие относительно данной поверхно- сти (1) BToporo порядка асимптотические направления, прилаrать к какой нибудь точке Мо, за которую удобнее Bcero брать начало данной системы координат, то эти векторы (и ИХ концы) запол- нят коническую поверхность с вершиной Мо; если 1\-10 == (О, О, О), то уравнение этой поверхности есть q> (х, у, z) == о. Эта кониче- ская поверхность называется конусом асимптотических направле- нии данной поверхности. Если поверхность центральная, то конус асимптотических u u направлении с вершинои в центре даинаи поверхности называется просто асu.мппwmuческим конусом поверхности. Асимптотический конус rиперболоидов известен нам уже из rлавы VII; асимптотическим конусом эллипсоида является мнимый конус, заданный (в канонической для данноrо эллипсоида системе
230 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЯ BToporo ПОРЯДКА. 1 КJ. у2 Z2 координат) уравнением а 2 + ь2 + с2 === о. Конус асимптотических направлений параболоидов хЗ у2 2z== + Р q распадается в лару пересекающихся плоскостей, мнимых и сопря- женных: х2 у2 Р + q==O, для эллиптическоrо параболоида, и действительных: x2 y2 ==o р q , ддя rиперболическоrо параболоида. Асимптотический конус конической поверхности совпадает с самой этой поверхностью. Наконец, конус асимптотических z !I I ,; ; ,) )1 1 /1 ! /1 J 11 J 11 J I1 1 11 1 1: I 1I I I " ..... // ..... I '-;1..........,/ I :;:.::;..... -l .......... ,/ ., ",-- "'" Ja :с о) d) Рис, 124, направлений цилиндрической поверхности есть пара плоскостей .......... мнимых и сопряженных (пересекающихся по действительной пря-- МОЙ), если ЦИЛИНДР эллиптический; пересекающихся действите"JJЬ" ных, если цилиндр rиперболический (рис. 124, а); совпадающих (и действитеЛЬНЫХ)t если цилиндр параболический (рис. 124, б). Наиболее интересными среди прямых, имеющих по отношению I{ данной поверхности асимптотическое направление, являются прямолинейные образукхцие этой поверхности. Прямая (2), проходящая через точку Мо == (х о , Уо' 20) поверх.. пости (1), является образующей этой поверхности, если для нее
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 231 выполнены условия А == О, В == О (условие С == О выполнено авто- матически: оно означает, что точка Мо лежит на поверхности (1»).. Первое из этих ус.повий, т. е. А == О или <р (а, р, 1') == о, (9) означает, что прямая (2) HMeeT асимптотическое направление; второе условие В == О, Т. е. F 1 (хо, Уо, 20) CG + Р 2 (хо, Уа, Zo) + F з (х о , Уа, Zo) У == О, (1 О) означает, что прямая (2) IIryе}кит в касательной плоскости к поверх- ности (1) в ее точке Мо. Итак: т е о р е м а 3. ПРЯМО/luнейные образуюu uе поверхности (1), nро- ходящие через nWЧКУ Мо этой nоверхнос/пи, суть не что иное, Ka прямые асuмпто:пuчеСКО20 напрадленuя, про.ходящие через точку М() и леJкаlцuе в касательной пЛОСКОСПlU к поверхности в э/поu ее точке. 3 а м е ч а н и е 1. Так как мы раССl'.fатривае прямолинейные образующие, проходящие через данную точку 1\10 поверхности, то дЛЯ их нахождения нам надо только определить их направляю.. щие векторы. Но эти векторы ДОЛi1(НЫ удовдетварять условиям (10) и (9). 11з уравнения (1 О) MO}l{HO, вообще rоворя, одну какую.. нибудь координату, например 1', выразить через две друrие а- Н И подставить полученные для нее выра)кения в (9); после этоrо квадратное уравнение (9) даст нам два значения (действи- тельных или мнимых) Д lIЯ отношения a: ; этим и дан способ фактическоrо нахождения прямо.пинейных образующих. Так как они лежат в касательной плоскости, то они и составляют ту (распадающуюся) кривую BToporo порядка, по которой касатель- ная плоскость в точке А10 пересекается с поверхностью (1). Рассу>кдение это делается несостоятельным, если одно из двух уравнений (9) и (1 О) является следствием друrоrо, в частности, если уравнение (1 О) обращается в тождество, что имеет место, если поверхность (1) есть I{ОПУС, а точка Мо == (хо, Уо, zo)...... er'Q вершина; тоrда F 1 (х о , Уо, zo) == F 2 (х о , Yo zo) == F 3 (хо, Уо, zo) == о. Если же поверхность распадается на пару лересекаrощихся пло.. скостей, то уравнение (9) эквивалентно двум линейным однород.. ным уравнениям, опредеv1ЯЮЩИМ двумерные векторные мноrообра.. зия, соотвеТСТВУЮULие тем Пс.1JОСКОСТЯМ, на которые распадается поверхность (1). Если neI{TOp {а, , у} принадлежит векторному мноrообразию, соответствующему тоЙ П.:l0СКОСТИ, В которой ле)i{ИТ точка (х о , Уо, zo), то у равнение (1 О) есть следствие уравнения (9). В противном случае уравнения (9) и (10) неСОБместны. Если поверхность нераспадающаяся и (в случае, коrда она конус) точка -"'10 не есть вершина конуса, то все обстоИТ блаrо.. получно, в чем Чllтате,,1Ъ леrко может убедиться, переЙдя к кано-
232 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BToporo ПОРЯДКА. I ническим уравнениям соответствующих поверхностей. Полное исследование случая невырождающейся поверхности дается следую- щим предложением: т е о ре 1\1 а 4. Касапzeльная плоскоспzь к ftеВblрождающейся пoвepx llасти вmоросо порядка в данной ее точке Мо пересекается с этой nоверхносmыо по паре различных nрЯМblХ. Эти nрямы,е и являются едuнственными двумя образу/ощuмu пoeepxHocтU 1 nроходящи.мu Jlерез точку 1\10- Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Возьмем систему координат, началом которой является данная точка Мо, а плоскостью О' х' у' каса- тельная плоскость к нашеЙ поверхности в точке МО. Так как начало координат ..1\10 == О' лежит на поверхности, то ее уравне- ние в выбранной системе координат будет иметь вид Р ' ( ' , ' ) ,,2 + 2 , , , + ' ,2 + 2 , " + х , у, z == аl1Х анх У a 'JY а1зх z + 2a aY' z' + а зz,2 + 2a x' + 2 y + 2a z' == О (свободный член равен ну,,'!ю). Уравнение касательной. плоскости fi точке А1 == (О, О, О) имеет вид Р; (О, О, О) х' + p (О, О, О) у' + p (о, о, О) z' == о. Но эта плоскость есть плоскость z' ==:: о. Значит, P (O, О, 0)==0, P (O, 0,0)==0. (11) Так как p (О, О, о) == a , Р; (о, О, О) == a , то равенства (11) озна- чают, что a == a == О, так что уравнение поверхности имеет вид F' (х', у', z') == a lx'2+2a 2x'y' +а 2у'2+2а;зх'z' + + 2 , " + ' ,2 + 2 " О a'J.3Y z азз z aa Z ==:: . (1 ') Решая ero совместно с уравнением z' == О, получаем для кривой пересечения нашей поверхности с (касательной) плоскостью Z' :::::::: О уравнение , ,2 + 2 ' , , + ' ,2 О анх аи х У а22У == . (12) Это уравнение распадающейся кривой BToporo порядка. Если бы эта кривая была парой совпадающих прямых, то было бы I arl a H a 2 1 О , t а 22 Но Tor да , , 11 О ан а 12 ан , , , О 1 , , 1 л' === a i1 QJS а sз л 2 а 11 а , 12 == О Ll , , , , ...... , а 81 а зs а,з аз a SH а 2 2 О О а' О а И поверхность (1)>> вопреки предположению» была бы вырождаю щейся. Теорема 4 доказана. Из нее вытекает такое
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ 233 с л е Д с т в и е. /(аcat11EЛЬНQЯ плоскость к невырождаЮllJ,ейся пoвepx ности вmОрО20 порядка в произвольной ее точке Мо nересекает эту поверхность по паре различных прямых, действительных или Mн'и .мых сопряженн'ЫХ а именно по паре проходящих через пwчку Мо прямолuнейных образующих данной поверхности. Эти ПРЯМЫЕ имеют асиА1nтоmическuе для данной поверхности направления. Они действuтельны если noBepXHOC11lb есть одноnолосmный 2uпер60лоид или 2иперболическuй параболоид; они являюrпcя мнимыми для д8Y полосmноео 2uперболоuда и эллиптичеСКО20 параболоuда а также и для эллипсоидов. 3 а м е ч а н и е 2. Аналитическим критерием для Toro, будут ли прямо.пинейные образующие, проходящие через неособую точку вещественной нераспадающейся поверхности, действительными раз личными, мнимыми сопряженными или, наконец, действительными совпадающими, может служить знак детерминанта d: при д > о образующие действительны, при L\ < О они мнимые, при Д === о они совпадают. В самом деле, из инвариантности знака детерминанта f1 MHO rочлена второй степени с тремя переменными относительно пере хода от одной аффинной системы координат к друrой (9 1) BЫTe > > кает, что если Д ==== о, то соответственно д' ==== о. Поэтому, если < < L\ > о, то и A' a '2 I a 1 a I>o ' ан аА2 1<о il 3 " ,и, следовательно, :: . а 21 а 22 a H а 2 2. ЛИНИЯ пересечения поверхности (1') с касательной плоскостью z' == О, определяемая уравнением (12), есть пара прямых, прохо I а' а' I дящих через вещественную точку О' == Мо, и так как 1 :2 < о, а 2 1 а 22 то В этом случае линия (12) распадается на пару .вещественных прямых. Точно так же покажем, что если д, а следовательно, и д' число отрицательное, то уравнение (12) определяет пару мнимых прямых. Предположим, наконец, что == о И, значит, д' о; тоrда 2 1 а' а' I I а' а' I из равенства 11' == a 1 2 вытекает, что 1 2 == О, так I а' а' I а21 а 22 а 21 а 22 как если бы :1 2 =1= о, a == О, то уравнение (1') определяло бы а 21 а 22 коническую поверхность с вершиной в начале координат О', Т. е. в точке Мо, а мы предположили, что точка Мо неособая, сле.. I а' а' I довательно, 1 == О и уравнение (12) определяет пару слив.. a H а а2 шихся прямых. Существенно отметить, ЧТО вопрос о том, является ли пересе- чение нераспадающе ся поверхности BToporo порядка с касатель-
234 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BTOPOro ПОРЯДI<А. 1 НОЙ плоскостью к ней в данной неособой точке парой действитель ных (различных или совпадающих) или мнимых прямых, решается ДЛЯ всех неособых точек поверхности одинаково; мы УВИДИМ, что решение этоrо вопроса вполне определяется аффинным классом данной поверхности. rеометрическая характеристика асимптотиче ских и неасимптотических направлений для дaH н о й п о в е р х н о с т и в т о р о r о пор я Д к а. Совершенно так же, как в случае кривых, мы доказываем слеДУIощее предложение, аналоrичное теореме 1 rлавы VI ( 3): т е о р е м а 5. Пусть F (х, у, z) == о (1) поверхность Bmopozo порядка, не все точки которой лежат в одной. плоскости. Если {сх: : ,,} направлен'uе, неасuмптотиче ское для данной поверхности, то существует прямая этО20 направ- ления) содержащая ровно две различные точки поверхности (1). Напротив, всякая прямая, имеющая асимптотическое для данной поверхности (1) направление {а: : у}, или целиком состоит из точек, лежащих на поверхности (1), или же содержит не более одной точки, лежащей на поверхности (1). Надо доказать лишь утвеР}l{дение, касающееся неасимптоти- ческоrо направления {а: : ')'}. Через каilСI.УЮ точку (Х О ' Уо, Zo), лежащую на поверхности (1), проводнм ПРЯМУIО х == х{) + at, ) " У == Уо + t, Z == Z(J + ),t (2) направления {а: : у}. Требуется доказать, что не все эти пря- мые ЯВ,,'Iяются касате,пьными I{ поверхности (1). Предположим противное: пусть }{аждая пряыая (2) касается поверхности (1) в соотвеТСТDующей точ[{е (хо, Уо, Zu). Тоrда имеет место равеНСТП0 В == Р 1 (хо, Уо' zo) CG + Р 2 (х о , Уо, zo) + Р3 (хо, Уо, zo) l' == == (а 11 а + a12 + а 1з ')') Ха + (а 21 (1., + a22 + а 2з 'V) Уо + + (аЗl ct + a32 + азз')') Zo + (a1a + a2 +аз'V) == о. Среди коэффиuиентов аl1fX+а12 +аlЗУ' а21а+а22 +а2З1', аЗICG +a32 +аз з 1' при Ха, Уо, Zo по крайней мере один отличен от нуля; в противном случае мы бы имели одновременно а/на + ak2 + аkЗ1' == О, k == 1, 2, З. Умножая эти равенства соответственно на а, , " и складывая, мы бы получили a 11 (X.2 + 2a12a + 2 + 2а1зау + 2а 2з fly + аэзу2 == О,
ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ BToporo ПОРЯДКА 235 т. е. направление {а: : у} было бы, вопреки нашим предполо- }l{ениям, асимптотическим. ИтаК t равенство (alla+a12 +а 1з у)х о + (anа+а22 + y)yo + + (аз1а + азJS +аззv) Zo +(ala+ +а з 1')-== о (13) представляет собой уравнение первой степени относительно ХО, УО) ZOt которому удовлетворяют все точки хо, Уо, Zo, лежащие на поверхности (1). Все эти точки лежат, таким образом, на пло- скости, определяемой уравнением (13), вопреки предположению. ...... lсорема доказана. 5. eHTp поверхности BToporo порядка Пусть снова даны: произвольная аффинная система коорди- пат Oxyz, поверхность BToporo порядка с уравнением Р(х, у, z):=:O (1) н прямая х == хо +<:%t, I y==yo+ t) z == zo+yt (2) неасимптотическоrо направления. Точки пересечения прямой (2) с поверхностью (1) 1\11 == (X 1 , Yl, Zl) И М 2 == (Х2' y , 22)' rде X 1 == ХО + at 1 , Уl == Уа + tl' Zl == 20 + yt 1 , Х 2 == ХО + а/ 2 , У2 == Уа + t2' Z2 == Zo + yt 2 , а /1 и t 2 суть корни квадратноrо уравнения At 2 + 2Bt +С == О, в котором ко мциенты А, В, С суть А==<р(а, ,1'), } В === Fl (Хо, Уа, zo) CG + Р 2 (х о , Уа, zo) + F з (хо, Уо) zo) у, С == F (х о , Уа, zo) суть точки (3) (4) и, как всеrда, F k (Хо, уо, zo) == aklxO + ak2llo + йkЗZО + ak, k == 1, 2, 3. (5) т очка Мо == (хо, Уо, Zo) является серединой отрезка М 1 М 2 тоrда и ТОЛЬКО тоrда 7 коrда одновременно t 1 +t 2 O А t 1 +t 2 O t1+tз О а 2 ......., t" 2 ......, l' 2 ==
236 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ nOBEPXHOCTEl'l BTOPOrO ПОРЯЛКЛ. 1 Т. е. (так как среди чисел а, , у по крайней мере одно отлично от нуля) коrда t 1 + t 2 == о. 28 Но /1 + t 2 == A ) следовательно: ТО2да и т олько mО2да точка Мо (х о , Уо, Zo) есть середина оmрезка МIМ2' КО2да В == О, т. е. КО2да Р 1 (хо, Уо, zo) а + Р 2 (хо, Уо, Zo) + F з (х о , Уо, zo) у == о. (6) Теперь возникает вопрос: нет ЛИ такой точки Мо == (хо, Уо, Zo), которая являлась бы серединой всякой хорды, через нее ПРОХОДЯ. щей? Заметим, что такой точкой Мо является всякий центр сим.. метрии нашей поверхности (если он существует). Итак, мы ищем те точки Мо == (х о , Уо, Zo), для которой усло- вие (6) выполняется при любом выборе неасимптотическоrо направ- лени я а: : у. Докажем, что для искомых точек Мо == (хо, Уо, Zo) должны одновременно удовлетворяться равенства F1(x O , уо, Zo) == О, Р 2 (х о , Уо, Zo)===O, Fз{х о , Уо. zo)===o. (7) л е м м а. Для всякой поверхности втОрО20 порядка (1) MO:JICHO найти три неасимптоmичес/(uх направления, не компла1ШрНblХ между собой. В самом деле, рассмотрим мно}кество всех точек М == (х, у, z), удовлетворяющих уравнению <р (х, у, z) == a 11 x 2 + 2а 12 ху + а22у2 + 2а 1з хz + 2а 2з уz + а зз z 2 == о. (8) Точки М == (х, у, z), удовлетворяющие этому уравнению, и только они обладают тем свойством, что вектор ОМ == {х, у, z} имее1' асимптотическое направление. В плоскости z::=: 1 уравнение (8) определяет кривую BToporo порядка аl1 х 2 + 2а 12 ху + a 2 2!J 2 + 2а 1з х + 2а 2з u + азз == О (9) (быть может, если al1==a12==a22==O, вырождающуюся в прямую). Возьмем на плоскости z == 1 три неколлинеарные точки М 1 =:: === (а 1 . Р1' 1'1), М 2 == (а 2 . 2' '\'2), м з :=: (аз, з, '\'з). не лежащие на ............... ............... кривой (9). Тоrда ОМ 1 == {a 1 , Рl' 1'1}, ОМ 2 == {а2' i' У2}' ОМЗ == == {аа. Рз, Уз} дадут нам три некомпланарных неасимптотических направления. Лемма доказана. Итак, пусть {а 1 , Рl' У1}' {a z . Р2' '\'2}' {аз. Рз, уз} три неком- лланарных направления, не асимптотических по отношению к по- 8ерхности (1). Для каждоrо из них должно по предположению выполняться равенство (6), т. е. должно быть одновременно р 1 (хо, Уо, zO)ak+ F 2(XO, Уо, Zo)P.+ +Ра(Хо. Уа, Ч)УII==О. k l, 2, З. (10)
ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ BToporo ПОРЯДКА 231 Но векторы {а 1 , Рl, i'l}, {а 2 , 2' 'У2}' {а. з . 3' 'Уз! не компланарны, Т. е. в матрице а1 l Yl а2 2 '\'2 аз з '\'з строки, а значит, и столбцы линейно независимы, а это значит, что в равенствах (1 О) коэффициенты Р 1 (Хо. Уо, Zo), Р 2 (хо, Уо, 20)' РS (х о , Уо, Zo) ДОЛЖНЫ равняться НУЛIО. Утверждение доказано: всякий центр симметрии Мо == (х о , Уо, Zo) поверхности (1 ) удав.. летворяет равенствам Fk (хо, Yo Zo) == О, k == 1, 2, 3. или, в развернутом виде, aklxO + ak2Yo + akз z 0 + й" == О, k == 1, 2, 3. (11) Докажем Te epь обратное предложение. Всякая точка Мо == (Хо, Уо, Zo), координаты которой удовлет- воряют уравнениям (11), есть центр симметрии поверхности (1). Для доказательства вспомним (I'Л. IV, 2), что при замене переменных х ==х' +Хо, у == у' +Уо, z == z' + Zo, соответствующей перенесению начала координат в точку Мо == === (Хо, Уо, Zo), мноrочлен F (Х, у, z) переходит в мноrоч.пен F' (х', у', z') == q> (х', у', z') + 2аlХ' + 2a ' + 2a z' + a , в котором фф "" коз Иllиенты а., а 2 , аз, ао суть a == а 11 х о + a l 2!Jo + а 1з 2 0 + Ql. a == a21 x O + а22УО + а 2 з z о + a z . a == аз1хо + Йа2Уо + аззz о + аз, a == F (х о , Уо, zo). Итак, если, сохраняя единичные векторы системы координат Oxyz, мы перенесем ее начало в точку М 0=== (хо, Уо, Zo) == О', У ДОВ" летворяющую уравнениям (11), то в полученной таким образом новой системе координат O'x'y'z' уравнение поверхности (1) будет Р' (х', у', z') == a 11 x,2 + 2a 12 x'y' + 2Y,2 +2а 1з х'z' + + 2а 2з у'z' +аззz,2 + a == О, (1') rде a == F (хо, Уо, zo). ИЗ этоrо уравнения ясно, что новое начало координат О' t Т. е. точка Мо, есть центр симметрии поверхности (1'). Утверждение доказано. Заметим, что уравнения (11) решаются однозначно тоrда и только тоrда. КОI'да 1 аll а12 аlЗ I б == а21 ап а2З -=1= О, аЗ1 аЗ2 азз
238 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕА BToporo ПОРЯДКА. 1 Т. е. дискриминант квадратичной формы ({) (х, у, z) отличен от нуля. Поверхности, удовлетворяющие этому условию, принято называть ценmральными: это те поверхности второео порядка, KOnWpbte цмеюm центр симметрии, u притом только один. Пусть поверхность (1) является центра.пьной, т. е. ПУСТЬ б =1= О (или t ЧТО то же, , == 3), а значит, поверхность (1) имеет един ственный центр О' == (хо, Уо' Zo). Положим a == F (Ха, Уо, Zo) и перенесем начало координат в точку О' == (хо, Уо, zo). В получен НОЙ таким обrазом новой системе координат O'x'y'z' (единичные векторы котороЙ суть те ){{е, что и в первонача.пьной системе Oxyz) уравнение (1) нашей поверхности ПрИНИ:\'i8ет вид Е' (х', у', z') == a 11 x,2 + 2а 12 х' у' + а 22 у,2 + 2а 1з х' z' + + 2а 2з у' z' + Qазz,2 + a == о. (1') Заметим, что бо..1ЬШОЙ детерминант /1' ==: 6. мноrОЧ..1ена F' (х', у', z') есть ан Q12 йlЗ О/ d=:::. а21 а22 а2З О == а б, аз! аЗ2 аэз О О О О а' о т. е. a == -} == F (Ха, Уа. za). ( 12) Итак, в любой системе аффинных координат, начало которой есть единственный центр центральной поверхности (1), уравнение этой поверхности имеет вид 4 р' (х', У', z') == ер (х', у', z') + б О, rAe , , ' ) ,2 + 2 " + ,2 + 2 " + 2 " + ,2 fP (х t у, Z == а 11 х а 12 х У а22У а 1З Х z а 2 зу z аззz. Если !:!. =1= О. то и a == == F (Ха. Уа. Za) =1= О. Разделив с caMoro начала обе части уравнения (1) на ......... F (х о , Уо, Zo), можем пред- положить, что a == 1, т. е. что уравнение (1') имеет вид <р (х', у', z') == ,2 + 2 " + ,2 + 2 " + 2 " + ,2 1 == a 11 x а12Х У а 22 у а 1з х z а 2з у z а зз z == · Если же /1 == О, то уравнение (1') IIмеет вид ( ' , ') ,2 + 2 " + ,2 + ер х, у , z === a11x а 12 х У а22У + 2a 18 x' z' + 2а 2 зу' z' + а зз z,2 == о.
ЦЕНТР ПОВЕРХНОСТИ BToporo ПОРЯДКА 239 в нецентральном случае, т. е. в случае б О, раиr r матрицы аl1 a13 аlЗ А<р == а21 а22 а2З аЗl аЗ2 азз не превосходит 2.. В этом случае уравнения (11) либо несовместны, и тоrда поверхность не имеет ни одноrо центра, либо система этих уравнений совместна, и тоrда точки, ЯВЛЯЮIЦИеся решениями, заполняют целую прямую {при , == 2) или целую плоскость (при r 1). Выясним, наконец, коrда центр (или один из центров) Мо:= === (хо, Уо, Zo) поверхности (1) лежит на самой этой поверхности. Для этоrо нужно, чтобы кроме равенств (11) имело место еще и равенство F (Х о , уо, 20) === о. Как было установлено в З, послед- нее равенство при выполнении равенства (11) эквивалентно равен- ству tltXo + а2Уо + азz.о + а() == о. Друrими словами, необходимое и до- статочное условие для Toro, чтобы точка Мо == (.х о , Уо, zo) была ле)l{ащим на поверхности (1) центром этой поверхности, заклю- чается в том, 'Чтобы координаты точки удовлетворяли системе четырех уравнений: { aklXO +ak2Yo +аkЗZО +ан == О, k::::: 1., 2, 3, . (13) a1xo + а 2 уо +азzо +а о == о. Как мы уже напоминали в 3, система этих уравнений сов- местна, лишь коrда равен нулю детерминант ан ан! аlЗ аl L1== а21 а22 а2З а2 а31 аз! азз аз аl а2 аз clo Т. е.. коrда поверхность (1) является вырожденной. Точка Л'1 0 === (хо, Уо, Zo), удовлетворяя уравнениям (13), есть особая точка поверхности (СМ. конец 9 3). Итаl{, лежащий на (вырожденной) поверхности центр ее является особой точкой поверхности 1). j\lbI увидим в следующей rлаве 1 что особые точки имеются лишь у слеДУIОЩИХ поверхностей BTOPQrO порядка: 1) Конус: единственная особая точка, являющаяся вместе с тем единственным центром конуса, есть ero вершина. 2) Пара пересекающихся плоскостей: прямая пересечения этих плоскостей есть вместе с тем прямая центров распавшейся поверх- ности, совпадающая с множеством ее особых точек. 3) Поверхность, являющаяся парой совпадаlОЩИХ плоскостей, ВСЯ состоит из особых точек: каждая из них есть центр поверх- н ости. 1) Мы видели в 4, что касательная плоскость в особой точке поверхно- сти перестает быть определенной.
r л А В А 'х ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ BToPoro ПОРЯДКА. 11 t. Диаметральные плоскости. Особые направления 1. Плоскость, сопряженная данному неасимптотическому на- правлению. Пусть (в какой нибудь аффинной системе координат) дана поверхность BToporo порядка F (х, У, z) == ер (х, У, z) + 21 (х, У, z) + а о == О, ( 1 ) rде, как всеrда, <р (х, у, z):== a 11 x 2 + 2a 12 xy +а 22у 2 + 2а 1з хz + 2а 2з уz +а зз z 2 , 1 (х, У, z) == а 1 х +а 2 у +азz. Рассмотрим совокупность всех прямых d, имеющих одно и то же неасимптотическое для данной поверхности направление {a: :y}. Ка>кдая такая прямая d пересекает поверхность (1) в двух точках Mf, M (вещественных, быть может, совпадающих или мнимых сопряженных); отрезок M м: называется хордой, Bыce каемой на данной прямой d поверхностью (1). Уравнение прямой d записывается в виде x==xo+at, ) y==yo+ t, Z == Zo +yt, rде Ма == (Х О' Уо' zo) ---- какая"'нибудь произвольно зафиксированная точка этой прямой. Точка Мо == (х о, Уа, Zo) прямой d тоrда и только тоrда явля- ется серединой хорды, высеченной из этой прямой поверхностью (1 ). коrда выполнено условие Р 1 (Х О' Уо, Zo> а + Р 2 (х@, Уо, Zo) + РЗ (Хо, Уо. Zo) у == О, (2) (3) rде, как всеrда, положено F k (Х о ) Уо. Zo) == aklxO + ak2YO + аkЗZ(J + ak, k == 1, 2, 3. (4)
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 241 Перепишем уравнение (3)J внося в Hero значения Fl' Р2' F з из (4) и отбрасывая индекс нуль у координат. Получим (a 11 a +a21 +a J1 y) х + (a 12 a. + a22 +а з2 у) у + + (а1зсх +а 2З Р + аззу) z + (а 1 а. +а 2 Р +а з у) == о. (3') Уравнению (3'), которое есть уравнение некоторой Па,ryоскости Ла 'V' удовлетворяют все те и только те точки, которые являются сере- динами ХОРД, высекаемых поверхностью (1) из всевозможных прямых направления {а: : у}. Друrими словами: плоскость (3') есть zeометрuческое место середи1t хорд поверхности (1), u.меl0ЩИХ напРOJJленuе {а: р : 1'}; эта плоскость называется плоскостью J . соп ря.. женной направлению {а: : 'У} относительно поверхности (1). 3 а м е ч а н и е 1. Плоскость na y' сопряженная данному направле- НИIО, определена rеометрически как rеометрическое место середин хорд направления {а: : у}, поэтому она не зависит от выбора той или. иной системы координат. 2. Плоскость, сопряженная асимптотическому направлеНИIО; общее определение диаметральной плоскости. В определении пло.. скости, сопряженной данному направлению, предполаrалось, что это направление неасимптотическое. Это предположение обосно. вано, так как из прямой асимптотическоrо направления поверх- ность не высекает никакой хорды. Однако уравнение (3') может иметь смысл и для асимптоти- ческоrо направления {а: р : у}; определенную этим уравнением плоскость мы будем и в случае асимптотическоrо направления {а : : ",} называть плоскостью, сопряженной направлению {а: : у}. Наконец, назовем какую-нибудь плоскость диаметральной плоскостыо поверхности (1), если существует (хотя бы одно) Ha правление, неасимптотическое или асимптотическое, для KOToporo эта плоскость является сопряженной относительно поверхно- сти (1). у равнение нию {а: : у}, диаметральной плоскости, сопряженной направле всеrда будем писать в виде Lx+My+Nz+P==O, (5) rде L ==a 11 cx+a 12 P +аlЗУ, м == а 21 а, +a22 +а 2з 'У, N == a31cx+a32 +азз'У, Р==аlа+ р+аз'У. 3 а м е ч а н и е 2. Диаметральную плоскость, сопряженную На- правлению {а: : у}, будем называть, коrда это покажется удоб- ным, и плоскостью, сопряженной любому вектору этоrо На- правления. (6)
242 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BToporo ПОРЯДI{А. 11 з. Простейшие свойства диаметральных плоскостей. Пусть (X Ot YOt 20) точка, являющаяся центром поверхности (1) (может быть, не единственным). Тоrда F 1 (Х о , Уо, zo) == F 2 (х о , Уо' 20) == F 3 (х о , Уо, zo) == О, и уравнение (3) (или, что то же, уравнение (3'» удовлетворено при любых сх, р, 1'. Друrими словами: 1. Всякая диаметральная плоскость содержит все центры дан- ной поверхности. f\tlbI увидим (в 9 2, пп. 1 и 2), что если поверхность (1) имеет хотя бы один центр, то верно и обратное предложение: Всякая плоСКОСmb содержащая все центры данной поверхн.осmИ 1 является ее диаметральной плоскостью. 11. Точка Мо, nрин,о,длежащая всем диаметральным плоскостям (или хотя бы всем тем из Hиx которые сопряжены неасuмnтотu.. ческим направлениям), является центром поверхности. В самом деле t точка Мо == (хо, Уо, Zo) есть середина проходя- щей через нее хорды любоrо неасимптотическоrо направления, а это означает (rл. VIII, Э 5), что удовлетворены уравнения центра Рl (хо, Уо, 20) == Р 2 (х о , Уо, 20) == F з (х о , УО' Zo) == о. 111. Если для дан.Н,О20 аcuм.птоmuчеСIООZ0 направления {а: р : у} существует сопряженная ему плоскость то она параллельн,а Ha правленuю {а: р : у}. Обраmно если направление {а: : у} nарал лельно сопряженной ему плоскости, то эmо направление является асимптотическим. В самом деле, непосредственным подсчетом проверяется. что La + M + Ny == <р (а, , 'У). (7) Условием параллельности вектора {а, , ,,} и диаметральной пло- скости Lx + 1\1у + N z + р == о является равенство La+M +N'Y==O, т. е. (а, , 1') == о, это равенство означает, что вектор {а: : 1'} имеет асимптотическое направление. IV. Пусть вектор u === {a } 'У} есть линейная комбинация векторов U 1 {а 1 , l' 1'1} U U 2 :::::: {С!2' Р2' 1'2}, т. е. а == Л 1 а 1 + a2' :::::: Лl l + 2' v == Лl1'l + Л 2 1'2.
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ плоскости 243 Если векторам Ul и U2 сопряжены диаметральные плоскости 311 u 11;21 mo плоскость л 1 1t 1 +л 2 1t 2 является диаметральной плоскостью, сопряженной вектору u. Возьмем уравнения плоскостей, сопряженных соответственно направлениям {а: : ')'}, {а 1 : 1 : Уl}, {сх 2 : 2 : '\'2}' Коэффициенты этих уравнений обозначим соответственно через L, М, N, Р, Ll' М 1 , N 1, P 1 , L2,J М 2 , N а' P z , причем из caMoro определения (6) этих коэффиuиентов следует. что L == ')"lL 1 + A 2 L 2 , м == 1Ml + 102М2, N == л 1 N 1 + л 2 N z, Р=='''l Р l +Л 2 Р 2' rеометрическое содержание по.пученноrо важноrо резу льтата таково: 1 V'. Пусть векторам U!J U 2 сопряжены cooтeeпzcmeeHHo плоско ста 1t 1 , Л 2 " To дa всякому векnwру U) КО.мпланарflОМУ обоим век.. торам U 1 и U 2 ' сопряжена плоскость 1t J прuнадлежащая пучку плоскосmеU J определенно.му плоскостями п 1 u 1t 2 . Значит, если плоскости пl и п2 пересекаются, ТО плоскость 3t проходит через прямую их пересечения, а если они nараллеЛЬНЫ t то и плоскость п им парадлельна. 4. Особые направления. ПОСМОТРИМ t не может ли случиться, что для данноrо направления не существует сопряженной ему плоскости. ОчеВИДНО t ЭТО произойдет тоrда и только тоrда, коrда в уравнении (5) все три коэффициента L, М, N при переменных х, у, z обращаются в нуль. Тоrда система однородных уравнений L == аl1 а + a12 + а 1 зу === О, I м == a21 Ct + a22 + а2З'У == О, N == аз! rx. + аЗ2 + азз')' == О определяет направление {а: р : у}. Оп р е Д е л е н и е. Направлен.ие {а: р : ')'} называется осоБЫМ 1 если оно удовлетворяет системе уравнений (8). В r лаве VI 11, 9 1, мы назвали малым рзиrом поверхности (1) paHr квадратичной формы (х, у, Z), т. е. рзиr r матрицы ан Ql! й13 А<}) === au ан а23 . I U ааl аЗ2 а3:) (8)
244 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕА 8TOPOrO ПОРЯДI<А. 11 Из определения особоrо направления непосредственно следует предложение: поверхность м.аЛО20 ранеа , и/ eem 3.... , и не более линейно незавuсимых особых направлений. В частности, центральные поверхности (для них fJ Ф. О и, зна- чит, , == 3) вовсе не имеют особых направлений. Умножая первое из уравнений (8) на а, второе на . третье на l' и складывая, получаем La+Mp+Ny==<p(c.t, , ,\,)==0; всякое особое направление являепlСЯ асимптотическим. Итак, только в нецентраАЬНО.м случае u только асимптотическое направление может оказаться особым; для всех неособых направлений сопряжен- ная плоскость существует и определена однозначно. Посмотрим, какие имеются особые направления поверхностей различных типов. Параболоиды и центральные цилиндры (ВКЛIО- чая поверхности, распадающиеся в пару пересекающихся плоско- стей) суть поверхности, для которых r == 2; У них имеется един- ственное особое направление. Если эти поверхности даны СDОИМИ каНОНJlческими уравнениями: Xl у9 2z :::;:: + (параболоиды), р q х с}, у? а 2 + ь7.' == + 1 (центральные ЦИЛИНДР1;>l), x2 + y2 o а 2 Ь 2 (пары пересекающихся плоскостей), ТО их единственным особым направлением является направление {о: о: l}, Т. е. направление оси Oz. В этом сразу убеждаемся. написав для наших канонических уравнений уравнения (8), опре- деляющие особые направления; . это будут 1 a==O р , 1 == О, q о ::::: о. в случае центральных цилиндров (и пары пересекающихся плоско- стей) полученное направление есть направление прямой центров рассматриваемой поверхности. Для эллиптическоrо параболоида особое направление ЯВ.1Iяется и единственным вещественным асимптотичеСКИhl направлением; то же справедливо и для эллиптическоrо цилиндра. Но во всех че- тырех случаях (эллиптических и rиперболических параболоидов и цилиндров) единственное особое направление есть направление (вещественной) прямой пересечения тех двух плоскостей (вещест- венных или мнимых), на которые распался конус асимптотических
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 245 направлений поверхности, а именно плоскостей: х у О Х у О б J . ! Р + у q == , "1/ Р ...... '/ q == для rипер олическоrо r r параболоида; ': р + ' q === о, , Р ' q о для эллиптическоrо f у r r параболоида; : + == о, : о для rиперболическоrо цилиндра; + l:JL ::;::: о iy == О ДЛЯ эллиптическоrо цилинд р а а Ь ' а Ь (вещественноrо и мнимоrо). Для поверхностей, у которых r == 1, имеется два независимых особых направления; значит, особыми являются все направления, параллельные некоторой плоскости. Так обстоит дело у парабо.. лическоrо цилиндра у2 == 2рх и у пары параллельных плоскостей у2 == С. 11 в том и в друrом случае уравнения (8) превращаются в 0==0, 1. ===O, 0==0; им удовлетворяют все векторы {а, , у}, у которых О, а а и '\' какие уrодно, т. е. все векторы, параллельные плоскости у о. Так как конус асимптотических напраВJIений параболическоrо цилиндра вырождается в пару слившихся плоскостей у2 == о, то все асимптотические направления параболическоrо цилиндра явля- ются особыми. Леrко доказывается следующее предложение: У. Для тоао чтобы направление {л: f..t: "} бblЛО осоБЫ'м'1 необхо.. димо u досmатоЧн'ОI чтобы оно бы,Ло параллельно всякой диамет- ральной плоскостu. В самом деле, пусть дана диаметральная плоскость Lx+My+Nz+P==O, сопряженная направлению {а: : у}, так что L == al1 a + a12 + а1зу, М == a21a+ 2P + а zз у, N == tlзl СХ +аnР + O-а3У, Р == a1a + p +азу. Условие параллельности направления {А: Il: у} плоскости (5) есть LЛ+МJ1+Nv==О. (9) (5) (6)
246 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕА 8TOPOrO ПОРЯДI<А. 11 Подставляя в это равенство значения L, М, N из (6), рас... I<рывая скобки и по"новому rруппируя члены, переписываем ра... венство (9) в виде (а 11 л + lfL + а зl ") а + (а 12 л + 2l1 + а з2 ") 13 + + (а1зл+ а 2 зll+ аззv)" ==0. (10) Если направление {л: fl: ,,} особое, то выражения в скобках, ЯВ- ляющиеся коэффиuиентами при а, , у в равенстве (10), равны НУЛЮ, и условие параллельности направления {л: 11 : "} плоскости, сопряженной любому направлению {а: : 1'}, выполнено. Первое утверждение предложения V доказано. Докажем второе утверждение. Итак, известно, что для дан.. Horo направления {л: f.1: ,,} и любоrо (неособоrо) направления {а: р : у} выполнено условие (10); требуется доказать, что направ- ление {л: J.1 : v} особое. Берем три некомпланарных неасимптотических направления {a 1 : 1 : 1't}, { : Р2 : 1'2}, {аз: 3 : уз} такие существуют для всякой поверхности BToporo порядка в силу леммы Э 5 rлавы VIII и пишем для них уравнения (10): (а l1 л + lfl + аЗl") а 1 + (а 1 ?,л + а 22 ,.... + а з2 V) 1 + I + (а1З Л + а2з t + а зз ,,) 1'1 == О, (а 11 л + a 21 11 + аз!V) а 2 + (а 1 2 Л + 211 + llз2'V) 2 + +(tltзл+ зf.t + йзз") 1'2 == О, (iltl A + 11l + а з1 ") аз + (a 1 Jv + tle2fJ. + a:N'V) з + + (а 1 з Л + зfl + аззv) Уз == о. Так как векторы {CG 1 ) 1' 1'1}, {CX 2t 2' 1'2}, {аз, 3' 'Уз} не КОМПJ1а- нарны, то строки, а значит, и столбцы матрицы (11 ) 'а! 1 '\'1 а2 2 1'2 ,аз 3 УЗ линейно независимы. Значит, ан/л +a 2 kll + a31 " == О, k == 1., 2, 3, т. е. направление {л : 11 : "} особое. Предложение V доказано. Дока)l{ем в заключение этоrо параrрафа слеДУlощее предло. 'жение: V 1. П лоскоспlU Л 1 и п 2, сопряженные относительно данной поверхности ( 1) двум разЛUЧнь/''м направлеНUЯАl {Cl 1 : 1 : 1'1} и {а 2 : 2 : 1'2} тО2да и толыw тО2да параллеЛЫtьt .между собой коеда плос осmь Л J несущая оба направления {а 1 : l: J'l} II {сх 2 : 2 : 1'2}, параллельна (HeKonzopOMY) ()собому напршзленuю поверхности (1).
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ ПОВЕРХНОСТИ 247 д о к а 3 а т е л ь с т в о. Обозначим коэффициенты при х, у, z в уравнении плоскостей, сопряженных направлениям {Cl 1 : l : 'Vl}, соответственно {а 2 : 2 : 1'2}' через L 1 , М 1 . N}, соответственно L 2 , М 2 , N 2 запишем условие параллельности этих плоскостеЙ в виде пропорции Lr М 1 ....... N 1 Л L 2 M j N 2 ....... л; или iWILl + л 2 L 2 == О, ЛI М l +'''2М2 o, ""1 N 1 + ') 2N 2 :::;; о. Подставляя сюда значения L 1 :::;; a11!X 1 + a12 1 + йlЗУ1, L 2 :::;; all 2 + a12 2 + a 1 ::s 1'2, Л 1 [1 а 21 а} + a22 1 + а2з1'1, М 2 :::;; a 21 ct 2 + a22 2 + а2:з1'2, N 1 == аз1Cl} + a32 l + а зз 1'l' N 2 == а З1 !Х 2 + аЗ2 2 + а зз 1'2' получаем после раскрытия скобок и переrруппировки члеrIОВ равенства: akl (л 1 а I + Azx2) + alr2 (Лl l + л. Р2) + ak3 (J\ll1'1 + 1"21'2) == о, k 1, 2, 3, по прежнему выражающие необходимое и достаточное УС"Т'Iовие парал.пе.пьности (в широком смысле слова) п,лоскостей зt 1 и Л 2 . НО эти же равенства выражают условие) необходимое и достаточ.. ное для Toro, чтобы направление (Jw1CX 1 + Л 2 rl 2 ) : (Лl l + "2 2) : (Л 1 1'1 + ""21'2), очевидно, лежащее в плоскости 1t, было осоБЫМ t Т. е. чтобы пло... СКОСТЬ Л была пара.плельна некоторому особому направлению. Предло}кение УI доказано. 2. Диаметральные плоскости поверхностей разw'lИ чных видов 1. ЦентраЛЬНЬiе поверхности (поверхности с. единственным центром). Докажем. что: Всякая плоскость) проходящая через (единственныЙ) центр п0верхности вmopo o порядка F (х, у, z) == О, ( 1) является диаметральной плоскостью" сопряженной некотОрОМ!I однозначно определенному напРOJJденuю {а: р : у}.
248 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕА BToporo ПОРЯДI(А. 11 д о к а 3 а т е л ь с т в о. Предположим, что начало координат находится в центре поверхности. Тоrда уравнение поверхности записывается в виде ер (х, у, z) + а о О, а уравнение данной плоскости, проходящей через центр, в виде Ax+By+Cz== о. Для определения направления {сх,: : у}, для KOToporo эта пло- скость является сопряженной, надо решить систему уравнений а 11 сх, + a12 + а 1з 1' == А, a 21 cx, + а 22 Р + а 2з 1' == В, QЗI СХ + a32 + аззу == С, что и де.llается однозначно ввиду Toro, что детерминант этой си- стемы есть б =1= о. 2. Поверхности с прямой центров и с плоскостью центров. Поверхности с прямой центров суть «центра.пьные цилиндры», Т. е. цилиндры над некоторой центральной (быть может, расладающейся) кривой BToporo порядка. В надлежаще выбранной аффинной си- стеме координат уравнение такой поверхности имеет вид х 2 + у2+ ао ==О. (2) Единственным особым направлением поверхности (2) является (как показывает непосредственная проверка) направление вектора {О, О, 1}, т. е. направление оси z выбранноЙ координатной системы. В этой же координатной системе уравнение диаметральной плоскости, сопряженной направлению {а: р : у}, есть ax + y==o. Итак, всякая плоскость, проходящая через прямую центров, u и только такая плоскость является диаметральнои плоскостью нашей поверхности, а направление прямой центров есть (единст- венное) особое направление. Мы знаем (предложение VI 1), что всяким двум направлениям, лежащим в некоторой плоскости, параллельной особому направ- лению поверхности BToporo порядка, сопряжены диаметральные плоскости, параллельные между собой. В данном случае для поверх- ности (2) эти плоскости совпадают: два направления, не коллинеар- ные (единственному) особому направлению поверхности (2), Т. е. направлению оси z, лежащие в плоскости, параллельной оси z, задаются векторами вида {а, , Уl} И {а, Р, У2}'
ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ ПОВЕРХНОСТИ 249 rде по крайней мере одно из чисел а, р отлично от о. Обоим этим направлениям сопряжена относительно поверхности (2) диаметральная плоскость ах + y == о (знаки при y соответствуют знакам при у2 в уравнении (2». Конус асимптотических направ лений поверхности х 2 у2 + ао == О распался на пару действительных плоскостей х+у==о, x y==O. ( 11:1) ( 11:2) Каждому направлению, лежащему в одной из этих плоскостей и КО..тIлинеарному оси Z, например направлению {1 : 1 : у}, лежащему в плоскости Л2' сопряжена сама эта плоскость. Если поверхность (1) имеет плоскость центров, то эта плоскость н является единственной диаметральной плоскостью поверхности (1) (так как всякая диаметральная плоскость должна содержать все центры поверхности). Все направления, пара,"ле ТIьные плоскости центров, являются особыми. ПовеРХНОСТЬ t имеющая плоскость центров, распадается на пару параллельных плоскостей; сама плоскость центров есть средняя плоскость между двумя плоскостями, составляющими данную поверхность; направления, параллельные этим плоскостям, суть асимптотические для нашей поверхности; все они особые. Остается рассмотреть тривиальный случай двух слившихся плоскостей п. Здесь каждая точка плоскости 1t есть центр поверх ности, значит, имеется одна-единственная диаметральная пло- скость сама плоскость п. Она есть rеометрическое место всех хорд поверхности, каждая из которых вырождается в пару своих слившихся концов (и определяется прямой, не параллельной плоскости п). Все направления, параллельные плоскости л, являются особыми. 3. Поверхности без центров. Малый paHr такой поверхности равен или двум (параболоиды), или единице (параболический ци- линдр). Мы уже видели, что единственным особым направлением параболоида (rиперболическоrо или э.плиптическоrо) является Ha nравление прямой пересечения d тех двух плоскостей п 1 и П 2 , ., на которые распался конус асимптотических направлении пара- болоида. В силу предложения V всякая диаметральная плоскость параболоида параллельна этой прямой d. Докажем, что и, обратно, всякая плоскость, параллелъная единственному особому направ'" лению параболоида, является ero диаметральной плоскостью. J{ля этоrо воспользумся уравнениями X2+y2==2z (3) и х 2 у2 == 22 (4)
250 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй 8Toporo ПОРЯДI{А. 11 соответственно эллиптическоrо и rиперболическоrо параболоидов в надлежаще выбранной (аффинной) системе координат. Диаметральная плоскость, сопряженная направлению {а: : у}, будет в той же системе координат иметь уравнение ax+ y y==O, соответственно ах ру у == о. Очевидно, всякая П,,7JОСI{ССТЬ t пара.п,,1(\.lьная оси Z, может быть при надлежаще подобранных а, , l' задана КЗ)l(ДШl из этнх ур авнеНliЙ, причем различным наЛР2r.пениям сопря)кены различные диаметральные плоскости. Итак, диаметральными плоскостями параболоида являются все плоскости, паралле,,1ьные (единственному) особому направлени[о параболоида, н только они. 3 а м е ч а н и е 1. Из доказанноrо следует, что всякая плоскость, парал.пе,,1ьная диаметра,,'lЬНОЙ П"lОСКОСТИ параболоида, сама ЯВи1Яется диаметраи1ЬНОЙ плоскостью этоrо параболоида. 3 а м е ч а н и е 2. Пусть поверхность (1) есть параболоид. Наряду с ней будем рассматривать пару плоскостей Л 1 и Л 2 , на которые распался конус асимптотических направлений ([) (х, у. z)==O (5) параболоида (l}. Обе поверхности (1) и (5) имеют, очевидно, одни и те же асимптотические и одно и то же (единственное) особое направление. Леrко ПрОЕерить также, что плоскости, сопряженные относительно ПОЕерхностей (1) и (5) одному и тому же направлению {а: : у}, парал.пе,,1ЬНЫ (коэффициенты L, М, N в уравнениях этих П,,10скостей будут ОДНИ и те же). Но мы видели, что для поверхности (5) плоскостью, сопряженной асимптотическому направ лению, .7Jежащему в данной плоскости Лi, i == 1, 2, будет сама эта плоскость nl. Поэтому диаметральная П,,'Iоскость парабо.поида (1), сопряженная (неособому) асимптотическому направлению {а: : 1'rt пара.плельна той из двух Ли1JОСКОСтей 111' Л2, которая несет на себе направление {а: : у}. Переходим к параболическим цилиндрам. Конус асимптотических направлений параболическоrо цилиндра у2 == 2рх (6) вырождается в пару совпадающих ПiIоскостей у2 == О (<<дважды взятая» ПЛОСКОСТЬ у == о). Так как у параболическоrо ЦИ"lиндра имеется двумерное МНО.. rообразие особых направлений, то все асимптотические направления параболическоrо ЦИ lIиндра ЯВ 7JЯЮТСЯ особыми.
СОПРЯЖЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 251 Докажем, что диаметральными плоскостями параболическоrо цилиндра (6) являются все плоскости, параллеЛЬhые плоскости у == о, и только они. это непосредственно следует из Toro, что плоскость, сопр яженная направлению {c : : 1'} относительно поверхности (6), имеет урав- нение y ра == о. 3. Сопряженные направления Пусть дана поверхность BToporo порядка, определенная в веко- торой аффинной системе координат уравнением F (х, у, z) == q> (х, у, z) + 21 (х, у, z) +а о == О, (1) ("р (х, у, z) == a 11 x 2 + 2a 12 xy + а 22 у2 + 2а 1з хz + 2 зуz + а зз z 2 , 1 (х, у, z) == аlХ+I1 +азz. Квадратичная форма <р (х, у, z) определяет билинейную функцию 'I' (.'1' U 2 ) от двух векторов: если U 1 , U 2 два произвольных вектора, заданных своими координатами в выбранной нами системе коор- динат Oxyz: U 1 == {а 1 , l' 1'1}' и 2 == { , Р2, 1'2}, то 'У(иl) u 2 ) == 'P(a 1 , l' 1'1; а 2 , Р2) 1'2)== == al 1 a 1 a 2 + a 12 (а 1 Р2 + Ct 2 Pl) + a22 lP2 + а 1з (а 1 1'2 + a21'1) + + а 2з ( 11'2 + 2Yl) + аЗ3 l1'2. (2) БИЛJlнейная функция 'у не зависит от выбора системы коорди- нат: если мы возьмем друrую систему координат Ох' у' z', то век- , А' , , торы U 1 И и 2 получат координаты CGt, JJl, 'VI, соответственно а 2 , , 1' , а форма 'Ф (al t 1' 'Уl; СХ 2 , Р2' 'У2) перейдет в форму '1" (a , P , 1' ; a , ;, 1' ), причем если векторы и 1 , и 2 имели в ко.. ординатных системах Oxyz и Ох' у' z' соответственно координаты аl) 1) 1'1; a , , 1' и ( 2) 2) 1'2; (1., t P t ,, , то 'Ф (а 1 t 1, 1'1; а2, 2) 1'2) == '1" (cx , , 1' ; a , ;, 1' ), так что имеет место тождество ч' (и 1) U 2 ) == 'ф (a 1t 1' 1'1; СХ 2 , 2' 1'2) == ЧJ' (a , , y ; а;, ;, 1' ). (2') В частности, если для !<аl{их"нибудь двух векторов U 1 , u 2 имеем ч' (и 1) и 2 ) == о, то этот факт не зависит от Toro, как мы выбрали координатную систему t в которой задавалось уравнение (1) по- верхности. Оп р е Д е л е н и е. Два вектора и 1 , и 2 называются сопряжен- ными ОПlносumельно поверхности (1) (или относитедьно квадратич- ной формы q> (х, У, z) старших членов уравнения этой поверхности
252 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BTOPOrO ПОРЯДКА. II в любой системе координат). если для этих векторов '1' (U 1 , U 2 ) == о. Если векторы Ul' U 2 заданы в системе координат Oxyz своими координатами U 1 == {a 1 . 1. 1'1}' U 2 == { а 2' Р2' 1'2}' то условие их сопряженности записывается так: '1' (u 1 , U 2 ) == 11' (а 1 , Рl' 1'1; а2. Р2' 1'2) == a 11 Cl 1 a 2 +a 12 (a 1 P2 + a2 1) + + a22 1 2 +а 1з (а 1 1'2 +a 2 1'1) +а 2 з ( 11'2 + 21'l) +а зз 1'l1'2 == == (a 11 a 1 + a12 1 + а 1з 1'l) а 2 + (a 21 ct 1 + a22 1 + а 2з 1'l) 2 + + (а з1 а 1 + а З2 Рl + аз 1'l) 1'2 == ==(аl1а2+аI2 2+аlЗУ2)ctl + (а 21 а 2 +а 22 Р2 +а 2з 1'2) Рl + + (а З1 СХ 2 + а З2 Р2 + а зэ 1'2) 1'1 == О.. (3) Из симметрии условий (3) относительно векторов U 1 , U 2 следует, что сопряженность двух векторов есть понятие взаимное, не за- ВИСЯtЦее от порядка, в котором рассматриваются векторы. Очевидно, далее, что вектор " 2 , сопряжеНJ1ЫЙ векторам U 1 и V 1 , сопряжен и любой их линейной комбинации ли 1 +flVl" Отсюда, в частности, вытекает, что из сопряженности векторов U 1 и U 2 следует и сопряженность любых векторов /"'IUl и /"'2U2, Т. е. любых векторов, имеющих соответственно те )ке направления, что и векторы U 1 и U 2 " Поэтому мы rоворим, что два направления сопряжены между собой, если вектор одноrо из этих направлений сопряжен вектору друrоrо. Из равенства (3), далее, очевидно, вытекает, что особое напра... вление {а 1 : 1 : 1'1} сопряжено всякому н аnравлен и/о {а : : ,,}. Верно и обратное предложение: если направление {а 1 : Рl : 'Уl} со- пряжено всякому направлению {а: : у}, то оно является особым. Это вытекает из следующеrо предложения. VII. Если {аl : 1 : Уl} не особое направлен,ие то сопряженными ему являются те и только те направления {а: Р ! У}} которые лежат в плоскости, сопряженной направлению {аl: Pl : 1'l}. В самом деле, уравнение плоскости, сопряженной направлению {al:Pl Yl}' есть Lх+Л1у+Nz+Р ОJ rде L == а 11 а 1 + a12 1 + а 1З Уl' М == а 21 (1,1 + а 22 Рl + а 23 1'I' N == аЗ 1 С!1 +a 2 1 +а зз 1'l' р ==a1Ct 1 +ai l +аз1'l.
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ BTOPoro ПОРЯДКА 253 Всякий вектор {а, , у}, лежащий в этой плоскости, и только такой вектор {а, р, у} удовлетворяет условию La+M +N"( == о, которое как раз и есть условие сопряженности вектора {а 1 , l' 1'1} вектору {а, , ,,}. Из ДОК8З8нноrо следует, что свойство направления {а,: : у} быть или не быть особым относительно данной поверхности не зависит от 8ыбора той или иной системы координат. 4. Уравнение поверхности oroporo порядка относительно координатной системы с сопряженными направлениями осей Пусть дана поверхность BToporo порядка. Возьмем ПРЯМУIО d, направление которой не аСИlvlПТОТИЧНО относительно данной поверх ности. Если поверхность центральная, то предполаrаем, кроме Toro, что прямая d проходит через центр поверхности. Пло- скость п, сопряженная направлению прямой d, не может быть параЛ.1Jельной прямой d (так как неасимптотическое направление не компланарно сопряженной ему плоскости). Плоскость n пере секает прямую d в некоторой точке О, которую и объявим нача лом новой координатной системы. При этом, если поверхность центральная, то О ее центр. Осью z сделаем прямую d, а осталь ные две оси возьмем в плоскости п. Плоскость п, будучи плоскостью Оху нашей координатной системы, имеет уравнение z == о. (1 ) Пусть в выбранной нами координатной системе уравнение данной поверхности есть F (х, у, z)!!::s a 11 x 2 + 2а 12 ху + а 2 2У 2 + 2а 1з хz + 2а 2з уz + + а зз z 2 + 2a 1 x + 2а 2 у + 2а з z + ао == о. (2) Так как плоскость (1) сопряжена вектору {О, О, 1}, то ее ypaB нение в нашей системе координат должно быть (a 11 . 0+а 11 . о +а18 .1)Х+(й,1. О +a I2 . o+ . 1) у+ + (аВ1. О+ааа. О+а зз .1) z+a 1 . О +а 2 . О +а з .1 == о, т. е. а 1 аХ + а 2з у + Оаа : + аз == о. (3) Так как уравнения (1) и (3) определяют одну и ту же ПЛОСI{ОСТЬ, ТО непременно а 1 8 =:z О. a 18 == О, а 8 == о, а зз =1= о. МЫ доказали следующее предложение:
254 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕА BTOPOrO ПОРЯДI{А. 11 Если координатная система выбрана так, что ее ось z имеет направление, не асимптотическое относительно данной поверхно- сти BToporo порядка, а П.,1lоскость Оху является сопряженной к направлению оси Oz относительно той же поверхности, то в этой системе координат данная поверхность имеет уравнение вида (a 11 x 2 + 2a 1 2 x y + а 2 2У 2 + 2a 1 x + 2а 2 у + а о ) + а зз z 2 ;::;: О. (4) rде а зз =F о. Пусть теперь наша поверхность центра.пьная. Тоrда в ypaB нении (4) имеем 01 == а 2 == О. от осей Ох и Оу мы требовали пока только, чтобы они лежали в плоскости, сопряженной напраВ&I'lе.. нию оси Oz. Теперь мы МО}l(ем, кроме Toro, потребовать, чтобы ось Ох имела неасимптотическое направление. Сопряженную ей плоскость (она проходит через ось z, так как направления осей Ох и Oz сопряжены) объявим П..'Iоскостью Oyz, так что ось у, как пересечение плоскостей Оху и Oyz, будет сопряжена и оси Z, и оси х; итак, все три оси координат имеют теперь попарно соп. ряженные направления. Плоскость у == О, будучи сопряжена BeK тору {О, 1, О}, имеет уравнение al + а 22 у + а з2 z + а 2 == О, так что 012 == О, а32 == о, == о. т е о р е м а 1. У РCl1Зненuе центральной поверхности в сисmе.ме координат I направления осей ко/порой попарно сопряжены Jrleжду соБОЙ J UAteem вид a 11 x 2 + а22у2 + а зз z 2 + а о == О. Основным приложением только что полученноrо результата является «теорема единственности», доказанная в следующем па.. раrрафе. 5! Теорема единственности Содержание этоrо параrрафа совершенно аналоrично содержа.. нию 8 r,,1aBbl VI. т е о р е м а 2. Два А1flоzочлена Вtпорой степени F 1 (х, у, z) u Р 2 (х, у, z) тО2да u только тоzда и.л-tеюm одно и пlO же нулевое МНО2006разие l КО2да они nроnорционаЛЬНbl между .соБОЙ 1 ,n. е. КО2да один из них получается из дpY20 O умн.оженuе"м, на flекопzорое чи.. ело л=F О . Как' и в случае мноrочленов от ДВУХ переменных, только одна половина этой теоремы нуждается в дока'-3ательстве: надо дока- зать, что два мноrОЧv1ена второй степени Р 1 (х, у, z) и F z (х, у, z),
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 255 имеющие одно и то же нулевое мноrообразие C F1 ==CP1==C, про.. лорциональны между собой. Рассмотрим поверхности Рl (х, у, z) == О (1) и Р 2 (х, у, z) == о. (2) Берем какое-нибудь направление {а: : ,,}, неасимптотическое для поверхности (1); оно будет неасимптотическим и для поверхно- сти (2). Диаметральная плоскость п поверхности (1), сопряженная направлению {а : : у}, будет и диаметральной плоскостью поверхности (2), сопряженной тому же направлению. Возьмем теперь систему координат О' х' у' z', ось z' которой имеет направление {а : р : у}, а две друrие оси лежат в плоскости п. В этой системе координат уравнения (1) и (2) примут соответст- венно вид Р; (х', у', r) == а зz,2 + ' (х', у') :=:0, p .(х', у', z') == ь зz,2 + j; (х' J у') == О, (1 ') (2') rде 1 ' 1 (х ' , ' ) ,,2 + 2 , , , + ' ,2 + 2 ' I + 2 ' , + ' у == аll Х al X У a2'1l} а 1 х а 2 у аО ) ' (х', у') == b;tx,2 + 2b 2X' у' + b y,2 + 2b x' + 2Ь:,у' + b . Здесь а з =1= О (и Ь З =1= О), в противном случае единичный вектор {О) О) 1} оси z', удовлетворяя уравнению I ( ' , ' ) ,,2 + 2а ' , , + ' ,2 + ' ,2 О ЧJl Х, у, z == анх 1 у a -1Y а зз z == был бы вектором асимптотическоrо направ.пения для поверхности (1) (соответственно для (2») вопреки нашим предположениям. Нам надо доказать пролорциональность мноrочленов Р 1 (х, у, z) 11 Р 2 (х, у, Z)t т. е. пропорциональность тождественно равных иы МIIоrочленов Р; (х', у' t z') И Р; (х', у', z'). Для этоrо обозначим через СО лересечение MHOiKeCTBa С' с плоскостью z' == о. М ноже... <"'1'130 СО есть MIIO)J{eCTI30 всех точек плоскости О' х' у', в которых обращается в нуль ОДИН какоЙ-нибудь (и следовательно, любой) из мноr-очленов '; (х', у'), f (х' t у'). Др-уrимп словами, ЭТО есть (.1'Jежащее в ПЛС)СКОСТИ О'х'у') нулевое мноroобразие каждоrо из SТИХ мноrочленов. Возможны следующие случаи: }О Множество СО пусто. Этот случай осуществляется тоrда Ji ТО.,1ЬКО тоrда, котда какое.ни6удь (и тоrда каждuе) из равенств (; (х', у') ::::О, f (х', у') === о противоречиво, Т. е. коrда один какой.. нибу дъ (и Tor да l<а)I{ДЫЙ) lIЗ мноrочлеНОD f (.. ', у'), '; (х', у')
256 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй 8TOPoro ПОРЯДI<А. 11 тождественно равен отличной от нуля постоянной a , соответст- венно b . 20 Множество СО совпадает со всей плоскостью О' х' у'. Это происходит тоrда и только тоrда, коrда один какой-нибудь (и то- rда каждый) из мноrочленов f (х'. у'). t; (х', у') тождественно равен нулю. 30 Ни один из случаев 1 о, 20 не имеет места.. Тоrда множе- ство СО есть множество всех точек КРИВОЙ BToporo порядка, опре- деляемой в плоскости О' х' у' каждым из уравнений t (х', у') == о, t (х' t у') == о. (3) в этом случае в силу теоремы единственности для мноrочленов второй степени от двух переменных имеем ' (х', у') == f.tf (х', у') Ь' при некотором f.t =1= о.. Полаrая л. == :i (что возможно, так как а зз а з О), можем написать p (х', у', z') == а;зz,2 + ' (х' tY'), F (х', у', z') == Ла зz,2 + f (х' ,у').. llля Toro чтобы доказать в случае 30 пропорциональность MHoro членов p (х', у', z') и p (х', у', z') надо только показать, что JJ. == л. Так как мноrочлен '; (х', у') не равен тождественно посто янной, то существуют значения х' == х;, у' == y . для которых '; (x , y ) == 11).. Найдя такие значения. решаем относительно z' уравнение Р ' ( ' , ' ) ,,1 + 1 О 1 Хl. Уl. Z == аз;.z ==. Получаем Z == ... / .. Итак, точка М 1 == (х;, y , Z ) принадле)f{ИТ у аз:! множеству с. Следовательно, p (x , y , Z ) == ла;з ( ) + f.t.. 1 == О, т.. е.. == л. а зз Итак, в случае 30 утверждение теоремы 2 доказано. 1) в самом деле, если в мноrочлене fr (х', у') хотя бы один ИЗ коэффици- ентов ан, а21 отличен ОТ нуля, например ан =1= О, то, полаrая в уравнении ' (х', у') === 1 значение у' == Уl == 1. получаем квадратное уравнение для опре- деления x . Если a l a;I==O, a; =1= О, то уравнение ' (х', у')== 1 можно ЭЗПlf 4 сать в виде 2 (a y' + a ) х' + 2a y' + a == 1. Ползrая в нем у' равным любом у а' числу y =1= + t получаем уравнение первой степени для определения X . а. 1 Наконец, если в fJ (х', у') все коэффициенты при членах второй степени равны нулю, то f (х', у) == 1 есть уравнение первой степени с двумя неизвестными, имеющее бесчисленное множество решений X t y .
r ЛДВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 257 в случае 20 имеем Р ' ( ' , ' ) ,,2 t Х t У t 2 == аз:!2 , F ' ( ' , ' ) Ь ,,2 9 Х t У , z == 33 z t а з =1= О, Ь З =1= О Ь' и, следовательно, полаrая 'Л, == a :! , имеем p (х', у' t z') == :i3 == лF (х' t у', 2'); утверждение теоремы 2 верно и в этом случае. Наконец, в случае 1 о уравнения (1 '), (2') принимают вид F ' ( ' У ' , ' ) ,,2 + ' О ' 1 Х , Z == азз z а,. ==, ао =1= О t F (х', у', 2') == b;: z,2 + b == о, b =1= о. Множество С есть пара пло <остеЙt определяемая каждым из уравнений z' == + ... / _l!, или JI a 3 :J 2 ' ==+ Y Ь ' · 33 Для Toro чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, не- a Ь ", обходимо И достаточно, чтобы было , == b ,. ' т. е. Ь зз == Лаза, Ь О == а. 1з 33 == Ла при л == . . Теорема 2 доказана во всех случаях. а З8 Аналоrично тому, что мы сделали в r лаве VI t 8, мы теперь можем определить поверхность BToporo порядка I\3K множество всех точек комплексноrо TpeXMepHoro пространства, координаты которых в некоторой аффинной координатной системе удовлетво- ряют уравнеНИIQ второй степени F (х, у, z) === о. При этом два TaK;fX уравнения определяют в одной и той же системе координат тоrда и только тоrда одну и ту же поверхность BToporo порядка, коrда одно из этих уравнений получается из друrоrо почленным умно- жением на некоторое ЧИСJIО л =1= о. 6. rлавные направления В этом параrрафе и до конца r лавы рассматриваются лишь прямоуrольные системы координат. Пусть дана поверхность BToporo порядка своим уравнением F (х, у, z) == ч> (х, у, z) + 21 (х, у, z) + й о == о (1) относительно некоторой прямоуrольной системы координат Oxyz. Обозначим через Ф (u) квадратичную ФУНКllИЮ, эаписывающуюся в этой системе координат в виде формы Ф (u) == <р (х, у, z) == a ll x 2 + 2a 1 ?,Xy + a22!J 2 + 2а 1з хz + 2a2,3YZ + а зз z 2 ( есл и u == {х, у, z}) .
258 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BToporo ПОРЯДКА. 11 Направление {а: : у} называется славным, если оно перпенди- кулярно ко всем сопряженныJtf, ему направлениям. В частности, всякое особое направление (если оно существует у поверхности (1) r лавное, потому что сопряжено всякому направлению, в том числе и всякому направлению, к нему перлендикулярному. 3 а м е ч а н и е 1. ТаК как понятие сопряженности двух направ- лениЙ относитеll1ЬНО данной поверхности не зависит от выбора тои или иной системы координат, то Не зависит от этоrо выбора и понятие rлавноrо направления. 3 а м е ч а н и е 2. Пусть {а: : ')'} неособое направление, пер- пеНДlIкулярное К каким-нибудь двум сопряженным ему направ- лениям. Тоrда направление {а: : у} перпендикулярно к сопря.. жен ной ему диаметральной плоскости и, следовательно, является rлавным. Итак, для Toro чтобы направление было rлавным, достаточно (и, разумеется, необходимо), чтобы оно было перпендикулярным к двум сопряженным ему направлениям. Пусть направление {а: : у} r лавное. Если оно особое, то L == a11a a12 + а1зу == О, М == a 21 a +a22 +а 2з у == О, N == аз1а. + аЗ2 +а зз ')' == о. Если {а: р : у} rлавное, НО не особое направление, то оно пер- пендикулярно к сопряженной ему диаметральной плоскости Lx+My+Nz+P==O, и тоrда вектор {а, , y коллинеарен нормальному вектору {L, М, N плоскости, т. е. L == аllа+а12 +а131'==Ла, I м == a 21 ct + a22 + зУ == A , N == а:нсх + a32 + а зз ')' == АУ (2) при некотором А =1= О. 11так, ,<акова бы ни была прямоуrольная система координат, относительно которой поверхность задана своим уравнением (1), всякое rлавное направление удовлетворяет уравнениям (2), причем для особых направлений имеем л == О, а для неособых л =1= о. Обратно, всякое направление {а: : у}, удовлетворяющее ypaB нениям (2), есть rлавное направление, особое, если л == О (и только в этом случае). Следовательно, вопрос о нахождении еЛа8Н,blХ Ha правленuй есть вопрос о нахождении ненулевоао вектора {а, , у}, удовлетворяюrцеео системе уравнений (2) при некоmoром Л j рШJНОМ нулю или Heпl.
rЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 259 Переписываем эту систему уравнений в виде (ан л) а + a12 + а 1з l' == о, I а 21 сх + (а22 л) р + а 2з 1' == о, Q з1 rJ.. + аЗ2 + (а зз 'А) l' == о. Она тоrда и только тоrда имеет ненулевое решение, коrда ан л а12 аlЗ D(л) == а21 а22 Л а23 ==0. (3) а:Jl аЗ2 аЗ:J л (2') Уравнение (3) на ывается характеристическим уравнением квaд ратичной формы <р (х, у, z) и выражаемой ею квадратичной ФУf{К ции ф (u); левой частью этоrо уравнения является мноrоч.пен D (л) третьей степени; мноrочлен этот называется xapaKтepиcти ческu.м, мноеочленом, а корни ero харакmeристически.ми числами функции Ф (u) и формы <р (х, у, z). л"lноrочлен D (л), очевидно, есть дискриминант квадратичной формы б л (х, у, z) == <р (х, у, z) л (х 2 + у2 + Z2). Этот мноrочлен является ортоrональным инвариантом. Для тота чтобы убедиться в ЭТОМ t достаточно заметить, что при переходе от одноrо ортонормальноrо базиса к друrому форма х 2 + у2 + Z2 ,2 ,2 ,2 Ф ( переходит в форму х + у + z и, следовательно, орма <р х, у, z) л (х 2 + у2 + Z2) переходит в форму ч/ (х', у' t z') л. (х,2 + y'Z + Z,2). ИЗ доказанной таким образом ортоrональной инвариантности мноrочлена D (л) вытекает следующее утверждение: Если при переходе от прямоуеольн'ОЙ сиСтЕМЫ координат Oxyz к Hoвoй тоже прямоуzольной системе координат Ox'y'z' Kвaдpa тичная форма <р (х, у, z) преобразуется в квадратичную фор"чу , ( ' , ' ) ,,2 + 2 , , , + ' ,2 + 2 , " + 2 , " + ' ,'l. <р х, у, Z == al1x al X У a 'lY аlЗ Х z a-},;iУ z аззz) пw при л/обол! л a 1 л , a a ан л а]2 а13 a J2 а;l a 2 A , а21 а22 л а 2 з а 2з а;l a 2 а;:! л аЗ1 аЗ2 аза л Так как характеристический мноrочлен D ('А) не зависит от выбора той или иной прямоуrольной системы координаТ t то то же справедливо для ero корней, характеристичеСI ИХ чисел л 1t л 2 , Аз формы ер (х, у, Z)t они вполне определены самон l{вадраТНЧНОll ФУНJ{цией Ф (u) == ер (х, у, z).
260 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BToporo ПОРЯДКА. П Уравнения (2') суть не что иное, как уравнения, определяющие особые направления формы в (х, у, z) == q> (х, у, z) л (х 2 + у2 + Z2). Ilo:JToMY rлавные направления формы ер (х, у, z) это особые направления формы в (х, у, z). Отсюда мы снова ВЫВОДИМ, что r.павные направления не зависят от выбора системы координат; для их определения можно написать уравнения (2'), пользуясь при этом любой прямоуrольной координатной системой. Переходим к доказательству OCHoBHoro факта: 1. Для каждой квадратичной формы ер (х, у, z) сущесп18уеm прямоуеольная система координат Ох' у' z' I в которой фQрма при- нимает канонический вид А ,2 В ,! С ,I <р (х, у, z) == х + у + . z . Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Л1ноrочлен D (л) третьей степени; по- этому по крайней мере один из корней яе.пяется Fещественным; пусть это будет, например, Л 3 . Этому корню соответствует веще- ственное r.павное направление, и мы мо;,кем с caMoro начала лреДПОЛО)j- ИТЬ, что ось z исходной координатной системы Oxyz имеет именно это направление; тоrда ортом ero является вектор {О, О, l} и уравнения (2') должны удовлетворяться, если в них подставить ct == О. == О, У == 1, так что имеем (ан ЛЗ).О+ а 12 .О+а 1з .l ==0, а 21 . О + (а'/.2 Л 3 ) · О + G tэ . 1 == О, а З1 . О + а 32 . О + (а зз Аз) . 1 == о, т. е. а 1з == О, а 2з == Ot ааз === Аз Б избранной системе координат квадратичная функция Ф (u) заl1исывает я в виде ( )Op!\1Ы Ф (u) == ер (х, у, z) == а 11 х 2 + 2a 1 'l.xy + а22у2 + л з z 2 . Как известно из r лавы V, 1, можно поворотом координат- ной системы Оху в ее плоскости (BOKpyr точки О) на некоторый уrол а перевести ее в такую систему Ох' у', в которой квадра- тичная форма a 11 x 2 + 2а 12 ху +а 22 у2 примет канонический вид a lx,2 + a 'ly,2. Этот ПОБОрОТ можно рассматривать !(ак ПОБОрОТ Bcero пространства BOKPYI' (остающейся неподвижной) ОСИ z на тот )I{e уrол (1... В результате получаем прямоуrольную коорди- натную систему Ох' у' z', в которой ФУН(ПIИЯ (1) (u) записывается в виде ) ' ( ' , , ) 1,2 ,,2 " ,2 Ф (и) == qJ (х, У. z == {Р х, у, z == а 11 х + а 'ly + ",з z · Утверждение 1 доказано. Заметим, ЧТО если бы не только ось Zt но и оси х и у имели rлавные направления, то и векторы {l, О, О} и {О, 1, О} удовлет- воряли бы уравнениям (2' ) откуда CJ1едовало бы. что и a1 2 == о. Итак,
rЛАВIIЫЕ I1ЛПРЛОЛЕНИЯ 261 11. Если оси прямоуеольной системы координат Ох' у' z' имеют 2лавные направления относительно квадратичной функции Ф (U), mo в такой системе координат функция Ф (u) непременно и.меет канонuчески й вид ф (u) == <р' (х', у', z') == Ax'Z + ву,2 + CZ,I. (4) Докажем теперь следующее утверждение: 111. Если в какой.нибудь прямоуzoльной системе координат Ox'y'z' квадратичная функция Ф(u) имеет канонический вид (4) то коэффициенты А} В} С 8 этом КQН,оническом представлении непременно равны характерисmuчески},! числам функции Ф (u). В самом деле, в системе координат Ох' у' z' характеристический мноrОЧ '1ен D (л) записывается в виде А л. О О D(л)== о B A О ==(А л)(В л)(С л); о о C A ero корнями, очевидно, являются А, В, с, откуда и следует утверждение. ТЭJ< как функция Ф (u) деЙствительна, так же как и рас. сматриваемые нами системы I<оординат, то всякая квадратичная форма, изобра>кающая функцию Ф (u), имеет действительные коэффициенты: поэтому действительны и коэффициенты 13 I<aHO. ническом представлении функции, т. е. характеристические числа л'lt , ''-3. Итак: IV. Все характеристические числа любой (действительноЙ) квадратичной функции действительны. Доказываем теперь утверждение У. Если 8 дан.ной nРЯМОУ20ЛЬНОй системе координат Ох' у' z' квадратичная Фу.чкция ф (u) имеет канонический вид Ф (U) == == л 1 х,2 + Л2У,2 + л э z,2, то направления осей э/nой координатной системы непременно являются елавНЫ},fи направлеНИЯ.,4,Ul функции Ф (u). Это утверждение вытекает из Toro, что в системе координат Ох' у' z' уравнения (2'), определяющие rлавные направления, имеlОТ вид (Лl л)а==О, I (Л 2 }.) == О, (л з л) у == О и при л == Л 1 вектор {1, О, О}, при л == Л 2 вектор {О, 1. О}. при л == Л-З вектор {О, О, l} этим уравнениям удовлетворяют. Мы убедились сначала в том, что существуют прямоуrОJ1ьные системы координат, в которых форма <р (х, у, z) принимает кано. нический вид; затем мы докаЗЗЛИ t что оси всякой такой системы (5)
262 ОБЩЛЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BToporo ПОРЯДКА. II координат имеIОТ rлавные направления. Отсюда следует, что для всякой квадратичной формы существует по крайней мере одна тройка взаимно перпендикулярных rлавных направлений. Сейчас мы полностью выясним вопрос и о числе таких троек. Оказы вается, ответ на этот вопрос зависит от кратности корней xapaK теристическоrо уравнения. 1\\ы докажем последовательно следующие утверждения: УI. П ростому корню характерuстическоzо уравнения coomвeт.. сmвуеПl одно единственное 2лавное направление. V 11. r лавные направления J соотвеlncmвУfощuе двум различным корням харакmeристичеСКО20 уравнения, взаимно перпендикулярны. Непосредственным следствием предложений VI и VII является предложение VI 11. Если все три корня характеристичеСКО20 уравнения раэ ЛиЧНЫ между собой то U.меюпzся три и только три 2Лавных направления u они взаимно перnендикулярны. Друrими словами, имеется одна единственная ТРОЙI{а Взаимно перпендикулярных rлавных направлений. Далее, имеет место предложение IX. Если из трех корней л'lt , Л:. два равны между собой II u/nлиЧНbl от mpeтbezo, например: л'1 === Л 2 =1= А Зt то все наnрО13ления, nерпендакуляр,Ч,ые к единственному направ- лению, СООПlветствуюu{ему корню Л3 являются славными Haпpaв лениями, соответсmву,ощимu корню А 1 == "'2. Таким образом, име- ется бесконечно МНО20 троек взаимно nерпендuкулярных 2Лавных направлений; каждая из этих троек содержит единственное 2лав- ное направление е ЗJ соответствующее простому корню Аз, тО2да как два apyzux направления суть произвольные направления el е 2 , перпен.дикулярныle между собой и перпендикулярные к направле- нию е з . И HaKoHeU t Х. Если все nlрИ корня харакrnерuстическоzо уравнения равны MeJlCay собой, то каждое направление являепzся 2лавным. Переходим к доказательствам. Доказательство утверждения VI. Возьмем прямоуrольную систему координат Oxyz, относительно которой форма (х, Yt z) имеет канонический вид. Относительно этой системы координат уравнения (2') принимают вид (5). Пусть Аз простой корень, Аз =1= л'1' Аз =1= Л 2 . Тоrда система уравнений (5) превращается при л. Аз в (А1 Аз) а :=: О (т. е. а == О) t ] (Л 2 Л а ) == о (т. е. :=: О), О . У ;; О. (5')
rЛАDНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 263 Единственное не нулевое направление ia: : ,,}, определяемое этой системой, есть {о: О : l}. Доказательство утверждений VI 1 х. llycTb Л 2 =1= Аз. Так как л'1 не может одновременно совпадать и с Л 2 И С Аз (=1= л 2 ), то без оrраничения общности можем пред ПОu10)КИТЬ, что Л 1 =1= 1"з (но, может быть, "'1 == А 2 ). Тоrда л з ока- зывается простым корнем, и ему, как только что доказано, COOT ветствует единственное rлавное направление, записывающееСfl в нашей системе координат в виде {о: о: 1}. Посмотрим, какие направления соответствуют корню Л 2 - Пра л } 2 система уравнений (5) превраrцается в (л} }"2) а == О, ) О . == О, (5") (;"3 ""2) у == о (т. е. l' ==: О). При Л 1 =1= Л 2 получаем единственное направление а === О, 1'::: О, =1= О, т. е. {о: 1 : О}, и оно перпендикулярно к направлению {о: О : l}, соответствующему корню 1...з- При Аl == "2 уравнения (5") превращаются в О . сх, === О, ) о.р==о (Аз 1.7) у == о; (5"') им удовлетворяют все векторы вида {а, , О}. Т. е. все векторы, nерпендикулярные к вектору ез == {О, О, l}. и только они. Эrим доказано и утверждение VII (значит, и VIII), и утверж- дение IX. HaKOHeitt при Л 1 == А 2 == Аз уравнения (5"') превращаются в тож" дества О · а == О, О · Р == О, О .)' == о; им удовлетворяет любое направление {а: : у}, чем доказано утверждение х. Рассмотрим случаЙ t коrда имеется равный нулю корень xapal\ теристическоrо уравнения, например Аз == о; как мы знаем, COOT ветствующее этому корню rлавное направление является особым. Направим по этому направлению ось z, так что вектор {О, О, l} является особым; подставив а == О, Р == О, У == 1 в уравнения L == а ll а. +a12 +а 1з 1' === О, ) 'Н а 2 1 а + а 22 Р + а9,З1' =::; О, N == аз1а + 2 + аsз'V == О) (6)
264 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕА BTOPOrO ПОРЯДКА. 11 которые характеризуют особые направления, получим аJЭ == О, з == о, аза == о. (7) Итак, в прямоуrольной системе координат, в которой ось z имеет особое направление, форма <р (х, у, z) имеет вид q> (х, у, z) == а l1 х 2 + 2a J2 xy +а 2 2.У 2 +0. Z2, а после поворота на надлежащий уrол имеет вид (j) (х, у, z) == qJ' (х', у', z') == л'l х ,2 + л 2 у,2. Если при этом имеется лишь одно особое направление, то r == 2, И, значит, л. =t= о, =1= о. Если же имеется два различных осо- бых направления, то их имеется нелое двумерное мноrообразие, так что можно, например, осям z и у придать взаимно перпен- дикулярные особые направления. Подставляя в уравнения а == О, Р == 1, у == о, получим в добавление к (7) еще и а 12 == О, а 22 == о, а З2 == о, (7') так что в такой координатной системе будет q> (х, у, z) == а н х 2 + о. у2 + о. Z2, rAe a 11 === Л 1 единственный не равный нулю корень уравнения (3). Все дальпейшие упрощения в уравнении F (х, у, z) == q> (х, у, z) + 2а 1 х r 2a'1ll + 2а з z +а о == О достиrаются надлежащим переносом начала координат (и в одном случае еще дополнительным поворотом осей координат). 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности BToporo порядка Пусть дана поверхность BToporo порядка своим уравнением F (х, у, z) == (Р (х, у, z) + 21 (х t у, z) + а о == О ( 1 ) относительно некоторой прямоуrольной системы координат Oxyz. Как мы видели в 6, всеrда существует по крайней мере одна лрямоуrольная система координат Ох' у' z', оси которой имеют rлавные направления. В этой системе координат уравнение поверх- ности (1) имеет вид F' (х', у', z') == л'tх,2 + л'2.. /2 + Л,зz,2 + 2a x + 2а2У + + 2a;z' + ао == о. ( 1 ') Начнем с центральноrо случая: б =1= о, r == 3. В этом с rrучае л'1 =1= О, Л2 =1= о, Л З =1= О. Если перенести начало координат О системы Ох' у' z' в единственный центр поверхности (1), то уравнение (1') примет
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 265 ВИД F (X t у, z) == F" (х", у", z") == /"'tx"2 + "2 + Л,зz,,2 + ао ==0. (1) ПОМНЯ, что большой и малый детерминанты А и б суть OpTOrO" нальные инварианты, можем для их вычисления воспользоваться правой частью уравнения (1), что дает б == Л1)"'2Л3' L\ == /"'l ЛзаОt т. е. ао == (результат, известный нам еще из rлавы VIII, 5). Итак, окончательный вид уравнения (1) в выбранной нами прямоуrоль.. ной системе координат eCTb l ) л 1 х 2 + Л2!j2 + А.эz 2 + : == о. (I *) Здесь все коэффициенты однозначно (с ТОt(Ностью до общеrо числовоrо мно.. жителя k) определены уравнением (1) поверхности, в какой бы исходной пря. моуrольной системе хс)()рдинат Oxyz мы ero ни задавали. Если та же поверх. насть задана в той же исходной системе координат друrим уравнением: а (х, у, z) ==0, то в силу теоремы единственности все коэффициенты мноrочлена а (х, у, z) по..1УЧЗЮТСЯ из соответствующих коэффициентов мноrочлена F (х, у, z) YMHO )кением на некоторое число k =1:- о. Так как при переходе к новой системе координат O'x'y'z' мноrочлеllЫ F и G тождественно преобразуются соответст. венно в мноrОЧ.llены р' (х', у', z') и G' (х', у', z'), то и для соответствующих приведенных мноrочленов f' и О' сохраняется соотношение О' ==kF', так Что. в частности, характеристиче-::кие числа мноrочлена G (т. е. квадратичной формы ero старlПИХ членов) получаются из характеристических чисел мноrочлена F 11 умножением на То же k; то же справсдливо и для отношения б (при б * О). Последнее ясно и непосредственно: так как детерминант & четвертоrо порядка. а cs TpeTbero, ТО при умножении всех коэффициентов мноrочлена F (х, у, z) на k детерминант & умножается на k 4 , а детерминант б на kЗ, L\ значит, .7) умножается на k. Отсюда следует, в частности, что. умножая. е:ли нужно, обе части уравнения F (х, у, z) == О на k == 1, мо>кно всеrда достиr L\ нуть Toro, чтобы (при б * о) число б было отрицательным (или равным 1). Эта нормировка уравнения центральной поверхности совпадает с той, о которой мы rоворили в 5 rлавы VIII. так как есть значение мноrочлена F (х, у, z) 8 единственном центре центральной поверхности (1). Теперь имеется две возможности: 1\ == О и =1= о. Начнем с первой. 1 о А === О. Получаем конус BToporo порядка, ве[пественный, если среди характеристических чисел Л 1 , /"'2' /"'3 имеются числа разных знаков 2). УмножаЯ t если понадобится, обе части ypaBHe 1) Пишем снова х, у, z вместо Х'. !J, r'. 2) Здесь uелесообразно привести так называемое правило Декарта для определения знаlНШ корней алrебраическоrо уравнения, все корни KOToporo. действительные числа. Это правило в применении к уравнению третьей сте..
266 О13ЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BTOPOrO ПОРЯДКА. 11 ния (1) на 1, можем предположить, что среди ero коэффицисн тов л'1' л'2, /"3 имеется два положительных и один отрицательный. Изменив, если потребуется, наименования осей координат и обо- 1 1 значая положительные коэффициенты через а 2 ' Ь 2 ) а отрицатель ный через ё: J можем представить при 1\ == О уравнение (1 *) в виде х 2 у2 Z2 а2 + ь2 с2 == О (причем здесь и всюду дальше берем а, Ь, с с положительными). Это каноническое уравнение вещественноrо конуса. Заметим, что равенство л'l == л'2 означает а == Ь; тоrда мы иыеем l<руrовой конус или конус вращения, ero сечения плоскостями z == h суть окружности; если л'1 === л'z == Аз, то уравнение конуса превращается в х 2 + у2 Z2 == О имеем круrовой конус, обраЗУЮlцие KOToporo наклонены к ero 1t оси Z под yr лом 4 . Если все характеристические числа одноrо знака, мы можем переписать уравнение (1 *) при 8. == О в виде х 2 у2 Z2 а2 + 1)2 + с2 == О. Это каноническое уравнение мнимоrо конуса. 20 Пусть теперь А =1= О; это значит, что мы имеем невырожден- ную центральную поверхность. Переписываем тоrда уравнение (1*) в виде х 2 !l + бл! у2 + tl БЛ2 Z2 == 1. б (1**) Возможны четыре случая: а) Все три характеристические числа имеют один н тот же знак (тоrда тот же знак имеет и <5) и d > О, тоrда можем положить 11 2 11 Ь 2 11 2 БЛ1 а, ОЛ2 , блз с , лепи с действительными корнями можно сформулировать так. Пусть дано урав- нение ахЗ Ьх2+сх+d:::;:::;О. Назовем «переменой знака» лару соседних I{Оэф фициеНТОD в этом уравнении (Т. е. (а, Ь), (Ь, с) И.НИ (с, d)), состоящую ИЗ двух чисел различных знаков. Оказывается, что число положительных корнеЙ урав- Ilенил третьей степени (все корни KOToporo действительны) равно числу пере. мен знака в этом уравнении. При этом корни считаются вместе с их KpaTHO стями. Доказате.пьство мож:но найти, например, в «Курсе высшей а,,'ll"ебры» А. [. Курошз, Э 41, стр. 258 (издание восьмое).
ПРИВЕДЕННЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 267 причем а, Ь, с всеrда считаем положительными. Переписываем уравнение (1**) в виде х 2 у']. Z2 .==l а 2 Ь 2 с 2 получили каноническое уравнение мнимоrо эллипсоида. б) Нсе три характеристических числа имеют один и тот же знак и Д < О. Тоrда полаrае .1 ОАl == а 2 , б'А2 == Ь 2 , бl; ==с 2 получаем каноническое уравнение вещественноrо эллипсоида х 2 у2 Z2 + + ==l а 2 Ь 2 с 2 . в) Характеристические числа имеют разные знаки и Д < о. Предпо.пожим, что числа А 1 и А 2 имеют одинаковые знаки, а Аз ИМЕет знак, им противоположный (знак б совпадает со знаком Аз). ПО"lаrаем 2 БЛl а , Получаем уравнение 8 b 2 ОА2 , il БХ ==с 2 . :1 х 2 у2 Z2 t-- ==l а 2 Ь 2 с 2 ....... каноническое уравнение ДВУПОJIостноrо rиперболоида. И наконец, r) Характеристические числа имеют разные знаки и > о. Предположим снова, что числа 1..1 и А 2 имеют одинаI(овые знаки, а число }"3 знак, им противоположный. Тоrда, полаrая ........ == а2 Ь 2 !J.. == с 2 ОА] , 6Л 2 'БАз ' придаем уравнению (1**) вид х 2 у2 Z2 а2 + b2 с2 == 1. Это каноническое уравнение одпополостноrо rиперболоида. Итак, каждая цеНlпральн.ая поверхность второсо порядка есть либо конус (действительный или MHи.мый) либо эллипсоид (ael'Clп вuтельныu или мнимый) либо 2иперболоид (двуполостный или oдHO пОЛОСfпН,blй) . ПОЛО}I<ительные числа а, Ь, с в каноническом уравнении цент.. ральной поверхности, являющиеся ее полуосями, выражаются через характеристические числа Л 1 , ,.Л 2 , Аз и детерминанты 1\, Ot т. е. через ортоrональные инварианты 'Iноrочлена F (х, у, Z), и, значит, не Me няются при переходе от прямоуrольной координатной систеМЬJ Oxyz, в ({оторой задано уравнение F (х, у, z) : () рассматриваемой поверхности, к любой друrой прямоуrольной координатной сис
268 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕй BToporo ПОРЯДКА. I1 теме. Но они не зависят также и от Toro, каким из уравнений, определяющих в первоначальной системе Oxyz данную поверх- ность, мы ВОСПОЛЬ30вались. В самом деле, уравнения эти отлича.. ются друr от друrа только числовым множителем k. Но при YMHO жении всех коэффициентов мноrоч.пена F (х, у, z) на данное число 6- k на это же k умножаIОТСЯ и [;, и все характеристические числа "-1, А 2 , Аз; поэтому а 2 , Ь 2 , с 2 , ЭIlа чит, И а, Ь, с оста юте я неизмен ными. Итак, полуоси центральн й поверхности не зависят ни от выбора прямоуzольной системы координат, ни от то20 уравнения (из числа определяющих данную поверхность), котОРЫА1. в этой сиспlеме координат мы нашу поверхность задали; ОН!! зависят только от саJ..tОЙ пoвepXHocпlU как zео.метрuческой фuzуры, т. е. как мно- жества точек в пространстве. Обратно, если дано наименование центральной поверхности и ее полуоси а, Ь, с, то поверхность вполне определена с ТОЧ ностью до ее положения в пространстве. В самом деле, две OДHO именные поверхности с одними и теми }ке полуосями имеют одно и то же каноническое уравнение; знаЧИТ J отличаться они MorYT лишь тем, что первая из них этим уравнением определена в одной прямоуrольной координатной системе, а вторая в друrоi'l; но, совмещая первую координатную систему со второй посредством собствеНlIоrо или несобствеIII-Iоrо движения, мы совместим одну из наших поверхностей с друrой. Итак, две цен